6부 통계역학 6.7

반도체 통계

6부는 여기까지 한 번도 반도체를 다루지 않았다. 6.3의 볼츠만 인자, 6.4의 화학퍼텐셜과 깁스 분포, 6.5의 양자 기체와 상태밀도, 6.6의 질량 작용 — 전부 일반론이었다. 이 장은 그 일반론에 입력 두 개만 새로 넣는다. 전자가 들어갈 수 없는 에너지 구간(밴드 간격 $\varepsilon_g$ )이 있다는 것과, 그 구간 위아래에서 전자와 정공이 유효질량 $m_e^{*}$ , $m_h^{*}$ 를 가진 자유 입자처럼 움직인다는 것. 이 둘은 7부(고체물리)가 준다. 나머지는 이미 있는 통계역학이다.

그런데 이 두 입력이 결과를 극적으로 바꾼다. 금속에서는 전자 농도가 $10^{22}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 로 고정돼 있고 온도가 하는 일이 거의 없다. 반도체에서는 캐리어 농도가 온도에 지수적으로 매달리고, 불순물 백만 분의 일이 전도도를 열 자릿수 바꾸며, 화학퍼텐셜이 간격 안을 눈에 띄게 돌아다닌다. 반도체가 소자 재료가 된 이유가 전부 이 장의 식 몇 개에 들어 있다.

이 장은 6부의 마지막 장이면서 11부(반도체 물리)의 첫 장 11.1의 원본이다. 같은 식이 11.1에 다시 나오지만, 거기서는 결과를 쓰는 데 집중하고 여기서는 어디서 나오는지를 본다. 네 가지를 세운다.

상태 밀도 → 유효 상태밀도 (1·2절). 밴드 가장자리의 $\sqrt{\varepsilon}$ 상태 밀도에 페르미–디랙 분포를 곱해 적분하면 $n_e = n_c\,e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau}$ 가 나온다. $n_c$ 는 “가장자리 위 몇 $\tau$ 안에 든 상태 수”이고, 이 한 숫자가 밴드 하나를 대신한다.
질량 작용의 법칙 (3절). $n_e n_h = n_i^2$ 은 $\mu$ 를 모른다. 도핑을 아무리 해도 곱은 온도만의 함수다 — 6.6.5의 화학 반응 $e^- + h^+ \rightleftharpoons 0$ 이다.
불순물 준위의 통계 (4·5절). 도너 하나는 전자 저장체와 접촉한 작은 계이고, 그 점유는 깁스 합이 정한다. 결과는 페르미–디랙 함수와 인자 $\tfrac12$ 만큼 다르다. 전하 중성 조건이 $\mu$ 를 정하고, $\mu$ 의 온도 의존성이 동결·외인성·진성 세 구간을 만든다.
아인슈타인 관계 (6절). 평형에서 화학퍼텐셜이 평평해야 한다는 조건 하나가 확산 계수와 이동도를 $D/\tilde\mu = \tau/q$ 로 묶는다. 요동과 소산이 같은 온도로 연결되는 첫 예다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

평형 캐리어 농도와 페르미 준위 — 11.1의 전부. 축퇴 반도체의 페르미–디랙 적분(11.1.7), 동결과 외인성 구간(11.1.6), 중도핑의 준위 병합(11.1.8)은 이 장의 2·4·5절의 후속이다.
pn 접합의 내부 전위 — 두 영역의 내부 화학퍼텐셜 차이가 곧 $qV_{bi}$ 다(5절 → 12.1.2).
소수 캐리어 — 질량 작용이 $10^{15}$ 도핑에서 소수 캐리어를 $10^{5}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 으로 만들고, 다이오드 전류는 그 $10^{5}$ 이 진다(3절 → 12.2).
확산 전류와 확산 길이 — $D = \tau\tilde\mu/q$ 가 11.2.7·11.5.6의 출발이고, 다이오드 방정식의 $q/kT$ 가 여기서 나온다(6절).
깊은 준위와 재결합 중심 — 4절의 깊은 준위 점유가 11.3.5의 SRH 통계로 이어진다.
광소자와 준페르미 준위 — 조명 아래 두 화학퍼텐셜의 벌어짐이 태양전지의 개방 전압이다(5절 → 17부).

표기 — Kittel·Kroemer 와 소자 문헌 사이

표기는 기준 교재 Kittel·Kroemer 를 따른다. 온도는 에너지 단위의 기본 온도 $\tau = k_B T$ 로 쓰고(300 K 에서 $\tau = 25.9\,\mathrm{meV}$ ), 화학퍼텐셜은 $\mu$ , 에너지는 $\varepsilon$ 이다. 소자 문헌(Sze, Pierret — 11·12부의 기준 교재)은 같은 것을 $kT$ , $E_F$ , $E$ 로 쓴다. 이 장은 두 세계의 다리이므로 대응표를 처음에 한 번 둔다. 같은 글자가 다른 뜻인 자리가 여럿이라 읽기 전에 훑어 두는 편이 낫다.

이 장 (Kittel·Kroemer)	소자 문헌 (Sze·Pierret)	무엇인가	단위
$\tau$	$kT$ , $k_BT$	기본 온도 — 볼츠만 상수를 곱한 온도	eV
$\varepsilon$ , $\varepsilon_c$ , $\varepsilon_v$ , $\varepsilon_g$	$E$ , $E_c$ , $E_v$ , $E_g$	전자 에너지 · 전도대 바닥 · 가전자대 꼭대기 · 간격 $\varepsilon_c-\varepsilon_v$	eV
$\mu$	$E_F$	전자의 화학퍼텐셜 = 페르미 준위 (5절)	eV
$\lambda = e^{\mu/\tau}$	—	절대 활동도 (6.4.4)	—
$n_e$ , $n_h$	$n$ , $p$	전도대 전자 농도 · 가전자대 정공 농도	$\mathrm{cm^{-3}}$
$n_c$ , $n_v$	$N_c$ , $N_v$	전도대·가전자대의 유효 상태밀도 (1절)	$\mathrm{cm^{-3}}$
$n_i$	$n_i$	진성 캐리어 농도	$\mathrm{cm^{-3}}$
$n_d$ , $n_a$	$N_D$ , $N_A$	도너·억셉터 농도 (전체)	$\mathrm{cm^{-3}}$
$n_d^{+}$ , $n_a^{-}$	$N_D^{+}$ , $N_A^{-}$	이온화된 도너·억셉터 농도	$\mathrm{cm^{-3}}$
$\varepsilon_d$ , $\varepsilon_a$	$E_D$ , $E_A$	도너·억셉터 준위의 위치 (절대값). 이온화 에너지는 $\varepsilon_c-\varepsilon_d$ , $\varepsilon_a-\varepsilon_v$	eV
$D(\varepsilon)$	$g(E)$ , $N(E)$	단위 부피·단위 에너지당 상태 밀도	$\mathrm{cm^{-3}\,eV^{-1}}$
$f(\varepsilon)$	$f(E)$	페르미–디랙 점유 확률	—
$\eta = (\mu-\varepsilon_c)/\tau$	$\eta_F$ , $\eta_c$	환산 페르미 준위 (2절)	—
$F_{1/2}(\eta)$	$F_{1/2}$ , $\mathcal{F}_{1/2}$	페르미–디랙 적분 — 정규화가 문헌마다 다르다 (2절 주의)	—
$m_e^{}$ , $m_h^{}$	$m_n^{}$ , $m_p^{}$	전자·정공의 (상태밀도) 유효질량	$m$ (자유전자 질량)
$\tilde\mu_e$ , $\tilde\mu_h$	$\mu_n$ , $\mu_p$	이동도 — 화학퍼텐셜 $\mu$ 와 구분하려고 물결표를 얹는다 (6절)	$\mathrm{cm^2/V\,s}$
$D_e$ , $D_h$	$D_n$ , $D_p$	확산 계수 — 상태 밀도 $D(\varepsilon)$ 와 글자가 같다. 첨자로 구분한다	$\mathrm{cm^2/s}$
$q$	$q$ , $e$	양성자 전하 $1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ — 전자의 전하는 $-q$	C
$\phi$ , $\mathcal{E}$	$\psi$ · $V$ , $E$ · $\mathscr{E}$	정전 퍼텐셜 · 전기장 — 에너지 $\varepsilon$ 과 헷갈리지 않게 필기체	V, V/cm
$\tau_c$	$\tau_m$ , $\tau$	충돌 시간 (6절). 이 장에서 첨자 없는 $\tau$ 는 언제나 온도다	s

대소문자 규칙 하나. 소자 문헌의 $n$ 과 $N_D$ 처럼 소문자는 캐리어(움직이는 것), 대문자는 불순물(박혀 있는 것) 인데, Kittel·Kroemer 는 둘 다 소문자 $n$ 에 첨자로 구분한다. 이 장에서는 첨자가 전부다 — $n_e$ 는 움직이는 전자, $n_d$ 는 박힌 도너, $n_d^{+}$ 는 그중 전자를 내놓은 것.

상태 밀도와 유효 상태밀도

밴드 가장자리의 전자는 유효질량을 가진 자유 입자다

결정 안의 전자는 주기 퍼텐셜 속을 움직이므로 자유 전자가 아니다. 그러나 밴드 이론(7.7)의 결론 하나가 이 장 전체를 자유 전자 문제로 되돌린다 — 밴드 가장자리 근처에서 에너지는 파수의 2차식이다. 전도대 바닥 $\varepsilon_c$ 근처에서

\varepsilon(\mathbf k) = \varepsilon_c + \frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}, \qquad \varepsilon(\mathbf k) = \varepsilon_v - \frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}

가전자대 꼭대기 $\varepsilon_v$ 근처에서는 둘째 식이다. 자유 전자의 $\hbar^2k^2/2m$ 과 모양이 같고 질량만 유효질량 $m^{*}$ 로 바뀌었다. 유효질량은 결정이 전자에 주는 반응을 한 숫자에 눌러 담은 것이라 자유 전자 질량 $m$ 보다 작을 수도(GaAs 전도대 $0.067m$ ), 클 수도(Si 정공 $0.5m$ 안팎) 있다. 어디서 오는지는 7.9가 다루고, 이 장에서는 주어진 상수다.

가전자대의 식에서 부호가 음이라는 것은 꼭대기에서 아래로 내려가는 포물선이라는 뜻이다. 가전자대는 거의 차 있으므로 비어 있는 자리 — 정공 — 를 세는 편이 낫고, 정공의 에너지는 전자 에너지를 거꾸로 잰 것이다. 정공이 “위로” 올라가면(전자가 아래로 내려가면) 정공의 에너지는 커진다. 이 장에서 정공을 다룰 때마다 이 뒤집힘이 부호 하나로 나타난다.

상태 세기 — 파수 공간의 격자에서 제곱근으로

한 변 $L$ 인 상자에 갇힌 자유 입자의 허용 파수는 $k = 2\pi n/L$ 꼴이라 $k$ 공간에 간격 $2\pi/L$ 의 격자를 이룬다 (6.5.9차원별 상태밀도, 5.6.8자유전자 기체와 고체의 밴드). 상태 하나가 차지하는 $k$ 부피는 $(2\pi/L)^3$ 이고, 스핀 두 방향이 있으므로 반지름 $k$ 인 공 안의 상태 수는

N(k) = 2\cdot\frac{\tfrac43\pi k^3}{(2\pi/L)^3} = \frac{V k^3}{3\pi^2}, \qquad V = L^3

이다. 여기에 $k = \sqrt{2m_e^{*}(\varepsilon-\varepsilon_c)}/\hbar$ 를 넣으면 에너지 $\varepsilon$ 아래의 상태 수가 되고, $\varepsilon$ 으로 미분하면 상태 밀도가 나온다. 단위 부피당으로 쓰면

D_c(\varepsilon) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon-\varepsilon_c}, \qquad D_v(\varepsilon) = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_h^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon_v-\varepsilon}

이다. 전도대는 $\varepsilon_c$ 에서 0으로 출발해 제곱근으로 오르고, 가전자대는 $\varepsilon_v$ 에서 0으로 출발해 아래로 제곱근으로 자란다. 그 사이 간격에는 상태가 없다. Reif §9.16 이 금속의 전도 전자에 대해 같은 식을 세우는데, 거기서는 $\varepsilon_c$ 가 밴드 바닥이고 이 장에서는 전도대 바닥이라는 것만 다르다.

제곱근이 나오는 이유는 차원이다. 상태 수는 $k$ 공간의 부피 $\propto k^3 \propto \varepsilon^{3/2}$ 이고 그 도함수가 $\varepsilon^{1/2}$ 이다. 2차원(양자 우물, 12.7.5)이면 넓이 $\propto k^2 \propto \varepsilon$ 이라 상태 밀도가 상수가 되고, 1차원(나노선)이면 길이 $\propto k \propto \varepsilon^{1/2}$ 라 $\varepsilon^{-1/2}$ 로 오히려 발산한다. 6.5.9가 이 셋을 나란히 두었다. 이 장은 3차원만 쓴다.

유효 상태밀도 — 밴드 하나를 숫자 하나로

전도대 전자 농도는 상태 밀도에 점유 확률을 곱해 밴드 전체에 걸쳐 적분한 것이다 (2절에서 제대로 세운다). 점유 확률이 볼츠만 인자 $e^{-(\varepsilon-\mu)/\tau}$ 로 근사되는 고전 영역을 먼저 보면

n_e = \int_{\varepsilon_c}^{\infty} D_c(\varepsilon)\,e^{-(\varepsilon-\mu)/\tau}\,d\varepsilon = \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_e^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2} e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau} \int_{\varepsilon_c}^{\infty}\sqrt{\varepsilon-\varepsilon_c}\; e^{-(\varepsilon-\varepsilon_c)/\tau}\,d\varepsilon

이다. $x = (\varepsilon-\varepsilon_c)/\tau$ 로 치환하면 남는 적분은

\int_0^{\infty}\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx = \Gamma\!\left(\tfrac32\right) = \frac{\sqrt\pi}{2}

로 감마 함수 값이다 (1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사). 상수를 모으면

n_e = n_c\,e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau}, \qquad n_c \equiv 2\left(\frac{m_e^{*}\tau}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}

가 나온다. $n_c$ 를 전도대의 유효 상태밀도라 한다. 가전자대도 똑같이 해서

n_h = n_v\,e^{(\varepsilon_v-\mu)/\tau}, \qquad n_v \equiv 2\left(\frac{m_h^{*}\tau}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2}

이다. 두 식이 이 장에서 가장 많이 쓰이는 식이다. 밴드 전체의 상태 밀도 곡선이 사라지고 숫자 하나 $n_c$ 와 지수 인자 하나만 남았다.

그림 6.7-1. 유효 상태밀도가 뜻하는 것. 가로축은 전도대 바닥에서 잰 에너지를 τ로 나눈 값. 상태 밀도(제곱근, 연한 선)에 볼츠만 인자(점선)를 곱하면 강조 곡선이 되는데, 이것이 실제로 전자가 채워진 분포다. 봉우리는 ε_c 위 τ/2, 평균은 3τ/2이고 전자의 89 %가 3τ 안, 98 %가 5τ 안에 든다. 곡선 아래 넓이가 Γ(3/2) = √π/2이고, n_c는 이 넓이를 τ 단위로 잰 것이다 — 밴드 전체가 아니라 가장자리 위 몇 τ만 캐리어 농도에 참여한다.직접 작도

$n_c$ 의 뜻은 그림이 말한다. 전자는 전도대 전체에 퍼져 있지 않고 가장자리 위 몇 $\tau$ 안에 몰려 있다. 그 얇은 층에 든 상태 수를 세어 한 준위에 몰아 둔 것이 $n_c$ 다. 곧 전도대는 “에너지 $\varepsilon_c$ 에 $n_c$ 개의 상태가 있는 한 준위”로 바꿔 생각해도 되고, 그러면 $n_e = n_c\, e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau}$ 는 그 준위의 볼츠만 점유 그 자체다. 밴드가 준위 하나로 줄어드는 이 대치가 이 장과 11·12부 전체의 계산을 가능하게 한다.

$n_c$ 는 6.5.1의 양자 농도 $n_Q = (m\tau/2\pi\hbar^2)^{3/2}$ 에 스핀 2를 곱하고 질량을 $m_e^{*}$ 로 바꾼 것이다 (6.5.1고전 이상 기체와 분배함수). $n_Q$ 는 열적 드브로이 파장 $\lambda_T = \sqrt{2\pi\hbar^2/m\tau}$ 로 쓰면 $n_Q = 1/\lambda_T^3$ 이다 — “파장 세제곱 부피에 상태 하나”. 자유 전자 질량과 300 K 에서 $\lambda_T = 4.3\,\mathrm{nm}$ , $n_Q = 1.25\times 10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 이므로

n_c = 2.5\times10^{19}\left(\frac{m_e^{*}}{m}\right)^{3/2}\left(\frac{T}{300\,\mathrm K}\right)^{3/2} \;\mathrm{cm^{-3}}

가 외워 둘 만한 꼴이다. 세 반도체의 값을 적는다.

	$m_{de}^{*}/m$	$m_{dh}^{*}/m$	$n_c$ (cm⁻³)	$n_v$ (cm⁻³)	$\varepsilon_g$ (eV)	$n_i$ (cm⁻³)
Si	1.08	0.56~1.04	$2.8\times10^{19}$	$1.0\times10^{19}$ ~ $2.7\times10^{19}$	1.12	$\approx 1.0\times10^{10}$
Ge	0.56	0.39	$1.0\times10^{19}$	$6\times10^{18}$	0.66	$2.4\times10^{13}$
GaAs	0.067	0.43~0.48	$4.7\times10^{17}$	$7\times10^{18}$	1.42	$2.1\times10^{6}$

300 K 값이고, $n_i$ 는 3절에서 나온다. 정공 쪽 값에 폭이 있는 것은 정공 유효질량이 문헌마다 다르기 때문이다 — Sze 2판은 Si 의 $n_v = 1.04\times10^{19}$ , Sze·Ng 3판은 $2.66\times10^{19}$ 를 쓴다. 어느 쪽을 쓰든 $n_i$ 는 실측값 $\approx 1.0\times10^{10}$ 에 맞추므로 계산 결과가 크게 갈리지는 않지만, 표를 섞어 쓰면 두 배쯤 어긋난 값이 나온다. 이 장의 그림들은 Sze·Ng 3판 값을 쓴다.

여기서 $m_{de}^{*}$ 는 상태밀도 유효질량이다. Si 전도대는 등가인 골 여섯 개가 있고 골마다 세로 질량 $m_l = 0.98m$ , 가로 질량 $m_t = 0.19m$ 인 타원체라, 상태 수를 맞추려면

m_{de}^{*} = M_c^{2/3}\,(m_l\,m_t^2)^{1/3} = 6^{2/3}\,(0.98\times0.19^2)^{1/3}\,m = 1.08\,m

로 뭉쳐야 한다 ( $M_c$ 는 골의 수). 골 하나의 질량은 $0.33m$ 인데 여섯 개를 합치니 $1.08m$ 이 됐다 — $n_c \propto m^{*3/2}$ 이므로 골이 여섯이면 $6$ 배, 곧 질량으로는 $6^{2/3} = 3.3$ 배다. 가전자대는 무거운 정공과 가벼운 정공 두 밴드가 $k = 0$ 에서 겹쳐 있어 $m_{dh}^{*3/2} = m_{hh}^{3/2} + m_{lh}^{3/2}$ 로 더한다. 어느 쪽이든 “상태 수가 같아지는 등방 포물선 하나”로 바꾸는 작업이고, 그렇게 바꾸면 위의 $n_c$ 식을 그대로 쓴다. 자세한 밴드 구조는 7.9가 다룬다.

직관

파라미터 연계 — $m^{*}$ 와 $T$ 가 $n_c$ 를 어떻게 움직이는가.

$n_c \propto m^{*3/2}$ . GaAs 의 전도대 유효질량이 Si 의 1/16 이라 $n_c$ 가 60배 작다. 같은 전자 농도를 담으려면 $\mu$ 가 $\varepsilon_c$ 에 60배 더 가까워야 하고( $\tau\ln60 \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ ), 그래서 GaAs 는 $10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 안팎에서 이미 축퇴한다(2절). Si 는 $10^{19}$ 까지 간다.
$n_c \propto T^{3/2}$ . 온도가 오르면 같은 $\mu$ 에서 캐리어가 늘어나는 이유 둘 중 하나다 — 볼츠만 인자 $e^{-(\varepsilon_c-\mu)/\tau}$ 가 커지는 것이 주된 이유이고, $n_c$ 의 $T^{3/2}$ 는 보조다. 3절의 아레니우스 그림이 직선에서 아주 조금 휘는 것이 이 $T^{3/2}$ 다.
가벼운 밴드 ↔ 높은 이동도. $m^{*}$ 가 작으면 $n_c$ 가 작아지지만 이동도 $\tilde\mu = q\tau_c/m^{*}$ 는 커진다(6절). GaAs 의 전자 이동도가 Si 의 여섯 배인 이유와 GaAs 가 쉽게 축퇴하는 이유가 같은 숫자 $0.067$ 이다.

캐리어 농도의 통계역학적 유도

페르미–디랙 분포를 상태 밀도 위에 얹는다

전자는 페르미온이고 전자 저장체(결정 전체)와 평형인 한 궤도의 점유 확률은 페르미–디랙 분포

f(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}+1}

이다 (6.4.7페르미-디랙 분포의 유도). 1절의 상태 밀도에 이것을 곱해 적분하면 정확한 전자 농도가 된다:

n_e = \int_{\varepsilon_c}^{\infty} D_c(\varepsilon)\,f(\varepsilon)\,d\varepsilon, \qquad n_h = \int_{-\infty}^{\varepsilon_v} D_v(\varepsilon)\,\bigl[1-f(\varepsilon)\bigr]\,d\varepsilon

정공은 전자가 없는 상태이므로 점유 확률이 $1-f$ 다. 그런데

1-f(\varepsilon) = \frac{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}}{e^{(\varepsilon-\mu)/\tau}+1} = \frac{1}{e^{(\mu-\varepsilon)/\tau}+1}

이므로 $1-f$ 는 에너지 부호를 뒤집은 페르미–디랙 함수다. 정공은 에너지를 거꾸로 세는 페르미온이고, 정공의 화학퍼텐셜은 $-\mu$ 다. 1절에서 정공 에너지를 거꾸로 잰다고 한 것이 여기서 식으로 나타난다. 이 관찰 하나로 전자에 대해 유도한 모든 식이 $\varepsilon \to -\varepsilon$ , $\mu \to -\mu$ 로 정공 식이 된다.

그림 6.7-2. 캐리어 농도가 나오는 자리. 세로축이 에너지다. 왼쪽은 두 밴드의 상태 밀도 — 각 가장자리에서 제곱근으로 자라고 간격 안에는 없다. 가운데는 페르미–디랙 분포로, μ가 ε_c 아래 3τ에 있는 n형의 경우다. 오른쪽은 둘의 곱 — 전도대 쪽 D·f의 넓이가 전자 농도 n_e, 가전자대 쪽 D·(1−f)의 넓이가 정공 농도 n_h다. 전자 봉우리는 ε_c 바로 위에, 정공 봉우리는 ε_v 바로 아래에 있고, μ에서 먼 쪽이 e^{−7}배로 작아 50배 확대해야 보인다. 간격은 10τ로 줄여 그렸다 (Si는 43τ).직접 작도

그림이 이 절의 내용 전부다. 상태 밀도는 가장자리에서 멀수록 많고, 점유 확률은 $\mu$ 에서 멀수록 작다. 둘의 곱은 가장자리 바로 위(아래)에 봉우리를 만들고 몇 $\tau$ 안에서 꺼진다. 캐리어 농도는 그 봉우리의 넓이다. 전자와 정공 중 어느 쪽이 많은지는 $\mu$ 가 어느 가장자리에 가까운지가 정한다 — 그림은 $\mu$ 가 $\varepsilon_c$ 쪽에 있는 n형이다.

고전 영역 — 볼츠만 근사가 서는 조건

$\mu$ 가 전도대 바닥보다 몇 $\tau$ 아래에 있으면 전도대 안의 모든 $\varepsilon$ 에 대해 $e^{(\varepsilon-\mu)/\tau} \gg 1$ 이고, 분모의 $+1$ 을 버릴 수 있다:

f(\varepsilon) \approx e^{-(\varepsilon-\mu)/\tau} \qquad (\varepsilon_c - \mu \gg \tau)

이것이 볼츠만 인자다 (6.3.1볼츠만 인자와 분배함수). 이 근사를 넣은 결과가 1절에서 미리 쓴

n_e = n_c\,e^{-(\varepsilon_c-\mu)/\tau}, \qquad n_h = n_v\,e^{-(\mu-\varepsilon_v)/\tau}

이고, 이 영역을 고전 영역 또는 비축퇴(nondegenerate) 영역이라 한다. 조건 $\varepsilon_c-\mu \gg \tau$ 를 $n_e$ 로 바꿔 쓰면 $n_e \ll n_c$ 다 — 상태보다 입자가 훨씬 적어서 파울리 배타가 문제 되지 않는 영역이다. 6.5.2가 이상 기체에 대해 세운 고전 극한 $n \ll n_Q$ 와 같은 조건이고 (6.5.2깁스 역설과 고전 극한), $n_c$ 가 바로 그 $n_Q$ 다. 금속은 $n \sim 10^{22} \gg n_Q$ 라 언제나 양자 영역이고, 보통 도핑의 반도체는 $n_e \sim 10^{15}$ – $10^{18} \ll n_c \sim 10^{19}$ 라 고전 영역이다. 반도체의 캐리어는 대개 고전 이상 기체다 — 이 사실이 질량 작용(3절)과 볼츠만 관계(5절)를 가능하게 한다.

근사의 오차를 숫자로 알아 두면 좋다. 정확한 적분과 볼츠만 근사의 비는 $\eta = (\mu-\varepsilon_c)/\tau$ 의 함수로

$\eta$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$
볼츠만 근사의 상대 오차	$+0.7\,\%$	$+1.8\,\%$	$+4.8\,\%$	$+12\,\%$	$+31\,\%$

이다. 볼츠만 근사는 언제나 과대평가한다 — 분모의 $+1$ 을 버렸으니 $f$ 가 커진다. $\mu$ 가 가장자리에서 $3\tau$ 만 떨어져 있어도 2 % 안에 든다. 300 K 의 Si 에서 $3\tau = 78\,\mathrm{meV}$ 는 $n_e \approx 1.4\times10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 에 해당하므로, 그 아래 도핑에서는 볼츠만 식을 그냥 쓴다.

직관

수식적 직관 — 왜 지수함수 하나로 밴드 전체가 정리되는가. 볼츠만 인자 $e^{-(\varepsilon-\mu)/\tau}$ 는 $e^{-(\varepsilon-\varepsilon_c)/\tau}\cdot e^{-(\varepsilon_c-\mu)/\tau}$ 로 곱으로 갈라진다. 앞 인자는 밴드 안의 분포(가장자리에서 얼마나 위인가)이고 뒤 인자는 밴드가 $\mu$ 에서 얼마나 먼가다. 앞 인자를 상태 밀도와 함께 적분한 것이 $n_c$ 이고, 뒤 인자는 적분 밖으로 나온다. 지수함수의 이 분리 성질 — $e^{a+b} = e^a e^b$ — 이 “밴드 = 준위 하나 × $n_c$ ” 를 만든다. 페르미–디랙 함수는 이렇게 갈라지지 않으므로 축퇴 영역에서는 $n_c$ 와 지수 인자의 분리가 깨지고 적분이 그대로 남는다(다음 소절).

축퇴 영역 — 페르미–디랙 적분

도핑이 $10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 에 이르면 $\mu$ 가 $\varepsilon_c$ 에 붙거나 그 위로 올라간다. 그러면 $+1$ 을 버릴 수 없고 적분을 그대로 해야 한다. $x = (\varepsilon-\varepsilon_c)/\tau$ , $\eta = (\mu-\varepsilon_c)/\tau$ 로 놓으면

n_e = n_c\,\frac{2}{\sqrt\pi}\,F_{1/2}(\eta), \qquad F_{1/2}(\eta) \equiv \int_0^{\infty}\frac{x^{1/2}\,dx}{e^{x-\eta}+1}

이다. $F_{1/2}$ 를 (차수 $\tfrac12$ 의) 페르미–디랙 적분이라 한다. 닫힌 꼴이 없고 수치표나 근사식으로 다룬다. 두 극한은 알아 둘 만하다.

F_{1/2}(\eta) \to \begin{cases} \dfrac{\sqrt\pi}{2}\,e^{\eta} & (\eta \ll -1,\ \text{고전 영역}) \\[10pt] \dfrac{2}{3}\,\eta^{3/2}\left(1+\dfrac{\pi^2}{8\eta^2}+\cdots\right) & (\eta \gg 1,\ \text{강한 축퇴}) \end{cases}

첫 극한은 앞 소절의 볼츠만 식을 되돌려 준다 ( $\tfrac{2}{\sqrt\pi}\cdot\tfrac{\sqrt\pi}{2} = 1$ ). 둘째 극한은 좀머펠트 전개 (6.5.7축퇴와 전자 열용량, 1.9.11점근 전개와 최급강하법) 의 첫 두 항이고, 첫 항만 남기면

n_e = \frac{1}{3\pi^2}\left(\frac{2m_e^{*}(\mu-\varepsilon_c)}{\hbar^2}\right)^{3/2}

— $T = 0$ 의 페르미 기체다 (6.5.6페르미 기체와 페르미 준위). 축퇴 반도체는 전도대 바닥에 페르미 준위 $\varepsilon_F = \mu$ 까지 전자가 찬 작은 금속이고, 캐리어 농도가 온도에 거의 무관해진다. Si 의 소스·드레인( $10^{20}$ ), 오믹 접촉(12.6.2), 터널 다이오드(12.11.2)가 이 영역에서 동작한다.

몇 값을 적어 둔다.

$\eta$	$-4$	$-2$	$0$	$1$	$2$	$4$	$8$
$\tfrac{2}{\sqrt\pi}F_{1/2}(\eta) = n_e/n_c$	0.018	0.129	0.765	1.57	2.82	6.51	17.4
볼츠만 $e^{\eta}$	0.018	0.135	1	2.72	7.39	54.6	2981

$\eta = 0$ ( $\mu$ 가 정확히 전도대 바닥)에서 $n_e = 0.765\,n_c$ 이다. ” $n_e = n_c$ 이면 $\mu = \varepsilon_c$ ” 는 볼츠만 식의 말이고, 정확히는 $n_e = 0.765\,n_c$ 에서 $\mu$ 가 바닥에 닿는다. Si 300 K 에서 $n_e = 10^{19}$ 는 $\varepsilon_c - \mu = 24\,\mathrm{meV}$ (볼츠만 식으로는 27), $10^{20}$ 은 $\mu - \varepsilon_c = +63\,\mathrm{meV}$ (볼츠만 식으로는 32) 다 — 축퇴가 깊어질수록 볼츠만 식의 오차가 빨리 커진다.

주의

$F_{1/2}$ 의 정규화가 문헌마다 다르다. 위 정의(적분 그대로)는 Kittel·Kroemer 와 Sze 의 것이고, Blakemore 와 많은 소자 문헌은 $\mathcal F_{1/2}(\eta) = \tfrac{2}{\sqrt\pi}F_{1/2}(\eta)$ 로 정의해 $n_e = n_c\,\mathcal F_{1/2}(\eta)$ 로 쓴다 — 감마 함수 $\Gamma(3/2)$ 로 나눠 고전 극한이 정확히 $e^{\eta}$ 가 되게 한 것이다. 표를 볼 때 $\eta = 0$ 값이 $0.678$ 이면 전자, $0.765$ 면 후자다. 11.1.7 은 소자 문헌을 따라 $\mathcal F_{1/2}$ 를 쓴다. 6절의 일반화된 아인슈타인 관계는 정규화된 쪽으로 써야 식이 깨끗하다.

거꾸로 $n_e$ 에서 $\eta$ 를 구해야 할 때(축퇴 반도체의 페르미 준위 위치)는 역함수가 없어 Joyce–Dixon 근사 $\eta \approx \ln(n_e/n_c) + \tfrac{1}{\sqrt8}(n_e/n_c) - \cdots$ 를 쓴다. 첫 항이 볼츠만 식의 역이고 둘째 항이 축퇴 보정이다. 11.1.7 에서 다시 본다.

직관

그래프 직관 — $\log n_e$ 대 $\eta$ . 세로축을 로그로 잡고 $n_e/n_c$ 를 $\eta$ 에 대해 그리면, 고전 영역( $\eta < -2$ )에서는 기울기 1의 직선이다 — $\ln n_e = \eta + \text{const}$ . 곧 $\mu$ 가 $\tau$ 만큼 오르면 $n_e$ 가 $e$ 배, $\tau\ln10 = 59.5\,\mathrm{meV}$ 오르면 10배가 된다. 이 “60 mV 에 열 배”가 5절의 페르미 준위 읽기이고, 다이오드의 60 mV/decade 기울기(12.2)이자 MOSFET 문턱 아래 기울기의 하한(14부)이다. 축퇴 영역( $\eta > 2$ )에 들어서면 직선이 꺾여 완만해지고 멱함수 $\eta^{3/2}$ 가 된다 — 상태가 다 차서 $\mu$ 를 올려도 전자가 지수적으로 늘지 못한다. 꺾이는 자리가 $\eta \approx 0$ , 곧 $n_e \approx n_c$ 다.

진성 반도체와 질량 작용의 법칙

전자·정공 농도의 곱은 화학퍼텐셜을 모른다

고전 영역의 두 식을 곱하면 $\mu$ 가 지수에서 서로 지워진다:

n_e\,n_h = n_c\,n_v\,e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau}\,e^{(\varepsilon_v-\mu)/\tau} = n_c\,n_v\,e^{-\varepsilon_g/\tau}

우변에는 물질 상수( $n_c$ , $n_v$ , $\varepsilon_g$ )와 온도만 남았다. 도핑이 어떻든, $\mu$ 가 어디 있든, 전자와 정공 농도의 곱은 온도만의 함수다. 이것이 반도체의 질량 작용의 법칙이고, 그 값을 $n_i^2$ 이라 쓴다:

n_e\,n_h = n_i^2, \qquad n_i = \sqrt{n_c n_v}\;e^{-\varepsilon_g/2\tau}

이름이 화학의 질량 작용(6.6.5)과 같은 것은 우연이 아니다 (6.6.5질량 작용의 법칙). 전자와 정공을 두 화학종으로 보면 둘은 반응

e^- + h^+ \;\rightleftharpoons\; 0

으로 소멸·생성된다(전자가 가전자대의 빈자리로 떨어지면 둘 다 사라진다). 화학 평형의 조건은 반응물 화학퍼텐셜의 합이 생성물의 그것과 같다는 것이고, 우변이 “없음”이므로

\mu_e + \mu_h = 0

이다. 전자의 (내부) 화학퍼텐셜은 $n_e = n_c e^{(\mu_e-\varepsilon_c)/\tau}$ 를 뒤집어 $\mu_e = \varepsilon_c + \tau\ln(n_e/n_c)$ 이고, 정공은 에너지를 거꾸로 세므로 $\mu_h = -\varepsilon_v + \tau\ln(n_h/n_v)$ 이다. 더하면

\mu_e+\mu_h = \varepsilon_g + \tau\ln\frac{n_e n_h}{n_c n_v} = 0 \quad\Longrightarrow\quad n_e n_h = n_c n_v\,e^{-\varepsilon_g/\tau}

로 같은 식이 나온다. 6.6.5 의 평형 상수 $K(\tau) = \prod n_{Q,j}^{\nu_j}\,e^{-\Delta\varepsilon/\tau}$ 에서 양자 농도 자리에 $n_c n_v$ , 반응 에너지 자리에 $\varepsilon_g$ 가 들어간 꼴이다. 밴드 간격은 전자–정공 쌍을 만드는 데 드는 반응 에너지다.

진성 농도 — 간격의 절반이 활성화 에너지다

불순물이 없는 진성 반도체에서는 전자마다 정공이 하나 생기므로 $n_e = n_h$ 이고, 그러면 $n_e = n_h = n_i$ 다. $n_i$ 가 진성 캐리어 농도다. 온도 의존성은

n_i \propto T^{3/2}\,e^{-\varepsilon_g/2k_BT}

로 지수의 활성화 에너지가 $\varepsilon_g$ 가 아니라 $\varepsilon_g/2$ 다. 전자 하나를 가전자대에서 전도대로 올리는 데는 $\varepsilon_g$ 가 들지만, 그 한 번의 들뜸이 캐리어를 둘(전자와 정공) 만든다. 곱 $n_e n_h \propto e^{-\varepsilon_g/\tau}$ 의 제곱근을 취하니 절반이 됐다 — 산술이지만 뜻이 있다. 도핑된 반도체에서 소수 캐리어 농도 $n_h = n_i^2/n_e$ 는 다시 $e^{-\varepsilon_g/\tau}$ 로 간격 전체가 활성화 에너지가 되고, 그래서 pn 접합의 역방향 누설전류(12.2.8)는 $\varepsilon_g$ 로, 진성 전도는 $\varepsilon_g/2$ 로 온도에 매달린다.

그림 6.7-3. 진성 캐리어 농도의 아레니우스 그림 — 가로축 1000/T, 세로축 로그 눈금의 n_i. Ge·Si·GaAs가 거의 직선이고 기울기가 −ε_g/2k다. 간격이 클수록 곡선이 아래에 놓이고 가파르다. 300 K에서 Ge 2×10¹³, Si 10¹⁰, GaAs 2×10⁶ cm⁻³ — 간격 0.76 eV 차이가 일곱 자릿수 차이를 만든다. 직선에서 아주 조금 휘는 것은 √(n_c n_v)의 T^{3/2}와 간격 자체의 온도 의존성 때문이다.직접 작도

숫자 감각을 적어 둔다. 300 K 에서 Si 의 $n_i \approx 10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 은 원자 밀도 $5\times10^{22}$ 의 $10^{-13}$ 이다 — 원자 10조 개에 캐리어 하나. 그런데 그 미미한 수가 온도에 얼마나 예민한가 하면

\frac{d\ln n_i}{dT} = \frac{3}{2T} + \frac{\varepsilon_g}{2k_BT^2} \;\approx\; 0.005 + 0.072 = 0.077\ \mathrm{K^{-1}}

이라 1 K 에 8 %, 10 K 에 두 배다. 둘째 항(간격)이 첫째 항( $T^{3/2}$ )의 열네 배다. Ge 는 간격이 작아 300 K 에 $2\times10^{13}$ 이고, 보통 도핑 $10^{15}$ 와 같아지는 온도가 390 K 에 불과하다 — Ge 소자가 뜨거워지면 도핑이 무의미해지는 이유이고, 1960년대에 Si 로 갈아탄 이유 하나가 이 숫자다. 같은 계산으로 Si 는 550 K, GaAs 는 770 K 이며 SiC·GaN 은 그보다 훨씬 위라 고온 소자 재료가 된다(17부).

주의

아레니우스 기울기는 $\varepsilon_g(T)$ 가 아니라 $\varepsilon_g(0)$ 에 가깝다. 간격은 온도가 오르면 조금 줄어든다 — Si 는 0 K 의 1.17 eV 에서 300 K 의 1.12 eV 로. 그 의존성을 근사적으로 $\varepsilon_g(T) \approx \varepsilon_g(0) - \alpha T$ 로 쓰면 $e^{-\varepsilon_g(T)/2k_BT} = e^{\alpha/2k_B}\,e^{-\varepsilon_g(0)/2k_BT}$ 가 되어, 온도에 무관한 상수 $e^{\alpha/2k_B}$ 가 앞으로 빠지고 지수에는 $\varepsilon_g(0)$ 만 남는다. 그래서 $\ln n_i$ 대 $1/T$ 의 기울기에서 읽은 “간격”은 실온 값보다 0 K 값에 가깝다. 실측 기울기에서 간격을 꺼낼 때 늘 걸리는 함정이고, 거꾸로 실온 간격을 넣어 $n_i$ 를 계산하면 $T^{3/2}$ 와 상쇄돼 우연히 잘 맞는 일이 잦다.

또 하나. $n_i$ 의 실측값은 오래된 교재의 $1.45\times10^{10}$ 에서 현재 $1.0\times10^{10}$ 으로 바뀌었다(Sproul·Green 1991, Altermatt 2003). $n_i^2$ 이 들어가는 양은 두 배 차이가 나므로 어느 값을 쓰는지 밝혀야 한다. 이 백과는 $1.0\times10^{10}$ 을 쓴다.

진성 페르미 준위 — 간격 중앙에서 조금 비켜 있다

진성 반도체의 $\mu$ 를 $\mu_i$ 라 하고 $n_e = n_h$ 에 고전 영역의 식을 넣으면

n_c\,e^{(\mu_i-\varepsilon_c)/\tau} = n_v\,e^{(\varepsilon_v-\mu_i)/\tau} \quad\Longrightarrow\quad \mu_i = \frac{\varepsilon_c+\varepsilon_v}{2} + \frac{\tau}{2}\ln\frac{n_v}{n_c} = \frac{\varepsilon_c+\varepsilon_v}{2} + \frac{3\tau}{4}\ln\frac{m_h^{*}}{m_e^{*}}

이다. 둘째 등호는 $n_v/n_c = (m_h^{*}/m_e^{*})^{3/2}$ 를 넣은 것이다. 유효질량이 같으면 정확히 간격 중앙이고, 다르면 가벼운 밴드 쪽으로 비켜 선다. 이유는 무거운 밴드에 상태가 더 많기 때문이다 — 같은 수의 전자와 정공을 만들려면 상태가 많은 쪽에서는 $\mu$ 가 멀어도 되고 상태가 적은 쪽에는 가까워야 한다. GaAs 는 전자가 정공보다 일곱 배 가벼워 $\mu_i$ 가 중앙보다 $35\,\mathrm{meV}$ 위에 있고, Si 는 두 질량이 비슷해 몇 meV 안쪽이다. 온도에 비례해 벌어지므로 $T \to 0$ 에서는 어느 물질이든 정확히 중앙이다.

$\mu_i$ 를 기준점으로 삼으면 도핑된 반도체의 캐리어 식이 대칭적으로 정리된다:

n_e = n_i\,e^{(\mu-\mu_i)/\tau}, \qquad n_h = n_i\,e^{(\mu_i-\mu)/\tau}

$\mu$ 가 $\mu_i$ 보다 위면 전자가, 아래면 정공이 $n_i$ 보다 많고, 두 식을 곱하면 바로 $n_i^2$ 이다. 11부의 밴드 다이어그램에 늘 그려지는 점선 $E_i$ 가 이 $\mu_i$ 이고, 실제 페르미 준위가 그 점선에서 얼마나 위·아래인가가 도핑의 로그 눈금이다(5절).

질량 작용을 쓰는 법과 깨지는 곳

$n_e n_h = n_i^2$ 은 진성 반도체에서 유도했지만 도핑된 반도체에서도 그대로 성립한다 — 유도에 $\mu$ 의 위치를 전혀 쓰지 않았기 때문이다. 그래서 다수 캐리어를 알면 소수 캐리어는 나눗셈이다. Si 에 도너 $10^{15}\,\mathrm{cm^{-3}}$ : $n_e \approx 10^{15}$ , $n_h = n_i^2/n_e \approx 10^{5} \,\mathrm{cm^{-3}}$ . 열 자릿수 차이다. 이 $10^{5}$ 이 pn 접합의 확산 전류를 지고(12.2), 이것이 빛으로 $10^{12}$ 이 되면 광다이오드가 되며(17부), 캐리어 수명을 정하는 것도 이 소수 캐리어의 재결합이다(11.3).

성립하지 않는 곳도 셋 알아 둔다.

축퇴 반도체. 유도가 볼츠만 식을 썼다. $\mu$ 가 밴드 안에 들어가면 $n_e$ 는 $F_{1/2}$ 로 계산해야 하고 곱은 $n_i^2$ 보다 작아진다 — 볼츠만 식이 과대평가하므로. $10^{19}$ 이상의 에미터·소스 영역에서는 밴드갭 축소 효과까지 겹쳐 유효 $n_i$ 가 커지는 쪽으로 보정한다(11.1.8, 12.9.6).
평형이 아닐 때. 빛을 쬐거나 전류를 흘리면 전자와 정공이 각자의 화학퍼텐셜 $\mu_e$ , $\mu_h$ 를 갖고 $n_e n_h = n_i^2\,e^{(\mu_e-\mu_h)/\tau}$ 가 된다(5절). 곱이 $n_i^2$ 보다 크면 순 재결합, 작으면 순 생성이 일어난다 — 11.3 의 $np - n_i^2$ 이 그 척도다.
온도가 바뀌면 $n_i$ 도 바뀐다. 상수처럼 보이지만 $n_i^2$ 은 온도의 함수다. 소자의 온도가 오르면 소수 캐리어가 $e^{-\varepsilon_g/\tau}$ 로 늘어 누설 전류가 10 K 에 두 배씩 커진다 — $n_i$ 의 8 %/K 를 제곱한 값이다.

도너·억셉터의 이온화와 깊은 준위

수소형 불순물 — 결정 속의 수소 원자

Si 격자의 자리 하나를 5족 원자(P, As, Sb)가 차지하면 결합에 쓰이는 전자 넷 말고 하나가 남는다. 남은 전자는 원자핵의 여분 양전하 $+q$ 에 묶이는데, 결정 속이므로 쿨롱 힘이 유전율 $\epsilon_r$ 만큼 약해지고 전자의 관성은 $m_e^{*}$ 다. 곧 수소 원자 문제 (5.5.5수소 원자와 스펙트럼) 에서 $q^2 \to q^2/\epsilon_r$ , $m \to m_e^{*}$ 로 바꾼 것이다. 결합 에너지와 보어 반지름은

\varepsilon_c - \varepsilon_d = 13.6\,\mathrm{eV}\times\frac{m_e^{*}/m}{\epsilon_r^2}, \qquad a^{*} = 0.053\,\mathrm{nm}\times\frac{\epsilon_r}{m_e^{*}/m}

이다. Si( $\epsilon_r = 11.7$ , 전도도 유효질량 $0.26m$ )에 넣으면 $26\,\mathrm{meV}$ , $2.4\,\mathrm{nm}$ ; GaAs( $12.9$ , $0.067m$ )는 $5.5\,\mathrm{meV}$ , $10\,\mathrm{nm}$ 다. 실측은 Si 의 P 가 45, As 54, Sb 39 meV 이고 GaAs 는 6 meV 안팎이다. 수소 모형이 GaAs 에서는 거의 맞고 Si 에서는 두 배쯤 작게 준다 — 보어 반지름 $2.4\,\mathrm{nm}$ 가 격자 상수 $0.54\,\mathrm{nm}$ 의 몇 배에 불과해 핵 근처 셀 안의 퍼텐셜이 쿨롱 꼴에서 벗어나는 중심 셀 보정이 들어가기 때문이다. 그래도 자릿수는 맞고, 중요한 것은 이 에너지가 $\tau$ 와 같은 자릿수라는 사실이다. 실온의 $\tau = 26\,\mathrm{meV}$ 면 도너의 전자 대부분이 전도대로 풀려나고(다음 소절), 액체 질소 온도 $6.6\,\mathrm{meV}$ 면 상당수가 다시 묶인다.

3족 원자(B, Al, Ga, In)는 결합 전자가 하나 모자라 정공을 묶는다. 억셉터 준위 $\varepsilon_a$ 는 가전자대 위 $\varepsilon_a - \varepsilon_v$ 에 있고, Si 의 B 가 45 meV 다. 전자가 가전자대에서 이 준위로 올라가면(정공이 준위에서 가전자대로 내려가면) 억셉터는 $-q$ 로 이온화되고 자유 정공 하나가 생긴다.

이런 준위를 얕은 준위라 한다. “얕다”는 $\varepsilon_c-\varepsilon_d \lesssim$ 몇 $\tau$ 라는 뜻이고, 그 근거가 수소 모형의 넓은 파동함수다. 파동함수가 수십~수천 개 원자에 걸쳐 퍼져 있어 결정이 유전율과 유효질량을 가진 연속 매질로 보이고, 그래서 불순물의 화학이 무엇이든 결합 에너지가 거의 같다. In 의 160 meV 처럼 이 그림이 깨지기 시작하는 자리부터가 이 절 끝의 깊은 준위다.

도너 준위의 점유 — 깁스 합과 ½ 인자

도너 준위에 전자가 있을 확률은 페르미–디랙 함수가 아니다. 페르미–디랙 함수는 “한 궤도에 전자가 0개 아니면 1개”인 계의 결과인데, 도너 자리는 스핀 두 궤도를 갖고 있으면서 두 궤도를 동시에 채울 수 없다 — 두 번째 전자가 들어오면 첫 전자의 쿨롱 반발 때문에 결합이 거의 없어진다 (수소 음이온 $\mathrm H^-$ 에 해당하는 $\mathrm D^-$ 상태의 결합 에너지는 도너 결합 에너지의 1/20 정도, Si 에서 2 meV 안팎이라 어떤 실용 온도에서도 풀려 있다). 그러니 도너 하나를 전자 저장체(결정)와 전자를 주고받는 작은 계로 놓고 깁스 합 (6.4.4깁스 인자와 대분배함수) 을 처음부터 세워야 한다.

그림 6.7-4. 도너 자리 하나의 깁스 합. 가능한 배치는 넷 — 비어 있음(N = 0, ε = 0), 전자 하나가 스핀 ↑(N = 1, ε_d), 스핀 ↓(N = 1, ε_d), 전자 둘(N = 2). 마지막은 두 전자의 쿨롱 반발로 사실상 묶이지 않아 제외한다. 남은 세 항의 깁스 합 𝒵 = 1 + 2λe^{−ε_d/τ}에서 전자가 있을 확률은 1/[1 + ½e^{(ε_d−μ)/τ}] — 페르미–디랙 함수의 지수 앞에 ½이 붙는다. 스핀 둘 중 하나만 올 수 있어서 생기는 인자다.직접 작도

절대 활동도 $\lambda = e^{\mu/\tau}$ 로 쓰면 깁스 합은 상태마다 $\lambda^N e^{-\varepsilon/\tau}$ 를 더한 것이다:

\mathcal Z = 1 + \lambda e^{-\varepsilon_d/\tau} + \lambda e^{-\varepsilon_d/\tau} = 1 + 2\lambda\,e^{-\varepsilon_d/\tau}

전자가 있을 확률(두 스핀 항의 몫)은

\langle N\rangle = \frac{2\lambda e^{-\varepsilon_d/\tau}}{1+2\lambda e^{-\varepsilon_d/\tau}} = \frac{1}{1+\tfrac12\,e^{(\varepsilon_d-\mu)/\tau}}

이다. 페르미–디랙 함수 $1/(1+e^{(\varepsilon-\mu)/\tau})$ 와 비교하면 지수 앞에 $\tfrac12$ 이 붙었다. 이것을 도너 농도에 곱하면 중성(전자를 가진) 도너와 이온화된 도너의 농도가 된다:

n_d^{0} = \frac{n_d}{1+\tfrac12\,e^{(\varepsilon_d-\mu)/\tau}}, \qquad n_d^{+} = n_d - n_d^{0} = \frac{n_d}{1+2\,e^{(\mu-\varepsilon_d)/\tau}}

$\tfrac12$ 인자는 $\tfrac12 e^{(\varepsilon_d-\mu)/\tau} = e^{(\varepsilon_d - \tau\ln2 - \mu)/\tau}$ 로 읽으면 “준위가 $\tau\ln2$ 만큼 내려간 페르미–디랙 함수”다. 300 K 에서 18 meV — 도너가 스핀 둘 중 하나로 전자를 받을 수 있다는 엔트로피 이득이 준위를 그만큼 낮춰 준 것이다. 축퇴도 $g$ 인 준위면 일반적으로 $\tau\ln g$ 다.

억셉터는 논리가 같고 숫자가 다르다. 이온화된(전자를 받은, $-q$ ) 억셉터는 닫힌 껍질이라 상태가 하나이고, 중성 억셉터는 정공 하나를 갖는데 그 정공이 놓일 수 있는 상태가 $g_a$ 개다. 깁스 합에서 전자 수가 1인 항이 하나, 0인 항이 $g_a$ 개이므로

n_a^{-} = \frac{n_a}{1+g_a\,e^{(\varepsilon_a-\mu)/\tau}}

이다. $g_a$ 는 스핀만 세면 2 이고(Kittel·Kroemer), Si·Ge·GaAs 에서는 무거운·가벼운 정공 밴드가 $k = 0$ 에서 겹쳐 있어 스핀 2 × 밴드 2 = 4 다(Sze). 이 백과는 11부와 맞춰 $g_a = 4$ 를 쓴다. 가전자대 꼭대기의 이중 축퇴(7.9)를 세느냐의 차이일 뿐이고, 결과에 미치는 영향은 준위가 $\tau\ln2$ 더 올라가는 정도다.

전하 중성 — 화학퍼텐셜을 정하는 식과 세 온도 구간

지금까지 모든 농도를 $\mu$ 의 함수로 썼다. $\mu$ 자체를 정하는 것은 결정이 전기적으로 중성이라는 조건 하나다. 음전하는 전도대 전자와 이온화된 억셉터, 양전하는 정공과 이온화된 도너:

n_e + n_a^{-} = n_h + n_d^{+}

좌변은 $\mu$ 의 증가 함수, 우변은 감소 함수라 해가 하나뿐이고, 일반적으로는 수치로 푼다. 그러나 온도 구간마다 항 둘만 살아남아 손으로 풀린다. 도너만 있는 n형( $n_a = 0$ )으로 본다.

① 외인성 구간 — 실온 근처. $\tau \gtrsim \varepsilon_c-\varepsilon_d$ 라 도너가 거의 다 이온화되고( $n_d^{+} \approx n_d$ ), 진성 농도는 도핑보다 훨씬 작다( $n_h \ll n_d$ ). 그러면

n_e \approx n_d, \qquad \mu = \varepsilon_c - \tau\ln\frac{n_c}{n_d}, \qquad n_h = \frac{n_i^2}{n_d}

캐리어 농도가 온도에 무관하고 도핑이 그대로 전자 수다. 소자가 이 구간에서 동작하도록 설계된다. 억셉터도 있으면(보상) $n_e \approx n_d - n_a$ 로 차이만 남는다 — 두 불순물이 서로의 캐리어를 지우고, 이온화된 불순물은 둘 다 그대로 남아 산란만 늘린다(11.2.2).

이온화가 얼마나 완전한지는 $\mu$ 가 $\varepsilon_d$ 에서 얼마나 아래인가로 정해진다. Si 300 K, 도너 준위 $\varepsilon_c - 45\,\mathrm{meV}$ 에서

$n_d$ (cm⁻³)	$10^{15}$	$10^{16}$	$10^{17}$	$10^{18}$
$\varepsilon_c-\mu$ (eV)	0.265	0.206	0.146	0.093
$n_d^{+}/n_d$	99.96 %	99.6 %	96 %	76 %

$10^{17}$ 까지는 “전부 이온화”가 맞고, $10^{18}$ 부터는 $\mu$ 가 준위에 가까워져 넷 중 하나가 전자를 붙들고 있다. (실제 Si 에서는 이 농도부터 도너 파동함수가 겹쳐 준위가 밴드로 합쳐지고 이온화 에너지가 0으로 가므로 표의 76 % 는 과장이다 — 11.1.8 의 모트 전이.)

② 동결 구간 — 저온. $\tau \ll \varepsilon_c-\varepsilon_d$ 이면 전자가 도너로 되돌아간다. $n_h$ 는 무시하고 $n_e = n_d^{+}$ 에 두 식을 넣으면

n_e\left(1 + 2\,e^{(\mu-\varepsilon_d)/\tau}\right) = n_d, \qquad e^{\mu/\tau} = \frac{n_e}{n_c}\,e^{\varepsilon_c/\tau} \quad\Longrightarrow\quad n_e + \frac{2n_e^2}{n_c}\,e^{(\varepsilon_c-\varepsilon_d)/\tau} = n_d

이차방정식이고 정확한 해는

n_e = \frac{n_c}{4}\,e^{-\Delta/\tau} \left[\sqrt{1+\frac{8n_d}{n_c}\,e^{\Delta/\tau}}-1\right], \qquad \Delta \equiv \varepsilon_c-\varepsilon_d

이다. 근호 안의 둘째 항이 작으면(고온) $n_e \to n_d$ 로 ①에 이어지고, 크면(저온)

n_e \approx \sqrt{\frac{n_c n_d}{2}}\;e^{-\Delta/2\tau}, \qquad \mu \approx \frac{\varepsilon_c+\varepsilon_d}{2} + \frac{\tau}{2}\ln\frac{n_d}{2n_c}

가 된다. 활성화 에너지가 $\Delta/2$ 다 — 3절의 $\varepsilon_g/2$ 와 같은 구조로, 이번에는 “도너의 전자 하나가 전도대의 전자 하나와 빈 도너 하나가 되는” 반응 $\mathrm D^0 \rightleftharpoons e^- + \mathrm D^+$ 의 질량 작용 $n_e n_d^{+}/n_d^{0} = \tfrac12 n_c e^{-\Delta/\tau}$ 에서 $n_e = n_d^{+}$ 를 넣어 제곱근을 취한 것이다. $\mu$ 는 $T \to 0$ 에서 $\varepsilon_c$ 와 $\varepsilon_d$ 의 중간으로 간다 — 마지막 전자가 도너 준위와 전도대 바닥 사이 어딘가에 있어야 두 준위의 점유가 모두 0으로 가면서 비가 맞기 때문이다.

보상이 있으면( $n_a \ne 0$ ) 저온의 모습이 달라진다. 억셉터가 도너의 전자 $n_a$ 개를 먼저 가져가 버리므로 도너 준위는 $T = 0$ 에서도 부분적으로 비어 있고, $\mu$ 는 $\varepsilon_d$ 에 고정된다. 그러면 $n_e = n_c\,e^{(\mu-\varepsilon_c)/\tau}$ 의 활성화 에너지가 $\Delta/2$ 가 아니라 $\Delta$ 전체가 된다:

n_e \approx \frac{n_c\,(n_d-n_a)}{2n_a}\,e^{-\Delta/\tau} \qquad (n_e \ll n_a)

홀 효과로 잰 $\ln n_e$ 대 $1/T$ 의 저온 기울기가 $\Delta/2$ 면 보상이 없고 $\Delta$ 면 보상이 있다 — 같은 물질에서 두 기울기가 다 관측되고, 이 차이로 보상 정도를 읽는다(11.2.9).

③ 진성 구간 — 고온. $n_i$ 가 $n_d$ 를 넘어서면 도핑은 잊히고 $n_e \approx n_h \approx n_i$ , $\mu \to \mu_i$ 다. 경계 온도는 $n_i(T) = n_d$ 를 풀면 되고 앞 절의 숫자(Si $10^{15}$ 에 550 K)가 그것이다.

그림 6.7-5. n형 Si의 전자 농도 대 1000/T — 전하 중성을 μ에 대해 풀어 그린 것. 도너 10¹⁵ cm⁻³(강조)은 고온에서 진성 농도 점선을 따라 −ε_g/2k의 기울기로 가파르게 오르고(진성), 넓은 중간 온도에서 도핑 값으로 평평하며(외인성), 저온에서 도너가 전자를 되찾아 −ε_d/2k의 기울기로 내려간다(동결). 10¹⁷(보조)은 평평한 구간이 위로 올라가고, 이온화 비율은 더 높은 온도에서부터 떨어지기 시작한다. 도너 준위 ε_c − 45 meV, 축퇴도 2.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 세 구간의 경계를 무엇이 옮기는가.

동결이 시작되는 온도는 $\Delta$ 와 $n_d$ 가 정한다. 이온화 비율 $n_e/n_d \approx \sqrt{n_c/2n_d}\,e^{-\Delta/2\tau}$ 는 $n_d$ 가 클수록 작다 — 전자가 많으면 도너로 되돌아갈 기회도 많다. 그래서 진하게 도핑할수록 동결이 더 높은 온도에서 시작된다(그림의 $10^{17}$ 곡선). Si 의 $10^{15}$ 은 77 K 에서 74 % 이온화, $10^{17}$ 은 14 % 다. GaAs 는 $\Delta = 6\,\mathrm{meV}$ 라 수십 K 아래에서야 얼기 시작하고, $10^{17}$ 이상이면 도너 준위가 밴드에 합쳐져 아예 얼지 않는다.
진성이 시작되는 온도는 $\varepsilon_g$ 와 $n_d$ 가 정한다. $n_i(T) = n_d$ 이고, 도핑을 열 배 올리면 그 온도가 Si 에서 100 K 안팎 위로 밀린다( $10^{15}$ 에 550 K, $10^{16}$ 에 650 K, $10^{17}$ 에 790 K). 넓은 간격이 근본 해결이다 — 같은 $10^{15}$ 에 Ge 390 K, GaAs 770 K.
평평한 구간의 높이는 $n_d - n_a$ 다. 보상은 높이를 낮추면서 산란 중심은 그대로 두므로 같은 캐리어 농도에서 이동도가 나쁘다.
소자는 이 평평한 구간 안에서만 설계된 대로 동작한다. 냉각 전자공학(77 K)에서 도핑 농도를 올려야 하는 이유, 자동차용 반도체가 150 °C 를 넘기지 않는 이유가 각각 왼쪽 경계와 오른쪽 경계다.

깊은 준위 — 수소 모형이 깨지는 곳

Au, Fe, Cu, Pt, Zn 같은 전이 금속과 몇몇 결함(공공, 격자간 원자, 전위)은 간격 깊숙이 준위를 만든다 — Si 의 Au 는 $\varepsilon_c - 0.54\,\mathrm{eV}$ 에 억셉터 준위, $\varepsilon_v + 0.35\,\mathrm{eV}$ 에 도너 준위를 갖고, GaAs 의 EL2 결함은 간격 중앙 근처( $\varepsilon_c - 0.75$ )에 있다. 수소 모형은 여기서 소용없다. 파동함수가 격자 상수 한두 개 안에 갇혀 있어 결정이 연속 매질로 보이지 않고, 준위의 위치가 불순물의 화학(원자가 상태, 결합 방식)으로 정해진다. 같은 원소가 여러 전하 상태를 가지면 준위도 여럿이다.

통계는 그래도 같은 방법이다. 준위 하나의 점유는 그 준위가 가질 수 있는 배치의 깁스 합이고, 빈 상태의 축퇴도 $g_0$ 와 찬 상태의 축퇴도 $g_1$ 이 있으면

f_t = \frac{1}{1 + \dfrac{g_0}{g_1}\,e^{(\varepsilon_t-\mu)/\tau}}

이다. 도너는 $g_0/g_1 = 1/2$ , 억셉터는 $g_0/g_1 = 4$ 인 특수한 경우다. 실무에서는 축퇴 인자를 $\varepsilon_t$ 안에 흡수시켜 “유효 준위”로 다루는 일이 많다.

깊은 준위가 통계에서 하는 일은 셋이다.

페르미 준위 고정(pinning). 깊은 준위 농도 $n_t$ 가 얕은 도핑의 차이 $\lvert n_d - n_a\rvert$ 보다 크면, 전하 중성은 깊은 준위가 부분적으로 찬 상태에서 만족되고 $\mu$ 는 $\varepsilon_t$ 근처에 묶인다 — 도핑을 조금 바꿔도 $\mu$ 가 움직이지 않는다. Cr 이나 EL2 로 $\mu$ 를 간격 중앙에 묶은 반절연 GaAs( $\rho \sim 10^8\,\Omega\,\mathrm{cm}$ )가 이것으로 만들어지고, 고주파 소자의 기판이 된다. 금속–반도체 계면에서 계면 준위가 $\mu$ 를 묶는 것(12.5.3)도 같은 통계다.
재결합 중심. 간격 중앙 근처의 준위는 전도대 전자와 가전자대 정공을 번갈아 잡을 수 있는 자리다 — 두 밴드에서 비슷하게 멀기 때문이다. 얕은 준위는 한쪽 밴드와만 교환한다. 그래서 캐리어 수명을 정하는 것은 거의 언제나 깊은 준위이고, 그 통계가 11.3.5 의 SRH 이론이다. 수명을 일부러 줄이려고 Au 나 Pt 를 넣거나 전자선을 쬐고(고속 스위칭 다이오드), 반대로 의도치 않은 Fe 오염은 $10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 수준부터 태양전지의 수명을 눈에 띄게 깎는다(19부의 오염 관리).
보상. 깊은 억셉터는 얕은 도너의 전자를 가져가 캐리어를 지운다. 의도치 않은 깊은 준위가 많으면 도핑한 만큼 캐리어가 나오지 않는다.

의문

왜 얕은 준위는 얕고 깊은 준위는 깊은가. 얕은 준위의 결합은 긴 거리의 쿨롱 꼬리가 만든다 — 전하 $\pm q$ 가 유전율로 가려진 $1/\epsilon_r r$ 퍼텐셜이고, 그 결합 에너지는 $m^{*}/\epsilon_r^2$ 로 물질이 정한다. 깊은 준위의 결합은 셀 하나 안의 짧은 거리 퍼텐셜이 만든다 — 끊어진 결합, $d$ 오비탈, 크기가 다른 원자의 변형. 이런 퍼텐셜은 유전율로 가려지지 않고 유효질량도 소용없다. 둘 사이에 연속적인 중간이 있다(Si 의 In 160 meV, S 의 이중 도너 300 meV). 한 원소가 어느 쪽인가는 계산(7부·10부의 밀도범함수)이나 실험(DLTS, 19부)으로 정하고, 이 장의 통계는 준위가 어디 있든 그대로 쓴다.

화학퍼텐셜로 읽는 페르미 준위

페르미 준위는 상태가 아니라 화학퍼텐셜이다

소자 문헌은 $\mu$ 를 페르미 준위 $E_F$ 라 부른다. 금속에서는 이 이름이 자연스럽다 — $T = 0$ 에서 전자가 채운 가장 높은 궤도의 에너지 $\varepsilon_F$ 가 있고, $\mu(T)$ 는 거기서 $(\tau/\varepsilon_F)^2$ 정도만 벗어난다 (6.5.6페르미 기체와 페르미 준위). 반도체에서는 $\mu$ 가 간격 안에 있다. 그 에너지를 가진 전자는 하나도 없고, 가질 수 있는 상태조차 없다. 그런데도 “페르미 준위”라 부르는 것이 처음에는 걸린다.

걸릴 것 없다. $\mu$ 는 어떤 전자의 에너지가 아니라 전자 하나를 더 넣을 때 자유에너지가 얼마나 느는가, $\mu = (\partial F/\partial N)_{\tau,V}$ 다 (6.4.1화학퍼텐셜의 정의와 물리적 의미). 반도체에 전자를 하나 더 넣으면 그 전자는 $\varepsilon_c$ 근처로 간다 — 에너지는 $\varepsilon_c$ 만큼 든다. 그러나 비어 있는 상태가 $n_c$ 개나 되므로 어느 상태에 넣을지의 엔트로피 $\sigma = \ln(n_c/n_e)$ 를 얻고, 자유에너지 $F = U - \tau\sigma$ 로 보면 비용이

\mu = \varepsilon_c - \tau\ln\frac{n_c}{n_e}

만큼만 든다. 1절의 식을 뒤집은 것과 같다. 6.5.1 의 고전 이상 기체 $\mu = \tau\ln(n/n_Q)$ 에서 에너지 원점을 $\varepsilon_c$ 로 옮긴 꼴이고, 그래서 반도체의 페르미 준위는 캐리어 기체의 이상 기체 화학퍼텐셜이다. 간격 안에 있는 것은 상태가 없어서가 아니라, 상태가 남아돌아 엔트로피 이득이 $\mu$ 를 밴드 아래로 끌어내리기 때문이다. $n_e$ 가 $n_c$ 에 가까워지면 이득이 사라지고 $\mu$ 가 밴드 안으로 들어간다 — 그것이 축퇴다.

위치 읽기 — 한 자릿수에 60 meV

진성 준위를 기준으로 쓴 3절의 식을 뒤집으면

\mu - \mu_i = \tau\ln\frac{n_e}{n_i} = -\tau\ln\frac{n_h}{n_i}

이다. 페르미 준위가 간격 중앙에서 얼마나 떨어져 있는가가 도핑의 로그 눈금이고, 300 K 에서 눈금 한 칸(열 배)이

\tau\ln 10 = 59.5\,\mathrm{meV}

다. Si 에서 $n_i = 10^{10}$ 이니 $n_e = 10^{15}$ 은 다섯 칸, $\mu - \mu_i = 0.30\,\mathrm{eV}$ ; $10^{17}$ 은 일곱 칸, $0.42\,\mathrm{eV}$ 다. 간격의 절반 $0.56\,\mathrm{eV}$ 는 아홉 칸 반이고, $n_e \approx n_c$ 에서 밴드 바닥에 닿는다. 밴드 다이어그램에 $E_F$ 가 그려져 있으면 $E_i$ 에서의 거리를 60 meV 로 나눠 도핑을 읽는 습관이 여기서 나온다.

Si, 300 K	$\varepsilon_c-\mu$ (eV)	$\mu-\mu_i$ (eV)
$n_e = 10^{14}$	0.325	0.24
$10^{15}$	0.265	0.30
$10^{16}$	0.206	0.36
$10^{17}$	0.146	0.42
$10^{18}$	0.087	0.48
$10^{19}$	0.024	0.54
$10^{20}$	$-0.063$	(축퇴)

마지막 두 줄은 $F_{1/2}$ 로 계산한 값이다. $10^{19}$ 부터 볼츠만 식과 몇 meV 갈리고 $10^{20}$ 에서는 $\mu$ 가 전도대 안 $63\,\mathrm{meV}$ 에 있다.

온도가 오르면 진성으로 돌아온다

4절의 세 구간을 $\mu$ 의 눈으로 다시 보면 한 그림이 된다.

그림 6.7-6. Si의 페르미 준위 대 온도 — 전하 중성을 풀어 그린 것, 간격 중앙 기준. 도너 10¹⁴·10¹⁶·10¹⁸ cm⁻³(위 셋)은 저온에서 전도대 근처(ε_c와 ε_d의 중간)에서 출발해 온도가 오르면서 내려오고, 억셉터 같은 농도(아래 셋)는 가전자대 근처에서 올라온다. 모두 진성 준위 μ_i(점선)로 모이며, 농도가 진할수록 모이는 온도가 높다. 회색 띠는 밴드로, 온도가 오르면 간격이 조금 좁아진다. 불순물 준위는 가장자리에서 45 meV, 축퇴도 2·4. 10¹⁸에서는 준위가 밴드로 합쳐지는 효과를 무시했다.직접 작도

저온에서 $\mu$ 는 $(\varepsilon_c+\varepsilon_d)/2$ 에서 출발한다(4절 ②). 보상이 있으면 $\varepsilon_d$ 에서 출발한다.
외인성 구간에서 $\mu = \varepsilon_c - \tau\ln(n_c/n_d)$ 인데 $n_c \propto T^{3/2}$ 라 $\ln(n_c/n_d)$ 가 천천히 커지고 $\tau$ 는 선형으로 커지므로, $\mu$ 는 온도에 대해 거의 직선으로 내려온다. 기울기는 $-k_B\ln(n_c/n_d)$ 에 가깝고 도핑이 옅을수록 가파르다 — $10^{15}$ 에서 약 $-1\,\mathrm{meV/K}$ .
진성 구간에 들어서면 $\mu \to \mu_i$ 다. 도핑이 진할수록 이 합류가 늦다.

기울기 $-1\,\mathrm{meV/K}$ 는 작지 않다. 온도가 100 K 오르면 $\mu$ 가 0.1 eV 움직이고, 다이오드의 순방향 전압이 $-2\,\mathrm{mV/K}$ 로 떨어지는 것(12.2.8), 밴드갭 기준 전압원이 이 기울기를 상쇄하도록 설계되는 것(22부)이 다 여기서 나온다.

전체 화학퍼텐셜 — 밴드는 휘고 페르미 준위는 평평하다

지금까지의 $\mu$ 는 균일한 결정의 것이었다. 도핑이 자리에 따라 다르거나(pn 접합), 다른 물질이 붙어 있거나(금속–반도체, 이종 접합), 외부에서 전압이 걸리면 정전 퍼텐셜 $\phi(x)$ 가 생기고 전자의 에너지 전부가 $-q\phi(x)$ 만큼 옮겨진다. 6.4.2 가 이것을 내부·외부 화학퍼텐셜로 갈랐다 (6.4.2내부·외부 화학퍼텐셜과 전기화학퍼텐셜):

\mu = \mu_{\mathrm{int}}(x) + \mu_{\mathrm{ext}}(x), \qquad \mu_{\mathrm{ext}} = -q\phi(x)

내부 화학퍼텐셜은 국소 농도로 정해지는 이 장의 $\mu$ — $\varepsilon_{c0} - \tau\ln(n_c/n_e(x))$ — 이고, 외부 화학퍼텐셜은 그 자리의 정전 에너지다. 밴드 다이어그램의 언어로는 전도대 바닥이 자리마다 $\varepsilon_c(x) = \varepsilon_{c0} - q\phi(x)$ 로 휘고, 국소 캐리어 농도는 그 휜 밴드에서 잰 거리로 정해진다:

n_e(x) = n_c\,e^{(\mu-\varepsilon_c(x))/\tau}

확산 평형 (6.4.3확산 평형) 의 조건은 전체 화학퍼텐셜이 어디서나 같다는 것이다. “페르미 준위가 평평하다”는 밴드 다이어그램의 규칙이 이 문장이다. 이것 하나에서 두 결과가 곧장 나온다.

볼츠만 관계. $\mu$ 가 상수이므로 두 지점의 농도 비는 정전 퍼텐셜 차이의 볼츠만 인자다:

\frac{n_e(x_2)}{n_e(x_1)} = e^{q[\phi(x_2)-\phi(x_1)]/\tau}

전자는 퍼텐셜이 높은 곳(에너지가 낮은 곳)에 몰리고, $\tau/q = 25.9\,\mathrm{mV}$ 마다 $e$ 배다. 11.4.3 이 이 이름으로 이 식을 쓰고, 공핍 근사·MOS 반전층·문턱 아래 전류가 전부 이 지수 하나에서 나온다.

접합의 내부 전위. n 영역과 p 영역을 붙여 평형이 되면, 붙이기 전 두 영역의 (내부) 화학퍼텐셜 차이만큼 정전 퍼텐셜이 생겨 전체 $\mu$ 를 맞춘다:

qV_{bi} = \mu_{\mathrm{int},n} - \mu_{\mathrm{int},p} = \tau\ln\frac{n_d}{n_i} + \tau\ln\frac{n_a}{n_i} = \tau\ln\frac{n_d\,n_a}{n_i^2}

Si 에 $10^{15}/10^{15}$ 면 $0.60\,\mathrm V$ , $10^{17}/10^{17}$ 이면 $0.83\,\mathrm V$ 다. 접합의 정전기(어디서 얼마나 휘는가)는 12.1 의 일이지만, 휘는 총량은 통계역학이 여기서 이미 정했다. 같은 논리로 금속–반도체 접합의 장벽은 일함수 차이이고, 일함수 $\Phi = \chi + (\varepsilon_c - \mu)$ 에서 $\chi$ (전자 친화도)는 물질 상수, $\varepsilon_c - \mu$ 는 이 장의 도핑 함수다(12.5.1).

그림 6.7-7. 평형의 불균일 반도체. 위: 전도대 바닥 ε_c(x) = −qφ(x)가 오른쪽으로 내려가고(내부 전기장), 화학퍼텐셜 μ는 평평하다. 전기장은 왼쪽을 향하고 전자가 받는 힘은 오른쪽을 향한다. 아래: 전자 농도 n_e ∝ e^{(μ−ε_c)/τ}는 밴드가 낮은 오른쪽에 많다. 농도 기울기가 만드는 확산 흐름은 왼쪽으로, 전기장이 만드는 드리프트 흐름은 오른쪽으로 — 두 흐름이 정확히 같아야 μ가 평평하고, 그 조건이 D_e/μ̃_e = τ/q다(6절).직접 작도

주의

“페르미 준위가 평평하다”는 전체 화학퍼텐셜의 이야기다. 밴드 다이어그램에서 $E_F$ 는 수평선인데 전자의 에너지( $E_c$ )는 자리마다 다르다 — 처음 보면 모순 같다. $E_F$ 는 내부 + 외부의 합이고 $E_c$ 는 외부 부분만 따라 휜다. 휜 만큼 내부 부분(농도)이 반대로 변해 합을 맞춘다. 밴드가 $0.6\,\mathrm{eV}$ 휘면 농도가 $e^{0.6/0.026} = 10^{10}$ 배 변한다 — pn 접합 양쪽의 $10^{15}$ 과 $10^{5}$ 이 그것이다.

전류가 흐르면 $\mu$ 는 더 이상 평평하지 않고 그 기울기가 전류를 몬다 — 6절의 식으로 말하면 $J_e = n_e\tilde\mu_e\,d\mu/dx$ 다. 기울기가 0인 것이 평형의 정의이고, 기울기 $qV$ 가 소자에 걸린 전압이다.

준페르미 준위 — 화학퍼텐셜이 둘로 갈라질 때

빛을 쬐거나 접합에 전압을 걸면 전자와 정공이 각각 자기 밴드 안에서는 평형이지만 서로는 아니다. 밴드 안의 완화(포논 방출)는 피코초이고, 두 밴드 사이의 재결합은 마이크로초라 그 사이의 시간 눈금에서 전자 기체와 정공 기체는 서로 다른 온도의 두 계처럼 — 정확히는 같은 온도이되 다른 화학퍼텐셜을 가진 두 계처럼 — 행동한다. Kittel·Kroemer 가 이것을 비평형 반도체라 부르고, 소자 문헌은 두 화학퍼텐셜을 준페르미 준위 $\mu_e$ , $\mu_h$ (소자 표기 $E_{Fn}$ , $E_{Fp}$ )라 한다:

n_e = n_c\,e^{(\mu_e-\varepsilon_c)/\tau}, \qquad n_h = n_v\,e^{(\varepsilon_v-\mu_h)/\tau}, \qquad n_e n_h = n_i^2\,e^{(\mu_e-\mu_h)/\tau}

세 번째 식이 요점이다. 질량 작용이 벌어진 만큼의 지수로 깨지고, 그 벌어짐 $\mu_e - \mu_h$ 가 재결합을 모는 화학적 구동력이다. 순방향 pn 접합에서 이 벌어짐이 공핍층 안에서 $qV$ 이고(12.2.1), 그래서 다이오드 전류가 $e^{qV/\tau}$ 다. 태양전지에서는 빛이 벌려 놓은 $\mu_e - \mu_h$ 가 단자에 나타나는 것이 개방 전압이다(17부). 이 장은 정의만 두고, 어떻게 벌어지고 어떻게 공간적으로 변하는지는 11.4 가 다룬다.

아인슈타인 관계의 유도 (캐리어 통계·수송·pn 접합의 소자 관점은 11·12부)

두 흐름 — 드리프트와 확산

전자가 움직이는 원인은 둘이다. 전기장 $\mathcal E$ 가 밀면 평균 속도 $-\tilde\mu_e\mathcal E$ 로 움직이고(드리프트, 부호는 전하가 음이라서), 농도가 고르지 않으면 많은 쪽에서 적은 쪽으로 흐른다(확산, 픽의 법칙 — 6.6.11기체 운동론과 수송 과정). 단위 넓이를 단위 시간에 지나는 전자 수(입자 선속)는

\Phi_e = -\tilde\mu_e\,n_e\,\mathcal E - D_e\,\frac{dn_e}{dx}

이고, 전류 밀도는 전하 $-q$ 를 곱해 $J_e = q\tilde\mu_e n_e\mathcal E + qD_e\,dn_e/dx$ 다. $\tilde\mu_e$ 가 이동도, $D_e$ 가 확산 계수다. 둘은 겉보기에 무관한 두 실험(전도도 측정과 확산 측정)으로 재는 서로 다른 상수처럼 보인다. 이 절의 결론은 둘이 같은 상수라는 것이다.

열역학적 유도 — 화학퍼텐셜이 평평하면 두 흐름이 상쇄한다

5절 끝의 그림이 그대로 유도다. 평형인 불균일 반도체에서 밴드가 휘어 있으면 전기장이 있고 농도 기울기도 있다. 평형이므로 순 흐름은 0이어야 한다 — 드리프트와 확산이 각각은 0이 아니면서 합이 0이다. 이 하나의 조건이 $D_e$ 와 $\tilde\mu_e$ 를 묶는다.

평형에서 $\mu$ 는 상수이고 $\varepsilon_c(x) = \varepsilon_{c0} - q\phi(x)$ 이므로

n_e(x) = n_c\,e^{(\mu-\varepsilon_c(x))/\tau} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dn_e}{dx} = \frac{n_e}{\tau}\left(-\frac{d\varepsilon_c}{dx}\right) = \frac{q n_e}{\tau}\,\frac{d\phi}{dx} = -\frac{q n_e}{\tau}\,\mathcal E

마지막에 $\mathcal E = -d\phi/dx$ 를 썼다. 이것을 선속에 넣고 0 으로 놓으면

0 = -\tilde\mu_e n_e\mathcal E + D_e\,\frac{q n_e}{\tau}\,\mathcal E \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;D_e = \frac{\tau}{q}\,\tilde\mu_e\;}

이것이 아인슈타인 관계다. $n_e$ 와 $\mathcal E$ 가 지워졌으므로 밴드가 어떻게 휘었든 상관없다. 정공도 부호만 따라가 $D_h = (\tau/q)\tilde\mu_h$ 다. 비례 상수 $\tau/q = k_BT/q$ 는 300 K 에서 $25.9\,\mathrm{mV}$ — 소자 문헌의 열전압 $V_T$ 다.

300 K	$\tilde\mu_e$ (cm²/V·s)	$D_e$ (cm²/s)	$\tilde\mu_h$	$D_h$
Si	1400	36	450	12
Ge	3900	101	1900	49
GaAs	8500	220	400	10

이동도는 실측(옅은 도핑)이고 확산 계수는 그것에 $0.0259$ 를 곱한 값이다. 확산 계수를 따로 재는 일은 드물다 — 아인슈타인 관계가 대신 준다.

유도를 다시 보면 실제로 쓴 것은 두 가지뿐이다 — 평형에서 $\mu$ 가 평평하다는 것과, $n_e$ 가 $\mu$ 의 어떤 함수라는 것. 볼츠만 식은 후자를 구체화했을 뿐이다. 일반적으로 쓰면

D_e = \tilde\mu_e\,\frac{n_e}{q}\,\frac{d\mu}{dn_e}

이고, 고전 영역에서 $d\mu/dn_e = \tau/n_e$ 를 넣으면 위 결과다. 축퇴 반도체에서는 2절의 $n_e = n_c\,\mathcal F_{1/2}(\eta)$ 를 넣고 $d\mathcal F_{1/2}/d\eta = \mathcal F_{-1/2}$ 를 쓰면

\frac{D_e}{\tilde\mu_e} = \frac{\tau}{q}\,\frac{\mathcal F_{1/2}(\eta)}{\mathcal F_{-1/2}(\eta)} \;\xrightarrow{\ \eta \gg 1\ }\; \frac{2}{3}\,\frac{\mu-\varepsilon_c}{q}

가 일반화된 아인슈타인 관계다 (정규화된 $\mathcal F$ 로 써야 이 꼴이 된다). 강한 축퇴에서 비례 상수가 온도 대신 페르미 에너지가 된다 — 금속에서 확산을 모는 것은 열이 아니라 파울리 압력이다. $10^{20}$ 의 소스·드레인에서 $D/\tilde\mu$ 는 $\tau/q$ 의 두 배 안팎이다.

운동론적 유도 — 같은 답, 다른 길

$D$ 와 $\tilde\mu$ 를 각각 미시적으로 계산해도 같은 결과가 나온다. 전자가 평균 속도 제곱 $\langle v^2\rangle$ 으로 움직이다가 충돌 시간 $\tau_c$ 마다 방향을 잃는 무작위 행보 (6.1.2무작위 행보와 이항 분포) 로 보면 확산 계수는 6.6.11 의 기체 운동론 그대로

D_e = \frac13\,\langle v^2\rangle\,\tau_c = \frac{\tau}{m_e^{*}}\,\tau_c

이다. 둘째 등호는 등분배 $\tfrac12 m_e^{*}\langle v^2\rangle = \tfrac32\tau$ (6.3.5등분배 정리와 고체의 열용량) 다. 드리프트는 충돌 사이에 힘 $-q\mathcal E$ 로 가속된 평균 속도 $-(q\tau_c/m_e^{*})\mathcal E$ 이므로 (드루데, 7.6.1)

\tilde\mu_e = \frac{q\,\tau_c}{m_e^{*}}

이다. 나누면 $\tau_c$ 와 $m_e^{*}$ 가 지워지고 $D_e/\tilde\mu_e = \tau/q$ — 같은 답이다.

두 유도는 하는 말이 다르다. 운동론은 $D$ 와 $\tilde\mu$ 가 각각 무엇인지(충돌 시간과 유효질량)를 말해 주고, 왜 이동도가 온도·도핑에 따라 변하는지(11.2.2–11.2.3)의 출발점이다. 열역학적 유도는 둘의 비만 말하지만, 충돌 시간이라는 그림이 맞든 틀리든 성립한다 — 산란이 등방적이지 않아도, 에너지에 따라 $\tau_c$ 가 달라도, 심지어 캐리어가 띄엄띄엄 뛰어다니는 비정질 반도체의 호핑 수송(7.15)이라도 평형에서 $\mu$ 가 평평한 한 $D/\tilde\mu = \tau/q$ 다. 그래서 아인슈타인 관계는 수송 모델이 아니라 열역학의 정리로 분류된다.

요동과 소산 — 같은 온도가 둘을 잇는다

아인슈타인 관계는 요동–소산 정리의 첫 사례다. 확산은 열적 요동(전자가 제멋대로 흩어짐)이고 이동도는 소산(전기장에서 얻은 에너지를 격자에 버림)인데, 둘의 비가 온도 하나로 정해진다. 6.3.9 의 존슨–나이키스트 잡음 (6.3.9전기적 잡음(존슨-나이키스트)) 이 정확히 같은 구조다 — 저항 $R$ 의 열잡음 $\langle V^2\rangle = 4R\tau\,\Delta f$ 에서 잡음(요동)과 저항(소산)의 비가 $\tau$ 다. 실제로 반도체 저항의 열잡음을 캐리어의 확산 잡음으로 계산하면 $S_I = 4\tau G$ 가 나오고, 그 계산의 중간에 아인슈타인 관계가 들어간다. 소산이 있는 곳에 반드시 요동이 있고, 그 크기를 온도가 정한다 — 1905년(브라운 운동), 1928년(열잡음), 1951년(캘런–웰턴)이 한 줄로 이어진다.

직관

파라미터 연계 — 아인슈타인 관계가 소자에서 하는 일.

확산 길이 $L = \sqrt{D\,\tau_{\mathrm{rec}}}$ (11.5.6). 소수 캐리어가 재결합 전에 가는 거리로, $D$ 를 이동도에서 얻는다. Si 의 정공에서 $\tau_{\mathrm{rec}} = 1\,\mu\mathrm s$ 면 $L = 35\,\mu\mathrm m$ .
다이오드 방정식 $J = J_0(e^{qV/\tau}-1)$ , $J_0 = q n_i^2\bigl(D_e/L_e n_a + D_h/L_h n_d\bigr)$ (12.2.4). $D$ 가 분자에, 질량 작용의 $n_i^2$ 이 앞에 있다. 이 장의 3절과 6절이 한 식에 들어 있다.
열전압 $\tau/q$ — 다이오드·BJT 의 지수, MOSFET 문턱 아래 기울기의 $60\,\mathrm{mV/dec}$ , 밴드갭 기준 전압, 온도 센서(22부)에 나오는 $kT/q$ 가 전부 같은 상수다. 온도가 오르면 $D$ 는 오르고 $\tilde\mu$ 는 산란으로 내리는데, 둘의 비는 온도에 정직하게 비례한다.
이온의 확산 — 전해질 속 이온(4부), 고체 전해질과 배터리, 산화막 속 이온 이동에도 $D/B = \tau$ 꼴의 네른스트–아인슈타인 관계가 그대로 쓰인다. 캐리어가 전자든 이온이든 평형 조건은 같다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 밴드 간격과 유효질량 두 입력을 6부의 통계역학에 넣으면 반도체가 나온다. 캐리어 농도는 $n_c$ 와 볼츠만 인자, 곱은 온도만의 함수, 불순물 준위는 깁스 합, $\mu$ 는 전하 중성, 수송 계수의 비는 평형 조건. 목적지를 적어 둔다.

11.1 반도체의 캐리어 — 이 장 전체의 소자 표기판. 상태밀도와 페르미–디랙(1·2절 → 11.1.3), $np$ 곱(3절 → 11.1.4), 전하 중성과 $E_F$ 의 위치(4·5절 → 11.1.5), 세 온도 구간(11.1.6), 축퇴와 $\mathcal F_{1/2}$ (11.1.7), 준위 병합(11.1.8).
11.2 수송 — 아인슈타인 관계(6절 → 11.2.7), 이동도의 미시 모형(11.2.2–11.2.3), 홀 효과로 읽는 동결 기울기(11.2.9).
11.3 생성·재결합 — 깊은 준위의 점유(4절)가 SRH 통계(11.3.5)의 출발이고, 질량 작용에서 벗어난 $np - n_i^2$ 이 순 재결합률의 구동력이다.
11.4 준페르미 준위 — 5절 끝의 두 화학퍼텐셜과 볼츠만 관계(11.4.3·11.4.5).
12.1–12.2 pn 접합 — 내부 전위 $qV_{bi} = \tau\ln(n_dn_a/n_i^2)$ (5절), 소수 캐리어 농도(3절), 다이오드 방정식의 $D$ 와 $n_i^2$ (6절).
12.5–12.6 금속–반도체 접촉 — 일함수 속의 $\varepsilon_c-\mu$ (5절), 계면 준위의 페르미 준위 고정(4절), 축퇴 도핑의 터널링 접촉(2절).
7.6·7.9 고체물리 — 이 장이 입력으로 받은 유효질량과 상태밀도 유효질량의 출처.
17부 광소자 — 준페르미 준위의 벌어짐이 개방 전압, $n_i$ 의 온도 의존성이 암전류.
19·20부 계측·TCAD — DLTS 로 깊은 준위를 재고, 시뮬레이터의 첫 방정식이 이 장의 전하 중성과 페르미–디랙 통계다.