3부 일반물리와 광학 3.5

간섭과 편광

3.3에서 빛은 전자기파였고, 3.4에서는 파장을 0으로 보내 광선으로 다뤘다. 이 장은 파장을 되살린다. 간섭은 두 파를 더하면 세기가 더해지지 않는다는 사실이고, 편광은 그 파의 진폭이 숫자가 아니라 벡터라는 사실이다. 둘 다 파동이 아니면 있을 수 없는 현상이고, 둘 다 반도체 공정의 일상이다.

산화막을 입힌 웨이퍼가 색을 띠는 것이 박막 간섭이고, 그 색으로 두께를 읽는 것이 반사 계측이다. 레지스트 안에 생기는 정재파가 측벽에 줄무늬를 남기고, 그것을 죽이려고 반사 방지막을 깐다. EUV 노광기의 거울은 몰리브덴과 실리콘을 40쌍 넘게 쌓은 다층막이고, 레이저 다이오드의 공진기는 패브리–페로 판이며, 광변조기는 마흐–첸더 간섭계다. 액정 디스플레이는 전압으로 돌리는 위상 지연자이고, 타원계측기는 브루스터 각 근처에서 반사광의 편광 변화를 읽어 박막 두께를 0.1 nm까지 잰다. 액침 노광에서 개구수가 1을 넘자 편광을 다루지 않고는 상이 생기지 않게 되었다.

이 장은 두 부분으로 되어 있다.

간섭 — 1~6절. 두 파를 더해 제곱하면 교차항이 남는다는 것(1절), 그 교차항을 보이게 만드는 두 가지 방법 — 파면을 나누거나(2절) 진폭을 나누거나(3절) —, 진폭 분할의 가장 흔한 형태인 박막(4절), 반사가 거듭될 때의 다중빔 간섭(5절), 그리고 그것을 설계 도구로 바꾼 단층·다층막(6절).
편광 — 7~12절. 전기장 벡터가 그리는 궤적(7절), 그것을 골라내는 물질의 성질 — 흡수의 이방성과 굴절률의 이방성(8절) —, 위상을 지연시켜 상태를 바꾸는 소자(9절), 반사 자체가 편광을 고르는 각(10절), 회전·전기장·액정으로 편광을 조작하는 방법(11절), 그리고 이 전부를 2×2 행렬 하나로 적는 언어(12절).

두 부분은 1절의 한 문장으로 묶인다 — 직교하는 두 편광은 간섭하지 않는다. 간섭을 논하려면 편광이 같아야 하고, 편광을 재려면 간섭(위상 지연)을 쓴다. 그래서 두 주제가 한 장에 있다.

수학은 거의 새로 필요하지 않다. 3.2.6복소 표현과 위상자의 복소 표현과 위상자, 3.2.8파동의 중첩과 정상파의 중첩, 3.3.8프레넬 방정식의 프레넬 방정식이 재료의 전부다. 12절에서 1.2.6선형 변환의 선형 변환이 2×2 행렬로 돌아온다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 전기장·조도·굴절률·반사율이 한 식에 같이 나오므로 글자가 겹치는 자리가 많다. 기준 교재 Hecht의 표기를 따르되, 다른 장과 부딪히는 것을 먼저 못박는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$\mathbf E$ , $E_0$		전기장 벡터 · 그 진폭. 이 장에서 $E$ 는 에너지가 아니다
$I$		조도(irradiance) $\propto \langle E^2\rangle$ , 단위 W/m². 전류가 아니다
$k_0$ , $k$		파수 $2\pi/\lambda_0$ (진공) · $2\pi/\lambda = n k_0$ (매질). 볼츠만 상수가 아니다
$\lambda_0$ , $\lambda$		진공 파장 · 매질 속 파장 $\lambda_0/n$
$n$		굴절률. 전자 농도가 아니다. $n_f$ 박막, $n_s$ 기판, $n_o$ · $n_e$ 정상·이상
$d$		박막 두께 · 간섭계 팔 길이 차
$\Lambda$	람다(대문자)	광경로차 $\sum n_i \ell_i$ 의 차 (Hecht). 파장 $\lambda$ 와 다른 물건
$\delta$	델타	두 빔의 위상차 $= k_0\Lambda + (\text{반사 위상})$
$\varepsilon$	엡실론	편광 성분 $E_y$ 가 $E_x$ 에 대해 갖는 상대 위상(7절, Hecht §8.1). 이 장에서 유전율로 쓰지 않는다
$\Delta\varphi$		위상 지연자의 지연(retardance) $= 2\pi\,\Delta n\,d/\lambda_0$ (9절)
$\Psi$ , $\Delta$	프사이 · 델타(대문자)	타원계측 각 $\rho = r_p/r_s = \tan\Psi\,e^{i\Delta}$ (10·12절)
$r$ , $t$		프레넬 진폭 반사·투과 계수 (부호 있음)
$R$ , $T$		반사율 · 투과율(세기 비). 저항·온도가 아니다
$F$ , $\mathcal F$		미세도 계수 $4R/(1-R)^2$ · 미세도(finesse) $\pi\sqrt F/2$ (5절)
$\mathcal V$		줄무늬의 가시도 $(I_{\max}-I_{\min})/(I_{\max}+I_{\min})$
$\Delta l_c$ , $\Delta t_c$		결맞음 길이 · 결맞음 시간
$\Delta\nu$ , $\Delta\lambda$		광원의 주파수 · 파장 선폭
$a$ , $s$ , $y$		슬릿 간격 · 슬릿–스크린 거리 · 스크린 위 좌표 (2절)
$m$		간섭 차수(정수)
$\theta_i$ , $\theta_t$ , $\theta_p$		입사각 · 굴절각 · 브루스터 각
$\mathcal P$ , $\mathcal R$ , $\mathcal L$ , $\mathcal E$		선편광 · 우원편광 · 좌원편광 · 타원편광 상태 (Hecht)
$[E_{0x}e^{i\varphi_x},\ E_{0y}e^{i\varphi_y}]^{\mathsf T}$		존스 벡터 (12절)
$\mathcal A$		존스 행렬 2×2
$S_0 \ldots S_3$		스토크스 매개변수
$\mathcal M$		뮬러 행렬 4×4
$s$ , $p$		입사면에 수직(senkrecht) · 평행 편광. TE · TM 이라고도 쓴다

주의

함정을 미리 짚는다. 전부 글자가 같은데 물건이 다른 자리다.

① $n$ 은 굴절률. 반도체 장 전체에서 $n$ 은 전자 농도인데, 이 장에서는 굴절률이다. 첨자가 붙으면 박막( $n_f$ )·기판( $n_s$ )·정상파( $n_o$ )·이상파( $n_e$ )이고, 복소 굴절률 $n + i\kappa$ 의 실수부다. 11.8과 19.2에서 두 $n$ 이 한 페이지에 나오면 그 장이 따로 못박는다.

② $E$ 는 전기장. 3.3에서와 같다. 광자 에너지 $h\nu$ 가 필요한 자리(7절 끝의 각운동량)에서는 $\hbar\omega$ 로 적어 피한다.

③ $I$ 는 조도. 전류가 아니다. 이 장의 모든 조도는 검출기의 응답 시간에 걸친 시간 평균 $\langle E^2\rangle$ 이고, 그 평균이 간섭의 성립 조건을 정한다(1절).

④ $\delta$ · $\Delta\varphi$ · $\varepsilon$ · $\Delta$ 넷. 전부 “위상”이지만 자리가 다르다. 두 빔 사이의 위상차가 $\delta$ (간섭), 한 빔의 두 성분 사이의 위상차가 $\varepsilon$ (편광 상태), 지연자가 두 성분에 더해 주는 위상차가 $\Delta\varphi$ (소자), 반사에서 $p$ 와 $s$ 가 겪는 위상차가 $\Delta$ (타원계측)다.

⑤ $\Lambda$ 와 $\lambda$ . 대문자 람다는 광경로차, 소문자는 파장. $\delta = k_0\Lambda = 2\pi\Lambda/\lambda_0$ 한 줄에 둘이 같이 나온다.

⑥ $R$ 은 반사율, $r$ 은 진폭 계수. $R = \lvert r\rvert^2$ . 진폭 계수는 부호(또는 위상)를 가지며 그 부호가 박막 간섭의 조건을 결정한다(4절). 부호 규약은 3.3.8프레넬 방정식의 Hecht 규약을 그대로 쓴다.

⑦ 우원편광의 방향. Hecht는 빛이 나를 향해 올 때 시계 방향으로 도는 것을 $\mathcal R$ 이라 부른다. 이 규약에서 $\mathcal R$ 의 존스 벡터는 $\tfrac{1}{\sqrt2}[1,\,-i]^{\mathsf T}$ 이고 광자의 각운동량은 진행 방향에 대해 $-\hbar$ 다. 반대로 정의하는 책(대개 전파공학·양자광학 쪽)이 많으니 어떤 자료를 읽든 먼저 규약을 확인한다. 이 백과는 이 장 안에서 Hecht를 따른다.

⑧ 시간 인자. 이 장은 $e^{i(kz-\omega t)}$ , 즉 시간 인자 $e^{-i\omega t}$ 를 쓴다(Hecht). 공학 교재의 $e^{+j\omega t}$ 와 비교할 때 모든 위상의 부호가 뒤집힌다 — 복소 굴절률의 $\pm i\kappa$ , 존스 행렬의 $\pm i$ , 지연자의 $e^{\pm i\Delta\varphi}$ 가 전부 이 하나에 딸려 있다.

간섭의 조건과 결맞음

더한 뒤 제곱한다 — 교차항

두 파가 한 점에서 겹치면 전기장이 더해진다(3.2.8파동의 중첩과 정상파의 중첩 원리). 조도는 그 합의 제곱이다. 이 순서 — 더한 뒤 제곱 — 가 간섭의 전부다. 같은 주파수의 두 평면파

\mathbf E_1 = \mathbf E_{01}\cos(\mathbf k_1\!\cdot\!\mathbf r - \omega t + \varphi_1), \qquad \mathbf E_2 = \mathbf E_{02}\cos(\mathbf k_2\!\cdot\!\mathbf r - \omega t + \varphi_2)

를 더한 장의 시간 평균 제곱을 계산하면(Hecht §9.1)

I = I_1 + I_2 + I_{12}, \qquad I_{12} = 2\,\langle \mathbf E_1\!\cdot\!\mathbf E_2\rangle = 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\delta

가 된다. 마지막 등식은 두 진폭 벡터가 평행할 때이고, 그때

\delta = (\mathbf k_1 - \mathbf k_2)\!\cdot\!\mathbf r + (\varphi_1 - \varphi_2)

가 두 파의 위상차다. 조도의 비례 상수 $\tfrac12 c\varepsilon_0$ 은 양변에서 지워지므로 이 장에서는 $I = \langle E^2\rangle$ 로 놓고 다닌다. 결과는 세 항이다 — 각 파의 조도 둘과 간섭항 $I_{12}$ . 간섭항이 없으면 조도는 그냥 더해지고, 간섭항이 있으면 $\cos\delta$ 가 $\pm1$ 사이를 오가며

I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}, \qquad I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}

사이를 오간다. 두 조도가 같으면 $I = 2I_0(1 + \cos\delta) = 4I_0\cos^2(\delta/2)$ — 최대는 네 배, 최소는 0이다. 이 오르내림을 줄무늬(fringe)라 부르고, 그 깊이를

\mathcal V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}

로 잰다 — 가시도(visibility). $I_1 = I_2$ 면 1, 한쪽이 0이면 0이다.

그림 3.5-1. 두 빔 간섭의 조도 I = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos δ를 위상차 δ에 대해 그린 세 곡선. 같은 세기의 두 빔은 0과 4I₁ 사이를 오가며 가시도 1, 세기 비가 1 : 4이면 0.25 I₁과 2.25 I₁ 사이를 오가며 가시도 0.8이다. 두 빔이 결맞지 않으면 교차항이 검출기의 응답 시간 동안 평균되어 사라지고, 조도는 두 세기의 합인 평평한 선이 된다. 줄무늬는 언제나 교차항이고, 평균은 언제나 I₁ + I₂다 — 에너지는 새로 생기거나 사라지지 않고 밝은 곳으로 옮겨 앉을 뿐이다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 위상자의 코사인 법칙. 3.2.6복소 표현과 위상자의 위상자로 보면 두 파는 길이 $E_{01}$ , $E_{02}$ 인 화살표 둘이고 그 사잇각이 $\delta$ 다. 합 화살표의 길이 제곱은 코사인 법칙 $E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01}E_{02}\cos\delta$ — 간섭항은 코사인 법칙의 마지막 항이다. 위상차가 $0$ 이면 두 화살표가 나란히 서서 길이가 더해지고( $2E_0$ , 조도 $4I_0$ ), $\pi$ 면 마주 보고 지워진다. 세기가 더해지지 않고 진폭이 더해진다는 것이 간섭의 한 줄 요약이다.

형태적 직관 — 줄무늬는 $\cos\delta$ 의 그래프다. 공간에서 $\delta$ 가 어떻게 변하느냐가 줄무늬의 모양을 정한다. 평면파 둘이면 $\delta = (\mathbf k_1 - \mathbf k_2)\cdot\mathbf r$ 이 위치에 선형이라 등간격 직선 줄무늬, 점광원 둘이면 $\delta = k(r_1 - r_2)$ 라 $r_1 - r_2 =$ 상수인 회전 쌍곡면의 줄무늬(2절), 박막이면 두께에 따라 등고선 줄무늬(4절)가 된다. 어느 경우든 줄무늬 하나는 $\delta$ 가 $2\pi$ 변한 것, 즉 광경로차 $\Lambda$ 가 파장 하나만큼 변한 것이다. 그래서 간섭계는 언제나 길이를 파장 단위로 재는 자다.

간섭이 보이려면 — 세 조건

교차항은 언제나 있다. 문제는 그것이 검출기의 응답 시간 동안 살아남느냐다. 검출기(눈 $\sim 0.05$ s, 포토다이오드 $\sim$ ns)는 $\langle\cos\delta\rangle$ 를 본다. 살아남으려면 세 가지가 필요하다(Hecht §9.1–9.2).

① 같은 주파수. 주파수가 $\omega_1 \ne \omega_2$ 면 $\delta$ 에 $(\omega_2 - \omega_1)t$ 가 붙어 간섭항이 맥놀이 주파수로 진동한다(3.2.9서로 다른 주파수의 합성과 맥놀이). 검출기가 그보다 느리면 평균되어 0이다. 실제로는 “검출기가 따라갈 만큼 가깝다”가 조건이고, 헤테로다인 검출은 이것을 거꾸로 이용한다 — 두 레이저의 주파수 차가 MHz면 포토다이오드가 그 맥놀이를 그대로 읽는다.

② 평행한 편광 성분. 위의 $2\langle\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2\rangle$ 는 내적이다. 두 진폭이 수직이면 내적이 0이라 교차항이 없다 — 전기장은 더해지지만 조도는 그냥 더해진다. 이것이 프레넬–아라고 법칙의 첫째 항목이고(Hecht §9.1), 이 장의 뒷부분이 편광인 이유다. 45° 기운 두 편광이면 평행 성분끼리만 간섭하여 가시도가 $\cos$ 만큼 깎인다 — 10절의 고개구수 결상에서 이것이 현실의 문제가 된다.

③ 안정한 위상차 — 결맞음. $\delta$ 가 검출 시간 동안 일정해야 한다. 이것이 결맞음(coherence)이고 간섭의 핵심 조건이다. 평범한 광원(램프, LED)은 원자 하나하나가 $\sim 10^{-8}$ s 길이의 파열(wave train)을 제멋대로의 위상으로 내놓는다. 두 램프의 빛을 겹치면 $\varphi_1 - \varphi_2$ 가 나노초마다 무작위로 바뀌어 $\langle\cos\delta\rangle = 0$ 이다. 두 손전등이 간섭 무늬를 만들지 않는 이유다. 반면 한 광원의 빛을 둘로 나눴다가 다시 합치면 두 빔이 같은 파열을 나눠 가졌으므로 $\varphi_1 - \varphi_2$ 가 시간에 무관하다 — 원자가 위상을 바꿔도 두 빔이 같이 바뀐다. 2절(파면 분할)과 3절(진폭 분할)은 “어떻게 나누느냐”의 두 갈래다.

시간 결맞음 — 결맞음 길이

한 광원의 빛을 나눠 합쳐도 조건이 하나 더 있다. 두 경로의 길이 차 $\Lambda$ 가 파열의 길이보다 길면 검출기에 도착하는 순간 두 빔이 다른 파열을 나눠 가진 것이라 위상 관계가 없다. 파열의 평균 길이가 결맞음 길이 $\Delta l_c$ , 그 시간이 결맞음 시간 $\Delta t_c = \Delta l_c/c$ 다.

결맞음 시간은 광원의 선폭이 정한다. 길이 $\Delta t_c$ 의 파열을 푸리에 분해하면(1.10.4푸리에 변환의 성질) 주파수 폭 $\Delta\nu \approx 1/\Delta t_c$ 가 나온다 — 시간에 유한한 것은 주파수에 퍼진다. 그래서

\Delta l_c = c\,\Delta t_c \approx \frac{c}{\Delta\nu} = \frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}

(마지막은 $\nu = c/\lambda$ 를 미분한 $\lvert\Delta\nu\rvert = c\,\Delta\lambda/\lambda^2$ ). 같은 말을 다르게 하면 — 스펙트럼 안의 각 파장은 저마다의 줄무늬를 만들고, 경로차가 커지면 파장마다 줄무늬 자리가 달라져 서로 메워진다. $m$ 차 줄무늬에서 $\lambda$ 의 줄무늬와 $\lambda + \Delta\lambda$ 의 줄무늬가 한 칸 어긋나는 조건이 $m\,\Delta\lambda \approx \lambda$ , 즉 $\Lambda = m\lambda \approx \lambda^2/\Delta\lambda$ — 같은 식이다.

광원	$\lambda_0$	$\Delta\lambda$	$\Delta l_c$
백색광(태양·백열등)	550 nm	~300 nm	~1 µm
LED	600 nm	~30 nm	~12 µm
나트륨 램프 D선	589 nm	~0.5 nm	~0.6 mm
He–Ne 레이저(다중 모드)	633 nm	~0.002 nm	~20–30 cm
선폭 축소 ArF 엑시머	193 nm	~0.3 pm	~12 cm
단일 모드 DFB 레이저	1550 nm	~10⁻⁵ nm	~100 m

그림 3.5-2. 두 빔 간섭 조도를 경로차 Λ에 대해 그린 두 그림. 가우스 스펙트럼의 파장마다 줄무늬 cos(2πΛ/λ)를 만들고 그것을 스펙트럼으로 가중 평균하면 포락선이 가우스로 줄어든다. 왼쪽은 상대 선폭 1/12로 줄무늬가 열두 파장 너머까지 남고, 오른쪽은 1/4로 네 파장 안에서 씻겨 나간다. 줄무늬가 남는 거리가 결맞음 길이 λ₀²/Δλ이고, 포락선 자체는 스펙트럼의 푸리에 변환이다 — 3절의 푸리에 변환 분광기가 이 사실을 거꾸로 쓴다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 선폭이 곧 자의 길이다. 간섭계가 잴 수 있는 최대 경로차가 $\Delta l_c$ 다. 백색광 간섭계는 1 µm 안에서만 줄무늬가 보이는데, 그것이 결점이 아니라 기능이다 — 줄무늬가 보이는 자리가 곧 “경로차 0”인 자리라 표면 높이를 절대적으로 찾을 수 있다(백색광 간섭 프로파일로미터, 19.3.3). 반대로 두꺼운 웨이퍼(775 µm)의 두께를 간섭으로 재려면 결맞음 길이가 그 두 배(광학 두께 $2nd \approx 5$ mm)를 넘는 좁은 선폭이 필요하다. 레이저의 긴 결맞음은 스테이지 간섭계(3절)에는 축복이고, 결상 광학에는 스페클(speckle)이라는 골칫거리다 — 거친 면의 모든 점이 서로 간섭해 얼룩을 만든다. 노광기의 조명계가 결맞음을 일부러 깨는(회전 확산판, 광섬유 다발) 이유다.

공간 결맞음 — 광원의 크기

시간 결맞음이 “한 점에서 나온 빛이 얼마나 오래 자기 위상을 기억하는가”라면, 공간 결맞음은 “광원의 다른 점에서 나온 빛들이 서로 위상 관계가 있는가”다. 너비 $b$ 의 광원이 거리 $\ell$ 에서 간격 $a$ 의 두 슬릿을 비추면, 광원의 양 끝점이 만드는 두 줄무늬 무늬가 서로 $b a/\ell$ 만큼의 경로차로 어긋난다. 이것이 $\lambda$ 에 가까워지면 줄무늬가 지워진다:

\frac{a\,b}{\ell} \lesssim \lambda \quad\text{— 줄무늬가 보이는 조건}

영의 실험에서 이중 슬릿 앞에 단일 슬릿을 두는 것이 이 때문이다. 광원을 좁혀 공간 결맞음을 만든다. 별빛이 결맞은 것은 별이 작아서가 아니라 멀어서다( $\ell$ 이 크다). 마이컬슨은 이것을 거꾸로 써서 줄무늬가 사라지는 슬릿 간격으로 베텔게우스의 지름을 쟀다(Hecht §12.4). 광원의 크기와 결맞음 면적의 이 관계 — 판 시터르트–체르니케 정리 — 는 3.6.11–12에서 정식화한다. 노광기에서는 조명의 개구수와 투영 렌즈의 개구수의 비 $\sigma$ 가 이 “광원의 크기”이고, $\sigma$ 를 조정해 결맞음의 정도를 설계한다 (부분 결맞음 조명, 18.14.7).

부분 결맞음 — 가시도로 읽는다

완전히 결맞거나 완전히 안 맞거나의 둘뿐이 아니다. 두 빔이 부분적으로 결맞으면 간섭항이 살아남되 작아진다. 그 정도를 복소 결맞음도 $\gamma_{12}$ (0 ≤ $\lvert\gamma_{12}\rvert$ ≤ 1)로 적으면

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\lvert\gamma_{12}\rvert\cos\delta, \qquad \mathcal V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}\,\lvert\gamma_{12}\rvert

이다. 두 조도가 같으면 가시도가 곧 결맞음도다 — 줄무늬의 깊이를 재면 광원의 결맞음이 나온다. 그림 3.5-2의 포락선이 바로 $\lvert\gamma_{12}(\Lambda)\rvert$ 이고, 그것이 스펙트럼의 푸리에 변환이라는 사실(위너–힌친 정리, 1.10.5합성곱과 상관)이 3.6.12의 상호 결맞음 함수로 이어진다. 이 절은 여기까지만 한다 — 이 장의 나머지는 $\lvert\gamma_{12}\rvert = 1$ 인 결맞은 빛으로 간다.

파면 분할 간섭계

한 광원의 빛을 나누는 첫 번째 방법은 파면의 다른 부분을 떼어 오는 것이다. 슬릿 둘, 거울 둘, 프리즘 하나. 나뉜 두 조각은 같은 파열에서 왔으므로 결맞는다(1절 조건 ③).

영의 실험

간격 $a$ 인 두 좁은 슬릿 $S_1$ , $S_2$ 에 평면파가 들어오고, 거리 $s \gg a$ 의 스크린 위 점 $P$ 에서 두 경로 $r_1$ , $r_2$ 가 만난다(HRW §35-2, Hecht §9.3). 각 슬릿에서 나온 원통파의 위상은 각각 $kr_1$ , $kr_2$ 이므로

\delta = k(r_1 - r_2) \approx k\,a\sin\theta \approx \frac{2\pi}{\lambda}\,\frac{a\,y}{s}

여기서 $y$ 는 스크린 위의 높이, $\theta$ 는 중심선에서 잰 각이다(그림 3.5-3). 두 슬릿의 조도가 같으므로

I(y) = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi a\,y}{s\lambda}\right)

밝은 줄무늬는 $\delta = 2\pi m$ , 즉

a\sin\theta_m = m\lambda, \qquad y_m = \frac{s}{a}\,m\lambda, \qquad \Delta y = \frac{s\lambda}{a}

이다. 등간격이고, 간격은 파장에 비례하며 슬릿 간격에 반비례한다. 영은 이 간격에서 빛의 파장을 처음 쟀다 — 1803년, 빛이 파동임을 보인 실험이 곧 파장의 측정이었다.

그림 3.5-3. 영의 이중 슬릿. 간격 a인 두 슬릿에 평면파가 들어오고, 거리 s인 스크린 위 점 P까지 두 경로 r₁, r₂의 차가 a sin θ, 스크린이 멀면 ay/s다. 오른쪽에 세워 붙인 조도는 4I₀cos²(πay/sλ)로, 간격 sλ/a의 등간격 줄무늬다. 슬릿을 좁히면 줄무늬가 넓어지고, 파장이 길면 넓어지며, 매질의 굴절률이 n이면 λ가 λ₀/n으로 줄어 그만큼 촘촘해진다. 실제 슬릿에는 폭이 있어 이 무늬 위에 3.6의 단일 슬릿 회절 포락선이 씌워진다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 줄무늬는 쌍곡면이다. 두 점광원에서 나온 파의 위상차는 $k(r_1 - r_2)$ 이므로, 밝은 자리는 $r_1 - r_2 = m\lambda$ — 두 점에서의 거리 차가 일정한 면, 즉 두 슬릿을 초점으로 하는 회전 쌍곡면의 가족이다(Hecht §9.3). 스크린이 멀면 쌍곡면이 그 점근면(두 초점의 중점을 지나는 원뿔)에 가까워져 스크린 위에는 거의 직선이 그려진다. 스크린을 슬릿 가까이 가져오면 줄무늬가 휜다 — 그것이 쌍곡선의 곡률이다. 3.6의 프레넬 회절에서 이 “가까운 스크린”이 정식으로 다뤄진다.

파라미터 연계. $\Delta y = s\lambda/a$ 의 세 파라미터: $s$ 를 늘리면 줄무늬가 벌어지고(멀리서 보면 크다), $a$ 를 줄이면 벌어지며(가까운 두 광원은 성긴 무늬), $\lambda$ 가 길면 벌어진다(빨강이 파랑보다 성기다). 백색광이면 중앙 $m = 0$ 은 모든 파장이 겹쳐 흰색, 그 옆부터 파랑이 안쪽·빨강이 바깥쪽인 색 줄무늬가 몇 개 보이다가 $m \approx \lambda/\Delta\lambda \approx 2$ 근처에서 씻겨 나간다 — 1절의 결맞음 길이를 눈으로 보는 것이다.

두 평면파의 간섭 — 리소그래피의 한계 하나

슬릿 대신 두 평면파가 각 $\pm\theta$ 로 교차하면 $\delta = 2k\sin\theta\cdot y$ 이고, 줄무늬 주기는

\Lambda_{\text{fringe}} = \frac{\lambda}{2\sin\theta} = \frac{\lambda_0}{2n\sin\theta}

이다(매질 굴절률 $n$ ). 이것이 간섭 리소그래피의 원리다 — 마스크 없이 레이저 두 빔으로 격자를 새긴다. 그리고 이것이 모든 투영 노광의 궁극 한계이기도 하다. 투영 렌즈가 통과시킬 수 있는 가장 큰 각이 $\sin\theta = \mathrm{NA}/n$ 이므로, 렌즈가 만들 수 있는 가장 촘촘한 줄무늬(가장 작은 피치)는

p_{\min} = \frac{\lambda_0}{2\,\mathrm{NA}}, \qquad \text{반피치 } = \frac{\lambda_0}{4\,\mathrm{NA}} = k_1\frac{\lambda_0}{\mathrm{NA}},\ k_1 = 0.25

이다. 18.14의 레일리 식 $R = k_1\lambda/\mathrm{NA}$ 에서 $k_1$ 이 0.25 아래로 내려갈 수 없는 이유가 이 두 줄이다 — 그 아래는 두 평면파조차 만들 수 없는 줄무늬다. 액침 노광이 $n = 1.44$ 의 물로 $\lambda$ 를 줄이는 것(18.14.6), 그래도 모자라 다중 패터닝으로 피치를 쪼개는 것(18.16.3)이 전부 이 식과의 싸움이다. 그리고 10절에서 보겠지만, $\theta$ 가 45°에 다가가면 이 줄무늬가 편광에 따라 사라진다.

프레넬의 거울·프리즘, 로이드의 거울

슬릿은 빛을 거의 다 버린다. 프레넬은 같은 파면을 거울 두 장(작은 각으로 맞댄)이나 얇은 이중 프리즘으로 나눠 두 개의 허상 광원을 만들었다(Hecht §9.3). 기하만 다르고 식은 영과 같다 — 허상 광원의 간격이 $a$ , 스크린까지가 $s$ .

로이드의 거울은 광원 하나와 거울 한 장이다. 직접 오는 파와 거울에 스치듯 반사된 파가 간섭한다. 허상 광원이 실제 광원의 거울상이므로 $a = 2h$ ( $h$ : 광원의 거울 위 높이). 다른 것은 하나 — 거울과 스크린이 닿는 곳, 경로차가 0인 자리가 어둡다. 밝아야 할 곳이 어두운 것은 반사에서 위상이 $\pi$ 바뀌었기 때문이다 — 3.3.8프레넬 방정식의 프레넬 계수가 스침 입사에서 $r \to -1$ 인 것을 눈으로 확인하는 실험이고, 4절 박막 조건의 부호가 여기서 나온다. 같은 현상이 반사면 위의 정재파다. 빈이 1890년 감광 유리판을 거울에 비스듬히 세워 이 정재파를 사진에 담았고(Hecht §9.3), 오늘날 그 사진은 웨이퍼 위의 레지스트 안에서 매일 찍힌다 — 반사하는 기판 위 레지스트 안의 정재파가 측벽에 $\lambda/2n$ 주기의 줄무늬를 남긴다(4절, 18.15.9).

진폭 분할 간섭계

빛을 나누는 두 번째 방법은 파면의 한 자리에서 진폭을 둘로 쪼개는 것이다 — 반투명 거울(빔 분할기) 한 장이면 된다. 파면 분할이 광원의 공간 결맞음을 요구하는 데 비해, 진폭 분할은 넓은 광원으로도 줄무늬를 만든다(줄무늬가 특정 면에 “국재”한다 — Hecht §9.5). 그래서 실용 간섭계는 거의 전부 진폭 분할이다.

마이컬슨 간섭계

빔 분할기가 45°로 놓여 빛을 반으로 나눈다(그림 3.5-4). 한 줄기는 고정 거울 $M_2$ 로, 다른 줄기는 가동 거울 $M_1$ 로 가서 되돌아오고, 빔 분할기에서 다시 합쳐져 검출기로 간다. 한쪽 팔만 유리를 세 번 지나므로 같은 두께의 보상판을 다른 팔에 넣어 분산을 맞춘다(백색광에서 필수).

기하를 단순하게 보는 요령은 $M_2$ 의 상 $M_2'$ 를 $M_1$ 옆에 그리는 것이다. 검출기가 보는 것은 $M_1$ 과 $M_2'$ 사이의 두께 $d$ 인 공기막에서 앞뒤로 반사된 두 파의 간섭이다(4절과 같은 구조). 광원이 넓고 거울이 평행하면 각 $\theta$ 로 나가는 빛의 경로차가 $2d\cos\theta$ 이고,

2d\cos\theta_m = m\lambda_0

인 방향으로 동심원 줄무늬가 선다 — 등경사 줄무늬(Haidinger). 중심( $\theta = 0$ )이 최고 차수다. 거울 $M_1$ 을 $\Delta d$ 옮기면 중심에서 줄무늬가

\Delta N = \frac{2\,\Delta d}{\lambda_0}

개 솟아나거나 사라진다 — $\lambda/2$ 마다 하나. 이것이 마이컬슨 간섭계의 한 줄 정의다: 거울의 이동을 파장 단위로 센다. 거울이 조금 기울면 줄무늬가 직선으로 바뀐다(등두께 줄무늬, 4절).

그림 3.5-4. 마이컬슨 간섭계. 광원 S의 빛이 45°로 놓인 빔 분할기에서 둘로 나뉘어 고정 거울 M₂와 가동 거울 M₁로 가고, 되돌아와 다시 합쳐져 검출기 D로 간다. M₂의 상 M₂′를 M₁ 옆에 점선으로 두면 검출기가 보는 것은 두께 d인 공기막의 간섭이고, 조건은 2d cos θ = mλ다. M₁을 반파장 옮길 때마다 줄무늬 하나가 지나간다 — 거울의 위치를 파장 단위로 세는 자다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 검출기 출력은 광원의 자기상관이다. 거울을 밀며 검출기 조도를 기록하면 $I(d) = I_0[1 + \lvert\gamma(2d)\rvert\cos(2k_0 d)]$ — 그림 3.5-2 그대로다. 줄무늬의 주기가 파장을, 포락선이 결맞음 길이를, 포락선의 모양이 스펙트럼을 준다. 1절의 위너–힌친 관계를 뒤집으면 $I(d)$ 의 푸리에 변환이 곧 광원의 스펙트럼 $S(\nu)$ 다:

I(\Lambda) - \bar I \;\propto\; \int S(\nu)\cos\!\left(\frac{2\pi\nu\Lambda}{c}\right)d\nu

이것이 푸리에 변환 분광기(FTIR)의 전부다 — 회절 격자 없이 거울을 밀고 코사인 변환 (1.10.3푸리에 적분과 코사인·사인 변환)을 한다. 모든 파장을 동시에 받아 신호 대 잡음이 좋고(펠젯 이점), He–Ne 레이저로 거울 위치를 세므로 파수 눈금이 절대적이다(콘 이점). 반도체 팹의 FTIR은 배기 가스 분석과 플라즈마 진단(19.8.3), 에피층의 두께와 SiO₂·SiN 막의 결합 상태 분석에 쓰인다.

마이컬슨 간섭계가 반도체에서 하는 일은 하나 더 있고 그것이 더 크다. 노광기 스테이지의 위치를 이 원리로 잰다. 웨이퍼 스테이지에 붙인 거울에 He–Ne 레이저(633 nm)를 쏘아 되돌아온 빔을 참조 빔과 헤테로다인 간섭시키면 줄무늬 하나가 $\lambda/2 = 316$ nm이고, 위상을 전자적으로 1024 등분해 0.3 nm 분해능으로 위치를 읽는다. 오버레이 예산(수 nm)이 이 자 위에 서 있다. 공기의 굴절률이 온도·압력·습도로 $10^{-6}$ 단위로 흔들리면 1 m 경로에서 1 µm가 어긋나므로, 스테이지 주변의 공기를 mK 단위로 관리하고 굴절률을 별도 간섭계로 보정한다. 2010년대 들어 액침 스캐너는 간섭계를 격자 인코더로 바꿨는데 — 짧은 경로로 공기 요동을 피하려는 것이다 — 인코더 역시 격자에서 나온 두 회절 빔의 간섭이라 원리는 같다(18.14.9, 19.7.5).

마흐–첸더 간섭계 — 위상을 세기로

빔 분할기 두 장과 거울 두 장. 빛이 첫 분할기에서 나뉘어 서로 다른 경로를 한 번씩만 지나고 둘째 분할기에서 합쳐진다. 마이컬슨과 달리 두 팔이 공간적으로 떨어져 있어 한쪽 팔에만 시료를 넣기 좋다 — 기체의 굴절률, 플라즈마의 전자 밀도, 유동장의 밀도가 이렇게 측정된다. 둘째 분할기에는 출력이 둘이고, 에너지 보존 때문에 둘은 상보적이다:

I_{\text{out},1} = I_0\cos^2\frac{\Delta\varphi}{2}, \qquad I_{\text{out},2} = I_0\sin^2\frac{\Delta\varphi}{2}

한 팔의 위상 $\Delta\varphi$ 가 $\pi$ 변하면 빛이 한 출력에서 다른 출력으로 완전히 옮겨 간다. 한 팔의 굴절률을 전기장으로 바꿀 수 있으면(11절의 포켈스 효과) 전압이 위상이 되고 위상이 세기가 된다 — 마흐–첸더 변조기(17.5.10)다. 길이 $L$ 의 팔에서 $\Delta\varphi = 2\pi\,\Delta n\,L/\lambda_0$ 이므로 $\Delta n$ 이 $10^{-4}$ 이라도 $L = 1$ cm면 $\Delta\varphi \approx 2\pi \times 5$ — 작은 굴절률 변화가 긴 팔로 증폭된다. 이것이 파라미터 연계다: 위상 감도는 팔 길이에 비례하고, 그래서 변조기는 길고 실리콘 포토닉스는 같은 위상을 링 공진기(5절, 17.5.6)로 짧게 얻으려 한다.

사냑, 피조, 트와이먼–그린

사냑 간섭계는 빔을 나눠 같은 고리를 반대 방향으로 돌게 한다. 장치가 각속도 $\Omega$ 로 돌면 두 빔의 경로차가 $4A\Omega/c$ ( $A$ : 고리 면적)라 줄무늬가 움직인다 — 광섬유 자이로스코프다. 정지한 장치에서는 두 경로가 완전히 같아 어떤 요동에도 둔감하므로 안정성이 필요한 곳(리소그래피 마스크의 위상 측정 등)에 쓰인다.

피조 간섭계는 시험면과 기준 평면 사이의 얇은 공기 쐐기를 본다 — 4절의 등두께 줄무늬 그대로다. 줄무늬 하나가 $\lambda/2$ 의 높이 차이므로, 줄무늬의 휨을 읽으면 면의 평탄도가 나온다. 웨이퍼·마스크 기판의 평탄도(수십 nm), 노광 렌즈와 EUV 거울의 형상 오차(0.1 nm rms 이하)가 이 원리로 측정된다 — 트와이먼–그린 간섭계는 마이컬슨의 한 팔에 시험 렌즈를 넣은 형태로 같은 목적에 쓴다. 위상을 $2\pi$ 안에서만 읽으므로 줄무늬 사이의 절대 높이는 위상 풀기(phase unwrapping)로 이어 붙이고, 그 애매함을 없애려고 두 파장을 쓰기도 한다.

의문

간섭계는 왜 하나같이 “0.1 nm”를 말하는가? 줄무늬 하나가 $\lambda/2 \approx 300$ nm인데 어떻게 그 1/3000을 읽나 — 위상을 연속량으로 읽기 때문이다. 조도 $I = I_0(1 + \cos\delta)$ 에서 $\delta$ 를 세 위상 이상 바꿔 가며 재면 $\delta$ 를 산술로 풀 수 있고(위상 이동 간섭법), 그 정밀도는 줄무늬 간격이 아니라 검출기의 잡음이 정한다. 조도를 $10^{-3}$ 정밀도로 재면 위상은 $\sim 10^{-3}$ rad, 길이는 $\sim 0.05$ nm다. 줄무늬 세기(counting)는 정수 부분, 위상 읽기는 소수 부분 — 자의 눈금과 버니어의 관계다. 5절의 패브리–페로는 봉우리를 뾰족하게 만들어 같은 일을 한다.

박막 간섭

진폭 분할의 가장 흔한 형태는 장치가 아니라 얇은 막 하나다. 비눗방울, 기름막, 그리고 웨이퍼 위의 산화막. 윗면에서 반사된 파와 아랫면에서 반사된 파가 겹친다.

광경로차와 반사 위상

굴절률 $n_1$ (위)· $n_f$ (막)· $n_2$ (아래), 두께 $d$ 인 막에 각 $\theta_i$ 로 빛이 들어온다(그림 3.5-5). 윗면에서 바로 반사된 파 ①과 막 안을 한 번 왕복한 파 ②가 나란히 나간다. 두 파가 같은 파면에 이르기까지의 광경로차를 기하로 계산하면(Hecht §9.4.1, HRW §35-4)

\Lambda = n_f(\overline{AB} + \overline{BC}) - n_1\overline{AF} = 2n_f d\cos\theta_t

이다 — $\theta_t$ 는 막 안의 굴절각. 수직 입사면 $\Lambda = 2n_f d$ , 막의 광학 두께의 두 배다. 경로차만으로는 위상차가 끝나지 않는다. 각 반사에서 $r$ 의 부호가 있다(3.3.8프레넬 방정식): 수직 입사 근처에서 낮은 $n$ 에서 높은 $n$ 을 만나는 반사(외부 반사)는 $r < 0$ , 즉 위상 $\pi$ 이고, 높은 $n$ 에서 낮은 $n$ 을 만나는 반사(내부 반사)는 $r > 0$ , 위상 0이다. 그래서

\delta = k_0\Lambda + \Delta\varphi_{\text{refl}} = \frac{4\pi n_f d\cos\theta_t}{\lambda_0} + \Delta\varphi_{\text{refl}}, \qquad \Delta\varphi_{\text{refl}} \in \{0,\ \pi\}

두 반사가 같은 종류면(둘 다 외부이거나 둘 다 내부) $\Delta\varphi_{\text{refl}} = 0$ , 다른 종류면 $\pi$ 다.

그림 3.5-5. 두께 d인 박막에 비스듬히 들어온 빛. 윗면에서 바로 반사된 파 ①과 박막 안을 한 번 왕복하고 나온 파 ②가 나란히 나가고, 같은 파면 F까지의 광경로차가 Λ = 2n_f d cos θ_t다. 각 반사가 외부 반사(낮은 n → 높은 n, 위상 π)인지 내부 반사(위상 0)인지가 보강·상쇄 조건의 부호를 정한다. 공기/비눗물/공기는 ①만 외부 반사라 상대 위상 π가 붙고, 공기/SiO₂/Si는 둘 다 외부 반사라 붙지 않는다.직접 작도

두 경우를 표로 적는다.

구조	반사 ① · ②	$\Delta\varphi_{\text{refl}}$	밝음(반사 최대) $2n_f d\cos\theta_t =$	어두움(반사 최소) $2n_f d\cos\theta_t =$
공기 / 비눗물 / 공기 ( $n_f > n_1 = n_2$ )	외부 $\pi$ · 내부 $0$	$\pi$	$(m + \tfrac12)\lambda_0$	$m\lambda_0$
공기 / SiO₂ / Si ( $n_1 < n_f < n_2$ )	외부 $\pi$ · 외부 $\pi$	$0$	$m\lambda_0$	$(m + \tfrac12)\lambda_0$

두 행의 조건이 서로 뒤바뀌어 있다. 비눗방울은 터지기 직전 가장 얇은 곳( $d \to 0$ )이 검다 — 경로차 0인데 반사 위상 $\pi$ 가 남아 상쇄되기 때문이고, 로이드의 거울에서 본 그 현상이다. 반면 실리콘 위 산화막은 $d \to 0$ 에서 맨 실리콘처럼 밝게(35%) 반사하고, 두께가 $\lambda_0/4n_f$ 가 될 때 가장 어둡다.

주의

“ $2d$ 가 아니라 $2n_f d$ “와 “ $\lambda$ 가 아니라 $\lambda_0$ ”. 조건식의 양변을 진공 파장으로 통일해 두면 실수가 없다. 막 안에서 파장이 $\lambda_0/n_f$ 로 줄어들므로 왕복 거리 $2d$ 는 $2d/(\lambda_0/n_f) = 2n_f d/\lambda_0$ 파장만큼이다 — 광경로차는 언제나 굴절률 × 기하 거리다. 물리적 뜻은 하나다: 막 속에서 파의 마루가 더 촘촘히 박혀 있어 같은 거리에 더 많은 파장이 들어간다.

두 번째 함정은 반사 위상의 각도 의존이다. 위의 “외부 반사 = $\pi$ “는 수직 입사 근처에서만 깔끔하다. 비스듬해지면 $s$ 와 $p$ 가 달라지고(10절), 브루스터 각을 지나면 $p$ 의 부호가 바뀌며, 전반사 영역에서는 위상이 $0$ 과 $\pi$ 사이의 값을 갖는다(3.3.9전반사와 소멸파). 정확한 계산은 아래의 진폭 계수식으로 한다 — 그 식은 부호를 스스로 챙긴다.

등두께 줄무늬와 등경사 줄무늬

조건식에 변수가 둘 있다 — $d$ 와 $\theta_t$ . 어느 쪽이 변하느냐로 줄무늬의 종류가 갈린다(Hecht §9.4.1).

등두께 줄무늬(피조 줄무늬). 수직에 가까운 입사로 두께가 변하는 막을 보면 $d$ 가 같은 곳이 같은 밝기 — 두께의 등고선이다. 쐐기(각 $\alpha$ )에서는 $x_m = (m + \tfrac12)\lambda_f/2\alpha$ 위치에 등간격 줄무늬가 서고, 렌즈를 평판에 올리면 뉴턴 고리 — 반지름 $r_m = \sqrt{m\lambda_0 R}$ ( $R$ : 곡률 반지름) — 가 생긴다. 바깥으로 갈수록 촘촘해지는 것은 두께가 $r^2$ 으로 커지기 때문이다. 3절의 피조 간섭계가 이것이고, 웨이퍼 표면에 파티클이 끼어 생긴 공기 쐐기가 검사 장비에서 줄무늬로 보이는 것도 이것이다.

등경사 줄무늬(하이딩거 줄무늬). 두께가 균일한 막을 넓은 광원으로 보면 $\theta_t$ 가 같은 방향이 같은 밝기 — 무한원에 국재하는 동심원이다. 마이컬슨의 원형 줄무늬가 이것이었다.

색 — 산화막 두께표

백색광이면 파장마다 조건이 다르다. 두께 $d$ 가 정해지면 어떤 파장은 강하게, 어떤 파장은 약하게 반사되어 막이 색을 띤다. 실리콘 위 SiO₂는 100 nm 근처가 갈색, 300 nm 근처가 파랑, 500 nm 근처가 초록·노랑 — 공정 현장에서 눈으로 두께를 어림하는 산화막 색 두께표가 이것이다. 색은 두께 $\lambda_0/2n_f \approx 200$ – $300$ nm 마다 되풀이되므로(차수 $m$ 이 하나 늘 때마다) 표는 주기적이고, 같은 색이 몇 번째 주기인지는 눈으로 가릴 수 없다. 그 애매함을 없애는 것이 분광 반사계다 — 아래 그림처럼 여러 파장의 반사율을 한꺼번에 맞추면 두께가 하나로 정해진다(19.2.1).

정확한 반사율 — 두 빔에서 무한 빔으로

위의 두 빔 그림은 근사다. 막 안에서는 반사가 끝없이 되풀이된다 — ②가 나온 뒤 세 번째 파, 네 번째 파. 그것들을 다 더한 결과(유도는 5절)는 진폭 계수로 깔끔하게 적힌다:

r = \frac{r_{12} + r_{23}\,e^{2i\beta}}{1 + r_{12}\,r_{23}\,e^{2i\beta}}, \qquad \beta = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,n_f\,d\cos\theta_t, \qquad R = \lvert r\rvert^2

$r_{12}$ , $r_{23}$ 은 각 경계면의 프레넬 진폭 계수다. 분모가 다중 반사의 몫이고, 분모를 1로 놓으면 두 빔 근사 $R \approx r_{12}^2 + r_{23}^2 + 2r_{12}r_{23}\cos 2\beta$ 로 돌아간다. 계수가 작으면(유리 위 MgF₂: $\lvert r\rvert \sim 0.1$ ) 두 빔으로 충분하고, 실리콘 기판( $r_{23} \approx -0.45$ )이면 분모를 살려야 숫자가 맞는다. 계산해 보면:

\text{SiO}_2/\text{Si},\ \lambda_0 = 633\ \text{nm}:\quad r_{12} = \frac{1 - 1.457}{1 + 1.457} = -0.186, \qquad r_{23} = \frac{1.457 - 3.882}{1.457 + 3.882} = -0.454

$d = 0$ ( $\beta = 0$ )이면 $r = (r_{12} + r_{23})/(1 + r_{12}r_{23}) = -0.590$ , $R = 0.348$ — 맨 실리콘의 반사율이 그대로 나온다(막이 없으니 당연하다). $2\beta = \pi$ (사분파장 두께 $d = 109$ nm)이면 $r = (r_{12} - r_{23})/(1 - r_{12}r_{23}) = 0.293$ , $R = 0.086$ — 최소. 두 빔 근사로 셈하면 최소가 $(0.454 - 0.186)^2 = 0.072$ 라 조금 어긋난다.

그림 3.5-6. 실리콘 위 산화막의 수직 입사 반사율을 두께 0에서 600 nm까지 두 파장에서 계산한 곡선 — 다중 반사를 포함한 정확한 식이다. 맨 실리콘의 0.35에서 출발해 λ₀/4n_f ≈ 109 nm에서 최소 0.09로 내려가고, λ₀/2n_f = 217 nm 주기로 되풀이된다. 450 nm에서는 주기가 153 nm로 짧고 실리콘의 굴절률이 커서 진폭도 다르다. 한 파장의 R 하나는 두께를 주기 안에서만 정하지만, 파장을 훑으면 주기가 파장마다 달라 두께가 하나로 정해진다 — 분광 반사계의 원리다. 곡선의 골이 0에 닿지 않는 것은 r₁₂와 r₂₃의 크기가 달라서다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 이 곡선의 네 가지를 읽는다. ① $d = 0$ 의 값은 기판의 반사율. ② 주기는 $\lambda_0/2n_f$ — 막의 광학 두께가 반파장 늘 때마다 되풀이된다. ③ 골의 깊이는 $\lvert r_{12}\rvert$ 와 $\lvert r_{23}\rvert$ 가 얼마나 비슷한가로 정해진다 — 같으면 0까지 내려간다(6절의 반사 방지 조건). ④ 파장을 바꾸면 주기와 진폭이 같이 바뀐다.

파라미터 연계 — $n_f$ 와 $d$ 는 곱으로만 들어온다. 위상 $\beta$ 에 $n_f d$ 가 곱으로 있으므로 한 파장에서의 반사율 하나로는 굴절률과 두께를 가를 수 없다. 분광 반사계가 파장을 훑는 것은 두께를 정하기 위해서만이 아니라, $n_f(\lambda)$ 의 분산 모델(코시·셀마이어)을 같이 맞추기 위해서다. 그래도 얇은 막( $d \lesssim 10$ nm)에서는 $\beta$ 가 너무 작아 반사율이 거의 변하지 않는다 — 게이트 산화막 두께는 반사율이 아니라 위상(타원계측, 10·12절)으로 잰다. 위상은 $\beta$ 에 선형이라 얇을수록 오히려 유리하다.

레지스트 속의 정재파와 스윙 곡선

리소그래피에서 “박막”은 레지스트이고 “기판”은 실리콘·폴리실리콘·금속이다. 레지스트 위와 아래에서 반사된 파가 막 안에서 간섭해 정재파를 만들고, 그 마루와 골이 $\lambda_0/2n_r$ 간격으로 층층이 쌓인다 ( $n_r \approx 1.7$ , 193 nm에서 약 57 nm 간격). 노광량이 깊이에 따라 오르내리므로 현상한 측벽에 줄무늬가 남는다 — 로이드의 거울에서 본 그 정재파다. 노광 후 베이크(PEB)에서 광산이 확산하며 이 줄무늬를 문지르는 것이 화학증폭형 레지스트의 부수 효과다(18.15.4).

두 번째 결과는 스윙 곡선이다. 레지스트 두께가 $\lambda_0/2n_r$ 변할 때마다 막 전체가 받는 노광량이 오르내리므로, 현상 후 선폭(또는 노광 문턱 $E_0$ )이 두께에 대해 주기적으로 흔들린다. 그 진폭의 비율이 대략

S \approx 4\sqrt{R_{\text{top}}R_{\text{bot}}}\;e^{-\alpha d}

( $\alpha$ : 레지스트 흡수 계수)다 — 윗면과 아랫면 반사율의 기하 평균이 흔들림을 정한다. 웨이퍼 위에서 레지스트 두께가 토포그래피 때문에 수십 nm씩 달라지면 선폭도 따라 흔들리므로, $R_{\text{bot}}$ 을 죽이는 바닥 반사 방지막(BARC)을 깐다 — 6절의 반사 방지막을 흡수까지 넣어 설계한 것이고, $R_{\text{top}}$ 을 죽이는 윗면 반사 방지막(TARC)도 같은 이유다(18.15.9).

다중빔 간섭과 패브리-페로

무한 개의 반사를 더한다

두께 $d$ , 굴절률 $n_f$ 인 평행 평판의 양면이 진폭 반사 계수 $r$ , 투과 계수 $t$ (안에서 밖으로는 $r'$ , $t'$ )를 갖는다. 진폭 $E_0$ 의 파가 들어오면 투과해 나오는 파들은(Hecht §9.6.1)

E_{t} = E_0\,tt' + E_0\,tt'r'^2e^{i\delta} + E_0\,tt'r'^4e^{2i\delta} + \cdots = E_0\,tt'\sum_{m=0}^{\infty}\left(r'^2e^{i\delta}\right)^m

$\delta = 2\beta = (4\pi/\lambda_0)\,n_f d\cos\theta_t$ 는 한 번 왕복의 위상이다. 등비급수(1.5.1무한급수와 수렴 판정)의 공비가 $r'^2e^{i\delta}$ 이고 크기가 1보다 작으니 합은

E_t = E_0\,\frac{tt'}{1 - r'^2e^{i\delta}}

스토크스 관계 $r' = -r$ , $tt' = 1 - r^2$ (3.3.8프레넬 방정식)를 넣고 $R = r^2$ 으로 쓰면, 제곱해서

\frac{I_t}{I_i} = \frac{(1 - R)^2}{(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\delta/2)} = \frac{1}{1 + F\sin^2(\delta/2)}, \qquad F \equiv \frac{4R}{(1 - R)^2}

이것이 에어리 함수다. 반사 쪽도 같은 방법으로 더하면 $I_r/I_i = F\sin^2(\delta/2)/[1 + F\sin^2(\delta/2)]$ 이고, 둘의 합이 정확히 1이다 — 흡수가 없으면 에너지가 보존된다. $F$ 는 미세도 계수(coefficient of finesse)라 부르고 반사율이 클수록 급격히 커진다: $R = 0.04 \to F = 0.17$ , $R = 0.5 \to 8$ , $R = 0.9 \to 360$ , $R = 0.99 \to 39{,}600$ .

그림 3.5-7. 패브리–페로 판의 투과율(에어리 함수) 1/[1 + F sin²(δ/2)]을 왕복 위상차 δ에 대해 세 반사율에서 그린 곡선. 맨 유리(R = 0.04)에서는 거의 평평해 두 빔 근사의 코사인과 다를 것이 없고, R = 0.5에서 완만한 봉우리, R = 0.9에서 날카로운 봉우리가 2π마다 선다. 봉우리에서는 어느 반사율이든 투과율이 1이다 — 반사율 90%인 거울 두 장을 겹쳐도 공명 조건에서는 빛이 전부 통과한다. 반폭 γ = 4/√F는 R이 1에 가까울수록 좁아지고, 봉우리 간격(자유 스펙트럼 영역)은 판의 광학 두께가 정한다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 위상자가 돌아가며 줄어드는 나선. 등비급수의 각 항은 크기가 $R$ 배씩 줄고 각이 $\delta$ 씩 도는 위상자다. $\delta = 0$ 이면 전부 같은 방향으로 서서 $1/(1 - R)$ 배까지 자란다 — 각 항은 작아도 다 더하면 크다. $\delta = \pi$ 면 번갈아 반대를 향해 $1/(1 + R)$ 로 줄어든다. 투과율이 봉우리에서 1이 되는 것은 $tt'/(1 - R) = (1 - R)/(1 - R) = 1$ 이기 때문이고, 그것은 판 안쪽의 파가 입사파보다 $1/(1 - R)$ 배 크게 쌓여 있다는 뜻이다( $R = 0.99$ 면 100배). 공진기 안의 장이 강해지는 것 — 공동 증강 — 이 레이저의 이득 매질이 공진기 안에 있는 이유이고, 링 공진기 변조기가 짧은 길이로 큰 위상을 얻는 이유이며(17.5.6), 이 상황의 전자판이 이중 장벽 공명 터널링(10.4.2)이다. 반사율 90%인 장벽 두 개를 전자가 100% 통과하는 것은 같은 등비급수다.

형태적 직관 — 코사인이 어떻게 뾰족해지는가. $R$ 이 작으면 $F\sin^2(\delta/2) \ll 1$ 이라 $I_t/I_i \approx 1 - F\sin^2(\delta/2) = 1 - \tfrac F2(1 - \cos\delta)$ — 두 빔 근사의 코사인이다. $R$ 이 커지면 $\sin^2$ 의 0 근처만 살아남고 나머지는 분모가 커서 눌린다. 봉우리의 반폭은 $F\sin^2(\gamma/4) = 1$ 에서

\gamma \approx \frac{4}{\sqrt F} = \frac{2(1 - R)}{\sqrt R}

이고, 봉우리 간격 $2\pi$ 를 반폭으로 나눈 것이 미세도(finesse)

\mathcal F = \frac{2\pi}{\gamma} = \frac{\pi\sqrt F}{2} = \frac{\pi\sqrt R}{1 - R}

— “한 주기 안에 분해할 수 있는 선의 개수”다. $R = 0.9$ 면 30, $0.99$ 면 313.

패브리–페로 간섭계 — 자유 스펙트럼 영역과 분해능

봉우리는 $\delta = 2\pi m$ , 즉 $2n_f d\cos\theta_t = m\lambda_0$ 에서 선다. 이것을 주파수로 적으면 이웃한 봉우리의 간격이

\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2n_f d\cos\theta_t}, \qquad (\Delta\lambda)_{\text{FSR}} = \frac{\lambda_0^2}{2n_f d\cos\theta_t}

— 자유 스펙트럼 영역(free spectral range)이다. 판이 두꺼울수록 촘촘하다. 봉우리 하나의 폭은 $\Delta\nu_{\text{FSR}}/\mathcal F$ 이고, 이것이 이 간섭계로 가를 수 있는 최소 주파수 차다. 분해능은

\frac{\lambda}{(\Delta\lambda)_{\min}} \approx \mathcal F\,m = \mathcal F\,\frac{2n_f d}{\lambda_0}

두께 1 cm 공기 간격, $R = 0.9$ 면 FSR 15 GHz, 최소 분해 0.5 GHz, 분해능 $\sim 10^6$ — 회절 격자 (3.6.5)가 $10^5$ 근처에서 멈추는 것과 비교된다. 한 주기(FSR) 안에서만 유일하므로 거친 분광기와 짝지어 쓴다. 두 거울을 고정한 것이 에탈론이고, 레이저의 선폭 축소·모드 선택에 쓰인다.

직관

파라미터 연계 — $d$ 는 봉우리의 자리, $R$ 은 봉우리의 폭, $n$ 은 봉우리의 이동. 세 파라미터의 역할이 분리되어 있다. 봉우리 간격은 $d$ 만이 정하고, 봉우리의 날카로움은 $R$ 만이 정하며, 봉우리의 위치는 $n_f d$ 의 곱으로 움직인다. 마지막 것이 동조의 원리다 — 굴절률이 $\Delta n$ 변하면 봉우리가 $\Delta\nu/\nu = -\Delta n/n$ 만큼 밀린다. 실리콘 링 공진기(17.5.6)에서 $\Delta n \sim 10^{-4}$ (열 또는 캐리어 주입)이면 $\nu = 193$ THz(1550 nm), $n \approx 3.5$ 에서 $\Delta\nu \approx 5$ GHz — $Q \sim 10^5$ 인 링의 봉우리 폭 2 GHz보다 커서 공진에서 완전히 벗어난다. 작은 굴절률 변화가 큰 세기 변화가 되는 것은 봉우리가 뾰족하기 때문이고, 뾰족한 만큼 온도에도 민감해( $dn/dT \approx 1.8 \times 10^{-4}$ /K) 실리콘 포토닉스 링마다 히터가 붙는다.

레이저 다이오드는 낮은 미세도의 패브리–페로다

두 거울 사이에 이득 매질을 넣으면 봉우리 주파수들만 왕복하며 자기 위상을 유지한다 — 그 주파수들이 종모드(longitudinal mode)다. 길이 $L$ 의 공진기에서 $\Delta\nu = c/2n_g L$ ( $n_g$ : 군굴절률). 헬륨–네온 관(30 cm)은 500 MHz, 반도체 레이저( $L = 300$ µm, $n_g \approx 4$ )는 125 GHz — 파장으로 약 0.3 nm 간격이다. 벽개면이 그대로 거울인데 $R = [(3.5 - 1)/(3.5 + 1)]^2 = 0.31$ 이니 $F = 2.6$ , $\mathcal F = 2.5$ — 그림 3.5-7의 $R = 0.5$ 보다도 무딘 봉우리다. 그런데도 레이저가 되는 것은 이득이 봉우리에서 손실을 넘기만 하면 되기 때문이고, 무딘 봉우리라 이득 곡선 안의 여러 모드가 동시에 발진한다(다중 모드, 17.4.5). 단일 모드가 필요하면 6절의 다층 거울을 도파로 안에 격자로 새겨(DFB, 17.5.7) 봉우리 하나만 남긴다.

단층·다층막의 응용(반사 방지막)

4절의 박막 식을 설계 도구로 바꾼다. 원하는 파장에서 반사를 없애거나(반사 방지막), 반대로 거의 전부 반사시키거나(유전체 거울), 좁은 대역만 통과시키는(간섭 필터) 막을 층층이 쌓는다. 한 층에 2×2 행렬 하나를 붙이면 몇 층이든 곱셈이다.

특성 행렬

수직 입사에서 굴절률 $n_1$ , 두께 $d_1$ 인 층 하나를 생각한다. 경계에서 접선 전기장 $E$ 와 접선 자기장 $H$ 가 연속이고(2.8.6수직 입사에서의 반사와 투과), 층 안에서는 앞뒤로 가는 두 파의 합이다. 층의 위쪽 경계의 $(E, H)$ 와 아래쪽 경계의 $(E, H)$ 를 잇는 관계를 정리하면(Hecht §9.7.1)

\begin{bmatrix} E_{\text{위}} \\ H_{\text{위}} \end{bmatrix} = \mathcal M_1 \begin{bmatrix} E_{\text{아래}} \\ H_{\text{아래}} \end{bmatrix}, \qquad \mathcal M_1 = \begin{bmatrix} \cos\beta_1 & -\dfrac{i\sin\beta_1}{Y_1} \\[6pt] -iY_1\sin\beta_1 & \cos\beta_1 \end{bmatrix}, \qquad \beta_1 = \frac{2\pi n_1 d_1}{\lambda_0}

$Y_1 = n_1\sqrt{\varepsilon_0/\mu_0}$ 은 층의 광학 어드미턴스로, 상수를 떼면 그냥 굴절률이다. 이 장에서는 $Y = n$ 으로 놓는다(경사 입사면 $s$ 에 $n\cos\theta$ , $p$ 에 $n/\cos\theta$ ). 층이 여럿이면 행렬을 순서대로 곱하고, 기판( $n_s$ )에서 되돌아오는 파가 없다는 조건을 넣으면 반사 계수가 나온다:

\mathcal M = \mathcal M_1\mathcal M_2\cdots\mathcal M_N, \qquad \begin{bmatrix} B \\ C \end{bmatrix} = \mathcal M \begin{bmatrix} 1 \\ n_s \end{bmatrix}, \qquad r = \frac{n_0 B - C}{n_0 B + C}

행렬은 행렬식이 1이고(흡수가 없는 한 — 에너지 보존의 행렬판), 층의 순서를 바꾸면 결과가 바뀐다 (곱이 교환되지 않으므로). 2.8.9전송선 방정식과 특성 임피던스의 전송선 ABCD 행렬과 정확히 같은 구조다 — 어드미턴스 $Y$ 가 특성 임피던스의 역수이고, $\beta$ 가 전기 길이다. 6절의 모든 결과는 전송선의 임피던스 정합 이론을 파장 하나 위에서 다시 읽는 것이다.

사분파장 층 — 어드미턴스 변환기

$\beta_1 = \pi/2$ , 즉 광학 두께 $n_1 d_1 = \lambda_0/4$ 이면 $\cos\beta_1 = 0$ , $\sin\beta_1 = 1$ 이라

\mathcal M_1 = \begin{bmatrix} 0 & -i/n_1 \\ -in_1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad r = \frac{n_1^2 - n_0 n_s}{n_1^2 + n_0 n_s}, \qquad R = \left(\frac{n_0 n_s - n_1^2}{n_0 n_s + n_1^2}\right)^2

반사가 0이 되는 조건은

n_1 = \sqrt{n_0\,n_s}

— 막의 굴절률이 양쪽의 기하 평균이어야 한다. 두 경계의 진폭 계수 $r_{01}$ 과 $r_{1s}$ 가 같아지는 조건이고(4절 그림의 “골이 0에 닿는” 조건), 전송선의 사분파장 변환기 $Z_1 = \sqrt{Z_0 Z_L}$ (2.8.10)과 같은 식이다. 사분파장 층은 기판의 어드미턴스 $n_s$ 를 $n_1^2/n_s$ 로 바꿔 보여 주는 변환기다.

유리( $n_s = 1.52$ )면 $n_1 = 1.233$ 이 필요한데 그런 고체는 없다. 가장 낮은 실용 재료가 MgF₂(1.38)이고, 그러면 $R = [(1.52 - 1.90)/(1.52 + 1.90)]^2 = 1.3\%$ — 맨 유리 4.3%의 1/3이다. 0에 닿지 않지만 이것으로 카메라 렌즈의 반사 방지는 시작되었다(Hecht §9.7.2).

그림 3.5-8. 유리(n = 1.52) 위 사분파장 단층 반사 방지막의 반사율을 파장 400–800 nm에서 계산한 곡선. 맨 유리는 4.3%로 평평하고, MgF₂(1.38) λ/4막은 설계 파장 550 nm에서 1.3%까지만 내려가며, 굴절률이 √(n₀n_s) = 1.233인 이상적인 막은 550 nm에서 정확히 0이 된다. 어느 쪽이든 설계 파장을 벗어나면 다시 올라간다 — 위상 두께가 π/2에서 벗어나기 때문이다. 양 끝의 빨강·보라가 남아 코팅된 렌즈가 보랏빛을 띤다. 비스듬히 보면 위상 두께에 cos θ가 곱해져 곡선 전체가 짧은 파장 쪽으로 밀리고, 그래서 렌즈를 기울이면 반사색이 초록 쪽으로 옮겨 간다.직접 작도

반파장 층은 $\beta_1 = \pi$ 라 $\mathcal M_1 = -\mathbf 1$ — 있으나 없으나 같다(설계 파장에서만). 굴절률을 바꾸지 않고 보호층·접착층을 끼워 넣을 때 쓴다(부재 층, absentee layer). 광학 두께가 $\lambda_0/4$ 의 홀수 배면 사분파장 층과 같고 짝수 배면 부재 층이다 — 4절 그림의 주기성이 그것이다.

두 층이면 자유도가 하나 는다. 두 사분파장 층( $n_1$ 위, $n_2$ 아래)의 반사 0 조건은 $n_0 n_2^2 = n_s n_1^2$ , 즉 $n_2/n_1 = \sqrt{n_s/n_0}$ — 굴절률의 비만 맞추면 되므로 실재하는 재료 쌍으로 0을 만들 수 있다(V-코팅, 한 파장에서 날카로운 0). 사분파장·반파장 조합(W-코팅)은 대역이 넓고, 세 층 이상으로 가시광 전체에서 0.5% 아래를 얻는다(광대역 반사 방지막). 설계 파장에서 완벽한 것과 대역 전체에서 그럭저럭인 것 사이의 절충이 층수와 함께 늘어난다.

직관

물리적 직관 — 반사 방지는 “지우기”가 아니라 “되돌리기”다. 사분파장 막에서 반사가 0이라고 빛이 사라진 것이 아니다. 두 경계에서 반사된 파가 $\pi$ 어긋나 상쇄되므로 반사 쪽에 에너지가 갈 수 없고, 갈 데가 투과뿐이라 전부 기판으로 들어간다. 1절의 “간섭은 재분배”의 가장 유용한 형태다. 태양전지가 이것을 쓴다 — 실리콘은 $n \approx 3.9$ 라 맨 표면에서 35%를 잃는데, $\sqrt{3.9} \approx 2.0$ 인 SiN $_x$ 를 75 nm 입히면 600 nm 근처에서 반사가 거의 0이 된다(파란색 셀의 색이 이 막이다). 유리·EVA ( $n \approx 1.5$ ) 아래 봉지되는 실제 모듈에서는 기하 평균이 $\sqrt{1.5 \times 3.9} = 2.4$ 로 올라가므로 SiN $_x$ 의 조성을 바꿔 굴절률을 2.1 근처로 올린다(17.7.5). 파라미터 연계: 기판 굴절률이 정해지면 막의 굴절률이 정해지고, 파장이 정해지면 두께가 정해진다 — 설계 변수가 사실상 없고, 그래서 텍스처링(17.7.7)이 두 번째 수단이 된다.

사분파장 스택 — 브래그 거울

반대로 반사를 키우려면 높은 굴절률 $n_H$ 와 낮은 굴절률 $n_L$ 의 사분파장 층을 번갈아 쌓는다. 한 쌍이 어드미턴스를 $(n_H/n_L)^2$ 배 바꾸므로(변환기 두 번), $N$ 쌍이면 $(n_H/n_L)^{2N}$ 배 — 기판이 점점 “무거워” 보이고 반사율이 지수적으로 1에 붙는다(Hecht §9.7.3):

R_N = \left(\frac{n_0\,n_L^{2N} - n_s\,n_H^{2N}}{n_0\,n_L^{2N} + n_s\,n_H^{2N}}\right)^2

층마다 반사된 파들이 전부 같은 위상으로 되돌아오는 것이 물리다. 사분파장 두 층을 왕복하면 위상이 $2\pi$ 이고, 높은 층에서 낮은 층으로의 반사(내부, 0)와 낮은 층에서 높은 층으로의 반사(외부, $\pi$ )가 반파장 간격으로 번갈아 놓여 결국 모두 보강된다. 격자 간격 $\Lambda_B$ 의 주기 구조에서 $2n\Lambda_B = \lambda_0$ 인 파장이 되반사되는 브래그 조건이고, 7부의 X선 브래그 회절과 같은 식이다 (원자면이 유전체 층으로 바뀌었을 뿐이다).

반사율이 1에 붙는 파장 범위 — 저지 대역(stop band) — 의 폭은 층수가 아니라 굴절률 대비가 정한다:

\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \approx \frac{4}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{n_H - n_L}{n_H + n_L}\right)

그림 3.5-9. 유리 위 TiO₂(2.30)/SiO₂(1.46) 사분파장 쌍을 2, 5, 12쌍 쌓은 스택의 반사율을 설계 파장 대 파장의 비 λ₀/λ에 대해 그린 곡선. 쌍이 늘수록 설계 파장 둘레의 반사율이 1에 붙고 그 밖에는 잔물결이 남는다. 저지 대역의 폭 Δλ/λ₀ ≈ (4/π) asin[(n_H − n_L)/(n_H + n_L)] = 0.29는 쌍의 수와 무관하고 두 굴절률의 대비만이 정한다 — 12쌍이든 40쌍이든 대역은 같고 안쪽이 더 평평해질 뿐이다. 대비가 작은 GaAs/AlAs(3.5/2.9)는 대역이 좁아 VCSEL 거울에 20–30쌍이 들어가고, 흡수가 있는 Mo/Si EUV 거울은 40쌍 이상 쌓아도 70%에서 멈춘다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 대비는 폭을, 쌍수는 높이를. 두 파라미터의 역할이 갈라져 있다. $n_H/n_L$ 이 크면 저지 대역이 넓고 적은 쌍으로 높은 반사율에 이르며(TiO₂/SiO₂: 대비 1.58, 대역 29%, 8쌍에 99%), 대비가 작으면 대역이 좁고 쌍이 많이 필요하다. 반도체에서 이것이 두 곳에서 결정적이다.

VCSEL(17.4.7)은 GaAs/Al $_x$ Ga $_{1-x}$ As를 에피택시로 쌓아 거울을 만드는데 대비가 1.2 남짓이라 $R > 99.5\%$ 에 20–30쌍이 든다. 그래도 하는 이유는 활성층이 수십 nm로 짧아 한 번 왕복의 이득이 1% 남짓이라 거울 손실을 그 아래로 눌러야 하기 때문이다 — 5절의 “봉우리에서 이득이 손실을 넘어야 한다”가 거울 반사율의 사양이 된다.

EUV 거울(18.16.4)은 13.5 nm에서 굴절률이 모든 물질에서 1에 가까워( $n = 1 - \delta$ , $\delta \sim 10^{-2}$ ) 한 경계의 반사가 $10^{-4}$ 수준이다. 그래서 Mo(고반사)/Si(저흡수)를 주기 6.9 nm로 40–50쌍 쌓아 겨우 $R \approx 70\%$ 를 얻는다 — 흡수 때문에 더 쌓아도 오르지 않는다. 노광기 한 대에 거울이 10장 넘게 있으므로 $0.7^{10} \approx 3\%$ 의 빛만 웨이퍼에 닿고, 그래서 EUV 광원 출력(수백 W)이 처리량의 병목이 된다. 주기 6.9 nm는 브래그 조건 $2\Lambda_B\cos\theta \approx \lambda$ 에서 오고, 거울마다 입사각이 달라 주기를 표면 위치에 따라 서서히 바꾼 경사 다층막을 쓴다. 층 하나의 두께 오차 0.1 nm가 반사 파장을 옮긴다.

간섭 필터와 그 밖의 것

두 브래그 거울 사이에 반파장(또는 그 정수배) 층을 끼우면 패브리–페로가 되어 저지 대역 한가운데 좁은 투과 봉우리가 생긴다 — 간섭 대역 필터(Hecht §9.7.3). 폭 1 nm 아래의 필터가 이렇게 만들어지고, 형광 현미경·라만 분광의 필터, 파장 분할 다중화의 채널 필터가 전부 이것이다. 거울 하나의 쌍수를 서서히 바꾸면(처프) 대역이 넓어져 처프 거울이 되고, 짧은 파장은 반사하고 긴 파장은 통과시키면 콜드 미러·다이크로익 필터다. 어느 것도 새 원리가 아니다 — 2×2 행렬의 곱과 4절의 위상뿐이다.

편광의 종류와 편광자

진폭은 벡터다

전자기파는 횡파다 — $\mathbf E \perp \mathbf k$ (2.8.2진공 중의 단색 평면파). $z$ 로 진행하는 파의 전기장은 $x$ - $y$ 평면 안에 있고, 그 평면에서 어느 방향을 가리키며 어떻게 움직이느냐가 편광이다. 가장 일반적인 단색 평면파는 두 직교 성분의 합이다(Hecht §8.1):

\mathbf E(z, t) = \hat{\mathbf x}\,E_{0x}\cos(kz - \omega t) + \hat{\mathbf y}\,E_{0y}\cos(kz - \omega t + \varepsilon)

$\varepsilon$ 은 $y$ 성분이 $x$ 성분에 대해 갖는 상대 위상이다. 이 한 식에 모든 편광 상태가 들어 있다. 한 점( $z = 0$ )에서 시간에 따라 $\mathbf E$ 의 끝점이 그리는 궤적을 보면:

$\varepsilon = 0$ 또는 $\pm\pi$ : 두 성분이 동시에 최대·최소가 되어 끝점이 직선 위를 오간다 — 선편광 $\mathcal P$ . 방향은 $\tan\alpha = \pm E_{0y}/E_{0x}$ .
$\varepsilon = \pm\pi/2$ 이고 $E_{0x} = E_{0y}$ : 한 성분이 최대일 때 다른 성분이 0 — 끝점이 원을 돈다. 원편광. $\varepsilon = -\pi/2$ 는 $\mathcal R$ (우원), $+\pi/2$ 는 $\mathcal L$ (좌원). 크기는 일정하고 방향만 각속도 $\omega$ 로 돈다.
그 밖의 모든 경우: 타원편광 $\mathcal E$ . 두 성분을 소거하면(3.2.1단순 조화진동의 리사주 도형)

\left(\frac{E_x}{E_{0x}}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{E_{0y}}\right)^2 - 2\,\frac{E_x}{E_{0x}}\frac{E_y}{E_{0y}}\cos\varepsilon = \sin^2\varepsilon

— 원점 중심의 타원이고, 장축의 기울기는 $\tan 2\alpha = 2E_{0x}E_{0y}\cos\varepsilon/(E_{0x}^2 - E_{0y}^2)$ 이다. $\varepsilon = \pm\pi/2$ 면 축이 $x$ · $y$ 에 정렬되고, $\cos\varepsilon \ne 0$ 이면 기운다. 선편광은 찌그러진 타원( $\sin\varepsilon = 0$ ), 원편광은 둥근 타원 — 타원편광이 일반형이고 나머지는 특수형이다.

그림 3.5-10. 가로 성분 E₀ₓcos ωt와 세로 성분 E₀ᵧcos(ωt − ε)의 합이 그리는 전기장 끝점의 궤적 네 장 — 관찰자를 향해 오는 빛을 본다. ε = 0이면 45° 직선(선편광), ε = −π/2에 같은 진폭이면 시계 방향으로 도는 원(Hecht의 우원편광 ℛ), 진폭이 다르면 축에 정렬된 타원, ε = −π/4이면 기운 타원이다. 상태를 정하는 것은 두 성분의 진폭 비와 상대 위상 둘뿐이고, 9절의 위상 지연자는 이 ε을 바꾸는 소자, 7절의 편광자는 한 성분을 없애는 소자다.직접 작도

주의

우원·좌원의 규약. Hecht는 빛이 관찰자를 향해 올 때 $\mathbf E$ 가 시계 방향으로 도는 것을 우원편광 $\mathcal R$ 이라 부른다(기호 표 ⑦). 이 규약에서 $\varepsilon = -\pi/2$ 가 $\mathcal R$ 이고, 공간에 얼려 놓고 보면 $\mathbf E$ 의 끝점은 진행 방향으로 왼나사 나선을 그리며, 광자의 각운동량은 진행 방향에 대해 $-\hbar$ 다. 전파공학(IEEE)과 많은 양자광학 책은 반대로 — 나사의 오른손 방향, 각운동량 $+\hbar$ — 를 우원이라 한다. 어느 쪽이 옳은 것이 아니라 기준이 다른 것이므로(관찰자 기준 vs 나사 기준), 자료마다 확인한다. 존스 벡터의 $\pm i$ , 지연자 행렬의 $\pm i$ 가 전부 이 선택에 딸려 있다(12절).

직관

공간적 직관 — 원편광은 나선이다. 시간을 얼리고 $z$ 를 따라가면 원편광의 $\mathbf E$ 는 파장 하나마다 한 바퀴 도는 나선이고, 선편광은 평면 안의 사인 곡선이다. 원편광 두 개( $\mathcal R + \mathcal L$ , 같은 진폭)를 더하면 $y$ 성분이 지워지고 $x$ 선편광이 남는다 — 거꾸로 선편광은 두 원편광의 합이고, 이것이 11절 광학 활성의 열쇠다. 어느 쌍을 기저로 잡느냐 — $\{x, y\}$ 냐 $\{\mathcal R, \mathcal L\}$ 이냐 — 는 편의의 문제이고, 12절의 존스 벡터가 그 기저 변환을 행렬로 적는다.

물리적 직관 — 직교 상태는 간섭하지 않는다. 1절의 조건 ②를 이제 정확히 말할 수 있다. $x$ 선편광과 $y$ 선편광은 $\mathbf E_1 \cdot \mathbf E_2 = 0$ 이라 교차항이 없고, $\mathcal R$ 과 $\mathcal L$ 도 시간 평균에서 교차항이 0이다(회전 방향이 반대라 내적이 $\cos 2\omega t$ 로 진동해 평균이 0). 임의의 상태와 그 직교 상태는 서로 간섭할 수 없고, 어떤 편광이든 직교하는 한 쌍으로 유일하게 분해된다 — 편광 상태의 공간은 2차원 복소 벡터 공간이다. 5부의 스핀 1/2가 같은 수학이다.

자연광과 부분 편광

램프·태양·LED의 빛은 편광되어 있지 않다 — 정확히는 $\varepsilon$ 과 방향이 $10^{-8}$ s마다 무작위로 바뀌어 어떤 검출기도 따라가지 못한다(자연광, 또는 무편광). 자연광은 “편광이 없는” 빛이 아니라 “모든 편광이 빠르게 섞인” 빛이고, 어느 직교 기저로 분해해도 두 성분의 시간 평균 세기가 같다. 자연광과 편광된 빛이 섞이면 부분 편광이고, 그 정도는 편광자를 돌려 찾은 최대·최소 투과 세기로

V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}

— 편광도(degree of polarization)다. 1절의 가시도와 같은 꼴이고 같은 논리다: 간섭이 결맞음의 정도를 줄무늬 깊이로 드러내듯, 편광자는 편광의 정도를 세기 변화로 드러낸다. 12절의 스토크스 매개변수가 이것을 정식으로 적는다.

편광자와 말뤼스 법칙

편광자(polarizer)는 한 편광 상태만 통과시키는 소자다. 통과하는 방향이 투과축이다. 어떤 원리로든 — 흡수(8절 이색성), 반사(10절 브루스터), 복굴절(8절), 산란 — 결과는 같다. 투과축과 각 $\theta$ 를 이루는 선편광이 들어오면 투과축 성분 $E_0\cos\theta$ 만 남으므로

I(\theta) = I(0)\cos^2\theta

— 말뤼스 법칙(1809). 세기는 진폭의 제곱이라 $\cos^2$ 이다. 자연광이 들어오면 모든 $\theta$ 의 평균 $\langle\cos^2\theta\rangle = 1/2$ — 이상적 편광자는 자연광의 절반을 통과시킨다(LCD의 첫 편광판에서 백라이트의 절반이 사라지는 이유다). 편광자 뒤에 두 번째 편광자(검광자, analyzer)를 직각으로 놓으면 $\cos^2 90° = 0$ — 빛이 완전히 막힌다. 그 사이에 45°짜리를 끼우면 $I_0/2 \cdot \cos^2 45° \cdot \cos^2 45° = I_0/8$ 이 다시 통과한다. 편광자를 하나 더 넣었더니 빛이 통과하는 것은, 편광자가 빛을 걸러내는 체가 아니라 정사영(1.2.5벡터공간과 내적공간)을 하는 장치라서다 — 45°로 사영하고 다시 90°로 사영하면 0이 아니다.

실제 편광자는 직교 성분도 조금 새게 한다. 그 비 — 소광비(extinction ratio) $I_{\perp}/I_{\parallel}$ — 가 품질이다. 필름 편광판이 $10^{-3}$ – $10^{-4}$ , 결정 편광 프리즘(글랜–톰슨)이 $10^{-5}$ – $10^{-6}$ . LCD의 명암비가 편광판의 소광비에 매이는 이유이고(16.1.3), 타원계측의 정밀도가 편광 프리즘의 소광비에 매이는 이유다.

의문

소리는 왜 편광이 없나? 그리고 “편광자가 빛을 만든다”는 말은 무슨 뜻인가? 공기 중 소리는 종파라 진동 방향이 진행 방향 하나뿐이고, 고를 것이 없다. 횡파여야 진행에 수직인 2차원이 생기고 그 안에서 방향을 고를 수 있다 — 편광은 횡파의 증거이고, 1817년 영과 프레넬이 빛이 횡파임을 안 것도 이 논리였다. 두 번째 질문: 교차 편광자 사이에 45° 편광자를 넣으면 빛이 “생긴다”. 생긴 것이 아니라 성분이 바뀐 것이다. 첫 편광자를 지난 $x$ 편광은 $y$ 성분이 0이라 $y$ 검광자를 못 넘는다. 45° 편광자가 그것을 45° 편광으로 바꾸면 이제 $y$ 성분이 $1/\sqrt2$ 있다. 8·9절의 복굴절판이 교차 편광자 사이에서 빛을 통과시키는 것, 11절의 액정 셀이 밝아지는 것, 전부 이 “성분을 바꾼다”다.

이색성과 복굴절

편광자를 만드는 물질의 성질은 둘이다. 한 편광을 흡수하거나(이색성), 두 편광의 속도가 달라 갈라놓거나(복굴절). 둘 다 물질의 이방성에서 온다 — 어느 방향으로 전자가 잘 움직이는가, 어느 방향으로 잘 분극되는가.

이색성 — 한쪽을 먹는다

가장 알기 쉬운 편광자는 와이어 그리드다. 가는 금속선을 파장보다 촘촘히 나란히 놓으면, 선과 평행한 전기장은 선을 따라 전자를 움직여 전류를 만들고 그 에너지가 줄 열로 흡수되거나 되반사된다. 선에 수직한 성분은 전자가 갈 곳이 없어 거의 그대로 통과한다. 그래서 투과축은 선에 수직이다 — 창살 틈으로 빠져나가는 그림을 떠올리면 방향이 거꾸로다(Hecht §8.3.1). 마이크로파에서는 철사로, 적외선·가시광에서는 유리 위에 나노임프린트(18.16.9)로 새긴 알루미늄 격자로 만든다 — LCD 프로젝터의 편광 빔 분할기, 고온에 견디는 편광판이 이것이다.

폴라로이드 H-시트는 와이어 그리드의 분자판이다. 폴리비닐알코올 필름을 늘여 긴 분자 사슬을 한 방향으로 정렬하고 아이오딘을 스미게 하면, 아이오딘이 사슬을 따라 전도성 사슬을 만들어 그 방향의 전기장을 흡수한다. 투과축은 늘인 방향에 수직. LCD의 편광판이 이것이고(16.4.4), 그래서 LCD 편광판은 열과 습기에 약하다. 전기석(tourmaline) 같은 이색성 결정은 결정축에 따라 흡수가 달라 자연히 편광자가 되는데, 색까지 달라 보여서 이색성(dichroism)이라는 이름이 붙었다.

복굴절 — 두 개의 굴절률

등방성 매질에서 굴절률은 숫자 하나다. 결정에서는 2.3.8선형 유전체와 감수율·유전율의 감수율이 텐서라 전기장의 방향에 따라 분극이 다르고, 굴절률이 방향에 따라 다르다 — 복굴절(birefringence, Hecht §8.4). 전자가 결정의 어떤 방향으로는 센 용수철에, 다른 방향으로는 무른 용수철에 묶여 있다고 보면 된다(3.3.4의 진동자 모형에서 용수철 상수가 방향에 따라 다른 것).

가장 단순한 경우가 단축 결정(방해석, 석영, 수정, 사파이어, LiNbO₃, 대부분의 육방·정방·삼방정계)이다. 특별한 방향 하나 — 광축(optic axis) — 가 있고, 그 축에 수직으로 진동하는 파는 어느 방향으로 가든 굴절률 $n_o$ 를 본다. 정상파(ordinary, o-파)라 부르고 스넬 법칙을 그대로 따른다. 광축 방향 성분을 가진 파 — 이상파(extraordinary, e-파) — 는 진행 방향에 따라 굴절률이 변한다:

\frac{1}{n_e^2(\theta)} = \frac{\cos^2\theta}{n_o^2} + \frac{\sin^2\theta}{n_e^2}

$\theta$ 는 파의 진행 방향(파면 법선)과 광축 사이의 각이다. 광축을 따라 가면( $\theta = 0$ ) $n_o$ — 두 파가 구별되지 않고, 광축에 수직으로 가면( $\theta = 90°$ ) 최댓값 $n_e$ . $n_e > n_o$ 면 양의 단축 결정 (석영: 1.5443 / 1.5534), $n_e < n_o$ 면 음의 단축 결정(방해석: 1.6584 / 1.4864). 복굴절의 크기는 $\Delta n = n_e - n_o$ 로 잰다 — 석영 $+0.009$ , 방해석 $-0.172$ , LiNbO₃ $-0.08$ , 액정 $+0.1$ – $0.25$ .

그림 3.5-11. 단축 결정 속 정상파와 이상파의 속도면(하위헌스 작도의 파면) 단면. 정상파는 어느 방향이든 속도 c/n_o라 원이고, 이상파는 광축 방향으로 c/n_o, 광축에 수직으로 c/n_e라 타원이다. 두 면은 광축 위 두 점에서만 맞닿는다 — 광축을 따라 가는 빛은 복굴절을 느끼지 않는다. 방해석 같은 음의 결정은 이상파가 빠르므로 타원이 원 바깥에, 석영 같은 양의 결정은 안쪽에 놓인다. 광축이 표면에 평행한 판에 수직 입사하면 두 파가 같은 방향으로 가며 속도만 달라 위상차가 쌓이고(9절의 지연자), 광축이 비스듬하면 이상파가 옆으로 새어(walk-off) 상이 둘로 갈라진다.직접 작도

하위헌스 작도로 두 파를 따라갈 수 있다. 결정 안의 각 점에서 o-파는 구면 파면, e-파는 타원면 파면을 내보내고, 그 포락선이 새 파면이다. 광축이 표면에 비스듬한 방해석에 수직으로 빛을 넣으면 o-파는 곧장 가는데 e-파는 타원면의 접점이 옆으로 밀려 비스듬히 간다 — 스넬 법칙이 예측하지 못하는 굴절이고, 방해석 결정을 글씨 위에 올리면 글씨가 둘로 보이는 이유다(1669년 바르톨린의 발견). 이상파의 에너지 흐름(포인팅 벡터, 광선)이 파면 법선과 어긋나는 이 현상을 워크오프 (walk-off)라 한다.

복굴절로 편광자를 만드는 법은 두 파를 갈라놓는 것이다. 니콜 프리즘은 방해석을 비스듬히 잘라 캐나다 발삼( $n = 1.55$ )으로 다시 붙인 것으로, o-파( $n_o = 1.658$ )는 발삼 면에서 전반사되어 옆으로 빠지고 e-파( $n_e \approx 1.49$ )만 통과한다. 글랜–톰슨·글랜–테일러 프리즘은 같은 원리를 더 넓은 각에서 구현한 것이고, 울러스턴 프리즘은 광축을 직교시킨 두 쐐기를 붙여 두 편광을 양쪽으로 벌려 내보낸다 — 타원계측기의 편광 분리 소자(19.2.2)가 이것이다. 소광비 $10^{-6}$ 은 이 방식만이 준다.

이축 결정(운모, 사방·단사·삼사정계)은 굴절률 세 개( $n_\alpha < n_\beta < n_\gamma$ )에 광축이 둘이다. 원리는 같고 기하가 복잡할 뿐이라 여기서는 이름만 둔다.

직관

물리적 직관 — 두 용수철. 결정 안의 전자가 광축 방향으로는 상수 $k_\parallel$ , 수직으로는 $k_\perp$ 의 용수철에 묶여 있다고 하자. 전기장이 광축에 수직이면 전자는 $k_\perp$ 만 느끼고, 그 응답이 $n_o$ 다. 전기장이 광축 방향 성분을 가지면 그 성분은 $k_\parallel$ 을 느끼므로 굴절률이 달라진다 — 그리고 파의 진행 방향이 바뀌면 전기장이 광축과 이루는 각이 바뀌므로 굴절률이 방향에 따라 변한다. 이것이 $n_e(\theta)$ 의 전부다. 방해석에서 $n_e < n_o$ 인 것은 탄산 이온 CO₃²⁻이 평면 삼각형이라 평면 안(광축에 수직)의 분극이 더 크기 때문이다 — 분극이 크면 굴절률이 크다(2.3.8선형 유전체와 감수율·유전율).

파라미터 연계 — 응력이 복굴절을 만든다. 등방성 유리·플라스틱도 눌리면 용수철이 방향에 따라 달라져 복굴절이 생긴다(광탄성, Hecht §8.11). 교차 편광자 사이에 플라스틱 자를 넣고 구부리면 색 줄무늬가 보이는 것이 이것이고, 응력 해석의 실험 도구였다. 리소그래피에서는 이것이 사양이다. 193 nm 투영 렌즈의 용융 실리카는 비정질이라 본래 등방적이지만, 마운팅 응력과 제조 잔류 응력이 1 nm/cm 단위의 복굴절을 남기고, 그것이 파면 오차와 편광 오차가 된다. 더 극적인 예가 157 nm 리소그래피의 실패다 — 렌즈 재료로 남은 유일한 결정 CaF₂가 입방정이라 등방적일 줄 알았는데, 157 nm에서 고유 복굴절이 $\sim 11$ nm/cm(193 nm에서는 3.4 nm/cm)로 측정되었다(2001). 입방정도 파장이 짧아지면 격자의 방향성을 느낀다(공간 분산). 결정 방향을 짝지어 상쇄하는 설계까지 나왔지만 액침 193 nm(18.14.6)가 먼저 도착했고, 157 nm는 사라졌다.

위상 지연자와 원편광자

지연자 — 두 성분에 시차를 준다

복굴절 결정을 광축이 표면에 평행하게 잘라 판을 만들고 수직으로 빛을 넣으면, o-파와 e-파가 같은 방향으로 가면서 속도만 다르다. 두께 $d$ 를 지나면 두 성분 사이에

\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,d\,\lvert n_o - n_e\rvert

의 위상차가 쌓인다 — 위상 지연자(retarder, Hecht §8.7). 굴절률이 작은 축이 빠른 축(fast axis), 큰 축이 느린 축이다. 입사 편광을 두 축 성분으로 나눠 한쪽에 $\Delta\varphi$ 를 더하면 7절의 $\varepsilon$ 이 바뀌고, 그것이 편광 상태를 바꾼다.

전파장판 $\Delta\varphi = 2\pi$ : 아무 일도 없다(설계 파장에서).
반파장판 $\Delta\varphi = \pi$ : 한 성분의 부호가 뒤집힌다. 빠른 축과 각 $\theta$ 인 선편광은 각 $-\theta$ 로 — 빠른 축에 대해 거울상이 되어 편광 방향이 $2\theta$ 돈다. 원편광은 $\mathcal R \leftrightarrow \mathcal L$ 로 손 방향이 바뀐다. 판을 $\theta$ 돌리면 편광이 $2\theta$ 도므로 편광 방향을 연속으로 조절하는 손잡이다.
사분파장판 $\Delta\varphi = \pi/2$ : 빠른 축과 **45°**인 선편광이 들어오면 두 성분의 진폭이 같고 위상차가 $\pm\pi/2$ — 원편광이 되어 나온다. 거꾸로 원편광이 들어오면 선편광이 되어 나온다. 45°가 아니면 타원편광이다.

지연 $\Delta\varphi$ 는 파장에 반비례하므로 사분파장판은 한 파장에서만 사분파장이다. 석영으로 589 nm 사분파장판을 만들면 $d = \lambda_0/4\Delta n = 589/(4 \times 0.0091) = 16$ µm — 다루기 어렵게 얇다. 그래서 $\Delta\varphi = 2\pi m + \pi/2$ 인 두꺼운 다차 판을 쓰거나(온도·파장에 민감), 두 판을 축을 직교시켜 겹쳐 차이만 남긴 0차 판, 석영과 MgF₂처럼 분산이 다른 두 결정을 겹쳐 넓은 파장에서 지연을 맞춘 색지움 판을 쓴다. 두께를 연속으로 바꾸는 쐐기 두 장이 바비네–솔레유 보상기이고, 어떤 $\Delta\varphi$ 든 만들 수 있어 타원계측기의 교정에 쓰인다.

지연은 복굴절 결정만 만드는 것이 아니다. 전반사에서 $s$ 와 $p$ 가 다른 위상을 얻는 것 (3.3.9전반사와 소멸파)을 두 번 겹치면 $\pi/2$ 가 된다 — 프레넬 롬브. 유리 하나로 만들어 파장 의존이 거의 없다. 광탄성으로 지연을 주기적으로 흔드는 광탄성 변조기(PEM)는 타원계측기의 심장이고 (19.2.2), 11절의 액정은 전압으로 조절하는 지연자다.

직관

형태적 직관 — 지연자는 리사주 도형의 위상 손잡이다. 3.2.1단순 조화진동에서 $x = \cos\omega t$ , $y = \cos(\omega t - \varepsilon)$ 의 리사주 도형은 $\varepsilon$ 이 0에서 $\pi/2$ 로 갈 때 직선 → 기운 타원 → 원으로 바뀌었다. 지연자는 그 $\varepsilon$ 을 $\Delta\varphi$ 만큼 미는 손잡이다. 빠른 축과 45°인 선편광이 사분파장판을 지나면 $\varepsilon: 0 \to \pi/2$ , 원이 된다. 그 원편광이 한 번 더 지나면 $\varepsilon: \pi/2 \to \pi$ , 직선이 되는데 처음과 수직이다 — 사분파장판 둘은 반파장판 하나다.

파라미터 연계 — $\Delta n \cdot d$ 가 전부다. 지연은 복굴절과 두께의 곱으로만 들어온다. 석영은 $\Delta n$ 이 작아 두껍고, 액정은 $\Delta n \approx 0.1$ 이라 몇 µm면 반파장이 된다(11절). 온도가 오르면 $\Delta n$ 과 $d$ 가 같이 변하므로 정밀 지연자는 온도를 잡는다. 반도체 계측에서 이것이 거꾸로 쓰인다 — 투명 기판(사파이어, 석영)의 두께와 복굴절을 교차 편광자 사이의 투과 스펙트럼으로 재고, 웨이퍼의 잔류 응력을 적외선 광탄성으로 지도화한다(9.11).

원편광자 — 선편광자 + 사분파장판

선편광자 뒤에 빠른 축이 45°인 사분파장판을 붙이면 어떤 빛이든 원편광으로 나온다 — 원편광자 (Hecht §8.8). 이 소자는 앞뒤가 다르다. 편광자 쪽으로 들어온 빛은 원편광으로 나오지만, 사분파장판 쪽으로 들어온 원편광은 선편광이 된 뒤 편광자를 만나는데, 그 선편광의 방향이 원편광의 손 방향에 따라 투과축과 나란하거나 수직이다. 즉 원편광자는 자기가 만든 손 방향의 원편광은 통과시키고 반대 손 방향은 막는다.

여기에 한 가지 사실을 더한다 — 거울 반사는 원편광의 손 방향을 뒤집는다( $\mathcal R \to \mathcal L$ ). 그러면 원편광자를 지나 거울에 갔다 온 빛은 반대 손 방향이 되어 원편광자에 막힌다. 이것이 OLED 디스플레이의 반사 방지다(16.5). OLED의 금속 음극은 거울이라 외광이 그대로 반사되어 화면이 거울처럼 보이는데, 패널 위에 원편광자 한 장을 붙이면 외광이 들어갈 때 원편광이 되고 음극에서 반사되며 손 방향이 뒤집혀 나올 때 막힌다. 패널 자체의 빛은 사분파장판을 한 번만 지나 선편광이 되어 편광자를 통과한다 — 밝기의 절반을 잃는 대가로 명암비를 얻는다. 같은 원리가 레이더의 비 클러터 제거, 3D 영화 안경(좌우 눈에 $\mathcal R$ 과 $\mathcal L$ ), 광학 아이솔레이터의 절반(나머지 절반은 11절의 패러데이 회전자)이다.

편광 상태를 판별하는 데도 이 조합을 쓴다. 편광자 하나로는 원편광과 자연광을 구별할 수 없다 — 둘 다 편광자를 돌려도 세기가 일정하다. 사분파장판을 앞에 두면 원편광은 선편광이 되어 편광자를 돌릴 때 소광이 생기고, 자연광은 여전히 일정하다. 타원편광과 부분 편광도 같은 방법으로 가른다 (Hecht §8.8 표) — 12절의 스토크스 매개변수를 재는 것이 바로 이 절차의 정량판이다.

반사에 의한 편광과 브루스터 각

프레넬 계수를 편광의 눈으로 다시 본다

3.3.8프레넬 방정식의 프레넬 진폭 계수를 각으로 적으면(Hecht §4.6, §8.6)

r_s = -\frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)}, \qquad r_p = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)}

$s$ 는 입사면에 수직한 편광, $p$ 는 평행한 편광이다. $r_s$ 는 0에서 90°까지 부호를 바꾸지 않고 단조롭게 커지지만, $r_p$ 는 $\tan(\theta_i + \theta_t)$ 가 발산하는 곳 — $\theta_i + \theta_t = 90°$ — 에서 0이 된다. 그때 스넬 법칙 $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t = n_t\cos\theta_i$ 에서

\tan\theta_p = \frac{n_t}{n_i}

— 브루스터 각(1815). 유리( $1.5$ ) 56.3°, 물 53.1°, 실리콘(633 nm, $n = 3.88$ ) 75.5°. 이 각으로 자연광이 들어오면 반사광에 $p$ 성분이 없으므로 반사광은 완전한 $s$ 선편광이다. 굴절광은 $p$ 가 많은 부분 편광이고, 판을 여러 장 겹치면(판 더미, pile of plates) 굴절광도 거의 $p$ 편광이 된다 — 적외선·자외선처럼 좋은 편광판이 없는 파장의 편광자다. 브루스터 각을 지나면 $r_p$ 의 부호가 바뀐다 — Hecht의 부호 규약에서 $p$ 반사파의 위상이 0에서 $\pi$ 로 뛴다는 뜻이고, 이것이 아래 타원계측의 $\Delta$ 가 브루스터 각 근처에서 급변하는 이유다.

그림 3.5-12. 공기에서 굴절률 1.5인 유리로 들어가는 빛의 반사 진폭 계수(왼쪽)와 반사율(오른쪽)을 입사각에 대해 그린 곡선. r_s는 −0.2에서 출발해 부호를 바꾸지 않고 −1로 가지만, r_p는 +0.2에서 출발해 56.3°에서 0을 지나며 부호를 바꾼다. 그 각에서 R_p = 0이라 반사광은 s 편광만 남는다 — 브루스터 각이다. 수직 입사에서는 두 편광이 구별되지 않고 4%로 같으며, 스침 입사에서는 둘 다 1로 간다. 반사광의 편광도는 브루스터 각에서 1이고 양쪽으로 갈수록 떨어진다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 쌍극자는 자기 축 방향으로 빛을 내지 않는다. 반사광은 매질 표면의 전자들이 굴절파의 전기장에 흔들려 재복사한 것이다(2.9.5쌍극자 복사의 쌍극자 복사). $p$ 편광이면 전자는 굴절파의 $\mathbf E_t$ 방향, 즉 굴절 광선에 수직한 방향으로 흔들린다. 브루스터 각에서는 반사 광선과 굴절 광선이 직각이므로, 반사 광선의 방향이 정확히 쌍극자의 축 방향이다 — 그리고 진동하는 쌍극자는 축 방향으로 복사하지 않는다( $\sin^2\theta$ 분포). 그래서 $p$ 반사가 0이다. $s$ 편광은 전자가 입사면에 수직으로 흔들려 어느 반사 방향에도 축이 겨눠지지 않으므로 반사가 0이 되는 각이 없다. 기하학적 조건 $\theta_i + \theta_t = 90°$ 가 복사 패턴의 영점 하나에서 나온다.

그래프 직관. 왼쪽 그림에서 읽을 것은 셋 — $r_p$ 의 영점(브루스터), $r_s$ 와 $r_p$ 의 부호가 브루스터 각 아래에서 반대라는 것(Hecht 규약; 상대 위상 $\pi$ ), 그리고 스침 입사에서 둘 다 $-1$ 로 합쳐진다는 것(어떤 표면도 스치면 거울이다 — X선 거울, EUV 집광 거울의 원리). 오른쪽에서 읽을 것은 $R_s$ 가 언제나 $R_p$ 위에 있다는 것 — 비스듬한 면의 반사광은 어느 각에서든 $s$ 가 우세하다. 편광 선글라스가 수평 투과축으로 수면·도로의 반사광( $s$ = 수평 편광)을 막는 이유이고, 레이저 관의 브루스터 창이 $p$ 만 무손실로 통과시켜 발진 편광을 정하는 이유다.

타원계측 — 반사가 바꾼 편광을 읽는다

브루스터 각 근처에서 $r_p$ 와 $r_s$ 는 크기도 위상도 가장 크게 갈린다. 이 각 근처에서 선편광(45°)을 넣고 반사광의 편광 상태 — 일반적으로 타원 — 를 재면 두 계수의 비가 나온다:

\rho \equiv \frac{r_p}{r_s} = \tan\Psi\;e^{i\Delta}

$\tan\Psi$ 가 진폭비, $\Delta$ 가 두 편광이 반사에서 얻은 위상차다. 이것이 타원계측(ellipsometry)이고, $(\Psi, \Delta)$ 가 그 측정량이다(19.2.2). 맨 기판이면 $\rho$ 에서 복소 굴절률 $n + i\kappa$ 두 값을 한 번에 풀고, 박막이 있으면 $r_p$ , $r_s$ 자리에 4절의 박막 식(다중 반사 포함, 각 편광의 프레넬 계수로)을 넣어 두께와 굴절률을 맞춘다. 세기가 아니라 위상을 재므로 4절 끝에서 말한 대로 얇을수록 유리하다 — 게이트 산화막 1 nm, 자연 산화막 0.5 nm, 단분자층의 두께가 이 방법으로 읽힌다. 실리콘 위 타원계측기가 입사각 65–75°에 있는 것은 그 근처가 실리콘의 브루스터 각(주 각)이기 때문이다. 파장을 훑는 분광 타원계측(19.2.3)은 $n(\lambda)$ 의 분산 모델까지 같이 맞추고, 12절의 뮬러 행렬 타원계측은 편광 상태의 탈편광까지 읽어 거칠기와 이방성을 잡는다.

고개구수 결상 — 두 평면파가 간섭하지 않는 각

2절의 두 평면파 줄무늬로 돌아간다. 각 $\pm\theta$ 로 교차하는 두 빔이 $s$ 편광(TE — 전기장이 입사면에 수직)이면 두 전기장이 평행하므로 1절의 조건 ②가 완전히 만족되고 가시도가 1이다. $p$ 편광(TM)이면 두 전기장이 각각 자기 빔에 수직이라 서로 $2\theta$ 의 각을 이루고, 교차항이 $\cos 2\theta$ 만큼 줄어든다:

\mathcal V_{\text{TE}} = 1, \qquad \mathcal V_{\text{TM}} = \cos 2\theta

$\theta = 45°$ 면 TM 줄무늬가 사라진다. 액침 노광(NA 1.35)에서 레지스트( $n \approx 1.7$ ) 안의 각은 $\sin\theta = 1.35/1.7 = 0.79$ , $\theta \approx 52°$ 라 $\cos 2\theta = -0.16$ — 줄무늬가 거의 없을 뿐 아니라 뒤집힌다. 무편광 조명이면 TE와 TM이 반씩이라 가시도가 $(1 + \cos 2\theta)/2 = \cos^2\theta = 0.38$ 로 떨어진다. 그래서 고개구수 노광기는 조명을 TE(방위각) 편광으로 만들고(18.14.7, 18.16.6), 렌즈와 마스크가 편광을 흐트러뜨리지 않도록 8절의 응력 복굴절을 사양으로 관리한다. 결상은 결국 간섭이고, 간섭은 편광이 같아야 일어난다 — 이 장의 두 부분이 웨이퍼 위에서 만나는 자리다.

광학 활성·액정과 광변조기 (디스플레이 응용은 16부)

광학 활성 — 원편광 두 개의 속도차

석영판(광축 방향으로 자른)이나 설탕 용액에 선편광을 통과시키면 편광면이 돌아서 나온다 — 광학 활성(1811, 아라고). 석영은 589 nm에서 21.7°/mm, 설탕 용액은 농도에 비례한다(당도계의 원리). 프레넬의 설명(1825)이 지금도 그대로다(Hecht §8.10): 선편광을 $\mathcal R$ 과 $\mathcal L$ 의 합으로 쓰면(7절), 활성 매질에서는 두 원편광의 굴절률이 다르다 — 원복굴절 $n_L \ne n_R$ . 두께 $d$ 를 지나면 두 원편광 사이에 위상차가 쌓이고, 다시 더하면 선편광인데 방향이

\beta = \frac{\pi d}{\lambda_0}\,(n_L - n_R)

만큼 돈 채로 나온다. 8절의 복굴절이 $\{x, y\}$ 기저에서 위상차를 쌓아 선편광을 타원으로 바꾼 것이라면, 광학 활성은 $\{\mathcal R, \mathcal L\}$ 기저에서 위상차를 쌓아 선편광을 돌린다. 12절에서 이 둘이 같은 행렬의 다른 고유벡터임을 본다. 물질이 활성인 이유는 분자·결정 구조가 손 방향(chirality)을 갖기 때문이고 — 나선 구조가 왼나선 빛과 오른나선 빛을 다르게 본다 —, 석영은 결정 구조가, 설탕은 분자가 손 방향을 갖는다. 오른쪽으로 도는 우선성(d-)과 왼쪽으로 도는 좌선성(l-)이 있다.

광학 활성은 상반적(reciprocal)이다. 빛을 되돌려 보내면 회전이 풀린다 — 거울에서 돌아온 빛은 원래 편광으로 돌아온다. 이것과 대비되는 것이 패러데이 효과다. 자기장 $B$ 를 진행 방향으로 건 매질에서 편광면이 $\beta = \mathcal V_{\!B}\,B\,d$ ( $\mathcal V_{\!B}$ : 베르데 상수)만큼 도는데, 회전 방향이 자기장에 매여 있어 빛을 되돌려 보내면 회전이 풀리지 않고 두 배가 된다 — 비상반적이다. 45° 패러데이 회전자를 편광자 두 장(45° 어긋난) 사이에 넣으면 앞으로 가는 빛은 통과하고 뒤로 오는 빛은 막힌다 — 광학 아이솔레이터. 레이저 다이오드(17.4)에 되돌아오는 반사광은 발진을 흔들어 잡음을 만들므로, 통신용 레이저 모듈에는 거의 예외 없이 아이솔레이터가 붙는다.

유도 광학 효과 — 전압으로 굴절률을 바꾼다

등방성 매질도 전기장을 걸면 복굴절이 생긴다. 굴절률 변화가 전기장의 제곱에 비례하면 커 효과 (1875), $\Delta n = \lambda_0 K E^2$ ( $K$ : 커 상수). 액체(니트로벤젠)에서 ns 응답의 광 셔터로 쓰였다. 반전 대칭이 없는 결정에서는 전기장의 일차에 비례하는 항이 살아남는다 — 포켈스 효과(1893), $\Delta n \propto r_{ij}E$ ( $r_{ij}$ : 전기광학 계수). KDP, LiNbO₃, LiTaO₃, GaAs가 이것을 갖고, 실리콘·유리는 반전 대칭 때문에 갖지 않는다(1.3.7이차 형식과 주축 변환의 이차 형식으로 보면, 반전 대칭 아래에서 $E$ 의 홀수 차 항은 살아남을 수 없다).

포켈스 셀은 전압으로 조절하는 지연자다. 두 편광 사이의 지연이 $\pi$ 가 되는 전압이 반파장 전압 $V_\pi$ 이고, KDP의 종방향 셀에서 $V_\pi = \lambda_0/2n_o^3 r_{63} \approx 7$ kV — 교차 편광자 사이에 넣으면 전압 하나로 빛을 켜고 끈다(Q-스위치, 광 셔터). LiNbO₃를 횡방향으로 쓰면 $V_\pi \propto d/L$ — 전극 간격 $d$ 를 좁히고 길이 $L$ 을 늘여 수 V까지 내려온다. 그것을 3절의 마흐–첸더 한 팔에 넣은 것이 통신용 마흐–첸더 변조기이고(17.5.10), 40 GHz 넘는 대역폭으로 위상을 세기로 바꾼다. 실리콘은 포켈스 효과가 없으므로 실리콘 포토닉스 변조기는 자유 캐리어로 굴절률을 바꾼다 — 캐리어 농도가 굴절률을 낮추는 플라스마 분산 효과(11.8.8, 17.5.13)이고, 그래서 pn 접합이 도파로 안에 들어앉는다. 음향파로 만드는 주기적 굴절률 격자에 빛을 회절시키는 음향광학 변조기(17.5.11)와 광탄성 변조기까지 포함해, “전압·응력·음향으로 $n$ 을 바꾼다”가 모든 능동 편광·위상 소자의 공통 원리다.

액정 — 전압으로 돌리는 지연자

네마틱 액정은 막대 모양 분자가 위치는 무질서하되 방향은 평균적으로 나란한 액체다(16.4.1). 그 평균 방향이 디렉터 $\hat{\mathbf n}$ 이고, 디렉터가 광축인 단축 결정처럼 행동한다 — $\Delta n \approx 0.1$ – $0.25$ 로 어떤 고체 결정보다 크다. 게다가 분자의 유전 이방성 때문에 전기장이 걸리면 디렉터가 전기장을 따라 돌아눕는다(양의 $\Delta\varepsilon$ 인 경우). 즉 액정은 전압으로 광축의 방향을 바꾸는 복굴절판이다. 디렉터가 빛의 진행 방향에 수직이면 지연이 최대, 평행이면 0 — 전압이 지연 $\Delta\varphi$ 를 연속으로 조절한다(ECB 모드).

비틀린 네마틱(TN) 셀은 이것을 가장 영리하게 쓴 구조다(Hecht §8.12). 두 유리 기판의 배향막을 서로 90° 어긋나게 문질러 놓으면 액정의 디렉터가 위에서 아래로 90° 비틀린 나선을 이룬다. 위 편광판을 지난 선편광은 층마다 조금씩 돌아가는 광축을 따라간다 — 비틀림이 파장에 비해 충분히 느리면(모갱 조건, $\Delta n \cdot d \gg \lambda$ ) 편광이 디렉터에 “끌려” 아래에서 90° 돌아 나오고, 교차 검광판을 통과한다(밝음). 전압을 걸면 디렉터가 전기장을 따라 일어서서 비틀림이 사라지고, 편광이 돌지 않아 검광판에 막힌다(어두움) — 상시 백색 모드다. 정확한 투과율(구치–태리)은

T = 1 - \frac{\sin^2\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{1 + u^2}\right)}{1 + u^2}, \qquad u = \frac{2\,\Delta n\,d}{\lambda_0}

이고 $u = \sqrt3$ 에서 첫 번째로 1이 된다 — $\Delta n\,d = \sqrt3\lambda_0/2 \approx 0.48$ µm(550 nm). $\Delta n = 0.1$ 이면 셀 간격 $d \approx 5$ µm — 실제 TN 셀의 두께가 이렇게 정해진다.

그림 3.5-13. 비틀린 네마틱 액정 셀의 단면. 전압이 없을 때(왼쪽) 막대 모양 분자의 디렉터가 위에서 아래로 90° 돌아가며 놓이고, 위 편광판을 지난 빛의 편광이 그 비틀림을 따라 돌아 교차 검광판을 통과해 밝다 — 도파 조건 Δn·d ≫ λ가 성립할 때다. 문턱 전압 위에서는(오른쪽) 분자가 전기장을 따라 일어서서 비틀림이 사라지고, 편광이 돌지 않아 검광판에 막혀 어둡다. 액정은 전압으로 광축의 방향을 바꾸는 복굴절판이고, TN 셀은 그것으로 편광을 90° 돌리거나 말거나를 고르는 스위치다. 중간 전압에서는 분자가 반쯤 일어서 회색이 나온다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 단열 따라가기. 편광이 비틀린 광축을 “따라가는” 것은 두 성분의 위상차가 한 층을 지날 때마다 충분히 커서(빠른 파와 느린 파가 확실히 구별되어), 광축이 조금 돌아도 각 성분이 자기 축에 그대로 붙어 있기 때문이다. 축이 파장당 조금씩만 돌면 빠른 축의 파는 계속 빠른 축에 남는다 — 5부의 단열 정리와 같은 구조이고, 모갱 조건이 “충분히 천천히”의 정량이다. 비틀림이 급하면(얇은 셀, 작은 $\Delta n$ ) 편광이 축을 놓쳐 일부가 새고, 구치–태리 곡선이 그 새는 양이다.

파라미터 연계 — 액정 셀의 삼각형. $\Delta n \cdot d$ 는 지연(색과 명암)을, $d^2$ 은 응답 시간을 ( $\tau \propto \gamma_1 d^2/K$ , 16.4.2 — 회복은 전기장이 아니라 탄성이 하므로 느리다), $d$ 는 전압 (문턱 $V_{\text{th}} = \pi\sqrt{K/\varepsilon_0\Delta\varepsilon}$ 은 $d$ 와 무관하지만 구동 전압은 $E \cdot d$ )을 정한다. $\Delta n$ 이 큰 액정으로 $d$ 를 줄이면 빠르고 얇지만 파장 의존이 커진다. TN의 시야각 문제(비스듬히 보면 지연이 달라진다)를 푼 것이 IPS·VA이고(16.4.6–7), 그 셋은 전부 “어느 방향으로 디렉터를 눕히느냐”의 차이다. 액정은 디스플레이 밖에서도 쓰인다 — 타원계측·편광 현미경의 가변 지연자, 위상만 바꾸는 공간 광변조기(LCoS, 16.8.3), 홀로그래피와 파면 보정, 마스크 없는 노광의 시도까지.

편광의 수학적 기술(존스 행렬)

이 장의 편광 부분을 한 벌의 선형대수로 압축한다(Hecht §8.13). 편광 상태는 2차원 복소 벡터, 편광 소자는 2×2 복소 행렬, 소자를 지나는 것은 행렬 곱이다 — 1.2.6선형 변환의 선형 변환 그대로다.

존스 벡터

7절의 파를 복소 표현으로 쓰면 $\mathbf E = \operatorname{Re}\{\tilde{\mathbf E}\,e^{i(kz - \omega t)}\}$ 이고, 진폭 벡터

\tilde{\mathbf E} = \begin{bmatrix} E_{0x}\,e^{i\varphi_x} \\ E_{0y}\,e^{i\varphi_y} \end{bmatrix}

가 존스 벡터다. 상대 위상 $\varepsilon = \varphi_y - \varphi_x$ 만 뜻이 있으므로 공통 위상을 떼고 크기를 1로 정규화해 쓴다. 기본 상태들:

상태	존스 벡터	비고
수평 선편광 $\mathcal P_x$	$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
수직 선편광 $\mathcal P_y$	$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\pm 45°$ 선편광	$\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ \pm1 \end{bmatrix}$
우원편광 $\mathcal R$	$\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$	$\varepsilon = -\pi/2$ (Hecht)
좌원편광 $\mathcal L$	$\dfrac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$	$\varepsilon = +\pi/2$

직교는 복소 내적으로 판정한다 — $\tilde{\mathbf E}_1^{\dagger}\tilde{\mathbf E}_2 = 0$ (1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환의 에르미트 내적). $\mathcal R^\dagger\mathcal L = \tfrac12(1 + i \cdot i) = 0$ — 두 원편광은 직교하고, $\mathcal R + \mathcal L = \sqrt2\,[1, 0]^{\mathsf T}$ — 합이 수평 선편광이다(7절의 그림, 11절 광학 활성의 출발점). $\{\mathcal P_x, \mathcal P_y\}$ 도 $\{\mathcal R, \mathcal L\}$ 도 정규 직교 기저이고, 어느 편광이든 둘 중 아무 기저로 유일하게 전개된다.

존스 행렬

소자를 지나면 $\tilde{\mathbf E}_{\text{out}} = \mathcal A\,\tilde{\mathbf E}_{\text{in}}$ . 기본 소자들(Hecht 표 8.6):

소자	$\mathcal A$
수평 선편광자	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
수직 선편광자	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\pm45°$ 선편광자	$\dfrac12\begin{bmatrix} 1 & \pm1 \\ \pm1 & 1 \end{bmatrix}$
사분파장판, 빠른 축 수직	$e^{i\pi/4}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$
사분파장판, 빠른 축 수평	$e^{i\pi/4}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$
반파장판, 빠른 축 수직	$e^{i\pi/2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$
일반 지연자 $\Delta\varphi$ , 빠른 축 수평	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Delta\varphi} \end{bmatrix}$ (공통 위상 제외)
우원편광자	$\dfrac12\begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}$
편광 회전자(각 $\beta$ )	$\begin{bmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{bmatrix}$

소자를 여러 개 지나면 행렬을 오른쪽부터 곱한다 — 빛이 먼저 만나는 소자가 오른쪽이다: $\tilde{\mathbf E}_{\text{out}} = \mathcal A_N\cdots\mathcal A_2\mathcal A_1\tilde{\mathbf E}_{\text{in}}$ . 순서를 바꾸면 결과가 바뀐다(교차 편광자 사이의 45° 편광자가 그 예다). 소자가 $x$ 축에서 각 $\theta$ 돌아 있으면 좌표를 돌려 계산하고 되돌린다:

\mathcal A(\theta) = \mathcal R(-\theta)\,\mathcal A(0)\,\mathcal R(\theta), \qquad \mathcal R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

— 1.3.5닮음 변환과 대각화의 닮음 변환이다. 각 $\theta$ 의 선편광자는 이렇게 구한 $\begin{bmatrix} \cos^2\theta & \sin\theta\cos\theta \\ \sin\theta\cos\theta & \sin^2\theta \end{bmatrix}$ 이고, 이것을 수평 선편광에 곱해 크기를 제곱하면 $\cos^2\theta$ — 말뤼스 법칙이 행렬 한 줄로 나온다.

보기 — 45° 선편광 + 사분파장판(빠른 축 수직) = 우원편광.

e^{i\pi/4}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = e^{i\pi/4}\,\frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \;\to\; \mathcal R

9절의 원편광자가 이 곱 — 편광자 다음에 지연자 — 이고, 표의 “우원편광자” 행렬이 그 곱의 결과다. 보기 — 거울 반사는 손 방향을 뒤집는다. 수직 반사는 $z$ 를 뒤집으므로 관찰자 기준으로 $y$ 를 뒤집는 것과 같다: $\operatorname{diag}(1, -1)$ . $\mathcal R = \tfrac{1}{\sqrt2}[1, -i]^{\mathsf T}$ 에 곱하면 $\tfrac{1}{\sqrt2}[1, i]^{\mathsf T} = \mathcal L$ — 9절의 OLED 원편광자 논리가 한 줄이다.

직관

수식적 직관 — 고유벡터가 그 소자의 “자기 편광”이다. 지연자 행렬 $\operatorname{diag}(1, e^{i\Delta\varphi})$ 의 고유벡터는 $[1, 0]$ 과 $[0, 1]$ — 두 축의 선편광이고, 고유값 $1$ , $e^{i\Delta\varphi}$ 는 각각이 얻는 위상이다. 축 방향 선편광은 지연자를 지나도 상태가 안 바뀌고 위상만 얻는다. 회전자 행렬의 고유벡터는 $\tfrac{1}{\sqrt2}[1, \mp i]$ — 원편광이고, 고유값은 $e^{\pm i\beta}$ 다. 원편광은 회전자를 지나도 상태가 안 바뀌고 위상만 얻는다 — 그것이 11절 프레넬의 설명(“두 원편광이 다른 속도로 간다”)의 행렬판이다. 선복굴절과 원복굴절은 같은 종류의 행렬(유니터리, 고유값이 위상)이고 고유기저만 다르다. 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 고유값 문제가 이렇게 쓰인다: 어떤 소자든 그 고유편광을 찾으면, 소자는 그 기저에서 대각이고 “각 성분에 위상을 준다”로 환원된다. 편광자는 다르다 — 고유값이 1과 0이라 사영 연산자(1.2.5벡터공간과 내적공간)이고, 유니터리가 아니며(에너지를 버린다), 행렬식이 0이다.

스토크스 매개변수, 뮬러 행렬, 푸앵카레 구

존스 벡터는 완전 편광만 적는다. 자연광과 부분 편광은 위상이 정해져 있지 않아 벡터 하나로 표현되지 않는다. 그것까지 다루려면 세기로 정의된 네 실수 — 스토크스 매개변수(1852) — 가 필요하다 (Hecht §8.13.1):

S_0 = I_x + I_y, \quad S_1 = I_x - I_y, \quad S_2 = I_{45°} - I_{-45°}, \quad S_3 = I_{\mathcal R} - I_{\mathcal L}

$S_0$ 가 전체 세기, $S_1$ 이 수평·수직 선편광의 우세, $S_2$ 가 $\pm45°$ 의 우세, $S_3$ 가 우원·좌원의 우세다. 전부 편광자·사분파장판·검출기로 잴 수 있는 양이고(9절 끝의 판별 절차가 이것이다), 편광도는

V = \frac{\sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}}{S_0}

완전 편광이면 $S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S_0^2$ — $(S_1, S_2, S_3)$ 가 반지름 $S_0$ 인 구면 위의 한 점이다. 이 구가 푸앵카레 구다. 적도가 선편광(경도가 방향의 두 배), 두 극이 $\mathcal R$ 과 $\mathcal L$ , 나머지가 타원편광이고, 부분 편광은 구 안쪽, 자연광은 중심이다. 지연자는 이 구를 회전시킨다 — 빠른 축에 해당하는 적도 위의 점을 축으로 $\Delta\varphi$ 만큼 —, 회전자는 극축을 중심으로 돌린다. 편광 소자의 작용이 구 위의 회전으로 보이므로 설계에서 종이 위에 그릴 수 있는 도구다.

스토크스 벡터에 작용하는 4×4 실행렬이 뮬러 행렬 $\mathcal M$ 이다. 수평 편광자는 $\tfrac12\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , 나머지도 존스 행렬에서 기계적으로 만들어진다. 뮬러 행렬이 존스 행렬과 다른 점은 탈편광을 담을 수 있다는 것 — 거친 면 산란, 다중 산란, 결맞지 않는 여러 반사의 합은 완전 편광을 부분 편광으로 만들고, 그것은 유니터리 2×2로는 적히지 않는다.

타원계측을 행렬로

10절의 타원계측을 이 언어로 적으면 시료의 존스 행렬이 (입사면 기준 $p$ - $s$ 좌표에서) $\operatorname{diag}(r_p, r_s)$ 이고, 편광자( $P$ )–시료–검광자( $A$ )의 곱을 한 뒤 크기를 제곱하면 검광자 각에 대한 세기가

I(A) = I_0\left[1 + \alpha\cos 2A + \beta\sin 2A\right], \qquad \alpha = \frac{\tan^2\Psi - \tan^2 P}{\tan^2\Psi + \tan^2 P}, \quad \beta = \frac{2\tan\Psi\cos\Delta\tan P}{\tan^2\Psi + \tan^2 P}

— 회전 검광자 타원계측기의 신호다. 검광자를 돌리며 $I(A)$ 의 푸리에 성분 $\alpha$ , $\beta$ 를 뽑으면 $(\Psi, \Delta)$ 가 나오고, 거기서 4·10절을 거꾸로 풀어 두께와 굴절률이 나온다(19.2.2–3). 시료가 이방성이거나(격자 패턴, 변형 실리콘) 탈편광하면(거칠기, 두께 불균일) $\operatorname{diag}(r_p, r_s)$ 가 아니라 뮬러 행렬 16개 원소가 필요하고, 그것을 재는 뮬러 행렬 타원계측·스캐터로메트리가 패턴의 선폭·측벽각·깊이를 비파괴로 읽는다(19.3.5의 OCD). 이 장의 12절 전체가 그 장비의 데이터 모델이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 둔다.

박막 계측. 산화막 색과 분광 반사계(4절 · 19.2.1), 타원계측 $(\Psi, \Delta)$ 와 분광 타원계측(10·12절 · 19.2.2–3, 9.6.5), 뮬러 행렬 스캐터로메트리(12절 · 19.3.5), 백색광 간섭 프로파일로미터(1·3절 · 19.3.3), FTIR(3절 · 19.8.3), 웨이퍼·마스크 평탄도의 피조 간섭계(3·4절).
리소그래피. 두 빔 줄무늬와 $k_1 = 0.25$ (2절 · 18.14.4), 부분 결맞음 조명 $\sigma$ (1절 · 18.14.7), 레지스트 정재파·스윙 곡선과 BARC(4절 · 18.15.9), 액침과 TE 편광 조명(2·10절 · 18.14.6–7, 18.16.6), EUV Mo/Si 다층막 거울(6절 · 18.16.4), 렌즈의 응력·고유 복굴절(8절), 스테이지 간섭계·인코더(3절 · 18.14.9, 19.7.5), 와이어 그리드의 나노임프린트(8절 · 18.16.9).
광소자. 패브리–페로 공진기와 종모드(5절 · 17.4.5), DBR과 VCSEL(6절 · 17.4.7), DFB 격자(6절 · 17.5.7), 마흐–첸더 변조기와 포켈스 효과(3·11절 · 17.5.10), 링 공진기(5절 · 17.5.6), 플라스마 분산 변조기 (11절 · 17.5.13), 음향광학(11절 · 17.5.11), 아이솔레이터(9·11절), 태양전지 반사 방지막(6절 · 17.7.5).
디스플레이. 편광판과 소광비(7·8절 · 16.4.4, 16.1.3), 액정의 복굴절·TN·IPS·VA(8·11절 · 16.4.1–7), OLED의 원편광자(9절 · 16.5), LCoS(11절 · 16.8.3), 간섭형 반사 디스플레이(4절 · 16.7.4).
물리·재료. 유전 텐서와 이방성(8절 · 2.3.8), 반사율과 복소 유전 함수(4·10절 · 7.11.1), 반도체의 굴절률과 자유 캐리어(11절 · 11.8.8), 응력과 광탄성(8절 · 9.11), 공명 터널링과 등비급수(5절 · 10.4.2), 스핀과 2차원 복소 벡터 공간(7·12절 · 5부).
다음 장. 슬릿의 폭이 만드는 회절 포락선, 원형 개구와 에어리 원판, 격자, 결맞음의 정식화 (판 시터르트–체르니케, 상호 결맞음 함수)가 전부 3.6이다. 이 장의 두 빔 간섭은 3.6에서 무한히 많은 점원의 간섭 — 회절 — 으로 일반화된다.

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 간섭은 진폭을 더한 뒤 제곱하는 것이고, 그래서 교차항이 남는다. 줄무늬는 그 교차항이며, 그것이 보이려면 위상이 안정해야 하고(결맞음), 편광이 같아야 한다. 편광은 그 진폭이 2차원 복소 벡터라는 사실이고, 편광 소자는 그 위의 2×2 행렬이다. 지연자와 회전자는 고유편광에 위상만 주는 유니터리 행렬, 편광자는 사영이다. 웨이퍼 위의 산화막 색에서 EUV 거울까지, 액정 화소에서 타원계측기까지 — 이 두 문장 밖의 것은 없다.