8부 재료과학 8.8

기계적 성질

7.3에서 결정을 연속체로 보고 훅의 법칙을 6×6 행렬로 썼고(7.3.8탄성 컴플라이언스와 강성 상수), 8.1에서 그 연속체가 실은 결함으로 가득하며 소성 변형은 전위가 지나간 자국이라는 것을 보았다 (8.1.5전위와 버거스 벡터). 이 장은 그 둘을 잇는다 — 시편에 힘을 걸면 무엇이 일어나는가를, 탄성에서 항복·가공경화·네킹·파괴까지 한 곡선 위에서 따라가고, 곡선의 각 구간을 결함의 말로 옮긴다.

이 장의 뼈대는 한 문장이다. 금속의 강도는 전위를 얼마나 잘 막느냐로 정해지고, 인성은 균열을 얼마나 잘 막느냐로 정해진다. 1~~2절이 곡선의 문법이고, 3~~4절이 전위가 움직이는 기하(단결정 → 다결정), 5절이 전위를 막는 네 가지 방법, 6절이 막아 놓은 것을 열이 도로 푸는 과정이다. 7~8절은 “강하다”의 반대편 — 균열·반복 하중·고온에서 재료가 어떻게 지는가 — 이고, 9절의 경도는 이 모든 것을 압흔 하나로 재는 실용적 창이다.

반도체 전공에서 이 장은 두 얼굴로 나타난다. 실리콘은 실온에서 취성이라 1~6절의 “소성” 이야기가 바로 적용되지 않는 것처럼 보이지만, 웨이퍼가 급속 열처리에서 미끄러지는 것(3절), 무전위 잉곳이 성장 중에 항복하는 것(3절), 다이싱·박막화한 다이가 깨지는 것(7절)은 전부 이 장이다. 그리고 칩 위의 금속 배선·솔더·패키지는 그냥 금속이다 — Cu 배선의 자기 어닐링(6절), Al–Cu 합금의 석출(5절), 솔더의 열피로와 크리프(8절), low-k 유전막의 박리(7절), CMP의 경도 의존성(9절)이 그것이다.

표기는 Callister를 따른다. Callister는 공학 관례대로 공칭 응력·변형에 $\sigma$ · $\epsilon$ 을 쓰지만, 이 백과의 다른 장이 변형률을 $\varepsilon$ 으로 쓰므로 여기서도 $\varepsilon$ 으로 통일한다. 전위 관련 기호( $\mathbf b$ , $\rho_d$ , $G$ )는 8.1과 같다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 글자를 유난히 많이 빌려 쓴다. 같은 글자가 절마다 다른 뜻으로 나오는 것( $n$ , $K$ , $a$ )이 특히 위험하므로 시작하기 전에 정리한다. 절 안에서 뜻이 바뀌는 글자는 그 절 첫머리에서 다시 못박는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\sigma$ , $\varepsilon$		공칭(engineering) 응력·변형률 — 원래 단면적·원래 길이 기준	MPa · —
$\sigma_T$ , $\varepsilon_T$		진(true) 응력·변형률 — 순간 단면적·순간 길이 기준	MPa · —
$E$ , $G$ , $\nu$		영 계수 · 전단 탄성률 · 푸아송 비. $G$ 는 7절까지 전단 탄성률이고, 에너지 방출률은 $\mathcal G$ 로 글꼴을 바꾼다	GPa · GPa · —
$\sigma_y$ , $\sigma_0$		항복 강도 · 홀–페치의 마찰 응력(단결정 항복). 소문자 $y$ 는 yield	MPa
$TS$ , $\sigma_f$		인장 강도(공칭 곡선의 최대) · 파단 응력	MPa
$K$ , $n$		1절에서만: Hollomon 식 $\sigma_T=K\varepsilon_T^{\,n}$ 의 강도 계수·가공경화 지수. 7절의 $K_I$ (응력 세기 인자)·8절의 $n$ (크리프 지수)과 다르다	MPa · —
$\tau$ , $\tau_R$ , $\tau_{crss}$	타우	전단 응력 · 분해 전단 응력 · 임계 분해 전단 응력	MPa
$\phi$ , $\lambda$	파이 · 람다	인장축과 슬립면 법선 사이 각 · 인장축과 슬립 방향 사이 각. 7.3의 파장 $\lambda$ 가 아니다	rad
$\mathbf b$ , $b$	버거스 벡터	8.1과 같다	m
$\rho_d$	전위 밀도	8.1과 같다 — 질량 밀도 $\rho$ 와 구분	m⁻²
$d$		결정립 지름 (5·6·8절). 9절의 압흔 대각선은 $d_1$	m
$c$		용질 농도 (5절). 빛의 속도가 아니다	원자분율
$r$ , $f$ , $L$		석출물 반지름 · 부피분율 · 석출물 사이 간격 (5절)	m · — · m
$a$		3절까지 격자 상수, 7절부터 균열 길이(반길이). 그 절에서 다시 못박는다	m
$\rho_t$	로 t	균열 끝 곡률 반지름 (7절)	m
$\gamma_s$	감마 s	표면 에너지 (7절, 8.5.1과 같다)	J/m²
$K_t$ , $K_I$ , $K_{Ic}$		응력 집중 계수(무차원) · 모드 I 응력 세기 인자 · 평면 변형 파괴 인성 — 7절에 색인표	— · MPa√m · MPa√m
$S$ , $N$ , $N_f$		응력 진폭 · 사이클 수 · 파괴까지의 사이클 수 (8절). 9절의 $S$ 는 접촉 강성	MPa · — · —
$\dot\varepsilon_s$ , $Q_c$		정상 크리프 속도 · 크리프 활성화 에너지 (8절)	s⁻¹ · J/mol
$H$ , $HB$ , $HV$		경도(압력 단위) · 브리넬 경도 · 비커스 경도 (9절). 자기장 $H$ 가 아니다	GPa · kgf/mm²
$k$ , $R$ , $T$		볼츠만 상수 · 기체 상수 · 절대온도. 8절의 응력비 $R$ 은 그 자리에서 밝힌다	eV/K · J/mol·K · K

응력-변형 곡선

인장 시험 — 재료에 묻는 가장 기본적인 질문

원통형 시편의 양 끝을 잡고 일정한 속도로 당기면서 힘 $F$ 와 늘어난 길이를 기록한다. 시편 크기에 좌우되지 않도록 힘은 원래 단면적 $A_0$ 로, 길이 변화는 원래 길이 $l_0$ 로 나눈다:

\sigma=\frac{F}{A_0},\qquad \varepsilon=\frac{l_i-l_0}{l_0}=\frac{\Delta l}{l_0}

이것이 공칭(engineering) 응력과 변형률이다. 응력의 단위는 Pa(N/m²)이고 재료의 강도는 MPa, 탄성 계수는 GPa 급이다. 변형률은 무차원이지만 흔히 %로 말한다. 압축 시험은 부호만 바뀌고, 전단 시험은 $\tau=F/A_0$ 와 전단 변형률 $\gamma=\tan\theta$ 를 쓴다(7.3.7변형의 해석과 응력 성분). 비틀림 시험은 원통 표면의 전단이다.

그림 8.8-1. 왼쪽은 공칭 응력–변형 곡선의 표지들. 원점에서 기울기 E의 탄성 직선, 0.2 % 오프셋 직선과 곡선이 만나는 항복 강도, 곡선의 최대점인 인장 강도(여기서 네킹이 시작된다), 그 뒤 응력이 떨어지며 파단. 아래 화살표가 파단 뒤 남는 변형 = 연신율이다. 오른쪽은 같은 재료의 진응력–진변형 곡선을 공칭 곡선과 겹친 것. 진응력은 파단까지 계속 오르는데 공칭은 네킹에서 꺾인다 — 진변형이 가공경화 지수 n과 같아지는 점에서 접선의 기울기가 진응력과 같아지고(Considère), 바로 거기서 공칭 곡선이 최대가 된다. E = 200 GPa, K = 700 MPa, n = 0.25로 계산.직접 작도

곡선의 표지들 — 탄성·항복·인장 강도·파단

곡선은 네 구간으로 읽는다.

① 탄성 구간. 원점 근처는 직선이고 기울기가 영 계수 $E$ 다 — 훅의 법칙 $\sigma=E\varepsilon$ . 하중을 풀면 원점으로 돌아온다. 금속의 $E$ 는 45 GPa(Mg)에서 407 GPa(W)까지이고 Si는 방향에 따라 130~188 GPa, 강은 207 GPa, Al은 69 GPa, Cu는 110 GPa이다. 이 구간은 2절에서 원자 결합으로 푼다.

② 항복. 직선이 휘기 시작하는 곳이 비례 한도인데 눈으로 정하기 어렵다. 그래서 관례로 탄성 직선을 $\varepsilon=0.002$ 만큼 오른쪽으로 평행이동해 곡선과 만나는 점을 항복 강도 $\sigma_y$ 로 정한다(0.2 % 오프셋). 그 뒤로는 하중을 풀어도 영구 변형이 남는다 — 전위가 움직이기 시작했다는 뜻이다(3절). 연강처럼 항복점이 뾰족하게 나타나는 재료는 오프셋 없이 하항복점을 쓴다(5절).

③ 균일 소성과 인장 강도. 항복 뒤에도 응력은 계속 오른다 — 가공경화다. 전위가 늘어나 서로를 막기 때문이고(5절), 공칭 곡선의 최대점이 인장 강도 $TS$ 다. 최대점까지는 시편 전체가 고르게 늘어난다.

④ 네킹과 파단. 최대점을 지나면 한 곳이 잘록해지며(네킹) 변형이 거기에 집중되고, 단면이 줄어 공칭 응력은 떨어지다가 파단한다. 응력이 떨어지는 것은 재료가 약해져서가 아니라 $A_0$ 로 나누기 때문이다 — 실제 단면으로 나누면 계속 오른다(아래 진응력).

연성은 파단까지 얼마나 늘어났는가다. 두 가지로 잰다:

\%EL=\frac{l_f-l_0}{l_0}\times100,\qquad \%RA=\frac{A_0-A_f}{A_0}\times100

연신율 $\%EL$ 은 파단 뒤 시편을 맞대어 잰 길이(탄성 회복분은 빠진다)이고, 게이지 길이에 따라 달라져 표준 길이(50 mm)를 적어 준다. 단면 감소율 $\%RA$ 는 네킹 부위에서 재며 게이지 길이에 무관하다. 연신율 5 % 미만이면 취성이라 부른다.

곡선 아래 넓이가 에너지다. 탄성 구간의 넓이가 탄성 복원 에너지(resilience)

U_r=\int_0^{\varepsilon_y}\sigma\,d\varepsilon=\frac{\sigma_y^2}{2E}

이고(단위 J/m³ = Pa, 7.3.9의 탄성 에너지 밀도와 같은 양이다 7.3.9탄성 에너지 밀도와 부피 탄성률), 파단까지의 전체 넓이가 인성(toughness)이다. 스프링 재료는 $U_r$ 이 커야 하므로 $\sigma_y$ 는 높고 $E$ 는 낮은 쪽이 좋고, 인성은 강도와 연성의 곱이라 둘 중 하나만 커서는 안 된다 — 세라믹은 강도가 높아도 연성이 0에 가까워 인성이 작다.

진응력과 진변형 — 곡선이 꺾이는 진짜 이유

공칭 정의는 시편이 늘어나 단면이 줄어드는 것을 무시한다. 순간 단면적 $A_i$ 와 순간 길이 $l_i$ 로 정의한 것이 진응력과 진변형이다:

\sigma_T=\frac{F}{A_i},\qquad \varepsilon_T=\int_{l_0}^{l_i}\frac{dl}{l}=\ln\frac{l_i}{l_0}

네킹 전까지는 부피가 보존되므로( $A_il_i=A_0l_0$ — 소성 변형은 전단이라 부피를 바꾸지 않는다, 7.3.7변형의 해석과 응력 성분의 팽창 $\delta=0$ ) 두 정의가 이렇게 이어진다:

\sigma_T=\sigma(1+\varepsilon),\qquad \varepsilon_T=\ln(1+\varepsilon)

진변형이 로그인 것은 변형을 누적하기 때문이다 — 1 m를 2 m로 늘인 뒤 다시 4 m로 늘이면 공칭 변형은 $1+1=2$ 가 아니라 $3$ 이 되어 더해지지 않지만, 진변형은 $\ln2+\ln2=\ln4$ 로 더해진다. 작은 변형에서는 둘이 같다( $\ln(1+\varepsilon)\approx\varepsilon$ ).

균일 소성 구간의 진응력 곡선은 거듭제곱으로 잘 맞는다:

\sigma_T=K\,\varepsilon_T^{\,n}

$K$ 가 강도 계수( $\varepsilon_T=1$ 일 때의 진응력), $n$ 이 가공경화 지수다. 어닐링한 금속의 $n$ 은 0.1~0.5(Cu 0.44, 황동 0.21, 연강 0.26, Al 0.20)이고, 냉간가공한 금속은 0에 가깝다 (이미 경화되어 있으니 더 경화할 여지가 적다).

직관

수식적 직관 — 왜 하필 네킹이 $\varepsilon_T=n$ 에서 시작하는가 (Considère). 시편이 균일하게 늘어나는 동안 재료는 두 가지 경쟁을 겪는다. 늘어날수록 단면이 줄어 같은 힘이면 응력이 오르고(약해지는 쪽), 늘어날수록 가공경화로 재료 자체는 강해진다(강해지는 쪽). 힘 $F=\sigma_TA$ 가 최대가 되는 곳이 네킹의 시작이다:

dF=A\,d\sigma_T+\sigma_T\,dA=0 \;\Longrightarrow\; \frac{d\sigma_T}{\sigma_T}=-\frac{dA}{A}=\frac{dl}{l}=d\varepsilon_T \;\Longrightarrow\; \frac{d\sigma_T}{d\varepsilon_T}=\sigma_T

가공경화율이 진응력과 같아지는 순간이다. 그 전에는 경화가 단면 감소를 이기고, 그 뒤로는 진다. Hollomon 식을 넣으면 $nK\varepsilon_T^{\,n-1}=K\varepsilon_T^{\,n}$ , 곧 $\varepsilon_T=n$ 이다. 가공경화 지수 = 균일하게 늘일 수 있는 진변형이라는 뜻이고, $n$ 이 클수록 프레스 성형이 잘 된다. 그림의 오른쪽에서 진응력 곡선의 접선 기울기가 진응력 값과 같아지는 점이 정확히 공칭 곡선의 정점이다.

그래프 직관. 진응력 곡선은 파단까지 계속 오르고 공칭 곡선은 정점을 지나 떨어진다 — 둘의 차이는 $A_0$ 로 나누느냐 $A_i$ 로 나누느냐뿐이다. 진응력 곡선을 양대수 그래프에 그리면 기울기가 $n$ , 절편이 $\log K$ 다.

탄성 회복. 소성 구간의 어느 점에서 하중을 풀면 곡선은 원래의 탄성 기울기 $E$ 로 내려온다. 남는 것이 소성 변형, 되돌아온 몫이 탄성 변형이다. 다시 하중을 걸면 풀었던 점까지 탄성으로 올라가 그 지점부터 다시 소성이 이어진다 — 재료가 “이전 최대 응력을 기억”하는 것이고, 항복 강도가 그만큼 올라 있다. 이것이 5절 가공경화의 곡선 위 모습이며, 냉간가공한 판재를 스프링백 없이 성형하기 어려운 이유다.

탄성과 소성

탄성 계수는 원자 결합의 스프링 상수다

훅의 법칙은 작은 변형에서 응력이 변형에 비례한다는 경험칙이고, 그 비례상수가 재료마다 다른 이유는 7.3에서 본 결합 곡선 $U(r)$ 에 있다(7.3.1결합 에너지와 응집 에너지). 두 원자 사이의 알짜 힘 $F=-dU/dr$ 은 평형 거리 $r_0$ 에서 0이고, $r_0$ 에서 조금 벗어나면 힘이 변위에 비례해 되돌린다:

E\;\propto\;\left(\frac{dF}{dr}\right)_{r_0} =\left(\frac{d^2U}{dr^2}\right)_{r_0}

힘 곡선의 기울기, 곧 에너지 곡선의 곡률이 탄성 계수다. 결합이 깊고 좁을수록(공유·이온 결합, 높은 녹는점) 곡률이 크고 $E$ 가 크다 — W 407 GPa, 다이아몬드 1,050 GPa, Si 130~188 GPa, Al 69 GPa, 고분자 1 GPa 안팎. 온도를 올리면 원자가 결합 곡선의 비대칭한 위쪽에서 진동해 유효 곡률이 줄고 $E$ 가 천천히 내려간다(Al: 실온에서 600 °C까지 약 30 % 감소).

그림 8.8-2. 두 원자 사이의 알짜 힘 곡선 F(r). 평형 거리 r₀에서 힘이 0을 지나며, 그 자리의 접선 기울기가 결합의 스프링 상수 = 탄성 계수다. 강하게 결합된 재료(실선)는 급하게 지나가 E가 크고, 약하게 결합된 재료(점선)는 완만해 E가 작다. 평형점 근처에서만 직선이므로 훅의 법칙은 작은 변형의 법칙이다. Morse 퍼텐셜로 계산.직접 작도

같은 논리로 전단 탄성률 $G$ 와 부피 탄성률 $B$ 도 정해지고, 등방성 재료에서 셋은 독립이 아니다:

E=2G(1+\nu)=3B(1-2\nu)

푸아송 비 $\nu$ 는 당길 때 옆으로 줄어드는 비율 $-\varepsilon_x/\varepsilon_z$ 로, 부피가 변하지 않는 극한이 $\nu=0.5$ (고무)이고 금속은 0.25~~0.35, Si는 방향에 따라 0.06~~0.28, 세라믹 0.2~0.25다. $\nu$ 가 0.5에 가까울수록 $B\gg G$ — 모양은 쉽게 바뀌는데 부피는 안 바뀐다.

비탄성(anelasticity). 실제 재료는 하중을 걸었다 풀 때 곡선이 바로 겹치지 않고 시간이 조금 걸린다 — 응력을 걸면 원자·점결함이 재배치될 시간이 필요해서다. 금속에서는 작지만 고분자에서는 크고(8.10.5의 점탄성), MEMS 공진기의 내부 마찰(Q 인자)이 이것이다.

실리콘의 탄성 — 이방성을 무시하면 30 % 틀린다

7.3.8에서 입방 결정의 탄성 상수는 셋( $C_{11}, C_{12}, C_{44}$ )이고, 등방성이면 $C_{11}-C_{12}=2C_{44}$ 여야 한다고 했다. Si는 $C_{11}=166$ , $C_{12}=64$ , $C_{44}=80$ GPa로 이방성 비 $A=2C_{44}/(C_{11}-C_{12})=1.57$ — 뚜렷하게 이방성이다. 그래서 “Si의 영 계수”는 하나의 숫자가 아니다. 방향 $[lmn]$ 의 영 계수는 컴플라이언스로

\frac1{E_{[lmn]}}=S_{11}-2\Bigl(S_{11}-S_{12}-\tfrac12S_{44}\Bigr)\bigl(l^2m^2+m^2n^2+n^2l^2\bigr)

이고( $S_{11}=7.68$ , $S_{12}=-2.14$ , $S_{44}=12.6\times10^{-3}\ \mathrm{GPa^{-1}}$ ), 괄호 안의 방향 인자가 $\langle100\rangle$ 에서 0, $\langle110\rangle$ 에서 1/4, $\langle111\rangle$ 에서 1/3이다. 결과는 $E_{[100]}=130$ , $E_{[110]}=169$ , $E_{[111]}=188$ GPa — 가장 무른 방향과 가장 뻣뻣한 방향이 45 % 다르다.

그림 8.8-3. Si (001) 면 안에서 방향에 따른 영 계수. 곡선이 원이 아니라 네 잎 모양이고, [100] 방향에서 130 GPa로 가장 무르며 [110] 방향에서 169 GPa로 가장 뻣뻣하다. 점선은 등방성이라면 그려졌을 원. (001) 웨이퍼 위에 만든 MEMS 빔은 노치(대개 [110])와 나란히 놓느냐 45° 돌려 놓느냐에 따라 강성이 30 % 다르다. Si 컴플라이언스 값으로 계산.직접 작도

직관

공간적 직관 — 결합 방향이 곧 뻣뻣한 방향. 다이아몬드 구조의 결합은 $\langle111\rangle$ 을 향한다(7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광)). $[111]$ 로 당기면 결합 하나가 인장축과 나란히 서서 결합을 직접 늘여야 하고, $[100]$ 으로 당기면 네 결합이 모두 축에 비스듬해 결합 각을 바꾸는 것으로 상당 부분을 흡수한다. 결합 길이를 바꾸는 것이 각을 바꾸는 것보다 훨씬 비싸므로 $[111]$ 이 뻣뻣하다. BCC 금속(W, $A\approx1$ )은 우연히 등방성에 가깝고, Cu( $A=3.2$ )·Al( $A=1.2$ )·Si(1.57)는 아니다.

파라미터 연계. 박막이 기판 위에서 2축으로 당겨지면(9.11.1의 열응력·본질 응력) 유효 계수는 $E$ 가 아니라 2축 계수 $M=E/(1-\nu)$ 이고(7.3.8탄성 컴플라이언스와 강성 상수의 얇은 막 2축 변형), $(001)$ Si의 $M=180$ GPa, $(111)$ Si는 229 GPa이다. Stoney 식(9.11.2)으로 웨이퍼 곡률에서 박막 응력을 셀 때 이 $M_{\text{sub}}$ 이 들어간다 — 등방성 $E$ 로 계산하면 20 % 틀린다. 열응력 $\sigma=M\,\Delta\alpha\,\Delta T$ 도 같다: SiO₂/Si는 $\Delta\alpha\approx2\times10^{-6}$ /K 라 1000 °C에서 식히면 산화막에 300 MPa 안팎의 압축이 남는다.

소성 변형 — 되돌아오지 않는 것

탄성 한도를 넘으면 원자들이 이웃과의 결합을 끊고 새 이웃과 맺어 영구히 자리를 옮긴다. 결정에서 이것은 전위의 미끄럼이고(3절), 비정질 고체(유리·고분자)에서는 점성 흐름이다(8.9.8·8.10.4). 소성 변형은 전단으로만 일어난다 — 정수압만으로는 결정을 영구히 변형시킬 수 없다(부피가 보존된다). 그래서 인장 시편도 실제로는 45° 근처의 면을 따라 미끄러지고, 항복 조건은 인장 응력이 아니라 최대 전단 응력( $\sigma/2$ )으로 걸린다. 3절의 슈미트 법칙이 그 정량화다.

슬립계와 임계 분해 전단 응력

슬립계 — 어느 면 위를 어느 방향으로

이 절에서 $a$ 는 격자 상수다. 전위는 아무 면 위나 움직이지 않는다. 가장 조밀한 면 위를 가장 짧은 격자 벡터 방향으로 움직인다(8.1.5전위와 버거스 벡터 — $\mathbf b$ 가 짧을수록 에너지 $Gb^2$ 가 작고, 조밀한 면일수록 면간 거리가 넓어 파이얼스 응력이 낮다). 슬립면과 슬립 방향의 조합이 슬립계다.

구조	슬립면	슬립 방향	슬립계 수	예
FCC	$\{111\}$ (4)	$\langle110\rangle$ (면당 3)	12	Cu, Al, Ni, Au, Ag
BCC	$\{110\}$ (6) · $\{211\}$ (12) · $\{321\}$ (24)	$\langle111\rangle$ (면당 2·1·1)	12 + 12 + 24 = 48	Fe, W, Mo, Ta
HCP	$(0001)$ 기저면 (1) · 주면·추면	$\langle11\bar20\rangle$ (3)	3 (기저면만)	Mg, Zn, Ti
다이아몬드	$\{111\}$ (4)	$\langle110\rangle$ (3)	12	Si, Ge, GaAs

그림 8.8-4. 왼쪽: FCC 관습 세포의 (111) 면과 그 안의 세 ⟨110⟩ 슬립 방향. 면 4개 × 방향 3개 = 12 슬립계이고, 다이아몬드 구조의 Si·Ge·GaAs도 같다. 오른쪽: BCC의 (110) 면과 그 안의 두 ⟨111⟩ 방향. 6면 × 2방향 = 12이고 (211)·(321)까지 합치면 48이지만, 진짜 조밀면이 없어 파이얼스 응력이 높고 온도에 민감하다.직접 작도

슬립계의 수와 성격이 재료의 성질을 가른다. FCC는 12개가 전부 조밀면 위라 어느 방향으로 당겨도 미끄러질 면이 있어 연성이고, 파이얼스 응력이 낮아 온도가 내려가도 연성을 지킨다. BCC는 개수는 많지만 진짜 조밀면이 없어 파이얼스 응력이 높고 온도에 예민하다 — 강의 연성–취성 천이(7절)의 뿌리다. HCP는 기저면 3개뿐이라 그 면이 인장축과 나란하면 미끄러질 수 없어 취성이고, 대신 쌍정(4절)이 변형을 나눠 진다.

슈미트 법칙 — 인장 응력을 슬립면 위로 분해한다

단결정을 축 방향 응력 $\sigma$ 로 당긴다. 슬립면 법선이 인장축과 $\phi$ , 슬립 방향이 인장축과 $\lambda$ 를 이룬다고 하자. 슬립면 위, 슬립 방향으로 걸리는 전단 응력 — 분해 전단 응력 — 은

\tau_R=\sigma\cos\phi\cos\lambda

이다. $\cos\phi$ 는 면에 걸리는 힘을 면적으로 나눌 때 면적이 $A_0/\cos\phi$ 로 늘어난 몫이고, $\cos\lambda$ 는 힘을 슬립 방향으로 투영한 몫이다. 곱 $\cos\phi\cos\lambda$ 를 슈미트 인자라 한다.

그림 8.8-5. 왼쪽: 단결정 시편에 기울어진 슬립면. 인장축과 면 법선 n 사이의 각 φ, 인장축과 슬립 방향 s 사이의 각 λ. 오른쪽: 슬립 방향이 면 안에서 최대 전단 방향일 때(λ = 90° − φ) 슈미트 인자 cos φ cos λ = ½ sin 2φ. 45°에서 최대 0.5이고 0°와 90°에서 0 — 면이 축과 나란하거나 수직이면 전단이 걸리지 않는다. 그래서 단결정의 항복 응력은 45°에서 최소 2τ_crss이고 양 끝에서 발산한다.직접 작도

슬립은 $\tau_R$ 이 그 재료의 임계 분해 전단 응력 $\tau_{crss}$ 에 닿을 때 시작된다 — 이것이 슈미트 법칙이고, $\tau_{crss}$ 는 재료 상수다(순 Cu 단결정 0.5 MPa 안팎, 순 Al 1 MPa, 순 Fe 30 MPa, Si는 실온에서 사실상 무한대). 여러 슬립계 중 슈미트 인자가 가장 큰 것이 먼저 움직이므로 단결정의 항복 응력은

\sigma_y=\frac{\tau_{crss}}{(\cos\phi\cos\lambda)_{\max}}

이고, 가장 유리한 방위( $\phi=\lambda=45°$ )에서 $\sigma_y=2\tau_{crss}$ 로 최소다.

직관

그래프 직관 — 왜 45°인가, 그리고 왜 양 끝에서 발산하는가. 슬립 방향이 면 안의 최대 전단 방향과 같으면 $\lambda=90°-\phi$ 이고 슈미트 인자는 $\tfrac12\sin2\phi$ — 반원 모양의 곡선으로 45°에서 0.5가 최대다. 곧 인장 응력의 절반 이상은 어느 면에도 전단으로 걸리지 않는다. 면이 축과 나란하면( $\phi=90°$ ) 면에 걸리는 힘이 0이고, 수직이면( $\phi=0$ ) 힘은 있지만 전부 수직 성분이라 전단이 0이다. 두 경우 다 미끄러질 수 없으니 $\sigma_y\to\infty$ 다. 실제로 HCP 단결정(Zn)을 기저면이 축과 나란하게 당기면 항복 대신 쪼개진다 — 슬립계가 3개뿐이라 대안이 없어서다.

형태적 직관 — 단결정 시편은 왜 비틀리는가. 슬립이 진행되면 시편 양 끝은 잡혀 있으므로 슬립면이 인장축 쪽으로 회전한다 — $\lambda$ 가 줄고 $\phi$ 가 늘어 슈미트 인자가 변하며, 이내 다른 슬립계가 같은 값이 되어 이중 슬립이 시작된다. 그 순간부터 두 슬립계의 전위가 서로 얽혀 가공경화율이 급히 오른다(FCC 단결정의 1단계·2단계 경화). 4절의 다결정은 처음부터 이 상태다.

전위가 움직이는 데 필요한 응력 — 파이얼스 응력과 열활성화

$\tau_{crss}$ 는 무엇으로 정해지나. 완전히 순수한 결정에서는 격자 자체가 전위에 거는 마찰 — 파이얼스 응력(8.1.5전위와 버거스 벡터) — 이고, 이것은 전위 코어의 폭에 지수적으로 걸린다:

\tau_P\approx\frac{2G}{1-\nu}\exp\!\left(-\frac{2\pi w}{b}\right),\qquad w\approx\frac{d_{hkl}}{1-\nu}

코어 폭 $w$ 가 면간 거리 $d_{hkl}$ 에 비례하므로 조밀한 면일수록 코어가 넓고 파이얼스 응력이 낮다. FCC 금속에서 $\tau_P\sim10^{-5}G$ 로 무시할 만하고, BCC에서는 나사 전위 코어가 세 면에 걸쳐 퍼져 있어 $10^{-3}G$ 급, 공유 결합 결정(Si·다이아몬드)에서는 결합을 끊어야 해서 $10^{-2}G$ 에 이른다.

응력이 파이얼스 응력보다 낮아도 전위는 열의 도움으로 움직인다 — 전위선 전체가 한꺼번에 파이얼스 골을 넘는 대신 짧은 토막(킹크 쌍)이 먼저 넘고 옆으로 퍼진다. 그래서 전위 속도는

v=v_0\left(\frac{\tau}{\tau_0}\right)^{m}\exp\!\left(-\frac{Q}{kT}\right)

꼴의 아레니우스 식을 따르고(8.3.4확산의 열활성화와 아레니우스 거동), 활성화 에너지 $Q$ 는 킹크 쌍 형성 에너지다. Si에서 $Q\approx2.2$ eV, $m\approx1$ 이다.

그림 8.8-6. 왼쪽: Si 전위 속도의 아레니우스 그림. 두 응력에서 나란한 직선이고 기울기가 활성화 에너지 2.2 eV에 대응한다. 실온으로 외삽하면 속도가 사실상 0 — 실온의 Si에서 전위는 서 있다. 오른쪽: 항복 응력(전위를 움직이는 응력, 열활성화라 온도에 지수적으로 감소)과 파괴 응력(균열을 키우는 응력, 온도에 거의 무관)의 교차. 교차점 T_BD 아래에서는 파괴가 먼저 와 취성, 위에서는 항복이 먼저 와 연성이다. 변형 속도를 올리면 항복 곡선이 위로 올라가 T_BD가 높은 온도로 밀린다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 실리콘이 실온에서 취성인 이유는 전위가 없어서가 아니라 전위가 서 있어서다. Si의 전위 속도를 실온으로 외삽하면 100 MPa에서도 $10^{-20}$ m/s 아래 — 원자 하나 거리를 가는 데 우주의 나이가 걸린다. 그러니 응력을 올려도 전위는 응답하지 못하고, 그 전에 균열이 자라 깨진다 (7절). 온도를 올리면 항복 응력은 지수적으로 떨어지는데 파괴 응력은 거의 그대로이므로 어느 온도에서 둘이 교차한다 — 취성–연성 천이 온도 $T_{BD}$ 로, Si는 변형 속도에 따라 550~800 °C다. 그 위에서 Si는 연성 금속처럼 항복하고 가공경화한다. 확산로에서 1000 °C가 넘는 웨이퍼가 보트 위에서 자기 무게로 휘고(크리프, 8절), 급속 열처리(18.9.5)에서 중심과 가장자리의 온도차가 만든 열응력이 $\{111\}$ 면을 따라 슬립선을 내는 것이 전부 이 천이 온도 위의 이야기다. 슬립은 전위를 남기고, 전위는 접합 누설과 게이트 산화막 결함이 된다(8.1.5전위와 버거스 벡터).

무전위 잉곳의 항복. 전위가 없는 결정에는 움직일 전위가 없으니 처음에는 매우 강하다. 응력이 충분히 크면 어딘가에서 전위가 생겨(8.1.6전위 밀도와 증식) 급히 증식하고 — 전위 밀도가 늘면서 전위 하나가 감당할 응력이 줄어 — 응력이 떨어진다. 이것이 Si 단결정의 상항복점이고 (Alexander–Haasen 모형: $\sigma_{uy}\propto\dot\varepsilon^{1/(2+m)}e^{Q/(2+m)kT}$ ), 연강의 항복점 현상(5절)과 같은 모양이지만 원인은 코트렐 분위기가 아니라 초기 전위 밀도가 0인 것이다.

다결정의 소성 변형과 쌍정

결정립마다 방향이 다르다 — 그래서 다결정이 더 강하다

다결정에서는 결정립마다 결정 방위가 달라 같은 인장축에 대해 슈미트 인자가 제각각이다. 가장 유리한 방위의 결정립이 먼저 항복하지만, 그 결정립만 늘어나면 이웃과의 경계가 벌어져야 하는데 그럴 수 없다 — 경계는 붙어 있어야 한다(적합 조건). 그러니 유리한 결정립은 이웃이 항복할 때까지 기다려야 하고, 불리한 결정립까지 항복하려면 응력이 더 올라야 한다.

그림 8.8-7. 왼쪽: 변형 전 다결정. 결정립마다 슬립선의 방향이 다르고(결정 방위가 다르다), 슬립선은 결정립계에서 끊긴다 — 경계가 전위를 막는다. 오른쪽: 세로로 인장한 뒤. 모든 결정립이 인장 방향으로 늘어나고 가로로 좁아졌으며, 슬립선도 축 쪽으로 돌았다. 경계는 벌어지지 않고 그대로 이어져 있다 — 그러려면 각 결정립이 이웃에 맞춰 여러 슬립계를 동시에 써야 한다.직접 작도

임의의 모양 변화를 슬립만으로 맞추려면 독립된 슬립계 다섯 개가 필요하다(von Mises 조건 — 변형 텐서의 독립 성분 6개 중 부피 보존으로 하나가 묶인다 7.3.7변형의 해석과 응력 성분). FCC와 BCC는 넉넉히 넘고, HCP는 기저면 셋이 독립 2개뿐이라 모자란다 — Mg·Zn 다결정이 실온에서 취성인 이유이고, 쌍정과 추면 슬립이 나머지를 채운다.

다결정의 항복 응력은 단결정의 $\tau_{crss}$ 에 방위 평균 인자를 곱한 것이다:

\sigma_y=M\,\tau_{crss},\qquad M\approx3.06

$M$ 이 테일러 인자로(무작위 방위의 FCC에서 3.06), 단결정의 최적값 2보다 크다(각 결정립이 여러 슬립계를 동시에 써야 하므로). 집합조직(8.2.4집합조직(texture))이 있으면 $M$ 이 방향에 따라 달라져 판재가 방향에 따라 다르게 늘어난다. 다결정은 또 처음부터 다중 슬립 상태라 단결정의 1단계 경화 없이 곧장 가파른 가공경화로 들어간다.

변형 뒤의 조직. 냉간 압연·인발을 거친 결정립은 변형 방향으로 늘어나고(그림의 오른쪽), 그 안은 전위로 가득 차며(5절), 결정립들의 방위가 특정 방향으로 몰려 변형 집합조직이 생긴다. 이 셋이 6절의 어닐링이 되돌리는 것이다.

쌍정 — 미끄러지는 대신 뒤집는다

슬립 말고 결정이 전단 변형하는 두 번째 방법이 기계적 쌍정이다. 쌍정면을 사이에 두고 한쪽 격자가 다른 쪽의 거울상이 되도록, 면에서의 거리에 비례해 원자가 옮겨 간다 — 균질 전단이다.

그림 8.8-8. 왼쪽: 슬립. 슬립면 위 블록 전체가 아래에 대해 격자 벡터의 정수배(여기서는 2b)만큼 옮겨 갔고, 면 위아래의 격자 방위는 같으며 표면에 계단이 남는다. 오른쪽: 쌍정. 쌍정면 위의 격자가 아래의 거울상이 되도록 원자마다 면에서의 거리에 비례해 옮겨 갔다(강조된 한 열이 면을 지나며 꺾인다). 어느 원자도 격자 벡터만큼 옮기지 않았지만 격자의 방위가 바뀌고, 면에서 먼 층일수록 변위가 크다.직접 작도

	슬립	쌍정
변위	$\mathbf b$ 의 정수배, 몇 개 면에 집중	$b$ 보다 작고, 면마다 조금씩 (균질 전단)
격자 방위	그대로	바뀐다 (거울상)
전단 변형량	무제한	결정학적으로 고정 (FCC 0.707, BCC 0.707, HCP Mg 0.13)
일어나는 조건	낮은 응력, 여러 슬립계	높은 응력, 낮은 온도, 빠른 변형, 슬립계 부족
재료	FCC 일반	BCC (저온·충격), HCP (기저면 슬립이 막힐 때), 낮은 적층 결함 에너지의 FCC

쌍정 자체가 만드는 변형은 작다. 쌍정의 진짜 역할은 격자를 돌려 놓는 것이다 — 슬립계가 불리한 방위에 있던 결정립이 쌍정으로 방위를 바꾸면 슬립이 가능해진다. HCP 금속의 연성은 대부분 이 조합에서 나오고, BCC 강이 저온·충격에서 쌍정을 내는 것(노이만 띠)은 7절의 취성과 짝이다.

직관

쌍정 경계는 값싼 경계다 — 나노쌍정 구리. FCC의 $\Sigma3$ 정합 쌍정 경계(8.1.7결정립계와 계면 결함, 8.5.4단상 고체의 경계(소각·대각 경계))는 에너지가 결정립계의 1/20 아래이고 전자를 거의 산란하지 않는다. 그런데 전위는 막는다 — 쌍정면을 건너려면 $\mathbf b$ 가 거울상으로 바뀌어야 해서다. 그래서 두께 수십 nm의 쌍정을 촘촘히 넣은 나노쌍정 Cu는 항복 강도가 벌크의 10배(≈1 GPa)이면서 비저항은 거의 그대로다. 홀–페치의 $d$ 자리에 쌍정 간격이 들어가는 셈이고(5절), 전자 이동 저항까지 좋아져 배선·범프 재료로 연구된다. 8.2.5에서 결정립 크기가 강도와 비저항을 동시에 건드린다고 한 것의 예외이자 해법이다.

실리콘 잉곳 성장 중의 쌍정(8.1.7결정립계와 계면 결함)은 기계적 쌍정이 아니라 성장 쌍정이다 — 계면에서 적층 순서가 한 번 틀리면 그 뒤로 거울상으로 자란다(8.6). 단결정 잉곳에서는 불량이지만 다결정 태양전지 Si에서는 흔한 경계이고, 전기적으로는 거의 무해하다.

강화 기구(고용·석출·결정립 미세화·가공경화)

원리는 하나 — 전위를 못 움직이게 한다

금속의 소성 변형이 전위의 미끄럼이라면, 강하게 만드는 방법은 하나뿐이다: 전위가 움직이기 어렵게 한다. 무엇으로 막느냐에 따라 네 가지로 나뉜다 — 결정립계(결정립 미세화), 용질 원자(고용 강화), 제2상 입자(석출·분산 강화), 다른 전위(가공경화). 어느 것이든 항복 강도를 올리는 대가로 연성을 판다 — 결정립 미세화만 예외적으로 둘 다 올린다.

각 기구를 정량화하는 틀은 같다. 전위가 장애물을 넘는 데 드는 추가 전단 응력 $\Delta\tau$ 를 구하고, 다결정으로 옮길 때 테일러 인자 $M\approx3$ 을 곱한다. 장애물이 여럿이면 대체로 더한다:

\sigma_y\approx\sigma_0+\Delta\sigma_{\text{gb}}+\Delta\sigma_{\text{ss}}+\Delta\sigma_{\text{ppt}}+\Delta\sigma_{\text{wh}}

(정확히는 선형 합이 아니라 제곱합 등으로 섞이지만, 어느 항이 얼마나 기여하는지 셈하는 데는 이것으로 족하다.)

① 결정립 미세화 — 홀–페치

결정립계는 전위를 막는다. 슬립면이 경계에서 끊기고 이웃 결정립의 슬립면이 다른 방향이라 전위가 건너갈 수 없어서다. 막힌 전위들이 경계 앞에 줄지어 쌓이고(파일업), 그 끝의 응력이 이웃 결정립의 전위원을 켤 만큼 커질 때 항복이 옆으로 번진다. 결과가 홀–페치 식이다:

\sigma_y=\sigma_0+k_y\,d^{-1/2}

유도와 그래프, 나노 영역의 이탈(역 홀–페치), 그리고 고온에서 부호가 뒤집히는 이유는 8.2.5에서 이미 다루었다(8.2.5미세조직과 물성의 관계 (반도체 구조 계측은 19.3)). 여기서는 이 기구가 다른 셋과 다른 점 하나만 적는다 — 연성과 인성이 함께 오른다. 결정립이 작으면 균열이 경계마다 방향을 바꿔야 하고(7절), 강의 연성–취성 천이 온도가 내려간다. 그래서 구조용 강의 설계는 결정립 미세화로 시작한다.

결정립을 작게 만드는 방법은 6절이다 — 냉간가공 뒤 재결정, 제2상 입자로 결정립 성장을 붙드는 것 (8.5.5결정립 성장의 속도론의 Zener 핀 고정), 응고 시 핵생성제(8.6).

② 고용 강화 — 용질이 전위의 응력장에 앉는다

순금속은 언제나 같은 원자의 합금보다 무르다. 치환형이든 격자간이든 용질 원자는 둘레 격자를 뒤틀고 (8.1.4불순물과 고용체), 전위도 둘레를 뒤튼다(8.1.5전위와 버거스 벡터). 두 뒤틀림이 서로를 지울 수 있는 자리에 용질이 앉으면 계의 에너지가 낮아진다 — 호스트보다 큰 치환형 용질과 격자간 원자(C·N — 어디에 끼든 격자를 넓힌다)는 칼날 전위의 인장 쪽(반평면 반대편)에, 호스트보다 작은 치환형 용질은 압축 쪽에.

그림 8.8-9. 왼쪽: 칼날 전위 둘레의 격자. 반평면이 있는 위쪽은 압축, 아래쪽은 인장이다. 큰 치환형 용질과 격자간 C·N은 틈이 넓어진 인장 쪽에, 작은 치환형 용질은 압축 쪽에 앉아 전위의 변형 에너지를 일부 지운다 — 코트렐 분위기. 전위가 떠나려면 이 에너지 이득을 되갚아야 하므로 응력이 더 든다. 오른쪽: 연강의 항복점 현상. 상항복점에서 전위가 분위기를 떨치고 나오면 응력이 하항복점으로 떨어지고, 뤼더스 띠가 시편을 훑는 동안 평탄하다가 가공경화가 시작된다. 하중을 풀고 실온에 며칠 두면(변형 시효) C·N이 다시 전위로 확산해 와 항복점이 더 높은 응력에서 되살아난다.직접 작도

전위가 그 자리를 떠나려면 얻었던 에너지를 도로 내놓아야 하니 응력이 더 든다. 용질 하나가 전위에 거는 힘은 크기 부정합 $\varepsilon_b=(1/a)(da/dc)$ 와 탄성률 부정합 $\varepsilon_G=(1/G)(dG/dc)$ 에 비례하고, 무작위로 흩어진 용질을 지나는 전위의 평균 저항은(Fleischer–Labusch)

\Delta\tau_{\text{ss}}\;\propto\;G\,\varepsilon^{3/2}\,c^{1/2}\quad(\text{Fleischer}), \qquad G\,\varepsilon^{4/3}\,c^{2/3}\quad(\text{Labusch})

이다. 핵심은 농도의 제곱근(또는 2/3승)과 부정합의 3/2승 — 용질을 두 배 넣으면 강도는 $\sqrt2$ 배, 크기 차가 큰 용질일수록 훨씬 효과적이다. Cu에 Ni를 넣으면(크기 차 3 %) 완만하게, Zn을 넣으면(크기 차 4 %, 원자가 차) 더 가파르게 강해진다. 격자간 C·N은 Fe 격자를 비대칭으로 뒤틀어(정방 왜곡) 칼날뿐 아니라 나사 전위의 순수 전단장과도 상호작용하므로 치환형보다 자릿수로 효과가 크다 — 0.01 %의 탄소가 순철의 항복 강도를 몇 배 올린다.

항복점 현상과 변형 시효. C·N이 전위 둘레에 모인 코트렐 분위기(8.1.5전위와 버거스 벡터의 정수압 항)는 전위를 붙든다. 응력을 올리면 어느 순간 전위가 분위기를 떨치고 튀어나오는데, 일단 떨어져 나온 전위는 붙잡히지 않은 상태라 더 낮은 응력으로 움직인다 — 그래서 곡선이 상항복점 에서 하항복점으로 떨어지고, 풀려난 전위들이 시편을 띠 모양으로 훑고 지나가는 동안(뤼더스 띠) 응력이 평탄하다. 시편 전체가 한 번 항복한 뒤에야 보통의 가공경화가 시작된다. 하중을 풀고 실온에 두면 C·N이 다시 확산해 와 전위를 붙들고(변형 시효), 항복점이 더 높은 곳에서 되살아난다. 자동차 강판을 프레스한 뒤 표면에 남는 줄무늬(스트레처 스트레인)가 뤼더스 띠의 흔적이고, 이를 막으려고 성형 직전에 살짝 압연해 두는 것(스킨 패스)은 전위를 미리 떼어 놓는 셈이다.

직관

웨이퍼의 산소가 고용 강화다. 초크랄스키 Si에는 석영 도가니에서 녹아든 산소가 $10^{18}$ cm⁻³ 급으로 격자간에 들어 있다(8.1.4불순물과 고용체). 이 산소가 Fe의 탄소와 같은 역할을 한다 — 전위에 모여 붙들고(Si에서도 코트렐 분위기가 관찰된다), 전위가 움직이기 시작하는 응력을 올린다. 그래서 CZ 웨이퍼는 산소가 거의 없는 FZ 웨이퍼보다 고온 공정에서 슬립과 휨에 강하다. 반대로 산소가 석출물로 빠져나가면(8.1.9부피 결함, 8.7) 고용 강화는 사라지고 대신 석출물이 전위를 붙드는데(아래 ③), 석출물이 크고 성기면 오히려 전위 발생원이 되어 웨이퍼가 약해진다. 질소 도핑(10¹⁴~10¹⁵ cm⁻³)이 같은 목적으로 쓰이는 것도 이 절이다. Si의 항복 강도가 산소·질소 농도의 함수라는 사실은 300 mm 웨이퍼의 자기 무게가 문제가 된 뒤로 규격 항목이 되었다.

③ 석출 강화 — 전위가 입자를 자르거나 돌아간다

제2상 입자가 슬립면 위에 흩어져 있으면 전위는 둘 중 하나를 해야 한다. 입자가 작고 모체와 정합이면(8.5.6정합·반정합·비정합 계면) 전위가 입자를 잘라 지나간다 — 입자 안에도 슬립면이 이어지므로 가능하지만 입자 안에서 새 계면(역위상 경계)을 만들고 정합 응력장을 지나야 하니 응력이 든다. 그 응력은 입자 반지름 $r$ 과 부피분율 $f$ 에 대해 대체로

\Delta\tau_{\text{cut}}\;\propto\;\sqrt{r f}

로 커진다. 입자가 크거나 비정합이면 자를 수 없고, 전위는 입자 사이로 휘어 빠져나간다 — 오로완 우회다. 프랭크–리드 원천(8.1.6전위 밀도와 증식)과 같은 기하이고, 입자 간격 $L$ 이 원천의 핀 간격이므로

\Delta\tau_{\text{Or}}\approx\frac{0.4\,Gb}{\pi L\sqrt{1-\nu}}\ln\frac{2r}{b},\qquad L\approx r\sqrt{\frac{2\pi}{3f}}-2r

이다. 입자가 크면 같은 $f$ 에서 간격이 넓어지니( $L\propto r/\sqrt f$ ) $\Delta\tau_{\text{Or}}\propto1/r$ 로 줄어든다. 전위는 우회하면서 입자 둘레에 오로완 고리를 남기고, 고리가 쌓이면 다음 전위의 유효 간격이 줄어 가공경화율이 크게 오른다.

그림 8.8-10. 부피분율 2 %의 석출물 반지름을 키워 갈 때(시효가 진행될 때) 전위가 입자를 지나는 데 드는 전단 응력. 자르기는 √r로 오르고(점선), 오로완 우회는 1/r로 내려가며(점선), 실제 강도는 둘 중 싼 쪽이다(실선). 두 곡선의 교점 — 반지름 몇 nm — 이 정점 시효이고, 왼쪽이 과소 시효, 오른쪽이 과시효다. 시효를 계속하면 입자가 조대화되어(8.7.8) r이 커지고 강도는 오로완 곡선을 따라 내려간다. Al의 G·b로 계산.직접 작도

실제 강도는 둘 중 싼 쪽이다. 그래서 시효 곡선에는 정점이 있다 — 시효 초기에는 입자가 작아 자르기가 지배하며 강도가 오르고, 입자가 자라 자르기와 우회의 응력이 같아지는 곳이 정점 시효, 그 뒤로는 우회가 싸져 강도가 내려간다(과시효). Al–Cu(두랄루민)·Al–Mg–Si(6xxx)·Ni 초합금 ( $\gamma'$ )·마레이징강이 이 기구로 강도를 얻고, 정점의 위치와 시간을 정하는 것이 8.7.6의 시효 속도론이다.

분산 강화는 같은 오로완 기구를 확산으로 조대화되지 않는 입자(산화물 — ODS 합금, 토리아 분산 W)로 구현한 것이다. 석출물은 고온에서 녹거나 굵어지지만 산화물은 그대로라 고온 강도를 지킨다.

직관

파라미터 연계 — 부피분율과 반지름은 다른 손잡이다. 오로완 식에서 $L\propto r/\sqrt f$ 이므로 $f$ 를 4배로 올리면 $L$ 이 절반이 되어 강도가 두 배 — 그런데 $f$ 는 상태도의 고용 한도(8.4)가 정하니 마음대로 올릴 수 없다. $r$ 은 시효 시간과 온도로 정하고, 정점의 $r$ 은 몇 nm다. 이 nm 급 입자는 광학 현미경으로 안 보이고 TEM으로만 보인다(8.2). 홀–페치의 $d$ (μm)와 오로완의 $L$ (수십 nm)이 같은 “장애물 간격”인데 자릿수가 세 개 다르다 — 그래서 석출 강화가 결정립 미세화보다 훨씬 강한 강화이고, 그만큼 연성을 더 판다.

배선의 Al–Cu. 0.5~4 wt%의 Cu를 넣은 Al 배선은 두랄루민의 원리를 전자 이동 억제에 쓴 것이다 — $\theta$ -Al₂Cu 석출물이 결정립계에 앉아 입계 확산 경로를 막고, 모체에 남은 Cu가 공공을 붙든다. 강도가 목적이 아니라 확산 경로의 차단이 목적이지만 기구는 같다.

④ 가공경화 — 전위가 전위를 막는다

소성 변형은 전위를 만든다. 어닐링한 금속의 전위 밀도 $10^{10}$ m⁻²가 심한 냉간가공 뒤 $10^{15}\sim10^{16}$ m⁻²로 오른다(8.1.6전위 밀도와 증식). 전위가 많아지면 서로의 응력장이 겹쳐 움직이기 어렵고, 서로 다른 슬립면의 전위가 교차하면 조그(jog)가 생겨 발이 묶인다. 그 결과가 테일러 식이다:

\tau=\tau_0+\alpha\,G\,b\sqrt{\rho_d},\qquad\alpha\approx0.2\sim0.5

전위 사이 평균 거리가 $1/\sqrt{\rho_d}$ 이고, 그 거리만큼 휘어 지나가는 데 $Gb/L$ 의 응력이 드니( $L=1/\sqrt{\rho_d}$ ) 제곱근이 나온다 — 오로완 식에서 입자 대신 전위가 장애물이 된 것이다.

그림 8.8-11. 왼쪽: 냉간가공률에 따른 항복 강도의 대표 경향(1040 강·황동·구리). 처음 20 %에서 가장 가파르고 뒤로 갈수록 완만하다 — 전위 밀도가 처음에 급히 늘고 나중에는 소멸과 균형을 이루기 때문이다. 연성은 거꾸로 떨어진다. 오른쪽: 테일러 식 τ = τ₀ + αGb√ρ. 가로축을 전위 밀도의 제곱근으로 잡으면 직선이고, 어닐링 상태에서 심한 냉간가공까지 √ρ가 300배 늘어 전단 강도가 100 MPa 넘게 오른다(Cu).직접 작도

가공량은 냉간가공률로 적는다:

\%CW=\frac{A_0-A_d}{A_0}\times100

$A_d$ 는 가공 뒤 단면적이다. 강도는 $\%CW$ 에 따라 처음에 급히, 뒤에 완만하게 오르고 연성은 거꾸로 떨어진다 — 1절 곡선의 “탄성 회복 뒤 재하중” 그대로다. 냉간가공은 값싸고 정밀하지만 (치수·표면 상태를 함께 얻는다), 재료가 딱딱해져 더 가공할 수 없게 되면 6절의 어닐링으로 되돌려야 한다. 열간가공(재결정 온도 위)은 가공과 동시에 회복·재결정이 일어나 경화가 쌓이지 않으므로 큰 변형을 한 번에 줄 수 있고, 대신 표면이 산화되고 치수가 거칠다.

직관

수식적 직관 — 세 식이 같은 식이다. 홀–페치 $\propto d^{-1/2}$ , 오로완 $\propto1/L$ , 테일러 $\propto\sqrt{\rho_d}$ 는 전부 “전위가 장애물 사이 간격 $L$ 만큼 휘는 데 $Gb/L$ 이 든다”의 변주다. 결정립계에서는 파일업이 응력을 $n$ 배 증폭하므로 $L=d$ 가 제곱근 안으로 들어가 $d^{-1/2}$ 가 되었고(8.2.5미세조직과 물성의 관계 (반도체 구조 계측은 19.3)), 입자에서는 $L$ 이 그대로 분모에 있고, 전위 숲에서는 $L=1/\sqrt{\rho_d}$ 다. 길이 하나로 강도가 정해진다는 것 — 이것이 “전위를 막는다”의 정량적 내용이다.

그래프 직관 — 왜 처음 20 %가 가파른가. $\rho_d$ 는 변형 초기에 프랭크–리드 원천이 켜지며 급히 늘지만, 밀도가 높아지면 반대 부호 전위끼리 만나 소멸하고 교차 미끄럼으로 빠져나가는 동적 회복이 따라잡는다. 그래서 $\rho_d(\varepsilon)$ 는 포화하고, $\sqrt{\rho_d}$ 라 더 완만하다. 적층 결함 에너지가 낮은 재료(황동·오스테나이트강, 8.1.8적층 결함)는 부분 전위가 넓게 갈라져 교차 미끄럼을 못 하므로 동적 회복이 약하고, 경화가 더 오래 이어진다 — 황동이 Cu보다 $n$ 이 크고 성형성이 좋은 이유다.

강화 기구와 다른 성질. 네 기구는 전기 저항에 미치는 영향이 다르다. 고용 원자는 전자를 강하게 산란해 비저항을 크게 올리고(마티센 규칙, 7.6.6금속의 비저항), 석출물은 용질을 모체에서 빼내 오히려 비저항을 내리며, 결정립계와 전위의 산란은 그 사이다. Cu 배선에 Mn·Al을 미량 넣는 것, Al 배선에 Cu를 넣는 것이 각각 어느 편인지가 배선 설계의 저울이다.

회복·재결정·결정립 성장

냉간가공한 금속은 에너지를 저장하고 있다

냉간가공에 들인 일의 대부분은 열로 흩어지지만 몇 %는 전위의 탄성 에너지로 결정 안에 남는다 ( $\rho_d\cdot\alpha Gb^2$ — $10^{15}$ m⁻²면 J/cm³ 급, 원자당 meV 급이다). 이 저장 에너지가 어닐링을 구동한다. 온도를 올리면 세 단계가 순서대로 일어난다 — 회복, 재결정, 결정립 성장 — 각 단계가 다른 결함을 지우고 다른 성질을 되돌린다.

그림 8.8-12. 왼쪽: 냉간가공한 황동을 1시간 어닐링할 때 온도에 따른 인장 강도·연성·결정립 크기. 회복 구간에서는 강도가 거의 그대로이고(전기 저항과 잔류 응력만 돌아온다), 재결정 구간에서 강도가 급락하고 연성이 급등하며 새 결정립이 작게 생기고, 그 뒤 결정립 성장 구간에서 결정립이 굵어진다. 오른쪽: 냉간가공률에 대한 재결정 온도(철). 임계 가공량(2~20 %) 아래에서는 재결정이 일어나지 않고, 가공량이 클수록 저장 에너지가 커 재결정 온도가 내려가다가 한계값(순금속 ≈ 0.3~0.4 T_m)에 이른다.직접 작도

회복 — 전위가 정리된다

낮은 온도(≈ 0.3 $T_m$ 아래)에서 전위가 조금 움직일 수 있게 되면, 반대 부호 전위끼리 만나 소멸하고 같은 부호 전위는 공공의 도움으로 상승 운동해 서로 위아래로 늘어서 낮은 에너지 배열 — 소각 경계(8.5.4단상 고체의 경계(소각·대각 경계))로 둘러싸인 아결정립 — 을 만든다(다각형화). 전위 밀도는 조금 줄고 배열이 정리되지만 대부분은 남는다. 그래서 강도는 거의 그대로이고, 전위 응력장의 무질서에 민감한 성질 — 전기 저항, 잔류 응력, 열전도 — 만 먼저 돌아온다. 냉간가공한 부품의 잔류 응력을 치수 변화 없이 푸는 응력 제거 어닐링이 이 단계를 쓴다.

재결정 — 새 결정립이 옛 조직을 먹는다

더 높은 온도에서는 변형이 없는 새 결정립이 핵생성해(주로 옛 결정립계·변형 띠·큰 입자 주위 — 저장 에너지가 몰린 곳) 변형된 모체를 먹으며 자란다. 구동력은 저장 에너지 그 자체이고, 계면은 대각 경계라 이동도가 높다(8.5.5결정립 성장의 속도론). 재결정이 끝나면 전위 밀도가 어닐링 상태로 돌아와 강도가 떨어지고 연성이 돌아온다 — 냉간가공 이전으로 재설정되는 것이다. 속도론은 핵생성

성장이므로 JMA 식(8.7.4)을 따른다.

재결정 온도 $T_R$ 은 “1시간에 재결정이 끝나는 온도”로 정의하고, 대개 $0.3\sim0.5\,T_m$ 이다 (Cu 200 °C 안팎, Al 150 °C, Fe 450 °C, W 1200 °C, Pb·Sn은 실온 아래). 다음이 $T_R$ 을 움직인다:

가공량이 클수록 낮아진다 — 저장 에너지가 크고 핵이 많다. 임계 가공량(2~20 %) 아래면 재결정이 일어나지 않는다(그림 오른쪽). 가공량이 크면 핵도 많아 재결정 뒤 결정립이 작다.
순도가 높을수록 낮아진다 — 용질이 경계를 끌어 이동도를 죽인다(용질 끌림, 8.5.5결정립 성장의 속도론). 순 Al은 실온 근처에서 재결정하지만 합금은 300 °C가 필요하다.
시간이 길수록 낮아진다 — 열활성화 과정이라 아레니우스로 시간과 온도가 맞바뀐다.
어닐링 전 결정립이 작을수록 낮아진다 — 핵생성 자리가 많다.

재결정 온도가 열간·냉간의 경계다. $T_R$ 위에서 가공하면 재결정이 가공과 동시에 일어나(동적 재결정) 경화가 쌓이지 않으므로 열간가공이고, 아래면 냉간가공이다. Pb·Sn을 실온에서 가공하는 것은 열간가공이다.

결정립 성장 — 경계가 스스로를 줄인다

재결정이 끝나면 저장 에너지는 없지만 결정립계 에너지는 남아 있다. 큰 결정립이 작은 결정립을 먹으며 총 경계 면적을 줄이는 과정이 결정립 성장이고, 곡률이 구동력이므로 포물선 법칙 $\bar d^2-\bar d_0^2=Kt$ 를 따른다 — 이동도·Zener 핀 고정·용질 끌림까지 8.5.5에서 다루었다 (8.5.5결정립 성장의 속도론). 재결정으로 얻은 미세립을 지키려면 이 단계에 들어가기 전에 식혀야 하고, 아예 못 자라게 하려면 제2상 입자를 넣어 핀으로 박는다(5절 ①).

직관

파라미터 연계 — 어닐링은 강도의 손잡이를 거꾸로 돌리는 것이다. 5절의 네 손잡이 중 어닐링이 되돌리는 것은 가공경화(재결정)와 결정립 미세화(결정립 성장) 둘이고, 고용·석출 강화는 상태도가 정하므로 그대로다(과시효로 조대화되는 것은 별개, 8.7.8). 그래서 냉간가공 + 어닐링을 반복하면 같은 합금에서 강도와 연성을 필요한 만큼 골라 얻는다 — 황동 판재의 ‘1/4 경질·1/2 경질·완전 경질’ 규격이 $\%CW$ 이고, “경질을 재결정시켜 결정립 $d$ 로 만든 뒤 $\%CW$ 만큼 다시 가공”이 설계 절차다.

그래프 직관. 왼쪽 그림에서 강도와 연성이 거울상으로 움직이는 것, 그리고 결정립 크기가 재결정 구간에서 떨어졌다가 성장 구간에서 오르는 것이 세 단계의 지문이다. 세 성질을 온도에 대해 함께 그린 이 그림 하나가 냉간가공재 어닐링의 전부이고, 온도축을 시간축으로 바꿔도 같은 꼴이다.

직관

Cu 배선의 자기 어닐링. 다마신 공정(18.22.2)에서 전해도금한 Cu는 결정립이 수십 nm로 미세하고 도금 첨가제(S·Cl·C)를 머금은 비평형 조직이다. 이것이 실온에서 며칠에 걸쳐 재결정·결정립 성장해 결정립이 μm 급으로 자라고 비저항이 20 % 안팎 떨어진다 — Cu의 $T_R$ 이 순도에 따라 실온 아래까지 내려오기 때문이다. 웨이퍼를 도금 후 얼마 만에 CMP하느냐에 따라 조직이 다르니 공정은 일부러 100~250 °C에서 짧게 어닐링해 조직을 고정한다. 열예산(18.9.1)의 논리가 여기서는 “충분히 자라게 하되 더 자라지 않게”이고, 선폭이 좁아져 결정립이 배선 폭에 갇히면(대나무 구조) 성장은 벽에 막힌다 — 8.5.5의 핀 고정이 유전체 벽으로 바뀐 것이다. 폴리실리콘 게이트의 결정립도 같은 논리로 증착 온도·어닐링에 따라 굵어지고, 그 결정립 크기가 게이트의 도핑 균일성과 박막 트랜지스터의 이동도(16.3)를 정한다.

파괴와 파괴역학

연성 파괴와 취성 파괴 — 경고가 있느냐 없느냐

이 절부터 $a$ 는 균열 길이(표면 균열은 깊이, 내부 균열은 반길이)다. 파괴는 균열의 생성과 전파 두 단계이고, 재료를 가르는 것은 전파의 방식이다.

연성 파괴는 소성 변형을 실컷 한 뒤에 온다. 네킹 부위에서 개재물·제2상 입자 둘레에 미소공동이 생기고(8.1.9부피 결함), 공동이 자라 합쳐져 시편 중심에 타원 균열이 되며, 마지막에 표면 쪽으로 45° 전단으로 잘려 컵–콘 파면을 남긴다. 균열이 자라려면 계속 힘을 더 줘야 하므로 안정 파괴이고, 파괴 전에 변형이라는 경고가 있다.

취성 파괴는 소성 변형 없이 온다. 균열이 인장 응력에 수직으로, 음속에 가까운 속도로 달리며 (불안정 파괴), 파면은 평평하고 밝다. 결정에서는 특정 결정면을 따라 결합이 차례로 끊기는 벽개(cleavage — BCC의 $\{100\}$ , Si의 $\{111\}$ · $\{110\}$ )로 입내 파괴하거나, 경계가 약해졌으면(불순물 편석·입계 석출) 입계 파괴한다. 파면에 균열 출발점을 가리키는 셰브런 무늬가 남는다.

응력 집중 — 왜 실측 강도가 이론값의 1/100인가

결합을 한꺼번에 끊는 데 필요한 이론 응력은 $\sigma_{\text{th}}\approx E/10$ 인데(2절의 힘 곡선 최대), 실제 취성 재료는 그 1/100~1/1000에서 깨진다. 3절에서 전위가 슬립의 이론값을 깬 것과 같은 구조의 답이 있다 — 균열이다. 길이 $a$ , 끝 곡률 반지름 $\rho_t$ 인 균열 끝에서는 응력이

\sigma_m=2\sigma_0\sqrt{\frac{a}{\rho_t}},\qquad K_t\equiv\frac{\sigma_m}{\sigma_0}=2\sqrt{\frac{a}{\rho_t}}

로 집중된다(Inglis의 타원 구멍 해). $K_t$ 가 응력 집중 계수(무차원)다. 길이 1 μm, 끝 반지름이 원자 크기(0.3 nm)인 흠집이면 $K_t\approx100$ — 겉보기 응력의 100배가 끝에 걸려 이론 강도에 닿는다. 연성 재료는 끝이 소성 변형으로 뭉툭해져 $\rho_t$ 가 커지고 $K_t$ 가 무뎌지지만, 취성 재료는 그럴 수 없어 흠집 하나가 곧 파괴다.

그림 8.8-13. 왼쪽: 균열 끝 앞쪽 거리 x에 따른 수직 응력. 날카로운 균열(선탄성)은 K_I/√(2πx)로 끝에서 발산하고, 끝 반지름이 유한하면 σ_m = 2σ₀√(a/ρ_t)에서 멈추며, 둘 다 멀리서는 원응력 σ₀로 돌아간다. 오른쪽: 균열 길이에 대한 에너지(단위 두께). 표면 에너지 4γ_s·a는 직선으로 오르고, 풀려나는 탄성 에너지 −πσ²a²/E는 포물선으로 내려간다. 합이 최대가 되는 a_c가 임계 균열 길이 — 그보다 길면 자랄수록 에너지가 내려가 균열이 멈추지 않는다.직접 작도

그리피스 — 에너지의 저울

Griffith(1920)는 응력 대신 에너지로 물었다. 두께 1인 큰 판에 길이 $2a$ 의 관통 균열이 있고 멀리서 응력 $\sigma$ 가 걸린다. 균열이 생기며 그 둘레의 탄성 에너지 $\pi\sigma^2a^2/E$ 가 풀려나고, 대신 두 면 $\times$ 길이 $2a$ 의 새 표면 에너지 $4\gamma_sa$ 가 든다(8.5.1계면 자유에너지):

U(a)=-\frac{\pi\sigma^2a^2}{E}+4\gamma_s a

앞 항은 $a^2$ 로 내려가고 뒤 항은 $a$ 로 오르니 합은 어느 $a$ 에서 최대다. 그 최대점 왼쪽에서는 균열이 자라면 에너지가 올라 자라지 않고, 오른쪽에서는 자랄수록 내려가 멈추지 않는다. $dU/da=0$ 을 풀면

\sigma_c=\sqrt{\frac{2E\gamma_s}{\pi a}}

— 길이 $a$ 의 균열이 있는 취성 재료가 견디는 응력이다. 강도가 균열 길이의 제곱근에 반비례하고, 재료 상수는 $E\gamma_s$ 뿐이다. 유리( $E=70$ GPa, $\gamma_s=0.3$ J/m²)에 1 μm 균열이면 $\sigma_c\approx115$ MPa — 실측과 맞는다. 원자 결합만으로는 10 GPa여야 할 유리가 100 MPa에서 깨지는 이유가 표면의 μm 흠집이고, 갓 뽑은 유리 섬유가 몇 GPa를 버티다가 손으로 만지면 약해지는 이유도 같다.

직관

수식적 직관 — 왜 제곱근인가, 그리고 왜 응력 집중 식과 같은 답인가. 풀려나는 탄성 에너지는 균열 둘레 면적( $\sim a^2$ )에 에너지 밀도 $\sigma^2/2E$ 를 곱한 것이고, 표면 에너지는 길이 ( $\sim a$ )에 비례한다. 면적 대 길이의 경쟁이라 임계 길이가 $a_c\propto E\gamma_s/\sigma^2$ , 뒤집으면 $\sigma_c\propto a^{-1/2}$ 다. 5절의 홀–페치가 $d^{-1/2}$ 인 것과 형태가 같은데 우연이 아니다 — 둘 다 “길이 $L$ 의 무엇이 응력을 $\sqrt L$ 배 증폭한다”의 꼴이다. 응력 집중 식 $\sigma_m=2\sigma\sqrt{a/\rho_t}$ 에 $\sigma_m=\sigma_{\text{th}}=\sqrt{E\gamma_s/r_0}$ , $\rho_t=r_0$ 를 넣으면 $\sigma_c=\sqrt{E\gamma_s/4a}$ 로 그리피스와 상수만 다르다 — 응력으로 물어도 에너지로 물어도 같은 답이다.

형태적 직관 — 포물선 위의 직선. 그림 오른쪽의 곡선은 아래로 볼록한 포물선에 직선을 더한 것이라 정점이 하나다. 응력을 올리면 포물선이 가팔라져 정점이 왼쪽으로(작은 $a_c$ ), 표면 에너지를 올리면 직선이 가팔라져 오른쪽으로 간다. 균열이 정점 왼쪽에 있는 한 안전하고, 정점을 넘는 순간 되돌릴 수 없다.

파괴역학 — 응력 세기 인자와 파괴 인성

그리피스 식은 완전 취성 재료의 것이다. 금속은 균열 끝이 소성 변형해 표면 에너지보다 훨씬 큰 에너지를 먹으므로 $\gamma_s$ 자리에 소성 일 $\gamma_p$ 가 더해진다(Orowan–Irwin): $\gamma_s\to\gamma_s+\gamma_p$ , $\gamma_p\gg\gamma_s$ . 이 확장을 응력의 말로 다시 쓴 것이 선형 탄성 파괴역학이다. 균열 끝 근처의 응력장은 형상이 어떻든 언제나

\sigma_{ij}=\frac{K_I}{\sqrt{2\pi r}}\,f_{ij}(\theta)

꼴이고(끝에서 거리 $r$ , 각 $\theta$ ), 세기를 정하는 단 하나의 수가 응력 세기 인자

K_I=Y\sigma\sqrt{\pi a}

다. $Y$ 는 기하 인자(무한 판의 중심 관통 균열 1.0, 표면 반타원 균열 ≈1.1, 시편 폭이 유한하면 더 큼), 첨자 $I$ 는 모드 I(열림 — 균열면에 수직 인장; 모드 II는 면내 전단, III은 면외 전단)다. 단위가 MPa√m인 것이 이 양의 지문이다. 균열은 $K_I$ 가 재료의 임계값 — 파괴 인성 $K_c$ — 에 닿을 때 자란다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$K_t$	응력 집중 계수	균열·구멍 끝의 최대 응력 ÷ 원응력. 형상만의 함수	—
$K_I$ , $K_{II}$ , $K_{III}$	응력 세기 인자	모드 I·II·III 균열 끝 응력장의 세기. 하중·길이·형상의 함수	MPa√m
$K_c$	파괴 인성	균열이 자라기 시작하는 $K_I$ . 두께에 따라 다르다	MPa√m
$K_{Ic}$	평면 변형 파괴 인성	두꺼운 시편의 $K_c$ 하한 — 재료 상수로 표에 실리는 값	MPa√m
$\Delta K$ , $\Delta K_{th}$		피로의 $K_{\max}-K_{\min}$ 과 그 문턱값 (8절)	MPa√m
$\mathcal G$ , $\mathcal G_c$	에너지 방출률	균열 단위 면적당 풀리는 에너지 $K_I^2/E'$ 와 그 임계값 $=2(\gamma_s+\gamma_p)$ . 전단 탄성률 $G$ 와 글꼴로 구분	J/m²

$K_c$ 가 두께에 따라 다른 이유는 균열 끝의 구속이다. 얇은 판은 두께 방향으로 자유로워(평면 응력) 끝이 45° 전단으로 소성 변형하며 에너지를 먹지만, 두꺼우면 두께 방향이 잡혀(평면 변형) 3축 인장이 되어 소성이 억제된다. 그래서 $K_c$ 는 두께가 늘수록 내려가다가 어느 두께 ( $B\ge2.5(K_{Ic}/\sigma_y)^2$ )부터 일정한 하한 $K_{Ic}$ 에 이른다 — 이것이 표에 실리는 재료 상수다.

재료	$K_{Ic}$ (MPa√m)	$\sigma_y$ (MPa)
저탄소강 · 4340 강	140 · 50	250 · 1500
Al 7075-T651 · Ti-6Al-4V	24 · 55	495 · 910
Al₂O₃ · Si₃N₄ · ZrO₂(부분 안정화)	3~~5 · 4~~6 · 7~12	—
소다석회 유리 · 용융 실리카	0.7~0.8 · 0.8	—
Si 단결정 ( $\{111\}$ · $\{110\}$ 벽개)	0.8~1.0	—
SiO₂ 박막 · low-k(다공성)	0.7 · 0.1~0.3	—

에너지의 말로는 에너지 방출률 $\mathcal G=K_I^2/E'$ ( $E'=E$ 평면 응력, $E/(1-\nu^2)$ 평면 변형) 이고, 임계값 $\mathcal G_c=2(\gamma_s+\gamma_p)$ 가 그리피스와 이어지는 고리다. 세라믹·유리·Si의 $\mathcal G_c$ 는 수 J/m²(표면 에너지의 두 배 남짓 — 소성이 없다), 금속은 $10^4\sim10^5$ J/m²다.

설계. 세 변수 — 응력 $\sigma$ , 균열 길이 $a$ , 인성 $K_{Ic}$ — 중 둘을 정하면 셋째가 나온다. 비파괴 검사가 찾을 수 있는 최소 균열 $a$ 와 재료의 $K_{Ic}$ 가 주어지면 허용 응력은 $\sigma_c=K_{Ic}/(Y\sqrt{\pi a})$ 이고, 거꾸로 설계 응력에서 허용되는 최대 균열은 $a_c=(1/\pi)(K_{Ic}/Y\sigma)^2$ 이다. 압력 용기의 누설 우선 파괴(leak-before-break) 설계 — 벽 두께를 관통하는 균열이 $a_c$ 보다 짧게 두어 터지기 전에 새게 하는 것 — 가 이 셈이다.

직관

반도체가 파괴역학을 쓰는 곳 — 깨지는 것은 전부 취성이다. ① 웨이퍼·다이. Si의 $K_{Ic}\approx0.9$ MPa√m는 유리와 같다. 다이싱(18.24.5)이 가장자리에 남긴 μm 급 치핑이 $a$ 이고, 다이의 파괴 강도는 $\sigma_c=K_{Ic}/\sqrt{\pi a}$ — 10 μm 치핑이면 160 MPa, 1 μm면 500 MPa다. 백그라인딩(18.24.4)한 50 μm 다이의 강도가 연마 손상층 깊이로 정해지고, 플라즈마 다이싱·응력 제거 식각이 강도를 두세 배 올리는 것이 이 식이다. 강도는 가장 긴 흠집이 정하므로 통계량이고 — 8.9.7의 와이블 분포 — 큰 다이일수록 긴 흠집을 품을 확률이 커서 약하다. ② 박막의 균열과 박리. 응력 $\sigma_f$ , 두께 $h$ 의 박막에 저장된 에너지는 $\sigma_f^2h/2E_f$ (7.3.9탄성 에너지 밀도와 부피 탄성률)이고, 이것이 계면의 $\mathcal G_c$ 를 넘으면 박막이 채널 균열을 내거나 (인장) 좌굴·박리한다(압축). 임계 두께 $h_c\propto\mathcal G_cE_f/\sigma_f^2$ — 두꺼운 SiN 패시베이션이 갈라지는 이유, 그리고 다공성 low-k( $\mathcal G_c$ 가 2~5 J/m²)가 CMP의 전단과 패키지의 열응력(칩–패키지 상호작용, 18.27.8)에 벗겨지는 이유다. 계면 인성은 4점 굽힘 시험으로 재고(9.11.6), 유전율 $\kappa$ 를 내리려고 기공을 늘리면 $\mathcal G_c$ 와 $E$ 가 함께 떨어지는 것이 low-k 집적의 근본 저울이다. ③ 연성–취성 천이. 3절의 Si 천이가 재료 하나의 이야기라면, 강의 천이는 온도의 이야기다.

충격 시험과 연성–취성 천이 온도

$K_{Ic}$ 시험은 비싸다. 공학 현장은 샤르피 충격 시험 — 노치 시편을 추로 때려 흡수 에너지를 재는 것 — 으로 인성의 순위와 온도 의존성을 본다. FCC 금속은 온도가 내려가도 연성이 남지만(파이얼스 응력이 낮아 저온에서도 전위가 움직인다, 3절), BCC 금속과 HCP·세라믹은 어느 온도 아래에서 흡수 에너지가 급락한다 — 연성–취성 천이 온도(DBTT)다. 항복 응력이 온도가 내려갈수록 지수적으로 오르는데(파이얼스 응력의 열활성화) 벽개 응력은 거의 그대로여서, 3절 그림의 오른쪽과 똑같이 두 곡선이 교차한다.

그림 8.8-14. 온도에 따른 샤르피 충격 에너지. FCC 금속은 전 구간 높고, 고강도강·세라믹은 전 구간 낮다. 저탄소 BCC 강은 −30 °C 근처에서 급히 오르는 S자 곡선 — 그 아래는 벽개, 위는 미소공동 합체다. 탄소나 강도를 올리면 천이가 오른쪽으로 밀리고 위쪽 값이 내려간다. 결정립 미세화는 반대로 천이를 왼쪽으로 옮기는 유일한 강화 기구다. Si는 이 축의 훨씬 오른쪽(≈ 600 °C 이상)에 천이가 있다.직접 작도

강에서 DBTT를 내리는 손잡이는 결정립 미세화(홀–페치의 $d$ 가 벽개 균열의 $a$ 도 제한한다), Ni 첨가, 탄소 감소이고, 올리는 것은 탄소·P·N, 변형 시효, 방사선 조사(원자로 압력 용기의 수명을 정한다)다. 1940년대 리버티선의 선체가 겨울 항구에서 갈라진 것, 타이타닉의 강판이 −2 °C 바다에서 취성이었던 것이 교과서의 예이고, 반도체 장비의 극저온 척·LNG 배관이 오스테나이트강(FCC)이어야 하는 이유가 이 그림이다.

피로와 크리프

피로 — 항복보다 훨씬 낮은 응력에서, 반복되면 깨진다

이 절에서 $R$ 은 기체 상수가 아니라 응력비 $\sigma_{\min}/\sigma_{\max}$ 이고, 평균 응력은 7절의 균열 끝 최대 응력 $\sigma_m$ 과 구별해 $\sigma_{\text{mean}}$ 으로 쓴다. 반복 하중은 $\sigma_{\text{mean}}=(\sigma_{\max}+\sigma_{\min})/2$ , 응력 진폭 $\sigma_a=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2$ , 그리고 $R$ 로 적는다(완전 양진 $R=-1$ ).

기계 부품 파손의 **90 %**가 피로다. 항복 강도의 1/3 밖에 안 되는 응력도 $10^6$ 번 반복되면 부품을 가른다 — 겉보기로는 취성 파괴처럼 소성 변형 없이 갑자기 오지만, 미시적으로는 세 단계다.

균열 생성. 표면의 응력 집중부(모서리·흠집·개재물)에서 반복 슬립이 표면에 돌출·함입을 만들고 그것이 미소 균열이 된다. 표면이 출발점이므로 표면 처리가 수명을 지배한다.
균열 전파. 한 사이클마다 조금씩 자라며 파면에 줄무늬(striation — 사이클 하나가 줄 하나)와 비치 마크(하중 이력이 바뀐 자리)를 남긴다. 수명의 대부분이 여기다.
최종 파괴. 남은 단면이 하중을 못 버티면 한 번에 — 7절의 $K_{Ic}$ 다.

S–N 곡선. 응력 진폭 $S$ 를 걸고 파괴까지의 사이클 수 $N_f$ 를 재어 $\log N$ 에 대해 그린다.

그림 8.8-15. 응력 진폭 S에 대한 파괴 사이클 수 N(로그). 강·Ti 합금은 10⁶~10⁷ 사이클에서 곡선이 수평이 되어 그 아래 응력에서는 무한히 견딘다 — 피로 한도(인장 강도의 35~60 %). Al·Cu 합금은 계속 내려가 한도가 없고, 10⁷~10⁸에서의 응력을 피로 강도, 어떤 응력에서의 N을 피로 수명이라 한다. 10⁴ 아래는 소성이 지배하는 저사이클 피로, 위는 탄성이 지배하는 고사이클 피로.직접 작도

강·Ti는 곡선이 평탄해지는 피로 한도( $S_e$ , 인장 강도의 35~60 %)가 있어 그 아래에서는 무한 수명이다 — 격자간 C·N이 균열 끝의 전위를 붙들어(5절의 변형 시효) 미소 균열이 자라지 못하는 것이 한 가지 설명이다. Al·Cu·Mg는 한도가 없어 어느 응력에서든 언젠가 깨지므로 피로 강도( $10^7$ 사이클에서의 응력)나 피로 수명으로 말한다. 저사이클( $10^4$ 아래)에서는 사이클마다 소성 변형이 있고 수명이 소성 변형 진폭으로 정해진다 — 코핀–맨슨 식:

\frac{\Delta\varepsilon_p}{2}=\varepsilon_f'\,(2N_f)^{c},\qquad c\approx-0.5\sim-0.7

파리스 법칙. 균열이 있는 부품의 수명은 파괴역학으로 센다. 균열 성장 속도는 사이클당 응력 세기 인자의 변화 $\Delta K=K_{\max}-K_{\min}=Y\Delta\sigma\sqrt{\pi a}$ 로 정해지고, 중간 영역에서

\frac{da}{dN}=A\,(\Delta K)^{m},\qquad m\approx2\sim4

이다. $A$ · $m$ 은 재료 상수이고 금속의 $m$ 은 2~4다(이 $m$ 은 3절의 전위 속도 지수와 무관하다). 문턱값 $\Delta K_{th}$ 아래에서는 자라지 않고, $K_{\max}\to K_{Ic}$ 에서 급가속한다.

그림 8.8-16. 응력 세기 인자 범위 ΔK에 대한 균열 성장 속도 da/dN(양대수). 문턱값 ΔK_th 아래의 영역 I에서는 자라지 않고, 영역 II(파리스)에서 기울기 m ≈ 3의 직선을 따르며 수명의 대부분을 쓰고, 영역 III에서 K_max가 K_Ic에 닿으며 급가속해 최종 파괴한다.직접 작도

파리스 식을 적분하면 초기 균열 $a_0$ 에서 임계 길이 $a_c$ 까지의 수명이 나온다:

N_f=\int_{a_0}^{a_c}\frac{da}{A(\Delta K)^m} =\frac{1}{A\,Y^m\,\Delta\sigma^m\,\pi^{m/2}}\int_{a_0}^{a_c}\frac{da}{a^{m/2}}

$m=3$ 이면 적분이 $a^{-1/2}$ 꼴이라 초기 균열 길이가 수명을 지배하고 $a_c$ 는 거의 상관없다 — 비파괴 검사의 검출 한계가 곧 수명이다.

직관

그래프 직관 — 두 그래프의 축이 다른 이유. S–N 곡선은 균열이 없는 시편에서 생성 + 전파를 합친 총수명이고, 파리스 곡선은 균열이 있는 부품의 전파만이다. 매끈한 시편은 수명의 90 %를 생성에 쓰고, 용접부·주조품처럼 처음부터 결함이 있는 부품은 생성 단계가 없어 파리스로만 센다. S–N의 세로축이 응력이고 파리스의 가로축이 $\Delta K$ 인 것이 그 차이다.

파라미터 연계 — 수명을 늘리는 손잡이. 평균 응력을 올리면(인장 쪽) 같은 진폭에서 수명이 줄고 (굿맨 관계), 표면을 매끈하게 하고 압축 잔류 응력을 넣으면(숏 피닝·침탄·질화) 균열 생성이 늦어져 수명이 자릿수로 는다. 부식 환경은 표면 흠집을 계속 만들어 피로 한도를 없애고(부식 피로), 온도 변화가 반복되면 열응력이 반복 하중이 된다(열피로).

직관

칩과 패키지의 피로는 대부분 열피로다. 패키지 안에서 Si( $\alpha=2.6\times10^{-6}$ /K)·Cu(17)· 솔더(22)·기판(15~~18)·몰딩(8~~15)이 붙어 있으니 온도가 오르내릴 때마다 계면에 전단 변형이 반복된다. 솔더 범프의 전단 변형 진폭은 $\Delta\gamma\approx L\,\Delta\alpha\,\Delta T/h$ — 칩 가장자리까지의 거리 $L$ 에 비례하고 범프 높이 $h$ 에 반비례한다 — 이고, 솔더는 상동 온도가 높아 (Sn 녹는점 232 °C, 실온이 0.6 $T_m$ ) 사이클마다 소성·크리프 변형하므로 저사이클 피로의 코핀–맨슨이 맞는다: $N_f\propto(\Delta\gamma_p)^{-2}$ 안팎. 온도 사이클 시험(−40~125 °C, 18.29.7)이 이것을 재고, 언더필(18.25.5)이 $\Delta\gamma$ 를 나눠 지게 해 수명을 열 배 늘린다. 와이어 본드의 목 부분, TSV 둘레의 Cu 펌핑(18.27.2), 플렉시블 디스플레이의 굽힘 반복(16부)도 같은 문법이다. 단결정 Si는 전위가 안 움직이니 금속식 피로는 없지만, MEMS 공진기에서 $10^{10}$ 사이클 뒤 파손이 보고되었다 — 표면 산화막의 반응층 균열이 자란다는 설명이 유력하고, 이것 역시 표면이 출발점이다.

크리프 — 고온에서는 일정한 하중에도 계속 흐른다

이 절에서 $n$ 은 1절의 가공경화 지수가 아니라 크리프 응력 지수다. 상동 온도 $T/T_m$ 이 0.4를 넘으면 항복 강도보다 낮은 일정 하중에도 재료가 시간에 따라 계속 변형한다 — 크리프다. 터빈 날개·보일러 관·원자로 부품의 수명이고, 반도체에서는 솔더(실온이 이미 0.6 $T_m$ )·Al·Cu 배선(0.3~0.5)· 1000 °C 위의 Si 웨이퍼가 이 영역이다.

그림 8.8-17. 왼쪽: 일정 응력·온도에서 크리프 변형률의 시간 변화. 하중을 거는 순간의 탄성 변형 뒤, 1차(천이) 크리프에서 속도가 줄고(가공경화가 회복을 앞선다), 2차(정상) 크리프에서 속도가 일정하며(둘이 균형 — 최소 크리프 속도 ε̇_s), 3차 크리프에서 네킹·공동·균열로 가속해 파단한다. 오른쪽: 응력이나 온도를 올리면 순간 변형이 커지고 정상 크리프 속도가 오르며 파단 수명이 준다.직접 작도

곡선은 세 단계다. 1차(천이)에서 속도가 줄고 — 가공경화가 회복을 앞선다 — 2차(정상)에서 가공경화와 회복이 균형을 이뤄 속도가 일정하며, 3차에서 결정립계 공동·네킹으로 가속해 파단한다. 설계 값은 둘이다: 정상 크리프 속도 $\dot\varepsilon_s$ (긴 수명 부품 — 0.01 %/1000 h 같은 한도)와 파단 수명 $t_r$ (짧은 수명 부품).

정상 크리프 속도는 응력의 거듭제곱과 아레니우스 인자로 쓴다(8.3.4확산의 열활성화와 아레니우스 거동):

\dot\varepsilon_s=K_2\,\sigma^{n}\exp\!\left(-\frac{Q_c}{RT}\right)

$n$ 과 $Q_c$ 가 기구를 알려 주는 지문이다.

기구	$n$	$Q_c$	결정립 의존	어디서
전위 크리프(전력 법칙) — 전위가 상승 운동으로 장애물을 넘는다	3~8	자기 확산 $Q_{SD}$	없음	높은 응력, 대부분의 구조 재료
Nabarro–Herring — 공공이 결정립을 가로질러 격자 확산	1	$Q_{SD}$	$\propto d^{-2}$	낮은 응력, 높은 온도
Coble — 공공이 결정립계를 따라 확산	1	$Q_{gb}\approx0.5\,Q_{SD}$	$\propto d^{-3}$	낮은 응력, 중간 온도, 미세립
입계 미끄러짐	~2	$Q_{gb}$	$\propto d^{-1\sim-2}$	초소성, 나노 결정

확산 크리프는 8.2.5에서 결정립 크기의 부호가 뒤집히는 이유로 이미 나왔다(8.2.5미세조직과 물성의 관계 (반도체 구조 계측은 19.3)): 공공이 인장 쪽 경계에서 생겨 압축 쪽 경계로 흐르며(8.3.3확산의 원자 기구(공공·격자간), 8.3.9고확산 경로(입계·표면·전위)) 결정립이 인장 방향으로 늘어나는데, 흐를 거리가 $d$ 이니 결정립이 작을수록 빠르다. 저온에서 강하게 만든 미세립이 고온에서는 가장 먼저 흘러내리고, 그래서 터빈 날개는 반대 극단인 단결정으로 간다.

그림 8.8-18. 변형 기구 지도(모식). 가로축 상동 온도, 세로축 정규화 응력의 로그. 맨 위 띠는 이론 강도, 그 아래 넓은 띠가 전위 미끄럼(저온 소성), 가운데가 전력 법칙 크리프, 오른쪽 아래가 확산 크리프이며 그 안에서 입계 확산의 Coble 영역과 격자 확산의 Nabarro–Herring 영역이 나뉜다. 강조된 점선은 결정립을 작게 했을 때 확산 크리프의 위 경계가 올라감을 보인다 — 미세립이 고온에서 약한 이유. 실제 지도(Frost–Ashby)는 재료·결정립 크기마다 경계가 다르다.직접 작도

어느 응력·온도에서 어느 기구가 이기는지를 한 장에 그린 것이 변형 기구 지도(Frost–Ashby)다. 응력을 올리면 $n$ 이 큰 전위 크리프가, 온도를 올리면 활성화 에너지가 큰 격자 확산이, 결정립을 줄이면 확산 크리프가 영역을 넓힌다.

수명 외삽 — 라슨–밀러. 30년 수명을 30년 시험할 수는 없다. 온도와 시간이 아레니우스로 맞바뀌는 것을 이용해 높은 온도의 짧은 시험으로 낮은 온도의 긴 수명을 외삽한다:

P_{LM}=T\,(C+\log_{10}t_r),\qquad C\approx20

같은 응력이면 $P_{LM}$ 이 같으므로, 응력 대 $P_{LM}$ 곡선 하나로 임의의 $(T,t_r)$ 조합을 읽는다. 합금 설계는 고용 강화(확산이 느린 무거운 원소)·분산 강화(조대화되지 않는 산화물)·결정립 조대화 또는 단결정·방향성 응고로 크리프를 억제한다 — 5절의 강화 기구가 고온에서는 확산을 늦추는 것으로 다시 정의된다.

직관

반도체의 크리프 — 응력이 풀리는 것도 크리프다. ① 응력 완화와 보이드. 배선 위에 유전체를 덮고 400 °C에서 식히면 Cu에는 수백 MPa의 인장 열응력이 남는다(2절). 이 응력은 크리프로 풀리는데, 사방이 유전체에 갇힌 Cu는 늘어날 수 없으니 응력을 푸는 유일한 방법이 공공을 모아 빈 공간을 만드는 것이다 — 응력 유기 보이드(9.12.6). 확산 크리프의 논리 그대로이고, 비아 아래에 보이드가 모여 배선이 끊긴다. 반대로 Al 배선은 압축 응력을 힐록(9.11.4)으로 푼다. ② 솔더. Sn계 솔더는 실온이 0.6 $T_m$ 이라 언제나 크리프 영역에 있다. 열사이클의 각 반주기 동안 전단 응력이 크리프로 풀리고, 그 크리프 변형이 코핀–맨슨의 $\Delta\gamma_p$ 다. 그래서 솔더 접합의 수명 모형은 피로와 크리프를 분리하지 못하고(크리프–피로 상호작용), 온도 사이클의 유지 시간이 길수록 수명이 준다. ③ 웨이퍼. 1100 °C 확산로에서 300 mm 웨이퍼는 보트 위에서 자기 무게로 크리프한다. 항복 응력이 1 MPa 아래로 내려온 상태에서(3절) 며칠이 아니라 몇 시간이면 슬립이 생기고, 그것이 보트 접촉점에서 방사상으로 뻗는 슬립선이다. 지지점 설계와 승·강온 속도, CZ의 산소 고용 강화(5절)가 대책이다.

경도

경도란 무엇인가 — 국소 소성 변형에 대한 저항

이 절에서 $S$ 는 응력 진폭이 아니라 접촉 강성, $\varepsilon$ 은 변형률이 아니라 압자 기하 상수(≈0.75)다. 경도는 단단한 압자를 표면에 눌러 남은 압흔의 크기로 정하는 양이다 — 작은 압흔일수록 단단하다. 인장 시험보다 값싸고(시편 준비가 거의 없다), 비파괴에 가깝고(작은 압흔 하나), 다른 성질(강도·내마모성)을 어림할 수 있어 가장 많이 쓰는 기계적 시험이다. 그러나 “경도”는 하나의 물리량이 아니라 시험법마다 다른 정의이고, 척도 사이의 환산은 경험적이다.

시험	압자	정의	어디에
모스	광물끼리 긁기	1(활석)~10(다이아몬드) 순위	광물학
브리넬 HB	지름 $D$ 강구, 하중 $P$	$\dfrac{2P}{\pi D\bigl[D-\sqrt{D^2-d_1^2}\bigr]}$ ( $d_1$ = 압흔 지름)	주조품·연강, 거친 조직의 평균
비커스 HV	136° 다이아몬드 사각뿔	$1.854\,P/d_1^2$ ( $d_1$ = 대각선)	전 범위, 미소 경도
누프 HK	길쭉한 다이아몬드 뿔	$14.2\,P/l^2$ ( $l$ = 긴 대각선)	얇은 층·취성 재료
로크웰 HRC·HRB	다이아몬드 원뿔·강구	압입 깊이의 차 — 눈금이 다이얼에 바로	현장, 빠름
나노인덴테이션	Berkovich 삼각뿔	하중–깊이 곡선에서 $P_{\max}/A(h_c)$	박막, μm 아래

HB와 HV의 단위는 kgf/mm²(1 kgf/mm² = 9.81 MPa)이고, 자기상사 압자(비커스·누프·Berkovich)는 하중과 무관하게 같은 값을 주어야 하지만 실제로는 하중이 작을수록 값이 오른다(압흔 크기 효과, 아래).

경도와 강도 — Tabor의 3

압자 아래 재료는 사방이 탄성 영역에 갇혀 있어 자유로이 흐르지 못한다 — 1축 인장의 항복보다 훨씬 높은 압력이 들고, Tabor는 그 비가 대체로 3임을 보였다:

H\approx3\,\sigma_y

경도 $H$ 는 압력 단위(MPa)이고, $\sigma_y$ 는 압흔 둘레의 대표 변형(≈8 %)에서의 유동 응력이다. 이 3이 구속 인자이고, 강의 경험식 $TS(\mathrm{MPa})\approx3.45\,HB$ 의 뿌리다 — $HB$ 는 kgf/mm² 단위라 $H=9.81\,HB$ MPa이고, $H\approx3\sigma_y$ 이면 $\sigma_y\approx3.3\,HB$ , 인장 강도가 8 % 변형에서의 유동 응력보다 조금 높으니 3.45 근처가 된다. 재료군을 넘어 쓰면 틀린다(주철은 흑연이 강도를 깎아 기울기가 낮다).

그림 8.8-19. 브리넬 경도에 대한 인장 강도. 강의 데이터는 넓은 범위에서 직선 TS ≈ 3.45 HB 위에 놓이고, 황동은 기울기가 비슷하지만 낮은 범위에만 있으며, 주철은 흑연이 강도를 깎아 기울기가 훨씬 낮다. 이 직선의 원천이 Tabor의 H ≈ 3σ_y — 압흔 둘레가 소성 흐름을 구속해 1축 항복의 세 배 압력이 든다.직접 작도

나노인덴테이션 — 박막의 경도와 탄성 계수를 한 곡선에서

두께 100 nm의 박막에는 압흔을 볼 수 없다. 나노인덴테이션은 압흔 대신 하중–깊이 곡선을 연속으로 기록하고, 압자의 알려진 형상(면적 함수 $A(h_c)$ )에서 접촉 면적을 계산한다. Oliver–Pharr 해석의 골자는 셋이다:

S=\left.\frac{dP}{dh}\right|_{h_{\max}},\qquad h_c=h_{\max}-\varepsilon\frac{P_{\max}}{S},\qquad H=\frac{P_{\max}}{A(h_c)},\quad E_r=\frac{\sqrt\pi}{2\beta}\frac{S}{\sqrt{A(h_c)}}

그림 8.8-20. 나노인덴테이션의 하중–깊이 곡선. 하중 곡선은 자기상사 압자라 P ∝ h²이고 소성과 탄성을 함께 담는다. 제하 곡선은 탄성 회복이라 P = α(h − h_f)^m 꼴이며, 최대점에서의 초기 기울기 S가 접촉 강성이다. S와 P_max에서 접촉 깊이 h_c를 정하고, 압자 면적 함수 A(h_c)를 거쳐 경도 H = P_max/A와 환산 탄성 계수 E_r을 얻는다. E_r에는 압자(다이아몬드)의 컴플라이언스가 섞여 있어 1/E_r = (1 − ν²)/E + (1 − ν_i²)/E_i로 푼다.직접 작도

제하 곡선이 탄성이라는 것이 핵심이다 — 하중 곡선에는 소성이 섞여 있지만 하중을 풀 때는 탄성만 돌아오므로, 그 초기 기울기가 접촉 강성이고 거기서 탄성 계수가 나온다(Sneddon 해: 어떤 축대칭 압자든 $S=2E_r\sqrt{A/\pi}$ ). $E_r$ 은 압자와 시편의 컴플라이언스가 직렬로 더해진 값이라 $1/E_r=(1-\nu^2)/E+(1-\nu_i^2)/E_i$ 로 시편의 $E$ 를 푼다(다이아몬드 $E_i=1141$ GPa, $\nu_i=0.07$ ). $\beta\approx1.05$ 는 압자가 축대칭이 아닌 것의 보정이다.

박막에서는 기판이 문제다. 경도는 압입 깊이가 막 두께의 10 %를 넘으면 기판이 섞이기 시작하고 (10 % 규칙), 탄성 계수는 응력장이 더 멀리 미쳐 그보다 얕은 곳부터 섞인다. 두께 200 nm의 low-k 막이면 20 nm 깊이에서 측정해야 하고, 그 깊이에서는 압흔 크기 효과가 겹친다 — 얕을수록 경도가 오르는 현상으로, 압흔 아래 변형 구배를 맞추는 데 필요한 기하 필수 전위의 밀도가 $1/h$ 로 늘어 테일러 식(5절)이 $H^2=H_0^2(1+h^*/h)$ 를 준다(Nix–Gao). 나노인덴테이션 값을 벌크 값과 비교할 때 이 둘을 빼야 한다.

직관

반도체 재료의 경도와 탄성 계수 — 숫자를 알아 두면 공정이 보인다.

재료	$H$ (GPa)	$E$ (GPa)	어디서 문제인가
Si 단결정	11~13	130~188	CMP·연마의 손상층, 다이싱
SiO₂ (열산화막)	8~9	70~75	CMP 정지층, 스크래치
Si₃N₄ (CVD)	15~20	200~250	하드마스크·CMP 정지층
TiN · TaN	18~25	300~450	확산 배리어의 밀도·응력
Cu (전해도금)	1~2	110~130	CMP 디싱(18.19.6)
Al	0.5~1	69	프로브 손상, 힐록
다공성 low-k (κ 2.3~2.5)	0.5~2	3~8	CMP·패키징에 박리
폴리이미드·몰딩 컴파운드	0.2~0.5	3~20	패키지 휨

low-k 막에 $E\ge4$ GPa, $H\ge0.5$ GPa 안팎이 요구되는 것은 CMP의 전단과 와이어 본딩의 충격을 견디는 하한이고, κ를 내리려고 기공을 늘리면 $E$ · $H$ · $\mathcal G_c$ 가 함께 떨어져 이 하한에 걸린다(7절). CMP의 재료 제거율은 프레스턴 식 $RR=K_p\,P\,v$ 로 압력과 속도에 비례하고(18.19.3), 프레스턴 계수 $K_p$ 가 대체로 $1/H$ 에 비례한다 — 경도 차가 곧 선택비이고, 무른 Cu가 단단한 배리어·유전체보다 빨리 깎여 디싱이 생긴다.

Si의 압흔 아래 상변태. Si를 압자로 누르면 11~12 GPa의 정수압에서 다이아몬드 구조가 금속성 β-Sn 구조(Si-II)로 바뀌며 하중 곡선에 팝인이 생기고, 하중을 풀 때 비정질 또는 Si-III·XII로 돌아오며 팝아웃이 생긴다. 실온 Si의 “경도” 12 GPa는 이 상변태 압력이다. 같은 일이 연마·연삭의 지립 아래에서 일어나므로 백그라인딩·CMP 뒤 Si 표면에는 비정질층과 미소 균열이 남고, 그것이 다이 강도(7절)와 게터링(8.1.9)의 재료다. 지립을 작게 해 압력을 상변태 아래로 두면 취성 파괴 없이 “연성” 가공이 된다(연성 영역 연삭).

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 강도는 전위를 막는 길이 $L$ 하나로, 인성은 균열 길이 $a$ 하나로 정해지고, 반도체는 실리콘의 취성과 금속 배선·패키지의 소성을 양쪽에서 겪는다. 목적지를 적어 둔다.

결정 결함과 미세조직(8.1·8.2) — 전위의 미끄럼·증식·응력장(3·5절), 홀–페치와 결정립 크기 (5절), 산소 석출물과 다이 강도(5·9절).
계면·상변태(8.5·8.7) — 결정립 성장의 속도론과 핀 고정(6절), 시효경화와 정점·과시효(5절), 조대화가 강도를 깎는 것(5절), JMA와 재결정(6절).
세라믹·고분자(8.9·8.10) — 취성 파괴와 와이블 통계(7절), 고분자의 점탄성과 유리전이(2절의 비탄성, 8절의 크리프).
박막(9부) — 박막 응력과 Stoney 식(2절의 2축 계수), 힐록·보이드와 응력 완화(8절), 박막 강도와 4점 굽힘(7절), 응력 유기 이동(8절).
웨이퍼와 열공정(18.3·18.9) — CZ 산소의 고용 강화와 슬립(3·5절), 열탄성 응력과 슬립선(3·8절), 웨이퍼 휨.
배선(18.22, 9.12) — Cu 자기 어닐링(6절), Al–Cu 석출(5절), 나노쌍정 Cu(4절), 응력 유기 보이드(8절), CMP 디싱과 프레스턴 계수(9절).
다이 준비·패키징(18.24~18.29) — 다이싱 치핑과 박막 다이의 파괴 강도(7절), 솔더의 열피로· 크리프(8절), low-k 박리와 칩–패키지 상호작용(7절), 패키지 휨(2·9절), 온도 사이클 시험(8절).
계측·신뢰성(19부) — 나노인덴테이션(9절), 라만·XRD의 응력 계측(2절), 온도 사이클과 라슨–밀러 외삽(8절).