8부 재료과학 8.2

미세조직 관찰

8.1은 결정 안에 무엇이 있는가를 다뤘다 — 공공, 전위, 결정립계, 석출물. 이 장은 그것을 어떻게 보는가, 그리고 본 것을 어떻게 수로 바꾸는가를 다룬다. 결정립·상·결함이 공간에 배열된 모양을 미세조직(microstructure)이라 부르고, 그 척도는 원자 간격 0.2 nm에서 결정립 100 μm까지 여섯 자릿수에 걸쳐 있다. 눈은 0.1 mm 아래를 보지 못하므로 미세조직은 정의상 현미경의 영역이다.

왜 봐야 하는가. 재료의 성질은 조성만으로 정해지지 않는다. 같은 탄소강이 펄라이트인지 마르텐사이트인지에 따라 강도가 네 배 다르고, 같은 구리 배선이 결정립 40 nm인지 1 μm인지에 따라 비저항이 두 배 다르다. 조성과 공정이 미세조직을 만들고, 미세조직이 성질을 만든다 — 재료과학의 중심 문장이고, 그 가운데 항을 재는 일이 이 장이다. 관찰 없이는 공정과 물성 사이의 인과를 확인할 수 없다.

장은 다섯 단계로 간다.

도구 (1절) — 광학·전자·탐침 현미경이 각각 무엇을, 어떤 한계로 보는가. 배율이 아니라 분해능이 문제이고, 분해능은 파장과 렌즈가 정한다.
시편 (2절) — 잘라서 갈고 닦아 부식시키는 절차. 보이는 것이 재료인지 준비의 흔적인지를 가르는 단계이며, 부식이 결정립계를 드러내는 이유가 곧 결정립계의 물리다.
수치화 (3절) — 사진을 결정립 크기 하나로 줄이는 방법. 2차원 단면에서 3차원 크기를 읽는 입체해석(stereology)의 규칙과 ASTM 결정립 크기 번호.
방위 (4절) — 결정립이 어느 쪽을 향해 있는가의 통계, 집합조직. 극점도와 방위 분포 함수, XRD와 EBSD.
물성 (5절) — 잰 수가 강도·비저항·열전도·수명과 어떻게 이어지는가.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다. 웨이퍼는 단결정이다 — 미세조직을 설계로 없앤 재료이고, 그래서 남는 것은 점결함·산소 석출물·전위 같은 결함이며 그것들을 보는 방법이 2절의 결함 부식이다. 미세조직이 살아 있는 곳은 박막이다. 다결정 실리콘 게이트와 TFT 채널(16.3), 구리·알루미늄 배선, 텅스텐 플러그, 실리사이드 — 결정립 크기와 집합조직이 배선 저항(5절)과 일렉트로마이그레이션 수명(9.12), TFT 이동도를 정한다. 소자 구조의 치수와 형상을 재는 계측(CD-SEM·단면 TEM·AFM·XRD)은 같은 물리를 쓰지만 묻는 것이 다르므로 19.3에 따로 둔다.

표기는 Callister를 기준으로 하되, 결정립 크기 번호는 ASTM E112의 $G$ 를 쓴다(Callister의 $n$ 은 이 장에서 굴절률이다). 박막의 결정립 성장과 집합조직은 Ohring §9.4를 따른다.

기호 — 이 장의 약속

한 장 안에 광학·전자 산란·통계·결정학·전기 전도가 함께 들어와서, 같은 글자가 절마다 다른 뜻으로 쓰인다. 미리 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\lambda$	람다	파장(빛·전자) — 1절. 5절에서는 전자의 평균 자유 행정	nm · pm
$n$		굴절률(1절)	—
$\alpha$	알파	대물렌즈의 개구 반각	rad
$\mathrm{NA}$		개구수 $n\sin\alpha$	—
$d$		분해능(1절) · 결정립 크기(3·5절) · 면간 거리 $d_{hkl}$ (4절)	nm · μm
$M$		배율(1·3절) · 박막의 이축 탄성률(4절)	— · GPa
$V$ , $E$		가속 전압 · 전자의 에너지 $eV$ . 이 장에서 $E$ 는 전기장이 아니다	V · keV
$C_s$	씨 에스	렌즈의 구면수차 계수	mm
$R$		전자의 사정 거리(1절) · 결정립계의 반사 계수(5절)	μm · —
$Z$ , $A$ , $\rho$		원자번호 · 원자량 · 밀도(1절). $\rho$ 는 5절에서 비저항	— · g/mol · g/cm³
$G$		ASTM 결정립 크기 번호	—
$N$		100배 사진에서 1 in² 안의 결정립 수	—
$N_A$ , $N_L$ , $P_L$		단위 면적당 결정립 수 · 단위 길이당 결정립 수 · 교점 수	mm⁻² · mm⁻¹
$\bar\ell$	엘 바	평균 절편 길이	μm
$\bar d$ , $\bar A$		평균 결정립 지름 · 면적	μm · μm²
$S_V$		단위 부피당 결정립계 면적	mm⁻¹
$V_V$ , $A_A$ , $L_L$ , $P_P$		부피 · 면적 · 선 · 점 분율	—
$L_T$		시험선의 총 길이	mm
$g$ , $(\varphi_1, \Phi, \varphi_2)$		결정립의 방위(회전) · 번지(Bunge) 오일러 각	— · rad
$f(g)$		방위 분포 함수(ODF)	mrd
$\{hkl\}\langle uvw\rangle$		판재 집합조직 — 압연면 $\{hkl\}$ , 압연 방향 $\langle uvw\rangle$	—
$\mathrm{TC}(hkl)$		해리스(Harris) 집합조직 계수	—
$\gamma$ , $\varepsilon$	감마 · 엡실론	표면·계면 에너지 · 변형률(4절)	J/m² · —
$t$		박막 두께(4절). $h$ 는 1절의 플랑크 상수로 남겨 둔다	nm
$\sigma_y$ , $\sigma_0$ , $k_y$		항복 강도 · 마찰 응력 · 홀–페치 계수	MPa · MPa · $\mathrm{MPa{\cdot}m^{1/2}}$

주의

짚고 갈 함정이 일곱이다. 전부 한 글자가 두 물건인 자리다.

① $d$ 셋. 1절의 $d$ 는 분해능(두 점을 갈라 보는 최소 거리), 3·5절의 $d$ 는 결정립 크기, 4절의 $d_{hkl}$ 은 면간 거리다. 셋 다 길이라 단위로는 구분되지 않는다. 홀–페치 식의 $d^{-1/2}$ 는 결정립 크기다.

② $n$ 과 $N$ . 소문자 $n$ 은 매질의 굴절률(무차원, 1.0~1.5)이고, 대문자 $N$ 은 개수다. $N_A$ 는 아보가드로 수가 아니라 단위 면적당 결정립 수다 — 아래첨자 $A$ 는 area. Callister는 결정립 크기 번호를 $n$ 으로 쓰지만, 이 장은 굴절률과 부딪치므로 ASTM의 $G$ 를 쓴다.

③ $R$ 둘. 1절의 $R$ 은 전자가 시편 안으로 파고드는 사정 거리(μm)이고, 5절의 $R$ 은 결정립계가 전자를 되돌려 보내는 확률(0~1)이다.

④ $\rho$ 둘. 1절의 사정 거리 식에서는 질량 밀도(g/cm³), 5절에서는 비저항(μΩ·cm).

⑤ $M$ 둘. 배율은 무차원, 이축 탄성률은 GPa. 4절의 $M\varepsilon^2$ 은 에너지 밀도다.

⑥ $\lambda$ 둘. 1절에서는 파장이고, 5절의 마야다스–샤츠케스 식에서는 전자의 평균 자유 행정이다. 둘 다 nm 자릿수라 더 헷갈린다 — 5절에 들어가면서 다시 못박는다.

⑦ $E$ . 전자 에너지(keV)다. 전기장도, 탄성률도 아니다. 탄성률이 필요한 4절은 $M$ 을, 5절의 전기 전도는 $\rho$ 를 쓴다.

광학·전자 현미경의 기초

무엇을 보려 하는가 — 척도가 도구를 정한다

현미경을 고르는 첫 질문은 “얼마나 확대하나”가 아니라 “얼마나 작은 것을 갈라 보나”다. 확대는 접안렌즈를 바꾸면 얼마든지 되지만, 갈라 보이지 않는 것을 크게 키우면 흐릿한 얼룩이 커질 뿐이다. 그래서 도구는 분해능으로 고르고, 분해능은 관찰 대상의 크기가 정한다.

그림 8.2-1. 미세조직의 길이 척도와 그것을 보는 도구. 위는 도구가 다루는 범위, 아래는 미세조직 요소의 전형적 크기다. 벌크 결정립(1~100 μm)은 육안 한계 바로 아래라 광학 현미경이 필요하고, 석출물·전위·박막 결정립은 광학 한계 0.2 μm 아래라 전자가 필요하다. 원자 간격은 TEM과 탐침 현미경만 닿는다.직접 작도

세 층이 보인다. 결정립과 상의 분포는 광학 현미경의 일이고(1~~100 μm), 박막 결정립·석출물· 전위는 전자 현미경의 일이며(1~~100 nm), 원자 배열은 고분해능 TEM과 탐침 현미경의 일이다(0.1 nm). 셋은 서로를 대신하지 못한다 — TEM은 원자를 보지만 시야가 μm 남짓이라 결정립 크기의 통계를 낼 수 없고, 광학 현미경은 mm 시야로 통계를 내지만 결정립 안쪽은 텅 빈 평면으로 보인다.

광학 현미경 — 반사광과 대비

금속은 불투명하므로 생물학의 투과 현미경을 쓸 수 없다. 금속 현미경은 대물렌즈를 통해 빛을 시편에 수직으로 내려보내고, 되돌아온 빛을 같은 렌즈로 받는다(반사광). 시편은 평탄하게 연마되어 있어야 하는데, 그 이유는 초점 심도에서 곧 나온다. 세라믹 박편이나 고분자처럼 얇게 잘라 투명하게 만들 수 있으면 투과 모드도 쓴다.

평탄하게 닦기만 한 시편은 거울이라 아무것도 보이지 않는다 — 어디서나 빛이 똑같이 되돌아온다. 대비는 표면이 평탄하지 않은 자리에서만 생긴다. 2절의 부식이 결정립계를 홈으로 파고 결정립마다 표면을 다르게 거칠게 만들면, 홈에서는 빛이 렌즈 밖으로 튀어 검은 선이 되고 결정립은 밝기가 서로 다른 면으로 보인다. 관찰 모드는 이 산란광을 어떻게 다루느냐로 갈린다.

모드	무엇을 받나	무엇이 보이나
명시야(bright field)	수직 반사광	평탄면 밝음, 홈·계단 어두움. 기본 모드
암시야(dark field)	산란광만 (수직 반사광은 차단)	명시야의 반전 — 홈·균열·개재물이 검은 바탕에 밝게
편광(polarized light)	교차 편광자 사이의 반사광	광학적으로 이방성인 결정(Ti·Zn·Be·U, 산화물)의 결정립이 방위에 따라 밝기 차. 입방 금속은 양극 산화막을 입혀야 보인다
미분 간섭(DIC, Nomarski)	두 갈래로 갈라 살짝 어긋난 빛의 간섭	수 nm의 높이 차가 음영으로 — 부식 없이 상의 굴곡, 폴리싱 릴리프

배율은 대물렌즈 배율과 접안렌즈 배율의 곱이고, 실용 상한은 1,000~1,500배다. 그 이상은 “빈 배율”(empty magnification)이라 부른다 — 커지기만 하고 새 정보가 없다. 왜 그 숫자인지가 다음 소절이다.

분해능 — 파장과 개구수가 정한다

두 점광원이 얼마나 가까워지면 하나로 뭉개지는가. 원형 개구를 지난 빛은 점이 아니라 에어리 원판으로 맺히고, 레일리 기준은 한 점의 중심이 다른 점의 첫 어두운 고리에 놓일 때를 한계로 잡는다 3.6.6레일리 기준과 분해 한계. 그 결과가

d = \frac{0.61\,\lambda}{n\sin\alpha} = \frac{0.61\,\lambda}{\mathrm{NA}}

이다. $\lambda$ 는 빛의 파장, $\alpha$ 는 대물렌즈가 시편에서 받아들이는 광선 원뿔의 반각, $n$ 은 시편과 렌즈 사이 매질의 굴절률이다. 분모 $n\sin\alpha$ 를 묶어 개구수 NA라 부른다 3.4.5개구수(NA)와 초점 심도.

직관

왜 하필 $\sin\alpha$ 인가. 아베(Abbe)의 관점이 답을 준다. 시편 위의 주기 $p$ 인 무늬는 빛을 회절시켜 $\sin\theta = \lambda/(np)$ 방향으로 1차 회절광을 보낸다. 상이 맺히려면 0차와 1차가 둘 다 렌즈에 들어와야 하고, 그래서 $\sin\theta \le \sin\alpha$ , 즉 $p \ge \lambda/(n\sin\alpha)$ 다. 렌즈는 공간 주파수의 저역 통과 필터이고, NA가 그 차단 주파수다 — 3.6의 푸리에 광학과 MTF가 같은 말이다. 레일리의 $0.61$ 과 아베의 $1$ (경사 조명이면 $0.5$ )은 “갈라 보인다”를 어디서 끊느냐의 차이일 뿐, $\lambda/\mathrm{NA}$ 라는 구조는 같다.

이 식을 반도체는 다른 이름으로 매일 쓴다. 리소그래피의 최소 선폭 $R = k_1\lambda/\mathrm{NA}$ 는 글자 하나 다르지 않다 — 현미경이 “보는” 한계와 노광기가 “그리는” 한계가 같은 물리다. 파장을 줄이고( $193 \to 13.5$ nm), $n$ 을 키우고(물 침지, $n = 1.44$ ), 조명을 기울여 $k_1$ 을 낮추는 세 수단이 전부 이 분모·분자 안에 있다. 18부에서 다시 만난다.

숫자를 넣어 본다. 가시광 한가운데 $\lambda = 550$ nm, 건식 대물렌즈의 최대 NA $\approx 0.95$ 이면 $d \approx 0.35$ μm, 오일 침지( $n = 1.52$ , NA $\approx 1.4$ )면 $0.24$ μm. 광학 현미경의 분해능은 0.2 μm 언저리이고, 이것이 그림 8.2-1의 광학 한계다. 눈의 분해능 0.1~~0.2 mm를 이 값으로 나누면 500~~1,000 — 실용 배율의 상한이 여기서 나온다. 개선할 자리는 셋뿐이다. $\lambda$ 를 줄이거나(자외선 현미경, $\lambda = 250$ nm면 $0.1$ μm), $n$ 을 키우거나(침지), $\alpha$ 를 키우거나. 마지막은 $\sin\alpha \le 1$ 이라 이미 벽에 붙어 있다. 그래서 한 자릿수를 더 내려가려면 파장을 천 배 줄이는 수밖에 없고, 그것이 전자다.

초점 심도는 분해능과 반대로 움직인다. 초점이 맞는 깊이 범위는 대략

\mathrm{DOF} \approx \frac{n\lambda}{\mathrm{NA}^2}

이고, NA $= 0.9$ 에서 $0.7$ μm 남짓이다. 분해능은 NA에 반비례하는데 초점 심도는 제곱에 반비례한다 — NA를 두 배 올리면 두 배 잘 보이고 네 배 얕아진다.

전자의 파장 — 가속 전압이 정한다

전압 $V$ 로 가속된 전자는 운동량 $p = \sqrt{2m_0 eV}$ 를 얻고, 드브로이 관계 $\lambda = h/p$ 로 파장을 갖는다 5.1.5드브로이 물질파와 전자 회절. 상대론 보정을 넣으면

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_0 eV\left(1 + \dfrac{eV}{2m_0c^2}\right)}} \;\approx\; \frac{1.226\ \mathrm{nm}}{\sqrt{V\,[\mathrm{V}]}}\times \frac{1}{\sqrt{1 + 0.978\times10^{-6}\,V}}

이다. 보정항의 $2m_0c^2 = 1.022$ MeV가 척도라서, 100 kV부터 몇 퍼센트씩 걸린다.

가속 전압	파장 $\lambda$	어디에 쓰나
1 kV	38.8 pm	저전압 SEM — 표면에 민감, 대전 적음
10 kV	12.2 pm	SEM 일반
30 kV	6.98 pm	SEM 최대 · EBSD
100 kV	3.70 pm	TEM (고분자·생체)
200 kV	2.51 pm	TEM 표준
300 kV	1.97 pm	고분해능 TEM

원자 간격 0.2~0.3 nm와 견주면 파장이 백 배 짧다. 그러면 레일리 식으로 분해능이 0.002 nm가 나와야 하는데, 실제 TEM은 보정 없이 0.2 nm, 수차 보정기를 달아도 0.05 nm다. 파장이 아니라 렌즈가 막는다.

의문

파장이 2.5 pm인데 왜 원자 하나(200 pm)가 겨우 보이는가?

전자 렌즈는 자기장이고, 자기 렌즈는 구면수차를 없앨 수 없다. 셰르처(Scherzer, 1936)가 증명한 대로, 회전 대칭인 정적 전자기 렌즈의 구면수차 계수 $C_s$ 는 언제나 양수다. 유리 렌즈는 볼록·오목을 조합해 수차를 상쇄하지만 자기 렌즈는 볼록만 있다 — 콜라병 바닥을 렌즈로 쓰는 셈이다. 구면수차는 축에서 각 $\alpha$ 로 벗어난 광선을 $C_s\alpha^3$ 만큼 엉뚱한 자리에 맺히게 한다. $C_s \approx 1$ mm이면 $\alpha = 10$ mrad에서 벌써 $1$ nm다. 그래서 조리개를 아주 좁게 닫아야 하고, 좁게 닫으면 이번엔 회절 항 $0.61\lambda/\alpha$ 가 커진다.

두 항을 함께 쓰면

d_{\mathrm{d}} = \frac{0.61\,\lambda}{\alpha}, \qquad d_{\mathrm{s}} = C_s\,\alpha^3, \qquad d \approx \sqrt{d_{\mathrm{d}}^2 + d_{\mathrm{s}}^2}

이고, 최소는 두 항이 같은 자릿수가 되는 곳에서 난다. $d_{\mathrm{d}}$ 와 $d_{\mathrm{s}}$ 를 같다고 놓으면 $\alpha_{\mathrm{opt}} \propto (\lambda/C_s)^{1/4}$ , 이를 되넣으면

d_{\min} \approx A\, C_s^{1/4}\lambda^{3/4}

가 된다. 상수 $A$ 는 “분해능”을 어떻게 정의하느냐에 따라 0.6~0.9다(위상 대비의 셰르처 분해능이 $0.66$ ). $C_s = 1$ mm, 200 kV면 $\alpha_{\mathrm{opt}} \approx 5$ mrad, $d_{\min} \approx 0.2 \sim 0.3$ nm — 광학 현미경의 $\alpha \approx 70°$ 와 견주면 조리개가 백 배 좁고, 그래도 원자 간격에 겨우 닿는다.

그림 8.2-2. 전자 렌즈의 분해능 — 회절 항과 구면수차 항의 경쟁. 조리개 반각 α를 키우면 회절 항 0.61λ/α는 줄고 구면수차 항 Cs·α³는 세제곱으로 커진다. 둘의 합(파랑, Cs = 1 mm)은 약 5 mrad에서 0.3 nm 근처의 최소를 갖는다. 수차 보정기로 Cs를 백 배 줄이면(주황) 최소점이 더 큰 각도, 더 작은 값으로 옮겨 간다 — 조리개를 열 수 있게 되어 회절 항까지 함께 내려가기 때문이다. λ = 2.5 pm (200 kV).직접 작도

직관

수식적·그래프 직관. $d_{\min} \propto C_s^{1/4}\lambda^{3/4}$ 의 지수가 이야기의 전부다.

가속 전압을 100 kV에서 300 kV로 올리면 $\lambda$ 는 1.9배 줄지만 분해능은 $1.9^{3/4} \approx 1.6$ 배만 좋아진다. 그마저 300 kV를 넘기면 전자가 시편 원자를 튕겨 내는 손상(knock-on)이 먼저 온다.
$C_s$ 를 백 배 줄이면 $100^{1/4} \approx 3.2$ 배 좋아진다. 1/4승이라 미미해 보이지만, 1990년대까지 렌즈 설계로 줄일 수 있는 $C_s$ 는 기껏 $0.5 \sim 1$ mm였다. 2000년대의 수차 보정기(비회전 대칭 다극자 렌즈로 셰르처 정리의 전제를 깨는 장치)가 $C_s$ 를 μm 자릿수로 내리자 분해능이 0.2 nm에서 0.05 nm로 뛰었다 — 그림의 두 최소점 사이 거리가 그 도약이다.
그림에서 최소점의 왼쪽은 회절이, 오른쪽은 수차가 지배한다. 조리개를 최적보다 좁히면 광학 현미경과 같은 이유로 흐려지고, 넓히면 콜라병 바닥이 된다.

TEM — 투과와 회절 대비

투과 전자 현미경은 100~200 nm 이하로 얇게 만든 시편에 전자를 통과시킨다. 시편 아래의 대물렌즈는 두 가지 상을 동시에 만든다 — 뒤초점면에는 회절 무늬가, 상면에는 확대상이 맺힌다. 뒤초점면이 시편 투과 함수의 푸리에 변환이라는 사실(3.6.9)이 TEM 작동의 뼈대다. 중간 렌즈의 초점을 바꿔 둘 중 하나를 골라 형광판에 띄우면 같은 시편에서 회절 무늬(결정 구조·방위, 7.2)와 상을 번갈아 본다. 제한 시야 조리개로 지름 수백 nm 영역만 골라 회절을 찍는 것이 제한 시야 회절(SAD)이다.

대비는 뒤초점면에 놓는 대물 조리개가 만든다.

명시야(BF) — 조리개가 투과빔만 통과시킨다. 강하게 회절하는 곳은 전자를 조리개 밖으로 보내 버려 어둡게 보인다. 브래그 조건에 가까운 결정립이 어둡고 먼 결정립이 밝다. 전위 주변은 격자가 휘어 국소적으로 브래그 조건을 만족하므로 검은 선으로 나타난다 — 8.1의 전위 그림은 전부 이렇게 찍은 것이다.
암시야(DF) — 조리개를 특정 회절빔 하나에 맞춘다. 그 빔으로 회절하는 결정립만 밝다. “어느 결정립이 이 방위인가”를 묻는 모드이고, 나노 결정립 박막에서 결정립을 세는 표준 방법이다.
질량–두께 대비 — 비정질·고분자·무거운 석출물에서. 두껍거나 $Z$ 가 큰 곳은 전자를 더 산란시켜 어둡다.
위상 대비(HRTEM) — 조리개를 넓혀 투과빔과 여러 회절빔을 함께 받으면 간섭으로 격자 무늬가 생긴다. 무늬가 원자 위치인지는 시편 두께와 초점에 따라 뒤집히므로, 정량 해석은 시뮬레이션과 대조해야 한다.
STEM–HAADF — 빔을 nm 이하로 모아 주사하고, 고각으로 산란된 전자를 고리형 검출기로 받는다. 신호가 $\propto Z^{1.7}$ 쯤이라 원자 기둥이 무게 순으로 밝게 보이고, 위상 대비처럼 뒤집히지 않는다. 게이트 스택 단면의 표준이 되었다.

반도체에서 TEM은 게이트 스택의 단면을 보는 도구다. 1 nm 두께 산화막, 계면의 원자 층 거칠기, SiGe 채널의 부정합 전위, 핀의 형상 — 전부 19.3.2의 단면 TEM이고, 시편을 만드는 방법(FIB)은 2절과 19.3.7에서 본다.

SEM — 주사와 신호

주사 전자 현미경은 상을 렌즈로 맺지 않는다. 전자빔을 1~10 nm로 모아 시편 위를 래스터로 훑고, 각 지점에서 튀어나온 신호를 검출기로 세어 그 값을 화면의 대응 픽셀 밝기로 찍는다. 그래서 두 가지가 공짜로 따라온다. 배율은 화면 크기 / 훑은 영역 크기라 렌즈를 갈지 않고 10배에서 50만 배까지 연속으로 바꿀 수 있고, 시편 뒤에 결상 렌즈가 없으니 빔의 수렴각(수 mrad)만이 초점 심도를 정해 광학 현미경의 백 배 깊다 — 파단면, 입자, 식각된 구조가 전부 초점 안에 든다.

빔이 시편에 들어가면 곧장 되튀지 않는다. 산란을 거듭하며 서양배 모양의 부피로 퍼지고, 그 크기가 무엇을 얼마나 잘 보느냐를 정한다. 카나야–오카야마(Kanaya–Okayama)의 사정 거리

R\,[\mathrm{\mu m}] = \frac{0.0276\,A\,E^{1.67}}{Z^{0.889}\,\rho} \qquad (A\text{: g/mol},\; E\text{: keV},\; \rho\text{: g/cm}^3)

에 Si( $A = 28.1$ , $Z = 14$ , $\rho = 2.33$ )를 넣으면 5 keV에서 $0.47$ μm, 10 keV에서 $1.5$ μm, 20 keV에서 $4.7$ μm다. 에너지의 $1.67$ 승이라 전압을 두 배 올리면 부피가 세 배 넘게 깊어진다.

그림 8.2-3. 실리콘 안의 전자빔 상호작용 부피. 깊이는 카나야–오카야마 식대로 축척을 맞췄고 모양은 모식이다. 2차전자(SE)는 표면 수 nm에서만 빠져나와 표면 형상을 보고, 후방산란전자(BSE)는 위쪽 30 % 남짓에서, 특성 X선은 부피 대부분에서 나온다. 같은 빔인데 신호마다 나오는 깊이가 다르므로 공간 분해능도 신호마다 다르다.직접 작도

신호는 나오는 깊이로 갈린다.

2차전자(SE, $E < 50$ eV) — 시편 원자에서 느슨하게 떨어져 나온 전자. 에너지가 낮아 표면 1~10 nm 안에서만 빠져나온다. 그래서 상호작용 부피가 아무리 커도 SE 상의 분해능은 빔 지름이 정하고, 신호는 표면의 형상을 따른다. 모서리에서는 빠져나올 면이 많아 밝게 보이는데(edge effect), 이것이 SEM 특유의 입체감이다.
후방산란전자(BSE) — 핵과의 탄성 산란으로 되튄 전자. 에너지가 높아 깊은 곳( $\sim 0.3R$ )에서도 나온다. 되튀는 비율 $\eta$ 는 원자번호와 함께 단조 증가하므로(C 0.06, Al 0.15, Cu 0.30, Au 0.50) 무거운 상이 밝다 — 조성 대비. 결정에서는 빔 방향이 격자면과 맞으면 전자가 채널을 타고 깊이 들어가 덜 되튀므로, 부식 없이 결정립이 방위별 밝기로 보인다(채널링 대비, ECCI). 이 회절을 무늬로 찍은 것이 4절의 EBSD다.
특성 X선 — 내각 전자를 쳐낸 자리를 바깥 전자가 채우며 낸다. 부피 거의 전체에서 나와 공간 분해능이 μm 자릿수다. 원소별 에너지가 다르므로 조성 지도(EDS)가 된다 — 19.4.3.
음극선 발광(CL)과 EBIC — 반도체만의 신호다. 빔이 만든 전자–정공 쌍이 재결합하며 내는 빛(CL)이나 접합에서 걷힌 전류(EBIC)를 찍으면, 전위·결정립계 같은 재결합 중심이 검은 점·선으로 나온다. GaN의 관통 전위 밀도를 세고, 태양전지 결정립계의 활성도를 재는 방법이다(17부).

의문

같은 빔, 같은 자리인데 왜 SE 상은 1 nm를 가르고 EDS 지도는 1 μm를 못 가르는가?

신호가 빠져나올 수 있는 깊이가 다르기 때문이다. SE는 표면 수 nm에서만 탈출하므로 빔이 들어간 자리(빔 지름)에서만 나온다. X선은 시편을 쉽게 뚫고 나오므로 전자가 퍼져 간 부피 전체가 광원이다 — 빔은 1 nm인데 광원은 1 μm다. 그래서 EDS 분해능을 높이려면 빔을 더 모을 것이 아니라 전압을 내려 부피를 줄이거나(5 kV에서 Si는 $0.5$ μm), 시편을 얇게 만들어 퍼질 공간을 없애야 한다(TEM–EDS는 수 nm).

같은 이유로 저전압 SEM(1~2 kV)이 표면 계측의 표준이 되었다. 부피가 수십 nm로 줄어 표면 정보가 순수해지고, 절연체의 대전도 줄어 코팅 없이 볼 수 있다. 대가는 빔 지름이다 — 저전압에서는 색수차 때문에 빔을 모으기 어려워, 이를 해결한 것이 인렌즈 검출기와 냉음극 전계방출 전자총이다.

시편 조건은 둘이다. 진공(9.3)과 전기 전도. 절연체는 빔이 쌓여 대전되어 상이 뒤틀리므로 Au·Pt·C를 수 nm 입히거나, 저전압으로 보거나, 챔버에 기체를 약간 넣어 이온으로 중화한다 (저진공 SEM). 금속·반도체는 닦아서 바로 본다. 설정 파라미터는 서로 당긴다.

올리면	좋아지는 것	나빠지는 것
가속 전압 $V$	빔 지름 ↓ (파장·색수차)	상호작용 부피 ↑ — 표면 정보 흐려짐, 대전·손상 ↑
빔 전류	신호/잡음 ↑, EDS 계수율 ↑	빔 지름 ↑
작동 거리	초점 심도 ↑	분해능 ↓
조리개	초점 심도 ↑ (작을수록)	빔 전류 ↓

주사 탐침 현미경 — 표면의 높이 지도

STM과 AFM은 렌즈가 없다. 날카로운 탐침을 표면 위에서 훑으며 터널링 전류(STM) 또는 힘(AFM)을 일정하게 유지하는 데 필요한 높이를 기록한다. 수직 분해능이 0.01 nm라 원자 계단 하나가 보이고, 수평 분해능은 탐침 끝 반지름(수 nm~수십 nm)이 정한다. 원자 배열의 직접 이미징은 7.1.9원자 구조의 직접 이미징에서 이미 봤다. 이 장의 맥락에서 기억할 것은 하나 — 탐침 현미경이 보는 것은 표면의 높이이지 내부 조직이 아니다. 결정립계가 보이는 것은 부식이나 열 부식으로 홈이 파였을 때뿐이고, 박막의 표면 거칠기와 결정립 돌기(19.3.3)를 재는 데는 가장 정확한 자다.

다섯 도구를 나란히

도구	프로브	분해능	초점 심도	시편	무엇을 보나
광학(반사)	가시광	0.2 μm	1 μm 이하	평탄 연마 + 부식	결정립·상 분포, mm 시야의 통계
SEM	전자 1~30 kV	1~10 nm	수십~수백 μm	전도성 표면 (코팅 가능)	형상(SE), 조성(BSE·EDS), 방위(EBSD)
TEM	전자 100~300 kV	0.05~0.2 nm	— (투과)	100 nm 이하 박편	전위·석출물·계면·격자, 회절
STEM	모은 전자	0.05~0.1 nm	—	박편	원자 기둥의 $Z$ 대비, nm EDS·EELS
AFM/STM	탐침	수직 0.01 nm · 수평 수 nm	—	표면만	거칠기, 계단, 원자 배열

시편 준비와 부식

준비가 조직을 만들면 안 된다

현미경 사진에서 가장 흔한 오독은 준비 과정이 만든 것을 재료의 조직으로 읽는 일이다. 톱날이 남긴 변형층, 연마 입자가 박힌 자국, 무른 상이 번져 덮은 결정립계, 과부식이 판 구멍 — 전부 재료에 없던 것이다. 시편 준비의 목표는 한 문장이다. 표면이 벌크 조직의 정직한 단면이 되게 하라. 그 문장을 만족시키기 위해 절차가 단계마다 앞 단계의 흔적을 지우는 구조로 짜여 있다.

기계적으로 재료를 깎으면 표면 아래에 소성 변형층이 남는다. 깊이는 경험칙으로 연마 입자 지름의 1~3배이고, 연질 금속일수록 깊다. 각 단계는 앞 단계가 남긴 이 층을 완전히 걷어낼 만큼 깎아야 한다. 걷어내지 못하면 변형층 위에 더 고운 흠집을 내는 것뿐이라, 마지막에 부식했을 때 드러나는 것은 조직이 아니라 변형이다.

그림 8.2-4. 시편 준비 단계마다 남는 변형 손상층의 깊이(자릿수). 절단은 수백 μm, 거친 연마는 수십 μm, 미세 연마는 수 μm, 다이아몬드 폴리싱은 1 μm 아래, 마지막 콜로이드 실리카는 수십 nm를 남긴다. 다음 단계는 앞 단계의 손상보다 깊이 깎아야 하므로 한 단계도 건너뛸 수 없다. 값은 금속의 전형적 범위로, 재료마다 다르다.직접 작도

단계	무엇을 하나	지켜야 할 것
절단	연마 절단기(냉각수), 정밀 다이아몬드 톱(Si·세라믹)	열과 변형을 최소로. 관심 영역에서 떨어진 곳을 자른다. Cu·황동·Zr은 절단 중 기계적 쌍정이 생긴다
마운팅	열경화 수지(가압) 또는 상온 에폭시	얇은 코팅·박막 단면은 가장자리가 둥글어지지 않게 경질 수지·니켈 도금으로 받친다. SEM용은 전도성 수지
연마	SiC 내수 연마지 P240 → P1200(→ P2500), 물	단계마다 90° 돌려 앞 단계 흠집이 전부 사라진 것을 확인하고 넘어간다
폴리싱	다이아몬드 현탁액 9 → 3 → 1 μm, 천 위에서	무른 금속(Al·Cu·Pb)은 번짐(smearing), 경·연 혼재 조직은 릴리프 주의
최종 폴리싱	콜로이드 실리카·알루미나 0.05 μm	화학·기계 복합 작용으로 마지막 변형층을 걷는다. EBSD·편광 관찰은 여기서 진동 폴리싱을 더한다
세척·건조	초음파, 에탄올, 온풍	물 얼룩과 부식액 잔류 방지
부식 전 관찰	닦은 그대로 명시야·암시야	개재물·기공·균열·흑연은 부식 없이 보인다. 부식이 오히려 가린다
부식	다음 소절	시간·온도·농도를 기록

기계 연마가 아예 변형층을 남기지 않게 하는 길이 전해 연마다. 시편을 양극으로 걸어 전해질(강·Al에는 과염소산–아세트산, Cu에는 인산 계열) 안에서 녹인다. 표면의 돌기에 전류 밀도가 몰려 먼저 녹으므로 평탄해지고, 아무것도 긁지 않으니 변형층이 없다. 무른 금속, EBSD, TEM 박편(양면 제트 전해 연마)의 표준이고, 전류–전압 곡선의 평탄 구간(polishing plateau)에서 돌려야 식각이 아니라 연마가 된다. 세라믹·반도체처럼 전해 연마가 안 되는 재료는 Ar 이온 밀링(저각 이온빔)으로 같은 목적을 이룬다 — SEM 단면용 크로스섹션 폴리셔가 이것이고, 무른 상이 번지지 않아 배선·패키지 단면에 쓴다.

TEM 박편은 따로 적어 둘 만하다. 3 mm 원판을 100 μm까지 갈고, 가운데를 오목하게 파고 (dimpling), 이온 밀링이나 전해 연마로 구멍을 내면 구멍 가장자리가 100 nm 이하로 얇다. 원하는 자리를 잘라야 하는 소자 단면은 집속 이온빔(FIB)으로 Ga⁺ 빔을 써서 파내고 들어올린다(lift-out, 19.3.7). 30 kV Ga⁺가 남기는 비정질화 손상층이 Si에서 20 nm 남짓이라, 마지막은 2~5 kV로 낮춰 다듬는다 — 이온 손상의 물리는 18.8이다.

부식 — 왜 결정립계가 드러나는가

부식(etching)은 통제된 부식(corrosion)이다. 표면을 얕게 녹이되, 자리마다 녹는 속도가 다르게 녹인다. 그 차이가 표면의 굴곡이 되고, 굴곡이 1절의 반사광 대비가 된다. 어디가 빨리 녹는가 — 원자가 덜 붙잡혀 있는 곳, 에너지가 높은 곳, 불순물이 몰린 곳이다.

결정립계가 첫째다. 경계의 원자는 배위수가 모자라고 결합이 뒤틀려 있어 8.1.7결정립계와 계면 결함 녹아 나가기 쉽고, 편석된 불순물이 반응을 촉진한다. 그래서 경계는 홈으로 파이고, 홈의 벽은 대물렌즈로 빛을 되돌려 보내지 않아 검은 선이 된다. 홈의 폭은 부식 시간에 따라 커지므로, 3절에서 결정립을 잴 때는 선폭이 결정립 크기에 견줘 무시할 만큼만 부식한다.

결정립 안쪽이 둘째다. 결정면마다 녹는 속도가 다르다 — 원자 밀도가 높고 결합이 촘촘한 면일수록 느리다 7.1.4밀러 지수. 부식이 진행되면 각 결정립의 표면은 가장 느리게 녹는 면들의 계단(facet)으로 덮이고, 계단의 방향은 그 결정립의 방위가 정한다. 방위가 다른 이웃 결정립은 계단의 기울기가 달라 빛을 되돌리는 정도가 다르고, 그래서 결정립마다 밝기가 다르게 보인다.

그림 8.2-5. 반사광 현미경에서 부식이 대비를 만드는 기구. 대물렌즈에서 수직으로 내려온 빛은 평탄하게 부식된 결정립에서는 그대로 되돌아가 밝게 보이고, 결정립계의 홈에서는 벽에 맞아 렌즈 밖으로 튀어 검은 선이 되며, 결정면 계단으로 부식된 결정립에서는 일부만 되돌아가 회색으로 보인다. 아래 띠가 화면에 나타나는 결과다 — 밝기는 결정립의 방위를, 검은 선은 경계를 말한다.직접 작도

상(phase)이 셋째다. 두 상은 화학 퍼텐셜이 달라 한쪽이 먼저 녹거나(강의 펄라이트에서 페라이트가 녹고 시멘타이트가 남아 층 무늬가 선다), 한쪽 위에만 반응 생성물 막이 앉는다. 막의 두께가 수십 nm면 박막 간섭(3.5.4)으로 색이 나는데, 이를 일부러 쓰는 것이 착색 부식(tint etching)이다 — 색이 상과 방위를 동시에 말해 준다.

직관

반응 율속과 확산 율속. 같은 Si에 HF–HNO₃ 혼합액을 쓰는데, 아세트산으로 묽힌 CP-4는 표면을 매끈하게 녹이고(폴리싱 부식), CrO₃를 넣은 Sirtl·Secco·Wright 부식액은 전위마다 구덩이를 판다(결함 부식). 무엇이 갈랐는가.

녹는 속도가 표면 반응이 정하면, 반응 속도는 자리마다 다르므로(결정면·결함·편석) 구조가 그대로 굴곡이 된다. 녹는 속도가 액체 쪽 확산이 정하면, 반응은 어디서든 충분히 빨라 공급이 병목이고, 공급은 튀어나온 곳에 더 잘 닿으므로 돌기가 먼저 녹아 평탄해진다. 결함 부식액은 반응 율속으로, 폴리싱 부식액은 확산 율속으로 설계된 것이다. 전해 연마의 평탄 구간도 같은 원리다 — 양극 표면의 점성 막이 확산 병목을 만든다. 율속 단계의 전환은 8.3의 확산과 4.6의 표면 반응이 만나는 자리이고, 18부의 습식 식각에서 같은 구분(등방·이방)으로 다시 나온다.

부식액 — 재료별 처방과 그 뜻

재료	부식액	무엇이 드러나나
탄소강·주철	나이탈 (HNO₃ 2~5 % in 에탄올)	페라이트 결정립계, 펄라이트 층상, 마르텐사이트
탄소강	피크랄 (피크르산 4 % in 에탄올)	시멘타이트 윤곽 — 결정립계는 덜 나온다
스테인리스강	옥살산 10 % 전해, 글리세레지아	오스테나이트 결정립계, 탄화물
Al 합금	켈러(Keller) 시약 (HF·HCl·HNO₃·H₂O)	결정립, 석출물. 편광 관찰은 바커(Barker) 양극 산화
Cu·황동	FeCl₃–HCl–에탄올, NH₄OH–H₂O₂	결정립, 풀림 쌍정
Ti 합금	크롤(Kroll) 시약 (HF 2 %·HNO₃ 6 %)	α·β 상, 결정립
Si 웨이퍼	Sirtl (CrO₃–HF), Secco (K₂Cr₂O₇–HF), Wright, Schimmel, Dash	전위 구덩이, 적층 결함, 산소 석출물, 스월 결함
Si (폴리싱)	CP-4 (HF–HNO₃–CH₃COOH)	아무것도 — 매끈하게 녹여 손상층 제거
Si (이방성)	KOH·TMAH 수용액	(111)이 (100)보다 백 배 느려 피라미드·V홈. 습식 식각 공정 (18부)
GaAs·GaN	AB 부식액, 용융 KOH	전위 구덩이 (EPD)
세라믹	HF (유리·산화물), 열 부식	결정립계 홈

Si의 결함 부식은 반도체가 이 절에서 가장 많이 쓰는 도구다. 웨이퍼는 결정립계가 없으므로 부식이 드러낼 것은 결함뿐이고, 결함 부식액은 전위가 표면으로 나오는 자리(변형 에너지가 높고 불순물이 몰린 곳)를 골라 판다. 구덩이의 모양은 결정학이 정한다 — (100)면에서는 사각, (111)면에서는 삼각 피라미드. 구덩이를 세면 전위 밀도(EPD, 8.1.6)가 되고, 산화 유기 적층 결함(OSF)은 (100)면에서 $\langle 110\rangle$ 방향의 막대 모양 구덩이로, 산소 석출물 (BMD)은 미세한 점으로 나온다. 잉곳의 성장 이력(스월, 보이드)이 이 한 장의 사진에 찍힌다.

열 부식은 세라믹의 방법이다. 소결 온도보다 조금 낮게(대략 $0.8\sim0.9\,T_{\mathrm{sinter}}$ ) 공기 중에서 재가열하면, 액체 없이도 표면 확산으로 결정립계 자리에 홈이 파인다. 홈의 각도는 결정립계 에너지와 표면 에너지의 비 $\gamma_{gb}/\gamma_s$ 가 정하므로(8.5의 이면각), 이 홈은 조직을 드러내는 수단이면서 동시에 계면 에너지를 재는 실험이다. 박막에서는 이 홈이 결정립 성장을 멈추는 원인이 된다(4절).

부식 없이 결정립을 보는 길도 있다. 편광(이방성 결정), BSE 채널링 대비, EBSD(4절), 폴리싱 릴리프 위의 DIC. EBSD는 부식하면 안 된다 — 필요한 것은 변형이 없는 평탄면이지 굴곡이 아니다. TEM도 부식하지 않는다.

주의

아티팩트 판독표. 사진에서 이것이 보이면 재료가 아니라 준비를 먼저 의심한다.

한 방향으로 나란한 선 — 연마 흠집. 마지막 단계가 앞 단계를 다 걷지 못했다.
결정립계가 군데군데 끊겨 있다 — 무른 금속의 번짐(smearing)이 경계를 덮었다. 전해 연마나 마지막 폴리싱 시간을 늘린다.
둥근 구멍이 상 하나에만 몰려 있다 — 취성 상의 뜯김(pull-out)일 가능성이 기공보다 크다. 부식 전 사진과 대조한다.
경계마다 검은 띠가 두껍고 결정립 안에 구멍이 뿌려져 있다 — 과부식. 3절의 결정립 크기가 작게 나온다.
상의 경계에 밝은 테두리·그림자 — 폴리싱 릴리프(경·연 상의 깎임 차)가 만든 가짜 윤곽. DIC로 확인한다.
혜성 꼬리 — 박힌 경질 입자 뒤에 파인 자국. 연마 방향을 바꾸지 않았다.
결정립 안의 평행한 띠 — 절단·연마가 만든 기계적 쌍정(Cu·황동·Zr·Ti). 재료의 변형 쌍정과 구분되지 않으므로 절단 조건을 바꿔 재현성을 본다.
전위 구덩이가 스크래치를 따라 줄지어 있다 — 준비가 넣은 전위다. 웨이퍼의 진짜 EPD가 아니다.

부식 전 사진을 반드시 한 장 찍어 두는 이유가 이 목록이다.

결정립 크기 측정

‘결정립 크기’는 하나의 수가 아니다

결정립은 3차원 다면체다. 공간을 빈틈없이 채우면서 계면 에너지를 줄이려는 결과, 면이 평균 14개 안팎인 다면체가 되고(8.5), 크기도 제각각이다. 우리가 보는 것은 그 다면체 무더기를 평면 하나로 자른 단면이다. 단면의 다각형은 3차원 결정립의 정직한 초상이 아니다 — 같은 결정립이라도 어디를 지나느냐에 따라 크게도 작게도 잘린다.

가장 단순한 경우가 이것을 정량으로 보여 준다. 반지름 $R$ 인 같은 크기의 구들을 무작위 평면으로 자른다. 자르는 높이 $h$ 가 $-R \sim R$ 에서 고르게 분포하면 단면 원의 반지름은 $r = \sqrt{R^2 - h^2}$ 이고, 확률 변수의 변환 1.11.7다변수 분포와 확률 변수의 변환으로 $r$ 의 밀도는

f(r) = \frac{1}{R}\left|\frac{dh}{dr}\right| = \frac{r}{R\sqrt{R^2 - r^2}} \qquad (0 \le r < R)

이다. $r = R$ 에서 발산하지만 적분은 유한하고, 평균은 $\langle r\rangle = \pi R/4 \approx 0.785R$ , 평균 단면적은 $\langle\pi r^2\rangle = \tfrac{2}{3}\pi R^2$ 다.

그림 8.2-6. 같은 크기의 구를 무작위 높이의 평면으로 자르면 단면 원의 크기가 제각각이다. 오른쪽은 단면 반지름의 확률밀도 — 0에서 출발해 r = R 근처에서 치솟고, 평균은 πR/4 ≈ 0.785R에 놓인다. 단면 원의 44 %는 반지름이 0.9R 이상이지만 나머지는 그보다 작아, 2차원 단면에서 보는 결정립 크기는 3차원 크기보다 작고 흩어져 보인다.직접 작도

직관

공간적·형태적 직관. 밀도가 $r = R$ 에서 치솟는 이유는 구의 적도 근처가 평평해서 — 절단 높이 $h$ 가 0 근처에서 조금 움직여도 $r$ 은 거의 변하지 않으므로, 넓은 $h$ 구간이 좁은 $r$ 구간에 몰린다. 반대로 극 근처에서는 $h$ 가 조금 변해도 $r$ 이 크게 변해 밀도가 낮다. 단면 원의 44 %( $=\sqrt{1 - 0.9^2}$ )가 $0.9R$ 이상이지만 나머지 56 %는 그보다 작고, 그중 일부는 아주 작다. 그래서 단결정 크기의 구 무더기조차 단면에서는 크기 분포를 가진 것처럼 보인다. 실제 결정립은 크기가 애초에 다르니 단면 분포는 그 두 효과의 합성곱이고, 이것을 풀어 3차원 분포를 되찾는 절차(Saltykov 전개)가 따로 있다. 관행에서는 풀지 않는다 — 대신 2차원 단면에서 정의된 양을 그대로 표준으로 쓴다. 그것이 ASTM E112이고, “결정립 크기”는 3차원의 진실이 아니라 재현 가능한 약속이다.

입체해석 — 단면에서 부피를 읽는 규칙

2차원 측정으로 3차원 양을 편향 없이 추정하는 규칙들이 있고, 그 이름이 입체해석(stereology)이다. 두 개면 이 장에는 충분하다.

① 분율은 차원을 가리지 않는다.

V_V = A_A = L_L = P_P

어떤 상의 부피 분율은 무작위 단면에서의 면적 분율과 같고, 무작위 시험선 위의 길이 분율과 같고, 무작위 격자점 중 그 상에 떨어진 점의 비율과 같다. 증명은 한 줄이다 — 공간에 무작위로 찍은 점이 그 상 안에 떨어질 확률은 부피 분율이고, 그 점을 평면·선·격자에서 골랐다고 확률이 달라질 이유가 없다. 그래서 상 분율은 사진에 격자를 얹고 점을 세는 것 (point counting)으로 잰다. 면적을 재는 것보다 빠르고, 통계도 이항 분포로 바로 나온다.

② 결정립계의 면적은 시험선의 교점이 준다.

S_V = 2\,P_L

단위 부피당 계면 면적 $S_V$ 는 단위 길이의 무작위 시험선이 계면과 만나는 횟수 $P_L$ 의 두 배다. 계면 조각 $dA$ 와 방향이 각 $\theta$ 인 시험선이 만날 확률은 $dA\cos\theta$ 에 비례하고, 방향을 반구 위에서 고르게 평균하면 $\langle\cos\theta\rangle = \tfrac12$ 이므로 $P_L = S_V/2$ 다. 평면 안에서 같은 계산을 하면 선의 길이 밀도에 대해 $L_A = \tfrac{\pi}{2}P_L$ 이 된다 — 2차원에서는 $\langle|\cos\theta|\rangle = 2/\pi$ 이기 때문이다. 둘 다 결정립의 모양에 대한 가정이 없다. 시험선의 방향만 무작위면 된다.

이 두 줄에서 이 절의 핵심 양이 나온다. 결정립계에 시험선을 그어 교점을 세면 $P_L$ 이고, 그 역수가 평균 절편 길이

\bar\ell = \frac{1}{P_L} = \frac{L_T}{M\,P}

다( $L_T$ 는 시험선 총 길이, $P$ 는 교점 수, $M$ 은 배율). 그리고 $S_V = 2/\bar\ell$ 이다. 결정립계 면적 밀도는 3절의 측정값이자 5절의 물성 변수다.

직관

파라미터 연계 — 결정립계에 저장된 에너지. 결정립계 에너지 $\gamma_{gb} \approx 0.5$ J/m² (8.1.7, 8.5.1)에 $S_V$ 를 곱하면 단위 부피에 저장된 계면 에너지가 나온다. $\bar\ell = 10$ μm이면 $S_V = 2\times10^5$ m⁻¹, 에너지는 $10^5$ J/m³ — 구리 1 g에 0.01 J이다. 미미하지만 0이 아니고, 이것이 8.5의 결정립 성장을 미는 유일한 힘이다. 결정립을 $\bar\ell = 20$ nm로 줄이면 $S_V = 10^8$ m⁻¹, 에너지 $5\times10^7$ J/m³로 500배가 된다. 나노 결정 재료가 낮은 온도에서도 조대화하는 이유, 그리고 5절의 나노 결정립 강화가 “얻은 강도를 지키기 어렵다”는 뜻이 이 숫자에 있다. $\bar\ell$ 을 재는 순간 열적 안정성의 한계도 함께 잰 것이다.

ASTM E112 — 세 방법과 결정립 크기 번호

표준은 세 가지 측정을 허용하고, 결과를 결정립 크기 번호 $G$ 하나로 통일한다.

비교법. 100배 사진을 표준 도표와 나란히 놓고 가장 닮은 번호를 고른다. 빠르고 거칠다 (±0.5 G). 검수용이지 연구용이 아니다.

면적법(Jeffries planimetric). 사진 위에 넓이가 알려진 원(5,000 mm²)을 그리고, 원 안에 완전히 든 결정립 수와 원둘레에 걸린 결정립 수를 센다. 걸린 것은 평균적으로 절반이 안에 있으므로 반으로 센다.

N_A = \frac{M^2}{5000}\left(N_{\mathrm{inside}} + \frac{N_{\mathrm{intercepted}}}{2}\right), \qquad \bar A = \frac{1}{N_A}, \qquad \bar d = \frac{1}{\sqrt{N_A}}

$N_A$ 는 배율을 되돌린 실제 mm² 당 결정립 수이고, $\bar d$ 는 평균 면적의 제곱근으로 정의한 평균 지름이다 — 절편 길이와는 다른 양이다.

절편법(Heyn). 시험선을 긋고 결정립계와의 교점을 센다. 규칙은 그림에 적힌 대로다 — 교점 1, 삼중점을 지나면 1.5, 경계에 접하면 1, 선 끝이 결정립 안에서 끝나면 0.5. 방향 편향을 피하려고 표준은 직선 대신 세 겹 원(둘레 합 500 mm)을 권한다 — 원은 모든 방향을 고르게 담는다.

그림 8.2-7. 절편법. 등축 결정립을 흉내 낸 다각형 그물 위에 시험선 세 개를 긋고 결정립계를 가로지르는 점을 센다. 시험선 총 길이를 배율과 교점 수로 나눈 것이 평균 절편 길이이고, 그 역수의 두 배가 단위 부피당 결정립계 면적이다. 결정립의 모양에 대한 가정은 어디에도 없다 — 시험선의 방향이 무작위이기만 하면 된다.직접 작도

결정립 크기 번호. 100배 사진의 1 in² 안에 든 결정립 수를 $N$ 이라 할 때

N = 2^{\,G-1}

로 $G$ 를 정의한다. Callister는 이 $G$ 를 $n$ 으로 쓴다. 배율이 $M$ 인 사진이면 $N_M\,(M/100)^2 = 2^{G-1}$ 로 환산한다. 100배의 1 in²는 실제 $0.0645$ mm²이므로 $N_A$ 와 $\bar\ell$ 로 쓰면

\begin{aligned} G &= 3.322\,\log_{10} N_A - 2.954 \qquad (N_A\text{: mm}^{-2}) \\ G &= -6.644\,\log_{10}\bar\ell - 3.288 \qquad (\bar\ell\text{: mm}) \end{aligned}

이다. 두 식의 계수가 다른 이유는 앞은 면적(개수는 지름의 제곱에 반비례), 뒤는 길이이기 때문이다 — $6.644 = 2\times3.322$ .

$G$	$N_A$ (mm⁻²)	$\bar d$ (μm)	$\bar\ell$ (μm)	느낌
1	15.5	254	226	육안으로 보이는 주조 조직
3	62	127	113
5	248	63.5	56.6	풀림한 구조용 강
7	992	31.7	28.3
8	1,984	22.5	20.0	“세립”의 경계 — 강 관행에서 $G \ge 5$ 를 세립으로 부른다
10	7,936	11.2	10.0	열간 압연·제어 압연 강
12	31,744	5.61	5.00	미세립 강, 소결 세라믹
14	126,976	2.81	2.50	초미세립 — 이 아래는 EBSD·TEM 영역

통계. 한 시야로 끝내지 않는다. 시야당 교점 50개 이상, 시야 5개 이상을 세어 평균과 표준편차를 내고, 95 % 신뢰구간의 상대 정확도 1.11.9신뢰구간

\%\mathrm{RA} = \frac{t_{0.95}\,s}{\sqrt{n}\,\bar x}\times100

가 10 % 아래가 될 때까지 시야를 늘린다. 결정립 크기는 언제나 " $G = 7.8 \pm 0.3$ " 꼴로 적혀야 한다 — 소수 첫째 자리까지 쓰고, 정수로 반올림하지 않는다.

등축이 아니면. 압연·압출된 결정립은 방향마다 길이가 다르다. 세 직교 방향(길이·폭·두께) 각각에서 $\bar\ell$ 을 재고 기하평균 $(\bar\ell_\ell\,\bar\ell_t\,\bar\ell_p)^{1/3}$ 을 대표값으로, 비 $\bar\ell_\ell/\bar\ell_t$ 를 종횡비로 함께 적는다. Cu·황동·오스테나이트강의 풀림 쌍정 경계는 결정립계로 세지 않는다(표준의 약속이지만 EBSD에서는 다시 문제가 된다). 크기가 두 무리로 갈리는 이중 조직은 별도 표준(ASTM E1181)으로 무리별로 잰다.

화상 분석과 EBSD — 결정립을 하나씩 센다

디지털 사진이면 결정립을 하나씩 분리해 각각의 면적을 잰다. 명암 문턱값으로 경계를 뽑고 워터셰드로 끊긴 경계를 잇고, 결정립마다 등가 원 지름 $d_{\mathrm{eq}} = \sqrt{4A/\pi}$ 를 매긴다. 그러면 평균 하나가 아니라 분포가 나오는데, 여기서 새 함정이 생긴다.

개수 가중 평균과 면적 가중 평균은 다르다. 큰 결정립 몇 개가 시야의 절반을 덮으면 면적 가중 평균이 훨씬 크다. 어느 것인지 적지 않은 “평균 결정립 크기”는 뜻이 없다.
정상 결정립 성장을 거친 조직은 로그 정규 분포에 가깝다(8.5.5) — $\ln d$ 가 정규분포. 이때 중앙값 $e^{\mu}$ 와 평균 $e^{\mu+\sigma^2/2}$ 가 다르고, 분포의 폭 $\sigma$ 자체가 물성 변수가 된다(5절의 일렉트로마이그레이션 수명이 $\sigma^{-2}$ 에 걸린다).

EBSD(4절)는 부식 없이 결정립을 방위로 정의한다. 픽셀마다 방위를 재고, 이웃과의 방위차가 문턱값(보통 15°, 고각 경계)을 넘는 자리를 경계로 삼는다(ASTM E2627). 장점은 분명하다 — 경계 폭이 픽셀 하나라 과부식 편향이 없고, 상별로 따로 셀 수 있고, 저각 경계와 아결정립을 문턱값(2°)으로 골라낼 수 있다. 단점도 같은 자리에 있다.

박막과 반도체 — 세 자가 서로 다른 것을 잰다

박막의 결정립은 두께와 같은 자릿수(10 nm~1 μm)이고 대개 기둥 모양이라, 광학 표준이 그대로 맞지 않는다. 쓰이는 자는 셋이고, 셋이 재는 것이 서로 다르다.

평면 TEM·SEM 암시야 — 결정립 하나씩 보고 센다. 가장 직접적이지만 시야가 좁고 시편 준비가 무겁다. 다결정 실리콘·Cu 배선의 표준.
EBSD·TKD·TEM 세차 회절(4절) — 방위 지도에서 센다. 수십 nm 결정립은 SEM EBSD의 분해능 아래라 투과 모드(TKD)나 TEM 기반 방위 매핑(분해능 수 nm)으로 간다.
XRD 셰러(Scherrer) 식 — 회절 봉우리의 폭 $\beta$ 에서 $D = \frac{K\lambda}{\beta\cos\theta} \qquad (K \approx 0.9)$ 로 “결정자 크기”를 낸다. 시편 준비가 없고 수 mm²를 평균하지만, 재는 것은 결맞게 회절하는 영역이지 결정립이 아니다. 아결정립·적층 결함·쌍정이 그 영역을 끊으면 결정립보다 작게 나오고, 미세 변형이 봉우리를 넓히면 더 작게 나온다(윌리엄슨–홀 분리로 걷어낸다). 같은 다결정 실리콘 박막에서 셰러 크기와 TEM 결정립 크기가 2~5배 다른 일이 흔하다 — 오류가 아니라 다른 양이다. 19.3.6.

기둥 결정립 박막에서는 결정립 지름이 두께와 함께 커지고(4절, 9.10), 그래서 배선의 결정립 크기는 배선 폭·두께의 함수다. 폭이 결정립보다 좁아지면 경계가 배선을 가로지르는 대나무 구조가 되어 5절의 확산 경로가 바뀐다.

예제. 그림 8.2-6에서 시험선 셋의 총 길이 1,028 px에 교점이 21개였다. 이 사진이 실제 500 μm 폭(400 px)을 찍은 것이라면 1 px $= 1.25$ μm이고

\bar\ell = \frac{1028\times1.25}{21} \approx 61\ \mathrm{\mu m}, \qquad G = -6.644\log_{10}(0.061) - 3.288 \approx 4.8

이다. 시야 하나의 값이니 " $G \approx 5$ "까지만 말할 수 있고, 표의 $G = 5$ 행( $\bar\ell = 57$ μm)과 어울린다. 다섯 시야를 더 세어 %RA를 붙여야 보고서에 적을 수 있다.

집합조직(texture)

방위 — 결정립 하나는 회전 하나다

결정립 크기가 “얼마나 큰가”라면 방위(orientation)는 “어느 쪽을 향해 있는가”다. 시편에 좌표계를 붙이고(압연재면 압연 방향 RD, 폭 방향 TD, 법선 ND; 박막이면 기판 법선과 면내 두 축), 결정립 안의 결정 축 $[100],[010],[001]$ 이 그 좌표계에 대해 어떻게 놓였는지를 적으면 된다. 그 관계는 회전 하나 $g$ 다 — 시편 좌표계를 결정 좌표계로 옮기는 회전 행렬 1.13.1텐서 표기와 좌표 변환. 회전은 자유도가 셋이라 세 수로 적고, 관례가 번지(Bunge)의 오일러 각 $(\varphi_1, \Phi, \varphi_2)$ 다. ND 둘레로 $\varphi_1$ , 새 $x$ 축 둘레로 $\Phi$ , 새 $z$ 축 둘레로 $\varphi_2$ 만큼 차례로 돌린다.

입방 결정은 대칭 회전이 24개라, 물리적으로 같은 방위가 오일러 공간에 24번 나타난다. 그래서 “방위 공간”은 전체 회전군 SO(3)를 24로 나눈 기본 영역이면 충분하고, 두 결정립 사이의 방위차 $\Delta g = g_2 g_1^{-1}$ 도 24개 표현 중 각이 가장 작은 것으로 적는다. 방위차의 각과 축이 결정립계의 성격을 정한다 — 15° 아래는 저각 경계(전위 벽), $\langle111\rangle$ 축 60°는 FCC 쌍정 경계( $\Sigma3$ ) — 8.1.7의 분류가 여기서 수로 바뀐다.

집합조직(texture)은 방위의 통계다. 결정립들의 $g$ 가 SO(3) 위에 고르게 퍼져 있으면 무작위이고, 어딘가에 몰려 있으면 집합조직이 있다. 몰리는 방식으로 두 부류가 갈린다.

섬유 집합조직(fiber texture) — 결정 방향 하나가 시편 축 하나와 나란하고, 그 축 둘레의 회전은 무작위. 선재·압출재의 축, 그리고 박막의 기판 법선이 이렇다. “FCC 금속 박막은 (111) 섬유 집합조직”이란 (111)면이 기판에 평행하되 면내 방향은 제각각이라는 뜻이다. 기술에는 자유도가 하나만 걸린다.
판재 집합조직 — 압연면과 압연 방향이 둘 다 고정된다. $\{hkl\}\langle uvw\rangle$ 로 적고, $\{hkl\}$ 이 압연면(법선이 ND), $\langle uvw\rangle$ 가 압연 방향이다. 자유도 셋이 다 걸린다.

이름	표기	어디서
입방(cube)	$\{100\}\langle001\rangle$	재결정한 Cu·Al 판재
고스(Goss)	$\{110\}\langle001\rangle$	방향성 전기강판(Fe–3 %Si) — 변압기 철심
구리(copper)	$\{112\}\langle111\rangle$	압연 Cu·Al (적층 결함 에너지 높음)
황동(brass)	$\{110\}\langle112\rangle$	압연 황동·Ag (적층 결함 에너지 낮음)
γ-섬유	$\langle111\rangle \parallel \mathrm{ND}$	딥드로잉용 저탄소강 — 높은 $r$ 값
(111) 섬유	$(111) \parallel$ 기판	Al·Cu·Au·Ag 박막
(110) 섬유	$(110) \parallel$ 기판	BCC 금속 박막(W·Mo·Ta), LPCVD 다결정 Si (620 °C)
(0001) 섬유	$c$ 축 $\parallel$ 법선	HCP 박막 — Ti, AlN 압전막

극점도 — 투영으로 보는 분포

방위 분포를 종이에 그리는 첫 방법은 극점도(pole figure)다. 결정면 $\{hkl\}$ 을 하나 고르고, 모든 결정립의 그 면 법선(극)이 시편 좌표계에서 어느 방향을 향하는지를 단위 구 위에 찍은 뒤 평면에 투영한다. 투영은 둘 중 하나다.

\text{스테레오 투영: } r = R\tan\frac{\theta}{2}, \qquad \text{등면적(Schmidt) 투영: } r = \sqrt2\,R\sin\frac{\theta}{2}

$\theta$ 는 극이 ND에서 벗어난 각, $r$ 은 도표 중심에서의 거리다. 스테레오 투영은 각을 보존해(등각) 결정학 작도에 쓰고, 등면적 투영은 밀도를 보존해 극 밀도 지도에 쓴다. 아래 그림은 스테레오 투영이다.

그림 8.2-8. (111)형 극점도 셋. 각 결정립의 네 ⟨111⟩ 방향 중 위 반구의 것을 스테레오 투영으로 찍었다. 무작위 집합조직은 고른 점 구름이고, 박막의 (111) 섬유 집합조직은 중심의 점 무리와 70.5° 고리(반지름 0.71 R)로 나타나며, 재결정 Cu·Al의 입방 집합조직 ⟨100⟩⟨001⟩은 54.7° 반지름(0.52 R) 위 네 방향의 점 무리로 나타난다. 섬유 집합조직에서 고리가 이어져 있는 것은 기판 법선 둘레의 회전이 무작위이기 때문이고, 입방에서 점으로 끊어진 것은 면내 방향까지 고정되었기 때문이다.직접 작도

읽는 법은 그림에 다 있다. 각 결정립은 $\{111\}$ 극점도에 극을 넷(위 반구) 찍는다. (111) 섬유 집합조직이면 하나는 중심(ND)에, 나머지 셋은 $[111]$ 과 70.5°를 이루는 고리 위에 놓이되 면내 회전이 무작위라 고리를 빙 둘러 채운다. 입방 집합조직 $\{100\}\langle001\rangle$ 이면 네 $\langle111\rangle$ 이 ND에서 54.7°, RD에서 45° 돌아간 자리에 점 넷으로 찍힌다. 같은 조직을 $\{100\}$ 극점도로 그리면 중심 하나와 RD·TD의 가장자리 넷이 된다. 어느 극점도인지가 먼저다 — 같은 조직이 다르게 보인다.

역극점도(inverse pole figure)는 묻는 방향을 뒤집는다. 시편 방향 하나(예: ND)를 골라 “그 방향이 결정 좌표계에서 어디를 향하는가”를 결정의 기본 삼각형( $001$ – $011$ – $111$ ) 안에 찍는다. 섬유 집합조직은 축 하나만 뜻이 있으므로 역극점도 하나로 다 적힌다 — 박막 논문이 극점도 대신 역극점도를 쓰는 이유다. EBSD 지도의 색이 이것이다. 관례로 ND가 $[001]$ 을 향하면 빨강, $[101]$ 이면 초록, $[111]$ 이면 파랑을 칠하고, 그 사이는 섞는다.

방위 분포 함수(ODF) $f(g)$ 가 완전한 기술이다. 방위 공간의 밀도로, 무작위 분포에 대한 배수(mrd, multiples of random distribution)로 정규화한다 — 무작위면 어디서나 $f = 1$ , 단결정이면 한 점에서 무한대. 극점도는 ODF의 투영이다. 극 $\mathbf h$ 가 시편 방향 $\mathbf y$ 를 향하는 결정립은 $\mathbf h$ 둘레의 회전 $\psi$ 만큼 자유롭고, 극점도의 밀도는 그 원을 따라 ODF를 적분한 것이다.

P_{\mathbf h}(\mathbf y) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f\!\left(g(\mathbf h \to \mathbf y,\ \psi)\right)\,d\psi

직관

공간적 직관 — 극점도는 3차원 방위 공간의 그림자다. ODF는 3차원 공간(SO(3))의 함수이고, 극점도는 2차원(구면)이다. 차원 하나( $\psi$ )를 적분해 버렸으니 극점도 하나로는 ODF를 되찾을 수 없다 — X선 사진 한 장으로 3차원 물체를 복원할 수 없는 것과 같은 이유다. CT가 여러 각도의 투영을 모으듯, 입방 결정이면 $\{111\}, \{200\}, \{220\}, \{311\}$ 서너 극점도를 재어 조화 함수 전개나 WIMV 반복법으로 역산한다. 그래서 “집합조직을 쟀다”는 극점도를 서너 장 쟀다는 뜻이고, 한 장의 $\theta$ – $2\theta$ 스캔은 그 투영의 다시 한 번의 투영(ND 방향의 값 하나)일 뿐이다.

ODF의 날카로움을 수 하나로 줄인 것이 집합조직 지수 $J = \oint f^2\,dg$ 다. 무작위면 1, 날카로울수록 커진다. 입방 결정의 ODF는 $\varphi_2 = 0°, 45°, 65°$ 단면 세 장으로 그리는 관례가 있고, 압연 FCC의 β-섬유(구리–S–황동 성분을 잇는 관)가 그 단면들을 가로지른다 — 8.8의 소성 변형에서 다시 본다.

측정 — XRD와 EBSD

X선 극점도. 회절계의 $2\theta$ 를 $\{hkl\}$ 의 브래그 각에 고정하고 7.2.3브래그 조건과 라우에 조건, 시편을 기울이고( $\chi$ , 0~~75°) 돌리면서( $\varphi$ , 0~~360°) 세기를 기록한다(Schulz 반사법). 기울인 각과 돌린 각이 곧 극의 방향이고, 세기는 그 방향으로 $\{hkl\}$ 법선을 둔 결정립의 부피 분율에 비례한다. 배경과 탈초점 보정을 하고 무작위 분말 시료로 정규화하면 mrd 단위의 극점도가 된다. 수 mm² 넓이, 수 μm 깊이를 평균하므로 결정립 $10^6$ ~ $10^9$ 개의 통계이고, 개별 결정립은 보지 못한다.

$\theta$ – $2\theta$ 스캔만으로 섬유 집합조직의 정도를 재는 지름길이 해리스 집합조직 계수다.

\mathrm{TC}(hkl) = \frac{I(hkl)/I_0(hkl)}{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} I(h_ik_il_i)/I_0(h_ik_il_i)}

$I$ 는 측정 세기, $I_0$ 는 무작위 분말의 세기(구조 인자와 다중도로 정해진 표준값, 7.2.6구조 인자와 소멸 법칙), $n$ 은 센 봉우리 수다. 무작위면 모든 $\mathrm{TC} = 1$ , 완전히 한 방위면 그 봉우리만 $n$ 이고 나머지는 0. 비슷한 지표로 로트게링(Lotgering) 인자 $f = (P - P_0)/(1 - P_0)$ ( $P$ 는 특정 면족 봉우리의 세기 비율, $P_0$ 는 무작위의 값)가 있다. 둘 다 기판에 평행한 면만 본다 — 섬유 축의 성분은 잡지만 축 둘레의 분포는 정의상 모른다. 섬유 축이 얼마나 흩어졌는지는 $2\theta$ 를 고정하고 시편만 흔드는 로킹 커브의 반치폭이 준다(“(111) 로킹 커브 반치폭 3°“는 (111) 법선들이 ND 둘레 ±1.5°에 모여 있다는 뜻이다).

EBSD(electron backscatter diffraction)는 SEM 안에서 결정립 하나씩 방위를 잰다. 시편을 70° 기울여 두면 빔이 들어간 자리에서 비탄성 산란된 전자들이 사방으로 퍼지고, 그중 격자면과 브래그 조건을 만족하는 방향의 것들이 회절해 원뿔 쌍을 이룬다(Kossel 원뿔). 형광 스크린에 닿은 원뿔의 자취가 키쿠치 띠다 — 띠 하나가 격자면 하나이고, 띠의 폭이 $2\theta_B \approx \lambda/d_{hkl}$ (20 kV, Si(111)이면 1.6°), 띠들이 만나는 점이 정대축이다. 띠의 기하를 허프 변환으로 읽어 결정 구조와 대조하면 그 픽셀의 $g$ 가 나온다. 빔을 훑으면 방위 지도가 된다.

공간 분해능 20~~50 nm(빔이 기울어 들어가 타원으로 퍼진다), 각 분해능 0.5°(고분해능 기법은 0.01°). 신호 깊이 10~~40 nm — 표면 측정이라 2절의 변형 없는 평탄면이 필수다.
지도에서 읽는 것 — 역극점도 색(방위), 방위차 15° 이상의 선(결정립계)과 2~~15°의 선(아결정립계), 커널 평균 방위차(KAM, 국소 변형), 상 지도, 그리고 픽셀을 모아 만든 극점도·ODF. 결정립 $10^3$~~ $10^5$ 개의 통계다.
수십 nm 결정립은 분해능 아래다. 박편을 투과시키는 TKD(SEM 안, ~10 nm)나 TEM에서 세차 전자 회절로 지도를 만드는 ACOM/ASTAR(~2 nm)로 간다. Cu 배선의 결정립 방위 지도는 후자로 찍는다.

	X선 극점도	EBSD	TEM 방위 매핑
재는 것	부피 평균 분포	결정립별 방위 지도	결정립별 방위 지도
통계	$10^6$ ~ $10^9$ 립	$10^3$ ~ $10^5$ 립	$10^2$ ~ $10^3$ 립
공간 분해능	없음 (mm)	20~50 nm	2~10 nm
깊이	μm	10~40 nm	박편 두께
시편	그대로	변형 없는 평탄면, 부식 금지	박편
얻는 것	ODF, 로킹 커브	크기·경계 성격·국소 변형·상	나노 결정립 박막

집합조직은 왜 생기는가

무작위가 기본값이고, 집합조직은 언제나 어떤 과정이 방위를 골랐다는 흔적이다. 과정마다 고르는 규칙이 다르다.

변형. 슬립은 $\{111\}\langle110\rangle$ 같은 특정 결정면·방향에서만 일어나므로(8.8.3), 소성 변형이 진행되면 격자가 슬립 방향을 따라 회전한다. 회전은 안정 방위에서 멈추고, 그 안정 방위가 압연의 구리·황동·S 성분, 선재의 $\langle111\rangle + \langle100\rangle$ 이중 섬유 (FCC), $\langle110\rangle$ 섬유(BCC)다. 적층 결함 에너지가 낮으면 쌍정이 끼어들어 황동형으로 간다.

재결정. 변형된 조직에서 새 결정립이 핵생성해 자라는데, 핵의 방위가 치우치고(방위 핵생성) 특정 방위차의 경계가 빨리 움직인다(방위 성장 — FCC에서 $\langle111\rangle$ 축 40° 경계). 결과가 Al·Cu의 입방 집합조직이다. 전기강판의 고스 집합조직은 한 단계 더 — 미세 석출물 (MnS·AlN)로 정상 성장을 막아 둔 채, 고스 방위 결정립 몇 개만 비정상 성장시킨다(2차 재결정). 변압기 철심의 손실을 정하는 조직이 이렇게 만들어진다.

응고. 입방 결정의 수지상은 $\langle100\rangle$ 으로 자란다. 주형 벽에서 안쪽으로 자라는 주상정 영역은 $\langle100\rangle$ 이 열 흐름과 나란한 섬유 집합조직이고(8.6.8), 이것을 끝까지 밀면 방향성 응고 단결정 터빈 날개가 된다.

박막 성장. Ohring §9.4의 주제이고, 이 백과에서는 9.10이 자세히 다룬다. 여기서는 어떤 힘이 어느 방위를 고르는지만 적는다. 박막은 표면과 계면이 부피에 견줘 크므로 표면·계면 에너지가 방위를 고른다 — FCC 금속에서 $\gamma_{(111)} < \gamma_{(100)} < \gamma_{(110)}$ 이라 (111)이 기판에 평행하게 눕는다. 핵생성 단계에서 그렇게 고르고, 성장 중에는 가장 빨리 자라는 방위가 이웃을 덮어 살아남는(진화적 선택) 두 번째 규칙이 겹친다. 증착이 끝난 뒤의 결정립 성장에서는 세 구동력이 경쟁한다.

결정립계 에너지 — 정상 성장. 그런데 박막에서는 표면에 파인 결정립계 홈(2절의 열 부식 홈)이 경계를 붙들어 두께의 2~3배에서 멈춘다.
표면·계면 에너지 이방성 — 단위 부피당 $\Delta\gamma/t$ . (111)을 고른다.
변형 에너지 이방성 — 기판에 구속된 박막의 변형 $\varepsilon$ 에 대해 결정립의 에너지는 $M_{hkl}\,\varepsilon^2$ 이고, 이축 탄성률 $M$ 은 방위에 따라 다르다(Cu는 $M_{100} = 115$ GPa, $M_{111} = 261$ GPa). 변형 에너지가 낮은 (100)을 고른다.

정상 성장이 멈춘 뒤 뒤의 두 힘으로 특정 방위의 결정립 몇 개만 두께의 수십 배까지 자라는 것이 2차(비정상) 결정립 성장이고, 결과는 크기가 두 무리로 갈린 조직과 날카로운 집합조직이다. 어느 방위가 이기는지는 두께와 변형이 정한다.

그림 8.2-9. 박막 결정립 성장에서 방위를 고르는 두 구동력. 표면·계면 에너지 항 Δγ/t는 두께에 반비례해 얇을수록 크고, 변형 에너지 항 ΔM·ε²은 두께와 무관하다. 둘이 같아지는 두께 t* = Δγ/(ΔM·ε²) 아래에서는 (111)이, 위에서는 (100)이 2차 성장에서 이긴다. Δγ = 0.2 J/m², ΔM = 146 GPa(Cu)로 변형 0.5 %면 55 nm, 0.2 %면 340 nm — 자릿수를 보이는 값이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 왜 로그–로그에서 직선과 수평선인가. $\Delta\gamma/t$ 는 두께의 $-1$ 승이라 로그–로그에서 기울기 $-1$ 의 직선이고, $\Delta M\varepsilon^2$ 은 두께에 없으니 수평선이다. 교점 $t^* = \Delta\gamma/(\Delta M\varepsilon^2)$ 이 방위가 갈리는 두께이고, 변형을 키우면 수평선이 올라가 교점이 왼쪽으로 온다 — 열팽창 차이가 큰 기판 위에서 고온 증착·냉각한 막은 얇아도 (100)으로 넘어간다. Al은 탄성 이방성이 거의 없어( $M_{100} \approx M_{111}$ ) 수평선이 바닥에 깔리고, 그래서 Al 박막은 두께와 무관하게 (111)이다. Cu는 이방성이 커서 두 방위가 실제로 경쟁하고, 배선 공정에서 시드층·어닐 조건으로 (111)을 붙드는 이유가 5절의 수명 식에 있다.

다결정 실리콘도 같은 규칙을 따른다. LPCVD로 620 °C에서 바로 결정으로 증착하면 $\langle110\rangle$ 기둥 결정립이 서고, 550 °C에서 비정질로 증착한 뒤 고상 결정화하면 $\langle111\rangle$ 이 우세한 더 큰 결정립이 되며, 엑시머 레이저로 녹였다 굳히면 측면으로 자란 큰 결정립이 된다 — TFT의 이동도가 여기서 갈린다(16.3.4). 이온 충격을 주며 증착하면(바이어스 스퍼터링) 채널링이 잘 되어 스퍼터 수율이 낮은 방위가 살아남고, 시드층이 있으면 그 집합조직이 상속된다 — 배선의 Ta/TaN 라이너 위 Cu (111)이 그 예다.

집합조직이 바꾸는 것 — 이방성

단결정의 성질은 방향에 따라 다르고, 다결정은 그것을 방위로 평균한 것이다. 무작위면 등방성이 되고, 집합조직이 있으면 단결정의 이방성이 되살아난다. 어느 성질이든 그렇다.

탄성. Cu의 영률은 $\langle100\rangle$ 에서 67 GPa, $\langle111\rangle$ 에서 191 GPa로 세 배 다르다. (111) 섬유 박막은 면내 강성이 등방이지만 두께 방향과 다르고, 4절의 이축 탄성률 $M$ 이 바로 이 이방성이다. 나노 압입으로 잰 박막 “영률”은 집합조직의 함수다.
자성. Fe의 자화 용이축은 $\langle100\rangle$ 이다. 고스 집합조직 $\{110\}\langle001\rangle$ 은 압연 방향에 용이축을 놓아 변압기 철심 손실을 절반으로 줄인다 — 방향성 전기강판이 존재하는 이유 전부다(7.13).
소성. 딥드로잉 강판의 γ-섬유는 두께 방향으로 얇아지지 않고 면내로 흐르게 해(높은 $r$ 값) 캔이 찢어지지 않게 한다. 반대로 입방 집합조직은 45° 방향으로 귀(earing)를 만든다.
압전. AlN·ZnO 박막의 압전 계수 $d_{33}$ 은 $c$ 축이 법선에 얼마나 정렬됐느냐에 걸린다. (0002) 로킹 커브 반치폭이 FBAR 공진기의 결합 계수를 정한다(17부).
식각·산화·확산. 결정면마다 속도가 다르므로(2절) 다결정 박막의 식각률·산화율은 집합조직에 따라 달라진다. 다결정 Si 게이트에서 결정립계를 따르는 도펀트 확산(8.3.9)은 경계의 종류에, 경계의 종류는 방위 분포에 걸린다.
일렉트로마이그레이션. Al·Cu 배선의 (111) 집합조직이 수명을 늘린다. 5절에서 수식으로 본다.

미세조직과 물성의 관계 (반도체 구조 계측은 19.3)

조성·공정 → 미세조직 → 성질

이 장에서 잰 양들은 그 자체로는 아무 성질도 아니다. 그것들이 물성 식의 변수로 들어갈 때 비로소 관찰이 공학이 된다. 어느 양이 어느 성질에 들어가는지를 먼저 표로 걸어 두고, 아래에서 셋을 골라 식까지 내려간다.

미세조직 변수	이 장의 절	들어가는 성질	기구가 유도되는 장
결정립 크기 $d$ , $\bar\ell$	3	항복 강도(홀–페치), 인성, 크리프, 비저항, 열전도, 재결합	8.8 · 7.12 · 3.7 · 11부
결정립계 면적 $S_V$	3	결정립 성장 구동력, 입계 확산, 소수 캐리어 수명	8.5 · 8.3 · 11부
결정립 크기 분포 $\sigma$	3	일렉트로마이그레이션 수명, 이중 조직의 강도	9.12
집합조직 $f(g)$	4	탄성·자성·소성·압전 이방성, 식각률, 배선 수명	8.8 · 7.13 · 9.12
상 분율 $V_V$	3	혼합 법칙(탄성률·전도도·유전율), 강도	8.10 · 8.4
석출물 크기·간격	1	오로완 강화, 조대화	8.8 · 8.7
기공률	3	탄성률·강도의 지수적 감소, 유전율	8.9 · 14부

한 문장으로 줄이면 이렇다. 같은 조성에서 성질을 바꾸는 손잡이는 미세조직이고, 손잡이를 얼마나 돌렸는지 읽는 눈금이 이 장이다. 탄소강 0.8 %C 하나가 펄라이트로 500 MPa, 베이나이트로 1,000 MPa, 마르텐사이트로 2,000 MPa가 된다 — 조성은 같고 미세조직만 다르다.

결정립 크기 — 홀–페치와 그 한계

가장 유명한 관계는 홀–페치(Hall–Petch)다.

\sigma_y = \sigma_0 + k_y\,d^{-1/2}

$\sigma_0$ 는 결정립계가 없을 때의(단결정의) 마찰 응력, $k_y$ 는 재료 상수, $d$ 는 결정립 크기다. Callister의 예(70Cu–30Zn 황동)는 $\sigma_0 = 25$ MPa, $k_y = 12.5$ $\mathrm{MPa{\cdot}mm^{1/2}}$ — $d$ 를 mm로 넣는 단위다. Cu는 $\sigma_0 \approx 25$ MPa, $k_y \approx 0.11$ $\mathrm{MPa{\cdot}m^{1/2}}$ , 저탄소강은 $\sigma_0 \approx 70$ MPa, $k_y \approx 0.7$ $\mathrm{MPa{\cdot}m^{1/2}}$ 정도다.

그림 8.2-10. 홀–페치 관계. 가로축이 결정립 크기의 역제곱근이라 오른쪽으로 갈수록 결정립이 작고, 위쪽 눈금이 같은 자리의 d다. 직선의 절편이 σ₀, 기울기가 k_y이며 Cu 대표값으로 그렸다. 결정립이 수십 nm 아래로 내려가면 실측(점선)이 직선을 벗어나 정점을 지나 내려온다 — 결정립 하나에 전위가 몇 개 들어가지 못해 파일업이 성립하지 않고, 경계 미끄러짐 같은 다른 기구가 넘겨받는다(역 홀–페치).직접 작도

직관

물리적 직관 — 왜 $-1/2$ 승인가. 전위원에서 나온 전위들이 결정립계에 막혀 한 줄로 쌓인다(파일업) 8.1.5전위와 버거스 벡터. 길이 $L$ 의 파일업에 전단 응력 $\tau$ 가 걸리면 쌓이는 전위 수는 $n \approx \pi(1-\nu)L\tau/(Gb)$ 이고, 파일업 끝에 걸리는 응력은 $n\tau$ 로 증폭된다. 결정립 안에서 $L \approx d/2$ 이고, 끝의 응력이 임계값 $\tau^*$ 에 닿아 옆 결정립에 슬립을 옮기는 순간이 항복이다.

n\tau = \frac{\pi(1-\nu)\,d\,\tau^2}{2Gb} = \tau^* \quad\Longrightarrow\quad \tau = \sqrt{\frac{2Gb\,\tau^*}{\pi(1-\nu)}}\;d^{-1/2}

증폭이 $n \propto d\tau$ 라서 $\tau^2 \propto 1/d$ , 곧 $\tau \propto d^{-1/2}$ 다. $k_y$ 안에 $\sqrt{Gb\tau^*}$ 가 들어 있고, $\tau^*$ 는 경계가 슬립을 옆으로 넘기는 데 드는 응력이다 — 경계의 성격(4절의 방위차)이 여기 숨어 있다.

그래프 직관. 가로축을 $d^{-1/2}$ 로 잡으면 직선이 되고, $d = \infty$ (단결정)가 원점에 온다. 절편이 $\sigma_0$ , 기울기가 $k_y$ 다. 파라미터 연계 — $d$ 를 반으로 줄이면 두 번째 항이 $\sqrt2$ 배 커진다(3절의 $G$ 두 단계). Cu에서 100 μm → 1 μm는 $+100$ MPa, → 20 nm는 $+750$ MPa다. 결정립 미세화가 다른 강화 기구와 다른 점은 연성과 인성을 함께 올린다는 것이다(8.8.5) — 균열이 경계마다 방향을 바꿔야 하고, 강의 연성–취성 천이 온도가 내려간다. 고용 강화·석출 강화가 강도를 사고 연성을 파는 것과 다르다.

직선은 두 곳에서 끝난다. 아래로는 나노 결정립이다. 결정립이 10~20 nm면 그 안에 전위가 한두 개밖에 못 들어가 파일업이 성립하지 않고, 경계가 부피의 수십 %를 차지해 경계 미끄러짐과 경계 확산이 변형을 넘겨받는다. 강도는 정점을 지나 내려온다(역 홀–페치). 그리고 3절에서 계산한 대로 $S_V$ 가 커서 조금만 데워도 결정립이 자라 강도가 사라진다. 위로는 고온이다. 확산 크리프의 속도가

\dot\varepsilon_{\mathrm{NH}} \propto \frac{D_L\,\sigma\,\Omega}{k_BT\,d^2}, \qquad \dot\varepsilon_{\mathrm{Coble}} \propto \frac{\delta D_{gb}\,\sigma\,\Omega}{k_BT\,d^3}

로 결정립이 작을수록 빨라진다(격자 확산이면 $d^{-2}$ , 입계 확산이면 $d^{-3}$ , 8.8.8). 저온에서 강하게 만든 미세립이 고온에서는 가장 먼저 흘러내리고, 그래서 터빈 날개는 반대 극단인 단결정으로 간다. 결정립 크기는 온도에 따라 부호가 뒤집히는 손잡이다.

결정립계와 전자·포논 — 반도체가 신경 쓰는 것

이 절부터 $\lambda$ 는 파장이 아니라 전자의 평균 자유 행정, $\rho$ 는 밀도가 아니라 비저항이다.

비저항. 금속 안의 전도 전자는 평균 $\lambda$ 만큼 가서 산란한다 7.12.3완화시간 근사. 결정립이 $\lambda$ 보다 작아지면 결정립계가 산란 중심이 되고, 마야다스–샤츠케스 (Mayadas–Shatzkes) 모형이 그 효과를

\frac{\rho}{\rho_0} = \left[1 - \frac{3}{2}\alpha + 3\alpha^2 - 3\alpha^3\ln\!\left(1 + \frac{1}{\alpha}\right)\right]^{-1}, \qquad \alpha = \frac{\lambda}{d}\,\frac{R}{1 - R}

로 준다. $\rho_0$ 는 벌크 비저항, $R$ 은 경계 하나가 전자를 되돌려 보낼 확률(0~1), $d$ 는 결정립 크기다. $\alpha$ 가 작을 때 $\rho/\rho_0 \approx 1 + \tfrac32\alpha$ 라, 증가분은 $\lambda/d$ 와 $R/(1-R)$ 의 곱에 비례한다.

그림 8.2-11. 결정립계 산란에 의한 Cu의 비저항 증가(마야다스–샤츠케스). 벌크 평균 자유 행정 λ ≈ 39 nm. 결정립이 1 μm면 벌크와 거의 같지만 100 nm 근처부터 오르기 시작해 λ 근처에서 두 배, 10 nm에서 세 배를 넘긴다. 반사 계수 R이 클수록 더 일찍, 더 가파르게 오른다. 배선 폭이 수십 nm로 내려온 지금, 이 곡선의 왼쪽 끝이 배선 저항의 현실이다.직접 작도

직관

파라미터 연계. Cu는 $\rho_0 = 1.68$ μΩ·cm로 낮지만 $\lambda \approx 39$ nm로 길다. 길다는 것은 벌크에서 좋은 점이고 나노 배선에서는 나쁜 점이다 — 결정립이 40 nm면 $R = 0.43$ 에서 벌써 두 배다. 여기에 배선 표면의 산란(푹스–존트하이머, 표면 거칠기와 라이너 계면의 반사율)이 더해져 실제 20~30 nm 폭 배선은 벌크의 세 배를 넘는다. 도망갈 길이 둘 있다. 결정립을 키우거나(어닐로 배선 폭보다 크게 — 대나무 구조), $\lambda$ 가 짧은 금속으로 바꾸거나(Ru·Co: $\rho_0$ 는 높지만 $\lambda \approx 7$ nm라 곡선이 훨씬 오른쪽에서야 오른다). “벌크 비저항이 낮은 금속”과 “나노 배선에서 저항이 낮은 금속”이 다른 이유가 이 식의 $\lambda/d$ 다. 18부의 배선 공정이 이 곡선 위에서 결정된다.

다결정 반도체. 결정립계의 끊어진 결합은 트랩이다. 트랩이 캐리어를 붙잡으면 경계 양쪽에 공핍층이 생기고, 공핍층은 전위 장벽이 된다. 세토(Seto)의 모형에서 결정립이 완전히 공핍되지 않는 조건( $d N > Q_t$ , $Q_t$ 는 경계의 트랩 면밀도)에서 장벽 높이는

E_B = \frac{q^2 Q_t^2}{8\,\varepsilon\,N}

이고, 캐리어는 장벽을 열적으로 넘어야 하므로 유효 이동도가 $\mu \propto \exp(-E_B/k_BT)$ 로 깎인다. 도핑 $N$ 을 올리면 장벽이 낮아지고, 결정립을 키우면 경계 수가 줄어 단위 길이당 장벽이 준다 — 다결정 Si TFT의 이동도가 결정립 크기와 도핑에 그렇게 민감한 이유이고, 레이저 결정화로 결정립을 μm로 키우는 이유다(16.3). 수소 처리로 끊어진 결합을 메워 $Q_t$ 를 줄이는 것이 세 번째 손잡이다.

소수 캐리어 수명. 태양전지의 다결정 Si에서 결정립계는 재결합 중심이고, 경계의 재결합 속도를 $S$ 라 하면 유효 수명은 대략

\frac{1}{\tau_{\mathrm{eff}}} \approx \frac{1}{\tau_{\mathrm{bulk}}} + S\,S_V

다 — 3절의 $S_V = 2/\bar\ell$ 이 그대로 들어온다. 결정립을 mm 크기로 키운 주조 다결정 Si, 그리고 수소로 경계를 불활성화해 $S$ 를 줄이는 처리가 여기서 나온다. 결정립계뿐 아니라 전위·석출물도 같은 항에 더해지고, 1절의 EBIC·CL이 그 재결합 중심을 지도로 찍는다.

열전도. 포논도 결정립계에서 산란한다. Si의 포논 평균 자유 행정은 상온에서 수십 nm에서 μm까지 넓게 퍼져 있어(3.7.13의 스펙트럼), 결정립 100 nm의 다결정 Si는 열전도도가 단결정 150 W/m·K의 5분의 1 남짓으로 떨어진다. 마티센 규칙처럼 $1/\ell_{\mathrm{eff}} = 1/\ell_{\mathrm{bulk}} + 1/d$ 로 어림하면 경향이 잡힌다 3.7.13나노 스케일 전도와 열예산. 다결정 Si 히터·MEMS의 열 설계, 그리고 열전 재료에서 일부러 결정립을 nm로 줄여 $\kappa$ 를 깎는 전략이 같은 식이다.

확산. 결정립계는 격자보다 $10^4$ ~ $10^6$ 배 빠른 확산 경로다(8.3.9). 기둥 결정립 박막의 유효 확산 계수는 하트(Hart)의 어림으로

D_{\mathrm{eff}} \approx D_L + \frac{\delta}{d}\,D_{gb}

( $\delta \approx 0.5$ nm는 경계 폭)이라, 결정립이 작을수록 $\delta/d$ 만큼 경계 확산이 지배한다. 배선의 확산 장벽이 비정질이거나 결정립계에 산소를 “채워 막은” TiN이어야 하는 이유, 다결정 Si 게이트의 도펀트가 경계를 타고 게이트 산화막까지 내려오는 문제(붕소 침투)가 이 항이다.

일렉트로마이그레이션 수명. Al 배선에서 경험적으로 얻은 바이디야–신하(Vaidya–Sinha)의 관계는 이 장의 변수 셋을 한 식에 모은다.

\mathrm{MTF} \propto \frac{\bar d}{\sigma^2}\,\left[\log\!\left(\frac{I_{111}}{I_{200}}\right)\right]^3

$\bar d$ 는 평균 결정립 크기(3절), $\sigma$ 는 로그 정규 분포의 표준편차(3절의 화상 분석), $I_{111}/I_{200}$ 은 (111) 집합조직의 정도(4절의 $\theta$ – $2\theta$ 세기비)다. 결정립이 크고, 고르고, (111)로 정렬될수록 수명이 길다 — 크기 분포가 고르지 않으면 경계가 셋에서 하나로 줄어드는 자리에 원자 흐름의 발산이 생겨 보이드가 뚫리기 때문이다. 배선 폭이 결정립보다 좁아져 경계가 배선을 가로지르기만 하는 대나무 구조가 되면 연속된 확산 경로가 끊겨 수명이 한 자릿수 뛴다. 기구는 9.12.6이다.

상·분율·형상

결정립 말고도 미세조직에는 상이 있다. 두 상이 섞인 재료의 성질은 분율 $V_V$ (3절의 점 계수)와 형상이 정한다. 탄성률·전도도·유전율은 분율의 혼합 법칙으로 상한(병렬, Voigt)과 하한(직렬, Reuss)이 정해지고, 실제는 형상에 따라 그 사이 어딘가다(8.10). 강도는 분율보다 간격에 민감하다 — 석출물이 전위를 막는 오로완 응력은 $\Delta\tau \approx Gb/L$ 로 입자 간격 $L$ 에 반비례하고(8.8.5), 펄라이트의 강도는 층 간격의 $-1/2$ 승을 따른다 (홀–페치와 같은 꼴 — 층 경계가 결정립계 역할을 한다). 기공은 가장 값비싼 상이다. 세라믹의 탄성률은 $E \approx E_0(1 - 1.9P + 0.9P^2)$ , 강도는 $\sigma \approx \sigma_0 e^{-nP}$ 로 기공률 $P$ 에 따라 급히 떨어지며, 이것이 14부 저유전율 배선 절연막의 딜레마다 — 유전율을 낮추려고 넣은 기공이 기계적 강도를 지수적으로 깎는다. 개재물과 이물 입자는 피로 균열의 출발점이고(8.8.8), 게이트 산화막 안의 입자 하나가 절연 파괴의 자리다.

반도체에서 ‘미세조직’은 어디에 있는가 — 19.3으로

웨이퍼는 미세조직을 설계로 없앤 재료다. 초크랄스키 성장(18.3)이 결정립계를 없애고, 남는 것은 점결함, 산소 석출물(게터링용으로 일부러 남긴다), 그리고 있어서는 안 되는 전위와 슬립(18.9.5의 열응력)이다. 그것들을 보는 방법이 2절의 결함 부식과 X선 토포그래피, 표면 입자·COP를 세는 레이저 산란이다. 미세조직이 살아 있는 곳은 그 위의 박막이다.

박막	미세조직 변수	걸리는 성질
다결정 Si 게이트·TFT	결정립 크기·집합조직·경계 트랩	이동도, 문턱 전압 산포, 도펀트 침투
Cu·Al 배선	결정립 크기 / 배선 폭, (111) 정도, 크기 분포	저항(마야다스–샤츠케스), EM 수명
실리사이드 (NiSi·CoSi₂)	상, 결정립, 응집	접촉 저항, 열적 안정성
확산 장벽 (TiN·TaN)	결정립계 밀도, 비정질 여부	장벽 실패
고유전율 HfO₂	결정화 여부, 상·집합조직	누설, 강유전성(15부)
솔더·범프	금속간 화합물 결정립	접합 신뢰성 (23부)

19.3이 다루는 구조 계측(CD-SEM, 단면 TEM, AFM, 스캐터로메트리, XRD)은 이 장과 같은 도구를 쓰지만 묻는 것이 다르다. 여기서는 “결정립이 몇 μm이고 어느 방위인가”를 물었고, 거기서는 “선폭이 몇 nm이고 측벽 각이 몇 도이며 막이 몇 층인가”를 묻는다. 이 장의 물리 (분해능·상호작용 부피·회절 대비·시편 손상)가 그 계측의 정확도 한계를 정한다 — CD-SEM이 저전압인 이유, 단면 TEM에 FIB 손상층이 문제인 이유, XRD 응력 측정이 회절 봉우리 위치인 이유가 전부 1·2·4절에 있다.

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 본 것은 재료가 아니라 재료의 단면과 표면이고, 도구와 준비가 그 단면을 어떻게 왜곡하는지 알아야 읽을 수 있다. 그리고 잰 수( $d$ , $S_V$ , $\sigma$ , $f(g)$ )는 성질이 아니라 성질 식의 변수이고, 어느 식에 들어가는지를 알 때만 의미가 있다. 앞으로의 장들이 그 식들이다 — 8.3의 확산, 8.5의 결정립 성장, 8.6의 응고 조직, 8.8의 강화와 재결정, 9.10의 박막 구조, 16.3의 TFT, 19.3의 계측.