7부 고체물리 7.10

전자 상호작용과 차폐

7.6부터 7.9까지 전자는 혼자였다. 자유전자 모형에서는 아무 퍼텐셜도 없이, 밴드 이론에서는 고정된 주기 퍼텐셜 안에서, 전자 하나가 다른 전자들을 전혀 모르는 채 움직였다. 그런데 금속 안의 전자 밀도는 $10^{22}\,\text{cm}^{-3}$ 이 넘고, 이웃 전자까지의 거리가 0.2 nm 남짓이면 쿨롱 에너지는 수 eV — 페르미 에너지와 같은 자릿수다. 무시할 수 없는 상호작용을 무시했는데 왜 맞았는가. 이 장은 그 질문에 답하면서, 답하는 과정에서 반도체 물리의 도구를 여럿 얻는 자리다.

답은 두 갈래다.

집단 응답. 전자 기체 전체가 교란에 함께 반응한다. 그 반응을 한 함수 — 유전 함수 $\varepsilon(\omega,K)$ — 로 적으면, 정적 극한에서는 차폐(전하가 가려진다), 동적 극한에서는 플라스마 진동(전자 기체가 통째로 흔들린다)이 나온다. 1~4절이다.
옷 입은 전자. 전자 하나가 주위를 끌고 다닌다. 격자 분극을 끌고 다니면 폴라론, 다른 전자들의 차폐 구름을 끌고 다니면 준입자다. 옷을 입은 전자는 무거워지고 수명이 유한해지지만, 여전히 “전자 하나”처럼 행동한다 — 그것이 독립 전자 모형이 맞는 이유다. 6·8절이다.

그리고 상호작용이 이기는 경우가 있다. 격자를 벌리면 금속이 절연체가 되고(모트 전이), 1차원 금속은 언제나 격자를 뒤틀어 갭을 연다(파이얼스 불안정성). 7절이다. 초전도(7.14)와 자성(7.13)도 같은 부류이지만 각각의 장으로 미룬다.

5절의 폴라리톤은 전자가 아니라 이온의 이야기다 — 이온 결정의 광학 포논이 빛과 섞이는 현상인데, 같은 유전 함수 언어로 적히고, 6절의 폴라론이 바로 그 광학 포논과 전자의 결합이라서 여기에 둔다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

차폐 길이 — 이온화 불순물 산란, 밴드갭 좁힘, 도핑의 모트 전이, 공핍층 가장자리의 흐림, MOS 반전층의 두께. 디바이 길이가 반도체의 거의 모든 정전기에 들어간다 (11·12·13부).
자유 캐리어 플라스마 — 도핑된 층의 적외선 반사, 타원 편광 분석과 FTIR로 도핑을 재는 원리, ITO가 투명하면서 도체인 이유, 플라스모닉스 (16·19부).
LO–TO 분리와 high-κ — 유전율이 큰 산화막일수록 극성 포논이 무르고, 그 무른 포논이 채널 이동도를 깎는다. 유전율과 포논 산란은 한 식에서 나온다 (13부).
폴라론 — 산화물 반도체·유기 반도체·저항 변화 메모리의 이동도가 왜 호핑인가 (15·16부).
페르미 액체 — 밴드 유효질량을 측정값으로 믿어도 되는 이유, 중도핑에서 그것이 깨지는 방식.

표기는 Kittel(Ch.14)을 따르되 SI로 적는다. Kittel의 $4\pi ne^2/m$ 은 여기서 $ne^2/\varepsilon_0m$ 이고, $4\pi$ 가 보이는 자리마다 $1/\varepsilon_0$ 로 읽으면 된다. 이 장은 같은 글자가 다른 뜻으로 부딪히는 자리가 유난히 많아서, 절마다 다시 밝히는 대신 아래에 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\varepsilon(\omega,K)$	유전 함수	전자 기체(또는 결정)의 무차원 응답 함수. 진동수 $\omega$ 와 파수 $K$ 의 함수	—
$\varepsilon_0$	진공 유전율	SI 상수 $8.854\times10^{-12}$ F/m. 정적 유전 함수 $\varepsilon(0)$ 와 다른 것	F/m
$\varepsilon_{\mathrm s}$ , $\varepsilon_\infty$	정적·고주파 유전 상수	Kittel의 $\varepsilon(0)$ , $\varepsilon(\infty)$ . 이온 결정과 반도체 모체의 무차원 상수	—
$\mathcal{E}$	전기장	Kittel은 $E$ 로 쓰지만 이 장에서 $E$ 는 에너지다	V/m
$E$ , $E_F$	에너지, 페르미 에너지	Kittel의 $\epsilon$ , $\epsilon_F$	J, eV
$e$	기본 전하	양수 $1.602\times10^{-19}$ C. 전자의 전하는 $-e$ . 11부부터는 $q$ 로 쓴다	C
$n$	전자 농도	소문자 — 국소 캐리어 농도. $N_D$ (도너 농도)와 구분	m $^{-3}$
$\mathbf{k}$ , $k_F$	전자 파수, 페르미 파수	전자 상태의 파수	m $^{-1}$
$\mathbf{K}$	교란의 파수	외부 퍼텐셜·플라스몬·포논의 파수. 전자 파수 $k$ 와 다른 물건	m $^{-1}$
$k_s$	차폐 파수	$1/\lambda_s$ . 토마스–페르미면 $k_{TF}$ , 비축퇴면 $1/\lambda_D$	m $^{-1}$
$k_B$	볼츠만 상수	파수가 아니다	J/K
$\omega_p$ , $\omega_T$ , $\omega_L$	플라스마·횡광학·종광학 진동수	각각 2절, 5절에서 정의	rad/s
$m$ , $m^*$	전자 질량, 유효질량	금속 식은 $m$ , 반도체에 옮길 때 $m^*$	kg

전자 기체의 유전 함수

유전 함수는 “외부 전하 대 전체 전하”의 비다

2.3.8선형 유전체와 감수율·유전율에서 유전체는 상수 하나 $\varepsilon_r$ 로 충분했다. 전기장이 걸리면 분극 $\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 가 생기고, $\mathbf{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{\mathcal{E}}+\mathbf{P} =\varepsilon_0\varepsilon_r\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 였다. 전자 기체도 유전체다 — 다만 응답이 교란의 진동수와 파장에 따라 다르다. 천천히 흔들면 전자가 따라와 완전히 가리고, 빨리 흔들면 관성 때문에 못 따라온다. 긴 파장은 잘 가리고, 전자 사이 간격보다 짧은 파장은 못 가린다. 그래서 유전 상수가 아니라 유전 함수 $\varepsilon(\omega,K)$ 가 필요하다.

정의는 전하를 둘로 나누는 데서 시작한다. 바깥에서 넣어 준 전하 $\rho_{\text{ext}}$ (불순물 이온, 외부 전극, 지나가는 빠른 전자)와, 그에 반응해 전자 기체가 만든 유도 전하 $\rho_{\text{ind}}$ 다. 가우스 법칙은 두 가지로 적힌다.

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{ext}}, \qquad \varepsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{\mathcal{E}}=\rho_{\text{ext}}+\rho_{\text{ind}}

$\mathbf{D}$ 는 외부 전하만 보고, $\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 는 전부를 본다. 교란을 평면파 $e^{i(\mathbf{K}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$ 로 분해하면 각 성분마다 $\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon(\omega,K)\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 로 적을 수 있고, 위 두 식을 나누면

\varepsilon(\omega,K)=\frac{\rho_{\text{ext}}(\omega,K)}{\rho_{\text{ext}}(\omega,K)+\rho_{\text{ind}}(\omega,K)}

이다 (Kittel Ch.14). 외부 전하를 전체 전하로 나눈 것이 유전 함수다. 유도 전하가 외부 전하를 완전히 상쇄하면 분모가 0이 되어 $\varepsilon\to\infty$ — 완전 차폐다. 유도 전하가 없으면 $\varepsilon=1$ — 진공이다. 푸아송 방정식(2.1.5푸아송·라플라스 방정식)으로 전하를 퍼텐셜로 바꾸면 같은 식이 $\varphi=\varphi_{\text{ext}}/\varepsilon$ 이 된다: 바깥에서 건 퍼텐셜을 $\varepsilon$ 으로 나눈 것이 전자가 실제로 느끼는 퍼텐셜이다.

주의

$\varepsilon$ 셋을 구분한다. 이 장에는 유전 함수 $\varepsilon(\omega,K)$ , 진공 유전율 $\varepsilon_0$ , 그리고 매질의 정적 유전 상수 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 가 같이 나온다. 유전 함수는 무차원이고 인수 $(\omega,K)$ 가 붙는다. $\varepsilon_0$ 은 F/m 단위의 상수다. Kittel은 cgs라서 $\varepsilon_0$ 이 아예 없고, 정적 유전 함수를 $\varepsilon(0)$ 으로 쓴다 — SI에서 $\varepsilon(0)$ 과 $\varepsilon_0$ 이 눈으로 구분되지 않으므로 이 장은 정적 유전 상수를 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 로 쓴다. 1.8.7이 같은 이유로 무차원 쪽을 $\epsilon(\mathbf{q})$ 로 적었는데, 그 $\epsilon(\mathbf q)$ 가 이 장의 $\varepsilon(0,K)$ 다.

파수도 둘이다. 전자 자신의 파수는 $\mathbf{k}$ , 교란(퍼텐셜·포논·플라스몬)의 파수는 $\mathbf{K}$ 다 (Kittel 표기. Ashcroft–Mermin은 $\mathbf q$ ). 전자가 파수 $\mathbf K$ 의 퍼텐셜에 산란되면 $\mathbf k\to\mathbf k+\mathbf K$ 가 되므로 둘은 같은 공간에 살지만 역할이 다르다.

두 극한이 두 현상이다

유전 함수는 두 방향으로 읽힌다.

종파(longitudinal) 응답. $\rho_{\text{ext}}=0$ 인데 $\rho_{\text{ind}}\ne0$ 일 수 있는가? 위 식에서 $\varepsilon(\omega,K)=0$ 이면 된다. 외부 전하 없이 전자 기체가 스스로 전하 밀도 파동을 유지하는 것 — 플라스마 진동이다(2절). 반대로 $\omega=0$ 에서 $\varepsilon(0,K)$ 의 $K$ 의존성은 정지한 전하가 얼마나 가려지는지를 말한다 — 차폐다(3·4절).

횡파(transverse) 응답. 전자기파의 $\boldsymbol{\mathcal{E}}$ 는 $\mathbf K$ 에 수직이라 전하 밀도를 만들지 않고, 대신 $\varepsilon(\omega)$ 가 굴절률 $\tilde n=\sqrt{\varepsilon}$ 을 정한다. 이쪽은 7.11의 주제이고 여기서는 플라스마 가장자리만 본다.

자유전자 기체의 유전 함수

가장 단순한 경우 — 충돌 없는 자유전자 기체, 긴 파장( $K\to0$ )의 균일한 전기장 $\mathcal{E}\,e^{-i\omega t}$ . 전자 하나의 운동 방정식은 7.6.1드루데 모형의 드루데 방정식에서 충돌 항을 뺀 것이다.

m\ddot x=-e\mathcal{E} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{e\mathcal{E}}{m\omega^2}

$x\propto e^{-i\omega t}$ 를 넣어 $\ddot x=-\omega^2x$ 로 놓았다. 변위가 전기장과 같은 방향임을 눈여겨본다 — $-e\mathcal E$ 로 밀렸는데 $x$ 가 $+\mathcal E$ 쪽인 이유는, 되돌리는 힘이 없는 자유 입자를 진동시키면 변위가 힘과 반대 위상( $180^\circ$ )이 되기 때문이다. 분극은 전자 $n$ 개의 쌍극자 $-ex$ 의 합이다.

P=-nex=-\frac{ne^2}{m\omega^2}\mathcal{E}, \qquad \varepsilon(\omega)=1+\frac{P}{\varepsilon_0\mathcal{E}} =1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}, \qquad \boxed{\;\omega_p^2=\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}\;}

$\omega_p$ 가 플라스마 진동수다. Kittel의 $\omega_p^2=4\pi ne^2/m$ 과 같은 식이다.

그림 7.10-1. 자유전자 기체의 유전 함수 ε(ω) = 1 − ω_p²/ω². ω_p 아래에서는 ε < 0 이라 전자기파가 들어가지 못해 반사되고, 위에서는 0 < ε < 1 이라 투명하다. 되돌림 힘이 없는 전자는 언제나 전기장과 반대로 분극하므로 ε는 절대로 1을 넘지 못하고, 낮은 진동수에서는 분극이 전기장을 압도해 부호까지 뒤집는다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 왜 $1-\omega_p^2/\omega^2$ 인가. 유전체의 유전 함수는 대개 로렌츠 진동자 $1+\omega_p^2/(\omega_0^2-\omega^2)$ 꼴이다(1.9.10분산 관계(크라머스-크로니히)에서 본 그 함수). 속박 전자는 되돌림 진동수 $\omega_0$ 가 있어 $\omega<\omega_0$ 에서 전기장을 따라가는 분극( $\varepsilon>1$ )을 만든다. 자유전자는 $\omega_0=0$ 인 진동자다. 되돌림이 없으니 모든 진동수가 “공명 위”이고, 분극은 언제나 전기장과 반대다. 그래서 $\varepsilon<1$ 이고, 분극이 커지는 낮은 진동수에서는 $\varepsilon<0$ 까지 간다. $\omega_p$ 는 “분극이 진공의 $\varepsilon_0\mathcal E$ 를 정확히 상쇄하는 진동수”다.

그래프 직관. 곡선은 $\omega\to\infty$ 에서 1로 올라붙고(전자가 못 따라와 진공처럼 된다), $\omega\to0$ 에서 $-\infty$ 로 떨어진다(정적 전기장은 완전히 가려진다 — 3절). 부호가 바뀌는 점 하나, $\omega_p$ 가 금속 광학의 전부다.

플라스마 가장자리 — 금속은 왜 반짝이고 자외선에서 투명해지는가

횡파 전자기파의 분산 관계는 맥스웰 방정식에서 $c^2K^2=\varepsilon(\omega)\,\omega^2$ 다 (2.8.8유전율의 주파수 의존성 — 흡수와 분산). 자유전자의 $\varepsilon$ 을 넣으면

c^2K^2=\omega^2-\omega_p^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2=\omega_p^2+c^2K^2

그림 7.10-2. 플라스마 안의 전자기파 분산. 횡파 분지 ω² = ω_p² + c²K² 는 ω_p 에서 출발해 빛의 직선에 점근하고, ω_p 아래 띠에서는 K가 허수라 전파하는 해가 없다 — 파동은 표면에서 지수적으로 죽고 전부 반사된다. 종파 플라스몬(2절)은 ω = ω_p 근처의 수평선으로, 파장에 거의 무관하다.직접 작도

$\omega<\omega_p$ 이면 $K^2<0$ , 즉 $K$ 가 허수다. 파동은 $e^{-|K|x}$ 로 표면에서 죽고 에너지는 전부 되돌아온다 — 금속이 가시광을 반사하는 이유다. $\omega>\omega_p$ 이면 $K$ 가 실수가 되어 파동이 통과한다. 알칼리 금속은 $\hbar\omega_p$ 가 3~6 eV라 자외선에서 실제로 투명해진다 (Kittel Table 14.1: Na $\lambda_p\approx210$ nm, K 315 nm). 알루미늄은 $\hbar\omega_p\approx15.8$ eV(78 nm)라 자외선까지 거울이다.

같은 식을 반도체로 옮기면 두 가지가 바뀐다. 전자 질량이 유효질량 $m^*$ 가 되고, 밴드 전자들이 이미 만들어 둔 배경 유전 상수 $\varepsilon_\infty$ 가 진공을 대신한다.

\omega_p^2=\frac{ne^2}{\varepsilon_0\varepsilon_\infty m^*}, \qquad \varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty\Big(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}\Big)

계	$n$ (cm $^{-3}$ )	$m^*/m_0$	$\varepsilon_\infty$	$\hbar\omega_p$	$\lambda_p$
Cu	$8.5\times10^{22}$	1	1	10.8 eV	115 nm
Al	$1.8\times10^{23}$	1	1	15.8 eV	78 nm
Si, 원자가전자 4개/원자	$2.0\times10^{23}$	1	1	16.6 eV	75 nm
n-Si, $10^{19}$	$10^{19}$	0.26	11.7	67 meV	18 $\mu$ m
n-Si, $10^{20}$	$10^{20}$	0.26	11.7	0.21 eV	5.8 $\mu$ m
n-GaAs, $10^{18}$	$10^{18}$	0.067	10.9	43 meV	29 $\mu$ m
ITO	$10^{21}$	0.35	4	1.0 eV	1.2 $\mu$ m

직관

파라미터 연계성 — $\omega_p\propto\sqrt{n/m^*}$ 하나로 세 가지 기술이 설명된다.

도핑을 적외선으로 잰다. 중도핑 실리콘의 플라스마 가장자리는 5~20 $\mu$ m — 적외선 반사 스펙트럼에서 반사율이 급히 오르는 자리를 읽으면 $n/m^*$ 가 나온다. 접촉 없이, 웨이퍼 전면을 훑으며. FTIR과 적외선 타원 편광 분석이 도핑 계측에 쓰이는 원리다(19부).
ITO는 왜 투명한 도체인가. $n\approx10^{21}\,\text{cm}^{-3}$ 이면 금속처럼 전기가 통하지만 플라스마 가장자리가 근적외선(1.2 $\mu$ m)에 있어 가시광(0.4~0.7 $\mu$ m)은 $\omega>\omega_p$ 로 통과한다. 캐리어를 더 넣으면 전도도는 오르지만 가장자리가 가시광 쪽으로 밀려 붉게 흐려진다 — 투명 전극의 전도도 상한이 여기서 나온다(16부).
자유 캐리어 흡수. $\omega\gg\omega_p$ 에서 충돌 항을 살리면 흡수 계수가 $\propto n\lambda^2/m^{*2}\mu$ 로 나오고(7.11.3), 이것이 실리콘 포토닉스에서 도핑된 도파로의 손실이자, 반대로 캐리어를 넣어 굴절률을 바꾸는 변조기의 원리다(17.5).

충돌을 넣으면 — 드루데 유전 함수와 전도도

충돌 시간 $\tau$ 를 살리면 운동 방정식이 $m\ddot x+m\dot x/\tau=-e\mathcal E$ 가 되고

\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2+i\omega/\tau} =1-\frac{\omega_p^2\tau^2}{1+\omega^2\tau^2}+i\,\frac{\omega_p^2\tau}{\omega(1+\omega^2\tau^2)}

다. 허수부가 흡수다. 같은 식을 전도도로 적으면 $\sigma(\omega)=\sigma_0/(1-i\omega\tau)$ , $\sigma_0=ne^2\tau/m$ 이고, 둘은 $\varepsilon(\omega)=1+i\sigma(\omega)/\varepsilon_0\omega$ 로 이어진다 — 유전 함수와 전도도는 같은 정보의 두 표기다. $\omega\tau\gg1$ 이면 위의 충돌 없는 결과로 돌아가고 ( $\hbar/\tau\sim$ 수십 meV인 금속에서 가시광은 이 극한), $\omega\tau\ll1$ 이면 $\varepsilon\approx i\sigma_0/\varepsilon_0\omega$ 로 순허수가 되어 표피 깊이(2.8.5)가 나온다. 시간 의존을 $e^{-i\omega t}$ 로 잡았으므로 흡수가 $\operatorname{Im}\varepsilon>0$ 이다; 전기공학의 $e^{j\omega t}$ 규약에서는 부호가 뒤집힌다(1.9.10).

플라스마 진동과 플라스몬

전자 기체를 통째로 밀면 되돌아온다

1절에서 $\varepsilon(\omega)=0$ 이 종파 자기 진동의 조건이라 했다. 자유전자 기체에서 그 조건은 $\omega=\omega_p$ 다. 이것이 무슨 운동인지는 계산 없이도 보인다.

그림 7.10-3. 플라스마 진동의 유도. 고정된 양이온 배경 위에서 전자 기체 판 전체를 u 만큼 밀면 왼쪽 끝에 +neu, 오른쪽 끝에 −neu 의 면전하가 드러나고, 그 사이에 축전기처럼 균일한 전기장 neu/ε₀ 가 생겨 전자를 되돌린다. 되돌림 힘이 변위에 비례하므로 조화진동이고, 그 진동수가 ω_p 다. 판의 두께가 식에 들어가지 않는 것에 주목 — 되돌림 힘은 파장과 무관하다.직접 작도

두께 $L$ 의 전자 기체 판을 양이온 배경에 대해 $u$ 만큼 통째로 밀면, 한쪽 면에 두께 $u$ 의 전자 과잉층(면전하 $-neu$ ), 반대쪽 면에 이온만 남은 층(면전하 $+neu$ )이 생긴다. 축전기 극판 사이의 장처럼 (2.1.6경계 조건) 안쪽에는 균일한 전기장 $\mathcal E=neu/\varepsilon_0$ 이 생기고, 전자 하나에 힘 $-e\mathcal E$ 가 걸린다.

nm\ddot u=-ne\mathcal E=-\frac{n^2e^2}{\varepsilon_0}u \quad\Longrightarrow\quad \ddot u=-\omega_p^2u, \qquad \omega_p^2=\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}

1절과 같은 $\omega_p$ 다. 전자 기체 전체가 이온 배경에 대해 흔들리는 진동이고, 되돌리는 힘은 이온과 전자 사이의 장거리 쿨롱 힘이다.

직관

물리적 직관 — 왜 $\omega_p$ 는 파장에 거의 무관한가. 격자 진동은 이웃끼리만 밀고 당기므로 파장이 길수록 이웃 사이의 상대 변위가 작아져 $\omega\to0$ 이다(7.4.4군속도와 장파장 극한의 음향 포논). 플라스마 진동은 다르다. 쿨롱 힘은 장거리라, 변위가 파장 $2\pi/K$ 에 걸쳐 아무리 완만해도 면전하가 만드는 장은 같은 크기로 생긴다 — 위 그림에서 판의 두께가 식에 없는 이유다. 그래서 $K\to0$ 에서도 진동수가 0으로 가지 않고 $\omega_p$ 에 머문다. 장거리 상호작용이 있는 계의 밀도 진동은 이렇게 “갭”을 가진다 — 1절 그림 7.10-2의 수평선이다. 페르미 속도까지 넣으면 약한 분산 $\omega^2\approx\omega_p^2+\tfrac35v_F^2K^2$ 이 붙는다(린드하르트, 3절).

플라스몬 — 양자화된 플라스마 진동

플라스마 진동을 양자화한 것이 플라스몬이고, 에너지 양자는 $\hbar\omega_p$ 다. 금속에서 5~20 eV라 열적으로는 절대 여기되지 않지만, 빠른 전자가 금속 박막을 지나면서 $\hbar\omega_p$ 의 정수배만큼 에너지를 잃는 것이 전자 에너지 손실 분광(EELS)으로 직접 보인다. 알루미늄에서 15.3 eV, 실리콘에서 약 16.7 eV — 실리콘은 원자당 원자가전자 4개를 전부 자유전자로 세어 $n=2.0\times10^{23}\,\text{cm}^{-3}$ 을 넣으면 16.6 eV가 나온다. 반도체도 자외선 이상의 진동수에서는 원자가전자 전부가 플라스마다. TEM에 붙은 EELS가 두께와 조성을 재는 데 이 봉우리를 쓴다(19부).

표면에서는 조건이 바뀐다. 금속–진공 경계에 갇힌 전하 진동은 경계 조건 $\varepsilon_{\text{금속}}(\omega)=-\varepsilon_{\text{바깥}}$ 을 만족해야 하고, 자유전자 $\varepsilon$ 을 넣으면 $\omega_{sp}=\omega_p/\sqrt{1+\varepsilon_{\text{바깥}}}$ — 진공이면 $\omega_p/\sqrt2$ 다. 이것이 표면 플라스몬이고, 금·은 나노입자의 색(가시광 공명), 표면 플라스몬 공명 센서, 플라스모닉 도파로가 전부 이 모드다. 바깥 유전율에 민감하다는 성질이 센서의 원리이고(10부), 나노입자에서는 크기·모양이 $\varepsilon_{\text{바깥}}$ 의 역할을 대신한다.

의문

의문 — 반도체의 플라스몬은 어디에 있는가. $n=10^{18}\,\text{cm}^{-3}$ 의 GaAs에서 $\hbar\omega_p\approx43$ meV. 그런데 GaAs의 LO 포논이 36 meV다. 두 진동수가 비슷하면 플라스몬과 LO 포논이 결합 모드를 만든다 — 둘 다 종파 전하 진동이고, 같은 $\varepsilon(\omega)=0$ 조건을 만족해야 하므로 5절의 이온 항과 1절의 전자 항을 합친 $\varepsilon(\omega)$ 의 두 영점이 새 모드가 된다. 라만 산란(7.11.8)에서 이 결합 모드의 위치를 읽으면 도핑 농도가 나온다 — 접촉 없이 $10^{17}$ ~ $10^{19}\,\text{cm}^{-3}$ 를 재는 방법이고, 극성 반도체(GaAs·GaN·SiC)의 도핑 계측이 여기에 기댄다. 실리콘은 극성이 아니라 LO–TO 분리가 없고(5절), 그래서 이 결합이 없다.

정전 차폐와 스크린된 쿨롱 퍼텐셜

정적 극한 — 전자가 퍼텐셜을 메운다

이제 $\omega=0$ 이다. 전자 기체 안에 정지한 점전하 $Q$ 를 놓으면 어떻게 되는가. 1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결이 비축퇴 반도체에 대해 이미 답을 냈다 — 선형화된 푸아송–볼츠만 방정식, 디바이 길이, 유카와 퍼텐셜. 여기서는 같은 문제를 축퇴 전자 기체(금속, 중도핑 반도체)에서 풀고, 그 답이 어디까지 옳은지를 본다.

출발은 토마스–페르미 근사다. 퍼텐셜 $\varphi(\mathbf r)$ 가 전자 기체의 페르미 파장보다 천천히 변한다고 가정하면, 각 점을 국소적으로 균일한 전자 기체로 볼 수 있다. 전자의 퍼텐셜 에너지가 $-e\varphi$ 만큼 내려간 자리에서는 전기화학 퍼텐셜 $\mu$ 가 평평해지도록 국소 페르미 에너지가 $E_F+e\varphi$ 로 올라가야 하고, 그만큼 전자가 더 들어온다.

\delta n(\mathbf r)=n\big(E_F+e\varphi(\mathbf r)\big)-n(E_F) \simeq\frac{\partial n}{\partial E_F}\,e\varphi(\mathbf r) =D(E_F)\,e\varphi(\mathbf r)

$D(E_F)=\partial n/\partial E_F$ 는 페르미 준위의 상태밀도(단위 부피당)다. 유도 전하 $\rho_{\text{ind}}=-e\,\delta n=-e^2D(E_F)\varphi$ 를 푸아송 방정식에 넣는다.

\nabla^2\varphi=-\frac{\rho_{\text{ext}}+\rho_{\text{ind}}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\varphi-k_s^2\varphi=-\frac{\rho_{\text{ext}}}{\varepsilon_0}, \qquad k_s^2=\frac{e^2D(E_F)}{\varepsilon_0}

푸리에 공간에서 $\nabla^2\to-K^2$ 이므로 $\varphi(K)=\rho_{\text{ext}}(K)/\varepsilon_0(K^2+k_s^2)$ 이고, 맨 쿨롱 $\varphi_{\text{ext}}(K)=\rho_{\text{ext}}(K)/\varepsilon_0K^2$ 과 비교하면

\boxed{\;\varepsilon(0,K)=\frac{\varphi_{\text{ext}}(K)}{\varphi(K)}=1+\frac{k_s^2}{K^2}\;}

가 토마스–페르미 유전 함수다 (Kittel Ch.14). 점전하 $\rho_{\text{ext}}=Q\delta^3(\mathbf r)$ 에 대해 역변환하면 (1.8.6의 수정 헬름홀츠 그린 함수)

\varphi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}\,e^{-k_sr}

— 스크린된 쿨롱 퍼텐셜이다. $1/k_s$ 가 차폐 길이이고, 이 길이 밖에서 점전하는 보이지 않는다. 1.8.7의 유카와 퍼텐셜과 같은 꼴이며, 다른 것은 $k_s^2$ 에 들어가는 $\partial n/\partial E_F$ 뿐이다 — 비축퇴면 $n/k_BT$ , 축퇴면 $D(E_F)$ . 4절에서 그 값을 계산한다.

직관

수식적 직관 — $1+k_s^2/K^2$ 의 두 항. 1은 진공이고, $k_s^2/K^2$ 이 전자의 몫이다. 유도 전하는 퍼텐셜에 비례하고( $\rho_{\text{ind}}\propto\varphi$ ), 푸아송 방정식이 퍼텐셜에 $K^2$ 을 곱하므로, 둘의 비가 $k_s^2/K^2$ — 두 길이의 비의 제곱이 된다. 교란의 파장 $2\pi/K$ 가 차폐 길이 $1/k_s$ 보다 길면 전자의 몫이 1을 압도해 $\varepsilon\gg1$ , 완전히 가려진다. 파장이 차폐 길이보다 짧으면 $\varepsilon\to1$ , 전자가 따라 들어가지 못해 맨 전하가 보인다. 멀리서 보면 중성, 가까이서 보면 맨 전하 — 실공간의 $e^{-k_sr}/r$ 이 파수 공간에서 이렇게 적힌다.

물리적 직관 — 금속 안에 정전기장이 없는 이유. $K\to0$ 에서 $\varepsilon(0,K)\to\infty$ 다. 균일한 외부 전기장은 완전히 가려진다 — 도체 내부의 전기장이 0이라는 2.1.8도체와 유도 전하의 정전기학 결론이 여기서 미시적으로 나온다. 정확히 0이 아니라 $1/k_s$ 깊이만큼은 들어가는데, 금속에서 그 깊이가 원자 간격보다 짧아서(4절) 정전기학은 0으로 놓아도 된다.

린드하르트 — 토마스–페르미가 놓친 것

토마스–페르미는 퍼텐셜이 천천히 변한다고 가정했다. $K$ 가 페르미 파수 $k_F$ 에 견줄 만해지면 전자의 파동성이 드러나 근사가 깨진다. 제대로 하려면 퍼텐셜 $\varphi_{\mathbf K}e^{i\mathbf K\cdot\mathbf r}$ 을 1차 섭동(5.8.1시간 무관 섭동론 — 비축퇴)으로 넣고, 각 전자 상태 $\mathbf k$ 가 $\mathbf k\pm\mathbf K$ 로 섞이는 만큼의 밀도 변화를 페르미 분포로 더한다. 결과가 린드하르트 함수다 (Ashcroft–Mermin Ch.17).

\varepsilon(0,K)=1+\frac{k_s^2}{K^2}\,F\!\left(\frac{K}{2k_F}\right), \qquad F(x)=\frac12+\frac{1-x^2}{4x}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|

$F(0)=1$ 이라 긴 파장에서는 토마스–페르미와 정확히 같다. 차이는 $x=K/2k_F$ 가 1 근처에 올 때 생긴다.

그림 7.10-4. 정적 유전 함수의 파수 의존을 나타내는 인자 F(K/2k_F). 토마스–페르미 근사는 F ≡ 1 이고, 린드하르트 함수는 K = 0 에서 1로 출발해 K = 2k_F 에서 0.5를 지나며 기울기가 로그로 발산한 뒤 1/(3x²)로 죽는다. 긴 파장에서는 두 근사가 같고, 2k_F 보다 짧은 파장의 교란은 전자 기체가 잘 가리지 못한다 — 그런 교란은 페르미 면 위의 어떤 전자도 탄성적으로 산란시킬 수 없기 때문이다.직접 작도

직관

공간적 직관 — $2k_F$ 는 페르미 구의 지름이다. 정적 퍼텐셜은 에너지를 주고받지 못하므로 전자를 페르미 면 위에서 페르미 면 위로만 옮길 수 있고, 그때 파수 변화 $|\mathbf K|$ 의 최댓값이 구의 지름 $2k_F$ 다. $K>2k_F$ 인 교란에는 응답할 전자 쌍 $(\mathbf k,\mathbf k+\mathbf K)$ 이 페르미 면 근처에 없어 차폐가 급격히 약해진다 — $F\to1/3x^2$ . 그리고 정확히 $K=2k_F$ 에서는 응답할 수 있는 상태의 수가 갑자기 줄기 시작해 $F$ 의 기울기가 발산한다. 페르미 면의 날카로움이 파수 공간의 특이점으로 찍힌 것이고, 이 특이점이 실공간에서는 진동으로 나타난다.

프리델 진동 — 차폐 구름은 진동한다

푸리에 변환의 일반 성질(1.10.4푸리에 변환의 성질): 파수 공간의 특이점은 실공간의 긴 꼬리를 만든다. $\varepsilon(0,K)$ 의 $2k_F$ 특이점을 역변환하면, 점전하 주위의 유도 전하 밀도가 멀리서

\delta n(r)\;\propto\;\frac{\cos(2k_Fr)}{r^3} \qquad(k_Fr\gg1)

로 진동하며 멱법칙으로 죽는다. 이것이 프리델 진동이다. 토마스–페르미의 $e^{-k_sr}/r$ 은 처음 몇 차폐 길이 안에서만 옳고, 그 밖에서는 지수보다 훨씬 느리게 죽는 진동 꼬리가 실제 답이다.

그림 7.10-5. 점전하 주위의 유도 전하 분포. 토마스–페르미 근사의 구름은 한쪽 부호로 단조롭게 죽지만(점선), 린드하르트 응답의 점근형은 주기 π/k_F 로 부호를 바꾸며 1/r³ 으로 죽는다(실선). 두 곡선은 크기가 아니라 모양을 견주기 위해 규격화했다. 진동의 주기가 격자 상수가 아니라 페르미 파장의 절반이라는 점이 프리델 진동의 지문이다.직접 작도

프리델 진동은 주사 터널링 현미경으로 금속 표면의 불순물이나 계단 주위에서 물결로 직접 보인다 — 파장이 $\pi/k_F$ 이므로 그 물결을 재면 표면 상태의 $k_F$ 가 나온다. 같은 진동이 자성 불순물 사이의 RKKY 상호작용(7.13)의 부호를 거리에 따라 뒤집고, 포논 분산의 $2k_F$ 에 콘 이상(Kohn anomaly)이라는 꺾임을 만든다. 그리고 차원이 낮아지면 이 $2k_F$ 특이점이 발산으로 커져 격자를 실제로 뒤튼다 — 7절의 파이얼스 불안정성이다.

유사퍼텐셜의 긴 파장 극한

Kittel이 이 절에 끼워 둔 작은 결과 하나. 7.8.3의 유사퍼텐셜은 이온 하나의 퍼텐셜 $U(K)$ 를 전자가 느끼는 대로 적은 것인데, $K\to0$ 성분은 위의 차폐로 정해진다. 맨 이온의 $U_{\text{ext}}(K)\propto-Ze^2/\varepsilon_0K^2$ 을 $\varepsilon(0,K)=1+k_s^2/K^2$ 으로 나누면 $K\to0$ 에서 발산이 사라지고, 4절의 $k_s^2=3ne^2/2\varepsilon_0E_F$ 를 넣어 단위 부피의 이온 수로 정리하면

U(0)=-\frac{Ze^2}{\varepsilon_0k_s^2}\cdot\frac{n}{Z}=-\frac{2}{3}E_F

가 된다. 어떤 금속이든 유사퍼텐셜의 $K=0$ 성분은 $-\tfrac23E_F$ 다 — 이온의 세부에 무관하게 차폐가 정한다. 7.8.3의 유사퍼텐셜 형태 인자들이 전부 같은 값에서 출발하는 이유다.

토마스-페르미 차폐 길이

축퇴 전자 기체의 차폐 파수

3절의 $k_s^2=e^2D(E_F)/\varepsilon_0$ 에 자유전자 기체의 상태밀도를 넣는다. 7.6.33차원 자유전자 기체에서 $n=(2mE_F)^{3/2}/3\pi^2\hbar^3$ , 즉 $n\propto E_F^{3/2}$ 이므로 $D(E_F)=dn/dE_F=3n/2E_F$ 다.

k_{TF}^2=\frac{3ne^2}{2\varepsilon_0E_F} =\frac{3\omega_p^2}{v_F^2} \qquad\Big(E_F=\tfrac12mv_F^2,\;\omega_p^2=\tfrac{ne^2}{\varepsilon_0m}\Big)

두 번째 꼴이 뜻을 말해 준다. 차폐 길이는 전자가 플라스마 진동 한 주기 동안 페르미 속도로 가는 거리 ( $v_F/\omega_p$ )다 — 전자가 응답하는 시간 척도가 $1/\omega_p$ 이고 그 시간에 움직이는 거리가 차폐의 공간 척도다. 보어 반지름 $a_0$ 과 $k_F$ 로 쓰면 $k_{TF}^2=4k_F/\pi a_0$ 이고, Ashcroft–Mermin의 $k_{TF}/k_F=0.815\,(r_s/a_0)^{1/2}$ 이 이것이다. 금속의 $r_s/a_0$ 는 2~6이므로 $k_{TF}$ 와 $k_F$ 는 같은 자릿수다 — 토마스–페르미가 전제한 " $K\ll k_F$ " 가 정작 $K\sim k_s$ 에서는 아슬아슬하다는 뜻이고, 그래서 린드하르트 보정이 필요했다.

금속	$n$ (cm $^{-3}$ )	$E_F$ (eV)	$r_s/a_0$	$\lambda_{TF}=1/k_{TF}$	$k_{TF}/k_F$
Na	$2.65\times10^{22}$	3.2	3.9	0.067 nm	1.6
Cu	$8.47\times10^{22}$	7.0	2.7	0.055 nm	1.3
Al	$1.81\times10^{23}$	11.7	2.1	0.049 nm	1.2

차폐 길이가 원자 간격의 4분의 1이다. 금속 안의 전하는 이웃 원자에도 보이지 않는다. 이것이 금속 게이트를 완벽한 등전위면으로 다루고, 금속–반도체 접촉에서 밴드 굽힘이 전부 반도체 쪽에서 일어난다고 놓는 근거다(12.5).

비축퇴에서 축퇴까지 — 한 식으로

1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결이 정리한 대로, 차폐의 일반형은 $k_s^2=e^2(\partial n/\partial E_F)/\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm s}$ 이고 반도체에서는 모체의 유전 상수 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 가 붙는다. 캐리어 농도를 페르미–디랙 적분 (6.7.2캐리어 농도의 통계역학적 유도)으로 $n=N_cF_{1/2}(\eta)$ 라 쓰면 $\partial n/\partial E_F=N_cF_{-1/2}(\eta)/k_BT$ 이고 두 극한이 자동으로 나온다.

\lambda_s^2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm s}}{e^2}\Big(\frac{\partial n}{\partial E_F}\Big)^{-1} \;\longrightarrow\; \begin{cases} \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm s}k_BT}{e^2n}=\lambda_D^2 & \text{비축퇴}\;(\eta\ll0)\\[2.2ex] \dfrac{2\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm s}E_F}{3e^2n}=\lambda_{TF}^2 & \text{축퇴}\;(\eta\gg0) \end{cases}

그림 7.10-6. 실리콘 300 K에서 전자 농도에 따른 차폐 길이. 페르미–디랙 통계로 계산한 곡선이 저농도에서는 n^{−1/2} 로 떨어지는 디바이 길이를 따르다가, 4×10¹⁹ cm⁻³ 부근에서 축퇴가 시작되면(E_F ≈ 1.5 k_BT) n^{−1/6} 로 완만해지는 토마스–페르미 길이로 넘어간다. 10¹⁶ 에서 약 40 nm, 10²⁰ 에서 약 0.5 nm. 상태밀도 유효질량 1.08 m₀, 포물선 밴드로 계산했으므로 10²⁰ 위에서는 비포물선성 때문에 정확하지 않다.직접 작도

직관

파라미터 연계성 — 농도를 올리면 차폐 길이는 왜 덜 줄어드는가. 비축퇴에서는 $\lambda\propto n^{-1/2}$ , 축퇴에서는 $n^{-1/6}$ 이다. 이유는 응답하는 전자의 수다. 볼츠만 꼬리에서는 모든 전자가 퍼텐셜에 반응하므로 $\partial n/\partial E_F=n/k_BT$ 로 $n$ 에 비례한다. 축퇴하면 파울리 배타 원리 때문에 페르미 면 근처의 전자만 반응하고, 그 수 $D(E_F)\propto n^{1/3}$ 은 $n$ 보다 훨씬 천천히 는다. 캐리어를 열 배 넣어도 축퇴 상태에서는 차폐가 1.5배밖에 좋아지지 않는다.

두 극한이 만나는 자리가 $k_BT=\tfrac23E_F$ , 실리콘 300 K에서 $n\approx4\times10^{19}\,\text{cm}^{-3}$ 다. 이 농도가 11부 이후에 “축퇴 도핑”의 경계로 계속 나오는 그 숫자다 — 이온화 불순물 이동도의 온도 의존이 바뀌는 곳(11.2.3), 소스·드레인과 폴리 게이트의 도핑 하한(13.3), 오믹 접촉이 터널링으로 넘어가는 문턱(12.6)이 모두 이 근처에 있다.

차폐가 포논을 만든다 — 봄–스테이버 관계

Kittel이 이 절 끝에 둔 결과가 이온과 전자를 잇는다. 금속의 이온을 전하 $Ze$ , 질량 $M$ 의 자유 입자로 보면 이온도 플라스마 진동을 해야 한다.

\Omega_p^2=\frac{n_i(Ze)^2}{\varepsilon_0M}

이온의 밀도 진동은 이온이 무거워 느리므로( $\Omega_p\ll\omega_p$ ) 전자는 즉시 따라와 가린다. 이온의 쿨롱 상호작용을 전자의 정적 유전 함수 $1+k_s^2/K^2$ 으로 나누면

\omega^2=\frac{\Omega_p^2}{\varepsilon(0,K)}=\Omega_p^2\frac{K^2}{K^2+k_s^2} \;\xrightarrow{\;K\ll k_s\;}\; \omega=\frac{\Omega_p}{k_s}K

갭이 있던 이온 플라스몬이 차폐를 거치자 $\omega\propto K$ 의 음향 포논이 되었다. 음속은 $v=\Omega_p/k_s$ 이고 $k_s^2=3\omega_p^2/v_F^2$ , $n=Zn_i$ 를 넣으면

v=\sqrt{\frac{Zm}{3M}}\,v_F

— 봄–스테이버 관계다. 구리에 넣으면 2.7 km/s, 실측 종파 음속 4.7 km/s와 자릿수가 맞는다(전자 사이 상호작용과 이온 코어의 반발을 뺀 어림이다). 금속에서 포논이 음향적인 것은 격자의 용수철 때문이 아니라 전자 차폐가 장거리 쿨롱 힘을 단거리로 바꿔 놓았기 때문이다. 이온 배경을 흔드는 것이 전자를 흔들고, 흔들린 전자가 다시 이온을 잡는다 — 6절의 전자–포논 상호작용과 7.14의 쿠퍼 쌍이 이 고리에서 나온다.

폴라리톤과 LST 관계

이온 결정의 유전 함수

앞 절까지는 전자가 가렸다. 이온 결정에서는 이온이 움직여서 가린다 — 전기장이 걸리면 양이온과 음이온이 반대로 밀려 분극이 생기고, 그 분극의 고유 진동이 7.4.3음향·광학 포논의 광학 포논이다. 긴 파장( $K\approx0$ )의 광학 모드는 단위 세포마다 양이온 부분격자와 음이온 부분격자가 통째로 어긋나는 운동이므로, 세포 하나의 상대 변위 $w$ 를 환산 질량 $M$ , 유효 전하 $e^*$ 의 진동자로 적을 수 있다 (3.2.3강제 진동과 공명의 강제 진동).

M\ddot w=-M\omega_T^2w+e^*\mathcal E, \qquad P=Ne^*w+\varepsilon_0(\varepsilon_\infty-1)\mathcal E

$\omega_T$ 는 전기장이 없을 때의 진동수 — 이온 사이 단거리 힘만이 정하는 횡광학(TO) 진동수다. $P$ 의 두 항은 이온 변위가 만드는 분극과, 이온을 붙들어 둔 채 전자 껍질만 변형되는 분극이다. 후자는 이온이 못 따라오는 높은 진동수에서도 남으므로 그 유전 상수를 $\varepsilon_\infty$ 라 한다. $e^{-i\omega t}$ 를 넣어 $w$ 를 풀고 $\varepsilon=1+P/\varepsilon_0\mathcal E$ 로 정리하면

\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty+\frac{Ne^{*2}}{\varepsilon_0M\,(\omega_T^2-\omega^2)}

이고, $\omega=0$ 에서 정적 유전 상수 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 가 되어야 하므로 이온 항의 크기가 $(\varepsilon_{\mathrm s}-\varepsilon_\infty)\omega_T^2$ 으로 정해진다.

\boxed{\;\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty+(\varepsilon_{\mathrm s}-\varepsilon_\infty)\frac{\omega_T^2}{\omega_T^2-\omega^2}\;}

그림 7.10-7. 이온 결정의 유전 함수. 낮은 진동수에서 ε_s 로 시작해 횡광학 진동수 ω_T 에서 발산하고(횡 공명), 그 바로 위에서 음의 값으로 돌아와 종광학 진동수 ω_L 에서 0을 지나(종 모드) ε_∞ 로 수렴한다. ω_T 와 ω_L 사이는 ε < 0 이라 빛이 전반사되는 레스트슈트랄렌 띠다. ε_s = 5.9, ε_∞ = 2.25 (NaCl 부근)로 그렸다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 극 하나, 영점 하나. 1절의 자유전자 $\varepsilon$ 이 $\omega_0=0$ 인 진동자였다면 이것은 $\omega_0=\omega_T$ 인 로렌츠 진동자다. $\omega<\omega_T$ 에서는 이온이 전기장을 따라가 $\varepsilon>\varepsilon_{\mathrm s}$ 까지 커지고, $\omega_T$ 를 넘으면 위상이 뒤집혀 분극이 전기장과 반대가 되어 $\varepsilon$ 이 음수로 떨어진다. 음수에서 올라와 0을 지나는 자리가 $\omega_L$ 이고, 더 올라가면 이온이 아예 못 따라와 $\varepsilon_\infty$ 만 남는다. 극이 횡파의 공명, 영점이 종파의 자기 진동 — 1절에서 ” $\varepsilon=0$ 이면 외부 전하 없이 전하 진동이 유지된다”고 한 그 조건이 여기서는 LO 포논이다.

LST 관계 — 종파는 왜 횡파보다 단단한가

$\varepsilon(\omega_L)=0$ 을 풀면

\boxed{\;\frac{\omega_L^2}{\omega_T^2}=\frac{\varepsilon_{\mathrm s}}{\varepsilon_\infty}\;}

— 리다인–삭스–텔러(LST) 관계다 (Kittel Ch.14). 정적 유전 상수가 고주파 유전 상수보다 큰 만큼 LO가 TO보다 높다. 왜 종파만 단단해지는가. 1절의 공간적 직관 그대로다: 종파 분극은 $\nabla\cdot\mathbf P\ne0$ 이라 거시적 전하를 만들고, 외부 전하가 없으니 $\mathbf D=0$ , 즉 $\varepsilon_0\boldsymbol{\mathcal{E}}=-\mathbf P$ 의 탈분극장이 생겨 이온을 되돌리는 힘에 보태진다. 횡파 분극은 $\mathbf K\perp\mathbf P$ 라 전하도 장도 만들지 않는다. 그 차이가

\omega_L^2-\omega_T^2=\frac{Ne^{*2}}{\varepsilon_0\varepsilon_\infty M}

이고, 2절의 플라스마 진동수와 같은 꼴이다 — LO–TO 분리는 이온의 플라스마 진동수다. 유효 전하 $e^*$ 가 클수록(이온성이 강할수록) 벌어진다.

결정	$\omega_T$	$\omega_L$	$\varepsilon_{\mathrm s}$	$\varepsilon_\infty$	$(\omega_L/\omega_T)^2$	$\varepsilon_{\mathrm s}/\varepsilon_\infty$
GaAs	269 cm $^{-1}$ (33 meV)	292 cm $^{-1}$ (36 meV)	12.9	10.9	1.18	1.18
NaCl	—	—	5.9	2.25	2.6	2.6
Si	520 cm $^{-1}$ (64 meV)	520 cm $^{-1}$	11.7	11.7	1	1

실리콘은 두 원자가 같아 $e^*=0$ 이고, LO와 TO가 갈리지 않으며 $\varepsilon_{\mathrm s}=\varepsilon_\infty$ 다. 적외선에서 실리콘이 (자유 캐리어만 없으면) 투명한 이유, 실리콘 라만 봉우리가 520 cm $^{-1}$ 하나뿐인 이유, 2절에서 실리콘에 플라스몬–포논 결합 모드가 없다고 한 이유가 전부 이 한 줄이다. 화합물 반도체는 전부 갈리고, GaN·SiC·산화물처럼 이온성이 셀수록 크게 갈린다.

레스트슈트랄렌과 폴라리톤

$\omega_T<\omega<\omega_L$ 에서 $\varepsilon<0$ 이다. 1절의 금속과 똑같은 논리로 이 띠의 빛은 들어가지 못하고 전반사된다 — 레스트슈트랄렌(Reststrahlen, 잔류 광선) 띠다. 이온 결정을 거울로 여러 번 반사시키면 이 띠의 빛만 남는다는 데서 붙은 이름이고, GaAs에서는 33~~36 meV, 파장 34~~37 $\mu$ m 이다.

빛과 TO 포논은 같은 진동수·파수 영역에서 만나므로 섞인다. 횡파의 분산 $c^2K^2=\omega^2\varepsilon(\omega)$ 에 위의 $\varepsilon$ 을 넣으면 $\omega$ 에 대한 2차 방정식이 되어 분지가 둘 나온다.

그림 7.10-8. 포논 폴라리톤 분산. 아래 분지는 원점에서 느린 빛 ω = cK/√ε_s 로 출발해 ω_T 에 점근하고, 위 분지는 K = 0 에서 ω_L 로 출발해 빠른 빛 ω = cK/√ε_∞ 에 점근한다. 두 분지 사이 ω_T 에서 ω_L 까지는 실수 파수가 없다 — 레스트슈트랄렌 띠다. 결합하지 않았다면 빛의 직선과 TO 포논의 수평선이 그냥 교차했을 자리에서, 두 모드가 서로를 밀어내 교차를 피한다.직접 작도

이 섞인 모드가 포논 폴라리톤이다. 아래 분지는 $K\to0$ 에서 빛(속도 $c/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm s}}$ )이고 $K$ 가 커지면 TO 포논이 된다. 위 분지는 $K=0$ 에서 정확히 $\omega_L$ 에서 출발하는데 — $K=0$ 에서는 종·횡의 구분이 없어지므로 LO 진동수에서 시작하는 것이 맞다 — $K$ 가 커지면 $\varepsilon_\infty$ 만 느끼는 빛이 된다. 교차를 피하는 폭 $\omega_L-\omega_T$ 가 결합의 세기이고, 결합의 근원은 $\varepsilon_{\mathrm s}-\varepsilon_\infty$ , 곧 $e^{*2}$ 다.

직관

파라미터 연계성 — 유전율이 크면 포논이 무르다. LST를 뒤집어 읽는다: $\varepsilon_{\mathrm s}=\varepsilon_\infty\,\omega_L^2/\omega_T^2$ . 정적 유전 상수를 키우는 길은 둘뿐이다 — $\varepsilon_\infty$ 를 키우거나(전자 분극, 굴절률과 함께 오른다), $\omega_T$ 를 낮추거나. 산화물의 큰 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 는 거의 언제나 후자다. 극단이 강유전체다: $\omega_T\to0$ 이면 $\varepsilon_{\mathrm s}\to\infty$ 이고, 이온이 되돌아오지 못해 변위된 자리에 얼어붙는다 — 무른 모드(soft mode)의 응결이 강유전 전이이고, 퀴리–바이스 법칙 $\varepsilon_{\mathrm s}\propto1/(T-T_c)$ 는 $\omega_T^2\propto T-T_c$ 로 번역된다(코크란). BaTiO $_3$ ·SrTiO $_3$ 의 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 가 수백~수천인 이유다.

게이트 유전체에 그대로 걸린다(2.3.10고유전율 재료 (게이트 유전체는 13·14부), 13부). HfO $_2$ 의 $\kappa\approx20$ ~25는 무른 극성 포논에서 나오고, 그 표면 광학 포논의 에너지는 12 meV와 48 meV — SiO $_2$ 의 55·138 meV보다 훨씬 낮아 상온에서 열적으로 들뜬다. 극성 포논은 6절의 프뢸리히 결합으로 채널 전자에 장을 미치므로(계면 너머로도), high-κ 게이트 아래의 실리콘 채널은 실리콘 자체에는 없던 극성 포논 산란을 겪는다. $\kappa$ 가 큰 재료일수록 원격 포논 산란이 세다 — 유전율과 이동도 저하가 한 식( $\varepsilon_{\mathrm s}\propto1/\omega_T^2$ )에서 나오므로 피할 수 없고, SiO $_2$ 계면층을 얇게 남겨 거리를 두는 것이 타협이다(13.7).

광학 모드가 여럿이면 LST는 곱으로 일반화된다: $\varepsilon_{\mathrm s}/\varepsilon_\infty=\prod_j(\omega_{Lj}/\omega_{Tj})^2$ . 적외선 반사 스펙트럼에서 $\omega_{Tj},\omega_{Lj}$ 를 전부 읽으면 정적 유전 상수가 계산되고, 이것이 박막의 $\kappa$ 를 광학적으로 재는 방법이다(19부).

전자-포논 상호작용과 폴라론

전자가 포논을 느끼는 세 가지 방식

밴드 이론은 이온이 제자리에 있다고 놓았다. 이온이 7.4.5포논의 양자화와 운동량의 포논으로 흔들리면 전자가 느끼는 퍼텐셜이 시간에 따라 바뀌고, 그 변화 $\delta U$ 가 전자–포논 상호작용이다. 결과는 두 얼굴이다 — 전자를 산란시켜 저항을 만드는 얼굴(7.12.6, 11.2.2)과, 전자에 격자 변형을 입혀 질량을 바꾸는 얼굴(이 절). $\delta U$ 가 무엇이냐에 따라 셋으로 나뉜다.

변형 퍼텐셜. 격자가 $\nabla\cdot\mathbf u$ 만큼 팽창·수축하면 밴드 가장자리가 $\delta E_c=\Xi\,\nabla\cdot\mathbf u$ 만큼 움직인다 — 원자 간격이 바뀌면 밴드 폭이 바뀌기 때문이다(7.9.4유효질량 텐서와 물리적 해석의 유효질량이 격자 상수에 걸리는 것과 같은 뿌리). 음향 포논에 대해 $\Xi\sim$ 수 eV. 실리콘·게르마늄처럼 극성이 없는 결정의 주된 결합이고, 상온 실리콘 이동도의 $T^{-3/2}$ 가 여기서 나온다(11.2.3). 광학 포논에도 같은 종류의 비극성 결합이 있다.
극성(프뢸리히) 결합. 5절에서 LO 포논만이 거시 전기장 $\boldsymbol{\mathcal{E}}=-\mathbf P/\varepsilon_0$ 을 만든다고 했다. 그 장이 전하 $-e$ 에 직접 걸린다 — 격자가 변형돼서가 아니라 격자가 대전돼서 느끼는 결합이다. 장거리 쿨롱 결합이라 세고, 이온 결정과 화합물 반도체(GaAs·GaN·산화물)의 상온 이동도를 이것이 정한다.
압전 결합. 반전 대칭이 없는 결정(GaAs·GaN·ZnO)에서는 음향 변형도 분극을 만든다. 저온·고순도 III-V에서 보인다.

프뢸리히 결합 상수

극성 결합의 세기는 무차원 수 하나로 적힌다 (Kittel Ch.14).

\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\sqrt{\frac{m^*}{2\hbar\omega_L}} \left(\frac1{\varepsilon_\infty}-\frac1{\varepsilon_{\mathrm s}}\right)

세 인자를 따로 읽는다. $e^2/4\pi\varepsilon_0\hbar$ 는 쿨롱 결합의 세기(속도 차원, $c/137$ )다. $\sqrt{m^*/2\hbar\omega_L}$ 은 전자가 포논 한 양자의 에너지로 움직일 때의 파장의 역수 — 무거울수록, 포논이 무를수록 크다. 그리고 $1/\varepsilon_\infty-1/\varepsilon_{\mathrm s}$ 가 이온 분극의 몫이다.

직관

수식적 직관 — 왜 유전율의 역수의 차인가. 전자가 만드는 쿨롱 퍼텐셜은 매질이 가린다. 전자가 아주 천천히 움직이면 이온까지 따라와 $\varepsilon_{\mathrm s}$ 로 가리고, 아주 빨리 움직이면 전자 껍질만 따라와 $\varepsilon_\infty$ 로 가린다. 폴라론은 전자가 이온이 따라올 만큼은 느리고 얼어붙을 만큼은 빠르지 않은 중간에서 생기는 물건이므로, 전자가 끌고 다니는 것은 두 가림의 차이 — $1/\varepsilon_\infty-1/\varepsilon_{\mathrm s}$ 에 비례하는 이온 분극 — 다. 실리콘은 이 차이가 0이라 프뢸리히 결합이 없고, $\varepsilon_{\mathrm s}$ 와 $\varepsilon_\infty$ 가 크게 다른 산화물·알칼리 할라이드에서 크다. 5절의 LST가 여기 다시 들어온다: $1/\varepsilon_\infty-1/\varepsilon_{\mathrm s}=(1-\omega_T^2/\omega_L^2)/\varepsilon_\infty$ 이므로 LO–TO 분리가 클수록 폴라론 결합이 세다.

결정	$\alpha$	결정	$\alpha$
KCl	3.97	ZnO	0.85
KBr	3.52	PbS	0.16
AgCl	2.00	GaAs	0.07
AgBr	1.69	InSb	0.014

(Kittel Table 14.3. GaAs는 위 식에 $m^*=0.067$ , $\hbar\omega_L=36$ meV, $\varepsilon_\infty=10.9$ , $\varepsilon_{\mathrm s}=12.9$ 를 넣으면 0.071이 나온다.)

폴라론 — 분극을 입은 전자

전자가 이온 결정 안에 있으면 주위 양이온은 끌려오고 음이온은 밀려나 전자 둘레에 분극 구름이 생긴다. 전자가 움직이면 이 구름이 따라와야 하므로 전자는 무거워지고 에너지는 내려간다. 전자와 그 분극 구름을 합쳐 폴라론이라 한다.

그림 7.10-9. 폴라론의 모식도. 이온 결정 한가운데의 전자가 가까운 양이온을 끌어들이고 음이온을 밀어내 분극 구름을 두른다. 변위는 전자에서 멀어질수록 작아지고, 점선 원이 구름의 크기 r_p 다. 전자가 움직이면 구름도 따라 움직여야 하므로 관성이 늘고, 구름이 만든 퍼텐셜 우물만큼 에너지가 내려간다. GaAs에서 r_p ≈ 4 nm 로 격자 상수의 일곱 배 — '큰 폴라론'이다.직접 작도

약한 결합( $\alpha\lesssim1$ )에서 섭동론의 결과는 단순하다 (Kittel Ch.14).

E_{\text{pol}}=-\alpha\,\hbar\omega_L, \qquad m_{\text{pol}}=\frac{m^*}{1-\alpha/6}\simeq m^*\Big(1+\frac{\alpha}{6}\Big), \qquad r_p=\sqrt{\frac{\hbar}{2m^*\omega_L}}

GaAs에서 에너지 보정 $-2.5$ meV, 질량 보정 1.2 %, 반지름 4 nm — 사이클로트론 공명으로 잰 GaAs의 유효질량 0.067은 사실 이 1.2 %가 이미 들어간 폴라론 질량이다. KCl 같은 이온 결정에서는 $\alpha\approx4$ 라 위의 섭동 공식이 한계에 이르고(계산 방법에 따라 질량이 1.3~3배), $r_p$ 가 격자 상수에 견줄 만해진다.

직관

공간적 직관 — 큰 폴라론과 작은 폴라론. $r_p$ 가 격자 상수보다 훨씬 크면 전자는 여전히 블로흐 파동이고 질량만 조금 는다 — 큰 폴라론(프뢸리히). 결합이 세지고 밴드가 좁아(무거워)져서 $r_p$ 가 원자 하나 크기로 줄면 전자는 한 자리에 스스로 갇힌다 — 자기가 판 우물이 자기를 못 나가게 한다. 이것이 작은 폴라론(홀스타인)이고, 그때 전도는 밴드 수송이 아니라 우물에서 이웃 우물로의 열 활성 호핑이다: $\mu\propto\exp(-E_a/k_BT)$ 로 온도가 오르면 이동도가 오른다 — 밴드 수송과 정반대의 부호다. 전이금속 산화물(NiO·Fe $_2$ O $_3$ ·TiO $_2$ ), 저항 변화 메모리의 산화물(15부), 유기 반도체(16부)의 이동도가 $1\,\text{cm}^2/\text{V·s}$ 아래에 머무는 이유이고, 산화물 반도체 트랜지스터의 이동도 상한을 정하는 물리다. 비정질 고체의 호핑(7.15)과 겹쳐 읽는다.

금속에서 — 질량 증강과 포논 매개 인력

금속에는 극성이 없어도 전자–포논 결합이 있고, 무차원 결합 상수 $\lambda$ 로 적는다. 페르미 면 근처에서 전자의 속도가 줄고 상태밀도가 늘어 $m^*=m(1+\lambda)$ , 열용량의 $\gamma$ 계수도 $1+\lambda$ 배가 된다 (7.6.4의 실측 $\gamma$ 가 자유전자 값보다 큰 이유의 절반이 이것이고, 나머지 절반은 8절의 전자–전자 상호작용이다). 알칼리 금속은 $\lambda\sim0.1$ , 납은 1.5다.

같은 $\lambda$ 가 초전도를 만든다. 4절의 봄–스테이버 논리를 뒤집으면 — 전자 하나가 지나가며 이온을 끌어당겨 양전하가 남고, 이온은 무거워 전자가 지나간 뒤에 그 자리가 양으로 남는다. 두 번째 전자가 그 흔적에 끌린다. 유전 함수로 적으면 전자 사이 유효 상호작용이

V(K,\omega)=\frac{e^2}{\varepsilon_0K^2\,\varepsilon_{\text{el}}(K)} \left[1+\frac{\omega_K^2}{\omega^2-\omega_K^2}\right]

로, 차폐된 쿨롱 반발(첫 항)에 포논 항이 곱해진 꼴이다. 에너지 교환 $\hbar\omega$ 가 포논 에너지 $\hbar\omega_K$ 보다 작으면 괄호가 음수 — 인력이다. 페르미 면 위 $\hbar\omega_D$ 안의 전자들끼리만 끌리고, 그것이 쿠퍼 쌍이다(7.14.7). 이온 동위원소를 바꾸면 $\omega_K\propto M^{-1/2}$ 이 바뀌어 임계 온도가 움직이는 동위원소 효과(7.14.4)가 포논이 매개라는 증거였다.

의문

의문 — 실리콘 채널이 산화막의 포논을 느끼는가. 5절의 콜아웃에서 예고했다. 프뢸리히 결합은 LO 포논의 거시 전기장을 통한 결합이고, 전기장은 계면을 넘는다. HfO $_2$ 게이트 산화막의 극성 포논이 만드는 장이 실리콘 채널로 스며들어(계면에서 $e^{-Kz}$ 로 죽으므로 반전층 두께 안에서는 충분히 세다) 채널 전자를 산란시킨다 — 실리콘에는 프뢸리히 결합이 없는데도. 이것이 원격 포논 산란(Fischetti, 2001)이고, 계면 바깥의 포논이 관여하므로 표면 광학(SO) 포논 산란이라고도 한다. 결합의 세기는 산화막의 $1/\varepsilon_\infty-1/\varepsilon_{\mathrm s}$ 와 채널·산화막·게이트의 유전 상수 조합으로 정해지며, 금속 게이트는 게이트 쪽에서 그 장을 가려(4절, $\lambda_{TF}\approx0.05$ nm) 산란을 줄인다 — high-κ와 금속 게이트가 짝으로 도입된 이유 중 하나다(13.7·14부).

모트 금속-절연체 전이와 파이얼스 불안정성

앞의 여섯 절에서 상호작용은 전자를 가리고 옷을 입혔지만 밴드 그림을 뒤엎지는 않았다. 이 절의 둘은 뒤엎는다 — 하나는 전자–전자 상호작용이, 하나는 전자–격자 상호작용이 밴드 이론의 금속을 절연체로 만든다.

모트 전이 — 밴드 이론이 틀리는 가장 단순한 예

7.7.8금속과 절연체의 구분의 규칙은 명확했다: 밴드가 반만 차면 금속이다. 수소 원자를 격자에 놓으면 1s 밴드는 원자당 전자 하나로 반만 차므로, 격자 상수 $a$ 가 얼마든 금속이어야 한다. 그런데 $a$ 를 한없이 벌리면 그것은 그냥 떨어진 수소 원자들의 모임 — 전자가 각자 제 원자에 묶인 절연체다. 어딘가에서 밴드 이론이 틀려야 한다. 이유는 밴드 이론이 무시한 것 하나, 같은 원자에 전자 둘이 들어올 때의 반발 $U$ 다. 전자가 이웃으로 뛰어 $-t$ 만큼 에너지를 벌려면(밴드 폭 $W\sim2zt$ ) 어딘가의 원자를 이중 점유해야 하고 그 값이 $U\sim e^2/4\pi\varepsilon_0 a_0\sim10$ eV다. $a$ 가 커져 $t$ 가 지수적으로 죽으면 $W<U$ 가 되는 순간이 오고, 전자는 뛰지 않는 편을 택한다 — 모트 절연체다. 밴드는 반만 찼는데 전도하지 않는다. 전이는 $U/W\sim1$ 근처에서 일어나고, 이것이 허버드 모형의 언어다.

Kittel은 같은 전이를 이 장의 언어 — 차폐 — 로 본다. 격자 대신 반도체의 도너를 생각한다. 7.9.7불순물 준위의 수소 유사 모형에서 도너는 유효 보어 반지름 $a_H^*=a_0\,\varepsilon_{\mathrm s}m_0/m^*$ 의 수소 원자였다. 도너 농도 $n$ 이 오르면 이온화된 전자들이 3절의 차폐 구름을 만들고, 남은 도너 이온의 퍼텐셜은 쿨롱이 아니라 $e^{-k_sr}/r$ 이 된다. 유카와 퍼텐셜은 너무 짧으면 속박 상태를 잃는다 — 수치적으로 $k_sa_H^*>1.19$ 이면 속박 상태가 없다(1.8.7이 $\lambda\lesssim0.84\,a_H^*$ 로 적어 둔 그 문턱). 토마스–페르미의 $k_s^2=4k_F/\pi a_H^*$ 와 $k_F=(3\pi^2n)^{1/3}$ 을 넣으면 조건은

n^{1/3}a_H^*\;\gtrsim\;0.36

이 된다. 어림이 거칠어서(토마스–페르미는 $K\sim k_F$ 에서 이미 부정확하고, 캐리어가 전부 자유롭다고 가정했다) 모트의 원래 추정과 실측은 조금 낮은 값에 모인다.

\boxed{\;n_c^{1/3}\,a_H^*\;\approx\;0.26\;}

모트 기준이다. 반지름이 큰 도너일수록 낮은 농도에서 금속이 된다. 실리콘의 인은 $a_H^*\approx1.7$ nm 라 $n_c\approx3.7\times10^{18}\,\text{cm}^{-3}$ — 실측과 맞는다. 게르마늄의 안티모니는 $a_H^*\approx4$ nm 라 $1.5\times10^{17}$ , GaAs는 $a_H^*\approx10$ nm 라 $10^{16}$ 근처에서 이미 금속이다.

계	$a_H^*$	$n_c$ (cm $^{-3}$ )	$n_c^{1/3}a_H^*$
Si:P	1.7 nm	$3.7\times10^{18}$	0.26
Ge:Sb	4 nm	$1.5\times10^{17}$	0.21
GaAs:Si	10 nm	$\sim10^{16}$	0.22

직관

물리적 직관 — 두 그림은 같은 말이다. 허버드의 $U/W$ 와 모트의 $k_sa_H^*$ 는 같은 경쟁을 두 쪽에서 본 것이다. 도너 사이가 멀면( $n$ 작음) 전자는 각자의 도너에 묶여 있고, 이웃으로 뛰는 것은 이중 점유의 반발 $U$ 때문에 비싸다 — 절연체. 도너가 촘촘해지면 파동함수가 겹쳐 밴드가 생기고(불순물 밴드), 동시에 풀려난 전자들이 서로의 이온을 가려 묶는 힘 자체를 없앤다 — 금속. 어느 쪽 언어든 전이는 도너 간격이 보어 반지름의 4배쯤일 때 일어난다( $n_c^{-1/3}\approx3.8\,a_H^*$ ).

파라미터 연계성. $a_H^*\propto\varepsilon_{\mathrm s}/m^*$ 이므로 유전 상수가 크고 유효질량이 가벼운 반도체일수록 $n_c$ 가 낮다 — $n_c\propto(m^*/\varepsilon_{\mathrm s})^3$ 으로 세제곱이 걸려 GaAs와 Si가 100배 넘게 다르다. 소자에서 이 농도는 동결이 사라지는 농도다. $n>n_c$ 이면 불순물 준위가 전도대에 녹아들어 절대영도에서도 캐리어가 남고, 도너는 온도와 무관하게 “전부 이온화”된다(11.1.8). 소스·드레인과 폴리 게이트를 $10^{20}$ 으로 도핑하는 이유, 극저온 CMOS에서 채널 도핑이 $n_c$ 아래면 동결로 문턱전압이 튀는 이유가 여기 있다. 8절의 밴드갭 좁힘도 같은 농도 구간에서 시작한다.

전이 자체는 실리콘에서 연속적이다 — $T\to0$ 전도도가 $n_c$ 에서 0으로 연속히 내려간다. 무질서(도너 위치가 무작위)가 함께 작용해서인데(앤더슨 국재화, 7.15), 모트의 원래 논증은 불연속 전이를 예측했다. 산화물에서는 더 극적이다. NiO는 밴드 이론으로 금속이어야 하는데 3.7 eV 갭의 절연체이고, VO $_2$ 는 68 °C에서 저항이 $10^4$ 배 뛰는 금속–절연체 전이를 한다 — 그 급한 문턱 스위칭이 교차점 메모리의 선택 소자로 쓰인다(15부). 구리 산화물 초전도체의 모체도 모트 절연체다(7.14.11).

파이얼스 불안정성 — 1차원 금속은 없다

두 번째 뒤엎기는 격자가 한다. 원자 간격 $a$ 의 1차원 사슬에 원자당 전자 하나 — 밴드가 반만 차서 $k_F=\pi/2a$ 인 금속이다. 이제 격자를 두 원자씩 짝지어 주기를 $2a$ 로 늘려 보자. 새 주기의 역격자 벡터는 $G'=\pi/a=2k_F$ 이고, 7.7.2근사 자유전자 모형과 에너지 갭의 기원의 규칙대로 파수 $G'$ 의 주기 퍼텐셜은 $k=\pm G'/2=\pm k_F$ 에서 갭을 연다 — 정확히 페르미 파수에서.

그림 7.10-10. 파이얼스 불안정성. 위: 균일한 사슬과, 두 개씩 짝지어 주기가 2a로 늘어난 사슬. 아래: 반이 찬 원래 코사인 밴드(점선)와 이량체화 뒤의 밴드(실선). 새 주기의 역격자 벡터가 정확히 2k_F 라 갭이 ±k_F 에서 열리고, 페르미 준위 아래의 점유 상태만 내려간다(색칠한 부분). 격자를 뒤트는 탄성 비용은 Δ²에 비례하지만 전자의 이득은 Δ² ln(W/Δ)로 더 빨리 자라, 아무리 작은 Δ에서도 이득이 이긴다.직접 작도

갭 $2\Delta$ 가 열리면 $k_F$ 바로 아래의 점유 상태는 내려가고 바로 위의 빈 상태는 올라간다. 빈 상태가 올라가는 것은 아무 비용이 아니므로 전자계는 순이득을 본다. 이득을 세어 보면 갭 근처 $\Delta$ 폭의 상태들이 $\sim\Delta$ 씩 내려가고 그 수가 $D(E_F)\Delta$ 인데, 1차원에서는 갭에서 먼 상태까지 $1/(E-E_F)$ 로 기여가 이어져 로그가 붙는다.

\delta E_{\text{el}}\simeq-D(E_F)\,\Delta^2\ln\frac{W}{\Delta}, \qquad \delta E_{\text{lat}}=+\tfrac12C\,u^2\propto+\Delta^2

격자 뒤틀림 $u$ 의 탄성 비용은 $\Delta^2$ 에 비례하지만 전자의 이득은 $\Delta^2\ln(W/\Delta)$ 다. $\Delta\to0$ 에서 로그가 발산하므로 아무리 작은 뒤틀림에서도 이득이 비용을 이긴다. 반이 찬 1차원 금속은 $T=0$ 에서 언제나 이량체화해 절연체(정확히는 반도체)가 된다 — 파이얼스 불안정성이고, 평형 갭은 두 항을 맞춰 $\Delta\sim W\exp(-1/\lambda)$ 꼴이 된다. BCS 갭과 같은 꼴인데 우연이 아니다 — 둘 다 “페르미 면의 로그 발산이 약한 결합을 증폭한다”는 같은 수학이다. 채움이 반이 아니어도 뒤틀림의 파수를 $2k_F$ 로 잡으면 되므로 격자와 어긋난 주기의 전하 밀도파(CDW)가 생긴다.

왜 1차원인가 — 페르미 면의 네스팅

3절에서 정적 응답 $\chi(K)$ 가 $K=2k_F$ 에서 특이하다고 했다. 그 특이점의 세기가 차원에 따라 다르다.

그림 7.10-11. 정적 감수율 χ(K)/χ(0) 의 파수 의존을 1·2·3차원에서 비교. 3차원은 2k_F 에서 기울기만 로그로 꺾이고(프리델 진동), 2차원은 2k_F 까지 평평하다가 꺾여 내려오며, 1차원은 2k_F 에서 값 자체가 로그로 발산한다. 응답이 발산하면 아무리 약한 전자–격자 결합도 2k_F 파수의 뒤틀림을 자발적으로 만든다 — 파이얼스 불안정성의 뿌리다.직접 작도

파수 $K$ 의 교란에 응답하는 것은 $\mathbf k$ 와 $\mathbf k+\mathbf K$ 가 모두 페르미 면 위에 있는 전자 쌍이다. 3차원 페르미 구에서 $K=2k_F$ 로 이어지는 쌍은 구의 양 끝 두 점뿐이라 응답은 유한하고 기울기만 꺾인다. 1차원 “페르미 면”은 $\pm k_F$ 두 점이 전부이고, $K=2k_F$ 는 페르미 면 전체를 페르미 면 전체로 옮긴다 — 응답이 발산한다. 이것을 네스팅이라 한다. 2차원은 그 사이다: 정사각형 페르미 면처럼 평평한 조각이 마주 보면 부분적으로 네스팅되어 CDW·SDW가 생기고(크로뮴의 스핀 밀도파, 7.13.11), 원이면 안 생긴다. 7.8.6에서 그린 페르미 면의 모양이 여기서 물리를 정한다.

직관

공간적 직관 — 발산은 페르미 면의 모양이 만든다. 프리델 진동(3절), 콘 이상, 파이얼스 뒤틀림, 스핀 밀도파는 전부 하나의 사실 — “파수 $2k_F$ 가 페르미 면을 자기 자신에 포갠다”— 의 차원별 표현이다. 3차원에서는 두 점만 포개져 실공간에 약한 진동 꼬리를 남기고, 1차원에서는 전부 포개져 격자를 실제로 뒤튼다. 차원을 낮추는 것은 상호작용을 키우는 것과 같다.

어디서 보이는가. 폴리아세틸렌은 탄소 사슬에 $\pi$ 전자가 원자당 하나 — 반이 찬 1차원 밴드다. 파이얼스 이량체화로 단일·이중 결합이 교대하고 1.5 eV의 갭이 열려 반도체가 된다. 도핑으로 전도성 고분자가 된 것이 2000년 노벨 화학상이고, 유기 반도체(16부)의 출발점이다. 무기물에서는 TTF–TCNQ, NbSe $_3$ , 청동 K $_{0.3}$ MoO $_3$ 가 전하 밀도파를 보이고, 전기장을 걸면 CDW 전체가 미끄러지는 비선형 전도가 나온다. 탄소 나노튜브(10부)는 1차원 금속인데도 상온에서 금속으로 남는다 — $\Delta\sim W e^{-1/\lambda}$ 의 $\lambda$ 가 작아 파이얼스 갭이 mK 수준이기 때문이다. 유한 온도에서는 열요동이 뒤틀림을 녹이므로 실제 파이얼스 전이 온도는 평균장 추정보다 훨씬 낮다.

페르미 액체 개요

문제 — 상호작용은 작지 않다

이 장을 연 질문으로 돌아온다. 금속의 $r_s/a_0$ 는 2~6이고, 전자당 쿨롱 에너지 $\sim e^2/4\pi\varepsilon_0r_s$ 와 운동 에너지 $\sim\hbar^2/mr_s^2$ 의 비가 $r_s/a_0$ 다 — 상호작용이 운동 에너지보다 크다. 섭동론의 작은 파라미터가 없다. 그런데 7.6의 자유전자 열용량 $\gamma T$ 는 맞고, 7.8.8의 드하스–반알펜 진동은 페르미 면을 밴드 계산대로 그려 낸다. 왜인가.

란다우의 답(1956)은 계산이 아니라 논증이다. 상호작용이 없는 페르미 기체(6.5.6페르미 기체와 페르미 준위)에서 출발해 상호작용을 천천히 켠다. 상호작용을 켜는 동안 상태가 다른 상태로 무너지지 않는다면(단열 연속성), 자유전자의 각 상태 $|\mathbf k,\sigma\rangle$ 는 상호작용계의 한 들뜸 상태로 일대일로 이어진다. 그 들뜸을 준입자라 부른다. 준입자는 전자 하나가 자기 주위의 차폐 구름(3절)과 교환 구멍을 끌고 다니는 것이고, 양자수 $\mathbf k$ 와 스핀은 그대로이며, 페르미 면도 그대로다 — 부피까지 보존된다(러팅거 정리). 달라지는 것은 둘이다. 질량이 $m^*$ 로 바뀌고, 수명이 유한해진다.

준입자는 페르미 면에서 영원히 산다

수명이 유한하면 준입자는 잘 정의된 물건이 아닐 수 있다. 그런데 파울리 배타 원리가 수명을 지켜 준다. 에너지 $E$ ( $>E_F$ )의 준입자가 페르미 바다의 전자 하나와 충돌해 둘 다 다른 상태로 가려면, 나가는 두 상태가 모두 비어 있어야 하므로 둘 다 $E_F$ 위여야 하고, 에너지 보존 때문에 들어오는 바다 전자도 $E_F$ 아래 $E-E_F$ 안에 있어야 한다. 고를 수 있는 상태의 수가 $(E-E_F)^2$ 에 비례한다.

\frac1\tau\;\propto\;(E-E_F)^2+(\pi k_BT)^2

$E\to E_F$ , $T\to0$ 에서 수명이 무한대다. 페르미 면 위의 준입자는 상호작용이 아무리 세도 죽지 않는다. 바로 이 상태들이 열용량·전도·자기 감수율을 정하므로 독립 전자 그림이 맞는다. 온도 항은 저항에 $\rho\propto T^2$ 을 보태고, 깨끗한 금속의 극저온과 반도체 2차원 전자 기체에서 실제로 보인다.

이 논증에는 3절이 숨어 있다. 맨 쿨롱 상호작용 $1/K^2$ 으로 산란율을 계산하면 작은 $K$ 에서 발산한다. 차폐가 $1/(K^2+k_s^2)$ 으로 바꿔 주기 때문에 위 산란율이 유한하다 — 차폐가 없으면 페르미 액체도 없다.

그림 7.10-12. 절대영도의 운동량 분포 n(k). 자유전자는 k_F 에서 1에서 0으로 떨어지는 계단이다(점선). 상호작용하는 페르미 액체는 k_F 안쪽에서 1보다 작고(전자가 바다 위로 산란되어 빈자리가 생긴다) 바깥쪽에서 0보다 크지만, k_F 에서 여전히 크기 Z 의 불연속을 가진다. 이 불연속이 남아 있는 한 페르미 면과 준입자가 살아 있다. Z 는 준입자 봉우리에 남은 '맨 전자'의 비율이고, 알칼리 금속에서 0.6~0.8이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 불연속 $Z$ 가 준입자의 정의다. 자유전자의 $n(k)$ 는 $k_F$ 에서 1에서 0으로 떨어지는 계단이다. 상호작용을 켜면 전자가 바다 위로 튀어 나가 $k>k_F$ 에도 점유가 생기고 $k<k_F$ 에는 빈자리가 생겨 계단이 뭉개지지만, $k_F$ 에서의 불연속은 크기 $Z<1$ 로 살아남는다. $Z$ 는 준입자 봉우리에 남은 맨 전자의 무게이고, $Z\to0$ 이면 준입자가 없다 — 그것이 페르미 액체가 무너지는 정의다. 1차원(러팅거 액체)에서는 $Z=0$ 이고 $n(k)$ 가 $k_F$ 에서 멱법칙으로 뭉개진다. 7절의 파이얼스와 같은 이유 — 1차원에서는 페르미 면의 두 점이 너무 특별하다.

무엇이 바뀌고 무엇이 안 바뀌는가

준입자 사이의 남은 상호작용은 페르미 면 위의 함수 $f(\mathbf k,\mathbf k')$ 하나로 적히고, 그것을 르장드르 전개한 계수가 란다우 파라미터 $F_l^{s,a}$ 다. 실험으로 재는 양이 이 몇 개로 정리된다.

양	자유전자	페르미 액체	무엇이 바꾸나
페르미 파수 $k_F$ , 페르미 면의 부피	$(3\pi^2n)^{1/3}$	같다	안 바뀐다 (러팅거)
유효질량	$m$	$m^*=m(1+F_1^s/3)$	준입자가 끌고 다니는 구름
열용량 $\gamma$	$\propto m$	$\propto m^*$	상태밀도 $\propto m^*$
스핀 감수율 $\chi$	$\chi_0$	$\chi_0\,(m^*/m)/(1+F_0^a)$	$F_0^a\to-1$ 이면 강자성(스토너, 7.13.8)
압축률 $\kappa$	$\kappa_0$	$\kappa_0\,(m^*/m)/(1+F_0^s)$	$F_0^s\to-1$ 이면 상분리
준입자 수명	$\infty$	$\propto(E-E_F)^{-2}$	파울리 배타

금속에서 $m^*/m$ 은 1.0~~1.3 (6절의 포논 몫을 합쳐서), 액체 헬륨-3에서는 3~~6 — 그래도 페르미 액체다. 하트리–폭 근사만으로는 이 표를 얻지 못한다. 교환 항이 에너지를 $-0.916/(r_s/a_0)$ Ry 만큼 내려 결합 에너지는 맞히지만, 가려지지 않은 교환 상호작용 때문에 $k_F$ 에서 속도가 로그로 발산해 $m^*\to0$ , 열용량이 $T/\ln T$ 로 나온다 — 실측과 정반대다. 차폐를 넣어(RPA, 곧 3절의 린드하르트) 이 발산을 없앤 것이 현대 전자 기체 이론의 출발이고, 교환 항에 차폐를 포함한 나머지 전부를 상관 에너지라 부른다. 7.8의 밴드 계산이 쓰는 밀도 범함수의 교환–상관 퍼텐셜이 바로 이것을 국소 밀도의 함수로 근사한 것이다.

직관

파라미터 연계성 — 반도체는 $r_s$ 를 돌릴 수 있다. 금속의 $r_s$ 는 재료가 정하지만 반도체의 캐리어 농도는 도핑과 게이트로 정한다. 유효 보어 반지름 $a_H^*$ 단위로 $r_s^*=(3/4\pi n)^{1/3}/a_H^*$ 를 재면, GaAs 2차원 전자 기체는 $n$ 을 낮춰 $r_s^*\sim10$ 까지 — 어떤 금속보다 상호작용이 센 전자계 — 갈 수 있고, 2차원 $r_s^*\gtrsim37$ 에서는 전자가 격자를 이룬다(위그너 결정). 반대로 중도핑 실리콘 ( $10^{20}\,\text{cm}^{-3}$ , $r_s^*\sim1$ )은 상호작용이 약한 쪽이지만, 그 작은 교환–상관 에너지가 밴드갭 좁힘으로 나타난다: 전도대 전자들의 교환 에너지가 전도대를 내리고, 정공 쪽도 마찬가지여서 $10^{19}$ 에서 수십 meV, $10^{20}$ 에서 100 meV 가까이 갭이 준다(11.1.8). BJT 에미터의 주입 효율, 오믹 접촉의 장벽 높이, 태양전지의 개방 전압이 이 값에 걸린다.

페르미 액체가 무너지는 곳

이 장의 결론을 뒤집어 읽으면 목록이 된다 — 독립 전자 그림이 안 통하는 자리들이다.

1차원 — 러팅거 액체. $Z=0$ , 스핀과 전하가 다른 속도로 움직인다. 탄소 나노튜브·나노선의 저온 수송(10부).
모트 절연체 (7절) — $U>W$ . 준입자가 아니라 국재된 전자.
초전도 (7.14) — 페르미 면이 인력에 불안정하다. 6절의 포논 매개 인력이 아무리 약해도 쿠퍼 쌍이 생긴다 — 7절 파이얼스와 같은 로그 발산.
자성 (7.13) — $F_0^a\to-1$ 의 스토너 불안정. 페르미 액체 안에서 예측되는 붕괴.
강한 상관 — 무거운 페르미온( $m^*/m\sim100$ , 아직 페르미 액체), 구리 산화물의 선형 $T$ 저항(페르미 액체가 아닌 금속). 반도체 소자에서는 만나지 않지만, 산화물 전자공학이 이 경계에 서 있다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 전자 기체는 교란을 $\varepsilon(\omega,K)$ 로 응답하고, 그 응답이 정적이면 차폐, 동적이면 플라스몬이며, 응답을 끌고 다니는 전자가 준입자다. 목적지를 적어 둔다.

캐리어 통계와 수송 (11부) — 디바이·토마스–페르미 길이(4절)와 브룩스–헤링 이온화 불순물 산란, 축퇴 경계 $4\times10^{19}$ , 모트 전이와 밴드갭 좁힘(7·8절), 극성 광학 포논 산란과 변형 퍼텐셜(6절).
접합과 MOS (12·13부) — 공핍층 가장자리의 흐림, 금속 게이트의 완전 차폐와 폴리 공핍(4절), high-κ의 원격 포논 산란과 LST(5·6절), 오믹 접촉의 축퇴 도핑(7절).
광학과 계측 (7.11·17·19부) — 자유 캐리어 플라스마 가장자리와 흡수(1절), 플라스몬–포논 결합 모드로 도핑 재기(2절), 레스트슈트랄렌과 적외선 반사로 $\kappa$ 재기(5절), EELS의 체적 플라스몬(2절).
디스플레이·유기·산화물 (15·16부) — ITO의 투명 전도(1절), 작은 폴라론과 호핑 이동도(6절), 폴리아세틸렌의 파이얼스 갭(7절), VO $_2$ 의 모트 스위칭(7절).
나노 (10부) — 표면 플라스몬(2절), 나노튜브의 러팅거 액체와 파이얼스(7·8절), 저밀도 2차원 전자 기체의 큰 $r_s$ (8절).
다음 장들. 유전 함수의 횡파 쪽과 크라머스–크로니히가 7.11, 산란율과 볼츠만 방정식이 7.12, 스토너 불안정과 RKKY가 7.13, 포논 매개 인력과 쿠퍼 쌍이 7.14, 호핑과 앤더슨 국재화가 7.15다.