유체와 수송현상

반도체 공정의 대부분은 기체 속에서 일어난다. 웨이퍼 위로 기체가 흐르고, 전구체 분자가 그 흐름을 가로질러 확산해 표면에 닿고, 반응 생성물이 다시 빠져나간다. 클린룸의 공기가 웨이퍼 위를 쓸어 내리고, 습식 배스의 액체가 웨이퍼 사이를 돌고, 슬러리가 패드 위로 퍼진다. 3.7이 열이 어떻게 옮겨 가는가를 다뤘다면, 이 장은 질량과 운동량이 어떻게 옮겨 가는가를 다룬다. 그리고 셋은 같은 꼴이다.

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}, \qquad q'' = -k \frac{dT}{dy}, \qquad j_A = -\rho D_{AB} \frac{dm_A}{dy}$$

전단응력은 속도의 기울기에, 열유속은 온도의 기울기에, 질량 유속은 농도의 기울기에 비례한다. 비례 상수 셋 — 점성 계수 $\mu$, 열전도도 $k$, 확산 계수 $D_{AB}$ — 을 각각 밀도와 비열로 나누면 전부 m²/s 단위의 확산 계수가 된다. 운동량이 확산하고, 열이 확산하고, 분자가 확산한다. 5절에서 이 유사성을 정리하면, 3.7에서 익힌 열전달 상관식이 물질전달 상관식으로 그대로 옮겨진다.

이 장은 두 축으로 나뉜다.

• 연속체로서의 유체(1~7절). 압력·유량·점성·경계층·확산. 기체를 매끈한 매질로 본다. 대기압 부근의 공정과 액체 공정이 여기 속한다.
• 분자로서의 기체(8~10절). 압력을 낮추면 분자 사이 거리가 벌어져 연속체 그림이 깨진다. 그 문턱을 정하는 것이 평균 자유 행정과 크누센 수이고, 진공 공정과 나노 구조 안의 수송이 여기 속한다.

반도체 쪽에서 이 장이 어디로 흘러가는지만 미리 적어 둔다. LPCVD가 왜 1 Torr 부근에서 돌아가는지는 6절의 확산 계수가 압력에 반비례한다는 사실 하나로 설명된다. 수평 CVD 반응기의 증착률이 왜 하류로 갈수록 떨어지고 서셉터를 왜 기울이는지는 4절의 경계층이 $\sqrt{x}$로 자라기 때문이다. 표면 반응 지배와 물질전달 지배를 가르는 그로브 모델은 7절의 직렬 저항 그대로다. 스퍼터링 압력이 mTorr인 이유는 8절의 평균 자유 행정이 타깃–기판 거리와 비슷해지는 곳이 거기라서다. ALD가 종횡비 100:1의 구멍을 균일하게 덮는 이유와 CVD가 입구를 먼저 막는 이유는 9절의 분자 유동에서 갈린다. 다공성 low-k 안으로 전구체가 얼마나 스며드는지는 10절의 유효 확산 계수가 정한다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 두 교재의 기호가 다르고, 같은 글자가 절마다 다른 뜻으로 쓰인다. 시작하기 전에 정리한다. Halliday는 유체를 다루며 속력에 $v$를, Incropera는 경계층을 다루며 $x$ 방향 속도 성분에 $u$를 쓴다. 이 백과는 1·2절(Halliday의 범위)에서는 $v$, 3절부터(Incropera의 범위)는 $u$ 를 쓴다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$p$		압력 (Pa). 대문자 $P$는 이 장에서 쓰지 않는다
$\rho$	로	유체의 밀도 (kg/m³). 종 A의 질량 농도는 $\rho_A$
$\mu$	뮤	점성 계수 (Pa·s). 6.4의 화학퍼텐셜이 아니다
$\nu$	뉴	운동 점성 계수 $\mu/\rho$ (m²/s)
$v$, $\mathbf{v}$		속력 · 속도 벡터 (1·2절)
$u$, $v$		$x$·$y$ 방향 속도 성분 (3절부터). $u_\infty$ 자유 흐름, $u_m$ 관 평균
$\bar v$, $v_{\mathrm{rms}}$, $v_p$		분자의 평균 · 제곱평균제곱근 · 최빈 속력 (8절)
$V$, $Q$		부피 · 부피 유량 (m³/s). 9절의 $Q$는 처리량 (Pa·m³/s)
$A$		단면적. 아래첨자로 쓰면 종 A
$D$		관 지름 (3·9절)
$D_{AB}$, $D_K$, $D_{\mathrm{eff}}$		이성분 확산 계수 · 크누센 확산 계수 · 유효 확산 계수 (m²/s)
$d$, $d_p$		분자 지름 (8절) · 기공 지름 (10절)
$\tau_s$	타우	벽 전단응력 (Pa). 10절의 $\tau$는 굴곡도
$\delta$, $\delta_t$, $\delta_c$	델타	속도 · 온도 · 농도 경계층 두께
$C_f$, $f$		마찰 계수 — 평판은 $C_f = \tau_s/(\rho u_\infty^2/2)$, 관은 다르시 마찰 계수 $f$
$h$, $h_m$		깊이(1절) · 대류 열전달 계수 (W/m²·K) · 물질 전달 계수 (m/s)
$k$, $k_B$		열전도도 (W/m·K) · 볼츠만 상수
$k_1$, $k_1''$		1차 균질 반응 상수 (s⁻¹) · 1차 표면 반응 상수 (m/s)
$C$, $C_A$, $x_A$, $m_A$		총 몰농도 · 종 A의 몰농도 · 몰분율 · 질량분율. 9절의 $C$는 컨덕턴스
$N_A''$, $J_A^*$, $n_A''$, $j_A$		유량 넷 — 6절의 표
$\lambda$	람다	평균 자유 행정 (8절부터). 3.3~3.6의 파장이 아니다
$n$		분자 수밀도 (m⁻³)
$\varepsilon$, $\kappa$	엡실론 · 카파	공극률 · 투과도 (m²) (10절)
$\mathrm{Re}$, $\mathrm{Pr}$, $\mathrm{Sc}$, …		무차원 수 — 5절의 표

주의

짚고 갈 함정이 일곱이다. 전부 글자는 같은데 물건이 다른 자리다.

① $\mu$와 $\nu$. 그리스 문자 뮤와 뉴는 손글씨로 거의 같다. $\mu$는 점성 계수(Pa·s), $\nu = \mu/\rho$는 운동 점성 계수(m²/s)다. 단위가 다르니 식에 넣어 보면 어느 쪽인지 드러난다. 공기는 $\mu = 1.8 \times 10^{-5}$ Pa·s, $\nu = 1.5 \times 10^{-5}$ m²/s로 값이 우연히 비슷해서 더 헷갈린다 — 물은 $\mu = 1.0 \times 10^{-3}$, $\nu = 1.0 \times 10^{-6}$으로 세 자리 차이가 난다.

② $D$ 셋. $D$ 하나만 쓰면 관 지름, $D_{AB}$처럼 첨자가 붙으면 확산 계수, 소문자 $d$는 분자 지름이다. 레이놀즈 수 $\mathrm{Re}_D$의 첨자 $D$는 “지름을 특성 길이로 잡았다”는 뜻이지 확산과 무관하다.

③ $h$ 셋. 1절에서만 깊이, 5절부터는 대류 열전달 계수 $h$(W/m²·K)와 물질 전달 계수 $h_m$(m/s)이다. 둘은 단위가 다르고, 그 단위 차이 자체가 5절의 결론이다.

④ $k$ 넷. 첨자 없는 $k$는 열전도도, $k_B$는 볼츠만 상수, $k_1$은 부피당 1차 반응 상수(s⁻¹), $k_1''$은 면적당 1차 반응 상수(m/s)다. 이중 프라임은 Incropera의 관례로 “단위 면적당”을 뜻한다 — $q''$(열유속), $N_A''$(몰 유속)도 같은 규칙이다.

⑤ $\lambda$. 3.3부터 3.6까지 파장이었던 글자가 8절부터는 평균 자유 행정이다. 이 장에 파장은 나오지 않는다.

⑥ $Q$와 $C$. 3절의 $Q$는 부피 유량(m³/s), 9절의 $Q$는 처리량(Pa·m³/s 또는 Torr·L/s)이다. 6절의 $C$는 몰농도, 9절의 $C$는 컨덕턴스(m³/s)다. 진공 기술의 관례를 따르는 9절만 예외라서 그 절 첫머리에 다시 못박는다.

⑦ $\tau$. 3절의 $\tau_s$는 벽 전단응력, 10절의 $\tau$는 굴곡도다. 전자는 첨자를 달아 구별한다.

유체 정역학과 압력

유체는 전단을 견디지 못한다

고체와 유체를 가르는 것은 전단응력에 대한 반응이다. 고체는 비틀면 비틀린 채로 버틴다 — 변형에 비례하는 복원 응력이 생긴다(3.1.7). 유체는 비틀면 흐른다 — 아무리 작은 전단응력이라도 정지 상태로는 버티지 못하고, 변형 자체가 아니라 변형의 속도에 비례하는 응력만 낼 수 있다(3절). 이 정의에서 정지한 유체의 성질이 전부 따라 나온다. 정지해 있다면 전단응력이 0이고, 남는 힘은 면에 수직인 압력뿐이다.

압력은 면에 수직으로 누르는 힘을 면적으로 나눈 것이다.

$$p = \frac{F_\perp}{A}$$

단위는 파스칼(Pa = N/m²)인데, 반도체 공정은 관습적으로 Torr를 쓴다. 1 Torr는 수은주 1 mm가 누르는 압력이고, 대기압이 760 Torr다. 자주 쓰는 환산은 아래 여섯 개면 된다.

단위	Pa	어디서 쓰나
1 atm	101 325	표준 대기압, 상압 공정(APCVD·습식)
1 bar	10⁵	가스 실린더·배관 압력
1 psi	6 895	가스 공급 압력 (미국식 배관)
1 Torr	133.3	LPCVD·플라즈마 챔버
1 mTorr	0.1333	스퍼터링·건식 식각
1 Pa	1	SI. 일본·유럽 장비

압력은 스칼라다. 정지한 유체 속 한 점에서 어느 방향으로 면을 놓아도 같은 압력이 걸린다 (파스칼의 원리 중 하나). 그 점에 작은 삼각기둥을 그리고 세 면의 힘이 평형이어야 함을 쓰면 나온다 — 전단이 없으니 각 면의 힘은 면에 수직이고, 세 수직력이 닫힌 삼각형을 이루려면 크기가 면적에 비례해야 하며, 그러면 면적당 힘은 셋이 같다. 압력이 방향을 가진다면 정지한 유체가 스스로 움직일 것이다.

깊이에 따른 압력 — 힘의 평형

정지한 유체 속에서 두께 $dh$, 단면적 $A$의 얇은 수평 판을 잘라 생각한다. 위에서 $p(h)A$가 누르고, 아래에서 $p(h + dh)A$가 떠받치고, 판 자체의 무게 $\rho g A\,dh$가 아래로 당긴다. 3.1.1뉴턴의 운동 법칙과 힘의 힘 평형은

$$p(h + dh)\,A - p(h)\,A = \rho g A\,dh \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dh} = \rho g$$

깊이 $h$를 아래로 잡았으므로 부호가 양이다. 밀도가 일정한 비압축성 액체라면 그대로 적분된다.

$$p = p_0 + \rho g h$$

그림 3.8-1. 정지한 유체 속 얇은 요소의 힘 평형. 윗면을 누르는 압력, 아랫면이 떠받치는 압력, 요소 자체의 무게 셋이 평형을 이루므로 압력은 깊이에 비례해 커진다. 오른쪽은 그 결과인 압력–깊이 직선으로, 기울기가 ρg다. 이 식에는 용기의 모양이 들어 있지 않다 — 같은 깊이면 같은 압력이다.직접 작도

직관

수식적. 식이 선형인 이유는 $\rho$가 상수이기 때문이다. 각 층은 자기 위에 쌓인 유체의 무게를 전부 떠받쳐야 하고, 층마다 무게가 같으니 압력은 층 수에 비례한다. 물 10 m가 1 atm에 해당한다 — $1000 \times 9.8 \times 10 \approx 10^5$ Pa. 수은은 밀도가 13.6배라 760 mm면 된다. 그것이 Torr의 정의다.

공간적. 식에 용기 모양이 없다. 폭이 1 m든 1 mm든, 바닥에서 재는 압력은 자유 표면까지의 수직 거리로만 정해진다. 그래서 가는 관과 굵은 통을 아래에서 이으면 액면이 같은 높이에 선다 (연통관). U자관 압력계가 압력차를 액주 높이차로 바꾸는 원리이고, 챔버의 절대 압력을 재는 커패시턴스 마노미터는 이 액주를 얇은 금속 격막의 휨으로 바꾼 것이다 — 액체 대신 격막의 탄성이 무게 역할을 한다(18.5).

형태적. $p$–$h$ 평면에서 직선이고 기울기가 $\rho g$다. 액체를 바꾸면 기울기만 바뀐다.

밀도가 일정하지 않은 기체는 다르다. 이상기체에서 $\rho = pM/RT$($M$은 몰 질량)이므로, 높이 $z$를 위로 잡으면

$$\frac{dp}{dz} = -\frac{Mg}{RT}\,p \quad\Longrightarrow\quad p = p_0\,e^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg}$$

1.4.11계 ODE — 변수분리와 완전 미분방정식의 가장 간단한 변수분리 방정식이다. 압력이 클수록 밀도가 커서 더 빨리 떨어지므로 지수 감쇠가 나온다. 공기의 등온 척도 높이 $H$는 상온에서 약 8.4 km다. 이 숫자가 말하는 것은 공정 챔버 안에서 중력에 의한 압력 차는 없다는 사실이다 — 높이 1 m에서 $z/H \approx 10^{-4}$, 압력 차는 0.01%다. 진공 챔버의 압력은 위치와 무관하게 하나의 값이고, 그래서 압력계를 어디에 달아도 된다. 압력 차가 생긴다면 그것은 정역학이 아니라 흐름(2·3절) 때문이다.

게이지 압력과 절대 압력

압력계의 눈금이 대기압을 0으로 놓으면 게이지 압력, 완전 진공을 0으로 놓으면 절대 압력이다. 가스 실린더의 레귤레이터는 게이지, 진공 챔버의 압력계는 언제나 절대다. 진공 기술에서 “압력이 낮다”는 말은 절대 압력이 작다는 뜻이고, 게이지로 재면 음수가 된다. 두 눈금을 섞으면 대기압만큼(101 kPa) 틀린다 — 진공 척의 흡착력을 계산할 때 실제로 생기는 실수다.

직관

물리적 — 대기압은 얼마나 큰가. 300 mm 웨이퍼의 면적은 $\pi (0.15)^2 \approx 0.071$ m²다. 한쪽 면이 대기압을 받고 반대쪽이 완전 진공이면 누르는 힘은 $10^5 \times 0.071 \approx 7\,\mathrm{kN}$, 무게로 700 kg이다. 진공 척이 웨이퍼를 붙드는 힘의 상한이 이것이고, 실제 척은 뒷면에 −50~−80 kPa의 게이지 압력을 걸어 그 절반 정도를 쓴다. 두께 0.775 mm의 실리콘 판이 이 힘으로 휘지 않는 이유는 힘이 분산되어 있기 때문이다 — 척의 면 전체가 떠받친다. 반대로 척의 홈 위 지지되지 않은 구간은 그 압력차로 국소적으로 휘고, 리소그래피의 초점 오차가 여기서 나온다.

파스칼의 원리와 부력

닫힌 유체의 한 곳에 가한 압력 변화는 유체 전체에 감쇠 없이 전달된다. 비압축성 액체에서 $p = p_0 + \rho g h$의 $p_0$를 바꾸면 모든 깊이의 $p$가 같은 양만큼 바뀌기 때문이다. 유압 프레스와 웨이퍼 본딩 장비의 가압이 이 원리다.

물체를 유체에 담그면 표면 압력의 합력이 위로 작용한다. 바닥이 윗면보다 깊어 압력이 크기 때문이다. 그 합력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같다(아르키메데스).

$$F_b = \rho_f V g$$

부력은 이 장에서 한 번 더 나온다. 3절에서 입자가 유체 속에 가라앉는 속도를 계산할 때 입자 무게에서 부력을 뺀 것이 구동력이다. 클린룸 공기 속 파티클, 슬러리 속 연마 입자, 습식 배스 속 오염 입자가 전부 이 힘과 점성 항력의 균형으로 움직인다.

의문

압력이 스칼라라면, 벽에 걸리는 힘은 왜 방향이 있는가. 압력 자체는 방향이 없지만 면에는 방향(법선)이 있다. 벽이 받는 힘은 $p$에 벽의 면적 벡터를 곱한 것이라 벽의 법선을 향한다. 유체 요소 안에서 압력이 위치에 따라 변하면 마주 보는 두 면의 힘이 상쇄되지 않고 남는데, 그 알짜힘은 단위 부피당 $-\nabla p$다 — 1.1.2기울기·발산·회전의 기울기다. 정역학 식 $dp/dz = -\rho g$는 벡터로 쓰면 $-\nabla p + \rho\mathbf{g} = 0$이고, 2절의 베르누이 방정식과 3절의 점성 흐름 모두 이 $-\nabla p$가 유체를 미는 힘으로 들어간다.

연속 방정식과 베르누이 방정식

유선과 정상 흐름

흐르는 유체를 다루는 방식은 두 가지다. 입자 하나를 따라가거나(라그랑주), 공간의 한 점에 서서 지나가는 유체를 보거나(오일러). 이 장은 후자다 — 속도장 $\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)$를 공간의 함수로 본다. 속도장이 시간에 따라 변하지 않으면 정상 흐름이고, 이때 유체 입자가 그리는 경로가 유선이다. 유선은 각 점에서 속도 벡터에 접하고, 정상 흐름에서는 서로 교차하지 않는다 — 한 점에 속도가 둘일 수 없기 때문이다. 유선 다발로 둘러싸인 관을 유선관이라 하는데, 유체는 유선을 가로지르지 못하므로 유선관의 벽은 실제 관 벽처럼 행동한다.

연속 방정식 — 질량은 사라지지 않는다

유선관의 두 단면 1, 2를 본다. 단위 시간에 단면 1로 들어오는 질량은 $\rho_1 A_1 v_1$, 단면 2로 나가는 질량은 $\rho_2 A_2 v_2$다. 정상 흐름이면 관 안에 쌓이는 질량이 없으니 둘이 같다.

$$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$$

밀도가 일정한 비압축성 흐름이면 $A v =$ 상수 — 부피 유량 $Q = Av$가 보존된다. 좁아지면 빨라지고 넓어지면 느려진다. 이것이 연속 방정식의 적분형이고, 미분형은 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산정리로 임의의 작은 부피에 같은 셈을 한 것이다.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \qquad\text{비압축이면}\qquad \nabla \cdot \mathbf{v} = 0$$

$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$은 “어느 점에서도 유체가 솟거나 사라지지 않는다”는 말이다. 11.5의 캐리어 연속 방정식 $\partial n/\partial t + \nabla \cdot \mathbf{J}_n / (-q) = G - R$은 여기에 생성·재결합 항이 붙은 것이고, 7절의 종 보존 방정식은 여기에 확산과 반응이 붙은 것이다. 보존 법칙은 언제나 같은 꼴이다 — 시간 변화율 더하기 유속의 발산은 생성률.

베르누이 방정식 — 유선을 따라 에너지 보존

정상·비점성·비압축 흐름에서 유선을 따라 단위 부피의 유체에 3.1.3퍼텐셜 에너지와 에너지 보존의 일–에너지 정리를 적용한다. 유선관의 짧은 토막을 잡으면, 뒤에서 미는 압력이 하는 일에서 앞에서 막는 압력이 하는 일을 뺀 것이 운동 에너지와 위치 에너지의 증가가 되어야 한다. 정리하면 유선을 따라

$$p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{상수}$$

세 항은 모두 단위 부피당 에너지(J/m³ = Pa)다. $p$는 압력이 할 수 있는 일, $\tfrac12 \rho v^2$는 운동 에너지, $\rho g z$는 위치 에너지다. 세 항의 합이 일정하니 빠른 곳은 압력이 낮다. 직관과 반대로 느껴지는 이유는 “빠른 유체가 세게 부딪친다”는 그림 때문인데, 베르누이는 부딪치는 유체가 아니라 흐르는 유체 안의 압력을 말한다. 유체를 가속시킨 것이 바로 압력차이므로, 가속된 곳의 압력은 낮을 수밖에 없다.

그림 3.8-2. 유선관이 좁아지는 벤투리 관. 목에서는 연속 방정식 때문에 속도가 빨라지고, 베르누이 방정식 때문에 압력이 낮아진다. 관 위에 세운 세 압력 기둥 중 목의 액주가 가장 낮다. 목을 지나 다시 넓어지면 속도가 줄고 압력이 회복되는데, 실제로는 점성 손실 때문에 p₃가 p₁보다 조금 낮다.직접 작도

직관

그래프. 벤투리 관에서 세 압력 기둥이 그리는 곡선은 속도 제곱의 거울상이다. 목의 압력 강하는 $\Delta p = \tfrac12 \rho (v_2^2 - v_1^2)$이고, 연속 방정식으로 $v_2 = v_1 A_1/A_2$이니 단면비의 제곱으로 커진다. 단면을 반으로 줄이면 속도 2배, 동압 4배다. 그 $\Delta p$를 재면 유량이 나온다 — 벤투리 유량계의 원리다.

$$Q = A_2 \sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho\,[1 - (A_2/A_1)^2]}}$$

파라미터 연계. 같은 식이 세 가지 계기가 된다. 피토관은 흐름을 한 점에서 완전히 멈춰 $p_{\text{정체}} - p = \tfrac12 \rho v^2$로 속도를 재고, 오리피스 판은 벤투리를 거칠게 만든 것이며, 탱크 바닥의 구멍에서 나오는 속도는 $v = \sqrt{2gh}$(토리첼리)다 — 자유 표면의 $\rho g h$가 전부 운동 에너지로 바뀐 것이다.

언제 쓸 수 없는가 — 압축성과 점성

베르누이 방정식의 가정 넷을 잊으면 틀린다. 정상·비점성·비압축·한 유선 위.

압축성부터. 기체의 밀도가 흐름 속에서 얼마나 변하는지는 마하 수 $\mathrm{Ma} = v/c$가 정한다($c$는 음속, 공기 상온 343 m/s). 밀도 변화율이 $\tfrac12 \mathrm{Ma}^2$ 정도이므로 $\mathrm{Ma} \lesssim 0.3$이면 5% 이내라 비압축으로 다뤄도 된다. 챔버 안 기체 유속은 대개 1 m/s 이하라 문제없다. 문제는 가스 라인의 오리피스다. 상류 압력과 하류 압력의 비가 어느 값 아래로 떨어지면 오리피스 목에서 유속이 음속에 이르고, 하류 압력을 아무리 더 낮춰도 유량이 늘지 않는다 — 초킹이다. 이 임계 압력비는 비열비 $\gamma$로 정해진다.

$$\left(\frac{p_2}{p_1}\right)_{\text{임계}} = \left(\frac{2}{\gamma + 1}\right)^{\gamma/(\gamma - 1)} \approx 0.528 \quad (\gamma = 1.4,\ \text{이원자 기체})$$

상류가 대기압이고 하류가 진공 챔버면 언제나 초킹 상태이고, 유량은 상류 압력에만 비례한다. 챔버 압력이 흔들려도 유입량이 흔들리지 않는 임계 오리피스는 이 성질을 일부러 이용한 것이다. 공정 가스의 유량을 정하는 질량 유량 제어기(MFC)는 다른 원리다 — 가는 관에 열을 걸고 기체가 실어 나르는 열량으로 질량 유량을 잰다(열식). 단위 sccm은 표준 상태(0 °C, 1 atm)에서의 cm³/min이고, 이상기체 1 mol이 22 414 cm³이므로

$$1\ \mathrm{sccm} = \frac{1}{22\,414}\ \mathrm{mol/min} = 7.4 \times 10^{-7}\ \mathrm{mol/s} = 4.5 \times 10^{17}\ \text{분자/s}$$

가 된다. sccm은 부피가 아니라 몰 유량 단위다. 챔버 압력이 얼마든 분자 수는 같다.

의문

비점성이라면서 실제 기체 배관에 베르누이를 써도 되는가. 짧은 구간에서는 된다. 유체가 관성으로 지나가는 시간이 점성이 운동량을 벽까지 퍼뜨리는 시간보다 훨씬 짧으면 점성이 끼어들 틈이 없다 — 이 비가 3절의 레이놀즈 수다. 긴 배관에서는 안 된다. 벽 마찰이 유선을 따라 에너지를 계속 빼앗아 $p + \tfrac12 \rho v^2 + \rho g z$가 상수가 아니라 단조 감소한다. 그 손실을 정량화한 것이 3절의 마찰 계수 $f$이고, 손실 항을 더한 식이 실무의 배관 계산이다.

$$p_1 + \tfrac12 \rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \tfrac12 \rho v_2^2 + \rho g z_2 + f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^2}{2}$$

샤워헤드가 이 두 절의 응용이다. 수백 개의 작은 구멍이 뚫린 판 뒤에 기체를 채우고(플레넘) 웨이퍼 위로 뿌린다. 구멍이 충분히 작아 각 구멍의 압력 강하가 플레넘 안의 압력 편차보다 훨씬 크면, 모든 구멍에서 같은 유량이 나온다 — 플레넘 압력의 미세한 불균일이 구멍 저항에 가려진다. 구멍 수를 늘리면 구멍당 유량이 줄어 압력 강하가 작아지고 분배 균일성이 나빠지며, 구멍을 줄이면 플레넘 압력이 올라가 초킹에 가까워진다. 이 균형이 샤워헤드 설계의 첫 계산이다(18.11).

점성과 층류·난류

뉴턴의 점성 법칙

두 평행한 판 사이에 유체를 채우고 위판을 속도 $U$로 끌면, 유체는 아래판에서 0, 위판에서 $U$인 선형 속도 분포를 갖는다(쿠에트 흐름). 판을 끌려면 면적당 힘 $\tau$가 필요하고, 그 힘은 속도의 기울기에 비례한다.

$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$

이것이 뉴턴의 점성 법칙이고, 비례 상수 $\mu$가 점성 계수(Pa·s)다. 여기서부터 이 장은 Incropera의 표기를 따라 $x$ 방향 속도 성분을 $u$로, 벽에 수직인 좌표를 $y$로 쓴다. 전단응력 $\tau$는 유체의 위층이 아래층을 끌고 가는 힘이자, 아래층이 위층을 붙드는 힘이다 — 운동량이 빠른 층에서 느린 층으로 옮겨 가는 유속이다.

3.7.3열전도 법칙과 열전도도의 푸리에 법칙과 나란히 놓으면 구조가 같다. 양변을 $\rho$로 나누면

$$\frac{\tau}{\rho} = \nu \frac{du}{dy}, \qquad \nu = \frac{\mu}{\rho}$$

$\nu$는 운동 점성 계수이고 단위가 m²/s — 열확산 계수 $\alpha = k/\rho c_p$와 같은 단위다. $\tau/\rho$는 단위 질량당 운동량의 유속이고, $u$는 단위 질량당 운동량이다. 그러니 이 식은 “운동량이 확산한다”는 문장이고, $\nu$가 그 확산 계수다. 열은 $\alpha$로, 운동량은 $\nu$로, 분자는 $D_{AB}$로 퍼진다. 5절에서 셋의 비를 무차원 수로 이름 붙인다.

유체 (20 °C)	$\mu$ (Pa·s)	$\rho$ (kg/m³)	$\nu$ (m²/s)
공기 (1 atm)	$1.8 \times 10^{-5}$	1.2	$1.5 \times 10^{-5}$
질소 (1 Torr)	$1.8 \times 10^{-5}$	$1.6 \times 10^{-3}$	$1.1 \times 10^{-2}$
수소 (1 atm)	$0.9 \times 10^{-5}$	0.084	$1.1 \times 10^{-4}$
물	$1.0 \times 10^{-3}$	1000	$1.0 \times 10^{-6}$
포토레지스트 (희석)	$10^{-2}$ ~ $10^{-1}$	~1000	$10^{-5}$ ~ $10^{-4}$
CMP 슬러리	$\sim 2 \times 10^{-3}$	~1050	$\sim 2 \times 10^{-6}$

기체의 $\mu$가 압력과 무관하다는 사실을 표의 둘째 줄에 넣어 두었다 — 압력을 1/760로 낮춰도 $\mu$는 그대로이고 $\rho$만 1/760이 되어 $\nu$가 760배로 뛴다. 이 이상한 사실의 이유는 8절의 기체 운동론에서 나오고, 그 결과는 4절과 6절에서 여러 번 쓰인다.

벽에서 유체 속도는 벽 속도와 같다 — 무-미끄럼 조건이다. 유체 분자가 벽에 닿으면 벽과 운동량을 완전히 교환한다는 경험 법칙이고, 연속체 가정 아래에서는 예외 없이 성립한다. 9절에서 기체가 희박해지면 이 조건이 깨지는 것을 본다.

관 속 층류 — 하겐·푸아죄유

반지름 $R$의 원관에 압력차 $\Delta p$를 걸어 길이 $L$을 흐르게 한다. 축에서 $r$만큼 떨어진 반지름 $r$의 유체 원기둥을 잡으면, 양 끝의 압력차가 미는 힘 $\Delta p \cdot \pi r^2$과 옆면의 점성 마찰 $\tau \cdot 2\pi r L$이 평형이다. 정상 흐름이라 가속이 없기 때문이다. $\tau = -\mu\,du/dr$ (속도가 축에서 최대이므로 기울기가 음)를 넣고 1.1.8곡선좌표계의 원통 좌표로 정리하면

$$\frac{du}{dr} = -\frac{\Delta p}{2\mu L}\,r \quad\Longrightarrow\quad u(r) = \frac{\Delta p}{4\mu L}\,(R^2 - r^2)$$

벽에서 $u = 0$을 쓴 적분 상수다. 속도 분포는 포물선이고, 축에서 최대 $u_{\max} = \Delta p R^2/4\mu L$이다. 단면에 걸쳐 적분한 부피 유량이 하겐·푸아죄유 식이다.

$$Q = \int_0^R u(r)\,2\pi r\,dr = \frac{\pi R^4}{8\mu}\,\frac{\Delta p}{L}, \qquad u_m = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{u_{\max}}{2}$$

직관

파라미터 연계 — $R^4$. 반지름을 두 배로 하면 유량이 16배다. 단면적으로 4배, 그리고 벽이 멀어져 평균 속도가 4배. 반대로 관 지름을 반으로 줄이면 같은 유량에 16배의 압력차가 필요하다. 가스 배관과 진공 배관을 굵게 짧게 설치하는 이유이고, 9절에서 분자 유동으로 넘어가면 지수가 4에서 3으로 바뀌지만 “굵게 짧게”는 그대로다.

형태적. 포물선의 곡률 $d^2u/dr^2 = -\Delta p/2\mu L$이 위치와 무관하게 일정하다. 압력 기울기가 유체를 균일하게 밀고 점성이 그것을 균일하게 받아 낸다. 6절에서 보는 확산의 정상 분포가 직선인 것과 대조된다 — 그쪽은 소스 항이 없어 곡률이 0이다. 7절의 균질 반응처럼 부피 소스가 생기면 확산 분포도 휜다. 곡률은 언제나 소스의 흔적이다.

레이놀즈 수 — 관성 대 점성

관을 흐르는 유체를 이 매끈한 포물선으로 기술할 수 있는 것은 어느 속도까지다. 그 너머에서는 흐름이 불규칙한 소용돌이로 가득 찬 난류가 된다. 층류와 난류를 가르는 것은 하나의 무차원 수다.

$$\mathrm{Re} = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{u L}{\nu} = \frac{\text{관성력}}{\text{점성력}}$$

분자와 분모의 뜻은 단위 부피의 유체에 작용하는 두 힘의 차수 비교에서 나온다. 관성 항 $\rho u\,\partial u/\partial x \sim \rho u^2/L$, 점성 항 $\mu\,\partial^2 u/\partial y^2 \sim \mu u/L^2$, 둘의 비가 $\rho u L/\mu$다. 관성이 지배하면 교란이 자라고, 점성이 지배하면 교란이 죽는다. 원관에서는 지름 $D$를 특성 길이로 잡은 $\mathrm{Re}_D = u_m D/\nu$가 약 2300 아래면 층류, 약 4000을 넘으면 완전한 난류, 그 사이는 천이 구간이다. 평판 위 경계층(4절)에서는 앞전으로부터의 거리 $x$를 잡은 $\mathrm{Re}_x$가 약 $5 \times 10^5$에서 천이한다.

그림 3.8-3. 왼쪽은 평균 속도를 같게 둔 관 속 층류(포물선)와 난류(1/7 승 분포)의 시간 평균 속도 분포. 난류 분포는 가운데가 납작하고 벽 근처에서 가파르게 떨어진다 — 소용돌이가 가운데의 운동량을 벽 가까이까지 실어 나르기 때문이다. 그래서 같은 유량에서도 벽 전단응력이 훨씬 크다. 오른쪽은 매끈한 관의 다르시 마찰 계수로, 층류에서는 64/Re이고 Re 2300에서 4000 사이의 천이를 지나면 블라시우스 식으로 뛰어올라 천천히 감소한다.직접 작도

압력 강하를 유량과 잇는 실무 형식은 다르시 마찰 계수 $f$다.

$$\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho u_m^2}{2}$$

하겐·푸아죄유 식을 이 꼴에 맞추면 층류의 $f$가 나온다. $\Delta p = 8\mu L u_m/R^2 = 32 \mu L u_m/D^2$을 대입하면

$$f = \frac{64}{\mathrm{Re}_D} \qquad (\text{층류})$$

난류에서는 해석해가 없다. 매끈한 관의 실험식이 블라시우스의 $f = 0.316\,\mathrm{Re}_D^{-1/4}$ ($\mathrm{Re}_D \lesssim 2 \times 10^4$)이고, 더 넓은 범위는 페투코프의 $f = (0.790 \ln \mathrm{Re}_D - 1.64)^{-2}$가 맞춘다. 벽이 거칠면 $f$가 거칠기에도 의존하고, 이를 한 장의 도표로 정리한 것이 무디 선도다.

직관

그래프. 마찰 계수 그림의 세로축이 로그라는 점을 놓치면 안 된다. 층류 $f = 64/\mathrm{Re}$는 기울기 −1의 직선이고, 난류 $0.316\,\mathrm{Re}^{-1/4}$는 기울기 −1/4의 직선이다. 천이에서 곡선이 위로 뛴다 — 같은 $\mathrm{Re}$에서 난류의 마찰이 층류보다 크다. 그런데 $f$가 아니라 $\Delta p$로 보면 층류는 $u_m$에 비례하고 난류는 $u_m^{1.75}$에 비례한다. 유량을 두 배로 올릴 때 층류 배관은 압력이 2배, 난류 배관은 3.4배 든다.

물리적. 난류가 마찰을 키우는 이유는 그림 왼쪽의 분포에 있다. 소용돌이가 가운데의 빠른 유체를 벽 근처로 실어 나르니 벽 바로 옆의 속도 기울기가 가팔라지고, $\tau_s = \mu\,du/dy|_{y=0}$이 커진다. 같은 이유로 난류는 열과 물질도 벽까지 잘 실어 나른다 — 5절에서 난류 상관식의 지수가 층류보다 큰 이유다.

스토크스 항력과 입자의 침강

레이놀즈 수의 반대편 끝, $\mathrm{Re} \ll 1$에서는 관성을 아예 무시할 수 있다. 반지름 $R$의 구가 속도 $v$로 점성 유체 속을 움직일 때 받는 항력이 스토크스 법칙이다.

$$F_D = 6\pi \mu R v \qquad (\mathrm{Re} = \rho v \cdot 2R/\mu \ll 1)$$

항력이 속도에 선형이고 반지름에 선형이다 — 관성 항력이 $v^2$과 $R^2$에 비례하는 것과 대조된다. 입자가 유체 속에 가라앉을 때는 무게에서 1절의 부력을 뺀 힘이 이 항력과 균형을 이루는 속도에서 등속이 된다.

$$\tfrac{4}{3}\pi R^3 (\rho_p - \rho_f)\,g = 6\pi \mu R v_s \quad\Longrightarrow\quad v_s = \frac{2 R^2 (\rho_p - \rho_f)\,g}{9\mu}$$

지름 1 µm, 밀도 2000 kg/m³(실리카)인 입자가 공기 속에서 가라앉는 속도는 약 60 µm/s다. 지름 10 µm면 100배인 6 mm/s, 0.1 µm면 0.6 µm/s — 한 시간에 2 mm다. 지름 0.1 µm 아래에서는 입자가 공기 분자의 평균 자유 행정(66 nm)과 비슷해져 유체가 연속체로 보이지 않고, 항력이 스토크스 값보다 작아진다. 그 보정(커닝엄 미끄럼 보정)이 9절 크누센 수의 첫 응용이다.

직관

물리적 — 클린룸의 입자는 가라앉지 않는다. 클린룸의 천장 필터에서 바닥으로 내려오는 공기의 속도는 0.3~0.5 m/s다. 1 µm 입자의 침강 속도 60 µm/s보다 네 자리 크다. 그러니 입자는 중력으로 떨어지는 것이 아니라 공기를 따라 움직인다. 이 사실이 두 가지를 정한다. 첫째, 위에서 아래로 한 방향으로만 흐르는 공기(단방향 흐름)가 입자를 바닥으로 쓸어 내리는 유일한 기구다. 둘째, 웨이퍼 표면에 입자가 닿는 것은 침강이 아니라 표면 근처 정지층을 가로지르는 확산(작은 입자)과 흐름이 꺾일 때의 관성 충돌(큰 입자)이다. 0.1 µm 부근에서 두 기구가 모두 약해 포집 효율이 최소가 된다 — HEPA 필터의 시험 입경이 0.3 µm인 이유다(18.2).

주의 — 클린룸의 “층류”는 층류가 아니다. 흔히 층류 클린룸이라 부르지만 높이 3 m, 유속 0.45 m/s면 $\mathrm{Re} = 0.45 \times 3 / (1.5 \times 10^{-5}) \approx 10^5$으로 난류다. 정확한 말은 단방향 흐름이다. 방향이 한 곳으로 정렬되고 난류 강도가 낮다는 뜻이지, 점성이 관성을 이긴다는 뜻이 아니다.

회전하는 판 위의 액막 — 스핀 코팅

점성 흐름의 반도체 쪽 응용 하나를 더 본다. 각속도 $\omega$로 도는 웨이퍼 위에 두께 $h$의 액막이 있다. 반지름 $r$에서 단위 부피의 액체가 받는 원심력 $\rho \omega^2 r$이 액막을 바깥으로 밀고, 점성이 이를 받는다. 액막 안의 흐름은 관 속 흐름과 같은 힘 평형이라 속도 분포가 포물선이고, 그 결과 두께가 줄어드는 속도는

$$\frac{dh}{dt} = -\frac{2 \rho \omega^2}{3\mu}\,h^3 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{h^2} = \frac{1}{h_0^2} + \frac{4 \rho \omega^2}{3\mu}\,t$$

1.4.11계 ODE — 변수분리와 완전 미분방정식의 변수분리로 풀린다. 충분히 오래 돌리면 초기 두께 $h_0$는 잊히고 $h \approx \sqrt{3\mu / 4\rho\omega^2 t}$ — 두께가 $\omega^{-1}$, 그리고 $t^{-1/2}$로 줄어든다. 두께가 $\sqrt{\mu}$에 비례하는 것도 보인다. 진한 레지스트가 두껍게 발리는 이유다. 실제 레지스트는 도는 동안 용매가 날아가 점도가 계속 오르므로 이 순수 점성 모형보다 일찍 굳는데, 그 결과 실무에서 쓰는 관계는 $h \propto \omega^{-1/2}$ 부근이 된다(18.15). 지수가 1에서 1/2로 줄어든 만큼이 증발의 몫이다.

속도 경계층과 마찰 계수

벽 근처에만 점성이 산다

자유 흐름 속도 $u_\infty$의 유체가 평판 위를 흐른다. 무-미끄럼 조건 때문에 판 표면에서 속도는 0이고, 판에서 멀어질수록 $u_\infty$로 회복된다. 속도가 $0.99\,u_\infty$에 이르는 높이를 경계층 두께 $\delta$라 부른다. 경계층 밖에서는 속도 기울기가 없어 점성이 아무 일도 하지 않고, 베르누이 방정식이 성립한다. 경계층 안에서만 점성이 산다. 프란틀이 1904년에 내놓은 이 분할이 유체역학을 두 조각으로 나눴다 — 바깥은 비점성 이론, 안쪽은 얇은 층의 근사.

경계층이 얇다는 사실은 방정식을 크게 단순화한다. $x$ 방향 변화가 $y$ 방향 변화보다 훨씬 완만하므로 ($\partial/\partial x \ll \partial/\partial y$) 점성 항은 $\partial^2 u/\partial y^2$ 하나만 남고, $y$ 방향 운동량 방정식은 $\partial p/\partial y \approx 0$이 된다 — 경계층을 가로질러 압력이 일정하고, 바깥 흐름의 압력이 벽까지 그대로 찍힌다. 평판 위 자유 흐름은 압력 기울기가 없으니 정상·비압축 경계층 방정식은

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0, \qquad u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = \nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$

두 항의 차수를 견주면 $\delta$의 크기가 바로 나온다. 관성 $u_\infty^2/x$와 점성 $\nu u_\infty/\delta^2$이 경계층 안에서 같은 차수여야 하므로

$$\frac{\delta}{x} \sim \sqrt{\frac{\nu}{u_\infty x}} = \mathrm{Re}_x^{-1/2}$$

직관

물리적 — 왜 $\sqrt{x}$인가. 유체가 앞전에서 위치 $x$까지 오는 데 $t = x/u_\infty$가 걸린다. 그 시간 동안 벽의 “정지”라는 정보가 운동량 확산으로 유체 속에 $\sqrt{\nu t}$만큼 퍼진다 — 7절의 과도 확산에서 침투 깊이가 $\sqrt{Dt}$인 것과 같은 이유다. 그래서 $\delta \sim \sqrt{\nu x/u_\infty}$. 경계층은 벽의 영향이 확산으로 퍼진 깊이이고, 흐름은 그 확산에 시간을 주는 시계일 뿐이다.

파라미터 연계. $u_\infty$를 올리면 시간이 줄어 얇아진다. $\nu$를 올리면 두꺼워진다 — 그리고 3절의 표에서 봤듯 기체의 $\nu$는 압력에 반비례하므로 압력을 낮추면 경계층이 두꺼워진다. 온도를 올려도 $\nu \propto T^{3/2}/p$로 두꺼워진다(8절).

블라시우스의 상사해

$\delta \propto \sqrt{x}$가 말하는 것은 경계층 안의 속도 분포가 위치마다 다른 것이 아니라 같은 모양을 $\sqrt{x}$로 늘인 것이라는 사실이다. 그러면 $y$를 $\sqrt{\nu x/u_\infty}$로 나눈 변수 하나로 분포를 쓸 수 있어야 한다. 블라시우스가 그 치환을 실행했다.

$$\eta = y\sqrt{\frac{u_\infty}{\nu x}}, \qquad \frac{u}{u_\infty} = f'(\eta)$$

편미분방정식 두 개가 $f$에 대한 상미분방정식 하나로 줄어든다.

$$f''' + \tfrac{1}{2}\,f f'' = 0, \qquad f(0) = f'(0) = 0, \quad f'(\infty) = 1$$

비선형 3계 방정식이고 해석해가 없어 수치로 푼다 — 벽에서의 $f''(0)$을 모른 채 적분을 시작해 $f'(\infty) = 1$이 맞을 때까지 $f''(0)$을 조정하는 사격법이다(1.12.10). 그 답이 $f''(0) = 0.332$이고, $f' = 0.99$가 되는 곳이 $\eta \approx 5.0$이다.

$$\delta = \frac{5.0\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} = 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{u_\infty}}$$

그림 3.8-4. 왼쪽은 평판을 따라 자라는 속도 경계층의 두께(세로축 과장). 층류 구간에서는 √x로 자라고, Re_x가 약 5×10⁵에 이르면 난류로 천이해 x의 4/5 승으로 더 빠르게 두꺼워진다. 오른쪽은 블라시우스 방정식을 수치 적분한 층류 속도 분포로, 상사 변수 η에 대해 그리면 어느 위치에서 잘라도 같은 곡선이 된다. u가 자유 흐름의 99%에 이르는 η가 5.0이고, 벽에서의 기울기 0.332가 마찰 계수의 근원이다.직접 작도

벽 전단응력은 벽에서의 기울기다. $\partial u/\partial y|_{y=0} = u_\infty f''(0) \sqrt{u_\infty/\nu x}$이므로

$$\tau_s = \mu\,\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=0} = 0.332\,\rho u_\infty^2\,\mathrm{Re}_x^{-1/2}$$

동압 $\rho u_\infty^2/2$로 나눈 것이 국소 마찰 계수다.

$$C_{f,x} = \frac{\tau_s}{\rho u_\infty^2/2} = 0.664\,\mathrm{Re}_x^{-1/2}$$

판 전체 길이 $L$에 걸쳐 평균하면 $\bar C_{f,L} = 1.328\,\mathrm{Re}_L^{-1/2}$ — 국소값의 두 배다. $x^{-1/2}$를 적분하면 $2x^{1/2}$이기 때문이다. 앞전 근처가 마찰의 대부분을 차지한다.

직관

그래프 — 상사 분포의 모양. 그림 오른쪽 곡선은 원점에서 직선으로 출발해(벽 근처에서 속도는 $y$에 비례 — 3절 쿠에트 흐름과 같다) 위로 갈수록 완만해지며 $u_\infty$에 점근한다. $\eta = 5$가 “99%“라는 것은 약속이지 물리가 아니다. 경계층에는 뚜렷한 가장자리가 없다 — 운동량 결손이 가우스 꼬리처럼 스러질 뿐이다. 그래서 두께 대신 배제 두께 $\delta^* = \int_0^\infty (1 - u/u_\infty)\,dy$ 같은 적분량을 쓰기도 한다. 블라시우스 경계층에서 $\delta^* = 1.72\sqrt{\nu x/u_\infty} \approx \delta/3$이다.

수식적 — 왜 $\mathrm{Re}^{-1/2}$인가. $\tau_s \sim \mu u_\infty/\delta$이고 $\delta \propto \mathrm{Re}_x^{-1/2}$이므로 $\tau_s/\rho u_\infty^2 \sim (\mu/\rho u_\infty x)\,\mathrm{Re}_x^{1/2} = \mathrm{Re}_x^{-1/2}$. 지수 $-1/2$는 경계층이 확산으로 자란다는 사실의 흔적이고, 5절에서 열과 물질의 상관식에 같은 $\mathrm{Re}^{1/2}$이 나타나는 이유다.

난류 경계층

$\mathrm{Re}_x$가 약 $5 \times 10^5$을 넘으면 경계층이 난류로 바뀐다(자유 흐름의 교란이 크면 더 일찍, 판이 매끈하고 조용하면 $10^6$ 너머까지 층류가 버티기도 한다). 난류 경계층은 두께가 $x^{4/5}$로 더 빨리 자라고, 벽 근처 기울기가 가파라 마찰이 크다.

$$\delta = 0.37\,x\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}, \qquad C_{f,x} = 0.0592\,\mathrm{Re}_x^{-1/5} \qquad (\mathrm{Re}_x \lesssim 10^7)$$

앞부분 층류, 뒷부분 난류인 판의 평균 마찰 계수는 두 구간을 이어 붙인 것이다.

$$\bar C_{f,L} = 0.074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5} - \frac{1742}{\mathrm{Re}_L}$$

뒤의 항이 천이 위치를 $\mathrm{Re}_{x,c} = 5 \times 10^5$로 잡았을 때 앞부분 층류 구간의 보정이다.

반도체 — CVD 반응기의 경계층

수평 CVD 반응기는 이 절이 그대로 적용되는 곳이다. 관 속에 웨이퍼를 눕히고 위로 기체를 흘린다. 전구체가 웨이퍼에 닿으려면 경계층을 가로질러 확산해야 하고(6절), 그 확산 거리가 $\delta$다. 숫자를 넣어 본다. 질소 운반 기체, 700 °C, 1 atm에서 $\nu \approx 1.2 \times 10^{-4}$ m²/s (3절 표의 상온 값이 $\nu \propto T^{3/2}/p$로 여덟 배 커진다 — 8절), 유속 0.5 m/s, 웨이퍼가 입구에서 10 cm 지점에 있다면

$$\mathrm{Re}_x = \frac{0.5 \times 0.1}{1.2 \times 10^{-4}} \approx 420, \qquad \delta = \frac{5 \times 0.1}{\sqrt{420}} \approx 2.4\ \mathrm{cm}$$

반응기 높이가 몇 cm이니 경계층이 관을 거의 채운다. 이 경우 “얇은 경계층” 근사는 이미 위태롭고, 경계층 위쪽의 자유 흐름 자체가 좁아져 가속된다. 그래도 정성적 결론은 살아남는다 — $\delta$가 $\sqrt{x}$로 두꺼워지므로 전구체의 확산 거리가 하류로 갈수록 길어지고, 증착률이 $x^{-1/2}$로 떨어진다. 앞쪽 웨이퍼가 두껍고 뒤쪽이 얇다. 대응책이 서셉터를 몇 도 기울이는 것이다. 유로가 하류로 갈수록 좁아지면 연속 방정식(2절)으로 $u_\infty$가 커지고, $\delta$가 얇아져 확산 거리의 증가를 상쇄한다. 기울기 각도 하나가 $\sqrt{x}$의 지수를 지우는 설계 변수다.

의문

압력을 낮추면 $\nu$가 커져 $\delta$가 두꺼워지는데, 그러면 LPCVD는 물질전달이 더 나빠지는 것 아닌가. 경계층만 보면 그렇다. 그러나 전구체가 그 경계층을 건너는 속도는 확산 계수 $D_{AB}$가 정하고, $D_{AB}$도 $\nu$와 똑같이 압력에 반비례해 커진다(6절). 막 두께가 $\sqrt{\nu}$로 늘어날 때 확산은 $D$로 빨라지니, 물질 전달 계수 $h_m \sim D/\delta_c \propto D/\sqrt{\nu} \propto p^{-1/2}$은 오히려 커진다. 게다가 저압에서는 $\delta$가 반응기보다 커져 경계층이라는 말 자체가 뜻을 잃고, 기체 전체가 한 덩어리의 확산 매질이 된다. 그때는 4절이 아니라 6·7절의 정지 매질 확산으로 넘어가야 한다. LPCVD가 웨이퍼를 수직으로 빽빽이 세워도 균일한 이유가 거기 있다.

회전 디스크 반응기는 다른 답이다. 웨이퍼를 빠르게 돌리면 원심력이 표면의 기체를 바깥으로 던지고 위쪽 기체가 축을 따라 빨려 든다(폰 카르만의 회전 원판 흐름). 이 흐름의 경계층 두께는 $\delta \sim \sqrt{\nu/\omega}$로 반지름과 무관하다 — $x$가 식에서 사라진다. 웨이퍼 전체에서 확산 거리가 같으니 균일성이 회전 속도 하나로 정해진다. MOCVD의 고속 회전 반응기가 이것이다(18.13).

운동량·열·물질 전달의 유사성

세 경계층, 세 방정식

벽이 유체와 속도만 다른 것이 아니라 온도도 다르고 어떤 종의 농도도 다르다면, 속도 경계층 옆에 온도 경계층 $\delta_t$와 농도 경계층 $\delta_c$가 따로 생긴다. 셋을 지배하는 방정식을 나란히 쓴다. 4절의 경계층 근사를 에너지와 종 보존에도 적용하면

$$\begin{aligned} u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} &= \nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ u\frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} &= \alpha\,\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \\ u\frac{\partial C_A}{\partial x} + v\frac{\partial C_A}{\partial y} &= D_{AB}\,\frac{\partial^2 C_A}{\partial y^2} \end{aligned}$$

좌변은 흐름이 실어 나르는 항(이류), 우변은 벽 쪽으로 퍼지는 항(확산)이다. 세 식은 확산 계수 $\nu$, $\alpha$, $D_{AB}$만 다르다. 3.7.10대류의 경계층과 무차원 수에서 열 경계층을 먼저 봤다면 이 절은 그 그림에 세 번째 층을 얹는 것이다.

무차원화가 이 유사성을 드러낸다. 길이를 $L$, 속도를 $u_\infty$로, 온도와 농도를 $(T - T_s)/(T_\infty - T_s)$, $(C_A - C_{A,s})/(C_{A,\infty} - C_{A,s})$로 재면 세 식의 우변 계수는

$$\frac{1}{\mathrm{Re}_L}, \qquad \frac{1}{\mathrm{Re}_L \mathrm{Pr}}, \qquad \frac{1}{\mathrm{Re}_L \mathrm{Sc}}$$

가 되어, 해는 $\mathrm{Re}_L$과 두 개의 비 — 프란틀 수와 슈미트 수 — 로만 정해진다.

무차원 수 — 이 절과 이 장의 사전

이 장에는 무차원 수가 열 개 넘게 나온다. 첨자가 붙고 이름이 비슷해 한 번에 정리한다.

기호	읽는 법	정의	무엇의 비인가	절
$\mathrm{Re}$	레이놀즈	$u L/\nu$	관성 / 점성	3
$\mathrm{Pr}$	프란틀	$\nu/\alpha = \mu c_p/k$	운동량 확산 / 열 확산	5
$\mathrm{Sc}$	슈미트	$\nu/D_{AB}$	운동량 확산 / 물질 확산	5
$\mathrm{Le}$	루이스	$\alpha/D_{AB} = \mathrm{Sc}/\mathrm{Pr}$	열 확산 / 물질 확산	5
$\mathrm{Nu}$	누셀트	$hL/k$	대류 열전달 / 전도 열전달	5
$\mathrm{Sh}$	셔우드	$h_m L/D_{AB}$	대류 물질전달 / 확산 물질전달	5
$\mathrm{St}$	스탠턴	$\mathrm{Nu}/(\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}) = h/\rho u c_p$	벽 열유속 / 흐름의 열용량 유속	5
$\mathrm{St}_m$	물질 스탠턴	$\mathrm{Sh}/(\mathrm{Re}\,\mathrm{Sc}) = h_m/u$	벽 물질유속 / 흐름의 물질 유속	5
$\mathrm{Pe}$	페클레	$\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}$ 또는 $\mathrm{Re}\,\mathrm{Sc}$	이류 / 확산	5
$\mathrm{Da}$	담쾰러	$k_1'' L/D_{AB}$	반응 속도 / 확산 속도	7
$\phi$	틸레 계수	$L\sqrt{k_1/D_{AB}}$	반응 속도 / 확산 속도 (균질)	7
$\mathrm{Kn}$	크누센	$\lambda/L$	평균 자유 행정 / 특성 길이	9
$\mathrm{Ma}$	마하	$v/c$	유속 / 음속	2

첨자 규칙 하나. $\mathrm{Re}_x$, $\mathrm{Nu}_x$처럼 소문자 $x$ 가 붙으면 앞전에서 $x$ 위치의 국소값, $\mathrm{Re}_L$, $\overline{\mathrm{Nu}}_L$처럼 $L$이 붙으면 길이 $L$ 전체의 평균값, $\mathrm{Re}_D$처럼 $D$가 붙으면 관 지름을 특성 길이로 잡은 관 내 흐름이다. $\mathrm{Nu}$와 $\mathrm{Sh}$는 $h$, $h_m$을 무차원화한 결과이고, $\mathrm{Re}$·$\mathrm{Pr}$·$\mathrm{Sc}$는 입력이다. 상관식은 언제나 결과를 입력의 함수로 적는다.

$$\mathrm{Nu} = f(\mathrm{Re}, \mathrm{Pr}), \qquad \mathrm{Sh} = f(\mathrm{Re}, \mathrm{Sc})$$

두 식의 $f$가 같은 함수라는 것이 이 절의 주장이다.

세 층의 두께 비

층류 평판 경계층에서 세 층의 두께는 확산 계수의 비로 갈린다.

$$\frac{\delta}{\delta_t} \approx \mathrm{Pr}^{1/3}, \qquad \frac{\delta}{\delta_c} \approx \mathrm{Sc}^{1/3}$$

그림 3.8-5. 평판 위 층류 경계층에서 속도·온도·농도 분포를 표면으로부터의 거리에 대해 겹쳐 그린 그림. 기체는 프란틀 수가 0.7이라 온도 경계층이 속도 경계층보다 조금 두껍고, 무거운 전구체는 슈미트 수가 1보다 커서 농도 경계층이 더 얇다. 오른쪽은 세 두께의 비가 각각 프란틀·슈미트·루이스 수의 세제곱근으로 정해진다는 규칙이다. 세 곡선은 블라시우스 분포를 각 비율로 늘이거나 줄인 근사다.직접 작도

직관

수식적 — 왜 세제곱근인가. 지수가 1/2이 아니라 1/3인 데는 이유가 있다. $\mathrm{Pr} \gg 1$이면 온도 경계층이 속도 경계층 안쪽 깊숙이 들어앉는다. 그 얕은 층 안에서 속도는 아직 $u \approx u_\infty\,y/\delta$로 선형이다 — 그림 오른쪽 곡선의 원점 근처 직선 부분이다. 온도 경계층 안의 유체가 $x$까지 오는 데 걸리는 시간은 $u_\infty$가 아니라 그 느린 속도 $u_\infty \delta_t/\delta$로 재야 하므로 $t \sim x\delta/(u_\infty \delta_t)$이고, 그 동안 열이 퍼지는 깊이가 $\delta_t \sim \sqrt{\alpha t}$다. 둘을 풀면

$$\delta_t^2 \sim \frac{\alpha x \delta}{u_\infty \delta_t} \quad\Longrightarrow\quad \delta_t^3 \sim \frac{\alpha x}{u_\infty}\,\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{\delta_t}{\delta} \sim \left(\frac{\alpha}{\nu}\right)^{1/3}$$

마지막에 $\delta^2 \sim \nu x/u_\infty$를 넣었다. 지수 1/3은 속도 분포가 벽 근처에서 선형이라는 사실의 흔적이다. $\mathrm{Pr} \ll 1$(액체 금속)이면 온도층이 속도층 밖까지 나가 속도가 균일한 $u_\infty$로 보이고, 지수가 1/2로 돌아간다.

기체는 $\mathrm{Pr} \approx 0.7$(단원자·이원자 모두 0.660.75)이라 세 층이 비슷한 두께다. $\mathrm{Sc}$는 종에 따라 다르다 — 공기 속 수소는 0.4, 수증기는 0.6, 무거운 유기금속 전구체는 23이다. 물은 $\mathrm{Pr} \approx 7$이고 물 속 이온의 $\mathrm{Sc} \approx 10^3$이다. 습식 식각에서 농도 경계층이 속도 경계층의 1/10이라는 뜻이고, 그래서 습식 배스의 교반이 식각 균일성에 민감하다.

레이놀즈 유사와 칠턴·콜번 유사

$\mathrm{Pr} = \mathrm{Sc} = 1$이면 세 무차원 방정식이 글자까지 같아진다. 경계 조건도 같으니 (벽에서 0, 멀리서 1) 해가 같고, 벽에서의 기울기가 같다. 속도 기울기는 $C_f$, 온도 기울기는 $\mathrm{Nu}$, 농도 기울기는 $\mathrm{Sh}$이므로

$$\frac{C_f}{2} = \mathrm{St} = \mathrm{St}_m \qquad (\mathrm{Pr} = \mathrm{Sc} = 1)$$

이것이 레이놀즈 유사다. 마찰을 재면 열전달과 물질전달을 공짜로 얻는다. $\mathrm{Pr}$, $\mathrm{Sc}$가 1이 아닐 때는 위의 1/3 승 두께 비로 보정한다. 그 결과가 칠턴·콜번 유사다.

$$j_H \equiv \mathrm{St}\,\mathrm{Pr}^{2/3} = \frac{C_f}{2} = \mathrm{St}_m\,\mathrm{Sc}^{2/3} \equiv j_m \qquad (0.6 < \mathrm{Pr} < 60,\ \ 0.6 < \mathrm{Sc} < 3000)$$

$j_H$, $j_m$이 콜번 $j$ 인자다. 층류 평판에서는 정확히 성립하고, 난류와 관 내 흐름에서도 압력 기울기가 크지 않으면 실험과 잘 맞는다. 지수 2/3는 두께 비 $\mathrm{Pr}^{1/3}$과 $\mathrm{St} = \mathrm{Nu}/\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}$의 분모 $\mathrm{Pr}$이 합쳐진 것이다.

열전달과 물질전달만 잇는 꼴로 쓰면 이 장에서 가장 자주 쓸 식이 된다.

$$\frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Pr}^{1/3}} = \frac{\mathrm{Sh}}{\mathrm{Sc}^{1/3}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{h}{h_m} = \rho c_p\,\mathrm{Le}^{2/3}$$

3.7의 어떤 열전달 상관식이든 $\mathrm{Nu} \to \mathrm{Sh}$, $\mathrm{Pr} \to \mathrm{Sc}$로 바꿔 쓰면 물질전달 상관식이 된다. 자주 쓰는 셋을 옮겨 적는다.

흐름	열전달	물질전달
층류 평판, 국소	$\mathrm{Nu}_x = 0.332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}$	$\mathrm{Sh}_x = 0.332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\mathrm{Sc}^{1/3}$
난류 평판, 국소	$\mathrm{Nu}_x = 0.0296\,\mathrm{Re}_x^{4/5}\mathrm{Pr}^{1/3}$	$\mathrm{Sh}_x = 0.0296\,\mathrm{Re}_x^{4/5}\mathrm{Sc}^{1/3}$
원관 난류, 완전 발달	$\mathrm{Nu}_D = 0.023\,\mathrm{Re}_D^{4/5}\mathrm{Pr}^{0.4}$	$\mathrm{Sh}_D = 0.023\,\mathrm{Re}_D^{4/5}\mathrm{Sc}^{0.4}$
원관 층류, 완전 발달	$\mathrm{Nu}_D = 3.66$ (벽 온도 일정)	$\mathrm{Sh}_D = 3.66$ (벽 농도 일정)

층류 평판의 0.332가 4절의 $f''(0) = 0.332$와 같은 숫자인 것은 우연이 아니다 — $\mathrm{Pr} = 1$이면 온도 분포가 속도 분포와 같아 벽 기울기가 같기 때문이다. 원관 층류의 3.66은 $\mathrm{Re}$에 의존하지 않는다. 완전 발달된 층류에서는 벽까지 실어 나르는 것이 소용돌이가 아니라 순수 확산뿐이라 유속이 도움이 되지 않는다.

직관

파라미터 연계 — 상관식의 지수가 말하는 것. $\mathrm{Re}^{1/2}$은 층류 경계층의 $\sqrt{x}$ 성장(4절)이다. $\mathrm{Re}^{4/5}$은 난류 경계층의 $x^{4/5}$ 성장이다. 유속을 두 배로 올리면 층류 평판의 $h_m$은 1.41배, 난류 평판은 1.74배 커진다. $\mathrm{Sc}^{1/3}$은 농도 경계층이 속도 경계층보다 얇아지는 만큼이다 — 무거운 전구체($\mathrm{Sc} = 2.5$)는 가벼운 것($\mathrm{Sc} = 0.6$)보다 농도 경계층이 얇아 $\mathrm{Sh}$가 1.6배 크지만, $h_m = \mathrm{Sh}\,D_{AB}/L$의 $D_{AB}$가 그보다 더 작아 결국 $h_m \propto D_{AB}^{2/3}$으로 느리다. 확산 계수의 지수가 1이 아니라 2/3인 것이 경계층이 있는 흐름의 서명이다. 정지 매질의 확산(6절)은 지수가 1이다.

물리적 — 증발 냉각. 열과 물질이 같은 표면에서 동시에 일어나면 유사가 둘을 직접 잇는다. 스핀 코팅 중 용매가 증발하는 웨이퍼 표면은 증발 잠열만큼 식는다. 정상 상태에서 표면이 받는 대류 열 $h(T_\infty - T_s)$가 증발이 빼앗는 열 $h_m (\rho_{A,s} - \rho_{A,\infty}) h_{fg}$와 같아야 하므로

$$T_\infty - T_s = \frac{h_{fg}}{\rho c_p\,\mathrm{Le}^{2/3}}\,(\rho_{A,s} - \rho_{A,\infty})$$

$h$와 $h_m$의 비가 물성으로만 정해지므로 흐름 조건이 사라진다. 젖은 표면의 온도 강하는 바람이 세든 약하든 같다(습구 온도). 레지스트 표면 온도가 도포 중 몇 도 떨어져 점도와 두께에 영향을 주는 것이 이 식이다.

반도체 — 한 장의 지도로 두 문제를 푼다

반응기 설계에서 이 유사가 하는 일은 실용적이다. 열전달은 100년간 측정된 상관식이 쌓여 있고 물질전달은 그렇지 않다. 유사 덕에 열전달 데이터를 물질전달로 이식한다. 웨이퍼 위의 온도 분포를 재면 증착 두께 분포를 예측할 수 있고, 거꾸로 증착 두께 지도가 곧 온도 경계층 지도다. 급속 열처리 장비(18.9)의 웨이퍼 냉각과 CVD 장비(18.11)의 증착 균일성이 같은 $\mathrm{Nu}$·$\mathrm{Sh}$ 지도 위에 있다.

한계도 안다. 유사는 경계 조건이 같을 때만 성립한다. 온도는 벽에서 일정하고 농도는 벽에서 반응으로 소모되는 경우(7절), 또는 증착률이 높아 표면에서 기체가 빨려 드는 속도(스테판 유동, 6절)가 무시되지 않는 경우에는 세 방정식의 경계 조건이 달라져 지수 1/3의 규칙이 흔들린다. 그 경우는 6·7절이 다룬다.

확산 물질전달과 픽 법칙 (고체 내 확산은 8.3)

농도를 세는 네 가지 방법

혼합물 속 종 A의 양을 세는 방법이 넷이다. 질량으로 세면 질량 농도 $\rho_A$(kg/m³)와 질량분율 $m_A = \rho_A/\rho$, 몰로 세면 몰농도 $C_A$(kmol/m³)와 몰분율 $x_A = C_A/C$다. $\rho = \sum \rho_i$, $C = \sum C_i$는 혼합물 전체의 값이다. 이상기체에서는 각 종의 분압이 곧 몰농도다.

$$C_A = \frac{p_A}{R T}, \qquad x_A = \frac{p_A}{p}$$

1 atm, 300 K에서 $C = 40.6$ mol/m³이고, 1 Torr에서는 그 1/760인 0.053 mol/m³다. 압력을 낮추면 분자가 그만큼 드물어진다 — 6절 끝의 LPCVD 논의에서 이 사실이 확산 계수의 증가와 정확히 상쇄된다.

픽 법칙

농도가 고르지 않으면 종 A는 진한 곳에서 묽은 곳으로 흐른다. 그 유속이 농도 기울기에 비례한다는 것이 픽의 제1법칙이다. 3.7.3열전도 법칙과 열전도도의 푸리에 법칙과 같은 꼴이고, 질량 단위와 몰 단위 두 가지로 쓴다.

$$j_A = -\rho D_{AB}\,\nabla m_A, \qquad J_A^* = -C D_{AB}\,\nabla x_A$$

$D_{AB}$는 이성분 확산 계수(m²/s)로, A가 B 속으로 퍼지는 계수이자 B가 A 속으로 퍼지는 계수다 ($D_{AB} = D_{BA}$). 여기서 유량 기호의 정리가 필요하다. Incropera는 넷을 구별하고, 이 장도 따른다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$j_A$		확산 질량 유속 — 혼합물의 질량 평균 속도에 대한 상대 유속	kg/m²·s
$J_A^*$	별표	확산 몰 유속 — 혼합물의 몰 평균 속도에 대한 상대 유속	kmol/m²·s
$n_A''$	이중 프라임	절대 질량 유속 — 정지 좌표계에서 본 A의 전체 유속	kg/m²·s
$N_A''$	이중 프라임	절대 몰 유속 — 정지 좌표계에서 본 A의 전체 유속	kmol/m²·s

소문자는 질량, 대문자는 몰이다. 프라임 없는 것은 확산만, 이중 프라임은 확산에 흐름이 실어 나르는 몫을 더한 절대량이다. 둘의 관계가 이 절의 핵심이다.

$$N_A'' = J_A^* + x_A\,(N_A'' + N_B'')$$

우변 첫 항이 확산, 둘째 항이 혼합물 전체의 몰 흐름에 실려 가는 몫이다. 혼합물이 정지해 있어도 A가 확산으로 움직이면 B가 그 자리를 채우거나 비워야 하고, 그 결과 혼합물 전체가 움직일 수 있다. 이 둘째 항이 0인 경우와 아닌 경우를 아래에서 나눈다.

확산 계수의 크기

$D_{AB}$는 상에 따라 열 자리 이상 달라진다.

계 (25 °C)	$D_{AB}$ (m²/s)	어디서
공기 속 H₂, 1 atm	$4.1 \times 10^{-5}$	운반 기체 속 반응물
공기 속 H₂O, 1 atm	$2.6 \times 10^{-5}$	습도, 건조
공기 속 CO₂, 1 atm	$1.6 \times 10^{-5}$	—
공기 속 큰 유기 분자, 1 atm	$\sim 0.6 \times 10^{-5}$	유기금속 전구체
기체, 1 Torr	위 값 × 760	LPCVD·플라즈마
물 속 작은 이온·분자	$\sim 10^{-9}$	습식 식각·세정·도금
고체 속 불순물, 1000 °C	$10^{-16}$ ~ $10^{-12}$	도핑 확산 (8.3·18.7)
고체 속 불순물, 실온	$10^{-30}$ 이하	—

기체의 확산 계수는 온도와 압력에 뚜렷하게 의존한다.

$$D_{AB} \propto \frac{T^{3/2}}{p}$$

8절에서 기체 운동론으로 이 꼴을 얻는다 — $D \sim \tfrac13 \bar v \lambda$에서 $\bar v \propto \sqrt{T}$, $\lambda \propto T/p$다. 액체의 확산 계수는 스토크스·아인슈타인 관계가 준다. 3절의 스토크스 항력에 열운동을 결합한 것이다.

$$D = \frac{k_B T}{6\pi \mu R}$$

반지름 0.5 nm의 분자가 물 속에서 $4 \times 10^{-10}$ m²/s로, 표의 값과 맞는다. 점도에 반비례하므로 온도를 올리면 물의 점도가 떨어지는 만큼 빨라진다 — 습식 식각 속도가 온도에 민감한 이유의 절반이다 (나머지 절반은 반응 속도 상수의 아레니우스 의존, 7절).

정지한 B 속의 확산 — 스테판 유동

두께 $L$의 기체층 양 끝에서 A의 몰분율이 $x_{A,0}$과 $x_{A,L}$로 고정되어 있다. 두 경우를 나눈다.

등몰 상호확산. A가 오른쪽으로 가는 만큼 B가 왼쪽으로 온다 — $N_A'' = -N_B''$. 혼합물 전체의 흐름이 없어 $N_A'' = J_A^*$이고, 정상 상태에서 유속이 위치와 무관하므로 농도 분포는 직선이다.

$$N_A'' = \frac{C D_{AB}}{L}\,(x_{A,0} - x_{A,L})$$

B가 정지한 경우. 액체 A가 증발해 위쪽의 정지한 기체 B 속으로 확산하는 상황이다. B는 위에서 공급되지 않고 아래 액면을 통과하지도 못하니 $N_B'' = 0$이다. 그러면

$$N_A'' = -C D_{AB}\,\frac{dx_A}{dz} + x_A N_A'' \quad\Longrightarrow\quad N_A'' = -\frac{C D_{AB}}{1 - x_A}\,\frac{dx_A}{dz}$$

정상 상태에서 $N_A''$이 상수이므로 이 1계 방정식을 적분하면

$$\frac{1 - x_A}{1 - x_{A,0}} = \left(\frac{1 - x_{A,L}}{1 - x_{A,0}}\right)^{z/L}, \qquad N_A'' = \frac{C D_{AB}}{L}\,\ln\frac{1 - x_{A,L}}{1 - x_{A,0}}$$

그림 3.8-6. 농도 x_A,0인 면에서 x_A가 0인 면까지 기체 A가 확산하는 두 경우. 등몰 상호확산(점선)은 픽 법칙 그대로의 직선이고, B가 정지해 있으면(실선) A가 만드는 스테판 유동이 A를 실어 날라 분포가 위로 휘고 유량이 늘어난다. x_A,0가 0.2면 12%, 0.6이면 53% 더 많다. 오른쪽은 그 유량 비를 x_A,0의 함수로 그린 것으로, 묽은 극한에서 1로 돌아간다.직접 작도

직관

물리적 — 스테판 유동. B가 정지해 있으려면 확산으로 아래쪽으로 내려오려는 B를 무언가가 밀어 올려야 한다. 그것이 혼합물 전체의 위쪽 흐름 $x_A N_A''$이고, 이 흐름이 A도 함께 실어 나른다. 그래서 같은 농도차에서 유량이 $\ln[1/(1 - x_{A,0})]/x_{A,0}$배 크다. 묽으면($x_A \ll 1$) 이 인자가 1로 돌아가 픽 법칙의 직선이 된다 — 6절의 나머지와 7절은 전부 이 묽은 극한에서 쓴다. 진할 때만 스테판 유동을 기억하면 된다.

형태적. 분포가 직선이 아니라 위로 볼록한 곡선이다. 아래쪽(진한 쪽)에서 기울기가 완만한 것은 그곳에서는 대류가 A를 실어 나르는 몫이 커서 확산이 덜 필요하기 때문이고, 위쪽(묽은 쪽)에서 가팔라지는 것은 그 반대다. 곡률은 대류의 흔적이다.

파라미터 연계. 전구체 버블러가 이 문제다. 액체 전구체 위로 운반 기체를 흘리면 기체가 실어 가는 전구체의 양은 증기압 $p_A^{\mathrm{sat}}$(온도의 함수, 4.4·6.6)과 이 확산 유량으로 정해진다. 온도를 올리면 증기압이 지수적으로 커져 $x_{A,0}$이 오르고, 스테판 인자까지 더해져 공급량이 급증한다. 그래서 버블러의 온도 제어가 0.1 °C 단위다.

증착 표면에서도 같은 일이 일어난다. 반응물이 표면에서 소모되어 고체가 되면 기체 쪽에서는 분자가 사라진다 — 표면을 향한 알짜 흐름이 생기고, 그것이 스테판 유동이다. 증착률이 낮으면 무시하지만, 에피택시처럼 반응물 몰분율이 몇 %를 넘으면 5절의 유사가 어긋나기 시작한다.

물질 전달 계수와 막 이론

경계층이 있는 흐름에서 표면과 자유 흐름 사이의 유속을 열전달의 $h$처럼 계수 하나로 쓴다.

$$N_A'' = h_m\,(C_{A,s} - C_{A,\infty})$$

5절의 $\mathrm{Sh}$ 상관식이 $h_m$을 준다. 가장 단순한 그림은 막 이론이다 — 표면 위에 두께 $\delta_c$의 정지한 기체막이 있고 그 안에서만 확산이 일어난다고 본다. 막 안에서 농도가 직선이니

$$h_m = \frac{D_{AB}}{\delta_c}$$

실제 경계층은 정지막이 아니지만, $\delta_c$를 “농도 경계층의 유효 두께”로 읽으면 이 식이 곧 $\mathrm{Sh} = L/\delta_c$다. 7절의 담쾰러 수와 18.11의 그로브 모델은 전부 이 막 이론의 $h_m$을 쓴다.

직관

파라미터 연계 — LPCVD가 낮은 압력에서 돌아가는 이유. 이 절의 세 사실을 겹친다. ① $D_{AB} \propto 1/p$. ② $C \propto p$. ③ 표면으로 가는 유속은 $h_m C_A$이고 $h_m \propto D_{AB}$다.

압력을 1 atm에서 1 Torr로 낮추면 확산 계수가 760배 커진다. 물질 전달 계수 $h_m = D_{AB}/\delta_c$가 그만큼 커지고(경계층이 반응기 전체가 되어 $\delta_c$가 늘어난 것을 감안해도 수십~수백 배), 표면에 도달할 수 있는 최대 유속 $h_m C_{A,\infty}$는 $D \cdot C \propto p^0$으로 거의 그대로다. 공급 능력은 유지되면서 공급 속도만 빨라진 셈이다. 그러면 표면 반응 속도 $k_1''$(압력과 무관, 온도에만 의존)이 $h_m$보다 훨씬 작아져 표면 반응이 병목이 된다(7절, $\mathrm{Da} \ll 1$).

병목이 표면 반응이면 증착률은 기체가 어떻게 흐르든 상관없이 온도만으로 정해진다. 그래서 웨이퍼를 수직으로 100장씩 빽빽이 세워 넣어도 — 흐름이 웨이퍼 사이로 거의 들어가지 못해도 — 확산이 빨라 균일하게 증착된다. 배치식 LPCVD 로의 존재 이유이고, 대신 온도 균일성이 전부가 되어 로의 온도 구역을 ±0.5 °C로 잡는다.

이 절은 기체와 액체의 확산이다. 고체 속 확산은 계수가 $10^{-12}$ m²/s 아래로 내려가고 원자 기구(공공·격자간)가 개입하며 온도 의존이 아레니우스 꼴로 급해진다 — 8.3에서 다루고, 그 공정 조건은 18.7이다. 픽 법칙 자체는 같다.

화학 반응이 있는 확산과 과도 확산

종 보존 방정식

2절의 연속 방정식에 확산과 반응을 얹으면 종 보존 방정식이다. 묽은 극한에서 정지한 매질에 대해

$$\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB}\,\nabla^2 C_A + \dot N_A$$

$\dot N_A$는 단위 부피·단위 시간당 화학 반응으로 생성되는 A의 몰수(소모되면 음수)다. 3.7.4열확산 방정식과 경계 조건의 열확산 방정식 $\partial T/\partial t = \alpha \nabla^2 T + \dot q/\rho c_p$와 같은 꼴이고, 발열 $\dot q$의 자리에 반응이 들어간다. 반응은 두 곳에서 일어날 수 있다 — 기체 속(균질 반응)이면 이 방정식의 소스 항이고, 표면(불균질 반응)이면 경계 조건이다. 둘을 차례로 본다.

균질 1차 반응 — 틸레 계수

A가 기체 속에서 1차 반응으로 소모된다. $\dot N_A = -k_1 C_A$, $k_1$의 단위는 s⁻¹이다. 표면 $x = 0$에서 농도가 $C_{A,0}$로 고정되고 $x = L$에 불투과 벽이 있는 1차원 정상 문제는

$$D_{AB}\,\frac{d^2 C_A}{dx^2} - k_1 C_A = 0, \qquad C_A(0) = C_{A,0}, \quad \frac{dC_A}{dx}\bigg|_{L} = 0$$

1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 상수계수 2계 방정식이다. 특성근이 $\pm m$, $m = \sqrt{k_1/D_{AB}}$이고 경계 조건을 맞추면

$$\frac{C_A}{C_{A,0}} = \frac{\cosh[m(L - x)]}{\cosh(mL)}, \qquad N_A''(0) = D_{AB}\,m\,C_{A,0}\tanh(mL)$$

$m$의 역수 $1/m = \sqrt{D_{AB}/k_1}$이 반응 길이 — A가 반응으로 사라지기 전에 확산으로 갈 수 있는 거리다. 층 두께와의 비가 틸레 계수다.

$$\phi = mL = L\sqrt{\frac{k_1}{D_{AB}}}$$

그림 3.8-7. 표면 농도가 C₀로 고정된 두께 L의 층 안에서 1차 반응으로 소모되며 확산하는 종의 정상 농도 분포. 틸레 계수 φ가 0.3이면 층 전체가 거의 표면 농도이고, 1이면 바닥이 65%, 3이면 10%, 10이면 표면 근처 L/10 안에서 모두 소모되어 안쪽은 비어 있다. 오른쪽은 층 전체가 표면 농도였을 때 대비 실제 반응량의 비인 유효 인자로, φ가 크면 1/φ로 떨어진다.직접 작도

직관

형태적. $\phi \ll 1$이면 $\cosh$이 1에 가까워 분포가 평평하다 — 확산이 반응보다 빨라 층 전체가 표면 농도로 채워지고, 반응이 층 어디서나 고르게 일어난다. $\phi \gg 1$이면 $\cosh$이 지수함수가 되어 $C_A \approx C_{A,0}\,e^{-mx}$ — 표면에서 $1/m$ 안에 다 소모되고 안쪽은 굶는다. 이때 유속은 $D_{AB} m C_{A,0} = C_{A,0}\sqrt{k_1 D_{AB}}$로 $L$과 무관해진다. 층을 더 두껍게 만들어도 반응량이 늘지 않는다.

유효 인자. 층 전체가 표면 농도였다면 반응량이 $k_1 C_{A,0} L$이었을 것이다. 실제 반응량은 표면 유속 $N_A''(0)$과 같으니 둘의 비가

$$\eta = \frac{D_{AB}\,m\,C_{A,0}\tanh(mL)}{k_1 C_{A,0} L} = \frac{\tanh\phi}{\phi}$$

$\phi \to 0$이면 1, $\phi \to \infty$이면 $1/\phi$다. 촉매 공학의 언어지만 10절의 다공성 매질과 플라즈마 화학에서 그대로 쓴다. 플라즈마 속 라디칼이 벽에서 소멸되거나 기체 속에서 재결합할 때 $\phi$가 챔버 크기 대비 라디칼의 생존 거리를 정하고, 그것이 웨이퍼에 도달하는 라디칼 밀도의 분포를 정한다(18.18).

표면 반응 — 담쾰러 수와 직렬 저항

반응이 표면에서만 일어나면 방정식은 소스 항 없는 $d^2 C_A/dx^2 = 0$이고, 반응은 경계 조건으로 들어온다. 표면에 도달한 A의 유속이 표면 반응으로 소모되는 속도와 같아야 하므로, 1차 표면 반응이면

$$-D_{AB}\,\frac{dC_A}{dx}\bigg|_{s} = k_1''\,C_{A,s}$$

$k_1''$의 단위는 m/s다 — 면적당 반응 속도를 농도로 나눈 것이라 속도의 차원을 갖는다. 두께 $\delta$의 정지 기체막 너머 벌크 농도가 $C_{A,\infty}$이면 막 안 분포는 직선이고, 막을 건너는 유속 $D_{AB}(C_{A,\infty} - C_{A,s})/\delta$가 표면 소모 $k_1'' C_{A,s}$와 같다. $C_{A,s}$를 소거하면

$$N_A'' = \frac{C_{A,\infty}}{\dfrac{\delta}{D_{AB}} + \dfrac{1}{k_1''}} = \frac{k_1''\,C_{A,\infty}}{1 + \mathrm{Da}}, \qquad \mathrm{Da} = \frac{k_1''\,\delta}{D_{AB}} = \frac{k_1''}{h_m}$$

3.7.51차원 정상 전도와 열저항의 열저항 직렬 연결과 같은 구조다. $\delta/D_{AB}$가 확산 저항, $1/k_1''$이 반응 저항이고, 큰 쪽이 속도를 정한다. 그 비가 담쾰러 수다.

그림 3.8-8. 두께 δ의 정지 기체막을 확산으로 건너와 표면에서 1차 반응으로 소모되는 종의 정상 농도 분포. 막 안에서는 직선이고, 표면 농도는 1/(1 + Da)로 정해진다. 담쾰러 수가 작으면 표면 농도가 벌크와 거의 같아 반응이 병목이고, 크면 표면 농도가 0에 가까워져 확산이 병목이다. 오른쪽은 실제 유량을 두 한계 유량으로 각각 나눈 것으로, 둘이 Da = 1에서 교차한다.직접 작도

직관

그래프 — 아레니우스 플롯의 꺾임. $k_1''$은 표면 반응이라 온도에 아레니우스 꼴 $k_1'' \propto e^{-E_a/k_B T}$로 급하게 의존하고, $h_m \propto D_{AB} \propto T^{3/2}$는 완만하다. 그래서 낮은 온도에서는 $k_1'' \ll h_m$ — 반응 지배($\mathrm{Da} \ll 1$), 증착률이 $k_1''$을 따라 가파르게 오른다. 높은 온도에서는 $k_1'' \gg h_m$ — 물질전달 지배($\mathrm{Da} \gg 1$), 증착률이 $h_m C_{A,\infty}$에서 포화해 온도에 거의 둔감해진다. 증착률의 로그를 $1/T$에 대해 그리면 저온에서 기울기 $-E_a/k_B$의 직선, 고온에서 거의 수평 — 꺾인 직선이 나온다. 꺾이는 온도가 $\mathrm{Da} = 1$이고, 그 온도는 $h_m$을 올리면(유속 증가, 압력 감소) 위로 밀린다.

파라미터 연계. 균일성이 필요하면 반응 지배 영역이 좋다 — 온도만 맞추면 되고 흐름의 불균일은 가려진다(6절 LPCVD). 증착 속도가 필요하면 물질전달 지배가 좋다 — 온도에 둔감해 열 예산이 줄지만, 흐름의 불균일이 그대로 두께 불균일이 된다(APCVD). 두 영역의 선택이 장비의 성격을 정한다.

이 두 저항의 직렬 모형이 열산화의 딜·그로브 모델(18.6)과 CVD의 그로브 모델(18.11)이다. 거기서는 $h_m$을 $h_g$, $k_1''$을 $k_s$로 쓴다. 열산화에서는 확산 저항이 기체막이 아니라 자라나는 산화막 자체여서 시간에 따라 두꺼워지고, 그 결과 산화 두께가 처음엔 시간에 비례하다가(반응 지배) 나중에는 $\sqrt{t}$로(확산 지배) 넘어간다.

과도 확산 — 반무한 매질

시간이 들어오면 종 보존 방정식이 포물형 편미분방정식이 되고, 3.7.9반무한 고체와 주기 가열의 과도 열전도와 같은 해를 갖는다. 표면 $x = 0$의 농도를 $t = 0$에 갑자기 $C_{A,s}$로 올리고 유지하면, 초기 농도 $C_{A,i}$였던 반무한 매질 속의 농도는

$$\frac{C_A(x, t) - C_{A,s}}{C_{A,i} - C_{A,s}} = \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{D_{AB}\,t}}\right)$$

$\operatorname{erf}$는 1.5.10오차함수와 불완전 감마함수의 오차함수다. 초기 농도가 0이면 $C_A/C_{A,s} = \operatorname{erfc}[x/2\sqrt{D_{AB} t}]$. 해에 $x$와 $t$가 오직 $x/\sqrt{D_{AB} t}$의 결합으로만 들어온다 — 4절 블라시우스의 $\eta$처럼 상사 변수다. 문제에 길이 척도가 없으니(반무한) 해가 스스로 척도를 만들어야 하고, 그것이 $\sqrt{D_{AB} t}$다.

그림 3.8-9. 표면 농도를 고정한 반무한 매질로 확산해 들어가는 종의 농도 분포를 네 시각에 그린 것. 모양은 여오차함수 하나뿐이고, 시간은 가로축의 척도 √(Dt)를 늘일 뿐이라 네 곡선을 x/√(Dt)로 그리면 겹친다. 농도가 표면의 10%로 떨어지는 깊이는 2.3√(Dt)이고, 오른쪽에서 보듯 시간의 제곱근으로 자란다. 네 배 오래 두어야 두 배 깊이 들어간다.직접 작도

직관

수식적 — $\sqrt{Dt}$. 확산 방정식의 차원을 맞추면 $D t$가 길이의 제곱이다. 그 밖에 길이를 만들 재료가 없으니 침투 깊이는 $\sqrt{Dt}$일 수밖에 없다. 두 배 깊이 들어가려면 네 배 오래 걸린다. 반대로 두께 $L$의 층이 새 조건에 적응하는 데 걸리는 시간은

$$t \sim \frac{L^2}{D_{AB}}$$

이 시간 척도가 이 장 곳곳에 숨어 있다. 4절 경계층의 $\delta^2 \sim \nu x/u_\infty$가 $x/u_\infty$ 동안의 침투 깊이였고, 5절 두께 비의 세제곱근 논증도 같은 것이었다.

파라미터 연계 — ALD의 시간. ALD는 전구체 A를 넣고, 빼고(퍼지), B를 넣고, 빼기를 반복한다. “뺀다”는 것은 챔버 안 기체를 퍼지 기체로 바꾸는 일이고, 웨이퍼–샤워헤드 간격 1 cm를 새 기체가 확산으로 건너는 시간은 1 Torr에서 $D \approx 1.5 \times 10^{-2}$ m²/s이므로 $L^2/D = 10^{-4}/1.5 \times 10^{-2} \approx 7$ ms다. 실제 퍼지 시간이 수백 ms인 것은 이 확산이 아니라 챔버 부피를 펌프가 비우는 시간 $V/S$(9절)와 벽에 흡착된 전구체의 탈착 때문이다. 확산은 병목이 아니다 — 9절의 트렌치 안에서는 다르다.

같은 해가 8.3·18.7의 불순물 확산이다. 표면 농도를 고용도로 고정한 채 확산시키는 예비 확산(predeposition)이 정확히 이 여오차함수 분포이고, 총 도입량이 고정된 후속 확산은 가우스 분포다. 거기서는 $D$가 $10^{-16}$ m²/s 수준이라 1 µm 들어가는 데 시간 단위가 걸린다 — 같은 식, 열여섯 자리 다른 계수.

주의

$k_1$과 $k_1''$. 균질 반응 상수 $k_1$은 단위가 s⁻¹이고 부피당 반응이며 틸레 계수 $\phi = L\sqrt{k_1/D}$에 제곱근으로 들어간다. 표면 반응 상수 $k_1''$은 단위가 m/s이고 면적당 반응이며 담쾰러 수 $\mathrm{Da} = k_1'' L/D$에 선형으로 들어간다. 둘 다 “반응 대 확산”이지만 지수가 다른 것은 $k_1$이 분포 전체에 걸쳐 작용하는 반면 $k_1''$은 경계에서만 작용하기 때문이다. 10절에서 다공성 매질의 벽 반응을 부피 반응으로 환산할 때 이 둘이 비표면적을 통해 이어진다.

기체 운동론과 평균 자유 행정

압력의 분자적 기원

여기서부터 기체를 분자의 무리로 본다. 상자 속 분자 $N$개가 제멋대로 날아다니며 벽에 부딪친다. 벽이 받는 압력은 3.1.4운동량과 충돌의 운동량 전달이다 — 질량 $m$, 벽에 수직인 속도 성분 $v_x$의 분자가 탄성 충돌로 벽에 넘기는 운동량 $2mv_x$에 단위 시간·단위 면적당 충돌 횟수 $\tfrac12 n v_x$를 곱하고, 모든 분자에 대해 평균한다. 세 방향이 동등하니 $\langle v_x^2 \rangle = \tfrac13 \langle v^2 \rangle$이고

$$p = \tfrac{1}{3}\,n\,m\,\langle v^2 \rangle = \tfrac{1}{3}\,n\,m\,v_{\mathrm{rms}}^2$$

$n = N/V$는 수밀도(m⁻³)다. 이상기체 법칙 $p = n k_B T$와 견주면 분자 하나의 평균 운동 에너지가 나온다.

$$\tfrac{1}{2} m\,v_{\mathrm{rms}}^2 = \tfrac{3}{2} k_B T \quad\Longrightarrow\quad v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

온도가 곧 분자의 운동 에너지다. 속력의 분포(맥스웰 분포)는 6.5에서 통계역학으로 유도하고, 여기서는 그 결과인 세 대푯값만 적는다.

$$v_p = \sqrt{\frac{2RT}{M}}, \qquad \bar v = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}, \qquad v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \qquad (v_p : \bar v : v_{\mathrm{rms}} = 1 : 1.13 : 1.22)$$

최빈 속력 $v_p$, 평균 속력 $\bar v$, 제곱평균제곱근 속력 $v_{\mathrm{rms}}$ 순서로 커진다 — 분포가 오른쪽으로 긴 꼬리를 갖기 때문이다. 이 장의 수송 계수에는 평균 속력 $\bar v$가 들어간다. 질소 293 K에서 $\bar v = 471$ m/s, 아르곤은 $\sqrt{28/40}$배인 394 m/s, 수소는 1760 m/s다. 소리보다 빠르다 — 음속 343 m/s가 $\sqrt{\gamma RT/M}$이라 같은 뿌리에서 나오지만, 소리는 분자들이 서로 부딪치며 전하는 집단 운동이라 조금 느리다.

수밀도의 크기 감각을 잡아 둔다. 1 atm, 293 K에서 $n = p/k_B T = 2.5 \times 10^{25}$ m⁻³ $= 2.5 \times 10^{19}$ cm⁻³. Torr로 쓰면

$$n\,[\mathrm{cm}^{-3}] \approx 3.3 \times 10^{16} \times p\,[\mathrm{Torr}] \qquad (293\ \mathrm{K})$$

1 mTorr의 스퍼터링 챔버에도 cm³당 $3 \times 10^{13}$개가 있다. 실리콘의 원자 밀도 $5 \times 10^{22}$ cm⁻³에 비하면 열 자리 성글지만, “진공”이 비어 있다는 뜻은 아니다.

평균 자유 행정

분자가 다른 분자와 부딪치지 않고 날아가는 평균 거리가 평균 자유 행정 $\lambda$다. 지름 $d$의 분자를 강체 구로 보면, 한 분자가 날아갈 때 중심 사이 거리가 $d$ 이내인 분자와 부딪치므로 충돌 단면적은 $\pi d^2$이다. 거리 $\ell$을 날면 부피 $\pi d^2 \ell$을 쓸고, 그 안의 분자 수 $n \pi d^2 \ell$이 충돌 횟수다. 한 번 충돌하는 거리가 $\lambda = 1/(n\pi d^2)$ — 여기에 다른 분자도 움직인다는 사실을 넣으면 상대 속력이 $\sqrt{2}$배라 충돌이 그만큼 잦아진다.

$$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n} = \frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi d^2 p}$$

질소($d \approx 3.7$ Å), 293 K를 넣으면 $\lambda \approx 66$ nm at 1 atm이고, 압력에 반비례하므로

$$\lambda\,[\mathrm{m}] \approx \frac{5 \times 10^{-5}}{p\,[\mathrm{Torr}]} \qquad\text{즉}\qquad \lambda\,[\mathrm{cm}] \approx \frac{5 \times 10^{-3}}{p\,[\mathrm{Torr}]}$$

이 식 하나가 진공 공정의 절반을 설명한다. 1 Torr에서 50 µm, 1 mTorr에서 5 cm, $10^{-6}$ Torr에서 50 m.

그림 3.8-10. 질소의 평균 자유 행정을 압력에 대해 로그 축으로 그린 직선. 대기압에서 66 nm, LPCVD의 1 Torr에서 50 µm, 스퍼터링의 1 mTorr에서 5 cm, 초고진공에서는 킬로미터에 이른다. 점선으로 그은 챔버 크기, 웨이퍼와 샤워헤드 사이 간격, 트렌치 폭과 직선이 교차하는 압력이 각각 그 길이 척도에서 연속 유동이 분자 유동으로 바뀌는 문턱이다(9절).직접 작도

직관

그래프. 로그–로그에서 기울기 −1의 직선이다. 압력 한 자리에 $\lambda$ 한 자리. 그림의 세 점선이 이 직선과 만나는 곳을 읽는 것이 9절 전체다 — 챔버 크기(0.5 m)와는 $10^{-4}$ Torr에서 만나고, 웨이퍼–샤워헤드 간격(1 cm)과는 5 mTorr에서, 트렌치 폭(100 nm)과는 대기압 부근에서 만난다. 트렌치 안은 대기압에서도 이미 분자 영역의 문턱이다.

물리적 — 충돌 빈도. 분자가 초당 부딪치는 횟수는 $\bar v/\lambda$다. 1 atm에서 $471 / 6.6 \times 10^{-8} \approx 7 \times 10^9$ 번, 나노초에 일곱 번. 1 mTorr에서는 초당 만 번이다. 플라즈마 속 전자가 기체 분자와 에너지를 교환하는 빈도, 스퍼터된 원자가 아르곤과 부딪쳐 에너지를 잃는 빈도가 전부 이 숫자에서 시작한다.

파라미터 연계 — 온도. $\lambda = k_B T/\sqrt{2}\pi d^2 p$이니 같은 압력에서 온도를 올리면 $\lambda$가 길어진다 — 분자가 드물어지기 때문이다. 같은 수밀도에서는 온도와 무관하다.

표면에 도달하는 분자 — 충돌 유속

단위 시간에 단위 면적의 표면에 부딪치는 분자 수는 $n \bar v$에 방향 평균을 취한 것이다. 반구 위 모든 방향의 $\cos\theta$를 평균하면 1/4이 나온다.

$$\Phi = \tfrac{1}{4}\,n\,\bar v = \frac{p}{\sqrt{2\pi m k_B T}}$$

헤르츠·크누센 식이다. 1 atm 질소에서 $\Phi \approx 3 \times 10^{23}$ cm⁻²s⁻¹, $10^{-6}$ Torr에서 $4 \times 10^{14}$ cm⁻²s⁻¹이다. 고체 표면의 원자 밀도가 약 $10^{15}$ cm⁻²이므로, 도달한 분자가 전부 달라붙는다면 $10^{-6}$ Torr에서 약 2~3초에 한 원자층이 덮인다. $10^{-6}$ Torr·s를 1 랭뮤어(L)라 부르는 이유이고, 표면 분석에 $10^{-10}$ Torr의 초고진공이 필요한 이유다 — 그래야 몇 시간 동안 표면이 깨끗하다. 9.3과 18.5에서 이 식으로 진공 등급을 나눈다. 같은 식을 액체 표면에 쓰면 증발 속도의 상한이다 — 액면 위 증기압 $p^{\mathrm{sat}}$에서 떠나는 분자의 유속이 $\Phi(p^{\mathrm{sat}})$이고, 6절 버블러의 공급량이 이 상한을 넘을 수 없다.

수송 계수의 분자적 그림

점성·열전도·확산이 전부 “분자가 $\lambda$만큼 날아가 그곳의 성질을 실어 나른다”는 한 문장으로 나온다. 분자가 $y$ 방향으로 어떤 양 $G$(운동량, 에너지, 종의 개수)를 실어 나르는 알짜 유속은, 아래층에서 위로 가는 분자와 위층에서 아래로 가는 분자가 각각 $\lambda$ 떨어진 곳의 $G$를 갖고 온다고 놓으면 $\sim \tfrac13 n \bar v \lambda\,dG/dy$다. $G$를 바꿔 끼우면

$$\mu \approx \tfrac{1}{3}\,\rho\,\bar v\,\lambda, \qquad k \approx \tfrac{1}{3}\,\rho\,\bar v\,\lambda\,c_v, \qquad D_{AA} \approx \tfrac{1}{3}\,\bar v\,\lambda$$

계수 1/3은 거친 모형의 값이라 정확한 이론(채프먼·엔스코그)과 두 배 안팎 다르지만, 의존성은 맞다. 여기에 $\lambda \propto 1/(n d^2)$, $\rho = nm$, $\bar v \propto \sqrt{T/m}$을 넣으면

$$\mu \propto \frac{\sqrt{mT}}{d^2}, \qquad k \propto \frac{\sqrt{T/m}}{d^2}, \qquad D \propto \frac{T^{3/2}}{p\,d^2\sqrt{m}}$$

직관

물리적 — 점성이 압력에 무관하다. 3절 표에서 예고한 사실이 여기서 나온다. $\rho \propto p$이고 $\lambda \propto 1/p$라 곱이 상쇄된다. 분자가 드물어지면 운동량을 실어 나를 분자는 줄지만, 각 분자가 더 멀리서 실어 오므로 두 효과가 정확히 지운다. 맥스웰이 1860년에 이론으로 예측하고 직접 실험으로 확인해 스스로 놀랐던 결과다. 열전도도 같은 이유로 압력에 무관하다. 확산 계수만 $1/p$가 남는 것은 실어 나르는 것이 “분자 자체”라 $\rho$가 곱해지지 않기 때문이다 — 6절의 $D \propto T^{3/2}/p$가 이것이다.

파라미터 연계. 점성이 압력에 무관한 것은 $\lambda$가 용기보다 훨씬 짧을 때까지다. $\lambda$가 벽 사이 거리에 이르면 분자가 벽에서 벽으로 직접 운동량을 옮기고, 그때부터 $\mu$와 $k$는 다시 $p$에 비례해 떨어진다. 9절의 피라니 게이지가 열전도의 이 꺾임으로 압력을 잰다.

수식적 — 프란틀 수가 1 근처인 이유. $\mathrm{Pr} = \mu c_p/k \approx c_p/c_v = \gamma$의 차수다. 단원자 기체 1.67, 이원자 1.4인데 정밀한 이론은 $\mathrm{Pr} = 4\gamma/(9\gamma - 5)$로 각각 0.67, 0.74를 준다. 슈미트 수 $\mathrm{Sc} = \nu/D$도 자기확산이면 차수 1이다. 5절에서 기체의 세 경계층이 비슷한 두께였던 것이 이 사실이다 — 같은 분자가 같은 $\lambda$로 세 가지를 나른다.

반도체 — 스퍼터링의 압력

스퍼터링은 아르곤 이온으로 타깃을 때려 튀어나온 원자를 기판에 쌓는다. 타깃–기판 거리는 5~10 cm. 챔버 압력이 1 mTorr면 $\lambda = 5$ cm라 원자가 거의 부딪치지 않고 직진해 기판에 닿는다 — 튀어나올 때의 에너지(수 eV)와 방향을 간직한다. 10 mTorr면 $\lambda = 5$ mm, 열 번 넘게 부딪쳐 에너지를 잃고(열화) 방향을 잊는다. 압력 하나가 막의 밀도·응력·스텝 커버리지를 바꾸는 손잡이다. 낮은 압력은 치밀하고 방향성 있는 막, 높은 압력은 성기고 등각적인 막이다. 방전을 유지하려면 이온을 만들 만큼 충돌이 있어야 하니 압력을 무한히 낮출 수는 없고, 마그네트론이 전자를 가둬 그 하한을 mTorr 아래로 끌어내린다(18.10).

주의

$\lambda$·$k$·$d$. 이 절에서 $\lambda$는 평균 자유 행정이지 파장이 아니고, $k$는 열전도도이며 볼츠만 상수는 언제나 $k_B$로 쓴다. $d$는 분자 지름(Å 단위)이고 3절의 관 지름 $D$와 다르다. $\bar v$는 분자의 평균 속력이고 흐름의 속도 $u$가 아니다 — 챔버 안 기체가 1 m/s로 흘러도 그 속의 분자는 500 m/s로 제멋대로 날고 있다. 흐름은 그 무작위 운동 위에 얹힌 아주 작은 편향이다.

크누센 수와 희박 기체 유동

연속체가 깨지는 문턱

기체를 매끈한 연속체로 다룰 수 있는 것은 분자가 서로 충분히 자주 부딪쳐 국소 평형을 이룰 때까지다. 그 조건을 하나의 수로 적는다.

$$\mathrm{Kn} = \frac{\lambda}{L}$$

$L$은 문제의 특성 길이 — 관 지름, 트렌치 폭, 입자 지름, 벽 사이 간격이다. 같은 압력이어도 무엇을 보느냐에 따라 $\mathrm{Kn}$이 다르다. 1 Torr에서 챔버(0.5 m)는 $\mathrm{Kn} = 10^{-4}$, 트렌치(100 nm)는 $\mathrm{Kn} = 500$이다. 관습적인 구분은 넷이다.

$\mathrm{Kn}$	영역	무엇이 성립하나	어디서 만나나
$\lesssim 0.01$	연속체	나비에·스토크스, 무-미끄럼, 1~7절 전부	상압 공정, 배관, 액체
0.01 ~ 0.1	미끄럼	연속체 방정식 + 벽에서 미끄럼 경계 조건	저압 챔버의 벌크, 서브µm 입자
0.1 ~ 10	천이	어느 쪽도 정확하지 않다. 볼츠만 방정식·DSMC	mTorr 챔버, 진공 배관의 중간 압력
$\gtrsim 10$	자유 분자	분자 간 충돌 무시. 벽과만 상호작용	고진공, 트렌치·기공 내부

그림 3.8-11. 같은 트렌치를 두 압력 영역에서 본 그림. 왼쪽 연속 영역에서는 평균 자유 행정이 트렌치 폭보다 훨씬 짧아 분자들이 기체 안에서 서로 부딪히며 확산해 들어간다. 오른쪽 분자 유동 영역에서는 분자가 기체 안에서 한 번도 부딪히지 않고 벽에서 벽으로 직진하며, 벽에 닿으면 코사인 법칙을 따라 임의 방향으로 재방출된다. 바닥까지 가려면 벽 충돌을 여러 번 거쳐야 하고, 그 횟수가 종횡비의 제곱으로 는다.직접 작도

이 절은 진공 기술의 관례를 따라 두 글자를 바꿔 쓴다. $Q$는 처리량(Pa·m³/s 또는 Torr·L/s — 단위 시간에 흐르는 기체의 양을 $pV$로 잰 것, 곧 몰 유량에 $RT$를 곱한 것), $C$는 컨덕턴스 (m³/s 또는 L/s)다. 6절의 몰농도 $C$는 이 절에 나오지 않는다.

미끄럼 영역 — 무-미끄럼 조건이 새기 시작한다

$\mathrm{Kn}$이 0.01을 넘으면 벽 바로 옆 $\lambda$ 안의 분자는 벽과 한 번 부딪친 뒤 다른 분자와 부딪치기 전에 $\lambda$만큼 날아간다. 벽에서 유체 속도가 0이 아니라 유한한 미끄럼 속도를 갖는다. 맥스웰의 1차 미끄럼 조건은

$$u_s = \frac{2 - \sigma_v}{\sigma_v}\,\lambda\,\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{\text{벽}}$$

$\sigma_v$는 적응 계수 — 벽에 부딪친 분자 중 벽의 접선 운동량을 완전히 잃고 무작위 방향으로 재방출되는 비율이다. 대부분의 공학 표면에서 1에 가깝고, 그러면 $u_s \approx \lambda\,\partial u/\partial y$. 미끄럼이 있으면 같은 압력차에서 유량이 늘고 항력이 줄어든다. 3절의 스토크스 항력에 이 보정을 넣은 것이 커닝엄 보정 계수다.

$$F_D = \frac{6\pi \mu R v}{C_c}, \qquad C_c \approx 1 + \mathrm{Kn}_p\left[1.257 + 0.4\,e^{-1.1/\mathrm{Kn}_p}\right], \quad \mathrm{Kn}_p = \frac{\lambda}{R}$$

지름 0.1 µm 입자는 공기 속에서 $\mathrm{Kn}_p = 66/50 = 1.3$이고 $C_c \approx 2.9$ — 항력이 스토크스 값의 1/3이다. 3절에서 계산한 0.1 µm 입자의 침강 속도 0.6 µm/s는 실제로는 1.7 µm/s다. 입자가 작아질수록 항력이 스토크스보다 빨리 줄어 확산이 잘 되고, 그것이 HEPA 필터의 0.1~0.3 µm 최소 효율점을 만드는 한쪽 축이다.

온도에도 같은 일이 생긴다. 벽과 기체의 온도가 벽에서 불연속이 되는 온도 점프가 있고, $\mathrm{Kn}$이 커질수록 벽 사이의 열전도가 나빠진다. 8절에서 예고한 피라니 게이지가 이것이다. 가열된 가는 선의 열 손실은 $\lambda$가 선과 벽 사이 거리보다 짧을 때는 압력에 무관하다가(연속체, 8절의 $k$), 그 거리를 넘어서면 분자가 하나씩 열을 나르므로 $n \propto p$에 비례해 떨어진다. 그래서 피라니 게이지는 $10^{-3}$~10 Torr 범위에서만 압력에 민감하다 — 그 위에서는 $k$가 포화하고, 그 아래에서는 열 손실이 복사에 묻힌다. 3.7.13나노 스케일 전도와 열예산의 나노 스케일 전도에서 포논의 평균 자유 행정이 시료 크기보다 길어질 때 열전도도가 떨어지는 것과 정확히 같은 논리다 — 전달자만 기체 분자에서 포논으로 바뀐다.

자유 분자 유동 — 벽하고만 상호작용한다

$\mathrm{Kn} \gg 1$에서는 분자가 기체 속에서 서로를 만나지 않는다. 압력은 여전히 정의되지만 (벽에 부딪치는 운동량 유속, 8절), 압력 기울기가 분자를 밀지는 않는다 — 밀어 줄 이웃이 없다. 분자는 벽에서 벽으로 직진하고, 벽에 닿으면 들어온 방향을 잊고 재방출된다. 재방출 방향의 분포가 코사인 법칙이다. 표면 법선과 각 $\theta$를 이루는 방향으로 나갈 확률이 $\cos\theta$에 비례한다. 표면이 원자 규모로 거칠어 분자가 들어온 방향을 기억하지 못하는 결과이고(확산 반사), 8절 충돌 유속의 1/4도 같은 코사인 평균에서 나왔다.

분자의 흐름은 이제 확률의 문제가 된다. 관의 한쪽 끝에서 들어온 분자가 벽에서 벽으로 튕기다가 반대쪽으로 나갈 확률 $W$가 있고, 처리량은 입구 충돌 유속에 이 확률을 곱한 것이다. 관의 컨덕턴스 $C$는 처리량을 양 끝 압력차로 나눈 값으로 정의한다.

$$Q = C\,(p_1 - p_2)$$

지름 $D$, 길이 $L \gg D$인 긴 원관에 대해 크누센이 이 확률을 적분한 결과가

$$C_{\text{분자}} = \frac{\pi}{12}\,\bar v\,\frac{D^3}{L} \qquad\left(\approx 12.1\,\frac{D^3}{L}\ \mathrm{L/s},\ \ D, L\ [\mathrm{cm}],\ \text{공기 20 °C}\right)$$

얇은 벽의 구멍(오리피스)은 분자가 한 번에 통과하므로 8절의 충돌 유속 그대로다.

$$C_{\text{구멍}} = \tfrac{1}{4}\,\bar v\,A \qquad\left(\approx 11.6\,A\ \mathrm{L/s},\ \ A\ [\mathrm{cm}^2]\right)$$

두 식의 공통점이 이 절의 결론이다. 압력이 들어 있지 않다. 분자 유동의 컨덕턴스는 기하와 온도, 분자 질량으로만 정해진다. 압력을 올려도 분자가 더 잘 빠져나가지 않는다 — 각 분자는 자기 혼자 벽과 씨름하고 있을 뿐이다.

비교를 위해 점성 유동의 컨덕턴스를 3절의 하겐·푸아죄유에서 옮겨 적는다. $Q = p\,\dot V$이고 평균 압력 $\bar p$에서

$$C_{\text{점성}} = \frac{\pi D^4}{128\,\mu L}\,\bar p \qquad\left(\approx 180\,\frac{D^4}{L}\,\bar p\ \mathrm{L/s},\ \ D, L\ [\mathrm{cm}],\ \bar p\ [\mathrm{Torr}]\right)$$

이쪽은 압력에 비례한다. 분자가 서로 밀어 주기 때문이다. 두 영역 사이의 천이는 크누센이 실험으로 찾은 반경험식이 잇는다.

$$C = C_{\text{점성}} + Z\,C_{\text{분자}}, \qquad Z = \frac{1 + 2.507\,(a/\lambda)}{1 + 3.095\,(a/\lambda)}, \quad a = \frac{D}{2}$$

그림 3.8-12. 지름 2.5 cm, 길이 1 m인 관의 컨덕턴스를 평균 압력에 대해 그린 곡선. 점성 유동 영역에서는 컨덕턴스가 압력에 비례해 커지지만, 크누센 수가 1을 넘는 분자 유동 영역에서는 압력과 무관한 약 1.9 L/s에 머문다. 두 영역 사이 크누센 수 1 근처에서 컨덕턴스가 분자 유동 값보다 살짝 낮아지는 크누센 최소가 나타난다 — 벽 근처에서 분자 간 충돌이 막 시작되어 직진하는 분자를 흩뜨리지만 아직 서로 밀어 주지는 못하는 구간이다.직접 작도

직관

그래프. 로그–로그에서 오른쪽은 기울기 1의 직선(점성), 왼쪽은 수평선(분자)이고, 둘이 $\mathrm{Kn} \approx 1$ 부근에서 만난다. 진공 펌프 배관은 대개 왼쪽 영역에서 돌아간다. 거기서는 압력을 낮출수록 같은 배관이 더 나쁜 배관이 아니라, 압력과 무관하게 나쁜 배관이다.

파라미터 연계 — $D^3$과 $D^4$. 지름을 두 배로 하면 분자 유동에서 8배, 점성 유동에서 16배다. 길이는 둘 다 반비례. 그래서 진공 배관은 “굵게, 짧게”이고, 지름을 줄여야 한다면 길이를 그 세제곱만큼 줄여야 본전이다. 배관 사이의 밸브·엘보·벨로우즈는 각각 컨덕턴스를 갖고, 직렬이면 저항처럼 역수를 더한다.

$$\frac{1}{C_{\text{직렬}}} = \sum_i \frac{1}{C_i}, \qquad C_{\text{병렬}} = \sum_i C_i$$

펌프의 배기 속도 $S$(L/s)도 컨덕턴스와 같은 단위이고 같은 방식으로 직렬이 된다.

$$\frac{1}{S_{\text{유효}}} = \frac{1}{S} + \frac{1}{C}$$

배관 컨덕턴스가 펌프 배기 속도보다 작으면 펌프를 키워도 소용없다. 2.5 cm 관 1 m의 1.9 L/s는 터보 펌프의 수백 L/s에 비해 두 자리 작다 — 배관이 병목이다. 그래서 고진공 펌프는 챔버에 직결한다(18.5).

챔버가 압력 $p$에서 정상 상태라면 유입 처리량과 배기가 같다. 유입이 MFC의 $Q_{\text{in}}$(sccm을 Torr·L/s로 바꾼 것 — 1 sccm $= 1.27 \times 10^{-2}$ Torr·L/s)이고 배기가 $S_{\text{유효}}\,p$이므로

$$p = \frac{Q_{\text{in}}}{S_{\text{유효}}}$$

공정 압력은 유량과 배기 속도의 비다. 압력을 고정한 채 유량을 올리려면 스로틀 밸브로 $S_{\text{유효}}$를 같이 올려야 하고, 이것이 압력 제어기의 일이다. 기체가 챔버에 머무는 평균 시간은 $V/S_{\text{유효}}$ — 7절 ALD 퍼지 논의의 그 시간이다.

크누센 확산

기공이나 트렌치처럼 $\mathrm{Kn} \gg 1$인 통로 안에서 분자는 벽에서 벽으로 튕기며 무작위 행보를 한다. 걸음 길이가 통로 지름 $d_p$ 정도이고 걸음 속도가 $\bar v$이니 8절의 $D \sim \tfrac13 \bar v \lambda$에서 $\lambda$를 $d_p$로 바꾼 것이 크누센 확산 계수다.

$$D_K = \frac{d_p}{3}\,\bar v$$

원통 기공에 대해 정확한 계수이고, 압력이 들어 있지 않다. 지름 100 nm의 통로에서 $D_K = 1.6 \times 10^{-5}$ m²/s — 우연히 대기압의 기체 확산 계수와 비슷하다. 지름 5 nm의 기공에서는 $8 \times 10^{-7}$ m²/s로 스무 배 작다. 10절에서 벌크 확산과 잇는다.

반도체 — 트렌치 안의 분자 유동과 ALD

폭 $w$, 깊이 $L$의 트렌치는 어느 공정 압력에서도 $\mathrm{Kn} \gtrsim 1$이다. 안으로 들어온 분자는 그림 오른쪽처럼 벽에서 벽으로 튕긴다. 각 벽 충돌에서 분자가 표면에 붙을 확률(부착 확률 $s$)이 이 문제의 전부다.

$s \approx 1$이면 — 열 CVD의 반응성 높은 전구체, 스퍼터링의 금속 원자 — 첫 번째 닿는 벽에 붙는다. 입구 근처의 벽이 가장 많이 맞고, 바닥은 입구를 통과한 분자 중 벽을 한 번도 맞지 않고 직진한 극소수만 받는다. 입구가 먼저 두꺼워져 좁아지고(오버행), 결국 안을 채우기 전에 닫혀 보이드가 남는다. 코사인 법칙이 이 그림자를 정한다 — 입구에서 본 바닥의 입체각이 종횡비의 제곱에 반비례해 줄어들기 때문이다.

$s \ll 1$이면 분자가 벽을 여러 번 맞으면서 깊이 들어간다. 1차원 무작위 행보에서 깊이 $L$까지 가려면 걸음 $w$의 $(L/w)^2$배, 곧 종횡비의 제곱 번 벽에 부딪쳐야 한다. 그 사이 붙을 확률이 $s(L/w)^2 \ll 1$이면 트렌치 전체에 고르게 닿고, 붙는 양이 벽 위치와 무관해진다.

ALD는 이 둘을 시간으로 가른다. 전구체는 빈 표면에는 $s \sim 10^{-2}$~$10^{-3}$으로 붙지만 이미 한 층 덮인 표면에는 붙지 않는다(자기 제한). 노출 초기에는 입구가 먼저 포화되지만, 포화된 벽은 $s = 0$이 되어 분자를 튕겨 안으로 보낸다. 충분히 오래 노출하면 포화 전선이 바닥까지 내려가고, 그 결과 종횡비 100:1의 구멍도 두께 편차 없이 덮인다. 대가는 시간이다 — 바닥까지 포화시키는 데 필요한 노출량(압력×시간)은 무작위 행보의 논증 그대로 종횡비의 제곱에 비례해 는다. 3D NAND의 채널 홀 하나에 걸리는 ALD 시간이 평판보다 두 자리 긴 이유이고, 그래서 수백 장을 한 번에 넣는 배치 ALD를 쓴다(18.12).

의문

압력을 올리면 트렌치 안으로 더 많이 들어가지 않는가. 들어오는 분자 수는 8절 충돌 유속대로 압력에 비례해 는다. 그러나 트렌치 안에서 분자가 바닥에 닿을 확률은 벽 충돌의 통계로 정해져 압력과 무관하다 — $\mathrm{Kn} \gg 1$인 한 분자끼리 서로를 돕지 못한다. 그러니 압력을 올리면 바닥에 닿는 절대량은 늘지만 입구 대비 비율은 그대로다. 균일성(비율)을 바꾸는 것은 부착 확률뿐이고, 부착 확률을 바꾸는 것은 온도와 전구체의 화학이다. 압력이 소용없어지는 이 지점이 연속체 직관이 정확히 틀리는 곳이다.

같은 논리가 건식 식각의 종횡비 의존 식각(ARDE)이다. 라디칼이 좁고 깊은 구멍 바닥에 닿는 확률이 종횡비에 따라 줄어 좁은 구멍이 넓은 구멍보다 느리게 파인다. 이온은 다르다 — 시스에서 수직으로 가속된 이온은 직진하므로 바닥까지 그대로 닿는다. 라디칼은 분자 유동, 이온은 탄도 — 둘의 차이가 이방성 식각의 물리다(18.18).

유효 확산과 다공성 매질

다공성 매질을 기술하는 세 숫자

기공이 얽힌 고체 — 다공성 low-k 유전체, 필터, 다공성 세라믹 척, CMP 패드, 촉매 펠릿 — 속의 수송은 기공 하나하나를 풀 수 없다. 대신 매질을 균질한 유효 매질로 보고, 기공 구조를 세 숫자로 요약한다.

• 공극률 $\varepsilon$ — 전체 부피 중 기공이 차지하는 비율. 확산이 지나갈 수 있는 단면의 비율이기도 하다.
• 굴곡도 $\tau$ — 기공이 구불구불해서 실제 경로가 직선 거리보다 긴 정도. 정의가 문헌마다 달라 경로 길이의 비 $L_e/L$로 쓰기도 하고 그 제곱으로 쓰기도 한다. 이 백과는 아래 식에 그대로 들어가는 인자를 $\tau$로 정의한다(대개 2~6).
• 기공 지름 $d_p$ — 9절의 크누센 수를 정하는 길이. 분포가 있으면 대표값을 쓴다.

기공 안의 확산 계수를 $D_{\text{기공}}$이라 하면 매질 전체를 지나는 유효 확산 계수는

$$D_{\mathrm{eff}} = \frac{\varepsilon}{\tau}\,D_{\text{기공}}$$

$\varepsilon$은 단면이 줄어든 몫, $1/\tau$는 길이 늘어난 몫이다. 공극률 0.3, 굴곡도 3이면 $D_{\mathrm{eff}}$는 기공 안 계수의 1/10이다. 픽 법칙은 그대로 쓴다 — 단면 전체에 대한 겉보기 농도 $C_A$(기공 부피 기준이 아니라 매질 부피 기준)와 $D_{\mathrm{eff}}$로.

기공 안의 확산 — 보산케 보간

기공 안에서 분자는 두 종류의 장애물을 만난다. 다른 분자(6절의 $D_{AB}$)와 벽(9절의 $D_K$). 두 충돌이 독립이면 평균 자유 행정의 역수가 더해지고, 확산 계수의 역수도 더해진다.

$$\frac{1}{D_{\text{기공}}} = \frac{1}{D_{AB}} + \frac{1}{D_K}, \qquad D_K = \frac{d_p}{3}\,\bar v$$

보산케 보간이다. 작은 쪽이 지배한다 — 직렬 저항이다.

그림 3.8-13. 원통 기공 안에서 질소가 확산하는 계수를 기공 지름에 대해 두 압력에서 그린 곡선. 기공이 평균 자유 행정보다 작으면 분자가 다른 분자보다 벽과 먼저 부딪히므로 확산 계수는 압력과 무관하게 기공 지름에 비례하는 크누센 값이 되고, 기공이 λ보다 훨씬 크면 벌크 확산 계수로 수렴한다. 무릎은 기공 지름이 λ의 두 배쯤인 곳에 있어, 압력을 낮추면 무릎이 오른쪽으로 밀린다.직접 작도

직관

그래프. 로그–로그에서 왼쪽은 기울기 1의 직선(크누센, $D_K \propto d_p$), 오른쪽은 수평선 (벌크, $D_{AB}$)이다. 두 압력의 곡선이 왼쪽에서 겹친다 — 작은 기공에서는 압력이 확산에 아무 영향도 주지 못한다. 무릎의 위치 $d_p \approx 2\lambda$가 압력에 반비례해 움직일 뿐이다. 9절 컨덕턴스 그림을 가로축만 바꿔 다시 그린 것이나 다름없다.

파라미터 연계 — low-k 안으로. 다공성 low-k의 기공은 25 nm, 공극률은 2550%다. 기공 지름이 대기압의 $\lambda$(66 nm)보다도 열 배 이상 작으니 어느 공정 압력에서든 크누센 영역이고, $D_K \approx 5 \times 10^{-7}$ m²/s에 $\varepsilon/\tau \sim 0.1$을 곱한 $D_{\mathrm{eff}} \sim 5 \times 10^{-8}$ m²/s가 안으로 스며드는 계수다. 작아 보이지만 7절의 침투 시간으로 바꾸면 100 nm를 건너는 데 $L^2/D = 10^{-14}/5 \times 10^{-8} = 0.2$ µs — 순간이다. 배리어 금속을 ALD로 입히면 전구체가 기공을 따라 유전체 안으로 파고들어 그 안에서 증착되고, 그러면 유전 상수가 오르고 누설이 생긴다. 그래서 low-k 표면의 기공을 먼저 막는 포어 실링 공정이 있다(18.22). 플라즈마의 라디칼도 같은 길로 들어가 low-k 속 탄소를 뽑아내고, 그 손상 깊이는 아래의 반응·확산 문제가 정한다.

다공성 매질 속의 반응 — 7절의 회수

기공 벽에서 종 A가 표면 반응 상수 $k_1''$(m/s)으로 소모된다. 매질 단위 부피당 기공 벽 면적을 비표면적 $a_v$(m²/m³)라 하면, 부피당 소모 속도는 $k_1'' a_v C_A$ — 7절의 균질 반응 상수 $k_1 = k_1'' a_v$(s⁻¹)와 같다. 다공성 매질 속의 표면 반응은 매질 전체로 보면 균질 반응이다. 그러면 7절의 틸레 계수와 유효 인자가 그대로 온다.

$$\phi = L\sqrt{\frac{k_1'' a_v}{D_{\mathrm{eff}}}}, \qquad \eta = \frac{\tanh\phi}{\phi}$$

$a_v$는 기공이 작을수록 크다 — 지름 $d_p$의 원통 기공이면 $a_v = 4\varepsilon/d_p$이고, 3 nm 기공에 $\varepsilon = 0.3$이면 $4 \times 10^8$ m²/m³, 1 cm³당 400 m²다. 촉매가 다공성인 이유이고, 같은 이유로 다공성 low-k가 플라즈마에 약하다. 라디칼의 반응·확산 길이 $1/m = \sqrt{D_{\mathrm{eff}}/k_1'' a_v}$가 손상 깊이의 척도다. 반응성이 강한 라디칼(산소)은 $k_1''$이 커서 표면 몇 nm에서 다 소모되고, 약한 것(수소)은 깊이 들어가 막 전체를 바꾼다.

흐름 — 다르시 법칙

기공 속을 유체가 흐를 때(확산이 아니라 압력차로) 각 기공 안은 3절의 푸아죄유 흐름이다. 그것을 매질 전체로 평균하면 유속이 압력 기울기에 비례한다.

$$\mathbf{u} = -\frac{\kappa}{\mu}\,\nabla p$$

다르시 법칙이다. $\mathbf{u}$는 겉보기 유속(매질 단면 전체로 나눈 부피 유량)이고, $\kappa$는 투과도로 단위가 m² — 기공 단면적의 차원이다. 푸아죄유 식 $u \propto R^2 \Delta p/\mu L$을 보면 $\kappa \sim \varepsilon R^2/8\tau$의 꼴이어야 하고, 구형 입자가 쌓인 매질에 대해 이를 맞춘 것이 코제니·카르만 식이다.

$$\kappa = \frac{d^2\,\varepsilon^3}{180\,(1 - \varepsilon)^2}$$

$d$는 입자 지름이다. 투과도의 관습 단위 darcy는 약 $10^{-12}$ m²다.

직관

파라미터 연계. $\kappa \propto d^2$이니 입자(기공)가 열 배 작으면 투과도는 100배 작고 같은 유량에 100배의 압력차가 든다. $\varepsilon^3/(1 - \varepsilon)^2$은 공극률에 극도로 민감하다 — 0.4에서 0.3으로 줄면 이 인자가 $0.178 \to 0.055$로 3배 넘게 떨어진다. 필터를 촘촘히 짜면 포집 효율은 오르지만 압력 손실이 급증하는 이유다.

물리적 — 다공성 척. 웨이퍼를 붙드는 다공성 세라믹 척은 1절의 압력차를 이 법칙으로 나른다. 척 뒤쪽을 진공으로 당기면 기공을 통해 공기가 다르시 흐름으로 빨려 들고, 웨이퍼 뒷면 전체에 균일한 흡착 압력이 걸린다. 홈 파인 척과 달리 지지되지 않는 구간이 없어 웨이퍼가 국소적으로 휘지 않는다 — 리소그래피 척이 다공성인 이유다. 가스 라인 끝의 입자 필터, CMP 패드의 기공을 통한 슬러리 공급, 습식 배스에서 다공성 웨이퍼 캐리어 사이의 유체 교환이 모두 같은 식이다.

반도체 — 구멍의 배열을 매질로 본다

3D NAND의 채널 홀, DRAM의 커패시터 홀은 기공은 아니지만 수십억 개가 규칙적으로 배열된 깊은 구멍이다. 그 위로 식각 라디칼이나 증착 전구체가 흐를 때, 웨이퍼 전체 규모에서 보면 구멍의 배열은 공극률 $\varepsilon$과 기공 지름 $d_p$를 가진 다공성 층이다. 구멍 밀도가 높은 영역은 반응물을 많이 소모해 그 위의 기체 농도가 낮아지고, 성긴 영역보다 느리게 식각·증착된다 — 로딩 효과다. 패턴 밀도를 유효 공극률로, 구멍 깊이를 층 두께로 바꾸면 이 절의 $D_{\mathrm{eff}}$와 7절의 틸레 계수가 로딩 효과의 1차 모델이 된다(18.18·19.12). 밀도가 다른 영역의 식각 깊이 차이를 줄이려면 $\phi$를 줄여야 하고, 그 방법은 $k_1''$을 줄이거나(반응성 낮은 화학) $D_{\mathrm{eff}}$를 키우는 것(압력 조절은 소용없다 — 크누센 영역이다)뿐이다.

액체도 기공에 들어간다. 세정액과 현상액이 다공성 막이나 좁은 패턴 사이로 침투하는 것은 모세관 압력이 미는 다르시 흐름이고, 그 구동력 $2\gamma\cos\theta/r$은 9.2의 영·라플라스 식이다. 건조할 때 같은 모세관력이 이웃한 패턴을 서로 끌어당겨 쓰러뜨리는 것(패턴 붕괴)도 거기서 다룬다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다.

• 압력과 진공. 압력 단위와 절대·게이지 구분(1절), 충돌 유속과 단분자층 시간(8절), 컨덕턴스·배기 속도·챔버 압력(9절)이 9.3과 18.5의 뼈대다. 피라니 게이지는 9절의 $\mathrm{Kn}$ 의존 열전도이고, 커패시턴스 마노미터는 1절의 힘 평형이다.
• 클린룸과 오염. 단방향 흐름, 스토크스 침강, 커닝엄 보정, 확산·관성 포집(3·9절)이 18.2의 입자 제어다. 다르시 법칙이 필터의 압력 손실이다(10절).
• CVD·에피택시. 경계층 두께와 서셉터 기울기(4절), $\mathrm{Sh}$ 상관식(5절), 확산 계수의 압력 의존과 LPCVD(6절), 담쾰러 수와 그로브 모델(7절)이 18.11·18.13의 반응기 설계다. 회전 원판 반응기의 균일 경계층도 4절이다.
• 열산화. 딜·그로브 모델의 두 저항(7절)이 18.6이다.
• ALD. 퍼지 시간의 $L^2/D$와 $V/S$(7·9절), 트렌치 안 분자 유동과 종횡비 제곱 법칙(9절)이 18.12다.
• PVD·건식 식각. 평균 자유 행정과 열화(8절), 코사인 재방출과 그림자, 라디칼의 분자 유동과 이온의 탄도(9절), ARDE와 로딩 효과(10절)가 18.10·18.18이다.
• 리소그래피·습식. 스핀 코팅의 두께 법칙과 증발 냉각(3·5절)이 18.15, 습식 식각의 농도 경계층과 스토크스·아인슈타인(5·6절)이 18.17, 다공성 척과 모세관 침투(10절)가 18.14·18.4다.
• 배선과 low-k. 기공 속 크누센 확산, 포어 실링, 플라즈마 손상 깊이(10절)가 18.22다.
• 고체 속 확산. 픽 법칙과 오차함수 해(6·7절)는 그대로이고, 계수의 원자 기구가 8.3, 공정이 18.7이다.
• 다음 장들. 맥스웰 속도 분포와 등분배는 6.5, 기체 운동론과 수송 계수의 통계역학은 6.6.11, 표면 도달과 진공 등급은 9.3, 나노 구조 속 수송은 10.4가 이어받는다.

이 장의 뼈대는 결국 두 문장이다. 운동량·열·물질은 같은 꼴로 확산하고, 그 비를 이름 붙인 것이 프란틀 수와 슈미트 수라서 하나를 알면 셋을 안다. 그리고 분자가 서로 부딪치는 거리가 문제의 크기를 넘는 순간 그 연속체 그림은 깨지고, 분자는 벽하고만 대화한다 — 그 문턱이 크누센 수이고, 반도체 공정의 절반은 그 문턱 너머에서 일어난다.

이 장이 쓰이는 곳

• 5.9 시간 의존 현상과 산란
• 6.1 통계역학의 기초
• 7.6 자유전자 모형
• 9.2 표면 장력과 젖음
• 9.3 진공과 표면 청정도
• 9.4 흡착과 탈착