물질 내 전기장

2.1과 2.2는 진공 속의 전하와 도체만 다뤘다. 전하가 놓인 자리를 정하고 나면 나머지 공간은 비어 있었고, 도체는 “내부 전기장이 0”이라는 한 줄로 끝났다. 그런데 실제 소자에서 전기장이 지나가는 공간은 거의 전부 물질이다. 게이트 아래의 산화막, DRAM 커패시터의 유전체, 배선 사이의 층간 절연막, 그리고 실리콘 자체. 이 장은 전기장이 물질을 만나면 무슨 일이 일어나는지를 다룬다.

일어나는 일은 딱 하나다. 물질 안의 전하가 전기장에 응답해 움직인다. 자유롭게 움직일 수 있으면 전류가 흐르고(도체), 제자리에 묶여 있으면 살짝 밀려나 쌍극자를 만든다(유전체). 반도체는 둘 사이에서 — 온도와 도핑에 따라 — 어느 쪽으로든 행세한다. 이 장의 앞 두 절이 “움직일 수 있는 전하”를, 나머지 아홉 절이 “묶인 전하”를 다룬다.

묶인 전하의 이야기는 겉보기보다 깊다. 전기장이 물질을 분극시키면 물질 표면과 내부에 새로운 전하(속박 전하)가 생기고, 그 전하가 다시 전기장을 만들고, 그 전기장이 다시 분극을 바꾼다. 이 순환을 정직하게 따라가면 계산이 끝나지 않는다. 그래서 전자기학은 회계 방식을 바꾼다 — 우리가 직접 놓은 전하(자유 전하)만 세는 새 장 $\mathbf{D}$를 정의하고, 물질의 응답은 재료 상수 하나($\varepsilon$)에 몰아넣는다. 이 장의 6절이 그 전환점이고, 8절에서 그 대가로 얻는 것이 “진공의 모든 공식에서 $\varepsilon_0$를 $\varepsilon$으로 바꾸면 된다”는 결론이다.

이 장이 반도체 쪽으로 어디에 닿는지만 미리 적어 둔다. 유전 완화 시간(2절)은 반도체가 전하 중성을 회복하는 속도이고 12부의 준중성 근사가 여기에 기댄다. 경계 조건(7절)은 13부 MOS 정전기의 첫 줄 — 산화막 속 전기장이 실리콘 속 전기장의 세 배라는 사실 — 그 자체다. 유전 상수(9절)는 공핍층 폭·문턱 전압·정전용량 전부에 들어가고, 고유전율 재료(10절)는 45 nm 이후 모든 게이트 스택과 DRAM 커패시터의 재료 문제다. 절연 파괴 강도(9절)는 게이트가 얼마나 많은 전하를 유도할 수 있는지의 상한을 정한다.

이 장의 기호

이 장에는 같은 글자가 대소문자로 짝을 이루는 자리가 유난히 많고, 글자 하나($\sigma$)가 두 가지 뜻으로 쓰이는 관례까지 겹친다. 먼저 정리해 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf{E}$	전기장	시험 전하가 느끼는 힘/전하. 이 장에서 $E$는 언제나 전기장이고 에너지가 아니다	V/m
$\mathbf{D}$	전기 변위장	$\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}$. 자유 전하만 세는 장(6절)	C/m²
$\mathbf{P}$	분극	단위 부피당 쌍극자 모멘트(4절)	C/m²
$\mathbf{p}$	쌍극자 모멘트	분자·원자 하나의 쌍극자 모멘트	C·m
$\alpha$	원자 분극률	$\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$(3절)	C·m²/V
$\chi_e$	전기 감수율	$\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$(8절). 무차원	—
$\varepsilon_0$	진공 유전율	$8.854\times10^{-12}$ F/m	F/m
$\varepsilon$	유전율	$\varepsilon_0(1+\chi_e)$. 재료의 값	F/m
$\varepsilon_r,\ \kappa$	상대 유전율 · 유전 상수	$\varepsilon/\varepsilon_0$. 같은 양의 두 이름(9절)	—
$\rho_f,\ \sigma_f$	자유 전하 밀도	우리가 직접 놓은 전하 — 부피 · 표면	C/m³ · C/m²
$\rho_b,\ \sigma_b$	속박 전하 밀도	분극이 만든 전하 — 부피 · 표면(5절)	C/m³ · C/m²
$\sigma$ (첨자 없음)	전도도	$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$(2절). 첨자가 있으면 표면 전하	S/m
$\mathbf{J}$	전류 밀도	단위 면적을 단위 시간에 지나는 전하	A/m²
$\tau$	유전 완화 시간	$\varepsilon/\sigma$ — 과잉 전하가 사라지는 시간(2절)	s
$\tau_c$	충돌 시간	캐리어가 산란 사이에 자유 비행하는 평균 시간(2절)	s
$\mu$	이동도	드리프트 속도/전기장. 2.4의 투자율 $\mu_0$와 다른 물건	m²/(V·s)
$n$	캐리어 농도	단위 부피당 움직이는 전자 수(2절)	m⁻³
$N$	분자 수 밀도	단위 부피당 원자·분자 수(3·4·8절)	m⁻³
$q$	기본 전하	$1.602\times10^{-19}$ C. 소문자	C
$Q$	전하량	어떤 물체·판에 실린 전하 총량. 대문자	C
$k$	볼츠만 상수	$1.381\times10^{-23}$ J/K. 이 장에서 파수가 아니다	J/K

짝의 규칙은 하나다 — 소문자는 낱개·국소량, 대문자는 부피당 총량·전체량. $\mathbf{p}$는 분자 하나의 쌍극자이고 $\mathbf{P}$는 그것을 부피로 나눠 더한 것이다. $q$는 전하 하나이고 $Q$는 판 위의 전하 전부다. $n$은 캐리어 농도, $N$은 분자 농도인데 둘 다 “부피당 개수”라 글자로만 갈린다 — 이 장에서는 **움직이는 것은 $n$, 묶여 있는 것은 $N$**으로 고정한다.

주의

짚고 갈 함정이 여섯이다.

① $\sigma$가 두 가지다. Griffiths는 표면 전하 밀도도 $\sigma$, 전도도도 $\sigma$로 쓴다. Sadiku는 표면 전하를 $\rho_S$로 써서 피한다. 이 백과는 Griffiths의 글자를 따르되 첨자로 가른다 — 첨자 없는 $\sigma$는 전도도, $\sigma_f$·$\sigma_b$는 표면 전하다. 이 장에서 첨자 없는 표면 전하는 나오지 않는다.

② $\rho$도 두 가지일 수 있다. 2.6에서 비저항(resistivity)을 $\rho = 1/\sigma$로 쓴다. 이 장에서 $\rho$는 언제나 전하 밀도이고, 비저항이 필요하면 $1/\sigma$로 적는다.

③ $\tau$와 $\tau_c$. 둘 다 “완화 시간”이라 불리는 일이 있다. 유전 완화 시간 $\tau = \varepsilon/\sigma$는 거시적 — 과잉 전하 분포가 사라지는 시간이고, 충돌 시간 $\tau_c$는 미시적 — 전자 하나가 다음 산란까지 나는 시간이다. 구리에서 $\tau$는 $10^{-19}$ s, $\tau_c$는 $10^{-14}$ s로 다섯 자리 차이가 난다.

④ “분극(polarization)“과 “편광(polarization)”. 영어로 같은 단어다. 이 장의 분극은 쌍극자 모멘트 밀도 $\mathbf{P}$이고, 2.8의 편광은 파동의 진동 방향이다. 서로 관계없다.

⑤ 감수율의 단위계. SI에서는 $\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$, 가우스 단위계에서는 $\mathbf{P} = \chi_e\mathbf{E}$라서 **가우스 $\chi_e$는 SI $\chi_e$의 $1/4\pi$**다. 오래된 물성표에서 $\chi_e$를 읽을 때는 어느 단위계인지 먼저 본다. $\varepsilon_r$은 어느 단위계에서나 같아 안전하다.

⑥ 유전 상수의 이름과 글자. $\varepsilon_r$(Griffiths·Sadiku), $\kappa$(반도체·재료 논문), $K$(옛 물리 교재)가 전부 같은 $\varepsilon/\varepsilon_0$다. 이 백과는 본문에서 $\varepsilon_r$을 쓰고, 재료 이름으로 굳어진 “고-$\kappa$(high-k)“만 $\kappa$로 둔다. $\kappa$는 이 장에서 열전도도가 아니다.

도체·부도체·반도체의 전기적 성질

직관

물질을 전기적으로 가르는 기준은 단 하나다 — 전기장을 걸었을 때 전하가 얼마나 멀리 움직이는가. 원자 크기만큼만 움직이고 되돌아오면 부도체(유전체)이고, 시료 끝까지 갈 수 있으면 도체다. 반도체는 “움직일 수 있는 전하의 수”를 온도·도핑·빛으로 여덟 자리 넘게 조절할 수 있어서, 같은 재료가 부도체처럼도 도체처럼도 행세한다. 이 조절 가능성이 반도체가 소자 재료인 이유의 전부다.

세 부류를 가르는 숫자

전기장 $\mathbf{E}$를 걸었을 때 흐르는 전류 밀도 $\mathbf{J}$가 $\mathbf{E}$에 비례하면, 그 비례 상수가 전도도 $\sigma$다.

$$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$$

2절에서 이 식이 어디서 오는지 본다. 지금은 이 숫자 하나로 물질을 줄 세운다. 단위는 S/m (지멘스/미터)이고, 값의 범위가 $10^{-16}$에서 $10^{8}$까지 스물다섯 자리에 걸친다. 물리량 중에 이만큼 넓은 범위를 갖는 것이 드물다.

물질	$\sigma$ (S/m, 20 °C)	부류
은	$6.3\times10^{7}$	도체
구리	$5.8\times10^{7}$	도체
알루미늄	$3.5\times10^{7}$	도체
텅스텐	$1.8\times10^{7}$	도체
저마늄 (진성)	$\sim 2$	반도체
실리콘 (도핑 $10^{16}$ cm⁻³, n형)	$\sim 2\times10^{2}$	반도체
실리콘 (진성)	$\sim 4\times10^{-4}$	반도체
유리	$10^{-12}$ ~ $10^{-10}$	부도체
실리콘 산화막 (SiO₂)	$\lesssim 10^{-14}$	부도체
용융 석영	$\sim 10^{-16}$	부도체

값은 자릿수만 믿을 것 — 순도·결정성·온도에 따라 한두 자리는 쉽게 움직인다. 특히 반도체의 값은 “재료의 상수”가 아니라 도핑의 함수다. 실리콘은 진성일 때 $4\times10^{-4}$ S/m인데 $10^{16}$ cm⁻³만 도핑해도 $2\times10^{2}$ S/m로 여섯 자리가 뛴다. 같은 표에서 구리와 석영이 스물세 자리 차이 나는 것과 견주면, 반도체 한 종류가 도핑만으로 그 간극의 4분의 1을 혼자 덮는다.

그림 2.3-1. 전도도의 스펙트럼. 가로축은 로그 눈금이라 눈금 한 칸이 열 배다. 금속은 오른쪽 끝의 좁은 띠에, 부도체는 왼쪽 끝의 넓은 띠에 몰려 있고, 반도체는 그 사이 열 자리 가까운 구간을 도핑 하나로 오르내린다. 화살표는 온도를 올렸을 때 값이 움직이는 방향이다 — 금속은 왼쪽(전도도 감소), 반도체는 오른쪽(전도도 증가)으로, 서로 반대다.직접 작도

미시적 그림 — 전하가 얼마나 묶여 있는가

숫자의 배경은 원자 안 전자의 묶임 정도다. 이 장에서는 밴드 이론 없이 말할 수 있는 만큼만 말하고, 정량적인 그림(밴드갭·상태밀도)은 7부와 11부에 맡긴다.

• 도체. 금속에서는 원자 하나당 한두 개의 최외각 전자가 특정 원자에 속하지 않고 결정 전체를 떠돈다. 전기장을 걸면 이 전자들이 즉시 흐른다. 움직이는 전하가 원자 수만큼 있으므로 ($n \sim 10^{28}$ m⁻³) 전도도가 크다. 온도를 올리면 격자 진동이 커져 전자가 더 자주 산란되고, 전도도는 줄어든다.
• 부도체(유전체). 전자가 전부 원자나 공유 결합에 묶여 있다. 전기장을 걸어도 전자는 원자 크기($10^{-10}$ m) 안에서 살짝 밀릴 뿐 떠나지 못한다. 이 “살짝 밀림”이 분극이고, 3절부터 이 장의 주제다. 움직일 수 있는 전하가 거의 없으므로($n \lesssim 10^{10}$ m⁻³ 수준) 전도도가 극히 작다.
• 반도체. 전자가 묶여 있기는 한데 묶는 힘이 약해서(실리콘의 밴드갭 1.12 eV), 열에너지만으로 일부가 풀려난다. 300 K에서 풀려난 전자가 진성 실리콘에 $10^{16}$ m⁻³ 남짓 — 금속의 $10^{12}$ 분의 1이다. 온도를 올리면 풀려나는 수가 지수적으로 늘어 전도도가 증가한다. 금속과 부호가 반대인 것이 반도체를 실험적으로 가려내는 첫 번째 표지다. 그리고 원자 백만 개당 하나꼴로 불순물(도너·억셉터)을 넣으면 움직이는 전하가 그만큼 생긴다 — 이것이 도핑이고 11부 1장의 주제다.

직관

반도체가 부도체와 다른 점은 “묶여 있느냐”가 아니라 **“얼마나 세게 묶여 있느냐”**다. 실리콘의 결합 전자를 풀어내는 데 1.1 eV가 들고 산화막(SiO₂)에서는 9 eV가 든다. 열에너지 $kT$는 상온에서 0.026 eV라, 풀려나는 비율이 $e^{-E/kT}$ 꼴로 갈린다면 1.1 eV와 9 eV 사이에는 $e^{-300}$ 대 $e^{-40}$ — 백수십 자리 차이가 있다. 같은 “부도체”라도 실리콘은 열로 조절되는 범위 안에 있고 산화막은 그 범위 밖에 있다. 반도체와 절연체의 경계는 결국 “$kT$로 건드릴 수 있는가”의 경계다.

파라미터 연계

이 장이 뒤로 이어지는 방식을 $\sigma$ 하나로 미리 본다. 2절에서 $\sigma = nq\mu$로 쪼개진다 — 움직이는 전하가 몇 개($n$)이고 각각이 전기장에 얼마나 잘 끌려가는가($\mu$). 금속은 $n$이 크고 고정돼 있어 $\sigma$의 온도 의존성이 $\mu$ 쪽에서만 나온다. 반도체는 $n$ 자체가 온도·도핑·빛의 함수라서 $\sigma$가 그 셋에 전부 반응한다. 11부 1장이 $n(T, N_D)$를, 11부 2장이 $\mu(T, N_D)$를 각각 다루고, 둘을 곱한 것이 이 절의 표 한 줄이다.

전도 전류와 완화 시간

직관

이 절의 결론은 한 줄이다 — 도체 안에 전하를 놓아 두면 $\tau = \varepsilon/\sigma$ 안에 사라진다. 어디로 가는가? 표면으로 간다. 2.1이 “도체 내부에는 전기장이 없고 전하는 표면에만 있다”고 한 것은 이 시간이 지난 뒤의 이야기였다. 이 절은 그 시간이 얼마인지 잰다. 구리에서는 $10^{-19}$ s이고, 반도체에서는 피코초에서 마이크로초 사이다. 앞의 값은 “즉시”로 읽어도 되지만, 뒤의 값은 소자가 돌아가는 시간 눈금과 겹친다.

전류 밀도

전하 밀도 $\rho_v$인 전하 덩어리가 속도 $\mathbf{u}$로 움직이면, 단위 면적을 단위 시간에 지나는 전하가

$$\mathbf{J} = \rho_v\mathbf{u}$$

다. 단위는 A/m². 면 $S$를 지나는 전류는 $I = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}$이고, 이것이 2.1에서 1.1.6면적분의 면적분이 처음 물리량을 얻는 자리다. 진공관 안의 전자 빔처럼 전하가 통째로 실려 가는 것을 Sadiku는 대류 전류(convection current)라 부르고, 물질 안에서 전기장에 밀려 흐르는 것을 전도 전류(conduction current)라 부른다. 이 절은 뒤쪽이다.

옴의 법칙의 점 형식

도체 안 전자 하나에 전기장 $\mathbf{E}$를 걸면 힘 $-q\mathbf{E}$를 받아 가속된다. 가속만 있으면 속도가 무한히 커져야 하는데, 실제로는 격자·불순물에 부딪혀 평균 $\tau_c$마다 방향을 잃는다. 두 충돌 사이에 얻는 평균 속도가

$$\mathbf{u}_d = -\frac{q\tau_c}{m}\mathbf{E} \equiv -\mu\mathbf{E}$$

이고 이것을 드리프트 속도, 비례 상수 $\mu = q\tau_c/m$을 이동도라 한다. 전자의 열운동 속도는 $10^{5}$ m/s 수준인데 드리프트 속도는 보통 $10^{-3}$ m/s 남짓이다 — 전자는 거의 제자리에서 요동치면서 아주 조금씩만 밀려간다. 그런데도 신호가 빛의 속도에 가깝게 전달되는 것은 전자 자체가 아니라 밀림이 전달되기 때문이다. 관에 물이 가득 찬 상태에서 한쪽을 밀면 반대쪽에서 즉시 물이 나오는 것과 같다.

농도 $n$인 전자가 전부 이 속도로 밀리면 전류 밀도는 $\mathbf{J} = (-qn)\mathbf{u}_d = nq\mu\mathbf{E}$. 즉

$$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}, \qquad \sigma = nq\mu = \frac{nq^2\tau_c}{m}$$

이것이 옴의 법칙의 점 형식이다. 회로에서 배운 $V = IR$은 이 식을 길이 $\ell$, 단면 $A$인 막대에 적분한 것이다 — $V = E\ell$, $I = JA$이므로 $R = \ell/(\sigma A)$. 2.2 7절의 저항 계산이 이 적분을 임의 모양으로 확장한 것이었다.

주의

$\sigma = nq^2\tau_c/m$은 드루드 모형이고, 정확한 이론이 아니라 차원과 자릿수를 맞추는 모형이다. 그럼에도 형태는 살아남는다 — 반도체에서는 전자와 정공 둘이 흐르므로

$$\sigma = q\,(n\mu_n + p\mu_p)$$

로 두 항이 되고, $m$은 유효질량 $m^*$로, $\tau_c$는 산란 기구별 충돌 시간의 조화 평균으로 바뀐다(11부 2장). 하지만 ”$\sigma$ = 개수 × 전하 × 이동도”라는 곱셈 구조는 그대로다. 이 장에서 $\mu$는 이동도이고, 2.4에서 같은 글자가 투자율 $\mu_0$로 나온다. 반도체 물리에서는 둘이 한 식에 같이 나오는 일이 드물어 관례가 굳었다.

연속 방정식

전하는 만들어지지도 없어지지도 않는다. 닫힌 면 $S$ 밖으로 나가는 전류는 그 안의 전하가 줄어드는 율과 같다.

$$\oint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a} = -\frac{d}{dt}\int_V \rho_v\, d\tau$$

왼쪽에 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산 정리를 쓰고 부피가 임의라는 사실을 쓰면

$$\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho_v}{\partial t}$$

연속 방정식이다. 발산이 “샘의 세기”라는 1.1.2기울기·발산·회전의 그림 그대로다 — 어떤 점에서 전류가 밖으로 퍼져 나가면($\nabla\cdot\mathbf{J} > 0$) 그 점의 전하는 줄어든다. 정상 상태 ($\partial\rho_v/\partial t = 0$)에서는 $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$, 즉 키르히호프의 전류 법칙이다. 12부에서 이 식은 전자·정공 각각에 대해 생성·재결합 항을 달고 나타나며(연속 방정식이라는 이름을 그대로 갖는다), 소자 시뮬레이션의 세 기본 방정식 중 둘이 바로 이것이다.

유전 완화 시간

이제 도체 안에 전하를 놓아 두면 어떻게 되는지 계산할 수 있다. 세 식을 모은다.

$$\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho_v}{\partial t}, \qquad \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho_v}{\varepsilon}$$

세 번째는 2.1.3가우스 법칙과 E의 발산의 가우스 법칙인데 $\varepsilon_0$ 대신 그 물질의 유전율 $\varepsilon$을 썼다(왜 그래도 되는지는 8절에서 정당화한다 — 지금은 받아들인다). $\sigma$가 공간에서 균일하면 $\nabla\cdot\mathbf{J} = \sigma\nabla\cdot\mathbf{E} = \sigma\rho_v/\varepsilon$ 이므로

$$\frac{\partial\rho_v}{\partial t} + \frac{\sigma}{\varepsilon}\rho_v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \rho_v(t) = \rho_{v0}\, e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{\varepsilon}{\sigma}$$

위치에 관한 항이 하나도 없다는 것을 보라. 어디에 놓았든, 어떤 모양으로 놓았든, 부피 전하는 그 자리에서 지수적으로 사라진다. 사라진 전하는 총량이 보존되므로 시료 표면으로 갔다 — 표면에서는 $\sigma$가 불연속이라 위 유도가 성립하지 않고, 실제로 전하가 거기 쌓인다.

그림 2.3-2. 도체 안에 놓은 부피 전하가 사라지는 곡선 ρ(t) = ρ₀e^{−t/τ}. 시간 τ에서 처음의 1/e(약 37 %)가 남고, 원점에서 그은 접선이 가로축과 만나는 자리가 정확히 τ다 — 처음 기울기대로 계속 줄었다면 τ에 다 없어졌을 것이라는 뜻이다. 아래는 물질별 τ를 같은 로그 눈금에 놓은 것으로, 구리와 석영 사이가 스물네 자리다. 도핑한 실리콘의 피코초가 소자 동작 시간과 같은 눈금에 있다는 것이 이 장에서 기억할 숫자다.직접 작도

값을 넣어 보자.

물질	$\varepsilon/\varepsilon_0$	$\sigma$ (S/m)	$\tau = \varepsilon/\sigma$
구리	$\approx 1$	$5.8\times10^{7}$	$1.5\times10^{-19}$ s
실리콘, n형 $10^{16}$ cm⁻³	11.7	$\sim 2\times10^{2}$	$\sim 0.5$ ps
실리콘, 진성	11.7	$\sim 4\times10^{-4}$	$\sim 0.3$ μs
용융 석영	3.9	$\sim 10^{-16}$	$\sim 3.5\times10^{5}$ s (4일)

구리의 $10^{-19}$ s는 어떤 실험으로도 잴 수 없는 시간이라 “즉시”로 읽는다 — 2.1의 “도체 내부 $\mathbf{E} = 0$“이 정당한 이유다. 사실 이 값은 드루드 모형의 충돌 시간 $\tau_c \sim 10^{-14}$ s보다도 짧아서, 이 시간 눈금에서는 옴의 법칙 자체가 성립하지 않는다. 그러니 구리의 $\tau$는 “옴의 법칙이 성립한다면 이 정도로 빠르다”는 상한으로만 읽는다. 석영의 4일은 반대 극단이다 — 절연막에 한번 갇힌 전하는 며칠을 간다. 19부에서 다루는 산화막 트랩 전하가 소자를 서서히 표류시키는 배경이 이 숫자다.

직관

반도체의 $\tau$가 소자 물리에서 하는 일. 도핑한 실리콘의 0.5 ps는 다수 캐리어가 어떤 전하 교란도 지워 버리는 시간이다. 그래서 12부는 접합 밖의 중성 영역에서 준중성(quasi-neutrality, $\rho_v \approx 0$)을 가정하고 시작한다 — 소수 캐리어가 주입되면 다수 캐리어가 피코초 안에 따라와 중성을 맞춘다. 그 소수 캐리어가 재결합으로 없어지는 데는 마이크로초(수명 $\tau_n$)가 걸린다. 두 시간 눈금이 여섯 자리 떨어져 있어서, “전하 중성은 즉시, 농도 회복은 천천히”라는 분리가 가능하고, 확산 방정식이 그 사이에서 산다. 유전 완화 시간이 캐리어 수명보다 훨씬 짧다는 조건이 무너지면(저도핑·저온·절연성 기판) 준중성 근사도 무너지고 공간 전하 제한 전류 같은 다른 물리가 나온다.

RC 곱과 완화 시간

같은 두 전극 사이를 채운 물질의 저항 $R$과 정전용량 $C$를 따로 계산하면(2.2 7절) 모양에 상관없이

$$RC = \frac{\varepsilon}{\sigma} = \tau$$

가 나온다. 이유는 간단하다 — 전극 사이의 전기장 분포는 $R$을 구할 때나 $C$를 구할 때나 같은 라플라스 방정식의 해이고, $R = V/I = V / \oint\sigma\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$, $C = Q/V = \oint\varepsilon\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} / V$이므로 곱하면 면적분이 상쇄된다. 그러니 유전 완화 시간은 “그 물질로 만든 커패시터가 자기 자신의 누설 저항을 통해 방전되는 시간 상수”이기도 하다. DRAM 커패시터의 유전체가 $10^{-16}$ S/m보다 훨씬 좋아야 하는 이유가 여기서 읽힌다 — 리프레시 간격(수십 ms)보다 $\varepsilon/\sigma$가 몇 자리 길어야 한다.

줄 열

전기장이 전하를 밀어 한 일은 열이 된다. 단위 부피당 일률은 힘 × 속도로

$$\dot{w} = \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = \sigma E^2 \qquad (\text{W/m}^3)$$

이고 부피에 적분하면 $\int\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\, d\tau = I^2R$이다. 이 식은 14부에서 자기 발열로, 18부 배선에서 전류 밀도 상한(일렉트로마이그레이션 이전에 열이 먼저 문제가 된다)으로 돌아온다. 유전체에서는 $\sigma \approx 0$이라 이 항이 없다 — 대신 교류에서 분극이 전기장을 따라가지 못해 생기는 유전 손실이 같은 자리를 차지하는데, 그것은 2.8 8절의 일이다.

유전체와 유도 쌍극자

직관

중성 원자에 전기장을 걸면 아무 일도 없을 것 같다 — 전하가 0이니 힘도 0이다. 그런데 원자는 양전하 핵과 음전하 구름이 겹쳐 있는 것이지 전하가 없는 것이 아니다. 전기장은 핵을 한쪽으로, 구름을 반대쪽으로 민다. 둘이 조금 떨어지면 서로 끌어당기는 힘이 생겨 어느 지점에서 외부 힘과 균형을 이룬다. 그 상태의 원자는 아주 작은 쌍극자다. 이 장의 모든 유전체 현상은 이 한 문장에서 시작한다.

원자 분극률

전기장이 아주 세지 않으면(원자 내부의 전기장 $\sim 10^{11}$ V/m에 비해) 유도된 쌍극자 모멘트는 전기장에 비례한다.

$$\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$$

$\alpha$가 원자 분극률(atomic polarizability)이다. SI 단위는 C·m²/V이지만 표에는 대개 $\alpha/4\pi\varepsilon_0$로 적는데, 이 양은 단위가 m³ — 부피다. 그 부피가 원자 부피 정도라는 것이 이 절의 핵심이다.

원자	$\alpha/4\pi\varepsilon_0$ ($10^{-30}$ m³)	원자	$\alpha/4\pi\varepsilon_0$ ($10^{-30}$ m³)
H	0.667	Ne	0.396
He	0.205	Na	24.1
Li	24.3	Ar	1.64
Be	5.60	K	43.4
C	1.76	Cs	59.4

(Griffiths 표 4.1.) 두 줄이 눈에 띈다. 비활성 기체(He·Ne·Ar)는 작고, 알칼리 금속(Li·Na·K·Cs)은 두 자리 크다. 알칼리 금속의 최외각 전자 하나가 느슨하게 묶여 있어 조금만 밀어도 멀리 가기 때문이다. 분극률은 “전자가 얼마나 느슨한가”의 척도이고, 그래서 주기율표에서 원자 반지름과 같은 방향으로 움직인다.

가장 단순한 모형 — 균일 전자 구름

이 부피가 어디서 오는지 보려면 모형 하나면 된다. 핵(전하 $+q$)을 반지름 $R$인 균일한 음전하 구름($-q$)이 둘러싸고 있다고 하자. 외부 전기장 $\mathbf{E}$가 핵을 구름 중심에서 $d$만큼 밀어냈을 때, 핵이 구름으로부터 받는 전기장은 2.1.3가우스 법칙과 E의 발산의 가우스 법칙으로 계산한 균일 구 내부의 전기장이다 — 반지름 $d$ 안에 든 전하 $-q(d/R)^3$이 만드는 장:

$$E_{\text{내부}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd}{R^3}$$

균형에서 이것이 외부 전기장과 같으므로 $E = qd/(4\pi\varepsilon_0R^3)$, 즉

$$p = qd = 4\pi\varepsilon_0 R^3\, E \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 4\pi\varepsilon_0 R^3, \qquad \frac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} = R^3$$

분극률이 원자 부피(의 $3/4\pi$배)다. 수소에 보어 반지름 $a_0 = 0.53\times10^{-10}$ m를 넣으면 $R^3 = 0.15\times10^{-30}$ m³ — 측정값 0.667과 4.5배 차이지만 자릿수는 맞는다. 양자역학으로 정확히 풀면 $\alpha/4\pi\varepsilon_0 = 4.5\,a_0^3$이 나와 그 4.5배까지 설명된다(Griffiths 문제 4.2). 균일 구름 모형은 전자가 안쪽에 몰려 있다는 사실을 무시해서 원자를 너무 단단하게 본 것이다.

직관

$\alpha \propto R^3$이 말하는 것. 유도 쌍극자의 변위 $d = \alpha E/q = 4\pi\varepsilon_0R^3E/q$는 $R^3$에 비례한다 — 같은 전기장에 큰 원자가 더 많이 변형된다. 그런데 변위 자체는 얼마나 되는가. $E = 10^{6}$ V/m(공기의 절연 파괴 직전)를 수소에 걸어도

$$d = \frac{4\pi\varepsilon_0 R^3}{q}E = \frac{\alpha E}{q} \approx \frac{0.667\times10^{-30}\times 4\pi\times 8.85\times10^{-12}\times10^{6}}{1.6\times10^{-19}} \approx 5\times10^{-16}\ \text{m}$$

원자 반지름의 십만분의 일이다. 유전체의 분극은 눈에 보이는 변형이 전혀 아니고, 그래서 선형 근사($\mathbf{p} \propto \mathbf{E}$)가 절연 파괴 직전까지 잘 맞는다. 비선형 광학이 필요로 하는 $10^{9}$ V/m 급 전기장은 레이저로만 만든다.

원자에서 분자로 — 분극률은 텐서다

분자는 방향이 있다. CO₂는 막대 모양이라 축 방향으로 밀 때와 옆으로 밀 때 응답이 다르다 (각각 $4.5\times10^{-40}$과 $2\times10^{-40}$ C·m²/V). 그러면 $\mathbf{p}$가 $\mathbf{E}$와 나란하지 않고, 가장 일반적인 선형 관계는

$$p_i = \sum_j \alpha_{ij}E_j \qquad (i, j = x, y, z)$$

다. $\alpha_{ij}$는 대칭 텐서이고, 1.3.7이차 형식과 주축 변환의 주축 변환으로 대각화하면 세 주축 분극률만 남는다 — CO₂에서는 그 셋이 (4.5, 2, 2)다. 기체나 액체처럼 분자가 무작위로 놓이면 평균이 잡혀 스칼라로 되돌아오고, 결정에서는 텐서가 그대로 살아 유전율 자체가 텐서가 된다. 석영·사파이어·GaN 같은 이방성 결정의 유전율이 방향마다 다른 것이 이 때문이고, 그 결과가 2.8의 복굴절이다.

고체 안에서 — 전자 분극과 이온 분극

이 절의 원자 그림은 고체에서 두 갈래로 나뉜다.

• 전자 분극. 위에서 본 그대로 — 각 원자 안에서 전자 구름이 핵에 대해 밀린다. 모든 물질에 있고, 전자가 가벼워서 $10^{15}$ Hz(자외선)까지 전기장을 따라간다. 광학 주파수의 유전율은 이것뿐이고, 그래서 굴절률 $n = \sqrt{\varepsilon_r(\text{광학})}$이다. 실리콘 3.4, SiO₂ 1.46.
• 이온 분극. 이온 결합·극성 공유 결합이 있는 고체(SiO₂의 Si–O, HfO₂의 Hf–O, NaCl)에서는 양이온과 음이온이 격자 안에서 서로 반대로 밀린다. 이온이 전자보다 만 배 이상 무거워 $10^{13}$ Hz(적외선)까지만 따라간다. 정전기 유전율에는 들어가고 광학 유전율에는 안 들어간다 — SiO₂의 $\varepsilon_r$이 정전기에서 3.9, 광학에서 $1.46^2 = 2.1$인 차이 1.8이 이온 분극의 몫이다.

직관

고유전율의 출처. 10절의 HfO₂($\varepsilon_r \approx 20$)가 SiO₂($3.9$)보다 다섯 배 큰 이유가 여기 있다. 전자 분극은 둘 다 2 안팎으로 비슷하다(굴절률 HfO₂ 2.1, SiO₂ 1.46). 차이는 거의 전부 이온 분극 — Hf–O 결합이 Si–O보다 이온성이 강하고, 그 결합을 늘이는 격자 진동 (광학 포논)이 무르다. 무른 격자 진동은 전기장에 크게 반응하고, 그것이 큰 $\varepsilon_r$이다. 그런데 무른 격자 진동은 그 위를 지나는 전자를 강하게 산란하기도 한다(원격 포논 산란). 고유전율과 이동도 저하가 같은 물리에서 나오는 것이고, 10절과 13부에서 이 대가를 다시 만난다.

주파수에 따라 어느 분극이 남고 어느 것이 떨어져 나가는지 — $\varepsilon(\omega)$의 모양 — 는 2.8 8절이 다룬다. 이 장은 정전기($\omega = 0$)에 머문다.

극성 분자의 배향과 분극

직관

어떤 분자는 전기장이 없어도 이미 쌍극자다. 물 분자는 산소 쪽이 음, 수소 쪽이 양으로 치우쳐 있고 그 쌍극자 모멘트가 $6.1\times10^{-30}$ C·m — 앞 절에서 $10^{6}$ V/m로 유도한 수소의 쌍극자($\alpha E \approx 7\times10^{-35}$ C·m)의 십만 배다. 이런 분자에 전기장을 거는 것은 쌍극자를 만드는 일이 아니라 이미 있는 쌍극자를 돌려 세우는 일이다. 그런데 열운동이 그것을 계속 흐트러뜨린다. 배향 분극은 전기장과 온도의 줄다리기다.

쌍극자에 걸리는 토크

쌍극자를 $+q$와 $-q$가 벡터 $\mathbf{d}$만큼 떨어진 것으로 보면 $\mathbf{p} = q\mathbf{d}$다. 균일한 전기장에서 두 전하가 받는 힘은 $\pm q\mathbf{E}$로 상쇄되어 알짜 힘은 0이지만, 두 힘의 작용선이 다르므로 토크가 남는다. 중심에 대해

$$\mathbf{N} = \left(\tfrac{\mathbf{d}}{2}\right)\times q\mathbf{E} + \left(-\tfrac{\mathbf{d}}{2}\right)\times(-q\mathbf{E}) = q\mathbf{d}\times\mathbf{E} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}$$

크기는 $pE\sin\theta$($\theta$는 $\mathbf{p}$와 $\mathbf{E}$ 사이 각)이고, 방향은 $\theta$를 줄이는 쪽이다. 쌍극자는 전기장과 나란해지려 한다. 나란한 상태($\theta = 0$)가 안정 평형, 반대인 상태($\theta = \pi$)는 토크는 0이지만 불안정 평형이다.

토크를 각도에 적분하면 퍼텐셜 에너지가 나온다.

$$U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E} = -pE\cos\theta$$

2.1.4E의 회전과 전위의 전위로 확인하면 같다 — $U = qV(\mathbf{r}_+) - qV(\mathbf{r}_-) \approx q\,\mathbf{d}\cdot\nabla V = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$. 이 에너지는 뒤에서 볼츠만 인자에 들어간다.

불균일 전기장에서의 힘

전기장이 균일하지 않으면 두 전하가 받는 힘이 정확히 상쇄되지 않는다.

$$\mathbf{F} = q\mathbf{E}(\mathbf{r}_+) - q\mathbf{E}(\mathbf{r}_-) \approx q\,(\mathbf{d}\cdot\nabla)\mathbf{E} = (\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$$

$\mathbf{p}$가 고정돼 있고 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$이면 이것은 $\nabla(\mathbf{p}\cdot\mathbf{E})$와 같다 — 힘이 $U$의 기울기라는 1.1.9퍼텐셜 이론의 그림 그대로다. 나란히 선 쌍극자는 전기장이 센 쪽으로 끌려간다. 중성 입자가 전극 끝에 달라붙는 현상(유전영동, dielectrophoresis)이 이 힘이고, 11절 끝에서 유도 쌍극자에도 같은 힘이 작용한다는 것을 본다 — 그것이 나노와이어·세포를 전극 위에 정렬하는 기술의 원리다.

온도와의 줄다리기 — 랑주뱅 함수

전기장 $\mathbf{E}$ 안에 영구 쌍극자 $p$를 가진 분자가 부피당 $N$개 있고, 열평형에 있다. 각 분자가 각도 $\theta$를 향할 확률은 볼츠만 인자 $e^{-U/kT} = e^{pE\cos\theta/kT}$에 비례하고, $\theta$ 방향의 입체각은 $2\pi\sin\theta\, d\theta$다. 전기장 방향 성분의 평균은

$$\langle\cos\theta\rangle = \frac{\displaystyle\int_0^\pi \cos\theta\; e^{x\cos\theta}\, \sin\theta\, d\theta} {\displaystyle\int_0^\pi e^{x\cos\theta}\, \sin\theta\, d\theta}, \qquad x \equiv \frac{pE}{kT}$$

$u = \cos\theta$로 바꾸면 두 적분이 초등함수로 풀려

$$\langle\cos\theta\rangle = \coth x - \frac{1}{x} \equiv L(x)$$

랑주뱅 함수다. 분극은 부피당 쌍극자 모멘트의 합이므로

$$P = Np\,L\!\left(\frac{pE}{kT}\right)$$

그림 2.3-3. 랑주뱅 함수 L(x) = coth x − 1/x. 원점 근처에서는 기울기 1/3인 직선(점선)이고, x가 커지면 1에 포화된다 — 모든 쌍극자가 전기장을 향해 선 상태다. 상온의 물에 절연 파괴 직전의 전기장 10⁶ V/m를 걸어도 x는 0.0015로, 그래프에서 원점에 붙은 점 하나다. 실용적인 전기장에서 배향 분극은 언제나 선형 구간에 있고, 포화를 보려면 x ~ 3, 즉 10⁹ V/m가 필요하다.직접 작도

두 극한이 그래프를 설명한다.

• $x \ll 1$ (약한 장 또는 높은 온도): $L(x) \approx x/3$이므로

  $$P \approx \frac{Np^2}{3kT}\,E$$

  분극이 전기장에 비례하고 온도에 반비례한다. 비례 상수 안의 $1/3$은 세 방향 중 하나만 전기장 방향이라는 뜻이고, $p^2$은 “쌍극자가 클수록 토크도 크고(한 번) 정렬됐을 때 기여도 크다(두 번)“는 뜻이다.

• $x \gg 1$: $L \to 1$, $P \to Np$. 모든 쌍극자가 정렬된 포화 분극이다.

값을 넣어 본다. 물($p = 6.1\times10^{-30}$ C·m, 300 K에서 $kT = 4.1\times10^{-21}$ J)에 $E = 10^{6}$ V/m를 걸면 $x = 1.5\times10^{-3}$이다. 배향은 천 분의 일밖에 안 되지만 $p$가 워낙 커서, $N = 3.3\times10^{28}$ m⁻³를 넣으면 $P \approx 10^{-4}$ C/m² — 같은 전기장에서 전자 분극이 주는 값보다 한 자리 크다. 물의 유전 상수 80이 여기서 나온다(수소 결합 때문에 정확한 값은 이 단순 모형과 다르지만 자릿수는 맞는다).

직관

온도 의존성이 두 분극을 가른다. 3절의 유도(전자·이온) 분극은 온도와 거의 무관하다 — 용수철 상수가 온도로 변하지 않으므로. 배향 분극은 $1/T$로 줄어든다(퀴리 법칙). 그래서 극성 액체의 유전 상수는 온도를 올리면 뚜렷이 떨어진다 — 물은 0 °C에서 88, 20 °C에서 80, 100 °C에서 55다. 어떤 물질의 $\varepsilon_r$을 온도에 대해 그려서 $1/T$ 성분이 있으면 영구 쌍극자가 있다는 뜻이고, 그 기울기에서 $p$를 읽을 수 있다. 이것이 분자의 쌍극자 모멘트를 재는 고전적인 방법이다(디바이).

분극 벡터 $\mathbf{P}$

이 절과 앞 절이 낳은 양을 정식으로 정의한다.

$$\mathbf{P} \equiv \text{단위 부피당 쌍극자 모멘트} = \lim_{\Delta\tau\to0}\frac{\sum\mathbf{p}}{\Delta\tau} \qquad (\text{C/m}^2)$$

유도 분극이든 배향 분극이든 이 하나로 합쳐 세고, 어느 기구에서 왔는지는 $\mathbf{P}$의 값에 숨는다. 단위가 C/m² — 표면 전하 밀도와 같다는 것을 눈여겨봐 둔다. 우연이 아니다. 다음 절에서 $\mathbf{P}$의 법선 성분이 정확히 표면 전하로 나타난다.

주의

고체에서 배향 분극이 있으려면 쌍극자가 돌 수 있어야 한다. 대부분의 결정에서는 분자가 격자에 고정돼 있어 배향 분극이 없고, 전자·이온 분극만 남는다. 예외가 강유전체(BaTiO₃, HfO₂의 사방정계 상 등) — 격자 자체가 두 개의 안정한 분극 상태 사이를 오갈 수 있어 전기장을 끈 뒤에도 $\mathbf{P}$가 남는다. 그 잔류 분극이 15부의 강유전체 메모리(FeRAM·FeFET)가 저장하는 비트다. 이 장의 선형 유전체(8절)는 그 반대 극단이다.

속박 전하와 그 물리적 해석

직관

분극된 물질 덩어리는 밖에서 보면 무엇인가. 쌍극자 $10^{28}$개를 하나하나 더할 수는 없다. 그런데 더하고 나면 답이 놀랄 만큼 단순하다 — 표면에 전하 한 겹, 그리고 분극이 고르지 않은 곳에 부피 전하. 이 둘을 속박 전하라 부른다. 속박 전하는 계산상의 허구가 아니라 진짜 전하다. 다만 자유롭게 움직이지 못할 뿐이다.

쌍극자 분포의 전위

쌍극자 하나 $\mathbf{p}$가 만드는 전위는 2.2.6다중극 전개와 쌍극자에서

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2}$$

였다. 여기서 $\boldsymbol{\eta} = \mathbf{r} - \mathbf{r}'$은 쌍극자 위치 $\mathbf{r}'$에서 관측점 $\mathbf{r}$을 향하는 벡터이고, $\hat{\boldsymbol{\eta}}$·$\eta$는 그 방향·길이다 (Griffiths의 필기체 r). 물질 안의 부피 요소 $d\tau'$가 쌍극자 $\mathbf{P}\, d\tau'$를 갖는다고 보면, 전체 전위는

$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathcal{V}} \frac{\mathbf{P}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2}\, d\tau'$$

이 적분을 그대로 계산하려면 모든 점에서 $\mathbf{P}$의 방향과 크기를 알고 각도까지 따져야 한다. 그런데 한 가지 항등식이 계산을 통째로 바꾼다.

$$\nabla'\!\left(\frac{1}{\eta}\right) = \frac{\hat{\boldsymbol{\eta}}}{\eta^2}$$

($\nabla'$은 $\mathbf{r}'$에 대한 미분이다. $\mathbf{r}'$이 $\mathbf{r}$ 쪽으로 다가가면 $\eta$가 줄고 $1/\eta$는 커지므로, $1/\eta$가 가장 빨리 커지는 방향은 $\mathbf{r}$을 향하는 $+\hat{\boldsymbol{\eta}}$다.) 이것을 넣으면

$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathcal{V}} \mathbf{P}\cdot\nabla'\!\left(\frac{1}{\eta}\right) d\tau'$$

곱의 미분 규칙 $\nabla'\cdot(f\mathbf{A}) = f\,\nabla'\cdot\mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\nabla' f$를 $f = 1/\eta$, $\mathbf{A} = \mathbf{P}$에 쓰고, 첫 항에 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산 정리를 쓰면

$$\begin{aligned} V &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[ \int_{\mathcal{V}}\nabla'\cdot\!\left(\frac{\mathbf{P}}{\eta}\right) d\tau' - \int_{\mathcal{V}}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{P}}{\eta}\, d\tau' \right] \\[4pt] &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{\mathcal{S}}\frac{\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}}{\eta}\, da' + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathcal{V}}\frac{-\nabla'\cdot\mathbf{P}}{\eta}\, d\tau' \end{aligned}$$

이제 두 항을 읽는다. 첫 항은 표면 전하 밀도 $\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$이 만드는 전위의 꼴이고, 둘째 항은 부피 전하 밀도 $-\nabla\cdot\mathbf{P}$가 만드는 전위의 꼴이다. 즉

$$\boxed{\;\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}, \qquad \rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}\;}$$

로 정의하면, 분극된 물체의 전위는 이 두 전하 분포의 전위와 완전히 같다. 쌍극자 $10^{28}$개의 합이 표면 전하 한 겹과 부피 전하로 바뀐 것이다. 이 둘이 속박 전하(bound charge)다.

직관

부분적분이 한 일. 물리적으로는 이런 뜻이다 — 쌍극자의 전위는 전하의 전위를 한 번 미분한 꼴($\mathbf{p}\cdot\nabla(1/r)$)이다. 미분을 쌍극자 쪽에서 분극 쪽으로 넘기면(부분적분) “쌍극자 분포의 전위”가 “분극의 미분이 만드는 전하의 전위”가 된다. 1.1 9절의 퍼텐셜 이론이 “어떤 장이든 샘(발산)과 소용돌이(회전)로 결정된다”고 했는데, 분극장 $\mathbf{P}$의 **샘이 $-\rho_b$**다. 표면 항은 $\mathbf{P}$가 물체 표면에서 갑자기 0으로 떨어질 때 발산이 무한대가 되는 것을 따로 적어 둔 것일 뿐이다 — 델타 함수를 표면 전하로 쓴 것이다.

물리적 해석 — 줄줄이 선 쌍극자

수식이 나온 뒤에 그림을 보면 왜 그런지 한눈에 들어온다.

그림 2.3-4. 속박 전하가 생기는 자리. 왼쪽: 균일하게 분극된 판. 줄줄이 선 쌍극자의 머리와 꼬리가 안에서는 서로 상쇄되고 양 끝면에만 ±σ_b = ±P가 남는다 — 판 안에 전하가 없어 보이지만 실제 전하가 없는 것이 아니라 밀도가 0인 것이다. 가운데: 비스듬한 면에서는 같은 P가 면적 A/cosθ에 퍼지므로 σ_b = P cosθ = P·n̂. 오른쪽: 분극이 오른쪽으로 갈수록 세지면 각 층의 꼬리(−)가 앞층의 머리(+)보다 많아 안에 알짜 음전하 ρ_b = −∇·P가 남는다.직접 작도

• 균일 분극. 쌍극자를 전기장 방향으로 줄 세우면 한 쌍극자의 $+$머리가 다음 쌍극자의 $-$꼬리와 맞닿아 상쇄된다. 안에는 알짜 전하가 없고, 줄의 양 끝 — 물체의 표면 — 에만 상쇄되지 않은 머리와 꼬리가 남는다. $\mathbf{P}$가 밖을 향하는 면에 $+$, 안을 향하는 면에 $-$. 정량적으로: 단면적 $A$, 길이 $d$인 원통 안의 쌍극자 모멘트 합은 $PAd$이고, 이것은 양 끝에 $\pm q$가 있는 것과 같으므로 $q = PA$, 즉 $\sigma_b = P$. 면이 $\mathbf{P}$에 대해 $\theta$만큼 기울어 있으면 같은 전하가 넓이 $A/\cos\theta$에 퍼지므로 $\sigma_b = P\cos\theta = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$.
• 비균일 분극. $\mathbf{P}$가 오른쪽으로 갈수록 세지면, 어떤 층의 꼬리($-$)가 그 앞층의 머리($+$)보다 많다. 층마다 음전하가 조금씩 남는다. 발산이 양이면($\mathbf{P}$가 퍼져 나가면) 속박 전하가 음 — 그래서 $\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}$에 음의 부호가 붙는다.

속박 전하의 총량은 언제나 0이다. 발산 정리로

$$Q_b = \oint_{\mathcal{S}}\sigma_b\, da + \int_{\mathcal{V}}\rho_b\, d\tau = \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{P}\cdot d\mathbf{a} - \int_{\mathcal{V}}\nabla\cdot\mathbf{P}\, d\tau = 0$$

당연하다 — 중성 분자를 아무리 돌리고 늘여도 전하가 생기지는 않는다. 어디에 있느냐만 바뀐다.

예 — 균일하게 분극된 구

반지름 $R$인 구가 $\mathbf{P} = P\hat{\mathbf{z}}$로 균일하게 분극돼 있다. $\rho_b = 0$이고 표면에 $\sigma_b = P\cos\theta$만 있다 — 위쪽 반구가 $+$, 아래쪽 반구가 $-$. 이 표면 전하 분포의 전위는 2.2.5변수분리법(구·원통 좌표)의 구면 좌표 변수분리에서 $l = 1$ 항 하나로 풀리고, 결과는

$$\mathbf{E}_{\text{내부}} = -\frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0} \qquad (r < R), \qquad V_{\text{외부}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}, \quad \mathbf{p} = \tfrac{4}{3}\pi R^3\,\mathbf{P} \qquad (r > R)$$

두 가지가 읽힌다. 내부 전기장은 균일하고 분극과 반대 방향이다 — 속박 전하가 분극을 거스르는 장을 만든다. 이것을 탈분극장(depolarizing field)이라 하고, 8절에서 유전체 구의 유전율을 계산할 때 되돌아온다. 계수 $1/3$은 구의 모양이 정한 값(탈분극 인자)이고, 긴 바늘은 축 방향으로 0, 얇은 판은 법선 방향으로 1이다. 외부에서는 완벽한 쌍극자장이다 — 총 쌍극자 모멘트가 $\mathbf{P}$ × 부피이니 당연하고, 2.2 6절의 다중극 전개에서 구의 $l \ge 2$ 항이 전부 0이라는 것과 같은 말이다.

주의

속박 전하는 진짜 전하다. “속박”이라는 말 때문에 가상의 회계 항목처럼 들리지만, 분극된 유전체 표면의 $\sigma_b$는 실제로 거기 몰려 있는 전자·이온의 과잉이고, 시험 전하를 가져가면 실제로 힘을 받는다. 자유 전하와의 차이는 단 하나 — 떼어 낼 수 없다는 것. 분극을 없애면 사라진다. 그래서 다음 절에서 “자유 전하만 세는 장”을 만들 때도 $\mathbf{E}$는 언제나 두 전하를 다 느낀다는 사실은 변하지 않는다.

반도체에서 속박 전하가 소자를 만드는 예. 질화갈륨 계열 결정(GaN·AlGaN)은 결정 구조 자체가 비대칭이라 전기장 없이도 분극 $\mathbf{P}$를 갖는다(자발 분극 + 응력에 의한 압전 분극). AlGaN을 GaN 위에 얹으면 두 층의 $\mathbf{P}$가 달라 **계면에 $\sigma_b = (\mathbf{P}_{\text{GaN}} - \mathbf{P}_{\text{AlGaN}})\cdot\hat{\mathbf{n}}$**이 남고, 그 크기가 $10^{13}$ cm⁻² 전하에 해당한다. 이 속박 전하를 중화하러 모인 전자가 2차원 전자 가스이고, 도핑 없이 만들어지는 이 채널이 17부의 GaN HEMT다. $\sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}$ 한 줄이 소자 하나를 만든 셈이다.

전기 변위장 D와 유전체 내 가우스 법칙

직관

지금까지의 문제는 이렇다. 전기장이 유전체를 분극시키고 → 분극이 속박 전하를 만들고 → 속박 전하가 전기장을 바꾸고 → 바뀐 전기장이 분극을 바꾼다. 꼬리를 무는 순환이다. 이 절은 순환을 푸는 대신 회계 방식을 바꾼다. 전하를 “우리가 놓은 것”(자유)과 “물질이 응답한 것”(속박)으로 갈라 놓고, 자유 전하만 세는 새 장 $\mathbf{D}$를 만든다. $\mathbf{D}$는 물질이 무엇을 하든 자유 전하만 보고 결정되므로 먼저 구할 수 있고, 물질의 응답은 그 뒤에 $\mathbf{E} = \mathbf{D}/\varepsilon$ 한 줄로 따라온다.

가우스 법칙을 다시 쓴다

2.1.3가우스 법칙과 E의 발산의 가우스 법칙은 모든 전하에 대해 성립한다. 유전체 안의 전하를 자유 전하 $\rho_f$(우리가 놓은 것 — 전극의 전하, 도핑 이온, 주입된 캐리어)와 속박 전하 $\rho_b$(분극이 만든 것)로 나누면

$$\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho = \rho_f + \rho_b = \rho_f - \nabla\cdot\mathbf{P}$$

분극 항을 왼쪽으로 옮기면

$$\nabla\cdot(\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho_f$$

괄호 안의 조합에 이름을 붙인다.

$$\boxed{\;\mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}, \qquad \nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f, \qquad \oint_{\mathcal{S}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a} = Q_{f,\text{enc}}\;}$$

전기 변위장(electric displacement) $\mathbf{D}$와 유전체 내 가우스 법칙이다. 단위는 $\mathbf{P}$와 같은 C/m². 오른쪽에 자유 전하만 남았다는 것이 요점이다 — 속박 전하는 $\mathbf{P}$에 흡수되어 $\mathbf{D}$의 정의 안으로 들어가 버렸다.

직관

$\mathbf{D}$와 $\mathbf{E}$의 역할 분담. $\mathbf{E}$는 시험 전하가 실제로 느끼는 장 — 자유 전하와 속박 전하 둘 다가 만든다. $\mathbf{D}$는 우리가 통제하는 자유 전하만으로 결정되는 장 — “전극에 얼마를 실었는가”의 장부다. 축전기로 말하면 $D$는 판에 실린 전하 밀도 ($Q_f/A$)이고 $E$는 그 사이의 전기장($V/d$)이다. 유전체는 둘 사이의 환율 $\varepsilon$을 정한다. 반도체 소자에서 “게이트 전하”·“공핍 전하”를 셀 때 언제나 세는 것은 $\mathbf{D}$의 법선 성분이고, “전기장이 산화막 파괴 강도를 넘는가”를 물을 때 보는 것은 $\mathbf{E}$다.

예 — 절연 피복이 있는 도선

긴 직선 도선에 단위 길이당 자유 전하 $\lambda$가 있고, 그 둘레를 반지름 $a$까지 고무 절연체가 감싸고 있다. 도선 축에서 거리 $s$인 원통면에 가우스 법칙을 쓰면, 절연체 안이든 밖이든

$$D(2\pi s\,\ell) = \lambda\ell \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{D} = \frac{\lambda}{2\pi s}\hat{\mathbf{s}}$$

절연체가 있든 없든, 어떤 재료든 $\mathbf{D}$는 같다. 절연체 밖($s > a$)에서는 $\mathbf{P} = 0$ 이므로 $\mathbf{E} = \mathbf{D}/\varepsilon_0 = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 s)\,\hat{\mathbf{s}}$ — 진공의 답 그대로다. 절연체 안에서는 $\mathbf{E} = (\mathbf{D} - \mathbf{P})/\varepsilon_0$인데 $\mathbf{P}$를 모르면 여기서 멈춘다. 8절에서 선형 유전체를 가정하면 $\mathbf{P}$가 $\mathbf{E}$로 표현되어 답이 닫힌다. 그때까지 $\mathbf{D}$는 “자유 전하가 정하는 만큼”만 알려 준다.

겉보기 유사성의 함정

$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f$는 $\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$와 꼴이 같다. 그래서 “$\mathbf{D}$는 $\varepsilon_0\mathbf{E}$의 자유 전하 판이고, 진공 정전기학의 모든 결과를 $\rho \to \rho_f$로 바꿔 쓰면 된다”고 생각하기 쉽다. 틀렸다. 장은 발산만으로 결정되지 않는다(1.1.9퍼텐셜 이론 — 헬름홀츠 정리는 발산과 회전을 둘 다 요구한다). $\mathbf{E}$는 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$이 따로 보장돼 있지만 $\mathbf{D}$는

$$\nabla\times\mathbf{D} = \varepsilon_0\nabla\times\mathbf{E} + \nabla\times\mathbf{P} = \nabla\times\mathbf{P}$$

이고 이것은 일반적으로 0이 아니다. 따라서

• $\mathbf{D}$에는 쿨롱 법칙이 없다. $\mathbf{D}(\mathbf{r}) \ne \frac{1}{4\pi}\int\rho_f\hat{\boldsymbol{\eta}}/\eta^2\, d\tau'$.
• $\mathbf{D}$에는 스칼라 퍼텐셜이 없다. $\mathbf{D} = -\nabla(\text{무엇})$으로 쓸 수 없다.
• 가우스 법칙으로 $\mathbf{D}$를 구하는 것은 대칭성이 충분할 때만 된다 — 위의 도선처럼 $\mathbf{P}$의 회전이 대칭성 때문에 0인 경우.

주의

반례 — 막대 일렉트릿. 막대 모양 유전체가 축 방향으로 영구 분극 $\mathbf{P}$를 갖고 있고 (일렉트릿, 자석의 전기 판), 자유 전하는 어디에도 없다. $\nabla\cdot\mathbf{D} = 0$이니 "$\mathbf{D} = 0$"이라 결론짓고 싶지만 그러면 $\mathbf{E} = -\mathbf{P}/\varepsilon_0$이 막대 안에서, $\mathbf{E} = 0$이 밖에서 나온다 — 막대 끝의 속박 전하 $\pm\sigma_b$가 밖으로 만드는 쌍극자장이 통째로 사라진 답이다. 실제로는 $\mathbf{P}$가 막대 옆면에서 갑자기 0으로 떨어지므로 그 모서리에서 $\nabla\times\mathbf{P} \ne 0$이고, $\mathbf{D}$의 회전이 거기서 살아 있어 $\mathbf{D} \ne 0$이다. 발산이 0이라고 장이 0인 것은 아니다.

이름에 대해 한 줄. “변위(displacement)“는 맥스웰이 붙인 이름으로, 유전체 안의 전하가 전기장에 밀려 변위한 정도를 뜻했다. 그 변위가 시간에 따라 바뀌면 전류처럼 자기장을 만든다는 것이 2.6 6절의 변위 전류 $\partial\mathbf{D}/\partial t$이고, 그것이 맥스웰 방정식을 완성했다. 이 장에서 $\mathbf{D}$는 아직 정지해 있다.

경계 조건

직관

두 유전체가 만나는 면에서 전기장은 꺾인다. 물 위에서 빛이 꺾이는 것과 같은 그림인데 이유는 다르다 — 빛은 파동의 속도가 달라서 꺾이고, 정전기장은 계면에 속박 전하가 쌓여서 꺾인다. 이 절의 두 조건 “$\mathbf{D}$의 법선 성분은 (자유 전하가 없으면) 이어지고, $\mathbf{E}$의 접선 성분은 이어진다”는 유전체 문제 전체에서 두 영역의 해를 이어 붙이는 유일한 접착제이고, MOS 구조의 “산화막 전기장 = 3 × 실리콘 전기장”이 이 두 줄에서 한 줄로 나온다.

두 조건의 유도

2.1.6경계 조건에서 진공의 경계 조건을 얻은 것과 같은 방법이다. 두 매질 1·2의 경계면에 자유 표면 전하 $\sigma_f$가 있다고 하자.

법선 성분. 경계면을 가로지르는 납작한 상자(두께 $\to 0$, 윗면·아랫면 넓이 $A$)에 유전체 내 가우스 법칙을 쓰면 옆면의 기여는 사라지고

$$(D_1^{\perp} - D_2^{\perp})A = \sigma_f A \quad\Longrightarrow\quad D_1^{\perp} - D_2^{\perp} = \sigma_f$$

여기서 $\perp$는 매질 2에서 매질 1로 향하는 법선 $\hat{\mathbf{n}}$ 방향 성분이다. 자유 전하가 없으면 $\mathbf{D}$의 법선 성분은 연속이다.

접선 성분. 경계면을 가로지르는 납작한 고리(높이 $\to 0$, 길이 $\ell$)에 $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = 0$(정전기장은 회전이 없다, 2.1.4E의 회전과 전위)을 쓰면

$$E_1^{\parallel} = E_2^{\parallel}$$

$\mathbf{E}$의 접선 성분은 언제나 연속이다 — 자유 전하가 있어도, 속박 전하가 있어도. 같은 말을 전위로 하면 $V_1 = V_2$(전위는 경계에서 연속)이고, 이것이 실제 계산에서 더 자주 쓰이는 형태다.

두 조건이 서로 다른 장에 걸린다는 것이 핵심이다. 왜 법선은 $\mathbf{D}$이고 접선은 $\mathbf{E}$인가. 법선 조건은 가우스 법칙 — 전하를 세는 법칙 — 에서 오고, 자유 전하만 세려면 $\mathbf{D}$를 써야 한다. 접선 조건은 회전이 없다는 사실에서 오는데, 회전이 없는 것은 $\mathbf{E}$이지 $\mathbf{D}$가 아니다(6절). 그러니 $D^{\parallel}$는 일반적으로 불연속이고, $E^{\perp}$도 불연속이다. $E^{\perp}$의 불연속은 총 표면 전하 — 자유 + 속박 — 가 만든다.

$$E_1^{\perp} - E_2^{\perp} = \frac{\sigma_f + \sigma_b}{\varepsilon_0}, \qquad \sigma_b = \sigma_{b,1} + \sigma_{b,2} = -(\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_2)\cdot\hat{\mathbf{n}}$$

선형 유전체 사이의 굴절

두 매질이 선형($\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$, 8절)이고 경계에 자유 전하가 없으면 두 조건이

$$\varepsilon_1 E_1^{\perp} = \varepsilon_2 E_2^{\perp}, \qquad E_1^{\parallel} = E_2^{\parallel}$$

가 된다. 전기장이 법선과 이루는 각을 $\theta_1$·$\theta_2$라 하면 $E^{\parallel} = E\sin\theta$, $E^{\perp} = E\cos\theta$이므로 둘을 나누어

$$\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$$

전기장선의 굴절 법칙이다. 유전율이 큰 쪽에서 전기장선은 법선에서 멀어진다(더 눕는다). 스넬 법칙과 닮았지만 사인이 아니라 탄젠트이고, 유전율이 큰 쪽이 법선에서 멀어지는 방향이라 빛과 반대다.

그림 2.3-5. 유전체 경계에서 전기장의 굴절. 접선 성분은 그대로 이어지고 법선 성분은 ε의 역비로 뛴다 — ε이 큰 쪽(아래)에서 법선 성분이 작아져 선이 눕는다. 오른쪽은 실리콘(ε_r = 11.7) 위 산화막(ε_r = 3.9)의 수직 입사 경우로, D는 그대로 통과하고 E는 산화막 쪽에서 세 배가 된다. 계면에 자유 전하(고정 산화막 전하·계면 트랩)가 있으면 D의 법선 성분이 그만큼 어긋난다.직접 작도

도체–유전체 경계

한쪽(매질 2)이 도체이면 그 안에서 $\mathbf{E} = \mathbf{D} = 0$이므로 유전체 쪽에서

$$D^{\perp} = \sigma_f, \qquad E^{\parallel} = 0$$

전기장은 도체 표면에 수직이고, 그 크기는 표면의 자유 전하가 정한다 — 단 $\mathbf{D}$로. 유전체가 있으면 같은 $\sigma_f$에 대해 $E = \sigma_f/\varepsilon$으로 진공보다 $\varepsilon_r$배 작다. 축전기의 판 전하가 같을 때 유전체가 전압을 $\varepsilon_r$배 낮추는 것이 이 한 줄이고, 그래서 $C = Q/V$가 $\varepsilon_r$배 커진다(2.1.9축전기와 정전용량).

반도체에서 — Si/SiO₂ 경계

이 절이 13부에서 어떻게 쓰이는지 한 번만 미리 본다. MOS 구조의 게이트에 전압을 걸면 전기장이 산화막을 지나 실리콘으로 들어간다. 수직 입사($\theta = 0$)이므로 계면에서

$$\varepsilon_{\text{ox}}E_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{Si}}E_{\text{Si}} + Q_{\text{it}}$$

$Q_{\text{it}}$는 계면에 잡힌 자유 전하(계면 트랩·고정 전하)로, 이상적인 계면에서는 0이다. 그때

$$E_{\text{ox}} = \frac{\varepsilon_{\text{Si}}}{\varepsilon_{\text{ox}}}E_{\text{Si}} = \frac{11.7}{3.9}E_{\text{Si}} = 3\,E_{\text{Si}}$$

산화막 속 전기장이 실리콘 표면 전기장의 세 배다. 실리콘 표면에서 $10^{5}$ V/cm면 산화막에서 $3\times10^{5}$ V/cm이고, 이것이 산화막 파괴 강도(9절, $\sim10^{7}$ V/cm)와 얼마나 떨어져 있는지가 게이트 신뢰성의 첫 계산이다. 13부 1장은 이 식을 “게이트 전압 = 산화막 전압 + 표면 퍼텐셜”로 풀어 쓰는 데서 시작하고, 13부 2장의 플랫밴드 전압 이동은 $Q_{\text{it}}$ 항이 하는 일이다.

직관

파라미터 연계. 굴절 법칙의 $\varepsilon_1/\varepsilon_2$ 하나가 세 군데를 움직인다. ① 고유전율 게이트 유전체(10절)를 쓰면 $\varepsilon_{\text{hk}}/\varepsilon_{\text{Si}}$가 1을 넘어 유전체 속 전기장이 실리콘보다 작아진다 — 같은 실리콘 표면 전기장에서 유전체가 받는 스트레스가 준다. ② 그러나 그 유전체와 실리콘 사이에 얇은 SiO₂ 계면층이 남으면 $\mathbf{D}$ 연속에 의해 그 층에 $\varepsilon_{\text{hk}}/\varepsilon_{\text{ox}}$배의 전기장이 집중된다 — 스택에서 가장 얇은 층이 가장 센 전기장을 받는다. ③ 이종 접합(GaAs 12.9 / AlGaAs 12.0)에서는 비가 1.07이라 굴절이 거의 없고, 그래서 12부의 이종 접합 정전기는 유전율 차를 무시하는 일이 많다.

선형 유전체와 감수율·유전율

직관

지금까지 $\mathbf{P}$는 정체를 모르는 양이었다. 이 절에서 대부분의 재료에 맞는 가정 하나를 둔다 — 분극은 전기장에 비례한다. 3절에서 원자 하나에 대해 $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$였고, 4절에서 배향 분극도 약한 장에서 $P \propto E$였다. 그러면 $\mathbf{D}$도 $\mathbf{E}$에 비례하고, 그 비례 상수 $\varepsilon$ 하나에 물질의 모든 것이 들어간다. 대가로 얻는 것은 크다 — 진공 정전기학의 공식에서 $\varepsilon_0$를 $\varepsilon$으로 바꾸면 유전체 정전기학이 된다.

감수율과 유전율

선형 유전체의 정의:

$$\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$$

$\chi_e$는 전기 감수율(electric susceptibility), 무차원이다. $\varepsilon_0$를 앞에 빼 둔 것은 $\chi_e$를 무차원으로 만들기 위한 SI의 관례다(가우스 단위계에서는 없다 — 장 앞의 함정 ⑤). 여기서 $\mathbf{E}$는 총 전기장 — 자유 전하와 속박 전하가 함께 만든, 유전체 안 그 자리의 실제 전기장 — 이다. 외부에서 건 전기장이 아니다.

$\mathbf{D}$에 넣으면

$$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\mathbf{E} \equiv \varepsilon\mathbf{E}$$ $$\varepsilon = \varepsilon_0(1+\chi_e), \qquad \varepsilon_r \equiv \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = 1 + \chi_e$$

$\varepsilon$이 유전율(permittivity), $\varepsilon_r$이 상대 유전율 또는 유전 상수다. 진공은 $\chi_e = 0$, $\varepsilon_r = 1$. 세 이름이 같은 정보를 담는다 — $\chi_e$는 “얼마나 분극되는가”, $\varepsilon_r$은 “진공보다 전기장을 얼마나 줄이는가”, $\varepsilon$은 “$\mathbf{D}$와 $\mathbf{E}$의 환율”. 물성표는 $\varepsilon_r$로 적고, 식에는 $\varepsilon$이 들어가며, $\chi_e$는 미시적 기구를 이야기할 때 쓴다.

주의

선형이 곧 “$\mathbf{D}$를 자유 전하만으로 구할 수 있다”는 뜻은 아니다. $\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}$에서 $\mathbf{E}$가 총 전기장이므로 6절의 순환 — 분극 → 속박 전하 → 전기장 → 분극 — 은 여전히 있다. 선형 가정이 한 일은 그 순환을 대수 방정식 하나로 닫은 것이다. 실제로 계산이 쉬워지는 것은 다음 항목의 조건 — 공간이 균일한 선형 유전체로 채워졌거나 대칭성이 충분할 때 — 이 붙을 때다. 유전율이 다른 두 재료가 비스듬히 만나면 $\nabla\times\mathbf{P} \ne 0$이라 6절의 경고가 그대로 살아 있고, 그때는 경계값 문제(2.2)를 풀어야 한다.

균일 선형 유전체 — 진공 공식의 $\varepsilon_0 \to \varepsilon$

공간의 어떤 영역이 한 종류의 선형 유전체로 균일하게 채워져 있으면 그 안에서

$$\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P} = -\nabla\cdot\!\left(\varepsilon_0\frac{\chi_e}{\varepsilon}\mathbf{D}\right) = -\frac{\chi_e}{1+\chi_e}\,\rho_f$$

즉 자유 전하가 없는 곳에는 속박 부피 전하도 없다. 속박 전하는 유전체의 표면에만 생긴다. 그러면 그 영역 안에서 $\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_f$와 $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$, $\mathbf{E} = -\nabla V$를 합쳐

$$\nabla^2 V = -\frac{\rho_f}{\varepsilon}$$

2.1.5푸아송·라플라스 방정식의 푸아송 방정식 그대로이고, $\varepsilon_0$ 자리에 $\varepsilon$이 앉았다. 2.2의 모든 도구 — 유일성 정리, 영상법, 변수분리 — 가 그대로 쓰인다. 다만 경계 조건은 7절의 것을 쓴다. 세 가지 결과가 곧바로 따라온다.

• 점전하. 균일 유전체 속 점전하 $q$의 전기장은 $\mathbf{E} = q/(4\pi\varepsilon r^2)\,\hat{\mathbf{r}}$ — 진공보다 $\varepsilon_r$배 약하다. 전하 둘레에 반대 부호 속박 전하 $-q\chi_e/(1+\chi_e)$가 달라붙어 가려 주기 때문이다(유전 차폐). 실리콘 속 이온화 도너의 쿨롱 퍼텐셜이 진공의 1/11.7인 것이 이 식이고, 그래서 수소 원자 모형으로 계산한 도너 이온화 에너지가 13.6 eV가 아니라 그것의 $1/\varepsilon_r^2$(에 유효질량 비를 곱한) 수십 meV로 내려온다(11부 1장).
• 축전기. 판 사이를 유전체로 채우면 같은 $Q$에 $E$가 $\varepsilon_r$배 줄어 $V$도 줄고, $C = \varepsilon_r C_0$. 평행판이면 $C = \varepsilon A/d$. MOS 커패시터의 단위 면적 정전용량 $C_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{ox}}/t_{\text{ox}}$가 이것이고, 10절과 13부 전체가 이 숫자 위에 선다.
• 에너지. $\varepsilon_0 \to \varepsilon$이 에너지 식에도 그대로 되는지는 11절에서 따로 본다 — 답은 “된다, 그런데 이유가 다르다”이다.

예 — 균일 전기장 속의 유전체 구

균일 전기장 $\mathbf{E}_0$ 안에 유전율 $\varepsilon$인 구(반지름 $R$)를 놓는다. 자유 전하는 없고, 구 안팎이 각각 균일하므로 안팎에서 $\nabla^2V = 0$. 2.2.5변수분리법(구·원통 좌표)의 구면 변수분리를 쓰고 7절의 경계 조건($V$ 연속, $\varepsilon\,\partial V/\partial r$ 연속)을 맞추면 $l = 1$ 항만 살아남아

$$\mathbf{E}_{\text{내부}} = \frac{3}{\varepsilon_r + 2}\,\mathbf{E}_0, \qquad \mathbf{P} = 3\varepsilon_0\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2}\,\mathbf{E}_0$$

내부 전기장이 균일하고 외부보다 작다. 이유를 5절이 이미 말했다 — 분극 $\mathbf{P}$가 표면에 $\sigma_b = P\cos\theta$를 남기고, 그것이 안에 탈분극장 $-\mathbf{P}/3\varepsilon_0$을 만든다. 실제로 $\mathbf{E}_{\text{내부}} = \mathbf{E}_0 - \mathbf{P}/3\varepsilon_0$에 $\mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}_{\text{내부}}$를 넣어 풀면 위 식이 그대로 나온다. 변수분리 없이 5절의 결과와 선형 관계 한 줄로 푼 것이다.

의문

$\varepsilon_r \to \infty$면 무엇이 되는가. $\mathbf{E}_{\text{내부}} \to 0$이고 $\mathbf{P} \to 3\varepsilon_0\mathbf{E}_0$ — 도체 구의 답이다(2.1.8도체와 유도 전하: 도체 안 전기장 0, 유도 전하가 만드는 쌍극자 모멘트 $4\pi\varepsilon_0R^3E_0$). 유전 상수가 무한한 유전체는 도체와 구별되지 않는다. 물($\varepsilon_r = 80$)이 정전기에서는 거의 도체처럼 행세하는 것이 이것이고, 반대로 도체를 “$\varepsilon_r = \infty$인 유전체”로 취급하는 것이 2.2의 여러 경계값 문제에서 통하는 요령이다. 2.8에서 도체의 유전율이 복소수 $\varepsilon(\omega)$가 되면 이 극한이 더 정확한 의미를 얻는다.

미시와 거시를 잇는다 — 클라우지우스–모소티

3절의 $\alpha$와 이 절의 $\chi_e$는 같은 물리를 두 눈금으로 본 것이다. 둘을 잇는 것이 이 항목이다. 분자 $N$개가 부피당 있고 각각 $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}_{\text{loc}}$이면 $\mathbf{P} = N\alpha\mathbf{E}_{\text{loc}}$이다. 문제는 $\mathbf{E}_{\text{loc}}$ — 분자 하나가 느끼는 국소 전기장 — 이 거시 전기장 $\mathbf{E}$와 같지 않다는 것이다. 거시 $\mathbf{E}$는 그 분자 자신의 기여를 포함한 평균이고, 국소 장은 자기 자신을 뺀 나머지가 만드는 장이다.

기체처럼 묽으면 이웃의 영향이 없어 $\mathbf{E}_{\text{loc}} \approx \mathbf{E}$이고

$$\chi_e = \frac{N\alpha}{\varepsilon_0}, \qquad \varepsilon_r - 1 = \frac{N\alpha}{\varepsilon_0} \qquad (\text{기체})$$

공기로 확인한다. $N = 2.5\times10^{25}$ m⁻³, 질소·산소의 $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \approx 1.7\times10^{-30}$ m³를 넣으면 $\varepsilon_r - 1 = 4\pi \times 1.7\times10^{-30}\times2.5\times10^{25} = 5.3\times10^{-4}$. 측정값 $5.4\times10^{-4}$이다.

밀한 물질에서는 자기 자신을 빼야 한다. 로렌츠의 논법: 분자 둘레에 작은 구를 파내고, 구 바깥의 매질은 연속체로, 구 안의 이웃은 (입방 대칭이면) 기여가 0으로 본다. 파낸 구의 안쪽 표면에 남은 속박 전하가 만드는 장은 5절의 균일 분극 구 결과를 뒤집은 $+\mathbf{P}/3\varepsilon_0$이다. 그래서

$$\mathbf{E}_{\text{loc}} = \mathbf{E} + \frac{\mathbf{P}}{3\varepsilon_0}$$

이것을 $\mathbf{P} = N\alpha\mathbf{E}_{\text{loc}}$에 넣고 $\mathbf{P} = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)\mathbf{E}$로 정리하면

$$\boxed{\;\frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r + 2} = \frac{N\alpha}{3\varepsilon_0}\;}$$

클라우지우스–모소티 관계다. 왼쪽은 거시 측정값, 오른쪽은 미시 상수 — 유전 상수를 재서 분자 분극률을 얻거나, 분극률과 밀도에서 유전 상수를 예측한다. 굴절률 $n^2 = \varepsilon_r$로 쓰면 로렌츠–로렌츠 식이 된다.

직관

그래프로 보면 왜 유전 상수가 발산할 수 있는가. $x \equiv N\alpha/3\varepsilon_0$로 두고 풀면 $\varepsilon_r = (1 + 2x)/(1 - x)$이다. $x$가 작을 때는 $\varepsilon_r \approx 1 + 3x$로 기체 식과 같은 직선인데, $x \to 1$에서 발산한다. 분극이 국소 장을 키우고 국소 장이 분극을 키우는 되먹임이 이득 1을 넘는 자리다 — 외부 전기장이 없어도 분극이 스스로 유지되는 분극 파국(polarization catastrophe)이고, 강유전성이 나타나는 고전적 설명이다. 밀도 $N$을 올리거나 (압력·냉각) 분극률 $\alpha$가 큰 이온을 넣으면 $x$가 1에 다가가고, $\varepsilon_r$은 직선에서 벗어나 위로 꺾인다. HfO₂·ZrO₂·TiO₂(9절 표)의 큰 유전 상수는 이 곡선의 오른쪽 가파른 구간에 있고, 그래서 조성·결정상에 따라 값이 크게 흔들린다.

유전 상수와 절연 파괴 강도

직관

유전체를 소자에 쓸 때 묻는 것은 두 가지다. 얼마나 많은 전하를 유도할 수 있는가(유전 상수), 그리고 얼마나 센 전기장까지 견디는가(절연 파괴 강도). 둘의 곱 $\varepsilon E_{\text{bd}}$가 단위 면적당 실을 수 있는 최대 전하이고, 게이트가 채널에 유도할 수 있는 전자 수의 상한이 여기서 나온다. 반도체 유전체 재료 선택은 이 두 숫자와, 10절에서 보는 세 번째 숫자(밴드갭) 사이의 거래다.

유전 상수 표

재료	$\varepsilon_r$ (정전기)	$E_{\text{bd}}$	비고
진공	1	—	정의
공기 (1 atm)	1.00054	3 MV/m	파괴 = 방전(코로나·아크)
테플론	2.1	60 MV/m	무극성 고분자
폴리스티렌	2.6	25 MV/m
SiO₂ (열산화막)	3.9	$\sim 10$ MV/cm	게이트 산화막의 기준
Si₃N₄	7.5	$\sim 10$ MV/cm
Al₂O₃	9	$\sim 5$–8 MV/cm
HfO₂	20–25	$\sim 4$–6 MV/cm	고-$\kappa$ 게이트 유전체
ZrO₂	25	$\sim 4$ MV/cm	DRAM 커패시터
TiO₂	80	$\sim 1$ MV/cm
Si	11.7	0.3 MV/cm	반도체 — 파괴 = 애벌랜치
Ge	16	0.1 MV/cm
GaAs	12.9	0.4 MV/cm
GaN	9	3.3 MV/cm	광대역 갭 — 전력 소자
SiC (4H)	9.7	2–3 MV/cm
물 (20 °C)	80	—	배향 분극
SrTiO₃	$\sim 300$	—	상유전체, 분극 파국 근처

산화막류의 파괴 강도는 MV/cm, 공기·고분자는 MV/m로 적었다 — 단위가 100배 다르므로 그대로 비교하면 안 된다. SiO₂의 10 MV/cm는 $10^{9}$ V/m로, 공기의 300배가 넘는다. 1 nm 산화막에 1 V가 걸리면 이미 10 MV/cm다.

주의

표의 값 두 종류를 구분해서 읽는다. $\varepsilon_r$은 재료의 상수에 가깝다 — 순도·결정상에 따라 10~20 % 흔들리지만 자릿수가 바뀌지 않는다. $E_{\text{bd}}$는 상수가 아니다. 두께·면적· 결함 밀도·온도·전압을 거는 시간에 따라 두세 배는 쉽게 달라지고, 같은 웨이퍼 위의 소자들 사이에서도 통계 분포(와이블)를 이룬다. 표의 $E_{\text{bd}}$는 “이 부근에서 깨진다”는 자릿수이고, 실제 설계는 그 절반 이하에서 한다. 정량적 신뢰성 — 시간 의존 파괴(TDDB)와 그 통계 — 은 19부의 일이다.

유전 상수가 소자에서 하는 일

$\varepsilon_r$은 이 백과에서 가장 자주 나오는 재료 상수 중 하나다. 어디에 어떻게 들어가는지 방향만 적어 둔다.

• 정전용량 — 정비례. $C = \varepsilon A/d$. 같은 두께에서 HfO₂는 SiO₂의 5배 정전용량을 준다.
• 공핍층 폭 — 제곱근. 12부 1장의 $W = \sqrt{2\varepsilon_s V_{bi}/qN}$에서 $\varepsilon_s$가 안에 있다. 유전 차폐가 클수록 같은 전하로 만드는 전기장이 약해 전위를 쌓는 데 더 넓은 공간이 든다. Si(11.7)와 GaN(9)의 차이는 $\sqrt{11.7/9} = 1.14$배다.
• 도너 이온화 에너지 — 역제곱. 8절에서 본 $E_D \propto m^*/(\varepsilon_r^2)$. Si에서 45 meV 안팎, GaAs에서 6 meV. 유전 상수가 클수록 불순물이 얕아져 상온에서 전부 이온화된다.
• 엑시톤 결합 에너지 — 역제곱. 같은 이유로 실리콘의 엑시톤은 15 meV로 상온에서 풀려 있고, 유전 상수가 작은 2차원 재료나 유기 반도체에서는 수백 meV로 묶여 있어 광소자 물리가 달라진다.
• RC 지연 — 정비례. 배선 사이의 층간 절연막은 반대로 $\varepsilon_r$이 작아야 한다. 같은 배선 구조에서 지연 $\tau = RC \propto \varepsilon_r$이므로, SiO₂(3.9)를 저-$\kappa$ 재료(2.5 이하, 다공성)로 바꾸는 것이 18부 배선 공정의 한 축이다. 게이트는 고-$\kappa$, 배선은 저-$\kappa$ — 같은 상수를 반대 방향으로 밀고 있다.

절연 파괴

전기장이 어느 한계를 넘으면 유전체가 갑자기 도체처럼 전류를 흘린다. 기구는 재료마다 다르다.

• 기체 — 방전. 자유 전자 하나가 전기장에 가속되어 분자를 이온화하고, 생긴 전자가 다시 이온화하는 연쇄(타운센드 사태). 파괴 전압이 압력 × 간격의 함수(파셴 법칙)라서, 진공 장비 안에서 낮은 압력의 기체가 뜻밖에 낮은 전압에서 방전하는 일이 18부 플라즈마 공정의 배경이다.
• 반도체 — 애벌랜치. 같은 연쇄가 결정 안에서 일어난다. 캐리어가 밴드갭 이상의 운동 에너지를 얻어 전자–정공 쌍을 만든다(충돌 이온화). 실리콘의 0.3 MV/cm가 이것이고, 12부의 애벌랜치 항복과 17부 전력 소자의 내압이 전부 이 숫자에서 나온다. GaN·SiC의 파괴 강도가 실리콘의 열 배인 것은 밴드갭이 세 배라 충돌 이온화에 더 큰 에너지가 필요하기 때문이다 — 파괴 강도는 밴드갭과 함께 오른다.
• 고체 절연체 — 전자 사태와 열. 산화막 안에서도 전자가 가속되어 결합을 끊는다. 그 과정에서 결함(트랩)이 하나둘 생기고, 결함이 쌓여 전도 경로(퍼콜레이션)를 이루는 순간 파괴된다. 그래서 산화막 파괴는 시간이 걸리는 일이고, 전기장이 낮으면 오래, 높으면 빨리 온다. 열적 파괴는 누설 전류의 줄 열이 전도도를 올리고 전도도가 전류를 올리는 폭주다.

직관

최대 유도 전하. 게이트 유전체가 채널에 유도할 수 있는 단위 면적당 전하의 상한은 $Q_{\max} = D_{\max} = \varepsilon E_{\text{bd}}$다. SiO₂에 넣으면

$$Q_{\max} = 3.9 \times 8.85\times10^{-12}\ \text{F/m} \times 10^{9}\ \text{V/m} \approx 3.5\times10^{-2}\ \text{C/m}^2 = 3.5\ \mu\text{C/cm}^2$$

전자 수로 $2\times10^{13}$ cm⁻²다. 신뢰성 여유를 두어 그 3분의 1을 쓰면 $\sim 10^{13}$ cm⁻² — 실제 MOSFET의 반전층 전자 밀도가 정확히 이 자릿수다. 트랜지스터가 흘릴 수 있는 전류는 결국 “유전체가 깨지지 않고 유도할 수 있는 전하 × 그 전하의 속도”이므로, $\varepsilon E_{\text{bd}}$가 구동 전류의 재료적 상한을 정한다. 고-$\kappa$ 재료가 $\varepsilon$을 5배 올리면서 $E_{\text{bd}}$를 절반으로 낮추는 것이 이 곱을 두세 배 키우는 데 그치는 이유이기도 하다.

정전기 값과 광학 값

표의 $\varepsilon_r$은 정전기(주파수 0) 값이다. 3절에서 본 대로 분극 기구마다 따라갈 수 있는 주파수가 달라, 주파수를 올리면 배향 분극이 먼저($\sim$GHz), 이온 분극이 다음($\sim$10 THz) 떨어져 나가고 전자 분극만 남는다. 물은 80에서 1.77($n = 1.33$)로, SiO₂는 3.9에서 2.1로 내려간다. 실리콘은 극성 결합이 없어 이온 분극이 없고, 그래서 정전기 11.7과 광학 $3.4^2 = 11.6$이 거의 같다. $\varepsilon(\omega)$의 모양과 그 사이에서 생기는 흡수는 2.8 8절이다. 이 장의 “유전 상수”는 소자 동작 주파수(GHz 이하)에서는 정전기 값으로 읽어도 된다.

고유전율 재료 (게이트 유전체는 13·14부)

직관

$C = \varepsilon A/d$를 키우는 방법은 둘이다 — $d$를 줄이거나 $\varepsilon$을 키우거나. 1970년부터 2007년까지 반도체 산업은 앞쪽만 썼고, SiO₂ 두께가 100 nm에서 1.2 nm까지 내려갔다. 1.2 nm는 원자 다섯 층이다. 거기서 벽에 부딪혔다 — 양자 터널링 누설이 두께에 지수적으로 커져 게이트가 더 이상 절연체가 아니게 됐다. 그래서 뒤쪽으로 갈아탔다. 이 절은 그 갈아타기의 전자기학이고, 소자·재료 쪽 세부는 13·14부에 둔다.

등가 산화막 두께

두께 $t$, 유전 상수 $\kappa$인 유전체의 단위 면적당 정전용량은 $C' = \kappa\varepsilon_0/t$다. 같은 $C'$를 SiO₂로 만들려면 두께가 얼마여야 하는가 — 그 두께를 등가 산화막 두께(EOT)라 한다.

$$\frac{3.9\,\varepsilon_0}{\text{EOT}} = \frac{\kappa\,\varepsilon_0}{t} \quad\Longrightarrow\quad \text{EOT} = \frac{3.9}{\kappa}\,t$$

HfO₂($\kappa = 20$) 4 nm는 EOT 0.78 nm — 물리적으로는 SiO₂ 1.2 nm의 세 배 두꺼우면서 정전용량은 더 크다. 터널링 확률이 두께에 $e^{-2\gamma t}$로 걸리므로 두께 세 배는 누설을 몇 자리 낮춘다. 정전용량은 유지하고 누설은 줄이는 것 — 이것이 고-$\kappa$의 전부다.

그림 2.3-6. 같은 정전용량을 주는 두 게이트 스택. 왼쪽은 SiO₂ 1.2 nm, 오른쪽은 SiO₂ 계면층 0.5 nm 위의 HfO₂ 4 nm로, EOT는 각각 1.2 nm와 0.5 + 0.78 = 1.28 nm다. 아래 막대는 같은 게이트 전압에서 각 층에 걸리는 전기장으로, D가 연속이므로 E는 κ에 반비례한다 — 오른쪽 스택에서 가장 얇은 계면층이 HfO₂의 다섯 배 전기장을 받는다. 스택 전체 두께는 세 배가 됐지만 전압의 절반 가까이가 0.5 nm 계면층에 걸린다.직접 작도

다층 스택 — 직렬 정전용량과 전기장 배분

실제 스택은 고-$\kappa$ 층 하나가 아니다. HfO₂를 실리콘 위에 바로 올리면 계면이 나빠서, 얇은 SiO₂(또는 SiON) 계면층을 두고 그 위에 올린다. 층이 직렬이므로

$$\frac{1}{C'} = \sum_i \frac{t_i}{\kappa_i\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad \text{EOT} = \sum_i \frac{3.9}{\kappa_i}\,t_i$$

계면층은 $\kappa = 3.9$라 자기 두께가 그대로 EOT에 더해진다. HfO₂ 4 nm(EOT 0.78) 위에 계면층 0.5 nm가 있으면 EOT 1.28 nm — 계면층이 전체의 40 %를 먹는다. 고-$\kappa$ 스택의 EOT 경쟁은 사실상 계면층을 얼마나 얇게 만드느냐의 경쟁이고, 그래서 계면층을 0.3 nm 아래로 깎는 공정(스캐빈징)이 14부에 나온다.

각 층의 전기장은 7절의 경계 조건이 정한다. 자유 전하가 없는 계면에서 $D$가 연속이므로

$$\kappa_1 E_1 = \kappa_2 E_2 \quad\Longrightarrow\quad E_{\text{IL}} = \frac{\kappa_{\text{hk}}}{\kappa_{\text{IL}}}E_{\text{hk}} \approx 5\,E_{\text{hk}}$$

가장 얇은 저-$\kappa$ 층에 가장 센 전기장이 걸린다. 각 층에 걸리는 전압은 $E_it_i$이므로 위 예에서 계면층(0.5 nm × 5$E$)과 HfO₂(4 nm × $E$)의 전압 비는 2.5 : 4 — 전체 전압의 40 %가 0.5 nm짜리 층에 걸린다. 스택을 두껍게 만들었는데 실제로 전기장 스트레스를 받는 것은 여전히 얇은 SiO₂라는 것이, 고-$\kappa$ 스택 신뢰성이 계면층 품질에 매달리는 이유다.

의문

그러면 왜 $\kappa = 300$인 SrTiO₃를 쓰지 않는가? $\kappa$만 보면 EOT를 0.1 nm 아래로 내릴 수 있어 보인다. 세 가지가 막는다.

① 밴드갭이 $\kappa$와 반대로 간다. 경험적으로 산화물의 밴드갭은 $\kappa$가 클수록 작다 — SiO₂ 9 eV, Al₂O₃ 8.8, HfO₂ 5.8, TiO₂ 3.5, SrTiO₃ 3.2. 3절에서 본 이유가 그대로다: 큰 $\kappa$는 무른 이온 결합에서 오고, 무른 결합은 좁은 밴드갭을 준다. 밴드갭이 작으면 실리콘과의 전도대 오프셋(전자가 넘어야 할 장벽)이 작아져 터널링이 아니라 열전자 방출로 누설이 흐른다. 장벽이 1 eV는 넘어야 하고, 그 조건이 $\kappa$를 30 안팎에서 자른다.

② 무른 포논이 이동도를 깎는다. 고-$\kappa$를 주는 바로 그 저주파 광학 포논이 계면 너머 채널의 전자를 산란한다(원격 포논 산란). $\kappa$가 클수록 심하다.

③ 결정화·고정 전하·문턱 전압 이동. 비정질로 증착한 HfO₂가 공정 열에서 결정화하면 결정립 경계로 누설이 흐르고, 계면의 쌍극자와 고정 전하가 문턱 전압을 수백 mV 움직인다. 이것이 폴리실리콘 게이트를 버리고 금속 게이트로 간 이유의 절반이다(14부).

결국 HfO₂($\kappa \approx 20$, $E_g = 5.8$ eV)는 최적이 아니라 타협점이다. 표의 세 열 — $\kappa$, $E_{\text{bd}}$, 밴드갭 — 이 서로 반대로 움직이는 삼각형 안에서 고른 자리다.

DRAM 커패시터

같은 문제가 메모리에도 있다. DRAM 셀 커패시터는 리프레시 사이에 충분한 전하(수십 fC)를 붙들어야 하고, 셀 면적은 세대마다 줄어든다. 면적을 줄이면서 정전용량을 지키려고 먼저 커패시터를 세워서 표면적을 벌었고(원통형·기둥형, 종횡비 수십), 그다음 유전체를 SiO₂ → Si₃N₄ → Al₂O₃ → ZrO₂/Al₂O₃/ZrO₂ 적층(ZAZ)으로 바꿨다. 사이에 끼운 Al₂O₃는 $\kappa$가 9로 낮지만 밴드갭 8.8 eV로 누설을 막는 장벽이다 — ①의 타협을 층으로 나눠 푼 것이다. 유전율이 큰 층이 전하를 유도하고 밴드갭이 큰 층이 누설을 막는 이 분업이 15부 DRAM 장의 재료 이야기다. 2절의 $\tau = \varepsilon/\sigma$가 리프레시 간격보다 몇 자리 길어야 한다는 조건이 이 스택에 걸려 있다.

유전체계의 에너지와 힘

직관

2.1.7정전 에너지와 에너지 밀도에서 정전 에너지는 $\tfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\, d\tau$였다. 유전체가 있으면 $\tfrac12\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\, d\tau$가 되는데, 이것은 단순히 $\varepsilon_0 \to \varepsilon$이 아니다 — 세는 것이 다르다. 2.1의 식은 “모든 전하를 무한대에서 모아 오는 데 든 일”이고, 이 절의 식은 “자유 전하를 모아 오는 데 든 일”이다. 둘 사이의 차이가 분자를 늘여 놓는 데 든 용수철 에너지인데, 선형 유전체에서는 그 에너지가 마침 $\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}$ 안에 정확히 들어간다.

자유 전하를 모으는 일

유전체가 놓인 계에 자유 전하를 조금씩 더해 간다. 자유 전하 밀도를 $\Delta\rho_f$만큼 늘릴 때 드는 일은 그 전하를 현재 전위 $V$까지 옮기는 일이다.

$$\Delta W = \int(\Delta\rho_f)V\, d\tau$$

$\rho_f = \nabla\cdot\mathbf{D}$이므로 $\Delta\rho_f = \nabla\cdot(\Delta\mathbf{D})$. 곱의 미분 규칙과 발산 정리로 정리하면(2.1 7장에서 한 것과 같은 절차, 무한대의 표면 항은 사라진다)

$$\Delta W = \int\nabla\cdot(\Delta\mathbf{D})\,V\, d\tau = -\int\Delta\mathbf{D}\cdot\nabla V\, d\tau = \int\Delta\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\, d\tau$$

여기까지는 어떤 유전체에도 성립한다. 선형 유전체이면 $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$라서 $\Delta\mathbf{D}\cdot\mathbf{E} = \varepsilon\,\Delta\mathbf{E}\cdot\mathbf{E} = \tfrac12\Delta(\varepsilon E^2) = \tfrac12\Delta(\mathbf{D}\cdot\mathbf{E})$이고, 0에서부터 적분하면

$$\boxed{\;W = \frac12\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\, d\tau = \frac{\varepsilon}{2}\int E^2\, d\tau\;}$$

“선형이면”이라는 조건이 붙는 자리를 보라. 비선형(강유전체)에서는 $\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{D}$를 경로대로 적분해야 하고, 그 적분이 이력 곡선을 한 바퀴 돌 때 0이 아닌 것이 강유전체의 손실 (이력 손실)이다.

2.1의 식과 무엇이 다른가

$\tfrac{\varepsilon_0}{2}\int E^2$은 2.1에서 모든 전하 — 지금 언어로는 자유 + 속박 — 를 무한대에서 모아 오는 일로 유도됐다. 그 식은 지금도 맞다. 다만 그것은 유전체의 분자를 이미 늘여 놓은 상태로 속박 전하 조각들을 하나씩 가져와 붙이는 일이고, 분자를 늘이는 데 든 용수철 에너지는 세지 않는다. 이 절의 $\tfrac12\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}$는 자유 전하를 가져올 때 유전체가 알아서 분극되게 두고 그 분극에 든 일까지 자유 전하가 치르게 한 것이다. 둘의 차이

$$\frac12\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\, d\tau - \frac{\varepsilon_0}{2}\int E^2\, d\tau = \frac12\int\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}\, d\tau$$

가 용수철 에너지다 — 쌍극자 하나를 $\mathbf{E}$ 안에서 $\alpha\mathbf{E}$까지 늘이는 일 $\tfrac12\alpha E^2 = \tfrac12\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}$를 부피로 더한 것이다. 어느 식이 “옳은가”는 질문이 틀렸다. 무엇을 계로 잡느냐가 다르다. 소자에서 묻는 것은 언제나 “전극에 실은 전하가 한 일”이므로 이 절의 식을 쓴다.

축전기로 확인 — 고정 전하와 고정 전압

판 사이를 선형 유전체로 채운 평행판 축전기($C = \varepsilon_r C_0$). 에너지는 $W = \tfrac12 CV^2 = Q^2/2C$이고, 유전체를 넣기 전과 비교하면 두 경우가 갈린다.

• 전하 $Q$를 고정(전원을 뗀 뒤 유전체를 넣는다): $W = Q^2/2C$가 $\varepsilon_r$배 줄어든다. 줄어든 에너지는 유전체를 안으로 끌어당기는 힘이 한 일로 나갔다.
• 전압 $V$를 고정(전원을 연결한 채 넣는다): $W = \tfrac12CV^2$이 $\varepsilon_r$배 늘어난다. 그런데 전원이 한 일은 $V\Delta Q = V^2\Delta C$로 늘어난 에너지의 두 배다. 나머지 절반이 역시 유전체를 끌어당기는 힘이 한 일이다.

두 경우 모두 유전체는 안으로 끌려 들어간다는 결론이 같다. 힘은 다음 항목에서 계산한다.

유전체에 걸리는 힘

가상일의 원리로 구한다. 유전체 판이 축전기 안으로 $x$만큼 들어가 있고, 전하가 고정돼 있으면 힘은 에너지의 $x$ 미분에 음의 부호를 붙인 것이다.

$$F = -\frac{dW}{dx}\bigg|_Q = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{Q^2}{2C}\right) = \frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx} = \frac12 V^2\frac{dC}{dx}$$

마지막 꼴은 $V$로 쓴 것뿐이라 전압 고정에서도 같은 값이다 — 전압 고정으로 계산하려면 전원이 한 일을 넣어야 하고, 넣으면 같은 답이 나온다(부호를 틀리는 고전적인 함정: $+dW/dx|_V$가 맞고 $-dW/dx|_V$는 틀리다). 폭 $w$, 간격 $d$, 판 길이 $\ell$인 축전기에 판이 $x$만큼 들어가 있으면 $C = \varepsilon_0 w[\varepsilon_r x + (\ell - x)]/d$이므로 $dC/dx = \varepsilon_0\chi_e w/d$,

$$F = \frac{\varepsilon_0\chi_e w}{2d}\,V^2$$

안으로($x$가 커지는 방향) 끌리고, $V^2$에 비례하며(부호와 무관), $\chi_e$에 비례한다.

그림 2.3-7. 반쯤 들어간 유전체 판에 걸리는 힘. 판 안쪽 깊숙이에서는 전기장이 판에 수직이라 판을 옆으로 미는 힘이 없다. 힘은 판의 앞 가장자리 근처 — 축전기 판 끝의 가장자리 전기장(fringing field)이 휘어 있는 곳 — 에서만 생기고, 휜 전기장이 속박 전하를 비스듬히 밀어 안쪽으로 끌어들인다. 에너지법은 이 복잡한 전기장을 한 번도 그리지 않고 C(x)의 기울기 하나로 같은 답을 낸다.직접 작도

의문

이 계산은 판 사이 전기장이 균일하다고 놓고 $C(x)$를 썼다. 균일한 전기장은 판에 수직이라 판을 옆으로 미는 성분이 없다. 그러면 힘은 어디서 오는가?

가장자리 전기장(fringing field)에서 온다. 축전기 판 끝에서 전기장은 밖으로 부풀어 휘고, 그 휜 부분이 유전체 판 가장자리의 속박 전하에 옆으로의 힘을 준다. 에너지법은 이 가장자리 장을 $C(x)$ 안에 이미 세고 있다 — $C$가 $x$에 따라 변하는 이유 자체가 유전체가 들어간 부분과 아닌 부분의 경계에서 전기장이 재배치되기 때문이다. 가장자리 장을 직접 적분해 힘을 구하면 같은 답이 나온다는 것이 확인돼 있다(Griffiths 4.4.4). 가상일이 강한 이유가 이것이다 — 힘이 생기는 자리를 몰라도 에너지가 $x$에 어떻게 걸리는지만 알면 된다.

같은 논리가 정전 MEMS를 움직인다. 빗살 구동기(comb drive)는 맞물린 빗살 사이의 $dC/dx$로 $\tfrac12V^2\,dC/dx$의 힘을 내고, 그 힘이 마이크로미러·가속도계·RF 스위치를 움직인다(17부).

불균일 장 속의 중성 물체 — 유전영동

4절의 $\mathbf{F} = (\mathbf{p}\cdot\nabla)\mathbf{E}$는 영구 쌍극자에 대한 것이었다. 유도 쌍극자 $\mathbf{p} = \alpha\mathbf{E}$에서는

$$\mathbf{F} = \alpha(\mathbf{E}\cdot\nabla)\mathbf{E} = \frac{\alpha}{2}\nabla(E^2)$$

이다. 중성 물체는 $E^2$이 커지는 쪽으로 끌린다 — 전기장의 부호와 무관하므로 교류에서도 같은 방향으로 끌리고, 그래서 실용적이다. 매질 속의 구형 입자에 8절의 유전체 구 결과를 넣으면 $\alpha \to 4\pi\varepsilon_m R^3\,\dfrac{\varepsilon_p - \varepsilon_m}{\varepsilon_p + 2\varepsilon_m}$ (클라우지우스–모소티 인자)이고, 입자가 매질보다 유전율이 크면 센 곳으로(양의 유전영동), 작으면 약한 곳으로(음의 유전영동) 간다. 나노와이어를 전극 사이에 정렬하고, 세포를 분류하고, 잉크 속 입자를 배치하는 10부·17부의 기술이 이 식이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 둔다.

• 준중성 근사(12부). 유전 완화 시간 $\varepsilon/\sigma$가 캐리어 수명보다 여섯 자리 짧아 중성 영역에서 $\rho \approx 0$을 놓을 수 있다(2절).
• MOS 정전기(13부 1장). 게이트 전압 = 산화막 전압 + 표면 퍼텐셜, 그리고 $\varepsilon_{\text{ox}}E_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{Si}}E_{\text{Si}}$(7절). 정전용량 $C_{\text{ox}} = \varepsilon_{\text{ox}}/t_{\text{ox}}$(8절).
• 고-$\kappa$ 금속 게이트(14부). EOT, 계면층 전기장 집중, $\kappa$–밴드갭 거래(10절).
• DRAM 커패시터(15부). 직렬 적층 유전체와 누설(10절), $\varepsilon/\sigma$와 리프레시(2절).
• 강유전체 메모리(15부). 잔류 분극과 이력 손실(4절·11절).
• GaN HEMT(17부). 분극 불연속이 만드는 계면 속박 전하와 2차원 전자 가스(5절).
• 애벌랜치 항복과 내압(12부·17부). 반도체의 파괴 강도가 밴드갭과 함께 오른다(9절).
• 배선 지연과 저-$\kappa$(18부). 같은 $\varepsilon_r$을 반대로 민다(9절).
• 산화막 신뢰성(19부). 파괴 강도가 상수가 아니라 시간과 통계의 함수라는 것(9절).

전부 $\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$와 경계 조건 두 줄에서 나오고, 달라지는 것은 $\varepsilon$이 무엇이고 어디에서 불연속이냐뿐이다.

이 장이 쓰이는 곳

• 2.5 물질 내 자기장
• 2.6 전기역학
• 2.7 보존 법칙
• 2.8 전자기파
• 3.3 빛의 전파
• 3.5 간섭과 편광
• 4.1 원자와 주기성
• 4.7 분자간 상호작용과 고분자
• 7.9 반도체의 밴드 구조
• 7.10 전자 상호작용과 차폐
• 8.12 유전·강유전·압전
• 9.2 표면 장력과 젖음