2.6에서 맥스웰 방정식 네 개가 완성됐다. 이 장은 그 네 식으로 새로운 장을 계산하지 않는다.
대신 네 식이 이미 품고 있는 것 — 무엇이 보존되는가 — 를 꺼낸다. 전하, 에너지, 운동량,
각운동량. 넷 다 같은 형식으로 나온다.
∂ ∂ t ( 밀도 ) + ∇ ⋅ ( 흐름 ) = ( 원천 ) \frac{\partial}{\partial t}(\text{밀도}) + \nabla\cdot(\text{흐름}) = (\text{원천}) ∂ t ∂ ( 밀도 ) + ∇ ⋅ ( 흐름 ) = ( 원천 ) 이 한 줄이 장 전체의 틀이다. 1절에서 전하로 이 꼴을 처음 얻고, 2절에서는 에너지의 밀도와
흐름이 무엇인지 맥스웰 방정식이 알려 준다(포인팅 정리). 3·4절에서는 운동량으로 같은 일을 하는데,
운동량은 벡터라 그 ‘흐름’이 텐서 가 된다(맥스웰 응력 텐서). 5절의 각운동량은 4절의 결과에
r × \mathbf{r}\times r ×
물리적으로 이 장이 주는 것은 하나의 관점이다. 장(場)은 계산 장치가 아니라 에너지와 운동량을
실제로 가지고 있는 물리적 실체다. 그렇지 않으면 전하만으로는 에너지도 운동량도 보존되지 않는다 —
4절의 두 전하 예에서 뉴턴 제3법칙이 깨지는 것처럼 보이는 자리가 그 증거다.
반도체 쪽으로는 1절이 가장 자주 쓰인다. 캐리어 연속 방정식은 전하 연속 방정식을 전자와 정공에
따로 적고 생성·재결합 항을 붙인 것이고, 소자 시뮬레이션이 푸는 세 식 중 두 식이 그것이다(11부·20부).
2절의 포인팅 벡터는 빛의 세기이며 광소자의 흡수·생성률 계산이 거기서 시작하고(17부), 3절의 응력
텐서는 정전 구동 MEMS의 힘을 계산하는 도구다.
기호가 겹치는 자리가 유난히 많은 장이다. 같은 글자가 다른 뜻으로 두 번 나오는 것을 표로 먼저
못박는다.
기호 읽는 법 무엇인가 단위 ρ \rho ρ 로 전하 밀도 (부피당). 저항률이 아니다C/m³ J \mathbf{J} J 전류 밀도 (면적당). 자유 전하의 흐름A/m² q q q Q Q Q 소문자는 점전하 하나 또는 기본 전하, 대문자는 부피 안의 총전하 C σ \sigma σ 시그마 1절에서는 전도도 , 3절에서는 면전하 밀도 . 절마다 못박는다 S/m · C/m² u u u 전자기 에너지 밀도 . 속도가 아니다J/m³ S \mathbf{S} S 포인팅 벡터 — 에너지 흐름 밀도. 곡면 S S S W/m² g \mathbf{g} g 전자기 운동량 밀도 . 중력가속도가 아니다kg·m⁻²·s⁻¹ T ↔ \overleftrightarrow{\mathbf{T}} T T i j T_{ij} T ij 맥스웰 응력 텐서 . 온도가 아니다N/m² ℓ \boldsymbol{\ell} ℓ L \mathbf{L} L 소문자는 각운동량 밀도 , 대문자는 총 각운동량 — p \mathbf{p} p P \mathbf{P} P 소문자는 운동량 , 대문자는 분극 벡터(2.3). 이 장에서는 p \mathbf{p} p kg·m/s f \mathbf{f} f F \mathbf{F} F 소문자는 힘 밀도 (부피당), 대문자는 총 힘 N/m³ · N ε 0 \varepsilon_0 ε 0 μ 0 \mu_0 μ 0 진공 유전율 · 투자율. ε 0 μ 0 = 1 / c 2 \varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2 ε 0 μ 0 = 1/ c 2 —
주의
짚고 갈 함정이 셋이다.
① ρ \rho ρ σ \sigma σ 이 백과 전체에서 ρ \rho ρ 전하 밀도뿐 이다. σ \sigma σ
② 대소문자 짝. q q q Q Q Q f \mathbf{f} f F \mathbf{F} F ℓ \boldsymbol{\ell} ℓ L \mathbf{L} L 소문자는 국소량(밀도)이고 대문자는 부피 전체에 대해 적분한 양 이다. 이 장의 모든 보존 법칙이
“밀도의 식”과 “적분한 식” 두 벌로 나오므로 이 짝을 놓치면 어느 식을 보고 있는지 알 수 없다.
③ S \mathbf{S} S 2절에서는 에너지 흐름, 4절에서는 c 2 c^2 c 2
“우주의 총전하는 일정하다”는 말은 전하 보존을 말하기에 너무 약하다. 이 문장만으로는 여기서
전하 q q q q q q 전하는 어디서 줄어들면 반드시 그 경계를 지나 흘러 나갔다. 이것을 국소 보존이라
한다. 그리고 국소 보존은 언제나 미분 방정식 하나로 적힌다.
부피 V V V Q ( t ) = ∫ V ρ d V Q(t) = \int_V \rho\,dV Q ( t ) = ∫ V ρ d V S S S
d Q d t = − ∮ S J ⋅ d a \frac{dQ}{dt} = -\oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} d t d Q = − ∮ S J ⋅ d a 우변의 음의 부호는 d a d\mathbf{a} d a 1.1.7 발산정리와 스토크스 정리
∫ V ∂ ρ ∂ t d V = − ∫ V ∇ ⋅ J d V \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV = -\int_V \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV ∫ V ∂ t ∂ ρ d V = − ∫ V ∇ ⋅ J d V 이고, 이것이 임의의 부피에 대해 성립하려면 피적분함수가 같아야 한다.
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 \boxed{\;\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0\;} ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ J = 0 이것이 연속 방정식 이다.
그림 2.7-1. 연속 방정식의 부피 계산. 왼쪽은 고정된 부피 V 안의 총전하 Q가 경계면 S를 지나 나가는 전류 밀도 J만큼 줄어드는 그림이다 — 이 관계를 임의의 부피에 대해 요구하면 미분 방정식 하나가 나온다. 오른쪽은 반도체에서 같은 부피 계산을 전자에 대해서만 했을 때로, 흐름 외에 생성 G와 재결합 R이 더해진다. 총전하는 보존되지만 전자의 수는 보존되지 않는다는 뜻이다.직접 작도 직관
공간적 직관. ∇ ⋅ J \nabla\cdot\mathbf{J} ∇ ⋅ J 1.1.2 기울기·발산·회전 ∇ ⋅ J > 0 \nabla\cdot\mathbf{J} > 0 ∇ ⋅ J > 0 ∂ ρ / ∂ t < 0 \partial\rho/\partial t < 0 ∂ ρ / ∂ t < 0
형태적 직관 — 1차원. x x x ∂ ρ / ∂ t = − ∂ J / ∂ x \partial\rho/\partial t = -\partial J/\partial x ∂ ρ / ∂ t = − ∂ J / ∂ x J ( x ) J(x) J ( x ) 기울기가 양수인 곳 , 즉 오른쪽으로 갈수록 더 많이 흐르는 곳은 들어오는
것보다 나가는 것이 많아 전하가 빠진다. 기울기가 음수인 곳에는 전하가 쌓인다. 밀도의 시간 변화율은
흐름의 공간 기울기 로 정해진다 — 흐름의 크기가 아니라.
수식적 직관. 이 식은 “시간 미분 하나 + 공간 미분 하나 = 0” 꼴이다. 밀도와 흐름이 각각 한 번씩만
미분되므로, 어떤 양이 보존되는지 물으면 답은 언제나 이 꼴로 나온다. 확산 방정식
1.7.6 열·확산 방정식 J = − D ∇ ρ \mathbf{J} = -D\nabla\rho J = − D ∇ ρ
연속 방정식은 맥스웰 방정식과 별개의 가정이 아니다. 앙페르–맥스웰 법칙
2.6.7 맥스웰 방정식
0 = ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = μ 0 ∇ ⋅ J + μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ E ) 0 = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B})
= \mu_0\,\nabla\cdot\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{E}) 0 = ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = μ 0 ∇ ⋅ J + μ 0 ε 0 ∂ t ∂ ( ∇ ⋅ E ) 이고, 가우스 법칙 ∇ ⋅ E = ρ / ε 0 \nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0 ∇ ⋅ E = ρ / ε 0
∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 \nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 ∇ ⋅ J + ∂ t ∂ ρ = 0 이 그대로 나온다. 변위 전류 2.6.6 변위 전류 ∇ ⋅ J = 0 \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 ∇ ⋅ J = 0 전하 보존은 맥스웰 방정식의 귀결이지 전제가 아니다.
연속 방정식이 하는 일을 가장 짧게 보여 주는 예가 2.3.2 전도 전류와 완화 시간 J = σ E \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} J = σ E σ \sigma σ
∂ ρ ∂ t = − ∇ ⋅ ( σ E ) = − σ ε ρ ⟹ ρ ( t ) = ρ 0 e − t / τ , τ = ε σ \frac{\partial\rho}{\partial t}
= -\nabla\cdot(\sigma\mathbf{E})
= -\frac{\sigma}{\varepsilon}\,\rho
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(t) = \rho_0\,e^{-t/\tau},\qquad \tau = \frac{\varepsilon}{\sigma} ∂ t ∂ ρ = − ∇ ⋅ ( σ E ) = − ε σ ρ ⟹ ρ ( t ) = ρ 0 e − t / τ , τ = σ ε 도체 내부에 전하를 놓아도 시간 τ \tau τ τ \tau τ 유전 완화 시간 이라 한다.
물질 σ \sigma σ ε / ε 0 \varepsilon/\varepsilon_0 ε / ε 0 τ = ε / σ \tau = \varepsilon/\sigma τ = ε / σ 구리 6 × 10 7 6\times10^{7} 6 × 1 0 7 1 ≈ 10 − 19 \approx 10^{-19} ≈ 1 0 − 19 실리콘, 1 Ω·cm 도핑 10 2 10^{2} 1 0 2 11.7 ≈ 1 \approx 1 ≈ 1 실리콘, 진성 4 × 10 − 4 4\times10^{-4} 4 × 1 0 − 4 11.7 ≈ 0.2 \approx 0.2 ≈ 0.2
직관
파라미터 연계. τ = ε / σ \tau = \varepsilon/\sigma τ = ε / σ 1 / σ 1/\sigma 1/ σ ε \varepsilon ε RC 시정수 다. 전도도를 올리면 전하가 더 빨리 흩어지고, 유전율을 올리면 같은
전하가 만드는 전기장이 약해져 더 천천히 흩어진다.
반도체에서 이 수는 직접 쓰인다. 소자 물리의 “준중성 영역”이란 τ \tau τ τ \tau τ τ \tau τ
반도체에서는 전하 하나가 아니라 전자와 정공 두 종류 가 흐르고, 둘은 쌍으로 생성되고 쌍으로
사라진다. 그래서 각각에 대해 연속 방정식을 적으면 우변이 0이 아니다.
∂ n ∂ t = 1 q ∇ ⋅ J n + G − R ∂ p ∂ t = − 1 q ∇ ⋅ J p + G − R \begin{aligned}
\frac{\partial n}{\partial t} &= \frac{1}{q}\,\nabla\cdot\mathbf{J}_n + G - R \\[4pt]
\frac{\partial p}{\partial t} &= -\frac{1}{q}\,\nabla\cdot\mathbf{J}_p + G - R
\end{aligned} ∂ t ∂ n ∂ t ∂ p = q 1 ∇ ⋅ J n + G − R = − q 1 ∇ ⋅ J p + G − R 기호를 밝힌다. n n n p p p 전자·정공 농도 (개/m³)이고 q q q 기본 전하 (1.6 × 10 − 19 1.6\times10^{-19} 1.6 × 1 0 − 19 J n \mathbf{J}_n J n J p \mathbf{J}_p J p 전류 밀도이고, G G G R R R 생성·재결합률 (개/m³·s)이다. 두 식의 부호가 다른 것은 전자의 전하가 − q -q − q J n \mathbf{J}_n J n 모여드는 곳이다.
주의
n n n N D N_D N D n n n N D N_D N D 소문자는 캐리어·국소량, 대문자는 불순물·전체량 으로 읽으면 된다. 총전하 밀도는
ρ = q ( p − n + N D + − N A − ) \rho = q\,(p - n + N_D^+ - N_A^-) ρ = q ( p − n + N D + − N A − ) q q q G − R G - R G − R
J n \mathbf{J}_n J n J n = q n μ n E + q D n ∇ n \mathbf{J}_n = qn\mu_n\mathbf{E} + qD_n\nabla n J n = q n μ n E + q D n ∇ n 표동–확산 방정식 이 된다. 푸아송 방정식과 함께 세 식이 반도체 소자 시뮬레이션의 전부이고
(11부·20부), 이 장에서 얻은 것은 그중 두 식의 좌변과 첫 항이다.
2.6.10 시간 조화장과 페이저 표현 ∂ / ∂ t \partial/\partial t ∂ / ∂ t − i ω -i\omega − iω e − i ω t e^{-i\omega t} e − iω t
− i ω ρ ~ + ∇ ⋅ J ~ = 0 -i\omega\tilde{\rho} + \nabla\cdot\tilde{\mathbf{J}} = 0 − iω ρ ~ + ∇ ⋅ J ~ = 0 전하 밀도의 페이저가 전류 밀도 페이저의 발산으로 완전히 정해진다는 뜻이다. 안테나 이론이
전류 분포만 주어지면 전하 분포를 따로 묻지 않는 이유가 이것이다(2.9).
전하 q q q v \mathbf{v} v d t dt d t
d W = F ⋅ d ℓ = q ( E + v × B ) ⋅ v d t = q E ⋅ v d t dW = \mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}
= q\,(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}\,dt
= q\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}\,dt d W = F ⋅ d ℓ = q ( E + v × B ) ⋅ v d t = q E ⋅ v d t 이다. v × B \mathbf{v}\times\mathbf{B} v × B v \mathbf{v} v 자기력은
일을 하지 않는다. 전하 분포 전체로 넓히면 q v → J d V q\mathbf{v} \to \mathbf{J}\,dV q v → J d V V V V
d W d t = ∫ V E ⋅ J d V \frac{dW}{dt} = \int_V \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}\,dV d t d W = ∫ V E ⋅ J d V 이다. E ⋅ J \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} E ⋅ J 단위 부피당 일률 (W/m³)이며, 도체에서는
σ E 2 = J 2 / σ \sigma E^2 = J^2/\sigma σ E 2 = J 2 / σ
목표는 E ⋅ J \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} E ⋅ J J \mathbf{J} J 장만 남기는 것이다. 앙페르–맥스웰
법칙에서 J = 1 μ 0 ∇ × B − ε 0 ∂ E / ∂ t \mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} - \varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t J = μ 0 1 ∇ × B − ε 0 ∂ E / ∂ t
E ⋅ J = 1 μ 0 E ⋅ ( ∇ × B ) − ε 0 E ⋅ ∂ E ∂ t \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}
= \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})
- \varepsilon_0\,\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} E ⋅ J = μ 0 1 E ⋅ ( ∇ × B ) − ε 0 E ⋅ ∂ t ∂ E 첫 항에 곱 규칙
∇ ⋅ ( E × B ) = B ⋅ ( ∇ × E ) − E ⋅ ( ∇ × B ) \nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) = \mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{E}) - \mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) ∇ ⋅ ( E × B ) = B ⋅ ( ∇ × E ) − E ⋅ ( ∇ × B ) ∇ × E = − ∂ B / ∂ t \nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t ∇ × E = − ∂ B / ∂ t
E ⋅ ( ∇ × B ) = − B ⋅ ∂ B ∂ t − ∇ ⋅ ( E × B ) \mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})
= -\mathbf{B}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} - \nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) E ⋅ ( ∇ × B ) = − B ⋅ ∂ t ∂ B − ∇ ⋅ ( E × B ) 이고, E ⋅ ∂ E / ∂ t = 1 2 ∂ E 2 / ∂ t \mathbf{E}\cdot\partial\mathbf{E}/\partial t = \tfrac12\,\partial E^2/\partial t E ⋅ ∂ E / ∂ t = 2 1 ∂ E 2 / ∂ t
E ⋅ J = − ∂ ∂ t 1 2 ( ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) − 1 μ 0 ∇ ⋅ ( E × B ) \mathbf{E}\cdot\mathbf{J}
= -\frac{\partial}{\partial t}\,\frac12\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\Bigr)
- \frac{1}{\mu_0}\,\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) E ⋅ J = − ∂ t ∂ 2 1 ( ε 0 E 2 + μ 0 1 B 2 ) − μ 0 1 ∇ ⋅ ( E × B ) 부피에 대해 적분하고 두 번째 항에 발산정리를 쓰면 포인팅 정리 가 나온다.
d W d t = − d d t ∫ V 1 2 ( ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) d V − 1 μ 0 ∮ S ( E × B ) ⋅ d a \boxed{\;
\frac{dW}{dt}
= -\frac{d}{dt}\int_V \frac12\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\Bigr)dV
- \frac{1}{\mu_0}\oint_S (\mathbf{E}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{a}
\;} d t d W = − d t d ∫ V 2 1 ( ε 0 E 2 + μ 0 1 B 2 ) d V − μ 0 1 ∮ S ( E × B ) ⋅ d a 두 덩어리에 이름을 붙인다.
u ≡ 1 2 ( ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) , S ≡ 1 μ 0 E × B u \equiv \frac12\Bigl(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\Bigr),
\qquad
\mathbf{S} \equiv \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} u ≡ 2 1 ( ε 0 E 2 + μ 0 1 B 2 ) , S ≡ μ 0 1 E × B u u u 전자기 에너지 밀도 (J/m³), S \mathbf{S} S 포인팅 벡터 (W/m²)다. 정리는 이렇게 읽힌다 —
전하에 해 준 일은 (장에 저장된 에너지가 줄어든 만큼) + (경계를 지나 흘러 들어온 에너지)와 같다.
E ⋅ J \mathbf{E}\cdot\mathbf{J} E ⋅ J u mech u_\text{mech} u mech
∂ ∂ t ( u mech + u ) + ∇ ⋅ S = 0 또는 ∂ u ∂ t + ∇ ⋅ S = − E ⋅ J \frac{\partial}{\partial t}\,(u_\text{mech} + u) + \nabla\cdot\mathbf{S} = 0
\qquad\text{또는}\qquad
\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} ∂ t ∂ ( u mech + u ) + ∇ ⋅ S = 0 또는 ∂ t ∂ u + ∇ ⋅ S = − E ⋅ J 1절의 연속 방정식과 나란히 놓으면 자리가 정확히 대응한다. 밀도 ρ ↔ u \rho \leftrightarrow u ρ ↔ u J ↔ S \mathbf{J} \leftrightarrow \mathbf{S} J ↔ S − E ⋅ J -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} − E ⋅ J
직관
수식적 직관 — 왜 하필 제곱인가. u u u E 2 E^2 E 2 B 2 B^2 B 2 2.1.7 정전 에너지와 에너지 밀도 2.6.5 자기장의 에너지 준정적 가정 이 필요했다. 여기서는 그 가정 없이, 맥스웰 방정식만
가지고, 전기와 자기 항이 같은 계산에서 한꺼번에 튀어나온다. 그리고 이 u u u
공간적 직관. S = E × B / μ 0 \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0 S = E × B / μ 0 E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B
형태적 직관. u ∝ E 2 u \propto E^2 u ∝ E 2 1 2 C V 2 \tfrac12 CV^2 2 1 C V 2 1 2 L I 2 \tfrac12 LI^2 2 1 L I 2
포인팅 정리의 결론이 상식과 얼마나 다른지 보여 주는 고전적인 예다. 길이 L L L a a a V V V I I I E = V / L E = V/L E = V / L B = μ 0 I / ( 2 π a ) B = \mu_0 I/(2\pi a) B = μ 0 I / ( 2 π a ) 표면에 수직하게 안쪽 을 향한다.
S = E B μ 0 = V L ⋅ I 2 π a S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{V}{L}\cdot\frac{I}{2\pi a} S = μ 0 E B = L V ⋅ 2 π a I 표면 전체(넓이 2 π a L 2\pi a L 2 π a L
S ⋅ 2 π a L = V I S\cdot 2\pi a L = VI S ⋅ 2 π a L = V I 정확히 도선에서 열로 흩어지는 일률이다. 에너지는 전선 속을 따라 흐르는 것이 아니라 전선 주위의
공간에서 옆으로 들어온다. 전선은 에너지를 나르는 관이 아니라 에너지가 흘러드는 도랑이다.
그림 2.7-2. 직류가 흐르는 저항 도선의 포인팅 벡터. 옆모습에서 전기장 E는 전류 방향, 자기장 B는 도선을 감는 방향이고(점은 앞으로, 가위표는 뒤로), 둘의 외적 S는 도선 표면을 뚫고 안쪽으로 들어온다. 단면에서 보면 B가 원주를 돌고 S는 방사상으로 모여든다. 표면을 지나 들어오는 일률의 합이 정확히 VI다 — 열로 흩어지는 에너지는 전선을 따라 오는 것이 아니라 주변 공간에서 옆으로 들어온다.직접 작도 의문
그러면 에너지가 정말 전선 밖 을 지나가는가? 포인팅 정리가 실제로 말해 주는 것은
∇ ⋅ S \nabla\cdot\mathbf{S} ∇ ⋅ S S \mathbf{S} S ∇ × X \nabla\times\mathbf{X} ∇ × X S \mathbf{S} S
그럼에도 E × B / μ 0 \mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0 E × B / μ 0 g = S / c 2 \mathbf{g} = \mathbf{S}/c^2 g = S / c 2 S \mathbf{S} S S \mathbf{S} S S \mathbf{S} S
선형 매질에서 자유 전하에 하는 일로 다시 계산하면(2.6.9 물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건 D \mathbf{D} D H \mathbf{H} H
u = 1 2 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) , S = E × H u = \frac12\,(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}),
\qquad
\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H} u = 2 1 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) , S = E × H 가 된다. 이 꼴은 ε \varepsilon ε μ \mu μ 주파수에 무관한 선형 매질에서만 옳다. 분산이 있는
매질에서는 에너지 밀도에 d ( ω ε ) / d ω d(\omega\varepsilon)/d\omega d ( ω ε ) / d ω
시간 조화장에서는 페이저 E ~ \tilde{\mathbf{E}} E ~ H ~ \tilde{\mathbf{H}} H ~
⟨ S ⟩ = 1 2 Re ( E ~ × H ~ ∗ ) \langle\mathbf{S}\rangle = \frac12\,\operatorname{Re}\bigl(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^*\bigr) ⟨ S ⟩ = 2 1 Re ( E ~ × H ~ ∗ ) 1 2 \tfrac12 2 1 2.6.10 시간 조화장과 페이저 표현 1 2 E ~ × H ~ ∗ \tfrac12\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{H}}^* 2 1 E ~ × H ~ ∗ 복소 포인팅 벡터 라 하며, 그 허수부는
전기·자기 에너지 사이를 오가는 무효 전력에 해당한다. 회로 이론의 유효·무효 전력이 여기서 온다.
직관
파라미터 연계 — 빛의 세기에서 생성률까지. 진공 평면파에서
⟨ S ⟩ = 1 2 c ε 0 E 0 2 \langle S\rangle = \tfrac12\,c\varepsilon_0 E_0^2 ⟨ S ⟩ = 2 1 c ε 0 E 0 2 세기 I I I ℏ ω \hbar\omega ℏ ω I / ℏ ω I/\hbar\omega I /ℏ ω x x x α \alpha α G ( x ) = α ( I / ℏ ω ) e − α x G(x) = \alpha\,(I/\hbar\omega)\,e^{-\alpha x} G ( x ) = α ( I /ℏ ω ) e − α x G G G
전기장 진폭을 두 배로 하면 세기는 네 배, 광자 수도 네 배, 생성률도 네 배다. 반면 주파수를
두 배로 하면 같은 세기에서 광자 수는 반이 된다.
2절이 “전하에 하는 일 ”을 장만으로 썼다면, 이 절은 “전하에 미치는 힘 ”을 장만으로 쓴다.
부피 V V V
F = ∫ V ( ρ E + J × B ) d V = ∫ V f d V , f = ρ E + J × B \mathbf{F} = \int_V (\rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B})\,dV
= \int_V \mathbf{f}\,dV,
\qquad
\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B} F = ∫ V ( ρ E + J × B ) d V = ∫ V f d V , f = ρ E + J × B f \mathbf{f} f 힘 밀도 (N/m³)다. 맥스웰 방정식으로 ρ \rho ρ J \mathbf{J} J ρ = ε 0 ∇ ⋅ E \rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E} ρ = ε 0 ∇ ⋅ E J = 1 μ 0 ∇ × B − ε 0 ∂ E / ∂ t \mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} - \varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t J = μ 0 1 ∇ × B − ε 0 ∂ E / ∂ t
f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ E ∂ t × B \mathbf{f}
= \varepsilon_0(\nabla\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}
+ \frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\mathbf{B})\times\mathbf{B}
- \varepsilon_0\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B} f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + μ 0 1 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ t ∂ E × B 마지막 항을 시간 미분 하나로 모은다.
∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ E ∂ t × B + E × ∂ B ∂ t \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B})
= \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B} + \mathbf{E}\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} ∂ t ∂ ( E × B ) = ∂ t ∂ E × B + E × ∂ t ∂ B 이고 패러데이 법칙으로 ∂ B / ∂ t = − ∇ × E \partial\mathbf{B}/\partial t = -\nabla\times\mathbf{E} ∂ B / ∂ t = − ∇ × E
∂ E ∂ t × B = ∂ ∂ t ( E × B ) + E × ( ∇ × E ) \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B}
= \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B})
+ \mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E}) ∂ t ∂ E × B = ∂ t ∂ ( E × B ) + E × ( ∇ × E ) 이를 넣고, 대칭을 맞추려고 언제나 0인 1 μ 0 ( ∇ ⋅ B ) B \frac{1}{\mu_0}(\nabla\cdot\mathbf{B})\mathbf{B} μ 0 1 ( ∇ ⋅ B ) B
f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) \begin{aligned}
\mathbf{f}
={}& \varepsilon_0\bigl[(\nabla\cdot\mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E})\bigr] \\
&+ \frac{1}{\mu_0}\bigl[(\nabla\cdot\mathbf{B})\mathbf{B} - \mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{B})\bigr]
- \varepsilon_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{E}\times\mathbf{B})
\end{aligned} f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + μ 0 1 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ t ∂ ( E × B ) 전기와 자기가 완전히 같은 꼴이다. 남은 것은 대괄호를 정리하는 것뿐인데, 벡터 항등식
E × ( ∇ × E ) = 1 2 ∇ ( E 2 ) − ( E ⋅ ∇ ) E \mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \tfrac12\nabla(E^2) - (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} E × ( ∇ × E ) = 2 1 ∇ ( E 2 ) − ( E ⋅ ∇ ) E
( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) = ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E − 1 2 ∇ ( E 2 ) (\nabla\cdot\mathbf{E})\mathbf{E} - \mathbf{E}\times(\nabla\times\mathbf{E})
= (\nabla\cdot\mathbf{E})\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} - \tfrac12\nabla(E^2) ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) = ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E − 2 1 ∇ ( E 2 ) 이다. 이것을 벡터 하나로는 더 줄일 수 없다. 그런데 텐서의 발산 으로는 줄어든다.
다음 3 × 3 3\times3 3 × 3
T i j ≡ ε 0 ( E i E j − 1 2 δ i j E 2 ) + 1 μ 0 ( B i B j − 1 2 δ i j B 2 ) \boxed{\;
T_{ij} \equiv \varepsilon_0\Bigl(E_iE_j - \tfrac12\,\delta_{ij}E^2\Bigr)
+ \frac{1}{\mu_0}\Bigl(B_iB_j - \tfrac12\,\delta_{ij}B^2\Bigr)
\;} T ij ≡ ε 0 ( E i E j − 2 1 δ ij E 2 ) + μ 0 1 ( B i B j − 2 1 δ ij B 2 ) 맥스웰 응력 텐서 다. 인덱스가 늘어났으니 자리를 정리한다.
기호 읽는 법 무엇을 가리키는가 단위 i , j i,\ j i , j 공간 성분 x , y , z x, y, z x , y , z — E i E_i E i B i B_i B i E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B i i i V/m · T δ i j \delta_{ij} δ ij 크로네커 델타 i = j i=j i = j — T i j T_{ij} T ij i i i j j j N/m² T i i T_{ii} T ii 면에 수직인 힘 — 압력 또는 장력 N/m² T i j , i ≠ j T_{ij},\ i\ne j T ij , i = j 면에 나란한 힘 — 전단 N/m² ( ∇ ⋅ T ↔ ) j (\nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}})_j ( ∇ ⋅ T ) j ∑ i ∂ i T i j \sum_i \partial_i T_{ij} ∑ i ∂ i T ij N/m³ ( T ↔ ⋅ d a ) j (\overleftrightarrow{\mathbf{T}}\cdot d\mathbf{a})_j ( T ⋅ d a ) j ∑ i T i j d a i \sum_i T_{ij}\,da_i ∑ i T ij d a i j j j N
T i j = T j i T_{ij} = T_{ji} T ij = T j i 1.13.4 응력·변형 텐서와 관성 텐서 T i j T_{ij} T ij 장이
매질 노릇을 할 때 로 옮겨 온 것이다.
발산을 계산하면 대괄호가 나온다.
( ∇ ⋅ T ↔ ) j = ε 0 [ ( ∂ i E i ) E j + E i ∂ i E j − 1 2 ∂ j ( E 2 ) ] + ( B 항 ) = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E j + ( E ⋅ ∇ ) E j − 1 2 ∇ j ( E 2 ) ] + ( B 항 ) \begin{aligned}
(\nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}})_j
&= \varepsilon_0\Bigl[(\partial_i E_i)E_j + E_i\,\partial_i E_j - \tfrac12\,\partial_j(E^2)\Bigr]
+ (\mathbf{B}\ \text{항}) \\
&= \varepsilon_0\Bigl[(\nabla\cdot\mathbf{E})E_j + (\mathbf{E}\cdot\nabla)E_j - \tfrac12\,\nabla_j(E^2)\Bigr]
+ (\mathbf{B}\ \text{항})
\end{aligned} ( ∇ ⋅ T ) j = ε 0 [ ( ∂ i E i ) E j + E i ∂ i E j − 2 1 ∂ j ( E 2 ) ] + ( B 항 ) = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E j + ( E ⋅ ∇ ) E j − 2 1 ∇ j ( E 2 ) ] + ( B 항 ) 따라서 힘 밀도는
f = ∇ ⋅ T ↔ − ε 0 μ 0 ∂ S ∂ t \mathbf{f} = \nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}} - \varepsilon_0\mu_0\,\frac{\partial\mathbf{S}}{\partial t} f = ∇ ⋅ T − ε 0 μ 0 ∂ t ∂ S 이고, 부피에 적분해 발산정리를 쓰면 총 힘 은
F = ∮ S T ↔ ⋅ d a − ε 0 μ 0 d d t ∫ V S d V \boxed{\;
\mathbf{F} = \oint_S \overleftrightarrow{\mathbf{T}}\cdot d\mathbf{a}
- \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d}{dt}\int_V \mathbf{S}\,dV
\;} F = ∮ S T ⋅ d a − ε 0 μ 0 d t d ∫ V S d V 정적인 경우 두 번째 항이 사라지고, 부피 안의 전하가 받는 총 힘은 경계면 위의 장만으로 정해진다.
안에 전하가 어떻게 놓여 있는지, 힘을 주는 다른 전하가 어디 있는지 몰라도 된다.
직관
물리적 직관 — 힘선의 장력과 압력. E \mathbf{E} E x x x T x x = 1 2 ε 0 E 2 T_{xx} = \tfrac12\varepsilon_0 E^2 T xx = 2 1 ε 0 E 2 T y y = T z z = − 1 2 ε 0 E 2 T_{yy} = T_{zz} = -\tfrac12\varepsilon_0 E^2 T y y = T z z = − 2 1 ε 0 E 2 x x x 뚫고 지나는 면은 바깥으로 당겨진다(양수 — 장력 ). 법선이
y y y z z z 스치고 지나는 면은 안으로 밀린다(음수 — 압력 ). 패러데이가 그린
대로다. 힘선은 고무줄처럼 줄어들려 하고, 옆으로는 서로를 밀어낸다. 반대 부호의 두 전하 사이 힘선이
팽팽히 당기고, 같은 부호의 두 전하 사이에서 힘선이 옆으로 비켜나는 그림이 그대로 힘의 방향이다.
장력과 압력의 크기가 둘 다 1 2 ε 0 E 2 = u \tfrac12\varepsilon_0 E^2 = u 2 1 ε 0 E 2 = u 에너지 밀도 와 같다. 우연이
아니다 — tr T ↔ = T x x + T y y + T z z = − u \operatorname{tr}\overleftrightarrow{\mathbf{T}} = T_{xx}+T_{yy}+T_{zz} = -u tr T = T xx + T y y + T z z = − u
그림 2.7-3. 힘선을 고무줄로 읽는다. 왼쪽은 부호가 다른 두 전하로, 가운데 평면을 뚫고 지나는 힘선이 평면을 양쪽으로 당긴다 — 법선 방향 성분 T가 양수인 장력이고, 두 전하는 서로 끌린다. 오른쪽은 같은 부호의 두 전하로, 힘선이 가운데 평면에 닿지 못하고 옆으로 비켜나며 평면을 나란히 스친다 — 법선 방향 성분이 음수인 압력이고, 두 전하는 서로 밀린다. 어느 쪽이든 크기는 ε₀E²/2, 즉 그 자리의 에너지 밀도와 같다.직접 작도 평행판 축전기(2.1.9 축전기와 정전용량 E = σ / ε 0 E = \sigma/\varepsilon_0 E = σ / ε 0 σ \sigma σ 면전하 밀도 (C/m²)다 — 1절의 전도도와 같은 글자이지만 다른 양이다. 위쪽 판을 얇은
상자로 감싸자. 상자의 윗면은 축전기 바깥이라 장이 0이고, 옆면은 넓이가 무시할 만하며, 남는 것은
판 사이 틈에 있는 아랫면뿐이다. 그 면의 바깥 법선은 − z ^ -\hat{\mathbf{z}} − z ^ E = − E z ^ \mathbf{E} = -E\hat{\mathbf{z}} E = − E z ^
F z = T z z ( − A ) = − 1 2 ε 0 E 2 A F_z = T_{zz}\,(-A) = -\tfrac12\varepsilon_0 E^2 A F z = T z z ( − A ) = − 2 1 ε 0 E 2 A 윗판은 아래로 , 즉 상대 판 쪽으로 면적당 1 2 ε 0 E 2 = σ 2 / 2 ε 0 \tfrac12\varepsilon_0E^2 = \sigma^2/2\varepsilon_0 2 1 ε 0 E 2 = σ 2 /2 ε 0 정전 압력 이다. 판 위의 전하에 “다른 판의 장” σ / 2 ε 0 \sigma/2\varepsilon_0 σ /2 ε 0 U = 1 2 C V 2 U = \tfrac12 CV^2 U = 2 1 C V 2
직관
파라미터 연계 — 정전 구동. 이 압력 1 2 ε 0 E 2 \tfrac12\varepsilon_0E^2 2 1 ε 0 E 2 d d d V V V 1 2 ε 0 A V 2 / d 2 \tfrac12\varepsilon_0 AV^2/d^2 2 1 ε 0 A V 2 / d 2 간격의 역제곱 , 전압의 제곱으로 는다. 스프링 복원력은 변위에
비례하니, 간격이 좁아질수록 정전력이 스프링을 이기는 문턱이 생긴다 — 그것이 풀인 전압이고
움직일 수 있는 거리가 처음 간격의 1/3까지인 이유다(17부). 같은 압력이 유전체 안의 힘
2.3.11 유전체계의 에너지와 힘 ε \varepsilon ε
응력 텐서의 진짜 힘은 다음 예에서 드러난다. z z z z = ± a z=\pm a z = ± a q q q z = 0 z=0 z = 0 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2 1 / r 4 1/r^4 1/ r 4 r 2 r^2 r 2 z z z
E = 2 q 4 π ε 0 a ( r 2 + a 2 ) 3 / 2 r ^ ( 평면 위, 원점에서 거리 r ) \mathbf{E} = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{a}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{r}}
\qquad(\text{평면 위, 원점에서 거리 } r) E = 4 π ε 0 2 q ( r 2 + a 2 ) 3/2 a r ^ ( 평면 위 , 원점에서 거리 r ) 이 장은 평면에 나란 하므로 T z z = − 1 2 ε 0 E 2 T_{zz} = -\tfrac12\varepsilon_0 E^2 T z z = − 2 1 ε 0 E 2 − z ^ -\hat{\mathbf{z}} − z ^
F z = ∫ T z z ( − d a ) = ε 0 2 ∫ 0 ∞ ( q a 2 π ε 0 ) 2 2 π r d r ( r 2 + a 2 ) 3 = q 2 a 2 4 π ε 0 ⋅ 1 4 a 4 = 1 4 π ε 0 q 2 ( 2 a ) 2 F_z = \int T_{zz}\,(-da)
= \frac{\varepsilon_0}{2}\int_0^\infty \Bigl(\frac{qa}{2\pi\varepsilon_0}\Bigr)^2
\frac{2\pi r\,dr}{(r^2+a^2)^3}
= \frac{q^2 a^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{4a^4}
= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q^2}{(2a)^2} F z = ∫ T z z ( − d a ) = 2 ε 0 ∫ 0 ∞ ( 2 π ε 0 q a ) 2 ( r 2 + a 2 ) 3 2 π r d r = 4 π ε 0 q 2 a 2 ⋅ 4 a 4 1 = 4 π ε 0 1 ( 2 a ) 2 q 2 쿨롱 법칙 그대로다. 그런데 이 계산은 아래쪽 전하의 존재를 쓴 적이 없다. 평면 위의 장만 알면
됐다. 안에 든 것이 점전하든 전하 구름이든, 밖에서 힘을 주는 것이 전하 하나든 만 개든, 곡면 위의
장으로 힘이 결정된다는 것이 응력 텐서의 내용이다.
정전기학에서 두 전하 사이의 힘은 크기가 같고 방향이 반대다. 그런데 움직이는 전하에서는 그렇지
않다. 전하 1이 x x x x x x y y y y y y v 2 × B 1 \mathbf{v}_2\times\mathbf{B}_1 v 2 × B 1 x x x v 1 × B 2 \mathbf{v}_1\times\mathbf{B}_2 v 1 × B 2 y y y
그림 2.7-4. 서로 수직으로 움직이는 두 점전하. 전기력은 두 전하를 잇는 선을 따라 같고 반대지만, 자기력은 전하 1에는 y 방향, 전하 2에는 x 방향으로 걸려 서로 수직이다. 두 전하가 주고받는 힘의 합이 0이 아니므로, 두 전하의 운동량만으로는 보존이 성립하지 않는다. 모자란 운동량은 장이 가지고 있다.직접 작도 제3법칙은 운동량 보존 3.1.4 운동량과 충돌 전하의 운동량만 센다면. 결론은 하나뿐이다. 장이 운동량을 가지고 있고, 모자란 만큼을
장이 채운다. 3절의 마지막 식이 그 운동량이 얼마인지 알려 준다.
3절의 결과를 뉴턴 제2법칙으로 읽는다. 부피 안 전하의 역학적 운동량을 p mech \mathbf{p}_\text{mech} p mech F = d p mech / d t \mathbf{F} = d\mathbf{p}_\text{mech}/dt F = d p mech / d t
d p mech d t = ∮ S T ↔ ⋅ d a − ε 0 μ 0 d d t ∫ V S d V \frac{d\mathbf{p}_\text{mech}}{dt}
= \oint_S \overleftrightarrow{\mathbf{T}}\cdot d\mathbf{a}
- \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d}{dt}\int_V \mathbf{S}\,dV d t d p mech = ∮ S T ⋅ d a − ε 0 μ 0 d t d ∫ V S d V 두 번째 항을 좌변으로 옮기면
d d t ( p mech + ∫ V g d V ) = ∮ S T ↔ ⋅ d a , g ≡ ε 0 μ 0 S = ε 0 E × B \frac{d}{dt}\Bigl(\mathbf{p}_\text{mech} + \int_V \mathbf{g}\,dV\Bigr)
= \oint_S \overleftrightarrow{\mathbf{T}}\cdot d\mathbf{a},
\qquad
\boxed{\;\mathbf{g} \equiv \varepsilon_0\mu_0\,\mathbf{S} = \varepsilon_0\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}\;} d t d ( p mech + ∫ V g d V ) = ∮ S T ⋅ d a , g ≡ ε 0 μ 0 S = ε 0 E × B g \mathbf{g} g 전자기 운동량 밀도 다. 정리는 이렇게 읽힌다 — (전하의 운동량 + 장의 운동량)의
변화율은 경계면을 지나 들어오는 운동량 흐름과 같다. 즉 − T ↔ -\overleftrightarrow{\mathbf{T}} − T 운동량의 흐름 밀도 다. 3절에서 “면에 작용하는 힘”으로 읽었던 T i j T_{ij} T ij i i i j j j
미분형으로 적으면 이 장의 세 번째 연속 방정식이다.
∂ ∂ t ( g mech + g ) = ∇ ⋅ T ↔ 또는 ∂ g ∂ t − ∇ ⋅ T ↔ = − f \frac{\partial}{\partial t}\,(\mathbf{g}_\text{mech} + \mathbf{g}) = \nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}}
\qquad\text{또는}\qquad
\frac{\partial\mathbf{g}}{\partial t} - \nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}} = -\mathbf{f} ∂ t ∂ ( g mech + g ) = ∇ ⋅ T 또는 ∂ t ∂ g − ∇ ⋅ T = − f 직관
수식적 직관 — 왜 S / c 2 \mathbf{S}/c^2 S / c 2 에너지의 흐름 S \mathbf{S} S c 2 c^2 c 2 E E E c c c E / c E/c E / c E = p c E = pc E = p c S \mathbf{S} S 하나의 텐서
T μ ν T^{\mu\nu} T μν
공간적 직관. g ∝ E × B \mathbf{g} \propto \mathbf{E}\times\mathbf{B} g ∝ E × B 교차 하는 곳이면
어디든 운동량이 있다. 아무것도 움직이지 않는 정적 배치에서도 그렇다 — 전하 옆의 영구자석,
5절의 솔레노이드와 대전된 원통. 그 정적인 운동량이 진짜라는 것은 장을 꺼 보면 안다. 꺼지는 순간
전하가 힘을 받아 그 운동량을 넘겨받는다.
평면파에서 ⟨ g ⟩ = ⟨ S ⟩ / c 2 = ( I / c 2 ) k ^ \langle\mathbf{g}\rangle = \langle\mathbf{S}\rangle/c^2 = (I/c^2)\hat{\mathbf{k}} ⟨ g ⟩ = ⟨ S ⟩ / c 2 = ( I / c 2 ) k ^ Δ t \Delta t Δ t A A A ⟨ g ⟩ c Δ t A \langle g\rangle\,c\,\Delta t\,A ⟨ g ⟩ c Δ t A 복사압 은
P = I c ( 완전 흡수 ) , P = 2 I c ( 완전 반사 ) P = \frac{I}{c}
\qquad(\text{완전 흡수}),\qquad
P = \frac{2I}{c}
\qquad(\text{완전 반사}) P = c I ( 완전 흡수 ) , P = c 2 I ( 완전 반사 ) 지표면의 햇빛(I ≈ 1.4 I \approx 1.4 I ≈ 1.4 10 − 10 10^{-10} 1 0 − 10 p = ℏ k = ℏ ω / c p = \hbar k = \hbar\omega/c p = ℏ k = ℏ ω / c
의문
물질 안의 운동량은 ε 0 E × B \varepsilon_0\mathbf{E}\times\mathbf{B} ε 0 E × B D × B \mathbf{D}\times\mathbf{B} D × B
굴절률 n n n ℏ ω / n c \hbar\omega/nc ℏ ω / n c n ℏ ω / c n\hbar\omega/c n ℏ ω / c 묻는 것이 다르다 는 것이다 — 아브라함 운동량은 장이
나르는 운동학적 운동량이고, 민코프스키 운동량은 매질의 반응까지 합친 정준 운동량이며, 총 운동량
보존은 어느 쪽으로 세든 매질의 몫을 제대로 넣으면 성립한다. 이 백과에서는 진공의 g \mathbf{g} g 으로 두고 매질 안은 2.8.3에서 필요한 만큼만 다룬다.
같은 뿌리의 문제가 숨은 운동량 이다. 전기장 속의 자기 쌍극자는 정지해 있어도 역학적 운동량을
가지며(전류 고리의 한쪽에서 전하가 더 빠르고 다른 쪽에서 더 느리다), 이 몫을 세지 않으면
∫ g d V \int\mathbf{g}\,dV ∫ g d V
운동량 밀도가 있으니 각운동량 밀도는 그것에 팔을 곱한 것이다.
ℓ = r × g = ε 0 r × ( E × B ) \boldsymbol{\ell} = \mathbf{r}\times\mathbf{g}
= \varepsilon_0\,\mathbf{r}\times(\mathbf{E}\times\mathbf{B}) ℓ = r × g = ε 0 r × ( E × B ) 3.1.6 각운동량과 그 보존 r × \mathbf{r}\times r × T ↔ \overleftrightarrow{\mathbf{T}} T r × ( ∇ ⋅ T ↔ ) \mathbf{r}\times(\nabla\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{T}}) r × ( ∇ ⋅ T ) 1.13.4 응력·변형 텐서와 관성 텐서
길이 l l l R R R n n n I I I l l l 안쪽 반지름 a a a + Q +Q + Q 바깥쪽 반지름 b b b − Q -Q − Q 돌기 시작한다. 아무것도 돌고 있지 않았는데 각운동량이 어디서 왔는가?
그림 2.7-5. 파인만의 원판 역설. 왼쪽은 전류가 흐르는 동안의 단면으로, 솔레노이드 안에는 축 방향 자기장 B, 두 대전 껍질 사이에는 방사 방향 전기장 E가 있고, 둘이 겹치는 a와 R 사이 영역에 E×B 운동량이 원주 방향으로 돌고 있다 — 아무것도 움직이지 않는데 장은 각운동량을 가지고 있다. 오른쪽은 전류를 끊는 순간으로, 변하는 B가 원주 방향 유도 전기장을 만들고 그 장이 대전된 껍질에 토크를 준다. 껍질이 얻는 각운동량이 장이 잃은 각운동량과 정확히 같다.직접 작도 장이 가지고 있던 각운동량. 껍질 사이(a < s < b a < s < b a < s < b s s s s < R s < R s < R
E = Q 2 π ε 0 l 1 s s ^ , B = μ 0 n I z ^ \mathbf{E} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 l}\,\frac{1}{s}\,\hat{\mathbf{s}},
\qquad
\mathbf{B} = \mu_0 n I\,\hat{\mathbf{z}} E = 2 π ε 0 l Q s 1 s ^ , B = μ 0 n I z ^ 이고 둘이 겹치는 곳은 a < s < R a < s < R a < s < R
g = ε 0 E × B = − μ 0 n I Q 2 π l 1 s ϕ ^ \mathbf{g} = \varepsilon_0\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}
= -\frac{\mu_0 n I Q}{2\pi l}\,\frac{1}{s}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} g = ε 0 E × B = − 2 π l μ 0 n I Q s 1 ϕ ^ 원주 방향으로 돌고 있다. 각운동량 밀도는 r × g \mathbf{r}\times\mathbf{g} r × g r \mathbf{r} r z z z z ^ × ϕ ^ = − s ^ \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\boldsymbol{\phi}} = -\hat{\mathbf{s}} z ^ × ϕ ^ = − s ^ s s ^ × ϕ ^ = s z ^ s\,\hat{\mathbf{s}}\times\hat{\boldsymbol{\phi}} = s\,\hat{\mathbf{z}} s s ^ × ϕ ^ = s z ^
ℓ = − μ 0 n I Q 2 π l z ^ ( 균일 ) , L field = ℓ ⋅ π ( R 2 − a 2 ) l = − μ 0 n I Q 2 ( R 2 − a 2 ) z ^ \boldsymbol{\ell} = -\frac{\mu_0 n I Q}{2\pi l}\,\hat{\mathbf{z}}
\qquad(\text{균일}),
\qquad
\mathbf{L}_\text{field} = \boldsymbol{\ell}\cdot\pi(R^2 - a^2)\,l
= -\frac{\mu_0 n I Q}{2}\,(R^2 - a^2)\,\hat{\mathbf{z}} ℓ = − 2 π l μ 0 n I Q z ^ ( 균일 ) , L field = ℓ ⋅ π ( R 2 − a 2 ) l = − 2 μ 0 n I Q ( R 2 − a 2 ) z ^ 껍질이 받는 각운동량. 전류가 변하면 패러데이 법칙 2.6.3 패러데이 법칙과 유도 전기장 s s s ∮ E ⋅ d ℓ = − d Φ / d t \oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -d\Phi/dt ∮ E ⋅ d ℓ = − d Φ/ d t
E ind = { − μ 0 n s 2 d I d t ϕ ^ ( s < R ) − μ 0 n R 2 2 s d I d t ϕ ^ ( s > R ) \mathbf{E}_\text{ind} =
\begin{cases}
-\dfrac{\mu_0 n s}{2}\,\dfrac{dI}{dt}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} & (s < R) \\[10pt]
-\dfrac{\mu_0 n R^2}{2s}\,\dfrac{dI}{dt}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} & (s > R)
\end{cases} E ind = ⎩ ⎨ ⎧ − 2 μ 0 n s d t d I ϕ ^ − 2 s μ 0 n R 2 d t d I ϕ ^ ( s < R ) ( s > R ) 바깥 껍질(반지름 b b b − Q -Q − Q N b = b s ^ × ( − Q ) E ind = 1 2 μ 0 n R 2 Q ( d I / d t ) z ^ \mathbf{N}_b = b\,\hat{\mathbf{s}}\times(-Q)\mathbf{E}_\text{ind} = \tfrac12\mu_0 n R^2 Q\,(dI/dt)\,\hat{\mathbf{z}} N b = b s ^ × ( − Q ) E ind = 2 1 μ 0 n R 2 Q ( d I / d t ) z ^ I I I
L b = ∫ N b d t = μ 0 n R 2 Q 2 ( 0 − I ) z ^ = − μ 0 n I Q R 2 2 z ^ \mathbf{L}_b = \int \mathbf{N}_b\,dt = \frac{\mu_0 n R^2 Q}{2}\,(0 - I)\,\hat{\mathbf{z}}
= -\frac{\mu_0 n I Q R^2}{2}\,\hat{\mathbf{z}} L b = ∫ N b d t = 2 μ 0 n R 2 Q ( 0 − I ) z ^ = − 2 μ 0 n I Q R 2 z ^ 안쪽 껍질(반지름 a a a + Q +Q + Q N a = − 1 2 μ 0 n a 2 Q ( d I / d t ) z ^ \mathbf{N}_a = -\tfrac12\mu_0 n a^2 Q\,(dI/dt)\,\hat{\mathbf{z}} N a = − 2 1 μ 0 n a 2 Q ( d I / d t ) z ^ L a = + 1 2 μ 0 n I Q a 2 z ^ \mathbf{L}_a = +\tfrac12\mu_0 n I Q a^2\,\hat{\mathbf{z}} L a = + 2 1 μ 0 n I Q a 2 z ^
L a + L b = − μ 0 n I Q 2 ( R 2 − a 2 ) z ^ = L field \mathbf{L}_a + \mathbf{L}_b = -\frac{\mu_0 n I Q}{2}\,(R^2 - a^2)\,\hat{\mathbf{z}} = \mathbf{L}_\text{field} L a + L b = − 2 μ 0 n I Q ( R 2 − a 2 ) z ^ = L field 장이 가지고 있던 각운동량이 남김없이 껍질로 옮겨 갔다. 역설은 없다 — 처음부터 계는 돌고
있었다. 눈에 보이는 것이 돌지 않았을 뿐이다.
직관
물리적 직관. 2절의 의문 — 정적 배치에서 원을 그리며 도는 S \mathbf{S} S S \mathbf{S} S c 2 c^2 c 2 g \mathbf{g} g g \mathbf{g} g
파라미터 연계. L field ∝ n I Q ( R 2 − a 2 ) \mathbf{L}_\text{field} \propto nIQ(R^2-a^2) L field ∝ n I Q ( R 2 − a 2 ) n I nI n I Q Q Q 겹치는 부피 에 비례한다. 안쪽 껍질을 솔레노이드 벽까지 밀어
a → R a \to R a → R b b b b b b B \mathbf{B} B
빛의 각운동량. 원편광(2.8.4)은 이 ℓ \boldsymbol{\ell} ℓ ± ℏ \pm\hbar ± ℏ 광학적
스핀 주입 은 이 각운동량이 전자의 스핀으로 넘어가는 선택 규칙(7부·17부)이고, 그 규칙의 뿌리가
이 절의 보존 법칙이다.
이 장에서 만난 네 보존 법칙은 전부 같은 틀이다. 무엇이 밀도이고 무엇이 흐름인지, 원천이 있는지만
다르다.
보존되는 양 밀도 흐름 밀도 원천 (전하와의 교환) 전하 ρ \rho ρ J \mathbf{J} J 없음 에너지 u = 1 2 ( ε 0 E 2 + B 2 / μ 0 ) u = \tfrac12(\varepsilon_0E^2 + B^2/\mu_0) u = 2 1 ( ε 0 E 2 + B 2 / μ 0 ) S = E × B / μ 0 \mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0 S = E × B / μ 0 − E ⋅ J -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} − E ⋅ J 운동량 g = ε 0 E × B = S / c 2 \mathbf{g} = \varepsilon_0\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \mathbf{S}/c^2 g = ε 0 E × B = S / c 2 − T ↔ -\overleftrightarrow{\mathbf{T}} − T − ( ρ E + J × B ) -(\rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}) − ( ρ E + J × B ) 각운동량 ℓ = r × g \boldsymbol{\ell} = \mathbf{r}\times\mathbf{g} ℓ = r × g − r × T ↔ -\mathbf{r}\times\overleftrightarrow{\mathbf{T}} − r × T − r × f -\mathbf{r}\times\mathbf{f} − r × f
전하의 흐름은 벡터, 에너지의 흐름도 벡터, 운동량의 흐름은 텐서다 — 보존되는 양의 계수(rank)가
하나 올라가면 그 흐름의 계수도 하나 오른다. 이 표의 두 번째 열과 세 번째 열이 2.9.8에서
4 × 4 4\times4 4 × 4 T μ ν T^{\mu\nu} T μν ∂ μ T μ ν = 0 \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 ∂ μ T μν = 0