수송 이론

7.6에서 드루데는 $\sigma=ne^2\tau/m$ 을 썼다. 전자 $n$ 개가 평균 $\tau$ 마다 부딪히며 표류한다는 그림이었고, 옴의 법칙·홀 효과·비데만–프란츠 법칙이 거기서 나왔다. 그런데 7.7~7.9를 지나고 나면 그 그림은 두 군데가 비어 있다. 첫째, 완전한 결정 안의 전자는 블로흐 파이고, 블로흐 파는 산란하지 않는다. 이온이 규칙적으로 늘어서 있는 것 자체는 저항의 원인이 아니다 — 그렇다면 $\tau$ 는 무엇과의 충돌로 정해지는가. 둘째, 파울리 배타로 깊은 곳의 전자는 움직일 자리가 없다. 전류를 나르는 것은 $n$ 개 전부인가, 페르미 면의 전자뿐인가. (답은 “둘 다 맞다”이고, 그 둘이 같은 식의 두 얼굴이라는 것이 4절이다.)

이 장은 그 빈 곳을 채우는 자리다. 밴드 구조 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 와 산란 확률 $W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$ — 이 두 입력에서 측정되는 양 — 전도도 $\sigma$, 이동도, 홀 계수 $R_H$, 제벡 계수 $S$, 전자 열전도도 $\kappa$ — 을 뽑아내는 기계가 볼츠만 수송 방정식이다. 장의 순서는 그 기계를 조립하는 순서다.

1. 준고전 모형 — 블로흐 전자를 위치와 파벡터를 함께 가진 입자로 다뤄도 되는 조건과, 그때의 운동 방정식. 리우빌 정리가 통계로 가는 다리다.
2. 볼츠만 방정식 — 위상 공간의 분포 함수 $f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)$ 에 대한 수지 계산. 왼쪽은 흐름(가역), 오른쪽은 충돌(비가역).
3. 완화시간 근사 — 충돌항을 $-(f-f^0)/\tau$ 로 바꾸는 작업 가설. 전기장 속에서 페르미 구 전체가 $\delta\mathbf{k}=-e\mathbf{E}\tau/\hbar$ 만큼 밀리고, 드루데의 답이 그대로 나온다.
4. 선형화 — 전기장·온도 기울기·화학퍼텐셜 기울기에 1차로 응답하는 계수 전부가 적분 하나 $\mathcal{L}^{(\alpha)}$ 의 세 경우로 정리된다. 전도도가 페르미 면 적분이 되는 곳.
5. 완화시간 근사를 넘어서 — 충돌 적분을 제대로 쓰면 $\tau$ 가 무엇인지 드러난다. 전방 산란은 전류를 늦추지 못한다는 사실이 $(1-\cos\theta)$ 하나로 들어온다.
6. 전자–포논 산란율 — 금속 비저항의 $T^5\to T$ 와 반도체 이동도의 $T^{-3/2}$ 가 같은 골든 룰에서 나온다.
7. 열전 계수와 자기수송 — 4절의 적분을 거둬들이는 자리. 모트 공식, 비데만–프란츠, 홀 인자, 자기저항.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

• 이동도 (11.2) — $\mu_n=e\langle\tau\rangle/m^*$ 의 $\langle\ \rangle$ 가 무슨 평균인지(4절), 격자 산란 $T^{-3/2}$ 와 이온화 불순물 산란 $T^{3/2}$ 가 어디서 오는지(5·6절), 마티센 법칙이 언제 정확하고 언제 근사인지(5절).
• 홀 측정 (11.2.9) — 홀 계수에 붙는 인자 $r_H=\langle\tau^2\rangle/\langle\tau\rangle^2$ 와 두 캐리어 공식(7절).
• 드리프트–확산 방정식 (11.5) — 볼츠만 방정식의 처음 두 모멘트다. 아인슈타인 관계와 준페르미 준위의 기울기가 전류를 몬다는 사실이 4절의 $\boldsymbol{\mathcal{E}}=\mathbf{E}+\nabla\mu/e$ 다.
• 고전계 수송 (11.7 · 14.2) — 선형화가 깨지는 곳. 에너지 완화시간과 운동량 완화시간이 다르다는 사실이 3·5절에서 먼저 나온다.
• 채널 이동도 (13.7) — 계면 거칠기·쿨롱 산란이 6절의 골든 룰에 산란 기구 하나씩을 더한 것이다.
• 탄도 수송과 란다우어 (10.4) — 소자가 평균 자유 행정보다 짧아지면 볼츠만 방정식 자체가 물러난다. 어디서 물러나는지는 2절 끝에 적는다.

표기는 Ashcroft·Mermin을 기준으로 한다. 이 장은 같은 글자가 다른 뜻으로 부딪히는 자리가 유난히 많다 — $\varepsilon$ 과 $\mathbf{E}$, $\mu$ 와 $\mu_n$, $\tau$ 와 $\tau_c$, $\mathbf{k}$ 와 $\mathbf{q}$. 장 전체에 걸리므로 앞에 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{k}$, $\mathbf{q}$	파벡터	전자의 파벡터 / 포논의 파벡터. $\hbar\mathbf{k}$ 는 결정 운동량	m$^{-1}$
$\varepsilon_n(\mathbf{k})$	밴드 에너지	$n$ 번째 밴드. 이 장에서 $\varepsilon$ 은 언제나 에너지, 전기장이 아니다	J, eV
$\mathbf{E}$, $\boldsymbol{\mathcal{E}}$	전기장 / 전기화학 장	$\boldsymbol{\mathcal{E}}=\mathbf{E}+\nabla\mu/e$. 전압계가 재는 쪽은 $\boldsymbol{\mathcal{E}}$	V/m
$\mathbf{v}_n(\mathbf{k})$	군속도	$\hbar^{-1}\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon_n$. 소문자 $v$ 는 속도, $V$ 는 부피·퍼텐셜	m/s
$e$	기본 전하	$e>0$. 전자의 전하는 $-e$, 정공은 $+e$	C
$\mu$, $\mu_n$	화학퍼텐셜 / 이동도	첨자 없는 $\mu$ 는 화학퍼텐셜(페르미 준위). 이동도는 $\mu_n$, $\mu_p$	J / m$^2$V$^{-1}$s$^{-1}$
$f$, $f^0$, $g$	분포 함수	$f$ 는 실제 분포, $f^0$ 은 (국소) 평형 페르미 분포, $g=f-f^0$ 은 편차	무차원
$\tau$, $\tau_c$, $\tau_\varepsilon$	완화시간	수송(운동량) 완화시간 / 충돌 시간(평균 충돌 간격) / 에너지 완화시간	s
$W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$	전이율	$\mathbf{k}\to\mathbf{k}'$ 산란의 단위 시간당 확률 (밀도)	s$^{-1}$m$^3$
$n$, $n_{\mathbf{q}}$	농도 / 점유수	전자 농도 / 포논 모드 $\mathbf{q}$ 의 보스 점유수	m$^{-3}$ / 무차원
$\sigma_{\alpha\beta}$, $\rho$	전도도 텐서 / 비저항	$\rho_m$ 은 질량 밀도(6절)	S/m, Ω·m
$\mathbf{j}$, $\mathbf{j}_q$	전류 밀도 / 열류 밀도	열류는 $\mu$ 를 기준으로 잰 에너지 흐름 (2절)	A/m$^2$, W/m$^2$
$\int d\mathbf{k}/4\pi^3$	상태 합	스핀 둘을 포함한 단위 부피당 상태 수 $2\,d\mathbf{k}/(2\pi)^3$	m$^{-3}$

준고전 모형과 파속 동역학

블로흐 전자는 왜 산란하지 않는가

주기 퍼텐셜 속 전자의 정상 상태는 블로흐 함수 $\psi_{n\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ 이다 (7.7.1주기 퍼텐셜과 블로흐 정리). 정상 상태라는 말이 핵심이다 — 해밀토니안의 고유 상태이므로 시간이 가도 위상만 돌 뿐 다른 상태로 옮겨 가지 않는다. 그 상태의 평균 속도는

$$\mathbf{v}_n(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}\,\varepsilon_n(\mathbf{k})$$

이고, 이것은 근사가 아니라 블로흐 상태의 정확한 기댓값이다. 곧 완전한 결정 안에서 $\mathbf{k}$ 에 놓인 전자는 영원히 속도 $\mathbf{v}_n(\mathbf{k})$ 로 간다. 이온이 $10^{22}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 이나 있어도 전자는 그것과 부딪히지 않는다 — 이온의 주기 배열은 이미 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 안에 녹아 있다.

그러면 저항은 어디서 오는가. 주기성을 깨는 것에서만 온다. 열진동으로 제자리를 벗어난 이온(포논), 불순물·공공·전위, 표면과 계면, 그리고 전자끼리의 충돌. 드루데가 “이온과의 충돌”이라 부른 것의 실체는 “이온의 변위와의 충돌”이다. 이 사실이 3·6절에서 비저항의 온도 의존성을 정하고, 순수한 금속의 저온 비저항이 $10^{-4}$ 배로 떨어지는 이유(잔류 비저항)를 준다.

파속 — 위치와 파벡터를 함께 갖는 조건

블로흐 상태 하나는 결정 전체에 퍼져 있어 “어디에 있는가”를 물을 수 없다. 위치를 갖게 하려면 $\mathbf{k}$ 근방 폭 $\Delta k$ 의 블로흐 상태들을 겹쳐 파속을 만든다 (5.3.4자유 입자와 파속). 파속의 공간 폭은 $\Delta r\sim1/\Delta k$ 다. 두 조건이 반대 방향에서 죈다.

• $\mathbf{k}$ 가 뜻을 가지려면 파벡터의 퍼짐이 브릴루앙 영역보다 훨씬 작아야 한다: $\Delta k\ll2\pi/a$, 곧 $\Delta r\gg a$.
• 파속이 외부 장을 “균일한 힘”으로 느끼려면 장이 변하는 거리 $\lambda$ 가 파속보다 훨씬 길어야 한다: $\Delta r\ll\lambda$.

$$a\;\ll\;\Delta r\;\ll\;\lambda$$

가 준고전 모형의 존재 조건이다. 격자 상수 $a\sim0.5\,\mathrm{nm}$ 이고, 소자 안의 전기장이 변하는 거리는 대개 수십 nm 이상이니 그 사이에 파속이 들어갈 자리가 있다. 시간 쪽으로도 한 조건 — 장의 진동수가 $\hbar\omega\ll\varepsilon_{\text{gap}}$ 이어야 밴드 사이를 건너뛰지 않는다.

그림 7.12-1. 준고전 파속이 성립하는 길이 척도의 위계. 격자점 간격 a보다 파속의 폭 Δx가 훨씬 넓고, 그보다 외부 퍼텐셜 −eφ(x)가 변하는 거리 λ가 훨씬 길다. 파속은 블로흐 파(빠른 진동)에 포락선을 씌운 것이고, 포락선의 중심이 군속도 v = ∂ε/ħ∂k로 움직인다. 파수의 퍼짐 Δk ~ 1/Δx가 영역 크기 2π/a보다 작아야 '파벡터 k를 가진 입자'라는 말이 뜻을 갖는다.직접 작도

이 조건 아래에서 파속의 중심 $\mathbf{r}$ 과 파벡터 $\mathbf{k}$ 는 아래 준고전 운동 방정식을 따른다 (Ashcroft·Mermin Ch.12, 7.9.2의 결과를 다시 적는다 — 7.9.2운동 방정식과 ħk̇ = F):

$$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}_n(\mathbf{k})=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial\varepsilon_n(\mathbf{k})}{\partial\mathbf{k}}, \qquad \hbar\dot{\mathbf{k}}=-e\left[\mathbf{E}(\mathbf{r},t)+\mathbf{v}_n(\mathbf{k})\times\mathbf{B}(\mathbf{r},t)\right]$$

밴드 지표 $n$ 은 운동 중 바뀌지 않는다. 두 식은 자유 입자의 뉴턴 방정식과 꼭 닮았는데, 다른 점이 둘이다. 첫째, 속도가 $\hbar\mathbf{k}/m$ 이 아니라 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 의 기울기다 — 결정의 모든 정보가 이 함수 하나로 들어온다. 둘째, 오른쪽 변에 외부 힘만 있다. 격자가 전자에 주는 힘은 없다 — 아니, 이미 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 에 들어 있다.

주의

$\hbar\mathbf{k}$ 는 운동량이 아니다. 블로흐 상태는 운동량 연산자의 고유 상태가 아니고, $\hbar\mathbf{k}$ 는 격자 병진 대칭이 주는 양자수(결정 운동량)다. $\hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}_{\text{ext}}$ 가 뉴턴 제2법칙처럼 보이지만, 전자의 실제 운동량 변화율은 외부 힘 더하기 격자가 주는 힘이고 그 둘의 차이를 격자가 흡수한다. 전자가 영역 경계에 닿아 $\mathbf{k}\to\mathbf{k}-\mathbf{G}$ 로 되돌아오는 브래그 반사(7.9.10의 블로흐 진동), 포논 산란에서 $\hbar\mathbf{G}$ 만큼의 운동량이 사라지는 움클랍 과정(7.5.8움클랍 과정)이 전부 “격자가 운동량을 받아 간다”의 다른 얼굴이다.

밴드 사이 전이가 없다는 가정에도 정량적 조건이 있다 (Ashcroft·Mermin Ch.12):

$$eEa\ll\frac{\varepsilon_{\text{gap}}^2}{\varepsilon_F}, \qquad \hbar\omega_c\ll\frac{\varepsilon_{\text{gap}}^2}{\varepsilon_F}$$

$\omega_c=eB/m^*$ 는 사이클로트론 진동수다. $\varepsilon_{\text{gap}}\sim1\,\mathrm{eV}$, $\varepsilon_F\sim5\,\mathrm{eV}$, $a\sim0.3\,\mathrm{nm}$ 를 넣으면 전기장은 $10^6\,\mathrm{V/cm}$ 급, 자기장은 $10^3\,\mathrm{T}$ 급까지 괜찮다. 실험실의 장은 거의 언제나 이 안에 있다. 반도체에서 이 조건이 깨지는 곳이 제너 터널링(7.9.10)이고, 그것은 준고전 모형 바깥의 현상이다.

준고전 운동이 주는 세 결론

7.9에서 이미 본 것들이지만, 이 장의 관점에서 한 줄씩 다시 둔다.

가득 찬 밴드는 전류를 나르지 않는다. 밴드의 전류 밀도는

$$\mathbf{j}=-e\int_{\text{BZ}}\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\mathbf{v}_n(\mathbf{k}) =-\frac{e}{\hbar}\int_{\text{BZ}}\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon_n(\mathbf{k})=0$$

이다. $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 가 역격자 주기 함수라 영역 전체에 걸친 기울기의 적분은 0이다 (주기 함수의 도함수를 한 주기 적분하면 양 끝값이 같아 사라진다). 전기장을 걸어도 모든 $\mathbf{k}$ 가 같은 속도로 밀리므로 가득 찬 밴드는 가득 찬 채로 남고, 적분값은 계속 0이다. 절연체는 이 한 줄이다.

거의 찬 밴드는 정공으로 읽는다. 비어 있는 상태의 전류는 “가득 찬 밴드(0) 빼기 빈 상태의 기여”이므로 $\mathbf{j}=+e\int_{\text{빈 상태}}\mathbf{v}\,d\mathbf{k}/4\pi^3$ — 전하 $+e$ 를 가진 입자가 빈 상태 자리에서 같은 속도로 움직이는 것과 같다 (7.9.3정공의 개념). 7절의 홀 계수 부호가 여기서 갈린다.

가속도는 곡률이 정한다. 첫 식을 시간 미분하고 둘째 식을 넣으면

$$\dot v_\alpha=\frac{1}{\hbar^2}\sum_\beta\frac{\partial^2\varepsilon_n}{\partial k_\alpha\partial k_\beta}F_\beta \quad\Longrightarrow\quad \left(\mathbf{M}^{-1}\right)_{\alpha\beta}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\varepsilon_n}{\partial k_\alpha\partial k_\beta}$$

가 유효질량 텐서다 (7.9.4유효질량 텐서와 물리적 해석). 4절에서 전도도가 “점유된 상태에 걸친 $\mathbf{M}^{-1}$ 의 평균”이라는 형태로 나오는데, 가득 찬 밴드에서 그 평균이 0이 되는 것과 위의 첫 결론이 같은 말이다.

자기장만 있을 때는 $\dot{\varepsilon}=\hbar\dot{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{v}=-e(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0$ 이고 $\mathbf{k}$ 의 $\mathbf{B}$ 방향 성분도 변하지 않으므로, 궤도는 등에너지면과 $\mathbf{B}$ 에 수직인 평면의 교선이다 (7.8.7전자 궤도·정공 궤도·열린 궤도). 닫힌 궤도인지 열린 궤도인지가 7절의 강자기장 자기저항을 정한다.

리우빌 정리 — 통계로 가는 다리

한 전자의 궤적을 아는 것과 $10^{22}$ 개의 전자를 다루는 것 사이에 다리가 하나 필요하다. 위상 공간 $(\mathbf{r},\mathbf{k})$ 의 작은 부피 요소 $d\mathbf{r}\,d\mathbf{k}$ 를 골라 그 안의 점들을 준고전 방정식으로 $dt$ 만큼 흘려보내자. $\mathbf{r}$ 은 $\mathbf{v}(\mathbf{k})\,dt$ 만큼, $\mathbf{k}$ 는 $(\mathbf{F}/\hbar)\,dt$ 만큼 옮겨 간다. $\mathbf{k}$ 가 큰 쪽이 더 빨리 가므로 상자는 기울어진다. 그런데 넓이는 변하지 않는다.

그림 7.12-2. 위상 공간 (x, k)에서 시각 t의 직사각형 셀이 dt 뒤에 평행사변형으로 기운 모습. 각 점은 x 방향으로 v(k)dt, k 방향으로 (F/ħ)dt만큼 옮겨 가는데, k가 큰 위 변이 더 빨리 가서 셀이 기울지만 넓이 dx·dk는 그대로다(리우빌 정리). 그래서 충돌이 없으면 셀 안의 전자 수도, 밀도 f도 궤적을 따라 상수다 — 볼츠만 방정식의 왼쪽 변이 이 한 문장이다.직접 작도

이유는 준고전 방정식이 해밀턴 방정식의 꼴이기 때문이다. $H=\varepsilon_n(\mathbf{k})-e\phi(\mathbf{r})$ 로 두면 $\dot{\mathbf{r}}=\partial H/\partial(\hbar\mathbf{k})$, $\hbar\dot{\mathbf{k}}=-\partial H/\partial\mathbf{r}$ 이고, 해밀턴 흐름은 위상 공간의 부피를 보존한다 (3.1.8라그랑지안과 해밀토니안). 흐름의 발산이 $\nabla_{\mathbf{r}}\cdot\dot{\mathbf{r}}+\nabla_{\mathbf{k}}\cdot\dot{\mathbf{k}} =\partial^2H/\partial\mathbf{r}\,\partial(\hbar\mathbf{k})-\partial^2H/\partial(\hbar\mathbf{k})\,\partial\mathbf{r}=0$ 으로 사라지는 것이 그 증명이다. 자기장이 있어도 마찬가지다 — 로렌츠 힘 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 의 $\mathbf{k}$ 발산은 $\nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla_{\mathbf{k}}\times\mathbf{v})=0$ 인데, $\mathbf{v}$ 가 기울기($\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon/\hbar$)라 회전이 0이기 때문이다 (1.1.2기울기·발산·회전).

따라서 충돌이 없으면 위상 공간의 전자 밀도는 궤적을 따라 상수다. 시각 $t$ 에 $(\mathbf{r},\mathbf{k})$ 에서 밀도 $f$ 를 봤다면, $dt$ 뒤 $(\mathbf{r}+\mathbf{v}dt,\ \mathbf{k}+\mathbf{F}dt/\hbar)$ 에서 같은 $f$ 를 본다. 이 한 문장을 미분 방정식으로 쓴 것이 다음 절의 볼츠만 방정식이고, 충돌은 그 문장이 깨지는 유일한 방식이다.

직관

공간적 직관 — 전자는 두 공간에 동시에 산다. $\mathbf{r}$ 공간에서는 소자 안의 위치이고, $\mathbf{k}$ 공간에서는 브릴루앙 영역 안의 점이다. 전기장은 $\mathbf{k}$ 공간에서 모든 점을 같은 속도 $-e\mathbf{E}/\hbar$ 로 밀고(균일 병진), $\mathbf{r}$ 공간에서는 $\mathbf{k}$ 마다 다른 속도 $\mathbf{v}(\mathbf{k})$ 로 옮긴다. 산란은 $\mathbf{k}$ 공간에서의 순간 이동이고 $\mathbf{r}$ 은 건드리지 않는다. 이 장의 모든 계산은 결국 ”$\mathbf{k}$ 공간에서 분포가 얼마나 비뚤어졌는가”를 재는 일이다 — 3절의 밀린 페르미 구가 그 첫 그림이다.

파라미터 연계 — 밴드 구조는 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 한 함수로만 들어온다. 속도, 유효질량, 등에너지면의 모양, 밸리의 수, 정공인지 전자인지 — 수송에 필요한 결정의 정보는 전부 이 함수의 1차·2차 도함수다. 그래서 4절의 전도도 텐서가 이방성을 갖는지, 7절의 홀 계수 부호가 어느 쪽인지는 새 물리가 아니라 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 의 모양을 읽는 문제가 된다.

볼츠만 수송 방정식

분포 함수와 그 모멘트

밴드 $n$ 의 전자를 위상 공간의 밀도로 기술한다. 시각 $t$ 에 $\mathbf{r}$ 근방 $d\mathbf{r}$, $\mathbf{k}$ 근방 $d\mathbf{k}$ 안에 있는 전자 수를

$$dN=f_n(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\frac{d\mathbf{r}\,d\mathbf{k}}{4\pi^3}$$

로 쓴다. $d\mathbf{k}/4\pi^3=2\times d\mathbf{k}/(2\pi)^3$ 은 스핀 둘을 포함한 단위 부피당 상태 수이고 (6.5.9차원별 상태밀도), 따라서 $f$ 는 상태 하나의 점유 확률이다 — $0\le f\le1$. 평형에서는

$$f^0(\varepsilon)=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT}+1}$$

의 페르미–디랙 분포다 (6.4.7페르미-디랙 분포의 유도). 온도와 화학퍼텐셜이 자리마다 다른 국소 평형 $f^0\big(\varepsilon_n(\mathbf{k});T(\mathbf{r}),\mu(\mathbf{r})\big)$ 도 같은 꼴이다.

관측되는 양은 전부 $f$ 의 $\mathbf{k}$ 적분(모멘트)이다.

$$\begin{aligned} n(\mathbf{r},t)&=\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,f &&\text{(농도)}\\[2pt] \mathbf{j}(\mathbf{r},t)&=-e\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\mathbf{v}(\mathbf{k})\,f &&\text{(전류 밀도)}\\[2pt] \mathbf{j}_q(\mathbf{r},t)&=\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\big[\varepsilon(\mathbf{k})-\mu\big]\,\mathbf{v}(\mathbf{k})\,f &&\text{(열류 밀도)} \end{aligned}$$

열류에 $\varepsilon$ 이 아니라 $\varepsilon-\mu$ 가 붙는 이유를 짚어 둔다. 열역학에서 $T\,dS=dU-\mu\,dN$ 이다 — 입자 하나가 옮겨 가며 나르는 에너지 중 $\mu$ 만큼은 “일”이고, 열은 그 나머지다. 그래서 전자 열류는 에너지 흐름에서 $\mu\times$(입자 흐름)을 뺀 것이고, 이 뺄셈이 7절의 펠티에 계수와 열전도도를 옳게 만든다 (Ashcroft·Mermin Ch.13).

흐름 항 — 리우빌 정리를 미분 방정식으로

1절의 결론: 충돌이 없으면 $f$ 는 궤적을 따라 상수다.

$$f\big(\mathbf{r}+\mathbf{v}\,dt,\ \mathbf{k}+\tfrac{\mathbf{F}}{\hbar}dt,\ t+dt\big)=f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)$$

왼쪽을 1차까지 전개하고 $dt$ 로 나누면

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f+\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f=0$$

이다. 충돌은 이 등식을 깬다 — 산란은 전자를 $\mathbf{k}$ 공간의 한 점에서 다른 점으로 순간 이동시켜, 궤적을 따라가던 $f$ 를 줄이거나 늘린다. 그 변화율을 $(\partial f/\partial t)_{\text{coll}}$ 로 쓰면

$$\boxed{\; \frac{\partial f}{\partial t} +\mathbf{v}(\mathbf{k})\cdot\nabla_{\mathbf{r}}f -\frac{e}{\hbar}\big[\mathbf{E}+\mathbf{v}(\mathbf{k})\times\mathbf{B}\big]\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f =\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} \;}$$

가 볼츠만 수송 방정식이다. 왼쪽 세 항이 흐름(streaming) — 시간 변화, 공간의 불균일이 속도를 타고 실려 오는 것, 힘이 $\mathbf{k}$ 를 미는 것. 오른쪽이 충돌. 왼쪽은 가역이고 오른쪽만이 비가역이다.

직관

물리적 직관 — 6차원 유체의 연속 방정식. 흐름 항은 위상 공간에서 유체가 속도장 $(\mathbf{v},\mathbf{F}/\hbar)$ 로 흘러갈 때의 연속 방정식 $\partial f/\partial t+\nabla\cdot(f\mathbf{u})=0$ 을 리우빌 정리로 $\partial f/\partial t+\mathbf{u}\cdot\nabla f=0$ 으로 줄인 것이다(속도장의 발산이 0이라 $f\nabla\cdot\mathbf{u}$ 항이 없다). 기체 운동론의 볼츠만 방정식(6.6.11기체 운동론과 수송 과정)과 같은 물건이고, 다른 점은 셋이다 — 속도가 $\hbar\mathbf{k}/m$ 이 아니라 $\nabla_{\mathbf{k}}\varepsilon/\hbar$ 이고, 충돌 상대가 분자가 아니라 포논·불순물이고, 충돌항에 파울리 배타가 들어간다.

충돌항 — 들어오는 것과 나가는 것

$W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,d\mathbf{k}'/(2\pi)^3$ 을 ”$\mathbf{k}$ 에 있는 전자가 단위 시간에 $\mathbf{k}'$ 근방 $d\mathbf{k}'$ 로 산란될 확률”이라 하자 — $\mathbf{k}'$ 가 비어 있을 때의 확률이다. 여기서는 $4\pi^3$ 이 아니라 $(2\pi)^3$ 인데, 산란이 스핀을 바꾸지 않으므로 같은 스핀의 상태만 세기 때문이다. $\mathbf{k}$ 의 점유 확률이 줄어드는 쪽(나가는 산란)과 늘어나는 쪽(들어오는 산란)을 합하면

$$\left(\frac{\partial f_{\mathbf{k}}}{\partial t}\right)_{\text{coll}} =\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\Big[ \underbrace{W_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}\,f_{\mathbf{k}'}\,(1-f_{\mathbf{k}})}_{\text{들어옴}} -\underbrace{W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,f_{\mathbf{k}}\,(1-f_{\mathbf{k}'})}_{\text{나감}} \Big]$$

이다. $f_{\mathbf{k}}$ 는 출발 상태가 차 있을 확률, $(1-f_{\mathbf{k}'})$ 는 도착 상태가 비어 있을 확률 — 두 인자의 곱이 파울리 배타다. $W$ 자체는 양자역학이 준다. 정적 퍼텐셜 $V$ 에 의한 탄성 산란이면 페르미 황금률(5.9.5페르미 황금률)로

$$W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}=\frac{2\pi}{\hbar}\,n_{\text{imp}}\,\big|\langle\mathbf{k}'|V|\mathbf{k}\rangle\big|^2\, \delta\big(\varepsilon_{\mathbf{k}'}-\varepsilon_{\mathbf{k}}\big)$$

이고($n_{\text{imp}}$ 는 산란 중심의 농도), 포논 산란이면 6절처럼 포논의 방출·흡수와 점유수가 들어온다.

충돌항이 갖는 성질 둘이 이 장 전체를 떠받친다.

① 평형 분포는 충돌항의 영점이다. 탄성 산란에서는 $W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}=W_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}$ 이고 $\varepsilon_{\mathbf{k}}=\varepsilon_{\mathbf{k}'}$ 이므로 $f^0_{\mathbf{k}}=f^0_{\mathbf{k}'}$ 이 되어 대괄호가 항등적으로 0이다. 비탄성 산란에서도 상세 균형 $W_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}\,f^0_{\mathbf{k}'}(1-f^0_{\mathbf{k}})=W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,f^0_{\mathbf{k}}(1-f^0_{\mathbf{k}'})$ 이 성립해(열저장체와의 평형이 보장한다) 같은 결론이다. 곧 충돌은 $f$ 를 $f^0$ 쪽으로 밀고, 흐름 항이 $f$ 를 $f^0$ 에서 떼어 놓는다. 정상 상태는 그 둘의 힘겨루기다.

② 충돌은 입자 수를 국소적으로 보존한다. 들어옴과 나감을 $\mathbf{k}$ 로 적분하면 이름만 바뀐 같은 적분이라 $\int d\mathbf{k}\,(\partial f/\partial t)_{\text{coll}}=0$ 이다. 그래서 볼츠만 방정식을 $\mathbf{k}$ 로 적분하면(0차 모멘트) $\mathbf{k}$ 공간의 기울기 항은 발산정리(1.1.7발산정리와 스토크스 정리)로 사라지고

$$\frac{\partial n}{\partial t}+\nabla_{\mathbf{r}}\cdot\left(\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\mathbf{v}f\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\partial n}{\partial t}-\frac{1}{e}\nabla\cdot\mathbf{j}=0$$

의 연속 방정식이 나온다. $\mathbf{v}$ 를 곱해 적분하면(1차 모멘트) 운동량 수지, 곧 드리프트–확산 방정식이 된다 — 그 계산은 3절의 완화시간이 있어야 닫히므로 11.5로 미룬다. 여기서 기억할 것은 드리프트–확산은 볼츠만 방정식의 처음 두 모멘트라는 사실이고, 그래서 그것이 못 다루는 것(속도 오버슛, 핫캐리어 — 11.7)은 잘린 고차 모멘트에 있다.

이 방정식이 서는 곳과 무너지는 곳

볼츠만 방정식은 두 재료를 섞은 것이다. 흐름은 준고전(입자), 충돌은 양자(황금률). 이 혼합이 정당한 조건은 한 충돌과 다음 충돌 사이에 파속이 위상 기억을 잃는다는 것, 곧 산란이 서로 독립적인 사건이라는 가정이다. 평균 자유 행정 $\ell=v\tau$ 가 파장 $\lambda_F$ 보다 훨씬 길면($k_F\ell\gg1$) 이 가정이 성립한다. 무너지는 자리를 세 곳 적어 둔다.

• $k_F\ell\sim1$ — 산란이 너무 잦아 파동이 한 파장을 채 못 간다(Ioffe–Regel 한계). 비정질 반도체의 이동도 간극(7.15), 앤더슨 국소화가 여기다.
• $L\lesssim\ell$ — 소자가 평균 자유 행정보다 짧다. 충돌이 없으니 볼츠만 방정식은 흐름 항만 남고, 경계 조건(접촉)이 모든 것을 정한다. 탄도 수송과 란다우어 공식(10.4)이 이 극한이고, 실리콘 채널의 $\ell\sim$ 수십 nm 는 오늘의 MOSFET 게이트 길이와 같은 자릿수다(14.2).
• 간섭 — 산란을 독립 사건으로 세면 두 경로의 간섭이 빠진다. 저온의 약한 국소화 보정, 보편 전도도 요동이 그 누락분이다(10.4).

의문

충돌항이 $\mathbf{k}$ 를 순간 이동시킨다는 것은 얼마나 거친 가정인가. 산란은 실제로 유한한 시간 동안 일어나고 그동안 전자는 장에 의해 가속된다. 볼츠만 방정식은 이 “충돌 중 가속”(intracollisional field effect)을 버린다. 충돌이 지속되는 짧은 시간 동안 장이 전자에 주는 에너지가 그 충돌 자체의 에너지 불확정성보다 작은 한 문제없고, 실리콘 소자의 최고 전기장에서도 이 조건은 대체로 남는다. 그것마저 필요해지면 양자 볼츠만 방정식(비평형 그린 함수)으로 간다. 10.4에서 다시 만난다.

완화시간 근사

가설의 내용

충돌항은 $f$ 에 대한 적분 연산자라 볼츠만 방정식은 6+1차원의 적분–미분 방정식이다. 일반해는 없다. 가장 오래되고 가장 많이 쓰이는 지름길이 완화시간 근사(relaxation-time approximation)다:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}=-\frac{f(\mathbf{k})-f^0(\mathbf{k})}{\tau(\mathbf{k})}$$

두 가정이 들어 있다 (Ashcroft·Mermin Ch.13).

1. 충돌에서 나오는 전자의 분포는 $f^0$ 이다. 충돌 직후 전자가 어느 상태에 있을지는 충돌 직전 분포 $f$ 와 무관하고, 그 자리의 국소 평형 $f^0\big(\varepsilon;T(\mathbf{r}),\mu(\mathbf{r})\big)$ 을 따른다. 충돌은 기억을 지운다.
2. 충돌률 $1/\tau(\mathbf{k})$ 는 $f$ 에 무관하다. $\mathbf{k}$ 에 있는 전자가 $dt$ 안에 충돌할 확률은 $dt/\tau(\mathbf{k})$ 이고, 주변이 얼마나 비뚤어져 있든 같다.

두 가정을 합치면 나가는 항은 $-f/\tau$, 들어오는 항은 $+f^0/\tau$ 가 되어 위의 꼴이다. 이름이 말하듯 $\tau$ 는 완화의 시간이다 — 흐름 항을 꺼 버리면 $\partial g/\partial t=-g/\tau$, $g=f-f^0\propto e^{-t/\tau}$ 로 편차가 지수적으로 사라진다.

$\tau(\mathbf{k})$ 는 $\mathbf{k}$ 에 따라 달라도 되고, 대개 에너지만의 함수 $\tau(\varepsilon)$ 로 쓴다. 무엇이 이 $\tau$ 를 정하는지, 이 근사가 언제 정확한지는 5절이 답한다. 지금은 $\tau$ 를 주어진 함수로 받아 무엇이 나오는지 본다.

정상 균일 전기장 — 밀린 페르미 구

가장 단순한 경우: 균일하고 시간에 무관한 $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}=0$, 온도 균일. 그러면 $\partial f/\partial t=0$, $\nabla_{\mathbf{r}}f=0$ 이고 볼츠만 방정식은

$$-\frac{e}{\hbar}\,\mathbf{E}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f=-\frac{f-f^0}{\tau}$$

로 준다. $\tau$ 가 $\mathbf{k}$ 에 무관하면 답을 바로 쓸 수 있다. 평형 분포를 통째로 $\delta\mathbf{k}$ 만큼 옮긴 것을 넣어 보자:

$$f(\mathbf{k})=f^0(\mathbf{k}-\delta\mathbf{k})\approx f^0(\mathbf{k})-\delta\mathbf{k}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0$$

오른쪽 변은 $+\delta\mathbf{k}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0/\tau$, 왼쪽 변은 1차에서 $-(e/\hbar)\mathbf{E}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0$ 이므로

$$\delta\mathbf{k}=-\frac{e\mathbf{E}\tau}{\hbar}$$

이면 등식이 맞는다 (Kittel Ch.6, 전기전도도와 옴의 법칙). $\mathbf{k}$ 공간의 페르미 구가 전기장과 반대쪽으로 $e E\tau/\hbar$ 만큼 밀린 채 멈춰 있다. 준고전 방정식 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=-e\mathbf{E}$ 로 $\tau$ 동안 가속된 만큼이다 — 충돌이 $\tau$ 마다 원점으로 되돌리고 장이 다시 밀어, 평균적으로 그만큼 밀린 자리에 머문다.

그림 7.12-3. 정상 전기장 속의 페르미 구. 점선이 평형 페르미 구, 실선이 전기장 E와 반대 방향으로 δk = −eEτ/ħ만큼 밀린 구다. 두 원이 겹치는 부분은 전과 같이 차 있어 전류에 기여하지 않고, 새로 찬 왼쪽 초승달과 비워진 오른쪽 초승달만이 알짜 전류를 낸다. 초승달 안의 전자 수는 n·(δk/k_F) 정도이고 각각 v_F 로 움직이므로 j ~ ne²τE/m — 드루데와 같은 답이지만, 실제로 자리를 바꾼 것은 페르미 면의 전자뿐이다. 밀린 거리는 크게 과장했다. 구리에 1 V/cm를 걸면 δk/k_F ≈ 3×10⁻⁷ 이다.직접 작도

전류는 밀린 분포의 1차 모멘트다. 자유전자($\mathbf{v}=\hbar\mathbf{k}/m$)로 계산하면 $\mathbf{k}'=\mathbf{k}-\delta\mathbf{k}$ 로 치환해

$$\mathbf{j}=-e\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\frac{\hbar\mathbf{k}}{m}f^0(\mathbf{k}-\delta\mathbf{k}) =-e\int\frac{d\mathbf{k}'}{4\pi^3}\frac{\hbar(\mathbf{k}'+\delta\mathbf{k})}{m}f^0(\mathbf{k}') =-\frac{en\hbar\,\delta\mathbf{k}}{m} =\frac{ne^2\tau}{m}\mathbf{E}$$

— 드루데의 $\sigma=ne^2\tau/m$ 이다 (7.6.5전기전도도와 옴의 법칙). 첫 항은 평형 분포가 대칭이라 0이다. 답은 같지만 그림이 다르다. 드루데는 $n$ 개 전자 전부가 $v_d=eE\tau/m$ 으로 표류한다고 했다. 여기서는 구 전체가 밀리기는 했으나, 파울리 배타 때문에 실제로 상태가 바뀐 전자는 두 초승달의 것뿐이고 그 수는 $n\,\delta k/k_F$ 정도다. 그 소수가 $v_F$ 로 움직인다: $n(\delta k/k_F)\times v_F =n\,\delta k\,\hbar/m=n v_d$. 두 셈이 같은 이유는 4절에서 부분적분 한 줄로 드러난다.

$\delta k$ 의 크기를 실감해 둔다. 구리에서 $\tau\approx2.5\times10^{-14}\,\mathrm{s}$ (300 K), $k_F=1.36\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$ 이므로 $E=1\,\mathrm{V/cm}$ 에서

	값
$\delta k=eE\tau/\hbar$	$3.8\times10^{3}\,\mathrm{m^{-1}}$
$\delta k/k_F$	$2.8\times10^{-7}$
표류 속도 $v_d=\hbar\,\delta k/m$	$0.44\,\mathrm{m/s}$
페르미 속도 $v_F$	$1.57\times10^{6}\,\mathrm{m/s}$

전기장이 하는 일은 페르미 구를 $10^{-7}$ 만큼 옮기는 것뿐이고, 그 작은 비대칭이 $1\,\mathrm{cm^2}$ 단면에 수 $\mathrm{A}$ 의 전류다. 이것이 선형 응답이 그토록 넓은 범위에서 성립하는 이유다 — 밀림이 $k_F$ 에 견줄 만큼 커지려면 $10^7\,\mathrm{V/cm}$ 가 필요하고, 그 전에 다른 것(11.7의 핫캐리어)이 먼저 온다.

시간에 따라 변하는 장 — 교류 전도도

균일하지만 진동하는 장 $\mathbf{E}(t)=\operatorname{Re}[\mathbf{E}_0e^{-i\omega t}]$ 를 걸면 $\partial f/\partial t$ 가 살아난다. $g=f-f^0$ 으로 쓰고 $g$ 가 작다고 하여 $\nabla_{\mathbf{k}}f\approx\nabla_{\mathbf{k}}f^0$ 으로 두면

$$\frac{\partial g}{\partial t}-\frac{e}{\hbar}\mathbf{E}\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0=-\frac{g}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad g(\omega)=\frac{\tau}{1-i\omega\tau}\,\frac{e}{\hbar}\mathbf{E}_0\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0$$

이고, 정적 경우와 비교하면 $\tau\to\tau/(1-i\omega\tau)$ 로 바뀐 것뿐이다. 그래서

$$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-i\omega\tau}, \qquad \sigma_0=\frac{ne^2\tau}{m}$$

— 7.11.3의 드루데 교류 전도도가 볼츠만 방정식에서 다시 나온다 (7.11.3무충돌 전자 기체의 전도도). $\omega\tau\ll1$ 이면 전자가 장을 따라잡아 옴의 법칙, $\omega\tau\gg1$ 이면 관성이 이겨 $\sigma\approx i\,ne^2/m\omega$ 로 순허수(무손실, 플라스마 진동)다. 구리의 $\tau\sim10^{-14}\,\mathrm{s}$ 는 $\omega\tau=1$ 이 원적외선(수십 THz)이라는 뜻이고, 그 아래 마이크로파까지는 직류 전도도를 그대로 써도 된다.

$\tau$ 는 무엇인가 — 세 가지 시간

같은 글자 $\tau$ 가 세 가지 다른 시간으로 쓰이므로 여기서 갈라 둔다.

기호	이름	무엇의 완화인가	어디서 재나
$\tau_c$	충돌 시간	충돌과 충돌 사이의 평균 간격. 산란 사건의 수	양자 수명(딩글 온도, 7.8.8)
$\tau$	수송(운동량) 완화시간	전류, 곧 $\langle\mathbf{k}\rangle$ 의 완화. 5절의 $(1-\cos\theta)$ 무게	전도도·이동도
$\tau_\varepsilon$	에너지 완화시간	평균 에너지의 완화. 격자로 열이 빠져나가는 시간	핫캐리어·속도 포화(11.7)

등방 탄성 산란이면 $\tau=\tau_c$ 이고, 전방 산란이 우세하면 $\tau\gg\tau_c$ 다(5절). 탄성 산란은 에너지를 완화하지 못하므로 $\tau_\varepsilon$ 은 포논 방출만이 정하고 대개 $\tau_\varepsilon\gg\tau$ 다 — 전자는 방향을 먼저 잃고, 에너지는 한참 뒤에 잃는다. 이 순서가 11.7의 핫캐리어 그림의 뼈대다. 완화시간 근사의 $\tau$ 는 둘째 것이다. 첫째와 둘째의 차이가 실리콘 반전층에서 3배, 고이동도 2DEG에서 10배 이상 나는 일이 흔하다(12.7.6).

크기를 붙여 둔다. $\tau=m^*\mu_n/e$ 에서

물질 (300 K)	$\mu_n$ [cm$^2$/V·s]	$m^*/m_0$	$\tau$ [s]	$\ell$
Cu	—	1	$2.5\times10^{-14}$	$\approx40\,\mathrm{nm}$ ($v_F$)
Si 전자	1400	0.26 (전도도 질량)	$2.1\times10^{-13}$	$\approx45\,\mathrm{nm}$ ($v_{\text{th}}$)
GaAs 전자	8500	0.067	$3.2\times10^{-13}$	$\approx150\,\mathrm{nm}$

반도체의 $\tau$ 가 금속보다 10배 길다. 금속이 저항이 작은 것은 $\tau$ 가 아니라 $n$ 이 $10^5$ 배 크기 때문이다. 그리고 $\ell\sim50\,\mathrm{nm}$ 는 오늘의 채널 길이와 같은 자릿수다 — 2절 끝에 적은 경고가 실제 숫자다.

직관

물리적 직관 — 줄 열은 어디로 가는가. 밀린 구의 전자는 장에서 단위 시간에 $\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2$ 의 에너지를 받는다. 정상 상태에서 분포가 변하지 않으니 그 에너지는 전부 충돌로 나간다. 그런데 탄성 산란(불순물)은 에너지를 못 가져간다 — 방향만 바꾼다. 결국 $\sigma E^2$ 를 실제로 격자에 넘기는 것은 포논 방출이고, 그 시간이 $\tau_\varepsilon$ 이다. 완화시간 근사는 $f\to f^0$ 을 가정하며 이 문제를 숨긴다: 충돌에서 나오는 전자가 $f^0$ 을 따른다는 것은 “격자가 무한한 열용량의 열저장체”라는 뜻이다. 장이 세지면 이 가정이 먼저 깨지고, 전자 온도가 격자 온도 위로 뜬다(11.7.5).

파라미터 연계 — $\tau$ 를 쪼개는 법. 서로 독립인 산란 기구가 여럿이면 충돌률이 더해진다: $1/\tau=1/\tau_{\text{ph}}+1/\tau_{\text{imp}}+\cdots$. 이것이 마티센 법칙이고 비저항으로는 $\rho=\rho_{\text{ph}}(T)+\rho_0$ — 온도에 따라 오르는 부분과 순도가 정하는 잔류 부분의 합이다 (Kittel Ch.6). 정확히 성립하는 조건과, 어긋날 때 어느 쪽으로 어긋나는지는 5절에서 충돌 적분으로 증명한다.

주의

$f(\mathbf{k})=f^0(\mathbf{k}-\delta\mathbf{k})$ 는 $\tau$ 가 $\mathbf{k}$ 에 무관할 때만 정확한 해다. $\tau(\varepsilon)$ 이면 에너지마다 밀린 거리가 달라 구가 “밀린 구” 모양을 잃고, 4절처럼 $g=f-f^0$ 을 1차로 풀어야 한다. 그리고 이 절의 $\tau$ 를 무엇으로 계산하든, 여기까지는 전류를 늦추는 것이 무엇인지에 대해 아무 말도 하지 않았다는 점을 기억해 둔다 — “충돌 뒤 $f^0$ 으로 돌아간다”는 가정 자체가 5절에서 검증 대상이 된다.

선형화와 전도도 텐서

선형화 — 세 가지 구동력이 한 줄에

이제 완화시간 근사 아래에서 볼츠만 방정식을 일반적으로 푼다. 정상 상태, $\mathbf{B}=0$, 그리고 전기장 $\mathbf{E}$, 온도 기울기 $\nabla T$, 화학퍼텐셜 기울기 $\nabla\mu$ 가 모두 작다고 하자. $f=f^0+g$ 로 쓰고 $g$ 에 1차까지만 남긴다. 흐름 항의 $f$ 를 $f^0$ 으로 바꿔도 되는 이유는 $g$ 가 이미 구동력에 비례해 작아서, $g$ 의 기울기 항은 2차이기 때문이다.

$f^0$ 은 $\varepsilon_{\mathbf{k}}$ 와 $T(\mathbf{r})$, $\mu(\mathbf{r})$ 를 통해서만 $\mathbf{r}$, $\mathbf{k}$ 에 의존한다. $x=(\varepsilon-\mu)/k_BT$ 로 두면 $f^0=f^0(x)$ 이고 연쇄 법칙으로

$$\nabla_{\mathbf{k}}f^0=\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\,\hbar\mathbf{v}, \qquad \nabla_{\mathbf{r}}f^0=\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\left[-\nabla\mu-\frac{\varepsilon-\mu}{T}\nabla T\right]$$

이다 (둘째 식: $\partial f^0/\partial\mu=-\partial f^0/\partial\varepsilon$, $\partial f^0/\partial T=-\frac{\varepsilon-\mu}{T}\partial f^0/\partial\varepsilon$). 볼츠만 방정식의 왼쪽 변에 넣고 $\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)$ 로 묶으면

$$\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)\mathbf{v}\cdot\left[e\mathbf{E}+\nabla\mu+\frac{\varepsilon-\mu}{T}\nabla T\right] =-\frac{g}{\tau}$$

이고, 따라서

$$\boxed{\; g(\mathbf{k})=\tau(\varepsilon_{\mathbf{k}})\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right) \mathbf{v}(\mathbf{k})\cdot\left[-e\boldsymbol{\mathcal{E}}+\frac{\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu}{T}(-\nabla T)\right], \qquad \boldsymbol{\mathcal{E}}\equiv\mathbf{E}+\frac{1}{e}\nabla\mu \;}$$

가 선형화된 해다 (Ashcroft·Mermin Ch.13). 세 가지를 읽는다.

• 구동력은 둘뿐이다. $\mathbf{E}$ 와 $\nabla\mu$ 는 따로 놀지 않고 언제나 $\boldsymbol{\mathcal{E}}=\mathbf{E}+\nabla\mu/e$ 로 묶여 들어온다. 전자의 전기화학퍼텐셜 $\bar\mu=\mu-e\phi$ 로 쓰면 $\boldsymbol{\mathcal{E}}=\nabla\bar\mu/e$ — 전류를 모는 것은 정전 퍼텐셜의 기울기가 아니라 페르미 준위의 기울기다. 평형인 pn 접합에 $10^4\,\mathrm{V/cm}$ 의 내부 전기장이 있어도 전류가 없는 이유이고, 전압계가 재는 것도 $\bar\mu$ 의 차이다. 11.4.5의 준페르미 준위가 바로 이 $\bar\mu$ 의 비평형 버전이다.
• $\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)$ 가 창이다. 편차 $g$ 는 이 인자가 0이 아닌 곳, 곧 $\mu$ 근방 $k_BT$ 폭에만 있다. 깊은 곳의 전자는 $g=0$ — 아무 일도 겪지 않는다.
• 온도 기울기의 무게는 $(\varepsilon-\mu)$ 다. $\mu$ 위의 전자와 아래의 전자가 반대 부호로 밀린다. 7절의 제벡 계수가 이 홀함수 무게에서 나온다.

그림 7.12-4. 페르미 창. 왼쪽은 페르미 분포 f⁰(ε)를 낮은 온도(강조)와 높은 온도에서 그린 것. 오른쪽은 그 도함수 −∂f⁰/∂ε — 높이 1/4k_BT, 반높이 폭 약 3.5 k_BT의 봉우리로, 넓이는 온도와 무관하게 1이다. 전도도 σ = ∫σ(ε)(−∂f⁰/∂ε)dε 는 에너지별 전도도 σ(ε)를 이 창으로 본 평균이고, T → 0 에서 창은 δ(ε − μ)가 되어 페르미 면 위의 값 σ(ε_F)만 남는다. 깊은 곳의 전자는 전류를 '못 나르는' 것이 아니라 창 밖에 있어 상쇄될 뿐이다.직접 작도

수송 적분 — 한 적분의 세 얼굴

$g$ 를 2절의 전류·열류 식에 넣으면 $\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 와 $-\nabla T$ 에 선형인 식이 나오고, 그 계수들이 전부 아래 한 텐서의 $\alpha=0,1,2$ 로 쓰인다:

$$\mathcal{L}^{(\alpha)}_{\beta\gamma} =e^2\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right) \tau(\varepsilon_{\mathbf{k}})\,v_\beta(\mathbf{k})\,v_\gamma(\mathbf{k})\,\big(\varepsilon_{\mathbf{k}}-\mu\big)^\alpha$$

계산을 따라가면($\mathbf{j}=-e\int\mathbf{v}g$ 에 $g$ 를 넣고 $e^2$ 으로 묶는다)

$$\begin{aligned} \mathbf{j}&=\mathcal{L}^{(0)}\boldsymbol{\mathcal{E}}-\frac{1}{eT}\mathcal{L}^{(1)}(-\nabla T),\\[2pt] \mathbf{j}_q&=-\frac{1}{e}\mathcal{L}^{(1)}\boldsymbol{\mathcal{E}}+\frac{1}{e^2T}\mathcal{L}^{(2)}(-\nabla T) \end{aligned}$$

이다. 관례대로 $\mathbf{j}=L^{11}\boldsymbol{\mathcal{E}}+L^{12}(-\nabla T)$, $\mathbf{j}_q=L^{21}\boldsymbol{\mathcal{E}}+L^{22}(-\nabla T)$ 로 쓰면

$$L^{11}=\mathcal{L}^{(0)},\qquad L^{21}=T\,L^{12}=-\frac{1}{e}\mathcal{L}^{(1)},\qquad L^{22}=\frac{1}{e^2T}\mathcal{L}^{(2)}$$

— 교차 계수가 $L^{21}=TL^{12}$ 로 묶이는 것이 온사거 상반 관계다. 볼츠만 방정식이 시간 반전 대칭을 지키는 미시 동역학 위에 서 있다는 사실이 이 등식으로 새어 나온다. 7절에서 제벡·펠티에· 열전도도를 이 $L$ 들로 거둬들인다. 이 절은 $\alpha=0$, 곧 전도도만 본다.

전도도 텐서 — 페르미 면의 적분

$$\sigma_{\beta\gamma}=\mathcal{L}^{(0)}_{\beta\gamma} =e^2\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)\tau(\varepsilon)\,v_\beta v_\gamma$$

$\mathbf{k}$ 적분을 등에너지면 적분과 에너지 적분으로 나눈다. $d\mathbf{k}=dS\,dk_\perp=dS\,d\varepsilon/(\hbar|\mathbf{v}|)$ 이므로

$$\sigma_{\beta\gamma}=\int d\varepsilon\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)\sigma_{\beta\gamma}(\varepsilon), \qquad \sigma_{\beta\gamma}(\varepsilon)=e^2\tau(\varepsilon)\int_{S(\varepsilon)}\frac{dS}{4\pi^3\hbar}\,\frac{v_\beta v_\gamma}{|\mathbf{v}|}$$

— 전도도는 에너지별 전도도 $\sigma(\varepsilon)$ 를 페르미 창으로 본 평균이다. 금속에서는 $k_BT\ll\varepsilon_F$ 라 창이 델타 함수이고

$$\sigma_{\beta\gamma}=\sigma_{\beta\gamma}(\varepsilon_F) =e^2\tau(\varepsilon_F)\int_{\text{FS}}\frac{dS}{4\pi^3\hbar}\,\frac{v_\beta v_\gamma}{|\mathbf{v}|}$$

가 된다. 전도도는 페르미 면 위의 속도와 그 면의 넓이만으로 정해진다. 페르미 면이 큰 금속이 잘 통하고, 페르미 면이 없는 절연체는 안 통한다.

자유전자로 검산한다. 구면 위에서 $v_x^2$ 의 평균은 $v_F^2/3$, 넓이는 $4\pi k_F^2$:

$$\sigma=e^2\tau\,\frac{4\pi k_F^2}{4\pi^3\hbar}\,\frac{v_F}{3} =\frac{e^2\tau\,k_F^3}{3\pi^2 m} =\frac{ne^2\tau}{m} \qquad\left(n=\frac{k_F^3}{3\pi^2},\ v_F=\frac{\hbar k_F}{m}\right)$$

두 얼굴 — $n$ 개 전부인가, 페르미 면뿐인가

3절에서 미뤄 둔 질문에 답한다. $\tau$ 가 상수일 때 페르미 면 적분을 부분적분하면

$$\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)v_\beta v_\gamma =\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\left(-\frac{1}{\hbar}\frac{\partial f^0}{\partial k_\beta}\right)v_\gamma =\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,f^0\,\frac{1}{\hbar}\frac{\partial v_\gamma}{\partial k_\beta} =\int\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,f^0\,\big(\mathbf{M}^{-1}\big)_{\beta\gamma}$$

이다 (경계항은 $f^0$ 이 영역 밖에서 0이거나 주기적이라 사라진다). 그래서

$$\sigma_{\beta\gamma}=e^2\tau\int_{\text{점유}}\frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3}\,\big(\mathbf{M}^{-1}\big)_{\beta\gamma} \equiv ne^2\tau\left\langle\frac{1}{m^*}\right\rangle_{\beta\gamma}$$

— 점유된 모든 상태에 걸친 역질량 텐서의 평균이다. 같은 적분이 한쪽에서는 “페르미 면의 전자가 $v_F$ 로”, 다른 쪽에서는 ”$n$ 개 전자가 각자의 $1/m^*$ 로” 읽힌다. 두 그림은 물리가 다른 것이 아니라 부분적분 한 줄로 이어진 같은 식이다. 그리고 이 꼴은 1절의 결론을 되돌려 준다: 가득 찬 밴드는 $\int_{\text{BZ}}\mathbf{M}^{-1}=0$ 이라 전도도 0이고, 거의 찬 밴드는 빈 상태의 $-\mathbf{M}^{-1}$ — 양의 질량을 가진 정공 — 이 전도한다.

직관

수학적 직관 — 부분적분이 물리를 옮긴다. $\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)v_\beta v_\gamma$ 는 페르미 면에만 붙은 무게이고, $f^0\,\partial^2\varepsilon/\partial k\partial k$ 는 점유 영역 전체에 퍼진 무게다. 미분을 $f^0$ 에서 $v$ 로 옮기는 순간 “어디의 전자가 나르는가”의 답이 바뀐다. 어느 쪽도 더 옳지 않다. 다만 파울리 배타를 눈으로 보려면 첫째 꼴이, 밴드 구조와 유효질량을 연결하려면 둘째 꼴이 편하다. 반도체에서 $\sigma=ne^2\tau/m^*$ 라 쓸 때 $m^*$ 는 둘째 꼴의 평균이고, 실리콘의 $3/m_c=1/m_l+2/m_t$ 가 그 평균을 여섯 밸리에 걸쳐 실제로 계산한 결과다.

형태적 직관 — 창의 폭은 $k_BT$, 넓이는 1. $\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)$ 은 높이 $1/4k_BT$, 폭 $\sim3.5\,k_BT$ 의 봉우리이고 넓이가 언제나 1이다. 그래서 $\sigma(\varepsilon)$ 이 $k_BT$ 폭 안에서 완만하면 온도는 전도도에 거의 영향을 주지 못하고(금속: $\sigma$ 의 온도 의존성은 전부 $\tau(T)$ 에서 온다), $\sigma(\varepsilon)$ 이 창 안에서 기울어 있으면 그 기울기가 열전 효과로 드러난다(7절). 창 안에서 매끈한 함수 $H(\varepsilon)$ 에 대해

$$\int d\varepsilon\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)H(\varepsilon) =H(\mu)+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2H''(\mu)+O(T^4)$$

가 좀머펠트 전개(6.5.7축퇴와 전자 열용량)이고, 7절의 모트 공식과 비데만–프란츠 법칙이 이 둘째 항에서 나온다.

대칭과 텐서의 모양

$\sigma_{\beta\gamma}$ 는 2계 대칭 텐서다 (1.13.1텐서 표기와 좌표 변환) — 적분 안의 $v_\beta v_\gamma$ 가 대칭이므로 $\mathbf{B}=0$ 에서 $\sigma_{\beta\gamma}=\sigma_{\gamma\beta}$ 이고, 주축으로 돌리면 대각화된다 (1.3.7이차 형식과 주축 변환). 결정의 점군이 텐서의 독립 성분 수를 정한다.

결정계	독립 성분	예
입방 (Si, Ge, GaAs, Cu)	1 — $\sigma_{\beta\gamma}=\sigma\,\delta_{\beta\gamma}$	등방. 밸리 하나하나는 이방적이어도 여섯 개를 더하면 등방
육방·정방·삼방 (GaN, Bi, 흑연)	2 — $\sigma_\parallel$, $\sigma_\perp$	$c$ 축과 그 수직면
사방 이하	3 이상	유기 반도체, 저대칭 산화물

입방 결정이 등방인 이유는 “입방군의 모든 조작에 불변인 2계 대칭 텐서는 단위 텐서의 배수뿐”이기 때문이다. 실리콘의 여섯 밸리는 각각 $m_l=0.98\,m_0$, $m_t=0.19\,m_0$ 의 타원체라 밸리 하나의 $\mathbf{M}^{-1}$ 은 강하게 이방적이지만, $\langle100\rangle$ 여섯 방향을 더하면 등방이 되고 그 평균이

$$\frac{1}{m_c}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{m_l}+\frac{2}{m_t}\right) \quad\Longrightarrow\quad m_c=0.26\,m_0$$

의 전도도 유효질량이다. 변형이나 계면 구속으로 밸리의 축퇴가 깨지면(13.7·14부의 변형 실리콘) 이 평균이 바뀌고 이동도가 방향을 갖는다.

자기장이 있으면 대칭성은 $\sigma_{\beta\gamma}(\mathbf{B})=\sigma_{\gamma\beta}(-\mathbf{B})$ 로 바뀐다 (온사거). 대각 성분은 $\mathbf{B}$ 의 짝함수, 비대각 성분은 홀함수 — 홀 효과가 후자다(7절).

반도체 — 비축퇴 극한과 $\langle\tau\rangle$

비축퇴 반도체에서는 $\mu$ 가 밴드 아래 $k_BT$ 의 몇 배 밑에 있어 페르미 창이 밴드 바닥의 맥스웰–볼츠만 꼬리를 본다. $f^0\approx e^{-(\varepsilon-\mu)/k_BT}$ 이고 $\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)=f^0/k_BT$ 다 (6.5.3맥스웰 속도 분포). 등방 포물선 밴드 $\varepsilon=\hbar^2k^2/2m^*$ 에서 $v_\beta v_\gamma$ 의 각 평균은 $\delta_{\beta\gamma}v^2/3=\delta_{\beta\gamma}\,2\varepsilon/3m^*$ 이므로, 상태밀도 $\mathcal{D}(\varepsilon)\propto\varepsilon^{1/2}$ 로 에너지 적분하면

$$\sigma=\frac{e^2}{k_BT}\int d\varepsilon\,\mathcal{D}(\varepsilon)\,\tau(\varepsilon)\,\frac{2\varepsilon}{3m^*}\,f^0 =\frac{ne^2}{m^*}\,\frac{\langle\varepsilon\tau\rangle}{\langle\varepsilon\rangle} \qquad\left(n=\int d\varepsilon\,\mathcal{D}f^0,\ \ \langle\varepsilon\rangle=\tfrac32k_BT\right)$$

여기서 $\langle X\rangle=\int X\,\mathcal{D}f^0\,d\varepsilon/\int\mathcal{D}f^0\,d\varepsilon$ 는 캐리어 하나당 평균이다. 그래서 반도체의 $\sigma=ne^2\langle\tau\rangle/m^*$ 에 붙는 평균은 단순 평균이 아니라 에너지 무게 평균

$$\langle\tau\rangle\equiv\frac{\langle\varepsilon\tau\rangle}{\langle\varepsilon\rangle} =\frac{\displaystyle\int_0^\infty\tau(\varepsilon)\,\varepsilon^{3/2}e^{-\varepsilon/k_BT}\,d\varepsilon} {\displaystyle\int_0^\infty\varepsilon^{3/2}e^{-\varepsilon/k_BT}\,d\varepsilon}$$

이다. 빠른 전자가 전류를 더 나르니 그만큼 무게를 더 받는다. 산란율이 거듭제곱 $\tau(\varepsilon)=\tau_0\,(\varepsilon/k_BT)^{r}$ 이면 감마 함수(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)로 닫힌다:

$$\langle\tau\rangle=\tau_0\,\frac{\Gamma\!\left(r+\tfrac52\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac52\right)}, \qquad \Gamma\!\left(\tfrac52\right)=\tfrac{3\sqrt\pi}{4}$$

이동도는 $\mu_n=e\langle\tau\rangle/m^*$ 이고, 음향 포논 산란($r=-\tfrac12$)이면 $\langle\tau\rangle=4\tau_0/3\sqrt\pi$, 이온화 불순물 산란($r=+\tfrac32$)이면 $\langle\tau\rangle=4\tau_0/\sqrt\pi$ — 6절에서 $\tau_0$ 의 온도 의존성까지 붙여 완성한다. 7절의 홀 인자 $\langle\tau^2\rangle/\langle\tau\rangle^2$ 도 같은 평균으로 계산한다.

직관

파라미터 연계 — 전도도를 올리는 세 손잡이. $\sigma=ne^2\langle\tau\rangle/m^*$ 의 세 인자는 서로 다른 곳에서 온다.

• $n$ — 도핑과 온도(11.1). 반도체에서 $10^{10}$ 배를 움직일 수 있는 유일한 손잡이.
• $\langle\tau\rangle$ — 순도(불순물 산란)와 온도(포논 산란)(5·6절). 도핑을 올리면 $n$ 은 늘지만 $\tau$ 는 줄어, 고농도에서 이동도가 $10$ 배 떨어진다(11.2.3).
• $1/m^*$ — 밴드 구조(7.9). 같은 $\tau$ 에서 GaAs($0.067$)는 Si($0.26$)의 4배 이동도다. 변형으로 $m_c$ 를 줄이는 것이 변형 실리콘, 재료를 바꾸는 것이 III–V 채널이다.

그리고 $\tau$ 는 $\varepsilon$ 의 함수라 어떤 평균인지가 따라붙는다. 전도도는 $\langle\varepsilon\tau\rangle/\langle\varepsilon\rangle$, 홀 계수는 $\langle\tau^2\rangle$, 열전 계수는 $\langle(\varepsilon-\mu)\tau\rangle$ — 같은 $\tau(\varepsilon)$ 의 다른 모멘트를 서로 다른 측정이 본다. 그래서 이동도 하나만으로는 산란 기구를 못 가리고, 홀 인자와 제벡 계수를 같이 재야 $r$ 이 정해진다.

완화시간 근사를 넘어서(충돌 적분)

탄성 산란 — 파울리 인자가 사라진다

3절의 두 가정을 검증할 차례다. 충돌 적분을 근사 없이 쓰되, 산란이 탄성(정적 불순물·결함)이라 하자. 두 가지가 따라온다. 에너지 보존 $\varepsilon_{\mathbf{k}}=\varepsilon_{\mathbf{k}'}$, 그리고 미시 가역성 $W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}=W_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}$ (보른 근사에서 $|\langle\mathbf{k}'|V|\mathbf{k}\rangle|^2$ 이 대칭이므로 — 5.9.9보른 근사). 그러면 2절의 충돌항에서 파울리 인자가 정확히 상쇄된다:

$$f_{\mathbf{k}'}(1-f_{\mathbf{k}})-f_{\mathbf{k}}(1-f_{\mathbf{k}'})=f_{\mathbf{k}'}-f_{\mathbf{k}}$$

곱셈항 $f_{\mathbf{k}}f_{\mathbf{k}'}$ 가 양쪽에서 같아 지워진다. 게다가 같은 에너지에서 $f^0_{\mathbf{k}}=f^0_{\mathbf{k}'}$ 이므로 $f$ 를 $g$ 로 바꿔도 된다:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} =-\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\big(g_{\mathbf{k}}-g_{\mathbf{k}'}\big) =-\frac{g_{\mathbf{k}}}{\tau_c(\mathbf{k})}+\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,g_{\mathbf{k}'}$$

여기서

$$\frac{1}{\tau_c(\mathbf{k})}=\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$$

는 총 산란율, 곧 3절 표의 충돌 시간이다. 완화시간 근사는 첫 항만 남기고 둘째 항(들어오는 산란)을 버린 것이다. 그런데 둘째 항은 버릴 수 없다 — 산란된 전자는 사라지지 않고 어딘가로 간다. 전류에 관해서라면, 어디로 가는가가 문제의 전부다.

수송 완화시간 — $(1-\cos\theta)$

4절의 선형 해는 $g_{\mathbf{k}}=\mathbf{v}_{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{A}(\varepsilon)$ 의 꼴이었다 ($\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{k}$ 의 방향에 무관한 벡터). 등방 밴드($\mathbf{v}\parallel\mathbf{k}$, $|\mathbf{v}|$ 는 $\varepsilon$ 만의 함수)이고 $W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$ 가 두 벡터 사이 각 $\theta$ 에만 의존한다고 하면, 들어오는 항의 적분에서 $\mathbf{v}_{\mathbf{k}'}$ 의 $\mathbf{v}_{\mathbf{k}}$ 에 수직인 성분은 $\mathbf{k}$ 둘레의 회전 대칭으로 상쇄되고 평행 성분 $\mathbf{v}_{\mathbf{k}}\cos\theta$ 만 남는다:

$$\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,g_{\mathbf{k}'} =g_{\mathbf{k}}\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\cos\theta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$$

두 항을 합치면 충돌항이 정확히 완화시간 꼴이 된다:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}=-\frac{g_{\mathbf{k}}}{\tau(\mathbf{k})}, \qquad \boxed{\; \frac{1}{\tau(\mathbf{k})}=\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,\big(1-\cos\theta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\big) \;}$$

이것이 수송 완화시간(운동량 완화시간)이다 (Ashcroft·Mermin Ch.16). 3절의 가설이 검증된 셈인데, 가설 1(“충돌 뒤 $f^0$ 으로 돌아간다”)은 틀린 말이었고 — 산란된 전자는 $g_{\mathbf{k}'}$ 를 그대로 가져간다 — 다만 그 오차가 $\cos\theta$ 무게로 정확히 계산되어 $\tau$ 안에 흡수된 것이다.

그림 7.12-5. 산란각의 무게. 왼쪽: 페르미 면 위의 k가 각 θ만큼 꺾여 k′로 간다(탄성 산란이라 크기는 같다). 전진 방향 속도는 v에서 v cosθ로 줄어, 잃은 몫은 v(1 − cosθ)다. 오른쪽: 그 무게 1 − cosθ. 전방 산란(θ ≈ 0)은 무게 θ²/2로 아무리 자주 일어나도 전류를 거의 늦추지 못하고, 후방 산란(θ = π)은 한 번에 2 — 충돌 횟수의 무게(점선, 1)의 두 배다. 충돌 시간 τ_c와 수송 완화시간 τ의 차이가 이 무게 하나다.직접 작도

세 경우를 견줘 둔다.

산란의 각 분포	$\tau$ 와 $\tau_c$	예
등방 ($W$ 가 $\theta$ 에 무관)	$\tau=\tau_c$ ($\langle\cos\theta\rangle=0$)	짧은 거리 퍼텐셜(중성 불순물, 음향 포논의 변형 퍼텐셜)
전방 집중	$\tau\gg\tau_c$	스크린된 쿨롱(이온화 불순물, 원거리 도핑), 극성 광학 포논
후방 집중	$\tau\to\tau_c/2$	1차원 채널의 후방 산란 (10.4)

전방 집중 산란의 대표가 스크린된 쿨롱 퍼텐셜이다. 푸리에 변환 $V(q)\propto1/(q^2+k_s^2)$ (7.10.3정전 차폐와 스크린된 쿨롱 퍼텐셜)에서 운동량 전달 $q=2k\sin(\theta/2)$ 이므로, 차폐 파수 $k_s$ 가 $2k$ 보다 작으면 $W(\theta)\propto1/(4k^2\sin^2(\theta/2)+k_s^2)^2$ 은 $\theta\lesssim k_s/k$ 에 봉우리가 있다. $(1-\cos\theta)=2\sin^2(\theta/2)$ 를 곱해 적분하면

$$\frac{1}{\tau}\propto\int_0^\pi\frac{2\sin^2(\theta/2)\,\sin\theta\,d\theta}{\big[4k^2\sin^2(\theta/2)+k_s^2\big]^2} \;\propto\;\frac{1}{k^4}\left[\ln\!\left(1+\frac{4k^2}{k_s^2}\right)-\frac{4k^2/k_s^2}{1+4k^2/k_s^2}\right]$$

— 11.2의 브룩스–헤링 공식에 나오는 로그가 이 각 적분이다. 무게 없이 $\tau_c$ 를 계산하면 $1/k_s^2$ 이 튀어나와 차폐가 약할수록 발산하는데, $(1-\cos\theta)$ 가 전방의 발산을 눌러 로그로 길들인다. 도착 상태의 밀도 인자 $k$ 를 곱하면 $1/\tau\propto k^{-3}\times(\text{로그})\propto\varepsilon^{-3/2}$ 이므로 4절의 $r=+3/2$ 이고, $k_s$ 가 온도와 농도에 의존하므로(7.10.4토마스-페르미 차폐 길이) 로그 안에 $T$ 가 남는다.

직관

수학적 직관 — 충돌 연산자의 고유값. 탄성 충돌항은 페르미 면 위의 함수 $g$ 에 작용하는 선형 연산자 $\mathcal{C}$ 다. $W$ 가 각 $\theta$ 에만 의존하면 이 연산자는 회전에 불변이므로 구면조화함수 $Y_{lm}(\hat{\mathbf{k}})$ 가 고유함수이고(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수), 고유값은

$$-\frac{1}{\tau_l}=-\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,W\,\big[1-P_l(\cos\theta)\big]$$

이다. $l=0$: 고유값 0 — 등방 편차(입자 수)는 충돌로 완화되지 않는다(보존). $l=1$: $P_1=\cos\theta$ 이므로 $1/\tau_1=\int W(1-\cos\theta)$ — 바로 위의 수송 완화시간이다. 전류가 $g$ 의 $l=1$ 성분이고, 완화시간 근사가 정확한 것은 $\mathbf{v}_{\mathbf{k}}$ 가 이 연산자의 고유함수일 때라는 것이 이 계산의 요약이다. 비등방 밴드나 각 외의 변수에 의존하는 $W$ 에서는 고유함수가 아니고, $\tau$ 하나로는 못 쓴다.

비탄성 산란과 변분 원리

포논 산란은 비탄성이다. $\varepsilon_{\mathbf{k}'}=\varepsilon_{\mathbf{k}}\pm\hbar\omega_{\mathbf{q}}$ 이므로 $f^0_{\mathbf{k}}\ne f^0_{\mathbf{k}'}$ 이고 파울리 인자가 상쇄되지 않는다. 그래도 선형화는 된다. 편차를 $g_{\mathbf{k}}=\left(-\partial f^0/\partial\varepsilon\right)\Phi_{\mathbf{k}}$ 로 쓰면 ($\Phi$ 는 “편차 퍼텐셜” — $f\approx f^0(\varepsilon-\Phi)$ 로 읽힌다) 충돌항은 1차에서

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} =-\frac{1}{k_BT}\int\frac{d\mathbf{k}'}{(2\pi)^3}\,P_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\big(\Phi_{\mathbf{k}}-\Phi_{\mathbf{k}'}\big), \qquad P_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}=W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\,f^0_{\mathbf{k}}\big(1-f^0_{\mathbf{k}'}\big)$$

이 된다. $P_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$ 는 평형에서의 전이율(단위 시간에 $\mathbf{k}\to\mathbf{k}'$ 로 실제 일어나는 전이의 수)이고, 상세 균형으로 $P_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}=P_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}$ 다. 따라서 연산자는 대칭이고 음의 준정부호다 — 임의의 $\Phi$ 에 대해

$$\langle\Phi,\mathcal{P}\Phi\rangle\equiv\frac{1}{2k_BT}\int\!\!\int P_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\big(\Phi_{\mathbf{k}}-\Phi_{\mathbf{k}'}\big)^2\ge0$$

이 성질에서 변분 원리(Kohler·Ziman)가 나온다. 구동력 $X$ 에 대한 선형 볼츠만 방정식 $\mathcal{P}\Phi=X$ 의 참해는

$$\rho[\Phi]=\frac{\langle\Phi,\mathcal{P}\Phi\rangle}{\langle\Phi,X\rangle^2}$$

을 최소로 만들며, 그 최솟값이 참 비저항이다. 임의의 시험 함수 $\Phi$ 로 계산한 $\rho[\Phi]$ 는 언제나 참값 이상이다. 물리적으로는 “주어진 전류에서 엔트로피 생성을 최대로 하는 분포가 실제 분포”라는 말이다.

이 원리가 주는 결론 둘.

① 마티센 법칙은 하한이다. 산란 기구 둘이 독립이면 $\mathcal{P}=\mathcal{P}_1+\mathcal{P}_2$ 이고, 합친 계의 참해 $\Phi$ 를 각각의 시험 함수로 쓰면

$$\rho=\rho_1[\Phi]+\rho_2[\Phi]\ \ge\ \rho_1+\rho_2$$

— 등호는 두 기구의 참해 $\Phi_1$, $\Phi_2$ 가 같은 꼴일 때, 곧 $\tau_1(\mathbf{k})$ 와 $\tau_2(\mathbf{k})$ 의 $\mathbf{k}$ 의존성이 같을 때뿐이다. 실제 비저항은 마티센 합보다 크거나 같다. 음향 포논($\tau\propto\varepsilon^{-1/2}$)과 이온화 불순물($\tau\propto\varepsilon^{3/2}$)처럼 에너지 의존성이 반대인 두 기구를 $1/\mu=1/\mu_{\text{ph}}+1/\mu_{\text{ii}}$ 로 합치면 참값보다 이동도가 높게 나오고, 오차는 두 기구가 비슷하게 기여하는 온도에서 20% 안팎이다(11.2.3).

② 블로흐–그뤼나이젠은 시험 함수 하나다. 6절의 금속 비저항 공식은 시험 함수 $\Phi_{\mathbf{k}}=\mathbf{k}\cdot\mathbf{u}$ ($\mathbf{u}$ 는 전기장 방향 단위 벡터 — 밀린 페르미 구)를 변분 원리에 넣은 결과다. 저온에서 참해는 이 꼴에서 벗어나므로 블로흐–그뤼나이젠은 저온 비저항의 상한이다.

완화시간 근사가 실제로 무너지는 곳

• $T\lesssim\Theta_D$ 의 포논 산란. 포논 에너지 $\hbar\omega_{\mathbf{q}}\sim k_BT$ 가 페르미 창의 폭과 같아 한 번의 충돌이 창 안에서 전자를 크게 옮긴다. 전류(운동량)를 완화하려면 큰 각 산란이 필요하지만 저온 포논은 작은 각으로만 산란시키고, 열류(에너지)는 작은 각 산란으로도 완화된다. 전기와 열의 완화시간이 갈라지고 비데만–프란츠 법칙이 깨진다(6·7절). 이 영역에 완화시간은 없다 — 변분 원리나 수치 해가 필요하다.
• 전자–전자 산란. 운동량을 보존하므로($\mathbf{k}_1+\mathbf{k}_2=\mathbf{k}_1'+\mathbf{k}_2'$) 움클랍 없이는 전류를 전혀 완화하지 못한다. 에너지는 재분배한다 — 그래서 핫캐리어의 분포를 “전자 온도”로 기술할 수 있게 만드는 것이 이 산란이다(11.7.5). $\tau_{ee}\propto T^{-2}$ 의 페르미 액체 결과(7.10.8)가 여기 붙는다.
• 강한 장. $g$ 가 $f^0$ 에 견줄 만큼 크면 선형화 자체가 무너지고, $\tau(\varepsilon)$ 의 에너지 의존성이 분포의 모양을 바꾼다. 몬테카를로로 볼츠만 방정식을 직접 푸는 영역이다(11.7).

의문

$\tau$ 는 측정할 수 있는 양인가. 아니다. 측정되는 것은 $\tau(\varepsilon)$ 의 여러 모멘트다 — 전도도는 $\langle\tau\rangle$, 홀 계수는 $\langle\tau^2\rangle/\langle\tau\rangle^2$, 슈브니코프–드 하스 진폭의 딩글 온도는 $\tau_c$(7.8.8), 제벡 계수는 $d\ln\tau/d\varepsilon$. 고이동도 2DEG에서 $\tau/\tau_c\sim10$ 이 나오는 것은 원거리 도핑의 쿨롱 산란이 극단적으로 전방 집중이기 때문이고(12.7.7), 그 비 자체가 산란 중심이 채널에서 얼마나 떨어져 있는지를 말해 준다. “완화시간 하나”는 언제나 어떤 실험이 보는 어떤 평균인지를 붙여야 뜻이 있다.

전자-포논 산란율

골든 룰 — 흡수, 방출, 그리고 $+1$

포논은 격자를 주기 위치에서 벗어나게 하는 유일한 “본질적” 산란원이다 — 불순물은 없앨 수 있어도 열진동은 없앨 수 없다. 전자가 파벡터 $\mathbf{q}$ 의 포논 하나를 흡수하거나 방출하면 결정 운동량과 에너지가 함께 옮겨 간다 (7.4.5포논의 양자화와 운동량):

$$\mathbf{k}'=\mathbf{k}\pm\mathbf{q}+\mathbf{G}, \qquad \varepsilon_{\mathbf{k}'}=\varepsilon_{\mathbf{k}}\pm\hbar\omega_{\mathbf{q}}$$

위 부호가 흡수, 아래 부호가 방출이다. $\mathbf{G}\ne0$ 이면 움클랍 과정이다. 전이율은 황금률로

$$W_{\mathbf{k}\to\mathbf{k}'}=\frac{2\pi}{\hbar}\,\big|M_{\mathbf{q}}\big|^2 \Big[\,n_{\mathbf{q}}\,\delta\big(\varepsilon_{\mathbf{k}'}-\varepsilon_{\mathbf{k}}-\hbar\omega_{\mathbf{q}}\big) +\big(n_{\mathbf{q}}+1\big)\,\delta\big(\varepsilon_{\mathbf{k}'}-\varepsilon_{\mathbf{k}}+\hbar\omega_{\mathbf{q}}\big)\Big]$$

이고, $n_{\mathbf{q}}=1/(e^{\hbar\omega_{\mathbf{q}}/k_BT}-1)$ 은 포논의 보스 점유수다 (7.5.1포논 열용량과 플랑크 분포). 흡수는 있는 포논에 비례하고($n_{\mathbf{q}}$), 방출은 $n_{\mathbf{q}}+1$ 이다. 그 $+1$ 이 자발 방출이다 — $T=0$ 에서 포논이 하나도 없어도, 전자의 에너지가 $\hbar\omega_{\mathbf{q}}$ 보다 크기만 하면 포논을 내놓을 수 있다. 11.7에서 전기장이 전자를 광학 포논 에너지 위로 올리는 순간 방출률이 폭증해 속도가 포화되는 것이 이 $+1$ 이다.

$|M_{\mathbf{q}}|^2$ 은 결합의 종류가 정한다 (7.10.6전자-포논 상호작용과 폴라론). 세 가지가 반도체 수송을 나눠 맡는다.

결합	$\lvert M_{\mathbf{q}}\rvert^2$ 의 $\mathbf{q}$ 의존	각 분포	어디서
변형 퍼텐셜 (음향, 비극성)	$\propto\dfrac{D_{\text{ac}}^2\,\hbar q}{2\rho_m V v_s}$	등방	Si·Ge 의 실온 이동도
비극성 광학·밸리 간	$\propto\dfrac{D_{\text{op}}^2\,\hbar}{2\rho_m V\omega_0}$ — $q$ 무관	등방	Si 의 $f$·$g$ 밸리 간 산란
극성 광학 (프뢸리히)	$\propto\dfrac{1}{q^2}\left(\dfrac{1}{\varepsilon_\infty}-\dfrac{1}{\varepsilon_s}\right)$	전방 집중	GaAs·GaN 의 실온 이동도

첫 줄이 바딘–쇼클리의 변형 퍼텐셜이다. 장파장 음향 포논은 격자를 국소적으로 늘였다 줄였다 하고($\Delta=\nabla\cdot\mathbf{u}$), 밴드 끝은 그 팽창에 비례해 $\delta\varepsilon_c=D_{\text{ac}}\Delta$ 만큼 오르내린다. $D_{\text{ac}}$ 는 eV 단위의 상수(Si 전자 $\approx9\,\mathrm{eV}$)이고, 팽창을 만드는 것은 종파뿐이라 종음속 $v_s$ 와 질량 밀도 $\rho_m$ 이 붙는다. $\hbar q/(2\rho_m V v_s)$ 는 모드 하나의 영점 진폭의 제곱이 $\hbar/(2\rho_m V\omega_{\mathbf{q}})$ 이고 $\Delta\propto q$ 라서 나온다.

금속 — $T$ 와 $T^5$

금속의 페르미 면에서 포논의 최대 에너지 $k_B\Theta_D$ 는 $\varepsilon_F$ 의 1% 남짓이다. 산란은 운동량 쪽으로는 거의 탄성이고($|\mathbf{k}'|\approx|\mathbf{k}|=k_F$), 포논 파벡터 $q$ 는 $2k_F\sin(\theta/2)$ 로 산란각과 묶인다. 디바이 파수 $q_D$ 와 $2k_F$ 가 같은 자릿수($\sim\pi/a$)이니, 모든 포논이 들뜬 고온에서는 모든 각으로 산란된다.

$T\gg\Theta_D$. 모든 모드가 $n_{\mathbf{q}}\approx k_BT/\hbar\omega_{\mathbf{q}}\gg1$ 로 고전적이다. $|M_{\mathbf{q}}|^2n_{\mathbf{q}}\propto(q/\omega_{\mathbf{q}})(T/\omega_{\mathbf{q}})\propto T$ 이고 참여하는 모드의 수는 온도에 무관하니

$$\frac{1}{\tau}\propto T \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\text{ph}}\propto T$$

이다. 고전적으로 읽으면, 이온의 제곱 평균 변위가 등분배로 $\langle u^2\rangle=k_BT/M\omega^2$ 이고 산란 단면적이 $\langle u^2\rangle$ 에 비례한다는 말이다. 구리·은·금의 실온 비저항이 온도에 정비례하는 이유이고, 온도 계수 $\sim0.4\%/\mathrm{K}$ 가 여기서 나온다.

$T\ll\Theta_D$. 이제 $\hbar\omega_{\mathbf{q}}\lesssim k_BT$ 인 포논만 있다. 그 파벡터는 $q\lesssim q_T=k_BT/\hbar v_s$, 곧 $q_T/q_D=T/\Theta_D$ 다. 두 인자가 곱해진다.

• 들뜬 포논의 수 $\propto q_T^3\propto T^3$ (디바이 — 7.5.4디바이 모형과 T³ 법칙).
• 산란각이 $\theta\approx q/k_F\propto T$ 로 작아, 5절의 무게 $(1-\cos\theta)\approx\theta^2/2\propto T^2$.

$$\frac{1}{\tau}\propto T^3\times T^2=T^5 \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\text{ph}}\propto T^5$$

가 블로흐의 $T^5$ 법칙이다. 두 극한을 잇는 것이 5절의 변분 원리에 시험 함수 $\Phi=\mathbf{k}\cdot\mathbf{u}$ 를 넣어 얻는 블로흐–그뤼나이젠 공식:

$$\rho_{\text{ph}}(T)=A\left(\frac{T}{\Theta_R}\right)^5\int_0^{\Theta_R/T}\frac{x^5\,dx}{(e^x-1)(1-e^{-x})}$$

$\Theta_R$ 은 디바이 온도에 가까운 맞춤 상수다. $x=\hbar\omega/k_BT$ 이고, 적분의 $x^5$ 가 위의 두 인자(모드 수 $q^2dq$, 결합 $q$, 각 무게 $q^2$)와 흡수·방출의 파울리 인자를 선형화한 $x\,n(n+1)$ 을 합친 것이다. 저온에서 적분이 $5!\,\zeta(5)=124.4$ 로 수렴해 $T^5$, 고온에서 $(\Theta_R/T)^4/4$ 로 가서 $T$ — 두 극한이 $T\approx\Theta_R/5$ 근방에서 갈린다.

그림 7.12-6. 블로흐–그뤼나이젠 곡선. 포논 산란 비저항을 ρ(Θ)로 정규화해 T/Θ에 대해 그렸다. 낮은 온도에서는 124.4·(T/Θ)⁵의 T⁵ 극한(점선)을, 높은 온도에서는 (T/Θ)/4의 선형 극한(점선)을 따르고, 실제 곡선은 T ≈ Θ/5 근방에서 둘 사이를 잇는다. T⁵의 다섯 제곱은 들뜬 포논의 수 T³과 작은 각 산란의 무게 (q/k_F)² ∝ T²의 곱이다. 각 무게가 붙지 않는 열저항은 같은 영역에서 T²이므로, 이 구간에서 비데만–프란츠 법칙이 깨진다.직접 작도

열저항은 $T^2$ 다. 같은 저온 포논이 열류를 흩뜨릴 때는 $(1-\cos\theta)$ 무게가 붙지 않는다 — 작은 각 산란이라도 에너지를 $\sim k_BT$ 만큼 바꾸면 열류의 담지자(페르미 창 위아래의 전자)를 서로 섞어 버리기 때문이다. 그래서 포논에 의한 전자 열저항 $W_{\text{ph}}=1/\kappa_e$ 는 $T^2$ 에 비례하고, $\rho_{\text{ph}}\propto T^5$ 와 같이 놓으면 로렌츠 비 $\kappa/\sigma T$ 가 $L_0$ 아래로 떨어진다. 순수한 금속에서 $T\sim\Theta_D/5$ 근방의 $L/L_0\sim0.3$–$0.5$ 가 그 최저점이다. 아주 낮은 온도에서는 불순물 산란(탄성)이 이겨 $L_0$ 으로 돌아오고, 고온에서는 포논 산란이 큰 각이 되어 역시 돌아온다 — 비데만–프란츠 법칙은 산란이 탄성일 때의 법칙이다.

전체 비저항은 잔류 비저항과 더해 $\rho=\rho_0+\rho_{\text{ph}}(T)$ — 마티센 법칙이고, 5절의 증명대로 이것은 하한이다. 알칼리 금속처럼 페르미 면이 영역 경계에서 먼 경우 저온에서 움클랍이 $e^{-\Theta_U/T}$ 로 얼어붙어 $T^5$ 가 더 가팔라지고, 구리처럼 목(neck)이 경계에 닿은 금속은 움클랍이 저온까지 살아남는다.

반도체 — 음향 포논과 $T^{-3/2}$

비축퇴 반도체에서는 전자가 $\varepsilon\sim k_BT$ 에 있다. 열 파수 $k_{\text{th}}=\sqrt{2m^*k_BT}/\hbar$ 는 실리콘에서 $4\times10^{8}\,\mathrm{m^{-1}}$ — 브릴루앙 영역 경계의 $1/15$ 정도다. 산란에 관여하는 포논은 $q\le2k_{\text{th}}$ 이고 그 에너지는

$$\hbar\omega_{\mathbf{q}}\le2\hbar v_sk_{\text{th}} \approx5\,\mathrm{meV}\ll k_BT=26\,\mathrm{meV}$$

이다 (비 $\hbar v_sk_{\text{th}}/k_BT\sim v_s/v_{\text{th}}\sim0.04$). 두 가지가 따라온다: 산란은 준탄성이고($\varepsilon'\approx\varepsilon$), 포논은 등분배 상태다 ($n_{\mathbf{q}}\approx n_{\mathbf{q}}+1\approx k_BT/\hbar\omega_{\mathbf{q}}\gg1$). 이 둘을 변형 퍼텐셜 결합에 넣으면 흡수와 방출의 행렬 요소 합이

$$\big|M_{\mathbf{q}}\big|^2_{\text{흡수}}+\big|M_{\mathbf{q}}\big|^2_{\text{방출}} \approx2\times\frac{D_{\text{ac}}^2\,\hbar q}{2\rho_mVv_s}\times\frac{k_BT}{\hbar v_sq} =\frac{D_{\text{ac}}^2\,k_BT}{\rho_mV v_s^2}$$

— $q$ 에 무관하다. 산란이 등방이므로 $(1-\cos\theta)$ 의 평균이 1이고 $\tau=\tau_c$ 다. 황금률의 $\mathbf{k}'$ 합은 에너지 보존 때문에 같은 스핀의 상태밀도 $V\mathcal{D}_s(\varepsilon)$ 로 바뀐다 ($\mathcal{D}_s=(2m^*)^{3/2}\varepsilon^{1/2}/4\pi^2\hbar^3$, 스핀 하나):

$$\frac{1}{\tau_{\text{ac}}(\varepsilon)} =\frac{2\pi}{\hbar}\,\frac{D_{\text{ac}}^2\,k_BT}{\rho_mv_s^2}\,\mathcal{D}_s(\varepsilon) =\frac{\sqrt2\,m^{*3/2}D_{\text{ac}}^2\,k_BT}{\pi\hbar^4\,c_l}\;\varepsilon^{1/2}, \qquad c_l\equiv\rho_mv_s^2$$

$c_l$ 은 종파 탄성 상수다 (7.3.10입방 결정의 탄성파([100]·[110])). 산란율이 $T$ 에 비례하고 $\varepsilon^{1/2}$ 에 비례한다 — 온도는 포논 수에서, 에너지는 도착할 상태의 수에서 온다. 4절의 표기로 $r=-\tfrac12$, $\tau_0\propto T^{-3/2}$ 이고 $\langle\tau\rangle=4\tau_0/3\sqrt\pi$ 이므로

$$\mu_{\text{ac}}=\frac{e\langle\tau\rangle}{m^*} =\frac{2\sqrt{2\pi}\,e\hbar^4c_l}{3\,D_{\text{ac}}^2\,m^{*5/2}\,(k_BT)^{3/2}} \;\propto\;m^{*-5/2}\,T^{-3/2}$$

가 바딘–쇼클리 이동도다. $T^{-3/2}$ 의 $-1$ 은 포논 수, $-\tfrac12$ 은 열 전자의 에너지가 $k_BT$ 라서 도착 상태의 밀도 $\varepsilon^{1/2}$ 이 $T^{1/2}$ 로 커지는 몫이다. $m^{*-5/2}$ 은 $1/m^*$(가속)에 $m^{*-3/2}$(상태밀도 — 무거울수록 산란될 자리가 많다)이 곱해진 것이다.

실리콘 값($D_{\text{ac}}\approx9\,\mathrm{eV}$, $\rho_m=2.33\,\mathrm{g/cm^3}$, $v_s\approx9.0\times10^5\,\mathrm{cm/s}$)을 넣으면 수천 $\mathrm{cm^2/V\cdot s}$ 가 나온다 — 실측 $1{,}400$ 보다 크다. 나머지는 밸리 간 산란(표의 둘째 줄)이 채운다. 실리콘의 여섯 밸리 사이를 옮기려면 영역 경계 근처의 큰 $q$ 포논이 필요하고, 그 에너지($19$–$63\,\mathrm{meV}$)는 $k_BT$ 와 견줄 만해 등분배가 안 된다: 흡수는 $n_0=1/(e^{\hbar\omega_0/k_BT}-1)$ 에 비례해 온도에 가파르고, 방출은 $\varepsilon>\hbar\omega_0$ 인 전자만 할 수 있다. 그 결과 실리콘 전자 이동도의 실측 온도 지수는 $-1.5$ 가 아니라 $-2.4$ 근처다. GaAs는 반대로 극성 광학 포논(셋째 줄)이 실온 이동도를 정하고, 프뢸리히 결합의 전방 집중 덕에 $\tau\gg\tau_c$ 인 대표적 경우다.

이온화 불순물 산란과 합치면 이동도의 온도 곡선이 완성된다 — 저온에서 $T^{3/2}/N_I$ 로 오르다가 포논의 $T^{-3/2}$ 를 만나 꺾인다. 그 그림과 도핑 의존성은 11.2.3에 둔다. 여기서는 두 기구의 에너지 지수($r=-\tfrac12$ 와 $+\tfrac32$)가 반대라서 마티센 합이 정확하지 않다는 5절의 경고만 되새긴다.

직관

수식적 직관 — 지수는 셈으로 나온다. 이 절의 온도 지수는 전부 인자의 개수 세기다.

	포논 수	결합 $\lvert M\rvert^2$	각 무게	도착 상태	합
금속, $T\gg\Theta_D$	$T$ (등분배)	—	1	—	$\rho\propto T$
금속, $T\ll\Theta_D$	$T^3$	($q$ 에 흡수)	$T^2$	—	$\rho\propto T^5$
반도체, 음향	$T$ (등분배)	$q$ 무관	1	$\varepsilon^{1/2}\to T^{1/2}$	$1/\mu\propto T^{3/2}$
반도체, 이온화 불순물	$N_I$	$\varepsilon^{-2}$	로그	$\varepsilon^{1/2}$	$1/\mu\propto T^{-3/2}$

새 기구를 만나면 이 네 칸을 채우는 것이 먼저다. 표면 거칠기 산란(13.7)이 $\mu\propto E_{\text{eff}}^{-2}$ 인 이유도, 합금 산란이 온도에 둔감한 이유도 같은 표에서 읽힌다.

파라미터 연계 — 이동도를 정하는 재료 상수. $\mu_{\text{ac}}\propto c_l/(D_{\text{ac}}^2m^{*5/2})$ 에서 재료 설계의 방향이 보인다. 격자가 단단할수록($c_l$ 크다 — 다이아몬드), 밴드 끝이 변형에 둔할수록 ($D_{\text{ac}}$ 작다), 그리고 무엇보다 가벼울수록 이동도가 크다. $m^{*5/2}$ 의 지수가 커서 GaAs($0.067$)와 Si($0.26$)의 차이가 $30$ 배로 증폭된다 — 실측 비 $6$ 배가 그보다 작은 것은 GaAs가 극성 광학 포논이라는 다른 벽에 먼저 부딪히기 때문이다. 변형 실리콘이 하는 일은 $m_c$ 를 줄이는 것과 밸리 축퇴를 깨서 밸리 간 산란의 도착지를 없애는 것, 둘이다(14부).

열전 계수와 자기수송

4절의 적분을 거둬들인다

$$\mathbf{j}=L^{11}\boldsymbol{\mathcal{E}}+L^{12}(-\nabla T), \qquad \mathbf{j}_q=L^{21}\boldsymbol{\mathcal{E}}+L^{22}(-\nabla T)$$

에서 측정되는 계수 셋이 나온다. 등방(스칼라) 경우로 쓴다.

제벡 계수. 회로를 열어 $\mathbf{j}=0$ 으로 두면 온도 기울기가 전기화학 장을 만든다:

$$\boldsymbol{\mathcal{E}}=S\,\nabla T, \qquad S=\frac{L^{12}}{L^{11}}=-\frac{1}{eT}\frac{\mathcal{L}^{(1)}}{\mathcal{L}^{(0)}}$$

펠티에 계수. 온도가 균일할 때 전류가 열을 함께 나른다:

$$\mathbf{j}_q=\Pi\,\mathbf{j}, \qquad \Pi=\frac{L^{21}}{L^{11}}=T\,S$$

— 온사거 관계 $L^{21}=TL^{12}$ 가 곧 켈빈 관계 $\Pi=TS$ 다. 제벡을 재면 펠티에는 공짜다.

전자 열전도도. $\mathbf{j}=0$ 인 조건에서 열류와 온도 기울기의 비:

$$\kappa=L^{22}-\frac{L^{21}L^{12}}{L^{11}}=\frac{\mathcal{L}^{(2)}}{e^2T}-TS^2\sigma$$

둘째 항은 열전 효과가 열전도를 되먹임하는 보정으로, 금속에서는 $(k_BT/\varepsilon_F)^2$ 차수라 버려도 되고 열전 재료에서는 버리면 안 된다.

금속 — 모트 공식과 비데만–프란츠

4절의 좀머펠트 전개를 $\mathcal{L}^{(\alpha)}=\int d\varepsilon\,(-\partial f^0/\partial\varepsilon)\,\sigma(\varepsilon)\,(\varepsilon-\mu)^\alpha$ 에 적용한다. $H(\varepsilon)=\sigma(\varepsilon)(\varepsilon-\mu)^\alpha$ 로 두면

$$\mathcal{L}^{(0)}=\sigma(\mu), \qquad \mathcal{L}^{(1)}=\frac{\pi^2}{3}(k_BT)^2\,\sigma'(\mu), \qquad \mathcal{L}^{(2)}=\frac{\pi^2}{3}(k_BT)^2\,\sigma(\mu)$$

이다 ($\alpha=1$ 은 $H(\mu)=0$ 이고 $H''(\mu)=2\sigma'(\mu)$, $\alpha=2$ 는 $H''(\mu)=2\sigma(\mu)$). 넣으면

$$\boxed{\; S=-\frac{\pi^2}{3}\,\frac{k_B^2T}{e}\,\frac{\sigma'(\varepsilon_F)}{\sigma(\varepsilon_F)} =-\frac{\pi^2}{3}\,\frac{k_B}{e}\,(k_BT)\left[\frac{d\ln\sigma(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right]_{\varepsilon_F} \;}$$

가 모트 공식이다. 제벡 계수는 전도도 자체가 아니라 에너지에 대한 전도도의 로그 미분을 잰다. $\sigma(\varepsilon)$ 이 $\varepsilon_F$ 에서 오르막이면 $S<0$ — 뜨거운 쪽의 (더 높은 에너지의) 전자가 더 잘 통해 차가운 쪽으로 몰리고, 차가운 쪽이 음으로 대전된다.

그림 7.12-7. 온도 기울기가 미는 힘. 점선의 짝함수 봉우리가 페르미 창 −∂f⁰/∂ε, 강조된 홀함수 곡선이 거기에 (ε − μ)를 곱한 열 구동 함수다. μ 위의 전자는 뜨거운 쪽에서 차가운 쪽으로, μ 아래의 전자는 반대로 흐르므로 σ(ε)가 ε에 무관하면 두 잎이 상쇄돼 전류가 0이다. σ(ε)가 ε에 따라 커지면(가는 실선) 위쪽 잎이 이겨 알짜 전류가 남고, 그 비대칭이 S ∝ d ln σ/dε — 모트 공식이다.직접 작도

자유전자에 $\tau\propto\varepsilon^r$ 을 넣으면 $\sigma(\varepsilon)\propto\varepsilon^{3/2+r}$ 이므로

$$S=-\frac{\pi^2}{3}\,\frac{k_B}{e}\,\frac{k_BT}{\varepsilon_F}\left(\frac32+r\right)$$

— $k_B/e=86\,\mathrm{\mu V/K}$ 에 $k_BT/\varepsilon_F\sim4\times10^{-3}$ (구리, 300 K)이 곱해져 $|S|\sim1$–$2\,\mathrm{\mu V/K}$ 다. 드루데가 $-k_B/2e\approx-43\,\mathrm{\mu V/K}$ 로 100배 크게 잡았던 것을 페르미 창의 인자 $k_BT/\varepsilon_F$ 가 바로잡는다(Ashcroft·Mermin은 열용량으로 어림한 $-c_v/3ne$ 꼴로 같은 자릿수를 얻는다). 그런데 부호가 틀린다 — 구리·은·금의 실측 $S$ 는 $+1.5$–$+2\,\mathrm{\mu V/K}$ 로 양수다. 페르미 면의 목이 영역 경계에 닿아 $\sigma(\varepsilon)$ 이 $\varepsilon_F$ 에서 내리막인 것과, 온도 기울기를 따라 흐르는 포논이 전자를 끌고 가는 포논 끌림(phonon drag — 7.5.7열전도와 포논 기체의 열저항)이 원인이다. 제벡 계수는 밴드 구조와 산란의 미세한 비대칭을 보는 양이라 자유전자 그림이 부호조차 못 맞추는 첫 사례다.

열전도도는 $\mathcal{L}^{(2)}$ 에서

$$\kappa=\frac{\pi^2}{3}\,\frac{k_B^2T}{e^2}\,\sigma \quad\Longrightarrow\quad \frac{\kappa}{\sigma T}=\frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k_B}{e}\right)^2\equiv L_0=2.44\times10^{-8}\,\mathrm{W\,\Omega/K^2}$$

— 비데만–프란츠 법칙과 로렌츠 수 $L_0$ 다 (7.6.8열전도와 비데만-프란츠 법칙). 드루데는 우연히 근사값을 맞혔지만, 여기서는 $\sigma$ 와 $\kappa$ 가 같은 $\tau(\varepsilon)$ 의 같은 적분이라는 사실이 증명이다. 그래서 조건도 분명하다: 전류를 완화하는 $\tau$ 와 열류를 완화하는 $\tau$ 가 같아야 하고, 그것은 산란이 탄성일 때다. 6절의 저온 포논 산란이 그 조건을 깨는 유일한 큰 예외다.

반도체 — 부호와 크기

비축퇴 반도체에서는 페르미 창 대신 맥스웰–볼츠만 평균이다. 전자 밴드의 바닥을 $\varepsilon_c$ 로 두고 $\varepsilon-\mu=(\varepsilon-\varepsilon_c)+(\varepsilon_c-\mu)$ 로 나누면, 4절의 무게 $\varepsilon^{3/2+r}e^{-\varepsilon/k_BT}$ 로 $\langle\varepsilon-\varepsilon_c\rangle=(r+\tfrac52)k_BT$ 이므로

$$S_n=-\frac{k_B}{e}\left[\left(r+\frac52\right)+\frac{\varepsilon_c-\mu}{k_BT}\right] =-\frac{k_B}{e}\left[\left(r+\frac52\right)+\ln\frac{N_c}{n}\right]$$

이고, 정공은 부호가 반대다: $S_p=+\frac{k_B}{e}\left[(r+\tfrac52)+\ln(N_v/p)\right]$. 두 가지가 눈에 띈다. 크기가 금속의 100배다 — 대괄호가 $5$–$15$ 라 $|S|\sim0.4$–$1.3\,\mathrm{mV/K}$. 부호가 캐리어 종류를 곧바로 말한다 — 뜨거운 탐침을 대고 전압의 부호를 읽는 것이 가장 오래된 $n/p$ 판별법이다. 그리고 $S$ 가 $\ln(1/n)$ 으로 커지므로, 열전 성능 지수 $ZT=S^2\sigma T/\kappa$ 는 $S$ 를 위해 $n$ 을 줄이고 싶고 $\sigma$ 를 위해 $n$ 을 늘리고 싶은 줄다리기가 되어 $n\sim10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 근처에 최적이 생긴다. 전자와 정공이 함께 있으면 $S=(\sigma_nS_n+\sigma_pS_p)/(\sigma_n+\sigma_p)$ 로 서로 상쇄되어 진성 반도체의 열전 효과는 작다.

자기수송 — 볼츠만 방정식에 $\mathbf{B}$ 를 넣는다

자기장이 있으면 흐름 항에 $-(e/\hbar)(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f$ 가 산다. $f^0$ 에 걸리는 부분은 $(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\nabla_{\mathbf{k}}f^0\propto(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0$ 으로 사라진다 — 자기장은 일을 하지 않으므로 평형을 건드리지 못한다. 그래서 $\mathbf{B}$ 는 편차 $g$ 를 통해서만 들어오고, 균일·정상·등온에서 선형 방정식은

$$e\left(-\frac{\partial f^0}{\partial\varepsilon}\right)\mathbf{v}\cdot\mathbf{E} -\frac{e}{\hbar}(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\nabla_{\mathbf{k}}\,g=-\frac{g}{\tau}$$

이다. 등방 포물선 밴드($\mathbf{v}=\hbar\mathbf{k}/m^*$)에서 $g=e\tau(-\partial f^0/\partial\varepsilon)\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}$ 로 놓으면($\mathbf{A}$ 는 정할 벡터) $\nabla_{\mathbf{k}}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})=\hbar\mathbf{A}/m^*$ 이고 스칼라 삼중곱을 돌려 $(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}=\mathbf{v}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{A})$ 이므로, 모든 $\mathbf{v}$ 에 대해 성립하려면

$$\mathbf{A}=-\mathbf{E}+\omega_c\tau\,(\hat{\mathbf{b}}\times\mathbf{A}), \qquad \omega_c=\frac{eB}{m^*},\quad\hat{\mathbf{b}}=\frac{\mathbf{B}}{B}$$

여야 한다. $\mathbf{j}=-e\int\mathbf{v}g=-\sigma_0\mathbf{A}$ 이므로 ($\sigma_0=ne^2\tau/m^*$)

$$\mathbf{j}=\sigma_0\mathbf{E}+\omega_c\tau\,(\hat{\mathbf{b}}\times\mathbf{j})$$

— 드루데가 운동 방정식으로 얻은 것과 같은 식이 볼츠만 방정식에서 나온다 (7.6.7자기장 내 운동과 홀 효과). $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$ 로 풀면 $\beta\equiv\omega_c\tau$ 로

$$\boldsymbol{\sigma}=\frac{\sigma_0}{1+\beta^2} \begin{pmatrix}1&-\beta&0\\ \beta&1&0\\ 0&0&1+\beta^2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{\sigma}^{-1}=\frac{1}{\sigma_0} \begin{pmatrix}1&\beta&0\\ -\beta&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$

이다. 전도도 텐서는 자기장으로 줄지만($\sigma_{xx}=\sigma_0/(1+\beta^2)$) 비저항의 대각 성분은 그대로다 — 등방 밴드·단일 완화시간에서는 자기저항이 없다. 비대각 성분이 홀 효과다: $E_y=\rho_{yx}j_x=-(\beta/\sigma_0)j_x=-Bj_x/ne$ 이므로

$$R_H\equiv\frac{E_y}{j_xB}=-\frac{1}{ne}, \qquad \tan\theta_H=\frac{E_y}{E_x}=-\omega_c\tau=-\mu_nB$$

홀 각 $\theta_H$ 의 탄젠트가 $\omega_c\tau=\mu_nB$ 라는 것을 기억해 둔다 — 이동도와 자기장의 곱이 “저자기장/강자기장”을 가르는 단 하나의 무차원수다. 실리콘의 $\mu_n=0.14\,\mathrm{m^2/V\cdot s}$ 는 $1\,\mathrm{T}$ 에서 $\omega_c\tau=0.14$ (저자기장), 4 K 의 GaAs 2DEG($\mu\sim100\,\mathrm{m^2/V\cdot s}$) 는 $1\,\mathrm{T}$ 에서 $100$ 이다 — 전자가 산란 전에 백 바퀴를 돈다. 거기에 $\hbar\omega_c\gg k_BT$ 까지 더해지면 궤도가 양자화되고 홀 저항이 계단이 된다(7.8.8, 10.4).

그림 7.12-8. 홀 효과의 기하. 두 패널 모두 전류 j는 +x, 자기장 B는 지면에서 나오는 +z 방향이다. 왼쪽의 전자(q = −e)는 −x로 움직이고, 오른쪽의 정공(q = +e)은 +x로 움직이지만, 로렌츠 힘 qv×B는 둘 다 −y를 향하므로 두 캐리어 모두 아래 면에 쌓인다. 쌓인 전하의 부호가 반대라 홀 전기장 E_y의 부호가 갈리고, 그것이 R_H = ∓1/(ne)의 부호로 캐리어 종류를 읽는 근거다. 두 캐리어가 같은 면으로 밀린다는 사실이 정공을 '양전하를 가진 진짜 입자'로 다뤄도 되는 이유이기도 하다.직접 작도

주의

정공은 어디로 밀리는가. 전자와 정공은 전류 방향이 같을 때 속도가 반대다. $q$ 와 $\mathbf{v}$ 의 부호가 함께 뒤집히므로 $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 는 같은 쪽을 향한다 — 두 캐리어 모두 같은 면에 쌓이고, 쌓인 전하의 부호만 다르다. 홀 전압의 부호가 캐리어 종류를 가르는 것은 이 때문이며, “정공은 반대쪽으로 밀린다”는 흔한 오해는 정공을 전자의 빈 자리가 아니라 전류의 방향과 혼동한 것이다.

완화시간이 에너지에 의존하면 — 홀 인자와 자기저항

비축퇴 반도체에서는 에너지마다 $\beta(\varepsilon)=\omega_c\tau(\varepsilon)$ 이 다르다. 위의 텐서를 에너지 껍질마다 쓰고 4절의 무게로 평균하면, 저자기장($\beta\ll1$)에서

$$\sigma_{xx}\approx\frac{ne^2}{m^*}\langle\tau\rangle, \qquad \sigma_{xy}\approx-\frac{ne^2}{m^*}\,\frac{eB}{m^*}\,\langle\tau^2\rangle$$

이고 $\rho_{yx}=\sigma_{xy}/(\sigma_{xx}^2+\sigma_{xy}^2)\approx\sigma_{xy}/\sigma_{xx}^2$ 에서

$$R_H=-\frac{r_H}{ne}, \qquad r_H\equiv\frac{\langle\tau^2\rangle}{\langle\tau\rangle^2} =\frac{\Gamma\!\left(2r+\tfrac52\right)\Gamma\!\left(\tfrac52\right)}{\Gamma\!\left(r+\tfrac52\right)^2}$$

가 홀 인자다. 음향 포논($r=-\tfrac12$)이면 $r_H=3\pi/8=1.18$, 이온화 불순물($r=\tfrac32$)이면 $315\pi/512=1.93$ — 홀 측정으로 읽은 농도는 실제 $n$ 을 $r_H$ 로 나눈 값이고, 홀 이동도 $\mu_H=|R_H|\sigma=r_H\,\mu_n$ 은 드리프트 이동도보다 크다(11.2.9). 코시–슈바르츠 부등식으로 $\langle\tau^2\rangle\ge\langle\tau\rangle^2$ 이므로 $r_H\ge1$ 은 언제나 성립하고, $\tau$ 가 에너지에 무관할 때만 1이다. 강자기장($\beta\gg1$)에서는 $\sigma_{xy}\to-ne/B$ 로 $\tau$ 가 빠져나가 $R_H\to-1/ne$ 가 된다 — 자기장이 세면 홀 계수는 산란을 잊고 캐리어 수만 센다.

같은 에너지 퍼짐이 자기저항을 만든다. 껍질마다 $\beta$ 가 다르니 껍질마다 홀 장이 다르고, 평균 홀 장은 각 껍질을 정확히 상쇄하지 못해 가로 방향 전류가 남는다. 저자기장에서

$$\frac{\Delta\rho}{\rho_0}=\frac{\rho_{xx}(B)-\rho_{xx}(0)}{\rho_{xx}(0)} \approx\left(\frac{eB}{m^*}\right)^2\frac{\langle\tau^3\rangle\langle\tau\rangle-\langle\tau^2\rangle^2}{\langle\tau\rangle^2} \ \ge0$$

— 다시 코시–슈바르츠로 언제나 양수이고 $B^2$ 에 비례하며, 강자기장에서 포화한다. $\Delta\rho/\rho_0$ 이 $B/\rho_0$ (곧 $\omega_c\tau$)만의 함수라는 콜러 규칙이 이 구조의 일반형이다. 두 캐리어가 있으면 같은 계산이

$$R_H=\frac{p\mu_p^2-n\mu_n^2}{e\,(p\mu_p+n\mu_n)^2}\quad(\beta\ll1), \qquad R_H\to\frac{1}{e\,(p-n)}\quad(\beta\gg1)$$

을 준다. 저자기장 부호는 이동도의 제곱으로 무게가 붙어 소수 캐리어라도 이동도가 높으면 부호를 뒤집을 수 있고, 강자기장에서는 다시 수만 센다. $n=p$ 인 보상된 계는 강자기장 홀 계수가 0이고 자기저항이 포화하지 않고 $B^2$ 으로 계속 오른다 — 비스무트와 반금속(7.9.8)의 거대 자기저항이 이것이다. 열린 궤도(7.8.7전자 궤도·정공 궤도·열린 궤도)가 있는 금속에서도 특정 방향의 자기저항이 포화하지 않는데, 그 방향이 페르미 면의 위상을 읽는 자기저항 실험의 근거다.

온도 기울기와 자기장이 함께 있으면 교차 효과가 둘 더 나온다 — 열류에 수직인 전기장(네른스트), 전류에 수직인 온도 기울기(에팅스하우젠). 모두 같은 $L^{ij}(\mathbf{B})$ 텐서의 비대각 성분이고 새 물리는 없다.

직관

그래프 직관 — $\rho_{xx}(B)$ 와 $\rho_{yx}(B)$ 를 같이 그리면. 단일 캐리어·단일 $\tau$ 라면 $\rho_{xx}$ 는 평평하고 $\rho_{yx}$ 는 기울기 $-1/ne$ 의 직선이다. 실제 곡선이 그것과 다른 방식이 정보다: $\rho_{xx}$ 가 $B^2$ 으로 오르다 포화하면 $\tau(\varepsilon)$ 의 퍼짐(또는 두 캐리어), 포화하지 않으면 보상이나 열린 궤도, $\rho_{yx}$ 의 기울기가 저자기장과 강자기장에서 다르면 $r_H$ 또는 두 캐리어다. 그리고 $\rho_{yx}$ 가 $h/\nu e^2$ 의 계단으로 바뀌는 순간 이 장의 준고전 이론은 끝나고 7.8.8·10.4의 양자 홀이 시작된다.

파라미터 연계 — $\omega_c\tau=\mu B$. 자기수송의 모든 식은 $\beta=\mu B$ 하나로 매개된다. 같은 자기장이라도 이동도가 $10^3$ 배 다르면 다른 물리다. 실온 실리콘은 수 T 까지 저자기장이고, 저온 고이동도 2DEG는 $0.1\,\mathrm{T}$ 에서 이미 강자기장이다. 이동도가 곧 “자기장이 얼마나 세게 느껴지는가”의 척도다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 수송 계수는 $\varepsilon_n(\mathbf{k})$ 와 $W_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}$ 두 입력의 범함수이고, 볼츠만 방정식이 그 범함수를 계산하는 기계이며, 완화시간 근사는 그 기계를 손으로 돌릴 수 있게 만든 가설이다. 목적지를 적어 둔다.

• 이동도 (11.2) — $\mu_n=e\langle\tau\rangle/m^*$ 의 평균(4절), 격자·불순물 산란의 온도 지수와 브룩스–헤링 로그(5·6절), 마티센 법칙이 하한이라는 사실(5절), 홀 인자 $r_H$ 와 홀 이동도(7절).
• 드리프트–확산 (11.5) — 볼츠만 방정식의 0차·1차 모멘트(2절). $\boldsymbol{\mathcal{E}}=\nabla\bar\mu/e$ 가 준페르미 준위의 기울기로 이름을 바꾼다(11.4.5).
• 고전계 수송 (11.7 · 14.2) — 선형화가 깨지고 $\tau_\varepsilon\ne\tau$ 가 전면에 나온다(3절). 광학 포논 방출의 $+1$ 이 속도 포화다(6절). 몬테카를로는 볼츠만 방정식을 표본으로 푸는 것이다.
• 채널 이동도 (13.7) — 6절의 표에 계면 거칠기·원거리 쿨롱·2차원 포논이 줄로 더해진다. 변형 실리콘은 4절의 밸리 평균과 6절의 밸리 간 산란을 함께 바꾼다(14부).
• 탄도 수송 (10.4 · 14.2) — $L\lesssim\ell$ 에서 볼츠만 방정식이 흐름 항만 남기고 접촉이 분포를 정한다(2절). 란다우어 공식이 그 극한이다.
• 열전 소자와 열 관리 — 모트 공식과 비축퇴 $S$(7절), $ZT$ 의 줄다리기. 비데만–프란츠가 배선의 전자 열전도를 정한다(3.7.13).
• 양자 홀 (7.8.8 · 10.4) — $\omega_c\tau\gg1$ 과 $\hbar\omega_c\gg k_BT$ 에서 7절이 끝나는 자리.
• 다음 장들. 자성(7.13)은 이 장의 $\sigma$ 텐서에 스핀 자유도를 얹은 것이고, 초전도(7.14)는 $\tau\to\infty$ 가 아니라 볼츠만 방정식 자체가 무의미해지는 상태이며, 비정질 고체(7.15)는 $k_F\ell\sim1$ 에서 이 장이 물러난 뒤의 이야기다.

이 장이 쓰이는 곳

• 7.5 포논의 열적 성질
• 8.2 미세조직 관찰
• 8.13 열적·자기적 성질