급수해와 특수함수

1.4에서 상수 계수 방정식은 끝까지 풀었다. 특성방정식을 풀면 지수함수·삼각함수가 나오고, 그것으로 해공간의 기저가 완성됐다. 그런데 반도체에서 실제로 마주치는 방정식은 계수가 상수가 아니다. 원통 도체 안의 전류 분포, 둥근 웨이퍼의 열 흐름, 구형 양자점의 전자, 수소형 불순물 준위 — 전부 좌표계를 바꾸는 순간 $x$나 $r$이 계수에 들어온다.

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0$$

이 방정식의 해는 대개 초등함수가 아니다. 그렇다고 손을 놓는 것이 아니라, 해를 무한급수로 쓴다. 급수로 쓰면 값을 계산할 수 있고, 그래프를 그릴 수 있고, 성질을 증명할 수 있다. 그 급수들 가운데 자주 나와서 이름이 붙은 것이 특수함수다 — 르장드르, 베셀, 에르미트, 라게르, 감마, 오차함수. 이름이 붙었다고 무서운 것이 아니다. $\sin x$가 $y'' + y = 0$의 해라는 것 말고 아무것도 모른 채 급수로만 배웠다면 사인도 특수함수였을 것이다(Boas §12.12). 이 장은 그 관점으로 읽는다.

이 장은 세 부분으로 되어 있다.

• 급수 자체의 이론 — 1·2·3절. 무한급수가 언제 수렴하는가, 거듭제곱 급수는 어디까지 믿을 수 있는가, 함수를 급수로 펼치면 몇 항에서 끊어도 되는가. 뒤의 모든 것이 이 위에 선다.
• 급수로 미분방정식을 푸는 방법 — 4·5절. 계수가 해석적이면 거듭제곱 급수, 특이점이 “너무 나쁘지 않으면” 프로베니우스 급수. 여기서 지표 방정식과 로그 항이 나온다.
• 그렇게 얻은 함수들 — 6~11절. 구 대칭에서 르장드르와 구면조화함수, 원통 대칭에서 베셀, 계승의 일반화인 감마, 가우스 곡선의 넓이인 오차함수, 양자 진동자와 수소 원자의 에르미트·라게르.

반도체 쪽 목적지를 미리 적어 둔다. 확산 프로파일 $C(x,t) = C_s\,\mathrm{erfc}\!\left(x/2\sqrt{Dt}\right)$의 여오차함수가 10절이고, 그 꼬리를 로그 눈금으로 읽는 법도 거기 있다. 광섬유와 원형 도파관의 모드, 둥근 웨이퍼의 온도 분포, 도체의 표피 효과, 리소그래피 렌즈의 분해능 한계 $0.61\lambda/\mathrm{NA}$가 전부 8절의 베셀 함수와 그 영점이다. 수소형 도너 준위 $13.6\,\mathrm{eV}\cdot(m^*/m_0)/\varepsilon_r^2$과 보어 반지름은 11절의 라게르 다항식이, 자기장 속 2차원 전자의 란다우 준위와 격자 진동의 양자화는 같은 절의 에르미트 함수가 준다. 유효 상태 밀도 $N_c$ 속의 $\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi}/2$와 페르미–디랙 적분의 정규화가 9절이고, 볼츠만 통계에서 $\ln N!$을 $N\ln N - N$으로 바꾸는 스털링 근사도 거기 있다. 원자 오비탈의 s·p·d 모양이 7절이고, 그것이 실리콘의 $sp^3$ 결합으로 이어진다. 그리고 1.4의 상미분방정식이 1.7의 편미분방정식으로 넘어가는 길목 — 변수분리로 떨어져 나온 방정식의 해가 바로 이 장의 함수들이다.

한 가지를 미리 말해 둔다. 이 장의 함수들은 전부 어떤 미분방정식의 고유함수다. 르장드르 방정식에서 $l$이 정수여야 하는 이유, 베셀 함수의 영점이 경계 조건을 정하는 이유, 에르미트 급수가 끊어져야 파동함수가 정규화되는 이유가 전부 같은 논리다 — 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 고유값 문제가 무한 차원에서 반복된다. 그 논리를 일반화하는 것이 다음 장 1.6의 스투름–리우빌 이론이고, 이 장은 그 실례를 하나씩 손에 쥐는 장이다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 함수의 이름과 첨자가 많다. 세 기준 교재가 같은 물건에 다른 글자를 쓰는 자리가 여럿이라, 시작 전에 이 백과의 선택을 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$a_k$, $S_n$, $R_n$		급수의 $k$번째 항 · $n$항까지의 부분합 · 나머지 $S - S_n$
$k$		급수의 항 번호(합의 인덱스). 8절 물리 예시의 $J_\nu(k\rho)$에서만 파수
$R$		거듭제곱 급수의 수렴 반경
$\rho$	로	비 판정의 극한 $\lim\lvert a_{k+1}/a_k\rvert$ (1·2절). 8절에서는 원통 좌표의 반지름
$x_0$		급수의 중심
$r$		프로베니우스 지수 $y = x^r\sum a_k x^k$ (4·5절에서만). 그 밖에서는 구 좌표 반지름
$l$	엘	르장드르 차수(각운동량 양자수). Kreyszig의 $n$
$m$		버금 르장드르 위첨자(자기 양자수), $\lvert m\rvert \le l$
$\nu$, $n$	뉴	베셀 차수 — 일반 실수는 $\nu$, 정수는 $n$. Boas의 $p$
$J_\nu$, $Y_\nu$		제1종 · 제2종(노이만) 베셀 함수. Boas의 $N_p$가 $Y_\nu$
$I_\nu$, $K_\nu$		수정 베셀 함수 (지수적으로 자라는 것 · 죽는 것)
$H^{(1)}_\nu$, $H^{(2)}_\nu$		한켈 함수 $J \pm iY$ — 위첨자가 붙어 있으면 한켈
$j_l$, $y_l$, $h_l^{(1,2)}$	소문자	구면 베셀 함수
$\alpha_{\nu i}$		$J_\nu$의 $i$번째 양의 영점
$P_l$, $Q_l$		르장드르 다항식 · 제2종 르장드르 함수
$P_l^m$, $Y_l^m$		버금 르장드르 함수 · 구면조화함수 (콘던–쇼틀리 위상 $(-1)^m$ 포함)
$\Gamma(z)$, $B(p,q)$	감마 · 베타	$\Gamma(n+1) = n!$ — 한 칸 어긋나 있다
$\gamma$	감마	오일러–마스케로니 상수 0.5772…
$\gamma(a,x)$, $\Gamma(a,x)$		불완전 감마함수 (아래 · 위) — 상수 $\gamma$와 다른 물건
$h_k$		조화수 $1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac1k$. Arfken의 $H_k$
$H_n$, $L_n$, $L_n^k$		에르미트 · 라게르 · 버금 라게르 다항식
$T_n$		체비셰프 다항식 (11절 끝에서 잠깐)
$\operatorname{erf}$, $\operatorname{erfc}$	이알에프	오차함수 · 여오차함수 $1 - \operatorname{erf}$
$E_1(x)$		지수 적분 $\int_x^\infty e^{-t}/t\,dt$
$n!!$	이중 계승	$n(n-2)(n-4)\cdots$ — $(2k)!! = 2^k k!$, $(2k-1)!! = (2k)!/(2^k k!)$
$(a)_k$	포흐하머	$a(a+1)\cdots(a+k-1)$, $(a)_0 = 1$
$f \sim g$	점근	$f/g \to 1$ — 같다는 뜻이 아니다
$B_{2k}$		베르누이 수 (스털링 급수에서만). 베타 함수 $B(p,q)$는 변수가 둘

주의

함정을 미리 짚는다. 전부 글자가 같은데 물건이 다른 자리다.

① $\Gamma(n+1) = n!$. 감마 함수는 계승과 한 칸 어긋나 있다. $\Gamma(1) = 0! = 1$, $\Gamma(2) = 1! = 1$, $\Gamma(3) = 2! = 2$. Boas는 “불행하지만 그게 쓰이는 표기니 조심하라”고 적어 두었고, Kreyszig는 식 옆에 CAUTION을 붙였다. 베셀 급수의 분모 $k!\,\Gamma(k+\nu+1)$이 $\nu = n$일 때 $k!\,(k+n)!$이 되는 것을 확인해 보면 감이 잡힌다. Boas는 가끔 $p!$로 $\Gamma(p+1)$을 쓰는데, 이 백과는 정수가 아닌 인수에 계승 기호를 쓰지 않는다.

② $\gamma$ 셋. 오일러–마스케로니 상수 $\gamma = 0.5772\ldots$, 아래 불완전 감마함수 $\gamma(a, x)$, 그리고 10절 확산 예시의 표면 농도 같은 물리량. Arfken도 각주로 “같은 논의에 두 $\gamma$가 나오지만 전통 표기니 정신을 차리라”고 했다. 이 백과는 괄호와 인수가 붙어 있으면 함수, 홀로 있으면 상수다.

③ 르장드르 차수는 $l$, 베셀 차수는 $\nu$. Kreyszig는 둘 다 $n$으로 쓰고 급수 인덱스에 $m$을 쓴다. 그러나 이 백과에서 $m$은 버금 르장드르의 위첨자(자기 양자수)라서 급수 인덱스로 쓸 수 없고, $n$은 베셀의 정수 차수와 에르미트·라게르의 차수로 써야 한다. 그래서 급수의 항 번호는 $k$, 르장드르는 $l$, 베셀은 $\nu$(정수면 $n$)로 고정한다 — 물리 교재(Arfken, Boas)의 관습이고, 양자수 $l, m, n$과 그대로 이어진다.

④ $H_n$과 $H_\nu^{(1)}$. 위첨자 없는 $H_n$은 에르미트 다항식, 괄호 위첨자가 붙은 $H_\nu^{(1)}, H_\nu^{(2)}$는 한켈 함수다. Arfken이 §18.1 첫머리에서 굳이 짚는 혼동이다. 조화수는 Arfken이 $H_k$로 쓰지만 이 백과는 Kreyszig의 **$h_k$**를 쓴다 — 에르미트와 겹치지 않게.

⑤ $Y_\nu$와 $N_\nu$. 제2종 베셀 함수를 Boas는 $N_p$(노이만), Kreyszig·Arfken은 $Y_\nu$로 쓴다. 이 백과는 $Y_\nu$. 구면조화함수 $Y_l^m$과 글자가 같지만 첨자 모양(아래 하나 vs 위아래 둘)이 다르고 인수도 다르다($x$ vs $\theta, \varphi$).

⑥ 콘던–쇼틀리 위상. 버금 르장드르 함수에 $(-1)^m$을 붙이는 것은 Arfken(과 AMS-55)이고, Boas·Kreyszig·Jackson은 붙이지 않는다. 이 백과는 붙인다 — 양자역학 교재의 $Y_l^m$과 그대로 맞추기 위해서다. 표에서 $P_1^1 = -\sin\theta$처럼 음의 부호가 보이면 이 때문이다.

⑦ 라게르의 $1/n!$과 $L_n^k$의 정의. $L_n = \dfrac{e^x}{n!}\dfrac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})$, $L_n^k = (-1)^k\dfrac{d^k}{dx^k}L_{n+k}$가 이 백과(Arfken·Boas·AMS-55)의 정의다. $1/n!$을 빼거나 $L_n^k$를 $\frac{d^k}{dx^k}L_n$으로 정의한 책과는 점화식과 정규화 상수가 전부 달라진다. Boas가 두 번이나 “쓰는 자료의 정의를 확인하라”고 경고한 자리다.

무한급수와 수렴 판정

무한히 더한다는 것의 뜻

무한급수 $\sum_{k=1}^\infty a_k$에 값을 매기는 방법은 하나뿐이다. 부분합의 극한이다.

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k, \qquad S = \lim_{n\to\infty} S_n$$

극한이 있으면 수렴한다고 하고 $S$를 합이라 부른다. 없으면 발산한다 — 무한대로 달아나든, 진동하든 상관없이. 그리고 나머지 $R_n = S - S_n$이 $0$으로 가는 것이 수렴의 다른 표현이다(Boas §4). 무한히 많은 항을 실제로 더할 수는 없으니, 급수를 쓴다는 것은 언제나 어디선가 끊고 $R_n$의 크기를 추정하는 일이다. 3절의 ‘근사의 정확도’가 그 이야기다.

가장 중요한 예가 등비급수다. 부분합을 닫힌 꼴로 쓸 수 있는 거의 유일한 급수라서, 다른 모든 판정법이 이것과의 비교로 만들어진다.

$$\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1 - r^n}{1 - r}, \qquad \sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1 - r} \quad (\lvert r\rvert < 1)$$

$\lvert r\rvert \ge 1$이면 $r^n$이 $0$으로 가지 않아 발산한다. 물리에서 이 급수는 볼츠만 인자의 합으로 나타난다 — 진동자의 분배함수 $\sum_k e^{-k\varepsilon_0/k_BT}$는 공비 $e^{-\varepsilon_0/k_BT}$의 등비급수고, 그래서 플랑크의 평균 에너지 $\varepsilon_0/(e^{\varepsilon_0/k_BT} - 1)$이 닫힌 꼴로 나온다(Arfken 연습 1.3.14).

주의

항이 $0$으로 가는 것은 필요조건일 뿐이다. $a_k \to 0$이 아니면 발산하지만(Boas의 ‘예비 판정’), $a_k \to 0$이라고 수렴하는 것은 아니다. 반례가 조화급수 $\sum 1/k$다. 항을 $1 + \tfrac12 + (\tfrac13 + \tfrac14) + (\tfrac15 + \cdots + \tfrac18) + \cdots$로 묶으면 괄호마다 합이 $\tfrac12$보다 크므로 부분합은 $\tfrac12$씩 한없이 자란다. 그런데 아주 느리게 자란다 — 백만 항을 더해도 $14.39$다(Arfken 예 1.1.5). $S_n \approx \ln n$이고, 그 차이가 수렴한다:

$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\sum_{k=1}^{n}\frac1k - \ln n\Bigr) = 0.5772156649\ldots$$

이것이 오일러–마스케로니 상수다. 9절의 감마 함수, 8절의 $Y_0$, 10절의 지수 적분에 다시 나온다. “$\ln$처럼 발산하는 것”은 이 장에서 자주 마주칠 패턴이다 — 베셀 제2종 함수 $Y_0$와 $K_0$가 원점에서 그렇게 발산한다.

양항 급수의 판정법

항이 전부 양수인 급수의 수렴 여부는 꼬리만 본다. 앞의 유한개 항은 합의 값은 바꾸지만 수렴·발산은 바꾸지 못한다(Boas §9 사실 1). 그래서 모든 판정은 “$k$가 충분히 클 때”에 관한 진술이다.

비교 판정. $0 \le a_k \le b_k$이고 $\sum b_k$가 수렴하면 $\sum a_k$도 수렴한다. 거꾸로 $a_k \ge d_k \ge 0$이고 $\sum d_k$가 발산하면 $\sum a_k$도 발산한다. 비교 대상은 등비급수와 조화급수, 그리고 아래의 $p$급수다. Boas의 경고 — $a_k$가 수렴급수의 항보다 크거나, 발산급수의 항보다 작다는 것은 아무것도 말해 주지 않는다.

적분 판정. $a_k = f(k)$이고 $f$가 양의 감소함수이면 $\sum a_k$와 $\int^\infty f(x)\,dx$는 같이 수렴하거나 같이 발산한다. 그림으로는 폭 1인 직사각형들의 넓이와 곡선 아래 넓이의 비교다. Arfken은 이것을 한 걸음 더 밀어 나머지의 상한·하한으로 만든다:

$$\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \;\le\; \sum_{k=N+1}^{\infty} a_k \;\le\; \int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx + a_{N+1}$$

이 부등식은 판정보다 계산에 유용하다. $\zeta(1.1) = \sum k^{-1.1}$을 오차 $0.005$ 안으로 구하려면 항을 직접 더해서는 $10^{33}$개가 필요한데, $N$항까지 더하고 나머지를 적분으로 채우면 몇십 항으로 끝난다(Boas 연습 16.30).

여기서 $p$급수가 결정된다: $\sum k^{-p}$는 $\int_1^\infty x^{-p}dx$가 유한한 $p > 1$에서만 수렴한다. 그 합이 리만 제타 함수 $\zeta(p)$다.

$p$	2	3	4	5	6
$\zeta(p)$	$\pi^2/6 = 1.6449$	$1.2021$	$\pi^4/90 = 1.0823$	$1.0369$	$\pi^6/945 = 1.0173$

짝수 $p$에서 $\pi$의 거듭제곱이 나오는 것은 1.10의 푸리에 급수(파세발)에서 증명하고, 9절에서는 보스·페르미 적분이 정확히 이 값들로 계산됨을 본다.

비 판정(달랑베르). $\rho = \lim\lvert a_{k+1}/a_k\rvert$라 하면

$$\rho < 1 \;\Rightarrow\; \text{수렴}, \qquad \rho > 1 \;\Rightarrow\; \text{발산}, \qquad \rho = 1 \;\Rightarrow\; \text{판정 불가}$$

등비급수와의 직접 비교다 — 비가 결국 $r < 1$ 이하로 눌리면 그 뒤로는 등비급수보다 작다. 가장 쓰기 쉬워서 2절의 수렴 반경 계산은 거의 전부 이것으로 한다. 근 판정(코시) $\lim\lvert a_k\rvert^{1/k}$도 같은 세 갈래인데, 비 판정보다 민감하다.

주의

$\rho = 1$은 “수렴한다”도 “발산한다”도 아니다. 조화급수는 $a_{k+1}/a_k = k/(k+1)$이 모든 $k$에서 1보다 작지만 극한이 1이라 발산하고, $\sum 1/k^2$는 같은 극한 1인데 수렴한다. Boas의 경고: 비 $\rho_k$가 1보다 작다는 것과 그 극한 $\rho$가 1보다 작다는 것은 다른 말이다. 등비급수와 비교하려면 고정된 $r < 1$이 필요한데, $k/(k+1)$은 1로 기어올라가서 그런 $r$이 없다.

$\rho = 1$을 뚫는 판정 — 가우스 판정. 물리에서 만나는 급수는 대개 비의 극한이 1이다. 르장드르 급수, 초기하 급수, 베셀의 제2종 함수가 그렇다. 이때는 비가 1로 어떻게 다가가는지를 본다. Arfken §1.1은 쿠머 정리에서 이를 유도한다: 큰 $k$에서

$$\frac{a_k}{a_{k+1}} = 1 + \frac{h}{k} + \frac{B(k)}{k^2}, \qquad B(k)\ \text{유계}$$

이면 $h > 1$에서 수렴, $h \le 1$에서 발산한다. 이 꼴로 쓸 수 있는 한 판정 불가인 경우가 없다 — 나머지가 $B(k)/k^2$로 눌린다는 가정이 그 대가다. $1/k$ 항의 계수 하나가 운명을 정한다 — $p$급수에서 $a_k/a_{k+1} = (1 + 1/k)^p \approx 1 + p/k$이니 $h = p$이고, 앞의 결론과 일치한다.

직관

가우스 판정이 르장드르 방정식의 운명을 정한다. 6절에서 르장드르 방정식을 급수로 풀면 계수의 비가 $a_{k+2}/a_k = \dfrac{k(k+1) - l(l+1)}{(k+1)(k+2)}$가 된다. 짝수 항만 모아 $u_j = a_{2j}$로 쓰면(Arfken 예 1.1.7)

$$\frac{u_j}{u_{j+1}} = \frac{(2j+1)(2j+2)}{2j(2j+1) - l(l+1)} \;\longrightarrow\; 1 + \frac{1}{j} + \frac{B(j)}{j^2}$$

$h = 1$이다. 그러니 $x = \pm 1$에서 급수는 발산한다 — 단, 분자가 어느 $j$에서 $0$이 되어 급수가 끊어지지 않는 한. 그 조건이 $l$이 정수라는 것이고, 그래서 르장드르 다항식만 살아남는다. $x = \cos\theta = \pm 1$은 구의 북극과 남극이다. 극에서 유한한 해를 요구하는 물리 조건이, 급수 판정 하나를 거쳐 각운동량 양자수를 정수로 만든다. 이 장에서 가장 자주 되풀이될 논리다.

교대급수 — 부호가 바뀌면 훨씬 쉽다

부호가 번갈아 바뀌는 $\sum (-1)^{k+1} a_k$ ($a_k > 0$)는 조건이 느슨하다. 라이프니츠 판정: $a_k$가 (충분히 큰 $k$부터) 단조 감소하고 $a_k \to 0$이면 수렴한다. 증명은 나머지를 두 가지로 묶어 보는 것이다(Arfken §1.1):

$$\begin{aligned} R_{2n} &= (a_{2n+1} - a_{2n+2}) + (a_{2n+3} - a_{2n+4}) + \cdots > 0 \\ R_{2n} &= a_{2n+1} - (a_{2n+2} - a_{2n+3}) - (a_{2n+4} - a_{2n+5}) - \cdots < a_{2n+1} \end{aligned}$$

따라서 $0 < R_{2n} < a_{2n+1}$. 이 두 줄이 주는 것은 수렴 증명만이 아니다 — 오차 한계다. 교대급수를 어디서 끊든, 오차는 버린 첫 항보다 작고 그 항과 부호가 같다. 3절의 근사 오차 평가, 10절의 오차함수 급수에서 이 사실을 그대로 쓴다.

그림 1.5-1. 교대 조화급수 1 − 1/2 + 1/3 − … 의 부분합. 홀수 항까지 더한 값은 위에서, 짝수 항까지 더한 값은 아래에서 ln 2로 다가가고, 모든 점이 라이프니츠 판정의 오차 한계 ln 2 ± 1/(n+1) 안에 있다. 교대급수는 어디서 끊어도 오차가 버린 첫 항보다 작다 — 급수를 실제로 계산에 쓸 때 가장 편리한 성질이다.직접 작도

절대수렴과 조건수렴 — 순서를 바꿔도 되는가

$\sum \lvert a_k\rvert$가 수렴하면 절대수렴, 원래 급수는 수렴하는데 절댓값 급수는 발산하면 조건수렴이라 한다. 위의 양항 판정법들은 전부 절대수렴의 판정법이다. 교대 조화급수 $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \cdots = \ln 2$는 조건수렴의 표준 예다.

둘의 차이는 대수 규칙이 통하는가다. 절대수렴 급수는 항의 순서를 아무렇게나 바꿔도, 다른 절대수렴 급수와 항별로 더하고 곱해도, 합이 그대로다. 조건수렴 급수는 그렇지 않다. 항의 순서를 바꾸면 어떤 값으로도 수렴시킬 수 있고 발산시킬 수도 있다(리만의 재배열 정리). Arfken 예 1.1.9는 교대 조화급수를 $\tfrac32$로 수렴시키는 재배열을 실제로 적는다 — 양의 항을 합이 $\tfrac32$를 넘을 때까지 더하고, 음의 항을 하나 더해 $\tfrac32$ 아래로 내리고, 다시 양의 항을 더하는 식이다. 양의 항만의 합도 음의 항만의 합도 각각 발산하기 때문에 이것이 언제나 가능하다. 조건수렴 급수의 제곱이 발산하는 예도 있다(Arfken 예 1.1.10).

의문

이것이 물리에 무슨 상관인가. Boas §8의 예가 정확히 그 질문에 답한다. $x = 0, \sqrt2, \sqrt4, \sqrt6, \ldots$에 단위 양전하를, $x = 1, \sqrt3, \sqrt5, \ldots$에 단위 음전하를 놓고 원점 전하가 받는 힘을 쿨롱 법칙으로 더하면

$$F = 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$$

조건수렴 급수다. 그러면 원점의 힘이 전하를 놓는 순서에 따라 다르다는 뜻이 된다. 물리 문제에 정답이 없다는 말인가? Boas의 해석은 이렇다 — 양전하를 놓는 팀과 음전하를 놓는 팀이 있다면, 어느 순간에도 아직 놓지 않은 전하들의 힘은 발산하는 급수라 “나머지는 무시할 만하다”고 말할 수 없다. 순서를 지정해야만 합이 정해지고, 그 합이 실제로 팀이 일하는 동안 힘이 다가가는 값이다.

반도체 재료에서 이 문제는 진짜로 나타난다. NaCl 같은 이온 결정의 마델룽 상수(NaCl에서 1.7476)는 격자 위 $\pm 1/r_{ij}$의 합인데, 조건수렴이라 구 껍질 순서로 더하면 진동하고 정육면체 껍질(에브옌 방법)로 더해야 수렴한다. 정전 에너지의 격자합을 계산할 때 순서가 물리를 정하는 셈이다 — 그래서 실제 계산은 에발트 합처럼 절대수렴하도록 급수를 재조직한다.

수렴을 빠르게 하기

수렴하는 것과 빨리 수렴하는 것은 다르다. $\zeta(3) = \sum k^{-3}$을 소수 여섯 자리로 얻으려면 수백 항이 필요하다. Arfken §1.1의 쿠머 변환은 합을 아는 급수를 빼서 가장 느린 항을 지운다. $\sum \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac14$임을 알므로($\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$의 부분분수가 망원경처럼 접힌다)

$$\zeta(3) = \frac14 + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{3k + 2}{k^3(k+1)(k+2)}$$

새 급수는 $k^{-4}$로 수렴한다. 3절의 오일러 변환도 같은 목적이고, 1.12의 수치해석에서 리처드슨 외삽으로 다시 만난다. 원리는 하나다 — 아는 것을 빼고 모르는 것만 더한다.

거듭제곱 급수와 수렴 반경

정의와 수렴 구간

항이 상수가 아니라 $x$의 거듭제곱인 급수

$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k (x - x_0)^k = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots$$

를 거듭제곱 급수라 하고, $x_0$을 중심, $a_k$를 계수라 한다. 음의 거듭제곱이나 분수 거듭제곱은 들어가지 않는다 — 그것이 들어간 것은 5절의 프로베니우스 급수다(Kreyszig §5.1).

$x = x_0$에서는 $a_0$ 한 항만 남으므로 언제나 수렴한다. 그 밖에서는 $x$에 따라 다른데, 수렴하는 $x$의 집합은 언제나 $x_0$을 중심으로 한 구간이다. 그 반지름 $R$이 수렴 반경이다: $\lvert x - x_0\rvert < R$에서 수렴하고 $\lvert x - x_0\rvert > R$에서 발산한다. 끝점 $x_0 \pm R$은 따로 조사해야 한다. 비 판정을 항 $a_k(x-x_0)^k$에 적용하면

$$\rho = \lim_{k\to\infty}\left\lvert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\rvert\,\lvert x - x_0\rvert < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert x - x_0\rvert < R = \lim_{k\to\infty}\left\lvert\frac{a_k}{a_{k+1}}\right\rvert$$

이고, 근 판정을 쓰면 $1/R = \lim \lvert a_k\rvert^{1/k}$다(Kreyszig 식 (11)). $R = \infty$면 모든 $x$에서 수렴하고, $R = 0$이면 중심에서만 수렴한다 — 쓸모없는 급수다.

Kreyszig 예 4의 셋을 나란히 놓으면 세 경우가 전부 보인다.

급수	$\lvert a_{k+1}/a_k\rvert$	$R$	어디서 수렴하나
$\sum k!\,x^k$	$k + 1 \to \infty$	$0$	$x = 0$뿐
$\sum x^k = \dfrac{1}{1-x}$	$1$	$1$	$\lvert x\rvert < 1$
$\sum \dfrac{x^k}{k!} = e^x$	$\dfrac{1}{k+1} \to 0$	$\infty$	모든 $x$

끝점은 급수마다 다르다(Boas §10). $\sum (-x)^k/2^k$는 $R = 2$인데 양 끝 $x = \pm 2$에서 모두 발산한다. $\sum (-1)^{k+1} x^k/k$는 $R = 1$이고 $x = 1$에서는 교대 조화급수라 수렴, $x = -1$에서는 조화급수라 발산 — 수렴 구간이 $-1 < x \le 1$이다. 끝점 하나만 들어가는 비대칭 구간이 실제로 있다.

수렴 반경은 복소평면에서 정해진다

$1/(1 + x^2)$는 실수축 어디에서도 매끈하다. 무한히 미분 가능하고 특이한 점이 하나도 없다. 그런데 매클로린 급수 $1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$는 $\lvert x\rvert < 1$에서만 수렴한다. 왜 하필 1인가?

그림 1.5-2. 함수 1/(1+x²)과 그 4·8·16차 테일러 다항식. 다항식들은 x = ±1에서 정확히 떨어져 나가는데, 함수 자체는 실수축 어디에서도 매끈하다. 이유는 오른쪽 복소평면에 있다 — 함수의 특이점 ±i가 원점에서 거리 1에 있고, 그 거리가 수렴 반경이다. 거듭제곱 급수는 중심에서 가장 가까운 특이점까지 그리는 원 안에서만 수렴한다. 실수축만 보고 있으면 이 한계는 어디서도 보이지 않는다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 수렴 원. $x$를 복소수 $z$로 바꿔 놓고 보면 답이 보인다. $1/(1+z^2)$는 $z = \pm i$에서 무한대다. 거듭제곱 급수는 중심 $z_0$을 중심으로 한 원반 안에서 수렴하고, 그 원반은 가장 가까운 특이점에 닿을 때까지 커진다 — 수렴 반경은 $R$이라는 이름 그대로 원의 반지름이다(Kreyszig가 “복소 급수라면 수렴 원반의 반지름”이라고 이름의 유래를 적었다). $\pm i$까지의 거리가 1이니 $R = 1$이다. 실수축은 그 원반을 지름 방향으로 자른 단면일 뿐이라, 실수축만 보고 있으면 급수가 왜 거기서 죽는지 영영 알 수 없다. 1.9의 복소해석에서 이것이 정리로 승격된다(테일러 급수의 수렴 반경 = 가장 가까운 특이점까지의 거리). 4절에서 미분방정식의 급수해가 어디까지 수렴하는지도 같은 원리로 미리 알 수 있다 — 계수 함수 $p, q$의 복소 특이점까지의 거리다.

반도체에서 같은 일이 벌어지는 자리. 페르미–디랙 분포 $f(E) = 1/(1 + e^{(E - E_F)/k_BT})$를 $u = e^{-(E-E_F)/k_BT}$의 급수로 펼치면 $f = u - u^2 + u^3 - \cdots$, 등비급수라 $\lvert u\rvert < 1$, 곧 $E > E_F$에서만 수렴한다. 첫 항 $u = e^{-(E-E_F)/k_BT}$가 볼츠만 근사다. 이 근사가 페르미 준위 아래에서 무너지는 이유가 “급수의 수렴 반경 밖”이라는 한 문장으로 설명된다. 그리고 $1/(1 + e^{w})$를 $w$의 급수로 펼치면 수렴 반경이 $\pi$다 — 분모가 $w = \pm i\pi$에서 $0$이기 때문에. 실수축에서는 아무 일도 없는 자리다.

함수의 급수 — 균등수렴

항이 함수인 급수 $\sum u_k(x)$의 합 $S(x)$는 $x$마다 정의된다. 문제는 “그 합을 항별로 미분·적분해도 되는가”다. 되게 해 주는 조건이 균등수렴이다(Arfken §1.2): 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $x$에 무관한 $N$이 있어 $n \ge N$이면 구간 전체에서 $\lvert S(x) - S_n(x)\rvert < \varepsilon$. “어느 $x$에서나 같은 속도로” 수렴한다는 뜻이다.

Arfken 예 1.2.1이 되지 않는 경우다. $S(x) = \sum_{k=0}^\infty (1-x)x^k$는 $[0,1]$에서 수렴하는데 $0 \le x < 1$이면 $S = 1$, $x = 1$이면 모든 항이 $0$이라 $S = 0$. 부분합은 $1 - x^n$이므로 오차 $x^n < \varepsilon$을 만족시키는 $N$이 $x \to 1$에서 한없이 커진다. 각 점에서는 수렴하지만 균등하지 않고, 그래서 합이 불연속이다 — 연속함수의 급수가 불연속함수로 수렴한 것이다. 절대수렴과 균등수렴은 별개의 개념이다. 이 예는 절대수렴하지만 균등수렴하지 않고, $\sum (-1)^k/(k + x^2)$는 균등수렴하지만 절대수렴하지 않는다(Arfken 예 1.2.2).

균등수렴을 확인하는 표준 도구가 바이어슈트라스 M 판정이다 — $\lvert u_k(x)\rvert \le M_k$인 수렴하는 수열 $\sum M_k$가 있으면 균등(그리고 절대)수렴한다. 균등수렴하고 항이 연속이면 ① 합이 연속이고, ② 항별 적분이 허용되며, ③ 도함수 급수가 균등수렴하면 항별 미분도 허용된다. ③의 조건이 더 까다롭다는 것을 기억할 것 — 항별 미분은 항별 적분보다 자주 실패한다.

거듭제곱 급수는 다항식처럼 다룰 수 있다

거듭제곱 급수가 유독 다루기 좋은 이유가 여기 있다. $\lvert x - x_0\rvert < R$에서 수렴하면, 안쪽의 어느 닫힌 구간 $\lvert x - x_0\rvert \le S < R$에서나 절대·균등수렴한다(M 판정으로, 등비급수 $\sum \lvert a_k\rvert S^k$와 비교). 따라서 수렴 원 안에서는(Kreyszig §5.1 ‘연산’, Boas §11 정리 1~4):

1. 항별 미분·적분이 가능하고, 결과의 수렴 반경이 같다. $y = \sum a_k(x-x_0)^k$이면 $y' = \sum k a_k (x-x_0)^{k-1}$ — 몇 번이든.
2. 항별 덧셈·곱셈이 가능하다. 곱은 코시 곱 $\sum_k (a_0 b_k + a_1 b_{k-1} + \cdots + a_k b_0)(x-x_0)^k$. 나눗셈도 분모가 중심에서 $0$이 아니면 된다(결과의 반경은 따로 조사).
3. 대입이 가능하다 — 한 급수를 다른 급수의 변수 자리에 넣을 수 있다.
4. 유일성. 합이 구간에서 항등적으로 $0$이면 모든 계수가 $0$이다. 따라서 한 함수의 거듭제곱 급수는 하나뿐이고, 어떤 방법으로 얻든 같은 급수다.

직관

4번이 이 장 전체를 떠받친다. 두 거듭제곱 급수가 같은 함수를 나타내면 계수가 항마다 같다 — 증명은 $x = x_0$을 넣어 $a_0 = b_0$을 얻고, 미분해서 다시 넣어 $a_1 = b_1$, 반복(Arfken §1.2). 4·5절에서 미분방정식에 급수를 넣고 “$x^k$의 계수를 $0$으로 놓아” 점화식을 얻는 것이 바로 이 정리다. $\sum c_k x^k = 0$이 항등식이면 $c_k = 0$ — 다항식에서 하던 계수 비교를 무한 차원으로 옮긴 것이다. Arfken은 이 유일성이 양자역학 섭동 이론의 기초라고 덧붙인다. 섭동 급수의 각 차수를 따로 맞추는 것이 계수 비교이기 때문이다.

해석함수

점 $x_0$에서 양의 수렴 반경을 가진 거듭제곱 급수로 나타낼 수 있는 함수를 $x_0$에서 해석적이라 한다(Kreyszig §5.1). 이 낱말이 4절의 존재 정리에 들어간다 — “계수 함수가 해석적이면 해도 해석적이다.” 위에서 본 대로 “해석적”은 실수축의 매끈함보다 강한 조건이고, 실수축에서 매끈해도 해석적이 아닌 함수가 있다. 3절에서 $e^{-1/x^2}$이 그 예로 나온다.

함수의 급수 전개와 근사의 정확도

테일러 전개 — 미분값으로 함수를 복원한다

함수가 있을 때 그 거듭제곱 급수를 어떻게 얻는가. 계수 비교의 역이다. $f(x) = \sum a_k (x-a)^k$라 가정하고 $x = a$를 넣으면 $a_0 = f(a)$, 미분해 넣으면 $a_1 = f'(a)$, 다시 미분하면 $2a_2 = f''(a)$, 일반으로 $k!\,a_k = f^{(k)}(a)$(Boas §12). 그래서

$$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a) + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)$$

가 테일러 급수, $a = 0$이면 매클로린 급수다. 그런데 이 유도는 “급수가 있다면 계수는 이것이다”를 말할 뿐, 급수가 함수로 수렴한다는 보장은 아니다. 그 보장은 나머지 항에서 나온다.

Arfken §1.2의 유도가 나머지를 정확히 준다. $f^{(n)}$을 $a$에서 $x$까지 $n$번 적분하면 — 적분할 때마다 상수항이 하나씩 떨어져 나와 —

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) + R_n, \qquad R_n = \int_a^x dx_n \cdots \int_a^{x_2} f^{(n)}(x_1)\,dx_1$$

이고, 적분의 평균값 정리로 $n$겹 적분을 한 점의 값으로 바꾸면 라그랑주 형 나머지

$$R_n = \frac{(x-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(\xi), \qquad a \le \xi \le x$$

가 된다. 이 식에는 근사가 하나도 없다 — 유한개 항과 나머지 하나로 정확히 나뉜 항등식이다. $\lim R_n = 0$일 때, 그때만 테일러 급수가 함수와 같다.

$e^x$에서 확인하면 $R_n = x^n e^\xi/n!$이고 $\lvert R_n\rvert \le \lvert x\rvert^n e^{\lvert x\rvert}/n!$. $x$가 아무리 커도 $n!$이 이긴다 — 모든 $x$에서 수렴한다. $\ln(1+x)$에서는 $R_n \le x^n/n$ ($0 \le x \le 1$)이라 $0 \le x \le 1$에서 수렴하고, $x < 0$은 평균값 정리가 너무 거칠어 이 방법으로는 판정하지 못한다 (Arfken 예 1.2.4). 실제 수렴 구간 $-1 < x \le 1$은 비 판정과 라이프니츠 판정으로 얻는다.

직관

연산자로 읽는 테일러 급수. $f(x + h) = \sum h^k f^{(k)}(x)/k!$를 $D = d/dx$로 쓰면

$$f(x + h) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{h^k D^k}{k!}\,f(x) = e^{hD} f(x)$$

평행이동은 미분 연산자의 지수함수다(Arfken 식 (1.48)). 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수에서 미분 연산자 $D$를 다항식처럼 인수분해했는데, 여기서는 지수함수의 인수로 쓴다. 1.13의 군론에서 $e^{hD}$가 평행이동군의 표현이 되고, 양자역학에서 $e^{-ip\,a/\hbar}$가 같은 물건이다 — 운동량이 평행이동의 생성자라는 말의 수학이 이 한 줄이다.

급수가 수렴하는데 함수와 다른 경우. Boas §14가 경고하는 함정이다. $f(x) = e^{-1/x^2}$ ($f(0) = 0$)은 원점에서 모든 계의 도함수가 $0$이다. 매클로린 급수는 $0 + 0 + 0 + \cdots$, 완벽하게 수렴하고 — 함수와 전혀 다르다. 나머지 $R_n$이 $0$으로 가지 않는 것이다. Boas의 해석이 재미있다: $t = 0$에 정지해 있고 가속도도, 가속도의 변화율도, 모든 도함수가 $0$인 자동차가 $t > 0$에 움직일 수 있는가? 있다 — 위치가 $e^{-1/t^2}$이면. 이런 함수는 실수축에서 매끈하지만 해석적이 아니다. 어떤 함수가 급수를 가질 수 있는지의 진짜 판정은 1.9의 복소해석에 있다.

기본 급수 다섯 — 외워 둘 것

Boas §13이 “확인하고 외우라”고 한 다섯이다. 이후의 거의 모든 전개가 이 다섯의 조합이다.

함수	급수	수렴
$\sin x$	$x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$	모든 $x$
$\cos x$	$1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$	모든 $x$
$e^x$	$1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$	모든 $x$
$\ln(1+x)$	$x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1} x^k}{k}$	$-1 < x \le 1$
$(1+x)^p$	$1 + px + \dfrac{p(p-1)}{2!}x^2 + \cdots = \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \binom{p}{k} x^k$	$\lvert x\rvert < 1$

$\sinh, \cosh$는 $\sin, \cos$에서 부호를 전부 $+$로 바꾼 것이고, $\arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - \cdots$ ($\lvert x\rvert \le 1$)는 $1/(1+t^2)$의 등비급수를 항별 적분한 것이다(그레고리 급수).

이항 정리 — 지수가 무엇이든

다섯째 줄이 이항 정리다. $p$가 양의 정수면 $\binom{p}{k} = 0$ ($k > p$)이라 $p+1$항에서 끝나고 익숙한 이항 전개가 된다. $p$가 음수나 분수면 무한급수가 되고 $\lvert x\rvert < 1$에서 수렴한다. 이항 계수는 $p$가 정수가 아니어도 같은 꼴로 정의한다:

$$\binom{p}{k} = \frac{p(p-1)(p-2)\cdots(p-k+1)}{k!} = \frac{(p-k+1)_k}{k!}$$

가장 자주 쓰는 경우가 $p = -\tfrac12$이다(Arfken 식 (1.74)):

$$\binom{-1/2}{k} = (-1)^k\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)}{2^k k!} = (-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}$$

여기서 이중 계승이 처음 나온다 — $(2k)!! = 2\cdot4\cdots(2k) = 2^k k!$, $(2k-1)!! = 1\cdot3\cdots(2k-1) = (2k)!/(2^k k!)$, 그리고 $0!! = (-1)!! = 1$로 약속한다. 6절의 $P_{2k}(0)$, 8절의 구면 베셀 함수, 9절의 $\Gamma(k + \tfrac12)$가 전부 이 기호로 적힌다.

직관

반도체에서 이항 전개가 곧 소자 물리인 자리. 세 가지가 바로 떠오른다.

유효질량. 밴드 $E(\mathbf k)$를 밴드 가장자리 $k_0$ 주위로 테일러 전개하면 1차 항은 극점이라 사라지고 $E \approx E_0 + \tfrac12 E''(k_0)(k-k_0)^2$. 이것을 자유 전자의 $\hbar^2 k^2/2m$과 맞추면

$$\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$$

유효질량은 테일러 급수의 2차 계수다. 밴드가 뾰족할수록 가볍다. 3차 이상을 버렸다는 것이 ‘포물선 근사’이고, 그것이 깨지는 곳(비포물선성, $E(1 + E/E_g) = \hbar^2k^2/2m^*$)은 다음 항을 살려야 한다.

접합 커패시턴스. 공핍 근사에서 $C_j = C_{j0}(1 - V/\phi_{bi})^{-1/2}$. 소신호 해석은 이것을 $V$의 급수로 펴서 1차만 쓰는 것이고, $p = -\tfrac12$의 이항 계수가 그대로 들어간다. 급수의 수렴 반경 $\lvert V\rvert < \phi_{bi}$가 “순방향 바이어스가 내장 전위에 가까워지면 공핍 근사가 깨진다”는 물리와 같은 말이다.

작은 양을 다루는 습관. $\sqrt{1 + \epsilon} \approx 1 + \epsilon/2$, $1/(1+\epsilon) \approx 1 - \epsilon$, $(1+\epsilon)^{3/2} \approx 1 + 3\epsilon/2$ — 이런 것을 머릿속에서 즉시 꺼내 쓰는 것이 물리 계산의 속도를 정한다. Boas §15의 예 — $\ln\sqrt{(1+x)/(1-x)} - \tan x$를 $x = 0.0015$에서 계산기 넷이 전부 틀린 값을 내놓은 것(두 수가 소수 16자리까지 같아 뺄셈에서 유효숫자가 전멸)을, 급수로 펴면 $x^5/15 = 5.06\times10^{-16}$이라고 즉시 답할 수 있다. 1.12의 오차 분석에서 다시 만난다.

급수를 얻는 기술

미분을 반복하는 정의는 계산이 늘 힘들다 — $e^{\tan x}$의 5계 도함수를 생각해 보라. 유일성 정리 덕분에 어떤 올바른 방법으로 얻어도 같은 급수이니, 편한 길을 골라 쓴다(Boas §13, Arfken §1.5).

• 곱셈. $e^x\cos x = (1 + x + x^2/2 + \cdots)(1 - x^2/2 + \cdots) = 1 + x - x^3/3 - x^4/6 + \cdots$. 같은 차수를 세로로 맞춰 놓고 더하되, 원하는 차수까지 기여하는 모든 곱을 빠뜨리지 않는다.
• 나눗셈. $\tan x = \sin x/\cos x$를 장제법으로 나누면 $x + x^3/3 + 2x^5/15 + \cdots$.
• 대입. $e^{-x^2}$은 $e^u$에 $u = -x^2$을 넣으면 끝. $e^{\tan x}$는 $e^u$에 탄젠트 급수를 넣고 $x^4$까지만 모은다.
• 적분. $\arctan x = \int_0^x dt/(1+t^2)$, $\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt$ — 피적분함수의 급수를 항별로 적분한다. 10절의 오차함수 급수가 이 한 줄이다.
• 이항 정리 우회. $\arcsin x = \int_0^x (1-t^2)^{-1/2}dt$에 $p = -\tfrac12$ 이항 전개를 넣으면 $\arcsin x = \sum \dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}$ (Arfken 예 1.5.1).
• 다른 점에서의 전개. $\ln x$를 $x = 1$ 주위로 펴려면 $\ln[1 + (x-1)]$로 쓰고 기본 급수에 $x - 1$을 넣는다.

수렴을 빠르게 하는 기술도 있다. Arfken의 오일러 변환은 $\ln(1+x) = x - x^2/2 + \cdots$ ($\lvert x\rvert < 1$)를

$$\ln(1+x) = \frac{x}{1+x} + \frac12\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^2 + \frac13\Bigl(\frac{x}{1+x}\Bigr)^3 + \cdots$$

로 바꾼다 — 변수를 $x/(1+x)$로 갈아 모든 $x > -1$에서 수렴하게 만든 것이다. 수렴 반경은 급수의 성질이지 함수의 성질이 아니라는 것을 이 예가 보여 준다.

근사의 정확도 — 어디서 끊어도 되는가

급수를 실제로 쓴다는 것은 유한 항에서 끊는다는 것이다. 오차를 어떻게 재는가.

교대급수면 쉽다. 1절의 라이프니츠 판정 그대로 — 오차는 버린 첫 항보다 작다(Boas 식 (14.3)). $\sin x \approx x$의 오차는 $x^3/6$보다 작으니 $x < 0.1$이면 $0.0002$ 이하, $x < 0.5$면 $0.021$ 이하. Boas의 진자 예가 그것이다 — $\sin\theta \approx \theta$가 30° 근방까지 쓸 만한 이유.

교대가 아니면 조심해야 한다. Boas §14 예 2: $\sum 1/k^2 = 1.6449$를 다섯 항으로 끊으면 오차가 $0.18$인데 버린 첫 항은 $1/36 = 0.028$이다 — 여섯 배 이상 어긋난다. 항들이 같은 부호로 느리게 줄어들면 버린 항 하나가 아니라 버린 꼬리 전체가 오차다. 거듭제곱 급수 $\sum a_k x^k$에서 계수가 감소하면 유용한 한계가 있다(Boas 식 (14.4)):

$$\Bigl\lvert S - \sum_{k=0}^{N} a_k x^k\Bigr\rvert < \frac{\lvert a_{N+1}x^{N+1}\rvert}{1 - \lvert x\rvert}$$

꼬리를 등비급수로 눌러 얻은 것이다. $\lvert x\rvert$가 1에서 멀면 분모가 1에 가까워 “버린 첫 항”이 좋은 추정이고, $\lvert x\rvert \to 1$이면 분모가 $0$으로 가서 추정이 나빠진다 — 수렴 원의 가장자리에서 급수는 느리다.

의문

그래프 직관 — 부분합은 어디서 떨어져 나가는가. Kreyszig의 CAS 실험(그림 106)은 $\sin x$의 부분합 $s_3, s_5, s_7$을 함수 위에 겹쳐 그린다. 각 부분합은 원점 근처에서 함수에 딱 붙어 있다가 어느 $x$에서 갑자기 갈라져 무한대로 달아난다 — 그 ‘이탈점’이 항을 더할수록 바깥으로 밀려난다. 이 그림이 말해 주는 것은 “몇 항까지 쓸 것인가”가 $x$에 달렸다는 사실이다. 원점 근처에서는 두 항으로 충분하고, $x = 3$에서는 일곱 항이 필요하다. 2절의 그림 1.5-2가 같은 현상인데, $1/(1+x^2)$는 항을 무한히 더해도 이탈점이 $x = 1$ 너머로 가지 않는다는 점이 다르다 — 수렴 반경이 유한하기 때문이다. $\sin x$의 이탈점은 밀어낼 수 있고 $1/(1+x^2)$의 이탈점은 밀어낼 수 없다.

급수로 하는 것들

부정형. $\lim_{x\to0}(1 - \cos x)/x^2$에 $\cos$의 급수를 넣으면 $(x^2/2 - x^4/24 + \cdots)/x^2 \to \tfrac12$. 로피탈 정리가 곧 이것이다 — 분자·분모를 테일러 전개하면 $(x-a)$가 약분되고 1차 계수의 비가 남는다(Boas §15). 급수는 $x \to 0$ 꼴의 부정형에 강하고, $x \to \infty$나 $\ln x$처럼 매클로린 전개가 없는 것에는 로피탈이 낫다.

초등함수로 적분되지 않는 적분. 프레넬 적분 $\int_0^t \sin x^2\,dx = t^3/3 - t^7/42 + \cdots$는 항별 적분으로 얻고, 교대급수라 오차도 바로 안다. 10절의 오차함수가 이 방법으로 정의되는 대표적 함수다.

미분방정식의 근사. 진자 방정식 $\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$에서 $\sin\theta$의 첫 항만 쓰면 단진동이 된다(Boas §15 예 3). 반도체에서 이 습관이 소신호 해석이다 — 다이오드 $I = I_s(e^{V/V_T} - 1)$을 동작점 주위로 1차까지 펴서 저항 $r_d = V_T/I$를 얻고, 2차 항이 고조파 왜곡을 준다(22부). “선형화한다”는 말은 언제나 “테일러 급수를 1차에서 끊는다”는 말이다.

거듭제곱 급수법

해를 급수로 가정한다

1.4의 방법은 전부 계수가 상수라는 데 기댔다. 지수함수를 넣으면 대수 방정식이 되는 것은 $e^{\lambda x}$가 $D$의 고유함수이기 때문인데, 계수가 $x$에 의존하면 그 마법이 사라진다. 대신 해를 거듭제곱 급수로 가정하고 계수를 정한다(Kreyszig §5.1). 방정식

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0$$

에 $y = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$와 항별 미분 $y' = \sum k a_k x^{k-1}$, $y'' = \sum k(k-1)a_k x^{k-2}$를 넣고, $p, q$도 급수로 펴서 곱한 뒤, $x$의 같은 거듭제곱을 모아 계수의 합을 $0$으로 놓는다. 2절의 유일성 정리가 이것을 정당화한다. 결과는 $a_k$들 사이의 점화식이고, 앞의 한두 계수가 임의 상수로 남는다 — 2계 방정식이면 둘.

가장 단순한 예로 방법을 익힌다. $y' - y = 0$:

$$\sum_{k=1}^{\infty} k a_k x^{k-1} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; (a_1 - a_0) + (2a_2 - a_1)x + (3a_3 - a_2)x^2 + \cdots = 0$$

각 괄호가 $0$이므로 $a_1 = a_0$, $a_2 = a_1/2 = a_0/2!$, $a_3 = a_2/3 = a_0/3!$, … $y = a_0(1 + x + x^2/2! + \cdots) = a_0 e^x$. 아는 답이 나왔다 — 방법이 맞다는 확인이다. $y'' + y = 0$을 같이 해 보면 $a_{k+2} = -a_k/[(k+1)(k+2)]$에서 $a_0\cos x + a_1\sin x$가 나온다.

인덱스 옮기기. 실제 계산의 절반은 합의 인덱스를 맞추는 일이다. $\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k x^{k-2}$를 $x^k$의 급수로 쓰려면 $k \to k+2$: $\sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k$. 모든 합을 같은 거듭제곱 $x^k$에 맞춘 뒤 계수를 읽는다. Kreyszig 연습 15가 이 연습이고, Boas §12.11 연습 13·14는 처음 몇 항이 일반 점화식을 따르지 않는 경우를 경고한다 — 합의 시작점이 다른 급수들이 겹치는 낮은 차수에서는 표를 그려 항을 직접 세어야 한다.

직관

왜 이 방법이 통하는가 — 다항식의 무한 차원판. 다항식 $y$를 넣어 계수를 맞추는 것은 학부 1학년 때 하던 일이다. 거듭제곱 급수법은 다항식의 차수를 무한대로 보낸 것이고, 2절의 결과 — 수렴 원 안에서 항별 미분·곱셈·계수 비교가 전부 허용된다 — 가 그 확장을 정당화한다. 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 “지수함수를 넣어 본다”와 구조가 같다. 거기서는 해의 꼴($e^{\lambda x}$)을 알고 상수 $\lambda$를 맞췄고, 여기서는 해의 꼴(거듭제곱 급수)을 가정하고 무한히 많은 상수 $a_k$를 맞춘다. 상수 계수 방정식에서 이 방법을 쓰면 특성근이 점화식 속에 숨어 있다가 $e^{\lambda x}$의 급수로 다시 조립된다.

언제 되는가 — 존재 정리와 수렴 반경

정리(Kreyszig §5.1 정리 1). $y'' + p y' + q y = r$에서 $p, q, r$이 $x_0$에서 해석적이면 모든 해가 $x_0$에서 해석적이고, 거듭제곱 급수로 나타낼 수 있으며, 그 수렴 반경은 $p, q, r$을 복소 변수의 함수로 보았을 때 $x_0$에서 가장 가까운 비해석점까지의 거리 이상이다.

이 정리가 1.4.3방향장과 해의 존재·유일성의 존재·유일성 정리를 강화한 것이다 — 거기서는 해가 있다는 것만 알았고, 여기서는 해가 급수로 쓰이고 그 급수가 어디까지 수렴하는지까지 안다. 조건은 방정식이 표준형($y''$의 계수가 1)일 때의 이야기다. $h(x)y'' + \tilde p y' + \tilde q y = 0$이면 $h$로 나눈 뒤 판정한다. $h, \tilde p, \tilde q$가 해석적이고 $h(x_0) \ne 0$인 점을 정칙점, 아니면 특이점이라 한다(Kreyszig §5.3).

직관

수렴 반경을 풀기 전에 안다. 르장드르 방정식 $(1 - x^2)y'' - 2xy' + l(l+1)y = 0$을 표준형으로 쓰면 $p = -2x/(1-x^2)$, $q = l(l+1)/(1-x^2)$이고, 둘 다 $x = \pm 1$에서 해석적이 아니다. 따라서 $x_0 = 0$을 중심으로 한 급수해의 수렴 반경은 적어도 1이다 — 실제로 정확히 1이다(6절). 계산을 한 줄도 하기 전에 “이 급수는 $\lvert x\rvert < 1$에서 믿을 수 있다”를 안다. 2절의 그림 1.5-2 논리가 미분방정식에 옮겨온 것이다. 베셀 방정식은 $x = 0$이 특이점이라 원점 중심 거듭제곱 급수는 보장이 없다 — 그래서 5절의 프로베니우스법이 필요하다. 반대로 에르미트 방정식 $y'' - 2xy' + 2ny = 0$은 계수가 다항식이라 특이점이 없고, 급수해는 모든 $x$에서 수렴한다.

급수가 끊어질 때 — 고유값 문제

에르미트 방정식 $y'' - 2xy' + 2\lambda y = 0$에 급수를 넣으면(Boas §22 연습 5)

$$a_{k+2} = \frac{2(k - \lambda)}{(k+1)(k+2)}\,a_k$$

짝수 항은 $a_0$에서, 홀수 항은 $a_1$에서 나온다. 비 판정을 하면 두 급수는 모든 $x$에서 수렴한다. 그런데 큰 $k$에서 $a_{k+2}/a_k \approx 2/k$이고, 이것은 $e^{x^2} = \sum x^{2j}/j!$의 계수 비 $a_{2j+2}/a_{2j} = 1/(j+1) \approx 2/(2j)$와 같다. 급수해는 $e^{x^2}$처럼 자란다. 11절에서 이 방정식이 조화 진동자에서 나올 때 물리적 해는 $e^{-x^2/2}\,y$인데, $y \sim e^{x^2}$이면 파동함수가 $e^{x^2/2}$로 발산해 정규화할 수 없다. 살아남는 길은 하나 — 급수가 끊어지는 것. $\lambda = n$이 음이 아닌 정수이면 $a_{n+2} = 0$이 되어 그 뒤가 전부 사라지고, 해는 $n$차 다항식(에르미트 다항식)이 된다.

이것이 고유값 문제다(Boas §12.2 ‘고유값 문제’). 방정식에 매개변수($\lambda$)가 있고, 해에 조건(발산하지 말 것)을 걸면, 매개변수가 특정 값들($n = 0, 1, 2, \ldots$)만 가질 수 있다. 그 값이 고유값, 해당 해가 고유함수다. 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 $A\mathbf x = \lambda\mathbf x$와 정확히 같은 구조 — 행렬 대신 미분 연산자, 벡터 대신 함수, "$\mathbf x \ne 0$" 대신 “정규화 가능”. 르장드르(6절)에서는 $x = \pm 1$에서의 유한성이, 베셀(8절)에서는 경계에서의 영점이, 라게르(11절)에서는 무한대에서의 감쇠가 같은 역할을 한다. 에너지가 양자화되는 수학적 이유는 언제나 급수가 끊어지거나 경계 조건이 맞아야 한다는 것이다.

예 — 에어리 방정식과 삼각 우물

반도체에 직접 닿는 예 하나를 끝까지 푼다. 에어리 방정식

$$y'' - xy = 0$$

계수가 다항식이라 특이점이 없고, 급수해는 모든 $x$에서 수렴한다. $y = \sum a_k x^k$를 넣으면 $\sum (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k - \sum a_{k-1}x^k = 0$이므로

$$a_{k+2} = \frac{a_{k-1}}{(k+1)(k+2)}, \qquad a_2 = 0$$

세 칸 건너뛰는 점화식이다. $a_0$에서 $a_3 = a_0/(2\cdot3)$, $a_6 = a_0/(2\cdot3\cdot5\cdot6)$, …; $a_1$에서 $a_4 = a_1/(3\cdot4)$, $a_7 = a_1/(3\cdot4\cdot6\cdot7)$, …; $a_2 = 0$이라 $a_5 = a_8 = \cdots = 0$.

$$y = a_0\Bigl(1 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^6}{180} + \cdots\Bigr) + a_1\Bigl(x + \frac{x^4}{12} + \frac{x^7}{504} + \cdots\Bigr)$$

이 두 급수의 특정 결합이 에어리 함수 $\mathrm{Ai}(x)$(감쇠하는 것)와 $\mathrm{Bi}(x)$(자라는 것)다. $x < 0$에서는 진동하고 $x > 0$에서는 지수적으로 죽거나 자란다 — 고전적 전환점 $x = 0$의 양쪽에서 파동함수가 보이는 전형적 행동이다. 8절에서 이 방정식이 차수 $1/3$ 베셀 함수로도 쓰인다는 것을 본다(Boas §17.10).

직관

MOS 반전층의 삼각 우물. 실리콘–산화막 계면에 수직 전계 $F$가 걸리면 전자는 계면(무한 벽)과 선형 퍼텐셜 $eFz$ 사이에 갇힌다. 슈뢰딩거 방정식 $-\frac{\hbar^2}{2m^*}\psi'' + eFz\,\psi = E\psi$에서 $z$를 $z_0 = (\hbar^2/2m^*eF)^{1/3}$로 나누고 $E$를 $eFz_0$로 나누면 정확히 에어리 방정식이 된다. 벽에서 $\psi(0) = 0$이어야 하니 $\mathrm{Ai}$의 영점 $a_n = -2.338, -4.088, -5.521, \ldots$이 준위를 정한다:

$$E_n = \Bigl(\frac{\hbar^2 e^2 F^2}{2m^*}\Bigr)^{1/3}\lvert a_n\rvert$$

준위가 $F^{2/3}$으로 오른다 — 무한 우물의 $n^2$ 간격과도, 조화 진동자의 등간격과도 다른, 삼각 우물 고유의 간격 $\lvert a_n\rvert$이다. 반전층 전자의 부밴드(subband), 양자화된 채널의 문턱 전압 이동, 파울러–노드하임 터널링의 지수 $\propto F^{-1}$이 모두 이 함수에서 나온다. 미분방정식 하나를 급수로 풀었을 뿐인데, 소자의 문턱 전압에 들어가는 숫자가 나온다. 물론 이것은 이상화다 — 실제 Si/SiO₂ 계면의 장벽은 유한하고, 전자가 스스로 만드는 전위 때문에 퍼텐셜이 정확히 선형이 아니며(자체 무모순 계산이 필요하다), 실리콘의 유효질량은 골짜기마다 비등방이다. 삼각 우물은 그 계산의 출발점이자 가장 좋은 첫 근사다.

프로베니우스법과 두 번째 해

특이점이 “너무 나쁘지 않을” 때

베셀 방정식 $x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$은 표준형으로 쓰면 $p = 1/x$, $q = 1 - \nu^2/x^2$라 $x = 0$이 특이점이다. 4절의 정리는 원점 중심 급수해를 보장하지 않는다. 그런데 실제로는 해가 있고, 그 해는 $x^\nu \times$(거듭제곱 급수) 꼴이다. 특이점이 정칙 특이점이면 이런 일이 언제나 일어난다.

정의. $y'' + \dfrac{b(x)}{x}y' + \dfrac{c(x)}{x^2}y = 0$에서 $b, c$가 $x = 0$에서 해석적이면 $x = 0$은 정칙 특이점이다(Kreyszig §5.3 정리 1). 표준형 계수로 말하면 $xp(x)$와 $x^2q(x)$가 해석적일 것 — Boas §21이 푹스 조건이라 부르는 것이다. $p$는 $1/x$보다 나쁘지 않고, $q$는 $1/x^2$보다 나쁘지 않다는 뜻. 베셀은 $b = 1$, $c = x^2 - \nu^2$로 해당한다.

정리(프로베니우스). 정칙 특이점 $x = 0$에서 방정식은 적어도 하나의 해

$$y = x^r\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = x^r(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots), \qquad a_0 \ne 0$$

를 갖는다. $r$은 임의의 실수 또는 복소수다. 두 번째 해는 같은 꼴(다른 $r$)이거나 로그 항을 품는다. $a_0 \ne 0$은 제한이 아니라 약속이다 — $x$의 거듭제곱을 최대한 앞으로 끌어낸다는 뜻.

이것이 거듭제곱 급수의 확장이다. $r = 0$이면 거듭제곱 급수이고, $r$이 음의 정수면 $\cos x/x^2 = x^{-2} - 1/2! + x^2/4! - \cdots$처럼 음의 거듭제곱이 들어가며, $r$이 분수면 $\sqrt x\sin x = x^{1/2}(x - x^3/3! + \cdots)$처럼 된다(Boas §11). 셋을 한 꼴로 덮는 것이 $x^r\sum a_k x^k$이고, 이것을 일반화된 거듭제곱 급수 또는 프로베니우스 급수라 한다.

지표 방정식

방정식에 $x^2$을 곱해 $x^2 y'' + x\,b(x)\,y' + c(x)\,y = 0$으로 놓고 $b = b_0 + b_1 x + \cdots$, $c = c_0 + c_1 x + \cdots$, 그리고

$$y' = \sum (k+r)a_k x^{k+r-1}, \qquad y'' = \sum (k+r)(k+r-1)a_k x^{k+r-2}$$

를 넣는다. **가장 낮은 거듭제곱 $x^r$**의 계수는 $a_0$만 관여한다:

$$\bigl[r(r-1) + b_0 r + c_0\bigr]a_0 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; r(r-1) + b_0 r + c_0 = 0$$

이것이 지표 방정식이다(Kreyszig 식 (4)). $r$에 대한 2차 방정식이고, 두 근 $r_1, r_2$가 “해가 원점에서 어떻게 행동하는가”를 결정한다 — $y \sim x^{r}$. 계수 $b_0 = \lim xp$, $c_0 = \lim x^2 q$는 방정식을 보고 바로 읽을 수 있다. 베셀에서는 $b_0 = 1$, $c_0 = -\nu^2$이니 $r^2 - \nu^2 = 0$, $r = \pm\nu$. 그래서 $J_\nu \sim x^\nu$이고 두 번째 해는 $x^{-\nu}$로 발산한다.

직관

오일러–코시가 지표 방정식의 원형이다. 1.4.5오일러-코시 방정식에서 $x^2y'' + b_0 xy' + c_0 y = 0$에 $y = x^m$을 넣어 보조방정식 $m(m-1) + b_0 m + c_0 = 0$을 얻었다. 지표 방정식은 그 보조방정식과 글자 하나 다르지 않다. 프로베니우스법이 하는 일은 이렇다 — 정칙 특이점 근처에서 방정식의 “가장 낮은 차수 부분”($b, c$의 상수항만 남긴 것)은 오일러–코시이고, 그 해 $x^r$이 급수해의 앞머리를 정한다. 나머지 항 $b_1 x + \cdots$, $c_1 x + \cdots$는 $x \to 0$에서 작아지므로 $x^r$에 붙는 거듭제곱 급수의 보정으로 처리된다. 그러니 세 경우 — 서로 다른 근, 중근(로그가 붙는다), 정수 차이의 근 — 도 오일러–코시에서 본 것과 같은 이유로 생긴다. 다만 정수 차이의 경우가 하나 더 갈라진다: 오일러–코시에서는 $x^{r_1}, x^{r_2}$가 그냥 독립이었지만, 급수의 보정항들이 서로 부딪혀 로그가 생길 수도 있다.

세 경우

$r_1 \ge r_2$(실근일 때)로 이름 붙이고, 첫 해는 언제나 큰 근으로 만든다:

$$y_1 = x^{r_1}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$

두 번째 해는 지표 근의 관계에 따라 갈린다(Kreyszig §5.3 정리 2).

경우	두 번째 해	로그
① $r_1 - r_2 \notin \mathbb Z$ (복소근 포함)	$y_2 = x^{r_2}\sum A_k x^k$	없다
② $r_1 = r_2 = r$	$y_2 = y_1\ln x + x^{r}\sum_{k\ge1} A_k x^k$	반드시 있다
③ $r_1 - r_2 = 1, 2, 3, \ldots$	$y_2 = \kappa\,y_1\ln x + x^{r_2}\sum A_k x^k$	있을 수도, 없을 수도 ($\kappa = 0$ 가능)

②에서 로그가 반드시 나오는 이유는 오일러–코시의 중근에서 $x^r\ln x$가 나오는 이유와 같다 — $r_2 \to r_1$일 때 $(x^{r_1} - x^{r_2})/(r_1 - r_2) \to x^{r}\ln x$. 두 해가 합쳐지면서 남긴 흔적이 로그다. ③이 갈리는 이유는 작은 근 $r_2$로 점화식을 돌리다 $k = r_1 - r_2$에 이르면 $a_k$의 계수가 $0$이 되기 때문이다 — 그때 우변도 $0$이면 $a_k$가 자유롭게 남아 로그 없이 끝나고(그것이 곧 $y_1$을 포함한다), 우변이 $0$이 아니면 모순이라 로그로 구제해야 한다. 정수 차이는 위험 신호이지 판결이 아니다.

두 번째 해를 급수로 직접 구하는 것은 지루하다. 실제로는 1.4.6브론스키안과 해의 독립성의 차수 감소를 쓴다 — $y_1$을 알면 $y_2 = y_1\int \dfrac{e^{-\int p\,dx}}{y_1^2}dx$. 로그는 이 적분에서 $1/x$ 항이 나올 때 저절로 나타난다. Kreyszig의 예 셋이 세 경우를 보여 준다.

예 (경우 ②). $x(x-1)y'' + (3x-1)y' + y = 0$. 지표 방정식은 $r^2 = 0$, 중근. 점화식이 $a_{k+1} = a_k$라 $y_1 = \sum x^k = 1/(1-x)$. 차수 감소로 $y_2 = \ln x/(1-x)$ — 로그가 붙었다.

예 (경우 ③, 로그 있음). $(x^2 - x)y'' - xy' + y = 0$. 근 $r = 1, 0$. 큰 근에서 $y_1 = x$. 차수 감소로 $u' = 1/x - 1/x^2$, $u = \ln x + 1/x$, $y_2 = x\ln x + 1$ — 정수 차이인데 로그가 났다.

예 (경우 ③, 로그 없음). Boas §11 예 1: $x^2y'' + 4xy' + (x^2 + 2)y = 0$. 지표 방정식 $r^2 + 3r + 2 = 0$, $r = -1, -2$ — 정수 차이. 그런데 두 근 모두 순수한 프로베니우스 급수를 주고

$$y_1 = \frac{\sin x}{x^2}, \qquad y_2 = \frac{\cos x}{x^2}$$

로그가 없다. 이 방정식은 사실 변장한 베셀 방정식(차수 $3/2$)이고, 8절에서 반정수 차수 베셀 함수가 초등함수라는 사실과 이어진다.

주의

푹스 조건을 만족하지 않으면 이 방법은 실패한다 — 그리고 그 실패가 중요하다. $x^4y'' + y = 0$의 해는 $x\sin(1/x)$, $x\cos(1/x)$인데(Boas §21 연습 12), 이것은 어떤 프로베니우스 급수로도 쓸 수 없다 — $\sin(1/x)$는 $x^{-1}, x^{-3}, \ldots$ 음의 거듭제곱이 무한히 이어진다. $x = 0$이 비정칙 특이점이기 때문이다: $x^2 q = 1/x^2$이 해석적이 아니다(방정식의 분류인 ‘비정칙 특이점’과 함수의 분류인 ‘본질적 특이점’은 다른 낱말이다 — 여기서는 그 해 $x\sin(1/x)$가 $x = 0$에서 본질적 특이성을 갖는다). 베셀 방정식의 $x = \infty$가 바로 이런 점이고, 그래서 8절의 큰 $x$ 점근 전개는 수렴하지 않는 점근 급수다(Arfken §14.6이 “푹스 정리가 수렴 급수를 보장하지 않으니 얻지 못했다”고 적었다). 정칙 특이점에서는 수렴하는 프로베니우스 전개가 보장된다. 비정칙 특이점에서는 지수 인자를 낀 형식적 전개가 나오고 그 급수는 흔히 발산한다 — 등호로 맞물린 동치가 아니라 한쪽만 보장된 대응이다. 이 대응이 9·10절에서 다시 나온다.

초기하 방정식 — 특수함수의 어미

Kreyszig 연습 14가 소개하는 가우스의 초기하 방정식

$$x(1-x)y'' + [c - (a+b+1)x]y' - ab\,y = 0$$

은 $x = 0, 1, \infty$ 세 곳에 정칙 특이점을 가진 가장 일반적인 2계 방정식이다. $x = 0$에서 지표 근은 $0$과 $1 - c$이고, $r = 0$의 프로베니우스 해가 초기하 급수

$$F(a, b, c; x) = 1 + \frac{ab}{1!\,c}x + \frac{a(a+1)b(b+1)}{2!\,c(c+1)}x^2 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k}\frac{x^k}{k!}$$

이다 — 포흐하머 기호 $(a)_k$가 여기서 제 몫을 한다. $a$나 $b$가 음의 정수면 다항식으로 끊어지고, 매개변수를 고르면 $\ln(1+x) = xF(1,1,2;-x)$, $\arcsin x = xF(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac32;x^2)$, $(1+x)^n = F(-n, b, b; -x)$, 르장드르 다항식, 체비셰프 다항식이 전부 나온다. 이름이 “초(超)기하”인 이유는 $a = 1, b = c$에서 등비급수(geometric series) $1/(1-x)$가 되기 때문이다.

특이점 하나를 무한대로 보내 두 개를 합치면 합류 초기하 방정식이 되고, 여기서 베셀·에르미트· 라게르·오차함수가 나온다(Arfken §18.5–18.6). 이 장의 함수들은 결국 한 가족이다. 흥미로운 예외가 하나 있다 — 감마 함수는 이 가족이 아니다. Arfken §13 첫머리가 짚듯, $\Gamma(z)$는 유리 계수를 가진 어떤 미분방정식도 만족하지 않는다(정확히는 횔더 정리 — 유리함수를 계수로 갖는 어떤 자명하지 않은 대수 미분방정식도 만족하지 않는다는, 선형에 국한되지 않는 명제다). 그래서 감마는 대개 물리량 자체를 기술하기보다 다른 함수의 전개 계수 속에 인수로 나타난다(9절).

물리에서 지표 근이 하는 일

원통·구 좌표에서 나오는 방정식은 축이나 중심 $r = 0$이 늘 정칙 특이점이다. 라플라스 방정식의 구 대칭 방사 부분 $r^2R'' + 2rR' - l(l+1)R = 0$은 오일러–코시라 지표 근이 $l$과 $-(l+1)$이고, 그래서 $R = r^l$(안쪽에서 유한)과 $r^{-l-1}$(바깥에서 유한)이 나온다 — 6절의 다중극 전개가 그것이다. 베셀에서는 $\pm\nu$라 $J_\nu \sim r^\nu$가 안쪽 해, $Y_\nu \sim r^{-\nu}$($\nu = 0$이면 $\ln r$)가 바깥 해다. “원점에서 유한할 것”이 경계 조건으로 작동해 두 해 중 하나를 고른다 — 이것이 원통·구 문제를 풀 때 첫 번째로 하는 일이고, 지표 방정식이 그 판단의 근거다. 광섬유 코어 안에서는 $J$, 클래딩 바깥에서는 $K$를 고르는 것(8절)도 같은 논리다.

르장드르 방정식과 르장드르 다항식

어디서 나오나

구 좌표에서 라플라스·헬름홀츠·슈뢰딩거 방정식을 변수분리하면 — 1.1.8곡선좌표계의 구면 라플라시안에서 — $\theta$ 부분이

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr) + \Bigl[l(l+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\Bigr]\Theta = 0$$

이 된다(Arfken 식 (15.2)). $x = \cos\theta$로 바꾸면 $m = 0$일 때

$$(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + l(l+1)\,y = 0$$

르장드르 방정식이다. 분리 상수를 $l(l+1)$로 쓰는 것은 미리 답을 아는 사람의 표기다 — 지금은 그냥 상수라고 생각하고, 왜 그 꼴이어야 하는지를 지금부터 본다. $x = \cos\theta$이므로 정의역은 $-1 \le x \le 1$이고 $x = \pm 1$이 북극·남극이다. 방정식의 특이점이 정확히 거기 있다(표준형 계수 $-2x/(1-x^2)$, $l(l+1)/(1-x^2)$). $x = 0$은 정칙점이니 4절의 거듭제곱 급수법을 쓸 수 있고, 수렴 반경은 1이다.

급수해와 끊어짐

$y = \sum a_k x^k$를 넣고 $x^k$의 계수를 모으면(Kreyszig §5.2, Boas §12.2의 표)

$$(k+2)(k+1)a_{k+2} - [k(k-1) + 2k - l(l+1)]a_k = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; a_{k+2} = -\frac{(l - k)(l + k + 1)}{(k+2)(k+1)}\,a_k$$

($k^2 + k - l^2 - l = (k-l)(k+l+1)$로 인수분해된다.) 두 칸씩 건너뛰므로 짝수 급수와 홀수 급수가 갈라지고, $a_0, a_1$이 임의 상수다:

$$\begin{aligned} y_1 &= 1 - \frac{l(l+1)}{2!}x^2 + \frac{(l-2)\,l\,(l+1)(l+3)}{4!}x^4 - \cdots \\ y_2 &= x - \frac{(l-1)(l+2)}{3!}x^3 + \frac{(l-3)(l-1)(l+2)(l+4)}{5!}x^5 - \cdots \end{aligned}$$

비 판정으로 $\lvert x\rvert < 1$에서 수렴하고, 1절의 가우스 판정으로 $x = \pm 1$에서 발산한다. $l = 0$이면 $y_2 = x + x^3/3 + x^5/5 + \cdots = \tfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}$인데 $x \to 1$에서 로그로 무한대다. 북극에서 전위나 파동함수가 무한대라는 뜻이니 물리적으로 버려야 한다.

그런데 점화식의 분자 $(l - k)$를 보라. **$l$이 음이 아닌 정수이면 $k = l$에서 $a_{l+2} = 0$**이 되어 그 뒤가 전부 사라진다. $l$이 짝수면 $y_1$이 $l$차 다항식이 되고 $y_2$는 발산하는 급수로 남는다; $l$이 홀수면 반대다. 다항식은 모든 $x$에서 유한하니 $x = \pm 1$ 문제가 없다. 그래서 정수 $l$마다 딱 하나의 다항식 해가 살아남고, 이것에 $P_l(1) = 1$이 되도록 상수를 곱한 것이 르장드르 다항식 $P_l(x)$다. 발산하는 다른 해는 제2종 르장드르 함수 $Q_l(x)$라 한다.

이것이 고유값 문제다(Boas §12.2). 경계에서 유한할 것을 요구하면 $l(l+1)$은 $0, 2, 6, 12, \ldots$만 가능하고, 고유함수가 $P_l$이다. 분리 상수를 $l(l+1)$로 쓴 이유가 여기서 드러난다 — 그렇게 써야 고유값 조건이 “$l$이 정수”라는 깨끗한 문장이 된다. 양자역학에서 $l$이 궤도 각운동량 양자수이고 $\hbar^2 l(l+1)$이 $\hat L^2$의 고유값인 것이 바로 이 계산이다.

그림 1.5-3. 르장드르 다항식 P₀에서 P₅까지. 전부 x = 1에서 1로 모이고(정규화 P_l(1) = 1), 절댓값이 1을 넘지 않으며, l개의 실근이 전부 (−1, 1) 안에 있다. 짝수 l은 짝함수, 홀수 l은 홀함수다. 점선은 제2종 함수 Q₀ = ½ ln[(1+x)/(1−x)] — 정수 l에서 끊어지지 않은 쪽 급수의 합이며, 양 끝점에서 로그로 발산하기 때문에 구 대칭 문제에서 버려진다. 다항식과 발산하는 급수, 이 둘 중 어느 쪽이 살아남는지가 l이 정수인지로 갈린다.직접 작도

명시 공식, 표, 로드리게스

점화식을 위에서부터 풀어 최고차 계수를 $a_l = (2l)!/(2^l (l!)^2)$로 잡으면(그래야 $P_l(1) = 1$이 된다, Kreyszig 식 (8)~(11))

$$P_l(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor l/2\rfloor}(-1)^k\frac{(2l - 2k)!}{2^l\,k!\,(l-k)!\,(l-2k)!}\,x^{l-2k}$$

처음 몇 개:

$l$	$P_l(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\tfrac12(3x^2 - 1)$
3	$\tfrac12(5x^3 - 3x)$
4	$\tfrac18(35x^4 - 30x^2 + 3)$
5	$\tfrac18(63x^5 - 70x^3 + 15x)$

성질을 모아 두면(Arfken §15.1 요약): $P_l(1) = 1$, $P_l(-x) = (-1)^l P_l(x)$이라 $P_l(-1) = (-1)^l$, $P_{2k+1}(0) = 0$, $P_{2k}(0) = (-1)^k(2k-1)!!/(2k)!!$, $x^l$의 계수는 $(2l-1)!!/l!$, 그리고 $-1 \le x \le 1$에서 $\lvert P_l(x)\rvert \le 1$이며 최댓값 1은 $x = 1$에서만.

같은 다항식을 한 줄로 쓰는 것이 로드리게스 공식이다:

$$P_l(x) = \frac{1}{2^l\,l!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2 - 1)^l$$

증명은 Boas §12.4가 깔끔하다. $v = (x^2-1)^l$이 $(x^2 - 1)v' = 2lxv$를 만족하는데, 이 식을 라이프니츠 규칙(곱의 $n$계 도함수 — $(uv)^{(n)} = \sum\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$, 이항 정리와 같은 꼴)으로 $l+1$번 미분하면 $v^{(l)}$이 르장드르 방정식을 만족한다는 것이 나온다. 차수 $l$의 다항식 해는 하나뿐이니 상수만 맞추면 된다. 로드리게스 공식은 정의로도, 적분에서 부분적분을 반복하는 도구로도 쓴다 — 직교성 증명, 버금 르장드르 함수의 정의(7절), 다른 직교 다항식의 로드리게스 공식(11절)이 전부 이 형식이다.

생성함수 — 다중극 전개

$P_l$의 성질을 한꺼번에 쥐는 열쇠가 생성함수다(Boas §12.5, Arfken §15.1):

$$g(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{l=0}^{\infty} P_l(x)\,t^l, \qquad \lvert t\rvert < 1$$

$t$의 거듭제곱으로 펼쳤을 때 계수가 르장드르 다항식이다. $x = 1$을 넣으면 $1/(1-t) = \sum t^l$이라 $P_l(1) = 1$이 바로 나오고, $x \to -x, t \to -t$의 불변성에서 패리티가, $x = 0$에서 $(1+t^2)^{-1/2}$의 이항 전개에서 $P_{2k}(0)$이 나온다. 이것이 르장드르 다항식이라는 증명은 $g$가 만족하는 편미분 항등식에 급수를 넣어 각 $t^l$의 계수가 르장드르 방정식을 만족함을 보이는 것이다(Boas 식 (5.5)~(5.7)).

직관

생성함수는 쿨롱 퍼텐셜이다. 원점에서 거리 $a$인 $z$축 위 점에 전하 $q$가 있을 때, 점 $(r, \theta)$의 전위는 코사인 법칙으로

$$\psi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{r^2 + a^2 - 2ar\cos\theta}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\,g\Bigl(\cos\theta, \frac{a}{r}\Bigr) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\sum_{l=0}^{\infty}P_l(\cos\theta)\Bigl(\frac{a}{r}\Bigr)^l$$

$r > a$에서 수렴한다(Arfken §15.3). 생성함수는 발명된 것이 아니라 역제곱 힘의 퍼텐셜을 거리 비로 전개한 것이다. 첫 항 $q/r$은 원점에 있는 점전하, 다음 항 $qa\cos\theta/r^2$은 쌍극자, 그 다음 $qa^2P_2/r^3$은 사중극자 — 각 항이 다중극이고 $l$이 올라갈수록 $r^{-(l+1)}$로 빨리 죽는다. 두 점 $\mathbf r_1, \mathbf r_2$ 사이의 거리로 일반화하면

$$\frac{1}{\lvert\mathbf r_1 - \mathbf r_2\rvert} = \frac{1}{r_>}\sum_{l=0}^\infty\Bigl(\frac{r_<}{r_>}\Bigr)^l P_l(\cos\chi)$$

($r_>, r_<$는 큰 쪽과 작은 쪽, $\chi$는 두 벡터 사이 각). 연속 전하 분포에서는 각 항이 $\int r^l P_l(\cos\theta)\rho\,d\tau$ — 총전하(단극), 쌍극자 모멘트, 사중극자 모멘트 — 가 되고, Boas §12.5는 이것이 차례로 0계·1계·2계 텐서임을 짚는다(1.13). 파라미터 연계 — 가장 낮은 $0$이 아닌 모멘트만 원점 선택에 무관하고, 나머지는 원점을 옮기면 바뀐다(Arfken §15.3). 중성인 분자의 쌍극자 모멘트는 원점에 무관하지만 대전된 이온의 쌍극자 모멘트는 아니다.

생성함수를 $t$로 미분하면 보네 점화식(Kreyszig 식 (14), Arfken (15.18))

$$(l+1)P_{l+1}(x) = (2l+1)\,x\,P_l(x) - l\,P_{l-1}(x)$$

가 나온다 — $P_0 = 1$, $P_1 = x$에서 시작해 원하는 차수까지 세 항으로 올라가는, 수치 계산의 표준 방법이다(Kreyszig는 “유효 숫자 손실이 작다”고 적었다). $x$로 미분하면 도함수 관계들이 나온다(Arfken (15.22)~(15.26)):

$$P_{l+1}' - P_{l-1}' = (2l+1)P_l, \qquad (1 - x^2)P_l' = l\,P_{l-1} - l\,x\,P_l$$

직교성과 르장드르 급수

르장드르 방정식을 $\dfrac{d}{dx}\bigl[(1-x^2)P_l'\bigr] + l(l+1)P_l = 0$으로 쓰고, $P_l$의 식에 $P_m$을 곱하고 $P_m$의 식에 $P_l$을 곱해 빼면(Boas §12.7)

$$\frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)(P_m P_l' - P_l P_m')\Bigr] + [l(l+1) - m(m+1)]P_m P_l = 0$$

$-1$에서 $1$까지 적분하면 첫 항은 $(1 - x^2)$가 양 끝에서 $0$이라 사라지고, $l \ne m$이면

$$\int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x)\,dx = 0$$

직교한다. 노름은 점화식으로 계산하거나(Boas §12.8) 생성함수를 제곱해 적분하면(Arfken §15.2 — $\int_{-1}^1 dx/(1 - 2xt + t^2) = \frac1t\ln\frac{1+t}{1-t} = 2\sum t^{2l}/(2l+1)$) 나온다:

$$\int_{-1}^{1} P_l(x)P_m(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\,\delta_{lm}$$

직관

이 증명은 이 장의 모든 직교성 증명의 원형이다. 핵심은 세 가지 — ① 방정식을 $(pu')' + \lambda w u = 0$ 꼴로 쓸 수 있고, ② 두 고유함수의 식을 교차해 빼면 완전 미분과 $(\lambda_l - \lambda_m)\times(\text{곱})$만 남으며, ③ 경계에서 $p = 1 - x^2$이 $0$이라 경계항이 죽는다. 사인 함수의 직교성($p = 1$, 경계에서 함수 자체가 $0$), 베셀 함수의 직교성(8절, 가중 $w = \rho$), 에르미트·라게르의 직교성(11절, 가중 $e^{-x^2}$, $e^{-x}$)이 전부 이 세 단계다. 1.6의 스투름–리우빌 이론은 이 세 단계를 정리 하나로 만든다. 그리고 1.3.9자체 수반 연산자와 스펙트럼 정리에서 본 것 — 자체 수반 연산자의 서로 다른 고유값에 속하는 고유벡터는 직교한다 — 의 함수판이 정확히 이것이다.

직교하고 완비한 집합이 있으면 함수를 그 위에 전개할 수 있다. $f(x) = \sum c_l P_l(x)$의 계수는 푸리에 급수와 같은 논리로 — 양변에 $P_m$을 곱해 적분 —

$$c_l = \frac{2l+1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)P_l(x)\,dx$$

이것이 르장드르 급수다. Boas §12.9의 예: $f = 0$ ($-1 < x < 0$), $f = 1$ ($0 < x < 1$)인 계단 함수는

$$f(x) = \tfrac12 P_0 + \tfrac34 P_1 - \tfrac{7}{16}P_3 + \tfrac{11}{32}P_5 + \cdots$$

불연속 함수도 전개되고, 불연속점에서는 도약의 중점으로 수렴한다 — 푸리에 급수의 디리클레 조건과 같다. Boas §12.9 예 2가 짚는 성질 하나: 르장드르 급수를 $n$차에서 끊은 것은 $(-1, 1)$에서 최소제곱 의미의 최적 $n$차 다항식 근사다. 1.2.5벡터공간과 내적공간의 정사영 그대로 — 직교 기저 위로의 정사영이 거리를 최소화한다. 테일러 다항식이 한 점 근처에서 최적인 것과 대조되는 자리다.

물리 예 — 구와 고리

균일 전장 속의 도체 구(Arfken 예 15.2.2). 반지름 $r_0$의 접지된 도체 구를 $z$ 방향 전장 $E_0$에 놓는다. 바깥 전위는 라플라스 방정식의 축대칭 해 $\sum(a_l r^l + b_l r^{-l-1})P_l(\cos\theta)$이고, 무한대에서 $-E_0 z = -E_0 r P_1$이어야 하니 $a_1 = -E_0$, 나머지 $a_l = 0$; 구 표면에서 전위가 $0$이어야 하니 $b_1 = E_0 r_0^3$, 나머지 $b_l = 0$:

$$\psi = -E_0\,r\,P_1(\cos\theta)\Bigl(1 - \frac{r_0^3}{r^3}\Bigr)$$

두 번째 항이 유도 쌍극자 $p = 4\pi\varepsilon_0 r_0^3 E_0$의 전위다. 유전체 구면 $(\varepsilon_r - 1)/(\varepsilon_r + 2)$가 곱해지고(클라우지우스–모소티), 나노입자의 편극률, 용액 속 콜로이드, 복합 유전체의 유효 유전율이 전부 이 계산의 변형이다.

대전된 고리(Arfken 예 15.2.3). 반지름 $a$, 전하 $q$의 고리가 적도면에 있을 때 바깥 전위는 $\sum c_l (a/r)^{l+1}P_l$ 꼴인데, 계수를 구하는 요령이 좋다 — $z$축 위($\theta = 0$, $P_l = 1$)에서는 쿨롱 법칙으로 전위를 직접 쓸 수 있으니 $q/(4\pi\varepsilon_0\sqrt{z^2+a^2})$를 $a/z$의 이항 급수로 펴서 계수를 읽는다:

$$\psi(r, \theta) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\Bigl(\frac{a}{r}\Bigr)^{2k}P_{2k}(\cos\theta)$$

대칭축 위의 값만 알면 전 공간의 해가 정해진다 — 축대칭 라플라스 해의 강력한 성질이고, 전극·링 자석·원형 코일의 장을 구할 때 늘 쓰는 기술이다.

직관

반도체에서 르장드르가 숨어 있는 곳. 산란 이론에서 각도 의존성을 $P_l(\cos\theta)$로 펴는 것이 부분파 전개인데, 이동도를 정하는 운동량 완화 시간은 미분 단면적에 $(1 - \cos\theta)$를 곱해 적분한다. $1 - \cos\theta = P_0 - P_1$이니 운동량 완화율은 산란 확률의 $l = 0$ 성분에서 $l = 1$ 성분을 뺀 것이다. 앞으로만 산란하면($\theta \approx 0$) $P_1 \approx P_0$이라 이동도를 거의 해치지 않고, 뒤로 산란하면 두 배로 해친다 — 이온화 불순물 산란이 전방 편향이라 고온에서 이동도를 덜 깎는 이유가 이 뺄셈이다. 그리고 불순물 퍼텐셜, 결정장, 전극 형상 — 구 대칭에서 조금 벗어난 모든 것을 다중극으로 펴는 첫걸음이 $P_l$이다.

버금 르장드르 함수와 구면조화함수

방위각이 들어오면

6절 첫머리의 $\theta$ 방정식에서 $m \ne 0$이면 $x = \cos\theta$로 바꾼 뒤

$$(1 - x^2)y'' - 2xy' + \Bigl[l(l+1) - \frac{m^2}{1 - x^2}\Bigr]y = 0$$

버금 르장드르 방정식이다. $m$은 방위각 방정식 $\Phi'' = -m^2\Phi$에서 온 것이고, $\Phi = e^{im\varphi}$가 $\varphi \to \varphi + 2\pi$에서 한 값이어야 하니 $m$은 정수다. 새로 붙은 항 $m^2/(1-x^2)$이 $x = \pm 1$에서 발산하는 것이 골칫거리인데, Arfken §15.4의 처방은 $y = (1 - x^2)^{m/2}u$로 놓는 것이다. 그러면 $u$의 방정식이

$$(1 - x^2)u'' - 2(m+1)x\,u' + [l(l+1) - m(m+1)]u = 0$$

이 되고 — 놀랍게도 — 이것은 르장드르 방정식을 $m$번 미분한 것과 같다(Boas §12.10: 방정식을 한 번 미분할 때마다 $m$이 하나 올라간다). 그러니 $u = d^m P_l/dx^m$이고

$$P_l^m(x) = (-1)^m(1 - x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x) = \frac{(-1)^m}{2^l\,l!}(1 - x^2)^{m/2}\frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2 - 1)^l$$

가 버금 르장드르 함수다. $(-1)^m$이 콘던–쇼틀리 위상 — 이 장 첫머리의 약속대로 붙인다. $P_l$이 $l$차이므로 $m > l$이면 $0$: $\lvert m\rvert \le l$. 이것이 “자기 양자수는 궤도 양자수를 넘지 못한다”의 수학이다. 음의 $m$은 양의 $m$에 비례한다: $P_l^{-m} = (-1)^m\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m$ (Arfken (15.81)).

$m \ge 1$이면 $(1 - x^2)^{m/2} = \sin^m\theta$ 인자 때문에 다항식이 아니고, 그래서 이름이 “다항식”이 아니라 “함수”다. 처음 몇 개(Arfken 표 15.3):

	$P_l^m(x)$	$x = \cos\theta$로
$P_1^1$	$-(1 - x^2)^{1/2}$	$-\sin\theta$
$P_2^1$	$-3x(1 - x^2)^{1/2}$	$-3\cos\theta\sin\theta$
$P_2^2$	$3(1 - x^2)$	$3\sin^2\theta$
$P_3^1$	$-\tfrac32(5x^2 - 1)(1 - x^2)^{1/2}$	$-\tfrac32(5\cos^2\theta - 1)\sin\theta$
$P_3^2$	$15x(1 - x^2)$	$15\cos\theta\sin^2\theta$
$P_3^3$	$-15(1 - x^2)^{3/2}$	$-15\sin^3\theta$

패리티는 $P_l^m(-x) = (-1)^{l+m}P_l^m(x)$ — $m$번 미분할 때마다 뒤집힌다. 같은 $m$, 다른 $l$끼리 가중 1로 직교하고(6절과 같은 증명, 경계항이 $(1 - x^2)$로 죽는다) 노름은

$$\int_{-1}^{1}P_l^m(x)P_{l'}^m(x)\,dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\,\delta_{ll'}$$

(Arfken은 로드리게스 형을 넣고 $l + m$번 부분적분해 베타 함수 하나로 끝낸다 — 9절.) 직교성은 $l$에 대한 것이지 $m$에 대한 것이 아니다. $m$이 다른 것끼리는 어차피 $e^{im\varphi}$가 갈라 준다.

그림 1.5-4. |P_l^m(cos θ)|를 z축을 품은 평면에서 극좌표로 그린 여섯 단면 — (l, m) = (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2). z축 주위로 돌리면 구면조화함수의 3차원 모양이 된다. l = 0은 구(s), l = 1은 두 잎(p), l = 2는 세 잎이나 네 잎(d). m = 0이면 잎이 z축을 따라 놓이고, |m|이 커질수록 분포가 적도 쪽으로 눕는다 — m이 z축 각운동량 성분이라 |m| = l이면 z축 주위를 도는 상태이고 m = 0이면 z축을 따라 오르내리는 상태다. 각 잎의 개수와 방향이 원자 오비탈의 s·p·d 모양이며, 실리콘의 sp³ 결합은 l = 0 하나와 l = 1 셋을 섞은 것이다.직접 작도

구면조화함수

$\theta$ 부분과 $\varphi$ 부분을 곱하고 구면 위에서 정규화한 것이 구면조화함수다(Arfken (15.137)):

$$Y_l^m(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\;P_l^m(\cos\theta)\,e^{im\varphi}, \qquad l = 0, 1, 2, \ldots,\quad m = -l, \ldots, l$$ $$\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\;[Y_{l'}^{m'}]^*\,Y_l^m = \delta_{ll'}\delta_{mm'}$$

구면 위에서 정규직교한다. 처음 몇 개를 직교좌표로도 써 두면(Arfken 표 15.4) 화학의 오비탈 그림이 바로 보인다:

	구면	직교좌표
$Y_0^0$	$\dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}$
$Y_1^0$	$\sqrt{\dfrac{3}{4\pi}}\cos\theta$	$\sqrt{\dfrac{3}{4\pi}}\,\dfrac{z}{r}$
$Y_1^{\pm1}$	$\mp\sqrt{\dfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}$	$\mp\sqrt{\dfrac{3}{8\pi}}\,\dfrac{x \pm iy}{r}$
$Y_2^0$	$\sqrt{\dfrac{5}{4\pi}}\Bigl(\tfrac32\cos^2\theta - \tfrac12\Bigr)$	$\sqrt{\dfrac{5}{4\pi}}\,\dfrac{3z^2 - r^2}{2r^2}$
$Y_2^{\pm1}$	$\mp\sqrt{\dfrac{15}{8\pi}}\sin\theta\cos\theta\,e^{\pm i\varphi}$	$\mp\sqrt{\dfrac{15}{8\pi}}\,\dfrac{z(x \pm iy)}{r^2}$
$Y_2^{\pm2}$	$\sqrt{\dfrac{15}{32\pi}}\sin^2\theta\,e^{\pm 2i\varphi}$	$\sqrt{\dfrac{15}{32\pi}}\,\dfrac{(x \pm iy)^2}{r^2}$

$Y_1^{\pm1}$을 더하고 빼면 $x/r$, $y/r$가 나온다 — $p_x, p_y, p_z$ 오비탈이 $l = 1$의 세 함수의 실수 결합이다. $l = 2$의 다섯을 실수 결합하면 $d_{z^2}, d_{xz}, d_{yz}, d_{xy}, d_{x^2-y^2}$. 분자 $x, y, z$의 $l$차 동차 다항식을 $r^l$로 나눈 것이 각도 부분이라는 것이 표의 오른쪽 열이다.

직관

같은 $l$의 $2l+1$개는 회전으로 서로 섞인다. 구 대칭 문제를 좌표축을 돌려 다시 풀면 같은 방정식이 나오므로 해집합이 같아야 한다. 따라서 돌린 좌표계의 $Y_l^m(\theta', \varphi')$은 원래 좌표계의 $Y_l^{m'}$들의 선형결합이어야 하고, $l$은 섞이지 않는다(Arfken (15.147)) — $r$ 의존성 $r^l$은 회전으로 바뀌지 않기 때문에. $l = 1$에서 확인하면 $z/r$를 임의의 단위벡터 $\hat u$ 방향으로 돌린 $(\mathbf r\cdot\hat u)/r$는 $x/r, y/r, z/r$의 결합이고, 셋 다 필요하다(Arfken 예 15.5.3). 공간적 직관: 각 $l$은 회전군의 작용 아래 닫힌 $(2l+1)$차원 벡터공간이고, 그것이 슈뢰딩거 방정식의 에너지가 $m$에 무관한 이유 — $(2l+1)$겹 축퇴 — 다. 구 대칭이 결정장의 정육면체 대칭으로 깨지면 $l = 2$의 다섯이 셋($t_{2g}$)과 둘($e_g$)로 갈라진다. 1.13의 군론이 이것을 표현론으로 정리한다.

완비성 — 라플라스 급수. 구면 위의 (충분히 매끈한) 함수는 전부

$$f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^{l} c_{lm}Y_l^m(\theta, \varphi), \qquad c_{lm} = \int [Y_l^m]^* f\,d\Omega$$

로 전개된다. 구면 위 함수의 푸리에 급수다. 라플라스 방정식의 일반해가

$$\psi(r, \theta, \varphi) = \sum_{l, m}\bigl(a_{lm}r^l + b_{lm}r^{-l-1}\bigr)Y_l^m(\theta, \varphi)$$

이고, 반지름 $r_0$ 구면에서 전위 $V(\theta, \varphi)$가 주어지면 안쪽 해는 $c_{lm}(r/r_0)^l Y_l^m$의 합이다(Arfken 예 15.5.1). 헬름홀츠 방정식이면 $r^l, r^{-l-1}$ 자리에 8절의 구면 베셀 함수 $j_l(kr), y_l(kr)$이 들어간다.

특수값과 선택 규칙. $\theta = 0$(북극)에서 $\varphi$ 의존성이 있으면 안 되므로 $Y_l^m(0, \varphi) = \sqrt{(2l+1)/4\pi}\,\delta_{m0}$. 그리고 $\cos\theta\,Y_l^m$은 $Y_{l\pm1}^m$의 결합이라는 점화식(Arfken (15.150))에서

$$\int [Y_{l'}^{m'}]^*\cos\theta\,Y_l^m\,d\Omega \ne 0 \quad\Longleftrightarrow\quad l' = l \pm 1,\; m' = m$$

이것이 전기 쌍극자 전이의 선택 규칙 $\Delta l = \pm 1$, $\Delta m = 0$($z$ 편광)이다 — 원자· 불순물·양자점의 광 흡수·발광에서 어떤 준위 쌍이 빛과 결합하는지를 정한다. $s \to p$는 되고 $s \to d$는 안 되는 이유가 르장드르 점화식 한 줄이다.

직관

전류 고리 — $m = 1$이 필요한 이유. Arfken 예 15.4.2는 축대칭인 원형 전류 고리의 자기장이 버금 르장드르 함수 $P_l^1$을 요구하는 것을 보인다. 전류가 $\varphi$ 방향이라 벡터 퍼텐셜이 $A_\varphi(r, \theta)\hat e_\varphi$이고, 그 $\theta$ 방정식에 $-1/\sin^2\theta$ 항이 붙기 때문이다. 결과는 $A_\varphi = \sum_s c_{2s+1}(a/r)^{2s+2}P^1_{2s+1}(\cos\theta)$, $B_r$은 $P_{2s+1}$로, $B_\theta$는 $P^1_{2s+1}$로 전개되고, 선두항이 자기 쌍극자 $m = I\pi a^2$의 장이다. 전기 쌍극자와 자기 쌍극자의 선두항이 같은 꼴이라는 것이 둘을 같은 이름으로 부르는 근거다. 스칼라 대칭이라도 벡터량의 성분은 $m \ne 0$의 함수를 부를 수 있다 — 스핀트로닉스· 인덕터 설계에서 축대칭 코일의 장을 구할 때 그대로 쓰는 전개다.

베셀 함수(제1·2종·수정·구면)

어디서 나오나

원통 좌표 $(\rho, \varphi, z)$에서 헬름홀츠 방정식 $\nabla^2\psi + k^2\psi = 0$을 변수분리하면 (1.1.8곡선좌표계의 원통 라플라시안) $\varphi$ 부분에서 $e^{im\varphi}$, $z$ 부분에서 $e^{\pm ilz}$가 떨어지고, 반지름 부분이

$$\rho^2\frac{d^2P}{d\rho^2} + \rho\frac{dP}{d\rho} + \bigl[(k^2 - l^2)\rho^2 - m^2\bigr]P = 0$$

이 된다(Arfken (14.30)). $x = \sqrt{k^2 - l^2}\,\rho$로 무차원화하면

$$x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$$

베셀 방정식이다. $\nu$가 차수이고, 원통 문제에서는 방위각 조건 때문에 정수 $m$이지만 방정식 자체는 임의의 실수 $\nu \ge 0$에 대해 뜻이 있다. 구 좌표의 반지름 방정식은 차수가 반정수 $l + \tfrac12$인 베셀이 되고(뒤의 구면 베셀 함수), $k^2 - l^2$의 부호가 음이면 $x^2y'' + xy' - (x^2 + \nu^2)y = 0$, 수정 베셀 방정식이 된다. 하나의 방정식이 원통·구, 진동·감쇠를 전부 덮는다.

$x = 0$은 정칙 특이점이다 — $b(x) = 1$, $c(x) = x^2 - \nu^2$. 지표 방정식은 $r^2 - \nu^2 = 0$, 근은 $\pm\nu$. 5절의 세 경우가 전부 실제로 나온다: $2\nu$가 정수가 아니면 경우 ①, $\nu = 0$이면 중근 ②, $\nu$가 정수면 정수 차이 ③이고 이때는 로그가 반드시 붙는다.

제1종 — 프로베니우스 해

$y = \sum a_k x^{k+r}$을 넣고 $x^{k+r}$의 계수를 모으면(Kreyszig §5.4 식 (3))

$$(k + r)^2 a_k - \nu^2 a_k + a_{k-2} = 0$$

$k = 0$이 지표 방정식, $k = 1$에서 $(2\nu + 1)a_1 = 0$이라 $a_1 = 0$, 따라서 홀수 항은 전부 $0$. $r = \nu$를 넣으면 짝수 항의 점화식

$$a_{2k} = -\frac{a_{2k-2}}{2^2 k(k + \nu)} \;\;\Longrightarrow\;\; a_{2k} = \frac{(-1)^k a_0}{2^{2k}k!\,(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+k)}$$

$a_0$는 임의 상수인데, 분모의 $(\nu+1)\cdots(\nu+k)$를 계승으로 흡수하려면 9절의 감마 함수가 필요하다 — $\Gamma(\nu + k + 1) = (\nu+k)\cdots(\nu+1)\Gamma(\nu+1)$. 그래서 표준 선택은 $a_0 = 1/(2^\nu\Gamma(\nu+1))$이고(Kreyszig 식 (15) — “이 선택을 하면 계수가 가장 단순해진다”), 결과가 제1종 베셀 함수다:

$$J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k+\nu}$$

정수 $\nu = n$이면 $\Gamma(k+n+1) = (k+n)!$이고

$$J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^4}{2^2 4^2} - \frac{x^6}{2^2 4^2 6^2} + \cdots, \qquad J_1(x) = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{2^2\cdot 4} + \frac{x^5}{2^2\cdot 4^2\cdot 6} - \cdots$$

비 판정으로 모든 $x$에서 수렴하고, 분모의 계승 때문에 아주 빨리 수렴한다 — 작은 $x$에서는 급수가 곧 계산법이다. $J_0$는 코사인을, $J_1$은 사인을 닮았다. 다만 영점이 등간격이 아니고 진폭이 줄어든다(Kreyszig 예 1).

그림 1.5-5. 제1종 베셀 함수 J₀, J₁, J₂(실선)와 제2종 Y₀, Y₁(점선). J는 원점에서 유한하고 — J₀(0) = 1, 나머지는 0 — Y는 원점에서 음의 무한대로 발산한다. 둘 다 x가 커지면 진폭이 √(2/πx)(점선 포락선)로 줄어드는 감쇠 진동이 된다. J₀의 처음 세 영점 2.405, 5.520, 8.654가 축 위에 있고 간격은 3.115, 3.134, … 로 π에 다가간다. 원통 문제의 경계 조건은 이 영점들로 표현된다 — 원형 막의 진동수, 도파관의 차단 주파수, 원통 공진기의 공진 주파수가 전부 이 숫자들이다.직접 작도

직관

왜 감쇠하는 사인인가. 베셀 방정식을 표준형으로 쓰면 $y'' + \dfrac{1}{x}y' + \Bigl(1 - \dfrac{\nu^2}{x^2}\Bigr)y = 0$. 큰 $x$에서 $\nu^2/x^2$은 사라지고 $y'/x$도 작아져 $y'' + y = 0$, 곧 사인·코사인에 가까워진다. $y'/x$ 항은 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 감쇠 항과 같은 자리에 있다 — 다만 감쇠 계수가 $1/x$로 줄어드는 감쇠다(Kreyszig의 발견적 설명). 감쇠 항을 없애는 치환 $y = u/\sqrt x$를 하면 (Kreyszig 연습 16·17)

$$u'' + \Bigl(1 + \frac{1/4 - \nu^2}{x^2}\Bigr)u = 0$$

이 되어 큰 $x$에서 $u \approx \cos(x - \delta)$, 따라서 $y \approx \cos(x - \delta)/\sqrt x$. 진폭이 $1/\sqrt x$로 주는 것은 에너지 보존이다. 원통파의 에너지 흐름은 반지름 $\rho$인 원통면을 통과하므로 면적 $2\pi\rho$에 진폭의 제곱을 곱한 것이 일정해야 하고, 진폭은 $\rho^{-1/2}$로 줄어야 한다. 구면파의 $1/r$과 평면파의 상수 사이에 원통파의 $1/\sqrt\rho$가 있다. 그리고 $\nu = \tfrac12$이면 위 방정식이 정확히 $u'' + u = 0$이 되어 베셀 함수가 초등함수가 된다 — 구면 베셀 함수의 비밀이 이 한 줄이다.

생성함수, 점화식, 적분 표현

정수 차수에는 생성함수가 있다(Arfken §14.1):

$$e^{(x/2)(t - 1/t)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}J_n(x)\,t^n$$

$e^{xt/2}$와 $e^{-x/2t}$의 급수를 곱해 $t^n$의 계수를 모으면 위의 급수 정의와 일치한다. 음의 차수는 여기서 $J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)$가 바로 나온다 — 정수 차수에서 $J_\nu$와 $J_{-\nu}$가 독립이 아니라는 말이고, 그래서 두 번째 해가 따로 필요하다. 급수로 보면 $\Gamma(k - n + 1)$이 $k < n$에서 무한대라 앞의 $n$개 항이 죽고 $x^n$부터 시작하기 때문이다(Kreyszig 식 (26)).

생성함수를 $t$와 $x$로 미분하면 두 기본 점화식이 나온다(Kreyszig 정리 1, Arfken (14.7)~(14.12)):

$$\begin{aligned} J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) &= \frac{2\nu}{x}J_\nu(x), \\ J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) &= 2J_\nu'(x), \\ \frac{d}{dx}\bigl[x^\nu J_\nu\bigr] = x^\nu J_{\nu-1}, &\qquad \frac{d}{dx}\bigl[x^{-\nu}J_\nu\bigr] = -x^{-\nu}J_{\nu+1} \end{aligned}$$

특히 $J_0' = -J_1$. 첫 식은 $J_0, J_1$에서 $J_2, J_3, \ldots$를 세 항으로 올라가는 계산법이고, 셋째·넷째는 적분 공식이다 — $\int x^\nu J_{\nu-1}\,dx = x^\nu J_\nu$, $\int x J_0\,dx = x J_1$. Kreyszig 예 2는 $\int_1^2 x^{-3}J_4\,dx$를 이것으로 $J_0, J_1$의 표 값만 써서 계산한다. 그리고 정수가 아닌 $\nu$에서도 급수로 직접 확인하면 같은 점화식이 성립한다(Arfken 연습 14.1.8). Arfken은 거꾸로 이 점화식을 만족하는 함수는 전부 베셀 방정식을 만족한다는 것을 보인다 — 점화식이 방정식과 동치다.

생성함수에 $t = e^{i\theta}$를 넣으면 $e^{ix\sin\theta} = \sum J_n(x)e^{in\theta}$ — 푸리에 급수의 계수가 베셀 함수다. 이것을 뒤집으면 베셀의 적분 표현

$$J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(n\theta - x\sin\theta)\,d\theta, \qquad J_0(x) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ix\cos\theta}\,d\theta$$

(Arfken (14.18), (14.20)). 둘째 식은 평면파를 원통파로 펼친 것이다 — 야코비–앙거 전개 $e^{i\rho\cos\varphi} = \sum i^m J_m(\rho)e^{im\varphi}$의 $m = 0$ 항. 그리고 $\sin(x\sin\theta)$의 푸리에 급수 $2[J_1\sin\theta + J_3\sin3\theta + \cdots]$가 주파수 변조의 스펙트럼이다 — 반송파를 $\sin\theta$로 위상 변조하면 옆띠의 진폭이 $J_n(\beta)$가 되고, 변조 지수 $\beta = 2.405$에서 반송파($J_0$)가 사라진다. 22부에서 다시 나온다.

영점

베셀 함수의 영점은 닫힌 공식이 없고 수치로 구한다(Arfken 표 14.1).

	1번째	2번째	3번째	4번째
$J_0$ 영점 $\alpha_{0i}$	2.4048	5.5201	8.6537	11.7915
$J_1$ 영점 $\alpha_{1i}$	3.8317	7.0156	10.1735	13.3237
$J_2$ 영점 $\alpha_{2i}$	5.1356	8.4172	11.6198	14.7960
$J_0'$ 영점 ($= J_1$ 영점)	3.8317	7.0156	10.1735	13.3237
$J_1'$ 영점	1.8412	5.3314	8.5363	11.7060

$J_0' = -J_1$이라 $J_0$의 극값이 $J_1$의 영점이고, 점화식과 롤의 정리로 $J_n$의 이웃한 두 영점 사이에 $J_{n+1}$의 영점이 정확히 하나 있다(Kreyszig 연습 13). 큰 $x$에서 영점 간격은 $\pi$로 다가간다. 점근형 $J_n \approx \sqrt{2/\pi x}\cos(x - n\pi/2 - \pi/4)$에서 영점을 읽으면 $J_0$의 처음 셋이 2.356, 5.498, 8.639 — 참값과 0.05, 0.02, 0.015 차이다(Kreyszig 예 1). 놀랄 만큼 정확해서 수치 근 찾기의 시작값으로 쓴다.

직관

리소그래피 분해능이 3.8317에서 나온다. 원형 개구(반지름 $a$)를 통과한 빛의 프라운호퍼 회절 진폭은(Arfken 예 14.1.1) 개구 위의 위상 인자를 적분한 것인데, 방위각 적분이 $J_0$의 적분 표현이 되고 반지름 적분이 $\int_0^a J_0(b\rho)\rho\,d\rho = (a/b)J_1(ab)$가 되어

$$\Phi \propto \frac{J_1\bigl[(2\pi a/\lambda)\sin\alpha\bigr]}{\sin\alpha}$$

세기는 이것의 제곱 — 에어리 원반이다. 첫 번째 어두운 고리는 $J_1$의 첫 영점 $(2\pi a/\lambda)\sin\alpha = 3.8317$, 곧 $\sin\alpha = 1.22\,\lambda/(2a)$. 두 점광원이 분해되는 레일리 기준 $\theta = 1.22\lambda/D$가 이것이고, 개구수 $\mathrm{NA} = \sin\alpha$로 쓰면 최소 분해 거리가 $0.61\lambda/\mathrm{NA}$ — 리소그래피의 $k_1\lambda/\mathrm{NA}$ 공식에서 $k_1 = 0.61$이 레일리 한계다. 베셀 함수 하나의 첫 영점이 반도체 미세화의 한계 상수를 정한다. 실제 공정은 위상 시프트 마스크와 오프축 조명으로 $k_1$을 0.3 근처까지 끌어내리지만, 그 싸움의 출발점이 3.8317이다.

제2종 — 노이만 함수와 로그

$\nu$가 정수가 아니면 $J_\nu$와 $J_{-\nu}$가 독립이라 일반해는 $c_1 J_\nu + c_2 J_{-\nu}$로 끝난다. 정수 $n$에서는 $J_{-n} = (-1)^n J_n$이라 두 번째 해가 없다. 5절의 처방대로 $\nu = 0$(중근)이면 $y_2 = J_0\ln x + \sum A_k x^k$ 꼴이고, Kreyszig §5.5가 계수를 끝까지 구한다:

$$y_2 = J_0(x)\ln x + \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}h_k}{2^{2k}(k!)^2}x^{2k} = J_0\ln x + \frac{x^2}{4} - \frac{3x^4}{128} + \frac{11x^6}{13824} - \cdots$$

$h_k = 1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac1k$가 조화수다 — 로그를 미분하면 $1/x$가 나오고 그것이 계수에 조화수를 심는다. 이 해에 상수를 곱하고 $J_0$의 배수를 더해 표준화한 것이 제2종 베셀 함수 (노이만 함수) $Y_0$이다:

$$Y_0(x) = \frac{2}{\pi}\Bigl[J_0(x)\Bigl(\ln\frac{x}{2} + \gamma\Bigr) + \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}h_k}{2^{2k}(k!)^2}x^{2k}\Bigr]$$

$\gamma$가 오일러–마스케로니 상수다. 작은 $x$에서 $Y_0 \approx \frac{2}{\pi}\ln x \to -\infty$. $1/\pi$와 $\gamma - \ln 2$라는 이상한 상수를 붙이는 이유는 하나 — 큰 $x$에서 $Y_0$가 $\sqrt{2/\pi x}\sin(x - \pi/4)$가 되어 $J_0$와 정확히 $90°$ 위상차를 갖게 하려는 것이다. 사인과 코사인의 관계를 그대로 재현하기 위한 표준화다.

일반 차수에서는 정수·비정수를 한 공식으로 덮는 정의를 쓴다(Kreyszig (7), Arfken (14.57)):

$$Y_\nu(x) = \frac{\cos(\nu\pi)J_\nu(x) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}, \qquad Y_n = \lim_{\nu\to n}Y_\nu$$

비정수 $\nu$에서는 $J_\nu, J_{-\nu}$의 결합이라 당연히 해이고 $J_{-\nu}$ 때문에 독립이다. 정수에서는 $0/0$이지만 극한이 존재하고(로피탈), 그 극한을 급수로 풀면 로그 항과 디감마 함수 $\psi$(9절)가 나온다(Arfken (14.61)). 작은 $x$의 행동은

$$Y_0 \approx \frac{2}{\pi}\ln x, \qquad Y_\nu \approx -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\Bigl(\frac{2}{x}\Bigr)^\nu \;(\nu > 0)$$

원점에서 반드시 발산한다. 그래서 원점을 포함하는 영역(속이 찬 원통, 원판)에서는 $Y$가 버려지고, 원점을 포함하지 않는 영역(동축 케이블, 고리, 원통 껍질)에서만 살아남는다. 일반해는 언제나

$$y = c_1 J_\nu(x) + c_2 Y_\nu(x)$$

브론스키안은 1.4.6브론스키안과 해의 독립성의 아벨 항등식대로 $W = A/x$ 꼴이고, 작은 $x$에서 앞머리를 맞추면 $J_\nu Y_\nu' - J_\nu' Y_\nu = 2/(\pi x)$, $J_\nu J_{-\nu}' - J_\nu' J_{-\nu} = -2\sin(\nu\pi)/(\pi x)$ (Arfken (14.67), (14.70)). 둘째 식이 정수에서 $0$이 되는 것이 $J_n, J_{-n}$의 종속성을 다시 말한다.

한켈 함수 — 진행파

$e^{\pm i\theta} = \cos\theta \pm i\sin\theta$처럼

$$H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu(x) + iY_\nu(x), \qquad H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu(x) - iY_\nu(x)$$

를 한켈 함수(제3종 베셀 함수)라 한다. 쓸모는 큰 $x$의 점근형에서 온다(Arfken (14.125)~(14.126), 안장점법으로 유도 — 1.9.11):

$$H_\nu^{(1,2)}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{\pm i(x - \nu\pi/2 - \pi/4)}$$

시간 인자 $e^{-i\omega t}$를 곱하면 $H^{(1)}(kr)e^{-i\omega t} \sim e^{i(kr - \omega t)}/\sqrt r$ — 바깥으로 나가는 원통파, $H^{(2)}$는 들어오는 파다. $J$와 $Y$가 정상파(사인·코사인)라면 $H$는 진행파(복소 지수)다. 원점의 선원에서 퍼져 나가는 파동, 원통에 부딪혀 산란되는 파동, 2차원 헬름홀츠 그린 함수 $\frac{i}{4}H_0^{(1)}(k\lvert\boldsymbol\rho - \boldsymbol\rho'\rvert)$가 전부 한켈 함수다(Arfken 예 14.6.1, 연습 14.6.8). 점근형에서 $J_\nu$는 실수부, $Y_\nu$는 허수부:

$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\Bigl(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\Bigr), \qquad Y_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\Bigl(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\Bigr)$$

이것이 정확해지는 조건은 $8x \gg 4\nu^2 - 1$ (Arfken (14.145)) — 차수가 높을수록 점근 영역이 멀리 있다. 완전한 점근 전개(Arfken (14.133)~(14.141))는 $1/x$의 급수인데 수렴하지 않는 점근 급수다. 5절에서 예고한 대로 $x = \infty$가 비정칙 특이점이기 때문이고, 10절에서 점근 급수를 어떻게 쓰는지 본다. 단, $\nu$가 반정수면 그 급수가 유한 항에서 끊어져 정확한 닫힌 꼴이 된다 — 구면 베셀 함수다.

수정 베셀 함수 — 진동하지 않는 쪽

분리 상수의 부호가 반대면 $x^2y'' + xy' - (x^2 + \nu^2)y = 0$. $x \to ix$로 바꾸면 보통 베셀 방정식이 되므로 해는 $J_\nu(ix)$인데, 급수를 보면

$$J_\nu(ix) = i^\nu\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k+\nu}$$

모든 항이 양수 — 진동할 수가 없다. $i^\nu$를 떼어 실수로 만든 것이

$$I_\nu(x) = i^{-\nu}J_\nu(ix) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!\,\Gamma(k+\nu+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k+\nu}$$

제1종 수정 베셀 함수다. $\cos(ix) = \cosh x$, $-i\sin(ix) = \sinh x$의 원통판이라 쌍곡 베셀 함수라고도 한다. 원점에서 유한하고 $x^\nu/(2^\nu\Gamma(\nu+1))$로 출발해 큰 $x$에서 $e^x/\sqrt{2\pi x}$로 자란다. 두 번째 해는 큰 $x$에서 죽는 쪽으로 고른다(Arfken (14.106)~(14.107)):

$$K_\nu(x) = \frac{\pi}{2}\,i^{\nu+1}H_\nu^{(1)}(ix) = \frac{\pi}{2}\frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu\pi)}, \qquad K_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,e^{-x}$$

$K_0 \approx -\ln(x/2) - \gamma$, $K_\nu \approx \tfrac12\Gamma(\nu)(2/x)^\nu$로 원점에서 발산한다. Kreyszig 연습 15가 이것을 “제3종”이라 부르기도 한다고 적어 두었고, $K$의 점화식은 $I$와 부호가 다르다(Arfken이 “이 분야에서 표기 혼란이 가장 심한 자리”라고 한 곳).

그림 1.5-6. 수정 베셀 함수 I₀, I₁(파랑)과 K₀, K₁(주황). I는 원점에서 유한하게 출발해 e^x/√(2πx)로 자라고, K는 원점에서 발산해 e^(−x)√(π/2x)로 죽는다. 어느 것도 진동하지 않는다 — 급수의 부호가 전부 같기 때문이다. 보통 베셀 함수와의 관계는 sin·cos와 sinh·cosh의 관계 그대로다. 광섬유 클래딩 속의 감쇠장, 국소 가림 모형의 2차원 퍼텐셜, 원통 속 정전 퍼텐셜의 z 방향 감쇠가 이 함수들로 적힌다.직접 작도

직관

$K_0$는 2차원의 유카와 퍼텐셜이다. 3차원에서 $(-\nabla^2 + \kappa^2)G = \delta$의 해가 $e^{-\kappa r}/4\pi r$(가려진 쿨롱)인 것처럼, 2차원에서는 $G = K_0(\kappa\rho)/2\pi$다 — 축대칭 수정 베셀 방정식의, 무한대에서 죽는 해. 원점 근처에서 $-\ln\rho/2\pi$(2차원 쿨롱), 먼 곳에서 $e^{-\kappa\rho}/\sqrt\rho$. 다만 이 꼴이 나오는 것은 가림 상수 $\kappa$가 상수인 국소 가림(헬름홀츠·디바이–휘켈 꼴)일 때다. 2차원 전자계(MOS 반전층, 그래핀, 양자우물)의 실제 정적 가림은 유전 응답이 비국소($\varepsilon(q) = 1 + q_s/q$)라서 실공간 퍼텐셜이 $K_0$가 아니고 꼬리도 지수가 아니라 대수적으로 죽는다 — $K_0$는 그 문제의 국소 근사이자 원형(原型)으로 읽어야 한다. 원통 좌표 라플라스 방정식의 그린 함수를 전개하면 $I_m(k\rho_<)K_m(k\rho_>)$가 나온다(Arfken 예 14.5.1 — $\rho_<, \rho_>$는 작은 쪽과 큰 쪽, $I$는 안쪽에서 유한하고 $K$는 바깥에서 유한하다는 조건). 1.8의 그린 함수에서 이 구성을 다시 본다.

광섬유. 계단형 굴절률 광섬유의 모드는 코어 안에서 $J_l(u\rho/a)$(진동), 클래딩에서 $K_l(w\rho/a)$(감쇠)이고, 경계에서 함수와 도함수를 잇는 조건이 고유값 방정식이다. $u^2 + w^2 = V^2$, $V = (2\pi a/\lambda)\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$가 정규화 주파수인데, 단일 모드 조건이 $V < 2.405$ — $J_0$의 첫 영점이다. 두 번째 모드(LP$_{11}$)의 차단이 정확히 거기서 일어난다. 원형 금속 도파관의 차단 주파수도 같은 표에서 나온다: TM 모드는 $J_m$의 영점 $\alpha_{mi}$, TE 모드는 $J_m'$의 영점 (Arfken 예 14.1.2, 연습 14.1.25~26). 그래서 원형 도파관의 최저 모드는 TE$_{11}$($J_1'$의 첫 영점 1.8412)이다 — 표에서 가장 작은 숫자.

직교성 — 차수가 아니라 인수를 늘인다

사인 함수 $\sin(n\pi x)$가 $(0, 1)$에서 직교하는 것은 각각이 $x = 1$에서 $0$이 되도록 인수를 늘였기 때문이다. 베셀에서도 마찬가지다 — 직교하는 것은 $J_0, J_1, J_2, \ldots$가 아니라, 같은 차수 $\nu$에 인수를 $\alpha_{\nu i}\rho/a$로 늘인 것들이다(Boas §12.19가 사인과 나란히 놓고 비교한다). $J_\nu(k\rho)$는

$$\rho\frac{d}{d\rho}\Bigl(\rho\frac{dy}{d\rho}\Bigr) + (k^2\rho^2 - \nu^2)y = 0$$

을 만족하고, 6절의 세 단계 — 두 식을 교차해 빼고, 완전 미분을 적분하고, 경계항을 죽인다 — 를 밟으면(Arfken (14.43))

$$(k^2 - k'^2)\int_0^a\rho\,J_\nu(k\rho)J_\nu(k'\rho)\,d\rho = a\bigl[k' J_\nu(ka)J_\nu'(k'a) - k J_\nu'(ka)J_\nu(k'a)\bigr]$$

$\rho = 0$의 경계항은 $\rho$ 인자 때문에 죽고, $\rho = a$의 경계항은 $J_\nu(ka) = J_\nu(k'a) = 0$, 곧 $ka, k'a$가 둘 다 영점이면 죽는다. 따라서

$$\int_0^a\rho\,J_\nu\Bigl(\alpha_{\nu i}\frac{\rho}{a}\Bigr)J_\nu\Bigl(\alpha_{\nu j}\frac{\rho}{a}\Bigr)d\rho = \frac{a^2}{2}\bigl[J_{\nu+1}(\alpha_{\nu i})\bigr]^2\delta_{ij}$$

노름은 $k' \to k$의 극한을 로피탈로 계산해 얻는다. **가중 함수가 $\rho$**인 것에 주목 — 원판 위의 면적소 $\rho\,d\rho\,d\varphi$의 $\rho$다. 평면에서 균일한 가중이 반지름 변수에서는 $\rho$ 가중이 된다. $J_\nu'(ka) = 0$(노이만 조건)으로 고른 것들도 별도의 직교계를 이룬다.

그림 1.5-7. 같은 차수 1의 베셀 함수에 인수를 J₁의 영점 3.832, 7.016, 10.174배로 늘인 세 곡선. 셋 다 경계 ρ = a에서 0이 되고 차례로 1, 2, 3개의 마디를 가지며, 가중 ρ로 서로 직교한다 — sin(nπx)의 원통판이다. 직교하는 것은 J₀, J₁, J₂가 아니라 같은 차수에 인수를 늘인 것들이라는 점이 사인과 정확히 대응한다. 둥근 웨이퍼의 온도, 원판 공진기의 진동, 원형 막의 모드가 이 함수들의 급수로 전개된다.직접 작도

이제 베셀–푸리에 급수가 된다: $0 \le \rho \le a$에서

$$f(\rho) = \sum_{i=1}^\infty c_i J_\nu\Bigl(\alpha_{\nu i}\frac{\rho}{a}\Bigr), \qquad c_i = \frac{2}{a^2 J_{\nu+1}^2(\alpha_{\nu i})}\int_0^a f(\rho)J_\nu\Bigl(\alpha_{\nu i}\frac{\rho}{a}\Bigr)\rho\,d\rho$$

Arfken 예 14.2.1이 전형이다 — 옆면과 바닥이 접지된 속이 찬 원통의 윗면에 전위 $V(\rho, \varphi)$가 주어지면 안의 전위는 $\sum c_{mi}J_m(\alpha_{mi}\rho/a)e^{im\varphi}\sinh(\alpha_{mi}z/a)$이고, 계수는 위 공식으로 정해진다. 둥근 웨이퍼의 급속 열처리에서 반지름 방향 온도 분포의 시간 변화도 같은 급수다 — $J_0(\alpha_{0i}\rho/a)e^{-D\alpha_{0i}^2 t/a^2}$의 합이고, 가장 느린 모드 $\alpha_{01} = 2.405$가 열 평형 시간을 정한다. 1.7의 편미분방정식에서 이것을 끝까지 한다.

베셀로 환원되는 방정식들

베셀 방정식은 겉모습이 여럿이다. Boas §12.16의 정리 하나가 큰 가족을 덮는다:

$$y'' + \frac{1 - 2a}{x}y' + \Bigl[(bcx^{c-1})^2 + \frac{a^2 - p^2c^2}{x^2}\Bigr]y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x^a Z_p(bx^c)$$

$Z$는 $J, Y$ 또는 그 결합이다. $y'' + 9xy = 0$이면 $a = \tfrac12, c = \tfrac32, b = 2, p = \tfrac13$이고 $y = \sqrt x\,Z_{1/3}(2x^{3/2})$. 4절의 에어리 방정식 $y'' - xy = 0$은 $b$가 허수가 되어 $\sqrt x\,Z_{1/3}(\tfrac23 ix^{3/2})$, 곧 수정 베셀 함수 $I_{\pm1/3}, K_{1/3}$이다(Boas (17.10)):

$$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{x}{3}}\,K_{1/3}\Bigl(\tfrac23 x^{3/2}\Bigr)$$

삼각 우물의 파동함수가 차수 $1/3$의 베셀 함수라는 말이다. Kreyszig 연습 210, 5.5절 연습 19가 이 종류의 치환 연습이다.

직관

표피 효과 — 켈빈 함수. 원통 도체에 교류가 흐르면 전류밀도는 $y'' + y'/x - iy = 0$ (Boas (17.5))을 만족한다 — 베셀 방정식의 허수 인수 판이고 해는 $Z_0(i^{3/2}x)$다. 복소수 해를 실수·허수부로 나눈 것이 켈빈 함수 $\mathrm{ber}\,x + i\,\mathrm{bei}\,x = J_0(i^{3/2}x)$. $x = \sqrt2\,\rho/\delta$, $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$가 표피 깊이다. 도체 반지름이 $\delta$보다 훨씬 크면 전류가 표면 $\delta$ 두께에 몰리고 저항이 $\sqrt\omega$로 오른다 — 고주파 인터커넥트, 본딩 와이어, 인덕터의 교류 저항이 전부 이 함수다. 구리에서 1 GHz의 $\delta$는 2 μm — 온칩 배선 두께와 같은 자릿수라 표피 효과가 무시되지 않는다.

구면 베셀 함수

구 좌표에서 헬름홀츠 방정식의 반지름 부분은(Arfken (14.148))

$$r^2R'' + 2rR' + \bigl[k^2r^2 - l(l+1)\bigr]R = 0$$

$R = Z/\sqrt{kr}$로 놓으면 차수 $l + \tfrac12$의 베셀 방정식이 된다 — $2rR'$의 계수 2가 $\sqrt{kr}$를 거쳐 $\tfrac14$의 차이를 만들고, $(l+\tfrac12)^2 = l(l+1) + \tfrac14$. 그래서 구면 베셀 함수를 정의한다:

$$j_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+1/2}(x), \quad y_l(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}Y_{l+1/2}(x), \quad h_l^{(1,2)}(x) = j_l(x) \pm i\,y_l(x)$$

반정수 차수 베셀 함수는 초등함수다. Kreyszig 예 3이 급수에서 직접 보인다 — $\Gamma(k + \tfrac32)$를 이중 계승으로 풀고 $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$를 쓰면 $J_{1/2}(x) = \sqrt{2/\pi x}\,\sin x$, $J_{-1/2}(x) = \sqrt{2/\pi x}\,\cos x$. 따라서

$$j_0(x) = \frac{\sin x}{x}, \qquad y_0(x) = -\frac{\cos x}{x}, \qquad h_0^{(1)}(x) = -\frac{i\,e^{ix}}{x}$$ $$j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}, \qquad j_2(x) = \Bigl(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x}\Bigr)\sin x - \frac{3}{x^2}\cos x$$

높은 차수는 레일리 공식 $j_l(x) = (-1)^l x^l\bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\bigr)^l\frac{\sin x}{x}$이나 점화식 $f_{l-1} + f_{l+1} = \frac{2l+1}{x}f_l$로 만든다. 행동은: 작은 $x$에서 $j_l \approx x^l/(2l+1)!!$, $y_l \approx -(2l-1)!!/x^{l+1}$; 큰 $x$에서 $j_l \sim \sin(x - l\pi/2)/x$, $y_l \sim -\cos(x - l\pi/2)/x$, $h_l^{(1)} \sim (-i)^{l+1}e^{ix}/x$ — **구면파의 $1/r$**이 정확히 나온다. 직교성은 가중이 $r^2$이고 (구 부피소의 $r^2$), $j_0$의 영점은 $n\pi$로 정확하다.

직관

구형 양자점. 반지름 $a$의 무한 구 우물에 갇힌 전자는(Arfken 예 14.7.1) $R = j_l(kr)$이어야 하고($y_l$은 원점에서 발산) $j_l(ka) = 0$이어야 하니 $k = \alpha_{li}/a$ — 여기서 $\alpha_{li}$는 $j_l$의 영점(Arfken 표 14.2: $j_0$은 $\pi, 2\pi, \ldots$; $j_1$은 4.4934, 7.7253; $j_2$는 5.7635).

$$E_{li} = \frac{\hbar^2\alpha_{li}^2}{2m^*a^2}, \qquad E_{\min} = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m^*a^2}$$

준위가 $1/a^2$으로 오른다 — 양자 구속 효과의 가장 단순한 모형이고, CdSe 나노결정의 발광색이 크기로 조절되는 이유다. 다만 실제 발광 에너지의 이동은 이 단일 입자 준위만이 아니라 전자와 정공의 구속에 둘 사이의 쿨롱 인력(반지름에 따라 $1/a$로 줄어드는 음의 보정)과 유전체 구속까지 더해 정해진다. $a = 3\,\mathrm{nm}$, $m^* = 0.13\,m_0$이면 바닥 준위가 $0.3\,\mathrm{eV}$ 자릿수. 준위 순서는 영점 표를 그대로 읽는다: $1s(\pi)$, $1p(4.49)$, $1d(5.76)$, $2s(2\pi)$, … — 같은 $l$에서 $i$가 오를 때보다 같은 $i$에서 $l$이 오를 때 간격이 좁다. 우물이 유한하면 (Arfken 예 14.7.2) 바깥 해가 수정 구면 베셀 함수 $k_l(\kappa r)$ — $k_0 = e^{-x}/x$ — 가 되고, 경계에서 $j_l$과 $k_l$의 로그 도함수를 맞추는 초월 방정식이 준위를 정한다. 코어–셸 양자점의 계산이 정확히 이 매칭이다.

평면파의 구면파 전개. 레일리 공식 $e^{ikr\cos\gamma} = \sum(2l+1)i^l j_l(kr)P_l(\cos\gamma)$ (Arfken 연습 15.2.24, Boas §23 연습 26)가 6절의 르장드르와 이 절의 $j_l$을 잇는다 — 산란 이론의 부분파 전개가 이것이고, $j_l$은 $P_l$의 적분 변환이다(Arfken 연습 15.2.26).

감마·베타 함수와 스털링 근사

계승을 정수 밖으로

8절에서 $J_\nu$의 분모에 “$(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+k)$를 흡수할 계승”이 필요했다. 계승을 정수가 아닌 인수로 넓히는 함수가 감마 함수다. Boas §11.2의 출발이 자연스럽다 — $\int_0^\infty e^{-\alpha x}dx = 1/\alpha$를 $\alpha$로 $n$번 미분하면 $\int_0^\infty x^n e^{-\alpha x}dx = n!/\alpha^{n+1}$, $\alpha = 1$에서

$$\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$$

정수 $n$에서만 뜻이 있던 계승이 적분으로 적히는 순간 $n$을 실수로 바꿀 수 있다. 오일러 적분:

$$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}\,t^{z-1}\,dt, \qquad \operatorname{Re}z > 0$$

지수가 $z - 1$이라 $\Gamma(n+1) = n!$이다 — 이 장 첫머리에서 경고한 한 칸의 어긋남. 부분적분 한 번으로 점화식

$$\Gamma(z+1) = z\,\Gamma(z)$$

이 나오고, $\Gamma(1) = 1$과 합쳐 $\Gamma(2) = 1$, $\Gamma(3) = 2$, $\Gamma(n+1) = n!$. 점화식을 거꾸로 쓰면 $\Gamma(z) = \Gamma(z+1)/z$로 음수 쪽에 정의를 넓힐 수 있다(Boas §11.4). $z \to 0$에서 $\Gamma(1)/z \to \infty$이고, 한 칸씩 내려가며 $0, -1, -2, \ldots$에서 극이 생기고 정수 사이 구간마다 부호가 바뀐다. 잔류는 $(-1)^n/n!$(Arfken (13.29)). 영점은 없다.

그림 1.5-8. 감마 함수 Γ(x). 양의 정수에서 계승 0!, 1!, 2!, 3!을 지나는 매끈한 곡선이고 — 로그 볼록인 유일한 보간이다 — x = 1/2에서 √π를 지나며 1과 2 사이 x = 1.4616에서 최솟값 0.8856을 갖는다. 0과 음의 정수마다 극이 있어 곡선이 끊어지고 구간마다 부호가 번갈아 바뀌며, 영점은 어디에도 없다. 베셀 급수의 분모, 정규화 상수, 통계역학의 적분이 전부 이 함수의 값이다.직접 작도

$\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$. 가장 자주 쓰는 값이고 증명이 기억할 만하다(Kreyszig 예 3, Boas §11.5). $t = u^2$으로 바꾸면 $\Gamma(\tfrac12) = 2\int_0^\infty e^{-u^2}du$ — 가우스 적분이다. 이것을 제곱해 이중적분으로 쓰고 극좌표로 바꾸면

$$\Bigl[\Gamma(\tfrac12)\Bigr]^2 = 4\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-(u^2+v^2)}du\,dv = 4\int_0^{\pi/2}\!\!d\theta\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr = \pi$$

한 번 하면 못 하던 적분이 두 번 곱하면 되는, 해석학의 유명한 속임수다. 점화식으로 반정수 값이 전부 나온다:

$$\Gamma\Bigl(n + \tfrac12\Bigr) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt\pi = \frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi$$

반사 공식과 배가 공식. 두 항등식이 감마 함수 계산의 도구다(Arfken (13.23), (13.27)):

$$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin\pi z}, \qquad \Gamma(z+1)\Gamma\Bigl(z + \tfrac12\Bigr) = 2^{-2z}\sqrt\pi\,\Gamma(2z+1)$$

첫 식에 $z = \tfrac12$을 넣으면 $\Gamma(\tfrac12)^2 = \pi$까지 나오고, 적분 정의에서 값이 양수임을 알고 있으니 $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$다. 8절의 $Y_\nu$ 정의와 브론스키안 $-2\sin\nu\pi/\pi x$의 $\sin\nu\pi$가 여기서 왔다. 증명은 1.9의 유수 정리가 가장 짧다.

직관

세 가지 정의가 같은 함수를 가리킨다. 오일러 적분 말고도 오일러 극한 $\Gamma(z) = \lim_{n\to\infty}\dfrac{n!\,n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)}$과 바이어슈트라스 곱 $\dfrac{1}{\Gamma(z)} = z\,e^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\Bigl(1 + \dfrac{z}{n}\Bigr)e^{-z/n}$이 있다(Arfken §13.1). 곱의 꼴은 $1/\Gamma$가 $0, -1, -2, \ldots$에서 단순 영점을 갖는 전해석함수임을 한눈에 보여 주고 — 그래서 $\Gamma$는 극만 있고 영점이 없다 — 지수 인자 $e^{\gamma z}$의 $\gamma$가 1절의 오일러–마스케로니 상수다. 조화급수가 발산하는 방식 $\sum 1/k - \ln n \to \gamma$가 감마 함수의 정의 안에 들어 있다. 곱을 로그 미분하면 디감마 $\psi(z) = \Gamma'(z)/\Gamma(z)$가 나오고, $\psi(1) = -\gamma$, $\psi(n+1) = -\gamma + h_n$ — 8절의 $Y_n$ 급수에 조화수가 나타난 이유다(Arfken (13.40)).

그리고 감마 함수는 어떤 유리 계수 미분방정식도 만족하지 않는다(Arfken §13 첫머리). 엄밀한 형태가 횔더 정리다 — $\Gamma$는 유리함수 계수의 자명하지 않은 대수 미분방정식을 하나도 만족하지 않는 미분 초월함수다(선형 방정식만 배제하는 것이 아니다). 이 장의 다른 함수들이 전부 초기하 가족인 것과 대조되는, 특수함수 중의 이단아다. 그래서 감마는 이 장에서 물리량 자체보다 물리량의 계수로 나타난다 — 급수의 분모에, 정규화 상수에, 적분값에.

감마가 물리에 나오는 자리 — 통계역학의 적분

가우스 적분의 일반형이 감마다(Arfken 연습 13.1.10):

$$\int_0^\infty x^{2s}e^{-ax^2}dx = \frac{\Gamma(s + \tfrac12)}{2a^{s+1/2}}, \qquad \int_0^\infty x^{2s+1}e^{-ax^2}dx = \frac{s!}{2a^{s+1}}$$

맥스웰–볼츠만 분포의 모든 평균이 이것이다. 상태 밀도가 $E^{1/2}$에 비례하는 3차원 자유 입자에서 (Arfken 예 13.1.1)

$$\langle E\rangle = \frac{\int_0^\infty E^{3/2}e^{-\beta E}dE}{\int_0^\infty E^{1/2}e^{-\beta E}dE} = \frac{\Gamma(\tfrac52)/\beta^{5/2}}{\Gamma(\tfrac32)/\beta^{3/2}} = \frac{3}{2}k_BT$$

$\Gamma(\tfrac52)/\Gamma(\tfrac32) = \tfrac32$ 한 줄이 등분배 정리다.

직관

유효 상태 밀도와 페르미–디랙 적분. 전도대의 전자 농도는 상태 밀도 $g(E) \propto (E - E_c)^{1/2}$에 페르미 분포를 곱해 적분한 것이다. $\varepsilon = (E - E_c)/k_BT$, $\eta = (E_F - E_c)/k_BT$로 놓으면

$$n = N_c\,F_{1/2}(\eta), \qquad F_j(\eta) = \frac{1}{\Gamma(j+1)}\int_0^\infty\frac{\varepsilon^j\,d\varepsilon}{1 + e^{\varepsilon - \eta}}$$

$F_j$가 페르미–디랙 적분이고 $\Gamma(j+1)$이 그 정규화다 — 이렇게 나눠야 비축퇴 극한 $\eta \to -\infty$에서 $F_j \to e^\eta$가 되어 $n = N_c e^{\eta}$, 볼츠만 통계가 된다. $j = \tfrac12$에서 $\Gamma(\tfrac32) = \sqrt\pi/2$이고, 그것이 $N_c = 2(2\pi m^*k_BT/h^2)^{3/2}$ 앞의 2와 $\pi$의 출처다. 그리고 $\eta = 0$(페르미 준위가 밴드 끝에 있을 때)의 값은 1절의 제타 함수로 정확히 계산된다(Arfken 연습 13.5.7):

$$\int_0^\infty\frac{x^s\,dx}{e^x + 1} = \Gamma(s+1)\,(1 - 2^{-s})\,\zeta(s+1) \;\;\Longrightarrow\;\; F_{1/2}(0) = (1 - 2^{-1/2})\,\zeta(\tfrac32) = 0.765$$

적분값의 $\Gamma(s+1)$이 $F_j$ 정의의 분모와 그대로 약분되어 위의 답이 남는다 — $s = \tfrac12$은 정수가 아니므로 여기서 계승 기호를 쓰지 않는다(표기 약속 ①). $e^x - 1$이 분모이면 보스 적분 $\Gamma(s+1)\,\zeta(s+1)$이다 — 흑체 복사의 $\int x^3/(e^x - 1) = 3!\,\zeta(4) = \pi^4/15$가 슈테판–볼츠만 법칙이고(Arfken 연습 13.5.5), 디바이 열용량의 $T^3$ 법칙과 블로흐–그뤼나이젠 저항의 $T^5$ 법칙(연습 13.5.3, $5!\,\zeta(5)$)이 같은 적분이다. 반도체 통계의 상수들은 감마와 제타로 짜여 있다.

베타 함수

두 감마의 곱을 하나의 감마로 나눈 것:

$$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

왜 이것에 이름을 붙이는가. $\Gamma(p)\Gamma(q)$를 $t = s^2$ 꼴 적분 둘로 쓰고 극좌표로 바꾸면 ($\Gamma(\tfrac12)$의 계산과 같은 속임수, Boas §11.7) $r$ 적분이 $\Gamma(p+q)$가 되고 각 적분이 남는다:

$$B(p, q) = 2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta\,\sin^{2q-1}\theta\,d\theta = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}dt = \int_0^\infty\frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}du$$

사인·코사인의 거듭제곱 적분, $t^a(1-t)^b$의 적분, 유리함수의 적분이 전부 감마의 값이다. $\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,d\theta$가 홀수 $n$이면 $(n-1)!!/n!!$, 짝수면 $\frac\pi2(n-1)!!/n!!$인 것이 여기서 나오고, 7절에서 $P_l^m$의 노름을 구할 때 $\int_{-1}^1(1 - x^2)^l dx = 2(2l)!!/(2l+1)!!$ (Arfken 연습 13.3.3)이 필요했다. 6절의 로드리게스 공식 뒤에 베타가 서 있다. Boas §11.8은 $180°$ 진자의 주기 $T = 4\sqrt{l/2g}\int_0^{\pi/2}d\theta/\sqrt{\cos\theta}$를 $B(\tfrac14, \tfrac12)$로 계산한다 — 컴퓨터가 $\sqrt2 K(1/\sqrt2)$, $2\sqrt\pi\,\Gamma(5/4)/\Gamma(3/4)$, $[\Gamma(1/4)]^2/\sqrt{8\pi}$ 같은 서로 다른 답을 내놓아도 전부 같은 수라는 것을 알아보는 것이 이 절의 목표다.

스털링 근사 — 큰 $n$의 $n!$

$\ln N!$을 $N \sim 10^{22}$에서 계산해야 하는 통계역학이 요구하는 근사다. Boas §11.11의 유도가 아이디어를 보여 준다:

$$\Gamma(p+1) = \int_0^\infty e^{p\ln x - x}dx$$

지수 $p\ln x - x$는 $x = p$에서 최대이고 그 근처에서 $p\ln p - p - (x-p)^2/2p$로 근사된다. $x = p + y\sqrt p$로 바꾸면 피적분함수가 $p^p e^{-p}\sqrt p\,e^{-y^2/2}$가 되고 가우스 적분이 $\sqrt{2\pi}$를 준다:

$$n! \sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}, \qquad \ln n! \approx n\ln n - n + \tfrac12\ln(2\pi n)$$

이것이 스털링 공식이다. 유도에 쓴 방법 — 지수의 최댓점 근처를 가우스로 근사한다 — 이 라플라스의 방법이고, 복소평면으로 옮기면 1.9의 안장점법(최급강하법)이다. 8절의 한켈 함수 점근형도 같은 방법으로 얻었다.

전체 점근 급수는(Arfken (13.60), 오일러–매클로린 공식과 베르누이 수 $B_{2k}$로)

$$\ln\Gamma(z+1) = \tfrac12\ln 2\pi + \Bigl(z + \tfrac12\Bigr)\ln z - z + \frac{1}{12z} - \frac{1}{360z^3} + \frac{1}{1260z^5} - \cdots$$ $$\Gamma(z+1) = \sqrt{2\pi z}\,z^z e^{-z}\Bigl(1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \frac{139}{51840z^3} + \cdots\Bigr)$$

베르누이 수가 급격히 커지므로 이 급수는 발산한다. 그런데 첫 몇 항만 쓰면 놀랍도록 정확하다(Arfken 표 13.1): 첫 항만으로 $1!$에서 8% 낮고 $10!$에서 0.8% 낮으며, $1/12z$까지 넣으면 $1!$에서도 0.1% 안에 든다. 오차가 버린 첫 항보다 작다 — 10절에서 이런 급수를 점근 급수라 부르고 어떻게 다루는지 본다. Boas 연습 11.1: 첫 항의 상대 오차는 $p > 10$에서 1% 이하, $p > 100$에서 0.1% 이하.

직관

왜 통계역학에서는 스털링이 정확한가. $N$개의 입자를 상태들에 $n_1, n_2, \ldots$개씩 배분하는 경우의 수 $W = N!/\prod n_i!$에 $S = k_B\ln W$를 취하고 스털링을 쓰면(Arfken 연습 13.4.8)

$$\ln W \approx N\ln N - N - \sum_i(n_i\ln n_i - n_i) = -N\sum_i p_i\ln p_i, \qquad p_i = n_i/N$$

$\tfrac12\ln(2\pi n)$ 항은 $N\ln N$에 비해 $\ln N/N \sim 10^{-21}$ 크기라 버린다. 상대 오차가 $1/N$으로 죽는 근사라 $N$이 아보가드로 수면 어떤 측정으로도 구분되지 않는다 — 엔트로피 공식 $S = -k_B\sum p_i\ln p_i$가 근사가 아니라 사실상 정의처럼 쓰이는 이유다. 볼츠만·페르미– 디랙·보스–아인슈타인 분포를 $\ln W$의 최대화로 유도할 때 첫 줄에서 하는 일이 이 근사이고, 이 백과의 10부(통계물리)에서 그 유도를 한다. 그래프 직관 하나 — $\ln n!$ 대 $n$은 $n\ln n - n$이라는 매끈한 곡선 위에 정수 점들이 놓인 것이고, Arfken 연습 13.4.4의 부등식 $\int_1^n\ln x\,dx < \ln n! < \int_1^{n+1}\ln x\,dx$가 그 곡선을 위아래에서 조인다.

리만 제타 — 잠깐

1절의 $\zeta(p) = \sum k^{-p}$는 감마와 짝이다. 적분 표현(Arfken (13.62))

$$\zeta(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty\frac{t^{z-1}}{e^t - 1}dt$$

은 감마의 오일러 적분에서 분모 $e^t$가 $e^t - 1$로 바뀐 것뿐이고, 위의 보스 적분이 여기서 나온다. 대칭 함수 방정식 $\Gamma(z/2)\pi^{-z/2}\zeta(z) = \Gamma((1-z)/2)\pi^{-(1-z)/2}\zeta(1-z)$가 $\zeta$를 온 복소평면으로 넓히고, $\zeta(0) = -\tfrac12$, 음의 짝수에서 자명한 영점, 그리고 오일러의 소수 곱 $\zeta(s) = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$ — 소수의 분포가 이 함수의 비자명 영점에 달렸다는 리만 가설은 아직 열려 있다. 이 백과에서는 짝수 정수의 값과 보스·페르미 적분에서 쓰는 것으로 충분하다.

오차함수와 불완전 감마함수

가우스 곡선 아래의 넓이

$e^{-t^2}$의 원시함수는 초등함수가 아니다. 그래서 정의한다(Boas §11.9, Arfken §13.6):

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt, \qquad \operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\int_x^\infty e^{-t^2}dt$$

오차함수와 여오차함수. 앞의 $2/\sqrt\pi$는 $\operatorname{erf}(\infty) = 1$이 되게 하는 정규화이고 — $\int_0^\infty e^{-t^2}dt = \tfrac12\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi/2$이므로 — 9절의 $\sqrt\pi$가 바로 여기 있다. 홀함수 $\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)$이고, 작은 $x$에서는 3절의 방법으로 지수함수의 급수를 항별 적분하면

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt\pi}\Bigl(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5\cdot2!} - \frac{x^7}{7\cdot3!} + \cdots\Bigr) = \frac{2}{\sqrt\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)\,k!}$$

모든 $x$에서 수렴하고, 교대급수라 오차가 버린 첫 항보다 작다. 원점 접선이 $2x/\sqrt\pi$다. $x > 3$이면 $\operatorname{erf}$는 1과 $10^{-4}$ 이하로 다르고, 그때 관심은 언제나 $\operatorname{erfc}$에 있다 — 그리고 $\operatorname{erfc}$는 급수로 계산하면 두 큰 수의 차가 되어 유효숫자가 전멸한다. 큰 $x$에는 다른 도구가 필요하다.

정규분포와의 관계(Boas (9.2)):

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}dt = \frac12\Bigl[1 + \operatorname{erf}\Bigl(\frac{x}{\sqrt2}\Bigr)\Bigr]$$

$\sqrt2$의 위치를 조심할 것 — 통계학의 표준정규 누적분포 $\Phi$와 물리의 $\operatorname{erf}$는 인수가 $\sqrt2$배 다르다. 1.11에서 신뢰구간을 계산할 때 이 변환을 매번 한다. 통신에서 쓰는 $Q(x) = 1 - \Phi(x) = \tfrac12\operatorname{erfc}(x/\sqrt2)$가 비트 오류율의 함수다(22부).

그림 1.5-9. 왼쪽은 오차함수 erf와 여오차함수 erfc를 선형 눈금으로 그린 것 — 원점 접선 2x/√π에서 출발해 x ≈ 2에서 사실상 포화한다. 오른쪽은 erfc를 로그 눈금으로 가우스 함수 e^(−x²) 및 점근형 e^(−x²)/(x√π)와 비교한 것. erfc의 꼬리는 가우스보다 1/x만큼 느리게 죽고 로그 눈금에서 거의 포물선이며, x ≈ 2.75에서 10⁻⁴에 이른다. 일정 표면 농도 확산의 프로파일 C/C_s = erfc(x/2√(Dt))가 정확히 오른쪽 곡선이고, 배경 농도의 10⁻⁴ 수준까지의 접합 깊이가 2.75 × 2√(Dt)다.직접 작도

직관

확산 프로파일 — 이 절이 목차에 있는 이유. 표면 농도 $C_s$를 일정하게 유지하며 불순물을 확산시키면(1.7.7, 18부의 예비 증착) 반무한 매질의 확산 방정식 해가

$$C(x, t) = C_s\,\operatorname{erfc}\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\Bigr)$$

이다. 왜 오차함수인가 — 확산 방정식 $\partial C/\partial t = D\,\partial^2C/\partial x^2$은 $x^2/t$의 결합에서만 $C$가 변하는 닮음해를 허용하고, $\xi = x/2\sqrt{Dt}$로 쓰면 상미분방정식 $C'' + 2\xi C' = 0$이 되어 한 번 적분하면 $C' \propto e^{-\xi^2}$, 다시 적분하면 오차함수다. **특성 길이 $2\sqrt{Dt}$**가 모든 것을 지배한다: 온도가 $D$를 지수적으로 바꾸고, 시간은 제곱근으로만 든다. 접합 깊이는 $\operatorname{erfc}(\xi_j) = C_B/C_s$에서 읽는다 — 그림의 로그 눈금이 그 읽기이고, $C_B/C_s = 10^{-4}$이면 $\xi_j = 2.75$, $x_j = 5.5\sqrt{Dt}$. 표면 농도를 끊고 확산을 계속하면(드라이브인) 총량이 보존되어 프로파일이 가우스 $\frac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}$로 바뀐다 — 오른쪽 그림의 두 곡선이 두 공정 단계다. 이온 주입 후의 프로파일도 가우스이고, 마스크 가장자리의 측면 확산이 2차원 오차함수다. 오차함수의 꼬리가 가우스보다 $1/x$만큼 느린 것이 로그 눈금에서 두 곡선이 벌어지는 이유다.

점근 급수 — 발산하지만 쓸 수 있다

$\operatorname{erfc}(x)$를 큰 $x$에서 구한다. Boas §11.10의 부분적분이 원리를 남김없이 보여 준다. $e^{-t^2} = \dfrac{1}{t}\cdot\dfrac{d}{dt}\Bigl(-\dfrac12 e^{-t^2}\Bigr)$로 쓰고 부분적분하면

$$\int_x^\infty e^{-t^2}dt = \frac{e^{-x^2}}{2x} - \frac12\int_x^\infty\frac{e^{-t^2}}{t^2}dt$$

남은 적분에 같은 일을 반복하면 $\dfrac{e^{-x^2}}{2x}\Bigl(-\dfrac{1}{2x^2}\Bigr) + \dfrac{3}{4}\int_x^\infty\dfrac{e^{-t^2}}{t^4}dt$, …

$$\operatorname{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt\pi}\Bigl(1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot3}{(2x^2)^2} - \frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3} + \cdots\Bigr) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt\pi}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{(2x^2)^k}$$

분자의 $(2k-1)!!$이 계승처럼 자라므로 이 급수는 모든 $x$에서 발산한다. 그런데 $N$항에서 끊으면 남는 것은 무한급수가 아니라 정확한 적분 항이고(Boas (10.5)), 그 적분은 부등식으로 누를 수 있다 — 둘째 항까지 쓰고 남은 $\frac{3}{2\sqrt\pi}\int_x^\infty t^{-4}e^{-t^2}dt$는 $1/t^5 \le 1/x^5$이므로 $\dfrac{e^{-x^2}}{2x^5}$보다 작다. 마지막으로 쓴 항 $e^{-x^2}/x^3$보다 $1/x^2$배 작다. 오차와 마지막 항의 비가 $x \to \infty$에서 $0$으로 간다 — 이것이 점근 급수의 정의다(Boas (10.6)):

$$f(x) \sim \sum_{k=0}^\infty\phi_k(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \text{고정된 } N\text{마다}\;\;\frac{f(x) - \sum_{k=0}^N\phi_k(x)}{\phi_N(x)} \to 0 \;\;(x \to \infty)$$

수렴 급수와의 차이는 무엇을 고정하고 무엇을 보내는가다. 수렴은 $x$를 고정하고 $N \to \infty$, 점근은 $N$을 고정하고 $x \to \infty$. 한 급수가 둘 다일 수도, 하나만일 수도, 둘 다 아닐 수도 있다.

그림 1.5-10. erfc(x)의 점근 급수를 N항까지 더했을 때의 상대 오차를 N = 0에서 14까지 로그 눈금으로 그린 세 곡선(x = 1.5, 2, 2.5). 오차는 항을 더할수록 줄다가 N ≈ 2x² 근처(동그라미)에서 가장 작아지고, 그 뒤로는 다시 커진다 — 수렴 급수라면 결코 없는 일이다. x가 클수록 최소 오차가 작다: x = 2.5에서는 열두 항으로 10⁻⁶에 이르지만 x = 1.5에서는 네 항에서 10⁻¹이 최선이다. 점근 급수를 쓰는 법은 '충분히 큰 x에서, 항이 가장 작아지는 곳에서 끊는다'는 한 문장이다.직접 작도

직관

최적 절단. 점근 급수의 항 $\phi_k$는 처음에는 줄다가 어느 $k$부터 다시 커진다 — 위 급수에서 항의 비는 $(2k+1)/(2x^2)$이니 $k \approx x^2$에서 가장 작은 항이 나온다. 그 앞에서 끊으면 오차가 그 최소 항 정도, 대략 $e^{-x^2}$ 크기의 상대 오차다. 그래서 점근 급수의 정밀도는 $x$가 정한다 — 항을 더 더해 좋아지는 것이 아니다. 그림의 동그라미가 그 자리다. 8절의 베셀 점근 전개, 9절의 스털링 급수, 이 절의 불완전 감마와 지수 적분의 점근 전개가 전부 같은 성격이고, 5절에서 본 대로 그 발산은 방정식의 $x = \infty$가 비정칙 특이점이라는 사실의 반영이다. 반도체 통계에서 저온의 축퇴 전자계를 다루는 좀머펠트 전개(페르미 적분을 $(k_BT/E_F)^2$의 급수로)가 같은 종류의 점근 급수다 — 이 백과의 10부에서 다시 나온다.

불완전 감마함수와 지수 적분

감마의 오일러 적분을 중간에서 자른 것이다(Arfken (13.73)):

$$\gamma(a, x) = \int_0^x e^{-t}t^{a-1}dt, \qquad \Gamma(a, x) = \int_x^\infty e^{-t}t^{a-1}dt, \qquad \gamma(a, x) + \Gamma(a, x) = \Gamma(a)$$

오차함수는 $a = \tfrac12$의 불완전 감마다 — $x \ge 0$에서 $t = u^2$으로 바꾸면

$$\operatorname{erf}(x) = \frac{\gamma(\tfrac12, x^2)}{\sqrt\pi}, \qquad \operatorname{erfc}(x) = \frac{\Gamma(\tfrac12, x^2)}{\sqrt\pi}$$

이 절의 두 주인공이 사실 한 가족이라는 말이다. 불완전 감마는 $x^2$만 보므로 음의 $x$까지 덮으려면 $\operatorname{erf}(x) = \operatorname{sgn}(x)\,\gamma(\tfrac12, x^2)/\sqrt\pi$로 적어야 한다. $a$가 양의 정수 $n$이면 부분적분이 끝까지 되어 초등함수다(Arfken (13.75)):

$$\Gamma(n, x) = (n-1)!\,e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}, \qquad \gamma(n, x) = (n-1)!\Bigl(1 - e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}\Bigr)$$

괄호 안의 $e^{-x}\sum x^k/k!$이 푸아송 분포의 누적 확률이다 — 평균 $x$의 푸아송 변수가 $n$ 미만일 확률. 1.11에서 웨이퍼의 결함 수 분포와 수율 모형에 쓴다. 일반 $a$에서는 작은 $x$의 급수와 큰 $x$의 점근 급수가 있다(Arfken (13.76), 연습 1.3.3):

$$\gamma(a, x) = x^a\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^k}{k!\,(a+k)}, \qquad \Gamma(a, x) \sim x^{a-1}e^{-x}\sum_{k=0}^\infty\frac{(a-1)(a-2)\cdots(a-k)}{x^k}$$

$a = 0$의 위 불완전 감마가 지수 적분이다:

$$E_1(x) = \Gamma(0, x) = \int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt = -\gamma - \ln x - \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k x^k}{k\cdot k!}$$ $$E_1(x) \sim \frac{e^{-x}}{x}\Bigl(1 - \frac{1!}{x} + \frac{2!}{x^2} - \frac{3!}{x^3} + \cdots\Bigr)$$

원점에서 로그로 발산하고($\ln x$와 오일러 상수 — 8절의 $Y_0$, $K_0$와 같은 모양), 큰 $x$의 점근 급수는 계수가 $k!$이라 가장 사납게 발산하는 종류다. Arfken은 $-\operatorname{Ei}(-x) \equiv E_1(x)$의 이중 음부호를 “역사적 괴물”이라 부른다 — 참고 자료의 정의를 확인하라는 경고. 사인·코사인 적분 $\operatorname{si}, \operatorname{Ci}$가 허수 인수의 $E_1$이고(Arfken (13.86)~(13.89)), 대수 적분 $\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)$가 소수 정리의 함수다.

직관

전자 구름의 퍼텐셜 — 스스로를 가리는 불순물. 수소 원자 $1s$ 전자 구름이 만드는 전위는 (Arfken 연습 13.6.7, $r$은 보어 반지름 단위)

$$V(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a_0}\Bigl[\frac{1}{2r}\gamma(3, 2r) + \Gamma(2, 2r)\Bigr] \;\;\longrightarrow\;\; \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a_0}\Bigl(1 - \dfrac{2}{3}r^2 + \cdots\Bigr) & r \ll 1 \\[1em] \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 a_0}\dfrac{1}{r} & r \gg 1 \end{cases}$$

안쪽에서는 유한하고 바깥에서는 점전하다 — 구름이 핵을 가린다. 도너에 묶인 전자가 이온을 가리는 것, 이온화 불순물 산란에서 브룩스–헤링 가림 길이가 나오는 것, 전부 이런 적분의 변형이다. 불완전 감마는 “지수적으로 죽는 분포를 어디까지 적분했는가”를 세는 함수이고, 그 질문은 반도체에서 늘 나온다 — 밴드 꼬리의 상태 수, 트랩의 방출 시간 분포, 신뢰성의 와이블 분포까지.

에르미트·라게르 다항식

에르미트 — 조화 진동자

양자 조화 진동자의 슈뢰딩거 방정식 $-\frac{\hbar^2}{2m}\psi'' + \frac{k}{2}z^2\psi = E\psi$에서 $z = x\sqrt{\hbar/\sqrt{km}}$, $E = \lambda\hbar\sqrt{k/m}$로 무차원화하면(Arfken §18.2)

$$-\tfrac12\varphi'' + \tfrac12x^2\varphi = \lambda\varphi \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi'' + (2\lambda - x^2)\varphi = 0$$

큰 $\lvert x\rvert$에서 $\varphi'' \approx x^2\varphi$이니 $\varphi \sim e^{\pm x^2/2}$이고, 정규화하려면 $e^{-x^2/2}$를 골라야 한다. $\varphi = e^{-x^2/2}H(x)$로 놓으면 $H$가

$$H'' - 2xH' + (2\lambda - 1)H = 0$$

4절에서 본 에르미트 방정식이다. 거기서 본 대로 급수해는 $e^{x^2}$처럼 자라서 $\varphi$를 망치고, 급수가 끊어져야만 — $2\lambda - 1 = 2n$, 곧

$$\lambda_n = n + \tfrac12, \qquad E_n = \Bigl(n + \tfrac12\Bigr)\hbar\omega, \qquad \omega = \sqrt{k/m}$$

— 살아남는다. 에너지가 등간격이고 바닥이 $\tfrac12\hbar\omega$(영점 에너지)라는 것이 급수의 끊어짐 조건에서 나왔다. 해당 다항식이 에르미트 다항식 $H_n(x)$, 파동함수가 에르미트 함수 $\varphi_n = e^{-x^2/2}H_n(x)$다.

그림 1.5-11. 조화 진동자 퍼텐셜 x²/2 위에 에너지 준위 n + ½(n = 0, 1, 2, 3)를 점선으로 놓고, 각 준위 높이에 정규화한 에르미트 함수 e^(−x²/2)H_n/√(2ⁿn!√π)를 얹은 그림. 준위 간격은 ħω로 일정하고 바닥은 0이 아닌 ½ħω다. 고리는 퍼텐셜과 준위가 만나는 고전 회귀점 ±√(2n+1)로, 고전 입자는 그 안에서만 움직이지만 파동함수는 그 밖으로 지수적으로 줄어들며 새어 나간다. n번째 함수는 마디가 n개다 — 급수가 n차에서 끊어졌기 때문이다.직접 작도

성질을 모아 둔다(Arfken §18.1, Boas §12.22). 생성함수와 로드리게스 공식:

$$e^{-t^2 + 2tx} = \sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}, \qquad H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

점화식: $H_{n+1} = 2xH_n - 2nH_{n-1}$, $H_n' = 2nH_{n-1}$. 처음 몇 개: $H_0 = 1$, $H_1 = 2x$, $H_2 = 4x^2 - 2$, $H_3 = 8x^3 - 12x$, $H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12$ — 최고차 계수가 $2^n$이 되도록 정규화한다. 패리티 $H_n(-x) = (-1)^nH_n(x)$. 직교성은 가중 $e^{-x^2}$으로:

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}H_m(x)H_n(x)\,dx = 2^n n!\sqrt\pi\,\delta_{mn}$$

에르미트 방정식은 $e^{-x^2}$을 곱해야 자체 수반 꼴 $(e^{-x^2}H')' + 2ne^{-x^2}H = 0$이 되고, 6절의 세 단계에서 경계항이 $e^{-x^2}$ 덕에 무한대에서 죽는다. 노름은 생성함수 둘을 곱해 적분하면 $\sqrt\pi e^{2st}$가 나오는 데서 읽는다(Arfken (18.14)~(18.15)). 파동함수의 정규화 상수가 $(2^n n!\sqrt\pi)^{-1/2}$이다.

직관

사다리 연산자. Boas §12.22의 방법이 급수보다 깊다. $D = d/dx$로 $(D - x)(D + x)y = y'' - x^2y + y$, $(D + x)(D - x)y = y'' - x^2y - y$이므로 진동자 방정식 $y'' - x^2y = -(2n+1)y$는

$$(D - x)(D + x)y_n = -2n\,y_n, \qquad (D + x)(D - x)y_n = -2(n+1)\,y_n$$

두 식을 비교하면 $(D - x)y_n$이 $n + 1$의 해이고 $(D + x)y_n$이 $n - 1$의 해다 — 올림 연산자와 내림 연산자. 바닥은 더 내려갈 수 없으니 $(D + x)y_0 = 0$, 곧 $y_0 = e^{-x^2/2}$, 그리고 $y_n = (D - x)^n e^{-x^2/2}$. Arfken §18.2는 이것을 $a = (x + ip)/\sqrt2$, $a^\dagger$로 쓰고 $[a, a^\dagger] = 1$, $H = a^\dagger a + \tfrac12$ 만으로 — 미분방정식을 한 줄도 풀지 않고 — $\lambda_n = n + \tfrac12$을 얻는다: $\langle a\varphi\lvert a\varphi\rangle = \lambda - \tfrac12 \ge 0$이니 내림을 반복하다 멈추려면 $\lambda$가 반정수여야 한다. 그리고 $a\varphi_n = \sqrt n\,\varphi_{n-1}$, $a^\dagger\varphi_n = \sqrt{n+1}\,\varphi_{n+1}$.

이 대수가 반도체에서 하는 일은 크다. 포논은 격자의 정규 모드(1.3.2고유값 문제의 응용) 하나하나가 조화 진동자이고, $a^\dagger, a$가 포논을 하나 만들고 없애는 생성·소멸 연산자다 — 전자–포논 산란의 행렬 요소에 $\sqrt{n+1}$(방출)과 $\sqrt n$(흡수)이 붙는 이유. 란다우 준위: 자기장 $B$ 속 2차원 전자의 해밀토니안은 란다우 게이지에서 $x$ 방향 조화 진동자가 되고 — 진동수 $\omega_c = eB/m^*$, 중심 $x_0 = \hbar k_y/eB$, 폭 $l_B = \sqrt{\hbar/eB}$ — 파동함수가 $e^{-(x-x_0)^2/2l_B^2}H_n\bigl((x-x_0)/l_B\bigr)$, 준위가 $(n + \tfrac12)\hbar\omega_c$이다. 양자 홀 효과와 슈브니코프–드 하스 진동이 이 등간격 사다리에서 나온다. 그리고 선택 규칙: $xH_n = \tfrac12H_{n+1} + nH_{n-1}$이므로 $\int xe^{-x^2}H_nH_m\,dx$는 $m = n \pm 1$에서만 $0$이 아니다(Arfken 연습 18.2.3) — 적외선 흡수는 이웃 준위 사이에서만, 사이클로트론 공명은 $\hbar\omega_c$에서만.

라게르 — 수소형 원자

라게르 방정식 $xy'' + (1 - x)y' + ny = 0$은 $x = 0$이 정칙 특이점이고(지표 근 $0, 0$ — 중근) 정칙 해가 $n$이 음이 아닌 정수일 때 다항식이 된다. 라게르 다항식(Arfken §18.3, Boas §12.22):

$$L_n(x) = \frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\bigl(x^n e^{-x}\bigr) = \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac{x^k}{k!}, \qquad \frac{e^{-xt/(1-t)}}{1 - t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x)\,t^n$$

$L_0 = 1$, $L_1 = 1 - x$, $L_2 = 1 - 2x + \tfrac12x^2$, $L_3 = 1 - 3x + \tfrac32x^2 - \tfrac16x^3$. $L_n(0) = 1$이고 패리티는 없다(정의역이 $x \ge 0$이니 당연). 점화식 $(n+1)L_{n+1} = (2n + 1 - x)L_n - nL_{n-1}$, $xL_n' = nL_n - nL_{n-1}$. 직교성은 가중 $e^{-x}$로 $(0, \infty)$에서, 이 정규화($1/n!$ 포함)면 노름이 정확히 1:

$$\int_0^\infty e^{-x}L_m(x)L_n(x)\,dx = \delta_{mn}$$

물리에 나오는 것은 버금 라게르 다항식이다:

$$L_n^k(x) = (-1)^k\frac{d^k}{dx^k}L_{n+k}(x) = \frac{e^x x^{-k}}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\bigl(e^{-x}x^{n+k}\bigr) = \sum_{m=0}^n(-1)^m\frac{(n+k)!}{(n-m)!\,(k+m)!\,m!}x^m$$

방정식은 $xy'' + (k + 1 - x)y' + ny = 0$, 직교 가중은 $x^ke^{-x}$, 노름은 $(n+k)!/n!$ (Arfken (18.69)~(18.71)). $L_n^k(0) = \binom{n+k}{n}$. $k$가 정수가 아니어도 로드리게스 형으로 정의된다.

수소형 원자(Arfken 예 18.3.1). 핵전하 $Ze$와 전자 하나의 슈뢰딩거 방정식을 구 좌표에서 분리하면 각도 부분은 7절의 $Y_L^M$이고, 반지름 부분을 $\rho = \alpha r$, $\alpha = \sqrt{-8mE}/\hbar$, $\lambda = mZe^2/(2\pi\varepsilon_0\alpha\hbar^2)$로 무차원화한 뒤 $\chi = R$, $u = \rho\chi$로 놓으면

$$u'' + \Bigl[\frac{\lambda}{\rho} - \frac14 - \frac{L(L+1)}{\rho^2}\Bigr]u = 0$$

이것은 $\Phi_n^k = e^{-x/2}x^{(k+1)/2}L_n^k(x)$가 만족하는 방정식(Arfken (18.75))과 정확히 같은 꼴이고, $k = 2L + 1$, $n = \lambda - L - 1$로 맞으면

$$\rho\chi(\rho) = e^{-\rho/2}\rho^{L+1}L^{2L+1}_{\lambda - L - 1}(\rho)$$

$\lambda - L - 1$이 음이 아닌 정수여야 다항식으로 끊어지고, 아니면 $L_n^k$가 $x^ke^x$처럼 자라 $u$가 무한대에서 발산한다 — 4절의 끊어짐 논리 세 번째. 그래서 $\lambda = n$은 $L + 1$ 이상의 정수, 즉 주양자수 $n = 1, 2, 3, \ldots$이고 $L \le n - 1$:

$$E_n = -\frac{Z^2 m}{2n^2\hbar^2}\Bigl(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr)^2 = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}\cdot Z^2}{n^2}, \qquad a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2} = 0.0529\,\mathrm{nm}$$

에너지가 $L$과 $M$에 무관한 것이 수소 원자의 유명한 축퇴이고, 정규화된 파동함수는

$$\psi_{nLM} = \Bigl[\Bigl(\frac{2Z}{na_0}\Bigr)^3\frac{(n-L-1)!}{2n(n+L)!}\Bigr]^{1/2} e^{-\alpha r/2}(\alpha r)^L L^{2L+1}_{n-L-1}(\alpha r)\,Y_L^M(\theta, \varphi), \qquad \alpha = \frac{2Z}{na_0}$$

$\langle r\rangle = \dfrac{a_0}{2}[3n^2 - L(L+1)]$ (Arfken 연습 18.3.8) — 궤도 크기가 $n^2$으로 자란다.

직관

수소형 도너 — 두 파라미터로 전부 바뀐다. 실리콘 속 인 원자는 전자 하나가 남는 양이온이고, 그 전자는 결정 안에서 유효질량 $m^*$로 움직이며 쿨롱 힘은 유전율 $\varepsilon_r$로 가려진다. 위의 모든 식에서 $m \to m^*$, $\varepsilon_0 \to \varepsilon_r\varepsilon_0$만 바꾸면 된다:

$$E_D = 13.6\,\mathrm{eV}\times\frac{m^*/m_0}{\varepsilon_r^2}, \qquad a_D = a_0\times\frac{\varepsilon_r}{m^*/m_0}$$

실리콘($m^* \approx 0.26\,m_0$, $\varepsilon_r = 11.7$)이면 $E_D \approx 26\,\mathrm{meV}$, $a_D \approx 2.4\,\mathrm{nm}$ — 실측 이온화 에너지 45 meV(P)와 자릿수가 맞고, 편차는 유효질량의 비등방성과 중심 셀 보정이다(그래서 아래에서 실온과 견줄 값은 $26$이 아니라 실측 $45\,\mathrm{meV}$ 쪽이다). 도너 준위가 실온 $k_BT = 26\,\mathrm{meV}$와 같은 자릿수라 비축퇴·저보상·중간 도핑에서는 대부분 이온화되는 것 — 이온화율을 정하는 것은 $E_D/k_BT$ 하나가 아니라 페르미 준위의 위치와 도핑 농도·보상도·축퇴 인자다 —, 궤도 반지름이 격자 상수(0.54 nm)의 다섯 배라 유효질량 근사가 통하는 것, $10^{18}\,\mathrm{cm^{-3}}$ 근처에서 궤도들이 겹쳐 불순물 밴드가 되고 금속–절연체 전이가 일어나는 것(모트 기준 $n^{1/3}a_D \approx 0.26$)이 전부 이 두 줄에서 읽힌다. 엑시톤은 전자와 정공이 만드는 같은 원자(환산 질량으로), 결합 에너지 수 meV에 반지름 수 nm — 양자점 반지름이 이보다 작아지면 8절의 구속 준위가 지배한다. 파라미터 연계: $\varepsilon_r$은 제곱으로, $m^*$는 일차로 준위를 누른다.

체비셰프 — 잠깐

르장드르 생성함수의 지수를 일반화한 $(1 - 2xt + t^2)^{-\alpha}$의 계수가 게겐바우어 다항식이고, $\alpha = \tfrac12$이 르장드르, $\alpha \to 0$과 $\alpha = 1$이 체비셰프 다항식 $T_n, U_n$이다(Arfken §18.4). $x = \cos\theta$로 놓으면 놀랍도록 단순하다:

$$T_n(x) = \cos(n\arccos x), \qquad U_n(x) = \frac{\sin[(n+1)\theta]}{\sin\theta}$$

$T_0 = 1$, $T_1 = x$, $T_2 = 2x^2 - 1$, $T_3 = 4x^3 - 3x$, 점화식 $T_{n+1} = 2xT_n - T_{n-1}$, 직교 가중 $(1 - x^2)^{-1/2}$. 값이 $-1$과 $1$ 사이를 똑같은 진폭으로 오가는 것이 쓸모의 전부다 — 어떤 함수를 $T_n$으로 전개해 끊으면 오차가 구간 한쪽에 몰리지 않고 고르게 퍼진다 (Arfken 예 18.4.1: $e^x$의 4항 근사에서 테일러는 끝에서, 르장드르는 끝에서 크게 틀리는데, 체비셰프는 오차의 봉우리 높이가 서로 비슷하다). 단, 단순 절단은 준최소최대(near-minimax)이지 최소최대 다항식 자체가 아니다 — 봉우리가 정확히 같은 높이로 번갈아 나타나는 등진동은 최적 최소최대 근사의 성질이고, 절단 급수는 남은 항이 빠르게 줄어들 때 그것에 가까워질 뿐이다 (Arfken도 “in this approximation”, “comparable”로 유보를 달았다). 22부의 체비셰프 필터(통과대역 리플이 균등한 필터)와 1.12의 수치 근사(클렌쇼–커티스 적분, 다항식 근사)가 이 성질을 쓴다.

한 표로 — 고전 직교 다항식

이 장의 함수들을 한 표에 놓으면 구조가 하나임이 보인다. 전부 $\dfrac{d}{dx}\bigl[p(x)y'\bigr] + \lambda w(x)y = 0$ 꼴의 스투름–리우빌 방정식이고(Boas §12.23 연습 24), 가중 $w$로 직교하며, 로드리게스 공식 $y_n \propto \dfrac{1}{w}\dfrac{d^n}{dx^n}\bigl[w\,p^n\bigr]$과 생성함수를 갖는다.

이름	구간	가중 $w$	방정식	로드리게스	생성함수
르장드르 $P_l$	$[-1, 1]$	$1$	$[(1-x^2)y']' + l(l+1)y = 0$	$\dfrac{1}{2^l l!}\dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$	$(1 - 2xt + t^2)^{-1/2}$
버금 르장드르 $P_l^m$	$[-1, 1]$	$1$	$+\,[l(l+1) - \tfrac{m^2}{1-x^2}]y$	$(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_l$	—
베셀 $J_\nu(\alpha_{\nu i}x)$	$[0, 1]$	$x$	$(xy')' + (\alpha^2x - \tfrac{\nu^2}{x})y = 0$	—	$e^{(x/2)(t - 1/t)}$
에르미트 $H_n$	$(-\infty, \infty)$	$e^{-x^2}$	$(e^{-x^2}y')' + 2ne^{-x^2}y = 0$	$(-1)^ne^{x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$	$e^{-t^2 + 2tx}$
라게르 $L_n^k$	$[0, \infty)$	$x^ke^{-x}$	$(x^{k+1}e^{-x}y')' + nx^ke^{-x}y = 0$	$\dfrac{e^xx^{-k}}{n!}\dfrac{d^n}{dx^n}(e^{-x}x^{n+k})$	$\dfrac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{k+1}}$
체비셰프 $T_n$	$[-1, 1]$	$(1-x^2)^{-1/2}$	$(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$	$\propto\sqrt{1-x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}(1-x^2)^{n-1/2}$	$\dfrac{1 - t^2}{1 - 2xt + t^2}$

가중 함수가 각 문제의 부피소다 — 구면의 $\sin\theta\,d\theta = -d(\cos\theta)$가 르장드르의 1 ($\theta: 0 \to \pi$가 $x = \cos\theta: 1 \to -1$로 뒤집히면서 부호가 상쇄되어 양의 $dx$가 된다), 원판의 $\rho\,d\rho$가 베셀의 $x$, 진동자 바닥 상태의 제곱 $e^{-x^2}$이 에르미트의 가중, 수소 원자의 $r^2dr$과 $e^{-\rho}$가 라게르의 $x^ke^{-x}$. 직교성은 언제나 “그 문제의 자연스러운 내적”에 대한 것이다. 1.6이 이 표를 정리 하나로 만든다 — 자체 수반이 되도록 경계조건을 붙인 스투름–리우빌 문제의 고유함수는 가중 내적으로 직교하고, 표준 가정 아래 완비하다. 직교성도 완비성도 방정식만으로 나오지 않는다. 경계조건이 절반이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 둔다.

• 확산과 주입. 일정 표면 농도의 $\operatorname{erfc}$ 프로파일, 드라이브인의 가우스, 접합 깊이의 로그 눈금 읽기(10절 · 1.7.7 · 18부). 이온 주입 후 열처리의 프로파일 전개, 마스크 가장자리의 2차원 오차함수.
• 원통 대칭 소자. 광섬유·원형 도파관의 모드와 차단 조건 $V = 2.405$, 둥근 웨이퍼의 온도 과도 응답, 원판 MEMS 공진기, 도체의 표피 효과(켈빈 함수), 2차원 국소 가림 모형의 $K_0$(8절).
• 구 대칭 소자. 구형 양자점의 $j_l$ 영점 준위, 코어–셸 구조의 $j_l$–$k_l$ 매칭, 나노입자의 편극률과 다중극(6·8절).
• 원자와 불순물. 오비탈의 $Y_l^m$과 $sp^3$ 결합, 결정장에서의 축퇴 갈라짐, 쌍극자 선택 규칙(7절); 수소형 도너·억셉터 준위와 보어 반지름, 엑시톤, 모트 전이(11절).
• 양자 구속. 삼각 우물의 에어리 함수와 부밴드(4절), 포물선 우물과 란다우 준위의 에르미트 함수, 포논의 생성·소멸 연산자(11절).
• 통계. $\Gamma(3/2)$가 든 유효 상태 밀도, 페르미–디랙 적분과 그 정규화, 보스·페르미 적분의 제타 값, 볼츠만 엔트로피의 스털링 근사(9절 · 10부).
• 광학. 원형 개구의 에어리 원반과 레일리 한계 $0.61\lambda/\mathrm{NA}$, 리소그래피의 $k_1$(8절); 프레넬 적분(3·10절).
• 신호. 주파수 변조의 베셀 스펙트럼(8절), 비트 오류율의 $Q$ 함수(10절), 체비셰프 필터(11절 · 22부).
• 수치. 급수의 오차 한계와 점근 급수의 최적 절단(3·10절), 부정형과 유효숫자 소멸(3절 · 1.12).
• 다음 장들. 이 장의 직교성 증명이 스투름–리우빌 정리가 되고(1.6), 그 고유함수들로 편미분방정식을 변수분리해 푼다(1.7). $1/\lvert\mathbf r - \mathbf r'\rvert$의 르장드르 전개와 $I_mK_m$ 구성이 그린 함수가 되며(1.8), 감마의 반사 공식·한켈의 점근형·수렴 반경이 복소해석에서 증명된다(1.9). 제타 함수의 값은 푸리에 급수에서(1.10), 오차함수는 정규분포에서(1.11) 다시 나온다.

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 계수가 변하는 선형 방정식은 급수로 풀리고, 그 급수가 언제 끊어지는가(또는 경계에서 무엇을 만족해야 하는가)가 고유값을 정한다. 르장드르의 정수 $l$, 베셀의 영점 $\alpha_{\nu i}$, 에르미트의 $n + \tfrac12$, 라게르의 주양자수 $n$ — 양자화의 수학은 전부 이 한 문장이다. 그리고 그렇게 얻은 함수들은 — 스투름–리우빌 문제로 정식화되고 알맞은 경계조건이 붙는 한 — 각자의 가중으로 직교하는 완비 기저라서, 1.2의 벡터 전개가 함수 전개로 그대로 옮겨온다. 같은 구조가 이름을 바꿔 가며 반복된다.

이 장이 쓰이는 곳

• 1.6 Sturm–Liouville 이론
• 1.7 편미분방정식
• 1.8 그린 함수
• 1.9 복소해석
• 1.10 적분변환
• 1.11 확률과 통계
• 1.12 수치해석
• 1.13 텐서와 군론
• 2.2 경계값 문제
• 2.8 전자기파
• 3.1 고전역학
• 3.2 진동과 파동
• 3.4 기하광학
• 3.5 간섭과 편광
• 3.6 회절과 결상
• 3.7 열역학과 열전달
• 3.8 유체와 수송현상
• 4.1 원자와 주기성
• 4.2 화학결합
• 4.3 분자 대칭과 군론
• 4.4 화학 열역학과 평형
• 4.6 표면 반응과 촉매
• 5.1 양자역학의 태동
• 5.2 파동함수와 슈뢰딩거 방정식
• 5.3 1차원 퍼텐셜
• 5.5 3차원 양자역학
• 5.7 대칭성과 보존 법칙
• 5.8 근사법
• 5.9 시간 의존 현상과 산란
• 6.1 통계역학의 기초
• 6.2 엔트로피와 온도
• 6.3 볼츠만 분포와 자유에너지
• 6.4 화학퍼텐셜과 깁스 분포
• 6.5 이상 기체와 양자 기체
• 6.6 열과 일, 상변태
• 6.7 반도체 통계
• 7.3 결정의 결합과 탄성
• 7.4 격자 진동
• 7.5 포논의 열적 성질
• 7.12 수송 이론
• 7.14 초전도
• 7.15 비결정 고체
• 8.1 결정 결함
• 8.3 확산