2부 전자기학 2.5

물질 내 자기장

2.3에서 유전체를 다룬 이야기는 한 줄이었다 — 물질은 쌍극자의 바다이고, 외부 장이 그 쌍극자를 정렬시키며, 정렬된 쌍극자 전체가 만드는 장을 원래 장에 더한 것이 물질 안의 장이다. 이 장은 같은 이야기를 자기장에 대해 되풀이한다. 그래서 절 구성도 2.3과 나란하다 — 쌍극자가 장에서 받는 힘, 물질이 정렬되는 기구, 정렬의 총합이 만드는 등가 원천, 원천을 자유·속박으로 가르는 보조장, 경계 조건, 선형 매질의 상수, 그리고 에너지.

다른 점이 셋 있고, 그 셋이 이 장의 내용이다.

쌍극자의 정체가 전하 두 개가 아니라 전류 고리다. 전자의 궤도 운동과 스핀이 그것이다. 그래서 정렬된 쌍극자의 총합은 전하가 아니라 전류로 나타난다. 2.3의 속박 전하 $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ 가 여기서는 속박 전류 $\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M}$ 이 된다.
반응이 세 갈래다. 유전체는 언제나 외부 장을 약화시키는 쪽으로 분극된다. 자성체는 장을 약화시키는 것(반자성), 강화시키는 것(상자성), 외부 장 없이도 스스로 자화를 유지하는 것 (강자성)이 다 있다. 부호가 갈리는 이유는 원자 안에서 자기장이 궤도에 하는 일이 전기장이 하는 일과 다르기 때문이고, 2절이 그것을 계산한다.
강자성체는 선형이 아니다. 자화 $\mathbf{M}$ 이 장의 함수가 아니라 이력의 함수다. 그 곡선의 모양이 변압기 철심과 영구자석을 가르고, 반도체 쪽에서는 MRAM 셀의 두 상태를 가른다.

반도체 소자 자체는 자성체가 아니다. 실리콘은 약한 반자성이고, 소자 안의 자기장은 대개 무시해도 된다. 그런데도 이 장을 건너뛸 수 없는 이유는 반도체 주변에 자성체가 있기 때문이다 — 자기터널접합의 강자성 전극(10.11·15.11), 홀 센서가 재는 장(17부), 전자빔 장비를 지자기와 전원 잡음으로부터 지키는 차폐(19부), 전원 회로의 인덕터 코어와 온칩 인덕터에 코어가 없는 이유(22부). 그리고 무엇보다 $\mathbf{D}$ 와 $\mathbf{H}$ 가 왜 도입되는지를 한 번 더, 이번에는 부호가 갈리는 경우로 겪어 두는 것이 물질 안의 맥스웰 방정식(2.6.9)을 자유롭게 쓰는 유일한 길이다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 같은 글자가 대소문자로 갈리는 짝이 유난히 많다. 쌍극자 모멘트와 자화, 전자 질량이 전부 $m$ 이고, 토크와 감은 수가 둘 다 $N$ 이다. 기준 교재(Griffiths)의 표기를 따르되, 갈리는 자리는 여기서 못박는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{m}$	굵은 소문자 엠	자기 쌍극자 모멘트 — 전류 고리 하나의 양. $\mathbf{m} = I\mathbf{a}$	A·m²
$\mathbf{M}$	굵은 대문자 엠	자화 — 단위 부피당 쌍극자 모멘트. 물질의 국소 성질	A/m
$m_e$		전자 질량. 2절에만 나온다	kg
$\mathbf{B}$		자기장 (자속밀도). 힘을 결정하는 진짜 장	T
$\mathbf{H}$		보조장. $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$	A/m
$\mathbf{N}$	굵은 대문자 엔	토크 (Griffiths 표기. Sadiku는 $\mathbf{T}$ )	N·m
$N$	이탤릭 대문자 엔	코일의 감은 수. 9절에서만	—
$n$		단위 길이당 감은 수 (솔레노이드), 또는 단위 부피당 원자 수	1/m, 1/m³
$\hat{\mathbf{n}}$		면의 단위 법선	—
$e$		기본 전하의 크기 ( $e > 0$ ). 전자의 전하는 $-e$	C
$I$		전류	A
$\mathbf{J},\ \mathbf{K}$		부피 전류밀도, 표면 전류밀도	A/m², A/m
첨자 $b,\ f$	속박·자유	$\mathbf{J}_b$ 속박 전류, $\mathbf{J}_f$ 자유 전류
$\mu_0$	뮤 제로	진공 투자율 $4\pi\times10^{-7}$	T·m/A (= H/m)
$\mu,\ \mu_r$		투자율, 상대 투자율 $\mu = \mu_0\mu_r$	H/m, —
$\chi_m$	카이 엠	자기 감수율 $\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$ . 무차원	—
$\mu_B$	보어 마그네톤	$e\hbar/2m_e = 9.27\times10^{-24}$ A·m²	A·m²
$\Phi$	대문자 파이	자속 $\int\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$	Wb
$\mathcal{F},\ \mathcal{R}$	기자력, 자기저항	9절의 자기회로	A, 1/H

주의

짚고 갈 함정이 넷이다.

① $\mathbf{m}$ 과 $\mathbf{M}$ . 전기 쪽의 $\mathbf{p}$ (쌍극자 하나)와 $\mathbf{P}$ (단위 부피당)에 정확히 대응한다. 규칙은 같다 — 소문자는 낱개, 대문자는 밀도. $\mathbf{M}$ 은 $\mathbf{m}$ 을 부피로 나눈 것이므로 단위가 A·m²에서 A/m로 떨어지고, 그 A/m가 $\mathbf{H}$ 의 단위와 같다는 사실이 5절에서 $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$ 을 쓸 수 있게 한다.

② $\mathbf{N}$ 과 $N$ . Griffiths는 토크를 $\mathbf{N}$ 으로 적고, 코일의 감은 수도 $N$ 으로 적는다. 이 장에서 토크는 1절에서 끝나고 감은 수는 9절에서 시작하므로 겹치는 자리는 없다. Sadiku·Halliday는 토크를 $\boldsymbol{\tau}$ 또는 $\mathbf{T}$ 로 적는다.

③ $\mathbf{B}$ 가 자기장이다. 오래된 책은 $\mathbf{H}$ 를 “자기장”, $\mathbf{B}$ 를 “자속밀도”라 부르고 $\mathbf{H}$ 를 기본으로 놓는다. 이 백과는 Griffiths를 따라 힘을 주는 $\mathbf{B}$ 가 자기장이고, $\mathbf{H}$ 는 자유 전류만으로 계산되는 편의상의 보조장이다. 다만 실험실과 데이터시트는 $\mathbf{H}$ 를 A/m 또는 Oe로, $\mathbf{B}$ 를 T 또는 G로 적으며, 히스테리시스 곡선의 가로축은 언제나 $H$ 다(8절).

④ $\chi_m$ 은 $\mathbf{H}$ 에 대한 비례 상수다. $\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$ 이지 $\chi_m\mathbf{B}/\mu_0$ 가 아니다. 전기 쪽 $\mathbf{P} = \epsilon_0\chi_e\mathbf{E}$ 가 기본 장 $\mathbf{E}$ 에 대한 비례인 것과 평행하지 않다. 역사적 관행이고, 7절에서 그 결과를 따로 본다.

자기 쌍극자의 토크와 힘

전류 고리가 장 속에서 받는 것

2.4.7다중극 전개와 자기 쌍극자에서 작은 전류 고리가 멀리서 만드는 장이 쌍극자 장이고, 그 세기가 $\mathbf{m} = I\mathbf{a}$ 로 결정된다는 것을 보았다 — $\mathbf{a}$ 는 고리가 둘러싸는 면적 벡터이고, 방향은 전류의 오른손 규칙이다. 이제 반대 질문을 한다. 그 고리를 외부 자기장 안에 두면 무슨 일이 일어나는가.

균일한 장 $\mathbf{B}$ 속에 한 변이 $a$ , 다른 변이 $b$ 인 직사각형 고리를 놓고, 고리의 법선(= $\mathbf{m}$ 의 방향)이 $\mathbf{B}$ 와 각 $\theta$ 를 이루도록 기울인다. 네 변이 받는 힘은 2.4.1로렌츠 힘 법칙과 전류의 $\mathbf{F} = I\int d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$ 다.

길이 $b$ 인 두 변은 기울어진 축을 따라 놓여 있고, 둘이 받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대이며 같은 직선 위에 있다. 서로 상쇄하고 토크도 내지 않는다.
길이 $a$ 인 두 변은 $\mathbf{B}$ 에 수직이라 각각 $F = IaB$ 를 받는다. 이 둘도 크기가 같고 방향이 반대여서 알짜 힘은 0이지만, 작용선이 $b\sin\theta$ 만큼 떨어져 있다. 짝힘이다.

토크는 힘 곱하기 팔이다.

N = 2\cdot F\cdot\frac{b}{2}\sin\theta = IabB\sin\theta = mB\sin\theta

방향까지 챙기면 이것이 외적이다.

\mathbf{N} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}

직사각형으로 유도했지만 결과는 모양에 의존하지 않는다. 어떤 평면 고리든 작은 직사각형들로 잘라 붙일 수 있고, 안쪽 변의 전류는 이웃과 상쇄되므로 토크는 더해져 $\mathbf{m}\times\mathbf{B}$ 가 된다. 균일한 장에서 알짜 힘은 언제나 0이다 — 닫힌 고리를 따라 $\oint d\mathbf{l} = 0$ 이기 때문이다.

그림 2.5-1. 균일한 자기장 속의 직사각형 전류 고리. B에 수직인 두 변(길이 a)이 받는 힘 IaB는 크기가 같고 방향이 반대라 알짜 힘은 0이지만, 작용선이 b sinθ만큼 어긋나 있어 짝힘이 된다. 이 토크 m × B는 고리의 법선 m을 B와 나란하게 돌리는 방향이다. 나머지 두 변의 힘은 같은 직선 위에서 상쇄된다.직접 작도

직관

토크의 방향이 곧 이 장의 부호 이야기의 출발점이다. $\mathbf{N} = \mathbf{m}\times\mathbf{B}$ 는 $\mathbf{m}$ 을 $\mathbf{B}$ 와 나란하게 돌린다 — 나침반 바늘이 북쪽을 가리키는 이유다. 정렬된 쌍극자는 자기 자신의 장을 외부 장과 같은 방향으로 보태므로, 이 기구만 있다면 물질은 언제나 장을 강화한다. 그것이 상자성이다.

전기 쌍극자도 $\mathbf{p}\times\mathbf{E}$ 의 토크를 받아 $\mathbf{E}$ 와 나란해지지만, 나란해진 전기 쌍극자가 안쪽에 만드는 장은 $\mathbf{p}$ 와 반대 방향이다(음전하에서 양전하로 가는 방향이 $\mathbf{p}$ 인데 장은 양에서 음으로 나가므로). 반면 전류 고리가 자기 안쪽에 만드는 장은 $\mathbf{m}$ 과 같은 방향이다. 같은 토크, 같은 정렬인데 유전체는 장을 줄이고 상자성체는 장을 키우는 이유가 이 한 가지 차이다.

토크를 각도로 적분하면 퍼텐셜 에너지가 나온다. $\theta$ 를 늘리는 데 외부가 해 주어야 하는 일이 $\int N\,d\theta$ 이므로

U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}

이고, $\mathbf{m}\parallel\mathbf{B}$ 일 때 최소( $-mB$ ), 반대일 때 최대( $+mB$ )다. 2.3의 $U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$ 와 같은 꼴이다. 3절에서 상자성의 온도 의존성을 셀 때 이 에너지를 볼츠만 인자에 넣는다.

불균일한 장에서는 힘이 남는다

장이 균일하지 않으면 마주 보는 두 변이 받는 힘이 정확히 상쇄되지 않아 알짜 힘이 남는다. 무한소 고리에 대해 결과는

\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})

이다. 유도는 2.3의 $\mathbf{F} = \nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})$ 와 평행하고, 퍼텐셜 $U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$ 의 기울기에 음의 부호를 붙인 것으로 읽어도 된다(1.1.2기울기·발산·회전). $\mathbf{m}$ 이 고정된 상수 벡터일 때는 $\nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}) = (\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B}$ 로 써도 같다 — $\nabla\times\mathbf{B} = 0$ 인 자유 전류 없는 영역에서.

직관

쌍극자는 장이 센 곳으로 끌려가거나 밀려난다. $\mathbf{m}$ 이 $\mathbf{B}$ 와 나란하게 정렬돼 있으면 $\mathbf{m}\cdot\mathbf{B} = mB$ 이고 힘은 $m\nabla B$ — 장이 세지는 쪽이다. 정렬된 쌍극자(상자성체·강자성체)가 자석에 달라붙는 이유다. 반대로 $\mathbf{m}$ 이 $\mathbf{B}$ 와 반대이면 힘은 $-m\nabla B$ , 장이 약한 쪽으로 밀린다. 반자성체가 자석에서 밀려나는 이유이고, 열분해 흑연 조각이 네오디뮴 자석 위에 뜨는 이유다.

힘은 장의 세기가 아니라 기울기에 비례한다. 아무리 센 균일 자기장 안에서도 쌍극자는 힘을 받지 않는다. 자석 끝(극 부근)에 물체가 붙는 것은 거기서 $\nabla B$ 가 크기 때문이고, 긴 막대자석의 옆면 가운데는 장은 세지만 거의 균일해서 힘이 약하다.

의문

자기력은 일을 하지 않는다고 했는데(2.4.1), 자석이 쇳조각을 끌어당겨 일을 하는 것은 무엇인가?

로렌츠 힘 $q\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 는 속도에 수직이라 움직이는 전하 하나에는 일을 하지 않는다. 그런데 쌍극자를 끌어당기는 힘 $\nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B})$ 는 분명히 일을 한다. 모순은 전류 고리를 강체로 본 데서 온다. 고리가 장 속에서 움직이면 고리 안의 전하는 고리의 운동 속도와 전류 속도를 합친 속도로 움직이고, 자기력은 그 합에 수직이다. 그래서 자기력은 고리를 끌어당기는 방향의 일을 하는 동시에 고리 안의 전류를 늦추는 방향의 일을 같은 크기로 한다. 전류가 그대로 유지되는 것은 전류를 미는 무언가 — 전지나, 원자 안이라면 양자역학이 전자에게 정해 준 정상 상태 — 가 그만큼을 채워 주기 때문이다. 결국 일은 그 원천이 한다. 자기력은 에너지를 전달할 뿐 만들지 않는다. Griffiths 5.1.3의 예제(전류 고리로 추를 끌어올리는 문제)가 같은 이야기를 한다.

이 두 결과 — 균일한 장에서는 토크만, 불균일한 장에서는 힘도 — 가 자성체 실험의 전부다. 시료를 자석 극 사이의 장이 급격히 변하는 자리에 매달고 힘을 재면 $\mathbf{m}$ 의 크기와 부호가 나오고(패러데이 저울·구이 저울), 그 부호가 반자성과 상자성을 가른다. 3절의 표에 적힌 감수율 값은 대부분 이 방법으로 잰 것이다.

자기장이 원자 궤도에 미치는 영향

궤도 전자는 전류 고리다

원자 안의 전자는 두 가지 이유로 자기 쌍극자다. 핵 둘레를 도는 궤도 운동과, 고전적 대응물이 없는 스핀. 이 절은 궤도만 다루고, 스핀은 3절에서 값만 빌린다.

반지름 $R$ 인 원 궤도를 속력 $v$ 로 도는 전자를 생각한다. 주기는 $T = 2\pi R/v$ 이고, 궤도를 지나는 “전류”는 전하를 주기로 나눈 것이다. 전자의 전하가 $-e$ 이므로

I = -\frac{e}{T} = -\frac{ev}{2\pi R}, \qquad \mathbf{m} = I\pi R^2\,\hat{\mathbf{n}} = -\frac{1}{2}evR\,\hat{\mathbf{n}}

이다. 여기서 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 전자의 회전에 오른손 규칙을 적용한 법선이다. 음의 부호가 말하는 것은 전자의 자기 모멘트가 궤도 각운동량과 반대 방향이라는 사실이다 — 각운동량 $\mathbf{L} = m_e vR\,\hat{\mathbf{n}}$ 을 써서 정리하면

\mathbf{m} = -\frac{e}{2m_e}\mathbf{L}

이다. 비례 상수 $e/2m_e$ 를 자기회전비라 부른다. 양자역학에서 $L$ 이 $\hbar$ 의 정수배로 양자화되므로 궤도 모멘트의 자연 단위가 $\mu_B = e\hbar/2m_e$ , 보어 마그네톤이다.

한 원자 안의 전자들은 대개 궤도가 무작위로 향해 있어 알짜 $\mathbf{m}$ 이 0이다. 상자성은 이 무작위 궤도(그리고 스핀)를 외부 장이 토크로 정렬시키는 이야기다. 그런데 정렬과 별개로, 외부 장이 궤도 자체를 바꾸는 효과가 하나 더 있고 이것이 부호가 반대다.

장을 걸면 속력이 바뀐다

궤도면에 수직으로 자기장 $\mathbf{B}$ 를 건다. 전자는 쿨롱 인력에 더해 로렌츠 힘 $-e\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 를 받는다. 궤도 반지름이 그대로라고 가정하면(양자역학이 이 가정을 정당화한다 — 아래 ‘의문’), 구심력 조건이 바뀐다.

\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R^2} + e\bar{v}B = m_e\frac{\bar{v}^2}{R}

여기서 $\bar{v}$ 는 장을 건 뒤의 속력이고, $+e\bar{v}B$ 는 로렌츠 힘이 안쪽을 향하는 회전 방향의 경우다(반대 방향이면 부호가 바뀐다). 장이 없을 때의 조건 $e^2/4\pi\epsilon_0R^2 = m_ev^2/R$ 을 빼면

e\bar{v}B = \frac{m_e}{R}(\bar{v}^2 - v^2) = \frac{m_e}{R}(\bar{v}+v)(\bar{v}-v)

이고, 변화가 작다고 놓아 $\bar{v}+v \approx 2v$ 로 두면

\Delta v = \bar{v} - v = \frac{eRB}{2m_e}

를 얻는다. 속력이 빨라졌으니 전류가 커지고 자기 모멘트도 커진다.

\Delta\mathbf{m} = -\frac{1}{2}e(\Delta v)R\,\hat{\mathbf{n}} = -\frac{e^2R^2}{4m_e}\mathbf{B}

마지막 단계에서 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 $\mathbf{B}$ 의 방향으로 바꿔 쓸 수 있는 것은, 전자가 반대 방향으로 돌 때 로렌츠 힘이 바깥을 향해 속력이 줄고, 그때는 $\mathbf{m}$ 이 $-\hat{\mathbf{n}}$ 방향이어서 결국 $\Delta\mathbf{m}$ 이 역시 $-\mathbf{B}$ 방향이 되기 때문이다. 어느 쪽으로 돌든 모멘트의 변화는 외부 장과 반대다. 이것이 반자성이다.

그림 2.5-2. 궤도 전자에 자기장을 걸면 로렌츠 힘이 구심력에 더해지거나 빠진다. 왼쪽 궤도는 로렌츠 힘이 안쪽을 향해 속력이 늘고, 오른쪽 궤도는 바깥을 향해 속력이 준다. 원래 모멘트 m은 두 궤도에서 서로 반대지만, 변화량 Δm은 두 경우 모두 B와 반대 방향이다. 회전 방향과 무관하게 장을 줄이는 쪽으로 반응하는 것이 반자성이고, 그래서 모든 물질이 반자성 성분을 갖는다.직접 작도

같은 결과를 각속도로 읽으면 더 일반적인 진술이 된다. $\Delta v/R = eB/2m_e$ 이므로 장을 걸면 궤도 운동에 각속도

\omega_L = \frac{eB}{2m_e}

가 더해진다. 이것이 라모 진동수이고, 라모 정리는 “균일한 자기장 속의 전자계는 장이 없을 때의 운동에 $\omega_L$ 의 세차를 겹친 것과 같다”고 말한다. 궤도가 원이든 아니든, 궤도면이 $\mathbf{B}$ 에 수직이든 아니든 성립한다. 반자성이란 이 세차 운동이 만드는 전류가 낳는 모멘트다. 자기 공명(7.13.12)의 진동수도 같은 뿌리에서 나온다 — 스핀은 자기회전비가 두 배라 $\omega = eB/m_e$ 가 된다.

크기를 재어 본다

$R \sim 0.5\,\text{Å}$ , $B = 1\,\text{T}$ 를 넣으면 $\Delta m \sim 10^{-29}\,\text{A}\cdot\text{m}^2$ 로, 보어 마그네톤( $10^{-23}$ )의 백만분의 일이다. 원자 밀도 $n \sim 5\times10^{28}\,\text{m}^{-3}$ 을 곱해 자화로 바꾸고 $\mu_0$ 를 곱해 무차원 감수율로 만들면

\chi \sim -\mu_0 n\frac{e^2R^2}{4m_e} \sim -10^{-6}

이다. 원자당 전자 몇 개를 세어 넣으면 $-10^{-5}$ 까지 간다. 3절의 표에서 반자성체의 감수율이 정확히 이 자릿수다. 상자성의 원천인 정렬은 모멘트가 $\mu_B$ 자체라 반자성보다 백만 배 크지만, 열이 정렬을 흩뜨려 실효값이 줄어든다. 두 효과가 같은 자릿수에서 겨루는 것이 3절의 분류를 낳는다.

의문

고전 역학으로 반자성을 유도해도 되는가?

되지 않는다 — 엄밀히는. 보어–판 레이우언 정리에 따르면 고전 통계역학에서 열평형 상태의 자화는 정확히 0이다. 위 계산이 답을 내는 것은 “궤도 반지름이 변하지 않는다”는 가정을 슬쩍 넣었기 때문인데, 고전적으로는 그 가정이 정당화되지 않고 궤도가 통째로 재배열되어 효과가 사라진다. 양자역학이 이 가정을 구해 준다 — 궤도가 양자화돼 있어 반지름의 기댓값이 장에 대해 1차로 변하지 않는다. 결과는 $\langle r^2\rangle$ 의 기댓값으로 같은 꼴을 유지한다(랑주뱅 반자성, 7.13.1). 이 절의 유도는 그 양자 결과에 이르는 발견적 경로로 읽어야 하고, Griffiths도 그렇게 못박는다.

한 가지 더. 금속의 전도 전자는 궤도가 없는데도 반자성을 낸다(란다우 반자성). 자유 전자가 장 속에서 사이클로트론 궤도를 도는 것이 양자화되어 생기는 효과이고, 크기가 파울리 상자성의 정확히 $-1/3$ 이다. 이것도 7.13에서 다룬다.

반자성·상자성·강자성

두 기구, 세 결과

1절과 2절에서 물질이 자기장에 반응하는 기구 둘을 보았다.

기구	무엇이 반응하는가	방향	크기	온도
정렬 (1절)	이미 있는 모멘트 $\mathbf{m}$ 이 토크로 $\mathbf{B}$ 와 나란해진다	$\mathbf{B}$ 와 같음	$\sim\mu_B$ × (정렬 비율)	높을수록 흩어진다
유도 (2절)	궤도가 바뀌어 $\Delta\mathbf{m}$ 이 생긴다	$\mathbf{B}$ 와 반대	$\sim10^{-6}\,\mu_B$ (1 T)	무관

유도는 모든 원자에 있다. 정렬은 정렬할 모멘트가 있어야 일어난다. 그래서 분류는 “원자에 알짜 모멘트가 있는가”에서 갈린다.

원자의 알짜 모멘트는 궤도와 스핀의 합인데, 여기서 스핀이 결정적이다. 전자 하나의 스핀 모멘트는 크기가 거의 정확히 $\mu_B$ 이고, 파울리 배타원리(5.6.5)에 따라 한 궤도를 차지하는 두 전자는 스핀이 반대라 모멘트가 상쇄된다. 궤도 모멘트도 채워진 껍질 안에서는 합이 0이다. 결론은 다음과 같다.

모든 껍질이 채워진 원자·분자 — 알짜 모멘트 0. 정렬할 것이 없어 유도만 남는다. → 반자성. 비활성 기체, 대부분의 유기물, 물, 구리·금·은·비스무트, 그리고 실리콘.
짝짓지 않은 전자가 있는 원자·이온 — 알짜 모멘트 $\sim\mu_B$ . 정렬이 유도를 압도한다. → 상자성. 산소 분자, 알루미늄·백금·나트륨, 전이 금속 이온과 희토류 이온의 염.
짝짓지 않은 전자들이 이웃 원자끼리 서로 정렬시키는 결정 — 외부 장 없이도 자발 자화. → 강자성. 철·코발트·니켈·가돌리늄과 그 합금·산화물.

상자성의 온도 의존성 — 퀴리 법칙

정렬과 열의 겨루기를 정량화한다. 모멘트 $\mathbf{m}$ 이 장 $\mathbf{B}$ 와 각 $\theta$ 를 이룰 때 에너지가 $U = -mB\cos\theta$ (1절)이고, 온도 $T$ 에서 각 방향의 확률이 볼츠만 인자 $e^{-U/k_BT} = e^{mB\cos\theta/k_BT}$ 에 비례한다. 모멘트가 임의 방향을 향할 수 있다고 보고 (고전 모형) 평균을 내면 $\mathbf{B}$ 방향 성분의 평균은

\langle m_\parallel\rangle = m\,L(x), \qquad L(x) = \coth x - \frac{1}{x}, \qquad x = \frac{mB}{k_BT}

이다. $L$ 은 랑주뱅 함수다. 실온에서 $B = 1\,\text{T}$ , $m = \mu_B$ 를 넣으면 $x = 9.3\times10^{-24}/4.1\times10^{-21} \approx 2\times10^{-3}$ 으로 매우 작고, 이 극한에서 $L(x) \approx x/3$ 이다. 단위 부피에 $n$ 개의 모멘트가 있으면

M = n\langle m_\parallel\rangle \approx \frac{nm^2B}{3k_BT} \quad\Longrightarrow\quad \chi \approx \frac{\mu_0 n m^2}{3k_BT} = \frac{C}{T}

이다. 감수율이 온도에 반비례한다 — 퀴리 법칙이고, $C$ 가 퀴리 상수다. $n = 5\times10^{28}$ , $m = \mu_B$ , $T = 300\,\text{K}$ 에서 $\chi \approx 4\times10^{-4}$ 가 나오는데, 실제 표의 상자성체 값이 $10^{-5}$ 에서 $10^{-3}$ 사이인 것과 어울린다.

직관

$x = mB/k_BT$ 하나가 그래프 전체를 정한다. $x \ll 1$ 이면 열이 이기고, 자화는 $B$ 에 선형이며 $1/T$ 로 줄어든다. $x \gg 1$ 이면 장이 이기고, 모든 모멘트가 정렬돼 자화가 $nm$ 에서 포화한다. 두 영역의 경계 $x \sim 1$ 은 $B \sim k_BT/m$ 인데, 실온· $\mu_B$ 로는 450 T다. 실험실에서 상자성체를 포화시키려면 극저온으로 가야 하는 이유이고, 반대로 강자성체가 $0.1\,\text{T}$ 안팎에서 포화하는 것이 얼마나 다른 물리인지를 말해 준다.

퀴리 법칙의 그래프. $\chi$ 를 $T$ 에 대해 그리면 쌍곡선, $1/\chi$ 를 $T$ 에 대해 그리면 원점을 지나는 직선이다. 실제 강자성체의 상자성 영역(퀴리 온도 위)에서는 이 직선이 원점이 아니라 $T_C$ 에서 축을 지난다 — $\chi = C/(T - T_C)$ , 퀴리–바이스 법칙. 절편이 0에서 $T_C$ 로 옮겨 가는 것이 이웃 모멘트끼리의 상호작용의 흔적이고, 그 상호작용이 $T < T_C$ 에서 자발 자화를 만든다.

양자역학은 $\mathbf{m}$ 이 임의 방향을 향할 수 없고 $2J+1$ 개의 이산 방향만 허용된다고 고친다. 그러면 랑주뱅 함수가 브릴루앙 함수로 바뀌고 $C$ 의 값이 조금 달라지지만 $1/T$ 의존성은 그대로다(7.13.2). 금속의 전도 전자는 또 다르다 — 파울리 배타원리 때문에 페르미 준위 부근의 전자만 정렬에 참여할 수 있어 감수율이 온도에 거의 무관하고 $10^{-5}$ 자릿수에 머문다(파울리 상자성, 7.13.7). 알루미늄·나트륨의 값이 퀴리 법칙 추정보다 한참 작은 이유다.

강자성 — 이웃이 이웃을 정렬시킨다

상자성체에서 모멘트들은 서로를 모른다. 각각이 외부 장하고만 겨루고, 외부 장을 끄면 즉시 무질서로 돌아간다. 강자성체에서는 이웃한 모멘트가 서로 나란해지려는 상호작용이 있어, 외부 장 없이도 거대한 영역이 한 방향으로 정렬된다.

이 상호작용이 자기 쌍극자끼리의 자기력이 아니라는 점이 중요하다. 이웃 원자 거리 $r \sim 2.5\,\text{Å}$ 에서 두 보어 마그네톤 사이의 쌍극자–쌍극자 에너지는

U \sim \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mu_B^2}{r^3} \approx 10^{-7}\cdot\frac{(9.3\times10^{-24})^2}{(2.5\times10^{-10})^3} \approx 5\times10^{-25}\,\text{J} \approx 3\times10^{-6}\,\text{eV}

로, 온도로 치면 0.04 K다. 실온의 열이 이것을 만 배로 압도한다. 철이 1043 K까지 자화를 유지하려면 $0.1\,\text{eV}$ 자릿수의 에너지가 필요하고, 그것은 자기력이 아니라 정전기력 + 파울리 배타원리에서 온다 — 스핀이 나란한 전자 둘은 공간적으로 서로 피해야 하므로 쿨롱 반발이 줄어들고, 그 에너지 이득이 스핀을 나란하게 만든다. 이것이 교환 상호작용이고, 5.6.7의 헬륨 원자에서 처음 만나 7.13.8에서 강자성에 적용한다.

이 절에서는 결과만 받는다. 강자성체는 (i) 외부 장 없이 자화된 자구(도메인)들로 나뉘어 있고, (ii) 외부 장은 그 자구들을 키우고 돌리며, (iii) 그 과정이 되돌릴 수 없어 이력이 생기고, (iv) 퀴리 온도 위에서는 열이 교환을 이겨 보통의 상자성체가 된다. 8절이 이 넷을 곡선으로 그린다.

그림 2.5-3. 세 종류의 물질이 장에 반응하는 모양. 가로축은 H, 세로축은 M. 반자성체는 기울기가 음이고 작으며, 상자성체는 양이고 작다(둘 다 10⁻⁵ 자릿수라 실제 눈금에서는 거의 수평이다). 강자성체는 기울기가 수백에서 수만 배 크고, 곧 포화하며, 원점으로 돌아오지 않는다 — 8절의 이력 곡선이 이 곡선의 전체 모습이다. 오른쪽은 상자성체의 감수율이 온도에 따라 1/T로 줄어드는 퀴리 법칙과, 강자성체가 퀴리 온도 위에서 따르는 퀴리–바이스 법칙.직접 작도

감수율의 실제 값

7절에서 정의를 다듬기 전에 값의 자릿수를 먼저 익혀 둔다. 아래는 $\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$ 의 $\chi_m$ 이고, 1기압·20 °C의 값이다 (Griffiths 표 6.1; 실리콘은 편람 값).

반자성체	$\chi_m$	상자성체	$\chi_m$
비스무트	$-1.6\times10^{-4}$	산소 (기체)	$1.9\times10^{-6}$
금	$-3.4\times10^{-5}$	나트륨	$8.5\times10^{-6}$
은	$-2.4\times10^{-5}$	알루미늄	$2.1\times10^{-5}$
구리	$-9.7\times10^{-6}$	텅스텐	$7.8\times10^{-5}$
물	$-9.0\times10^{-6}$	백금	$2.8\times10^{-4}$
실리콘	$\approx-4\times10^{-6}$	액체 산소 (−200 °C)	$3.9\times10^{-3}$
수소 (기체)	$-2.1\times10^{-9}$	가돌리늄	$4.8\times10^{-1}$

세 가지를 읽어 둔다. 첫째, 반자성·상자성 모두 $10^{-5}$ 안팎이라 $\mu_r = 1 + \chi_m$ 은 1과 소수 다섯째 자리에서 갈린다. 회로 설계에서 구리·알루미늄·실리콘·산화막을 전부 $\mu_0$ 로 두는 것은 근사가 아니라 사실상 정확한 값이다. 둘째, 기체는 액체·고체보다 천 배 작다 — 감수율이 원자 밀도 $n$ 에 비례하기 때문이고, 액체 산소가 기체 산소의 2천 배인 것이 그것이다. 셋째, 가돌리늄은 표에서 튀는데, 20 °C가 퀴리 온도(292 K) 바로 위라 퀴리–바이스 발산의 꼬리에 있기 때문이다. 강자성체는 이 표에 넣을 수 없다 — $\chi_m$ 이 상수가 아니라 $H$ 와 이력의 함수이며, 값으로 치면 $10^2$ 에서 $10^5$ 다.

자화와 속박 전류

자화 — 쌍극자의 밀도

세 종류 어느 쪽이든 결과는 같다. 물질 안의 원자 쌍극자들이 (부분적으로) 정렬되어, 물질이 단위 부피당 알짜 자기 모멘트를 갖는다. 그것을 자화라 부른다.

\mathbf{M} = \frac{\text{단위 부피 안 자기 쌍극자 모멘트의 합}}{\text{부피}} = n\langle\mathbf{m}\rangle

2.3의 분극 $\mathbf{P}$ 와 정확히 같은 지위다. 원자 하나하나를 잊고, 물질을 $\mathbf{M}(\mathbf{r})$ 이라는 매끄러운 장으로 대체한다. 이 절의 질문은 하나다 — 자화된 물질은 어떤 장을 만드는가. 답은 2.3과 같은 논리로 나온다. 자화된 물질은 쌍극자 밀도이고, 쌍극자 하나가 만드는 장을 알고 있으니(2.4.7다중극 전개와 자기 쌍극자) 적분하면 된다.

속박 전류의 유도

쌍극자 $\mathbf{m}$ 이 위치 $\mathbf{r}'$ 에 있을 때 점 $\mathbf{r}$ 에서의 벡터 퍼텐셜은 2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지의

\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}

이다. 부피 요소 $d\tau'$ 안의 모멘트가 $\mathbf{M}(\mathbf{r}')\,d\tau'$ 이므로 물질 전체는

\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{\mathbf{M}(\mathbf{r}')\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,d\tau'

를 만든다. 이대로도 답이지만, 그 의미는 숨어 있다. 2.3에서 썼던 요령을 그대로 쓴다 — $(\mathbf{r}-\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3 = \nabla'(1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$ 이므로 (프라임은 $\mathbf{r}'$ 에 대한 미분)

\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathbf{M}\times\nabla'\!\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)d\tau'

이고, 곱 규칙 $\nabla'\times(f\mathbf{M}) = f\,\nabla'\times\mathbf{M} - \mathbf{M}\times\nabla' f$ (1.1.2기울기·발산·회전)로 정리한 뒤 회전의 부피 적분을 면 적분으로 바꾸면 ( $\int_V\nabla\times\mathbf{v}\,d\tau = -\oint_S\mathbf{v}\times d\mathbf{a}$ )

\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\nabla'\times\mathbf{M}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d\tau' + \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_S\frac{\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,da'

가 된다. 두 항이 각각 부피 전류 $\mathbf{J}$ 와 표면 전류 $\mathbf{K}$ 가 만드는 벡터 퍼텐셜의 꼴 — $\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathbf{J}/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\,d\tau'$ — 이다. 그래서 자화된 물질이 만드는 장은 다음 두 전류가 만드는 장과 같다.

\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M}, \qquad \mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}

이것이 속박 전류다. 안쪽에서는 자화의 회전이, 표면에서는 자화의 접선 성분이 전류로 행세한다. 2.3의 $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ , $\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$ 과 정확히 대응하되, 발산이 회전으로, 법선 성분이 접선 성분으로 바뀌었다 — 원천이 스칼라 (전하)에서 벡터(전류)로 바뀐 결과다.

왜 전류가 “속박”되어 있는가

수학이 답을 냈으니 그림으로 확인한다. 자화 $\mathbf{M}$ 이 균일하고 $z$ 방향인 얇은 판을 생각한다. 판을 이루는 원자 하나하나가 작은 전류 고리이고, 전부 같은 방향으로 돈다.

이웃한 두 고리의 맞닿은 변을 보면 전류가 서로 반대 방향으로 흐른다. 정확히 상쇄된다. 판 안쪽의 모든 변이 그렇다. 상쇄되지 않고 남는 것은 판의 가장자리를 도는 전류뿐이다 — 이웃이 없는 변들이 이어져 판 둘레를 도는 큰 고리 하나가 된다. 고리의 모멘트는 $m = I a$ 이고 부피 $at$ 에 대해 $M = m/at = I/t$ 이므로, 가장자리를 도는 전류의 단위 두께당 세기는

K_b = \frac{I}{t} = M

이다. 방향은 $\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}$ — 옆면의 바깥 법선과 $\mathbf{M}$ 의 외적. 공식이 그림과 맞는다.

$\mathbf{M}$ 이 균일하지 않으면 안쪽에서도 상쇄가 어긋난다. 이웃한 두 고리 중 오른쪽 것의 자화가 더 크면 맞닿은 변에서 오른쪽 고리의 전류가 왼쪽 것보다 세고, 차이만큼 알짜 전류가 흐른다. $M_z$ 가 $y$ 방향으로 변할 때 $x$ 방향으로 흐르는 알짜 전류밀도는 $\partial M_z/\partial y$ 이고, $M_y$ 가 $z$ 방향으로 변하는 것도 같은 $x$ 방향 전류를 $-\partial M_y/\partial z$ 만큼 만든다. 합치면 $(\nabla\times\mathbf{M})_x$ 다.

그림 2.5-4. 속박 전류가 생기는 자리. 왼쪽은 균일하게 자화된 판으로, 이웃한 원자 전류 고리의 맞닿은 변에서 전류가 서로 상쇄되고 판의 가장자리를 도는 표면 전류 K = M × n만 남는다. 오른쪽은 자화가 오른쪽으로 갈수록 커지는 경우로, 맞닿은 변의 상쇄가 어긋나 안쪽에도 알짜 전류가 흐른다 — 그 밀도가 ∇ × M이다. 어느 쪽이든 실제로 자유롭게 흐르는 전하는 없고, 원자에 묶인 전류들의 합이 그렇게 보일 뿐이다.직접 작도

직관

속박 전류는 진짜 전류다. 등가 원천이라는 말 때문에 수학적 허구로 오해하기 쉬운데, 자화된 판의 가장자리에는 실제로 전하가 돌고 있다. 다만 어느 전자도 판을 한 바퀴 돌지는 않는다 — 각 전자는 자기 원자 둘레만 돌고, 그 작은 원운동들이 이어 붙어 거시적 순환을 이룬다. “속박”의 뜻이 그것이다. 원자에서 떼어 낼 수 없어 전지로 몰거나 저항으로 흩뜨릴 수 없지만, 자기장을 만드는 데는 자유 전류와 완전히 같은 자격이다.

크기를 재어 보면 강자성체의 자화 $M \sim 10^6\,\text{A/m}$ 은 표면 전류 $K_b \sim 10^6\,\text{A/m}$ — 두께 1 cm의 막대자석 옆면에 만 암페어가 돌고 있다는 뜻이다. 그 전류가 만드는 장이 $\mu_0 K \sim 1\,\text{T}$ 이고, 그것이 영구자석의 세기다. 같은 장을 구리선 솔레노이드로 만들려면 실제로 만 암페어-턴이 필요하다.

예 — 균일하게 자화된 구

반지름 $R$ 인 구가 $\mathbf{M} = M\hat{\mathbf{z}}$ 로 균일하게 자화되어 있다. 안쪽에서는 $\nabla\times\mathbf{M} = 0$ 이므로 부피 속박 전류가 없고, 표면에서

\mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{r}} = M\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}

이다. 이것은 2.4.5벡터 퍼텐셜과 게이지에서 이미 풀어 둔 회전하는 대전 구의 표면 전류 $\sigma\omega R\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 와 같은 꼴이고, $\sigma\omega R \to M$ 으로 바꿔 읽으면 된다. 그 결과를 빌리면

\mathbf{B}_{\text{안}} = \frac{2}{3}\mu_0\mathbf{M} \qquad(\text{균일}),

바깥은 모멘트 $\mathbf{m} = \frac{4}{3}\pi R^3\mathbf{M}$ 인 순수한 쌍극자 장이다. 안쪽 장이 균일하다는 것, 그리고 바깥이 정확히(근사가 아니라) 쌍극자 장이라는 것이 이 예가 자주 쓰이는 이유다. 5절에서 $\mathbf{H}$ 를 도입하면 이 구 안의 $\mathbf{H}$ 가 $-\mathbf{M}/3$ 이라는 사실이 따라오고, 그 $-1/3$ 이 반자화 인자의 첫 예다.

물질 안의 장이란 무엇인가

한 가지를 짚고 넘어간다. 원자 안, 전자 궤도 바로 옆의 자기장은 미친 듯이 요동친다 — 수 테슬라에서 부호까지 바뀐다. 우리가 “물질 안의 $\mathbf{B}$ “라고 부르는 것은 그 미시적 장이 아니라, 원자 수천 개를 담을 만한 작은 부피(그래도 거시적으로는 점인)에 대한 평균이다. 2.3의 $\mathbf{E}$ 와 같은 약속이다.

위에서 유도한 속박 전류의 장이 정확히 이 평균장을 준다는 것은 증명이 필요하고, Griffiths 6.2.3이 그 증명이다. 요지는 하나의 사실에 기댄다 — 반지름 $R$ 인 구 안에 있는 쌍극자 $\mathbf{m}$ 이 만드는 장을 그 구에 대해 부피 평균하면

\langle\mathbf{B}\rangle = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2\mathbf{m}}{R^3} = \frac{2}{3}\mu_0\frac{\mathbf{m}}{V}

로, 바로 위 구의 결과와 같은 값이다. 그래서 원자 하나하나의 장을 평균하나, 원자를 지우고 매끄러운 $\mathbf{M}$ 이 만드는 장을 계산하나 결과가 같다. 전기 쪽의 대응값은 $\langle\mathbf{E}\rangle = -\mathbf{p}/3\epsilon_0V$ 로 부호가 반대인데, 이것이 1절의 직관 — 전류 고리는 안쪽에 $\mathbf{m}$ 방향의 장을, 전하 쌍은 $\mathbf{p}$ 의 반대 방향 장을 만든다 — 의 정량적 표현이다.

보조장 H와 앙페르 법칙

자유 전류만으로 쓰는 앙페르 법칙

이제 물질 안의 총 전류는 두 몫이다.

\mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \mathbf{J}_b

$\mathbf{J}_f$ 는 자유 전류 — 도선을 흐르는 전도 전류, 전자빔, 우리가 전원으로 밀어 넣는 것. $\mathbf{J}_b$ 는 물질이 자화되어 생긴 속박 전류. 2.4.4앙페르 법칙과 응용의 앙페르 법칙은 총 전류에 대해 성립한다.

\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{J} = \mathbf{J}_f + \nabla\times\mathbf{M}

회전 둘을 한쪽으로 모으면

\nabla\times\left(\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} - \mathbf{M}\right) = \mathbf{J}_f

이다. 괄호 안이 보조장 $\mathbf{H}$ 다.

\mathbf{H} \equiv \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} - \mathbf{M}, \qquad \nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f, \qquad \oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{f,\text{enc}}

$\mathbf{H}$ 의 앙페르 법칙에는 자유 전류만 들어간다. 속박 전류는 정의 안에 흡수됐다. 2.3에서 $\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$ 가 자유 전하만의 가우스 법칙을 만족한 것(2.3.6전기 변위장 D와 유전체 내 가우스 법칙)과 같은 구조이고, 부호가 반대인 것은 $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$ 와 $\mathbf{J}_b = +\nabla\times\mathbf{M}$ 의 부호 차이가 그대로 옮겨 온 것이다.

직관

$\mathbf{H}$ 가 실험실의 장인 이유. 실험자가 조절하는 것은 전원의 전류, 곧 자유 전류다. 물질이 그 전류에 반응해 얼마나 자화될지, 속박 전류가 얼마가 될지는 물질에게 달려 있어서 미리 알 수 없다. $\mathbf{H}$ 는 자유 전류만으로 결정되는 부분을 떼어 낸 양이므로, 실험자는 $\mathbf{H}$ 를 걸고 물질이 응답한 $\mathbf{B}$ (또는 $\mathbf{M}$ )를 잰다. 그래서 자성 재료의 곡선은 예외 없이 $B$ - $H$ 또는 $M$ - $H$ 이고, 가로축이 $H$ 다.

정전기 쪽에서는 사정이 반대다. 실험자가 조절하는 것은 전압, 곧 $\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$ 이고 자유 전하는 그 결과로 따라오므로, 전기에서는 $\mathbf{E}$ 가 실험실의 장이고 $\mathbf{D}$ 는 이론의 편의다. $\mathbf{H}$ 가 옛 책에서 “자기장”으로 불린 것은 그것이 실험실에서 손에 잡히는 장이었기 때문이지, 힘을 주는 장이어서가 아니다.

예 — 자화되는 도선

반지름 $a$ 인 긴 구리 도선(또는 어떤 선형 자성 물질이든)에 자유 전류 $I$ 가 단면에 균일하게 흐른다. 원통 대칭이라 $\mathbf{H}$ 는 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 방향이고 반지름 $s$ 에만 의존한다. 앙페르 법칙을 반지름 $s$ 인 원에 적용하면 안쪽에서 둘러싸인 자유 전류가 $I s^2/a^2$ 이므로

\mathbf{H} = \frac{I s}{2\pi a^2}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\ (s \le a), \qquad \mathbf{H} = \frac{I}{2\pi s}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}\ (s \ge a)

이다. 물질이 무엇인지 몰라도 $\mathbf{H}$ 는 이렇게 결정된다. 바깥에서는 $\mathbf{M} = 0$ 이라 $\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{H}$ 로 물질이 없을 때와 같다 — 도선이 자화되든 말든 도선 바깥의 장은 변하지 않는다. 안쪽의 $\mathbf{B}$ 는 $\mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M})$ 인데 $\mathbf{M}$ 을 알아야 하고, 그것은 7절의 구성 관계가 준다.

헷갈리기 쉬운 평행 — $\mathbf{H}$ 는 자유 전류만으로 결정되지 않는다

$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f$ 가 $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}$ 와 꼴이 같으니 “ $\mathbf{H}$ 는 자유 전류가 만드는 자기장 나누기 $\mu_0$ “라고 읽고 싶어진다. 위의 도선 예에서는 실제로 그랬다. 일반적으로는 틀리다. 벡터장을 결정하려면 회전과 발산이 둘 다 필요한데(1.1.9퍼텐셜 이론의 헬름홀츠 정리), $\mathbf{B}$ 의 발산은 언제나 0인 반면

\nabla\cdot\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\mathbf{B} - \nabla\cdot\mathbf{M} = -\nabla\cdot\mathbf{M}

은 0이 아니다. $\mathbf{M}$ 의 발산이 있는 곳 — 자화가 급히 변하는 곳, 특히 자화된 물체의 끝면 — 은 $\mathbf{H}$ 의 원천이 된다. 그래서 자유 전류가 하나도 없는 영구자석에도 $\mathbf{H}$ 가 있다. 위 도선 예에서 $\mathbf{H}$ 가 자유 전류만으로 나온 것은 원통 대칭이 $\mathbf{H}$ 의 방향을 미리 $\hat{\boldsymbol{\phi}}$ 로 못박아 발산이 자동으로 0이 되었기 때문이다. 대칭이 그 정도로 좋을 때만 앙페르 법칙 하나로 $\mathbf{H}$ 가 나온다.

그림 2.5-5. 균일하게 자화된 막대자석의 세 장. 왼쪽 M은 막대 안에서만 균일하고 바깥은 0이다. 가운데 B는 발산이 없어 선이 닫혀 있다 — 바깥에서 N에서 S로, 안에서 S에서 N으로 이어지며 안쪽에서 M과 같은 방향이다. 오른쪽 H는 M의 발산이 있는 두 끝면이 원천이 되어, 바깥에서는 B와 같은 모양이지만 안쪽에서는 N에서 S로, 곧 M과 반대 방향을 향한다. 이 안쪽의 H가 반자화장이다.직접 작도

막대자석이 이것을 눈으로 보여 준다. 균일한 $\mathbf{M}$ 을 가진 막대에서 $\mathbf{B}$ 의 선은 닫혀 있다 — 바깥에서 N극에서 S극으로 갔다가 막대 안을 통해 다시 N극으로 돌아온다. 안쪽에서 $\mathbf{B}$ 는 $\mathbf{M}$ 과 같은 방향이다. 반면 $\mathbf{H}$ 의 선은 두 끝면의 $-\nabla\cdot\mathbf{M}$ , 곧 N극의 (+)와 S극의 (−) “자기 전하”에서 시작하고 끝난다. 바깥에서는 $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$ 로 $\mathbf{B}$ 와 같은 모양이지만, 안쪽에서는 N극에서 S극으로 — $\mathbf{M}$ 과 반대 방향이다. 이 안쪽의 $\mathbf{H}$ 를 반자화장이라 부른다. 자석이 자기 자신의 자화를 허물려는 장이고, 8절에서 영구자석이 놓인 동작점을 정하는 것이 바로 이것이다.

두 벌의 장 — 대응표

이 장 전체에서 유지되는 2.3과의 대응을 표로 고정한다. 눈으로 익혀 두면 2.6.9의 물질 안 맥스웰 방정식이 새로 외울 것 없이 읽힌다.

	전기 (2.3)	자기 (이 장)
낱개 쌍극자	$\mathbf{p}$ (C·m)	$\mathbf{m}$ (A·m²)
밀도	$\mathbf{P}$ (C/m²)	$\mathbf{M}$ (A/m)
속박 원천 (부피)	$\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$	$\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M}$
속박 원천 (표면)	$\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$	$\mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}$
보조장	$\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$	$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$
자유 원천의 법칙	$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f$	$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f$
보조장의 “다른 반쪽”	$\nabla\times\mathbf{D} = \nabla\times\mathbf{P} \ne 0$	$\nabla\cdot\mathbf{H} = -\nabla\cdot\mathbf{M} \ne 0$
실험실이 조절하는 장	$\mathbf{E}$ (전압)	$\mathbf{H}$ (전류)
선형 매질	$\mathbf{P} = \epsilon_0\chi_e\mathbf{E}$	$\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}$
상수	$\epsilon = \epsilon_0(1+\chi_e)$	$\mu = \mu_0(1+\chi_m)$

보조장에 $\mathbf{P}$ 는 더하고 $\mathbf{M}$ 은 빼는 것, 그리고 $\mathbf{H}$ 의 단위가 $\mathbf{M}$ 과 같은 A/m인 반면 $\mathbf{D}$ 의 단위가 $\mathbf{P}$ 와 같은 C/m²인 것까지 평행하다. 평행하지 않은 한 줄이 선형 매질의 정의이고, 7절이 그 결과를 다룬다.

경계 조건

두 물질이 맞닿은 면에서 장이 어떻게 이어지는지는 5절의 두 방정식을 얇은 상자와 작은 고리에 적분하면 나온다. 절차는 2.4.8경계 조건과 정전기학과의 비교과 같고, 결과만 물질용으로 바뀐다.

법선 성분. $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 은 물질이 있어도 그대로다. 경계면을 끼운 납작한 상자에 발산정리를 쓰면

B^{\perp}_{\text{위}} = B^{\perp}_{\text{아래}}

$\mathbf{B}$ 의 법선 성분은 언제나 연속이다. $\mathbf{H}$ 의 법선 성분은 그렇지 않다 — $\nabla\cdot\mathbf{H} = -\nabla\cdot\mathbf{M}$ 을 같은 상자에 적분하면

H^{\perp}_{\text{위}} - H^{\perp}_{\text{아래}} = -\left(M^{\perp}_{\text{위}} - M^{\perp}_{\text{아래}}\right)

자화의 법선 성분이 튀는 만큼 $\mathbf{H}$ 의 법선 성분이 반대로 튄다. 막대자석의 끝면에서 $\mathbf{H}$ 선이 시작하는 것이 이것이다.

접선 성분. $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}_f$ 를 경계면을 가로지르는 작은 직사각형 고리에 스토크스 정리로 적분하면, 고리가 둘러싸는 자유 전류는 표면 자유 전류 $\mathbf{K}_f$ 뿐이므로

\mathbf{H}^{\parallel}_{\text{위}} - \mathbf{H}^{\parallel}_{\text{아래}} = \mathbf{K}_f\times\hat{\mathbf{n}}

이다. $\hat{\mathbf{n}}$ 은 아래에서 위로 향하는 법선. 표면 자유 전류가 없으면 $\mathbf{H}$ 의 접선 성분이 연속이다. $\mathbf{B}$ 의 접선 성분은 속박 표면 전류 $\mathbf{K}_b$ 때문에 일반적으로 불연속이다.

정리하면 다음 짝이다.

	연속인 것	불연속인 것
법선	$B^{\perp}$	$H^{\perp}$ (차이 $= -\Delta M^{\perp}$ )
접선	$\mathbf{H}^{\parallel}$ (자유 표면 전류 없을 때)	$\mathbf{B}^{\parallel}$ (차이 $= \mu_0\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}$ , 총 전류)

2.3의 짝 — $D^{\perp}$ 연속(자유 표면 전하 없을 때), $\mathbf{E}^{\parallel}$ 연속 — 과 견주면 법선과 접선의 역할이 맞바뀌어 있다. 발산 방정식이 법선을, 회전 방정식이 접선을 지배하고, 자기에서는 발산이 $\mathbf{B}$ 의 것이고 회전이 $\mathbf{H}$ 의 것이기 때문이다.

선형 매질에서 — 장의 굴절

두 선형 매질( $\mathbf{B} = \mu_1\mathbf{H}$ , $\mathbf{B} = \mu_2\mathbf{H}$ , 7절)이 맞닿고 자유 표면 전류가 없을 때, 각 매질에서 $\mathbf{B}$ 가 법선과 이루는 각을 $\theta_1$ , $\theta_2$ 라 하자. 두 조건은

B_1\cos\theta_1 = B_2\cos\theta_2, \qquad \frac{B_1}{\mu_1}\sin\theta_1 = \frac{B_2}{\mu_2}\sin\theta_2

이고, 나누면

\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \frac{\mu_1}{\mu_2}

이다. 장의 선이 경계에서 꺾인다. 광학의 스넬 법칙과 닮았지만 사인이 아니라 탄젠트이고, 꺾이는 방향도 반대다 — 투자율이 큰 쪽에서 선이 법선으로부터 더 멀어진다.

그림 2.5-6. 투자율이 다른 두 매질의 경계에서 B 선이 꺾인다. B의 법선 성분과 H의 접선 성분이 연속이어야 하므로 tanθ₁/tanθ₂ = μ₁/μ₂이고, 투자율이 큰 쪽에서 선이 표면과 나란해진다. 오른쪽은 그 극한 — 공기에서 철(μᵣ ~ 10³~10⁵)로 들어가는 선은 철 안에서 거의 표면을 따라 흐르고, 철 바깥에서는 표면에 거의 수직으로 닿는다. 철 껍질이 안쪽 공간에서 장을 걷어 가는 자기 차폐가 이 그림이다.직접 작도

직관

투자율이 큰 물질은 자속을 빨아들여 자기 안으로 흘려보낸다. 공기( $\mu_1 = \mu_0$ )에서 철( $\mu_2 = 5000\mu_0$ )로 들어가는 선을 보자. 공기 쪽에서 $\theta_1 = 45°$ 라면 $\tan\theta_2 = 5000$ , $\theta_2 = 89.99°$ — 철 안에서 선은 표면과 거의 나란하게 흐른다. 거꾸로 철 안에서 표면에 $\theta_2 = 45°$ 로 다가오는 선은 공기로 나가면서 $\tan\theta_1 = 1/5000$ , 곧 표면에 거의 수직으로 나간다. 두 진술을 합치면, 고투자율 물체의 바깥에서 $\mathbf{B}$ 는 그 표면에 수직으로 드나들고, 안에서는 표면을 따라 흐른다. 정전기에서 도체 표면에 $\mathbf{E}$ 가 수직인 것(2.1.8)의 자기판이다 — 도체는 등전위이고, 고투자율 물체는 (근사적으로) 등자기퍼텐셜이다.

이것이 자기 차폐의 원리다. 뮤메탈 통 안에 넣은 공간은 바깥의 장이 통의 벽을 따라 돌아가 버려 거의 비어 있다. 전자빔 장비의 경통, SQUID, 정밀 홀 센서가 이렇게 지자기와 전원 잡음으로부터 격리된다. 도체 상자가 전기장을 막는 것(패러데이 새장)과 달리 차폐가 완벽하지 않은데, $\mu_r$ 이 무한이 아니라 $10^4$ 안팎이기 때문이다 — 얼마나 새는지는 벽 두께와 $\mu_r$ 의 곱으로 정해진다.

자기 감수율과 투자율

선형 매질

상자성체와 반자성체에서 자화는 외부 장에 비례한다 — 3절에서 본 대로 $x = mB/k_BT \ll 1$ 인 한 그렇다. 비례 상수를 정의하는 자리에서 관행이 하나 개입한다.

\mathbf{M} = \chi_m\mathbf{H}

비례의 기준이 $\mathbf{B}$ 가 아니라 ** $\mathbf{H}$ **다. 물리적으로는 $\mathbf{M}$ 이 $\mathbf{B}$ (진짜 장)에 비례한다고 쓰는 편이 자연스럽고, 전기 쪽 $\mathbf{P} = \epsilon_0\chi_e\mathbf{E}$ 는 실제로 그렇게 되어 있다. 자기 쪽이 $\mathbf{H}$ 를 택한 것은 5절의 이유 — 실험실이 $\mathbf{H}$ 를 조절한다 — 때문이고, 결과가 $\chi_m \sim 10^{-5}$ 인 물질에서는 어느 쪽이든 차이가 없다. $\chi_m$ 은 자기 감수율이고 무차원이다. 반자성체는 음, 상자성체는 양.

정의를 $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0 - \mathbf{M}$ 에 넣으면

\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) = \mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H} \equiv \mu\mathbf{H}

이다. $\mu = \mu_0(1+\chi_m)$ 이 투자율, $\mu_r = \mu/\mu_0 = 1 + \chi_m$ 이 상대 투자율이다. 단위는 $\mu_0$ 와 같은 T·m/A인데, 인덕턴스(2.6.4)의 단위 헨리를 써서 H/m로 적는 것이 관행이다.

주의

$\chi_m$ 의 기준이 $\mathbf{H}$ 라는 사실의 두 가지 결과.

① $\mathbf{M}$ 을 $\mathbf{B}$ 로 적으면 $\mathbf{M} = \dfrac{\chi_m}{\mu_0(1+\chi_m)}\mathbf{B}$ 다. $\chi_m \ll 1$ 이면 $\chi_m\mathbf{B}/\mu_0$ 와 같지만, 강자성체처럼 $\chi_m \sim 10^3$ 이면 전혀 다르다. 다른 책의 감수율 값을 옮겨 올 때 기준이 무엇인지 확인해야 한다.

② CGS 단위계의 감수율은 SI의 $1/4\pi$ 다. 편람·논문의 상당수가 CGS(가우스) 단위로 $\chi$ 를 적고, 그 값에 $4\pi$ 를 곱해야 SI의 $\chi_m$ 이 된다. 3절 표의 실리콘 값 $-4\times10^{-6}$ 은 CGS의 $-3.2\times10^{-7}$ (부피 감수율)을 환산한 것이다. 몰 감수율 (cm³/mol)을 부피 감수율로 바꾸는 밀도·몰질량 환산까지 겹치면 자릿수가 쉽게 어긋난다.

선형 매질 안의 속박 전류

선형 매질에서는 속박 전류를 자유 전류로 바로 적을 수 있다.

\mathbf{J}_b = \nabla\times\mathbf{M} = \nabla\times(\chi_m\mathbf{H}) = \chi_m\mathbf{J}_f

균일한 선형 매질 안쪽에서 부피 속박 전류는 자유 전류에 비례하고, 자유 전류가 없는 곳에는 속박 전류도 없다. 그래서 균일한 선형 자성체 안의 장은 자유 전류가 있는 곳과 표면의 속박 전류만으로 결정된다. 5절의 도선 예를 완성하면, 안쪽에서 $\mathbf{J}_b = \chi_m\mathbf{J}_f$ 가 자유 전류와 같은 방향(상자성) 또는 반대 방향(반자성)으로 흐르고, 표면에서 $\mathbf{K}_b = \mathbf{M}\times\hat{\mathbf{s}}$ 가 그 부피 전류를 정확히 상쇄하는 양만큼 반대로 흐른다 — 그래야 총 속박 전류가 0이 되고, 그래야 도선 바깥의 장이 물질과 무관하다.

$\chi_m$ 이 균일하지 않으면 $\nabla\chi_m\times\mathbf{H}$ 항이 추가로 생기고, 서로 다른 매질의 경계면이 그 극단이다. 5절의 경고가 여기서 다시 걸린다 — 선형 매질이라도 경계면이 있으면 $\nabla\cdot\mathbf{H} = -\nabla\cdot\mathbf{M} \ne 0$ 이 되므로, 앙페르 법칙 하나로 $\mathbf{H}$ 를 구하는 것은 대칭이 경계면을 $\mathbf{H}$ 선과 나란하게 놓아 줄 때만 된다.

예 — 자성체를 채운 솔레노이드

단위 길이당 $n$ 번 감은 긴 솔레노이드에 전류 $I$ 가 흐르고, 안쪽을 감수율 $\chi_m$ 인 선형 물질로 채운다. 원통 대칭에 끝면이 없으므로(무한히 길다) $\mathbf{H}$ 는 앙페르 법칙 하나로 결정되고, 결과는 진공일 때와 같은 $H = nI$ 다. 따라서

B = \mu_0(1+\chi_m)nI = \mu nI

이다. 진공에 비해 $(1+\chi_m)$ 배. 상자성체를 채우면 장이 조금 세지고, 반자성체를 채우면 조금 약해진다 — 소수 다섯째 자리에서. 물리적으로는 물질 표면에 속박 전류 $K_b = M = \chi_m nI$ 가 솔레노이드 전류와 같은(또는 반대) 방향으로 돌아 $\mu_0K_b = \mu_0\chi_m nI$ 만큼을 보탠 것이다. 철심을 채우면 $\mu_r \sim 10^3$ 이라 같은 전류로 천 배의 장이 나오는데, 그때는 $\chi_m$ 이 상수가 아니고 곧 포화한다(8절).

직관

파라미터 연계 — $\mu$ 하나가 회로 상수 셋을 끌고 다닌다. 이 솔레노이드의 자속은 $\Phi = \mu nIA$ 이므로 인덕턴스 $L = N\Phi/I \propto \mu$ 다(2.6.4). 인덕터 코어에 페라이트를 넣으면 같은 감은 수로 인덕턴스가 $\mu_r$ 배가 되고, 반대로 온칩 인덕터는 코어를 넣을 수 없어 $\mu_0$ 그대로라 nH 자릿수에서 끝난다(22부). 자기회로의 저항 $\mathcal{R} = l/\mu S$ 는 $1/\mu$ 에 비례하고(9절), 도체 안의 표피 깊이 $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$ 는 $1/\sqrt{\mu}$ 에 비례한다(2.8.5) — 강자성 도체(강철)는 같은 주파수에서 구리보다 표피가 수십 배 얇다. 그리고 매질 안의 빛의 속력이 $1/\sqrt{\mu\epsilon}$ 이므로(2.8.4) 굴절률에는 $\sqrt{\mu_r}$ 이 들어가는데, 광학 주파수에서는 어떤 물질도 자화가 따라오지 못해 $\mu_r = 1$ 로 둔다.

비선형으로 — 감수율이 함수가 될 때

$\chi_m$ 이 상수라는 것은 $M$ - $H$ 곡선이 원점을 지나는 직선이라는 뜻이다. 3절의 그림에서 반자성·상자성체는 그렇지만, 상자성체도 $x = mB/k_BT \sim 1$ 근처(극저온·강자장)에서는 랑주뱅 함수가 굽어 포화하고, 강자성체는 처음부터 직선이 아니다. 그때 쓰는 말이 미분 감수율 $dM/dH$ 와 미분 투자율 $dB/dH$ 이고, 데이터시트의 “초기 투자율”· “최대 투자율”은 이력 곡선의 특정 지점에서 잰 기울기다. 다음 절이 그 곡선이다.

강자성과 히스테리시스

자구 — 정렬돼 있는데 자석이 아닌 이유

3절에서 강자성체는 교환 상호작용 때문에 이웃 모멘트가 나란하다고 했다. 그렇다면 못 하나가 왜 스스로 자석이 아닌가. 정렬이 결정 전체에 걸쳐 있지 않고, 자구라 부르는 수 마이크로미터 크기의 영역 안에서만 완전하기 때문이다. 자구마다 자화 방향이 다르고, 방향이 무작위로 섞여 있으면 거시적 자화는 0이다.

자구가 생기는 이유는 에너지 경쟁이다. 결정 전체가 한 방향으로 자화되면 교환 에너지는 최소지만, 5절의 막대자석처럼 끝면에 자기 전하가 생겨 바깥 공간에 큰 $\mathbf{B}$ 장을 만들고, 그 장의 에너지(9절, $\int B^2/2\mu_0$ )가 크다. 결정을 반대 방향의 자구 둘로 나누면 바깥 장이 거의 사라져 그 에너지를 아끼는 대신, 두 자구의 경계 — 자구벽 — 에서 이웃 스핀이 나란하지 않아 교환 에너지를 치른다. 자구벽은 스핀이 급히 뒤집히는 면이 아니라 수십 나노미터에 걸쳐 서서히 돌아가는 층이고, 그 두께가 교환(넓게 퍼지려는)과 결정 이방성(특정 축에 붙으려는)의 타협이다. 자구의 크기도 같은 종류의 타협이다. 이 정량은 8.13.5와 10.11.1로 미룬다.

이력 곡선

자화된 적 없는 철심에 코일을 감고 전류로 $H$ 를 조절하면서 $B$ 를 잰다(측정은 2.6.3의 유도 기전력으로). 결과가 이력 곡선이다.

그림 2.5-7. 강자성체의 B–H 이력 곡선. 원점에서 출발하는 초기 자화 곡선은 자구벽 이동(가파른 구간)을 거쳐 자구 회전(완만한 구간)으로 포화 Bₛ에 이른다. H를 0으로 되돌려도 B는 잔류 자속밀도 Bᵣ에 머물고, B를 0으로 만들려면 반대 방향의 보자력 Hc가 필요하다. 왕복하면 닫힌 고리가 되고, 고리의 넓이가 한 주기에 단위 부피당 열로 잃는 에너지다. 왼쪽의 가늘고 가파른 고리가 연자성(변압기·인덕터), 오른쪽의 넓고 네모난 고리가 경자성(영구자석·기록 매체)이다.직접 작도

곡선을 따라간다.

초기 자화 곡선. 원점에서 출발한다. 처음에는 자구벽이 결함에 붙잡혀 잘 움직이지 않아 기울기가 완만하다가(초기 투자율), 벽이 결함을 떨쳐 내며 급히 움직이는 구간에서 기울기가 최대가 되고(최대 투자율, $\mu_r \sim 10^3$ ~ $10^5$ ), 장과 나란한 자구가 시료를 다 차지하면 남은 것은 자구의 회전뿐이라 다시 완만해진다. 모든 모멘트가 장 방향을 향하면 포화 — $M$ 이 $M_s$ 에서 멈추고, 그 뒤 $B$ 는 $\mu_0H$ 의 기울기로만 는다. 철의 $\mu_0M_s \approx 2.2\,\text{T}$ , 니켈 0.6 T, 코발트 1.8 T.
잔류 자화. $H$ 를 0으로 되돌린다. 자구벽이 결함을 되넘어 원래 자리로 돌아갈 이유가 없으므로 자화가 대부분 남는다. $H = 0$ 에서의 $B$ 가 잔류 자속밀도 $B_r$ 이다. 시료는 이제 영구자석이다.
보자력. $B$ 를 0으로 만들려면 반대 방향으로 $H$ 를 걸어야 한다. 그 크기가 보자력 $H_c$ 다. 자구벽을 결함에서 떼어 내 반대로 밀어 보내는 데 필요한 장이고, 결함이 많을수록 크다.
반대 포화 → 되돌리기. 계속 밀면 반대 방향으로 포화하고, 다시 $H$ 를 되돌리면 $-B_r$ 을 지나 $+H_c$ 에서 0을 지나 원래 포화점으로 돌아간다. 닫힌 고리가 완성된다. 초기 곡선은 다시 지나지 않는다 — 그래서 “처음 자화” 상태로 돌아가려면 교류 장을 서서히 줄이거나(탈자), 퀴리 온도 위로 가열해야 한다.

고리의 넓이 — 이력 손실

한 주기 동안 $H$ 를 걸어 주는 외부 회로가 물질에 하는 일은 단위 부피당 $\oint H\,dB$ 이고 (9절), 이것이 정확히 고리의 넓이다. 한 바퀴 돌 때마다 이만큼이 자구벽의 마찰 — 결함을 넘을 때 튀는 벽이 격자 진동(포논)으로 흩어지는 것 — 로 열이 된다. 60 Hz 변압기 철심이 초당 60번 이 고리를 돌고, 그때마다 넓이만큼을 잃는다. 철심 재료는 고리가 가늘어야 한다.

직관

같은 물리, 반대 용도. 연자성체와 경자성체를 가르는 것은 결정 안의 결함과 이방성이다. 자구벽이 쉽게 움직이려면 결함이 적고 이방성이 작아야 한다 — 순철·규소강(변압기)· 퍼멀로이(Ni₈₀Fe₂₀, $H_c$ 수 A/m, $\mu_r$ 최대 $10^5$ )·페라이트(고주파 인덕터, 절연체라 와전류가 없다). 자구벽이 붙잡혀야 하는 영구자석은 그 반대다 — 큰 결정 이방성과, 벽이 아예 생기지 못할 만큼 작은 결정립. NdFeB는 $B_r \approx 1.3\,\text{T}$ , $H_c \sim 10^6\,\text{A/m}$ 이고 알니코·페라이트 자석이 그 아래다. 고리의 넓이와 $B_rH_c$ 가 같은 자릿수다.

MRAM의 두 상태가 이 고리의 두 잔류점이다. 자기터널접합의 자유층(10.11.8)은 이방성 축이 정해진 작은 강자성 막이고, 그 축을 따라 놓인 두 잔류 상태 $\pm M_r$ 이 비트 0과 1이다. 쓰기란 $H_c$ (또는 스핀 전달 토크의 임계 전류, 10.11.10)를 넘겨 반대 잔류점으로 옮기는 일이고, 읽기란 고정층에 대해 나란한지 반대인지를 저항으로 재는 일이다. 열에 대한 안정성은 잔류점을 벗어나는 데 필요한 에너지 장벽 $KV/k_BT$ 이며(10.11.2), 셀을 줄일수록 $V$ 가 줄어 이 장벽을 지키는 것이 축소의 한계다.

영구자석의 동작점

자유 전류 없이 자석만 있으면 자석 안의 $\mathbf{H}$ 는 5절의 반자화장 — $\mathbf{M}$ 과 반대 방향 — 이다. 그러므로 영구자석은 이력 고리의 제2사분면( $H < 0$ , $B > 0$ )에서 동작하고, 정확히 어디인지는 자석의 모양이 정한다. 반자화 인자를 $N_d$ 라 하면 $H = -N_dM$ 이고(구는 $1/3$ , 긴 막대는 0에 가깝고, 얇은 판의 두께 방향은 1에 가깝다), 이 직선이 고리의 제2사분면 가지와 만나는 점이 동작점이다. 4절의 구가 $H = -M/3$ 이었던 것이 그 예다. 같은 재료라도 짧고 납작한 자석은 자기 자신을 탈자시키는 자리에 놓이고, 그것을 견디는 것이 큰 $H_c$ 의 값어치다. 자석이 공급하는 바깥 장의 에너지가 $-BH$ 에 비례하므로, 제2사분면에서 $|BH|$ 가 최대인 점의 값 ** $(BH)_{\max}$ **가 영구자석의 등급이다 — NdFeB가 $400\,\text{kJ/m}^3$ 안팎, 페라이트 자석은 그 십분의 일.

퀴리 온도

온도를 올리면 열이 교환을 흔들어 자발 자화 $M_s(T)$ 가 줄고, 퀴리 온도 $T_C$ 에서 0이 된다. 그 위에서는 보통의 상자성체이고, 감수율이 3절의 퀴리–바이스 법칙 $C/(T - T_C)$ 를 따른다. 철 1043 K, 코발트 1388 K, 니켈 627 K, 가돌리늄 292 K. 이 전이는 상전이이고, $M_s(T)$ 가 $T_C$ 근처에서 $(T_C - T)^{\beta}$ 로 연속적으로 0에 닿는 2차 상전이의 표준 예다 (6부의 평균장 이론, 7.13.9). 소자 쪽으로는 자기터널접합의 재료가 공정 온도(400 °C 안팎)와 동작 온도에서 $T_C$ 로부터 충분히 멀어야 한다는 제약으로 나타난다.

자기 에너지와 자기회로

자기장에 저장된 에너지

정전기에서 전하 분포를 조립하는 데 든 일이 $\frac{1}{2}\int\epsilon_0E^2\,d\tau$ 로, 그리고 유전체가 있으면 $\frac{1}{2}\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\,d\tau$ 로 정리되었다 (2.1.7정전 에너지와 에너지 밀도, 2.3.11). 자기장에도 같은 꼴이 있다.

W = \frac{1}{2}\int\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\,d\tau \qquad(\text{선형 매질}), \qquad u = \frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H} = \frac{B^2}{2\mu} = \frac{1}{2}\mu H^2

유도는 정전기와 다르다. 자기력은 일을 하지 않으므로 “전류 분포를 조립하는 일”이란 전류를 0에서 최종값까지 키우는 동안 유도 기전력에 맞서 전원이 한 일이고, 그 계산에는 패러데이 법칙이 필요하다. 그래서 정식 유도는 2.6.5에 있고 여기서는 결과만 받는다. 선형이 아닌 물질에서는 미소 변화에 대한 꼴만 남는다.

dw = \mathbf{H}\cdot d\mathbf{B}

단위 부피당, $\mathbf{B}$ 를 $d\mathbf{B}$ 만큼 바꾸는 데 외부가 해 주어야 하는 일이다. 이것을 이력 고리를 따라 한 바퀴 적분하면 $\oint H\,dB$ , 곧 고리의 넓이 — 8절의 이력 손실이다. 선형 매질에서 이 적분은 경로에 무관하고 $B^2/2\mu$ 가 된다.

직관

에너지 밀도의 자릿수. $B = 1\,\text{T}$ 의 진공에서 $u = B^2/2\mu_0 = 4\times10^5\,\text{J/m}^3$ , 곧 4기압에 해당하는 압력이다. 같은 에너지 밀도를 전기장으로 내려면 $E = B/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} = cB = 3\times10^8\,\text{V/m}$ 가 필요한데, 공기는 $3\times10^6$ 에서, 산화막도 $10^9$ 부근에서 파괴된다(2.3.9). 같은 부피에 자기장이 전기장보다 훨씬 많은 에너지를 담는다. 전력 변환에서 에너지를 잠시 맡기는 부품이 축전기가 아니라 인덕터인 이유이고, 반대로 그 에너지가 자기력으로 되돌아올 때 회로를 때리는 것이 인덕티브 킥이다.

철심이 하는 일을 에너지로 다시 읽으면 — 같은 $H$ 에서 $B$ 가 $\mu_r$ 배이므로 $u = \frac{1}{2}\mu H^2$ 도 $\mu_r$ 배다. 그런데 $u = B^2/2\mu$ 로 읽으면 같은 $B$ 에서 철심 안의 에너지 밀도는 공기의 $1/\mu_r$ 이다. 자기회로에서 에너지의 대부분이 철심이 아니라 공극에 저장되는 것이 이 두 번째 읽기이고, 인덕터에 일부러 공극을 두는 이유가 여기 있다.

자성체에 작용하는 힘 — 전자석

에너지를 위치로 미분하면 힘이다. 전자석의 극면 넓이 $S$ 가 철판을 붙들고 있고, 철판을 $dx$ 만큼 떼어 내면 공극의 부피가 $S\,dx$ 만큼 늘어난다. 공극 안의 $B$ 가 그대로라면 (자속이 유지된다면) 늘어난 부피만큼 장의 에너지가 $\dfrac{B^2}{2\mu_0}S\,dx$ 늘고, 그 에너지를 외부가 힘 $F$ 로 일해 넣어 주어야 하므로

F = \frac{B^2S}{2\mu_0}

이다. 극면 하나당이고, 철심 안의 에너지 변화는 $1/\mu_r$ 이라 무시했다. $B = 1\,\text{T}$ , $S = 1\,\text{cm}^2$ 에 $F = 40\,\text{N}$ — 4 kg을 든다. 단위 넓이당 힘 $B^2/2\mu_0$ 가 바로 위의 “4기압”이고, 전자기장의 응력이 압력과 같은 차원이라는 사실(2.7의 맥스웰 응력 텐서)의 가장 간단한 예다. 웨이퍼 척과 로봇 그리퍼에 쓰는 전자석, 진공 챔버의 자기 결합 이송, 릴레이의 접점이 전부 이 식으로 설계된다.

자기회로

철심에 코일을 감고 공극을 낸 구조 — 변압기·인덕터·전자석·모터 — 를 설계할 때마다 경계 조건을 풀 수는 없다. 6절의 결론이 지름길을 준다. 고투자율 물질 안에서 자속은 물질을 따라 흐르고 밖으로 새지 않는다. 그렇다면 철심은 자속에 대해 도선이 전류에 대해 하는 역할을 하고, 회로 이론을 통째로 빌릴 수 있다.

단면 $S$ , 길이 $l$ 인 철심 조각을 자속 $\Phi$ 가 지난다고 하자. $B = \Phi/S$ , $H = B/\mu = \Phi/\mu S$ 이고, 이 조각을 따라 $\mathbf{H}$ 를 선적분하면 $Hl = \Phi\,l/\mu S$ 다. 앙페르 법칙 $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = NI$ 를 회로 전체에 적용하면

NI = \sum_i H_il_i = \Phi\sum_i\frac{l_i}{\mu_iS_i} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{F} = \Phi\,\mathcal{R}, \qquad \mathcal{R} = \frac{l}{\mu S}

이다. 옴의 법칙 $V = IR$ 과 같은 꼴이고, 대응은 다음과 같다.

전기회로		자기회로
기전력 $V$	V	기자력 $\mathcal{F} = NI$	A (암페어-턴)
전류 $I$	A	자속 $\Phi$	Wb
저항 $R = l/\sigma S$	Ω	자기저항 $\mathcal{R} = l/\mu S$	1/H
전도도 $\sigma$	S/m	투자율 $\mu$	H/m
전류밀도 $J$	A/m²	자속밀도 $B$	T
전기장 $E$	V/m	$H$	A/m
키르히호프 전류 법칙	$\sum I = 0$	$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ → $\sum\Phi = 0$
키르히호프 전압 법칙	$\sum V = 0$	$\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = NI$

직렬 자기저항은 더하고 병렬은 역수를 더한다. 인덕턴스는 $L = N\Phi/I = N^2/\mathcal{R}$ 이다 — 감은 수의 제곱에 비례하고 자기저항에 반비례한다.

그림 2.5-8. 공극이 있는 철심 자기회로와 그 등가 전기회로. 감은 수 N의 코일에 전류 I가 흐르면 기자력 NI가 자속 Φ를 밀고, 철심의 자기저항 l/μS와 공극의 자기저항 g/μ₀S가 직렬로 놓인다. 철심의 μ가 μ₀의 수천 배라 길이 수십 cm의 철심보다 1 mm의 공극이 회로 전체의 자기저항을 지배하고, 자속과 인덕턴스가 공극 길이로 결정된다. 공극 가장자리에서 자속이 바깥으로 부푸는 것이 프린징이다.직접 작도

직관

공극이 회로를 지배한다. 길이 $l = 20\,\text{cm}$ , $\mu_r = 4000$ 인 철심과 $g = 1\,\text{mm}$ 의 공극이 직렬이라 하자. 자기저항의 비는

\frac{\mathcal{R}_g}{\mathcal{R}_c} = \frac{g/\mu_0S}{l/\mu_r\mu_0S} = \frac{\mu_rg}{l} = \frac{4000\times1}{200} = 20

공극 1 mm가 철심 20 cm의 스무 배다. 그래서 인덕턴스 $L = N^2/\mathcal{R}$ 은 철심의 $\mu_r$ 이 온도·이력으로 흔들려도 거의 변하지 않고 공극 길이로 정해진다. 정밀 인덕터에 일부러 공극을 두는 이유이고, 철심의 에너지 대부분이 공극에 저장된다는 위의 이야기와 같은 것이다. 공극이 커지면 포화도 늦어진다 — 같은 $NI$ 에서 $B = \mu_0NI/(g + l/\mu_r)$ 이 작아지므로.

이 유비의 한계. 전기회로에서 전류는 절연체로 새지 않는다(도체와 절연체의 $\sigma$ 비가 $10^{20}$ ). 자기회로에서 자속은 공기로 샌다 — $\mu$ 의 비가 고작 $10^3$ ~ $10^4$ 이기 때문이다. 그래서 누설 자속과 프린징(공극 가장자리에서 자속이 부풀어 실효 단면이 커지는 것)을 보정해야 하고, 철심이 포화하면 $\mu$ 가 $H$ 의 함수가 되어 회로가 비선형이 된다. 정밀 설계는 결국 유한요소 해석이지만, 첫 추정과 감각은 언제나 이 유비에서 나온다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

자기터널접합과 MRAM. 두 강자성 층 사이의 터널링 저항이 두 층의 자화가 나란한지 반대인지에 따라 달라진다(10.11.8). 자유층의 두 잔류 상태가 비트이고(8절), 스핀 전달 토크로 쓰며(10.11.10), 열 안정성은 이방성 에너지 장벽이 정한다. 재료의 $M_s$ · $H_c$ · $T_C$ 가 그대로 셀의 설계 변수다(15.11).
홀 센서와 자기 저항 센서. 반도체 안의 자유 전하에 로렌츠 힘이 작용하는 것은 2.4.1과 7.12.7의 이야기이고, 그 센서가 재는 $\mathbf{B}$ 를 집속하는 고투자율 요크와 차폐가 이 장의 6절이다(17부).
전력 변환과 인덕터. 스위칭 전원의 인덕터·변압기는 페라이트 코어의 $\mu_r$ ·포화 $B_s$ ·이력 손실·공극으로 설계되고(9절), 온칩 인덕터는 코어가 없어 $\mu_0$ 그대로다(22부). 강자성 박막을 온칩 인덕터에 얹으려는 시도가 있지만 고주파에서 $\mu_r$ 이 무너진다.
장비. 전자빔 리소그래피·SEM·TEM의 전자 광학은 자기 렌즈이고, 경통은 뮤메탈로 차폐된다(19부). 스퍼터링의 마그네트론은 영구자석 배열이 전자를 표적 위에 가두는 것이며 (18부), 자석의 $(BH)_{\max}$ 와 동작점(8절)이 플라즈마 밀도를 정한다.
결함 분광. 실리콘 안의 짝짓지 않은 전자 — 댕글링 본드, 전이 금속 — 는 상자성이고, 전자 스핀 공명이 그것을 센다(7.13.12). 2절의 라모 세차가 그 공명 진동수의 뿌리다.

한 줄로 줄이면, 소자 안의 자기장은 무시하고 소자 밖의 자성체는 무시하지 않는다. 그 경계를 정확히 아는 것이 이 장에서 반도체가 얻는 전부다.