1부 수학 기초 1.4

상미분방정식

1.3까지는 정지한 것을 다뤘다. 행렬 하나, 벡터 하나, 그 사이의 관계 하나. 이 장부터는 변하는 것을 다룬다. 그런데 자연은 “지금 값이 얼마인가”를 알려 주는 법이 거의 없고, 대신 언제나 이렇게 말한다 — “지금 얼마나 빨리 변하는가는 지금 값이 정한다.”

\frac{dy}{dt} = f(t, y)

축전기의 전압이 떨어지는 속도는 지금 남아 있는 전하가 정하고, 과잉 캐리어가 사라지는 속도는 지금 있는 캐리어 수가 정하며, 용수철에 매달린 물체의 가속도는 지금 늘어난 길이가 정한다. 이런 관계식이 미분방정식이고, 미지 함수가 독립변수 하나에만 의존하면 상미분방정식(ODE)이다. 미지 함수가 여럿이면 연립 상미분방정식이고, 9절에서 다룬다.

풀어야 할 문제는 늘 같은 모양이다. 국소적인 규칙을 주고 전역적인 이력을 요구한다. 각 순간의 변화율만 알려 준 채 “그래서 함수가 무엇이냐”고 묻는 것이다. 이 장은 그 물음에 세 가지로 답한다.

풀 수 있으면 푼다. 변수분리, 적분인자, 특성방정식, 미정계수법, 매개변수 변환 — 1·2·4·5·7절.
풀 수 없어도 해가 있는지, 하나뿐인지는 안다. 존재·유일성 정리 — 3·6절.
풀리지 않아도 모양은 안다. 방향장, 위상 평면, 임계점의 안정성 — 3·9·10절.

세 번째가 특히 중요하다. 실제로 마주치는 방정식은 대개 손으로 풀리지 않고, 소자 시뮬레이터가 내놓는 것은 수치 해 하나뿐이다. 답이 어떤 모양이어야 하는지를 미리 알고 있어야 그 수치 해가 맞는지 틀리는지 판정할 수 있다.

반도체 쪽에서 이 장이 어디로 흘러가는지만 미리 적어 둔다. RC·RL 시정수와 스위칭 파형이 1계 선형 ODE이고(2절), 과잉 캐리어의 재결합 감쇠와 광 조사 하의 정상상태가 같은 식이며, LC 공진과 전원 분배망의 링잉이 2계 상수계수 방정식이다(4·8절). 원통 대칭 포아송 방정식의 방사 부분은 오일러–코시 꼴이고(5절), 1차원 포아송 방정식을 한 번 적분해 전계를 얻는 MOS 정전기의 표준 계산은 10절의 ‘첫 적분’이 그대로다. 레이저 다이오드의 완화 진동은 광자–캐리어 연립 rate equation의 나선점이고(9절), 발진기는 극한 순환이며, 소자 시뮬레이션의 수렴과 시간 적분의 안정성은 야코비 행렬 고유값이 안정성 도표의 어디에 놓이느냐로 갈린다(10절).

그리고 이 장의 절반은 1.3의 회수다. 미분 연산자의 고유함수를 찾는 일이 상수계수 방정식을 푸는 일이고, 행렬의 고유값 문제가 연립 ODE를 푸는 일이다. 4절과 9절에서 그 대응이 정확히 어디서 맞아떨어지는지 짚는다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 기호 사정이 나쁘다. 세 기준 교재가 같은 글자를 다른 뜻으로 쓰고, 심지어 한 교재 안에서도 장이 바뀌면 뜻이 바뀐다. 시작하기 전에 한 번에 정리하고, 갈리는 자리는 이 백과가 어느 쪽을 골랐는지 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$x$ , $t$		독립변수. 시간이면 $t$ , 그 밖이면 $x$
$y$ , $y(x)$		미지 함수(종속변수)
$y'$ , $y''$ , $y^{(n)}$	프라임	$dy/dx$ , $d^2y/dx^2$ , $n$ 계 도함수
$n$		ODE의 계(order). 2절에서만 베르누이 지수로 쓴다
$c$ , $c_1$ , $c_2$		임의 상수(적분상수)
$f(x, y)$		1계 ODE의 우변 — $y' = f(x, y)$
$p(x)$ , $q(x)$	소문자	계수 함수 — $y'' + p y' + q y = r$
$r(x)$		우변(입력·구동항). 비제차 항
$M(x, y)$ , $N(x, y)$	대문자	미분형식의 계수 — $M\,dx + N\,dy = 0$
$u(x, y)$		완전 미분방정식의 퍼텐셜. 해는 $u = c$
$\mu(x)$	뮤	적분인자
$\lambda$	람다	상수계수 방정식의 특성근
$m$		오일러–코시 방정식의 지수 — $y = x^m$
$D$		미분 연산자 $d/dx$
$W(y_1, y_2)$	브론스키안	$y_1y_2' - y_2y_1'$
$y_h$ , $y_p$		제차해(보조함수) · 특수해
$m$ , $c$ , $k$		질량 · 감쇠상수 · 용수철상수 (4·8절)
$\omega_0$	오메가 제로	고유진동수 $\sqrt{k/m}$
$\omega$	오메가	구동 진동수 (8절)
$\omega^*$		감쇠 자유진동수 $\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$
$\alpha$	알파	감쇠율 $c/2m$
$\mathbf{y}$ , $A$		연립계의 해 벡터와 계수 행렬 (9·10절)
$\tau$ , $\delta$	타우 · 델타	$\operatorname{tr}A$ · $\det A$ (10절)

주의

짚고 갈 함정이 여섯이다. 전부 대소문자만 다른 짝이거나 교재마다 갈리는 자리다.

① $p, q$ (소문자)와 $M, N$ (대문자). 소문자 $p(x), q(x)$ 는 표준형 $y'' + py' + qy = r$ 의 계수 함수이고 $y$ 가 곱해져 있다. 대문자 $M(x,y), N(x,y)$ 는 미분형식 $M\,dx + N\,dy = 0$ 의 계수이고 $x$ 와 $y$ 둘 다에 의존한다. Kreyszig는 후자를 $M, N$ 과 $P, Q$ 두 가지로 쓰고, Arfken은 아예 둘 다 $P, Q$ 로 쓴다 — Arfken §7.2의 $P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy = 0$ 과 §7.4의 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 은 같은 글자에 완전히 다른 물건이다. 이 백과는 소문자는 표준형 계수, 대문자는 미분형식 계수로 고정한다.

② 적분인자는 $\mu$ . Kreyszig는 $F$ , Arfken은 $\alpha$ , Boas는 $e^I$ 로 쓴다. 이 장에서 $F$ 는 힘이고 $\alpha$ 는 감쇠율이라 둘 다 쓸 수 없어 $\mu(x)$ 로 통일한다.

③ 상수 $c$ 셋. 적분상수 $c$ , 감쇠상수 $c$ , 지수함수의 밑에 붙는 $c$ 가 모두 $c$ 다. 이 백과는 적분상수는 언제나 아래첨자를 달아 $c_1, c_2$ 로 쓰고, 첨자 없는 $c$ 는 4·8절에서만 감쇠상수로 쓴다.

④ 진동수 셋. $\omega_0$ (고유), $\omega$ (구동), $\omega^*$ (감쇠된 자유진동)는 서로 다른 양이다. Kreyszig는 이 구분을 위해 §2.4에서 일부러 $\omega_0$ 를 쓰고 $\omega$ 를 §2.8에 남겨 둔다 — 이 백과도 같은 약속을 따른다. 셋의 대소 관계는 언제나 $\omega^* \le \omega_0$ 이고, $\omega$ 는 우리가 밖에서 정하는 값이라 아무 데나 놓일 수 있다.

⑤ $\lambda$ 와 $m$ . 상수계수 방정식의 특성근은 $\lambda$ , 오일러–코시의 지수는 $m$ 이다. 둘 다 “지수 자리에 들어가는 미지수”라 헷갈리기 쉬운데, 5절에서 보듯 $x = e^z$ 치환으로 서로 옮겨 가는 같은 물건이다. 그래도 방정식의 꼴이 다르므로 글자를 분리해 둔다.

⑥ $\tau, \delta$ vs $p, q$ . Kreyszig §4.4는 안정성 판정에 $p = \operatorname{tr}A$ , $q = \det A$ 를 쓴다. 그러나 이 장에서 $p, q$ 는 이미 계수 함수다. 이 백과는 $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ 로 바꿔 쓴다 — 1.3에서 이미 $\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A$ , $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ 를 봤으므로 이쪽이 오히려 이어 읽기 좋다.

1계 ODE — 변수분리와 완전 미분방정식

용어를 먼저 정한다

계(order)는 식에 나오는 가장 높은 도함수의 차수다. $y' = \cos x$ 는 1계, $y'' + 9y = e^{2x}$ 는 2계다. 선형이라는 말은 $y$ 와 그 도함수들이 1차로만, 곱해지지 않고 들어간다는 뜻이다. $y' + p(x)y = r(x)$ 는 선형이고, $yy' = 1$ 이나 $y' = \cot y$ 나 $(y')^2 = xy$ 는 비선형이다. 계수 $p(x)$ 가 $x$ 의 아무리 복잡한 함수여도 선형성은 깨지지 않는다 — 선형은 $y$ 에 대한 성질이지 $x$ 에 대한 성질이 아니다.

해란 구간 $I$ 에서 정의되고 미분 가능하며 대입하면 항등식이 되는 함수 $y = h(x)$ 다. 임의 상수 하나를 품은 해의 다발을 일반해, 상수에 특정 값을 넣은 것을 특수해라 부른다. $n$ 계 방정식의 일반해는 보통 임의 상수 $n$ 개를 갖는다. 이유는 적분 횟수가 아니라 초기자료의 자유도다 — $y^{(n)} = F(x, y, \dots, y^{(n-1)})$ 꼴로 풀어 쓸 수 있고 존재·유일성 조건이 성립하면, 해는 $y(x_0), y'(x_0), \dots, y^{(n-1)}(x_0)$ 라는 $n$ 개의 값으로 국소적으로 결정된다(3·6절).

일반해에서 아무리 상수를 골라도 나오지 않는 해가 따로 있을 수 있고, 그것을 특이해라 한다. $(y')^2 - xy' + y = 0$ 의 일반해는 $y = c_1x - c_1^2$ (직선 다발)인데, 그 직선들의 포락선 $y = x^2/4$ 도 해다. 비선형 방정식에서만 생기는 현상이다 — 선형 방정식에는 특이해가 없다는 것을 6절에서 증명한다.

초기값 문제(IVP)는 ODE에 조건 $y(x_0) = y_0$ 를 붙인 것이다. 기하로 읽으면 “해곡선 다발 중 점 $(x_0, y_0)$ 을 지나는 것을 고르라”는 요구다. 2계면 조건이 둘 필요하다 — 지나는 점과 그 점에서의 기울기.

변수분리 — 두 변수를 양쪽으로 밀어낸다

1계 ODE가

g(y)\,y' = f(x)

꼴로 정리되면 변수분리형이다. 양변을 $x$ 로 적분하고 왼쪽에서 $y' \,dx = dy$ 로 바꾸면

\int g(y)\,dy = \int f(x)\,dx + c_1

이 되어, 남은 일은 적분 둘뿐이다.

전형적인 예 셋을 놓고 각각이 무엇을 말하는지 본다.

① 지수 감쇠 — 가장 자주 나오는 꼴.

\frac{dy}{dt} = -ky \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y} = -k\,dt \quad\Longrightarrow\quad y(t) = y_0 e^{-kt}

방사성 붕괴, RC 회로의 방전, 과잉 소수캐리어의 재결합이 전부 이 식이다. $1/k$ 를 시정수 $\tau$ 라 부르면 $y = y_0e^{-t/\tau}$ 이고, $\tau$ 는 $y$ 가 $1/e \approx 0.368$ 배로 줄어드는 시간이다. 반감기는 $t_{1/2} = \tau \ln 2 \approx 0.693\,\tau$ .

RC 회로면 $\tau = RC$ , RL 회로면 $\tau = L/R$ , 소수캐리어면 $\tau$ 가 곧 캐리어 수명이다. 이름과 단위만 바뀌고 식은 하나다.

② 유한 시간에 끝나는 감쇠 — 토리첼리 유출. 바닥에 구멍이 뚫린 원통 수조에서 물이 빠지는 속도는 물 높이의 제곱근에 비례한다. 넓이 $B$ 인 수조에 넓이 $A$ 인 구멍이면

\frac{dh}{dt} = -\frac{A}{B}\sqrt{2g}\,\sqrt{h} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{h} = \sqrt{h_0} - \frac{A}{B}\sqrt{\frac{g}{2}}\;t

이고, 해는 $t_* = \dfrac{B}{A}\sqrt{\dfrac{2h_0}{g}}$ 에서 정확히 0이 된다. 지수 감쇠는 영원히 0에 닿지 않는데 이쪽은 끝난다.

물리적으로 유효한 것은 $0 \le t \le t_*$ 뿐이다. 그 뒤로는 $h \equiv 0$ 이고, 위 식을 제곱한 $h = (\sqrt{h_0} - kt)^2$ 를 형식적으로 연장하면 물이 저절로 다시 차오르는 가짜 가지가 나온다.

의문

같은 “줄어드는 현상”인데 왜 하나는 끝나고 하나는 안 끝나는가?

$y' = -ky$ 에서는 $y$ 가 작아지면 감소 속도도 같은 비율로 작아진다 — 브레이크가 함께 밟힌다. $h' \propto -\sqrt{h}$ 에서는 $h$ 가 작아질 때 $\sqrt{h}$ 는 덜 작아진다. $h = 10^{-6}$ 이면 $\sqrt{h} = 10^{-3}$ 이라 감소 속도가 $h$ 에 비해 훨씬 크다. 그래서 마지막 구간을 순식간에 지나가 버린다.

이 차이가 3절 유일성 정리와 정확히 이어진다. $f(y) = \sqrt{y}$ 는 $y = 0$ 에서 기울기가 무한대라 립시츠 조건을 어기고, 그래서 “ $y = 0$ 에 유한 시간에 도달”이 가능해진다. 반대로 방향을 뒤집으면 $y = 0$ 에서 출발하는 해가 여럿이 되어 유일성이 깨진다.

③ 상수해를 잃어버리는 함정. $y' = y(1-y)$ 를 분리하려면 $y(1-y)$ 로 나눠야 하는데, 그 순간 $y \equiv 0$ 과 $y \equiv 1$ 이 계산에서 사라진다. 둘 다 엄연한 해다(대입해 보면 양변이 0).

동차형 — 비율만 보면 분리된다

$y' = f(y/x)$ 꼴, 즉 우변이 $x$ 와 $y$ 의 비율로만 쓰이는 방정식은 그대로는 분리되지 않지만 $v = y/x$ 로 바꾸면 분리된다. $y = xv$ 이므로 $y' = v + xv'$ 이고,

v + x\frac{dv}{dx} = f(v) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{f(v) - v} = \frac{dx}{x}

가중치를 달리 주면 범위가 넓어진다. $x$ 에 무게 1, $y$ 에 무게 $\beta$ 를 주었을 때 모든 항의 무게가 같아지면 등중형(isobaric)이라 하고, $y = x^{\beta}v$ 가 분리형을 만든다. 예를 들어 $(x^2 - y)\,dx + x\,dy = 0$ 은 $x^2\,dx$ 의 무게가 3, 나머지가 $1 + \beta$ 이므로 $\beta = 2$ 다. $y = x^2v$ , $dy = 2xv\,dx + x^2dv$ 를 넣으면

x^2(1+v)\,dx + x^3\,dv = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} + \frac{dv}{1+v} = 0

로 분리되어 $x(1+v) = c_1$ , 곧 $y = c_1x - x^2$ 이다. 이 방정식은 $y' - y/x = -x$ 로도 쓰이는 선형 방정식이라 2절의 방법으로 풀어 답을 대조할 수 있다.

완전 미분방정식 — 해곡선은 등고선이다

1계 ODE를 대칭적인 꼴로 적으면

M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0

이다. 만약 어떤 함수 $u(x, y)$ 가 있어서

\frac{\partial u}{\partial x} = M, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = N

이면 좌변은 정확히 전미분 $du$ 이고, 방정식은 $du = 0$ , 곧 $u(x, y) = c_1$ 이 해다. 이런 방정식을 완전(exact)하다고 한다.

직관

이것이 이 절에서 가장 중요한 그림이다. 완전 미분방정식의 해곡선은 어떤 함수의 등고선이다. 방향장은 그 등고선의 접선 방향을 심어 놓은 것이고, 해를 구한다는 것은 등고선을 만드는 높이 함수 $u$ 를 복원하는 일이다.

그리고 이 복원 가능성의 조건은 1.1.9퍼텐셜 이론에서 이미 봤다. 벡터장 $(M, N)$ 을 “힘”으로 보면 $u$ 는 그 퍼텐셜이고, 퍼텐셜이 존재할 조건은 회전이 0이라는 것 — 2차원에서는

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}

이 전부다. 실제로 $u$ 가 존재하면 $\partial M/\partial y = u_{yx}$ , $\partial N/\partial x = u_{xy}$ 이고 2차 편도함수의 교환 가능성에서 곧바로 나온다. 역이 성립하려면 정의역이 단순연결이어야 하는 것까지 1.1.4선적분과 경로 독립성와 똑같다.

그림 1.4-1. 완전 미분방정식의 해곡선(파랑 타원)과 그 직교 절선(회색 포물선). 타원은 퍼텐셜 u = ½x² + y²의 등고선이고, 전기 문제로 읽으면 등전위선이다. 한 점에서 그은 ∇u는 등고선에 수직이고, 해곡선의 접선은 그에 수직인 방향 — 곧 방향장이 지시하는 방향이다. 등고선과 직교 절선이 언제나 직각으로 만나는 것이 그림의 요점이다.직접 작도

$u$ 를 복원하는 절차는 기계적이다. $u_x = M$ 에서

u(x, y) = \int M(x, y)\,dx + k(y)

로 두고( $y$ 는 상수 취급, 그래서 적분상수 자리에 $y$ 의 함수 $k(y)$ 가 들어간다), 이것을 $y$ 로 미분해 $u_y = N$ 과 비교하면 $k'(y)$ 가 나오고, 한 번 더 적분하면 $k(y)$ 가 정해진다. $N$ 쪽에서 시작해도 똑같다.

예. $\cos(x+y)\,dx + \bigl(3y^2 - 2y + \cos(x+y)\bigr)dy = 0$ . $M_y = N_x = -\sin(x+y)$ 이므로 완전하다.

\begin{aligned} u &= \int \cos(x+y)\,dx + k(y) = \sin(x+y) + k(y), \\ u_y &= \cos(x+y) + k'(y) \overset{!}{=} 3y^2 - 2y + \cos(x+y), \end{aligned}

따라서 $k'(y) = 3y^2 - 2y$ , $k = y^3 - y^2$ . 답은 $\sin(x+y) + y^3 - y^2 = c_1$ .

적분인자 — 완전하지 않으면 완전하게 만든다

완전성 조건은 까다로워서 대개 성립하지 않는다. 그런데 방정식에 함수 $\mu(x, y)$ 를 곱해도 해집합은 그대로다( $\mu \ne 0$ 인 곳에서). 그러니 곱해서 완전해지는 $\mu$ 를 찾으면 된다. 그런 $\mu$ 를 적분인자라 한다.

가장 유명한 예: $y\,dx - x\,dy = 0$ 은 $M_y = 1 \ne -1 = N_x$ 라 완전하지 않지만, $1/x^2$ 을 곱하면

\frac{y\,dx - x\,dy}{x^2} = -\,d\!\left(\frac{y}{x}\right) = 0

이 되어 해가 $y/x = c_1$ , 곧 원점을 지나는 직선 다발이다. 재미있는 것은 적분인자가 하나가 아니라는 점이다. 같은 식에 $1/y^2$ , $1/(xy)$ , $1/(x^2+y^2)$ 를 곱해도 각각

d\!\left(\frac{x}{y}\right),\qquad d\!\left(\ln\frac{x}{y}\right),\qquad -\,d\!\left(\arctan\frac{y}{x}\right)

이 나온다. 마지막 것의 부호를 조심한다 — $\arctan(y/x)$ 는 극각 $\theta$ 라 $d\theta = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2+y^2}$ 이고, 우리 조합은 그 반대 부호다. 등고선을 만드는 높이 함수는 여러 가지일 수 있고, 등고선 자체(=해곡선)만 같으면 된다는 뜻이다.

일반적으로 $\mu$ 를 찾는 것은 원 방정식만큼 어렵다. 완전성 조건 $(\mu M)_y = (\mu N)_x$ 가 $\mu$ 에 대한 편미분방정식이기 때문이다. 그래서 한 변수에만 의존한다고 가정해 문제를 줄인다. $\mu = \mu(x)$ 면 조건이

\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx} = R(x), \qquad R = \frac{1}{N}\!\left(\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}\right)

가 되고, $R$ 이 $x$ 만의 함수로 나오면 $\mu = \exp\!\int R\,dx$ 가 답이다. $\mu = \mu(y)$ 쪽은 $M$ 과 $N$ 의 역할을 바꾸고 부호를 뒤집으면 된다:

\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy} = R^*(y), \qquad R^* = \frac{1}{M}\!\left(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)

직교 절선 — 등고선을 직각으로 자른다

한 다발의 곡선을 직각으로 자르는 다른 다발을 직교 절선이라 한다. 등온선과 열흐름선, 등고선과 최급강하선, 등전위선과 전기력선이 전부 이 관계다.

절차는 짧다. 주어진 다발 $G(x, y, c) = 0$ 을 미분하고 $c$ 를 소거해 그 다발이 만족하는 ODE $y' = f(x, y)$ 를 얻는다. 그러면 직교 절선은

y' = -\frac{1}{f(x, y)}

의 해다. 한 점에서 두 기울기의 곱이 $-1$ 이면 직각이기 때문이다. 이 표현은 $f$ 가 유한하고 0이 아닌 점에서만 쓴다 — 접선이 수직이거나 수평인 자리는 $dx : dy$ 비율로 따로 다뤄야 한다.

예(위 그림). 타원 다발 $\tfrac12x^2 + y^2 = c_1$ 을 미분하면 $x + 2yy' = 0$ , 곧 $y' = -x/2y$ . 직교 절선은 $y' = 2y/x$ 이고, 분리해 적분하면 $y = c_2x^2$ — 포물선 다발이다. 전기 문제로 읽으면 타원이 등전위면, 포물선이 전기력선이다.

직관

왜 이것이 자동으로 되는가. 완전 미분방정식의 해곡선은 $u = c$ 인 등고선이었고, 1.1.2기울기·발산·회전에서 $\nabla u$ 는 등고선에 수직이다. 그러니 직교 절선은 $\nabla u$ 를 따라가는 곡선, 곧 기울기 흐름(gradient flow)이다.

반도체로 옮기면 이 구도가 그대로 쓰인다. 정전 퍼텐셜 $\phi$ 의 등전위면이 한 다발이고, 전기장 $\mathbf{E} = -\nabla\phi$ 의 역선이 그 직교 절선이다. 그래서 소자 단면도에 등전위선을 그려 놓으면 전계 방향을 따로 계산하지 않고도 읽을 수 있다 — 등전위선이 조밀한 곳이 전계가 센 곳이고, 방향은 언제나 등전위선에 수직이다. 접합 가장자리나 게이트 모서리에서 등전위선이 몰리는 그림이 곧 항복 전압을 정하는 그림이다.

선형 1계 ODE와 베르누이 방정식

표준형과 적분인자

1계 선형 ODE의 표준형은

y' + p(x)\,y = r(x)

이다. 표준형이란 $y'$ 의 계수가 1이라는 뜻이고, $f(x)y'$ 로 시작하면 먼저 $f(x)$ 로 나눠야 한다. 이 절의 모든 공식이 표준형을 전제로 하므로 이 단계를 건너뛰면 답이 틀린다.

$r \equiv 0$ 이면 제차(homogeneous)이고 분리형이라 바로 풀린다.

\frac{dy}{y} = -p\,dx \quad\Longrightarrow\quad y = c_1 e^{-h}, \qquad h(x) = \int p(x)\,dx

문제는 $r \ne 0$ 일 때다. 여기서 1절의 적분인자가 정확히 통한다.

정리하면

y(x) = e^{-h}\!\left(\int e^{h} r\,dx + c_1\right), \qquad h(x) = \int p(x)\,dx

$h$ 안의 적분상수는 신경 쓸 필요가 없다. $h \to h + C$ 면 $\mu$ 가 $e^C$ 배 되고 그 인자가 분자·분모에서 상쇄된다.

구조 — 입력에 대한 응답 + 초기조건에 대한 응답

해를 두 조각으로 갈라 놓으면 물리가 드러난다.

y(x) = \underbrace{e^{-h}\!\int e^{h} r\,dx}_{\text{입력 } r \text{ 에 대한 응답}} \;+\; \underbrace{c_1 e^{-h}}_{\text{초기조건에 대한 응답}}

총출력 = 입력에 대한 응답 + 초기 데이터에 대한 응답. 이것이 선형계의 근본 성질이고, 1.10의 라플라스 변환과 1.8의 그린 함수가 전부 이 분해를 조직적으로 다루는 도구다.

둘째 항이 사라지려면 $h(x) = \int_{x_0}^{x}p\,ds \to +\infty$ 여야 한다. $p$ 가 양의 상수면 당연히 그렇고, 이 절의 회로 예가 전부 그 경우다. 그래서 첫째 항을 정상상태(steady state), 둘째 항을 과도상태(transient)라 부른다.

예 1 — RL 회로. 인덕터 $L$ 과 저항 $R$ 이 직렬이고 기전력 $E(t)$ 가 걸리면 키르히호프 전압 법칙이

L\frac{dI}{dt} + RI = E(t) \quad\Longrightarrow\quad I' + \frac{R}{L}I = \frac{E(t)}{L}

이다. $p = R/L$ 이 상수이므로 $\mu = e^{Rt/L}$ . $E$ 가 상수 $E_0$ 이고 $I(0) = 0$ 이면

I(t) = \frac{E_0}{R}\left(1 - e^{-Rt/L}\right)

정상상태는 $E_0/R$ (옴의 법칙 — 인덕터가 결국 그냥 도선이 된다), 시정수는 $L/R$ 이다. $L/R$ 이 작을수록 빨리 붙는다.

예 2 — 광 조사 하의 과잉 캐리어. 반도체에 빛을 쬐면 생성률 $G$ 로 전자–정공 쌍이 생기고, 과잉 캐리어는 수명 $\tau_n$ 으로 재결합해 사라진다.

\frac{d\,\delta n}{dt} = G - \frac{\delta n}{\tau_n} \quad\Longrightarrow\quad \delta n(t) = G\tau_n\left(1 - e^{-t/\tau_n}\right)

RL 회로와 글자만 다르고 완전히 같은 식이다. 정상상태 $\delta n = G\tau_n$ 은 광도전 소자·태양전지·이미지 센서의 출발점이고, “빛을 끄면 $\tau_n$ 의 시간 척도로 사라진다”가 광 검출기의 응답 속도를 정한다. 여기서 캐리어 수명이 감도(더 크면 좋다)와 속도(더 작으면 좋다)를 동시에 정하는 상충이 나온다.

베르누이 방정식 — 치환으로 선형으로 내려온다

y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{\,n} \qquad (n \ne 0, 1)

을 베르누이 방정식이라 한다. $n = 0$ 이면 이미 선형이고 $n = 1$ 이면 분리형이라 뺀다. $y^n$ 때문에 비선형인데, 치환

u = y^{\,1-n}

하나로 선형이 된다. 미분하면 $u' = (1-n)y^{-n}y'$ 이고, 원 방정식에 $(1-n)y^{-n}$ 을 곱하면

\underbrace{(1-n)y^{-n}y'}_{u'} + (1-n)p\underbrace{y^{1-n}}_{u} = (1-n)q \quad\Longrightarrow\quad u' + (1-n)p\,u = (1-n)q

예 — 로지스틱 방정식. $n = 2$ 인 경우가 특히 많이 나온다.

y' = Ay - By^2 \quad\Longrightarrow\quad u = y^{-1},\quad u' = -Au + B \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \frac{1}{c_1e^{-At} + B/A}

$t \to \infty$ 에서 $y \to A/B$ 로 수렴한다. 항 $-By^2$ 가 제동 항이다 — 지수 성장을 유한한 한계로 묶는다.

반도체에서 $y^2$ 항은 두 입자가 만나야 일어나는 과정을 뜻한다. 전자와 정공이 만나 사라지는 복사 재결합의 순 비율이 $R = B(np - n_i^2)$ 이고, 고주입( $\delta n \gg n_0, p_0$ )에서 $n \approx p \approx \delta n$ 이면 $R \approx B(\delta n)^2$ 이다. 세 입자가 필요한 오제 재결합은 $C(\delta n)^3$ . 그래서 과잉 캐리어의 감쇠는

\frac{d\,\delta n}{dt} = -\frac{\delta n}{\tau_{\mathrm{SRH}}} - B(\delta n)^2 - C(\delta n)^3

이고, 주입 준위가 낮으면 1차항이, 높으면 2·3차항이 지배한다. 각 항이 몇 차인지가 곧 “몇 개가 만나야 하는 과정인지”를 말해 준다. 이 꼴을 ABC 모형이라 부른다.

리카티 방정식 — 특수해 하나를 알면 베르누이가 된다

y' = p(x)\,y^2 + q(x)\,y + r(x)

를 리카티 방정식이라 한다. $p \equiv 0$ 이면 선형이고 $r \equiv 0$ 이면 베르누이( $n = 2$ )라, Arfken은 둘 다 제외해 리카티를 정의한다. 일반적으로 푸는 방법이 없다. 그런데 특수해 $y_0$ 를 하나 알고 있으면 $y = y_0 + u$ 로 두었을 때 $r$ 이 상쇄되어

u' = p\,u^2 + (2p\,y_0 + q)\,u

곧 $n = 2$ 인 베르누이 방정식이 된다. 하나를 알면 전부를 아는 셈이다.

방향장과 해의 존재·유일성

방향장 — 식을 풀지 않고 해를 본다

1계 ODE $y' = f(x, y)$ 는 평면의 각 점에 기울기 하나를 심어 놓는 규칙이다. 점 $(x_0, y_0)$ 을 지나는 해곡선은 그 점에서 반드시 기울기 $f(x_0, y_0)$ 을 가져야 한다. 그러니 평면 곳곳에 그 기울기의 짧은 선분을 그려 놓으면, 해곡선은 그 선분들에 접하도록 끼워 맞춘 곡선이 된다. 이 선분들의 모임이 방향장(direction field)이다.

그림 1.4-2. 방향장 두 장. 왼쪽 y′ = y − x 에서는 직선해 y = x + 1이 경계가 되어 위쪽 해는 위로, 아래쪽 해는 아래로 갈라진다. 점선은 등경사선 y = x — 그 위에서는 기울기가 0이라 선분이 전부 수평이다. 오른쪽은 자율계 y′ = y(1 − y)로, 식에 t가 없어 방향장이 가로 방향으로 똑같고 평형해 y = 0, y = 1이 수평선으로 드러난다.직접 작도

손으로 그릴 때는 등경사선(isocline)을 먼저 찾는다. $f(x, y) = K$ 인 곡선 위에서는 기울기가 전부 $K$ 이므로, 그 곡선을 그리고 그 위에 같은 방향의 선분들을 찍으면 된다. 위 그림의 $y' = y - x$ 에서 등경사선은 $y - x = K$ 인 직선 다발이다.

자율계와 위상선

우변에 독립변수가 명시적으로 없는 방정식 $y' = f(y)$ 를 자율계(autonomous)라 한다. 자율계는 방향장이 가로 방향으로 똑같다 — 기울기가 $y$ 만으로 정해지니까. 그래서 해곡선 하나를 좌우로 평행이동한 것도 해다.

$f(y_*) = 0$ 인 $y_*$ 를 평형점(임계점)이라 하고, 상수해 $y \equiv y_*$ 가 대응한다. 1차원 자율계의 장기 거동은 사실상 평형점만 보면 끝난다 — 다만 갈 곳이 없으면 터진다. $y' = 1 + y^2$ 처럼 평형점이 아예 없으면 해가 유한 시간에 발산하고, 그 이야기가 아래 존재·유일성 절에서 이어진다.

$y_*$ 근처에서 $f > 0$ 이면 위로, $f < 0$ 이면 아래로 흐른다.
양쪽에서 $y_*$ 를 향해 흐르면 안정, 멀어지면 불안정.
판정은 대개 미분 하나로 끝난다 — $f'(y_*) < 0$ 이면 안정, $f'(y_*) > 0$ 이면 불안정. $f'(y_*) = 0$ 이면 이 판정으로는 아무것도 알 수 없고, $f$ 의 부호나 더 높은 차수 항을 봐야 한다.

로지스틱 $y' = y(1-y)$ 면 $f'(y) = 1 - 2y$ 이고 $f'(0) = 1 > 0$ (불안정), $f'(1) = -1 < 0$ (안정). 그림이 보여 주는 그대로다.

오일러 방법 — 접선을 따라 한 걸음

방향장을 수치적으로 따라가면 근사해가 나온다. 가장 단순한 것이 오일러 방법이다. $x_{n} = x_0 + nh$ 에서

y_{n} = y_{n-1} + h\,f(x_{n-1},\,y_{n-1})

“지금 위치에서 기울기를 읽고, 그 접선을 따라 $h$ 만큼 간다.” 한 걸음의 오차는 테일러 전개의 남은 항이라 $O(h^2)$ 이고, 구간 전체를 가려면 $1/h$ 번 걸어야 하므로 누적 오차는 $O(h)$ 다. $h$ 를 절반으로 줄이면 오차도 절반 — 대단히 느리다. 실제로 쓰이는 것은 4차 룽게–쿠타처럼 누적 오차가 $O(h^4)$ 인 방법이고, 1.12에서 다룬다.

존재 정리와 유일성 정리

세 가지 초기값 문제를 나란히 놓아 본다.

$|y'| + |y| = 0$ , $y(0) = 1$ — 해가 없다. 방정식이 $y \equiv 0$ 만 허용한다.
$y' = 2x$ , $y(0) = 1$ — 해가 정확히 하나. $y = x^2 + 1$ .
$xy' = y - 1$ , $y(0) = 1$ — 해가 무한히 많다. $y = 1 + c_1x$ 가 전부 지난다.

셋이 다 가능하다는 것이 문제다. 그래서 조건이 필요하다.

존재 정리. $f(x, y)$ 가 사각형 $R: |x - x_0| \le a$ , $|y - y_0| \le b$ 에서 연속이고 $|f| \le K$ 로 유계이면, 초기값 문제 $y' = f(x,y)$ , $y(x_0) = y_0$ 는 적어도 하나의 해를 갖는다. 그 해는 적어도 $|x - x_0| \le \alpha$ 에서 존재하며, $\alpha = \min(a,\, b/K)$ .

유일성 정리. 여기에 더해 $\partial f/\partial y$ 가 $R$ 에서 연속이고 유계이면, 해는 많아야 하나다. 둘을 합쳐 정확히 하나.

$\partial f/\partial y$ 의 유계성은 더 약한 조건으로 바꿀 수 있다. 어떤 상수 $M$ 에 대해

|f(x, y_2) - f(x, y_1)| \le M\,|y_2 - y_1|

이면 되고, 이것을 립시츠 조건이라 한다. 평균값 정리를 쓰면 $|\partial f/\partial y| \le M$ 에서 립시츠 조건이 따라 나온다 — 그러니 립시츠 쪽이 더 넓다.

그림 1.4-3. 두 가정이 각각 무엇을 막는지 보여 주는 반례. 왼쪽 y′ = √|y| 는 f가 연속이라 해는 있지만 y = 0에서 ∂f/∂y가 발산해 립시츠 조건이 깨지고, 원점을 지나는 해가 무한히 많다 — y ≡ 0으로 얼마든지 머물다가 아무 때나 포물선으로 떠날 수 있다. 오른쪽 y′ = 1 + y² 는 f도 ∂f/∂y도 온 평면에서 매끈한데 해 y = tan x가 x = π/2에서 무한대로 달아난다. 매끈함은 해가 영원히 이어짐을 보장하지 않는다.직접 작도

반례 ① — 유일성이 깨진다. $y' = \sqrt{|y|}$ , $y(0) = 0$ . $f$ 는 연속이라 해는 존재한다. 그런데 $y \equiv 0$ 도 해이고, 임의의 $a \ge 0$ 에 대해

y(x) = \begin{cases} 0 & (x \le a) \\ (x-a)^2/4 & (x > a)\end{cases}

도 전부 해다. 립시츠 조건이 깨지는 지점을 확인해 보면, $y_1 = 0$ 과 작은 $y_2 > 0$ 에 대해

\frac{|f(x,y_2) - f(x,y_1)|}{|y_2 - y_1|} = \frac{\sqrt{y_2}}{y_2} = \frac{1}{\sqrt{y_2}}

이고 $y_2 \to 0$ 에서 발산한다. 어떤 $M$ 으로도 묶을 수 없다.

반례 ② — 유한 시간에 폭발한다. $y' = 1 + y^2$ , $y(0) = 0$ . $f$ 도 $\partial f/\partial y = 2y$ 도 온 평면에서 매끈하다. 그래도 해 $y = \tan x$ 는 $x \to \pi/2^-$ 에서 발산한다. 정리가 보장하는 구간이 $\alpha = \min(a, b/K)$ 뿐이었다는 것이 여기서 아프게 확인된다 — $R: |x| \le 5, |y| \le 3$ 을 잡으면 $K = 10$ , $b/K = 0.3$ 이라 정리는 $|x| \le 0.3$ 만 보장하고, 실제로도 $\pi/2 \approx 1.57$ 을 넘길 수 없다.

직관

두 반례가 각각 무엇을 말하는지 한 줄로 줄이면 이렇다.

립시츠 조건은 “옆 해와 벌어지는 속도”에 상한을 둔다. 이것이 없으면 해들이 한 점에서 갈라져 나올 수 있다.
어떤 조건도 “얼마나 멀리까지 이어지는가”는 보장하지 않는다. 그건 방정식이 얼마나 급하게 커지는가의 문제이고, 국소 정리가 다룰 수 없는 전역 성질이다.

선형 방정식만은 예외다. $y' + p(x)y = r(x)$ 는 $f = -py + r$ 이라 $\partial f/\partial y = -p(x)$ 가 $y$ 에 아예 의존하지 않는다. 그래서 $p, r$ 이 구간 $I$ 에서 연속이기만 하면 그 구간 전체에서 유일한 해가 있고, 폭발도 갈라짐도 없다. 2절의 해 공식이 실제로 그것을 증명한다 — 적분만 할 수 있으면 답이 나온다. 선형이라는 성질이 얼마나 큰 선물인지 여기서 한 번 더 확인된다.

피카르 반복 — 존재 증명의 뼈대

초기값 문제를 적분해 옮기면

y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f\bigl(t,\, y(t)\bigr)\,dt

가 되고, 이 적분방정식을 반복으로 푼다. $y_{[0]} = y_0$ 에서 시작해

y_{[k+1]}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f\bigl(t,\, y_{[k]}(t)\bigr)\,dt

립시츠 상수가 $L$ 이면 반폭 $a$ 인 구간의 균등노름에서 $\lVert Ty - Tz\rVert_\infty \le La\,\lVert y - z\rVert_\infty$ 이므로, 구간을 $La < 1$ 이 되도록 충분히 좁게 잡으면 이 사상이 축약 사상이 되어 수열이 유일한 극한으로 수렴한다. 그 극한이 해다. 더 긴 구간이 필요하면 구간을 이어 붙이거나, 사상의 거듭제곱 또는 가중 노름을 쓴다.

의문

존재와 유일성이 보장되면 수치적으로도 안전한가? 아니다. 정리는 해가 있다고만 말하지 계산하기 쉽다고 말하지 않는다.

가장 흔한 함정이 강성(stiffness)이다. 계 안에 시간 척도가 극단적으로 다른 성분이 섞여 있으면 — 예를 들어 $\tau_1 = 10^{-12}\,\mathrm{s}$ 와 $\tau_2 = 10^{-3}\,\mathrm{s}$ 가 함께 있으면 — 명시적 방법은 빠른 성분의 시정수에 맞춰 걸음을 잡아야 안정하고, 그러면 느린 성분을 다 보려고 $10^9$ 번을 걸어야 한다. 반도체 소자 시뮬레이션이 정확히 이 상황이다. 캐리어 유전 완화 시간과 소수캐리어 수명이 아홉 자릿수쯤 차이 난다.

대응은 암시적 방법(후진 오일러, BDF)이고, 그것이 왜 통하는지는 10절의 안정성 논의와 1.12에서 이어 본다.

2계 선형 ODE와 상수 계수

왜 2계인가

물리 법칙의 절대다수가 2계다. 뉴턴의 법칙이 가속도 — 위치의 2계 도함수 — 를 힘과 잇고, 회로에서는 인덕터의 전압이 전류의 1계 도함수인데 전류가 전하의 1계 도함수라 전하에 대해 2계가 되며, 확산·전도·파동 방정식은 전부 공간 2계다. 관성이 있는 계는 2계다라고 외워도 크게 틀리지 않는다.

2계 선형 ODE의 표준형은

y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x)

이고 $r \equiv 0$ 이면 제차다. 이 절과 5·6절은 제차를, 7·8절은 비제차를 다룬다.

중첩 원리 — 제차 방정식에만 성립한다

직관

$y_1$ 과 $y_2$ 가 제차 방정식의 해면 임의의 선형결합 $c_1y_1 + c_2y_2$ 도 해다. 증명은 미분이 선형이라는 사실 한 줄이다.

\begin{aligned} (c_1y_1 + c_2y_2)'' &+ p\,(c_1y_1 + c_2y_2)' + q\,(c_1y_1 + c_2y_2) \\ &= c_1\underbrace{(y_1'' + py_1' + qy_1)}_{=\,0} + c_2\underbrace{(y_2'' + py_2' + qy_2)}_{=\,0} = 0 \end{aligned}

이것이 전자기학의 중첩 원리, 파동광학의 간섭, 양자역학의 상태 중첩이 전부 같은 뿌리를 갖는 이유다. 슈뢰딩거 방정식이 제차 선형이라 상태를 더할 수 있는 것이지, 양자역학이 특별해서가 아니다.

일반해는 서로 선형 독립인 두 해 $y_1, y_2$ 의 선형결합 $c_1y_1 + c_2y_2$ 다. 두 해가 비례하면( $y_2 = ky_1$ ) 상수가 실질적으로 하나뿐이라 초기조건 두 개를 맞출 수 없다. 독립인 해 두 개를 기저(fundamental system)라 부른다. 독립성을 판정하는 도구가 브론스키안이고 6절의 주제다.

상수 계수 — 지수함수를 넣어 본다

계수가 상수인 경우

y'' + a\,y' + b\,y = 0

를 푼다. 1계 $y' + ky = 0$ 의 해가 지수함수였으니 $y = e^{\lambda x}$ 를 시험해 본다. 대입하면

(\lambda^2 + a\lambda + b)\,e^{\lambda x} = 0

이고 $e^{\lambda x} \ne 0$ 이므로 조건은 특성방정식

\lambda^2 + a\lambda + b = 0, \qquad \lambda_{1,2} = \tfrac12\left(-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}\right)

이다. 미분방정식이 2차 대수방정식으로 내려앉았다.

직관

이 절 전체에서 가장 중요한 문장: 지수함수를 넣은 것은 요행이 아니라, $e^{\lambda x}$ 가 미분 연산자 $D = d/dx$ 의 고유함수이기 때문이다.

D\,e^{\lambda x} = \lambda\,e^{\lambda x}

1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ 와 글자 하나 다르지 않다. 행렬 $A$ 가 연산자 $D$ 로, 벡터 $\mathbf{x}$ 가 함수 $e^{\lambda x}$ 로 바뀌었을 뿐이다.

그러면 왜 이것이 이득인가도 1.3과 같은 답이다. 고유함수 위에서 미분이 곱하기로 내려앉기 때문이다. $D \to \lambda$ , $D^2 \to \lambda^2$ 로 바꿔 넣으면 미분방정식 $L(D)y = 0$ 이 대수방정식 $L(\lambda) = 0$ 이 된다. 미분이 어려운 연산인 이유는 함수 전체를 봐야 하기 때문인데, 고유함수 위에서는 숫자 하나를 곱하는 일로 끝난다.

이 발상은 이 장에서 멈추지 않는다. 푸리에 변환은 $e^{i\omega x}$ 가 $D$ 의 고유함수라는 사실을 무한 차원으로 조직한 것이고(1.10), 라플라스 변환은 $e^{st}$ 로 같은 일을 하며, 회로의 임피던스 $Z(j\omega)$ 는 정확히 그 고유값이다. 인덕터의 $j\omega L$ 과 커패시터의 $1/j\omega C$ 가 $L(\lambda)$ 의 항들이다.

판별식 $a^2 - 4b$ 의 부호로 세 경우가 갈린다.

경우 I — 서로 다른 실근 ( $a^2 - 4b > 0$ ).

y = c_1e^{\lambda_1 x} + c_2e^{\lambda_2 x}

경우 II — 중근 ( $a^2 - 4b = 0$ ). $\lambda = -a/2$ 하나뿐이라 해가 하나밖에 안 나온다. 둘째 해는 $xe^{\lambda x}$ 다.

y = (c_1 + c_2x)\,e^{-ax/2}

경우 III — 켤레 복소근 ( $a^2 - 4b < 0$ ). $\lambda = -\tfrac{a}{2} \pm i\omega^*$ , $\omega^* = \sqrt{b - a^2/4}$ . 오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 로 실수 기저를 만든다. 두 복소해를 더해 2로 나누면 코사인, 빼서 $2i$ 로 나누면 사인이 나온다.

y = e^{-ax/2}\bigl(A\cos\omega^* x + B\sin\omega^* x\bigr) = C\,e^{-ax/2}\cos(\omega^* x - \phi)

두 표현은 $C = \sqrt{A^2+B^2}$ , $\tan\phi = B/A$ 로 이어진다. 초기조건을 맞출 때는 앞의 꼴이, 진폭과 위상을 읽을 때는 뒤의 꼴이 편하다.

직관

$xe^{\lambda x}$ 가 왜 나오는지는 세 가지 방식으로 볼 수 있고, 셋이 같은 이야기다.

① 극한으로. 서로 다른 두 근일 때 $y_1 = e^{\lambda_1x}$ , $y_2 = e^{\lambda_2x}$ 가 해면 그 차의 몫도 해다.

\frac{e^{\lambda_2 x} - e^{\lambda_1 x}}{\lambda_2 - \lambda_1} \;\xrightarrow{\;\lambda_2 \to \lambda_1\;}\; \frac{\partial}{\partial \lambda}e^{\lambda x}\bigg|_{\lambda_1} = x\,e^{\lambda_1 x}

두 해가 겹쳐 사라지려는 순간, 차이를 간격으로 나눠 살려 낸 것이 $xe^{\lambda x}$ 다.

② 연산자로. 중근이면 $(D - \lambda)^2 y = 0$ 이다. $u = (D-\lambda)y$ 로 두면 $(D-\lambda)u = 0$ 에서 $u = Ae^{\lambda x}$ 이고, 다시 $y' - \lambda y = Ae^{\lambda x}$ 를 2절의 적분인자로 풀면 $ye^{-\lambda x} = Ax + B$ — 곧바로 $y = (Ax+B)e^{\lambda x}$ 다.

③ 1.3의 결손으로. 1.3.6축퇴와 고유기저에서 대수적 중복도는 2인데 기하적 중복도가 1인 결손 행렬을 봤다. 그때 부족한 자리를 메운 것이 일반화 고유벡터 $\mathbf{u}$ 이고, 해가 $(\mathbf{x}t + \mathbf{u})e^{\lambda t}$ 처럼 $t$ 가 곱해진 항이었다. 여기서 $x$ 가 곱해지는 것과 정확히 같은 현상이고, 9절에서 두 이야기가 문자 그대로 하나로 합쳐진다.

미분 연산자 표기 — 인수분해로 읽는다

$D = d/dx$ 로 두면 방정식이 $(D^2 + aD + b)y = 0$ 이 되고, 상수 계수라면 다항식처럼 인수분해된다.

(D^2 + 5D + 4)y = (D+1)(D+4)y = (D+4)(D+1)y = 0

$(D+4)y = 0$ 의 해도, $(D+1)y = 0$ 의 해도 전체 방정식의 해다 — 앞의 인자가 0에 작용해도 0이기 때문이다. 그래서 특성방정식의 근이 곧 해의 지수다. 이 표기는 4·5·7절에서 계속 쓴다.

주의

계수가 변수면 $D$ 는 곱셈과 교환하지 않는다. 실제로

D(xy) = xy' + y = (xD + 1)y \quad\Longrightarrow\quad Dx = xD + 1 \ne xD

이라서

(D - x)(D + x) = D^2 - x^2 + 1, \qquad (D + x)(D - x) = D^2 - x^2 - 1

로 순서에 따라 답이 달라진다. 상수 계수일 때만 마음 놓고 인수분해할 수 있다.

이 비가환성이 우연한 성가심이 아니라는 것을 나중에 보게 된다. $[D, x] = 1$ 은 양자역학의 정준교환관계 $[\hat p, \hat x] = -i\hbar$ 바로 그것이고, 조화진동자의 사다리 연산자와 불확정성 원리가 여기서 나온다(1.11·5부).

물리 — 질량–용수철–댐퍼

그림 1.4-4. m = 1, k = 1을 고정하고 감쇠 상수 c만 바꾼 세 가지 자유 진동. c가 크면 진동 없이 천천히 돌아오고(과감쇠), 임계값이면 진동 없이 가장 빨리 돌아오며(임계감쇠), 작으면 지수 포락선 e^(−αt) 안에서 진동한다(부족감쇠). 오른쪽은 같은 세 경우의 특성근 위치 — 근에 허수부가 있어야 진동이 생기고, 실수부가 음수여야 감쇠한다. 판별식의 부호 하나가 파형의 종류를 정한다.직접 작도

훅의 법칙 $F = -ky$ 와 속도에 비례하는 감쇠 $F = -cy'$ 를 뉴턴 법칙에 넣으면

m\,y'' + c\,y' + k\,y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y'' + 2\alpha\,y' + \omega_0^2\,y = 0

여기서 $\alpha = c/2m$ (감쇠율, 단위 $\mathrm{s^{-1}}$ ), $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (고유진동수). 특성근은 $\lambda = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$ 이고, 4절의 세 경우가 그대로 물리 현상 셋이 된다.

조건	특성근	이름	거동
$c^2 > 4mk$	서로 다른 음의 실근	과감쇠	진동 없이 느리게 복귀
$c^2 = 4mk$	음의 중근	임계감쇠	진동 없이 가장 빠르게 복귀
$c^2 < 4mk$	켤레 복소근	부족감쇠	$e^{-\alpha t}$ 포락선 안에서 진동

직관

임계감쇠가 “가장 빠르다”는 것이 직관에 어긋난다. 감쇠를 더 세게 하면 더 빨리 멈출 것 같은데 왜 아닌가?

과감쇠의 두 근은 $-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$ 인데, $\alpha$ 를 키우면 한 근은 $-2\alpha$ 쪽으로 빨라지지만 다른 근은 $-\omega_0^2/2\alpha$ 쪽으로 0에 가까워진다. 느린 쪽이 전체 복귀 시간을 정하므로, 감쇠를 키울수록 오히려 느려진다. 두 근이 겹치는 순간 $\lambda = -\alpha = -\omega_0$ 가 가장 빠른 근이고 그게 임계감쇠다. 꿀 속에서 진자를 흔들면 천천히 가라앉는 그림이 과감쇠다.

설계에서 자주 쓰이는 결론이다. 계측기 바늘, 자동차 서스펜션, 문 닫힘 장치, DC-DC 컨버터의 출력 응답 — 오버슈트 없이 가장 빨리 정착하기를 원하면 임계감쇠 근처를 노린다. 실제로는 약간의 부족감쇠( $\zeta \approx 0.7$ )가 정착 시간이 더 짧아 그쪽을 택하는 일도 많다.

품질 계수. 부족감쇠의 진동이 얼마나 오래 가는지를 재는 무차원 수가

Q = \frac{\omega_0}{2\alpha} = \frac{\sqrt{mk}}{c}

이고, 진폭이 $1/e$ 로 줄 때까지 $\dfrac{Q}{\pi}\sqrt{1 - \dfrac{1}{4Q^2}}$ 번, 곧 $Q \gg 1$ 이면 대략 $Q/\pi$ 번 진동한다. 8절에서 $Q$ 가 공명 봉우리의 폭까지 정한다는 것을 본다. 감쇠비 $\zeta = \alpha/\omega_0 = 1/2Q$ 로 쓰는 관례도 흔하다 — $\zeta > 1$ 과감쇠, $\zeta = 1$ 임계감쇠, $\zeta < 1$ 부족감쇠.

전기 아날로지 — 같은 식, 다른 이름

직렬 RLC 회로에 키르히호프 전압 법칙을 쓰면, 전하 $q$ 에 대해

L\,q'' + R\,q' + \frac{1}{C}\,q = E(t)

이다. 질량–용수철과 글자만 바꾸면 같은 식이다.

역학	전기	역할
질량 $m$	인덕턴스 $L$	관성 — 변화를 거스른다
감쇠상수 $c$	저항 $R$	소산 — 에너지를 뺀다
용수철상수 $k$	엘라스턴스 $1/C$	복원 — 원점으로 당긴다
변위 $y$	전하 $q$	상태
속도 $y'$	전류 $I$	상태의 변화율
힘 $F$	기전력 $E$	입력

직관

이 대응이 단순한 말장난이 아니다. 하나를 풀면 다른 하나가 공짜로 풀린다. 그래서 Kreyszig도 Boas도 두 계를 같은 절에서 다룬다.

반도체에서 이 식이 나오는 자리를 몇 개 적어 둔다.

전원 분배망(PDN)의 링잉. 패키지 인덕턴스 $L$ , 디커플링 커패시턴스 $C$ , 기생 저항 $R$ 이 직렬 RLC를 만든다. 스위칭 전류가 계단 입력이 되고, 감쇠가 모자라면 공급 전압이 진동한다. 디커플링 설계는 결국 $\zeta$ 를 1 근처로 올리는 일이다.
본딩 와이어와 패드 커패시턴스. $L \sim$ nH, $C \sim$ pF면 $\omega_0/2\pi = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ 가 GHz대에 놓인다. 고속 I/O에서 반드시 마주친다.
MEMS 공진기·FBAR. 기계 진동자를 그대로 이 식으로 모델링하고, $Q$ 가 수천에서 수만이다.
LC 탱크와 발진기. $R$ 을 능동 소자로 상쇄해 $\zeta \to 0$ 을 만드는 것이 발진기 설계다. 10절의 극한 순환이 그 이야기다.

고차로 올라가면

$n$ 계 상수계수 제차 방정식

y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0

도 똑같다. $y = e^{\lambda x}$ 를 넣으면 $n$ 차 특성방정식이 나오고, 서로 다른 근마다 $e^{\lambda x}$ 하나씩, $k$ 중근이면 $e^{\lambda x}, xe^{\lambda x}, \dots, x^{k-1}e^{\lambda x}$ 가 기저를 이룬다. 대수학의 기본정리가 근이 중복도까지 세어 정확히 $n$ 개임을 보장하므로, 기저도 정확히 $n$ 개다 — 해공간의 차원과 딱 맞는다.

예. $y^{(4)} - 5y'' + 4y = 0$ 의 특성방정식 $\lambda^4 - 5\lambda^2 + 4 = 0$ 은 $(\lambda^2-1)(\lambda^2-4) = 0$ 이라 근이 $\pm1, \pm2$ . 일반해는 $c_1e^{x} + c_2e^{-x} + c_3e^{2x} + c_4e^{-2x}$ .

계수가 변수인 2계 방정식은 상황이 완전히 다르다. 일반적으로 닫힌 꼴 해가 없고 급수로 풀어야 하는데(1.5의 프로베니우스 방법), 그 전에 어떤 점에서 급수 전개가 가능한지를 알아야 한다. 그 분류가 5절의 주제다.

오일러-코시 방정식

거듭제곱을 넣어 본다

계수가 변수인데도 손으로 풀리는 드문 경우가 오일러–코시 방정식이다.

x^2y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0

계수의 차수가 도함수의 계와 정확히 맞아떨어지는 것이 특징이다 — $x^2$ 옆에 $y''$ , $x$ 옆에 $y'$ , $x^0$ 옆에 $y$ . 이 짜임 덕분에 $y = x^m$ 을 넣으면 모든 항이 $x^m$ 이 된다.

x^2\,m(m-1)x^{m-2} + a\,x\,m\,x^{m-1} + b\,x^m = \bigl[m(m-1) + am + b\bigr]x^m = 0

보조방정식은

m^2 + (a-1)m + b = 0, \qquad m_{1,2} = \tfrac12\bigl[(1-a) \pm \sqrt{(1-a)^2 - 4b}\bigr]

왜 거듭제곱인가 — 스케일 불변

직관

상수계수 방정식에서 지수함수가 나온 이유는 평행이동 불변 때문이었다. $y'' + ay' + by = 0$ 은 $x \to x + s$ 로 옮겨도 그대로이고, 평행이동에 대해 자기 자신의 상수배가 되는 함수는 지수함수뿐이다 — $e^{\lambda(x+s)} = e^{\lambda s}\,e^{\lambda x}$ .

오일러–코시는 스케일 불변이다. $y(x)$ 가 해면 $y(\kappa x)$ 도 해다 — 미분이 $\kappa$ 를 하나씩 끌어내고 앞에 붙은 $x^2$ , $x$ 가 그것을 정확히 상쇄해 세 항이 통째로 그대로 남는다. 그리고 스케일 변환에 대해 자기 자신의 상수배가 되는 함수는 거듭제곱뿐이다 — $(\kappa x)^m = \kappa^m x^m$ .

같은 논리의 두 판본이다. 대칭이 무엇이냐가 시험 함수가 무엇이냐를 정한다.

그러면 두 방정식을 잇는 다리도 보인다. 로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸므로, $x = e^z$ 가 스케일 변환을 평행이동으로 바꾼다. 실제로 치환하면

x\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dz}, \qquad x^2\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dz^2} - \frac{dy}{dz}

이고 방정식은

\frac{d^2y}{dz^2} + (a-1)\frac{dy}{dz} + b\,y = 0

— 상수계수 방정식이다. 보조방정식의 $a-1$ 이 어디서 왔는지도 여기서 한눈에 보인다. 경고 상자에서 외우라고 한 그 $-1$ 은 $x^2 d^2/dx^2 = d^2/dz^2 - d/dz$ 의 그 $-1$ 이다.

그림 1.4-5. 오일러–코시 방정식의 해 세 개를 두 가지 축에서 본 그림. 왼쪽 x 축에서는 거듭제곱, 거듭제곱 곱하기 로그, 로그를 위상으로 하는 진동으로 제각각 보인다. 가로축을 z = ln x 로 바꾼 오른쪽에서는 각각 지수함수 · z 곱하기 지수함수 · 순수한 진동이 되어 4절의 세 경우와 똑같아진다. x = e^z 치환이 스케일 불변을 평행이동 불변으로 바꾸기 때문이다.직접 작도

세 경우

$x = e^z$ 대응 덕분에 4절의 결과를 그대로 옮겨 오면 된다. 정의역은 $x > 0$ 으로 잡는다. $x < 0$ 에서는 $x$ 를 $\lvert x\rvert$ 로 바꿔 쓰면 되지만, $(-\infty, 0)$ 과 $(0, \infty)$ 는 서로 이어지지 않는 별개의 구간이다 — 원점이 특이점이라 한쪽의 해가 다른 쪽을 결정하지 않는다.

경우 I — 서로 다른 실근.

y = c_1x^{m_1} + c_2x^{m_2}

경우 II — 중근 $m = (1-a)/2$ . $z$ 축에서 둘째 해가 $ze^{mz}$ 였으므로 되돌리면

y = (c_1 + c_2\ln x)\,x^{m}

경우 III — 켤레 복소근 $m = \sigma \pm i\nu$ . $x^{i\nu} = e^{i\nu\ln x}$ 이므로

y = x^{\sigma}\bigl[A\cos(\nu\ln x) + B\sin(\nu\ln x)\bigr]

로그가 위상 자리에 들어간 진동이다. $x$ 가 등비수열로 커질 때 등간격으로 진동하므로, $x$ 가 커질수록 마루 사이 간격이 벌어진다.

예. $x^2y'' + 0.6xy' + 16.04y = 0$ 이면 $m^2 - 0.4m + 16.04 = 0$ , 근은 $0.2 \pm 4i$ . 일반해는 $x^{0.2}[A\cos(4\ln x) + B\sin(4\ln x)]$ .

원점은 특이점이다

표준형으로 고치면 무슨 일이 벌어지는지 드러난다.

y'' + \frac{a}{x}y' + \frac{b}{x^2}y = 0

계수가 $x = 0$ 에서 발산한다. 그래서 존재·유일성 정리가 원점에서는 아무것도 보장하지 않고, 실제로 해가 $x^{-1}$ 이나 $\ln x$ 처럼 발산하거나 $\cos(4\ln x)$ 처럼 무한 번 진동하며 극한이 없을 수 있다.

직관

발산의 속도가 중요하다. Arfken의 분류를 따르면, $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 에서 $x_0$ 이 정규 특이점(regular singular point)이라는 것은

(x - x_0)P(x) \quad\text{와}\quad (x - x_0)^2Q(x)

가 $x_0$ 에서 유한하다는 뜻이다. 그보다 빨리 발산하면 비정규 특이점(본질적 특이점)이다.

오일러–코시는 $xP = a$ , $x^2Q = b$ 로 딱 상수라, 정규 특이점의 원형이자 가장 단순한 표본이다. 그래서 물리에 나오는 2계 방정식 대부분 — 르장드르·베셀·초기하·라게르 방정식 — 이 특이점 근처에서 오일러–코시처럼 행동하고, 그 지수 $m$ 이 급수해의 시작 차수를 정한다. 1.5에서 지시방정식(indicial equation)이라 부르는 것이 바로 위 보조방정식이다.

이 절은 그러니까 1.5의 예고편이다. “정규 특이점에서 해가 $x^m \times (\text{멱급수})$ 꼴이다”가 프로베니우스 정리이고, 그 $x^m$ 을 정하는 것이 오일러–코시 부분이다.

물리 — 라플라스 방정식의 방사 부분

직관

오일러–코시가 물리에서 나오는 가장 흔한 경로는 라플라스 방정식의 변수분리다.

구 대칭. 전위가 $r$ 에만 의존하면 $\nabla^2 v = 0$ 이 1.1.8곡선좌표계의 구면좌표 라플라시안에서

\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dv}{dr}\right) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad r\,v'' + 2v' = 0

이고 $r$ 을 곱하면 $r^2v'' + 2rv' = 0$ — 오일러–코시( $a = 2$ , $b = 0$ )다. 보조방정식 $m^2 + m = 0$ 의 근이 $0, -1$ 이므로

v(r) = c_1 + \frac{c_2}{r}

점전하의 쿨롱 퍼텐셜이 여기서 나온다. 동심구 전극 사이의 전위 분포도 이 식이고, 안쪽 전극에 전계가 몰리는 이유( $E = c_2/r^2$ )도 그대로 읽힌다.

원통 대칭. $r v'' + v' = 0$ , 곧 $r^2v'' + rv' = 0$ 이면 $m^2 = 0$ — 중근이다. 그래서 해가 $c_1 + c_2\ln r$ 이고, 원통 전극 주위의 전위가 로그로 변한다. 중근이 나온다는 사실 자체가 물리적 결론을 낳는 드문 예다.

반도체에서 이 두 식이 자주 나온다. 원통형 게이트(GAA·나노와이어)의 산화막을 지나는 전위 강하가 $\ln(r_{\text{out}}/r_{\text{in}})$ 꼴이라, 평면 MOS의 $t_{\mathrm{ox}}/\varepsilon$ 대신 로그가 들어간다. 접합 가장자리나 게이트 모서리에서 등전위선이 몰려 항복이 먼저 일어나는 것도 같은 $1/r$ · $1/r^2$ 이야기다. 곡률이 큰 곳에서 전계가 세다.

각도 부분까지 살리면 방사 방정식에 $-\ell(\ell+1)/r^2$ 항이 붙어

r^2R'' + 2rR' - \ell(\ell+1)R = 0

이 되는데, 이것도 여전히 오일러–코시다( $a = 2$ , $b = -\ell(\ell+1)$ ). 근은 $\ell$ 과 $-(\ell+1)$ — 다중극 전개의 $r^{\ell}$ 과 $r^{-\ell-1}$ 이 바로 이것이다. 수소 원자의 방사 방정식에서 원점 근처 거동 $r^{\ell}$ 을 뽑아내는 것도 같은 계산이다.

브론스키안과 해의 독립성

함수의 선형 독립

4절에서 “일반해는 독립인 두 해의 결합”이라 했다. 그 독립을 정확히 정의한다. 구간 $I$ 에서 정의된 함수 $y_1, \dots, y_n$ 이 선형 독립이라는 것은

k_1y_1(x) + \cdots + k_ny_n(x) = 0 \quad (\text{모든 } x \in I) \;\Longrightarrow\; k_1 = \cdots = k_n = 0

이 성립한다는 뜻이다. 1.2.3계수와 선형 독립의 벡터 버전과 글자 하나 다르지 않다 — 달라진 것은 “벡터”가 “함수”가 되고 성분의 개수가 무한(모든 $x$ )이 되었다는 점뿐이다.

브론스키안

함수 $n$ 개의 독립성을 판정하려면 위 등식을 $n-1$ 번 미분해 얻는 연립식

\sum_\lambda k_\lambda y_\lambda = 0,\quad \sum_\lambda k_\lambda y_\lambda' = 0,\quad \dots,\quad \sum_\lambda k_\lambda y_\lambda^{(n-1)} = 0

을 본다. 미지수 $k_\lambda$ 에 대한 동차 연립방정식이므로, 1.2.1행렬과 행렬식에 의해 자명하지 않은 해가 있으려면 계수행렬식이 0이어야 한다. 그 행렬식이 브론스키안이다.

W(y_1, \dots, y_n) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{vmatrix}

$n = 2$ 면 익숙한 꼴이다.

W(y_1, y_2) = y_1y_2' - y_2y_1'

여기서 나오는 결론은 한 방향뿐이다.

$W \ne 0$ 인 점이 하나라도 있으면 독립이다.
그러나 $W \equiv 0$ 이라고 해서 종속인 것은 아니다.

주의

두 번째가 진짜 함정이다. 반례를 하나 외워 두면 좋다.

y_1(x) = x^3, \qquad y_2(x) = \begin{cases} \;\;\,x^3 & (x \ge 0) \\ -x^3 & (x < 0)\end{cases}

두 함수는 $[-1, 1]$ 에서 선형 독립이다( $x > 0$ 에서 $k_1 + k_2 = 0$ , $x < 0$ 에서 $k_1 - k_2 = 0$ 이라 $k_1 = k_2 = 0$ ). 그런데 $x \ge 0$ 에서는 $y_2 = y_1$ 이라 $W = 0$ , $x < 0$ 에서는 $y_2 = -y_1$ 이라 또 $W = 0$ . 온 구간에서 $W \equiv 0$ 인데 독립이다.

그러니 브론스키안은 아무 함수 다발에나 쓰는 만능 판정법이 아니다. 다음 정리에서 보듯, “같은 2계 제차 선형 ODE의 해”라는 조건이 붙어야 양방향 판정이 된다. 위 반례의 $y_1, y_2$ 는 계수가 연속인 어떤 하나의 2계 선형 ODE의 해가 될 수 없다 — 그것이 모순이 안 생기는 이유다.

정리. $p, q$ 가 열린 구간 $I$ 에서 연속이고 $y_1, y_2$ 가 $y'' + py' + qy = 0$ 의 해라면,

$y_1, y_2$ 가 $I$ 에서 종속 $\iff$ 어떤 $x_0 \in I$ 에서 $W(x_0) = 0$
$W$ 는 $I$ 에서 항등적으로 0이거나, 어디서도 0이 아니다. 중간은 없다.

증명의 뼈대는 이렇다. 종속이면 $y_2 = ky_1$ 이라 $W = ky_1y_1' - ky_1y_1' = 0$ . 역으로 $W(x_0) = 0$ 이면 연립식 $k_1y_1(x_0) + k_2y_2(x_0) = 0$ , $k_1y_1'(x_0) + k_2y_2'(x_0) = 0$ 이 자명하지 않은 해 $(k_1, k_2)$ 를 갖는다. 그 상수로 $y = k_1y_1 + k_2y_2$ 를 만들면 $y$ 는 해이면서 $y(x_0) = y'(x_0) = 0$ 이다. 그런데 $y \equiv 0$ 도 같은 초기조건을 만족하는 해다. 존재·유일성 정리(계수가 연속이므로 적용된다)에 의해 둘은 같아야 하고, 곧 $k_1y_1 + k_2y_2 \equiv 0$ — 종속이다.

직관

증명의 핵심 한 줄만 남기면 이렇다. 2계 선형 ODE의 해는 한 점에서의 $(y, y')$ 두 값이 전부를 결정한다. 그래서 해 하나는 평면의 벡터 하나 $(y(x_0),\, y'(x_0))$ 와 같고, 해 두 개의 독립성은 그 벡터 두 개의 독립성 — 곧 $2\times 2$ 행렬식이 0인지 — 로 판정된다.

이 관점에서 보면 6절 전체가 1.2의 선형대수를 함수 공간으로 옮긴 것이다. 해공간이 2차원 벡터공간이고, “한 점에서의 $(y, y')$ 를 읽는 사상”이 그 공간에서 $\mathbb{R}^2$ 로 가는 동형사상이다. 브론스키안은 그 동형사상 아래에서 본 행렬식이고, 그래서 1.2.1행렬과 행렬식의 “행렬식이 0이 아니면 기저”가 그대로 적용된다.

아벨 항등식 — 브론스키안은 스스로 미분방정식을 만족한다

브론스키안을 미분해 보면 놀랍도록 단순한 결과가 나온다.

W' = (y_1y_2' - y_2y_1')' = y_1y_2'' - y_2y_1''

교차항 $y_1'y_2'$ 가 상쇄된다. 여기에 방정식 $y_i'' = -py_i' - qy_i$ 를 대입하면

\begin{aligned} W' &= y_1(-py_2' - qy_2) - y_2(-py_1' - qy_1) \\ &= -p\,(y_1y_2' - y_2y_1') - q\,(y_1y_2 - y_2y_1) = -p\,W \end{aligned}

$q$ 가 통째로 사라진다. 남은 것은 1계 분리형이고, 적분하면

\boxed{\;W(x) = W(x_0)\,\exp\!\left(-\int_{x_0}^{x} p(t)\,dt\right)\;}

이것이 아벨 항등식이다. 지수함수는 절대 0이 되지 않으므로, $W(x_0) = 0$ 이면 항등적으로 0이고 아니면 어디서도 0이 아니다 — 위 정리의 둘째 문장이 여기서 나온다.

그림 1.4-6. 브론스키안을 넓이로 본 그림. 두 해를 (y, y′) 평면의 벡터로 그리면 그 둘이 만드는 평행사변형의 부호 있는 넓이가 W다. 왼쪽 y″ + y = 0은 p = 0이라 평행사변형이 회전만 하고 넓이가 그대로다. 오른쪽은 감쇠가 있어 넓이가 e^(−pt)로 오그라든다. 아벨 항등식 W′ = −pW는 '1계 도함수 항이 위상공간 부피를 빨아먹는 비율'을 말한다.직접 작도

직관

아벨 항등식의 의미를 그림으로 붙잡으면 이렇다. 해 하나를 위상평면의 벡터 $\mathbf{v}_i = (y_i,\; y_i')$ 로 보면, $W = \det[\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2]$ 는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 부호 있는 넓이다(1.2.1행렬과 행렬식).

그러면 $W' = -pW$ 는 위상공간의 넓이가 $-p$ 의 비율로 줄어든다는 말이다.

$p = 0$ 이면 넓이가 보존된다. 이것이 리우빌 정리의 가장 작은 판본이다.
$p > 0$ (감쇠)이면 넓이가 지수적으로 오그라든다. 소산계가 위상공간을 수축시킨다는 것.
$p < 0$ 이면 부풀어 오른다 — 에너지가 주입되는 계.

연립계 언어로 옮기면 더 선명하다. $y_1 = y$ , $y_2 = y'$ 로 두면 $y'' + py' + qy = 0$ 이 행렬 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -q & -p\end{bmatrix}$ 인 연립계가 되고, $\operatorname{tr}A = -p$ 다. 그리고 일반적으로 $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ 의 위상공간 부피는 $\operatorname{tr}A$ 의 비율로 변한다. 아벨 항등식은 그 정리의 2차원 판본이다. 9·10절에서 $\tau = \operatorname{tr}A$ 가 안정성을 정하는 것도 결국 같은 이야기다.

양자역학에서의 얼굴. 시간 무관 슈뢰딩거 방정식

-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + V(x)\psi = E\psi \quad\Longleftrightarrow\quad \psi'' + \frac{2m}{\hbar^2}\bigl(E - V\bigr)\psi = 0

에는 1계 도함수 항이 없다 — 곧 $p = 0$ . 따라서 두 해의 브론스키안이 상수다. 그리고 $\psi$ 와 $\psi^*$ 의 브론스키안은 확률 흐름에 비례하므로, 아벨 항등식은 정상 상태에서 확률 흐름이 위치에 무관하게 일정하다는 진술이 된다. 그것이 곧 $T + R = 1$ (투과율과 반사율의 합이 1)의 뿌리이고, 터널링 계산에서 계수들을 잇는 관계식의 출처다. 공명 터널링 다이오드나 게이트 산화막 누설을 계산할 때 실제로 쓰인다.

차수 감소 — 한 해에서 다른 해를 만든다

해를 하나 알고 있으면 나머지 하나가 적분으로 나온다. $y_2 = u\,y_1$ 로 두고 대입하면

u''y_1 + u'(2y_1' + py_1) + u\underbrace{(y_1'' + py_1' + qy_1)}_{=\,0} = 0

$u$ 항이 사라지고 $U = u'$ 에 대한 1계 방정식이 남는다.

\frac{U'}{U} = -\frac{2y_1'}{y_1} - p \quad\Longrightarrow\quad U = \frac{1}{y_1^2}\,e^{-\int p\,dx} \quad\Longrightarrow\quad y_2 = y_1 \int \frac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^{\,2}}\;dx

검산 ① — 중근의 $xe^{\lambda x}$ . $y'' + ay' + by = 0$ 이 중근 $\lambda = -a/2$ 를 가지면 $y_1 = e^{\lambda x}$ 이고 $p = a = -2\lambda$ 이므로

y_2 = e^{\lambda x}\int \frac{e^{2\lambda x}}{e^{2\lambda x}}dx = x\,e^{\lambda x}

4절에서 세 방식으로 얻었던 결과가 네 번째 방식으로 다시 나온다.

검산 ② — 오일러–코시의 $x^m\ln x$ . 중근이면 $m = (1-a)/2$ 이고 표준형에서 $p = a/x$ 다.

y_2 = x^m\int \frac{x^{-a}}{x^{2m}}dx = x^m\int \frac{dx}{x^{\,a + 1 - a}} = x^m\ln x

지수가 정확히 상쇄되어 $\int dx/x$ 가 남는다 — 로그는 여기서 나온다. 5절의 결과와 일치한다.

예 ③ — 한 해를 눈으로 찾은 경우. $(x^2 - x)y'' - xy' + y = 0$ 은 $y_1 = x$ 가 해임을 대입으로 확인할 수 있다. 표준형의 $p = -x/(x^2-x) = -1/(x-1)$ 이므로

y_2 = x\int\frac{e^{\int dx/(x-1)}}{x^2}dx = x\int\frac{x-1}{x^2}dx = x\left(\ln x + \frac1x\right) = x\ln x + 1

$y_1 = x$ 와 $y_2 = x\ln x + 1$ 이 기저인데, 어느 구간에서인지를 따져야 한다. 표준형의 $p = -1/(x-1)$ 이 $x = 1$ 에서 발산하므로 이 절의 정리들이 통하는 곳은 $0 < x < 1$ 과 $x > 1$ 각각이다. 두 구간을 가로질러 “하나의 기저”라고 말할 수 없다. 차수 감소 공식 자체도 $y_1 \ne 0$ 인 연결구간에서만 쓴다.

선형 방정식에는 특이해가 없다

브론스키안이 갖춰지면 4절에서 미뤄 둔 두 정리가 따라 나온다.

일반해는 존재한다. $p, q$ 가 $I$ 에서 연속이면, 존재·유일성 정리로 초기조건 $y_1(x_0) = 1,\ y_1'(x_0) = 0$ 인 해와 $y_2(x_0) = 0,\ y_2'(x_0) = 1$ 인 해를 각각 잡을 수 있다. 그러면 $W(x_0) = 1 \ne 0$ 이라 둘은 독립이고 기저를 이룬다.

일반해가 모든 해를 포함한다. 임의의 해 $Y$ 를 잡고, 기저 $y_1, y_2$ 에 대해 $c_1y_1(x_0) + c_2y_2(x_0) = Y(x_0)$ , $c_1y_1'(x_0) + c_2y_2'(x_0) = Y'(x_0)$ 을 푼다. 계수행렬식이 $W(x_0) \ne 0$ 이므로 유일한 해 $(c_1, c_2)$ 가 있고, 그 결합은 $Y$ 와 같은 초기조건을 가지므로 유일성에 의해 $Y$ 와 항등적으로 같다.

비제차 방정식 — 미정계수법과 매개변수 변환

구조 — 특수해 하나 + 제차해 전부

y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x), \qquad r \not\equiv 0

의 해는 언제나

y = y_h + y_p

꼴이다. $y_h = c_1y_1 + c_2y_2$ 는 대응하는 제차 방정식의 일반해(보조함수), $y_p$ 는 임의의 특수해 하나다. 확인은 두 줄이면 끝난다. $L$ 을 좌변 연산자라 하면 $L[y_h + y_p] = 0 + r = r$ 이고, 반대로 두 해 $y, y^*$ 의 차는 $L[y - y^*] = r - r = 0$ 이라 제차해다.

직관

해집합은 부분공간이 아니라 아핀 공간이다 — 원점을 지나지 않는 평면 같은 것. 그리고 이것은 1.2.2가우스 소거와 선형계의 해에서 이미 본 구조다. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해집합이

\mathbf{x} = \mathbf{x}_{\text{특수}} + N(A)

였던 그대로다. 영공간 $N(A)$ 의 자리에 제차해 공간이, 특수해의 자리에 $y_p$ 가 들어간다. 차원도 맞는다 — 2계 방정식이면 “영공간”이 2차원이라 임의 상수가 둘.

실무적 결론 하나. $y_p$ 는 아무거나 하나면 된다. 어떤 $y_p$ 를 고르든 차이는 제차해라 $c_1, c_2$ 에 흡수된다. 컴퓨터가 내놓은 $y_p$ 에 제차해가 섞여 있어 지저분해 보이면 그 부분을 그냥 지워도 답은 같다.

미정계수법 — 답의 꼴을 찍고 계수를 맞춘다

상수계수 방정식 $y'' + ay' + by = r(x)$ 에서 $r$ 이 미분해도 꼴이 바뀌지 않는 함수면, 같은 꼴을 미지 계수와 함께 대입해 계수를 맞추면 된다.

$r(x)$ 의 항	시험할 $y_p$
$k\,e^{\gamma x}$	$C\,e^{\gamma x}$
$k\,x^n$	$K_nx^n + K_{n-1}x^{n-1} + \cdots + K_0$
$k\cos\omega x$ 또는 $k\sin\omega x$	$K\cos\omega x + M\sin\omega x$
$k\,e^{\gamma x}\cos\omega x$ 또는 $k\,e^{\gamma x}\sin\omega x$	$e^{\gamma x}(K\cos\omega x + M\sin\omega x)$

규칙 셋이 붙는다.

기본 규칙. 표의 오른쪽을 대입하고 계수를 맞춘다.
수정 규칙. 시험 함수의 항이 제차해에 이미 있으면 $x$ 를 곱한다. 그 근이 중근이면 $x^2$ .
합 규칙. $r$ 이 여러 항의 합이면 각 항에 대한 $y_p$ 를 더한다(선형성).

직관

왜 이 방법이 통하는가. 위 네 종류는 전부 “미분해도 자기들끼리의 선형결합으로 남는” 유한 차원 함수공간을 이룬다. 예를 들어 $\{\cos\omega x,\ \sin\omega x\}$ 는 미분에 대해 닫힌 2차원 공간이다. 그런 공간 $V$ 안에 $r$ 이 있으면 $L$ 이 $V$ 를 $V$ 로 보내므로, 방정식 $L y_p = r$ 이 $V$ 안의 유한 연립 일차방정식이 된다. 그러니 미지 계수를 놓고 대입하는 것으로 충분하다.

수정 규칙은 왜 필요한가. $L$ 을 $V$ 위의 선형사상으로 보면, 시험 함수가 제차해라는 것은 $L$ 이 그 방향을 0으로 보낸다는 뜻 — 곧 $V$ 위에서 $L$ 이 비가역이다. 그러면 $Ly_p = r$ 을 $V$ 안에서 풀 수 없고, 공간을 한 차원 넓혀야 한다. $x$ 를 곱하는 것이 그 확장이다.

이것이 1.2.2가우스 소거와 선형계의 해의 “ $A$ 가 비가역이면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 가 풀리지 않을 수 있다”와 같은 상황이고, 물리적으로는 공명이다. 8절에서 $t\sin\omega_0t$ 가 나오는 이유가 바로 이 $x$ 곱하기다.

예 1 — 기본 규칙. $y'' + y = 0.001x^2$ . 제차해는 $A\cos x + B\sin x$ . $y_p = Kx^2$ 을 넣으면 $2K + Kx^2 = 0.001x^2$ 이라 $K$ 에 대한 모순이 생긴다. 표대로 완전한 2차식 $y_p = K_2x^2 + K_1x + K_0$ 을 넣어야 한다. 대입하면

2K_2 + K_2x^2 + K_1x + K_0 = 0.001x^2

계수를 맞춰 $K_2 = 0.001$ , $K_1 = 0$ , $K_0 = -2K_2 = -0.002$ .

예 2 — 수정 규칙. $y'' - 3y' + 2.25y = 10\,e^{1.5x}$ . 특성방정식이 $(\lambda - 1.5)^2 = 0$ 이라 $e^{1.5x}$ 가 중근에 대응하는 제차해다. 그래서 $Ce^{1.5x}$ 도 $Cxe^{1.5x}$ 도 안 되고 $y_p = Cx^2e^{1.5x}$ 를 써야 한다. 대입하면 $2C = 10$ , 곧 $y_p = 5x^2e^{1.5x}$ .

복소지수법 — 삼각함수를 지수로 바꿔 푼다

$r$ 이 사인이나 코사인이면 계수 둘( $K, M$ )을 동시에 다뤄야 해서 계산이 지저분하다. 복소 지수로 바꾸면 계수가 하나로 준다.

$y'' + y' - 2y = 4\sin 2x$ 를 풀려면, 대신

Y'' + Y' - 2Y = 4e^{2ix}

를 풀고 허수부를 취한다( $\operatorname{Im}4e^{2ix} = 4\sin2x$ 이므로). $Y_p = Ce^{2ix}$ 를 넣으면

(-4 + 2i - 2)\,C = 4 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{4}{2i - 6} = -\frac{1}{5}(3 + i)

Y_p = -\tfrac15(3+i)(\cos2x + i\sin2x) \;\Longrightarrow\; y_p = \operatorname{Im}Y_p = -\tfrac15\cos2x - \tfrac35\sin2x

직관

이 계산이 익숙하게 느껴진다면 맞다 — 회로의 페이저 해석이 바로 이것이다.

$L(D)y = e^{j\omega t}$ 의 특수해가 $y_p = e^{j\omega t}/L(j\omega)$ 라는 것이 위 계산의 요지다 (전기공학은 전류 $i$ 와 겹치는 것을 피해 허수단위를 $j$ 로 쓴다 — 이 문단만 그 관례를 따른다). 그리고 $1/L(j\omega)$ 가 곧 전달함수 $H(j\omega)$ 이고, RLC 회로면 $L(j\omega)$ 가 $j\omega L + R + 1/j\omega C$ — 즉 임피던스다.

Boas는 이 관계를 역연산자로 표기한다. $L(D)$ 의 형식적 역을 $1/L(D)$ 로 쓰면

\frac{1}{L(D)}\,e^{\gamma x} = \frac{e^{\gamma x}}{L(\gamma)} \qquad (L(\gamma) \ne 0)

$L(\gamma) = 0$ 인 경우가 공명이고, 그때는

\frac{1}{D - \gamma}e^{\gamma x} = x\,e^{\gamma x}, \qquad \frac{1}{(D-\gamma)^2}e^{\gamma x} = \tfrac12x^2e^{\gamma x}

가 되어 수정 규칙의 $x$ , $x^2$ 이 나온다. “ $L(\gamma)$ 로 나눈다”가 $\gamma$ 가 근일 때 파탄나는 것이 공명이라는 한 줄로 요약된다.

1.10의 라플라스 변환은 이 역연산자를 진짜 적분 변환으로 정당화한 것이고, $1/L(s)$ 가 전달함수, $L(s) = 0$ 의 근이 극점(pole)이다. 극점이 좌반평면에 있으면 안정, 우반평면이면 불안정 — 4절 그림의 특성근 위치가 그대로 제어공학의 극점 배치가 된다.

매개변수 변환 — 언제나 통하는 방법

미정계수법은 상수 계수이고 $r$ 이 착할 때만 쓴다. $r = \sec x$ 거나 계수가 변수면 못 쓴다. 매개변수 변환(라그랑주)은 그런 제한이 없다 — 제차해 둘을 알기만 하면 된다.

발상은 이름 그대로다. 제차 일반해 $c_1y_1 + c_2y_2$ 에서 상수를 함수로 풀어 준다.

y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2

미지 함수가 둘인데 조건은 원 방정식 하나뿐이다. 자유도가 하나 남으므로 편한 조건을 하나 더 걸어도 된다. 라그랑주가 고른 조건은

u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0 \tag{★}

이다. 이유는 계산해 보면 안다. 이 조건이 있으면

y_p' = u_1y_1' + u_2y_2'

로 $u'$ 항이 사라져 2계 도함수에 $u''$ 가 나타나지 않는다. 한 번 더 미분해 원 방정식에 넣으면 $y_1, y_2$ 가 제차해라는 사실이 남은 항들을 지워

u_1'y_1' + u_2'y_2' = r \tag{★★}

만 남는다. (★)과 (★★)는 $u_1', u_2'$ 에 대한 연립 일차방정식이고, 계수행렬식이 정확히 브론스키안이다.

\begin{bmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1' \\ u_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ r \end{bmatrix}

1.2.1행렬과 행렬식의 크라메르 공식으로 풀면

u_1' = -\frac{y_2\,r}{W}, \qquad u_2' = \frac{y_1\,r}{W}

이고 적분해 넣으면

\boxed{\;y_p = -y_1\!\int\frac{y_2\,r}{W}\,dx \;+\; y_2\!\int\frac{y_1\,r}{W}\,dx\;}

예. $y'' + y = \sec x$ . 미정계수법으로는 손도 못 댄다. 제차해 $y_1 = \cos x$ , $y_2 = \sin x$ , $W = 1$ .

y_p = -\cos x\int \sin x\sec x\,dx + \sin x\int\cos x\sec x\,dx = \cos x\,\ln|\cos x| + x\sin x

둘째 항 $x\sin x$ 는 $u_2' = y_1r/W = \cos x\sec x = 1$ 에서 나온다. 구동항을 제차해 $\cos x$ 에 사영한 몫이 0이 아닌 상수라서 그 기여가 계속 쌓이는 것이다.

그린 함수의 씨앗

위 공식의 적분 구간을 명시하고 순서를 정리하면 이렇게 쓸 수 있다.

y_p(x) = \int_{x_0}^{x} \frac{y_1(s)\,y_2(x) - y_1(x)\,y_2(s)}{W(s)}\;r(s)\,ds \;=\; \int_{x_0}^{x} G(x, s)\,r(s)\,ds

직관

이 꼴이 말하는 바가 중요하다. 출력이 입력의 가중 합이다. $G(x, s)$ 는 “시각 $s$ 에 들어온 단위 충격이 시각 $x$ 에 만드는 응답”이고, 전체 응답은 그 응답들을 입력 세기로 가중해 더한 것이다.

$G$ 를 그린 함수라 부르고, 1.8이 통째로 이 주제다. 여기 나온 것은 정확히는 $x_0$ 에서 영 초기자료를 갖는 초기값 문제의 인과적 그린 핵이다 — 경계값 문제의 그린 함수는 경계조건에 따라 달라지고, 1.8에서 그쪽을 다룬다. 상수계수 계에서는 $G(x,s)$ 가 $x - s$ 에만 의존해 적분이 합성곱(convolution)이 되고, 그것이 1.10에서 라플라스·푸리에 변환이 곱셈으로 바뀌는 이유다.

y_p = \int_0^t g(t - s)\,r(s)\,ds \quad\xrightarrow{\;\mathcal{L}\;}\quad Y_p(s) = H(s)\,R(s)

시간 영역의 합성곱 = 주파수 영역의 곱셈. 회로의 임펄스 응답과 전달함수가 한 쌍인 이유이고, 소자·회로 시뮬레이션에서 시간 응답과 AC 해석이 같은 정보를 갖는 이유다.

강제 진동과 공명

문제 설정

4절의 자유 진동에 주기적인 외력을 더한다.

m\,y'' + c\,y' + k\,y = F_0\cos\omega t

여기서 $\omega$ 는 우리가 밖에서 정하는 구동 진동수이고, $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ 는 계가 스스로 갖는 고유진동수다. 이 절의 모든 흥미로운 일은 둘이 가까워질 때 일어난다.

7절의 미정계수법으로 $y_p = a\cos\omega t + b\sin\omega t$ 를 넣고 계수를 맞추면

a = F_0\,\frac{m(\omega_0^2 - \omega^2)}{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \omega^2c^2}, \qquad b = F_0\,\frac{\omega c}{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \omega^2c^2}

감쇠가 없을 때 — 공명

$c = 0$ 이면 $b = 0$ 이고

y_p = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos\omega t = \frac{F_0}{k}\cdot\frac{1}{1 - (\omega/\omega_0)^2}\cos\omega t

뒤 인자 $\rho = 1/[1 - (\omega/\omega_0)^2]$ 가 공명 계수다. $\omega \to \omega_0$ 에서 $\lvert\rho\rvert \to \infty$ — 진폭이 발산한다. 진폭은 $\lvert\rho\rvert$ 이고, $\omega > \omega_0$ 에서 $\rho$ 가 음수가 되는 것은 크기가 아니라 위상이 $\pi$ 만큼 뒤집힌다는 뜻이다. 감쇠를 넣으면 이 급격한 뒤집힘이 아래에서 보는 매끄러운 위상 곡선으로 풀린다.

$\omega = \omega_0$ 이면 위 식이 아예 성립하지 않는다. 그때는 $\cos\omega_0t$ 가 제차해라 7절의 수정 규칙이 발동해 $x$ 를 곱해야 한다. 결과는

y_p = \frac{F_0}{2m\omega_0}\;t\,\sin\omega_0 t

진폭이 시간에 비례해 자란다. 이것이 공명이다.

직관

왜 $t$ 가 곱해지는가를 에너지로 읽으면 이렇다. 외력이 하는 일률은 $F \cdot v$ 인데, $\omega = \omega_0$ 에서는 응답이 정확히 90도 뒤져 속도가 힘과 언제나 동상이 된다. 그러면 한 주기 동안 힘이 하는 일이 상쇄되지 않고 전부 쌓인다. 매 주기 같은 양의 에너지가 더해지므로 에너지가 $t$ 에 비례하고, 진폭은 에너지의 제곱근이니 $\sqrt{t}$ 가 아니라 —

정확히는 이렇다. 진폭 $\propto t$ 면 에너지 $\propto t^2$ 이고, 일률이 (힘) $\times$ (속도) $\propto F_0 \cdot \omega_0 t$ 이므로 누적 에너지가 $\propto t^2$ . 맞아떨어진다.

그네를 밀 때 타이밍이 전부인 이유가 이것이다. 진자의 고유 주기에 맞춰 밀면 매번 에너지가 더해지고, 어긋나면 밀었다 당겼다를 반복해 상쇄된다.

맥놀이 — 공명 직전

$\omega$ 가 $\omega_0$ 에 가깝지만 같지는 않을 때, $y(0) = y'(0) = 0$ 에서 출발하면

y = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\bigl(\cos\omega t - \cos\omega_0 t\bigr) = \frac{2F_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)} \sin\!\frac{(\omega_0 - \omega)t}{2}\;\sin\!\frac{(\omega_0 + \omega)t}{2}

뒤 인자는 평균 진동수로 빠르게 진동하고, 앞 인자는 차 진동수 $|\omega_0 - \omega|/2$ 로 느리게 변하는 포락선이다. 진폭이 커졌다 작아졌다 하는 이 현상이 맥놀이다. 악기를 조율할 때 듣는 그 “우웅— 우웅—“이고, 맥놀이가 느려질수록 두 진동수가 가까워진 것이다.

$\omega \to \omega_0$ 의 극한을 취하면 $\sin[(\omega_0-\omega)t/2] \approx (\omega_0-\omega)t/2$ 라 분모의 $(\omega_0^2-\omega^2)$ 와 상쇄되어 $t\sin\omega_0t$ 가 나온다 — 공명이 맥놀이의 극한임이 확인된다.

감쇠가 있을 때 — 정상상태와 실용 공명

$m, c, k > 0$ 이면 특성근의 실수부가 전부 음수라(4절) 제차해가 어느 감쇠 영역에서든 0으로 가고, 충분한 시간이 지나면 특수해만 남는다. 포락선이 $e^{-\alpha t}$ 인 것은 부족감쇠일 때이고, 과감쇠면 두 지수의 느린 쪽이 속도를 정한다.

정리(정상상태). 감쇠가 있는 계를 순수한 정현파로 밀면, 충분한 시간 뒤 출력은 입력과 같은 진동수의 조화 진동이다. 진폭과 위상만 바뀐다.

\begin{aligned} y_p &= C^*\cos(\omega t - \eta), \qquad C^*(\omega) = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2 + \omega^2c^2}}, \\[2pt] \eta(\omega) &= \operatorname{atan2}\bigl(\omega c,\; m(\omega_0^2 - \omega^2)\bigr) \end{aligned}

$\tan\eta = \omega c / [m(\omega_0^2 - \omega^2)]$ 라고만 쓰면 분지가 정해지지 않는다. $\arctan$ 의 값은 $(-\pi/2, \pi/2)$ 에 갇혀서 $\omega > \omega_0$ 에서 음수가 나와 버린다. 분자와 분모의 부호를 함께 보는 $\operatorname{atan2}$ 로 잡아야 $0 \le \eta \le \pi$ 가 되고, 아래 그림의 곡선이 그렇게 그려져 있다.

그림 1.4-7. 강제 진동의 주파수 응답. 왼쪽 진폭 곡선은 감쇠가 작을수록 고유진동수 근처에서 뾰족한 봉우리를 만들고, 그 봉우리는 ω₀보다 조금 낮은 ω_max에 선다. 저주파에서는 진폭이 F₀/k(용수철이 정한다), 고주파에서는 F₀/mω²(질량이 정한다)로 감쇠와 무관하며, 감쇠가 유일하게 진폭을 정하는 곳은 공명 근처뿐이다. 오른쪽 위상 지연은 0에서 π로 가고, ω = ω₀에서는 감쇠와 무관하게 정확히 90도를 지난다.직접 작도

직관

진폭 곡선을 세 영역으로 읽는 것이 요령이다. 분모 안의 세 항이 어디서 우세한지를 보면 된다.

$\omega \ll \omega_0$ (강성 영역). $C^* \to F_0/k$ . 아주 천천히 밀면 계가 힘을 따라가고, 변위는 훅의 법칙 그대로다. 용수철이 정한다.
$\omega \approx \omega_0$ (감쇠 영역). 앞의 큰 두 항이 서로 상쇄되어 $C^* \approx F_0/\omega_0 c$ . 감쇠만이 진폭을 정한다. 여기가 봉우리다.
$\omega \gg \omega_0$ (질량 영역). $C^* \to F_0/m\omega^2$ . 너무 빨리 흔들면 관성이 못 따라간다. 질량이 정한다.

같은 구조가 RLC 회로의 임피던스에 그대로 있다 — 저주파에서 커패시터가, 공명에서 저항이, 고주파에서 인덕터가 지배한다. 필터 설계의 기본 골격이 이 세 영역이다.

봉우리의 위치는 $dC^*/d\omega = 0$ 에서 나온다.

\omega_{\max}^2 = \omega_0^2 - \frac{c^2}{2m^2} = \omega_0^2 - 2\alpha^2

$c^2 < 2mk$ 일 때만 실수 해가 있다. 이 조건을 만족하는 감쇠에서만 봉우리가 생기고, 그것을 실용 공명(practical resonance)이라 한다. 봉우리의 높이는

C^*(\omega_{\max}) = \frac{2mF_0}{c\sqrt{4m^2\omega_0^2 - c^2}}

이고 $c \to 0$ 에서 발산해 감쇠 없는 경우의 무한대와 이어진다.

주의

진동수 넷을 혼동하지 않는다. 이 절에서 서로 다른 네 개가 나왔다.

기호	이름	값	무엇인가
$\omega_0$	고유진동수	$\sqrt{k/m}$	감쇠도 외력도 없을 때
$\omega^*$	감쇠 자유진동수	$\sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$	감쇠는 있고 외력은 없을 때
$\omega_{\max}$	실용 공명 진동수	$\sqrt{\omega_0^2 - 2\alpha^2}$	정상상태 진폭이 최대인 곳
$\omega$	구동 진동수	우리가 정한다	외력의 진동수

대소 관계는 $\omega_{\max} \le \omega^* \le \omega_0$ 이고, 감쇠가 작으면 셋이 거의 같아진다 ( $Q$ 가 크면 실무에서 구분하지 않는 이유). $Q = 10$ 이면 $\omega^*$ 가 $\omega_0$ 보다 0.125% 낮을 뿐이다. 그러나 $Q$ 가 1 근처인 계에서는 구분해야 한다.

위상 지연 — 진폭보다 중요할 때가 있다

$\eta$ 는 출력이 입력보다 얼마나 뒤지는지를 잰다.

$\omega \ll \omega_0$ : $\eta \to 0$ . 동상 — 밀면 그쪽으로 간다.
$\omega = \omega_0$ : $\eta = \pi/2$ . 정확히 90도. 감쇠 크기와 무관하다.
$\omega \gg \omega_0$ : $\eta \to \pi$ . 역상 — 밀면 반대로 간다.

직관

$\omega = \omega_0$ 에서 위상이 정확히 90도라는 것이 왜 감쇠와 무관한가. $\eta$ 의 분모 자리에 있는 $m(\omega_0^2 - \omega^2)$ 가 $\omega = \omega_0$ 면 정확히 0이 되고, 분자 $\omega c$ 는 양수라, 감쇠가 얼마든 $\operatorname{atan2}(+, 0) = \pi/2$ 다. 감쇠는 봉우리의 높이와 위상 곡선의 기울기를 바꿀 뿐 이 교차점은 못 건드린다.

그래서 실험에서 공명 진동수를 정확히 재려면 진폭 최대점보다 위상 90도점을 찾는 편이 낫다. 진폭 봉우리는 $\omega_{\max} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\alpha^2}$ 로 감쇠에 따라 밀리지만 위상 90도점은 언제나 정확히 $\omega_0$ 다. MEMS 공진기나 수정 발진기의 특성 측정에서 실제로 쓰는 요령이다.

되먹임 회로의 안정성도 위상 이야기다. 되먹임 고리를 한 바퀴 돌 때 위상이 180도 더 뒤지면 음되먹임이 양되먹임으로 뒤집혀 발진한다. 극점 하나가 최대 90도를 기여하므로 극점 두 개면 180도에 닿는다 — 연산증폭기에 위상 보상을 넣어 지배 극점 하나만 남기는 이유가 이것이다.

대역폭과 품질 계수

봉우리 근처에서 진폭이 최댓값의 $1/\sqrt{2}$ (전력으로는 절반)이 되는 두 진동수 사이 간격을 대역폭 $\Delta\omega$ 라 하면, 감쇠가 작을 때

\Delta\omega \approx \frac{c}{m} = 2\alpha \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \approx \frac{\omega_0}{2\alpha} = \frac{\sqrt{mk}}{c} = Q

등호가 아니라 근사인 것에 유의한다. $Q = \sqrt{mk}/c$ 는 계수로 정의되는 정확한 값이고, “ $\omega_0$ 를 반출력 대역폭으로 나눈 것”이 거기에 맞아떨어지는 것은 $Q \gg 1$ 에서다.

4절에서 “몇 번 진동하고 잦아드는가”로 정의했던 $Q$ 가 여기서는 봉우리가 얼마나 날카로운가로 다시 나타난다. 같은 수 하나가 시간 영역과 주파수 영역에서 두 얼굴을 갖는 것이고, 이것이 1.10의 시간–주파수 쌍대성이다. 오래 울리는 것과 좁은 대역은 같은 말이다.

직관

반도체·전자에서 공명이 나오는 자리를 정리해 둔다. 원하는 공명과 원치 않는 공명이 반씩이다.

원하는 쪽.

LC 탱크와 발진기. $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ 에서 임피던스가 최대가 되어 그 주파수만 살아 남는다. 라디오 동조가 $C$ 를 돌려 $\omega_0$ 를 옮기는 일이다.
BAW·FBAR·SAW 필터. 압전 박막의 기계 공명을 쓰는 필터로, $Q$ 가 1000을 넘는다. 스마트폰 RF 프론트엔드에 수십 개가 들어가고, 대역이 좁아야 하므로 $Q$ 가 클수록 좋다.
MEMS 자이로·가속도계. 공명 근처에서 구동해 감도를 $Q$ 배로 올린다.
레이저 공진기. 광학적 공명이지만 수식은 같다.

원치 않는 쪽.

전원 분배망(PDN) 임피던스 피크. 패키지 인덕턴스와 디커플링 커패시턴스가 만드는 공명에서 임피던스가 치솟고, 스위칭 전류의 성분이 그 근처에 있으면 전원이 흔들린다. 대응은 용량이 다른 커패시터를 여럿 병렬로 넣어 봉우리를 낮고 넓게 만드는 것 — 곧 $Q$ 를 낮추는 일.
본딩 와이어 링잉. 계단 응답의 오버슈트가 소자 내압을 넘으면 파괴로 이어진다.
격자 흡수(reststrahlen). 이온 결정에서 광학 포논과 전자기파가 공명해 강한 반사대가 생긴다. 적외선 광학과 포논 폴라리톤의 출발점.
클럭 분배망의 공진. 반복 구조가 만드는 기생 공진이 지터로 나타난다.

전부 같은 곡선의 서로 다른 읽기다. 봉우리를 세우고 싶으면 $Q$ 를 올리고, 없애고 싶으면 감쇠를 넣어 낮고 넓게 만든다.

연립 ODE와 위상 평면

고차 방정식은 1계 연립계다

$n$ 계 방정식은 언제나 1계 연립계로 바꿀 수 있다. $y'' + py' + qy = 0$ 이면 $y_1 = y$ , $y_2 = y'$ 로 두어

\begin{cases} y_1' = y_2 \\ y_2' = -q\,y_1 - p\,y_2 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{y}' = A\mathbf{y}, \qquad A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -q & -p \end{bmatrix}

$n$ 계면 $y_1 = y, y_2 = y', \dots, y_n = y^{(n-1)}$ 로 두면 $n \times n$ 계가 된다.

1.3이 여기서 회수된다

$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ 에 $\mathbf{y} = \mathbf{x}e^{\lambda t}$ 를 넣으면

\lambda\,\mathbf{x}\,e^{\lambda t} = A\mathbf{x}\,e^{\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}

고유값 문제 그 자체다. 1.3 전체가 여기서 쓰인다.

$A$ 가 선형 독립인 고유벡터 $n$ 개를 가지면 일반해는

\mathbf{y}(t) = c_1\mathbf{x}^{(1)}e^{\lambda_1 t} + \cdots + c_n\mathbf{x}^{(n)}e^{\lambda_n t}

이고, 이 해들의 브론스키안은

W = \det\bigl[\mathbf{x}^{(1)}e^{\lambda_1t}\ \cdots\ \mathbf{x}^{(n)}e^{\lambda_nt}\bigr] = e^{(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)t}\,\det\bigl[\mathbf{x}^{(1)}\cdots\mathbf{x}^{(n)}\bigr]

지수함수는 0이 아니고 고유벡터가 독립이면 행렬식도 0이 아니므로, $W \ne 0$ — 기저가 맞다. $\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}A$ 이므로 이 식은 $W(t) = W(0)e^{(\operatorname{tr}A)t}$ , 곧 아벨 항등식의 $n$ 차원 판본이다. 6절의 $W' = -pW$ 에서 $-p = \operatorname{tr}A$ 였던 것과 정확히 맞물린다.

직관

대각화하면 계가 풀린다. 1.3.5닮음 변환과 대각화에서 $X^{-1}AX = D$ 였다. $\mathbf{y} = X\mathbf{z}$ 로 좌표를 바꾸면

X\mathbf{z}' = AX\mathbf{z} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{z}' = X^{-1}AX\,\mathbf{z} = D\mathbf{z}

$D$ 가 대각이므로 방정식이 완전히 분리된다 — $z_i' = \lambda_i z_i$ , 곧 $n$ 개의 독립적인 1계 방정식. 각각은 지수함수로 즉시 풀리고, 다시 $\mathbf{y} = X\mathbf{z}$ 로 되돌리면 끝이다.

이것이 1.3에서 대각화가 왜 좋은 일인지 물었을 때의 답 중 가장 실전적인 것이다. 연립계가 고유좌표에서 낱개로 흩어진다. 물리에서 이 좌표를 정규좌표(normal coordinate)라 부르고, 각 $\lambda_i$ 가 하나의 모드다. 격자 진동을 포논으로 세는 일, 결합된 회로망을 고유모드로 분해하는 일이 전부 이 절차다.

결손이 있으면. $A$ 가 결손 행렬이면(1.3.6축퇴와 고유기저) 고유벡터가 모자란다. $\lambda$ 가 중근인데 고유벡터가 하나뿐이면 둘째 해를

\mathbf{y}^{(2)} = \mathbf{x}\,t\,e^{\lambda t} + \mathbf{u}\,e^{\lambda t}, \qquad (A - \lambda I)\mathbf{u} = \mathbf{x}

로 잡는다. $\mathbf{u}$ 가 일반화 고유벡터다. 대입해 확인하면 $\mathbf{x}$ 항이 정확히 상쇄되도록 조건이 맞춰져 있음을 볼 수 있다.

위상 평면과 궤적

해 $\mathbf{y}(t) = (y_1(t), y_2(t))$ 를 시간에 대한 두 곡선으로 그릴 수도 있지만, $t$ 를 매개변수로 삼아 $y_1y_2$ 평면에 한 곡선으로 그릴 수도 있다. 그 곡선을 궤적, 평면을 위상 평면, 궤적 전체의 모임을 위상 초상(phase portrait)이라 한다.

궤적의 기울기는 $t$ 를 소거해 얻는다.

\frac{dy_2}{dy_1} = \frac{y_2'}{y_1'} = \frac{a_{21}y_1 + a_{22}y_2}{a_{11}y_1 + a_{12}y_2}

이 값이 정해지지 않는 점 — 분자와 분모가 동시에 0이 되는 점 — 이 임계점이다. $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ 에서 $A$ 가 정칙이면 임계점은 원점 하나뿐이다.

임계점의 다섯(여섯) 유형

그림 1.4-8. 상수계수 연립계의 임계점 여섯 가지. 고유값이 실수이고 부호가 같으면 마디, 부호가 다르면 안장점, 순허수면 중심, 복소이면서 실수부가 0이 아니면 나선점이다. 중근이면 고유벡터가 하나뿐인 퇴화 마디이거나 모든 방향이 고유방향인 적절 마디(별 모양)가 된다. 주황 직선은 실수 고유방향으로, 그 위에서 출발하면 그 위에 머문다. 화살표는 시간이 흐르는 쪽.직접 작도

여섯 가지를 정리한다. 예시 행렬을 함께 적어 두면 손으로 확인하기 좋다.

유형	고유값	예시 $A$	특징
마디(node)	실수, 같은 부호	$\begin{bmatrix}-3&1\\1&-3\end{bmatrix}$	두 고유방향을 빼고 전부 느린 쪽에 접해 들어온다
안장점(saddle)	실수, 다른 부호	$\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$	두 방향은 들어오고 두 방향은 나간다. 나머지는 비껴간다
중심(center)	순허수	$\begin{bmatrix}0&1\\-\omega^2&0\end{bmatrix}$	닫힌 궤적이 임계점을 감싼다
나선점(spiral)	복소, 실수부 $\ne 0$	$\begin{bmatrix}-1&1\\-1&-1\end{bmatrix}$	감아 들어가거나 감아 나간다
퇴화 마디	중근, 고유벡터 하나	$\begin{bmatrix}-4&1\\-1&-2\end{bmatrix}$	유일한 고유방향에 모두 접한다
적절 마디(star)	중근, 고유벡터 둘	$\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$	모든 방향이 고유방향. 직선 궤적뿐

직관

그림을 읽는 요령 셋.

① 고유방향은 직선 궤적이다. $\mathbf{y}(0)$ 이 고유벡터 방향이면 $\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}e^{\lambda t}$ 라 방향이 영원히 그대로다. 위상 초상에서 유일하게 직선인 궤적들이고, 나머지 궤적의 뼈대 역할을 한다.

② 마디에서 “느린 방향”이 지배한다. $\lambda_1 = -2$ , $\lambda_2 = -4$ 면 $e^{-4t}$ 가 먼저 사라져 나중에는 $e^{-2t}$ 항만 남는다. 그래서 모든 궤적이 $\lambda_1$ 의 고유방향에 접해 원점에 들어온다. 4절에서 과감쇠가 “느린 근이 정한다”고 했던 그 이야기의 기하 버전이다.

③ 안장점은 벽을 만든다. 들어오는 두 방향(안정 다양체)이 평면을 둘로 가르고, 그 벽의 어느 쪽에서 출발했느냐가 최종 운명을 정한다. 10절 진자에서 “왕복이냐 회전이냐”를 가르는 것이 바로 이 벽이다.

예 — 감쇠 진동자를 위상 평면에서 보기. $y'' + 2\alpha y' + \omega_0^2 y = 0$ 을 $y_1 = y$ , $y_2 = y'$ 로 옮기면 $A = \begin{bmatrix}0&1\\-\omega_0^2&-2\alpha\end{bmatrix}$ 이고 고유값이 $-\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$ — 4절의 특성근 그대로다. 그러니

감쇠 없음( $\alpha = 0$ ) → 순허수 → 중심. 닫힌 타원 궤적. 에너지 보존.
부족감쇠 → 복소, 실수부 음 → 나선점. 감아 들어간다.
임계감쇠 → 음의 중근, 결손 → 퇴화 마디.
과감쇠 → 서로 다른 음의 실근 → 마디.

4절의 네 경우가 위상 평면의 네 그림과 하나씩 대응한다. 시간 파형으로 본 것과 궤적으로 본 것이 같은 정보다.

반도체에서의 연립계

직관

① 레이저 다이오드의 rate equation. 캐리어 밀도 $N$ 과 광자 밀도 $S$ 가 서로를 먹인다.

\begin{cases} \dot N = \dfrac{I}{qV} - \dfrac{N}{\tau_n} - g(N)\,S \\[4pt] \dot S = \Gamma g(N)\,S - \dfrac{S}{\tau_p} \end{cases}

정상상태 근처에서 선형화하면 $2\times2$ 행렬이 나오고, 그 고유값이 켤레 복소수에 음의 실수부 — 곧 나선점이다. 그래서 전류를 계단으로 올리면 출력이 곧장 정착하지 않고 감쇠 진동을 하며 들어간다. 이것이 완화 진동(relaxation oscillation)이고, 그 진동수가 직접 변조 대역폭의 상한을 정한다. 광통신 송신기의 속도 한계가 이 고유값에서 나온다.

② 결합된 RC 노드. 인접한 두 배선의 커플링 커패시턴스를 넣으면 노드 전압 둘이 연립계를 이루고, 고유모드가 동상 모드와 역상 모드로 갈린다. 크로스토크가 역상 모드가 남는 현상이다. 1.3에서 본 두 질량 세 용수철의 정규모드와 수식이 똑같다.

③ 다단 재결합·트랩 동역학. 여러 트랩 준위를 오가는 캐리어의 rate equation이 큰 연립계이고, 고유값들이 각각 하나의 완화 시정수다. DLTS(깊은 준위 과도 분광법)가 그 시정수를 재서 트랩을 식별하는 측정이다.

④ 소자 시뮬레이션의 시간 적분. 포아송·연속 방정식을 이산화하면 수십만 차원의 연립 ODE가 되고, 야코비 행렬의 고유값 스펙트럼이 안정성과 걸음 크기를 정한다. 10절과 1.12로 이어진다.

임계점과 안정성, 비선형계

두 수로 전부 갈린다

2차원 상수계수계 $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ 의 특성방정식은

\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \tau\lambda + \delta = 0, \qquad \tau = \operatorname{tr}A = \lambda_1 + \lambda_2,\quad \delta = \det A = \lambda_1\lambda_2

이고 근은 $\lambda_{1,2} = \tfrac12\bigl(\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}\bigr)$ . 고유값을 실제로 구하지 않고도 $\tau$ 와 $\delta$ 두 수만으로 임계점의 종류와 안정성이 전부 결정된다.

조건	유형
$\delta < 0$	안장점 (실근, 부호가 갈린다)
$\delta > 0$ , $\tau^2 - 4\delta > 0$	마디
$\delta > 0$ , $\tau^2 - 4\delta < 0$ , $\tau \ne 0$	나선점
$\delta > 0$ , $\tau = 0$	중심
$\tau^2 - 4\delta = 0$	퇴화·적절 마디 (중근)

안정성은 $\tau$ 의 부호만 본다.

조건	안정성
$\tau < 0$ , $\delta > 0$	점근 안정 (모든 궤적이 임계점으로 빨려 든다)
$\tau = 0$ , $\delta > 0$	안정 (가까이 머물지만 다가가지는 않는다 — 중심)
$\tau > 0$ 또는 $\delta < 0$	불안정

그림 1.4-9. 대각합 τ와 행렬식 δ를 축으로 하는 안정성 지도. 포물선 δ = τ²/4 위쪽은 고유값이 복소여서 나선점, 아래쪽은 실수여서 마디이고, δ가 음수인 아래쪽 반평면은 전부 안장점이다. τ가 음수인 왼쪽 절반(옅게 칠한 영역)이 안정 영역이며, 양의 δ축 위(τ = 0, δ > 0)가 중심이다. 판별식의 부호가 포물선의 위아래, δ의 부호가 안장점 여부, τ의 부호가 안정성을 정한다.직접 작도

직관

안정성이 왜 $\tau$ 의 부호로 끝나는가. $\tau = \lambda_1 + \lambda_2$ 이고 $\delta = \lambda_1\lambda_2$ 이므로, $\delta > 0$ 이면 두 고유값의 실수부 부호가 같고, 그 공통 부호가 $\tau$ 의 부호다. 실수부가 둘 다 음수면 $e^{\lambda t}$ 가 둘 다 죽어 안정이다.

“안정”과 “점근 안정”은 다르다. 중심( $\tau = 0$ )은 궤적이 가까이 머물지만 원점에 다가가지는 않는다 — 리아푸노프 의미의 안정이지만 끌어당기지는 않는다. 무한히 돌기만 한다. 감쇠 없는 진자·LC 탱크가 그것이다.

$\tau$ 가 정확히 0인 경계는 아슬아슬하다. 계수를 아주 조금만 흔들어도 중심이 안정 나선점이 되거나 불안정 나선점이 된다. 그래서 중심은 “구조적으로 안정하지 않다”고 말하고, 아래에서 선형화 정리가 중심을 예외로 두는 이유가 된다.

비선형계의 선형화

비선형 자율계

\mathbf{y}' = \mathbf{f}(\mathbf{y}), \qquad \mathbf{f}(\mathbf{y}_*) = \mathbf{0}

의 임계점 $\mathbf{y}_*$ 근처에서 테일러 전개하면

\mathbf{y}' = \underbrace{J(\mathbf{y}_*)}_{\text{야코비 행렬}}(\mathbf{y} - \mathbf{y}_*) + O\bigl(|\mathbf{y} - \mathbf{y}_*|^2\bigr), \qquad J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial y_j}\bigg|_{\mathbf{y}_*}

정리(선형화). $\mathbf{f}$ 가 매끄럽고 $\det J \ne 0$ 이면, 비선형계의 임계점 종류와 안정성은 선형화된 계 $\mathbf{y}' = J\mathbf{y}$ 의 것과 같다. 예외는 $J$ 의 고유값이 중근이거나 순허수인 경우다. 그때는 비선형 항이 판정을 뒤집을 수 있다.

예 — 진자

그림 1.4-10. 진자의 위상 초상 두 장. 왼쪽 감쇠 없는 경우는 에너지가 보존되어 궤적이 등에너지선이 되고, 아래로 매달린 자리(θ = 0)는 중심, 거꾸로 선 자리(θ = ±π)는 안장점이다. 두 안장점을 잇는 분리선 안쪽에서는 왕복하고 바깥에서는 한 방향으로 회전한다. 오른쪽은 감쇠를 넣은 경우로, 중심이 나선점으로 무너져 모든 궤적이 매달린 자리로 빨려 들고 안장점은 그대로 남는다.직접 작도

진자의 운동방정식은

\theta'' + c\,\theta' + k\sin\theta = 0, \qquad k = g/L

$y_1 = \theta$ , $y_2 = \theta'$ 로 두면

y_1' = y_2, \qquad y_2' = -k\sin y_1 - c\,y_2

임계점은 $y_2 = 0$ 이고 $\sin y_1 = 0$ 인 곳, 곧 $(n\pi,\, 0)$ — 무한히 많다. 물리적으로는 아래로 매달린 자리( $n$ 짝수)와 거꾸로 선 자리( $n$ 홀수) 둘뿐이다.

$(0, 0)$ 근처. $\sin y_1 \approx y_1$ 이므로 $J = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -k & -c\end{bmatrix}$ , $\tau = -c$ , $\delta = k > 0$ .

$c = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ → 중심. 진동이 영원히 계속된다.
$c > 0$ : $\tau < 0$ , $\delta > 0$ → 감쇠가 작으면 나선점(안정), 크면 마디.

$(\pi, 0)$ 근처. $y_1 = \theta - \pi$ 로 옮기면 $\sin\theta = \sin(y_1 + \pi) = -\sin y_1 \approx -y_1$ 이라 부호가 뒤집힌다.

J = \begin{bmatrix}0 & 1\\ +k & -c\end{bmatrix}, \qquad \delta = -k < 0

$\delta < 0$ 이므로 감쇠와 무관하게 언제나 안장점이다. 거꾸로 선 진자는 감쇠를 아무리 넣어도 불안정하다 — 물리적으로 당연한 결론이 부호 하나에서 나온다.

첫 적분 — 곱해서 한 번 적분한다

$x$ 가 명시적으로 없는 2계 방정식은 $y'$ 을 곱해 한 번 적분할 수 있다.

y'' + f(y) = 0 \;\xrightarrow{\;\times\,y'\;}\; y'y'' + f(y)y' = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\left[\tfrac12(y')^2 + \int f(y)\,dy\right] = 0

곧

\tfrac12(y')^2 + \int f(y)\,dy = \text{const}

이것을 첫 적분(first integral)이라 한다. 2계 방정식이 1계 분리형으로 내려왔다.

진자에 적용하면 $f(y_1) = k\sin y_1$ 이므로

\tfrac12 y_2^2 - k\cos y_1 = C

궤적이 곧 등에너지선이다. 첫 항이 운동에너지, 둘째 항이 퍼텐셜 에너지(부호까지 맞다). 그림의 닫힌 곡선들이 이 등고선이고, 값에 따라 세 가지로 갈린다.

$-k \le C < k$ : 닫힌 곡선 → 왕복 운동. $y_2 = 0$ 이 되는 지점에서 되돌아온다.
$C = k$ : 분리선(separatrix). 두 안장점을 잇는 곡선. 이론상 무한한 시간에 걸쳐 거꾸로 선 자리에 도달한다.
$C > k$ : $y_2$ 가 0이 되는 곳이 없다 → 한 방향으로 계속 회전.

직관

이 트릭이 반도체 정전기의 표준 계산이다. 1차원 포아송 방정식

\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{\rho(\psi)}{\varepsilon_s}

는 정확히 $y'' + f(y) = 0$ 꼴이다( $\psi$ 가 $y$ , $x$ 가 독립변수, 전하 밀도가 전위만의 함수). 그래서 $d\psi/dx$ 를 곱해 적분하면

\frac12\left(\frac{d\psi}{dx}\right)^{2} = -\frac{1}{\varepsilon_s}\int_{0}^{\psi}\rho(\eta)\,d\eta + \text{const}

이고, 제곱근을 취하면

E(\psi) = -\frac{d\psi}{dx} = \pm\sqrt{\,-\frac{2}{\varepsilon_s}\int_{0}^{\psi}\rho(\eta)\,d\eta + \text{const}\,}

전위의 함수로서 전기장이 곧바로 나온다. MOS 정전기에서 표면 전위 $\psi_s$ 와 표면 전기장 $E_s$ 를 잇는 관계식, 거기서 나오는 표면 전하 $Q_s(\psi_s)$ , 그리고 C–V 곡선이 전부 이 한 번의 적분에서 온다. 축적·공핍·반전 세 영역은 적분 안의 어느 전하 항이 지배하느냐로 갈리는 구간들이고, 진자에서 $C$ 값이 왕복과 회전을 갈랐던 것과 같은 구도다. 11부와 13부에서 이 계산을 처음부터 다시 한다.

역학의 에너지 보존과 정전기의 첫 적분이 같은 수학이라는 점이 요점이다. 곱해서 적분한다는 동작 하나가 두 곳에서 같은 일을 한다.

극한 순환 — 선형계에 없는 것

비선형계에는 선형계가 만들 수 없는 물건이 있다. 고립된 닫힌 궤적 — 이웃한 궤적들이 그쪽으로 감겨 드는(또는 감겨 나가는) 주기 해다. 이것을 극한 순환(limit cycle)이라 한다.

중심의 닫힌 궤적들과는 완전히 다르다. 중심 주위의 궤적은 연속적인 다발이고 초기조건이 진폭을 정한다. 극한 순환은 딱 하나이고, 어디서 출발하든 결국 같은 진폭·같은 주기로 수렴한다.

대표 예가 판데르폴 방정식이다.

y'' - \epsilon\,(1 - y^2)\,y' + y = 0 \qquad (\epsilon > 0)

감쇠 항의 계수가 $-\epsilon(1-y^2)$ 인 것이 핵심이다.

$|y| < 1$ (작은 진동): 계수가 음수 → 음의 감쇠. 에너지가 주입되어 진폭이 커진다.
$|y| > 1$ (큰 진동): 계수가 양수 → 보통의 감쇠. 진폭이 줄어든다.

그래서 안쪽에서는 밀려 나가고 바깥에서는 끌려 들어와, 딱 한 개의 진폭에서 균형이 잡힌다.

직관

모든 발진기가 극한 순환이다. 이것이 발진기 설계의 근본 원리다.

선형계로는 지속 발진을 만들 수 없다. 특성근이 정확히 순허수여야 하는데, 부품 값이 조금만 어긋나도 진동이 죽거나 발산한다 — 위 안정성 지도의 $\delta$ 축 위에 정확히 올라앉아야 한다는 불가능한 요구다.

실제 발진기는 작은 신호에서 음의 저항, 큰 신호에서 포화라는 비선형성을 일부러 넣는다. 트랜지스터가 스스로 그 역할을 한다 — 작은 진폭에서는 이득이 손실보다 크고, 진폭이 커지면 포화해 이득이 떨어진다. 그 균형점이 극한 순환이고, 그래서 출력 진폭이 부품 값이 아니라 비선형성이 정하는 값으로 스스로 정착한다. 전원을 켰다 꺼도 같은 진폭으로 돌아오는 이유다.

링 발진기. 홀수 개 인버터의 고리. 지연이 위상을, 포화가 진폭을 정한다. 공정 모니터로 쓰인다.
콜피츠·하틀리 발진기. LC 탱크의 손실을 능동 소자의 음의 저항으로 상쇄한다.
터널 다이오드·건 다이오드. 소자 자체가 음의 미분 저항을 가져 극한 순환을 만든다.
완화 발진기. $\epsilon$ 이 큰 판데르폴이 톱니파에 가까운 파형을 낸다.

로트카–볼테라. 포식자–피식자 모형

y_1' = a\,y_1 - b\,y_1y_2, \qquad y_2' = k\,y_1y_2 - l\,y_2

는 임계점이 $(0,0)$ 과 $(l/k,\; a/b)$ 둘이다. 원점은 안장점, 공존점은 중심이라 개체 수가 주기적으로 변동한다. 여기서도 첫 적분이 있어서 $k y_1 - l\ln y_1 + b y_2 - a\ln y_2 = C$ 가 보존된다 — 궤적이 그 등고선이다. 순허수 고유값이라 선형화 정리의 예외에 해당하고, 실제로 중심임을 확인하려면 이 보존량이 필요하다는 점까지 진자와 같다.

강성 — 고유값의 비율이 문제다

의문

안정성 지도에서 “안정”이라고 판정된 계가 왜 수치적으로 어려울 수 있는가?

$\tau < 0$ , $\delta > 0$ 면 두 고유값이 모두 음의 실수부를 갖는다. 그런데 $\lambda_1 = -1$ 과 $\lambda_2 = -10^9$ 처럼 크기가 극단적으로 다르면 문제가 생긴다. 빠른 성분은 순식간에 사라져 답에 기여하지 않는데, 명시적 적분법은 안정하려면 걸음을 $|h\lambda_2| \lesssim 2$ 로 잡아야 한다. 즉 아무 의미 없는 성분 때문에 걸음이 $10^{-9}$ 로 묶인다.

\text{강성비} = \frac{\max|\operatorname{Re}\lambda|}{\min|\operatorname{Re}\lambda|}

가 이 어려움을 재는 수다. 반도체 소자 시뮬레이션에서 이 비가 $10^9$ 을 넘는 것이 보통이다 — 유전 완화 시간이 피코초, 소수캐리어 수명이 마이크로초에서 밀리초.

대응은 암시적 방법이다. 후진 오일러 $y_{n} = y_{n-1} + h f(x_n, y_n)$ 는 증폭률이 $1/(1 - h\lambda)$ 라 $\operatorname{Re}\lambda < 0$ 인 모든 $h$ 에서 1보다 작다 — 걸음 크기에 상한이 없다. 대신 매 걸음 비선형 방정식을 풀어야 해서 뉴턴 반복이 들어가고, 그 야코비 행렬이 다시 1.2의 큰 희소 선형계가 된다. 소자 시뮬레이터의 계산 시간 대부분이 여기서 나간다. 1.12에서 이어 본다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다.

캐리어 동역학. 연속 방정식 $\partial n/\partial t = G - R + \nabla\!\cdot\!\mathbf{J}_n/q$ 에서 공간 의존성을 지우면 1계 ODE다. SRH 재결합이 1차항, 복사 재결합이 2차항, 오제가 3차항이라 주입 준위에 따라 지배 항이 바뀐다(2절). 광 검출기의 응답 속도와 LED의 효율 droop이 여기서 갈린다.
MOS 정전기. 1차원 포아송 방정식의 첫 적분이 표면 전기장–표면 전위 관계를 주고, 거기서 $Q_s(\psi_s)$ 와 C–V 곡선이 나온다(10절). 공핍 근사는 그 적분을 한 구간에서 단순화한 것이다.
스위칭과 전원 무결성. RC·RL 시정수(2절), RLC 링잉과 감쇠비(4절), PDN 임피던스 봉우리(8절). 임계감쇠 설계와 디커플링이 전부 이 절들의 결론이다.
RF와 공진기. LC 탱크·BAW/FBAR·MEMS의 $Q$ 와 대역폭(8절). 위상 90도점으로 공명 진동수를 재는 측정 기법도 여기서 나온다.
광전 소자. 레이저 다이오드의 완화 진동이 나선점이고(9절), 그 고유값이 직접 변조 대역폭의 상한이다.
발진기. 링·콜피츠·완화 발진기가 전부 극한 순환이고, 진폭을 정하는 것은 선형 항이 아니라 비선형 포화다(10절).
수치 시뮬레이션. 야코비 행렬 고유값이 안정성 도표의 어디에 놓이는지가 시간 적분의 걸음 크기를 정하고, 강성비가 명시적/암시적 선택을 정한다(10절 · 1.12).
다음 장들. 계수가 변수인 2계 방정식은 급수로 푼다(1.5). 그 급수해들이 만드는 고유함수계의 완비성이 스투름–리우빌 이론이고(1.6), 그것이 편미분방정식의 변수분리를 정당화한다(1.7). 7절의 적분 꼴 특수해가 그린 함수로 자라고(1.8), 복소지수법이 적분변환으로 조직된다(1.10).

이 장의 뼈대는 결국 두 문장이다. 선형이면 해공간이 벡터공간이라 기저를 찾으면 끝나고, 비선형이면 임계점 근처에서 선형화해 지도를 그린다. 그 사이를 잇는 것이 고유값이다 — 스칼라 방정식에서는 특성근, 연립계에서는 행렬의 고유값, 무한 차원에서는 스투름–리우빌 고유값. 같은 물건이 계속 이름을 바꿔 가며 나온다.