3부 일반물리와 광학 3.3

빛의 전파

3.2에서 파동은 줄 위의 변위였다. 파동 방정식 $\partial^2\psi/\partial x^2 = (1/v^2)\,\partial^2\psi/\partial t^2$ 을 만족하는 것이면 무엇이든 파동이었고, 무엇이 흔들리는지는 묻지 않았다. 이 장은 그 자리에 전기장과 자기장을 넣는다. 맥스웰 방정식 넷을 진공에서 결합하면 파동 방정식이 그대로 튀어나오고, 그 속도가 $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} = 3\times10^8\,\mathrm{m/s}$ 라는 것을 맥스웰이 계산해 낸 순간 빛은 전자기파가 되었다(Hecht §3.2). 그 뒤의 모든 광학은 이 한 문장 위에 선다.

이 장은 세 부분으로 되어 있다.

빛 자체 — 1·2절. 맥스웰 방정식이 어떤 파동을 허락하는가, 그 파동이 에너지와 운동량을 어떻게 나르는가, 스펙트럼의 어디에 무엇이 있는가.
빛과 물질 — 3·4·5·10절. 굴절률은 어디서 오는가(전자가 진동자다), 왜 파장에 따라 다른가(분산), 왜 어떤 파장은 삼켜지는가(흡수), 왜 하늘이 파란가(산란), 금속은 왜 거울인가(플라즈마).
경계에서 일어나는 일 — 6·7·8·9절. 반사·굴절 법칙, 그것을 한 줄로 요약하는 페르마 원리, 얼마나 반사되는지를 주는 프레넬 방정식, 그리고 전반사 너머의 소멸파.

마지막 11절은 이 모든 것을 광자의 언어로 다시 읽는다 — 파동의 세기가 광자가 발견될 확률이라는 것, 페르마 원리가 실은 경로들의 간섭이라는 것.

반도체 쪽 목적지를 미리 적어 둔다. 리소그래피는 이 장을 통째로 쓴다 — 파장이 곧 만들 수 있는 크기이고(1절), 광원의 세기와 광자 수가 노광량이며(2·11절), 렌즈의 굴절률과 분산이 해상도와 색수차를 정하고(3·4절), 액침 노광은 6절의 스넬 법칙 한 줄이며, 포토레지스트와 기판 사이의 반사(8절)가 정재파와 스윙 곡선을 만든다. EUV에서는 13.5 nm의 빛을 굴절시킬 재료가 없어 전부 거울이 되는데, 그 이유가 10절에 있다. 태양전지와 광검출기의 표면 반사 손실 30 %대(8절), 실리콘이 청색은 표면 0.1 µm에서 다 삼키고 근적외선은 통과시키는 이유(4절), 웨이퍼 위 수십 nm 입자를 레이저 산란으로 잡아내는 검사 장비의 $d^6$ 법칙(5절), 실리콘 포토닉스 도파관이 빛을 가두는 원리(9절), 고농도 도핑 실리콘이 적외선에서 금속처럼 반사하는 플라즈마 가장자리(10절), 그리고 EUV 노광의 확률적 결함을 만드는 광자 산탄 잡음(11절)이 전부 이 장이다.

기호 — 이 장의 약속

광학은 다른 분야와 글자를 많이 공유한다. 특히 $n$ · $k$ · $E$ · $q$ 넷은 반도체 소자 장에서 다른 뜻으로 쓰이므로, 이 장에서 무엇으로 쓰는지 먼저 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{E}$ , $\mathbf{B}$		전기장 · 자기장 벡터. $E_0$ , $B_0$ 은 진폭	V/m · T
$\mathbf{k}$ , $k$		파수 벡터 · 파수 $2\pi/\lambda$ . 진공에서는 $k_0 = \omega/c$	1/m
$\omega$ , $\nu$	오메가 · 뉴	각진동수 $2\pi\nu$ · 진동수	rad/s · Hz
$\lambda$ , $\lambda_0$	람다	매질 안 파장 · 진공 파장. 굴절률 $n$ 인 매질에서 $\lambda = \lambda_0/n$	m
$c$ , $v$ , $v_g$		진공 광속 · 매질 안 위상 속도 $c/n$ · 군속도	m/s
$n$		굴절률 (실수부). 이 장에서 $n$ 은 전자 농도가 아니다	—
$\kappa$	카파	소광 계수 — 복소 굴절률 $\tilde n = n + i\kappa$ 의 허수부. Hecht의 $n_I$	—
$\alpha$	알파	흡수 계수 $4\pi\kappa/\lambda_0$ . $1/\alpha$ 가 흡수 깊이	1/m
$\varepsilon_0$ , $\mu_0$		진공 유전율 · 투자율
$\varepsilon_r$ , $\tilde\varepsilon_r$		비유전율(Hecht의 $K_E$ ) · 복소 비유전율. $\tilde n^2 = \tilde\varepsilon_r$	—
$\chi$	카이	전기 감수율 $\varepsilon_r - 1$	—
$N$		단위 부피당 진동자(전자) 수 — 로렌츠·드루드 모형의 밀도	1/m³
$q$ , $m_e$		기본 전하 $1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ (Hecht의 $q_e$ ) · 전자 질량	C · kg
$\omega_0$ , $\gamma$		진동자의 공명 각진동수 · 감쇠율	rad/s
$\omega_p$		플라즈마 각진동수 $\sqrt{Nq^2/\varepsilon_0 m_e}$	rad/s
$u$ , $U$		에너지 밀도 · 에너지	J/m³ · J
$\mathbf{S}$ , $I$		포인팅 벡터 · 복사 조도(irradiance) $\langle S\rangle$ . HRW의 intensity	W/m²
$\mathcal{P}$		복사압. 전력 $P$ 와 구별한다	Pa
$\theta_i$ , $\theta_r$ , $\theta_t$		입사각 · 반사각 · 굴절(투과)각 — 법선에서 잰다	rad
$\theta_B$ , $\theta_c$		브루스터 각 · 임계각	rad
$r$ , $t$		진폭 반사·투과 계수 (첨자 $\perp$ , $\parallel$ )	—
$R$ , $T$		에너지 반사율·투과율, $R + T = 1$	—
$\beta$	베타	소멸파의 감쇠 상수 — $e^{-\beta z}$	1/m
$h$ , $\hbar$		플랑크 상수 · $h/2\pi$ . 광자 에너지는 $h\nu = \hbar\omega$	J·s
$\Phi$	파이	광자 흐름 — 단위 시간·면적당 광자 수 $I/h\nu$	1/(m²·s)

주의

함정을 미리 짚는다. 전부 글자가 같은데 물건이 다른 자리다.

① $n$ 은 굴절률이다. 8부부터 $n$ 은 전자 농도(cm⁻³)가 되고 $N_D$ · $N_A$ 가 불순물 농도다. 이 장에서는 $n$ 이 굴절률이고, 전자·진동자의 **개수 밀도는 $N$ **이다(Hecht·HRW 둘 다 이렇게 쓴다). 반도체의 광학을 다루는 장(8부·17부)에서 두 $n$ 이 한 페이지에 나오면 그 장이 다시 못박는다.

② $k$ 는 파수다. 볼츠만 상수는 이 장에 나오지 않지만, 나오면 언제나 $k_B$ 로 쓴다. 파수는 진공에서 $k_0 = \omega/c = 2\pi/\lambda_0$ , 매질에서 $k = nk_0$ — 매질에 들어가면 파수가 커지고 파장이 짧아진다. 진동수는 그대로다. 경계면에서 전기장이 시간에 대해 연속이려면 양쪽 진동수가 같아야 하기 때문이다(Hecht §4.4).

③ $E$ 는 전기장이다. 광자 에너지는 $E$ 로 쓰지 않고 언제나 $h\nu$ 또는 $\hbar\omega$ 로 풀어 쓴다. 밴드갭 $E_g$ 만은 관례를 따른다 — $h\nu = E_g$ 처럼 등식의 양쪽에 놓이면 왼쪽이 광자, 오른쪽이 재료다.

④ $q$ 는 전하 크기, $Q$ 는 전하량. 로렌츠 진동자에서 전자에 작용하는 힘은 $-q\mathbf{E}$ 다. Hecht는 $q_e$ 로 쓰지만 이 백과는 반도체 교재의 관습대로 $q$ 를 쓴다.

⑤ $I$ 는 복사 조도(W/m²)다. 전류가 아니다. Hecht는 irradiance, HRW는 intensity라 부르고 글자는 둘 다 $I$ 다. 광검출기 장에서 광전류 $I_{ph}$ 와 나란히 나오면 첨자로 가른다.

⑥ $\kappa$ 와 $\alpha$ . 소광 계수 $\kappa$ 는 복소 굴절률의 허수부(무차원), 흡수 계수 $\alpha$ 는 세기가 $1/e$ 로 줄어드는 거리의 역수(1/m)다. $\alpha = 2\kappa k_0 = 4\pi\kappa/\lambda_0$ — 2가 붙는 이유는 진폭이 $e^{-\kappa k_0 z}$ 로 죽을 때 세기는 그 제곱으로 죽기 때문이다(3절).

⑦ 복소 지수의 부호. 이 백과는 Hecht를 따라 $e^{i(kz - \omega t)}$ 를 쓴다. 이 약속에서 흡수는 $\tilde n = n + i\kappa$ , $\kappa > 0$ 이고, 로렌츠 분모는 $\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega$ 다. 공학 교재( $e^{j(\omega t - kz)}$ , 2.8과 22부)로 옮기면 $i \to -j$ 로 허수부의 부호가 전부 뒤집힌다. 식을 베껴 올 때 가장 자주 틀리는 자리다.

⑧ $r_\perp$ · $r_\parallel$ 의 부호. 수직 입사에서 Hecht의 약속은 $r_\parallel = -r_\perp$ 가 된다 — 물리적으로는 같은 반사인데 $\parallel$ 성분의 양의 방향을 잡는 방식 때문이다(8절). “수직 입사 반사에서 위상이 $\pi$ 뒤집힌다”는 문장은 $r_\perp$ 의 부호에 대한 말이다.

빛의 전자기적 성질과 스펙트럼

맥스웰 방정식에서 파동이 나온다

2.6.7맥스웰 방정식에서 진공의 맥스웰 방정식은 전하도 전류도 없이 다음 넷이었다.

\nabla\cdot\mathbf{E} = 0,\qquad \nabla\cdot\mathbf{B} = 0,\qquad \nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

셋째 식의 회전을 한 번 더 취하고 항등식 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}$ 에 첫째·넷째 식을 넣으면 $\mathbf{E}$ 만의 방정식이 남는다.

\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

3.2.41차원 파동 방정식의 파동 방정식 $\nabla^2\psi = (1/v^2)\,\partial^2\psi/\partial t^2$ 과 같은 꼴이고, 속도는 읽어 낼 수 있다.

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}

$\mu_0$ 과 $\varepsilon_0$ 은 정전기·정자기 실험(쿨롱 힘, 전선 사이 힘)에서 잰 상수다. 그 둘을 곱해 제곱근을 뒤집었더니 광속이 나왔다 — 이것이 1865년 맥스웰이 “빛은 전자기 교란”이라고 결론지은 근거다(Hecht §3.2.1). $\mathbf{B}$ 에 대해서도 똑같은 방정식이 나온다.

직관

수식적 직관 — 왜 회전을 두 번 하면 파동이 되는가. 패러데이 법칙은 “변하는 $\mathbf{B}$ 가 회전하는 $\mathbf{E}$ 를 만든다”, 앙페르–맥스웰 법칙은 “변하는 $\mathbf{E}$ 가 회전하는 $\mathbf{B}$ 를 만든다”이다. 하나가 다른 것을 만들고 그것이 다시 처음 것을 만드는 되먹임이 있고, 각 단계에 시간 미분이 하나씩 들어 있으니 한 바퀴 돌면 2계 시간 미분이 된다. 공간 쪽은 회전을 두 번 해서 $-\nabla^2$ 이 되고, $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ 이 나머지 항을 지운다. 그래서 $\partial_t^2$ 과 $\nabla^2$ 이 상수 하나로 이어진 파동 방정식이 남는다. 전하가 없어도 장이 스스로를 지탱하며 퍼져 나가는 것 — 그것이 빛이다. 물질 안에서는 $\varepsilon_0 \to \varepsilon_0\varepsilon_r$ 로 바뀌어 속도가 $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ 이 되고, 그 제곱근이 3절의 굴절률이다.

평면파의 기하

가장 단순한 해는 2.8.2진공 중의 단색 평면파의 단색 평면파다. $z$ 방향으로 가는 파를 쓰면

\mathbf{E}(z,t) = \mathbf{E}_0\cos(kz - \omega t),\qquad \mathbf{B}(z,t) = \mathbf{B}_0\cos(kz - \omega t),\qquad k = \frac{\omega}{c}

이고, 맥스웰 방정식이 세 가지를 더 강제한다(Hecht §3.2.2, HRW §33-1).

$\mathbf{E}\perp\mathbf{k}$ , $\mathbf{B}\perp\mathbf{k}$ — 횡파다. $\nabla\cdot\mathbf{E} = 0$ 이 평면파에 대해 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 = 0$ 이 되기 때문이다.
$\mathbf{E}\perp\mathbf{B}$ 이고 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 가 진행 방향 — 패러데이 법칙이 $\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0 = \omega\mathbf{B}_0$ 을 주므로.
크기는 $E_0 = cB_0$ . 두 장은 같은 위상으로 함께 커지고 함께 0이 된다.

$E = cB$ 는 단위 때문에 크기가 매우 달라 보인다 — 햇빛의 전기장 진폭이 $\sim 10^3\,\mathrm{V/m}$ 일 때 자기장은 $\sim 3\,\mu\mathrm{T}$ 다. 그래서 물질과의 상호작용을 말할 때는 거의 언제나 전기장만 말한다. 전자에 작용하는 로렌츠 힘 $q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$ 에서 자기 항은 전기 항의 $v/c$ 배라 원자 속 전자( $v/c \sim 10^{-2}$ )에게는 무시된다. 3절의 진동자 모형이 $\mathbf{E}$ 만 쓰는 이유다.

일반 방향의 평면파는 위상을 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t$ 로 쓴다. 파면(위상이 같은 면)은 $\mathbf{k}$ 에 수직인 평면이고, 파면 사이 간격이 $\lambda = 2\pi/k$ 다. 6절에서 경계면에 비스듬히 닿는 파를 다룰 때 이 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$ 이 스넬 법칙을 만든다.

파장·진동수·광자 에너지 — 한 축의 세 눈금

진공에서 $\lambda_0\nu = c$ 다. 여기에 플랑크의 $h\nu$ 를 얹으면 스펙트럼의 어느 자리든 세 가지로 부를 수 있다 — 파장, 진동수, 광자 에너지. 실용적인 환산 하나를 외워 두면 이 백과 전체에서 쓴다.

h\nu\,[\mathrm{eV}] = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1239.8}{\lambda_0\,[\mathrm{nm}]}

실리콘의 밴드갭 $1.12\,\mathrm{eV}$ 는 파장 $1107\,\mathrm{nm}$ , ArF 엑시머 레이저 $193\,\mathrm{nm}$ 는 $6.4\,\mathrm{eV}$ , EUV $13.5\,\mathrm{nm}$ 는 $92\,\mathrm{eV}$ 다. 반도체가 쓰는 빛은 스펙트럼 위에서 두 규칙으로 자리가 정해진다 — 파장은 만들려는 크기(리소그래피)이고, 광자 에너지는 재료의 밴드갭(광검출·발광·태양전지)이다.

그림 3.3-1. 전자기 스펙트럼을 파장과 광자 에너지 두 눈금으로. 두 눈금은 hν = 1240/λ로 이어진 같은 축이라 한쪽이 커지면 다른 쪽이 작아진다. 반도체가 쓰는 빛은 띠 몇 군데에 몰려 있다 — 리소그래피의 EUV·ArF·i선은 '파장 = 만들 크기'로, 실리콘 밴드갭 1.12 eV와 광통신 1.55 µm는 '광자 에너지 = 재료의 밴드갭(혹은 그 아래)'으로 자리가 정해진다. 맨 오른쪽 점은 10절의 이야기다 — 고농도 도핑 실리콘은 6 µm 근처부터 금속처럼 반사한다.직접 작도

스펙트럼의 띠 이름(Hecht §3.6)은 발생·검출 방식의 차이일 뿐 물리는 하나다. 다만 반도체에서 자주 쓰는 경계 몇 개는 알아 둘 만하다.

띠	파장	광자 에너지	이 백과에서 만나는 곳
마이크로파	1 mm – 30 cm	4 µeV – 1 meV	RF 소자(22부), 플라즈마 장비의 2.45 GHz
적외선	760 nm – 1 mm	1.2 meV – 1.6 eV	광통신 1.31·1.55 µm, 열복사, 자유 캐리어 흡수, FTIR
가시광	380 – 760 nm	1.6 – 3.3 eV	LED·디스플레이(16부), 태양전지, 육안 검사
자외선	10 – 380 nm	3.3 – 124 eV	i선 365, KrF 248, ArF 193, EUV 13.5 nm
X선	10 pm – 10 nm	124 eV – 100 keV	XRD·XPS(9부), EUV는 정의상 연X선 쪽 끝

경계는 관습이다. EUV 13.5 nm는 “극자외선”이라 부르지만 광자 에너지 92 eV는 연X선 영역이고, 그래서 10절에서 보듯 굴절시킬 재료가 없다.

에너지·운동량과 복사압

장이 나르는 에너지

전기장·자기장의 에너지 밀도는 2.7.2포인팅 정리와 에너지 보존에서 $u = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2$ 이었다. 평면파에서는 $B = E/c$ 이므로 두 항이 정확히 같다 — $\frac{1}{2\mu_0}B^2 = \frac{1}{2\mu_0}\frac{E^2}{c^2} = \frac{\varepsilon_0}{2}E^2$ . 그래서

u = \varepsilon_0 E^2

이다. 빛의 에너지는 절반이 전기장에, 절반이 자기장에 실려 있다. 이 에너지가 속도 $c$ 로 흐르니 단위 면적·단위 시간당 흐르는 에너지는 $uc$ 이고, 방향까지 붙이면 포인팅 벡터다.

\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},\qquad S = c\varepsilon_0 E^2 \quad(\text{평면파})

2.8.3에너지·운동량과 포인팅 벡터에서 이미 본 식이다. $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 의 방향이 $\mathbf{k}$ 이므로 에너지는 파가 가는 쪽으로 흐른다.

복사 조도 — 검출기가 보는 것

광학 진동수( $\sim 10^{14}$ – $10^{15}\,\mathrm{Hz}$ )에서 $E^2$ 의 순간값을 따라갈 검출기는 없다. 눈, 필름, 포토다이오드, 레지스트 — 전부 여러 주기에 걸친 시간 평균에 반응한다. $\cos^2$ 의 평균이 $\tfrac12$ 이므로

I \equiv \langle S\rangle_T = \frac{c\varepsilon_0}{2}E_0^2

이것이 복사 조도(irradiance, Hecht) 또는 세기(intensity, HRW)이고 단위는 W/m²다. 이 장 이후 “빛의 세기”라 하면 언제나 이 양이고, 진폭의 제곱에 비례한다는 사실이 광학 전체를 관통한다 — 간섭 무늬(3.5)는 진폭이 더해진 뒤 제곱되기 때문에 생기고, 프레넬 반사율(8절)은 진폭 계수의 제곱이며, 11절의 광자 해석에서는 이 제곱이 확률이 된다.

매질 안에서는 $c \to v = c/n$ , $\varepsilon_0 \to \varepsilon_0\varepsilon_r = \varepsilon_0 n^2$ 이라 $I = \frac{n c\varepsilon_0}{2}E_0^2$ — 같은 진폭이면 굴절률이 큰 매질이 더 많은 에너지를 나른다. 8절에서 투과율 $T$ 에 $n_t/n_i$ 가 붙는 이유가 이것이다.

직관

물리적 직관 — 숫자로. 지표의 햇빛은 $I \approx 1\,\mathrm{kW/m^2}$ 다. 뒤집으면 $E_0 = \sqrt{2I/c\varepsilon_0} \approx 870\,\mathrm{V/m}$ , $B_0 = E_0/c \approx 2.9\,\mu\mathrm{T}$ . 1 mW 헬륨–네온 레이저를 지름 1 mm로 모으면 $I \approx 1.3\,\mathrm{kW/m^2}$ 로 햇빛과 비슷하고, 같은 빔을 회절 한계 $1\,\mu\mathrm{m}$ 까지 조이면 $10^9\,\mathrm{W/m^2}$ , 전기장 $10^6\,\mathrm{V/m}$ 가 된다. 펨토초 레이저를 집속하면 $10^{18}\,\mathrm{W/m^2}$ 이상, 전기장이 원자 속 쿨롱 장 ( $\sim 5\times10^{11}\,\mathrm{V/m}$ )을 넘는다 — 그때부터 3절의 선형 진동자 모형은 무너지고 비선형 광학이 시작된다. 리소그래피 노광량 $30\,\mathrm{mJ/cm^2}$ 는 세기가 아니라 조도 × 시간, 즉 단위 면적당 에너지(J/m²)다. 레지스트는 광자 몇 개를 받았느냐에만 반응하지 얼마나 빨리 받았느냐에는(상반칙 불궤가 없는 한) 반응하지 않는다.

광자 흐름과 광전류

에너지를 광자 알갱이로 세면 단위 면적·시간당 광자 수는

\Phi = \frac{I}{h\nu} = \frac{I\lambda_0}{hc}

이다. 같은 W/m²라도 파장이 길면 광자가 많다 — 1.55 µm의 1 W는 초당 $7.8\times10^{18}$ 개, 193 nm의 1 W는 $9.7\times10^{17}$ 개다. 광검출기(17부)의 응답도가 여기서 나온다. 광자 하나가 확률 $\eta$ 로 전자–정공 쌍 하나를 만들면 광전류는 $I_{ph} = q\eta\Phi A$ 이고, 입사 전력 $P = IA$ 로 나눈 응답도는

\mathcal{R} = \frac{I_{ph}}{P} = \frac{q\eta\lambda_0}{hc} = \eta\cdot\frac{\lambda_0\,[\mu\mathrm{m}]}{1.24}\ \mathrm{A/W}

이다. 양자 효율 $\eta = 1$ 이라도 응답도는 파장에 비례해 올라간다 — 광자 하나가 전자 하나이고, 긴 파장은 같은 전력에 광자가 더 많기 때문이다. 실리콘 포토다이오드가 900 nm 근처에서 응답도 최대(약 0.6 A/W)를 찍고 그 너머에서 떨어지는 것은 $\lambda_0/1.24$ 가 계속 오르는데 $\eta$ 가 4절의 흡수 가장자리에서 죽기 때문이다.

운동량과 복사압

전자기파는 에너지뿐 아니라 운동량을 나른다. 2.7.4운동량 보존의 운동량 밀도 $\mathbf{g} = \mathbf{S}/c^2$ 을 쓰면, 단위 부피의 에너지 $u$ 에 운동량 $u/c$ 가 따른다 — 에너지 $U$ 를 통째로 흡수하면 운동량 $p = U/c$ 를 받는다. 광자로 말하면 $p = h\nu/c = h/\lambda_0 = \hbar k$ 이고, 이것은 상대론의 질량 없는 입자 $E = pc$ 와 같은 식이다(Hecht §3.3.4).

면에 수직으로 닿는 빛이 단위 시간·면적당 주는 운동량이 복사압이다(HRW §33-3).

\mathcal{P} = \frac{I}{c}\ (\text{완전 흡수}),\qquad \mathcal{P} = \frac{2I}{c}\ (\text{완전 반사})

반사하면 운동량이 $+p$ 에서 $-p$ 로 뒤집혀 전달량이 두 배다. 햇빛 $1.4\,\mathrm{kW/m^2}$ 에 대해 $4.7\,\mu\mathrm{Pa}$ — 대기압의 $10^{-11}$ 배. 지구 위에서는 아무것도 아니지만, 혜성 꼬리가 태양 반대쪽으로 뻗는 이유이고 태양돛이 도는 원리이며, 집속한 레이저 안에서는 마이크로미터 입자를 붙들어 옮기는 광 핀셋의 힘이 된다(Hecht §3.3.4). 반도체 쪽에서는 레이저 냉각·원자 시계처럼 원자를 빛으로 다루는 정밀 측정 장비에서 만난다.

물질 내에서의 빛과 복소 굴절률

전자는 스프링에 매달린 전하다

물질 안에서 빛의 속도가 $c/n$ 으로 느려진다는 것은 실험 사실이다. 왜 느려지는지를 말하려면 물질을 모형으로 써야 하고, 놀랍게도 가장 단순한 모형이 거의 다 설명한다(Hecht §3.5.1). 원자 속 전자를 평형 위치에 스프링으로 매인 전하로 본다. 스프링 상수는 $m_e\omega_0^2$ 이고, 빛의 전기장 $E_0 e^{-i\omega t}$ 가 전자를 흔든다. 3.2.3강제 진동과 공명의 강제 진동 방정식 그대로다.

m_e\ddot{x} + m_e\gamma\dot{x} + m_e\omega_0^2 x = -qE_0 e^{-i\omega t}

$\gamma$ 는 감쇠율 — 전자가 이웃과 부딪히거나 스스로 복사하면서 에너지를 잃는 비율이다. 정상 상태 해 $x = x_0 e^{-i\omega t}$ 를 넣으면(3.2.6복소 표현과 위상자의 복소 표현)

x_0 = \frac{-q/m_e}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}\,E_0

이다. 전자가 $x_0$ 만큼 밀리면 쌍극자 모멘트 $-qx_0$ 이 생기고, 단위 부피에 $N$ 개가 있으면 분극 $P = -Nqx_0$ 이다. 2.3.8선형 유전체와 감수율·유전율의 정의 $P = \varepsilon_0\chi E$ 와 $\varepsilon_r = 1 + \chi$ , 그리고 1절의 $n^2 = \varepsilon_r$ 을 이으면 분산 방정식이 나온다.

\tilde n^2(\omega) = 1 + \frac{Nq^2}{\varepsilon_0 m_e}\,\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}

실제 물질에는 공명이 여럿이다 — 자외선의 전자 전이, 적외선의 격자 진동. 각 공명이 전체 전자 중 차지하는 몫을 진동자 세기 $f_j$ ( $\sum f_j = 1$ )로 두면(Hecht 식 3.72)

\tilde n^2(\omega) = 1 + \frac{Nq^2}{\varepsilon_0 m_e}\sum_j\frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega}

직관

수식적 직관 — 분모의 세 항이 각각 무엇을 하는가. $\omega \ll \omega_0$ 이면 분모는 $\omega_0^2$ 이고 $n^2 \approx 1 + Nq^2/\varepsilon_0 m_e\omega_0^2$ — 진동수에 거의 무관한 상수다. 전자가 빛을 따라가며 같은 위상으로 움직이고, 그 분극이 장을 조금 키운다. 스프링이 단단할수록 ( $\omega_0$ 이 클수록) 덜 밀리고 $n$ 은 1에 가깝다. 가시광에서 유리 $n \approx 1.5$ , 실리콘 $n \approx 3.5$ 인 것은 실리콘의 전자 공명이 가시광에 훨씬 가깝기 때문이다. $\omega \gg \omega_0$ 이면 분모가 $-\omega^2$ 이라 $n^2 < 1$ — 전자가 너무 굼떠 반대 위상으로 움직이고 분극이 장을 깎는다. X선에서 모든 물질의 $n$ 이 1보다 아주 조금 작은 것, 10절에서 플라즈마 진동수 위의 금속이 투명해지는 것이 이 항이다. $\omega \approx \omega_0$ 이면 앞 두 항이 상쇄되어 $-i\gamma\omega$ 만 남는다 — 분모가 순허수이고 작다. 진폭이 최대이고 위상이 $90°$ 뒤지며, 에너지를 가장 많이 먹는다. 그것이 흡수다.

복소 굴절률 — 실수부는 느려짐, 허수부는 죽음

분모에 $i$ 가 있으니 $\tilde n$ 은 복소수다. $\tilde n = n + i\kappa$ 로 쓰고 평면파 $e^{i(\tilde n k_0 z - \omega t)}$ 에 넣으면

E = E_0\,e^{-\kappa k_0 z}\,e^{i(nk_0 z - \omega t)}

$n$ 은 파수를 $nk_0$ 으로 키우고(파장이 $\lambda_0/n$ 으로 줄고 위상 속도가 $c/n$ ), $\kappa$ 는 진폭을 $e^{-\kappa k_0 z}$ 로 지운다. 세기는 진폭의 제곱이므로

I(z) = I_0\,e^{-\alpha z},\qquad \alpha = 2\kappa k_0 = \frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}

비어–람베르트 법칙이고 $\alpha$ 가 흡수 계수다. $1/\alpha$ 를 흡수 깊이(침투 깊이)라 부른다 — 세기가 $1/e$ 로 줄어드는 거리. 4절의 그림이 실리콘의 $1/\alpha$ 를 파장에 따라 그린 것이다.

두 부분은 독립이 아니다. 분산 방정식 하나에서 나왔으니 $n(\omega)$ 와 $\kappa(\omega)$ 는 서로를 결정한다 — 4절의 크라머스–크로니히 관계다.

그림 3.3-2. 로렌츠 진동자 하나가 만드는 n(ω)과 κ(ω). 공명 ω₀ 아래에서 n은 1보다 크고 ω와 함께 천천히 오르다가(정상 분산), 공명을 지나는 폭 γ의 좁은 띠에서 급히 떨어져 1 아래로 내려간 뒤 다시 1로 돌아온다(비정상 분산). κ는 그 띠 안에서만 봉우리를 이룬다 — 흡수와 비정상 분산은 같은 자리에서 일어난다. 실제 물질은 이런 공명이 자외선(전자)과 적외선(격자)에 여럿 있고, 가시광은 대개 그 사이의 '정상 분산' 비탈 위에 놓인다.직접 작도

굴절률의 뜻 — 왜 빛이 느려지는가

$n = c/v$ 라는 정의를 알아도 “무엇이 빛을 붙잡는가”라는 물음은 남는다. 광자가 원자에 흡수됐다가 재방출되느라 늦어진다는 그림은 틀렸다 — 그러면 빛의 방향과 위상이 제멋대로 흐트러져야 하는데 투명한 유리는 상을 그대로 통과시킨다(Hecht §4.2.3).

옳은 그림은 이렇다. 입사파가 매질의 모든 전자를 흔들고, 흔들린 전자 하나하나는 자기 진동수로 재복사한다(2.9.5쌍극자 복사의 쌍극자 복사). 진동수는 같다 — 강제 진동은 강제하는 진동수로 움직이므로. 이 재복사파들과 입사파가 중첩된 것이 매질 안의 파다. 5절에서 보듯 옆으로 나가는 재복사는 이웃끼리 상쇄되고 앞으로 가는 성분만 살아남는데, 그 성분은 입사파보다 위상이 뒤진다 (공명 아래에서 전자는 장을 따라가지만 재복사에 $90°$ 지연이 붙는다). 뒤진 파를 더하면 합의 위상이 조금 뒤로 밀린다. 매질을 지날수록 그 지연이 쌓이고, 바깥에서 보면 파가 느리게 간 것처럼 보인다. 그것이 $n > 1$ 이다. 공명 위에서 전자가 반대 위상으로 움직이면 합의 위상이 앞서고, $n < 1$ 이 된다.

진공에서 빛은 언제나 $c$ 로 간다. 굴절률은 매질 자체의 속도가 아니라 원래 파와 재복사파의 합이 만드는 겉보기 위상 속도다. 그래서 $n < 1$ (위상 속도 $> c$ )이 상대론과 모순되지 않는다 — 4절에서 정보는 군속도로 간다는 것을 확인한다.

값 몇 개와 그 이유

재료	$n$ (파장)	어디서 오는가
공기	1.0003	$N$ 이 작다 — 대기압에서 분자 밀도가 고체의 $10^{-3}$
물	1.33 (589 nm)	정적 $\varepsilon_r = 80$ 인데 $n^2 = 1.77$ — 아래 주의
용융 석영 SiO₂	1.46 (589), 1.56 (193 nm)	자외선 공명(~120 nm)이 멀다
Si₃N₄	2.0	반사 방지막의 “중간 굴절률” 재료
GaAs	3.6 (900 nm)	직접 밴드갭 1.42 eV, 그 근처의 강한 공명
Si	3.42 (적외선) · 3.88 (633 nm) · 0.88 + 2.78i (193 nm)	아래
Al	1.2 + 7.3i (600 nm)	자유 전자 — 10절

실리콘의 적외선 굴절률 3.42는 $\sqrt{\varepsilon_r} = \sqrt{11.7}$ 과 정확히 맞는다. 실리콘은 무극성 공유 결합 결정이라 2.3.4극성 분자의 배향과 분극의 배향 분극이 없고, 적외선 활성 격자 진동도 없어(동종 원자라 쌍극자가 안 생긴다) 정적 유전율이 그대로 전자 분극만의 값이다. 그래서 DC에서 잰 $\varepsilon_r$ 과 광학에서 잰 $n^2$ 이 같다. 가시광으로 올라가면 3.4 eV 근처의 강한 전자 전이에 다가가며 $n$ 이 3.9, 4.5로 오르고, 193 nm(6.4 eV)에서는 공명을 넘어 $n < 1$ , $\kappa = 2.78$ 이 된다 — 흡수 깊이 $\lambda_0/4\pi\kappa = 5.5\,\mathrm{nm}$ . ArF 빛은 실리콘 표면 원자 몇십 층에서 전부 흡수된다.

주의

물은 왜 $n^2 \ne \varepsilon_r$ 인가. 정적 유전율 80은 물 분자의 영구 쌍극자가 장을 따라 돌아서 정렬하는 배향 분극이 만든다(2.3.4). 분자가 도는 데는 피코초가 걸리므로 $10^{15}\,\mathrm{Hz}$ 의 빛은 따라오지 못하고, 광학 진동수에서는 전자 분극만 남아 $n^2 = 1.77$ 이다. $n^2 = \varepsilon_r$ 은 같은 진동수에서 잰 값끼리만 성립한다. 반도체 소자 장에서 쓰는 “실리콘 $\varepsilon_r = 11.7$ “과 광학의 “실리콘 $n = 3.4$ “가 일치하는 것은 실리콘이 예외적으로 단순한 재료이기 때문이지 일반 규칙이 아니다 — 고유전율 게이트 유전체 HfO₂는 $\varepsilon_r \approx 25$ 인데 $n \approx 2.1$ ( $n^2 = 4.4$ )이다. 나머지 20은 이온 분극이 채우고, 그 공명은 적외선에 있다.

분산과 흡수

정상 분산과 경험식

3절의 그림에서 공명 사이의 비탈 — $n$ 이 진동수와 함께 오르는(파장이 짧을수록 큰) 영역 — 을 정상 분산이라 한다. 투명한 재료의 가시광은 거의 전부 여기 놓인다. 자외선 공명 아래에서 분산 방정식을 $\omega/\omega_0$ 의 거듭제곱으로 전개하면 파장에 대한 경험식이 나온다.

n(\lambda) \approx A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots\qquad(\text{코시})

더 넓은 범위에서는 공명 항의 꼴을 그대로 살린 셀마이어 식을 쓴다.

n^2(\lambda) - 1 = \sum_j\frac{B_j\,\lambda^2}{\lambda^2 - C_j}

$\sqrt{C_j}$ 가 공명 파장이고 $B_j$ 가 그 세기다. 용융 석영은 자외선 항 둘(68 nm, 116 nm)과 적외선 항 하나(9.9 µm)로 0.2–3 µm 전 구간이 $10^{-5}$ 안에서 맞는다. 렌즈 설계 프로그램이 유리마다 들고 있는 것이 이 계수들이다.

비정상 분산과 흡수 — 한 몸

공명 안에서는 $dn/d\omega < 0$ — 비정상 분산이고, 3절 그림처럼 바로 그 자리에서 $\kappa$ 가 봉우리를 이룬다. 둘이 같이 나타나는 것은 우연이 아니다. $n(\omega)$ 와 $\kappa(\omega)$ 는 하나의 해석함수 $\tilde n(\omega)$ 의 실수부·허수부이고, 인과율(응답이 원인보다 앞설 수 없다)이 $\tilde n$ 을 상반평면에서 해석적으로 만들어 두 부분을 적분으로 잇는다.

n(\omega) - 1 = \frac{2}{\pi}\,\mathcal{P}\!\!\int_0^\infty\frac{\omega'\kappa(\omega')}{\omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'

1.9.10분산 관계(크라머스-크로니히)의 크라머스–크로니히 관계다. 실용적 결론은 하나다 — 흡수 스펙트럼을 전부 재면 굴절률은 계산으로 나온다. 거꾸로 어떤 파장에서 $n$ 을 바꾸려면 어딘가에 흡수가 있어야 한다. 투명하면서 분산이 큰 재료는 없다.

직관

그래프 직관 — 비탈의 기울기가 색수차다. 렌즈의 초점 거리는 $1/f \propto (n-1)$ 이라 $n$ 이 파장마다 다르면 초점이 파장마다 다르다. 이것이 색수차이고(3.4.8), 기울기 $dn/d\lambda$ 가 그 크기다. 정상 분산 비탈에서 공명에 다가갈수록 기울기가 가팔라진다 — 석영의 $dn/d\lambda$ 는 589 nm에서 $-4\times10^{-5}/\mathrm{nm}$ 인데 193 nm에서는 $-1.6\times10^{-3}/\mathrm{nm}$ , 40배다. ArF 리소그래피 렌즈는 석영 한 종류로만 만들 수 있어(다른 유리는 193 nm를 흡수한다) 색수차를 재료 조합으로 잡을 수 없고, 대신 광원의 선폭을 0.3 pm 아래로 좁힌다. 파장이 안 퍼지면 색수차도 없다. 엑시머 레이저에 격자 선폭 협소화 모듈이 붙어 있는 이유가 이 기울기 하나다.

군속도와 군굴절률

3.2.11분산과 군속도에서 파속(pulse)의 봉우리는 위상 속도가 아니라 군속도 $v_g = d\omega/dk$ 로 간다. $k = n(\omega)\omega/c$ 를 미분하면

v_g = \frac{c}{n + \omega\,\dfrac{dn}{d\omega}} = \frac{c}{n_g},\qquad n_g = n - \lambda\frac{dn}{d\lambda}

$n_g$ 를 군굴절률이라 한다. 정상 분산( $dn/d\lambda < 0$ )에서는 $n_g > n$ — 파속이 위상면보다 느리다. 용융 석영은 1550 nm에서 $n = 1.444$ , $n_g = 1.462$ 이고, 실리콘은 1550 nm에서 $n = 3.48$ , $n_g \approx 3.6$ 이다. 광섬유의 전파 지연, 실리콘 포토닉스 공진기의 자유 스펙트럼 범위, 지연선의 길이는 전부 $n$ 이 아니라 $n_g$ 로 계산한다. 3절의 $n < 1$ 영역에서도 $n_g > 1$ 이라 정보는 $c$ 를 넘지 못한다 — 비정상 분산 안에서는 $n_g$ 가 음수나 1 미만이 될 수 있지만 그 자리는 강한 흡수 안이라 파속 자체가 살아남지 못한다.

반도체의 흡수 가장자리

이 절의 반도체 쪽 결론이다. 반도체의 가장 중요한 “공명”은 가전자대에서 전도대로 전자를 올리는 띠간 전이이고, 광자 에너지가 밴드갭에 못 미치면 그 전이가 없어 투명하다. $h\nu > E_g$ 가 되는 순간 흡수가 켜진다 — 로렌츠 진동자의 좁은 봉우리가 아니라 한쪽으로 열린 가장자리다.

그림 3.3-3. 실리콘의 흡수 깊이 1/α. 밴드갭 파장 1107 nm 근처에서 흡수 깊이가 다섯 자릿수를 오르내린다 — 청색 400 nm는 표면 0.1 µm 안에서 다 흡수되고, 적색 700 nm는 5 µm, 1000 nm는 150 µm를 뚫으며, 밴드갭 너머 1200 nm는 웨이퍼 775 µm를 그대로 통과한다. 실리콘이 간접 밴드갭이라 가장자리가 급하지 않고 400 nm 아래의 직접 전이(3.4 eV)에 이르러서야 10 nm 급이 된다. 값은 Green(2008)의 300 K 표에서.직접 작도

이 곡선이 소자 설계 여러 곳에 그대로 들어간다.

태양전지. 적색·근적외선 광자를 다 잡으려면 실리콘이 수십에서 수백 µm 두꺼워야 한다. 그래서 실리콘 태양전지는 150 µm 웨이퍼를 쓰고 뒷면에 반사층과 텍스처를 두어 경로를 늘린다. GaAs는 직접 밴드갭이라 가장자리가 급해 2 µm면 충분하다.
이미지 센서. 청색은 표면 0.1 µm, 적색은 수 µm에서 흡수되니 깊이별로 색이 갈린다 — 표면 근처의 결함이 청색 감도를 먼저 잡아먹고, 근적외선은 화소 아래로 새어 이웃 화소에 누화를 만든다.
레이저 어닐·검사. 532 nm 레이저는 1 µm 안에서 흡수되어 표면만 데우고, 1064 nm는 수백 µm를 뚫어 웨이퍼 전체를 데운다. 적외선 현미경으로 실리콘 뒷면을 통해 회로를 보는 고장 분석이 가능한 것도 밴드갭 아래에서 실리콘이 투명하기 때문이다.
광검출기. 2절의 응답도 곡선이 900 nm 너머에서 죽는 것은 흡수 깊이가 공핍 영역 두께를 넘어서기 때문이다. 1.3·1.55 µm 광통신에는 실리콘이 쓸모없고 InGaAs( $E_g = 0.75\,\mathrm{eV}$ )나 Ge를 쓴다.

가장자리의 모양(직접·간접, $\sqrt{h\nu - E_g}$ 대 $(h\nu - E_g)^2$ )과 자유 캐리어·불순물 흡수는 8부에서 띠 구조 위에 얹어 다시 유도한다. 여기서는 로렌츠 진동자의 연속체 극한이라는 것만 적어 둔다.

의문

의문 — 실리콘은 왜 1107 nm에서 칼같이 투명해지지 않는가. 그림에서 흡수 깊이는 1000 nm에서 150 µm, 1100 nm에서 3 mm로, 밴드갭 파장을 지나기 한참 전부터 이미 밀리미터 급이다. 두 가지가 가장자리를 흐린다. 하나는 실리콘이 간접 밴드갭이라 광자 흡수에 포논이 하나 끼어야 하고, 그래서 $h\nu = E_g$ 바로 위에서 흡수가 아주 약하게 시작한다는 것 — 그래서 실리콘의 $\alpha$ 는 $(h\nu - E_g)^2$ 로 천천히 켜진다(8부). 다른 하나는 온도다. 포논을 흡수하는 전이는 $h\nu = E_g - \hbar\Omega$ 에서도 가능해 300 K에서는 가장자리가 밴드갭 아래로 수십 meV 번진다. 액체 질소 온도로 내리면 가장자리가 선명해진다. 어느 쪽도 로렌츠 진동자 하나로는 안 나온다 — 연속 스펙트럼의 진동자 집합이 필요하고, 그것이 띠 구조다.

레일리 산란

작은 입자는 파장의 −4제곱으로 흩뿌린다

3절의 그림을 한 원자, 한 분자, 파장보다 훨씬 작은 입자 하나에 적용해 보자. 빛이 그 안의 전자를 흔들면 진동하는 쌍극자가 생기고, 2.9.5쌍극자 복사에서 진동 쌍극자가 내는 복사 전력은 진동수의 4제곱에 비례했다 — 가속도가 $\omega^2 x_0$ 이고 복사 전력은 가속도의 제곱이므로. 공명에서 멀리 아래( $\omega \ll \omega_0$ )에서는 $x_0$ 이 진동수에 무관하니 산란 세기는

I_s \propto \omega^4 \propto \frac{1}{\lambda^4}

이것이 레일리 산란이다(Hecht §4.2.1). 400 nm 청색은 700 nm 적색보다 $(7/4)^4 = 9.4$ 배 강하게 흩어진다. 하늘이 파란 것은 대기 분자가 햇빛의 청색을 더 많이 옆으로 뿌리기 때문이고, 노을이 붉은 것은 긴 경로를 지나며 청색이 다 빠져나간 나머지가 도달하기 때문이며, 산란된 하늘빛이 태양과 $90°$ 방향에서 강하게 편광되어 있는 것은 쌍극자가 자기 축 방향으로는 복사하지 않기 때문이다(3.5.7).

입자가 원자보다 크되 여전히 $\lambda$ 보다 작으면( $d \lesssim \lambda/10$ ) 그 안의 쌍극자들이 전부 같은 위상으로 흔들려 진폭이 부피 $V \propto d^3$ 에 비례하고, 세기는 그 제곱이다.

\sigma_s = \frac{2\pi^5}{3}\,\frac{d^6}{\lambda^4}\left(\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}\right)^2

지름의 6제곱이다. 지름이 절반이면 산란은 1/64, 1/10이면 $10^{-6}$ . 입자가 $\lambda$ 에 가까워지면 안쪽 쌍극자들 사이의 위상차가 생겨 이 법칙이 무너지고 미(Mie) 산란으로 넘어간다 — 세기가 더는 급히 자라지 않고 파장 의존성도 약해진다. 구름과 안개가 하얀 것은 물방울(수 µm)이 미 영역이라 모든 색을 비슷하게 흩뿌리기 때문이다.

그림 3.3-4. 레일리 산란의 두 거듭제곱 법칙. 왼쪽은 파장의 −4제곱 — 400 nm가 700 nm의 9.4배. 오른쪽은 입자 지름의 6제곱(로그–로그에서 기울기 6) — 지름이 파장에 가까워지면 꺾여 미 산란으로 넘어간다. 오른쪽 기울기가 웨이퍼 결함 검사의 벽이다. 결함이 절반으로 작아질 때마다 신호가 64분의 1로 줄어서, 같은 감도를 지키려면 파장을 줄이거나(왼쪽 곡선을 타고 올라간다) 레이저 출력을 올리거나 검출기를 바꿔야 한다.직접 작도

직관

파라미터 연계성 — 웨이퍼 검사 장비가 자외선으로 간 이유. 웨이퍼 위의 입자를 세는 검사기는 레이저를 비스듬히 쏘고 옆으로 산란된 빛을 모은다. 신호는 $d^6/\lambda^4$ 다. 공정 노드가 절반이 되면 잡아야 할 결함 크기도 절반이 되고 신호는 $1/64$ 로 준다. 이것을 되찾는 손잡이는 $\lambda^{-4}$ — 488 nm에서 266 nm로 가면 $(488/266)^4 = 11$ 배, 193 nm로 가면 41배다. 그래서 검사 장비의 광원이 Ar 이온 레이저에서 자외선 고체 레이저로 옮겨 왔다. 나머지는 출력과 검출기가 진다. 결함이 10 nm 아래로 내려가면 레일리 산란으로는 신호가 잡음(웨이퍼 표면 거칠기 자체의 산란, 헤이즈)에 묻혀서 전자빔 검사로 넘어간다.

빽빽한 매질 — 옆은 상쇄되고 앞만 남는다

기체에서는 분자 사이가 파장보다 멀어 각 분자가 제멋대로 산란하고, 옆으로 나간 빛의 세기가 분자 수에 비례해 더해진다. 그래서 하늘이 있다. 액체·고체에서는 사정이 다르다(Hecht §4.2.2). 파장 하나 안에 원자가 수천 개 들어 있으니, 옆으로 산란된 파는 반 파장 떨어진 곳의 원자가 낸 파와 반대 위상으로 만나 상쇄된다. 앞으로 가는 방향만 예외다 — 어느 원자가 냈든 앞으로 가는 재복사파는 입사파와 위상 관계가 같아 보강된다. 그래서 유리는 옆에서 보면 (거의) 보이지 않고, 앞으로 나가는 빛은 3절에서 본 대로 위상이 밀려 굴절률이 된다.

“거의”가 남는 이유는 밀도 요동이다. 완벽하게 균일한 매질은 옆으로 전혀 산란하지 않겠지만, 유리는 녹아 있던 액체가 굳은 것이라 굳을 때의 밀도 요동이 얼어붙어 있다. 그 요동이 $\lambda^{-4}$ 로 산란하고, 광섬유의 손실 하한이 여기서 나온다 — 석영 섬유의 레일리 손실은 대략 $0.8\,\mathrm{dB/km}\cdot(\mu\mathrm{m}/\lambda)^4$ 라 1550 nm에서 0.14 dB/km다. 광통신이 1.55 µm를 쓰는 이유의 절반이 이 $\lambda^{-4}$ 이고(나머지 절반은 1.4 µm 너머의 적외선 격자 흡수), 실측 최저 손실 0.15 dB/km는 거의 이 한계에 붙어 있다.

같은 논리를 경계면에 적용하면 반사가 나온다. 매질 안 깊숙한 원자의 뒤쪽 재복사는 위와 같이 상쇄되지만, 표면에서 $\lambda/2$ 안쪽 원자들의 뒤쪽 재복사는 짝을 이룰 원자가 앞쪽에 없어 살아남는다(Hecht §4.3.1). 그것이 반사파다 — 반사는 표면 원자층의 뒤쪽 산란이고, 굴절은 전체 원자의 앞쪽 산란이다. 6절부터는 이 미시적 그림을 접어 두고 경계 조건으로 같은 결과를 얻지만, “반사는 표면 반 파장이 만든다”는 사실은 8절의 프레넬 계수가 표면 처리에 왜 민감한지, 3.5의 반사 방지막이 왜 $\lambda/4$ 두께인지를 이해하는 바탕이다.

반사와 굴절

두 법칙

평면파가 두 매질의 경계에 각 $\theta_i$ 로 닿으면 일부는 되돌아오고 일부는 꺾여 들어간다. 각은 전부 법선에서 잰다(HRW §33-5).

\theta_r = \theta_i\qquad(\text{반사 법칙})

n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t\qquad(\text{스넬 법칙})

그리고 입사·반사·굴절 광선과 법선은 모두 한 평면(입사면) 위에 있다. $n_t > n_i$ (공기 → 유리)면 굴절 광선이 법선 쪽으로 꺾이고, $n_t < n_i$ 면 법선에서 멀어진다 — 후자는 9절의 전반사로 이어진다.

왜 그런가 ① — 파면과 하위헌스

파면 그림이 가장 직관적이다(Hecht §4.4.1, HRW §33-5). 비스듬한 파면이 경계에 닿으면 먼저 닿은 쪽부터 새 매질로 들어가기 시작하고, 나중에 닿는 쪽은 아직 원래 매질에서 $v_i$ 로 가고 있다. 파면 전체가 경계를 다 지나는 동안 먼저 들어간 쪽은 $v_t$ 로 갔으니, 들어간 거리가 다르고 파면이 기운다. 같은 시간 $\Delta t$ 동안 한쪽은 $v_i\Delta t$ , 다른 쪽은 $v_t\Delta t$ 를 갔고 두 거리가 경계 위의 같은 빗변 길이에 대한 $\sin$ 이므로 $\sin\theta_i/\sin\theta_t = v_i/v_t = n_t/n_i$ 다.

왜 그런가 ② — 경계면 위의 위상 정합

더 일반적이고 8절로 곧장 이어지는 논리는 이것이다(Hecht §4.6.1). 경계면 $z = 0$ 위의 모든 점에서 전기장의 접선 성분이 연속이어야 한다(2.6.9물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건). 입사·반사·투과파가 각각 $e^{i(\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r} - \omega t)}$ 등이면 그 조건은 경계면의 모든 $\mathbf{r}$ 과 모든 $t$ 에서 성립해야 하고, 그러려면 세 파의 위상이 경계면 위에서 같은 함수여야 한다.

(\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r})_{z=0} = (\mathbf{k}_r\cdot\mathbf{r})_{z=0} = (\mathbf{k}_t\cdot\mathbf{r})_{z=0}

즉 경계면에 나란한 파수 성분이 세 파에서 같다: $k_{i\parallel} = k_{r\parallel} = k_{t\parallel}$ . 크기로 쓰면 $k_i\sin\theta_i = k_r\sin\theta_r = k_t\sin\theta_t$ 이고, $k_i = k_r = n_ik_0$ , $k_t = n_tk_0$ 을 넣으면 두 법칙이 한꺼번에 나온다. 세 $\mathbf{k}$ 가 한 평면에 있다는 것(입사면)도 같은 식에서 따라온다.

그림 3.3-5. 굴절은 경계면을 따라가는 파수 성분의 보존이다. 위 매질의 파면 간격 λ₁이 아래 매질에서 λ₂ = λ₁/1.5로 줄었는데, 경계선 위에 남기는 자국의 간격은 양쪽이 같아야 한다 — 그렇지 않으면 경계면 어딘가에서 위아래 위상이 어긋난다. 그 자국 간격이 λ₁/sin θᵢ = λ₂/sin θₜ이고, λ = λ₀/n을 넣으면 스넬 법칙이다. 이 그림에서는 '속도'가 어디에도 안 나온다 — 스넬 법칙은 파장(파수)의 정합이지 속도의 정합이 아니다.직접 작도

직관

공간적 직관 — $k$ 공간에서. 굴절률 $n$ 인 매질에서 허용되는 $\mathbf{k}$ 는 반지름 $nk_0$ 인 구 위에 있다. 경계면이 $z = 0$ 이면 위상 정합은 “ $\mathbf{k}$ 의 $x$ · $y$ 성분을 고정한다”는 뜻이고, 그 성분을 유지한 채 반지름 $n_ik_0$ 구에서 $n_tk_0$ 구로 옮겨 타는 것이 굴절이다. 반지름이 커지면 ( $n_t > n_i$ ) 같은 접선 성분에 대해 법선 성분이 커져 법선 쪽으로 눕고, 반지름이 작아지면 법선에서 멀어진다. 접선 성분이 작은 구의 반지름보다 커지면 $k_z$ 가 허수가 되어 옮겨 탈 자리가 없다 — 그것이 9절의 전반사이고, 그때 살아남는 허수 $k_z$ 가 소멸파다. 7.2의 에발트 작도(X선 회절)가 같은 그림을 결정의 역격자에 대해 그린 것이다.

매질 안의 파장과 액침 리소그래피

굴절률 $n$ 인 매질에 들어간 빛은 진동수는 그대로, 파장은 $\lambda_0/n$ 이다. 리소그래피 해상도 $k_1\lambda/\mathrm{NA}$ 에서 렌즈와 웨이퍼 사이를 공기 대신 물( $n = 1.44$ at 193 nm)로 채우면 레지스트에 닿는 빛의 파장은 $193/1.44 = 134\,\mathrm{nm}$ 가 된다. 렌즈에서 나온 빛이 물에서 더 큰 각으로 꺾여 들어갈 수 있으니 개구수 $\mathrm{NA} = n\sin\theta$ 가 1을 넘을 수 있다 — 건식 0.93에서 액침 1.35로. 스넬 법칙 한 줄이 노드를 두 세대 내렸고, 그 사이 물의 흡수(4절 — 193 nm에서 물은 아직 투명하다)와 기포·온도에 따른 $n$ 변화가 공정 문제가 되었다. 개구수 자체는 3.4.5에서 다룬다.

페르마 원리

광경로길이

1657년 페르마는 반사·굴절 법칙을 한 문장으로 바꿨다 — 빛은 시간이 가장 적게 걸리는 길로 간다. 매질 안에서 빛의 속도가 $c/n$ 이니, 길이 $ds$ 를 지나는 시간은 $n\,ds/c$ 다. 시간을 $c$ 배한 양을 광경로길이라 부른다.

\mathrm{OPL} = \int_A^B n(s)\,ds

균일한 매질이 여럿 이어져 있으면 $\sum n_i s_i$ 다. 진공에서 같은 시간에 갈 수 있는 거리 — 그것이 OPL의 뜻이고, 위상으로 말하면 $k_0\cdot\mathrm{OPL}$ 이 두 점 사이에 쌓인 위상이다. 3.5의 간섭이 전부 이 양의 차이로 계산된다.

두 법칙이 한 원리에서

반사: 점 $A$ 에서 거울에 맞고 $B$ 로 가는 경로 중 어느 것이 짧은가. $B$ 를 거울에 대해 비춘 상 $B'$ 을 잡으면 거울을 거치는 모든 경로의 길이는 $A \to$ 거울 $\to B'$ 의 길이와 같고, 최단은 직선 $AB'$ 이다. 직선이 거울과 만나는 점에서 $\theta_r = \theta_i$ 가 된다(Hecht §4.5).

굴절: $A(0, a)$ 에서 경계 위의 점 $(x, 0)$ 을 지나 $B(b, -d)$ 로 갈 때

\mathrm{OPL}(x) = n_i\sqrt{x^2 + a^2} + n_t\sqrt{(b - x)^2 + d^2}

\frac{d\,\mathrm{OPL}}{dx} = n_i\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} - n_t\frac{b - x}{\sqrt{(b - x)^2 + d^2}} = n_i\sin\theta_i - n_t\sin\theta_t = 0

스넬 법칙이 미분 조건으로 나온다. 두 경사각의 사인이 경로 길이의 $x$ -미분이라는 것 — 그것이 이 유도의 전부다.

그림 3.3-6. 페르마 원리. 왼쪽은 A에서 B로 가는 후보 경로들 — 경계면 통과점 x가 다르다. 오른쪽은 각 x에 대한 광경로길이 OPL(x). 하나의 최소점에서 접선이 수평이고, 그 조건 dOPL/dx = 0이 정확히 n₁ sin θᵢ = n₂ sin θₜ다. 굵은 경로가 그 점을 지난다. 최소점 근처에서 곡선이 평평하다는 것 — 통과점을 조금 옮겨도 OPL이 거의 안 변한다는 것 — 이 11절에서 다시 나온다.직접 작도

최소가 아니라 정지

정확히 말하면 페르마 원리는 “최소”가 아니라 정지(stationary)다 — 경로를 조금 바꿔도 OPL이 1차로 변하지 않는 경로. 평면 거울에서는 최소지만, 타원면 거울의 두 초점 사이 경로는 모두 같은 길이라 어느 것이든 정지이고, 타원 안쪽으로 더 휜 거울에서는 반사점이 OPL의 최대가 된다 (Hecht §4.5). 그래서 현대적 표현은 변분 원리다.

\delta\int_A^B n\,ds = 0

이 꼴은 3.1.8라그랑지안과 해밀토니안의 최소 작용 원리와 같고, 굴절률 $n$ 이 역학의 퍼텐셜 역할을 한다. 굴절률이 연속으로 변하는 매질에서는 오일러–라그랑주 방정식이 광선을 휘게 하는 광선 방정식 $\frac{d}{ds}(n\hat{\mathbf{t}}) = \nabla n$ 을 준다 — 광선은 굴절률이 높은 쪽으로 휜다. 뜨거운 도로 위의 신기루(공기가 뜨거워 $n$ 이 작은 바닥 쪽에서 광선이 위로 휜다), 3.4.9의 GRIN 렌즈와 광섬유, 그리고 플라즈마 안에서 전파가 휘는 것이 전부 이 식이다.

프레넬 방정식

얼마나 반사되는가

반사·굴절 법칙은 방향만 준다. 얼마나 반사되는지는 경계 조건을 실제로 풀어야 하고, 그 결과가 프레넬 방정식이다(Hecht §4.6, 2.8.7경사 입사와 프레넬 계수). 답은 입사각과 두 굴절률, 그리고 편광에 달려 있다.

첨자와 이름이 한꺼번에 많이 나오므로 여기서 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$i$ , $r$ , $t$		첨자: 입사(incident) · 반사(reflected) · 투과(transmitted)
$n_i$ , $n_t$		입사 쪽 · 투과 쪽 매질의 굴절률
$\theta_i$ , $\theta_t$		입사각 · 굴절각. 스넬 법칙으로 하나가 정해지면 다른 하나도 정해진다
$\perp$	수직	$\mathbf{E}$ 가 입사면에 수직. 같은 것을 $s$ (독일어 senkrecht), TE(transverse electric)라고도 한다
$\parallel$	평행	$\mathbf{E}$ 가 입사면에 평행. 같은 것을 $p$ (parallel), TM(transverse magnetic)이라고도 한다
$r_\perp$ , $r_\parallel$		진폭 반사 계수 $E_{0r}/E_{0i}$ — 부호가 위상(0 또는 $\pi$ )이다
$t_\perp$ , $t_\parallel$		진폭 투과 계수 $E_{0t}/E_{0i}$
$R$ , $T$		에너지 반사율 · 투과율. $R = r^2$ , $T \ne t^2$ (아래)
$\theta_B$		브루스터 각 — $r_\parallel = 0$

“입사면”은 입사 광선과 법선이 만드는 평면이다. 임의의 편광은 $\perp$ 와 $\parallel$ 성분으로 나뉘고 각각 따로 반사되므로, 두 계수만 알면 된다.

유도의 뼈대와 결과

경계면에서 $\mathbf{E}$ 의 접선 성분과 $\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$ 의 접선 성분이 연속이다 (비자성 매질, $\mu = \mu_0$ ). $\perp$ 편광이면 $\mathbf{E}$ 가 통째로 접선 성분이고, $\mathbf{B}$ 는 $\mathbf{k}$ 에 수직이라 접선 성분이 $B\cos\theta$ 다. $B = nE/c$ 를 넣으면

E_{0i} + E_{0r} = E_{0t},\qquad n_i(E_{0i} - E_{0r})\cos\theta_i = n_tE_{0t}\cos\theta_t

두 식을 풀면 $r_\perp$ 와 $t_\perp$ 가 나온다. $\parallel$ 편광은 $\mathbf{B}$ 가 접선이고 $\mathbf{E}$ 에 $\cos\theta$ 가 붙는다. 결과(Hecht 식 4.34–4.37):

r_\perp = \frac{n_i\cos\theta_i - n_t\cos\theta_t}{n_i\cos\theta_i + n_t\cos\theta_t},\qquad t_\perp = \frac{2n_i\cos\theta_i}{n_i\cos\theta_i + n_t\cos\theta_t}

r_\parallel = \frac{n_t\cos\theta_i - n_i\cos\theta_t}{n_t\cos\theta_i + n_i\cos\theta_t},\qquad t_\parallel = \frac{2n_i\cos\theta_i}{n_i\cos\theta_t + n_t\cos\theta_i}

스넬 법칙으로 $n$ 을 지우면 각만으로 쓸 수 있다.

r_\perp = -\frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)},\qquad r_\parallel = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)}

직관

수식적 직관 — 분자는 차이, 분모는 합. 두 $r$ 모두 “무언가의 차이 나누기 합”이다. 그 무언가는 $\perp$ 에서 $n\cos\theta$ , $\parallel$ 에서 $n/\cos\theta$ (분자·분모에 $\cos\theta_i\cos\theta_t$ 를 곱해 보면 보인다) — 각 편광이 경계면에서 느끼는 유효 임피던스의 역수다. 2.8.9전송선 방정식과 특성 임피던스의 전송선에서 반사 계수가 $(Z_L - Z_0)/(Z_L + Z_0)$ 인 것과 같은 구조다. 두 매질의 유효 임피던스가 같아지는 각이 있으면 반사가 0이 된다 — $\parallel$ 편광에서만 그런 각이 있고, 그것이 브루스터 각이다. 수직 입사에서 $\cos = 1$ 이라 둘이 같은 크기가 되고, 비스듬해질수록 갈라진다.

그림 3.3-7. 진폭 반사 계수. 왼쪽은 외부 반사(공기 → 유리, 1 → 1.5). r⊥는 −0.2에서 출발해 모든 각에서 음수 — 반사파의 위상이 π 뒤집힌다 — 이고 스치는 입사에서 −1로 간다. r∥은 +0.2에서 출발해 브루스터 각 56.3°에서 0을 지나 부호를 바꾸고 역시 −1로 간다. 오른쪽은 내부 반사(유리 → 공기). 브루스터 각이 33.7°로 당겨지고, 임계각 41.8°에서 두 계수 모두 크기 1에 닿는다 — 그 너머는 전반사, 9절이다. 수직 입사에서 r⊥ = −r∥인 것은 물리가 아니라 ∥ 성분의 방향 약속 때문이다.직접 작도

수직 입사와 실리콘의 반사율

$\theta_i = 0$ 이면 두 편광의 구별이 없어지고

r_\perp = -r_\parallel = \frac{n_i - n_t}{n_i + n_t},\qquad R = \left(\frac{n_t - n_i}{n_t + n_i}\right)^2

공기 → 유리( $n = 1.5$ )는 $R = 0.04$ . 유리창을 통과할 때 앞뒤 면에서 8 %를 잃는다는 익숙한 숫자다. 공기 → 실리콘은 다르다. $n = 3.88$ (633 nm)이면 $R = (2.88/4.88)^2 = 0.35$ , 적외선의 $n = 3.42$ 면 $0.30$ 이다. 맨 실리콘 웨이퍼는 빛의 3분의 1을 튕겨 낸다 — 웨이퍼가 거울처럼 번쩍이는 이유이고, 태양전지·광검출기가 반드시 반사 방지막을 얹어야 하는 이유이며(3.5.6), 거꾸로 반사율을 정밀하게 재서 막 두께와 굴절률을 알아내는 반사 측정법(reflectometry)이 잘 되는 이유다.

흡수하는 매질이면 $n_t \to \tilde n_t = n + i\kappa$ 를 넣는다.

R = \frac{(n - n_i)^2 + \kappa^2}{(n + n_i)^2 + \kappa^2}

$\kappa$ 가 크면 $R \to 1$ — 10절의 금속이다. 실리콘의 193 nm 값 $0.88 + 2.78i$ 를 넣으면 $R = 0.62$ : ArF 빛의 62 %가 실리콘 표면에서 되돌아온다. 레지스트 아래 기판에서 되튄 이 빛이 입사광과 간섭해 정재파를 만들고, 레지스트 두께에 따라 유효 노광량이 출렁이는 스윙 곡선이 생긴다. 반사 방지막(BARC)을 레지스트 아래에 까는 것이 그 대책이다.

에너지 보존 — 투과율은 진폭 계수의 제곱이 아니다

반사율은 $R = r^2$ 이지만 투과율은 $T = t^2$ 이 아니다. 2절에서 세기가 $nE_0^2$ 에 비례했고, 굴절파는 각이 바뀌어 같은 빔이 경계면에서 차지하는 면적이 $\cos\theta_t/\cos\theta_i$ 배로 달라지므로

T = \frac{n_t\cos\theta_t}{n_i\cos\theta_i}\,t^2,\qquad R + T = 1

수직 입사 공기 → 유리에서 $t = 0.8$ 인데 $T = 1.5\times0.64 = 0.96$ 이 되어 $R = 0.04$ 와 합이 1이다. 진폭 계수만 보고 “80 %가 투과된다”고 읽으면 틀린다.

브루스터 각과 위상

$r_\parallel = \tan(\theta_i - \theta_t)/\tan(\theta_i + \theta_t)$ 는 $\theta_i + \theta_t = 90°$ 에서 분모가 무한대가 되어 0이다. 그때 스넬 법칙 $n_i\sin\theta_i = n_t\sin\theta_t = n_t\cos\theta_i$ 에서

\tan\theta_B = \frac{n_t}{n_i}

브루스터 각이다(HRW §33-7). 공기 → 유리 $56.3°$ , 공기 → 실리콘 $75.5°$ . 이 각으로 들어오는 빛은 $\parallel$ 성분이 전혀 반사되지 않아 반사광이 완전히 $\perp$ 편광이다 — 편광 선글라스가 수면·도로의 반사광을 지우는 원리이고(3.5.10), 기체 레이저의 브루스터 창이 손실 없이 한 편광만 통과시키는 원리다.

직관

물리적 직관 — 쌍극자는 자기 축으로 복사하지 않는다. 5절에서 반사는 표면 원자들의 뒤쪽 재복사였다. 투과 매질 안의 쌍극자들은 굴절파의 $\mathbf{E}$ 방향으로 진동한다. $\parallel$ 편광에서 그 방향은 굴절 광선에 수직이다. 반사 광선이 굴절 광선과 정확히 $90°$ 를 이루는 각 — 즉 $\theta_r + \theta_t = 90°$ — 에서는 반사 방향이 쌍극자의 진동 축과 나란해지고, 쌍극자는 자기 축 방향으로는 복사하지 못한다(2.9.5). 그래서 반사가 0이다. $\perp$ 편광은 쌍극자가 입사면에 수직으로 진동해 어느 각에서도 반사 방향이 축과 나란해질 수 없고, 그래서 브루스터 각이 없다.

브루스터 각 근처에서 $\parallel$ 과 $\perp$ 의 반사가 가장 크게 갈리므로, 두 편광의 반사 진폭비와 위상차를 재면 표면의 $\tilde n$ 과 막 두께를 극도로 민감하게 알 수 있다. 타원편광 분석 (ellipsometry)이 $70°$ 안팎에서 잰다 — 실리콘의 브루스터 각 근처다. 게이트 산화막 1 nm의 두께를 비파괴로 재는 것이 이 기법이다.

위상은 그림에서 부호로 읽는다. 외부 반사( $n_i < n_t$ )에서 $r_\perp$ 는 모든 각에서 음수 — 반사파가 입사파에 대해 $\pi$ 뒤집힌다. 내부 반사( $n_i > n_t$ )에서는 임계각 아래에서 양수다. “밀한 매질에서 반사하면 위상이 반 파장 뒤집힌다”는 3.5의 박막 간섭 규칙이 여기서 나온다. $\parallel$ 은 브루스터 각을 지나며 부호를 바꾸므로 “뒤집힌다/안 뒤집힌다”를 각에 따라 말해야 한다.

전반사와 소멸파

임계각

내부 반사( $n_i > n_t$ )에서 스넬 법칙 $\sin\theta_t = (n_i/n_t)\sin\theta_i$ 의 우변은 $\theta_i$ 가 커지면 1을 넘는다. 넘는 순간 $\theta_t$ 가 실수로 존재하지 않고, 굴절파가 사라지며 모든 빛이 반사된다(Hecht §4.7, HRW §33-6).

\sin\theta_c = \frac{n_t}{n_i}

유리 → 공기 $41.8°$ , 물 → 공기 $48.6°$ , 실리콘 → 공기 $16.8°$ , 실리콘 → SiO₂ $24.4°$ . 실리콘의 임계각이 작다는 것은 실리콘 안에서 만들어진 빛이 밖으로 나오기 어렵다는 뜻이다 — 실리콘 안에서 등방적으로 나는 빛 중 표면 법선 $16.8°$ 원뿔 안의 것만 탈출하고 나머지는 갇힌다. LED의 광 추출 효율이 낮은 이유가 정확히 이것이고(GaN $n = 2.5$ , 임계각 $23.6°$ , 탈출 원뿔 안의 몫은 약 4 %), 표면을 거칠게 하거나 반구 렌즈를 씌우는 것이 그 대책이다(16부).

소멸파 — 빛은 경계에서 딱 끊기지 않는다

전반사에서 투과 매질 쪽 장이 0인 것은 아니다. 6절의 위상 정합은 여전히 성립해야 하므로 투과파의 접선 파수는 $k_{t\parallel} = n_ik_0\sin\theta_i$ 로 정해져 있고, 법선 성분은 $k_{tz}^2 = n_t^2k_0^2 - k_{t\parallel}^2 < 0$ 이라 허수다.

k_{tz} = i\beta,\qquad \beta = k_0\sqrt{n_i^2\sin^2\theta_i - n_t^2}

투과파는 $e^{i(k_{t\parallel}x - \omega t)}\,e^{-\beta z}$ — 경계면을 따라서 진행하고 경계면에서 멀어지는 쪽으로는 지수적으로 죽는다. 이것이 소멸파(evanescent wave)다. 침투 깊이는

\frac{1}{\beta} = \frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{n_i^2\sin^2\theta_i - n_t^2}}

임계각 바로 위에서는 무한대(굴절파가 스치듯 나가는 극한), 각이 커지면 빠르게 파장의 몇 분의 일로 내려온다. 시간 평균하면 소멸파는 경계면 너머로 에너지를 나르지 않는다 — 들어갔던 에너지가 되돌아 나온다. 그래서 반사율은 정확히 1이다.

그림 3.3-8. 전반사 너머. 왼쪽은 유리 → 공기에서 소멸파의 침투 깊이 1/β — 임계각 41.8°에서 발산했다가 45°에서 0.45 λ₀, 90°에서 0.14 λ₀로 내려온다. 빛은 파장 한 개 안쪽에서 죽는다. 오른쪽은 전반사가 두 편광에 주는 위상 δ⊥, δ∥. 둘 다 임계각에서 0, 스치는 입사에서 π이지만 중간에서 갈리고, 그 차이(점선)는 52° 근처에서 최대 π/4다. 위상차가 각에 따라 연속으로 바뀐다는 것이 '전반사는 크기 1의 복소 반사 계수'라는 말의 내용이다.직접 작도

전반사의 위상

굴절파가 없어졌으니 프레넬 계수의 $\cos\theta_t = \sqrt{1 - \sin^2\theta_t}$ 가 순허수가 되고, $r$ 은 크기 1인 복소수가 된다. 위상만 남는다(Hecht 식 4.70–4.71, $n = n_t/n_i$ ).

\tan\frac{\delta_\perp}{2} = \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - n^2}}{\cos\theta_i},\qquad \tan\frac{\delta_\parallel}{2} = \frac{\sqrt{\sin^2\theta_i - n^2}}{n^2\cos\theta_i}

두 편광의 위상차 $\delta_\parallel - \delta_\perp$ 는 각에 따라 연속으로 변하고, 유리에서는 $52°$ 근처에서 $\pi/4$ 에 이른다. 프레넬은 이것으로 위상 지연자를 만들었다 — 마름모꼴 유리에서 두 번 전반사시켜 $\pi/2$ 를 얻는 프레넬 마름모(3.5.9)는 파장에 거의 무관한 사분파장판이다.

의문

의문 — 소멸파가 있는 쪽에 무언가를 갖다 대면. 소멸파가 죽기 전, 즉 경계에서 파장 안쪽에 세 번째 매질(굴절률 $n_3 \ge n_t$ )을 가져다 대면 소멸파가 그 매질 안에서 다시 진행파로 살아나고, 에너지가 틈을 건너 흐른다. 반사율은 1 아래로 떨어지고 틈 두께에 지수적으로 의존한다 — 좌절 전반사 (frustrated TIR, Hecht §4.7)다. 이것은 5.3의 양자 터널링과 수학적으로 같은 현상이다. 장벽 안에서 파동함수가 $e^{-\beta z}$ 로 죽는 것과 소멸파가 죽는 것이 같은 방정식이고, 장벽 두께에 지수적으로 의존하는 투과 확률이 여기서는 틈 두께에 지수적으로 의존하는 투과율이다. 광학에서는 큐브 빔 분할기의 반사율을 두 프리즘 사이 틈으로 조절하는 데, 터치 스크린의 FTIR 방식에, 그리고 근접장 광학 현미경에 쓴다. 손가락이 유리에 닿으면 전반사가 좌절되는 것이 지문 인식 센서다.

빛을 가두는 방법 — 도파관

전반사는 빛을 가두는 가장 값싼 방법이다. 굴절률이 높은 심(core)을 낮은 껍질(cladding)로 감싸면 임계각 너머로 들어온 빛은 양쪽 경계에서 전반사를 되풀이하며 심 안에 갇힌다. 광섬유가 그것이고 (3.4.9), 실리콘 포토닉스의 도파관이 그것이다 — 실리콘 심( $n = 3.48$ )을 SiO₂( $n = 1.44$ )로 감싸면 굴절률 차가 2를 넘어 폭 500 nm, 높이 220 nm의 심에 1.55 µm 빛을 가둘 수 있다. 소멸파는 이때 껍질 쪽으로 파장의 일부만큼 새어 나가고, 그 소멸파 꼬리가 이웃 도파관에 닿으면 좌절 전반사로 빛이 건너간다 — 방향성 결합기의 원리이고, 링 공진기가 직선 도파관과 빛을 주고받는 원리다. 꼬리가 얼마나 뻗는지가 위 그림의 왼쪽이고, 그래서 도파관 사이 간격은 파장 단위로 설계한다.

소멸파는 측정에도 쓰인다. 전반사면 위 파장 안쪽에 시료를 놓으면 소멸파만 시료를 보고, 흡수가 있으면 반사율이 떨어진다 — 감쇠 전반사(ATR) 적외선 분광이다. 표면 반 파장만 조사하므로 두꺼운 시료의 표면 화학 결합만 골라 본다. 웨이퍼 표면의 유기 오염, 수산기, 얇은 고분자 막의 분석이 이 방식이다.

금속의 광학적 성질

스프링이 없는 진동자 — 드루드 모형

금속의 전도 전자는 특정 원자에 매여 있지 않다. 3절의 진동자에서 스프링을 떼면( $\omega_0 = 0$ ) 그대로 금속 모형이 된다(Hecht §4.8). 남는 것은 관성과 충돌 감쇠뿐이다.

m_e\ddot{x} + m_e\gamma\dot{x} = -qE_0e^{-i\omega t} \quad\Longrightarrow\quad \tilde n^2(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega},\qquad \omega_p^2 = \frac{Nq^2}{\varepsilon_0 m_e}

$\omega_p$ 가 플라즈마 진동수다. 전자 기체를 통째로 한쪽으로 밀었다 놓으면 되돌아오며 진동하는 고유 진동수이고, 오직 전자 밀도 $N$ 만이 정한다. 금속의 $N \sim 10^{29}\,\mathrm{m^{-3}}$ 을 넣으면 $\hbar\omega_p \sim 10\,\mathrm{eV}$ , 파장으로 100 nm 근처 — 자외선이다. $\gamma$ 는 2.3.2전도 전류와 완화 시간의 충돌 시간의 역수로, 금속에서 $10^{13}$ – $10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$ 이라 가시광 진동수( $\sim 10^{15}$ )보다 작다.

감쇠를 잠시 무시하면( $\gamma \ll \omega$ ) 결론이 단순하다.

$\omega < \omega_p$ : $\tilde n^2 < 0$ , $\tilde n$ 이 순허수. 파는 진행하지 못하고 $e^{-\kappa k_0 z}$ 로 죽으며, 8절의 흡수 매질 반사율 공식에서 $n = 0$ 이라 $R = 1$ . 금속이 거울인 이유다.
$\omega > \omega_p$ : $\tilde n^2 > 0$ 이되 1보다 작다. 파가 진행한다 — 금속이 투명해진다. 알칼리 금속이 자외선에서 투명해지는 것(나트륨은 210 nm 아래)이 이것이고, 지구 전리층이 단파 라디오는 반사하고 텔레비전·위성 전파는 통과시키는 것도 같은 식이다 — 전리층 전자 밀도 $10^{12}\,\mathrm{m^{-3}}$ 에서 $\omega_p/2\pi \approx 9\,\mathrm{MHz}$ .

그림 3.3-9. 드루드 금속의 수직 입사 반사율. 감쇠가 작으면(실선 γ = 0.01 ω_p) 플라즈마 진동수 아래에서 R ≈ 1이다가 ω_p에서 절벽처럼 떨어지고, 그 위에서 유전체처럼 천천히 다시 오른다(n < 1이라 R이 0에서 출발한다). 감쇠가 커지면(γ = 0.1, 0.4 ω_p) 아래쪽 반사율이 1에서 내려오고 가장자리가 무뎌진다 — 흡수가 생겨 '완전한 거울'이 아니게 된다. 문턱을 정하는 것은 자유 전자 밀도 N 하나다.직접 작도

직관

형태적 직관 — 두 부호가 갈리는 자리. 3절의 로렌츠 곡선에서 공명 위쪽( $\omega > \omega_0$ )은 전자가 반대 위상으로 움직여 $n < 1$ 이었다. 드루드는 $\omega_0 = 0$ 이라 모든 진동수가 “공명 위”다 — 자유 전자는 언제나 장과 반대로 움직인다. 그 반대 위상 분극이 진공의 분극을 다 깎고도 남으면( $\omega < \omega_p$ ) $\varepsilon_r$ 이 음수가 되고, 음수의 제곱근이 허수 굴절률이다. $\varepsilon_r < 0$ 이라는 것은 전기장을 걸면 그 반대 방향으로 변위장이 생긴다는 뜻이고, 그런 매질 안에서는 진동하는 장이 스스로를 지탱하지 못해 지수적으로 죽는다. 9절의 소멸파가 " $k_z^2 < 0$ " 때문에 죽었다면, 금속 안의 파는 " $\varepsilon_r < 0$ " 때문에 죽는다 — 같은 지수함수, 다른 이유다.

감쇠가 있을 때 — 표피 깊이와 색

실제 금속에는 $\gamma$ 가 있어 $\tilde n = n + i\kappa$ 의 실수부가 0이 아니고, 반사율이 1에서 조금 떨어지며 그만큼 흡수한다. 알루미늄은 600 nm에서 $\tilde n = 1.2 + 7.3i$ — $R = 0.91$ , 흡수 깊이 $\lambda_0/4\pi\kappa = 6.5\,\mathrm{nm}$ . 빛은 알루미늄 표면 원자 수십 층 안에서 결판이 난다. 진폭이 $1/e$ 로 줄어드는 거리 $\lambda_0/2\pi\kappa = 13\,\mathrm{nm}$ 가 광학 표피 깊이이고, 2.8.5손실 매질·도체 내 전파와 표피 깊이에서 저주파 도체에 대해 구한 $\sqrt{2/\mu_0\sigma\omega}$ 의 고주파 극한이다. 알루미늄 100 nm면 이미 불투명하고, 이것이 마스크의 크롬·알루미늄 차광막 두께, 그리고 배선 위에 빛이 닿지 않는 이유다.

금·구리가 노랗고 붉은 것은 드루드만으로는 안 나온다. 채워진 $d$ 띠에서 페르미 준위로 전자를 올리는 띠간 전이가 가시광 청색 쪽(금 2.4 eV, 구리 2.1 eV)에서 흡수를 만들어 반사율을 깎는다. 은은 그 전이가 자외선(4 eV)에 있어 가시광 전체를 고르게 반사한다 — 은이 흰 이유다.

반도체가 금속이 되는 자리

이 절의 반도체 쪽 결론이 셋 있다.

고농도 도핑의 플라즈마 가장자리. 도핑된 반도체의 자유 캐리어도 드루드 전자다. 다만 질량이 유효 질량 $m^*$ 이고 배경 유전율 $\varepsilon_r(\infty)$ 가 있어

\omega_p^2 = \frac{Nq^2}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r(\infty)\,m^*}

실리콘 $N = 10^{20}\,\mathrm{cm^{-3}}$ , $m^* = 0.26m_e$ , $\varepsilon_r = 11.7$ 을 넣으면 $\omega_p = 3.2\times10^{14}\,\mathrm{rad/s}$ , 파장 5.8 µm. 그 아래 진동수(긴 파장)에서 고농도 도핑 실리콘은 금속처럼 반사한다. 1절 그림의 맨 오른쪽 점이 이것이다. $N$ 을 100배 줄이면 $\omega_p$ 는 10배 줄어 58 µm로 밀려난다 — 적외선 반사 스펙트럼에서 플라즈마 가장자리의 위치로 캐리어 농도를 비접촉으로 재는 방법이 여기서 나온다. ITO 같은 투명 전도 산화물은 $N \sim 10^{21}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 으로 가장자리를 근적외선 1–2 µm에 두어 가시광은 통과시키고 적외선은 반사한다 — 디스플레이 전극과 저방사 유리가 같은 재료인 이유다(16부).

자유 캐리어 흡수. $\omega \gg \omega_p$ 인 근적외선에서도 드루드 항은 남아 $\kappa$ 에 기여한다. $\omega \gg \gamma$ 극한에서 $\alpha_{fc} \propto N\lambda_0^2/(m^{*2}\mu)$ — 파장의 제곱과 캐리어 농도에 비례한다. 실리콘 포토닉스에서 도파관을 $10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 으로 도핑하면 1.55 µm에서 손실이 수십 dB/cm가 되어 쓸 수 없고, 거꾸로 캐리어를 주입·공핍시켜 $\alpha$ 와 $n$ 을 바꾸는 것이 실리콘 변조기의 원리다(플라즈마 분산 효과). 8부에서 띠 구조 위에 다시 세운다.

EUV에는 렌즈가 없다. 13.5 nm(92 eV)는 모든 물질의 전자 공명 위에 있다 — 내각 전자까지 전부 “자유 전자처럼” 반응하는 X선 영역이다. 그래서 $\tilde n = 1 - \delta + i\beta$ 에서 $\delta \sim 10^{-2}$ , 굴절률이 1과 거의 같아 렌즈로 꺾을 수 없고, 동시에 $\beta$ 가 커서 어떤 재료도 1 µm를 못 뚫는다. 남는 것은 반사뿐인데, 수직 입사 프레넬 반사율은 $(\delta/2)^2 \sim 10^{-4}$ — 거울도 안 된다. 해법은 3.5의 다층막이다. Mo/Si를 6.9 nm 주기로 40–50쌍 쌓아 각 경계의 미약한 반사를 브래그 조건으로 보강시키면 70 %에 이른다. 그래도 EUV 노광기의 거울 10장 남짓(조명계 + 투영계 6장 + 반사형 마스크)을 거치면 $0.7^{10} \approx 3\,\%$ 만 웨이퍼에 닿는다. EUV 광원이 수백 W여야 하는 이유이고, 11절의 광자 수 문제가 심각해지는 이유다.

광자·파동과 확률

파동의 세기는 광자의 확률이다

이 장은 내내 빛을 파동으로 다뤘고 그것으로 충분했다. 그러나 검출기에서 빛은 알갱이로 온다 — 광전 효과의 광전자 하나, 광증배관의 펄스 하나, CCD 화소의 전자 하나. 2절의 광자 흐름 $\Phi = I/h\nu$ 가 그 알갱이를 세는 식이었다. 두 그림을 잇는 명제는 하나다(Hecht §4.11).

어떤 자리에서 광자가 검출될 확률은 그 자리의 고전 파동의 세기 $I \propto E_0^2$ 에 비례한다.

간섭 무늬(3.5)에 광자를 하나씩 보내면 처음에는 점이 무작위로 찍히다가, 수천 개가 쌓이면 파동 이론이 예측한 밝고 어두운 줄무늬가 드러난다. 광자 하나하나는 어디 찍힐지 모르지만, 확률 분포는 파동이 정한다. 진폭이 더해진 뒤 제곱된다는 것 — 파동 광학의 핵심 규칙 — 이 여기서 확률 진폭의 규칙이 되고, 5부에서 슈뢰딩거 방정식의 통계적 해석(5.2.2)으로 일반화된다. $|\psi|^2$ 이 입자를 찾을 확률 밀도인 것과 $E_0^2$ 이 광자를 찾을 확률인 것이 같은 문장이다.

경로의 합 — 페르마 원리의 정체

7절에서 “빛은 정지 경로 근처의 다발로 간다”고 했다. 광자의 언어로 옮기면 파인만의 그림이 된다. 광자가 $A$ 에서 $B$ 로 갈 확률 진폭은 가능한 모든 경로의 진폭을 더한 것이고, 각 경로의 진폭은 크기가 같고 위상이 그 경로의 $k_0\cdot\mathrm{OPL}$ 이다. 위상이 빨리 도는 경로들은 이웃과 상쇄되고, 정지 경로 근처 — OPL이 1차로 변하지 않는 곳 — 의 경로들만 같은 위상으로 살아남는다. 페르마 원리는 광자가 최단 경로를 “선택”하는 것이 아니라, 다른 경로들이 서로를 지운 결과다.

이 그림은 검증 가능한 예측을 한다. 거울의 반사에서 살아남는 것은 $\theta_r = \theta_i$ 근처의 다발이지만, 거울의 가장자리 경로들도 진폭은 있다 — 다만 이웃끼리 상쇄될 뿐이다. 그 가장자리 부분을 파장 간격으로 긁어내어 상쇄되던 절반을 지우면 남은 절반이 보강되어, 반사 법칙이 예측하지 않는 방향으로 빛이 나온다. 그것이 회절 격자이고(3.6.5), 반사 법칙은 격자 간격이 0인 극한이다.

광자를 세면 잡음이 생긴다

파동에 없고 광자에만 있는 것이 개수의 요동이다. 일정한 세기의 빛이라도 시간 $\tau$ 동안 검출되는 광자 수 $N$ 은 평균 $\bar N = \Phi A\tau$ 주위에서 푸아송 분포로 흩어지고, 표준 편차는 $\sqrt{\bar N}$ 이다. 상대 요동은

\frac{\sigma_N}{\bar N} = \frac{1}{\sqrt{\bar N}}

산탄 잡음(shot noise)이다. 광자가 많을수록 상대 요동은 줄지만 $\sqrt{N}$ 으로만 준다. 광검출기의 전류로 옮기면 $\overline{i_n^2} = 2qI\Delta f$ — 17부의 잡음 하한이고, 광통신 수신기의 감도 한계이며, 이미지 센서가 어두운 곳에서 거칠어지는 이유다.

그림 3.3-10. 광자 수의 상대 요동 1/√N. 같은 노광량 30 mJ/cm²를 20 nm × 20 nm 화소에 주면 ArF(6.4 eV)로는 광자 1.2 × 10⁵개, EUV(92 eV)로는 8 × 10³개다 — 광자 하나의 에너지가 14배 크니 같은 에너지에 알갱이가 14배 적다. 상대 요동은 0.3 %에서 1.1 %로 커진다. 화소를 10 nm × 10 nm로 줄이면 광자 수는 다시 4분의 1, 요동은 2배다. 파장이 짧아지고 패턴이 작아질수록 '빛이 알갱이'라는 사실이 공정 안으로 들어온다.직접 작도

직관

파라미터 연계성 — EUV 확률적 결함. 리소그래피에서 레지스트의 한 점이 노광되었는지는 그 점에 떨어진 광자 수가 문턱을 넘었는지로 갈린다. 광자 수 요동이 문턱 근처에서 결정을 뒤집으면 패턴 가장자리가 울퉁불퉁해지고(선폭 거칠기), 요동이 크면 있어야 할 홀이 안 뚫리거나 없어야 할 곳이 뚫린다 — 확률적 결함이다. 그림의 숫자가 그 크기다. EUV에서 광자당 에너지가 92 eV라 같은 노광량에 광자가 14배 적고, 레지스트가 흡수하는 몫은 그중 일부이며, 흡수된 광자 하나가 만드는 이차 전자의 수와 위치에 또 요동이 있다. 손잡이는 셋뿐이다 — 노광량을 올리거나(광원 출력, 처리량과 맞바꾼다), 레지스트의 흡수율을 올리거나(금속 산화물 레지스트), 문턱 근처의 화학 증폭을 줄이거나. 10절에서 광학계가 3 %만 통과시키는 것과 이 절의 $1/\sqrt N$ 이 만나 EUV 광원 출력 경쟁이 된다.

파동인가 입자인가

빛은 전파할 때는 파동 방정식을 따르고(이 장 전부), 검출될 때는 알갱이로 온다(이 절). 둘은 모순이 아니라 같은 대상의 두 극한이다 — 광자가 아주 많으면 개수 요동이 상대적으로 사라져 고전 파동이 되고, 하나씩 다루면 확률만 남는다. 어느 쪽 언어를 쓸지는 광자 수 $N$ 이 정한다. 햇빛 1 m²에 초당 $10^{21}$ 개가 오는 상황에서 광자를 말하는 것은 쓸데없고, 단일 광자 검출기와 EUV 화소 하나에서 파동만 말하는 것은 틀린다. 5부의 양자역학은 이 이중성을 전자에도 적용한다 — 전자 역시 전파할 때는 파동(7부의 블로흐 파), 검출될 때는 알갱이(전류의 산탄 잡음)다. 이 장의 마지막 절이 그 첫 문장이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다.

리소그래피 광학(19부). 파장과 광자 에너지(1절), 노광량과 광자 수(2·11절), 렌즈 재료의 분산과 선폭 협소화(4절), 액침의 $n\sin\theta$ (6절), 기판 반사와 정재파·BARC(8절), EUV 반사 광학계와 다층막(10절), 확률적 결함(11절).
광검출기·태양전지·LED(17부·16부). 응답도 $\eta\lambda/1.24$ (2절), 흡수 깊이와 소자 두께(4절), 표면 반사 손실 30 %와 반사 방지막(8절), 탈출 원뿔과 광 추출(9절).
반도체 광학 상수(8부). 로렌츠 진동자의 연속체 극한이 띠간 흡수, 드루드가 자유 캐리어 흡수와 플라즈마 가장자리(3·10절). 크라머스–크로니히로 $n$ 과 $\alpha$ 가 묶인다(4절).
계측(9부·19부). 반사 측정과 타원편광 분석(8절), ATR 분광(9절), 레이저 산란 입자 검사의 $d^6/\lambda^4$ (5절), 적외선 반사로 재는 캐리어 농도(10절).
실리콘 포토닉스(17부). 도파관과 소멸파 결합(9절), 군굴절률(4절), 플라즈마 분산 변조기(10절).
다음 장들. 광선의 경로와 결상은 페르마 원리 위에서(3.4), 진폭의 합과 위상은 프레넬 계수와 OPL 위에서(3.5), 경로 다발의 폭은 회절로(3.6). 5부에서 확률 진폭이 전자에게 옮겨 간다.

이 장의 뼈대는 결국 두 문장이다. 빛은 전자를 흔들고, 흔들린 전자가 다시 빛을 낸다 — 그 합이 굴절률·분산·흡수·산란·반사·금속 광택을 전부 만든다. 그리고 경계에서는 접선 파수가 보존된다 — 그 하나가 반사·굴절 법칙, 프레넬 계수, 전반사와 소멸파를 준다. 나머지는 광자를 세는 일이다.