양자역학의 태동

1부에서 4부까지는 고전물리의 언어였다. 미분방정식과 특수함수, 맥스웰 방정식, 파동과 광학, 열역학과 화학결합 — 전부 연속량을 다룬다. 에너지는 얼마든지 잘게 나눌 수 있고, 파동은 파동이고 입자는 입자이며, 측정은 계를 건드리지 않고 값을 읽어 낸다. 이 장은 그 세 가지 상식이 무너진 실험들을 모아 놓은 자리다. 1900년부터 1927년까지, 고전물리가 설명하지 못한 다섯 가지 — 뜨거운 물체의 빛, 금속에서 튀어나오는 전자, X선이 전자에 부딪힐 때의 파장, 수소 원자의 선 스펙트럼, 결정에 부딪힌 전자의 회절 — 과 그것을 설명한 가설들, 그리고 은 원자 빔이 자석 사이에서 두 갈래로 갈라진 실험이다.

이 장은 역사 수업이 아니다. 실험 하나하나가 고전물리가 어디까지 맞는가의 경계선을 하나씩 긋고, 그 경계에는 언제나 같은 상수 $h$가 서 있다는 것을 보는 장이다. 그 상수가 얼마나 작은가가 곧 “왜 일상에서는 양자 효과가 안 보이는가”의 답이고, 그 상수를 반도체의 치수·온도·에너지와 견주는 일이 11부 이후의 절반이다. 5.2부터는 이 장의 가설들을 하나의 방정식으로 묶는다.

이 장에서 얻는 것은 네 개의 관계식이다.

• $E = h\nu$ — 빛의 에너지는 진동수에 비례하는 덩어리로 주고받는다 (1·2절).
• $p = h/\lambda$ — 그 덩어리는 운동량도 가진다 (3절).
• $\lambda = h/p$ — 거꾸로, 운동량을 가진 입자는 파장을 가진다 (5절).
• $L = n\hbar$, $S_z = \pm\hbar/2$ — 각운동량은 $\hbar$ 단위로 끊어져 있다 (4·6절).

앞의 셋은 같은 식을 세 방향에서 읽은 것이고, 넷째는 그 파동이 닫힌 궤도에 갇힐 때 나오는 결과다. 7절은 이 넷이 서로 모순이 아니라는 것 — 파동과 입자가 한 대상의 두 얼굴이라는 것 — 을 확률의 언어로 정리한다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

• 일함수와 장벽 — 광전효과의 $\Phi$가 쇼트키 장벽 $\phi_B = \Phi_m - \chi_s$(12부), MOS의 평탄대 전압 $\Phi_{ms}$(13부), 광전자 분광(UPS·XPS)이 밴드 정렬을 재는 원리(19부)로 이어진다. 광검출기의 차단 파장 $\lambda_c = 1240\,\mathrm{nm\cdot eV}/E_g$는 문턱 진동수 식의 $\Phi$를 $E_g$로 바꾼 것이다 (2절).
• 열복사와 보스 인자 — 플랑크 분포의 $1/(e^{h\nu/k_BT}-1)$이 6.2의 열복사, 6.3의 보스–아인슈타인 통계, LED 발광 스펙트럼의 $k_BT$ 꼬리, 급속 열처리(RTP)의 고온계로 다시 나온다 (1절).
• 광자의 운동량 — $\hbar k$가 브릴루앙 영역에 비해 얼마나 작은가가 직접·간접 밴드갭의 차이, 곧 실리콘이 왜 빛을 잘 못 내는가를 정한다 (3절).
• 수소형 준위 — 보어의 $13.6\,\mathrm{eV}$와 $a_0 = 0.053\,\mathrm{nm}$에 유효질량과 유전율을 넣으면 도너·억셉터 준위와 엑시톤 결합 에너지가 나온다(11부). 유효 보어 반지름이 격자상수보다 훨씬 크다는 사실이 유효질량 이론의 근거다 (4절).
• 전자의 파장 — 투과전자현미경·전자빔 리소그래피(18·19부)의 전자 파장, 표면 분석의 LEED·RHEED(9부), 채널 폭이 페르미 파장에 닿을 때의 양자 구속(10·14부)이 전부 $\lambda = h/p$다 (5절).
• 스핀 — 파울리 배타원리(5.6)가 밴드를 채우는 규칙이고, 제만 분리 $g\mu_B B$가 ESR·자기저항 메모리(15부)·스핀 큐비트의 읽기 원리다 (6절).
• 확률 진폭과 간섭 — 터널링(5.3, 14부), 확률 흐름(5.2), 메조스코픽 소자의 결맞음 수송이 7절의 $|\psi_1+\psi_2|^2$에서 시작한다.

표기는 Atkins·Oxtoby를 따라 진동수를 $\nu$로 쓴다. Halliday는 $f$를 쓰므로 $E = hf$로 읽으면 된다. 보어 모형은 Halliday에서는 다음 장(Ch.39)에 있고, 슈테른–게를라흐 실험은 Sakurai §1.1이 기준이다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 짧은 절 일곱 개가 서로 다른 실험을 다루므로, 같은 글자가 절마다 다른 뜻으로 쓰이는 자리가 있다. 시작 전에 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$h$, $\hbar$	에이치, 에이치바	플랑크 상수 $6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$ · $\hbar = h/2\pi$	J·s
$\nu$	뉴	진동수. Halliday의 $f$. 속도 $v$(브이)와 글자가 닮았으니 주의	Hz
$\omega$	오메가	각진동수 $2\pi\nu$	rad/s
$\lambda$	람다	파장	m
$k$	케이	파수 $2\pi/\lambda$ (5·7절에서만). 볼츠만 상수는 언제나 $k_B$로 첨자를 붙인다	m⁻¹
$k_B$		볼츠만 상수 $8.617\times10^{-5}\,\mathrm{eV/K}$. $k_BT(300\,\mathrm K) = 25.9\,\mathrm{meV}$	eV/K
$E$		에너지. 이 장에서 전기장은 나오지 않는다	eV
$p$		운동량. 광자는 $p = h/\lambda$	kg·m/s
$e$		기본 전하 $1.602\times10^{-19}\,\mathrm C$ (양수). 지수함수의 밑 $e$는 지수 자리에만 나온다	C
$m_e$		전자 질량 $9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $m_ec^2 = 511\,\mathrm{keV}$	kg
$\Phi$	파이(대문자)	일함수 (2절). 소문자 $\phi$는 3절의 전자 반동각, 12부의 장벽 높이	eV
$\theta$	세타	3절 광자 산란각 · 6절 자기 모멘트가 $z$축과 이루는 각	rad
$T$		절대온도	K
$n$		양자수(양의 정수). 캐리어 농도가 아니다	—
$Z$		원자번호	—
$R_\infty$, $R_H$	뤼드베리	뤼드베리 상수 — 핵이 무한히 무거울 때 · 수소 (4절)	m⁻¹
$a_0$		보어 반지름 $0.0529\,\mathrm{nm}$	m
$\alpha$	알파	미세구조상수 $e^2/4\pi\varepsilon_0\hbar c \approx 1/137$	—
$\mu$	뮤	4절: 환산질량 · 6절: 자기 모멘트. 절이 바뀔 때 다시 밝힌다	kg · J/T
$\mu_B$		보어 마그네톤 $e\hbar/2m_e = 5.788\times10^{-5}\,\mathrm{eV/T}$	J/T
$\lambda_C$		콤프턴 파장 $h/m_ec = 2.426\,\mathrm{pm}$	m
$S$, $S_z$		스핀 각운동량과 그 $z$ 성분	J·s

수치 하나만 외운다면 $hc = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}$다. 파장 $\lambda\,[\mathrm{nm}]$의 광자 에너지가 $1240/\lambda\,[\mathrm{eV}]$ — 가시광 $400\text{–}700\,\mathrm{nm}$는 $3.1\text{–}1.8\,\mathrm{eV}$, 실리콘 밴드갭 $1.12\,\mathrm{eV}$는 $1107\,\mathrm{nm}$다. 이 장의 계산 대부분이 이 한 줄과 $k_BT = 25.9\,\mathrm{meV}$의 비로 끝난다.

흑체복사와 플랑크 가설

흑체 — 온도만이 정하는 빛

뜨거운 물체는 빛을 낸다. 쇠를 달구면 붉게, 더 달구면 노랗게, 백열전구의 필라멘트는 희게 빛난다. 이 빛의 스펙트럼 — 파장별 세기 — 은 물체의 재질에 따라 조금씩 다르지만, 한 가지 이상적 경우에는 재질과 무관하게 온도만의 함수가 된다. 들어오는 빛을 전부 흡수하는 물체, 곧 흑체(black body)다. 실험실에서는 벽이 온도 $T$로 유지된 빈 상자에 작은 구멍을 뚫어 만든다. 구멍으로 들어간 빛은 벽에 여러 번 부딪히며 다 흡수되므로 구멍은 완벽한 흡수체이고, 구멍에서 새어 나오는 빛은 상자 안에서 벽과 열평형을 이룬 복사다. 키르히호프(1859)가 열역학만으로 보인 것이 이것이다 — 평형 복사의 스펙트럼은 벽의 재질과 무관한 보편 함수 $u(\nu, T)$여야 한다. 그렇지 않으면 두 상자를 이어 놓았을 때 같은 온도에서 열이 한쪽으로 흐르는 제2법칙 위반이 생긴다.

$u(\nu,T)\,d\nu$는 상자 안 단위 부피에서 진동수 $\nu$와 $\nu + d\nu$ 사이에 든 복사 에너지다 (분광 에너지 밀도, $\mathrm{J\,m^{-3}\,Hz^{-1}}$). 구멍에서 단위 넓이·단위 시간에 나오는 에너지 (분광 복사 발산도)는 $\tfrac{c}{4}u$이고, Halliday가 그리는 $S(\lambda)$가 이것이다. 넷 중 어느 것으로 쓰든 모양은 같고 앞의 상수만 다르므로, 이 절은 $u$로 쓴다.

19세기 말까지 실험으로 알려진 것은 두 법칙이었다.

$$P/A = \sigma T^4,\qquad \sigma = 5.670\times10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$$

가 슈테판–볼츠만 법칙(1879, 1884) — 전체 방출 전력은 온도의 네제곱이다. 그리고

$$\lambda_{\max}T = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$

가 빈의 변위 법칙(1893) — 스펙트럼의 봉우리 파장은 온도에 반비례한다. 태양 표면 $5800\,\mathrm K$는 $500\,\mathrm{nm}$(녹색, 눈이 가장 민감한 곳), 백열전구 $2800\,\mathrm K$는 $1.0\,\mathrm{\mu m}$(대부분 적외선 — 그래서 효율이 5 %다), 사람 몸 $310\,\mathrm K$는 $9.3\,\mathrm{\mu m}$, 급속 열처리 장비의 실리콘 웨이퍼 $1300\,\mathrm K$는 $2.2\,\mathrm{\mu m}$다. 둘 다 열역학으로 유도되는 법칙이라 $u(\nu,T)$의 모양은 주지 않는다 — 빈은 $u = \nu^3 F(\nu/T)$ 꼴이어야 한다는 것까지만 열역학으로 보였다.

그림 5.1-1. 흑체 스펙트럼 세 온도. 온도가 오르면 봉우리가 높아지면서 짧은 파장 쪽으로 옮겨 가고(빈의 변위 법칙 — 세 봉우리를 잇는 점선), 곡선 아래 넓이는 T⁴으로 커진다(슈테판–볼츠만). 레일리–진스의 고전 곡선(점선)은 긴 파장에서는 플랑크 곡선에 붙지만 짧은 파장에서 λ⁻⁴으로 발산한다 — 자외선 파국. 5000 K에서 봉우리가 가시광 안에 든다.직접 작도

고전의 답 — 레일리–진스와 자외선 파국

고전물리로 $u(\nu,T)$를 계산하는 길은 두 단계다. ① 상자 안에 진동수 $\nu$ 근방의 전자기파 모드가 몇 개 있는가, ② 각 모드가 온도 $T$에서 평균 얼마의 에너지를 갖는가. 곱하면 $u$다.

①은 순전히 기하다. 한 변 $L$인 정육면체 상자의 벽에서 전기장이 0이어야 하므로 허용되는 정상파는 $k_x = n_x\pi/L$, $k_y = n_y\pi/L$, $k_z = n_z\pi/L$ ($n_i$는 양의 정수)이고, 진동수는 $\nu = ck/2\pi = \tfrac{c}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}$다. 진동수가 $\nu$보다 작은 모드의 수는 $(n_x,n_y,n_z)$ 공간에서 반지름 $2L\nu/c$인 구의 1/8(양의 사분면)에 든 격자점의 수에 편광 2를 곱한 것이다:

$$N(\nu) = 2\cdot\frac18\cdot\frac{4\pi}{3}\left(\frac{2L\nu}{c}\right)^3 = \frac{8\pi L^3\nu^3}{3c^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{L^3}\frac{dN}{d\nu} = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}$$

이것이 단위 부피·단위 진동수당 모드 밀도다. $\nu^2$으로 자란다 — 진동수가 높을수록 상자에 들어갈 수 있는 정상파의 가짓수가 많다. 이 계산은 뒤에서 세 번 더 나온다: 6.2의 포논 상태 밀도 (디바이), 6.4의 자유전자 상태 밀도($\nu \to E$, $\nu^2 \to \sqrt E$), 11부의 유효 상태 밀도 $N_c$. 전부 같은 구 세기다.

②가 고전물리의 답이다. 열평형에서 조화진동자 하나의 평균 에너지는 등분배 정리로 $\langle E\rangle = k_BT$다(운동 에너지 $\tfrac12k_BT$ + 퍼텐셜 에너지 $\tfrac12k_BT$; 3.7과 6.2). 전자기파의 모드 하나는 조화진동자 하나이므로 — 전기장 에너지가 퍼텐셜, 자기장 에너지가 운동에 대응한다 — 곱하면

$$u_{\mathrm{RJ}}(\nu, T) = \frac{8\pi\nu^2}{c^3}\,k_BT$$

가 레일리–진스 법칙(1900, 1905)이다. 긴 파장(낮은 진동수)에서는 실험과 정확히 맞는다. 그러나 $\nu^2$으로 끝없이 자라므로 전체 에너지 $\int_0^\infty u\,d\nu$가 무한대다. 상자 안의 빛이 무한한 에너지를 담아야 하고, 뜨거운 물체는 모두 자외선·X선을 쏟아내야 한다. 에렌페스트가 이것을 자외선 파국(ultraviolet catastrophe)이라 불렀다. 계산에 잘못은 없다. 틀린 것은 전제 — 등분배, 곧 “진동자는 어떤 에너지든 가질 수 있다”이다.

빈(1896)은 반대쪽에서 접근했다. 맥스웰 분포를 흉내 내 $u \propto \nu^3e^{-a\nu/T}$를 제안했는데, 높은 진동수에서는 잘 맞고 낮은 진동수에서 실험보다 낮게 나왔다. 1900년 10월, 루벤스와 쿠를바움이 원적외선($\lambda = 24\text{–}52\,\mathrm{\mu m}$)에서 빈의 식이 확실히 틀렸음을 보였고, 플랑크는 그 결과를 들은 당일 두 극한을 잇는 보간식을 만들었다.

플랑크의 가설 — 에너지는 hν의 정수배

플랑크의 식을 얻는 가장 짧은 길은 그가 두 달 뒤(1900년 12월 14일)에 내놓은 물리적 유도다. 벽의 진동자(그는 벽에 있는 하전 진동자를 생각했고, 빛 자체가 아니었다 — 아래 의문 블록)가 가질 수 있는 에너지가 연속이 아니라

$$E_n = n\,h\nu,\qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

로 끊어져 있다고 하자. $h$는 새 상수다. 온도 $T$의 열평형에서 진동자가 에너지 $E_n$을 가질 확률은 볼츠만 인자 $e^{-E_n/k_BT}$에 비례하므로(6.2), 평균 에너지는

$$\langle E\rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} n h\nu\,e^{-nh\nu/k_BT}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nh\nu/k_BT}}$$

이다. $x = h\nu/k_BT$, $q = e^{-x}$로 놓으면 분모는 기하급수 $\sum q^n = 1/(1-q)$이고 (1.5.1무한급수와 수렴 판정), 분자는 그것을 $x$로 미분한 것이다:

$$\begin{aligned} \langle E\rangle &= -h\nu\,\frac{d}{dx}\ln\!\left(\sum_{n} e^{-nx}\right) = -h\nu\,\frac{d}{dx}\ln\frac{1}{1-e^{-x}} \\[4pt] &= h\nu\,\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1} \end{aligned}$$

이것이 등분배 $k_BT$를 대신할 값이다. 모드 밀도에 곱하면 플랑크의 복사 법칙(1900)이 나온다:

$$u(\nu,T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1}$$

파장으로 바꾸려면 $u(\lambda)\,d\lambda = u(\nu)\,d\nu$에 $\nu = c/\lambda$, $|d\nu| = c\,d\lambda/\lambda^2$를 넣는다:

$$u(\lambda,T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}\,\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}$$

Atkins(7A.1)가 쓰는 $\rho(\lambda,T)$가 이 식이고, Halliday(38-4)의 $S(\lambda)$는 여기에 $c/4$를 곱한 것이다. 1900년 실험값에 맞춰 플랑크가 얻은 $h = 6.55\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$는 현재 값 $6.626\times10^{-34}$과 1 % 차이다. 같은 맞춤에서 $k_B$도 처음으로 정확히 나왔고, 거기서 아보가드로 수와 기본 전하까지 따라 나왔다 — 플랑크 자신은 이 부산물을 더 자랑스러워했다.

그림 5.1-2. 진동자 하나의 평균 에너지를 열에너지 k_BT로 나눈 값. 가로축은 hν/k_BT. 고전 등분배는 진동수와 무관하게 1이지만, 에너지가 hν 계단으로 끊어져 있으면 hν ≪ k_BT일 때만 1에 가깝고 hν ≳ k_BT부터 급히 떨어져 hν = 5k_BT에서 3 %가 된다. 두 선 사이의 옅은 영역이 '얼어붙은' 몫이다. 이 한 곡선이 자외선 파국을 없애고, 같은 곡선이 아인슈타인 고체의 저온 열용량 감소를 준다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 왜 하필 $1/(e^{x}-1)$인가. 분모의 $-1$은 기하급수 $\sum q^n = 1/(1-q)$의 흔적이다. 에너지가 계단이면 볼츠만 가중치가 등비수열이 되고, 등비수열의 합에는 언제나 $1-q$가 붙는다. 이 인자 하나가 두 극한을 동시에 맞춘다.

• $h\nu \ll k_BT$ (긴 파장, 고온): $e^x \approx 1 + x$ 이므로(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도) $\langle E\rangle \approx h\nu/x = k_BT$. 등분배로 돌아가고 레일리–진스가 나온다. 계단이 열에너지보다 훨씬 촘촘하면 연속과 구별되지 않는다.
• $h\nu \gg k_BT$ (짧은 파장, 저온): $\langle E\rangle \approx h\nu\,e^{-h\nu/k_BT}$. 빈의 식이다. 첫 계단 $h\nu$ 하나조차 오르지 못하므로 그 모드는 얼어붙는다(frozen out). 지수적으로 억제되는 이 꼬리가 발산을 막는다.

물리적으로는 이렇게 읽는다. 열은 $k_BT$ 크기의 잔돈으로 에너지를 나눠 준다. 계단이 $h\nu$인 진동자에게 $k_BT \ll h\nu$의 잔돈은 아무 소용이 없다 — 한 계단도 못 오른다. 진동수가 높은 모드가 아무리 많아도 (모드 밀도는 $\nu^2$으로 자란다) 각각이 받는 에너지가 $e^{-h\nu/k_BT}$로 죽으므로 곱은 0으로 간다. 계단의 높이가 진동수에 비례한다는 것이 핵심이다 — 계단이 모든 진동수에서 같았다면 파국은 그대로였을 것이다.

두 법칙이 상수까지 나온다

플랑크의 식은 앞의 두 경험 법칙을 상수까지 준다. 전체 에너지 밀도는

$$u_{\mathrm{tot}} = \int_0^\infty u\,d\nu = \frac{8\pi h}{c^3}\left(\frac{k_BT}{h}\right)^4\int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x-1}$$

이고, 마지막 적분은 $\Gamma(4)\,\zeta(4) = 6\cdot\pi^4/90 = \pi^4/15$다(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사 — 1.5.9가 “흑체 복사의 $\int x^3/(e^x-1)$“이라 예고해 둔 자리가 여기다). 정리하면

$$u_{\mathrm{tot}} = \frac{8\pi^5k_B^4}{15\,c^3h^3}\,T^4, \qquad \sigma = \frac{c}{4}\cdot\frac{8\pi^5k_B^4}{15\,c^3h^3} = \frac{2\pi^5k_B^4}{15\,c^2h^3}$$

로 $T^4$과 $\sigma$의 값 $5.67\times10^{-8}$이 그대로 나온다. 봉우리는 $u(\lambda)$를 $\lambda$로 미분해 0으로 놓으면 $x = hc/\lambda k_BT$에 대한 초월방정식 $(5-x)e^x = 5$가 되고, 그 근 $x_{\max} = 4.965$에서

$$\lambda_{\max}T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.898\times10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$$

다. 빈의 상수도 $h$, $c$, $k_B$의 조합이었다.

주의

봉우리는 변수를 무엇으로 잡느냐에 따라 다르다. $u(\nu)$의 봉우리는 $(3-x)e^x = 3$, 곧 $x = 2.821$에서 오므로 $\nu_{\max} = 2.821\,k_BT/h$이고, 이것은 $c/\lambda_{\max}$가 아니다. $5000\,\mathrm K$에서 $\lambda_{\max} = 580\,\mathrm{nm}$인데 $c/\nu_{\max} = 1020\,\mathrm{nm}$다. 같은 스펙트럼을 파장 축에 그리느냐 진동수 축에 그리느냐에 따라 $d\nu = -c\,d\lambda/\lambda^2$의 야코비안이 모양을 바꾸기 때문이다. “태양 스펙트럼의 봉우리가 녹색”이라는 말은 파장 축에서만 참이다. 분광기 데이터를 다른 축으로 옮길 때 실제로 저지르는 실수다.

같은 가설, 다른 현상 — 아인슈타인 고체

플랑크의 식은 5년 동안 “복사에만 통하는 보간식”으로 남아 있었다. 그것이 진동자 일반의 성질이라는 것을 보인 것이 아인슈타인(1907)의 고체 열용량이다. 원자 $N$개가 각각 세 방향으로 같은 진동수 $\nu_E$로 떠는 고체를 생각하면 등분배는 $C_V = 3Nk_B$(듈롱–프티, 몰당 $24.9\,\mathrm{J/K}$)를 주는데, 다이아몬드는 실온에서 그 1/4이고 저온에서 모든 고체의 $C_V$가 0으로 간다. 플랑크의 평균 에너지를 쓰면 $U = 3N\langle E\rangle$이고

$$C_V = \frac{dU}{dT} = 3Nk_B\left(\frac{\theta_E}{T}\right)^2 \frac{e^{\theta_E/T}}{\left(e^{\theta_E/T}-1\right)^2}, \qquad \theta_E = \frac{h\nu_E}{k_B}$$

가 나온다(Atkins 7A.1(b)). $T \gg \theta_E$에서 $3Nk_B$, $T \ll \theta_E$에서 $e^{-\theta_E/T}$로 죽는다 — 그림 5.1-2의 곡선을 미분한 것이다. 다이아몬드의 $\theta_E \approx 1300\,\mathrm K$가 실온에서 열용량이 작은 이유다. 저온에서 실제 $C_V \propto T^3$이 되는 것은 진동수가 하나가 아니라 분포를 가지기 때문이고, 그것을 고친 것이 디바이(1912, 6.2.8)다. 실리콘의 디바이 온도 $645\,\mathrm K$가 열용량·열전도·포논 산란의 척도로 11부 이후 계속 나온다.

의문

플랑크는 무엇을 양자화했나 — 벽인가, 빛인가. 플랑크 자신은 벽의 진동자가 에너지를 $h\nu$ 단위로만 주고받는다고 했지, 빛이 알갱이라고 하지 않았다. 그에게 $E = nh\nu$는 “순전히 형식적인 가정”, 계산이 되게 하려고 어쩔 수 없이 넣은 장치였고, 이후 10년 넘게 그 가정을 없앨 방법을 찾았다. 빛 자체가 $h\nu$의 덩어리라고 처음 말한 것은 아인슈타인(1905)이고, 그 근거가 다음 절의 광전효과다. 플랑크는 1913년 아인슈타인을 프로이센 과학원에 추천하면서 “광양자 가설처럼 가끔 과녁을 벗어나는 것은 너그러이 보아 줘야 한다”고 썼다. 두 사람 다 노벨상을 그 “과녁을 벗어난” 일로 받았다.

그렇다면 왜 이 유도가 맞는가 — 빛의 모드(광자)가 보손이고, $n$개의 광자가 든 모드의 에너지가 $nh\nu$라서다. 볼츠만 가중 평균의 $-1$은 그래서 보스–아인슈타인 분포의 $-1$과 같은 것이고(6.3.8), 광자의 화학퍼텐셜이 0이라 $e^{(E-\mu)/k_BT}$의 $\mu$가 빠져 있을 뿐이다. 이 관점은 1924년 보스가 완성했다.

직관

파라미터 연계 — $h\nu/k_BT$ 하나가 모든 것을 정한다. 이 절의 곡선은 온도와 진동수를 따로 보지 않는다. 오직 비 $x = h\nu/k_BT$다. 실온 $k_BT = 25.9\,\mathrm{meV}$를 기준으로 하면 $x = 1$인 진동수는 $6.3\,\mathrm{THz}$, 파장 $48\,\mathrm{\mu m}$ — 원적외선이다. 그보다 낮은 모드(마이크로파, 전파)는 고전적이고, 그보다 높은 모드(적외선부터 가시광 너머)는 얼어 있다.

• 온도를 올리면 얼어 있던 모드가 순서대로 깨어난다. 봉우리가 $\lambda_{\max} \propto 1/T$로 짧아지고 총량이 $T^4$으로 는다. 급속 열처리 장비의 고온계(pyrometer)가 웨이퍼 온도를 비접촉으로 재는 원리다 — 다만 실리콘은 흑체가 아니라 방사율 $\varepsilon(\lambda, T)$를 알아야 하고, 이것이 18부에서 RTP 온도 제어의 오차 원인으로 다시 나온다.
• 같은 비가 반도체 통계를 정한다. 실리콘 밴드갭 $E_g = 1.12\,\mathrm{eV}$는 $k_BT$의 43배다. 진성 캐리어 농도가 $e^{-E_g/2k_BT}$로 억제되는 것(6.7, 11부)은 이 절에서 높은 진동수 모드가 $e^{-h\nu/k_BT}$로 얼어붙는 것과 같은 산수다. 온도 $10\,\mathrm K$ 상승이 $n_i$를 두 배로 만드는 민감도도 여기서 나온다.
• LED의 스펙트럼은 밴드갭 위쪽에 $k_BT$ 폭의 꼬리를 가진다 — 전자·정공의 볼츠만 꼬리가 광자로 바뀐 것이다(17부). 반대로 열복사를 광자 통계로 다루면 6.2.9의 존슨–나이키스트 잡음 $4k_BTR\,\Delta f$가 저주파 극한이고, $h\nu \gtrsim k_BT$에서는 양자 보정이 붙는다.

광전효과

실험이 말한 것 — 세기가 아니라 진동수

헤르츠(1887)가 전자기파를 검출하던 중 자외선을 받은 전극에서 불꽃이 더 잘 튀는 것을 보았고, 레나르트(1902)가 진공관에서 정량화했다. 금속 표면에 빛을 쬐면 전자가 튀어나온다(광전자). 튀어나온 전자를 맞은편 전극으로 모으면 전류가 흐르고, 전극에 역전압을 걸어 전자를 밀어내면 전류가 줄다가 어떤 전압 $V_s$에서 0이 된다. 이 정지 전압 $V_s$가 가장 빠른 광전자의 운동 에너지를 잰다: $K_{\max} = eV_s$. 레나르트가 본 세 가지가 고전 파동론과 정면으로 어긋났다.

1. 정지 전압은 빛의 세기와 무관하다. 빛을 밝게 하면 전류(전자의 수)는 늘지만 $V_s$ (전자 하나의 에너지)는 그대로다. 파동론에서 세기는 진폭의 제곱이고 전자를 흔드는 힘은 진폭에 비례하므로, 밝을수록 빠른 전자가 나와야 한다.
2. 문턱 진동수가 있다. 금속마다 정해진 $\nu_0$ 아래의 빛은 아무리 세게 쬐어도 전자를 전혀 내지 못한다. 파동론에서는 어떤 진동수든 세기만 충분하면 되어야 한다.
3. 지연이 없다. 아주 약한 빛에서도 전자는 쬐는 즉시(측정 한계 $10^{-9}\,\mathrm s$ 안에) 나온다. 파동론으로 셈해 보면: 세기 $1\,\mathrm{W/m^2}$의 빛이 원자 하나의 단면적 $\sim 3\times10^{-20}\,\mathrm{m^2}$에 주는 전력은 $3\times10^{-20}\,\mathrm W$이고, 전자를 떼어 내는 데 $2\,\mathrm{eV} = 3.2\times10^{-19}\,\mathrm J$가 들면 10초를 모아야 한다. 실제로는 나노초 안에 나온다.

아인슈타인의 광양자 — K = hν − Φ

아인슈타인(1905)은 플랑크의 $h\nu$를 벽의 진동자가 아니라 빛 자체에 돌렸다. 진동수 $\nu$의 빛은 에너지 $h\nu$의 덩어리 — 광양자, 1926년부터 광자(photon) — 로 이루어져 있고, 전자 하나는 광자 하나를 통째로 흡수한다. 금속에서 전자를 빼내는 데 최소한 필요한 에너지를 일함수 $\Phi$(work function)라 하면, 가장 얕게 묶여 있던 전자가 갖고 나오는 운동 에너지는

$$K_{\max} = h\nu - \Phi \qquad\Longleftrightarrow\qquad eV_s = h\nu - \Phi$$

다. 세 가지 관찰이 한 줄로 설명된다. ① 세기는 광자의 개수를 바꾸지 광자 하나의 에너지를 바꾸지 않으므로 $V_s$는 세기와 무관하고, 전류(전자 수)만 세기에 비례한다. ② $h\nu < \Phi$이면 광자 하나로는 부족하고, 광자 두 개가 한 전자에 동시에 흡수될 확률은 보통 세기에서 무시할 만하므로 문턱 $\nu_0 = \Phi/h$가 생긴다. ③ 에너지가 덩어리로 오므로 모을 시간이 필요 없다 — 광자가 닿는 순간 전자가 나온다.

$\Phi$는 금속의 페르미 준위에서 진공 준위까지의 에너지다(6.4·11부에서 정의를 다듬는다). 표면 상태에 따라 $0.1\text{–}0.3\,\mathrm{eV}$씩 흔들리는 값이지만 대표값을 적어 둔다.

금속	Cs	K	Na	Al	W	Cu	Au	Pt
$\Phi$ (eV)	2.14	2.30	2.28	4.28	4.55	4.65	5.1	5.65
$\lambda_0 = hc/\Phi$ (nm)	579	539	544	290	272	267	243	219

알칼리 금속만 가시광으로 광전자를 내고, 나머지는 자외선이 필요하다. 광전관(photocell)과 광전자증배관의 음극이 세슘·안티몬 화합물인 이유다.

그림 5.1-3. 정지 전압 대 진동수. 아인슈타인 식 eV_s = hν − Φ는 V_s가 ν의 일차함수라 말한다. 기울기 h/e는 금속과 무관한 자연 상수라 세슘과 아연의 직선이 평행하고, 가로 절편 ν₀ = Φ/h와 (직선을 아래로 연장한) 세로 절편 −Φ/e만 금속이 정한다. 세슘은 가시광 전역에서 광전자를 내지만 아연은 자외선이 필요하다. 빛의 세기를 바꿔도 이 그래프의 어느 점도 움직이지 않는다 — 세기는 전류를 바꿀 뿐이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 직선 하나에 상수 셋. $V_s = (h/e)\,\nu - \Phi/e$는 기울기·가로 절편·세로 절편이 각각 뜻을 가진다.

• 기울기 $h/e = 4.136\times10^{-15}\,\mathrm{V\cdot s}$ — 어느 금속으로 재도 같다. 밀리컨(1916)은 이 식을 반증하려고 10년을 들여 나트륨·리튬·칼륨으로 이 직선을 쟀고, 기울기에서 얻은 $h$가 플랑크의 복사 값과 0.5 % 안에서 맞자 “내 모든 예상에 반하여” 식이 옳다고 인정했다. 전혀 다른 현상(열복사와 광전자 방출)이 같은 $h$를 준 것이 광양자 가설의 첫 정량적 승리다.
• 가로 절편 $\nu_0 = \Phi/h$ — 문턱. 이 점 왼쪽에는 데이터가 없다(전류 자체가 0이라 $V_s$를 정의할 수 없다).
• 세로 절편 $-\Phi/e$ — 직선을 $\nu = 0$까지 연장한 가상의 값. 측정하지 못하지만 일함수를 읽는 가장 쉬운 자리다.

$I$–$V$ 곡선을 따로 그리면 또 하나가 보인다. 순방향 큰 전압에서 전류가 포화하는데, 이 값은 세기에 비례한다(초당 튀어나오는 전자 수 = 초당 흡수되는 광자 수 × 양자효율). 역방향에서 전류는 $-V_s$까지 서서히 줄어든다 — 광전자가 모두 $K_{\max}$를 갖는 것이 아니라 페르미 준위 아래에서 나온 전자, 표면까지 오며 에너지를 잃은 전자가 섞여 분포를 이루기 때문이다. $V_s$는 그 분포의 윗끝이다.

주의

$\nu$와 $v$, $\Phi$와 $\phi$. 이 절의 $\nu$(뉴, 진동수)와 5절의 $v$(브이, 속도)는 손글씨에서 거의 같다. $h\nu$가 에너지이고 $mv$가 운동량이라는 차원으로 구별하는 습관을 들여야 한다. $\Phi$(대문자)는 일함수, $\phi$(소문자)는 12부에서 장벽 높이 $\phi_B$, 2부에서 전기 퍼텐셜이다. 반도체 문헌은 일함수를 $q\Phi_m$처럼 $q$(기본 전하)를 붙여 에너지 단위로 쓰기도 하고, $\Phi_m$만 써서 볼트 단위로 쓰기도 한다 — 그래프의 세로축이 V인지 eV인지 확인하는 것이 먼저다.

광자는 몇 개인가

광자 그림이 낯설다면 수를 세어 보는 것이 빠르다. 파장 $500\,\mathrm{nm}$의 광자 하나는 $1240/500 = 2.48\,\mathrm{eV} = 3.97\times10^{-19}\,\mathrm J$다. 세기 $1\,\mathrm{W/m^2}$(흐린 날 실내 창가 정도)는 초당 $\mathrm{m^2}$당 $2.5\times10^{18}$개다. 손톱만 한 면적($1\,\mathrm{cm^2}$)에 초당 $2.5\times10^{14}$개 — 이 수가 커서 빛이 연속으로 보인다. 반대로 별빛 하나가 눈에 넣는 광자는 초당 수백 개 수준이고, 사람의 망막은 5–10개의 광자로도 반응한다.

이 셈이 반도체 광검출의 출발이다. 광전류 $I = \eta\,e\,\Phi_{\mathrm{ph}}$ — 양자효율 $\eta$ × 기본 전하 × 초당 광자 수 — 이고, 입사 전력 $P$에 대해 $\Phi_{\mathrm{ph}} = P/h\nu$이므로 응답도 $R = I/P = \eta e/h\nu = \eta\lambda/1240\,[\mathrm{A/W}]$(파장은 nm)가 된다. 같은 $\eta$라면 응답도가 파장에 비례해 오르는 것 — 실리콘 광다이오드의 응답도 곡선이 $1000\,\mathrm{nm}$ 근처까지 오르다 급히 꺾이는 모양 — 이 이 절의 산수다(17부).

직관

파라미터 연계 — $\Phi$가 반도체로 들어오는 자리들.

• 내부 광전효과. 반도체에서는 전자를 진공으로 꺼낼 필요가 없다. 가전자대에서 전도대로 올리면 된다 — 문턱이 $\Phi$가 아니라 **밴드갭 $E_g$**다. 차단 파장 $\lambda_c = 1240/E_g$: Si $1.12\,\mathrm{eV} \to 1107\,\mathrm{nm}$, Ge $0.66 \to 1880$, GaAs $1.42 \to 873$, In$_{0.53}$Ga$_{0.47}$As $0.75 \to 1650$, GaN $3.4 \to 365$, InSb $0.17 \to 7300\,\mathrm{nm}$. 광통신이 $1550\,\mathrm{nm}$를 쓰기 때문에 검출기가 InGaAs여야 하고, 실리콘 카메라가 근적외선 $1\,\mathrm{\mu m}$ 너머를 못 보는 이유가 이 표다(17부).
• 쇼트키 장벽. 금속을 반도체에 붙이면 장벽 높이가 이상적으로는 $\phi_B = \Phi_m - \chi_s$ (금속 일함수 − 반도체 전자친화도)다(12부). 이 장벽을 재는 내부 광전자 방출(internal photoemission) 측정이 이 절 그대로다 — 광전류 수율이 $(h\nu - \phi_B)^2$에 비례하는 파울러 그래프의 가로 절편이 $\phi_B$다.
• MOS의 평탄대 전압. 게이트 금속과 실리콘의 일함수 차 $\Phi_{ms}$가 문턱 전압에 그대로 들어간다(13부). 게이트 물질을 바꾸면(n⁺ poly-Si → TiN) 문턱 전압이 $0.5\,\mathrm V$ 단위로 움직이는 이유가 $\Phi$다.
• 광전자 분광. X선 광전자 분광(XPS)은 $K = h\nu - E_B - \Phi_{\mathrm{spec}}$으로 원자 안쪽 준위의 결합 에너지 $E_B$를, 자외선 광전자 분광(UPS, He I $21.2\,\mathrm{eV}$)은 가전자대와 일함수 자체를 잰다(4.1.5, 19부). 아인슈타인 식이 측정 장비의 교정식이다.
• 열전자 방출. 같은 $\Phi$를 빛 대신 열로 넘는 것이 리처드슨 법칙 $J = AT^2e^{-\Phi/k_BT}$이고, 쇼트키 다이오드의 전류식이 그것의 반도체판이다(12부). 여기서도 $\Phi/k_BT$의 비가 전부다.

의문

광전효과가 광자의 증거인가. 교과서 순서대로라면 그렇다. 그러나 1969년 램과 스컬리가 보였듯, 빛을 고전 파동으로 두고 금속의 전자만 양자역학으로 다루어도(반고전 이론) 세 관찰 전부 — 문턱, 세기 무관성, 즉시성까지 — 재현된다. 원자의 준위가 불연속이면 흡수는 $h\nu$가 준위 차와 맞을 때만 일어나고, 흡수 확률이 세기에 비례하되 즉시 시작되기 때문이다. 광자가 반드시 필요하다는 증거는 훨씬 뒤에 나왔다 — 단일 원자 형광의 반집속(antibunching, 1977)처럼 광자가 한 번에 두 검출기에 동시에 잡히지 않는다는 상관 측정이다. 그렇다고 이 절이 무의미한 것은 아니다. 1905년의 아인슈타인이 가진 정보로는 광양자가 가장 단순한 설명이었고, 그 가설이 3절(운동량)과 5절(물질파)을 낳았다. “실험이 이론을 확정한다”는 말은 언제나 “지금까지 나온 대안들 가운데”라는 단서를 단다.

콤프턴 산란

실험 — X선의 파장이 늘어난다

광자에 에너지가 있다면 운동량도 있어야 한다. 전자기파가 운동량 $p = E/c$를 나르는 것은 맥스웰 이론에서 이미 나온다(2.8.3에너지·운동량과 포인팅 벡터; 복사압). 광자 하나로 쓰면

$$p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

다. 이것을 결정적으로 보인 것이 콤프턴(1923)이다. 몰리브데넘 K$\alpha$선(파장 $\lambda = 71.1\,\mathrm{pm}$, 에너지 $17.4\,\mathrm{keV}$)을 흑연에 쏘고 각도 $\theta$로 산란된 X선의 파장을 결정 분광기로 쟀다. 산란된 빛에는 봉우리가 둘 있었다. 하나는 원래 파장 $\lambda$ 그대로, 다른 하나는 더 긴 $\lambda'$이고, 그 차이가

$$\Delta\lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_C\,(1-\cos\theta), \qquad \lambda_C = \frac{h}{m_ec} = 2.426\,\mathrm{pm}$$

으로 각도만의 함수였다. 표적 물질을 바꿔도, 입사 파장을 바꿔도 같은 곡선이다. $\lambda_C$를 전자의 콤프턴 파장이라 한다.

고전 파동론(톰슨 산란)에서는 파장이 변할 수 없다. 전자가 입사파의 진동수로 흔들리고 그 진동수로 재복사하기 때문이다. 세기·편광 의존성은 톰슨 공식으로 맞지만 파장 이동은 설명이 안 된다.

유도 — 당구공 충돌, 다만 상대론으로

콤프턴의 설명은 광자 하나와 정지한 전자 하나의 탄성 충돌이다(3.1.4운동량과 충돌). 전자가 받는 에너지가 $\mathrm{keV}$ 단위라 전자는 상대론적으로 다루어야 하고, 광자는 질량이 0이라 $E = pc$다. 기호를 정리한다 — 프라임이 세 종류라 헷갈리기 쉬운 자리다.

기호	무엇
$\lambda$, $\nu$, $p = h/\lambda$	충돌 전 광자의 파장·진동수·운동량
$\lambda'$, $\nu'$, $p' = h/\lambda'$	충돌 후 광자 (프라임 = 산란 후)
$p_e$, $K$	반동 전자의 운동량과 운동 에너지 (충돌 전은 0)
$\theta$	광자가 꺾인 각. Halliday는 $\phi$
$\phi$	전자가 튀어 나간 각

에너지 보존과 운동량 보존(벡터)을 쓴다:

$$\begin{aligned} h\nu + m_ec^2 &= h\nu' + \sqrt{p_e^2c^2 + m_e^2c^4}, \\[2pt] \vec p &= \vec p\,' + \vec p_e \quad\Longrightarrow\quad p_e^2 = p^2 + p'^2 - 2pp'\cos\theta . \end{aligned}$$

전자 변수를 없애는 것이 목표다. 에너지식에서 $K = h\nu - h\nu' = c(p - p')$이고, 상대론의 $E_e^2 = p_e^2c^2 + m_e^2c^4$에 $E_e = K + m_ec^2$을 넣으면 $p_e^2c^2 = K^2 + 2Km_ec^2$이다. 운동량식과 맞추면

$$\begin{aligned} (p-p')^2 + 2m_ec\,(p-p') &= p^2 + p'^2 - 2pp'\cos\theta \\[2pt] m_ec\,(p-p') &= pp'(1-\cos\theta) \end{aligned}$$

양변을 $m_ec\,pp'$으로 나누면

$$\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1-\cos\theta}{m_ec} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)$$

이다. 마지막 줄에서 $\lambda = h/p$를 썼다 — 파장 이동이 운동량의 역수 차라는 것이 이 식의 정체다. 광자에 운동량 $h/\lambda$를 주지 않으면 이 식은 나오지 않는다.

그림 5.1-4. 콤프턴 산란. 왼쪽: 광자가 정지한 전자와 충돌해 각 θ로 산란되고 전자가 각 φ로 반동한다 — 에너지와 운동량이 상대론적으로 보존되는 당구공 충돌이다. 오른쪽: 파장 이동 Δλ = λ_C(1 − cos θ). θ = 0에서 0(스쳐 지나감), 90°에서 λ_C = 2.43 pm, 180°(되튐)에서 2λ_C = 4.85 pm. 입사 파장·표적 물질이 식에 없다는 것이 이 실험의 결정적 특징이다. 이동량이 pm 단위의 절댓값이라, 수십 pm의 X선에서는 수 %로 보이고 수백 nm의 가시광에서는 10⁻⁵으로 묻힌다.직접 작도

직관

수식적·그래프 직관 — 왜 이동이 파장의 절댓값인가. 식에 $\lambda$가 없다. 이동은 언제나 $0 \le \Delta\lambda \le 2\lambda_C = 4.85\,\mathrm{pm}$이다. 그래서

• 가시광($500\,\mathrm{nm}$)에서는 $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$ — 어떤 분광기로도 안 보인다. 콤프턴 이전에 아무도 이 효과를 못 본 이유이고, 콤프턴이 X선을 쓴 이유다.
• X선($71\,\mathrm{pm}$)에서 $90°$ 이동은 3.4 %, 결정 분광기로 쉽게 갈린다.
• 감마선($m_ec^2 = 511\,\mathrm{keV}$ 이상, $\lambda < 2.4\,\mathrm{pm}$)에서는 이동이 파장 자체와 같은 급이라 광자가 에너지의 대부분을 잃는다.

그래프에서 $1-\cos\theta$는 $\theta = 0$ 근처에서 $\theta^2/2$로 천천히 출발해 $180°$에서 최대인 종 모양이다. 전자가 받는 운동 에너지는 $K = h\nu - h\nu'$이고 $180°$에서 최대

$$K_{\max} = h\nu\,\frac{2a}{1+2a},\qquad a = \frac{h\nu}{m_ec^2}$$

다(콤프턴 가장자리). 몰리브데넘 K$\alpha$는 $a = 0.034$라 $K_{\max} = 1.1\,\mathrm{keV}$ — 광자 에너지의 6 %만 넘길 수 있다. 감마선 $1\,\mathrm{MeV}$($a = 2$)는 80 %를 넘긴다. 감마선 검출기의 스펙트럼에서 광전 봉우리 아래 넓게 깔리는 콤프턴 연속과 그 끝의 가장자리가 이것이다(17부).

이동하지 않은 봉우리는 어디서 오는가. 원자에 단단히 묶인 안쪽 전자와 충돌하면 반동을 원자 전체가 받는다. 식의 $m_e$가 원자 질량 $M$으로 바뀌고, 탄소라면 $M/m_e \approx 22{,}000$이라 이동이 $10^{-4}\,\mathrm{pm}$ — 측정되지 않는다. 그래서 봉우리가 둘이고, 가벼운 원소일수록(묶인 전자가 적을수록) 이동한 봉우리가 크다. 콤프턴이 흑연을 고른 이유다.

의문

자유전자는 왜 광자를 흡수하지 못하는가. 콤프턴 산란은 광자가 전자에 부딪히고 남는 과정이다. 광자가 통째로 흡수되어 사라지는 일은 자유전자에서는 일어날 수 없다. 정지한 전자가 에너지 $E$의 광자를 흡수했다고 하면 에너지 보존 $E + m_ec^2 = \gamma m_ec^2$, 운동량 보존 $E/c = \gamma m_ev$인데, 둘을 나누면 $\gamma(1 - v/c) = 1$, 곧 $\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)} = 1$이라 $\beta = 0$, $E = 0$이다. 흡수할 광자가 없다는 뜻이다. 에너지와 운동량을 동시에 맞출 제3의 몸체가 있어야 한다 — 광전효과에서는 금속 격자(원자핵)가, 반도체의 밴드 간 흡수에서는 결정 격자가 그 역할을 한다. 이 논리가 11부·17부의 직접·간접 밴드갭으로 이어진다. 광자의 운동량 $\hbar k = 2\pi\hbar/\lambda$는 $\lambda = 1\,\mathrm{\mu m}$에서 $6\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}\cdot\hbar$인데, 실리콘 브릴루앙 영역의 반폭 $\pi/a$는 $5.8\times10^{9}\,\mathrm{m^{-1}}$이다 — 천 분의 일. 그래서 광학 전이는 $E$–$k$ 도표에서 수직이어야 하고, 전도대 바닥이 가전자대 꼭대기 바로 위에 없는 실리콘은 포논(격자 진동의 양자)이 운동량을 보태 줘야 빛을 흡수·방출한다. 실리콘이 좋은 태양전지 재료이면서(두껍게 만들면 된다) 나쁜 LED 재료인 이유가, 이 절의 “제3의 몸체” 논리 한 줄이다.

직관

파라미터 연계. 콤프턴 파장 $\lambda_C = h/m_ec$는 “전자의 정지 에너지에 해당하는 광자의 파장” 이다. 광자의 에너지가 $m_ec^2$을 넘으면 산란보다 전자–양전자 쌍생성이 가능해진다($1.02\,\mathrm{MeV}$ 이상). 실리콘 검출기에서 감마선과 물질의 상호작용은 에너지에 따라 세 구간으로 나뉜다 — $100\,\mathrm{keV}$ 아래 광전 흡수, $100\,\mathrm{keV}\text{–}$수 MeV 콤프턴 산란, 그 위 쌍생성(17부의 방사선 검출기, 19부의 X선 계측). 반도체 소자의 소프트 에러를 일으키는 2차 전자도 이 세 과정으로 만들어진다. 환산 콤프턴 파장 $\hbar/m_ec = \alpha\,a_0 = 0.386\,\mathrm{pm}$은 4절의 보어 반지름과 미세구조상수로 이어지는 사다리의 한 칸이다: $a_0 = \lambda_C/2\pi\alpha$, 전자의 고전 반지름 $r_e = \alpha^2a_0$.

원자 스펙트럼과 보어 모형

선 스펙트럼 — 원자는 정해진 색만 낸다

흑체는 연속 스펙트럼을 내지만, 희박한 기체를 방전시키면 선 스펙트럼이 나온다 — 정해진 파장 몇 개만 밝고 나머지는 어둡다. 나트륨의 노란 $589\,\mathrm{nm}$ 쌍선, 수은의 $254\,\mathrm{nm}$ 자외선(살균등)과 $436\,\mathrm{nm}$ 청색, 네온의 붉은 선들이 그것이다. 같은 기체에 백색광을 통과시키면 같은 파장만 흡수된 어두운 선이 남는다(흡수 스펙트럼 — 태양 스펙트럼의 프라운호퍼 선). 원소마다 선의 위치가 다르므로 19세기 분광학은 원소 분석 도구였다. 그러나 왜 그 파장인지는 아무도 몰랐다.

가장 단순한 원자인 수소의 가시광 선 네 개 — $656.3$, $486.1$, $434.0$, $410.2\,\mathrm{nm}$ — 를 발머(1885, 스위스의 고등학교 교사)가 하나의 식으로 맞췄다:

$$\lambda = 364.6\,\mathrm{nm}\times\frac{n^2}{n^2-4},\qquad n = 3, 4, 5, 6, \dots$$

뤼드베리(1888)가 이것을 파장의 역수로 다시 쓰자 구조가 드러났다:

$$\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad R_H = 1.0968\times10^{7}\ \mathrm{m^{-1}},\quad n_2 > n_1$$

$n_1 = 2$가 발머 계열이고, $n_1 = 1$(라이먼, 자외선, 1906), $n_1 = 3$(파셴, 적외선, 1908), $n_1 = 4$(브래킷), $n_1 = 5$(푼트)가 뒤따라 발견되었다. 리츠의 결합 원리(1908)가 그 뜻을 말한다 — 모든 선의 파수 $1/\lambda$는 어떤 수열 $T_n = R_H/n^2$의 두 항의 차다. 원자 안에 에너지의 사다리가 있고, 빛은 그 두 칸 사이의 차이만 나른다는 뜻이다. 그러나 1908년에는 그 사다리가 무엇인지 몰랐다.

러더퍼드 원자의 문제

러더퍼드(1911)의 산란 실험으로 원자는 작고 무거운 양전하 핵 주위를 전자가 도는 구조가 되었다. 이것은 고전물리로는 존재할 수 없는 원자다. 원운동하는 전자는 가속하고, 가속하는 전하는 복사한다 (2.9.6점전하의 복사와 복사 반작용 — 라모어 공식 $P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$). 에너지를 잃으면서 궤도가 줄어들고, 회전 진동수가 연속적으로 올라가므로 연속 스펙트럼을 내며, 계산하면 약 $10^{-11}\,\mathrm s$ 만에 핵으로 떨어진다. 원자는 안정하고 선 스펙트럼을 내므로 둘 다 틀렸다.

보어의 세 가정 (1913)

보어는 러더퍼드 원자에 플랑크의 $h$를 넣었다. 유도가 아니라 가정이다.

1. 전자는 특정한 정상 상태(stationary state) 궤도에서만 돌고, 그 궤도에서는 고전 전자기학의 예측과 달리 복사하지 않는다.
2. 허용되는 궤도는 각운동량이 $\hbar$의 정수배인 것이다(3.1.6각운동량과 그 보존): $$L = m_evr = n\hbar,\qquad n = 1, 2, 3, \dots$$
3. 전자가 에너지 $E_i$의 궤도에서 $E_f$의 궤도로 뛰어내릴 때 그 차이가 광자 하나로 나간다: $h\nu = E_i - E_f$. 거꾸로 그 진동수의 광자를 흡수하면 올라간다.

셋 중 둘째가 계산을 가능하게 하는 핵심이고, 왜 하필 $n\hbar$인지는 다음 절의 드브로이가 답한다. 셋째가 리츠의 결합 원리를 설명한다 — $1/\lambda = (E_i - E_f)/hc$가 두 항의 차다.

계산은 뉴턴 역학 한 줄과 가정 2를 연립하는 것이다. 핵(전하 $+Ze$, 무한히 무겁다고 두고)의 쿨롱 인력이 구심력이다:

$$\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{m_ev^2}{r} \qquad\text{과}\qquad m_evr = n\hbar$$

첫 식에서 $m_ev^2 = Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$, 둘째에서 $v = n\hbar/m_er$. 넣으면 $r$이 풀린다:

$$r_n = \frac{n^2}{Z}\,a_0, \qquad a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 0.0529\,\mathrm{nm}$$

$a_0$가 보어 반지름이다. 속도는

$$v_n = \frac{Z}{n}\,\alpha c, \qquad \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \frac{1}{137.04}$$

이고, 여기서 미세구조상수 $\alpha$가 처음 나온다 — 바닥 상태의 전자 속도가 광속의 1/137이라는 뜻이고, 그래서 비상대론 계산이 0.005 %($\alpha^2/2$) 정확도로 통한다. 에너지는 운동 에너지 $\tfrac12m_ev^2$과 퍼텐셜 에너지 $-Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$의 합인데, 구심력 조건에 의해 $K = -U/2$(비리얼 정리)이므로 $E = K + U = U/2$:

$$E_n = -\frac{1}{2}\,\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0r_n} = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{Z^2}{n^2} = -13.6\,\mathrm{eV}\times\frac{Z^2}{n^2}$$

수소($Z = 1$)의 바닥 상태 에너지 $-13.6\,\mathrm{eV}$가 이온화 에너지이고, 실측값 $13.598\,\mathrm{eV}$과 맞는다. 가정 3으로 스펙트럼을 쓰면

$$\frac{1}{\lambda} = \frac{E_{n_2} - E_{n_1}}{hc} = \frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^3c}\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$$

— 뤼드베리 공식이 그대로 나오고, 앞의 상수 뭉치가 $R_\infty = 1.0974\times10^7\,\mathrm{m^{-1}}$로 계산된다. 경험 상수 $R_H$가 $m_e$, $e$, $h$, $c$, $\varepsilon_0$의 조합으로 계산된 것이다. 발머의 $364.6\,\mathrm{nm}$는 $4/R_H$, 곧 발머 계열의 극한($n_2 \to \infty$)이었다.

그림 5.1-5. 수소 원자의 에너지 준위 E_n = −13.6 eV/n²과 세 계열. 준위 간격이 1/n²으로 줄어 위로 갈수록 촘촘해지고 E = 0(이온화, 전자가 자유로워지는 문턱)에 몰린다. 그 위는 연속 준위다. 한 계열은 같은 아래 준위로 떨어지는 전이들의 묶음 — n = 1로 떨어지면 라이먼(자외선, Lyα 121.6 nm), n = 2로 떨어지면 발머(가시광 네 선), n = 3으로 떨어지면 파셴(적외선). 선의 파장은 두 준위의 에너지 차 hc/λ = E_i − E_f로 정해진다.직접 작도

직관

수식적·형태적 직관 — 왜 $1/n^2$이고 왜 $13.6\,\mathrm{eV}$인가.

• $1/n^2$의 근원. 각운동량 $L \propto n$을 쿨롱 퍼텐셜 $\propto 1/r$에 넣으면 $r \propto n^2$이 되고, $E \propto -1/r$이라 $E \propto -1/n^2$이다. 퍼텐셜이 $1/r$이라서 이 꼴이고, 조화진동자 ($\propto r^2$)였다면 $E \propto n$으로 등간격이 된다(5.3의 진동자). 준위가 위로 갈수록 촘촘해져 0에 몰리는 모양은 $1/r$ 퍼텐셜의 지문이다.
• 에너지의 크기. $13.6\,\mathrm{eV} = \tfrac12\alpha^2m_ec^2$ — 전자 정지 에너지 $511\,\mathrm{keV}$에 $\alpha^2/2 = 2.66\times10^{-5}$를 곱한 것이다. 원자 결합 에너지가 eV 급인 이유는 $\alpha$가 작아서다. 또 $e^2/4\pi\varepsilon_0a_0 = 27.2\,\mathrm{eV}$(하트리)의 절반이 비리얼 정리로 남은 것이다.
• 크기의 근원. $a_0 = \hbar^2/(m_e\cdot e^2/4\pi\varepsilon_0)$ — $\hbar \to 0$이면 원자는 크기가 0으로 무너진다. 원자에 크기가 있는 것 자체가 $h$의 결과다. 이 $0.05\,\mathrm{nm}$가 실리콘 격자상수 $0.543\,\mathrm{nm}$의 십분의 일, 곧 결합 길이의 척도를 정한다.
• $Z$의 역할. $r \propto 1/Z$, $E \propto Z^2$, $v \propto Z$. 우라늄($Z = 92$)의 안쪽 전자는 $v \approx 0.67c$라 상대론이 필수이고, 금의 색이 노란 것($Z = 79$의 상대론적 수축, 4.1)이 여기서 온다. X선 형광·XPS의 안쪽 준위 에너지가 $Z^2$으로 자라는 것(모즐리 법칙, 1913)도 같은 식이다.

환산질량 — 0.05 %가 말해 준 것

핵을 무한히 무겁다고 둔 것을 고치면 전자 대신 환산질량 $\mu = m_eM/(m_e + M)$이 들어간다 (이 절에서 $\mu$는 환산질량이다 — 6절의 자기 모멘트가 아니다). 수소는 $M = 1836\,m_e$라 $\mu/m_e = 0.99946$이고, 뤼드베리 상수가

$$R_H = \frac{R_\infty}{1 + m_e/M_p} = 1.09678\times10^7\ \mathrm{m^{-1}}$$

으로 $R_\infty$보다 0.054 % 작아진다 — 실측값 $1.0968\times10^7$과 다섯 자리까지 맞는다. 중수소 ($M = 2M_p$)는 $\mu$가 조금 더 커서 모든 선이 0.027 % 짧은 쪽으로 옮겨 간다: H$\alpha$ $656.28 \to 656.10\,\mathrm{nm}$, 차이 $0.18\,\mathrm{nm}$. 유리(1932)가 이 작은 위성선을 찾아 중수소를 발견했다(노벨상 1934). 보어 모형이 소수점 넷째 자리로 맞은 사례다.

직관

파라미터 연계 — 수소 원자를 반도체에 옮겨 심기. 보어의 두 식에서 $m_e$와 $\varepsilon_0$를 바꿔 넣으면 반도체의 수소형 불순물(hydrogenic impurity)이 된다. 실리콘에 인(P)을 넣으면 인의 다섯째 전자는 양전하를 띤 P⁺ 이온에 묶인다 — 수소 원자와 같은 문제다. 다만 전자는 결정 안에서 유효질량 $m^*$로 움직이고, 쿨롱 인력은 결정의 유전율 $\varepsilon_r$로 가려진다:

$$E_D = 13.6\,\mathrm{eV}\times\frac{m^*/m_e}{\varepsilon_r^2}, \qquad a^* = a_0\times\frac{\varepsilon_r}{m^*/m_e}$$

• Si: $m^* \approx 0.26\,m_e$(전도도 유효질량), $\varepsilon_r = 11.7$ → $E_D \approx 26\,\mathrm{meV}$, $a^* \approx 2.4\,\mathrm{nm}$. 실측 P $45$, As $54$, Sb $43\,\mathrm{meV}$ — 크기는 맞고 차이는 이온 바로 옆의 퍼텐셜이 $1/r$이 아니라는 중심 세포 보정이다(11부).
• GaAs: $m^* = 0.067\,m_e$, $\varepsilon_r = 13.1$ → $E_D \approx 5.3\,\mathrm{meV}$, $a^* \approx 10\,\mathrm{nm}$. 실측 $5.8\,\mathrm{meV}$.

두 결과가 말하는 것이 있다. ① $E_D$가 $k_BT = 26\,\mathrm{meV}$와 같은 급이라 실온에서 도너가 거의 다 이온화된다 — 도핑이 캐리어 농도를 정하는 이유(6.7, 11부). ② $a^*$가 격자상수의 4–20배라 전자가 원자 수백 개에 걸쳐 퍼져 있다 — 그래서 결정을 연속 매질($\varepsilon_r$)로, 전자를 유효질량 입자로 다루는 유효질량 근사가 정당하다(7부). ③ 같은 식에 전자–정공의 환산질량을 넣으면 엑시톤 결합 에너지가 된다: GaAs $4\,\mathrm{meV}$(실온에서 풀린다), GaN $25\,\mathrm{meV}$, 단층 MoS$_2$ 수백 meV(2차원이라 가림이 약하다 — 10부). 이 절의 환산질량 보정 0.05 %가 반도체에서는 $m^*$ 자릿수 하나가 되어 돌아온다.

대응 원리 — 큰 n에서 고전과 만난다

보어는 자기 가정을 고전과 잇는 다리도 놓았다. 아주 큰 $n$에서 이웃 준위 사이의 전이 진동수는

$$\nu_{n\to n-1} = R_\infty c\left[\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right] \approx \frac{2R_\infty c}{n^3}$$

이다. 한편 $n$번째 궤도의 고전적 회전 진동수는 $v_n/2\pi r_n = \alpha c/(2\pi a_0n^3)$이고, $\alpha c/2\pi a_0 = 2R_\infty c$이므로 둘이 같다 — 큰 궤도에서 방출되는 빛의 진동수는 고전 전자기학이 말하는 회전 진동수와 일치한다. 이것이 대응 원리(correspondence principle)다: 양자수가 크면 양자 결과가 고전 결과로 간다. 이 원리는 이후 양자역학 전체를 세우는 지침이 되었고, 반도체에서는 “양자우물의 준위가 촘촘해지면 연속 밴드로 본다”는 판단의 근거다. $n = 100$ 근처의 뤼드베리 원자(반지름 $0.5\,\mathrm{\mu m}$)가 이 극한을 실험실에서 보여 준다.

프랑크–헤르츠 — 빛 없이 본 사다리

준위가 정말 끊어져 있다는 것을 빛을 쓰지 않고 보인 실험이 프랑크와 헤르츠(1914)다. 수은 증기 속에서 전자를 가속시키며 전류를 재면, 가속 전압이 $4.9\,\mathrm V$의 정수배가 될 때마다 전류가 급히 떨어진다. 전자가 $4.9\,\mathrm{eV}$를 가지면 수은 원자와 비탄성 충돌로 그 에너지를 통째로 넘겨 주고 느려지기 때문이다 — 그보다 작은 에너지는 넘길 수 없다(원자에 그런 준위가 없다). 동시에 증기에서 $254\,\mathrm{nm}$ 자외선이 나오는데, $1240/4.9 = 253\,\mathrm{nm}$다. 준위 차를 충돌로도, 빛으로도 재서 같은 값을 얻은 것이다. Oxtoby(§4.2)가 이 실험을 스펙트럼과 나란히 두는 이유다.

주의

보어 모형은 맞는 답을 틀린 그림으로 얻었다. 5.5에서 슈뢰딩거 방정식으로 수소를 풀면 $E_n = -13.6\,\mathrm{eV}/n^2$은 그대로 나오지만 나머지는 거의 다 바뀐다.

• 바닥 상태의 궤도 각운동량은 $\hbar$가 아니라 0이다. $L = n\hbar$는 우연히 맞는 에너지를 주는 잘못된 조건이었다. 올바른 조건은 $L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar$, $l = 0, \dots, n-1$이다.
• 전자는 궤도를 돌지 않는다. 확률 분포가 있을 뿐이고, $a_0$는 바닥 상태에서 전자가 발견될 확률이 가장 큰 반지름이다.
• 한 $n$에 $n^2$개의 상태가 겹쳐 있다(축퇴). 자기장·전기장에서 이 축퇴가 풀리며 선이 갈라지는 제만·슈타르크 효과를 보어 모형은 절반만 설명한다.

전자가 둘 이상인 원자(헬륨부터)에서는 아예 답이 없고, 선의 세기(어떤 전이가 밝은가)도 주지 못한다. 좀머펠트가 타원 궤도와 상대론으로 미세 구조를 맞춘 것($\alpha^2$ 보정)이 구(舊)양자론의 정점이었고, 거기서 막혔다. 그래도 이 모형이 남긴 것 — 정상 상태, 양자수, $h\nu = \Delta E$, $a_0$와 $13.6\,\mathrm{eV}$의 척도, 대응 원리 — 은 전부 살아남았다. “반도체의 도너 준위는 수소형” 이라는 말을 할 때 우리가 쓰는 것은 보어 모형이 아니라 이 척도다.

드브로이 물질파와 전자 회절

대칭에서 나온 가설 — λ = h/p

1924년 드브로이는 박사 논문에서 3절의 식을 거꾸로 읽었다. 파동이라 알던 빛이 입자의 성질 ($E = h\nu$, $p = h/\lambda$)을 가진다면, 입자라 알던 전자도 파동의 성질을 가져야 하지 않는가. 운동량 $p$인 입자에 파장

$$\lambda = \frac{h}{p},\qquad \nu = \frac{E}{h}$$

를 붙인다. 이것이 드브로이 파장이다. 광자에서는 결과였던 식이 입자에서는 가설이다. 근거는 대칭성 하나였고, 심사위원들은 판단을 못 해 아인슈타인에게 논문을 보냈다. 아인슈타인은 “두꺼운 장막의 한 귀퉁이를 들어 올렸다”고 답했다.

비상대론적 입자($p = \sqrt{2mK}$)의 파장을 전자에 대해 수치로 쓰면

$$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_eK}} = \frac{1.226\,\mathrm{nm}}{\sqrt{K\,[\mathrm{eV}]}}$$

이다. 크기를 익히기 위한 표:

무엇	운동 에너지·조건	$\lambda$
전자	$1\,\mathrm{eV}$	$1.23\,\mathrm{nm}$
전자	$54\,\mathrm{eV}$ (데이비슨–저머)	$0.167\,\mathrm{nm}$
전자	$100\,\mathrm{eV}$ (LEED)	$0.123\,\mathrm{nm}$
전자	$10\,\mathrm{keV}$ (SEM·RHEED)	$12.2\,\mathrm{pm}$
전자	$100\,\mathrm{keV}$ (TEM, 상대론 보정)	$3.70\,\mathrm{pm}$
전자	$300\,\mathrm{keV}$ (TEM)	$1.97\,\mathrm{pm}$
전자	실온 열운동 $\tfrac32k_BT$	$6.2\,\mathrm{nm}$
열중성자	$25\,\mathrm{meV}$	$0.18\,\mathrm{nm}$
C$_{60}$	$220\,\mathrm{m/s}$	$2.5\,\mathrm{pm}$
야구공	$145\,\mathrm g$, $40\,\mathrm{m/s}$	$1.1\times10^{-34}\,\mathrm m$

전자의 파장이 $\mathrm{eV}$ 급에서 원자 간격($0.1\text{–}0.5\,\mathrm{nm}$)과 같은 급이다 — 결정이 X선을 회절시키듯 전자도 회절시켜야 한다. 야구공의 $10^{-34}\,\mathrm m$는 어떤 구멍보다도 작아 파동성이 절대 안 보인다. $h$가 작다는 것이 거시 세계가 고전적인 이유다.

주의

$100\,\mathrm{keV}$부터는 상대론 운동량을 써야 한다. $\lambda = h/p$의 $p$는 $\gamma m_ev$이고, 운동 에너지로 쓰면 $\lambda = hc/\sqrt{K(K + 2m_ec^2)}$다. $100\,\mathrm{keV}$에서 비상대론식은 $3.88\,\mathrm{pm}$, 상대론식은 $3.70\,\mathrm{pm}$ — 5 % 차이. 투과전자현미경의 격자 간격 측정에서 이 5 %는 그냥 오차가 아니라 물질을 잘못 동정하는 값이다(19부). 아래의 $1.226/\sqrt K$ 식은 수 keV까지만 쓴다.

보어 조건의 정체 — 궤도에 파장이 정수 개

드브로이 가설이 먼저 설명한 것은 4절에서 미뤄 둔 질문, 왜 $L = n\hbar$인가였다. 전자가 파동이면 원 궤도를 따라 도는 파동은 한 바퀴 돌아 제자리로 왔을 때 자기 자신과 이어져야 한다 — 그렇지 않으면 바퀴마다 위상이 어긋나 스스로 상쇄된다(3.2.8파동의 중첩과 정상파의 정상파 조건이 원 위에 놓인 것). 둘레에 파장이 정수 개 들어가야 한다:

$$2\pi r = n\lambda = n\frac{h}{m_ev} \qquad\Longleftrightarrow\qquad m_evr = n\frac{h}{2\pi} = n\hbar$$

보어의 가정 2가 정상파 조건이었다. 양자화는 외부에서 부과한 규칙이 아니라, 파동이 닫힌 공간에 갇힐 때 저절로 생기는 것이다 — 기타 줄이 정해진 진동수로만 우는 것과 같다. 이 그림은 5.3에서 상자 속 입자로, 5.5에서 3차원 수소 원자로, 7부에서 결정 속 전자의 밴드로 확장된다. 갇힘의 종류는 달라도 논리는 하나다: 경계 조건이 파장을 고르고, 파장이 에너지를 고른다.

그림 5.1-6. 드브로이가 읽은 보어 조건. 왼쪽: 둘레에 파장이 정확히 3개 들어가는 궤도(n = 3) — 한 바퀴 돈 파동이 제자리로 돌아와 자기 자신과 이어지는 정상파다. 오른쪽: 파장이 3.5개 들어가는 궤도 — 한 바퀴 뒤 위상이 π 어긋나 두 번째 바퀴(점선)가 첫 바퀴와 반대 부호가 되고, 계속 돌면 스스로 상쇄된다. 허용되는 것은 2πr = nλ, 곧 m_e v r = nħ뿐이다. 양자화는 전자가 자기 자신과 간섭한 결과다.직접 작도

데이비슨–저머 (1927) — 결정이 전자를 회절시킨다

가설의 검증은 우연에서 왔다. 벨 연구소의 데이비슨과 저머는 니켈 표면에 저에너지 전자를 쏘아 산란 분포를 재고 있었는데, 진공관이 깨져 표면이 산화되자 이를 고치려고 고온에서 오래 가열했고, 그 결과 다결정이던 니켈이 큰 단결정으로 재결정되었다. 그 뒤부터 산란 전자가 특정 각도에서만 강하게 나왔다. $54\,\mathrm{eV}$의 전자를 표면에 수직으로 쏘았을 때 $\varphi = 50°$에서 뚜렷한 봉우리 — X선 회절과 똑같은 모양이었다.

표면의 원자열이 회절 격자 역할을 한다(3.6.5회절 격자와 분해능). 이웃한 원자열(간격 $d$)에서 각 $\varphi$로 나가는 두 파의 경로차가 $d\sin\varphi$이고, 이것이 파장의 정수배일 때 보강한다:

$$d\sin\varphi = m\lambda,\qquad m = 1, 2, \dots$$

X선으로 이미 알던 니켈의 원자열 간격 $d = 0.215\,\mathrm{nm}$를 넣으면 $\lambda = 0.215\times\sin50° = 0.165\,\mathrm{nm}$. 한편 드브로이 식은 $1.226/\sqrt{54} = 0.167\,\mathrm{nm}$. 서로 무관한 두 계산이 1 % 안에서 만난다. 가속 전압을 바꾸면 봉우리 각도가 $\sin\varphi \propto 1/\sqrt V$로 움직이는 것까지 맞았다.

그림 5.1-7. 데이비슨–저머 실험. 왼쪽: 니켈 표면의 원자열(간격 d = 0.215 nm)에 54 eV 전자가 수직 입사해 φ = 50°로 나갈 때, 이웃 원자열에서 나온 두 파의 경로차 d sin φ가 한 파장이면 보강한다 — 회절 격자 조건 그대로다. 여기서 λ = 0.165 nm. 오른쪽: 드브로이 파장 λ = h/√(2m_e eV) = 1.226 nm/√V. 54 V에서 0.167 nm(점)이고, 격자 조건에서 얻은 0.165 nm(가로 점선)와 1 % 안에서 맞는다. 결정이 X선에 하는 일을 전자에도 한다.직접 작도

같은 해 G. P. 톰슨은 얇은 금속박에 $\mathrm{keV}$ 전자를 투과시켜 X선의 디바이–셰러 고리와 같은 동심원 무늬를 얻었다. 그의 아버지 J. J. 톰슨은 1897년 전자가 입자임을 보여 노벨상을 받았고, 아들은 1937년 전자가 파동임을 보여 노벨상을 받았다 — 둘 다 옳다. 이후 물질파는 중성자(1936), 헬륨 원자, C$_{60}$ 풀러렌(1999, $\lambda = 2.5\,\mathrm{pm}$인데도 회절 격자에서 간섭), 원자 2000개짜리 분자(2019)에서 확인되었다.

위상 속도와 군속도 — 파동은 어디로 가는가

드브로이 파동에 진동수 $\nu = E/h$를 붙이면 곧바로 이상한 점이 하나 생긴다. 위상 속도 $v_p = \lambda\nu = E/p$는 비상대론에서 $E = p^2/2m$을 넣으면 $v_p = p/2m = v/2$ — 입자 속도의 절반이고, 상대론에서 $E = \gamma mc^2$을 넣으면 $v_p = c^2/v > c$ — 광속보다 빠르다. 어느 쪽도 입자의 속도가 아니다. 위상 속도는 무한히 긴 단색 파동의 마루가 움직이는 속도이고, 어디에도 국소화되어 있지 않은 파동에는 “입자가 있는 곳”이라는 것이 없으므로 이것이 입자 속도와 다른 것은 모순이 아니다.

입자를 나타내려면 파장이 조금씩 다른 파동을 겹쳐 파동 묶음(wave packet)을 만들어야 하고, 묶음의 봉우리가 움직이는 속도가 군속도 $v_g = d\omega/dk$다(3.2.11분산과 군속도). $\omega = E/\hbar$, $k = p/\hbar$이므로

$$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE}{dp} = \frac{p}{m} = v$$

— 비상대론이든 상대론이든($dE/dp = pc^2/E = v$) 입자 속도다. 드브로이는 이것을 1924년 논문에서 이미 보였다. 이 계산이 말하는 것은, 입자의 운동학이 전부 분산 관계 $\omega(k)$ 하나에 들어 있다는 것이다:

	분산 관계 $\omega(k)$	$v_p = \omega/k$	$v_g = d\omega/dk$
진공 중 광자	$\omega = ck$	$c$	$c$
자유 전자 (비상대론)	$\omega = \hbar k^2/2m$	$\hbar k/2m$	$\hbar k/m = v$

광자의 분산은 직선이라 묶음이 모양을 유지하며 가고, 전자의 분산은 포물선이라 파장이 다른 성분이 다른 속도로 가서 묶음이 퍼진다. 5.2의 슈뢰딩거 방정식은 “어떤 파동 방정식이 평면파 $e^{i(kx-\omega t)}$를 해로 가지면서 $\omega = \hbar k^2/2m$을 주는가”라는 질문에 대한 답이고, 7부의 밴드 구조 $E(k)$는 결정 속 전자의 분산 관계이며, 유효질량 $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$는 그 포물선의 곡률이다. 이 절의 표가 그 출발점이다.

직관

공간적 직관 — 파장이 소자 치수에 닿는 순간. 드브로이 파장이 갇힌 공간의 크기와 같은 급이 되면 파동성이 드러난다. 반도체에서 그 척도는 둘이다.

• 페르미 파장 $\lambda_F = 2\pi/k_F$ — 전도에 참여하는 가장 빠른 전자의 파장. 금속은 전자 밀도가 커서 $k_F = (3\pi^2n)^{1/3}$이 $10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$, $\lambda_F \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ — 원자 간격이라 나노 구조에서도 웬만해서는 양자 구속이 안 보인다. 반도체는 $n \sim 10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$에서 $\lambda_F \approx 20\,\mathrm{nm}$, GaAs 2차원 전자 기체에서 $\sim 50\,\mathrm{nm}$다. 그래서 수십 nm 폭의 양자우물·나노선·양자점에서 준위가 갈라지고(10부), 게이트 길이 수 nm의 MOSFET에서 채널 두께 방향 양자화가 문턱 전압을 바꾼다(14부).
• 열적 드브로이 파장 $\lambda_{\mathrm{th}} = h/\sqrt{2\pi mk_BT}$ — 열운동하는 입자의 파장. 실온 전자는 $4.3\,\mathrm{nm}$($m_e$), 실리콘 전도대 전자는 $8\,\mathrm{nm}$($m^* = 0.26$). 입자 간 평균 거리 $n^{-1/3}$이 이보다 짧아지면 파동 묶음이 겹쳐 고전 통계가 무너지고 양자 통계가 필요하다 — 6.4의 양자 농도 $n_Q = \lambda_{\mathrm{th}}^{-3}$과 축퇴 조건이 이것이고, 11부의 유효 상태 밀도 $N_c = 2n_Q$가 같은 양이다.

전자현미경은 반대 방향의 응용이다. $\lambda$가 원자 간격보다 훨씬 짧아지도록 가속해서 파동성이 분해능을 제한하지 않게 만든다 — TEM $200\,\mathrm{keV}$의 $2.5\,\mathrm{pm}$는 원자 간격의 1/100이고, 실제 분해능 $50\,\mathrm{pm}$은 렌즈 수차가 정한다(19부). 전자빔 리소그래피가 $10\,\mathrm{nm}$ 패턴을 그릴 수 있는 것도 파장($50\,\mathrm{keV}$에서 $5\,\mathrm{pm}$)이 아니라 레지스트 안에서의 산란이 한계이기 때문이다(18부). 표면 분석은 그 중간을 쓴다 — LEED($20\text{–}200\,\mathrm{eV}$)는 파장이 격자 간격과 같은 급이라 회절 무늬가 표면 재구성을 그대로 보여 주고, RHEED($10\text{–}30\,\mathrm{keV}$, 스치는 입사)는 MBE 성장 중 원자층이 하나씩 쌓이는 것을 세기 진동으로 센다(9부).

의문

전자가 파동이면 왜 점으로 찍히는가. 데이비슨–저머의 검출기는 전류를 쟀지만, 형광판을 쓰면 전자는 언제나 점 하나로 닿는다 — 퍼진 파동이 스크린 전체를 희미하게 밝히는 일은 없다. 회절 무늬는 그런 점이 많이 쌓였을 때 드러난다. 파동은 어디에 닿을 확률을 정하고, 닿는 일 자체는 낱개로 일어난다. 이 두 얼굴이 어떻게 한 대상에 공존하는가가 7절이고, 그 확률을 계산하는 규칙이 5.2의 $|\psi|^2$다.

슈테른-게를라흐 실험

장치 — 불균일 자기장이 자기 모멘트를 가른다

앞의 다섯 절은 에너지와 운동량이 끊어져 있음을 보았다. 이 절은 각운동량의 방향이 끊어져 있음을 보인 실험이고, 동시에 양자역학의 가장 낯선 성질 — 측정이 상태를 바꾼다 — 을 가장 단순한 계에서 드러낸다. Sakurai가 교과서를 이 실험으로 여는 이유가 그것이다.

전자가 원자 안에서 각운동량을 가지면 전류 고리처럼 자기 모멘트 $\boldsymbol\mu$를 가진다 (이 절에서 $\mu$는 자기 모멘트다 — 4절의 환산질량이 아니다). 균일한 자기장은 모멘트에 토크만 주지만, 불균일한 자기장은 힘을 준다(2.5.1자기 쌍극자의 토크와 힘): 에너지 $U = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$에서

$$F_z = -\frac{\partial U}{\partial z} = \mu_z\,\frac{\partial B_z}{\partial z}$$

— $z$ 방향으로 자기장이 세지는 곳에서 모멘트의 $z$ 성분이 양이면 위로, 음이면 아래로 끌린다. 힘의 크기가 $\mu_z$에 비례하므로, 이 장치는 $\mu_z$를 재는 장치다.

슈테른과 게를라흐(1922)는 은을 $1300\,\mathrm K$로 가열해 원자 빔을 뽑고, 슬릿으로 가늘게 만든 뒤, 한쪽 극이 칼날처럼 뾰족한 자석 사이($\partial B_z/\partial z \sim 10\,\mathrm{T/cm}$, 길이 $3.5\,\mathrm{cm}$) 를 통과시켜 유리판에 받았다. 은 원자를 고른 이유는 전기적으로 중성이면서(로렌츠 힘으로 빔이 휘지 않는다) 전자 47개 중 46개가 짝을 이뤄 상쇄되고 5s 전자 하나만 자기 모멘트를 내기 때문이다 — 원자 하나가 전자 하나의 모멘트를 나른다.

고전물리의 예상은 분명하다. 원자로에서 나온 원자의 모멘트는 아무 방향이나 향하므로 $\mu_z = \mu\cos\theta$가 $-\mu$에서 $+\mu$까지 연속이고, 유리판에는 위아래로 번진 띠 하나가 생겨야 한다. 관측은 두 점이었다. $\mu_z$는 $+\mu_B$ 아니면 $-\mu_B$, 그 사이 값은 없다. 여기서 $\mu_B = e\hbar/2m_e = 9.274\times10^{-24}\,\mathrm{J/T}$가 보어 마그네톤 — 각운동량 $\hbar$에 해당하는 자기 모멘트다. 갈라진 폭은 $0.2\,\mathrm{mm}$ 정도였다 ($F/m = \mu_B\,\partial_zB/m_{\mathrm{Ag}} \approx 5\times10^4\,\mathrm{m/s^2}$가 $50\,\mathrm{\mu s}$ 동안 작용).

그림 5.1-8. 슈테른–게를라흐 장치의 옆모습. 원자로에서 나온 은 원자 빔이 슬릿을 지나 위가 뾰족한 N극과 아래가 파인 S극 사이의 불균일 자기장(∂B_z/∂z > 0)을 통과한다. 모멘트의 z 성분 μ_z에 비례하는 힘 F_z = μ_z ∂B_z/∂z가 원자를 위아래로 밀어 스크린 위의 위치가 μ_z를 잰다. 고전 예상(오른쪽 확대, 옅은 띠)은 μ_z가 −μ에서 +μ까지 연속이므로 번진 띠 하나이고, 관측(진한 두 점)은 μ_z = ±μ_B 두 값뿐이다 — 공간 양자화. 두 점은 스핀 S_z = ±ħ/2에 대응한다.직접 작도

무엇이 두 개인가 — 스핀 ½

1922년의 해석은 보어–좀머펠트의 공간 양자화였다. 궤도 각운동량의 $z$ 성분이 $m\hbar$ ($m = -l, \dots, l$)로만 허용되면 점이 $2l+1$개 생긴다. 그런데 이것은 언제나 홀수다. 두 점은 설명이 안 되는데도 “$l = 1$이고 $m = 0$은 어떤 이유로 빠진다”는 식으로 넘어갔다. 은의 5s 전자는 사실 $l = 0$이라 궤도 모멘트가 없다는 것을 당시에는 몰랐다.

답은 3년 뒤 왔다. 울렌벡과 하우트스미트(1925)가 스펙트럼의 미세 구조를 설명하려고 전자에 고유 각운동량 스핀 $S$를 주었고, 그 크기는 $s = \tfrac12$, $z$ 성분은 $S_z = \pm\hbar/2$ — 정확히 두 값이다. 자기 모멘트는 $\mu_z = -g_s\mu_B S_z/\hbar$이고 전자의 $g_s \approx 2$라 $\mu_z = \mp\mu_B$. 슈테른–게를라흐의 두 점은 스핀 ½의 첫 직접 관측이었던 것이다(1927년 필립스와 테일러가 $l = 0$이 확실한 수소 원자로 같은 결과를 얻어 못박았다). “스핀”이라는 이름은 전자가 팽이처럼 돈다는 그림에서 왔지만, 그 그림은 틀렸다 — 고전 반지름으로 계산하면 표면이 광속을 넘는다. 스핀은 고전적 대응물이 없는 순수 양자적 각운동량이고, 5.6에서 파울리 행렬로 다룬다.

$S_z = \pm\hbar/2$의 부호를 앞으로 $|+\rangle$, $|-\rangle$ 또는 “위·아래”라 부른다. 은 원자 하나는 이 둘 중 하나의 상태에 있고, SG 장치는 그 상태를 읽어 원자를 공간적으로 갈라 놓는다.

잇달아 통과시키면 — 측정이 상태를 지운다

Sakurai §1.1의 핵심은 장치를 둘 이상 이어 붙이는 사고실험이다(실제로도 한다). $\mathrm{SG}\hat z$는 $z$ 방향 자기장 기울기를 가진 장치, $\mathrm{SG}\hat x$는 $x$ 방향인 장치다.

(a) $\mathrm{SG}\hat z \to \mathrm{SG}\hat z$. 첫 장치에서 위쪽($S_z+$) 빔만 남기고 아래쪽을 막은 뒤 두 번째 $\mathrm{SG}\hat z$에 넣으면 전부 위로 나온다. $S_z-$는 없다. 상식대로다 — 같은 것을 다시 재면 같은 값이다.

(b) $\mathrm{SG}\hat z \to \mathrm{SG}\hat x$. $S_z+$ 빔을 $\mathrm{SG}\hat x$에 넣으면 $S_x+$와 $S_x-$가 반반으로 나온다. 이것도 이해할 수 있다 — $z$ 성분이 위라고 해서 $x$ 성분이 정해질 이유는 없다. 고전적으로는 “모멘트가 $z$축 위쪽 어딘가를 향하고 $x$ 성분은 임의”라고 말하고 싶어진다.

(c) $\mathrm{SG}\hat z \to \mathrm{SG}\hat x \to \mathrm{SG}\hat z$. (b)의 $S_x+$ 빔만 남겨 세 번째 장치 $\mathrm{SG}\hat z$에 넣는다. 고전 그림대로라면 이 원자들은 $S_z+$이면서 $S_x+$인 원자들이니 전부 위로 나와야 한다. 실제로는 $S_z+$와 $S_z-$가 반반이다. (a)에서 확실히 걸러 냈던 $S_z-$가 되살아난 것이다.

그림 5.1-9. 잇달아 놓은 슈테른–게를라흐 장치 (Sakurai §1.1). (a) z 장치에서 S_z+만 골라 다시 z 장치에 넣으면 S_z+만 나온다 — 같은 축의 재측정은 같은 값이다. (b) S_z+ 빔을 x 장치에 넣으면 S_x+와 S_x−가 반반이다. (c) 거기서 S_x+만 골라 다시 z 장치에 넣으면 S_z+와 S_z−가 반반이다 — (a)에서 걸러 냈던 S_z−가 되살아났다. S_x를 재는 순간 S_z의 정보가 지워진 것이고, 두 성분을 동시에 정해 둘 수 없다.직접 작도

(c)가 말하는 것은 하나다. $S_x$를 재는 행위가 $S_z$의 값을 지웠다. $S_z$와 $S_x$는 동시에 정해질 수 없는 양 — 뒤에서 양립 불가능한 관측량(incompatible observables)이라 부르고, 5.2.5의 불확정성 원리가 그 일반형이다. 고전 벡터 $\boldsymbol\mu$는 세 성분을 동시에 가지지만, 스핀은 한 번에 한 성분만 “가진다”. (b)에서 “모멘트가 $z$축 위쪽 어딘가를 향한다”고 말한 것이 틀린 그림이었다.

편광과의 유사 — 상태는 벡터이고, 확률은 그 제곱이다

Sakurai는 이 결과를 빛의 편광으로 번역한다(3.5.7편광의 종류와 편광자). $x$ 편광자를 지난 빛은 $y$ 편광자를 통과하지 못한다(a와 같다). 그런데 둘 사이에 $45°$ 편광자를 끼우면 빛이 통과한다 (c와 같다). 이유는 편광 벡터의 산수다. $45°$ 편광 상태는

$$\hat{\mathbf x}' = \frac{1}{\sqrt2}(\hat{\mathbf x} + \hat{\mathbf y}), \qquad \hat{\mathbf y}' = \frac{1}{\sqrt2}(-\hat{\mathbf x} + \hat{\mathbf y})$$

— $x$ 편광과 $y$ 편광의 중첩이다. $x$ 편광 빛을 $45°$ 편광자에 넣으면 $\hat{\mathbf x}'$ 성분 ($\hat{\mathbf x}\cdot\hat{\mathbf x}' = 1/\sqrt2$)만 남고, 그 빛은 이제 $\hat{\mathbf x}'$ 상태라 $y$ 성분($\hat{\mathbf y}\cdot\hat{\mathbf x}' = 1/\sqrt2$)을 다시 가진다. 통과하는 세기는 성분의 제곱(말뤼스 법칙 $\cos^2$)이라 각 단계에서 절반이다.

스핀도 같은 산수로 쓰자는 것이 Sakurai의 제안이고, 5.4의 형식론이 그것을 정당화한다. 상태 $|S_z;\pm\rangle \equiv |\pm\rangle$를 기저 벡터로 두면

$$|S_x;\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(|+\rangle \pm |-\rangle\bigr)$$

이고, $S_x+$ 빔을 $\mathrm{SG}\hat z$에 넣었을 때 $S_z+$가 나올 확률은 성분의 제곱 $\left|\langle +|S_x;+\rangle\right|^2 = \tfrac12$이다. (c)의 반반이 이렇게 계산된다. 이 “성분의 제곱이 확률”이 보른 규칙이고, 7절의 $|\psi|^2$과 같은 것이다.

한 가지가 편광과 다르다. 편광은 $x$, $y$ 둘로 $45°$까지 만들었지만, 스핀은 $z$, $x$ 다음에 **$y$**가 남아 있다. $S_y\pm$를 실수 계수로 $|\pm\rangle$의 중첩으로 쓰려 하면 $|S_x;\pm\rangle$과 구별할 방법이 없다. 답은

$$|S_y;\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(|+\rangle \pm i\,|-\rangle\bigr)$$

— 계수가 복소수여야 한다(1.9.1복소수와 극형식·거듭제곱근). 원편광이 $\hat{\mathbf x} \pm i\hat{\mathbf y}$인 것과 정확히 같다. 양자역학에서 복소수는 계산의 편의가 아니라 필수다. 실수 2차원 공간에는 서로 “반반”인 방향이 두 쌍(축과 대각선)뿐인데, 스핀에는 $z$, $x$, $y$ 세 쌍이 있기 때문이다.

직관

물리적 직관 — 측정은 읽기가 아니라 준비다. 고전 측정은 계에 이미 있는 값을 읽는다. SG 장치는 다르다. 들어온 원자가 어떤 상태였든, $\mathrm{SG}\hat x$를 통과해 위쪽 출구로 나온 원자는 이제 $S_x+$ 상태다 — 장치가 그 상태를 만들었다. 그래서 그 뒤에 $S_z$를 재면 이전 이력과 무관하게 반반이다. 이 그림이 뒤에 나오는 모든 것의 원형이다: 5.4의 “측정하면 고유상태로 붕괴한다”, 5.2의 “파동함수는 측정 직후 그 값에 국소화된다”, 그리고 양자 컴퓨팅의 큐비트 초기화·읽기. 스핀 큐비트를 읽는 장치가 문자 그대로 SG 장치의 고체판(스핀–전하 변환 + 단전자 검출)이다.

그래프 직관 — 두 점의 간격이 재는 것. 스크린 위 갈라진 폭 $\Delta z \propto \mu_z\,(\partial_zB)\,L^2/mv^2$. 기울기를 두 배로 하면 폭이 두 배, 온도를 올려 $v$가 커지면 $1/T$로 줄고, 무거운 원자일수록 줄어든다. 폭 자체는 실험 조건이 정하지만 점이 두 개라는 사실은 조건과 무관하다 — 그것이 양자적인 부분이다.

직관

파라미터 연계 — 스핀이 반도체로 들어오는 자리.

• 파울리 배타원리(5.6.5). 스핀이 두 값이라서 각 궤도 상태에 전자가 둘까지 들어간다. 주기율표의 주기 길이, 밴드 하나가 원자당 전자 2개를 담는다는 규칙, 유효 상태 밀도의 인자 2 — 전부 이 절의 두 점이다.
• 제만 분리. 자기장 $B$에서 두 스핀 상태의 에너지 차는 $g\mu_BB$ — $1\,\mathrm T$에서 $0.116\,\mathrm{meV}$, 진동수로 $28\,\mathrm{GHz}$. 이 전이를 마이크로파로 일으키는 것이 전자 스핀 공명(ESR)이고, 반도체의 결함(실리콘–산화막 계면의 $P_b$ 중심, 도너 전자)을 동정하는 표준 도구다 (19부). 핵의 자기 모멘트는 $\mu_N = \mu_B\,m_e/m_p$로 1836분의 1이라 NMR은 MHz 급이다.
• 스핀 수송. 강자성 금속에서 위·아래 스핀의 전도도가 다르다는 사실이 거대 자기저항(GMR, 하드 디스크 헤드)과 터널 자기저항(TMR)의 원리이고, 스핀 편극 전류가 자유층의 자화를 뒤집는 스핀 전달 토크(STT)가 MRAM의 쓰기 원리다(15부). 읽기는 자화 방향에 따른 저항 — SG 장치가 스핀을 위치로 바꾸듯, MTJ는 스핀을 저항으로 바꾼다.
• 스핀–궤도 결합. 4절의 미세 구조가 이것이고, 반도체에서는 밴드 구조의 스핀 분리(라시바·드레셀하우스)와 스핀 완화 시간을 정한다. 실리콘은 $Z$가 작아 스핀–궤도가 약하고 그래서 스핀 수명이 길다 — 실리콘 스핀 큐비트가 유망한 이유다.

의문

왜 은 원자이지 전자 자체가 아닌가. 전자를 직접 SG 장치에 넣으면 되지 않는가. 안 된다 — 보어와 파울리가 보였듯 로렌츠 힘 $ev\times B$가 자기력 $\mu_B\,\partial_zB$보다 압도적으로 크고, 빔의 폭에 따른 로렌츠 힘의 퍼짐이 스핀 분리보다 언제나 크다(불확정성 원리의 결과다). 중성 원자는 로렌츠 힘을 받지 않으므로 전자 하나의 스핀을 “운반체”에 실어 재는 것이다. 자유 전자의 스핀은 모트 산란(스핀–궤도 결합에 의한 비대칭 산란)으로 잰다.

입자-파동 이중성과 상보성

증거를 모아 놓으면

이 장의 실험을 대상별로 정리하면 표가 하나 나온다.

	파동으로 보인 실험	입자로 보인 실험
빛	간섭·회절(영, 프레넬 — 3.5·3.6), 편광, 맥스웰 방정식	광전효과(2절), 콤프턴 산란(3절), 광자 계수
전자	데이비슨–저머·톰슨 회절(5절), 이중 슬릿 간섭	안개상자 궤적, 밀리컨 전하, 형광판의 점

빛도 전자도 두 줄에 다 있다. 같은 대상이 실험에 따라 파동으로도 입자로도 나타난다 — 이것이 입자–파동 이중성(wave–particle duality)이다. 모순처럼 들리지만, 모순은 “파동”과 “입자”를 고전적 의미로 읽을 때만 생긴다. 이 절은 그 두 단어가 실제로 무엇을 뜻하는지를 정리한다.

이중 슬릿, 전자 한 개씩

가장 날카로운 실험은 5절 끝의 의문에 답하는 것이다. 전자를 이중 슬릿에 한 번에 하나씩 보낸다 — 전자와 전자 사이 간격이 장치 길이보다 훨씬 길어 한 순간에 장치 안에는 전자가 많아야 하나다. 욘손(1961)이 처음 전자 이중 슬릿을, 메를리·미시롤리·포치(1974)와 도노무라(1989)가 한 개씩 쌓이는 과정을 찍었다.

그림 5.1-10. 한 번에 전자 한 개씩 보낸 이중 슬릿의 도달점(도노무라 1989 실험의 모식 — 점의 위치는 이중 슬릿 무늬 |ψ|² ∝ cos²·sinc²에서 무작위로 뽑았다). 20개일 때는 무작위한 점 몇 개일 뿐이다. 200개에서 세로 줄무늬가 희미하게 나타나고, 900개에서 뚜렷한 간섭무늬가 된다. 아래 곡선이 파동이 예측하는 |ψ|²이고 점의 밀도가 그것을 따른다. 전자 하나하나는 한 점에 통째로 닿고(입자), 어디에 닿을지의 확률은 두 슬릿을 모두 지난 파동이 정한다(파동). 어느 슬릿을 지났는지 알아내면 무늬는 사라진다.직접 작도

보이는 것은 세 가지다.

1. 전자는 언제나 한 점에 닿는다. 스크린의 여러 곳에 조금씩 퍼져 닿는 일은 없다. 도달은 낱개다.
2. 점이 쌓이면 간섭무늬가 나온다 — 슬릿 두 개의 폭·간격·파장 $h/p$로 계산한 무늬 (3.6.3단일 슬릿과 이중 슬릿)와 정확히 같다.
3. 슬릿 하나를 막으면 무늬가 사라지고 단일 슬릿 회절만 남는다. 그리고 두 슬릿을 다 열되 어느 슬릿을 지났는지 알아내는 장치(슬릿 옆의 검출기, 슬릿마다 다른 편광을 주는 필터)를 달면, 어느 쪽인지 알게 되는 정도에 정확히 비례해 무늬가 사라진다.

셋째가 핵심이다. 한 번에 전자가 하나뿐이니 두 전자가 서로 간섭한 것이 아니다. 전자 하나가 두 슬릿 모두와 관계해야만 무늬가 나온다. “어느 슬릿”이라는 정보를 얻는 순간 무늬가 없어지므로, 전자가 한쪽 슬릿을 지났다는 사실이 있는데 우리가 모르는 것이 아니라, 경로가 정해져 있지 않을 때만 무늬가 있는 것이다. 디랙의 표현으로 “각 광자는 자기 자신하고만 간섭한다.”

확률 파동 — 보른의 해석

세 관찰을 모순 없이 담는 그림은 하나뿐이다. 파동은 전자가 퍼져 있는 물질이 아니라, 전자가 어디서 발견될 확률의 진폭이다. 보른(1926)의 규칙: 파동함수 $\psi(x)$에 대해 $|\psi(x)|^2\,dx$가 전자를 $x$와 $x + dx$ 사이에서 발견할 확률이다. 5.2가 이 규칙을 세우는 장이고, 여기서는 왜 이것이 이중 슬릿을 설명하는지만 본다.

슬릿 1만 열면 스크린의 진폭이 $\psi_1$, 슬릿 2만 열면 $\psi_2$다. 둘 다 열면 진폭이 더해진다 — 파동이니까:

$$P_{12} = |\psi_1 + \psi_2|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\operatorname{Re}\bigl(\psi_1^*\psi_2\bigr)$$

마지막 항이 간섭항이다. 확률이 더해지는 것($P_1 + P_2$, 입자라면 이래야 한다)이 아니라 진폭이 더해진 뒤 제곱된다. 어느 슬릿을 지났는지 알아내면 전자의 상태가 검출기와 얽혀 두 항이 서로 구별 가능해지고, 구별 가능한 경로의 확률은 더해진다 — 간섭항이 사라진다. 6절의 SG 실험 (c)가 정확히 이 구조였다: $|S_x;+\rangle = (|+\rangle + |-\rangle)/\sqrt2$의 두 성분이 구별되지 않는 채로 겹쳐 있어야 $S_x+$이고, $S_z$를 재는 순간 둘이 갈라진다.

직관

수학적 직관 — 이중성은 분산 관계 하나로 줄어든다. 이 장의 네 관계식을 한 쌍으로 모으면

$$E = \hbar\omega,\qquad p = \hbar k$$

이고, 이것은 광자와 전자에 똑같이 적용된다. 둘의 차이는 $\omega(k)$뿐이다(5절의 표). 광자든 전자든 “입자”라는 말은 에너지·운동량이 $(\hbar\omega, \hbar k)$ 덩어리로 주고받아진다는 뜻이고, “파동”이라는 말은 그 덩어리의 진폭이 $e^{i(kx-\omega t)}$처럼 겹쳐지고 간섭한다는 뜻이다. 두 성질은 같은 식의 두 면이다.

형태적 직관 — 국소화의 대가. 단색 평면파 $e^{ikx}$는 운동량이 정확히 $\hbar k$이지만 어디에나 있다. 전자를 폭 $\Delta x$ 안에 두려면 파수가 $\Delta k \gtrsim 1/\Delta x$만큼 퍼진 파들을 겹쳐야 한다 — 푸리에 변환의 폭 관계(1.10.4푸리에 변환의 성질)다. $p = \hbar k$를 곱하면

$$\Delta x\,\Delta p \gtrsim \hbar$$

이것이 하이젠베르크의 불확정성 원리(1927)의 내용이고, 정밀한 형태 $\sigma_x\sigma_p \ge \hbar/2$는 5.2.5에서 증명한다. 여기서는 그것이 새 가설이 아니라 파동을 국소화하는 데 드는 값이라는 사실만 챙긴다. Halliday(38-7)가 드는 예가 좋다: 폭 $a$인 단일 슬릿을 지나는 전자는 $\Delta y \approx a$로 국소화되고, 첫 회절 극소 $\sin\theta = \lambda/a$까지 퍼지므로 $\Delta p_y \approx p\lambda/a = h/a$ — 곱이 $h$다. 슬릿을 좁힐수록 회절이 넓어지는 것(3.6.3)이 바로 위치를 정할수록 운동량이 흐려지는 것이다.

상보성 — 보어의 답

보어(1927, 코모 강연)는 이 상황에 상보성(complementarity)이라는 이름을 붙였다. 파동 묘사와 입자 묘사는 서로 배타적이지만 — 한 실험에서 둘을 동시에 완전히 볼 수는 없다 — 대상을 온전히 기술하려면 둘 다 필요하다. 어느 쪽이 드러나는가는 실험 장치가 정한다. 간섭계는 파동을, 검출기는 입자를 본다. “전자는 정말 무엇인가”라는 질문에 보어는 “실험 장치를 떠나서는 답할 수 없다”고 했다. 이 태도(코펜하겐 해석)가 유일한 해석은 아니지만, 계산에는 아무 차이가 없고 이 백과는 여기서 더 들어가지 않는다.

실용적으로 챙길 것은 언제 고전이 충분한가다. 광학에서 파장이 장치보다 훨씬 짧으면 기하광학 (광선)으로 충분하고 파장이 장치와 견줄 만하면 파동광학이 필요하듯(3.4·3.6), 역학에서 드브로이 파장이 계의 치수보다 훨씬 짧으면 고전역학(궤적)으로 충분하고 견줄 만하면 양자역학이 필요하다. 기하광학 ↔ 고전역학, 파동광학 ↔ 양자역학의 대응은 비유가 아니라 수학적으로 같은 극한(WKB, 1.9.11의 정상 위상)이다. 반도체에서 그 경계가 어디인지는 5절의 페르미 파장·열적 파장 표가 말한다 — $1\,\mathrm{\mu m}$ 채널은 고전, $5\,\mathrm{nm}$ 채널은 양자다. 그 사이의 수십 nm가 14부가 다루는 영역이다.

의문

“전자는 어느 슬릿을 지났는가”는 왜 답이 없는 질문인가. 질문 자체가 전자를 고전 입자로 전제한다 — 경로가 있고 우리가 모를 뿐이라고. 실험은 그 전제를 거부한다: 경로를 정하면(알아내면) 무늬가 사라지고, 무늬가 있으면 경로가 없다. 양자역학이 답을 숨기는 것이 아니라 그 질문이 성립하지 않는 것이다. 이것을 받아들이기 어려운 것은 정상이다 — 아인슈타인도 끝까지 받아들이지 않았고, 그 논쟁이 EPR과 벨 부등식(1964), 그리고 실험(1982, 2015)으로 이어져 “숨은 경로”가 있는 어떤 국소적 이론도 실험과 맞지 않음이 확인되었다. 5.4의 형식론은 이 사실을 전제로 세워진다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 에너지·운동량·각운동량은 $h$ 단위로 끊어져 있고, 그 덩어리의 진폭은 파동처럼 겹친다. 다섯 실험이 그것을 각각 다른 방향에서 보였고, $h$의 크기가 어디서부터 그것이 보이는가를 정한다. 목적지를 적어 둔다.

• 일함수와 장벽 (12·13·19부) — $\Phi$, 쇼트키 장벽 $\phi_B$와 내부 광전자 방출 측정, MOS의 $\Phi_{ms}$, XPS·UPS의 $K = h\nu - E_B - \Phi$, 리처드슨 열전자 방출 (2절).
• 광검출과 발광 (17부) — 차단 파장 $1240/E_g$, 응답도 $\eta\lambda/1240$, 광자의 운동량이 작아 광학 전이가 수직이라는 것과 직접·간접 밴드갭, LED 스펙트럼의 $k_BT$ 꼬리 (1·2·3절).
• 열복사와 통계 (6부, 18부) — 플랑크 분포와 보스–아인슈타인의 $-1$, 슈테판–볼츠만과 RTP 고온계, 아인슈타인·디바이 열용량, $e^{-E/k_BT}$ 억제의 산수 (1절).
• 수소형 준위 (7·10·11부) — $13.6\,\mathrm{eV}\cdot(m^*/m_e)/\varepsilon_r^2$의 도너·억셉터·엑시톤, 유효 보어 반지름과 유효질량 근사의 정당성, 대응 원리와 밴드의 연속 극한 (4절).
• 전자의 파장 (9·10·14·18·19부) — TEM·SEM·전자빔 리소그래피의 $\lambda(V)$, LEED·RHEED, 페르미 파장과 열적 파장이 정하는 양자 구속의 문턱, 분산 관계 $E(k)$와 유효질량 (5절).
• 스핀 (5.6, 15·19부) — 파울리 배타와 밴드 채우기, 제만 분리와 ESR, GMR·TMR·STT-MRAM, 스핀 큐비트의 초기화와 읽기 (6절).
• 확률 진폭 (5.2·5.3, 14부) — $|\psi|^2$, 간섭항, 불확정성 $\Delta x\Delta p \gtrsim \hbar$, 터널링과 결맞음 수송, 어느 경로 정보와 결맞음 상실 (7절).
• 다음 장들. 5.2는 $E = \hbar\omega$, $p = \hbar k$, $\omega = \hbar k^2/2m$을 만족하는 파동 방정식 — 슈뢰딩거 방정식 — 을 세우고 $|\psi|^2$의 규칙을 정한다. 5.3이 상자·우물·장벽에서 정상파 조건을 풀고, 5.4가 SG 실험의 벡터 산수를 형식론으로 만들며, 5.5가 보어의 수소를 제대로 푼다. 5.6이 스핀이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 4.1 원자와 주기성
• 4.7 분자간 상호작용과 고분자
• 5.4 형식론
• 6.3 볼츠만 분포와 자유에너지
• 7.2 역격자와 회절
• 8.2 미세조직 관찰
• 9.1 표면의 구조