경계값 문제

2.1은 전하 분포 $\rho$를 알고 있을 때 전기장을 구하는 장이었다. 쿨롱 법칙을 적분하거나, 대칭이 좋으면 가우스 법칙을 쓰거나, 전위를 먼저 적분하고 기울기를 취했다. 세 방법 모두 “어디에 얼마만큼의 전하가 있는가”를 입력으로 받는다.

그런데 실제 문제는 대개 그렇게 주어지지 않는다. 도체판 두 장에 전압을 걸었을 때, 전하는 판 표면 위에서 스스로 자리를 잡는다 — 어디에 얼마나 몰릴지를 우리는 모른다. 아는 것은 판의 전위뿐이다. 점전하 하나를 접지된 금속 근처에 두면 금속 표면에 전하가 유도되는데, 그 분포 역시 모른다. 아는 것은 금속 표면이 등전위라는 사실뿐이다.

이런 문제를 경계값 문제라 부른다. 입력이 전하가 아니라 경계 위의 조건이고, 풀어야 할 것은 그 경계로 둘러싸인 영역 안의 전위다. 영역 안에 전하가 없으면 전위는

$$\nabla^2 V = 0$$

을 만족하고(2.1.5푸아송·라플라스 방정식), 이것이 라플라스 방정식이다. 이 장 전체가 이 방정식 하나를 여러 방법으로 푸는 이야기다.

방법은 넷이다. 영상법은 답을 추측하고 유일성 정리로 정당화한다. 변수분리법은 좌표계에 맞는 함수들의 급수로 답을 짓는다. 다중극 전개는 멀리서 본 전위를 거리의 거듭제곱으로 펼친다. 유한차분법은 방정식을 격자 위의 산수로 바꿔 컴퓨터에 맡긴다. 앞의 셋은 손으로 풀 수 있는 몇 안 되는 기하에만 통하고, 마지막 하나는 어떤 기하에도 통하지만 숫자만 준다. 반도체 소자 시뮬레이션이 마지막 방법 위에 서 있고, 그 결과를 읽는 눈은 앞의 세 방법이 준다.

이 장이 뒤에서 어디로 이어지는지만 미리 적어 둔다. 유전체가 들어오면 라플라스 방정식이 $\nabla \cdot (\varepsilon \nabla V) = 0$으로 바뀌고 경계 조건에 유전율이 낀다(2.3). 정자기학의 스칼라 퍼텐셜도 같은 방정식을 만족해 같은 기법으로 풀린다(2.4). 반도체 쪽으로는 MOS 구조의 산화막 속 전위(13.1), 쇼트키 장벽의 영상력 낮춤(12.5), 단채널 MOSFET의 2차원 푸아송 방정식(14.1), 배선 커패시턴스(21.7), 그리고 TCAD가 매 반복마다 푸는 이산화된 푸아송 방정식(20부)이 전부 이 장의 문제다.

라플라스 방정식의 성질과 유일성 정리

기호 — 이 장의 약속

이 장은 좌표계가 셋 오가고, 같은 글자 $\sigma$·$R$이 절마다 다른 뜻으로 쓰이는 자리가 있다. 시작하기 전에 한 번에 정리해 둔다. 표기는 Griffiths를 따르고, Sadiku와 갈리는 곳은 그때마다 적는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$V$	전위	스칼라 퍼텐셜. $\mathbf{E} = -\nabla V$	V
$\mathbf{E}$	전기장	벡터장. 이 장에서 $E$는 언제나 전기장이지 에너지가 아니다	V/m
$\rho$	로	부피 전하밀도	C/m³
$\sigma$	시그마	면 전하밀도. 7절에서만 전도도로 쓴다 — 그 절 앞에서 다시 경고한다	C/m²
$q$		점전하 하나 (소문자 = 낱개)	C
$Q$		도체 하나에 실린 총 전하 (대문자 = 전체량)	C
$\varepsilon_0$	엡실론 제로	진공 유전율. 유전체가 들어오면 $\varepsilon$	F/m
$\mathbf{p}$		쌍극자 모멘트 (6절)	C·m
$(r, \theta, \phi)$		구좌표. $\theta$는 극각(z축에서), $\phi$는 방위각
$(s, \phi, z)$		원통좌표. 축에서의 거리를 $s$로 쓴다
$\mathbf{r}'$	프라임	원천점(전하가 있는 곳). 프라임 없는 $\mathbf{r}$은 관측점
$P_l(x)$	르장드르 다항식	차수 $l$. 5·6절
$R$		구·원통의 반지름. 7절에서만 저항	m / Ω
$h$		유한차분의 격자 간격 (8절)	m

주의

① 원통좌표의 반지름. Sadiku는 원통좌표를 $(\rho, \phi, z)$로 쓴다. 그러면 전하밀도 $\rho$와 글자가 겹쳐, 같은 식 안에서 “$\rho$에서의 전하밀도 $\rho$“가 나온다. 이 백과는 Griffiths를 따라 축에서의 거리를 $s$로 쓴다. Sadiku의 식을 옮겨 볼 때는 $\rho \to s$로 읽을 것.

② 면전하 $\sigma$와 전도도 $\sigma$. Griffiths는 둘 다 $\sigma$다. 정전기 문제(1~6절)에서는 면전하, 저항 계산(7절)에서는 전도도다. Sadiku는 면전하를 $\rho_S$, 전도도를 $\sigma$로 갈라 쓴다. 7절에서 다시 못박는다.

③ 반지름 $R$과 저항 $R$. 7절에서 “반지름 $a$인 구의 저항 $R$” 꼴이 나온다. 그 절에서는 반지름을 $a$, $b$로 쓰고 $R$을 저항에 넘긴다.

④ 이 장의 $E$는 전기장이다. 5부 양자역학에서 $E$는 에너지이고, 두 뜻이 만나는 장(12.5, 13.1)에서는 전기장을 $\mathcal{E}$로 쓰기도 한다. 여기서는 그럴 일이 없다.

라플라스 방정식이 말하는 것

직교좌표에서 라플라스 방정식은

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0$$

이다. 라플라시안 $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$은 발산의 기울기(1.1.2기울기·발산·회전)이고, 전하가 있는 곳에서는 우변이 $-\rho/\varepsilon_0$이 되어 푸아송 방정식이 된다. 이 절과 다음 절은 우변이 0인 경우, 즉 전하가 없는 영역만 다룬다. 전하는 영역 바깥이나 경계 위에만 있다.

직관

수식적 직관. $\nabla^2 V$는 세 방향의 2계 미분의 합이다. 1변수 함수에서 2계 미분은 곡률 — 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 — 이었다. 세 방향의 곡률을 더한 것이 0이라는 말은, 어느 한 방향으로 볼록 솟으면 다른 방향으로는 그만큼 오목하게 꺼져야 한다는 뜻이다. 말안장은 되지만 봉우리는 안 된다.

이것을 다른 말로 하면 라플라스 방정식의 해는 가장 지루한 함수다. 경계에서 정해진 값을 안쪽으로 이어 붙이되, 튀거나 꺼지는 일 없이 이웃의 평균만 따라간다. 고무막을 틀에 씌운 모양, 열이 정상 상태에 도달한 판의 온도 분포, 점성 유체의 느린 흐름 — 전부 같은 방정식이고 전부 같은 성격이다.

이 성격을 정리한 것이 아래 두 성질이다. 증명은 2절에서 차원별로 한다.

성질 1 — 평균값. 전하 없는 영역 안의 점 $\mathbf{r}$에서 $V(\mathbf{r})$는 그 점을 중심으로 한 (영역 안에 들어가는) 임의의 구면 위 $V$의 평균과 같다.

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{\text{구면}} V\, da$$

성질 2 — 극값 없음. 따라서 $V$는 영역 안쪽에서 극댓값도 극솟값도 갖지 않는다. 최댓값과 최솟값은 반드시 경계 위에 있다. 안쪽에 극댓값이 있다면 그 점을 둘러싼 작은 구면 위의 값이 전부 더 작아 평균이 그 점보다 작아지므로 성질 1에 어긋난다.

직관

물리적 직관. 성질 2가 곧 언쇼 정리(Earnshaw)다 — 정전기력만으로는 전하를 안정하게 붙들어 둘 수 없다. 안정 평형점이 있으려면 그 점이 퍼텐셜 에너지 $qV$의 극솟값이어야 하는데, 전하 없는 곳에서 $V$는 극솟값을 갖지 않는다. 양전하 여덟 개를 정육면체 꼭짓점에 놓고 가운데 양전하 하나를 두면, 중심은 평형점이지만 안장점이다 — 면 중심 방향으로는 밀려나고 꼭짓점 방향으로는 되돌아온다.

고체가 안정한 것은 그래서 정전기만의 결과가 아니다 — 양자역학(파울리 배타)이 끼어야 한다. 이온 트랩이 교류 전기장을 쓰는 이유도 이것이다.

유일성 정리 — 경계가 답을 정한다

라플라스 방정식의 해는 무한히 많다. $V = 0$, $V = x$, $V = xy$, $V = x^2 - y^2$, $V = e^{kx}\sin ky$ … 전부 해다. 이 중에서 하나를 고르는 것이 경계 조건이다. 얼마나 주면 충분한가가 유일성 정리의 내용이다.

제1 유일성 정리. 영역 $\mathcal{V}$의 경계면 $\mathcal{S}$ 위에서 $V$의 값이 주어지면, 영역 안에서 라플라스 방정식의 해는 유일하게 정해진다.

증명은 성질 2를 한 번 쓰면 끝난다. 해가 둘 있어 $V_1$, $V_2$라 하자. 둘의 차 $V_3 = V_1 - V_2$는 라플라스 방정식이 선형이므로 역시 해이고, 경계 위에서는 두 값이 같으니 $V_3 = 0$이다. $V_3$의 최댓값과 최솟값은 경계 위에 있어야 하므로 둘 다 0, 따라서 영역 전체에서 $V_3 = 0$이다. $V_1 = V_2$.

주의

정리는 라플라스 방정식에만 해당하지 않는다. 영역 안에 전하 $\rho$가 있어 푸아송 방정식이어도 그대로 성립한다 — $V_3$가 만족하는 것은 $\nabla^2 V_3 = -\rho/\varepsilon_0 + \rho/\varepsilon_0 = 0$, 즉 여전히 라플라스 방정식이기 때문이다. 조건은 두 가지뿐이다. 영역 안의 전하 분포를 알고, 경계 위의 전위를 안다. 그러면 답은 하나다.

경계가 무한대까지 뻗어 있어도 된다. “무한대에서 $V \to 0$“이 경계 조건 노릇을 한다.

제2 유일성 정리. 영역 안에 도체가 여러 개 있고, 각 도체의 총 전하 $Q_i$와 도체 사이 공간의 전하밀도 $\rho$가 주어지면, 전기장은 유일하게 정해진다.

이번에는 도체 표면의 전위를 모른다 — 총 전하만 안다. 그래도 답이 하나라는 것이 요점이다. 증명은 발산정리(1.1.7발산정리와 스토크스 정리)를 한 번 쓴다. 두 해 $\mathbf{E}_1$, $\mathbf{E}_2$의 차 $\mathbf{E}_3$는 도체 사이에서 $\nabla \cdot \mathbf{E}_3 = 0$이고, 각 도체를 감싸는 면에서 $\oint \mathbf{E}_3 \cdot d\mathbf{a} = 0$이다(총 전하가 같으므로). $V_3$를 $\mathbf{E}_3$의 전위라 하면 각 도체 표면에서 $V_3$는 상수다. 항등식 $\nabla \cdot (V_3\mathbf{E}_3) = V_3(\nabla \cdot \mathbf{E}_3) + \mathbf{E}_3 \cdot \nabla V_3 = -E_3^2$을 도체 사이 영역에서 적분하면

$$\oint_{\mathcal{S}} V_3\,\mathbf{E}_3 \cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{V}} E_3^2\, d\tau$$

좌변은 각 도체 표면에서 $V_3$가 상수라 적분 밖으로 나오고, 남는 $\oint \mathbf{E}_3 \cdot d\mathbf{a}$는 0이다. 바깥 경계(무한대나 접지 상자)에서도 0. 그러므로 $\int E_3^2\, d\tau = 0$이고, 피적분 함수가 음이 아니므로 $\mathbf{E}_3 = 0$ 어디서나. $\mathbf{E}_1 = \mathbf{E}_2$.

직관

왜 유일성이 이 장의 무기인가. 정리가 말하는 것은 “답이 하나뿐이다”이고, 뒤집어 말하면 어떻게든 답 하나를 찾았다면 그것이 답이다라는 뜻이다. 추측해도 되고, 다른 문제의 답을 빌려 와도 되고, 전하를 가짜로 놓아도 된다 — 경계 조건과 (있다면) 영역 안 전하만 맞으면 된다. 3절의 영상법이 통째로 이 논리 위에 서 있다.

반대 방향의 교훈도 있다. 경계 조건이 모자라면 답이 여럿이고, 넘치면 답이 없다. 도체 표면에서 전위와 총 전하를 둘 다 지정하면 대개 모순이다 — 하나가 다른 하나를 정하기 때문이다. 소자 시뮬레이터에서 접촉 전극은 전위(디리클레)를, 자유 표면은 수직 전기장 0 (노이만)을 조건으로 받는데, 한 경계에 둘을 동시에 걸면 풀리지 않는 것이 이 이유다.

경계 조건의 두 종류

경계 위에서 무엇을 지정하느냐에 따라 이름이 다르다. 이 장 내내 쓰이므로 여기서 한 번 못박는다.

이름	지정하는 것	물리적 상황
디리클레(Dirichlet)	경계 위의 $V$	전압을 건 전극, 접지 도체
노이만(Neumann)	경계 위의 $\partial V/\partial n$ (수직 성분 $E_n$)	면전하 $\sigma$가 주어진 면, 대칭면, 자유 표면
혼합	경계의 일부는 $V$, 나머지는 $\partial V/\partial n$	전극 + 자유 표면. 실제 소자는 거의 전부 이 경우

$\partial V/\partial n$은 경계에 수직인 방향 미분이다. 도체 표면에서는 $\sigma = -\varepsilon_0\,\partial V/\partial n$(2.1.6경계 조건)이므로, 노이만 조건은 곧 표면 전하를 주는 것과 같다. 유일성 정리는 노이만 조건에서도 성립하되 상수 하나만큼의 자유가 남는다 — 전위에 상수를 더해도 기울기는 같기 때문이다.

1·2·3차원 라플라스 방정식

성질 1·2를 차원별로 확인한다. 1차원은 완전히 풀리고, 2·3차원은 풀리지 않지만 성질은 그대로다. 차원이 올라가며 무엇이 유지되고 무엇이 사라지는지를 보는 것이 이 절의 목적이다.

1차원 — 직선

$V$가 $x$에만 의존하면 라플라스 방정식은 $d^2V/dx^2 = 0$이고, 일반해는

$$V(x) = mx + b$$

직선이다. 상수 둘($m$, $b$)은 경계 조건 둘 — 양 끝의 값 — 로 정해진다. 두 성질을 눈으로 확인할 수 있다. 직선 위의 어느 점의 값도 양옆 같은 거리에 있는 두 점의 평균이고,

$$V(x) = \tfrac{1}{2}\big[V(x+\epsilon) + V(x-\epsilon)\big]$$

직선에는 극댓값·극솟값이 없다.

그림 2.2-1. 평균값 성질. 왼쪽은 1차원 — 라플라스 방정식의 해는 직선이고, 어느 점의 값도 양 이웃의 평균이다. 오른쪽은 2차원 — 한 점의 전위는 그 점을 중심으로 한 원 위 전위의 평균이다. 그래서 안쪽에는 봉우리도 골짜기도 생기지 않고, 최댓값·최솟값은 경계 위에 있다.직접 작도

직관

반도체에서 1차원 라플라스 방정식이 나오는 자리. MOS 구조의 산화막 속이다. 이상적인 SiO₂에는 전하가 없으므로 산화막 안의 전위는 직선이고, 전기장 $E_{\text{ox}} = -dV/dx$는 상수다. 게이트와 실리콘 표면 사이 전압을 $t_{\text{ox}}$로 나눈 것이 산화막 전기장이라는 익숙한 식이 정확히 “1차원 라플라스 방정식의 해는 직선”이다.

산화막에 고정 전하나 트랩 전하가 있으면 우변이 $-\rho/\varepsilon_{\text{ox}}$가 되어 직선이 포물선으로 휜다 — 플랫밴드 전압이 이동하는 원인이다(13.3). 산화막 두께 $t_{\text{ox}}$를 줄이면 같은 전압에서 $E_{\text{ox}}$가 반비례로 커진다는 것도 이 직선 하나에서 읽힌다(14.5).

2차원 — 고무막

$V(x, y)$가 만족하는 것은

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$$

이제 일반해를 적을 수 없다 — 해가 무한 차원 공간을 이룬다. 하지만 두 성질은 그대로다. $(x, y)$를 중심으로 반지름 $R$인 원 위의 평균이 중심의 값이고,

$$V(x, y) = \frac{1}{2\pi R}\oint_{\text{원}} V\, dl$$

극값은 경계 위에만 있다. 두 성질이 1차원과 다른 점이 있다면 평균의 대상이 두 점에서 원 전체로 넓어졌다는 것뿐이다.

직관

공간적 직관 — 고무막. 2차원 라플라스 방정식의 해를 보는 가장 좋은 방법은 얇은 고무막을 철사 틀에 씌우는 것이다. 틀의 높이가 경계 조건이고, 막이 자리 잡은 모양이 $V(x, y)$다. 막은 스스로 봉우리를 만들지 않고, 틀이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 가능한 한 매끈하게 내려온다. 작은 진폭에서 고무막의 평형 방정식이 정확히 라플라스 방정식이다.

이 그림이 주는 정량적 감각이 하나 있다. 막의 모양은 틀에서 멀어질수록 틀의 세부를 잊는다. 틀 한쪽에 톱니 모양의 굴곡을 주어도, 톱니 간격만큼 안쪽으로 들어가면 막은 거의 평평하다. 4절에서 이것이 $e^{-n\pi x/a}$라는 식으로 정확해진다.

3차원 — 구면 평균

$V(x, y, z)$에 대한 평균값 성질은 구면 위의 평균이다.

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi R^2}\oint_{\text{구면}} V\, da$$

증명은 점전하 하나로 충분하다 — 임의의 전하 분포는 점전하의 합이고 평균은 선형이기 때문이다. 구의 중심에서 거리 $z > R$에 점전하 $q$를 두고 구면 위에서 $V$를 평균한다. 구면 위 점 $(R, \theta)$에서 전하까지의 거리는 코사인 법칙으로 $\sqrt{z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta}$이므로

$$\begin{aligned} V_{\text{평균}} &= \frac{1}{4\pi R^2}\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{R^2\sin\theta\, d\phi\, d\theta}{\sqrt{z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta}} \\[4pt] &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{\sin\theta\, d\theta}{\sqrt{z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta}} \\[4pt] &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{2zR}\Big[\sqrt{z^2 + R^2 - 2zR\cos\theta}\Big]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{(z + R) - (z - R)}{2zR} \end{aligned}$$

마지막 괄호는 $2R$이므로 결과는 $q/(4\pi\varepsilon_0 z)$ — 구의 중심에서 전하가 만드는 전위와 정확히 같다. 구 바깥의 어떤 전하 분포에 대해서도 성립하므로, 전하 없는 영역 안의 임의의 점에서 성질 1이 증명된다.

의문

이 계산은 뉴턴이 중력에서 먼저 한 것과 같다 — 균일한 구 껍질이 바깥 점에 미치는 중력은 전체 질량이 중심에 모인 것과 같다. 여기서는 역할이 뒤집혀, 바깥의 점전하가 구면 위에서 만드는 평균 전위가 중심에서의 전위와 같다고 말한다. 두 진술이 같은 계산인 이유는 $1/\lvert\mathbf{r} - \mathbf{r}'\rvert$이 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{r}'$에 대해 대칭이기 때문이다. 그린 함수의 대칭성(1.8)이 여기서 처음 얼굴을 내민다.

차원이 남기는 것

세 차원을 나란히 놓으면 이렇게 정리된다.

차원	일반해	평균의 대상	극값 없음
1	$mx + b$ — 적을 수 있다	양 이웃 두 점	✓
2	없음	원	✓
3	없음	구면	✓

적을 수 있는 일반해는 1차원에서 끝난다. 2차원부터는 “어떤 경계 조건이냐”에 따라 해의 꼴이 달라지고, 그래서 이 장의 나머지가 기법의 목록이 된다. 하지만 평균값 성질과 극값 없음은 차원과 무관하다 — 그리고 8절의 유한차분법이 컴퓨터에 시키는 일이 정확히 모든 격자점에서 이웃의 평균이 될 때까지 고쳐라다. 성질 1을 알고리즘으로 옮긴 것이다.

영상법

접지 평면 위의 점전하

접지된 무한 도체 평면($z = 0$) 위 높이 $d$에 점전하 $q$가 있다. 위쪽 영역($z > 0$)의 전위를 구하라.

정직하게 풀자면 도체 표면에 유도된 면전하 $\sigma(x, y)$를 알아야 하는데, 그것이 얼마인지 모른다. 알 수 있는 것은 경계 조건뿐이다 — 평면 위에서 $V = 0$, 전하에서 멀리 떨어지면 $V \to 0$. 그리고 $z > 0$ 영역의 전하는 $q$ 하나뿐이다.

여기서 문제를 바꿔치기한다. 도체 평면을 치우고, 대신 $z = -d$에 전하 $-q$를 놓는다. 두 점전하의 전위는

$$V(x, y, z) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ \frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z - d)^2}} - \frac{q}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + d)^2}} \right]$$

이 식을 보면 ⓐ $z = 0$에서 두 항이 상쇄해 $V = 0$, ⓑ 멀리서 $V \to 0$, ⓒ $z > 0$ 영역의 전하는 $q$ 하나 — 원래 문제의 조건 셋을 전부 만족한다. 유일성 정리에 의해 이것이 $z > 0$에서 원래 문제의 답이다. $z < 0$에서는 물론 아니다 — 거기서는 원래 문제의 답이 그냥 $V = 0$이다 (도체 안).

그림 2.2-2. 접지 평면 위의 점전하. 전기력선이 q에서 나와 도체 표면에 수직으로 들어간다 — 표면이 등전위이기 때문이다. 평면 아래 점선은 영상 전하 −q와 그 가짜 전기력선으로, z > 0의 장을 만드는 데만 쓰이고 실제로는 존재하지 않는다. 오른쪽은 표면에 유도된 면전하 밀도 σ(r)로, 전하 바로 아래에서 가장 크고 r ≳ d부터 빠르게 줄며, 전부 적분하면 정확히 −q다.직접 작도

직관

영상법의 논리를 한 줄로. 도체가 하는 일은 자기 표면을 등전위로 만드는 것이고, 그 일을 표면 전하 $\sigma$가 한다. 우리는 $\sigma$를 모른다. 하지만 표면 바깥에서 볼 때 그 $\sigma$가 만드는 장과 똑같은 장을 만드는 가짜 전하를 찾을 수 있다면, 바깥 영역에서는 둘을 구별할 수 없다. 유일성 정리가 “구별할 수 없으면 같다”를 보증한다.

가짜 전하가 놓이는 조건이 하나 있다 — 관심 영역 바깥이어야 한다. 영상 전하를 $z > 0$에 놓으면 그 영역의 전하 분포가 바뀌어 원래 문제와 다른 문제가 된다. 영상은 언제나 거울 뒤에 있다.

유도 전하, 힘, 에너지

답을 얻었으니 원래 모르던 것들을 거꾸로 읽어 낼 수 있다.

유도 면전하. 도체 표면에서 $\sigma = -\varepsilon_0\,\partial V/\partial n$이고, 수직 방향이 $z$이므로

$$\sigma(x, y) = -\varepsilon_0\left.\frac{\partial V}{\partial z}\right|_{z=0} = -\frac{qd}{2\pi\,(x^2 + y^2 + d^2)^{3/2}}$$

부호가 음이고(양전하 $q$가 음전하를 끌어온다), 전하 바로 아래에서 가장 크며, $r = \sqrt{x^2+y^2}$가 $d$를 넘어서면 $r^{-3}$으로 죽는다. 전부 적분하면

$$Q_{\text{유도}} = \int_0^{\infty}\sigma(r)\,2\pi r\, dr = -qd\int_0^{\infty}\frac{r\, dr}{(r^2 + d^2)^{3/2}} = -qd\cdot\frac{1}{d} = -q$$

정확히 $-q$다 — $q$에서 나온 전기력선이 전부 도체 표면에서 끝나야 하므로 당연하다.

힘. $q$가 받는 힘은 유도 전하 전체가 미치는 힘인데, 영역 $z > 0$에서 유도 전하의 장은 영상 전하의 장과 같으므로 그냥 영상 전하가 미치는 힘이다.

$$\mathbf{F} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2}\,\hat{\mathbf{z}}$$

전하는 거리 $2d$ 떨어진 $-q$에게 끌리듯 도체 쪽으로 끌린다.

에너지. 여기가 함정이다. 두 점전하 $q$, $-q$가 거리 $2d$에 있는 계의 에너지는 $-q^2/(4\pi\varepsilon_0\cdot 2d)$이지만, 원래 문제의 에너지는 그 절반이다.

$$W = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4d}$$

두 가지로 확인할 수 있다. 하나는 에너지를 $\frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\, d\tau$로 세는 것 — 원래 문제에서는 $z > 0$에만 장이 있는데 영상 문제에서는 $z < 0$에도 같은 크기의 장이 있어 에너지가 두 배다. 다른 하나는 일을 직접 계산하는 것 — 전하를 무한대에서 $d$까지 끌어오며 힘 $q^2/(4\pi\varepsilon_0\cdot 4z^2)$에 거슬러 한 일을 적분하면

$$W = \int_{\infty}^{d}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4z^2}\, dz = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4d}$$

두 전하 문제에서는 $q$를 옮길 때 $-q$가 제자리에 있지만, 영상 문제에서는 $q$를 옮기면 영상도 따라 움직여 매 순간 힘이 절반 거리의 것이 되기 때문이다.

주의

영상 전하로 계산해도 되는 것과 안 되는 것. 관심 영역 안의 전위·전기장·힘은 영상으로 계산한 그대로 맞다. 에너지는 영상 문제의 값을 그대로 쓰면 틀린다 — 장이 있는 영역이 절반이기 때문이다. 유전체 문제(2.3)에서 영상법을 쓸 때도 같은 함정이 있다.

접지 구 바깥의 점전하

평면은 특수한 경우였다. 반지름 $R$인 접지 도체 구의 중심에서 거리 $a > R$에 점전하 $q$를 두자. 구 바깥의 전위를 원한다.

이번에는 영상 전하의 크기도 위치도 뻔하지 않다. 답부터 적으면, 중심에서 $q$ 방향으로 거리

$$b = \frac{R^2}{a}$$

에 영상 전하

$$q' = -\frac{R}{a}\, q$$

를 놓는다. $b < R$이므로 영상은 구 안(관심 영역 바깥)에 있다. 확인할 것은 구면 위에서 $V = 0$뿐이다. 구면 위 임의의 점에서 $q$까지의 거리를 $r_1$, $q'$까지의 거리를 $r_2$라 하면 코사인 법칙으로

$$r_1^2 = R^2 + a^2 - 2Ra\cos\theta, \qquad r_2^2 = R^2 + b^2 - 2Rb\cos\theta$$

$b = R^2/a$를 넣으면 $r_2^2 = (R^2/a^2)(a^2 + R^2 - 2Ra\cos\theta) = (R/a)^2 r_1^2$, 즉 $r_2 = (R/a)\, r_1$ — 구면 위 어디서나 두 거리의 비가 일정하다. 그러면

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_1} + \frac{q'}{r_2}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r_1} - \frac{R}{a}\cdot\frac{q}{(R/a)\, r_1}\right) = 0$$

이다. 구면 위에서 0, 무한대에서 0, 바깥 영역의 전하는 $q$뿐 — 유일성 정리로 끝.

그림 2.2-3. 접지 구 바깥의 점전하 q와 그 영상 q′. 영상은 중심에서 R²/a 되는 구 안쪽에 놓이고, 크기는 −(R/a)q로 원래보다 작다. 핵심은 구면 위 임의의 점 P에서 두 전하까지의 거리 비 r₂/r₁이 어디서나 R/a로 같다는 기하 — 그래서 두 항이 구면 위 모든 점에서 상쇄한다.직접 작도

$q$가 받는 힘은 영상 전하가 미치는 힘이다. 거리는 $a - b = a - R^2/a$이므로

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,q'}{(a - b)^2} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2 R a}{(a^2 - R^2)^2}$$

직관

파라미터를 움직여 보기. $a \to \infty$이면 $q' \to 0$, $b \to 0$ — 멀리 있는 구는 거의 영향이 없다. $a \to R$이면 $q' \to -q$, $b \to R$ — 전하가 표면에 바짝 붙으면 구면은 국소적으로 평면이고, 평면의 영상($-q$, 거울 위치)으로 돌아간다. 힘은 $(a - R)^{-2}$로 발산한다 — 평면의 $(2d)^{-2}$와 같다.

구가 접지되어 있지 않고 총 전하 $Q$를 지닌 채 고립되어 있으면? 영상 $q'$ 하나만으로는 구의 총 전하가 $q'$이 되어 버린다. 중심에 두 번째 영상 $Q - q'$을 더 놓으면 된다 — 중심 전하는 구면을 여전히 등전위로 두면서(구면 위에서 상수를 더할 뿐) 총 전하를 $Q$로 맞춘다. 이것이 제2 유일성 정리를 쓰는 예다.

영상법이 통하는 기하, 통하지 않는 기하

영상법은 경계면을 등전위로 만드는 유한 개의 가짜 전하를 찾을 수 있을 때만 통한다. 찾을 수 있는 기하는 몇 개 안 된다.

• 평면 한 장 — 거울 영상 하나.
• 평면 두 장이 각 $\theta = \pi/n$으로 만남 — 영상 $2n - 1$개. 직각($n = 2$)이면 셋. 각이 $\pi/n$ 꼴이 아니면 영상이 무한히 생기며 되돌아와 관심 영역 안으로 들어온다 — 실패.
• 평행한 평면 두 장 — 영상이 무한 급수. 급수가 수렴하므로 쓸 수는 있다.
• 구·원통 — 위와 같은 반전($b = R^2/a$) 영상.
• 선전하와 원통 — 선전하의 영상은 선전하이고 크기가 같다($-\lambda$). 7절의 두 도선 정전용량이 여기서 나온다.

그 밖의 기하 — 사각 상자, 유한한 판, 뾰족한 모서리 — 에서는 영상법이 없다. 4·5절의 변수분리법이나 8절의 수치 해법으로 간다.

직관

반도체에서 영상 전하가 하는 일. 세 자리를 미리 적어 둔다.

① 쇼트키 장벽의 영상력 낮춤(12.5). 금속 표면에서 거리 $x$에 있는 전자는 자기 영상 $+e$에게 끌려 퍼텐셜 에너지 $-e^2/(16\pi\varepsilon_s x)$를 얻는다 — 위의 에너지 식 $-q^2/(4\pi\varepsilon_0\cdot 4d)$에 $d \to x$, $\varepsilon_0 \to \varepsilon_s$를 넣은 것이다. 외부 전기장 $E$가 더해져 $-eEx$가 겹치면 장벽이 $\Delta\phi = \sqrt{eE/(4\pi\varepsilon_s)}$만큼 낮아진다. 장벽 높이가 전기장에 의존하는 이유가 이 영상 하나다.

② 게이트 금속에 의한 스크리닝. 채널 근처의 전하(계면 트랩, 산화막 속 고정 전하)가 만드는 장은 게이트 금속에 생긴 영상 전하에 의해 상쇄된다. 전하와 그 영상은 멀리서 보면 쌍극자(6절)이므로, 그 영향은 $1/r^2$이 아니라 $1/r^3$으로 죽는다 — 금속 게이트가 가까울수록 원격 쿨롱 산란이 약해지는 이유다(14.5).

③ 도핑 원자의 영상. 얇은 반도체 층 속 이온화 도너의 퍼텐셜은 위아래 계면(산화막, 금속)의 영상들 때문에 벌크와 달라진다. 유전율이 다른 두 매질의 계면에서는 영상 전하의 크기가 $q(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)/(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$로 줄어든다 — 2.3에서 유도한다.

변수분리법(직교좌표)

곱으로 놓는다

영상법은 추측이 통하는 기하에서만 쓸 수 있었다. 변수분리법은 좌표계에 맞춰 잘려 있는 경계 — 상자, 평행판, 구, 원통 — 에서 체계적으로 답을 짓는다. 1.7.4변수분리법에서 편미분방정식 일반의 방법으로 다뤘고, 여기서는 라플라스 방정식에 맞춰 다시 짚는다.

전위를 각 변수의 함수의 곱으로 놓는다.

$$V(x, y, z) = X(x)\,Y(y)\,Z(z)$$

일반해가 이 꼴일 리는 없다. 하지만 이 꼴의 해를 충분히 많이 찾아 더하면 임의의 경계 조건을 맞출 수 있다 — 그것이 완전성이고, 이 절 끝에서 다시 말한다. 라플라스 방정식에 넣고 $XYZ$로 나누면

$$\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} + \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} + \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = 0$$

첫 항은 $x$만의 함수, 둘째는 $y$만의, 셋째는 $z$만의 함수인데 합이 언제나 0이다. $x$를 바꾸면 첫 항만 바뀔 수 있는데 합은 0을 유지해야 하므로 첫 항은 상수다. 나머지도 마찬가지.

$$\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = C_1, \qquad \frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = C_2, \qquad \frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = C_3, \qquad C_1 + C_2 + C_3 = 0$$

편미분방정식 하나가 상미분방정식 셋으로 쪼개졌다. 각각은 상수 계수 2계 선형 ODE라 즉시 풀린다(1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수). 상수의 부호에 따라

$$\frac{d^2X}{dx^2} = k^2 X \;\Rightarrow\; X = Ae^{kx} + Be^{-kx}, \qquad \frac{d^2X}{dx^2} = -k^2 X \;\Rightarrow\; X = A\sin kx + B\cos kx$$

직관

형태적 직관 — 왜 한쪽은 진동하고 다른 쪽은 지수인가. 분리 상수의 합이 0이라는 조건 때문에 세 상수가 전부 같은 부호일 수는 없다. 적어도 하나는 양(지수 꼴), 적어도 하나는 음(진동 꼴)이다. 이것은 1절의 “한 방향으로 볼록하면 다른 방향으로 오목”의 정확한 표현이다 — $\sin kx$는 $x$ 방향으로 아래로 볼록한 곳에서 $e^{ky}$가 $y$ 방향으로 위로 볼록해 곡률을 상쇄한다.

어느 방향이 진동인가는 경계 조건이 정한다. 두 평행한 경계에서 $V = 0$이 되어야 하는 방향은 두 번 0을 지나야 하므로 진동 꼴이어야 한다. 지수 함수는 0을 한 번도 지나지 않는다. 그러면 나머지 방향은 자동으로 지수 꼴이다.

무한 홈통 — 급수해를 처음부터 끝까지

Griffiths의 예제로 절차를 통째로 본다. 접지된 무한 도체판 두 장이 $y = 0$과 $y = a$에 평행하게 놓여 있고, $x = 0$에서 그 사이를 전위 $V_0(y)$로 유지되는 띠가 막고 있다. 판은 $x > 0$으로 무한히 뻗는다. $z$ 방향으로도 무한하므로 $V = V(x, y)$다. 경계 조건 넷:

1. $V = 0$ at $y = 0$
2. $V = 0$ at $y = a$
3. $V = V_0(y)$ at $x = 0$
4. $V \to 0$ as $x \to \infty$

$V = X(x)Y(y)$로 놓으면 $X''/X + Y''/Y = 0$. 조건 1·2 때문에 $y$ 방향이 진동해야 하므로 $Y'' = -k^2 Y$, $X'' = k^2 X$.

$$V = \big(Ae^{kx} + Be^{-kx}\big)\big(C\sin ky + D\cos ky\big)$$

조건 4에서 $A = 0$. 조건 1에서 $D = 0$. 조건 2에서 $\sin ka = 0$, 즉

$$k = \frac{n\pi}{a},\qquad n = 1, 2, 3, \dots$$

$k$가 이산값만 허용된다 — 경계 조건이 양자화한 것이다. 각 $n$마다 해가 하나씩 있고, 방정식이 선형이라 전부 더해도 해다.

$$V(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\, e^{-n\pi x/a}\sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$

남은 조건 3이 $C_n$을 정한다. $x = 0$에서

$$\sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) = V_0(y)$$

이것은 $V_0(y)$의 푸리에 사인 급수다(1.6.4직교 함수계와 일반화 푸리에 급수). 계수는 직교성

$$\int_0^a \sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n'\pi y}{a}\right) dy = \begin{cases} 0 & n' \neq n \\ a/2 & n' = n \end{cases}$$

을 써서 뽑아낸다 — 양변에 $\sin(n'\pi y/a)$를 곱해 적분하면 좌변에서 $n = n'$ 항만 살아남는다.

$$C_n = \frac{2}{a}\int_0^a V_0(y)\sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right) dy$$

$V_0$가 상수이면 적분이 $\frac{2V_0}{n\pi}(1 - \cos n\pi)$이므로 짝수 $n$은 0, 홀수 $n$은 $4V_0/(n\pi)$.

$$V(x, y) = \frac{4V_0}{\pi}\sum_{n = 1, 3, 5, \dots}\frac{1}{n}\,e^{-n\pi x/a}\sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$

이 급수는 드물게 닫힌 꼴로 합쳐진다.

$$V(x, y) = \frac{2V_0}{\pi}\arctan\!\left(\frac{\sin(\pi y/a)}{\sinh(\pi x/a)}\right)$$

$x = 0$에서 $\sinh 0 = 0$이라 $\arctan(\infty) = \pi/2$, $V = V_0$ ✓. $y = 0$이나 $a$에서 $\sin = 0$, $V = 0$ ✓.

그림 2.2-4. 무한 홈통. 왼쪽은 기하와 등전위선 — 끝면 V₀ 근처에서 등전위선이 촘촘하고, a 정도 들어가면 거의 다 흩어져 V가 0에 가깝다. 오른쪽은 각 모드의 감쇠 e^(−nπx/a). n = 1 모드도 x = a에서 4 %만 남고, n = 3은 x = a/3에서 이미 그만큼 죽어 있다. 끝면의 세부(높은 모드)는 판 간격보다 훨씬 짧은 거리 안에서 사라진다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 감쇠 길이 $a/(n\pi)$. $n$번째 모드는 $x$ 방향으로 $e^{-n\pi x/a}$로 죽는다. 감쇠 길이가 $a/(n\pi)$ — 판 간격을 $n\pi$로 나눈 것이다. 기본 모드($n = 1$)조차 $x = a$에서 $e^{-\pi} \approx 0.043$, 4 %만 남는다. 높은 모드는 그보다 $n$배 빨리 죽는다.

이것이 2절의 “고무막은 틀의 세부를 잊는다”의 정량적 형태다. 끝면의 전위 분포 $V_0(y)$가 아무리 복잡해도(높은 $n$ 성분이 많아도), 판 사이 간격 정도 들어가면 기본 모드 하나만 남고, 그 진폭 $C_1$도 $e^{-\pi x/a}$로 죽는다. 경계 조건의 영향 범위가 경계의 가로 크기 정도라는 것 — 라플라스 방정식의 일반적 성질이다.

직관

파라미터 연계 — 반도체에서 이 감쇠 길이가 나오는 곳. MOSFET의 채널은 위로는 게이트 산화막, 아래로는 기판(또는 매몰 산화막)으로 막힌 얇은 판이다. 소스·드레인 접합의 전위가 채널 속으로 얼마나 파고드는지가 위와 같은 지수 감쇠로 결정되고, 그 감쇠 길이가 자연 길이 (스케일 길이) $\lambda$다. 14.1에서 2차원 푸아송 방정식을 이 절의 방법으로 풀어 $\lambda \sim \sqrt{(\varepsilon_{\text{si}}/\varepsilon_{\text{ox}})\, t_{\text{si}}\, t_{\text{ox}}}$ 꼴을 얻는다. 채널 길이가 $\lambda$의 몇 배 이상이어야 드레인 전위가 소스에 닿지 않는다 — 단채널 효과의 기준이고, FinFET·GAA가 $t_{\text{si}}$를 줄여 $\lambda$를 줄이는 구조다(14.9).

인접한 두 게이트 사이의 프린징 커패시턴스, 배선 아래 기판으로 새는 전기장, 결함 전하가 이웃 소자에 미치는 영향 — 전부 “가로 크기를 $\pi$로 나눈 거리 안에서 잊혀진다”는 같은 법칙을 따른다.

완전성과 직교성 — 이 방법이 작동하는 두 조건

위 절차가 언제나 통하려면 두 가지가 필요하다.

완전성. 함수족 $\{\sin(n\pi y/a)\}$로 임의의 (합리적인) $V_0(y)$를 나타낼 수 있어야 한다. 그래야 조건 3을 맞출 수 있다. 사인 함수의 완전성은 1.6.5완전성과 수렴의 스투름–리우빌 정리가 보증한다 — 분리된 ODE $Y'' = -k^2Y$가 경계 조건 $Y(0) = Y(a) = 0$과 함께 자체 수반 고유값 문제이기 때문이다.

직교성. 계수 $C_n$을 하나씩 뽑아내려면 서로 다른 $n$의 적분이 0이어야 한다. 이것도 같은 정리에서 나온다 — 자체 수반 연산자의 서로 다른 고유값에 속한 고유함수는 직교한다.

1.3에서 유한 차원 행렬로 본 것 — 에르미트 행렬의 고유벡터가 정규직교 기저를 이룬다 — 이 여기서 무한 차원으로 올라와 있다. $Y'' = -k^2 Y$는 고유값 방정식이고, $k^2$가 고유값, $\sin(n\pi y/a)$가 고유함수, 그리고 완전성이 “고유함수가 공간을 채운다”다.

유한한 상자 — sinh와 삼중 급수

홈통을 $x = b$에서 접지판으로 막으면 조건 4가 ”$V = 0$ at $x = b$“로 바뀌고, $X(x)$가 $e^{-kx}$ 대신 $\sinh k(b - x)$가 된다 — $x = b$에서 0이 되는 지수 꼴의 조합이다.

$$V(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\frac{\sinh\!\big(n\pi(b - x)/a\big)}{\sinh(n\pi b/a)}\,\sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$

분모의 $\sinh(n\pi b/a)$는 $x = 0$에서 계수가 $C_n$ 그대로 되도록 넣은 정규화다. $b \to \infty$이면 $\sinh$의 비가 $e^{-n\pi x/a}$로 돌아간다.

세 방향이 전부 유한한 상자(한 면만 $V_0(y, z)$, 나머지 다섯 면 접지)에서는 $y$·$z$ 두 방향이 진동하고 $x$ 방향이 지수다. 분리 상수 조건 $C_1 + C_2 + C_3 = 0$에서 $k_x^2 = k_y^2 + k_z^2$이므로

$$V = \sum_{n, m}C_{nm}\,\sinh\!\Big(\pi\sqrt{(n/a)^2 + (m/b)^2}\,(c - x)\Big)\, \sin\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi z}{b}\right)$$

이중 급수가 되고, $C_{nm}$은 이중 푸리에 적분이다. 형식은 같고 첨자만 하나 는다.

주의

경계 조건이 전부 0이면 답도 0이다. 여섯 면이 다 접지된 상자 안의 전위는 0이다 — 유일성 정리에 의해 자명한 해가 유일한 해다. 변수분리로 “0이 아닌 해”가 나온 것 같으면 어딘가 조건을 빠뜨린 것이다. 0이 아닌 답이 나오려면 적어도 한 면에서 전위가 0이 아니어야 하고, 여러 면이 0이 아니면 면마다 따로 풀어 더한다(중첩). 한 번에 한 면만 0이 아닌 문제로 쪼개는 것이 표준 절차다.

변수분리법(구·원통 좌표)

구좌표 — 방위 대칭

경계가 구면이면 직교좌표는 쓸모없다. 구좌표 $(r, \theta, \phi)$에서 라플라시안은 (1.7.11원통·구 좌표계의 라플라시안)

$$\nabla^2 V = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial\phi^2}$$

이 절에서는 방위 대칭, 즉 $V$가 $\phi$에 무관한 경우만 다룬다. 축 위에 놓인 전하, 균일한 장 속의 구 — 반도체 쪽 문제는 대개 여기 든다. $\phi$ 의존성이 필요한 일반 경우는 절 끝에 적는다.

$V = R(r)\,\Theta(\theta)$로 놓고 $r^2$을 곱한 뒤 $R\Theta$로 나누면

$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{\Theta\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = 0$$

첫 항은 $r$만의, 둘째는 $\theta$만의 함수이므로 각각 상수다. 상수를 $l(l+1)$로 적는 것이 관례인데, 이유는 곧 보인다.

$$\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = l(l+1)R, \qquad \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\!\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = -l(l+1)\Theta$$

지름 방정식은 오일러–코시 방정식(1.4.5오일러-코시 방정식)이라 $R = r^p$를 넣으면 $p(p+1) = l(l+1)$, 즉 $p = l$ 또는 $p = -(l+1)$.

$$R(r) = A\,r^{l} + \frac{B}{r^{l+1}}$$

각 방정식은 $x = \cos\theta$로 바꾸면 르장드르 방정식이고(1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식), 해가 르장드르 다항식 $P_l(\cos\theta)$다.

$$P_l(x) = \frac{1}{2^l\, l!}\left(\frac{d}{dx}\right)^{\!l}(x^2 - 1)^l \qquad\text{(로드리게스 공식)}$$ $$\begin{aligned} P_0 &= 1 & P_1 &= x & P_2 &= \tfrac{1}{2}(3x^2 - 1) \\ P_3 &= \tfrac{1}{2}(5x^3 - 3x) & P_4 &= \tfrac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3) \end{aligned}$$

그림 2.2-5. 르장드르 다항식 P₀ … P₄. x = cos θ 이므로 오른쪽 끝 x = 1이 θ = 0(z축 위), 왼쪽 끝이 θ = π. 모두 x = 1에서 1이고, l이 커질수록 부호가 l번 바뀐다 — 각 방향으로의 '주름'이 l개라는 뜻이다. 홀수 l은 기함수, 짝수 l은 우함수다.직접 작도

주의

왜 $l$은 정수여야 하는가. 르장드르 방정식의 2계 ODE에는 해가 둘인데, $l$이 음이 아닌 정수가 아니면 둘 다 $\theta = 0$ 또는 $\pi$에서 발산한다. $l$이 정수이면 하나($P_l$)는 다항식이라 유한하고, 다른 하나($Q_l$, 제2종 르장드르 함수)는 여전히 발산한다. 축 위가 관심 영역에 들면 $Q_l$을 버린다. 상수를 $l(l+1)$로 쓴 것은 이 정수 $l$이 곧바로 보이게 하기 위해서다.

축이 영역에 들지 않는 문제(원뿔 사이의 전위 등)에서는 $Q_l$이 살아나고 $l$이 정수가 아닐 수 있다. 이 장에서는 그런 경우가 없다.

이제 방위 대칭 라플라스 방정식의 일반해는

$$V(r, \theta) = \sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l\,r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta)$$

두 계수족 $A_l$, $B_l$을 경계 조건으로 정한다. 계수를 뽑을 때 쓰는 것이 르장드르 다항식의 직교성이다.

$$\int_{-1}^{1}P_l(x)P_{l'}(x)\, dx = \int_0^{\pi}P_l(\cos\theta)P_{l'}(\cos\theta)\sin\theta\, d\theta = \begin{cases} 0 & l' \neq l \\[2pt] \dfrac{2}{2l+1} & l' = l \end{cases}$$

4절의 사인 직교성과 같은 역할이고, 같은 스투름–리우빌 정리에서 나온다.

직관

형태적 직관 — $r^l$과 $r^{-(l+1)}$. 지름 해 둘은 각각 한쪽 끝에서 얌전하다. $r^l$은 원점에서 유한하고 무한대에서 발산, $r^{-(l+1)}$은 그 반대. 그러니 원점을 포함하는 영역(구 안)에서는 $B_l = 0$, 무한대를 포함하는 영역(구 밖)에서는 $A_l = 0$이 거의 언제나 첫 단계다. 둘 다 포함하지 않는 영역(구 껍질 사이)에서만 둘 다 남는다.

$l$은 각 방향의 주름 수다. $l = 0$은 구 대칭, $l = 1$은 $\cos\theta$ — 위아래가 반대 부호, $l = 2$는 적도가 극과 반대 부호. 그리고 주름이 많을수록 거리에 따라 빨리 죽는다 ($r^{-(l+1)}$). 6절의 다중극 전개가 정확히 이것이다 — 단극 $1/r$, 쌍극 $1/r^2$, 사중극 $1/r^3$.

예제 — 균일한 전기장 속의 도체 구

접지된 반지름 $R$의 도체 구를 균일한 전기장 $\mathbf{E}_0 = E_0\hat{\mathbf{z}}$ 속에 놓았다. 구 바깥의 전위를 구하라.

구 바깥이므로 원점은 영역에 없고, 하지만 무한대에서 $V \to -E_0 z = -E_0 r\cos\theta$로 가야 하므로(균일한 장의 전위) $A_l$을 전부 버릴 수는 없다 — $l = 1$ 항이 필요하다. 경계 조건:

1. $V = 0$ at $r = R$
2. $V \to -E_0 r\cos\theta$ as $r \gg R$

조건 2에서 $A_1 = -E_0$이고 나머지 $A_l = 0$. 조건 1에서 각 $l$마다 $A_l R^l + B_l/R^{l+1} = 0$이어야 하므로($P_l$이 독립이라 항별로 0), $l = 1$만 살아남고 $B_1 = E_0 R^3$.

$$V(r, \theta) = -E_0\left(r - \frac{R^3}{r^2}\right)\cos\theta$$

첫 항은 원래 균일한 장, 둘째 항은 구에 유도된 전하가 만드는 쌍극자 장이다 — $r^{-2}\cos\theta$가 6절에서 보일 쌍극자 전위의 꼴이다. 유도 면전하는

$$\sigma(\theta) = -\varepsilon_0\left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=R} = \varepsilon_0 E_0\left(1 + \frac{2R^3}{R^3}\right)\cos\theta = 3\varepsilon_0 E_0\cos\theta$$

위 반구($\theta < \pi/2$)에 양전하, 아래 반구에 음전하. 총 전하는 $\cos\theta$의 적분이라 0 — 접지선으로 드나든 전하가 없다. 즉 접지되지 않은 중성 구여도 답은 같다.

그림 2.2-6. 균일한 전기장 속의 도체 구. 멀리서는 평행하던 전기력선이 구 근처에서 휘어 표면에 수직으로 들어가고 나온다. 장이 들어가는 쪽(왼쪽)에 음전하, 나가는 쪽에 양전하가 σ = 3ε₀E₀ cos θ 로 유도되고, 구 안은 E = 0이다. 표면 바로 위 극점의 전기장은 3E₀ — 바깥 장의 세 배다.직접 작도

직관

파라미터 연계. 극점($\theta = 0$)에서 표면 전기장은 $\sigma/\varepsilon_0 = 3E_0$ — 바깥 장의 세 배다. 이 “3”은 구의 기하가 정한 숫자로, 원통이면 2, 평면이면 1이다. 도체 돌기가 전기장을 모으는 전계 집중의 가장 단순한 예이고, 뾰족할수록 배율이 커진다 — 피뢰침이 작동하는 이유이자, 반도체 소자에서 모서리·돌기에서 절연 파괴가 먼저 일어나는 이유다(13.4).

구가 도체가 아니라 유전율 $\varepsilon$인 유전체이면 안쪽도 풀어야 하고, 계면 조건이 달라져 쌍극자 항의 계수가 $(\varepsilon - \varepsilon_0)/(\varepsilon + 2\varepsilon_0)$ 꼴이 된다(클라우지우스–모소티, 2.3). 도체는 $\varepsilon \to \infty$ 극한이다. 나노입자·양자점의 분극률이 이 식으로 시작한다.

예제 — 구면 위의 전하 분포

반지름 $R$의 구면에 면전하 $\sigma_0(\theta)$가 발라져 있다(도체가 아니다). 안팎의 전위를 구하라. 이번에는 영역이 둘이다.

$$V_{\text{안}} = \sum_l A_l\, r^l P_l(\cos\theta), \qquad V_{\text{밖}} = \sum_l \frac{B_l}{r^{l+1}}P_l(\cos\theta)$$

경계 조건은 2.1.6경계 조건의 두 개 — 전위는 연속, 수직 전기장은 $\sigma/\varepsilon_0$만큼 불연속.

$$A_l R^l = \frac{B_l}{R^{l+1}}, \qquad -\left.\frac{\partial V_{\text{밖}}}{\partial r}\right|_R + \left.\frac{\partial V_{\text{안}}}{\partial r}\right|_R = \frac{\sigma_0(\theta)}{\varepsilon_0}$$

첫 식에서 $B_l = A_l R^{2l+1}$. 둘째 식에 넣으면

$$\sum_l (2l + 1)A_l R^{l-1}P_l(\cos\theta) = \frac{\sigma_0(\theta)}{\varepsilon_0}$$

직교성으로 계수를 뽑는다.

$$A_l = \frac{1}{2\varepsilon_0 R^{l-1}}\int_0^{\pi}\sigma_0(\theta)P_l(\cos\theta)\sin\theta\, d\theta$$

$\sigma_0 = k\cos\theta$이면 $l = 1$만 살아 $A_1 = k/(3\varepsilon_0)$, 그래서 구 안의 전위는 $V = (k/3\varepsilon_0)\, r\cos\theta = (k/3\varepsilon_0)\, z$ — 구 안의 전기장은 균일하다. 2.1에서 “균일하게 분극된 구”로 다시 만나게 될 결과다.

원통좌표 — 축 방향 대칭

축을 따라 무한히 긴 기하(도선, 나노와이어, 동축 케이블)에서는 $V = V(s, \phi)$이고, 원통좌표의 라플라시안은

$$\nabla^2 V = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\!\left(s\frac{\partial V}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 V}{\partial\phi^2} = 0$$

$V = S(s)\Phi(\phi)$로 놓으면 $\Phi'' = -k^2\Phi$, $s(sS')' = k^2 S$. $\phi$는 $2\pi$마다 같은 값으로 돌아와야 하므로 $k$는 정수이고, $S$는 다시 오일러–코시 방정식이라 $s^{\pm k}$. $k = 0$은 따로 — $\Phi$가 상수, $S = a_0 + b_0\ln s$.

$$V(s, \phi) = a_0 + b_0\ln s + \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k s^k + \frac{b_k}{s^k}\right)\big(c_k\cos k\phi + d_k\sin k\phi\big)$$

구좌표와 나란히 놓고 보면 구조가 같다. 각 방향은 진동(정수 $k$), 지름 방향은 거듭제곱 — 다만 지수가 $l$, $-(l+1)$ 대신 $k$, $-k$이고, $k = 0$에 로그가 있다.

주의

$\ln s$ 항이 2차원의 특징이다. 3차원의 $l = 0$ 항은 $1/r$ — 점전하의 전위 — 인데, 2차원의 $k = 0$ 항은 $\ln s$ — 선전하의 전위다. 무한대에서 0으로 가지 않는다. 그래서 2차원 문제에서는 “무한대에서 $V = 0$“을 함부로 요구할 수 없고, 어딘가 유한한 거리에 기준점을 두어야 한다. 동축 케이블의 전위가 $\ln(b/s)$ 꼴인 것(7절)이 이 항이다.

균일한 장 $E_0\hat{\mathbf{x}}$에 수직으로 놓인 반지름 $R$의 도체 원통은 구와 똑같이 풀린다. $x = s\cos\phi$이므로 $k = 1$ 항만 살고

$$V(s, \phi) = -E_0\left(s - \frac{R^2}{s}\right)\cos\phi, \qquad \sigma(\phi) = 2\varepsilon_0 E_0\cos\phi$$

구의 $R^3/r^2$이 $R^2/s$로, 3이 2로 바뀌었다 — 각각 2차원 쌍극자(선 쌍극자)의 전위와 전계 집중 배율이다.

$z$ 의존성이 있는 원통 문제(유한한 길이의 원통, 축 방향으로 변하는 경계)에서는 $z$ 방향이 지수 또는 진동이 되고 지름 방향 방정식이 베셀 방정식이 된다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 해가 $J_k(\alpha s)$(진동)나 $I_k(\alpha s)$·$K_k(\alpha s)$(수정 베셀, 단조)로 바뀔 뿐 절차는 같다. 게이트올어라운드 나노와이어 트랜지스터의 채널 전위(14.9)가 이 꼴이다.

방위 대칭이 없으면 — 구면조화함수

$\phi$ 의존성이 있는 구좌표 문제에서는 각 부분이 $\Theta(\theta)\Phi(\phi)$로 한 번 더 갈라지고, $\Phi = e^{im\phi}$($m$ 정수), $\Theta$는 버금 르장드르 함수 $P_l^m(\cos\theta)$가 된다. 둘의 곱을 정규화한 것이 구면조화함수 $Y_l^m(\theta, \phi)$이고(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수), 일반해는

$$V(r, \theta, \phi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left(A_{lm}r^l + \frac{B_{lm}}{r^{l+1}}\right)Y_l^m(\theta, \phi)$$

각 $l$마다 $m$이 $2l + 1$개 — 지름 해는 $m$에 무관하다. 이 구조가 수소 원자(5.5)에서 그대로 나온다. 슈뢰딩거 방정식의 각 부분은 라플라시안의 각 부분과 같으므로, $l$이 궤도 각운동량, $m$이 그 $z$ 성분, $2l + 1$이 축퇴도다. 반도체의 얕은 도너 준위를 수소 유사 모형으로 다룰 때(7.9) 같은 함수가 다시 나온다.

다중극 전개와 쌍극자

멀리서 보면

4·5절은 경계 조건에서 출발했다. 이 절은 다시 전하 분포에서 출발하되, 질문을 바꾼다 — 국소적인 전하 덩어리를 멀리서 보면 전위가 어떻게 보이는가. 답은 “거리의 거듭제곱 급수”이고, 그 급수의 항 하나하나가 5절의 $r^{-(l+1)}P_l$이다.

전하 분포 $\rho(\mathbf{r}')$가 원점 근처에 국한되어 있고, 관측점 $\mathbf{r}$이 멀리 있다. 관측점과 원천점 사이 거리는 코사인 법칙으로

$$\lvert\mathbf{r} - \mathbf{r}'\rvert^2 = r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\alpha = r^2\left[1 + \left(\frac{r'}{r}\right)\!\left(\frac{r'}{r} - 2\cos\alpha\right)\right]$$

$\alpha$는 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{r}'$ 사이 각이다. $r' \ll r$이므로 대괄호 안의 둘째 항이 작고, $1/\sqrt{1 + \epsilon}$을 전개한 뒤 $r'/r$의 거듭제곱으로 정리하면 계수가 정확히 르장드르 다항식이다.

$$\frac{1}{\lvert\mathbf{r} - \mathbf{r}'\rvert} = \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^{\!n}P_n(\cos\alpha)$$

이것이 르장드르 다항식의 생성 함수 — 처음 만든 사람(르장드르)이 실제로 이 목적으로 만들었다. 전위에 넣으면

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r^{n+1}}\int (r')^n P_n(\cos\alpha)\,\rho(\mathbf{r}')\, d\tau'$$

다중극 전개다. 항별로 이름이 있다.

$n$	이름	거리 의존성	적분
0	단극 (monopole)	$1/r$	$Q = \int\rho\, d\tau'$ — 총 전하
1	쌍극 (dipole)	$1/r^2$	$\mathbf{p} = \int\mathbf{r}'\rho\, d\tau'$ — 쌍극자 모멘트
2	사중극 (quadrupole)	$1/r^3$	$\int r'^2\,\tfrac{1}{2}(3\cos^2\alpha - 1)\rho\, d\tau'$
3	팔중극 (octupole)	$1/r^4$	…

직관

수식적 직관 — 왜 급수의 계수가 르장드르인가. 5절에서 라플라스 방정식의 해가 $r^{-(l+1)}P_l(\cos\theta)$였다. 원천 밖에서 $V$는 라플라스 방정식을 만족하고 무한대에서 0으로 가므로, 그 형태의 항들의 합일 수밖에 없다. 다중극 전개는 그 합의 계수를 전하 분포로 적어 준 것이다. 두 절이 같은 함수족을 쓰는 것은 우연이 아니라 필연이다.

멀리서 볼수록 낮은 항만 남는다. $n$번째 항은 $(r'/r)^n$으로 작아진다. 원천의 크기 $r'$의 열 배 거리에서 쌍극 항은 단극의 10 %, 사중극은 1 %다. 총 전하가 있으면 멀리서는 점전하로 보이고, 총 전하가 0이면 쌍극자로 보이고, 쌍극자 모멘트도 0이면 사중극으로 보인다 — 첫 번째로 0이 아닌 항이 멀리서 본 모습이다.

주의

쌍극자 모멘트는 원점에 의존한다 — 단, 총 전하가 0이 아닐 때만. 원점을 $\mathbf{a}$만큼 옮기면 $\mathbf{p}' = \mathbf{p} - Q\mathbf{a}$다. $Q = 0$이면 $\mathbf{p}$가 원점과 무관하게 정해지고, 그때만 “이 분포의 쌍극자 모멘트”라는 말이 뜻을 가진다. 일반적으로 첫 번째로 0이 아닌 다중극 모멘트만 원점에 무관하다. 중성 분자의 쌍극자 모멘트가 잘 정의되는 이유, 이온의 쌍극자 모멘트를 말할 때는 기준점을 함께 말해야 하는 이유다.

쌍극자 — 전위와 전기장

가장 중요한 항은 $n = 1$이다.

$$V_{\text{쌍극}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p\cos\theta}{r^2}$$

두 번째 등호는 $\mathbf{p}$를 $z$축으로 잡은 것이다. 점전하 $+q$와 $-q$가 벡터 $\mathbf{d}$ ($-q$에서 $+q$로)만큼 떨어져 있으면 $\mathbf{p} = q\mathbf{d}$ — 정의 $\int\mathbf{r}'\rho\, d\tau'$에 두 점전하를 넣으면 나온다.

전기장은 구좌표 기울기(1.1.8곡선좌표계)를 취한다.

$$\mathbf{E}_{\text{쌍극}}(r, \theta) = -\nabla V = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\right)$$

좌표 없이 쓰면

$$\mathbf{E}_{\text{쌍극}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}}{r^3}$$

그림 2.2-7. 순수 쌍극자의 전기력선(실선)과 등전위선(점선). 전기력선은 r = r₀ sin²θ 를 따르는 닫힌 고리로, +q에서 나와 −q로 들어간다. 등전위선은 r² = k cos θ 인 물방울 꼴이고, 두 전하 사이의 수직 평면이 V = 0 이다. 축 위(θ = 0)의 전기장은 같은 거리의 적도(θ = π/2)보다 정확히 두 배 세다.직접 작도

직관

그래프 직관. 축 위($\theta = 0$)에서 장은 $\hat{\mathbf{r}}$ 방향으로 $2p/(4\pi\varepsilon_0 r^3)$, 적도($\theta = \pi/2$)에서는 $\hat{\boldsymbol{\theta}}$ 방향(즉 $-\hat{\mathbf{z}}$)으로 $p/(4\pi\varepsilon_0 r^3)$ — 축 위가 두 배 세고, 적도에서는 장이 쌍극자와 반대 방향이다. 전기력선 그림에서 적도 근처의 선이 아래로 굽어 돌아오는 것이 그 반대 방향이다.

$1/r^3$은 점전하의 $1/r^2$보다 한 차수 빠르다. 두 전하의 장이 거의 상쇄하고, 상쇄되고 남은 차이가 $\mathbf{d}$에 비례해서다. 유한한 간격 $d$의 물리적 쌍극자는 $r \gg d$에서만 이 식을 따르고, 가까이서는 두 점전하의 장 그대로다. $d \to 0$, $q \to \infty$, $qd = p$ 고정의 극한이 순수 쌍극자이고, 그림은 그것을 그린 것이다.

쌍극자가 받는 힘과 돌림힘

외부 장 $\mathbf{E}$ 속의 쌍극자 $\mathbf{p} = q\mathbf{d}$는 두 전하에 각각 $\pm q\mathbf{E}$를 받는다. 장이 균일하면 알짜 힘은 0이고 돌림힘만 남는다.

$$\mathbf{N} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}$$

$\mathbf{p}$를 $\mathbf{E}$에 나란히 돌리려는 방향이다. 돌리는 데 드는 일이 퍼텐셜 에너지다.

$$U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$$

장이 균일하지 않으면 두 전하가 받는 장이 달라 알짜 힘이 생긴다.

$$\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$$

세 식이 2.3(유전체의 분극)과 5부(원자의 전기 쌍극자 전이, 슈타르크 효과)의 출발점이다.

직관

반도체에서 쌍극자가 나오는 자리. 이 장 안에서 이미 둘 보았다 — 접지 도체 앞의 전하와 그 영상(3절)은 멀리서 보면 쌍극자이고, 균일한 장 속 도체 구의 응답(5절)도 쌍극자였다. 그 밖에:

• 유전체의 분극(2.3). 유전체를 채운 원자·분자 하나하나가 외부 장에 쌍극자로 응답한다. 분극 $\mathbf{P}$는 단위 부피당 쌍극자 모멘트이고, 유전율은 그 응답의 크기다. high-k 유전체(14.5)가 “잘 분극되는 물질”이라는 말이 이 절의 $\mathbf{p}$로 정의된다.
• 광학 전이. 빛이 원자를 들뜨게 하는 확률은 두 상태 사이의 전이 쌍극자 모멘트의 제곱에 비례한다. 반도체의 밴드간 흡수·발광(11.8, 17.3), 선택 규칙(5.7)이 전부 이것이다.
• 쌍극자 복사(2.9). 진동하는 쌍극자가 전자기파를 낸다. 안테나의 원형이자, LED의 발광 자체가 진동하는 전이 쌍극자다.
• 계면 쌍극자. 금속–반도체 계면, high-k/SiO₂ 계면에 쌍극자 층이 생기면 그 양쪽의 전위가 계단처럼 어긋난다 — 일함수·장벽 높이가 이동하는 원인 중 하나(12.5, 14.5).

스크리닝 — 전개가 무너지는 곳

다중극 전개는 원천 밖이 진공이거나 균일한 유전체일 때의 이야기다. 주위에 자유 전하가 있는 매질 — 금속, 도핑된 반도체, 전해질 — 에서는 사정이 다르다. 외부 전하가 있으면 자유 전하가 몰려와 그 주위를 감싸고, 멀리서 보면 총 전하가 0에 가까워진다. 전위는 $1/r$ 대신

$$V \sim \frac{q}{4\pi\varepsilon r}\,e^{-r/\lambda_D}$$

로 지수적으로 죽는다. $\lambda_D$가 디바이 길이이고, 라플라스 방정식 대신 $\nabla^2 V = V/\lambda_D^2$(선형화된 푸아송–볼츠만)을 푼 결과다. 실리콘에서 도핑 $10^{17}\,\text{cm}^{-3}$이면 $\lambda_D \approx 13\,\text{nm}$. 이 길이보다 멀리서는 다중극 전개의 어떤 항도 보이지 않는다. 7.10과 11부에서 다시 만난다.

저항과 정전용량의 계산

주의

이 절에서 $\sigma$는 전도도(S/m)이고 $R$은 저항(Ω)이다. 면전하는 이 절에 나오지 않는다. 반지름은 $a$, $b$로 쓴다. Sadiku는 전도도를 $\sigma$, 면전하를 $\rho_S$로 갈라 쓰므로 Sadiku의 식은 그대로 읽힌다.

두 문제가 하나다

정전용량은 2.1에서 정의했다(2.1.9축전기와 정전용량). 두 도체에 $\pm Q$를 얹었을 때 사이 전압 $V$에 대해 $C = Q/V$. 전하는 가우스 법칙으로 세고, 전압은 전기장을 선적분한다.

$$C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}}{\displaystyle\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}}$$

저항은 같은 두 도체 사이를 전도도 $\sigma$인 매질로 채우고 전압 $V$를 걸었을 때 흐르는 전류 $I$로 정의한다. 옴 법칙의 국소 형태 $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$(전류 밀도 $\mathbf{J}$, A/m²)에서

$$R = \frac{V}{I} = \frac{\displaystyle\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}}{\sigma\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}}$$

두 식의 분자와 분모가 서로 뒤바뀐 같은 적분이다. 정상 전류에서는 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$이고 $\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} = -\sigma\nabla V$이므로 $\sigma$가 균일하면 $\nabla^2 V = 0$ — 전위가 정전기 문제와 똑같은 라플라스 방정식을 똑같은 경계 조건(두 도체가 등전위)으로 만족한다. 유일성 정리에 의해 전위 분포가 같고, 전기력선이 같다. 그래서 곱하면

$$\boxed{\;RC = \frac{\varepsilon}{\sigma}\;}$$

기하와 무관하다. 한 기하의 정전용량을 알면 저항은 공짜이고, 그 반대도 마찬가지다.

그림 2.2-8. 정전용량과 저항의 쌍대성. 같은 두 도체 사이를 유전체로 채우면 축전기, 도전 매질로 채우면 저항이다. 두 경우 전위 분포와 전기력선이 같고, 그 선을 따라 흐르는 것만 다르다 — 왼쪽은 D의 선속(전하 Q), 오른쪽은 J의 선속(전류 I). 그래서 RC = ε/σ 가 어떤 기하에서도 성립한다.직접 작도

직관

물리적 직관 — $RC = \varepsilon/\sigma$가 시간이다. 단위를 보면 $\varepsilon/\sigma$는 초다. 이 시간을 유전 완화 시간 $\tau = \varepsilon/\sigma$라 부른다. 도전 매질 안에 전하를 놓으면 그 전하가 흩어져 표면으로 밀려나는 데 걸리는 시간이 이것이다 — 축전기가 자기 자신의 누설 저항으로 방전하는 시간 상수이기도 하다. 구리는 $10^{-19}$ s, 도핑 실리콘은 $10^{-12}$ s 근처, 좋은 절연체는 며칠이다. 2.3.2와 11.5에서 다시 나온다 — 반도체 안에서 다수 캐리어의 불균형이 사라지는 속도가 이 $\tau$이고, 그래서 준중성 근사가 성립한다.

표준 기하 셋

전기장을 손으로 구할 수 있는 세 기하는 대칭이 좋아 가우스 법칙으로 끝난다.

기하	전기장	$C$	$R$
평행판 (면적 $A$, 간격 $d$)	$E = Q/(\varepsilon A)$ 균일	$\dfrac{\varepsilon A}{d}$	$\dfrac{d}{\sigma A}$
동축 (반지름 $a < b$, 길이 $L$)	$E = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon L s}$	$\dfrac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}$	$\dfrac{\ln(b/a)}{2\pi\sigma L}$
동심 구 (반지름 $a < b$)	$E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}$	$\dfrac{4\pi\varepsilon\, ab}{b - a}$	$\dfrac{1}{4\pi\sigma}\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)$

동축의 경우만 적어 보면, 가우스 법칙으로 $E = Q/(2\pi\varepsilon L s)$이고

$$V = \int_a^b E\, ds = \frac{Q}{2\pi\varepsilon L}\ln\frac{b}{a} \;\Rightarrow\; C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}$$

5절 원통좌표의 $k = 0$ 항 $a_0 + b_0\ln s$가 정확히 이 전위다. $R$은 $\varepsilon/(\sigma C)$로 읽으면 된다.

동심 구에서 $b \to \infty$이면 고립된 구의 정전용량 $C = 4\pi\varepsilon a$가 나온다. 반지름 1 cm 구가 약 1 pF — 정전용량이 길이의 차원을 갖는다는 것을 기억해 두면 크기 감각이 선다.

직관

파라미터 연계 — 정전용량은 기하만의 함수다. $C$에 전하도 전압도 들어 있지 않다. 판을 두 배 가까이 하면 두 배, 면적을 두 배로 하면 두 배, 유전율을 두 배로 하면 두 배. MOS 커패시터 $C_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{ox}}/t_{\text{ox}}$(단위 면적당, 13.1)가 그대로 평행판이고, 게이트 스택 스케일링(14.5)은 이 한 식에서 $t_{\text{ox}}$를 줄이거나 $\varepsilon$을 키우거나의 두 갈래로 갈린다. 터널링 때문에 $t_{\text{ox}}$를 더 못 줄이자 $\varepsilon$을 키운 것이 high-k다.

동축의 $\ln(b/a)$는 반지름 비에만 의존하므로, 케이블을 통째로 두 배 키워도 단위 길이당 정전용량이 같다. 배선의 결합 커패시턴스가 배선 폭·간격의 비로 결정되어 공정 노드가 바뀌어도 단위 길이당 값이 크게 변하지 않는 이유가 이 로그다(21.7).

영상법으로 — 두 도선

반지름 $a$인 평행한 도선 두 가닥이 중심 간격 $D$로 놓여 있다. 단위 길이당 정전용량은? 3절 끝에서 말한 대로 선전하의 원통에 대한 영상은 크기가 같은 선전하다. 두 도선 표면이 등전위가 되도록 두 선전하 $\pm\lambda$를 각 도선 안쪽의 적절한 위치에 두면(반전점), 도선 사이 전압이 $(\lambda/\pi\varepsilon)\cosh^{-1}(D/2a)$로 나와

$$C' = \frac{\pi\varepsilon}{\cosh^{-1}(D/2a)} \;\approx\;\frac{\pi\varepsilon}{\ln(D/a)}\quad(D \gg a)$$

단위 길이당 값이다. 두 번째 근사는 도선이 멀 때로, 두 선전하를 도선 중심에 놓은 것과 같다. 반도체 배선 두 가닥의 결합 커패시턴스를 어림할 때 이 식이 첫 답이고, 한 가닥이 접지 평면 위에 있을 때는 평면의 영상을 써서 간격 $D = 2h$($h$는 평면에서의 높이)의 두 도선 문제로 바꾸면 $C'$의 두 배가 된다.

저항 쪽에서 — 면저항과 퍼짐 저항

저항 공식은 반도체에서 정전용량보다 더 자주 쓴다.

균일한 막대. 길이 $L$, 단면적 $A$이면 $R = L/(\sigma A)$. 두께 $t$의 얇은 층에서 길이 $L$, 폭 $W$인 직사각형은

$$R = \frac{L}{\sigma\, t\, W} = R_\square\,\frac{L}{W}, \qquad R_\square = \frac{1}{\sigma t}$$

$R_\square$가 면저항(sheet resistance, “옴 퍼 스퀘어”)이다. 정사각형($L = W$)의 저항이고, 정사각형이 몇 개 이어졌느냐로 저항을 센다. 확산층·폴리실리콘·금속 배선의 저항을 말할 때 전부 이 단위이고, 4점 탐침이 재는 것이 이것이다(11.2, 19.5).

단면이 변하는 막대. 단면적이 $A(x)$이면 얇은 조각의 저항 $dx/(\sigma A(x))$를 직렬로 더한다.

$$R = \int_0^L\frac{dx}{\sigma A(x)}$$

전류가 축 방향으로만 흐른다는 가정이 들어 있다 — 단면이 천천히 변할 때만 맞다.

퍼짐 저항. 반무한 도전 매질 표면에 반지름 $a$의 원판 전극을 붙이고 전류를 흘리면, 전류가 반구 모양으로 퍼져 나가 저항이 유한하게 수렴한다.

$$R_{\text{퍼짐}} = \frac{1}{4\sigma a}$$

반구 전극이면 $1/(2\pi\sigma a)$. 매질이 무한히 크지만 저항이 유한한 것은 전류 밀도가 $1/r^2$으로 죽어 먼 곳의 기여가 작기 때문이다. 작은 접촉이 큰 저항을 갖는 이유이고, 반도체 접촉 저항(12.6)과 스프레딩 저항 프로파일링(19.5)이 이 식에서 시작한다.

의문

저항을 구하는 두 길 중 어느 쪽이 맞는가? 단면이 변하는 막대에서 “얇은 조각을 직렬로” 더하면 전류가 축 방향으로만 흐른다고 가정한 것이고, “얇은 관을 병렬로” 더하면 전위가 단면 위에서 균일하다고 가정한 것이다. 둘 다 근사이고, 참값은 그 사이에 있다 — 직렬 가정은 참값보다 크고, 병렬 가정은 작다(변분 원리, 1.6.8). 두 값이 가까우면 안심해도 되고, 멀면 라플라스 방정식을 실제로 풀어야 한다 — 8절이다. 좁은 목을 지나는 배선, 접촉 구멍 주위의 전류 몰림(current crowding)이 실제로 그 경우다.

경계값 문제의 수치 해법(유한차분)

방정식을 산수로

영상법·변수분리법이 통하는 기하는 몇 개 안 된다. 게이트가 셋인 트랜지스터, 모서리가 둥근 배선, 두께가 다른 유전체 층 — 실제 소자 기하는 전부 해석해가 없다. 그럴 때는 라플라스 방정식을 격자 위의 산수로 바꾼다. 1.12.11타원형 PDE의 차분법과 경계 조건에서 타원형 PDE 일반의 차분법을 다뤘고, 여기서는 정전기 문제로 좁혀 한 번 끝까지 간다.

2차원, 간격 $h$인 정사각 격자를 놓는다. 한 점 $V_0$와 상하좌우 이웃 $V_1 \dots V_4$에 대해 테일러 전개(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)로

$$V(x \pm h, y) = V_0 \pm h\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{h^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \pm \frac{h^3}{6}\frac{\partial^3 V}{\partial x^3} + \cdots$$

둘을 더하면 홀수 차 항이 상쇄되어

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \approx \frac{V_1 + V_3 - 2V_0}{h^2}, \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \approx \frac{V_2 + V_4 - 2V_0}{h^2}$$

오차는 $h^2$ 차수다. 라플라스 방정식 $\partial_x^2 V + \partial_y^2 V = 0$에 넣으면

$$\boxed{\;V_0 = \tfrac{1}{4}\big(V_1 + V_2 + V_3 + V_4\big)\;}$$

각 점의 전위는 네 이웃의 평균이다 — 1절의 평균값 성질이 그대로 격자 위에 내려앉았다. 전하가 있으면(푸아송) 우변 $-\rho/\varepsilon$를 옮겨

$$V_0 = \tfrac{1}{4}\big(V_1 + V_2 + V_3 + V_4\big) + \frac{h^2\rho_0}{4\varepsilon}$$

그림 2.2-9. 왼쪽: 5점 스텐실 — 격자점의 전위는 네 이웃의 평균이다. 오른쪽: 위쪽 변만 100 V이고 나머지 세 변이 0 V인 정사각 홈통을 3×3 내부 격자로 푼 수렴값. 위쪽에 가까울수록 크고 좌우 대칭이며, 가운데 점 25.0 V는 네 변 평균의 결과다. 격자를 촘촘히 하면 4절의 급수해로 수렴한다.직접 작도

직관

공간적 직관. 이산화된 방정식은 격자점마다 하나씩, 미지수 개수만큼의 선형 연립방정식이다. $N \times N$ 내부 격자이면 미지수 $N^2$개, 방정식 $N^2$개. 계수 행렬은 대각에 $-4$, 이웃 자리에 $1$이 있는 희소 행렬 — 한 행에 0이 아닌 원소가 다섯 개뿐이다. $N = 1000$이면 미지수가 백만 개인데 0이 아닌 계수는 5백만 개뿐이다. 1.2의 가우스 소거를 그대로 쓰면 희소성이 깨져(fill-in) 메모리가 $N^4$으로 터지므로, 희소성을 지키는 반복법이나 희소 직접 해법을 쓴다.

반복법 — 평균이 될 때까지

가장 단순한 풀이는 “모든 점이 이웃의 평균이 될 때까지 고친다”이다. 경계값을 고정하고 내부를 아무 값(보통 0)으로 시작해서, 각 점을 이웃 평균으로 바꾸는 훑기(sweep)를 반복한다.

• 야코비(Jacobi) — 한 훑기 동안 이웃값은 이전 훑기의 값을 쓴다. 전부 갱신한 뒤 한꺼번에 바꾼다.
• 가우스–자이델(Gauss–Seidel) — 이웃값 중 이미 갱신된 것은 새 값을 쓴다. 저장 공간이 하나로 줄고 두 배쯤 빨리 수렴한다.
• SOR(successive over-relaxation) — 가우스–자이델이 고칠 양에 완화 인자 $\omega$를 곱해 더 많이 고친다.

$$V_0^{\text{new}} = V_0^{\text{old}} + \omega\left[\tfrac{1}{4}(V_1 + V_2 + V_3 + V_4) - V_0^{\text{old}}\right]$$

$\omega = 1$이 가우스–자이델이고 $1 < \omega < 2$가 과완화다. 정사각 격자에서 최적값은

$$\omega_{\text{opt}} = \frac{2}{1 + \sin\big(\pi/(N+1)\big)}$$

$N$이 크면 $\omega_{\text{opt}} \to 2$에 가까워진다. 세 방법을 1.12.6반복 해법과 수렴(야코비·가우스-자이델)에서 일반 연립방정식으로 다뤘고, 여기서는 같은 문제를 실제로 돌린 횟수를 적는다 — 위 그림의 홈통을 $N \times N$ 격자로 놓고 최대 변화가 $10^{-6}$ 아래로 떨어질 때까지 훑은 횟수다.

$N$	가우스–자이델	SOR ($\omega_{\text{opt}}$)
10	181	34
20	607	64
40	2,098	123

직관

그래프 직관 — 왜 $N^2$ 대 $N$인가. 야코비·가우스–자이델은 한 훑기에 정보가 한 칸만 전파된다. 경계의 정보가 격자 중심까지 닿으려면 $N/2$번, 그러고도 오차가 줄어드는 속도는 가장 느린 모드(4절의 $n = 1$)가 정한다. 그 모드의 감쇠율이 $1 - O(1/N^2)$이라 훑기 횟수가 $N^2$에 비례한다. 위 표에서 $N$을 두 배로 하면 횟수가 네 배 가까이 느는 것이 그것이다.

SOR은 완화 인자로 그 느린 모드를 골라 빠르게 죽인다. 감쇠율이 $1 - O(1/N)$이 되어 횟수가 $N$에 비례한다 — 표에서 두 배씩 는다. 백만 점 격자에서 이 차이는 천 배다. 그래도 최신 시뮬레이터는 SOR보다 다중격자(multigrid, 거친 격자에서 느린 모드를 먼저 잡는다)나 켤레기울기법을 쓴다. 원리는 같다 — 느린 모드를 어떻게 빨리 죽이느냐.

경계 조건을 격자에 심기

디리클레는 쉽다 — 경계 격자점의 값을 고정하고 갱신하지 않는다.

노이만($\partial V/\partial n = 0$, 대칭면이나 자유 표면)은 경계 바깥에 거울 점을 가정한다. 경계가 $x = 0$이고 $\partial V/\partial x = 0$이면 $V_3 = V_1$(바깥 점 = 안쪽 점)이므로

$$V_0 = \tfrac{1}{4}\big(2V_1 + V_2 + V_4\big)$$

경계 위 점도 내부처럼 갱신하되 이웃 하나가 두 번 세어진다. 3절의 영상법과 같은 논리다 — 대칭면 너머의 가짜 점이 경계 조건을 대신한다.

유전체 계면(수평선을 경계로 위가 $\varepsilon_1$, 아래가 $\varepsilon_2$)에서는 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V) = 0$을 계면을 가로지르는 작은 상자에서 적분한다. 계면 위 점 $V_0$에 대해 위 이웃 $V_2$, 아래 이웃 $V_4$, 계면 위의 좌우 이웃 $V_1$, $V_3$라 하면

$$V_0 = \frac{\varepsilon_1 V_2 + \varepsilon_2 V_4 + \tfrac{1}{2}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)(V_1 + V_3)}{2(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}$$

$\varepsilon_1 = \varepsilon_2$이면 보통의 평균으로 돌아간다. 이 식이 게이트 산화막·실리콘·필드 산화막이 만나는 모든 격자점에서 쓰인다.

주의

격자 간격 $h$가 정확도를 정한다 — 오차는 $h^2$. $h$를 반으로 줄이면 오차는 1/4, 격자점은 4배(2D), 훑기 횟수는 SOR로 2배 — 계산량은 8배다. 그래서 균일 격자를 쓰지 않는다. 전위가 급히 변하는 곳(접합, 채널 표면, 모서리)만 촘촘하게, 느리게 변하는 곳(기판 깊숙이)은 성기게. 비균일 격자에서는 위의 평균 공식이 거리로 가중된 형태로 바뀐다. 얼마나 촘촘해야 하는가의 기준이 6절의 디바이 길이다 — 전위가 그 길이 안에서 변하므로 격자는 그보다 작아야 한다. TCAD의 메싱(20.4)이 통째로 이 문제다.

반도체 소자 시뮬레이션으로

TCAD 소자 시뮬레이터(20부)가 매 바이어스 점마다 푸는 것이 정확히 이 절의 문제에 두 가지가 더해진 것이다.

① 우변이 $V$에 의존한다. 반도체 안의 전하는 $\rho = q(p - n + N_D^+ - N_A^-)$이고 $n$, $p$가 전위에 지수적으로 의존한다($n \propto e^{qV/kT}$). 방정식이 비선형이 된다. 뉴턴 반복 (1.12.2반복법과 뉴턴-랩슨)으로 선형화해서, 매 뉴턴 단계마다 위와 같은 선형 희소 연립방정식을 푼다. 1.3 끝에서 말한 “야코비 행렬의 고유값이 수렴을 정한다”가 이 자리다.

② 연속 방정식이 결합된다. 전하가 흐르므로 전자·정공의 연속 방정식(11.5)이 푸아송 방정식과 함께 풀린다. 미지수가 격자점마다 셋($V$, $n$, $p$)이 되고, 전류 항의 이산화에는 단순 차분 대신 샤르페터–구멜(Scharfetter–Gummel) 방식을 써야 지수적으로 변하는 캐리어 농도를 격자가 따라간다.

두 가지를 빼면 뼈대는 그대로다 — 격자, 5점(3D면 7점) 스텐실, 디리클레 접촉·노이만 자유 표면, 희소 행렬, 반복법. 이 절을 손으로 한 번 돌려 본 사람은 시뮬레이터가 왜 수렴하지 않는지(초기값이 나쁘거나, 메시가 성기거나, 경계 조건이 모순되거나)를 읽을 수 있다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다.

• MOS 정전기(13.1). 산화막 속은 1차원 라플라스(직선), 실리콘 속은 1차원 푸아송. 두 영역을 계면 조건 $\varepsilon_{\text{ox}}E_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{si}}E_{\text{si}}$로 잇는다 — 이 장의 2절과 8절의 계면 공식.
• 단채널 효과(14.1). 채널 속 2차원 푸아송 방정식을 4절의 변수분리로 풀어 자연 길이 $\lambda$를 얻는다. 게이트올어라운드는 5절의 원통좌표 판이다.
• 쇼트키 장벽(12.5). 3절의 영상력이 장벽을 $\sqrt{eE/4\pi\varepsilon_s}$만큼 낮춘다.
• 접촉·배선 저항(12.6, 21.7). 7절의 면저항·퍼짐 저항·두 도선 정전용량, 그리고 $RC$ 지연.
• 유전체(2.3)와 high-k(14.5). 6절의 쌍극자가 분극이 되고, 5절의 유전체 구가 분극률이 된다.
• TCAD(20부). 8절이 통째로.

전부 같은 방정식 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon$이고, 달라지는 것은 경계가 어디에 있고 무엇을 지정하느냐뿐이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 2.3 물질 내 전기장
• 2.6 전기역학
• 2.8 전자기파
• 2.9 퍼텐셜과 복사
• 8.12 유전·강유전·압전
• 9.4 흡착과 탈착