5부 양자역학 5.8

근사법

정확히 풀리는 슈뢰딩거 방정식은 손에 꼽는다 — 무한 우물, 조화진동자, 델타 우물, 수소 원자 정도가 전부다(5.3·5.5). 그 밖의 모든 것은 근사로 푼다. 헬륨 원자의 전자 둘, 전기장 속의 원자, 두 양성자 사이의 전자 하나, 산화막을 뚫는 전자 — 어느 것도 닫힌 해가 없다. 반도체는 말할 것도 없다. 결정 속 전자의 유효질량, 양자 우물의 부분 대역, 플래시 메모리의 터널링 전류, 도너 준위의 결합 에너지는 전부 이 장의 세 도구 중 하나로 계산된다.

세 도구는 각각 다른 질문에 답한다.

섭동론(1~4절) — “풀 수 있는 문제에 작은 것이 더해졌다면, 답이 얼마나 바뀌는가.” 해밀토니안을 $H^0+H'$ 로 쪼개어, $H'$ 의 거듭제곱 순서로 보정을 쌓는다. 조건은 $H'$ 가 작다는 것.
변분법(5~6절) — “바닥상태 에너지는 얼마인가.” 시험함수를 하나 넣으면 참값의 상한이 나오고, 매개변수를 흔들어 그 상한을 내린다. $H'$ 가 작을 필요가 없다.
WKB(7~9절) — “퍼텐셜이 파장에 비해 천천히 변한다면 파동함수는 어떻게 생겼는가.” 국소 파장 $h/p(x)$ 의 파동으로 답하고, 양자화 조건과 터널링 확률을 준다. 조건은 퍼텐셜이 매끈하다는 것.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

유효질량과 밴드 구조 — 2차 섭동론의 분모 $E_n^0-E_m^0$ 가 밴드갭이 되어 유효질량 $m^*$ 를 정한다( $k\cdot p$ 섭동론, 7부). 갭이 좁은 InSb의 전자가 실리콘 전자보다 30배 가벼운 이유가 1절의 식 하나다.
준위 반발과 축퇴의 해소 — 축퇴 섭동론(2절)이 실리콘 전도대 여섯 골짜기의 갈라짐, 무거운 정공·가벼운 정공의 변형 분리, 결합 양자점의 결합·반결합 갈라짐을 설명한다.
스핀–궤도 결합과 $g$ 인자 — 3~4절의 원자 미세 구조가 결정에서는 분리 밴드 $\Delta_{so}$ , 유효 $g^*$ 인자, 스핀 큐비트의 초미세 결합이 된다.
공유 결합과 강결합 밴드 — 6절의 $\mathrm H_2^+$ 결합·반결합 궤도가 원자 $N$ 개로 늘어나면 밴드가 된다(7부). 실리콘의 원자가 밴드와 전도대는 $sp^3$ 결합·반결합 궤도의 후손이다.
양자 우물의 부분 대역 — 8절의 WKB 양자화가 MOS 반전층의 삼각 우물 준위를 한 줄로 준다.
터널링 — 9절의 $T\approx e^{-2\gamma}$ 가 파울러–노르드하임 전류, 게이트 누설, 제너 터널링, 오믹 접촉, 주사 터널링 현미경을 전부 같은 식으로 읽게 한다.

표기는 Griffiths를 기준으로 한다. 섭동 해밀토니안은 $H'$ (프라임은 미분이 아니다), 차수는 위첨자 $E_n^0,E_n^1,E_n^2$ (거듭제곱이 아니다), 상태 번호는 아래첨자 $n,m$ . Sakurai는 섭동을 $V$ , 비섭동 에너지를 $E_n^{(0)}$ 으로 쓴다 — 괄호가 있든 없든 뜻은 같다. 전기장은 에너지 $E$ 와 헷갈리지 않게 $\mathcal E$ 로, 자기장은 $B$ 로 쓴다. 기본 전하는 $e>0$ 이고 전자의 전하는 $-e$ 다. 전자 질량은 $m$ , 결정 속 유효질량은 $m^*$ , 양성자 질량은 $m_p$ 다.

시간 무관 섭동론 — 비축퇴

문제를 쪼갠다 — 풀 수 있는 것 + 작은 것

풀 수 없는 해밀토니안 $H$ 를, 이미 풀어 둔 $H^0$ 와 작은 나머지 $H'$ 로 쪼갠다:

H = H^0 + \lambda H', \qquad H^0\psi_n^0 = E_n^0\,\psi_n^0, \qquad \langle\psi_n^0|\psi_m^0\rangle=\delta_{nm}

$\lambda$ 는 나중에 1로 놓을 장부 기호다 — $\lambda$ 의 거듭제곱이 “몇 차 보정인가”를 표시해 줄 뿐, 물리량이 아니다. 새 고유값과 고유함수를 $\lambda$ 의 급수로 쓴다(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도):

E_n = E_n^0 + \lambda E_n^1 + \lambda^2 E_n^2 + \cdots, \qquad \psi_n = \psi_n^0 + \lambda\psi_n^1 + \lambda^2\psi_n^2 + \cdots

$H\psi_n = E_n\psi_n$ 에 넣고 $\lambda$ 의 차수별로 모은다:

\begin{aligned} \lambda^0:&\quad H^0\psi_n^0 = E_n^0\psi_n^0 \\[2pt] \lambda^1:&\quad H^0\psi_n^1 + H'\psi_n^0 = E_n^0\psi_n^1 + E_n^1\psi_n^0 \\[2pt] \lambda^2:&\quad H^0\psi_n^2 + H'\psi_n^1 = E_n^0\psi_n^2 + E_n^1\psi_n^1 + E_n^2\psi_n^0 \end{aligned}

0차는 이미 푼 문제다. 1차 식에 $\psi_n^0$ 를 내적하면 — $H^0$ 가 에르미트라 $\langle\psi_n^0|H^0\psi_n^1\rangle = E_n^0\langle\psi_n^0|\psi_n^1\rangle$ 이 되어 양변에서 지워지고 —

\boxed{\;E_n^1 = \langle\psi_n^0|H'|\psi_n^0\rangle\;}

1차 에너지 보정은 섭동의 기댓값이다. 이 한 줄이 섭동론에서 가장 자주 쓰이는 결과다 — 비섭동 파동함수만 알면 되고, 적분 하나로 끝난다.

기호	읽는 법	무엇인가
$H^0$ , $H'$	에이치 제로, 에이치 프라임	풀어 둔 해밀토니안, 섭동. 프라임은 미분이 아니다
$\lambda$	람다	차수 표시용 장부 기호. 끝에 $\lambda=1$
$E_n^k$ , $\psi_n^k$		아래첨자 $n$ = 상태 번호, 위첨자 $k$ = 보정 차수. 거듭제곱이 아니다
$\langle\psi_m^0\lvert H'\rvert\psi_n^0\rangle$	행렬 원소	$H'$ 를 비섭동 기저로 쓴 행렬의 $(m,n)$ 성분. $H'_{mn}$ 으로 줄여 쓴다
$E_n^0-E_m^0$		분모. 가까운 준위가 크게 섞인다

1차 파동함수와 2차 에너지 — 이웃 준위가 섞여 든다

1차 식을 $\psi_n^1$ 에 대해 정리하면 $(H^0-E_n^0)\psi_n^1 = -(H'-E_n^1)\psi_n^0$ 이다. $\{\psi_m^0\}$ 가 완전계이므로 $\psi_n^1 = \sum_{m\ne n}c_m^{(n)}\psi_m^0$ 으로 전개한다 ( $m=n$ 항은 규격화에만 관여하므로 빼도 된다). 양변에 $\psi_l^0$ 을 내적하면 $l\ne n$ 에 대해

(E_l^0 - E_n^0)\,c_l^{(n)} = -\langle\psi_l^0|H'|\psi_n^0\rangle \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\; \psi_n^1 = \sum_{m\ne n}\frac{\langle\psi_m^0|H'|\psi_n^0\rangle}{E_n^0 - E_m^0}\,\psi_m^0 \;}

섭동이 이웃 상태를 섞어 넣는다. 얼마나 섞이는가는 분자(결합의 세기)와 분모(준위 간격)의 비다. 이 식이 뜻을 가지려면 $m\ne n$ 인 모든 $m$ 에 대해 $E_m^0\ne E_n^0$ 이어야 한다 — 이것이 “비축퇴”의 뜻이고, 축퇴가 있으면 2절로 간다.

2차 식에 $\psi_n^0$ 를 내적하면, 같은 방식으로 $H^0$ 항이 지워지고 $\langle\psi_n^0|\psi_n^1\rangle=0$ 이라

\boxed{\; E_n^2 = \langle\psi_n^0|H'|\psi_n^1\rangle = \sum_{m\ne n}\frac{\bigl|\langle\psi_m^0|H'|\psi_n^0\rangle\bigr|^2}{E_n^0 - E_m^0} \;}

분자는 절댓값 제곱이라 언제나 양수다. 그래서 부호는 분모가 정한다 — 위에 있는 준위( $E_m^0>E_n^0$ )는 $E_n$ 을 아래로 밀고, 아래에 있는 준위는 위로 민다. 바닥상태는 위쪽 준위밖에 없으므로 2차 보정이 언제나 음수다.

직관

물리적 직관 — 준위는 서로 밀어낸다. 2차 보정의 부호 규칙을 두 준위로 줄이면 “결합된 두 준위는 서로를 밀어낸다”가 된다. 가까울수록(분모가 작을수록), 세게 결합될수록(분자가 클수록) 더 세게 민다. 이 준위 반발은 양자역학 전체를 관통하는 현상이다 — 결합 궤도가 내려가고 반결합 궤도가 올라가는 것(6절), 밴드 구조에서 밴드끼리 교차하지 않고 갭을 여는 것(7부), 결합 양자점의 두 준위가 갈라지는 것이 전부 이것이다.

수학적 직관 — 왜 하필 이 꼴인가. $H'$ 의 행렬 $H'_{mn}$ 을 비섭동 기저로 쓰면 대각 성분이 1차 보정이고, 비대각 성분이 2차 보정의 분자다. 대각 성분은 “그 상태 안에서 섭동이 평균 얼마인가”, 비대각 성분은 “섭동이 두 상태를 얼마나 잇는가”다. 2차 보정은 $n$ 에서 $m$ 으로 갔다가( $H'_{mn}$ ) 돌아오는( $H'_{nm}$ ) 왕복 진폭을 에너지 차로 나눈 것 — 잠깐 다른 상태를 빌려 쓰는 대가가 $1/(E_n^0-E_m^0)$ 이다. 유한 차원 행렬의 고유값이 원소의 작은 변화에 어떻게 반응하는지를 안다면(1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환), 이 식들은 그 무한 차원 판이다.

언제 믿을 수 있는가

급수가 뜻을 가지려면 각 항이 앞 항보다 작아야 한다. 1차 파동함수의 계수가 작으려면

\bigl|\langle\psi_m^0|H'|\psi_n^0\rangle\bigr| \ll \bigl|E_n^0 - E_m^0\bigr| \qquad (m\ne n)

이어야 한다. 섭동이 작다는 것은 절대 크기가 아니라 준위 간격에 비해 작다는 뜻이다. 같은 $H'$ 라도 촘촘한 준위(큰 $n$ , 넓은 우물, 무거운 입자)에서는 큰 섭동이 되고, 성긴 준위에서는 작은 섭동이 된다. 이 조건이 깨지는 극단이 축퇴( $E_m^0=E_n^0$ )이고, 그때는 아무리 작은 $H'$ 도 “작지” 않다.

그림 5.8-1. 2준위계 H = [[Δ/2, V],[V, −Δ/2]]의 정확한 고유값 E± = ±√(Δ²/4 + V²)(실선)와 섭동이 없을 때의 두 준위 ±Δ/2(점선). 점선은 Δ = 0에서 교차하지만 실선은 교차하지 않는다 — 결합 V가 두 준위를 서로 밀어내어 최소 간격 2|V|를 남긴다. |Δ| ≫ |V|인 양쪽 끝에서는 비축퇴 2차 보정 ±V²/Δ가 실선과 점선의 차이를 정확히 준다. Δ = 0 근처에서는 그 보정이 발산하고, 축퇴 섭동론(2절)의 1차 갈라짐 ±|V|가 답이다.직접 작도

그림의 2준위계는 섭동론을 정확해와 견줄 수 있는 유일한 자리라 눈에 익혀 둘 가치가 있다. $H^0 = \operatorname{diag}(\Delta/2,-\Delta/2)$ , $H' = V\sigma_x$ 로 놓고 2차까지 계산하면 $E_\pm \approx \pm\Delta/2 \pm V^2/\Delta$ — 정확한 $\pm\sqrt{\Delta^2/4+V^2}$ 를 $|V|\ll|\Delta|$ 에서 전개한 것과 같다. 급수의 수렴 반경이 $|V| = |\Delta|/2$ 인 것도 읽힌다: $\sqrt{\Delta^2/4+V^2}$ 의 분지점이 $V=\pm i\Delta/2$ 에 있어서(1.9.6테일러·로랑 급수), 그보다 큰 $|V|$ 에서는 항을 아무리 더해도 정확해에 다가가지 않는다. 섭동 급수는 대개 이런 유한한 수렴 반경을 가지거나 아예 발산하는 점근 급수다 — 그래도 앞 두세 항이 답의 대부분을 준다.

보기 — 조화진동자에 전기장을 걸면

전하 $q$ 를 띤 조화진동자에 균일한 전기장 $\mathcal E$ 를 건다: $H' = -q\mathcal E x$ . 1차 보정은 $E_n^1 = -q\mathcal E\langle n|x|n\rangle = 0$ 이다 — $|n\rangle$ 은 짝이거나 홀이라 $x$ 의 기댓값이 0이다(패리티). 2차 보정에는 $x$ 의 비대각 원소가 필요한데, 사다리 연산자로 쓰면 (5.3.2조화진동자 — 대수적 방법)

x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,(a + a^\dagger), \qquad \langle n+1|x|n\rangle = \sqrt{\frac{\hbar(n+1)}{2m\omega}}, \quad \langle n-1|x|n\rangle = \sqrt{\frac{\hbar n}{2m\omega}}

이고 나머지는 전부 0이다. 그래서 무한합이 두 항으로 끝난다:

E_n^2 = q^2\mathcal E^2\,\frac{\hbar}{2m\omega}\left[\frac{n+1}{-\hbar\omega} + \frac{n}{\hbar\omega}\right] = -\frac{q^2\mathcal E^2}{2m\omega^2}

$n$ 에 무관하다 — 모든 준위가 같은 만큼 내려간다. 이 문제는 정확히도 풀린다. 퍼텐셜을 완전제곱으로 고치면 $\tfrac12 m\omega^2x^2 - q\mathcal Ex = \tfrac12 m\omega^2(x - q\mathcal E/m\omega^2)^2 - q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$ 이니, 진동자가 $q\mathcal E/m\omega^2$ 만큼 옮겨 앉고 에너지가 $q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$ 만큼 내려간다. 2차 섭동론이 정확해와 일치한다 — 3차 이상은 전부 0이다(2준위 그림과 달리 여기서는 급수가 두 항에서 끝난다).

직관

파라미터 연계 — 편극률에서 유효질량까지. 위 결과를 $E^2 = -\tfrac12\alpha_{\rm p}\mathcal E^2$ 로 쓰면 $\alpha_{\rm p} = q^2/m\omega^2$ 가 편극률이다. 장이 유도한 쌍극자 $p = q\,\delta x = (q^2/m\omega^2)\mathcal E$ 와 같다 — 로렌츠 진동자의 정적 편극률(1.9.10분산 관계(크라머스-크로니히))이 2차 섭동론의 다른 이름이다. 유전율 $\varepsilon_r - 1 = N\alpha_{\rm p}/\varepsilon_0$ 이 여기서 온다.

같은 구조가 결정 속 전자에서는 유효질량이 된다. 밴드 바닥 근처에서 $k$ 를 섭동으로 보면 ( $k\cdot p$ 섭동론, 7부) $H' = \hbar k\cdot p/m$ 이고, 2차 보정이

\frac{1}{m^*} = \frac{1}{m} + \frac{2}{m^2}\sum_{n\ne c}\frac{|\langle c|p_x|n\rangle|^2}{E_c - E_n}

를 준다. 전도대 바닥 $c$ 에 가장 가까운 밴드는 원자가 밴드이고 분모는 밴드갭 $E_g$ 다. 갭이 좁을수록 2차 항이 커져 $m^*$ 가 가벼워진다: InSb( $E_g = 0.17$ eV) $0.014m$ , InAs(0.35 eV) $0.023m$ , GaAs(1.42 eV) $0.067m$ , GaN(3.4 eV) $0.2m$ . 유효질량은 준위 반발의 크기다 — 원자가 밴드가 전도대를 위로 밀어 올리는 정도가 곡률이고, 곡률의 역수가 질량이다.

주의

규격화와 위상. $\psi_n^1$ 에서 $m=n$ 항을 뺀 것은 $\langle\psi_n^0|\psi_n^1\rangle = 0$ 으로 정한다는 뜻이다. 다른 선택(예: $\psi_n$ 을 매 차수마다 규격화)도 가능하고 에너지는 같지만, 파동함수의 위상과 규격화 상수가 달라진다. 교재마다 이 규약이 다르니 파동함수의 계수를 비교할 때는 어느 규약인지 먼저 본다.

섭동론은 “작은 $H'$ “에만 쓴다 — 그런데 작다는 것은 준위 간격 기준이다. 무한 우물 바닥에 $V_0$ 를 얹는 것은 $V_0$ 가 $\hbar^2\pi^2/2ma^2$ 에 비해 작을 때 섭동이다. 우물이 넓어져 간격이 좁아지면 같은 $V_0$ 가 섭동이 아니게 된다. 반도체 헤테로 구조에서 밴드 오프셋 0.3 eV가 좁은 우물에서는 섭동이 아니고 넓은 우물에서는 우물 자체인 이유다.

시간 무관 섭동론 — 축퇴

무엇이 깨지는가

두 상태 $\psi_a^0,\psi_b^0$ 가 같은 에너지 $E^0$ 를 가지면(축퇴), 1절의 식은 $E_n^0-E_m^0 = 0$ 인 분모를 만나 발산한다. 발산은 계산 실수가 아니라 질문이 잘못됐다는 신호다. $H^0$ 만 있을 때는 $\alpha\psi_a^0+\beta\psi_b^0$ 가 어떤 $\alpha,\beta$ 에 대해서도 고유상태다 — 축퇴 부분공간 안에서 기저를 고를 자유가 있다(1.3.6축퇴와 고유기저). 그런데 섭동 $H'$ 가 켜지면 그 자유가 사라진다. 갈라진 두 준위는 각각 특정한 조합에서 이어져 내려온다. 1절의 식을 그대로 쓰면 ” $\lambda\to0$ 일 때 어느 조합으로 수렴하는가”를 물어보지도 않고 아무 $\psi_a^0$ 에서 출발하는 셈이라, 1차 보정부터 틀린다.

그러므로 축퇴 섭동론의 일은 하나다 — 섭동이 고르는 조합(“좋은 상태”)을 먼저 찾는다. 찾고 나면 나머지는 1절과 같다.

2겹 축퇴 — 2×2 행렬을 대각화한다

$\psi^0 = \alpha\psi_a^0+\beta\psi_b^0$ 를 1차 식 $H^0\psi^1 + H'\psi^0 = E^0\psi^1 + E^1\psi^0$ 에 넣고 $\psi_a^0$ 를 내적한다. $H^0$ 항은 1절과 같은 이유로 지워지고,

\alpha W_{aa} + \beta W_{ab} = \alpha E^1, \qquad W_{ij}\equiv\langle\psi_i^0|H'|\psi_j^0\rangle

$\psi_b^0$ 를 내적하면 $\alpha W_{ba}+\beta W_{bb} = \beta E^1$ . 둘을 합치면 $2\times2$ 고유값 문제다:

\begin{pmatrix} W_{aa} & W_{ab} \\ W_{ba} & W_{bb}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix} = E^1\begin{pmatrix}\alpha\\ \beta\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\; E^1_\pm = \tfrac12\Bigl[W_{aa}+W_{bb} \pm \sqrt{(W_{aa}-W_{bb})^2 + 4|W_{ab}|^2}\Bigr] \;}

축퇴 부분공간 안에서 $H'$ 의 행렬 $W$ 를 대각화하면, 고유값이 1차 에너지 보정이고 고유벡터가 좋은 상태다. $W$ 는 에르미트( $W_{ba} = W_{ab}^*$ )라 고유값은 실수이고 좋은 상태들은 서로 직교한다. $W_{ab} = 0$ 이면 $E^1 = W_{aa}$ 또는 $W_{bb}$ — 원래의 $\psi_a^0,\psi_b^0$ 가 이미 좋은 상태였고, 1절의 식이 그대로 통한다. 즉 비축퇴 공식이 축퇴에서 깨지는 것은 비대각 원소 $W_{ab}$ 하나 때문이다.

$d$ 겹 축퇴도 같다. $d\times d$ 행렬 $W_{ij}$ 를 대각화해 $d$ 개의 $E^1$ 과 $d$ 개의 좋은 상태를 얻는다. 축퇴가 완전히 풀리지 않으면(고유값이 겹치면) 남은 축퇴는 2차 이상에서 풀리거나, 대칭성이 보호해서 영영 남는다(5.7.6축퇴와 대칭).

좋은 상태를 대각화 없이 찾는 법 — 대칭성

대각화를 매번 할 필요는 없다. 정리 — 에르미트 연산자 $A$ 가 $H^0$ 및 $H'$ 와 교환하고, $\psi_a^0,\psi_b^0$ 가 $A$ 의 고유함수로서 서로 다른 고유값 $\mu_a\ne\mu_b$ 를 가지면, $W_{ab} = 0$ 이고 그 둘이 좋은 상태다. 증명은 한 줄이다: $\langle\psi_a^0|[A,H']|\psi_b^0\rangle = (\mu_a-\mu_b)W_{ab} = 0$ 인데 $\mu_a\ne\mu_b$ 이므로 $W_{ab}=0$ .

실전 규칙으로 옮기면 — $H'$ 와 교환하는 연산자를 찾아, 축퇴 상태들을 그 고유값으로 이름 붙여라. 그 이름표가 다르면 섭동이 둘을 잇지 못한다. 3~4절에서 $L^2,L_z,S_z$ 냐 $J^2,J_z$ 냐를 고르는 일이 정확히 이것이고, 반도체에서 대칭 적응 조합(symmetry-adapted combination)으로 밴드를 이름 붙이는 일도 이것이다.

보기 — 수소 n = 2 의 선형 슈타르크 효과

수소 원자에 전기장 $\mathcal E\hat z$ 를 건다: $H' = e\mathcal E z$ (전자 전하 $-e$ , 전위 $-\mathcal E z$ 이므로 $U = (-e)(-\mathcal E z)$ ). 바닥상태 $n=1$ 은 비축퇴라 1절이다 — $\langle100|z|100\rangle=0$ 이니 1차는 0이고, 2차가 $E^2 = -\tfrac12\alpha_{\rm p}\mathcal E^2$ , $\alpha_{\rm p} = \tfrac92\,(4\pi\varepsilon_0)a^3$ 를 준다(무한합을 닫는 요령은 Griffiths 문제 7.44). 장의 제곱에 비례하는 이동, 2차 슈타르크 효과다.

$n=2$ 는 다르다. 스핀을 빼고도 $\psi_{200},\psi_{210},\psi_{211},\psi_{21\,-1}$ 넷이 축퇴다. $4\times4$ 행렬 $W$ 를 다 계산할 필요는 없다 — 대칭성이 대부분을 지운다.

$z$ 는 패리티 홀이라 같은 $l$ 끼리는 0: $\langle 2s|z|2s\rangle = \langle 2p|z|2p\rangle = 0$ .
$z$ 는 $L_z$ 와 교환하므로( $[L_z,z]=0$ ) $m$ 이 다른 상태를 잇지 못한다. 위 정리 그대로다.

남는 것은 $m=0$ 인 둘 사이의 원소 하나뿐이다:

\langle 200|z|210\rangle = \frac{1}{\sqrt{8\pi a^3}\sqrt{32\pi a^5}}\int\Bigl(1-\frac{r}{2a}\Bigr)e^{-r/a}\,r^2\cos^2\theta\; r^2\,dr\,d\Omega = -3a

( $\int_0^\infty r^4e^{-r/a}dr = 24a^5$ , $\int_0^\infty r^5e^{-r/a}dr = 120a^6$ , $\int\cos^2\theta\,d\Omega = 4\pi/3$ .) 그래서 $W_{ab} = -3ea\mathcal E$ 이고, $m=0$ 블록의 고유값과 좋은 상태는

E^1 = \pm 3ea\mathcal E, \qquad \psi_\pm = \frac{\psi_{200}\mp\psi_{210}}{\sqrt2}

$m=\pm1$ 인 둘은 그대로다. 4겹 축퇴가 셋으로 갈라지고, 갈라진 폭이 장에 비례한다 — 선형 슈타르크 효과다.

그림 5.8-2. 수소 원자의 슈타르크 이동. 왼쪽 n = 1: 비축퇴라 1차 보정이 0이고 2차 보정 −½α_p ℰ²이 남는다 — 장이 유도한 쌍극자에 의한 포물선. 오른쪽 n = 2: 4겹 축퇴 안에서 H′ = eℰz가 2s와 2p₀를 잇는 원소 −3eaℰ를 가져, 좋은 상태 (2s ∓ 2p₀)/√2가 ±3eaℰ로 직선으로 갈라진다. m = ±1인 2p 상태는 z가 m을 바꾸지 못하므로 그대로다. 기울기 3ea는 좋은 상태가 지닌 영구 쌍극자 모멘트다(a: 보어 반지름).직접 작도

직관

그래프 직관 — 기울기는 영구 쌍극자, 곡률은 편극률. $E(\mathcal E)$ 를 장에 대해 미분하면 쌍극자 모멘트 $-dE/d\mathcal E$ 다. $n=1$ 곡선은 원점에서 기울기 0 — 바닥상태 수소는 영구 쌍극자가 없고, 장이 만든 유도 쌍극자만 있어 곡률(편극률)로 반응한다. $n=2$ 의 좋은 상태 $(2s\mp2p_0)/\sqrt2$ 는 $s$ 와 $p$ 가 섞여 패리티가 깨진 상태라 처음부터 쌍극자 $3ea$ 를 지닌다. 축퇴가 있어야 1차 이동이 생기는 이유가 이것이다 — 패리티가 정해진 상태는 쌍극자를 가질 수 없고, 축퇴가 있어야 패리티가 섞인 조합을 공짜로 만들 수 있다.

파라미터 연계. 실제 수소에서는 미세 구조(3절)가 $2p_{3/2}$ 를 $2s_{1/2}\cdot2p_{1/2}$ 쌍에서 먼저 갈라놓으므로, 네 준위가 모두 얽히는 위의 선형 슈타르크 효과는 $3ea\mathcal E$ 가 그 분리 ( $4\gamma\approx4.5\times10^{-5}$ eV)를 넘는 장 — 대략 수 kV/cm 이상 — 에서 나타난다. 그보다 약한 장에서는 $2p_{3/2}$ 는 “비축퇴”라 2차로 반응하고, 램 이동( $4.4\times10^{-6}$ eV)만으로 갈라진 $2s_{1/2}\cdot2p_{1/2}$ 쌍 안에서만 선형 효과가 먼저 시작된다(수백 V/cm). 같은 섭동이 축퇴냐 아니냐는 다른 섭동의 크기와 견주어 정해진다.

반도체 양자 우물의 양자 구속 슈타르크 효과(QCSE)는 $n=1$ 쪽이다. 우물의 바닥 부분 대역은 비축퇴이므로 이동이 $\mathcal E^2$ 에 비례하고, 전자와 정공이 우물의 반대편으로 밀려 흡수 가장자리가 붉은 쪽으로 옮겨 간다 — 전기 흡수 변조기의 원리다(13부).

직관

반도체의 축퇴 섭동론 세 가지.

실리콘 전도대의 여섯 골짜기. 벌크 실리콘의 전도대 최소점은 $\langle100\rangle$ 방향 여섯 개로 6겹 축퇴다. MOS 반전층의 계면 전기장·응력·계면 퍼텐셜이 섭동이 되어 이 축퇴를 푼다 — 먼저 계면에 수직인 두 골짜기와 나머지 넷으로(2겹 + 4겹), 좁은 우물에서는 남은 2겹까지 골짜기 갈라짐(valley splitting)으로. 실리콘 스핀 큐비트에서 이 갈라짐이 수십~수백 μeV로 큐비트 준위의 순도를 정한다(20부).
무거운 정공과 가벼운 정공. 원자가 밴드 꼭대기( $\Gamma$ 점)는 $j=3/2$ 의 4겹 축퇴다. 일축 응력이 섭동이 되어 $m_j=\pm3/2$ 와 $\pm1/2$ 를 가른다 — 변형 실리콘 pMOSFET의 이동도 향상은 이 갈라짐이 밴드 곡률(유효질량)과 산란을 바꾼 결과다(14부).
결합 양자점. 두 우물의 바닥상태가 축퇴이고 우물 사이 터널 결합 $t$ 가 섭동이면 $W_{ab} = -t$ 이므로 준위가 $\pm t$ 로 갈라지고 좋은 상태는 대칭·반대칭 조합이다. 이것이 6절의 $\mathrm H_2^+$ 이자, 2큐비트 교환 상호작용의 출발점이다.

주의

“좋은 상태”는 섭동이 정한다 — 계산자가 정하는 것이 아니다. 축퇴 부분공간에서 아무 기저나 잡고 1절의 공식을 쓰면 틀린 1차 보정이 나온다. 발산하는 분모가 보이지 않더라도(예: $W_{ab}\ne0$ 인데 $\psi_a^0$ 에 대해 $E^1 = W_{aa}$ 라고 적는 것) 틀린 것이다. 대각화하거나, 위 정리로 $W_{ab} = 0$ 임을 확인한 뒤에만 1절의 식을 쓴다.

근사 축퇴도 축퇴다. $E_a^0-E_b^0$ 가 0은 아니지만 $|W_{ab}|$ 와 비슷한 크기이면, 비축퇴 급수는 수렴하지 않는다(그림 5.8-1의 $|\Delta|\lesssim|V|$ 영역). 그럴 때는 두 상태를 축퇴로 취급해 $2\times2$ 행렬에 대각 성분의 차 $\Delta$ 까지 넣어 대각화한다 — 그것이 그림의 정확해다.

수소의 미세 구조

보정의 계층 — 미세 구조 상수의 거듭제곱

수소의 보어 에너지(5.5.5수소 원자와 스펙트럼)는 미세 구조 상수 $\alpha$ 로 쓰면 구조가 보인다:

E_n = -\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{\alpha^2 mc^2}{2n^2}, \qquad \alpha\equiv\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137.036}

$mc^2 = 0.511$ MeV에 $\alpha^2/2$ 를 곱한 것이 13.6 eV다. $\alpha$ 는 보어 궤도의 속도비이기도 하다 — $n=1$ 에서 $v/c = \alpha$ . 그러니 상대론적 보정은 $(v/c)^2 = \alpha^2$ 만큼, 즉 보어 에너지의 $10^{-5}$ 배 크기로 들어온다. 보정들의 계층:

이름	크기	무엇 때문에
보어 에너지	$\alpha^2 mc^2$	쿨롱 퍼텐셜
미세 구조	$\alpha^4 mc^2$	상대론적 운동에너지 + 스핀–궤도 결합
램 이동	$\alpha^5 mc^2$	전자기장의 양자화(QED)
초미세 구조	$(m/m_p)\,\alpha^4 mc^2$	양성자 스핀과의 자기 상호작용

이 절은 미세 구조를 1차 섭동론으로 계산한다. 두 항 모두 $H'$ 이고, 각각 1차 보정을 구해 더한다.

기호	읽는 법	무엇인가
$n$	주양자수	보어 에너지를 정한다
$l$ , $m_l$	궤도 각운동량과 그 $z$ 성분	$L^2 = \hbar^2 l(l+1)$ , $L_z = \hbar m_l$ . 스핀이 없을 때는 $m_l$ 을 그냥 $m$ 으로 쓴다
$s$ , $m_s$	스핀과 그 $z$ 성분	전자는 $s=1/2$ , $m_s=\pm1/2$
$j$ , $m_j$	총각운동량 $J = L+S$ 와 그 $z$ 성분	$j = l\pm1/2$ ( $l=0$ 이면 $1/2$ 뿐). $m_j = m_l+m_s$
$F$ , $m_F$	전자 + 핵 각운동량	초미세 구조(4절)에서만
$\alpha$	미세 구조 상수	이 절과 4절. 1·2절의 편극률 $\alpha_{\rm p}$ , 5절의 델타 우물 세기 $\alpha$ 와 다른 양
$\mu_B$	보어 마그네톤	$e\hbar/2m = 5.788\times10^{-5}$ eV/T

상대론적 보정 — 운동에너지의 다음 항

상대론적 운동에너지를 $p$ 로 전개한다:

T = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} - mc^2 = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2} + \cdots \quad\Longrightarrow\quad H'_r = -\frac{p^4}{8m^3c^2}

1차 보정은 $E_r^1 = -\langle p^4\rangle/8m^3c^2$ 이다. $p^4$ 의 기댓값은 $p^2$ 가 에르미트라는 것을 쓰면 슈뢰딩거 방정식으로 바꿔 계산된다 — $\langle\psi|p^4\psi\rangle = \langle p^2\psi|p^2\psi\rangle$ 이고 $p^2\psi = 2m(E-V)\psi$ 이므로

E_r^1 = -\frac{1}{2mc^2}\bigl\langle (E_n-V)^2\bigr\rangle = -\frac{1}{2mc^2}\Bigl[E_n^2 - 2E_n\langle V\rangle + \langle V^2\rangle\Bigr]

수소의 $\langle 1/r\rangle = 1/n^2a$ , $\langle 1/r^2\rangle = 1/[(l+\tfrac12)n^3a^2]$ 를 넣고 $e^2/4\pi\varepsilon_0 a = -2E_1$ 을 쓰면

\boxed{\; E_r^1 = -\frac{(E_n)^2}{2mc^2}\left[\frac{4n}{l+1/2} - 3\right] \;}

$E_n^2/2mc^2$ 는 보어 에너지 $E_n$ 에 $E_n/2mc^2\sim\alpha^2/4n^2$ 을 곱한 크기다 — 예고한 $\alpha^4mc^2$ 등급이다. 대괄호는 $l$ 에 따라 다르므로 $l$ 축퇴가 풀린다: 같은 $n$ 에서 $l$ 이 작을수록(핵 가까이 가는 궤도일수록) 더 많이 내려간다. 빠른 전자가 상대론적 질량 증가로 무거워져 더 깊이 묶이는 그림이다.

스핀–궤도 결합 — 전자가 보는 핵의 자기장

전자와 함께 움직이는 좌표계에서는 양성자가 전자 둘레를 돈다. 도는 전하는 전류 고리이고, 고리 중심의 자기장은 비오–사바르로 $B = \mu_0 I/2r$ 이다. 궤도 주기 $T$ , 전류 $I = e/T$ , 전자의 궤도 각운동량 $L = rmv = 2\pi mr^2/T$ 를 쓰면(양성자가 도는 것과 전자가 도는 것은 방향만 반대라 크기가 같다)

\mathbf B = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{mc^2r^3}\,\mathbf L

이 자기장이 전자의 스핀 자기 모멘트 $\boldsymbol\mu = -(e/m)\mathbf S$ 와 상호작용한다( $g_s = 2$ ). $H = -\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$ 에 토마스 세차(Thomas precession)의 인수 $1/2$ 를 곱해야 한다 — 전자의 정지계는 관성계가 아니라 계속 가속되는 계라, 그 운동학적 효과가 결합의 절반을 지운다. 결과는

\boxed{\; H'_{so} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0}\frac{1}{m^2c^2r^3}\,\mathbf S\cdot\mathbf L \;}

이제 좋은 상태를 골라야 한다(2절). $\mathbf S\cdot\mathbf L$ 은 $L_z$ 와도 $S_z$ 와도 교환하지 않는다 — $L$ 과 $S$ 는 서로 토크를 주고받으므로 각각은 보존되지 않는다. 그러나 총각운동량 $\mathbf J = \mathbf L+\mathbf S$ 는 보존되고, $J^2 = L^2 + S^2 + 2\mathbf L\cdot\mathbf S$ 이므로

\mathbf S\cdot\mathbf L = \tfrac12\bigl(J^2 - L^2 - S^2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \langle\mathbf S\cdot\mathbf L\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\Bigl[j(j+1) - l(l+1) - \tfrac34\Bigr]

$|n\,l\,j\,m_j\rangle$ 이 좋은 상태다(각운동량 합성 — 5.6.3각운동량의 합성). $\langle 1/r^3\rangle = 1/[l(l+\tfrac12)(l+1)n^3a^3]$ 를 넣으면

\boxed{\; E_{so}^1 = \frac{(E_n)^2}{mc^2}\,\frac{n\bigl[j(j+1) - l(l+1) - 3/4\bigr]}{l(l+1/2)(l+1)} \;}

$l=0$ 이면 분자·분모가 모두 0이라 정의되지 않지만, 극한을 취하면 상대론적 보정과 합친 아래 공식이 $l=0$ 에서도 맞는다(다윈 항이 그 자리를 메운다 — Sakurai §5.3).

합치면 — j 만 남는다

$j = l\pm\tfrac12$ 두 경우를 각각 넣어 더하면 $l$ 이 사라지고 $j$ 만 남는다:

\boxed{\; E_{fs}^1 = \frac{(E_n)^2}{2mc^2}\left(3 - \frac{4n}{j+1/2}\right) \;} \qquad\Longrightarrow\qquad E_{nj} = -\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}\left[1 + \frac{\alpha^2}{n^2}\left(\frac{n}{j+1/2} - \frac34\right)\right]

두 보정이 따로는 $l$ 에 의존하는데 합은 $j$ 에만 의존한다 — 우연이 아니라 디랙 방정식의 정확한 해가 $n,j$ 만으로 정해지기 때문이고, 위 식은 그 정확해를 $\alpha^2$ 까지 전개한 것이다. 그래서 $n=2$ 에서 $2s_{1/2}$ 와 $2p_{1/2}$ 는 여전히 축퇴다. 그 축퇴를 QED의 램 이동( $2s_{1/2}$ 가 1057 MHz 위로)이 마저 푼다.

그림 5.8-3. 수소 n = 2 준위가 보정을 더할 때마다 갈라지는 모습(세로 간격은 비례하지 않는다). 보어 준위 하나(8겹)가 미세 구조로 2p₃/₂(−γ)와 2s½ = 2p½(−5γ)로 갈라진다 — γ = E₂²/2mc² ≈ 1.13×10⁻⁵ eV, 간격 4γ = 10.9 GHz. 램 이동이 2s½를 2p½보다 1.06 GHz 위로 올리고, 초미세 구조(4절)가 각 준위를 F 값으로 다시 나눈다: 2s½는 178 MHz, 2p½는 59 MHz, 2p₃/₂는 24 MHz.직접 작도

직관

공간적 직관 — 어디서 보정이 큰가. 두 보정 모두 $1/n^3$ 로 줄어들고 $l$ 이 작을수록 크다( $\langle1/r^2\rangle$ , $\langle1/r^3\rangle$ 은 핵 근처의 가중치다). 핵에 바짝 붙는 궤도가 빠르고(상대론적 보정) 센 자기장을 본다(스핀–궤도). 무거운 원자에서는 핵 전하 $Z$ 가 커져 이 효과가 폭발적으로 자란다 — 수소형 원자의 스핀–궤도 분리는 $Z^4$ 에 비례한다.

파라미터 연계 — 반도체의 스핀–궤도 결합. 같은 연산자 $\propto \mathbf S\cdot\mathbf L$ 이 결정에서는 원자가 밴드 꼭대기를 가른다. $p$ 궤도 성격( $l=1$ )의 원자가 밴드가 $j=3/2$ (무거운·가벼운 정공, 4겹)와 $j=1/2$ (분리 밴드, 2겹)로 나뉘고 그 간격이 $\Delta_{so}$ 다:

	Si	Ge	GaAs	InSb
$\Delta_{so}$	0.044 eV	0.29 eV	0.34 eV	0.81 eV

원자가 무거울수록( $Z^4$ ) 크다. $\Delta_{so}$ 가 작은 실리콘은 스핀이 오래 보존되어(스핀 완화가 느려) 스핀 큐비트에 유리하고, 큰 InSb·InAs는 전기장으로 스핀을 조작하는 스핀트로닉스와 라슈바 효과에 유리하다. 계면의 구조 반전 비대칭이 만드는 라슈바 항, 벌크 반전 비대칭이 만드는 드레셀하우스 항이 전부 $H'_{so}$ 의 결정판이다(7·20부).

제이만 효과와 초미세 분리

외부 자기장 — 두 자기 모멘트가 있다

전자는 자기 모멘트를 둘 가진다. 궤도 운동의 $\boldsymbol\mu_l = -(e/2m)\mathbf L$ 과 스핀의 $\boldsymbol\mu_s = -(e/m)\mathbf S$ — 스핀 쪽 계수가 두 배인 것이 $g_s = 2$ 다(디랙 방정식의 결과이고, QED 보정까지 넣으면 2.0023). 외부 자기장 $\mathbf B$ 를 걸면(5.6.2자기장 내의 스핀과 세차)

H'_Z = -(\boldsymbol\mu_l+\boldsymbol\mu_s)\cdot\mathbf B = \frac{e}{2m}\bigl(\mathbf L + 2\mathbf S\bigr)\cdot\mathbf B

이제 섭동이 둘이다 — 미세 구조 $H'_{fs}$ 와 제이만 $H'_Z$ . 어느 쪽이 큰가에 따라 좋은 상태가 달라진다. 미세 구조는 $\mathbf L\cdot\mathbf S$ 를 담고 있어 $|n\,l\,j\,m_j\rangle$ 을 좋아하고, 제이만 항은 $L_z+2S_z$ 라 $|n\,l\,m_l\,m_s\rangle$ 을 좋아한다. 두 기저는 같은 부분공간을 다르게 자른 것이라(각운동량 합성), 어느 섭동이 먼저 축퇴를 푸는가가 기저를 정한다.

약한 장 — j 가 좋은 양자수, 란데 g 인자

$\mu_B B\ll$ 미세 구조 분리이면 미세 구조가 먼저 준위를 갈라 $|n\,l\,j\,m_j\rangle$ 이 좋은 상태이고, 제이만 항은 그 위의 비축퇴 섭동이다:

E_Z^1 = \frac{e}{2m}B\,\langle L_z + 2S_z\rangle = \frac{e}{2m}B\,\langle J_z + S_z\rangle

$J_z$ 의 기댓값은 $\hbar m_j$ 이지만 $S_z$ 는 좋은 양자수가 아니다. $\mathbf L$ 과 $\mathbf S$ 가 $\mathbf J$ 둘레를 빠르게 세차하므로, 시간 평균은 $\mathbf J$ 방향 성분만 남는다:

\langle\mathbf S\rangle = \frac{\langle\mathbf S\cdot\mathbf J\rangle}{J^2}\,\langle\mathbf J\rangle, \qquad \mathbf S\cdot\mathbf J = \tfrac12\bigl(J^2 + S^2 - L^2\bigr)

정리하면

\boxed{\; E_Z^1 = \mu_B\,g_J\,B\,m_j, \qquad g_J = 1 + \frac{j(j+1) - l(l+1) + 3/4}{2j(j+1)} \;}

$g_J$ 가 란데 $g$ 인자다. $l=0$ 이면 $g_J = 2$ (순수 스핀), $s=0$ 이었다면 1(순수 궤도), 그 사이는 궤도와 스핀이 $\mathbf J$ 에 기여하는 비율의 가중 평균이다. 수소 바닥상태는 $\pm\mu_B B$ 로 갈라진다 — 1 T에서 $1.16\times10^{-4}$ eV, 진동수로 28 GHz다. 이것이 전자 스핀 공명(ESR)의 기본 눈금 28 GHz/T이고, 반도체 결함·도펀트의 스핀을 세는 자다.

강한 장 — 궤도·스핀 성분이 좋은 양자수 (파셴–바흐)

$\mu_B B\gg$ 미세 구조이면 제이만 항이 먼저다. 좋은 상태는 $|n\,l\,m_l\,m_s\rangle$ 이고

E_Z^1 = \mu_B B\,(m_l + 2m_s)

미세 구조가 이제 그 위의 섭동이 된다. $\langle\mathbf S\cdot\mathbf L\rangle = \hbar^2 m_l m_s$ (이 기저에서 $S_xL_x + S_yL_y$ 의 평균이 0이므로)를 써서

E_{fs}^1 = \frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^3}\,\alpha^2\left\{\frac{3}{4n} - \left[\frac{l(l+1) - m_l m_s}{l(l+1/2)(l+1)}\right]\right\}

( $l=0$ 이면 대괄호 안을 1로 놓는다.)

중간 세기 — 행렬을 통째로 대각화한다

두 섭동이 비슷하면 어느 쪽도 먼저가 아니다. 그때는 $H'_{fs}+H'_Z$ 를 $n$ 이 정해진 부분공간 ( $n=2$ 면 스핀 포함 8차원)에서 통째로 대각화한다 — 2절의 축퇴 섭동론을 두 섭동의 합에 적용하는 것이다. $J_z$ 와 $L^2$ 가 두 섭동 모두와 교환하므로 $m_j$ 와 $l$ 별로 블록이 갈라지고, $n=2$ 에서는 $2s$ 의 둘과 $2p$ 의 $m_j=\pm3/2$ 가 $1\times1$ , $2p$ 의 $m_j=\pm1/2$ 가 $2\times2$ 블록이다( $1+1+1+1+2+2 = 8$ ). $\gamma\equiv(\alpha/8)^2\,13.6$ eV $= 1.13\times10^{-5}$ eV(미세 구조 단위), $\beta\equiv\mu_B B$ 로 놓으면 여덟 준위가 닫힌 꼴로 나온다(Griffiths 표 7.2). 예를 들어 $m_j=+1/2$ 블록은

E = E_2 - 3\gamma + \frac{\beta}{2} \pm \sqrt{4\gamma^2 + \tfrac23\gamma\beta + \tfrac14\beta^2}

그림 5.8-4. 수소 n = 2의 여덟 준위를 자기장에 대해 그린 것. 가로축은 β/γ (β = μ_B B, γ = E₂²/2mc²), 세로축은 (E − E₂)/γ. 2s½의 m_j = ±½와 2p₃/₂의 m_j = ±3/2(직선)는 어느 세기에서나 같은 상태가 좋은 상태라 처음부터 끝까지 직선이다. 나머지 넷(곡선)은 m_j = ±½를 공유하는 2p₃/₂·2p½ 쌍이라 약한 장에서 란데 기울기 g_J m_j(4/3·½, 2/3·½)로 출발해 서로 밀어내며 휘고, 강한 장에서 m_l + 2m_s 기울기의 직선으로 이어진다. β = γ는 B ≈ 0.2 T다.직접 작도

직관

그래프 직관. 왼쪽 끝의 기울기는 $g_Jm_j$ , 오른쪽 끝의 기울기는 $m_l+2m_s$ 이고, 사이의 굽음이 준위 반발(1절)이다. 같은 $m_j$ 를 가진 두 준위만 휜다 — $J_z$ 가 다른 준위는 섭동이 잇지 못하므로 (2절의 정리) 처음부터 끝까지 직선이다. 곡선 넷이 서로 교차하지 않는 것도 준위 반발이다.

파라미터 연계 — 결정 속 전자의 $g^*$ 인자. 진공 전자의 $g=2$ 는 결정에서는 스핀–궤도 결합이 궤도 성분을 섞어 넣어 바뀐다. 2차 섭동론(케인 모형)으로

g^* \approx 2 - \frac{2}{3}\,\frac{E_P\,\Delta_{so}}{E_g\,(E_g+\Delta_{so})}

( $E_P$ 는 밴드 간 운동량 행렬 원소의 에너지, 20~25 eV). 분모에 밴드갭이 들어가는 구조가 1절의 유효질량과 같다. 그래서 GaAs는 $g^* = -0.44$ , InSb는 $-51$ , InAs는 $-15$ 이고, $\Delta_{so}$ 가 작은 실리콘만 $g^*\approx2$ 를 지킨다. 스핀 큐비트의 제이만 갈라짐 $g^*\mu_BB$ 가 재료마다 수십 배 다른 이유이고, InSb·InAs 나노선에서 마요라나 실험이 가능한(작은 장으로 큰 갈라짐) 이유다.

초미세 분리 — 21 cm 선

양성자도 스핀 $1/2$ 이고 자기 모멘트를 가진다: $\boldsymbol\mu_p = (g_pe/2m_p)\mathbf S_p$ , $g_p = 5.59$ . 전자의 $\boldsymbol\mu_e = -(e/m)\mathbf S_e$ 보다 $(g_p/2)(m/m_p)\approx1/660$ 배 작다 — 그래서 초미세 구조는 미세 구조보다 세 자릿수 작다. 양성자의 자기 쌍극자가 만드는 자기장은 쌍극자장과 접촉항(원점의 델타 함수)의 합이다:

\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi r^3}\bigl[3(\boldsymbol\mu_p\cdot\hat r)\hat r - \boldsymbol\mu_p\bigr] + \frac{2\mu_0}{3}\boldsymbol\mu_p\,\delta^3(\mathbf r)

바닥상태( $l=0$ )에서는 파동함수가 구대칭이라 첫 항의 각도 평균이 0이고 접촉항만 살아남는다. $|\psi_{100}(0)|^2 = 1/\pi a^3$ 이므로

E_{hf}^1 = \frac{\mu_0 g_p e^2}{3\pi m_p m a^3}\,\langle\mathbf S_p\cdot\mathbf S_e\rangle, \qquad \mathbf S_p\cdot\mathbf S_e = \tfrac12\bigl(S^2 - S_e^2 - S_p^2\bigr)

총스핀 $S = S_e+S_p$ 가 좋은 양자수다: 삼중항( $S=1$ )에서 $\langle\mathbf S_p\cdot\mathbf S_e\rangle = +\hbar^2/4$ , 단일항( $S=0$ )에서 $-3\hbar^2/4$ . 갈라진 폭은

\Delta E = \frac{4g_p\hbar^4}{3m_pm^2c^2a^4} = 5.88\times10^{-6}\ \mathrm{eV} \quad\Longrightarrow\quad \nu = \frac{\Delta E}{h} = 1420\ \mathrm{MHz}, \qquad \lambda = 21\ \mathrm{cm}

전파 천문학의 21 cm 선이고 수소 메이저의 진동수다. 삼중항이 위, 단일항이 아래 — 스핀이 반평행일 때가 낮은데, $\boldsymbol\mu_e$ 와 $\boldsymbol\mu_p$ 의 부호가 반대라 그때 두 자기 모멘트는 평행이다. $l\ne0$ 상태에는 접촉항이 없고 쌍극자장 항이 남아 $1/r^3$ 의 기댓값으로 계산된다. 초미세 결합 상수 $A\propto|\psi(0)|^2$ 이 핵심이다 — 핵 자리의 전자 밀도가 결합의 세기다.

직관

파라미터 연계 — 실리콘 도너의 초미세 결합. 실리콘 속 인 도너의 전자는 수소 원자를 닮았다 — 유효질량 $m^*$ 와 유전율 $\varepsilon_r=11.7$ 로 보어 반지름이 $a^* \approx 2$ nm 로 부풀고 결합 에너지가 45 meV 로 줄어든 수소다(11부). 핵 자리의 전자 밀도는 봉투 함수만 보면 $(a/a^*)^3\sim10^{-5}$ 배로 줄지만, 블로흐 함수가 핵 근처에 몰리는 효과( $\eta\approx186$ )가 그 일부를 되돌려 $^{31}$ P 핵과의 초미세 결합이 $A = 117.5$ MHz 다 — 수소 1420 MHz의 1/12. 이것이 케인(Kane)의 실리콘 양자 컴퓨터 제안(1998)의 눈금이다: 핵 스핀을 큐비트로 쓰고 전자 스핀으로 읽는다.

같은 항이 골칫거리도 된다. 자연 실리콘의 4.7%인 $^{29}$ Si 핵 스핀들이 전자 스핀에 무작위 초미세 장을 걸어 결맞음을 깨므로, 스핀 큐비트는 $^{28}$ Si 로 동위원소 정제한 실리콘을 쓴다. GaAs는 모든 핵이 스핀을 가져 이 문제를 피할 수 없고( $T_2^*\sim10$ ns), 실리콘 스핀 큐비트로 무게중심이 옮겨간 이유 중 하나다.

변분 원리

정리 — 아무 함수나 넣어도 바닥 에너지보다 낮을 수 없다

변분 원리. 규격화된 임의의 함수 $\psi$ 에 대해

\boxed{\;E_{gs}\le\langle\psi|H|\psi\rangle\equiv\langle H\rangle\;}

증명은 세 줄이다. $H$ 의 고유함수 $\{\psi_n\}$ 이 완전계이므로 $\psi = \sum_n c_n\psi_n$ , $\sum|c_n|^2 = 1$ 로 전개하면

\langle H\rangle = \sum_n E_n|c_n|^2 \;\ge\; E_{gs}\sum_n|c_n|^2 = E_{gs}

$\langle H\rangle$ 는 고유값들의 가중 평균이고, 평균은 최솟값보다 작을 수 없다. 등호는 $\psi$ 가 바닥상태 자신일 때다. 1.6.8의 레일리 몫 최소 원리(1.6.8레일리-리츠 변분 근사)가 바로 이것이고, 슈뢰딩거 방정식이 스투름–리우빌 꼴이라 그 결과가 그대로 온다.

이 정리를 계산법으로 바꾸는 절차가 변분법이다. 매개변수 $b$ 를 가진 시험함수 $\psi_b$ 를 고르고, $\langle H\rangle(b)$ 를 계산하고, $b$ 에 대해 최소화한다. 나오는 값은 언제나 $E_{gs}$ 의 상한이며, 시험함수를 잘 고를수록 상한이 참값에 붙는다. 섭동론과 달리 작은 것이 없어도 된다 — $H$ 가 무엇이든 쓸 수 있다.

보기 셋 — 잘 맞을 때, 못 맞출 때

① 조화진동자에 가우시안. $\psi = Ae^{-bx^2}$ , $|A|^2 = \sqrt{2b/\pi}$ . $\langle T\rangle = \hbar^2b/2m$ , $\langle V\rangle = m\omega^2/8b$ 이므로

\langle H\rangle = \frac{\hbar^2b}{2m} + \frac{m\omega^2}{8b}, \qquad \frac{d\langle H\rangle}{db} = 0 \;\Rightarrow\; b = \frac{m\omega}{2\hbar}, \qquad \langle H\rangle_{\min} = \frac{\hbar\omega}{2}

정확히 맞는다 — 가우시안이 진짜 바닥상태라서 그렇다. 시험함수 족이 참 바닥상태를 품고 있으면 변분법은 정확해를 준다.

② 델타 우물에 가우시안. $V = -\alpha\,\delta(x)$ (정확해는 $-m\alpha^2/2\hbar^2$ — 5.3.5델타 함수 퍼텐셜). 같은 시험함수로 $\langle V\rangle = -\alpha|A|^2 = -\alpha\sqrt{2b/\pi}$ 이므로

\langle H\rangle = \frac{\hbar^2b}{2m} - \alpha\sqrt{\frac{2b}{\pi}}, \qquad b = \frac{2m^2\alpha^2}{\pi\hbar^4}, \qquad \langle H\rangle_{\min} = -\frac{m\alpha^2}{\pi\hbar^2}

참값 $-m\alpha^2/2\hbar^2$ 보다 $2/\pi = 0.64$ 배 — 36% 얕다. 참 바닥상태 $e^{-m\alpha|x|/\hbar^2}$ 는 원점에 첨점이 있는데 가우시안은 매끈하다. 시험함수 족이 참값의 핵심 특징을 못 담으면 상한이 멀리 떨어진다.

그림 5.8-5. 델타 우물에 가우시안 시험함수를 넣은 에너지 ⟨H⟩(b)를 무차원 매개변수에 대해 그린 것. 작은 b(넓은 함수)에서는 퍼텐셜 항 −√b가 이겨 내려가고, 큰 b(좁은 함수)에서는 운동에너지 항 b가 이겨 올라간다. 최소 −1/π = −0.318은 가장 좋은 상한이고, 참값 −1/2(점선)의 아래 영역에는 어떤 시험함수도 닿지 못한다. 최소 근처가 평평한 것은 매개변수의 1차 오차가 에너지에는 2차로 들어간다는 뜻이다.직접 작도

③ 무한 우물에 삼각형. $\psi$ 를 $0\le x\le a/2$ 에서 $Ax$ , 나머지 반에서 $A(a-x)$ 로 잡는다. 첨점이 있어 $\psi''$ 에 델타가 생기므로, 운동에너지는 $\langle T\rangle = (\hbar^2/2m)\int|\psi'|^2dx$ 꼴로 계산한다(부분적분한 꼴 — 첨점이 있어도 안전하다). $|A|^2 = 12/a^3$ , $\langle T\rangle = \hbar^2\cdot12/2ma^2$ 이고 $\langle V\rangle = 0$ 이므로 $\langle H\rangle = 12\hbar^2/2ma^2$ . 참값 $\pi^2\hbar^2/2ma^2 = 9.87\hbar^2/2ma^2$ 보다 22% 높다. 삼각형은 사인과 꽤 다르게 생겼는데도 이 정도다.

왜 이렇게 잘 맞는가 — 오차가 제곱으로

시험함수가 바닥상태에서 $\epsilon$ 만큼 어긋나 있으면( $\psi = \sqrt{1-\epsilon^2}\,\psi_{gs} + \epsilon\,\phi$ , $\phi\perp\psi_{gs}$ ) 에너지 오차는

\langle H\rangle - E_{gs} = \epsilon^2\bigl(\langle\phi|H|\phi\rangle - E_{gs}\bigr) \;\sim\; \epsilon^2\,(E_1 - E_{gs})

1차로 틀린 파동함수가 2차로 틀린 에너지를 준다. 1.6.8에서 숫자로 확인했던 것(3.8% 어긋난 함수가 1.3% 어긋난 고유값)이 이것이다. 에너지가 바닥상태에서 정류(stationary)라는 말과 같다 — 그림 5.8-5의 최소 근처가 평평한 이유이고, 변분법이 대충 고른 시험함수로도 쓸 만한 에너지를 내놓는 이유다.

들뜬 상태와 선형 변분법

시험함수가 바닥상태와 정확히 직교하면( $c_{gs}=0$ ) 같은 논리로 $\langle H\rangle\ge E_1$ — 첫 들뜬 준위의 상한이다. 직교를 보장하는 도구는 대칭성이다. 대칭 퍼텐셜에서 홀함수 시험함수는 짝인 바닥상태와 자동으로 직교하므로, 홀함수로 변분하면 첫 들뜬 준위가 나온다.

시험함수를 기저의 선형 결합 $\psi = \sum_{i=1}^N c_i\phi_i$ 로 잡으면 매개변수가 계수 $c_i$ 이고, 최소화 조건이 일반화 고유값 문제가 된다:

\sum_j\bigl(H_{ij} - E\,S_{ij}\bigr)c_j = 0, \qquad H_{ij} = \langle\phi_i|H|\phi_j\rangle, \quad S_{ij} = \langle\phi_i|\phi_j\rangle

$N$ 개의 고유값이 나오고, $k$ 번째 고유값은 $k$ 번째 참 준위의 상한이다(힐레라스–운트하임 정리). 이것이 레일리–리츠법이고, 6절의 LCAO, 7부의 강결합(tight-binding) 밴드, 하트리–폭과 콘–샴 방정식의 기저 전개, 양자 우물의 봉투 함수 전개가 전부 이 식이다. 반도체 밴드 구조 계산은 예외 없이 선형 변분법이다.

직관

물리적 직관 — 자연은 에너지를 최소화한다. 바닥상태는 운동에너지(굽힘의 비용, $\int|\psi'|^2$ )와 퍼텐셜 에너지(자리의 비용, $\int V|\psi|^2$ )의 타협이다. 델타 우물의 예에서 $b$ 를 키우면 함수가 좁아져 퍼텐셜은 이득이지만 굽힘이 비싸진다. 최적의 $b$ 는 두 비용의 미분이 맞서는 점이다. 불확정성 원리로 하는 어림 — 폭 $w$ 에 가두면 운동에너지 $\sim\hbar^2/mw^2$ — 이 변분법의 가장 거친 형태다.

파라미터 연계 — 시험함수의 폭이 곧 물리량. 도너 준위나 엑시톤을 변분으로 풀 때 시험함수 $e^{-r/\lambda}$ 의 최적 $\lambda$ 가 유효 보어 반지름이고, 그 값이 도핑 농도의 금속–절연체 전이 기준( $n^{1/3}a^*\approx0.26$ , 모트 판정)과 엑시톤의 흡수 세기를 정한다(11·13부). 비등방 유효질량(실리콘 전도대의 $m_l\ne m_t$ )이면 시험함수를 타원체 $e^{-\sqrt{(x^2+y^2)/a^2+z^2/b^2}}$ 로 잡아 매개변수 둘을 흔든다 — 콘–루팅거의 도너 계산이 정확히 이것이다.

주의

변분법이 주는 것과 안 주는 것. 주는 것은 바닥상태 에너지의 상한뿐이다. 하한은 주지 않고, 오차의 크기도 알려주지 않는다 — 상한이 참값에서 얼마나 떨어져 있는지는 다른 시험함수 족과 비교해 짐작할 뿐이다. 그리고 1.6.8의 경고를 되풀이한다: 에너지가 잘 맞아도 파동함수는 그만큼 맞지 않는다. 변분 파동함수로 계산한 전이 행렬 원소·쌍극자 모멘트·핵 자리 밀도(초미세 결합!)는 에너지보다 훨씬 부정확하다.

시험함수는 경계 조건을 만족하고 규격화 가능해야 하며, 바닥상태와 직교하지 않아야 한다(직교하면 상한이 들뜬 준위로 올라가 버린다). 첨점이 있는 시험함수는 $\langle T\rangle$ 를 $\int|\psi'|^2$ 꼴로 계산한다 — $\int\psi^*\psi''$ 로 하면 첨점의 델타를 놓치기 쉽다.

변분법의 응용(헬륨·수소 분자 이온)

헬륨 — 전자 둘, 그리고 가림

헬륨의 해밀토니안은 수소형 항 둘( $Z=2$ )과 전자–전자 반발 하나다:

H = -\frac{\hbar^2}{2m}\bigl(\nabla_1^2+\nabla_2^2\bigr) - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{2}{r_1} + \frac{2}{r_2} - \frac{1}{|\mathbf r_1-\mathbf r_2|}\right)

마지막 항 $V_{ee}$ 를 빼면 정확히 풀린다 — 곱 파동함수 $\psi_0 = \psi_{100}(\mathbf r_1)\psi_{100}(\mathbf r_2) = (8/\pi a^3)e^{-2(r_1+r_2)/a}$ , 에너지 $8E_1 = -109$ eV. 실측 바닥 에너지는 $-78.975$ eV 이니 $V_{ee}$ 는 30 eV짜리 “섭동”이다. 1차 섭동론(5.6.7헬륨 원자와 교환 상호작용)은 $\langle V_{ee}\rangle = \tfrac54\,(e^2/4\pi\varepsilon_0a) = -\tfrac52E_1 = 34$ eV 를 더해 $-75$ eV 를 준다. 나쁘지 않지만, 30 eV 섭동에 1차만 쓴 것치고 잘 맞은 것이라 다음 항이 믿음직하지 않다.

변분법은 다르게 간다. 각 전자가 다른 전자에 가려진 핵을 본다는 물리를 시험함수에 심는다 — 핵 전하를 매개변수 $Z$ 로 바꾼 곱 파동함수

\psi_Z(\mathbf r_1,\mathbf r_2) = \frac{Z^3}{\pi a^3}\,e^{-Z(r_1+r_2)/a}

를 넣는다. $H$ 를 “전하 $Z$ 인 수소형 해밀토니안 둘 + 나머지”로 다시 쪼개면 계산이 수소의 기댓값들로 닫힌다:

\langle H\rangle = 2Z^2E_1 + 2(Z-2)\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl\langle\frac1r\Bigr\rangle + \langle V_{ee}\rangle = \Bigl[-2Z^2 + \tfrac{27}{4}Z\Bigr]E_1

( $\langle1/r\rangle = Z/a$ , $\langle V_{ee}\rangle = \tfrac{5Z}{8}\,e^2/4\pi\varepsilon_0a = -\tfrac{5Z}{4}E_1$ .) $Z$ 로 미분해 0으로 놓으면

Z = \frac{27}{16} = 1.69, \qquad \langle H\rangle_{\min} = -\frac12\left(\frac32\right)^6 E_1 = -77.5\ \mathrm{eV}

실측과 1.5 eV 차이 — 1차 섭동론의 4 eV 를 매개변수 하나로 줄였다. $Z=1.69 < 2$ 가 물리다: 다른 전자가 핵 전하의 약 0.3 을 가린다(screening). 매개변수를 더 넣은 시험함수(힐레라스, 1929)는 소수점 여섯 자리까지 맞춘다.

직관

파라미터 연계 — 유효 전하에서 자기 일관장까지. “다른 전자들이 가린 핵”을 한 숫자 $Z_{\rm eff}$ 로 요약하는 것이 슬레이터 규칙이고, 그 가림을 전자 밀도로부터 스스로 정하는 것이 하트리·하트리–폭 방법이다 — 각 전자가 나머지 전자들의 평균 퍼텐셜 속에서 움직인다고 놓고, 그 퍼텐셜이 파동함수와 맞아떨어질 때까지 되풀이한다(자기 일관장). 반도체의 밴드 구조 계산은 이 그림의 밀도 판인 밀도 범함수 이론(DFT)으로 하는데, 그 근거인 호헨베르크–콘 정리가 변분 원리다: 에너지는 밀도의 범함수이고 참 밀도에서 최소다. 콘–샴 방정식은 그 최소화 조건이다(7부).

도핑된 반도체의 가림 길이(디바이·토머스–페르미)도 같은 낱말이다. 이온화한 도너의 쿨롱 퍼텐셜을 전도 전자들이 가려 $e^{-r/\lambda_D}/r$ 로 짧게 만든다 — 헬륨의 $Z_{\rm eff}$ 를 연속체로 옮긴 것이고, 이온화 불순물 산란의 단면적을 정한다(11부).

수소 분자 이온 — 결합은 왜 생기는가

$\mathrm H_2^+$ 는 양성자 둘과 전자 하나다. 양성자는 전자보다 1836배 무거우니 고정된 것으로 놓고(보른–오펜하이머 근사) 전자만 푼다:

H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}\right)

$r_1,r_2$ 는 두 양성자로부터의 거리, 양성자 사이 거리는 $R$ . 시험함수는 물리에서 온다 — 전자가 양성자 1 근처에 있으면 수소 바닥상태 $\psi_0(r_1)$ 을 닮았을 것이고, 양성자 2 근처에서는 $\psi_0(r_2)$ 를 닮았을 것이다. 둘을 더한다:

\psi = A\bigl[\psi_0(r_1) + \psi_0(r_2)\bigr], \qquad \psi_0(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}

원자 궤도의 선형 결합(LCAO)이다. 규격화하면 $|A|^2 = 1/[2(1+I)]$ 이고, $I$ 는 두 궤도의 겹침 적분이다:

I \equiv \langle\psi_0(r_1)|\psi_0(r_2)\rangle = e^{-R/a}\left[1 + \frac Ra + \frac13\Bigl(\frac Ra\Bigr)^2\right]

$\psi_0(r_1)$ 이 양성자 1 의 수소 해밀토니안의 고유함수( $E_1$ )라는 것을 쓰면 $\langle H\rangle$ 는 적분 둘로 닫힌다:

\begin{aligned} D &\equiv a\Bigl\langle\psi_0(r_1)\Big|\frac1{r_2}\Big|\psi_0(r_1)\Bigr\rangle = \frac aR - \Bigl(1+\frac aR\Bigr)e^{-2R/a} \\[6pt] X &\equiv a\Bigl\langle\psi_0(r_1)\Big|\frac1{r_1}\Big|\psi_0(r_2)\Bigr\rangle = \Bigl(1+\frac Ra\Bigr)e^{-R/a} \end{aligned}

$D$ 는 직접 적분 — 양성자 1 에 묶인 전자가 양성자 2 의 끌림을 느끼는 고전적 에너지. $X$ 는 교환 적분 — 두 궤도가 겹치는 자리에서만 생기는 양자역학적 항이다. 정리하면

\langle H\rangle = E_1\left[1 + 2\,\frac{D+X}{1+I}\right]

여기에 양성자끼리의 반발 $e^2/4\pi\varepsilon_0R = -2E_1\,a/R$ 을 더한 것이 분자의 총에너지다. $x\equiv R/a$ 로 쓰면

E_{\rm tot}(x) = -E_1\,F(x), \qquad F(x) = -1 + \frac2x\,\frac{\bigl[1-\tfrac23x^2\bigr]e^{-x} + (1+x)e^{-2x}}{1 + \bigl(1+x+\tfrac13x^2\bigr)e^{-x}}

$F\to-1$ 이 “수소 원자 + 멀리 떨어진 양성자”( $-13.6$ eV)다. $F$ 가 $-1$ 아래로 내려가면 결합이 생긴 것이다.

그림 5.8-6. H₂⁺의 LCAO 변분 에너지를 핵 간 거리 R/a에 대해 그린 것. 결합 조합 ψ₊ = A[ψ₀(r₁) + ψ₀(r₂)](실선)는 R ≈ 2.5a에서 분리 원자(−13.6 eV, 점선)보다 1.8 eV 낮은 우물을 만들고, 반결합 조합 ψ₋ = A[ψ₀(r₁) − ψ₀(r₂)](파선)는 어디서도 −1 아래로 내려가지 않는다. 실측(R = 1.06 Å = 2.0a, 결합 에너지 2.8 eV)은 고리로 표시했다 — 변분은 상한이라 실측보다 얕지만, 결합이 생긴다는 사실과 그 이유는 맞힌다.직접 작도

최소는 $x\approx2.5$ ( $R\approx1.3$ Å)에서 $F = -1.13$ , 결합 에너지 1.8 eV 다. 실측은 $R = 1.06$ Å, 2.8 eV — 변분 상한이 참값 위에 있는 것이 정상이다. 결합이 생기는 이유는 그림의 파선이 말한다. 같은 두 궤도를 빼서 만든 $\psi_- = A[\psi_0(r_1)-\psi_0(r_2)]$ 는 $E_1[1+2(D-X)/(1-I)] - 2E_1a/R$ 인데, 교환 적분 $X$ 의 부호가 뒤집혀 어디서도 우물을 만들지 못한다. 결합의 정체는 교환 적분이고, 교환 적분은 두 궤도의 보강 간섭이다 — 핵 사이에 전자 밀도가 쌓여 두 양성자를 끌어당기고, 그 자리는 퍼텐셜이 두 핵 모두에 가까워 낮다.

직관

파라미터 연계 — 결합·반결합에서 밴드로. 원자 둘이 준위 하나를 결합·반결합 둘로 가른다(축퇴 섭동론 2절의 $\pm t$ 와 같은 구조 — $t$ 가 교환 적분이다). 원자 $N$ 개를 사슬로 놓으면 $N$ 개의 조합이 생기고, 그 에너지들이 폭 $4|t|$ 의 밴드를 이룬다. 이것이 강결합 모형이고 (7부), 원자가 가까울수록(겹침 $X$ 가 클수록) 밴드가 넓어진다.

실리콘은 이 그림 그대로다. $sp^3$ 혼성 궤도 넷이 이웃 원자의 것과 결합·반결합 쌍을 만들고, 결합 궤도들이 원자가 밴드, 반결합 궤도들이 전도대로 넓어진다. 밴드갭은 결합–반결합 분리에서 밴드 폭을 뺀 나머지다 — 해리슨의 그림. 격자 상수가 줄어들면(압력) 겹침이 커져 밴드가 넓어지고 갭이 좁아지는 경향, 탄소(다이아몬드, 5.5 eV)에서 실리콘(1.1 eV)·게르마늄(0.66 eV)으로 갈수록 갭이 좁아지는 경향이 이 한 문장이다.

엑시톤·도너 쌍·양자점 분자. 도너 두 개가 가까우면 $\mathrm H_2^+$ 와 같은 결합·반결합 갈라짐이 생기고, 도핑 농도가 높아져 도너 궤도들이 겹치면 불순물 밴드가 된다(11부). 결합 양자점의 두 준위(2절)는 이 그림을 인공 원자로 재현한 것이다.

WKB 근사와 고전 영역

착상 — 국소 파장

퍼텐셜이 상수이면 해는 평면파 $e^{\pm ipx/\hbar}$ , $p = \sqrt{2m(E-V)}$ 다. 퍼텐셜이 파장에 비해 천천히 변한다면, 각 점에서 해는 여전히 평면파를 닮되 파수만 자리에 따라 바뀔 것이다:

p(x) \equiv \sqrt{2m\bigl[E - V(x)\bigr]}, \qquad \lambda(x) = \frac{h}{p(x)}

이것이 WKB(Wentzel–Kramers–Brillouin) 근사의 전부다. $\psi = A(x)e^{i\phi(x)}$ ( $A,\phi$ 실수)로 놓고 슈뢰딩거 방정식 $\psi'' = -(p^2/\hbar^2)\psi$ 에 넣어 실수부와 허수부를 나눈다:

A'' - A\phi'^2 = -\frac{p^2}{\hbar^2}A, \qquad \bigl(A^2\phi'\bigr)' = 0

허수부는 정확하다 — $A^2\phi' =$ 상수, 즉 확률 흐름이 보존된다. 실수부에서 $A''$ 를 버리는 것이 근사다: 진폭이 천천히 변하면 $|A''|\ll|A\phi'^2|$ 이고, 그러면 $\phi' = \pm p/\hbar$ . 따라서

\boxed{\; \psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{p(x)}}\,\exp\Bigl[\pm\frac{i}{\hbar}\int^x p(x')\,dx'\Bigr], \qquad |\psi|^2\approx\frac{|C|^2}{p(x)} \;}

위상은 운동량의 적분, 진폭은 $1/\sqrt p$ . 위상이 $px/\hbar$ 에서 $\int p\,dx/\hbar$ 로 바뀐 것은 “국소 파수를 쌓아 나간다”는 뜻이고, 진폭은 확률 흐름 보존이 강제한 것이다. 조건 $|A''|\ll|A\phi'^2|$ 를 $p$ 로 쓰면

\left|\frac{d\lambda}{dx}\right|\ll1 \quad\Longleftrightarrow\quad \hbar\,\frac{|p'|}{p^2}\ll1

한 파장 안에서 파장이 거의 안 변해야 한다. $p\to0$ 인 전환점에서는 파장이 무한대라 이 조건이 반드시 깨진다 — 8절이 그 자리를 따로 다룬다.

고전적으로 금지된 영역( $E<V$ )에서는 $p$ 가 허수다. $|p| = \sqrt{2m(V-E)}$ 로 쓰면

\psi(x)\approx\frac{C}{\sqrt{|p(x)|}}\,\exp\Bigl[\pm\frac1\hbar\int^x|p(x')|\,dx'\Bigr]

진동 대신 지수적 성장·감쇠다. 9절의 터널링 지수가 여기서 나온다.

그림 5.8-7. 포물선 퍼텐셜 V = x²(ħ = 1, 2m = 1) 안의 n = 4 준위(E = 9, 전환점 ±3)의 WKB 파동함수. 가운데는 p가 커서 파장이 짧고 진폭이 작으며, 전환점으로 갈수록 파장이 늘고 진폭이 커진다 — 점선 포락선이 1/√p(x)다. 고전 입자가 느린 곳(전환점 근처)에 오래 머무는 것과 같은 분포다. 전환점 근처는 1/√p가 발산하므로 비워 두었고, 바깥 금지 영역에서는 e^{−∫|p|dx/ħ}/√|p|로 죽는 꼬리를 그렸다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 확률 밀도는 머무는 시간이다. 고전 입자가 $dx$ 를 지나는 데 걸리는 시간은 $dx/v$ 이니, 주기 안에서 $x$ 근처에 있을 확률은 $\propto1/v\propto1/p$ 다. WKB의 $|\psi|^2\propto1/p$ 가 정확히 그것이다 — 대응 원리를 식으로 쓴 것이다. 조화진동자의 큰 $n$ 파동함수가 전환점 근처에서 커지는 것(5.3), 1차원 상태밀도가 $1/v$ 에 비례하고 밴드 가장자리에서 발산하는 것(반호프 특이점, 10부)이 같은 뿌리다.

수학적 직관 — $\hbar$ 의 점근 급수. Sakurai의 방식으로 $\psi = e^{iS/\hbar}$ 로 놓고 $S = S_0 + \hbar S_1 + \hbar^2S_2+\cdots$ 로 전개하면, $\hbar^0$ 차수가 해밀턴–야코비 방정식 $(S_0')^2 = 2m(E-V)$ — 고전역학이다(3.1.8라그랑지안과 해밀토니안). $S_0 = \pm\int p\,dx$ 가 위상, $\hbar^1$ 차수가 진폭 $1/\sqrt p$ 를 준다. WKB는 $\hbar\to0$ 극한의 첫 두 항이고, 이 급수는 대개 수렴하지 않는 점근 급수다(1.9.11점근 전개와 최급강하법) — 그러나 첫 항만으로 터널링 지수처럼 스무 자릿수를 오가는 양을 맞힌다.

양자화 조건 — 수직 벽 우물

우물의 양 끝이 수직 벽( $x=0$ , $x=a$ 에서 $V=\infty$ )이고 바닥이 매끈하면, 고전 영역의 일반해는

\psi(x)\approx\frac{1}{\sqrt{p}}\bigl[C_+e^{i\phi(x)} + C_-e^{-i\phi(x)}\bigr] = \frac{1}{\sqrt p}\bigl[C_1\sin\phi + C_2\cos\phi\bigr], \qquad \phi(x) = \frac1\hbar\int_0^xp(x')\,dx'

$\psi(0)=0$ 이면 $C_2 = 0$ , $\psi(a)=0$ 이면 $\phi(a) = n\pi$ :

\boxed{\;\int_0^a p(x)\,dx = n\pi\hbar,\qquad n = 1,2,3,\dots\;}

우물 안에 반파장이 $n$ 개 들어간다 — 바닥이 평평하면 $p$ 가 상수라 $pa = n\pi\hbar$ , 곧 $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/2ma^2$ 로 무한 우물의 정확해가 나온다. 바닥이 울퉁불퉁하면 적분이 그 울퉁불퉁함을 평균해 준다. 이 조건은 오래된 보어–조머펠트 양자화 $\oint p\,dx = nh$ 다(왕복이라 $2\int_0^a$ ). 벽이 수직이 아니면 8절에서 $n$ 이 $n-\tfrac12$ 등으로 바뀐다.

직관

파라미터 연계 — 언제 전자를 고전적으로 다뤄도 되는가. WKB 조건 $|d\lambda/dx|\ll1$ 이 “소자가 반고전적인가”의 판정 기준이다. 실리콘 전도 전자의 열적 드브로이 파장은 실온에서 약 10 nm, 페르미 파장은 도핑에 따라 수~수십 nm다. 채널 길이·우물 폭·공핍층 폭이 그보다 훨씬 크면 전자는 국소 파수 $p(x) = \sqrt{2m^*[E-E_c(x)]}$ 를 가진 반고전 입자이고, 밴드 다이어그램을 “퍼텐셜 $V(x) = E_c(x)$ ” 로 읽는 것이 정당하다. 그보다 작아지면 부분 대역·터널링·간섭이 나타나 슈뢰딩거 방정식을 직접 풀어야 한다(10·20부). 보어–조머펠트 양자화는 자기장 속의 궤도에도 적용되어 란다우 준위와 온사거 관계 $S(E) = 2\pi eB(n+\gamma)/\hbar$ 를 주고, 슈브니코프–드 하스 진동으로 페르미 면을 재는 근거가 된다(11부).

연결 공식

전환점에서 무엇이 필요한가

7절의 해는 전환점에서 죽는다 — $1/\sqrt p$ 가 발산하고 $|d\lambda/dx|\ll1$ 이 깨진다. 그러나 전환점 양쪽의 WKB 해는 각각 멀쩡하다. 필요한 것은 둘을 잇는 규칙이다: 왼쪽(고전 영역)의 진동해 $\frac{1}{\sqrt p}[B e^{i\phi} + C e^{-i\phi}]$ 와 오른쪽(금지 영역)의 감쇠해 $\frac{D}{\sqrt{|p|}}e^{-\int|p|/\hbar}$ 가 같은 함수의 두 조각이려면 $B,C$ 와 $D$ 가 어떤 관계여야 하는가. 그 답이 연결 공식이고, 전환점을 확대해 보면 얻어진다.

전환점 확대 — 에어리 방정식

전환점 $x_2$ (오른쪽으로 $V$ 가 올라간다) 근처에서 퍼텐셜을 직선으로 놓는다: $V(x)\approx E + V'(x_2)(x-x_2)$ . 슈뢰딩거 방정식은

\frac{d^2\psi}{dx^2} = \alpha^3(x-x_2)\,\psi, \qquad \alpha\equiv\left[\frac{2m}{\hbar^2}V'(x_2)\right]^{1/3}

$z\equiv\alpha(x-x_2)$ 로 바꾸면 에어리 방정식 $d^2\psi/dz^2 = z\psi$ 다. 해는 에어리 함수 $\mathrm{Ai}(z)$ , $\mathrm{Bi}(z)$ — 차수 $1/3$ 베셀 함수의 조합이다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). $\mathrm{Bi}$ 는 $z\to\infty$ 에서 자라므로 묶인 상태에는 못 쓰고, $\mathrm{Ai}$ 만 남긴다. $\mathrm{Ai}$ 의 두 점근형이 핵심이다:

\mathrm{Ai}(z)\approx \begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt\pi\,z^{1/4}}\exp\Bigl[-\tfrac23z^{3/2}\Bigr], & z\gg0 \\[12pt] \dfrac{1}{\sqrt\pi\,(-z)^{1/4}}\sin\Bigl[\tfrac23(-z)^{3/2} + \tfrac\pi4\Bigr], & z\ll0 \end{cases}

이 둘이 각각 WKB 꼴이다. 직선 퍼텐셜에서 $p = \hbar\alpha^{3/2}\sqrt{x_2-x}$ 이므로 $\frac1\hbar\int_x^{x_2}p\,dx' = \tfrac23(-z)^{3/2}$ , $\frac1\hbar\int_{x_2}^x|p|\,dx' = \tfrac23z^{3/2}$ 이고, 진폭 $z^{-1/4}\propto p^{-1/2}$ 다. 즉 전환점에서 멀어지면 에어리 함수는 WKB 해로 녹아들고, 가까이서는 두 WKB 해가 발산하는 자리를 매끈하게 메운다.

그림 5.8-8. 에어리 함수 Ai(z)(실선)와 두 점근형(파선). z < 0에서는 진폭 |z|^{−1/4}로 서서히 줄며 진동하고, z > 0에서는 지수적으로 죽는다. 두 점근형은 각각 WKB 꼴 — 위상 ∫p dx/ħ, 진폭 1/√p — 이고 |z| ≳ 1이면 이미 실선과 겹친다. 전환점 z = 0 근처에서만 벗어나며, 그 이음새가 주는 정보는 둘뿐이다: 진동 쪽의 위상 π/4와, 진동 쪽 진폭이 감쇠 쪽의 두 배라는 것.직접 작도

연결 공식과 양자화 조건

두 점근형을 양쪽 WKB 해와 맞추면(겹치는 영역 — 전환점에서 충분히 멀어 WKB가 성립하고, 충분히 가까워 직선 근사가 성립하는 곳 — 이 있다는 것이 논리의 전부다) 오른쪽 전환점 $x_2$ 에서

\boxed{\; \psi(x)\approx \begin{cases} \dfrac{2D}{\sqrt{p(x)}}\,\sin\Bigl[\dfrac1\hbar\displaystyle\int_x^{x_2}p(x')\,dx' + \dfrac\pi4\Bigr], & x < x_2 \\[14pt] \dfrac{D}{\sqrt{|p(x)|}}\,\exp\Bigl[-\dfrac1\hbar\displaystyle\int_{x_2}^x|p(x')|\,dx'\Bigr], & x > x_2 \end{cases} \;}

왼쪽 전환점 $x_1$ 에서는 거울상 — $\sin[\frac1\hbar\int_{x_1}^xp\,dx' + \frac\pi4]$ . 우물 안에서 두 표현이 같은 함수여야 하므로 두 위상의 합이 $n\pi$ 의 조건이 되고,

\boxed{\; \int_{x_1}^{x_2}p(x)\,dx = \Bigl(n - \tfrac12\Bigr)\pi\hbar, \qquad n = 1,2,3,\dots \;}

7절의 수직 벽 조건 $n\pi\hbar$ 에서 $\tfrac12$ 이 빠졌다 — 매끈한 전환점 하나마다 $\pi/4$ 씩, 둘이 $\pi/2$ . 파동이 벽 속으로 조금 새어 들어가 우물이 실제보다 넓어 보이는 효과다. 한쪽만 수직 벽이면 $(n-\tfrac14)\pi\hbar$ 다.

조화진동자로 확인. $V = \tfrac12m\omega^2x^2$ , 전환점 $\pm x_0 = \pm\sqrt{2E/m\omega^2}$ . 적분은 반지름 $x_0$ 인 반원의 넓이 꼴이라

\int_{-x_0}^{x_0}\sqrt{2m\Bigl(E-\tfrac12m\omega^2x^2\Bigr)}\,dx = \frac{\pi E}{\omega} \quad\Longrightarrow\quad E = \Bigl(n-\tfrac12\Bigr)\hbar\omega,\quad n = 1,2,\dots

$n' = n-1$ 로 다시 쓰면 $(n'+\tfrac12)\hbar\omega$ — 정확해다. WKB가 조화진동자에서 정확한 것은 우연에 가깝지만(고차 보정이 전부 상쇄된다), 이 근사가 얼마나 좋은지의 감을 준다.

삼각 우물 — MOS 반전층의 부분 대역

가장 중요한 응용은 반도체에 있다. MOSFET 반전층의 전자는 산화막 쪽 계면(수직 벽)과 계면 전기장 $\mathcal E_s$ 가 만드는 경사(매끈한 전환점) 사이에 갇힌다 — 삼각 우물 $V(x) = e\mathcal E_sx$ ( $x>0$ ), $V = \infty$ ( $x<0$ ). 한쪽 수직 벽 조건 $(n-\tfrac14)\pi\hbar$ 에 넣는다:

\int_0^{x_t}\sqrt{2m^*(E - e\mathcal E_sx)}\,dx = \frac{2\sqrt{2m^*}}{3e\mathcal E_s}E^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\; E_n = \left(\frac{\hbar^2}{2m^*}\right)^{1/3}\left[\frac{3\pi e\mathcal E_s}{2}\Bigl(n-\tfrac14\Bigr)\right]^{2/3} \;}

정확해는 에어리 함수의 영점 $a_n$ 으로 $E_n = (\hbar^2/2m^*)^{1/3}(e\mathcal E_s)^{2/3}a_n$ 이고, WKB의 $[\tfrac32\pi(n-\tfrac14)]^{2/3}$ 과 견주면

$n$	에어리 영점 $a_n$	WKB	오차
1	2.338	2.320	0.8%
2	4.088	4.082	0.15%
3	5.521	5.517	0.07%

바닥 준위조차 1% 안이다. 실리콘 (100) 반전층에서 $m^* = 0.92m$ (계면에 수직인 두 골짜기의 세로 질량), $\mathcal E_s = 10^5$ V/cm 이면 $E_1\approx38$ meV — 실온 열에너지(26 meV)와 같은 자릿수다. 반전층이 2차원 전자계인 이유가 이 숫자다: 계면에 수직한 운동은 몇 개의 부분 대역(subband)으로 양자화되고, 평행한 운동만 자유롭다(스턴의 삼각 우물 근사, 14부).

직관

파라미터 연계 — 부분 대역 간격이 무엇을 정하는가. $E_n\propto\mathcal E_s^{2/3}(n-\tfrac14)^{2/3}$ 이다. 게이트 전압을 올려 $\mathcal E_s$ 가 커지면 부분 대역이 올라가고 간격이 벌어진다 — 전자가 계면 쪽으로 눌린다. 전자의 평균 위치 $\langle x\rangle = 2E_n/3e\mathcal E_s\propto \mathcal E_s^{-1/3}$ 은 계면에서 수 nm 떨어져 있고, 이 거리가 산화막 커패시턴스에 직렬로 붙는 양자 커패시턴스 보정(유효 산화막 두께 증가, 14부)이 된다. 부분 대역 간격은 또한 양자 우물 적외선 검출기(QWIP)의 흡수 파장이고, 실리콘의 골짜기 갈라짐(2절)과 함께 반전층의 상태밀도를 정한다.

그래프 직관. $\pi/4$ 위상은 “벽이 조금 무르다”는 뜻이다. 무한 벽에서는 파동이 벽에서 마디 (위상 $\pi/2$ 손실)를 만들지만, 매끈한 전환점에서는 파동이 금지 영역으로 $\sim1/\alpha$ 만큼 새어 들어가 마디가 벽 너머에 생긴다. 그래서 같은 $n$ 의 준위가 수직 벽 우물보다 낮다 — 유한 우물의 준위가 무한 우물보다 낮은 것(5.3.6)의 WKB 판이다.

WKB로 본 터널링

두꺼운 장벽 — 투과율은 지수 하나로

에너지 $E$ 의 입자가 $x_1$ 과 $x_2$ 사이에서만 $V>E$ 인 장벽을 만난다. 왼쪽에는 입사파와 반사파, 오른쪽에는 투과파, 장벽 안에는 WKB의 성장·감쇠 해가 있다:

\psi\approx\frac{1}{\sqrt{|p|}}\Bigl[C\,e^{+\frac1\hbar\int_{x_1}^x|p|dx'} + D\,e^{-\frac1\hbar\int_{x_1}^x|p|dx'}\Bigr], \qquad x_1<x<x_2

장벽이 두껍거나 높으면 감쇠항이 $x_2$ 에 닿을 때쯤 $e^{-\gamma}$ 배로 줄어 있고, 성장항의 계수 $C$ 는 그 $e^{-\gamma}$ 배 크기여야 오른쪽에서 유한한 투과파와 이어진다. 투과 진폭의 비가 $e^{-\gamma}$ , 확률의 비는 그 제곱이다:

\boxed{\; T\approx e^{-2\gamma}, \qquad \gamma\equiv\frac1\hbar\int_{x_1}^{x_2}|p(x)|\,dx = \frac1\hbar\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\bigl[V(x)-E\bigr]}\,dx \;}

터널링 지수는 장벽 아래 $|p|$ 의 넓이다. 장벽의 모양이 무엇이든 이 적분 하나로 답한다 — 그것이 정확해가 있는 사각 장벽(5.3.8투과 계수와 터널링)보다 WKB가 실전에서 더 쓰이는 이유다. 사각 장벽의 정확해 $T = [1 + V_0^2\sinh^2(\kappa a)/4E(V_0-E)]^{-1}$ 를 $\kappa a\gg1$ 에서 전개하면 $T\approx\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-2\kappa a}$ 이고, WKB의 $e^{-2\gamma} = e^{-2\kappa a}$ 와 지수는 같지만 앞 계수 $16E(V_0-E)/V_0^2$ 가 없다. WKB는 지수를 주고 앞 계수는 주지 않는다 — 그러나 지수가 스무 자릿수를 오가는 양이라, 앞 계수의 한 자릿수는 대개 문제가 되지 않는다.

가모프의 알파 붕괴 — 스무 자릿수를 설명한 첫 계산

원자핵 반지름 $r_1$ 밖에서 알파 입자(전하 $2e$ )는 딸핵(전하 $Ze$ )의 쿨롱 장벽 $V = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ 를 본다. 바깥 전환점은 $r_2 = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$ 이고, $\gamma$ 의 적분이 닫힌다:

\begin{aligned} \gamma &= K_1\frac{Z}{\sqrt E} - K_2\sqrt{Zr_1} \\[6pt] K_1 &= \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\pi\sqrt{2m}}{\hbar} = 1.980\ \mathrm{MeV}^{1/2} \\[6pt] K_2 &= \Bigl(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr)^{1/2}\frac{4\sqrt m}{\hbar} = 1.485\ \mathrm{fm}^{-1/2} \end{aligned}

수명은 (핵 안에서 벽에 부딪히는 빈도) $^{-1}\times e^{2\gamma}$ 다. $\ln\tau\propto Z/\sqrt E$ — 가이거–누탈 법칙이다. 알파 입자의 에너지가 4 MeV에서 9 MeV로 두 배 남짓 바뀌는 사이 수명이 $10^{10}$ 년에서 마이크로초까지 스무 자릿수를 움직이는 것이 지수 하나로 설명됐다(1928). 반도체의 터널링 전류도 같은 감도로 움직인다.

파울러–노르드하임 터널링 — 산화막을 뚫는 전자

게이트 산화막에 강한 전기장 $\mathcal E_{ox}$ 를 걸면 산화막 전도대가 기울어져, 장벽 높이 $\varphi_B$ (실리콘 전도대에서 $\mathrm{SiO_2}$ 전도대까지 3.1 eV)인 장벽이 삼각형이 된다. 전자는 $x_t = \varphi_B/e\mathcal E_{ox}$ 만큼만 뚫으면 된다:

\gamma = \frac1\hbar\int_0^{x_t}\sqrt{2m^*_{ox}\bigl(\varphi_B - e\mathcal E_{ox}x\bigr)}\,dx = \frac{2\sqrt{2m^*_{ox}}}{3\hbar\,e\mathcal E_{ox}}\,\varphi_B^{3/2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\; T\approx\exp\left[-\frac{4\sqrt{2m^*_{ox}}}{3\hbar e}\,\frac{\varphi_B^{3/2}}{\mathcal E_{ox}}\right] \;}

전류 밀도는 입사 전자의 공급을 곱한 $J = A\,\mathcal E_{ox}^2\exp(-B/\mathcal E_{ox})$ 꼴이고, $B = 4\sqrt{2m^*_{ox}}\varphi_B^{3/2}/3\hbar e$ 다. $\mathrm{SiO_2}$ 에서 $m^*_{ox}\approx0.5m$ , $\varphi_B = 3.1$ eV 를 넣으면 $B\approx2.6\times10^8$ V/cm. 장이 10 MV/cm 일 때 지수가 $e^{-26}\approx5\times10^{-12}$ , 8 MV/cm 이면 $e^{-33}$ — 장이 20% 줄면 전류가 세 자릿수 준다. 플래시 메모리가 10 MV/cm 근처에서 쓰고 지우면서 평상시에는 새지 않는 이유가 이 감도다.

그림 5.8-9. 파울러–노르드하임 터널링의 밴드 도식. 게이트의 페르미 준위에 있는 전자가 산화막 전도대(장벽 높이 φ_B)를 마주하는데, 전기장 ℰ_ox가 전도대를 기울여 장벽이 삼각형이 되고 전자는 x_t = φ_B/eℰ_ox만 뚫으면 된다. 터널링 지수 γ는 삼각형 아래 |p|의 넓이라 φ_B^{3/2}에 비례하고 ℰ_ox에 반비례한다. 산화막이 x_t보다 얇으면(회색 점선) 장벽이 사다리꼴로 잘려 직접 터널링이 된다.직접 작도

직관

그래프 직관 — FN 플롯. $\ln(J/\mathcal E_{ox}^2)$ 을 $1/\mathcal E_{ox}$ 에 대해 그리면 기울기 $-B$ 인 직선이다. 측정한 직선의 기울기에서 $\varphi_B^{3/2}\sqrt{m^*_{ox}}$ 가 나온다 — 장벽 높이나 산화막 속 유효질량을 재는 표준 방법이고, 직선에서 벗어나는 곳이 직접 터널링이나 트랩 보조 터널링의 시작이다(14·15부).

파라미터 연계 — 얇은 산화막과 고유전율. 산화막 두께 $t_{ox}$ 가 $x_t$ 보다 얇으면 장벽이 사다리꼴이 되고(직접 터널링), 낮은 전압에서는 대략 $T\sim e^{-2\kappa t_{ox}}$ , $\kappa = \sqrt{2m^*_{ox}\varphi_B}/\hbar$ 다. $\mathrm{SiO_2}$ 에서 $\kappa\approx0.64$ Å $^{-1}$ 이므로 $2\kappa\approx1.3$ Å $^{-1}$ — 산화막이 1 Å 얇아질 때마다 누설이 3.6배, 1 nm 에 $10^{5.5}$ 배다. 1.2 nm 산화막의 게이트 누설이 A/cm $^2$ 에 이른 것이 2000년대 중반 고유전율 절연막 전환의 이유다: 같은 커패시턴스를 물리적으로 두꺼운 막으로 얻으면 지수가 $t_{ox}$ 배로 커진다(단, $\mathrm{HfO_2}$ 의 $\varphi_B\approx1.5$ eV 로 낮아 $\kappa$ 는 작아진다 — 두께와 높이의 교환이다).

$m^*$ 와 정공. 지수의 $\sqrt{m^*}$ 는 가벼운 입자가 더 잘 뚫는다는 뜻이다. $\mathrm{SiO_2}$ 의 정공 장벽은 4.7 eV 로 전자보다 높아 정공 터널링은 훨씬 작고, 그래서 pMOS 게이트 누설이 nMOS 보다 작다.

같은 식이 읽는 다른 자리들

제너(밴드 간) 터널링. 강한 장에서 원자가 밴드 전자가 밴드갭 $E_g$ 를 뚫고 전도대로 간다. 장벽 높이 $E_g$ , 폭 $E_g/e\mathcal E$ 인 삼각형이지만, 갭 안의 허수 파수가 포물선이 아니라 두 밴드를 잇는 타원 꼴(케인의 2밴드 모형)이라 계수가 달라진다:
$T\approx\exp\left[-\frac{\pi\sqrt{m^*}\,E_g^{3/2}}{2\sqrt2\,\hbar e\mathcal E}\right]$
$E_g^{3/2}/\mathcal E$ 구조는 같다. 터널 다이오드, 터널 FET, 제너 항복, GIDL 누설이 전부 이 식이다(14·16부). 갭이 좁고 질량이 가벼운 재료(InAs, InGaAs)가 터널 소자에 쓰이는 이유가 지수에 있다.
오믹 접촉. 금속–반도체 접합의 쇼트키 장벽 $\varphi_B$ 는 공핍층 폭 $W = \sqrt{2\varepsilon_s\varphi_B/eN_D}$ 의 포물선 장벽이다. $\gamma$ 를 계산하면 $2\gamma = e\varphi_B/E_{00}$ , $E_{00} = (e\hbar/2)\sqrt{N_D/m^*\varepsilon_s}$ 이고, 접촉 저항이 $\rho_c\propto\exp(e\varphi_B/E_{00})\propto\exp\bigl(\varphi_B\sqrt{m^*\varepsilon_s}/\hbar\sqrt{N_D}\bigr)$ 로 도핑의 제곱근에 지수적으로 떨어진다. 실리콘에 $10^{20}$ cm $^{-3}$ 이면 $E_{00}\approx0.1$ eV 라 0.6 eV 장벽이 $e^{-6}$ 으로 뚫린다 — 접촉 밑을 축퇴 도핑하는 이유다(16부).
주사 터널링 현미경. 탐침과 시료 사이 진공 장벽(일함수 $\varphi\approx4$ ~5 eV)을 뚫는 전류 $I\propto e^{-2\kappa d}$ , $\kappa = \sqrt{2m\varphi}/\hbar = 0.51\,\text{Å}^{-1}\sqrt{\varphi/\mathrm{eV}}$ . $\varphi = 4.5$ eV 에서 $2\kappa\approx2.2$ Å $^{-1}$ — 1 Å 마다 전류가 9배 바뀐다. 원자 하나 높이의 요철이 전류에 자릿수로 찍히는 것이 원자 분해능의 원리다(19부).
공명 터널링. 장벽 둘 사이에 우물이 있으면 우물의 준위와 입사 에너지가 맞을 때 $T\to1$ 이 된다 — WKB의 단순 곱 $T_1T_2$ 로는 안 나오고 두 장벽 사이의 위상 간섭이 필요하다(10.4). WKB는 각 장벽의 투과율을 주고, 간섭은 따로 더한다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 풀리는 문제에 붙여 풀거나(섭동), 상한을 내려 풀거나(변분), 국소 파장으로 풀거나(WKB), 셋이 반도체 물리의 계산 도구 거의 전부다. 목적지를 적어 둔다.

밴드 구조 (7부) — $k\cdot p$ 섭동론과 유효질량(1절), 축퇴 섭동론과 무거운·가벼운 정공의 갈라짐(2절), 스핀–궤도 분리 밴드와 $g^*$ (3·4절), LCAO·강결합 밴드(6절), 콘–샴 방정식의 변분 원리(5·6절).
도펀트와 결함 (11부) — 유효질량 수소 모형의 변분 계산, 비등방 질량의 타원 시험함수(5절), 가림과 유효 전하(6절), 도너 초미세 결합과 ESR(4절).
저차원 구조와 나노 수송 (10부) — 반전층의 삼각 우물 부분 대역(8절), 골짜기 갈라짐(2절), 양자 구속 슈타르크 효과(2절), 공명 터널링(9절), WKB 조건이 정하는 “반고전 대 양자”의 경계(7절).
소자 (14~16부) — 파울러–노르드하임·직접 터널링과 게이트 누설, 플래시의 쓰기·지우기(9절), 제너·밴드 간 터널링과 TFET·GIDL(9절), 오믹 접촉의 $E_{00}$ (9절), 반전층 커패시턴스의 양자 보정(8절), 변형 실리콘의 정공 밴드(2절).
광학 (13부) — 편극률과 유전율(1절), QCSE 전기 흡수 변조기(2절), 부분 대역 간 흡수(8절).
스핀트로닉스와 큐비트 (20부) — 라슈바·드레셀하우스 결합(3절), $g^*$ 와 제이만 갈라짐, $^{31}$ P· $^{29}$ Si 초미세 결합(4절), 결합 양자점의 결합·반결합(2·6절).
계측 (19부) — STM(9절), FN 플롯으로 재는 장벽 높이(9절), ESR의 28 GHz/T(4절).
다음 장. 시간에 따라 변하는 섭동은 5.9 로 간다 — 이 장의 $H'$ 가 $H'(t)$ 가 되면 전이 확률과 황금률이 나오고, WKB의 위상 적분은 5.9.6의 단열 근사와 이어진다.