1부 수학 기초 1.9

복소해석

앞 장들에서 복소수는 도구로만 스쳐 지나갔다. 1.4에서 $e^{\lambda t}$ 의 $\lambda$ 가 복소수가 되면 진동이 나왔고, 1.5에서 $1/(1+x^2)$ 의 급수가 $|x| < 1$ 에서만 수렴하는 이유를 ” $z=\pm i$ 에 특이점이 있어서”라고 적어 두고 넘어갔으며, 1.7의 라플라스 변환 역변환은 $\sqrt{s}$ 가 보이면 “1.9에서 절단선을 감아 돈다”고 미뤄 두었다. 1.8에서는 헬름홀츠 그린 함수의 부호를 $k\to k+i0^{+}$ 로 고른다고만 했다. 이 장이 그 약속들을 갚는 자리다.

복소해석이 실해석과 다른 점은 한 가지뿐이다. 복소 변수 $z=x+iy$ 의 함수 $f(z)$ 에 미분을 요구하면, 도함수가 어느 방향에서 다가가도 같아야 한다. 실수축에서는 왼쪽·오른쪽 두 방향뿐이지만 평면에서는 방향이 무한히 많다. 이 요구가 너무 강해서, 한 영역에서 미분 가능한 함수(해석함수)는 아래를 전부 공짜로 얻는다.

실수부·허수부가 각각 라플라스 방정식을 만족한다 (3절).
닫힌 경로를 따라 적분하면 0이고, 적분값은 경로 안의 특이점만이 정한다 (4·7절).
한 점 근방의 값이 함수 전체를 결정한다 — 무한 번 미분 가능하고, 테일러 급수가 가장 가까운 특이점까지 수렴한다 (5·6절).
각도를 보존하는 사상이 되어, 2차원 라플라스 문제를 사상 하나로 옮겨 풀 수 있다 (9절).

실함수에는 이런 것이 하나도 없다. $e^{-1/x^2}$ 처럼 모든 계의 도함수가 있어도 급수가 함수를 나타내지 못하는 일이 흔하고, 선적분은 경로마다 다르다. 해석성은 함수의 국소 정보가 전역을 결정하게 만드는 조건이고, 이 장의 정리들은 전부 그 한 문장의 변주다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

복소 유전함수와 굴절률 — $\varepsilon(\omega)=\varepsilon_1+i\varepsilon_2$ , $\tilde n = n+i\kappa$ . 흡수 스펙트럼 하나로 굴절률 스펙트럼이 정해지는 이유가 크라머스–크로니히 관계(10절)다. 인과율이 해석성으로 번역된다.
소신호 임피던스 — $Z=R+i(\omega L-1/\omega C)$ , $Y=G+i\omega C$ . C–V 측정과 임피던스 분광이 전부 복소수 산술이다 (1절).
역변환 — 라플라스·푸리에 역변환은 복소평면의 적분이고, 유리함수면 유수의 합, $\sqrt{s}$ 가 있으면 절단선 적분이 된다 (7·8절). 확산의 오차함수가 여기서 다시 나온다.
그린 함수의 부호 — $k\pm i0^{+}$ 가 나가는 파·들어오는 파를 고르는 계산이 유수 정리다 (8절).
2차원 전기장 — 게이트 모서리·트렌치 모서리의 전기장 집중, 가장자리 커패시턴스는 등각사상이 한 줄로 준다 (9절).
점근형 — 스털링 공식, 한켈 함수의 점근형, 터널링 지수, 페르미 적분의 근사가 전부 안장점(11절) 하나로 나온다.

표기는 Kreyszig를 기준으로 한다. 복소 변수 $z=x+iy$ , 함수 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ , 허수 단위 $i$ . 전기공학의 $j$ 와 $e^{j\omega t}$ 규약은 1절과 10절에서 부호가 어디서 갈리는지를 따로 적는다.

복소수와 극형식·거듭제곱근

복소수는 평면의 점이고, 곱셈은 회전이다

복소수 $z=x+iy$ 는 실수 두 개의 순서쌍 $(x,y)$ 에 곱셈 규칙 $i^2=-1$ 을 얹은 것이다. $x=\operatorname{Re}z$ 를 실수부, $y=\operatorname{Im}z$ 를 허수부라 한다 — $y$ 자체는 실수다. 덧셈은 벡터 덧셈이고, 곱셈은

(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)

이다. 이 식은 외울 것이 아니라 $i^2=-1$ 을 넣고 전개하면 나온다. 평면 위에 $z$ 를 점 $(x,y)$ 로 찍은 것이 복소평면(가우스 평면)이고, 가로축을 실수축, 세로축을 허수축이라 부른다.

켤레복소수 $\bar z=x-iy$ 는 실수축에 대한 거울상이다. 곱하면 실수가 된다:

z\bar z=x^2+y^2=|z|^2, \qquad \operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2}, \qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2i}

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ 가 절댓값(모듈러스)이고, 원점에서 점까지의 거리다. 나눗셈은 분모의 켤레를 분모·분자에 곱해 분모를 실수로 만드는 것이 전부다:

\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar z_2}{|z_2|^2}

극좌표로 바꾸면 곱셈의 정체가 드러난다. $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 로 놓으면

z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}, \qquad r=|z|,\quad \theta=\arg z

가 극형식이다. 마지막 등호가 오일러 공식 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 인데, 이것은 정의가 아니라 유도되는 식이다 — $e^{x}$ , $\cos x$ , $\sin x$ 의 매클로린 급수 (1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)에 $x=i\theta$ 를 넣고 $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ 로 정리하면 짝수 항이 $\cos\theta$ , 홀수 항이 $i\sin\theta$ 로 갈라진다. Boas(§2.9)가 이 순서로 오일러 공식을 세우고, Kreyszig(§13.5)는 복소 지수함수 $e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$ 를 먼저 정의한 뒤 $x=0$ 에서 오일러 공식을 읽는다. 어느 쪽이든 결과는 같다.

극형식에서 두 복소수의 곱은

z_1z_2=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}, \qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}

다. 절댓값은 곱하고 편각은 더한다. 곧 $z_2$ 를 곱하는 일은 평면을 $\theta_2$ 만큼 돌리고 $r_2$ 배로 늘리는 회전·확대다. $i$ 를 곱하면 $90^\circ$ 회전, $i$ 를 두 번 곱하면 $180^\circ$ 회전이고 그것이 $-1$ 이다. $i^2=-1$ 은 규칙이 아니라 “직각을 두 번 돌면 반대 방향”이라는 기하다.

편각 $\theta=\arg z$ 는 $2\pi$ 의 정수배만큼 불확정이다. 한 값을 골라야 할 때 $-\pi < \operatorname{Arg}z\le\pi$ 로 잡은 것을 주값(principal value)이라 하고 대문자 $\operatorname{Arg}$ 로 쓴다(Kreyszig §13.2). 음의 실수축에서 $\operatorname{Arg}z=\pi$ 이고, 그 바로 아래에서는 $-\pi$ 에 가까우므로 주값은 음의 실수축을 건널 때 $2\pi$ 만큼 뛴다. 이 불연속이 2절의 로그와 분지 절단선, 4절의 $\oint dz/z=2\pi i$ 의 근원이다 — 지금은 “편각은 본래 다가(多價)이고 주값은 그중 하나를 임의로 고른 것”이라는 사실만 챙겨 둔다.

Kreyszig·Boas 표기가 이 절에서 갈리는 곳을 정리한다.

기호	읽는 법	무엇인가	비고
$z=x+iy$	—	복소 변수	$x,y$ 실수
$\bar z$ , $z^{*}$	켤레	$x-iy$	Kreyszig·Boas는 $\bar z$ , 물리는 $z^{*}$
$\lvert z\rvert$ , $r$	절댓값	$\sqrt{x^2+y^2}$	모듈러스
$\arg z$	편각	$\theta+2n\pi$ , 다가
$\operatorname{Arg}z$	편각의 주값	$-\pi < \operatorname{Arg}z\le\pi$	Boas는 $0\le\theta < 2\pi$ 를 쓰기도 한다
$i$ , $j$	허수 단위	$i^2=-1$	전기공학은 $j$ ( $i$ 는 전류)

삼각 부등식과 거리

절댓값이 거리이므로 삼각형의 성질이 그대로 따라온다:

|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|, \qquad \bigl||z_1|-|z_2|\bigr|\le|z_1-z_2|

첫 식이 삼각 부등식이다. 등호는 두 점이 원점에서 같은 방향에 있을 때만 성립한다. 둘째 식은 첫 식을 $z_1=(z_1-z_2)+z_2$ 에 적용한 것이고, 4절에서 적분의 크기를 위에서 누를 때 (ML 부등식) 이 두 식만 쓴다. $|z-z_0| < \rho$ 는 중심 $z_0$ , 반지름 $\rho$ 인 열린 원판이고, $|z-z_0|=\rho$ 는 그 원이다. 이 장의 모든 영역은 원판과 그 합집합으로 만들어진다.

거듭제곱근 — n개가 원 위에 등간격으로

극형식의 곱셈 규칙을 $n$ 번 쓰면 드무아브르 공식

z^n=r^n e^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

이다. 거꾸로 $w^n=z$ 를 푸는 것이 $n$ 제곱근인데, 여기서 편각의 다가성이 처음으로 값을 낸다. $z=re^{i(\theta+2k\pi)}$ 로 쓰고 $n$ 제곱근을 취하면

w_k=\sqrt[n]{r}\;e^{\,i(\theta+2k\pi)/n}, \qquad k=0,1,\dots,n-1

이다. $k=n$ 부터는 $k=0$ 과 겹치므로 서로 다른 근은 정확히 $n$ 개이고, 전부 반지름 $\sqrt[n]{r}$ 인 원 위에 각도 $2\pi/n$ 간격으로 놓인다 — 정 $n$ 각형의 꼭짓점이다. 특히 $z=1$ 의 $n$ 제곱근

\omega_k=e^{2\pi i k/n}

을 1의 $n$ 제곱근이라 한다. $\omega=e^{2\pi i/n}$ 하나만 알면 나머지는 $\omega^k$ 이고, $1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n-1}=0$ 이다(등비급수의 합 $(\omega^n-1)/(\omega-1)=0$ ).

그림 1.9-1. 극형식과 거듭제곱근. 왼쪽은 z = re^{iθ}의 극형식과, z에 i를 곱할 때마다 점이 90°씩 도는 모습. 오른쪽은 w³ = z의 세 근 — 반지름 r^{1/3}인 원 위에 120° 간격으로 놓이며, 편각 θ/3에서 출발한다. 1의 세제곱근은 정삼각형의 꼭짓점이고 세 근을 더하면 0이다.직접 작도

주의

$\sqrt{\phantom{z}}$ 기호는 복소수에서 일가가 아니다. 실수 $x>0$ 의 $\sqrt{x}$ 는 양의 근 하나를 뜻하지만, 복소수의 $\sqrt{z}$ 는 근이 둘( $\pm$ )이고 어느 쪽이 “주근”인지는 편각을 어떻게 자르느냐에 달린다. Kreyszig는 $\sqrt[n]{z}$ 로 $n$ 개 근 전체를 가리키고, $k=0$ (주값 $\operatorname{Arg}z$ 를 쓴 것)을 주근이라 한다. 그래서 $\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}=\sqrt{z_1z_2}$ 같은 실수의 규칙이 그대로 성립하지 않는다 — $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i\cdot i=-1$ 이지 $\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1$ 이 아니다. 어느 근을 택했는지를 늘 적어 두는 습관이 2절의 분지 절단선으로 이어진다.

1의 $n$ 제곱근은 1.10의 이산 푸리에 변환에서 그대로 다시 나온다 — $N$ 점 DFT의 커널 $e^{-2\pi i kn/N}$ 이 바로 $\omega^{-kn}$ 이고, FFT는 $\omega^{k}$ 의 대칭성을 재활용하는 알고리즘이다.

페이저 — 정현파를 회전하는 점으로

복소수가 공학에서 하는 가장 큰 일은 정현파의 미분방정식을 대수 방정식으로 바꾸는 것이다. 전압 $v(t)=V_0\cos(\omega t+\varphi)$ 를

v(t)=\operatorname{Re}\bigl[V_0e^{i\varphi}\,e^{i\omega t}\bigr] =\operatorname{Re}\bigl[\hat V e^{i\omega t}\bigr], \qquad \hat V=V_0e^{i\varphi}

로 쓰면, 시간 의존은 전부 $e^{i\omega t}$ 에 몰리고 진폭과 위상은 복소 상수 $\hat V$ 하나에 담긴다. $\hat V$ 가 페이저다. 미분은 $i\omega$ 를 곱하는 일이 되므로( $\tfrac{d}{dt}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t}$ ) 저항·인덕터·커패시터의 전압–전류 관계가

\hat V=R\hat I,\qquad \hat V=i\omega L\,\hat I,\qquad \hat V=\frac{1}{i\omega C}\hat I

로 한 꼴이 되고, 직렬로 이으면 임피던스

Z=R+i\Bigl(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigr), \qquad |Z|=\sqrt{R^2+(\omega L-1/\omega C)^2}, \qquad \varphi=\arctan\frac{\omega L-1/\omega C}{R}

가 나온다(Boas §2.16). 이것이 1.4.8의 강제 진동(1.4.8강제 진동과 공명)을 한 줄로 다시 쓴 것이다 — 거기서 특수해의 진폭과 위상을 미정계수법으로 구했던 계산이, 여기서는 복소수 나눗셈 한 번이다. $\omega L=1/\omega C$ 에서 허수부가 사라지고 $|Z|$ 가 최소가 되는 것이 공명이다.

직관

물리적 직관 — 허수부는 위상차다. $Z$ 의 실수부 $R$ 은 전압과 전류가 같은 위상으로 움직이는 부분, 곧 에너지를 소모하는 부분이다. 허수부(리액턴스)는 전류보다 $90^\circ$ 앞서거나 뒤지는 부분이고, 에너지를 저장했다가 되돌려 준다. 그래서 반도체 소자의 소신호 어드미턴스 $Y=G+i\omega C$ 에서 실수부 $G$ 는 컨덕턴스(손실), 허수부의 계수 $C$ 는 커패시턴스(저장)로 읽는다. C–V 측정기가 하는 일은 $Y$ 의 허수부를 $\omega$ 로 나누는 것이다.

파라미터 연계. 실제 소자는 직렬 저항 $R_s$ 와 병렬 컨덕턴스 $G_p$ 가 함께 있어서, 같은 $Y$ 를 병렬 모델( $G_p+i\omega C_p$ )로 읽느냐 직렬 모델( $R_s+1/i\omega C_s$ )로 읽느냐에 따라 $C$ 값이 달라진다. 두 모델의 환산

C_p=\frac{C_s}{1+(\omega R_sC_s)^2}, \qquad G_p=\frac{\omega^2R_sC_s^2}{1+(\omega R_sC_s)^2}

은 복소수 $1/Z$ 를 실수부·허수부로 나눈 것뿐이다. 주파수를 올리면 $\omega R_sC_s$ 가 커져 $C_p$ 가 $C_s$ 보다 작게 읽힌다 — 고주파 C–V에서 커패시턴스가 “줄어 보이는” 직렬 저항 효과다(19부).

주의

$e^{i\omega t}$ 냐 $e^{-i\omega t}$ 냐. 전기공학은 $e^{j\omega t}$ 를 쓰고, 물리학은 $e^{-i\omega t}$ 를 쓴다. 두 규약에서 임피던스의 허수부, 유전함수의 허수부, 굴절률의 허수부 부호가 전부 뒤집힌다. 공학 규약의 $Z=R+j\omega L$ 이 물리 규약에서는 $R-i\omega L$ 이고, 공학 규약은 대개 $\varepsilon=\varepsilon'-j\varepsilon''$ 로 써서 손실을 $\varepsilon''>0$ 으로 유지하고, $\varepsilon'+j\varepsilon''$ 로 쓰면 손실이 $\varepsilon''<0$ 이 된다. 같은 물리를 두고 논문마다 부호가 달라 보이는 이유의 절반이 이것이다. 10절의 크라머스–크로니히 관계에서 “위쪽 반평면에서 해석적”이라는 문장도 이 규약에 묶여 있다 — 거기서 다시 못 박는다.

복소함수와 해석성

복소함수는 평면에서 평면으로 가는 사상이다

복소함수 $w=f(z)$ 는 $z$ 평면의 점을 $w$ 평면의 점으로 보낸다. $z=x+iy$ , $w=u+iv$ 로 쓰면 실함수 두 개

f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)

의 묶음이다. 실함수 $y=f(x)$ 는 그래프를 그릴 수 있지만 복소함수는 입력 2차원, 출력 2차원이라 그래프가 4차원이다. 그래서 복소함수는 그래프 대신 사상(mapping)으로 본다 — $z$ 평면의 격자·원·직선이 $w$ 평면에서 어떤 곡선이 되는가. 9절이 이 관점의 본편이고, 지금은 $f(z)=z^2$ 하나만 본다:

z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+i\,2xy \qquad\Longrightarrow\qquad u=x^2-y^2,\quad v=2xy

극형식으로는 $z^2=r^2e^{2i\theta}$ — 반지름은 제곱되고 편각은 두 배가 된다. 그래서 $z$ 평면의 제1사분면( $0\le\theta\le\pi/2$ )이 $w$ 평면의 위쪽 반평면( $0\le 2\theta\le\pi$ ) 전체를 덮는다.

극한과 연속은 실함수와 같은 말로 정의한다. $z\to z_0$ 일 때 $f(z)\to l$ 이란 $|z-z_0|$ 가 작아지면 $|f(z)-l|$ 이 원하는 만큼 작아진다는 뜻이다. 다만 $z\to z_0$ 가 평면의 어느 방향에서 다가와도 같은 극한이어야 한다 — 이 조건이 다음 항에서 결정적으로 작용한다.

도함수 — 방향에 무관해야 한다

도함수는 실함수와 같은 꼴로 정의한다:

f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}

$\Delta z$ 는 복소수이므로 0으로 가는 길이 무한히 많다. 정의는 그 모든 길에서 같은 극한을 요구한다. 이것이 실미분과 복소미분의 유일한 차이이고, 이 장의 모든 정리가 여기서 나온다.

당장 예를 보자. $f(z)=\bar z=x-iy$ 는 성분마다 매끈한 함수인데 미분이 안 된다.

\frac{\overline{z_0+\Delta z}-\bar z_0}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}

$\Delta z=\Delta x$ (실수축을 따라)이면 값이 $1$ , $\Delta z=i\Delta y$ (허수축을 따라)이면 값이 $-1$ 이다. 방향마다 다르니 극한이 없다 — $\bar z$ 는 어디서도 미분 불가능하다. 같은 이유로 $|z|^2=z\bar z$ , $\operatorname{Re}z$ , $\operatorname{Im}z$ 도 미분이 안 된다 ( $|z|^2$ 은 원점 한 점에서만 미분 가능한데, 한 점에서의 미분 가능성은 다음 항에서 보듯 아무 소용이 없다).

직관

수식적 직관 — $\bar z$ 가 들어가면 안 된다. 도함수의 극한이 방향에 무관하려면 $\Delta z$ 로 나눈 결과에 $\overline{\Delta z}/\Delta z=e^{-2i\varphi}$ 같은 방향 의존 인자가 남으면 안 된다. $z$ 와 $\bar z$ 를 독립 변수처럼 다루면( $x=(z+\bar z)/2$ , $y=(z-\bar z)/2i$ ), $f$ 가 복소 미분 가능하다는 것은

\frac{\partial f}{\partial\bar z}=0

과 같은 말이다. 즉 해석함수는 ” $z$ 만의 함수”이고 $\bar z$ 를 포함하지 않는 함수다. $z^2$ , $e^{z}$ , $1/z$ 는 되고, $\bar z$ , $|z|^2=z\bar z$ , $\operatorname{Re}z=(z+\bar z)/2$ 는 안 된다. 3절의 코시–리만 조건이 이 한 줄을 실수 성분으로 풀어 쓴 것이다.

한 점에서 미분 가능한 것과 한 영역에서 미분 가능한 것은 다르다. 정의를 세 층으로 나눈다 (Kreyszig §13.3).

영역(domain) $D$ : 열린 연결 집합. 경계점을 포함하지 않고, 어느 두 점이든 $D$ 안의 꺾은선으로 이을 수 있다.
$f$ 가 $D$ 에서 해석적(analytic)이다: $D$ 의 모든 점에서 $f'(z)$ 가 존재한다. 한 점 $z_0$ 에서 해석적이라는 말은 $z_0$ 의 어떤 근방에서 해석적이라는 뜻이다. 근방 없이 한 점에서만 미분 가능한 것은 해석적이라 하지 않는다.
$f$ 가 전해석(entire)이다: 복소평면 전체에서 해석적이다. 다항식, $e^{z}$ , $\sin z$ , $\cos z$ , $\sinh z$ , $\cosh z$ 가 전해석 함수다.

해석·정칙(holomorphic)·정규(regular)는 같은 뜻이다. Kreyszig는 analytic, Arfken은 analytic과 regular를 함께 쓰고, 수학 문헌은 holomorphic을 쓴다.

미분 법칙은 실함수와 같다 — 합·곱·몫·연쇄 법칙, $(z^n)'=nz^{n-1}$ 이 그대로 성립한다. 증명이 같기 때문이다(극한의 정의에 방향 무관성이 들어 있을 뿐, 대수 조작은 동일하다). 그래서 유리함수 $p(z)/q(z)$ 는 $q(z)\ne0$ 인 곳에서 해석적이다.

초등함수 — 실함수의 급수를 그대로 복소수로

지수함수는 급수로 정의하면 실수와 복소수를 구분할 필요가 없다:

e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, \qquad e^{z}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

둘째 등식이 Kreyszig(§13.5)의 정의이고, 급수 정의와 일치한다. 여기서 바로 읽히는 성질 셋:

|e^{z}|=e^{x},\qquad \arg e^{z}=y,\qquad e^{z+2\pi i}=e^{z}

$e^{z}$ 는 절대 0이 되지 않고( $|e^{z}|=e^{x}>0$ ), 허수 방향으로 주기 $2\pi i$ 를 가진다. 주기성은 실수축에서는 보이지 않던 성질이고, 로그가 다가함수가 되는 원인이다. $(e^{z})'=e^{z}$ 는 급수를 항별로 미분해 확인한다.

삼각·쌍곡함수는 오일러 공식을 거꾸로 써서 정의한다:

\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\quad \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}

정의를 나란히 놓으면 삼각함수와 쌍곡함수가 $90^\circ$ 회전 하나로 이어진다는 것이 보인다:

\cos iz=\cosh z,\qquad \sin iz=i\sinh z,\qquad \cosh iz=\cos z,\qquad \sinh iz=i\sin z

실수축을 따라 진동하던 $\cos$ 가 허수축을 따라서는 $\cosh$ 로 자란다. 1.4에서 $y''+\omega^2y=0$ 의 해가 $\cos\omega t$ 이고 $y''-\kappa^2y=0$ 의 해가 $\cosh\kappa t$ 인 것, 그 둘이 $\omega\to i\kappa$ 로 이어지는 것이 이 관계다. 성분으로 쓰면

\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y, \qquad \sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y

로그 — 지수함수의 주기가 다가성을 만든다

$e^{w}=z$ 를 $w$ 에 대해 푼 것이 로그다. $z=re^{i\theta}$ , $w=u+iv$ 로 놓으면 $e^{u}e^{iv}=re^{i\theta}$ 에서 $u=\ln r$ , $v=\theta+2n\pi$ 이므로

\ln z=\ln|z|+i\arg z=\ln|z|+i(\operatorname{Arg}z+2n\pi), \qquad n=0,\pm1,\pm2,\dots

이다. $\ln|z|$ 는 실수 로그다. 복소 로그는 무한히 많은 값을 가지고, 값들은 허수 방향으로 $2\pi i$ 간격으로 늘어선다 — $e^{z}$ 의 주기가 $2\pi i$ 인 것의 거울상이다. $n=0$ 을 택한

\operatorname{Ln}z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z, \qquad -\pi < \operatorname{Arg}z\le\pi

가 주값이다(Kreyszig §13.7의 대문자 $\operatorname{Ln}$ ; Boas는 $\operatorname{Ln}$ 을 실수 로그 $\ln r$ 에 쓰므로 표기가 정반대다 — 아래 표). 양의 실수 $z=x>0$ 에서 $\operatorname{Ln}x$ 는 실수 로그와 같고, 음의 실수 $z=-x$ 에서는 $\operatorname{Ln}(-x)=\ln x+i\pi$ 다. $\ln(-1)=i\pi$ 는 그래서 나온다.

기호	Kreyszig	Boas	이 장
실수 로그 $\ln r$ ( $r>0$ )	$\ln r$	$\operatorname{Ln}r$	$\ln r$ 또는 $\ln\lvert z\rvert$
복소 로그의 주값	$\operatorname{Ln}z$	$\ln z$ 의 $n=0$	$\operatorname{Ln}z$
복소 로그 전체(다가)	$\ln z$	$\ln z$	$\ln z$

$\operatorname{Ln}z$ 는 원점과 음의 실수축을 뺀 곳에서 해석적이고, 도함수는 $(\operatorname{Ln}z)'=1/z$ 다. 음의 실수축에서는 $\operatorname{Arg}z$ 가 $2\pi$ 만큼 뛰므로 연속조차 아니다. $\ln$ 의 규칙 $\ln(z_1z_2)=\ln z_1+\ln z_2$ 는 다가 로그로는 성립하지만 (양변이 같은 집합) 주값으로는 어긋날 수 있다 — $\operatorname{Ln}[(-1)(-1)]=0$ 인데 $\operatorname{Ln}(-1)+\operatorname{Ln}(-1)=2\pi i$ 다.

일반 거듭제곱은 로그로 정의한다:

z^{c}=e^{c\ln z} \qquad(z\ne0,\ c\ \text{복소수})

$c$ 가 정수면 $e^{2\pi i nc}=1$ 이라 일가이고, $c=p/q$ 유리수면 $q$ 개, 그 밖에는 무한히 많은 값이다. $i^{i}=e^{i\ln i}=e^{i(i\pi/2+2n\pi i)}=e^{-\pi/2-2n\pi}$ 는 전부 실수다 — 주값은 $e^{-\pi/2}\approx0.208$ .

역삼각함수도 로그로 쓴다(Kreyszig §13.7 팀 프로젝트 30; Boas §2.15는 $i\ln(z\pm\sqrt{z^2-1})$ 로 적는데 $(z+\sqrt{z^2-1})(z-\sqrt{z^2-1})=1$ 이라 같은 값들의 집합이다). 예를 들어 $w=\arccos z$ 는 $z=\cos w=(e^{iw}+e^{-iw})/2$ 를 $e^{iw}$ 의 이차방정식으로 풀어

\arccos z=-i\ln\bigl(z+\sqrt{z^2-1}\bigr), \qquad \arctan z=\frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}

이다. 제곱근과 로그가 둘 다 있으므로 다가이고, 실수에서 $|z|\le1$ 로 묶였던 정의역이 복소수에서는 사라진다 — $\arccos 2=-i\ln(2+\sqrt3)\approx-1.317i$ 처럼 값이 나온다.

분지점과 절단선 — 다가함수를 일가로 만드는 규약

$\sqrt z$ 와 $\ln z$ 처럼 값이 여럿인 함수를 다룰 때 어디서 어느 값을 쓰는지를 정해야 한다. $\sqrt z=\sqrt r\,e^{i\theta/2}$ 를 보자. $z$ 가 원점을 한 바퀴 돌면 $\theta$ 가 $2\pi$ 늘어나고 $e^{i\theta/2}$ 는 $e^{i\pi}=-1$ 을 곱한 만큼 바뀐다 — 출발점으로 돌아왔는데 함수값은 부호가 뒤집혀 있다. 두 바퀴를 돌아야 제자리다. 원점을 감싸지 않는 고리를 돌면 이런 일이 없다. 이렇게 그 점을 감싸고 돌면 함수값이 제자리로 돌아오지 않는 점을 분지점(branch point) 이라 한다. $\sqrt z$ 와 $\ln z$ 의 분지점은 $z=0$ (그리고 $z=\infty$ )이다. $\ln z$ 는 몇 바퀴를 돌아도 제자리로 오지 않는다 — 돌 때마다 $2\pi i$ 가 쌓인다.

일가함수로 만들려면 분지점을 감싸고 도는 길을 막으면 된다. 분지점에서 출발해 무한대(또는 다른 분지점)로 가는 선 하나를 긋고 그 선을 건너지 않기로 하면, 남은 영역에서는 어느 고리도 분지점을 감싸지 못하므로 함수가 일가·해석적이 된다. 그 선이 분지 절단선(branch cut)이고, 절단선으로 잘라 낸 한 벌의 값이 분지(branch)다. $\operatorname{Ln}z$ 는 절단선을 음의 실수축에 둔 분지이고, 절단선 위에서 함수가 불연속인 것은 규약의 대가다. 절단선은 임의로 그을 수 있다 — 양의 실수축에 두면 $0\le\theta < 2\pi$ 분지가 된다. 분지점은 함수의 성질이고 절단선은 사람의 선택이다.

그림 1.9-2. √z의 분지점과 절단선. 왼쪽: 원점을 감싸고 한 바퀴 돌면 편각이 2π 늘고 √z = √r e^{iθ/2}는 부호가 뒤집힌다 — 출발점으로 돌아와도 함수값은 제자리가 아니다. 원점을 감싸지 않는 고리에서는 이런 일이 없다. 오른쪽: 음의 실수축에 절단선을 그어 고리가 원점을 감싸지 못하게 하면, 남은 영역에서 √z는 일가·해석적이 된다. 절단선 위에서는 위쪽 값과 아래쪽 값이 부호만 다르다.직접 작도

절단선 대신 리만 면(Riemann surface)으로 볼 수도 있다(Kreyszig §17.5). $\sqrt z$ 의 두 분지를 두 장의 평면에 그리고, 절단선에서 위쪽 장의 아래 가장자리를 아래쪽 장의 위 가장자리에 이어 붙이면 — 두 바퀴를 돌아야 제자리로 오는 나선 계단 모양의 곡면이 되고, 그 위에서 $\sqrt z$ 는 일가 함수다. $\ln z$ 의 리만 면은 무한히 많은 장이 나선으로 이어진 것이다. 계산은 절단선으로 하고 그림은 리만 면으로 이해하면 된다.

$\sqrt{z^2-1}=\sqrt{(z-1)(z+1)}$ 처럼 분지점이 둘이면 절단선을 두 분지점 사이 $[-1,1]$ 에 두거나, 각 분지점에서 바깥으로 두 개를 긋는다. 두 분지점을 함께 감싸는 고리에서는 편각이 $2\pi+2\pi$ 늘어 $\sqrt{\cdot}$ 이 제자리로 돌아오므로, $[-1,1]$ 한 조각만 자르면 바깥에서 일가가 된다. 1.5의 르장드르 제2종 함수 $Q_l$ 이 $[-1,1]$ 에 절단선을 가지는 것, 9절의 주코프스키 사상이 이 함수를 쓰는 것이 이 구성이다.

코시-리만 조건과 조화함수

조건의 유도 — 두 방향에서 다가간 극한이 같아야 한다

$f=u+iv$ 가 $z_0$ 에서 미분 가능하다고 하자. 도함수의 극한을 실수축 방향( $\Delta z=\Delta x$ )과 허수축 방향( $\Delta z=i\Delta y$ )에서 각각 계산하면

f'(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}, \qquad f'(z_0)=\frac{1}{i}\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\Bigr) =\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}

이고 둘이 같아야 하므로 실수부·허수부를 맞추면

\boxed{\;u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x\;}

가 코시–리만 방정식이다(Kreyszig §13.4 정리 1; 아래첨자는 편미분). 그러니 해석함수의 도함수는 성분으로

f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y

로 계산할 수 있다. 예를 들어 $z^2$ : $u=x^2-y^2$ , $v=2xy$ 이니 $u_x=2x=v_y$ , $u_y=-2y=-v_x$ 로 조건이 맞고 $f'=2x+i2y=2z$ 다. $\bar z$ : $u=x$ , $v=-y$ 이니 $u_x=1\ne v_y=-1$ 로 어긋난다 — 2절의 결론을 조건 하나로 다시 얻었다.

역도 성립한다. $u,v$ 의 편도함수가 연속이고 코시–리만 조건을 만족하면 $f$ 는 해석적이다 (Kreyszig §13.4 정리 2). 연속 조건이 빠지면 반례가 있으므로, 실무 판정은 언제나 “편도함수가 연속이고 CR을 만족하는가”다.

직관

공간적 직관 — 해석함수는 국소적으로 회전·확대다. $f$ 의 야코비 행렬을 쓰면

J=\begin{pmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & -b\\ b & a\end{pmatrix}, \qquad a=u_x,\ b=v_x

가 코시–리만 조건의 내용이다. 이 꼴의 행렬은 정확히 “복소수 $a+ib$ 를 곱하는” 행렬, 즉 $\sqrt{a^2+b^2}=|f'|$ 배 확대와 $\arg f'$ 만큼의 회전이다(1.2.6선형 변환). 그러니 해석함수는 아주 작은 조각을 보면 모양을 바꾸지 않고 돌리고 늘리기만 한다 — 작은 정사각형은 작은 정사각형으로 가고, 두 곡선이 만나는 각은 그대로 보존된다. 9절의 등각성이 이것이고, 면적 비율은 $\det J=a^2+b^2=|f'(z)|^2$ 다.

극형식이 편할 때가 있다. $z=re^{i\theta}$ 로 놓으면 코시–리만 조건은

u_r=\frac{1}{r}v_\theta,\qquad v_r=-\frac{1}{r}u_\theta

이고(Kreyszig §13.4 식 (7)), $f'(z)=e^{-i\theta}(u_r+iv_r)$ 이다. $\operatorname{Ln}z=\ln r+i\theta$ 에 넣어 보면 $u_r=1/r$ , $v_\theta=1$ 이니 첫 식이 맞고, $v_r=0$ , $u_\theta=0$ 이니 둘째 식도 맞는다. 도함수는 $e^{-i\theta}/r=1/z$ .

해석함수의 실수부와 허수부는 조화함수다

코시–리만 조건을 한 번 더 미분하면 라플라스 방정식이 나온다. $u_x=v_y$ 를 $x$ 로, $u_y=-v_x$ 를 $y$ 로 미분해 더하면 ( $v_{xy}=v_{yx}$ 를 써서)

\nabla^2u=u_{xx}+u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}=0, \qquad \nabla^2v=0

해석함수의 실수부와 허수부는 각각 2차원 라플라스 방정식의 해, 곧 조화함수다 (Kreyszig §13.4 정리 3). 이것이 복소해석이 물리로 들어오는 첫 문이다 — 정전기·정상 열전도· 비압축 비회전 흐름의 2차원 문제가 전부 라플라스 방정식이므로(1.7.10라플라스·푸아송 방정식), 해석함수를 하나 적을 때마다 그런 문제의 해가 둘씩 나온다.

거꾸로 조화함수 $u$ 가 주어지면 코시–리만 조건을 적분해 짝 $v$ 를 찾을 수 있고, 그 $v$ 를 $u$ 의 켤레 조화함수(harmonic conjugate)라 한다. 단순연결 영역에서는 언제나 존재하고 상수만큼 불확정이다. 예를 들어 $u=x^2-y^2$ 에서 $v_y=u_x=2x$ 이므로 $v=2xy+h(x)$ , 그리고 $v_x=2y+h'(x)=-u_y=2y$ 에서 $h'=0$ — $v=2xy+c$ , 곧 $f=z^2+ic$ 다.

직관

공간적 직관 — $u=$ 상수 곡선과 $v=$ 상수 곡선은 서로 직교한다. 기울기 벡터로 쓰면 $\nabla u=(u_x,u_y)$ , $\nabla v=(v_x,v_y)=(-u_y,u_x)$ 이니

\nabla u\cdot\nabla v=-u_xu_y+u_yu_x=0

이다. 두 기울기가 수직이면 두 등고선족이 수직이다(1.1.2기울기·발산·회전). 그래서 $u$ 를 전위로 읽으면 $v=$ 상수 곡선은 전위에 수직인 전기력선이 되고, $u$ 를 온도로 읽으면 $v=$ 상수는 열류선, 속도 퍼텐셜로 읽으면 유선이다. 해석함수 하나가 등전위선과 전기력선을 동시에 준다는 것 — 이것이 9절에서 2차원 정전기 문제가 사상 하나로 풀리는 이유다.

그림 1.9-3. f(z) = z²의 실수부 u = x² − y²(실선)와 허수부 v = 2xy(점선)의 등고선. 두 쌍곡선족이 모든 교점에서 직교한다 — 코시–리만 조건 ∇u·∇v = 0의 그림이다. u를 전위로 읽으면 실선이 등전위선, 점선이 전기력선이고, 원점은 f′ = 0인 임계점이라 직교가 깨진다(두 족이 각각 90° 간격으로 만난다).직접 작도

복소 퍼텐셜 — 전위와 전기력선을 한 함수에

정전기 언어로 옮기면 이렇다. 2차원 정전기장의 전위 $\Phi(x,y)$ 는 전하가 없는 곳에서 $\nabla^2\Phi=0$ 이다. $\Phi$ 의 켤레 조화함수 $\Psi$ 를 찾아

F(z)=\Phi(x,y)+i\,\Psi(x,y)

로 묶은 것을 복소 퍼텐셜이라 한다(Kreyszig §18.1). $\Phi=$ 상수가 등전위선, $\Psi=$ 상수가 전기력선이다. 전기장은 $\mathbf E=-\nabla\Phi=-(\Phi_x,\Phi_y)$ 인데, 코시–리만 조건으로 $\Phi_y=-\Psi_x$ 이므로

E_x-iE_y=-(\Phi_x-i\Phi_y)=-(\Phi_x+i\Psi_x)=-F'(z)

곧 $\mathbf E$ 를 복소수 $E_x+iE_y$ 로 쓰면 $\mathbf E=-\overline{F'(z)}$ 다. 도함수 하나에 전기장의 두 성분이 다 들어 있고, 전기장의 크기는 $|F'(z)|$ 다. 가장 간단한 예 둘:

평행판: $F(z)=Uz/d$ 이면 $\Phi=Ux/d$ , $\mathbf E=-U/d$ (균일장).
선전하·동축 원통: $F(z)=a\operatorname{Ln}z+b$ 이면 $\Phi=a\ln r+b$ , $\Psi=a\theta$ . 등전위선은 동심원, 전기력선은 방사선이고 $|\mathbf E|=|a|/r$ 다. 반지름 $r_1$ , $r_2$ 인 두 동축 도체에 $U_1$ , $U_2$ 를 걸면 $a=(U_2-U_1)/\ln(r_2/r_1)$ 이다 — 원통 커패시터.

Kreyszig는 $\Phi$ 를 전위, $\Psi=$ 상수 곡선을 역선(lines of force)이라 부르고(§18.1; 유체 흐름을 다루는 §18.4에서는 $\Psi$ 를 흐름 함수라 한다), Boas(§14.10)도 같은 구분을 쓴다(다만 어느 쪽을 실수부로 두는지는 문제마다 바꾼다). 이 장에서는 실수부가 전위로 통일한다.

직관

물리적 직관 — 2차원 라플라스 해가 각도 함수인 이유. $\operatorname{Ln}z$ 의 허수부 $\theta=\operatorname{Arg}z$ 는 조화함수다. 그러니 편각 자체가 라플라스 방정식의 해이고, $\arctan(y/x)$ 꼴의 전위가 곳곳에서 나온다. 1.7.10에서 위쪽 반평면의 경계값 문제를 푸니 $\arctan$ 의 차가 나왔던 것(1.7.10라플라스·푸아송 방정식)이 이것이다 — 경계의 한 조각 $[a,b]$ 에 전위 $U$ 를 걸고 나머지를 0으로 두면, 그 조각을 바라보는 각도에 비례하는

\Phi(x,y)=\frac{U}{\pi}\bigl[\theta_b-\theta_a\bigr], \qquad \theta_a=\arg(z-a),\ \theta_b=\arg(z-b)\in(0,\pi)

이 답이다. $\theta_b-\theta_a$ 는 점 $z$ 에서 조각 $[a,b]$ 를 바라보는 시야각이다. 조각 바로 위에서는 시야각이 $\pi$ 라 전위가 $U$ 로 붙고, 조각 바깥의 경계에서는 두 편각이 같아져 0, 멀리서는 각이 좁아져 0으로 간다. $\Phi$ 가 조화함수인 것은 $\theta=\operatorname{Im}\ln(z-a)$ 이기 때문이고, 급수를 더할 필요가 없다. 9절에서 이것을 일반화한다.

복소 적분과 코시 적분 정리

선적분 — 경로를 매개화해서 실적분으로

복소 적분은 평면의 곡선 $C$ 를 따라 가는 선적분이다. $C$ 를 $z(t)=x(t)+iy(t)$ , $a\le t\le b$ 로 매개화하면

\int_C f(z)\,dz=\int_a^b f\bigl(z(t)\bigr)\,\dot z(t)\,dt, \qquad \dot z=\frac{dz}{dt}=\dot x+i\dot y

이다(Kreyszig §14.1). 곡선은 조각마다 매끈하고( $\dot z$ 연속, $\ne0$ ), 방향이 있다 — 같은 곡선을 거꾸로 가면 부호가 뒤집힌다. 닫힌 경로의 적분은 $\oint_C$ 로 쓰고, 별말이 없으면 반시계(안쪽을 왼쪽에 두는) 방향이다. 실수부·허수부로 풀면

\int_C f\,dz=\int_C(u+iv)(dx+i\,dy)=\int_C(u\,dx-v\,dy)+i\int_C(v\,dx+u\,dy)

이니 1.1.4의 선적분(1.1.4선적분과 경로 독립성) 두 개다. 벡터장 $(u,-v)$ 와 $(v,u)$ 의 선적분 — 이 대응을 기억해 두면 코시 정리가 그린 정리의 특수한 경우라는 것이 곧 보인다.

세 개의 예가 이 절과 다음 절의 전부를 담고 있다. 셋 다 단위원 $z=e^{it}$ , $0\le t\le2\pi$ , $dz=ie^{it}dt$ 위에서 계산한다.

① $\oint z\,dz$ . $\int_0^{2\pi}e^{it}\,ie^{it}\,dt=i\int_0^{2\pi}e^{2it}dt=0$ . 원시함수 $z^2/2$ 가 있으니 닫힌 경로에서 0인 것은 당연하다.

② $\oint\bar z\,dz$ . $\int_0^{2\pi}e^{-it}\,ie^{it}\,dt=2\pi i$ . 0이 아니다. $\bar z$ 는 해석적이 아니라서 원시함수가 없고, 적분값이 경로에 따라 달라진다 — Kreyszig(§14.1 예 7)는 같은 두 점을 잇는 두 경로에서 $\int\operatorname{Re}z\,dz$ 가 다른 값을 내는 것을 보인다.

③ $\oint(z-z_0)^m\,dz$ , $m$ 정수. 중심 $z_0$ , 반지름 $\rho$ 인 원 $z=z_0+\rho e^{it}$ 에서

\oint(z-z_0)^m\,dz=\int_0^{2\pi}\rho^me^{imt}\,i\rho e^{it}\,dt =i\rho^{m+1}\int_0^{2\pi}e^{i(m+1)t}\,dt =\begin{cases}2\pi i & (m=-1)\\ 0 & (m\ne-1)\end{cases}

이다(Kreyszig §14.1 예 6). $m\ge0$ 이면 해석적이라 0. $m\le-2$ 이면 $z_0$ 에서 특이하지만 그래도 0 — 원시함수 $(z-z_0)^{m+1}/(m+1)$ 이 $z_0$ 을 뺀 곳에서 있기 때문이다. 오직 $m=-1$ 만이 $2\pi i$ 를 낸다. $1/z$ 의 원시함수가 $\operatorname{Ln}z$ 인데, 원을 한 바퀴 돌면 $\operatorname{Ln}$ 의 허수부가 $2\pi$ 만큼 뛰어 제자리로 오지 못하는 것이 $2\pi i$ 의 정체다. 반지름 $\rho$ 가 결과에 없다는 것도 눈여겨보라 — 다음 항의 “경로 변형”이 이미 여기 있다.

직관

공간적 직관 — $1/z$ 는 원점의 소용돌이다. ②·③을 1.1의 언어로 옮기면 이렇다. $f=1/z$ 의 선적분을 위의 대응으로 풀면 $(u,-v)=(x,y)/r^2$ (방사형 원천장)와 $(v,u)=(-y,x)/r^2$ (소용돌이장) 두 벡터장의 선적분이고, 후자가 1.1.9퍼텐셜 이론에서 본 “회전이 0인데 한 바퀴 돌면 $2\pi$ 가 나오는” 바로 그 장이다. 원점이 빠진 평면은 단순연결이 아니라 퍼텐셜(편각)이 일가가 아니다. $\oint dz/z=2\pi i$ 는 그 소용돌이의 순환 $2\pi$ 에 $i$ 를 붙인 것이고, 전자기학으로는 도선 하나를 감싸는 앙페르 고리다. 7절의 유수 정리는 “고리 안의 소용돌이 세기를 전부 더한다”는 말이 된다.

적분의 크기를 누를 때는 ML 부등식 하나면 된다:

\Bigl|\int_C f(z)\,dz\Bigr|\le ML, \qquad |f(z)|\le M\ \text{on }C,\quad L=C\text{의 길이}

(Kreyszig §14.1 식 (13)). 삼각 부등식을 리만 합에 적용한 것이 전부다. 8절에서 “큰 반원 위의 적분이 반지름 $R\to\infty$ 에서 사라진다”는 논증은 전부 $M\sim R^{-2}$ , $L=\pi R$ 로 $ML\to0$ 을 보이는 이 부등식이다.

코시 적분 정리 — 해석함수는 닫힌 경로에서 0

이 장의 첫 번째 큰 정리다.

코시 적분 정리. $f$ 가 단순연결 영역 $D$ 에서 해석적이면, $D$ 안의 모든 단순 닫힌 경로 $C$ 에 대해 $\oint_C f(z)\,dz=0$ 이다. (Kreyszig §14.2 정리 1)

단순연결이란 구멍이 없다는 뜻이다 — $D$ 안의 어떤 단순 닫힌 곡선도 그 안쪽이 전부 $D$ 에 속한다. 증명은 (도함수가 연속이라고 가정하면) 두 줄이다. 위의 성분 분해에 그린 정리 (1.1.7발산정리와 스토크스 정리)를 쓰면

\oint_C(u\,dx-v\,dy)=\iint_D(-v_x-u_y)\,dx\,dy, \qquad \oint_C(v\,dx+u\,dy)=\iint_D(u_x-v_y)\,dx\,dy

이고 코시–리만 조건 $u_y=-v_x$ , $u_x=v_y$ 가 두 피적분함수를 정확히 0으로 만든다. 코시 정리는 그린 정리에 코시–리만 조건을 넣은 것이다. 도함수의 연속성 가정을 떼어 낸 것이 구르사(Goursat, 1900)의 증명이라 코시–구르사 정리라고도 부른다(Kreyszig §14.2). 결론은 같다.

정리의 즉각적인 귀결이 경로 독립성이다. 두 점을 잇는 두 경로 $C_1$ , $C_2$ 를 두면 $C_1-C_2$ 가 닫힌 경로이므로 $\int_{C_1}=\int_{C_2}$ — 단순연결 영역에서 해석함수의 적분은 경로에 무관하고, 따라서 원시함수 $F(z)=\int_{z_0}^{z}f\,dz$ 가 있어 $\int_a^b f\,dz=F(b)-F(a)$ 로 계산할 수 있다(Kreyszig §14.2 정리 3). 1.1.4의 “회전이 0이면 퍼텐셜이 있다”의 복소판이다. $\int_0^{1+i}z^2\,dz=(1+i)^3/3$ 처럼 실수 적분과 똑같이 계산한다 — 경로를 적을 필요가 없다.

경로 변형 — 특이점만 남기고 전부 줄일 수 있다

단순연결이 아닌 영역 — 구멍이 있는 영역 — 에서는 정리를 그대로 쓸 수 없지만, 훨씬 더 쓸모 있는 꼴로 바뀐다. 구멍을 감싸는 바깥 경로 $C$ 와 안쪽 경로 $C_1$ 사이의 고리 모양 영역에서 $f$ 가 해석적이면, 고리를 한 번 잘라 단순연결 영역으로 만들고 코시 정리를 쓴다. 자른 자리의 두 선분은 방향이 반대라 서로 지워지고

\oint_C f\,dz=\oint_{C_1}f\,dz

가 남는다(둘 다 반시계). 이것이 경로 변형의 원리(Kreyszig §14.2)다. 적분 경로는 특이점을 건너지만 않으면 마음대로 옮길 수 있다. 구멍이 여럿이면 각각을 감싸는 작은 경로들의 합이다:

\oint_C f\,dz=\sum_k\oint_{C_k}f\,dz

그림 1.9-4. 경로 변형의 원리. 특이점(×)을 둘러싼 큰 경로 C의 적분은, 경로를 특이점을 건너지 않고 줄여 각 특이점을 감싸는 작은 원 C₁, C₂의 적분의 합과 같다. 가운데 그림처럼 고리 영역을 한 번 잘라 단순연결로 만들면 코시 정리가 적용되고, 자른 자리의 두 선분은 방향이 반대라 서로 지워진다. 특이점이 없는 영역의 적분은 0이므로, 적분값을 결정하는 것은 경로가 아니라 경로 안에 갇힌 특이점뿐이다.직접 작도

예 ③이 이제 일반화된다. $z_0$ 을 감싸는 어떤 단순 닫힌 경로에서도

\oint_C\frac{dz}{z-z_0}=2\pi i, \qquad \oint_C(z-z_0)^m\,dz=0\quad(m\ne-1)

이다 — 경로를 $z_0$ 중심의 작은 원으로 줄이면 되니까. 여기서 7절의 유수 정리까지는 한 걸음이다: 특이점 근방에서 $f$ 를 $(z-z_0)^m$ 의 급수(로랑 급수, 6절)로 펼치면 $m=-1$ 항의 계수만 살아남고, 그 계수를 유수라 부른다.

코시 적분 공식과 해석함수의 도함수

경계값이 내부값을 결정한다

경로 변형과 $\oint dz/(z-z_0)=2\pi i$ 를 합치면 이 장에서 가장 많이 쓰는 공식이 나온다.

코시 적분 공식. $f$ 가 단순연결 영역 $D$ 에서 해석적이고, $C$ 가 $D$ 안의 단순 닫힌 경로이며, $z_0$ 이 $C$ 의 안쪽에 있으면 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$ 이다. (Kreyszig §14.3 정리 1)

증명: 피적분함수는 $z_0$ 을 뺀 곳에서 해석적이니 $C$ 를 $z_0$ 중심의 작은 원 $|z-z_0|=\rho$ 로 줄인다. 그 위에서 $f(z)=f(z_0)+[f(z)-f(z_0)]$ 으로 쪼개면 첫 항은 $f(z_0)\cdot2\pi i$ , 둘째 항은 $|f(z)-f(z_0)|\le\epsilon$ 이 되도록 $\rho$ 를 줄이면 ML 부등식으로 $\le\epsilon\cdot2\pi\rho/\rho\to0$ 이다. 남는 것은 $2\pi if(z_0)$ .

이 공식이 하는 말을 풀어 쓰면 — 해석함수는 경계 위의 값만으로 안쪽 모든 점의 값이 정해진다. 경계에서 $f$ 를 재면 내부를 몰라도 내부가 결정된다. 실함수에는 이런 성질이 없다. 1.7.10과 1.8.5의 디리클레 문제 — 경계값이 내부의 조화함수를 유일하게 정한다 — 가 이 공식의 실수부다. $C$ 를 원 $z=z_0+re^{i\theta}$ 로 잡으면

f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta

가 되어 중심값은 원 위 값의 평균이라는 평균값 성질이 되고(Kreyszig §18.6), 실수부를 취하면 조화함수의 평균값 성질(1.1.9퍼텐셜 이론)이다.

계산 도구로서는 이렇게 쓴다. $\oint_C g(z)\,dz$ 에서 $g$ 가 $C$ 안에 단순극 하나를 가지면, $g=f(z)/(z-z_0)$ 꼴로 쓴 뒤 $f$ 가 안에서 해석적임을 확인하고 $2\pi if(z_0)$ 을 읽는다:

\oint_{|z|=3}\frac{e^{z}}{z-2}\,dz=2\pi i\,e^{2}, \qquad \oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{z^2-1}\,dz =\oint\frac{f_1(z)}{z-1}\,dz+\oint\frac{f_2(z)}{z+1}\,dz

f_1=\frac{z^2+1}{z+1},\quad f_2=\frac{z^2+1}{z-1} \qquad\Longrightarrow\qquad 2\pi i\bigl[f_1(1)+f_2(-1)\bigr]=2\pi i(1-1)=0

첫째가 Kreyszig §14.3 예 1이다. 둘째(예 3의 확장)는 극이 $\pm1$ 둘이라 부분분수로 나눠 각각에 공식을 썼다 — 극을 하나만 감싸는 경로에서는 $2\pi i$ 또는 $-2\pi i$ 가 나온다. 7절의 유수 정리가 이 절차를 기계화한다.

해석함수는 무한 번 미분 가능하다

코시 적분 공식을 $z_0$ 으로 미분한다. 적분 안의 $1/(z-z_0)$ 만 $z_0$ 에 의존하고 $f(z)$ 는 경로 위의 값이라 상수이므로

f'(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}\,dz, \qquad f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz

이다(Kreyszig §14.4 정리 1; 적분 기호 안에서 미분해도 되는 것은 별도로 증명한다). 우변은 $f$ 가 경로 위에서 연속이기만 하면 언제나 존재하므로 — 해석함수는 한 번 미분 가능하면 무한 번 미분 가능하다. 도함수도 해석적이고, 그 도함수도 해석적이다.

실함수와의 대비가 여기서 가장 극적이다. $f(x)=x|x|$ 는 한 번 미분 가능하지만 두 번은 안 된다. $e^{-1/x^2}$ 는 무한 번 미분 가능하지만 매클로린 급수가 $0$ 이라 함수를 나타내지 못한다 (1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도). 복소수에서는 둘 다 일어나지 않는다 — 6절에서 해석함수의 테일러 급수는 언제나 함수로 수렴한다는 것을 이 공식으로 증명한다.

직관

수식적 직관 — 미분이 적분으로 바뀌었다. 도함수는 본래 극한이라 수치적으로 불안정한 연산인데, 위 공식은 그것을 경로 위의 적분으로 바꿔 놓았다. 적분은 평균이라 잡음에 강하다. 수치해석에서 해석함수의 고계 도함수를 구할 때 유한차분 대신 원 위의 함수값을 푸리에 변환하는 것(1.12)이 이 공식이다 — $z=z_0+re^{i\theta}$ 를 넣으면

f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi r^n}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\,e^{-in\theta}\,d\theta

가 되어 원 위 함수값의 $n$ 번째 푸리에 계수에 $n!/r^n$ 을 곱한 것이 $n$ 계 도함수다. 6절에서 이 관계를 뒤집어 읽으면 로랑 급수가 원 위의 푸리에 급수라는 것이 나온다.

코시 부등식과 그 귀결들

위 식에 ML 부등식을 쓴다. $C$ 를 반지름 $r$ 인 원, $|f|\le M$ 이라 하면

|f^{(n)}(z_0)|\le\frac{n!\,M}{r^n}

이 코시 부등식이다. 짧은 식이지만 세 정리가 여기서 떨어진다.

① 리우빌 정리. 전해석 함수가 유계이면 상수다. — $n=1$ 에서 $|f'(z_0)|\le M/r$ 인데 전해석이라 $r$ 을 얼마든지 키울 수 있으니 $f'\equiv0$ . $\sin z$ 가 유계가 아니라는 2절의 관찰이 이 정리의 당연한 귀결이다: 유계였다면 상수여야 한다.

② 대수학의 기본정리. $n\ge1$ 차 다항식은 복소 근을 가진다. — 근이 없다면 $1/p(z)$ 가 전해석이고 $|z|\to\infty$ 에서 0으로 가니 유계, 그러면 상수. 모순. 1.3의 특성다항식이 언제나 $n$ 개의 (복소) 고유값을 가진다는 사실(1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식)의 근거가 이것이다 — 실행렬의 고유값이 복소수로 나오는 것은 예외가 아니라 정리의 내용이다.

③ 모레라 정리. 코시 정리의 역이다 — $D$ 에서 연속인 $f$ 가 $D$ 안의 모든 닫힌 경로에서 $\oint f\,dz=0$ 이면 $f$ 는 $D$ 에서 해석적이다. 경로 독립이면 원시함수 $F$ 가 있고 $F'=f$ 이니 $F$ 가 해석적, 따라서 $f=F'$ 도 해석적(무한 번 미분 가능하므로). 4절의 “역은 성립하지 않는다”는 경고와 어긋나지 않는다 — 그 경고는 특정한 한 경로에서 0인 것에 대한 것이고, 모레라는 모든 경로를 요구한다.

최대 절댓값 원리

평균값 성질에서 한 줄 더 가면 최대 절댓값 원리(Kreyszig §18.6 정리 3)다. 유계 영역 $D$ 에서 해석적이고 경계까지 연속인 $f$ 가 상수가 아니면, $|f|$ 는 내부에서 최댓값을 가질 수 없고 경계에서만 가진다. — 내부의 한 점에서 최대라면 그 점을 중심으로 한 작은 원 위 값들의 평균이 최댓값과 같아야 하는데, 평균이 최댓값과 같으려면 원 위에서 전부 같아야 하고, 이를 반복하면 상수가 된다. 실수부를 취하면 조화함수의 최대 원리 — 조화함수는 내부에 극대·극소를 가지지 않는다 — 가 되고, 이것이 1.1.9퍼텐셜 이론와 1.8.5에서 디리클레 문제의 유일성을 증명한 근거였다.

테일러·로랑 급수

거듭제곱 급수와 수렴 원

복소 거듭제곱 급수 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ 은 실수 급수(1.5.2거듭제곱 급수와 수렴 반경)와 같은 판정법으로 다루지만, 수렴 영역의 모양이 다르다. 한 점 $z_1$ 에서 수렴하면 $|z-z_0| < |z_1-z_0|$ 인 모든 $z$ 에서 절대수렴하고, 한 점에서 발산하면 그보다 먼 모든 점에서 발산한다(Kreyszig §15.2 정리 1). 그러니 수렴하는 점들의 집합은 원판이고, 그 반지름 $R$ 이 수렴 반경이다:

|z-z_0| < R\ \text{에서 수렴},\qquad |z-z_0|>R\ \text{에서 발산}, \qquad R=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_n}{a_{n+1}}\Bigr|

마지막이 코시–아다마르 공식(§15.2 정리 2)이고, 비율의 극한이 없으면 $R=1/\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}$ 로 간다. 원 위( $|z-z_0|=R$ )에서의 수렴 여부는 일반론이 없다 — $\sum z^n$ 은 원 위 어디서도 발산하고, $\sum z^n/n$ 은 $z=-1$ 에서 수렴하며 $z=1$ 에서 발산하고, $\sum z^n/n^2$ 은 원 위 전체에서 수렴한다(§15.2 예 4). “수렴 반경”이라는 이름이 왜 반지름인지가 여기서 비로소 분명해진다. 실수 급수의 수렴 구간 $(x_0-R,x_0+R)$ 은 이 원판을 실수축으로 자른 지름일 뿐이다.

수렴 원 안에서 거듭제곱 급수는 해석함수이고, 항별로 미분·적분할 수 있으며 그 결과의 수렴 반경은 같다(§15.3 정리 3–5). 그리고 표현은 유일하다 — 같은 중심의 두 급수가 어떤 원판에서 같은 합을 가지면 계수가 전부 같다(§15.3 정리 2, 항등 정리). 이 유일성 덕에 급수를 구할 때 계수 공식을 쓰지 않고 치환·부분분수·곱셈 같은 편법을 마음껏 써도 된다. 어떤 방법으로 얻든 답은 하나다.

테일러 정리 — 해석함수는 언제나 급수다

5절의 코시 적분 공식에서 테일러 급수가 나온다. $z_0$ 중심 원 $C$ 위에서

\frac{1}{z^{*}-z}=\frac{1}{(z^{*}-z_0)\bigl[1-\frac{z-z_0}{z^{*}-z_0}\bigr]} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-z_0)^n}{(z^{*}-z_0)^{n+1}} \qquad\Bigl(\Bigl|\frac{z-z_0}{z^{*}-z_0}\Bigr| < 1\Bigr)

으로 기하급수 전개하고(Kreyszig는 적분 변수를 $z^{*}$ 로 쓴다) 코시 적분 공식에 넣어 항별로 적분하면 각 항의 적분이 정확히 5절의 도함수 공식이다:

테일러 정리. $f$ 가 영역 $D$ 에서 해석적이고 $z_0\in D$ 이면, $z_0$ 을 중심으로 하는 테일러 급수 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,\qquad a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z^{*})}{(z^{*}-z_0)^{n+1}}\,dz^{*}$ 가 단 하나 존재하며, $z_0$ 을 중심으로 $D$ 안에 들어가는 가장 큰 열린 원판에서 $f$ 를 나타낸다. (Kreyszig §15.4 정리 1)

나머지항은 $|R_n(z)|\le M|(z-z_0)/r|^{n+1}$ 로 눌리고(ML 부등식), $|z-z_0| < r$ 이면 0으로 간다. 1.5.3에서 실함수의 나머지항이 0으로 가는지를 매번 따로 확인해야 했던 것과 대비된다 — 복소 해석함수는 예외 없이 자기 테일러 급수와 같다. $e^{-1/x^2}$ 같은 반례가 복소수에서 없는 이유는 그 함수가 $z=0$ 에서 해석적이 아니기 때문이다(허수축을 따라가면 $e^{-1/z^2}=e^{1/y^2}\to\infty$ ).

정리에서 가장 많이 쓰는 문장은 수렴 원판의 크기다. 수렴 원 위에는 $f$ 의 특이점이 적어도 하나 있고, 따라서 수렴 반경은 대개 $z_0$ 에서 가장 가까운 특이점까지의 거리다(§15.4). 1.5.2에서 $1/(1+x^2)$ 의 급수가 $|x| < 1$ 에서만 수렴하는 이유를 ” $\pm i$ 에 특이점이 있어서”라고 적어 두었던 것이 이 정리다 — 실수축 위에는 아무 문제가 없는데, 수렴 원판이 $\pm i$ 에 닿는 순간 더 커질 수 없다.

그림 1.9-5. 1/(1+z²)의 매클로린 급수가 |z| < 1에서만 수렴하는 이유. 실수축(굵은 선) 위에서 함수는 어디서나 매끈하지만, 복소평면에서 보면 z = ±i에 극이 있고, 원점 중심 수렴 원판은 그 극에 닿는 순간 더 커질 수 없다. 실수축의 수렴 구간 (−1, 1)은 이 원판의 지름일 뿐이다. 중심을 z₀ = 2로 옮기면 가장 가까운 특이점까지의 거리가 √5라 수렴 반경이 √5로 늘어난다.직접 작도

주의

“대개”다 — 반드시가 아니다. Kreyszig가 반례를 붙여 둔다. $\operatorname{Ln}z$ 는 음의 실수축에서 특이하고 $z_0=-1+i$ 에서 그 축까지의 거리는 1인데, $z_0=-1+i$ 중심 테일러 급수의 수렴 반경은 $\sqrt2$ 다(원점까지의 거리). 급수가 절단선을 넘어서 수렴하는 것인데, 넘은 쪽에서 급수가 나타내는 것은 $\operatorname{Ln}z$ 가 아니라 다른 분지( $\operatorname{Ln}z+2\pi i$ 의 이웃 값)다. 절단선은 함수의 특이점이 아니라 사람이 그은 선이므로 급수는 그것을 모른다. 진짜 특이점은 분지점 $z=0$ 뿐이고, 수렴 반경은 정확히 거기까지다. “가장 가까운 특이점”에서 특이점은 분지점·극·본질적 특이점이지 절단선이 아니다.

직관

파라미터 연계 — 급수해의 수렴 반경을 미리 안다. 1.5.4의 거듭제곱 급수법에서 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 의 급수해가 어디까지 수렴하는지는 $p,q$ 의 복소 특이점까지의 거리로 미리 정해진다. 르장드르 방정식 $p=-2x/(1-x^2)$ 의 특이점이 $x=\pm1$ 이라 원점 중심 급수는 $|x| < 1$ 에서만 수렴하고, 그래서 $x=\pm1$ 에서 유한한 해를 요구하면 급수가 다항식으로 끊겨야 한다는 것 — 르장드르 다항식이 나온 논리(1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식)가 이 정리 위에 서 있다. 베셀 방정식은 $p=1/x$ , $q=1-\nu^2/x^2$ 로 특이점이 원점뿐이라 급수가 모든 $x$ 에서 수렴한다.

자주 쓰는 매클로린 급수는 실수의 것을 $z$ 로 바꿔 그대로 쓴다(§15.4 예 1–6, 8): $1/(1-z)=\sum z^n$ , $e^{z}=\sum z^n/n!$ , $\cos z$ , $\sin z$ , $\cosh z$ , $\sinh z$ , $\operatorname{Ln}(1+z)=z-z^2/2+\cdots$ ( $|z| < 1$ ), $\arctan z=z-z^3/3+\cdots$ ( $|z| < 1$ ), 이항급수 $(1+z)^m=\sum\binom{m}{n}z^n$ .

해석적 연속 — 한 조각이 전체를 정한다

테일러 정리에 항등 정리를 합치면 이 장에서 가장 철학적인 귀결이 나온다. 두 해석함수 $f_1$ , $f_2$ 가 어떤 작은 원판(심지어 한 선분)에서 일치하면, 그 점 중심의 테일러 계수가 전부 같고, 따라서 둘의 정의역이 겹치는 모든 곳에서 일치한다. 거꾸로 말하면 — $f$ 가 작은 원판에서 정해지면, 그 원판 경계 근처의 점을 새 중심으로 테일러 급수를 다시 전개해 정의역을 넓힐 수 있고, 이것을 반복해 특이점에 막힐 때까지 밀고 나갈 수 있다. 이 절차가 해석적 연속(analytic continuation)이고, 그 결과는 경로에 관계없이(분지점을 돌지 않는 한) 유일하다(Arfken §11.6).

실제로는 급수를 이어 붙이는 대신 함수 관계식으로 연속한다. 감마 함수의 적분 정의 $\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$ 는 $\operatorname{Re}z>0$ 에서만 수렴하지만, 거기서 성립하는 $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ 를 $\Gamma(z)=\Gamma(z+1)/z$ 로 뒤집어 읽으면 $\operatorname{Re}z>-1$ 로, 다시 $\operatorname{Re}z>-2$ 로 정의역이 한 칸씩 넓어진다. 그렇게 얻은 함수가 1.5.9의 “음수에서도 정의된 감마 함수”(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)이고, $z=0,-1,-2,\dots$ 에서 단순극을 가진다. 정의역을 넓히는 방법이 유일하다는 것이 해석적 연속의 유일성이므로 — “감마 함수”는 하나뿐이다.

로랑 급수 — 특이점을 가운데 두고 전개한다

테일러 급수는 중심에서 해석적인 함수만 다룬다. 중심에 특이점이 있으면 — 또는 중심 근처에 “구멍”이 있으면 — 음의 거듭제곱까지 허용해야 한다.

로랑 정리. $f$ 가 중심 $z_0$ 인 두 동심원 $C_1$ (바깥쪽), $C_2$ (안쪽)와 그 사이 고리 영역을 포함하는 영역에서 해석적이면 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{(z-z_0)^n}$ $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z^{*})}{(z^{*}-z_0)^{n+1}}dz^{*},\qquad b_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z^{*})(z^{*}-z_0)^{n-1}dz^{*}$ 로 나타낼 수 있다. $C$ 는 고리 안에서 안쪽 원을 감싸는 임의의 단순 닫힌 경로(반시계)다. 급수는 두 원을 각각 특이점에 닿을 때까지 바깥으로·안으로 넓힌 열린 고리에서 수렴한다. (Kreyszig §16.1 정리 1)

음의 거듭제곱 부분을 주요부(principal part)라 한다. $b_n$ 을 $a_{-n}$ 으로 쓰면 한 식 $f=\sum_{-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ , $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint f(z^{*})(z^{*}-z_0)^{-n-1}dz^{*}$ 로 합쳐진다(§16.1의 주석). 증명은 코시 적분 공식을 고리 영역에 쓰면 바깥 원 $C_1$ 과 안쪽 원 $C_2$ 의 두 적분이 남고, $C_1$ 쪽은 테일러 정리와 똑같이 전개되어 $a_n$ 을 주며, $C_2$ 쪽은 이번에는 $|z^{*}-z_0| < |z-z_0|$ 이라 $z$ 와 $z^{*}$ 의 역할을 바꿔 기하급수로 전개하니 음의 거듭제곱이 나온다 — 그것이 전부다.

계수 적분은 거의 쓰지 않는다. 유일성이 있으므로(고리를 고정하면 급수는 하나) 아는 급수를 나누고 치환하고 부분분수로 쪼개면 된다(§16.1 예 1–5):

\frac{\sin z}{z^5}=\frac{1}{z^4}-\frac{1}{6z^2}+\frac{1}{120}-\frac{z^2}{5040}+\cdots, \qquad z^2e^{1/z}=z^2+z+\frac12+\frac{1}{3!\,z}+\frac{1}{4!\,z^2}+\cdots

첫째는 주요부가 두 항으로 끝나고(다음 절의 언어로 4차 극), 둘째는 주요부가 끝나지 않는다 (본질적 특이점). 둘 다 $0 < |z| < \infty$ 에서 유효하다.

주의

같은 함수, 같은 중심, 다른 급수. 로랑 급수는 고리마다 다르다. Kreyszig §16.1 예 5의 $f(z)=1/(1-z)+1/(2-z)$ 는 원점 중심으로 세 개의 고리 $|z| < 1$ , $1 < |z| < 2$ , $|z|>2$ 에서 세 개의 서로 다른 급수를 가진다 — 첫 고리에서는 테일러 급수( $\tfrac32+\tfrac54z+\tfrac98z^2+\cdots$ ), 둘째에서는 $1/(1-z)$ 쪽만 $-1/z-1/z^2-\cdots$ 로 뒤집히고, 셋째에서는 둘 다 뒤집혀 $-2/z-3/z^2-5/z^3-\cdots$ 가 된다. 7절의 유수는 특이점 바로 옆 고리( $0 < |z-z_0| < R$ )의 급수에서 읽는 $b_1$ 이다. Kreyszig가 §16.3 예 2를 “CAUTION! Use the Right Laurent Series!”라는 제목으로 둔 이유가 그것이다 — $1/(z^3-z^4)$ 의 $|z|>1$ 급수에는 $1/z$ 항이 없어서 잘못 고르면 유수가 0으로 나온다.

직관

수식적 직관 — 로랑 급수는 원 위의 푸리에 급수다. 고리 안의 원 $z=z_0+re^{i\theta}$ 위에서 로랑 급수는

f(z_0+re^{i\theta})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl(a_nr^n\bigr)e^{in\theta}

가 되어 $\theta$ 의 복소 푸리에 급수(1.10)다. 계수 공식 $a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint f(z^{*})(z^{*}-z_0)^{-n-1}dz^{*}$ 에 같은 매개화를 넣으면 $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$ — 정확히 푸리에 계수다. 테일러 급수는 음의 진동수가 없는 푸리에 급수이고, “해석적”이라는 조건은 “음의 진동수 성분이 없다”는 조건과 같다. 10절에서 인과적 응답 함수가 위쪽 반평면에서 해석적인 이유도 이 문장의 변형이다 — 시간의 한쪽 방향에서만 0이 아닌 함수의 변환은 한쪽 반평면에서 해석적이다.

특이점과 유수 정리

고립 특이점의 세 종류

$f$ 가 $z_0$ 에서 해석적이 아니지만 $z_0$ 을 뺀 어떤 근방에서는 해석적일 때 $z_0$ 을 고립 특이점이라 한다. $\tan z$ 의 $\pi/2$ 는 고립 특이점이고, $\tan(1/z)$ 의 $0$ 은 극들이 몰려드는 비고립 특이점이다 — 이 장은 고립 특이점만 다룬다(Kreyszig §16.2). 고립 특이점 근방 $0 < |z-z_0| < R$ 의 로랑 급수에서 주요부의 모양으로 셋을 가른다.

주요부	이름	예	특이점 근처의 행동
없다 ( $b_n=0$ )	제거 가능 특이점	$\sin z/z$ ( $z=0$ )	값을 정해 주면 해석적이 된다: $f(0)=1$
$b_m/(z-z_0)^m$ 에서 끝난다, $b_m\ne0$	$m$ 차 극 ( $m=1$ : 단순극)	$1/z^2$ , $\sin z/z^5$ (4차)	$\lvert f\rvert\to\infty$ , 어느 방향에서 가도 (§16.2 정리 1)
끝나지 않는다	본질적 특이점	$e^{1/z}$ , $\sin(1/z)$	아무리 작은 근방에서도 (많아야 하나만 빼고) 모든 값을 다 취한다 (피카르 정리, §16.2 정리 2)

극과 본질적 특이점의 차이는 형식적인 분류가 아니다. $e^{1/z}$ 는 원점에 양의 실수축을 따라 다가가면 $\infty$ , 음의 실수축을 따라가면 $0$ , 허수축을 따라가면 단위원 위를 무한히 돈다 — 극한이 방향마다 다를 뿐 아니라 아예 없다. Kreyszig §16.2 예 3은 임의의 $c\ne0$ 에 대해 $e^{1/z}=c$ 의 해가 원점에 얼마든지 가까이 있음을 직접 푼다. 다행히 물리에서 만나는 특이점은 거의 전부 극이고, 극만 있는 함수(유리형 함수, meromorphic)가 이 장의 주역이다.

극의 차수는 로랑 급수를 다 쓰지 않아도 읽을 수 있다. $f=g/h$ 에서 $g(z_0)\ne0$ 이고 $h$ 가 $z_0$ 에서 $n$ 차 영점( $h=h'=\cdots=h^{(n-1)}=0$ , $h^{(n)}\ne0$ )이면 $f$ 는 $n$ 차 극을 가진다 (§16.2 정리 4). 그러니 극은 대개 분모의 영점에서 온다. 그리고 해석함수의 영점은 (함수가 항등적으로 0이 아닌 한) 고립되어 있다(§16.2 정리 3) — 영점 근처에서 $f=(z-z_0)^ng(z)$ , $g(z_0)\ne0$ 이라 $g$ 가 0이 아닌 근방이 있기 때문이다. 이 사실이 항등 정리의 다른 얼굴이다: 두 해석함수가 어떤 점으로 몰려드는 점열에서 일치하면 차가 비고립 영점을 가지므로 항등적으로 0이다.

직관

물리적 직관 — 극은 공명이고 고유모드다. 선형계의 전달함수 $H(s)$ 는 유리함수이고, 그 극이 계의 고유진동수다. 1.4.8의 강제 진동(1.4.8강제 진동과 공명)에서 응답 $1/(\omega_0^2-\omega^2+2i\zeta\omega_0\omega)$ 의 분모 영점 $\omega=\pm\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}+i\zeta\omega_0$ 이 극이고, 그 실수부가 공명 진동수, 허수부가 감쇠율이다(1절의 $e^{i\omega t}$ 규약이라 극이 위쪽 반평면에 있다; 8·10절의 물리 규약 $e^{-i\omega t}$ 로 옮기면 $\omega\to-\omega$ 가 되어 같은 극이 아래쪽 반평면에 찍힌다). 극이 실수축에 가까울수록 응답의 봉우리가 높고 좁다 — 극의 허수부가 선폭이다. 1.7.12·1.10.9의 역라플라스 변환에서 부분분수의 항 하나하나가 극 하나하나이고, $e^{s_kt}$ 의 $s_k$ 가 그 극의 위치다. 극이 $s$ 평면의 왼쪽 반평면에 있어야 $e^{s_kt}$ 가 감쇠해 계가 안정하다(22부의 안정성 판정). 8절에서 이것을 유수 정리 한 줄로 다시 쓴다.

무한대에서의 행동

복소평면에 점 $\infty$ 하나를 보태 확장 복소평면을 만든다. 리만 구면 위에 평면을 입체 투영하면 북극이 $\infty$ 에 대응하고, 평면에서 어느 방향으로 멀어지든 같은 점에 닿는다 — 그래서 $+\infty$ 와 $-\infty$ 를 구분하지 않는다(Kreyszig §16.2, Boas §14.8). $\infty$ 에서의 행동은 $z=1/w$ 로 바꿔 $g(w)=f(1/w)$ 의 $w=0$ 에서의 행동으로 정의한다: $1/z^2$ 는 $\infty$ 에서 해석적이고(2차 영점), $z^3$ 은 $\infty$ 에서 3차 극이며, $e^{z}$ 와 $\sin z$ 는 $\infty$ 에서 본질적 특이점이다. 리우빌 정리를 이 언어로 다시 말하면 — 상수가 아닌 전해석 함수는 $\infty$ 에서 반드시 특이하다. 다항식이면 극, 아니면 본질적 특이점.

유수와 유수 정리

이제 4절에서 예고한 셈을 완성한다. $z_0$ 을 감싸는 작은 원에서 로랑 급수를 항별로 적분하면 $\oint(z-z_0)^n dz$ 는 $n=-1$ 에서만 $2\pi i$ 이므로

\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\,b_1, \qquad b_1=\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)

이다. $b_1$ — 특이점 바로 옆 고리의 로랑 급수에서 $1/(z-z_0)$ 의 계수 — 를 유수(residue)라 한다(Kreyszig §16.3). 이름 그대로 “적분하고 남는 것”이다. 경로 안에 특이점이 여럿이면 각각을 작은 원으로 감싸 경로 변형의 원리를 쓴다:

유수 정리. $f$ 가 단순 닫힌 경로 $C$ 위와 안에서 유한개의 특이점 $z_1,\dots,z_k$ 를 빼고 해석적이면 $\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum_{j=1}^{k}\operatorname*{Res}_{z=z_j}f(z)$ 이다(반시계). (Kreyszig §16.3 정리 1)

4절의 그림(경로 변형)이 그대로 이 정리의 그림이다 — 각 특이점을 감싸는 작은 원의 적분이 $2\pi i\times$ 유수이고, 큰 경로의 적분은 그 합이다.

유수를 구하는 방법은 세 가지면 충분하다(§16.3 식 (3)–(5); Boas §14.6).

① 단순극. 로랑 급수 $b_1/(z-z_0)+a_0+\cdots$ 에 $(z-z_0)$ 을 곱하고 극한을 취한다:

\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)

② 단순극, $f=p/q$ 꼴. $p(z_0)\ne0$ , $q(z_0)=0$ , $q'(z_0)\ne0$ 이면 ①의 극한이 로피탈로 바로 계산되어

\operatorname*{Res}_{z=z_0}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}

이다. 가장 자주 쓰는 공식이다 — $\operatorname{Res}_{z=i}\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{2i}$ , $\operatorname{Res}_{z=n\pi}\cot z=\frac{\cos n\pi}{\cos n\pi}=1$ .

③ $m$ 차 극. $(z-z_0)^m f$ 는 해석적이고 그 $(z-z_0)^{m-1}$ 계수가 $b_1$ 이므로

\operatorname*{Res}_{z=z_0}f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\bigl[(z-z_0)^mf(z)\bigr]

이다. $m$ 을 실제 차수보다 크게 잡아도 답은 같다(Boas가 그렇게 쓴다). 다만 차수가 높으면 미분보다 급수를 직접 나누는 편이 빠르다 — $\sin z/z^4=1/z^3-1/(3!\,z)+\cdots$ 에서 유수 $-1/6$ 을 읽는 식이다(Kreyszig §16.3 예 1). 본질적 특이점은 공식이 없고 급수를 써야 한다: $ze^{\pi/z}=z+\pi+\frac{\pi^2}{2}\cdot\frac1z+\cdots$ 에서 유수는 $\pi^2/2$ (§16.3 예 7).

무한대의 유수도 정의할 수 있다(Boas §14.8). $\infty$ 를 감싸는 경로는 큰 원을 시계 방향으로 도는 것이고( $\infty$ 를 왼쪽에 두려면), $z=1/w$ 로 바꾸면

\operatorname*{Res}_{z=\infty}f(z)=-\operatorname*{Res}_{w=0}\Bigl[\frac{1}{w^2}f\Bigl(\frac1w\Bigr)\Bigr]

이다. 특이점이 유한개인 함수는 유한 유수의 합 + 무한대 유수 = 0 이다 — 큰 원 하나가 모든 유한 특이점을 감싸는 동시에 $\infty$ 를 시계 방향으로 감싸므로. $f$ 가 $\infty$ 에서 해석적이어도 유수는 0이 아닐 수 있다( $1/z$ 의 무한대 유수는 $-1$ ). 유한 극이 많을 때 검산용으로 쓴다.

편각 원리 — 영점과 극을 센다

$f'/f$ 의 유수를 세면 영점과 극의 개수가 나온다. $f=(z-z_0)^{\mu}g$ , $g(z_0)\ne0$ 이면 $f'/f=\mu/(z-z_0)+g'/g$ 이므로 유수가 $\mu$ ( $\mu>0$ 영점, $\mu<0$ 극)이고,

\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P =\frac{1}{2\pi}\bigl[C\ \text{를 한 바퀴 돌 때}\ \arg f(z)\ \text{의 변화}\bigr]

이다(Boas §14.7 식 (7.8), Arfken §11.7). 둘째 등호는 $f'/f=(\ln f)'$ 에서 $\ln|f|$ 는 한 바퀴 돌면 제자리이고 $i\arg f$ 만 남기 때문이다. 이것이 편각 원리이고, ” $f(z)$ 의 상이 원점을 몇 바퀴 감느냐”로 영점 개수를 세는 나이퀴스트 안정성 판정(22부)의 수학이다 — 전달함수의 극이 오른쪽 반평면에 몇 개 있는지를, 그 반평면의 경계를 따라 $1+GH$ 의 편각 변화를 세어 알아낸다. 근을 구하지 않고 개수를 세는 것이라, 부호 조건만 필요한 안정성 문제에 꼭 맞는다.

실적분과 급수의 계산

유수 정리의 가장 실용적인 쓰임은 실적분을 복소 경로 적분으로 바꿔 특이점을 세는 것이다. 절차는 언제나 셋이다 — ① 실수축의 적분을 닫힌 경로의 일부로 만들고, ② 나머지 경로의 기여가 사라짐(또는 알려진 값임)을 보이고, ③ 경로 안의 유수를 더한다. 어느 경로로 닫느냐가 문제마다 다를 뿐이다. Kreyszig §16.4의 네 유형에 Boas §14.7·Arfken §11.8의 셋을 더해 일곱 유형을 본다.

① 한 주기 삼각 적분 — 단위원으로 바꾼다

$\cos\theta$ , $\sin\theta$ 의 유리함수를 한 주기 적분하는 것은 $z=e^{i\theta}$ 로 놓으면 단위원 위의 경로 적분이다:

\cos\theta=\frac12\Bigl(z+\frac1z\Bigr),\qquad \sin\theta=\frac{1}{2i}\Bigl(z-\frac1z\Bigr),\qquad d\theta=\frac{dz}{iz}

$\theta$ 가 $0$ 에서 $2\pi$ 로 갈 때 $z$ 는 단위원을 한 바퀴 돌므로 적분은 단위원 안의 극들의 유수 합이다. Kreyszig §16.4 예 1:

\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\sqrt2-\cos\theta} =\oint_{|z|=1}\frac{dz/iz}{\sqrt2-\tfrac12(z+1/z)} =-\frac{2}{i}\oint\frac{dz}{z^2-2\sqrt2z+1}

분모의 근 $\sqrt2\pm1$ 중 $\sqrt2-1$ 만 단위원 안이고 거기서의 유수는 $1/[(\sqrt2-1)-(\sqrt2+1)]=-\tfrac12$ 이므로, 답은 $-\tfrac2i\cdot2\pi i\cdot(-\tfrac12)=2\pi$ 다( $\sqrt2-\cos\theta=-(z^2-2\sqrt2z+1)/2z$ 의 부호를 놓치기 쉽다). Boas §14.7 예 1의 $\int_0^{2\pi}d\theta/(5+4\cos\theta)=2\pi/3$ , Arfken 예 11.8.1의 $\int_0^{2\pi}d\theta/(1+a\cos\theta)=2\pi/\sqrt{1-a^2}$ 가 같은 계산이다.

② 실수축 전체의 적분 — 큰 반원으로 닫는다

유리함수 $f(x)=p(x)/q(x)$ 의 실수축 전체 적분은, 실수축 $[-R,R]$ 에 위쪽 반원 $S$ 를 붙여 닫는다. $q$ 가 실근이 없고 차수가 $p$ 보다 2 이상 크면 $|f(z)|\le k/R^2$ 이라 ML 부등식으로 $|\int_S f\,dz|\le(k/R^2)\cdot\pi R\to0$ 이고,

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j>0}\operatorname*{Res}_{z=z_j}f(z)

— 위쪽 반평면의 극만 센다(§16.4 식 (7)). 아래쪽 반원으로 닫아도 되고 그때는 아래쪽 극을 시계 방향으로 세므로 부호가 바뀌어 같은 답이 나온다. Kreyszig §16.4 예 2:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} =2\pi i\Bigl[\frac{1}{4z^3}\Bigr]_{z=e^{i\pi/4}}+2\pi i\Bigl[\frac{1}{4z^3}\Bigr]_{z=e^{3i\pi/4}} =\frac{\pi i}{2}\bigl(e^{-3i\pi/4}+e^{-i\pi/4}\bigr) =\frac{\pi}{\sqrt2}

극 $e^{i(2k+1)\pi/4}$ 넷 중 위쪽 둘만 썼고, 유수는 $p/q'$ 공식이다. 우함수이므로 $\int_0^\infty=\pi/2\sqrt2$ .

③ 푸리에 적분 — 조르당 보조정리

$\int f(x)\cos sx\,dx$ , $\int f(x)\sin sx\,dx$ 는 $e^{isx}$ 하나로 묶어 계산한다. $s>0$ 일 때 위쪽 반평면에서 $|e^{isz}|=e^{-sy}\le1$ 이므로 반원의 기여는 $f$ 만으로 누를 수 있고,

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{isx}\,dx=2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j>0}\operatorname*{Res}\bigl[f(z)e^{isz}\bigr] \qquad(s>0)

의 실수부·허수부가 각각 코사인·사인 적분이다(§16.4 식 (9)–(10)). 더 정밀하게는 $f$ 가 $1/R$ 로만 줄어도 $e^{isz}$ 의 지수적 감쇠가 반원 적분을 죽인다 — 그것이 조르당 보조정리 (Arfken 식 (11.102): 위쪽 반원 위에서 $f\to0$ 이면 $s>0$ 에 대해 $\int_S f e^{isz}dz\to0$ )다. 핵심은 $\sin\theta\ge2\theta/\pi$ ( $0\le\theta\le\pi/2$ )로 $\int_0^{\pi}e^{-sR\sin\theta}d\theta\le\pi/sR$ 을 얻는 것이다. $s<0$ 이면 아래쪽 반평면으로 닫아야 한다 — 위쪽에서는 $e^{isz}$ 가 지수적으로 커진다. 두 반평면이 대등하지 않다는 이 비대칭이 10절의 인과율로 이어진다.

Kreyszig §16.4 예 3이 반도체에서 가장 자주 나오는 적분이다:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos sx}{k^2+x^2}\,dx =\operatorname{Re}\Bigl[2\pi i\cdot\frac{e^{isz}}{2z}\Bigr]_{z=ik} =\frac{\pi}{k}e^{-ks} \qquad(s,k>0)

그림 1.9-6. 로렌츠 함수 1/(k² + x²)와 지수함수 e^{−k|s|}는 푸리에 변환 쌍이다 — 왼쪽의 봉우리가 좁을수록(k 작을수록) 오른쪽의 감쇠가 느리다. 계산은 위쪽 반평면의 극 z = ik 하나의 유수다. 시간 영역에서 e^{−t/τ}로 사라지는 상태는 주파수 영역에서 폭 1/τ인 로렌츠 선으로 보인다: 수명이 길수록 선이 좁다.직접 작도

이 계산이 인과율을 어떻게 담는지 한 번 보자. RC 필터의 전달함수를 물리 규약( $e^{-i\omega t}$ )으로 $H(\omega)=1/(1-i\omega\tau)$ 로 쓰면 극은 $\omega=-i/\tau$ , 아래쪽 반평면이다. 충격 응답 $h(t)=\frac{1}{2\pi}\int H(\omega)e^{-i\omega t}d\omega$ 를 계산하면 — $t>0$ 이면 $e^{-i\omega t}$ 가 아래쪽에서 감쇠하므로 아래로 닫아 극을 잡고 $h=e^{-t/\tau}/\tau$ ; $t<0$ 이면 위로 닫아야 하는데 위에는 극이 없어 $h=0$ . 응답이 원인보다 앞서지 않는다는 인과율이 “위쪽 반평면에 극이 없다”로 번역된다. 10절이 이 관찰을 정리로 만든다.

④ 실수축 위의 극 — 주값과 반 유수

극이 실수축 위에 있으면 적분은 그대로는 발산하고, 극의 양쪽을 대칭으로 잘라 낸 코시 주값

\operatorname{pr.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\lim_{\rho\to0}\Bigl[\int_{-\infty}^{a-\rho}+\int_{a+\rho}^{\infty}\Bigr]f(x)\,dx

만 뜻이 있다(Kreyszig의 pr.v., Boas의 PV, Arfken의 P — 셋 다 같은 것). 대칭이 핵심이다 — 양쪽을 다른 속도로 잘라 내면 극한이 달라진다(Arfken §11.7이 $\delta_2=2\delta_1$ 로 직접 보인다). 경로는 극을 반지름 $\rho$ 의 작은 반원으로 피해 간다. 단순극 $a$ 에 대해 그 반원의 기여는

\lim_{\rho\to0}\int_{C_2}f(z)\,dz=\pi i\operatorname*{Res}_{z=a}f(z) \qquad(\text{위쪽으로 도는 반원, 반시계})

이다(§16.4 정리 1) — $f=b_1/(z-a)+g$ 로 쓰면 $b_1$ 항이 $\int_0^{\pi}i\,d\theta=\pi i$ 를 주고 $g$ 항은 $M\pi\rho\to0$ . 한 바퀴 $2\pi i$ 의 정확히 절반이다. 그래서

\operatorname{pr.v.}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_j>0}\operatorname*{Res}_{z=z_j}f+\pi i\sum_{a_k\in\mathbb R}\operatorname*{Res}_{z=a_k}f

( $a_k$ 는 실수축 위의 단순극; §16.4 식 (14)). Boas의 문장이 기억하기 좋다 — “극이 경로 안에 있으면 $2\pi i\times$ 유수, 밖이면 0, 경로가 극을 곧게 지나가면 그 중간인 $\pi i\times$ 유수.” 단순극에서만 성립하고, 고차 극이 경로 위에 있으면 이 규칙은 깨진다(Boas §14.7).

가장 유명한 예가 $\int_0^\infty\sin x/x\,dx=\pi/2$ (Arfken 예 11.8.5, Boas §14.7 예 4)다. $e^{iz}/z$ 의 실수축 극 $0$ 에서 유수 $1$ 이고 위쪽 반평면에 극이 없으므로 $\operatorname{pr.v.}\int e^{ix}/x\,dx=\pi i$ , 허수부가 $\int\sin x/x\,dx=\pi$ 다. (실수부의 $\operatorname{pr.v.}\int\cos x/x\,dx=0$ 은 기함수라 당연하다.)

직관

수식적 직관 — $1/(x-a\mp i0)$ 의 분해. 극을 반원으로 피하는 대신 극을 실수축에서 살짝 띄워도 된다. $a\to a\pm i\varepsilon$ 으로 옮기고 $\varepsilon\to0^{+}$ 를 취하면, 실수축 위의 적분이 극의 위·아래를 지나는 것과 같아져

\frac{1}{x-a\mp i\varepsilon}\;\longrightarrow\;\operatorname{P}\frac{1}{x-a}\pm i\pi\,\delta(x-a)

이다(소호츠키–플레멜리 공식; Arfken은 이름 없이 §11.7과 §12.8에서 같은 내용을 쓴다). $\operatorname{P}$ 는 주값을 취하라는 기호, $\delta$ 는 1.8의 디랙 델타(1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념)다. 극을 어느 쪽으로 피하느냐(또는 어느 쪽으로 띄우느냐)가 허수부의 부호를 정한다. 1.8.6에서 헬름홀츠 그린 함수의 부호를 $k\to k+i0^{+}$ 로 골랐던 것이 정확히 이 선택이고, 아래에서 계산한다.

헬름홀츠 그린 함수의 부호 — 1.8.6의 약속. 1.8.6은 $G(R)=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}}{k^2-q^2}$ 가 $|\mathbf q|=k$ 의 극 때문에 그대로는 정의되지 않고, $k\to k+i0^{+}$ 가 나가는 파를 고른다고만 적어 두었다. 각도 적분을 먼저 하면( $\int d\Omega\,e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}=4\pi\sin qR/qR$ , 그리고 피적분함수가 $q$ 의 우함수이므로 $\sin$ 을 $e^{iqR}$ 로 바꿔 $-\infty$ 까지 펼친다)

G(R)=\frac{1}{(2\pi)^3}\cdot\frac{2\pi}{iR}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{q\,e^{iqR}}{k^2-q^2}\,dq =-\frac{1}{4\pi^2iR}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{q\,e^{iqR}}{(q-k)(q+k)}\,dq

이다. $R>0$ 이니 유형 ③이고 위로 닫는다. $k\to k+i\eta$ 이면 극 $q=k+i\eta$ 는 위쪽, $q=-k-i\eta$ 는 아래쪽이라 위쪽 극 하나만 잡힌다. 유수는 $[q e^{iqR}/(q+k)]_{q=k}=e^{ikR}/2$ 이므로

G_{+}(R)=-\frac{1}{4\pi^2iR}\cdot2\pi i\cdot\frac{e^{ikR}}{2}=-\frac{e^{ikR}}{4\pi R}

— 1.8.6의 $G_+$ 그대로다. $k\to k-i\eta$ 면 아래쪽 극이 위로 올라와 $e^{-ikR}$ 이 나온다. ” $k$ 에 어느 부호의 무한소 허수부를 붙이느냐”는 “실수축의 극을 어느 쪽으로 피하느냐”이고, 그것이 나가는 파와 들어오는 파를 가른다. 주값을 취하면 두 답의 평균 $-\cos kR/4\pi R$ 로, 1.8.6에서 정상파 그린 함수라 불렀던 것이다.

⑤ 분지 절단선 — 열쇠 구멍 경로

$x^{p-1}$ 같은 분수 거듭제곱이 있으면 피적분함수가 다가이고, 2절의 분지 절단선을 경로의 일부로 쓴다. Boas §14.7 예 5:

I=\int_0^{\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x}\,dx\qquad(0 < p < 1)

$z^{p-1}$ 의 절단선을 양의 실수축에 두고( $0\le\theta < 2\pi$ ), 절단선 위쪽을 따라 $0\to\infty$ , 큰 원, 절단선 아래쪽을 따라 $\infty\to0$ , 작은 원 — 열쇠 구멍 모양 경로로 닫는다. 위쪽에서는 $z^{p-1}=x^{p-1}$ , 아래쪽에서는 $\theta=2\pi$ 라 $z^{p-1}=x^{p-1}e^{2\pi i(p-1)}=x^{p-1}e^{2\pi ip}$ 다. 절단선 양쪽의 함수값이 다르므로 두 직선 부분이 지워지지 않는다 — 이것이 분지점 적분의 요체다. 큰 원은 $R^{p-2}\cdot2\pi R\to0$ ( $p < 1$ ), 작은 원은 $\rho^{p-1}\cdot2\pi\rho\to0$ ( $p>0$ )으로 사라진다. 경로 안의 극은 $z=-1=e^{i\pi}$ 하나, 유수 $(e^{i\pi})^{p-1}=-e^{i\pi p}$ 이니

(1-e^{2\pi ip})I=2\pi i\cdot(-e^{i\pi p}) \qquad\Longrightarrow\qquad I=\frac{-2\pi ie^{i\pi p}}{1-e^{2\pi ip}}=\frac{2\pi i}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}=\frac{\pi}{\sin\pi p}

이다. 한편 이 적분은 베타 함수의 적분 표현 중 하나라 $I=B(p,1-p)=\Gamma(p)\Gamma(1-p)/\Gamma(1)$ 이므로(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사), 이것이 감마 함수의 반사 공식

\Gamma(p)\,\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin\pi p}

의 증명이다 — 1.5.9에서 “증명은 1.9의 유수 정리가 가장 짧다”고 미뤄 둔 그 식이다. $p=\tfrac12$ 에서 $\Gamma(\tfrac12)=\sqrt\pi$ 가 나오고, 1.5.8의 브론스키안 $-2\sin\nu\pi/\pi x$ 의 $\sin\nu\pi$ 도 여기서 왔다.

그림 1.9-7. 실적분을 닫는 세 가지 경로. 왼쪽: 큰 반원으로 닫고 실수축 위의 단순극은 작은 반원으로 피한다(유형 ②·③·④) — 반원의 기여는 πi × 유수, 정확히 한 바퀴의 절반이다. 가운데: 열쇠 구멍 경로(유형 ⑤) — 절단선 위쪽과 아래쪽에서 z^{p−1}의 값이 e^{2πip}배 다르므로 두 직선 부분이 지워지지 않고 남는다. 오른쪽: 브롬위치 경로(유형 ⑥) — 모든 특이점의 오른쪽에 세로선을 긋고 왼쪽으로 닫는다. 분지점이 있으면 절단선을 감싸 돈다.직접 작도

⑥ 브롬위치 적분 — 역라플라스 변환

라플라스 변환 $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 의 역변환은 복소 $s$ 평면의 세로선 적분이다 (Boas §14.7 식 (7.15); 유도는 $s=c+i\omega$ 로 놓아 푸리에 역변환으로 바꾸는 것):

f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(s)\,e^{st}\,ds \qquad(t>0),

$c$ 는 $F$ 의 모든 특이점보다 오른쪽에 잡는다. $t>0$ 이면 $e^{st}$ 가 $\operatorname{Re}s\to-\infty$ 에서 감쇠하므로 왼쪽으로 큰 반원을 붙여 닫는다. $F$ 가 유리함수면 왼쪽에 있는 극 전부의 유수 합이다:

f(t)=\sum_{k}\operatorname*{Res}_{s=s_k}\bigl[F(s)e^{st}\bigr]

이것이 1.7.12·1.10.9의 부분분수 전개를 한 줄로 쓴 것이다 — 단순극 $s_k$ 의 유수가 $p(s_k)e^{s_kt}/q'(s_k)$ 이니 항마다 $e^{s_kt}$ 가 붙는다. Boas §14.7 예 7: $F=5/[(s+2)(s^2+1)]$ 의 극 $-2,\pm i$ 에서 $f(t)=e^{-2t}+2\sin t-\cos t$ .

분지점이 있으면 — 1.7.12의 약속. 1.7.12는 확산 문제의 변환 공간에 $\sqrt{s}$ 가 보이면 오차함수가 나온다고 했고, 그 이유를 “절단선을 감아 도는 브롬위치 적분”이라고 미뤄 두었다. $F(s)=e^{-a\sqrt{s}}/s$ (반무한 매질의 계단 응답, $a=x/\sqrt D$ )를 뒤집어 보자. $s=0$ 은 극이 아니라 분지점이고, 절단선을 음의 실수축에 둔다. 왼쪽으로 닫는 경로는 절단선을 감싸 돌아야 한다(위 그림 오른쪽). 큰 호는 사라지고( $t>0$ ), 경로 안에 특이점이 없으므로 전체는 0이다. 남는 것은 세 조각 — 절단선 위쪽( $s=re^{i\pi}$ , $\sqrt s=i\sqrt r$ ; 적분 $I_{\uparrow}$ ), 원점을 도는 작은 원( $I_{\circ}$ ), 절단선 아래쪽( $s=re^{-i\pi}$ , $\sqrt s=-i\sqrt r$ ; $I_{\downarrow}$ )이다.

\begin{aligned} I_{\uparrow}+I_{\downarrow} &=\int_0^\infty e^{-rt}\bigl(e^{ia\sqrt r}-e^{-ia\sqrt r}\bigr)\frac{dr}{r} =2i\int_0^\infty e^{-rt}\sin(a\sqrt r)\,\frac{dr}{r},\\ I_{\circ} &=\int_{\pi}^{-\pi}\frac{e^{-a\sqrt{\varepsilon}e^{i\theta/2}}}{\varepsilon e^{i\theta}}\,i\varepsilon e^{i\theta}d\theta \;\longrightarrow\;-2\pi i \end{aligned}

이므로 $\frac{1}{2\pi i}\bigl[\int_{\text{Br}}+2i\int(\cdots)-2\pi i\bigr]=0$ 에서

f(t)=1-\frac{1}{\pi}\int_0^\infty e^{-rt}\sin(a\sqrt r)\,\frac{dr}{r} =1-\frac{2}{\pi}\int_0^\infty e^{-u^2t}\,\frac{\sin au}{u}\,du =\operatorname{erfc}\frac{a}{2\sqrt t}

이다( $r=u^2$ 치환 뒤, 마지막 적분은 $a$ 로 미분하면 가우스 적분이 되어 $\tfrac{\pi}{2}\operatorname{erf}(a/2\sqrt t)$ ). 1.7.7의 오차함수 해(1.7.7반무한 매질의 오차함수 해)가 그대로 나왔다. 극이 아니라 분지점이라서 답이 지수함수의 합이 아니라 오차함수인 것이고, 절단선 양쪽 값의 차 $2i\sin(a\sqrt r)$ 가 그 정체다. 집중소자(극 → $e^{s_kt}$ )와 분포계(분지점 → 절단선 적분)의 차이가 여기서 갈린다.

⑦ 급수의 합 — 코탄젠트로 정수를 센다

$\pi\cot\pi z$ 는 모든 정수 $n$ 에서 유수 $1$ 인 단순극을 가진다( $p/q'$ 공식: $\pi\cos n\pi/\pi\cos n\pi=1$ ). 그러니 $f(z)\pi\cot\pi z$ 를 반지름 $N+\tfrac12$ 인 원에서 적분하면 정수에서의 유수가 $\sum f(n)$ 을 만들고, $f$ 가 $|z|\to\infty$ 에서 $1/z$ 보다 빨리 죽으면 원의 적분이 사라져(Arfken §11.9)

\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=-\sum_{j}\operatorname*{Res}_{z=z_j}\bigl[f(z)\,\pi\cot\pi z\bigr] \qquad(z_j:\ f\ \text{의 특이점})

이다. 교대급수는 $\pi\csc\pi z$ (정수에서 유수 $(-1)^n$ ), 반정수 합은 $\pi\tan\pi z$ , $\pi\sec\pi z$ 를 쓴다(Arfken 표 11.2). Arfken 예 11.9.1:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{\pi}{2a}\coth\pi a-\frac{1}{2a^2}

( $f=1/(z^2+a^2)$ 의 극 $\pm ia$ 에서 유수가 각각 $-\pi\coth\pi a/2a$ , 그리고 $n=0$ 항 $1/a^2$ 을 빼고 반으로 나눈다.) $a\to0$ 극한에서 $\coth\pi a\approx1/\pi a+\pi a/3$ 을 넣으면 $\sum1/n^2=\pi^2/6$ 이 떨어진다 — 1.10에서 파세발 정리로 다시 얻을 값이다. 이 급수는 1.7.8의 유한 매질 푸리에 급수 해에서 시간 상수의 합을 닫힌 꼴로 만들 때, 그리고 12부의 주기 구조에서 격자 합을 셀 때 다시 나온다.

의문

의문 — 왜 하필 $\cot$ 인가. 정수마다 유수가 1인 유리형 함수라면 무엇이든 된다. $\pi\cot\pi z$ 는 그중 “주기적이고 큰 원 위에서 유계”라는 조건을 만족하는 가장 간단한 것이다(Arfken §11.7의 미타그-레플러 전개 $\pi\cot\pi z=1/z+\sum_{n\ne0}[1/(z-n)+1/n]$ 이 “정수마다 $1/(z-n)$ 을 하나씩 가진 함수”라는 뜻을 직접 보여 준다). 같은 논리로 $1/(e^{2\pi iz}-1)$ 을 써도 되고, 이 선택이 1.10의 푸아송 합 공식과 통계역학의 마쓰바라 합(10부)으로 이어진다 — 페르미 분포 $1/(e^{\beta E}+1)$ 의 극이 허수축 위에 등간격으로 놓인 것을 ” $\tan$ 형 커널”로 읽으면 유한 온도 합이 유수 정리로 계산된다.

등각사상과 정전기 문제

해석함수는 각을 보존한다

2절에서 복소함수를 사상으로 보자고 했다. 3절의 야코비 행렬 계산 — 해석함수는 국소적으로 $|f'|$ 배 확대와 $\arg f'$ 만큼의 회전 — 이 곧 이 절의 정리다.

등각성. 해석함수 $w=f(z)$ 에 의한 사상은 $f'(z)\ne0$ 인 모든 점에서 등각(conformal)이다 — 두 곡선이 만나는 각의 크기와 방향이 보존된다. $f'(z_0)=0$ 인 임계점에서는 각이 $k$ 배가 된다( $k$ : 0이 아닌 첫 도함수의 차수). (Kreyszig §17.1 정리 1)

증명은 한 줄이다. 곡선 $z(t)$ 의 상 $w(t)=f(z(t))$ 의 접선 방향은 $\arg w'=\arg f'(z_0)+\arg z'$ — 모든 곡선이 같은 각 $\arg f'(z_0)$ 만큼 돌아가므로 두 곡선 사이의 각은 변하지 않는다. $f'(z_0)=0$ 이면 이 각이 정의되지 않고, $f\approx f(z_0)+c(z-z_0)^k$ 이므로 편각이 $k$ 배가 된다. $w=z^2$ 의 원점에서 각이 두 배가 되어 제1사분면이 위쪽 반평면으로 펼쳐진 것(2절)이 그 예다.

작은 도형은 모양을 유지한 채 $|f'(z_0)|$ 배로 커지거나 작아진다. 큰 도형은 $f'$ 이 점마다 다르므로 전체 모양이 바뀐다 — 등각성은 국소 성질이다. 면적 비율은 $|f'|^2$ (3절의 야코비안).

기본 사상들의 목록(Kreyszig §17.1 예 1–5, §17.4):

$w=f(z)$	무엇을 무엇으로	임계점
$z^n$	각 $\pi/n$ 의 부채꼴 → 위쪽 반평면 (각이 $n$ 배)	$z=0$
$e^{z}$	띠 $-\pi < y\le\pi$ → 원점을 뺀 평면; 세로선 → 원, 가로선 → 반직선	없음
$\operatorname{Ln}z$	$e^{z}$ 의 역: 절단된 평면 → 띠 $-\pi < v\le\pi$	—
$\sin z$	띠 $-\pi/2\le x\le\pi/2$ → 평면; 세로선 → 쌍곡선, 가로선 → 타원	$\pm\pi/2$
$z+1/z$ (주코프스키)	단위원 → 선분 $[-2,2]$ ; 동심원 → 타원	$\pm1$
$(az+b)/(cz+d)$	원·직선 → 원·직선	없음

마지막 줄이 일차분수변환(뫼비우스 변환, $ad-bc\ne0$ )이다. 평행이동·회전·확대·반전( $1/z$ )의 합성이고, 반전이 원과 직선의 족을 보존하므로(직선은 “무한대를 지나는 원”) 전체가 그렇다 (§17.2 정리 1). 세 점을 세 점으로 보내는 일차분수변환은 단 하나 있고(§17.3 정리 1),

\frac{w-w_1}{w-w_3}\cdot\frac{w_2-w_3}{w_2-w_1} =\frac{z-z_1}{z-z_3}\cdot\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1}

로 구한다(한 점이 $\infty$ 면 그 점이 든 분수를 1로 바꾼다). 위쪽 반평면을 단위원판으로 보내는 $w=(z-i)/(z+i)$ 꼴(케일리 변환), 단위원판을 오른쪽 반평면으로 보내는 $w=(1+z)/(1-z)$ , 단위원판을 자기 자신으로 보내며 $z_0$ 을 중심으로 옮기는 $w=(z-z_0)/(\bar z_0z-1)$ 이 표준 부품이다.

조화함수는 등각사상 아래 조화함수로 남는다

사상이 왜 라플라스 문제를 푸는 도구가 되는가.

$\Phi^{*}(u,v)$ 가 $w$ 평면의 영역 $D^{*}$ 에서 조화함수이고, $w=f(z)=u+iv$ 가 $D$ 를 $D^{*}$ 로 등각으로 보내는 해석함수이면, $\Phi(x,y)=\Phi^{*}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)$ 는 $D$ 에서 조화함수다. (Kreyszig §18.2 정리 1)

증명: $\Phi^{*}$ 의 켤레 조화함수 $\Psi^{*}$ 를 잡아 $F^{*}=\Phi^{*}+i\Psi^{*}$ 를 만들면 해석적이고, 해석함수의 합성 $F(z)=F^{*}(f(z))$ 도 해석적이며, 그 실수부가 $\Phi$ 다. 그러니 풀기 어려운 영역 $D$ 의 디리클레 문제를, 사상으로 풀기 쉬운 영역 $D^{*}$ (원판·반평면·띠)로 옮겨 풀고 다시 가져온다. 경계값도 함께 옮겨 가야 하므로, 경계의 어느 조각이 어디로 가는지를 먼저 추적하는 것이 실무의 절반이다.

Kreyszig §18.2 예 1이 전형이다. 접지된 단위원 $C_1:|z|=1$ 안에 편심 원통 $C_2:|z-\tfrac25|=\tfrac25$ 가 $110\,\mathrm V$ 로 있다. 일차분수변환 $w=(2z-1)/(z-2)$ 는 단위원판을 단위원판으로 보내면서 $C_2$ 를 동심원 $|w|=\tfrac12$ 로 만든다. 동심 원통은 3절에서 풀었다 — $\Phi^{*}=a\ln|w|+k$ , $|w|=1$ 에서 0이니 $k=0$ , $|w|=\tfrac12$ 에서 110이니 $a=110/\ln\tfrac12\approx-158.7$ . 되돌리면

\Phi(x,y)=a\ln\Bigl|\frac{2z-1}{z-2}\Bigr|,\qquad a\approx-158.7

이고, 등전위선은 $|w|=$ 상수인 원의 원상 — 역시 원 — 이며 전기력선은 $\arg w=$ 상수의 원상인 원호다. Boas §14.10 연습 16의 두 평행 원통 커패시터(반지름 $r$ , 중심 거리 $d$ )가 같은 사상의 결과이고, 단위 길이당 커패시턴스가 $\pi\varepsilon/\cosh^{-1}(d/2r)$ 이다 — 동축선·평행 전송선의 커패시턴스 공식이 전부 이 한 줄에서 나온다.

직관

공간적 직관 — 사상은 좌표계를 바꾸는 일이다. $w=f(z)$ 를 $u=$ 상수, $v=$ 상수인 곡선족으로 보면, 그것은 $z$ 평면 위의 직교 곡선좌표계(1.1.8곡선좌표계)다. 해석함수라서 두 족이 직교하고(3절), 축척 인자가 두 방향에서 같아( $h_u=h_v=1/|f'|$ ) 라플라시안이 $\nabla^2=|f'|^2(\partial_u^2+\partial_v^2)$ 로 상수 배만 바뀐다. 그래서 라플라스 방정식 $\nabla^2\Phi=0$ 은 어느 좌표계에서 써도 같은 꼴이고, 경계가 좌표선과 일치하는 좌표계를 고르면 변수분리가 한 방향으로 끝난다. 1.7.11에서 원통·구 좌표계를 도입한 이유와 같은 이유인데, 2차원에서는 해석함수 하나마다 좌표계 하나가 생기므로 선택지가 무한하다.

모서리의 전기장 — 각을 펴는 사상

반도체 소자에서 가장 값진 결과는 모서리다. 두 도체 면이 각 $\alpha$ 로 만나는 쐐기 영역 (경계 전위 0)을 보자. $w=z^{\pi/\alpha}$ 가 각 $\alpha$ 를 각 $\pi$ 로 펼쳐 쐐기를 위쪽 반평면으로 보내고, 반평면에서 전위 0인 경계 위의 해는 $\Phi^{*}=\operatorname{Im}w=v$ (경계 $v=0$ 에서 0)다. 되돌리면

\Phi=\operatorname{Im}z^{\pi/\alpha}=r^{\pi/\alpha}\sin\frac{\pi\theta}{\alpha}, \qquad |\mathbf E|=|F'(z)|=\frac{\pi}{\alpha}\,r^{\pi/\alpha-1}

이다. 지수 $\pi/\alpha-1$ 의 부호가 전부를 말한다.

$\alpha < \pi$ (도체가 파인 안쪽 구석 — 도체면이 오목, 예: 직각 홈 안 $\alpha=\pi/2$ ): 지수 $+1$ , 모서리에서 전기장이 0으로 간다. 안쪽 구석은 전기적으로 조용하다.
$\alpha=\pi$ (평면): 지수 0, 균일장.
$\alpha>\pi$ (도체가 튀어나온 모서리 — 도체면이 볼록, 예: $\alpha=3\pi/2$ 인 직각 돌출): 지수 $-1/3$ , 전기장이 $r^{-1/3}$ 으로 발산한다. 날카로운 끝( $\alpha\to2\pi$ )이면 $r^{-1/2}$ .

그림 1.9-8. 도체 모서리 근처의 등전위선(실선)과 전기력선(점선). 왼쪽은 도체가 오목하게 파인 직각 안쪽(α = π/2) — 등전위선이 구석에서 멀어지며 전기장이 r¹로 0에 간다. 오른쪽은 도체가 튀어나온 직각 모서리(α = 3π/2) — 등전위선이 모서리로 몰리고 전기장이 r^{−1/3}으로 발산한다. 둘 다 같은 사상 w = z^{π/α}의 결과다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 게이트 모서리와 트렌치 모서리. MOS 게이트의 가장자리, STI 트렌치의 윗모서리, 금속 배선의 모퉁이, 접합의 곡률이 큰 곳 — 전부 $\alpha>\pi$ 인 튀어나온 모서리이고, 위 식은 거기서 전기장이 기하학적으로 집중된다고 말한다. 재료 상수가 아니라 각도만의 함수라서, 산화막을 두껍게 해도 지수는 변하지 않는다. 그래서 게이트 산화막의 항복은 평면부가 아니라 모서리에서 먼저 일어나고(STI 모서리의 험프 효과, 14부), 트렌치 커패시터와 3D NAND의 원통형 구조가 곡률 반지름을 다투며, 접합 종단 구조(field plate, guard ring — 16부)의 목적이 이 지수를 줄이는 것이다. 완벽한 모서리는 전기장이 무한대이고, 실제 모서리의 전기장은 곡률 반지름이 정한다 — $r^{\pi/\alpha-1}$ 에서 $r$ 을 곡률 반지름으로 자르면 크기가 나온다.

같은 식이 열과 응력에도 그대로 간다 — 정상 열전도는 같은 라플라스 방정식이고(Kreyszig §18.3), 탄성 응력의 모서리 집중도 같은 지수 구조를 가진다. 반도체 패키지의 모서리 균열이 왜 모서리에서 시작하는지, 웨이퍼 다이싱 모서리가 왜 응력 집중점인지가 같은 수학이다.

가장자리 효과 — 평행판의 끝

평행판 커패시터의 끝에서 전기장이 바깥으로 부푸는 가장자리 효과(fringing)는 Boas §14.10 예 5의 사상

z=w+e^{w} \qquad(x=u+e^{u}\cos v,\ y=v+e^{u}\sin v)

이 준다. $w$ 평면의 띠 $-\pi < v < \pi$ (균일장 $\Phi^{*}=v$ )가 $z$ 평면에서 ” $x=-1$ 에서 꺾여 되접힌” 반무한 평행판 두 장으로 간다. 판 깊숙한 곳( $u\to-\infty$ )에서는 $z\approx w$ 라 균일장이고, 판 끝( $u\approx0$ )에서 등전위선이 바깥으로 벌어져 판의 바깥면까지 감싼다. 이것이 슈바르츠– 크리스토펠 변환의 한 예이고, 게이트 가장자리의 프린징 커패시턴스가 왜 판 면적에 비례하지 않는 상수항으로 붙는지를 설명한다(21부의 기생 커패시턴스 모델). 판 간격 $d$ 가 얼마든, 가장자리 하나가 더하는 커패시턴스는 $\varepsilon$ 에 가장자리 길이를 곱한 정도의 크기로 $d$ 에 거의 무관하다 — 판 폭이 $d$ 의 몇 배에 불과한 나노 소자에서 이 항이 주항 $\varepsilon\cdot$ (면적) $/d$ 와 맞먹는 이유다.

원판의 디리클레 문제 — 푸아송 적분 공식

사상으로 원판까지 왔으면 원판은 공식 하나로 푼다. 코시 적분 공식을 원 $|z^{*}|=R$ 에 쓰고, $z$ 의 거울상 $Z=R^2/\bar z$ (원 밖에 있으므로 적분이 0)에 대한 같은 식을 빼면 커널이 실수가 되어(Kreyszig §18.5)

\Phi(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\Phi(R,\alpha)\, \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\alpha)+r^2}\,d\alpha

가 푸아송 적분 공식이다 — 원판 안의 조화함수를 경계값만으로 적는다. 커널을 기하급수로 펼치면

\Phi(r,\theta)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac rR\Bigr)^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)

이고, $a_n,b_n$ 은 경계값 $\Phi(R,\alpha)$ 의 푸리에 계수다. 1.7.10에서 변수분리로 얻었던 원판 해(1.7.10라플라스·푸아송 방정식)와 같은 식이고, $r=R$ 에서 경계값의 푸리에 급수로 돌아간다. $r=0$ 을 넣으면 $\Phi(0)=a_0=$ 경계값의 평균 — 5절의 평균값 성질이다. 경계값이 조각마다 불연속이어도(반원씩 다른 전위) 공식은 그대로 성립하고 불연속점만 빼고 경계값에 붙는다.

주의

등각사상은 2차원·라플라스·선형에만 쓴다. 세 조건이 다 걸린다. ① 3차원 문제에는 켤레 조화함수가 없다. ② 푸아송 방정식 $\nabla^2\Phi=-\rho/\varepsilon$ 은 사상 아래 $\nabla^2=|f'|^2\nabla_w^2$ 때문에 우변이 $|f'|^{-2}$ 배로 일그러진다 — 공핍 영역처럼 전하가 있는 곳은 사상만으로 풀리지 않는다. ③ 유전율이 영역마다 다르면 경계에서 법선 성분 조건 $\varepsilon_1E_{1n}=\varepsilon_2E_{2n}$ 을 따로 맞춰야 하고, 이것은 사상이 자동으로 옮겨 주지 않는다. 그래서 실무는 TCAD가 하고(20부), 등각사상은 경향과 지수를 주는 도구다 — 모서리의 $r^{\pi/\alpha-1}$ 처럼 수치 해석이 격자를 아무리 조밀하게 해도 잡기 어려운 특이 거동을 정확히 알려 준다는 점에서 대체되지 않는다.

분산 관계(크라머스-크로니히)

인과율이 해석성이 된다

선형 응답 함수를 생각한다. 원인 $E(t)$ (전기장)에 대한 결과 $P(t)$ (분극)가

P(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau)\,E(t-\tau)\,d\tau, \qquad \chi(\tau)=0\quad(\tau < 0)

로 주어진다고 하자. 둘째 조건이 인과율이다 — 아직 오지 않은 원인에 반응할 수 없다. 이 관계를 푸리에 변환하면 합성곱이 곱이 되어(1.10) $\tilde P(\omega)=\tilde\chi(\omega)\tilde E(\omega)$ 이고, 여기서

\tilde\chi(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\chi(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau =\int_{0}^{\infty}\chi(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau

이다(물리 규약 $e^{-i\omega t}$ ; 적분 하한이 0이 된 것이 인과율). 이제 $\omega$ 를 복소수로 확장한다. $\omega=\omega_1+i\omega_2$ 를 넣으면 $e^{i\omega\tau}=e^{i\omega_1\tau}e^{-\omega_2\tau}$ 이고, $\tau>0$ 뿐이므로 $\omega_2>0$ 이면 적분이 더 잘 수렴한다. 즉 $\tilde\chi(\omega)$ 는 위쪽 반평면 전체에서 해석적이다. 6절의 “로랑 급수는 푸리에 급수”의 문장으로 말하면 — 시간의 한쪽에서만 0이 아닌 함수는 한쪽 반평면에서 해석적이다. 8절 RC 필터의 극이 아래쪽 반평면에 있었던 것이 이 일반 명제의 예다.

코시 적분 공식을 실수축에 걸치면

$f(\omega)$ 가 위쪽 반평면에서 해석적이고 $|\omega|\to\infty$ 에서 충분히 빨리 0으로 간다고 하자. 위쪽 반평면의 점 $\omega_0$ 에 코시 적분 공식을 쓰고 큰 반원을 버리면

f(\omega_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\omega)}{\omega-\omega_0}\,d\omega

이다. 이제 $\omega_0$ 을 실수축으로 내린다. 극이 경로 위에 오므로 8절 유형 ④의 작은 반원으로 피하고, 그 반원의 기여 $\pi i f(\omega_0)$ (한 바퀴의 절반)을 챙기면

f(\omega_0)=\frac{1}{\pi i}\operatorname{P}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(\omega)}{\omega-\omega_0}\,d\omega

가 된다(Arfken 식 (12.117), Boas §14.7 식 (7.17)). $f=u+iv$ 로 실수부·허수부를 나누면 — $1/i$ 가 실수부와 허수부를 맞바꾸므로 —

u(\omega_0)=\frac{1}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{v(\omega)}{\omega-\omega_0}\,d\omega, \qquad v(\omega_0)=-\frac{1}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{u(\omega)}{\omega-\omega_0}\,d\omega

이것이 분산 관계다(Arfken 식 (12.118)). 실수부는 허수부 전체를 알면 정해지고, 허수부는 실수부 전체를 알면 정해진다. 두 적분 변환을 힐베르트 변환이라 하고, 부호를 빼면 서로의 역변환이다. Arfken의 표현이 정확하다 — 이것은 “코시–리만 방정식의 적분판”이다. 미분 관계 $u_x=v_y$ 가 국소적으로 $u$ 와 $v$ 를 묶었다면, 이 적분 관계는 실수축 위에서 둘을 전역적으로 묶는다.

대칭성 — 실수 응답이면 양의 주파수만으로 충분하다

$\chi(\tau)$ 가 실수(실제 장에 실제 분극이 응답)이면 $\tilde\chi(-\omega)=\overline{\tilde\chi(\omega)}$ 이다 — 실수 함수의 푸리에 변환이 가지는 대칭(1.10.4푸리에 변환의 성질; Arfken은 산란 이론의 말로 교차 조건이라 부른다). 그러면 $u$ 는 우함수, $v$ 는 기함수이고, 적분을 $(-\infty,0)$ 과 $(0,\infty)$ 로 갈라 앞쪽에서 $\omega\to-\omega$ 로 바꾸면

u(\omega_0)=\frac{2}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{\omega\,v(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\,d\omega, \qquad v(\omega_0)=-\frac{2}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{\omega_0\,u(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\,d\omega

가 된다(Arfken 식 (12.122)–(12.123)). 측정할 수 있는 양의 주파수만으로 적힌 이 꼴이 크라머스와 크로니히가 1926–27년에 굴절률에 대해 적은 원래 형태다.

유전함수와 굴절률 — 흡수가 굴절을 정한다

유전함수 $\varepsilon(\omega)=1+\tilde\chi(\omega)$ 는 $\omega\to\infty$ 에서 0이 아니라 1로 가므로 (전자가 무한히 빠른 장을 못 따라간다), 분산 관계는 $\varepsilon-1$ 에 쓴다(Arfken이 $n^2-1$ 에 쓰는 이유가 같다). $\varepsilon=\varepsilon_1+i\varepsilon_2$ 로 놓으면

\varepsilon_1(\omega_0)-1=\frac{2}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{\omega\,\varepsilon_2(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\,d\omega, \qquad \varepsilon_2(\omega_0)=-\frac{2\omega_0}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon_1(\omega)-1}{\omega^2-\omega_0^2}\,d\omega

가 크라머스–크로니히 관계다. $\varepsilon_2$ 가 흡수(손실), $\varepsilon_1$ 이 분산(굴절)이므로 — 흡수 스펙트럼을 모든 주파수에서 알면 굴절률 스펙트럼이 정해진다. 복소 굴절률 $\tilde n=n+i\kappa=\sqrt{\varepsilon}$ 에 대해서도 같은 꼴이 성립하고( $\tilde n-1$ 이 위쪽 반평면에서 해석적), 흡수 계수 $a(\omega)=2\omega\kappa/c$ 로 쓰면

n(\omega_0)-1=\frac{c}{\pi}\operatorname{P}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{a(\omega)}{\omega^2-\omega_0^2}\,d\omega

이다. 분광 광도계로 잰 흡수 곡선 하나에서 굴절률 곡선이 나온다 — 타원 편광 분석(ellipsometry)의 데이터 처리, 반도체 광학 상수표의 상당수가 이 적분으로 만들어졌다(13부).

그림 1.9-9. 단일 로렌츠 진동자 ε(ω) = 1 + ω_p²/(ω₀² − ω² − iγω)의 실수부 ε₁(실선)과 허수부 ε₂(점선). ε₂는 ω₀에서 폭 γ인 봉우리이고, ε₁은 그 아래에서 오르다가 봉우리를 지나며 급히 내려와 음수까지 갔다가 1로 돌아온다 — 봉우리의 양쪽에서 기울기가 반대인 이 모양이 크라머스–크로니히 관계가 강제하는 짝이다. 봉우리 아래(ω < ω₀)에서 ε₁ > 1이고 ω₀에 다가갈수록 커지는 것이 '흡수 가장자리 아래에서 굴절률이 파장이 짧을수록 커지는' 정상 분산이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 봉우리 하나가 만드는 S자. 흡수 봉우리( $\varepsilon_2$ )가 $\omega_0$ 에 있으면 분산 관계의 커널 $\omega/(\omega^2-\omega_0^2)$ 는 $\omega_0$ 아래에서 양, 위에서 음이다. 그래서 $\varepsilon_1-1$ 은 봉우리 아래에서 양(굴절률이 1보다 크고 봉우리에 다가갈수록 커진다 — 정상 분산), 봉우리를 지나면서 부호를 바꾸며 급히 내려가고(이상 분산), 멀리서 0으로 돌아온다. 투명한 반도체의 굴절률이 밴드갭 쪽으로 갈수록 커지는 것(Si의 $n\approx3.4$ 가 가시광에서 $4$ 이상으로 오르는 것)은 밴드갭 위쪽의 강한 흡수가 아래로 드리운 꼬리다. 투명 영역의 굴절률은 그 영역에서 결정되지 않는다 — 다른 곳의 흡수가 정한다.

파라미터 연계. 봉우리의 세기(진동자 세기 $\omega_p^2$ )를 키우면 $\varepsilon_1$ 의 진폭이 그만큼 커지고, 폭 $\gamma$ 를 줄이면 S자가 가팔라진다. 봉우리를 높은 주파수로 옮기면 낮은 주파수 쪽 $\varepsilon_1$ 의 상승이 $\omega_p^2/\omega_0^2$ 로 줄어든다 — 밴드갭이 넓은 재료일수록 굴절률이 낮은 경향(모스 규칙)의 정체다.

합 규칙 — 적분 하나가 전자 수를 센다

$\omega_0\to\infty$ 극한을 취하면 분산 관계는 합 규칙이 된다(Arfken 연습 12.8.4). 아주 높은 주파수에서는 모든 전자가 자유전자처럼 응답하므로 $\varepsilon_1\to1-\omega_p^2/\omega^2$ ( $\omega_p^2=Ne^2/\varepsilon_0m$ : 플라즈마 진동수)이어야 하는데, 위 식의 $\omega_0\to\infty$ 극한은 $\varepsilon_1-1\to-\frac{2}{\pi\omega_0^2}\int_0^\infty\omega\varepsilon_2\,d\omega$ 이므로

\int_0^{\infty}\omega\,\varepsilon_2(\omega)\,d\omega=\frac{\pi}{2}\omega_p^2=\frac{\pi}{2}\frac{Ne^2}{\varepsilon_0m}

이다. 흡수 스펙트럼 전체의 (주파수를 곱한) 넓이가 전자 밀도에 비례한다 — 어느 재료든, 밴드 구조가 어떻든. 이 $f$ -합 규칙은 흡수 데이터가 완전한지(모든 전이를 다 봤는지) 검사하는 잣대이고, 반대로 유효 전자 수 $N_{\text{eff}}(\omega)$ 를 흡수의 누적 적분으로 정의해 어느 전이가 몇 개의 전자를 쓰는지 세는 데 쓴다.

주의

적분은 모든 주파수에 걸친다. 크라머스–크로니히 변환은 $0$ 에서 $\infty$ 까지의 흡수를 요구하는데 측정은 유한한 창에서만 된다. 창 밖의 흡수를 모형(로렌츠·드루드·타우크–로렌츠)으로 채우거나, 한 점의 $\varepsilon_1$ 을 따로 재서 미지의 상수를 지우는 뺄셈 분산 관계를 쓴다. 그리고 정의역이 위쪽 반평면 전체라는 조건 — 이득 매질(레이저, 13부)처럼 $\varepsilon_2 < 0$ 인 영역이 있어도 인과율만 지키면 관계는 성립하지만, 비선형 응답이나 시간 가변 매질에는 그대로 쓸 수 없다. 1절의 경고를 다시 — $e^{j\omega t}$ 규약의 데이터를 받았으면 $\varepsilon_2$ 의 부호부터 확인할 것.

같은 수학이 회로에서는 힐베르트 변환 쌍으로 나타난다. 임피던스 $Z(\omega)=R(\omega)+iX(\omega)$ 가 인과적이면 저항 $R(\omega)$ 와 리액턴스 $X(\omega)$ 가 서로를 정하고, 임피던스 분광 데이터의 일관성 검사(크라머스–크로니히 검정)가 배터리·연료전지·태양전지 계측의 표준 절차다(19부). 디지털 신호 처리의 해석 신호(1.10.10)와 최소 위상 필터의 크기–위상 관계(22부)도 같은 관계다 — 크기 응답 $\ln|H(\omega)|$ 와 위상 $\arg H(\omega)$ 가 힐베르트 변환 쌍이다( $\ln H$ 가 위쪽 반평면에서 해석적이려면 $H$ 의 영점도 그쪽에 없어야 하고, 그것이 “최소 위상”의 뜻이다).

점근 전개와 최급강하법

발산하는데 쓸모 있는 급수

1.5.10에서 오차함수의 보함수를 큰 $x$ 에서 근사하며

\operatorname{erfc}x\sim\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt\pi}\Bigl[1-\frac{1}{2x^2}+\frac{1\cdot3}{(2x^2)^2}-\frac{1\cdot3\cdot5}{(2x^2)^3}+\cdots\Bigr]

를 썼고, 이 급수가 어느 $x$ 에서도 수렴하지 않는데 처음 몇 항은 훌륭한 근사라는 것을 보았다(1.5.10오차함수와 불완전 감마함수; 그림 sf-asymptotic-terms). Arfken §12.6은 지수 적분 $E_1(x)=\int_x^\infty e^{-u}u^{-1}du$ 를 부분적분으로 반복해

e^{x}E_1(x)\sim\frac1x-\frac{1!}{x^2}+\frac{2!}{x^3}-\frac{3!}{x^4}+\cdots

를 얻고, 비율 판정 $|u_{n+1}/u_n|=(n+1)/x\to\infty$ 로 모든 $x$ 에서 발산함을 보인 뒤, 그래도 $x=5$ 에서 $s_5=0.1741$ 과 $s_6=0.1664$ 가 참값 $0.1704$ 를 위아래로 죈다는 것을 숫자로 보인다. 나머지항이 마지막으로 더한 항의 크기 이하이고, 항의 크기는 $n\approx x$ 까지 줄다가 다시 커진다. 그러니 가장 작은 항에서 끊는 것이 최선이고, 그 뒤로 더하면 나빠진다. 급수를 더 더해 정확도를 높이는 것이 아니라 $x$ 를 키워 정확도를 높이는 급수 — 이것이 점근 급수다.

푸앵카레의 정의(Arfken §12.6)로 못 박으면: $f(x)\sim\sum a_nx^{-n}$ 이란 부분합 $s_n$ 에 대해

\lim_{x\to\infty}x^n\bigl[f(x)-s_n(x)\bigr]=0\ \ (n\ \text{고정}), \qquad \lim_{n\to\infty}x^n\bigl[f(x)-s_n(x)\bigr]=\infty\ \ (x\ \text{고정})

이다. 첫 조건이 “쓸모 있다”, 둘째가 “수렴하지 않는다”다. $\sim$ 기호는 $=$ 가 아니다. 함수가 주어지면 점근 급수는 하나뿐이지만, 같은 점근 급수를 가지는 함수는 여럿이다 — $f$ 와 $f+e^{-x}$ 는 모든 $x^{-n}$ 에서 같다. 점근 급수는 지수적으로 작은 항을 보지 못한다. $e^{x}$ 처럼 점근 급수가 아예 없는 함수도 있다.

주의

항별 미분은 함부로 하지 못한다. 점근 급수는 곱해도 되고 항별로 적분해도 되지만(Arfken §12.6), 항별 미분은 “아주 특별한 조건”에서만 된다 — $e^{-x}\sin(e^{x})\sim0$ 인데 그 도함수 $\cos(e^{x})-e^{-x}\sin(e^{x})$ 는 $x\to\infty$ 에서 극한이 없어 점근 전개 $\sim0$ 을 갖지 않는다. 그리고 점근 급수의 오차 한계는 실수 $x$ 에서 증명된 것이다. 복소 인수로 가면 오차 한계가 부채꼴마다 다르고, 부채꼴의 경계를 넘을 때 급수가 통째로 바뀐다(스토크스 현상). 아래 안장점법의 결과도 언제나 “어느 방향으로 $|s|\to\infty$ 인가”를 붙여 읽어야 한다.

라플라스의 방법 — 봉우리만 남긴다

1.5.9의 스털링 공식 유도(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)는 이렇게 갔다: $\int_0^\infty e^{s\phi(t)}dt$ 꼴의 적분에서 $s$ 가 크면 $\phi$ 의 최댓점 $t_0$ 근처만 기여하고, 거기서 $\phi\approx\phi(t_0)+\tfrac12\phi''(t_0)(t-t_0)^2$ 로 근사하면 가우스 적분이 되어

\int e^{s\phi(t)}dt\;\approx\;e^{s\phi(t_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{s\,|\phi''(t_0)|}}

이다. $\phi=\ln t-t$ 로 $t_0=1$ , $\phi''=-1$ 을 넣으면 $\Gamma(s+1)=s^{s+1}\int_0^\infty e^{s(\ln t-t)}dt\approx\sqrt{2\pi s}\,s^se^{-s}$ — 스털링이다(Arfken 예 12.7.1). 지수가 크면 봉우리는 폭 $1/\sqrt{s|\phi''|}$ 로 좁아져 나머지는 지수적으로 무시된다. 이것이 라플라스의 방법이다. 그런데 $\phi$ 가 복소수이거나 적분 경로가 복소평면에 있으면 “최댓점”이 없다 — 5절의 최대 절댓값 원리가 말하듯 해석함수의 절댓값은 내부에 봉우리를 가질 수 없다. 봉우리 대신 안장이 있다.

최급강하법 — 안장을 가장 가파른 길로 넘는다

I(s)=\int_C g(z)\,e^{s\,w(z)}\,dz, \qquad s\to\infty

를 생각한다( $w$ 해석적, $g$ 는 천천히 변하는 인자). $|e^{sw}|=e^{s\operatorname{Re}w}$ 이므로 $\operatorname{Re}w$ 의 지형이 문제인데, $\operatorname{Re}w$ 는 조화함수라 봉우리도 웅덩이도 없고(5절) 정류점 $w'(z_0)=0$ 은 전부 안장점이다. 안장점 근처에서 $w''(z_0)=|w''|e^{i\gamma}$ , $z-z_0=re^{i\theta}$ 로 놓으면

w(z)\approx w(z_0)+\tfrac12|w''(z_0)|\,r^2\,e^{i(\gamma+2\theta)}

이다(Arfken §12.7 식 (12.101)–(12.103)). $\operatorname{Re}w$ 는 $\gamma+2\theta=0$ 인 두 방향으로 가장 빨리 오르고, $\gamma+2\theta=\pi$ 인 두 방향으로 가장 빨리 내려간다 — 서로 수직인 두 축이 안장의 능선과 골이다. 그리고 결정적으로, 가장 빨리 내려가는 방향에서는 $\operatorname{Im}w$ 가 (2차까지) 일정하다 — $\operatorname{Im}w$ 의 등고선이 $\operatorname{Re}w$ 의 최급 방향과 일치하기 때문이다(코시–리만). 그래서 적분 경로를 안장점을 지나 최급강하 방향으로 옮기면 두 가지가 동시에 된다: 피적분함수의 절댓값이 안장점에서 최대이고 그 양쪽으로 가장 빨리 줄며, 위상 $e^{is\operatorname{Im}w}$ 가 변하지 않아 진동으로 상쇄되는 일이 없다. 그 경로에서는 라플라스의 방법이 그대로 먹는다.

그림 1.9-10. 안장점 z₀ 근처의 Re w 지형(등고선)과 최급강하 경로. 능선(점선)을 따라가면 |e^{sw}|가 가장 빨리 커지고, 골(굵은 선)을 따라가면 가장 빨리 작아진다. 두 축은 서로 수직이고, 골을 따라서는 Im w가 일정해 피적분함수의 위상이 변하지 않는다. 원래 경로 C(가는 선)를 안장을 골 방향으로 넘도록 변형하면, 피적분함수는 z₀에서 최대이고 양쪽으로 가우스처럼 줄어 z₀ 근방만 남는다.직접 작도

결과는 (Arfken 식 (12.108))

I(s)\;\approx\;g(z_0)\,e^{s\,w(z_0)}\,e^{i\theta}\sqrt{\frac{2\pi}{s\,|w''(z_0)|}}, \qquad \theta=-\frac{\gamma}{2}+\Bigl(\frac{\pi}{2}\ \text{또는}\ \frac{3\pi}{2}\Bigr)

이다. $\theta$ 는 경로가 안장을 넘는 방향이고 두 후보 중 어느 것이냐는 원래 경로의 방향이 정한다 — 부호만 바꾼다. 스털링에서는 $w=\ln z-z$ , $w''(1)=-1$ , $\gamma=\pi$ 라 $\theta=0$ (실수축 자체가 최급강하 경로)이고, 그래서 라플라스의 방법과 같은 답이 나왔다. Arfken 예 12.7.2의 $H(s)=\int e^{-s(z^2-1/4)}\cos sz/(1+z^2)\,dz$ 는 안장점이 $z_0=i/2$ 로 실수축 밖에 있어 경로를 평면으로 들어 올려야 하고, 결과 $\tfrac43\sqrt{\pi/s}$ 는 $s=100$ 에서 수치 적분 $0.23284$ 대 $0.23633$ 으로 맞는다.

직관

공간적 직관 — 왜 실수축에서는 안 되는가. $\int e^{is\phi(x)}dx$ 같은 진동 적분을 실수축에서 그대로 하면 피적분함수의 절댓값이 1로 일정하고 위상만 미친 듯이 돈다 — 거의 다 상쇄되고 남는 것이 $\phi'(x_0)=0$ 인 정상 위상점 근처다(정상 위상법). 최급강하법은 같은 적분을 복소평면으로 들어 올려 “절댓값이 가장 빨리 줄고 위상은 멈춘” 경로로 바꾼 것이다. 두 방법은 같은 답을 주지만, 복소 경로에서는 상쇄 대신 감쇠가 계산을 떠받치므로 오차 한계를 말할 수 있다. 양자역학의 파동 묶음이 군속도로 움직이는 이유(정상 위상 — 20부), WKB 근사의 지수(터널링 — 20부)가 이 논리다. Arfken이 §12.6을 “WKB 전개는 점근 급수다”라는 문장으로 여는 이유다.

한켈 함수의 점근형 — 1.5.8의 약속

1.5.8은 한켈 함수 $H_\nu^{(1,2)}(x)\sim\sqrt{2/\pi x}\,e^{\pm i(x-\nu\pi/2-\pi/4)}$ 를 “안장점법으로 유도 — 1.9.11”이라 미뤄 두었다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 베셀 함수의 적분 표현(좀머펠트 표현)

H_\nu^{(1)}(x)=\frac{1}{\pi i}\int_{-\infty}^{\infty+i\pi}e^{x\sinh t-\nu t}\,dt

에서 $w(t)=\sinh t$ , $g=e^{-\nu t}$ 이다. 안장점은 $\cosh t_0=0$ , 즉 $t_0=i\pi/2$ 이고 거기서 $\sinh t_0=i$ , $w''(t_0)=\sinh t_0=i$ 라 $\gamma=\pi/2$ , $\theta=-\pi/4+\pi/2=\pi/4$ . 공식에 넣으면

H_\nu^{(1)}(x)\approx\frac{1}{\pi i}\,e^{-i\nu\pi/2}\,e^{ix}\,e^{i\pi/4}\sqrt{\frac{2\pi}{x}} =\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{\,i(x-\nu\pi/2-\pi/4)}

— $1/i=e^{-i\pi/2}$ 가 $e^{i\pi/4}$ 와 합쳐져 $-\pi/4$ 를 만든다. $H^{(2)}$ 는 켤레 경로에서 켤레 답이 나오고, $J_\nu=\operatorname{Re}H^{(1)}_\nu$ 로 $\sqrt{2/\pi x}\cos(x-\nu\pi/2-\pi/4)$ 가 따라온다. 위상 $-\pi/4$ 는 안장을 $45^\circ$ 로 넘은 흔적이고, 진폭 $x^{-1/2}$ 는 안장의 폭 $1/\sqrt{x|w''|}$ 이다. 다음 항까지 필요하면 $w$ 를 4차까지 펼치면 되고, 그것이 1.5.8의 $P_\nu,Q_\nu$ 점근 급수다 — 물론 발산한다.

직관

파라미터 연계 — 어디에 안장점법이 숨어 있는가.

스털링과 조합의 엔트로피. $\ln N!\approx N\ln N-N$ 이 도판트 배치의 수, 결함의 형성 엔트로피, 페르미 통계의 유도(10부)에 들어간다. 다음 항 $\tfrac12\ln2\pi N$ 이 필요한지는 $N$ 이 얼마나 큰가로 정한다.
페르미–디랙 적분. $F_j(\eta)=\int_0^\infty\epsilon^j/(1+e^{\epsilon-\eta})\,d\epsilon$ 의 큰 $\eta$ 점근형(좀머펠트 전개 — 11부)은 라플라스의 방법의 친척이다. 축퇴 반도체의 캐리어 농도가 $\eta^{3/2}$ 로 가는 이유가 그 첫 항이다.
터널링. 투과 확률 $\exp[-2\int\kappa\,dx]$ 의 지수는 WKB 점근 급수의 첫 항이고, 2절의 “허수 파수”가 여기서 값을 낸다(20부).
상태밀도와 산란율. 급격히 변하는 피적분함수를 가진 적분(황금률의 에너지 합, 포논 산란율)은 거의 언제나 안장점 근사로 닫힌 꼴을 얻는다(11부).
대신호 회로. 발진기의 진폭 조건, 믹서의 변환 이득 계산에 나오는 베셀 함수 $J_n(x)$ 의 큰 인수 근사(22부)가 위의 한켈 점근형이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 해석성은 국소가 전역을 정하는 조건이고, 그 대가로 적분·급수·경계값 문제·인과율이 전부 한 정리(코시)의 변주가 된다. 목적지를 적어 둔다.

광학 상수 (13부) — 복소 유전함수·굴절률, 크라머스–크로니히 변환, $f$ -합 규칙, 타원 편광 분석의 모델(10절). 로렌츠·드루드 진동자의 극 구조(7·8절).
소신호와 임피던스 (19·22부) — 페이저·임피던스(1절), 전달함수의 극·영점과 안정성(7절), 나이퀴스트 판정(편각 원리), 최소 위상과 힐베르트 변환(10절), 임피던스 분광의 크라머스–크로니히 검정.
과도 응답과 확산 (17·18부) — 브롬위치 적분과 유수(집중계), 절단선 적분과 오차함수(분포계 — 8절 ⑥). 1.7.12의 표가 이 두 갈래다.
2차원 전기장 (14·16·21부) — 모서리의 $r^{\pi/\alpha-1}$ , 게이트 가장자리의 프린징, 평행 배선의 커패시턴스, 접합 종단(9절).
양자 수송 (20부) — 그린 함수의 $k\pm i0$ (8절 ④), 상태밀도 $=-\frac1\pi\operatorname{Im}G$ (소호츠키–플레멜리), 복소 밴드 구조와 소멸파(2절), WKB와 정상 위상(11절).
통계와 점근 (10·11부) — 스털링, 좀머펠트 전개, 마쓰바라 합(8절 ⑦), 안장점 근사(11절).
다음 장들. 로랑 급수가 푸리에 급수이고(1.10), 라플라스 역변환이 브롬위치 적분이며(1.10.9), 특성함수의 해석성이 모멘트를 정하고(1.11), 수렴 반경이 급수해의 유효 범위를 정한다(1.5·1.12).