편미분방정식

1.4까지의 미분방정식은 변수가 하나였다. 시간에 따라 변하는 양이든 위치에 따라 변하는 양이든, 독립변수가 하나면 상미분방정식이고 해는 곡선 하나다. 그런데 자연에 있는 것은 대개 장이다 — 막대 안의 온도는 위치에도 시간에도 의존하고, 웨이퍼 속 도판트 농도도, 소자 안의 전위도 그렇다. 독립변수가 둘 이상이 되는 순간 방정식은 편미분방정식이 되고, 1.4의 요령은 대부분 통하지 않는다.

통하지 않는 이유는 하나다. 해의 자유도가 상수가 아니라 함수이기 때문이다. 2계 ODE의 일반해에는 임의 상수 두 개가 있고, 조건 두 개를 주면 상수가 정해진다. 2계 PDE의 일반해에는 임의 함수가 들어 있고, 그것을 정하려면 함수만큼의 정보 — 곡선 전체에 걸친 조건 — 가 필요하다. 그래서 이 장은 “방정식을 푼다”보다 “방정식과 조건을 함께 푼다”에 가깝다.

무한한 자유도를 상대하는 전략은 그러나 놀랄 만큼 단조롭다. 변수를 하나 지워 ODE로 되돌리는 것, 그 하나뿐이다.

• 특성곡선(2절) — 잘 고른 곡선을 따라가면 PDE가 그 위에서 ODE가 된다.
• 변수분리(4절) — 해를 곱으로 가정하면 방정식이 변수별 ODE로 쪼개진다.
• 적분변환(9·12절) — 한 변수를 변환해 미분을 곱셈으로 바꾸면 남은 변수의 ODE가 된다.

셋 다 목적지가 같다. 그러니 이 장에서 실제로 새로 배우는 것은 어느 방법이 언제 통하는가이고, 그 답은 방정식의 유형(3절)이 쥐고 있다. 유형은 세 가지뿐이며 — 쌍곡·포물·타원 — 각각 파동·확산·평형에 대응한다. 물리에서 마주치는 2계 선형 PDE는 사실상 전부 이 셋 중 하나이거나 그 조합이다.

반도체 쪽 목적지도 미리 적어 둔다. 도판트 확산의 오차함수·가우시안 프로파일과 접합 깊이(7절), 소수 캐리어의 확산 길이와 짧은 베이스 트랜지스터(6절), 공핍 근사와 밴드 다이어그램(10절), 게이트 가장자리의 프린징이 왜 그만큼만 스며드는가(10절), 인터커넥트의 RC 지연이 왜 길이 제곱에 비례하는가(12절)가 전부 이 장의 결과다. 소자 시뮬레이터가 푸는 것도 결국 푸아송 방정식(타원)과 연속 방정식(포물)의 연립이다.

PDE의 분류와 기본 개념

미지수가 함수인 방정식

미지 함수 $u$가 두 개 이상의 독립변수를 갖고, 방정식에 그 편도함수가 들어 있으면 편미분방정식이다. 편도함수는 아래첨자로 줄여 쓴다.

$$u_x = \frac{\partial u}{\partial x},\qquad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\qquad u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$$

가장 높은 편도함수의 차수를 방정식의 계(階, order)라 한다. 이 장이 다루는 것은 거의 전부 2계이고, 2절에서만 1계를 본다. 3계 이상인 물리 방정식은 드물지만 없지는 않다 — 보(beam)의 굽힘 진동은 4계 $u_{tt} = -c^2 u_{xxxx}$이고(Kreyszig §12.3 연습 15–20), 느린 점성 유동과 탄성체의 평형은 중조화 방정식 $(\nabla^2)^2\psi = 0$을 따른다(Arfken §9.1). MEMS 캔틸레버가 앞의 것이다(5절). “계수”라는 말은 이 장에서 언제나 방정식의 계수(係數)를 가리키고, 방정식의 계를 뜻하지 않는다 — 두 한자어가 같은 소리라서 미리 갈라 둔다.

선형이라는 말은 $u$와 그 편도함수에 대해 1차라는 뜻이다 — 곱해지거나 제곱되거나 함수 안에 들어가지 않는다. 계수가 $x$나 $y$의 함수인 것은 선형성을 깨지 않는다. 계수가 $u$에 의존하면 준선형, 최고계 도함수까지 $u$에 의존하면 완전한 비선형이다.

$$\underbrace{u_t = D u_{xx}}_{\text{선형}},\qquad \underbrace{u_t + u u_x = 0}_{\text{준선형}},\qquad \underbrace{u_t = D(u)\,u_{xx}}_{\text{준선형}}$$

우변에 $u$와 무관한 항만 남으면 비제차, 그마저 0이면 제차다. 이 구분이 결정적인 이유는 바로 아래 겹침 원리에 있다. 물리 방정식이 하필 2계에 몰리는 이유를 Arfken은 두 줄로 적는다(§9.1). 역학의 가속도도, 양자역학의 운동에너지 연산자 $\nabla^2$도 미분이 두 번이고, 맥스웰 방정식처럼 1계로 시작하는 경우에도 미지 벡터가 둘($\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$)이라 하나를 소거하면 남는 쪽이 2계가 된다. 슈뢰딩거 방정식 $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi = i\hbar\,\psi_t$(6절), 클라인–고든 방정식, 전신선 방정식(12절)이 전부 그 목록에 있다.

2계 선형 PDE의 일반형은 두 변수일 때 이렇게 적는다.

$$A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + D u_x + E u_y + F u = G$$

$A$부터 $G$까지는 $x, y$의 함수일 수 있다. 3절의 분류는 앞의 세 항 — 주부(principal part) — 만 보고 이루어진다. 나머지는 유형을 바꾸지 못한다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 앞의 세 장과 사정이 다르다. 같은 방정식이 열·확산·전위·파동으로 옮겨 다니면서 글자가 분야마다 갈리고, 하필 그 글자들이 반도체에서 이미 다른 뜻으로 굳어져 있다. $n$이 모드 번호인지 전자 농도인지, $D$가 확산계수인지 판별식인지, $L$이 길이인지 확산 길이인지가 매 절 바뀌면 식을 따라갈 수 없다. 시작 전에 한 번에 못박는다.

기호	읽는 법	이 장에서 무엇을 가리키는가	단위
$u(x,t)$		미지 함수. 온도·농도·전위·변위를 통칭한다	문맥
$u_x,\ u_{xx}$		편도함수 $\partial u/\partial x$, $\partial^2u/\partial x^2$
$c$		파동 속도 (5절). $c^2$가 $u_{tt}=c^2u_{xx}$의 계수	m/s
$D$		확산계수. 3절의 계수 $D u_x$와는 그 절 안에서만 겹친다	m²/s
$\alpha$	알파	열확산계수 $\alpha = k/\rho c_p$. $D$와 같은 자리	m²/s
$\Delta$	델타	판별식 $B^2 - AC$ (3절)
$\lambda$	람다	분리 상수. 4절 이후 고유값	1/m²
$\mu$	뮤	분리 상수를 두 번째로 써야 할 때 (11절)
$X, T, R, \Theta$		변수분리한 인자 — $u = X(x)T(t)$
$n, m$		모드 번호(정수). 캐리어 농도가 아니다
$k$		파수(9절). 열전도도·볼츠만 상수가 아니다	1/m
$s$		라플라스 변수(12절). Boas는 $p$로 적는다	1/s
$\omega$	오메가	각진동수	rad/s
$L$		구간 길이. 6절 이후 $L_n, L_p$는 확산 길이	m
$W$		두께 — 베이스 폭(6절)·공핍폭(10절)	m
$\tau$	타우	시간 상수 — 완화 시간·캐리어 수명	s
$b_n,\ c_n$		푸리에 계수
$\operatorname{erf},\ \operatorname{erfc}$	오차함수	7절. $\operatorname{erfc} = 1 - \operatorname{erf}$
$\hat{u},\ \bar{u}$	유(햇) · 유(바)	푸리에 변환 · 라플라스 변환한 것
$\xi,\ \eta$	크시 · 에타	치환해 만든 새 변수 — 특성좌표(3·5절) · 이동좌표(6절) · 유사변수(7절) · 각 변수(11절)
$\zeta$	제타	적분 더미 변수. 이 장에서 다른 뜻으로 쓰지 않는다
$\rho$	로	선밀도(5절) · 질량밀도(6절) · 원통 반경(10·11절). 전하밀도는 언제나 $\rho_{\text{전하}}$로 쓴다
$\nabla^2$	라플라시안	1.1.2기울기·발산·회전

주의

대소문자와 다중 의미로 갈리는 자리가 여섯이다. 읽다가 막히면 여기로 돌아온다.

① $n$ — 모드 번호이지 전자 농도가 아니다. 이 장에서 $n$과 $m$은 언제나 정수 인덱스다. 반도체 문헌에서 $n$은 전자 농도지만, 여기서는 6절의 $\Delta n$(과잉 전자 농도)에서만 그 뜻으로 쓰고 반드시 $\Delta$를 앞에 달아 둔다. 확산 길이도 $L_n$처럼 아래첨자로만 $n$을 쓴다.

② $D$ — 확산계수이지 판별식이 아니다. 3절의 일반형 $Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+\cdots$에서 $D$는 1계 항의 계수인데, 같은 절에서 확산 방정식을 예로 든다. 이 백과는 판별식을 $\Delta = B^2-AC$로, 확산계수를 $D$로 고정하고, 3절의 1계 계수는 분류에 관여하지 않으므로 이름을 부르지 않는다.

③ 판별식의 계수 규약. 위 일반형은 가운데 항을 $2Bu_{xy}$로 적었으므로 판별식이 $B^2-AC$다. 가운데 항을 $Bu_{xy}$로 적는 책은 $B^2-4AC$가 된다. 부호는 같고 크기만 다르므로 분류 결과는 같다. 더 위험한 것은 Kreyszig다 — 같은 $2B$ 규약인데 판별식을 $AC - B^2$로 적어 부호가 반대다 (§12.4: 쌍곡형이 $AC - B^2 < 0$). Arfken은 $b^2 - ac$로 이 백과와 같다(§9.3). 어느 규약인지 확인하지 않고 남의 식에 대입하면 유형이 뒤집힌다.

④ $c$ — 파동 속도이지 비열이 아니다. 열 방정식을 세울 때 비열 $c_p$가 잠깐 나오는데(6절), 아래첨자를 반드시 달아 둔다. Kreyszig는 열 방정식을 $u_t = c^2 u_{xx}$로 적어 파동 방정식과 같은 글자를 쓰지만, 이 백과는 확산 쪽을 언제나 $D$(또는 $\alpha$)로 쓴다 — 두 방정식의 차이가 이 장의 절반이라 같은 글자를 줄 수 없다. Boas는 확산계수를 $\alpha^2$, 파동 속도를 $v$로 갈라 쓰고, Arfken은 확산에 $a^2$를 쓴다. 세 책이 확산계수를 전부 제곱 꼴로 적는 것은 양수임을 겉으로 드러내기 위해서다(6절).

⑤ $k$ — 파수이지 열전도도가 아니다. 9절부터 $k$는 푸리에 변환의 파수다. 6절에서 푸리에 법칙을 세울 때만 열전도도로 쓰고, 그 자리에서 곧바로 $\alpha = k/\rho c_p$로 묶어 없앤다. 볼츠만 상수는 이 장에서 $k_B$로만 적는다. Kreyszig는 열전도도를 $K$, 비열을 $\sigma$로 적어 $c^2 = K/\sigma\rho$다(§12.5).

⑥ $L$ — 구간 길이와 확산 길이. 4·5·8·10절의 $L$은 영역의 길이다. 6절 이후 확산 길이는 반드시 아래첨자를 달아 $L_n$(전자), $L_p$(정공), $L_D$(디바이)로 쓴다. 첨자 없는 $L$을 확산 길이로 읽지 않는다.

ODE와 다른 점 — 임의 상수가 아니라 임의 함수

가장 단순한 PDE를 하나 풀어 보면 차이가 곧바로 드러난다.

$$u_{xy} = 0$$

$u_x$를 $y$로 미분한 것이 0이니 $u_x$는 $y$에 의존하지 않는다. 즉 $u_x = h(x)$이고, 이것을 $x$로 적분하면

$$u(x, y) = f(x) + g(y)$$

이다. $f$와 $g$는 임의의 함수다. 2계 ODE라면 여기에 임의 상수 두 개가 나왔을 자리에 함수 두 개가 나왔다. Kreyszig의 예(§12.1 예 2)가 이 승격을 더 노골적으로 보여 준다. $u_{xx} - u = 0$에는 $y$ 미분이 아예 없으므로 ODE $u'' - u = 0$처럼 풀어 $u = Ae^{x} + Be^{-x}$를 얻는데, 여기서 $A$와 $B$는 상수가 아니라 $y$의 임의 함수 $A(y)$, $B(y)$다. 한 변수에 대해 상수였던 것이 다른 변수에 대해서는 무엇이든 될 수 있다. 같은 이유로 라플라스 방정식 하나에 $x^2 - y^2$, $e^x\cos y$, $\sin x\cosh y$, $\ln(x^2+y^2)$처럼 서로 닮지 않은 해가 얼마든지 있다(Kreyszig §12.1 식 (7)).

직관

왜 상수가 아니라 함수인가. 적분할 때 붙는 “적분상수”는 미분해서 0이 되는 것 전부다. $x$로 적분하면 $x$로 미분해 0이 되는 것 — 즉 $y$만의 함수 전체 — 가 붙는다. 독립변수가 하나뿐일 때는 그것이 상수밖에 없었지만, 둘이 되면 다른 변수의 함수가 통째로 자유도로 들어온다.

그래서 PDE에서는 ‘일반해’가 실무적으로 쓸모없다. 임의 함수가 든 표현을 얻어 봐야 그 함수를 정하는 일이 남고, 그것이 문제의 전부이기 때문이다. ODE에서는 일반해를 먼저 구하고 조건을 나중에 맞추는 순서가 자연스럽지만, PDE에서는 처음부터 조건과 함께 푼다. 이 장의 모든 절이 그렇게 되어 있다.

예외가 하나 있는데 그것이 5절의 달랑베르 해다. 임의 함수 두 개가 각각 “오른쪽으로 가는 파”와 “왼쪽으로 가는 파”라는 물리적 의미를 그대로 갖는 드문 경우라서, 그때는 일반해가 정말로 쓸모 있다.

겹침 원리 — 이 장이 서 있는 자리

선형 제차 PDE에서 $u_1$과 $u_2$가 해이면 $a u_1 + b u_2$도 해다. 연산자를 $\mathcal{L}$로 쓰면 한 줄이다.

$$\mathcal{L}[a u_1 + b u_2] = a\,\mathcal{L}[u_1] + b\,\mathcal{L}[u_2] = 0$$

유한 개의 합만이 아니라 무한 급수와 적분까지 이 성질이 이어지는 것이 요점이다. 4·8절의 푸리에 급수 해와 9절의 푸리에 적분 해가 통째로 여기에 기대고 있다. 다만 무한 합에서는 항별 미분이 정당한지를 따로 확인해야 한다 — 확산 방정식에서는 $e^{-\lambda_n t}$가 급수를 강하게 눌러 주어 $t > 0$에서 아무 문제가 없고, 파동 방정식에서는 그런 인자가 없어 사정이 다르다(8절). Kreyszig도 급수 해를 세운 뒤 “급수와 그것을 항별로 두 번 미분한 급수가 수렴한다는 가정 아래”라는 단서를 달고, 증명은 균등수렴을 배운 뒤로 미룬다(§12.3, §12.6). 이 백과도 같은 자리에서 같은 단서를 단다.

비제차 방정식 $\mathcal{L}[u] = G$의 구조도 1.4.7비제차 방정식 — 미정계수법과 매개변수 변환과 같다.

$$u = u_p + u_h$$

특수해 하나에 제차 일반해를 더한다. 비제차 경계조건을 만나면 같은 수법을 조건 쪽에 쓴다 — 정상해를 하나 찾아 빼면 남는 문제의 경계조건이 제차가 된다(6·8절).

조건 — 초기조건과 경계조건

PDE에 붙는 조건은 두 종류다. 초기조건은 어느 한 시각의 상태를 통째로 준다($u(x,0) = f(x)$). 경계조건은 공간 영역의 가장자리에서 모든 시각에 걸쳐 무언가를 준다. 경계조건은 다시 셋으로 갈린다.

그림 1.7-1. 경계에서 무엇을 못 박느냐에 따라 세 가지다. 디리클레는 값 자체를, 노이만은 기울기(곧 선속)를 정하고, 로빈은 둘을 비례식으로 묶는다. 로빈에서 비례상수 S가 커지면 곡선이 벽으로 가파르게 들어가 디리클레에 가까워지고, S가 0이면 노이만이 된다 — 세 조건은 별개가 아니라 한 조건의 양 끝과 중간이다.직접 작도

• 디리클레 조건 — 경계에서 값을 준다. $u(0,t) = u_0$. 온도를 고정한 벽, 전위를 인가한 전극, 표면 농도가 일정한 확산이 여기 해당한다.
• 노이만 조건 — 경계에서 법선 도함수를 준다. $u_x(0,t) = 0$. 도함수는 곧 선속이므로 (1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 픽 법칙·푸리에 법칙) 이것은 “벽을 넘는 흐름이 얼마”라는 조건이다. 0이면 단열면·절연면이고, 대칭면도 같은 조건이 된다.
• 로빈 조건(혼합·제3종) — 값과 도함수를 묶는다. $-D u_x = S(u - u_\infty)$. 나가는 선속이 값의 초과분에 비례한다는 뜻이다.

로빈 조건은 추상적으로 보이지만 반도체에서 가장 자주 만나는 조건이다. 표면 재결합 속도 $S$가 정의상 이 꼴이기 때문이다.

$$D_n \left.\frac{\partial \Delta n}{\partial x}\right|_{\text{표면}} = S\,\Delta n_{\text{표면}}$$

좌변은 표면으로 흘러드는 캐리어 선속이고 우변은 표면에서 소멸되는 비율이다. $S$의 단위가 cm/s라서 속도라 부르지만, 실제로 재는 것은 “표면이 캐리어를 얼마나 잘 잡아먹는가”다. 극한 둘이 앞의 두 조건과 정확히 일치한다 — $S \to \infty$면 표면 농도가 0으로 눌리는 디리클레, $S \to 0$이면 선속이 0인 노이만. 태양전지의 패시베이션이 하는 일이 $S$를 낮춰 노이만 쪽으로 옮기는 것이다.

주의

이름이 책마다 갈리는 자리가 둘이다.

① ‘로빈’과 ‘혼합’. Kreyszig는 제3종 경계값 문제(혼합·로빈 문제)를 “경계의 한 부분에는 $u$를, 나머지 부분에는 $u_n$을 주는 문제”로 정의한다(§12.6, §12.11). 위에서 로빈이라 부른 $-Du_x = S(u - u_\infty)$ 꼴은 Kreyszig에서는 ‘복사(radiation)’ 조건이라는 이름으로 연습 문제에 나온다(§12.6 연습 24: $u_x(a,y) + hu(a,y) = 0$). 같은 이름이 다른 조건을 가리키므로 남의 글에서 ‘혼합 조건’을 만나면 어느 뜻인지 먼저 확인한다. 이 백과는 값과 도함수의 선형 결합을 로빈, 경계 부분마다 종류가 다른 것을 혼합이라 부른다.

② 코시 조건. Arfken은 값과 법선 도함수를 한 경계에서 동시에 주는 것을 코시 조건이라 부른다(§9.3). 파동 방정식의 초기조건 $u(x,0)$과 $u_t(x,0)$이 정확히 이것이다 — 시각 $t = 0$이라는 열린 면 위에 코시 데이터를 준 것. 어느 유형에 어느 조건이 맞는지는 3절의 표에서 본다.

조건은 몇 개를 붙여야 하는가

시간 미분의 계만큼 초기조건이, 공간 방향마다 경계조건이 필요하다는 것이 대략의 규칙이다.

방정식	시간 미분의 계	초기조건	공간 경계조건
$u_t = D u_{xx}$	1	$u(x,0)$ 하나	양 끝에 하나씩
$u_{tt} = c^2 u_{xx}$	2	$u(x,0)$과 $u_t(x,0)$ 둘	양 끝에 하나씩
$u_{xx} + u_{yy} = 0$	—	없다	경계 전체에 하나

파동 방정식에 초기 속도까지 필요한 것은 당연해 보인다 — 줄을 튕길 때 모양만이 아니라 어떻게 튕겼는지가 결과를 바꾼다. 열 방정식에 그 조건이 없는 것은 시간 미분이 1계라서고, 물리적으로는 “온도 분포만 알면 그다음이 정해진다”는 말이다. 라플라스 방정식에 초기조건이 아예 없는 것은 시간 변수가 없기 때문이고, 이것이 3절에서 타원형을 따로 세우는 이유다.

적절히 놓인 문제

방정식과 조건을 함께 놓은 문제가 쓸 만하려면 세 가지가 필요하다(아다마르).

1. 존재 — 해가 있다.
2. 유일 — 해가 하나뿐이다.
3. 연속 의존 — 조건을 조금 바꾸면 해도 조금만 바뀐다.

셋을 만족하면 적절히 놓인(well-posed) 문제라 한다. 셋째가 실무에서 제일 자주 깨지고, 제일 아프다. 측정한 조건에는 언제나 오차가 있는데, 오차가 증폭되면 계산된 해는 의미가 없다.

의문

확산 방정식을 시간 거꾸로 푸는 문제 — 지금의 프로파일에서 처음 프로파일을 되찾는 문제 — 는 적절히 놓여 있지 않다. 왜 그런지는 8절의 급수 해를 미리 보면 한 줄로 보인다.

$$u(x,t) = \sum_n b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\, e^{-D(n\pi/L)^2 t}$$

$t$를 음수로 넣으면 지수가 $e^{+D(n\pi/L)^2 |t|}$가 되어 고차 모드가 지수적으로 폭발한다. 측정 데이터의 잔물결 하나($n$이 큰 성분)가 되짚는 순간 천문학적으로 증폭되므로, 조건을 아무리 정밀하게 재도 소용이 없다.

물리로 옮기면 더 분명하다. 확산은 정보를 지우는 과정이다. 시간이 갈수록 고차 모드가 먼저 죽어 프로파일이 매끈해지고(6·8절), 매끈해진 결과만 보고는 원래의 잔주름을 복원할 수 없다. 열역학 제2법칙과 나란한 이야기이고, 파동 방정식이 시간 반전에 대해 대칭인 것과 정확히 대비된다.

실무에서 이것이 걸리는 자리는 분명하다. 어닐 후의 SIMS 프로파일에서 어닐 전 주입 프로파일을 역산하는 일은 원리적으로 불안정하다. 그래서 공정 쪽은 역산 대신 정방향 모델을 세워 맞추고, 수학 쪽은 정칙화(regularization)로 고차 모드를 잘라 낸다. 어느 쪽이든 “정확히 되짚는다”는 포기하고 들어간다. 역문제 일반은 1.12에서 다시 본다.

1계 PDE와 특성곡선

가장 단순한 PDE

1계 PDE를 먼저 보는 이유는 두 가지다. 하나는 PDE를 ODE로 되돌리는 발상이 여기서 가장 맨몸으로 드러나기 때문이고, 다른 하나는 3절의 2계 분류가 결국 “특성곡선이 실수로 몇 개인가”라는 질문이기 때문이다.

이류 방정식(advection equation)에서 시작한다.

$$u_t + c\,u_x = 0, \qquad c > 0 \text{ 상수}$$

직관

좌변을 방향미분으로 읽는 것이 이 절 전체의 열쇠다. 1.1.2기울기·발산·회전에서 방향 $\hat{a}$ 쪽의 변화율은 $\nabla u \cdot \hat{a}$였다. $(x,t)$ 평면에서 $\nabla u = (u_x, u_t)$이므로

$$u_t + c\,u_x = (u_x,\ u_t)\cdot(c,\ 1)$$

이고, 방정식은 “$u$가 방향 $(c, 1)$으로는 변하지 않는다”고 말하고 있다. 방향 $(c,1)$은 $x$가 $c$만큼 갈 때 $t$가 1만큼 가는 방향, 곧 속도 $c$로 오른쪽으로 달리는 관찰자의 궤적이다.

그러니 이 방정식이 서술하는 것은 하나다 — 함께 달리면서 보면 $u$는 그대로다. 값이 실려 간다.

이 직선들을 특성곡선이라 한다. 여기서는 $x - ct = \text{const}$인 직선족이다. 특성 위에서 $u$가 상수이므로, 초기 조건 $u(x, 0) = f(x)$가 주어지면 해가 곧바로 나온다.

$$u(x, t) = f(x - ct)$$

초기 파형이 모양을 그대로 유지한 채 속도 $c$로 이동한다. 검산은 연쇄법칙 한 줄이다 — $u_t = -c f'$, $u_x = f'$이므로 $u_t + cu_x = 0$. Arfken은 같은 것을 좌표 회전으로 적는다(§9.2). $a\phi_x + b\phi_y = 0$에서 새 좌표 $s = ax + by$, $t = bx - ay$를 잡으면 — $s$는 계수 벡터 $(a, b)$ 방향, $t$는 그에 수직 — 연쇄법칙으로 방정식이 $(a^2 + b^2)\,\partial\phi/\partial s = 0$이 되어 $t$ 미분이 아예 사라진다. 해는 $\phi = f(t) = f(bx - ay)$, 곧 ‘$s$에는 무관하고 $t$에는 마음대로’다. 특성곡선은 $t =$ 일정인 직선이고, Arfken은 이것을 $s$의 유선(stream line)이라 부른다 — 계수 벡터를 따라 흐르는 선. 우리의 이류 방정식은 $(a, b) = (c, 1)$, $t = x - ct$인 경우다.

계수에 0차 항이 붙어도 특성은 그대로다. $\phi_x + \phi_y + (x+y)\phi = 0$(Arfken 예 9.2.1)에서 $s = x + y$, $t = x - y$로 옮기면 $2\phi_s + s\phi = 0$ — $t$를 매개변수로 가진 $s$의 ODE다. 풀면 $\phi = e^{-s^2/4}f(t)$이고, $s^2/4 = t^2/4 + xy$이므로 $e^{-t^2/4}$를 $f$에 흡수해 $\phi = e^{-xy}f(x - y)$가 된다. 특성 위에서 값이 상수가 아니라 정해진 규칙으로 변할 뿐, ‘특성을 따라가면 ODE’라는 구조는 같다.

그림 1.7-2. 왼쪽은 선형인 경우다. 특성 직선의 기울기가 c로 모두 같아 서로 만나지 않고, 초기 축의 값이 각 직선을 따라 그대로 실려 올라간다. 오른쪽은 전달 속도가 u 자신에 의존하는 비선형인 경우로, 값이 큰 왼쪽이 더 빨리 달려 특성이 부채처럼 모이고 결국 한 점에서 만난다. 그 자리에서 한 점에 값이 둘이 되므로 매끄러운 해가 더 이상 존재하지 않는다 — 충격파다.직접 작도

특성 방법의 일반형

준선형 1계 PDE

$$a(x,y,u)\,u_x + b(x,y,u)\,u_y = c(x,y,u)$$

에서도 같은 논리가 그대로 간다. 곡선 $\big(x(\sigma), y(\sigma)\big)$을 따라간 $u$의 변화율은 연쇄법칙으로

$$\frac{du}{d\sigma} = u_x \frac{dx}{d\sigma} + u_y \frac{dy}{d\sigma}$$

인데, $dx/d\sigma = a$, $dy/d\sigma = b$로 곡선을 고르면 좌변이 방정식의 좌변과 같아진다. 그러면 PDE 하나가 연립 ODE 세 개로 바뀐다.

$$\frac{dx}{d\sigma} = a, \qquad \frac{dy}{d\sigma} = b, \qquad \frac{du}{d\sigma} = c$$

이것이 특성 방정식이다. 초기 곡선 위의 각 점에서 이 ODE를 풀어 특성을 쏘아 올리면, 그 특성이 지나가는 자리마다 $u$ 값이 정해진다. 초기 곡선을 매개변수 하나로 훑으면 특성이 평면을 덮고, 그것이 해다.

주의

이 방법이 실패하는 경우가 셋이다. Arfken은 앞의 둘을 정리로 적어 둔다(§9.2).

① 초기 곡선이 특성과 접하면 특성이 그 곡선을 벗어나지 못해 평면을 덮지 못한다. 조건을 아무리 정밀하게 줘도 정보가 퍼지지 않는다. 왜 그런지는 테일러 전개로 보인다. 곡선 위의 한 점에서 이웃한 점의 값을 알려면 $u_x$와 $u_y$가 필요한데, 가진 식은 둘뿐이다 — 곡선을 따라 잰 변화율 $du/dl = u_x\,dx/dl + u_y\,dy/dl$과 방정식 $au_x + bu_y = 0$. 이 연립의 행렬식은 $\mathcal{D} = b\,dx/dl - a\,dy/dl$이고, 곡선이 특성이면($b\,dx = a\,dy$) 정확히 0이다. 두 식이 같은 말을 두 번 하는 셈이라 도함수를 풀 수 없고, 곡선 밖으로 한 걸음도 나가지 못한다. 조건을 특성을 가로지르게 놓아야 한다는 실무 규칙이 여기서 나온다.

② 초기 곡선이 같은 특성과 두 번 만나면 한 특성에 값이 두 번 지정된다. 우연히 같은 값이 아닌 한 모순이고, 해가 없다(Arfken §9.2 결론 3). 닫힌 곡선 위에 조건을 주는 것이 1계 PDE에서 대개 과잉인 이유이고, 3절 표에서 쌍곡형의 닫힌 경계가 ‘과잉’으로 적히는 것의 1계 판본이다.

③ 특성이 서로 만나면 한 점에 값이 둘이 된다. 선형에서는 계수가 $u$에 의존하지 않아 특성이 나란하므로 이런 일이 없지만, 준선형에서는 흔하다 — 바로 아래다.

특성이 만나면 — 충격파

무점성 버거스 방정식이 표준 예다.

$$u_t + u\,u_x = 0$$

전달 속도가 $c$ 자리에 $u$ 자신으로 들어가 있다. 특성은 여전히 직선이지만 기울기가 값마다 다르다 — $u$가 큰 곳이 더 빨리 달린다. 초기 프로파일이 오른쪽으로 갈수록 낮으면 뒤가 앞을 따라잡고, 유한 시간에 특성이 교차한다. 교차 시각은 초기 기울기가 정한다.

$$t_{\text{충격}} = -\frac{1}{\min_x f'(x)}$$

그 순간 $u_x$가 무한대가 되고 매끄러운 해가 끝난다. 그 뒤로는 방정식을 적분형(보존형)으로 다시 읽어 불연속을 허용하는 약해를 정의해야 한다 — 기체동역학의 충격파가 이렇게 생긴다.

의문

반도체에서 이 이야기가 어디에 걸리는가. 드리프트-확산 방정식의 이류항이 정확히 $u_t + v_d u_x$ 꼴이고, 드리프트 속도 $v_d = \mu E$의 $E$가 다시 캐리어 분포에 의존하므로(푸아송 방정식을 통해) 준선형이다. 그런데 실제 소자에서 충격파가 서는가?

서지 않는다. 확산항 $D u_{xx}$가 함께 있기 때문이다. 특성이 모여 기울기가 서면 그 자리에서 $u_{xx}$가 커져 확산이 즉시 되받아치고, 결과는 불연속이 아니라 폭이 유한한 층이 된다. 그 폭은 이류와 확산이 비기는 자리 $\sim D/v_d$에서 정해진다. 페클레 수(Péclet number) $\mathrm{Pe} = v_d\,\Delta x/D$가 이 경쟁을 재는 무차원 수이고, 격자 간격이 그 층보다 굵으면 수치해가 진동한다 — TCAD의 이류항을 중심차분 대신 샤르페터–구멜 이산화로 다루는 이유가 여기 있다. 20부에서 다시 본다.

남는 물음도 적어 둔다. 확산이 아무리 작아도 충격이 서지 않는다면, $D \to 0$ 극한과 $D = 0$인 방정식은 같은 답을 주는가? 답은 “층의 폭이 0으로 줄면서 위치가 정해진 불연속으로 수렴한다”이고, 그 극한이 고르는 불연속이 물리적으로 옳은 약해다. 이것을 점성 해(vanishing viscosity)라 하는데, 여기서 다루지 않는다. 충격을 막는 것이 확산항만은 아니다. 3계 항 $u_{xxx}$가 붙은 코르테버흐–더프리스(KdV) 방정식 $u_t + uu_x + u_{xxx} = 0$은 분산으로 가파름을 되받아친다 — 파장마다 속도가 달라 앞머리가 흩어진다(9절). 두 효과가 정확히 비겨 모양을 지킨 채 달리는 해가 솔리톤 $u = 3c\,\operatorname{sech}^2\!\big[\tfrac{1}{2}\sqrt{c}\,(x - ct)\big]$이고, Arfken은 $\xi = x - ct$를 넣어 세 번 적분하는 것으로 이것을 얻는다(§9.3 식 (9.24)–(9.28)). 광섬유의 솔리톤 전송이 같은 균형 위에 서 있다.

2계로 넘어가기 전에

1계에서 배운 것을 한 줄로 요약하면 “방정식이 정보를 실어 나르는 방향이 특성이고, 그 방향으로 가면 PDE가 ODE가 된다”이다. 2계 PDE에서는 특성 방향이 하나가 아니라 둘일 수 있고 — 혹은 하나뿐이거나, 실수로는 아예 없거나 — 그 개수가 방정식의 성격을 완전히 결정한다. 그것이 다음 절이다.

2계 PDE의 분류 — 타원·포물·쌍곡

판별식 하나가 전부를 가른다

두 독립변수의 2계 선형 PDE

$$A u_{xx} + 2B u_{xy} + C u_{yy} + \cdots = G$$

에서 주부의 계수만 뽑아 판별식을 만든다.

$$\Delta = B^2 - AC$$

$\Delta$	유형	표준 방정식	성격
$> 0$	쌍곡형	$u_{tt} = c^2 u_{xx}$	파동 · 진동 · 전파
$= 0$	포물형	$u_t = D u_{xx}$	확산 · 열전도 · 완화
$< 0$	타원형	$u_{xx} + u_{yy} = 0$	평형 · 정상 상태 · 퍼텐셜

세 표준형에 실제로 대입해 확인해 두면 기억할 필요가 없어진다. 파동 방정식은 변수를 $(x,t)$로 놓고 $c^2u_{xx} - u_{tt} = 0$으로 적으면 $A = c^2$, $B = 0$, $C = -1$이므로 $\Delta = c^2 > 0$. 열 방정식은 $Du_{xx} - u_t = 0$에서 $A = D$, $B = C = 0$이므로 $\Delta = 0$($u_t$는 1계 항이라 주부에 없다). 라플라스 방정식은 $A = C = 1$, $B = 0$이므로 $\Delta = -1 < 0$. 유형이 좌표를 바꿔도 변하지 않는다는 것은 Arfken이 치환 하나로 보인다(§9.3 식 (9.20)–(9.21)). $\xi = \sqrt{C}\,x - By/\sqrt{C}$, $\eta = y/\sqrt{C}$로 옮기면 주부가 $(AC - B^2)\,u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta}$가 되어 $B$가 사라지고 판별식의 부호만 남는다. $AC - B^2 > 0$이면 두 항의 부호가 같아 타원형, 음이면 반대라 쌍곡형, 0이면 $\xi$ 항이 통째로 사라져 포물형이다. 아래의 고유값 논법과 같은 내용이다.

왜 원뿔곡선의 이름이 붙었나

이름의 출처는 대수적이다. 주부의 계수로 대칭행렬을 하나 만든다.

$$M = \begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}, \qquad \det M = AC - B^2 = -\Delta$$

직관

$M$은 대칭행렬이므로 1.3.3대칭·반대칭·직교 행렬에 의해 실수 고유값 둘을 갖고 고유벡터가 직교한다. 그리고 $\det M = \lambda_1\lambda_2$이므로 판별식의 부호는 두 고유값의 부호 관계 그 자체다.

• $\lambda_1, \lambda_2$가 같은 부호 → $\det M > 0$ → $\Delta < 0$ → 타원형
• 반대 부호 → $\det M < 0$ → $\Delta > 0$ → 쌍곡형
• 하나가 0 → $\det M = 0$ → $\Delta = 0$ → 포물형

1.3.7이차 형식과 주축 변환의 주축 변환을 그대로 여기에 쓰면 이름의 유래가 보인다. 이차 형식 $A\xi^2 + 2B\xi\eta + C\eta^2 = 1$이 그리는 곡선은 두 고유값이 같은 부호면 타원, 반대 부호면 쌍곡선, 하나가 0이면 포물선이다. PDE의 유형은 그 주부가 그리는 원뿔곡선의 이름을 물려받았을 뿐이다. 미분방정식과 원뿔곡선 사이에 물리적 유사성이 있어서가 아니다 — 이 사실을 알아 두면 “왜 열 방정식이 포물형인가”를 물리로 설명하려다 헛수고하지 않게 된다.

같은 정리가 실무적 결과도 하나 준다. 주축을 잡으면 비대각항 $B$가 사라진다. 그래서 어떤 2계 선형 PDE든 좌표를 바꿔 세 표준형 중 하나로 만들 수 있고, 그것이 아래 표준형 이야기다.

특성곡선의 개수로 다시 읽기

2절의 언어로 옮기면 분류가 더 실질적인 뜻을 갖는다. 특성곡선은 $A\,dy^2 - 2B\,dx\,dy + C\,dx^2 = 0$의 해로 정의되고, 이것은 $dy/dx$에 대한 이차방정식이다.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{B \pm \sqrt{B^2 - AC}}{A}$$

근호 안이 바로 판별식이다. 그러므로

• $\Delta > 0$ — 실수 특성이 두 방향. 정보가 두 방향으로 유한한 속도로 달린다.
• $\Delta = 0$ — 실수 특성이 한 방향. 그 방향이 등시선($t =$ 일정)이라 정보가 순간에 퍼진다.
• $\Delta < 0$ — 실수 특성이 없다. 정보를 실어 나르는 방향 자체가 없으니 시간이라 부를 변수도 없다.

특성이 없다는 것과 “경계 전체가 내부를 한꺼번에 결정한다”가 같은 말이라는 점이 요점이다. Arfken은 같은 식을 $dy/dx = C/(B \pm \sqrt{B^2 - AC})$로 적는데(식 (9.22)), $(B + \sqrt{\cdot}\,)(B - \sqrt{\cdot}\,) = AC$이므로 두 꼴은 같은 두 기울기를 순서만 바꿔 준다. 그가 이 식을 얻는 길이 눈여겨볼 만하다 — 2계 연산자를 1계 연산자 두 개의 곱으로 인수분해한다(식 (9.18)).

$$\begin{aligned} A\partial_x^2 + 2B\partial_x\partial_y + C\partial_y^2 &= \Big(\tfrac{B + \sqrt{B^2 - AC}}{\sqrt{C}}\,\partial_x + \sqrt{C}\,\partial_y\Big) \Big(\tfrac{B - \sqrt{B^2 - AC}}{\sqrt{C}}\,\partial_x + \sqrt{C}\,\partial_y\Big) \end{aligned}$$

두 인자는 서로 교환되므로, 어느 한쪽의 1계 방정식을 만족하는 함수는 전체를 만족한다. 그리고 각 1계 인자는 2절의 방정식이라 특성 하나씩을 갖는다. 쌍곡형은 실수 1계 연산자 두 개의 곱, 타원형은 복소 켤레 쌍의 곱, 포물형은 같은 인자의 제곱이다. 파동 방정식 $a^2\phi_{xx} - c^2\phi_{yy} = (a\partial_x + c\partial_y)(a\partial_x - c\partial_y)\phi$에서 $f(cx - ay) + g(cx + ay)$가 나오는 것이 이 인수분해의 가장 단순한 경우다(Arfken 식 (9.11)–(9.14)).

그림 1.7-3. 같은 자리에 놓인 교란 하나가 세 유형에서 다르게 퍼진다. 쌍곡형은 기울기 1/c인 두 직선 안쪽에만 닿고 바깥은 문자 그대로 아무 영향도 받지 않는다. 포물형은 순간에 온 공간이 0이 아니게 되지만 실질적인 폭은 √(Dt)를 따르는 포물선 안쪽이다. 타원형에는 시간 축이 없어, 경계 전체가 내부의 모든 점을 동시에 결정한다.직접 작도

세 유형이 실제로 다른 점

	쌍곡형	포물형	타원형
전파 속도	유한 ($c$)	형식상 무한	—
불연속	살아남는다	즉시 뭉개진다	생기지 않는다
시간 되짚기	된다	안 된다	해당 없음
문제의 종류	초기값	초기값	경계값
푸는 방식	시간 전진	시간 전진	전영역 연립
수치 안정 조건	$c\,\Delta t/\Delta x \le 1$	$D\,\Delta t/\Delta x^2 \le 1/2$	반복법의 수렴

마지막 줄이 실무에서 제일 먼저 부딪히는 차이다. 쌍곡형의 조건(CFL 조건)은 수치적 전파 속도가 물리적 전파 속도보다 빨라야 한다는 요구다 — 한 걸음에 정보가 격자 한 칸을 넘어가면 그 정보를 잃는다. 포물형의 조건은 $\Delta t$가 $\Delta x$의 제곱에 묶이는 것이라 훨씬 가혹하다. 격자를 두 배 촘촘히 하면 시간 간격은 네 배 잘게 잘라야 한다. 소자 시뮬레이터가 확산 항을 음함수(implicit) 방법으로 푸는 이유가 여기 있다. 자세한 것은 1.12에서 다룬다.

어느 조건을 어느 경계에 — Arfken의 표

조건의 종류(값·도함수·둘 다)와 경계의 모양(열린 면·닫힌 면)을 함께 보아야 문제가 적절히 놓인다. Arfken이 표 9.1로 정리한 것을 옮긴다(§9.3). ‘열린 면’은 시간 축의 $t = 0$처럼 영역을 한쪽에서만 막는 면이고, ‘닫힌 면’은 영역을 둘러싼 경계다.

조건	경계	타원형 (라플라스·푸아송)	쌍곡형 (파동)	포물형 (확산)
코시 (값 + 법선 도함수)	열린 면	비물리적 (불안정)	유일·안정	과잉
	닫힌 면	과잉	과잉	과잉
디리클레 (값)	열린 면	부족	부족	한 방향으로 유일·안정
	닫힌 면	유일·안정	유일하지 않음	과잉
노이만 (도함수)	열린 면	부족	부족	한 방향으로 유일·안정
	닫힌 면	유일·안정 (상수 차이 제외)	유일하지 않음	과잉

굵은 칸 셋이 세 유형의 ‘올바른 문제’다. 파동에는 열린 면 위의 코시 데이터(초기 변위와 속도), 확산에는 열린 면 위의 값 하나(초기 분포)에 시간의 한 방향으로만 진행, 라플라스에는 닫힌 경계 위의 값이나 도함수. 1절의 “조건은 몇 개” 표가 개수를 세었다면 이 표는 어디에 주어야 하는지를 센다.

칸 하나를 읽어 두면 표 전체가 기억된다. 라플라스 방정식에 코시 조건을 주면 왜 불안정한가 — 디리클레만으로 이미 해가 유일하게 정해지므로(1.1.9퍼텐셜 이론), 거기에 법선 도함수까지 지정하면 이미 정해진 값과 어긋나는 요구가 된다. 값을 아주 조금만 바꿔도 맞는 도함수가 크게 달라지니 아다마르의 셋째 조건(연속 의존)이 깨진다. Arfken이 ‘비물리적’이라 적은 것이 이 뜻이다. 반대로 확산 방정식에 닫힌 면(예컨대 $t = 0$과 $t = T$ 양쪽)의 값을 주는 것은 1절의 역방향 확산 문제와 같아 과잉이다.

표가 단순화한 것도 있다고 Arfken은 덧붙인다. 헬름홀츠 방정식 $\nabla^2\psi + k^2\psi = 0$은 닫힌 경계의 디리클레 조건에서 특정한 $k$에서만 해를 갖는다 — 곧 고유값 문제이고, 4절의 이야기다.

계수가 변하면 유형이 바뀐다

$A, B, C$가 상수가 아니면 유형이 자리마다 다를 수 있다. 표준 예가 트리코미 방정식이다.

$$y\,u_{xx} + u_{yy} = 0$$

$\Delta = -y$이므로 $y > 0$에서 타원형, $y < 0$에서 쌍곡형이다. 천음속 유동에서 아음속 영역과 초음속 영역이 이렇게 갈린다.

의문

반도체 쪽에서 같은 일이 일어나는가. 일어난다. 맥스웰 방정식에서 유도한 전위 방정식은 원래 쌍곡형이다.

$$\nabla^2 \psi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\varepsilon}$$

그런데 소자 시뮬레이션은 이 방정식을 쓰지 않고 푸아송 방정식 $\nabla^2\psi = -\rho/\varepsilon$을 쓴다. 시간 항을 지운 것이고, 그 순간 방정식이 쌍곡형에서 타원형으로 내려앉는다. 정당화는 시간 척도의 비교다 — 전자기파가 소자를 가로지르는 시간(1 µm를 지나는 데 약 $10^{-14}$초)이 캐리어 수송의 시간 척도보다 압도적으로 짧으므로, 그 시간 동안 전위가 이미 새 평형에 도달했다고 보는 것이다. 이것을 준정적 근사라 한다.

근사가 깨지는 자리도 그래서 분명하다. 동작 주파수가 올라가 신호의 파장이 소자·배선 길이와 견줄 만해지면 전위를 순간적으로 계산할 수 없고, 방정식을 쌍곡형으로 되돌려야 한다. 온칩 소자에서는 거의 언제나 준정적으로 충분하지만, 패키지와 보드 수준의 인터커넥트에서는 그렇지 않다 — 그래서 그쪽은 전송선 방정식을 푼다. 12절에서 같은 방정식이 계수 하나로 파동과 확산 사이를 오가는 것을 본다.

표준형

주축 변환의 PDE 판본은 특성좌표를 새 변수로 삼는 것이다. 쌍곡형에서 특성 두 족을 $\xi(x,y) = \text{const}$, $\eta(x,y) = \text{const}$로 잡으면 주부가 $u_{\xi\eta}$ 하나만 남는다.

$$u_{\xi\eta} = \Phi(\xi, \eta, u, u_\xi, u_\eta)$$

우변이 0이면 1절에서 이미 풀어 본 $u_{\xi\eta} = 0$이고, 답은 $u = f(\xi) + g(\eta)$였다. 달랑베르 해가 여기서 이미 나와 버렸다 — 5절은 이 한 줄을 물리로 읽는 절이다.

포물형은 특성이 하나뿐이라 $\eta$를 자유롭게 고를 수 있고 결과는 $u_{\eta\eta} = \Phi$, 타원형은 실수 특성이 없어 복소 특성을 실수·허수부로 갈라 $u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} = \Phi$가 된다. 세 표준형이 각각 파동·확산·라플라스인 것은 우연이 아니라 정의다.

변수분리법

곱으로 가정한다

이 장에서 가장 많이 쓰는 방법이다. 절차 자체는 기계적이지만, 왜 그래도 되는지를 먼저 짚어야 언제 안 되는지도 보인다.

제차 경계조건을 가진 1차원 열 방정식을 표본으로 삼는다.

$$u_t = D\,u_{xx},\qquad u(0,t) = u(L,t) = 0,\qquad u(x,0) = f(x)$$

해를 곱으로 가정한다.

$$u(x,t) = X(x)\,T(t)$$

대입하면 $XT' = D X'' T$이고, 양변을 $D X T$로 나눈다.

$$\frac{T'}{D\,T} = \frac{X''}{X}$$

직관

이 한 줄이 방법 전체다. 좌변은 $t$만의 함수이고 우변은 $x$만의 함수인데 둘이 같다. $x$를 고정한 채 $t$를 움직여 보면 우변은 꿈쩍도 하지 않으므로 좌변도 변할 수 없다. 반대로도 같다. 따라서 양변은 $x$에도 $t$에도 의존하지 않는 상수다. Boas는 이 논법을 더 조심스럽게 적는다(§13.2). 곱 꼴을 방정식에 넣어 얻은 식은 두 독립변수에 대한 항등식이다 — 어떤 $x$, 어떤 $t$를 넣어도 성립해야 한다. 그러니 $x$를 하나 골라 고정하면 우변은 숫자 하나가 되고, 그 $x$에서 항등식이 모든 $t$에 성립해야 하므로 좌변도 그 숫자여야 한다. 한 항을 ‘상수’라 부르려면 두 조건이 동시에 필요하다고 Boas는 §13.5에서 못박는다 — ⓐ 그 항이 한 변수만의 함수이고, ⓑ 그 변수가 식의 다른 곳에 나오지 않을 것. 11절의 원통좌표에서 $\rho$가 두 항에 걸쳐 있어 곧바로 분리되지 않는 것이 ⓑ가 걸리는 경우다. “해가 곱 꼴이라는 것을 어떻게 아는가? — 모른다. 그렇지 않다”고 Boas는 먼저 답해 두는데, 그 뜻이 아래 문단이다.

$$\frac{T'}{D\,T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$$

변수 두 개짜리 방정식 하나가 변수 하나짜리 방정식 두 개로 갈라졌다. 이것이 이 장에서 되풀이되는 전략 — 변수를 지워 ODE로 되돌리기 — 의 가장 값싼 판본이다.

값싼 대신 대가가 있다. 곱 꼴의 해는 특수해일 뿐 일반적인 초기 조건을 만족하지 못한다. 그것을 메우는 것이 겹침이고(1절), 겹쳐서 모든 초기 조건을 덮을 수 있다는 보장이 완비성이다(1.6.5완전성과 수렴). 방법의 논리는 세 걸음이다 — 특수해를 많이 만든다 → 겹친다 → 완비성이 그것으로 충분함을 보장한다.

부호는 경계조건이 고른다

$-\lambda$로 적은 것이 자의적으로 보이지만 그렇지 않다. 세 경우를 다 따져 보면 경계조건이 부호를 강제한다.

공간 쪽 방정식은 $X'' + \lambda X = 0$이고 조건은 $X(0) = X(L) = 0$이다.

① $\lambda < 0$ — $\lambda = -p^2$로 두면 $X = a e^{px} + b e^{-px}$. $X(0)=0$에서 $b = -a$이므로 $X = 2a\sinh px$이고, $X(L) = 0$이려면 $a = 0$. 자명한 해뿐이다.

② $\lambda = 0$ — $X'' = 0$이니 $X = ax + b$. 두 조건에서 $a = b = 0$. 역시 자명하다.

③ $\lambda > 0$ — $\lambda = p^2$로 두면 $X = a\cos px + b\sin px$. $X(0) = 0$에서 $a = 0$이고, $X(L) = b\sin pL = 0$에서 $b \neq 0$이려면 $\sin pL = 0$. 즉 $pL = n\pi$.

$$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2, \qquad X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$$

주의

부호를 먼저 정하고 시작하지 않는다. 교재들이 처음부터 $-\lambda$나 $-k^2$로 적어 두는 바람에 “왜 음수인가”가 마술처럼 보이는데, 실제로는 위처럼 세 경우를 다 따져 경계조건이 하나만 남기는 구조다. 조건이 바뀌면 답도 바뀐다 — 노이만 조건 $X'(0) = X'(L) = 0$이면 $\lambda = 0$이 살아남아 상수항 $X_0 = 1$이 해에 들어오고(8절), 로빈 조건이면 $\lambda_n$이 초월방정식의 근이 되어 닫힌 꼴로 나오지 않는다.

$\lambda$의 부호가 물리적으로 무엇인지도 짚어 둔다. 시간 쪽이 $T' = -\lambda D T$이므로 $T = e^{-\lambda D t}$인데, $\lambda > 0$이라야 감쇠한다. $\lambda < 0$이면 $T$가 지수적으로 폭발한다. 그래서 확산 문제에서 $\lambda > 0$은 경계조건이 부과하는 조건이면서 동시에 물리가 요구하는 조건이다.

세 책이 부호를 고르는 방식이 조금씩 다르다는 것도 적어 둔다. Kreyszig는 분리 상수를 $k$로 두고 위처럼 세 경우를 다 따져 $k = -p^2$만 남긴다(§12.3, §12.6). Boas는 처음부터 $-k^2$($k \ge 0$)로 적되 “$+k^2$로 두어도 틀린 것은 아니고, 사인이 어느 방향에 가느냐만 바뀐다”고 설명한다(§13.2 식 (2.18)) — 무한히 뻗은 방향에는 지수가, 양 끝이 제차 조건으로 막힌 방향에는 사인이 간다(10절). Arfken은 각주에서 “부호 선택은 완전히 자의적이며, 경계조건이 정하고, 특히 복소수를 불필요하게 끌어들이지 않도록 고른다”고 적는다(§9.4 각주 2·4). 축 방향 $z$에 $-l^2$, 방위각 $\phi$에 $+m^2$를 주는 것이 그 예다 — 앞은 지수를, 뒤는 주기해를 예상하기 때문이다.

이것은 고유값 문제다

$X'' + \lambda X = 0$에 $X(0) = X(L) = 0$을 붙인 것은 미분 연산자의 고유값 문제다.

$$\mathcal{L}[X] = -X'' = \lambda X$$

1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$와 같은 꼴이고, 달라진 것은 벡터가 함수로, 행렬이 미분 연산자로 바뀐 것뿐이다. 유한 차원에서 성립하던 것이 그대로 따라온다.

• 고유값이 실수다.
• 서로 다른 고유값의 고유함수가 직교한다.
• 고유함수 전체가 완비여서 임의의 함수를 전개할 수 있다. ‘고유값’이 무엇을 가리키는지도 책마다 다르다. 이 백과는 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ — 연산자 $-d^2/dx^2$의 고유값 — 를 고유값이라 부른다. Kreyszig는 진동하는 줄에서 $\lambda_n = cn\pi/L$, 곧 각진동수를 고유값이라 부르고 그 집합을 스펙트럼이라 한다(§12.3 식 (11)). Boas는 $k = n\pi/l$을 고유값이라 부른다(§13.4). 셋 다 같은 정수 $n$에 붙는 이름표이고 관계는 $\omega_n = c\sqrt{\lambda_n} = ck_n$이지만, 남의 식에서 ‘고유값의 제곱’을 보면 무엇의 제곱인지 확인해야 한다.

1.3.9자체 수반 연산자와 스펙트럼 정리에서 이미 예고한 두 가지 차이도 여기서 실제로 만난다. 첫째, 고유값이 무한히 많다 — 유한 차원의 $n$개가 아니라 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 전부다. 둘째, 완비성이 개수를 세어 증명되지 않아 따로 증명해야 할 정리가 된다. 그 증명을 자체 수반 꼴의 2계 연산자에 대해 해내는 것이 1.6.5완전성과 수렴의 스투름–리우빌 이론이고, 이 절의 사인 급수는 그중 가장 단순한 경우다.

직교성은 여기서 직접 확인할 수 있다.

$$\int_0^L \sin\frac{m\pi x}{L}\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx = \frac{L}{2}\,\delta_{mn}$$

1.2.5벡터공간과 내적공간의 내적과 정확히 같은 구조다 — 함수 두 개의 “내적”이 곱의 적분이고, 그것이 0이면 직교다. 계수를 뽑아내는 방식도 같다(8절).

절차 다섯 걸음

걸음	하는 일	막히는 자리
①	경계조건이 제차인지 확인한다	아니면 정상해를 빼서 제차로 만든다
②	$u = X(x)T(t)$를 대입하고 변수별로 가른다	갈라지지 않으면 이 방법을 못 쓴다
③	공간 쪽 고유값 문제를 푼다	부호 세 경우를 다 따진다
④	시간 쪽 ODE를 푼다	고유값이 그대로 지수·삼각함수에 들어간다
⑤	겹치고 초기조건으로 계수를 정한다	직교성으로 계수를 뽑는다

③이 방법의 심장이다. 나머지는 기계적이고, ③에서 나오는 고유함수가 무엇이냐가 문제의 성격을 전부 결정한다 — 직교좌표면 사인·코사인, 원통좌표면 베셀 함수, 구좌표면 르장드르 함수다(11절). Kreyszig는 같은 절차를 세 걸음으로 적는다 — ① 곱 꼴로 ODE 두 개를 얻고, ② 경계조건을 만족하는 해를 고르고, ③ 푸리에 급수로 겹쳐 초기조건을 맞춘다(§12.3). 위 표의 ①은 그 앞에, ③·④는 그의 ②를 둘로 가른 것이다. 독립변수가 $n$개면 분리 상수는 $n - 1$개다(Arfken §9.4). 3차원 헬름홀츠 방정식을 $X''/X = -l^2$, $Y''/Y = -m^2$, $Z''/Z = -n^2$로 갈라 놓고 구속 $l^2 + m^2 + n^2 = k^2$를 붙여 대칭으로 쓰는 것이 관례이고, 11절 원통좌표에서 분리 상수끼리 묶이는 것이 그 구속의 얼굴이다.

Arfken은 문제를 두 부류로 갈라 둔다(§9.4). 미지 매개변수가 없는 문제 — 라플라스 방정식에 경계값을 준 것처럼 해가 유일하게 하나 있는 문제 — 에서는 곱 해들을 기저로 삼아 마지막 경계조건을 전개로 맞춘다(10절의 사각 영역). 고유값 문제 — 헬름홀츠·슈뢰딩거처럼 방정식 안에 미지 매개변수가 든 문제 — 에서는 제차 경계조건을 곱 인자마다 걸어, 특정한 매개변수 값에서만 해가 살아남는다(위의 $\lambda_n$). 열 방정식의 시간 분리는 후자의 얼굴로 나타나 전자의 방식으로 초기조건을 맞추는, 둘의 조합이다.

언제 안 되는가

변수분리는 강력하지만 조건이 까다롭다. Arfken은 통할 조건을 둘로 적는다(§9.4) — 연산자가 변수별로 덧셈으로 갈라져야 하고(서로 다른 변수의 미분이 곱해진 항이 없어야 하고), 경계조건이 적어도 일부는 인자별 조건으로 갈라져야 한다. 그리고 “해 보고 되면 정당화된 것이고, 안 되면 곧 알게 되니 그린 함수·적분변환·수치해로 간다”고 덧붙인다. 상수항 $k^2$가 $f(x) + g(y) + h(z)$처럼 덧셈으로 갈라지는 함수로 바뀌어도 분리는 그대로 된다 — $k^2 \to C(x^2 + y^2 + z^2)$인 3차원 조화 진동자가 그 예다. 안 되는 경우를 알아 두는 편이 실제로는 더 쓸모 있다.

• 경계가 좌표면이 아닐 때. 사각형과 원판에서는 되지만 비스듬히 잘린 영역에서는 안 된다. 경계조건 자체가 두 변수를 묶어 버려 인자 함수들로 갈라지지 않는다. 소자 단면처럼 생긴 영역에서 해석해를 포기하고 수치해로 가는 첫 번째 이유다.
• 경계조건이 비제차일 때. 그대로는 안 되지만 고칠 수 있다 — 정상해를 하나 찾아 빼면 된다. 6·8절에서 실제로 한다.
• 계수가 변수에 의존할 때. $D$가 $x$의 함수면 $X'' /X$ 자리가 지저분해져 대개 갈라지지 않는다. 농도 의존 확산계수 $D(C)$는 아예 비선형이다.
• 비선형일 때. 겹침 원리가 없으므로 특수해를 모아도 일반해가 되지 않는다. 변수분리의 논리 자체가 성립하지 않는다. 반도체의 푸아송–드리프트확산 연립이 정확히 이 경우이고, 그래서 TCAD가 존재한다.

파동 방정식과 달랑베르 해

방정식 세우기

팽팽한 줄의 작은 횡진동에서 시작한다. 모형이 서려면 가정 셋이 필요하다(Kreyszig §12.2) — ① 선밀도 $\rho$가 일정하고 줄이 완전 탄성이며 굽힘에 저항하지 않는다, ② 장력이 커서 중력을 무시한다, ③ 변위와 기울기가 모두 작다. ①에서 장력은 언제나 줄의 접선 방향이고, ③에서 조각의 양 끝 장력 $T_1$, $T_2$의 수평 성분이 같아 $T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta = T_0$로 상수가 된다 — 수평 방향 운동이 없기 때문이다. 이 상수 $T_0$가 아래 식의 계수다. 길이 $dx$인 조각에 걸리는 장력의 세로 성분 차이 $T_2\sin\beta - T_1\sin\alpha$가 질량 $\rho\,dx$의 가속도를 만들고, 수평 성분 $T_0$로 나누면 $\tan\beta - \tan\alpha$가 된다. 기울기가 작아 $\tan\theta = u_x$로 놓으면

$$\rho\,dx\,u_{tt} = T_0\big[u_x(x+dx) - u_x(x)\big] = T_0\,u_{xx}\,dx$$

이고, 정리하면 파동 방정식이다.

$$u_{tt} = c^2 u_{xx}, \qquad c = \sqrt{\frac{T_0}{\rho}}$$

직관

$c$가 속도라는 것은 차원만 봐도 나온다 — $T_0$는 힘(N), $\rho$는 kg/m이므로 $T_0/\rho$의 단위가 m²/s²다. Kreyszig가 상수를 $c$가 아니라 $c^2 = T/\rho$로 적는 것은 양수임을 겉으로 드러내기 위해서이고, 그 부호가 해의 꼴(지수가 아니라 진동)을 결정한다(§12.2). 하지만 더 중요한 것은 $c$의 꼴이 말하는 것이다. 장력이 세면 빠르고, 무거우면 느리다. 복원력을 분자에, 관성을 분모에 놓은 비의 제곱근 — 이 구조가 파동 속도의 보편적인 모양이다.

$$c_{\text{음속}} = \sqrt{\frac{K}{\rho}},\qquad c_{\text{탄성파}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}},\qquad c_{\text{전자기파}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

세 번째도 같은 모양이다 — $1/\varepsilon$이 복원력 노릇을 하고 $\mu$가 관성 노릇을 한다. 반도체에서 이 식이 곧바로 쓰이는 자리가 있다. 탄성파 소자(SAW·BAW 필터)의 동작 주파수는 $f = c/\lambda$이고 $\lambda$는 전극 주기가 정하므로, 재료의 $\sqrt{E/\rho}$가 곧 필터의 주파수 상한이다. 그래서 그쪽은 강성이 크고 가벼운 재료(AlN, LiNbO₃)를 고른다.같은 파동 방정식이 막대의 종진동에도 그대로 선다 — $c^2 = E/\rho$이고, 한 끝을 고정하고 다른 끝을 놓아 두면 $u(0,t) = 0$, $u_x(L,t) = 0$에서 $p_n = (2n+1)\pi/2L$이 나온다(Kreyszig §12.4 연습 19). BAW 공진기의 두께 모드가 이 문제다. 파동의 글자는 Boas를 따라 적어 둔다(§13.4): 진동수 $\nu$, 파장 $\lambda$, $v = \lambda\nu$, 각진동수 $\omega = 2\pi\nu$, 파수 $k = 2\pi/\lambda = \omega/v$ — 9절부터 쓰는 $k$가 이것이다.

달랑베르 해

3절에서 이미 절반을 풀었다. 파동 방정식은 쌍곡형이고 특성이 두 족이므로, 특성좌표를 새 변수로 삼는다.

$$\xi = x + ct, \qquad \eta = x - ct$$

연쇄법칙으로 옮기면 $u_{tt} - c^2u_{xx} = -4c^2 u_{\xi\eta}$이므로 방정식은 $u_{\xi\eta} = 0$이 되고, 1절에서 이미 푼 그 방정식이다.

$$u(x,t) = \phi(x - ct) + \psi(x + ct)$$

임의 함수 두 개가 물리적 의미를 그대로 갖는다 — $\phi$는 오른쪽으로, $\psi$는 왼쪽으로 속도 $c$로 달리는 파형이다. 1절에서 “일반해가 쓸모 있는 드문 경우”라 한 것이 이것이다.

초기 조건 $u(x,0) = f(x)$, $u_t(x,0) = g(x)$를 넣으면 두 함수가 정해진다. 대입하면

$$\phi + \psi = f, \qquad -c\phi' + c\psi' = g$$

이고, 둘째 식을 적분해 첫째와 연립하면 달랑베르 공식이 나온다.

$$u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big[f(x-ct) + f(x+ct)\big] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(\zeta)\,d\zeta$$

그림 1.7-4. 초기 속도가 0인 경우다. 왼쪽 세 스냅숏에서 t=0의 요철 하나가 높이 절반짜리 두 요철로 갈라져 좌우로 같은 속도로 멀어지고, 모양은 조금도 변하지 않는다. 오른쪽은 같은 사실을 x-t 평면에서 본 것이다. 점 (x0, t0)에서 기울기가 반대인 두 특성 직선을 내리면 초기 축에서 구간 하나를 자르는데, 그 구간 밖의 초기값은 이 점에 아무 영향도 주지 못한다.직접 작도

의존 영역과 영향 영역

공식이 말하는 것을 그림으로 읽으면 5절에서 얻을 것을 다 얻는다. $u(x_0, t_0)$은 초기 축의 구간 $[x_0 - ct_0,\ x_0 + ct_0]$만 참조한다. 그 밖의 초기값을 아무리 흔들어도 이 점의 값은 변하지 않는다. 이 구간을 의존 영역, 거꾸로 초기의 한 점이 영향을 미치는 원뿔을 영향 영역이라 한다.

$f$는 구간의 양 끝점 값만 들어가고 $g$는 구간 전체에 적분되어 들어가는 것도 눈여겨볼 만하다. 초기 변위는 두 갈래로 갈라져 지나가 버리지만, 초기 속도는 준 만큼 계속 쌓여 흔적을 남긴다. 줄을 튕기는 것과 두드리는 것의 차이가 이 비대칭이다. Arfken은 앞의 $\tfrac12$을 “한 점에서 시작한 교란이 양방향으로 갈라지므로 절반”이라 읽고, 뒤의 적분을 “의존 영역 위에서 초기 기울기의 효과가 누적되는 항”이라 읽는다(§9.6 식 (9.95)). Kreyszig는 $\phi + \psi = f$, $-c\phi' + c\psi' = g$의 둘째를 적분해 $\phi$와 $\psi$를 각각 풀어 같은 식에 이른다(§12.4 식 (7)–(12)) — 유도의 길은 달라도 답은 하나다.

유한한 줄 — 변수분리 해와 같은 답

양 끝이 고정된 길이 $L$의 줄에서는 4절의 절차를 그대로 밟는다. $u = XT$로 갈라 $X'' + \lambda X = 0$, $X(0) = X(L) = 0$을 풀면 4절과 똑같이 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$, $X_n = \sin(n\pi x/L)$이 나온다. 시간 쪽은 이번에는 2계다.

$$T_n'' + c^2\lambda_n T_n = 0 \;\Longrightarrow\; T_n = a_n\cos\frac{n\pi c t}{L} + b_n\sin\frac{n\pi ct}{L}$$

시간 미분이 2계라서 지수 감쇠 대신 진동이 나온다. 열 방정식과 갈리는 지점이 정확히 여기다. 초기 속도가 0이면 $b_n = 0$이고 해는

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L}, \qquad a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

이다. 각 항이 정상파다 — 모양은 $\sin(n\pi x/L)$로 고정된 채 진폭만 흔들린다. $n$번째 모드의 진동수는

$$f_n = \frac{nc}{2L}$$

이고, 기본음의 정수배로 배음이 서는 것이 현악기의 음정이다.

직관

급수 해와 달랑베르 해는 같은 답이어야 한다. 삼각함수 항등식 하나가 그것을 보여 준다.

$$\sin\frac{n\pi x}{L}\cos\frac{n\pi ct}{L} = \tfrac{1}{2}\left[\sin\frac{n\pi(x-ct)}{L} + \sin\frac{n\pi(x+ct)}{L}\right]$$

우변이 정확히 달랑베르의 “반씩 갈라져 좌우로”다. 정상파는 좌우로 달리는 두 진행파의 합이라는 사실이 항등식 한 줄에 들어 있다.

거꾸로도 읽힌다. 유한한 줄에서 달랑베르 해를 그대로 쓰려면 초기 함수 $f$를 구간 밖으로 홀함수로 주기 확장하면 된다 — 그러면 $x = 0$과 $x = L$에서 저절로 0이 되어 경계조건이 만족된다. 물리적으로는 파가 끝에서 뒤집혀 반사되는 것이고, 수학적으로는 사인 급수가 홀함수 확장의 푸리에 급수인 것과 같은 이야기다. 어느 쪽으로 읽어도 답은 하나다.

튕긴 줄의 급수. 가운데를 $h$만큼 잡아당겨 놓은 삼각형 초기 변위 $f$에 위 공식을 쓰면 계수가 $1/n^2$로 줄고 짝수 항이 사라진다(Kreyszig §12.3 예 1, Boas §13.4 식 (4.9)).

$$u(x,t) = \frac{8h}{\pi^2}\left[\sin\frac{\pi x}{L}\cos\frac{\pi ct}{L} - \frac{1}{9}\sin\frac{3\pi x}{L}\cos\frac{3\pi ct}{L} + \frac{1}{25}\sin\frac{5\pi x}{L}\cos\frac{5\pi ct}{L} - \cdots\right]$$

짝수 모드가 없는 것은 가운데가 마디이기 때문이다 — 가운데를 잡아당겨서는 가운데에 마디를 가진 모드를 깨울 수 없다. 이 급수를 달랑베르 꼴로 되돌리면 그림이 곧바로 나온다. 삼각형이 반씩 갈라져 좌우로 가고, 끝에서 뒤집혀 반사되어 돌아온다(Kreyszig 그림 291).

이 예에는 미묘한 점이 하나 숨어 있다. 삼각형 $f$는 꼭짓점에서 미분이 불연속이라 $u_{xx}$가 존재하지 않는 점이 매 시각 유한 개 생긴다. Kreyszig는 이런 해를 일반화된 해라 부른다(§12.3) — 그 점들을 빼면 방정식을 만족하고, 그 점들은 특성을 따라 옮겨 다닐 뿐 사라지지 않는다. 3절 표의 “불연속이 살아남는다”가 여기서 실제로 보이는 것이고, 확산 방정식에서는 같은 초기조건이 즉시 매끄러워지는 것과 정확히 대비된다(8절). 급수 해가 진짜 해가 되려면 $f$가 두 번 미분 가능하고 양 끝의 한쪽 2계 도함수가 0이어야 한다는 것이 Kreyszig의 조건이다.

두드린 줄은 $b_n$ 항만 남고 계수가 $1/n^3$으로 준다(Boas §13.4 연습 5). 초기 속도가 한 번 적분되어 들어가기 때문이고, 달랑베르 공식의 $\int g$가 급수에서는 $1/n$ 하나로 나타난 것이다.

굽힘에 저항하면 — 보의 4계 방정식

줄이 굽힘에 저항하지 않는다는 가정 ①을 버리면 방정식의 계가 올라간다. 균일한 탄성 보의 작은 자유 진동은

$$u_{tt} = -c^2 u_{xxxx}, \qquad c^2 = \frac{EI}{\rho A}$$

를 따른다(Kreyszig §12.3 연습 15–20; $E$는 영률, $I$는 단면 2차 모멘트, $A$는 단면적). 변수분리는 그대로 되지만 공간 쪽이 4계 $F^{(4)} = \beta^4 F$가 되어 해가 넷이다.

$$F = A\cos\beta x + B\sin\beta x + C\cosh\beta x + D\sinh\beta x, \qquad G = a\cos c\beta^2 t + b\sin c\beta^2 t$$

직관

줄과 갈리는 자리가 둘이다. ① 진동수가 $\beta$가 아니라 $\beta^2$에 비례한다. 줄은 $\omega_n \propto n$이라 배음이 정수배로 서지만, 보는 $\omega_n \propto \beta_n^2$이라 배음이 조화롭지 않다 — 종과 실로폰의 소리가 현악기와 다른 이유다(Kreyszig 연습 18). ② 쌍곡함수가 함께 나온다. 경계조건이 넷 필요하고(양 끝에서 둘씩), 고정단 $u = u_x = 0$·자유단 $u_{xx} = u_{xxx} = 0$을 조합하면 $\beta$가 초월방정식의 근이 된다 — 양단 고정이면 $\cosh\beta L\cos\beta L = 1$, 한쪽 고정·한쪽 자유(캔틸레버)면 $\cosh\beta L\cos\beta L = -1$ (연습 19·20). 단순 지지($u = u_{xx} = 0$)일 때만 $\beta_n = n\pi/L$로 닫힌다.

MEMS 캔틸레버·공진기가 정확히 이 문제다. 캔틸레버의 첫 근 $\beta_1 L \approx 1.875$에서 $f_1 \propto (t/L^2)\sqrt{E/\rho}$ — 두께 $t$에 비례하고 길이의 제곱에 반비례한다. 길이를 절반으로 줄이면 공진 주파수가 네 배가 되고, 그 민감도가 질량 센서와 AFM 탐침의 설계 변수다.

파동은 왜 모양을 보존하는가

이 장 전체에서 가장 대비가 뚜렷한 사실이라 여기서 못박아 둔다. 파동 방정식의 해는 모양이 변하지 않고 이동하는데, 확산 방정식의 해는 이동 없이 뭉개진다. 차이는 방정식의 글자 하나 — $u_{tt}$냐 $u_t$냐 — 에서 온다.

9절에서 분산 관계로 이 대비를 정확히 정리하겠지만, 여기서는 결론만 적어 둔다. $e^{i(kx-\omega t)}$를 넣으면 파동 방정식은 $\omega = \pm ck$를 주고, 이는 모든 파장이 같은 속도로 달린다는 뜻이다. 그래서 여러 파장으로 이루어진 파형이 흩어지지 않고 함께 간다. 확산 방정식은 $\omega = -iDk^2$를 주고, 허수인 데다 $k$에 의존하므로 짧은 파장이 먼저 죽는다. 뭉개짐의 정체가 이것이다.

막 — 이중 급수와 축퇴

변수가 하나 더 붙으면 무엇이 달라지는가. 사각 막($0 \le x \le a$, $0 \le y \le b$, 가장자리 고정)의 2차원 파동 방정식 $u_{tt} = c^2(u_{xx} + u_{yy})$는 변수분리를 두 번 한다(Kreyszig §12.9). 먼저 $u = F(x,y)G(t)$로 시간을 떼면 공간 쪽이 헬름홀츠 방정식 $F_{xx} + F_{yy} + \nu^2 F = 0$이 되고, 다시 $F = H(x)Q(y)$로 갈라 $H = \sin(m\pi x/a)$, $Q = \sin(n\pi y/b)$를 얻는다. 고유값은 두 정수에 걸린다.

$$\omega_{mn} = c\pi\sqrt{\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}}, \qquad u = \sum_{m,n} \big(B_{mn}\cos\omega_{mn}t + B^*_{mn}\sin\omega_{mn}t\big) \sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}$$

계수는 이중 푸리에 급수로 정한다 — $y$를 고정하고 $x$의 사인 급수를, 그 계수를 다시 $y$의 사인 급수로 전개하면

$$B_{mn} = \frac{4}{ab}\int_0^b\!\!\int_0^a f(x,y)\,\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,dx\,dy$$

다(Kreyszig 식 (18)). 사영을 두 번 한 것이고, 직교성이 각 방향에서 따로 성립하므로 순서는 상관없다.

의문

정사각형 막($a = b$)에서 새 현상이 나타난다. $\omega_{12} = \omega_{21}$이지만 $F_{12} = \sin\pi x\sin 2\pi y$와 $F_{21} = \sin 2\pi x\sin\pi y$는 다른 함수다 — 한 진동수에 서로 다른 모드가 둘 있다. 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식에서 본 축퇴가 연속체에서 다시 나온 것이다. 축퇴한 모드는 어떤 비율로 섞어도 같은 진동수의 해이므로 마디선이 한 가지가 아니다. $F_{12} + B\,F_{21}$의 마디선은 $\cos\pi y + B\cos\pi x = 0$이라 $B$에 따라 직선에서 곡선으로 옮겨 다닌다(Kreyszig 그림 304). 실제 북에서 어떤 마디선이 보이느냐는 어디를 쳤느냐가 정한다.

축퇴가 얼마나 겹치는가는 정수론이 정한다. $m^2 + n^2 = 65$는 $1 + 64 = 16 + 49$로 두 가지라 $F_{18}, F_{81}, F_{47}, F_{74}$ 넷이 한 진동수를 나눠 갖는다 — 소인수 중에 $4k + 1$ 꼴이 둘 이상이면 언제나 그렇다는 것이 가우스의 정리다(Kreyszig §12.9 예 1; Boas §13.6 연습 3의 $7^2 + 1^2 = 5^2 + 5^2$도 같은 예). 그리고 넓이가 같은 사각 막 가운데 기본 진동수가 가장 낮은 것은 정사각형이다(Kreyszig 연습 18) — 11절에서 볼 원판과 정사각형의 비교가 여기서 이미 시작된다.

반도체에서 같은 축퇴가 걸리는 자리는 정사각 단면의 나노와이어와 양자 상자다. 슈뢰딩거 방정식의 공간 부분이 같은 헬름홀츠 방정식이므로(6절) $E_{mn} \propto m^2/a^2 + n^2/b^2$이고, $a = b$면 준위가 축퇴한다. 단면을 조금 찌그러뜨리면 축퇴가 풀려 준위가 갈라지는데, 그 갈라짐의 크기가 공정 편차의 지표가 된다.

어디서 다시 만나는가

• 2.8 전자기파 — $\nabla^2\mathbf{E} = \mu\varepsilon\,\partial^2\mathbf{E}/\partial t^2$가 같은 방정식이다. 리소그래피의 결상, 광학 계측, 도파로가 전부 여기서 나온다.
• 3.2 진동과 파동 — 줄·막·기둥의 정규모드. 1.3의 정규모드가 연속체로 올라간 것이다.
• 격자 진동 — 원자 사슬의 운동방정식을 연속 극한으로 보내면 파동 방정식이 된다. 유한한 격자 간격이 만드는 보정이 포논 분산 곡선의 굽이이고, 7부 고체물리의 격자 진동이 그것을 다룬다.
• 인터커넥트 — 손실 없는 전송선이 파동 방정식을 따른다. 손실이 커지면 확산으로 넘어가는데, 그 전환을 12절에서 한 식으로 본다.

열·확산 방정식

두 조각으로 세운다

확산 방정식은 물리 법칙 하나가 아니라 회계 하나와 구성 법칙 하나의 조립이다. 1.1.7발산정리와 스토크스 정리에서 이미 한 번 세웠으므로 여기서는 결론만 다시 놓고, 이 장에서 쓸 꼴로 정리한다.

회계 쪽은 연속 방정식이다. 부피 안의 양이 줄어드는 만큼 껍질로 나가야 한다.

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = \Gamma$$

구성 법칙 쪽은 “흐름은 기울기를 거슬러 흐른다”이고, 이름만 분야마다 다르다.

$$\mathbf{J} = -D\nabla u \ (\text{픽}), \qquad \mathbf{q} = -k\nabla T \ (\text{푸리에})$$

둘을 합치고 계수를 상수로 보면 방정식이 나온다. 생성항이 없고 1차원이면 이 장의 표본이다.

$$\frac{\partial u}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

열전도에서는 계수가 $\alpha = k/(\rho c_p)$로 묶여 나온다 — 열확산계수이고, 단위가 $D$와 같은 m²/s다. 이 자리에서 열전도도 $k$를 없애 버리는 이유는 기호표의 ⑤에 적어 둔 대로다. Kreyszig의 유도(§12.5)를 한 번 따라가 두면 ‘회계 + 구성 법칙’이 어디서 합쳐지는지가 보인다. 영역 $T$를 둘러싼 면 $S$를 지나 나가는 열이 $\oint_S \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA$이고 $\mathbf{v} = -K\nabla u$이므로, 발산 정리로 $-K\int_T\nabla^2 u\,dV$가 된다. 안에 든 열 $\int_T\sigma\rho\,u\,dV$의 감소율이 이것과 같아야 하므로 $\int_T(\sigma\rho\,u_t - K\nabla^2 u)\,dV = 0$이고, 어떤 영역 $T$를 잡아도 성립해야 하니 피적분함수가 0이다. 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 연속 방정식 유도와 같은 걸음이고, 계수가 $c^2 = K/\sigma\rho$로 묶인다 — Kreyszig는 열전도도를 $K$, 비열을 $\sigma$, 밀도를 $\rho$로 적는다. Boas는 확산계수 자체를 $\alpha^2$로 두어 $\nabla^2 u = (1/\alpha^2)u_t$로 적고(§13.3), Arfken은 $a^2$다(§9.7). 세 책이 전부 제곱 꼴로 적는 이유는 하나다 — 계수가 양수라는 것을 겉으로 드러내야 4절의 부호 논의가 성립하기 때문이다.

직관

$D$의 단위가 이 절 전체를 지배한다. m²/s이므로 $D$와 시간 $t$로 만들 수 있는 길이는 $\sqrt{Dt}$ 하나뿐이다. 다른 길이 척도가 문제에 없다면 — 반무한 매질처럼 — 해는 $x$와 $t$를 반드시 $x/\sqrt{Dt}$라는 조합으로만 볼 수밖에 없다. 7절의 오차함수 해가 통째로 이 관찰의 결과다.

여기서 나오는 어림이 실무에서 가장 자주 쓰인다.

$$\text{퍼진 거리} \sim \sqrt{Dt} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{걸리는 시간} \sim \frac{\ell^2}{D}$$

거리가 시간의 제곱근으로만 는다는 것은 확산이 먼 거리에 지독하게 비효율적이라는 뜻이다. 거리를 두 배로 하려면 시간은 네 배가 필요하다. 파동은 $\ell = ct$로 선형인데 확산은 $\ell = \sqrt{Dt}$다 — 이 차이가 왜 생물이 긴 거리는 확산 대신 순환계로 나르는지, 왜 소자를 작게 만들면 갑자기 빨라지는지를 동시에 설명한다.

숫자를 하나 넣어 두면 감이 잡힌다. 실리콘 속 인(P)의 확산계수는 1000 °C에서 대략 $10^{-14}$ cm²/s 규모다. 30분($1.8\times10^3$ s) 어닐하면 $\sqrt{Dt} \approx 4.2\times10^{-6}$ cm, 곧 40 nm 남짓이다. 한 시간 가까이 1000 °C에 두어도 도판트가 겨우 그만큼 움직인다는 이 사실이 미세화의 물리적 여유를 정한다.

같은 방정식, 다른 이름

분야	미지 함수	계수	흐름
열전도	온도 $T$	$\alpha = k/\rho c_p$	열선속 $\mathbf{q}$
물질 확산	농도 $C$	$D$	입자선속 $\mathbf{J}$
캐리어 수송	과잉 농도 $\Delta n$	$D_n$	전류밀도 $\mathbf{J}_n/(-q)$
점성 유동	소용돌이도	동점성계수 $\nu$
확률	확률밀도	$D$	확률선속
양자역학 ($V = 0$)	파동함수 $\Psi$	$i\hbar/2m$ — 허수 (아래)	확률선속

캐리어 쪽에서 확산계수와 이동도를 잇는 것이 아인슈타인 관계다.

$$D_n = \frac{k_B T}{q}\,\mu_n$$

같은 산란이 드리프트도 확산도 제한하므로 둘이 독립일 수 없다는 것이 내용이고, 유도는 열평형에서 드리프트와 확산이 정확히 상쇄해야 한다는 요구에서 나온다(11부). 실온에서 $k_BT/q \approx 25.9$ mV이므로 이동도만 알면 $D$가 바로 나온다. 계수가 방향마다 다른 비등방 확산 $u_t = D_x u_{xx} + D_y u_{yy} + D_z u_{zz}$도 새 방정식이 아니다. 주축을 좌표축에 맞춘 뒤 $x = \sqrt{D_x}\,\xi$처럼 방향마다 좌표를 늘이면 등방 방정식으로 돌아온다(Arfken §9.7 식 (9.96)–(9.97)). 결정 방향에 따라 확산계수가 다른 층상 재료나, 열전도도가 면내와 면직으로 갈리는 적층 구조에서 이 치환이 쓰인다 — 답은 등방 해를 방향별로 $\sqrt{D}$만큼 늘인 것이다.

소수 캐리어 확산 방정식

반도체에서 실제로 푸는 꼴에는 항이 둘 더 붙는다.

$$\frac{\partial \Delta n}{\partial t} = D_n \frac{\partial^2 \Delta n}{\partial x^2} - \frac{\Delta n}{\tau_n} + G$$

$-\Delta n/\tau_n$은 재결합이고 $G$는 생성이다 — 앞의 회계식에서 $\Gamma$ 자리에 들어간 것이 이 둘이다. $\tau_n$은 소수 캐리어 수명으로, 과잉 전자가 재결합하기까지의 평균 시간이다.

정상 상태($\partial/\partial t = 0$)이고 생성이 없는 영역에서는 시간이 사라져 ODE가 된다.

$$D_n \frac{d^2 \Delta n}{dx^2} = \frac{\Delta n}{\tau_n} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{d^2 \Delta n}{dx^2} = \frac{\Delta n}{L_n^2}$$

여기서

$$L_n = \sqrt{D_n \tau_n}$$

가 확산 길이다.

직관

$L_n = \sqrt{D_n\tau_n}$은 앞의 $\sqrt{Dt}$에서 $t$ 자리에 수명 $\tau_n$을 넣은 것이다. 뜻도 그대로다 — 과잉 캐리어가 죽기 전까지 확산으로 갈 수 있는 거리. $\sqrt{Dt}$가 과도 문제의 길이 척도라면 $\sqrt{D\tau}$는 정상 상태 문제의 길이 척도이고, 둘은 같은 관찰의 두 얼굴이다.

수치로도 짚어 둔다. 실리콘의 $D_n \approx 35$ cm²/s, 좋은 웨이퍼의 $\tau_n \approx 10^{-5}$ s를 넣으면 $L_n \approx 1.9\times10^{-2}$ cm, 곧 190 µm다. 태양전지용 웨이퍼 두께가 그와 비슷한 규모라는 것이 우연이 아니다 — 웨이퍼 어디서 생성된 캐리어든 접합까지 닿을 수 있어야 하기 때문이다.

제곱근이 여기서 완충 노릇을 한다. 결정 품질이 나빠 $\tau_n$이 100배 짧아져도 $L_n$은 10배만 줄어 19 µm가 된다. 수명의 열화가 확산 길이에는 절반만 반영된다 — 소재 순도가 효율에 미치는 영향이 생각보다 완만한 이유다.

반무한 영역($x \ge 0$, $x \to \infty$에서 0)에서 해는 지수 감쇠다.

$$\Delta n(x) = \Delta n(0)\,e^{-x/L_n}$$

유한 두께 $W$이고 반대쪽 끝에서 $\Delta n(W) = 0$이면 쌍곡사인이다.

$$\Delta n(x) = \Delta n(0)\,\frac{\sinh\!\big[(W-x)/L_n\big]}{\sinh(W/L_n)}$$

그림 1.7-5. 같은 쌍곡사인 해가 두께에 따라 다른 얼굴을 한다. 왼쪽처럼 두께가 확산 길이보다 훨씬 크면 거리 L마다 1/e로 줄어드는 지수 꼬리가 되고, 오른쪽처럼 두께가 확산 길이보다 작아질수록 프로파일이 직선에 가까워진다. 전류는 x=0에서의 기울기가 정하므로, 왼쪽에서는 L이, 오른쪽에서는 W가 전류를 결정한다.직접 작도

짧은 베이스가 왜 이기는가

전류는 프로파일의 기울기가 정한다($J_n = qD_n\,d\Delta n/dx$). 위 해의 $x = 0$에서의 기울기를 보면 두 극한이 갈린다.

$$\left.\frac{d\Delta n}{dx}\right|_{0} = -\frac{\Delta n(0)}{L_n}\coth\frac{W}{L_n} \;\longrightarrow\; \begin{cases} -\dfrac{\Delta n(0)}{L_n}, & W \gg L_n \\[8pt] -\dfrac{\Delta n(0)}{W}, & W \ll L_n \end{cases}$$

두께가 두꺼우면 전류가 $1/L_n$에 묶이고, 얇으면 $1/W$에 묶인다. 뒤쪽에서는 $W$를 줄이는 만큼 전류가 그대로 커진다 — 재료를 바꾸지 않고 기하로 성능을 사는 것이고, 이것이 BJT의 베이스를 얇게 만드는 이유다. 베이스 통과 시간도 같은 식에서 나온다.

$$\tau_B = \frac{W^2}{2D_n}$$

$W$의 제곱에 비례하므로 베이스를 절반으로 줄이면 통과 시간이 4분의 1이 되고, 차단 주파수 $f_T \sim 1/(2\pi\tau_B)$가 네 배가 된다. 확산이 $\ell^2/D$로 간다는 앞의 어림이 소자 성능 지표에 그대로 나타난 자리다.

주의

$W \ll L_n$일 때 프로파일이 직선이 되는 것을 “재결합이 없다”로 읽으면 반쯤만 맞다. 정확히는 직선이 아니라 아주 완만한 쌍곡사인이고, 직선에서 벗어난 그 작은 굽이가 곧 베이스에서 재결합한 캐리어의 몫이다. 그 몫이 BJT의 베이스 전류를 만들고 전류 이득의 상한을 정한다 — $\beta \sim 2L_n^2/W^2$가 여기서 나온다. “거의 직선”의 ‘거의’가 성능 지표 하나를 통째로 결정한다.

항을 없애는 두 가지 치환

확산 방정식에 항이 더 붙어도 치환으로 표준형으로 되돌릴 수 있는 경우가 많다. 두 가지가 특히 자주 쓰인다.

① 균일한 감쇠는 지수 인자로 뽑아낸다. $u_t = Du_{xx} - u/\tau$에서

$$u(x,t) = e^{-t/\tau}\,w(x,t)$$

로 놓으면 $w$가 순수한 확산 방정식 $w_t = Dw_{xx}$를 만족한다. 대입해 보면 $e^{-t/\tau}$가 양변에서 소거되고 감쇠항이 정확히 지워진다. 재결합은 프로파일의 모양을 바꾸지 않고 전체를 균일하게 깎을 뿐이라는 말이고, 그래서 8절의 급수 해에 $e^{-t/\tau}$를 곱하기만 하면 재결합이 있는 문제의 답이 된다.

② 균일한 드리프트는 좌표를 함께 달리게 해서 지운다. 드리프트 속도를 $v_d$라 하면 $u_t + v_d\,u_x = Du_{xx}$에서

$$\xi = x - v_d t$$

로 옮겨 타면 $u_t + v_d u_x$가 새 좌표의 시간 미분 하나가 되어 $u_t = Du_{\xi\xi}$가 된다. 2절의 특성 방향으로 좌표를 잡은 것과 같은 일이다. 드리프트는 프로파일을 통째로 옮기기만 하고, 퍼지는 것은 확산이 한다 — 이류-확산 문제를 두 조각으로 갈라 읽는 표준 방법이다.

같은 꼴, 허수 계수 — 슈뢰딩거 방정식

시간 미분이 1계이고 공간 미분이 2계인 방정식이 하나 더 있다. 퍼텐셜이 없는 슈뢰딩거 방정식이다(Boas §13.3, Arfken §9.1).

$$i\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi \qquad\Longleftrightarrow\qquad \Psi_t = \frac{i\hbar}{2m}\,\nabla^2\Psi$$

확산 방정식의 $D$ 자리에 순허수 $i\hbar/2m$이 들어앉은 꼴이다. 변수분리를 하면 공간 쪽은 확산과 똑같은 헬름홀츠 방정식 $\nabla^2\psi + k^2\psi = 0$이 되고($k^2 = 2mE/\hbar^2$), 시간 쪽만 달라진다.

$$T = e^{-k^2 D t} \quad(\text{확산}) \qquad\text{vs}\qquad T = e^{-iEt/\hbar} \quad(\text{슈뢰딩거})$$

직관

계수 하나가 허수로 바뀐 결과가 감쇠 대신 위상 회전이다. 확산에서 고차 모드는 $e^{-k^2Dt}$로 죽지만, 슈뢰딩거에서는 $|e^{-iEt/\hbar}| = 1$이라 어떤 모드도 죽지 않고 위상만 돈다. 그래서 파동함수는 확산처럼 매끄러워지지 않으며, 모드마다 다른 속도로 위상이 돌아 간섭 무늬가 시간에 따라 바뀐다. 9절의 분산 관계로 말하면 $\omega = \hbar k^2/2m$ — 실수이면서 $k^2$에 비례한다. 파동 방정식(실수, $k$에 비례)과 확산 방정식(허수, $k^2$)의 정확히 중간이고, 실수라서 진폭을 보존하고 $k^2$라서 파장마다 속도가 달라 파속이 퍼진다. 자유 전자 파속이 시간이 갈수록 넓어지는 것이 이 때문이다.

경계조건은 그대로 따라온다. 길이 $l$의 상자에 갇힌 입자는 $x = 0, l$에서 $\Psi = 0$이라 4절의 사인 모드 그대로이고, $k_n = n\pi/l$에서 에너지가 이산화된다(Boas §13.3 예 3).

$$E_n = \frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{n^2\pi^2}{l^2}$$

확산에서 감쇠율 $D(n\pi/l)^2$였던 그 양이 여기서는 에너지다. 양자 우물의 준위 간격이 $1/l^2$로 커지는 것, 3차원 상자에서 $E \propto \lambda^2/a^2 + \mu^2/b^2 + \nu^2/c^2$로 세 방향이 더해지는 것(Arfken 예 9.4.2)이 전부 8절의 $n^2$ 법칙의 얼굴이다. 이 방정식의 물리는 6부에서 세운다.

정상해와 과도해로 가르기

경계조건이 비제차면 변수분리가 막힌다(4절). 표준 처방은 정상해를 빼는 것이다. $u(0,t) = u_1$, $u(L,t) = u_2$인 문제에서

$$u(x,t) = \underbrace{u_\infty(x)}_{\text{정상해}} + \underbrace{v(x,t)}_{\text{과도해}}$$

로 두고 $u_\infty$를 $u_\infty'' = 0$과 두 경계값을 만족하는 함수 — 즉 두 점을 잇는 직선 — 로 잡으면, $v$는 같은 방정식을 만족하면서 경계조건이 제차가 된다.

$$u_\infty(x) = u_1 + (u_2 - u_1)\frac{x}{L}$$

그러면 $v$에 4절의 절차를 그대로 쓸 수 있고, 초기조건은 $v(x,0) = f(x) - u_\infty(x)$가 된다. 물리적으로도 자연스러운 분해다 — 결국 어디로 가는지를 먼저 구하고, 거기 도달하는 과정을 따로 푼다. Boas는 같은 분해를 반대 순서로 적는다(§13.3 예 1–2). 처음에 한쪽 끝이 0, 다른 끝이 100인 정상 상태의 판을 $t = 0$부터 양 끝을 0으로 두면, 초기조건이 직선 $u_0 = 100x/l$이고 해는

$$u = \frac{200}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\, e^{-(n\pi\alpha/l)^2 t}\sin\frac{n\pi x}{l}$$

이다. 마지막 온도가 0이 아닌 경우에는 최종 정상해 $u_f$를 더하고 $u_0 - u_f$를 전개한다 — 위의 $v(x,0) = f - u_\infty$와 같은 말이다. Kreyszig는 양 끝이 다른 온도로 유지되는 막대의 장시간 극한(§12.6 연습 8–9)과, 오래 두었다가 한쪽 끝 온도를 갑자기 바꾸는 문제(연습 10)로 같은 것을 묻는다.

생성항이 있으면 정상해가 포물선이 된다. 막대 안에서 일정한 비율 $H$로 열이 생기면 $u_t = \alpha u_{xx} + H$이고, 양 끝이 0일 때 정상해는 $u_\infty'' = -H/\alpha$를 두 번 적분한 $u_\infty = Hx(L - x)/2\alpha$다(Kreyszig §12.6 연습 16). 이것을 빼면 나머지가 다시 제차 문제다. 전류가 흐르는 배선의 줄 발열이 만드는 온도 분포가 이 포물선이고, 10절의 공핍 근사에서 전위가 포물선인 것과 같은 수학이다 — 상수 우변을 두 번 적분하면 2차식이 나온다.

확산은 매끄럽게 만든다

확산 방정식의 해에는 최대원리가 성립한다. 내부에 새 극값이 생기지 않고, 최댓값과 최솟값은 초기 시각이나 경계에서만 나타난다. 1.1.9퍼텐셜 이론의 조화함수 최대원리가 시간 축이 붙은 판본으로 확장된 것이다.

더 강한 성질도 있다. $t > 0$에서 해는 무한히 매끄럽다. 초기 조건이 계단처럼 불연속이어도 아주 짧은 시간만 지나면 해가 매끈한 함수가 된다. 8절의 급수 해에서 $e^{-D\lambda_n t}$가 고차 모드를 지수적으로 눌러 버리기 때문이다.

의문

이 성질이 좋은 소식이자 나쁜 소식이다.

좋은 쪽 — 수치해가 얌전하다. 초기 조건에 잡음이 섞여 있어도 몇 걸음만 지나면 사라지므로, 확산 문제의 수치해는 파동 문제보다 다루기 쉽다.

나쁜 쪽 — 1절에서 본 대로 정보가 지워지므로 되짚을 수 없다. 그리고 여기서 물리적으로 곤란한 결과가 하나 더 따라온다. 초기 조건이 한 점에 몰려 있어도 임의의 시각 $t > 0$에서 해가 모든 곳에서 0이 아니다(7절의 가우시안 해를 보면 명백하다). 신호가 무한한 속도로 전파된다는 뜻이고, 이는 물리적으로 틀렸다.

틀렸는데 왜 쓰는가. 그 “즉시 도달한 신호”의 크기가 $e^{-x^2/4Dt}$로 터무니없이 작아 실질적으로 0이기 때문이다. 확산 방정식은 산란이 충분히 잦아 입자가 무작위 걸음을 하는 상황을 기술하고, 그 상황에서 “유한한 최대 속도”는 이미 평균 속에 묻혀 버렸다.

근사가 깨지는 자리도 분명하다 — 소자 크기가 평균자유행로에 가까워지면(탄도 수송) 확산 방정식을 쓸 수 없고 볼츠만 수송 방정식으로 돌아가야 한다. 유한한 전파 속도를 넣어 고친 판본(카타네오 방정식, $\tau u_{tt} + u_t = \alpha u_{xx}$)도 있는데, 시간 미분이 2계가 되면서 쌍곡형으로 바뀐다. 확산과 파동을 가르는 것이 결국 항 하나라는 사실이 여기서 다시 확인된다. 이 이야기는 11부 고전계 수송과 20부 양자 수송 시뮬레이션에서 이어진다.

반무한 매질의 오차함수 해

길이 척도가 없는 문제

반무한 매질($x \ge 0$)에 표면 농도를 일정하게 유지하며 확산시키는 문제를 푼다.

$$C_t = D\,C_{xx},\qquad C(0,t) = C_s,\qquad C(x,0) = 0,\qquad C(\infty, t) = 0$$

이 문제에는 길이 척도가 하나도 없다. 구간의 길이도, 두께도, 주기도 없다. 그러면 6절의 관찰이 그대로 힘을 발휘한다 — 해가 의존할 수 있는 무차원 조합은 $x/\sqrt{Dt}$뿐이다. 관례적으로 2를 넣어

$$\eta = \frac{x}{2\sqrt{Dt}}$$

로 두고 $C = C_s\,F(\eta)$를 가정한다. 이런 해를 유사해(similarity solution)라 한다.

직관

유사해가 뜻하는 바를 그림으로 옮기면 이렇다. 어느 시각의 프로파일이든 가로축을 $\sqrt{Dt}$로 나누어 그리면 전부 같은 곡선 위에 겹친다. 시간이 하는 일은 프로파일을 옆으로 늘이는 것뿐이고, 모양은 바뀌지 않는다.

이것이 왜 강력한가. 편미분방정식이 상미분방정식으로 내려앉는다. 변수분리가 곱으로 가정해 변수를 지웠다면, 여기서는 두 변수를 무차원 조합 하나로 묶어 지운다. 조건도 셋이 둘로 줄어든다 — $x \to \infty$와 $t \to 0$이 둘 다 $\eta \to \infty$로 같은 조건이 되기 때문이다. 조건의 개수가 줄지 않으면 ODE로 내려갈 수 없으므로, 이 병합이 방법이 성립하는 근거이기도 하다.

차원해석이 해의 형태를 강제하는 이 수법은 이 장 밖에서도 계속 나온다 — 경계층 두께, 열침투 깊이, 스핀 코팅 막 두께가 전부 같은 논법으로 나온다.

오차함수가 나오는 자리

연쇄법칙으로 $C_t$와 $C_{xx}$를 $\eta$로 옮긴다. $\partial\eta/\partial t = -\eta/2t$, $\partial\eta/\partial x = 1/2\sqrt{Dt}$이므로

$$C_t = -\frac{\eta}{2t}C_s F', \qquad C_{xx} = \frac{C_s F''}{4Dt}$$

이고, 원 방정식에 넣으면 $t$와 $D$가 소거되어 ODE가 남는다.

$$F'' + 2\eta F' = 0$$

이것은 $F'$에 대한 1계 변수분리형이다. $(F')'/F' = -2\eta$를 적분하면 $F' = A e^{-\eta^2}$이고, 한 번 더 적분하면

$$F(\eta) = A\int_0^{\eta} e^{-\zeta^2}d\zeta + B$$

이다. 가우스 적분이 나온 것은 우연이 아니라 $F'' + 2\eta F' = 0$이라는 꼴의 필연이고, 이 적분에는 초등함수 표현이 없어 이름을 붙여 쓴다.

$$\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{z} e^{-\zeta^2}\,d\zeta, \qquad \operatorname{erfc}(z) = 1 - \operatorname{erf}(z)$$

$2/\sqrt{\pi}$는 $\operatorname{erf}(\infty) = 1$이 되도록 고른 규격화다. 성질 몇 개와 값 몇 개를 손에 들고 있으면 실무에는 충분하다.

$z$	0	0.5	1.0	1.5	2.0	3.0
$\operatorname{erf}(z)$	0	0.5205	0.8427	0.9661	0.9953	0.99998
$\operatorname{erfc}(z)$	1	0.4795	0.1573	0.0339	0.0047	$2.2\times10^{-5}$

• 홀함수다 — $\operatorname{erf}(-z) = -\operatorname{erf}(z)$.
• 원점 근처에서 $\operatorname{erf}(z) \approx 2z/\sqrt{\pi}$로 선형이다.
• 큰 $z$에서 $\operatorname{erfc}(z) \approx e^{-z^2}/(z\sqrt{\pi})$로 가우시안처럼 급격히 죽는다.
• 정규분포의 누적분포함수가 $\Phi(x) = \tfrac12 + \tfrac12\operatorname{erf}(x/\sqrt2)$다(Kreyszig §12.7 연습 15). 확률에서 만나는 그 함수가 이것이고, 1.11에서 다시 본다.

성질과 급수 전개는 1.5.10오차함수와 불완전 감마함수에서 정리한다. Arfken은 같은 유사해를 조금 다른 문제로 얻는다(§9.7 식 (9.105)–(9.108)). 무한 매질에서 $x > 0$은 $+1$, $x < 0$은 $-1$인 초기조건 — 두 반무한 매질을 맞붙인 것 — 을 $\psi = u(x/\sqrt{t})$로 놓으면 같은 ODE $2a^2u'' + \xi u' = 0$이 나오고, $u(\pm\infty) = \pm1$에서 $\psi = \operatorname{erf}(x/2a\sqrt{t})$다. 위의 erfc 해는 이것을 $x \ge 0$으로 잘라 1에서 뺀 것이고, 접합면 $x = 0$의 값이 언제나 정확히 0(erfc 판에서는 $C_s$)인 것이 반무한 문제의 디리클레 조건과 맞아떨어지는 이유다. 같은 재료 두 덩이를 맞대었을 때 접촉면 온도가 곧바로 중간값에 고정되는 것 — 뜨거운 웨이퍼를 척에 올렸을 때 계면 온도가 곧 정해지는 것 — 이 이 해의 물리다.

무한 소스 — 표면 농도를 고정할 때

조건 $F(0) = 1$, $F(\infty) = 0$을 넣어 $A$와 $B$를 정하면 답이 나온다.

$$C(x,t) = C_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

공정에서 프리디포지션(predeposition)에 해당한다 — 도판트 소스를 계속 대고 있어 표면 농도가 고체 용해도로 고정되는 단계다. 웨이퍼 안에 들어간 총량(도즈)은 적분하면 나온다.

$$Q(t) = \int_0^{\infty} C\,dx = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,C_s\sqrt{Dt}$$

도즈가 시간의 제곱근으로 는다. 표면 농도가 고정이므로 들어가는 속도는 표면 기울기가 정하는데, 그 기울기가 $1/\sqrt{Dt}$로 완만해지기 때문이다.

한정 소스 — 도즈를 고정할 때

소스를 떼고 얇게 얹힌 도즈 $Q$만 안으로 밀어 넣는 단계가 드라이브인(drive-in)이다. 조건이 바뀐다 — 표면 선속이 0(노이만)이고 총량이 보존된다. 답은 가우시안이다.

$$C(x,t) = \frac{Q}{\sqrt{\pi D t}}\;e^{-x^2/4Dt}$$

검산 둘로 확인해 둔다. 방정식에 대입하면 만족하고, $\int_0^\infty C\,dx = Q$가 시간에 무관하다. 표면 농도는

$$C_s(t) = \frac{Q}{\sqrt{\pi D t}}$$

로 시간의 제곱근에 반비례해 준다. 같은 양이 넓게 퍼지니 얕아지는 것이다.

그림 1.7-6. 같은 확산 방정식이 경계조건에 따라 두 얼굴을 한다. 왼쪽은 표면 농도를 고정한 경우로, 표면 값은 그대로이고 꼬리만 깊이 방향으로 자라며 총 도즈가 √t로 늘어난다. 오른쪽은 도즈를 고정한 경우로, 봉우리가 낮아지면서 넓어진다. 어느 쪽이든 프로파일이 자라는 깊이 척도는 √(Dt) 하나다.직접 작도

두 해가 한 쌍이라는 것도 짚어 둘 만하다. erfc 해를 $x$로 미분하면 가우시안이 나온다 — $\partial(\operatorname{erfc})/\partial x \propto e^{-x^2/4Dt}$. 확산 방정식이 선형이고 계수가 $x$에 의존하지 않으므로 해의 도함수도 해이기 때문이다. 두 표준 프로파일이 별개의 물건이 아니라 한 물건의 두 층위다. Arfken은 이 ‘미분해서 새 해 만들기’를 방법으로 세운다(§9.7 식 (9.109)–(9.110)). $\operatorname{erf}$ 해를 $x$로 미분하면 가우시안 $\psi_1 \propto t^{-1/2}e^{-x^2/4Dt}$, 한 번 더 미분하면 $\psi_2 \propto x\,t^{-3/2}e^{-x^2/4Dt}$가 나오고, 셋 다 해다. 단서가 하나 붙는다 — 계수가 $x$나 $t$에 의존하면 이 방법은 통하지 않는다. 미분과 방정식이 교환되어야 하기 때문이다. $\psi_2$는 12절의 변환쌍 표에서 ‘확산 충격 응답’으로 다시 만난다.

상자 소스 — 두 오차함수의 차

세 책이 다 푸는 표준 예가 하나 더 있다. 무한 매질에서 $|x| < w$에만 $u = 1$이고 밖은 0인 상자 초기조건이다(Kreyszig §12.7 예 1, Arfken 예 9.7.2). 상자를 계단 두 개의 차 $H(x + w) - H(x - w)$로 보면 답이 곧바로 나온다 — 계단의 해가 $\tfrac12[1 + \operatorname{erf}]$이므로

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ \operatorname{erf}\frac{x + w}{2\sqrt{Dt}} - \operatorname{erf}\frac{x - w}{2\sqrt{Dt}} \right]$$

이다. 겹침 원리를 계단 둘에 쓴 것뿐이고, Kreyszig는 같은 것을 적분 $\frac{U_0}{\sqrt\pi}\int_{(-w-x)/2\sqrt{Dt}}^{(w-x)/2\sqrt{Dt}} e^{-z^2}dz$로 적는다(§12.7 식 (13)).

그림 1.7-7. 폭 2w의 상자 초기 분포가 퍼지는 네 시각. 초기 상자는 점선이다. 시간이 가면 가장자리가 옆으로 번지고 모서리가 둥글어지지만, 확산 길이가 폭보다 훨씬 짧은 동안 상자 가장자리 x = ±w의 값은 플래토의 정확히 절반에 머문다. 확산 길이가 폭에 견줄 만해지면 플래토가 무너지고 전체가 가우시안으로 간다.직접 작도

직관

그림에서 읽을 것이 둘이다. ① 가장자리 값은 절반이다. $x = w$를 넣으면 둘째 erf가 0이라 $u = \tfrac12\operatorname{erf}(w/\sqrt{Dt})$이고, $\sqrt{Dt} \ll w$인 동안 정확히 $\tfrac12$이다. 마스크 창을 통해 주입·확산한 도판트는 창 가장자리 바로 아래에서 농도가 창 안쪽의 절반이라는 뜻이고, 옆으로 번지는 거리는 깊이 방향과 같은 $\sqrt{Dt}$다. 확산으로 만든 접합의 가로 폭이 마스크 창보다 접합 깊이의 0.75~0.85배쯤 넓어지는 것이 이 식에서 나온다. ② 플래토가 무너지는 시각은 $Dt \sim w^2$이다. 그 뒤로는 두 erf가 겹쳐 가우시안이 되고, 총량 $2w$를 가진 앞의 한정 소스 해와 같아진다 — 폭이 있는 소스와 점 소스는 멀리서 구분되지 않는다.

Kreyszig가 같은 예를 푸리에 변환과 합성곱으로 두 번 더 푸는데(§12.7 예 2–3), 그 길은 9절에서 간다.

접합 깊이와 열예산

확산으로 만든 층이 기판과 만나 접합을 이루는 깊이 $x_j$는 농도가 기판 농도 $N_B$와 같아지는 자리다.

$$C(x_j, t) = N_B$$

두 프로파일 각각에 대해 풀면 다음이 나온다.

$$x_j = 2\sqrt{Dt}\;\operatorname{erfc}^{-1}\!\left(\frac{N_B}{C_s}\right) \quad(\text{무한 소스})$$ $$x_j = 2\sqrt{Dt}\;\sqrt{\ln\frac{C_s(t)}{N_B}} \quad(\text{한정 소스})$$

직관

두 식의 공통 인자가 요점이다. $x_j \propto \sqrt{Dt}$이고, 농도비는 로그나 역함수 안에 들어가 훨씬 둔하게 작용한다. 그래서 공정에서 접합 깊이를 조절하는 손잡이는 사실상 $Dt$ 하나뿐이고, 이 곱을 열예산(thermal budget)이라 부른다.

두 손잡이가 곱으로만 들어가므로 $D$와 $t$는 열예산 안에서 대등하다 — $Dt$만 같으면 결과가 같다. 대등하지 않은 것은 두 손잡이를 돌리는 난이도다. 확산계수가 온도의 지수함수이기 때문이다.

$$D(T) = D_0\,e^{-E_a/k_B T}$$

실리콘 속 붕소·인의 활성화 에너지가 $E_a \approx 3.5$ eV 규모다. 1000 °C에서 50 °C를 올리면 — 절대온도로는 4 %에 불과한데 — $D$가 3.3배가 되고, 시간으로 같은 일을 하려면 어닐을 3.3배 길게 해야 한다. 온도의 작은 오차가 시간의 큰 오차와 맞먹는다는 것이 이 지수의 뜻이고, 확산로의 온도 균일도가 공정 관리의 첫 항목인 이유다.

온도 이력이 일정하지 않으면 $Dt$를 적분으로 바꿔 누적한다.

$$(Dt)_{\text{유효}} = \int D\big(T(t)\big)\,dt$$

램프업·램프다운 구간까지 포함해 이 적분을 세는 것이 열예산 관리의 실체다. 급속 열처리(RTA)가 짧고 뜨겁게 가는 쪽을 택하는 것도 이 적분을 줄이려는 것이다. 공정 조건과 결함 매개 확산의 실제는 18부에서 다룬다.

주의

실제 도판트 확산은 이 두 프로파일을 그대로 따르지 않는다. erfc·가우시안 해는 $D$가 상수라는 가정 위에 서 있는데, 실리콘에서 그 가정이 깨지는 경로가 최소한 넷이다.

• 농도 의존성 — 고농도에서 $D$가 농도에 의존한다. 방정식이 준선형이 되고 프로파일이 상자 모양으로 각진다.
• 결함 매개 — 도판트는 혼자 움직이지 않고 격자 사이 원자·빈자리와 짝을 이뤄 움직인다. 주입 손상이 남긴 과잉 결함이 확산을 한동안 수십 배 빠르게 만드는 것이 과도 증속 확산(TED)이다.
• 전기장 효과 — 이온화한 도판트가 만든 내부 전기장이 드리프트 항을 더한다. 최대 두 배까지 빨라진다.
• 경계면 — 산화막·계면이 도판트를 빨아들이거나(segregation) 밀어낸다.

그래도 이 절의 해가 쓸모없어지지는 않는다. 1차 근사이자 눈금으로 쓴다 — 실측 프로파일을 $\sqrt{Dt}$로 규격화해 보고 벗어나는 방향으로 어떤 기구가 작동했는지를 읽는 식이다. 정량은 공정 시뮬레이터가 하고, 그 시뮬레이터가 푸는 방정식이 여전히 이 절의 방정식에 항을 더한 것이다.

반무한 열전도와 이미지법

같은 해가 열 쪽에서도 그대로 쓰인다. 표면 온도를 갑자기 $T_s$로 올리면

$$T(x,t) = T_s\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$

이고, 열침투 깊이가 $\sim 2\sqrt{\alpha t}$다. 레이저 어닐이 표면 수백 나노미터만 녹이고 아래를 건드리지 않을 수 있는 것이 이 식 때문이다 — 펄스 폭을 나노초로 줄이면 $\sqrt{\alpha t}$가 그만큼 얕아진다. 반대로 소자의 자기발열이 패키지까지 도달하는 시간도 같은 식으로 어림한다.

절연 경계가 있는 유한 매질은 이미지법으로 반무한 문제로 되돌린다. $x = 0$에서 $u_x = 0$(단열)이면 초기 조건을 $x = 0$에 대해 짝함수로 확장한다. 짝함수의 도함수는 원점에서 0이므로 경계조건이 저절로 만족되고, 남는 것은 무한 영역 문제다. 디리클레 경계($u = 0$)면 홀함수 확장이다. 두 경계가 있으면 반사가 되풀이돼 상(image)이 무한히 늘어서는데, 그 무한합이 8절의 푸리에 급수 해와 같은 답을 준다. 상을 세는 방식과 모드를 세는 방식이 같은 물건의 두 표현인 셈이고, 이 대응을 일반화한 것이 1.8의 그린 함수다.

유한 매질의 푸리에 급수 해

문제와 답

4절에서 절차를 세웠으니 여기서는 끝까지 밀고 나간다.

$$u_t = D u_{xx},\qquad u(0,t) = u(L,t) = 0,\qquad u(x,0) = f(x)$$

고유값 문제에서 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$, $X_n = \sin(n\pi x/L)$을 얻었고, 시간 쪽은 $T_n' = -D\lambda_n T_n$이라 $T_n = e^{-D\lambda_n t}$다. 겹치면

$$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\; \exp\!\left[-D\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{\!2} t\right]$$

이고, 남은 것은 $b_n$을 초기조건으로 정하는 일이다.

계수는 직교성이 뽑는다

$t = 0$에서 $\sum b_n \sin(n\pi x/L) = f(x)$여야 한다. 양변에 $\sin(m\pi x/L)$을 곱해 적분하면 직교성 때문에 $n = m$ 항 하나만 살아남는다.

$$b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\,\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

직관

이 계산은 1.2.5벡터공간과 내적공간에서 정규직교기저에 사영해 좌표를 읽는 것과 같은 절차다. 유한 차원에서 $\mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{e}_i$의 계수를 $c_i = \langle \mathbf{e}_i, \mathbf{v}\rangle$로 읽었던 그 계산이, 내적을 $\int_0^L$로 바꾼 것뿐이다.

$$\langle g, h \rangle = \int_0^L g(x)\,h(x)\,dx$$

이 관점을 잡아 두면 이 장의 절반이 정리된다 — 고유함수는 기저이고, 계수를 구하는 것은 사영이며, 방정식을 푸는 것은 기저마다 따로 답을 아는 것이다. 1.3에서 행렬을 고유기저에서 대각으로 만들어 $n$개의 스칼라 문제로 흩뜨렸던 일이, 여기서는 PDE를 모드마다 하나씩의 ODE로 흩뜨리는 일이 된다. 차원이 무한해졌을 뿐 하는 일이 같다.

모드마다 다른 수명

지수 인자를 시간 상수로 다시 쓰면 이 절에서 얻을 것이 다 나온다.

$$u(x,t) = \sum_n b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-t/\tau_n}, \qquad \tau_n = \frac{L^2}{D\,n^2\pi^2}$$

그림 1.7-8. 왼쪽은 사인 모드 세 개의 모양이다. n이 커질수록 굽이가 잦아 곡률이 크고, 확산 방정식은 곡률에 비례해 값을 깎으므로 굽이가 잦은 모드가 더 빨리 사라진다. 오른쪽이 그 결과로, 감쇠율이 n의 제곱에 비례해 n=3 모드는 n=1 모드보다 아홉 배 빨리 죽는다. 충분한 시간이 지나면 언제나 기본 모드 하나만 남는다.직접 작도

감쇠율이 $n^2$에 비례한다는 것이 확산의 성격을 통째로 담고 있다.

• 고차 모드(잔주름)가 먼저 죽으므로 프로파일이 매끄러워진다(6절).
• 충분한 시간이 지나면 $n = 1$ 항만 남는다. 초기 조건이 무엇이었든 모양이 반파장 사인으로 수렴한다.
• 그러므로 실질적인 완화 시간은 기본 모드의 것이다.

$$\tau_1 = \frac{L^2}{\pi^2 D} \approx 0.101\,\frac{L^2}{D}$$

$L^2/D$라는 조합이 6절의 어림과 정확히 같다. 앞의 계수 $1/\pi^2$는 경계조건이 정하는 세부일 뿐이고, 차수는 언제나 $L^2/D$다. 숫자로 한 번 해 두면 감이 잡힌다(Kreyszig §12.6 예 1–2). 길이 80 cm 구리 막대($\alpha = K/\sigma\rho = 0.95/(0.092 \times 8.92) = 1.158$ cm²/s)의 초기 온도가 $100\sin(\pi x/80)$이면 첫 모드 하나뿐이라 $u = 100\sin(\pi x/80)\,e^{-0.001785\,t}$이고, 최고 온도가 절반이 되기까지 $\ln 2/0.001785 \approx 388$ s, 약 6.5분이다. 초기 온도가 $100\sin(3\pi x/80)$이면 감쇠율이 $9 \times 0.001785 = 0.01607$이라 43초다. 삼각형 초기 온도(예 3)처럼 여러 모드가 섞인 경우 $t = 0.5$쯤이면 곡선이 이미 사인 하나처럼 보인다 — 첫 항이 실질적으로 전부라는 것을 Kreyszig의 그림 295가 보여 준다.

직관

왜 $n^2$인가를 식이 아니라 그림으로 잡아 두면 오래 남는다. 확산 방정식은 $u_t = Du_{xx}$이므로 변화 속도가 곡률에 비례한다. 사인 모드의 곡률은 $-(n\pi/L)^2\sin(n\pi x/L)$이라 진폭에 비례하고, 비례상수가 $n^2$이다. 굽이가 잦은 모양일수록 이웃과의 차이가 커서 빨리 평평해진다.

파라미터가 얽히는 방식도 여기서 읽는다. $L$을 두 배로 하면 완화가 네 배 느려지고, $D$를 두 배로 하면 두 배 빨라진다. 6절의 베이스 통과 시간 $\tau_B = W^2/2D_n$이 이 스케일링의 소자 판본이고, $f_T$가 베이스 폭의 제곱에 반비례하는 것도 같은 이유다.

다른 경계조건이 낳는 다른 급수

경계조건을 바꾸면 고유함수가 바뀌고 급수의 종류가 바뀐다.

경계조건	고유값	고유함수	특징
$u(0)=u(L)=0$	$(n\pi/L)^2$, $n\ge1$	$\sin(n\pi x/L)$	사인 급수
$u_x(0)=u_x(L)=0$	$(n\pi/L)^2$, $n\ge0$	$\cos(n\pi x/L)$	$n=0$이 산다
$u(0)=0,\ u_x(L)=0$	$\big((2n{-}1)\pi/2L\big)^2$	$\sin\big((2n{-}1)\pi x/2L\big)$	반홀수 배
로빈	$\tan(pL) = -pD/S$의 근	$\sin(p_n x)$	닫힌 꼴이 없다

두 번째 줄의 $n = 0$이 물리적으로 중요하다. 노이만 조건은 양 끝이 막힌 것이므로 총량이 보존되고, $\lambda_0 = 0$인 상수 모드가 죽지 않고 남아 최종 상태가 된다.

$$u(x,\infty) = \frac{1}{L}\int_0^L f(x)\,dx$$

디리클레 조건에서는 모든 모드가 죽어 0으로 가는데, 노이만에서는 평균값으로 간다. Kreyszig는 이것을 “분리 상수가 0일 수 있고 0이 고유값일 수 있다는 놀라운 사실”이라 적고, 삼각형 초기 온도로 $u \to L/4$(초기 온도의 평균)를 확인한다(§12.6 예 4–5). Boas는 ”$k = 0$ 항을 잊지 말 것”을 연습 문제마다 경고한다(§13.2 연습 14, §13.3 연습 7) — 사인 급수에 익숙해진 손이 코사인 급수에서 상수항을 빠뜨리는 실수가 그만큼 흔하다. 보존 법칙이 0 고유값으로 나타난다는 것은 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식에서 삼원자 분자의 0 고유값이 병진 자유도였던 것과 같은 이야기다.

네 번째 줄이 실무에서 자주 걸린다. 표면 재결합이 있는 층의 고유값은 초월방정식의 근이라 표나 수치해로만 얻을 수 있다. 경계조건 하나가 문제를 해석적으로 닫히지 않게 만든다 — 물리적으로 어렵지 않은 조건인데도 그렇다.

수렴과 매끄러움

초기 조건이 불연속이면 급수는 $t = 0$에서 깁스 현상을 보인다 — 불연속 근처에서 부분합이 약 9% 넘쳐 오른다. 그러나 $t > 0$이면 사정이 완전히 달라진다. $e^{-D\lambda_n t}$의 지수가 $n^2$에 비례하므로 항이 $n$의 어떤 거듭제곱보다도 빠르게 죽고, 급수가 항별로 몇 번을 미분해도 균등수렴한다. 6절에서 말한 “$t > 0$에서 무한히 매끄럽다”의 정확한 내용이 이것이다. Arfken은 같은 것을 구체적인 급수에서 확인한다(예 9.7.1). $|x| < 1$에서 1이고 양 끝이 0으로 유지되는 막대의 해는 짝수 대칭이라 $\cos[(2m+1)\pi x/2]$만 남고 계수가 $4(-1)^m/(2m+1)\pi$인데, 이 급수는 $t > 0$에서 절대수렴하지만 $t = 0$에서는 조건수렴한다 — 초기 불연속의 흔적이 계수의 $1/n$ 감쇠로 남고, 지수 인자가 그것을 즉시 덮는다.

파동 방정식에서는 이 인자가 없다. 계수가 $\cos(n\pi ct/L)$로 진동만 하므로 초기 불연속이 사라지지 않고 계속 실려 다닌다 — 3절의 표에서 “불연속이 살아남는다”고 적은 것의 급수 판본이다. 푸리에 급수의 수렴은 1.10에서 제대로 다룬다.

푸리에 적분·변환에 의한 해

급수가 적분이 되는 곳

8절의 급수 해는 유한한 구간에서만 쓸 수 있었다. 구간을 무한히 늘이면 어떻게 되는가. 고유값 $\lambda_n = (n\pi/L)^2$의 간격이 $\Delta k = \pi/L \to 0$으로 촘촘해지고, 이산적인 파수 $k_n = n\pi/L$이 연속변수 $k$가 된다. 그러면 합이 적분이 된다.

$$\sum_n (\cdots)\,\Delta k \;\longrightarrow\; \int_0^{\infty} (\cdots)\,dk$$

푸리에 급수가 푸리에 적분으로 넘어가는 이 극한 자체는 1.10 적분변환의 몫이다. 여기서는 결과를 도구로 쓴다 — 무한 영역에서는 변환이 급수의 자리를 대신한다.

변환이 하는 일은 하나다

푸리에 변환을 이 장의 규약으로 적어 둔다.

$$\hat{u}(k,t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx$$

규약이 책마다 갈리는 자리라 못박아 둔다. 이 백과는 정변환 앞에 상수를 두지 않고 역변환에 $1/2\pi$를 몰아 준다. Kreyszig는 정변환·역변환에 $1/\sqrt{2\pi}$씩 대칭으로 나누고 변환 변수를 $w$로 적는다(§11.9, §12.7 예 2). 상수가 어디 붙든 아래의 ‘미분이 곱셈이 된다’는 변하지 않지만, 합성곱 정리의 앞 인자는 규약에 따라 $1$, $\sqrt{2\pi}$, $2\pi$로 달라지므로 열핵의 규격화를 옮겨 적을 때 확인해야 한다.

부분적분 두 번이면 이 변환이 왜 유용한지가 나온다. $u$와 $u_x$가 무한대에서 0으로 가면

$$\widehat{u_x} = ik\,\hat{u}, \qquad \widehat{u_{xx}} = -k^2\,\hat{u}$$

미분이 곱셈이 된다. 이 한 줄이 변환법 전체다. 확산 방정식에 적용하면 $x$가 사라지고 $k$가 매개변수로 남는다.

$$\frac{\partial \hat{u}}{\partial t} = -Dk^2\,\hat{u} \;\Longrightarrow\; \hat{u}(k,t) = \hat{f}(k)\,e^{-Dk^2 t}$$

PDE가 $k$마다 하나씩의 1계 ODE로 흩어졌고, 그 답이 곧바로 나왔다. Kreyszig는 변환을 쓰기 전에 푸리에 적분으로 한 번 더 간다(§12.7). 곱 해 $(A\cos px + B\sin px)e^{-Dp^2t}$의 $p$를 연속으로 두고 $\int_0^\infty dp$로 겹친 뒤 초기조건을 푸리에 적분으로 맞추면, 8절의 급수가 그대로 적분이 된 꼴이다. 적분 순서를 바꾸고 $\int_0^\infty e^{-s^2}\cos 2bs\,ds = \tfrac{\sqrt\pi}{2}e^{-b^2}$을 쓰면 아래의 열핵 합성곱이 나온다(식 (9)–(11)). 세 길 — 적분·변환·합성곱(예 1–3) — 이 같은 식에 이르는 것을 그가 세 번 보여 주는 것은, 어느 길이 편한지는 문제가 정하기 때문이다.

그림 1.7-9. 변환법은 우회로다. 왼쪽 위의 편미분방정식을 곧장 푸는 길은 대개 막혀 있지만, 변환하면 미분이 곱셈이 되어 오른쪽 위의 상미분방정식이 되고, 그것을 풀어 역변환하면 원래의 해가 돌아온다. 어느 변수를 지울지는 영역이 정한다 — 무한 공간이면 푸리에, t ≥ 0이면 라플라스다.직접 작도

열핵 — 가우시안과의 합성곱

역변환할 때 합성곱 정리를 쓴다. 곱의 역변환은 합성곱이고, $e^{-Dk^2t}$의 역변환은 가우시안이므로

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} \int_{-\infty}^{\infty} f(\zeta)\,e^{-(x-\zeta)^2/4Dt}\,d\zeta$$

가 된다. 앞의 인자를 포함한 가우시안을 열핵(heat kernel)이라 한다.

$$K(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\,e^{-x^2/4Dt}$$

직관

$K$가 무엇인지는 $f = \delta(x)$를 넣어 보면 안다 — 그러면 $u = K$다. 즉 열핵은 한 점에 몰아넣은 초기 조건이 시간이 지나 퍼진 모습이고, 7절의 한정 소스 가우시안 해가 정확히 이것이다.

그러면 위의 합성곱 공식은 이렇게 읽힌다. 초기 분포를 점들로 쪼개고, 각 점이 따로 퍼진 것을 전부 더한다. 겹침 원리를 연속적으로 쓴 것이고, 그래서 $K$는 확산 방정식의 그린 함수다 — “한 점 자극에 대한 응답을 알면 임의의 자극에 대한 응답은 적분으로 나온다”는 구조가 여기서 처음 온전한 꼴로 나타난다. 이 관점의 일반론이 1.8이다.

$K$의 성질 셋이 확산의 성격을 그대로 말한다. 넓이가 언제나 1이고(총량 보존), 폭이 $\sigma = \sqrt{2Dt}$로 자라며, 높이가 $1/\sqrt{4\pi Dt}$로 준다.

합성곱을 $z = (\zeta - x)/2\sqrt{Dt}$로 치환하면 읽기 좋은 꼴이 하나 더 나온다(Kreyszig 식 (12), Arfken 식 (9.114)).

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f\big(x + 2z\sqrt{Dt}\big)\,e^{-z^2}\,dz$$

초기 분포를 가우시안 무게로 평균 낸 것이 해다. 평균을 내는 창의 폭이 $2\sqrt{Dt}$로 자라고, $t \to 0$이면 창이 닫혀 $f(x)$ 자신이 된다 — 초기조건이 저절로 만족된다는 것이 이 꼴에서는 한눈에 보인다. Arfken은 이 식을 ‘특수해 $\psi_1$을 $\alpha$만큼 평행이동한 것을 무게 $C(\alpha)$로 적분해도 해’라는 관찰에서 얻고, $t = 0$을 넣어 $C = \psi_0$임을 확인한다(식 (9.111)–(9.114)). 상수 계수 방정식에서 평행이동과 겹침이 새 해를 만드는 두 도구라는 것이 그의 요점이다.

차원이 올라가면 열핵의 높이만 달라진다. 구대칭 3차원 확산은 $u = v/r$로 놓으면 $v$가 1차원 방정식을 만족하므로(Arfken 식 (9.117)–(9.118), Kreyszig §12.11 연습 14) 점 소스의 해가 $u \propto t^{-3/2}e^{-r^2/4Dt}$다 — 폭은 여전히 $\sqrt{Dt}$지만 높이가 $t^{-1/2}$ 대신 $t^{-3/2}$로 준다(일반적으로 $d$차원이면 $t^{-d/2}$). 그래서 원점에서 거리 $r$인 점의 온도는 0에서 올라갔다가 다시 내려오고, 최고점이 $t_{\max} = r^2/6D$에 온다(Arfken 예 9.7.3). 한 점에서 순간적으로 풀린 열이 거리 $r$에 ‘도착하는’ 시각이 이것이고, 핫스폿의 과도 열 응답을 어림할 때 쓰는 식이다.

가우시안끼리 겹치면 분산이 더해진다

열핵이 가우시안이라는 사실에서 실무적으로 가장 쓸모 있는 결과가 하나 따라온다. 가우시안과 가우시안의 합성곱은 가우시안이고, 분산이 더해진다.

$$\sigma_{\text{합}}^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2$$

이온 주입 직후의 프로파일은 대략 가우시안이다 — 투영 비정 $R_p$를 중심으로 표준편차 $\Delta R_p$로 퍼져 있다. 여기에 어닐을 하면 열핵과 합성곱되므로, 어닐 후 프로파일은 여전히 가우시안이고 폭만 넓어진다.

$$C(x) = \frac{Q}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left[-\frac{(x-R_p)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad \sigma = \sqrt{\Delta R_p^2 + 2Dt}$$

주입의 산포와 확산의 퍼짐이 제곱합으로 합쳐진다. 그래서 $2Dt \ll \Delta R_p^2$인 어닐은 프로파일을 사실상 건드리지 않고, 얕은 접합 공정이 노리는 것이 정확히 그 영역이다. 두 항의 크기를 비교하는 것만으로 “이 열처리가 프로파일을 망치는가”를 판단할 수 있다.

어느 변환을 쓸 것인가 — 경계조건이 고른다

무한 영역이면 보통의 푸리에 변환을 쓰지만, 반무한 영역($x \ge 0$)에서는 사인 변환과 코사인 변환이 갈린다. 갈리는 기준은 취향이 아니라 부분적분이 무엇을 데이터로 요구하는가이다.

$$\int_0^\infty u_{xx}\sin kx\,dx = -k^2\hat{u}_s + k\,u(0,t)$$ $$\int_0^\infty u_{xx}\cos kx\,dx = -k^2\hat{u}_c - u_x(0,t)$$

사인 변환은 $u(0,t)$를 요구하고 코사인 변환은 $u_x(0,t)$를 요구한다. 그러므로

• 디리클레 경계 → 사인 변환. 아는 값이 마침 필요한 값이다.
• 노이만 경계 → 코사인 변환.

가진 조건과 다른 변환을 고르면 모르는 양이 식에 남아 진행되지 않는다. 이 규칙은 7절의 이미지법과 같은 이야기이기도 하다 — 사인 변환은 홀함수 확장, 코사인 변환은 짝함수 확장에 대응한다. 같은 규칙이 시간이 없는 문제에도 걸린다. Boas의 예(§13.9 예 2)는 1사분면을 덮은 판의 정상 온도다 — $y$축 위는 0, $x$축 위는 $0 < x < 1$에서 100, 그 밖은 0. 10절의 사각 영역과 같은 $e^{-ky}\sin kx$가 기저인데, $x$ 방향에 두 번째 경계가 없어 $k$를 이산화할 조건이 없다. 그래서 급수 대신 적분 $u = \int_0^\infty B(k)\,e^{-ky}\sin kx\,dk$를 놓고, $y = 0$의 조건이 곧 사인 변환이라 $B(k) = \frac{2}{\pi}\int_0^\infty u(x,0)\sin kx\,dx = \frac{200}{\pi k}(1 - \cos k)$다. 결과는 닫힌 꼴로 적분된다(식 (9.14)).

$$u(x,y) = \frac{200}{\pi}\left[\arctan\frac{x}{y} - \frac12\arctan\frac{x+1}{y} - \frac12\arctan\frac{x-1}{y}\right]$$

경계가 하나 빠지면 급수가 적분이 되고, 조건이 값이면 사인·기울기면 코사인이라는 것(Boas 연습 9.2)이 여기서도 그대로다. 경계의 유한한 조각 하나가 만드는 전위가 멀리서 $\arctan$의 차, 곧 각도로 보인다는 것도 덤으로 얻는다 — 2차원 라플라스 해가 각도 함수라는 1.9의 복소해석 관점이 예고된 셈이다.

분산 관계 — 세 유형을 한 줄로 가르기

변환의 관점이 주는 가장 깔끔한 정리를 마지막에 놓는다. 평면파 $u = e^{i(kx-\omega t)}$를 각 방정식에 넣고 $\omega$와 $k$의 관계를 읽는다.

방정식	분산 관계	읽는 법
$u_{tt} = c^2u_{xx}$	$\omega = \pm ck$	실수 · $k$에 비례
$u_t = Du_{xx}$	$\omega = -iDk^2$	순허수 · $k^2$에 비례
$u_{xx} + u_{yy} = 0$	$k_y = \pm i k_x$	한 방향의 파수가 허수

직관

표 한 장에 3절의 분류가 다시 들어 있다.

쌍곡형 — $\omega$가 실수이므로 진폭이 줄지 않고 위상만 돈다. 게다가 $\omega/k = c$가 $k$에 무관해서 모든 파장이 같은 속도로 간다. 그래서 파형이 흩어지지 않고 모양을 지킨 채 이동한다(5절).

포물형 — $\omega$가 순허수라 $e^{-i\omega t} = e^{-Dk^2t}$로 감쇠만 한다. 이동이 없다. 감쇠율이 $k^2$이므로 짧은 파장이 먼저 죽고, 그 결과가 8절의 $n^2$ 법칙이자 6절의 매끄러워짐이다.

타원형 — 한 방향의 파수가 허수라는 것은 그 방향으로 $e^{-|k|y}$로 지수 감쇠한다는 뜻이다. 진동하는 방향과 감쇠하는 방향이 짝을 이루고, 감쇠 길이가 진동 파장에 반비례한다. 10절에서 경계의 잔주름이 안쪽으로 얼마나 스미는지가 이 관계에서 나온다.

세 유형의 차이가 결국 $\omega(k)$가 실수냐, 허수냐, $k$의 몇 제곱이냐로 정리된다. 방정식의 글자를 세는 것보다 이쪽이 기억하기 쉽고 응용도 넓다.

라플라스·푸아송 방정식

성질은 이미 알고 있다

라플라스 방정식의 성질 — 평균값 성질, 최대원리, 경계조건이 해를 유일하게 정한다는 사실, 그리고 비선형 푸아송 방정식에서도 유일성이 살아남는 이유 — 는 1.1.9퍼텐셜 이론에서 이미 세워 두었다. 이 절은 푸는 쪽이다.

시간이 없는 방정식이라 초기조건이 없고, 경계 전체에 조건이 걸린다. 그래서 해법이 유일하게 경계의 모양에 좌우된다 — 경계가 좌표면이면 변수분리가 되고, 아니면 수치해로 간다.

사각 영역의 디리클레 문제

$0 \le x \le a$, $0 \le y \le b$에서 세 변이 0이고 윗변에만 값이 걸린 문제를 푼다.

$$u_{xx} + u_{yy} = 0,\qquad u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=0,\qquad u(x,b)=f(x)$$

$u = X(x)Y(y)$로 갈라 놓으면

$$\frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda$$

이다. 부호가 두 방향에 반대로 배분되는 것이 4절과 결정적으로 다른 점이다. $x$ 방향은 양 끝이 0이라 4절과 같은 고유값 문제가 되어 $\lambda_n = (n\pi/a)^2$, $X_n = \sin(n\pi x/a)$를 준다. 그러면 $y$ 방향은 부호가 뒤집혀 $Y'' = \lambda_n Y$이고, 해가 삼각함수가 아니라 쌍곡함수다.

$$Y_n = \sinh\frac{n\pi y}{a}$$

($Y(0) = 0$ 조건이 $\cosh$를 지웠다.) 겹치고 윗변 조건으로 계수를 맞추면

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\frac{n\pi x}{a}\, \frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}$$ $$b_n = \frac{2}{a}\int_0^a f(x)\,\sin\frac{n\pi x}{a}\,dx$$

네 변이 모두 비제차면 문제를 네 개로 쪼개 각각 한 변만 살린 뒤 더한다 — 겹침 원리를 조건 쪽에 쓰는 것이다. Kreyszig는 이 해가 그대로 세 변을 접지하고 윗변에 $f(x)$를 건 사각 영역의 전위이자, 세 변을 고정하고 넷째 변을 $f(x)$만큼 들어올린 막의 변위라고 적는다(§12.6 ‘방법의 통합력’). 같은 방정식이면 같은 해이고, 열·전위·변위는 이름만 다르다. Boas는 폭 10 cm, 아래 변이 100°인 판으로 같은 것을 두 번 푼다(§13.2) — 위로 무한히 긴 판이면 $\sinh$가 $e^{-n\pi y/10}$으로 줄어

$$T = \frac{400}{\pi}\sum_{n\ \text{홀수}}\frac{1}{n}\,e^{-n\pi y/10}\sin\frac{n\pi x}{10} = \frac{200}{\pi}\arctan\frac{\sin(\pi x/10)}{\sinh(\pi y/10)}$$

이고(연습 2.6에서 급수를 닫은 꼴), 높이 30 cm로 자르면 $\sinh[n\pi(30 - y)/10]/\sinh 3n\pi$가 그 자리를 맡는다. 뒤의 것은 위 식에서 $y \to b - y$로 뒤집은 것일 뿐이다. 정사각형 판(10 cm)의 중심 온도가 정확히 25°인 것도 적어 둘 만하다(연습 2.10) — 네 변에 100°를 하나씩 걸어 더하면 중심이 100°여야 하므로 대칭으로 한 변당 25°다. 1.1.9퍼텐셜 이론의 평균값 성질이 급수를 더하지 않고도 답을 준 경우다.

어느 방향에 사인을 줄지는 제차 조건이 양쪽에 걸린 방향이 정한다(Boas §13.2 식 (2.18)). 위에서는 $x = 0$과 $x = a$가 둘 다 0이라 $x$에 사인, $y$에 쌍곡함수가 갔다. 100°인 변이 $y$축 위에 있으면 역할이 바뀌어 $\sin ky$와 $e^{\pm kx}$다. 어느 쪽이든 되는 것이 아니라, 두 제차 조건이 있는 방향만이 고유값 문제를 이룬다. 옆변이 절연이면 코사인에 $k = 0$의 해 $x$, $y$, $xy$, 상수가 따라붙고, 그중 $(30 - y)/6$ 같은 1차항이 실제로 필요한 경우가 있다(Boas 연습 2.15) — 8절의 ’$k = 0$ 항’이 2차원에서는 넷으로 는다.

그림 1.7-10. 왼쪽은 윗변에만 값이 걸린 사각 영역의 해를 등고선으로 그린 것이다. 등고선이 윗변 근처에 촘촘하고 아래로 내려갈수록 성겨진다 — 경계값이 안쪽으로 갈수록 옅어진다는 뜻이다. 오른쪽은 그 옅어짐을 파수별로 본 것으로, 경계 요철의 파수가 클수록 훨씬 얕은 깊이에서 사라진다.직접 작도

왜 한쪽은 진동하고 다른 쪽은 지수인가

직관

라플라스 방정식은 $u_{xx} = -u_{yy}$이므로, 한 방향에서 아래로 볼록하면 다른 방향에서는 반드시 위로 볼록하다. 두 방향의 곡률이 서로 상쇄해야 한다는 것이 이 방정식의 전부다. 그래서 한 방향이 진동(사인)이면 다른 방향은 반드시 지수(쌍곡함수)가 된다. 9절 표의 “한 방향의 파수가 허수”가 이것이다.

결과가 실무적으로 중요하다. $\sinh(n\pi y/a)/\sinh(n\pi b/a)$는 $y$가 경계에서 멀어질수록 대략 $e^{-n\pi(b-y)/a}$로 죽는데, 지수의 감쇠율에 $n$이 곱해져 있다.

$$\text{침투 깊이} \sim \frac{a}{n\pi} = \frac{\text{요철의 파장}}{2\pi}$$

경계값의 잔주름은 그 주름의 파장 정도만 안으로 스민다. 촘촘한 무늬일수록 얕게 죽는다.

이 한 줄이 반도체에서 걸리는 자리가 여럿이다.

• 게이트 가장자리의 프린징 전기장이 채널 안쪽으로 게이트 길이 규모만큼만 미친다. 게이트가 짧아지면 그 규모가 채널 전체와 견줄 만해지고, 그것이 단채널 효과의 기하학적 뿌리다.
• 표면 거칠기가 만드는 전위 요동은 파장이 짧을수록 얕게만 스민다. 그래서 아주 잔 거칠기는 채널 깊숙한 곳의 수송에 거의 영향을 주지 않는다.
• 패턴 밀도 효과의 영향 반경이 패턴 주기로 정해진다.

세 경우 모두 “얼마나 깊이 영향을 주는가”의 답이 원인의 크기 그 자체다. 라플라스 방정식이 주는 가장 실용적인 어림이다.

원판 — 극좌표와 다중극

경계가 원이면 극좌표로 간다. $u = R(\rho)\Phi(\phi)$로 갈라 놓으면

$$\frac{\rho^2 R'' + \rho R'}{R} = -\frac{\Phi''}{\Phi} = m^2$$

이고, $\Phi'' + m^2\Phi = 0$의 해 $e^{\pm im\phi}$가 한 바퀴 돌아 제자리로 와야 하므로 $m$이 정수여야 한다. 이 단일값 조건이 고유값을 이산화하는 것이 요점이다 — 직교좌표에서는 경계조건이 하던 일을 여기서는 위상의 주기성이 한다.

반경 쪽 $\rho^2R'' + \rho R' - m^2 R = 0$은 오일러-코시 방정식이라 거듭제곱 해를 갖는다.

$$R_m = A\rho^m + B\rho^{-m}\ (m \ge 1), \qquad R_0 = A + B\ln\rho$$

$m = 0$에서 로그가 나오는 것이 2차원의 특징이다. 3차원 점전하의 $1/r$에 해당하는 것이 2차원 선전하의 $\ln\rho$이고, 무한히 긴 도선 주위의 전위가 이 꼴이다.

속이 찬 원판에서는 원점에서 발산하는 $\rho^{-m}$과 $\ln\rho$를 버려야 한다. 물리적 유한성이 수학적으로 가능한 해의 절반을 걸러 낸다 — 11절에서 베셀 함수 $Y_m$을 버릴 때도 같은 논리다. 반지름 $a$인 원판에서 $u(a,\phi) = f(\phi)$면

$$u(\rho,\phi) = \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{\rho}{a}\right)^{\!m} \big(a_m\cos m\phi + b_m\sin m\phi\big)$$

이고, $\rho = 0$에서는 $m \ge 1$ 항이 전부 사라져 $u(0) = a_0/2$가 남는다. 그런데 $a_0/2$는 경계값의 평균이다 — 1.1.9퍼텐셜 이론의 평균값 성질이 급수에서 한 줄로 다시 나왔다.

여기서도 $(\rho/a)^m$이 $m$이 클수록 안쪽에서 빨리 죽는다. 사각 영역의 $e^{-n\pi y/a}$와 같은 이야기다. 경계에 값 대신 법선 도함수를 주는 노이만 문제는 조건 하나가 더 붙는다. 원판에서 $u_\rho(a,\phi) = g(\phi)$를 주면 계수는 $A_m = \frac{1}{\pi m a^{m-1}}\int g\cos m\phi\,d\phi$로 나오지만 $m = 0$ 항이 정해지지 않고, 대신 $\int_{-\pi}^{\pi} g\,d\phi = 0$이어야 한다(Kreyszig §12.10 팀 프로젝트 4(e), ‘양립 조건’). 경계를 지나는 총 선속이 0이라는 뜻이다 — 안에 소스가 없으면 정상 상태에서 들어온 만큼 나가야 하고, 그렇지 않으면 정상 상태 자체가 없다. Arfken은 구에서 같은 조건을 가우스 법칙으로 읽는다(예 9.4.4): 법선 도함수의 면적분이 안에 든 전하이므로 전하가 없는 구에 임의의 노이만 조건을 줄 수는 없다. 그리고 해는 상수를 더한 만큼 자유롭다 — 노이만 문제의 유일성은 ‘상수 차이를 제외하고’다(Arfken §9.5 식 (9.88)). 3절 표의 노이만·닫힌 면·타원형 칸에 붙은 단서가 이것이다.

Arfken의 예를 그대로 옮겨 두면 값이 보인다. 반지름 $a$인 구 안에서 안쪽 법선 도함수 $\partial\psi/\partial n = -V\cos\theta$를 주면 $\int\cos\theta\,d\sigma = 0$이라 양립하고, $r^lP_l$ 가운데 $l = 1$만 살아 $\psi = Vr\cos\theta + A_0 = Vz + A_0$ — 구 안은 균일한 전기장이다. 경계에 코사인 분포의 법선 성분을 주면 안이 균일 장이라는 것은, 뒤집어 읽으면 균일 장 속의 구 표면에 유도되는 전하가 $\cos\theta$ 분포라는 말이다.

푸아송 방정식과 공핍 근사

우변이 0이 아니면 푸아송 방정식이다.

$$\nabla^2 \psi = -\frac{\rho_{\text{전하}}}{\varepsilon}$$

풀이는 1.4.7비제차 방정식 — 미정계수법과 매개변수 변환의 비제차 ODE와 구조가 같다 — 특수해 하나에 제차해(조화함수)를 더해 경계조건을 맞춘다. 특수해는 언제나 하나 알고 있다. 소스가 $f(\mathbf{r}')$이면

$$u_p(\mathbf{r}) = -\frac{1}{4\pi}\int\frac{f(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,d\tau'$$

가 $\nabla^2 u = f$의 해다(Boas §13.8 식 (8.8)). 점전하의 $1/r$ 전위를 전하 분포에 대해 겹친 것이고, Boas는 작은 구를 파내고 발산 정리를 쓰는 것으로 $\nabla^2(1/r)$이 원점에서 $-4\pi\delta$처럼 행동함을 보인다 — 곧 $G = -1/4\pi|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|$이 $\nabla^2 G = \delta$의 해이고, 이것이 1.8의 그린 함수다. 무한대에서 0이 되는 해라 경계가 있으면 조화함수를 더해 맞춘다. 반도체에서는 소스가 전위에 다시 의존해 이 적분이 닫히지 않으므로(아래 ‘비선형 푸아송’), 실제로 손으로 푸는 것은 다음의 1차원·상수 전하 경우다. 반도체에서 압도적으로 자주 쓰는 경우는 1차원이고 전하밀도가 상수인 공핍 근사다.

$n$형 쪽의 공핍 영역($0 \le x \le W$)에서 이온화한 도너만 남았다고 보면 $\rho_{\text{전하}} = qN_D$이고,

$$\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{qN_D}{\varepsilon}$$

를 두 번 적분하면 된다. 한 번 적분하면 전기장, 두 번 적분하면 전위다.

$$E(x) = -\frac{d\psi}{dx} = -\frac{qN_D}{\varepsilon}(W - x)$$ $$\psi(x) = \psi(0) + \frac{qN_D}{\varepsilon}\left(Wx - \frac{x^2}{2}\right)$$

음의 부호는 전기장이 $-x$ 방향, 곧 접합 쪽을 향한다는 뜻이고 크기는 $x = 0$에서 최대, $x = W$에서 0이다. 전기장이 삼각형이고 전위가 포물선이다. 밴드 다이어그램에서 공핍 영역의 밴드가 휘어 보이는 그 곡선이 이 포물선이고, 곡률이 도핑 농도다. 전체 전위차는 $x = W$에서

$$V = \frac{qN_D W^2}{2\varepsilon} \qquad\Longleftrightarrow\qquad W = \sqrt{\frac{2\varepsilon V}{qN_D}}$$

직관

이 한 쌍이 소자 설계의 가장 기본적인 절충을 담고 있다. 도핑을 올리면

$$W \propto \frac{1}{\sqrt{N_D}}, \qquad E_{\max} = \frac{qN_D W}{\varepsilon} \propto \sqrt{N_D}$$

공핍폭은 줄고 최대 전기장은 는다. 같은 전압을 더 좁은 폭에 걸어야 하니 당연하다. 그래서 도핑을 올리면 커패시턴스가 커지고 단채널 효과에는 유리하지만, 최대 전기장이 항복 전계 ($\approx 3\times10^5$ V/cm)에 먼저 닿아 항복 전압이 낮아진다. 고전압 소자가 저농도 드리프트 영역을 길게 두는 이유가 이 식이고, 미세 소자가 고농도 채널을 쓰는 이유도 같은 식의 반대편이다.

$\sqrt{}$가 여기서도 나온 것을 눈여겨볼 만하다. 6·7절의 $\sqrt{Dt}$, $\sqrt{D\tau}$와 뿌리가 다르지만 — 저쪽은 확산 방정식, 이쪽은 푸아송 방정식 — 2계 미분방정식을 두 번 적분하면 제곱근이 나온다는 구조는 같다.

영상 전하 — 경계를 전하로 바꾼다

경계가 평면이나 구면이면 조화함수를 급수로 더하는 대신 경계 밖에 가짜 전하를 놓아 경계조건을 맞추는 길이 있다. 접지 평면 앞의 전하 $q$에는 거울 위치의 $-q$를(Boas §13.8 연습 8), 접지 구 밖 거리 $a$의 전하 $q$에는 구 안 $R^2/a$ 위치의 $-(R/a)q$를 놓으면(Boas 예 8.1) 경계에서 전위가 0이 되고, 유일성 정리가 그것이 답임을 보증한다(Arfken §9.5). Boas는 구의 경우를 르장드르 급수로 정직하게 풀고 나서 급수가 영상 전하 하나로 합쳐지는 것을 보이는데(식 (8.16)–(8.21)), 생성함수 $\sum (R/a)^l P_l(\cos\theta)$가 곧 $1/\sqrt{\cdots}$라는 1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식의 사실이 그 합을 준다.

의문

반도체에서 이 영상 전하가 실제 물리량을 바꾸는 자리가 쇼트키 접합이다. 금속 표면에서 거리 $x$에 있는 전자는 금속 안 $-x$의 영상 양전하에 끌려 퍼텐셜 에너지 $-q^2/16\pi\varepsilon x$를 더 받고, 여기에 외부 전기장 $E$가 더해지면 장벽의 꼭대기가 낮아진다.

$$\Delta\phi_B = \sqrt{\frac{qE}{4\pi\varepsilon}}$$

영상력 장벽 낮춤(image-force lowering)이다. 전기장이 셀수록 장벽이 낮아져 쇼트키 다이오드의 역방향 전류가 전압에 따라 슬금슬금 는다 — 이상적인 포화가 되지 않는 이유 중 하나다. 그린 함수를 경계에 맞추는 수학(Boas 식 (8.28)–(8.29))이 소자의 $I$–$V$ 곡선에 직접 나타난 예이고, 13부에서 다시 본다.

비선형 푸아송 — 해석해가 끝나는 자리

실제 반도체의 푸아송 방정식은 우변이 상수가 아니다. 캐리어 농도가 다시 전위에 지수적으로 의존하기 때문이다.

$$\nabla^2\psi = -\frac{q}{\varepsilon} \left(p - n + N_D^+ - N_A^-\right), \qquad n \propto e^{q\psi/k_B T}$$

비선형이므로 겹침 원리가 없고, 변수분리도 적분변환도 통하지 않는다. 이 장의 도구가 전부 멈추는 자리다. 그래도 두 가지는 남는다.

① 유일성은 살아 있다. 1.1.9퍼텐셜 이론에서 에너지 논법으로 증명해 둔 대로, 우변이 $\psi$에 대해 단조증가이기만 하면 해가 유일하다. 지수함수의 단조성이 그것을 보장한다.

② 작은 요동에는 선형화가 통한다. $\psi$가 평형에서 조금 벗어난 경우 지수를 1차까지 펴면 방정식이 선형이 되고, 그 결과가 디바이 길이다.

$$\nabla^2\psi = \frac{\psi}{L_D^2}, \qquad L_D = \sqrt{\frac{\varepsilon k_B T}{q^2 N}}$$

이것은 6절의 확산 길이 방정식과 같은 꼴이고, 따라서 해도 같은 꼴이다 — 전위 요동이 $e^{-x/L_D}$로 죽는다. 전하가 얼마나 멀리까지 가려지는가의 답이 $L_D$이고, 실리콘에서 실온· $N = 10^{16}$ cm⁻³이면 약 40 nm다. 공핍폭이 이 길이 아래로 내려가면 공핍 근사의 날카로운 경계 자체가 의미를 잃는다.

그 밖의 경우는 수치해로 간다. 이산화한 뒤 뉴턴법으로 푸는데, 야코비안이 $e^{q\psi/k_BT}$ 규모로 커져 초기 추정이 조금만 어긋나도 발산한다. 이 문제는 1.12와 20부에서 다룬다.

원통·구 좌표계의 라플라시안

좌표는 대칭성이 고른다

변수분리가 성립하려면 경계가 좌표면이어야 한다(4절). 원형 게이트, 비아, GAA 나노와이어의 경계는 원통면이고, 점 결함 주위나 구형 접합의 경계는 구면이다. 좌표를 맞춰 고르면 3차원 PDE가 1차원 ODE로 내려간다.

라플라시안의 표현은 1.1.8곡선좌표계에서 척도인자로 유도해 두었다. 결과만 다시 놓는다.

$$\nabla^2 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \!\left(\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$ $$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \!\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\Lambda$$

둘째 식의 $\Lambda$는 각 부분을 묶은 것이다.

$$\Lambda = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$$

앞의 $1/\rho$, $1/r^2$, $1/\sin\theta$는 장식이 아니라 미소 상자의 면 넓이가 위치에 따라 달라지기 때문에 붙는 인자다. 이것들이 반경 방향 ODE에 1계 항을 만들고, 그 1계 항이 특수함수를 부른다.

주의

구좌표의 각 이름이 책마다 뒤바뀌어 있다. 이 백과와 Arfken·Boas는 $\theta$를 극각(축에서 잰 각), $\phi$를 방위각으로 쓴다. Kreyszig는 정반대로 $x = r\cos\theta\sin\phi$, $z = r\cos\phi$ — 곧 $\phi$가 극각, $\theta$가 방위각이다(§12.11 식 (6), ‘표기에 관한 주’). 그의 르장드르 다항식이 $P_n(\cos\phi)$로 적히는 이유가 그것이다. 유럽식 극좌표 $(r, \varphi)$의 확장이라고 그는 설명한다. 어느 책의 식이든 축에서 잰 각이 무엇인지 먼저 확인한다.

원통좌표의 반경도 갈린다. Kreyszig와 Boas는 $r$, Arfken과 이 백과는 $\rho$다 — 구좌표의 $r$과 구별하기 위해서다. 베셀 영점의 첨자 순서도 다르다. 이 백과는 $\alpha_{mn}$을 $J_m$의 $n$번째 영점으로 쓰고 Kreyszig의 $\alpha_{nm}$($J_n$의 $m$번째)과 순서가 같지만, Boas의 $k_{mn}$은 $J_n$의 $m$번째 영점이라 첨자가 반대다(§13.5). Boas 스스로 “$k_m$은 $J_0$의 영점이지 $J_1$의 영점이 아니다”라고 경고를 달아 둘 만큼 헷갈리는 자리다. 제2종 베셀 함수도 Boas는 $N_n$(노이만 함수)으로 적고 나머지는 $Y_n$이다.

원통좌표 — 베셀 방정식

$z$에 무관한 문제부터 본다. $u = R(\rho)\Phi(\phi)$로 갈라 놓으면 10절의 원판 문제가 그대로 나온다 — $\Phi = e^{im\phi}$($m$ 정수), $R = \rho^{\pm m}$ 또는 $\ln\rho$.

$z$ 의존성이 살아 있으면 사정이 달라진다. $u = R(\rho)\Phi(\phi)Z(z)$로 갈라 $Z'' = k^2 Z$를 떼어 내면 반경 방향이 이렇게 남는다.

$$\rho^2 R'' + \rho R' + (k^2\rho^2 - m^2)R = 0$$

베셀 방정식이다. 해는 제1종·제2종 베셀 함수 $J_m(k\rho)$, $Y_m(k\rho)$이고, 자세한 성질은 1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)에서 다룬다. 여기서 필요한 것은 셋뿐이다.

• $J_m$은 원점에서 유한하고, $Y_m$은 발산한다. 속이 찬 원기둥에서는 $Y_m$을 버린다.
• $J_m$은 감쇠하는 진동이다 — 사인·코사인의 원통 판본인데, 마루의 높이가 $1/\sqrt{\rho}$로 준다.
• 영점이 규칙적이지 않다. $J_0$의 영점은 2.405, 5.520, 8.654, …로 등간격이 아니다.

세 번째가 실무에서 걸린다. 경계 $\rho = a$에서 $u = 0$이면 고유값이 $k_{mn} = \alpha_{mn}/a$인데 $\alpha_{mn}$은 $J_m$의 $n$번째 영점이라 닫힌 꼴이 없다. 직교좌표에서 $n\pi/L$로 곧바로 나오던 자리가 표를 찾아야 하는 자리가 된다. Boas의 표준 예가 이 셋을 다 쓴다(§13.5). 반지름 $a$, 옆면 0°, 밑면 100°인 반무한 원기둥의 정상 온도는 $u = \sum_m c_m J_0(k_m\rho/a)\,e^{-k_m z/a}$이고 — $z$가 무한히 뻗으므로 $z$ 쪽이 지수, $\rho$ 쪽이 베셀이다 — 밑면 조건 $\sum c_m J_0(k_m\rho/a) = 100$이 푸리에–베셀 급수다. 계수는 무게 $\rho$의 직교성으로 뽑는다(1.6.3고유함수의 직교성과 실수 고유값). 필요한 적분 둘, $\int_0^a\rho J_0^2(k_m\rho/a)\,d\rho = \tfrac{a^2}{2}J_1^2(k_m)$과 $\int_0^a\rho J_0(k_m\rho/a)\,d\rho = \tfrac{a^2}{k_m}J_1(k_m)$(뒤의 것은 $[xJ_1]' = xJ_0$에서)에서

$$c_m = \frac{200}{k_m J_1(k_m)}$$

이다. 사인 급수의 $2/L$ 자리에 $J_1(k_m)$이 들어앉았고, 그 값은 표에서 찾는다. 8절의 사인 급수와 걸음이 같다는 것을 확인해 두면 베셀 급수가 낯설지 않다. 옆면이 100°이고 양 끝이 0°인 유한 원기둥이면 사정이 뒤집힌다 — $z$ 쪽에 제차 조건이 둘이라 사인이 가고, $\rho$ 쪽은 분리 상수의 부호가 바뀌어 변형 베셀 함수 $I_m$이 된다(Boas 연습 5.7). Arfken이 원통좌표의 해를 표 하나(표 9.3)에 몰아 둔 이유가 이것이다. 구좌표에서는 반경 함수가 방정식만으로 정해지지만, 원통에서는 $\rho$와 $z$ 중 어느 쪽이 진동할지를 경계가 정한다 — 그래서 $J_m$·$Y_m$과 $I_m$·$K_m$이 지수·삼각함수와 짝을 바꿔 가며 나타난다.

직관

$\alpha_{01} = 2.405$는 원통 기하가 가진 고유한 상수다. 반지름 $a$인 원판에서 기본 모드의 감쇠율이 $D(\alpha_{01}/a)^2$이므로, 이 숫자 하나가 원형 영역의 완화 시간을 정한다. 직교좌표의 $\pi$가 하던 일을 원통에서는 이 수가 한다.

값이 작다는 데에도 뜻이 있다. 넓이가 같은 영역 가운데 기본 고유값이 가장 작은 것이 원이라는 것이 파버–크란 정리인데, 고유값이 작다는 것은 완화가 느리다는 말이다. 실제로 넓이가 같은 정사각형과 견주면 $5.78/a^2$ 대 $6.28/a^2$로 원 쪽이 작고, 그만큼 식는 데 오래 걸린다. 둘레에 비해 넓이가 가장 큰 도형이 원이라는 사실의 미분방정식 판본이다.

같은 상수가 분야를 바꿔 다시 나온다. 북 가죽의 기본 진동수, 원형 도파관의 차단 주파수, 원형 비아 주위의 열 확산, GAA 나노와이어의 반경 방향 문제가 전부 $\alpha_{01}$을 품고 있다.

Kreyszig의 복습 문제(33–37)가 같은 비교를 다섯 도형으로 넓혀 둔다. 넓이가 1이고 $c = 1$인 막의 기본 진동수는 원 $\alpha_{01}/(2\sqrt\pi) = 0.6784$, 정사각형 $1/\sqrt2 = 0.7071$, 사분원 $0.7244$, 반원 $0.7643$, 1:2 직사각형 $0.7906$이다. 원이 가장 낮고, 모양이 원에서 멀어질수록 높아진다 — 반원의 $3.832$는 $J_1$의 첫 영점, 사분원의 $5.136$은 $J_2$의 첫 영점이라, 각 방향의 마디가 하나씩 더 필요한 만큼 비싸진다.

Arfken은 원통을 고유값 문제로도 푼다(예 9.4.3). 반지름 $R$, 높이 $L$인 원통 상자 안에서 $-\nabla^2\psi = \lambda\psi$, 경계에서 $\psi = 0$이면 진동이 가장 적은 해가 $\psi = J_0(\alpha_{01}\rho/R)\cos(\pi z/L)$이고

$$\lambda_{\min} = \frac{\alpha_{01}^2}{R^2} + \frac{\pi^2}{L^2}$$

이다. 상수만 빼면 원통 양자점의 바닥 에너지다. 반경 방향 감금이 $(2.405/R)^2$, 축 방향이 $(\pi/L)^2$로 더해지고, 나노와이어처럼 $L \gg R$이면 반경 항이 지배한다 — 넓이가 같은 정사각 단면과 견주면 원통이 조금 낮다(파버–크란). 6절의 슈뢰딩거·헬름홀츠 대응이 원통에서 값을 낸 것이다.

구좌표 — 르장드르와 다중극

축대칭($\phi$에 무관한) 라플라스 방정식에서 $u = R(r)\Theta(\theta)$로 갈라 놓으면, 각 쪽은 $\cos\theta = \xi$로 치환해 르장드르 방정식이 된다.

$$\frac{d}{d\xi}\!\left[(1-\xi^2)\frac{d\Theta}{d\xi}\right] + l(l+1)\,\Theta = 0$$

$\theta = 0$과 $\pi$(축 위)에서 해가 유한하려면 $l$이 음이 아닌 정수여야 하고, 그때 해가 르장드르 다항식 $P_l(\cos\theta)$다. 여기서도 이산화를 부르는 것은 경계조건이 아니라 유한성이다.

반경 쪽은 오일러-코시 방정식 $r^2R'' + 2rR' - l(l+1)R = 0$이라(1.4.5오일러-코시 방정식) 거듭제곱 해를 갖는다.

$$R_l = A_l r^{l} + B_l r^{-l-1}$$ $$u(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} \left(A_l r^{l} + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right) P_l(\cos\theta)$$

이것이 다중극 전개다. 바깥 영역($r \to \infty$에서 0)에서는 $A_l = 0$이라 $B_l$ 항만 남고, 차례로 단극($1/r$) · 쌍극자($\cos\theta/r^2$) · 사중극($/r^3$)이 된다. 멀어질수록 낮은 차수가 지배하는 것 — 멀리서 보면 무엇이든 점전하로 보이는 것 — 이 이 급수의 내용이다. 표준 예를 하나 끝까지 풀어 둔다(Kreyszig §12.11 예 1, Boas §13.7). 위 반구가 $V_0$, 아래 반구가 0인 구(두 반구 사이에 절연 틈)의 안팎 전위다. 경계값이 $\phi$에 무관하니 $m = 0$이고, $w = \cos\theta$로 바꾸면 계단 $f(w) = V_0$ ($0 < w < 1$), $0$ ($-1 < w < 0$)의 푸리에–르장드르 급수가 필요하다(1.6.4직교 함수계와 일반화 푸리에 급수). 계수 $A_l = \frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1}f\,P_l\,dw$에서

$$u_{\text{안}} = V_0\left[\frac12 + \frac34\frac{r}{R}P_1(\cos\theta) - \frac{7}{16}\left(\frac{r}{R}\right)^{\!3}P_3(\cos\theta) + \frac{11}{32}\left(\frac{r}{R}\right)^{\!5}P_5(\cos\theta) - \cdots\right]$$

이고, 바깥은 $(r/R)^l$을 $(R/r)^{l+1}$로 바꾸면 된다. 읽을 것이 셋이다. ① $l = 0$을 빼면 홀수 차수만 남는다 — 계단에서 평균 $\tfrac12$을 덜어 내면 $w$에 대해 홀함수이기 때문이고, $P_2$가 없는 것을 Boas는 연습 7.12에서 일부러 묻는다. ② 적도면($\theta = \pi/2$)의 값은 $V_0/2$다. 르장드르 급수도 푸리에 급수처럼 불연속에서 중간값으로 수렴한다. 그래서 반구만 있고 적도면이 0인 문제는 아래 반구를 홀함수로 채워 넣으면 그대로 풀린다(Boas §13.7 끝). ③ 바깥 해의 첫 항은 $V_0R/2r$이다 — 멀리서는 총 전하만 보이는 점전하 전위이고, Kreyszig는 이것을 ‘멀리서 본 구형 축전기’로 적는다. Boas가 덧붙이는 대로 $u + C$와 $Cu$도 해이므로 온도 눈금을 바꾸거나 두 반구를 150°/50°로 바꾸는 것은 계산 없이 된다.

$\phi$ 의존성까지 살리면 각 부분이 구면조화함수 $Y_l^m(\theta,\phi)$가 되고(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수), 헬름홀츠 방정식($\nabla^2u + k^2u = 0$)이면 반경 쪽이 구면 베셀 함수 $j_l, y_l$이 된다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)).

세 좌표계가 낳는 것

좌표	반경·주방향 방정식	그 해	각 방향	이산화의 근거
직교	$X'' + \lambda X = 0$	$\sin,\ \cos$ / $\sinh,\ \cosh$	—	경계조건
원통	베셀 방정식	$J_m,\ Y_m$	$e^{im\phi}$	$\phi$의 주기성 · $J_m$의 영점
구	오일러-코시 (라플라스)	$r^l,\ r^{-l-1}$	$P_l^m(\cos\theta)$	축 위에서의 유한성
구	구면 베셀 (헬름홀츠)	$j_l,\ y_l$	$Y_l^m$	같음

직관

표를 세로로 읽으면 이 절의 요점이 나온다. 특수함수는 특별한 함수가 아니라, 좌표계가 강요한 진동 함수다. 직교좌표에서 사인·코사인이 하던 일 — 서로 직교하는 기저를 이루고, 그것으로 임의의 함수를 전개하고, 각 성분마다 방정식이 따로 풀리는 일 — 을 원통에서는 베셀 함수가, 구에서는 르장드르 함수가 한다.

그리고 셋 다 같은 이유로 그 일을 할 수 있다. 전부 스투름–리우빌 문제이기 때문이다. 자체 수반 꼴 $\big(p(x)y'\big)' + q(x)y + \lambda w(x)y = 0$에 맞는 경계조건을 붙이면 고유값이 실수이고 고유함수가 가중함수 $w$에 대해 직교하며 완비라는 것이 자동으로 따라온다. 직교좌표의 $w = 1$, 원통의 $w = \rho$, 구의 $w = \sin\theta$가 각각 그 가중함수다.

1.3의 스펙트럼 정리가 무한 차원으로 올라간 것이 스투름–리우빌 이론이고, 이 장의 4·8·11절이 그 이론의 사용 사례들이다. 원리는 1.6.1자체 수반 형식과 에르미트 연산자에서 세운다.

Arfken은 여기에 관점 하나를 더 얹는다(§9.4 끝). $k^2$가 $r$에만 의존하는 한 — 중심력 문제인 한 — 각 부분의 방정식과 해는 문제가 무엇이든 같다. 각 부분 연산자가 각운동량 $L^2$이고, 방정식의 나머지가 각에 무관하므로 둘이 교환되어 동시 고유함수를 갖기 때문이다. 그래서 $k^2 = A/r + \lambda$(수소 원자, 반경 쪽은 라게르)든 $k^2 = Ar^2 + \lambda$(3차원 조화 진동자, 에르미트)든 구면조화함수는 그대로다. 반도체의 도너 준위가 이 목록에 있다 — 유효질량으로 바꾼 수소 원자 문제라서, 각 부분은 손대지 않고 반경 방정식의 상수만 바뀐다(7부).

어디서 쓰는가

• GAA·나노와이어 — 반경 방향 푸아송 방정식이 원통좌표에서 1차원이 된다. 게이트가 채널을 둘러싸므로 전위가 반경 방향으로만 변하고, 그 해가 문턱전압 모델의 출발점이다.
• 비아와 발열 — 원통형 발열원 주위의 정상 열전도는 $\ln\rho$를 준다. 전위의 2차원 선전하 문제와 같은 수학이고, 그래서 열저항이 반경비의 로그로 나온다.
• 점 결함 주위의 확산 — 구대칭 확산의 정상해가 $1/r$이라, 흡수하는 구를 향한 선속이 반지름에 비례한다(면적의 $r^2$가 아니다). 결함 포획 속도 모델이 이 결과 위에 서 있다.
• 구형 접합 — 확산으로 만든 접합의 모서리가 원통·구면이라 평면부보다 전기장이 집중된다. 항복이 왜 모서리에서 먼저 일어나는지가 이 기하에서 나온다.

라플라스 변환에 의한 PDE 해법

왜 이 변환인가

푸리에 변환은 무한 영역에 맞고, 라플라스 변환은 한쪽만 무한한 영역에 맞는다. 시간은 언제나 $t \ge 0$이므로 시간 변수를 지우는 데는 라플라스 쪽이 자연스럽다.

$$\bar{u}(x,s) = \mathcal{L}\{u(x,t)\} = \int_0^{\infty} u(x,t)\,e^{-st}\,dt$$

Boas는 변환 변수를 $p$, 변환된 함수를 $U(x,p)$로 적는다(§13.9). $s$든 $p$든 같은 것이다.

이 변환이 PDE에서 특히 값진 이유는 도함수 규칙에 초기값이 들어 있다는 데 있다.

$$\mathcal{L}\{u_t\} = s\bar{u} - u(x,0), \qquad \mathcal{L}\{u_{tt}\} = s^2\bar{u} - s\,u(x,0) - u_t(x,0)$$

초기조건을 나중에 따로 맞추는 것이 아니라 변환하는 순간 방정식 안으로 들어간다. 그리고 $x$는 손대지 않으므로, PDE가 $x$에 대한 ODE가 되고 $s$는 매개변수로 남는다.

예제 ① 반무한 매질의 계단 응답

7절에서 유사해로 풀었던 문제를 다른 길로 다시 푼다.

$$u_t = D u_{xx},\qquad u(x,0) = 0,\qquad u(0,t) = u_0,\qquad u(\infty,t) = 0$$

변환하면 초기값이 0이라 좌변이 $s\bar u$가 되고, 방정식이 상미분방정식이 된다.

$$D\,\bar{u}'' = s\,\bar{u} \;\Longrightarrow\; \bar{u} = A\,e^{-\sqrt{s/D}\,x} + B\,e^{+\sqrt{s/D}\,x}$$

$x \to \infty$에서 유한해야 하므로 $B = 0$이고, $\mathcal{L}\{u_0\} = u_0/s$이므로 $A = u_0/s$다.

$$\bar{u}(x,s) = \frac{u_0}{s}\,e^{-\sqrt{s/D}\,x}$$

역변환은 표에서 읽는다. $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a\sqrt{s}}/s\} = \operatorname{erfc}\big(a/2\sqrt{t}\big)$이므로 $a = x/\sqrt{D}$를 넣어

$$u(x,t) = u_0\,\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

7절과 정확히 같은 답이다. 유사해는 차원해석으로, 라플라스 변환은 기계적 절차로 같은 곳에 도달했다. 두 길이 만나는 것을 확인해 두면 어느 쪽도 요행이 아니라는 것이 분명해진다. Boas가 같은 문제를 100°로 푼 것이 §13.9 예 1이고($U = \frac{100}{p}e^{-(\sqrt p/\alpha)x}$, 변환표 L22), Kreyszig는 §12.12 연습 9–11로 같은 길을 밟게 한다.

직관

변환 공간의 표현 $e^{-\sqrt{s/D}\,x}$가 왜 오차함수를 부르는지가 이 절에서 가장 배울 만한 대목이다.

$\sqrt{s}$는 분수 거듭제곱이라 유리함수가 아니고, 따라서 부분분수로 쪼갤 수 없다. $s$ 평면에서 $s = 0$이 극점이 아니라 분지점이라는 뜻이고, 역변환의 브롬위치 적분이 극점을 도는 대신 음의 실축을 따라 절단선을 감아 돌아야 한다. 그 적분이 만들어 내는 것이 초등함수가 아닌 오차함수다.

변환 공간에 $\sqrt{s}$가 보이면 오차함수가 나온다는 신호로 읽으면 된다. 그리고 $\sqrt{s}$가 나오는 원인은 언제나 하나다 — 시간 미분이 1계인데 공간 미분이 2계라서, $\bar u'' = (s/D)\bar u$의 지수에 제곱근이 붙는다. 확산의 비대칭한 미분 차수가 제곱근을 낳고, 제곱근이 $\sqrt{Dt}$를 낳는다. 1.9의 복소해석에서 분지점과 절단선을 제대로 다룬다.

표면 조건이 시간에 따라 변하면 — 뒤아멜 공식

계단 대신 임의의 $u(0,t) = f(t)$를 걸면 변환 공간의 답은 곱 하나 늘어날 뿐이다.

$$\bar u(x,s) = \bar f(s)\,e^{-\sqrt{s/D}\,x}$$

곱의 역변환은 합성곱이므로(Kreyszig §12.12 연습 10)

$$u(x,t) = \frac{x}{2\sqrt{\pi D}}\int_0^t f(t - \tau)\,\tau^{-3/2}\,e^{-x^2/4D\tau}\,d\tau$$

이고, 피적분함수의 $\tau^{-3/2}e^{-x^2/4D\tau}$가 7절에서 미분으로 얻었던 $\psi_2$ — 곧 아래 표의 ‘확산 충격 응답’ — 다. 계단 응답 $u_0 = \operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$로 같은 것을 적으면 뒤아멜 공식이 된다(연습 12).

$$u(x,t) = \int_0^t f(t - \tau)\,\frac{\partial u_0}{\partial\tau}(x,\tau)\,d\tau$$

직관

읽는 법은 하나다. 임의의 입력을 계단들의 합으로 쪼개고, 계단 하나의 응답을 알면 전체는 겹침이다. $f$를 시각 $\tau$마다 높이 $f'(\tau)\,d\tau$인 작은 계단들로 보면 각 계단의 응답이 $u_0(x, t - \tau)$이고 그 합이 위 적분이다(부분적분 한 번이면 두 꼴이 같음을 볼 수 있다). 9절의 열핵이 공간의 점 소스에 대한 응답을 겹친 것이라면, 뒤아멜은 시간의 계단 입력에 대한 응답을 겹친 것이다.

실무에서 이 식이 걸리는 자리는 온도 이력이 계단이 아닌 열처리다. 램프업·램프다운이 있는 어닐, 나노초 펄스 레이저 어닐의 표면 온도 $f(t)$가 주어지면 깊이 $x$의 온도 이력이 이 적분이고, 7절의 $(Dt)_{\text{유효}} = \int D\,dt$가 그 결과를 $Dt$ 하나로 요약한 어림이다.

예제 ② 끝을 흔든 반무한 줄

같은 절차를 파동 방정식에 적용하면 대비가 선명해진다.

$$u_{tt} = c^2 u_{xx},\qquad u(x,0) = u_t(x,0) = 0,\qquad u(0,t) = f(t)$$

변환하면 $c^2\bar u'' = s^2\bar u$이고, 유한성 조건에서

$$\bar{u}(x,s) = \bar{f}(s)\,e^{-sx/c}$$

이번에는 지수에 $s$가 1차로 들어갔다. 그런데 $e^{-as}$를 곱하는 것은 시간 이동이다 ($\mathcal{L}\{g(t-a)H(t-a)\} = e^{-as}\bar g(s)$). 그러므로 역변환이 표를 볼 것도 없이 나온다.

$$u(x,t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) H\!\left(t - \frac{x}{c}\right)$$

입력이 모양 그대로, $x/c$만큼 늦게 도착한다. $H$는 헤비사이드 계단함수로, 그 시각 전에는 아무것도 도착하지 않았다는 뜻이다 — 5절의 유한 전파 속도가 변환 공간에서 지수 인자 하나로 나타났다. Kreyszig의 예가 정확히 이 문제다(§12.12 예 1) — 왼쪽 끝을 사인 한 주기 $f(t) = \sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$)만큼 흔들면 사인 한 봉우리가 속도 $c$로 오른쪽으로 달려가고, 점 $x$는 $t = x/c$까지 정지해 있다. Boas 연습 9.5($y(0,t) = 2\sin 3t$)도 같다 — $Y = 6e^{-px/v}/(p^2 + 9)$에서 $y = 2\sin 3(t - x/v)$, $x < vt$.

그림 1.7-11. 같은 계단 입력을 넣고 거리 d 떨어진 곳에서 본 응답이다. 파동 방정식의 응답은 시각 d/c까지 정확히 0이었다가 모양 그대로 튀어오른다. 확산 방정식의 응답은 아주 이른 시각부터 0이 아니지만 완만한 S자로 서서히 올라간다. 두 성격의 차이는 변환 공간의 지수 인자가 s에 1차로 들어가느냐 제곱근으로 들어가느냐로 갈린다.직접 작도

두 예제를 나란히 놓으면 3절의 분류가 변환 공간에서 다시 보인다.

$$\underbrace{e^{-sx/c}}_{\text{쌍곡형 — 지연}} \qquad\text{vs}\qquad \underbrace{e^{-x\sqrt{s/D}}}_{\text{포물형 — 뭉갬}}$$

$s$의 1차면 순수한 지연이고, 제곱근이면 뭉개짐이다. 방정식의 유형이 지수의 차수 하나로 드러난다.

유한 구간에서 쓰면 — 극점이 고유값이다

라플라스 변환을 유한 구간에 써도 된다. 다만 답이 급수로 돌아온다는 것을 미리 알아 두면 놀라지 않는다. Boas의 문제(§13.9 연습 3)를 따라간다. 양 끝이 0이고 초기 온도가 직선 $u_0 = 100x/l$인 막대(6절의 Boas 예 1)를 $t$로 변환하면 초기값이 우변에 들어와

$$\bar u'' - \frac{s}{D}\,\bar u = -\frac{100x}{Dl}, \qquad \bar u(0,s) = \bar u(l,s) = 0$$

이고, 풀면

$$\bar u(x,s) = \frac{100x}{sl} - \frac{100}{s}\,\frac{\sinh(\sqrt{s/D}\,x)}{\sinh(\sqrt{s/D}\,l)}$$

다. 첫 항은 $100x/l$의 변환이고, 둘째 항은 반무한일 때의 $e^{-\sqrt{s/D}\,x}$가 쌍곡사인의 비로 바뀐 것이다 — 6절의 확산 길이 문제에서 반무한의 지수가 유한 두께에서 $\sinh$가 된 것과 같은 일이다.

직관

역변환을 하려면 $\sinh(\sqrt{s/D}\,l)$이 0이 되는 $s$를 찾아야 한다. $\sinh(i\theta) = i\sin\theta$이므로 $\sqrt{s/D}\,l = in\pi$, 곧

$$s_n = -D\left(\frac{n\pi}{l}\right)^{\!2}$$

에서 극점이 선다. 8절의 고유값이 변환 공간에서는 극점으로 나타난다. 반무한에서 분지점 하나였던 것이 유한 구간에서는 음의 실축 위에 늘어선 극점 무한 개가 되고, 극점마다 유수를 더하면 $e^{s_n t}\sin(n\pi x/l)$ 항이 하나씩 나와 6절의 급수 $\frac{200}{\pi}\sum(-1)^{n-1}\frac1n\,e^{-D(n\pi/l)^2t}\sin\frac{n\pi x}{l}$이 그대로 돌아온다. Boas는 유수 대신 $\sinh$ 비의 부분분수 전개를 미리 주고 항별로 표를 찾게 한다.

이 관찰이 두 절을 잇는다. 변수분리는 공간을 먼저 이산화해 시간의 ODE를 얻었고, 라플라스 변환은 시간을 먼저 지워 공간의 ODE를 얻었는데, 후자의 극점이 전자의 고유값이다. 회로 이론의 언어로는 극점이 곧 고유 모드이고, 분포 RC 선로의 전달함수 $1/\cosh(\sqrt{sRC}\,\ell)$의 극점들이 그 선로의 시정수 사다리다 — 아래 인터커넥트 지연이 그 첫 극점에서 나온다.

전송선 — 한 식이 둘 사이를 오간다

두 성격이 한 방정식 안에 함께 들어 있는 예가 전송선이다. 단위 길이당 저항 $R$, 인덕턴스 $L_{\ell}$, 컨덕턴스 $G$, 커패시턴스 $C$인 선로에서 키르히호프 법칙 두 개 — 전압 강하 $-v_x = Ri + L_\ell i_t$, 전류 누설 $-i_x = Gv + Cv_t$ — 에서 $i$를 소거하면 전신선 방정식이 나온다(Kreyszig §12.11 팀 프로젝트 24).

$$v_{xx} = L_\ell C\,v_{tt} + (RC + GL_\ell)\,v_t + RG\,v$$

파동항($v_{tt}$)·확산항($v_t$)·감쇠항($v$)이 한 줄에 다 있다. Kreyszig는 여기서 두 극한에 이름을 붙인다 — $G$와 $L_\ell$을 무시한 해저 케이블 방정식 $v_{xx} = RCv_t$(순수 확산; 그의 용어로는 이것이 ‘전신 방정식’이다)와, 고주파에서 $R$·$G$를 무시한 고주파 선로 방정식 $v_{xx} = L_\ell Cv_{tt}$(순수 파동). 변환 공간에서 전압은 이렇게 적힌다.

$$\bar{v}(x,s) = \bar{v}(0,s)\,e^{-\gamma(s)\,x}, \qquad \gamma(s) = \sqrt{(R + sL_{\ell})(G + sC)}$$

극한 둘이 앞의 두 예제와 정확히 일치한다.

$$R \to 0,\ G \to 0:\quad \gamma \to s\sqrt{L_{\ell}C} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{순수 지연}$$ $$L_{\ell} \to 0,\ G \to 0:\quad \gamma \to \sqrt{sRC} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{확산}$$

직관

같은 배선이 조건에 따라 파동으로도, 확산으로도 행동한다. 갈림목은 $sL_{\ell}$과 $R$의 크기 비교, 곧 신호의 주파수와 선로의 저항이다.

• 온칩 인터커넥트 — 단면이 좁아 $R$이 크고 인덕턴스가 상대적으로 무시할 만하다. RC 지배, 곧 확산이다. 지연은 $\sqrt{s}$가 지배하고, 길이 $\ell$인 선의 지연이

  $$t_{\text{지연}} \approx \frac{1}{2}\,R C \ell^2$$

  로 길이의 제곱에 비례한다. 6절의 $\ell^2/D$와 같은 스케일링이다 — 실제로 $1/RC$가 확산계수 노릇을 한다. 배선이 길어지면 지연이 감당할 수 없이 커지므로 중간에 버퍼를 끼워 짧은 구간으로 쪼개는 것이 표준 처방이고, 그 처방이 통하는 이유가 정확히 “제곱을 여러 개의 작은 제곱으로 나누면 합이 줄어든다”이다.

• 패키지·보드 수준 — 단면이 굵어 $R$이 작고 주파수가 높아 $sL_\ell$이 이긴다. 파동이고, 지연이 길이에 비례하며 임피던스 정합과 반사를 따져야 한다.

3절에서 준정적 근사가 쌍곡형을 타원형으로 내려앉혔던 것과 같은 이야기를, 여기서는 하나의 식이 연속적으로 보여 준다. 유형은 방정식의 고유한 성질이 아니라 어떤 항이 지배하느냐의 결과다.

자주 쓰는 변환쌍

이 장에서 실제로 쓰는 것은 몇 개뿐이다.

$\bar{u}(s)$	$u(t)$	쓰이는 곳
$1/s$	$1$	계단 경계조건
$1/s^2$	$t$	램프 경계조건
$e^{-as}\bar{g}(s)$	$g(t-a)H(t-a)$	지연 — 파동
$1/\sqrt{s}$	$1/\sqrt{\pi t}$	확산 표면 선속
$e^{-a\sqrt{s}}/s$	$\operatorname{erfc}\big(a/2\sqrt{t}\big)$	확산 계단 응답
$e^{-a\sqrt{s}}$	$\dfrac{a}{2\sqrt{\pi t^3}}\,e^{-a^2/4t}$	확산 충격 응답
$e^{-a\sqrt{s}}/\sqrt{s}$	$\dfrac{1}{\sqrt{\pi t}}\,e^{-a^2/4t}$	확산 선속 응답

역변환의 실무는 두 갈래다. $\bar u$가 유리함수면 부분분수로 쪼개 표에서 항별로 읽는다 — 집중소자 회로가 이 경우다. 분지점이 있으면(즉 $\sqrt{s}$가 있으면) 표에 없는 한 브롬위치 적분을 직접 해야 하고, 절단선을 감아 도는 그 계산이 1.9의 유수 정리를 요구한다. 분포계 문제가 집중계 문제보다 어려운 이유가 이 갈림에 있다.

어느 변환을 고를 것인가

이 장의 세 도구를 마지막으로 정리해 둔다.

영역	도구	지우는 변수	남는 문제
유한 구간	변수분리 + 푸리에 급수	공간	고유값 문제 + 계수 결정
무한·반무한 공간	푸리에 변환 (사인·코사인)	공간	$k$마다의 ODE
$t \ge 0$	라플라스 변환	시간	$x$에 대한 ODE

세 줄이 전부 같은 말을 하고 있다 — 변수를 하나 지워 ODE로 되돌린다. 방법이 세 개인 것이 아니라, 영역의 모양이 세 가지라서 도구가 세 개다. 그리고 어느 쪽으로 가든 같은 문제는 같은 답을 준다. 7절과 12절이 반무한 확산에서 같은 오차함수에 도달한 것이 그 확인이었다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 두고 마친다.

• 도판트 확산과 접합 형성(18부) — 7절의 erfc·가우시안 프로파일, $x_j \propto \sqrt{Dt}$, 열예산. 실제 공정은 여기에 농도 의존 확산과 결함 매개 항을 더한다.
• 이온 주입과 어닐(18부) — 9절의 가우시안 합성곱. 주입 산포와 확산 퍼짐이 $\sigma = \sqrt{\Delta R_p^2 + 2Dt}$로 합쳐진다.
• pn 접합과 다이오드(12부) — 6절의 소수 캐리어 확산 방정식과 확산 길이가 쇼클리 방정식의 포화 전류를 만든다. 10절의 공핍 근사가 공핍폭·커패시턴스·항복 전압을 준다.
• BJT(12부) — 짧은 베이스 극한, 베이스 통과 시간 $W^2/2D_n$, 전류 이득의 상한.
• MOSFET과 단채널 효과(14부) — 10절의 침투 깊이가 프린징 전기장의 도달 범위를 정한다. GAA는 11절의 원통 좌표 문제다.
• 소자 시뮬레이션(20부) — 푸아송(타원)과 연속 방정식(포물)의 연립. 3절의 유형이 이산화 방식과 안정 조건을 정하고, 2절의 이류항이 샤르페터–구멜 이산화를 요구한다.
• 열 관리(3부·18부) — 6·7절이 그대로 열 방정식이다. 레이저 어닐의 열침투 깊이, 자기발열의 과도 응답, 패키지 열저항.
• 인터커넥트(21부) — 12절의 RC 지연이 길이 제곱에 비례하는 것, 버퍼 삽입, 고주파에서의 전송선 전환.
• 광학과 리소그래피(3부·18부) — 5·9절의 파동 방정식과 분산 관계. 결상과 회절이 헬름홀츠 방정식의 경계값 문제다.

방정식은 사실상 셋뿐이었다. 파동·확산·라플라스, 그리고 그 셋을 가르는 판별식 하나. 반도체에서 만나는 거의 모든 장 방정식이 이 셋 중 하나이거나, 셋이 항 하나로 이어진 중간이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 1.8 그린 함수
• 1.9 복소해석
• 1.10 적분변환
• 1.11 확률과 통계
• 1.12 수치해석
• 2.1 정전기학
• 2.2 경계값 문제
• 2.7 보존 법칙
• 2.8 전자기파
• 2.9 퍼텐셜과 복사
• 3.2 진동과 파동
• 4.5 반응속도론
• 4.6 표면 반응과 촉매
• 5.2 파동함수와 슈뢰딩거 방정식
• 5.3 1차원 퍼텐셜
• 5.4 형식론
• 5.5 3차원 양자역학
• 5.6 스핀과 동일 입자
• 6.1 통계역학의 기초
• 6.6 열과 일, 상변태
• 7.3 결정의 결합과 탄성
• 7.4 격자 진동
• 8.3 확산