대칭성과 보존 법칙

앞 장들에서 얻은 결과 가운데 상당수는 계산 없이도 알 수 있었던 것들이다. 무한 우물과 조화진동자의 고유함수가 짝함수·홀함수로 번갈아 나온 것(5.3), 자유 입자의 정상 상태가 운동량 고유상태였던 것(5.3.4), 수소 원자에서 $\ell$ 이 같은 $2\ell+1$ 개 상태가 정확히 같은 에너지를 가진 것(5.5.5), 각운동량의 세 성분 가운데 하나만 좋은 양자수가 된 것(5.5.2) — 전부 해밀토니안이 어떤 변환 아래 불변이라는 사실 하나에서 나온다. 이 장은 그 사실을 앞에 놓고 결과들을 다시 읽는다.

한 문장으로 줄이면 이렇다. 해밀토니안 $\hat H$ 가 변환 $\hat U$ 아래 불변이면($[\hat H,\hat U]=0$), 그 대칭에서 세 가지가 따라 나온다.

• 보존 법칙 — 변환이 연속이면 그 변환을 만드는 생성원(에르미트 연산자)이 관측량이고, 그 값의 확률 분포가 시간에 따라 변하지 않는다. 공간 병진이 운동량을, 시간 병진이 에너지를, 회전이 각운동량을 보존시킨다(2·3·5절).
• 축퇴 — $\hat U\psi$ 가 $\psi$ 와 다른 상태이면 같은 에너지의 다른 상태다. 대칭이 클수록 같은 에너지에 더 많은 상태가 모이고, 대칭을 낮추면 그만큼 갈라진다(6절).
• 선택 규칙 — 대칭에 어긋나는 행렬 요소 $\langle\psi'|\hat Q|\psi\rangle$ 는 계산할 필요 없이 0이다. 패리티가 $\Delta\ell$ 을 홀수로, 회전이 $\Delta\ell=\pm1$, $\Delta m=0,\pm1$ 로, 격자 병진이 $\Delta k$ 를 역격자 벡터로 묶는다(4·7·8절).

그림 5.7-1. 이 장의 지도. 전제는 하나 — 해밀토니안이 변환 Û 아래 불변, [Ĥ, Û] = 0 — 이고, 거기서 보존 법칙·축퇴·선택 규칙 셋이 갈라져 나온다. 연속 변환(병진·시간 병진·회전)은 생성원이 있어 보존량을 주고, 이산 변환(패리티·격자 병진·시간 반전)은 생성원이 없어 보존되는 것이 ±1이나 k 같은 양자수이거나, 시간 반전처럼 보존량 대신 제약을 준다.직접 작도

이산 변환은 조금 다르게 간다. 패리티(4절)와 격자 병진(8절)에는 무한소 변환이 없어 생성원이 없고, 보존되는 것은 $\pm1$ 이나 $k$ 같은 변환 자체의 고유값이다. 시간 반전(9절)은 한 걸음 더 나가 유니터리조차 아니다 — 보존량은 없고, 대신 고유함수를 실수로 잡을 수 있다는 것, $E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$, 크라머스 축퇴 같은 제약을 준다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

• 블로흐 정리와 결정 운동량 — 결정은 연속 병진 대칭을 잃고 격자 병진 대칭만 남긴다. 그래서 $\hat p$ 대신 $e^{-ika}$ 의 $k$ 가 양자수가 되고, $k$ 는 $2\pi/a$ 마다 같은 상태이며, 운동량은 역격자 벡터만큼 어긋나도 보존된다(8절 → 7.7·7.2).
• 밸리 축퇴와 변형 공학 — Si 전도대의 여섯 골이 동등한 것은 입방 대칭 때문이고, (001) 이축 변형이나 반전층 구속이 그 대칭을 낮추면 2+4 로 갈라진다. 무거운·가벼운 정공의 분리도 같은 논리다(6절 → 7.9·14부).
• 광학 선택 규칙 — 직접 천이 흡수, LED 의 발광, 양자우물 적외선 검출기가 $z$ 편광만 받는 것, 원편광으로 스핀 편극 전자를 만드는 것이 전부 4·7절의 행렬 요소 0 이다(→ 7.9.6·17.1).
• 반전 대칭의 유무 — Si(다이아몬드)에는 반전 중심이 있고 GaAs(섬아연광)·GaN(우르차이트)에는 없다. 압전성, 2차 비선형 광학, 포켈스 효과, 드레셀하우스 스핀 분리는 전부 “반전이 없어야” 생긴다(4·9절 → 7.1·17부).
• 시간 반전 — $E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$, 스핀 축퇴, 자기장만이 가르는 크라머스 짝, 홀 저항의 반대칭, 회로의 상반성(9절 → 7.6·22부).

표기는 Griffiths 6장을 기준으로 한다. 8·9절은 Griffiths 에 없어 Sakurai 4장을 따르되 기호는 앞 절과 맞춘다. 연산자가 많이 나오는 장이라 장 앞에 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇인가	비고
$\hat U$	유니터리 연산자	대칭 변환 일반. $\hat U^\dagger\hat U=1$	시간 전개 연산자 $\hat U(t)$ 와 글자가 같다 — 3절에서 구분
$\hat T(a)$	병진 연산자	$\psi(x)\to\psi(x-a)$	운동 에너지 $T$, 온도 $T$ 와 무관. Sakurai 는 $\mathscr T$, 격자 병진은 $\tau$
$\hat\Pi$	패리티	$\psi(x)\to\psi(-x)$	Sakurai 는 $\pi$
$\hat R_{\mathbf n}(\varphi)$	회전 연산자	축 $\mathbf n$ 둘레로 각 $\varphi$	Sakurai 는 $\mathscr D(R)$. 격자 벡터 $\mathbf R$(8절)와 다르다
$\hat U(t)$	시간 전개 연산자	$e^{-i\hat Ht/\hbar}$	3절
$\hat\Theta$	시간 반전 연산자	반유니터리	Griffiths 에는 없다. 9절
$\hat K$	켤레 연산자	파동함수를 $\psi^{*}$ 로	9절. 파수 $k$ 와 다르다
$\hat G$	생성원	$\hat U(\epsilon)=1-i\epsilon\hat G/\hbar$	에르미트. $\hat p,\ \hat H,\ \hat L_z,\ \hat{\mathbf L},\ \hat{\mathbf J}$ 가 각각 병진·시간 병진·$z$ 회전·회전·전체 회전의 생성원
$k$	파수 · 결정 운동량	$\hbar k$	8절. 볼츠만 상수가 아니다
$m$	자기 양자수 · 질량	$\lvert\ell\,m\rangle$ 의 $m$ / $\hat p^2/2m$ 의 $m$	질량은 운동 에너지 항에만 나온다
$n$	주양자수 · 격자점 번호	$\lvert n\,\ell\,m\rangle$ / 8절의 $\lvert n\rangle$	8절에서 따로 못박는다
$\mathbf n$	회전축 단위벡터	5절	양자수 $n$ 과 글꼴이 다르다
$E$, $\mathbf E$	에너지 / 전기장		전기장은 언제나 굵은 벡터로 쓴다

대칭 변환과 유니터리 연산자

대칭 변환이란 — 확률을 바꾸지 않는 변환

계를 통째로 옮기거나 돌리거나 거울에 비추는 조작을 상태에 가하면, 상태 $|\psi\rangle$ 는 다른 상태 $|\psi'\rangle$ 가 된다. 이 대응을 연산자 $\hat U$ 로 쓴다:

$$|\psi'\rangle=\hat U|\psi\rangle$$

이 조작이 대칭 변환이려면 물리적으로 잴 수 있는 것 — 확률 — 이 바뀌지 않아야 한다. 두 상태의 겹침 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ 이 $|\phi'\rangle,|\psi'\rangle$ 에서도 같아야 한다는 뜻이다:

$$\bigl|\langle\phi'|\psi'\rangle\bigr|=\bigl|\langle\phi|\psi\rangle\bigr|$$

위그너 정리(Wigner)가 이 조건을 만족하는 $\hat U$ 는 딱 두 종류뿐이라고 말한다 — 유니터리 (선형이고 내적을 보존)이거나 반유니터리(반선형이고 내적을 켤레로 보존)이거나. 반유니터리는 시간 반전 하나뿐이므로 9절까지 미루고, 이 장의 나머지는 전부 유니터리다.

유니터리 연산자는 1.3.4 에서 행렬로 본 것(1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환)과 같다. 정의는

$$\hat U^\dagger\hat U=\hat U\hat U^\dagger=1, \qquad\text{즉}\qquad \hat U^{-1}=\hat U^\dagger$$

이고, 따라오는 성질은 세 가지다. ① 내적을 보존한다: $\langle\hat U\phi|\hat U\psi\rangle= \langle\phi|\hat U^\dagger\hat U|\psi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle$. 특히 노름이 보존되어 규격화가 깨지지 않는다. ② 고유값은 절댓값이 1인 복소수 $e^{i\alpha}$ 다 — 에르미트 연산자의 고유값이 실수인 것과 짝을 이룬다. ③ 에르미트 연산자 $\hat G$ 가 있으면 $e^{i\hat G}$ 는 유니터리이고, 거꾸로 모든 유니터리 연산자는 어떤 에르미트 $\hat G$ 의 지수함수로 쓸 수 있다(스펙트럼 정리, 1.3.9자체 수반 연산자와 스펙트럼 정리). 이 ③이 2절부터 쓰는 생성원의 근거다.

직관

수학적 직관 — 힐베르트 공간의 회전. 3차원에서 길이와 각도를 보존하는 선형 변환이 직교 행렬 (회전·반사)이듯, 복소 힐베르트 공간에서 내적을 보존하는 변환이 유니터리 연산자다. 상태 벡터의 “길이”(규격화)와 두 상태 사이의 “각도”(겹침)를 그대로 두고 방향만 돌린다. 그래서 유니터리 변환은 정규직교 기저를 다른 정규직교 기저로 보낸다 — 5.4.8 의 기저 변환(5.4.8기저 변환과 위치·운동량 표현)이 바로 유니터리였다. 대칭 변환은 그 가운데 물리적 조작에 대응하는 것이다.

능동과 수동 — 부호가 갈리는 자리

같은 변환을 두 가지로 읽을 수 있다. 계를 오른쪽으로 $a$ 만큼 옮기는(능동) 것과, 좌표계 원점을 왼쪽으로 $a$ 만큼 옮겨 놓고 다시 재는(수동) 것. 결과는 같지만 부호가 갈린다. Griffiths 와 Sakurai 둘 다 능동 관점을 쓴다 — 상태를 움직이고 좌표축은 그대로 둔다. 이 장도 그렇다.

능동 관점에서 파동함수는 이렇게 변한다. 계를 $+a$ 만큼 옮기면 새 파동함수는

$$\psi'(x)=\psi(x-a)$$

이다. 부호가 반대로 보이는 것이 처음에는 걸린다 — 그래프를 오른쪽으로 옮기면 $x=a$ 에서 원래 $x=0$ 의 값을 읽어야 하므로 인수에서 $a$ 를 뺀다. 1.2.6 에서 선형 변환을 “벡터를 움직이는 것”과 “기저를 바꾸는 것”으로 나눠 본 구분(1.2.6선형 변환)이 여기서 다시 나온다.

연산자는 어떻게 변하는가

상태를 변환했을 때 기댓값이 어떻게 변하는지를 보면, 연산자 쪽에 변환을 넘길 수 있다:

$$\langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle =\langle\hat U\psi|\hat Q|\hat U\psi\rangle =\langle\psi|\hat U^\dagger\hat Q\hat U|\psi\rangle$$

즉 “변환된 상태에서 $\hat Q$ 를 재는 것”은 “원래 상태에서 변환된 연산자

$$\hat Q'=\hat U^\dagger\hat Q\hat U$$

를 재는 것”과 같다. 1.3.5 의 닮음 변환(1.3.5닮음 변환과 대각화)이고, $\hat U$ 가 유니터리라 $\hat Q'$ 는 $\hat Q$ 와 같은 고유값을 가진다 — 자를 옮겨 놓아도 눈금은 같다.

이제 대칭을 정의할 수 있다. 해밀토니안이 변환 아래 불변이라는 것은

$$\hat U^\dagger\hat H\hat U=\hat H \qquad\Longleftrightarrow\qquad [\hat H,\hat U]=0$$

이다(양변에 $\hat U$ 를 곱하면 $\hat H\hat U=\hat U\hat H$). 이 교환 관계 하나가 이 장 전체의 전제다. 물리적으로는 “계를 옮기거나 돌려 놓아도 에너지 준위와 동역학이 같다”는 뜻이고, 실험적으로는 “실험실을 다른 곳에 지어도, 다른 날 돌려도, 다른 방향으로 놓아도 결과가 같다”는 뜻이다.

연속 변환과 생성원

변환에 연속 매개변수가 있으면 — 병진 거리 $a$, 회전각 $\varphi$, 경과 시간 $t$ — 무한소 변환을 생각할 수 있다. $\epsilon\to0$ 에서 항등 연산자에 가까워야 하므로

$$\hat U(\epsilon)=1-\frac{i\epsilon}{\hbar}\hat G+O(\epsilon^2)$$

로 쓰고, $\hat G$ 를 이 변환의 생성원이라 부른다. $\hat U$ 가 유니터리이려면 1차까지

$$\hat U^\dagger\hat U =1+\frac{i\epsilon}{\hbar}\bigl(\hat G^\dagger-\hat G\bigr)+O(\epsilon^2)=1 \quad\Longrightarrow\quad \hat G^\dagger=\hat G$$

이어야 한다. 생성원은 반드시 에르미트다 — 그래서 관측량이다. 이것이 보존 법칙의 절반이다. $-i/\hbar$ 를 붙여 두는 것은 관습이지만 이유가 있다: 그래야 $\hat G$ 가 운동량·에너지·각운동량의 단위를 가지고, 2절에서 보듯 $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ 와 딱 맞는다.

유한한 변환은 무한소 변환을 $N$ 번 거듭한 극한이다:

$$\hat U(a)=\lim_{N\to\infty}\Bigl(1-\frac{i}{\hbar}\frac{a}{N}\hat G\Bigr)^{N} =\exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar}a\hat G\Bigr)$$

에르미트의 지수함수라 자동으로 유니터리이고, $\hat U(a)\hat U(b)=\hat U(a+b)$, $\hat U(a)^{-1}=\hat U(-a)$ 를 만족한다. 대칭 조건도 무한소로 내려간다: $[\hat H,\hat U(\epsilon)]=0$ 을 1차에서 읽으면

$$[\hat H,\hat G]=0$$

이다. 연속 대칭 ⇔ 생성원이 해밀토니안과 교환 — 2절에서 이 교환 관계가 곧 보존 법칙임을 본다.

주의

$\hat U$ 는 관측량이 아니다. 유니터리 연산자는 대개 에르미트가 아니므로 ”$\hat U$ 를 잰다”는 말은 뜻이 없다. 잴 수 있는 것은 생성원 $\hat G$ 다. 예외가 패리티 $\hat\Pi$ 처럼 $\hat U^2=1$ 인 경우다 — 그때는 $\hat U^\dagger=\hat U^{-1}=\hat U$ 라 에르미트이자 유니터리이고, 고유값 $\pm1$ 을 잴 수 있다(4절). 병진 $\hat T(a)$ 는 그렇지 않다: 고유값이 $e^{-ika}$ 라 실수가 아니고, 잴 수 있는 것은 $k$ 뿐이다(8절).

두 지수함수의 부호. $\hat U=e^{-ia\hat G/\hbar}$ 의 부호는 관습이다. Griffiths·Sakurai 는 이렇게 쓰고, 그래서 $\hat T(a)=e^{-ia\hat p/\hbar}$, $\hat U(t)=e^{-i\hat Ht/\hbar}$ 로 둘의 꼴이 같다. 부호를 반대로 잡는 책도 있으니 다른 책의 식을 옮길 때는 능동·수동과 이 부호를 함께 확인한다.

이산 변환과 군

패리티, 격자 병진, 시간 반전에는 “조금만” 변환하는 것이 없다. 무한소가 없으니 생성원도 없고, 위의 논리 가운데 "$[\hat H,\hat G]=0$" 부분이 통째로 빠진다. 남는 것은 $[\hat H,\hat U]=0$ 자체이고, 보존되는 것은 $\hat U$ 의 고유값 — 패리티의 $\pm1$, 격자 병진의 $e^{-ika}$ — 이다.

연속이든 이산이든, 대칭 변환들은 합성에 대해 닫혀 있고(두 회전의 합성은 회전) 역이 있고 항등이 있다. 즉 군을 이룬다. 병진끼리는 순서를 바꿔도 같아(가환군) 세 방향 운동량이 동시에 보존되고, 회전끼리는 순서에 따라 결과가 달라(비가환군) 각운동량의 한 성분만 좋은 양자수가 된다(5절). 대칭이 만드는 축퇴의 크기가 군의 기약 표현의 차원이라는 것(6절)까지가 이 장의 범위이고, 표현론 자체는 1.13 에서 다룬다.

의문

의문 — 대칭이 “많다”는 건 좋은 건가. 대칭이 클수록 보존량이 많고 축퇴가 크고 선택 규칙이 엄격하다. 계산은 쉬워지지만 물리는 단조로워진다 — 자유 입자는 대칭이 가장 크고(모든 병진·회전) 그래서 아무 일도 일어나지 않는다. 반도체 소자는 대칭을 골라서 깨는 물건이다. 결정은 연속 병진을 이산 병진으로 깨서 밴드 갭을 만들고(8절), 헤테로 접합은 한 방향 병진을 깨서 서브밴드를 만들고, 변형은 입방 대칭을 깨서 밸리를 가르고(6절), 반전 비대칭은 스핀을 가른다(9절). 이 장을 “무엇이 보존되는가”로 읽어도 되지만, 소자 쪽에서는 “무엇을 깨면 무엇이 갈라지는가”로 읽는 편이 쓸모가 있다.

병진 연산자와 운동량 보존

병진 연산자는 운동량의 지수함수다

1차원에서 계를 $a$ 만큼 옮기는 병진 연산자 $\hat T(a)$ 를 1절의 능동 관점으로 정의한다:

$$\hat T(a)\psi(x)=\psi(x-a)$$

이것이 어떤 연산자인지는 테일러 전개(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)가 알려 준다:

$$\psi(x-a)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)^n}{n!}\frac{d^n\psi}{dx^n} =\exp\Bigl(-a\frac{d}{dx}\Bigr)\psi(x)$$

지수 안의 미분 연산자 $d/dx$ 를 운동량 연산자 $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ (5.2.4운동량과 기댓값)로 바꿔 쓰면 $d/dx=i\hat p/\hbar$ 이고,

$$\hat T(a)=\exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar}a\hat p\Bigr)$$

이다. 1절의 $\hat U(a)=e^{-ia\hat G/\hbar}$ 와 나란히 놓으면 운동량이 공간 병진의 생성원이다. $\hat p$ 가 에르미트이므로 $\hat T(a)$ 는 유니터리이고, $\hat T(a)^\dagger=\hat T(-a)=\hat T(a)^{-1}$, $\hat T(a)\hat T(b)=\hat T(a+b)$ 가 지수함수 성질로 바로 따라온다.

$\hat T(a)$ 의 고유함수는 무엇인가. $\hat p$ 의 고유함수 $e^{ikx}$ 가 그대로 고유함수다:

$$\hat T(a)\,e^{ikx}=e^{ik(x-a)}=e^{-ika}\,e^{ikx}$$

고유값 $e^{-ika}$ 는 절댓값 1인 복소수 — 1절 ②의 성질 — 이고, 평면파를 옮기는 것은 위상을 돌리는 것뿐이다. 5.3.4 의 자유 입자 정상 상태(5.3.4자유 입자와 파속)가 “옮겨도 같은 상태”였던 이유다.

직관

수학적 직관 — 왜 하필 지수함수인가. $\psi(x-a)$ 를 ”$a$ 를 $N$ 등분해 $\epsilon=a/N$ 씩 $N$ 번 옮긴 것”으로 보면, 한 번의 무한소 이동은 $\psi(x-\epsilon)\approx\psi-\epsilon\psi'=(1-\epsilon\,d/dx)\psi$ 이고 이것을 $N$ 번 거듭한 극한이 $(1-\epsilon\,d/dx)^N\to e^{-a\,d/dx}$ 다. 1절의 생성원 논리를 $d/dx$ 하나로 실행한 것이다. 지수함수가 나오는 이유는 “같은 조작을 거듭한다”는 사실 자체에 있다 — 1.4 에서 상수 계수 선형 ODE 의 해가 지수함수였던 것과 같은 이유다.

공간적 직관. 위치 공간에서는 그래프가 통째로 오른쪽으로 $a$ 만큼 간다. 운동량 공간에서는 아무것도 움직이지 않고 위상만 $-pa/\hbar$ 의 직선으로 기운다 — $\tilde\psi'(p)=e^{-ipa/\hbar}\tilde\psi(p)$. “위치의 이동 ⇔ 운동량 공간의 선형 위상”은 푸리에 변환의 이동 정리이고(1.10.4), $\hat T(a)$ 가 $\hat p$ 의 함수라는 말을 그림으로 옮긴 것이 아래 그림이다.

그림 5.7-2. 병진 연산자의 두 얼굴. 왼쪽: 파속 ψ(x)를 T̂(a)로 옮기면 그래프가 오른쪽으로 a만큼 간다 — ψ(x − a)의 '−'는 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 옮긴 결과다. 오른쪽: 같은 두 상태를 운동량 표현으로 보면 |φ(p)|는 하나도 바뀌지 않고(위, 두 곡선이 겹친다) 위상만 기울기 −a/ħ의 직선으로 기운다(아래). 위치의 이동이 운동량 공간에서는 선형 위상이라서 T̂(a) = exp(−i a p̂/ħ)다.직접 작도

연산자가 어떻게 옮겨지는가 — 위치는 밀리고 운동량은 그대로

1절의 규칙 $\hat Q'=\hat U^\dagger\hat Q\hat U$ 를 $\hat T(a)$ 에 적용한다. 위치 연산자부터:

$$\begin{aligned} \hat T(a)^\dagger\,\hat x\,\hat T(a)\,\psi(x) &=\hat T(-a)\bigl[x\,\psi(x-a)\bigr]\\ &=(x+a)\,\psi(x) \end{aligned}$$

둘째 줄에서 $\hat T(-a)$ 는 인수를 $x\to x+a$ 로 바꾸므로 $x\psi(x-a)$ 의 $x$ 도, $\psi$ 의 인수도 함께 밀린다. 따라서

$$\hat T(a)^\dagger\,\hat x\,\hat T(a)=\hat x+a, \qquad \hat T(a)^\dagger\,\hat p\,\hat T(a)=\hat p$$

둘째 식은 $\hat T$ 가 $\hat p$ 의 함수라 $\hat p$ 와 교환하기 때문이다. 기댓값으로 읽으면 $\langle x\rangle'=\langle x\rangle+a$, $\langle p\rangle'=\langle p\rangle$ — 옮겨 놓은 계는 위치만 $a$ 만큼 다르고 운동량은 같다. 당연한 말을 연산자로 확인한 것인데, 이 당연함이 다음 단락에서 대칭 조건이 된다. 위치의 함수도 같은 규칙을 따른다:

$$\hat T(a)^\dagger\,V(\hat x)\,\hat T(a)=V(\hat x+a)$$

직관

수식적 직관 — $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ 의 뜻. 무한소 병진 $\hat T(\epsilon)=1-i\epsilon\hat p/\hbar$ 로 위 식을 1차까지 전개하면

$$\hat T(\epsilon)^\dagger\hat x\hat T(\epsilon) =\hat x+\frac{i\epsilon}{\hbar}[\hat p,\hat x]+O(\epsilon^2) =\hat x+\epsilon$$

이다. 마지막 등호에 $[\hat p,\hat x]=-i\hbar$ 가 들어갔다. 즉 정준 교환 관계 $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ 는 ”$\hat p$ 가 만드는 무한소 병진이 $\hat x$ 를 정확히 $\epsilon$ 만큼 민다”는 문장이다. 5.2 에서 $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ 로 놓고 교환 관계를 계산해 얻었던 것을, 이 장은 거꾸로 “운동량이란 병진의 생성원이다”로 정의한 뒤 교환 관계를 결과로 얻는다. Sakurai 가 택한 순서가 이쪽이다.

병진 불변과 운동량 보존

해밀토니안 $\hat H=\hat p^2/2m+V(\hat x)$ 가 병진 아래 불변이려면

$$\hat T(a)^\dagger\hat H\hat T(a)=\frac{\hat p^2}{2m}+V(\hat x+a)=\hat H \qquad\Longleftrightarrow\qquad V(x+a)=V(x)$$

이어야 한다. 모든 $a$ 에 대해 성립하려면 $V$ 는 상수 — 자유 입자 — 이고, 그때 무한소 조건은 $[\hat H,\hat p]=0$ 이다. 실제로 $[\hat p,V(\hat x)]=-i\hbar V'(\hat x)$ 이므로 $V'=0$ 과 같은 말이다. 특정한 $a$ 에 대해서만 성립하는 경우 — 결정 — 는 8절이다.

$[\hat H,\hat p]=0$ 이 왜 보존인가. 5.4 의 일반화된 에렌페스트 정리(5.4.6불확정성 원리의 일반화)

$$\frac{d}{dt}\langle Q\rangle =\frac{i}{\hbar}\bigl\langle[\hat H,\hat Q]\bigr\rangle+\Bigl\langle\frac{\partial\hat Q}{\partial t}\Bigr\rangle$$

에 넣으면 기댓값 $\langle p\rangle$ 가 상수다. 그런데 보존은 이보다 세다. $[\hat H,\hat Q]=0$ 이면 두 연산자의 공통 고유상태 $|n\rangle$ 이 있어(양립 관측량, 5.4.6) 임의의 상태를 $\Psi(0)=\sum_n c_n|n\rangle$ 으로 펼칠 수 있고, 시간 전개는 위상만 붙인다:

$$\Psi(t)=\sum_n c_n\,e^{-iE_nt/\hbar}\,|n\rangle$$

$\hat Q$ 의 고유값 $q_n$ 을 얻을 확률 $|c_n|^2$ 이 시간과 무관하다. 기댓값만이 아니라 분포 전체가 보존된다 — 이것이 양자역학의 보존 법칙이다. 값 자체가 정해져 있다는 뜻이 아니다. 운동량이 퍼져 있는 파속은 퍼진 채로 보존된다.

이 논리는 $\hat Q$ 가 무엇이든 성립하므로 뒤의 절들이 그대로 쓴다: 3절의 $\hat H$ 자신, 4절의 $\hat\Pi$, 5절의 $\hat L_z$, $\hat L^2$. 조건은 언제나 하나 — $[\hat H,\hat Q]=0$ 이고 $\hat Q$ 에 $t$ 가 명시적으로 없을 것.

3차원과 두 입자계

3차원 병진은 $\hat T(\mathbf a)=\exp(-i\mathbf a\cdot\hat{\mathbf p}/\hbar)$ 이고, $\hat p_x,\hat p_y,\hat p_z$ 가 서로 교환하므로 $\hat T(\mathbf a)\hat T(\mathbf b)=\hat T(\mathbf a+\mathbf b)$ — 순서가 없다. 그래서 세 성분이 동시에 보존되고 동시에 정해진 값을 가질 수 있다. 5절의 회전이 이렇지 않다는 것이 각운동량과 운동량의 결정적 차이다.

입자가 둘이면 $\hat H=\hat p_1^2/2m_1+\hat p_2^2/2m_2+V(\hat x_1-\hat x_2)$ 에서 상호작용은 상대 좌표에만 걸린다. 두 입자를 함께 옮기는 변환의 생성원은 총운동량 $\hat P=\hat p_1+\hat p_2$ 이고 $[\hat H,\hat P]=0$ — 총운동량이 보존된다. 한쪽만 옮기는 것은 대칭이 아니고, 그래서 $\hat p_1$ 하나는 보존되지 않는다. 3.1.4 의 충돌에서 총운동량만 보존되던 것(3.1.4운동량과 충돌)의 양자판이다. 7.11 의 엑시톤에서 전자–정공 쌍의 질량 중심 파수 $\mathbf K$ 만 좋은 양자수인 이유가 이것이다.

병진 선택 규칙 — 운동량은 어디로 가는가

대칭이 주는 셋째 결과를 여기서 처음 본다. 운동량 $\hbar q$ 를 실어 나르는 연산자 — 파수 $q$ 의 광자·포논과의 결합은 $e^{iqx}$ 를 담는다 — 를 운동량 고유상태 사이에 끼우면

$$\langle p'|\,e^{iq\hat x}\,|p\rangle=\delta\bigl(p'-p-\hbar q\bigr)$$

이다. $e^{iqx}$ 는 운동량 표현에서 $\hbar q$ 만큼 미는 병진 연산자이기 때문이다(위치와 운동량의 역할을 바꾼 이동 정리). 행렬 요소가 0이 아니려면 $p'=p+\hbar q$ — 운동량 보존이 곧 선택 규칙이다. 결정에서는 이 규칙이 “역격자 벡터만큼 어긋나도 된다”로 바뀐다(8절).

직관

물리적 직관 — 반도체에서 병진 대칭을 깨는 방법. 균일한 벌크 반도체(유효질량 근사 안에서)는 세 방향 병진 대칭이 있어 $\mathbf k$ 세 성분이 전부 좋은 양자수다. 헤테로 접합·양자우물은 $z$ 방향 병진만 깬다 — 그래서 $k_z$ 는 사라지고 서브밴드 번호 $n$ 이 대신 들어오며, 면 내 $\mathbf k_\parallel$ 은 그대로 보존된다. 이것이 2차원 전자 기체이고, 장벽을 뚫는 터널링에서 $\mathbf k_\parallel$ 이 보존되는 이유이며(14·15부), 양자우물 사이 공명 터널링 다이오드의 봉우리가 나오는 이유다. 나노선은 두 방향을, 양자점은 세 방향을 전부 깬다 — 보존되는 $k$ 가 하나씩 줄고 그 자리에 양자수가 하나씩 들어온다(10부).

시간 병진과 에너지 보존

해밀토니안은 시간 병진의 생성원이다

시간에 명시적으로 의존하지 않는 $\hat H$ 에 대해 슈뢰딩거 방정식 $i\hbar\,\partial_t\Psi=\hat H\Psi$ 의 해는 5.2.7 에서 본 대로(5.2.7시간 전개와 중첩)

$$\Psi(t)=\hat U(t)\,\Psi(0), \qquad \hat U(t)=\exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar}\hat Ht\Bigr)$$

이다. 2절의 $\hat T(a)=e^{-ia\hat p/\hbar}$ 와 같은 꼴이고 $\hat p\to\hat H$, $a\to t$ 로 바뀌었을 뿐이다. 해밀토니안은 시간 병진의 생성원이다. $\hat H$ 가 에르미트라 $\hat U(t)$ 는 유니터리이고 — 규격화가 시간에 따라 보존되는 이유(5.2.3) — $\hat U(t_1)\hat U(t_2)=\hat U(t_1+t_2)$, $\hat U(t)^{-1}=\hat U(-t)$ 다.

정상 상태는 $\hat U(t)$ 의 고유상태다:

$$\hat U(t)|n\rangle=e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$$

시간 병진이 위상만 돌린다 — 2절에서 평면파에 $\hat T(a)$ 가 위상 $e^{-ika}$ 만 붙였던 것과 정확히 같은 구조다. 평면파 $e^{i(kx-\omega t)}$ 하나에 두 병진을 걸면 $e^{-ika}$ 와 $e^{-i\omega t}$ 가 나오고, $\hbar k=p$, $\hbar\omega=E$ 다. 위치–운동량과 시간–에너지가 같은 자격의 짝이라는 것이 두 지수함수의 같은 모양에 들어 있다.

주의

부호 하나. $\hat T(a)=e^{-ia\hat p/\hbar}$ 는 $\psi(x)\to\psi(x-a)$ 로 인수에서 $a$ 를 빼고, $\hat U(t)=e^{-i\hat Ht/\hbar}$ 는 $\Psi(0)\to\Psi(t)$ 로 시간을 앞으로 보낸다. 같은 꼴인데 한쪽은 “빼기”로 읽히고 한쪽은 “더하기”로 읽히는 것은, 평면파의 위상이 $kx-\omega t$ 로 $x$ 와 $t$ 의 부호가 반대이기 때문이다(3.2.5). 이 부호 차이는 물리다 — 오른쪽으로 가는 파동은 $x$ 가 늘 때와 $t$ 가 줄 때 같은 위상을 본다. 그래서 $(x,t)$ 의 짝은 $(p,-E)$ 이고, 상대론에서 이 둘이 4-벡터의 내적으로 묶인다. 전기공학의 $e^{j(\omega t-kx)}$ 는 전체 부호가 반대일 뿐 같은 물리다(1.9.1).

하이젠베르크 그림

1절의 규칙 $\hat Q'=\hat U^\dagger\hat Q\hat U$ 를 시간 전개에 적용하면 시간 의존성을 상태에서 연산자로 옮길 수 있다:

$$\langle Q\rangle(t)=\langle\Psi(t)|\hat Q|\Psi(t)\rangle =\langle\Psi(0)|\,\hat U(t)^\dagger\hat Q\,\hat U(t)\,|\Psi(0)\rangle$$

이므로

$$\hat Q_H(t)\equiv\hat U(t)^\dagger\,\hat Q\,\hat U(t)$$

로 정의하면 상태는 $\Psi(0)$ 에 멈춰 있고 연산자가 움직인다. 이것이 하이젠베르크 그림이고, 상태가 움직이는 원래 방식이 슈뢰딩거 그림이다. 두 그림은 같은 기댓값을 주므로 물리는 하나다. $\hat Q_H$ 의 운동 방정식은 $d\hat U/dt=-i\hat H\hat U/\hbar$ 로 미분해서 얻는다:

$$\frac{d\hat Q_H}{dt} =\frac{i}{\hbar}\bigl[\hat H,\hat Q_H\bigr] +\Bigl(\frac{\partial\hat Q}{\partial t}\Bigr)_H$$

이것이 하이젠베르크 운동 방정식이다. 기댓값을 취하면 2절의 일반화된 에렌페스트 정리가 되고, 거꾸로 말하면 에렌페스트 정리는 하이젠베르크 방정식의 기댓값이다. $\hat H$ 는 $\hat U(t)$ 와 교환하므로 $\hat H_H=\hat H$ — 해밀토니안은 두 그림에서 같다.

예 두 개. 자유 입자 $\hat H=\hat p^2/2m$ 에서 $[\hat H,\hat x]=-i\hbar\hat p/m$, $[\hat H,\hat p]=0$ 이므로

$$\frac{d\hat x_H}{dt}=\frac{\hat p_H}{m}, \qquad \frac{d\hat p_H}{dt}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \hat x_H(t)=\hat x+\frac{\hat p}{m}t$$

조화진동자 $\hat H=\hat p^2/2m+\tfrac12m\omega^2\hat x^2$ 에서는

$$\hat x_H(t)=\hat x\cos\omega t+\frac{\hat p}{m\omega}\sin\omega t, \qquad \hat p_H(t)=\hat p\cos\omega t-m\omega\hat x\sin\omega t$$

고전 역학의 해와 글자 그대로 같은 꼴이다 — 다만 $\hat x,\hat p$ 가 연산자라 초기 조건이 “값”이 아니라 “상태”로 들어온다. 3.1.8 의 해밀턴 운동 방정식과 푸아송 괄호(3.1.8라그랑지안과 해밀토니안)에서 괄호를 $[\ ,\ ]/i\hbar$ 로 바꾼 것이 하이젠베르크 방정식이라는 것을 이 두 예가 보여 준다.

직관

물리적 직관 — 두 그림은 어디에 쓰는가. 슈뢰딩거 그림은 파동함수의 모양을 보고 싶을 때 — 터널링, 파속의 퍼짐, 간섭 — 자연스럽다. 하이젠베르크 그림은 고전 역학과 나란히 놓고 싶을 때, 그리고 연산자의 상관 함수 $\langle\hat Q(t)\hat Q(0)\rangle$ 를 다룰 때 자연스럽다. 선형 응답 이론과 요동–소산 정리(7.12·10부), 잡음 스펙트럼(19부의 $1/f$ 잡음, 22부의 열잡음)은 전부 하이젠베르크 그림의 시간 상관 함수로 쓰인다. 반도체 수송에서 “전류 연산자의 시간 상관”이라는 말을 만나면 그것이 $\hat J_H(t)$ 다.

시간 병진 불변 ⇔ 에너지 보존

$\hat H$ 에 시간이 명시적으로 없으면 $\hat U(t)$ 는 경과 시간에만 의존하고, 실험을 언제 시작하든 같은 결과가 나온다 — 시간 병진 불변이다. 그리고 $\hat H$ 는 자기 자신과 교환하므로 2절의 보존 정리가 자동으로 걸린다:

$$\frac{d}{dt}\langle H\rangle=\Bigl\langle\frac{\partial\hat H}{\partial t}\Bigr\rangle=0$$

에너지 분포 $|c_n|^2$ 전체가 보존된다. 정상 상태의 중첩은 각 성분의 위상이 제 속도로 돌 뿐 성분의 크기는 변하지 않는다(5.2.7).

$\hat H(t)$ 처럼 시간이 명시적으로 들어오면 어떻게 되는가. 먼저 $\hat U(t)$ 가 더 이상 단순한 지수함수가 아니다 — 서로 다른 시각의 $\hat H(t_1),\hat H(t_2)$ 가 교환하지 않아 시간 순서를 지킨 곱(시간 순서 지수)이 되고, 5.9 의 시간 의존 섭동론이 그것을 차수별로 푼다. 그리고 에너지는 보존되지 않는다. 진동하는 전기장 $\mathbf E_0\cos\omega t$ 를 받는 전자는 에너지를 $\hbar\omega$ 단위로 얻거나 잃는다 — 흡수와 방출(5.9.3). 시간 병진 대칭이 깨졌으니 에너지가 보존되지 않는 것이고, 대칭이 ”$T=2\pi/\omega$ 마다”로만 남았으니 $\hbar\omega$ 단위로만 바뀌는 것이다. 8절의 격자 병진과 정확히 같은 구조다: 공간 주기 $a$ 는 운동량을 $2\pi\hbar/a$ 단위로, 시간 주기 $T$ 는 에너지를 $2\pi\hbar/T$ 단위로 어긋나게 한다(플로케 정리).

직관

파라미터 연계성 — 탄성과 비탄성. 소자 안의 전자에게 “에너지 보존”은 어느 해밀토니안을 잡느냐에 달린 말이다. 정적인 불순물 퍼텐셜은 시간에 무관하므로 전자의 에너지를 보존한다 — 탄성 산란이고, 운동량 방향만 바꾼다(11.2.2). 포논은 격자의 진동이라 전자 하나의 해밀토니안에서는 시간 의존 퍼텐셜로 보이고, 전자의 에너지는 $\hbar\omega_q$ 만큼 바뀐다 — 비탄성 산란이다. 전자+격자 전체의 해밀토니안은 시간에 무관하므로 전체 에너지는 보존된다. “보존되지 않는다”는 말은 언제나 “계를 어디서 잘랐는가”에 대한 말이다. 같은 이유로 DC 바이어스가 걸린 소자는 시간 병진 불변이라 정상 상태 전류가 있고, RF 바이어스는 그 대칭을 $T$ 마다로 낮춰 광자 보조 터널링·정류 같은 주파수 혼합을 만든다(22부).

패리티

1차원 — 거울에 비추기

패리티 연산자 $\hat\Pi$ 는 공간을 뒤집는다:

$$\hat\Pi\,\psi(x)=\psi(-x)$$

두 번 뒤집으면 제자리이므로 $\hat\Pi^2=1$ 이고, 따라서 고유값은 $\pm1$ 뿐이다: $\hat\Pi\psi=\psi$ 인 짝함수(패리티 $+1$)와 $\hat\Pi\psi=-\psi$ 인 홀함수(패리티 $-1$). $\hat\Pi$ 는 에르미트다 — $\langle\phi|\hat\Pi\psi\rangle=\int\phi^{*}(x)\psi(-x)\,dx$ 에서 $x\to-x$ 로 치환하면 $\int\phi^{*}(-x)\psi(x)\,dx=\langle\hat\Pi\phi|\psi\rangle$ — 그리고 $\hat\Pi^{-1}=\hat\Pi=\hat\Pi^\dagger$ 라 유니터리이기도 하다. 1절의 주의에서 말한, 관측량이면서 대칭 변환인 예외가 이것이다.

아무 함수나 짝·홀 부분으로 갈라진다:

$$\psi=\psi_{\mathrm e}+\psi_{\mathrm o}, \qquad \psi_{\mathrm e}=\frac{1+\hat\Pi}{2}\psi, \qquad \psi_{\mathrm o}=\frac{1-\hat\Pi}{2}\psi$$

$(1\pm\hat\Pi)/2$ 는 사영 연산자다. 연산자는 1절의 규칙대로 변한다:

$$\hat\Pi^\dagger\hat x\hat\Pi=-\hat x, \qquad \hat\Pi^\dagger\hat p\hat\Pi=-\hat p$$

위치가 뒤집히면 속도도 뒤집히니 운동량도 뒤집힌다. 해밀토니안 $\hat p^2/2m+V(\hat x)$ 는 $V(-x)=V(x)$ 일 때 불변이다: $[\hat H,\hat\Pi]=0$.

대칭 퍼텐셜의 속박 상태는 짝이거나 홀이다

$[\hat H,\hat\Pi]=0$ 이면 공통 고유함수를 잡을 수 있다 — 에너지 고유함수를 짝·홀로 고를 수 있다는 말이다. 1차원 속박 상태는 축퇴가 없으므로(5.3) 선택의 여지 없이 모든 속박 상태가 짝이거나 홀이다. 6절의 논리로 말하면 $\hat\Pi\psi$ 는 같은 에너지의 고유함수인데 축퇴가 없으니 $\hat\Pi\psi=c\psi$, $c=\pm1$ 이다.

앞 장의 결과가 이 한 줄로 설명된다. 조화진동자의 $\psi_n$ 은 패리티 $(-1)^n$ 이다 — 에르미트 다항식 $H_n$ 이 $n$ 의 홀짝을 따르기 때문인데(5.3.3), 이제는 “대칭 퍼텐셜이라 그럴 수밖에 없다”가 먼저이고 $H_n$ 의 성질은 그 결과다. 원점을 우물 가운데 둔 무한 우물(5.3.1무한 우물)의 고유함수는 $\cos$ 과 $\sin$ 이 번갈아 나오고, 유한 우물(5.3.6유한 우물)을 풀 때 짝·홀 해를 따로 놓고 초월 방정식을 두 벌 세웠던 것이 바로 이 사영이었다. 패리티가 번갈아 나오는 것은 마디 수와 묶여 있다 — $n$ 번째 들뜬 상태는 마디가 $n$ 개이고(1.6 의 진동 정리), 마디가 홀수 개이면 원점을 지나야 하므로 홀함수다.

그림 5.7-3. 패리티의 두 얼굴. 왼쪽: 조화진동자의 ψ₀, ψ₁, ψ₂. x = 0의 거울에 대해 ψ₀·ψ₂는 대칭(짝, +1), ψ₁은 반대칭(홀, −1)이고, 마디 수 n의 홀짝이 패리티 (−1)ⁿ을 정한다. 대칭 퍼텐셜의 비축퇴 속박 상태는 이 둘 중 하나일 수밖에 없다. 오른쪽: 3차원 반전 r → −r. 위치 r과 운동량 p는 원점 반대편으로 뒤집히지만 각운동량 L = r × p는 (−r) × (−p) = L로 그대로다 — 벡터와 유사벡터의 차이이고, 반전은 행렬식이 −1이라 회전이 아니다.직접 작도

패리티는 보존된다. $[\hat H,\hat\Pi]=0$ 이면 $\hat U(t)$ 도 $\hat\Pi$ 와 교환하므로 짝함수로 출발한 상태는 영원히 짝함수다. 2절의 정리에서 $\hat Q=\hat\Pi$ 로 놓으면 ”$+1$ 을 얻을 확률”이 보존된다. 생성원이 없으니 “패리티 전류” 같은 것은 없고, 보존되는 것은 곱셈 양자수 $\pm1$ 이다 — 두 부분계의 패리티는 곱이 된다.

3차원 — 반전은 회전이 아니다

3차원에서 $\hat\Pi\psi(\mathbf r)=\psi(-\mathbf r)$ 은 원점에 대한 반전이다. 2차원에서 $(x,y)\to(-x,-y)$ 는 $180^\circ$ 회전이라 새로운 것이 아니지만, 3차원에서 $\mathbf r\to-\mathbf r$ 은 행렬식이 $-1$ 이라 어떤 회전으로도 만들 수 없다(1.3.3대칭·반대칭·직교 행렬). 거울 반사 하나와 그 거울면에 수직한 축의 $180^\circ$ 회전을 합친 것과 같다. 그래서 회전 대칭(5절)이 있어도 반전 대칭은 따로 물어야 한다 — 이 구분이 결정에서 결정적이다.

반전 아래 벡터가 전부 부호를 바꾸는 것은 아니다:

$$\hat\Pi^\dagger\hat{\mathbf r}\hat\Pi=-\hat{\mathbf r}, \qquad \hat\Pi^\dagger\hat{\mathbf p}\hat\Pi=-\hat{\mathbf p}, \qquad \hat\Pi^\dagger\hat{\mathbf L}\hat\Pi=+\hat{\mathbf L}$$

$\hat{\mathbf L}=\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}$ 는 두 부호가 곱해져 그대로다. 부호를 바꾸는 것이 극성 벡터($\mathbf r,\mathbf p,\mathbf E$), 안 바꾸는 것이 축성 벡터·유사벡터($\mathbf L,\mathbf S,\mathbf B$)다 (1.13.3). 자기장이 유사벡터인 것은 $\mathbf B=\nabla\times\mathbf A$ 에서 미분과 $\mathbf A$ 가 둘 다 뒤집히기 때문이다(2.4.5).

$[\hat\Pi,\hat{\mathbf L}]=0$ 이므로 각운동량 고유상태에 패리티를 붙일 수 있다. 실제로 $\mathbf r\to-\mathbf r$ 은 구면좌표로 $\theta\to\pi-\theta$, $\phi\to\phi+\pi$ 이고, 구면조화함수 (5.5.3구면조화함수)는

$$\hat\Pi\,Y_\ell^m(\theta,\phi)=Y_\ell^m(\pi-\theta,\phi+\pi)=(-1)^\ell\,Y_\ell^m(\theta,\phi)$$

이다 — 버금 르장드르 함수가 $P_\ell^m(-\cos\theta)=(-1)^{\ell+m}P_\ell^m(\cos\theta)$, 방위각 인자가 $e^{im(\phi+\pi)}=(-1)^me^{im\phi}$ 를 주어 곱하면 $(-1)^\ell$ 이다. 중심력 퍼텐셜은 $V(r)$ 이 반전에 불변이므로 수소 원자의 모든 상태는 패리티 $(-1)^\ell$ 을 가진다: $s$ 는 짝, $p$ 는 홀, $d$ 는 짝.

패리티 선택 규칙

선택 규칙의 첫 예다. 연산자 $\hat O$ 가 반전 아래 홀이라 하자 — $\hat\Pi^\dagger\hat O\hat\Pi=-\hat O$, $\hat{\mathbf r}$ 과 $\hat{\mathbf p}$ 가 그렇다. 패리티가 정해진 두 상태 $\hat\Pi\psi=\pi\psi$, $\hat\Pi\psi'=\pi'\psi'$ 사이의 행렬 요소는

$$\begin{aligned} \langle\psi'|\hat O|\psi\rangle &=\langle\psi'|\hat\Pi^\dagger\hat\Pi\,\hat O\,\hat\Pi^\dagger\hat\Pi|\psi\rangle\\ &=\pi'\pi\,\langle\psi'|\hat\Pi\hat O\hat\Pi^\dagger|\psi\rangle =-\pi'\pi\,\langle\psi'|\hat O|\psi\rangle \end{aligned}$$

이므로 $(1+\pi\pi')\langle\psi'|\hat O|\psi\rangle=0$ — 패리티가 같으면 행렬 요소가 0이다. 홀 연산자는 패리티를 바꾸는 상태끼리만 잇는다. 짝 연산자($\hat x^2$, $\hat H$, $\hat{\mathbf L}$)는 반대로 같은 패리티끼리만 잇는다.

따라오는 것 두 가지. ① 전기 쌍극자 연산자 $-e\hat{\mathbf r}$ 은 홀이므로 수소 원자에서 $\Delta\ell$ 이 홀수인 천이만 허용된다(라포르테 규칙). 7절의 회전 규칙과 합치면 $\Delta\ell=\pm1$ 이 된다. ② 패리티가 정해진 상태는 영구 전기 쌍극자 모멘트가 없다 — $\langle\psi|\hat{\mathbf r}|\psi\rangle=0$. 수소 바닥 상태가 그렇고, 그래서 1차 슈타르크 효과가 없다. $n=2$ 는 다르다: $2s$(짝)와 $2p$(홀)가 축퇴해 있어 전기장이 둘을 섞은 상태 — 패리티가 정해지지 않은 상태 — 를 만들 수 있고, 거기서 선형 슈타르크 분리가 나온다(5.8.2). 축퇴가 있어야 대칭을 “공짜로” 깰 수 있다는 6절의 논리다.

직관

물리적 직관 — 반전 중심이 있는 결정과 없는 결정. Si·Ge 의 다이아몬드 구조에는 반전 중심이 있다 — 원자 위가 아니라 두 원자 사이 결합의 중간점이다. GaAs 의 섬아연광은 두 원자가 다르니 그 점이 반전 중심이 아니고, GaN·ZnO 의 우르차이트도 없다(7.1.7). 이 차이가 소자 성질의 목록을 가른다.

• 압전성·자발 분극. 변형 $\varepsilon$(짝)에 비례하는 분극 $\mathbf P$(홀)는 반전 대칭 결정에서 0이어야 한다. Si 는 압전성이 없고, AlGaN/GaN 은 압전·자발 분극으로 도핑 없이 계면에 2차원 전자 기체를 만든다(17부 전력 소자).
• 2차 비선형 광학과 포켈스 효과. $P^{(2)}=\chi^{(2)}E^2$ 에서 $E^2$ 은 짝, $P$ 는 홀 — 반전 대칭이면 $\chi^{(2)}=0$. Si 에는 2차 조화파 발생도, 선형 전기광학(포켈스) 효과도 없다. 그래서 Si 광변조기는 자유 캐리어 플라스마 분산을 쓰고, 빠른 변조기는 LiNbO$_3$ 나 III–V 를 쓴다.
• 밴드의 패리티. 반전 대칭 결정에서 $\Gamma$ 점의 블로흐 상태는 패리티가 정해져 있다. Si·Ge 의 가전자대 꼭대기($\Gamma_{25'}$)는 결합성 $p$ 조합이라 짝이고 — 원자 $p$ 궤도는 홀이지만 반전 중심이 결합 중간에 있어 결합 조합은 짝이 된다 — 전도대 $\Gamma_{15}$, $\Gamma_{2'}$ 는 홀이다. 그 사이 쌍극자 천이는 허용이다. GaAs 에는 이 라벨이 없고, 대신 9절의 스핀 분리가 생긴다.
• 양자우물 서브밴드. 대칭 우물의 포락 함수는 $n$ 에 따라 짝·홀이 번갈아 나오므로 서브밴드 간 쌍극자 천이 $\langle n'|\hat z|n\rangle$ 은 $n'-n$ 이 홀수일 때만 0이 아니다(17.1.6 의 QWIP).

회전 대칭과 각운동량

z축 회전은 방위각의 병진이다

계를 $z$ 축 둘레로 $\varphi$ 만큼(반시계) 돌리는 회전 연산자는, 능동 관점에서 방위각을 민다:

$$\hat R_z(\varphi)\,\psi(r,\theta,\phi)=\psi(r,\theta,\phi-\varphi)$$

2절과 똑같은 테일러 전개를 $\phi$ 에 대해 하면

$$\hat R_z(\varphi)=\exp\Bigl(-\varphi\frac{\partial}{\partial\phi}\Bigr) =\exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar}\varphi\hat L_z\Bigr)$$

이다 — $\hat L_z=-i\hbar\,\partial/\partial\phi$ (5.5.2각운동량 연산자와 사다리 연산자)이기 때문이다. 각운동량의 $z$ 성분이 $z$ 축 회전의 생성원이다. 고유함수는 $e^{im\phi}$, 고유값은 $e^{-im\varphi}$ 다:

$$\hat R_z(\varphi)\,e^{im\phi}=e^{im(\phi-\varphi)}=e^{-im\varphi}\,e^{im\phi}$$

$2\pi$ 돌리면 제자리여야 하므로 $e^{-2\pi im}=1$, $m$ 은 정수다. 5.5.3 에서 파동함수의 일가성으로 얻었던 조건이 회전 연산자의 언어로는 "$\hat R_z(2\pi)=1$" 이다. 스핀은 이 조건을 깬다 — $\hat R_z(\varphi)=e^{-i\varphi\hat S_z/\hbar}$ 에 $S_z=\pm\hbar/2$ 를 넣으면 $\hat R_z(2\pi)=-1$ 이다. 스피너는 한 바퀴 돌면 부호가 뒤집히고 두 바퀴 돌아야 제자리다(5.6.1). 파동함수의 일가성이 스핀에는 요구되지 않는 이유는 스피너 성분이 공간의 함수가 아니기 때문이고, 부호 $-1$ 은 확률에 안 보인다.

그림 5.7-4. 회전의 두 성질. 왼쪽: 방위각 분포 |ψ(ϕ)|²(극좌표)를 R̂_z(φ₀)로 돌리면 ψ(ϕ − φ₀) — 각도의 병진이다. 생성원은 −iħ ∂/∂ϕ = L̂_z이고, 고유함수 e^{imϕ}는 돌려도 위상 e^{−imφ₀}만 붙는다. 오른쪽: 같은 벡터(처음 ẑ)에 x축 90° 회전과 z축 90° 회전을 순서를 바꿔 걸면 끝점이 x̂와 −ŷ로 다르다. 회전은 서로 교환하지 않고, 그 비가환성이 [L̂_x, L̂_z] ≠ 0의 정체다 — 그래서 각운동량은 한 성분만 좋은 양자수가 된다.직접 작도

임의의 축 — 그리고 회전은 교환하지 않는다

단위벡터 $\mathbf n$ 둘레의 회전은 $\hat L_z$ 자리에 $\mathbf n\cdot\hat{\mathbf L}$ 을 넣으면 된다:

$$\hat R_{\mathbf n}(\varphi)=\exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar}\varphi\,\mathbf n\cdot\hat{\mathbf L}\Bigr)$$

같은 축의 회전은 더해지지만($\hat R_{\mathbf n}(\varphi)\hat R_{\mathbf n}(\varphi')=\hat R_{\mathbf n}(\varphi+\varphi')$), 다른 축의 회전은 순서에 따라 결과가 다르다 — 그림의 오른쪽이 그것이다. 생성원 수준에서 이 비가환성은

$$[\hat L_x,\hat L_y]=i\hbar\hat L_z \quad(\text{그리고 순환})$$

이다. 5.5.2 에서는 $\hat{\mathbf L}=\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}$ 와 $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ 로 계산해 얻었지만, 이 관계는 회전군의 구조 그 자체다 — $x$ 축으로 조금, $y$ 축으로 조금 돌린 것과 순서를 바꾼 것의 차이가 $z$ 축 회전이라는 기하학적 사실을 무한소로 쓴 것이다(1.13.12). 그래서 스핀처럼 $\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}$ 로 쓸 수 없는 각운동량도 같은 교환 관계를 따른다.

회전이 연산자를 어떻게 바꾸는지도 적어 둔다. $z$ 축 회전에 대해

$$\hat R_z^\dagger\,\hat x\,\hat R_z=\hat x\cos\varphi-\hat y\sin\varphi, \qquad \hat R_z^\dagger\,\hat y\,\hat R_z=\hat x\sin\varphi+\hat y\cos\varphi$$

이므로 기댓값 $(\langle x\rangle,\langle y\rangle)$ 이 반시계로 $\varphi$ 만큼 돈다. 무한소로 쓰면 성분 사이의 교환 관계가 되고, 그것으로 벡터 연산자를 정의한다:

$$[\hat L_i,\hat V_j]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}\hat V_k$$

$\hat{\mathbf r}$, $\hat{\mathbf p}$, $\hat{\mathbf L}$ 자신이 벡터 연산자다. 모든 $\hat L_i$ 와 교환하는 것 — $\hat r^2$, $\hat p^2$, $\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\mathbf p}$, $\hat L^2$ — 이 스칼라 연산자다. 7절의 선택 규칙은 이 두 정의에서 나온다.

회전 불변과 각운동량 보존

중심력 퍼텐셜 $V(\mathbf r)=V(r)$ 은 어느 축 둘레로 돌려도 불변이므로 모든 $\mathbf n$ 에 대해 $[\hat H,\mathbf n\cdot\hat{\mathbf L}]=0$, 즉

$$[\hat H,\hat L_x]=[\hat H,\hat L_y]=[\hat H,\hat L_z]=0, \qquad [\hat H,\hat L^2]=0$$

이다. 2절의 정리로 세 성분과 $L^2$ 의 분포가 전부 보존된다. 고전 역학에서 중심력은 토크가 없어 $\mathbf L$ 이 보존되는 것(3.1.6각운동량과 그 보존)과 같다. 하지만 세 성분이 서로 교환하지 않으므로 동시에 정해진 값을 가질 수는 없다 — 보존되는 것과 동시에 잴 수 있는 것은 다른 문제다. 그래서 정상 상태의 라벨은 $|n\,\ell\,m\rangle$ 이고, 어느 축을 $z$ 로 잡느냐는 자유다. 운동량의 세 성분이 동시에 좋은 양자수였던 2절과 대비되는 지점이고, 그 차이의 값이 6절의 $2\ell+1$ 축퇴다.

스핀이 있으면 계를 돌릴 때 스피너도 함께 돌려야 한다. 회전의 생성원은 전체 각운동량 $\hat{\mathbf J}=\hat{\mathbf L}+\hat{\mathbf S}$ 이고 $\hat R_{\mathbf n}(\varphi)=\exp(-i\varphi\,\mathbf n\cdot\hat{\mathbf J}/\hbar)$ 다. 스핀–궤도 결합 $\xi\,\hat{\mathbf L}\cdot\hat{\mathbf S}$ 는 전체 회전 아래 스칼라라 $\hat{\mathbf J}$ 와는 교환하지만 $\hat{\mathbf L}$, $\hat{\mathbf S}$ 각각과는 교환하지 않는다. 그래서 스핀–궤도 결합이 있으면 보존되는 것은 $\mathbf J$ 뿐이고, 좋은 양자수는 $\ell,m_\ell,s,m_s$ 에서 $\ell,s,j,m_j$ 로 바뀐다 — 5.6.3 의 각운동량 합성(5.6.3각운동량의 합성)이 필요했던 이유이고, 5.8.3 의 미세 구조가 그 위에서 계산된다.

주의

같은 글자, 다른 뜻 — $m$, $n$, $\mathbf n$. 이 절부터 $m$ 은 거의 언제나 자기 양자수이고, 질량은 $\hat p^2/2m$ 안에서만 나온다. $n$ 은 주양자수이지만 굵은 $\mathbf n$ 은 회전축 단위벡터다. 8절에서는 $n$ 이 격자점 번호로 한 번 더 바뀐다. 각운동량 자체도 셋이다 — 궤도 $\hat{\mathbf L}$, 스핀 $\hat{\mathbf S}$, 전체 $\hat{\mathbf J}$ — 그리고 7절의 선택 규칙에서 "$\Delta\ell$" 이라고 쓴 것은 궤도에 대한 것, "$\Delta j$" 는 전체에 대한 것이다. 원자 스펙트럼 표기 $n\,\ell_j$ (예: $2p_{3/2}$)가 세 양자수를 한 줄에 쓴 것이다.

직관

파라미터 연계성 — 결정 안에서 회전 대칭은 얼마나 남는가. 결정은 연속 회전군을 유한한 점군으로 낮춘다(7.1.7). Si 의 $O_h$ 는 48개 조작뿐이고, $\ell$ 은 더 이상 좋은 양자수가 아니며 상태는 점군의 기약 표현($\Gamma$, $\Delta$, $\Lambda$ …)으로 라벨된다. 그래도 남은 대칭이 하는 일은 크다.

• 유효질량 텐서의 모양. 입방 대칭에 불변인 2계 텐서는 단위 텐서의 배수뿐이므로 $\Gamma$ 점의 전도대 유효질량은 등방이어야 한다 — GaAs 가 그렇다. Si 의 전도대 최소는 $\Gamma$ 가 아니라 $\langle100\rangle$ 방향 $\Delta$ 선 위에 있고, 그 점의 대칭(작은 군)은 $C_{4v}$ 라 축 하나가 특별해 타원체 — $m_l$, $m_t$ — 가 된다(7.9.4). 그 타원체가 여섯 개인 것은 입방 회전이 $\langle100\rangle$ 여섯 방향을 서로 옮기기 때문이다(6절).
• 가전자대의 $2j+1$. $\Gamma$ 점의 가전자대는 $p$ 형($\ell=1$, 3개)에 스핀(2개)을 곱한 6개 상태다. 스핀–궤도 결합이 이것을 $j=3/2$(4개: 무거운·가벼운 정공)와 $j=1/2$(2개: 분리 띠, Si 는 44 meV, GaAs 는 340 meV 아래)로 가른다 — 5.6.3 의 $1\otimes\tfrac12=\tfrac32\oplus\tfrac12$ 가 밴드 구조에 그대로 찍혀 있다(7.9.5).

축퇴와 대칭

대칭이 축퇴를 만든다

두 번째 결과다. $[\hat H,\hat U]=0$ 이고 $\hat H\psi=E\psi$ 이면

$$\hat H\,(\hat U\psi)=\hat U\hat H\psi=E\,(\hat U\psi)$$

이므로 $\hat U\psi$ 도 같은 에너지의 고유상태다. 경우는 둘뿐이다. $\hat U\psi$ 가 $\psi$ 의 상수배이면 새 상태가 아니고 — $\psi$ 가 $\hat U$ 의 고유상태이기도 한 것이다(패리티가 정해진 상태, $e^{im\phi}$) — 상수배가 아니면 같은 $E$ 에 서로 다른 두 상태가 있다: 축퇴다. 대칭 변환이 고유상태를 “다른 곳으로” 보낼 때만 축퇴가 생긴다.

언제 반드시 다른 곳으로 보내는가. Griffiths 가 정리한 조건이 이것이다: $\hat H$ 와 교환하는 두 연산자 $\hat A,\hat B$ 가 서로는 교환하지 않으면, 고유상태에 축퇴가 있어야 한다. 증명은 짧다. 모든 고유상태가 비축퇴라면 각각이 $\hat A$ 와 $\hat B$ 의 고유상태이기도 하고(위 논리), 그러면 모든 고유상태에서 $\hat A\hat B\psi=ab\psi=\hat B\hat A\psi$ 라 완전성에 의해 $[\hat A,\hat B]=0$ — 가정에 모순이다. 회전 대칭이 정확히 이 경우다: $\hat L_x$ 와 $\hat L_z$ 가 둘 다 $\hat H$ 와 교환하지만 서로는 교환하지 않으므로, $\hat L_x$ 로 돌린 $|n\ell m\rangle$ 은 대개 다른 $m$ 들의 중첩이고 그 $2\ell+1$ 개 상태가 전부 같은 에너지다. 예외는 $\hat{\mathbf L}\psi=0$ 인 $\ell=0$ — 돌려도 제자리이니 축퇴가 없다.

일반화하면 이렇다(Sakurai 4.1). 대칭 변환들의 군 $G$ 가 $\hat H$ 와 교환하면, 한 에너지의 고유공간은 $G$ 의 변환에 대해 닫혀 있고 — 고유공간 안에서 $G$ 가 표현된다 — 그 표현이 기약이면 축퇴의 크기는 기약 표현의 차원이다. 회전군의 기약 표현은 $2\ell+1$ 차원이고, 그것이 중심력 문제의 축퇴다. 병진군처럼 가환인 군은 기약 표현이 전부 1차원이라 대칭이 강제하는 축퇴가 없다 — 8절의 블로흐 상태가 일반적으로 비축퇴인 이유다. 표현론은 1.13.8 에서 다룬다.

우연한 축퇴 — 대개는 숨은 대칭

대칭으로 설명되지 않는 축퇴를 우연한 축퇴라 부르는데, 자세히 보면 대개 더 큰 대칭이 숨어 있다.

• 수소 원자의 $n^2$. 회전 대칭은 $2\ell+1$ 만 설명한다. $\ell$ 이 다른 상태들($2s$ 와 $2p$)까지 같은 에너지인 것은 $1/r$ 퍼텐셜에만 있는 보존량 — 룽게–렌츠 벡터 — 때문이고, 그것까지 넣은 대칭군은 4차원 회전군 $SO(4)$ 다. 퍼텐셜이 $1/r$ 에서 조금만 벗어나면(알칼리 원자의 차폐, 상대론 보정) 이 축퇴는 풀리고 $E$ 가 $\ell$ 에 의존한다 — 5.6.6 의 주기율표가 그 결과다.
• 3차원 조화진동자의 $(n+1)(n+2)/2$ 겹 축퇴는 $SU(3)$ 대칭이다.
• 2차원 정사각 우물 $E\propto n_x^2+n_y^2$ 에서 $(n_x,n_y)\leftrightarrow(n_y,n_x)$ 의 축퇴는 $x\leftrightarrow y$ 교환 대칭(정사각형의 $90^\circ$ 회전)이 설명하지만, $1^2+7^2=5^2+5^2$ 같은 것은 정수론이지 대칭이 아니다. 진짜 우연한 축퇴다. 직사각형으로 바꾸면 앞의 것은 풀리고 뒤의 것은 애초에 없다.

의문

의문 — 축퇴는 왜 “대칭의 크기”인가. 대칭 변환이 상태를 옮겨도 에너지가 같다는 것은, 그 에너지의 고유공간 안에서는 해밀토니안이 “어느 방향”인지 구분하지 못한다는 뜻이다. 구분 못 하는 방향의 수가 축퇴다. 그래서 축퇴는 계가 가진 정보의 부재이고, 대칭을 깨는 섭동을 걸면 그 정보가 생기면서 준위가 갈라진다. 반대로 읽으면, 실험에서 갈라지지 않는 준위를 보면 그 준위를 지키는 대칭이 무엇인지 물을 수 있다 — 크라머스 축퇴(9절)를 자기장 말고는 아무것도 못 가르는 것이 그 예다.

대칭을 낮추면 축퇴가 갈라진다

섭동 $\hat H'$ 이 원래 대칭의 일부만 남기면, 축퇴 준위는 남은 대칭의 기약 표현대로 갈라진다. 갈라진 각 조각의 겹수가 남은 대칭이 여전히 구분 못 하는 방향의 수다. 5.8.2 의 축퇴 섭동론이 말하는 “좋은 상태”란 남은 대칭 연산자를 대각화하는 상태이고, 그것을 알면 행렬을 대각화할 필요가 없다.

$\ell=1$ 준위 하나로 세 단계를 본다.

1. 구 대칭. $m=-1,0,+1$ 이 3겹.
2. $z$ 축 변형이나 전기장. 남는 것은 $z$ 축 둘레의 회전(축 대칭)과 $z$ 를 담은 거울면들, 그리고 시간 반전이다. $\hat L_z$ 는 여전히 $\hat H$ 와 교환하므로 $m$ 이 좋은 양자수이고 $m=0$ 이 갈라져 나온다. 그러나 $m=\pm1$ 은 갈라지지 않는다 — 거울 반사(또는 시간 반전)가 $m\to-m$ 으로 옮기기 때문이다. 2겹이 남는다.
3. $z$ 축 자기장. $\hat H'=(eB/2m)\hat L_z$ 는 $m$ 을 그대로 두지만 $m\to-m$ 대칭을 깬다 — 자기장은 유사벡터라 거울에 안 뒤집히고, 시간 반전에는 뒤집힌다(9절). 셋이 전부 갈라진다: 제이만 효과(5.8.4).

그림 5.7-5. 대칭을 낮추면 축퇴가 갈라지되, 남은 대칭이 남는 축퇴를 정한다. 왼쪽: ℓ = 1 준위. 구 대칭에서 3겹 → z축 변형·전기장으로 축 대칭만 남으면 m = 0이 갈라지되 m = ±1은 시간 반전(과 거울)이 짝지어 2겹으로 남는다 → z축 자기장이 시간 반전까지 깨면 셋이 전부 갈라진다. 오른쪽: Si 전도대의 여섯 골 Δ₆. 입방 대칭에서는 동등하지만 (001) 이축 인장 변형이나 (100) 반전층의 구속으로 z가 특별해지면 ±k_z의 두 골(Δ₂)이 아래로, 나머지 넷(Δ₄)이 위로 갈라진다.직접 작도

직관

파라미터 연계성 — 반도체의 축퇴는 전부 이 그림이다.

• Si 의 여섯 밸리. 전도대 최소가 $\langle100\rangle$ 여섯 방향에 있고 입방 대칭이 여섯을 서로 옮기므로 6겹이다. (001) 면에 이축 인장 변형을 걸거나 (100) MOS 반전층으로 $z$ 방향을 구속하면 입방 대칭이 정방 대칭으로 낮아지고 $\pm k_z$ 의 두 골($\Delta_2$)과 면 내 네 골($\Delta_4$)로 갈라진다. 전자는 낮은 두 골에 모이는데, 그 골의 면 내 질량이 가벼운 $m_t=0.19m_0$ 이라 이동도가 오른다 — 변형 Si 채널과 (100) 면 선택의 이유다(14부). 골 사이 산란도 줄어든다.
• 무거운·가벼운 정공. $\Gamma$ 점의 $j=3/2$ 4겹은 $\mathbf k\ne0$ 에서 두 갈래로 갈라지지만 $\mathbf k=0$ 에서는 입방 대칭이 지킨다. 단축 변형이나 양자우물 구속이 그 대칭을 깨면 $\mathbf k=0$ 에서도 갈라지고, $p$ 형 변형 Si 의 정공 이동도 향상이 여기서 나온다.
• 전이 금속 불순물의 $d$ 준위. $\ell=2$ 의 5겹은 입방 결정장에서 $e_g$(2)+$t_{2g}$(3)으로 갈라진다. Si 안의 Fe·Au 같은 깊은 준위(11.3 의 SRH 중심)가 이 구조를 가진다.
• 자기장은 다르다. 위의 것들은 전부 시간 반전을 남기고, 그래서 크라머스 짝(9절)은 절대 갈라지지 않는다. 자기장만이 그것을 가른다 — 제이만 분리, 란다우 준위, 드하스–반알펜(7.8.8).

같은 대칭 낮춤이 스펙트럼선의 분리로 보이면 분광학이고, 이동도 향상으로 보이면 소자 공학이다.

회전 선택 규칙

스칼라 연산자 — 같은 ℓ, 같은 m, 그리고 m 에 무관

행렬 요소 $\langle n'\ell'm'|\hat Q|n\ell m\rangle$ 이 언제 0인지를 회전 대칭만으로 알아낸다. 인덱스가 여섯 개라 먼저 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	범위
$n,\ell,m$	처음 상태의 주·궤도·자기 양자수	켓 $\lvert n\,\ell\,m\rangle$	$\ell=0,\dots,n-1$; $m=-\ell,\dots,\ell$
$n',\ell',m'$	나중 상태의 것	브라 $\langle n'\,\ell'\,m'\rvert$	같음
$\Delta\ell=\ell'-\ell$, $\Delta m=m'-m$	델타 엘, 델타 엠	천이에서의 변화	선택 규칙이 제한하는 양
$\hat L_\pm=\hat L_x\pm i\hat L_y$	엘 플러스·마이너스	사다리 연산자	$m$ 을 $\pm1$ 올림·내림
$\hat V_z$, $\hat V_\pm=\hat V_x\pm i\hat V_y$	브이 제트, 브이 플러스·마이너스	벡터 연산자의 구면 성분	$\Delta m=0$, $\pm1$ 을 담당
$k,q$	케이, 큐	텐서 연산자의 계수와 성분 (위그너–에카르트)	$k=0,1,2,\dots$; $q=-k,\dots,k$

스칼라 연산자 $\hat f$ 는 모든 $\hat L_i$ 와 교환한다. $[\hat L_z,\hat f]=0$ 을 두 상태 사이에 끼우면

$$0=\langle n'\ell'm'|[\hat L_z,\hat f]|n\ell m\rangle =\hbar\,(m'-m)\,\langle n'\ell'm'|\hat f|n\ell m\rangle$$

이므로 $m'\ne m$ 이면 행렬 요소가 0이다. $[\hat L^2,\hat f]=0$ 에서 같은 식으로 $\hbar^2[\ell'(\ell'+1)-\ell(\ell+1)]\langle\cdots\rangle=0$, 즉 $\ell'=\ell$. 마지막으로 $[\hat L_+,\hat f]=0$ 을 $\langle n'\ell\,m{+}1|$ 과 $|n\ell m\rangle$ 사이에 끼우고 사다리 연산자의 작용 $\hat L_\pm|\ell m\rangle=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)-m(m\pm1)}\,|\ell,m\pm1\rangle$ 을 쓰면 양쪽 계수가 같아 지워지고

$$\langle n'\ell\,m{+}1|\hat f|n\ell\,m{+}1\rangle=\langle n'\ell\,m|\hat f|n\ell\,m\rangle$$

이 남는다. 스칼라 연산자의 행렬 요소는 $m$ 에 무관하다. 셋을 합치면

$$\langle n'\ell'm'|\hat f|n\ell m\rangle=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}\,\langle n'\ell\|\hat f\|n\ell\rangle$$

— 오른쪽의 $m$ 없는 양이 환산 행렬 요소다. 물리는 거기 있고, $m$ 의존성은 대칭이 전부 정했다.

벡터 연산자 — m 은 0 이나 ±1, ℓ 은 ±1

5절의 정의 $[\hat L_i,\hat V_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat V_k$ 를 구면 성분으로 다시 쓰면

$$\begin{aligned} [\hat L_z,\hat V_z]&=0, &\qquad [\hat L_z,\hat V_\pm]&=\pm\hbar\hat V_\pm,\\ [\hat L_\pm,\hat V_z]&=\mp\hbar\hat V_\pm, &\qquad [\hat L_\pm,\hat V_\pm]&=0, &\qquad [\hat L_\pm,\hat V_\mp]&=\pm2\hbar\hat V_z \end{aligned}$$

이다. 둘째 식이 $m$ 의 규칙을 준다 — $\hat V_\pm$ 은 $\hat L_z$ 의 고유값을 $\pm\hbar$ 올리는 연산자처럼 행동하므로

$$\langle n'\ell'm'|\hat V_z|n\ell m\rangle=0\ \ (m'\ne m), \qquad \langle n'\ell'm'|\hat V_\pm|n\ell m\rangle=0\ \ (m'\ne m\pm1)$$

$\ell$ 의 규칙은 한 단계 더 들어가야 한다. 벡터 연산자에 대해 성립하는 항등식

$$\bigl[\hat L^2,[\hat L^2,\hat{\mathbf V}]\bigr] =2\hbar^2\bigl(\hat{\mathbf V}\hat L^2+\hat L^2\hat{\mathbf V}\bigr) -4\hbar^2(\hat{\mathbf V}\cdot\hat{\mathbf L})\hat{\mathbf L}$$

에서 $\hat{\mathbf V}=\hat{\mathbf r}$ 이면 $\hat{\mathbf r}\cdot\hat{\mathbf L}=0$ 이라 마지막 항이 사라진다. 양쪽을 $\langle n'\ell'm'|\cdots|n\ell m\rangle$ 으로 끼우고 $A=\ell'(\ell'+1)$, $B=\ell(\ell+1)$ 로 두면

$$\bigl[(A-B)^2-2(A+B)\bigr]\langle n'\ell'm'|\hat{\mathbf r}|n\ell m\rangle=0$$

인데, 괄호는 $(\ell+\ell'+2)(\ell+\ell')\bigl[(\ell'-\ell)^2-1\bigr]$ 로 인수분해된다. 행렬 요소가 0이 아니려면 $\ell'=\ell\pm1$ 이거나 $\ell=\ell'=0$ 이어야 하고, 뒤의 경우는 패리티(4절)가 따로 죽인다 — $|00\rangle$ 은 짝이고 $\hat{\mathbf r}$ 은 홀이다. 따라서

$$\langle n'\ell'm'|\hat{\mathbf r}|n\ell m\rangle=0 \quad\text{unless}\quad \ell'=\ell\pm1,\ \ m'=m\ \text{또는}\ m\pm1$$

이것이 전기 쌍극자 선택 규칙이다. $\Delta\ell=\pm1$ 은 회전과 패리티가 함께 정했고, $\Delta m=0,\pm1$ 은 회전만으로 정했다.

일반 벡터 연산자는 $\hat{\mathbf V}\cdot\hat{\mathbf L}$ 항이 살아 있어 회전만으로는 $\Delta\ell=0,\pm1$ ($0\to0$ 제외)까지 허용된다. 그중 무엇이 살아남는지는 패리티가 정한다: $\hat{\mathbf r},\hat{\mathbf p}$ 같은 극성 벡터는 홀이라 $\Delta\ell=\pm1$ 만, $\hat{\mathbf L},\hat{\mathbf S}$ 같은 축성 벡터는 짝이라 $\Delta\ell=0$ 만 남는다. 자기 쌍극자 천이(M1)가 $\Delta\ell=0$ 인 이유이고, 수소 21 cm 초미세 선(5.8.4)이 그 예다.

그림 5.7-6. 전기 쌍극자 선택 규칙. 왼쪽: 수소 n = 1, 2, 3 준위를 ℓ = s, p, d 열에 놓으면 허용 천이는 언제나 ℓ이 한 칸 옆 열로 가는 것(실선)뿐이고, Δℓ = 0인 2s → 1s와 Δℓ = 2인 3d → 1s는 금지(점선, ×)다. 2s는 쌍극자로 내려올 곳이 없어 준안정이고 두 광자로 붕괴한다. 오른쪽: 위 준위 m′ = −1, 0, +1에서 아래 m = 0으로 가는 세 천이. Δm = 0은 z 편광(π), Δm = ±1은 xy면의 원편광(σ±) — 광자의 스핀 ħ이 각운동량 보존을 메우고, 그것이 편광으로 보인다.직접 작도

위그너–에카르트 정리

위의 두 결과는 한 정리의 특수한 경우다. 회전 아래 계수 $k$ 의 텐서처럼 변하는 연산자 $\hat T^{(k)}_q$ (스칼라는 $k=0$, 벡터는 $k=1$ 이고 $q=-k,\dots,k$ 가 성분)에 대해

$$\langle n'\ell'm'|\hat T^{(k)}_q|n\ell m\rangle =\langle\ell\,m;\,k\,q\,|\,\ell'\,m'\rangle\;\langle n'\ell'\|\hat T^{(k)}\|n\ell\rangle$$

— 위그너–에카르트 정리(Sakurai §3.11)다. 첫 인자는 5.6.3 의 클렙시–고르단 계수 (5.6.3각운동량의 합성)이고, 둘째는 $m,m',q$ 에 무관한 환산 행렬 요소다. 클렙시–고르단 계수가 0이 아닐 조건이 곧 선택 규칙이다:

$$m'=m+q, \qquad |\ell-k|\le\ell'\le\ell+k$$

$k=0$ 이면 $\ell'=\ell$, $m'=m$ (스칼라); $k=1$ 이면 $\Delta\ell=0,\pm1$, $\Delta m=0,\pm1$ (벡터); $k=2$ 이면 $\Delta\ell=0,\pm1,\pm2$, $\Delta m$ 도 $\pm2$ 까지 (전기 사중극, E2). 규격화 상수와 $\sqrt{2\ell'+1}$ 을 어디에 두느냐는 책마다 다르므로 계수를 옮겨 쓸 때는 정의를 맞춘다.

직관

물리적 직관 — 각운동량은 광자가 가져간다. 원자가 $|n\ell m\rangle\to|n'\ell'm'\rangle$ 로 떨어지며 광자 하나를 내면 원자+광자의 각운동량은 보존된다. 전기 쌍극자 광자는 각운동량 $1$ 을 실어 나르므로 $\ell$ 은 최대 1만 바뀌고 — 벡터 연산자 $k=1$ 이 그 말이다 — $\Delta m$ 은 광자가 $z$ 축에 대해 $0,\pm\hbar$ 중 무엇을 가져갔느냐다. 그것이 편광으로 보인다: $\Delta m=0$ 은 $z$ 방향 선편광($\pi$), $\Delta m=\pm1$ 은 $xy$ 면의 원편광($\sigma^\pm$). 거꾸로 $\sigma^+$ 빛만 쬐면 $m$ 을 한 방향으로만 밀 수 있다 — 광 펌핑이고, 레이저 냉각의 순환 천이이고, 반도체에서는 광학 스핀 배향이다: GaAs 의 밴드 끝에서 $\sigma^+$ 원편광은 $j=3/2$ 정공 상태들에서 전도대로 $\Delta m_j=+1$ 천이만 일으키고, 무거운·가벼운 정공의 클렙시–고르단 계수 비 $3:1$ 이 전자 스핀 편극 $50\%$ 를 준다(10부의 스핀트로닉스, 스핀 LED).

그래프 직관. 왼쪽 그림에서 허용 천이는 언제나 이웃 열로만 간다. $2s$ 처럼 이웃 열에 더 낮은 준위가 없는 상태는 내려올 길이 없어 수명이 $0.12$ 초로 길다(두 광자 붕괴). 소자에서는 이런 “금지”가 곧 긴 수명이고, 긴 수명은 준안정 준위·트랩·느린 재결합을 뜻한다.

직관

파라미터 연계성 — 세기는 환산 행렬 요소가, 모양은 대칭이. 천이 확률(5.9.3 의 $|\langle\psi'|\hat{\mathbf r}|\psi\rangle|^2$)은 “클렙시–고르단 계수의 제곱 × 환산 행렬 요소의 제곱”이다. 앞의 것은 대칭이 정한 순수한 수이고 뒤의 것이 파동함수의 겹침 — 소자 설계가 만질 수 있는 양 — 이다. 양자우물의 두께를 바꾸면 환산 행렬 요소(포락 함수의 $\langle n'|\hat z|n\rangle$)가 바뀌어 흡수 세기와 위치가 움직이지만, ”$z$ 편광만 받는다”는 규칙은 두께와 무관하다 — QWIP 에 회절 격자를 붙여 수직 입사광의 편광을 돌리는 이유다 (17.1.6). 양자점에서 대칭을 일부러 낮추면(타원형·변형) 금지였던 천이가 약하게 열린다 — “선택 규칙이 깨졌다”는 말은 언제나 “대칭이 낮아졌다”는 말이다.

격자 병진 대칭 (블로흐 정리는 7.7)

이산 병진 — 운동량 대신 위상 인자

결정 안의 전자가 보는 퍼텐셜은 주기적이다: $V(x+a)=V(x)$. 2절의 조건 $\hat T(a)^\dagger\hat H\hat T(a)=\hat H$ 는 이제 $a$ 의 정수배에 대해서만 성립한다. 남은 대칭 변환은 $\{\hat T(na)\}$ — 서로 교환하는 이산 무한군이다. 무한소 병진이 없으니 생성원 논리가 통째로 빠지고, 실제로 $\hat p$ 는 보존되지 않는다: $[\hat p,V(\hat x)]=-i\hbar V'(\hat x)\ne0$. 이 절은 Sakurai 4.3 을 따르되 기호는 $\hat T(a)$ 를 그대로 쓴다. 여기서부터 $n$ 은 격자점 번호다.

보존되는 것은 $\hat T(a)$ 자체다. $[\hat H,\hat T(a)]=0$ 이므로 공통 고유상태를 잡을 수 있는데, $\hat T(a)$ 는 유니터리이지 에르미트가 아니므로 고유값은 절댓값 1인 복소수다. 그것을 $e^{-i\theta}$, 다시 $\theta=ka$ 로 쓰면

$$\hat T(a)\,\psi_k(x)=\psi_k(x-a)=e^{-ika}\,\psi_k(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \psi_k(x+a)=e^{ika}\,\psi_k(x)$$

이다. 이것이 블로흐 정리다 — 주기 퍼텐셜의 고유함수는 한 칸 옮기면 위상 $e^{ika}$ 만 붙는다. $\psi_k(x)=e^{ikx}u_k(x)$, $u_k(x+a)=u_k(x)$ 라는 익숙한 꼴은 위 식을 다시 쓴 것이고, 밴드 번호와 $E(k)$ 의 모양은 7.7 이 다룬다. 여기서는 대칭이 준 것만 챙긴다.

• $k$ 는 $2\pi/a$ 마다 같은 상태다. $e^{ika}$ 가 같기 때문이다. 그래서 $k$ 를 $(-\pi/a,\pi/a]$ 로 한정해도 되고, 그것이 첫 브릴루앙 영역이다(7.2.2). 자유 입자의 $k$ 는 실수 전체였다 — 연속 대칭이 이산 대칭으로 낮아지면서 양자수의 범위가 원으로 접혔다.
• $\hbar k$ 는 운동량이 아니다. $\hat p$ 의 고유값이 아니고, $\hat T(a)$ 의 고유값에 붙은 라벨이다. $\langle\hat p\rangle$ 은 대개 $\hbar k$ 와 다르고 $m\,dE/\hbar\,dk$ 로 주어진다(7.9.2). 그래서 결정 운동량이라는 다른 이름을 쓴다.
• 3차원에서는 격자 벡터 $\mathbf R=\sum n_i\mathbf a_i$ 마다 $\hat T(\mathbf R)$ 이 있고 전부 교환하므로 고유값 $e^{-i\mathbf k\cdot\mathbf R}$ 로 동시에 라벨할 수 있다. $\mathbf k$ 는 역격자 벡터 $\mathbf G$ 마다 같은 상태다(7.2.1).

주의

$k$ 의 두 얼굴과 부호. 5.3 에서 $k$ 는 자유 입자의 파수였고 $\hbar k$ 가 곧 운동량이었다. 이 절부터 $k$ 는 격자 병진의 양자수이고 운동량이 아니다 — 자유 입자는 $V\to0$ 의 극한으로 들어 있을 뿐이다. 부호도 하나 있다. Griffiths 식 정의 $\hat T(a)\psi=\psi(x-a)$ 에서 고유값은 $e^{-ika}$ 이고, 블로흐 정리는 보통 $\psi(x+a)=e^{+ika}\psi(x)$ 로 쓴다. 같은 식이다. Sakurai 는 $\tau(l)|\theta\rangle=e^{-i\theta}|\theta\rangle$ 로 쓰고 Kittel 은 $\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)$ 로 쓴다 — $\theta=ka$ 로 두면 둘이 일치한다.

준위 하나가 띠 하나가 된다 — 강결합 사슬

대칭만으로 밴드가 생기는 것을 보는 가장 짧은 예가 Sakurai 의 강결합 사슬이다. 격자점 $n$ 마다 고립된 우물의 바닥 상태 $|n\rangle$ 이 하나씩 있고, $\hat T(a)|n\rangle=|n+1\rangle$ 이다. 이웃 우물의 상태가 조금 겹쳐 해밀토니안의 행렬 요소는

$$\langle n|\hat H|n\rangle=E_0, \qquad \langle n\pm1|\hat H|n\rangle=-\Delta, \qquad\text{나머지}=0$$

이라 하자($\Delta$ 는 5.3.8 의 터널링 진폭이다 — 장벽이 두꺼울수록 지수적으로 작다). 고유상태를 찾는 데 $\hat H$ 를 대각화할 필요가 없다. $\hat T(a)$ 의 고유상태를 먼저 만든다:

$$|\theta\rangle=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{in\theta}\,|n\rangle \qquad\Longrightarrow\qquad \hat T(a)|\theta\rangle=\sum_n e^{in\theta}|n+1\rangle=e^{-i\theta}|\theta\rangle$$

$[\hat H,\hat T(a)]=0$ 이고 $\theta$ 마다 상태가 하나뿐이니 $|\theta\rangle$ 은 자동으로 $\hat H$ 의 고유상태다. 에너지는 직접 넣어 보면 된다:

$$\hat H|\theta\rangle =\sum_n e^{in\theta}\bigl(E_0|n\rangle-\Delta|n+1\rangle-\Delta|n-1\rangle\bigr) =\bigl(E_0-2\Delta\cos\theta\bigr)|\theta\rangle$$ $$E(\theta)=E_0-2\Delta\cos\theta, \qquad\theta=ka\in(-\pi,\pi]$$

고립 우물의 준위 $E_0$ 하나가 폭 $4\Delta$ 의 띠로 퍼졌다. 위치 표현으로 쓰면 $\langle x|\theta\rangle=\sum_n e^{in\theta}\phi(x-na)$ — 블로흐 꼴이고, $u_k$ 는 우물마다 놓인 $\phi$ 의 합이다.

그림 5.7-7. 격자 병진 대칭이 주는 것. 왼쪽 세 층: 위는 T̂(a)의 고유함수 Re ψ_k = cos(kx)·u(x) — 격자보다 긴 파장 2π/k의 포락선 안에서 격자 주기로 빠르게 진동한다. 가운데는 |ψ_k|². 한 칸 옮기면 위상 e^{ika}만 붙으므로 확률은 격자와 같은 주기 a를 가진다. 아래는 주기 a의 퍼텐셜. 오른쪽: 강결합 사슬 — 자리마다 준위 E₀ 하나뿐이고 이웃과 −Δ로 이어지면 E(θ) = E₀ − 2Δ cos θ, 폭 4Δ의 띠 하나가 된다. θ는 2π마다 같은 상태라 (−π, π] 바깥은 점선이고, 바닥의 포물선 근사가 유효질량 m* = ħ²/(2Δa²)을 준다.직접 작도

직관

그래프 직관과 파라미터 연계성. 띠의 바닥 근처에서 $\cos\theta\approx1-\theta^2/2$ 이므로

$$E\approx E_0-2\Delta+\Delta a^2k^2 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\hbar^2}{2m^{*}}=\Delta a^2, \quad m^{*}=\frac{\hbar^2}{2\Delta a^2}$$

유효질량은 띠의 곡률의 역수이고, 곡률은 이웃 겹침 $\Delta$ 와 격자 상수 $a$ 가 정한다. 겹침이 클수록(원자가 가깝고 궤도가 퍼져 있을수록) 띠가 넓고 전자가 가볍다 — 좁은 갭 반도체(InSb)의 전자가 가벼운 것, 산화물의 $d$ 띠가 좁고 무거운 것이 이 한 줄이다. $\Delta$ 는 터널링 진폭이라 장벽에 지수적으로 민감하다: 초격자(7.9.9)에서 장벽 두께를 1 nm 바꾸면 미니밴드 폭이 몇 배 바뀐다 — 같은 식에 $a$ 를 초격자 주기로 넣으면 된다. 띠의 꼭대기 $\theta=\pm\pi$ 에서는 곡률이 음수라 유효질량이 음수이고, 그것이 7.9.3 의 정공이다.

두 자리에서 무한 자리로. 우물이 둘이면 이 문제는 5.3 의 이중 우물이고 준위는 $E_0\pm\Delta$ 로 둘이다(터널링 분리). $N$ 개면 $N$ 개 준위가 $[E_0-2\Delta,E_0+2\Delta]$ 안에 놓이고, $N\to\infty$ 에서 띠가 된다. 밴드는 “무한히 많은 이중 우물의 분리”이고, 그 폭이 $4\Delta$ 로 $N$ 에 무관한 것이 요점이다.

결정 운동량은 역격자 벡터만큼 어긋나도 보존된다

2절의 병진 선택 규칙을 격자에 옮긴다. 파수 $q$ 를 실어 나르는 연산자 $e^{iq\hat x}$ 를 두 블로흐 상태 사이에 끼우고, 가운데에 $\hat T(a)^\dagger\hat T(a)=1$ 을 넣는다:

$$\begin{aligned} \langle\psi_{k'}|e^{iq\hat x}|\psi_k\rangle &=\langle\psi_{k'}|\hat T(a)^\dagger\,\hat T(a)\,e^{iq\hat x}\,\hat T(a)^\dagger\,\hat T(a)|\psi_k\rangle\\ &=e^{i(k'-k)a}\,e^{-iqa}\,\langle\psi_{k'}|e^{iq\hat x}|\psi_k\rangle \end{aligned}$$

둘째 줄에서 $\hat T(a)e^{iq\hat x}\hat T(a)^\dagger=e^{iq(\hat x-a)}$ 와 두 고유값을 썼다. 행렬 요소가 0이 아니려면 $e^{i(k'-k-q)a}=1$, 즉

$$k'=k+q+G, \qquad G=\frac{2\pi}{a}\times\text{정수}$$

결정 운동량은 역격자 벡터 $G$ 만큼 어긋나도 보존된다. 자유 공간의 $p'=p+\hbar q$ 가 이산 대칭에서 "$\bmod\ 2\pi\hbar/a$" 로 느슨해진 것이다. $G=0$ 인 과정이 정상 과정, $G\ne0$ 이 움클랍 과정이고 (7.5.8), 후자가 결정에 열저항을 주는 산란이다. 광자는 $q\approx0$ 이라 광학 천이는 $E$–$k$ 그림에서 수직이어야 하고 — 직접 갭 — Si 처럼 전도대 최소와 가전자대 최대의 $\mathbf k$ 가 다르면 포논이 나머지 $\Delta\mathbf k$ 를 대야 한다(7.9.6). Si 가 발광에 나쁜 이유가 병진 선택 규칙 한 줄이다. 전자–포논 산란은 $\mathbf k'=\mathbf k\pm\mathbf q+\mathbf G$ 로 같은 규칙을 따른다(7.12.6).

직관

물리적 직관 — 대칭이 낮아지면 양자수가 접힌다. 자유 입자의 $p$ 는 실수 전체이고 정확히 보존된다. 결정은 그 병진 대칭을 이산으로 낮추고, 그 대가로 (i) $k$ 가 $2\pi/a$ 마다 접혀 브릴루앙 영역이 생기고, (ii) 보존이 ”$G$ 만큼 어긋나도 됨”으로 느슨해지고, (iii) 접힌 자리에서 밴드 갭이 열린다(7.7.2). 3절의 시간 주기 구동이 에너지를 $\hbar\omega$ 마다 접는 것과 정확히 같은 구조라, “결정 운동량”과 “준에너지”는 같은 종류의 양이다. 헤테로 구조에서 $z$ 병진을 통째로 없애면 $k_z$ 자체가 없어지고 서브밴드 번호가 들어온다(2절) — 대칭이 낮아지는 정도에 따라 양자수는 “접히거나” “사라지거나” 한다.

시간 반전 대칭

고전 — 필름을 거꾸로 돌리기

입자의 궤적 $\mathbf x(t)$ 를 시간을 뒤집어 $\mathbf x(-t)$ 로 재생하면, 위치는 그대로 지나가되 속도가 반대다: $\mathbf p\to-\mathbf p$, $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p\to-\mathbf L$. 뉴턴 방정식 $m\ddot{\mathbf x}=-\nabla V$ 는 $t\to-t$ 에 불변이라 뒤집은 궤적도 해다 — 마찰이 없는 한. 자기장이 있으면 다르다. 로렌츠 힘 $q\mathbf v\times\mathbf B$ 는 $\mathbf v$ 가 뒤집히면 부호가 바뀌므로, 외부 자기장을 고정한 채로는 시간 반전 대칭이 없다. 자기장을 만든 전류까지 뒤집어야 대칭이 회복된다. 맥스웰 방정식에서 $\mathbf E,\rho$ 는 시간 반전에 짝이고 $\mathbf B,\mathbf j$ 는 홀이다. 전기장은 시간 반전을 깨지 않고 자기장은 깬다 — 이 절의 결론 대부분이 이 한 줄에서 나온다.

양자 — 켤레복소수, 그리고 반유니터리

슈뢰딩거 방정식 $i\hbar\,\partial_t\psi=\hat H\psi$ 에 $t\to-t$ 만 넣으면 $-i\hbar\,\partial_t\psi(x,-t)=\hat H\psi(x,-t)$ 로 부호가 틀어져 해가 아니다. 시간에 대해 1계라서 그렇다. 그런데 켤레복소수까지 취하면

$$i\hbar\,\frac{\partial}{\partial t}\psi^{*}(x,-t)=\hat H^{*}\psi^{*}(x,-t)$$

이고, $\hat H$ 가 실수이면($V$ 실수, 자기장 없음) $\hat H^{*}=\hat H$ 라 $\psi^{*}(x,-t)$ 가 다시 해다. 시간 반전된 상태는 켤레다:

$$\hat\Theta\,\psi(x)=\psi^{*}(x)$$

이 연산은 반선형이다 — $\hat\Theta(c_1\psi_1+c_2\psi_2)=c_1^{*}\hat\Theta\psi_1+c_2^{*}\hat\Theta\psi_2$ — 그리고 내적을 켤레로 보존한다: $\langle\hat\Theta\phi|\hat\Theta\psi\rangle=\langle\phi|\psi\rangle^{*}=\langle\psi|\phi\rangle$. 1절 위그너 정리의 두 번째 갈래, 반유니터리다. 확률 $|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ 은 보존되므로 대칭 변환의 자격은 있다.

왜 유니터리로는 안 되는가. Sakurai 의 논증이 가장 짧다. 시간 반전은 $\hat\Theta\hat{\mathbf x}\hat\Theta^{-1}=\hat{\mathbf x}$, $\hat\Theta\hat{\mathbf p}\hat\Theta^{-1}=-\hat{\mathbf p}$ 여야 한다. 정준 교환 관계 양변에 이것을 걸면

$$\hat\Theta\,[\hat x,\hat p]\,\hat\Theta^{-1}=[\hat x,-\hat p]=-i\hbar$$

인데, 왼쪽은 $\hat\Theta\,(i\hbar)\,\hat\Theta^{-1}$ 이다. $\hat\Theta$ 가 선형이면 이것이 $+i\hbar$ 라 모순이고, 반선형이면 $-i\hbar$ 라 맞는다. 시간 반전은 $i$ 를 $-i$ 로 바꿔야 하고, 그래서 반유니터리다. 다른 논증도 있다 — $\hat\Theta$ 가 유니터리이면서 $\hat\Theta\hat U(t)\hat\Theta^{-1}=\hat U(-t)$ 이려면 $\hat\Theta\hat H\hat\Theta^{-1}=-\hat H$ 가 되어 에너지 스펙트럼이 아래로 무한해진다. 같은 이유로 각운동량도 $\hat\Theta\hat{\mathbf J}\hat\Theta^{-1}=-\hat{\mathbf J}$ 여야 교환 관계 $[\hat J_i,\hat J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat J_k$ 가 유지된다($i$ 와 $\hat J$ 가 함께 뒤집혀 부호가 맞는다).

주의

$\hat K$ 와 $k$, 그리고 표현 의존성. 위치 표현에서 $\hat\Theta=\hat K$ (파동함수의 켤레)라고 쓰지만, “켤레를 취한다”는 조작은 기저에 따라 다른 연산이다. 운동량 표현에서 같은 $\hat\Theta$ 는 $\tilde\psi(p)\to\tilde\psi^{*}(-p)$ 다. 그래서 $\hat\Theta$ 는 언제나 “어느 표현에서의 $\hat K$ 에 어떤 유니터리를 곱한 것”으로 적고, 스핀이 있으면 그 유니터리가 $-i\hat\sigma_y$ 가 된다(아래). 그리고 $\hat K$ 는 파수 $k$ 와 아무 관계가 없다.

스핀이 없을 때 — 고유함수는 실수로 잡을 수 있다

$[\hat H,\hat\Theta]=0$, 즉 $\hat H$ 가 실수이면 $\psi$ 와 $\psi^{*}$ 가 같은 에너지의 고유함수다. 비축퇴이면 $\psi^{*}=c\psi$ 이고 위상을 고쳐 실수로 잡을 수 있다 — 5.3 의 속박 상태가 전부 실수였던 이유다. 축퇴가 있으면 실수 조합을 고를 수 있다는 뜻이 된다 — 수소의 $e^{\pm im\phi}$ 대신 $p_x,p_y$ 궤도. 따라오는 것 하나: 비축퇴 고유상태에서 $\langle\hat{\mathbf p}\rangle=0$ 이다 ($\hat\Theta$ 가 $\hat{\mathbf p}$ 를 뒤집으므로 실수 함수의 운동량 기댓값은 자기 자신의 음수). 속박 상태는 전류를 나르지 않는다.

$\hat\Theta$ 가 기본 상태들을 어디로 보내는지 적어 둔다: $\hat\Theta|\mathbf x\rangle=|\mathbf x\rangle$, $\hat\Theta|\mathbf p\rangle=|-\mathbf p\rangle$, $\hat\Theta|\ell\,m\rangle=(-1)^m|\ell,-m\rangle$ (Sakurai 의 위상 규약). 블로흐 상태에 걸면 $\hat\Theta\psi_{\mathbf k}=\psi_{\mathbf k}^{*}$ 는 $\hat T(\mathbf R)$ 의 고유값이 $e^{+i\mathbf k\cdot\mathbf R}$ 인 상태, 즉 $-\mathbf k$ 의 블로흐 상태다. $[\hat H,\hat\Theta]=0$ 이면 에너지가 같으므로

$$E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$$

— 반전 대칭이 없어도 시간 반전만으로 $E$–$\mathbf k$ 는 원점 대칭이다. 그리고 $u_{-\mathbf k}=u_{\mathbf k}^{*}$ 라 군속도 $\nabla_{\mathbf k}E$ 는 홀함수다: 평형에서 전류가 0인 것이 이 대칭이다(7.9.2).

그림 5.7-8. 시간 반전. 왼쪽: 오른쪽으로 가는 파속 Re ψ와 그 시간 반전 Re ψ* = Re Θ̂ψ. 포락선 |ψ|와 ⟨x⟩는 같고 위상의 기울기 — 운동량 — 만 반대라 왼쪽으로 간다. Θ̂는 i를 −i로 바꾸므로 유니터리가 아니라 반유니터리다. 오른쪽 위: 반전 대칭이 있는 결정(Si). 시간 반전이 E↑(k) = E↓(−k)를(크라머스 짝 ●, ○), 반전이 E(k) = E(−k)를 주어 둘을 합치면 E↑(k) = E↓(k) — 스핀–궤도 결합이 있어도 두 스핀이 겹친다. 오른쪽 아래: 반전이 깨진 결정·비대칭 우물(GaAs, 라시바). 두 스핀 갈래가 k축에서 반대로 밀려 k ≠ 0에서 갈라지지만 여전히 E↑(k) = E↓(−k)이고, 이 짝은 자기장만이 가른다.직접 작도

스핀 1/2 — 두 번 뒤집으면 −1, 그리고 크라머스 축퇴

스핀이 있으면 $\hat\Theta$ 는 $\hat{\mathbf S}$ 도 뒤집어야 한다. 표준 기저(5.6.1스핀 1/2과 파울리 행렬)에서 $\hat S_y$ 만 허수 행렬이라 켤레 $\hat K$ 는 $\hat S_y$ 만 뒤집고, 나머지 둘은 $y$ 축 둘레 $\pi$ 회전으로 뒤집는다:

$$\hat\Theta=e^{-i\pi\hat S_y/\hbar}\,\hat K=-i\hat\sigma_y\hat K \qquad(\text{위상 하나까지})$$

두 번 걸면 $\hat\Theta^2=(-i\hat\sigma_y)(-i\hat\sigma_y)^{*}=(-i\hat\sigma_y)(i\hat\sigma_y^{*}) =(-i\hat\sigma_y)(-i\hat\sigma_y)=-1$ 이다 — $\hat\sigma_y^{*}=-\hat\sigma_y$ 를 썼다. 일반적으로 $\hat\Theta^2=(-1)^{2j}$: 정수 스핀은 $+1$, 반정수 스핀은 $-1$ 이고, 전자 $N$ 개면 $(-1)^N$ 이다. 스피너가 $2\pi$ 회전에 $-1$ 을 얻는 것(5절)과 같은 뿌리다.

크라머스 정리. $[\hat H,\hat\Theta]=0$ 이고 $\hat\Theta^2=-1$ 이면 $\psi$ 와 $\hat\Theta\psi$ 는 같은 에너지의 서로 직교하는 상태다 — 모든 준위가 적어도 2겹이다. 증명은 반유니터리 항등식 $\langle\hat\Theta a|\hat\Theta b\rangle=\langle a|b\rangle^{*}=\langle b|a\rangle$ 한 줄이다. $a=\psi$, $b=\hat\Theta\psi$ 로 놓으면

$$\langle\hat\Theta\psi|\psi\rangle =\langle\hat\Theta\psi|\hat\Theta^2\psi\rangle^{*}\Big|_{\text{항등식}} \;\Longrightarrow\; \langle\psi|\hat\Theta\psi\rangle =\langle\hat\Theta\psi|\hat\Theta^2\psi\rangle =-\langle\hat\Theta\psi|\psi\rangle =-\langle\psi|\hat\Theta\psi\rangle^{*}$$

인데, 같은 항등식을 $a=\hat\Theta\psi$, $b=\psi$ 로 한 번 더 쓰면 $\langle\psi|\hat\Theta\psi\rangle=-\langle\psi|\hat\Theta\psi\rangle$ 가 되어 겹침이 0이다. 여기서 쓴 것은 $\hat\Theta^2=-1$ 뿐이므로, 어떤 전기장 — 결정장, 슈타르크 장, 불순물의 쿨롱 장, 아무리 대칭이 낮은 것이라도 — 도 이 2겹을 가르지 못한다. 6절의 그림에서 $m=\pm1$ 이 전기장에 안 갈라지던 것이 이것이다. 자기장은 $\hat H$ 에 $-\gamma\mathbf B\cdot\hat{\mathbf S}$ 로 들어와 $[\hat H,\hat\Theta]\ne0$ 을 만들고, 그때만 갈라진다(제이만). 전자 수가 짝수인 계(스핀 1 의 NV 중심, 짝수 전자 이온)에는 이 보호가 없어 전기장만으로도 완전히 갈라질 수 있다.

같은 항등식을 $b=\hat V\psi$ ($\hat V$ 는 에르미트이고 시간 반전에 짝인 퍼텐셜)로 쓰면 $\langle\hat\Theta\psi|\hat V|\psi\rangle=0$ 이다 — 크라머스 짝 사이의 행렬 요소는 시간 반전에 짝인 어떤 섭동에 대해서도 0이다. 비자성 불순물은 $|\mathbf k\uparrow\rangle$ 을 $|-\mathbf k\downarrow\rangle$ 로 되튕기지 못한다. 위상 절연체 표면 상태의 후방 산란 억제(10부)가 이 한 줄이다.

밴드에서 — k 의 업과 −k 의 다운은 같은 에너지

스핀을 넣으면 위의 $E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$ 는

$$E_\uparrow(\mathbf k)=E_\downarrow(-\mathbf k)$$

가 된다 — $\hat\Theta$ 가 $\mathbf k$ 와 스핀을 함께 뒤집기 때문이다. 이것이 밴드의 크라머스 짝이다. 결정에 반전 대칭까지 있으면 $\hat\Pi$ 는 $\mathbf k\to-\mathbf k$ 로 보내되 스핀(유사벡터)은 그대로 두므로 $E_\uparrow(\mathbf k)=E_\uparrow(-\mathbf k)$ 이고, 둘을 합치면

$$E_\uparrow(\mathbf k)=E_\downarrow(\mathbf k)$$

— 스핀–궤도 결합이 있어도 모든 $\mathbf k$ 에서 두 스핀이 겹친다. Si·Ge 의 밴드가 스핀 축퇴인 이유가 “반전 + 시간 반전”이다. 반전이 없는 결정(GaAs 의 섬아연광: 드레셀하우스)이나 구조가 비대칭인 헤테로 계면·게이트 전기장 아래의 2차원 전자 기체(라시바)에서는 $\mathbf k\ne0$ 에서 두 스핀이 갈라진다. 그래도 $E_\uparrow(\mathbf k)=E_\downarrow(-\mathbf k)$ 는 남는다 — 그림의 아래쪽처럼 두 포물선이 $\mathbf k$ 축에서 서로 반대로 밀린 꼴이고, 이 분리를 게이트 전압으로 조절하는 것이 스핀 트랜지스터의 발상이며, 이 분리가 스핀 완화(D’yakonov–Perel’)의 원인이기도 하다(10부).

시간 반전은 보존량을 주지 않는다

$\hat\Theta$ 는 생성원이 없고 반유니터리라 고유값조차 좋은 양자수가 아니다 — $\hat\Theta(c\psi)=c^{*}\hat\Theta\psi$ 라 위상을 바꾸면 고유값이 따라 바뀐다. “시간 반전 양자수”는 없다. 대신 제약을 준다: 고유함수의 실수성, $\langle\mathbf p\rangle=0$, $E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$, 크라머스 축퇴, 크라머스 짝 사이의 행렬 요소 0. 그리고 수송 계수에 온사거 상반 관계 $\sigma_{ij}(\mathbf B)=\sigma_{ji}(-\mathbf B)$ 를 준다 — 홀 저항이 $\mathbf B$ 에 홀함수이고 2단자 저항이 $\mathbf B$ 에 짝함수인 것(7.6.7), 수동 선형 회로망의 산란 행렬이 대칭인 것($S=S^{\mathsf T}$, 상반성), 그 상반성을 깨려면 페라이트의 자기장이나 시간 변조 같은 시간 반전 홀 요소가 필요한 것(아이솔레이터·서큘레이터, 22부)이 전부 이 대칭의 표현이다.

의문

의문 — 그런데 세상은 왜 비가역인가. $\hat H$ 가 $\hat\Theta$ 와 교환하는데 커피는 식고 확산은 되돌아오지 않는다. 그것은 $\hat H$ 의 대칭이 깨져서가 아니라 초기 조건이 특별해서다 — 되돌아오는 해도 방정식의 해이지만 그 초기 조건을 준비할 확률이 $e^{-N}$ 으로 작다(6.2.4). 소자의 저항·잡음· 재결합은 전부 이 통계적 비가역성이고, 미시 해밀토니안의 시간 반전 대칭은 그 안에서도 온사거 관계로 살아남는다. “비가역”과 “시간 반전 대칭 깨짐”은 다른 말이다 — 후자는 자기장, 자성체, 그리고 약한 상호작용($K$ 중간자)에만 해당한다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 해밀토니안이 무엇에 불변인가가 무엇이 보존되고 무엇이 축퇴하고 무엇이 금지되는지를 정한다. 그리고 소자는 그 대칭을 골라 깨는 물건이다. 목적지를 적어 둔다.

• 밴드 이론 (7.2·7.7·7.9) — 격자 병진의 고유값 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf R}$ 이 블로흐 정리이고, $\mathbf k$ 가 $\mathbf G$ 마다 접히는 것이 브릴루앙 영역이며, 점군이 밴드에 라벨과 축퇴(밸리, 무거운·가벼운 정공)를 붙이고, 시간 반전이 $E(\mathbf k)=E(-\mathbf k)$ 와 스핀 축퇴를 준다(5·6·8·9절).
• 산란과 수송 (7.5·7.12·11.2) — 결정 운동량 보존 $\bmod\ \mathbf G$, 움클랍, 탄성·비탄성의 구분, 온사거 관계, 홀 효과의 $\mathbf B$ 반대칭(2·3·8·9절).
• 광학 (7.9.6·7.11·17부) — 수직 천이와 직접·간접 갭, 쌍극자 선택 규칙 $\Delta\ell=\pm1$, $\Delta m=0,\pm1$ 과 편광, 양자우물 서브밴드 규칙 $\Delta n$ 홀수와 $z$ 편광, 원편광 스핀 배향, 반전 비대칭과 $\chi^{(2)}$·포켈스(4·7·8절).
• 소자 공학 (13·14부) — 변형과 (100) 면이 Si 의 여섯 밸리를 2+4 로 가르는 것, 양자우물·나노선· 양자점이 병진 대칭을 한 방향씩 없애 양자수를 바꾸는 것, RF 구동 아래 에너지가 $\hbar\omega$ 단위로만 바뀌는 것(2·3·6절).
• 재료 (7.1·7.3·8부) — 반전 중심의 유무가 압전성·자발 분극·비선형 광학을 켜고 끄는 것, 결정장이 $d$ 준위를 가르는 것, 점군과 공간군(4·6절 → 1.13).
• 스핀트로닉스와 위상 물질 (10부) — 라시바·드레셀하우스 분리, 크라머스 짝의 후방 산란 억제, 자기장만이 가르는 축퇴(9절).
• 다음 장들. 5.8 의 축퇴 섭동론은 이 장의 “남은 대칭”으로 좋은 상태를 고르고, 5.9 의 황금률은 이 장의 선택 규칙으로 어느 행렬 요소를 계산할지 정한다. 군론 자체 — 표현·지표·기약 표현의 차원 — 는 1.13 이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 4.1 원자와 주기성
• 5.8 근사법
• 5.9 시간 의존 현상과 산란
• 7.1 결정 구조
• 7.7 밴드 이론
• 7.8 밴드 구조 계산과 페르미 면
• 7.9 반도체의 밴드 구조
• 7.13 자성의 미시 이론