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2부 전자기학 2.9

퍼텐셜과 복사

2.6에서 맥스웰 방정식 네 개가 완성됐고, 2.8에서 그 방정식이 원천이 없는 곳에서 무엇을 하는지 보았다 — 파동이 된다. 남은 질문은 하나다. 원천이 있을 때 장은 어떻게 생기는가. 전하가 흔들리면 무엇이 어떤 모양으로 얼마나 빨리 퍼져 나가는가. 정전기·정자기에서는 쿨롱 법칙과 비오–사바르 법칙이 답이었지만, 원천이 시간에 따라 변하면 둘 다 틀린 답을 준다. 이 장이 맞는 답이다.

답의 형태는 놀랄 만큼 단순하다. 정전기의 퍼텐셜 공식에서 시간만 한 가지 바꾸면 된다.

V(r,t)=14πε0∫ρ(r′,tr)R dτ′,tr≡t−RcV(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{R}\, d\tau', \qquad t_r \equiv t - \frac{R}{c}

관측점에서 거리 RR만큼 떨어진 원천은 지금의 원천이 아니라 R/cR/c만큼 전의 원천이다. 소식이 빛의 속도로 오기 때문이다. 이 한 줄에 이 장의 전반부가 들어 있고, 후반부는 이 줄이 말해 주는 결과 하나 — 가속하는 전하는 에너지를 무한히 멀리 실어 보낸다 — 를 여러 얼굴로 본다. 흔들리는 쌍극자(5절), 가속하는 점전하(6절), 도선 위의 전류(7절)는 같은 현상의 세 이름이다.

이 장은 두 가지 이유로 앞 장들과 결이 다르다.

  • 퍼텐셜이 주인공이다. 장 E\mathbf{E}, B\mathbf{B} 여섯 성분을 직접 푸는 대신 VV, A\mathbf{A} 네 성분을 푼다. 성분 수가 줄어서만이 아니다 — 퍼텐셜은 파동 방정식을 따르고, 파동 방정식의 해는 이미 알고 있다(1.7.5파동 방정식과 달랑베르 해). 대신 퍼텐셜에는 자유도가 있어서(2절) 그것을 어떻게 고정하느냐가 계산의 편의를 결정한다.
  • 상대론이 뒤에 서 있다. 지연 시각, 리에나르–비헤르트의 인자 1−R^⋅v/c1 - \hat{\mathbf{R}}\cdot\mathbf{v}/c, 움직이는 전하의 납작해진 장 — 전부 상대론이 없어도 맥스웰 방정식만으로 나오지만, 왜 그런 꼴인지는 8절의 4-벡터 언어에서 한 줄로 보인다. 전기와 자기가 한 텐서의 여섯 성분이라는 것을 확인하고 2부를 닫는다.

반도체 쪽으로 이 장이 흘러가는 곳을 미리 적어 둔다. 광자가 방출·흡수되는 모든 자리 — LED·레이저(17.3–17.4)의 발광, 밴드간 흡수(11.8) — 는 5절의 쌍극자 복사를 양자역학으로 옮긴 것이다. 7절의 안테나는 5G·밀리미터파 RF 칩과 온칩 안테나의 언어이고, 근접장·원거리장의 경계 r=λ/2πr = \lambda/2\pi가 집중 소자 회로 모형이 통하는 한계를 정한다. 8절의 장 변환 B′=−v×E/c2\mathbf{B}' = -\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2는 전자가 결정 안의 전기장을 자기장으로 느끼는 스핀–궤도 결합의 정체이며, 스핀트로닉스와 MRAM의 스핀–궤도 토크가 거기서 나온다. 6절의 제동복사와 싱크로트론 복사는 X선 계측(19부)의 광원이다.

기호 — 이 장의 약속

섹션 제목: “기호 — 이 장의 약속”

이 장은 기호가 많고, 특히 대소문자만 다른 짝이 네 쌍이나 된다. 그리고 기준 교재 두 권이 같은 양을 다른 글자로 적는 자리가 있어 처음에 못박아 둔다.

기호읽는 법무엇을 가리키는가단위
VV스칼라 퍼텐셜정전기의 전위를 시간 의존으로 확장한 것V
A\mathbf{A}벡터 퍼텐셜B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}T·m
v, a\mathbf{v},\ \mathbf{a}속도 · 가속도점전하(4·6절) 또는 시험 전하의 것m/s, m/s²
ρ, J\rho,\ \mathbf{J}전하 밀도 · 전류 밀도원천. 위치 r′\mathbf{r}', 시각 trt_r에서 평가C/m³, A/m²
qq점전하의 전하량C
r, r′\mathbf{r},\ \mathbf{r}'관측점 · 원천점프라임이 붙으면 언제나 원천 쪽m
R, R, R^\mathbf{R},\ R,\ \hat{\mathbf{R}}분리 벡터R=r−r′\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r}', R=∣R∣R = \lvert\mathbf{R}\rvertm
trt_r지연 시각t−R/ct - R/cs
cc1/μ0ε01/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}m/s
□2\Box^2달랑베르시안∇2−1c2∂2∂t2\nabla^2 - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}1/m²
χ\chi게이지 함수2절. Griffiths는 λ\lambda로 쓴다V·s
p, m\mathbf{p},\ \mathbf{m}전기·자기 쌍극자 모멘트5절C·m, A·m²
ω, k, λ\omega,\ k,\ \lambda각진동수 · 파수 · 파장k=ω/c=2π/λk = \omega/c = 2\pi/\lambdarad/s, 1/m, m
θ\theta쌍극자 축(또는 속도)에서 잰 극각rad
S, P\mathbf{S},\ P포인팅 벡터 · 총 복사 전력⟨S⟩\langle\mathbf{S}\rangle은 시간 평균W/m², W
UU복사 세기r2 ⟨Sr⟩r^2\,\langle S_r\rangle (7절)W/sr
η0\eta_0고유 임피던스μ0/ε0≈377 Ω\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377\ \Omega (7절)Ω
β, γ\beta,\ \gammav/cv/c, 1/1−β21/\sqrt{1-\beta^2} (6·8절)—
xμ, Aμ, Fμνx^\mu,\ A^\mu,\ F^{\mu\nu}4-벡터 · 장 텐서8절. 인덱스 표는 그 자리에—

스칼라·벡터 퍼텐셜

섹션 제목: “스칼라·벡터 퍼텐셜”

왜 퍼텐셜인가

섹션 제목: “왜 퍼텐셜인가”

맥스웰 방정식 넷 중 원천이 없는 둘을 다시 본다.

∇⋅B=0,∇×E=−∂B∂t\nabla\cdot\mathbf{B} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}

첫째에서 B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}. 이것을 둘째에 넣으면

∇×E=−∂∂t(∇×A)⟹∇×(E+∂A∂t)=0\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{A}) \quad\Longrightarrow\quad \nabla\times\left(\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right) = 0

괄호 안의 벡터장은 회전이 없으니 어떤 스칼라의 기울기다(1.1.9퍼텐셜 이론). 그것을 −∇V-\nabla V라 부르면

 E=−∇V−∂A∂t,B=∇×A \boxed{\ \mathbf{E} = -\nabla V - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}\ }

이 두 정의는 원천 없는 두 방정식을 자동으로 만족시킨다. 회전의 발산은 0이고 기울기의 회전은 0이기 때문이다. 맥스웰 방정식 넷이 둘로 줄었다 — 남은 것은 원천이 있는 둘뿐이다.

원천이 있는 두 방정식을 퍼텐셜로

섹션 제목: “원천이 있는 두 방정식을 퍼텐셜로”

가우스 법칙 ∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0에 E\mathbf{E}의 표현을 넣는다.

∇2V+∂∂t(∇⋅A)=−ρε0\nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf{A}) = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

앙페르–맥스웰 법칙 ∇×B=μ0J+μ0ε0 ∂E/∂t\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t에 넣으면

∇×(∇×A)=μ0J−μ0ε0∇ ⁣(∂V∂t)−μ0ε0∂2A∂t2\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \mu_0\mathbf{J} - \mu_0\varepsilon_0\nabla\!\left(\frac{\partial V}{\partial t}\right) - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}

왼쪽에 항등식 ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}를 쓰고(1.1.2기울기·발산·회전) 정리하면

(∇2A−μ0ε0∂2A∂t2)−∇ ⁣(∇⋅A+μ0ε0∂V∂t)=−μ0J\left(\nabla^2\mathbf{A} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}\right) - \nabla\!\left(\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}\right) = -\mu_0\mathbf{J}

이 두 식이 맥스웰 방정식 전체다. 여섯 성분짜리 연립 방정식 여덟 개가 네 성분짜리 방정식 넷으로 압축됐다. 그러나 보기 흉하다 — VV 방정식에 A\mathbf{A}가, A\mathbf{A} 방정식에 VV가 섞여 있다. 섞이는 자리가 어디인지 보면 두 군데 모두 ∇⋅A\nabla\cdot\mathbf{A} 근처다. 그리고 ∇⋅A\nabla\cdot\mathbf{A}는 우리가 아직 정하지 않은 양이다. 이것이 2절의 출발점이다.

정적 극한에서 확인

섹션 제목: “정적 극한에서 확인”

시간 의존이 없으면 두 식은 낯익은 것으로 돌아간다. ∂/∂t→0\partial/\partial t \to 0, 그리고 정자기에서 쓰던 조건 ∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf{A} = 0을 넣으면

∇2V=−ρε0,∇2A=−μ0J\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}

푸아송 방정식 둘(2.1.5푸아송·라플라스 방정식, 2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지)이다. 그 해가 쿨롱 퍼텐셜과 비오–사바르의 벡터 퍼텐셜이다.

V(r)=14πε0∫ρ(r′)R dτ′,A(r)=μ04π∫J(r′)R dτ′V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{R}\,d\tau', \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{R}\,d\tau'

3절에서 시간 의존 문제의 답이 이 두 식에 trt_r을 끼워 넣은 것임을 볼 것이다. 정적 극한이 자연스럽게 맞는지가 그때의 첫 검산이다.

게이지 변환(쿨롱·로렌츠 게이지)

섹션 제목: “게이지 변환(쿨롱·로렌츠 게이지)”

퍼텐셜은 유일하지 않다

섹션 제목: “퍼텐셜은 유일하지 않다”

같은 E\mathbf{E}, B\mathbf{B}를 주는 퍼텐셜 쌍이 하나가 아니라는 것을 먼저 확인한다. (V,A)(V, \mathbf{A})와 (V′,A′)(V', \mathbf{A}')가 같은 장을 준다고 하고 차이를 α=A′−A\boldsymbol{\alpha} = \mathbf{A}' - \mathbf{A}, ϕ=V′−V\phi = V' - V라 하자. B\mathbf{B}가 같으려면 ∇×α=0\nabla\times\boldsymbol{\alpha} = 0, 즉 α=∇χ\boldsymbol{\alpha} = \nabla\chi. E\mathbf{E}가 같으려면

∇ϕ+∂α∂t=0⟹∇ ⁣(ϕ+∂χ∂t)=0\nabla\phi + \frac{\partial\boldsymbol{\alpha}}{\partial t} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \nabla\!\left(\phi + \frac{\partial\chi}{\partial t}\right) = 0

괄호 안은 공간에 대해 상수, 즉 시간만의 함수 f(t)f(t)다. 그런데 χ\chi에 −∫f dt-\int f\,dt를 더해도 ∇χ\nabla\chi는 변하지 않으므로 그 함수를 χ\chi에 흡수시킬 수 있다. 결론:

 A′=A+∇χ,V′=V−∂χ∂t \boxed{\ \mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\chi, \qquad V' = V - \frac{\partial\chi}{\partial t}\ }

임의의 스칼라 함수 χ(r,t)\chi(\mathbf{r}, t)에 대해 이 변환은 E\mathbf{E}, B\mathbf{B}를 바꾸지 않는다. 이것이 게이지 변환이고, χ\chi를 골라 퍼텐셜에 조건 하나를 거는 것이 게이지 고정이다.

쿨롱 게이지 — 정전기를 닮게

섹션 제목: “쿨롱 게이지 — 정전기를 닮게”

정자기에서 쓰던 조건을 그대로 쓴다.

∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf{A} = 0

1절의 VV 방정식에서 섞인 항이 사라진다.

∇2V=−ρε0⟹V(r,t)=14πε0∫ρ(r′,t)R dτ′\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}', t)}{R}\,d\tau'

VV는 정전기의 쿨롱 퍼텐셜 그대로이고, 지연이 없다. 원천이 지금 어디 있는지가 곧바로 관측점의 VV에 반영된다. 언뜻 인과율에 어긋나 보이지만 그렇지 않다 — VV는 관측량이 아니기 때문이다. 관측량인 E=−∇V−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \partial\mathbf{A}/\partial t에서 ∂A/∂t\partial\mathbf{A}/\partial t가 VV의 순간적 변화를 정확히 상쇄해서 E\mathbf{E}는 빛의 속도로만 변한다. 그 대가로 A\mathbf{A} 방정식이 흉해진다.

∇2A−μ0ε0∂2A∂t2=−μ0J+μ0ε0∇ ⁣(∂V∂t)\nabla^2\mathbf{A} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\nabla\!\left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)

이 게이지가 이 조건을 늘 걸 수 있다는 것을 확인해 둔다. 임의의 A0\mathbf{A}_0에서 출발해 ∇⋅(A0+∇χ)=0\nabla\cdot(\mathbf{A}_0 + \nabla\chi) = 0이 되려면 ∇2χ=−∇⋅A0\nabla^2\chi = -\nabla\cdot\mathbf{A}_0, 푸아송 방정식이고 해는 언제나 있다.

쿨롱 게이지는 양자역학과 복사 이론에서 선호된다. 5부에서 원자의 전자가 빛과 상호작용하는 해밀토니안을 세울 때 ∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf{A} = 0이면 p⋅A=A⋅p\mathbf{p}\cdot\mathbf{A} = \mathbf{A}\cdot\mathbf{p}가 되어 항이 하나 줄고, 자유 공간의 복사장은 V=0V = 0, A\mathbf{A}만으로 기술된다 — 광자의 두 편광이 A\mathbf{A}의 두 횡성분이다.

로렌츠 게이지 — 대칭을 살리게

섹션 제목: “로렌츠 게이지 — 대칭을 살리게”

대신 다음 조건을 걸어 본다.

 ∇⋅A=−μ0ε0∂V∂t \boxed{\ \nabla\cdot\mathbf{A} = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}\ }

1절의 두 식에서 섞인 항이 동시에 사라진다. A\mathbf{A} 방정식의 괄호가 정확히 이 조합이고, VV 방정식의 ∂(∇⋅A)/∂t\partial(\nabla\cdot\mathbf{A})/\partial t는 −μ0ε0 ∂2V/∂t2-\mu_0\varepsilon_0\,\partial^2 V/\partial t^2가 된다.

∇2V−μ0ε0∂2V∂t2=−ρε0∇2A−μ0ε0∂2A∂t2=−μ0J\begin{aligned} \nabla^2 V - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} &= -\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\[4pt] \nabla^2\mathbf{A} - \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2} &= -\mu_0\mathbf{J} \end{aligned}

같은 연산자가 네 성분 전부에 걸렸다. 그 연산자에 이름을 붙인다 — 달랑베르시안.

□2≡∇2−1c2∂2∂t2,□2V=−ρε0,□2A=−μ0J\Box^2 \equiv \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}, \qquad \Box^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \Box^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}

비제차 파동 방정식 넷이다. 원천이 없는 곳에서는 □2V=0\Box^2 V = 0, □2A=0\Box^2\mathbf{A} = 0 — 2.8의 파동 방정식이 퍼텐셜 수준에서 다시 나온다. 원천이 있는 곳에서는 원천이 파동의 “발생원”이다. 이 형태가 전자기학 전체를 한 문장으로 만든다: 퍼텐셜은 원천을 우변으로 하는 파동 방정식을 따른다. 3절은 이 방정식의 해다.

이 조건도 언제나 걸 수 있다. 임의의 (V0,A0)(V_0, \mathbf{A}_0)에서 게이지 변환하면 ∇⋅A′+μ0ε0 ∂tV′=(∇⋅A0+μ0ε0 ∂tV0)+□2χ\nabla\cdot\mathbf{A}' + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t V' = (\nabla\cdot\mathbf{A}_0 + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t V_0) + \Box^2\chi 이므로

□2χ=−(∇⋅A0+μ0ε0∂V0∂t)\Box^2\chi = -\left(\nabla\cdot\mathbf{A}_0 + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V_0}{\partial t}\right)

를 만족하는 χ\chi를 잡으면 된다. 비제차 파동 방정식이고, 3절의 방법으로 언제나 풀린다. 게다가 □2χ=0\Box^2\chi = 0인 χ\chi를 더 더해도 로렌츠 조건은 유지되므로 로렌츠 게이지 안에서도 자유가 남는다. 로렌츠 게이지는 하나의 게이지가 아니라 게이지의 족이다.

두 게이지를 나란히

섹션 제목: “두 게이지를 나란히”
쿨롱 게이지로렌츠 게이지
조건∇⋅A=0\nabla\cdot\mathbf{A} = 0∇⋅A=−1c2∂V∂t\nabla\cdot\mathbf{A} = -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial V}{\partial t}
VV푸아송 — 순간적파동 방정식 — 지연
A\mathbf{A}파동 방정식 + ∇∂tV\nabla\partial_t V 항파동 방정식
상대론적 불변아니다그렇다
남는 자유∇2χ=0\nabla^2\chi = 0□2χ=0\Box^2\chi = 0
쓰이는 곳양자 광학·복사 이론복사 문제·상대론

이 장은 3절부터 로렌츠 게이지를 쓴다. 문제가 대칭적이고, 해가 한 공식으로 나오기 때문이다.

퍼텐셜은 실재하는가 — 아하로노프–봄

섹션 제목: “퍼텐셜은 실재하는가 — 아하로노프–봄”

지연 퍼텐셜과 예피멘코 방정식

섹션 제목: “지연 퍼텐셜과 예피멘코 방정식”

답을 먼저 — 정전기 공식에 지연 시각을

섹션 제목: “답을 먼저 — 정전기 공식에 지연 시각을”

로렌츠 게이지의 방정식 □2V=−ρ/ε0\Box^2 V = -\rho/\varepsilon_0, □2A=−μ0J\Box^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}를 푼다. 정적 극한의 해는 1절 끝에서 보았다. 시간 의존의 해는 그 공식에서 원천을 평가하는 시각만 바꾼 것이다.

 V(r,t)=14πε0∫ρ(r′,tr)R dτ′,A(r,t)=μ04π∫J(r′,tr)R dτ′ \boxed{\ V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{R}\,d\tau', \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{R}\,d\tau' \ } tr≡t−Rc,R=∣r−r′∣t_r \equiv t - \frac{R}{c}, \qquad R = \lvert\mathbf{r} - \mathbf{r}'\rvert

지연 퍼텐셜(retarded potential)이다. 관측점 r\mathbf{r}, 시각 tt의 퍼텐셜에 원천점 r′\mathbf{r}'이 기여하는 몫은, 그 원천점이 R/cR/c만큼 전에 어땠는가로 정해진다. 신호가 빛의 속도 cc로 오는 데 그만큼 걸리기 때문이다. 적분의 원천점마다 RR이 다르므로 trt_r도 원천점마다 다르다 — 먼 원천일수록 더 오래된 소식이 온다.

ρ(r′, t), J(r′, t) — 원천 r′ dτ′ r (관측점) R = r − r′ O r′ r 시간 t_r t R / c 만큼 걸린다 원천을 떠남 관측점에 닿음 t_r = t − R/c V(r, t)는 ρ(r′, t_r)로 만든다
그림 2.9-1. 지연 시각. 관측점 r에서 시각 t에 보는 퍼텐셜은, 원천점 r′이 시각 t_r = t − R/c에 어땠는가로 정해진다. 분리 벡터 R = r − r′의 길이 R을 빛이 건너는 데 R/c가 걸리기 때문이다. 원천 분포 안의 점마다 R이 다르므로 t_r도 점마다 다르다 — 적분은 서로 다른 과거의 원천을 한데 모은다.직접 작도

정말 해인가 — 증명의 뼈대

섹션 제목: “정말 해인가 — 증명의 뼈대”

정전기의 유추로 “그럴듯하게” 나온 식이니 검산해야 한다. 미분할 때 ρ(r′,tr)\rho(\mathbf{r}', t_r)의 trt_r이 r\mathbf{r}에 의존한다는 것이 핵심이다.

∇ρ=ρ˙ ∇tr=−1cρ˙ ∇R=−1cρ˙ R^\nabla\rho = \dot{\rho}\,\nabla t_r = -\frac{1}{c}\dot{\rho}\,\nabla R = -\frac{1}{c}\dot{\rho}\,\hat{\mathbf{R}}

여기서 점은 시간 미분이고 ∇R=R^\nabla R = \hat{\mathbf{R}}이다(1.1.2기울기·발산·회전). 이제

∇V=14πε0∫[−ρ˙cR^R−ρR^R2]dτ′\nabla V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\left[ -\frac{\dot{\rho}}{c}\frac{\hat{\mathbf{R}}}{R} - \rho\frac{\hat{\mathbf{R}}}{R^2} \right]d\tau'

한 번 더 발산을 취한다. 계산 규칙은 두 개다 — ∇⋅(R^/R)=1/R2\nabla\cdot(\hat{\mathbf{R}}/R) = 1/R^2, ∇⋅(R^/R2)=4πδ3(R)\nabla\cdot(\hat{\mathbf{R}}/R^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf{R})(1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념), 그리고 ∇ρ˙=−ρ¨ R^/c\nabla\dot{\rho} = -\ddot{\rho}\,\hat{\mathbf{R}}/c.

∇2V=14πε0∫[1c2ρ¨R−4πρ δ3(R)]dτ′=1c2∂2V∂t2−ρ(r,t)ε0\nabla^2 V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\left[ \frac{1}{c^2}\frac{\ddot{\rho}}{R} - 4\pi\rho\,\delta^3(\mathbf{R}) \right]d\tau' = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} - \frac{\rho(\mathbf{r}, t)}{\varepsilon_0}

중간에 ρ˙\dot{\rho} 항 둘이 정확히 상쇄된다. 이항하면 □2V=−ρ/ε0\Box^2 V = -\rho/\varepsilon_0. ✓ A\mathbf{A}도 성분마다 같은 계산이다. 남은 일은 이 해가 로렌츠 조건을 만족하는지인데, 그 확인에는 원천 쪽의 연속 방정식 ∇′⋅J=−ρ˙\nabla'\cdot\mathbf{J} = -\dot{\rho}(2.7.1전하의 연속 방정식)가 필요하다 — 즉 지연 퍼텐셜은 전하가 보존될 때만 로렌츠 게이지의 해다. 전하 보존이 맥스웰 방정식에 이미 들어 있으니(2.6.7) 모순은 없다.

선행 퍼텐셜은 왜 버리는가

섹션 제목: “선행 퍼텐셜은 왜 버리는가”

tr=t−R/ct_r = t - R/c 대신 ta=t+R/ct_a = t + R/c를 넣은 선행 퍼텐셜(advanced potential)도 위의 계산을 글자 그대로 통과한다 — 증명에서 cc의 부호는 두 번 곱해져 사라지기 때문이다. 미래의 원천이 현재의 퍼텐셜을 정하는 해다. 맥스웰 방정식은 시간 반전에 대칭이라 두 해를 구분하지 못한다. 구분하는 것은 인과율이라는 추가 요구이고, 그것이 지연 해를 고른다. 이 선택이 왜 정당한가는 열역학의 시간 화살과 같은 깊이의 문제이며, 이 장에서는 인과율을 공리로 둔다.

예피멘코 방정식 — 장을 직접

섹션 제목: “예피멘코 방정식 — 장을 직접”

퍼텐셜에서 장을 얻는다. E=−∇V−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \partial\mathbf{A}/\partial t에 위의 ∇V\nabla V와 ∂tA=(μ0/4π)∫J˙/R\partial_t\mathbf{A} = (\mu_0/4\pi)\int\dot{\mathbf{J}}/R을 넣고, μ0ε0=1/c2\mu_0\varepsilon_0 = 1/c^2를 쓰면

 E(r,t)=14πε0∫[ρ(r′,tr)R2R^+ρ˙(r′,tr)cRR^−J˙(r′,tr)c2R]dτ′ \boxed{\ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\left[ \frac{\rho(\mathbf{r}', t_r)}{R^2}\hat{\mathbf{R}} + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}', t_r)}{cR}\hat{\mathbf{R}} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}', t_r)}{c^2 R} \right]d\tau' \ }

B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}는 ∇×(J/R)\nabla\times(\mathbf{J}/R)을 같은 요령으로 계산하면

 B(r,t)=μ04π∫[J(r′,tr)R2+J˙(r′,tr)cR]×R^ dτ′ \boxed{\ \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\left[ \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}', t_r)}{R^2} + \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}', t_r)}{cR} \right]\times\hat{\mathbf{R}}\,d\tau' \ }

예피멘코 방정식(Jefimenko, 1966)이다. 쿨롱 법칙과 비오–사바르 법칙의 시간 의존 일반화이고, 맥스웰 방정식의 완전한 해다.

준정적 근사 — 지연을 무시해도 되는 조건

섹션 제목: “준정적 근사 — 지연을 무시해도 되는 조건”

지연 퍼텐셜에서 tr≈tt_r \approx t로 놓아도 되는 조건을 따져 본다. 원천이 특성 시간 τ\tau (주기, 또는 ρ/ρ˙\rho/\dot{\rho})로 변하고 계의 크기가 LL이면, 계 안에서 trt_r의 편차는 L/cL/c이다. 이것이 τ\tau보다 훨씬 작으면 지연은 무시된다.

Lc≪τ⟺L≪cτ=λ\frac{L}{c} \ll \tau \quad\Longleftrightarrow\quad L \ll c\tau = \lambda

계가 파장보다 훨씬 작으면 준정적이다. 이것이 회로 이론 — 키르히호프 법칙, 집중 소자 RR·LL·CC — 이 서 있는 자리다. 도선의 전류가 “동시에” 흐른다고 가정할 수 있는 이유는 도선이 파장에 비해 짧기 때문이다.

리에나르-비헤르트 퍼텐셜

섹션 제목: “리에나르-비헤르트 퍼텐셜”

점전하 하나 — 지연 시각은 하나뿐이다

섹션 제목: “점전하 하나 — 지연 시각은 하나뿐이다”

가장 단순한 원천, 궤적 w(t)\mathbf{w}(t)를 따라 움직이는 점전하 qq에 지연 퍼텐셜을 적용한다. 지연 시각은 다음 방정식의 해다.

∣r−w(tr)∣=c (t−tr)\lvert\mathbf{r} - \mathbf{w}(t_r)\rvert = c\,(t - t_r)

왼쪽은 지연 위치에서 관측점까지의 거리, 오른쪽은 그 사이 빛이 간 거리. 이 방정식의 해는 하나뿐이다 — 두 개의 지연 시각 t1t_1, t2t_2가 있었다면 그 사이 전하가 c(t2−t1)c(t_2 - t_1)만큼 움직였어야 하고, 그것은 v=cv = c를 뜻하기 때문이다. 전하가 빛보다 느리면 관측점은 전하의 과거 중 정확히 한 순간만 “본다”.

겉보기 부피 — 인자 하나가 붙는다

섹션 제목: “겉보기 부피 — 인자 하나가 붙는다”

퍼텐셜 적분 ∫ρ(r′,tr)/R dτ′\int\rho(\mathbf{r}', t_r)/R\,d\tau'을 점전하에 적용하면 q/Rq/R이 나올 것 같지만 아니다. 적분의 각 부피 요소마다 trt_r이 다르므로, 움직이는 전하 분포는 다른 시각의 조각들로 적분된다. 결과는

∫ρ(r′,tr) dτ′=q1−R^⋅v/c\int\rho(\mathbf{r}', t_r)\,d\tau' = \frac{q}{1 - \hat{\mathbf{R}}\cdot\mathbf{v}/c}

따라서 리에나르–비헤르트 퍼텐셜(Liénard 1898, Wiechert 1900)은

 V(r,t)=14πε0qcRc−R⋅v,A(r,t)=μ04πqc vRc−R⋅v=vc2V \boxed{\ V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qc}{Rc - \mathbf{R}\cdot\mathbf{v}}, \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{qc\,\mathbf{v}}{Rc - \mathbf{R}\cdot\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{c^2}V \ }

R=r−w(tr)\mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{w}(t_r), v=w˙(tr)\mathbf{v} = \dot{\mathbf{w}}(t_r) — 모두 지연 시각에서 평가한다. A=(v/c2)V\mathbf{A} = (\mathbf{v}/c^2)V는 8절에서 (V/c,A)(V/c, \mathbf{A})가 4-벡터라는 사실의 직접 결과로 다시 나온다.

움직이는 점전하의 장

섹션 제목: “움직이는 점전하의 장”

E=−∇V−∂A/∂t\mathbf{E} = -\nabla V - \partial\mathbf{A}/\partial t를 계산해야 하는데, trt_r이 r\mathbf{r}과 tt 양쪽에 의존하는 것을 끝까지 추적해야 한다. Griffiths 10.3.2가 한 쪽 반에 걸쳐 하는 계산이고, 결과만 적는다. 보조 벡터 u≡cR^−v\mathbf{u} \equiv c\hat{\mathbf{R}} - \mathbf{v}를 두면

 E(r,t)=q4πε0R(R⋅u)3[(c2−v2) u+R×(u×a)],B=1cR^×E \boxed{\ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{R}{(\mathbf{R}\cdot\mathbf{u})^3} \Big[(c^2 - v^2)\,\mathbf{u} + \mathbf{R}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})\Big], \qquad \mathbf{B} = \frac{1}{c}\hat{\mathbf{R}}\times\mathbf{E} \ }

a=w¨(tr)\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{w}}(t_r)은 지연 시각의 가속도다.

등속 전하 — 납작해진 쿨롱장

섹션 제목: “등속 전하 — 납작해진 쿨롱장”

a=0\mathbf{a} = 0이면 속도장만 남고, 지연 위치를 현재 위치로 바꿔 쓸 수 있다. 전하가 시각 tt에 w(t)=vt\mathbf{w}(t) = \mathbf{v}t에 있고 그 현재 위치에서 관측점까지의 벡터를 R0=r−vt\mathbf{R}_0 = \mathbf{r} - \mathbf{v}t, 그것이 v\mathbf{v}와 이루는 각을 θ\theta라 하면

E(r,t)=q4πε01−v2/c2(1−v2c2sin⁡2θ)3/2R^0R02\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{\left(1 - \dfrac{v^2}{c^2}\sin^2\theta\right)^{3/2}} \frac{\hat{\mathbf{R}}_0}{R_0^2}

쌍극자 복사

섹션 제목: “쌍극자 복사”

문제 설정 — 세 가지 근사

섹션 제목: “문제 설정 — 세 가지 근사”

가장 단순한 복사 원천은 흔들리는 전기 쌍극자다. 원점 근처에서 ±q\pm q가 zz축을 따라 거리 dd만큼 떨어져 있고 전하가 진동한다:

p(t)=p0cos⁡(ωt) z^,p0=q0d\mathbf{p}(t) = p_0\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{z}}, \qquad p_0 = q_0 d

지연 퍼텐셜을 계산하되 세 단계로 근사한다. 각 근사가 물리적으로 무엇을 말하는지가 계산 자체보다 중요하다.

근사조건뜻
① 쌍극자d≪rd \ll r관측점이 원천보다 훨씬 멀다 — 다중극 전개의 첫 항만
② 비상대론적 원천d≪λ=2πc/ωd \ll \lambda = 2\pi c/\omega전하가 한 주기 안에 빛이 가는 거리보다 훨씬 덜 움직인다
③ 복사 영역r≫λr \gg \lambda관측점이 파장보다 훨씬 멀다 — 1/r1/r 항만 남긴다

①②는 원천에 대한 조건, ③은 관측점에 대한 조건이다. d≪λ≪rd \ll \lambda \ll r로 한 줄에 쓴다.

퍼텐셜에서 장까지

섹션 제목: “퍼텐셜에서 장까지”

두 점전하의 지연 퍼텐셜을 더하고 ①②를 쓰면 (Griffiths 11.1.2)

V(r,θ,t)≈−p0ω4πε0ccos⁡θrsin⁡ ⁣[ω(t−r/c)]V(r, \theta, t) \approx -\frac{p_0\omega}{4\pi\varepsilon_0 c}\frac{\cos\theta}{r}\sin\!\big[\omega(t - r/c)\big]

여기서 정전기 쌍극자 항 p0cos⁡θcos⁡[ω(t−r/c)]/(4πε0r2)p_0\cos\theta\cos[\omega(t - r/c)]/(4\pi\varepsilon_0 r^2)은 ③으로 버렸다 — 1/r21/r^2이기 때문이다. 남은 항은 1/r1/r이고, 그 앞에 ω/c=k\omega/c = k가 붙어 있다. 시간 미분 한 번이 1/r1/r 항을 만든다 — 3절에서 본 그 구조다. 벡터 퍼텐셜은 전류 I=dq/dt=−q0ωsin⁡ωtI = dq/dt = -q_0\omega\sin\omega t가 z^\hat{\mathbf{z}} 방향으로 흐르는 것으로 계산해

A(r,θ,t)≈−μ0p0ω4πrsin⁡ ⁣[ω(t−r/c)] z^\mathbf{A}(r, \theta, t) \approx -\frac{\mu_0 p_0\omega}{4\pi r}\sin\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\mathbf{z}}

장은 E=−∇V−∂tA\mathbf{E} = -\nabla V - \partial_t\mathbf{A}, B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}에서 ③을 한 번 더 써 1/r1/r 항만 남기면

 E=−μ0p0ω24πsin⁡θrcos⁡ ⁣[ω(t−r/c)] θ^B=−μ0p0ω24πcsin⁡θrcos⁡ ⁣[ω(t−r/c)] ϕ^ \boxed{\ \begin{aligned} \mathbf{E} &= -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi}\frac{\sin\theta}{r}\cos\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\boldsymbol{\theta}} \\[4pt] \mathbf{B} &= -\frac{\mu_0 p_0\omega^2}{4\pi c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{aligned} \ }

포인팅 벡터와 복사 전력

섹션 제목: “포인팅 벡터와 복사 전력”
S=1μ0E×B=μ0p02ω416π2csin⁡2θr2cos⁡2 ⁣[ω(t−r/c)] r^\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{16\pi^2 c}\frac{\sin^2\theta}{r^2}\cos^2\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\mathbf{r}}

시간 평균(⟨cos⁡2⟩=1/2\langle\cos^2\rangle = 1/2)은

⟨S⟩=μ0p02ω432π2csin⁡2θr2 r^\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{32\pi^2 c}\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}
p(t) = p₀ cos ωt ẑ — 가운데 막대 z (쌍극자 축) — 복사 없음 최대 ∝ sin²θ θ 단면 — z축을 돌리면 도넛
그림 2.9-2. 진동 전기 쌍극자의 시간 평균 복사 세기 ⟨S⟩ ∝ sin²θ / r². 쌍극자 축(z)에서 잰 극각 θ에 대해 적도면(θ = 90°)이 최대이고 축 방향은 0이다. 그림은 축을 포함하는 단면이고, z축을 중심으로 돌리면 도넛이 된다. 6절의 라모 공식과 7절의 헤르츠 쌍극자가 같은 모양을 쓴다.직접 작도

구면 전체로 적분하면 총 복사 전력이다. ∫sin⁡2θ dΩ=8π/3\int\sin^2\theta\,d\Omega = 8\pi/3을 쓰면

 ⟨P⟩=∮⟨S⟩⋅da=μ0p02ω412πc \boxed{\ \langle P\rangle = \oint\langle\mathbf{S}\rangle\cdot d\mathbf{a} = \frac{\mu_0 p_0^2\omega^4}{12\pi c}\ }

rr이 사라졌다 — 구면을 얼마나 크게 잡아도 통과하는 전력이 같다. 이것이 복사의 정의다.

자기 쌍극자 복사

섹션 제목: “자기 쌍극자 복사”

원형 고리에 전류 I(t)=I0cos⁡ωtI(t) = I_0\cos\omega t를 흘리면 자기 쌍극자 m(t)=πb2I(t)z^=m0cos⁡ωt z^\mathbf{m}(t) = \pi b^2 I(t)\hat{\mathbf{z}} = m_0\cos\omega t\,\hat{\mathbf{z}}다. 같은 세 근사로 (Griffiths 11.1.3)

E=μ0m0ω24πcsin⁡θrcos⁡ ⁣[ω(t−r/c)] ϕ^,B=−μ0m0ω24πc2sin⁡θrcos⁡ ⁣[ω(t−r/c)] θ^\mathbf{E} = \frac{\mu_0 m_0\omega^2}{4\pi c}\frac{\sin\theta}{r}\cos\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\boldsymbol{\phi}}, \qquad \mathbf{B} = -\frac{\mu_0 m_0\omega^2}{4\pi c^2}\frac{\sin\theta}{r}\cos\!\big[\omega(t - r/c)\big]\,\hat{\boldsymbol{\theta}}

E\mathbf{E}와 B\mathbf{B}의 역할이 전기 쌍극자와 뒤바뀌었다 — 전기 쌍극자의 장에서 E→cB\mathbf{E} \to c\mathbf{B}, B→−E/c\mathbf{B} \to -\mathbf{E}/c, p0→m0/cp_0 \to m_0/c로 바꾼 것이다(2.6.7의 쌍대성). 총 전력은

⟨P⟩=μ0m02ω412πc3\langle P\rangle = \frac{\mu_0 m_0^2\omega^4}{12\pi c^3}

임의의 원천으로

섹션 제목: “임의의 원천으로”

원천이 쌍극자가 아니어도 ①②③ 아래서 결과는 같다. 국소 원천의 지연 퍼텐셜을 전개하면 첫 번째 복사 항은 언제나 쌍극자 항이고,

 P(t)=μ06πc p¨ 2(tr) \boxed{\ P(t) = \frac{\mu_0}{6\pi c}\,\ddot{p}^{\,2}(t_r)\ }

p(t)=∫r′ρ(r′,t) dτ′\mathbf{p}(t) = \int\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}', t)\,d\tau'은 전체 쌍극자 모멘트다. 정현파 p=p0cos⁡ωtp = p_0\cos\omega t를 넣고 시간 평균하면 μ0p02ω4/12πc\mu_0 p_0^2\omega^4/12\pi c, 위 결과와 일치한다. 이 공식이 다음 절의 출발점이다 — 점전하 하나는 p=qw\mathbf{p} = q\mathbf{w}, p¨=qa\ddot{\mathbf{p}} = q\mathbf{a}.

점전하의 복사와 복사 반작용

섹션 제목: “점전하의 복사와 복사 반작용”

라모 공식

섹션 제목: “라모 공식”

앞 절의 마지막 식에 p¨=qa\ddot{\mathbf{p}} = q\mathbf{a}를 넣으면 비상대론적(v≪cv \ll c) 점전하의 복사 전력이 바로 나온다.

 P=μ0q2a26πc (라모, 1897)\boxed{\ P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c}\ } \qquad\text{(라모, 1897)}

각분포는 쌍극자와 같은 sin⁡2θ\sin^2\theta이되, θ\theta는 이제 가속도 a\mathbf{a}에서 잰다.

dPdΩ=μ0q2a216π2csin⁡2θ\frac{dP}{d\Omega} = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{16\pi^2 c}\sin^2\theta

4절의 가속장에서 직접 얻을 수도 있다. v≪cv \ll c이면 u≈cR^\mathbf{u} \approx c\hat{\mathbf{R}}, 가속장은 Erad=q4πε0c2RR^×(R^×a)\mathbf{E}_{\text{rad}} = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 c^2 R}\hat{\mathbf{R}}\times(\hat{\mathbf{R}}\times\mathbf{a}), 크기 ∝asin⁡θ/R\propto a\sin\theta/R, 포인팅 벡터 ∝a2sin⁡2θ/R2\propto a^2\sin^2\theta/R^2이다.

q, 지금 가속 전 r > cT — 원점의 정지 전하가 만든 방사형 장 (아직 모른다) r < c(T − Δt) — 새 위치에서 뻗는 방사형 장 두께 cΔt의 껍질 — 힘선이 꺾여 횡성분이 생긴다. 이것이 복사 껍질은 c로 퍼져 나가고, 두께는 가속이 걸린 시간 Δt로 정해진다
그림 2.9-3. 복사가 어디서 나오는지 보여 주는 그림. 원점에 정지해 있던 전하가 짧은 시간 Δt 동안 가속해 오른쪽으로 움직이기 시작했다. 시각 T에 반지름 cT 밖의 공간은 아직 가속을 모르므로 원점에서 뻗는 방사형 장이고, 반지름 c(T − Δt) 안은 새 위치에서 뻗는 장이다. 두 구 사이의 얇은 껍질에서 힘선이 이어지려면 꺾여야 하고, 그 꺾인 부분이 시선에 수직한 횡성분 — 복사장이다. 껍질은 빛의 속도로 팽창하고, 횡성분은 안팎 장의 어긋남에 비례하므로 거리에 대해 1/r로만 줄어든다.직접 작도

상대론적 일반화 — 리에나르 공식

섹션 제목: “상대론적 일반화 — 리에나르 공식”

vv가 cc에 견줄 만하면 세 가지가 달라진다. 4절의 가속장에 u=cR^−v\mathbf{u} = c\hat{\mathbf{R}} - \mathbf{v}가 그대로 들어가고, 포인팅 벡터가 복사장 Erad⊥R^\mathbf{E}_{\text{rad}} \perp \hat{\mathbf{R}}의 제곱이며, 그리고 원천 시각당 전력을 세려면 dt/dtr=1−R^⋅v/cdt/dt_r = 1 - \hat{\mathbf{R}}\cdot\mathbf{v}/c를 곱해야 한다(4절의 겉보기 부피와 같은 인자). 결과는 (Griffiths 11.2.1)

dPdΩ=q216π2ε0∣R^×(u×a)∣2(R^⋅u)5\frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{16\pi^2\varepsilon_0} \frac{\lvert\hat{\mathbf{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})\rvert^2}{(\hat{\mathbf{R}}\cdot\mathbf{u})^5}

구면에 적분하면 리에나르 공식

 P=μ0q2γ66πc(a2−∣v×ac∣2) γ=11−v2/c2\boxed{\ P = \frac{\mu_0 q^2\gamma^6}{6\pi c}\left(a^2 - \left\lvert\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{a}}{c}\right\rvert^2\right)\ } \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

v≪cv \ll c에서 γ→1\gamma \to 1, 둘째 항 →0\to 0으로 라모 공식으로 돌아간다.

β = 0 최대 θ = 90° (sin²θ) β = 0.5 최대 θ ≈ 38° β = 0.8 최대 θ ≈ 20° v, a 방향 (θ = 0). 각 그림은 자기 최댓값으로 정규화
그림 2.9-4. 속도 방향으로 가속하는 점전하의 복사 각분포 sin²θ/(1 − β cosθ)⁵. β = 0에서는 속도에 수직한 방향으로 대칭인 두 잎(라모)이지만, β가 커질수록 잎이 앞으로 접혀 진행 방향에 가까운 원뿔로 쏠린다. 정면 θ = 0은 언제나 0이다. 세 그림은 각자의 최댓값으로 정규화했으므로 절대 크기는 비교할 수 없다 — 절대 크기는 γ⁶으로 폭증한다.직접 작도

복사 반작용 — 아브라함–로런츠 힘

섹션 제목: “복사 반작용 — 아브라함–로런츠 힘”

전하가 복사하면 에너지가 나간다. 그 에너지는 전하의 운동 에너지에서 와야 하고, 그러려면 전하를 늦추는 힘이 있어야 한다. 그 힘의 근원은 전하 자신의 장 — 자기 몸의 한 부분이 만든 지연된 장이 다른 부분에 미치는 힘이다.

힘의 꼴을 에너지 보존에서 추론한다. 주기 운동 한 주기 동안 복사 반작용력이 한 일이 복사된 에너지와 같아야 한다:

∫t1t2Frad⋅v dt=−μ0q26πc∫t1t2a2 dt\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}_{\text{rad}}\cdot\mathbf{v}\,dt = -\frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\int_{t_1}^{t_2}a^2\,dt

오른쪽을 부분적분하면 ∫a2 dt=[a⋅v]−∫a˙⋅v dt\int a^2\,dt = [\mathbf{a}\cdot\mathbf{v}] - \int\dot{\mathbf{a}}\cdot\mathbf{v}\,dt이고, 주기 운동에서 경계항이 사라지므로

 Frad=μ0q26πca˙=mτ a˙,τ≡μ0q26πmc \boxed{\ \mathbf{F}_{\text{rad}} = \frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\dot{\mathbf{a}} = m\tau\,\dot{\mathbf{a}}, \qquad \tau \equiv \frac{\mu_0 q^2}{6\pi mc}\ }

아브라함–로런츠 힘이다. 가속도가 아니라 가속도의 시간 변화율에 비례한다. 전자에 대해 τ=6.26×10−24 s\tau = 6.26\times10^{-24}\ \mathrm{s} — 빛이 고전 전자 반지름을 건너는 시간의 자릿수다.

복사 감쇠 — 선폭의 고전적 기원

섹션 제목: “복사 감쇠 — 선폭의 고전적 기원”

용수철에 묶인 전하(고유 진동수 ω0\omega_0)를 생각한다. 진동 x=x0cos⁡ω0tx = x_0\cos\omega_0 t에서 a˙=−ω02v\dot{a} = -\omega_0^2 v이므로 복사 반작용력은 Frad=−mτω02v\mathbf{F}_{\text{rad}} = -m\tau\omega_0^2\mathbf{v} — 속도에 비례하는 마찰이 된다. 감쇠율은

γrad=τω02=μ0q2ω026πmc\gamma_{\text{rad}} = \tau\omega_0^2 = \frac{\mu_0 q^2\omega_0^2}{6\pi mc}

가시광 ω0≈3×1015 s−1\omega_0 \approx 3\times10^{15}\ \mathrm{s^{-1}}에서 γrad≈5.6×107 s−1\gamma_{\text{rad}} \approx 5.6\times10^{7}\ \mathrm{s^{-1}}, 진동 에너지의 수명 1/γ≈18 ns1/\gamma \approx 18\ \mathrm{ns}, 선폭 Δλ=λ2γ/(2πc)≈1.2×10−4 nm\Delta\lambda = \lambda^2\gamma/(2\pi c) \approx 1.2\times10^{-4}\ \mathrm{nm}. 이것이 고전적 자연 선폭이고, 원자 스펙트럼선의 자연 선폭이 실제로 이 자릿수다.

반도체 쪽에서 이 절이 보이는 곳

섹션 제목: “반도체 쪽에서 이 절이 보이는 곳”
  • 제동복사(bremsstrahlung). X선관에서 전자가 금속 표적 원자핵의 쿨롱장에서 급격히 감속하며 내는 연속 X선. 라모 공식 그대로이고, 최고 에너지 hνmax⁡=eVh\nu_{\max} = eV가 끊는 자리 (뒤앙–헌트 한계)만 양자적이다. XRF·XRD·XPS 계측(19부)의 X선관이 이것이다.
  • 싱크로트론 광원. 저장 링을 도는 전자가 리에나르 공식의 γ4\gamma^4 전력을 접선 방향 1/γ1/\gamma 원뿔로 낸다. 반도체 재료 분석의 고분해능 XRD·XAFS·XPS 빔라인이 이 빛을 쓰고, 차세대 EUV 광원 후보(자유전자 레이저) 역시 가속하는 전자의 복사다.
  • 속도 포화와 복사. 반도체 안의 전자는 10−1310^{-13} s마다 산란으로 가속도가 뒤집힌다. a∼1018 m/s2a \sim 10^{18}\ \mathrm{m/s^2} 자릿수인데도 라모 전력은 10−1610^{-16} W 규모, 광자 하나 내는 데 수 초가 걸린다 — 열 산란이 복사보다 압도적으로 빠른 에너지 통로다. 캐리어의 에너지 완화(11.7.4)를 복사로 다루지 않는 이유.

안테나의 복사 특성

섹션 제목: “안테나의 복사 특성”

이 절은 Sadiku 13장을 따른다. 관점이 바뀐다 — 앞 절들이 “왜 복사하는가”였다면 여기는 “어떻게 원하는 방향으로, 원하는 만큼 복사시키는가”다. 시간 조화장의 페이저 표기 (2.6.10시간 조화장과 페이저 표현)를 쓰고, 시간 인자 ejωte^{j\omega t}는 생략한다. Sadiku의 전기공학 관례에 따라 허수 단위는 jj다.

헤르츠 쌍극자 — 장의 세 항

섹션 제목: “헤르츠 쌍극자 — 장의 세 항”

길이 dl≪λdl \ll \lambda의 짧은 도선에 균일한 전류 I0I_0가 흐르는 헤르츠 쌍극자를 원점에 zz축 방향으로 둔다. 지연 벡터 퍼텐셜은 5절과 같은 계산으로

Az=μ0I0 dl4πre−jkrA_z = \frac{\mu_0 I_0\,dl}{4\pi r}e^{-jkr}

이번에는 근사 ③을 쓰지 않고 장을 끝까지 계산한다. H=∇×A/μ0\mathbf{H} = \nabla\times\mathbf{A}/\mu_0, E=∇×H/(jωε0)\mathbf{E} = \nabla\times\mathbf{H}/(j\omega\varepsilon_0)에서 (Sadiku 13.7–13.9)

Hϕ=I0 dl4πk2sin⁡θ e−jkr[jkr+1(kr)2]Er=η0I0 dl2πk2cos⁡θ e−jkr[1(kr)2−j(kr)3]Eθ=η0I0 dl4πk2sin⁡θ e−jkr[jkr+1(kr)2−j(kr)3]\begin{aligned} H_\phi &= \frac{I_0\,dl}{4\pi}k^2\sin\theta\,e^{-jkr}\left[\frac{j}{kr} + \frac{1}{(kr)^2}\right] \\[4pt] E_r &= \frac{\eta_0 I_0\,dl}{2\pi}k^2\cos\theta\,e^{-jkr}\left[\frac{1}{(kr)^2} - \frac{j}{(kr)^3}\right] \\[4pt] E_\theta &= \frac{\eta_0 I_0\,dl}{4\pi}k^2\sin\theta\,e^{-jkr}\left[\frac{j}{kr} + \frac{1}{(kr)^2} - \frac{j}{(kr)^3}\right] \end{aligned}

η0=μ0/ε0≈120π Ω≈377 Ω\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 120\pi\ \Omega \approx 377\ \Omega은 자유 공간의 고유 임피던스다(2.8.2진공 중의 단색 평면파).

0.1 1 10 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 1 10¹ 10² 10³ kr = 2πr/λ 항의 크기 r = λ/2π 1/kr — 복사 1/(kr)² — 유도 1/(kr)³ — 정전 근접장 (회로가 사는 곳) 원거리장 (안테나가 사는 곳)
그림 2.9-5. 헤르츠 쌍극자 장을 이루는 세 항의 크기를 kr에 대해 로그-로그로 그린 것. 1/(kr)³ 항은 정전 쌍극자장, 1/(kr)² 항은 비오–사바르의 유도장, 1/kr 항이 복사장이다. 세 직선은 kr = 1, 즉 r = λ/2π에서 만난다 — 그 안쪽이 근접장(회로 이론이 사는 곳), 바깥이 원거리장(안테나 이론이 사는 곳)이다.직접 작도

원거리장과 복사 저항

섹션 제목: “원거리장과 복사 저항”

kr≫1kr \gg 1에서 1/kr1/kr 항만 남긴다.

Eθ=jη0I0 dl k4πrsin⁡θ e−jkr,Hϕ=Eθη0E_\theta = j\frac{\eta_0 I_0\,dl\,k}{4\pi r}\sin\theta\,e^{-jkr}, \qquad H_\phi = \frac{E_\theta}{\eta_0}

5절의 결과와 같다(I0 dl=jωp0I_0\,dl = j\omega p_0). 시간 평균 전력 밀도는 ⟨Sr⟩=∣Eθ∣2/(2η0)\langle S_r\rangle = \lvert E_\theta\rvert^2/(2\eta_0), 구면에 적분하면

Prad=η0π3∣I0 dlλ∣2≈40π2 ∣I0∣2(dlλ)2P_{\text{rad}} = \frac{\eta_0\pi}{3}\left\lvert\frac{I_0\,dl}{\lambda}\right\rvert^2 \approx 40\pi^2\,\lvert I_0\rvert^2\left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2

이것을 회로의 언어로 번역한다. 안테나에 전류 I0I_0가 흐를 때 P=12∣I0∣2RP = \tfrac{1}{2}\lvert I_0\rvert^2 R로 소비되는 저항 — 복사 저항이다.

 Rrad=2Prad∣I0∣2=80π2(dlλ)2 Ω \boxed{\ R_{\text{rad}} = \frac{2P_{\text{rad}}}{\lvert I_0\rvert^2} = 80\pi^2\left(\frac{dl}{\lambda}\right)^2\ \Omega\ }

반파장 쌍극자

섹션 제목: “반파장 쌍극자”

실용 안테나는 길이가 파장에 견줄 만하므로 전류가 균일하지 않다. 길이 λ/2\lambda/2인 반파장 쌍극자는 양 끝에서 전류가 0이어야 하므로 전류 분포가

I(z)=I0cos⁡kz,−λ4≤z≤λ4I(z) = I_0\cos kz, \qquad -\frac{\lambda}{4} \le z \le \frac{\lambda}{4}

각 조각 dzdz를 헤르츠 쌍극자로 보고 원거리장을 중첩한다. 조각마다 관측점까지의 거리가 r−zcos⁡θr - z\cos\theta로 조금씩 달라 위상 ejkzcos⁡θe^{jkz\cos\theta}가 붙고, 그 적분이 패턴을 바꾼다 (Sadiku 13.3).

Eθ=jη0I02πre−jkr cos⁡ ⁣(π2cos⁡θ)sin⁡θ,Hϕ=Eθη0E_\theta = j\frac{\eta_0 I_0}{2\pi r}e^{-jkr}\, \frac{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cos\theta\right)}{\sin\theta}, \qquad H_\phi = \frac{E_\theta}{\eta_0}
급전 I(z) = I₀ cos kz z = +λ/4, I = 0 z = −λ/4, I = 0 반파장 쌍극자의 전류 θ = 90° z (안테나 축) 실선: 반파장 cos(½π cosθ)/sinθ 점선: 헤르츠 sinθ
그림 2.9-6. 반파장 쌍극자. 왼쪽은 도선 위의 전류 분포 I(z) = I₀ cos kz — 가운데 급전점에서 최대, 양 끝에서 0인 정재파다. 오른쪽은 E면 복사 패턴. 반파장 쌍극자의 cos(½π cosθ)/sinθ(실선)는 헤르츠 쌍극자의 sinθ(점선)와 거의 같은 도넛이되 조금 더 납작해, 적도면에 전력이 약간 더 모인다. 그 차이가 지향성 1.5 대 1.64다.직접 작도

전력을 적분하면 수치 적분이 필요하고, 결과는

Prad≈36.56 ∣I0∣2 W⟹Rrad≈73 ΩP_{\text{rad}} \approx 36.56\,\lvert I_0\rvert^2\ \mathrm{W} \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{rad}} \approx 73\ \Omega

안테나를 재는 양

섹션 제목: “안테나를 재는 양”

복사 패턴을 숫자로 요약하는 양들이다. 전부 복사 세기 U(θ,ϕ)=r2⟨Sr⟩U(\theta, \phi) = r^2\langle S_r\rangle (단위 입체각당 전력, W/sr)에서 출발한다. rr이 사라져 방향만의 함수다.

양정의뜻
총 복사 전력Prad=∮U dΩP_{\text{rad}} = \oint U\,d\Omega구면 전체로 나가는 전력
지향 이득Gd(θ,ϕ)=4πUPradG_d(\theta, \phi) = \dfrac{4\pi U}{P_{\text{rad}}}등방 안테나에 견준 그 방향의 세기
지향성D=4πUmax⁡PradD = \dfrac{4\pi U_{\max}}{P_{\text{rad}}}지향 이득의 최댓값
복사 효율ηr=RradRrad+Rℓ\eta_r = \dfrac{R_{\text{rad}}}{R_{\text{rad}} + R_{\ell}}입력 전력 중 복사되는 몫. RℓR_\ell은 옴 손실
전력 이득Gp=ηr GdG_p = \eta_r\,G_d손실까지 포함한 이득
유효 면적Ae=λ24πGdA_e = \dfrac{\lambda^2}{4\pi}G_d수신 시 잡아들이는 면적

헤르츠 쌍극자의 지향성은 D=1.5D = 1.5, 반파장 쌍극자는 D=1.64D = 1.64(2.15 dBi). 등방 안테나 (D=1D = 1)는 존재하지 않는 기준일 뿐이다 — 어떤 안테나도 모든 방향으로 똑같이 복사하지 못한다는 것이 5절의 sin⁡θ\sin\theta가 말한 바다.

배열 — 패턴을 곱한다

섹션 제목: “배열 — 패턴을 곱한다”

같은 안테나 NN개를 규칙적으로 배치하고 위상을 달리 급전하면 패턴을 원하는 대로 빚을 수 있다. 두 개짜리부터 본다. 간격 dd, 위상차 α\alpha인 두 헤르츠 쌍극자를 xx축 위에 두면 원거리장은

E=E단일(θ,ϕ)×2cos⁡ ⁣(kdcos⁡θx+α2)⏟배열 인자 AFE = E_{\text{단일}}(\theta, \phi)\times\underbrace{2\cos\!\left(\frac{kd\cos\theta_x + \alpha}{2}\right)}_{\text{배열 인자 } AF}

θx\theta_x는 배열 축에서 잰 각이다. 패턴 곱셈 — 총 패턴은 단일 소자 패턴과 배열 인자의 곱이다. 소자가 무엇이든 배열 인자는 기하와 위상만으로 정해진다.

브로드사이드 d = λ/2, α = 0 θ = 0 엔드파이어 d = λ/4, α = −π/2 θ = 0 같은 두 소자 — 간격 d와 위상차 α만 다르다. 배열 축은 가로.
그림 2.9-7. 같은 두 소자의 배열 인자 |cos((kd cosθ + α)/2)|. 왼쪽은 간격 λ/2에 동위상(α = 0) — 배열 축에 수직한 방향으로 최대인 브로드사이드. 오른쪽은 간격 λ/4에 위상차 −π/2 — 배열 축 방향 한쪽으로만 최대이고 반대쪽은 0인 엔드파이어. 소자 배치는 그대로 두고 급전 위상만 바꿔 빔의 방향을 돌린 것이다.직접 작도

상대론적 형식과 장 텐서

섹션 제목: “상대론적 형식과 장 텐서”

이 장 곳곳에서 상대론이 얼굴을 내밀었다 — 지연 시각, A=(v/c2)V\mathbf{A} = (\mathbf{v}/c^2)V, γ\gamma로 눌린 등속 전하의 장, 로렌츠 게이지의 4차원 발산. 마지막 절은 그것들을 한 언어로 모은다. 결론은 전기장과 자기장은 하나의 반대칭 텐서 FμνF^{\mu\nu}의 여섯 성분이며, 좌표계를 바꾸면 서로 섞인다는 것이다. Griffiths 12장의 결과를 필요한 만큼만 가져온다.

자기는 상대론적 효과다

섹션 제목: “자기는 상대론적 효과다”

수식 전에 물리부터. 중성 도선에 전류가 흐르고, 그 옆에서 시험 전하 qq가 전류와 나란히 속도 uu로 움직인다. 실험실에서 qq는 자기력 qu×Bq\mathbf{u}\times\mathbf{B}를 받아 도선 쪽으로 당겨진다. 그런데 qq와 함께 움직이는 좌표계에서는 qq가 정지해 있으니 자기력이 없다. 그런데도 qq는 도선 쪽으로 당겨져야 한다 — 힘은 좌표계 사이에서 사라지지 않는다. 그렇다면 그 좌표계에는 전기력이 있어야 하고, 전기력이 있으려면 도선이 대전되어 있어야 한다.

실험실 S — 도선은 중성, 전류 I + 간격 ℓ, 속도 v → − 간격 ℓ, 속도 v ← q, 속도 u → 자기력 qu×B, 도선 쪽 q의 좌표계 S̄ — 도선이 음으로 대전된다 + 느려서 간격이 넓다 − 빨라서 간격이 좁다 q, 정지 전기력 qĒ, 도선 쪽 — 같은 힘
그림 2.9-8. 자기력이 다른 좌표계에서는 전기력이다. 위: 실험실 좌표계. 양전하 선은 오른쪽으로, 음전하 선은 왼쪽으로 같은 속도 v로 움직여(한 모형이다) 도선은 중성이고 전류만 흐른다. 시험 전하 q가 전류와 나란히 속도 u로 움직이며 자기력 qu×B를 받아 도선 쪽으로 당겨진다. 아래: q와 함께 움직이는 좌표계. 양전하는 느려져 로런츠 수축이 덜 되고 간격이 넓어지며, 음전하는 빨라져 더 수축하고 간격이 좁아진다. 도선은 알짜 음전하를 띠고, 정지한 q는 전기력으로 도선 쪽에 당겨진다 — 같은 힘, 다른 이름.직접 작도

4-벡터 — 인덱스 약속

섹션 제목: “4-벡터 — 인덱스 약속”

이 절에서 인덱스가 갑자기 많아지고, 위아래 위치가 뜻을 가른다. 여기서 한 번에 정리한다.

기호읽는 법무엇을 가리키는가
μ,ν,…\mu, \nu, \dots그리스 인덱스0,1,2,30, 1, 2, 3. 00이 시간
xμx^\mu반변 성분(ct,x,y,z)(ct, x, y, z). 위 인덱스
xμx_\mu공변 성분(−ct,x,y,z)(-ct, x, y, z). 아래 인덱스 — xμ=ημνxνx_\mu = \eta_{\mu\nu}x^\nu
ημν\eta_{\mu\nu}민코프스키 계량diag⁡(−1,1,1,1)\operatorname{diag}(-1, 1, 1, 1). Griffiths 부호
aμbμa^\mu b_\mu4-내적같은 글자가 위아래로 쌍이면 00–33에 대해 합(아인슈타인 규약)
∂μ\partial_\mu4-기울기∂/∂xμ=(1c∂t,∇)\partial/\partial x^\mu = \left(\frac{1}{c}\partial_t, \nabla\right). 아래 인덱스
τ\tau고유 시간dτ=dt/γd\tau = dt/\gamma. 6절의 τ\tau(복사 반작용 시간)와 다르다
ημ\eta^\mu고유 속도dxμ/dτ=γ(c,v)dx^\mu/d\tau = \gamma(c, \mathbf{v}). 계량 ημν\eta_{\mu\nu}와 글자가 같다
JμJ^\mu4-전류(cρ,J)(c\rho, \mathbf{J})
AμA^\mu4-퍼텐셜(V/c,A)(V/c, \mathbf{A})
FμνF^{\mu\nu}장 텐서반대칭, 독립 성분 6개 = E\mathbf{E} 셋 + B\mathbf{B} 셋
GμνG^{\mu\nu}쌍대 텐서FF에서 E/c→B\mathbf{E}/c \to \mathbf{B}, B→−E/c\mathbf{B} \to -\mathbf{E}/c

로런츠 변환(xx 방향 속도 vv의 부스트)은 xμx^\mu의 선형 변환이고

xˉ0=γ(x0−βx1),xˉ1=γ(x1−βx0),xˉ2=x2,xˉ3=x3β=vc\bar{x}^0 = \gamma(x^0 - \beta x^1), \quad \bar{x}^1 = \gamma(x^1 - \beta x^0), \quad \bar{x}^2 = x^2, \quad \bar{x}^3 = x^3 \qquad \beta = \frac{v}{c}

4-벡터란 이 규칙으로 변환하는 네 성분짜리 양이다. 4-벡터의 내적 aμbμ=−a0b0+a⋅ba^\mu b_\mu = -a^0 b^0 + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}는 로런츠 변환에 불변이다. 위치의 자기 내적 −c2t2+r2-c^2t^2 + r^2가 불변 간격, 정지계에서 잰 시간이 고유 시간 τ\tau다. 4-속도 ημ=dxμ/dτ=γ(c,v)\eta^\mu = dx^\mu/d\tau = \gamma(c, \mathbf{v}), 4-운동량 pμ=mημ=(E/c,p)p^\mu = m\eta^\mu = (E/c, \mathbf{p})이며 pμpμ=−m2c2p^\mu p_\mu = -m^2c^2에서 E2=p2c2+m2c4E^2 = p^2c^2 + m^2c^4가 나온다.

전류와 퍼텐셜은 4-벡터다

섹션 제목: “전류와 퍼텐셜은 4-벡터다”

전하 ρ0\rho_0가 정지한 조각을 속도 v\mathbf{v}로 보면 밀도는 ρ=γρ0\rho = \gamma\rho_0(부피가 수축), 전류 밀도는 J=ρv=γρ0v\mathbf{J} = \rho\mathbf{v} = \gamma\rho_0\mathbf{v}. 따라서

Jμ=ρ0 ημ=(cρ,J)J^\mu = \rho_0\,\eta^\mu = (c\rho, \mathbf{J})

ρ0\rho_0는 불변 스칼라이고 ημ\eta^\mu는 4-벡터이므로 JμJ^\mu는 4-벡터다. 전하 밀도와 전류 밀도는 한 4-벡터의 시간·공간 성분이며, 연속 방정식은

∂μJμ=∂ρ∂t+∇⋅J=0\partial_\mu J^\mu = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0

4-발산 하나로 쓰인다. 같은 일이 퍼텐셜에도 일어난다. 로렌츠 게이지의 파동 방정식 □2V=−ρ/ε0\Box^2 V = -\rho/\varepsilon_0, □2A=−μ0J\Box^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}에서 첫 식을 cc로 나누면 □2(V/c)=−μ0(cρ)\Box^2(V/c) = -\mu_0(c\rho)이므로

Aμ≡(Vc,A),□2Aμ=−μ0Jμ,∂μAμ=0A^\mu \equiv \left(\frac{V}{c}, \mathbf{A}\right), \qquad \Box^2 A^\mu = -\mu_0 J^\mu, \qquad \partial_\mu A^\mu = 0

우변이 4-벡터이고 □2=∂μ∂μ\Box^2 = \partial_\mu\partial^\mu가 불변 연산자이므로 AμA^\mu도 4-벡터다. 로렌츠 조건 ∂μAμ=0\partial_\mu A^\mu = 0은 2절에서 예고한 4차원 발산이고, 게이지 변환은 Aμ→Aμ+∂μχA^\mu \to A^\mu + \partial^\mu\chi 한 줄이다 — A+∇χ\mathbf{A} + \nabla\chi와 V−∂tχV - \partial_t\chi가 ∂μχ=(−∂tχ/c,∇χ)\partial^\mu\chi = (-\partial_t\chi/c, \nabla\chi)의 두 부분이었던 것이다.

장 텐서

섹션 제목: “장 텐서”

E=−∇V−∂tA\mathbf{E} = -\nabla V - \partial_t\mathbf{A}, B=∇×A\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}를 4-벡터 언어로 쓰면 둘 다 AμA^\mu의 반대칭 미분이다.

 Fμν≡∂μAν−∂νAμ \boxed{\ F^{\mu\nu} \equiv \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu\ }

반대칭이므로 대각 성분은 0, 독립 성분은 여섯 개 — 정확히 E\mathbf{E} 셋과 B\mathbf{B} 셋이다.

Fμν=[0Ex/cEy/cEz/c−Ex/c0Bz−By−Ey/c−Bz0Bx−Ez/cBy−Bx0]F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{bmatrix}

시간–공간 성분(F0iF^{0i})이 전기장, 공간–공간 성분(FijF^{ij})이 자기장이다. 맥스웰 방정식 넷은 텐서 방정식 둘이 된다.

∂μFμν=μ0Jν(가우스 + 앙페르–맥스웰)∂μGμν=0(자기 가우스 + 패러데이)\begin{aligned} \partial_\mu F^{\mu\nu} &= \mu_0 J^\nu &&(\text{가우스 + 앙페르–맥스웰}) \\ \partial_\mu G^{\mu\nu} &= 0 &&(\text{자기 가우스 + 패러데이}) \end{aligned}

GμνG^{\mu\nu}는 FF에서 E/c→B\mathbf{E}/c \to \mathbf{B}, B→−E/c\mathbf{B} \to -\mathbf{E}/c로 바꾼 쌍대 텐서다. 둘째 식은 F=∂A−∂AF = \partial A - \partial A 꼴이면 자동으로 성립한다 — 1절에서 퍼텐셜을 도입하자 원천 없는 두 방정식이 자동으로 풀렸던 것과 같은 말이다. 로런츠 힘은 민코프스키 힘 Kμ=dpμ/dτK^\mu = dp^\mu/d\tau로

Kμ=q ηνFμνK^\mu = q\,\eta_\nu F^{\mu\nu}

공간 성분이 γq(E+v×B)\gamma q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}), 시간 성분이 γqE⋅v/c\gamma q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}/c — 힘과 일률이 한 4-벡터다.

장의 변환과 불변량

섹션 제목: “장의 변환과 불변량”

FμνF^{\mu\nu}가 텐서이므로 각 인덱스를 로런츠 변환하면 다른 관성계의 장이 나온다. xx 방향 부스트에서

Eˉx=Ex,Eˉy=γ(Ey−vBz),Eˉz=γ(Ez+vBy),Bˉx=Bx,Bˉy=γ ⁣(By+vc2Ez),Bˉz=γ ⁣(Bz−vc2Ey)\begin{aligned} \bar{E}_x &= E_x, & \bar{E}_y &= \gamma(E_y - vB_z), & \bar{E}_z &= \gamma(E_z + vB_y), \\[2pt] \bar{B}_x &= B_x, & \bar{B}_y &= \gamma\!\left(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\right), & \bar{B}_z &= \gamma\!\left(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\right) \end{aligned}

벡터로 묶으면 부스트 방향에 나란한 성분은 그대로, 수직 성분은

Eˉ⊥=γ(E+v×B)⊥,Bˉ⊥=γ ⁣(B−v×Ec2)⊥\bar{\mathbf{E}}_\perp = \gamma(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})_\perp, \qquad \bar{\mathbf{B}}_\perp = \gamma\!\left(\mathbf{B} - \frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^2}\right)_\perp

두 스칼라가 불변이다.

E2−c2B2=불변,E⋅B=불변E^2 - c^2B^2 = \text{불변}, \qquad \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = \text{불변}

첫째는 FμνFμνF^{\mu\nu}F_{\mu\nu}, 둘째는 FμνGμνF^{\mu\nu}G_{\mu\nu}에 비례한다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

섹션 제목: “이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳”

퍼텐셜에서 시작해 텐서로 끝났다. 목적지를 적어 둔다.

  • 발광과 흡수. 5절의 쌍극자 복사 P=μ0p¨2/6πcP = \mu_0\ddot{p}^2/6\pi c가 양자역학에서 자발 방출률 A21∝ω3∣p21∣2A_{21} \propto \omega^3\lvert\mathbf{p}_{21}\rvert^2이 되고(5부), 반도체 밴드에서 페르미 황금률(11.8.2)의 복사 재결합 계수 BB가 된다. LED(17.3)의 내부 양자효율, 레이저(17.4)의 유도 방출, 태양전지(17.6)의 상세 균형 한계가 전부 여기서 시작한다.
  • 최소 결합과 게이지 불변. 2절의 게이지 자유는 양자역학에서 p→p−qA\mathbf{p} \to \mathbf{p} - q\mathbf{A}를 강제하고(5부), 자기장 속의 전자(란다우 준위, 양자 홀 효과, 7부)와 메조스코픽 링의 아하로노프–봄 진동이 그 결과다.
  • 회로 이론의 유효 범위. 3절의 준정적 조건과 7절의 r=λ/2πr = \lambda/2\pi 경계가 집중 소자 모형이 통하는 한계를 정한다. 그 밖은 전송선(2.8.9)·전자기 시뮬레이션의 영역이고, 밀리미터파 RFIC·안테나 인 패키지·EMI 설계(22부)가 그 자리에 선다.
  • 스핀–궤도 결합. 8절의 Bˉ=−v×E/c2\bar{\mathbf{B}} = -\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2가 라시바·드레셀하우스 효과의 기원이며, 스핀–궤도 토크 MRAM(15부)과 스핀트로닉스의 물리다.
  • X선 광원. 6절의 제동복사와 싱크로트론 복사가 XRD·XRF·XPS·XAFS(19부)의 빛이고, 가속하는 전자의 복사라는 점에서 자유전자 레이저 EUV 광원 후보까지 같은 줄에 선다.
  • 전하 보존. 3절에서 지연 퍼텐셜이 로렌츠 조건을 만족하려면 연속 방정식이 필요했고, 8절에서 그것이 ∂μJμ=0\partial_\mu J^\mu = 0 한 줄이었다. 반도체 소자 방정식의 연속 방정식 (11.5.1)이 같은 식의 저주파 극한이다.

원천이 흔들리면 장이 1/r1/r로 퍼져 나가고, 그 장은 전기와 자기를 한 몸으로 가진 텐서다 — 그것이 2부 전자기학이 도달한 자리다.