3부 일반물리와 광학 3.1

고전역학

반도체 백과가 왜 뉴턴에서 시작하는가. 전자는 양자역학으로 다뤄야 하는 물건이고, 결정 속의 전자는 더욱 그렇다. 그런데 소자 물리의 절반은 고전역학의 문장을 그대로 빌려 쓴다. 전기장 속의 전자는 “힘을 받아 가속되다 충돌로 멈추는 입자”이고, 그 종단 속도가 표류 속도다. 결정 속 전자의 운동 방정식은 $\mathbf{F} = m^{*}\mathbf{a}$ 꼴이며, 뉴턴의 $m$ 자리에 유효질량이 들어앉을 뿐이다. 이온 주입은 두 입자의 탄성 충돌이고, 불순물 산란은 러더퍼드 산란이며, 포논은 용수철로 이은 질량의 진동이다. 밴드 다이어그램을 읽는 눈은 퍼텐셜 곡선을 읽는 눈과 같다. 그리고 슈뢰딩거 방정식은 해밀토니안 $H = K + U$ 를 연산자로 바꿔 쓴 것이다.

이 장은 그 문장들이 원래 무엇을 뜻했는지를 정리한다. 뼈대는 하나다.

\mathbf{F} = m\mathbf{a}

이 2계 미분방정식이 1절이다. 나머지 여덟 절은 이 식을 다른 모양으로 고쳐 쓴 것이다. 거리에 대해 적분하면 일과 에너지(2·3절)가 나오고, 시간에 대해 적분하면 운동량(4절)이 나온다. 위치 벡터를 외적하면 회전 운동과 각운동량(5·6절)이 나온다. 가속도가 0인 특수한 경우가 정적 평형이고, 그때 물체가 어떻게 버티는가가 탄성(7절)이다. 같은 식을 힘 대신 에너지로부터 끌어내는 다른 문법이 라그랑지안과 해밀토니안(8절)이고, 그 문법이 가장 빛나는 예제가 중심력 문제(9절)다.

세 개의 보존 법칙 — 에너지·운동량·각운동량 — 이 장 전체를 꿰는 줄이다. 셋 다 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 에서 유도되지만, 실제로는 뉴턴 법칙보다 더 근본적이다. 8절에서 보듯 보존 법칙은 시간·공간·회전 대칭의 결과이고, 양자역학으로 넘어가도 살아남는다. 뉴턴 법칙은 살아남지 못한다.

기준 교재는 Halliday·Resnick·Walker다. 8절의 라그랑주·해밀턴 역학은 HRW 범위 밖이라 표준 역학 교재(Taylor, Goldstein) 수준의 개요만 적었다 — 서적 보완 단계에서 참고 범위를 정하는 것이 좋겠다.

기호 — 이 장의 약속

역학은 글자가 모자라는 분야다. 같은 알파벳이 대소문자로 뜻이 갈리는 짝이 유난히 많고, 같은 글자가 절마다 다른 물건을 가리킨다. 장 전체에 걸리므로 여기 한 번 적어 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{r},\ \mathbf{v},\ \mathbf{a}$	굵은 글자	위치·속도·가속도 벡터	m, m/s, m/s²
$v$	속력	$\lvert\mathbf{v}\rvert$ — 벡터가 아니라 크기	m/s
$m,\ M$	질량	소문자는 입자·조각, 대문자는 계 전체(질량중심·강체·중심 천체)	kg
$\mathbf{F}$	힘	벡터. $F$ 는 크기	N
$N$	수직항력	힘의 단위 뉴턴(N)과 글자가 같다 — 문맥으로 가른다	N
$T$	장력	8절에서는 주기로도 쓰인다 — 그 자리에서 못박는다	N
$g$	중력가속도	$9.8\ \mathrm{m/s^2}$ . 지표면 근처의 값	m/s²
$G$	만유인력 상수	$6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ . 9절에서만
$\mu_s,\ \mu_k$	정지·운동 마찰계수	무차원. 9절의 환산질량 $\mu$ 와 다른 물건	—
$k$	용수철 상수	볼츠만 상수가 아니다. 운동 에너지 $K$ 와 대소문자 짝	N/m
$K$	운동 에너지	$\tfrac{1}{2}mv^2$	J
$U$	퍼텐셜 에너지	전압이 아니다. 역학책의 $V$ 가 이것	J
$E$	역학적 에너지	$K + U$ . 이 장에서 전기장이 아니다. 7절의 영률은 $Y$ 로 쓴다	J
$W,\ P$	일·일률	$P$ 의 단위 와트(W)가 $W$ 와 글자가 같다	J, W
$\mathbf{p},\ \mathbf{P}$	운동량	소문자는 입자 하나, 대문자는 계 전체 $\sum \mathbf{p}_i$	kg·m/s
$\mathbf{J}$	충격량	4절	N·s
$\theta,\ \omega,\ \alpha$	각위치·각속도·각가속도	5절부터	rad, rad/s, rad/s²
$I$	관성 모멘트	전류가 아니다. 이 장에 전류는 없다	kg·m²
$\boldsymbol{\tau}$	토크	4절 이후의 산란 시간 $\tau$ 와 다른 물건	N·m
$\boldsymbol{\ell},\ \mathbf{L}$	각운동량	소문자는 입자 하나, 대문자는 계·강체. 8절의 라그랑지안은 $\mathcal{L}$	kg·m²/s
$\sigma,\ \varepsilon,\ Y$	응력·변형률·영률	7절. HRW는 영률을 $E$ 로 쓴다	Pa, —, Pa
$q_j,\ p_j$	일반화 좌표·운동량	8절	—
$\mathcal{L},\ H,\ S$	라그랑지안·해밀토니안·작용	8절	J, J, J·s

주의

벡터 표기. HRW는 벡터를 $\vec{F}$ 처럼 화살표로 쓴다. 이 백과는 1부와 같은 굵은 글자 $\mathbf{F}$ 로 통일한다. 굵은 글자와 보통 글자가 다른 물건이라는 점을 잊지 말 것 — $\mathbf{v}$ 는 방향이 있고 $v$ 는 없다. “속도가 일정하다”( $\mathbf{v}$ 일정)와 “속력이 일정하다”( $v$ 일정)는 등속원운동에서 갈린다. 후자만 성립한다.

대소문자 짝의 규칙. 이 장 안에서는 한 가지 규칙이 거의 예외 없이 통한다 — 소문자는 조각 하나, 대문자는 전체. $m$ 과 $M$ , $\mathbf{p}$ 와 $\mathbf{P}$ , $\boldsymbol{\ell}$ 과 $\mathbf{L}$ 이 전부 그렇다. 예외는 $k$ / $K$ (용수철 상수/운동 에너지)와 $g$ / $G$ (중력가속도/ 만유인력 상수)로, 이 둘은 짝이 아니라 우연히 글자가 같은 남이다.

뉴턴의 운동 법칙과 힘

운동을 적는 세 벡터

물체의 위치를 시간의 함수 $\mathbf{r}(t)$ 로 적으면 나머지는 미분이다.

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}, \qquad \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}

속도는 위치 곡선의 접선 방향이고(1.1.3곡선·호의 길이), 가속도는 속도의 변화 방향이다. 이 둘이 같은 방향일 이유가 없다는 것이 처음에 걸리는 지점이다. 속력이 일정한 원운동에서 가속도는 속도에 수직으로, 원의 중심을 향한다.

a_r = \frac{v^2}{r}

이 식이 나오는 자리를 정확히 보자. 속도 벡터의 크기는 그대로인데 방향만 각 $\omega\,dt$ 만큼 돌면, 변화량의 크기는 $v\,\omega\,dt$ 이고 방향은 안쪽이다. $v = \omega r$ 을 넣으면 $a = \omega^2 r = v^2/r$ . 가속도는 “빨라지는 것”이 아니라 “속도 벡터가 변하는 것”이다. 방향만 변해도 가속도다.

가속도가 일정한 특수한 경우에는 적분이 두 번으로 끝난다.

\mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t, \qquad \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \tfrac{1}{2}\mathbf{a}t^2

여기서 $t$ 를 소거하면 $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ 가 나오는데, 이 식은 2절에서 일–에너지 정리로 다시 태어난다. 미리 눈여겨 둘 것.

세 법칙

제1법칙. 알짜힘이 0이면 속도가 변하지 않는다. 이것은 제2법칙의 $\mathbf{F} = 0$ 인 특수 경우가 아니라, 제2법칙이 성립하는 좌표계가 무엇인지를 정하는 문장이다. 그런 좌표계를 관성계라 한다. 가속하는 차 안에서는 힘 없이도 물체가 뒤로 밀리므로 그 차는 관성계가 아니다. 지구 표면은 자전 때문에 엄밀하게는 관성계가 아니지만, 이 장의 모든 문제에서는 관성계로 쳐도 좋다.

제2법칙. 관성계에서

\mathbf{F}_{\text{net}} = \sum_i \mathbf{F}_i = m\mathbf{a}

벡터 식 하나가 성분 식 셋이다: $F_{\text{net},x} = ma_x$ , $F_{\text{net},y} = ma_y$ , $F_{\text{net},z} = ma_z$ . 각 성분이 독립이라는 점이 실용적으로 중요하다 — 수평 힘은 수직 운동을 건드리지 않는다. 포물체 운동에서 수평 방향은 등속, 수직 방향만 $g$ 로 가속되는 것이 그 결과다.

제3법칙. 물체 A가 B에 힘 $\mathbf{F}_{BA}$ 를 주면 B는 A에 $\mathbf{F}_{AB} = -\mathbf{F}_{BA}$ 를 준다. 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하므로 상쇄되지 않는다. 책상 위의 책에서 중력과 수직항력은 크기가 같고 방향이 반대지만 작용–반작용 짝이 아니다 — 둘 다 책에 작용하기 때문이다. 책의 중력에 대한 반작용은 책이 지구를 당기는 힘이다. 제3법칙이 하는 진짜 일은 4절에서 드러난다: 계 안의 내력이 전부 짝으로 상쇄되어 운동량 보존이 나온다.

의문

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 는 법칙인가 정의인가. 힘을 따로 잴 방법이 없다면 이 식은 “힘이란 $m\mathbf{a}$ 라 부르는 것”이라는 정의에 지나지 않는다. 이 식이 법칙이 되는 것은 힘이 다른 곳에서 독립적으로 주어질 때다 — 용수철의 늘어난 길이, 두 전하 사이의 거리, 두 질량 사이의 거리에서. 그 힘 법칙들( $-kx$ , $kq_1q_2/r^2$ , $GMm/r^2$ )과 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 를 합쳐야 예측이 나온다. 그래서 “뉴턴 역학”은 운동 법칙 셋 더하기 힘 법칙들의 묶음이다.

같은 이유로 관성질량과 중력질량은 논리적으로 다른 물건이다. 앞의 $m$ 은 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 의 $m$ 이고 뒤의 $m$ 은 $GMm/r^2$ 의 $m$ 이다. 둘이 같다는 것은 실험 사실(모든 물체가 같은 $g$ 로 떨어진다)이고, 일반상대론은 이 우연을 원리로 격상시킨다.

수학적으로는 2계 미분방정식

$\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 를 미분방정식으로 다시 읽으면

m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F}\!\left(\mathbf{r}, \frac{d\mathbf{r}}{dt}, t\right)

힘이 위치·속도·시간의 함수로 주어지면 이것은 $\mathbf{r}(t)$ 에 대한 2계 상미분방정식이다. 2계이므로 해를 하나로 정하려면 초기 조건이 둘 필요하다 — 처음 위치와 처음 속도. 1.4.3방향장과 해의 존재·유일성의 존재·유일성 정리가 말하는 것이 바로 이것이다: 힘이 충분히 얌전하면, 처음 위치와 속도가 주어진 순간 미래 전체가 정해진다. 고전역학의 결정론은 이 정리의 물리적 이름이다.

힘의 목록

이 장에서 쓰는 힘은 몇 가지뿐이다. 각각을 어떻게 적는지와 어디서 나오는지를 알아 두면 자유물체도가 저절로 그려진다.

힘	식	방향	비고
중력	$F_g = mg$	아래	지표면 근처. 일반형은 9절
수직항력	$N$	면에 수직	크기가 미리 정해지지 않는다 — 다른 힘과의 평형에서 결정
장력	$T$	줄을 따라	이상적인 줄에서 어디서나 같은 크기
정지 마찰	$f_s \le \mu_s N$	면에 평행, 미끄러지려는 방향 반대	부등식이다 — 필요한 만큼만
운동 마찰	$f_k = \mu_k N$	면에 평행, 운동 반대	대개 $\mu_k \lt \mu_s$
항력	$D = \tfrac{1}{2}C\rho A v^2$	운동 반대	빠른 물체·공기. 느리면 $\propto v$
용수철	$F = -kx$	변위 반대	후크 법칙. 3·7절과 3.2
구심력	$F = mv^2/r$	중심	힘의 종류가 아니라 원운동에 필요한 알짜힘의 크기

수직항력과 정지 마찰이 미리 정해지지 않는 힘이라는 점이 초보 단계의 실수 대부분을 설명한다. 책상 위의 책에서 $N = mg$ 가 되는 것은 법칙이 아니라 수직 방향 평형의 결과이고, 경사면에서는 $N = mg\cos\theta$ 가 되며, 누가 위에서 누르면 더 커진다. 정지 마찰도 마찬가지로 “버틸 수 있는 최댓값”이 $\mu_s N$ 일 뿐, 실제 값은 평형에 필요한 만큼이다.

그림 3.1-1. 경사면 위 블록의 자유물체도. 물체에 작용하는 힘만 그린다 — 중력 mg는 연직 아래, 수직항력 N은 면에 수직, 마찰 f는 면에 평행이다. 축을 면을 따라 잡으면 중력만 두 성분으로 분해되고(mg sinθ, mg cosθ) 나머지 둘은 축과 나란해 계산이 한 번으로 끝난다. 수직항력의 크기 N = mg cosθ는 법칙이 아니라 면에 수직인 방향의 평형에서 결정된다.직접 작도

항력과 종단 속도 — 반도체로 가는 첫 다리

떨어지는 물체에 속력에 비례하는 항력 $-bv$ 가 걸린다고 하자. 아래 방향을 양으로 잡으면

m\frac{dv}{dt} = mg - bv

처음에는 $v = 0$ 이라 중력만 있어 가속되고, 빨라질수록 항력이 커져 가속이 줄다가, $bv = mg$ 가 되는 순간 알짜힘이 0이 되어 그 뒤로는 등속이다. 그 속력이 종단 속도다.

v_t = \frac{mg}{b}, \qquad v(t) = v_t\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{m}{b}

시간 상수 $\tau = m/b$ 가 “종단 속도에 도달하는 데 걸리는 시간”이다. 질량이 클수록 오래 걸리고, 항력 계수가 클수록 빨리 도달한다.

직관

전기장 속의 전자가 정확히 이 식이다. 드루데 모형(7.6.1)은 금속이나 반도체 속 전자를 “전기장 $\mathcal{E}$ 에 밀리다가 평균 $\tau$ 마다 충돌해 운동량을 잃는 입자”로 본다.

m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\boldsymbol{\mathcal{E}} - \frac{m}{\tau}\mathbf{v}

오른쪽 둘째 항이 항력이고, $b = m/\tau$ 다. 종단 속도가 표류 속도 $v_d = e\tau\mathcal{E}/m$ 이고, 그것이 옴의 법칙이다. 항력이 속도에 선형이라 표류 속도가 전기장에 선형이고, 그래서 전류가 전압에 비례한다. 공기 항력처럼 $v^2$ 에 비례했다면 옴의 법칙은 없었을 것이다. 전기장이 아주 세지면 실제로 산란이 달라져 표류 속도가 포화하는데(11부), 그것은 항력이 선형에서 벗어나는 것에 해당한다.

결정 속에서는 $m$ 자리에 유효질량 $m^{*}$ 가 들어간다. 그러면 종단 속도 도달 시간 $\tau$ 가 아니라 이동도 $\mu = e\tau/m^{*}$ 가 물질의 상수가 된다. 이 절의 $\mu_s$ (마찰계수)와 글자만 같고 전혀 다른 물건이다. 유효질량이 왜 $m$ 을 대신할 수 있는지는 8절 끝과 11부에서 다룬다.

일과 운동 에너지

일의 정의

힘 $\mathbf{F}$ 를 받으며 물체가 $d\mathbf{r}$ 만큼 움직일 때 그 힘이 한 일은

dW = \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}, \qquad W = \int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}

1.1.4선적분과 경로 독립성의 선적분 그대로다. 내적이므로 변위 방향의 힘 성분만 일을 한다. 일정한 힘이 직선 변위 $\mathbf{d}$ 동안 하는 일은 $W = Fd\cos\phi$ 이고, $\phi$ 는 힘과 변위 사이의 각이다. 세 경우가 갈린다.

$\phi \lt 90^\circ$ — 양의 일. 힘이 운동을 돕는다.
$\phi = 90^\circ$ — 일이 0. 수직항력, 등속원운동의 구심력, 자기력이 여기 속한다.
$\phi \gt 90^\circ$ — 음의 일. 운동 마찰이 언제나 여기 속한다.

단위는 N·m이고 이것을 줄(J)이라 부른다. 1 J = 1 kg·m²/s².

일–운동 에너지 정리

1차원에서 $F = m\,dv/dt$ 를 $x$ 에 대해 적분한다. 연쇄 법칙 하나가 전부다.

\begin{aligned} W &= \int_{x_i}^{x_f} F\,dx = \int_{x_i}^{x_f} m\frac{dv}{dt}\,dx = \int_{v_i}^{v_f} m\frac{dx}{dt}\,dv \\ &= \int_{v_i}^{v_f} mv\,dv = \tfrac{1}{2}mv_f^2 - \tfrac{1}{2}mv_i^2 \end{aligned}

셋째 등호에서 $\dfrac{dv}{dt}\,dx = \dfrac{dx}{dt}\,dv$ 로 바꿔 쓴 것이 요령의 전부다. 3차원에서도 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = m\,\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}\,dt = \dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}\right)dt$ 이므로 같은 결과다. 운동 에너지를

K = \tfrac{1}{2}mv^2

로 정의하면 정리는 한 줄이 된다.

W_{\text{net}} = \Delta K = K_f - K_i

알짜힘이 한 일이 운동 에너지의 변화다. 여러 힘이 있으면 각 힘의 일을 따로 계산해 더하면 된다 — 일은 스칼라라서 그냥 더한다.

직관

왜 $v^2$ 이고 왜 $\tfrac{1}{2}$ 인가. $\tfrac{1}{2}$ 는 $\int v\,dv$ 의 결과다 — $x$ 를 적분하면 $x^2/2$ 가 나오는 것과 같은 이유이고, 그 이상의 뜻은 없다. $v^2$ 은 더 본질적이다. $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 에서 $d\mathbf{r} = \mathbf{v}\,dt$ 이므로 일률은 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$ 인데, $\mathbf{F} = m\,d\mathbf{v}/dt$ 를 넣으면 $m\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}/dt$ 이고, 이것은 $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$ 의 시간 미분의 절반이다. 즉 속도의 제곱은 자기 자신의 변화율과 힘을 잇는 유일한 스칼라다. 1제곱이었다면 방향이 남아 스칼라가 되지 않고, 3제곱이었다면 미분이 힘과 이어지지 않는다.

같은 이유로 1절의 $v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$ 는 사실 일–에너지 정리다. 양변에 $m/2$ 를 곱해 보라 — $\tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 = (ma)\,\Delta x = F\,\Delta x$ .

그래프 — 힘–위치 곡선 아래의 넓이

힘이 위치에 따라 변하면 $W = \int F\,dx$ 는 힘–위치 곡선 아래의 넓이다. 용수철이 그 표준 예다. 늘어난 길이 $x$ 에서 용수철이 물체에 주는 힘은 $F = -kx$ 이고, $x_i$ 에서 $x_f$ 까지 움직이는 동안 용수철이 한 일은

W_s = \int_{x_i}^{x_f}(-kx)\,dx = \tfrac{1}{2}kx_i^2 - \tfrac{1}{2}kx_f^2

그림 3.1-2. 힘–위치 그래프에서 일은 곡선 아래의 넓이다. 왼쪽은 일정한 힘 — 넓이가 직사각형 Fd. 오른쪽은 용수철 힘 F = −kx — 평형점에서 x까지 늘일 때 용수철이 하는 일은 삼각형의 넓이에 음의 부호를 붙인 −kx²/2이고, 외부에서 그만큼 양의 일을 해 줘야 한다. 넓이가 x²에 비례하는 것은 삼각형이기 때문이며, 그 삼각형이 3절의 포물선 퍼텐셜 kx²/2의 출처다.직접 작도

이 넓이가 $x^2$ 에 비례하는 것이 삼각형이기 때문이라는 점을 그림에서 확인해 두자. 3절의 용수철 퍼텐셜 $\tfrac{1}{2}kx^2$ 이 포물선인 이유가 여기 있다 — 직선( $F \propto x$ )을 적분하면 포물선이 된다.

일률

일을 시간으로 나눈 것이 일률이다.

P = \frac{dW}{dt} = \mathbf{F}\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}

단위는 J/s = W(와트). 기호 $W$ (일)와 단위 W(와트)를 눈으로 가르지 말고 자리로 가를 것. $P = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$ 는 순간 일률이고, 등속으로 끄는 자동차에서 엔진 출력이 $Fv$ 인 것이 그 예다. 같은 출력이면 힘이 클수록 느리다 — 저단 기어의 원리다.

전자볼트 — 반도체의 에너지 단위

전하 $-e$ 인 전자가 전압 $V$ 만큼 떨어진 두 점 사이를 지나면 전기력이 하는 일은 $eV$ 다. $V = 1\ \mathrm{V}$ 일 때의 이 일을 1 전자볼트(eV)라 한다.

1\ \mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}

반도체의 에너지는 거의 전부 이 단위로 적는다. 실리콘의 밴드갭 1.12 eV, 실온의 열에너지 $k_BT \approx 0.026\ \mathrm{eV}$ , 광자 하나의 에너지 1~3 eV(가시광). 줄 단위로 쓰면 $10^{-19}$ 이 매번 따라붙어 읽을 수 없다.

직관

뜨거운 캐리어. 전기장 $\mathcal{E}$ 속의 전자가 한 번 충돌하고 다음 충돌까지 평균 자유 행로 $\lambda$ 를 날아가면, 그 사이에 전기력이 하는 일은 $e\mathcal{E}\lambda$ 다. 이 일이 실온 열에너지 $k_BT$ 보다 훨씬 작으면 전자는 충돌 때마다 얻은 에너지를 격자에 내주고 격자 온도에 머문다. 전기장이 커져 $e\mathcal{E}\lambda$ 가 $k_BT$ 에 견줄 만해지면 전자의 유효 온도가 격자보다 높아진다 — 뜨거운 캐리어다. 더 커져서 한 번 날아가는 동안 얻는 에너지가 밴드갭 $E_g$ 에 이르면, 충돌로 전자–정공 쌍을 새로 만들 수 있다. 이것이 충돌 이온화이고 애벌랜치 항복의 시작이다(12부).

전부 일–운동 에너지 정리의 문장이다: 힘이 거리 동안 한 일이 운동 에너지가 된다. 그 거리가 $\lambda$ 라는 것, 그 에너지를 $k_BT$ · $E_g$ 와 비교한다는 것만 반도체가 덧붙인다.

퍼텐셜 에너지와 에너지 보존

보존력

힘이 하는 일이 경로에 무관하면 그 힘을 보존력이라 한다. 같은 말이 셋 있다.

닫힌 경로를 한 바퀴 돌 때 하는 일이 0이다: $\oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0$ .
두 점 사이의 일이 경로에 무관하다.
스칼라 함수 $U(\mathbf{r})$ 가 있어 $\mathbf{F} = -\nabla U$ 다.

셋이 같다는 것이 1.1.4선적분과 경로 독립성와 1.1.9퍼텐셜 이론의 내용이고, 판정 조건은 $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ 이다. 중력·용수철·정전기력·만유인력이 보존력이고, 마찰·항력이 비보존력이다. 마찰이 비보존력인 이유는 방향이 언제나 운동의 반대라 어느 경로로 가도 음의 일만 쌓이기 때문이다 — 한 바퀴 돌아와도 0이 되지 않는다.

퍼텐셜 에너지의 정의

보존력 $\mathbf{F}$ 에 대해

\Delta U = U_f - U_i = -W = -\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}

부호에 주의한다. 힘이 양의 일을 하면 퍼텐셜 에너지는 줄어든다. 떨어지는 물체에 중력이 양의 일을 하고, 그만큼 중력 퍼텐셜 에너지가 줄어 운동 에너지로 옮겨 간다. 차이만 정의되므로 기준점은 마음대로다 — 지표면을 $U = 0$ 으로 잡든 책상 면을 잡든 물리는 같다.

세 가지가 이 장의 재료다.

U_g = mgy, \qquad U_s = \tfrac{1}{2}kx^2, \qquad U_G = -\frac{GMm}{r}

첫째는 지표면 근처( $y$ 는 높이), 둘째는 용수철(평형점을 0으로), 셋째는 만유인력(무한대를 0으로 — 9절). 셋째가 음수인 것은 무한대에서 0이고 가까워질수록 더 낮아지기 때문이다.

거꾸로 퍼텐셜에서 힘을 읽으려면 미분한다.

F_x = -\frac{dU}{dx}, \qquad \mathbf{F} = -\nabla U

1.1.2기울기·발산·회전의 기울기다. 힘은 퍼텐셜이 가장 가파르게 내려가는 방향을 가리키고, 크기는 그 기울기다. $U = mgy$ 를 미분하면 $F_y = -mg$ , $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ 을 미분하면 $F = -kx$ 가 돌아온다.

역학적 에너지 보존

보존력만 일을 하면 $W = \Delta K$ 이고 $W = -\Delta U$ 이므로 $\Delta K = -\Delta U$ , 즉

E = K + U = \text{일정}

$E$ 를 역학적 에너지라 한다. 이 식의 힘은 중간 과정을 전혀 몰라도 된다는 데 있다. 롤러코스터가 어떤 곡선을 그리든, 마찰이 없다면 높이 $h$ 만큼 내려온 지점의 속력은 $\sqrt{2gh}$ 다. 뉴턴 법칙으로 풀려면 곡선의 모양마다 수직항력을 구해야 하지만, 수직항력은 일을 하지 않으므로 에너지 식에서는 아예 등장하지 않는다.

비보존력이 일을 하면 그만큼 새어 나간다. 운동 마찰 $f_k$ 가 거리 $d$ 동안 작용하면

\Delta E_{\text{mech}} = \Delta K + \Delta U = -f_k d

사라진 역학적 에너지는 열에너지 $\Delta E_{\text{th}} = f_k d$ 가 된다. 전체 에너지는 여전히 보존되지만 역학적 에너지만 보면 줄어든 것으로 보인다. 이 열이 어디로 가는지 — 격자 진동으로, 즉 포논으로 — 를 셈하는 것이 6부와 7부의 일이고, 반도체 소자의 발열 문제(3.7)가 전부 이 항이다.

퍼텐셜 곡선을 읽는 법

1차원 퍼텐셜 $U(x)$ 의 그래프에 에너지 $E$ 를 수평선으로 그으면 운동 전체가 그림 하나로 읽힌다. $K = E - U(x) \ge 0$ 이어야 하므로

$U(x) \le E$ 인 구간만 허용 영역이다. 곡선이 수평선 위로 올라가는 곳은 갈 수 없다.
곡선과 수평선이 만나는 점이 회전점이다. 거기서 $K = 0$ , 속력이 0이고 방향을 바꾼다.
곡선의 기울기의 음수가 힘이다. 오르막이면 힘이 왼쪽, 내리막이면 오른쪽.
기울기가 0인 점이 평형점이다. 극소는 안정(밀면 되돌아온다), 극대는 불안정(밀면 달아난다), 평평한 구간은 중립.

그림 3.1-3. 1차원 퍼텐셜 곡선 U(x)와 에너지 수평선 E. 곡선이 수평선 아래인 구간만 갈 수 있고, 두 선이 만나는 회전점에서 속력이 0이 된다. 수평선과 곡선 사이의 세로 간격이 그 위치의 운동 에너지 K다. 극소점은 안정 평형 — 그 근처에서 곡선은 포물선으로 근사되고 입자는 조화진동한다. 극대점은 불안정 평형이며, E가 극대보다 낮으면 두 우물 사이를 건널 수 없다 — 고전역학에서는 그렇다.직접 작도

직관

밴드 다이어그램이 정확히 이 그림이다. 반도체 소자의 밴드 다이어그램은 전도대 바닥 $E_c(x)$ 를 위치에 대해 그린 것인데, $E_c(x)$ 는 전자의 퍼텐셜 에너지다. 그러니 이 절의 읽기가 그대로 통한다.

$E_c$ 의 기울기가 전자가 받는 힘이다: $F = -dE_c/dx = -e\mathcal{E}$ . 밴드가 기울어져 있으면 전기장이 있고, 전자는 내리막으로(밴드 그림에서 아래로) 굴러간다. 정공은 반대다.
pn 접합의 내부 전위 장벽 $eV_{bi}$ 는 곡선의 오르막이다. 에너지가 장벽보다 낮은 전자는 고전적으로 넘지 못한다 — 회전점에서 되돌아온다.
양자 우물은 문자 그대로 이 그림의 우물이다.

고전역학과 갈리는 자리가 딱 하나 있다. 그림에서 $E$ 가 극대보다 낮으면 오른쪽 우물로 건널 수 없다고 했는데, 양자역학의 입자는 장벽이 얇으면 건넌다 — 터널링(5부)이다. 플래시 메모리와 터널 다이오드가 그 예외 위에 서 있다. 그러나 예외를 이해하려면 먼저 규칙, 즉 이 그림을 읽을 줄 알아야 한다.

안정 평형 근처는 언제나 조화진동자

안정 평형점 $x_0$ 근처에서 $U(x)$ 를 테일러 전개하면(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)

U(x) \approx U(x_0) + \underbrace{U'(x_0)}_{=\,0}(x - x_0) + \tfrac{1}{2}U''(x_0)(x - x_0)^2 + \cdots

1차항은 평형 조건으로 사라지고, 남는 첫 항이 포물선이다. $k_{\text{eff}} = U''(x_0)$ 로 놓으면 $U \approx U_0 + \tfrac{1}{2}k_{\text{eff}}(x - x_0)^2$ 이고 힘은 $-k_{\text{eff}}(x - x_0)$ , 즉 용수철이다. 퍼텐셜이 무엇이든 — 중력이든 원자 결합이든 — 작은 진동은 조화진동이다. 3.2가 그 진동을 다루고, 진동수는

\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}} = \sqrt{\frac{U''(x_0)}{m}}

로 퍼텐셜의 곡률에서 바로 읽힌다. 우물이 좁고 가파를수록(곡률이 클수록) 빠르게 진동한다.

직관

원자 사이의 퍼텐셜 곡선. 두 원자 사이의 퍼텐셜(레너드–존스, 모스 — 4.2)은 이 절의 그림과 같은 모양이다. 멀면 약하게 당기고(음의 기울기 → 인력), 가까우면 세게 밀고(가파른 오르막 → 반발), 그 사이에 극소가 있다. 극소의 위치가 결합 길이, 극소의 깊이가 결합 에너지, 극소의 곡률이 결합의 용수철 상수다.

파라미터가 줄줄이 이어진다. 곡률 $U''$ 이 크면 결합이 단단하고 → 격자 진동수(포논)가 높고 → 7절의 영률이 크다. 우물이 좌우 비대칭이면(오른쪽이 완만하면) 진동의 평균 위치가 온도와 함께 바깥으로 밀려난다 — 이것이 열팽창이다(7.5.6). 완전한 포물선이라면 열팽창은 없다. 실리콘의 열팽창 계수가 작은 것( $2.6 \times 10^{-6}/\mathrm{K}$ )은 공유 결합의 우물이 깊고 비교적 대칭이기 때문이다.

운동량과 충돌

질량중심

입자 여럿으로 이루어진 계의 질량중심은 질량으로 가중한 평균 위치다.

\mathbf{r}_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i, \qquad M = \sum_i m_i

연속체이면 합이 적분 $\mathbf{r}_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,dm$ 이 된다 (1.1.5이중·삼중 적분). 두 번 미분하면

M\mathbf{a}_{\text{cm}} = \sum_i m_i\mathbf{a}_i = \sum_i \mathbf{F}_i

오른쪽은 계의 모든 입자에 걸리는 모든 힘의 합인데, 여기서 제3법칙이 일을 한다. 입자끼리 주고받는 내력은 짝마다 크기가 같고 방향이 반대라 합에서 전부 사라진다. 남는 것은 외부에서 걸린 힘뿐이다.

\mathbf{F}_{\text{ext}} = M\mathbf{a}_{\text{cm}}

계의 질량중심은 전체 질량이 한 점에 모여 있고 외력만 걸린 입자처럼 움직인다. 공중에서 터지는 폭죽의 파편은 사방으로 날지만 그 질량중심은 포물선을 그대로 그린다. 이 정리가 없다면 “물체”를 입자로 다루는 1절의 모든 계산이 근거를 잃는다 — 실제 물체는 원자 $10^{23}$ 개의 계이기 때문이다.

운동량과 충격량

입자의 선운동량은 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ 이고, 제2법칙은 원래 이 꼴로 적힌다.

\mathbf{F}_{\text{net}} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}

질량이 일정하면 $m\mathbf{a}$ 와 같지만, 질량이 변하는 계(로켓, 흘러내리는 모래)에서는 이 꼴만 옳다. 시간에 대해 적분하면

\mathbf{J} = \int_{t_i}^{t_f}\mathbf{F}(t)\,dt = \Delta\mathbf{p}

$\mathbf{J}$ 를 충격량이라 한다. 힘–시간 곡선 아래의 넓이가 운동량 변화다 — 2절 그림의 가로축을 위치에서 시간으로 바꾼 것이다. 충돌처럼 힘이 짧은 시간 크게 걸리는 경우 힘의 자세한 모양은 모르지만 넓이는 안다: 처음과 나중의 운동량 차이가 그것이다. 평균 힘은 $F_{\text{avg}} = \Delta p/\Delta t$ 이고, 같은 $\Delta p$ 라면 충돌 시간이 길수록 힘이 작다. 에어백·범퍼·포수의 글러브가 전부 $\Delta t$ 를 늘리는 장치다.

계 전체의 운동량 $\mathbf{P} = \sum\mathbf{p}_i = M\mathbf{v}_{\text{cm}}$ 에 대해서는

\mathbf{F}_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{P}}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{F}_{\text{ext}} = \mathbf{0} \ \text{이면}\ \mathbf{P} = \text{일정}

외력이 0이면 계의 총 운동량이 보존된다. 성분마다 따로 성립한다 — 수평 외력만 0이면 수평 운동량만 보존된다.

충돌 — 인덱스 정리

충돌 문제에는 첨자가 한꺼번에 붙는다. 어느 입자인지(1, 2), 충돌 전인지 후인지( $i$ , $f$ ), 실험실 좌표인지 질량중심 좌표인지. 세 종류가 겹치므로 여기서 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$m_1,\ m_2$		입사 입자(1)와 표적(2)의 질량
$v_{1i},\ v_{1f}$	1의 처음·나중	입자 1의 충돌 전·후 속도. 첫 첨자가 입자, 둘째가 시점
$v_{2i},\ v_{2f}$	2의 처음·나중	입자 2도 같다. 표적이 정지해 있으면 $v_{2i} = 0$
$V$		완전 비탄성 충돌 뒤 붙어서 가는 공통 속도. 이 절에서만
$\mathbf{v}_{\text{cm}}$		질량중심의 속도. 충돌 중 변하지 않는다
$\mathbf{u}_1,\ \mathbf{u}_2$		질량중심 좌표계에서 본 속도, $\mathbf{u} = \mathbf{v} - \mathbf{v}_{\text{cm}}$
$\mathbf{J}$	충격량	$\Delta\mathbf{p}$

첨자 $i$ 가 인덱스가 아니라 initial의 $i$ 라는 점, 그리고 위에서 $\sum_i m_i$ 의 $i$ 와 다른 물건이라는 점에 주의한다. 이 절 안에서 $i$ · $f$ 는 언제나 시점이다.

완전 비탄성 충돌. 둘이 붙어 함께 움직인다. 운동량 보존 하나로 끝난다.

m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2)V \quad\Longrightarrow\quad V = \mathbf{v}_{\text{cm}}

붙은 뒤의 속도가 곧 질량중심 속도다. 운동 에너지는 가장 많이 잃는다 — 질량중심 좌표계에서 보면 충돌 뒤 두 입자가 모두 정지하므로, 그 좌표계의 운동 에너지가 전부 열이 된다.

탄성 충돌. 운동 에너지도 보존된다. 1차원에서 표적이 정지해 있으면( $v_{2i} = 0$ ) 운동량 보존과 에너지 보존을 연립해

v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i}, \qquad v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i}

이 두 줄에 물리가 다 들어 있다. 세 극한을 본다.

$m_1 = m_2$ : $v_{1f} = 0$ , $v_{2f} = v_{1i}$ . 속도를 통째로 넘겨준다. 당구공이 그렇다.
$m_2 \gg m_1$ (무거운 표적): $v_{1f} \approx -v_{1i}$ , $v_{2f} \approx 0$ . 벽에 튕기듯 되돌아온다. 표적은 거의 안 움직인다.
$m_1 \gg m_2$ (가벼운 표적): $v_{1f} \approx v_{1i}$ , $v_{2f} \approx 2v_{1i}$ . 입사 입자는 그대로 가고 표적은 두 배 속력으로 튀어 나간다.

표적에 넘어간 운동 에너지의 비율은

\frac{K_{2f}}{K_{1i}} = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}

이 분수는 $m_1 = m_2$ 에서 최댓값 1이고, 질량비가 어느 쪽으로든 벌어질수록 0으로 간다. 에너지를 넘겨주려면 질량이 맞아야 한다.

그림 3.1-4. 정지한 표적과의 1차원 탄성 충돌에서 표적으로 넘어가는 운동 에너지의 비율 4m₁m₂/(m₁+m₂)². 질량이 같을 때(비 1) 에너지를 전부 넘겨주고, 질량비가 10:1이면 33 %, 100:1이면 4 %로 급히 떨어진다. 곡선이 대수 축에서 좌우 대칭인 것은 식이 m₁과 m₂에 대칭이기 때문이다 — 무거운 것이 가벼운 것을 치든 그 반대든 넘어가는 비율은 같다.직접 작도

직관

공정이 이 곡선 위에 서 있다.

스퍼터링. 아르곤 이온(질량 40)이 타깃 원자를 두드려 떼어 낸다. 알루미늄(27)·구리(64)· 티타늄(48)처럼 질량이 아르곤과 비슷한 금속은 에너지가 잘 넘어가 수율이 높고, 텅스텐(184)이나 금(197)은 같은 이온 에너지에서 넘어가는 몫이 작다. 무거운 타깃에는 크세논(131)을 쓰는 이유가 이 분수다.
이온 주입의 핵 저지. 주입된 붕소(11)나 비소(75)가 실리콘 원자(28)와 부딪히며 에너지를 잃는 과정이 이 탄성 충돌이다. 비소는 실리콘과 질량이 비슷해 핵 충돌로 빨리 멈추고, 붕소는 가벼워 한 번에 조금씩 잃으며 깊이 들어간다 — 같은 에너지에서 붕소의 투사 범위가 더 긴 이유의 절반이다(나머지 절반은 전자 저지, 18부).
격자 손상. 실리콘 원자가 제자리에서 튕겨 나가려면 어떤 문턱 에너지(약 15 eV)를 넘게 받아야 한다. 넘겨받는 몫이 이 분수로 정해지므로, 입사 이온의 에너지와 질량으로 손상의 깊이 분포가 결정된다.
전자–포논 산란. 전자(질량 $m^{*}$ )가 격자 원자(질량 $\sim 5 \times 10^4\,m_e$ )와 부딪히면 위의 세 번째 극한이다 — 전자는 방향만 바뀌고 에너지는 거의 잃지 않는다. 그래서 “탄성 산란”으로 다룰 수 있고, 운동량 완화 시간과 에너지 완화 시간이 따로 논다(11부).

질량중심 좌표계에서 보면

충돌을 질량중심과 함께 움직이는 좌표계에서 보면 그림이 단순해진다. 그 좌표계에서 총 운동량은 정의상 0이므로, 두 입자는 언제나 크기가 같고 방향이 반대인 운동량으로 다가오고 멀어진다. 탄성 충돌이면 각 입자의 속력은 충돌 전후로 변하지 않고 방향만 돈다. 1차원이면 방향이 뒤집힐 뿐이다: $u_{1f} = -u_{1i}$ , $u_{2f} = -u_{2i}$ . 여기에 $\mathbf{v}_{\text{cm}}$ 을 다시 더하면 실험실 좌표의 결과가 나오는데, 위의 $v_{1f}$ · $v_{2f}$ 공식이 정확히 그것이다.

전체 운동 에너지도 두 조각으로 갈라진다.

K = \tfrac{1}{2}Mv_{\text{cm}}^2 + K_{\text{cm}}

첫 항은 질량중심의 운동 에너지로 충돌에서 절대 변하지 않는다(외력이 없으므로 $\mathbf{v}_{\text{cm}}$ 불변). 둘째 항 $K_{\text{cm}}$ 은 질량중심 좌표계의 운동 에너지로, 충돌에서 잃을 수 있는 전부다. 완전 비탄성 충돌이 이것을 전부 잃고, 탄성 충돌이 하나도 잃지 않는다.

$K_{\text{cm}}$ 은 9절의 환산질량으로 적힌다: $K_{\text{cm}} = \tfrac{1}{2}\mu u_{\text{rel}}^2$ , $\mu = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$ . 두 물체 문제가 하나의 물체 문제로 줄어드는 첫 자리다.

2차원 충돌

평면 충돌에서는 운동량 보존이 성분 둘이다. 표적이 정지해 있고 탄성이면

\begin{aligned} m_1 v_{1i} &= m_1 v_{1f}\cos\theta_1 + m_2 v_{2f}\cos\theta_2 \\ 0 &= m_1 v_{1f}\sin\theta_1 - m_2 v_{2f}\sin\theta_2 \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_{1i}^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_{2f}^2 \end{aligned}

식 셋에 미지수가 넷( $v_{1f}$ , $v_{2f}$ , $\theta_1$ , $\theta_2$ )이다. 보존 법칙만으로는 결과가 정해지지 않는다. 하나가 남는 것은 충돌이 정면인지 스치는지 — 충돌 매개변수 — 에 따라 각이 달라지기 때문이고, 그것을 정하려면 두 입자 사이의 힘 법칙이 필요하다. 9절의 러더퍼드 산란이 그 힘 법칙(쿨롱)을 넣어 이 마지막 미지수를 정하는 계산이다. 같은 질량의 탄성 충돌에서는 $\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ$ 라는 결과가 힘 법칙과 무관하게 나온다 — 당구에서 맞은 공과 친 공이 직각으로 갈라지는 이유다.

주의

결정 운동량은 운동량이 아니다. 11부에서 전자의 상태를 파수 $\mathbf{k}$ 로 적고 $\hbar\mathbf{k}$ 를 “결정 운동량”이라 부르며, 산란에서 “운동량 보존”을 따진다. 그런데 $\hbar\mathbf{k}$ 는 이 절의 $m\mathbf{v}$ 가 아니다. 결정은 병진 대칭이 연속이 아니라 격자 간격만큼만 있으므로, 보존되는 것은 $\hbar\mathbf{k}$ 가 아니라 역격자 벡터만큼의 차이를 무시한 $\hbar\mathbf{k}$ 다. 그 차이가 바로 움클랍 과정(7.5.8)이다. 이 절의 운동량 보존은 공간의 연속 병진 대칭에서 나오고(8절), 결정에서는 그 대칭이 이산으로 깨진 만큼 보존 법칙도 느슨해진다. 이름이 같아도 출처가 다른 물건이다.

질량이 변하는 계 — 로켓

연료를 뒤로 뿜는 로켓은 외력 없이도 가속한다. 순간 질량 $M$ , 속도 $v$ 인 로켓이 $dt$ 동안 질량 $-dM$ ( $dM \lt 0$ )을 로켓에 대해 상대 속력 $v_{\text{rel}}$ 로 뿜으면, 계 전체의 운동량 보존에서

M\,dv = -v_{\text{rel}}\,dM \quad\Longrightarrow\quad v_f - v_i = v_{\text{rel}}\ln\frac{M_i}{M_f}

속도 증가가 질량비의 로그에 걸린다는 것이 로켓의 비극이다. 두 배 빨라지려면 연료가 $e^2 \approx 7.4$ 배 필요하다. 이 절에서 이 식이 필요한 이유는 하나다 — $\mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$ 가 $m\mathbf{a}$ 보다 근본이라는 것을 보여 주는 표준 예제이기 때문이다.

회전 운동과 관성 모멘트

각변수와 선변수

고정축 둘레의 회전은 각위치 $\theta$ 로 적는다. 라디안으로 잰다 — 반지름 $r$ 인 원에서 호의 길이 $s = r\theta$ 가 되는 단위이고, 이 정의 덕에 아래 관계에 상수가 붙지 않는다.

\omega = \frac{d\theta}{dt}, \qquad \alpha = \frac{d\omega}{dt}

각가속도가 일정하면 1절의 등가속도 식이 글자만 바꿔 그대로 성립한다: $\omega = \omega_0 + \alpha t$ , $\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2$ , $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,\Delta\theta$ .

축에서 $r$ 떨어진 점의 선운동은 각운동에 $r$ 을 곱한 것이다.

v = \omega r, \qquad a_t = \alpha r, \qquad a_r = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}

$a_t$ 는 접선 가속도(빨라지는 것), $a_r$ 은 구심 가속도(방향이 도는 것)다. 등속 회전에서도 $a_r$ 은 0이 아니다 — 1절에서 본 그대로다.

회전 운동 에너지와 관성 모멘트

강체가 각속도 $\omega$ 로 돌면 각 조각 $m_i$ 는 속력 $\omega r_i$ 로 움직인다. 운동 에너지를 더하면

K = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i(\omega r_i)^2 = \tfrac{1}{2}\Big(\sum_i m_i r_i^2\Big)\omega^2 = \tfrac{1}{2}I\omega^2

괄호 안의 양이 관성 모멘트다.

I = \sum_i m_i r_i^2 \quad\longrightarrow\quad I = \int r^2\,dm

$r_i$ 는 회전축으로부터의 거리다. 원점이 아니다. 같은 물체라도 축이 다르면 $I$ 가 다르고, 그래서 $I$ 는 물체의 상수가 아니라 물체와 축의 쌍에 붙는 양이다. 질량이 축에서 멀수록 $r^2$ 으로 커지므로, 같은 질량이라도 바깥에 몰린 물체가 돌리기 어렵다.

물체 (질량 $M$ )	축	$I$
얇은 고리, 반지름 $R$	중심, 면에 수직	$MR^2$
원판·원기둥, 반지름 $R$	중심축	$\tfrac{1}{2}MR^2$
속이 찬 구, 반지름 $R$	지름	$\tfrac{2}{5}MR^2$
얇은 구 껍질, 반지름 $R$	지름	$\tfrac{2}{3}MR^2$
가는 막대, 길이 $L$	중심, 막대에 수직	$\tfrac{1}{12}ML^2$
가는 막대, 길이 $L$	끝, 막대에 수직	$\tfrac{1}{3}ML^2$

이 표의 계수 — $1$ , $\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{2}{5}$ , … — 는 전부 질량이 축에서 평균적으로 얼마나 떨어져 있는가의 척도다. 고리는 모든 질량이 $R$ 에 있으니 1이고, 원판은 안쪽에도 질량이 있으니 그보다 작다.

그림 3.1-5. 같은 질량 M, 같은 반지름 R의 고리와 원판. 고리는 질량이 전부 축에서 R만큼 떨어져 있어 I = MR²이고, 원판은 질량의 대부분이 그보다 안쪽에 있어 I = MR²/2로 절반이다. 오른쪽은 평행축 정리 — 질량중심을 지나는 축에서 h만큼 떨어진 평행한 축에 대한 관성 모멘트는 I_cm에 Mh²를 더한 것이며, 질량중심 축이 언제나 가장 작다.직접 작도

평행축 정리

질량중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 $I_{\text{cm}}$ 을 알면, 그것과 평행하고 $h$ 만큼 떨어진 임의의 축에 대한 값은 계산 없이 나온다.

I = I_{\text{cm}} + Mh^2

증명은 한 줄이다. 새 축에서 잰 조각의 위치를 $\mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i' + \mathbf{h}$ ( $\mathbf{r}_i'$ 은 질량중심 축 기준)로 쓰고 $\sum m_i r_i^2$ 을 전개하면 교차항 $2\mathbf{h}\cdot\sum m_i\mathbf{r}_i'$ 이 나오는데, 질량중심의 정의에 의해 $\sum m_i\mathbf{r}_i' = \mathbf{0}$ 이다. 표에서 막대의 두 값이 이 정리로 이어진다: $\tfrac{1}{12}ML^2 + M(L/2)^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$ .

토크와 회전의 제2법칙

축에서 $\mathbf{r}$ 떨어진 점에 힘 $\mathbf{F}$ 가 걸릴 때 그 힘이 물체를 돌리는 능력이 토크다.

\tau = rF\sin\phi = r_\perp F = rF_t

$\phi$ 는 $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{F}$ 사이의 각이다. 두 가지로 읽을 수 있다 — 축에서 힘의 작용선까지의 수직 거리 $r_\perp$ (지렛대 팔)에 힘 전체를 곱하거나, 거리 $r$ 에 힘의 접선 성분 $F_t$ 를 곱하거나. 축을 향하는 힘 성분은 물체를 돌리지 못한다. 문 손잡이가 경첩에서 먼 쪽에 있는 이유가 $r_\perp$ 이고, 문을 경첩 쪽으로 밀면 안 열리는 이유가 $F_t$ 다.

각 조각에 접선 힘 $F_{t,i} = m_i a_{t,i} = m_i r_i\alpha$ 가 걸린다고 하고 토크를 더하면

\tau_{\text{net}} = \sum_i r_i F_{t,i} = \Big(\sum_i m_i r_i^2\Big)\alpha = I\alpha

회전의 제2법칙이다. 관성 모멘트가 $K = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ 에서도, $\tau = I\alpha$ 에서도 같은 $\sum m_i r_i^2$ 으로 나온다는 것이 대응표가 우연이 아니라는 증거다.

회전에서 힘이 하는 일과 일률도 같은 꼴이다.

W = \int_{\theta_i}^{\theta_f}\tau\,d\theta = \Delta K, \qquad P = \tau\omega

대응표

병진		회전
위치	$x$	각위치	$\theta$
속도	$v = dx/dt$	각속도	$\omega = d\theta/dt$
가속도	$a = dv/dt$	각가속도	$\alpha = d\omega/dt$
질량	$m$	관성 모멘트	$I = \int r^2\,dm$
힘	$F$	토크	$\tau = r_\perp F$
제2법칙	$F = ma$		$\tau = I\alpha$
운동 에너지	$\tfrac{1}{2}mv^2$		$\tfrac{1}{2}I\omega^2$
일	$\int F\,dx$		$\int \tau\,d\theta$
일률	$Fv$		$\tau\omega$
운동량	$p = mv$	각운동량	$L = I\omega$ (6절)

표의 마지막 줄이 다음 절이다.

굴림 — 병진과 회전이 겹칠 때

바퀴가 미끄러지지 않고 구르면 접촉점이 순간적으로 정지해 있어야 하므로

v_{\text{cm}} = \omega R, \qquad a_{\text{cm}} = \alpha R

이것이 구속 조건이고, 8절의 라그랑주 역학이 이런 조건을 다루는 문법이다. 운동 에너지는 질량중심의 병진과 그 둘레의 회전으로 갈라진다.

K = \tfrac{1}{2}Mv_{\text{cm}}^2 + \tfrac{1}{2}I_{\text{cm}}\omega^2

4절의 $K = \tfrac{1}{2}Mv_{\text{cm}}^2 + K_{\text{cm}}$ 과 같은 분해다 — 강체에서는 $K_{\text{cm}}$ 이 회전 에너지다. 경사각 $\theta$ 인 면을 구르는 물체의 가속도는 에너지 보존이나 $\tau = I\alpha$ 어느 쪽으로 풀어도

a_{\text{cm}} = \frac{g\sin\theta}{1 + I_{\text{cm}}/MR^2}

축이 고정되지 않으면 — 관성 텐서

여기까지는 축이 고정돼 있었다. 축이 자유로운 3차원 강체에서는 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 와 각운동량 $\mathbf{L}$ 이 같은 방향이 아닐 수 있고, 관성 모멘트는 스칼라가 아니라 텐서가 된다.

\mathbf{L} = \mathsf{I}\,\boldsymbol{\omega}, \qquad \mathsf{I}_{jk} = \int\left(r^2\delta_{jk} - x_j x_k\right)dm

$\mathsf{I}$ 는 실수 대칭 $3\times 3$ 행렬이고, 1.3.7이차 형식과 주축 변환의 주축 정리가 그대로 적용된다 — 서로 수직인 세 주축이 있고, 그 축에서 $\mathsf{I}$ 는 대각이며, 주축 둘레로 돌 때만 $\mathbf{L}$ 과 $\boldsymbol{\omega}$ 가 나란하다. 1.3.2고유값 문제의 응용에서 이미 관성 텐서를 고유값 문제의 예로 보았다. 다른 축 둘레로 돌리면 $\mathbf{L}$ 이 $\boldsymbol{\omega}$ 둘레를 돌면서 축을 흔든다 — 바퀴의 휠 밸런스가 이것을 없애는 작업이다.

각운동량과 그 보존

입자의 각운동량

원점 $O$ 에 대한 입자의 각운동량은

\boldsymbol{\ell} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} = m\,\mathbf{r}\times\mathbf{v}

크기는 $\ell = rp\sin\phi = r_\perp p = rp_\perp$ — 토크와 같은 두 가지 읽기가 있다. 어느 점에 대한 각운동량인지 반드시 말해야 한다. 같은 운동이라도 원점을 옮기면 값이 바뀐다. 직선으로 지나가는 입자는 원점을 그 직선 위에 두면 $\ell = 0$ 이고, 직선에서 $b$ 만큼 떨어진 점에 두면 $\ell = mvb$ 로 일정하다 — 입자가 다가오든 멀어지든 $r_\perp = b$ 가 변하지 않기 때문이다.

그림 3.1-6. 직선으로 등속 운동하는 입자도 원점 O에 대한 각운동량을 가진다. 크기는 r p sinφ인데, r sinφ가 원점에서 직선까지의 수직 거리 b로 일정하므로 ℓ = m v b는 입자가 어디에 있든 같다 — 각운동량 보존의 가장 단순한 예다. 방향은 r × p로 지면에 수직이다. 이 b가 9절 산란 문제의 충돌 매개변수이고, 산란 전후로 보존되는 것이 바로 이 mvb다.직접 작도

시간 미분을 취하면

\frac{d\boldsymbol{\ell}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{p} + \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \underbrace{\mathbf{v}\times m\mathbf{v}}_{=\,\mathbf{0}} + \mathbf{r}\times\mathbf{F}

첫 항은 나란한 벡터의 외적이라 0이고, 둘째 항이 토크의 벡터 정의 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}$ 다.

\boldsymbol{\tau}_{\text{net}} = \frac{d\boldsymbol{\ell}}{dt}

$\mathbf{F} = d\mathbf{p}/dt$ 의 회전판이고, 유도에 강체도 축도 필요 없었다. 5절의 $\tau = I\alpha$ 는 이 식을 고정축 강체에 적용한 특수 경우다.

계와 강체

입자 여럿이면 $\mathbf{L} = \sum\boldsymbol{\ell}_i$ 이고, 미분하면 내력의 토크가 짝으로 상쇄된다(제3법칙에 더해 내력이 두 입자를 잇는 선을 따른다는 조건이 필요하다 — 중력·쿨롱력은 그렇다).

\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}

고정축 둘레로 도는 강체는 각 조각이 $\ell_i = m_i r_i v_i = m_i r_i^2\omega$ 이므로 축 성분을 더해

L = I\omega

대응표의 마지막 줄이 이렇게 나온다. $\mathbf{L}$ 의 축 성분만 이 식을 따르고, 축이 주축이 아니면 축에 수직인 성분이 따로 남는다(5절 끝).

보존

$\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = \mathbf{0}$ 이면 $\mathbf{L}$ 이 보존된다. 운동량 보존과 마찬가지로 성분별로 성립하며, 어느 한 축에 대한 토크만 0이어도 그 축 성분은 보존된다.

강체가 모양을 바꾸면 $I$ 가 바뀌고, $L = I\omega$ 가 일정하므로 $\omega$ 가 따라 바뀐다.

I_i\omega_i = I_f\omega_f

팔을 오므린 피겨 스케이터가 빨리 도는 것이 이 식이다. 그때 운동 에너지는 어떻게 되는가. $K = L^2/2I$ 로 쓰면 $I$ 가 줄 때 $K$ 는 늘어난다. 늘어난 에너지는 팔을 안으로 당기느라 스케이터가 한 일이다 — 각운동량은 보존되지만 에너지는 아니다. 두 보존 법칙이 독립이라는 것을 보여 주는 표준 예다.

세차 — 토크가 각운동량에 수직일 때

빠르게 도는 팽이를 축이 기울어진 채 세워 두면 쓰러지지 않고 축이 천천히 원을 그린다. 중력의 토크 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r}\times M\mathbf{g}$ 는 수평이고, 각운동량 $\mathbf{L}$ (축 방향)에 수직이다. $d\mathbf{L} = \boldsymbol{\tau}\,dt$ 가 $\mathbf{L}$ 에 수직이면 $\mathbf{L}$ 의 크기는 변하지 않고 방향만 돈다 — 1절에서 속도에 수직인 힘이 속력을 바꾸지 않고 방향만 돌린 것과 같은 논리다. 세차 각속도는

\Omega = \frac{\tau}{L} = \frac{Mgr}{I\omega}

$\omega$ 가 클수록 세차가 느리다. 빨리 도는 팽이가 더 안정한 이유다.

직관

라모어 세차가 같은 식이다. 전자의 궤도 각운동량에는 자기 모멘트 $\boldsymbol{\mu} = -\frac{e}{2m}\mathbf{L}$ 이 붙어 있다(2부). 자기장 $\mathbf{B}$ 속에서 자기 모멘트가 받는 토크는 $\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}$ 이고, 이것이 $\mathbf{L}$ 에 수직이므로 $\mathbf{L}$ 은 $\mathbf{B}$ 둘레를 세차한다. 각속도는 팽이와 같은 계산으로 $\Omega_L = eB/2m$ — 라모어 진동수다. 스핀이면 계수가 2배 가까이 되고(자이로자기비), 그 세차 진동수를 공명으로 읽는 것이 NMR·ESR이며, MRAM의 자유층이 자기장 펄스에 반응하는 동역학(LLG 방정식)의 첫 항이 이 세차다. 팽이의 $Mgr/I\omega$ 와 전자의 $eB/2m$ 은 한 식 $\Omega = \tau/L$ 의 두 얼굴이다.

중심력과 케플러 제2법칙

힘이 언제나 한 고정점(힘의 중심)을 향하면 — 중력·쿨롱력이 그렇다 — 그 점에 대한 토크는 $\mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ 이다. $\mathbf{r}$ 과 $\mathbf{F}$ 가 나란하기 때문이다. 따라서 중심력 아래서는 각운동량이 보존된다. 두 가지가 따라온다.

$\mathbf{L}$ 의 방향이 고정되므로 $\mathbf{r}$ 은 언제나 $\mathbf{L}$ 에 수직인 한 평면 안에 머문다. 궤도는 평면 곡선이다.
극좌표에서 $\ell = mr^2\dot{\theta}$ 인데, 반지름 벡터가 $dt$ 동안 쓸고 가는 넓이는 $dA = \tfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ 이므로

\frac{dA}{dt} = \frac{\ell}{2m} = \text{일정}

같은 시간에 같은 넓이 — 케플러 제2법칙이다. 행성은 태양에 가까울수록 빠르다. 케플러가 관측에서 찾은 규칙이 각운동량 보존의 다른 이름이었던 것이다. 9절은 이 보존 법칙을 출발점으로 궤도의 모양까지 구한다.

의문

각운동량이 양자화되는 이유는 무엇인가. 보어(5.1.4)는 전자의 궤도 각운동량이 $\ell = n\hbar$ 의 값만 가진다고 가정해 수소 스펙트럼을 맞췄다. 왜 하필 각운동량인가. 답의 절반은 이 절에 있다 — 중심력 아래서 각운동량은 보존되므로, 궤도를 하나로 특정하는 좋은 양이다. 나머지 절반은 8절 끝에 있다 — 각운동량은 각 $\theta$ 에 짝지어진 일반화 운동량이고, 위상 공간에서 닫힌 궤도 하나의 넓이 $\oint p_\theta\,d\theta = 2\pi\ell$ 이 플랑크 상수의 정수배여야 한다는 것이 보어–좀머펠트 양자화 조건이다. 각운동량이 양자화되는 것은 각도가 $2\pi$ 마다 돌아오는 주기 좌표이기 때문이다.

정적 평형과 탄성

평형의 두 조건

강체가 정지해 있으려면

\sum\mathbf{F}_{\text{ext}} = \mathbf{0}, \qquad \sum\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} = \mathbf{0}

힘의 합이 0이어야 질량중심이 가속되지 않고, 토크의 합이 0이어야 돌지 않는다. 둘째 조건에서 토크를 어느 점에 대해 계산하든 상관없다는 것이 실용적으로 중요하다 — 힘의 합이 0이면 토크의 합은 기준점에 무관하기 때문이다. 그래서 모르는 힘이 걸리는 점을 기준으로 잡으면 그 힘이 식에서 사라진다.

평면 문제에서 조건은 식 셋이다: $\sum F_x = 0$ , $\sum F_y = 0$ , $\sum\tau_z = 0$ . 미지수가 셋 이하면 풀린다. 벽에 기댄 사다리(바닥의 수직항력·마찰, 벽의 수직항력)가 딱 셋이다.

중력은 물체의 모든 조각에 걸리지만, 토크를 계산할 때는 무게중심 한 점에 $M\mathbf{g}$ 가 걸린 것으로 대신할 수 있다. $\mathbf{g}$ 가 균일하면 무게중심은 질량중심과 같다.

부정정 — 조건이 모자랄 때

네 다리 탁자의 각 다리에 걸리는 힘은 얼마인가. 미지수 넷에 조건은 셋( $\sum F_y$ , $\sum\tau_x$ , $\sum\tau_y$ )이다. 강체 역학만으로는 정해지지 않는다. 실제 탁자에서 답이 정해지는 것은 다리가 강체가 아니라 조금씩 눌리고, 눌리는 양이 힘에 비례하고, 네 다리의 눌림이 탁자 판의 기울기와 맞아야 하기 때문이다. 즉 변형을 넣어야 답이 나온다. 이런 문제를 부정정이라 하고, 탄성이 그 빠진 조건을 준다.

응력과 변형률

막대에 힘 $F$ 를 축 방향으로 걸면 길이 $L$ 이 $\Delta L$ 만큼 변한다. 힘을 단면적으로, 길이 변화를 원래 길이로 나눈 것이 각각 응력과 변형률이다.

\sigma = \frac{F}{A}, \qquad \varepsilon = \frac{\Delta L}{L}

응력의 단위는 N/m² = Pa, 변형률은 무차원이다. 작은 변형에서 둘은 비례한다.

\sigma = Y\varepsilon

비례 상수 $Y$ 가 영률이다. HRW는 이것을 $E$ 로 쓰지만 이 장에서 $E$ 는 역학적 에너지이므로 $Y$ 를 쓴다 — 8부 재료과학에서는 관례대로 $E$ 로 돌아갈 것이다. 힘의 종류에 따라 셋이 있다.

변형	응력	변형률	탄성률
인장·압축	$F/A$ (수직)	$\Delta L/L$	영률 $Y$
전단	$F/A$ (평행)	$\Delta x/L$	전단 탄성률 $G$
체적(정수압)	$p$	$\Delta V/V$	체적 탄성률 $B$

전단 탄성률 $G$ 가 5절 이후 쓰지 않는 만유인력 상수 $G$ 와 글자가 같다 — 이 절 안에서만 전단 탄성률이고, 9절로 가면 다시 만유인력 상수다.

직관

후크 법칙의 다른 옷. $\sigma = Y\varepsilon$ 을 $F/A = Y\,\Delta L/L$ 로 풀어 쓰면 $F = (YA/L)\,\Delta L$ , 즉 용수철 상수가

k = \frac{YA}{L}

인 용수철이다. 굵을수록( $A$ ), 짧을수록( $L$ ) 단단하다. $Y$ 는 그 용수철 상수에서 모양을 걷어 낸 물질의 상수다. 그리고 3절에서 원자 결합의 용수철 상수가 퍼텐셜 곡선의 곡률 $U''$ 이었으므로, 영률은 결국 원자 간 퍼텐셜의 곡률을 격자 간격으로 정규화한 것이다. 차원을 맞춰 보면 $Y \sim U''/a$ ( $a$ 는 격자 간격)이고, 실리콘의 $U'' \sim 100\ \mathrm{N/m}$ , $a \sim 0.25\ \mathrm{nm}$ 를 넣으면 $Y \sim 10^{11}\ \mathrm{Pa}$ — 실측 130~190 GPa과 자릿수가 맞는다. 원자 하나의 결합 세기와 웨이퍼 한 장의 단단함이 같은 숫자다.

응력–변형률 곡선

변형을 계속 키우면 비례 관계가 무너진다.

그림 3.1-7. 응력–변형률 곡선. 원점 근처의 직선 구간이 탄성 영역이며 기울기가 영률 Y다. 항복점을 지나면 힘을 빼도 원래 길이로 돌아오지 않는 소성 변형이 시작되고, 극한 강도 뒤에 파단한다. 연성 금속(회색)은 긴 소성 구간을 가지지만, 실리콘처럼 취성인 재료(강조색)는 항복 없이 탄성 구간 끝에서 바로 부러진다 — 웨이퍼가 휘어지다가 갑자기 깨지는 이유다.직접 작도

탄성 영역 — 직선. 기울기가 $Y$ . 힘을 빼면 원래대로 돌아온다.
항복점 — 여기를 넘으면 힘을 빼도 영구 변형이 남는다(소성).
극한 강도 — 견디는 최대 응력.
파단.

연성 재료(구리·알루미늄)는 항복 뒤 긴 소성 구간이 있고, 취성 재료(실리콘·유리·세라믹)는 소성 없이 탄성 구간 끝에서 부러진다. 실리콘 웨이퍼가 휘기는 하는데 구부러지지는 않는 이유, 그리고 다이싱·핸들링에서 미세 균열이 치명적인 이유가 취성이다 — 균열 끝에 응력이 집중되고, 소성으로 풀어 줄 길이 없어 그대로 전파된다.

직관

웨이퍼가 휘는 이유 — 박막 응력. 실리콘 위에 증착한 막은 대개 응력을 품고 있다. 증착 온도에서 식으면서 막과 기판의 열팽창 계수가 달라 생기는 열응력 $\sigma \approx Y_f(\alpha_f - \alpha_s)\Delta T$ 와, 증착 과정 자체에서 생기는 내재 응력이 그것이다. 막이 수축하려 하면(인장 응력) 웨이퍼가 막 쪽으로 오목하게 휘고, 팽창하려 하면 (압축 응력) 볼록하게 휜다. 휨의 곡률 반지름 $R$ 에서 막 응력을 거꾸로 읽는 것이 스토니 식이다(9부).

\sigma_f = \frac{Y_s}{6(1 - \nu_s)}\,\frac{t_s^2}{t_f}\,\frac{1}{R}

$\nu_s$ 는 기판의 푸아송 비(늘이면 옆으로 얼마나 줄어드는가), $t_s$ · $t_f$ 는 기판·막의 두께다. 파라미터 연계를 읽으면 — 기판이 두꺼울수록( $t_s^2$ ) 같은 응력에 덜 휘고, 막이 두꺼울수록 ( $t_f$ ) 더 휜다. 300 mm 웨이퍼가 200 mm보다 휨에 민감한 이유, 그리고 두꺼운 질화막을 올리면 리소그래피의 초점이 흔들리는 이유가 이 식에 있다.

같은 응력이 쓸모가 되기도 한다. 채널에 일부러 응력을 걸면(변형 실리콘 — 실리콘–게르마늄 소스·드레인, 응력 라이너) 밴드 구조가 바뀌어 유효질량이 줄고 이동도가 오른다(14부). 5절 끝의 유효질량 텐서 주값이 응력에 따라 재배치되는 것이 그 원리다. 응력은 1 GPa 안팎인데, 그것은 이 곡선의 탄성 구간 안이다 — 실리콘의 파단 강도는 결함 없는 결정에서 수 GPa에 이른다.

라그랑지안과 해밀토니안

직관

지금까지의 역학은 힘에서 출발했다. 힘을 전부 찾아 벡터로 더하고 $m\mathbf{a}$ 와 놓는다. 문제는 힘 가운데 우리가 모르는 것이 있다는 점이다 — 줄의 장력, 면의 수직항력, 경첩의 반작용. 이런 구속력은 물체를 정해진 길 위에 붙들어 두는 일만 하고 일은 하지 않는데, 뉴턴 방식에서는 그것까지 미지수로 놓고 풀어야 한다.

이 절의 방식은 힘 대신 에너지에서 출발한다. 계의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 아무 좌표로나 적으면 운동 방정식이 기계적으로 나오고, 구속력은 처음부터 등장하지 않는다. 그리고 이 문법이 양자역학이 물려받은 문법이다. 슈뢰딩거 방정식에는 힘이 없고 해밀토니안이 있다.

이 절은 기준 교재(HRW)의 범위를 벗어난다. 라그랑주·해밀턴 역학의 최소한 — 이 백과의 뒤쪽 장이 실제로 빌려 쓰는 만큼 — 만 적는다.

기호 — 이 절의 약속

역학 교재의 관례가 이 장의 관례와 정면으로 부딪히는 자리다. 표로 못박는다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	이 백과 밖의 표기
$q_j$	일반화 좌표	계의 배치를 정하는 독립 변수. 길이일 수도 각일 수도 있다
$\dot{q}_j$	큐 도트	$dq_j/dt$ . 점은 시간 미분
$p_j$	일반화 운동량	$\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_j$ . $m\dot{q}_j$ 가 아닐 수 있다
$n$	자유도	독립 좌표의 개수, $j = 1, \dots, n$
$K$	운동 에너지	2절과 같다	역학책은 $T$
$U$	퍼텐셜 에너지	3절과 같다	역학책은 $V$
$\mathcal{L}$	라그랑지안	$K - U$ . 6절의 각운동량 $\mathbf{L}$ 과 다른 글자체	$L$
$H$	해밀토니안	$\sum p_j\dot{q}_j - \mathcal{L}$ . 대개 $K + U$
$S$	작용	$\int\mathcal{L}\,dt$ . 단위 J·s

일반화 좌표

단진자는 위치 $(x, y)$ 둘로 적을 수 있지만, 줄 길이가 고정이라는 구속 $x^2 + y^2 = \ell^2$ 때문에 실제 자유도는 하나다. 각 $\theta$ 하나로 적으면 구속이 자동으로 만족된다. 이렇게 구속을 미리 녹여 넣은 독립 좌표 $q_1, \dots, q_n$ 을 일반화 좌표라 한다. $n$ 이 계의 자유도다. 좌표는 길이·각·그 조합 어느 것이어도 좋다 — 뉴턴 방식이 직교좌표를 요구하는 것과 다르다.

라그랑지안과 오일러–라그랑주 방정식

계의 운동 에너지 $K$ 와 퍼텐셜 에너지 $U$ 를 일반화 좌표와 그 시간 미분으로 적고,

\mathcal{L}(q, \dot{q}, t) = K - U

라 놓는다. 그러면 운동 방정식은 각 좌표마다

\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_j} \qquad (j = 1, \dots, n)

오일러–라그랑주 방정식이다. 왼쪽 안의 $\partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_j$ 가 일반화 운동량 $p_j$ 이므로, 이 식은 $\dot{p}_j = \partial\mathcal{L}/\partial q_j$ — 즉 “운동량의 변화율 = 일반화 힘”이라는 뉴턴 제2법칙의 일반형이다.

가장 단순한 예로 확인한다. 1차원에서 퍼텐셜 $U(x)$ 속의 입자는 $\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}m\dot{x}^2 - U(x)$ 이고,

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}} = m\dot{x}, \qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = -\frac{dU}{dx} \quad\Longrightarrow\quad m\ddot{x} = -\frac{dU}{dx}

3절의 $F = -dU/dx$ 가 그대로 돌아온다. 새 물리는 없다. 있는 것은 어느 좌표로 적어도 같은 꼴이라는 점이고, 그것이 구속력을 없앤다.

단진자. 길이 $\ell$ , 질량 $m$ . $K = \tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2$ , $U = -mg\ell\cos\theta$ .

\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad m\ell^2\ddot{\theta} = -mg\ell\sin\theta

장력 $T$ 가 한 번도 등장하지 않았다. 뉴턴 방식이라면 장력을 미지수로 놓고 반지름 방향 식을 하나 더 풀어 소거해야 한다. 작은 각에서 $\sin\theta \approx \theta$ 로 놓으면 $\ddot{\theta} = -(g/\ell)\theta$ , 3절 끝의 조화진동자다. $\omega = \sqrt{g/\ell}$ 이고 질량이 사라진다.

중심력, 극좌표. 평면에서 $K = \tfrac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2)$ , $U = U(r)$ .

\mathcal{L} = \tfrac{1}{2}m\big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2\big) - U(r)

$\theta$ 에 대한 방정식을 보자. $\mathcal{L}$ 에 $\theta$ 자체가 없으므로 $\partial\mathcal{L}/\partial\theta = 0$ 이고, 따라서

\frac{d}{dt}\big(mr^2\dot{\theta}\big) = 0 \quad\Longrightarrow\quad p_\theta = mr^2\dot{\theta} = \ell = \text{일정}

6절에서 토크를 계산해 얻은 각운동량 보존이 여기서는 좌표 하나가 식에 안 나온다는 사실에서 공짜로 나온다. 이런 좌표를 순환 좌표라 하고, 순환 좌표의 짝 운동량은 언제나 보존된다. 9절이 이 $\ell$ 에서 출발한다.

해밀턴 원리 — 왜 이 방정식인가

오일러–라그랑주 방정식은 어디서 오는가. 두 시각 $t_1$ , $t_2$ 사이에 계가 지나는 경로 $q(t)$ 마다 숫자 하나를 붙인다.

S[q] = \int_{t_1}^{t_2}\mathcal{L}(q, \dot{q}, t)\,dt

작용이다. 해밀턴 원리는 “실제 경로는 양 끝을 고정한 모든 경로 가운데 $S$ 가 정류값 (대개 극소)이 되는 경로”라는 문장이고, 변분 $\delta S = 0$ 을 계산하면 정확히 오일러–라그랑주 방정식이 나온다(1.6.6의 변분법). 힘·가속도·벡터가 하나도 없이 스칼라 $\mathcal{L}$ 하나로 역학 전체가 적힌다.

직관

공간적 직관 — 경로들의 공간. 뉴턴 역학은 매 순간 “지금 어디로 갈까”를 국소적으로 정한다. 해밀턴 원리는 처음과 끝을 못박고 “어느 길로 갈까”를 전체 경로에 대해 한 번에 정한다. 둘이 같은 답을 내는 것은 미분방정식과 변분 문제가 같은 것이기 때문이다.

이 전체 경로의 관점이 양자역학에서 문자 그대로 살아난다 — 파인만의 경로 적분에서 입자는 모든 경로를 다 지나고, 각 경로에 위상 $e^{iS/\hbar}$ 가 붙는다. $S \gg \hbar$ 이면 정류 경로 근처만 위상이 맞아 살아남고 나머지는 상쇄된다. 그것이 고전 경로다. 작용의 단위가 J·s이고 $\hbar$ 의 단위도 J·s인 것은 우연이 아니다 — 작용은 플랑크 상수로 재는 양이고, 계의 작용이 $\hbar$ 에 견줄 만해지면 고전역학이 끝난다.

대칭과 보존 — 뇌터 정리

위의 중심력 예가 일반 원리의 특수 경우다. $\mathcal{L}$ 이 어떤 좌표 $q_j$ 에 걸리지 않으면 $p_j$ 가 보존된다. 그런데 “ $\mathcal{L}$ 이 $q_j$ 에 걸리지 않는다”는 것은 “ $q_j$ 를 바꿔도 계가 그대로다”, 즉 대칭이다. 대칭마다 보존량이 하나씩 짝지어진다.

대칭	보존량	이 장의 절
공간 병진 ( $\mathbf{r} \to \mathbf{r} + \mathbf{a}$ )	운동량 $\mathbf{p}$	4
회전 ( $\theta \to \theta + \delta$ )	각운동량 $\mathbf{L}$	6
시간 병진 ( $t \to t + \delta$ )	에너지 $H$	3

이 장의 세 보존 법칙이 전부 이 표에 들어 있다. 머리말에서 “보존 법칙이 뉴턴 법칙보다 근본”이라 한 이유가 이것이다 — 보존 법칙은 힘의 세부가 아니라 시공간의 대칭에서 나오고, 대칭은 양자역학으로 넘어가도 그대로다. 4절 끝의 경고가 여기서 완성된다: 결정은 연속 병진 대칭이 없으므로 결정 운동량 보존은 역격자 벡터만큼 느슨하다. 대칭이 그만큼만 있기 때문이다.

해밀토니안과 정준 방정식

라그랑지안은 $(q, \dot{q})$ 의 함수다. 변수를 $(q, p)$ 로 바꾸면 — 르장드르 변환 —

H(q, p, t) = \sum_j p_j\dot{q}_j - \mathcal{L}

해밀토니안이고, 운동 방정식은 1계 방정식 $2n$ 개가 된다.

\dot{q}_j = \frac{\partial H}{\partial p_j}, \qquad \dot{p}_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}

정준 방정식이다. $K$ 가 $\dot{q}$ 의 2차 동차식이고 $U$ 가 속도에 걸리지 않으면 $H = K + U$ , 즉 역학적 에너지다. 1차원 입자에서 확인하면 $H = p^2/2m + U(x)$ 이고

\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -\frac{dU}{dx}

첫 식은 운동량의 정의, 둘째 식은 뉴턴 법칙이다. 한 개의 2계 방정식을 두 개의 1계 방정식으로 쪼갠 것이고, 1.4.9연립 ODE와 위상 평면의 연립 1계계·위상 평면이 그 수학이다.

직관

수식적 직관 — 왜 굳이 2계를 1계 둘로 쪼개는가. 1절에서 “위치와 속도가 상태의 전부”라 했다. 해밀턴 역학은 그 상태를 $(q, p)$ 라는 점으로 만들고, 그 점이 사는 $2n$ 차원 공간을 위상 공간이라 부른다. 운동은 위상 공간의 점이 그리는 곡선이고, 정준 방정식은 그 곡선의 접선 벡터를 $H$ 의 기울기로부터 준다 — 사실 $H$ 의 기울기를 90° 돌린 것이다 ( $\dot{q} = \partial_p H$ , $\dot{p} = -\partial_q H$ ). 그래서 점은 $H$ 의 등고선을 따라 움직이고, 그것이 에너지 보존의 그림이다.

방정식이 $q$ 와 $p$ 에 대해 (부호 하나 빼고) 대칭이라는 점이 이 형식의 핵심이다. 좌표와 운동량을 뒤섞는 변수 변환(정준 변환)이 허용되고, 그 자유가 양자역학의 “표현” — 위치 표현과 운동량 표현 — 으로 이어진다.

그림 3.1-8. 조화진동자의 위상 공간. 가로축이 위치 q, 세로축이 운동량 p이며, 에너지 H = p²/2m + kq²/2가 일정한 궤도는 타원이다. 점은 시계 방향으로 돈다 — q가 최대일 때 p = 0이고, 그 다음 p가 음이 되어 q가 줄어든다. 타원의 넓이 ∮p dq = 2πE/ω는 에너지에 비례하며, 이 넓이가 플랑크 상수의 정수배여야 한다는 것이 보어–좀머펠트 양자화 조건 E = nℏω다.직접 작도

위상 공간에서 양자역학까지

조화진동자 $H = p^2/2m + \tfrac{1}{2}kq^2$ 의 등에너지 곡선은 타원이다. 반축이 $\sqrt{2E/k}$ 와 $\sqrt{2mE}$ 이므로 넓이는

\oint p\,dq = \pi\sqrt{\frac{2E}{k}}\sqrt{2mE} = \frac{2\pi E}{\omega}, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

옛 양자론(5.1)의 조건 $\oint p\,dq = nh$ 를 넣으면 $E = n\hbar\omega$ — 플랑크의 진동자 에너지가 위상 공간의 넓이 하나로 나온다(정확한 양자역학은 $\tfrac{1}{2}$ 를 더한다). 위상 공간의 넓이 $h$ 당 상태 하나라는 규칙이 여기서 나오고, 그 규칙이 6부 통계역학에서 상태 밀도를 셀 때 $d^3r\,d^3p/h^3$ 으로 쓰이며, 7부에서 자유전자 기체의 페르미 구 안에 전자를 몇 개 넣을 수 있는지를 정한다. 위상 공간을 세는 법이 고전역학이 양자 통계에 남긴 유산이다.

직관

슈뢰딩거 방정식은 해밀토니안이다. $H = p^2/2m + U(\mathbf{r})$ 에서 $\mathbf{p}$ 를 연산자 $-i\hbar\nabla$ 로 바꾸면

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\mathbf{r})

이고, $\hat{H}\psi = E\psi$ 가 시간 무관 슈뢰딩거 방정식(5.2.6)이다. 고전역학의 $H$ 를 알면 양자역학의 $\hat{H}$ 가 나온다. 라그랑지안이 아니라 해밀토니안을 배우는 이유가 이것이다.

결정 속 전자로 가면 한 단계 더 간다. 주기 퍼텐셜 안의 전자는 밴드 $E_n(\mathbf{k})$ 를 가지는데, 밴드 하나 안에서 전자의 준고전 해밀토니안은

H = E_n(\mathbf{k}) + U_{\text{ext}}(\mathbf{r})

이다 — 결정 퍼텐셜은 $E_n(\mathbf{k})$ 안에 녹아 들어가고, 외부 전기장의 퍼텐셜만 남는다. 여기에 정준 방정식을 $\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}$ 로 적용하면

\dot{\mathbf{r}} = \frac{1}{\hbar}\nabla_{\mathbf{k}}E_n, \qquad \hbar\dot{\mathbf{k}} = -\nabla_{\mathbf{r}}U_{\text{ext}} = \mathbf{F}_{\text{ext}}

첫 식이 군속도(3.2.11), 둘째 식이 “결정 운동량은 외력에 의해서만 변한다”는 준고전 운동 방정식이다(11부). 첫 식을 한 번 더 미분하면 $\ddot{\mathbf{r}} = \hbar^{-2}(\nabla_k\nabla_k E)\,\mathbf{F}$ , 즉 $\mathbf{F} = m^{*}\mathbf{a}$ 이고 $m^{*}$ 는 5절 끝의 유효질량 텐서다. 머리말에서 약속한 “뉴턴의 $m$ 자리에 유효질량이 들어앉는” 자리가 정확히 여기다 — 정준 방정식에 $H = E(\mathbf{k})$ 를 넣은 결과다.

중심력 문제

만유인력과 쿨롱 힘 — 같은 꼴

질량 $M$ 과 $m$ 이 거리 $r$ 에서 서로 당기는 힘과 퍼텐셜은

F = \frac{GMm}{r^2}, \qquad U(r) = -\frac{GMm}{r}

$G$ 는 만유인력 상수 $6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ 이고, 1절의 $g$ 는 지표면에서 $GM_{\oplus}/R_{\oplus}^2$ 을 계산한 값 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 이다 — $g$ 는 값이고 $G$ 는 상수다. 퍼텐셜이 음수인 것은 무한대를 0으로 잡았기 때문이며, 가까울수록 낮다.

두 전하 $q_1$ , $q_2$ 사이의 쿨롱 힘도 정확히 같은 $1/r^2$ 꼴이다(2.1.1). 그래서 이 절은 둘을 한꺼번에 다룬다.

U(r) = -\frac{\kappa}{r}, \qquad \kappa = GMm \ \text{(중력)}, \quad \kappa = -\frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0} \ \text{(쿨롱)}

$\kappa \gt 0$ 이면 인력, $\kappa \lt 0$ 이면 반발이다. 중력은 언제나 인력이고, 쿨롱 힘은 전하의 부호에 따라 둘 다 된다. 반발인 경우가 러더퍼드 산란이다.

두 물체를 하나로 — 환산질량

실제로는 태양도 행성에 끌려 움직이고, 핵도 전자에 끌려 움직인다. 두 물체 $m_1$ , $m_2$ 의 위치를 질량중심 $\mathbf{R}$ 과 상대 위치 $\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2$ 로 바꾸면, 외력이 없을 때 $\mathbf{R}$ 은 등속이고(4절) 상대 운동은

\mu\,\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r}), \qquad \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

환산질량 $\mu$ 를 가진 입자 하나가 고정된 힘의 중심 둘레를 도는 문제로 줄어든다. 이 절의 $\mu$ 는 1절의 마찰계수·이동도와 글자만 같은 다른 물건이다.

두 극한을 본다. $m_2 \gg m_1$ 이면 $\mu \approx m_1$ — 가벼운 쪽이 무거운 쪽 둘레를 돈다 (수소 원자: $\mu = 0.99946\,m_e$ ). $m_1 = m_2$ 이면 $\mu = m/2$ — 둘이 질량중심 둘레를 대칭으로 돈다.

직관

반도체의 수소 원자들. 실리콘의 인 도너는 양이온 하나에 전자 하나가 붙은 수소 원자다. 다만 전자의 질량이 $m^{*}$ 이고, 둘 사이의 쿨롱 힘이 실리콘의 유전율 $\varepsilon_r$ 로 약해진다. 보어 모형(5.1.4)의 결과에 이 둘을 넣으면

E_d = 13.6\ \mathrm{eV}\times\frac{m^{*}/m_e}{\varepsilon_r^2}, \qquad a_d = 0.053\ \mathrm{nm}\times\frac{\varepsilon_r}{m^{*}/m_e}

실리콘( $\varepsilon_r \approx 11.7$ , $m^{*} \approx 0.26\,m_e$ )에서 $E_d \approx 0.026\ \mathrm{eV}$ , $a_d \approx 2.4\ \mathrm{nm}$ — 실측 45 meV와 자릿수가 맞고, 궤도 반지름이 격자 간격의 열 배라 “결정을 연속체로 본다”는 가정이 정당화된다(11부). 이온화 에너지가 실온 $k_BT$ 와 비슷하다는 것이 도너가 실온에서 거의 다 이온화되는 이유다.

엑시톤(전자–정공 쌍)은 두 질량이 비슷한 쪽이다: $\mu = m_e^{*}m_h^{*}/(m_e^{*} + m_h^{*})$ . 전자·정공 유효질량이 각각 $0.26$ , $0.36$ 이면 $\mu \approx 0.15\,m_e$ 이고 결합 에너지는 15 meV 정도 — 실온에서 풀려 버려 실리콘 소자에서는 거의 안 보이고, 유효질량이 크고 유전율이 작은 물질(2차원 재료, 유기 반도체)에서 수백 meV로 커져 발광 소자를 지배한다(16·17부). 파라미터 둘 — $\mu$ 와 $\varepsilon_r$ — 이 수소 원자의 모든 값을 정한다.

유효 퍼텐셜 — 평면 문제를 1차원으로

이제 환산질량 $\mu$ 인 입자 하나가 $U(r)$ 속에서 움직인다. 6절에서 각운동량이 보존되므로 운동은 평면이고, 극좌표에서

E = \tfrac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + \tfrac{1}{2}\mu r^2\dot{\theta}^2 + U(r), \qquad \ell = \mu r^2\dot{\theta}

둘째 식으로 $\dot{\theta}$ 를 소거하면

E = \tfrac{1}{2}\mu\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r), \qquad U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{\ell^2}{2\mu r^2}

반지름 방향만 남은 1차원 문제다. 새로 붙은 항 $\ell^2/2\mu r^2$ 을 원심 퍼텐셜이라 한다 — 각운동량이 있으면 중심에 가까이 갈수록 회전이 빨라져야 하고(6절, $\dot{\theta} = \ell/\mu r^2$ ), 그 회전 에너지가 마치 중심에서 밀어내는 퍼텐셜처럼 작용한다. 이제 3절의 퍼텐셜 곡선 읽기를 $U_{\text{eff}}$ 에 그대로 쓴다.

그림 3.1-9. 인력 중심력 U = −κ/r의 유효 퍼텐셜 U_eff = −κ/r + ℓ²/2μr². 가까운 곳에서는 원심 항 ℓ²/2μr²이 이겨 오르막이고, 먼 곳에서는 −κ/r이 이겨 완만히 0으로 다가가며, 그 사이에 극소가 있다. 에너지 수평선을 그으면 3절과 같이 읽힌다 — 극소에 정확히 놓이면 r이 변하지 않는 원궤도, 극소보다 높고 0보다 낮으면 두 회전점 사이를 오가는 타원, 0이면 포물선, 0보다 높으면 한 번 다가왔다 멀어지는 쌍곡선이다. ℓ이 클수록 원심 벽이 두꺼워 극소가 바깥으로 밀린다.직접 작도

$E = U_{\text{eff}}$ 의 극소값 — $\dot{r} = 0$ 이 계속 유지된다. 원궤도.
$U_{\text{eff, min}} \lt E \lt 0$ — $r$ 이 두 회전점 사이를 오간다. 타원(속박).
$E = 0$ — 바깥 회전점이 무한대. 포물선. 탈출의 문턱.
$E \gt 0$ — 한 번 다가왔다가 영원히 멀어진다. 쌍곡선(산란).

$E$ 의 부호가 속박과 산란을 가른다. 에너지가 음수라는 것은 무한대로 갈 힘이 모자란다는 뜻이다.

직관

파라미터 연계 — $\ell$ 과 $\kappa$ 가 하는 일. 원심 항은 $\ell^2$ 에 비례하고 $r^{-2}$ 로 가파르므로, 각운동량이 클수록 극소가 바깥으로 밀리고 얕아진다. 극소의 위치는 $dU_{\text{eff}}/dr = 0$ 에서 $r_0 = \ell^2/\mu\kappa$ , 깊이는 $-\mu\kappa^2/2\ell^2$ 이다. $\ell = 0$ 이면 원심 벽이 없어 입자가 중심으로 곧장 떨어진다 — 고전 원자가 붕괴하는 이유이고, 양자역학이 이 자리에 불확정성으로 최소 반지름을 세운다(5.1.4·5.2.5).

인력이 세지면( $\kappa$ ↑) 극소가 안쪽으로 오고 깊어진다. 위 도너 식에서 $\varepsilon_r$ 이 $\kappa$ 를 $1/\varepsilon_r$ 로 줄이는 것이 궤도를 $\varepsilon_r$ 배 키우고 결합을 $1/\varepsilon_r^2$ 로 약하게 만든 이유다.

원궤도와 케플러 제3법칙

원궤도에서는 구심력이 중력이다.

\frac{\mu v^2}{r} = \frac{\kappa}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{\kappa}{\mu r}}, \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{\mu r^3}{\kappa}}

이 절에서 $T$ 는 주기다(장력이 아니다). 중력( $\kappa = GMm$ , $\mu \approx m$ )이면 $T^2 = (4\pi^2/GM)\,r^3$ — 케플러 제3법칙이고, 비례 상수가 중심 천체의 질량만으로 정해지므로 위성의 주기와 반지름에서 행성의 질량을 잰다. 원궤도의 에너지는

K = \frac{\kappa}{2r}, \qquad U = -\frac{\kappa}{r}, \qquad E = K + U = -\frac{\kappa}{2r} = -K

운동 에너지가 퍼텐셜 에너지 크기의 정확히 절반이고, 총 에너지는 운동 에너지의 음수다. $1/r$ 퍼텐셜의 비리얼 정리이며, 타원 궤도에서도 시간 평균으로 성립한다. 궤도를 낮추려면 에너지를 빼야 하는데, 그러면 속력은 올라간다 — 대기 저항으로 에너지를 잃는 위성이 점점 빨라지며 떨어지는 역설이 이 부호다. 보어 원자에서 $E_n = -13.6\ \mathrm{eV}/n^2$ 의 음수 부호와, 운동 에너지가 $+13.6\ \mathrm{eV}/n^2$ 인 것도 같은 비리얼이다.

지표면에서 무한대까지 가려면 $E \ge 0$ 이어야 하므로 탈출 속력은

v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}\,v_{\text{circ}}

궤도의 모양 — 원뿔 곡선

$r(\theta)$ 를 구하려면 $u = 1/r$ 로 치환하고 $\ell = \mu r^2\dot{\theta}$ 로 시간 미분을 각도 미분으로 바꾼다. 결과는

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu\kappa}{\ell^2}

조화진동자 방정식에 상수가 더해진 꼴이고, 해는 $u = (\mu\kappa/\ell^2)(1 + e\cos\theta)$ , 즉

r(\theta) = \frac{r_0}{1 + e\cos\theta}, \qquad r_0 = \frac{\ell^2}{\mu\kappa}, \qquad e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^2}{\mu\kappa^2}}

원점에 초점을 둔 원뿔 곡선의 극방정식이다. 이심률 $e$ 가 에너지로 정해지고, 유효 퍼텐셜 그림의 네 경우와 하나씩 맞는다: $e = 0$ 원( $E = U_{\text{eff, min}}$ ), $0 \lt e \lt 1$ 타원( $E \lt 0$ ), $e = 1$ 포물선( $E = 0$ ), $e \gt 1$ 쌍곡선( $E \gt 0$ ). 케플러 제1법칙(타원, 초점에 태양)이 이렇게 나온다.

의문

왜 $1/r$ 만 닫힌 궤도를 주는가. 위의 $u(\theta)$ 방정식이 정확히 조화진동자가 되는 것은 힘이 $1/r^2$ 일 때뿐이다(그리고 $F \propto r$ , 즉 3차원 조화진동자 — 이때도 닫힌 타원이지만 중심이 초점이 아니라 중심에 온다). 다른 거듭제곱에서는 $r$ 의 진동 주기와 $\theta$ 의 회전 주기가 어긋나 궤도가 닫히지 않고 세차한다. 수성의 근일점 세차는 일반상대론이 $1/r^2$ 에서 살짝 벗어나게 만든 결과이고, 수소 원자의 미세 구조도 같은 종류의 “닫힘 깨짐”이다. $1/r$ 퍼텐셜에 숨은 이 여분의 대칭(룽게–렌츠 벡터)이 수소 원자의 에너지 준위가 $\ell$ 에 무관하게 $n$ 에만 걸리는 축퇴의 정체다(5부).

반발 중심력 — 러더퍼드 산란

$\kappa \lt 0$ (같은 부호의 전하)이면 $U_{\text{eff}}$ 에 우물이 없고 산란만 있다. 알파 입자가 표적 핵을 향해 날아올 때, 6절의 그림에서 본 충돌 매개변수 $b$ (중심에서 입사 직선까지의 거리)와 입사 에너지 $E$ 로 각운동량 $\ell = b\sqrt{2\mu E}$ 가 정해진다. 쌍곡선 궤도의 기하에서 산란각 $\Theta$ 는

\tan\frac{\Theta}{2} = \frac{\lvert\kappa\rvert}{2Eb}

$b$ 가 작을수록(정면에 가까울수록), $E$ 가 낮을수록 크게 꺾인다. $b = 0$ 이면 되돌아온다 ( $\Theta = 180^\circ$ ) — 4절의 “무거운 표적에 부딪힌 가벼운 입자”다. 이 관계를 뒤집어 “ $\Theta$ 와 $\Theta + d\Theta$ 사이로 산란되는 입자의 비율”을 구하면 미분 단면적

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{\kappa}{4E}\right)^2\frac{1}{\sin^4(\Theta/2)}

러더퍼드 공식이다. $\sin^{-4}$ 이라 작은 각 산란이 압도적으로 많고, 큰 각으로 튕겨 나오는 드문 사건이 “원자 안에 작고 무거운 핵이 있다”는 증거였다(5.1.4). 이 절의 $\sigma$ 는 단면적이고 7절의 응력 $\sigma$ 가 아니다 — 같은 페이지에 있으므로 못박아 둔다.

직관

이온화 불순물 산란과 이온 주입이 이 공식이다.

이동도의 온도 의존. 반도체 속 캐리어는 이온화된 도너·억셉터(전하 $\pm e$ )에 쿨롱 산란된다. 위 식에서 산란이 $E^{-2}$ 로 줄어드므로 빠른 캐리어일수록 덜 산란된다 — 온도가 오르면 캐리어 평균 에너지가 커져 이온화 불순물 산란이 약해지고, 이동도가 $T^{3/2}$ 로 오른다. 격자(포논) 산란은 반대로 $T^{-3/2}$ 로 이동도를 내린다. 저온에서 불순물 산란, 고온에서 포논 산란이 지배하는 이동도 곡선의 두 팔이 이 두 거듭제곱이다(11부). 반도체에서 쿨롱 힘이 다른 캐리어들에 가려지는 것(차폐)이 $\sin^{-4}$ 의 작은 각 발산을 잘라 주는데, 그 보정이 브룩스–헤링 이론이다.
이온 주입의 핵 저지. 주입 이온이 실리콘 핵에 쿨롱 반발로 산란되며 에너지를 잃는 과정이 이 산란이고, 한 번의 충돌에서 표적으로 넘어가는 에너지는 4절의 분수 $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$ 에 $\sin^2(\Theta/2)$ 를 곱한 것이다. 산란각 분포(러더퍼드)와 에너지 전달(탄성 충돌)을 합쳐 적분하면 핵 저지능이 나오고, 그것이 투사 범위와 손상 분포를 정한다(18부). 낮은 에너지에서는 전자 구름의 차폐로 순수 쿨롱에서 벗어나 ZBL 퍼텐셜 같은 차폐 퍼텐셜을 쓴다 — 역시 “ $1/r$ 을 어떻게 잘라 내는가”의 문제다.

이 장의 아홉 절은 한 식 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 의 아홉 가지 고쳐 쓰기였다. 뒤쪽 장에서 이 장을 다시 펼치게 되는 자리를 적어 둔다.

3.2 진동과 파동 — 3절 끝의 “안정 평형 근처는 조화진동자”에서 바로 이어진다.
5부 양자역학 — 8절의 해밀토니안을 연산자로 바꾼다. 9절의 수소 원자를 다시 푼다.
6부 통계역학 — 8절의 위상 공간을 $h^3$ 단위로 센다.
7부 고체물리 — 1절의 드루데 항력, 5절의 관성·유효질량 텐서, 4절의 결정 운동량.
11부 반도체 물리 — 8절 끝의 준고전 운동 방정식과 9절의 도너·산란.
18부 공정 — 4절의 충돌 에너지 전달(스퍼터링·이온 주입), 5절의 $\omega^2 r$ (스핀 코팅), 7절의 박막 응력.