7부 고체물리 7.9

반도체의 밴드 구조

7.7에서 주기 퍼텐셜이 에너지를 밴드와 갭으로 갈라놓는다는 것을 보았고, 7.8에서 밴드를 실제로 계산하는 방법과, 밴드가 절반쯤 찬 금속에서 페르미 면이 어떻게 생기는지를 보았다. 이 장은 그 반대편이다 — 페르미 준위가 밴드 안이 아니라 갭 안에 놓이는 결정. $T=0$ 에서 아래쪽 밴드(가전자대)는 꽉 차 있고 위쪽 밴드(전도대)는 비어 있어서 전류를 나를 캐리어가 하나도 없다. 그런데 갭이 좁으면(1 eV 안팎) 열·빛·불순물이 전자 몇 개를 전도대로 올리고 가전자대에 빈자리 몇 개를 남긴다. 이 소수의 캐리어가 반도체의 전부이고, 소자 물리(11부부터)는 그 소수를 어떻게 세고, 밀고, 모으고, 빛과 바꾸는가의 이야기다.

이 장이 더하는 것은 한 문장으로 줄일 수 있다 — 반도체에서는 밴드 가장자리 근처만 보면 된다. 캐리어가 전도대 바닥과 가전자대 꼭대기에서 $k_BT$ 몇 배 안에만 살기 때문에, 거대한 밴드 구조 전체가 숫자 몇 개로 접힌다. 갭 $E_g$ , 가장자리의 곡률(유효질량), 최저점이 몇 개 어디에 있는가(밸리), 전도대 바닥과 가전자대 꼭대기가 같은 $k$ 에 있는가(직접·간접). 그리고 가전자대의 빈자리를 양전하 입자 하나로 바꿔 부르는 정공. 이 셋 — 갭·유효질량·정공 — 이 11부 이후의 모든 식에 들어가는 재료다.

절 순서는 Kittel 8장을 따른다. 갭과 $E$ – $k$ 그림(1절) → 결정 속 전자의 운동 방정식(2절) → 정공(3절) → 유효질량(4절) → 실제 결정 Si·Ge·GaAs(5절) → 빛과의 상호작용 방식(6절) → 불순물 준위(7절) → 갭이 음수인 반금속(8절) → 인공 주기의 초격자(9절) → 강한 전기장에서 준고전 그림이 깨지는 두 방식(10절). 캐리어를 세는 통계(진성 농도·페르미 준위)와 수송 (이동도·확산)은 이 장에 없다 — 6.7과 11부의 자리다.

표기 — Kittel과 다른 곳을 먼저 밝힌다

이 장에서 $E$ 는 에너지다. 그러면 전기장에 다른 글자가 필요하므로 전기장은 $\mathcal{E}$ (스크립트 E)로 쓴다. Kittel은 정반대로 에너지를 $\epsilon$ , 전기장을 $E$ 로 쓰고, Ashcroft–Mermin은 에너지를 $\mathcal{E}$ , 전기장을 $E$ 로 쓴다. 이 장이 소자 교재(11부 이후)의 관례를 택한 이유는 $E_c$ , $E_v$ , $E_g$ , $E_F$ 가 그쪽에서 그대로 쓰이기 때문이다. Kittel을 옆에 펴 놓고 읽을 때 $\epsilon \leftrightarrow E$ , $E \leftrightarrow \mathcal{E}$ 로 바꿔 읽으면 된다.

$e$ 는 양수인 기본 전하 ( $1.602\times10^{-19}$ C). 전자의 전하는 $-e$ , 정공의 전하는 $+e$ . 소자 교재는 같은 양을 $q$ 로 쓴다 — 11부부터는 $q$ 가 된다.
$m$ 은 자유전자 질량 ( $9.109\times10^{-31}$ kg), $m^*$ 는 유효질량(4절). 유효질량이 여러 개 필요해지면 첨자로 구분한다 — 아래 표.
$\mathbf{k}$ 는 파수벡터이고 $\hbar\mathbf{k}$ 는 결정 운동량이다. 결정 운동량은 전자의 운동량 $\langle\mathbf{p}\rangle$ 가 아니다(2절). $k$ 를 볼츠만 상수와 혼동하지 않도록 볼츠만 상수는 언제나 $k_B$ 로 쓴다.
$\varepsilon_r$ 은 상대 유전율(비유전율). $\varepsilon$ 하나만 쓰면 Kittel의 에너지 $\epsilon$ 과 눈으로 구분되지 않아서 첨자를 붙인다.
온도는 $T$ , 밴드 폭(전도대 바닥에서 꼭대기까지)은 $\Delta$ 또는 $W$ .

이 장은 같은 글자에 첨자만 다른 양이 유난히 많다. 특히 유효질량의 식구들과 에너지 준위의 식구들은 처음 보면 전부 $m$ 과 $E$ 로 보인다. 한 번에 정리해 둔다 — 각 항목은 해당 절에서 다시 설명한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$E_c$ , $E_v$		전도대 바닥, 가전자대 꼭대기의 에너지	eV
$E_g = E_c - E_v$	밴드 갭	두 가장자리 사이. 간접 갭 결정에서는 최저 갭 (1절)	eV
$E_\Gamma$	감마 갭	$k=0$ 에서 잰 직접 갭. 간접 갭 결정에서 $E_\Gamma > E_g$ (5·6절)	eV
$E_d$ , $E_a$		도너·억셉터 이온화 에너지 — 각각 $E_c$ 에서 아래로, $E_v$ 에서 위로 잰다 (7절)	meV
$E_F$	페르미 준위	화학퍼텐셜. 반도체에서는 갭 안에 있다	eV
$\Delta_{so}$	스핀–궤도 갈라짐	가전자대 꼭대기에서 분리(split-off) 밴드가 내려간 폭 (5절)	eV
$m^*$	유효질량	밴드 곡률의 역수 $\hbar^2/(d^2E/dk^2)$ . 일반적으로 텐서 (4절)	$m$ 단위
$m_l$ , $m_t$	세로·가로 질량	타원체 밸리의 장축 방향과 단축 방향 질량 (5절)	$m$
$m_{hh}$ , $m_{lh}$ , $m_{so}$	무거운·가벼운·분리 정공 질량	가전자대 세 밴드 각각의 질량 (5절)	$m$
$m_c$	전도도 질량	이동도에 들어가는 조화 평균 (4절)	$m$
$m_{de}$ , $m_{dh}$	상태밀도 질량	상태를 셀 때 쓰는 기하 평균. 밸리 수 $M_c$ 가 들어간다 (4절)	$m$
$M_c$		등가 전도대 밸리의 수 — Si 6, Ge 4, GaAs 1 (5절)	—
$\Gamma$ , $X$ , $L$	감마·엑스·엘	브릴루앙 영역의 중심, $\langle100\rangle$ 면 중심, $\langle111\rangle$ 면 중심 (5절)	—
$\Delta$ , $\Lambda$	델타·람다	$\Gamma$ – $X$ 선, $\Gamma$ – $L$ 선. 밴드 폭 $\Delta$ 와는 문맥으로 구분 (5절)	—

이 장이 반도체 소자로 어디로 이어지는지 미리 적어 둔다.

캐리어 농도 — 진성 농도 $n_i\propto (m_{de}m_{dh})^{3/4}\,e^{-E_g/2k_BT}$ 의 지수에 $E_g$ 가, 앞 인자에 상태밀도 질량과 밸리 수가 들어간다 (6.7·11.1). 1·4·5절.
이동도 — $\mu=e\tau/m_c$ . 전도도 질량이 가벼울수록 빠르다. Si의 전자·정공 이동도 차이, III–V의 높은 전자 이동도가 전부 유효질량 이야기다 (11.2). 4·5절.
빛 — 직접 갭이어야 LED·레이저가 되고, 간접 갭 Si는 태양전지에 두꺼워야 한다. 흡수단의 모양이 갭의 종류를 알려 준다 (11.8·17부). 6절.
도핑 — 얕은 준위가 상온에서 전부 이온화되는 이유, 깊은 준위가 다른 이유, 축퇴 도핑의 시작점 (11.1). 7절.
미세 소자 — 변형(strain)으로 밸리 축퇴를 풀어 이동도를 올리는 것(14부), 양자 우물·2차원 전자 기체(13부·17부), 밴드 간 터널링 누설과 터널 FET(14부). 5·9·10절.
항복 — 제너 다이오드와 애벌런치의 구분, 초격자의 음의 미분 저항 (11.6·12부). 10절.

밴드 갭과 E–k 다이어그램

갭은 “마지막으로 찬 밴드”와 “처음으로 빈 밴드” 사이의 거리다

결정의 밴드 하나에는 원시 세포당 오비탈 2개 — 스핀 둘 — 가 들어간다(7.7.7밴드당 오비탈 수). 원시 세포당 원자가 전자가 짝수이고 밴드들이 에너지에서 서로 겹치지 않으면, 아래쪽 밴드 몇 개가 정확히 채워지고 그 위는 텅 빈다. 이것이 $T=0$ 에서의 절연체다(7.7.8금속과 절연체의 구분). Si는 원시 세포에 원자 2개, 원자당 원자가 전자 4개라 세포당 8개 — 밴드 4개가 꼭 찬다. 꽉 찬 마지막 밴드가 가전자대(valence band), 그 위의 빈 밴드가 전도대(conduction band)이고, 가전자대의 가장 높은 에너지 $E_v$ 와 전도대의 가장 낮은 에너지 $E_c$ 사이

E_g = E_c - E_v

가 밴드 갭(에너지 갭)이다. 갭 안에는 (결함이 없는 한) 전자가 들어갈 상태가 하나도 없다.

반도체와 절연체 사이에 물리적 경계선은 없다. 갭이 작아 상온에서 잴 만한 전도가 나오면 반도체, 아니면 절연체라 부를 뿐이다. 관례상 3 eV 언저리가 경계였는데 SiC(3.0 eV)·GaN(3.4 eV)이 소자 재료가 되면서 그것들을 넓은 갭 반도체라 부르고, 다이아몬드(5.4 eV)까지 그 이름으로 들어온다. 대표적인 값을 적어 둔다(Kittel 8장 Table 1 발췌 — 0 K 값과 300 K 값이 다르다는 점을 같이 본다).

결정	갭의 종류	$E_g$ (0 K)	$E_g$ (300 K)
다이아몬드 C	간접	5.4	—
Si	간접	1.17	1.11
Ge	간접	0.74	0.66
GaAs	직접	1.52	1.43
GaP	간접	2.32	2.25
InP	직접	1.42	1.27
InAs	직접	0.43	0.36
InSb	직접	0.23	0.17
α-Sn (회색 주석)	직접	0.00	0.00
HgTe	직접	$-0.30$	—

단위는 eV. 마지막 둘은 갭이 0이거나 음수다 — 8절의 반금속·영갭 반도체다. “직접·간접”은 6절.

직관

물리적 직관 — 갭은 결합을 하나 끊는 에너지 규모다. Si의 sp³ 결합 하나에 묶인 전자 둘을 그 자리에서 떼어 결정 어디로든 갈 수 있게 만드는 데 드는 에너지가 갭이다. 결합 그림에서는 “결합에서 빠져나온 전자”이고 밴드 그림에서는 “가전자대에서 전도대로 올라간 전자”인데, 둘은 같은 것이다 — 가전자대의 블로흐 상태들은 결합 오비탈(결합성 조합)로, 전도대는 반결합 오비탈로 만들어진다(7.8.1 강결합 근사). 결합이 세면 갭이 크다: C(5.4) > Si(1.1) > Ge(0.66) > Sn(0) 순서가 결합 길이가 길어지고 결합이 약해지는 순서와 같다.

숫자 감각 하나. 상온 열에너지 $k_BT=0.026$ eV 에 대해 Si의 갭은 43배다. 전자 하나가 열로 갭을 건널 확률은 대략 $e^{-E_g/2k_BT}=e^{-21.5}\approx 5\times10^{-10}$ — 왜 $2k_BT$ 인지는 6.7·11.1에서 나온다 — 이고, 가장자리 $k_BT$ 안에 들어 있는 상태 수(유효 상태밀도, 11.1)가 $10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 급이니 전도대에는 $10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 안팎이 올라가 있다. 이것이 진성 Si의 캐리어 농도 $n_i\approx 10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 의 크기이고, 도핑으로 $10^{15}\sim10^{20}$ 을 넣으면 진성 캐리어는 없는 셈이 되는 이유다.

E–k 다이어그램 읽는 법

블로흐 정리(7.7.1주기 퍼텐셜과 블로흐 정리)에 따라 결정 속 전자의 정상 상태는 밴드 지표 $n$ 과 제1 브릴루앙 영역 안의 파수벡터 $\mathbf{k}$ 로 이름 붙고, 에너지 $E_n(\mathbf{k})$ 는 $\mathbf{k}$ 의 연속 함수다. 이 함수를 그린 것이 $E$ – $k$ 다이어그램이고 $E_n(\mathbf{k})$ 전체를 밴드 구조라 부른다. 세 가지 성질이 그림의 모양을 정한다.

주기성. $E_n(\mathbf{k}+\mathbf{G})=E_n(\mathbf{k})$ . 그래서 제1 영역 안만 그리면 된다 (환원 영역 도식, 7.8.5환원 영역과 주기 영역 도식).
우함수. $E_n(-\mathbf{k})=E_n(\mathbf{k})$ — 시간 반전 대칭의 결과다(5.7.9). 결정에 반전 대칭이 없어도(섬아연광 GaAs) 이것은 성립한다.
극값의 자리. $E_n(\mathbf{k})$ 는 대칭점에서 기울기가 0이 되는 일이 많다. $\mathbf{k}$ 와 $-\mathbf{k}$ 가 같은 에너지이므로 $\mathbf{k}=0$ ( $\Gamma$ 점)에서는 언제나 $\nabla_{\mathbf{k}}E=0$ 이고, 영역 경계에서도 경계에 수직한 기울기가 0이다(7.7.6). 전도대의 바닥과 가전자대의 꼭대기가 $\Gamma$ · $X$ · $L$ 같은 이름 있는 점이나 그 사이의 선 위에 놓이는 이유다.

3차원 $\mathbf{k}$ 공간의 함수를 종이에 그릴 수는 없으므로, 관례적으로 대칭점을 잇는 선을 따라 자른 단면을 나란히 붙인다 — 5절의 $L$ – $\Gamma$ – $X$ 그림이 그것이다. 가로축은 $\mathbf{k}$ 공간의 경로이고, 축 위의 $\Gamma$ , $X$ , $L$ 은 좌표가 아니라 지명이다.

반도체에서 이 그림의 대부분은 필요 없다. 캐리어 점유는 가장자리에서 멀어질수록 $e^{-(E-E_c)/k_BT}$ 로 떨어지므로(6.4.7의 페르미–디랙 분포가 갭 안의 페르미 준위에서 멀면 이렇게 된다), 전도대 전자의 95%가 바닥에서 $3k_BT\approx 80$ meV 안에 있다. 밴드 폭이 10 eV 급이니 밴드의 1% 미만이다. 그 좁은 구간에서 $E(\mathbf{k})$ 를 극값 둘레로 2차까지 전개하면 포물선이고, 포물선의 곡률이 유효질량이다(4절). 반도체의 밴드 구조가 “갭 하나와 질량 몇 개”로 줄어드는 근거가 이것이다. 포물선에서 벗어나는 비포물선성은 가장자리에서 수백 meV 올라간 뜨거운 캐리어(11.7)나 갭이 좁은 결정(InSb)에서만 문제가 된다.

그림 7.9-1. 같은 결정을 두 축으로 본 그림. 왼쪽은 E–k 다이어그램 — 가로축이 결정 운동량이고, 가전자대(채움)와 전도대 사이의 빈 구간이 갭 E_g다. 전자와 정공은 가장자리에서 k_BT 몇 배 안의 얇은 띠에만 산다. 오른쪽은 소자 물리가 쓰는 E–x 밴드 다이어그램 — 가로축이 위치이고, 두 가장자리 E_c·E_v만 수평선으로 남는다. 오른쪽 그림에는 k 정보가 없다: 전자를 E_c 위에 찍는 것은 '전도대 바닥 근처 어딘가'라는 뜻이지 k = 0이라는 뜻이 아니다.직접 작도

주의

$E$ – $k$ 와 $E$ – $x$ 는 다른 그림이다. 소자 교재의 밴드 다이어그램은 가로축이 위치 $x$ 이고, $E_c(x)$ · $E_v(x)$ 두 선만 그린다. 전기장이 있으면 그 선이 기울고(2절, 10절), 접합이 있으면 휜다(12부). 거기서 $k$ 는 사라졌다 — 각 위치에서 “전도대 바닥이 어디인가”만 남긴 것이다. 두 그림을 겹쳐 보려면 “각 $x$ 마다 $E$ – $k$ 그림이 하나씩 서 있고, 그 최저점을 이은 것이 $E_c(x)$ ” 라고 생각하면 된다. 결정이 균일하면 모든 $x$ 에서 같은 $E$ – $k$ 그림이라 $E_c(x)$ 가 수평선이다.

또 하나. $E$ – $k$ 그림은 궤적이 아니다. 포논의 $\omega(k)$ (7.4.2단원자 사슬과 이원자 사슬)처럼 분산 관계다 — 어떤 $k$ 의 상태가 어떤 에너지를 가지는가. 전자가 그 곡선을 따라 “굴러 내려온다”는 그림은 2절의 운동 방정식을 배운 뒤에야, 그것도 조건부로만 쓸 수 있다.

갭의 온도 의존성

표에서 0 K 값과 300 K 값이 다르다. 갭은 온도가 오르면 줄어든다 — Si는 300 K 사이에 약 60 meV. 경험식은 Varshni의

E_g(T)=E_g(0)-\frac{\alpha T^2}{T+\beta}

이고, Si는 $E_g(0)=1.17$ eV, $\alpha=4.73\times10^{-4}$ eV/K, $\beta=636$ K; Ge는 $0.744$ eV, $4.77\times10^{-4}$ , $235$ K; GaAs는 $1.519$ eV, $5.41\times10^{-4}$ , $204$ K. 낮은 온도에서는 $T^2$ 로 천천히, $T\gg\beta$ 에서는 $\alpha T$ 로 직선처럼 줄어든다 — 상온 부근 Si의 기울기가 약 $-0.25$ meV/K 다.

원인은 둘이다. 하나는 열팽창 — 격자상수가 커지면 원자 간 겹침이 줄어 밴드 폭이 좁아지고 갭이 바뀐다(대개 줄어들지만 결정에 따라 부호가 다르다). 다른 하나는 전자–포논 상호작용 — 원자가 진동하면서 전자가 보는 퍼텐셜이 시간 평균으로 흐려지고, 그 2차 효과가 갭을 낮춘다. Si에서는 둘째가 더 크다. 압력을 가하면 격자상수가 줄어 첫째 효과만 따로 볼 수 있는데, Si의 간접 갭은 압력에 오히려 줄고(X 근처 밸리가 내려온다) GaAs의 직접 갭은 늘어난다 — 밸리마다 압력 계수의 부호가 다르다는 사실이 5절의 밴드 구조 차이를 보는 또 하나의 창이다.

직관

파라미터 연계 — 갭 하나가 끌고 다니는 것들.

누설 전류. 진성 농도 $n_i\propto e^{-E_g/2k_BT}$ 라 소자의 역방향 누설이 온도에 지수적으로 는다. 갭 자체가 온도에 따라 줄어드는 효과까지 겹쳐, Si 소자의 누설은 대략 10 K마다 두 배 가 된다(12부). 넓은 갭 SiC·GaN이 고온 소자가 되는 이유가 이 지수다.
빛의 파장. 갭을 건너는 광자의 파장은 $\lambda=hc/E_g=1.24\,\mu\mathrm{m\cdot eV}/E_g$ . GaAs 870 nm(적외선), GaP 550 nm(녹색), GaN 365 nm(자외선), Si 1.1 μm. LED 색은 갭이 정하고, 갭은 조성(합금)으로 조정한다(17부). 온도가 오르면 갭이 줄어 LED 파장이 길어진다.
항복 전기장. 캐리어가 격자에서 얻은 에너지로 전자–정공 쌍을 만들려면 최소 $E_g$ 가 필요하다. 항복 전기장은 대략 $E_g^{3/2}$ 에 비례해서(11.6), Si 0.3 MV/cm, GaAs 0.4, SiC 3, GaN 3.3, 다이아몬드 10 MV/cm 순으로 올라간다. 전력 소자가 넓은 갭으로 가는 이유다.
온도계. 갭의 온도 의존성을 거꾸로 쓰면 다이오드 순방향 전압이 $-2$ mV/K 로 떨어지는 온도 센서가 된다(22부의 밴드갭 기준 전압도 같은 물리다).

운동 방정식과 ħk̇ = F

파속의 속도는 밴드의 기울기다

블로흐 상태 하나는 결정 전체에 퍼져 있어 “어디에 있다”고 말할 수 없다. 위치를 말하려면 $\mathbf{k}_0$ 둘레의 좁은 $\mathbf{k}$ 구간의 블로흐 상태들을 겹친 파속을 만들어야 하고 (5.3.4자유 입자와 파속), 파속은 군속도로 움직인다(7.4.4군속도와 장파장 극한):

\mathbf{v}_g=\nabla_{\mathbf{k}}\,\omega=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}E(\mathbf{k}), \qquad v_g=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}\ \ (\text{1차원})

$E=\hbar\omega$ 를 넣은 것뿐이다. 이 한 줄이 $E$ – $k$ 그림에 기울기라는 뜻을 준다. 밴드의 바닥과 꼭대기에서는 기울기가 0이라 전자가 서 있고, 그 사이 변곡점에서 가장 빠르다. 자유전자라면 $E=\hbar^2k^2/2m$ 이라 $v=\hbar k/m$ — 속도가 $k$ 에 비례한다 — 인데, 결정에서는 그렇지 않다. 밴드 꼭대기 근처에서는 $k$ 가 커지는데 속도는 줄어든다.

꽉 찬 밴드는 전류를 나르지 않는다. $E(\mathbf{k})$ 가 우함수라 $\mathbf{v}(-\mathbf{k})=-\mathbf{v}(\mathbf{k})$ 이고, 모든 상태가 차 있으면 $\sum_{\mathbf{k}}\mathbf{v}(\mathbf{k})=0$ 이다. 전기장을 걸어도 마찬가지다 — 아래에서 보듯 전기장은 모든 $\mathbf{k}$ 를 같은 속도로 밀 뿐이고, 꽉 찬 밴드는 밀어도 꽉 찬 밴드다. 절연체가 절연체인 이유이고, 3절에서 정공이 나오는 자리다.

힘이 한 일에서 운동 방정식이 나온다

전기장 $\mathcal{E}$ 속의 전자(전하 $-e$ )가 시간 $\delta t$ 동안 $v_g\,\delta t$ 만큼 움직이면 전기장이 한 일만큼 에너지가 변한다:

\delta E=(-e\mathcal{E})\,v_g\,\delta t

한편 에너지는 $k$ 의 함수이므로 $\delta E=\dfrac{dE}{dk}\delta k=\hbar v_g\,\delta k$ . 두 식을 놓으면 $v_g$ 가 지워지고

\hbar\frac{dk}{dt}=-e\mathcal{E}

가 남는다. 자기장까지 넣으면 로렌츠 힘이 그대로 들어온다:

\hbar\,\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}_{\text{외부}}=-e\left(\boldsymbol{\mathcal{E}}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)

뉴턴의 $\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{F}$ 와 똑같이 생겼다. 다만 왼쪽이 운동량이 아니라 결정 운동량 $\hbar\mathbf{k}$ 이고, 오른쪽에 격자가 전자에 미치는 주기 퍼텐셜의 힘은 없다. 격자의 힘은 이미 $E(\mathbf{k})$ 의 모양 속에 다 들어가 있어서, 남는 것은 외부에서 건 힘뿐이다. 이 두 식 — $\mathbf{v}=\nabla_{\mathbf{k}}E/\hbar$ 와 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}$ — 이 준고전 운동 방정식이고, 결정 속 전자에 관해 앞으로 할 말의 대부분이 이 둘의 결과다.

주의

$\hbar\mathbf{k}$ 는 운동량이 아니다. 블로흐 상태 $\psi_{\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ 는 운동량 연산자 $-i\hbar\nabla$ 의 고유상태가 아니다 — $u_{\mathbf{k}}$ 에 미분이 걸려 $\hbar\mathbf{k}\psi$ 외의 항이 남는다. 실제 운동량의 기댓값은 $m\mathbf{v}_g$ 이고, 이것은 $\hbar\mathbf{k}$ 와 다르다(4절에서 둘의 비가 $m/m^*$ 임을 본다). $\hbar\mathbf{k}$ 는 격자 병진 대칭에 딸린 양자수다(5.7.8격자 병진 대칭 (블로흐 정리는 7.7)) — 포논의 $\hbar\mathbf{q}$ 가 운동량이 아니면서 충돌에서 운동량처럼 보존되는 것과 같은 사정이다(7.4.5포논의 양자화와 운동량). 보존은 역격자 벡터 $\mathbf{G}$ 를 법으로 한다: $\mathbf{k}$ 가 영역 경계를 넘으면 $\mathbf{k}-\mathbf{G}$ 로 되돌아오는데, 그 차이 $\hbar\mathbf{G}$ 만큼의 운동량은 격자 전체가 가져간다(브래그 반사). 위 유도가 이것을 자동으로 담고 있다 — $E(\mathbf{k})$ 가 주기 함수라서.

엄밀한 유도는 Kittel 8장의 “물리적 유도”와 Ashcroft–Mermin 12장에 있고, 결론은 같은 식에 조건이 붙는다는 것이다. 외부 힘이 밴드 하나 안의 상태만 섞고 다른 밴드로는 넘기지 않아야 한다 — 전기장은 $e\mathcal{E}a\ll E_g^2/E_F$ 급으로 약하고, 자기장은 $\hbar\omega_c\ll E_g^2/E_F$ , 교류 주파수는 $\hbar\omega\ll E_g$ . 첫 조건이 깨지는 것이 10절의 제너 터널링이다.

k 공간에서는 흐르고 실공간에서는 진동한다

산란이 없는 완벽한 결정에 일정한 전기장을 걸면 운동 방정식의 해는

k(t)=k_0-\frac{e\mathcal{E}}{\hbar}\,t

이다. $k$ 는 일정한 속도로 $k$ 공간을 흐른다. 영역 경계 $-\pi/a$ 에 닿으면 $+\pi/a$ 로 되돌아와 다시 흐르고, 그 사이 속도 $v(k)$ 는 밴드 기울기를 따라 0 → 최대 → 0 → 음수 → 0 을 오간다. 속도가 진동하니 위치도 진동한다 — 블로흐 진동이다. 전기장을 걸었는데 전자가 한 곳에서 떨기만 하고 흘러가지 않는다는, 자유전자 직관과 정반대의 결론이 준고전 방정식에서 나온다. 이것이 왜 보통 결정에서는 보이지 않고 어디서 보이는지는 10절에서 다룬다.

보통 결정에서 실제로 일어나는 일은 이렇다. 전자는 평균 $\tau\sim10^{-13}$ s 마다 포논이나 불순물에 산란되어 $k$ 를 잃는다(11.2). 그 사이 $k$ 가 움직인 거리는 $\delta k=-e\mathcal{E}\tau/\hbar$ — 영역 폭 $2\pi/a$ 에 비하면 티끌이다(10절의 수치). 그 작은 $\delta k$ 가 만드는 속도 변화가 드리프트 속도다:

\delta v=\frac{1}{\hbar}\frac{d^2E}{dk^2}\,\delta k =-\frac{e\mathcal{E}\tau}{m^*}, \qquad m^*\equiv\hbar^2\Big/\frac{d^2E}{dk^2}

여기서 밴드의 곡률의 역수가 질량의 자리에 들어왔다 — 4절의 유효질량이다. 이동도 $\mu=e\tau/m^*$ 는 이 식을 이름 붙인 것이다. 즉 옴의 법칙은 “블로흐 진동 한 주기의 아주 작은 첫 조각”이다.

그림 7.9-2. 1차원 강결합 밴드 E(k) = E₀ − (W/2)cos ka에서 읽어 내는 두 양. 가운데는 군속도 v = (1/ħ)dE/dk — 밴드 바닥과 꼭대기에서 0, 변곡점 ka = ±π/2에서 최대다. 아래는 유효질량 m* = ħ²/(d²E/dk²) — 바닥 근처에서 양수인 상수, 변곡점에서 발산하고, 꼭대기 근처에서는 음수다. 전기장을 걸면 k는 가로축을 따라 일정한 속도로 흐르고, 전자의 속도와 질량은 이 두 곡선을 따라 읽힌다.직접 작도

자기장만 있으면 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=-e\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 인데, $\dot{\mathbf{k}}$ 가 $\mathbf{v}=\nabla_{\mathbf{k}}E/\hbar$ 에 수직이므로 $dE/dt=\nabla_{\mathbf{k}}E\cdot\dot{\mathbf{k}}=0$ — 에너지가 보존되고, $\dot{\mathbf{k}}\perp\mathbf{B}$ 라 $\mathbf{k}$ 는 등에너지면과 $\mathbf{B}$ 에 수직한 평면의 교선을 따라 돈다(7.8.7전자 궤도·정공 궤도·열린 궤도). 포물선 밴드에서 그 궤도의 각진동수가 사이클로트론 진동수

\omega_c=\frac{eB}{m^*}

이다. 자유전자의 $eB/m$ 에서 $m$ 이 $m^*$ 로 바뀐 것뿐이고, 이것이 유효질량을 재는 방법이다: 마이크로파(24 GHz)를 쬐며 자기장을 훑어 $\omega=\omega_c$ 에서 흡수가 치솟는 $B$ 를 읽는다. $m^*\sim0.1m$ 이면 $B\sim0.1$ T 다. 조건은 산란 전에 한 바퀴를 돌 것 — $\omega_c\tau\gg1$ — 이라 4 K의 순수한 결정에서 한다. 5절의 Si·Ge 질량이 전부 이 실험 (Dresselhaus·Kip·Kittel, 1955)에서 나왔다.

정공의 개념

가전자대에 전자 하나가 빠지면 나머지 $\sim10^{22}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 개의 전자가 집단으로 움직인다. 그 집단의 거동을 매번 “빈자리를 뺀 나머지 전부”로 계산하는 대신, 빈자리 하나를 입자 하나로 부르는 것이 정공(hole)이다. 정공은 편의상의 이름이 아니라, 아래 다섯 성질을 전부 갖춘 어엿한 준입자다. 성질마다 왜 그런지가 한 줄씩이다. 빠진 전자의 상태를 $\mathbf{k}_e$ , 그 에너지를 $E_e(\mathbf{k}_e)$ 라 하자.

① 파수벡터. 꽉 찬 밴드의 총 파수벡터는 0이다 — $\mathbf{k}$ 와 $-\mathbf{k}$ 가 짝지어 지워진다. 거기서 $\mathbf{k}_e$ 를 빼면 남는 총합은 $-\mathbf{k}_e$ . 그러므로

\mathbf{k}_h=-\mathbf{k}_e

정공의 파수벡터는 빠진 전자의 반대다. 빛이 가전자대 전자를 $\mathbf{k}_e$ 에서 전도대로 올리면(6절) 남는 정공은 $-\mathbf{k}_e$ 에 있고, 전자와 정공의 파수벡터 합은 0 — 광자의 운동량이 사실상 0이니 당연하다.

② 에너지. 빠진 전자의 에너지가 낮을수록(가전자대 깊숙할수록) 계 전체의 에너지는 높다 — 낮은 자리를 비우는 데 더 많은 일이 들기 때문이다. 가전자대 꼭대기를 기준으로 정공의 에너지를 재면

E_h(\mathbf{k}_h)=-E_e(\mathbf{k}_e)

정공 밴드는 전자 밴드를 뒤집은 것이다. 가전자대는 $\Gamma$ 에서 꼭대기인 뒤집힌 포물선이므로 정공 밴드는 $\Gamma$ 에서 바닥인 보통 포물선이 되고, 정공은 그 바닥 — 가전자대 꼭대기 — 으로 몰린다. 소자 밴드 다이어그램에서 “전자는 가라앉고 정공은 떠오른다”는 말이 이것이다. 물속의 기포는 물이 아래로 가려는 경향의 반대 표현이다 — 비유이지만 구조는 같다.

③ 속도. $\mathbf{v}_h=\nabla_{\mathbf{k}_h}E_h/\hbar$ 에 ①·②를 넣으면 부호가 두 번 바뀌어

\mathbf{v}_h=\mathbf{v}_e

정공은 빠진 전자와 같은 속도로 움직인다. 빈자리가 움직이는 방향은 그 자리를 채우러 오는 전자들이 실제로 움직이는 방향의 반대인데, 그것을 $k$ 공간에서 보면 이렇게 된다.

④ 질량. 곡률이 뒤집혔으므로

m_h^*=-m_e^*

가전자대 꼭대기에서 전자의 유효질량은 음수(4절)다. 그것을 뒤집은 정공의 질량은 양수다. “음의 질량을 가진 전자”라는 어색한 말이 “양의 질량을 가진 정공”이라는 편한 말로 바뀌는 지점이 여기다.

⑤ 운동 방정식. $\hbar\dot{\mathbf{k}}_e=-e(\boldsymbol{\mathcal{E}}+\mathbf{v}_e\times\mathbf{B})$ 에 ①·③을 넣으면

\hbar\,\dot{\mathbf{k}}_h=+e\left(\boldsymbol{\mathcal{E}}+\mathbf{v}_h\times\mathbf{B}\right)

정공은 전하 $+e$ 를 가진 입자처럼 힘을 받는다. 자기장 속에서 전자와 반대 방향으로 돈다.

이 다섯을 합치면 정공은 “전하 $+e$ , 양의 질량 $|m_e^*|$ , 파수벡터 $-\mathbf{k}_e$ , 에너지 $-E_e$ 인 입자”다. 전류도 맞는다. 밴드 하나의 전류는 차 있는 상태들의 속도 합이므로

\mathbf{j}=(-e)\sum_{\text{찬 상태}}\mathbf{v} =(-e)\Big[\sum_{\text{전체}}\mathbf{v}-\mathbf{v}(\mathbf{k}_e)\Big] =+e\,\mathbf{v}(\mathbf{k}_e)

— 꽉 찬 밴드의 합은 0이니, 전자 하나가 빠진 밴드의 전류는 빠진 자리의 속도로 움직이는 양전하 하나의 전류다.

그림 7.9-3. 같은 상황의 두 그림. 왼쪽은 전자 그림 — 가전자대가 k_e 한 자리만 비고 다 차 있다. 전기장을 걸면 모든 전자의 k가 같은 속도로 함께 흐르고, 빈자리도 함께 흐른다. 오른쪽은 정공 그림 — 밴드를 뒤집고(E_h = −E_e) 파수벡터를 뒤집으면(k_h = −k_e) 빈자리 하나가 위로 열린 포물선 위의 입자 하나가 된다. 속도는 같고, 질량은 양수이고, 전기장에 대한 응답은 전하 +e의 것이다.직접 작도

주의

정공은 양전자가 아니고, “가전자대의 전자”도 아니다. 정공은 $10^{22}$ 개 전자의 집단 운동에 붙인 이름이다. 그래서 정공을 하나 “만들려면” 전자 하나를 빼야 하고(빛·열·억셉터), 전자 하나가 빈자리로 “떨어지면” 정공이 사라진다(재결합, 11.3). 질량이 양수라고 실제 입자의 관성이 있는 것은 아니다 — 4절에서 보듯 유효질량 자체가 격자와 주고받는 운동량을 접어 넣은 장부상의 양이다.

에너지 축 주의. 소자 밴드 다이어그램은 언제나 전자 에너지를 위로 그린다. 그 그림에서 정공의 에너지는 아래로 갈수록 높다 — 정공이 $E_v$ 에 몰려 있다는 것은 정공으로서 가장 낮은 에너지에 있다는 뜻이다. 정공 밴드를 따로 뒤집어 그리는 일은 이 절 말고는 거의 없다.

정공이 실재한다는 가장 직접적인 증거는 홀 효과의 부호다(7.6.7자기장 내 운동과 홀 효과). p형 반도체의 홀 계수는 양수다 — 캐리어가 양전하처럼 자기장에 휜다. 전자만으로는 이 부호가 나오지 않는다. 금속 중에도 Al·Zn·Cd처럼 홀 계수가 양수인 것이 있는데, 페르미 면이 거의 찬 밴드의 꼭대기 근처를 지나 정공 궤도(7.8.7전자 궤도·정공 궤도·열린 궤도)가 지배하기 때문이다. 반도체는 그 극단이다 — 밴드가 통째로 차고 정공 몇 개만 남는다.

한 가지가 더 있다. 5절에서 보듯 실제 반도체의 가전자대 꼭대기에는 곡률이 다른 밴드가 둘 겹쳐 있어서 정공은 두 종류다 — 무거운 정공과 가벼운 정공. 이동도, 상태밀도, 빛의 편광 선택 규칙에 둘이 다르게 기여한다. 소자 물리에서 “정공의 유효질량”이라 할 때는 둘을 적절히 평균한 값(4절의 상태밀도 질량·전도도 질량)을 뜻한다.

유효질량 텐서와 물리적 해석

곡률의 역수가 질량이다

2절의 두 방정식을 이어 붙이면 가속도가 나온다. 1차원에서

\frac{dv}{dt}=\frac{1}{\hbar}\frac{d^2E}{dk^2}\frac{dk}{dt} =\frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}\,F

이므로, 뉴턴의 $F=m\,dv/dt$ 와 같은 꼴로 쓰려면 질량 자리에

m^*=\hbar^2\left(\frac{d^2E}{dk^2}\right)^{-1}

를 두면 된다. 이것이 유효질량이다. 밴드 바닥 근처에서 $E(k)$ 를 2차까지 전개하면

E(k)\approx E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}

— 자유전자의 분산 $\hbar^2k^2/2m$ 에서 $m$ 을 $m^*$ 로 바꾼 것이다. 결정 속 전자가 격자의 주기 퍼텐셜을 전혀 느끼지 않는 자유전자처럼 행동하되 질량만 다르다는 말이고, 반도체 물리가 결정을 잊고 “질량 $m^*$ 인 입자의 기체”로 계산을 시작할 수 있는 근거다. 자유전자의 운동량 $m\mathbf{v}$ 와 결정 운동량 $\hbar\mathbf{k}$ 의 비가 여기서 나온다 — 포물선 밴드에서 $\hbar k=m^*v$ 이므로 $m\mathbf{v}=(m/m^*)\hbar\mathbf{k}$ .

3차원에서는 곡률이 방향마다 다를 수 있다. 가속도의 $\mu$ 성분은

\frac{dv_\mu}{dt}=\frac{1}{\hbar}\sum_\nu\frac{\partial^2E}{\partial k_\mu\partial k_\nu}\dot k_\nu =\sum_\nu\left(\frac{1}{m^*}\right)_{\mu\nu}F_\nu, \qquad \left(\frac{1}{m^*}\right)_{\mu\nu}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2E}{\partial k_\mu\partial k_\nu}

— 질량이 아니라 질량의 역수가 텐서다. 2계 편미분이라 대칭 텐서이고, 대칭 텐서는 주축으로 대각화된다(1.3.7이차 형식과 주축 변환). 주축 좌표에서 극값 둘레의 밴드는

E(\mathbf{k})=E_c+\frac{\hbar^2}{2}\left(\frac{k_1^2}{m_1}+\frac{k_2^2}{m_2}+\frac{k_3^2}{m_3}\right)

이고, 등에너지면은 타원체다. 세 주질량이 같으면 구(GaAs의 $\Gamma$ 밸리), 둘이 같으면 회전 타원체(Si·Ge의 밸리 — $m_l$ 하나와 $m_t$ 둘). 힘이 주축 방향이 아니면 가속도가 힘과 평행하지 않다 — 무거운 축 성분은 덜 가속되고 가벼운 축 성분은 더 가속되어 방향이 가벼운 쪽으로 꺾인다.

물리적 해석 — 격자가 운동량을 주고받는다

유효질량이 자유전자 질량과 다른 이유, 특히 음수가 되거나 $m$ 보다 훨씬 가벼워지는 이유를 Kittel은 브래그 반사로 설명한다. 영역 경계 근처의 근사 자유전자(7.7.6영역 경계 근처의 근사해)를 떠올리자. 파수 $k$ 의 전자는 순수한 $e^{ikx}$ 가 아니라 $e^{ikx}$ 와 브래그 반사된 $e^{i(k-G)x}$ 의 섞임이고, $k$ 가 경계 $G/2$ 에 다가갈수록 반사 성분이 커진다. 반사 성분은 반대 방향으로 가므로 $k$ 가 커지는데도 순 속도는 줄어든다 — 힘을 주면 $k$ 는 늘지만 속도는 준다. 가속도가 힘의 반대이니 $m^*<0$ 이다. 그 사이 운동량은 어디로 갔는가. 격자로 갔다. 전기장이 전자에 준 충격량보다 더 많은 운동량을 격자가 가져가면 전자는 뒤로 밀리고, 격자가 오히려 같은 방향으로 보태 주면 자유전자보다 더 빨리 가속된다 — $m^*<m$ 이다. 유효질량은 전자와 격자 사이의 운동량 거래를 전자 쪽 장부에 몰아 적은 것이다.

2밴드 근사가 이것을 숫자로 만든다. 7.7.6의 결과를 영역 경계 위쪽 밴드 바닥에서 2차까지 쓰면

E(\tilde k)\approx E_c+\frac{\hbar^2\tilde k^2}{2m}\left(1+\frac{2\lambda}{U}\right), \qquad \lambda=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{G}{2}\right)^2

여기서 $\tilde k$ 는 경계에서 잰 파수, $U$ 는 퍼텐셜의 푸리에 성분 $U_G$ — 그 경계에서 열린 갭이 $2U$ 다(7.7.4의 중심 방정식) — 이고, $\lambda$ 는 경계에서의 자유전자 에너지다. 따라서

\frac{m^*}{m}=\frac{1}{1+2\lambda/U}\approx\frac{U}{2\lambda} \quad(U\ll\lambda)

갭이 작을수록 유효질량이 가볍다. 아래쪽 밴드 꼭대기는 같은 크기의 음수다. $\lambda$ 는 수 eV, 갭 $2U$ 는 1 eV 안팎이므로 $m^*/m$ 이 0.1 급으로 나온다 — 실제 반도체의 전자 유효질량이 그 크기다.

같은 결론이 k·p 섭동(7.8.4k·p 방법)에서 더 일반적으로 나온다. 밴드 $n$ 의 $\Gamma$ 근처 질량은

\frac{m}{m^*}=1+\frac{2}{m}\sum_{n'\neq n}\frac{|\langle n|p_x|n'\rangle|^2}{E_n-E_{n'}}

이고, 전도대 바닥에 가장 가까운 밴드는 가전자대라 분모가 $E_g$ 다. 운동량 행렬 요소를 $E_P\equiv2|p_{cv}|^2/m$ 으로 묶으면

\frac{m}{m_e^*}\approx1+\frac{E_P}{E_g}

$E_P$ 는 III–V 반도체 전체에서 20~25 eV로 거의 같다. 그래서 전자 질량은 갭 하나로 거의 결정된다:

결정	$E_g$ (eV, 300 K)	$m_e^*/m$ (관측)	$1/(1+20/E_g)$
InSb	0.17	0.015	0.008
InAs	0.36	0.026	0.018
GaAs	1.43	0.066	0.067
InP	1.27	0.073	0.060
GaN	3.4	0.20	0.15

(관측값은 Kittel 8장 Table 2와 문헌 대표값.) 비례 관계가 한 자릿수 안에서 맞고, 좁은 갭 쪽으로 갈수록 실제 질량이 더 가벼워지는 경향까지 맞다.

직관

파라미터 연계 — $E_g$ 가 $m^*$ 를 끌고, $m^*$ 가 이동도를 끈다. $\mu=e\tau/m^*$ 이니 갭이 좁은 InSb의 전자 이동도(77,000 cm²/V·s)가 Si(1,400)의 50배인 것은 대부분 질량 차이다. 반대로 좁은 갭은 $n_i$ 를 키우고(1절), 가벼운 질량은 상태밀도를 줄여 같은 페르미 준위에서 전자 수가 적어진다(11.1의 $N_c\propto m_{de}^{3/2}$ ). 그리고 같은 k·p 논리로, 가벼운 밴드는 비포물선이다 — $E$ 가 커지면서 분모 $E_g$ 가 사실상 $E_g+E$ 로 바뀌므로 질량이 에너지와 함께 무거워진다(Kane 모형: $E(1+E/E_g)=\hbar^2k^2/2m^*$ ). 갭·질량·이동도·상태밀도·비포물선성이 한 매개변수 $E_g$ 에 묶여 있다.

어느 유효질량인가 — 상황마다 평균이 다르다

질량이 텐서이고 밸리가 여럿이면 “Si 전자의 유효질량”이라는 숫자 하나는 없다. 무엇을 계산하는가에 따라 다른 평균을 쓴다. Si의 값(밸리 6개, $m_l=0.92m$ , $m_t=0.19m$ )으로 같이 적는다.

이름	정의	어디에 쓰나	Si
세로·가로 질량 $m_l$ , $m_t$	타원체의 주축 질량	원자료. 사이클로트론 공명에서 나온다	0.92, 0.19
전도도 질량 $m_c$	$\dfrac{3}{m_c}=\dfrac{1}{m_l}+\dfrac{2}{m_t}$	이동도 $\mu=e\tau/m_c$ . 등가 밸리를 고루 채웠을 때 세 방향 평균 (11.2)	0.26
상태밀도 질량 $m_{de}$	$M_c^{2/3}(m_lm_t^2)^{1/3}$	유효 상태밀도 $N_c\propto m_{de}^{3/2}$ , $n_i$ (6.7·11.1)	1.06
사이클로트론 질량 $m_{cy}$	$\dfrac{1}{m_{cy}^2}=\dfrac{\cos^2\theta}{m_t^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{m_lm_t}$	$\omega_c=eB/m_{cy}$ . $\theta$ 는 $\mathbf{B}$ 와 장축 사이 각	0.19~0.42
정공 상태밀도 질량 $m_{dh}$	$\left(m_{hh}^{3/2}+m_{lh}^{3/2}\right)^{2/3}$	$N_v$ . 두 밴드의 상태를 더한 것 (5절)	0.55

전도도 질량이 조화 평균인 이유는 이동도가 $1/m$ 에 비례하기 때문이고, 상태밀도 질량이 기하 평균(에 밸리 수의 $2/3$ 승)인 이유는 상태 수가 타원체의 부피 $\propto\sqrt{m_1m_2m_3}$ 에 비례하기 때문이다. 같은 결정에서 두 값이 0.26과 1.06으로 네 배 다르다 — 어느 식에 어느 질량을 넣는지가 결과를 네 배 바꾼다.

주의

$m^*$ 는 질량이 아니라 곡률이다 — 세 가지 함정. ① 자리에 따라 다르다. 극값 근처에서만 상수이고, 변곡점에서 발산하며, 꼭대기에서 음수다 (2절 그림). “Si 전자의 질량 0.26”은 전도대 바닥 근처 $k_BT$ 몇 배 안에서만 뜻이 있다. ② 방향에 따라 다르다. 텐서이므로 힘과 가속도가 평행하지 않을 수 있다. 등방 매질처럼 계산하려면 위 표의 평균 중 하나를 골라야 하고, 무엇을 계산하는지에 따라 고르는 평균이 다르다. ③ 정의에 따라 다르다. 비포물선 밴드에서는 곡률 질량 $\hbar^2/(d^2E/dk^2)$ 와 속도 질량 $\hbar k/v=\hbar^2k/(dE/dk)$ 가 다르다. 광학 실험(플라스마 진동수, 7.10)은 후자에 가깝고, 사이클로트론 공명은 전자에 가깝다. 문헌 값이 서로 다르면 대개 이 정의 차이다.

Si·Ge·GaAs의 밴드 구조와 등에너지면

브릴루앙 영역의 지명

Si·Ge(다이아몬드 구조)와 GaAs(섬아연광 구조)는 모두 fcc 격자 위에 원자 두 개를 얹은 결정이고(7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광)), 브릴루앙 영역은 잘린 팔면체다(7.2.2브릴루앙 영역). 밴드 구조를 말할 때 쓰는 지명은 셋이면 충분하다.

이름	좌표 (단위 $2\pi/a$ )	어디인가	등가점 수
$\Gamma$	$(0,0,0)$	영역 중심	1
$X$	$(1,0,0)$	정사각형 면의 중심, $\langle100\rangle$ 방향	6 → 3 (면을 마주 보는 둘이 $\mathbf{G}$ 로 같다)
$L$	$(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$	육각형 면의 중심, $\langle111\rangle$ 방향	8 → 4

$\Gamma$ 에서 $X$ 로 가는 선을 $\Delta$ , $L$ 로 가는 선을 $\Lambda$ 라 부른다. 밴드 그림의 가로축 $L$ – $\Gamma$ – $X$ 는 $\langle111\rangle$ 방향으로 갔다가 $\Gamma$ 로 돌아와 $\langle100\rangle$ 방향으로 가는 경로다.

세 결정의 밴드 구조

그림 7.9-4. 경험적 유사퍼텐셜법(Cohen–Bergstresser의 형상 인자, 평면파 100개 안팎, 스핀–궤도 제외)으로 직접 계산한 Si·Ge·GaAs의 밴드 구조, L–Γ–X 경로. 가전자대 꼭대기(Γ)를 0 eV로 잡았다. 세 결정의 가전자대는 거의 같은 모양인데 전도대 최저점의 자리가 다르다 — Si는 Γ–X 선의 85% 지점(6개), Ge는 L(8×½ = 4개), GaAs는 Γ(1개). 화살표가 최저 갭이다. 이 계산의 갭은 Si 0.83(간접)·3.42(Γ 직접), Ge 0.97(L)·1.22(Γ), GaAs 1.42(Γ)·L 밸리 +0.25·X 밸리 +0.32 eV. 실험값은 Si 1.12·3.4, Ge 0.66·0.80, GaAs 1.42·+0.29·+0.48 eV — 형상 인자 셋으로 맞춘 모형이라 자리와 순서는 맞고 크기는 몇 할 안에서 맞는다.직접 작도

세 그림에서 읽을 것을 순서대로 적는다.

가전자대는 셋이 거의 같다. 꼭대기는 언제나 $\Gamma$ 이고, 거기서 밴드 세 개가 만난다 — 원자의 $p$ 오비탈 셋( $p_x,p_y,p_z$ )에서 온 결합성 조합이다. 가장 아래 가전자대 하나는 $s$ 오비탈에서 왔고 $\Gamma$ 에서 $-12$ eV 안팎까지 내려간다. 가전자대 전체 폭 12 eV 가 “밴드 폭 $\gg E_g$ ” 의 실제 크기다.

전도대 최저점의 자리가 셋을 가른다.

Si — $\Gamma$ – $X$ 선( $\Delta$ ) 위, $X$ 까지 거리의 약 85% 지점. $\langle100\rangle$ 방향이 여섯이므로 등가 최저점이 6개다. $\Gamma$ 의 전도대는 훨씬 높아(직접 갭 $E_\Gamma\approx3.4$ eV) Si는 확실한 간접 갭이다.
Ge — $L$ 점. $L$ 은 영역 경계 위의 점이라 타원체의 절반만 영역 안에 들어 있고, 8개의 반쪽 = 4개의 밸리다. $\Gamma$ 의 직접 갭은 0.80 eV 로 최저 갭 0.66 eV 보다 겨우 0.14 eV 높다 — Ge는 “거의 직접”이다. 인장 변형이나 Sn 합금(GeSn)으로 $\Gamma$ 를 $L$ 아래로 끌어내리면 직접 갭이 되어 Si 기판 위의 레이저 재료가 된다(17부).
GaAs — $\Gamma$ 점, 1개. 직접 갭이고, 위성 밸리가 $L$ 에 $+0.29$ eV, $X$ 에 $+0.48$ eV 위에 있다. 강한 전기장에서 전자가 $\Gamma$ 에서 무거운 $L$ 밸리로 옮겨가며 속도가 떨어지는 것이 건(Gunn) 효과다(11.7.2).

직관

수식적 직관 — 왜 Si의 최저점은 $\Gamma$ 가 아닌가. 전도대 바닥은 반결합 상태다. 직접 갭 반도체의 $\Gamma$ 전도대 바닥은 $s$ 성 반결합 조합인데, 원자 번호가 작을수록 $s$ – $p$ 에너지 차가 커서 Si에서는 이 $s$ 반결합 상태가 4.2 eV 까지 올라가 $p$ 성 반결합 상태(3.4 eV, 그림의 $\Gamma$ 전도대)보다도 높다. 대신 $\langle100\rangle$ 방향 영역 경계 근처에서 $s$ · $p$ 가 섞인 다른 조합이 1.1 eV 로 낮게 내려온다. Ge는 $s$ 준위가 상대적으로 낮아 $s$ 성 $\Gamma$ 전도대가 0.80 eV 까지 내려오고, 더 무거운 원자로 가면(α-Sn) 그것이 가전자대 아래로 파고들어 갭이 0이 된다. GaAs가 직접인 것은 Ga·As의 이온성이 $\Gamma$ 의 $s$ 성 전도대를 추가로 낮추기 때문이고, GaP·AlAs처럼 가벼운 원소가 들어가면 다시 $X$ 로 넘어가 간접이 된다. $\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{As}$ 가 $x\approx0.45$ 에서 직접→간접으로 바뀌는 것이 이 경쟁이다.

전도대 — 밸리와 타원체

Si·Ge의 전도대 최저점은 대칭축 위에 있으므로 등에너지면은 그 축을 회전축으로 하는 회전 타원체다. Si의 $[100]$ 밸리라면

E(\mathbf{k})=E_c+\frac{\hbar^2}{2}\left[\frac{(k_x-k_0)^2}{m_l}+\frac{k_y^2+k_z^2}{m_t}\right]

이고 나머지 다섯은 축을 바꾼 것이다. 사이클로트론 공명으로 잰 값은

	밸리 위치	$M_c$	$m_l/m$	$m_t/m$	$m_l/m_t$	$m_c/m$	$m_{de}/m$
Si	$\Delta$ (0.85 $X$ )	6	0.92	0.19	4.8	0.26	1.06
Ge	$L$	4	1.57	0.082	19	0.12	0.55
GaAs	$\Gamma$	1	0.066	0.066	1	0.066	0.066

(Kittel 8장의 값. 문헌에 따라 Si $m_l$ 을 0.98로, Ge $m_l$ 을 1.64로 적기도 한다.) Ge의 밸리는 장축이 단축의 $\sqrt{19}\approx4.4$ 배로 아주 길쭉하고, Si는 2.2배다.

그림 7.9-5. 전도대 최저점 둘레의 등에너지면. fcc 브릴루앙 영역(잘린 팔면체) 안에 Si는 ⟨100⟩ 축 위 X에 가까운 자리에 회전 타원체 여섯 개, Ge는 육각형 면의 중심 L에 ⟨111⟩ 방향으로 길쭉한 타원체 여덟 개 — 각각 절반만 영역 안이라 네 개 — 가 놓이고, GaAs는 Γ에 구 하나가 있다. 타원체의 장축·단축 비는 √(m_l/m_t)로, Si 2.2, Ge 4.4다. 사이클로트론 공명은 자기장을 돌려 가며 이 타원체의 단면을 읽어 낸 실험이다.직접 작도

밸리가 여럿이고 타원체라는 사실은 소자에서 두 번 크게 쓰인다.

표면 위 밸리 갈라짐. (100) Si 표면의 MOSFET 반전층은 표면에 수직한 방향으로 전자를 가둔다(13부). 가둠 에너지는 수직 방향 질량이 무거울수록 낮으므로, 장축이 표면에 수직한 밸리 둘( $m_l$ 이 수직)이 나머지 넷보다 낮아져 먼저 채워진다. 그 두 밸리의 면내 질량은 가벼운 $m_t=0.19$ 라 채널 이동도가 좋다. Si CMOS가 (100) 면을 쓰는 이유 중 하나다.
변형 공학. 채널에 인장 변형을 주면 밸리 여섯의 축퇴가 풀려 면내 질량이 가벼운 밸리로 전자가 몰리고, 밸리 간 산란도 줄어 이동도가 오른다(14부). 정공 쪽은 압축 변형이 무거운 정공과 가벼운 정공을 갈라 같은 일을 한다. 밸리의 개수와 방향이 곧 설계 변수다.

GaAs의 $\Gamma$ 밸리는 구이지만 비포물선이다. 4절의 Kane 관계 $E(1+E/E_g)=\hbar^2k^2/2m^*$ 로 잘 맞고, 바닥에서 0.3 eV 올라가면 질량이 1.2배쯤 무거워진다. 위성 밸리 $L$ 의 질량은 약 $0.55m$ 로 $\Gamma$ 의 여덟 배 — 전자가 옮겨가는 순간 속도가 급락하는 것이 건 효과의 기구다.

가전자대 — 무거운 정공·가벼운 정공·분리 밴드

$\Gamma$ 에서 만나는 세 가전자대는 $p$ 오비탈에서 왔다. $p$ 오비탈은 궤도 각운동량 $l=1$ 을 가지므로 스핀–궤도 결합(5.8.3수소의 미세 구조)이 작용해 $j=3/2$ (4중)와 $j=1/2$ (2중)로 갈라진다. $j=1/2$ 쪽이 $\Delta_{so}$ 만큼 내려간 분리 밴드(split-off band)이고, 남은 $j=3/2$ 넷은 $\Gamma$ 에서 여전히 축퇴한 채 $k\neq0$ 에서 곡률이 다른 두 밴드 — 무거운 정공(hh)과 가벼운 정공(lh) — 으로 갈라진다.

	$\Delta_{so}$ (eV)	$m_{hh}/m$	$m_{lh}/m$	$m_{so}/m$
Si	0.044	0.49	0.16	0.24
Ge	0.29	0.28	0.044	0.08
GaAs	0.34	0.5	0.082	0.17

(GaAs는 Kittel 8장 Table 2, Si·Ge는 문헌 대표값.) $\Delta_{so}$ 는 원자 번호와 함께 급히 커진다 — Si 44 meV 는 $k_BT$ 두 배라 분리 밴드가 상온에서 정공을 조금 담지만, Ge·GaAs 에서는 무시된다.

무거운·가벼운 정공 밴드는 타원체가 아니다. 입방 대칭 아래서 두 밴드의 2차 전개는 (Dresselhaus·Kip·Kittel)

E(\mathbf{k})=Ak^2\pm\sqrt{B^2k^4+C^2\left(k_x^2k_y^2+k_y^2k_z^2+k_z^2k_x^2\right)}

이고 $A$ , $B$ , $C$ 는 $\hbar^2/2m$ 단위의 상수다(Kittel — Si: $A=-4.29$ , $|B|=0.68$ , $|C|=4.87$ ; Ge: $-13.38$ , $8.48$ , $13.15$ ). $C=0$ 이면 두 구가 되고, $C\neq0$ 이라 $\langle100\rangle$ 과 $\langle111\rangle$ 방향의 곡률이 달라 뒤틀린 구(warped sphere)가 된다. 위 표의 $m_{hh}$ , $m_{lh}$ 는 이 뒤틀린 면을 방향 평균한 값이다.

의문

왜 정공은 전자보다 무거운가. Si의 정공 이동도(450 cm²/V·s)가 전자(1,400)의 1/3인 것, p-MOSFET이 n-MOSFET보다 느린 것의 뿌리가 이 질문이다. 4절의 k·p 논리로 보면, 밴드가 가벼워지는 것은 가까운 다른 밴드와 운동량 행렬 요소로 강하게 결합할 때다. 전도대 바닥( $s$ 성)은 가전자대( $p$ 성)와 강하게 결합해 가벼워진다. 가전자대 쪽에서는 그 결합이 세 밴드 중 일부에만 돌아간다 — 가장 단순한 Kane 모형에서는 가벼운 정공만 전도대와 결합하고, 무거운 정공은 대칭 때문에 전도대와 결합하지 못해 질량이 $m$ 그대로 남는다(실제로는 더 먼 밴드들이 조금 가볍게 만든다). 그래서 무거운 정공이 생기고, 상태밀도는 $m^{3/2}$ 에 비례해 무거운 쪽이 압도하므로 “정공”의 평균 질량이 전자보다 무겁다. 이 비대칭을 줄이려면 변형으로 무거운 정공 밴드를 밀어 내리거나(14부), 정공 질량이 가벼운 Ge 채널을 쓴다.

세 결정의 핵심 값을 한 표에 모아 둔다 — 11부부터 이 숫자들을 계속 꺼내 쓴다.

	Si	Ge	GaAs
구조 / 격자상수 (Å)	다이아몬드 / 5.43	다이아몬드 / 5.66	섬아연광 / 5.65
$E_g$ (300 K, eV)	1.12 간접	0.66 간접	1.42 직접
$E_\Gamma$ (직접 갭, eV)	3.4	0.80	1.42
전도대 밸리	$\Delta$ ×6	$L$ ×4	$\Gamma$ ×1
$m_l$ , $m_t$ 또는 $m^*$	0.92, 0.19	1.57, 0.082	0.066
$m_{hh}$ , $m_{lh}$	0.49, 0.16	0.28, 0.044	0.5, 0.082
$\Delta_{so}$ (eV)	0.044	0.29	0.34
$\varepsilon_r$ (정적)	11.7	15.8	13.1
$\mu_e$ , $\mu_h$ (cm²/V·s, 300 K)	1400, 450	3900, 1900	8500, 400

직접·간접 천이

광자는 에너지만 주고 파수벡터는 못 준다

전자가 빛을 흡수해 가전자대에서 전도대로 올라갈 때 에너지와 파수벡터가 모두 보존되어야 한다:

E_c(\mathbf{k}')=E_v(\mathbf{k})+\hbar\omega, \qquad \mathbf{k}'=\mathbf{k}+\mathbf{q}

$\mathbf{q}$ 는 광자의 파수벡터인데, 크기를 비교하면 무시할 수준이다. 1.4 eV 광자의 파장은 880 nm 라 $q=2\pi/\lambda\approx7\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}$ 이고, 브릴루앙 영역의 반폭 $\pi/a\approx6\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}$ 의 천분의 일이다. 그래서 광학 천이는 $E$ – $k$ 그림에서 수직이다 — $\mathbf{k}'=\mathbf{k}$ .

여기서 5절의 밴드 구조가 둘로 갈린다.

직접 갭(GaAs·InP·GaN): 가전자대 꼭대기와 전도대 바닥이 같은 $\mathbf{k}$ ( $\Gamma$ )에 있다. $\hbar\omega\ge E_g$ 인 광자는 그 자리에서 곧장 전자를 올린다. 역과정 — 전도대 바닥의 전자가 가전자대 꼭대기의 정공과 만나 광자를 내는 것 — 도 마찬가지로 1차 과정이다.
간접 갭(Si·Ge·GaP): 전도대 바닥이 $\Gamma$ 에서 멀리( $\Delta$ 위, 또는 $L$ ) 있다. $\hbar\omega=E_g$ 인 광자는 에너지는 맞지만 $\mathbf{k}$ 를 $\mathbf{k}_c$ 만큼 옮겨 줄 수 없다. 부족한 파수벡터를 포논이 대야 한다 — 포논은 에너지가 수십 meV로 작지만 파수벡터는 영역 전체를 채운다(7.4.3음향·광학 포논). 포논을 흡수하거나 방출하면서

\hbar\omega=E_g\mp\hbar\Omega

에서 천이가 열린다( $\Omega$ 는 파수벡터 $\mathbf{k}_c$ 인 포논의 진동수). 광자·전자·포논 셋이 만나야 하는 2차 과정이라 확률이 훨씬 작다.

그림 7.9-6. 왼쪽: 직접 갭 — 가전자대 꼭대기와 전도대 바닥이 같은 k에 있어 광자 하나(세로 화살표)로 건넌다. 가운데: 간접 갭 — 전도대 최저점이 k_c에 있어 광자가 에너지를 주고(세로) 포논이 파수벡터를 대야(가로 점선) 한다. Γ에서의 직접 갭 E_Γ는 더 높다. 오른쪽: 그 결과 흡수 계수의 문턱 모양이 다르다 — 직접은 (ħω − E_g)^{1/2}로 급히 서고, 간접은 (ħω − E_g ± ħΩ)²로 완만하게 시작하며 크기도 백 배 이상 작다.직접 작도

흡수단의 모양이 갭의 종류를 말한다

흡수 계수 $\alpha(\hbar\omega)$ 의 문턱 근처 모양은 두 밴드의 결합 상태밀도(7.11.4)로 정해진다. 포물선 밴드 둘 사이의 수직 천이는 3차원 자유 입자 상태밀도와 같은 $\sqrt{E}$ 꼴을 주므로

\alpha_{\text{직접}}\propto\left(\hbar\omega-E_g\right)^{1/2}

이고, 간접 천이는 가전자대의 상태 하나와 전도대의 상태 하나를 포논이 아무렇게나 이어 주므로 두 상태밀도의 합성곱 — $\sqrt{E}$ 둘을 겹친 — 이 되어

\alpha_{\text{간접}}\propto\left(\hbar\omega-E_g\pm\hbar\Omega\right)^2

가 된다. 포논 흡수 항은 포논 점유수 $n_B(\Omega)$ 에, 방출 항은 $n_B+1$ 에 비례하므로 낮은 온도에서는 흡수 항이 사라지고 문턱이 $E_g+\hbar\Omega$ 로 옮겨 간다 — 문턱의 온도 의존성에서 포논 에너지를 읽어 낼 수 있다. 실험에서는 $\left(\alpha\hbar\omega\right)^2$ 또는 $\left(\alpha\hbar\omega\right)^{1/2}$ 를 $\hbar\omega$ 에 대해 그려(Tauc 도표) 직선이 되는 쪽이 갭의 종류이고, 직선이 가로축과 만나는 점이 $E_g$ 다(19부 광학 계측).

직관

그래프 직관 — 지수가 말하는 것. 문턱 바로 위에서 $\alpha$ 의 지수는 “몇 개의 연속 변수를 자유롭게 고를 수 있는가”를 센다. 직접 천이는 $\mathbf{k}$ 하나를 고르면 끝이라 3차원 상태밀도 $E^{1/2}$ 하나, 간접 천이는 $\mathbf{k}$ 와 $\mathbf{k}'$ 를 따로 고르므로 $E^{1/2}\ast E^{1/2}=E^2$ . 크기도 다르다 — 문턱 바로 위에서 GaAs는 $10^4\,\mathrm{cm^{-1}}$ 급, Si는 $10^2$ 급이고, Si는 $E_\Gamma=3.4$ eV 근처에서야 직접 천이가 열려 $10^6$ 급이 된다. 흡수 길이 $1/\alpha$ 로 바꾸면 GaAs 태양전지는 수 μm, Si 태양전지는 100 μm 급이어야 하는 이유가 여기서 나온다(17부).

빛을 내는 쪽 — 왜 Si LED는 없는가

흡수의 역과정이 발광이다. 직접 갭에서는 전도대 바닥의 전자가 가전자대 꼭대기의 정공과 $10^{-9}$ s 안에 재결합하며 광자를 낸다. 간접 갭에서는 포논이 끼어야 하므로 복사 재결합 수명이 $10^{-3}$ s 급으로 백만 배 길고, 그 전에 결함을 통한 비복사 재결합(11.3의 SRH)이 전자를 먼저 없앤다. Si의 내부 양자 효율은 $10^{-4}$ 아래다. 그래서 발광 소자는 전부 직접 갭 III–V(GaAs·InP·GaN 계)이고, Si는 빛을 받는 쪽(검출기·태양전지)에서만 쓰인다 — Si 포토닉스가 광원만은 III–V를 붙여 오는 이유다(17부).

Ge는 중간이다. 직접 갭 $E_\Gamma=0.80$ eV 가 간접 갭 위 0.14 eV 에 있어, 1.55 μm(0.80 eV) 통신 파장에서는 직접 흡수가 열려 검출기로 쓰이고, 인장 변형을 주면 발광까지 넘본다.

직관

파라미터 연계 — 조성으로 갭과 갭의 종류를 동시에 조정한다. 합금 $\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{As}$ 는 $x$ 를 올리면 $\Gamma$ 갭이 1.42에서 커지지만 $X$ 밸리는 느리게 움직여 $x\approx0.45$ 에서 둘이 교차하고 그 위로는 간접이 된다 — 그래서 AlGaAs 적색 LED의 파장 한계가 있다. $\mathrm{GaAs}_{1-x}\mathrm{P}_x$ 도 $x\approx0.45$ 에서 같은 일이 생기고, 그 너머의 간접 GaP 로 녹색을 내려고 질소 등전자 트랩을 넣었던 것이 초기 녹색 LED다. 청색은 $\mathrm{In}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{N}$ 이 직접 갭을 3.4 eV 에서 아래로 끌어내려 만든다. $E_g$ , $E_\Gamma$ , $E_X$ , $E_L$ 네 값의 조성 의존성이 광소자 설계의 출발점이다(17부).

불순물 준위의 수소 유사 모형

도너 전자는 유전체 속의 수소 원자다

Si 격자의 한 자리에 P(5족)를 넣으면 원자가 전자 다섯 중 넷은 이웃 Si 넷과 결합을 만들고 하나가 남는다. 남은 전자는 결합에 묶이지 않았지만, P 원자핵은 Si보다 양성자가 하나 많으므로 격자 자리에 $+e$ 의 고정 전하가 남아 그 전자를 끌어당긴다. 양전하 하나에 전자 하나 — 수소 원자다(5.5.5수소 원자와 스펙트럼). 다만 두 가지가 다르다.

전자가 보는 쿨롱 퍼텐셜이 결정의 유전 분극으로 $\varepsilon_r$ 배 약해진다 (2.3.8선형 유전체와 감수율·유전율): $-e^2/4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r$ .
전자는 자유전자가 아니라 전도대 바닥 근처의 블로흐 전자이므로 질량이 $m^*$ 다(4절).

수소 원자의 결과 — 보어 반지름 $a_0=4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2=0.0529$ nm, 바닥 에너지 $13.6$ eV — 에서 $e^2\to e^2/\varepsilon_r$ , $m\to m^*$ 로 바꾸면 끝이다:

E_d=\frac{m^*}{m}\,\frac{1}{\varepsilon_r^2}\times13.6\ \mathrm{eV}, \qquad a_d=\varepsilon_r\,\frac{m}{m^*}\,a_0

이온화 에너지는 $\varepsilon_r^2$ 로 나뉘고 반지름은 $\varepsilon_r$ 로 곱해진다 — 두 인자가 같은 방향으로 작용해 준위를 얕게, 궤도를 크게 만든다. Ge( $\varepsilon_r=15.8$ , $m_c=0.12m$ )는 $E_d\approx6$ meV, $a_d\approx7$ nm; Si( $\varepsilon_r=11.7$ , $m_c=0.26m$ )는 $E_d\approx26$ meV, $a_d\approx2.4$ nm(질량을 어느 평균으로 잡느냐에 따라 2~3 nm). 수소의 $13.6$ eV 가 500분의 1로 줄고 반지름은 50배로 늘었다. 격자상수 0.54 nm 에 대면 궤도 하나가 수백 개 원자를 덮는다.

그림 7.9-7. Si 속의 P 도너. 왼쪽: 도너 전자의 궤도 반지름 a_d ≈ 3 nm는 격자상수의 여섯 배쯤이라 원자 수백 개를 덮는다 — 같은 축척의 수소 원자(a_0 = 0.053 nm)는 점 하나다. 궤도가 격자보다 훨씬 크기 때문에 전자는 원자 하나하나가 아니라 평균된 결정(유전율 ε_r, 유효질량 m*)만 본다. 오른쪽: 그 결과 준위 사다리 E_c − E_d/n²이 전도대 바닥 바로 아래 수십 meV 안에 놓인다 — 갭 1.12 eV의 4%다. 상온의 k_BT = 26 meV면 이 준위의 전자는 거의 전부 전도대로 올라가 있다.직접 작도

이 모형이 자기 정합적이라는 점이 중요하다. 궤도가 격자보다 훨씬 크다는 결과가 나왔기 때문에 “전자가 원자 하나하나 대신 평균된 결정을 본다”는 가정 — 유전율과 유효질량을 쓰는 근거 — 이 정당화된다. 반대로 궤도가 격자상수만 하게 나왔다면 모형은 스스로를 부정했을 것이다. 이렇게 궤도가 크고 준위가 얕은 불순물을 얕은 준위라 한다.

관측값과의 비교 — 반은 맞고 반은 화학이다

Kittel 8장의 표에서 이온화 에너지(meV)를 옮긴다.

도너	Si	Ge	억셉터	Si	Ge
P	45	12.0	B	45	10.4
As	49	12.7	Al	57	10.2
Sb	39	9.6	Ga	65	10.8
수소 모형	26	6	In	157	11.2

Ge에서는 모형이 두 배 안쪽으로 맞고 원소 간 차이가 작다. Si에서는 관측값이 모형의 두 배 가까이 크고 원소마다 다르다. 모형에서 벗어나는 원인은 둘이다.

비등방 질량. $m_c$ 하나로 계산했지만 실제 밸리는 $m_l\neq m_t$ 인 타원체라 궤도가 찌그러진다. 변분 계산(Kohn–Luttinger)으로 고치면 Si가 약 29 meV 로 조금 올라간다. 게다가 밸리가 여섯이라 1s 준위가 여섯 겹 축퇴인데, 이온 근처의 퍼텐셜이 이 축퇴를 풀어 (밸리–궤도 갈라짐) 가장 낮은 상태가 더 내려간다.
중심 세포 보정. 이온에서 격자상수 안쪽에서는 퍼텐셜이 $-e^2/4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r r$ 가 아니다 — 유전 차폐가 미처 작동하지 않고, 이온의 내부 전자 껍질이 원소마다 다르다. 전자 파동함수의 극히 일부만 거기 있지만, 그 일부가 P·As·Sb 의 차이(39~49 meV)와 In 의 157 meV 를 만든다. 이것이 화학적 이동이고, 여기서부터는 원소별 계산이 필요하다.

억셉터는 거울상이다. B(3족)는 결합 하나가 모자라 가전자대에서 전자 하나를 끌어와 채우고 $-e$ 의 고정 전하가 남는다. 그것이 정공 하나를 묶고, 정공의 질량이 무겁고 밴드가 둘이라 계산은 지저분하지만 크기는 같은 수십 meV 다.

직관

파라미터 연계 — 갭이 좁으면 준위도 얕다. $E_d\propto m^*/\varepsilon_r^2$ 인데 4절에서 $m^*\propto E_g$ 였고 유전율도 갭이 좁을수록 큰 경향이 있다. 그래서 InSb 의 도너 준위는 0.6 meV, GaAs 는 5.8 meV, Si 45 meV, GaN 은 25~30 meV, 다이아몬드의 P 는 0.6 eV 로, 갭이 넓은 재료일수록 도핑이 어렵다. 넓은 갭 반도체(SiC·GaN·다이아몬드·산화물)의 p형 도핑이 번번이 문제가 되는 것 — GaN의 Mg 억셉터 160 meV 는 상온에서 몇 %만 이온화된다 — 이 이 비례의 결과다(17부).

$\varepsilon_r$ 은 정적 유전율이어야 한다. 도너 전자의 운동은 격자 진동보다 느려서 이온 분극까지 따라오기 때문이다. Si는 비극성이라 정적·광학 유전율이 같지만(11.7), GaAs는 13.1 대 10.9 로 다르고, 도너 계산에는 13.1 이 들어간다.

얕은 준위가 하는 일 — 그리고 깊은 준위

$E_d\approx45$ meV 는 상온 $k_BT$ 의 두 배 안쪽이다. 그래서 상온의 Si 도너는 거의 전부 이온화되어 전자를 전도대에 내놓는다 — $n\approx N_D$ . 이것이 도핑으로 캐리어 농도를 설계할 수 있는 이유이고, 온도를 100 K 아래로 내리면 전자가 도너로 돌아가 얼어붙는 동결 구간이 나타난다(11.1.6). 도너·억셉터의 이온화 통계는 6.7.4 에 있다.

도핑을 올리면 궤도끼리 겹치기 시작한다. 궤도 반지름 $a_d$ 와 평균 간격 $N_D^{-1/3}$ 이 $N_D^{1/3}a_d\approx0.26$ 에서 만나면(모트 기준) 고립된 준위가 불순물 밴드로 퍼져 전도대와 합쳐지고, 극저온에서도 금속처럼 전도한다 — Si:P 는 $N_D\approx3.7\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 에서(11.1.8 의 모트 전이). 그 위의 축퇴 도핑 영역에서는 밴드 꼬리와 갭 축소가 따라온다.

깊은 준위는 이 모형 바깥이다. Au·Fe·Cu 같은 전이 금속이나 공공(vacancy)은 준위가 갭 가운데 근처에 있고, 파동함수가 격자상수 한두 개 안에 갇혀 있어 유전율·유효질량으로 다룰 수 없다. 이런 준위는 캐리어를 내놓기보다 잡아서 없애는 쪽 — 재결합 중심(11.3.5 의 SRH) — 으로 작용하고, 그래서 Si 공정은 금속 오염을 $10^{10}\,\mathrm{cm^{-2}}$ 급까지 막는다(18·19부). 얕은 준위는 도핑, 깊은 준위는 수명이라고 기억해 두면 된다.

반금속과 밴드 겹침

갭이 음수일 수 있다

1절의 “밴드들이 에너지에서 서로 겹치지 않으면”이라는 단서를 이제 풀 차례다. 원시 세포당 전자 수가 짝수라 밴드가 정수 개 찰 수 있어도, 가전자대 꼭대기가 전도대 바닥보다 높으면 — 두 극값이 $\mathbf{k}$ 공간의 다른 자리에 있어서 가능하다 — 전자 일부가 가전자대 꼭대기를 비우고 전도대 바닥을 채운다. $T=0$ 에서도 전자 주머니와 정공 주머니가 같은 수로 있고, 페르미 준위는 두 밴드를 동시에 가로지른다. 이것이 반금속(semimetal)이다.

그림 7.9-8. T = 0에서 밴드가 어디까지 차 있는가로 넷이 갈린다. 금속은 밴드 하나가 부분적으로 차 있어 페르미 준위가 그 밴드를 가른다. 반금속은 가전자대 꼭대기(Γ)가 전도대 바닥(다른 k)보다 조금 높아, 페르미 준위가 둘 다를 가르며 작은 정공 주머니와 전자 주머니를 남긴다. 반도체와 절연체는 갭의 크기만 다르다 — 페르미 준위가 갭 안에 있고 캐리어는 열로만 생긴다.직접 작도

캐리어 농도가 반금속을 규정한다(Kittel 8장의 표):

결정	캐리어 농도 (cm⁻³)	비교
As	$2.1\times10^{20}$
Sb	$5.5\times10^{19}$
Bi	$2.9\times10^{17}$	Si 진성 $10^{10}$ , 도핑 $10^{15}$ ~ $10^{20}$
흑연	$2.7\times10^{18}$	금속 Cu $8.5\times10^{22}$

금속보다 $10^3$ ~ $10^5$ 배 적고, 도핑한 반도체와 겹치는 범위다. 그래서 “반(半)금속”이다. 축퇴 도핑 반도체와 다른 점은, 캐리어가 밴드 구조 자체에서 나온다는 것 — 불순물이 없어도, $T=0$ 에서도 있고, 전자 수와 정공 수가 정확히 같다(보상되어 있다).

왜 하필 5족인가 — 밴드 세기

Bi·Sb·As 는 5족이다. 원자당 원자가 전자 5개 — 홀수다. 원시 세포에 원자가 하나라면 밴드 2.5개가 차야 하니 반드시 금속이다(7.7.8금속과 절연체의 구분). 그런데 이 셋의 결정 구조(A7, 능면체)는 단순 입방 격자를 살짝 비틀어 원시 세포에 원자를 둘 담는다. 세포당 전자 10개 — 짝수 — 라 밴드 다섯이 꼭 찰 수 있고, 비틀림이 만든 갭이 대칭점마다 열려 거의 절연체가 된다. 다만 $L$ 근처의 전도대 바닥이 $T$ 근처의 가전자대 꼭대기보다 Bi 에서 약 38 meV 낮게 남아 겹침이 생긴다. 구조가 비틀려 갭이 열리려다 만 것이 반금속이고, 7.10.7 의 파이얼스 불안정성과 같은 계열의 이야기다. Bi의 캐리어가 As의 천분의 일인 것은 비틀림이 가장 작아 겹침이 가장 작기 때문이다.

직관

그래프 직관 — 겹침은 다른 $\mathbf{k}$ 에서만 살아남는다. 같은 $\mathbf{k}$ 에서 같은 대칭의 두 밴드가 만나려 하면 반드시 밀어내어(anticrossing, 7.7.6) 갭이 열린다. 가전자대 꼭대기와 전도대 바닥이 같은 $\mathbf{k}$ 에 있으면서 겹치는 일은 그래서 없다. 반금속의 겹침이 언제나 서로 다른 $\mathbf{k}$ ( $\Gamma$ 와 영역 경계, $L$ 과 $T$ )에서 일어나는 이유다. $E$ – $k$ 그림에서 두 극값이 가로로 떨어져 있어야만 세로로 겹칠 수 있다.

예외처럼 보이는 것이 영갭 반도체다. HgTe 는 $\Gamma$ 에서 $s$ 성 밴드( $\Gamma_6$ )가 $p$ 성 밴드( $\Gamma_8$ ) 아래로 내려가 순서가 뒤집혀 있고(1절 표의 $E_g=-0.30$ eV), 페르미 준위가 $\Gamma_8$ 의 축퇴점을 지난다 — 겹침이 아니라 대칭이 보호하는 접촉이다. α-Sn 도 같다. CdTe(갭 1.6 eV)와 섞은 $\mathrm{Hg}_{1-x}\mathrm{Cd}_x\mathrm{Te}$ 는 조성으로 갭을 0부터 위로 연속 조정할 수 있어 적외선 검출기의 표준 재료가 된다(17부). 밴드 순서가 뒤집힌 것 자체가 위상 절연체(10부)의 출발점이기도 하다.

반금속의 캐리어는 수가 적고 질량이 가볍다 — Bi 전자의 유효질량은 어떤 방향으로 $0.001m$ 급이다. 4절의 논리 그대로다: 겹침(음의 갭)이 작으니 밴드가 강하게 섞여 가볍다. 그래서 Bi 는 사이클로트론 공명·드 하스–판 알펜 효과(7.8.8)가 처음 관측된 결정이고, 자기 저항이 크고, 반자성이 유별나게 크다(7.13.1). 흑연은 층 사이의 약한 결합이 만든 40 meV 안팎의 겹침으로 반금속인데, 한 층만 떼어 낸 그래핀은 겹침 없이 두 밴드가 $K$ 점에서 한 점으로 만나는 영갭 반금속이고 그 근처 분산이 선형이라 유효질량 개념 자체가 서지 않는다(10부).

초격자와 미니밴드

사람이 만든 주기

GaAs 층과 $\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{As}$ 층을 몇 nm 두께로 번갈아 쌓으면 (분자선 에피택시·MOCVD, 18부) 성장 방향으로 주기 $d$ 가 결정의 격자상수보다 열 배쯤 큰 새 주기 퍼텐셜이 생긴다. 두 재료의 전도대 바닥이 $\Delta E_c$ 만큼 다르므로, 전도대 전자가 보는 퍼텐셜은 높이 $V_0=\Delta E_c$ 의 우물과 장벽이 번갈아 늘어선 계단이다. 이것이 초격자(superlattice)다.

이 계단 위의 전자를 다루는 도구가 4절의 유효질량이다. 결정의 원래 주기 퍼텐셜은 $m^*$ 속에 접어 넣고, 전자의 포락 함수 $F(z)$ 만 새 퍼텐셜 속의 슈뢰딩거 방정식으로 푼다:

\left[-\frac{\hbar^2}{2m^*}\frac{d^2}{dz^2}+V(z)\right]F(z)=E\,F(z)

블로흐 함수 전체는 $F(z)\,u_{c}(\mathbf{r})$ — 결정의 빠른 진동 $u_c$ 위에 느린 포락선 $F$ 를 얹은 것 — 이고, 이렇게 두 척도를 분리하는 것이 포락 함수 근사(유효질량 근사)다. 7절의 도너 문제가 같은 근사였다. 포락선이 격자상수보다 훨씬 천천히 변하는 한 이 근사는 좋고, $d\sim10$ nm 초격자에서는 잘 성립한다.

$V(z)$ 가 주기 사각파이므로 이 문제는 크로니히–페니 모형(7.7.3크로니히-페니 모형) 그대로다 — 7.7에서는 결정의 장난감 모형이었던 것이 여기서는 실제 소자 구조의 정확한 기술이 된다. 우물 폭 $w$ , 장벽 폭 $b$ , $d=w+b$ , $E<V_0$ 일 때

\cos(kd)=\cos(\alpha w)\cosh(\beta b)-\frac{\beta^2-\alpha^2}{2\alpha\beta}\sin(\alpha w)\sinh(\beta b)

\alpha=\frac{\sqrt{2m^*E}}{\hbar}, \qquad \beta=\frac{\sqrt{2m^*(V_0-E)}}{\hbar}

이다. 오른쪽이 $[-1,1]$ 안에 들어오는 $E$ 만 실수 $k$ 를 가져 허용된다 — 그 구간이 미니밴드, 나머지가 미니갭이다.

그림 7.9-9. GaAs 우물 6 nm / Al₀.₃Ga₀.₇As 장벽 2 nm(V₀ = 0.25 eV, m* = 0.067m)의 초격자를 크로니히–페니 식으로 계산한 것. 왼쪽: 전도대 가장자리의 계단과, 우물 위에 띠로 표시한 미니밴드 — 첫 미니밴드는 0.046~0.093 eV(폭 48 meV), 둘째는 0.19~0.37 eV(폭 180 meV)로 장벽 꼭대기를 넘어선다. 오른쪽: 같은 미니밴드를 새 브릴루앙 영역 0 ≤ k ≤ π/d에 그린 분산. 점선은 자유 입자 ħ²k²/2m*를 주기 d로 접은 것 — 접힌 곡선이 만나는 k = π/d에서 미니갭이 열린다.직접 작도

그림의 수치가 말하는 것을 순서대로 적는다.

브릴루앙 영역이 작다. $\pi/d=\pi/8\,\mathrm{nm}=0.39\,\mathrm{nm^{-1}}$ 로, 결정의 $\pi/a=5.8\,\mathrm{nm^{-1}}$ 의 15분의 1이다. 결정의 전도대가 $k$ 공간에서 이 폭만큼씩 접힌다(zone folding).
미니밴드가 좁다. 첫 미니밴드 폭 48 meV 는 결정의 밴드 폭(수 eV)의 100분의 1이다. 전자가 우물에서 우물로 장벽을 터널링해 옮겨 다니는 것이 밴드를 만들므로, 폭은 터널링 진폭 — 장벽 두께 $b$ 에 대해 $e^{-\beta b}$ — 에 비례한다. 강결합 극한에서 $E(k)\approx E_1+\frac{\Delta_1}{2}(1-\cos kd)$ 이고 이 밴드의 바닥 유효질량은 $m^*_{SL}=2\hbar^2/\Delta_1d^2$ 다. 위 수치를 넣으면( $\hbar^2/m=0.0762$ eV·nm²) $m^*_{SL}\approx0.05m$ — 우연히 GaAs 의 $0.067m$ 과 비슷한데, 장벽을 4 nm 로 늘리면 $\Delta_1$ 이 지수적으로 줄어 $m^*_{SL}$ 이 $m$ 을 넘어선다. 성장 방향의 질량을 성장 조건으로 설계할 수 있다는 뜻이다.
둘째 미니밴드는 장벽 위로 나간다. $V_0$ 위에서는 $\beta$ 가 허수가 되어 전자가 어디든 갈 수 있지만, 주기 퍼텐셜이 있는 한 $k=\pi/d$ 마다 갭은 계속 열린다 — 7.7.2 의 근사 자유전자 그림 그대로다.

직관

파라미터 연계 — 세 길이가 세 에너지를 정한다. 우물 폭 $w$ 는 준위의 높이를 정한다 ( $E_n\approx\hbar^2\pi^2n^2/2m^*w^2$ 에서 시작해 유한 우물 보정, 5.3.6유한 우물). 장벽 폭 $b$ 는 준위의 폭(미니밴드 폭)을 지수적으로 정한다. 주기 $d=w+b$ 는 영역의 크기 $\pi/d$ 를 정한다. 조성 $x$ 는 $V_0$ 를 정해 셋 모두에 관여한다. 네 손잡이로 $E$ – $k$ 를 그려 넣는 것이 밴드 구조 공학이고, 이것이 양자 캐스케이드 레이저(전자가 미니밴드를 타고 내려오며 층마다 광자를 내는, 17부)의 설계 언어다.

극한 둘을 확인해 두면 그림이 완성된다. $b\to\infty$ : 우물이 고립되어 미니밴드가 이산 준위 $E_n$ 으로 줄어든다 — 양자 우물이다. 우물 면내로는 자유롭게 움직이므로 각 준위가 $E_n+\hbar^2k_\parallel^2/2m^*$ 의 서브밴드가 되고, 상태밀도가 계단 모양이 된다 (6.5.9차원별 상태밀도). MOSFET 반전층의 2차원 전자 기체(13부), HEMT(17부), 양자 우물 레이저가 전부 이 경우다. $b\to0$ : 장벽이 사라져 결정의 전도대로 돌아간다. 초격자는 그 사이의 연속체다.

이름을 하나 정리한다. 서브밴드는 가둠 방향 준위 하나에 딸린 면내 분산이고, 미니밴드는 가둠 방향(초격자 축) 자체의 분산이다. 양자 우물에는 서브밴드만, 초격자에는 둘 다 있다.

Si 에서도 초격자를 시도했다. Si/Ge 초격자는 영역 접기로 Si의 $\Delta$ 밸리를 $\Gamma$ 근처로 접어 와 직접 갭처럼 만들려는 시도였고, 원리는 맞지만 접힌 천이의 진동자 세기가 작아 발광 재료로는 성공하지 못했다. 대신 SiGe 층은 변형 공학과 이종 접합 바이폴라 트랜지스터의 재료로 살아남았다(8부·12부·14부).

제너 터널링과 블로흐 진동 (캐리어 통계와 수송은 11부)

2절의 준고전 방정식은 “외부 힘이 밴드 하나 안에서만 상태를 옮긴다”는 조건 위에 서 있었다. 이 절은 그 방정식을 끝까지 밀어붙였을 때 나오는 결론(블로흐 진동)과, 조건이 깨질 때 일어나는 일(제너 터널링)을 나란히 놓는다. 둘 다 균일한 전기장 속의 전자라는 같은 상황이다.

블로흐 진동 — 밴드가 좁고 주기가 길어야 보인다

산란이 없다면 $k(t)=k_0-e\mathcal{E}t/\hbar$ 가 영역 한 폭 $2\pi/a$ 를 지나는 데 걸리는 시간이 진동의 주기다:

T_B=\frac{2\pi\hbar}{e\mathcal{E}a}, \qquad \omega_B=\frac{e\mathcal{E}a}{\hbar}

강결합 밴드 $E(k)=E_0-\frac{\Delta}{2}\cos ka$ 를 넣으면 속도와 위치가 바로 나온다:

v(t)=\frac{\Delta a}{2\hbar}\sin\!\big(k(t)a\big), \qquad x(t)=x_0+\frac{\Delta}{2e\mathcal{E}}\cos(\omega_Bt)

전자는 진폭 $\Delta/2e\mathcal{E}$ 로, 즉 총 폭 $L_B=\Delta/e\mathcal{E}$ 안에서 왕복한다. 에너지로 보면 명료하다 — 전기장이 밴드를 $-e\mathcal{E}x$ 로 기울이면, 에너지 $E$ 인 전자가 있을 수 있는 곳은 기울어진 띠의 아래 가장자리와 위 가장자리가 그 에너지를 지나는 두 점 사이뿐이다. 그 두 점 사이 거리가 $\Delta/e\mathcal{E}$ 다. 전자는 밴드 바닥에서 출발해 위로 올라가다 밴드 꼭대기에 닿으면(영역 경계, 브래그 반사) 되돌아온다.

그림 7.9-10. 균일한 전기장이 밴드를 기울인 실공간 그림. 왼쪽: 폭 Δ인 밴드 하나. 에너지 E인 전자는 띠의 두 가장자리가 그 에너지를 지나는 두 점 사이, 폭 L_B = Δ/eℰ 안에 갇혀 주기 T_B = 2πħ/eℰa로 왕복한다 — 블로흐 진동. 오른쪽: 갭 E_g로 갈라진 두 밴드. 가전자대 꼭대기 근처의 전자가 같은 에너지의 전도대 자리로 갭을 수평으로 건너뛰는 것이 제너 터널링이고, 건너야 할 거리는 d = E_g/eℰ, 확률은 exp(−c·E_g^{3/2}/ℰ)로 갭과 전기장에 지수적이다.직접 작도

수치를 넣어 보면 왜 보통 결정에서는 안 보이는지가 바로 나온다.

	주기 $a$ 또는 $d$	$\mathcal{E}$	$e\mathcal{E}d$	$T_B$	$\tau$	$\omega_B\tau$
Si 결정	0.54 nm	10 kV/cm	0.54 meV	7.7 ps	0.1 ps (300 K)	0.08
GaAs/AlGaAs 초격자	8 nm	10 kV/cm	8 meV	0.52 ps	~1 ps (저온)	~12

결정에서는 전자가 영역의 **1%**도 가기 전에 산란된다 — 2절에서 본 대로 그 1%가 옴의 법칙이다. 초격자는 주기가 15배 길어 $\omega_B$ 가 15배 크고, 저온의 좋은 시료에서 $\tau$ 도 길어 한 주기에 열 바퀴를 돈다. 그래서 블로흐 진동은 초격자에서만 관측되었다 — 1990년대에 초격자가 $\omega_B/2\pi\sim$ 1 THz 의 전자기파를 내는 것으로 확인됐다. 주파수 영역에서 보면 같은 물리가 Wannier–Stark 사다리다: 기울어진 미니밴드의 고유 상태가 우물마다 하나씩 국소화된 준위이고 이웃 준위와의 간격이 $e\mathcal{E}d=\hbar\omega_B$ 다. 광학 흡수에서 이 사다리의 등간격이 보였다.

직관

파라미터 연계 — Esaki–Tsu: 블로흐 진동의 첫 조각이 음의 미분 저항이 된다. 산란을 평균 시간 $\tau$ 의 푸아송 과정으로 넣으면 드리프트 속도는 마지막 산란 이후 시간 $t$ 의 분포 $e^{-t/\tau}/\tau$ 로 $v(t)$ 를 평균한 것이다:

v_d=\int_0^\infty\frac{dt}{\tau}e^{-t/\tau}\,\frac{\Delta d}{2\hbar}\sin(\omega_Bt) =\frac{\Delta d}{2\hbar}\,\frac{\omega_B\tau}{1+(\omega_B\tau)^2}

$\omega_B\tau\ll1$ 에서는 $v_d\approx\frac{\Delta d}{2\hbar}\,\omega_B\tau=\frac{\Delta d^2e\tau}{2\hbar^2}\,\mathcal{E}$ — 정리하면 $v_d=\mu\mathcal{E}$ , $\mu=e\tau/m^*_{SL}$ , $m^*_{SL}=2\hbar^2/\Delta d^2$ 로 9절의 밴드 바닥 질량이 그대로 나온다(옴의 법칙). $\omega_B\tau=1$ 에서 최대이고 그 위에서는 전기장을 올릴수록 속도가 줄어든다 — 전자가 밴드의 음의 질량 구역까지 올라가 브래그 반사되기 시작하기 때문이다. 이것이 초격자의 음의 미분 저항(Esaki–Tsu, 1970)이고, 발진기의 원리다. 임계 전기장 $\mathcal{E}_c=\hbar/(ed\tau)$ 는 $d$ 가 길고 $\tau$ 가 길수록 낮다. 결정에서 이 영역에 가려면 $\omega_B\tau\sim1$ , 즉 MV/cm 급이 필요한데, 그 전에 다음의 제너 터널링과 충격 이온화(11.6)가 먼저 일어난다.

제너 터널링 — 갭을 수평으로 건넌다

전기장이 밴드를 기울이면 가전자대 꼭대기의 전자와 같은 에너지의 전도대 상태가 거리 $d_Z=E_g/e\mathcal{E}$ 만큼 떨어진 곳에 생긴다. 그 사이는 갭 — 고전적으로 금지된 영역 — 이고, 전자는 이 장벽을 터널링할 수 있다(5.3.8투과 계수와 터널링). 준고전 방정식이 무시한 “다른 밴드로의 전이”가 바로 이것이다.

장벽 속에서 파수는 허수 $k=i\kappa$ 이고, $\kappa(E)$ 는 갭 안으로 해석 접속한 밴드 구조 — 복소 밴드 구조 — 가 준다. 두 밴드가 질량 $m^*$ 로 대칭인 가장 간단한 2밴드(Kane) 모형에서 갭 가운데를 원점으로 잡으면

E^2=\left(\frac{E_g}{2}\right)^2\left(1+\frac{2\hbar^2k^2}{m^*E_g}\right) \quad\Longrightarrow\quad \hbar^2\kappa^2=\frac{m^*E_g}{2}\left(1-\frac{4E^2}{E_g^2}\right)

$\kappa$ 는 두 밴드 가장자리에서 0이고 갭 한가운데서 최대 $\sqrt{m^*E_g/2}/\hbar$ 다 — 갭 가운데가 가장 “두꺼운” 벽이다. WKB(5.8.9WKB로 본 터널링)로 투과 확률 $P=\exp\!\big(-2\int\kappa\,dx\big)$ 를 쓰고, 기울어진 밴드에서 위치와 에너지가 $dE=e\mathcal{E}\,dx$ 로 이어진다는 것을 써서 적분 변수를 에너지로 바꾸면

2\int\kappa\,dx=\frac{2}{e\mathcal{E}}\int_{-E_g/2}^{E_g/2}\kappa(E)\,dE =\frac{2}{e\mathcal{E}\hbar}\sqrt{\frac{m^*E_g}{2}}\cdot\frac{\pi E_g}{4}

— 마지막 적분은 반원의 넓이다. 따라서

P\approx\exp\!\left(-\frac{\pi\sqrt{m^*}\,E_g^{3/2}}{2\sqrt2\,e\hbar\,\mathcal{E}}\right)

지수가 $E_g^{3/2}/\mathcal{E}$ 다. 갭을 포물선 밴드 그대로 삼각 장벽으로 근사하면 (Sze 의 유도) 인자만 $\pi/2\sqrt2\to4\sqrt2/3$ 으로 바뀌고 $E_g^{3/2}/\mathcal{E}$ 는 같다. 갭이 넓을수록, 질량이 무거울수록 지수적으로 어렵고, 전기장에는 $1/\mathcal{E}$ 로 걸려 있어 어느 문턱 전기장을 넘으면 전류가 폭발하듯 는다. GaAs 에서 $\mathcal{E}=10^6$ V/cm 이면 지수가 약 18, Si(질량을 $0.2m$ 로 잡으면) 약 21 이다 — 시도 빈도 $10^{13}$ /s 급과 가전자대의 전자 수를 곱하면 이 근처에서 잴 만한 전류가 된다. 이것이 제너 항복의 전기장 규모 $10^6$ V/cm 이고, 접합에서 이 전기장이 나오려면 양쪽이 $10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 이상으로 도핑되어 공핍층이 10 nm 급이어야 한다(12부).

같은 지수가 소자 여기저기서 이름만 바꿔 나온다.

밴드 간 터널링 누설. 미세 MOSFET의 드레인 끝에서 게이트가 만드는 강한 전기장이 기판과 드레인 사이에 제너 터널링을 일으킨다(GIDL, 14부). 갭이 좁은 Ge·InGaAs 채널은 $E_g^{3/2}$ 가 작아 이 누설이 크다.
터널 FET. 거꾸로 이 터널링을 스위치의 켜는 기구로 쓰면, 열적 분포의 꼬리 ( $60$ mV/decade 한계)를 피할 수 있다. 문턱 전기장을 낮추려 좁은 갭 재료를 쓴다(14부).
에사키 다이오드. 양쪽을 축퇴 도핑한 접합에서 터널 전류가 전압과 함께 줄어드는 구간 (음의 미분 저항)이 생긴다(12부). 위의 Esaki–Tsu 와 같은 사람이 십여 년 전에 발견한 것이다.
초격자의 미니갭 터널링. 미니갭은 수십 meV 라 훨씬 약한 전기장에서 미니밴드 사이의 제너 터널링이 일어나고, 이것이 블로흐 진동을 끊는 상한이 된다 — Kittel이 초격자 절에서 두 현상을 나란히 둔 이유다.
파울러–노드하임 터널링. 산화막(갭 9 eV)의 삼각 장벽을 지나는 전자 — 플래시 메모리의 쓰기·지우기(15부)와 게이트 산화막 누설(13부). 갭 대신 장벽 높이가, $m^*$ 대신 산화막 속 질량이 들어갈 뿐 같은 식이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 밴드 가장자리 근처의 곡률과 위치가 반도체의 전부이고, 그 정보를 $E_g$ · $m^*$ ·밸리·정공이라는 몇 개의 이름에 담아 소자 물리로 넘긴다. 목적지를 적어 둔다.

캐리어 통계 (6.7·11.1) — $N_c\propto(m_{de})^{3/2}$ , $N_v\propto(m_{dh})^{3/2}$ , $n_i\propto e^{-E_g/2k_BT}$ (1·4절), 도너·억셉터의 이온화와 동결, 모트 전이(7절).
수송 (11.2·7.12) — 이동도 $e\tau/m_c$ , 밸리의 비등방성, 밸리 간 산란, 홀 계수의 부호 (2·3·4절). 고전계에서의 비포물선성과 밸리 간 전달(11.7), 밴드 간 터널링(11.7.6).
광학 (11.8·17부) — 직접·간접 천이, 흡수단, 복사 수명, 합금으로 갭 조정(6절).
접합과 트랜지스터 (12·13·14부) — 밴드 다이어그램의 $E_c(x)$ · $E_v(x)$ 는 이 장의 $E$ – $k$ 를 위치마다 세운 것(1절). 반전층의 밸리 갈라짐과 변형 공학(5절), GIDL·TFET·제너 항복(10절), 산화막 터널링(10절).
저차원 구조 (10부·13부·17부) — 포락 함수 근사, 양자 우물·서브밴드·2차원 전자 기체· 초격자·양자 캐스케이드(9절), 그래핀·위상 절연체(8절).
재료 (8부) — SiGe 합금과 변형층, 이종 접합의 밴드 오프셋 $\Delta E_c$ (9절), 불순물의 화학적 이동과 깊은 준위(7절).
계측과 시뮬레이션 (19부·20부) — 흡수단과 Tauc 도표(6절), 사이클로트론 공명·홀 측정 (2·3절). TCAD가 입력으로 받는 재료 상수가 정확히 이 장의 표들이다.
다음 장들. 유전 함수와 차폐(7.10)는 이 장의 유효질량·캐리어 농도를 그대로 쓰고, 7.11의 엑시톤은 7절의 도너 모형에서 양전하를 정공으로 바꾼 것이며, 7.12의 볼츠만 방정식은 2절의 준고전 운동에 산란을 붙인 것이다.