정자기학

정전기학이 멈춰 있는 전하가 만드는 장을 다뤘다면, 정자기학은 일정하게 흐르는 전류가 만드는 장을 다룬다. 전하가 움직이면 전기장 말고 하나가 더 생기고, 그 장은 움직이는 전하에만 힘을 준다. 그것이 자기장 $\mathbf{B}$ 다.

이 장의 결론도 두 줄이다. 하나는 $\mathbf{B}$ 는 발산이 없고 회전이 전류다 ($\nabla\cdot\mathbf{B}=0$, $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}$)라는 것이고, 다른 하나는 그 결과로 $\mathbf{B}$ 는 스칼라가 아니라 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 에서 나온다 ($\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$)는 것이다. 정전기학의 $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$, $\nabla\times\mathbf{E}=0$, $\mathbf{E}=-\nabla V$ 와 자리를 정확히 맞바꾼 구조라서, 이 장은 2.1을 거울에 비춰 읽는 장이기도 하다. 마지막 절에 그 대응표를 둔다.

반도체 소자 안에서 자기장이 주역인 자리는 많지 않다. 그러나 캐리어 농도를 재는 홀 측정(19.5.5), 유효질량을 재는 사이클로트론 공명(7.6.7), 스퍼터 장비의 마그네트론(18.10.4), MRAM의 자기터널접합(10.11.8·15.11.3), 이온 주입기의 질량 분석 자석이 전부 이 장의 식 몇 개 위에 서 있다. 그리고 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 는 양자역학(5.5.7)과 고체물리(7.8.8)에서 자기장 자체보다 더 근본적인 양으로 다시 나타난다.

로렌츠 힘 법칙과 전류

직관

전기력은 전하가 있기만 하면 민다. 자기력은 전하가 움직여야 받고, 그것도 움직이는 방향에 수직으로만 민다. 이 한 가지 차이가 이 장의 모든 기하를 결정한다. 수직으로만 미는 힘은 속력을 바꾸지 못하고 방향만 돌리므로, 자기장 안의 전하는 원을 그리고, 자기력은 일을 하지 않으며, 힘의 식에 외적이 들어간다.

기호 — 이 장의 약속

전자기학은 같은 글자가 두세 가지 뜻으로 쓰이는 대표적인 과목이다. 이 장에서 쓰는 기호를 먼저 못박는다. 표기는 Griffiths를 따르고, Sadiku가 다르게 쓰는 것은 표에 함께 적었다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{B}$	자기장	Griffiths는 자기장, Sadiku·HRW는 자속밀도. 같은 양이다	T (테슬라)
$\mathbf{H}$	보조장	진공에서 $\mathbf{B}/\mu_0$. 6절에서 잠깐, 본격적으로는 2.5	A/m
$\mu_0$	진공 투자율	$4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$	N/A²
$Q$, $q$	전하	대문자는 시험 전하·전체 전하, 소문자는 캐리어 하나의 전하	C
$\mathbf{v}$, $V$	속도 · 전위	굵은 소문자는 속도, 대문자 $V$ 는 전기 스칼라 퍼텐셜	m/s · V
$V_m$	자기 스칼라 퍼텐셜	6절. $\mathbf{H}=-\nabla V_m$ (Sadiku 표기)	A
$\mathbf{A}$	벡터 퍼텐셜	5절. $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$. 넓이 $a$·면적벡터 $\mathbf{a}$ 와 구분	T·m
$I$, $\mathbf{K}$, $\mathbf{J}$	선·면·부피 전류	1절. 전하 밀도 $\lambda$·$\sigma$·$\rho$ 와 짝	A · A/m · A/m²
$\mathbf{r}$, $\mathbf{r}'$	장점 · 원천점	프라임이 붙으면 전류가 있는 자리, 적분 변수	m
$\boldsymbol{\mathcal{R}}$	분리 벡터	$\mathbf{r}-\mathbf{r}'$. Griffiths의 필기체 r, Sadiku의 $\mathbf{R}$	m
$d\tau'$	부피 요소	1.1의 $dV$. 이 장은 $V$ 를 전위로 쓰므로 $\tau$ 로 바꾼다	m³
$\mathbf{m}$, $m$	자기 쌍극자 모멘트 · 질량	굵은 것은 모멘트(7절), 가는 것은 질량(1절에서만)	A·m² · kg
$n$, $N$	감은 수	4절. 단위 길이당 감은 수와 전체 감은 수. 전자 농도가 아니다	1/m · —
$s$	원통 반지름	축에서의 거리. $\rho$ 는 전하 밀도로 쓰므로 Griffiths를 따라 $s$	m
$\hat{\boldsymbol{\phi}}$	방위각 단위벡터	원통좌표. 전류를 감아 도는 방향	—

주의

함정 넷.

① $\mathbf{B}$ 의 이름. 이 백과는 Griffiths를 따라 $\mathbf{B}$ 를 자기장이라 부른다. Sadiku·HRW는 $\mathbf{H}$ 를 자기장 세기, $\mathbf{B}$ 를 자속밀도라 부른다. 진공에서는 $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$ 라 비례 상수 차이뿐이고, 물질 안에서 둘이 갈라지는 이야기는 2.5의 몫이다. 힘을 받는 쪽, 즉 로렌츠 힘에 들어가는 쪽은 언제나 $\mathbf{B}$ 다.

② $n$ 이 전자 농도가 아니다. 4절의 솔레노이드에서 $n$ 은 단위 길이당 감은 수다. 반도체 장에서 $n$ 은 예외 없이 전자 농도이므로, 이 장 안에서만 뜻이 다르다.

③ $m$ 이 둘이다. 1절의 사이클로트론 운동에서 $m$ 은 질량이고, 7절부터 굵은 $\mathbf{m}$ 은 자기 쌍극자 모멘트다. 원자의 자기 모멘트를 쓸 때 전자 질량은 $m_e$ 로 적어 충돌을 피한다.

④ $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{a}$. 벡터 퍼텐셜은 대문자, 고리의 면적벡터는 소문자다. 7절의 $\mathbf{m}=I\mathbf{a}$ 에서 둘이 한 문단에 같이 나온다.

로렌츠 힘

전하 $Q$ 가 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직일 때 받는 힘은

$$\mathbf{F} = Q\,(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$$

이다. 이 식이 $\mathbf{B}$ 의 정의다. 전기장이 “단위 전하가 받는 힘”으로 정의되듯, 자기장은 “단위 전하가 단위 속도로 움직일 때 받는, 속도에 수직인 힘”으로 정의된다. 단위는 N/(A·m)이고 이것을 테슬라(T)라 부른다. $1\ \mathrm{T} = 10^4\ \mathrm{G}$(가우스)다.

자기장	크기
지구 자기장	$\sim 5\times10^{-5}\ \mathrm{T}$ (0.5 G)
마그네트론 스퍼터 표적 표면	$\sim 0.02\text{–}0.1\ \mathrm{T}$
홀 측정용 전자석	$\sim 0.5\text{–}1\ \mathrm{T}$
MRI · 초전도 자석	$1.5\text{–}10\ \mathrm{T}$

사이클로트론 운동

$\mathbf{E}=0$ 이고 $\mathbf{B}$ 가 균일하며 $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$ 이면, 힘의 크기는 $QvB$ 로 일정하고 방향은 늘 속도에 수직이다. 이것은 등속 원운동의 조건이다. 구심력과 놓으면

$$QvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad p = mv = QBR, \qquad \omega_c = \frac{v}{R} = \frac{QB}{m}$$

이다. 반지름 $R$ 은 운동량에 비례하고, 각진동수 $\omega_c$ 는 속력과 무관하다. 빠른 입자는 큰 원을, 느린 입자는 작은 원을 같은 시간에 한 바퀴 돈다. 이 $\omega_c$ 를 사이클로트론 진동수라 한다.

직관

파라미터 연계. $R = p/(QB)$ 한 줄이 이온 주입기의 질량 분석 자석이다. 에너지 $E_k$ 로 가속된 1가 이온의 운동량은 $\sqrt{2mE_k}$ 이므로 곡률 반지름은

$$R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mE_k}{q}}$$

이다. 같은 $B$ 에서 무거운 이온은 덜 휘어 다른 자리로 빠져나가고, 원하는 질량만 슬릿을 통과한다. 질량이 두 배인 이온을 같은 궤도에 올리려면 $B$ 를 $\sqrt2$ 배로 올리면 된다.

반도체 안에서는 $m$ 자리에 유효질량 $m^*$ 가 들어간다. 시료에 마이크로파를 쏘며 $B$ 를 바꾸면 $\omega = qB/m^*$ 에서 흡수가 튀고, 거기서 $m^*$ 를 읽는다 — 사이클로트론 공명(7.6.7)이다. 양자역학으로 가면 이 원운동이 $\hbar\omega_c$ 간격으로 양자화되어 란다우 준위(7.8.8)가 된다.

$\mathbf{v}$ 에 $\mathbf{B}$ 방향 성분이 있으면 그 성분은 힘을 받지 않으므로 원운동에 등속 직선운동이 겹쳐 나선이 된다. $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 서로 수직으로 함께 있으면 궤적은 사이클로이드가 되고, 한 주기 평균으로 보면 전하는 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 방향으로 속도 $E/B$ 로 흘러간다. 전하의 부호와 무관한 이 흐름을 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 드리프트라 하고, 마그네트론 스퍼터(18.10.4)가 전자를 표적 근처에 가둬 플라즈마 밀도를 올리는 원리가 정확히 이것이다.

자기력은 일을 하지 않는다

전하가 $d\mathbf{l}=\mathbf{v}\,dt$ 만큼 움직일 때 자기력이 한 일은

$$dW_{\text{mag}} = \mathbf{F}_{\text{mag}}\cdot d\mathbf{l} = Q\,(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}\,dt = 0$$

이다. 외적은 두 인자 모두에 수직이므로 $\mathbf{v}$ 와 내적하면 0이다. 자기력은 전하의 방향을 바꿀 뿐 에너지를 주지도 뺏지도 못한다. 사이클로트론 운동에서 속력이 일정한 것도, 자기장만으로는 입자를 가속할 수 없어 사이클로트론 가속기에 교류 전기장이 필요한 것도 이 때문이다.

의문

그러면 자석이 못을 들어 올릴 때 일은 누가 하는가. 전동기가 짐을 끌 때는? 둘 다 자기력이 하는 것처럼 보인다.

Griffiths의 답은 “자기력은 방향을 틀 뿐이고, 일은 언제나 다른 힘이 한다”이다. 전동기에서는 도선 속 전자가 자기력에 옆으로 밀리지만, 전자를 도선 안에 붙들어 두는 것은 전기력이고, 도선이 움직이면 그 속도가 다시 자기력에 들어가 전류 방향으로 역기전력이 생긴다. 결국 일은 전류를 유지하는 전지가 한다. 이 회계는 2.6.2 운동 기전력에서 다시 맞춘다.

그런데 7절에 나올 쌍극자에 걸리는 힘 $\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})$ 는 분명히 일을 한다 — 못을 들어 올리는 힘이 이것이다. 고전적인 전류 고리라면 위와 같은 논법으로 넘길 수 있지만, 전자의 스핀 모멘트에는 흐르는 전류가 없다. 스핀에 걸리는 힘이 하는 일을 어느 힘의 몫으로 돌려야 하는지 이 장에서는 답하지 못했다. 2.5.1과 5.6.2에서 다시 본다.

전류 — 선·면·부피

전류 $I$ 는 단위 시간에 한 점을 지나는 전하량이다(A = C/s). 선 전하 밀도 $\lambda$ 가 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직이면 $\mathbf{I}=\lambda\mathbf{v}$ 다. 전류가 도선 하나가 아니라 면이나 부피에 퍼져 있으면 밀도로 적는다.

전하 밀도	전류 밀도	정의	받는 힘
$\lambda$ (C/m)	$\mathbf{I} = \lambda\mathbf{v}$ (A)	선을 따라 흐르는 전류	$\displaystyle\int I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$
$\sigma$ (C/m²)	$\mathbf{K} = \sigma\mathbf{v}$ (A/m)	흐름에 수직인 단위 길이당 전류	$\displaystyle\int \mathbf{K}\times\mathbf{B}\,da$
$\rho$ (C/m³)	$\mathbf{J} = \rho\mathbf{v}$ (A/m²)	흐름에 수직인 단위 넓이당 전류	$\displaystyle\int \mathbf{J}\times\mathbf{B}\,d\tau$

힘의 식은 전부 로렌츠 힘 $\int (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\,dq$ 에서 나온다. 선 전류라면 $dq = \lambda\,dl$ 이고 $\lambda\mathbf{v}\,dl = I\,d\mathbf{l}$ 이므로 $\mathbf{F} = \int I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$ 이며, 정상 전류에서는 $I$ 가 도선을 따라 일정하므로 적분 밖으로 나온다.

여기서 $\rho$ 는 움직이는 전하의 밀도다. 금속 도선은 전체로는 중성이라 전하 밀도가 0이지만 전자만 움직이므로 $\mathbf{J}\neq0$ 이다. “전류는 있고 전하는 없는” 것이 보통의 도선이고, 그래서 정상 전류 주위에는 자기장만 있고 전기장은 없다. 반도체에서는 전자와 정공이 반대로 움직이며 같은 방향의 전류를 만든다 — $\mathbf{J} = q\,p\,\mathbf{v}_p - q\,n\,\mathbf{v}_n$ 인데 $\mathbf{v}_n$ 이 $\mathbf{v}_p$ 와 반대라 두 항이 더해진다(11.2).

연속 방정식과 정상 전류

전하는 생기거나 사라지지 않는다. 닫힌 곡면 $S$ 로 나가는 전류는 안의 전하가 주는 속도와 같아야 하므로, 발산정리(1.1.6면적분)로 미분형을 얻는다.

$$\oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = -\frac{d}{dt}\int_V \rho\,d\tau \quad\Longrightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$$

이것이 연속 방정식이다. 정자기학은 어디서도 전하가 쌓이지 않는 정상 전류 ($\partial\rho/\partial t = 0$)만 다루므로

$$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$$

이다. 정상 전류란 “시간에 따라 변하지 않는 흐름”이지 “전하가 정지해 있다”는 뜻이 아니다. 움직이는 점전하는 정상 전류가 아니다 — 지나가고 나면 그 자리의 전류가 사라지기 때문이다. 반도체의 연속 방정식(11.5.1)은 여기에 생성·재결합 항이 붙은 $\partial n/\partial t = (1/q)\nabla\cdot\mathbf{J}_n + G - R$ 꼴이고, 정상 상태에서도 $\nabla\cdot\mathbf{J}_n = q(R-G) \neq 0$ 일 수 있다. 전자 전류 하나만 보면 발산이 있고, 전자·정공 전류를 합친 전체 $\mathbf{J}$ 만 발산이 없다.

홀 효과

이 장의 식 가운데 소자 공학자가 가장 자주 쓰는 것은 로렌츠 힘의 가장 단순한 응용인 홀 효과다. 폭 $w$, 두께 $t$ 인 막대에 전류 $I$ 를 $x$ 방향으로 흘리고 $z$ 방향으로 $B$ 를 걸면, 캐리어는 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 방향으로 밀려 한쪽 옆면에 쌓인다. 쌓인 전하가 만드는 가로 전기장 $E_H$ 가 자기력과 비길 때까지 쌓이므로

$$qE_H = qv_dB \quad\Longrightarrow\quad E_H = v_dB = \frac{JB}{nq}, \qquad V_H = E_H\,w = \frac{IB}{nqt}$$

이다. 중간에 $J = nqv_d$ 를 썼다. 홀 계수 $R_H = E_H/(JB) = 1/(nq)$ 의 크기가 캐리어 농도를, 부호가 캐리어의 종류를 준다.

그림 2.4-1. 홀 막대. 전류가 오른쪽으로 흐를 때 전자는 왼쪽으로 움직이고 정공은 오른쪽으로 움직이지만, 전하 부호와 속도 방향이 함께 뒤집혀 v×B에 곱한 자기력은 둘 다 같은 변(아래)을 향한다. 그래서 아래 변에 쌓이는 것이 전자냐 정공이냐에 따라 홀 전압의 부호가 갈린다 — n형은 아래가 음, p형은 아래가 양이다.직접 작도

직관

그림에서 눈여겨볼 것은 전자와 정공이 같은 변으로 밀린다는 사실이다. 부호가 뒤집힌 전하는 같은 전류를 만들기 위해 반대로 움직이고, $q\mathbf{v}$ 는 그대로이므로 $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 도 그대로다. 갈리는 것은 힘의 방향이 아니라 쌓이는 전하의 부호다.

두 캐리어가 함께 있으면 둘 다 같은 변으로 밀려 서로 상쇄하고, 남는 것은 $R_H = (p\mu_p^2 - n\mu_n^2)/\big[q(p\mu_p+n\mu_n)^2\big]$ 이다. 이동도가 제곱으로 붙는 이유는, 각 캐리어가 옆으로 밀리는 정도가 표류 속도($\propto\mu$)에 비례하고 전류에 기여하는 몫도 $\mu$ 에 비례하기 때문이다. 그래서 $n=p$ 인 진성 반도체도 $\mu_n\neq\mu_p$ 이면 홀 전압이 0이 아니다. 유도와 측정 조건은 11.2.9와 19.5.5에서.

비오-사바르 법칙

정상 전류가 만드는 자기장은 비오-사바르 법칙이 준다. 선 전류에 대해

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{I\,d\mathbf{l}'\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}$$

이고, 면·부피 전류로는 $I\,d\mathbf{l}'\to\mathbf{K}\,da'\to\mathbf{J}\,d\tau'$ 로 바꾸면 된다.

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}\,d\tau'$$

여기서 $\boldsymbol{\mathcal{R}} = \mathbf{r}-\mathbf{r}'$ 는 전류 요소(원천점 $\mathbf{r}'$)에서 장을 구하는 점(장점 $\mathbf{r}$)으로 향하는 벡터이고, 적분은 원천점 위를 돈다. $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$ 는 진공 투자율이다. 2019년 SI 개정 이후로는 정의값이 아니라 측정값이지만 유효숫자 열 자리까지 같다.

그림 2.4-2. 비오-사바르 법칙의 기하. 전류 요소 I dl′에서 장점 P로 향하는 분리 벡터 𝓡와, 그 둘 모두에 수직인 dB. 요소의 방향과 𝓡가 이루는 각이 θ이면 dB의 크기는 sin θ에 비례해, 요소의 바로 앞뒤(θ = 0, π)에서는 0이고 옆(θ = π/2)에서 가장 세다. 자기장은 전류에서 뻗어 나오지 않고 전류를 감아 돈다.직접 작도

쿨롱 법칙과 나란히 놓으면 무엇이 같고 무엇이 다른지가 한눈에 보인다.

$$\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')\,\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}\,d\tau', \qquad \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}\,d\tau'$$

직관

수식적. 두 식은 같은 $1/\mathcal{R}^2$ 핵을 쓴다. 다른 것은 원천이 스칼라 $\rho$ 냐 벡터 $\mathbf{J}$ 냐, 그리고 그 차이 때문에 붙은 외적뿐이다. $1/\mathcal{R}^2$ 는 3차원 공간에서 점원이 퍼지는 기하가 강제하는 꼴이고(1.1.6면적분의 델타 함수와 발산정리), 외적은 1절의 로렌츠 힘이 외적이었던 것의 거울상이다 — 힘을 받는 쪽이 $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 이니 힘을 주는 쪽도 $\mathbf{J}\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}$ 이다.

공간적. 외적 때문에 $d\mathbf{B}$ 는 전류 요소에도, 분리 벡터에도 수직이다. 전기장이 전하에서 방사상으로 뻗는 것과 달리 자기장은 전류 둘레를 감는다. 오른손 엄지를 전류 방향에 두면 나머지 손가락이 $\mathbf{B}$ 가 도는 방향이다.

형태적. 요소 하나의 장은 $\sin\theta$ 로 각에 의존해 도넛 모양으로 퍼진다. 그러나 요소 하나는 실제로 존재할 수 없으므로(다음 주의), 우리가 보는 것은 언제나 요소들을 도선을 따라 더한 결과다.

주의

① 전류 요소 하나는 없다. $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ 이므로 정상 전류는 어디선가 시작해 어디선가 끝날 수 없다. 닫혀 있거나 무한대까지 뻗어야 한다. 그러니 $d\mathbf{B}$ 는 장부에 적는 항일 뿐이고, 물리적 의미가 있는 것은 도선 전체를 적분한 $\mathbf{B}$ 다. 요소 하나의 장이 앙페르 법칙을 만족하지 않는 것은 그래서 모순이 아니다.

② 움직이는 점전하에는 쓸 수 없다. $\mathbf{B} = (\mu_0/4\pi)\,q\mathbf{v}\times \hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}/\mathcal{R}^2$ 은 그럴듯해 보이지만 근사식이다. 점전하는 정상 전류가 아니고, 장이 전파되는 데 걸리는 시간(지연) 때문에 정확한 식은 2.9의 리에나르-비헤르트 퍼텐셜에서 나온다. 속도가 $c$ 보다 훨씬 느리면 근사가 잘 맞는다.

직선 전류

선분 도선의 장부터 구한다. 도선을 $z$ 축에 놓고 장점을 축에서 $s$ 만큼 떨어진 곳에 두면, 도선 위의 요소 $dz'$ 에서 장점을 본 각을 $\theta$ 라 할 때 $\lvert d\mathbf{l}'\times \hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}\rvert = dz'\cos\theta$, $\mathcal{R} = s/\cos\theta$, $z' = s\tan\theta$ 에서 $dz' = s\sec^2\theta\,d\theta$ 다. 넣으면 삼각함수가 깨끗이 정리된다.

$$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{\cos\theta}{s^2/\cos^2\theta}\,\frac{s}{\cos^2\theta}\,d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi s}\,(\sin\theta_2 - \sin\theta_1)$$

무한 직선이면 $\theta_1 = -\pi/2$, $\theta_2 = \pi/2$ 이므로

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$$

이다. 방향은 도선을 감아 도는 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 이고, 크기는 거리에 반비례한다.

직관

그래프. 점전하의 $1/r^2$ 이 아니라 $1/s$ 다. 무한 직선 전하의 전기장 $E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 s)$ 와 같은 꼴인데, 이유도 같다 — 요소 하나는 $1/\mathcal{R}^2$ 으로 죽지만 선을 따라 무한히 더하면 차원이 하나 내려간다. 4절의 앙페르 법칙으로 보면 더 직접적이다. 반지름 $s$ 인 원둘레 $2\pi s$ 에 $B$ 를 곱한 것이 $\mu_0 I$ 로 고정되니 $B\propto1/s$ 일 수밖에 없다. 선 전하의 전기장이 $1/s$ 인 것도 가우스 곡면의 옆면 넓이가 $2\pi s L$ 이기 때문이었다.

파라미터. 크기가 얼마나 되는지 감을 잡아 둔다. 1 A가 1 cm 밖에 만드는 장은 $2\times10^{-5}\ \mathrm{T}$, 지구 자기장의 절반이다. 칩 안의 배선에 1 mA가 흐를 때 1 μm 옆의 장은 $2\times10^{-4}\ \mathrm{T}$ 로 지구 자기장보다 크지만, 이 장이 옆 배선의 캐리어에 주는 힘은 전기장의 힘에 비해 $v_d/c$ 규모로 작아 무시된다. 배선의 자기장이 문제 되는 것은 힘이 아니라 GHz에서의 인덕턴스(2.6.4)이고, 그것은 이 장이 아니라 2.6의 주제다.

평행 도선 사이의 힘. 거리 $d$ 만큼 떨어진 두 무한 도선에 $I_1$, $I_2$ 가 흐르면 도선 2가 도선 1의 장 $\mu_0 I_1/(2\pi d)$ 안에 놓이므로, 단위 길이당 힘은

$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

이고 전류가 같은 방향이면 끌어당긴다. 로렌츠 힘의 외적을 두 번 쓰면 방향이 나온다. 2019년까지 암페어는 이 힘으로 정의됐다 — 1 m 떨어진 두 도선에 1 A씩 흘렀을 때 힘이 $2\times10^{-7}\ \mathrm{N/m}$ 인 전류. $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$ 이 정확한 값이었던 이유다.

원형 고리의 축 위

반지름 $R$ 인 원형 고리의 중심축 위 거리 $z$ 에서는, 대칭으로 축에 수직인 성분이 상쇄되고 축 성분만 남는다. 모든 요소에서 $\mathcal{R}^2 = R^2+z^2$ 이고 $d\mathbf{l}'\perp \boldsymbol{\mathcal{R}}$ 이며 축 성분의 비율이 $R/\mathcal{R}$ 이므로

$$B_z(z) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{2\pi R}{R^2+z^2}\,\frac{R}{\sqrt{R^2+z^2}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}$$

이다. 중심($z=0$)에서 $\mu_0 I/(2R)$ 이고, 멀리서는

$$B_z \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2z^3} = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{m}{z^3}, \qquad m \equiv I\pi R^2$$

로 $1/z^3$ 으로 죽는다. 여기 나온 $m = I\times(\text{넓이})$ 가 7절의 자기 쌍극자 모멘트이고, $\mu_0 m/(2\pi z^3)$ 은 쌍극자 축 위의 장이다. 고리 하나가 멀리서 보면 쌍극자라는 것을 이미 여기서 본 셈이다.

직관

그래프. $B_z(z)$ 는 $z=0$ 에서 최대인 종 모양이고, 반높이 폭은 대략 $1.5R$ 이며, 꼬리는 $1/z^3$ 이다. 고리를 키우면 중심의 장은 $1/R$ 로 약해지고 먼 곳의 장은 $R^2$ 으로 세진다 — 같은 전류가 더 큰 면적을 감싸므로 쌍극자 모멘트가 커지기 때문이다.

파라미터. 같은 고리 두 개를 $R$ 만큼 떨어뜨려 놓으면 가운데에서 $B_z$ 의 2계 도함수까지 상쇄되어 넓은 균일 영역이 생긴다. 이것이 헬름홀츠 코일이고, 홀 측정이나 자기 센서 교정처럼 균일한 약한 장이 필요한 자리에 쓴다. 균일한 강한 장이 필요하면 4절의 솔레노이드다.

비오-사바르 법칙은 $I$ 에 선형이므로 중첩이 성립한다. 여러 전류가 만드는 장은 각각의 장을 더한 것이고, 위의 두 결과를 잇고 겹쳐서 웬만한 도선 배치의 장은 만들 수 있다. 그러나 적분이 곧 지저분해지고, 대칭이 있는 경우는 4절의 앙페르 법칙이 훨씬 빠르다.

B의 발산과 회전

비오-사바르 법칙은 적분 공식이다. 정전기학에서 쿨롱 법칙으로부터 $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$, $\nabla\times\mathbf{E}=0$ 을 끌어냈듯, 여기서도 미분 법칙을 끌어내는 것이 이 절이다. 결과부터 적는다.

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0, \qquad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$$

유도

열쇠는 1.1.2기울기·발산·회전에서 확인한 항등식 하나다. 장점 $\mathbf{r}$ 에 대해 미분할 때

$$\frac{\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2} = -\nabla\!\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right)$$

이다. 비오-사바르 법칙에 넣고, 곱 규칙 $\nabla\times(f\mathbf{C}) = f\,\nabla\times\mathbf{C} - \mathbf{C}\times\nabla f$ 를 $f = 1/\mathcal{R}$, $\mathbf{C} = \mathbf{J}(\mathbf{r}')$ 에 쓴다. $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ 는 $\mathbf{r}$ 의 함수가 아니므로 $\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')=0$ 이고,

$$\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2} = -\mathbf{J}\times\nabla\!\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right) = \nabla\times\left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\mathcal{R}}\right)$$

이다. 회전이 적분 밖으로 나오므로

$$\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r}), \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}) \equiv \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\mathcal{R}}\,d\tau'$$

를 얻는다. $\mathbf{B}$ 는 어떤 벡터장의 회전이다. 회전의 발산은 언제나 0이므로

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0$$

이 곧바로 나온다. 여기 등장한 $\mathbf{A}$ 가 5절의 벡터 퍼텐셜이다. 발산 법칙은 비오-사바르 법칙의 외적 구조에서 자동으로 따라온 것이고, 전류가 무엇이든 성립한다.

회전은 한 단계 더 든다. $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$ 를 쓰면

$$\nabla\times\mathbf{B} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$$

이다. 둘째 항은 라플라시안이 적분 안으로 들어가 $\mathbf{J}(\mathbf{r}')$ 는 그대로 두고 $1/\mathcal{R}$ 에만 걸리므로, 1.1.6면적분의 $\nabla^2(1/\mathcal{R}) = -4\pi\delta^3(\boldsymbol{\mathcal{R}})$ 로 정리된다.

$$\nabla^2\mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}(\mathbf{r}')\, \nabla^2\!\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right)d\tau' = -\mu_0\int\mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,d\tau' = -\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})$$

첫째 항 $\nabla\cdot\mathbf{A}$ 는 0이다. $\nabla(1/\mathcal{R}) = -\nabla'(1/\mathcal{R})$ (프라임은 $\mathbf{r}'$ 에 대한 미분)을 쓰고 부분적분하면

$$\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{A} &= \frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}\cdot\nabla\!\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right)d\tau' = -\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}\cdot\nabla'\!\left(\frac{1}{\mathcal{R}}\right)d\tau' \\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{\mathbf{J}}{\mathcal{R}}\cdot d\mathbf{a}' + \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J}}{\mathcal{R}}\,d\tau' \end{aligned}$$

인데, 면적분은 전류가 없는 무한대 경계에서 사라지고 부피적분은 정상 전류의 조건 $\nabla'\cdot\mathbf{J}=0$ 으로 사라진다. 따라서

$$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$$

이다. 정상 전류라는 조건이 정확히 여기서 쓰였다. 회전 법칙은 발산 법칙과 달리 $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ 없이는 성립하지 않는다.

주의

그 조건이 빠지면 무엇이 깨지는지 확인해 두면 2.6이 쉬워진다. $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 의 양변에 발산을 취하면 좌변은 항등적으로 0인데 우변은 $\mu_0\nabla\cdot\mathbf{J} = -\mu_0\,\partial\rho/\partial t$ 다. 축전기가 충전되는 동안처럼 전하가 쌓이는 곳에서는 이 식이 자기모순이다. 맥스웰이 우변에 변위 전류 $\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$ 를 보태 모순을 지운 것이 2.6.6이고, 그 한 항이 전자기파를 낳는다.

두 식이 말하는 것

직관

물리적. $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 은 “자기 전하가 없다”는 말이다. 전기장은 양전하에서 나와 음전하로 들어가지만, 자기장의 유선은 어디서도 시작하거나 끝나지 않는다 — 닫히거나 무한대로 간다. 어떤 닫힌 곡면을 잡아도 들어오는 자속과 나가는 자속이 같다. 자기 홀극을 찾는 실험이 아직 하나도 성공하지 못했다는 사실이 이 식의 실험적 내용이고, 2.6.8에서 홀극이 있다면 맥스웰 방정식이 어떻게 바뀌는지 본다.

$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 는 “전류가 자기장의 소용돌이”라는 말이다. 전하가 전기장의 샘이라면 전류는 자기장의 소용돌이 중심이다. 1.1에서 회전을 작은 바퀴가 도는 양으로 읽었는데, 전류가 지나는 자리에 바퀴를 놓으면 돈다.

공간적. 발산이 없다는 것은 유선 그림이 언제나 정직하다는 뜻이기도 하다. 1.1에서 “유선이 빽빽한 곳이 장이 센 곳”이라는 관례는 발산이 없는 장에서만 정확하다고 했다. 전기장은 전하가 있는 곳에서 유선이 생기고 사라져 그 관례가 국소적으로 깨지지만, 자기장은 어디서든 유선의 밀도가 곧 $\lvert\mathbf{B}\rvert$ 다. 자속관(flux tube)이라는 개념이 자기장에서 자연스러운 이유다.

1.1.8곡선좌표계의 헬름홀츠 정리를 떠올리면 이 두 식이 정자기학의 전부라는 것도 보인다. 발산과 회전이 주어지고 무한대에서 충분히 빨리 죽는 벡터장은 유일하게 결정되며, 그 해는

$$\mathbf{F} = -\nabla U + \nabla\times\mathbf{W}, \qquad U = \frac{1}{4\pi}\int\frac{D}{\mathcal{R}}d\tau', \quad \mathbf{W} = \frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{C}}{\mathcal{R}}d\tau'$$

꼴이었다($D$ 는 발산, $\mathbf{C}$ 는 회전). $D=0$, $\mathbf{C}=\mu_0\mathbf{J}$ 를 넣으면 $\mathbf{W}$ 가 바로 위의 $\mathbf{A}$ 이고, $\nabla\times\mathbf{W}$ 가 비오-사바르 법칙이다. 비오-사바르 법칙은 새 물리가 아니라 두 미분 법칙을 헬름홀츠 정리로 적분한 것이다.

앙페르 법칙과 응용

$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 를 임의의 열린 곡면 $S$ 위에서 적분하고 스토크스 정리(1.1.6면적분)를 쓰면 적분형이 나온다.

$$\int_S(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{a} = \oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0\int_S\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$ $$\oint_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

이것이 앙페르 법칙이다. 닫힌 경로 $C$ 를 따라 $\mathbf{B}$ 를 적분한 값은 그 경로가 두르는 전류에 $\mu_0$ 를 곱한 것과 같다. 경로의 방향과 전류의 양의 방향은 오른손 규칙으로 맞춘다 — 손가락이 경로를 돌면 엄지가 전류의 양의 방향이다.

$I_{\text{enc}}$ 는 “경로 $C$ 를 경계로 하는 곡면을 지나는 전류”인데, 그 곡면은 $C$ 에 걸린 것이면 어느 것이라도 좋다. 두 곡면을 지나는 전류의 차는 두 곡면이 감싸는 닫힌 부피에서 나가는 순 전류이고, 그것은 $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ 이라 0이기 때문이다. 정상 전류가 아니면 이 자유가 깨진다는 것이 2.6.6에서 변위 전류가 필요한 또 하나의 이유다.

직관

앙페르 법칙과 가우스 법칙은 쓰임새가 같다. 둘 다 언제나 참이지만, 장을 실제로 구하는 데 쓸 수 있는 것은 대칭이 있어 $\mathbf{B}$ 를 적분 밖으로 꺼낼 수 있을 때뿐이다. 그런 대칭은 셋이다 — 무한 직선, 무한 평면, 무한 솔레노이드·토로이드. Griffiths의 말대로 “실용적으로 중요한 배치가 마침 대칭이 있는 배치와 일치하는 것은 순전한 행운”이다. 대칭이 없으면 비오-사바르로 돌아가거나 5절의 벡터 퍼텐셜을 푼다.

무한 직선 전류와 굵은 도선

전류 $I$ 가 흐르는 무한 직선 도선을 두르는 반지름 $s$ 의 원을 잡는다. 대칭으로 $\mathbf{B}$ 는 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 방향이고 원 위에서 크기가 같으므로

$$B\cdot 2\pi s = \mu_0 I \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi s}$$

이다. 2절의 적분이 한 줄로 끝났다. 도선이 반지름 $a$ 이고 전류가 단면에 고르게 퍼져 있으면 ($J = I/\pi a^2$), 안쪽에서는 경로가 두르는 전류가 $I s^2/a^2$ 로 줄어든다.

$$B(s) = \begin{cases} \dfrac{\mu_0 I}{2\pi a^2}\,s & (s\le a) \\[1.2em] \dfrac{\mu_0 I}{2\pi s} & (s\ge a) \end{cases}$$

그림 2.4-3. 굵은 도선 안팎의 자기장. 도선 안에서는 두르는 전류가 s²으로 늘고 둘레는 s로 늘어 B가 s에 비례해 오르고, 표면에서 최대 μ₀I/2πa를 찍은 뒤 밖에서는 1/s로 죽는다. 두 곡선은 표면에서 값이 이어지지만 기울기는 꺾인다 — 표면에 면 전류가 없으므로 값이 뛰지 않고, 부피 전류가 끝나므로 기울기만 바뀐다(8절).직접 작도

직관

그래프. 안쪽의 직선과 바깥의 쌍곡선이 $s=a$ 에서 만난다. 값이 이어지는 것은 도선 표면에 면 전류 $\mathbf{K}$ 가 없기 때문이고(8절의 경계 조건), 기울기가 꺾이는 것은 $s=a$ 를 지나며 $\nabla\times\mathbf{B}$ 가 $\mu_0 J$ 에서 0으로 바뀌기 때문이다. 원통좌표에서 $(\nabla\times\mathbf{B})_z = (1/s)\,d(sB_\phi)/ds$ 이므로 안쪽에서는 $sB \propto s^2$, 바깥에서는 $sB =$ 상수다. 같은 꼴을 2.1의 균일하게 대전된 구 안팎의 전기장($r$ 에 비례하다 $1/r^2$)에서 봤다.

무한 평면 전류

$xy$ 평면 위에 면 전류 $\mathbf{K} = K\hat{x}$ 가 흐른다. 대칭으로 $\mathbf{B}$ 는 평면에 평행하고 $\mathbf{K}$ 에 수직이며($\hat{y}$ 방향), 평면 위아래에서 반대다. 평면을 가로지르는 직사각형 경로(폭 $l$, $\mathbf{K}$ 에 수직)를 잡으면 두 긴 변만 기여하므로 $2Bl = \mu_0 Kl$ 에서

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{2}\,\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}$$

이다. $\hat{\mathbf{n}}$ 은 평면에서 장점 쪽으로 향하는 법선이다. 평면에서 얼마나 떨어졌든 크기가 $\mu_0 K/2$ 로 일정하다 — 무한 대전 평면의 전기장 $\sigma/(2\varepsilon_0)$ 가 거리에 무관했던 것과 같은 이유다. 방향만 다르다. 전기장은 평면에 수직이고, 자기장은 평면에 평행하며 전류에 수직이다.

솔레노이드와 토로이드

반지름 $R$, 단위 길이당 $n$ 번 감긴 무한 솔레노이드에 전류 $I$ 가 흐른다. 대칭 논증이 셋 필요하다. ① 방사 성분은 없다 — 전류 방향을 뒤집으면 $\mathbf{B}$ 가 뒤집혀야 하는데, 방사 성분은 솔레노이드를 위아래로 뒤집어 본 것과 같아야 하므로 모순. ② 방위각 성분은 없다 — 축을 중심으로 한 원 경로가 두르는 전류가 0이다. ③ 축 방향 성분은 바깥에서 0이다 — 바깥의 두 반지름을 잇는 직사각형 경로가 두르는 전류가 0이므로 축 성분이 바깥에서 상수인데, 무한대에서 0이어야 하므로 전부 0.

이제 한 변은 안, 한 변은 밖에 놓인 직사각형 경로를 잡는다. 두르는 전류는 $nlI$ 이고 안쪽 변만 기여하므로

$$Bl = \mu_0 nlI \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B} = \begin{cases} \mu_0 nI\,\hat{z} & (\text{안}) \\ 0 & (\text{밖}) \end{cases}$$

이다. 안에서 균일하고, 반지름 $R$ 에 무관하며, 축에서 얼마나 떨어졌든 같다.

그림 2.4-4. 무한 솔레노이드의 앙페르 경로. 감은 도선을 단면으로 자르면 위쪽 줄은 지면 밖으로(⊙), 아래쪽 줄은 지면 안으로(⊗) 흐르는 전류가 된다. 한 변을 안에, 한 변을 밖에 둔 직사각형 경로에서 밖의 변은 B가 0이라 기여하지 않고 짧은 두 변은 B에 수직이라 기여하지 않으므로, 안쪽 변의 B·l이 경로가 두르는 전류 μ₀(nl)I와 같다. 경로를 안에서 어디로 옮겨도 같은 식이 나오므로 안의 장은 균일하다.직접 작도

토로이드(도넛 모양으로 감은 코일, 전체 $N$ 번)는 축을 중심으로 한 원 경로가 코일 안에서 $NI$ 를 두르고 밖에서 0을 두르므로

$$\mathbf{B} = \frac{\mu_0 NI}{2\pi s}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\ (\text{안}), \qquad \mathbf{B} = 0\ (\text{밖})$$

이다. 단면이 원이든 사각이든 상관없고, 안에서 $1/s$ 로 변한다. 밖으로 장이 새지 않아 인덕터와 변압기 코어로 쓴다.

주의

솔레노이드의 $n$ 은 단위 길이당 감은 수(1/m), 토로이드의 $N$ 은 전체 감은 수다. 반도체 장의 $n$(전자 농도, 1/cm³)·$N_D$(도너 농도)와 글자가 같고 심지어 둘 다 “개수 밀도”라 뜻까지 비슷해서 헷갈리기 좋다. 이 장 안에서 $n$ 은 감은 수뿐이다.

직관

파라미터 연계. $B = \mu_0 nI$ 에는 반지름이 없다. 장의 크기는 감은 밀도와 전류가 정하고, 반지름은 자속 $\Phi = B\pi R^2 = \mu_0 nI\pi R^2$ 에만 들어간다. 길이 $l$ 의 솔레노이드에는 $nl$ 번 감겨 있으니 전체 쇄교 자속은 $nl\Phi = \mu_0 n^2\pi R^2 l\,I$ 이고, 전류에 붙은 계수 $L = \mu_0 n^2 \pi R^2 l$ 이 2.6.4의 인덕턴스다. 감은 수를 두 배로 하면 $B$ 는 두 배, $L$ 은 네 배다. 이 장의 정적인 계산이 2.6의 동적인 양을 이미 정해 두고 있다.

정자기학의 방정식

여기까지로 정자기학의 법칙이 다 모였다. 정전기학과 나란히 적는다.

	정전기학	정자기학
원천	전하 $\rho$ (정지)	전류 $\mathbf{J}$ (정상, $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$)
발산	$\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$	$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$
회전	$\nabla\times\mathbf{E} = 0$	$\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$
적분형 (발산)	$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$ (가우스)	$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0$
적분형 (회전)	$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = 0$	$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$ (앙페르)
힘	$\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$	$\mathbf{F} = Q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$

이 네 미분 법칙에 로렌츠 힘을 더한 것이 시간에 변하지 않는 전자기학의 전부다. 전하와 전류가 시간에 따라 변하면 $\nabla\times\mathbf{E}$ 와 $\nabla\times\mathbf{B}$ 에 항이 하나씩 붙고(2.6), 그러면 맥스웰 방정식이 완성된다. 발산 법칙 둘은 그때도 그대로다.

벡터 퍼텐셜과 게이지

정전기학에서 $\nabla\times\mathbf{E}=0$ 이 $\mathbf{E}=-\nabla V$ 를 허락했다. 회전이 없는 장은 기울기로 적을 수 있기 때문이다(1.1.8곡선좌표계). 자기장은 회전이 있으므로 그 길이 막히지만, 대신 $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 이 다른 길을 연다. 발산이 없는 장은 회전으로 적을 수 있다.

$$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$$

이 $\mathbf{A}$ 가 벡터 퍼텐셜이다. 3절에서 이미 그 명시적 꼴을 봤다.

게이지 자유

$V$ 에 상수를 더해도 $\mathbf{E}$ 가 변하지 않듯, $\mathbf{A}$ 에 임의의 스칼라장의 기울기를 더해도 $\mathbf{B}$ 는 변하지 않는다. 기울기의 회전은 0이기 때문이다.

$$\mathbf{A} \to \mathbf{A} + \nabla\lambda \quad\Longrightarrow\quad \nabla\times\mathbf{A} \to \nabla\times\mathbf{A} + \nabla\times\nabla\lambda = \nabla\times\mathbf{A}$$

이것을 게이지 변환이라 한다. $V$ 의 자유가 숫자 하나였다면 $\mathbf{A}$ 의 자유는 함수 하나 전체다. 이 자유를 써서 $\mathbf{A}$ 에 조건 하나를 더 걸 수 있는데, 정자기학에서 편한 선택은

$$\nabla\cdot\mathbf{A} = 0 \qquad (\text{쿨롱 게이지})$$

이다. 언제나 가능하다. 어떤 $\mathbf{A}_0$ 의 발산이 0이 아니면 $\nabla^2\lambda = -\nabla\cdot\mathbf{A}_0$ 를 푸는 $\lambda$ 를 더하면 되고, 이것은 푸아송 방정식이라 언제나 해가 있다.

$$\lambda(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\mathbf{A}_0(\mathbf{r}')}{\mathcal{R}}\,d\tau'$$

직관

게이지 자유는 결함이 아니라 여유다. 물리량은 $\mathbf{B}$ 이고 $\mathbf{A}$ 는 그것을 만드는 장치이므로, 장치가 여러 개면 계산에 편한 것을 고르면 된다. 쿨롱 게이지는 정자기학의 식을 푸아송 방정식으로 만들어 준다. 시간에 따라 변하는 장에서는 로렌츠 게이지 $\nabla\cdot\mathbf{A} = -\mu_0\varepsilon_0\,\partial V/\partial t$ 가 파동 방정식을 만들어 줘서 그쪽을 쓴다(2.9). 양자역학의 란다우 준위에서는 란다우 게이지와 대칭 게이지가 완전히 다른 모양의 파동함수를 내놓는데, 아래 의문에서 그 이야기로 돌아온다.

벡터 퍼텐셜의 방정식

쿨롱 게이지에서 $\nabla\times\mathbf{B} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A} = -\nabla^2\mathbf{A}$ 이므로

$$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$$

이다. 정전기학의 푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ 과 같은 꼴이 성분마다 하나씩, 셋이다. 그 해도 정전기학의 $V = (1/4\pi\varepsilon_0)\int\rho/\mathcal{R}\,d\tau'$ 과 같은 꼴이다.

$$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\mathcal{R}}\,d\tau', \qquad \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{K}}{\mathcal{R}}\,da', \qquad \mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I}{\mathcal{R}}\,d\mathbf{l}'$$

3절에서 나온 것과 같은 $\mathbf{A}$ 다. 전류가 무한대까지 뻗어 있으면 이 적분이 발산하므로 (무한 직선 도선이 그렇다) 그때는 $V$ 에서 그랬듯 미분 방정식으로 돌아가 직접 푼다.

주의

$\nabla^2\mathbf{A}$ 가 “성분마다 푸아송”인 것은 직교좌표에서만이다. 원통·구 좌표에서는 단위벡터가 위치에 따라 돌기 때문에(1.1.7발산정리와 스토크스 정리) $(\nabla^2\mathbf{A})_s \neq \nabla^2(A_s)$ 다. 벡터 라플라시안은 정의상 $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})$ 이고, 곡선좌표에서는 그 정의로 돌아가 계산해야 한다. 위의 적분 공식은 성분이 직교좌표 성분일 때만 성분별로 쓸 수 있다.

$\mathbf{A}$ 는 대체로 전류와 같은 방향을 향한다. $V$ 가 전하가 있는 곳에서 높듯, $\mathbf{A}$ 는 전류가 흐르는 곳에서 전류 방향으로 크다. 적분 공식의 피적분함수가 $\mathbf{J}$ 에 양의 스칼라를 곱한 것이니 당연하다. 이 감각이 있으면 $\mathbf{A}$ 를 그려 볼 수 있다.

자속과 벡터 퍼텐셜

스토크스 정리를 쓰면 $\mathbf{A}$ 의 물리적 의미가 하나 드러난다. 경로 $C$ 를 경계로 하는 곡면 $S$ 를 지나는 자속은

$$\Phi = \int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = \int_S(\nabla\times\mathbf{A})\cdot d\mathbf{a} = \oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$$

이다. $\mathbf{A}$ 를 닫힌 경로로 한 바퀴 적분하면 그 경로를 지나는 자속이다. 앙페르 법칙이 $\mathbf{B}$ 의 순환을 전류에 잇듯, 이 식은 $\mathbf{A}$ 의 순환을 자속에 잇는다. 대칭이 있으면 $\mathbf{B}$ 를 앙페르 법칙으로 구하듯 $\mathbf{A}$ 를 이 식으로 구할 수 있다.

예 — 무한 솔레노이드. 4절의 $\mathbf{B} = \mu_0 nI\hat{z}$(안), $0$(밖)에서 축을 중심으로 한 반지름 $s$ 의 원 경로를 잡으면 $\mathbf{A}$ 는 대칭으로 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 방향이고

$$A\cdot2\pi s = \Phi(s) = \begin{cases} \mu_0 nI\,\pi s^2 & (s\le R) \\ \mu_0 nI\,\pi R^2 & (s\ge R) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{A} = \begin{cases} \dfrac{\mu_0 nI}{2}\,s\,\hat{\boldsymbol{\phi}} & (s\le R) \\[1em] \dfrac{\mu_0 nI R^2}{2s}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} & (s\ge R) \end{cases}$$

이다. 눈여겨볼 것은 바깥이다. 바깥에서 $\mathbf{B}=0$ 인데 $\mathbf{A}\neq0$ 이다. $\mathbf{A}$ 의 회전은 0이지만 $\mathbf{A}$ 자체는 $1/s$ 로 남아 있고, 그것이 안쪽의 자속을 “기억”한다. 이 사실이 아래의 의문으로 이어진다.

예 — 균일한 자기장. $\mathbf{B}$ 가 상수이면 $\mathbf{A} = \tfrac12\,\mathbf{B}\times\mathbf{r}$ 이 한 답이다. $\nabla\times(\mathbf{B}\times\mathbf{r}) = \mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{r}) - (\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{r} = 3\mathbf{B} - \mathbf{B} = 2\mathbf{B}$ 로 확인된다. $\mathbf{B} = B\hat{z}$ 이면 $\mathbf{A} = \tfrac12 B(-y\hat{x} + x\hat{y})$ 인데, 이것이 대칭 게이지다. 같은 $\mathbf{B}$ 를 $\mathbf{A} = Bx\hat{y}$ 로 적은 것이 란다우 게이지이고, 둘의 차는 $\nabla(\tfrac12 Bxy)$ 로 정확히 게이지 변환이다.

예 — 무한 직선 도선. $\mathbf{B} = \mu_0 I/(2\pi s)\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 를 회전으로 주는 $\mathbf{A}$ 는 전류와 나란한 $z$ 성분만 갖고, $(\nabla\times\mathbf{A})_\phi = -dA_z/ds$ 에서

$$\mathbf{A} = -\frac{\mu_0 I}{2\pi}\,\ln\frac{s}{s_0}\,\hat{z}$$

이다. 무한 직선 전하의 전위 $V = -(\lambda/2\pi\varepsilon_0)\ln(s/s_0)$ 와 같은 로그 꼴이고, 같은 이유로 무한대에서 0으로 둘 수 없어 기준 반지름 $s_0$ 가 남는다.

직관

$V$ 와 $\mathbf{A}$ 의 대응.

	$V$	$\mathbf{A}$
정의	$\mathbf{E} = -\nabla V$	$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$
근거	$\nabla\times\mathbf{E} = 0$	$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$
자유	상수 하나	스칼라장의 기울기 $\nabla\lambda$
방정식	$\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$	$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$ (쿨롱 게이지)
적분해	$\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\frac{\rho}{\mathcal{R}}d\tau'$	$\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\frac{\mathbf{J}}{\mathcal{R}}d\tau'$
선적분	$-\displaystyle\int_a^b\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = V(b)-V(a)$	$\displaystyle\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l} = \Phi$
단위	V = J/C	T·m = (N·s)/(C)

단위를 보면 $\mathbf{A}$ 의 정체가 하나 더 보인다. $Q\mathbf{A}$ 는 운동량의 단위다. 실제로 자기장 안의 전하가 갖는 정준 운동량은 $\mathbf{p} = m\mathbf{v} + Q\mathbf{A}$ 이고 (5.5.7), 맥스웰은 $\mathbf{A}$ 를 “단위 전하당 전자기 운동량”이라 불렀다. $V$ 가 단위 전하당 에너지이듯 $\mathbf{A}$ 는 단위 전하당 운동량이다.

의문

게이지 자유가 있는 양이 물리적일 수 있는가. 고전 전자기학에서는 “아니다, $\mathbf{A}$ 는 계산 장치이고 $\mathbf{B}$ 만 물리적이다”가 표준 답이고, 솔레노이드 바깥의 $\mathbf{A}\neq0$ 도 그저 수학이다.

양자역학은 답을 뒤집는다. 솔레노이드 바깥으로 전자를 두 갈래로 보내 간섭시키면, 두 경로 사이의 위상차가 $(Q/\hbar)\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l} = Q\Phi/\hbar$ 만큼 생겨 간섭무늬가 움직인다 — 전자가 지나는 곳에는 $\mathbf{B}$ 가 없는데도. 아로노프-봄 효과다. 여기서 물리적인 것은 $\mathbf{A}$ 의 국소값이 아니라 게이지 불변인 조합 $\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$ 이고, 그것은 자속이라 결국 $\mathbf{B}$ 로 적힌다. 그러나 “전자가 있는 곳의 $\mathbf{B}$” 로는 적히지 않는다. 물리량이 국소적이지 않을 수 있다는 것이 이 효과의 내용이고, 초전도체의 자속 양자화(7.14.8)와 조지프슨 효과가 같은 뿌리다.

여기서 하나가 남는다. 균일한 $B$ 안의 전자를 란다우 게이지로 풀면 한 방향 평면파에 조화진동자 함수를 곱한 띠 모양 고유함수가 나오고, 대칭 게이지로 풀면 각운동량 고유상태인 고리 모양 고유함수가 나온다. 에너지는 같고 축퇴가 크다는 것은 안다. 그러나 축퇴 공간 안에서 두 기저를 잇는 변환이 정확히 게이지 변환 $e^{iQ\lambda/\hbar}$ 와 어떻게 맞물리는지, 그리고 그 축퇴가 양자 홀 효과(10.4.7)의 평탄한 띠와 어떻게 이어지는지는 5.5.7과 7.8.8에서 풀어야 할 숙제로 둔다.

자기 스칼라 퍼텐셜

전류가 없는 영역에서는 $\nabla\times\mathbf{B} = 0$ 이므로 정전기학과 똑같이 스칼라 퍼텐셜을 쓸 수 있다. 진공에서 $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$ (단위 A/m)로 두고, Sadiku의 표기를 따라

$$\mathbf{H} = -\nabla V_m \qquad(\mathbf{J} = 0\ \text{인 곳})$$

로 적는다. $V_m$ 의 단위는 A다. 여기에 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 을 넣으면

$$\nabla^2 V_m = 0$$

으로 라플라스 방정식이다. 전류가 없는 영역의 자기장 문제는 2.2의 경계값 문제와 수학이 완전히 같다 — 변수분리, 영상법, 다중극 전개, 유한차분이 전부 그대로 쓰인다. 영구자석이나 연철 사이의 장, 자기 차폐 상자 안의 장 같은 문제가 이 길로 풀린다.

다가성 — 전류를 두르면 값이 뛴다

$V_m$ 에는 $V$ 에 없는 함정이 하나 있다. 무한 직선 전류의 $\mathbf{H} = I/(2\pi s)\, \hat{\boldsymbol{\phi}}$ 를 $-\nabla V_m$ 으로 적으려면 $(\nabla V_m)_\phi = (1/s)\, \partial V_m/\partial\phi$ 에서

$$V_m = -\frac{I}{2\pi}\,\phi$$

여야 한다. 도선을 한 바퀴 돌면 $\phi$ 가 $2\pi$ 늘어 $V_m$ 이 $-I$ 만큼 뛴다. 같은 자리로 돌아왔는데 값이 다르다. 앙페르 법칙이 그 이유를 말해 준다 — $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{enc}}$ 이므로 전류를 두르는 경로에서는 $-\oint\nabla V_m\cdot d\mathbf{l} = I_{\text{enc}} \neq 0$ 이고, 이것은 $V_m$ 이 한 값을 가질 수 없다는 뜻이다.

그림 2.4-5. 선 전하와 선 전류. 왼쪽 선 전하의 등전위선은 동심원이고 E는 방사상이다. 오른쪽 선 전류에서는 역할이 맞바뀌어 B가 동심원을 돌고 V_m의 등전위선이 방사상 직선이 된다. 방사상 등전위선은 φ에 비례하는 V_m의 모양이고, 한 바퀴 돌면 값이 I만큼 뛰므로 어느 한 직선(장벽)을 골라 거기서 뛰게 두어야 한 값 함수가 된다.직접 작도

직관

형태적. 그림에서 두 그림이 서로의 90° 회전이라는 것을 눈여겨본다. 선 전하의 등전위선(원)이 선 전류의 유선이 되고, 선 전하의 유선(방사선)이 선 전류의 등전위선이 된다. $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 크기 분포는 둘 다 $1/s$ 로 같고, 방향만 서로 수직이다. 2차원 정전기학에서 등전위선과 유선이 서로의 켤레 조화함수라는 사실(1.4 복소해석)이 여기서 “전하와 전류를 바꾸면 둘이 자리를 바꾼다”로 나타난다.

해결은 영역을 단순연결로 만드는 것이다. 전류를 두르지 못하도록 임의의 면(장벽)을 하나 긋고 그 면을 가로지르지 않기로 하면, 남은 영역에서 $V_m$ 은 한 값이고 장벽을 사이에 두고 $I$ 만큼 뛴다. 장벽을 어디에 긋든 $\mathbf{H}$ 는 같다. 전류가 없고 단순연결인 영역에서만 $V_m$ 이 정전기학의 $V$ 처럼 행동한다.

전류 고리의 스칼라 퍼텐셜

닫힌 전류 고리 바깥에서 $V_m$ 은 놀랄 만큼 기하적인 꼴을 갖는다.

$$V_m(\mathbf{r}) = \frac{I}{4\pi}\,\Omega(\mathbf{r})$$

$\Omega(\mathbf{r})$ 는 점 $\mathbf{r}$ 에서 고리를 바라본 입체각이고, 고리의 오른손 법선이 향하는 쪽에서 봤을 때 양으로 잡는다. 고리에 가까이 다가가 그 면을 뚫고 지나면 $\Omega$ 가 $+2\pi$ 에서 $-2\pi$ 로 뛰므로 $V_m$ 이 $I$ 만큼 뛴다 — 위의 장벽이 바로 고리가 두르는 면이다.

멀리서 보면 고리는 넓이 $a$ 의 작은 원반이고 $\Omega \approx a\cos\theta/r^2$ 이므로

$$V_m \approx \frac{Ia\cos\theta}{4\pi r^2} = \frac{m\cos\theta}{4\pi r^2}, \qquad m = Ia$$

이다. 전기 쌍극자의 전위 $V = p\cos\theta/(4\pi\varepsilon_0 r^2)$ 과 $p/\varepsilon_0 \leftrightarrow m$ 으로 정확히 겹친다. 이것이 7절에서 벡터 퍼텐셜로 다시 얻을 쌍극자 장의 스칼라 쪽 얼굴이다. 전류 고리는 멀리서 보면 자기 쌍극자이고, 가까이서 보면 “고리가 얼마나 크게 보이는가”가 곧 퍼텐셜이다.

$V_m$ 이 실제로 힘을 쓰는 자리는 이 장이 아니라 2.5다. 물질 안에서는 자화가 만드는 속박 전류가 있어도 $\mathbf{H}$ 의 회전은 자유 전류만 보므로, 자유 전류가 없는 자석·연철 문제는 $\nabla^2 V_m = 0$ 에 경계 조건을 붙여 푼다. 자기회로(2.5.9)의 “기자력”이 이 $V_m$ 의 차이고, 단위가 A인 것은 그래서다.

다중극 전개와 자기 쌍극자

전류 분포에서 멀리 떨어진 곳의 $\mathbf{A}$ 를 $1/r$ 의 거듭제곱으로 전개한다. 정전기학의 다중극 전개(2.2.6)와 같은 절차다. 원점을 전류 근처에 두고, $r \gg r'$ 에서 $1/\mathcal{R}$ 을 르장드르 다항식으로 전개하면

$$\frac{1}{\mathcal{R}} = \frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos\alpha)$$

이다($\alpha$ 는 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{r}'$ 사이의 각). 선 전류의 $\mathbf{A}$ 에 넣으면

$$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{r^{n+1}} \oint (r')^n P_n(\cos\alpha)\,d\mathbf{l}'$$

이다. $n=0$ 이 홀극항, $n=1$ 이 쌍극자항, $n=2$ 가 사중극자항이며, 차례로 $1/r$, $1/r^2$, $1/r^3$ 으로 죽는다.

홀극항은 없다

$n=0$ 항은 $\oint d\mathbf{l}'$ 에 비례하는데, 닫힌 경로를 따라 변위 벡터를 더하면 출발점으로 돌아오므로 언제나 0이다.

$$\oint d\mathbf{l}' = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{A}_{\text{mono}} = 0$$

정전기학의 홀극항 $Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$ 에 해당하는 것이 자기에는 없다. $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ 을 다른 쪽에서 본 것이다 — 전류는 닫혀 있으므로 “자기 전하”가 있을 자리가 없다. 그래서 자기장의 전개는 쌍극자항에서 시작하고, 전기 쌍극자의 장이 $1/r^3$ 인 것과 같은 이유로 자기장의 가장 느리게 죽는 항도 $1/r^3$ 이다.

쌍극자항

$n=1$ 에서 $r'P_1(\cos\alpha) = r'\cos\alpha = \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'$ 이므로

$$\mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2}\oint(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}')\,d\mathbf{l}'$$

이다. 이 선적분에는 벡터 항등식 $\oint(\mathbf{c}\cdot\mathbf{r}')\,d\mathbf{l}' = \mathbf{a}\times\mathbf{c}$ 가 있다($\mathbf{c}$ 는 상수 벡터, $\mathbf{a} = \int d\mathbf{a}'$ 는 고리가 두르는 면적벡터). 스토크스 정리를 $\mathbf{c}\cdot\mathbf{r}'$ 에 적용하면 증명된다. 따라서

$$\mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}, \qquad \mathbf{m} \equiv I\int d\mathbf{a} = I\mathbf{a}$$

이다. $\mathbf{m}$ 이 자기 쌍극자 모멘트다(단위 A·m²). 평면 고리이면 크기는 전류 곱하기 넓이이고 방향은 오른손 법선이다. $N$ 번 감은 코일이면 $\mathbf{m} = NI\mathbf{a}$ 다.

전기 쌍극자 모멘트 $\mathbf{p} = \int\mathbf{r}'\rho\,d\tau'$ 는 전체 전하가 0이 아니면 원점 선택에 따라 변했다. 자기 쌍극자 모멘트는 원점과 무관하다 — 홀극항이 항상 0이라 원점을 옮겨도 쌍극자항에 새어 들어올 것이 없기 때문이다.

쌍극자의 장

$\mathbf{m} = m\hat{z}$ 를 원점에 두고 구면좌표로 적으면 $\mathbf{A}_{\text{dip}} = (\mu_0 m\sin\theta/4\pi r^2)\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 이고, 회전을 취하면

$$\mathbf{B}_{\text{dip}}(r,\theta) = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\, \big(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\big)$$

이다. 좌표에 무관한 꼴로는

$$\mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\, \frac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3}$$

이다. 전기 쌍극자의 $\mathbf{E}_{\text{dip}} = \big[3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}\big]/(4\pi\varepsilon_0 r^3)$ 과 $\mathbf{p}/\varepsilon_0 \leftrightarrow \mu_0\mathbf{m}$ 으로 겹친다. 축 위($\theta=0$)에서 $\mu_0 m/(2\pi z^3)$ 이고, 2절의 원형 고리 먼 곳 장과 정확히 같다.

그림 2.4-6. 전기 쌍극자(왼쪽)와 전류 고리(오른쪽)의 유선. 멀리서는 두 그림이 구별되지 않는다 — 둘 다 r = C sin²θ 꼴의 같은 곡선이다. 다른 곳은 안쪽이다. 전기 쌍극자 안에서는 유선이 +에서 −로, 즉 p와 반대 방향으로 지나가고, 전류 고리 안에서는 유선이 m과 같은 방향으로 지나가며 밖으로 나가 닫힌다. 유선이 끊기지 않는 것은 ∇·B = 0의 그림이다.직접 작도

직관

형태적. 쌍극자 유선의 모양은 $dr/B_r = r\,d\theta/B_\theta$ 에서 $dr/r = 2\cot\theta\,d\theta$, 즉 $r = C\sin^2\theta$ 다. 적도에서 가장 멀리 나갔다가 극으로 돌아오는 이 곡선이 전기·자기 쌍극자에 공통이다. 두 그림이 갈리는 곳은 원천 안쪽뿐이고, 그 차이가 물질의 자성(2.5)에서 $\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 평균장이 반대 부호의 보정을 받는 이유가 된다. 식으로는 원점에 붙는 델타 함수 항의 부호 차이다 — 전기 쌍극자에는 $-\mathbf{p}\,\delta^3/(3\varepsilon_0)$, 자기 쌍극자에는 $+2\mu_0\mathbf{m}\,\delta^3/3$ 이 붙는다. 수소 원자의 초미세 구조(7.13.12)를 만드는 접촉항이 뒤엣것이다.

파라미터. 고리의 장은 $\mathbf{m} = NIa$ 에 비례하고 $1/r^3$ 으로 죽는다. 감은 수를 늘리든 전류를 늘리든 넓이를 늘리든 같은 효과이고, 거리를 두 배로 두면 여덟 배 약해진다. 자기 센서에서 신호원과의 거리가 감도를 지배하는 이유다.

쌍극자에 걸리는 토크·힘·에너지

균일한 $\mathbf{B}$ 안의 전류 고리는 알짜힘을 받지 않지만 토크를 받는다. 직사각형 고리로 계산하면 마주 보는 두 변의 힘이 짝힘을 이뤄

$$\mathbf{N} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}$$

이다. 토크는 $\mathbf{m}$ 을 $\mathbf{B}$ 와 나란히 돌리려 하고, 그 방향에서 에너지가 가장 낮으므로

$$U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$$

이다. 장이 균일하지 않으면 알짜힘이 남고, 그것은 에너지의 기울기다.

$$\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})$$

셋 다 전기 쌍극자의 $\mathbf{N} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}$, $U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$, $\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})$ 와 같은 꼴이다. 유도와 물질 안에서의 쓰임은 2.5.1로 넘기고, 여기서는 이 힘이 1절의 의문 — 자기력은 일을 하지 않는다 — 과 표면상 충돌한다는 것만 기억해 둔다.

원자의 자기 모멘트

이 절이 반도체·재료로 이어지는 통로는 원자다. 전자 하나가 반지름 $r$ 의 궤도를 속력 $v$ 로 돌면, 전류 $I = -e v/(2\pi r)$ 와 넓이 $\pi r^2$ 의 고리이므로

$$\mathbf{m} = -\frac{e}{2m_e}\,\mathbf{L}$$

이다($\mathbf{L} = m_e vr$ 는 궤도 각운동량, $m_e$ 는 전자 질량). 각운동량이 $\hbar$ 단위로 양자화되므로 자기 모멘트의 자연 단위는

$$\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} = 9.274\times10^{-24}\ \mathrm{J/T} = 5.788\times10^{-5}\ \mathrm{eV/T}$$

이고 이것을 보어 마그네톤이라 한다. 스핀은 궤도 없는 고유 각운동량이지만 같은 크기의 모멘트(정확히는 $g\approx2$ 를 곱한)를 가진다.

직관

파라미터. $\mu_B$ 의 eV 단위 값이 중요하다. 1 T에서 $\mu_B B \approx 6\times10^{-5}$ eV 인데 실온의 $k_BT \approx 0.026$ eV 이니 400배 작다. 개별 원자의 모멘트는 실온에서 열운동에 거의 완전히 흐트러지고, 그래서 상자성은 약하며 감수율이 $1/T$ 로 가는 퀴리 법칙(2.5.3)을 따른다. 강자성이 실온에서 살아남는 것은 자기장이 아니라 교환 상호작용(7.13)이 스핀들을 묶기 때문이고, MRAM(10.11.8)이 낱개 스핀이 아니라 강자성 박막의 집단 자화를 쓰는 이유가 이 숫자 하나에 있다.

사중극자와 그 너머

$n=2$ 항은 $1/r^3$ 의 $\mathbf{A}$, 즉 $1/r^4$ 의 $\mathbf{B}$ 를 준다. 반대 방향으로 흐르는 두 고리를 나란히 두면 쌍극자항이 상쇄되고 사중극자항이 남는다. 이온 주입기와 가속기의 빔 라인에서 빔을 모으는 사중극 자석이 이것인데, 축 근처에서 장이 축에서의 거리에 비례해 한 방향으로는 모으고 수직 방향으로는 퍼뜨린다. 렌즈처럼 쓰려면 두 개를 90° 돌려 연달아 놓는다. 정전기학의 사중극자와 수학이 같다.

경계 조건과 정전기학과의 비교

면 전류 $\mathbf{K}$ 가 흐르는 면을 가로지를 때 $\mathbf{B}$ 는 어떻게 바뀌는가. 두 미분 법칙에 각각 작은 알약 상자와 작은 고리를 붙이면 답이 나온다. 정전기학의 경계 조건(2.1.6)과 같은 절차다.

수직 성분. 면을 걸치는 납작한 알약 상자에 $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a} = 0$ 을 쓰면, 두께를 0으로 보내 옆면이 사라지고

$$B^{\perp}_{\text{위}} = B^{\perp}_{\text{아래}}$$

이다. $\mathbf{B}$ 의 수직 성분은 연속이다. 전기장은 $E^\perp$ 가 $\sigma/\varepsilon_0$ 만큼 뛰었는데, 자기에는 면 전하에 해당하는 것이 없으므로 뛰지 않는다.

평행 성분. 면을 걸치는 폭 $l$ 의 얇은 고리를 $\mathbf{K}$ 에 수직으로 세우면 앙페르 법칙에서 $B^{\parallel}_{\text{위}}\,l - B^{\parallel}_{\text{아래}}\,l = \mu_0 Kl$ 이고, 고리를 $\mathbf{K}$ 에 평행하게 세우면 두르는 전류가 없어 그 성분은 연속이다. 둘을 합쳐 벡터로 적으면

$$\mathbf{B}_{\text{위}} - \mathbf{B}_{\text{아래}} = \mu_0\,\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}$$

이다($\hat{\mathbf{n}}$ 은 아래에서 위로 향하는 법선). 면 전류에 수직인 평행 성분만 $\mu_0 K$ 만큼 뛴다.

그림 2.4-7. 면 전류를 가로지르는 B의 경계 조건. 면을 걸치는 알약 상자에 자속이 0이라는 조건을 쓰면 수직 성분이 이어지고, K에 수직으로 세운 고리에 앙페르 법칙을 쓰면 평행 성분이 μ₀K만큼 뛴다. 전기장은 정확히 반대여서 수직 성분이 σ/ε₀만큼 뛰고 평행 성분이 이어진다 — 원천이 면 전하냐 면 전류냐, 회전이 있느냐 발산이 있느냐의 차이가 그대로 자리를 바꿔 나타난다.직접 작도

확인. 4절의 무한 평면 전류는 위아래에서 $\pm\mu_0 K/2$ 이므로 차가 $\mu_0 K$ 다. 솔레노이드는 면 전류 $K = nI$ 를 사이에 두고 안이 $\mu_0 nI$, 밖이 0이므로 역시 $\mu_0 K$ 다. 굵은 도선의 표면은 면 전류가 없으므로 $B$ 가 이어진다 — 그림 2.4-3이 그것이다.

벡터 퍼텐셜. 쿨롱 게이지에서는 $\mathbf{A}$ 자체가 연속이다. $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ 에 알약 상자를 쓰면 수직 성분이, $\oint\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l} = \Phi$ 에 고리를 쓰면 (고리가 납작해지며 자속이 0으로 가므로) 평행 성분이 이어진다. 대신 미분이 뛴다.

$$\mathbf{A}_{\text{위}} = \mathbf{A}_{\text{아래}}, \qquad \frac{\partial\mathbf{A}_{\text{위}}}{\partial n} - \frac{\partial\mathbf{A}_{\text{아래}}}{\partial n} = -\mu_0\mathbf{K}$$

전위의 $V_{\text{위}} = V_{\text{아래}}$, $\partial V_{\text{위}}/\partial n - \partial V_{\text{아래}}/\partial n = -\sigma/\varepsilon_0$ 과 같은 꼴이다.

정전기학과 정자기학 — 대응표

장 전체를 한 표에 모은다. 왼쪽 열과 오른쪽 열을 번갈아 읽으면 어디가 같고 어디가 뒤집혔는지 보인다.

	정전기학 (2.1)	정자기학 (2.4)
원천	정지 전하 $\rho$, $\sigma$, $\lambda$	정상 전류 $\mathbf{J}$, $\mathbf{K}$, $I$
원천의 조건	없음	$\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$
힘	$\mathbf{F} = Q\mathbf{E}$	$\mathbf{F} = Q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$
적분 법칙	쿨롱 $\displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho\,\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}d\tau'$	비오-사바르 $\displaystyle\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}\times\hat{\boldsymbol{\mathcal{R}}}}{\mathcal{R}^2}d\tau'$
발산	$\rho/\varepsilon_0$ (전하가 샘)	$0$ (홀극 없음)
회전	$0$ (보존장)	$\mu_0\mathbf{J}$ (전류가 소용돌이)
유용한 적분형	가우스 $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$	앙페르 $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$
대칭 응용	점·선·면 전하, 구·원통	선·면 전류, 솔레노이드·토로이드
퍼텐셜	스칼라 $V$, $\mathbf{E} = -\nabla V$	벡터 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$
퍼텐셜의 자유	상수	$\nabla\lambda$ (게이지)
퍼텐셜 방정식	$\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$	$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$ (쿨롱 게이지)
스칼라 퍼텐셜	언제나	전류 없는 단순연결 영역에서 $V_m$
홀극	$Q/(4\pi\varepsilon_0 r)$	없음
쌍극자 모멘트	$\mathbf{p} = \int\mathbf{r}'\rho\,d\tau'$ (원점 의존 가능)	$\mathbf{m} = I\mathbf{a}$ (원점 무관)
쌍극자 장	$\dfrac{3(\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{p}}{4\pi\varepsilon_0 r^3}$	$\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{3(\mathbf{m}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\mathbf{m}}{r^3}$
델타 항	$-\mathbf{p}\,\delta^3/(3\varepsilon_0)$	$+2\mu_0\mathbf{m}\,\delta^3/3$
경계 — 수직	$\Delta E^\perp = \sigma/\varepsilon_0$	$\Delta B^\perp = 0$
경계 — 평행	$\Delta\mathbf{E}^\parallel = 0$	$\Delta\mathbf{B}^\parallel = \mu_0\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}$
퍼텐셜 경계	$V$ 연속, $\Delta(\partial V/\partial n) = -\sigma/\varepsilon_0$	$\mathbf{A}$ 연속, $\Delta(\partial\mathbf{A}/\partial n) = -\mu_0\mathbf{K}$
상수	$1/\varepsilon_0$	$\mu_0$

직관

표를 세로로 읽으면 규칙이 하나다. 전기는 발산 쪽, 자기는 회전 쪽에 원천이 있다. 그래서 전기의 “수직 성분이 뛴다”가 자기의 “평행 성분이 뛴다”로, 전기의 “스칼라 퍼텐셜”이 자기의 “벡터 퍼텐셜”로, 전기의 “가우스 법칙으로 푼다”가 자기의 “앙페르 법칙으로 푼다”로 바뀐다. 전개의 시작이 홀극이냐 쌍극자냐도 같은 뿌리다.

두 상수 $1/\varepsilon_0$ 과 $\mu_0$ 는 아직 서로 상관없는 숫자처럼 보인다. 둘의 곱이 $1/c^2$ 이라는 것, 즉 전기와 자기가 한 현상의 두 얼굴이라는 것은 시간 변화를 넣은 2.6과 2.8에서 나온다. 정자기학은 그 사실을 아직 모른 채로 완결된 이론이다.

이 장이 다루지 않은 것

정자기학의 방정식이 완결됐다고 해서 자기장 이야기가 끝난 것은 아니다. 세 가지가 뒤로 미뤄졌다.

• 자기장의 에너지. 정전기학은 2.1.7에서 에너지를 다뤘지만 이 장에는 대응하는 절이 없다. 자기장을 세우려면 전류를 0에서 올려야 하고, 전류가 변하는 동안 유도 전기장이 생겨 그것이 일을 한다. 정자기학만으로는 그 일을 셀 수 없어 2.6.5로 넘어간다.
• 물질 안의 자기장. 원자의 자기 모멘트가 장에 정렬해 만드는 자화, 그것이 만드는 속박 전류, 자유 전류만 보는 $\mathbf{H}$, 투자율 — 2.5의 몫이다. 이 장의 $\mathbf{H}$ 는 $\mathbf{B}/\mu_0$ 의 다른 이름일 뿐이었다.
• 시간 변화. 전류가 변하면 $\nabla\times\mathbf{E}\neq0$ 이 되고(패러데이), 전하가 쌓이면 $\nabla\times\mathbf{B}$ 에 항이 붙는다(변위 전류). 2.6이다.

반도체에서 이 장이 쓰이는 자리

• 홀 측정(11.2.9 · 19.5.5) — 로렌츠 힘 한 줄. 캐리어 농도와 종류, 이동도를 잰다. 웨이퍼 특성 평가의 표준 항목이다.
• 사이클로트론 공명과 란다우 준위(7.6.7 · 7.8.8) — $\omega_c = qB/m^*$. 유효질량을 재는 방법이고, 양자 홀 효과(10.4.7)로 이어진다.
• 마그네트론 스퍼터링(18.10.4 · 18.5.6) — $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 드리프트로 전자를 표적 근처에 가둬 이온화율을 올린다. 영구자석의 장이 쌍극자 장이다.
• 이온 주입기의 질량 분석(18부) — $R = p/(qB)$. 원하는 동위원소만 골라낸다.
• MRAM과 스핀트로닉스(10.11 · 15.11.3) — 자기 쌍극자 모멘트와 $U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$ 가 출발점이고, 나머지는 2.5와 7.13의 몫이다.
• 온칩 인덕터와 전송선(2.6.4 · 22부) — 솔레노이드의 $\mu_0 n^2$ 이 인덕턴스의 원형이다. 칩 위의 나선 인덕터는 비오-사바르로 계산하거나 수치로 푼다.
• 벡터 퍼텐셜(5.5.7) — 자기장 안의 슈뢰딩거 방정식은 $\mathbf{B}$ 가 아니라 $\mathbf{A}$ 로 적힌다. 이 장에서 계산 장치였던 것이 그곳에서는 기본 변수다.

이 장이 쓰이는 곳

• 2.5 물질 내 자기장
• 2.6 전기역학
• 2.9 퍼텐셜과 복사
• 7.6 자유전자 모형
• 7.8 밴드 구조 계산과 페르미 면
• 7.13 자성의 미시 이론
• 7.14 초전도