열역학과 열전달

반도체는 열 문제다. 프로세서 한 개가 손톱만 한 면적에서 $100\,\mathrm{W}$를 내놓는데, 이것은 $1\,\mathrm{MW/m^2}$ — 가정용 전기레인지 발열판의 열 유속보다 한 자리 크다. 그 열을 접합에서 패키지로, 패키지에서 방열판으로, 방열판에서 공기로 빼내지 못하면 트랜지스터는 설계 온도를 넘어 누설이 폭주하고 수명이 줄어든다. 공정 쪽은 더 노골적이다. 산화·확산·증착·어닐 — 공정 단계 하나하나가 온도 하나로 규정되고, 급속 열처리(RTP)는 웨이퍼를 램프 복사로 초당 $200\,\mathrm{K}$씩 달군 뒤 그 온도를 비접촉 고온계로 읽는다. 실리콘의 방사율이 온도와 도핑에 따라 변하기 때문에 그 읽기 자체가 복사 이론 문제다. 그리고 소자가 $10\,\mathrm{nm}$ 아래로 내려오면 포논의 평균 자유 행정이 소자보다 길어져 푸리에 법칙 자체가 흔들린다.

이 장은 그 전부를 다루는 기초다. 3부 앞 장들이 역학·파동·광학이었다면 이 장은 열이고, 두 축으로 나뉜다.

• 열역학(1·2절) — 평형 상태와 얼마나를 말한다. 에너지가 보존되고, 열은 뜨거운 쪽에서 차가운 쪽으로만 흐르며, 그 방향을 정하는 양이 엔트로피다. 열역학은 두 상태 사이에서 얼마의 열이 오갔는지는 알려 주지만 얼마나 빨리 오갔는지는 말하지 않는다.
• 열전달(3~13절) — 바로 그 속도를 다룬다. 열이 흐르는 세 통로인 전도·대류·복사 각각에 속도식이 있고, 그 식들을 미분방정식으로 엮어 온도의 공간·시간 분포를 푼다. 정상·과도, 1차원·2차원, 해석해·수치해로 갈라지는 것은 수학의 갈래일 뿐 물리는 하나다 — 에너지 보존 + 세 속도식.

반도체 쪽 목적지를 미리 적어 둔다. 칩의 접합 온도를 정하는 열저항 회로(5절)와 히트싱크의 핀(6절), 칩 아래 기판으로 열이 퍼지는 확산 저항(7절), 웨이퍼가 램프 아래서 달궈지는 시정수와 두께 방향의 균일성(8절), 레이저·플래시 어닐이 어느 깊이까지 녹이는지(9절), CVD 반응기의 경계층과 팬으로 식히는 히트싱크의 대류 계수(10·11절), RTP의 램프 복사와 고온계 오차(12절), 그리고 FinFET·GAA의 자기 발열과 공정의 열예산(13절). 열역학 법칙의 통계적 근거 — 엔트로피의 미시적 정의, 볼츠만 분포, 플랑크 분포의 유도 — 는 이 장이 아니라 6부(6.2·6.3)의 몫이다. 이 장은 그것들을 결과로 받아 쓴다.

기호 — 이 장의 약속

열전달은 글자 충돌이 유난히 심한 분야다. 같은 장 안에서 $\alpha$가 열확산율이었다가 흡수율이 되고, $\varepsilon$이 방사율인데 전자기학에서는 유전율이며, $\sigma$가 슈테판–볼츠만 상수인데 반도체에서는 전기전도도다. 기준 교재 둘도 같은 물건을 다른 글자로 쓴다 — Incropera는 열전달률을 $q$, Halliday는 $P_{\mathrm{cond}}$로 쓰고, Halliday의 $Q$는 열의 양(J)이다. 이 백과의 선택을 먼저 못박는다. 속도량은 Incropera, 열역학 상태량은 Halliday를 따른다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$T$		온도. 첨자로 자리를 밝힌다 — $T_s$ 표면, $T_\infty$ 유체 본류, $T_{\mathrm{sur}}$ 주위 표면, $T_i$ 초기, $T_b$ 핀 밑동	K
$Q$	대문자 큐	열의 양 — 계에 들어온 에너지 (Halliday)	J
$q$	소문자 큐	열전달률 — 단위 시간당 열 (Incropera). Halliday의 $P_{\mathrm{cond}}$	W
$q''$	큐 더블프라임	열유속 — 단위 면적당 열전달률	W/m²
$q'$	큐 프라임	단위 길이당 열전달률 (원통에서)	W/m
$\dot q$	큐 닷	체적 발열률 — 단위 부피당 생성되는 열	W/m³
$\dot E_{\mathrm{in}}, \dot E_{\mathrm{out}}, \dot E_g, \dot E_{\mathrm{st}}$		검사체적의 에너지 유입·유출·생성·저장률	W
$E_{\mathrm{int}}, W, S$		내부에너지 · 계가 한 일 · 엔트로피 (Halliday, 1·2절)	J · J · J/K
$k$		열전도도. 볼츠만 상수는 $k_{\mathrm B}$로 쓴다	W/m·K
$h$		대류 열전달 계수. 12절의 플랑크 상수는 $h_{\mathrm P}$	W/m²·K
$h_r$		복사 열전달 계수 — 복사를 대류 꼴로 선형화한 것	W/m²·K
$\alpha$	알파	열확산율 $k/\rho c_p$ (3~9절). 12절에서만 흡수율	m²/s · 무차원
$\rho$	로	밀도 (3~11절). 12절에서만 반사율	kg/m³ · 무차원
$c_p$		정압 비열	J/kg·K
$\mu, \nu$	뮤 · 뉴	점성계수 · 동점성계수 $\mu/\rho$	Pa·s · m²/s
$\beta$	베타	체적 열팽창 계수 (11절 자연 대류)	1/K
$R_t$, $R_t''$		열저항 · 단위 면적 열저항	K/W · m²·K/W
$R_{t,c}''$		접촉 열저항 (단위 면적)	m²·K/W
$C_t$, $\tau_t$		열용량 $\rho V c$ · 열 시정수 $R_t C_t$	J/K · s
$U$		총괄 열전달 계수 (5절). 내부에너지는 $E_{\mathrm{int}}$	W/m²·K
$S$		엔트로피(2절) · 형상 계수(7절) — 같은 글자, 다른 절	J/K · m
$\theta$	세타	온도 초과 $T - T_\infty$ — 기준을 빼서 방정식을 제차로 만든 온도	K
$m$		핀 파라미터 $\sqrt{hP/kA_c}$ (6절)	1/m
$\zeta_n$	제타	과도 전도 급수해의 $n$번째 고유값 (8절)	무차원
$\mathrm{Bi}, \mathrm{Fo}, \mathrm{Nu}, \mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, \mathrm{Gr}, \mathrm{Ra}$		무차원 수. 정의는 8·10절에
$\delta$, $\delta_t$	델타	속도·열 경계층 두께(10절). 9절에서는 열침투 깊이	m
$E_b$, $E_{\lambda,b}$		흑체 방사력 · 분광 방사력	W/m² · W/m²·μm
$\varepsilon$	엡실론	방사율 (12절). 유전율이 아니다	무차원
$\sigma$	시그마	슈테판–볼츠만 상수 $5.670\times10^{-8}$	W/m²·K⁴
$F_{ij}$		시각 계수 — $i$를 떠난 복사 중 $j$에 닿는 비율	무차원
$J$, $G$		복사도 · 조사량 (12절). 전류 밀도가 아니다	W/m²
$\Lambda$	람다	포논 평균 자유 행정 (13절). 파장은 $\lambda$	m
$D$		직경 (5·11절) · 확산 계수 (13절)	m · m²/s

주의

같은 글자, 다른 물건 — 이 장에서 실제로 걸려 넘어지는 자리 다섯 곳.

① $\alpha$·$\rho$의 12절 변신. 3~9절 내내 $\alpha = k/\rho c_p$는 열확산율(m²/s)이고 $\rho$는 밀도다. 12절 복사에 들어서면 Incropera의 표기대로 $\alpha$는 흡수율, $\rho$는 반사율이 되고 $\alpha + \rho + \tau = 1$이 성립한다. 같은 절 안에서는 섞이지 않지만, 12절에서 “$\alpha$가 크면 빨리 데워진다”고 읽으면 틀린 절의 직관이다.

② $q$와 $Q$. Halliday에서 $Q$는 열의 양(J), Incropera에서 $q$는 열전달률(W)이다. $q = dQ/dt$. 그리고 $q$, $q'$, $q''$, $\dot q$는 프라임과 점의 개수로 W → W/m → W/m² → W/m³ 차원이 한 칸씩 내려간다. 프라임 하나가 길이 하나를 나눈다. 반도체의 기본 전하 $q$는 이 장에 나오지 않는다.

③ $h$ 셋. 대류 계수 $h$(W/m²·K), 복사 계수 $h_r$, 플랑크 상수 $h_{\mathrm P}$. 12절의 플랑크 분포에서 $h_{\mathrm P}$와 $k_{\mathrm B}$에 아래첨자를 붙이는 이유가 열전도도 $k$와 대류 계수 $h$ 때문이다.

④ $k$의 두 얼굴. 이 장에서 $k$는 언제나 열전도도다. 볼츠만 상수는 $k_{\mathrm B}$로 쓴다. $k = \tfrac13 c v \Lambda$ 같은 식에서 $k$를 볼츠만 상수로 읽으면 차원부터 맞지 않는다.

⑤ $\varepsilon$·$\sigma$. 방사율 $\varepsilon$은 2부의 유전율과 글자가 같고, 슈테판–볼츠만 상수 $\sigma$는 11부의 전기전도도·8부의 응력과 같다. 이 장 안에서는 방사율과 슈테판–볼츠만 상수뿐이다.

열역학 법칙과 열전달의 관계

열역학은 상태를, 열전달은 속도를 말한다

뜨거운 커피를 책상에 두면 식는다. 열역학이 말해 주는 것은 두 가지다. 첫째, 에너지 보존 — 커피가 잃은 내부에너지는 공기와 책상이 얻은 내부에너지와 같다. 둘째, 방향 — 커피가 공기를 데우지, 공기가 커피를 데우지 않는다. 그러나 열역학은 커피가 몇 분 만에 식는지는 말하지 않는다. 그것을 말하려면 커피 표면에서 공기로 열이 빠져나가는 속도가 필요하고, 그 속도는 컵의 재질, 공기의 흐름, 표면의 복사 성질에 달려 있다. 열전달은 그 속도식을 다루는 학문이다(Incropera §1.2).

이 구분이 반도체에서 어디에 걸리는지 하나만 들면 이렇다. 어닐 공정에서 “웨이퍼를 $1050\,{}^\circ\mathrm{C}$로 올린다”는 열역학의 문장이다 — 도달할 상태를 말한다. “몇 초 안에 올리고 몇 초 안에 내리는가”는 열전달의 문장이고, 불순물이 그 사이에 얼마나 움직이는가(13절의 열예산)는 그 시간에 달려 있다. 같은 최고 온도라도 느린 로(furnace)와 빠른 램프는 전혀 다른 소자를 만든다.

열, 온도, 내부에너지 — 세 단어를 가른다

온도 $T$는 열평형을 가르는 양이다. 두 물체를 접촉시켜 아무 변화가 없으면 같은 온도이고, “$A$와 $C$가 평형, $B$와 $C$가 평형이면 $A$와 $B$도 평형”이라는 열역학 제0법칙이 온도계를 정당화한다(Halliday §18-1). 켈빈 눈금은 절대 영도에서 출발하고 물의 삼중점을 $273.16\,\mathrm{K}$로 둔다. 이 장의 식들은 전부 켈빈으로 쓴다 — 복사의 $T^4$은 섭씨로 계산하면 완전히 틀리고, 온도 차만 나오는 전도·대류 식에서는 섭씨와 켈빈이 같아 상관없다.

열 $Q$는 온도 차 때문에 계와 환경 사이를 옮겨 다니는 에너지다. 물체가 열을 “가지고” 있지 않다 — 물체가 가진 것은 내부에너지 $E_{\mathrm{int}}$이고, 열은 그것이 이동하는 한 형태다. 일 $W$가 다른 형태다. 열역학 제1법칙은 그 셋을 묶는다.

$$\Delta E_{\mathrm{int}} = Q - W$$

$Q$는 계에 들어온 열, $W$는 계가 한 일이다(Halliday의 부호 약속). 물체의 온도가 $\Delta T$만큼 오르면 내부에너지가 늘고, 그 열은 $Q = mc\,\Delta T$다. $c$가 비열(J/kg·K)이고, 고체·액체는 정압·정적 구분이 거의 없어 $c_p \approx c$로 쓴다. 상이 바뀌면 온도는 그대로인데 열이 들어간다 — $Q = Lm$, $L$이 잠열이다. 실리콘의 융해 잠열 $1.8\,\mathrm{MJ/kg}$은 레이저 용융 어닐에서 표면 $100\,\mathrm{nm}$를 녹이는 데 필요한 에너지를 정하고(9절), 물의 증발 잠열 $2.26\,\mathrm{MJ/kg}$은 비등 냉각이 대류보다 한 자리 이상 센 이유다(11절).

직관

“열을 가한다”는 일상어 때문에 열과 내부에너지를 자주 섞는다. 구분하는 방법은 은행 계좌다. 잔고가 내부에너지, 입금과 출금이 열과 일이다. 잔고는 상태량이라 “지금 얼마”가 있지만, 입금은 과정량이라 “지금 얼마”가 없다 — 얼마가 들어왔는지만 있다. 그래서 $\Delta E_{\mathrm{int}}$는 경로와 무관하고, $Q$와 $W$는 각각 경로에 따라 다르며, 그 차이만 경로와 무관하다.

같은 이유로 열유속 $q''$에는 ‘지금 얼마’가 있다 — 그것은 단위 시간의 입금이라 순간마다 값이 있다. 열전달이 다루는 것은 이 순간값이다.

열역학 제2법칙은 방향이다. 열은 저절로 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐르고, 그 역은 일을 들이지 않으면 일어나지 않는다. 그 방향을 수로 만든 것이 엔트로피이고 2절이 다룬다. 열전달의 세 속도식이 전부 “온도 차에 비례하고 뜨거운 쪽에서 차가운 쪽으로”라는 꼴을 가진 것은 우연이 아니라 제2법칙이 속도식에 새겨진 흔적이다.

세 통로와 세 속도식

열이 옮겨 다니는 통로는 셋뿐이다(Incropera §1.2).

전도(conduction)는 매질 안에서 온도 기울기를 따라 흐른다. 미시적으로는 원자·분자의 무작위 운동과 충돌(기체·액체), 격자 진동과 자유전자(고체)가 에너지를 이웃에게 넘기는 것이다. 두께 $L$인 평판의 두 면이 $T_1 > T_2$이면

$$q''_x = -\,k\,\frac{dT}{dx} \;\;\longrightarrow\;\; q''_x = k\,\frac{T_1 - T_2}{L}$$

이것이 푸리에 법칙이고, 비례 상수 $k$가 열전도도다. 음의 부호는 열이 온도가 내려가는 쪽으로 흐른다는 제2법칙이다. Halliday는 같은 식을 $P_{\mathrm{cond}} = kA(T_H - T_C)/L$로 쓴다 — 전체 열전달률 $q = q''A$다.

대류(convection)는 움직이는 유체와 표면 사이의 교환이다. 유체가 흐르면서 열을 실어 나르는 이류와, 표면 바로 옆에서의 전도가 합쳐진 것이다. 표면 온도 $T_s$, 유체 온도 $T_\infty$일 때

$$q'' = h\,(T_s - T_\infty)$$

뉴턴의 냉각 법칙이고, $h$가 대류 열전달 계수다. 푸리에 법칙과 달리 이 식은 법칙이라기보다 정의에 가깝다 — 물리는 전부 $h$ 안에 숨어 있고, $h$는 유체의 종류·속도·표면 형상·온도 차에 따라 네 자릿수에 걸쳐 변한다(10·11절이 그것을 구하는 절이다).

상황	$h$ (W/m²·K)
자연 대류, 기체	2 – 25
자연 대류, 액체	50 – 1,000
강제 대류, 기체	25 – 250
강제 대류, 액체	100 – 20,000
비등·응축 (상변화)	2,500 – 100,000

복사(radiation)는 매질이 없어도 간다. 온도가 있는 모든 물체는 전자기파를 내고, 그 최대치가 흑체의 슈테판–볼츠만 법칙 $E_b = \sigma T_s^4$이다. 실제 표면은 그 $\varepsilon$배($0 \le \varepsilon \le 1$, 방사율)를 내고, 주위 표면 온도 $T_{\mathrm{sur}}$에서 오는 복사를 흡수한다. 작은 표면이 훨씬 큰 등온 주위에 둘러싸여 있으면 순 복사는

$$q''_{\mathrm{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,\bigl(T_s^4 - T_{\mathrm{sur}}^4\bigr)$$

$\sigma = 5.670\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K^4}$. 이 식은 $T^4$이라 비선형인데, 온도 차가 크지 않으면 인수분해로 선형화할 수 있다.

$$q''_{\mathrm{rad}} = h_r\,(T_s - T_{\mathrm{sur}}), \qquad h_r = \varepsilon\sigma\,(T_s + T_{\mathrm{sur}})\bigl(T_s^2 + T_{\mathrm{sur}}^2\bigr)$$

$h_r$은 복사 열전달 계수이고, 이렇게 쓰면 복사도 대류처럼 저항 회로에 넣을 수 있다(5절). 다만 $h_r$이 온도에 강하게 의존한다는 것을 잊으면 안 된다 — 온도 차가 작을 때 $h_r \approx 4\varepsilon\sigma T^3$이고, 실온 $300\,\mathrm{K}$·$\varepsilon = 1$이면 $h_r \approx 6\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K}$로 공기의 자연 대류와 같은 크기다. $1300\,\mathrm{K}$에서는 $500\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K}$에 이르러 저압 기체의 대류를 압도한다 — RTP 챔버에서 복사가 유일한 열 통로가 되는 이유다.

그림 3.7-1. 열이 옮겨 다니는 세 통로와 각각의 속도식. 왼쪽은 평판 안의 전도 — 온도가 직선으로 떨어지고 열유속은 기울기에 비례하며 온도가 낮은 쪽을 향한다. 가운데는 표면과 흐르는 유체 사이의 대류 — 표면 온도와 유체 본류 온도의 차에 대류 계수를 곱한다. 오른쪽은 표면과 주위 사이의 복사 — 두 절대온도의 네제곱 차에 방사율과 슈테판–볼츠만 상수를 곱한다. 세 식이 모두 온도 차에 비례하고 뜨거운 쪽에서 차가운 쪽을 향한다는 것이 제2법칙의 흔적이다.직접 작도

직관

세 속도식의 차원을 한 줄에 놓고 보면 각 통로의 성격이 보인다. 전도는 $k/L$, 대류는 $h$, 복사는 $h_r$ — 셋 다 W/m²·K로 같은 자리에 선다. 그러니 어느 통로가 이기는지는 이 세 수의 크기 비교다.

• 실온에서 두께 $1\,\mathrm{mm}$ 실리콘의 $k/L = 148{,}000$, 공기 자연 대류 $h \approx 10$, 복사 $h_r \approx 6$. 칩 안에서 열은 순식간에 퍼지고, 칩 표면에서 공기로 나가는 것이 병목이다. 히트싱크가 하는 일은 표면적을 100배로 늘려 $hA$를 키우는 것이다(6절).
• 같은 두께의 열 계면 소재(TIM, $k \approx 3$)는 $k/L = 3{,}000$이라 실리콘의 1/50이다. 칩에서 히트싱크로 가는 길에서 가장 두꺼운 벽이 이 얇은 층이다(5절).
• $1300\,\mathrm{K}$ 웨이퍼: $h_r \approx 500$, 저압 챔버의 기체 대류 $h \lesssim 10$. 복사가 50배다.

보존 법칙을 검사체적에 쓴다

열전달 문제를 세우는 방법은 언제나 하나다. 공간의 한 영역(검사체적)을 잡고 에너지 보존을 쓴다 (Incropera §1.3).

$$\dot E_{\mathrm{in}} - \dot E_{\mathrm{out}} + \dot E_g = \dot E_{\mathrm{st}}$$

들어온 것 − 나간 것 + 안에서 생긴 것 = 쌓인 것. $\dot E_{\mathrm{in}}$과 $\dot E_{\mathrm{out}}$은 검사체적의 표면을 통과하는 현상(전도·대류·복사)이고, $\dot E_g$는 부피 안에서 다른 형태의 에너지가 열로 바뀌는 것(줄 발열, 화학 반응, 핵 반응, 흡수된 빛)이며, $\dot E_{\mathrm{st}} = d(\rho V c\,T)/dt$가 내부에너지의 증가율이다. 정상 상태면 $\dot E_{\mathrm{st}} = 0$이다.

검사체적을 표면 자체로 잡으면 특별한 꼴이 나온다. 표면은 부피가 없으니 생성도 저장도 없고,

$$\dot E_{\mathrm{in}} = \dot E_{\mathrm{out}} \quad\Longrightarrow\quad q''_{\mathrm{cond}} = q''_{\mathrm{conv}} + q''_{\mathrm{rad}}$$

고체 안쪽에서 전도로 표면에 닿은 열은 그 자리에서 대류와 복사로 전부 빠져나간다. 이 표면 에너지 평형이 4절의 경계 조건이 되고, 정상·과도 여부와 무관하게 언제나 성립한다.

의문

전도의 속도식은 “법칙”인데 대류의 속도식은 왜 “정의”인가?

푸리에 법칙 $q'' = -k\,dT/dx$에서 $k$는 재료의 성질이다. 온도만 정해지면 실리콘의 $k$는 $148\,\mathrm{W/m\!\cdot\!K}$이고, 그 값은 누가 어떤 모양으로 재든 같다. 반면 뉴턴의 냉각 법칙 $q'' = h(T_s - T_\infty)$에서 $h$는 재료의 성질이 아니다. 같은 공기라도 바람이 불면 10배가 되고, 판이 수직이냐 수평이냐로 달라지고, 판의 앞쪽과 뒤쪽이 다르다. 그러니 이 식은 “$h$를 이렇게 정의하겠다”는 선언이고, 물리는 전부 $h$를 구하는 10·11절에 있다.

그런데 표면 바로 위의 유체는 점성 때문에 정지해 있다(무미끄럼 조건). 정지한 유체에서 열은 전도로만 간다. 그래서 $q'' = -k_f\,(\partial T/\partial y)_{y=0}$이고, 이것을 뉴턴의 식과 놓으면

$$h = \frac{-k_f\,(\partial T/\partial y)_{y=0}}{T_s - T_\infty}$$

대류 계수는 표면에서의 온도 기울기다. 유체가 빨리 흐르면 온도가 표면 바로 옆에서 급하게 변해 기울기가 커지고 $h$가 커진다. 대류는 “전도가 흐름에 의해 압축된 것”이다. 이것이 10절 경계층 이론의 출발 문장이다.

엔트로피와 자유에너지 (엔트로피의 통계적 정의와 볼츠만 분포는 6.2·6.3)

가역 과정과 엔트로피의 정의

제1법칙은 에너지가 보존된다고만 말한다. 뜨거운 커피가 공기에서 열을 빨아들여 더 뜨거워지는 과정도 에너지는 보존한다 — 그런데 일어나지 않는다. 자연에는 한 방향으로만 가는 과정이 있고, 그 방향을 가리키는 상태량이 필요하다. 그것이 엔트로피 $S$다(Halliday §20-1).

정의는 가역 과정을 통해 한다. 계가 상태 $i$에서 $f$로 가역적으로 옮겨갈 때

$$\Delta S = S_f - S_i = \int_i^f \frac{dQ}{T}$$

$dQ$는 그 순간 계에 들어온 열, $T$는 그 순간의 절대온도다. 열을 온도로 나눈 것이 핵심이다 — 같은 $1\,\mathrm{J}$의 열도 차가운 계에 들어가면 엔트로피를 많이, 뜨거운 계에 들어가면 조금 늘린다. 비가역 과정에서는 이 적분을 그 경로로 계산할 수 없지만, 엔트로피가 상태량이므로 같은 두 상태를 잇는 아무 가역 경로로 계산하면 된다. 그것이 상태량이라는 것의 힘이다 — 실제 과정이 얼마나 난폭하든 $\Delta S$는 처음과 끝만 본다.

이상기체 $n$몰이 $(T_i, V_i)$에서 $(T_f, V_f)$로 가면 가역 등온 팽창 + 가역 정적 가열 경로로

$$\Delta S = nR\ln\frac{V_f}{V_i} + nC_V\ln\frac{T_f}{T_i}$$

부피가 늘어도, 온도가 올라도 엔트로피는 는다 — 분자가 차지할 수 있는 자리(위치·속도)가 늘기 때문이다. 그 미시적 의미 $S = k_{\mathrm B}\ln W$($W$는 미시상태의 수)는 6.2에서 세운다. 이 장은 그 결과만 받아 둔다: 엔트로피는 계가 가질 수 있는 미시적 배치의 수를 로그로 잰 것이고, 열이 들어오면 그 수가 는다.

제2법칙 — 고립계의 엔트로피는 줄지 않는다

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} \ge 0$$

등호는 가역 과정, 부등호는 비가역 과정이다. 여기서 “전체”란 계와 환경을 합친 고립계다. 계의 엔트로피는 얼마든지 줄 수 있다 — 냉장고 안 물이 얼면 물의 엔트로피는 준다. 대신 환경(방 공기)의 엔트로피가 더 많이 늘어 합은 는다.

열전달과의 연결이 여기서 나온다. 온도 $T_H$인 물체에서 $T_C$인 물체로 열 $Q$가 넘어가면, 각각의 온도가 그동안 거의 안 변한다고 할 때

$$\Delta S_{\mathrm{tot}} = -\frac{Q}{T_H} + \frac{Q}{T_C} = Q\left(\frac{1}{T_C} - \frac{1}{T_H}\right) > 0 \quad (T_H > T_C)$$

뜨거운 쪽이 잃는 엔트로피보다 차가운 쪽이 얻는 엔트로피가 크다. 반대 방향이면 합이 음수가 되어 제2법칙에 걸린다. 열이 온도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로만 흐르는 것은 엔트로피 증가 법칙의 결과이고, 세 속도식의 부호는 전부 여기서 온다.

직관

열전달은 언제나 엔트로피를 만든다. 온도 차 $\Delta T = T_H - T_C$를 두고 열 $q$가 흐를 때 엔트로피 생성률은

$$\dot S_{\mathrm{gen}} = q\left(\frac{1}{T_C} - \frac{1}{T_H}\right) \approx \frac{q\,\Delta T}{T^2}$$

같은 열 $q$를 옮겨도 온도 차 $\Delta T$가 작을수록 엔트로피가 덜 생긴다. 온도 차 없이 옮기면 가역인데, 그러면 속도식에 의해 $q = 0$이 되어 무한히 오래 걸린다. 속도와 가역성은 맞바꾸는 관계다 — 빨리 옮기려면 온도 차를 크게 둬야 하고, 그만큼 되돌릴 수 없는 것이 쌓인다.

반도체에서 이 문장은 “열저항이 낮을수록 좋다”로 번역된다. 칩에서 공기로 같은 $100\,\mathrm{W}$를 빼내는데 열저항이 작으면 접합 온도가 덜 오른다(5절). 그것은 엔트로피 생성이 적다는 뜻과 같은 말이고, 열역학적으로는 “낭비한 온도 차”를 줄이는 일이다.

열기관과 카르노 효율 — 온도 차가 일이 되는 상한

제2법칙의 다른 얼굴은 열기관이다. 뜨거운 저장체($T_H$)에서 열 $Q_H$를 받아 일 $W$를 하고 찬 저장체($T_C$)에 $Q_C$를 버리는 순환 기관의 효율은 $\eta = W/Q_H = 1 - Q_C/Q_H$이고, 가역(카르노) 기관은 $Q_H/T_H = Q_C/T_C$라서

$$\eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

이 이상 좋은 기관은 없다 — 있다면 순환 한 바퀴에 전체 엔트로피가 줄어야 한다. 반대로 돌리면 냉동기이고, 성능 계수의 상한이 $K_{\mathrm{C}} = T_C/(T_H - T_C)$다. 반도체에서 이 상한이 걸리는 자리는 열전 소자(펠티에 냉각기, 7.12)다 — 전류로 열을 퍼 올리는 그 소자의 성능 지수 $ZT$가 카르노 효율에 얼마나 가까운가로 정의된다.

자유에너지 — 온도가 정해진 계의 방향

고립계라면 “엔트로피 최대”가 평형 조건이다. 그러나 실험실의 계는 대개 고립되어 있지 않다 — 온도 $T$인 환경과 열을 주고받는다. 이때 계와 환경을 합친 엔트로피가 최대인 조건을 계의 양만으로 쓰면

$$F = E_{\mathrm{int}} - TS \quad(\text{정적·등온}), \qquad G = H - TS = E_{\mathrm{int}} + pV - TS \quad(\text{정압·등온})$$

헬름홀츠 자유에너지 $F$와 깁스 자유에너지 $G$이고, 각각 정해진 조건에서 최소가 평형이다. 유도는 한 줄이다 — 환경이 열 $Q$를 계에 내주면 환경의 엔트로피는 $-Q/T$만큼 변하고, $\Delta S_{\mathrm{tot}} = \Delta S - Q/T \ge 0$에 정적 조건 $Q = \Delta E_{\mathrm{int}}$를 넣으면 $\Delta(E_{\mathrm{int}} - TS) \le 0$. 계가 향하는 곳은 에너지가 낮은 곳도 엔트로피가 높은 곳도 아니고, 그 둘을 온도로 저울질한 값이 낮은 곳이다. $H = E_{\mathrm{int}} + pV$는 엔탈피로, 정압에서 계에 들어온 열이 곧 $\Delta H$다.

직관

$F = E_{\mathrm{int}} - TS$의 형태가 말하는 것. 저온에서는 $TS$항이 작아 에너지 최소가 이긴다 — 원자들은 결합 에너지가 가장 낮은 규칙적 배열(결정)을 택한다. 고온에서는 $TS$항이 커져 엔트로피가 이긴다 — 배치의 수가 많은 무질서(액체·기체)를 택한다. 그 둘이 같아지는 온도가 전이 온도다: $\Delta F = 0 \Rightarrow T_m = \Delta E/\Delta S$.

반도체에서 이 저울이 가장 눈에 보이는 자리가 평형 공공 농도(8.1)다. 공공 하나를 만드는 데 에너지 $E_v$가 들지만, $N$개 자리에 $n$개 공공을 놓는 배치의 수가 엔트로피를 준다. $F$를 $n$에 대해 최소화하면 $n/N = e^{-E_v/k_{\mathrm B}T}$ — 볼츠만 인자가 그렇게 나온다(6.3). 도펀트 확산은 그 공공을 타고 일어나고(8.3), 그래서 확산 계수도 같은 지수 꼴 $D = D_0 e^{-E_a/k_{\mathrm B}T}$이며, 그것이 13절 열예산의 핵심 식이다. 자유에너지는 이 장 이후 화학(4.4), 재료(8.4), 통계역학(6.3)에서 계속 주인공이고, 여기서는 온도가 정해진 계의 방향은 엔트로피만도 에너지만도 아니다라는 한 문장만 챙기면 된다.

열역학이 열전달에 남기는 것

이 절을 닫으며 열역학이 열전달에 넘겨주는 것을 정리한다.

• 에너지 보존 — 검사체적 방정식 $\dot E_{\mathrm{in}} - \dot E_{\mathrm{out}} + \dot E_g = \dot E_{\mathrm{st}}$. 열확산 방정식(4절)이 이것의 미분 꼴이다.
• 방향 — 세 속도식의 부호. 열은 온도가 내려가는 쪽으로.
• 상태량 — $c_p$, $k$, $\alpha$, $\varepsilon$ 같은 물성은 열역학적 상태(온도·압력·조성)의 함수다. 온도가 크게 변하는 문제에서는 $k(T)$를 상수로 둘 수 없고(3절), 실리콘의 $k$는 $300\,\mathrm{K}$에서 $1300\,\mathrm{K}$ 사이에 다섯 배 떨어진다.
• 속도는 열역학 밖 — 얼마나 빨리 흐르는가는 재료와 형상의 문제이고, 그것이 나머지 열한 절이다.

열전도 법칙과 열전도도

푸리에 법칙 — 벡터로 쓴다

1절의 평판 식은 1차원이다. 온도가 세 방향으로 변하는 일반 매질에서 푸리에 법칙은

$$\mathbf{q}'' = -\,k\,\nabla T = -\,k\left(\hat{\mathbf{x}}\,\frac{\partial T}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}}\,\frac{\partial T}{\partial y} + \hat{\mathbf{z}}\,\frac{\partial T}{\partial z}\right)$$

열유속은 벡터이고, 온도의 기울기에 반대 방향이다. 1.1.2기울기·발산·회전에서 기울기는 등고선에 수직이었으니, 열은 등온면에 수직으로 흐른다. 등온면을 지도의 등고선처럼 그리면 열유속선은 그것을 직각으로 가로지르고, 등온선이 촘촘한 곳에서 열유속이 크다 — 7절의 형상 계수는 이 그림 하나에서 나온다.

푸리에 법칙은 유도되는 것이 아니라 실험에서 온 현상론적 법칙이다. 그러나 두 가지는 짚어 둔다. 첫째, 이 식은 $k$가 스칼라라고 가정한다 — 등방 매질이다. 흑연·층상 재료·초격자처럼 방향에 따라 $k$가 다르면 $k$는 텐서가 되고 열유속이 기울기와 평행하지 않다. 실리콘은 입방정이라 등방이고, 이 장의 나머지는 등방만 다룬다. 둘째, 이 식은 열이 국소적으로, 온도 기울기가 있는 바로 그 자리에서 정해진다고 가정한다. 열을 나르는 입자(포논·전자)의 평균 자유 행정보다 훨씬 큰 스케일에서만 참이고, 그 가정이 깨지는 곳이 13절이다.

열전도도는 어디서 오는가

$k$는 재료의 열역학적 성질이고, 온도의 함수다. 미시적 그림은 기체 운동론이 가장 쉽다. 에너지를 나르는 입자들이 평균 속력 $\bar v$로 날다가 평균 $\Lambda$만큼 가서 충돌한다고 하자. 단위 부피의 열용량이 $c$(J/m³·K)이면

$$k = \tfrac{1}{3}\,c\,\bar v\,\Lambda$$

열용량 × 속력 × 평균 자유 행정의 1/3. 유도는 3.8의 기체 운동론에서 하고, 여기서는 세 인자를 읽는다. 열을 나르려면 ① 입자가 에너지를 많이 지니고($c$), ② 빨리 움직이고($\bar v$), ③ 멀리 가서 내려놓아야($\Lambda$) 한다. 세 인자 어느 하나를 줄이면 $k$가 준다 — 13절의 나노 스케일 이야기는 셋째 인자 $\Lambda$가 시료 크기에 잘려 나가는 이야기다.

이 식은 기체뿐 아니라 고체에도 그대로 쓰인다. 고체에서 열을 나르는 것은 둘이다.

• 자유전자 — 금속에서 압도적이다. 전기전도도 $\sigma_e$와 같은 전자가 나르므로 둘이 비례하고, 비데만–프란츠 법칙 $k_e/(\sigma_e T) = L_0 = 2.44\times10^{-8}\,\mathrm{W\!\cdot\!\Omega/K^2}$이 성립한다(7.6). 구리의 $k = 401$은 거의 전부 전자 몫이다.
• 포논(격자 진동의 양자) — 절연체·반도체에서 유일한 통로다. 다이아몬드의 $k = 2300$이 구리의 다섯 배가 넘는 것은 원자가 가볍고 결합이 세서 $\bar v$가 크고, 결정이 완벽해 $\Lambda$가 길기 때문이다. 실리콘의 $148$도 포논 몫이다 — 반도체의 자유 캐리어는 금속의 $10^{-4}$ 수준이라 열을 나르는 데는 거의 기여하지 않는다.

같은 실리콘이라도 비정질 산화막($\mathrm{SiO_2}$)의 $k$는 $1.4$로 결정 실리콘의 1/100이다. 원자 배열이 무질서해 포논의 $\Lambda$가 원자 간격 수준으로 짧다. 이것이 반도체 열 설계의 첫째 사실이다 — 산화막·저유전율 절연막은 열의 벽이고, SOI 웨이퍼의 매립 산화막이 소자를 기판에서 열적으로 고립시킨다(13절).

그림 3.7-2. 실온 열전도도를 로그 눈금에 늘어놓은 것. 다이아몬드에서 공기까지 다섯 자릿수에 걸친다. 반도체 열 경로에 나오는 재료를 골라 놓았다 — 열을 내는 실리콘과 그것을 받아 나르는 구리·알루미늄은 위쪽에, 그 사이에 끼는 산화막·저유전율 절연막·열 계면 소재·몰딩 수지는 두세 자릿수 아래에 있다. 열 경로의 병목은 언제나 이 아래쪽 재료가 얇게 낀 자리다.직접 작도

온도에 따라 얼마나 변하는가

$k$는 상수가 아니다. 방향은 재료마다 다르다.

재료	300 K	600 K	1000 K	경향
실리콘	148	62	31	포논–포논 산란이 늘어 $\sim 1/T$로 급락
구리	401	379	352	전자 산란이 조금 늘어 완만히 감소
텅스텐	174	137	118	완만히 감소
용융 석영	1.4	1.8	2.9	비정질 — 오히려 증가 (복사 기여 포함)
공기	0.026	0.047	0.067	기체 — $\sqrt{T}$로 증가

실리콘이 가장 극적이다. 어닐 온도 $1300\,\mathrm{K}$에서 $k \approx 25$로 실온의 1/6이다. 웨이퍼의 열 균일성을 계산할 때 실온 값을 쓰면 여섯 배 틀린다(8절). 이유는 13절에서 다시 보지만 한 줄로는 이렇다 — 온도가 오르면 포논이 많아져 $c$는 포화하는데 포논끼리의 충돌이 늘어 $\Lambda \propto 1/T$로 준다. 도핑도 $k$를 줄인다. 불순물 원자가 포논을 산란해 $10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 이상으로 도핑한 실리콘은 $k$가 $100$ 아래로 내려간다.

기체는 반대로 $\sqrt T$로 는다 — $\bar v \propto \sqrt T$이기 때문이다. 그리고 기체의 $k$는 압력에 무관하다. 압력을 올리면 분자 수($c$)는 늘지만 $\Lambda$가 같은 비율로 줄어 곱이 그대로다. 이 무관함은 $\Lambda$가 용기 크기보다 작을 때까지만이고, 저압 챔버에서 $\Lambda$가 챔버 치수를 넘으면(크누센 영역, 3.8.9) $k$는 압력에 비례해 떨어진다. RTP·PVD 챔버의 잔류 기체가 열을 거의 못 나르는 이유이자, 웨이퍼 뒷면 헬륨 냉각이 압력을 조절해 열 접촉을 제어하는 원리다.

열확산율 — 얼마나 빨리 퍼지는가

정상 상태에서는 $k$가 전부다. 시간이 들어오면 저장 항이 생기고, $k$를 열용량 $\rho c_p$로 나눈 양이 지배한다.

$$\alpha = \frac{k}{\rho\,c_p} \qquad [\mathrm{m^2/s}]$$

열확산율이다. 분자 $k$는 열을 나르는 능력, 분모 $\rho c_p$는 열을 쌓아 두는 능력이다. $\alpha$가 크면 재료는 받은 열을 쌓지 않고 빨리 넘긴다 — 온도 교란이 빨리 퍼진다. 단위가 $\mathrm{m^2/s}$인 것이 결정적이다. 길이 $L$을 열이 가로지르는 데 걸리는 시간은

$$t \sim \frac{L^2}{\alpha}$$

거리의 제곱에 비례한다. 확산의 모든 곳에서 나오는 그 스케일링이다(8·9절).

재료	$k$ (W/m·K)	$\rho c_p$ (MJ/m³·K)	$\alpha$ (m²/s)	$1\,\mathrm{mm}$를 건너는 시간
구리	401	3.44	$1.2\times10^{-4}$	8 ms
실리콘	148	1.66	$8.9\times10^{-5}$	11 ms
용융 석영	1.4	1.64	$8.5\times10^{-7}$	1.2 s
물	0.61	4.18	$1.5\times10^{-7}$	6.8 s
공기	0.026	0.0012	$2.2\times10^{-5}$	45 ms

의문

공기는 $k$가 물의 1/25인데 $\alpha$는 물의 150배다. 어느 쪽이 “열을 잘 전달”하는가?

둘 다 맞고, 묻는 것이 다르다. 정상 상태에서 얼마의 열이 흐르는가는 $k$가 답한다 — 공기는 형편없다. 온도 교란이 얼마나 빨리 퍼지는가는 $\alpha$가 답한다 — 공기는 열용량이 거의 없어서, 조금만 열을 받아도 온도가 확 오르고 그것이 빨리 퍼진다. 물은 반대로 열용량이 커서 열을 받아도 온도가 잘 안 오른다.

반도체에서 이 구분이 갈리는 자리: 정상 발열(칩의 $100\,\mathrm{W}$)을 빼내는 문제는 $k$의 문제라 구리·다이아몬드·TIM의 $k$를 따진다. 과도 가열(레이저 펄스, RTP 램프)이 어느 깊이까지 닿는가는 $\alpha$의 문제라 $\sqrt{\alpha t}$를 따진다(9절). 실리콘과 구리는 둘 다 $\alpha$가 비슷한데, 열용량이 두 배 차이라 $k$가 세 배 다르다.

열확산 방정식과 경계 조건

검사체적에서 미분방정식으로

1절의 보존 법칙 $\dot E_{\mathrm{in}} - \dot E_{\mathrm{out}} + \dot E_g = \dot E_{\mathrm{st}}$를 미소 검사체적 $dx\,dy\,dz$에 쓴다(Incropera §2.3). $x$면으로 들어온 열이 $q_x$이면 $x + dx$면으로 나가는 열은 테일러 전개 첫 항으로 $q_{x+dx} = q_x + (\partial q_x/\partial x)\,dx$다. 세 방향을 더하고 생성 $\dot q\,dx\,dy\,dz$와 저장 $\rho c_p (\partial T/\partial t)\,dx\,dy\,dz$를 놓으면

$$-\frac{\partial q_x}{\partial x}\,dx - \frac{\partial q_y}{\partial y}\,dy - \frac{\partial q_z}{\partial z}\,dz + \dot q\,dx\,dy\,dz = \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}\,dx\,dy\,dz$$

$q_x = -k\,(\partial T/\partial x)\,dy\,dz$ 등을 넣고 부피로 나누면

$$\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot q = \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}$$

열확산 방정식(열 방정식)이다. 벡터로 쓰면 $\nabla\!\cdot\!(k\nabla T) + \dot q = \rho c_p\,\partial T/\partial t$ — “열유속의 발산이 음수인 곳(들어온 것이 나간 것보다 많은 곳)에 열이 쌓인다”는 문장이고, 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산정리를 미소 부피에 쓴 것과 같다. $k$가 상수면 밖으로 나온다.

$$\nabla^2 T + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\,\frac{\partial T}{\partial t}$$

여기서 세 특수형이 갈린다.

조건	방정식	이름	유형 (1.7.3)
정상, 발열 없음	$\nabla^2 T = 0$	라플라스	타원형
정상, 발열 있음	$\nabla^2 T = -\dot q/k$	푸아송	타원형
과도, 발열 없음	$\partial T/\partial t = \alpha\nabla^2 T$	열(확산) 방정식	포물형

1차원 정상·발열 없음이면 $d^2T/dx^2 = 0$ — 열유속 $q''_x$가 $x$에 무관한 상수라는 뜻이고, 온도는 직선이다(5절). 이것이 열저항 개념이 서는 근거다.

직관

$\partial T/\partial t = \alpha\,\partial^2 T/\partial x^2$를 형태로 읽는다. 우변은 온도 곡선의 곡률이다. 곡선이 아래로 볼록한 곳(골짜기, $\partial^2 T/\partial x^2 > 0$)에서는 양옆이 더 뜨거우니 열이 모여들어 온도가 오르고, 위로 볼록한 곳(봉우리)에서는 양옆으로 열이 새어 내린다. 직선인 곳은 들어오는 것과 나가는 것이 같아 변하지 않는다. 그래서 열 방정식은 곡선을 펴는 방정식이다 — 봉우리는 깎이고 골짜기는 메워져 결국 직선(정상 상태)이 된다. 뾰족한 봉우리일수록 곡률이 커서 빨리 깎이고, 완만한 것은 오래 남는다. 8절의 급수해에서 높은 모드가 $e^{-\zeta_n^2\mathrm{Fo}}$로 먼저 죽는 것이 이 문장의 수식판이다.

$\alpha$는 그 펴지는 속도를 정한다. 방정식이 $x^2$과 $t$의 조합 $x^2/\alpha t$에만 의존한다는 것은 차원만 봐도 나오고, 그래서 모든 과도 전도 해는 $x/\sqrt{\alpha t}$ 또는 $\alpha t/L^2$ (푸리에 수)의 함수다(8·9절).

원통·구 좌표계

웨이퍼·배선·히트파이프·구형 입자는 원통이나 구 대칭이다. 1.1.8곡선좌표계의 라플라시안을 그대로 옮기면

$$\begin{aligned} \text{원통}:\quad &\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(kr\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\phi}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial\phi}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right) + \dot q = \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} \\[6pt] \text{구}:\quad &\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(kr^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial\phi}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(k\sin\theta\frac{\partial T}{\partial\theta}\right) + \dot q = \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t} \end{aligned}$$

방사 방향 항에 $r$과 $r^2$이 끼어 있는 것이 전부다. 이유는 기하다 — 반지름 $r$인 원통면의 넓이는 $2\pi rL$로 $r$에 비례하니, 같은 열 $q_r$이 바깥으로 갈수록 넓은 면을 지나 열유속이 $1/r$로 묽어진다. 그래서 정상·발열 없음이면 상수인 것은 $q''_r$이 아니라 $r\,q''_r$, 즉 $q_r$이고, 온도는 직선이 아니라 $\ln r$(원통)·$1/r$(구)이다(5절). 1.4.5오일러-코시 방정식의 오일러–코시 방정식이 정확히 이 꼴이다.

경계 조건과 초기 조건

열확산 방정식은 공간에 대해 2계, 시간에 대해 1계다. 그래서 좌표마다 경계 조건 둘, 시간에 초기 조건 하나가 필요하다. 경계 조건은 물리적으로 세 종류뿐이고(Incropera §2.4), 전부 1절의 표면 에너지 평형에서 나온다. 표면 $x = 0$에 대해 쓰면

종류	조건	물리
제1종 (디리클레)	$T(0, t) = T_s$	표면 온도가 정해져 있다 — 비등·응축이 있는 표면, 큰 열원에 밀착
제2종 (노이만)	$-k\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\Big\vert_{x=0} = q''_s$	표면 열유속이 정해져 있다. $q''_s = 0$이면 단열(대칭면도 여기)
제3종 (로빈)	$-k\,\dfrac{\partial T}{\partial x}\Big\vert_{x=0} = h\,[T_\infty - T(0,t)]$	표면이 유체와 대류로 만난다 — 가장 흔하다

제3종을 읽는 법: 좌변은 고체 안에서 표면으로 전도되어 온 열, 우변은 표면에서 유체로 대류로 나가는 열이고, 둘이 같다. $h \to \infty$이면 $T(0,t) \to T_\infty$가 되어 제1종이 되고, $h \to 0$이면 단열(제2종)이 된다. 제3종은 나머지 둘을 양 끝으로 갖는 일반형이다. 복사가 끼면 우변에 $\varepsilon\sigma[T_{\mathrm{sur}}^4 - T(0,t)^4]$이 더해지고, 방정식이 비선형이 되어 해석해가 어려워진다 — 그래서 $h_r$로 선형화한다.

주의

부호는 법선 방향이 정한다. 위 식은 표면이 $x = 0$이고 고체가 $x > 0$쪽에 있을 때다. 반대쪽 표면 $x = L$에서는 고체가 안쪽($x < L$)에 있어 바깥 법선이 $+x$이고, 같은 조건이

$$-k\,\frac{\partial T}{\partial x}\Big\vert_{x=L} = h\,[T(L,t) - T_\infty]$$

로 온도 차의 순서가 뒤집힌다. 외우지 말고 매번 “고체에서 표면으로 전도된 열 = 표면에서 유체로 나간 열”을 그림 그려 세운다. 부호 하나가 틀리면 해가 지수적으로 발산한다.

두 고체의 접합면에서는 조건이 둘이다 — ① 온도가 이어지고($T_A = T_B$, 접촉 저항이 없을 때), ② 열유속이 이어진다($k_A\,\partial T_A/\partial x = k_B\,\partial T_B/\partial x$). ②는 기울기가 $k$에 반비례한다는 뜻이다. 실리콘($k = 148$)에서 산화막($k = 1.4$)으로 열이 넘어가면 온도 기울기가 100배 가팔라진다. 접합면에서 온도 곡선이 꺾이는 이유이고, 접촉 저항이 있으면 그 자리에서 온도가 뛴다(5절).

세 방정식의 형제 — 정전기와 확산

$\nabla^2 T = -\dot q/k$는 정전기의 푸아송 방정식 $\nabla^2 V = -\rho_c/\varepsilon$과, 열 방정식은 확산 방정식 $\partial C/\partial t = D\nabla^2 C$와 글자만 다르다.

	열전도	정전기 (2.1)	확산 (8.3)
퍼텐셜	$T$	$V$	$C$ (농도)
물성	$k$	$\varepsilon$	$D$
흐름	$\mathbf{q}'' = -k\nabla T$	$\mathbf{D} = -\varepsilon\nabla V$	$\mathbf{J} = -D\nabla C$
원천	$\dot q$	$\rho_c$	생성률
시간 항	$\rho c_p\,\partial T/\partial t$	— (즉시)	$\partial C/\partial t$

이 대응은 장식이 아니다. 2.2의 경계값 문제 해법은 전부 열전도에 그대로 쓰이고, 8.3·18.7의 확산 프로파일은 이 장의 과도 전도 해와 함수가 같다(9절의 오차함수). TCAD(20부)는 푸아송·연속·열 방정식을 같은 이산화, 같은 행렬 풀이로 푼다(7절). 하나를 익히면 셋을 얻는다.

차이 하나는 기억해야 한다. 정전기에는 시간 항이 없다 — 전하는 빛의 속도로 자리를 잡는다. 열과 확산에는 있다. 그리고 열의 $\alpha$($\sim 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$)와 도펀트의 $D$($\sim 10^{-14}\,\mathrm{m^2/s}$, $1000\,{}^\circ\mathrm{C}$)는 아홉 자릿수 차이라, 같은 방정식이라도 열은 웨이퍼 전체에 밀리초에 퍼지고 도펀트는 같은 시간에 원자 몇 개 거리를 간다. 13절의 열예산은 이 아홉 자릿수의 이야기다.

1차원 정상 전도와 열저항

평판 — 온도는 직선, 열유속은 상수

정상·발열 없음·1차원이면 $d^2T/dx^2 = 0$이고 해는 직선이다. 두께 $L$, 면적 $A$의 평판 양면이 $T_{s,1}$, $T_{s,2}$이면

$$T(x) = (T_{s,2} - T_{s,1})\frac{x}{L} + T_{s,1}, \qquad q_x = -kA\frac{dT}{dx} = \frac{kA}{L}\,(T_{s,1} - T_{s,2})$$

$q_x$가 $x$에 무관하다 — 평판 어느 단면을 잘라도 같은 열이 지난다. 이것을 옴의 법칙 $I = \Delta V/R$과 나란히 놓으면 열저항이 정의된다(Incropera §3.1.2).

$$R_{t,\mathrm{cond}} = \frac{T_{s,1} - T_{s,2}}{q_x} = \frac{L}{kA} \qquad [\mathrm{K/W}]$$

같은 식으로 표면의 대류와 복사도 저항이다.

$$R_{t,\mathrm{conv}} = \frac{1}{hA}, \qquad R_{t,\mathrm{rad}} = \frac{1}{h_r A}$$

온도가 전위, 열전달률이 전류, 열저항이 저항이다. 그리고 회로가 그렇듯 직렬이면 더하고, 병렬이면 역수를 더한다. 유체 $T_{\infty,1}$에서 평판을 지나 유체 $T_{\infty,2}$로 가는 열은

$$q_x = \frac{T_{\infty,1} - T_{\infty,2}}{R_{\mathrm{tot}}}, \qquad R_{\mathrm{tot}} = \frac{1}{h_1A} + \frac{L}{kA} + \frac{1}{h_2A}$$

전체 온도 차를 저항 합으로 나눈다. 온도 차는 각 저항에 비례해 배분된다 — 가장 큰 저항이 온도 강하의 대부분을 먹는다. 열 설계는 그 가장 큰 저항을 찾아 줄이는 일이다.

직관

열저항이 성립하는 조건은 열전달률 $q$가 경로를 따라 일정하다는 것 하나다. 정상 상태이고 도중에 열이 생기지도 새지도 않으면 성립한다. 그래서 저항 개념은 ① 과도 상태(열이 쌓인다)에서는 커패시터를 붙여야 하고(8절), ② 발열이 있으면(도중에 열이 생긴다) 그대로는 못 쓴다(6절).

그런데 조건이 맞기만 하면 기하가 아무리 복잡해도 회로로 그릴 수 있다. 칩 데이터시트의 $\theta_{JA}$(접합–주위), $\theta_{JC}$(접합–케이스), $\theta_{CA}$(케이스–주위)가 그것이다. $T_J = T_A + P\,\theta_{JA}$, $\theta_{JA} = \theta_{JC} + \theta_{CA}$. 소비 전력 $P$와 주위 온도만 알면 접합 온도가 나온다.

복합 평판. 여러 층이 겹치면 각 층의 $L_i/k_iA$를 더한다. 두께가 같으면 $k$가 작은 층이 지배한다. 온도 분포는 층마다 기울기가 다른 꺾은선이고, 4절에서 본 대로 기울기는 $k$에 반비례한다.

총괄 열전달 계수. 열교환기·벽 설계에서는 $q = UA\,\Delta T$로 쓰고 $U = 1/(R_{\mathrm{tot}}A)$가 총괄 열전달 계수다. $h$와 같은 단위(W/m²·K)이고, 모든 층과 두 표면의 대류를 하나로 묶은 값이다.

병렬 경로. 열이 두 재료를 나란히 지나면(예: 배선과 절연막이 번갈아 있는 층) 두 저항의 병렬이다. 엄밀히는 두 경로의 온도가 접합면에서 같아야 하는데 실제로는 다르므로 2차원 효과가 생기지만, 표면이 등온이라고 놓는 근사(하한)와 단면이 단열이라고 놓는 근사(상한) 사이에 참값이 있다.

접촉 저항 — 눌러 붙인 두 면 사이

두 고체를 눌러 붙이면 표면 거칠기 때문에 실제로 닿는 점은 명목 면적의 몇 퍼센트뿐이고, 나머지는 기체(또는 진공)가 낀 틈이다. 열은 닿은 점으로 몰려서 지나고 틈은 기체의 낮은 $k$로 조금만 지난다. 그래서 접합면에서 온도가 뛴다.

$$R''_{t,c} = \frac{T_A - T_B}{q''_x} \qquad [\mathrm{m^2\!\cdot\!K/W}]$$

접촉 저항이다(Incropera §3.1.4). 단위 면적당 값이라 프라임이 둘이고, 면적 $A$의 접합에서는 $R_{t,c} = R''_{t,c}/A$로 회로에 들어간다.

접합면	$R''_{t,c}$ ($\times 10^{-4}\,\mathrm{m^2\!\cdot\!K/W}$)
실리콘 칩 / 연마한 알루미늄, 공기 중	0.3 – 0.6
실리콘 칩 / 알루미늄, 에폭시 $0.02\,\mathrm{mm}$	0.2 – 0.9
알루미늄 / 알루미늄, 인듐 포일	$\approx 0.07$
스테인리스 / 스테인리스, 공기 중	2 – 4

$0.5\times10^{-4}\,\mathrm{m^2\!\cdot\!K/W}$를 실리콘 두께로 환산하면 $kR''_{t,c} = 148 \times 0.5\times10^{-4} = 7.4\,\mathrm{mm}$다. 칩과 히트싱크를 그냥 눌러 붙이면 실리콘 $7\,\mathrm{mm}$를 더 끼운 것과 같다. 그래서 틈을 채우는 열 계면 소재(TIM — 그리스·상변화 시트·인듐·액체 금속)를 바른다. TIM은 $k$가 $1 \sim 10\,\mathrm{W/m\!\cdot\!K}$로 실리콘보다 훨씬 나쁘지만, $k = 0.026$인 공기 틈을 대신하기 때문에 이득이다. 두께가 얇을수록 좋고 — $R'' = L/k$ — 그래서 TIM의 저항은 재료 자체보다 얼마나 얇게, 빈틈없이 바르느냐로 정해진다(18.29).

그림 3.7-3. 세 층 복합 평판을 지나는 열과 그 열저항 회로. 위는 온도 분포 — 층마다 기울기가 다르고, 열전도도가 낮은 가운데 층에서 가장 가파르며, 두 번째 접합면의 접촉 저항 때문에 온도가 계단처럼 뛴다. 양끝 유체와 표면 사이에는 대류 저항이 있어 그곳에서도 온도가 떨어진다. 아래는 같은 경로를 직렬 저항 회로로 그린 것으로, 전체 온도 차가 각 저항의 크기에 비례해 배분된다.직접 작도

원통과 구 — 온도는 로그와 역수

안팎 반지름 $r_1 < r_2$, 길이 $L$의 원통 껍질에서 정상·발열 없음이면 4절의 방정식이 $\frac{d}{dr}\!\left(r\,\frac{dT}{dr}\right) = 0$이다. 두 번 적분하면 $T = C_1\ln r + C_2$ — 1.4.5오일러-코시 방정식의 오일러–코시 방정식에서 중근 0이 나오는 경우다. 경계 조건을 넣으면

$$T(r) = \frac{T_{s,1} - T_{s,2}}{\ln(r_1/r_2)}\ln\frac{r}{r_2} + T_{s,2}, \qquad q_r = \frac{2\pi Lk\,(T_{s,1} - T_{s,2})}{\ln(r_2/r_1)}$$ $$R_{t,\mathrm{cond}} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi Lk}$$

구 껍질은 $\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = 0$에서 $T = C_1/r + C_2$이고

$$q_r = \frac{4\pi k\,(T_{s,1} - T_{s,2})}{1/r_1 - 1/r_2}, \qquad R_{t,\mathrm{cond}} = \frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$$

두 결과에 공통인 것이 있다. 저항이 두께에 비례하지 않는다. 평판은 $L$을 두 배로 하면 저항이 두 배인데, 원통은 $\ln(r_2/r_1)$이라 바깥쪽 두께 한 겹의 저항이 안쪽 한 겹보다 작고, 구는 $r_2 \to \infty$여도 $1/(4\pi k r_1)$로 유한하다 — 무한 매질 속 구에서 열은 무한히 멀리 가도 저항이 유한하다. 넓어지는 면적이 두께를 이기기 때문이다. 7절에서 이 유한한 값이 확산 저항으로 돌아온다.

임계 반지름 — 단열재를 덧입혔는데 더 뜨거워진다

반지름 $r_i$인 원통(도선)에 단열재를 반지름 $r$까지 입히고 바깥이 대류 $h$로 식는다고 하자. 단위 길이당 전체 저항은

$$R'_{\mathrm{tot}} = \frac{\ln(r/r_i)}{2\pi k} + \frac{1}{2\pi r h}$$

첫 항은 $r$이 커지면 늘고(전도 경로가 길어진다), 둘째 항은 준다(표면적이 는다). $dR'_{\mathrm{tot}}/dr = 0$에서

$$r_{\mathrm{cr}} = \frac{k}{h}$$

임계 반지름이다. $r < r_{\mathrm{cr}}$이면 단열재를 더 입힐수록 저항이 줄어 열이 더 잘 빠진다. 공기 중 자연 대류 $h \approx 10$, 단열재 $k \approx 0.05$이면 $r_{\mathrm{cr}} = 5\,\mathrm{mm}$ — 가는 전선의 피복은 단열재가 아니라 방열재다. 구에서는 $r_{\mathrm{cr}} = 2k/h$.

그림 3.7-4. 원통에 입힌 단열재의 반지름에 따른 단위 길이 열저항. 전도 저항은 반지름의 로그로 늘고 대류 저항은 반지름에 반비례해 줄어, 합이 임계 반지름에서 최소가 된다. 임계 반지름보다 가는 원통에는 덧입힐수록 열이 더 잘 빠지고, 그보다 굵어야 비로소 단열이 된다. 곡선은 열전도도를 대류 계수로 나눈 값이 임계 반지름이 되도록 무차원으로 그렸다.직접 작도

의문

임계 반지름 식에 원통의 반지름 $r_i$가 없다. 왜 그런가?

$r_{\mathrm{cr}} = k/h$는 “이 반지름에서 바깥으로 한 겹 더 입힐 때 늘어나는 전도 저항과 줄어드는 대류 저항이 같아진다”는 조건이다. 그 겹이 어디서 시작했는지(안쪽에 무엇이 있는지)는 그 겹의 손익과 무관하다. 안쪽은 이미 정해진 상수 저항일 뿐이다. 반면 $k/h$의 차원이 길이라는 것은 새겨 둘 만하다 — “재료가 열을 나르는 능력”을 “표면이 열을 내놓는 능력”으로 나누면 길이가 되고, 그 길이보다 작은 물체에서는 표면적이, 그보다 크면 전도 경로가 이긴다. 8절의 비오 수 $\mathrm{Bi} = hL/k$가 정확히 이 길이의 역수에 물체 크기를 곱한 것이다.

칩에서 공기까지 — 저항 회로 한 벌

이 절의 결과를 실제 열 경로 하나에 얹어 본다. $1\,\mathrm{cm^2}$ 다이가 $100\,\mathrm{W}$를 낼 때, 접합에서 주위 공기까지의 경로다(수치는 대표값이며 설계마다 다르다).

구간	계산	$R_t$ (K/W)
실리콘 다이, $0.5\,\mathrm{mm}$	$L/kA = 5\times10^{-4}/(148 \times 10^{-4})$	0.034
TIM 1, $50\,\mathrm{\mu m}$, $k = 3$	$5\times10^{-5}/(3 \times 10^{-4})$	0.17
구리 히트스프레더, $2\,\mathrm{mm}$, 면적 $4\,\mathrm{cm^2}$로 퍼진 뒤	$2\times10^{-3}/(401 \times 4\times10^{-4})$	0.012
TIM 2, $100\,\mathrm{\mu m}$, $k = 3$, $4\,\mathrm{cm^2}$	$10^{-4}/(3 \times 4\times10^{-4})$	0.083
히트싱크 → 공기, $hA = 50 \times 0.1$	$1/hA$	0.20
합계		0.50

$\Delta T = 100 \times 0.50 = 50\,\mathrm{K}$. 주위가 $40\,{}^\circ\mathrm{C}$면 접합은 $90\,{}^\circ\mathrm{C}$다. 어디를 줄일지가 표에 보인다 — 실리콘과 구리는 이미 무시할 만하고, **두 TIM과 히트싱크의 대류가 전체의 90 %**다. TIM을 얇게 바르는 것, 히트싱크의 면적($A$)과 팬($h$)을 키우는 것이 열 설계의 전부인 이유다. 다이 안의 국소 열점(13절)은 이 표에 없다 — 그것은 1차원이 아니라 7절의 확산 저항이 다룬다.

발열이 있는 전도와 확장 표면

평판 안에서 열이 생길 때 — 포물선

두께 $2L$인 평판(중심 $x = 0$)에서 단위 부피당 $\dot q$가 균일하게 생기면 정상 상태 방정식은

$$\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{\dot q}{k} = 0 \quad\Longrightarrow\quad T(x) = -\frac{\dot q}{2k}x^2 + C_1x + C_2$$

포물선이다. 양면이 같은 온도 $T_s$면 대칭이라 $C_1 = 0$이고

$$T(x) = \frac{\dot q L^2}{2k}\left(1 - \frac{x^2}{L^2}\right) + T_s, \qquad T_{\max} - T_s = \frac{\dot q L^2}{2k}$$

중심이 가장 뜨겁고, 중심에서 표면까지의 온도 차가 $\dot q L^2/2k$다 — 발열률 × 두께 제곱 / 열전도도. 표면이 유체 $T_\infty$에 대류 $h$로 닿아 있으면 표면 온도는 표면 에너지 평형에서 나온다. 평판 절반($0 \le x \le L$)에서 생긴 열이 전부 표면으로 나가므로 $\dot q L = h(T_s - T_\infty)$,

$$T_s = T_\infty + \frac{\dot q L}{h}$$

발열이 있으면 열유속이 자리마다 다르다 — $q''_x = \dot q x$, 중심에서 0이고 표면에서 최대다. 그래서 열저항으로 쓸 수 없다. 대신 위처럼 방정식을 직접 풀고, 표면 평형으로 $T_s$를 정한다.

그림 3.7-5. 균일한 발열이 있는 평판과 원통의 정상 온도 분포. 왼쪽 평판은 중심을 꼭짓점으로 하는 포물선이고, 중심과 표면의 온도 차가 발열률에 두께 제곱을 곱하고 열전도도로 나눈 값이다. 표면에서 유체까지는 대류 저항만큼 한 번 더 떨어진다. 오른쪽 원통은 같은 포물선인데 반지름 제곱의 계수가 평판의 절반이다 — 같은 반지름이면 원통이 평판보다 열이 두 배 잘 빠진다. 열유속은 중심에서 0이고 표면으로 갈수록 선형으로 커진다.직접 작도

원통(반지름 $r_o$)이면 $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{\dot q}{k} = 0$에서

$$T(r) = \frac{\dot q\,r_o^2}{4k}\left(1 - \frac{r^2}{r_o^2}\right) + T_s, \qquad T_s = T_\infty + \frac{\dot q\,r_o}{2h}$$

계수가 평판의 $1/2k$에서 $1/4k$로 절반이다. 원통은 같은 반지름의 평판보다 표면적 대 부피가 커서 열이 두 배 잘 빠진다. 구는 $1/6k$이다.

직관

$T_{\max} - T_s = \dot q L^2/2k$의 파라미터를 읽는다.

• $\dot q$에 비례 — 당연하다.
• $L^2$에 비례 — 두께를 두 배로 하면 온도 차가 네 배다. 생기는 열이 두 배인데 그 열이 지나야 할 거리도 두 배라서다. 발열체를 얇게 만드는 것이 온도를 잡는 가장 센 손잡이다.
• $1/k$ — 실리콘 위의 산화막($k$ 1/100)에 같은 발열이 있으면 온도 차가 100배다.

반도체에서 이 식이 그대로 나오는 자리는 줄 발열이다. 전류 밀도 $J$가 비저항 $\rho_e$인 도체를 흐르면 $\dot q = J^2\rho_e$. 구리 배선에 $J = 10^{6}\,\mathrm{A/cm^2} = 10^{10}\,\mathrm{A/m^2}$, 박막 비저항 $\rho_e = 2.5\times10^{-8}\,\Omega\!\cdot\!\mathrm{m}$이면 $\dot q = 2.5\times10^{12}\,\mathrm{W/m^3}$ — 세제곱미터당 2.5테라와트다. 숫자가 무서워 보이지만 배선의 부피가 $10^{-18}\,\mathrm{m^3}$ 규모라 배선 하나의 열은 마이크로와트다. 문제는 그 열이 $k = 0.3$인 저유전율 절연막에 둘러싸여 빠져 나가야 한다는 것이고, 배선 열 개가 겹치면 수 켈빈이 된다. 배선 온도가 오르면 $\rho_e$가 오르고 일렉트로마이그레이션 수명이 지수적으로 준다(14.7).

발열이 균일하지 않은 경우도 같은 방법이다. 레이저가 표면에서 흡수되면 $\dot q(x) = \alpha_a I_0 e^{-\alpha_a x}$(흡수 계수 $\alpha_a$, 3절의 열확산율이 아니다)로 지수적으로 줄고, 적분 두 번이면 된다. 9절의 레이저 어닐이 이 발열 분포로 시작한다.

확장 표면 — 핀

1절의 세 계수를 다시 보면 칩 표면에서 공기로 나가는 $h$가 가장 작다. $q = hA(T_s - T_\infty)$에서 $h$를 못 키우면 $A$를 키운다 — 표면에 돌기를 붙인다. 그것이 핀(fin)이고 히트싱크가 핀의 배열이다(Incropera §3.6). 그런데 핀은 밑동에서 끝으로 갈수록 온도가 떨어지므로, 늘어난 면적이 전부 $T_s$에서 일하지는 않는다. 그 온도 분포를 구해야 핀이 얼마나 일하는지 안다.

단면적 $A_c$, 둘레 $P$가 일정한 핀을 따라 $x$를 잡고, 미소 구간 $dx$에 에너지 평형을 쓴다. 들어온 전도 $q_x$, 나간 전도 $q_{x+dx}$, 옆면으로 나간 대류 $h\,P\,dx\,(T - T_\infty)$:

$$\frac{d^2T}{dx^2} - \frac{hP}{kA_c}(T - T_\infty) = 0$$

$\theta = T - T_\infty$, $m^2 = hP/kA_c$로 놓으면

$$\frac{d^2\theta}{dx^2} - m^2\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta(x) = C_1e^{mx} + C_2e^{-mx}$$

1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 상수 계수 2계 방정식, 특성근 $\pm m$이다. 밑동 조건 $\theta(0) = \theta_b = T_b - T_\infty$에 끝 조건 하나를 더해 상수를 정한다. 끝 조건에 따라 네 경우가 있다.

끝 조건	$\theta/\theta_b$	핀 열전달률 $q_f$
무한히 긴 핀 ($\theta \to 0$)	$e^{-mx}$	$M$
끝이 단열	$\dfrac{\cosh m(L-x)}{\cosh mL}$	$M\tanh mL$
끝에서 대류	$\dfrac{\cosh m(L-x) + (h/mk)\sinh m(L-x)}{\cosh mL + (h/mk)\sinh mL}$	$M\,\dfrac{\sinh mL + (h/mk)\cosh mL}{\cosh mL + (h/mk)\sinh mL}$
끝 온도 $\theta_L$ 지정	$\dfrac{(\theta_L/\theta_b)\sinh mx + \sinh m(L-x)}{\sinh mL}$	$M\,\dfrac{\cosh mL - \theta_L/\theta_b}{\sinh mL}$

$M = \sqrt{hPkA_c}\;\theta_b$이다. 핀이 내놓는 열 $q_f$는 밑동으로 들어간 전도 $-kA_c\,d\theta/dx|_0$와 같다 — 핀 옆면 전체의 대류를 적분한 것과 같은 값이다(정상 상태라 들어온 것이 곧 나간 것).

그림 3.7-6. 끝이 단열된 균일 단면 핀의 온도 분포와 효율. 왼쪽은 밑동 온도 초과를 1로 둔 온도 분포로, 핀 파라미터 mL이 작으면 핀 전체가 밑동 온도에 가깝고 mL이 크면 끝에 닿기 전에 온도가 유체 온도로 떨어져 끝 부분이 놀고 있다. 오른쪽은 핀 효율 tanh(mL)/mL — mL이 1 근처까지는 효율이 0.76 이상이지만 그 뒤로는 길이를 늘려도 얻는 열이 거의 늘지 않는다. 열저항 관점에서 핀의 저항은 효율과 면적의 곱에 반비례한다.직접 작도

끝 단열 해를 읽는다. $mL$이 작으면 $\cosh$가 거의 1이라 핀 전체가 $\theta_b$ — 핀 재료가 열을 너무 잘 날라 온도가 떨어질 틈이 없다. $mL$이 크면 $\theta$가 $e^{-mx}$처럼 빨리 죽어 핀 끝은 유체 온도가 되고, 그 부분은 아무 일도 하지 않는다. $1/m = \sqrt{kA_c/hP}$가 핀 안에서 온도가 떨어지는 특성 길이이고, 핀은 그 길이의 두어 배까지만 의미가 있다.

주의

끝에서 대류하는 핀은 셋째 줄 식이 정확하지만 번거롭다. 실용 근사는 보정 길이다 — 끝면의 면적을 옆면에 얹어 길이를 늘인 뒤 끝 단열 해를 쓴다. 두께 $t$인 직사각형 핀은 $L_c = L + t/2$, 직경 $D$인 원기둥 핀은 $L_c = L + D/4$. $ht/k \le 0.0625$(원기둥은 $hD/2k$)이면 이 근사의 오차를 무시할 수 있다(Incropera §3.6.2). 대부분의 금속 핀이 이 조건을 넉넉히 만족한다.

또 하나. 핀 해석은 밑동에서 핀으로 들어가는 열이 1차원이라고, 즉 밑동 단면이 등온이라고 가정한다. 핀이 두꺼워 $\mathrm{Bi} = ht/k$가 1에 가까우면 단면 안의 온도 차를 무시할 수 없어 위 식이 틀린다. 얇고 $k$가 큰 핀에서만 1차원이다.

핀의 성능 — 유효도와 효율

핀을 붙이는 것이 손해일 수도 있다. 핀은 밑동의 면적 $A_{c,b}$를 가리고, 그 자리에서 직접 대류할 열을 대신 나르기 때문이다. 그래서 유효도를 본다.

$$\varepsilon_f = \frac{q_f}{hA_{c,b}\theta_b}$$

핀이 없을 때 그 밑동 면적이 내놓았을 열에 대한 비다. 무한 핀이면 $\varepsilon_f = \sqrt{kP/hA_c}$. $k$가 크고, $h$가 작고, $P/A_c$가 클수록 유리하다. 셋째는 얇은 핀을 많이 세우라는 뜻이고, 둘째가 결정적이다 — $h$가 작은 기체 쪽에 핀을 붙인다. 액체 냉각 히트싱크에서 핀이 짧고 성긴 이유, 자동차 라디에이터에서 핀이 물 쪽이 아니라 공기 쪽에 있는 이유다. 경험 규칙은 $\varepsilon_f \ge 2$가 아니면 핀을 붙이지 않는다는 것이다.

효율은 다른 질문이다 — “핀 전체가 밑동 온도라면 내놓았을 열에 비해 얼마나 내놓는가.”

$$\eta_f = \frac{q_f}{hA_f\theta_b} \qquad \text{끝 단열: }\; \eta_f = \frac{\tanh mL_c}{mL_c}$$

$A_f$는 핀의 전체 표면적이다. $mL_c \to 0$이면 $\eta_f \to 1$(짧고 $k$ 큰 핀), $mL_c$가 크면 $\eta_f \approx 1/mL_c$로 준다. 효율은 저항으로 바꿔 쓸 수 있다.

$$R_{t,f} = \frac{\theta_b}{q_f} = \frac{1}{hA_f\eta_f}$$

핀 하나의 열저항은 대류 저항 $1/hA_f$를 효율로 나눈 것이다. 5절의 회로에 핀을 넣을 때 이 저항을 쓴다.

핀 $N$개와 그 사이 밑면(면적 $A_b$)이 합쳐진 핀 배열은 전체 면적 $A_t = NA_f + A_b$에 대해

$$q_t = hA_t\left[1 - \frac{NA_f}{A_t}(1 - \eta_f)\right]\theta_b = \eta_o\,hA_t\,\theta_b$$

$\eta_o$가 전체 표면 효율이다. 핀이 차지하는 면적 비율만큼 $(1 - \eta_f)$의 손실을 본다. 5절 표의 “히트싱크 → 공기 $hA = 5\,\mathrm{W/K}$“는 실은 $\eta_o hA_t$이고, $A_t = 0.1\,\mathrm{m^2}$는 $1\,\mathrm{cm^2}$ 다이의 1000배다 — 핀이 없으면 $R = 1/(50 \times 4\times10^{-4}) = 50\,\mathrm{K/W}$로 $100\,\mathrm{W}$에 $5000\,\mathrm{K}$가 나온다. 핀 없이는 칩이 존재하지 않는다.

의문

핀 방정식 $\theta'' - m^2\theta = 0$은 부호가 파동 방정식과 반대다. 그 부호가 무엇을 말하는가?

$\theta'' + \omega^2\theta = 0$이면 해가 $\sin, \cos$ — 진동한다. $\theta'' - m^2\theta = 0$이면 $e^{\pm mx}$ — 단조롭게 자라거나 죽는다. 핀은 옆면으로 열을 잃기만 하므로 온도가 되돌아 올라올 길이 없다. 부호 하나가 “옆으로 새는가, 되돌려 주는가”를 갈랐다.

같은 방정식이 반도체에서 두 번 더 나온다. ① 소수 캐리어 확산 $D\,d^2\Delta n/dx^2 - \Delta n/\tau = 0$ (11.5) — 캐리어가 확산해 가면서 재결합으로 “새어” 없어지는 것이 핀에서 열이 대류로 새는 것과 같고, $\sqrt{D\tau}$가 확산 길이, $1/m = \sqrt{kA_c/hP}$가 그 열 버전이다. ② 접촉 저항을 가진 반도체 위의 전극에서 전류가 몰리는 전송선 모델(12.5) — $\sqrt{\rho_c/R_{\mathrm{sh}}}$의 전송 길이가 같은 자리다. 셋 다 “경로를 따라 나르면서 옆으로 잃는” 구조이고, 답은 언제나 $\cosh$·$\sinh$다.

2차원 전도와 형상 계수·수치 해법

변수분리 — 직사각형 판

온도가 두 방향으로 변하면 열유속도 두 성분을 갖고, 열저항의 1차원 그림이 깨진다. 정상·발열 없음이면 방정식은 $\partial^2 T/\partial x^2 + \partial^2 T/\partial y^2 = 0$ — 라플라스 방정식이고, 풀이는 2.2와 1.7.4의 변수분리다. 가로 $L$, 세로 $W$인 판의 세 변이 $T_1$, 윗변만 $T_2$일 때 $\theta = (T - T_1)/(T_2 - T_1)$로 놓으면(Incropera §4.2)

$$\theta(x, y) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1} + 1}{n}\, \sin\frac{n\pi x}{L}\;\frac{\sinh(n\pi y/L)}{\sinh(n\pi W/L)}$$

$x$ 방향은 양 끝이 0이라 사인, $y$ 방향은 한쪽만 0이라 하이퍼볼릭 사인이다 — 라플라스 방정식에서 한 방향이 진동하면 다른 방향은 반드시 지수적이라는 것이 1.7.10의 요점이고, 그 결과가 여기 그대로다. 급수는 홀수 $n$만 남고, $\sinh$ 비 때문에 $y$가 윗변에서 멀어질수록 높은 $n$이 급격히 죽어 몇 항이면 충분하다. 실제로 그려 보면 등온선은 윗변 근처에서 촘촘하고 아래로 갈수록 성기다.

이런 해석해는 기하가 단순한 몇 경우뿐이다. 실제 문제는 두 가지 길로 간다 — 정리된 형상 계수를 쓰거나, 수치 해법으로 푼다.

형상 계수 — 기하를 수 하나로

두 등온면 $T_1$, $T_2$ 사이의 정상 전도는, 기하가 무엇이든 선형이라 열전달률이 온도 차에 비례한다. 그 비례 상수에서 $k$를 떼어 낸 것이 형상 계수 $S$다(Incropera §4.3).

$$q = S\,k\,(T_1 - T_2), \qquad R_{t,\mathrm{cond}} = \frac{1}{Sk}$$

$S$의 차원은 길이다. 평판이면 $S = A/L$, 원통 껍질이면 $2\pi L/\ln(r_2/r_1)$ — 5절의 저항이 전부 이 꼴이다. 2차원·3차원 기하의 $S$가 표로 정리되어 있다. 몇 개만 옮긴다.

기하	$S$	조건
무한 매질 속 등온 구 (직경 $D$)	$2\pi D$
반무한 매질에 깊이 $z$로 묻힌 등온 구	$\dfrac{2\pi D}{1 - D/4z}$
반무한 매질 표면의 등온 원판 (직경 $D$)	$2D$
반무한 매질에 깊이 $z$로 묻힌 긴 원통 (길이 $L$)	$\dfrac{2\pi L}{\cosh^{-1}(2z/D)}$	$L \gg D$
정사각 고체 속 중심 원통 (한 변 $w$)	$\dfrac{2\pi L}{\ln(1.08\,w/D)}$	$w > D$
두 벽이 만나는 모서리 (두께 $D$)	$0.54\,D$	벽 두께 $D$
세 벽이 만나는 꼭짓점	$0.15\,D$

읽는 법 하나. 무한 매질 속 구는 5절에서 $r_2 \to \infty$일 때 저항이 $1/(4\pi k r_1)$로 유한했다 — $S = 4\pi r_1 = 2\pi D$가 그것이다. 작은 열원에서 무한한 매질로 열이 퍼지는 저항은 열원의 크기에만 달려 있다.

확산 저항 — 작은 열원의 저주

표 셋째 줄이 반도체에서 가장 중요하다. 반무한 매질 표면에 직경 $D$의 등온 원판이 있으면 $S = 2D$이고, 열저항은

$$R_{\mathrm{sp}} = \frac{1}{2kD} = \frac{1}{4ka} \qquad (a = D/2)$$

확산 저항(spreading resistance)이다. 작은 열원에서 나온 열이 큰 몸체로 퍼져 나가는 데 드는 저항이고, 열원 반지름에 반비례한다 — 면적($a^2$)이 아니라 길이($a$)다. 열원이 작을수록 저항이 가파르게 커진다. 등온면이 열원 근처에서 반구 모양으로 촘촘히 겹쳐 있어, 온도 강하의 대부분이 열원 반지름 두어 배 안에서 일어나기 때문이다. 멀리서는 면적이 $r^2$으로 늘어 열유속이 묽어지고, 저항은 더 붙지 않는다.

그림 3.7-7. 반무한 고체 표면의 작은 열원에서 열이 퍼져 나가는 모습과 그 저항. 왼쪽은 등온선 — 열원 근처에서 반구 껍질처럼 촘촘히 겹치고 멀어질수록 성기다. 온도 강하의 대부분이 열원 반지름의 몇 배 안에서 일어난다. 오른쪽은 확산 저항을 열원 반지름에 대해 실리콘 기준으로 그린 것 — 반지름에 반비례해, 밀리미터 크기의 다이에서 나노미터 크기의 트랜지스터로 내려오면 저항이 네 자릿수 커진다. 나노 스케일에서는 13절의 보정으로 실제 값이 이보다 더 크다.직접 작도

수치로 본다. 실리콘($k = 148$) 위에서

열원	$a$	$R_{\mathrm{sp}}$ (K/W)	$1\,\mathrm{mW}$당 온도 상승
다이 전체	$5\,\mathrm{mm}$	0.34	— ($100\,\mathrm{W}$에 $34\,\mathrm{K}$)
국소 열점 (코어 한 블록)	$100\,\mathrm{\mu m}$	17	0.017 K
트랜지스터 여러 개	$1\,\mathrm{\mu m}$	1,700	1.7 K
FinFET 한 개	$50\,\mathrm{nm}$	34,000	34 K

트랜지스터 하나가 $1\,\mathrm{mW}$를 내면 그 자리만 $34\,\mathrm{K}$ 오른다. 다이 전체의 열저항을 아무리 줄여도 이 국소 저항은 남는다 — 그것은 히트싱크가 아니라 열원 바로 옆의 실리콘이 정하기 때문이다. 그리고 실제로는 이보다 나쁘다. 열원이 포논의 평균 자유 행정보다 작으면 푸리에 법칙이 과소 평가한다(13절). 5절 회로의 “히트스프레더”가 하는 일도 이 확산 저항이다 — $1\,\mathrm{cm}$ 다이에서 $4\,\mathrm{cm}$ 히트싱크 바닥으로 퍼지는 저항을, $k$ 큰 구리가 실리콘 대신 지는 것이다.

직관

확산 저항이 면적이 아니라 길이에 반비례한다는 것은 정전기와 나란히 놓으면 익숙하다. 반지름 $a$인 도체 원판의 정전 용량은 $C = 8\varepsilon a$ — 역시 면적이 아니라 반지름에 비례한다(2.2). 4절의 대응표에서 $k \leftrightarrow \varepsilon$이니 $R_{\mathrm{sp}} = 1/(4ka)$와 $1/C = 1/(8\varepsilon a)$는 같은 라플라스 문제의 같은 답이다(계수 2는 반무한과 무한의 차이). 접지된 넓은 판 위에 작은 전극을 올려 저항을 재는 확산 저항 측정법(spreading resistance profiling, 19부)이 정확히 이 식으로 비저항을 역산한다 — $R = \rho_e/(4a)$.

유한차분 — 격자 위의 에너지 평형

형상 계수 표에 없는 기하는 수치로 푼다. 가장 직관적인 것이 유한차분법이다(Incropera §4.4). 판을 간격 $\Delta x = \Delta y$의 격자로 덮고 격자점(노드) $(m, n)$의 온도 $T_{m,n}$을 미지수로 둔다. 노드를 둘러싼 $\Delta x \times \Delta y$의 검사체적에 1절의 에너지 평형을 쓴다. 이웃 네 노드에서 들어오는 전도는 각각 $k\,\Delta y\,(T_{m-1,n} - T_{m,n})/\Delta x$ 꼴이고, 발열 $\dot q\,\Delta x\Delta y$를 더해 0이 되어야 하므로

$$T_{m+1,n} + T_{m-1,n} + T_{m,n+1} + T_{m,n-1} - 4\,T_{m,n} + \frac{\dot q\,(\Delta x)^2}{k} = 0$$

발열이 없으면 각 노드의 온도는 이웃 넷의 평균이다. 라플라스 방정식의 해가 “이웃의 평균”이라는 조화함수의 평균값 성질(1.9)이 이산 꼴로 그대로 나온 것이다. 이 식을 2계 도함수의 중심 차분 $\partial^2 T/\partial x^2 \approx (T_{m+1,n} - 2T_{m,n} + T_{m-1,n})/(\Delta x)^2$로 유도해도 같지만, 에너지 평형으로 세우는 편이 경계에서 틀리지 않는다. 대류 경계의 노드는 검사체적이 반쪽이고 한 면이 유체에 닿아 있으므로

$$T_{m-1,n} + \tfrac12\left(T_{m,n+1} + T_{m,n-1}\right) + \frac{h\Delta x}{k}T_\infty - \left(2 + \frac{h\Delta x}{k}\right)T_{m,n} = 0$$

처럼 검사체적 모양대로 항을 세면 된다. 여기 $h\Delta x/k$는 격자 크기의 비오 수다(8절).

노드가 $N$개면 미지수 $N$개의 선형 연립방정식 $[A][T] = [C]$이고, 행렬 $A$는 각 행에 0이 아닌 원소가 다섯뿐인 희소 행렬이다. 푸는 방법은 두 갈래다.

• 직접법 — 가우스 소거·LU 분해(1.2.1행렬과 행렬식). 노드 수천 개까지 무난하다.
• 반복법 — 가우스–자이델. “각 노드를 이웃의 평균으로 갱신”을 수렴할 때까지 반복한다. 코드가 열 줄이고 메모리가 거의 안 들지만 격자가 촘촘해지면 수렴이 느려진다(1.12).

답이 맞는지는 두 가지로 검사한다. ① 격자를 반으로 줄여 다시 풀어 답이 안 움직이는지, ② 경계로 들어온 열과 나간 열이 에너지 평형을 만족하는지. 형상 계수가 알려진 기하로 코드를 먼저 검증하는 것이 관례다.

의문

TCAD가 푸는 열 방정식도 이것인가?

원리는 같고 도구가 다르다. 소자 시뮬레이터(20.6)는 푸아송·연속·열 방정식을 같은 격자, 같은 행렬 풀이로 연립해 푼다 — 4절의 대응표가 곧 코드 구조다. 격자는 직사각형이 아니라 소자 모양을 따라가는 비정형 격자이고, 그래서 유한차분 대신 검사체적법(box method)이나 유한요소법을 쓰지만, “노드 둘레의 검사체적에 보존 법칙을 쓴다”는 뼈대는 위 식과 같다(20.3). 발열 $\dot q$는 줄 발열 $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$와 재결합 열이고, 경계 조건은 기판 바닥의 등온과 옆면의 단열이다. 자기 발열 시뮬레이션(20.6.6)에서 격자 온도 $T_L$이 전자 온도 $T_e$와 갈라지는 것은 13절의 이야기다.

과도 전도와 집중 용량법

기호 — 이 절의 첨자

과도 전도는 첨자가 갑자기 는다. 온도 하나에 초기·중심·표면·유체가 붙고, 무차원화하면 별표가 붙는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$T_i$, $\theta_i$	아이	초기 온도 · 초기 온도 초과 $T_i - T_\infty$
$\theta_o$	오	중심($x = 0$)의 온도 초과
$\theta^* = \theta/\theta_i$	세타 스타	무차원 온도 — 1에서 출발해 0으로
$x^* = x/L$		무차원 위치 — 중심 0, 표면 1
$L_c = V/A_s$		특성 길이 — 부피를 표면적으로 나눈 것
$\mathrm{Bi} = hL_c/k$	비오	내부 전도 저항 / 외부 대류 저항
$\mathrm{Fo} = \alpha t/L_c^2$	푸리에	무차원 시간 — 열이 $L_c$를 건너는 시간의 단위로 잰 $t$
$\tau_t = R_tC_t$	타우	열 시정수
$\zeta_n$, $C_n$	제타 · 씨	급수해의 $n$번째 고유값과 계수
$Q_0 = \rho Vc\,\theta_i$		유체 온도까지 내려갈 때까지 잃을 최대 에너지

집중 용량법 — 물체가 온도 하나로 대표될 때

뜨거운 금속 조각을 물에 담근다. 조각 안의 온도가 어디나 같다고 놓을 수 있으면(집중 용량, lumped capacitance) 공간 변수가 사라지고 문제는 ODE가 된다. 표면에서 대류로 나가는 열이 내부에너지의 감소와 같으므로(Incropera §5.1)

$$-\,hA_s\,(T - T_\infty) = \rho Vc\,\frac{dT}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\theta}{\theta_i} = \exp\!\left(-\frac{t}{\tau_t}\right), \qquad \tau_t = \frac{\rho Vc}{hA_s} = \underbrace{\frac{1}{hA_s}}_{R_t}\;\underbrace{\rho Vc}_{C_t}$$

1.4.11계 ODE — 변수분리와 완전 미분방정식의 지수 감쇠이고, 시정수는 열저항 × 열용량 — RC 회로 그대로다. 5절의 저항 회로에 커패시터를 붙인 것이 과도 문제의 등가 회로이고, 물체가 여러 부분(칩·패키지·히트싱크)으로 나뉘면 각 부분의 $C_t$와 그 사이의 $R_t$로 사다리 회로가 된다 — 패키지 열 모델(Cauer 모델)이 정확히 그것이다.

시간 $t$까지 잃은 에너지는 적분해서

$$Q = \rho Vc\,\theta_i\left[1 - \exp\!\left(-\frac{t}{\tau_t}\right)\right] = Q_0\left[1 - e^{-t/\tau_t}\right]$$

비오 수 — 언제 집중할 수 있는가

“조각 안의 온도가 어디나 같다”는 가정은 언제 성립하는가. 정상 상태 평판을 놓고 보면 답이 나온다. 한쪽 면이 $T_{s,1}$로 고정되고 반대쪽이 유체에 대류로 닿아 있으면, 표면 평형 $kA(T_{s,1} - T_{s,2})/L = hA(T_{s,2} - T_\infty)$에서

$$\frac{T_{s,1} - T_{s,2}}{T_{s,2} - T_\infty} = \frac{L/kA}{1/hA} = \frac{hL}{k} \equiv \mathrm{Bi}$$

비오 수는 내부 전도 저항 대 외부 대류 저항의 비다. $\mathrm{Bi} \ll 1$이면 안쪽 온도 차가 표면–유체 온도 차에 비해 무시할 만하다 — 열은 안에서 표면까지는 쉽게 오는데 표면에서 유체로 나가는 것이 병목이라, 안쪽은 균일하게 식는다. $\mathrm{Bi} \gg 1$이면 반대로 표면은 순식간에 유체 온도가 되고 안쪽에 큰 기울기가 남는다.

$$\mathrm{Bi} = \frac{hL_c}{k} \le 0.1 \qquad \Longrightarrow \qquad \text{집중 용량법 사용 가능 (오차 수 \% 이내)}$$

$L_c = V/A_s$는 평판 $L$(두께의 절반), 원통 $r_o/2$, 구 $r_o/3$이다. 지수를 무차원 수로 다시 쓰면

$$\frac{t}{\tau_t} = \frac{hA_s t}{\rho Vc} = \frac{hL_c}{k}\cdot\frac{\alpha t}{L_c^2} = \mathrm{Bi}\cdot\mathrm{Fo}$$

$\theta/\theta_i = e^{-\mathrm{Bi}\,\mathrm{Fo}}$. 푸리에 수 $\mathrm{Fo} = \alpha t/L_c^2$는 3절의 “열이 $L_c$를 건너는 시간” $L_c^2/\alpha$를 단위로 잰 시간이다.

그림 3.7-8. 비오 수가 정하는 것. 왼쪽은 유체에 갑자기 노출된 평판이 식어 가는 어느 한 순간의 온도 분포를 비오 수별로 겹친 것이다. 비오 수가 0.1 이하이면 판 안의 온도가 거의 평평해 온도 하나로 대표할 수 있고, 1 근처면 안팎 차이가 표면–유체 차이와 비슷해지며, 10을 넘으면 표면은 이미 유체 온도이고 안쪽에 온도가 갇힌다. 오른쪽은 집중 용량법의 지수 감쇠 — 시간을 시정수로 나눠 그리면 곡선이 하나이고, 시정수는 열저항과 열용량의 곱이다.직접 작도

주의

$\mathrm{Bi}$와 $\mathrm{Nu}$는 같은 꼴 $hL/k$인데 다른 수다. 비오 수의 $k$는 고체의 열전도도이고, 10절 누셀트 수 $\mathrm{Nu} = hL/k_f$의 $k$는 유체의 열전도도다. 비오 수는 “고체 안이 균일한가”를, 누셀트 수는 “대류가 순수 전도보다 몇 배 센가”를 묻는다. 같은 $h$, 같은 $L$이라도 실리콘 판($k = 148$)이 공기($k_f = 0.026$)에 놓이면 $\mathrm{Nu}$는 $\mathrm{Bi}$의 5700배다.

**$\mathrm{Bi} \le 0.1$의 $L_c$는 $V/A_s$**이지 물체의 전체 길이가 아니다. 두께 $2L$인 평판의 $L_c = L$이다. 보수적으로 잡으려면 중심에서 표면까지의 최장 거리를 쓴다. 웨이퍼처럼 얇고 넓은 물체는 두께 방향으로만 집중 가능하고, 면 방향(반지름 $150\,\mathrm{mm}$)으로는 $\mathrm{Bi}$가 수백 배 커서 균일하지 않다 — 아래 RTP 예가 그것이다.

웨이퍼를 램프로 달군다 — 집중 용량법의 실전

RTP 챔버에서 두께 $L_w = 775\,\mathrm{\mu m}$인 실리콘 웨이퍼가 $1300\,\mathrm{K}$ 근처에서 양면으로 복사한다. 이때 열 통로는 복사뿐이라 $h$ 자리에 $h_r$이 온다.

• $h_r = \varepsilon\sigma(T_s + T_{\mathrm{sur}})(T_s^2 + T_{\mathrm{sur}}^2) \approx 0.7 \times 5.67\times10^{-8} \times 2600 \times 3.4\times10^6 \approx 350\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K}$
• 두께 방향 $\mathrm{Bi} = h_r(L_w/2)/k = 350 \times 3.9\times10^{-4}/25 \approx 0.005$ — 두께 방향은 완전히 균일하다. $1300\,\mathrm{K}$의 $k = 25$를 썼다. 실온 값 148을 쓰면 여섯 배 더 작은데, 결론은 같다.
• 시정수 $\tau_t = \rho c L_w/(2h_r) \approx 2330 \times 950 \times 7.75\times10^{-4}/700 \approx 2.5\,\mathrm{s}$. 램프를 끄면 웨이퍼는 초 단위로 식는다 — 스파이크 어닐(18.9)이 가능한 이유다.
• 초당 $200\,\mathrm{K}$로 올리려면 흡수 열유속이 $\rho c L_w \times 200 \approx 3.4\times10^5\,\mathrm{W/m^2} = 34\,\mathrm{W/cm^2}$ — 웨이퍼 한 장에 $24\,\mathrm{kW}$. 램프 출력이 수십 kW인 이유다.

면 방향은 다르다. 웨이퍼 가장자리는 옆면으로도 복사하므로 중심보다 빨리 식고, 그 온도 차를 면 방향 전도가 메워야 하는데 $1\,\mathrm{cm}$를 건너는 시간 $L^2/\alpha \approx 10^{-4}/10^{-5} = 10\,\mathrm{s}$가 시정수보다 길다. 그래서 반지름 방향으로 수 켈빈의 온도 차가 남고, 그것이 열응력과 슬립(18.9.5)을 만든다. 램프를 여러 구역으로 나눠 가장자리를 더 데우는 것이 그 대책이다.

공간 효과 — 급수해와 1항 근사

$\mathrm{Bi}$가 0.1을 넘으면 안쪽 온도 분포를 풀어야 한다. 두께 $2L$인 평판이 $T_i$에서 출발해 양면이 $h$, $T_\infty$에 노출될 때 무차원 방정식은

$$\frac{\partial\theta^*}{\partial\mathrm{Fo}} = \frac{\partial^2\theta^*}{\partial x^{*2}}, \qquad \theta^*(x^*, 0) = 1, \quad \frac{\partial\theta^*}{\partial x^*}\Big\vert_{x^*=0} = 0, \quad \frac{\partial\theta^*}{\partial x^*}\Big\vert_{x^*=1} = -\mathrm{Bi}\,\theta^*(1, \mathrm{Fo})$$

해가 $x^*$, $\mathrm{Fo}$, $\mathrm{Bi}$의 함수뿐이라는 것을 무차원화가 보여 준다. 재료·크기· 대류 계수가 무엇이든 이 세 수가 같으면 같은 문제다. 변수분리(1.7.4·1.7.8)로 풀면

$$\theta^* = \sum_{n=1}^{\infty} C_n\,\exp\!\left(-\zeta_n^2\,\mathrm{Fo}\right)\cos\!\left(\zeta_n x^*\right), \qquad C_n = \frac{4\sin\zeta_n}{2\zeta_n + \sin 2\zeta_n}, \qquad \zeta_n\tan\zeta_n = \mathrm{Bi}$$

고유값 $\zeta_n$은 대류 경계 조건에서 나온 초월 방정식의 $n$번째 양의 근이고, 각 항은 $e^{-\zeta_n^2\mathrm{Fo}}$로 죽는다. $\zeta_n$은 대략 $n\pi$ 간격으로 커지니 둘째 항은 첫째보다 $e^{-(\zeta_2^2 - \zeta_1^2)\mathrm{Fo}}$배 빨리 사라진다. 그래서

$$\mathrm{Fo} > 0.2 \quad\Longrightarrow\quad \theta^* \approx C_1 e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}\cos(\zeta_1 x^*), \qquad \theta_o^* = C_1 e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}$$

1항 근사다. 중심 온도 $\theta_o^*$만 알면 다른 자리는 $\cos(\zeta_1 x^*)$를 곱해 얻고 — $\mathrm{Fo} > 0.2$ 뒤로는 온도 분포의 모양이 시간에 무관하게 고정되고 크기만 지수적으로 준다. 잃은 에너지는 분포를 적분해

$$\frac{Q}{Q_0} = 1 - \frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1}\,\theta_o^*$$

$\mathrm{Bi}$	$\zeta_1$	$C_1$	$\zeta_1^2$ (감쇠율)
0.01	0.0998	1.0017	0.00997
0.1	0.3111	1.0161	0.0968
1	0.8603	1.1191	0.740
10	1.4289	1.2620	2.042
100	1.5552	1.2731	2.419
$\infty$	$\pi/2$	1.2732	2.467

그림 3.7-9. 평판 중심 온도의 시간 변화를 비오 수별로 그린 것 — 세로는 무차원 중심 온도의 로그, 가로는 푸리에 수. 급수해 전체를 그렸고, 푸리에 수 0.2 뒤로는 모든 곡선이 직선이 되어 첫 항만 남는다. 비오 수가 작으면 기울기가 비오 수 자체이고(집중 용량법), 비오 수가 커질수록 기울기가 커지다가 무한대에서 π²/4로 포화한다 — 표면이 아무리 빨리 식어도 안쪽 열이 표면까지 나오는 데 걸리는 시간은 판이 정한다.직접 작도

직관

표의 $\zeta_1^2$이 집중 용량법과 그 한계를 한 줄에 담고 있다. 감쇠는 $e^{-\zeta_1^2\mathrm{Fo}}$이다.

• $\mathrm{Bi} \to 0$: $\zeta_1\tan\zeta_1 \approx \zeta_1^2 = \mathrm{Bi}$이므로 $\theta_o^* \approx e^{-\mathrm{Bi}\,\mathrm{Fo}}$ — 집중 용량법이 1항 근사의 극한으로 그대로 나온다. 식는 속도는 $h$가 정한다.
• $\mathrm{Bi} \to \infty$: $\zeta_1 \to \pi/2$, $\zeta_1^2 \to \pi^2/4 \approx 2.47$. 표면이 순식간에 유체 온도가 되어도 중심은 $\tau_1 = L^2/(\alpha\zeta_1^2) = 4L^2/\pi^2\alpha$보다 빨리 못 식는다. 한계는 재료의 $\alpha$와 두께가 정하고, $h$를 아무리 올려도 소용없다.
• 그 사이 $\mathrm{Bi} \approx 1$이 전환점이다. $h$를 올리는 것이 효과 있는 것은 $\mathrm{Bi}$가 1보다 작을 때까지다. 물 냉각이 공기 냉각보다 $h$가 100배 크다고 물체가 100배 빨리 식지는 않는다.

원통과 구도 같은 구조다. 원통은 1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)의 베셀 함수가 코사인 자리에 온다 — $\theta^* = \sum C_n e^{-\zeta_n^2\mathrm{Fo}}J_0(\zeta_n r^*)$, $\zeta_n J_1(\zeta_n)/J_0(\zeta_n) = \mathrm{Bi}$. 구는 $\sin(\zeta_n r^*)/(\zeta_n r^*)$이고 $1 - \zeta_n\cot\zeta_n = \mathrm{Bi}$. 셋 다 1.6의 스투름–리우빌 고유값 문제이고, 그래서 $C_n$은 초기 조건 1을 고유함수로 전개한 푸리에 계수다. 세 기하의 $\zeta_1$, $C_1$ 표가 교재(Incropera Table 5.1)에 있고, 옛 교재의 하이슬러 도표는 이 1항 근사를 그래프로 그린 것이다.

다차원 물체(짧은 원통·직육면체)의 해는 1차원 해들의 곱이다 — 방정식이 선형이고 각 방향이 분리되므로 $\theta^*_{\mathrm{cyl,short}} = \theta^*_{\mathrm{wall}}(x, t)\,\theta^*_{\mathrm{cyl,\infty}}(r, t)$. 변수분리의 곱 꼴이 그대로 답이다.

반무한 고체와 주기 가열

반무한 고체 — 경계가 하나뿐인 문제

8절의 급수해는 두께가 있는 물체가 오래 식은 뒤($\mathrm{Fo} > 0.2$)에 쓴다. 그 반대 극단 — 아주 두꺼운 물체, 또는 아주 이른 시간 — 에서는 표면의 변화가 반대쪽 경계에 아직 닿지 않았다. 그러면 반대쪽 경계는 없는 것과 같고, 물체는 $x = 0$의 표면과 $x \to \infty$의 내부만 가진 반무한 고체다(Incropera §5.7). 땅속, 두꺼운 벽, 그리고 나노초 레이저 펄스를 받는 웨이퍼가 여기 속한다 — $775\,\mathrm{\mu m}$ 두께는 나노초의 열에게는 무한이다.

방정식은 $\partial T/\partial t = \alpha\,\partial^2 T/\partial x^2$, 초기 조건 $T(x, 0) = T_i$, 먼 조건 $T(\infty, t) = T_i$이고, 표면 조건에 따라 세 경우다.

경우 1 — 표면 온도가 갑자기 $T_s$로. 이 문제에는 길이 스케일이 없다. 두께도 없고 $h$도 없다. 그러니 답은 $x$와 $t$를 따로 볼 수 없고, 차원 없는 조합 $x/\sqrt{\alpha t}$로만 볼 수 있다. 그 닮음 변수 $\eta = x/2\sqrt{\alpha t}$로 놓으면 PDE가 ODE $d^2T/d\eta^2 + 2\eta\,dT/d\eta = 0$이 되고, 두 번 적분하면 가우스 함수의 적분 — 1.5.10오차함수와 불완전 감마함수의 오차함수다.

$$\frac{T(x,t) - T_s}{T_i - T_s} = \operatorname{erf}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right), \qquad q''_s(t) = \frac{k\,(T_s - T_i)}{\sqrt{\pi\alpha t}}$$

표면 열유속이 $1/\sqrt t$로 준다 — 처음에는 무한대(표면 바로 밑의 기울기가 무한대)였다가 열이 안으로 스며들수록 기울기가 완만해진다. 온도 변화가 스며든 깊이는 $\operatorname{erf}$의 인수가 1 근처인 곳, 즉 $x \sim 2\sqrt{\alpha t}$이고, “표면 변화의 10 %가 닿은 깊이”로 정의한 열침투 깊이는

$$\delta_p \approx 2.3\sqrt{\alpha t}$$

경우 2 — 표면 열유속이 갑자기 $q''_0$로. 레이저·램프가 표면에 일정한 열을 넣는 경우다.

$$T(x,t) - T_i = \frac{2q''_0\sqrt{\alpha t/\pi}}{k}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right) - \frac{q''_0\,x}{k}\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)$$

표면($x = 0$) 온도가 $T_s - T_i = (2q''_0/k)\sqrt{\alpha t/\pi}$로 $\sqrt t$에 비례해 오른다. 넣은 에너지는 $q''_0 t$로 $t$에 비례하는데 온도는 $\sqrt t$로만 오르는 것은, 데워진 깊이가 $\sqrt{\alpha t}$로 함께 늘어 에너지가 더 두꺼운 층에 나뉘기 때문이다.

경우 3 — 표면이 유체 $T_\infty$, $h$에 노출.

$$\frac{T(x,t) - T_i}{T_\infty - T_i} = \operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right) - \exp\!\left(\frac{hx}{k} + \frac{h^2\alpha t}{k^2}\right)\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}} + \frac{h\sqrt{\alpha t}}{k}\right)$$

$h \to \infty$이면 둘째 항이 사라져 경우 1이 된다. 여기서 길이 스케일 $k/h$가 하나 들어왔다 — 5절 임계 반지름의 그 길이다. $\sqrt{\alpha t} \gg k/h$가 되면 표면은 사실상 $T_\infty$이고 경우 1로 돌아간다.

그림 3.7-10. 반무한 고체의 두 문제. 왼쪽은 표면 온도를 갑자기 바꿨을 때의 온도 분포 — 오차함수 곡선이 시간의 제곱근에 비례해 안으로 밀려 들어간다. 시간을 네 배로 하면 깊이가 두 배다. 오른쪽은 표면 온도를 주기적으로 흔들 때의 한 순간 — 진폭이 열침투 깊이마다 e분의 1로 죽고 위상이 그만큼 늦어져, 파장 하나를 가기 전에 진폭이 0.2 %로 사그라든다. 주파수를 올리면 열침투 깊이는 그 제곱근에 반비례해 얕아진다.직접 작도

직관

닮음 변수가 왜 통하는가. 열 방정식은 $x$를 $\lambda x$로, $t$를 $\lambda^2 t$로 늘여도 모양이 안 변한다(3절의 $L^2/\alpha$ 스케일링). 문제에 길이 스케일이 없으면 답도 그 변환에 불변이어야 하고, $x/\sqrt t$만이 불변이다. 그래서 어느 순간의 온도 분포를 찍어 두고 가로축을 $\sqrt t$배 늘이면 다음 순간의 분포가 된다 — 곡선은 하나이고 시간은 가로축을 늘일 뿐이다. 왼쪽 그림의 세 곡선은 그렇게 하나에서 나왔다.

8절의 유한 평판에서는 두께 $L$이 있어 이 불변성이 깨지고 $\mathrm{Fo} = \alpha t/L^2$이 따로 들어왔다. 반대로 $\mathrm{Fo}$가 아주 작을 때($\sqrt{\alpha t} \ll L$)는 평판도 반무한과 같다 — 급수해의 항을 수십 개 더해야 나오는 그 이른 시간의 답이 오차함수 하나다.

두 물체가 닿는 순간 — 열 침투율

온도 $T_{A,i}$, $T_{B,i}$인 두 반무한 고체를 갑자기 붙이면 접촉면 온도는 어느 쪽이 정하는가. 양쪽에 경우 1을 쓰고 접촉면에서 열유속이 같아야 한다는 조건을 넣으면, 놀랍게도 접촉면 온도가 시간에 무관한 상수로 나온다.

$$T_s = \frac{\sqrt{(k\rho c)_A}\,T_{A,i} + \sqrt{(k\rho c)_B}\,T_{B,i}}{\sqrt{(k\rho c)_A} + \sqrt{(k\rho c)_B}}$$

$e = \sqrt{k\rho c}$ — 열 침투율(thermal effusivity)이라 부르는 이 양의 가중 평균이다. 침투율이 큰 쪽이 접촉면 온도를 자기 쪽으로 끌어간다. 같은 실온의 금속과 나무를 손으로 만지면 금속이 차게 느껴지는 이유다 — 피부($e \approx 1000$)보다 금속($e \approx 10^4$)의 침투율이 훨씬 커서 접촉면이 금속 온도에 가까워지고, 나무($e \approx 400$)는 피부 온도에 가깝게 머문다. 온도계는 같은 온도를 가리키는데 손은 침투율을 잰다.

웨이퍼를 척에 올리는 순간, 칩을 콜드 플레이트에 대는 순간이 이 문제다. 접촉면 온도가 정해지면 양쪽으로 각각 경우 1의 열유속 $\propto e/\sqrt t$가 흐른다. 접촉 저항(5절)이 있으면 접촉면 양쪽 온도가 다르고, 그 차이가 $\sqrt t$로 사라진다.

레이저·플래시 어닐 — 시간이 깊이를 정한다

$\sqrt{\alpha t}$ 하나가 반도체 열공정의 지도를 그린다. 실리콘의 실온 $\alpha = 8.9\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$로 계산하면(고온에서는 $\alpha$가 $1/5$로 떨어져 깊이가 그 제곱근인 $0.45$배가 된다 — 자릿수 판단에는 충분하다)

가열 시간 $t$	$\sqrt{\alpha t}$	어디까지 데워지나	공정
$10\,\mathrm{ns}$	$0.9\,\mathrm{\mu m}$	표면 $1\,\mathrm{\mu m}$ — 소자층만	엑시머 레이저 용융 어닐
$1\,\mathrm{\mu s}$	$9\,\mathrm{\mu m}$	표면 수 μm	연속파 레이저 주사
$1\,\mathrm{ms}$	$0.3\,\mathrm{mm}$	웨이퍼 두께의 절반 — 뒷면은 아직 차다	플래시 램프 어닐
$1\,\mathrm{s}$	$9\,\mathrm{mm}$	두께 방향 전체(8절의 집중 용량)	스파이크 RTA
$10^3\,\mathrm{s}$	$0.3\,\mathrm{m}$	웨이퍼 전체 + 보트 + 로	로 어닐

밀리초 이하에서는 웨이퍼 자체가 히트싱크다. 표면 $1\,\mathrm{\mu m}$만 녹았다가 그 아래 차가운 실리콘으로 열이 빠져 $10^{10}\,\mathrm{K/s}$로 식는다 — 그래서 확산이 사실상 0인 채로 도펀트를 활성화할 수 있다(18.9.6). 나노초 펄스로 녹는 깊이는 광 흡수 깊이가 아니라 **펄스 동안의 $\sqrt{\alpha t}$**가 정한다는 것도 이 표가 말한다. 308 nm 엑시머 빛은 실리콘 $7\,\mathrm{nm}$ 안에서 흡수되지만 $20\,\mathrm{ns}$ 동안 열이 $1\,\mathrm{\mu m}$를 가므로 용융 깊이는 $0.1 \sim 1\,\mathrm{\mu m}$ 사이에서 펄스 에너지로 조절된다. 표면 $1\,\mathrm{\mu m}$를 융점까지 올리는 데 $\rho c\,\Delta T\,L \approx 2330 \times 800 \times 1400 \times 10^{-6} \approx 0.26\,\mathrm{J/cm^2}$, 거기에 잠열과 반사 손실을 얹으면 실제 용융 문턱 $0.5 \sim 1\,\mathrm{J/cm^2}$가 나온다.

주기 가열 — 열파와 열침투 깊이

표면 온도가 $T_s(t) = T_{\mathrm{mean}} + \Delta T_s\sin\omega t$로 흔들리면, 충분히 시간이 지난 뒤 내부 온도는(Incropera §5.8)

$$T(x,t) - T_{\mathrm{mean}} = \Delta T_s\,\exp\!\left(-\frac{x}{\delta}\right)\sin\!\left(\omega t - \frac{x}{\delta}\right), \qquad \delta = \sqrt{\frac{2\alpha}{\omega}}$$

감쇠하는 파동이다. 진폭은 $e^{-x/\delta}$로 죽고 위상은 $x/\delta$만큼 늦다. $\delta$가 이 절의 둘째 열침투 깊이다 — 경우 1의 $\sqrt{\alpha t}$에서 $t$를 $2/\omega$로 바꾼 것이다. 파장은 $2\pi\delta$인데 한 파장을 가면 진폭이 $e^{-2\pi} = 0.002$가 되므로, 이것은 파동이라기보다 주파수에 따라 깊이가 달라지는 확산이다. 땅속의 하루 주기와 1년 주기 침투 깊이는 $\sqrt{365} \approx 19$배 차이 나고, 그래서 지하 몇 미터의 온도는 1년 내내 거의 일정하다.

표면 열유속은

$$q''_s(t) = k\,\Delta T_s\sqrt{\frac{\omega}{\alpha}}\,\sin\!\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$$

진폭이 $\sqrt\omega$에 비례하고 온도보다 $45^\circ$ 앞선다. 이 $\sqrt\omega$와 $45^\circ$는 반무한 확산의 서명이다 — 전기화학의 워버그 임피던스, 도체의 표피 효과(2.8.5)가 같은 서명을 갖는다.

직관

칩은 자기 열의 고주파를 보지 못한다. 실리콘에서 $\delta = \sqrt{2\alpha/\omega}$를 계산하면

주파수	$\delta$
$1\,\mathrm{GHz}$ (클록)	$0.17\,\mathrm{\mu m}$
$1\,\mathrm{MHz}$	$5\,\mathrm{\mu m}$
$1\,\mathrm{kHz}$	$0.17\,\mathrm{mm}$
$1\,\mathrm{Hz}$	$5\,\mathrm{mm}$

클록 주기의 전력 요동은 트랜지스터 바로 옆 수백 나노미터 안에서 사그라들고, 킬로헤르츠 요동도 밀리미터를 못 넘는다 — 패키지는 그 평균만 본다. 반대로 트랜지스터 자체는 그 요동을 그대로 겪는다 — 펄스 I–V 측정에서 마이크로초보다 짧은 펄스를 써야 자기 발열 없는 특성이 나오는 이유이고(19.6), 자기 발열의 시정수가 서브마이크로초라는 뜻이다(13절).

측정 쪽에서는 이 식을 거꾸로 쓴다. 3ω법은 박막 위에 금속 선을 놓고 주파수 $\omega$의 전류를 흘려 $2\omega$로 발열시키고, 그 온도 요동이 선의 저항을 $2\omega$로 흔들어 전압에 $3\omega$ 성분이 생기게 한다. 그 진폭과 위상을 $\omega$에 대해 재면 $\delta(\omega)$를 통해 박막의 $k$가 나온다 — 나노미터 두께 박막의 열전도도(13절)는 대부분 이렇게, 또는 같은 원리의 시간 영역 열반사법(TDTR)으로 잰다.

대류의 경계층과 무차원 수

대류 계수는 경계층이 정한다

1절 끝의 의문 상자에서 $h$가 표면에서의 유체 온도 기울기라는 것을 봤다. 그 기울기를 정하는 것이 경계층이다(Incropera §6.1). 유체가 속도 $u_\infty$, 온도 $T_\infty$로 평판 위를 흐르면

• 표면에서는 점성 때문에 유체가 정지하고(무미끄럼), 그 영향이 위로 퍼져 나가 속도가 $u_\infty$의 99 %가 되는 높이까지를 속도 경계층 $\delta(x)$라 한다.
• 표면 온도 $T_s \ne T_\infty$이면 같은 방식으로 온도가 변하는 층이 생기고, $(T_s - T)/(T_s - T_\infty) = 0.99$가 되는 높이가 열 경계층 $\delta_t(x)$다.

두 층은 앞전($x = 0$)에서 0으로 출발해 하류로 갈수록 두꺼워진다. 표면 바로 위 유체는 정지해 있으므로 열은 거기서 전도로만 지나고

$$q''_s = -k_f\,\frac{\partial T}{\partial y}\Big\vert_{y=0} = h\,(T_s - T_\infty) \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{-k_f\,(\partial T/\partial y)_{y=0}}{T_s - T_\infty} \sim \frac{k_f}{\delta_t}$$

$h$는 유체의 열전도도를 열 경계층 두께로 나눈 것이다. 경계층이 얇을수록 $h$가 크다. 앞전에서 $\delta_t \to 0$이라 $h_x \to \infty$이고, 하류로 갈수록 $\delta_t$가 자라 $h_x$가 준다. 판 전체의 평균 계수는 $\bar h = \frac{1}{L}\int_0^L h_x\,dx$.

그림 3.7-11. 평판 위 층류 경계층. 속도 경계층은 앞전에서 0으로 출발해 거리의 제곱근으로 두꺼워지고, 프란틀 수가 1보다 큰 유체(물·기름)에서는 열 경계층이 그 안쪽에 더 얇게 자란다. 오른쪽 위 삽입 그림은 한 자리에서의 속도·온도 분포 — 표면에서 유체가 정지해 있어 열은 그곳에서 전도로만 지나며, 온도 기울기가 곧 대류 계수다. 아래 곡선은 국소 대류 계수 — 경계층 두께에 반비례해 거리의 제곱근에 반비례로 줄고, 판의 평균값은 끝점 국소값의 두 배다.직접 작도

층류와 난류

경계층은 처음에 층류다 — 유체가 층을 이루어 매끈하게 흐르고, 층 사이 교환은 분자 확산뿐이다. 하류로 가면서 교란이 자라 어느 거리에서 난류로 바뀐다. 난류 경계층은 소용돌이가 층 사이를 휘저어 운동량과 열을 훨씬 빨리 섞고, 그래서 같은 자리에서 난류의 $h$가 층류보다 몇 배 크다. 그 대신 표면 마찰도 함께 는다. 전이는 무차원 거리로 정해진다.

$$\mathrm{Re}_{x,c} = \frac{u_\infty x_c}{\nu} \approx 5\times10^5$$

공기($\nu = 1.6\times10^{-5}$)가 $10\,\mathrm{m/s}$로 흐르면 $x_c \approx 0.8\,\mathrm{m}$ — 히트싱크 핀($5\,\mathrm{cm}$) 위의 흐름은 층류다. 물($\nu = 8.6\times10^{-7}$)이 $1\,\mathrm{m/s}$면 $x_c \approx 0.4\,\mathrm{m}$. 난류 경계층에도 표면 바로 위에는 얇은 층류 저층이 남아 있고, 열은 결국 그 층을 전도로 지나야 하므로 난류의 $h$도 무한대는 아니다.

경계층 방정식과 무차원화

경계층 안의 흐름을 지배하는 것은 나비에–스토크스 방정식(3.8)이지만, 경계층이 얇다는 사실 ($\partial/\partial x \ll \partial/\partial y$)로 크게 단순해진다. 정상·2차원·비압축·물성 일정이면

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} &= 0 \\[4pt] u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} &= -\frac{1}{\rho}\frac{dp_\infty}{dx} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\[4pt] u\frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} &= \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \end{aligned}$$

셋째 줄이 에너지 방정식이다. 좌변은 흐름이 열을 실어 나르는 이류, 우변은 $y$ 방향 전도다 — 4절의 열 방정식에 이류 항이 붙었을 뿐이다. 둘째 줄(운동량)과 셋째 줄(에너지)이 같은 꼴이라는 것이 눈에 띈다. $u$와 $T$가 자리를 바꾸고 $\nu$와 $\alpha$가 자리를 바꿨다. 이 대칭이 아래 프란틀 수의 뜻이고 레이놀즈 유사성의 근거다.

변수를 $x^* = x/L$, $u^* = u/u_\infty$, $T^* = (T - T_s)/(T_\infty - T_s)$로 무차원화하면 방정식에 남는 매개변수가 딱 둘이다.

$$\mathrm{Re}_L = \frac{u_\infty L}{\nu}, \qquad \mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{c_p\mu}{k}$$

그래서 해는 $T^* = f(x^*, y^*, \mathrm{Re}_L, \mathrm{Pr})$이고, $h$를 무차원화한 누셀트 수는

$$\mathrm{Nu} = \frac{hL}{k_f} = \frac{\partial T^*}{\partial y^*}\Big\vert_{y^*=0} = f(x^*, \mathrm{Re}_L, \mathrm{Pr}), \qquad \overline{\mathrm{Nu}}_L = \frac{\bar hL}{k_f} = f(\mathrm{Re}_L, \mathrm{Pr})$$

이것이 대류 열전달의 전체 구조다. 기하가 정해지면 평균 누셀트 수는 레이놀즈 수와 프란틀 수의 함수 하나이고, 유체·속도·크기가 무엇이든 그 두 수가 같으면 같은 답이다. 11절의 상관식들은 전부 이 $f$를 실험과 해석으로 채운 것이다. 물성은 표면 온도와 본류 온도의 평균인 막 온도 $T_f = (T_s + T_\infty)/2$에서 읽는 것이 관례다.

무차원 수 — 각각 무엇을 재는가

수	정의	무엇의 비	언제
레이놀즈 $\mathrm{Re}$	$u_\infty L/\nu$	관성력 / 점성력	층류·난류 판정, 강제 대류
프란틀 $\mathrm{Pr}$	$\nu/\alpha$	운동량 확산 / 열 확산	유체의 성질 — 흐름에 무관
누셀트 $\mathrm{Nu}$	$hL/k_f$	대류 / 순수 전도 (같은 $L$)	답 — $h$를 무차원화한 것
페클레 $\mathrm{Pe}$	$\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr} = u_\infty L/\alpha$	이류 / 전도	이류가 전도를 이기는가
스탠턴 $\mathrm{St}$	$\mathrm{Nu}/(\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}) = h/\rho c_p u_\infty$	실제 열전달 / 흐름의 열용량 유속	레이놀즈 유사성
그라스호프 $\mathrm{Gr}$	$g\beta(T_s - T_\infty)L^3/\nu^2$	부력 / 점성력	자연 대류의 $\mathrm{Re}$ 역할
레일리 $\mathrm{Ra}$	$\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr}$		자연 대류 상관식의 변수
마찰 계수 $C_f$	$\tau_s/(\rho u_\infty^2/2)$	표면 전단 / 동압	운동량 쪽의 $\mathrm{Nu}$

프란틀 수를 따로 본다. 유체의 성질이지 흐름의 성질이 아니고, 운동량 확산율 $\nu$와 열 확산율 $\alpha$의 비다. 둘은 각각 속도 경계층과 열 경계층을 키우는 확산이므로, $\mathrm{Pr}$이 두 경계층의 두께 비를 정한다 — 층류에서 $\delta/\delta_t \approx \mathrm{Pr}^{1/3}$.

유체	$\mathrm{Pr}$	경계층
액체 금속 (Na, Hg)	$0.004 \sim 0.03$	$\delta_t \gg \delta$ — 열이 속도보다 훨씬 멀리 퍼진다
기체 (공기)	$0.7$	$\delta_t \approx \delta$
물 ($300\,\mathrm{K}$)	$5.8$	$\delta_t$가 $\delta$의 절반
기름	$10^2 \sim 10^3$	$\delta_t \ll \delta$ — 열이 표면 바로 옆에 갇힌다

의문

프란틀 수가 크면 열 경계층이 얇아 $h$가 커야 할 텐데, 기름은 물보다 열전달이 나쁘다. 어느 쪽이 맞는가?

둘 다다. $h \sim k_f/\delta_t$인데 기름은 $\delta_t$가 얇은 만큼 $k_f$도 작다. 11절의 층류 평판 상관식 $\mathrm{Nu}_x = 0.332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}$을 $h$로 풀어 쓰면 $h \propto k_f\,\mathrm{Pr}^{1/3}\sqrt{u_\infty/\nu x}$ — $\mathrm{Pr}^{1/3}$은 기름이 유리하지만 $k_f$와 $1/\sqrt\nu$는 물이 훨씬 유리하다. 같은 속도의 물과 기름을 비교하면 물이 서너 배 낫다. 무차원 수 하나만 보면 틀리고, 상관식 전체를 차원 있는 양으로 되돌려 봐야 답이 나온다.

레이놀즈 유사성 — 마찰을 재면 열이 나온다

운동량 방정식과 에너지 방정식이 같은 꼴이므로($\mathrm{Pr} = 1$이고 압력 기울기가 없으면 완전히 같다), 두 경계층의 해도 같고, 표면에서의 속도 기울기(마찰)와 온도 기울기(열전달)가 같은 함수다. 그래서

$$\frac{C_f}{2} = \mathrm{St}\,\mathrm{Pr}^{2/3} \qquad (0.6 < \mathrm{Pr} < 60)$$

칠턴–콜번 유사성이다($\mathrm{Pr} = 1$이면 레이놀즈 유사성 $C_f/2 = \mathrm{St}$). 마찰을 재면 열전달 계수가 나오고, 거꾸로 열전달을 늘리면 반드시 마찰(압력 손실)이 는다. 팬 전력과 냉각 성능이 맞물리는 이유이고, 히트싱크 설계가 “핀을 촘촘히”와 “공기가 지나가게” 사이에서 타협하는 이유다.

같은 유사성이 물질전달로 이어진다. 농도의 경계층 방정식도 같은 꼴이고, 확산 계수 $D_{AB}$가 $\alpha$ 자리에 온다. 슈미트 수 $\mathrm{Sc} = \nu/D_{AB}$가 $\mathrm{Pr}$, 셔우드 수 $\mathrm{Sh} = h_mL/D_{AB}$가 $\mathrm{Nu}$에 대응하고, 열전달 상관식의 $\mathrm{Pr}$을 $\mathrm{Sc}$로 바꾸면 물질전달 상관식이 된다(3.8.5). CVD 반응기에서 반응 기체가 경계층을 뚫고 웨이퍼에 닿는 속도가 이것으로 계산되고(18.11), 경계층이 $\sqrt x$로 두꺼워지므로 하류 웨이퍼의 증착이 얇아진다 — 서셉터를 기울여 유속을 하류에서 올리는 것이 그 보정이다.

강제 대류와 자연 대류

10절이 구조를 세웠으니 이 절은 그 $f(\mathrm{Re}, \mathrm{Pr})$을 기하별로 채운다. 식은 많지만 한 벌의 문법이다 — 층류는 $\mathrm{Re}^{1/2}$, 난류는 $\mathrm{Re}^{4/5}$, 프란틀 수는 대개 $\mathrm{Pr}^{1/3}$, 자연 대류는 $\mathrm{Ra}^{1/4}$(층류)·$\mathrm{Ra}^{1/3}$(난류). 지수가 무엇을 말하는지를 따라가면 외울 것이 거의 없다.

외부 유동 — 평판

층류 평판은 경계층 방정식의 닮음해(블라시우스)가 있어 해석적으로 나온다(Incropera §7.2).

$$\delta = \frac{5x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}, \qquad \mathrm{Nu}_x = \frac{h_xx}{k_f} = 0.332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3} \quad (\mathrm{Pr} \gtrsim 0.6)$$

$h_x \propto x^{-1/2}$이므로 길이 $L$의 평균은 끝점 국소값의 두 배다.

$$\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0.664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}$$

난류 경계층은 실험 상관식이다.

$$\mathrm{Nu}_x = 0.0296\,\mathrm{Re}_x^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{1/3} \quad (0.6 \le \mathrm{Pr} \le 60,\;\mathrm{Re}_x \le 10^8)$$

판이 앞쪽 층류·뒤쪽 난류로 나뉘면 두 구간을 이어 붙인 혼합 경계층 평균이고, $\mathrm{Re}_{x,c} = 5\times10^5$이면

$$\overline{\mathrm{Nu}}_L = \left(0.037\,\mathrm{Re}_L^{4/5} - 871\right)\mathrm{Pr}^{1/3}$$

그림 3.7-12. 평판 위 국소 누셀트 수를 레이놀즈 수에 대해 로그–로그로 그린 것. 층류 구간의 기울기는 1/2, 난류 구간은 4/5이고, 전이점에서 누셀트 수가 세 배 가까이 뛴다. 프란틀 수가 클수록 곡선이 위로 올라가지만 그 의존은 세제곱근이라 완만하다. 대류 계수 자체는 여기에 유체의 열전도도를 곱하고 거리로 나눈 것이라, 같은 누셀트 수라도 물이 공기보다 스무 배 크다.직접 작도

직관

지수 $1/2$과 $4/5$의 뜻. 층류에서 $h_x \propto k_f/\delta_t \propto \sqrt{u_\infty/\nu x}$ — 속도의 제곱근, 거리의 역제곱근이다. 속도를 네 배로 올려야 $h$가 두 배다. 팬을 두 배 세게 돌려도 냉각은 $\sqrt2$배뿐이고, 마찰 손실은 $C_f \propto \mathrm{Re}^{-1/2}$에 $u^2$을 곱해 $u^{3/2}$로 는다. 난류에서는 $h \propto u^{0.8}$로 속도에 거의 비례해 팬의 효율이 낫지만, 마찰도 $u^{1.8}$이다. 어느 쪽이든 속도로 $h$를 버는 것은 비싸고, 그래서 6절의 핀으로 면적을 버는 것이 먼저다.

$\mathrm{Pr}^{1/3}$의 뜻. 10절에서 $\delta/\delta_t \approx \mathrm{Pr}^{1/3}$이었다. 그 열 경계층 두께의 역수가 그대로 $h$에 붙은 것이다.

외부 유동 — 원통과 구

가로 방향 흐름 속의 원통은 앞쪽에 정체점, 뒤쪽에 박리와 후류가 있어 $h$가 둘레를 따라 요동친다. 평균은 처칠–번스타인 상관식이 넓은 범위를 덮는다.

$$\overline{\mathrm{Nu}}_D = 0.3 + \frac{0.62\,\mathrm{Re}_D^{1/2}\mathrm{Pr}^{1/3}}{\left[1 + (0.4/\mathrm{Pr})^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1 + \left(\frac{\mathrm{Re}_D}{282{,}000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}$$

구는 위테커 상관식 $\overline{\mathrm{Nu}}_D = 2 + \left(0.4\,\mathrm{Re}_D^{1/2} + 0.06\,\mathrm{Re}_D^{2/3}\right) \mathrm{Pr}^{0.4}(\mu/\mu_s)^{1/4}$이고, 앞의 2가 눈에 띈다. $\mathrm{Re} \to 0$에서 $\mathrm{Nu}_D = 2$ — 정지한 유체 속 구의 순수 전도 극한이다. 7절 형상 계수 $S = 2\pi D$를 $q = hA\Delta T = h\pi D^2\Delta T$와 놓으면 $h = 2k/D$, 즉 $\mathrm{Nu}_D = 2$. 상관식의 상수항은 흐름이 없을 때의 전도가 남긴 바닥이다. 열선 풍속계와 미세 입자의 냉각이 이 식으로 계산된다.

내부 유동 — 관과 채널

관 안 흐름은 경계층이 벽에서 자라 관 중심에서 만난 뒤 완전 발달한다(Incropera Ch.8). 그 뒤로는 속도 분포가 변하지 않고, 온도 분포도 무차원 꼴로 고정된다. 레이놀즈 수는 $\mathrm{Re}_D = u_mD/\nu$($u_m$ 평균 속도)이고 $\mathrm{Re}_D \lesssim 2300$이 층류다. 입구 길이는 수력 $x_{fd,h}/D \approx 0.05\,\mathrm{Re}_D$, 열적 $x_{fd,t}/D \approx 0.05\,\mathrm{Re}_D\mathrm{Pr}$.

완전 발달 층류의 답은 상수다.

$$\mathrm{Nu}_D = \frac{hD}{k_f} = 4.36 \;(\text{균일 열유속}), \qquad 3.66 \;(\text{균일 표면 온도})$$

속도·유량과 무관하다 — 층류에서 관 안의 열은 결국 전도로 벽까지 가야 하고, 그 거리가 $D$이기 때문이다. 그러니 $h = 4.36\,k_f/D$이고 관이 가늘수록 $h$가 크다. 지름을 $1\,\mathrm{mm}$에서 $50\,\mathrm{\mu m}$로 줄이면 $h$가 20배다. 이것이 마이크로채널 냉각의 원리다 — 실리콘 뒷면에 $50\,\mathrm{\mu m}$ 폭의 홈을 파고 물을 흘리면 $h \sim 5\times10^4$, 열유속 $790\,\mathrm{W/cm^2}$을 빼낸 1981년의 실험(터커먼–피즈)이 오늘의 칩 직접 액체 냉각의 출발이다. 대가는 압력 손실 — 층류 마찰 계수 $f = 64/\mathrm{Re}_D$에 $\Delta p = f(L/D)\rho u_m^2/2$이라 지름의 4제곱에 반비례해 커진다.

난류는 디터스–뵐터 상관식이 표준이다.

$$\mathrm{Nu}_D = 0.023\,\mathrm{Re}_D^{4/5}\,\mathrm{Pr}^{n}, \qquad n = 0.4\;(\text{가열}),\; 0.3\;(\text{냉각}), \quad \mathrm{Re}_D \gtrsim 10^4$$

더 정확한 것은 그닐린스키 상관식이지만 형태는 같다. 관을 따라 유체 온도가 변하므로 관 전체의 열은 유체의 에너지 평형 $q = \dot mc_p(T_{m,o} - T_{m,i})$로 세고, 벽 온도가 일정하면 유체 온도가 지수적으로 벽에 다가가

$$\frac{T_s - T_{m,o}}{T_s - T_{m,i}} = \exp\!\left(-\frac{PL\bar h}{\dot mc_p}\right)$$

지수 안의 $\dot mc_p/(PL\bar h)$가 8절 집중 용량의 시정수와 같은 구조다 — 시간이 거리로, 열용량이 유량의 열용량으로 바뀌었을 뿐이다. 열교환기 설계의 대수 평균 온도 차가 여기서 나온다.

자연 대류 — 부력이 만드는 흐름

팬이 없어도 뜨거운 표면 옆의 공기는 데워져 가벼워지고 위로 떠오른다. 그 흐름이 자연 대류다 (Incropera Ch.9). 구동력은 부력 — 밀도 차 $\Delta\rho = -\rho\beta\,\Delta T$에 중력을 곱한 것이고, $\beta$가 체적 팽창 계수다(이상기체면 $\beta = 1/T$). 강제 대류의 $\mathrm{Re}$ 자리에 그라스호프 수가 온다.

$$\mathrm{Gr}_L = \frac{g\beta(T_s - T_\infty)L^3}{\nu^2}, \qquad \mathrm{Ra}_L = \mathrm{Gr}_L\,\mathrm{Pr} = \frac{g\beta(T_s - T_\infty)L^3}{\nu\alpha}$$

$\mathrm{Gr}$은 부력과 점성력의 비, 레일리 수 $\mathrm{Ra}$는 거기에 $\mathrm{Pr}$을 곱한 것으로 상관식의 변수다. $\mathrm{Ra}_L \approx 10^9$에서 난류로 바뀐다. 수직 평판은

$$\overline{\mathrm{Nu}}_L = 0.59\,\mathrm{Ra}_L^{1/4} \;(10^4 \lesssim \mathrm{Ra}_L \lesssim 10^9), \qquad 0.10\,\mathrm{Ra}_L^{1/3} \;(10^9 \lesssim \mathrm{Ra}_L \lesssim 10^{13})$$

수평 평판은 뜨거운 면이 위를 보면 공기가 자유롭게 떠올라 $0.54\,\mathrm{Ra}^{1/4}$($10^4 \sim 10^7$), $0.15\,\mathrm{Ra}^{1/3}$($10^7 \sim 10^{11}$)이고, 뜨거운 면이 아래를 보면 공기가 갇혀 $0.52\,\mathrm{Ra}^{1/5}$로 나쁘다. 특성 길이는 $L = A_s/P$(면적/둘레).

직관

$\mathrm{Ra}^{1/4}$이 말하는 것. $h \propto \mathrm{Ra}^{1/4}/L \propto (\Delta T)^{1/4}L^{-1/4}$. ① $h$가 온도 차에 의존한다 — 뉴턴의 냉각 법칙 $q'' = h\Delta T$가 실은 $q'' \propto (\Delta T)^{5/4}$이고, 그래서 자연 대류 문제는 $T_s$를 모르면 반복 계산이 필요하다. ② 길이 의존이 $L^{-1/4}$로 약하다. ③ 숫자로는, 공기 중 수직 $10\,\mathrm{cm}$ 판이 $50\,\mathrm{K}$ 뜨거우면 $\mathrm{Ra}_L \approx 3\times10^6$, $\overline{\mathrm{Nu}}_L \approx 25$, $\bar h \approx 7\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K}$ — 1절 표의 “기체 자연 대류 2~25”가 이렇게 나온다. 팬 없는 히트싱크가 $100\,\mathrm{W}$를 빼려면 $A \gtrsim 100/(7 \times 50) \approx 0.3\,\mathrm{m^2}$가 필요하다.

**난류 구간 $\mathrm{Ra}^{1/3}$**에서는 $h \propto L^0$ — 크기에 무관하다. 큰 표면은 난류 소용돌이가 국소적으로 열을 빼내므로 전체 크기가 상관없어진다.

저압에서는 자연 대류가 사라진다. $\mathrm{Gr} \propto 1/\nu^2 \propto \rho^2$이라 압력을 $1/1000$ (약 1 Torr)로 내리면 $\mathrm{Gr}$이 $10^{-6}$배가 되어 흐름이 서지 않고, 기체는 순수 전도(3절)로만 열을 나른다. 그마저 크누센 영역이면 압력에 비례해 준다. RTP·LPCVD·PVD 챔버에서 웨이퍼의 열 통로가 복사뿐인 이유가 이것이다(12절).

강제 대류와 자연 대류가 함께 있으면 $\mathrm{Gr}_L/\mathrm{Re}_L^2$로 판정한다 — 1보다 훨씬 크면 자연 대류, 훨씬 작으면 강제 대류, 1 근처면 혼합 대류로 둘의 세제곱 합 $\mathrm{Nu}^3 = \mathrm{Nu}_F^3 \pm \mathrm{Nu}_N^3$을 쓴다.

상변화 — 대류의 상한

물이 끓으면 잠열 $2.26\,\mathrm{MJ/kg}$을 실어 나른다. 핵비등 영역의 $h$는 $10^4 \sim 10^5\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K}$이고, 대기압 물의 임계 열유속은 약 $1\,\mathrm{MW/m^2} = 100\,\mathrm{W/cm^2}$ — 이 장 첫 문단의 프로세서 열유속과 같은 자릿수다. 그 이상 밀어 넣으면 표면이 증기막에 덮여 $h$가 급락하고 표면이 타 버린다(막비등). 데이터센터의 침지 냉각과 2상 콜드 플레이트가 이 영역에서 일하고, 휴대전화의 베이퍼 챔버와 히트파이프는 밀봉된 관 안에서 증발–응축을 돌려 등가 열전도도가 구리의 수십 배가 되는 장치다. 상변화 열전달의 상관식은 이 장의 범위 밖이지만, 대류의 천장이 어디인지는 알아 둘 만하다.

복사의 성질과 표면 간 복사 교환

열복사 — 온도가 내는 빛

온도가 0이 아닌 모든 물질은 전자기파를 낸다. 원자·분자·전자의 열운동이 전하를 흔들고, 흔들리는 전하는 복사한다(2.9). 그 스펙트럼은 온도가 정하고, 실용 범위는 $0.1 \sim 100\,\mathrm{\mu m}$ — 자외선 끝에서 가시광·적외선까지다(Incropera §12.1). 전도·대류가 온도 차에 비례하는 것과 달리 복사는 절대온도의 네제곱에 비례하고, 매질이 없어도 진공을 건넌다.

기호 — 이 절의 약속

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$E$, $E_b$		표면의 방사력 · 흑체 방사력 — 단위 면적이 반구 전체로 내는 복사	W/m²
$E_{\lambda}$, $E_{\lambda,b}$	람다 첨자	분광 방사력 — 파장 $\lambda$ 근처 단위 파장당	W/m²·μm
$G$		조사량 — 표면에 들어오는 복사 (모든 방향에서)	W/m²
$J$		복사도 — 표면을 떠나는 복사 전부 (방출 + 반사)	W/m²
$\varepsilon$, $\alpha$, $\rho$, $\tau$		방사율 · 흡수율 · 반사율 · 투과율 — 이 절에서만	무차원
$F_{ij}$	에프 아이제이	시각 계수 — $i$를 떠난 복사 중 $j$에 곧장 닿는 비율	무차원
$C_1$, $C_2$, $C_3$		플랑크 제1·제2 상수, 빈 변위 상수
$F_{(0 \to \lambda)}$		흑체 복사 중 파장 $0 \sim \lambda$에 든 분율	무차원

흑체 — 플랑크 분포

흑체는 들어오는 복사를 파장·방향 가리지 않고 전부 흡수하는 이상적 표면이고, 같은 온도에서 가능한 최대로 복사한다. 그 분광 방사력이 플랑크 분포다.

$$E_{\lambda,b}(\lambda, T) = \frac{C_1}{\lambda^5\left[\exp(C_2/\lambda T) - 1\right]}$$ $$\begin{aligned} C_1 &= 2\pi h_{\mathrm P}c_0^2 = 3.742\times10^8\,\mathrm{W\!\cdot\!\mu m^4/m^2} \\[4pt] C_2 &= \frac{h_{\mathrm P}c_0}{k_{\mathrm B}} = 1.439\times10^4\,\mathrm{\mu m\!\cdot\!K} \end{aligned}$$

$h_{\mathrm P}$가 플랑크 상수, $k_{\mathrm B}$가 볼츠만 상수다. 유도 — 공동 안 전자기 모드의 수와 보스 통계 — 는 6.3.6과 5.1.1의 몫이고, 여기서는 모양을 읽는다.

그림 3.7-13. 흑체의 분광 방사력을 파장에 대해 로그–로그로 여러 온도에서 그린 것. 온도가 오르면 곡선 전체가 위로 오르면서 봉우리가 짧은 파장으로 옮겨 가고, 봉우리를 잇는 빈의 변위 법칙 직선이 그 자취다. 실온 물체는 10 μm 근처의 적외선을 내고, 텅스텐 램프 필라멘트는 1 μm 근처를, 태양은 0.5 μm의 가시광을 낸다. 실리콘의 밴드갭에 해당하는 1.1 μm를 세로 점선으로 표시했다 — 그보다 짧은 파장은 실리콘이 강하게 흡수하고, 그보다 길면 저농도 실리콘은 거의 투명하다.직접 작도

• 봉우리 파장은 온도에 반비례한다 — 미분해 0으로 놓으면 빈의 변위 법칙 $\lambda_{\max}T = C_3 = 2898\,\mathrm{\mu m\!\cdot\!K}$. 실온 $300\,\mathrm{K}$는 $9.7\,\mathrm{\mu m}$(원적외선), RTP 웨이퍼 $1300\,\mathrm{K}$는 $2.2\,\mathrm{\mu m}$, 램프 필라멘트 $2900\,\mathrm{K}$는 $1.0\,\mathrm{\mu m}$, 태양 $5800\,\mathrm{K}$는 $0.50\,\mathrm{\mu m}$ — 눈이 가장 민감한 초록이다.
• 전체 넓이는 $T^4$에 비례한다 — 파장에 대해 적분하면 슈테판–볼츠만 법칙 $E_b = \sigma T^4$, $\sigma = 5.670\times10^{-8}\,\mathrm{W/m^2\!\cdot\!K^4}$. 온도를 두 배로 하면 열여섯 배다.
• 곡선의 모양은 하나다 — $E_{\lambda,b}/T^5$을 $\lambda T$에 대해 그리면 모든 온도가 한 곡선에 겹친다. 그래서 파장 $0 \sim \lambda$에 든 분율 $F_{(0\to\lambda)}$도 $\lambda T$만의 함수이고, 표 하나로 모든 온도를 처리한다.

$\lambda T$ (μm·K)	1500	2000	2898	4000	6000	10,000	20,000
$F_{(0\to\lambda)}$	0.013	0.067	0.250	0.481	0.738	0.914	0.986

봉우리 파장까지 전체의 1/4뿐이고, 3/4은 봉우리보다 긴 파장에 있다. 램프 필라멘트($2900\,\mathrm{K}$)가 실리콘 밴드갭 파장 $1.1\,\mathrm{\mu m}$ 아래로 내는 복사는 $\lambda T = 3200$, 즉 전체의 약 30 %다 — 나머지 70 %는 차가운 실리콘이 잘 흡수하지 않는 적외선이다.

직관

플랑크 분포의 두 꼬리. $\lambda T \ll C_2$(짧은 파장)에서는 지수가 커서 $E_{\lambda,b} \approx C_1\lambda^{-5}e^{-C_2/\lambda T}$ — 빈 근사, 지수적으로 죽는다. 이 꼬리가 온도에 극도로 민감하다: 파장 $0.9\,\mathrm{\mu m}$에서 $1300\,\mathrm{K}$ 물체의 복사는 온도가 $1\,\%$ 오를 때 $12\,\%$ 는다. 고온계가 짧은 파장을 골라 재는 이유다 — 온도 감도가 크고, 방사율의 불확실성이 상대적으로 덜 먹힌다. $\lambda T \gg C_2$(긴 파장)에서는 $E_{\lambda,b} \approx C_1T/(C_2\lambda^4)$ — 레일리–진스 극한, 온도에 선형이다. 고전 물리는 이 꼬리만 맞혔고, 짧은 파장에서 발산하는 “자외선 파탄”을 양자 가설이 막았다(5.1.1).

실제 표면 — 방사율·흡수율·반사율·투과율

실제 표면은 흑체보다 덜 낸다. 그 비가 방사율 $\varepsilon = E/E_b$이고, 엄밀히는 파장·방향·온도의 함수 $\varepsilon_{\lambda,\theta}(\lambda, \theta, T)$다. 반대로 들어오는 조사량 $G$는 셋으로 갈린다.

$$\alpha + \rho + \tau = 1 \qquad (\text{흡수} + \text{반사} + \text{투과})$$

불투명하면 $\tau = 0$이라 $\alpha + \rho = 1$. 이 넷을 잇는 것이 키르히호프 법칙이다 — 같은 파장·같은 방향에서 방사율과 흡수율은 같다, $\varepsilon_\lambda = \alpha_\lambda$. 잘 흡수하는 것은 잘 낸다. 열평형의 요구다 — 그렇지 않으면 같은 온도의 두 물체 사이에 순 복사가 생겨 제2법칙을 어긴다. 전체(파장 적분) 방사율과 흡수율은 조사량의 스펙트럼이 표면 자신의 방출 스펙트럼과 같을 때만 같고, 일반적으로는 **$\varepsilon \ne \alpha$**다.

파장에 무관한 표면을 회색 표면이라 하고, 회색·확산(방향 무관) 가정 아래서 $\varepsilon = \alpha$가 성립해 계산이 단순해진다. 실제 재료는 대개 회색이 아니다.

표면	전체 방사율 $\varepsilon$ ($300 \sim 600\,\mathrm{K}$)
연마한 알루미늄·금·은	0.02 – 0.05
산화된 알루미늄, 스테인리스	0.2 – 0.4
텅스텐 필라멘트 ($2900\,\mathrm{K}$)	0.3 – 0.4
실리콘 (고농도 도핑 또는 $T > 900\,\mathrm{K}$)	0.6 – 0.7
실리콘 (저농도, 실온, 양면 연마)	0.1 – 0.3 (두께·도핑에 따라)
석영·유리 (두께 수 mm)	0.8 – 0.9
페인트, 산화막, 사람 피부	0.9 – 0.97

주의

실리콘은 회색 표면이 아니다 — 반도체 열공정의 가장 큰 함정이다. 실리콘은 밴드갭 $1.12\,\mathrm{eV}$, 파장 $1.1\,\mathrm{\mu m}$보다 짧은 빛은 밴드 간 흡수로 강하게 흡수하고($\alpha_\lambda \approx \varepsilon_\lambda \approx 0.6 \sim 0.7$), 그보다 긴 적외선은 자유 캐리어가 적은 저농도 웨이퍼에서 거의 투과한다($\tau_\lambda$가 0.5를 넘는다). 그래서

• 실온 웨이퍼는 램프 적외선의 70 %에 투명하다. 가열 초기에 램프 복사의 상당수가 웨이퍼를 통과해 반대편 벽으로 가고, 흡수는 밴드갭 위의 30 %로 시작한다. 온도가 $600\,{}^\circ\mathrm{C}$를 넘으면 진성 캐리어가 늘어 자유 캐리어 흡수가 켜지고 웨이퍼가 불투명해지며 $\varepsilon \to 0.7$로 간다 — 방사율이 온도의 함수다.
• 뒷면 막이 방사율을 바꾼다. 산화막·질화막·폴리실리콘은 박막 간섭(3.5)으로 파장별 방사율을 $\pm 0.3$까지 흔든다. 같은 온도의 두 웨이퍼가 고온계에 다르게 보인다.
• 그 결과 고온계 오차가 수십 K에 이를 수 있다(18.9.4). 대책은 웨이퍼가 확실히 불투명한 파장을 고르고, 램프 빛이 새어 들지 않게 필터하며, 방사율을 실시간으로 보정하는 것이다.

가열과 냉각의 비대칭도 여기서 나온다. 가열은 램프 스펙트럼($1\,\mathrm{\mu m}$)에 대한 흡수율 $\alpha$가, 냉각은 웨이퍼 자신의 스펙트럼($2 \sim 3\,\mathrm{\mu m}$)에 대한 방사율 $\varepsilon$이 정한다. 둘은 다른 파장의 성질이라 같지 않다 — 회색이 아닌 표면에서 $\alpha \ne \varepsilon$의 실례다.

유리·석영은 정반대다. 가시광에는 투명하지만 $3 \sim 4\,\mathrm{\mu m}$보다 긴 적외선에는 불투명해 $\varepsilon \approx 0.9$다. 태양빛(가시)을 들여보내고 실온 물체의 복사(원적외선)는 가두는 것이 온실 효과이고, 석영관 로가 램프 빛은 통과시키면서 자신은 뜨거워지는 이유다.

표면 사이의 교환 — 시각 계수

두 표면 사이에 얼마의 복사가 오가는지는 기하가 절반이다. $A_i$를 떠난 복사 중 $A_j$에 곧장 닿는 비율을 시각 계수 $F_{ij}$라 한다(Incropera §13.1). 두 규칙이 전부다.

$$A_iF_{ij} = A_jF_{ji}\;(\text{상반}), \qquad \sum_{j=1}^{N}F_{ij} = 1\;(\text{합})$$

상반 관계는 “$i$가 $j$를 보는 면적”과 “$j$가 $i$를 보는 면적”이 같다는 것이고, 합 규칙은 떠난 복사는 어딘가에 반드시 닿는다는 것이다(오목한 표면은 자기 자신에도 닿아 $F_{ii} \ne 0$). 몇 가지 값: 마주 보는 큰 평행판 $F_{12} = 1$, 큰 공동 안의 작은 물체 $F_{12} = 1$, 동축 원통 $F_{12} = 1$이고 $F_{21} = r_1/r_2$. 복잡한 기하는 적분 표와 대수 규칙(합·상반·대칭)으로 조립한다.

두 흑체 사이의 순 교환은

$$q_{ij} = A_iF_{ij}\,\sigma\left(T_i^4 - T_j^4\right)$$

회색·확산 표면의 폐공간 — 복사 회로

흑체가 아니면 표면은 받은 복사의 일부를 반사하고, 그 반사가 다시 다른 표면에 가서 또 반사된다. 무한히 되튀는 이 과정을 한 번에 처리하는 도구가 복사도 $J$다 — 표면을 떠나는 복사 전부, 즉 방출 + 반사.

$$J_i = \varepsilon_iE_{b,i} + \rho_iG_i = \varepsilon_iE_{b,i} + (1 - \varepsilon_i)G_i$$

표면 $i$가 잃는 순 열은 떠나는 것에서 들어오는 것을 뺀 $q_i = A_i(J_i - G_i)$이고, 위 식으로 $G_i$를 소거하면

$$q_i = \frac{E_{b,i} - J_i}{(1 - \varepsilon_i)/(\varepsilon_iA_i)}$$

표면 저항 $(1 - \varepsilon_i)/\varepsilon_iA_i$이 흑체 방사력 $E_{b,i}$와 복사도 $J_i$ 사이에 걸려 있다 — 5절의 열저항과 같은 문법이고, 흑체($\varepsilon = 1$)면 저항이 0이라 $J = E_b$다. 표면 $i$와 $j$ 사이의 교환은 복사도 차를 공간 저항 $1/A_iF_{ij}$로 나눈 것이다.

$$q_{ij} = \frac{J_i - J_j}{1/(A_iF_{ij})}$$

그림 3.7-14. 회색·확산 표면 둘이 이루는 폐공간의 복사 회로. 각 표면의 흑체 방사력이 전위원이고, 그 표면의 방사율이 정하는 표면 저항을 지나 복사도 노드에 이르며, 두 복사도 노드 사이는 기하가 정하는 공간 저항이다. 순 복사 열전달은 두 흑체 방사력의 차를 세 저항의 합으로 나눈 것이고, 5절의 전도 열저항 회로와 같은 문법이다. 흑체는 표면 저항이 0이라 복사도 노드가 흑체 방사력에 붙는다.직접 작도

두 표면만으로 닫힌 공간이면 회로가 직렬 셋이고

$$q_{12} = \frac{\sigma\left(T_1^4 - T_2^4\right)}{\dfrac{1 - \varepsilon_1}{\varepsilon_1A_1} + \dfrac{1}{A_1F_{12}} + \dfrac{1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_2A_2}}$$

이 식 하나에서 자주 쓰는 경우가 전부 나온다.

기하	$F_{12}$	결과
마주 보는 큰 평행판 ($A_1 = A_2$)	1	$q''_{12} = \dfrac{\sigma(T_1^4 - T_2^4)}{1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2 - 1}$
큰 공동 안의 작은 물체 ($A_1 \ll A_2$)	1	$q_{12} = \varepsilon_1A_1\sigma(T_1^4 - T_2^4)$ — 1절의 식
동축 긴 원통·동심 구	1	$q_{12} = \dfrac{A_1\sigma(T_1^4 - T_2^4)}{1/\varepsilon_1 + (1 - \varepsilon_2)(A_1/A_2)/\varepsilon_2}$

둘째 줄이 1절에서 “작은 표면이 큰 주위에 둘러싸여 있으면”이라 조건을 단 이유다 — 주위가 크면 그 표면 저항 $(1 - \varepsilon_2)/\varepsilon_2A_2 \to 0$이 되어 주위의 방사율이 사라진다. 주위가 반사를 아무리 잘해도 되돌아온 복사가 작은 물체에 다시 닿을 확률이 0이기 때문이다.

복사 차폐. 두 평행판 사이에 얇은 판(방사율 $\varepsilon_s$)을 하나 끼우면 저항이 표면 저항 둘과 공간 저항 하나만큼 늘어난다. 모든 방사율이 같으면 차폐 $N$장에 열전달이 $1/(N+1)$이 된다. 진공 단열, 극저온 용기, 그리고 웨이퍼 로의 가드 링·반사판이 이 원리다. 표면 저항은 방사율이 작을수록 크므로 차폐판은 연마 금속으로 만든다.

표면이 셋 이상이면 각 복사도 노드에 키르히호프 전류 법칙을 쓴 연립방정식 $N$개를 푼다. 온도가 주어진 표면은 $E_b$가 알려진 것이고, 열유속이 주어진 표면(단열 재복사 표면은 $q = 0$)은 $J = E_b$가 미지수다. 7절의 유한차분과 같은 선형 연립이고, 형태만 다르다.

의문

RTP 챔버를 이 회로로 읽으면 어떻게 되는가?

세 표면이다 — 램프 배열($T_1 \approx 2900\,\mathrm{K}$), 웨이퍼($T_2$), 챔버 벽($T_3$, 수냉으로 실온). 램프에서 웨이퍼로 오는 것이 가열, 웨이퍼에서 벽으로 나가는 것이 냉각이고, 정상 상태에서 둘이 같다. 벽을 금 도금해 $\varepsilon_3 \to 0.02$로 만들면 벽의 표면 저항이 커져 웨이퍼가 벽으로 잃는 열이 줄고, 벽에 닿은 램프 빛이 되돌아와 효율이 오른다 — 그래서 RTP 챔버 안은 거울이다. 웨이퍼 가장자리는 중심보다 벽을 보는 시각 계수가 커서(옆면이 있다) 더 식고, 그 온도 차가 8절 끝의 슬립 문제다. 가드 링은 가장자리의 시각 계수를 중심과 같게 만드는 부품이고, 다구역 램프는 가장자리에 조사량을 더 주는 보정이다(18.9.2).

이 회로가 선형이 아닌 점을 잊으면 안 된다. 전위가 $T$가 아니라 $\sigma T^4$이다. $T$로 되돌리면 같은 열에 대해 온도 차가 $1/T^3$으로 줄어, 고온에서는 작은 온도 차로 큰 열이 오간다.

나노 스케일 전도와 열예산

푸리에 법칙이 흔들리는 자리

3절에서 푸리에 법칙은 열을 나르는 입자의 평균 자유 행정보다 훨씬 큰 스케일에서만 참이라고 했다. 실리콘에서 열을 나르는 것은 포논이고, $k = \tfrac13 c\bar v\Lambda$에 $c = 1.66\times10^6\,\mathrm{J/m^3\!\cdot\!K}$, $\bar v \approx 6400\,\mathrm{m/s}$, $k = 148$을 넣으면 $\Lambda \approx 42\,\mathrm{nm}$가 나온다. 이 수는 평균이고 평균이 거짓말을 한다. 포논은 주파수마다 $\Lambda$가 다르고, 열을 많이 나르는 저주파 음향 포논은 $\Lambda$가 $1\,\mathrm{\mu m}$를 넘는다 — 실온 실리콘 $k$의 절반이 $\Lambda > 1\,\mathrm{\mu m}$인 포논 몫이다(7.5). 그러니 소자 치수 $L$이 마이크로미터 아래로 내려오면 이미 열의 상당수가 “확산”이 아니라 탄도로 움직인다 — 충돌 없이 경계에서 경계로 날아간다.

경계에 부딪히면 포논은 산란된다. 그것은 재료 안의 충돌과 같은 효과를 내고, 결과적으로 유효 평균 자유 행정이 시료 크기에 잘린다. $1/\Lambda_{\mathrm{eff}} \approx 1/\Lambda + 1/L$ 꼴이고, 회색(단일 $\Lambda$) 근사 아래 두께 $L$인 박막의 두께 방향 유효 열전도도는

$$\frac{k_{\mathrm{eff}}}{k_{\mathrm{bulk}}} \approx \frac{1}{1 + \dfrac{4\Lambda}{3L}}$$

$L \gg \Lambda$면 1로 돌아가고, $L \ll \Lambda$면 $k_{\mathrm{eff}} \approx \tfrac34 k_{\mathrm{bulk}}L/\Lambda$로 두께에 비례해 준다 — 얇은 박막의 열전도도는 재료 상수가 아니라 기하의 함수다. 측정도 그렇다. 실리콘 박막은 $1\,\mathrm{\mu m}$에서 이미 벌크의 80 %, $100\,\mathrm{nm}$에서 40 %, $20\,\mathrm{nm}$에서 15 % 수준으로 떨어지고, 지름 $20\,\mathrm{nm}$ 나노선은 $10\,\mathrm{W/m\!\cdot\!K}$ 아래다.

그림 3.7-15. 두 가지 열예산. 왼쪽은 실리콘 박막의 두께에 따른 유효 열전도도 — 회색 근사(평균 자유 행정 100 nm와 300 nm 두 값)의 띠와 문헌 측정값의 근사 위치를 겹쳤다. 두께가 평균 자유 행정 아래로 내려가면 열전도도가 두께에 비례해 떨어져, FinFET 핀·GAA 채널·SOI 층에서는 벌크 값의 몇 분의 일만 남는다. 오른쪽은 공정 열예산의 지도 — 온도와 시간의 평면에 붕소의 확산 길이가 같은 선을 그었고, 로 어닐·스파이크 RTA·플래시·레이저 어닐이 각각 어느 확산 길이에 놓이는지 표시했다. 확산 계수가 온도에 지수적이라 선이 가파르고, 같은 확산 길이를 얻는 데 온도를 100 K 올리면 시간은 열 배 이상 줄어든다.직접 작도

계면 열저항 — 원자 한 층의 벽

두 재료의 계면에서는 접촉이 완벽해도 온도가 뛴다. 포논이 계면을 건너려면 반대편 재료의 진동 모드에 맞아야 하는데, 음속·밀도·상태 밀도가 다르면 일부만 투과하고 나머지는 반사된다. 그 결과가 계면 열저항(카피차 저항)이다.

$$R''_K \sim 10^{-9} \sim 10^{-8}\,\mathrm{m^2\!\cdot\!K/W}$$

5절의 접촉 저항($10^{-4}$)보다 네댓 자릿수 작지만 상대가 다르다. 실리콘 두께로 환산하면 $kR''_K = 148 \times 5\times10^{-9} \approx 0.7\,\mathrm{\mu m}$ — 계면 하나가 실리콘 $0.7\,\mathrm{\mu m}$와 같고, 트랜지스터의 열 경로 전체 길이가 그 정도다. 금속/유전체·실리콘/산화막·하이-k/금속 게이트 계면이 소자 하나에 여러 개 있고, 백엔드 배선층에는 수십 개가 겹친다. 3D 적층에서는 본딩 계면이 더해진다. 매크로 열 설계에서 TIM이 병목이듯, 나노 열 설계에서는 계면이 병목이다.

자기 발열 — 트랜지스터는 자기 열 속에 있다

트랜지스터의 열은 채널의 드레인 쪽 끝, 전기장이 가장 센 수십 나노미터에서 나온다. 전자가 전기장에서 얻은 에너지를 광학 포논에 넘기고(피코초), 광학 포논은 느리게 음향 포논으로 붕괴한 뒤(수 피코초에서 나노초) 비로소 열로 퍼진다. 그래서 세 온도가 갈린다 — 전자 온도 $T_e$, 광학 포논 온도, 격자 온도 $T_L$. 고전계에서 $T_e$가 $T_L$보다 수천 K 높은 것이 핫캐리어이고(11.7), TCAD의 유체역학 모델이 그 셋을 따로 푼다(20.6.6). 이 장의 열전달은 그중 격자 온도의 이야기이고, 열이 발생점을 떠난 뒤의 이야기다.

그 격자 온도가 얼마나 오르는가는 7절의 확산 저항에 13절의 보정을 얹은 것이다. 열원이 $\Lambda$보다 작으면 열원 근처에서 포논이 탄도적으로 빠져나가고, 그 영역의 실효 열전도도가 떨어져 푸리에가 예측한 것보다 열원이 더 뜨겁다 — 100 nm급 열원에서 두어 배다. 여기에 구조가 더한다.

• FinFET — 채널이 폭 $10\,\mathrm{nm}$의 핀 안에 있고, 열은 핀을 타고 기판으로 내려가야 한다. 핀의 $k$는 경계 산란으로 벌크의 1/5 이하이고, 6절의 핀 방정식이 여기서 말 그대로 핀에 적용된다 — 옆면으로 새는 것은 대류가 아니라 산화막을 지나 게이트 금속으로 가는 전도다.
• SOI — 소자 아래 매립 산화막($k = 1.4$, 두께 $20 \sim 150\,\mathrm{nm}$)이 기판으로 가는 길을 막는다. 열은 소스·드레인과 콘택을 거쳐 위로, 배선으로 빠진다.
• GAA — 채널이 사방으로 게이트 유전체·금속에 싸여 실리콘 기판과 닿는 곳이 소스·드레인뿐이다. 열 경로가 가장 좁다.

소자 하나의 열저항 $R_{\mathrm{th}}$는 $10^4 \sim 10^5\,\mathrm{K/W}$이고, 밀리와트급 소자에서 $\Delta T$가 수십 K에 이른다. 그 열은 이동도를 떨어뜨리고(11.2), 문턱 전압을 낮추며, 누설을 올리고, 소자 수명(14.7)을 줄인다. 시정수는 9절의 $L^2/\alpha$로 잰다 — 핀 자체는 $100\,\mathrm{nm}$ 실리콘이라 $10^{-10}\,\mathrm{s}$, 그러나 열이 지나야 할 산화막은 $\alpha$가 100배 작아 $10^{-8}\,\mathrm{s}$, 셀 전체는 $10^{-7} \sim 10^{-6}\,\mathrm{s}$. 마이크로초보다 짧은 펄스로 재야 “자기 발열 없는” 특성이 나오는 이유이고(19.6), 클록 주기의 요동은 트랜지스터가 그대로 겪는다는 9절 결론의 근거다.

의문

열전도도가 두께에 따라 변한다면, TCAD에 어떤 $k$를 넣어야 하는가?

푸리에 법칙을 버리지 않는 한 답은 “그 구조에서 측정한 유효 $k$“이다. 소자 시뮬레이터는 여전히 $\nabla\!\cdot\!(k\nabla T)$를 풀고, $k$를 층마다·영역마다 다른 상수(또는 두께의 함수)로 준다 — 핀에는 $20$, 매립 산화막에는 $1.4$, 계면에는 $R''_K$를 두께 0의 저항으로. 그것이 실무다. 원리적으로 맞는 것은 포논 볼츠만 수송 방정식이고, 3.8의 기체 운동론이 포논에 적용된 것이다 — 푸리에 법칙이 그 방정식의 확산 극한이라는 것은 드리프트–확산이 전자 볼츠만 방정식의 극한이라는 것(20.7)과 같은 문장이다. 소자 스케일에서 열과 전자는 같은 방정식 계층을 같은 이유로 오르내린다.

열예산 ① — 칩이 낼 수 있는 열

“열예산”은 반도체에서 두 가지를 뜻한다. 첫째는 칩 수준 — 접합 온도를 한계 아래로 유지하면서 낼 수 있는 전력이다. 5절의 회로 그대로다.

$$P_{\max} = \frac{T_{J,\max} - T_A}{R_{\theta JA}}$$

$T_{J,\max}$는 보통 $85 \sim 105\,{}^\circ\mathrm{C}$다 — 그 위로 $10\,\mathrm{K}$마다 문턱하 누설이 두 배 가까이 늘고(13.6), 일렉트로마이그레이션 수명이 $\exp(E_a/k_{\mathrm B}T)$로 준다(14.7). 주위 $40\,{}^\circ\mathrm{C}$, $R_{\theta JA} = 0.3\,\mathrm{K/W}$이면 예산은 $200\,\mathrm{W}$이고, 그것이 TDP다. 이 예산은 스케일링과 정면으로 부딪힌다. 데너드 스케일링(14.8)이 살아 있던 동안은 치수와 전압이 함께 줄어 전력 밀도가 일정했지만, 2000년대 중반 전압이 더 못 내려가면서 전력 밀도가 세대마다 올랐다. 클록이 $4\,\mathrm{GHz}$ 근처에서 멈추고 멀티코어로 간 것, 칩의 일부를 꺼 두는 다크 실리콘, 서버 프로세서와 가속기가 $400 \sim 700\,\mathrm{W}$에 이르러 액체 냉각이 필수가 된 것이 전부 이 예산의 이야기다(14.8.6). 3D 적층(HBM, 18.27)은 열 경로를 층 사이에 끼워 넣어 예산을 더 죈다 — 위아래 칩 사이에 낀 층은 열이 빠질 면이 없다(18.27.8).

열예산 ② — 공정이 쓸 수 있는 온도·시간

둘째는 공정 수준 — 웨이퍼가 겪는 온도와 시간의 총량이다. 도펀트 확산은 $D = D_0 e^{-E_a/k_{\mathrm B}T}$로 온도에 지수적이고(8.3.4), 확산 길이는 $2\sqrt{Dt}$이므로 공정 전체의 열 이력을 하나의 수 $\int D(T(t))\,dt$로 합친 것이 열예산이다(18.9.1). 붕소($D_0 = 0.76\,\mathrm{cm^2/s}$, $E_a = 3.46\,\mathrm{eV}$)로 계산하면

공정	온도 · 시간	$D$ (cm²/s)	$2\sqrt{Dt}$
로 어닐	$1000\,{}^\circ\mathrm{C}$, 30 min	$1.5\times10^{-14}$	$100\,\mathrm{nm}$
스파이크 RTA	$1050\,{}^\circ\mathrm{C}$, 실효 1 s	$5\times10^{-14}$	$4\,\mathrm{nm}$
플래시 어닐	$1300\,{}^\circ\mathrm{C}$, 1 ms	$6\times10^{-12}$	$1.6\,\mathrm{nm}$
레이저 용융 어닐	용융, 100 ns	액체 실리콘 $\sim 10^{-4}$	액체 안에서만

같은 활성화를 더 짧은 확산으로 얻는 것이 급속 열처리의 존재 이유다. 온도를 올리면 활성화(고용 한계)는 이득이고 확산은 손해인데, 확산은 시간에 비례하고 온도에는 지수적이므로 높은 온도·짧은 시간이 유리하다. 스파이크 어닐의 “실효 1 s”는 8절의 시정수와 9절의 $\sqrt{\alpha t}$가 정한 것이다 — 온도 프로파일이 삼각형이면 $D$가 지수적이라 봉우리 근처만 세고, 실효 시간은 $t_{\mathrm{eff}} \approx 2k_{\mathrm B}T_p^2/(E_aR)$($R$은 승온·강온 속도)이다. $T_p = 1323\,\mathrm{K}$, $R = 100\,\mathrm{K/s}$면 $0.9\,\mathrm{s}$. 승온 속도를 올리면 예산이 그만큼 준다.

직관

이 장의 두 확산이 여기서 만난다. 열은 $\alpha \sim 10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$로 퍼지고 도펀트는 $D \sim 10^{-18}\,\mathrm{m^2/s}$로 퍼진다 — $10^{13}$배 차이다. 같은 방정식, 같은 $\sqrt{\cdot\,t}$ 스케일링인데 계수가 그만큼 다르니, 1초 동안 열은 $9\,\mathrm{mm}$(웨이퍼 전체)를 가고 붕소는 $2\,\mathrm{nm}$를 간다. 웨이퍼를 균일하게 데우는 것(열의 확산)은 쉽고 도펀트를 제자리에 두는 것(도펀트의 확산)은 어려운 것이 아니라, 둘 다 같은 $\sqrt{Dt}$인데 요구가 반대다. 열은 웨이퍼 두께를 지나야 하니 $\sqrt{\alpha t} \gtrsim 1\,\mathrm{mm}$ — $t \gtrsim 10\,\mathrm{ms}$가 필요하고, 도펀트는 $\sqrt{Dt} \lesssim 1\,\mathrm{nm}$ — $t \lesssim 1\,\mathrm{s}$여야 한다. 그 사이의 창 $10\,\mathrm{ms} \sim 1\,\mathrm{s}$가 스파이크·플래시 어닐의 자리다. 밀리초 아래로 더 내려가면 웨이퍼 두께 방향이 균일하지 않게 되고(9절 표), 그때는 표면만 데우고 나머지를 히트싱크로 쓰는 레이저 어닐로 넘어간다.

공정 열예산에는 확산 말고도 상한이 겹친다 — 실리사이드는 $700 \sim 800\,{}^\circ\mathrm{C}$ 위에서 응집하고, 구리·저유전율 배선이 올라간 뒤로는 $400\,{}^\circ\mathrm{C}$가 천장이며, 모놀리식 3D의 윗층 소자는 아랫층 배선 때문에 $500\,{}^\circ\mathrm{C}$ 아래서 만들어야 한다(14.11.7). 공정 순서표는 그 천장이 뒤로 갈수록 내려가는 계단이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

• 포논과 고체의 열. 3절의 $k = \tfrac13 c\bar v\Lambda$는 7.5에서 디바이 모형·움클랍 과정으로 재구성되고, 금속의 비데만–프란츠는 7.6, 열전 효과는 7.12에서 나온다. 재료별 열용량·열팽창·열응력은 8.13.
• 엔트로피와 자유에너지. 2절의 결과가 6.2·6.3에서 통계적으로 유도되고, 화학 평형(4.4)과 상평형(8.4), 평형 공공 농도(8.1)가 $F$·$G$의 최소에서 나온다.
• 확산. 4절의 대응표와 9절의 오차함수가 8.3과 18.7의 확산 프로파일이다. 급속 열처리 한 장 (18.9)이 이 장의 8·9·12·13절을 공정 조건으로 번역한 것이다 — 열예산, 회색체 복사, 고온계, 열탄성 응력과 슬립, 스파이크·플래시·레이저.
• CVD와 에피. 10·11절의 경계층과 물질전달 유사성이 18.11·18.13의 증착 속도 모델이고, 3.8이 그 사이를 잇는다.
• 패키징과 방열. 5·6·7절의 열저항·핀·확산 저항이 18.27.8(워피지와 열 경로)·18.29.4(열 계면 소재와 방열 설계)이고, 19.14의 패키지 신뢰성 시험은 열 사이클이다.
• 소자와 회로. 13절의 자기 발열이 20.6.6의 열 해석, 14.8.6의 전력 밀도의 벽, 21.9의 전력 설계로 이어진다. 열잡음(13.9.5, 6.3.9)은 온도가 회로에 직접 나타나는 자리다.

이 장의 뼈대는 결국 두 문장이다. 열역학은 얼마나·어느 쪽인지를 정하고, 열전달은 얼마나 빨리를 정한다. 그리고 얼마나 빨리는 언제나 저항 하나로 환원된다 — 전도의 $L/kA$, 대류의 $1/hA$, 복사의 표면·공간 저항, 확산 저항 $1/4ka$, 계면 저항 $R''_K$. 칩의 열 설계는 그 저항들을 직렬로 놓고 가장 큰 것을 찾는 일이고, 공정의 열 설계는 같은 확산 방정식을 열과 도펀트에 동시에 적용해 그 사이의 창을 찾는 일이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 3.8 유체와 수송현상
• 6.2 엔트로피와 온도
• 7.5 포논의 열적 성질
• 8.2 미세조직 관찰