7부 고체물리 7.7

밴드 이론

7.6의 자유전자 모형은 금속에 관해 놀랄 만큼 많은 것을 맞혔다 — 전자 열용량이 $T$ 에 비례하는 것, 전기전도도와 열전도도의 비, 홀 계수의 크기. 그런데 세 가지 앞에서 손을 든다.

왜 절연체가 있는가. 자유전자 모형에서는 전자가 있으면 전부 금속이다. 다이아몬드에도 원자당 전자 네 개가 있는데 전기가 흐르지 않는 이유를 말하지 못한다.
홀 계수의 부호. Al·Zn·Be·Cd 같은 금속은 홀 계수가 양수다 — 마치 양전하가 나르는 것처럼. 자유전자에서는 부호가 언제나 음수다.
왜 어떤 전자는 무거운가. 전도 전자의 겉보기 질량이 자유전자 질량과 다르고, 물질마다 다르다. 자유전자 모형에는 그 자리가 없다.

셋 다 같은 데서 온다. 자유전자 모형은 이온 코어가 만드는 주기 퍼텐셜을 통째로 버렸다. 이 장은 그것을 다시 넣는다. 결과는 한 문장이다 — 에너지 축에 전자가 가질 수 없는 구간(에너지 갭)이 생기고, 갭이 열리는 자리는 언제나 브릴루앙 영역 경계다. 절연체·반도체·금속의 구분, 정공, 유효질량은 전부 이 문장의 귀결이다.

이 장은 Kittel 7장의 순서를 따른다. 1절에서 주기 퍼텐셜이 해에 강제하는 꼴(블로흐 정리)을 세우고, 2절에서 왜 갭이 생기는지를 정상파 하나로 본다. 3절은 정확히 풀리는 유일한 모형(크로니히–페니), 4절은 같은 문제를 $k$ 공간에서 푸는 일반 도구(중심 방정식)다. 5·6절은 그 도구로 두 극한 — 퍼텐셜이 0인 빈 격자와, 영역 경계 근처의 두 성분 근사 — 을 푼다. 7·8절은 밴드 하나에 몇 개의 상태가 들어가는지 세고, 그 수로 금속과 절연체를 가른다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

밴드 갭 — Si 1.12 eV, GaAs 1.42 eV 라는 숫자의 정체가 2·6절의 $2|U_G|$ 다. 실제 값의 계산은 7.8, Si·Ge·GaAs 의 모양은 7.9.
유효질량과 정공 — 6절에서 밴드 끝의 곡률이 자유전자와 달라지고, 아래 밴드 꼭대기에서 곡률이 음수가 된다. 7.9의 유효질량 텐서와 정공이 여기서 시작하고, 양수 홀 계수의 답이 된다.
캐리어 통계 — 7절의 “밴드 하나에 오비탈 $2N$ 개”가 11부의 상태밀도·페르미 준위 계산의 출발이다.
터널링과 초격자 — 3절의 갭 안 소멸파가 12부의 터널 소자, 3절의 크로니히–페니 모형 자체가 7.9.9 초격자의 미니밴드로 그대로 되살아난다.
광학 천이 — 4절의 결정 운동량 보존이 7.9.6 직접·간접 천이의 선택 규칙이다.

표기는 Kittel 을 기준으로 한다. 이 장은 기호가 많고, 글자만 같고 뜻이 다른 짝이 여럿이다. 아래 표를 장 앞에 한 번 둔다 — 절 안에서 처음 나올 때 다시 밝히지만, 헷갈리면 여기로 돌아온다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\varepsilon$	엡실론	전자의 에너지 고유값. Kittel 표기 — 3부·11부 이후는 $E$ 를 쓴다	eV
$\varepsilon_g$	엡실론 지	에너지 갭(밴드 갭) — 아래 밴드 꼭대기와 위 밴드 바닥의 차	eV
$\mathbf k$ , $k$	케이	블로흐 파수벡터. $\hbar\mathbf k$ 가 결정 운동량 (4절)	m⁻¹
$\mathbf G$	지	역격자 벡터. 1차원에서 $G=2\pi n/a$	m⁻¹
$a$	—	격자 상수(1차원 주기). 크로니히–페니에서는 우물 폭	m
$U(\mathbf r)$	유	전자가 느끼는 퍼텐셜 에너지(전위가 아니다). 이 장에서 $V$ 는 부피	eV
$U_{\mathbf G}$	유 지	$U(\mathbf r)$ 의 푸리에 계수. 갭을 정하는 양	eV
$\lambda_k$	람다 케이	$\hbar^2k^2/2m$ — 자유전자의 운동 에너지. 파장이 아니다 (4절)	eV
$C(k)$	씨 케이	$\psi$ 의 평면파 전개 계수	—
$u_{\mathbf k}(\mathbf r)$	유 케이	블로흐 함수의 격자 주기 부분 (1절)	—
$n$	엔	밴드 지수 — 이 장에서 전자 농도가 아니다	—
$N$	큰 엔	원시 세포 수(1차원에서 이온 수). 결정 길이 $L=Na$	—
$m$	엠	자유전자 질량. 유효질량 $m^{*}$ 는 7.9	kg
$K$ , $Q$ , $P$	큰 케이·큐·피	크로니히–페니 모형: 우물 안 파수 · 장벽 안 감쇠 상수 · 장벽 세기 (3절)	—
$\tilde K$	케이 틸드	$k-G/2$ — 영역 경계에서 잰 파수 (6절)	m⁻¹

주의

같은 글자, 다른 뜻 — 세 쌍을 미리 갈라 둔다.

$k$ / $K$ / $\tilde K$ . 소문자 $k$ 는 블로흐 파수 — 결정 전체에 걸친 위상 $e^{ikx}$ 의 파수이고, 병진 대칭의 양자수다. 대문자 $K$ 는 크로니히–페니 모형에서 우물 안 국소 파수로, $\varepsilon=\hbar^2K^2/2m$ 이라서 에너지를 파수 단위로 적은 것에 지나지 않는다. 자유전자 ( $U=0$ )에서만 둘이 같다. $\tilde K$ 는 6절에서 영역 경계 $G/2$ 를 원점으로 다시 잰 $k$ 다.
$U(x)$ / $U_G$ / $U$ . 함수 $U(x)$ 는 퍼텐셜 에너지, $U_G$ 는 그 푸리에 계수. 2절에서 $U(x)=U\cos(2\pi x/a)$ 로 놓을 때의 진폭 $U$ 는 $U_G$ 의 두 배다 — 같은 갭이 2절에서는 $|U|$ , 6절에서는 $2|U_G|$ 로 적힌다. 6절 끝의 주의에서 다시 맞춘다.
$\varepsilon$ / $E$ . Kittel 은 에너지를 $\varepsilon$ , 전기장을 $E$ 로 쓴다. 이 장은 그대로 따르고, 11부부터 반도체 교재(Neamen·Pierret·Sze)의 $E$ 로 돌아간다. 같은 양이다.

주기 퍼텐셜과 블로흐 정리

격자가 전자에게 주는 유일한 정보 — 주기성

결정 안의 전자는 이온 코어들이 만드는 퍼텐셜 에너지 $U(\mathbf r)$ 속을 움직인다. $U$ 의 정확한 모양은 모른다 — 이온 코어의 쿨롱 퍼텐셜에 다른 전자들이 만드는 차폐(7.10)가 얹힌 것이고, 그것을 제대로 구하는 일이 7.8의 밴드 구조 계산이다. 이 장은 $U$ 를 모르는 채로 간다. 아는 것은 하나뿐이다. 격자 병진에 대해 불변이라는 것.

U(\mathbf r+\mathbf T)=U(\mathbf r), \qquad \mathbf T=n_1\mathbf a_1+n_2\mathbf a_2+n_3\mathbf a_3

$\mathbf T$ 는 격자 병진 벡터, $n_i$ 는 정수다. 주기 함수는 푸리에 급수로 적히고, 주기가 격자 주기이면 급수에 나오는 파수는 역격자 벡터 $\mathbf G$ 뿐이다(7.2.1역격자 벡터) — $e^{i\mathbf G\cdot\mathbf T}=1$ 이 역격자의 정의였다.

U(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}U_{\mathbf G}\,e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}, \qquad U_{\mathbf G}=\frac{1}{V_c}\int_{\text{cell}}U(\mathbf r)\,e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r}\,d^3r

$V_c$ 는 원시 세포의 부피다. $U$ 가 실수이므로 $U_{-\mathbf G}=U_{\mathbf G}^{*}$ 이고, 결정에 반전 대칭이 있으면( $U(-\mathbf r)=U(\mathbf r)$ ) $U_{\mathbf G}$ 는 실수다. 이 장의 1차원 모형은 전부 반전 대칭이 있어서 $U_G$ 를 실수로 둔다. $\mathbf G=0$ 성분 $U_0$ 는 퍼텐셜의 평균값이고, 에너지 원점을 옮겨 $U_0=0$ 으로 잡는다. 1차원에서는 $G=2\pi n/a$ 이니

U(x)=\sum_{n\ne 0}U_n\,e^{i2\pi nx/a}

가 전부다. 이 장에서 $U$ 가 하는 일은 딱 하나 — 평면파 $e^{ikx}$ 에 $e^{iGx}$ 를 곱해 $e^{i(k+G)x}$ 로 바꾸는 것이다. 이 사실이 4절의 중심 방정식이 되고, 그 전에는 1절의 블로흐 정리가 된다.

전자 하나의 슈뢰딩거 방정식은

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U(\mathbf r)\right]\psi(\mathbf r)=\varepsilon\,\psi(\mathbf r)

이다. $m$ 은 자유전자 질량, $\varepsilon$ 은 에너지 고유값이다. 다른 전자들과의 상호작용은 $U$ 안에 평균으로 들어가 있다고 본다 — 독립 전자 근사다. 전자 $10^{23}$ 개의 문제를 전자 하나의 문제로 줄이는 이 근사가 얼마나 좋은지는 7.10에서 따진다. 지금은 받아들인다.

블로흐 정리 — 병진 대칭이 해의 꼴을 강제한다

주기 퍼텐셜 속 슈뢰딩거 방정식의 고유함수는 평면파에 격자 주기 함수를 곱한 꼴이다.

\psi_{\mathbf k}(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{\mathbf k}(\mathbf r), \qquad u_{\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf T)=u_{\mathbf k}(\mathbf r)

이것이 블로흐 정리이고, 이 꼴의 함수를 블로흐 함수라 한다. 같은 말을 병진으로 적으면

\psi_{\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf T)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf T}\,\psi_{\mathbf k}(\mathbf r)

이다 — 격자 하나만큼 옮기면 함수가 위상 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf T}$ 만 얻고 모양은 그대로다. $u_{\mathbf k}$ 는 격자와 같은 주기의 무늬이고, $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 는 결정 전체에 걸친 긴 파동이다. 그림 하나로 보면 아래와 같다.

그림 7.7-1. 블로흐 함수는 격자 주기 함수 u_k(x)에 평면파 e^{ikx}를 곱한 것이다. 위: 이온 자리마다 같은 봉우리가 되풀이되는 u_k(x). 가운데: 파장 2π/k가 격자 간격 a보다 훨씬 긴 평면파의 실수부(k = π/3a). 아래: 둘의 곱 — 긴 파동이 격자 무늬로 변조된 모양이고, 점선 엔벨로프가 평면파를 따라간다. 격자 하나만큼 옮기면 무늬는 그대로이고 위상만 e^{ika}만큼 돈다.직접 작도

증명 — 고리 위의 이온 $N$ 개. 1차원으로 줄여 Kittel 의 논법을 따라간다. 길이 $L=Na$ 인 고리에 이온 $N$ 개가 간격 $a$ 로 놓여 있다(주기 경계 조건 — 7.6.3에서 자유전자를 셀 때 쓴 것과 같은 장치다). 병진 $x\to x+a$ 는 해밀토니안을 바꾸지 않으므로, 고유함수 $\psi(x)$ 를 $a$ 만큼 옮긴 $\psi(x+a)$ 도 같은 에너지의 고유함수다. 축퇴가 없다면 둘은 상수배로만 다르다.

\psi(x+a)=C\,\psi(x)

이 병진을 $N$ 번 되풀이하면 고리를 한 바퀴 돌아 제자리로 온다.

\psi(x+Na)=C^{N}\psi(x)=\psi(x) \quad\Longrightarrow\quad C^{N}=1, \quad C=e^{i2\pi s/N},\ \ s=0,1,\dots,N-1

$C$ 는 1의 $N$ 제곱근(1.9.1복소수와 극형식·거듭제곱근)이고, 그 $N$ 개가 전부다. 이제

\psi(x)=u_k(x)\,e^{ikx}, \qquad k=\frac{2\pi s}{Na}

로 놓으면 $u_k(x+a)=u_k(x)$ 일 때 $\psi(x+a)=e^{ika}\psi(x)$ 이고 $e^{ika}=e^{i2\pi s/N}=C$ 다. 꼴이 맞는다. 축퇴가 있으면 축퇴한 함수들의 선형결합을 다시 잡아 같은 결론에 이른다.

증명을 뒤집어 읽으면 정리의 뜻이 보인다. $k$ 는 병진 연산자의 고유값 $e^{ika}$ 의 라벨이다. 자유 공간에서는 연속 병진 대칭이 운동량 고유상태 $e^{ikx}$ 를 낳고(5.7.8격자 병진 대칭 (블로흐 정리는 7.7)), 격자에서는 이산 병진 대칭이 그 자리에 블로흐 함수를 놓는다. 5.7.8이 “블로흐 정리는 7.7”로 미뤄 둔 것이 이 대목이다 — 병진 연산자들이 서로, 그리고 $H$ 와 교환하므로 동시 고유함수를 잡을 수 있고, 유니터리 연산자의 고유값은 절댓값이 1이라 $e^{ika}$ 꼴일 수밖에 없다.

직관

수학적 직관 — 격자는 $k$ 와 $k+G$ 를 구분하지 못한다.

병진의 고유값은 $e^{ika}$ 인데, $G=2\pi n/a$ 이면 $e^{i(k+G)a}=e^{ika}$ 다. 그러니 $k$ 와 $k+G$ 는 같은 라벨이다. 실제로 $\psi_{k+G}=e^{i(k+G)x}u_{k+G}(x)=e^{ikx}\,[e^{iGx}u_{k+G}(x)]$ 이고 대괄호 안은 다시 격자 주기 함수이므로, $\psi_{k+G}$ 는 $u$ 의 이름만 바꾼 $\psi_k$ 다. 따라서

$k$ 는 역격자 벡터만큼 어긋난 값을 같은 것으로 보고 정의된다. 서로 다른 $k$ 를 빠짐없이 한 번씩만 담는 영역이 첫 브릴루앙 영역(7.2.2브릴루앙 영역)이다 — 1차원에서 $-\pi/a\lt k\le\pi/a$ .
에너지는 $k$ 공간에서 주기적이다: $\varepsilon(\mathbf k+\mathbf G)=\varepsilon(\mathbf k)$ .
같은 $k$ 에 여러 에너지가 있으므로 라벨이 하나 더 필요하다 — 밴드 지수 $n$ . 고유상태는 $\psi_{n\mathbf k}$ , 에너지는 $\varepsilon_n(\mathbf k)$ 이고, $n$ 을 고정하고 $\mathbf k$ 를 훑은 것이 밴드 하나다.

이 절의 대칭 논증은 $U$ 의 크기를 전혀 쓰지 않았다. 퍼텐셜이 아무리 강해도 블로흐 정리는 성립한다 — 그래서 3절의 크로니히–페니(강한 장벽)와 6절의 근사 자유전자(약한 퍼텐셜)가 같은 언어로 적힌다.

ħk 는 운동량이 아니다

자유전자에서 $\hbar k$ 는 운동량 $p$ 였다. 블로흐 전자에서는 아니다. 운동량 연산자를 걸어 보면

\hat p\,\psi_{\mathbf k}=-i\hbar\nabla\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}\right) =\hbar\mathbf k\,\psi_{\mathbf k}+e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\left(-i\hbar\nabla u_{\mathbf k}\right)

이라 둘째 항 때문에 $\psi_{\mathbf k}$ 는 $\hat p$ 의 고유함수가 아니다 — $u_{\mathbf k}$ 가 상수인 자유전자에서만 고유함수다. 격자가 있으면 운동량은 보존되지 않는다(격자가 반동을 받는다). 대신 $\hbar\mathbf k$ 는 결정 운동량(crystal momentum)이라 부르는 양이고, 격자와의 상호작용에서 $\hbar\mathbf G$ 만큼의 여유를 두고 보존된다. 4절에서 중심 방정식을 얻은 뒤에 이 말의 정확한 뜻을 적는다. 지금은 $\hbar\mathbf k$ 가 운동량처럼 보이지만 격자의 대칭 라벨이라는 것만 챙긴다.

직관

물리적 직관 — 완벽한 격자는 전자를 산란시키지 않는다.

블로흐 함수는 주기 퍼텐셜 속의 정상 상태다. 한번 $\psi_{n\mathbf k}$ 에 놓인 전자는 이온 코어 $10^{23}$ 개 사이를 영원히, 감쇠 없이 지나간다. 7.6.6에서 금속의 평균 자유 행로가 저온에서 격자 간격의 수백 배, 순수 시료에서는 수만 배까지 길어지는 것을 보았다 — 이온이 빽빽한데 어떻게 그럴 수 있는가가 드루데 모형의 풀리지 않은 의문이었다. 답이 이것이다. 저항은 격자에서 오지 않는다. 격자의 어긋남 — 진동하는 이온(포논), 불순물, 결함, 표면 — 에서만 온다. 온도가 내려가 포논이 얼면 남는 것은 불순물뿐이고, 그것이 7.6.6의 잔류 비저항이다. 7.12의 수송 이론은 이 그림 위에서 “블로흐 상태 사이의 전이율”로 저항을 계산한다.

근사 자유전자 모형과 에너지 갭의 기원

자유전자에서 출발한다 — 퍼텐셜은 약한 섭동

7.6의 자유전자는 $U=0$ 이었다. 고유함수는 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ , 에너지는 $\varepsilon_{\mathbf k}=\hbar^2k^2/2m$ 이고, 주기 경계 조건이 허용하는 모든 $\mathbf k$ 가 상태다 (7.6.33차원 자유전자 기체). 여기에 약한 주기 퍼텐셜을 얹으면 대부분의 $\mathbf k$ 에서는 거의 아무 일도 일어나지 않는다 — 에너지가 조금 옮겨질 뿐이다. 그런데 특정한 $\mathbf k$ 에서는 아무리 약한 퍼텐셜이라도 상태의 성격을 통째로 바꾼다. 그 자리가 브래그 반사 조건을 만족하는 $\mathbf k$ 다.

전자도 파동이므로 X선처럼 격자에 회절된다(7.2.3브래그 조건과 라우에 조건). 브래그 조건 $2d\sin\theta=n\lambda$ 에서 1차원 격자( $d=a$ )에 정면으로 부딪히는 파( $\theta=90^\circ$ )는 $\lambda=2a/n$ , 곧

k=\pm\frac{n\pi}{a} \qquad(n=1,2,\dots)

에서 반사된다. 3차원의 라우에 조건 $(\mathbf k+\mathbf G)^2=k^2$ , 곧 $2\mathbf k\cdot\mathbf G+G^2=0$ 은 $\mathbf k$ 가 $\mathbf G$ 의 수직이등분면 위에 있을 것을 요구하고, 그 평면들이 브릴루앙 영역 경계다. 1차원의 $k=\pm\pi/a$ 는 첫 영역의 경계다.

$k=\pi/a$ 의 전자를 보자. 오른쪽으로 가는 파 $e^{i\pi x/a}$ 는 브래그 반사되어 왼쪽으로 가는 파 $e^{-i\pi x/a}$ 가 되고, 그것은 다시 반사되어 오른쪽으로 간다. 이 과정이 끝없이 되풀이되므로 정상 상태는 진행파가 아니라 두 파의 정상파다. 같은 진폭으로 섞는 방법은 둘이다.

\psi(+)=e^{i\pi x/a}+e^{-i\pi x/a}=2\cos\frac{\pi x}{a}, \qquad \psi(-)=e^{i\pi x/a}-e^{-i\pi x/a}=2i\sin\frac{\pi x}{a}

둘 다 파장 $2a$ , 같은 $|k|$ , 따라서 같은 운동 에너지다. 자유전자라면 이 둘은 같은 에너지의 축퇴한 상태였을 것이다. 퍼텐셜이 그 축퇴를 깬다.

두 정상파는 전하를 다른 자리에 쌓는다

정상파의 확률밀도 — 전하밀도 — 를 보면 차이가 드러난다. 이온이 $x=0,\pm a,\pm2a,\dots$ 에 있다고 하자.

\rho(+)=|\psi(+)|^2\propto\cos^2\frac{\pi x}{a}, \qquad \rho(-)=|\psi(-)|^2\propto\sin^2\frac{\pi x}{a}, \qquad \rho_{\text{진행파}}=\left|e^{ikx}\right|^2=1

$\rho(+)$ 는 $x=0,\pm a,\dots$ — 이온 위 — 에서 최대다. $\rho(-)$ 는 이온 사이의 한가운데서 최대다. 진행파는 어디서나 고르다. 이온 코어는 양전하이므로 전자의 퍼텐셜 에너지 $U(x)$ 는 이온 위에서 가장 낮다. 그러니 이온 위에 전하를 쌓는 $\psi(+)$ 는 진행파보다 퍼텐셜 에너지가 낮고, 이온 사이에 쌓는 $\psi(-)$ 는 높다. 운동 에너지는 같으므로 전체 에너지가 갈린다.

\varepsilon(-)-\varepsilon(+)=\varepsilon_g

이것이 에너지 갭이다. $k=\pi/a$ 에 오는 전자는 $\varepsilon(+)$ 아니면 $\varepsilon(-)$ 이고, 그 사이의 에너지를 가진 진행하는 상태는 없다.

그림 7.7-2. 영역 경계 k = π/a의 두 정상파. 위: 이온 코어(+)가 만드는 퍼텐셜 U(x) — 이온 자리에서 움푹 파인다. 가운데: |ψ(+)|² ∝ cos²(πx/a)는 이온 위에 전하를 쌓으므로 퍼텐셜 에너지가 낮다. 아래: |ψ(−)|² ∝ sin²(πx/a)는 이온 사이에 쌓으므로 높다. 점선은 진행파의 고른 밀도 |e^{ikx}|² = 1. 두 정상파의 운동 에너지는 같으므로, 느끼는 퍼텐셜의 평균 차이가 곧 갭 ε_g다.직접 작도

갭의 크기 — 퍼텐셜의 첫 푸리에 성분

얼마나 벌어지는가. 퍼텐셜을 첫 푸리에 성분 하나로 잡는다.

U(x)=U\cos\frac{2\pi x}{a}

이온이 $x=0$ 에 있고 거기서 퍼텐셜이 가장 낮으려면 $U\lt0$ 이다. 정상파를 한 세포에서 규격화하면( $\int_0^a|\psi|^2dx=1$ )

|\psi(+)|^2=\frac{2}{a}\cos^2\frac{\pi x}{a}, \qquad |\psi(-)|^2=\frac{2}{a}\sin^2\frac{\pi x}{a}

이다. 두 상태의 에너지 차는 1차 섭동에서 퍼텐셜 기댓값의 차다.

\begin{aligned} \varepsilon_g &=\int_0^a U(x)\left[|\psi(-)|^2-|\psi(+)|^2\right]dx\\ &=\frac{2U}{a}\int_0^a\cos\frac{2\pi x}{a}\left(\sin^2\frac{\pi x}{a}-\cos^2\frac{\pi x}{a}\right)dx\\ &=-\frac{2U}{a}\int_0^a\cos^2\frac{2\pi x}{a}\,dx=-U \end{aligned}

셋째 줄은 $\sin^2\theta-\cos^2\theta=-\cos2\theta$ 와 $\int_0^a\cos^2(2\pi x/a)\,dx=a/2$ 다. $U\lt0$ 이므로 $\varepsilon_g=|U|\gt0$ 이고 $\psi(+)$ 가 아래다. 갭은 결정 퍼텐셜의 첫 푸리에 성분의 크기와 같다. Kittel 은 부호를 따지지 않고 $\varepsilon_g=U$ 로 적는다 — 부호는 어느 정상파가 아래인가를 정할 뿐, 갭의 크기와는 무관하다. 6절에서 같은 결과를 섭동론 없이 정확한 두 성분 해로 다시 얻는다.

그림 7.7-3. 약한 주기 퍼텐셜이 있는 1차원 전자의 ε–k (확장 영역 도식). 점선은 자유전자 포물선 ħ²k²/2m, 실선은 퍼텐셜 U(x) = 2U₁cos(2πx/a) + 2U₂cos(4πx/a)의 중심 방정식을 평면파 9개로 풀어 얻은 밴드다. 영역 경계 k = ±π/a에서 갭 ε_g ≈ 2|U₁|, k = ±2π/a에서 ε_g′ ≈ 2|U₂|가 열리고, 경계에 다가갈수록 곡선이 평평해져 기울기가 0이 된다 — 군속도 0인 정상파다. 경계에서 멀면 포물선을 거의 따라간다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 경계에서 기울기가 0인 이유.

밴드의 기울기 $d\varepsilon/dk$ 는 (7.9.2에서 보이듯) 군속도 $v=\hbar^{-1}d\varepsilon/dk$ 에 비례한다. 영역 경계의 상태는 진행파가 아니라 정상파이므로 속도가 0이어야 하고, 그래서 곡선이 경계에 수평으로 닿는다. 포물선이 경계에 다가가며 휘어지는 모양 자체가 “전자가 브래그 반사로 되돌아오고 있다”는 그림이다. 경계에서 먼 $k$ 에서는 반사가 약하니 포물선 그대로다.

파라미터 연계 — 무엇이 갭을 키우는가. $\varepsilon_g=2|U_G|$ 이므로 갭은 이온 퍼텐셜의 $G$ 성분이다. 같은 다이아몬드 구조에서 C(5.5 eV) → Si(1.12) → Ge(0.66) → α-Sn(0) 로 갭이 줄어드는 경향은, 원자가 커지고 원자간 거리가 늘어 원자가 전자가 느끼는 코어 퍼텐셜의 변조가 약해지는 방향과 같다. 다만 실제 갭은 푸리에 성분 하나로 정해지지 않는다 — 여러 $G$ 가 함께 작용하고 3차원에서는 갭이 열리는 $\mathbf k$ 자체가 방향마다 다르다(7.9.5). 이 절이 주는 것은 크기의 자릿수와 경향이다.

크로니히-페니 모형

정확히 풀리는 주기 퍼텐셜

주기 퍼텐셜 속 슈뢰딩거 방정식이 닫힌 꼴로 풀리는 경우는 거의 없다. 예외가 크로니히–페니 모형(Kronig–Penney, 1931) — 사각 우물이 되풀이되는 퍼텐셜이다.

U(x)=\begin{cases}0, & 0\lt x\lt a\\[2pt] U_0, & -b\lt x\lt 0\end{cases}, \qquad U(x+a+b)=U(x)

우물 폭 $a$ , 장벽 폭 $b$ , 장벽 높이 $U_0$ , 주기 $a+b$ 다. 유한 우물과 장벽의 해(5.3.7계단 퍼텐셜과 장벽)를 그대로 쓴다. 우물 안( $0\lt x\lt a$ , $U=0$ )에서는 진행파 둘의 합,

\psi=A\,e^{iKx}+B\,e^{-iKx}, \qquad \varepsilon=\frac{\hbar^2K^2}{2m}

이다. $K$ 는 우물 안의 국소 파수이고 에너지를 담는다. 장벽 안( $-b\lt x\lt0$ )에서는 $\varepsilon\lt U_0$ 인 에너지를 보므로 지수적으로 커지고 작아지는 해 둘의 합,

\psi=C\,e^{Qx}+D\,e^{-Qx}, \qquad U_0-\varepsilon=\frac{\hbar^2Q^2}{2m}

이다. $Q$ 는 장벽 안의 감쇠 상수다. 여기까지는 5.3의 문제와 같다. 다른 것은 경계 조건 하나 — 1절의 블로흐 정리가 다음 세포의 해를 이 세포의 해로 묶는다.

\psi(a\lt x\lt a+b)=\psi(-b\lt x\lt0)\,e^{ik(a+b)}

$k$ 는 블로흐 파수다. 우물과 장벽의 경계 $x=0$ 과 $x=a$ 에서 $\psi$ 와 $d\psi/dx$ 가 이어져야 한다. $x=a$ 의 오른쪽은 다음 장벽이고, 그 해는 위 식으로 $x\in(-b,0)$ 의 해에 $e^{ik(a+b)}$ 를 곱한 것이므로 조건 넷이 나온다.

\begin{aligned} A+B&=C+D\\ iK(A-B)&=Q(C-D)\\ A\,e^{iKa}+B\,e^{-iKa}&=\left(C\,e^{-Qb}+D\,e^{Qb}\right)e^{ik(a+b)}\\ iK\left(A\,e^{iKa}-B\,e^{-iKa}\right)&=Q\left(C\,e^{-Qb}-D\,e^{Qb}\right)e^{ik(a+b)} \end{aligned}

미지수 $A,B,C,D$ 의 동차 연립방정식이니 자명하지 않은 해가 있으려면 계수 행렬식이 0이어야 한다 (1.3.1의 논리다). 행렬식을 전개해 정리하면 — 계산은 길지만 기계적이다 —

\frac{Q^2-K^2}{2QK}\,\sinh Qb\,\sin Ka+\cosh Qb\,\cos Ka=\cos k(a+b)

가 나온다. 좌변은 에너지( $K$ 와 $Q$ 는 둘 다 $\varepsilon$ 의 함수)만의 식이고 우변은 블로흐 파수만의 식이다. 이것이 크로니히–페니 모형의 분산 관계 $\varepsilon(k)$ 다 — 명시적으로 풀리지는 않지만, 어느 $\varepsilon$ 에 어느 $k$ 가 대응하는지 완전히 정해 준다.

델타 장벽 극한 — 식이 한 줄로 준다

식을 다루기 쉽게 장벽을 무한히 높고 무한히 얇게 보낸다. $b\to0$ , $U_0\to\infty$ 로 보내되 장벽의 “세기” $Q^2ba/2$ 는 유한하게 유지한다.

P\equiv\frac{Q^2ba}{2}=\frac{mU_0\,b\,a}{\hbar^2}

둘째 등호는 $U_0\gg\varepsilon$ 에서 $Q^2\approx2mU_0/\hbar^2$ 이기 때문이다. $P$ 는 장벽의 면적 $U_0b$ 에 비례한다 — 델타 함수 장벽의 세기다. 이 극한에서 $Q\gg K$ , $Qb\ll1$ 이므로 $\sinh Qb\approx Qb$ , $\cosh Qb\approx1$ , $(Q^2-K^2)/2QK\approx Q/2K$ 이고, 주기 $a+b\to a$ 다. 분산 관계는

\frac{P}{Ka}\sin Ka+\cos Ka=\cos ka

로 준다. Kittel 이 그림에 쓰는 값은 $P=3\pi/2$ 다.

허용 밴드와 금지 띠

우변 $\cos ka$ 는 $-1$ 과 $1$ 사이의 값만 가진다. 그러니 좌변

f(Ka)\equiv\frac{P}{Ka}\sin Ka+\cos Ka

가 $[-1,1]$ 안에 들어오는 $Ka$ — 곧 그 에너지 $\varepsilon=\hbar^2K^2/2m$ — 에서만 실수 $k$ 가 있다. 그 밖의 에너지에는 진행하는 해가 없다. 좌변을 $Ka$ 의 함수로 그려 보면 $Ka\to0$ 에서 $P+1$ 로 시작해 감쇠 진동한다.

그림 7.7-4. 크로니히–페니 조건식의 좌변 f(Ka) = (P/Ka) sin Ka + cos Ka, P = 3π/2. 우변 cos ka는 −1과 1 사이뿐이므로 곡선이 두 점선 사이에 들어오는 Ka 구간(칠한 띠)에서만 실수 k가 있다 — 허용 밴드. 그 밖은 금지 띠다. 곡선은 Ka = nπ에서 정확히 (−1)ⁿ 이 되어 띠의 가장자리에 닿는다. Ka가 커지면 P/Ka가 작아져 곡선이 cos Ka에 가까워지고 허용 구간이 넓어진다.직접 작도

띠의 가장자리, 곧 $f=\pm1$ 인 곳은 $\cos ka=\pm1$ , $k=0$ 또는 $k=\pm\pi/a$ — 영역 중심과 영역 경계다. 2절의 결론이 정확한 해에서 그대로 나온다. 그림에서 읽을 것이 셋 있다.

① 밴드의 꼭대기는 자유전자 값 그대로다. $Ka=n\pi$ 에서 $\sin Ka=0$ 이므로 $f=\cos n\pi=(-1)^n$ — $P$ 가 얼마든 정확히 띠의 가장자리다. 그래서 $n$ 번째 밴드의 꼭대기는 언제나 $\varepsilon=\hbar^2\pi^2n^2/2ma^2$ , 곧 $k=n\pi/a$ 의 자유전자 에너지다. 이유는 파동함수에 있다. $Ka=n\pi$ 인 상태는 $\sin(n\pi x/a)$ — 마디가 $x=0,a,2a,\dots$ 에 있다 — 이고, 델타 장벽은 정확히 그 마디에 서 있다. 마디에 선 장벽은 파동을 전혀 느끼지 못한다. 2절의 $\psi(-)$ 가 이온 사이에 전하를 쌓아 이온을 피한 것과 같은 현상인데, 델타 장벽에서는 “피한다”가 “완전히 못 본다”가 된다.

② 갭은 위 밴드의 바닥이 밀려 올라가서 생긴다. 꼭대기가 고정돼 있으니 갭은 다음 밴드의 바닥이 $Ka=n\pi$ 보다 위로 밀리는 만큼이다. 바닥의 상태는 코사인 꼴로 장벽 위에 배(antinode)를 두므로 장벽을 정면으로 느끼고, 에너지가 오른다.

③ 위로 갈수록 밴드는 넓어지고 갭은 좁아진다. $Ka$ 가 커지면 $P/Ka\to0$ 이라 $f\to\cos Ka$ 로 가고 허용 구간이 $Ka$ 축의 대부분을 차지한다. 에너지가 높은 전자는 장벽을 덜 느낀다 — 파장이 짧을수록 장벽 하나가 위상에 주는 교란이 작기 때문이다.

허용 구간마다 $ka=\arccos f(Ka)$ 를 풀어 $\varepsilon$ 을 $k$ 에 대해 그리면 밴드가 보인다.

그림 7.7-5. 크로니히–페니 모형의 ε–k(확장 영역 도식), P = 3π/2, 에너지 단위 ħ²/2ma². 점선은 자유전자 포물선. 갭은 영역 경계 k = nπ/a에서 열리며, 각 밴드의 꼭대기는 포물선 위에 정확히 놓이고(자유전자 값) 바닥만 위로 밀려 있다. 위로 갈수록 밴드가 넓어지고 갭은 상대적으로 좁아진다. 첫 밴드는 k = 0 근처에서 포물선보다 평평하다 — 바닥의 곡률이 작아 유효질량이 자유전자보다 무겁다.직접 작도

두 극한 — 자유전자와 고립 원자

$P$ 를 양쪽 끝으로 보내면 밴드 이론의 두 얼굴이 나온다.

$P\to0$ . $\cos Ka=\cos ka$ , $K=k$ , $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m$ . 자유전자다. 밴드는 폭이 무한하고 갭은 0이다.
$P\to\infty$ . 조건식이 $[-1,1]$ 안에 들어오려면 $\sin Ka\to0$ , 곧 $Ka=n\pi$ 뿐이다. 에너지는 폭 $a$ 인 무한 우물의 준위 $\varepsilon_n=\hbar^2\pi^2n^2/2ma^2$ (5.3.1무한 우물)로 이산화되고, $k$ 에 무관하다 — 밴드가 폭 0으로 납작해진다. 우물마다 전자가 갇힌 고립 원자의 그림이고, 7.8.1의 강결합 근사가 이 극한에서 출발한다.

실제 결정은 그 사이다. 아래 밴드일수록(에너지가 낮을수록, 코어에 가까울수록) 고립 원자에 가깝고 좁으며, 위 밴드일수록 자유전자에 가깝고 넓다. 그림 7.7-5의 밴드 폭이 위로 갈수록 넓어지는 것이 그 모습이다.

직관

파라미터 연계 — $P$ 하나가 무엇을 움직이는가.

$P\uparrow$ (장벽이 높거나 두껍거나, 격자 상수가 클수록): 밴드 바닥이 올라가 갭이 커지고 밴드가 좁아진다. 밴드가 좁아지면 곡률 $d^2\varepsilon/dk^2$ 이 작아지므로 유효질량(7.9.4)이 무거워진다. “결합이 약한 고체는 밴드가 좁고 캐리어가 무겁다”의 모형판이다.
$a\uparrow$ ( $P$ 고정): 모든 에너지가 $1/a^2$ 로 줄어든다 — 밴드 폭도 갭도 함께. 에너지 축척 $\hbar^2/2ma^2$ 는 $a=5$ Å 에서 약 0.15 eV, $\pi^2$ 을 곱한 첫 밴드 꼭대기는 약 1.5 eV 다. 실제 반도체의 갭과 밴드 폭이 eV 단위인 것과 같은 자릿수다.
밴드 지수 $n\uparrow$ : 갭이 상대적으로 좁아지고 밴드가 넓어진다. 코어 준위(좁은 밴드)와 원자가·전도 밴드(넓은 밴드)의 차이가 이것이다.

7.9.9의 초격자는 이 모형이 그대로 실물이 되는 자리다. GaAs 층과 AlGaAs 층을 번갈아 쌓으면 우물 폭 $a$ , 장벽 폭 $b$ , 장벽 높이 $U_0$ (전도 밴드 불연속)를 설계할 수 있고, 크로니히–페니 식이 미니밴드의 폭과 갭을 준다.

갭 안에는 정말 아무것도 없는가 — 허수 k 와 소멸파

금지 띠에서 $|f(Ka)|\gt1$ 이므로 실수 $k$ 는 없다. 그러나 $k$ 를 복소수로 허용하면 해가 있다. $k=n\pi/a+i\kappa$ 로 놓으면

\cos ka=\cos(n\pi+i\kappa a)=(-1)^n\cosh\kappa a

이고 $\cosh\kappa a\ge1$ 이므로 $|f|\gt1$ 인 에너지에도 $\kappa$ 를 맞출 수 있다. 그 해는 $\psi\propto e^{-\kappa x}\times(\text{격자 주기 함수})$ — 진행하지 않고 지수적으로 사라지는 블로흐 함수다. 무한 결정 안에서는 규격화되지 않아 상태가 아니지만, 결정이 끝나는 곳(표면·계면)이나 얇은 층(터널 장벽)에서는 살아 있다. 이것이 갭 에너지의 전자가 반도체 장벽을 터널링하는 메커니즘이고(7.9.10, 12부), 금속과 반도체의 계면에서 금속 전자가 반도체의 갭 안으로 스며드는 금속 유도 갭 상태(9부)의 정체다. 1.9.2에서 “허수 파수는 감쇠”라고 적어 둔 것(1.9.2복소함수와 해석성)이 여기서 물리가 된다. 갭이 클수록 $\kappa$ 가 커서 더 빨리 사라진다 — 갭 한가운데서 $\kappa$ 가 최대다.

중심 방정식의 해

슈뢰딩거 방정식을 k 공간으로 옮긴다

3절은 실공간에서 조각을 잇는 풀이였다. 같은 문제를 평면파 전개로 풀면 어떤 주기 퍼텐셜에도 통하는 일반식이 나온다. 퍼텐셜은 1절대로 $U(x)=\sum_G U_G e^{iGx}$ 다. 파동함수도 푸리에 급수로 편다(1.10.1푸리에 급수와 반구간 전개) — 길이 $L$ 의 주기 경계 조건이 허용하는 파수는 $k=2\pi n/L$ 이므로

\psi(x)=\sum_k C(k)\,e^{ikx}

이고, 합은 허용되는 모든 $k$ 에 걸친다. $C(k)$ 는 전개 계수다. 슈뢰딩거 방정식에 넣는다.

\sum_k\frac{\hbar^2k^2}{2m}\,C(k)\,e^{ikx} +\sum_G\sum_k U_G\,C(k)\,e^{i(k+G)x} =\varepsilon\sum_k C(k)\,e^{ikx}

둘째 항에서 $U$ 가 하는 일이 보인다 — $e^{ikx}$ 에 $e^{iGx}$ 를 곱해 $e^{i(k+G)x}$ 로 옮긴다. 이 항의 합산 변수를 $k+G\to k$ 로 바꾸면( $C(k)\to C(k-G)$ ) 세 합이 전부 $e^{ikx}$ 로 정렬된다. 평면파 $e^{ikx}$ 는 서로 독립이므로 각 $k$ 의 계수가 따로 0이어야 한다.

(\lambda_k-\varepsilon)\,C(k)+\sum_G U_G\,C(k-G)=0, \qquad \lambda_k\equiv\frac{\hbar^2k^2}{2m}

이것이 중심 방정식(central equation)이다. 주기 퍼텐셜 속 슈뢰딩거 방정식을 계수 $C(k)$ 에 대한 대수 방정식으로 바꾼 것이다.

무한 행렬 — 그러나 G 씩 떨어진 계수끼리만 엮인다

중심 방정식의 구조를 보자. 어떤 $k$ 의 계수 $C(k)$ 는 $C(k-G)$ 들, 곧 $k$ 에서 역격자 벡터만큼 떨어진 계수들과만 엮인다. 그러니 첫 영역의 $k$ 하나를 고르면 $\{C(k-G)\}_{\text{모든 }G}$ 가 닫힌 연립방정식을 이룬다 — 다른 $k'$ 의 계수는 전혀 끼어들지 않는다. 방정식은 무한 개지만, 퍼텐셜에 $U_{\pm G_1}$ 하나만 있다고 하면( $G_1=2\pi/a$ , $U\equiv U_{G_1}=U_{-G_1}$ 실수) 각 행에 이웃 둘만 남아 삼중대각 행렬이 된다. 다섯 항만 남기고 적으면

\begin{vmatrix} \lambda_{k-2G_1}-\varepsilon & U & 0 & 0 & 0\\ U & \lambda_{k-G_1}-\varepsilon & U & 0 & 0\\ 0 & U & \lambda_k-\varepsilon & U & 0\\ 0 & 0 & U & \lambda_{k+G_1}-\varepsilon & U\\ 0 & 0 & 0 & U & \lambda_{k+2G_1}-\varepsilon \end{vmatrix}=0

이다(Kittel 은 여기서 $G_1$ 을 $g$ 로 쓴다). 이 행렬식이 0이 되는 $\varepsilon$ 이 고유값이고, $5\times5$ 로 자르면 다섯 개, 무한 행렬이면 가산 무한 개가 나온다 — $k$ 마다 $\varepsilon_1(k)\le \varepsilon_2(k)\le\cdots$ 이고 $n$ 번째 근을 $k$ 에 대해 이은 것이 $n$ 번째 밴드다. $k$ 대신 $k+G_1$ 로 시작해도 행렬의 행들이 순서만 바뀌므로 같은 근이 나온다 — $\varepsilon_n(k+G)=\varepsilon_n(k)$ 가 여기서 다시 확인된다. 그림 7.7-3의 밴드는 이 행렬을 $9\times9$ 로 잘라 수치로 대각화한 것이다. 반도체 밴드 구조 계산의 표준 방법인 평면파 전개(7.8.3 유사퍼텐셜법)는 이 행렬을 3차원에서 수백 개의 $\mathbf G$ 로 확장해 컴퓨터로 푸는 것이다 — 골격은 여기서 끝난다.

직관

수학적 직관 — 퍼텐셜은 $k$ 공간의 빗(comb)이다.

$k$ 공간에서 보면 주기 퍼텐셜은 점 $k$ 를 $k\pm G$ , $k\pm2G,\dots$ 로 뛰게 하는 연산자다. 운동량 $\hbar k$ 가 $\hbar G$ 의 정수배 단위로만 바뀐다. 그래서 한 블로흐 상태는 평면파 하나가 아니라 빗살처럼 $G$ 간격으로 늘어선 평면파들의 중첩이고, 그 중첩이 바로

\psi_k(x)=\sum_G C(k-G)\,e^{i(k-G)x} =e^{ikx}\sum_G C(k-G)\,e^{-iGx} =e^{ikx}\,u_k(x)

이다. 둘째 등호에서 묶어 낸 $u_k(x)=\sum_G C(k-G)e^{-iGx}$ 는 $G$ 들의 푸리에 급수이므로 격자 주기 함수다 — 블로흐 정리가 중심 방정식에서 한 줄로 다시 나왔다. 1절은 대칭에서, 4절은 대수에서 같은 결론에 이른다. 어느 성분 $C(k-G)$ 가 크게 섞이는가는 $\lambda_{k-G}$ 가 $\varepsilon$ 에 얼마나 가까운가가 정한다 — 삼중대각 행렬의 비대각 원소 $U$ 가 대각 원소의 차 $\lambda_{k-G}-\lambda_k$ 보다 작으면 섞임이 작고, 비슷하면(영역 경계) 크다. 6절이 그 두 성분만 남긴 계산이다.

결정 운동량 — ħG 만큼의 여유를 두고 보존되는 양

중심 방정식이 $\hbar\mathbf k$ 의 뜻을 정해 준다. 블로흐 상태 $\psi_{\mathbf k}$ 는 운동량 $\hbar(\mathbf k-\mathbf G)$ 의 평면파들의 중첩이므로 운동량이 확정돼 있지 않다. 그러나 $\mathbf k$ 는 $\mathbf G$ 를 법으로(modulo) 확정돼 있다 — 그것이 병진 대칭의 양자수라는 뜻이다. 이 성질이 전자가 무엇과 상호작용할 때 선택 규칙으로 나타난다.

포논과의 산란 — 파수벡터 $\mathbf q$ 의 포논을 흡수해 $\mathbf k\to\mathbf k'$ 로 가면 $\mathbf k+\mathbf q=\mathbf k'+\mathbf G$ 다. $\mathbf G=0$ 인 정상 과정과 $\mathbf G\ne0$ 인 움클랍 과정(7.5.8)이 여기서 갈린다. 7.4.5에서 “포논은 진짜 운동량을 나르지 않지만 결정 운동량 $\hbar\mathbf q$ 는 이 규칙으로 보존된다”고 한 것과 같은 규칙이다.
광자 흡수 — 광자의 파수 $2\pi/\lambda_{\text{빛}}$ 은 영역 크기 $\pi/a$ 에 견주어 천 분의 일이라 $\mathbf k'\approx\mathbf k$ — $\varepsilon$ – $\mathbf k$ 그림에서 수직 천이다. 원자가 밴드 꼭대기와 전도 밴드 바닥이 다른 $\mathbf k$ 에 있는 Si 에서 빛만으로는 갭을 건너지 못하고 포논이 거들어야 하는 이유(7.9.6 간접 천이)가 이 한 줄이다.
전기장 속 운동 — 7.9.2에서 $\hbar\,d\mathbf k/dt=-e\mathbf E$ 를 보인다. 결정 운동량은 뉴턴 방정식의 운동량 자리에 앉는다 — 다만 질량은 $m$ 이 아니라 밴드의 곡률이 정하는 유효질량이다.

진짜 운동량의 기댓값은 $\langle\hat p\rangle=m\,\mathbf v_{\mathbf k}$ 이고 $\mathbf v_{\mathbf k} =\hbar^{-1}\nabla_{\mathbf k}\varepsilon$ 이 군속도다(7.9.2). 자유전자에서는 $\hbar\mathbf k$ 와 같지만 일반적으로는 다르다 — 영역 경계에서 $\hbar k=\hbar\pi/a\ne0$ 인데 속도는 0이다.

중심 방정식으로 크로니히–페니를 다시 푼다

일반식이 3절의 정확한 답을 재현하는지 확인한다 — 두 방법이 같은 물리를 보고 있다는 검산이자, 중심 방정식을 실제로 푸는 시범이다. 델타 장벽 퍼텐셜을

U(x)=Aa\sum_{s}\delta(x-sa)

로 놓는다. $s$ 는 정수, $A$ 는 세기(에너지 단위)다. 한 세포에 델타 하나이므로 푸리에 계수는 모든 $G$ 에 대해 같다.

U_G=\frac1a\int_{\text{cell}}U(x)\,e^{-iGx}\,dx=A

중심 방정식은 $(\lambda_k-\varepsilon)C(k)+A\sum_n C(k-2\pi n/a)=0$ 이 된다. 합 $\sum_n C(k-2\pi n/a)\equiv f(k)$ 는 $k$ 를 $2\pi/a$ 만큼 옮겨도 항의 순서만 바뀌므로 $k$ 에 대해 주기 $2\pi/a$ 인 함수다. $K^2\equiv2m\varepsilon/\hbar^2$ 로 놓으면

C(k)=-\frac{2mA}{\hbar^2}\,\frac{f(k)}{k^2-K^2}

이다. 이 식을 $k-2\pi n/a$ 에 대해 모든 $n$ 으로 더하면 좌변은 $f(k)$ , 우변의 $f(k-2\pi n/a)$ 는 $f(k)$ 이므로 양변에서 $f(k)$ 가 지워진다.

\frac{\hbar^2}{2mA}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(k-2\pi n/a)^2-K^2}

이 합은 1.9.8에서 익힌 코탄젠트 부분분수 $\sum_n(x-n\pi)^{-1}=\cot x$ (1.9.8실적분과 급수의 계산)로 닫힌다. 각 항을 $k-K$ 와 $k+K$ 로 나누고,

\begin{aligned} \frac{1}{(k-G_n)^2-K^2} &=\frac{1}{2K}\left[\frac{1}{k-G_n-K}-\frac{1}{k-G_n+K}\right],\\[4pt] \sum_n\frac{1}{k\mp K-2\pi n/a} &=\frac a2\sum_n\frac{1}{(k\mp K)a/2-n\pi} =\frac a2\cot\frac{(k\mp K)a}{2} \end{aligned}

두 코탄젠트의 차를 $\cot\alpha-\cot\beta=\sin(\beta-\alpha)/(\sin\alpha\sin\beta)$ 와 $\sin\alpha\sin\beta=\tfrac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$ 로 정리하면 ( $\alpha=(k-K)a/2$ , $\beta=(k+K)a/2$ , $\beta-\alpha=Ka$ , $\alpha+\beta=ka$ )

\sum_n\frac{1}{(k-2\pi n/a)^2-K^2} =\frac{a}{2K}\,\frac{\sin Ka}{\cos Ka-\cos ka}

가 된다. 이것을 위 식에 넣고 정리하면

\cos ka-\cos Ka=\frac{mAa}{\hbar^2K}\sin Ka \quad\Longrightarrow\quad \frac{mAa^2}{\hbar^2}\,\frac{\sin Ka}{Ka}+\cos Ka=\cos ka

— 3절의 크로니히–페니 식이고, $P=mAa^2/\hbar^2$ 다. 3절의 $P=mU_0ba/\hbar^2$ 와 견주면 $Aa=U_0b$ , 곧 델타의 세기 = 사각 장벽의 면적으로 정확히 맞는다. 실공간의 조각 잇기와 $k$ 공간의 무한 합이 같은 식에서 만난다.

빈 격자 근사

퍼텐셜을 0으로 보내되 격자는 남긴다

중심 방정식에서 $U_G\to0$ 으로 보내면 행렬이 대각이 되고 해는 자유전자 $\varepsilon=\lambda_k$ 로 돌아간다. 그런데 라벨은 남는다. 1절에서 $k$ 는 $G$ 를 법으로 정의되므로, 자유전자의 상태 $e^{i(\mathbf k+\mathbf G)\cdot\mathbf r}$ 을 첫 영역의 $\mathbf k$ 와 밴드 지수(어느 $\mathbf G$ 인가)로 다시 적어야 한다.

\varepsilon_{\mathbf G}(\mathbf k)=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\mathbf k+\mathbf G\right)^2, \qquad \mathbf k\in\text{첫 브릴루앙 영역}

이것이 빈 격자 근사(empty lattice approximation)다. 물리는 자유전자 그대로인데, 그림이 달라진다 — 포물선 하나가 첫 영역 안으로 접혀 밴드 여럿이 된다. 1차원에서 $G=2\pi n/a$ 를 $n=0,\pm1,\pm2$ 로 잡고 그린 것이 아래다.

그림 7.7-6. 1차원 빈 격자의 밴드(환원 영역 도식). 세로 단위 ε₁ = ħ²π²/2ma²는 첫 영역 경계의 자유전자 에너지. 곡선마다 G 하나 — G = 0인 포물선이 밴드 1, G = ∓2π/a의 두 포물선 조각이 k = 0에서 만나 밴드 2를, 다시 갈라져 밴드 3을 이루고, G = ±4π/a가 밴드 4를 시작한다. 조각들이 만나는 자리(원)는 축퇴점이다 — 퍼텐셜을 켜면 정확히 여기서 갭이 열린다. 7.8의 실제 밴드 구조는 이 골격에서 축퇴가 풀린 것이다.직접 작도

첫 영역에 모든 밴드를 겹쳐 그리는 방식을 환원 영역 도식(reduced zone scheme)이라 하고, 2·3절의 그림처럼 $n$ 번째 밴드를 $n$ 번째 영역에 그리는 것을 확장 영역 도식(extended zone scheme)이라 한다. 둘은 같은 정보의 다른 그림이고, $\varepsilon(k+G)=\varepsilon(k)$ 를 써서 전체 $k$ 축에 되풀이해 그린 주기 영역 도식도 있다. 셋의 쓰임새는 7.8.5에서 나란히 견준다. 7.4.2의 단원자 사슬(7.4.2단원자 사슬과 이원자 사슬)에서 포논 분산을 첫 영역에만 그린 것이 같은 논리였다 — $k$ 와 $k+G$ 가 같은 운동을 뜻하므로 첫 영역 밖은 새 정보가 없다.

3차원 — 단순입방 격자의 [100] 방향

3차원에서는 $\mathbf G$ 가 여러 방향이라 같은 $\mathbf k$ 선 위에 밴드가 더 많이, 더 높은 축퇴로 쌓인다. Kittel 의 예를 따라 단순입방 격자에서 $\mathbf k=(k_x,0,0)$ 을 따라가 본다. 역격자는 $\mathbf G=(2\pi/a)(n_1,n_2,n_3)$ 이고 $\hbar^2/2m=1$ 단위에서

\varepsilon_{\mathbf G}(k_x,0,0)=\left(k_x+\frac{2\pi}{a}n_1\right)^2+\left(\frac{2\pi}{a}\right)^2\left(n_2^2+n_3^2\right)

이다. 낮은 밴드부터 $\mathbf G$ 를 $2\pi/a$ 단위로 적으면 아래 표가 된다. 오른쪽 두 열은 영역 중심 $\Gamma$ ( $k_x=0$ )와 경계 $X$ ( $k_x=\pi/a$ )에서의 값을 $(\hbar^2/2m)(2\pi/a)^2$ 단위로 적은 것이다.

밴드	$\mathbf G\cdot a/2\pi$	$\varepsilon(k_x,0,0)$	$\Gamma$	$X$
1	$000$	$k_x^2$	$0$	$1/4$
2	$\bar100$	$(k_x-2\pi/a)^2$	$1$	$1/4$
3	$100$	$(k_x+2\pi/a)^2$	$1$	$9/4$
4–7	$010,\ 0\bar10,\ 001,\ 00\bar1$	$k_x^2+(2\pi/a)^2$	$1$	$5/4$
8–11	$\bar110,\ \bar1\bar10,\ \bar101,\ \bar10\bar1$	$(k_x-2\pi/a)^2+(2\pi/a)^2$	$2$	$5/4$
12–15	$110,\ 1\bar10,\ 101,\ 10\bar1$	$(k_x+2\pi/a)^2+(2\pi/a)^2$	$2$	$13/4$

$\bar1$ 은 $-1$ 이다. 읽을 것은 축퇴의 자리다. $\Gamma$ 에서 밴드 2–7 여섯 개가 같은 에너지 1 에 모이고, $X$ 에서는 밴드 1·2가 $1/4$ 에서, 밴드 4–11 여덟 개가 $5/4$ 에서 만난다. 퍼텐셜을 켜면 이 축퇴들이 결정의 점군 대칭이 허락하는 만큼 풀려 갭과 갈라진 밴드가 되고, 그 풀리는 방식이 7.8의 밴드 구조 계산과 7.9.5의 Si·Ge·GaAs 밴드 모양이다.

직관

공간적 직관 — 접힌 자리가 전부 갭의 후보다.

빈 격자 그림에서 두 포물선 조각이 만나는 곳은 $\lambda_{\mathbf k}=\lambda_{\mathbf k+\mathbf G}$ , 곧 라우에 조건이 성립하는 $\mathbf k$ 다. 2절에서 갭이 열리는 조건과 같은 식이다. 그래서 빈 격자의 축퇴점 목록 = 갭이 열릴 수 있는 자리 목록이다. 실제로 열리는가, 얼마나 열리는가는 그 $\mathbf G$ 의 $U_{\mathbf G}$ 가 정한다. 예를 들어 다이아몬드 구조에서는 구조 인자(7.2.6)가 0이 되는 $\mathbf G$ 가 있어 그 축퇴는 1차로는 풀리지 않는다 — Si 의 $X$ 점에서 전도 밴드 두 개가 맞닿아 있는 것이 그 흔적이다.

파라미터 연계 — 에너지 축척. $\varepsilon_1=\hbar^2\pi^2/2ma^2$ 는 $a=5.43$ Å(Si)에서 약 1.3 eV, $(\hbar^2/2m)(2\pi/a)^2$ 는 약 5 eV 다. 원자가 밴드의 폭(Si 약 12 eV)과 갭(1 eV 안팎)이 이 축척 위에 놓인다 — 밴드 이론의 에너지가 eV 단위인 것은 $\hbar^2/2m\approx3.8$ eV·Å² 에 격자 상수 Å 가 들어간 결과다. 이 축척은 $U$ 와 무관하다.

영역 경계 근처의 근사해

두 성분만 남긴다

영역 경계 $k=G/2$ 근처에서는 $\lambda_k\approx\lambda_{k-G}$ 이고 다른 $\lambda_{k-G'}$ 들은 멀리 있다. 4절의 직관대로 멀리 있는 성분은 거의 섞이지 않으므로, 중심 방정식에서 $C(k)$ 와 $C(k-G)$ 둘만 남긴다. $U\equiv U_G=U_{-G}$ 는 실수다.

\begin{aligned} (\lambda_k-\varepsilon)\,C(k)+U\,C(k-G)&=0\\ (\lambda_{k-G}-\varepsilon)\,C(k-G)+U\,C(k)&=0 \end{aligned}

$2\times2$ 동차 연립방정식이니 행렬식이 0이어야 한다 — 축퇴 섭동론(5.8.2시간 무관 섭동론 — 축퇴)의 영년 방정식 그대로다.

(\lambda_k-\varepsilon)(\lambda_{k-G}-\varepsilon)-U^2=0 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon=\frac{\lambda_k+\lambda_{k-G}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\lambda_k-\lambda_{k-G}}{2}\right)^2+U^2}

경계 위에서. $k=G/2$ 이면 $\lambda_k=\lambda_{k-G}\equiv\lambda=\hbar^2(G/2)^2/2m$ 이고

\varepsilon=\lambda\pm U

— 두 근이 정확히 $2|U|$ 만큼 벌어진다. 갭 $\varepsilon_g=2|U_G|$ 다. 계수의 비는 첫 식에서 $C(k-G)/C(k)=(\varepsilon-\lambda_k)/U=\pm1$ 이므로 두 고유함수는

\psi=e^{iGx/2}\pm e^{-iGx/2} \quad\longrightarrow\quad 2\cos\frac{Gx}{2},\ \ 2i\sin\frac{Gx}{2}

— 2절의 두 정상파 $\psi(\pm)$ 다. $G/2=\pi/a$ 이니 파장까지 같다. 어느 쪽이 아래인가는 $U$ 의 부호가 정한다. $\varepsilon=\lambda+U$ 에 $C(k-G)=C(k)$ , 곧 코사인이 대응하므로, 이온 위에 전하를 쌓는 코사인이 아래이려면 $U_G\lt0$ 이어야 한다 — 1절에서 이온 자리에서 퍼텐셜이 낮다는 조건이 푸리에 계수의 부호로 번역된 것이다.

주의

같은 갭, 두 표기. 2절은 $U(x)=U\cos(2\pi x/a)$ 로 놓고 $\varepsilon_g=|U|$ 를 얻었고, 이 절은 $U(x)=\sum_G U_Ge^{iGx}$ 로 놓고 $\varepsilon_g=2|U_G|$ 를 얻었다. 모순이 아니다 — $U\cos(2\pi x/a)=\tfrac U2\left(e^{i2\pi x/a}+e^{-i2\pi x/a}\right)$ 이므로 $U_G=U/2$ 이고 $2|U_G|=|U|$ 다. 교재를 옮겨 다닐 때 “갭이 $U$ 인가 $2U$ 인가”로 헷갈리면 코사인 진폭인지 지수함수 계수인지를 먼저 본다. Ashcroft–Mermin 은 지수함수 계수를 쓰고 갭을 $2|U_{\mathbf K}|$ 로 적는다.

경계에서 조금 벗어나면 — 밴드 끝의 모양

영역 경계를 원점으로 새 파수를 잰다.

\tilde K\equiv k-\frac G2

그러면 $\lambda_k=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac G2+\tilde K\right)^2$ , $\lambda_{k-G}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac G2-\tilde K\right)^2$ 이고, 합과 차는

\frac{\lambda_k+\lambda_{k-G}}{2}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{G^2}{4}+\tilde K^2\right), \qquad \frac{\lambda_k-\lambda_{k-G}}{2}=\frac{\hbar^2}{2m}\,G\tilde K

다. 차의 제곱은 $\left(\frac{\hbar^2}{2m}\right)^2G^2\tilde K^2=4\lambda\cdot\frac{\hbar^2\tilde K^2}{2m}$ 로 쓸 수 있다( $\lambda=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{G^2}{4}$ ). 두 근은

\varepsilon_{\tilde K}=\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{G^2}{4}+\tilde K^2\right) \pm\sqrt{4\lambda\,\frac{\hbar^2\tilde K^2}{2m}+U^2}

이다. 이 식이 밴드 끝의 모양 전부를 담고 있다. $\tilde K$ 가 커서 $4\lambda\hbar^2\tilde K^2/2m\gg U^2$ 이면 제곱근이 $\frac{\hbar^2}{2m}G|\tilde K|$ 로 가고 두 근은 $\lambda_k$ , $\lambda_{k-G}$ — 자유전자 직선 둘로 돌아간다. $\tilde K$ 가 작아 $4\lambda\hbar^2\tilde K^2/2m\ll U^2$ 이면 제곱근을 전개해

\varepsilon_{\tilde K}\approx\varepsilon(\pm)+\frac{\hbar^2\tilde K^2}{2m}\left(1\pm\frac{2\lambda}{|U|}\right), \qquad \varepsilon(\pm)=\lambda\pm|U|

가 된다. 위 부호는 위 밴드의 바닥, 아래 부호는 아래 밴드의 꼭대기다. 둘 다 $\tilde K$ 의 포물선이되, 곡률이 자유전자의 $1$ 이 아니라 $1\pm2\lambda/|U|$ 다.

그림 7.7-7. 영역 경계 근처의 두 성분 해. 가로축은 경계에서 잰 파수 K̃ = k − G/2, 단위 ħ²/2m = 1, a = 1, U = 2, λ = π². 점선의 두 자유전자 직선 λ_k, λ_{k−G}는 K̃ = 0에서 교차해야 하지만, U_G가 둘을 섞어 실선처럼 교차를 피하고 2U만큼 벌어진다. 위 밴드 바닥은 아래로 볼록(곡률 1 + 2λ/U), 아래 밴드 꼭대기는 위로 볼록(곡률 1 − 2λ/U, 여기서는 음수)하며, 점선 포물선이 작은 K̃ 근사다. 경계에서 멀어지면 실선이 자유전자 직선에 붙는다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 교차 회피, 그리고 밴드 끝의 곡률이 유효질량이다.

자유전자 두 직선이 X 자로 만나는 자리에서 실선은 만나지 않고 비켜 간다. 두 준위가 같은 에너지에 오면 아무리 약한 결합도 둘을 섞어 벌린다 — 5.8.2의 축퇴 섭동론, 분자의 결합·반결합 오비탈, 2준위계의 라비 진동(5.9.2)이 전부 같은 $2\times2$ 행렬이다. 밴드 갭은 그 교차 회피의 고체판이다.

포물선 $\varepsilon\approx\varepsilon(\pm)+\hbar^2\tilde K^2/2m^{*}$ 로 읽으면 곡률이 곧 유효질량이다.

\frac{m^{*}}{m}=\frac{1}{1\pm2\lambda/|U|}

위 밴드 바닥에서는 $m^{*}\lt m$ — 자유전자보다 가볍다. 아래 밴드 꼭대기에서는 $2\lambda\gt|U|$ 이면(퍼텐셜이 약할수록 그렇다) 분모가 음수라 $m^{*}\lt0$ — 곡률이 음수다. 힘을 주면 반대로 가속되는 전자. 이것이 7.9.3의 정공이고, 도입부의 양수 홀 계수의 답이다.

파라미터 연계 — 갭이 작을수록 캐리어가 가볍다. $|U|\ll\lambda$ 이면 $m^{*}/m\approx|U|/2\lambda =\varepsilon_g/4\lambda$ 다. 같은 격자에서 갭이 작으면 유효질량이 작다. 실제 반도체의 전도 밴드 유효질량이 InSb(갭 0.17 eV) 0.014, InAs(0.35) 0.023, GaAs(1.42) 0.067 로 갭을 따라가는 경향이 이것이다 — 7.8.4의 $\mathbf k\cdot\mathbf p$ 방법이 같은 관계를 실제 밴드에 맞게 정량화한다.

계수의 비 $C(k-G)/C(k)=(\varepsilon-\lambda_k)/U$ 도 같은 이야기를 한다. 경계에서는 $\pm1$ — 두 평면파가 반반 섞인 정상파 — 이고, 경계에서 멀어지면 한쪽이 0 으로 가서 평면파 하나 — 자유전자 — 가 된다. 두 성분 근사가 성립하는 범위는 “다른 $\lambda_{k-G'}$ 가 $U$ 보다 훨씬 멀리 있을 때”이니, $U$ 가 $\lambda$ 에 견주어 작아야 하고 $|\tilde K|$ 가 $G$ 보다 훨씬 작아야 한다. 그 범위 밖에서는 4절의 행렬을 더 크게 잘라야 한다.

밴드당 오비탈 수

k 를 센다 — 원시 세포 하나에 k 하나

밴드 하나에 상태가 몇 개 들어가는지가 이 장의 결론을 정한다. 1차원 결정의 길이를 $L=Na$ 로 두고 주기 경계 조건 $\psi(x+L)=\psi(x)$ 를 걸면 $e^{ikL}=1$ , 곧

k=0,\ \pm\frac{2\pi}{L},\ \pm\frac{4\pi}{L},\ \dots,\ \frac{N\pi}{L}

이다. 마지막 값 $N\pi/L=\pi/a$ 가 영역 경계이고, $-\pi/a$ 는 $+\pi/a$ 와 $G=2\pi/a$ 만큼 차이 나므로 같은 상태다 — 하나로 센다. 첫 영역 안의 서로 다른 $k$ 는 폭 $2\pi/a$ 를 간격 $2\pi/L$ 로 나눈

\frac{2\pi/a}{2\pi/L}=\frac La=N

개다. 첫 브릴루앙 영역에는 원시 세포 수만큼의 $k$ 가 있다. 각 $k$ 에 스핀 두 상태(5.6.5파울리 배타원리) 가 있으므로 밴드 하나에 오비탈 $2N$ 개다. 3차원도 같다 — 영역의 부피 $(2\pi)^3/V_c$ 를 $k$ 점 하나의 부피 $(2\pi)^3/V$ 로 나누면(7.5.2모드 수 세기) $V/V_c=N$ 이다. 포논 모드를 셀 때와 자유전자를 셀 때 쓴 것과 같은 셈이다.

그림 7.7-8. 원시 세포 N = 10개인 1차원 결정. 첫 영역의 k는 2π/L 간격으로 N개이고(±π/a는 같은 점), 점 하나가 스핀 둘의 오비탈 두 개다 — 밴드 하나에 2N = 20개. 왼쪽: 원자마다 원자가 전자 하나면 전자 N = 10개가 k 점 다섯 개를 채우고 페르미 파수 k_F = ±π/2a에서 멈춘다 — 반만 찬 밴드. 오른쪽: 원자마다 둘이면 2N = 20개가 밴드를 가득 채운다. 밴드의 모양은 셈과 무관하다.직접 작도

이 셈에는 $U$ 가 들어가지 않는다. 퍼텐셜이 강하든 약하든, 밴드가 넓든 좁든, 밴드 하나 = 원시 세포당 오비탈 둘이다. 그래서 채움은 밴드 구조의 세부가 아니라 원시 세포당 원자가 전자 수라는 정수 하나로 정해진다.

원자가 전자 수가 채움을 정한다

원시 세포에 원자가 전자가 하나면 $N$ 개의 전자가 $2N$ 개의 오비탈에 들어가 밴드가 반만 찬다. 둘이면 정확히 가득 찰 수 있다. 그래서

물질	구조	세포당 원자	세포당 원자가 전자	채움
Na, K, Rb, Cs	bcc	1	1	반 → 금속
Cu, Ag, Au	fcc	1	1 ( $s$ ; $d$ 밴드는 가득)	반 → 금속
Mg, Zn (hcp) · Ca (fcc)	—	2 · 1	4 · 2	짝수이나 밴드가 겹쳐 → 금속
Al	fcc	1	3	홀수 → 금속
C, Si, Ge	다이아몬드	2	8	4 밴드 가득 → 절연체·반도체
GaAs, InP	섬아연광	2	3 + 5 = 8	4 밴드 가득 → 반도체
Bi, Sb, As	A7 (능면체)	2	10	짝수이나 살짝 겹쳐 → 반금속

세포당 원자 수는 7.1.5의 대표 결정 구조(7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광))에서 온다 — 다이아몬드·섬아연광은 fcc 격자에 원자 둘의 기저다. Si 의 원자가 전자 여덟 개가 밴드 넷을 가득 채우고, 그 넷이 원자가 밴드, 비어 있는 다음 밴드들이 전도 밴드다. 11부의 반도체 물리는 이 여덟 개에서 시작한다.

금속과 절연체의 구분

가득 찬 밴드는 전류를 나르지 못한다

이 장의 결론은 한 문장이다. 부분적으로 찬 밴드가 있으면 금속, 모든 밴드가 가득 차거나 비어 있고 그 사이에 갭이 있으면 절연체다. 이유는 가득 찬 밴드의 전류가 0이기 때문이다.

블로흐 전자의 속도는 군속도(7.4.4군속도와 장파장 극한) $v_n(k)=\hbar^{-1}\,d\varepsilon_n/dk$ 다 (7.9.2). 밴드 하나가 나르는 전류는 찬 상태들의 속도 합이다.

j=-\frac{e}{L}\sum_{k\ \text{찬}}v(k)

가득 찬 밴드에서는 합이 첫 영역 전체에 걸치고, $\varepsilon(-k)=\varepsilon(k)$ 이므로 $v(-k)=-v(k)$ — 짝을 지어 지워진다. $j=0$ 이다. 전기장을 걸어도 마찬가지다. 7.9.2의 $\hbar\,dk/dt=-eE$ 에 따라 모든 전자의 $k$ 가 같은 속도로 밀리지만, 영역 경계를 넘어간 전자는 반대편 경계로 되돌아오므로(그것이 $k$ 와 $k+G$ 가 같다는 뜻이다) 가득 찬 밴드는 밀어도 가득 찬 밴드다. 점유 분포가 변하지 않으니 전류도 0이다. 전자가 움직이지 않아서가 아니라 — 모두 움직인다 — 움직임의 합이 언제나 0이라서다.

부분적으로 찬 밴드는 다르다. 전기장이 점유 분포를 $k$ 축으로 밀면 오른쪽으로 가는 전자가 왼쪽으로 가는 전자보다 많아지고, 그 차가 전류다(7.6.5의 드루데 그림이 밴드 언어로 옮겨진 것이다). 그래서

금속 — 부분적으로 찬 밴드가 있다. 1가 금속은 밴드 하나가 반 찼고, 2가·3가 금속은 밴드가 겹쳐 여럿이 부분적으로 찼다.
절연체 — 원자가 전자가 밴드를 가득 채우고 다음 밴드까지 갭이 크다. 다이아몬드 5.5 eV, SiO₂ 약 9 eV.
반도체 — 구조는 절연체와 같되 갭이 작아 실온의 열에너지로 소수의 전자가 갭을 넘는다. Si 1.12 eV, Ge 0.66 eV, GaAs 1.42 eV. 넘어간 전자와 남은 빈자리(정공)가 캐리어다 — 11부.
반금속 — 세포당 전자는 짝수인데 밴드가 살짝 겹쳐 아래 밴드 꼭대기가 조금 비고 위 밴드 바닥이 조금 찬다. Bi·Sb·As·흑연. 캐리어 농도가 금속보다 두 자릿수 이상 작다(As 약 $10^{20}$ , Bi 약 $10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$ ).

그림 7.7-9. 채움이 가르는 네 부류. 칠한 부분이 찬 오비탈, 빈 테두리가 빈 오비탈, 점선이 페르미 준위. 절연체는 원자가 밴드가 가득 차고 갭이 넓다. 반도체는 같은 구조에 갭이 좁아 실온에서 소수의 전자가 전도 밴드로 들뜨고 원자가 밴드에 빈자리를 남긴다(점은 표시일 뿐 축척이 아니다). 금속은 밴드 하나가 부분적으로 찼다. 반금속은 두 밴드가 조금 겹쳐 아래 밴드 꼭대기가 비고 위 밴드 바닥이 찬다. 넷을 가르는 것은 밴드 모양이 아니라 어디까지 찼는가다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 절연체와 반도체의 경계는 온도가 정한다.

갭을 넘는 전자 수는 $\exp(-\varepsilon_g/2k_BT)$ 에 비례한다(11.1.1; 페르미–디랙 분포 6.4.7페르미-디랙 분포의 유도 의 꼬리다). 실온 $k_BT=0.026$ eV 에서 Si( $\varepsilon_g=1.12$ eV)는 $\exp(-21.6)\sim4\times10^{-10}$ 이고, 갭 가장자리 $k_BT$ 폭 안의 상태 수(약 $10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$ , 11.1.3)에 이 인자를 곱한 것이 11.1의 $n_i\approx10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 이다. 다이아몬드(5.5 eV)는 $\exp(-106)$ 으로 사실상 0이다. 같은 다이아몬드도 1000 K 에서는 반도체처럼 행동한다. “갭이 몇 eV 이하면 반도체”의 경계는 물리가 아니라 쓰임새다 — SiC(3.3 eV)와 GaN(3.4 eV)을 절연체가 아니라 “와이드 밴드갭 반도체”라 부르는 것은 도핑으로 캐리어를 넣어 소자를 만들 수 있기 때문이고(17부), 갭이 그 정도면 열로 생기는 캐리어가 없어 고온·고전압에서 유리하다.

의문

그러면 절연체에 전기장을 걸면 아무 일도 없는가? 전류가 없을 뿐, 아무 일도 없지는 않다. 전자 구름이 이온에 대해 조금 밀려 분극이 생기고, 그것이 유전 상수의 전자적 기여다(2부·13부). 전기장이 아주 강하면 갭을 사이에 두고 $k$ 공간에서 밀리던 전자가 3절의 소멸파를 타고 갭을 건너뛴다 — 제너 터널링(7.9.10)이고, 절연체 항복의 한 경로다. 또 빛을 쬐면 광자가 전자를 갭 너머로 올린다 — 광전도, 7.11.

홀 계수가 양수인 금속은? Al 은 세포당 전자 셋이라 밴드 둘이 부분적으로 찼고, 그중 하나는 거의 가득 차 있다. 거의 찬 밴드의 전류는 6절에서 본 대로 꼭대기 근처의 빈자리가 나르고, 그 빈자리는 곡률이 음수라 양전하처럼 행동한다 — 7.9.3의 정공이다. 홀 계수의 부호는 어느 밴드가 이기는가로 정해지고, 7.8.6의 페르미 면 모양이 그 답을 준다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 주기 퍼텐셜은 브릴루앙 영역 경계에서 $2|U_G|$ 의 갭을 열고, 밴드 하나에 원시 세포당 오비탈 둘을 두며, 그 채움이 금속과 절연체를 가른다. 목적지를 적어 둔다.

밴드 구조의 실제 계산과 페르미 면 (7.8) — 강결합(3절의 $P\to\infty$ 극한), 유사퍼텐셜(4절의 행렬을 3차원에서 수백 개 $\mathbf G$ 로), $\mathbf k\cdot\mathbf p$ (6절의 두 성분 근사를 실제 밴드 끝에), 환원·확장·주기 영역 도식(5절).
반도체의 밴드 구조 (7.9) — $\varepsilon$ – $\mathbf k$ 그림, 운동 방정식 $\hbar\dot{\mathbf k} =\mathbf F$ 와 군속도(4·8절), 정공(6절의 음의 곡률), 유효질량 텐서(6절), Si·Ge·GaAs 의 갭이 열린 자리(5절의 축퇴점), 직접·간접 천이(4절의 결정 운동량 보존), 초격자와 미니밴드(3절 그대로), 제너 터널링(3절의 소멸파).
캐리어 통계 (11부) — 밴드당 $2N$ 오비탈(7절)이 상태밀도의 규격화이고, 갭과 $k_BT$ 의 비(8절)가 진성 캐리어 농도다. 원자가 밴드 넷·전도 밴드(7절의 표)가 11부의 출발점이다.
표면과 계면 (9부) — 갭 안의 소멸 상태(3절)가 표면 상태와 금속 유도 갭 상태, 쇼트키 장벽의 페르미 준위 고정.
광학 (7.11·13부) — 수직 천이(4절), 갭 가장자리의 흡수, 유효질량과 엑시톤.
양자 수송과 터널 소자 (12부) — 복소 밴드 구조(3절), 공명 터널링 다이오드의 우물–장벽 구조 (크로니히–페니의 세포 하나).
다음 장들. 7.8이 이 장의 정성적 그림을 정량 계산으로, 7.9가 반도체 하나하나의 밴드로 바꾼다. 7.10은 이 장이 무시한 전자 사이 상호작용을 되살린다.