7부 고체물리 7.14

초전도

7부는 금속을 “전자 기체가 격자 속을 달리는 계”로 세워 왔다. 드루데·좀머펠트 모형(7.6)이 전기전도를, 밴드 이론(7.7)이 금속과 절연체의 구분을, 수송 이론(7.12)이 저항의 온도 의존성을 주었다. 그 그림에서 저항은 줄어들 수는 있어도 0이 될 수는 없다 — 불순물과 결함 산란이 온도와 무관한 잔류 저항을 남기기 때문이다. 그런데 1911년 오너스(Kamerlingh Onnes)가 수은을 4.2 K 아래로 식히자 저항이 서서히 줄어든 것이 아니라 어느 온도에서 갑자기 측정 한계 아래로 사라졌다. 이 장은 그 현상의 물리다.

초전도체는 두 가지 얼굴을 갖는다. 하나는 저항이 정확히 0이라는 것(1절)이고, 다른 하나는 내부 자기장이 정확히 0이라는 것(2절, 마이스너 효과)이다. 뒤에서 보겠지만 둘째가 첫째보다 근본적이다 — 저항이 0인 가상의 도체는 자기장을 밀어내지 못하고, 마이스너 효과가 있어야 초전도 상태가 이력에 무관한 열역학적 상이 된다(5절). 그 상은 전자들이 둘씩 짝을 지어(쿠퍼쌍) 하나의 거시적 양자 상태로 응축한 것이고(7절), 그 사실이 자속의 양자화(8절)·와류(9절)·조셉슨 효과(10절)로 눈에 보이게 드러난다.

반도체 백과에 초전도 장이 있는 이유를 미리 적어 둔다.

초전도 큐비트. 오늘의 양자 컴퓨터 대부분은 조셉슨 접합(10절)을 비선형 인덕터로 쓰는 초전도 회로다. 접합은 알루미늄 박막과 그 산화막으로, 반도체 공정(18부)의 리소그래피와 증착으로 만든다. 제어 회로는 4 K 에서 도는 극저온 CMOS(21·22부)다.
검출기. 초전도 나노선 단일 광자 검출기(SNSPD)와 운동 인덕턴스 검출기(MKID)는 스퍼터링한 NbN·WSi 박막이고, 동작 원리는 갭(3절)과 침투 깊이(6절)다. 광검출 소자(17.1)와 나란히 놓고 볼 물건이다.
자기 계측. SQUID(10절)는 가장 예민한 자력계다. 박막의 자성(7.13·8.13·10.11)을 재는 장비의 심장이 이것이다.
초전도–반도체 하이브리드. 반도체 나노선에 초전도체를 붙이면 안드레예프 반사·근접 효과가 일어나고, 그 위에서 마요라나 준입자를 찾는다(10.4·10.11). 접촉의 물리가 이 장의 갭과 결맞음 길이다.
터널링 분광. 초전도 갭을 재는 터널링(10절)은 에사키 다이오드(12.11)와 STM 분광의 언어와 같다.

표기 — 이 장에서만 쓰는 기호들

표기는 Kittel(8판 10장)을 기준으로 하되, Kittel의 CGS 식은 SI로 옮겨 적는다. 반도체 소자 쪽에서는 SI만 쓰므로, 두 단위계를 오갈 때 갈리는 자리를 아래 주의에 모아 둔다.

기호가 많고 대소문자만 다른 짝이 여럿이라 장 앞에 표로 정리한다. 본문 첫 등장에서 다시 밝히지만, 헷갈리면 여기로 돌아온다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$T_c$	티 씨	임계 온도 — 이 아래에서 초전도	K
$B_a$	비 에이	인가 자기장(밖에서 건 자속밀도). Kittel도 $B_a$ 로 쓴다	T
$B_c$ , $B_{c1}$ , $B_{c2}$	비 씨	열역학적 임계 자기장 · 하부·상부 임계 자기장(2종)	T
$H_c$	에이치 씨	같은 양을 $H$ 로 쓴 것. $B_c=\mu_0 H_c$ . CGS 문헌의 단위는 가우스·에르스텟	A/m
$M$	엠	자화(단위 부피당 자기 모멘트). 초전도체에서는 음수	A/m
$\Delta$	델타	갭 매개변수. 준입자 하나를 만드는 최소 에너지	eV
$E_g=2\Delta$	이 지	에너지 갭 — 쌍 하나를 깨는 에너지. 반도체의 밴드 갭과 다른 것(3절 주의)	eV
$\gamma$	감마	정상 상태 전자 열용량 계수 $C_{en}=\gamma T$	J·m⁻³·K⁻²
$n$ , $n_s$	엔, 엔 에스	전도 전자 농도 / 초전도 전자 농도(초유체 밀도). 소문자는 농도	m⁻³
$N(0)$	엔 제로	페르미 준위의 상태밀도, 한 스핀당(Kittel의 $D(\epsilon_F)$ ). 대문자 $N$ 은 이 장에서 농도가 아니다	eV⁻¹·m⁻³
$V$	브이	① 7절: BCS 인력의 세기 ② 10절: 전압. 절마다 못박는다	eV·m³ / V
$\lambda_L$ , $\lambda$	람다	런던 침투 깊이 / 실측 침투 깊이	m
$\xi_0$ , $\xi$	크사이	고유 결맞음 길이 / 실효 결맞음 길이 (7절에서 $\xi_k$ 는 에너지다 — 주의)	m
$\kappa=\lambda/\xi$	카파	긴즈부르크–란다우 매개변수. $1/\sqrt2$ 가 1종·2종의 경계	—
$\Phi$ , $\Phi_0$	파이	자속 / 자속 양자 $h/2e$	Wb
$\theta_D$ , $\omega_D$	세타 디, 오메가 디	디바이 온도 / 디바이 진동수	K / s⁻¹
$\psi$	프사이	거시 파동함수(질서 매개변수). $\lvert\psi\rvert^2=n_s$	—
$\delta$	델타(소문자)	조셉슨 접합 양쪽의 위상차	rad
$\mathbf{j}$ , $J$	제이	전류밀도 / 조셉슨 임계 전류밀도	A/m²
$\mathbf{A}$	에이	벡터 퍼텐셜, $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$	T·m

주의

단위계. Kittel은 CGS로 쓴다. 이 장의 SI 식과 대응은 다음과 같다 — 응축 에너지 $H_c^2/8\pi \leftrightarrow B_c^2/2\mu_0$ , 완전 반자성 $M=-B_a/4\pi \leftrightarrow M=-B_a/\mu_0$ (즉 $\chi=-1$ ), 런던 침투 깊이 $\lambda_L=(mc^2/4\pi n_s e^2)^{1/2} \leftrightarrow (m/\mu_0 n_s e^2)^{1/2}$ , 자속 양자 $\Phi_0=hc/2e=2.07\times10^{-7}\,\mathrm{G\cdot cm^2} \leftrightarrow h/2e=2.07\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}$ . $1\,\mathrm{G}=10^{-4}\,\mathrm{T}$ 이고, 자기장을 에르스텟(Oe)으로 적은 표는 $\mu_0 H$ 로 읽어 $10^{-4}$ T 를 곱하면 된다. 이 장에서 “자기장”은 언제나 자속밀도 $B$ 이고, $H$ 는 CGS 표를 옮길 때만 나온다.

대소문자. $n$ (농도)과 $N(0)$ (상태밀도), $v_F$ (페르미 속도)와 $V$ (인력 또는 전압), $e$ (기본 전하)와 $E$ (에너지), $h$ (플랑크 상수)와 $H$ (자기장), $\mathbf{j}$ (전류밀도)와 $J$ (조셉슨 임계 전류밀도)가 같은 글자로 나란히 나온다. 소문자가 국소량·캐리어·단위 전하, 대문자가 상태밀도·전체량·장(場)이라는 짝의 규칙은 7부의 다른 장과 같다.

초전도의 발현과 임계 자기장

저항이 사라진다 — 줄어드는 것이 아니라

금속의 저항은 온도를 내리면 줄어든다. 포논 산란이 얼어붙기 때문이다(7.6.6금속의 비저항). 그러나 불순물과 결함은 온도와 상관없이 그 자리에 있으므로, $T\to0$ 에서 저항은 0이 아니라 잔류 저항 $R_0$ 에서 평평해진다. 마티센 규칙 $\rho=\rho_0+\rho_{\text{ph}}(T)$ 의 첫 항이다.

초전도체는 이 그림을 따르다가 임계 온도 $T_c$ 에서 불연속으로 저항을 잃는다. 수은은 4.15 K, 납은 7.19 K, 니오븀은 9.5 K 다. 전이의 폭은 깨끗한 단결정에서 $10^{-3}$ K 수준으로 좁고, 그 아래에서 저항은 어떤 방법으로도 잡히지 않는다.

그림 7.14-1. 정상 금속과 초전도체의 저항–온도 곡선. 정상 금속(위)은 온도를 0으로 내려도 불순물 산란이 남긴 잔류 저항 R₀ 에서 평평해진다. 초전도체(아래)는 T_c 위에서는 정상 금속과 같은 모양이다가 T_c = 4.15 K(수은)에서 저항이 수직으로 떨어져 측정 한계 아래로 사라진다. 곡선은 저온 블로흐–그뤼나이젠 꼴 R = R₀ + aT⁵ 로 그린 모형 곡선이다.직접 작도

“측정 한계 아래”가 얼마나 아래인가. 저항계로는 안 된다 — 전압계의 분해능이 곧 한계다. 대신 초전도 고리에 전류를 흘려 놓고 그 자기장이 줄어드는지를 지켜본다. 저항이 $R$ 이고 인덕턴스가 $L$ 인 고리의 전류는 $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$ 로 죽어야 한다(2.6.4인덕턴스). 핵자기공명으로 자기장을 정밀하게 추적한 실험에서 1년 넘게 감쇠가 잡히지 않았고, 거기서 얻은 수명의 하한이 $10^5$ 년이다. 비저항으로 바꾸면 $10^{-25}\,\Omega\cdot\mathrm{m}$ 아래 — 구리의 $10^{-8}$ 보다 열일곱 자릿수 작다. 이런 전류를 지속 전류 (persistent current)라 한다. “저항이 매우 작다”가 아니라 **“저항이 0”**이라고 말해도 되는 근거가 이것이다.

의문

저항이 왜 정확히 0이 되는가. 아무리 깨끗한 금속에도 산란 중심은 있는데, 전자가 그것에 부딪히지 않을 수는 없다. 답은 “전자가 산란되지 않는다”가 아니라 **“산란될 상태가 없다”**이다 — 초전도 상태의 전자들은 둘씩 묶여 한 덩어리의 양자 상태를 이루고, 그 덩어리에서 전자 하나를 떼어 내려면 유한한 에너지(갭, 3절)가 든다. 전류가 작으면 그 에너지를 줄 산란 과정이 없고, 전류는 흐르던 대로 흐른다. 이 논리는 7절(BCS 바닥 상태)에서 완성되고, 8절(자속 양자화)에서 “왜 서서히도 못 죽는가”까지 설명된다. 지금은 **“저항이 없다”는 “산란이 없다”가 아니라 “산란해 갈 곳이 없다”**라는 문장만 챙겨 둔다.

어떤 물질이 초전도체인가

주기율표의 금속 원소 절반 가까이가 상압에서 초전도체다. 니오븀이 원소 중 가장 높은 $T_c=9.5$ K 이고, 텅스텐은 0.012 K, 대부분은 1~8 K 사이다. 흥미로운 것은 초전도체가 아닌 쪽이다.

구리·은·금 — 가장 좋은 도체들이 초전도체가 아니다(적어도 $10^{-4}$ K 까지). 좋은 도체는 전자–격자 상호작용이 약하고, 뒤에서 보듯 바로 그 상호작용이 초전도의 원인이다(4·7절). 전도가 잘 되는 것과 초전도가 되는 것은 반대 방향의 조건이다.
철·코발트·니켈 — 강자성체는 초전도체가 아니다. 스핀을 한쪽으로 정렬시키는 교환장이 스핀 반대인 두 전자의 짝(7절)을 찢는다.
알칼리 금속 — 상압에서는 사실상 아니다(리튬이 0.4 mK). 리튬은 고압에서 20 K 까지 오른다.
반도체 — 축퇴할 만큼 많이 도핑하면 된다. $\mathrm{SrTiO_3}$ 는 $10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 대의 캐리어로 0.3 K, 붕소를 $10^{21}$ 대까지 넣은 다이아몬드는 4 K 를 넘는다. 실리콘도 고농도 붕소 도핑에서 0.35 K 의 초전도가 보고돼 있다.

화합물과 합금은 원소보다 높이 간다. 20세기 후반의 실용 재료는 $\mathrm{Nb_3Sn}$ (18 K)·NbTi(9~10 K) 같은 니오븀 계열이었고, 1986년 이후의 구리 산화물은 액체 질소 온도(77 K)를 넘어섰다(11절).

물질	$T_c$ (K)	$B_c(0)$ (mT)	비고
Al	1.14	10.5	큐비트·SNSPD 재료
Sn	3.72	30.5
Hg	4.15	41.1	최초 발견 (1911)
Ta	4.48	83
V	5.38	142
Pb	7.19	80.3	강결합
Nb	9.50	198	원소 최고, 2종
NbN	16	—	SNSPD 박막
$\mathrm{Nb_3Sn}$	18.1	—	고자기장 선재 ( $B_{c2}\approx25$ T)
$\mathrm{Nb_3Ge}$	23.2	—	1986년까지의 최고 기록
$\mathrm{MgB_2}$	39	—	2001
$\mathrm{YBa_2Cu_3O_{7-\delta}}$	92	—	액체 질소 위, 1987
$\mathrm{HgBa_2Ca_2Cu_3O_{8}}$	134	—	상압 최고 (고압에서 164 K)

$B_c(0)$ 는 Kittel 표 1의 가우스 값을 mT 로 옮긴 것이다(1 G = 0.1 mT). 2종 초전도체(Nb 이하)의 자기장 한계는 $B_c$ 가 아니라 $B_{c2}$ 이고, 9절에서 다룬다.

자기장이 초전도를 깬다 — 임계 자기장

충분히 센 자기장을 걸면 초전도는 사라진다. 그 문턱 $B_c(T)$ 는 온도의 함수이고, 대부분의 원소에서 포물선에 가깝다:

B_c(T)\approx B_c(0)\left[1-\left(\frac{T}{T_c}\right)^2\right]

그림 7.14-2. 임계 자기장 B_c(T). Al·Sn·Hg·Pb 네 원소를 Kittel 표 1의 값(10.5·30.5·41.1·80.3 mT, T_c 1.14·3.72·4.15·7.19 K)으로 그렸다. 곡선 아래가 초전도(마이스너) 상태, 위가 정상 상태이며, 곡선 자체가 두 상의 경계다. 포물선은 근사식이고 실제 자료는 여기서 몇 % 벗어난다 — 그 벗어남이 5절의 열역학에서 뜻을 갖는다.직접 작도

이 곡선은 상도(phase diagram)다. 온도–자기장 평면에서 곡선 아래는 초전도, 위는 정상 금속이고, 곡선을 가로지르는 것이 상전이다. 상이 바뀐다는 말은 5절에서 열역학으로 정확해진다 — 지금은 곡선의 모양에서 읽을 수 있는 것을 챙긴다.

직관

그래프 직관 — 포물선의 두 끝. $T=0$ 에서 곡선의 기울기가 0이다. 이것은 우연이 아니라 열역학 제3법칙이다: 5절에서 $S_N-S_S=-(B_c/\mu_0)\,dB_c/dT$ 가 나오는데, $T\to0$ 에서 두 상의 엔트로피가 모두 0으로 가야 하므로 $dB_c/dT\to0$ 이어야 한다. 반대쪽 끝 $T_c$ 에서는 기울기가 유한하고 $B_c$ 가 0이다 — 자기장 없이 지나는 전이에는 잠열이 없다는 뜻이고, 그래서 $B_a=0$ 의 전이는 2차 전이다. 포물선의 모양 자체가 전이의 차수를 말해 준다.

파라미터 연계. 표에서 $B_c(0)$ 와 $T_c$ 가 대체로 같이 움직인다 — Al(1.1 K, 10 mT), Sn(3.7 K, 31 mT), Pb(7.2 K, 80 mT). 우연이 아니다. 5절에서 $B_c^2/2\mu_0$ 가 응축 에너지이고 그것이 대략 $\tfrac12 N(0)\Delta^2$ 인데, $\Delta\propto T_c$ 이므로 $B_c(0)\propto T_c\sqrt{N(0)}$ 이다. 같은 계열의 금속에서 $B_c(0)/T_c$ 가 비슷한 이유다.

임계 전류

자기장이 초전도를 깬다면 전류도 깬다 — 전류 자체가 자기장을 만들기 때문이다. 반지름 $r$ 인 도선에 전류 $I$ 가 흐르면 표면의 자기장은 $B=\mu_0 I/2\pi r$ 이고(2.4.4앙페르 법칙과 응용), 이것이 $B_c$ 에 닿는 순간 초전도가 깨진다는 것이 실스비(Silsbee) 가설이다:

I_c=\frac{2\pi r B_c}{\mu_0}

반지름 1 mm 인 납 도선이면 $I_c\approx400$ A — 겉보기에 넉넉하지만 초전도 전류는 표면 $\lambda$ 안에서만 흐르므로(6절) 전류밀도로는 $10^{9}\,\mathrm{A/m^2}$ 대다. 1종 초전도체(2절)에서는 이 한계가 맞고, 2종에서는 와류의 이동(9절)이 그보다 훨씬 낮은 자기장에서 손실을 만들어 임계 전류가 결함이 와류를 얼마나 잘 붙드는가로 정해진다. 자석용 선재의 성능이 재료의 순도가 아니라 결함 설계로 결정되는 이유가 거기 있다.

마이스너 효과와 완전 반자성

자속을 밀어낸다 — 저항 0의 귀결이 아니다

1933년 마이스너(Meissner)와 옥센펠트(Ochsenfeld)는 자기장 속에서 식힌 초전도체가 $T_c$ 를 지나는 순간 안에 있던 자속을 밖으로 밀어낸다는 것을 발견했다. 초전도체 내부에서는 언제나

\mathbf{B}=0

이다. 이것이 마이스너 효과이고, 초전도를 “저항이 0인 도체”로 이해하던 20년의 상식을 뒤집었다. 저항이 0인 것만으로는 이 현상이 나오지 않기 때문이다.

저항만 0인 가상의 완전 도체를 생각해 보자. 옴의 법칙 $\mathbf{E}=\rho\mathbf{j}$ 에서 $\rho=0$ 이면 유한한 전류에 대해 $\mathbf{E}=0$ 이고, 패러데이 법칙 $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ (2.6.3패러데이 법칙과 유도 전기장)에서 $\partial\mathbf{B}/\partial t=0$ 이다. 완전 도체는 자속의 변화를 막을 뿐, 자속 자체를 밀어내지는 않는다. 자기장 속에서 식히면 있던 자속이 그대로 갇히고, 그 뒤 자기장을 꺼도 갇힌 자속이 남는다. 자기장을 먼저 끄고 식혔다면 아무것도 없다. 곧 완전 도체의 상태는 이력에 따라 다르고, 그런 것은 열역학적 상이 아니다.

그림 7.14-3. 완전 도체(위)와 초전도체(아래)를 같은 순서로 다룬 모식도. ① T_c 위에서 자기장을 걸면 둘 다 자기력선이 시료를 통과한다. ② 자기장 속에서 T_c 아래로 식히면 완전 도체는 자속의 변화만 막으므로 있던 자속이 그대로 남지만, 초전도체는 자속을 밖으로 밀어내 안이 B = 0 이 된다. ③ 자기장을 끄면 완전 도체 안에는 갇힌 자속이 남고(이력 의존), 초전도체 안에는 처음부터 아무것도 없었으므로 아무것도 남지 않는다. 초전도 상태가 열역학적 상인 근거가 아래 줄이다.직접 작도

초전도체는 어느 길로 오든 같은 상태에 닿는다. 그래서 초전도 상태에는 자유에너지가 있고, 상전이의 열역학(5절)을 쓸 수 있다. 마이스너 효과는 신기한 부수 현상이 아니라 초전도를 상(相)으로 만들어 주는 성질이다.

완전 반자성 — χ = −1

내부에서 $\mathbf{B}=0$ 이라는 것을 자화로 읽는다. 물질 내 자기장의 관계 $\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})$ (2.5.5보조장 H와 앙페르 법칙)에서 $\mathbf{B}=0$ 이므로 $\mathbf{M}=-\mathbf{H}$ , 곧 자기 감수율이

\chi=\frac{M}{H}=-1

이다. 인가 자기장 $B_a=\mu_0H_a$ 로 쓰면 $\mu_0M=-B_a$ — 초전도체는 건 자기장과 정확히 반대 방향으로, 정확히 같은 크기로 자화한다. 완전 반자성이다. 랑주뱅 반자성(7.13.1랑주뱅 반자성과 반자성 감수율)의 $\chi\sim-10^{-5}$ 와 견주면 십만 배다. 크기만 다른 것이 아니라 기원이 다르다 — 원자 궤도의 유도 전류가 아니라 시료 표면을 도는 거시적 차폐 전류가 자화를 만든다. 그 전류는 표면에서 $\lambda$ (6절) 깊이 안에 흐르고, 그 자기장이 내부에서 인가 자기장을 정확히 상쇄한다.

Kittel처럼 CGS로 쓰면 $B=B_a+4\pi M=0$ , $M/B_a=-1/4\pi$ 다. 같은 물리를 다르게 적은 것이니 " $-1/4\pi$ "를 보고 놀랄 필요는 없다.

이 완전 반자성이 원통·긴 막대처럼 반자화(demagnetization) 인자가 0인 모양에서 성립하는 값이다. 구나 판처럼 반자화 인자가 있는 모양은 표면 일부에서 자기장이 $B_c$ 를 먼저 넘어, 시료가 정상 영역과 초전도 영역의 얇은 층으로 갈라지는 중간 상태(intermediate state)가 $B_c$ 보다 낮은 자기장에서 나타난다. 아래 자화 곡선은 반자화가 없는 모양을 기준으로 한다.

1종과 2종 — 자속을 한 번에 내보내는가, 조금씩 들이는가

자기장을 올려 가며 자화를 재면 초전도체가 두 부류로 갈린다.

그림 7.14-4. 1종(왼쪽)과 2종(오른쪽) 초전도체의 자화 곡선. 세로축은 −μ₀M 이라 완전 반자성이 기울기 1의 직선으로 보인다. 1종은 B_c 까지 완전 반자성이다가 B_c 에서 한 번에 정상 상태로 뛴다. 2종은 B_c1 까지만 완전 반자성이고, 그 위에서는 자속이 와류(9절)로 조금씩 들어와 −μ₀M 이 줄다가 B_c2 에서 0이 된다. 두 곡선 아래 면적은 같다 — 둘 다 응축 에너지 B_c²/2μ₀ 이므로(5절), 2종의 열역학적 B_c 는 B_c1 과 B_c2 사이에 놓인다. 2종 곡선은 그 면적 조건을 맞춘 모형 곡선이다.직접 작도

1종 — 순수한 원소 대부분. $B_c$ 까지 완전 반자성이고 $B_c$ 에서 한 번에 정상 상태가 된다. 자화 곡선이 가역이다.
2종 — Nb·V·Tc 세 원소, 그리고 거의 모든 합금·화합물·산화물. 하부 임계 자기장 $B_{c1}$ 까지는 완전 반자성이지만, 그 위에서는 자속이 $\Phi_0$ (8절) 단위의 가는 관(와류)으로 조금씩 들어온다. 자속이 들어와 있어도 저항은 여전히 0이다 — 초전도 영역이 연결돼 있기 때문이다. 상부 임계 자기장 $B_{c2}$ 에서 와류가 시료를 가득 채우며 초전도가 끝난다. $B_{c2}$ 는 $B_c$ 보다 훨씬 클 수 있어(NbTi 11 T, $\mathrm{Nb_3Sn}$ 25 T, 구리 산화물 100 T 이상) 실용 자석은 전부 2종이다.

무엇이 둘을 가르는가. 답은 두 길이 — 침투 깊이 $\lambda$ (6절)와 결맞음 길이 $\xi$ (7절) — 의 비 $\kappa=\lambda/\xi$ 이고, 9절에서 표면 에너지의 부호로 설명한다. 지금은 **” $\kappa$ 가 작으면 1종, 크면 2종”**만 적어 둔다.

직관

그래프 직관 — 자화 곡선의 면적. $-\mu_0M$ 을 $B_a$ 에 대해 적분한 것은 시료가 자기장을 밀어내느라 치른 일이다. 1종에서 그 면적은 삼각형 $B_c^2/2\mu_0$ 이고, 이것이 5절의 응축 에너지다. 2종의 곡선은 낮고 길게 뻗지만 면적은 같아야 한다 — 같은 물질을 자기장으로 정상 상태까지 몰고 가는 데 드는 일은 경로가 어떻든 자유에너지 차이이기 때문이다. 그래서 2종의 $B_c$ 는 “면적이 같아지는 가상의 1종 임계 자기장”으로 정의되고, 실측 곡선에서 $B_{c1}$ · $B_{c2}$ 와 함께 읽어 낼 수 있다.

물리적 직관 — 왜 2종은 자속을 들이면서도 저항이 0인가. 자속은 정상 상태의 가는 심(core)을 통해 들어오지만, 그 심들 사이의 초전도 바다가 이어져 있어 전류는 그 바다로 흐른다. 저항이 생기는 것은 심이 움직일 때뿐이다(9절). 전류가 흐르면 와류에 로렌츠 힘이 걸려 움직이려 하고, 그것을 결함이 붙들어야 저항이 0으로 유지된다.

에너지 갭과 열용량

열용량이 지수적으로 죽는다

금속의 저온 열용량은 전자 몫과 격자 몫의 합이다:

C=\gamma T+AT^3

$\gamma T$ 가 전자 기체의 열용량(7.6.4전자 기체의 열용량), $AT^3$ 이 디바이 격자 열용량(7.5.4디바이 모형과 T³ 법칙)이다. $T_c$ 를 지나면 격자 몫은 그대로인데 전자 몫이 달라진다 — $T_c$ 에서 위로 뛰었다가, 그 아래에서 $\gamma T$ 보다 훨씬 빨리 죽는다. 자료를 $\ln C_{es}$ 대 $T_c/T$ 로 그리면 직선이 되고, 그것은

C_{es}\approx a\,\gamma T_c\,\exp\!\left(-\frac{bT_c}{T}\right),\qquad b\approx1.5

라는 뜻이다. 열용량이 $e^{-\Delta/k_BT}$ 꼴로 죽는 것은 들뜸에 문턱이 있을 때의 보편적 모양이다 — 2준위계, 광학 포논, 반도체의 진성 캐리어(11부)가 전부 같은 모양을 낸다. 초전도체의 바닥 상태와 첫 들뜬 상태 사이에 에너지 갭이 있다는 첫 증거가 이것이었다.

그림 7.14-5. BCS 이론의 에너지 갭 Δ(T)(왼쪽)와 전자 열용량(오른쪽). 갭 방정식을 수치로 풀면 Δ(0) = 1.76 k_BT_c 이고, 낮은 온도에서 거의 평평하다가 T_c 근처에서 √(1 − T/T_c) 로 닫힌다. 같은 Δ(T)로 준입자 엔트로피를 적분해 얻은 C_es 는 낮은 온도에서 e^(−Δ/k_BT) 로 죽고, T_c 에서 정상 상태 값 γT_c 보다 1.43 γT_c 만큼 높은 곳에서 불연속으로 내려온다. 계산은 그림 생성 스크립트에 있다.직접 작도

$T_c$ 에서의 불연속은 BCS 이론(7절)의 예측 $\Delta C/\gamma T_c=1.43$ 이 Al(1.45)·Sn(1.6)에서 잘 맞고, 납(2.7)·수은처럼 전자–포논 결합이 센 강결합 금속에서 크다. 열용량의 점프 자체는 2차 상전이의 표지이며(6.6.8란다우 상전이 이론), 5절에서 임계 자기장 곡선의 기울기와 연결된다.

갭의 크기 — 반도체 밴드 갭의 천분의 일

갭을 재는 방법은 셋이다. ① 열용량의 지수 기울기, ② 마이크로파·적외선 흡수의 문턱 — 광자 에너지 $\hbar\omega$ 가 $E_g=2\Delta$ 보다 작으면 초전도체는 흡수 없이 완전히 반사하고, 그 위에서 갑자기 흡수가 시작된다, ③ 터널링 (10절) — 가장 직접적이다. 세 방법이 같은 값을 준다.

물질	$E_g(0)$ (meV)	$E_g(0)/k_BT_c$	비고
Al	0.34	3.4
Zn	0.24	3.2
Sn	1.15	3.5
In	1.05	3.6
Ta	1.40	3.6
V	1.60	3.4
Nb	3.05	3.8
Hg	1.65	4.6	강결합
Pb	2.73	4.4	강결합

값은 Kittel 표 3에서 옮겼다( $10^{-4}$ eV 단위를 meV 로). 두 가지가 눈에 띈다. 첫째, 갭이 1 meV 규모다 — 실리콘 밴드 갭 1.1 eV 의 천분의 일, 상온 열에너지 26 meV 의 수십분의 일이다. 초전도가 극저온 현상인 이유가 이 숫자다. 둘째, $E_g(0)/k_BT_c$ 가 물질을 가리지 않고 3.5 언저리다. BCS 이론의 약결합 예측이 정확히

E_g(0)=2\Delta(0)=3.53\,k_BT_c

이고, 강결합 금속(Pb·Hg)에서만 4를 넘는다. 갭의 크기가 $T_c$ 하나로 정해진다는 것은, 둘 다 같은 하나의 에너지 척도 — 쌍을 묶는 에너지 — 의 다른 얼굴이라는 뜻이다.

주의

이 $E_g$ 는 반도체의 $E_g$ 가 아니다. 글자가 같아 반도체 전공자가 가장 자주 넘어지는 자리다. 셋이 다르다.

위치. 반도체 밴드 갭은 가전자대와 전도대 사이, 곧 밴드 구조의 특정 에너지에 있다 (7.7.2근사 자유전자 모형과 에너지 갭의 기원). 초전도 갭은 페르미 준위를 중심으로 열린다 — 페르미 준위가 어디든 그 주위 $\pm\Delta$ 가 비는 것이다.
크기와 기원. 밴드 갭은 결정 퍼텐셜이 만들고 수 eV 이며 온도에 거의 무관하다. 초전도 갭은 전자–전자 인력이 만들고 수 meV 이며 $T_c$ 에서 사라진다.
무엇을 막는가. 밴드 갭은 전도를 막는다 — 갭 아래가 꽉 차 있어 전자가 움직일 수 없다. 초전도 갭은 반대로 전도를 완전하게 만든다. 갭은 단일 전자를 떼어 내는 들뜸의 스펙트럼에 있고, 바닥 상태(응축체)는 그 아래에서 통째로 움직인다. 갭이 있는데 도체이고, 갭이 클수록 저항 없는 전류가 더 튼튼하다.

3절과 10절에서 “갭”은 언제나 준입자 들뜸의 갭이다. 밴드 갭이 필요한 자리에서는 “밴드 갭”이라고 온전히 적는다.

갭의 온도 의존성

갭은 $T=0$ 에서 최대이고 $T_c$ 에서 0이 된다. BCS 곡선(그림 7.14-5 왼쪽)은 낮은 온도에서 거의 평평하다가 $T_c$ 근처에서

\Delta(T)\approx1.74\,\Delta(0)\left(1-\frac{T}{T_c}\right)^{1/2}\qquad(T\to T_c)

로 닫힌다. 제곱근 꼴은 란다우 이론(6.6.8란다우 상전이 이론)의 질서 매개변수가 2차 전이점 근처에서 갖는 보편적 모양이고, 실제로 $\Delta$ 는 초전도의 질서 매개변수 노릇을 한다 — 정확히는 거시 파동함수 $\psi$ (8절)의 크기에 비례한다.

직관

물리적 직관 — 두 유체. 온도가 오르면 열에너지로 쌍이 깨져 “정상 전자”가 생기고, 남은 “초전도 전자”의 농도 $n_s(T)$ 가 줄어든다. 갭이 줄면 쌍을 깨기가 더 쉬워져 $n_s$ 가 더 빨리 줄고, 그것이 다시 갭을 줄인다 — 이 자기 일관성이 $T_c$ 근처의 급한 하강을 만든다. 갭과 $n_s$ 는 같이 죽는다. 6절의 침투 깊이가 $T_c$ 에서 발산하는 것( $\lambda\propto n_s^{-1/2}$ ), 열용량이 $T_c$ 에서 뛰는 것, 임계 자기장이 $T_c$ 에서 0이 되는 것이 전부 한 함수 $\Delta(T)$ 의 다른 투영이다.

파라미터 연계. $\Delta(0)\propto T_c$ , $C_{es}\propto e^{-\Delta/k_BT}$ , $B_c(0)\propto\Delta\sqrt{N(0)}$ — $T_c$ 하나를 올리면 갭·임계 자기장·응축 에너지가 따라 오른다. 그래서 초전도 재료 탐색의 목표 함수가 $T_c$ 하나로 요약된다. 단, 2종 초전도체의 $B_{c2}$ 는 $\xi$ (7절)를 통해 따로 움직이므로(9절) “높은 $T_c$ = 높은 자기장 한계”는 아니다.

동위원소 효과

T_c 가 이온의 질량을 안다

1950년 맥스웰(E. Maxwell)과 레이놀즈(Reynolds) 그룹이 각각 수은의 동위원소를 분리해 $T_c$ 를 쟀다. 질량수 199.5 에서 203.4 로 갈수록 $T_c$ 는 4.185 K 에서 4.146 K 로 낮아졌다. 작은 차이지만 뜻은 컸다. 전자의 성질만으로 초전도를 설명하려던 모든 이론이 여기서 탈락했다 — 동위원소는 전자 구조가 같고 핵의 질량만 다르기 때문이다. 격자가 초전도에 관여한다.

관계는

T_c\,M^{\alpha}=\text{const},\qquad \alpha\approx\tfrac12

이다. 지수 $\alpha$ 를 몇 물질에서 보면(Kittel 표 4):

물질	Zn	Cd	Sn	Hg	Pb	Mo	Os	Ru	Zr	$\mathrm{Nb_3Sn}$
$\alpha$	0.45	0.32	0.47	0.50	0.49	0.33	0.15	0.00	0.00	0.08

단순 금속(Sn·Hg·Pb·Zn)은 $\tfrac12$ 에 가깝고, 전이 금속(Ru·Zr·Os·Mo)은 그보다 작거나 0이다.

왜 1/2 인가 — 격자 진동수의 질량 의존성

$\alpha=\tfrac12$ 은 격자 진동수의 질량 의존성 그대로다. 조화 진동자의 진동수는 $\omega\propto M^{-1/2}$ 이고 (7.4.1조화 근사), 디바이 진동수와 디바이 온도도 $\omega_D,\theta_D\propto M^{-1/2}$ 이다(7.5.4디바이 모형과 T³ 법칙). 따라서 $T_c\propto M^{-1/2}$ 은

T_c\propto\theta_D\times(\text{질량과 무관한 인자})

를 뜻한다. 임계 온도의 에너지 척도가 포논 에너지라는 것이다. 프뢸리히(Fröhlich)는 실험과 같은 해에 전자–포논 상호작용이 전자 사이의 유효 인력을 만들 수 있음을 보였고, 7년 뒤 BCS 이론이 그 인력에서

k_BT_c=1.13\,\hbar\omega_D\,\exp\!\left[-\frac{1}{N(0)V}\right]

를 얻었다. 앞의 $\hbar\omega_D$ 가 $M^{-1/2}$ 을 지고, 지수 안의 $N(0)V$ 는 전자 쪽 양이라 질량과 무관하다 — 그래서 $\alpha=\tfrac12$ 이다. 이 식의 유도와 뜻은 7절에서 다룬다.

직관

물리적 직관 — 매개자의 질량이 왜 결합 온도를 정하는가. 7절의 그림을 미리 빌리면, 전자 하나가 지나가며 격자를 끌어당기고 그 자취(양전하가 진해진 자리)가 다음 전자를 끈다. 인력이 작동하는 에너지 창은 격자가 반응할 수 있는 진동수, 곧 $\hbar\omega_D$ 까지다. 이온이 무거우면 느리게 반응해 창이 좁아지고, 짝을 지을 수 있는 전자의 에너지 범위가 줄어 $T_c$ 가 낮아진다. 반대로 가장 가벼운 원자인 수소를 격자로 쓰면 창이 극단적으로 넓어진다 — 그것이 11절의 고압 수소화물(200 K 대)이 나온 논리다.

파라미터 연계. 동위원소 효과는 $T_c$ 를 재료의 다른 물성에 못박는 첫 관계다. 같은 물질에서 $\theta_D$ 를 올리는 모든 것(가벼운 원자, 센 결합)이 $T_c$ 를 올리는 방향이고, 같은 원소의 무거운 동위원소는 언제나 $T_c$ 가 낮다. 단 지수 인자가 훨씬 세므로 ” $\theta_D$ 가 높은 금속이 $T_c$ 가 높다”는 성립하지 않는다 — 다이아몬드의 $\theta_D$ 는 2,000 K 를 넘지만 도핑하지 않으면 초전도체가 아니다.

α 가 1/2 에서 벗어나는 경우

전이 금속의 $\alpha\approx0$ 은 그 물질에서 포논이 무관하다는 뜻이 아니다. BCS 식의 $V$ 는 포논 인력에서 쿨롱 반발을 뺀 알짜 값인데, 쿨롱 반발은 포논보다 훨씬 넓은 에너지 창(전체 밴드 폭)에서 작동하므로 지연 효과에 의해 $\hbar\omega_D$ 창 안에서는 약해져서(쿨롱 유사 퍼텐셜 $\mu^*$ ) 들어온다. 그 약해지는 정도가 $\ln(\varepsilon_F/\hbar\omega_D)$ 를 통해 $\omega_D$ 에, 곧 질량에 의존한다. 이 보정을 넣으면

\alpha=\frac12\left[1-\frac{\mu^{*2}}{(\lambda_{\text{ep}}-\mu^*)^2}\right]

꼴이 되어(여기서 $\lambda_{\text{ep}}$ 는 전자–포논 결합 상수, 이 장의 침투 깊이 $\lambda$ 와 무관하다), 포논 결합이 약하고 $\mu^*$ 가 큰 전이 금속에서 $\alpha$ 가 작아진다. 곧 $\alpha$ 의 편차는 이론의 실패가 아니라 쿨롱 반발의 흔적이다.

초전도 전이의 열역학

자기장 속의 자유에너지

마이스너 효과 덕에 초전도 상태는 이력에 무관한 상이고, 자유에너지를 쓸 수 있다. 자기장이 하는 일을 포함한 깁스 자유에너지(단위 부피당)는(6.3.3헬름홀츠 자유에너지, 2.5.9자기 에너지와 자기회로)

dG=-S\,dT-M\,dB_a

이다. 초전도 상태는 $M=-B_a/\mu_0$ 이므로 $T$ 를 고정하고 $B_a$ 를 0에서 올리면

G_S(T,B_a)=G_S(T,0)+\int_0^{B_a}\frac{B'}{\mu_0}\,dB'=G_S(T,0)+\frac{B_a^2}{2\mu_0}

— 자속을 밀어내는 데 든 일이 그대로 자유에너지에 쌓인다. 정상 상태는 자화가 미약해 $G_N(T,B_a)\approx G_N(T,0)$ 이다. 두 곡선이 만나는 자기장이 $B_c$ 이고, 그 조건 $G_S(T,B_c)=G_N(T)$ 에서

G_N(T,0)-G_S(T,0)=\frac{B_c^2(T)}{2\mu_0}

를 얻는다. 우변이 응축 에너지 — 자기장이 없을 때 초전도 상태가 정상 상태보다 낮은 만큼 — 이고, 좌변이 곧 임계 자기장의 뜻이다: $B_c$ 는 응축 에너지를 자기장 단위로 잰 것이다. Kittel의 CGS로는 $F_N-F_S=H_c^2/8\pi$ 다.

그림 7.14-6. 왼쪽: 고정된 T < T_c 에서 자유에너지 밀도를 인가 자기장 B_a 에 대해 그린 것. 정상 상태 F_N 은 자기장에 무관하고, 초전도 상태는 자속을 밀어내는 값 B_a²/2μ₀ 만큼 포물선으로 오른다. 둘이 만나는 곳이 B_c 이며, B_a = 0 에서의 간격이 응축 에너지 B_c²/2μ₀ 다. 오른쪽: 두 유체 모형 S_N = γT, S_S = γT³/T_c² 로 그린 두 상의 엔트로피. T_c 아래에서 S_S < S_N — 초전도 상태가 더 질서 있다. 두 곡선의 차이가 자기장 속 전이의 잠열을 주고, T_c 에서 차이가 0이 되므로 자기장 없는 전이는 2차다.직접 작도

엔트로피·잠열·열용량 점프

$S=-\partial G/\partial T$ 를 위 식에 적용하면

S_N-S_S=-\frac{B_c}{\mu_0}\frac{dB_c}{dT}

이다. $B_c(T)$ 는 온도가 오르면 줄어드니 $dB_c/dT<0$ 이고, 따라서 $S_N>S_S$ — 초전도 상태는 정상 상태보다 엔트로피가 낮은, 더 질서 있는 상태다. 그 질서가 무엇인지(쌍의 응축)는 7절이 답한다.

자기장 $B_a<B_c(T)$ 를 걸어 놓고 온도로 전이를 건너면 엔트로피가 뛰므로 잠열 $L=T(S_N-S_S)$ 가 있다 — 1차 전이다. 냉각하면서 초전도가 되면 이 잠열이 방출되고, 반대로 자기장으로 초전도를 깨면 시료가 식는다(단열 소자). $B_a=0$ 이면 전이는 $T=T_c$ 에서 일어나고 거기서 $B_c=0$ 이므로 잠열이 없다 — 2차 전이다. 대신 열용량이 뛴다. $C=T\,\partial S/\partial T$ 를 한 번 더 미분하면

C_S-C_N=\frac{T}{\mu_0}\left[B_c\frac{d^2B_c}{dT^2}+\left(\frac{dB_c}{dT}\right)^2\right] \;\xrightarrow{\;T=T_c\;}\; \Delta C=\frac{T_c}{\mu_0}\left(\frac{dB_c}{dT}\right)_{T_c}^{2}

(뤼트거스 공식). 임계 자기장 곡선의 $T_c$ 에서의 기울기가 열용량 점프를 정한다. 3절의 $\Delta C/\gamma T_c = 1.43$ 과 1절의 포물선을 이으면 검산이 된다 — 포물선이면 $(dB_c/dT)_{T_c}=-2B_c(0)/T_c$ 이므로 $\Delta C=4B_c(0)^2/\mu_0T_c$ 이고, 이것이 $1.43\,\gamma T_c$ 와 같아야 한다는 조건은 $B_c(0)^2/2\mu_0\approx0.18\,\gamma T_c^2$ 다. BCS 이론의 값은 $0.24\,\gamma T_c^2$ — 30 % 차이는 포물선 근사의 몫이다(BCS 곡선의 $T_c$ 기울기는 $-1.74\,B_c(0)/T_c$ 로, 포물선의 $-2B_c(0)/T_c$ 보다 완만하다). $B_c(0)$ 로는 15 % 안에서 맞는다.

직관

수식적 직관 — 응축 에너지가 왜 그렇게 작은가. 알루미늄에서 $B_c(0)=10.5$ mT 이면 $B_c^2/2\mu_0\approx44\, \mathrm{J/m^3}$ 이고, 원자 하나당으로는 $10^{-8}$ eV 규모다. 갭 $\Delta\approx0.17$ meV 의 만분의 일에도 못 미치고, $k_BT_c$ 보다도 네 자릿수 작다. 짝을 짓는 에너지가 $\Delta$ 인데 왜 응축 에너지는 이렇게 작은가 — 모든 전자가 짝을 짓는 것이 아니기 때문이다. 페르미 준위 주위 $\pm\Delta$ 안의 전자만 짝의 이득을 보고, 그 수는 전체의 $\Delta/\varepsilon_F\sim10^{-4}$ 이다. 그래서 응축 에너지는 대략

\frac{B_c^2}{2\mu_0}\approx\frac12N(0)\Delta^2

— (참여하는 전자 수 $N(0)\Delta$ ) × (전자당 이득 $\sim\Delta$ ) — 이다. 이 관계가 1절의 " $B_c(0)\propto T_c \sqrt{N(0)}$ "의 근거이고, 7절에서 BCS 바닥 상태의 에너지를 계산하면 정확히 이 꼴이 나온다.

그래프 직관 — 왼쪽 그림의 포물선. $G_S$ 가 $B_a^2$ 으로 오르는 것은 반자성 에너지 $-\tfrac12MB_a$ 의 모양이다. 정상 상태의 상자성 자유에너지도 같은 포물선이지만 $\chi\sim10^{-5}$ 라 눈에 보이지 않는다. 두 포물선의 곡률 차이가 $10^5$ 배이므로 $G_N$ 은 수평선으로 그려도 된다 — 그 근사가 $B_c$ 의 정의 안에 들어 있다.

두 유체 모형 — 열역학이 갭을 요구한다

$B_c$ 포물선을 그대로 믿고 열역학을 밀고 나가면(고터–카시미르 두 유체 모형) $S_S=\gamma T^3/T_c^2$ , $C_{es}=3\gamma T^3/T_c^2$ 가 나온다. 점프 $\Delta C=2\gamma T_c$ 는 그럴듯하지만 저온의 $T^3$ 은 틀렸다 — 실측은 지수함수(3절)다. 열역학은 전이의 차수와 잠열과 점프를 정확히 주지만, 저온 극한의 모양은 미시 이론의 몫이다. 이 어긋남이 “갭이 있다”는 결론으로 가는 길이었고, 5절이 3절을 부르는 이유다.

런던 방정식과 침투 깊이

완전 도체의 식과 초전도체의 식

마이스너 효과를 식으로 옮긴 것이 1935년 런던 형제(F. London, H. London)의 방정식이다. 먼저 저항이 0인 전자 기체가 무엇을 주는지 본다. 산란이 없으면 전자의 운동 방정식은 $m\,d\mathbf{v}/dt=-e\mathbf{E}$ 이고, $\mathbf{j}=-n_se\mathbf{v}$ 로 쓰면

\frac{\partial\mathbf{j}}{\partial t}=\frac{n_se^2}{m}\mathbf{E}

— 옴의 법칙 $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}$ 대신 가속 방정식이다(드루데 모형에서 $\tau\to\infty$ 인 경우, 7.6.1드루데 모형). 양변의 회전을 취하고 패러데이 법칙을 쓰면

\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\mathbf{j}+\frac{n_se^2}{m}\mathbf{B}\right)=0

이다. 괄호 안이 시간에 대해 상수라는 말이지 0이라는 말이 아니다 — 2절의 완전 도체가 자속을 가두는 것이 바로 이 “상수”다. 런던 형제는 마이스너 효과가 성립하려면 그 상수가 0이어야 한다고 요구했다:

\nabla\times\mathbf{j}=-\frac{n_se^2}{m}\mathbf{B} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf{j}=-\frac{n_se^2}{m}\mathbf{A}

오른쪽이 런던 방정식이다(벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 는 런던 게이지 $\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ , 표면에서 법선 성분 0으로 고정한다, 2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지). 전류가 전기장이 아니라 벡터 퍼텐셜에 비례한다 — 정상 금속에서는 게이지에 의존해 물리량일 수 없는 식이, 게이지를 고정한 초전도체에서는 성립한다. 8절에서 이 식이 거시 파동함수의 위상이 굳어 있다는 말과 같다는 것을 보인다.

자기장은 λ_L 안에서만 산다

런던 방정식을 앙페르 법칙 $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}$ (정상 전류, 2.6.7맥스웰 방정식)와 합친다. 양변에 회전을 취하고 $\nabla\times\nabla\times\mathbf{B}=-\nabla^2\mathbf{B}$ ( $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ )를 쓰면

\nabla^2\mathbf{B}=\frac{\mathbf{B}}{\lambda_L^2}, \qquad \lambda_L=\sqrt{\frac{m}{\mu_0n_se^2}}

이다. 이 방정식은 균일한 $\mathbf{B}\neq0$ 을 해로 갖지 않는다 — 좌변이 0인데 우변이 아니므로. 곧 내부의 자기장은 0이어야 한다: 마이스너 효과다. 표면 근처는 다르다. 반무한 초전도체( $x>0$ )에 표면에 평행한 자기장을 걸면

B(x)=B_ae^{-x/\lambda_L}

— 자기장은 표면에서 런던 침투 깊이 $\lambda_L$ 안에 지수적으로 사라지고, 그것을 상쇄하는 차폐 전류도 같은 층에 흐른다. 2절의 “표면 전류”의 두께가 이것이다.

그림 7.14-7. 왼쪽: 반무한 초전도체 표면(x = 0)에 평행하게 건 자기장. 진공(x < 0)의 값 B_a 가 초전도체 안으로 e^(−x/λ_L) 로 줄어 λ_L 에서 1/e, 안쪽에서 0에 가까워진다. 차폐 전류도 같은 두께의 층에 흐른다. 오른쪽: 침투 깊이의 온도 의존성 λ(T) = λ(0)/√(1 − (T/T_c)⁴) (경험식). T_c 로 가면 초전도 전자 농도 n_s 가 0으로 가고 λ 는 발산한다 — 자기장이 시료 전체로 들어온다.직접 작도

크기를 본다. $n_s=10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$ (알루미늄의 전도 전자 농도 $1.8\times10^{29}$ 정도)이면

\lambda_L=\sqrt{\frac{9.1\times10^{-31}}{(4\pi\times10^{-7})(10^{29})(1.6\times10^{-19})^2}}\approx17\,\mathrm{nm}

이다. Kittel 표 5의 값은 Al 16 nm, Sn 34 nm, Pb 37 nm, Nb 39 nm, Cd 110 nm — 수십 nm 다. 실측 침투 깊이는 이보다 크다(Al 50 nm, Sn 51 nm, Nb 44 nm). 이유는 다음 절의 결맞음 길이다: 전류가 한 점의 $\mathbf{A}$ 가 아니라 $\xi_0$ 안의 $\mathbf{A}$ 의 평균에 반응하므로(피파드의 비국소 이론) $\xi_0\gg\lambda_L$ 인 금속에서 차폐가 덜 효율적이 되어 $\lambda$ 가 $\lambda_L$ 보다 길어진다.

직관

형태적 직관 — 차폐 방정식. $\nabla^2B=B/\lambda^2$ 는 토머스–페르미 차폐(7.10.4토마스-페르미 차폐 길이)의 $\nabla^2\phi=\phi/\lambda_{TF}^2$ 와 같은 꼴이다. 전하를 전자 기체가 $\lambda_{TF}$ 안에서 가리듯, 자기장을 초전도 전자가 $\lambda_L$ 안에서 가린다. 둘 다 “장을 느끼면 그것을 상쇄하는 방향으로 응답한다”는 선형 응답의 결과이고, 해는 언제나 지수 감쇠(1차원)·유카와 꼴(3차원)이다. 다른 점은 무엇이 응답하는가뿐이다 — 전하 밀도 대 전류 밀도.

파라미터 연계 — $\lambda\propto n_s^{-1/2}$ . 초전도 전자가 적을수록 자기장이 깊이 들어온다. $T\to T_c$ 에서 $n_s\to0$ 이므로 $\lambda\to\infty$ (오른쪽 그림), 더러운 박막·구리 산화물처럼 $n_s$ 가 작은 계는 $\lambda\sim150$ nm 이상이다. 이 의존성은 소자에서 운동 인덕턴스로 나타난다. 초전도 전류는 저항 없이 흐르지만 전자의 운동 에너지 $\tfrac12n_smv^2$ 를 실어 나르고, 이것이 전류의 제곱에 비례해 인덕턴스처럼 행동한다: 단위 길이·단위 폭의 박막에서 $L_k=\mu_0\lambda^2/d$ ( $d$ 는 두께). 광자 하나가 쌍을 깨 $n_s$ 를 줄이면 $L_k$ 가 늘어 공진 주파수가 옮겨진다 — 운동 인덕턴스 검출기(MKID)가 이것이고, 초전도 큐비트의 “높은 운동 인덕턴스 재료”(NbN·TiN·그래뉼 Al)가 이 $\lambda^2/d$ 를 키운 것이다.

얇은 막 — λ 보다 얇으면 차폐가 불완전하다

두께 $d$ 가 $\lambda$ 와 비슷하거나 작은 박막은 자기장을 다 밀어내지 못한다. 그러면 자속을 밀어내는 데 드는 에너지 $B_a^2/2\mu_0$ 가 (밀어내는 만큼만 들므로) 줄어들고, 같은 응축 에너지로 더 센 평행 자기장을 견딘다: $B_{c\parallel}\approx2\sqrt6\,B_c\,\lambda/d$ ( $d\ll\lambda$ , GL 이론). 반도체 공정으로 만든 초전도 박막 소자(큐비트의 알루미늄, SNSPD의 NbN)가 벌크보다 훨씬 높은 자기장에서 도는 이유이고, 반대로 박막의 $\lambda$ 는 두께와 결함에 민감하므로 같은 재료라도 공정마다 다른 값이 나온다.

결맞음 길이와 BCS 바닥 상태

결맞음 길이 — 초전도 전자 농도는 급히 변할 수 없다

런던 방정식은 자기장이 $\lambda$ 안에서 변한다고 말하지만, 초전도 전자 농도 $n_s$ 자체가 얼마나 급히 변할 수 있는가는 말하지 않는다. 피파드(Pippard)는 그 길이 — 결맞음 길이 $\xi$ — 를 따로 도입했고, Kittel은 이렇게 어림한다. 초전도 상태의 파동함수를 $\varphi(x)=\sqrt{2}\cos(kx)e^{iqx}$ 처럼 파수 $q$ 로 변조하면, 변조가 없을 때보다 운동 에너지가 $\hbar^2kq/2m$ 만큼 는다(5.2.4운동량과 기댓값). 이 비용이 갭 에너지 $E_g$ 를 넘으면 초전도가 깨지므로, 변조가 견딜 수 있는 가장 짧은 길이는 $\hbar^2k_Fq_0/2m=E_g$ , 곧 $\xi_0=1/q_0=\hbar^2k_F/2mE_g$ 이다. $\hbar k_F/m=v_F$ 로 쓰고 정밀한 BCS 계산의 인자 $2/\pi$ 를 넣으면

\xi_0=\frac{2\hbar v_F}{\pi E_g}=\frac{\hbar v_F}{\pi\Delta}

— 페르미 속도로 달리는 전자가 갭 에너지의 불확정 시간 $\hbar/\Delta$ 동안 가는 거리다. 이것이 고유 결맞음 길이이고, 뒤에서 보듯 쿠퍼쌍 하나의 크기이기도 하다. 값은 크다: Al 1,600 nm, Sn 230 nm, Pb 83 nm, Nb 38 nm(Kittel 표 5). 갭이 작을수록(Al) 길다.

불순물이 있으면 전자가 평균 자유 행로 $\ell$ 마다 방향을 바꾸므로 결맞음이 $\xi_0$ 까지 가지 못한다. $\ell\ll\xi_0$ 인 더러운 극한에서

\xi\approx\sqrt{\xi_0\ell},\qquad \lambda\approx\lambda_L\sqrt{\xi_0/\ell}

— 결맞음 길이는 줄고 침투 깊이는 는다. 둘의 비 $\kappa=\lambda/\xi$ 가 $\ell$ 이 줄수록 커지고, 그것이 합금이 거의 예외 없이 2종인 이유다(9절). $\kappa=\lambda_L/\xi_0$ 는 Al 0.01, Sn 0.16, Pb 0.45, Nb 1.02 — 순수한 니오븀만 경계( $1/\sqrt2$ )를 넘는다.

직관

공간적 직관 — 쌍이 서로 겹쳐 있다. $\xi_0\sim10^{2}$ ~ $10^{3}$ nm 안에 전도 전자가 $n\xi_0^3\sim10^{29}\times 10^{-21}\sim10^{8}$ 개 있고, 그중 짝을 지은 전자는 $\Delta/\varepsilon_F\sim10^{-4}$ 배인 $10^{4}$ 개 규모다. 쌍 하나의 크기 안에 다른 쌍이 만 개 들어 있다. 쌍은 원자처럼 따로 노는 알갱이가 아니라 서로 한없이 겹친 파동이고, 그래서 모든 쌍이 같은 위상을 갖는 하나의 거시 상태가 된다(8절). 이 겹침이 BCS의 평균장 근사가 원자 물리와 달리 거의 정확한 이유이기도 하다 — 만 개의 이웃이 만드는 평균 장은 요동하지 않는다.

격자가 만드는 인력

전자는 쿨롱 반발로 서로 밀어낸다. 그런데 어떻게 짝을 짓는가. 4절의 동위원소 효과가 가리킨 대로, 격자가 매개한다.

그림 7.14-8. 포논이 매개하는 인력의 모식도. 전자 1이 양이온 격자 사이를 지나가면 근처 이온이 그 길 쪽으로 끌려 들어온다. 이온은 무거워 전자가 지나간 뒤 ~10⁻¹³ s(포논 주기)동안 그 변형이 남고, 그 자리는 양전하가 진해진 자취가 된다. 뒤따르는 전자 2가 그 자취에 끌린다 — 두 전자 사이의 지연된 인력이다. 두 전자가 서로 가까이 올 필요는 없다: 전자 1이 v_F × 10⁻¹³ s ≈ 100 nm 를 간 뒤에도 자취가 남아 있으므로, 인력은 그만한 거리에서도 작동한다. 그 거리가 결맞음 길이 ξ₀ 의 크기다.직접 작도

전자 1이 지나가면 양이온들이 끌려와 그 궤적 주위에 양전하가 몰린다. 이온은 무거워 $10^{-13}$ s 뒤에야 제자리로 돌아가는데, 전자는 그 사이에 $v_F\times10^{-13}\,\mathrm{s}\sim100$ nm 를 가 버린다. 곧 전자 1은 이미 멀리 갔고 양전하 자취만 남는다. 거기에 전자 2가 끌린다. 두 전자는 직접 만나지 않으므로 쿨롱 반발을 피하고, 격자를 통해 지연된(retarded) 인력을 주고받는다. 이 인력은 격자가 따라올 수 있는 진동수 안에서만, 곧 페르미 준위 주위 $\pm\hbar\omega_D$ 의 에너지 창에서만 작동한다. 전자–포논 상호작용의 언어로는 전자 1이 포논을 방출하고 전자 2가 흡수하는 2차 과정이며(7.10.6전자-포논 상호작용과 폴라론), 에너지 교환 $\hbar\omega$ 가 포논 에너지보다 작을 때 유효 상호작용의 부호가 음(인력)이 된다.

이 인력은 약하다 — 쿨롱 반발과 거의 상쇄되고 남는 알짜가 인력이다. 그런데 아무리 약해도 짝이 생긴다. 1956년 쿠퍼(Cooper)가 보인 것이 그것이다.

쿠퍼의 문제 — 페르미 바다 위의 두 전자는 언제나 묶인다

꽉 찬 페르미 바다 위에 전자 두 개를 더 놓고, 둘 사이에 $\pm\hbar\omega_D$ 창 안에서만 작동하는 약한 인력 $-V$ 를 준다. 진공에서라면 3차원의 약한 인력은 속박 상태를 만들지 못한다(5.3.6유한 우물의 유한 우물이 3차원에서는 문턱 세기를 갖는다). 그러나 페르미 바다 위에서는 사정이 다르다 — 두 전자가 쓸 수 있는 상태가 $\varepsilon_F$ 위에만 있고, 그 상태밀도가 $N(0)$ 로 일정하다. 이것은 2차원 문제와 같고, 2차원에서는 아무리 약한 인력도 속박 상태를 만든다. 결합 에너지는

E_b\approx2\hbar\omega_D\,\exp\!\left[-\frac{2}{N(0)V}\right]

이다. $N(0)V$ 가 작으면 지수가 급히 작아지지만 0은 아니다. 정상 페르미 바다는 임의로 약한 인력에 대해 불안정하다 — 그러면 전자들은 모두 짝을 짓기 시작할 것이고, 그 결과가 BCS 바닥 상태다.

직관

수식적 직관 — $e^{-1/N(0)V}$ 는 섭동론이 볼 수 없는 함수다. $x=N(0)V$ 로 놓으면 $e^{-1/x}$ 는 $x=0$ 에서 모든 계의 도함수가 0이라 테일러 급수가 항등적으로 0이다(1.9의 $e^{-1/x^2}$ 와 같은 함수). 상호작용 $V$ 의 거듭제곱으로 전개하는 어떤 계산도 이 항을 만들어 내지 못한다. 초전도가 발견되고 46년 동안 이론이 없었던 이유가 이것이고, 갭 $\Delta$ · $T_c$ ·응축 에너지 모두 이 함수를 품는다. 비섭동적이라는 말의 뜻이 정확히 이것이다.

파라미터 연계. 지수 안의 $N(0)V$ 는 (페르미 준위의 상태밀도)×(인력의 세기)다. $N(0)$ 가 큰 전이 금속 (Nb·V)이 단순 금속보다 $T_c$ 가 높고, 상태밀도가 거의 없는 반도체는 도핑해서 $N(0)$ 를 만들어 줘야 초전도가 되며(1절), 좋은 도체(Cu·Ag·Au)는 $V$ 가 작아 안 된다. 통상의 포논 결합에서 $N(0)V\lesssim0.3$ 이라 $T_c\lesssim 0.1\,\theta_D\sim30$ K 가 사실상의 상한이었고(맥밀런 한계), 이것을 넘은 것이 11절의 구리 산화물과 수소화물이다.

BCS 바닥 상태

바딘·쿠퍼·슈리퍼(1957)의 바닥 상태는 쌍 $(\mathbf{k}\uparrow,-\mathbf{k}\downarrow)$ — 운동량이 반대이고 스핀이 반대인 두 전자 — 가 차 있는 진폭 $v_k$ 와 비어 있는 진폭 $u_k$ 의 중첩이다:

\lvert\Psi_{\text{BCS}}\rangle=\prod_{\mathbf{k}}\left(u_k+v_k\,c^\dagger_{\mathbf{k}\uparrow}c^\dagger_{-\mathbf{k}\downarrow}\right)\lvert0\rangle, \qquad u_k^2+v_k^2=1

정상 금속의 $T=0$ 바닥 상태는 $v_k=1$ ( $k<k_F$ ), $v_k=0$ ( $k>k_F$ )인 특수한 경우다. BCS 상태는 페르미 준위 주위에서 $v_k$ 를 부드럽게 바꿔 운동 에너지를 조금 잃는 대신 쌍 산란 $(\mathbf{k}\uparrow,-\mathbf{k} \downarrow)\to(\mathbf{k}'\uparrow,-\mathbf{k}'\downarrow)$ 의 인력 에너지를 벌고, 그 균형에서

v_k^2=\frac12\left(1-\frac{\xi_k}{E_k}\right),\qquad E_k=\sqrt{\xi_k^2+\Delta^2},\qquad \xi_k=\varepsilon_k-\varepsilon_F

를 얻는다. 여기서 $\Delta$ 는 자기 일관적으로 정해지는 갭 매개변수다:

\begin{aligned} \Delta&=V\sum_{\mathbf{k}'}u_{k'}v_{k'}=\frac{V}{2}\sum_{\mathbf{k}'}\frac{\Delta}{E_{k'}}\\[6pt] 1&=N(0)V\int_0^{\hbar\omega_D}\frac{d\xi}{\sqrt{\xi^2+\Delta^2}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta(0)=2\hbar\omega_D\exp\!\left[-\frac{1}{N(0)V}\right] \end{aligned}

(약결합 $N(0)V\ll1$ ). 이 기호들이 한꺼번에 나오므로 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$\varepsilon_k$	엡실론 케이	전자 하나의 밴드 에너지
$\varepsilon_F$	엡실론 에프	페르미 에너지
$\xi_k=\varepsilon_k-\varepsilon_F$	크사이 케이	페르미 준위 기준 에너지. 길이 $\xi$ · $\xi_0$ 와 다른 것 — Kittel도 같은 글자를 쓴다
$E_k=\sqrt{\xi_k^2+\Delta^2}$	이 케이	준입자 여기 에너지. 최솟값이 $\Delta$
$u_k$ , $v_k$	유 케이, 브이 케이	쌍 $(\mathbf{k}\uparrow,-\mathbf{k}\downarrow)$ 이 비어 있을 / 차 있을 확률 진폭
$\Delta$	델타	갭 매개변수 = 쌍 퍼텐셜. 준입자 하나의 최소 에너지, 쌍을 깨면 $2\Delta$
$\hbar\omega_D$	에이치바 오메가 디	인력이 작동하는 에너지 창의 반폭
$N(0)$	엔 제로	페르미 준위 상태밀도(한 스핀당)
$V$	브이	쌍 산란 행렬 요소의 크기 — 이 절에서만 인력, 10절에서는 전압

그림 7.14-9. BCS 바닥 상태의 점유 확률 v_k² = ½(1 − ξ_k/E_k). 정상 금속의 T = 0 계단(점선)과 달리 페르미 준위 양옆 ~Δ 폭에서 부드럽게 넘어간다. 비교로 얹은 회색 점선은 정상 금속을 T = T_c 로 데웠을 때의 페르미 함수(k_BT_c = Δ/1.76)다 — 모양은 거의 같지만 뜻이 다르다. 페르미 함수는 열적 들뜸으로 상태가 섞인 것이고, v_k² 는 T = 0 바닥 상태 자체가 차 있음과 비어 있음의 양자 중첩인 것이다. 그 중첩이 ~2Δ 폭의 전자들을 쌍으로 묶는다.직접 작도

이 상태의 에너지는 정상 상태보다 $\tfrac12N(0)\Delta^2$ 만큼 낮다 — 5절에서 열역학으로 어림한 응축 에너지가 그대로 나온다. 바닥 상태 위의 첫 들뜸은 쌍 하나를 깨서 준입자 두 개를 만드는 것이고, 각각의 에너지가 $E_k\ge\Delta$ 이므로 들뜸 스펙트럼에 $2\Delta$ 의 갭이 생긴다(3절). 유한 온도로 확장하면 갭 방정식에 $\tanh(E_k/2k_BT)$ 가 붙고, 갭이 0이 되는 온도가

k_BT_c=1.13\,\hbar\omega_D\exp\!\left[-\frac{1}{N(0)V}\right], \qquad \frac{2\Delta(0)}{k_BT_c}=3.53

이다 — 4절의 식과 3절의 보편 비율이 여기서 나왔다. 두 식의 지수가 같으므로 비율을 취하면 $N(0)V$ 가 지워지고 물질에 무관한 숫자만 남는다. 3절의 표가 3.5 근처에 몰려 있던 이유다.

왜 저항이 0인가 — 갭이 산란을 막는다

1절의 의문에 답할 차례다. 전류가 흐르는 초전도 상태는 모든 쌍이 같은 운동량 $2\hbar\mathbf{q}$ 를 갖는 상태 $(\mathbf{k}+\mathbf{q}\uparrow,-\mathbf{k}+\mathbf{q}\downarrow)$ 다. 불순물이 전자 하나를 산란시켜 이 전류를 줄이려면 그 전자를 쌍에서 떼어 내야 하고, 그 비용이 $2\Delta$ 이다(준입자 둘). 산란은 탄성이라 에너지를 줄 수 없으므로, 전류가 작을 때는 이 과정이 에너지적으로 닫혀 있다. 어떤 산란 중심도 전류를 건드리지 못한다 — 저항이 0이다.

전류를 키우면 사정이 달라진다. 쌍의 흐름 속도 $v_s=\hbar q/m$ 에서 준입자 에너지는 $E_k+\hbar\mathbf{k}\cdot \mathbf{v}_s$ 로 옮겨지고, $\hbar k_Fv_s$ 가 $\Delta$ 를 넘으면 에너지를 들이지 않고 쌍을 깰 수 있게 된다. 곧 임계 속도(란다우 판정)

v_c=\frac{\Delta}{\hbar k_F},\qquad j_c=n_sev_c\sim10^{11}\text{~}10^{12}\,\mathrm{A/m^2}

가 쌍 깨짐 전류밀도다(Al: $\Delta=0.17$ meV, $k_F=1.75\times10^{10}\,\mathrm{m^{-1}}$ 로 $v_c\approx15$ m/s, $j_c\approx2\times10^{11}\,\mathrm{A/m^2}$ ). 실제 선재의 임계 전류밀도는 이보다 한두 자릿수 낮은데, 그 한계는 쌍 깨짐이 아니라 와류의 움직임(9절)이다.

직관

물리적 직관 — 쌍은 보손인가. 스핀 반대인 두 페르미온의 쌍은 스핀 0 이라 보손처럼 한 상태에 모두 들어갈 수 있고, 그 점에서 초전도는 보스–아인슈타인 응축(6.5.8보스 기체와 아인슈타인 응축)의 사촌이다. 그러나 앞의 공간적 직관대로 쌍들이 서로 만 겹씩 겹쳐 있어 “따로 만든 보손을 응축시킨다”는 그림은 정확하지 않다 — 쌍을 짓는 일과 응축하는 일이 동시에, 같은 온도에서 일어난다. 상호작용을 계속 키우면 쌍이 작아져 먼저 만들어지고 나중에 응축하는 BEC 쪽 극한으로 연속적으로 이어진다(BCS–BEC 크로스오버). 금속 초전도체는 BCS 극한이고, 쌍 크기 $\xi_0$ 가 전자 간격의 수백 배라는 것이 그 표지다. 쌍의 교환 대칭(5.6.4두 입자계와 교환 대칭)은 $u_k$ · $v_k$ 의 대칭성으로 파동함수 안에 들어 있다.

자속 양자화

거시 파동함수

7절의 바닥 상태에서 모든 쌍은 같은 상태에 있다. 그 상태 하나를 거시 파동함수로 쓴다:

\psi(\mathbf{r})=\sqrt{n_s(\mathbf{r})}\;e^{i\theta(\mathbf{r})}

$\lvert\psi\rvert^2=n_s$ 가 초전도 전자 농도, $\theta$ 가 위상이다. 원자의 전자 하나와 다른 점은 이 파동함수가 $10^{23}$ 개의 전자를 한꺼번에 기술하며, 그 위상이 시료 전체에 걸쳐 굳어(rigid) 있다는 것이다. 자기장 속의 입자(전하 $q$ , 질량 $m^*$ )의 확률 흐름(5.2.3규격화와 확률 흐름)에 이 파동함수를 넣으면 전류밀도는

\mathbf{j}=\frac{q}{m^*}\,n_s\left(\hbar\nabla\theta-q\mathbf{A}\right)

이다. 위상이 균일한 곳에서 $\mathbf{j}=-(n_sq^2/m^*)\mathbf{A}$ — 런던 방정식(6절)이다. 런던 형제가 요구한 “가속 방정식의 적분 상수가 0”이라는 조건은, 곧 위상이 굳어 있어 벡터 퍼텐셜에 국소적으로 응답한다는 말이었다. 쌍으로 쓰면 $q=2e$ , $m^*=2m$ , 쌍 농도 $n_s/2$ 이므로 $\lambda_L$ 은 6절의 값 그대로다.

고리를 꿰는 자속은 h/2e 의 정수배다

초전도 고리를 생각한다. 고리 재료의 깊은 안쪽 — 표면에서 $\lambda$ 보다 훨씬 안쪽 — 을 도는 닫힌 경로 $C$ 위에서는 $\mathbf{j}=0$ 이므로 $\hbar\nabla\theta=q\mathbf{A}$ 이고, 경로를 따라 적분하면

\hbar\oint_C\nabla\theta\cdot d\mathbf{l}=q\oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=q\,\Phi

우변은 스토크스 정리로 고리를 꿰는 자속 $\Phi$ 다(2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지). 좌변은 파동함수가 한 바퀴 돌아 제자리에서 같은 값이어야 하므로 $2\pi$ 의 정수배다: $\oint\nabla\theta\cdot d\mathbf{l}=2\pi s$ . 따라서

\Phi=s\,\frac{2\pi\hbar}{q}=s\,\frac{h}{q},\qquad s=0,\pm1,\pm2,\dots

자속이 양자화된다. 1961년 디버–페어뱅크(Deaver, Fairbank)와 돌–네바우어(Doll, Näbauer)가 지름 수 μm 의 초전도 원통에 갇힌 자속을 재어, 양자가 $h/e$ 가 아니라

\Phi_0=\frac{h}{2e}=2.068\times10^{-15}\,\mathrm{Wb}

임을 확인했다. $q=2e$ — 전류를 나르는 것이 전자 쌍이라는 가장 직접적인 증거였다. BCS 이론 4년 뒤의 일이다. Kittel의 CGS로는 $\Phi_0=2\pi\hbar c/2e=2.07\times10^{-7}\,\mathrm{G\cdot cm^2}$ 다.

경로가 $\lambda$ 안쪽으로 들어와 $\mathbf{j}\neq0$ 이면 양자화되는 것은 자속이 아니라 플럭소이드 $\Phi+(m^*/n_sq^2)\oint\mathbf{j}\cdot d\mathbf{l}$ 이다. 벽이 $\lambda$ 보다 두꺼운 고리에서는 둘이 같다.

직관

수식적 직관 — 왜 위상이 자속을 세는가. $\hbar\nabla\theta=q\mathbf{A}$ 는 위상의 기울기가 벡터 퍼텐셜에 묶여 있다는 말이고, $\mathbf{A}$ 를 한 바퀴 적분한 것이 자속이므로, 자속은 위상이 한 바퀴 동안 감긴 횟수로 번역된다. 파동함수의 일가성(한 바퀴 돌면 제자리)이 정수를 강제한다. 원자에서 각운동량이 $\hbar$ 의 정수배인 것과 정확히 같은 논리 — 다만 여기서는 원자 하나가 아니라 손에 쥘 수 있는 크기의 고리에서 그렇다. 초전도체는 거시적 양자 현상이라는 말의 뜻이 이것이다.

파라미터 연계 — $\Phi_0$ 의 크기. $2\times10^{-15}$ Wb 는 지구 자기장( $5\times10^{-5}$ T)이 $(6\,\mu\mathrm{m})^2$ 을 꿰는 자속이다. 넓이 1 mm² 의 고리라면 2 nT 마다 양자 하나가 드나든다 — 10절의 SQUID 가 이 눈금으로 자기장을 잰다. 반대로 와류(9절)는 이 양자 하나씩을 나르고, 그 밀도 $B/\Phi_0$ 가 1 T 에서 $\mathrm{\mu m^2}$ 당 500개다.

지속 전류가 왜 서서히도 죽지 않는가

1절의 지속 전류는 고리를 꿰는 자속이 $s\Phi_0$ 에 붙들려 있는 상태다. 전류가 조금이라도 줄려면 $s$ 가 하나 줄어야 하고, 그것은 시료 어딘가에서 위상이 $2\pi$ 만큼 미끄러지는 사건 — 위상 미끄러짐(phase slip) — 을 요구한다. 위상이 미끄러지려면 그 자리에서 $\psi$ 가 잠시 0이 되어야 하고, 그러려면 결맞음 길이 크기의 부피 $\xi^3$ 에서 응축 에너지를 잃어야 한다. 그 장벽은 대략 $(B_c^2/2\mu_0)\xi^3$ 이고, 주석( $B_c\approx30$ mT, $\xi_0\approx230$ nm)으로 어림하면 $k_BT$ 의 $10^{5}$ 배 규모다. 열적으로 넘을 확률 $e^{-10^5}$ 은 우주의 나이를 곱해도 0이다. 저항이 “작은” 것이 아니라 전류가 양자수에 붙들려 있는 것이며, 그래서 $10^5$ 년의 하한은 실험의 한계일 뿐이다. 단 매우 가는 선(폭 $\lesssim\xi$ )에서는 장벽이 작아져 위상 미끄러짐이 실제로 일어나고 유한한 저항이 나타난다 — 나노선 초전도체의 저항 꼬리와 SNSPD 의 동작 원리(광자가 만든 뜨거운 점이 위상 미끄러짐을 촉발한다)가 여기 있다.

2종 초전도체와 와류 상태

표면 에너지의 부호가 1종과 2종을 가른다

정상 영역과 초전도 영역이 맞닿은 경계면을 생각한다. 경계에는 두 길이가 걸린다 — 초전도 질서 $\psi$ 는 $\xi$ 에 걸쳐 회복되고, 자기장은 $\lambda$ 에 걸쳐 밀려난다. 경계 근처에서 두 효과가 에너지에 미치는 몫은 반대다.

응축 에너지의 손실. 경계에서 $\xi$ 안쪽은 $\psi$ 가 아직 작아 응축 에너지 $B_c^2/2\mu_0$ 를 온전히 벌지 못한다. 단위 면적당 손실 $\sim(B_c^2/2\mu_0)\,\xi$ .
자기 에너지의 이득. 경계에서 $\lambda$ 안쪽은 자기장이 아직 들어와 있어 자속을 밀어내는 비용 $B_a^2/2\mu_0$ 를 치르지 않는다. 단위 면적당 이득 $\sim(B_c^2/2\mu_0)\,\lambda$ ( $B_a\approx B_c$ 에서).

경계면의 표면 에너지는 그 차이 $\sigma_{ns}\approx(B_c^2/2\mu_0)(\xi-\lambda)$ 다. $\xi>\lambda$ 이면 양수 — 경계를 만드는 데 에너지가 들므로 시료는 경계를 최소화하고, 자기장은 한꺼번에 들어오거나 전혀 안 들어온다: 1종이다. $\lambda>\xi$ 이면 음수 — 경계를 만들수록 에너지가 내려가므로 시료는 자발적으로 정상 영역을 잘게 쪼개 최대한 많은 경계를 만든다: 2종이다. 긴즈부르크–란다우 이론이 정확한 경계를 준다:

\kappa=\frac{\lambda}{\xi} \begin{cases} < 1/\sqrt2 & \text{1종}\\[2pt] > 1/\sqrt2 & \text{2종} \end{cases}

7절에서 $\kappa=\lambda_L/\xi_0$ 가 순수 원소에서 대개 1보다 훨씬 작았고(Al 0.01, Pb 0.45), 불순물이 $\xi$ 를 줄이고 $\lambda$ 를 늘려 $\kappa$ 를 키운다고 했다. 그래서 순수 원소는 1종, 합금은 2종이다. 납에 인듐을 몇 % 만 섞어도 2종이 된다. 니오븀은 $\kappa\approx1$ 로 순수해도 2종이다.

와류 — 정상 영역을 가장 잘게 쪼갠 것

정상 영역을 “가장 잘게” 쪼개는 한계는 8절이 정한다: 자속은 $\Phi_0$ 아래로 쪼개지지 않는다. 그래서 2종 초전도체에 들어온 자기장은 자속 양자 하나씩을 나르는 가는 관 — 와류(vortex) 또는 플럭소이드 — 가 된다. 1957년 아브리코소프(Abrikosov)가 GL 이론에서 이것을 예측했다.

그림 7.14-10. 고립된 와류 하나의 단면(κ = λ/ξ = 4). 초전도 질서 |ψ| 는 중심에서 0이고 반지름 ~ξ 의 정상 코어 안에서 급히 회복돼 포화한다. 자기장 B(r) 은 코어에서 최대이고 반지름 ~λ 에 걸쳐 K₀(r/λ) 꼴로 완만하게 줄어들며, 그 안에 총 자속 Φ₀ 가 든다. 자기장을 만드는 초전류가 같은 λ 안에서 코어 둘레를 돈다 — 소용돌이라는 이름의 뜻이다. |ψ| 는 tanh(r/ξ), B 는 클렘의 변분 근사로 그린 모형 곡선이다.직접 작도

와류 하나의 구조는 두 길이로 그려진다. 반지름 $\xi$ 의 정상 코어에서 $\psi\to0$ 이고, 반지름 $\lambda$ 안에 자기장과 그것을 만드는 초전류 고리가 있다. 코어 밖 $r\gg\xi$ 에서 자기장은 변형 베셀 함수 $B(r)\propto K_0(r/\lambda)$ 를 따르고, $r\gg\lambda$ 에서 $e^{-r/\lambda}$ 로 죽는다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 와류 하나의 단위 길이당 에너지는 대략

\varepsilon_1\approx\frac{\Phi_0^2}{4\pi\mu_0\lambda^2}\ln\kappa

— 코어의 응축 에너지 손실보다 $\lambda$ 안의 자기 에너지와 초전류의 운동 에너지가 주된 몫이고, $\ln\kappa$ 는 $\xi$ 에서 $\lambda$ 까지 $1/r$ 로 죽는 초전류의 적분에서 나온다.

와류들은 서로 밀어내며(같은 방향의 전류 고리) 삼각 격자를 이룬다. 자속밀도가 $B$ 이면 와류 밀도는 $n_v=B/\Phi_0$ 이고, 삼각 격자의 간격은 $a=(2\Phi_0/\sqrt3B)^{1/2}$ — 1 T 에서 약 49 nm 다. 이 격자는 자성 분말 장식법(에스만·트로이블, 1967)·중성자 회절·STM 으로 직접 찍혔다. STM 은 코어 안에 갇힌 준입자 상태(카롤리–드 젠–마트리콩)까지 보여 준다 — 코어는 갭 아래에 상태가 있는 작은 정상 금속이다.

두 임계 자기장의 크기

하부 임계 자기장 $B_{c1}$ 은 와류 하나를 들이는 것이 이득이 되는 문턱이다. 와류 하나의 에너지 $\varepsilon_1$ 과 그것이 자기장에서 얻는 에너지 $\Phi_0B_a/\mu_0$ 를 견주면

B_{c1}\approx\frac{\Phi_0}{4\pi\lambda^2}\ln\kappa

상부 임계 자기장 $B_{c2}$ 는 코어들이 닿아 초전도 영역이 없어지는 자기장이다. 와류 간격이 $\xi$ 가 되는 조건 $B\cdot2\pi\xi^2\approx\Phi_0$ 에서

B_{c2}=\frac{\Phi_0}{2\pi\xi^2}

열역학적 $B_c$ 는 2절의 면적 조건으로 정의되고, GL 이론에서 $B_c=\Phi_0/(2\sqrt2\,\pi\lambda\xi)$ 이다. 셋을 나란히 놓으면

\frac{B_{c2}}{B_c}=\sqrt2\,\kappa, \qquad \frac{B_{c1}}{B_c}\approx\frac{\ln\kappa}{\sqrt2\,\kappa}, \qquad B_{c1}B_{c2}\approx B_c^2\ln\kappa

— $\kappa$ 가 클수록 $B_{c2}$ 는 $B_c$ 위로 멀리 올라가고 $B_{c1}$ 은 아래로 멀리 내려간다. 실용 초전도체의 자기장 한계는 $B_{c2}$ 이고, 그것은 오직 $\xi$ 가 정한다. $\mathrm{Nb_3Sn}$ ( $\xi\approx3$ nm)의 $B_{c2}$ 는 25~30 T, NbTi( $\xi\approx5$ nm)는 11 T(4.2 K), 구리 산화물( $\xi_{ab}\approx1.5$ nm)은 100 T 를 넘는다.

그림 7.14-11. 2종 초전도체의 온도–자기장 상도. B_c1(T) 아래는 자속을 완전히 밀어내는 마이스너 상태, B_c1 과 B_c2 사이는 자속이 Φ₀ 단위의 와류로 들어와 있는 와류(혼합) 상태, B_c2 위는 정상 상태다. 두 곡선 사이의 점선이 2절의 면적 조건으로 정의되는 열역학적 B_c(T)이며, 세 곡선은 모두 T_c 에서 0에 닿는다. 비율은 니오븀 정도(κ ≈ 1.3)이고, κ 가 큰 합금·산화물에서는 B_c1 이 훨씬 아래로, B_c2 가 훨씬 위로 벌어진다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 더러울수록 좋은 자석. $B_{c2}=\Phi_0/2\pi\xi^2$ 이고 더러운 극한에서 $\xi=\sqrt{\xi_0\ell}$ 이므로, 평균 자유 행로 $\ell$ 을 줄이면 $B_{c2}$ 가 오른다: $B_{c2}\propto1/\ell$ . 정상 상태의 비저항이 높은 합금이 고자기장 초전도체가 되는 이유다(NbTi 의 $\ell\sim$ 수 nm). 반도체에서 “결함은 나쁘다”고 배운 직관을 여기서는 뒤집어야 한다. 단 $T_c$ 와 $B_c$ 는 비자성 불순물에 거의 무관하고(앤더슨 정리), 자성 불순물은 쌍을 깨 $T_c$ 를 떨어뜨린다 — 무엇이 “더러운가”가 중요하다.

형태적 직관 — 세 자기장의 기하. $B_{c1}\propto1/\lambda^2$ , $B_{c2}\propto1/\xi^2$ , $B_c\propto1/\lambda\xi$ — 세 자기장은 각각 “자속 양자 하나를 $\lambda$ 넓이에”, ” $\xi$ 넓이에”, “그 기하 평균 넓이에” 채운 자속밀도다. 2절의 자화 곡선에서 $B_{c1}$ 이 기울기 1의 직선이 꺾이는 점, $B_{c2}$ 가 0에 닿는 점이었던 것을 이 기하로 다시 읽으면, 자화 곡선은 와류가 $\lambda$ 간격에서 $\xi$ 간격까지 채워지는 과정의 기록이다.

와류가 움직이면 저항이 생긴다 — 피닝과 임계 전류

와류 상태에서 저항이 0인 것은 초전도 바다가 이어져 있기 때문이라고 했다(2절). 그런데 전류밀도 $\mathbf{j}$ 가 흐르면 와류에는 단위 길이당 로렌츠 힘 $\mathbf{f}=\mathbf{j}\times\boldsymbol{\Phi}_0$ 이 걸린다. 와류가 속도 $\mathbf{v}$ 로 움직이면 움직이는 자속이 전기장 $\mathbf{E}=\mathbf{B}\times\mathbf{v}$ 를 만들고 (2.6.2기전력과 운동 기전력), 그 전기장은 전류와 같은 방향이라 일을 소모한다 — 자속 흐름(flux flow) 저항이다. 와류 상태의 이상적인 2종 초전도체는 아무리 작은 전류에도 저항을 갖는다.

저항을 없애려면 와류를 붙들어야 한다. 결정 결함(8.1) — 석출물·전위·결정립계·공공 — 은 그 자리의 응축 에너지가 이미 손실돼 있어 와류 코어가 앉기에 유리한 자리이고, 와류를 거기에 고정(pinning)한다. 로렌츠 힘이 피닝 힘을 넘는 전류밀도가 임계 전류밀도 $J_c$ 이며, 이것은 재료 상수가 아니라 미세조직의 함수다. NbTi 선재는 냉간 가공과 열처리로 $\alpha$ -Ti 석출물을 수 nm 간격으로 심어 4.2 K·5 T 에서 $J_c\approx3\times 10^9\,\mathrm{A/m^2}$ 를 낸다. 결함이 많을수록 $J_c$ 가 오르는 경성(hard) 초전도체이고, 자화 곡선은 비가역이 되어 이력을 갖는다(빈의 임계 상태 모형).

단일 입자 터널링과 조셉슨 효과·SQUID

단일 입자 터널링 — 갭을 눈으로 본다

두 금속 사이에 1~2 nm 의 절연막(산화막)을 끼우면 전자가 터널링으로 건너간다(5.3.8투과 계수와 터널링). 두 정상 금속(N–I–N)에서 전류는 전압에 비례한다 — 옴의 법칙이다. 1960년 지아버(Giaever)가 한쪽을 초전도체로 바꾸자(N–I–S) 전류–전압 곡선에 갭이 그대로 찍혔다.

초전도체 쪽의 준입자 상태밀도는 7절의 $E_k=\sqrt{\xi_k^2+\Delta^2}$ 에서 나온다. 정상 상태의 $\xi$ 가 $\pm\Delta$ 사이의 에너지로는 갈 수 없고, 그 상태들이 갭 가장자리로 밀려 쌓인다:

\frac{N_s(E)}{N(0)}=\begin{cases} \dfrac{\lvert E\rvert}{\sqrt{E^2-\Delta^2}} & \lvert E\rvert>\Delta\\[8pt] 0 & \lvert E\rvert<\Delta \end{cases}

$T=0$ 에서 N–I–S 접합의 전류는 정상 금속의 페르미 준위에서 초전도체의 빈 준입자 상태로 가는 터널링이므로 $I\propto\int_0^{eV}N_s(E)\,dE$ — $eV<\Delta$ 에서 0이고 $eV=\Delta$ 부터 열린다. 미분 전도도가 곧 상태밀도다:

\frac{dI}{dV}\propto N_s(eV)

이것이 갭을 재는 가장 직접적인 방법이고, STM 으로 국소 갭을 재는 터널링 분광의 원리다. 두 쪽이 모두 초전도체인 S–I–S 접합은 문턱이 $2\Delta$ 로 옮겨지고, $T=0$ 에서 그 문턱에서 전류가 유한한 값으로 뛴다 (두 발산하는 상태밀도가 맞물리는 지점).

그림 7.14-12. 왼쪽: BCS 준입자 상태밀도 N_s(E)/N(0). −Δ 와 Δ 사이는 비어 있고(2Δ 폭의 갭), 갭 가장자리에서 발산했다가 멀어지며 정상 값 1로 내려온다 — 갭 안에 있어야 할 상태가 가장자리로 밀려난 것이다. 오른쪽: T = 0 의 터널링 전류–전압 곡선(단위 Δ/eR_N). N–I–S 는 eV = Δ 부터 √(V² − 1) 로 열려 옴 직선 I = V/R_N 에 다가가고, 같은 갭의 S–I–S 는 eV = 2Δ 에서 π/2 로 뛴 뒤 옴 직선에 다가간다. 유한 온도에서는 갭 안에도 열적 준입자의 작은 전류가 흐르고 모서리가 둥글어진다.직접 작도

여기서 $V$ 는 전압이다 — 7절의 인력 $V$ 와 글자가 같으니 절이 바뀐 것을 기억한다. 이 터널링은 전자 하나가 건너는 과정이라 “단일 입자” 터널링이라 부르고, 다음의 쌍 터널링과 구분한다. 접합의 정상 저항 $R_N$ 이 옴 직선의 기울기이며, 초전도 접합 설계의 핵심 매개변수다.

조셉슨 효과 — 쌍이 터널링하면 위상이 흐른다

1962년 조셉슨(Josephson)은 절연막이 충분히 얇으면(수 nm 이하) 전자 쌍이 통째로 터널링하며, 그 전류가 양쪽 초전도체의 위상차로 정해진다고 예측했다. 8절의 거시 파동함수 $\psi_1=\sqrt{n_1}e^{i\theta_1}$ , $\psi_2=\sqrt{n_2}e^{i\theta_2}$ 가 얇은 장벽으로 약하게 결합된 2준위계(5.9.22준위계와 라비 진동)를 풀면 (파인만의 유도), 위상차 $\delta=\theta_2-\theta_1$ 에 대해

I=I_c\sin\delta \qquad\text{(직류 조셉슨 효과)}

\frac{d\delta}{dt}=\frac{2eV}{\hbar} \qquad\text{(교류 조셉슨 효과)}

가 나온다. 첫 식: 전압이 0이어도 위상차만 있으면 전류가 흐른다 — 임계 전류 $I_c$ 까지의 어떤 전류도 접합을 전압 없이 지난다. 둘째 식: 전압 $V$ 를 걸면 위상차가 일정한 속도로 돌고, 전류는 진동수

f=\frac{2eV}{h}=483.6\,\mathrm{MHz/\mu V}

로 진동한다. 비례 상수 $K_J=2e/h=483\,597.848\ldots\,\mathrm{GHz/V}$ 는 2019년부터 SI 에서 정확한 값이고, 전압의 국제 표준은 이 식을 거꾸로 써서 — 알려진 마이크로파 진동수를 접합 배열에 쏘여 전류–전압 곡선에 생기는 계단(샤피로 계단) $V=nhf/2e$ 를 읽어 — 만든다. 조셉슨 접합은 $h/e$ 를 전압으로 바꾸는 저울이다.

직관

수식적 직관 — 왜 $\sin\delta$ 인가. 쌍이 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 진폭과 반대로 가는 진폭이 간섭한다. 두 진폭의 위상이 $\theta_1$ , $\theta_2$ 이므로 알짜 흐름은 $\operatorname{Im}(\psi_1^*\psi_2)\propto\sin(\theta_2-\theta_1)$ — 확률 흐름 $\operatorname{Im}(\psi^*\nabla\psi)$ (5.2.3규격화와 확률 흐름)의 이산형이다. 위상차가 0이면 흐름이 없고, $\pi/2$ 에서 최대이며, $\pi$ 에서 다시 0이다. 그래서 접합은 비선형 인덕터다: $V=L\,dI/dt$ 에 두 식을 넣으면 $L_J=\hbar/(2eI_c\cos\delta)$ — 전류에 따라 값이 변하고 손실이 없는 인덕턴스. 초전도 큐비트가 정확히 이 비선형성을 쓴다: 선형 LC 공진기는 에너지 준위가 등간격이라 두 준위만 골라 쓸 수 없지만, $L_J$ 의 비선형성이 준위 간격을 어긋나게 해 $\lvert0\rangle$ – $\lvert1\rangle$ 만 골라 조작할 수 있다(트랜스몬).

파라미터 연계 — $I_cR_N$ 곱. 접합의 임계 전류와 정상 저항은 따로 정할 수 없다. 암베가오카르–바라토프 관계 $I_cR_N=(\pi\Delta/2e)\tanh(\Delta/2k_BT)$ 에 따라 곱이 갭만으로 정해진다 — 알루미늄이면 $T=0$ 에서 약 0.27 mV. 접합 면적을 줄이면 $I_c$ 는 줄고 $R_N$ 은 늘지만 곱은 그대로다. 큐비트 설계에서 $I_c$ (따라서 조셉슨 에너지 $E_J=\hbar I_c/2e$ )를 정하는 손잡이가 접합 면적과 산화막 두께이고, 그 값을 상온 저항 $R_N$ 으로 검사하는 근거가 이 관계다.

SQUID — 자속 양자 하나마다 초전류가 출렁인다

조셉슨 접합 두 개를 고리에 병렬로 넣으면, 고리를 꿰는 자속 $\Phi$ 가 두 접합의 위상차를 벌린다. 8절과 같은 적분을 두 접합 사이의 두 경로에 적용하면 $\delta_b-\delta_a=2\pi\Phi/\Phi_0$ 이고, 총 전류는

I=I_c\left[\sin\!\left(\delta_0+\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right)+\sin\!\left(\delta_0-\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right)\right] =2I_c\sin\delta_0\cos\!\left(\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right)

$\delta_0$ 를 조정해 얻는 최대 초전류가

I_{\max}=2I_c\left\lvert\cos\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right\rvert

— 자속에 대해 주기 $\Phi_0$ 로 진동한다. Kittel의 CGS 표기 $\cos(e\Phi/\hbar c)$ 와 같은 식이다. 두 개의 틈을 지난 파동이 간섭하는 영의 실험과 같은 구조이고, 그래서 초전도 양자 간섭 소자(SQUID)라 부른다.

그림 7.14-13. 왼쪽: 조셉슨 접합 두 개(×)를 병렬로 이은 초전도 고리. 고리를 꿰는 자속 Φ 가 두 접합의 위상차를 2πΦ/Φ₀ 만큼 벌린다. 오른쪽: 고리가 전압 없이 흘릴 수 있는 최대 초전류 I_max = 2I_c|cos(πΦ/Φ₀)|. 자속 양자 Φ₀ = h/2e 마다 한 번 되풀이되므로, 고리 넓이가 1 mm² 이면 2 nT 의 자기장 변화가 한 주기다. 실제 SQUID 는 이 주기의 천분의 일 이하를 분해한다.직접 작도

한 주기가 $\Phi_0$ 이고 그 주기의 $10^{-6}$ 까지 분해하므로, SQUID 의 자기장 분해능은 fT 급 — 지구 자기장의 $10^{-10}$ , 사람 뇌가 만드는 자기장(뇌자도)을 잴 수 있는 유일한 눈금이다. 두 접합의 직류 SQUID 외에 접합 하나로 고주파 공진기에 결합하는 rf SQUID 가 있고, 자화 측정 장비(SQUID 자력계, 박막 자성 연구의 표준), 주사 SQUID 현미경, 그리고 초전도 큐비트의 조절 가능한 접합(두 접합 SQUID 로 $E_J$ 를 자속으로 바꾼다)이 같은 원리다.

주의

$e$ 와 $2e$ . 단일 입자 터널링의 문턱은 $eV=\Delta$ (N–I–S)· $2\Delta$ (S–I–S)로 전자 하나의 전하로 읽고, 조셉슨 진동수는 $2eV/h$ 로 쌍의 전하 $2e$ 로 읽는다. 자속 양자 $h/2e$ 의 2도 같은 2다. 셋을 섞으면 두 배가 틀린다. 반대로 이 2가 실험에서 확인된다는 사실 자체가 — 자속 양자화(1961)와 조셉슨 진동수(1963) — 전류를 나르는 것이 쌍이라는 증거였다.

넓은 접합의 회절 무늬. SQUID 의 $\cos$ 무늬는 두 접합의 간섭이다. 접합 하나가 넓어 자속이 접합 자체를 꿰면 접합 안의 위상이 자리마다 달라져 $I_{\max}\propto\lvert\sin(\pi\Phi_J/\Phi_0)/(\pi\Phi_J/\Phi_0)\rvert$ — 단일 슬릿 회절의 프라운호퍼 무늬(3.6)가 된다. 접합의 균일성을 검사하는 표준 측정이다.

고온 초전도체

1986년 — 75년의 벽이 2년 만에 무너지다

1911년부터 1986년까지 75년 동안 $T_c$ 의 최고 기록은 4 K 에서 23 K( $\mathrm{Nb_3Ge}$ , 1973)로 올랐을 뿐이다. 7절의 $k_BT_c=1.13\,\hbar\omega_D e^{-1/N(0)V}$ 로 보면 당연했다 — $\hbar\omega_D\sim30$ meV 에 $N(0)V\lesssim 0.3$ 이면 $T_c\lesssim30$ K 이고, 포논 기구로는 그 언저리가 천장이라는 것이 통념이었다(맥밀런 한계).

1986년 베드노르츠(Bednorz)와 뮐러(Müller)가 구리 산화물 $\mathrm{La_{2-x}Ba_xCuO_4}$ 에서 35 K 를 보고했고, 이듬해 $\mathrm{YBa_2Cu_3O_{7-\delta}}$ 가 92 K — 액체 질소의 끓는점 77 K 를 넘는 첫 초전도체 — 로 올라섰다. 뒤이어 비스무트계 110 K, 탈륨계 125 K, 수은계 134 K(1993, 상압 최고; 고압에서 164 K)가 나왔다.

그림 7.14-14. 임계 온도의 역사. 원소·합금(●, 남색)은 1911년 Hg 4.2 K 에서 1973년 Nb₃Ge 23 K 까지 느리게 올랐고, 구리 산화물(●, 주황)은 1986년부터 몇 해 만에 35 → 92 → 110 → 134 K 로 뛰었다. MgB₂(2001, 39 K)와 철 기반 초전도체(2008, 55 K)는 그 사이에 있고, 수소화물(○)은 150 GPa 급 고압에서만 200 K 를 넘는다(H₃S 203 K, LaH₁₀ 250 K). 액체 질소 77 K 와 액체 헬륨 4.2 K 가 냉각 비용의 두 기준선이다. 값은 널리 인용되는 대표값이며 조성·압력에 따라 수 K 차이가 난다.직접 작도

77 K 의 뜻은 공학적이다. 액체 헬륨은 리터당 수만 원이고 증발열이 작아 다루기 까다롭지만, 액체 질소는 리터당 수백 원이고 증발열이 60배다. 냉각 비용이 두 자릿수 내려간다.

구조 — CuO₂ 면이 초전도를 한다

구리 산화물 초전도체는 페로브스카이트(7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광))에서 파생된 층상 구조다. 공통 요소는 $\mathrm{CuO_2}$ 면 — 구리 이온이 정사각 격자를 이루고 산소가 그 변 가운데에 앉은 2차원 평면 — 이고, 초전도는 이 면에서 일어난다. 면 사이의 층(La·Ba, Y, Bi–O, Hg–O 층)은 전하 저장고로, 조성이나 산소 함량 $\delta$ 를 바꾸면 $\mathrm{CuO_2}$ 면에 정공을 공급한다.

모(母)화합물( $x=0$ , $\delta=1$ )은 초전도체도 금속도 아니다. 구리 $d^9$ 의 홀전자 하나가 자리마다 있어 밴드 이론으로는 반쯤 찬 금속이어야 하지만, 실제로는 쿨롱 반발이 전자를 자리에 가둔 모트 절연체 (7.10.7모트 금속-절연체 전이와 파이얼스 불안정성)이고 스핀은 반강자성으로 정렬한다(7.13.11반강자성과 페리자성의 질서). 여기에 정공을 5 % 남짓 넣으면 반강자성이 무너지고 초전도가 나타나며, 16 % 부근에서 $T_c$ 가 최대(최적 도핑)가 됐다가 더 넣으면 다시 사라진다 — 도핑에 대한 돔 모양이다. 초전도가 절연체와 이렇게 가까이 있는 것은 금속 초전도체에서 본 적 없는 일이다.

$T_c$ 는 단위 격자 안의 $\mathrm{CuO_2}$ 면 수 $n$ 에도 따라 움직인다. 수은계 $\mathrm{HgBa_2Ca_{n-1}Cu_nO_{2n+2+\delta}}$ 에서 $n=1,2,3$ 이 97, 128, 134 K 이고, $n\ge4$ 에서는 다시 내려온다.

무엇이 다른가 — 짧은 ξ, 긴 λ, 큰 이방성, d-파

	금속 초전도체 (Nb)	구리 산화물 (YBCO)
$T_c$	9.5 K	92 K
$\xi$	38 nm	면 안 1.5 nm, 면 수직 0.3 nm
$\lambda$	40 nm	면 안 150 nm, 면 수직 ~1 μm
$\kappa$	~1	~100
$B_{c2}$	0.4 T	면 안 방향 100 T 이상
$B_{c1}$	0.17 T	수 mT
$2\Delta/k_BT_c$	3.8	5~8, 방향에 따라 0
갭의 대칭	s-파(등방)	d-파(마디 있음)

세 가지가 실용과 물리 양쪽에서 결정적이다.

결맞음 길이가 격자 상수 수준이다. $\xi_{ab}\approx1.5$ nm 는 $\mathrm{CuO_2}$ 면의 격자 상수 0.38 nm 의 네 배, $\xi_c\approx0.3$ nm 는 면 간격보다 짧다. 쌍이 한 면에 갇혀 있고 와류는 면마다 끊긴 팬케이크 와류가 된다. 7절의 공간적 직관을 뒤집으면 — 쌍 하나 안에 다른 쌍이 만 개가 아니라 몇 개뿐이라 평균장이 요동하고, 9절의 의문에서 본 대로 와류 격자가 녹아 $B_{c2}$ 보다 훨씬 아래에 비가역선이 생긴다. 또 결정립계처럼 $\xi$ 크기의 결함이 초전도를 끊어 약한 고리(weak link, 곧 조셉슨 접합)가 되므로, 다결정 선재는 임계 전류가 형편없다. 실용 선재는 결정립을 정렬해 이 문제를 피한다 — 텍스처링한 금속 테이프 위에 완충층과 REBCO 막을 에피택시(9.9.1에피택시의 발현 형태)로 쌓는 피복 도체(coated conductor)이고, 그 공정은 반도체 박막 공정(18부) 그대로다.

갭에 마디가 있다. 갭 매개변수가 운동량 방향에 따라 $\Delta(\mathbf{k})\propto\cos k_xa-\cos k_ya$ 로 부호를 바꾸는 $d_{x^2-y^2}$ 대칭이다. 대각 방향에서 갭이 0이므로 낮은 온도에서도 준입자가 있고, 3절의 지수 법칙 대신 열용량·침투 깊이가 거듭제곱( $C\propto T^2$ , $\lambda(T)-\lambda(0)\propto T$ )으로 간다. 부호가 바뀐다는 사실은 위상에 민감한 실험 — 코너 SQUID 접합에서 자발적으로 생기는 반 자속 양자 $\Phi_0/2$ — 로 확인됐다. 8절의 자속 양자화가 여기서 다시 판정자가 됐다.

기구는 합의되지 않았다. 산소 동위원소 효과가 최적 도핑에서 거의 0이고(4절), $\hbar\omega_D$ 로는 90 K 가 나오지 않으며, 반강자성 절연체 옆이라는 위치가 스핀 요동을 가리킨다. d-파 대칭은 스핀 요동 매개 짝짓기의 자연스러운 결과다. 그러나 정상 상태 자체가 페르미 액체가 아니고(선형 비저항, 유사 갭), 40년이 지난 지금도 “쿠퍼쌍은 있으나 무엇이 묶는가”에 하나의 답은 없다. 이 장의 BCS 이론(7절)이 구리 산화물에서 어디까지 남는가 — 쌍·갭·자속 양자·조셉슨 효과는 그대로이고, 포논 인력과 s-파 갭과 지수 법칙은 아니다 — 를 아는 것이 이 절의 실용적 결론이다.

구리 산화물 밖 — MgB₂·철 기반·수소화물

Kittel 8판(2005)의 서술은 구리 산화물에서 멈춘다. 그 뒤 세 부류가 더 나왔고, 셋 다 7절의 식으로 읽을 수 있다.

$\mathrm{MgB_2}$ (2001, 39 K). 단순한 2원 화합물에 포논 기구인데 $T_c$ 가 금속 합금의 두 배다. 가벼운 붕소의 높은 $\hbar\omega_D$ 와 붕소 $\sigma$ 밴드의 강한 전자–포논 결합이 이유이고, 갭이 두 개( $\sigma$ 밴드 7 meV, $\pi$ 밴드 2 meV)다. 값싼 선재로 MRI 자석에 쓰인다.
철 기반 초전도체 (2008, 최고 55 K). $\mathrm{LaFeAsO_{1-x}F_x}$ (26 K)에서 시작해 $\mathrm{SmFeAsO}$ 계열이 55 K 에 이르렀다. 구리 산화물처럼 층상(Fe–As 층)·반강자성 모상·돔 상도이고, 갭 부호가 밴드 사이에서 바뀌는 $s_\pm$ 대칭이 유력하다. 강자성의 원소인 철이 초전도의 주역이라는 점이 1절의 통념을 흔들었다.
고압 수소화물 (2015~). $\mathrm{H_3S}$ 가 155 GPa 에서 203 K, $\mathrm{LaH_{10}}$ 이 170 GPa 에서 250 K — 상온에 30 K 남긴 값이다. 기구는 BCS 그대로다: 수소는 가장 가벼워 $\hbar\omega_D$ 가 100 meV 를 넘고, 고압이 금속성 수소 격자와 강한 결합을 만든다. 중수소 치환으로 $T_c$ 가 내려가는 동위원소 효과(4절)가 그 증거다. 7절의 “맥밀런 한계”는 $\hbar\omega_D$ 를 고정했을 때의 한계였지, 식 자체의 한계가 아니었다.

직관

파라미터 연계 — 두 갈래의 $T_c$ 올리기. $k_BT_c\propto\hbar\omega_D\,e^{-1/N(0)V}$ 에서 앞 인자를 키우는 길(가벼운 원자·고압 → 수소화물)과 지수 인자를 키우는 길(강한 상호작용·2차원 $\mathrm{CuO_2}$ 면 → 구리 산화물, 포논이 아닐 수도 있는 $V$ )이 갈린다. 전자는 이론이 있고 재료가 극한적이며, 후자는 재료가 있고 이론이 없다. 상압에서 둘을 합치는 것이 재료 탐색의 방향이고, 최근의 시도들(니켈 산화물, 상압 근처 수소화물)이 그 사이에 있다.

그래프 직관 — 타임라인의 세 기울기. 그림 7.14-14의 원소·합금 점들은 75년에 걸쳐 완만하고, 구리 산화물 점들은 수직에 가까우며, 수소화물은 다시 한 계단 위다. 세 무리는 각각 다른 변수 — $N(0)V$ 의 미세 조정, 새 기구, $\hbar\omega_D$ — 를 돌린 결과이고, 한 그래프 위에 있다고 한 물리가 아니다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 초전도는 전자 쌍이 하나의 거시 파동함수로 응축한 상태이고, 그 위상이 굳어 있어 저항이 0(1·7절)이고 자기장을 밀어내며(2·6절), 자속과 전류가 양자화된다(8·10절). 반도체 공학에서 이 물리를 다시 만나는 자리를 적어 둔다.

초전도 큐비트 (18·20·21·22부) — 조셉슨 접합이 비선형 인덕터(10절)이고, $E_J=\hbar I_c/2e$ 와 충전 에너지의 비가 큐비트를 정한다. 접합은 Al/AlOₓ/Al 을 전자빔 리소그래피와 이중 각도 증착으로 만들고(18부), $T_c=1.2$ K 의 알루미늄을 20 mK 에서 돌린다. 손실은 유전체 2준위계와 준입자(3절의 갭 위 들뜸)이며, 큐비트 제어는 4 K 의 극저온 CMOS(21·22부)다.
광자·입자 검출기 (17.1·19부) — 초전도 나노선 단일 광자 검출기(SNSPD)는 폭 $\sim\xi$ 의 NbN 선에 임계 전류 근처의 전류를 흘려 두고 광자 하나가 만든 뜨거운 점이 위상 미끄러짐(8절)을 촉발하게 한 것이다. 운동 인덕턴스 검출기(MKID)는 $L_k\propto\lambda^2$ (6절)의 변화를 공진 주파수로 읽는다. 둘 다 스퍼터링한 박막(18.10)이고, 반도체 광검출기(17.1)가 못 가는 적외선·단일 광자 영역을 맡는다.
자기 계측 (7.13·8.13·10.11·19부) — SQUID 자력계(10절)가 박막·나노 자성 측정의 표준이고, 주사 SQUID 현미경이 전류 분포와 결함을 찍는다. 눈금은 $\Phi_0$ (8절)다.
초전도–반도체 하이브리드 (9.9·10.4·10.11) — 반도체 나노선(InAs·InSb)에 에피택셜 Al 을 붙이면 근접 효과로 반도체 안에 갭이 유도되고(안드레예프 반사), 스핀–궤도 결합과 자기장을 더해 마요라나 준입자를 찾는다. 접촉 저항의 물리가 10절의 터널링이고, 유도 갭의 크기가 7절의 $\Delta$ 와 결맞음 길이다.
터널링 분광과 부성저항 (12.11·9.13) — N–I–S 의 $dI/dV\propto N_s(eV)$ (10절)는 에사키 다이오드의 밴드간 터널링, 공진 터널링 다이오드, STM 분광과 같은 언어다. 갭이 만드는 문턱 전류와 밴드 갭이 만드는 문턱 전류를 3절의 주의대로 구분한다.
상전이의 틀 (6.6·8.12) — 응축 에너지·질서 매개변수·2차 전이·열용량 점프(3·5절)는 란다우 이론의 한 사례이고, 같은 틀이 강유전체(8.12)와 자성(7.13)에 쓰인다. 긴즈부르크–란다우의 두 길이 $\xi$ · $\lambda$ (7·9절)는 도메인 벽 두께·차폐 길이의 원형이다.
저온 물리 (7.5·7.6·6부) — 갭 위의 준입자는 $e^{-\Delta/k_BT}$ 로 얼어붙으므로 초전도체는 극저온에서 열을 거의 나르지 못한다. 극저온 패키지의 열 설계에서 초전도 배선이 열 절연체가 되는 이유이고, 반대로 정상 금속 배선의 열 유입(비데만–프란츠, 7.6.8)과 견주어 재료를 고른다.