2부 전자기학 2.6

전기역학

2.1부터 2.5까지는 아무것도 움직이지 않는 세계였다. 전하는 제자리에 있고 전류는 일정하며, 그래서 전기장과 자기장은 서로 남남이었다 — $\mathbf{E}$ 는 전하가 만들고 $\mathbf{B}$ 는 전류가 만들며, 둘 사이에 방정식 하나 오가지 않았다. 이 장에서 시간이 흐르기 시작한다. 그러자 $\mathbf{B}$ 가 변하면 $\mathbf{E}$ 가 생기고(패러데이), $\mathbf{E}$ 가 변하면 $\mathbf{B}$ 가 생긴다(맥스웰). 두 장이 서로를 낳는 순간 전자기학은 완성되고, 그 완성된 네 식이 빛을 예언한다.

장의 뼈대는 세 마디다.

전류가 어떻게 흐르는가 — 옴의 법칙, 기전력. 도체 속에서 전하가 밀리는 이야기(1·2절).
변하는 자기장이 전기장을 만든다 — 패러데이 법칙, 인덕턴스, 자기 에너지(3~5절).
변하는 전기장이 자기장을 만든다 — 변위 전류, 맥스웰 방정식, 물질 속의 형태, 그리고 주파수 하나짜리 문제를 대수로 바꾸는 페이저(6~10절).

반도체 쪽에서 이 장이 다시 나오는 자리를 미리 적어 둔다. 옴의 법칙 $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ 는 드리프트 전류의 원형이고, 전도도 $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$ 는 11부가 그 위에 세워지는 식이다. 변위 전류는 축전기 전류 $C\,dV/dt$ 그 자체라서 MOS 커패시터의 C–V 측정이 통째로 6절과 10절이다. 유전체–반도체 계면의 경계 조건 $\varepsilon_{\mathrm{ox}}E_{\mathrm{ox}} = \varepsilon_{\mathrm{Si}}E_{\mathrm{Si}}$ 는 9절이며, 패키지 본딩 와이어의 $L\,di/dt$ 잡음은 4절이다. 그리고 식각 장비의 유도 결합 플라스마(ICP)는 3절의 유도 전기장이 코일 밖에서 기체를 깨우는 장치다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 2부에서 기호가 가장 많이 겹치는 장이다. 정전기학의 기호와 정자기학의 기호가 한 식 안에서 만나고, 거기에 회로 기호( $\mathcal{E}$ , $L$ , $R$ )와 페이저 기호( $j$ , $\omega$ , 아래첨자 $s$ )가 얹힌다. 시작 전에 한 번에 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{E},\ \mathbf{B}$		전기장 · 자기장 (진공의 기본 장)	V/m · T
$\mathbf{D},\ \mathbf{H}$		전기 변위 · 보조장 (물질 속의 보조 장, 9절)	C/m² · A/m
$\mathbf{P},\ \mathbf{M}$		분극 · 자화 (벡터)	C/m² · A/m
$\mathbf{J}$		전류 밀도 (벡터, 단면적당)	A/m²
$I$		전류 (스칼라, 단면 전체)	A
$\mathbf{K}$		표면 전류 밀도 (단위 길이당)	A/m
$\rho$	로	전하 밀도 (2.1과 같다)	C/m³
$\sigma$	시그마	전도도 — 이 장의 주역. 표면 전하 밀도가 아니다	S/m
$\sigma_f$		자유 표면 전하 밀도 — 9절 경계 조건에서만	C/m²
$\mathcal{E}$	기전력	회로 한 바퀴의 단위 전하당 일. 전기장 $\mathbf{E}$ 와 다르다	V
$\Phi$	자기 선속	$\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$	Wb
$L,\ M$		자기 · 상호 인덕턴스 (스칼라). $M$ 은 자화 $\mathbf{M}$ 과 다르다	H
$\varepsilon,\ \mu$		유전율 · 투자율. 진공은 $\varepsilon_0,\ \mu_0$	F/m · H/m
$\mu_n,\ \mu_p$		캐리어 이동도 — 1절에서만. 투자율 $\mu$ 와 다르다	m²/V·s
$\omega$	오메가	각진동수 $2\pi f$	rad/s
$j$		허수 단위 (공학 관례). 10절에서만
$\mathbf{E}_s$ 등		페이저 — 아래첨자 $s$ 는 시간을 떼어 낸 복소 진폭

주의

같은 글자가 다른 뜻으로 쓰이는 자리가 넷이다. 이 장에서는 아래처럼 못박는다.

① $\sigma$ — 전도도. 2.1에서 표면 전하 밀도로 쓰던 그 글자다. 이 장의 $\sigma$ 는 언제나 전도도이고, 9절의 경계 조건에서 표면 전하가 필요할 때는 아래첨자를 붙여 $\sigma_f$ 로 쓴다. Griffiths도 같은 충돌을 겪고 같은 방식으로 피한다.

② $\rho$ — 전하 밀도. 비저항(전도도의 역수)도 관례상 $\rho$ 다. 이 장은 비저항을 글자로 두지 않고 $1/\sigma$ 로 쓴다. 반도체 쪽에서 “비저항 10 Ω·cm”처럼 숫자로 말할 때만 $\rho$ 라 부른다.

③ $M$ — 상호 인덕턴스. 자화 $\mathbf{M}$ (2.5)과 글자가 같다. 굵은 벡터면 자화, 가는 스칼라면 상호 인덕턴스다. 두 물건이 같은 절에 나오는 일은 없다.

④ $\mu$ — 투자율. 1절에서 캐리어 이동도가 $\mu_n$ , $\mu_p$ 로 나온다. 아래첨자 $n$ , $p$ 가 붙으면 이동도, 없으면 투자율이다. 11부부터는 이동도가 주역이 되므로 이 구분에 미리 익숙해져야 한다.

옴의 법칙과 전도

전류는 힘에 비례한다

전하를 움직이려면 밀어야 한다. 단위 부피 안에서 전하가 얼마나 빨리, 얼마나 많이 흐르는지를 재는 양이 전류 밀도 $\mathbf{J}$ 이고, 미는 힘이 단위 전하당 $\mathbf{f}$ 이면 대부분의 물질에서 둘은 비례한다.

\mathbf{J} = \sigma \mathbf{f}

비례 상수 $\sigma$ 가 전도도다. 힘이 전자기력이면 $\mathbf{f} = \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 인데, 전하의 속도 $\mathbf{v}$ 가 워낙 작아 자기항은 거의 언제나 버린다. 그러면

\mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

이것이 옴의 법칙이다. 회로에서 배운 $V = IR$ 은 이 식을 도선 하나에 적분한 결과이고, 이 미분 형태가 원형이다. 반도체 소자 안에서는 $\mathbf{E}$ 가 자리마다 다르므로 미분 형태로 돌아가야 한다.

직관

왜 비례인가. 힘을 받는 전하는 가속해야 하고, 가속하면 속도는 시간에 따라 자라야 한다. 그러면 전류는 힘이 아니라 힘을 얼마나 오래 걸었는가에 달려야 하지 않나.

답은 충돌이다. 전자는 격자 원자·불순물·다른 전자와 끊임없이 부딪히고, 부딪힐 때마다 방향을 잊는다. 평균 충돌 간격 $\tau$ 동안만 가속하고 다시 영에서 시작한다. 가속도 $a = qE/m$ 으로 $\tau$ 동안 가속하면 얻는 속도가 $a\tau$ 이니, 평균 속도는 그 크기 정도로 $E$ 에 비례한다. 힘이 두 배면 충돌 사이에 두 배 빨라지고, 그래서 전류가 두 배다. 옴의 법칙은 전하가 자유롭기 때문이 아니라 끊임없이 방해받기 때문에 성립한다.

이 그림을 식으로 옮긴 것이 드루드 모형이다. 전하 $q$ , 질량 $m$ , 충돌 간격 $\tau$ 인 캐리어의 평균 표류 속도는

\mathbf{v}_d = \frac{q\tau}{m}\,\mathbf{E} \equiv \mu\,\mathbf{E}

이고, 비례 상수 $\mu = q\tau/m$ 이 이동도다. 단위 부피에 캐리어가 $n$ 개 있으면 $\mathbf{J} = nq\mathbf{v}_d$ 이므로

\sigma = n q \mu = \frac{n q^2 \tau}{m}

전도도는 캐리어가 몇 개인가( $n$ )와 하나하나가 얼마나 잘 움직이는가( $\mu$ )의 곱이다. 이 분해가 반도체 전체를 관통한다. 금속은 $n$ 이 고정돼 있고 $\mu$ 만 온도에 따라 변하는 반면, 반도체는 $n$ 을 도핑으로 열 자릿수 넘게 바꿀 수 있어 전도도가 절연체부터 금속 근처까지 오간다. 전자와 정공이 함께 흐르면 두 항을 더한다.

\sigma = q\,(n\mu_n + p\mu_p)

여기서 소문자 $n$ , $p$ 는 캐리어 농도이고, 11부에서 만날 대문자 $N_D$ , $N_A$ 는 불순물 농도다. 소문자는 움직이는 것, 대문자는 박혀 있는 것 — 이 대소문자 규칙은 반도체 전체에서 유지된다.

그림 2.6-1. 왼쪽은 드루드 그림이다. 전자는 충돌 사이에만 E 방향(전자이므로 반대 방향)으로 가속하고, 충돌하면 방향을 잊는다. 지그재그를 평균하면 작은 표류 속도 v_d가 남고 그것이 E에 비례한다. 오른쪽은 그 결과인 I–V 특성 — 원점을 지나는 직선이고 기울기가 1/R이다. 전기장이 매우 세지면(반도체에서 수천 V/cm) 표류 속도가 포화해 직선이 꺾이는데, 그 영역은 11부에서 다룬다.직접 작도

저항은 기하와 재료의 곱

길이 $\ell$ , 단면적 $A$ 인 균일한 도선에 전압 $V$ 가 걸리면 안쪽 전기장은 $E = V/\ell$ 로 균일하고 (왜 균일한지는 바로 아래), 전류는 $I = JA = \sigma E A$ 다. 정리하면

V = I\,\frac{\ell}{\sigma A} \equiv IR, \qquad R = \frac{\ell}{\sigma A}

저항 $R$ 은 재료( $1/\sigma$ )와 기하( $\ell/A$ )의 곱으로 갈라진다. 반도체 공정에서는 두께 $t$ 인 박막이 대부분이라 $R = (1/\sigma t)\cdot(\ell/w)$ 로 다시 갈라 쓰고, 앞 인수를 면저항 $R_s$ 라 부른다. $\ell/w$ 는 “정사각형 몇 개”이므로 단위를 Ω/□로 읽는다. 배선 길이가 두 배면 저항이 두 배, 폭이 절반이면 저항이 두 배 — 같은 식이다.

의문

도선 안의 전기장은 왜 균일한가. 도선은 도체인데, 2.1의 결론은 “도체 안에서 $\mathbf{E} = 0$ ” 아니었나.

그것은 정전기 평형의 결론이고, 지금은 전류가 흐른다. 정상 전류라면 전하가 쌓이지 않으므로 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ 이고, $\sigma$ 가 균일하면 $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ , 즉 도선 안의 전하 밀도가 0이다. 그러면 전위는 라플라스 방정식 $\nabla^2 V = 0$ 을 만족하고, 양 끝의 전위를 경계 조건으로 한 2.2.1라플라스 방정식의 성질과 유일성 정리 문제가 된다. 균일 도선에서 그 해는 선형 $V(x)$ , 즉 균일 $E$ 다. 필요한 전하는 도선 표면에 얇게 앉아 안쪽 장을 딱 맞게 만들어 준다 — 굽은 도선에서 전류가 굽은 길을 따라가는 것도 그 표면 전하 덕분이다.

정상 상태에 이르는 데 걸리는 시간은 얼마나 되나. 도체 안에 전하가 잠깐 뭉쳤다고 하면 그것이 풀리는 시간이 $\tau_{\mathrm{r}} = \varepsilon/\sigma$ 이고(2.3.2전도 전류와 완화 시간), 구리에서는 $10^{-19}$ 초 수준이다. 그래서 회로 시간 척도에서 도선 안은 언제나 정상 상태다.

정상 전류가 라플라스 문제라는 사실은 도선이 아닌 형태에서도 그대로 쓰인다. 반지름 $a$ , $b$ 인 두 동축 원통 사이를 전도도 $\sigma$ 인 물질이 채우고 전위차 $V$ 가 걸리면, 원통 대칭에서 $E \propto 1/s$ 이고 길이 $\ell$ 당 흐르는 전류는

I = \frac{2\pi\sigma\ell}{\ln(b/a)}\,V

이다. 축전기의 정전용량 $C = 2\pi\varepsilon\ell/\ln(b/a)$ 와 꼴이 같다 — $\varepsilon \to \sigma$ 로 바꾸면 서로 넘어간다. 같은 라플라스 방정식, 같은 경계 조건이니 당연하다. 이 대응은 누설 축전기의 저항을 곧바로 준다. $RC = \varepsilon/\sigma$ 이고, 이것이 앞에서 본 완화 시간이다.

줄 열

전하 $q$ 가 전위차 $V$ 를 내려가며 얻는 에너지 $qV$ 는 충돌에서 격자로 넘어간다. 단위 시간당 그 양이

P = VI = I^2 R = \frac{V^2}{R}

이고, 부피당으로는 $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = \sigma E^2$ 이다. 전류가 두 배면 발열이 네 배다. 반도체 칩의 전력 밀도가 배선 저항 곱하기 전류 제곱으로 결정되고, 배선을 가늘게 할수록 같은 전류에서 $\sigma E^2$ 가 커지는 것도 이 식이다. 배선의 일렉트로마이그레이션 한계 (전류 밀도 $10^6$ A/cm² 근처)가 결국 $J$ 하나로 적히는 것은 우연이 아니다.

직관

파라미터 감각. $\sigma = nq\mu$ 의 두 인수를 온도로 흔들어 보면 금속과 반도체가 갈린다.

금속. $n$ 은 원자당 자유전자 수로 고정. 온도가 오르면 격자 진동이 커져 $\tau$ 가 줄고 $\mu$ 가 준다 → 저항이 오른다.
반도체. $\mu$ 는 마찬가지로 줄지만, $n$ 이 $\exp(-E_g/2kT)$ 로 지수적으로 는다(진성) → 저항이 내린다. 도핑된 반도체는 중간 온도에서 $n$ 이 도핑 농도로 붙잡혀 있어 금속처럼 행동하다가, 고온에서 진성 캐리어가 넘치면 다시 반도체처럼 행동한다.

이 대비가 11부의 첫 번째 그림이 된다. 반도체를 온도계로 쓸 수 있고 금속을 온도계로 쓸 수 있는데, 부호가 반대다.

옴의 법칙이 깨지는 곳

옴의 법칙은 법칙이 아니라 재료의 성질이다. $\sigma$ 가 $E$ 와 무관하다는 가정이 무너지면 깨진다.

강한 전기장. 반도체에서 $E$ 가 수천 V/cm를 넘으면 캐리어가 충돌 사이에 광학 포논을 낼 만큼 에너지를 얻고, 표류 속도가 $10^7$ cm/s 근처에서 포화한다. 실리콘 전자의 $\mu_n \approx 1400$ cm²/V·s로 $v_{\mathrm{sat}}/\mu_n$ 을 계산하면 약 $7\times10^3$ V/cm — 채널 길이 100 nm짜리 트랜지스터에 1 V만 걸어도 이미 넘는 값이다. 현대 소자의 채널은 대부분 옴의 법칙 바깥에서 산다.
진공관·다이오드. 캐리어가 공간 전하로 제한되면 $I \propto V^{3/2}$ , p–n 접합이면 $I \propto e^{qV/kT}$ . 둘 다 $\sigma$ 라는 것이 정의되지 않는다.
초전도체. $\sigma \to \infty$ . 옴의 법칙은 $\mathbf{E} = 0$ 으로 퇴화하고, 전류는 $\mathbf{E}$ 가 아니라 자기장의 이력으로 정해진다.

기전력과 운동 기전력

회로를 한 바퀴 도는 힘

전류가 흐르려면 회로 어딘가에서 전하를 밀어 올리는 무엇이 있어야 한다. 전기장만으로는 안 된다 — 정전기장은 보존장이라 한 바퀴 돌면 한 일이 0이기 때문이다. 배터리, 발전기, 태양전지, 열전 소자가 그 무엇이고, 이들이 단위 전하에 가하는 힘을 $\mathbf{f}_s$ 라 하자. 회로 안에서 전하가 느끼는 총 힘은 $\mathbf{f} = \mathbf{f}_s + \mathbf{E}$ 이고, 이것을 회로 한 바퀴 선적분한 것이 기전력이다.

\mathcal{E} \equiv \oint \mathbf{f}\cdot d\mathbf{l} = \oint \mathbf{f}_s\cdot d\mathbf{l}

$\mathbf{E}$ 의 적분은 2.1.4E의 회전과 전위에서 0이므로 빠진다. 기전력은 이름과 달리 힘이 아니라 단위 전하당 일이고 단위는 볼트다.

직관

이상적인 전원 안에서는 어떤 일이 벌어지는가. 전원 내부의 알짜 힘이 0이어야 하므로 ( $\sigma = \infty$ 이면 유한한 전류에 $\mathbf{f} = \mathbf{J}/\sigma = 0$ ) 전원 안에서 $\mathbf{E} = -\mathbf{f}_s$ 다. 전원의 힘이 전하를 한쪽 극으로 밀어 올리면, 쌓인 전하가 만드는 정전기장이 정확히 그것을 상쇄할 때까지 쌓인다. 그 순간 두 극 사이의 전위차는

V = -\int_a^b \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \int_a^b \mathbf{f}_s\cdot d\mathbf{l} = \mathcal{E}

로 기전력과 같다. 전원의 $\mathbf{f}_s$ 는 전원 안에서만 작용하지만, 그것이 쌓아 올린 전하의 정전기장은 회로 전체에 퍼져 바깥 도선의 전류를 몬다. 전원은 펌프이고 정전기장은 파이프 속 압력이다 — 화학 반응이 배터리 밖의 전선 속 전자를 직접 밀지 않는다.

움직이는 도선의 기전력

전원 중 가장 원초적인 것이 자기장 속에서 도선을 움직이는 것이다. 균일한 $\mathbf{B}$ (지면 안쪽) 속에 놓인 ㄷ자 레일 위를 길이 $h$ 의 막대가 속도 $v$ 로 미끄러진다고 하자. 막대 속 전하는 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 의 힘을 받아 막대를 따라 밀리고, 단위 전하당 힘의 크기는 $vB$ 이므로

\mathcal{E} = \oint \mathbf{f}_{\mathrm{mag}}\cdot d\mathbf{l} = vBh

이것이 운동 기전력이다. 막대 바깥의 레일에서는 $\mathbf{v} = 0$ 이라 기여가 없다.

그림 2.6-2. 자기장(지면 안쪽, ×) 속에서 막대를 v로 끌면 막대 속 전하가 v×B 힘을 받아 막대를 따라 밀린다. 회로 한 바퀴의 단위 전하당 일이 vBh, 곧 기전력이다. 회로가 둘러싼 넓이가 매초 vh씩 늘어나므로 선속이 매초 Bvh씩 늘고 — 기전력은 그 선속 변화율의 부호를 바꾼 것이다.직접 작도

같은 답을 다르게 셀 수 있다. 회로가 둘러싼 넓이가 $x h$ 이고 $x$ 가 매초 $v$ 씩 늘므로 자기 선속 $\Phi = Bxh$ 의 변화율은 $d\Phi/dt = Bvh$ 다. 부호를 붙이면

\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}

이것이 선속 규칙이다. 이 특수한 예에서 성립한 것이 아니라, 임의의 모양으로 임의로 움직이는 회로에 대해 자기력만으로 증명된다(Griffiths §7.1.3). 음의 부호는 “유도 전류가 선속의 변화를 막는 방향으로 흐른다”는 렌츠의 법칙이고, 3절에서 다시 만난다.

의문

자기력은 일을 하지 않는다(2.4.1로렌츠 힘 법칙과 전류). 그런데 방금 자기력이 단위 전하당 $vBh$ 의 일을 한다고 했다. 무엇이 틀렸나.

틀린 것은 없고, 일을 한 주체가 다르다. 막대 속 전하의 속도는 막대와 함께 가는 $v$ (수평)와 막대를 따라 흐르는 $u$ (수직)의 합이다. 자기력 $q(\mathbf{v}+\mathbf{u})\times\mathbf{B}$ 는 이 합 속도에 수직이니 알짜 일은 정말로 0이다. 수직 성분 $qvB$ 는 전하를 막대를 따라 밀어 양의 일을 하고, 수평 성분 $quB$ 는 막대의 운동을 거슬러 정확히 같은 크기의 음의 일을 한다. 그 거스르는 힘을 이기고 막대를 $v$ 로 유지하는 것은 막대를 끄는 손이고, 손이 한 일이 자기력을 거쳐 전류의 에너지로 전달된다. 자기력은 에너지를 만들지 않고 방향을 바꿔 전달할 뿐이다.

발전기가 하는 일이 정확히 이것이다. 터빈이 코일을 돌리고, 자기력이 그 기계적 일을 전기적 일로 바꾼다. 발전기가 전류를 많이 낼수록 돌리기 힘들어지는 이유이기도 하다.

같은 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 가 도선을 움직이지 않고 캐리어만 움직여도 나타난다. 반도체 시료에 전류를 흘리고 수직 자기장을 걸면 캐리어가 옆으로 밀려 시료 가장자리에 쌓이고, 그 전하가 만드는 횡방향 전기장이 자기력과 평형을 이룬다. 그 전압이 홀 전압이고, 크기가 $1/nq$ 에 비례하므로 캐리어 농도와 부호를 직접 잰다 — 12부의 측정 장에서 돌아온다.

패러데이 법칙과 유도 전기장

세 실험, 한 법칙

1831년 패러데이가 보고한 세 실험은 다음과 같다.

자기장 속에서 고리를 끌면 전류가 흐른다.
고리를 두고 자석을 끌어도 전류가 흐른다.
둘 다 가만히 두고 자기장의 세기를 바꿔도 전류가 흐른다.

첫째는 2절의 운동 기전력이다. 둘째는 첫째와 상대 운동만 같으니 같은 결과여야 한다 — 그런데 고리가 정지해 있으면 고리 속 전하는 움직이지 않고, $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 는 0이다. 무엇이 전하를 미는가. 패러데이의 답은 변하는 자기장이 전기장을 만든다는 것이고, 그 전기장이 선속 규칙과 같은 크기의 기전력을 낸다.

\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi}{dt}

$\Phi = \int\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$ 로 풀고 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 스토크스 정리를 쓰면 미분 형태가 나온다.

\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

이것이 패러데이 법칙이다. 정전기학의 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$ 이 이 식의 정적 극한이다. 셋째 실험도 같은 식이 설명한다 — 자기장이 어떤 이유로 변하든, 변하기만 하면 회전하는 전기장이 생긴다.

직관

공간에서 무슨 일이 일어나는가. 정전기장은 전하에서 뻗어 나가는 장이었다. 선이 전하에서 시작해 전하에서 끝나고, 닫힌 고리를 만들지 않는다 — 회전이 0이라는 말이 그것이다. 유도 전기장은 정반대다. 시작도 끝도 없이 닫힌 고리를 돌고, 그 고리가 둘러싸는 것은 전하가 아니라 변하는 자기장이다. 정전기장이 전하를 향해 흘러내리는 지형이라면, 유도 전기장은 소용돌이다. 이 전기장에는 전위가 없다 — 한 바퀴 돌면 되돌아오지 않는 지형은 높이로 그릴 수 없다.

렌츠의 법칙이 소용돌이의 방향을 말해 준다. 자기장이 커지면 유도 전기장은 그 자기장을 줄이는 전류를 몰 방향으로 돈다. 자연은 변화를 싫어한다 — 이것이 3절부터 5절까지의 모든 부호를 결정한다.

유도 전기장을 계산하기 — 앙페르 법칙과의 유비

전하가 없고 자기장만 변하는 상황이면 $\mathbf{E}$ 가 만족하는 두 식은

\nabla\cdot\mathbf{E} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

이고, 정자기학의 두 식 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ , $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 와 꼴이 같다. $\mu_0\mathbf{J}$ 자리에 $-\partial\mathbf{B}/\partial t$ 가 있을 뿐이다. 그러니 2.4.4앙페르 법칙과 응용에서 앙페르 법칙으로 $\mathbf{B}$ 를 구하던 요령이 전부 옮겨 온다.

\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}} \quad\longleftrightarrow\quad \oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi}{dt}

전류가 둘러싸이는 자리에 선속의 변화율이 들어간다. 대칭이 좋으면 적분 밖으로 $E$ 를 꺼낼 수 있다.

예 — 솔레노이드의 전류가 변할 때. 반지름 $R$ , 단위 길이당 감은 수 $n$ 인 긴 솔레노이드의 전류 $I(t)$ 가 변한다. 안쪽 자기장은 $B = \mu_0 nI$ 로 균일하므로, 축에서 $s$ 떨어진 동심원을 따라 적분하면

E\,(2\pi s) = -\frac{d}{dt}\bigl(\mu_0 n I\,\pi s^2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E} = -\frac{\mu_0 n s}{2}\,\frac{dI}{dt}\;\hat{\boldsymbol{\phi}} \qquad (s < R)

바깥( $s > R$ )에서는 둘러싸인 선속이 $\mu_0 nI\pi R^2$ 로 고정되므로

\mathbf{E} = -\frac{\mu_0 n R^2}{2s}\,\frac{dI}{dt}\;\hat{\boldsymbol{\phi}} \qquad (s > R)

그림 2.6-3. 솔레노이드를 축 방향에서 본 단면. 안쪽 자기장(지면 밖, ·)이 세지면 유도 전기장이 동심원을 따라 돈다 — 자기장을 줄이는 전류를 몰 방향, 즉 코일 전류와 반대 방향이다. 크기는 안에서 s에 비례해 자라다가 경계에서 꺾여 밖에서는 1/s로 준다. 무한 직선 전류의 자기장 그래프와 같은 모양이다 — 같은 방정식이니 같은 그림이다.직접 작도

직관

그래프 읽기. $E(s)$ 의 모양이 2.4.4앙페르 법칙과 응용에서 본 굵은 직선 도선의 $B(s)$ 와 똑같다 — 안에서 $\propto s$ , 밖에서 $\propto 1/s$ , 경계에서 최대. 둘 다 “둘러싼 원천이 $s^2$ 으로 자라다가 경계 뒤로는 고정”이기 때문이다. 다만 여기서 원천은 전류가 아니라 선속의 변화율이다.

바깥에 자기장이 없는데 전기장이 있다는 점을 눈여겨봐야 한다. 이상적인 긴 솔레노이드의 바깥에서 $\mathbf{B} = 0$ 이지만, 그 자리의 $\mathbf{E}$ 는 0이 아니다. 유도 전기장은 그 지점의 $\mathbf{B}$ 가 아니라 둘러싼 선속이 정하기 때문이다. 이 비국소성이 2.9의 벡터 퍼텐셜이 필요한 이유이고, 양자역학의 아로노프–봄 효과의 뿌리다.

준정적 근사

위 계산에는 속임수가 하나 들어 있다. $B = \mu_0 nI(t)$ 는 정상 전류의 결과인데, 변하는 전류에 그대로 썼다. 엄밀하게는 변하는 $\mathbf{E}$ 가 다시 $\mathbf{B}$ 를 바꾸고(6절), 그 $\mathbf{B}$ 가 다시 $\mathbf{E}$ 를 바꾸는 일이 끝없이 이어진다. 변화가 충분히 느리면 첫 항만 남기고 이 사슬을 끊어도 된다는 것이 준정적 근사다.

“충분히 느리다”의 기준은 계의 크기 $\ell$ 과 파장 $\lambda = c/f$ 의 비교다. 정보가 빛의 속도로 계를 가로지르는 시간 $\ell/c$ 보다 변화의 주기가 훨씬 길면, 계 전체가 매 순간 “현재의 전류”를 알고 있는 셈이다.

주파수	파장 $\lambda = c/f$	준정적으로 다룰 수 있는 크기
60 Hz	5,000 km	전력망 일부
1 MHz	300 m	보드·패키지 전부
1 GHz	30 cm	칩(mm)은 되고, 보드는 안 됨
100 GHz	3 mm	칩도 안 됨 — 전파 문제(2.8)

칩 위의 배선이 mm 단위이므로 수 GHz까지는 인덕턴스·정전용량이라는 준정적 언어로 충분하지만, 밀리미터파 회로에서는 배선이 안테나가 된다. 이 경계가 회로 이론과 전자기학이 갈리는 자리다.

와전류와 유도 결합

유도 전기장이 도체 덩어리 안에 생기면 옴의 법칙에 따라 $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ 의 전류가 소용돌이친다. 이것이 와전류다. 렌츠의 법칙에 따라 원래의 자기장 변화를 막는 방향으로 돌고, 줄 열로 에너지를 잃는다. 변압기 철심을 얇게 잘라 겹치는 것은 와전류의 경로를 끊기 위해서고, 유도 가열은 반대로 그 열을 이용하는 것이다.

반도체 공정에서 이 현상은 유도 결합 플라스마(ICP)로 나타난다. 식각 챔버 위에 코일을 감고 13.56 MHz의 전류를 흘리면, 챔버 안에 유도 전기장이 소용돌이친다. 그 전기장이 기체 속의 얼마 안 되는 자유 전자를 가속해 원자를 이온화하고, 생긴 전자가 다시 가속되어 눈사태처럼 플라스마가 붙는다. 전극이 기체에 닿지 않는데 전력이 들어가는 것 — 이것이 3절 전체의 요약이다. 챔버 벽이 도체이면 와전류가 장을 가려 버리므로 코일 아래는 반드시 유전체(석영·세라믹) 창이어야 한다.

같은 소용돌이가 표피 효과의 원인이기도 하다. 도체 안으로 들어간 교류 자기장은 와전류를 만들고, 와전류는 안쪽의 장을 지우므로 전류는 표면 근처 두께 $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$ 에만 흐른다. 구리에서 1 GHz면 약 2 μm — 칩 위 배선 두께 수준이라 고주파 배선 저항이 직류값보다 커지는 이유다. 정확한 유도는 2.8의 몫이고 여기서는 원인만 짚는다.

인덕턴스

상호 인덕턴스 — 한 고리가 다른 고리에 주는 선속

고리 1에 전류 $I_1$ 이 흐르면 자기장이 생기고, 그 일부가 고리 2를 지난다. 비오–사바르 법칙에 따라 $\mathbf{B}_1 \propto I_1$ 이므로 고리 2를 지나는 선속도 $I_1$ 에 비례한다.

\Phi_2 = M_{21} I_1

비례 상수 $M_{21}$ 이 상호 인덕턴스다. 이것이 순수하게 기하만의 양이라는 것을 보이려면 2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지의 벡터 퍼텐셜을 쓴다. $\Phi_2 = \oint\mathbf{A}_1\cdot d\mathbf{l}_2$ 이고 $\mathbf{A}_1 = (\mu_0 I_1/4\pi)\oint d\mathbf{l}_1/\lvert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\rvert$ 이므로

M_{21} = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint\!\!\oint \frac{d\mathbf{l}_1\cdot d\mathbf{l}_2}{\lvert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\rvert}

이것이 노이만 공식이다. 계산에 쓰이는 일은 드물지만 두 사실을 한눈에 준다. ① $M$ 은 두 고리의 모양·크기·상대 위치만의 함수다. ② 첨자 1, 2를 바꿔도 식이 같으므로 $M_{21} = M_{12} \equiv M$ — 큰 코일이 작은 코일에 주는 선속과 작은 코일이 큰 코일에 주는 선속이, 같은 전류에서 같다. 계산이 어려운 쪽을 쉬운 쪽으로 바꿔 풀 수 있다는 뜻이다.

$I_1$ 을 바꾸면 고리 2의 선속이 바뀌고, 패러데이 법칙이 고리 2에 기전력을 유도한다.

\mathcal{E}_2 = -M\,\frac{dI_1}{dt}

고리 2의 전류가 아니라 고리 1의 전류 변화율이 원천이다. 변압기가 직류를 통과시키지 못하는 이유, 그리고 인접 배선의 전류가 급히 바뀔 때만 크로스토크가 생기는 이유다.

자기 인덕턴스 — 고리가 자기 자신에게

고리 하나뿐이어도 같은 일이 벌어진다. 자신의 전류가 만든 선속이 자신을 지나므로

\Phi = LI, \qquad \mathcal{E} = -L\,\frac{dI}{dt}

$L$ 이 자기 인덕턴스, 줄여서 인덕턴스다. 단위는 헨리(H = V·s/A = Wb/A)이고, 음의 부호는 이 기전력이 언제나 전류의 변화를 거스른다는 뜻이다 — 그래서 역기전력이라 부른다.

예 — 솔레노이드와 토로이드. 길이 $\ell$ , 단면적 $A$ , 단위 길이당 $n$ 번 감긴 솔레노이드의 안쪽 장은 $B = \mu_0 nI$ 이고, 한 바퀴의 선속이 $BA$ , 총 바퀴 수가 $n\ell$ 이므로

L = \mu_0 n^2 A \ell

안쪽 반지름 $a$ , 바깥 반지름 $b$ , 높이 $h$ 인 직사각 단면 토로이드에 $N$ 번 감으면 $B = \mu_0 NI/2\pi s$ 에서

L = \frac{\mu_0 N^2 h}{2\pi}\ln\frac{b}{a}

두 식 모두 감은 수의 제곱이다. 한 번은 선속을 만드는 데, 한 번은 그 선속을 받는 데 세어지기 때문이다. 심에 투자율 $\mu$ 인 자성체를 넣으면 $\mu_0 \to \mu$ 로 바뀌어 수백 배가 되고(2.5), 그것이 전원 장치의 인덕터가 페라이트 심을 갖는 이유다.

RL 회로 — 시간 상수

기전력 $\mathcal{E}_0$ 인 전원, 저항 $R$ , 인덕턴스 $L$ 을 직렬로 잇고 $t = 0$ 에 스위치를 닫는다. 회로 한 바퀴의 기전력 합이 저항의 전압 강하와 같아야 하므로

\mathcal{E}_0 - L\,\frac{dI}{dt} = IR \quad\Longrightarrow\quad I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R}\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr), \qquad \tau = \frac{L}{R}

그림 2.6-4. RL 회로에 전원을 넣은 뒤의 전류. 처음에는 역기전력이 전원을 통째로 상쇄해 전류가 0에서 출발하고, 기울기는 ℰ₀/L이다. 원점의 접선이 최종값에 닿는 시각이 시간 상수 τ = L/R — 한 τ가 지나면 63 %, 3τ면 95 %, 5τ면 99 %에 이른다. 저항이 클수록 τ가 짧다 — 전류가 작아 인덕터에 저장할 에너지가 적기 때문이다.직접 작도

직관

그래프 읽기. 세 지점이 회로의 성격을 다 말한다.

원점의 기울기 $\mathcal{E}_0/L$ . $t = 0$ 에 전류가 0이라 저항은 아무 전압도 먹지 않고, 전원의 기전력 전부가 인덕터의 $L\,dI/dt$ 와 맞선다. 처음 순간 인덕터는 열린 회로처럼 행동한다.
점근선 $\mathcal{E}_0/R$ . 전류가 더 이상 변하지 않으면 $L\,dI/dt = 0$ 이고 인덕터는 그냥 도선이다. 정상 상태에서 인덕터는 단락이다. 축전기와 정확히 반대다.
접선이 점근선에 닿는 시각 $\tau = L/R$ . $L$ 을 키우면 관성이 커져 느려지고, $R$ 을 키우면 목표 전류가 낮아져 빨라진다.

전원을 빼면 같은 $\tau$ 로 지수 감소한다. 이 $\tau$ 는 4절의 $L$ , 1절의 $R$ 이 만나는 자리이고, 2.1의 $RC$ 와 짝을 이룬다. 두 시간 상수의 곱 $LC$ 의 제곱근이 진동 주기가 되는 것은 22부의 몫이다.

패키지 속의 인덕턴스 — $L\,di/dt$

칩 바깥으로 나가는 모든 전류는 본딩 와이어·리드·범프·기판 배선을 지나고, 그 하나하나가 인덕터다. 경험칙으로 본딩 와이어는 약 1 nH/mm다. 이 숫자를 위 식에 넣어 본다.

V = L\,\frac{di}{dt} \approx 1\ \mathrm{nH} \times \frac{1\ \mathrm{A}}{1\ \mathrm{ns}} = 1\ \mathrm{V}

출력 버퍼 수십 개가 동시에 스위칭해 1 ns 안에 1 A가 오가면, 1 mm 와이어 하나에 1 V가 튄다. 1 V 근처에서 동작하는 칩에서 이것은 접지 자체가 흔들리는 사태이고, 이름이 접지 바운스다. 대책이 전부 이 식의 세 인수에서 나온다.

$L$ 을 줄인다 — 와이어를 짧게, 여러 가닥 병렬로, 플립칩 범프로.
$di/dt$ 를 줄인다 — 출력 슬루율 제어, 동시 스위칭 출력 수 제한.
전류를 밖으로 내보내지 않는다 — 칩 위의 디커플링 축전기가 순간 전류를 안에서 댄다.

칩 위 스파이럴 인덕터는 반대로 인덕턴스를 일부러 만든 것이다. 수 nH를 얻으려면 수백 μm짜리 나선이 필요하고, 실리콘 기판의 와전류(3절)가 손실을 만들어 품질 계수 $Q = \omega L/R$ 이 10~20에 머문다. 무선 칩 면적의 상당 부분을 이 나선이 차지한다.

자기장의 에너지

전류를 세우는 데 드는 일

인덕터에 전류를 흘리려면 역기전력을 이기고 전하를 밀어야 한다. 단위 시간에 하는 일은 $dW/dt = -\mathcal{E}I = LI\,dI/dt$ 이고, 0에서 $I$ 까지 적분하면

W = \frac12 L I^2

이 에너지는 줄 열처럼 사라지지 않는다. 전류를 끊으면 되돌아온다 — 4절의 스위치 불꽃이 바로 이 에너지다. 그러면 그동안 어디에 있었나.

$\Phi = LI = \oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$ 로 $L$ 을 지우고, 도선을 부피 전류로 일반화하면

W = \frac12\oint \mathbf{A}\cdot I\,d\mathbf{l} = \frac12\int \mathbf{A}\cdot\mathbf{J}\,d\tau

여기에 $\mathbf{J} = \nabla\times\mathbf{B}/\mu_0$ 을 넣고 벡터 항등식 $\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) - \mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$ 로 부분 적분하면, 표면항이 무한대에서 사라지고

W = \frac{1}{2\mu_0}\int_{\text{전 공간}} B^2\,d\tau

정전 에너지 $W = \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\,d\tau$ (2.1.7정전 에너지와 에너지 밀도)와 나란한 꼴이다.

직관

세 표현은 같은 수를 다르게 셈한 것이고, 각각 다른 그림을 준다.

$\frac12 LI^2$ — 회로의 관점. 인덕터라는 부품이 에너지를 갖는다.
$\frac12\int\mathbf{A}\cdot\mathbf{J}$ — 전류의 관점. 전류가 흐르는 곳에만 에너지가 있다.
$\frac{1}{2\mu_0}\int B^2$ — 장의 관점. 자기장이 있는 곳이면 어디든, 전류가 없어도 에너지가 있다.

정전기학에서와 똑같이, 셋 중 마지막이 살아남는다. 2.8에서 전자기파가 전류도 전하도 없는 진공을 가로질러 에너지를 나르는 것을 볼 텐데, 그때 에너지는 장 말고는 있을 곳이 없다. 에너지 밀도 $u_B = B^2/2\mu_0$ 은 자기장이 있으면 그 자리에 에너지가 있다는 진술이고, 전기 쪽과 합쳐 $u = \frac12(\varepsilon_0 E^2 + B^2/\mu_0)$ 이 된다. 이것이 2.7 포인팅 정리의 출발점이다.

파라미터 감각. 에너지는 $B$ 의 제곱이다. 자기장을 두 배로 하려면 에너지가 네 배 든다. 그래서 강한 자석일수록 에너지가 급격히 늘고, 초전도 자석의 퀜치(초전도가 갑자기 깨지는 사고)가 파괴적인 것이다 — 수 테슬라의 장에 저장된 메가줄이 순식간에 열로 바뀐다.

예 — 동축 케이블. 안쪽 반지름 $a$ , 바깥 반지름 $b$ 인 동축 도체에 전류 $I$ 가 안쪽으로 가고 바깥으로 돌아온다. 그 사이에서 $B = \mu_0 I/2\pi s$ 이고 밖에서는 0이다. 길이 $\ell$ 당 에너지는

W = \frac{1}{2\mu_0}\int_a^b \Bigl(\frac{\mu_0 I}{2\pi s}\Bigr)^2\, 2\pi s\,\ell\,ds = \frac{\mu_0 I^2 \ell}{4\pi}\ln\frac{b}{a}

$W = \frac12 LI^2$ 과 견주면 단위 길이당 인덕턴스 $L/\ell = (\mu_0/2\pi)\ln(b/a)$ 가 거저 나온다. 선속을 셀 필요가 없다. 1절의 누설 저항, 2.1의 정전용량과 같은 $\ln(b/a)$ 가 세 번째로 나타났고, $L'C' = \mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2$ 이라는 관계가 이 셋 사이에 숨어 있다 — 전송선의 신호 속도가 재료만으로 정해진다는 2.8의 결과다.

변위 전류

앙페르 법칙의 구멍

지금까지의 네 식을 모아 본다.

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}

여기에 결함이 있다. 회전의 발산은 언제나 0이다(1.1.2기울기·발산·회전). 셋째 식에 발산을 취하면 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) = -\partial(\nabla\cdot\mathbf{B})/\partial t = 0$ 으로 아무 문제가 없다. 넷째 식에 발산을 취하면

0 = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J}

그런데 전하 보존(2.4.1로렌츠 힘 법칙과 전류)은 $\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ 라고 한다. 정상 전류에서는 우변이 0이라 괜찮았지만, 전하가 쌓이는 곳에서는 앙페르 법칙이 스스로 모순된다.

같은 모순을 적분 형태에서 보면 손에 잡힌다. 축전기를 충전하는 도선 둘레에 앙페르 고리를 두고 $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}$ 를 쓴다. “둘러싸인 전류”는 고리를 경계로 하는 어떤 면을 지나는 전류인데, 면을 도선을 자르게 잡으면 $I$ 이고, 면을 부풀려 두 극판 사이로 지나게 잡으면 그 면을 지나는 도선이 없어 0이다. 같은 고리, 다른 답.

그림 2.6-5. 충전 중인 축전기. 같은 앙페르 고리를 경계로 하는 두 면 — 도선을 자르는 납작한 면 S₁과 극판 사이로 부푼 면 S₂. S₁은 전류 I가 뚫지만 S₂는 어떤 전하도 지나지 않는다. 대신 S₂를 지나는 것은 극판 사이에서 자라는 전기장이고, ε₀ dΦ_E/dt가 정확히 I와 같다. 두 면의 답이 같아지려면 변하는 E가 전류 노릇을 해야 한다.직접 작도

맥스웰의 수정

빠진 항이 무엇이어야 하는지는 발산이 정해 준다. 가우스 법칙으로 $\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}$ 이므로

\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t} = -\nabla\cdot\Bigl(\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\Bigl(\mathbf{J} + \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr) = 0

괄호 안은 발산이 언제나 0이다. 앙페르 법칙의 $\mathbf{J}$ 를 이것으로 바꾸면 모순이 사라진다.

\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

새로 붙은 항을 맥스웰은 변위 전류라 불렀다.

\mathbf{J}_d \equiv \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

축전기 예로 돌아가면, 극판 사이의 전기장은 $E = Q/\varepsilon_0 A$ 이므로 $\varepsilon_0\,\partial E/\partial t \cdot A = dQ/dt = I$ — 부푼 면을 지나는 변위 전류가 도선의 전도 전류와 정확히 같다. 전류가 도선을 따라 오다가 극판에서 끊기는 것이 아니라, 극판 사이를 변위 전류가 이어 회로가 닫힌다. 회로 이론이 축전기에 전류 $C\,dV/dt$ 가 흐른다고 말할 때, 그 전류가 이것이다.

의문

변위 전류는 정말 전류인가. 아무 전하도 움직이지 않는데.

전류의 두 역할 중 하나만 한다. 전하를 나르지는 않지만 자기장은 만든다 — 앙페르 법칙의 우변에 전도 전류와 똑같이 들어가니까. 그래서 극판 사이에도 도선 둘레와 같은 자기장이 있다. “변위”라는 이름은 맥스웰이 에테르의 탄성 변위를 상상하며 붙인 것이고, 그 그림은 죽었지만 이름은 남았다.

이름보다 중요한 것은 대칭이다. 패러데이 법칙은 “변하는 $\mathbf{B}$ 가 $\mathbf{E}$ 를 만든다”고 했고, 이 항은 “변하는 $\mathbf{E}$ 가 $\mathbf{B}$ 를 만든다”고 한다. 둘이 합쳐지는 순간, 전하도 전류도 없는 빈 공간에서 $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 서로를 낳으며 나아갈 수 있다. 그것이 빛이다. 변위 전류가 없으면 전자기파가 없고, 맥스웰의 수정이 물리학에서 가장 생산적인 항 하나로 꼽히는 이유다.

전도 전류 대 변위 전류 — 도체와 유전체의 경계

물질 안에서 시간 조화 전기장 $E_0\cos\omega t$ 가 걸리면 전도 전류는 $\sigma E_0\cos\omega t$ 이고 변위 전류는 $\omega\varepsilon E_0\sin\omega t$ 다. 진폭의 비가

\frac{|J_c|}{|J_d|} = \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}

이것 하나가 물질을 도체로 볼지 유전체로 볼지 정한다. $\sigma/\omega\varepsilon \gg 1$ 이면 전도 전류가 지배해 도체, $\ll 1$ 이면 변위 전류가 지배해 유전체다. 같은 물질이 주파수에 따라 둘 다 될 수 있다는 것이 요점이다. 갈리는 주파수는 $\omega_c = \sigma/\varepsilon$ , 곧 1절 완화 시간의 역수다.

물질	$\sigma$ (S/m)	$\varepsilon_r$	$f_c = \sigma/2\pi\varepsilon$
구리	$6\times10^7$	1	$\sim 10^{18}$ Hz (자외선 너머)
실리콘, 10 Ω·cm	10	11.7	$\approx 15$ GHz
실리콘, 0.01 Ω·cm	$10^4$	11.7	$\approx 15$ THz
바닷물	4	80	$\approx 0.9$ GHz
석영 유리	$\sim10^{-12}$	3.8	$\sim 5$ mHz

구리는 어떤 실용 주파수에서도 도체이고 석영은 어디서나 유전체지만, 실리콘 기판은 그 중간이다. 비저항 10 Ω·cm의 기판은 1 GHz에서 도체처럼 행동해 와전류로 인덕터의 $Q$ 를 깎고(4절), 100 GHz에서는 유전체처럼 행동해 신호가 기판을 통과한다. RF 칩이 고저항 기판(수 kΩ·cm)을 쓰거나 아예 절연 기판 위의 실리콘(SOI)을 쓰는 이유가 이 표 한 줄이다. 10절에서 이 비가 손실 탄젠트라는 이름으로 다시 나온다.

맥스웰 방정식

네 식

변위 전류까지 넣으면 전자기학의 방정식이 완성된다.

	미분 형태	적분 형태	이름 · 뜻
(i)	$\nabla\cdot\mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$	$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = \dfrac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$	가우스 법칙 — 전하가 $\mathbf{E}$ 를 뿜는다
(ii)	$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$	$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0$	이름 없음 — 자기 전하는 없다
(iii)	$\nabla\times\mathbf{E} = -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$	$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$	패러데이 법칙 — 변하는 $\mathbf{B}$ 가 $\mathbf{E}$ 를 돌린다
(iv)	$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$	$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}} + \mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$	앙페르–맥스웰 법칙 — 전류와 변하는 $\mathbf{E}$ 가 $\mathbf{B}$ 를 돌린다

여기에 전하가 장으로부터 받는 힘

\mathbf{F} = q\,(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})

을 더하면 고전 전자기학 전부다. 네 식이 원천( $\rho$ , $\mathbf{J}$ )에서 장을 만들고, 로렌츠 힘이 장에서 원천의 운동을 만든다. 전자기학의 나머지 전부는 이 다섯 줄의 결과다.

그림 2.6-6. 맥스웰 방정식을 '무엇이 무엇을 만드는가'로 그린 그림. 전하는 E를 뿜고(가우스), 전류는 B를 돌린다(앙페르) — 여기까지가 2.1~2.5의 정적 세계이고, 두 장은 서로 남남이다. 시간이 흐르면 ∂B/∂t가 E를 돌리고(패러데이), ∂E/∂t가 B를 돌린다(맥스웰의 항). 이 두 화살표가 E와 B를 하나의 고리로 묶고, 원천 없이도 고리가 스스로 돌 수 있게 한다 — 그것이 전자기파다.직접 작도

직관

공간에서 읽기. 네 식은 두 종류다. 발산 식 (i)·(ii)는 선이 어디서 시작하고 끝나는가를 말한다 — $\mathbf{E}$ 선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가고, $\mathbf{B}$ 선은 시작도 끝도 없이 닫힌다. 회전 식 (iii)·(iv)는 선이 무엇을 둘러싸고 도는가를 말한다 — $\mathbf{E}$ 선은 변하는 $\mathbf{B}$ 를, $\mathbf{B}$ 선은 전류와 변하는 $\mathbf{E}$ 를 둘러싼다.

1.1.9퍼텐셜 이론의 헬름홀츠 정리가 이 구조의 이유다. 벡터장은 발산과 회전(그리고 무한대에서의 행동)으로 완전히 결정된다. 그래서 장 하나에 식이 딱 두 개, 발산 하나와 회전 하나가 필요하고, 장이 둘이니 식이 넷이다. 다섯째 식이 필요 없고 셋으로는 모자란다.

비대칭이 하나 있다. (i)의 우변에 $\rho$ 가 있는데 (ii)의 우변은 0이고, (iv)에 $\mathbf{J}$ 가 있는데 (iii)에는 없다. 자기 전하가 없기 때문이다. 8절이 이 빈자리를 다룬다.

정적 극한과 두 반쪽

$\partial/\partial t = 0$ 을 넣으면 (iii)·(iv)의 시간 항이 사라지고 네 식이 두 쌍으로 갈라진다. $\mathbf{E}$ 의 두 식은 $\rho$ 만 알면 닫히고(2.1 정전기학), $\mathbf{B}$ 의 두 식은 $\mathbf{J}$ 만 알면 닫힌다(2.4 정자기학). 두 장은 서로를 모른다. 시간 항 둘이 그 벽을 허물고, 허문 순간 두 장은 하나의 장 — 전자기장 — 이 된다. 2.9의 마지막 절에서 이 “하나임”이 텐서 하나로 적힌다.

방정식 안에 숨은 것들

전하 보존. (iv)에 발산을 취하고 (i)를 쓰면 $\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ 가 나온다. 연속 방정식은 별도의 법칙이 아니라 맥스웰 방정식의 귀결이다. 6절에서 변위 전류를 끼워 넣은 이유가 정확히 이것이었으니 당연하다.

개수. 미지수는 $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 성분 여섯이고, 식은 발산 둘(스칼라 2개)과 회전 둘(벡터 2개 = 6개)로 여덟이다. 과잉 결정처럼 보이지만 그렇지 않다. 회전 식에 발산을 취한 $\partial(\nabla\cdot\mathbf{B})/\partial t = 0$ 과 $\partial(\nabla\cdot\mathbf{E} - \rho/\varepsilon_0)/\partial t = 0$ 이 말하는 바는, 발산 식이 처음에 성립했으면 영원히 성립한다는 것이다. 발산 식은 초기 조건에 대한 구속이고, 시간 발전은 회전 식 여섯 개가 미지수 여섯 개를 몬다.

파동. 진공( $\rho = 0$ , $\mathbf{J} = 0$ )에서 (iii)에 회전을 취하고 (iv)를 넣으면

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B}) = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

좌변은 $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = -\nabla^2\mathbf{E}$ 이므로

\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

속도 $v = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 인 파동 방정식이다. $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ H/m과 $\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}$ F/m — 둘 다 정전기·정자기 실험에서 잰 상수 — 를 넣으면 $3.00\times10^8$ m/s가 나온다. 맥스웰이 이 숫자를 보고 빛이 전자기파라고 결론한 것이 1864년이다. 파동의 성질 전부는 2.8이 맡는다.

의문

반도체 소자 시뮬레이터(TCAD)는 맥스웰 방정식을 푸는가.

네 식 중 하나만 푼다 — (i) 가우스 법칙을 전위로 쓴 푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon$ . 여기에 전자·정공 각각의 연속 방정식을 붙이고, 전류를 드리프트–확산으로 닫는다(11부). 자기장은 아예 없다. 3절의 표에서 봤듯 마이크로미터 소자는 수백 GHz까지도 준정적이라, 자기장이 소자 동작에 미치는 영향이 무시할 만큼 작기 때문이다. 이 근사가 깨지는 곳 — 패키지, 안테나, 밀리미터파 배선, 그리고 광소자 — 에서만 풀웨이브 솔버가 네 식을 다 푼다. 어떤 도구를 쓸지가 결국 $\ell/\lambda$ 하나로 정해진다.

자기 홀극

대칭을 완성하는 가정

맥스웰 방정식의 비대칭은 자기 전하가 없다는 경험적 사실에서 온다. 만약 자기 전하 밀도 $\rho_m$ 과 자기 전류 밀도 $\mathbf{J}_m$ 이 있다면 네 식은 이렇게 될 것이다.

\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho_e}{\varepsilon_0}, & \nabla\times\mathbf{E} &= -\mu_0\mathbf{J}_m - \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\[4pt] \nabla\cdot\mathbf{B} &= \mu_0\rho_m, & \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J}_e + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \end{aligned}

전기 전하에 아래첨자 $e$ 를 붙인 것은 자기 전하 $m$ 과 짝을 맞추기 위해서다. 두 종류의 전하는 각각 보존되고( $\nabla\cdot\mathbf{J}_m = -\partial\rho_m/\partial t$ ), 자기 전하 $q_m$ 이 받는 힘은 $\mathbf{F} = q_m(\mathbf{B} - \mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2)$ 이다. 두 정지한 자기 홀극은 쿨롱 법칙처럼 $1/r^2$ 으로 서로를 밀거나 당긴다.

이 식은 이중성을 갖는다. $\mathbf{E} \to c\mathbf{B}$ , $c\mathbf{B} \to -\mathbf{E}$ , $cq_e \to q_m$ , $q_m \to -cq_e$ 로 바꾸면 식이 제자리로 돌아온다. 전기와 자기는 이름표만 다를 뿐 같은 것의 두 얼굴이라는 뜻이고, 어느 쪽을 “전기”라 부를지는 우리가 전기 전하만 갖고 있다는 사정 때문이다.

없다는 사실이 가져오는 것

자기 홀극을 찾는 실험은 한 세기 넘게 이어졌고 확정된 관측은 없다. 그래서 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 이 그대로 남고, 이 한 줄이 2부 전체에서 조용히 일하고 있다.

자기 선속은 닫힌 면에서 언제나 0. 자기력선은 어디서도 시작하거나 끝나지 않는다. 막대자석을 아무리 잘라도 N극과 S극이 짝으로 나온다.
벡터 퍼텐셜이 존재한다. 발산이 0인 장은 언제나 어떤 장의 회전이다(1.1.9퍼텐셜 이론). $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$ 가 가능한 것은 자기 홀극이 없기 때문이며, 그 $\mathbf{A}$ 로 4절의 노이만 공식과 5절의 에너지가 쓰였다.
패러데이 법칙의 우변에 자기 전류가 없다. 그래서 3절의 유도 전기장이 오로지 $\partial\mathbf{B}/\partial t$ 에서만 온다.

의문

디랙은 1931년, 우주 어딘가에 자기 홀극이 단 하나라도 있으면 모든 전기 전하가 어떤 기본 단위의 정수배여야 함을 보였다. 전기 전하가 실제로 양자화되어 있다는 사실(모든 입자의 전하가 $e/3$ 의 정수배)을 설명하는 몇 안 되는 논리 중 하나라서, 실험 물리학자들은 홀극을 계속 찾는다.

한편 응집물질에서는 홀극처럼 행동하는 준입자가 실제로 관측된다. 스핀 아이스라 불리는 자성체에서 스핀 배열의 결함이 마치 자기 전하처럼 움직이며 서로 $1/r^2$ 힘을 주고받는다. 기본 입자로서의 홀극과는 다른 것이지만, “ $\nabla\cdot\mathbf{B} \neq 0$ 인 것처럼 보이는 자리”가 있을 수 있다는 점에서 8절의 식이 완전한 공상만은 아니다. 자성 메모리(MRAM)의 자구벽 동역학에서 같은 언어가 쓰인다.

물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건

속박 전하·속박 전류에 하나가 더

물질 속에서는 자유 전하·전류 말고도 물질 자체가 만드는 전하와 전류가 있다. 2.3과 2.5에서 정적인 경우에 둘을 봤다.

\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}, \qquad \mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M}

앞의 것은 2.3.5속박 전하와 그 물리적 해석, 뒤의 것은 2.5.4자화와 속박 전류의 결과다.

시간이 흐르면 셋째 항이 생긴다. 분극 $\mathbf{P}$ 가 변하면 속박 전하가 자리를 옮기고, 움직이는 전하는 전류다. 두께 $d$ 의 얇은 층에서 분극이 $dP$ 만큼 늘면 양 끝의 표면 전하가 $dP$ 만큼 늘고, 그 사이를 흐른 전류 밀도는 $dP/dt$ 다.

\mathbf{J}_p = \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}

이것이 분극 전류이고, 속박 전하와 정합한다 — $\nabla\cdot\mathbf{J}_p = -\partial\rho_b/\partial t$ 가 자동으로 성립한다. 자화 전류 $\mathbf{J}_b$ 는 회전이라 발산이 0이고, 전하를 쌓지 않으므로 시간 항이 따로 필요 없다. 정리하면 물질 안의 총 전하와 총 전류는

\rho = \rho_f + \rho_b = \rho_f - \nabla\cdot\mathbf{P}, \qquad \mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}

이것을 진공의 맥스웰 방정식에 넣고, 2.3·2.5에서처럼 $\mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$ , $\mathbf{H} \equiv \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$ 으로 묶으면 물질 항이 좌변으로 흡수된다.

\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D} &= \rho_f, & \nabla\times\mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\[4pt] \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0, & \nabla\times\mathbf{H} &= \mathbf{J}_f + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \end{aligned}

물질 속의 맥스웰 방정식이다. 원천 자리에 자유 전하·전류만 남고, 물질의 반응은 $\mathbf{D}$ · $\mathbf{H}$ 안에 숨는다. 두 동차 식(우변이 0인 식)은 진공과 똑같다 — 그 둘은 원천과 무관한 식이라 물질이 손댈 곳이 없다. 변위 전류는 $\partial\mathbf{D}/\partial t = \varepsilon_0\partial\mathbf{E}/\partial t + \partial\mathbf{P}/\partial t$ 로, 진공의 변위 전류에 분극 전류가 합쳐진 것이다.

이 식은 $\mathbf{D}$ 와 $\mathbf{E}$ , $\mathbf{H}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 관계를 알기 전에는 닫히지 않는다. 그 관계가 구성 관계이고, 선형 매질에서는

\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}, \qquad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu}\mathbf{B}, \qquad \mathbf{J}_f = \sigma\mathbf{E}

세 상수 $\varepsilon$ , $\mu$ , $\sigma$ 가 물질을 규정한다. 셋째는 1절의 옴의 법칙이다. 이 셋이 주파수에 따라 변하는 것 — 특히 $\varepsilon(\omega)$ — 은 2.8의 분산 절과 10절의 복소 유전율에서 다룬다.

인덱스 — 이 절의 약속

이 절과 다음 절에서 첨자가 갑자기 많아진다. 원천은 자유/속박/분극으로, 방향은 수직/접선으로, 매질은 1/2로 갈리고, 페이저의 $s$ 가 얹힌다. 한 번에 정리한다.

첨자	읽는 법	무엇을 가리키는가
$\rho_f,\ \mathbf{J}_f,\ \sigma_f,\ \mathbf{K}_f$	free	자유 전하·전류 — 우리가 넣은 것
$\rho_b,\ \mathbf{J}_b$	bound	속박 전하·전류 — 물질이 만든 것
$\mathbf{J}_p$	polarization	분극 전류 $\partial\mathbf{P}/\partial t$
$\mathbf{J}_c,\ \mathbf{J}_d$	conduction · displacement	전도 전류 $\sigma\mathbf{E}$ · 변위 전류 $\partial\mathbf{D}/\partial t$
$E^{\perp},\ E^{\parallel}$	수직 · 평행	경계면에 수직인 성분 · 접하는 성분
$\mathbf{E}_1,\ \mathbf{E}_2$		매질 1(법선 $\hat{\mathbf{n}}$ 이 가리키는 쪽) · 매질 2의 장
$\mathbf{E}_s$		페이저(10절) — 시간을 떼어 낸 복소 진폭

$\sigma_f$ 는 표면 전하(C/m²)이고 첨자 없는 $\sigma$ 는 전도도(S/m)임을 다시 못박는다.

경계 조건

두 매질이 만나는 면에서 장은 불연속일 수 있고, 얼마나 불연속인지는 네 식의 적분 형태가 정한다. 발산 식에는 경계면에 걸친 얇은 상자(필박스), 회전 식에는 경계면에 걸친 얇은 고리를 쓴다.

그림 2.6-7. 경계면에서 네 조건이 나오는 자리. 왼쪽의 얇은 상자는 발산 식에 쓴다 — 옆면은 높이가 0이라 기여하지 않고, 위아래 면의 수직 성분 차이가 상자 안의 표면 전하 σ_f로 정해진다. 오른쪽의 얇은 고리는 회전 식에 쓴다 — 짧은 변이 0이라 긴 변의 접선 성분 차이만 남고, 그 차이가 고리를 뚫는 표면 전류 K_f로 정해진다. 시간 항 ∂B/∂t·∂D/∂t는 고리의 넓이가 0이라 사라진다.직접 작도

상자의 높이를 0으로 보내면 옆면이 사라지고, $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f$ 와 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 에서

D_1^{\perp} - D_2^{\perp} = \sigma_f, \qquad B_1^{\perp} - B_2^{\perp} = 0

고리의 폭을 0으로 보내면 짧은 변이 사라지고 고리를 뚫는 선속도 사라진다. 시간 항은 고리의 넓이에 비례하므로 함께 사라진다. 남는 것은

\mathbf{E}_1^{\parallel} - \mathbf{E}_2^{\parallel} = 0, \qquad \mathbf{H}_1^{\parallel} - \mathbf{H}_2^{\parallel} = \mathbf{K}_f\times\hat{\mathbf{n}}

$\hat{\mathbf{n}}$ 은 매질 2에서 매질 1로 향하는 법선이다. 정전기학·정자기학의 경계 조건과 글자 하나 다르지 않다 — 시간 항이 경계면의 넓이 0에 묻히기 때문이다. 이 사실 덕분에 2.8의 반사·투과가 정적 경계 조건만으로 풀린다.

선형 매질이고 경계면에 자유 전하·전류가 없으면( $\sigma_f = 0$ , $\mathbf{K}_f = 0$ ) 네 조건이 가장 쓰이는 꼴로 바뀐다.

\varepsilon_1 E_1^{\perp} = \varepsilon_2 E_2^{\perp}, \qquad B_1^{\perp} = B_2^{\perp}, \qquad \mathbf{E}_1^{\parallel} = \mathbf{E}_2^{\parallel}, \qquad \frac{1}{\mu_1}\mathbf{B}_1^{\parallel} = \frac{1}{\mu_2}\mathbf{B}_2^{\parallel}

직관

MOS 구조의 첫 번째 식. 게이트 산화막(SiO₂, $\varepsilon_r = 3.9$ )과 실리콘( $\varepsilon_r = 11.7$ )의 계면에 자유 전하가 없으면 첫 조건이

E_{\mathrm{ox}} = \frac{\varepsilon_{\mathrm{Si}}}{\varepsilon_{\mathrm{ox}}}\,E_{\mathrm{Si}} = 3\,E_{\mathrm{Si}}

산화막 속 전기장이 실리콘 표면의 전기장보다 세 배 세다. $\mathbf{D}$ 가 연속이니 $\varepsilon$ 이 작은 쪽이 $\mathbf{E}$ 를 더 많이 감당한다. 산화막이 몇 nm로 얇아지면 이 $E_{\mathrm{ox}}$ 가 절연 파괴 강도(약 10 MV/cm)에 다가가고, 그것이 13부의 게이트 유전체 문제 전체의 출발점이다. 고유전율 재료 (HfO₂, $\varepsilon_r \approx 20$ )를 쓰는 이유도 같은 식 — $\varepsilon_{\mathrm{ox}}$ 가 크면 같은 $E_{\mathrm{Si}}$ 에 대해 $E_{\mathrm{ox}}$ 가 작다.

계면에 고정 전하나 계면 트랩 전하 $\sigma_f = Q_{it}$ 가 있으면 $\varepsilon_{\mathrm{ox}}E_{\mathrm{ox}} - \varepsilon_{\mathrm{Si}}E_{\mathrm{Si}} = Q_{it}$ 로 어긋나고, 그 어긋남이 문턱 전압을 밀어낸다. C–V 곡선의 평행 이동으로 $Q_{it}$ 를 재는 것이 그 역산이다.

파라미터 감각. $\varepsilon_1/\varepsilon_2$ 가 클수록 수직 성분의 꺾임이 심하다. 접선 성분은 $\varepsilon$ 과 무관하게 연속이므로, 경사 입사한 전기력선은 $\varepsilon$ 이 큰 매질 쪽에서 경계면에 더 눕는다 — $\tan\theta_1/\tan\theta_2 = \varepsilon_1/\varepsilon_2$ . 자기력선과 $\mu$ 의 관계도 같고, 그래서 자기력선이 철심 속으로 빨려 들어가듯 보이는 것이다(2.5).

시간 조화장과 페이저 표현

시간을 떼어 내기

전원이 주파수 하나로 진동하고 매질이 선형이면, 모든 장이 같은 주파수로 진동한다. 선형 방정식이 주파수를 바꾸지 못하기 때문이다. 그러면 시간 의존성은 $\cos(\omega t + \phi)$ 로 정해져 있고, 자리마다 다른 것은 진폭과 위상뿐이다. 그 둘을 복소수 하나에 담는다.

\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \operatorname{Re}\bigl[\mathbf{E}_s(\mathbf{r})\,e^{j\omega t}\bigr]

$\mathbf{E}_s(\mathbf{r})$ 이 페이저다. 복소 벡터이고, 각 성분의 크기가 진폭, 편각이 위상이다. 시간이 사라졌으므로 $\partial/\partial t$ 는 곱셈이 된다.

\frac{\partial}{\partial t} \;\longrightarrow\; j\omega

미분방정식이 대수방정식으로 내려앉는다. 1.10.4푸리에 변환의 성질의 푸리에 변환이 하는 일을 주파수 하나에서 한 것이고, 임의의 파형은 이 결과를 주파수마다 구해 겹치면 된다.

주의

$j$ 인가 $i$ 인가, $e^{j\omega t}$ 인가 $e^{-i\omega t}$ 인가. 공학(Sadiku, 회로 이론, 안테나)은 $j$ 와 $e^{j\omega t}$ 를, 물리학(Griffiths 9장, 양자역학, 광학)은 $i$ 와 $e^{-i\omega t}$ 를 쓴다. 전류 $i$ 와 허수 단위를 구별하려는 것이 $j$ 의 기원이다. 이 절은 기준 교재 Sadiku를 따라 $j$ , $e^{j\omega t}$ 로 쓴다.

두 관례는 $j \leftrightarrow -i$ 로 서로 넘어간다. 그래서 같은 물리량의 부호가 책마다 반대다 — 복소 유전율이 여기서는 $\varepsilon' - j\varepsilon''$ 이고 물리 책에서는 $\varepsilon' + i\varepsilon''$ 이다. 손실이 있으면 허수부가 “지연”을 뜻해야 하므로 관례에 따라 부호가 뒤집힌다. 2.8이 어느 쪽을 쓰든 이 대응표로 번역하면 되고, 식 하나를 옮겨 쓸 때 허수 단위와 지수의 부호를 같이 바꿔야 한다는 것만 잊지 않으면 된다. 반도체 소자 책은 대체로 공학 관례이고, 광학 책은 물리 관례다.

페이저 맥스웰 방정식

9절의 네 식에 $\partial/\partial t \to j\omega$ 를 넣는다. 선형 매질이고 $\mathbf{J}_f = \sigma\mathbf{E}$ 면

\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{D}_s &= \rho_s, & \nabla\times\mathbf{E}_s &= -j\omega\mu\,\mathbf{H}_s,\\[4pt] \nabla\cdot\mathbf{B}_s &= 0, & \nabla\times\mathbf{H}_s &= (\sigma + j\omega\varepsilon)\,\mathbf{E}_s \end{aligned}

넷째 식의 우변이 이 절의 핵심이다. 6절의 전도 전류와 변위 전류가 한 괄호 안에 들어왔다. $\sigma\mathbf{E}_s$ 는 $\mathbf{E}_s$ 와 위상이 같고, $j\omega\varepsilon\mathbf{E}_s$ 는 $90°$ 앞선다. 둘의 합을 하나의 “변위 전류”처럼 쓰려면

\sigma + j\omega\varepsilon = j\omega\Bigl(\varepsilon - j\frac{\sigma}{\omega}\Bigr) \equiv j\omega\,\varepsilon_c

$\varepsilon_c = \varepsilon' - j\varepsilon''$ 이 복소 유전율이다. 실수부 $\varepsilon' = \varepsilon$ 은 에너지를 저장하고, 허수부 $\varepsilon'' = \sigma/\omega$ 는 에너지를 잃는다. 유전체의 분극이 전기장을 따라가지 못해 생기는 손실도 같은 자리에 들어가므로, 실제로는 $\varepsilon''$ 이 전도 손실과 유전 손실의 합이다. 그래서 두 손실을 구별하지 않고 하나의 각으로 잰다.

\tan\delta = \frac{\varepsilon''}{\varepsilon'} = \frac{\sigma}{\omega\varepsilon}

손실 탄젠트다. 6절의 $|J_c|/|J_d|$ 와 같은 양이고, $\delta$ 는 총 전류가 순수한 변위 전류에서 얼마나 기울었는지의 각이다.

그림 2.6-8. 복소 평면 위의 전류 페이저. 전도 전류 σE_s는 전기장과 위상이 같아 실수축 위에 놓이고, 변위 전류 jωεE_s는 90° 앞서 허수축 위에 놓인다. 총 전류는 둘의 합이고, 그것이 허수축에서 기운 각 δ가 손실각 — tan δ = σ/(ωε)이다. 주파수를 올리면 변위 전류의 팔이 길어져 δ가 줄고, 같은 물질이 점점 유전체처럼 보인다.직접 작도

직관

그림 읽기. 실수축 성분은 전기장과 위상이 같은 전류이고, 한 주기 평균으로 에너지를 소모한다 — $\langle \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\rangle$ 이 0이 아니다. 허수축 성분은 $90°$ 어긋난 전류이고, 반 주기 동안 받은 에너지를 다음 반 주기에 돌려준다 — 평균이 0이다. 축전기가 전력을 소모하지 않는 이유가 후자이고, 저항이 열을 내는 이유가 전자다. 각 $\delta$ 가 그 둘의 비율이므로, 손실 탄젠트는 한 주기에 저장하는 에너지 대비 잃는 에너지다. 회로의 $1/Q$ 와 같은 것이다.

파라미터 감각. $\omega$ 를 올리면 허수 팔만 길어지므로 $\delta \to 0$ , 물질은 유전체로 간다. $\sigma$ 를 올리면 실수 팔이 길어져 $\delta \to 90°$ , 도체로 간다. 6절의 표가 이 그림의 한 단면이다. 층간 절연막(low-k 유전체)의 규격에 $\varepsilon_r$ 과 함께 $\tan\delta$ 가 적히는 이유는, 신호가 배선을 지날 때 $\varepsilon_r$ 은 속도를, $\tan\delta$ 는 감쇠를 정하기 때문이다.

시간 평균과 헬름홀츠 방정식

페이저는 선형 연산에서만 쓸 수 있다. 곱을 계산할 때 — 전력, 에너지 밀도, 포인팅 벡터 — 는 실수부를 먼저 취해야 한다. 두 조화량 $A = \operatorname{Re}[A_s e^{j\omega t}]$ , $B = \operatorname{Re}[B_s e^{j\omega t}]$ 의 곱을 한 주기 평균하면

\langle AB\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}\bigl[A_s B_s^{*}\bigr]

$\tfrac12$ 은 $\cos^2$ 의 평균이고, 켤레 $B_s^{*}$ 는 두 량의 위상차만 남기는 장치다. 2.7의 포인팅 정리를 시간 조화장에 쓸 때, 2.8에서 파동의 평균 세기를 구할 때 이 식 하나로 돌아온다. 직류에서 $P = VI$ 가 교류에서 $P = \tfrac12\operatorname{Re}[V_s I_s^{*}]$ 가 되는 것도 같은 식이다.

마지막으로 7절의 파동 방정식을 페이저로 옮긴다. 원천이 없는 선형 매질에서 첫 회전 식에 회전을 취하고 둘째를 넣으면

\nabla^2\mathbf{E}_s + k^2\mathbf{E}_s = 0, \qquad k^2 = \omega^2\mu\varepsilon_c = \omega^2\mu\varepsilon - j\omega\mu\sigma

헬름홀츠 방정식이다. 시간 미분이 사라지고 공간 미분만 남았으며, 매질의 모든 성질이 복소수 $k$ 하나에 들어갔다. $k$ 의 실수부가 파장을, 허수부가 감쇠를 정한다 — 손실이 없으면 $k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ , 곧 진공에서 $\omega/c$ 이고, $\sigma$ 가 지배하면 $k \approx \sqrt{-j\omega\mu\sigma}$ 에서 3절의 표피 깊이 $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$ 가 나온다. 2.8은 이 식에서 시작한다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

드리프트 전류. $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$ 와 $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$ 가 11부 수송 이론의 첫 식이다. 속도 포화와 이동도의 온도 의존성이 1절의 “옴의 법칙이 깨지는 곳”을 채운다.
면저항과 배선. $R = R_s\,(\ell/w)$ 로 배선 저항을 세고, $\sigma E^2$ 이 일렉트로마이그레이션과 자기 발열의 원천이다. 표피 효과는 고주파 배선 저항을 올린다.
홀 측정. $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 가 캐리어 농도와 부호를 준다(12부).
패키지와 전원 무결성. $L\,di/dt$ 접지 바운스, 디커플링, 본딩 와이어 인덕턴스 — 4절 그대로다.
ICP 식각·증착 장비. 코일의 유도 전기장이 플라스마를 켠다(3절). 유전체 창, 와전류, 13.56 MHz.
MOS 커패시터. 축전기 전류는 변위 전류(6절)이고, C–V 측정은 페이저 언어(10절)이며, 산화막–실리콘 계면의 $\varepsilon E$ 연속(9절)이 밴드 굽힘 계산의 첫 경계 조건이다.
기판 손실과 low-k. $\sigma/\omega\varepsilon$ 이 기판을 도체로 볼지 유전체로 볼지 정하고(6절), $\tan\delta$ 가 배선의 감쇠를 정한다(10절).
시뮬레이션 도구의 선택. $\ell/\lambda$ 가 준정적(TCAD·SPICE)과 풀웨이브(HFSS류)를 가른다(3·7절).

전부 이 장의 네 식과 옴의 법칙 하나에서 나온다. 달라지는 것은 $\sigma$ , $\varepsilon$ , $\mu$ 세 상수와 기하뿐이다.