1부 수학 기초 1.8

그린 함수

1.7까지는 원천이 없는 방정식을 풀었다. 변수분리로 동차 해를 찾고, 경계조건에 맞춰 계수를 정했다. 그런데 반도체에서 실제로 만나는 방정식은 거의 전부 오른쪽에 무언가가 있다 — 전하 밀도가, 캐리어 생성률이, 주입된 도판트가, 발열이. 그 오른쪽 항을 원천이라 부르고, 이 장은 원천이 있는 선형 방정식을 한꺼번에 푸는 방법을 다룬다.

방법의 뼈대는 두 문장이다.

어떤 원천이든 점원천의 합으로 쪼갤 수 있다. 그것을 정확한 말로 만드는 것이 디랙 델타 함수다.
선형 방정식에서는 응답도 합으로 간다. 그러니 점원천 하나에 대한 응답만 알면 나머지는 전부 겹침이다.

그 “점원천 하나에 대한 응답”이 그린 함수다. 연산자 $\mathcal{L}$ 과 원천 $f$ 에 대해

\mathcal{L}u = f \qquad\Longrightarrow\qquad u(x) = \int G(x,x')\,f(x')\,dx', \qquad \mathcal{L}G(x,x') = \delta(x-x')

가 이 장의 전부다. 오른쪽 식이 $G$ 를 정의하고, 가운데 식이 그것을 쓰는 법이다. $G$ 를 한 번 구해 두면 원천이 바뀌어도 적분만 다시 하면 된다 — 연산자를 뒤집는 일과 원천을 넣는 일이 분리된다. 이것이 그린 함수를 쓰는 실질적인 이유다.

한 줄 더 붙이면 정체가 분명해진다. 유한 차원에서 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 답은 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 이고, 성분으로는 $x_i=\sum_j (A^{-1})_{ij}b_j$ 다. 위 식은 이것의 연속판이고, $G(x,x')$ 는 역연산자의 성분표다. 그래서 이 장은 1.2·1.3의 선형대수를 무한 차원으로 옮기는 장이기도 하다 — 새 개념이 하나도 없다시피 하고, 대신 지표 $i$ 가 좌표 $x$ 로 바뀔 때 무엇이 어떻게 대응되는지를 계속 확인한다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다. 불순물 이온 하나가 만드는 스크린된 쿨롱 퍼텐셜(7절), 한 점에서 주입된 소수캐리어가 만드는 분포와 그 폭인 확산 길이(2절), 순간 도판트 원천이 열처리 중에 퍼지는 가우시안 프로파일(6절), 전극에 유도되는 전하를 계산하는 가중 퍼텐셜(5절), 접촉 저항과 4점 탐침이 읽는 퍼짐 저항(4절)이 전부 같은 물건의 다른 얼굴이다.

디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념

역행렬을 연속으로 옮기면

직관

$n$ 개의 미지수를 가진 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 생각하자. 답은 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 이고, 성분으로 쓰면

x_i=\sum_{j}(A^{-1})_{ij}\,b_j

다. $(A^{-1})_{ij}$ 는 ” $j$ 번째 자리만 1이고 나머지가 0인 원천”에 대한 $i$ 번째 응답이다. 그런 특별한 원천이 $\mathbf{b}=\hat{e}_j$ , 즉 크로네커 델타 $\delta_{ij}$ 이고, 역행렬의 열은 그 응답을 모아 놓은 것이다.

미분방정식에서 미지수는 각 점의 값 $u(x)$ 이므로 지표가 연속이다. 지표가 연속이 되면 합은 적분이 되고, 크로네커 델타 자리에는 한 점에만 몰려 있는 원천이 와야 한다. 그것이 디랙 델타이고, 그 응답을 모은 표가 그린 함수다. 새로 배우는 것은 사실상 “연속 지표용 크로네커 델타”뿐이다.

대응을 표로 못 박아 두면 이 장 내내 길잡이가 된다.

유한 차원 (1.2·1.3)	무한 차원 (이 장)
지표 $i,j \in \{1,\dots,n\}$	좌표 $x,x' \in [a,b]$ 또는 $\mathbb{R}^3$
행렬 $A$	미분 연산자 $\mathcal{L}$
$\sum_j$	$\int dx'$
크로네커 델타 $\delta_{ij}$	디랙 델타 $\delta(x-x')$
역행렬 성분 $(A^{-1})_{ij}$	그린 함수 $G(x,x')$
$A A^{-1}=I$	$\mathcal{L}G=\delta$
대칭 $A^{\mathsf{T}}=A$	자체 수반 $\mathcal{L}^{\dagger}=\mathcal{L}$
고유벡터 $\mathbf{v}_n$ , 고유값 $\lambda_n$	고유함수 $\varphi_n(x)$ , 고유값 $\lambda_n$
$A^{-1}=\sum_n \mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^{\mathsf{T}}/\lambda_n$	$G=\sum_n \varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')/\lambda_n$ (3절)
$A$ 가 특이하면 역이 없다	$\lambda_n=0$ 이면 $G$ 가 없다 (3절)

마지막 두 줄이 3절의 내용이고, 셋째 줄부터 다섯째 줄까지가 지금 절의 내용이다.

델타는 함수가 아니다

델타를 규정하는 것은 값이 아니라 적분 안에서 하는 일이다.

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a)

이 성질을 체거름(sifting)이라 한다. $\delta$ 는 적분 안에 놓인 함수에서 한 점의 값만 걸러 낸다. 흔히 보는 ” $x\neq0$ 에서 0이고 $x=0$ 에서 무한대이며 적분하면 1”이라는 설명은 그림으로는 옳지만 정의로는 쓸 수 없다 — 한 점에서만 0이 아닌 보통 함수의 르베그 적분은 반드시 0이기 때문이다. 델타는 함수가 아니라 분포(distribution), 즉 “함수를 받아 숫자를 내놓는 규칙”이다.

세 교재가 델타로 들어가는 문이 제각각인데, 셋을 나란히 두면 정의가 왜 이 꼴인지가 보인다.

Boas(§8.11)는 충격력으로 들어간다. 질량 $m$ 에 짧은 시간 힘 $f(t)$ 가 작용하면 $\int_{t_0}^{t_1}f\,dt=m(v_1-v_0)$ 이고, 운동량 변화는 힘의 모양이 아니라 넓이(충격량)에만 의존한다. 그러니 넓이를 1로 둔 채 폭을 줄여도 결과는 그대로이고, 극한에서 운동량 그래프는 높이 1짜리 계단 하나가 된다 — 델타는 “그 계단의 기울기”다. 델타 기호를 다루는 요령도 여기서 나온다. Boas는 이것을 $\infty$ 기호에 비긴다. $1/\infty=0$ 은 써도 $\infty/\infty=1$ 은 쓰지 않듯, 델타가 든 식은 전부 올바른 극한 과정의 약어여야 한다.
Griffiths(§1.5)는 역설로 들어간다. $\hat{\mathbf r}/r^2$ 의 발산을 공식대로 계산하면 어디서나 0인데, 반지름 $R$ 인 구면을 지나는 선속은 $R$ 에 무관하게 $4\pi$ 다. 발산정리가 틀릴 리 없으니 기여가 전부 원점 한 점에서 나와야 한다 — 아래 3차원 델타에서 마무리한다.
Arfken(§1.11)은 정의를 먼저 놓는다. $\delta(x)=0\ (x\ne0)$ 과 $f(0)=\int f\delta\,dx$ 를 정의 (1.149)–(1.150)으로 적고 함수열은 그 뒤에 붙인다. 그리고 한 줄을 못박는다 — 함수열의 극한 $\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)$ 는 존재하지 않는다. 존재하는 것은 적분의 극한 $\lim\int\delta_n f\,dx$ 뿐이고, 델타는 그 극한에 붙인 이름이다(식 (1.157)).

델타가 든 두 표현이 같다는 말의 뜻도 이 자리에서 정해 둔다(Griffiths 식 (1.93), Boas §8.11).

D_1=D_2 \quad\overset{\text{정의}}{\Longleftrightarrow}\quad \int f(x)\,D_1(x)\,dx=\int f(x)\,D_2(x)\,dx \quad(\text{모든 시험함수 } f)

시험함수는 매끄럽고 유한 구간 밖에서 0인 함수로 잡는다 — 부분적분의 경계항을 언제나 버릴 수 있게 하기 위해서다. 아래 ‘실제로 쓰는 성질들’의 등식은 전부 이 뜻의 등식이다.

델타를 손에 잡히게 만드는 방법은 폭을 줄이면서 면적을 1로 유지하는 함수열의 극한으로 보는 것이다. 어느 열을 쓰든 극한에서 하는 일은 같다.

이름	$\delta_\epsilon(x)$	특징
상자	$\dfrac{1}{\epsilon}$ ( $\lvert x\rvert<\epsilon/2$ ), 0 (그 밖)	가장 단순. 불연속
가우시안	$\dfrac{1}{\epsilon\sqrt{\pi}}e^{-x^2/\epsilon^2}$	매끄럽다. 확산 방정식의 해(6절)
로렌츠	$\dfrac{1}{\pi}\dfrac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$	꼬리가 두껍다. 유한 수명의 스펙트럼 선폭
싱크	$\dfrac{\sin(x/\epsilon)}{\pi x}$	진동한다. 유한 구간 푸리에 변환(1.10)

Arfken은 같은 넷을 $n=1/\epsilon$ 으로 적고(식 (1.152)–(1.155)), 어느 것이 어디에 편한지도 적어 둔다 — 상자는 체거름 성질을 증명할 때, 가우시안은 미분할 때(도함수가 에르미트 다항식을 낳는다, 1.5.11에르미트·라게르 다항식), 싱크는 푸리에 해석과 양자역학에서. 싱크는 $\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n}e^{ixt}\,dt$ 로도 적히므로 아래 푸리에 표현의 유한 구간판이고, 푸리에 급수에서는 디리클레 핵 $\frac{1}{2\pi}\sin[(n+\frac12)x]/\sin\frac{x}{2}$ 로 모양을 바꿔 나온다. Griffiths는 높이 $n$ ·폭 $1/n$ 인 직사각형과 높이 $n$ ·밑변 $2/n$ 인 이등변삼각형을 든다 — 불연속이든 꺾였든 상관없다는 뜻이다.

그림 1.8-1. 면적을 1로 붙들어 둔 채 폭을 줄여 가는 함수열. 폭이 ε로 줄면 높이는 1/ε로 오르고, 곱인 면적은 변하지 않는다. 오른쪽은 같은 극한을 계단함수 쪽에서 본 것 — 계단이 가팔라질수록 그 도함수는 좁고 높은 봉우리가 되며, 극한에서 θ′ = δ가 된다.직접 작도

직관

수식적 직관. 위 표의 함수들은 생김새가 제각각인데 왜 극한이 같은가. 체거름 적분 $\int f(x)\delta_\epsilon(x)dx$ 를 보면 이유가 보인다. $\delta_\epsilon$ 이 폭 $\epsilon$ 안에서만 유의미하므로, 그 구간에서 $f$ 를 테일러 전개하면

\int f(x)\delta_\epsilon(x)\,dx = f(0)\underbrace{\int \delta_\epsilon\,dx}_{=\,1} + f'(0)\underbrace{\int x\,\delta_\epsilon\,dx}_{=\,0\ (\text{대칭})} + \tfrac{1}{2}f''(0)\underbrace{\int x^2\delta_\epsilon\,dx}_{\sim\,\epsilon^2} +\cdots

가 된다. 첫 항만 $\epsilon$ 에 무관하게 살아남고 나머지는 $\epsilon\to0$ 에서 사라진다. 함수열의 모양은 둘째 항 이후에만 영향을 주므로 극한에서는 흔적이 없다. 표의 넷 중 무엇을 쓰든 같은 답이 나오는 것이 이 계산이고, 동시에 “면적 1”만이 진짜 조건이라는 것도 여기서 읽힌다.

형태적 직관. 폭 $\epsilon$ × 높이 $1/\epsilon$ = 면적 1이라는 시소가 델타의 전부다. 그림 1.8-1의 세 곡선이 같은 넓이를 다르게 나눠 가진 모습이 그것이다. 오른쪽 계단은 함수열의 적분이고, Arfken 연습 1.11.9의 $\delta_n=n/(2\cosh^2 nx)$ 를 쓰면 그 적분이 $\tfrac12(1+\tanh nx)$ 로 닫힌 꼴이라 $n\to\infty$ 에서 헤비사이드 함수가 되는 것이 식으로 보인다.

실제로 쓰는 성질들

정의에서 곧바로 따라 나오는 것들을 모아 둔다. 증명은 전부 “양변을 시험함수와 곱해 적분한다” 한 줄이다.

\delta(-x)=\delta(x), \qquad \delta(ax)=\frac{\delta(x)}{\lvert a\rvert}, \qquad x\,\delta(x)=0, \qquad f(x)\,\delta(x-a)=f(a)\,\delta(x-a)

\int f(x)\,\delta'(x-a)\,dx = -f'(a), \qquad \frac{d\theta(x)}{dx}=\delta(x), \qquad \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\,dk

여기서 $\theta$ 는 헤비사이드 계단함수다. 도함수 성질은 부분적분에서 나오고, 경계항이 사라지는 것은 시험함수가 무한대에서 죽기 때문이다. 마지막 식은 푸리에 변환의 완비성이며 1.10에서 다시 나온다 — 지금은 평면파를 전부 같은 무게로 더하면 한 점에 몰린다는 사실만 챙기면 된다.

도함수는 몇 번이든 같은 방식으로 정의된다 — 부분적분을 $n$ 번 하면 $\int f\,\delta^{(n)}(x-a)\,dx=(-1)^nf^{(n)}(a)$ 다(Boas 식 (11.16)). 그리고 분포 등식은 미분해도 되고 $x^n$ 을 곱해도 된다(Boas §8.11 연습 19). $x\delta(x)=0$ 을 미분하면 $\delta+x\delta'=0$ , 즉

x\,\delta'(x)=-\delta(x), \qquad x^2\delta''(x)=2\delta(x), \qquad x^n\delta^{(n)}(x)=(-1)^n\,n!\,\delta(x)

가 차례로 나온다. 첫 식이 Griffiths 연습 1.46, Arfken 연습 1.11.6의 그것이다. ” $x=0$ 에서만 0이 아닌 것에 $x$ 를 곱하면 0”이라는 직관은 $x\delta$ 에는 맞지만 $x\delta'$ 에는 틀린다 — 도함수는 원점 양옆의 값을 대조하는 물건이라 $x$ 의 부호 변화를 느낀다.

주의

“0 아닌 곳에서 0이고 적분이 1”만으로는 델타가 아니다. Boas §8.11 연습 25의 함정이다. $F(x)=(x-2)\,\theta(x)$ 를 두 번 미분하면 $F''$ 은 $x\ne0$ 에서 0이고 $\int F''dx=1$ 이라 델타처럼 보인다. 그런데 시험함수와 적분해 보면

\int f\,F''\,dx=\int f''\,F\,dx=\int_0^\infty(x-2)\,f''\,dx=f(0)+2f'(0)

이므로 $F''=\delta-2\delta'$ 다. $\delta'$ 는 적분이 0이라 “넓이 1” 검사에 걸리지 않고 숨는다. 델타인지 확인하는 유일한 방법은 위 등식의 정의대로 시험함수를 곱해 적분해 보는 것뿐이다.

가장 자주 쓰이면서 가장 자주 틀리는 것은 인수가 함수인 경우다.

\delta\big(g(x)\big)=\sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{\lvert g'(x_i)\rvert}, \qquad g(x_i)=0,\ g'(x_i)\neq0

$g$ 의 영점마다 델타가 하나씩 서고, 그 무게가 기울기의 역수다. $\delta(ax)=\delta(x)/|a|$ 가 이것의 가장 단순한 경우다.

직관

물리적 직관 — 이 식이 상태밀도다. 위 공식은 수학 연습이 아니라 반도체에서 매일 쓰는 식이다. 에너지 $E$ 에서의 상태밀도는

g(E)=\frac{2}{(2\pi)^3}\int \delta\big(E-E(\mathbf{k})\big)\,d^3k

로 정의된다. 델타의 인수가 $\mathbf{k}$ 의 함수이므로 위 공식이 그대로 적용되고, 적분은 등에너지면 $E(\mathbf{k})=E$ 위의 면적분으로 바뀐다.

g(E)=\frac{2}{(2\pi)^3}\oint_{E(\mathbf{k})=E}\frac{dS_k}{\lvert\nabla_{\mathbf{k}}E\rvert}

분모의 $\lvert\nabla_{\mathbf{k}}E\rvert$ 가 $\lvert g'(x_i)\rvert$ 자리다. 그리고 $\nabla_{\mathbf{k}}E$ 는 군속도 $\hbar\mathbf{v}$ 이므로, 밴드가 평평한 곳 (느린 캐리어)에서 상태밀도가 커진다. 밴드 끝에서 $g(E)\propto\sqrt{E-E_c}$ 가 나오는 것도, 반 호브 특이점이 $\nabla_{\mathbf{k}}E=0$ 인 자리에서 생기는 것도 전부 이 한 줄의 결과다. 페르미 황금률의 $\delta(E_f-E_i)$ 도 같은 물건이다 — 에너지 보존을 적분 안에 넣는 장치.

3차원에서는 델타가 성분별 곱이다.

\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=\delta(x-x')\,\delta(y-y')\,\delta(z-z')

곡선좌표계로 옮길 때는 1.1.8곡선좌표계의 야코비안이 그대로 따라붙는다. 구면 좌표에서 부피요소가 $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ 이므로 체거름이 유지되려면

\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=\frac{\delta(r-r')\,\delta(\theta-\theta')\,\delta(\phi-\phi')}{r^2\sin\theta}

여야 한다. 분모의 $r^2\sin\theta$ 를 빠뜨리는 것이 흔한 실수다. 원통좌표에서는 부피요소가 $\rho\,d\rho\,d\phi\,dz$ 이므로 분모에 $\rho$ 만 남는다(Boas 식 (11.23)). 구면 쪽을 $\delta(\cos\theta-\cos\theta')/r^2$ 로 적은 책도 있는데(Boas 연습 22), $\delta(g(x))$ 규칙에 $g=\cos\theta$ 를 넣으면 $\delta(\cos\theta-\cos\theta')=\delta(\theta-\theta')/\sin\theta$ 라 같은 식이다. 분모를 $r'^2\sin\theta'$ 로 적어도 상관없다 — 델타가 0이 아닌 곳에서는 둘이 같다.

Griffiths의 역설은 여기서 풀린다. $\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)$ 은 $r\ne0$ 에서 0이고 원점을 품는 어떤 부피에서든 적분이 $4\pi$ 이므로, 위 정의에 비추면

\nabla\cdot\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}=4\pi\,\delta^3(\mathbf r), \qquad \nabla^2\frac{1}{r}=-4\pi\,\delta^3(\mathbf r)

이다(Griffiths 식 (1.99)–(1.102)). Boas는 이것을 시험함수 $f(r)$ 로 실제로 확인한다(§8.11 식 (11.24)) — $\int f\,\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)\,d\tau$ 를 부분적분하면 표면항 $4\pi f(a)$ 에서 부피항 $4\pi[f(a)-f(0)]$ 이 빠져 $4\pi f(0)$ 만 남는다. 둘째 식이 4절의 자유공간 그린 함수를 부호와 $4\pi$ 까지 미리 정해 두고, 점전하의 가우스 법칙 $\nabla\cdot\mathbf D=q\,\delta^3(\mathbf r)$ 이 그 물리다. Griffiths 예 1.16은 같은 적분 $\int_V(r^2+2)\,\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)\,d\tau=8\pi$ 를 델타로 한 줄에, 부분적분으로 반 쪽에 걸쳐 두 번 계산해 보인다 — 델타가 무엇을 절약하는지 보여 주는 예다.

주의

델타에는 차원이 있다. $\int\delta(x-a)dx=1$ 이 무차원이므로 $\delta(x)$ 의 단위는 $1/[x]$ 다. 1차원 델타가 $\text{m}^{-1}$ , 3차원 델타가 $\text{m}^{-3}$ , 에너지 델타가 $\text{eV}^{-1}$ 이다. 크로네커 델타 $\delta_{ij}$ 가 무차원인 것과 정반대다.

이 사실이 실전에서 유용한 이유는 그린 함수의 단위가 자동으로 정해지기 때문이다. $\mathcal{L}G=\delta$ 에서 $[G]=[\delta]/[\mathcal{L}]$ 이므로, 3차원 라플라시안 ( $[\mathcal{L}]=\text{m}^{-2}$ )의 그린 함수는 $\text{m}^{-3}/\text{m}^{-2}=\text{m}^{-1}$ , 즉 1/길이다. 4절에서 $G=-1/4\pi R$ 이 나올 때 단위가 이미 맞아 있는 것을 확인하게 된다. 계산이 끝난 뒤 단위를 세어 보는 것이 가장 값싼 검산이다.

그린 함수의 정의

이제 정의를 적을 수 있다. 선형 미분 연산자 $\mathcal{L}$ 과 영역 $[a,b]$ , 그리고 그 경계에서의 동차 경계조건이 주어졌을 때, 다음을 만족하는 $G$ 를 그 문제의 그린 함수라 한다.

\mathcal{L}_x\,G(x,x')=\delta(x-x'), \qquad G \text{ 가 } x \text{ 에 대해 같은 동차 경계조건을 만족}

아래첨자 $x$ 는 미분이 관측점 $x$ 에 대한 것이라는 뜻이다. 이렇게 정의하면 $\mathcal{L}u=f$ 의 해가 곧바로 나온다.

u(x)=\int_a^b G(x,x')f(x')\,dx' \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}u=\int_a^b \underbrace{\mathcal{L}_xG(x,x')}_{\delta(x-x')}f(x')\,dx'=f(x)

미분이 $x$ 에만 걸리므로 적분 안으로 들어갈 수 있고, 들어가서 델타가 되고, 체거름이 $f(x)$ 를 되돌려 준다. 증명이 한 줄인 것이 이 방법의 성격을 그대로 보여 준다 — 어려운 일은 전부 $G$ 를 구하는 데로 밀어 놓았다.

경계조건을 동차로 잡은 이유는 겹침이 성립해야 하기 때문이다. $u_1$ 과 $u_2$ 가 각각 경계에서 0이면 $u_1+u_2$ 도 0이지만, 각각 경계에서 5라면 합은 10이 되어 조건이 깨진다. 비동차 경계조건( $u|_{\partial}=h\neq0$ )은 5절에서 경계 적분 항으로 따로 챙긴다.

‘동차’의 정확한 뜻은 Arfken의 각주가 가장 짧다(§10.1) — 함수에 상수를 곱해도 계속 만족되는 조건. $u=0$ , $u'=0$ , $c_1u+c_2u'=0$ 은 동차이고, $u=c\ne0$ 은 아니다. 1차원에서 비동차 디리클레 조건 $u(a)=c_1$ , $u(b)=c_2$ 는 5절까지 갈 것도 없이 $u$ 에서 1차식 $\ell(x)=[c_1(b-x)+c_2(x-a)]/(b-a)$ 를 빼면 동차가 된다(Arfken §10.1). 원천항이 $f-\mathcal L\ell$ 로 바뀔 뿐이다.

그림 1.8-2. 그린 함수가 하는 일. 원천 f(x′)를 폭 dx′짜리 막대로 잘게 썰면 각 막대는 세기 f(x′)dx′인 점원천이고(위), 그 하나가 만드는 응답이 G(x, x′)다(가운데). 선형이므로 전체 응답은 응답들의 합 — 적분 ∫G(x,x′)f(x′)dx′이다(아래). 그림에서 x′가 오른쪽으로 옮겨 가면 응답의 봉우리도 따라 옮겨 간다.직접 작도

직관

공간적 직관. $G(x,x')$ 는 변수가 둘이라 머릿속에서 다루기 번거로운데, $x'$ 를 고정하고 $x$ 의 함수로 보는 습관을 들이면 간단해진다. 그러면 $G$ 는 ” $x'$ 에 점원천을 놓았을 때 생기는 장 전체”이고, $x'$ 를 옮기면 그 장이 통째로 옮겨 다닌다.

문제에 병진 대칭이 있으면(무한 매질) $G$ 는 차이에만 의존해 $G(x,x')=G(x-x')$ 가 되고, 그때 해는 합성곱 $u=G*f$ 다. 신호처리에서 임펄스 응답과 합성곱이라 부르는 것이 정확히 이것이고, 그래서 그린 함수 = 임펄스 응답이라는 사전이 통한다. 경계가 있으면 병진 대칭이 깨져 $x$ 와 $x'$ 에 따로 의존하게 되지만, “점을 때린 응답”이라는 뜻은 그대로다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 기호가 많지 않은 대신 다른 장에서 이미 임자가 있는 글자를 여럿 빌려 온다. $G$ · $L$ · $k$ · $g$ 가 전부 반도체 쪽에서 다른 뜻으로 굳어 있는 글자라, 시작하기 전에 한 번에 정리해 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$\mathcal{L}$	연산자	선형 미분 연산자. 필기체로 쓴다
$G(x,x')$	그린 함수	$\mathcal{L}_xG=\delta(x-x')$
$\delta(x-x')$	디랙 델타	분포. 단위 $1/[x]$
$\delta_{ij}$	크로네커 델타	지표 두 개. 무차원
$x$ / $x'$	관측점 / 원천점	프라임이 원천. 적분은 언제나 프라임 쪽
$\mathbf{r},\mathbf{r}'$		3차원의 관측점·원천점
$R$		$\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert$ — 두 점 사이 거리
$x_<,\ x_>$		$\min(x,x')$ , $\max(x,x')$ (2절)
$f$	원천항	$\mathcal{L}u=f$ 의 우변
$u_1,u_2$		왼쪽·오른쪽 경계조건을 만족하는 동차해 (2절)
$W$	론스키안	$u_1u_2'-u_1'u_2$ (2절)
$p,q$		스투름–리우빌 형식의 계수 (2절)
$\varphi_n,\ \lambda_n$		고유함수 · 고유값 (3절)
$k$	파수	헬름홀츠의 $k$ (6절). 볼츠만 상수는 $k_B$
$\kappa$	카파	감쇠 상수. 도달 거리는 $1/\kappa$ (6·7절)
$L_n,L_p$	확산 길이	$\sqrt{D\tau}$ — 전자 · 정공 (2절)
$\lambda_D$	디바이 길이	스크리닝 길이 (7절)
$\mathbf q$	파수 벡터	푸리에 변수·운동량 전달 (6·7절). 크기는 언제나 $\lvert\mathbf q\rvert$ 로 적는다
$q$	기본 전하	7절. $\mathbf q$ 와 다르다

주의

겹치는 글자가 여섯이고, 원천점을 적는 글자도 책마다 다르다. 이 장에서만 지키는 약속이 아니라 책마다 다른 자리이므로 문헌을 대조할 때도 확인해야 한다.

① 연산자 $\mathcal{L}$ 과 확산 길이 $L$ . 둘 다 관용적으로 $L$ 이다. 이 장은 2절부터 확산 길이가 계속 나오므로 연산자를 필기체 $\mathcal{L}$ 로 고정한다. Arfken은 연산자를 $\mathcal{L}$ , Boas는 그냥 미분식으로 적는다.

② 그린 함수 $G$ 와 생성률 $G$ . 반도체에서 $G$ 는 캐리어 생성률(단위 $\text{cm}^{-3}\text{s}^{-1}$ )이고 컨덕턴스이기도 하다. 이 장에서 대문자 $G$ 는 언제나 그린 함수이고, 생성률은 소문자 $g(x)$ 로 쓴다. 11부부터는 관례를 되돌려 생성률이 $G$ 가 된다.

③ 소문자 $g$ 의 두 얼굴. 바로 위 상태밀도 예에서 $g(E)$ 는 상태밀도였고, 2절부터 $g(x)$ 는 생성률이다. 인수가 에너지냐 위치냐로 갈린다. 둘이 한 식에서 만나는 일은 이 장에 없다.

④ 파수 $k$ 와 볼츠만 상수 $k$ . 6절의 헬름홀츠 방정식에서 $k$ 는 파수이고, 7절의 디바이 길이에는 볼츠만 상수가 나온다. 볼츠만 상수는 언제나 $k_B$ 로 아래첨자를 달아 쓰고, 열전압은 $k_BT/q$ 로 적는다.

⑤ 론스키안 $W$ 와 기저 폭. 2절에서 론스키안 $W$ 와 소자의 기저 폭이 같은 글자를 놓고 다툰다. 기저 폭은 $W_{\!B}$ 로 아래첨자를 달아 구분한다.

⑥ 기본 전하 $q$ 와 파수 $\mathbf q$ . 7절은 $q\phi/k_BT$ 의 전하 $q$ 와 유전함수 $\epsilon(\mathbf q)$ 의 파수를 한 절 안에서 같이 쓴다. 파수는 언제나 굵은 벡터 $\mathbf q$ 로, 그 크기는 $\lvert\mathbf q\rvert$ 로 적고 $q$ 로 줄이지 않는다.

⑦ 원천점의 글자. 이 백과는 프라임( $x'$ , $\mathbf r'$ )이지만 책마다 다르다. Arfken은 1차원에서 $G(x,t)$ 로 적는데 여기서 $t$ 는 시간이 아니라 원천점이고, 3차원에서는 $\mathbf r_1$ (관측)· $\mathbf r_2$ (원천)다. Boas는 $\delta(x'-x)$ 로 인수 순서를 뒤집어 적지만 델타가 짝함수라 같다. Griffiths는 관측점과 원천점의 차 $\mathbf r-\mathbf r'$ 에 필기체 $\boldsymbol{\mathscr r}$ 를 따로 준다 — 이 백과의 $R=\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert$ 가 그 크기다.

1차원 경계값 문제의 그린 함수

1차원에서는 그린 함수를 손으로 구성할 수 있다. 절차가 짧고 결과가 닫힌 꼴로 나오므로, 이 절이 이 장에서 계산을 배우는 자리다. 3절 이후는 이 절의 구성이 통하지 않을 때의 대안이거나, 차원을 올린 것이다.

스투름–리우빌 형식과 세 조건

2계 선형 연산자는 적당한 곱셈 인수를 곱하면 언제나 자체 수반 형식으로 정리된다 (1.6.1자체 수반 형식과 에르미트 연산자).

\mathcal{L}=\frac{d}{dx}\!\left(p(x)\frac{d}{dx}\right)+q(x), \qquad x\in[a,b]

이 꼴로 적어 두는 이유는 뒤에 나올 대칭성과 고유함수 전개가 전부 여기에 기대기 때문이다. 구하려는 것은 $\mathcal{L}_xG(x,x')=\delta(x-x')$ 를 만족하고 양 끝에서 동차 경계조건을 만족하는 $G$ 다. 델타는 $x=x'$ 한 점에만 있으므로, 그 점을 빼면 $G$ 는 그냥 동차해다. 그래서 조건이 셋으로 갈린다.

$x\neq x'$ 에서 $\mathcal{L}G=0$ — 왼쪽 토막과 오른쪽 토막이 각각 동차해다.
양 끝에서 주어진 동차 경계조건을 만족한다.
$x=x'$ 에서 $G$ 는 연속이고, 도함수는 정해진 크기만큼 뛴다.

셋째 조건이 델타를 흡수하는 자리다. 정의식을 $x'-\varepsilon$ 부터 $x'+\varepsilon$ 까지 적분하면

\int_{x'-\varepsilon}^{x'+\varepsilon}\!\left[\frac{d}{dx}\!\left(p\frac{dG}{dx}\right)+qG\right]dx =\int_{x'-\varepsilon}^{x'+\varepsilon}\!\delta(x-x')\,dx=1

이고, $\varepsilon\to0$ 에서 $qG$ 항은 (유계 × 폭 0이라) 사라지므로 첫 항만 남는다.

\Big[p(x)\frac{\partial G}{\partial x}\Big]_{x=x'^-}^{x=x'^+}=1 \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\partial G}{\partial x}\bigg|_{x'^+}-\frac{\partial G}{\partial x}\bigg|_{x'^-}=\frac{1}{p(x')}

이것이 도약 조건이다. $G$ 자체가 연속이어야 하는 이유도 같은 계산에서 나온다 — $G$ 가 불연속이면 $G'$ 가 델타가 되고 $G''$ 가 델타의 도함수가 되어, 우변에 있지도 않은 $\delta'$ 가 좌변에 나타난다.

꺾임은 $G$ 에만 있고 해 $u$ 로는 옮겨 가지 않는다(Arfken §10.1). $u=\int Gf\,dx'$ 를 미분해 보면, $x_<$ · $x_>$ 가 갈리는 자리에서 적분 구간의 끝이 움직이며 생기는 두 항이 $G$ 의 연속성 때문에 정확히 상쇄되고(Arfken 식 (10.21)), $u'$ 는 연속이 된다. 한 번 더 미분하면 그때서야 꺾임이 $pW$ 와 만나 $f(x)$ 하나를 내놓는다(식 (10.23)). 원천이 연속이면 해는 그보다 두 계 매끄럽다 — 적분이 꺾임을 편다.

구성 공식

조건 1·2를 만족하는 재료는 이미 손에 있다. 동차 방정식 $\mathcal{L}u=0$ 의 해 중에서

$u_1(x)$ — 왼쪽 끝 $x=a$ 의 경계조건을 만족하는 해
$u_2(x)$ — 오른쪽 끝 $x=b$ 의 경계조건을 만족하는 해

를 잡는다. 그러면 $x<x'$ 에서는 $G\propto u_1$ , $x>x'$ 에서는 $G\propto u_2$ 로 두면 조건 1·2가 자동으로 해결된다. 남은 것은 두 계수를 연속 조건과 도약 조건으로 정하는 일이고, 그 결과는 다음과 같다.

G(x,x')=\frac{u_1(x_<)\,u_2(x_>)}{p(x')\,W(x')}, \qquad W=u_1u_2'-u_1'u_2

여기서 $x_<=\min(x,x')$ , $x_>=\max(x,x')$ 이고 $W$ 는 론스키안이다. 계산은 $G=c_1u_1(x)$ ( $x<x'$ ), $G=c_2u_2(x)$ ( $x>x'$ ) 로 놓고 두 조건을 연립하는 것뿐이다.

c_1u_1(x')=c_2u_2(x'), \qquad p(x')\big[c_2u_2'(x')-c_1u_1'(x')\big]=1

Arfken은 이 공식에 거꾸로 닿는다(§10.1). 먼저 3절의 고유함수 전개에서 대칭성 $G(x,x')=G(x',x)^*$ 를 뽑고, ” $x<x'$ 에서 $u_1(x)h_1(x')$ , $x>x'$ 에서 $u_2(x)h_2(x')$ ” 꼴이 그 대칭과 양립하려면 $h_1\propto u_2$ , $h_2\propto u_1$ 일 수밖에 없다는 논법이다. 그러면 남는 상수 $A$ 하나를 도약 조건이 정한다 — 식 (10.19)의 $A=\big[p\,(u_1u_2'-u_1'u_2)\big]^{-1}$ 가 이 백과의 $1/pW$ 다. Boas는 $y''+p(x)y'+q(x)y=f$ 꼴에 대해 같은 공식을 적는데(§8.12 식 (12.20)), 그쪽 $p$ 는 1계 항의 계수이지 스투름–리우빌의 $p$ 가 아니다. 그래서 Boas의 분모에는 $W(x')$ 만 있고 적분 안에 남아 있다 — 자체 수반 형식이 아니면 $W$ 가 상수가 아니기 때문이다. 두 식은 자체 수반 형식으로 옮기는 인수 $e^{\int p\,dx}$ 를 곱하면 같아진다.

직관

수식적 직관 — 왜 하필 론스키안이 분모인가. 위 연립방정식을 행렬로 적으면

\begin{bmatrix} u_1(x') & -u_2(x') \\ -p\,u_1'(x') & p\,u_2'(x')\end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}

이고, 크라메르 공식의 분모가 이 행렬의 행렬식 $p\,(u_1u_2'-u_1'u_2)=pW$ 다. 1.2.1행렬과 행렬식의 “행렬식이 0이면 역이 없다”가 여기서 그대로 작동한다 — $W=0$ 은 $u_1$ 과 $u_2$ 가 선형 종속이라는 뜻이고, 그것은 양쪽 경계조건을 동시에 만족하는 동차해가 존재한다는 뜻이다. 그때는 그린 함수가 없다. 유한 차원에서 $A$ 가 특이하면 $A^{-1}$ 이 없는 것과 같은 사건이고, 3절에서 고유값 0으로 다시 만난다.

주의

론스키안 $W$ 와 기저 폭 $W_{\!B}$ . 아래 세 번째 예제부터 소자의 기저 폭이 나온다. 같은 글자를 쓰지 않도록 기저 폭은 언제나 아래첨자를 달아 $W_{\!B}$ 로 적는다.

또 하나. 공식의 분모 $p(x')W(x')$ 는 사실 $x'$ 에 의존하지 않는다. 아벨의 정리에 따라 스투름–리우빌 형식에서는 $pW=\text{const}$ 이기 때문이다( $(pW)'=u_1(pu_2')'-u_2(pu_1')' =-qu_1u_2+qu_2u_1=0$ ). 그래서 한 점에서 계산해 두면 끝이고, 아래 예제에서도 그렇게 한다. $x'$ 를 그대로 남겨 둔 문헌이 많지만 값은 같다.

공식에서 곧바로 읽히는 것이 하나 더 있다. $x$ 와 $x'$ 를 맞바꾸면 $x_<$ 와 $x_>$ 는 그대로이므로

G(x,x')=G(x',x)

다. 원천과 관측점을 바꿔도 값이 같다 — 상반성이고, 5절에서 그 물리적 의미와 일반 증명을 본다. $x_<,x_>$ 표기를 쓰는 진짜 이유가 이 대칭을 눈에 보이게 만드는 데 있다.

예제 1 — 가장 단순한 것

\frac{d^2u}{dx^2}=f(x),\qquad u(0)=u(\ell)=0

여기서 $p=1$ , $q=0$ 이다. 동차해는 1과 $x$ 의 조합이므로 $u_1=x$ (왼쪽에서 0), $u_2=\ell-x$ (오른쪽에서 0)이고, 론스키안은

W=u_1u_2'-u_1'u_2=x(-1)-(\ell-x)=-\ell

이다. 따라서

G(x,x')=-\frac{x_<\,(\ell-x_>)}{\ell}

이고, 해는 $u(x)=\int_0^\ell G(x,x')f(x')dx'$ 다. 검산은 세 가지를 확인하면 된다 — 양 끝에서 0인가( $x_<=0$ 또는 $x_>=\ell$ 이면 0), 두 토막이 각각 1차식인가(그렇다), 꺾임이 1인가.

\frac{\partial G}{\partial x}\bigg|_{x>x'}=\frac{x'}{\ell}, \qquad \frac{\partial G}{\partial x}\bigg|_{x<x'}=-\frac{\ell-x'}{\ell}, \qquad \text{차이}=\frac{x'+\ell-x'}{\ell}=1\ \checkmark

그림 1.8-3. 예제 1의 그린 함수를 세 개의 원천 위치에 대해 그린 것. 양 끝에서 0이고, 원천점에서 끊기지 않은 채 꺾인다. 세 곡선 모두 꺾임의 크기(왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기의 차)가 1로 같다 — 원천의 세기가 같기 때문이다. 원천이 가운데 있을 때 응답이 가장 크다.직접 작도

Arfken은 같은 문제를 연산자를 $-d^2/dx^2$ 로 잡고 푼다(예 10.1.1). 그러면 $p=-1$ 이라 $G=x_<(1-x_>)$ 로 부호가 양이 된다 — 물리에서 $-\nabla^2$ 를 연산자로 두는 습관이 여기서 온다. 부호가 어느 쪽이든 $G$ 와 $\mathcal L$ 의 부호가 함께 뒤집히므로 $u$ 는 같다. Arfken이 붙인 검산 둘은 옮겨 둘 만하다( $\ell=1$ , $-u''=f$ ). $f=\sin\pi x$ 를 넣으면 $u=\sin\pi x/\pi^2$ 이고, $f=\cos\pi x$ 를 넣으면 $u=(2x-1+\cos\pi x)/\pi^2$ 다. 첫 번째가 특히 시사적이다 — $\sin\pi x$ 는 이 경계조건의 고유함수라서 답이 $f/\lambda_1$ 로 끝난다. 원천이 고유함수면 그린 함수는 나눗셈 한 번이다. 3절의 고유함수 전개가 바로 이 사실의 일반화다.

균일한 원천 $f=$ const 로 검산해 보면 익숙한 포물선이 나온다.

u(x)=f\!\int_0^\ell G\,dx' =-\frac{f}{\ell}\left[(\ell-x)\!\int_0^x\! x'dx'+x\!\int_x^\ell\!(\ell-x')dx'\right] =-\frac{f\,x(\ell-x)}{2}

$u''=f$ 이고 양 끝에서 0이다. 장력 $T$ 인 줄이 균일 하중 $w$ 를 받으면 $Tu''=-w$ 이므로 처짐이 $wx(\ell-x)/2T$ 인 포물선이라는 결과와 같다.

예제 2 — 소수캐리어 확산 방정식

이 장에서 반도체에 가장 자주 쓰이는 그린 함수다. 정상 상태에서 소수캐리어(n형 기판 안의 정공, 또는 p형 안의 전자)의 연속 방정식은 다음 꼴이다.

D\frac{d^2\Delta n}{dx^2}-\frac{\Delta n}{\tau}+g(x)=0

$\Delta n$ 은 평형에서의 초과 농도, $D$ 는 확산 계수, $\tau$ 는 수명, $g(x)$ 는 생성률이다. 양변을 $D$ 로 나누고 확산 길이 $L_n=\sqrt{D\tau}$ 를 도입하면 연산자가 드러난다.

\mathcal{L}=\frac{d^2}{dx^2}-\frac{1}{L_n^2}, \qquad \mathcal{L}\,\Delta n=-\frac{g(x)}{D}

무한 매질에서 동차해는 $e^{\pm x/L_n}$ 이고, 양쪽 무한대에서 발산하지 않아야 하므로 $u_1=e^{x/L_n}$ (왼쪽에서 죽는다), $u_2=e^{-x/L_n}$ (오른쪽에서 죽는다)이다. 론스키안은

W=e^{x/L_n}\!\left(-\frac{1}{L_n}\right)e^{-x/L_n}-\frac{1}{L_n}e^{x/L_n}e^{-x/L_n}=-\frac{2}{L_n}

이므로( $p=1$ )

G(x,x')=-\frac{L_n}{2}\,e^{-\lvert x-x'\rvert/L_n}

가 된다. $u_1(x_<)u_2(x_>)=e^{(x_<-x_>)/L_n}=e^{-|x-x'|/L_n}$ 이 되는 것이 $x_<,x_>$ 표기의 편리함이다. 해는

\Delta n(x)=-\frac{1}{D}\int G(x,x')g(x')\,dx' =\frac{\tau}{2L_n}\int e^{-\lvert x-x'\rvert/L_n}\,g(x')\,dx'

이다( $L_n/2D=\tau/2L_n$ ). 생성률을 지수 커널로 흐린 것이 정상 상태 분포다.

직관

물리적 직관과 검산. 균일 생성 $g=\text{const}$ 를 넣어 보면

\Delta n=\frac{\tau g}{2L_n}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\lvert u\rvert/L_n}du =\frac{\tau g}{2L_n}\cdot 2L_n=g\tau

가 나온다. 반도체 물리 첫 장에서 배우는 $\Delta n=g\tau$ 다 — 생성과 재결합이 균형을 이루는 정상 상태. 그린 함수 계산이 이 익숙한 결과를 되돌려 준다는 것이 검산이다.

더 일반적으로, 커널의 면적이 $\int e^{-|u|/L_n}du/(2L_n/\tau)=\tau$ 로 $L_n$ 에 무관하다. 그래서 총 초과 캐리어 수 $\int\Delta n\,dx=\tau\int g\,dx$ 는 확산 길이와 상관없이 정해진다. 확산 길이가 바꾸는 것은 그것이 어디에 놓이는가뿐이다.

직관

파라미터 연계성. 커널 $\dfrac{\tau}{2L_n}e^{-|x-x'|/L_n}$ 에서 $L_n=\sqrt{D\tau}$ 이므로 높이는 $\tau/2L_n=\tfrac12\sqrt{\tau/D}$ 다. 두 파라미터가 각각 무엇을 움직이는지가 여기서 갈린다.

수명 $\tau$ 를 키우면 폭도( $\sqrt{\tau}$ ) 높이도( $\sqrt{\tau}$ ) 커진다. 면적이 $\tau$ 에 비례해 늘기 때문이다 — 오래 살면 더 많이 쌓인다.
확산 계수 $D$ 를 키우면 폭은 $\sqrt{D}$ 로 늘고 높이는 $1/\sqrt{D}$ 로 줄어 면적이 보존된다. 같은 양을 더 넓게 펴 놓는다는 뜻이다.

소자로 옮기면 이렇다. 태양전지·광다이오드에서 $L_n$ 은 얼마나 먼 곳에서 생성된 캐리어까지 접합이 걷어 갈 수 있는가를 재는 길이다. 실리콘에서 $L_n$ 은 수십 $\mu$ m~수 mm이고, 금속 오염이 들어가면 $\tau$ 가 떨어져 $L_n$ 이 짧아지고 수집 효율이 곧바로 나빠진다. 바이폴러 트랜지스터의 기저 수송 계수도, 확산 길이와 기저 폭의 비 $W_{\!B}/L_n$ 이 정한다 — 바로 아래 예제가 그 계산이다.

그림 1.8-4. 확산 방정식의 그린 함수 (τ/2Lₙ)·exp(−|x − x′|/Lₙ)를 확산 길이 두 값에 대해 겹쳐 그린 것. 확산 길이가 길면 넓고 낮게, 짧으면 좁고 높게 퍼진다. 두 곡선 아래의 넓이는 τ로 같다 — 정상 상태에 쌓이는 총 캐리어 수는 수명이 정하고, 확산 길이는 그것을 어디에 놓을지만 정한다.직접 작도

예제 3 — 유한한 기저와 두 접촉

실제 소자는 무한하지 않다. 폭 $W_{\!B}$ 인 기저의 양쪽에 이상적인 오믹 접촉이 있으면 그 자리에서 초과 농도가 0이므로 $\Delta n(0)=\Delta n(W_{\!B})=0$ 이다. 동차해를 다시 고르면

u_1=\sinh\!\frac{x}{L_n}, \qquad u_2=\sinh\!\frac{W_{\!B}-x}{L_n}, \qquad pW=-\frac{1}{L_n}\sinh\!\frac{W_{\!B}}{L_n}

이고

G(x,x')=-L_n\, \frac{\sinh\!\dfrac{x_<}{L_n}\ \sinh\!\dfrac{W_{\!B}-x_>}{L_n}} {\sinh\!\dfrac{W_{\!B}}{L_n}}

가 된다. 지수 대신 쌍곡선함수가 들어온 것뿐이고 구조는 같다.

직관

두 극한이 교과서의 두 그림이다.

긴 기저 $W_{\!B}\gg L_n$ . $\sinh$ 가 지수로 근사되어 예제 2의 $-\tfrac{L_n}{2}e^{-|x-x'|/L_n}$ 로 돌아간다. 캐리어가 반대쪽 접촉에 닿기 전에 재결합해 버리므로 반대쪽 경계가 보이지 않는다.

짧은 기저 $W_{\!B}\ll L_n$ . 인수가 작아 $\sinh z\approx z$ 이므로

G\to-\frac{x_<\,(W_{\!B}-x_>)}{W_{\!B}}

가 되어 예제 1과 완전히 같아진다. 재결합 항이 사라져 연산자가 $d^2/dx^2$ 로 내려앉은 것이다. 그래서 짧은 기저에서 캐리어 분포가 직선이 되고, 바이폴러 트랜지스터의 기저 안 소수캐리어 분포를 삼각형으로 그리는 근사가 정당해진다. $\sinh$ 하나가 짧은 기저와 긴 기저를 잇는 다리이고, 두 극한 사이의 비 $W_{\!B}/L_n$ 이 어느 그림을 쓸지 정한다.

의문

예제 3의 그린 함수는 태양전지의 수집 효율을 그대로 준다. 위치 $x'$ 에서 생성된 캐리어 하나가 $x=W_{\!B}$ 쪽 접합으로 빠져나가는 비율은 그 경계에서의 유량이므로

\eta_{\text{coll}}(x')=\frac{\partial G}{\partial x}\bigg|_{x=W_{\!B}} =\frac{\sinh(x'/L_n)}{\sinh(W_{\!B}/L_n)}

이다. 반대쪽 접촉으로 빠지는 몫 $\sinh\!\big((W_{\!B}-x')/L_n\big)/\sinh(W_{\!B}/L_n)$ 까지 더해도 1이 못 되는데, 모자란 만큼이 도중에 재결합한 몫이다( $L_n\to\infty$ 에서 합이 정확히 1이 된다). 접합에서 멀수록 지수적으로 떨어지고, 그 감쇠 길이가 $L_n$ 이다. 빛의 흡수 프로파일 $g(x')\propto e^{-\alpha x'}$ 를 이 가중치로 적분하면 분광 응답도가 나온다 — 장파장 빛은 깊이 들어가 흡수되므로 $L_n$ 이 짧으면 수집되지 않고, 그래서 장파장 응답이 재료 품질의 지표가 된다.

남는 물음이 하나 있다. 여기서는 표면을 “이상적인 오믹 접촉”으로 두어 $\Delta n=0$ 을 강제했는데, 실제 표면은 재결합 속도 $S$ 가 유한하다. 그러면 경계조건이 $D\,\partial\Delta n/\partial x=S\Delta n$ 이 되어 디리클레도 노이만도 아닌 제3종이 된다. 그 경우의 그린 함수는 5절에서 다시 본다 — 답을 미리 적으면, $S$ 는 두 극단을 잇는 손잡이라서 $S\to\infty$ 가 여기 쓴 디리클레, $S\to0$ 이 완전 부동태화된 노이만이다.

예제 4 — 초기값 문제: 인과성이 대칭을 깬다

지금까지는 조건이 양 끝에 하나씩이었다. 조건 둘을 한쪽 끝에 몰아 주면 초기값 문제가 되고, 그린 함수의 성격이 달라진다. Boas(§8.12 예 1)와 Arfken(예 10.1.2)이 같은 예를 든다 — 강제 진동 1.4.8강제 진동과 공명의 방정식이다.

\frac{d^2y}{dt^2}+\omega^2y=f(t), \qquad y(0)=y'(0)=0

$t<t'$ 에서는 동차해 $\sin\omega t$ , $\cos\omega t$ 의 조합 중 두 초기조건을 다 만족하는 것이 자명해뿐이므로 $G=0$ 이다. $t>t'$ 에서는 조건이 하나도 없어 $G=C_1\sin\omega t+C_2\cos\omega t$ 로 두고, $t=t'$ 에서의 연속 조건과 도약 조건( $p=1$ 이라 기울기 도약이 1)으로 $C_1,C_2$ 를 정한다.

G(t,t')= \begin{cases} 0, & t<t' \\[0.3em] \dfrac{1}{\omega}\sin\omega(t-t'), & t>t' \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad y(t)=\frac{1}{\omega}\int_0^{t}\sin\omega(t-t')\,f(t')\,dt'

적분 상한이 $t$ 인 것은 $t'>t$ 에서 $G=0$ 이기 때문이다. Arfken은 이것을 한 문장으로 읽는다 — “시각” $t$ 의 해는 그 이전의 원천에만 영향을 받는다. 인과성이다.

그림 1.8-5. 초기값 문제의 그린 함수 G(t, t′) = θ(t − t′) sin ω(t − t′)/ω. 충격 시각 t′ 이전에는 정확히 0이고, t′에서 기울기 1/ω로 출발해 진동한다. t′를 옮기면 곡선이 통째로 밀린다(시간 병진 대칭). 경계값 문제의 삼각형(그림 1.8-3)과 달리 t와 t′를 맞바꾸면 전혀 다른 함수가 된다.직접 작도

Boas는 이 답을 두 번 얻는다. 먼저 폭이 유한한 실제 충격 $f=ne^{-n(t-t_0)}$ 을 라플라스 변환으로 풀어 $n\to\infty$ 를 취하고(§8.11 예 1), 다음에 우변에 곧바로 $\delta(t-t_0)$ 를 넣어 $\mathcal L[\delta(t-a)]=e^{-pa}$ 한 줄로 같은 답을 얻는다(예 3). 첫 계산의 세 항 중 둘이 $n\to\infty$ 에서 사라지고 $\sin\omega(t-t_0)/\omega$ 만 남는 것을 보고 나면, 델타가 무엇을 건너뛰게 해 주는지가 분명해진다. 회로 쪽 말로 하면 $G$ 는 단위 충격 응답이고, $t'=0$ 인 충격 응답은 전달함수 $1/(p^2+\omega^2)$ 의 역라플라스 변환이다(Boas §8.12 연습 6) — 1.10 적분변환에서 다시 만난다.

주의

초기값 문제의 그린 함수는 대칭이 아니다. $G(t,t')\ne G(t',t)$ — 한쪽은 0이고 다른 쪽은 사인이다. 2절 첫머리의 구성 공식이 대칭인 $u_1(x_<)u_2(x_>)$ 꼴이었던 것은 조건이 양 끝에 하나씩 있어 문제가 스투름–리우빌 꼴이었기 때문이고, Arfken은 “스투름–리우빌과의 대응이 사라진 것이 대칭의 상실로 나타난다”고 적는다(예 10.1.2). 5절의 상반성이 동차 경계조건 + 자체 수반을 전제하는 이유가 이 예에 있다. 그 대신 초기값 문제에는 병진 대칭이 생긴다 — $G$ 가 $t-t'$ 에만 의존하므로 해가 합성곱이다.

같은 연산자도 조건에 따라 전혀 다른 $G$ 를 갖는다. $d^2/dx^2-1/L^2$ 에 양쪽 무한대에서 죽으라고 하면 예제 2의 $-\tfrac{L}{2}e^{-|x-x'|/L}$ 이고, $t=0$ 에서 초기조건 둘을 주면 $\theta(t-t')\,L\sinh\!\big((t-t')/L\big)$ 이다(Boas §8.12 연습 6). 그린 함수는 방정식과 경계조건의 쌍에 붙는 물건이지 방정식에 붙는 물건이 아니다 — Arfken이 예 10.1.3 끝에 적어 둔 문장이다.

그린 함수가 없을 때 — 두 예

구성 공식의 분모 $pW$ 가 0이 되는 상황을 실제 예로 봐 둔다. 둘 다 교재의 연습 문제다.

공명. Boas는 $y''+y=f$ 를 구간 $[0,\pi/2]$ 에서 풀고 $G=-\cos x'\sin x$ ( $x<x'$ ), $-\sin x'\cos x$ ( $x>x'$ )를 얻는다(§8.12 예 2). 구간을 하필 $\pi/2$ 로 잡은 데 이유가 있다. 같은 문제를 $[0,\pi]$ 에서 풀면 $\sin x$ 가 양 끝 조건을 동시에 만족하는 동차해가 되어 $u_1=u_2$ , $W=0$ 이다. 물리로는 줄을 $\sin\omega t$ 로 흔드는 진동수가 줄의 고유진동수에 정확히 맞은 상황이고, 감쇠가 없으니 정상 상태 진폭이 무한대다 — 그린 함수가 없다는 것은 그 발산의 수학적 표현이다. 1.4.8의 공명과 같은 사건이다.

영 모드. Arfken 연습 10.1.6은 르장드르 연산자 $\mathcal L=(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}-2x\frac{d}{dx}$ 에 ” $G$ 가 $x=\pm1$ 에서 유한” 조건을 걸면 그린 함수를 만들 수 없다고 한다. 양 끝에서 유한한 동차해가 상수함수 하나뿐이라 $u_1$ 과 $u_2$ 가 같은 함수이기 때문이다 — 상수가 고유값 0의 고유함수다(1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식, $P_0=1$ ). 3절의 가해성 조건과 5절의 노이만 문제가 이것의 연장이다.

매개변수 변환법과 같은 물건

2절의 결과를 1.4의 언어로 되돌려 놓는다. 구성 공식을 적분에 넣고 $x_<$ · $x_>$ 로 갈라 쓰면

u(x)=\frac{u_2(x)}{pW}\int_a^{x}u_1(x')\,f(x')\,dx' +\frac{u_1(x)}{pW}\int_x^{b}u_2(x')\,f(x')\,dx'

이다. 정적분의 고정된 끝 $a$ , $b$ 에서 나오는 것은 상수 × $u_1$ , 상수 × $u_2$ — 동차해다. 그것을 떼어 내고 부정적분으로 적으면

u_p(x)=\frac{1}{pW}\left[u_2(x)\!\int u_1f\,dx-u_1(x)\!\int u_2f\,dx\right]

가 남는데, 이것이 정확히 1.4.7비제차 방정식 — 미정계수법과 매개변수 변환의 매개변수 변환법이 주는 특수해다(Boas §8.12 식 (12.18)·(12.21)). 두 방법은 같은 계산이고, 다른 것은 경계조건을 언제 넣느냐뿐이다 — 매개변수 변환법은 특수해를 먼저 얻고 나중에 동차해로 조건을 맞추며, 그린 함수는 조건을 $u_1,u_2$ 의 선택에 미리 심는다. Boas의 말대로 “그린 함수 쪽이 덜 자의적으로 보인다.”

고유함수 전개에 의한 구성

2절의 구성은 1차원 2계 문제에서만 통한다. 동차해를 닫힌 꼴로 못 구하거나 차원이 올라가면 다른 길이 필요한데, 그 길이 연산자의 고유함수로 전개하는 것이다. 이 방법은 계산이 급수로 나와 닫힌 꼴보다 불편할 때가 많지만, 대신 그린 함수와 스펙트럼의 관계를 드러낸다. 그 관계가 이 절의 진짜 소득이다.

유한 차원에서 그대로 옮긴다

1.3.5닮음 변환과 대각화에서 실수 대칭 행렬은 정규직교 고유벡터로 대각화된다는 것을 봤다. 스펙트럼 분해와 그 역행렬을 나란히 적으면 이 절의 결론이 미리 보인다.

A=\sum_n \lambda_n\,\mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^{\mathsf{T}} \qquad\Longrightarrow\qquad A^{-1}=\sum_n \frac{1}{\lambda_n}\,\mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^{\mathsf{T}}

성분으로 쓰면 $(A^{-1})_{ij}=\sum_n v_{n,i}v_{n,j}/\lambda_n$ 이다. 1절의 대응표를 따라 지표를 좌표로 바꾸면 답이 나온다.

\boxed{\ G(x,x')=\sum_n\frac{\varphi_n(x)\,\varphi_n^{*}(x')}{\lambda_n}\ }

유도도 그대로다. $\mathcal{L}\varphi_n=\lambda_n\varphi_n$ 이고 $\{\varphi_n\}$ 이 정규직교 완비계라 하자(1.6.5완전성과 수렴). 완비성은 델타로 적힌다.

\sum_n \varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')=\delta(x-x')

$G$ 를 $x$ 에 대해 이 계로 전개해 $G(x,x')=\sum_n c_n(x')\varphi_n(x)$ 로 두고 $\mathcal{L}$ 을 씌우면 $\sum_n c_n\lambda_n\varphi_n(x)=\delta(x-x')=\sum_n\varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')$ 이므로, 계수를 비교해 $c_n=\varphi_n^{*}(x')/\lambda_n$ 이다.

Arfken은 $x$ 와 $x'$ 양쪽을 다 전개해 $G=\sum_{nm}g_{nm}\varphi_n(x)\varphi_m^{*}(x')$ 로 두고 $g_{nm}=\delta_{nm}/\lambda_n$ 을 얻는데(§10.1 식 (10.11)–(10.14)), 결과에 대한 평가가 솔직하다 — “이 식의 중요성은 계산 도구로서의 의심스러운 가치에 있지 않고, 대칭성을 드러낸다는 데 있다.” 고유함수가 복소수면 그 대칭은 $G(x,x')=G(x',x)^{*}$ 다(식 (10.15)). 실수 고유함수면 그냥 대칭이고, 2절의 $x_<,x_>$ 표기가 보여 주던 것이 이것이다.

주의

두 가지가 조용히 전제되어 있다.

① 고유함수가 $G$ 와 같은 경계조건을 만족해야 한다. 그래야 전개된 $G$ 가 경계조건을 자동으로 만족한다. 그래서 이 방법에서는 경계조건이 고유함수를 고르는 단계에서 이미 처리되고, 뒤에 따로 맞출 것이 없다.

② 무게 함수가 있으면 자리를 지켜야 한다. 스투름–리우빌 문제는 대개 $\mathcal{L}\varphi_n=\lambda_n w(x)\varphi_n$ 꼴이고, 그때 직교성은 $\int \varphi_m^{*}\varphi_n\,w\,dx=\delta_{mn}$ , 완비성은 $\sum_n\varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')w(x')=\delta(x-x')$ 다. 위 식들은 $w=1$ 로 적은 것이고, 일반적으로는 완비성 쪽에 $w(x')$ 가 붙는다. 원통·구 좌표계에서 $w=r$ 이나 $w=r^2$ 이 나오므로 실제로 걸리는 조건이다(1.6.3고유함수의 직교성과 실수 고유값).

예 — 두 얼굴이 같은 물건

예제 1의 문제를 이 방법으로 다시 푼다. $\mathcal{L}=d^2/dx^2$ , $u(0)=u(\ell)=0$ 의 고유함수와 고유값은

\varphi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\ell}}\,\sin\frac{n\pi x}{\ell}, \qquad \lambda_n=-\left(\frac{n\pi}{\ell}\right)^{\!2}

이다(고유값이 음수인 것은 $d^2/dx^2$ 가 음의 정부호이기 때문이다). 공식에 넣으면

G(x,x')=-\frac{2\ell}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \sin\frac{n\pi x}{\ell}\,\sin\frac{n\pi x'}{\ell}

이고, 이것이 2절의 $-x_<(\ell-x_>)/\ell$ 과 같은 함수다. 한 점에서 확인해 보면 $x=x'=\ell/2$ 에서 닫힌 꼴은 $-\ell/4$ 이고, 급수는 홀수항만 살아남아

-\frac{2\ell}{\pi^2}\sum_{n\ \text{홀}}\frac{1}{n^2} =-\frac{2\ell}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=-\frac{\ell}{4}\ \checkmark

가 된다. 같은 물건의 두 표현이고, 어느 쪽이 편한지는 문제가 정한다 — 닫힌 꼴은 한눈에 보이고, 급수는 어느 모드가 답을 지배하는지 보여 준다.

그림 1.8-6. 고유함수 급수의 부분합이 닫힌 꼴에 다가가는 모습. 원천을 x′ = 0.35ℓ에 두고 항을 1개·3개·10개까지 더했다. 매끄러운 부분은 몇 항으로 금세 맞지만 원천점의 꺾임은 좀처럼 재현되지 않는다 — 꺾임을 만들려면 파장이 짧은 고차 모드가 필요하고, 계수가 1/n²로 줄어 수렴이 느리기 때문이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 왜 꺾인 점에서 느린가. 계수가 $1/n^2$ 로 준다는 것은 급수가 수렴하기는 하되 도함수의 급수는 $1/n$ 이라 겨우 수렴하고, 2계 도함수의 급수는 $\sum\sin\sin$ 이라 발산한다는 뜻이다. 발산하는 그 급수가 바로 완비성 관계, 즉 $\delta(x-x')$ 다.

이것을 “실패”로 읽으면 안 된다. 그린 함수는 원래 도함수가 끊긴 함수이고, 매끄러운 함수들의 합으로 끊긴 것을 만들려면 무한히 많은 항이 필요하다. 항을 유한 개로 자르면 꺾인 곳 근처에 잔물결이 남는데(깁스 현상, 1.10), 이는 근사가 나쁜 것이 아니라 끊김을 매끄러운 것으로 표현하는 값이다. 수치 계산에서 모드 전개를 쓸 때 원천 근처의 정확도가 유독 나쁜 이유도 여기 있다.

경계조건을 한쪽만 바꿔 보면 급수와 닫힌 꼴의 대응이 한 번 더 보인다. $u(0)=0$ , $u'(\ell)=0$ — 왼쪽은 고정, 오른쪽은 자유 — 이면 고유함수는 $\sin\big[(n+\tfrac12)\pi x/\ell\big]$ 이고 (Arfken 연습 10.1.1·10.1.10), 급수를 더한 닫힌 꼴은

G(x,x')=-x_<

다. $x_>$ 가 아예 없다. 원천점 오른쪽은 기울기가 0인 수평선이고, 왼쪽은 원점에서 원천점까지의 직선이다 — 한쪽 끝이 자유로운 줄을 한 점에서 누르면 그 바깥쪽은 힘을 받지 않아 그냥 따라 내려간다. 2절의 구성 공식으로 확인하면 $u_1=x$ , $u_2=1$ (오른쪽에서 $u'=0$ ), $pW=-1$ 이므로 같은 답이다.

스펙트럼이 보인다

전개식을 다시 보면 분모에 고유값이 있다. 여기서 세 가지가 곧바로 읽힌다.

① 작은 고유값이 지배한다. $1/\lambda_n$ 이 가중치이므로 크기가 가장 작은 고유값의 모드가 응답을 좌우한다. 원천이 그 모드와 겹치는 만큼 응답이 커진다. 물리적으로는 “가장 부드러운 변형 방향으로 계가 주로 반응한다”는 말이다.

② 대칭성이 공짜로 나온다. 고유함수가 실수면 $G(x,x')=G(x',x)$ 가 식의 생김새에서 바로 보인다. 2절에서 $x_<,x_>$ 표기로 확인했던 상반성이 여기서는 더 일반적으로 나온다 — 자체 수반 연산자의 그린 함수는 대칭이다.

③ 고유값 0이면 그린 함수가 없다. $\lambda_n=0$ 인 모드가 하나라도 있으면 항이 발산한다. 1.2.4역행렬의 “행렬식이 0이면 역행렬이 없다”의 무한 차원판이고, 2절에서 $W=0$ 이던 상황과 같은 사건이다.

적분 방정식으로 뒤집기

고유값 문제 $\mathcal{L}\varphi=\lambda\varphi$ 의 우변을 원천으로 읽으면, 이미 손에 있는 그린 함수로 곧바로

\varphi(x)=\lambda\int_a^b G(x,x')\,\varphi(x')\,dx'

가 된다(Arfken §10.1 식 (10.29)–(10.31)). 이것은 답이 아니다 — 미지 함수가 양변에 있다. 대신 미분방정식 + 경계조건이 적분 방정식 하나로 바뀌었다. 경계조건이 사라진 것이 아니라 커널 $G$ 안에 들어갔다. Arfken 예 10.1.4가 이를 예제 1로 확인한다 — $\varphi_n=\sin n\pi x$ 를 $G=x_<(1-x_>)$ 와 적분하면 $\varphi_n/n^2\pi^2$ 이 나와 $\lambda_n=n^2\pi^2$ 이다.

두 표현이 같은 문제라는 것 이상으로, 이 뒤집기는 세 가지를 준다.

고유값이 역수로 바뀐다. 적분 연산자 $\int G\,\cdot\,dx'$ 의 고유값은 $1/\lambda_n$ 이다. 미분 연산자에서 가장 작던 $\lvert\lambda_n\rvert$ 이 적분 연산자에서는 가장 크다. 그래서 $G$ 를 되풀이해 적용하면(거듭제곱법) 최저 모드가 살아남는다 — 아래 “작은 고유값이 지배한다”는 말의 계산적 의미이고, 수치 고유값 풀이의 역반복법이 이 원리다.
유계 연산자가 된다. 미분은 유한한 노름의 함수에서 무한한 노름을 만들 수 있지만(고주파를 키운다), 적분은 그러지 못한다. 유계 연산자에는 더 강한 정리가 있다 — Arfken이 적분 방정식 쪽을 선호하는 근본적 이유로 든 것이다.
산란 문제의 출발점이다. 헬름홀츠 방정식에서 퍼텐셜 항을 원천으로 읽으면 같은 꼴의 적분 방정식이 나온다. 6절의 리프만–슈윙거 방정식이다.

분해능 — 매개변수가 붙은 문제

$\mathcal{L}$ 대신 $\mathcal{L}-\lambda$ 의 그린 함수를 생각하면 스펙트럼과의 관계가 더 선명해진다.

(\mathcal{L}-\lambda)G_\lambda=\delta \qquad\Longrightarrow\qquad G_\lambda(x,x')=\sum_n\frac{\varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')}{\lambda_n-\lambda}

이 $G_\lambda$ 를 분해능(resolvent)이라 하고, $(\mathcal{L}-\lambda)^{-1}$ 을 적어 놓은 것이다. $\lambda$ 를 복소평면 위에서 움직이면 $\lambda=\lambda_n$ 마다 극이 하나씩 있고, 그 극의 위치가 고유값이다. 그린 함수의 특이점이 스펙트럼이라는 이 사실이 현대적 계산법의 출발점이다. Arfken은 $\lambda$ 가 어느 고유값과도 같지 않을 때만 이 식이 정의된다는 것을 못박아 둔다(§10.2 식 (10.38)–(10.39)) — 극 위에 서면 식이 없다.

직관

물리적 직관 — 공명과 상태밀도. $\lambda$ 를 구동 진동수라 읽으면 극은 공명이다. 구동 진동수가 고유진동수에 닿으면 응답이 무한대로 간다 — 감쇠가 없는 계에서 공명이 발산하는 것이 수학적으로는 분모가 0이 되는 사건이다.

반도체 계산에서는 이 구조가 그대로 상태밀도가 된다. $\lambda\to E+i\eta$ 로 아주 작은 허수부를 붙이면

-\frac{1}{\pi}\operatorname{Im}\sum_n\frac{1}{E-\lambda_n+i\eta} =\sum_n\frac{1}{\pi}\frac{\eta}{(E-\lambda_n)^2+\eta^2} \ \xrightarrow[\ \eta\to0\ ]{}\ \sum_n\delta(E-\lambda_n)

가 되어 그린 함수의 허수부가 상태밀도다. 1절 표의 로렌츠 함수열이 여기서 다시 나온다는 점을 보라 — $\eta$ 가 그 함수열의 폭이고, 물리적으로는 유한한 수명이 주는 선폭이다. 밴드 구조 계산의 그린 함수법과 소자 시뮬레이션의 NEGF(비평형 그린 함수)가 전부 이 한 줄 위에 서 있고, 거기서 $\mathcal{L}$ 자리에 해밀토니안이, $\eta$ 자리에 접촉으로 빠져나가는 자체 에너지가 들어간다.

의문

고유값이 정확히 0인 모드가 있으면 어떻게 되는가. 절연된 막대의 열전도가 그 예다 — $\mathcal{L}=d^2/dx^2$ 에 노이만 조건 $u'(0)=u'(\ell)=0$ 을 걸면 상수함수가 $\lambda_0=0$ 인 고유함수라서 전개식의 첫 항이 발산한다.

물리가 먼저 답을 준다. 양 끝이 완전히 막힌 막대에 열을 계속 넣으면 정상 상태는 없다 — 온도가 끝없이 오른다. 정상 상태가 있으려면 넣은 만큼 빼야 하고, 그 조건이

\int_a^b f(x)\,dx=0

이다. 이것을 가해성 조건이라 하고, 유한 차원에서 특이 행렬 방정식이 $\mathbf{b}$ 가 치역 안에 있을 때만 풀리는 것과 같다(프레드홀름 대안). 원천이 $\lambda=0$ 고유함수와 직교해야 한다는 말이기도 하다.

그때는 발산하는 항을 아예 빼고 수정 그린 함수를 정의한다.

G_{\text{mod}}(x,x')=\sum_{n\neq0}\frac{\varphi_n(x)\varphi_n^{*}(x')}{\lambda_n}

해는 상수를 더하는 자유도만큼 비결정이고, 그 상수는 다른 조건(예: 평균 온도)이 정한다.

반도체에서 이 상황은 플로팅 바디로 나타난다. 전기적으로 떠 있는 영역에 순 전하를 계속 넣으면 정상 상태가 없다. SOI 소자의 바디 전위가 접합 누설과 충격 이온화의 균형으로 정해지는 것이 이 조건의 물리적 실현이고, 시뮬레이터가 그런 구조에서 특이 행렬을 만나 수렴에 실패하는 것도 같은 이야기다. 노이만 문제의 이 특이성은 5절에서 경계조건 쪽에서 한 번 더 만난다.

2·3차원 문제

차원이 올라가면 2절의 “왼쪽 해와 오른쪽 해를 이어 붙인다”가 통하지 않는다. 대신 대칭성 + 발산정리라는 더 단순한 길이 열린다. 경계가 없는 무한 공간에서는 그것으로 답이 곧바로 나오고, 경계가 있으면 그 답에 동차해를 하나 더해 맞춘다.

1차원에서 무엇이 살아남고 무엇이 죽는지를 Arfken은 네 항목으로 정리한다(§10.2). ① 정의 $\mathcal{L}G=\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ + 경계조건, ② 해 $u=\int Gf\,d^3r'$ , ③ 에르미트 문제면 대칭 $G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=G^{*}(\mathbf{r}',\mathbf{r})$ 과 고유함수 전개 — 이 셋은 그대로다. ④ 연속성은 약해진다. 1차원에서는 $G$ 가 원천점에서 연속이고 도함수만 뛰었는데, 2·3차원에서는 $G$ 자체가 원천점에서 발산할 수 있어 “원천점을 뺀 영역에서 연속”으로 물러난다. 그 대신 1계 도함수가 더 센 특이성을 지녀야 2계 미분이 델타를 만든다. 살아남지 못하는 것은 구성 공식이다 — 영역을 원천점 양옆으로 가를 수 없다.

자유공간 라플라시안

$\nabla^2G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\delta^n(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ 을 무한 공간에서 푼다. 원천이 한 점이고 공간이 등방적이므로 $G$ 는 거리 $R=\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert$ 에만 의존한다. 원천을 감싸는 반지름 $R$ 짜리 껍질에 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산정리를 쓰면 계산이 한 줄로 끝난다.

1=\int\nabla^2G\,dV=\oint\nabla G\cdot d\mathbf{A}=G'(R)\times(\text{껍질의 넓이})

껍질의 넓이만 차원마다 다르고 나머지는 같다.

차원	껍질의 넓이	$G'(R)$	$G(R)$	멀리서
3	$4\pi R^2$	$\dfrac{1}{4\pi R^2}$	$-\dfrac{1}{4\pi R}$	0으로 감쇠
2	$2\pi R$	$\dfrac{1}{2\pi R}$	$\dfrac{1}{2\pi}\ln\dfrac{R}{R_0}$	느리게 발산
1	$2$ (양 끝 두 점)	$\dfrac{1}{2}\operatorname{sgn}(x-x')$	$\dfrac{\lvert x-x'\rvert}{2}$	선형으로 발산

3차원의 $-1/4\pi R$ 이 1.1.9퍼텐셜 이론에서 이미 나온 그 함수다 — $\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ 을 뒤집어 적은 것이다. 1절에서 세어 둔 단위 (3차원에서 1/길이)도 맞는다.

Arfken은 이것들을 기본 그린 함수(fundamental Green’s function)라 부른다(§10.2) — 무한 공간과 “무한대에서 0”이라는 가장 단순한 조건에 대한 답이고, 다른 경계조건은 여기에 동차해를 더해 맞춘다는 뜻에서다. 1차원 줄의 $\lvert x-x'\rvert/2$ 는 도함수가 $\tfrac12\operatorname{sgn}(x-x')$ , 그 도함수가 $\tfrac12\cdot2\delta=\delta$ 라서 정의에 맞는다( $\frac{d}{dx}\operatorname{sgn}x=2\delta$ , Boas §8.11 연습 16). 2차원 줄에 대해 Arfken은 한 마디를 보탠다 — 평면 물리(flatland)는 한 방향의 병진 대칭이 있는 3차원 문제를 다룰 때조차 실제 3차원 물리와 다르다. 로그가 그 차이다.

주의

부호 관례가 문헌마다 다르다. 세 가지가 돌아다니고, 셋 다 같은 물리를 적는다.

관례	정의식	자유공간 $G$	해
이 백과 · Arfken 7e	$\nabla^2G=\delta^3$	$-\dfrac{1}{4\pi R}$	$u=\int Gf\,dV'$
Arfken 6e까지	$\nabla^2G=-\delta^3$	$\dfrac{1}{4\pi R}$	$u=-\int Gf\,dV'$
Jackson (가우스 단위) · Morse–Feshbach	$\nabla^2G=-4\pi\delta^3$	$\dfrac{1}{R}$	$u=-\dfrac{1}{4\pi}\int Gf\,dV'$
정전기 전용 (Arfken §10 도입부)	$\nabla^2G=-\dfrac{\delta^3}{\varepsilon}$	$\dfrac{1}{4\pi\varepsilon R}$	$\phi=\int G\rho\,dV'$

이 백과는 첫 줄로 고정한다 — 1절의 정의 $\mathcal{L}G=\delta$ 를 예외 없이 지키기 위해서다. 대가로 3차원 $G$ 에 음부호가 붙어 쿨롱 퍼텐셜과 생김새가 어긋나 보이는데, $\nabla^2\phi=-\rho/\varepsilon$ 의 우변에도 음부호가 있어 결국 상쇄된다.

\phi(\mathbf{r})=\int G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\left(-\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\varepsilon}\right)dV' =\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,dV'

문헌을 대조할 때는 정의식부터 확인할 것. $4\pi$ 가 $G$ 안에 있는지 밖에 있는지가 계산 중간의 모든 계수를 바꾼다. 같은 책도 판마다 다르다 — Arfken 7판은 이전 판들이 음의 델타로 정의해 $+1/4\pi R$ 를 썼다고 밝히면서, 부호가 어느 쪽이든 물리 결과에는 모호함이 없다고 적는다 (§10.2 식 (10.43) 아래). $G$ 의 부호가 바뀌면 $G$ 를 원천과 곱하는 적분의 부호도 함께 바뀌기 때문이다. Morse–Feshbach가 $4\pi\delta$ 를 쓴다는 것도 Arfken이 참고문헌에 경고로 적어 둔 것이다.

그림 1.8-7. 자유공간 라플라시안의 그린 함수를 세 차원에서 비교한 것. 3차원은 1/R로 감쇠하고, 2차원은 로그로 천천히 자라며, 1차원은 |x|/2로 선형으로 자란다. 점원천에서 나온 선속이 퍼져 나갈 자리가 차원마다 다르기 때문이다 — 차원이 낮을수록 점원천의 영향이 멀리까지 남는다. 세로축의 부호는 ∇²G = δ 관례를 따랐다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 선속이 퍼질 자리. 세 결과의 차이는 전부 “원천에서 나온 선속이 얼마나 넓은 면으로 퍼지는가”다. 3차원에서는 껍질 넓이가 $R^2$ 로 커져 장이 $1/R^2$ 로 묽어지고, 그 적분인 퍼텐셜이 $1/R$ 로 떨어진다. 2차원에서는 껍질이 $R$ 로만 커져 장이 $1/R$ 이고 퍼텐셜은 로그로 자란다. 1차원에서는 퍼질 자리가 아예 없어 장의 크기가 일정하다.

물리적 결론 하나가 여기서 나온다 — 차원이 낮을수록 쿨롱 상호작용이 강하다. 2차원 물질의 엑시톤 결합에너지가 벌크보다 훨씬 큰 것, 나노와이어에서 불순물 속박이 깊어지는 것, 그리고 7절의 스크리닝이 차원에 따라 다른 꼴이 되는 것이 전부 이 표의 결과다. 저차원에서는 상대가 아무리 멀어져도 쉽게 놓아주지 않는다.

2차원 줄의 $R_0$ 도 그냥 넘어갈 것이 아니다. 로그는 멀리서 감쇠하지 않으므로 “무한대에서 0”이라는 기준을 걸 수 없고, 대신 기준 길이 $R_0$ 를 임의로 골라야 한다. 그래서 2차원 문제에서는 퍼텐셜의 절대값이 뜻이 없고 차이만 뜻이 있다. 아래 4점 탐침 계산에서 이 임의성이 어떻게 상쇄되는지 보게 된다.

경계가 있으면 — 영상법

경계가 있는 문제의 그린 함수는 자유공간 해 + 동차해로 쪼갠다.

G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\underbrace{-\frac{1}{4\pi\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}}_{\text{자유공간}} +\underbrace{H(\mathbf{r},\mathbf{r}')}_{\nabla^2H=0}

$H$ 는 영역 안에 원천이 없는 조화함수이므로 델타를 건드리지 않고, 경계조건만 맞추는 데 쓰인다. 이 쪼개기는 언제나 가능하고, $H$ 를 어떻게 찾느냐가 문제다.

쪼개기가 하는 일은 1차원에서 먼저 보는 것이 빠르다(Arfken 예 10.2.1). 기본 그린 함수 $\lvert x-x'\rvert/2$ 에 동차해의 곱 $f(x)g(x')$ — 1차식끼리의 곱 — 을 더해도 연속성과 도약은 변하지 않는다. 디리클레 조건 $G(0,x')=G(1,x')=0$ 을 맞추려면

G(x,x')=\frac{\lvert x-x'\rvert}{2}-\frac{x+x'}{2}+xx'

로 두면 되고, 절댓값을 풀면 $x<x'$ 에서 $-x(1-x')$ , $x>x'$ 에서 $-x'(1-x)$ , 즉 2절 예제 1의 $-x_<(1-x_>)$ 다. “기본 해 + 동차해”와 “왼쪽 해·오른쪽 해 잇기”는 같은 답에 이르는 두 길이고, 차원이 올라가면 앞의 길만 남는다.

가장 쉬운 경우가 영상법이다. 접지된 무한 평면( $z=0$ , $G=0$ ) 위쪽 반공간에서는 경계 너머에 부호를 뒤집은 가상의 원천을 하나 놓으면 끝난다.

G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=-\frac{1}{4\pi\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert} +\frac{1}{4\pi\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'^{*}\rvert}, \qquad \mathbf{r}'^{*}=(x',y',-z')

영상 원천이 영역 밖에 있으므로 영역 안에서는 $\nabla^2(\text{영상항})=0$ 이고, $z=0$ 에서는 두 거리가 같아 $G=0$ 이다. 조건이 둘 다 맞는다. 구·평행판·쐐기 같은 몇몇 모양에도 같은 수법이 통하고, 일반적인 모양에서는 통하지 않는다 — 2.2 경계값 문제가 그 이야기를 이어받는다.

직관

물리적 직관 — 영상력이 장벽을 낮춘다. 영상항은 계산 편의를 위한 허구가 아니라 실제 힘을 만든다. 금속 표면에서 거리 $z$ 에 있는 전자는 자기 영상 전하에 끌려

U(z)=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon z}

의 퍼텐셜을 받는다( $4\pi\varepsilon\cdot2z$ 와 인수 $\tfrac12$ 이 곱해져 16이 된다). 여기에 외부 전기장 $\mathcal{E}$ 의 $-q\mathcal{E}z$ 를 더하면 합의 최대점이 낮아지고, 그 낮아지는 양이

\Delta\phi_B=\sqrt{\frac{q\mathcal{E}}{4\pi\varepsilon}}

다. 쇼트키 장벽이 전기장에 따라 낮아지는 현상(이미지력 장벽 낮춤)이 이것이고, 금속–반도체 접촉의 누설이 역바이어스에서 완만히 늘어나는 이유다. 그린 함수의 동차 부분이 소자의 누설 전류를 설명한다 — 1.7.10라플라스·푸아송 방정식에서 같은 계산을 했고, 12부 금속-반도체 접합에서 다시 본다.

혼합 전개 — 층 구조를 다루는 방법

반도체 구조는 대개 가로로는 균일하고 세로로만 층이 쌓인 모양이다. 이런 문제에서 실제로 쓰는 방법이 방향마다 다른 표현을 섞는 것이다. 가로 두 방향은 병진 대칭이 있으니 푸리에 변환으로 $\mathbf{k}_\parallel$ 를 뽑고, 세로 방향만 2절의 1차원 구성으로 푼다.

G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\int\frac{d^2k_\parallel}{(2\pi)^2}\, e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot(\boldsymbol{\rho}-\boldsymbol{\rho}')}\, g_{k_\parallel}(z,z'), \qquad \left(\frac{d^2}{dz^2}-k_\parallel^2\right)g_{k_\parallel}=\delta(z-z')

세로 방향 문제는 예제 2와 똑같은 연산자다 — $1/L_n$ 자리에 $k_\parallel$ 가 들어갔을 뿐이라 답도 $g=-e^{-k_\parallel|z-z'|}/2k_\parallel$ 다. 층마다 유전율이 다르면 각 층에서 동차해를 잇고 계면에서 $\varepsilon\,\partial g/\partial z$ 의 연속을 요구하면 된다. 배선 커패시턴스 추출, 층 구조 위 점전하, 다층 박막의 열 확산이 전부 이 틀에서 풀린다.

같은 정신의 전개가 하나 더 있다. 구 대칭 문제에서는 $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ 을 르장드르 다항식으로 전개하고(다중극 전개, 1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식), Arfken은 그 반경 부분을 구면 그린 함수라 부른다(§10.2).

-\frac{1}{4\pi\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert} =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{2l+1}{4\pi}\,g_l(r,r')\,P_l(\cos\chi), \qquad g_l(r,r')=-\frac{1}{2l+1}\,\frac{r_<^{\,l}}{r_>^{\,l+1}}

$\chi$ 는 두 위치벡터 사이의 각이다. 원통좌표에서는 각 방향을 $e^{im(\phi-\phi')}$ , 축 방향을 $\cos k(z-z')$ 로 뽑고 나면 반경 부분이 수정 베셀 함수의 곱 $g_m=-I_m(k\rho_<)\,K_m(k\rho_>)$ 가 된다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 둘 다 $r_<$ · $r_>$ 의 두 영역 구조를 그대로 지니고 있다 — 2절의 “왼쪽 해와 오른쪽 해”가 3차원에서 사라진 것이 아니라 반경 좌표 하나로 옮겨 앉은 것이다. $r_<^{\,l}$ 은 원점에서 유한한 해, $r_>^{-(l+1)}$ 은 무한대에서 죽는 해이고, $I_m$ 과 $K_m$ 이 같은 역할을 나눠 맡는다. 1.6의 스투름–리우빌 이론이 각 방향의 직교 함수계를 대는 자리다.

퍼짐 저항과 4점 탐침

정상 전류의 방정식 $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ 과 $\mathbf{J}=-\sigma\nabla V$ 를 합치면 $\nabla^2V=0$ 이고, 한 점으로 전류 $I$ 를 흘려 넣으면 우변에 델타가 선다. 위 표를 그대로 쓰면 되고, 경계가 반공간이라 껍질 넓이가 절반이라는 것만 조심하면 된다.

V(r)=\frac{\rho I}{2\pi r} \qquad(\text{반무한 매질 표면의 점 접촉},\ \rho=1/\sigma)

이 식이 퍼짐 저항의 근거다. 접촉을 점이 아니라 반지름 $a$ 인 등전위 원판으로 제대로 풀면 $R=\rho/4a$ 가 나오는데, 점 접촉 식에서 $r\sim a$ 를 넣은 어림과 인수만 다르다. 요점은 저항이 접촉의 넓이가 아니라 지름에 반비례한다는 것이다. 접촉 저항을 낮추려고 접촉 면적을 키우는 것도, 미세화된 소자에서 접촉 저항이 전체 저항을 지배하게 되는 것도 이 $1/a$ 때문이다.

얇은 판이면 이야기가 2차원으로 바뀐다. 두께 $t$ 인 판의 시트 저항을 $R_s=\rho/t$ 라 할 때

V(r)=\frac{R_s I}{2\pi}\ln\frac{R_0}{r}

이고, 등간격 $s$ 로 놓인 4점 탐침에서 바깥 두 탐침으로 $I$ 를 흘리고 안쪽 두 탐침의 전위차를 재면 로그 넷이 겹쳐

V=\frac{R_sI}{2\pi}\big(\ln 2+\ln 2\big)=\frac{R_sI\ln2}{\pi} \qquad\Longrightarrow\qquad R_s=\frac{\pi}{\ln 2}\cdot\frac{V}{I}=4.532\,\frac{V}{I}

가 된다. 계측 교과서에 상수로만 적혀 있는 4.532가 2차원 그린 함수의 로그에서 나온 수다. 그리고 여기서 앞의 기준 길이 $R_0$ 가 네 항에서 상쇄되어 사라진다 — 2차원 퍼텐셜의 절대값이 뜻이 없어도 측정값은 멀쩡한 이유가 이것이다. 탐침 간격 $s$ 도 상쇄되어 결과에 남지 않는데, 그래서 이 측정이 간격의 정밀도에 둔감하다.

경계 조건과 유일성

1절에서 그린 함수를 동차 경계조건으로 정의하고, 비동차 경계조건은 미뤄 두었다. 이 절이 그 빚을 갚는다. 도구는 1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 그린 제2항등식 하나뿐이고, 거기서 표현 공식·경계조건의 분류·상반성·유일성이 차례로 나온다. 세 종류 경계조건의 이름과 물리는 1.7.1PDE의 분류와 기본 개념에서 정리했다.

표현 공식

제2항등식에 $\varphi=u$ , $\psi=G$ 를 넣는다. 미분과 적분은 원천 변수 $\mathbf{r}'$ 에 대해 하고, $\nabla'^2u=f$ 와 $\nabla'^2G=\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ 을 쓰면

u(\mathbf{r})=\int_V G\,f\,dV' +\oint_S\left(u\,\frac{\partial G}{\partial n'}-G\,\frac{\partial u}{\partial n'}\right)dA'

가 된다. 부피 적분에서 델타가 $u(\mathbf{r})$ 을 걸러 내 좌변으로 올라간 결과다. 이 식이 이 절의 중심이고, 읽는 법은 이렇다.

첫 항 — 영역 안의 원천이 만드는 기여. 1절에서 본 그것.
둘째 항 — 경계에서 무슨 일이 있었는가가 만드는 기여.

경계항에는 $u$ 와 $\partial u/\partial n$ 이 둘 다 들어 있는데, 실제 문제에서는 둘 중 하나만 주어진다. 나머지 하나는 미지수이므로 식에 남아 있으면 곤란하다. 그래서 $G$ 의 경계조건을 모르는 쪽을 지우도록 고른다. 이것이 그린 함수의 경계조건을 동차로 잡는 진짜 이유다.

문제	경계에서 주어지는 것	$G$ 에 거는 조건	남는 표현
디리클레	$u\rvert_S=h$	$G\rvert_S=0$	$u=\int Gf\,dV'+\oint h\,\dfrac{\partial G}{\partial n'}dA'$
노이만	$\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg\rvert_S=h$	$\dfrac{\partial G}{\partial n}\bigg\rvert_S=\dfrac{1}{S_{\text{tot}}}$	$u=\int Gf\,dV'-\oint G\,h\,dA'+\langle u\rangle_S$
로빈 (제3종)	$\dfrac{\partial u}{\partial n}+\alpha u\bigg\rvert_S=h$	같은 꼴로 동차	한 항으로 합쳐진다

주의

노이만 그린 함수에 $\partial G/\partial n=0$ 을 걸 수 없다. 그렇게 하고 싶은 것이 자연스럽지만 불가능하다. 발산정리가 막는다.

\oint_S\frac{\partial G}{\partial n}\,dA=\int_V\nabla^2G\,dV=\int_V\delta^3\,dV=1\neq0

원천에서 나온 선속은 어딘가로는 나가야 하고, 경계밖에 나갈 곳이 없다. 그래서 차선책으로 선속을 경계 전체에 고르게 흩어 $\partial G/\partial n=1/S_{\text{tot}}$ 로 둔다( $S_{\text{tot}}$ 는 경계의 총 넓이). 표의 마지막 항 $\langle u\rangle_S$ 는 그 대가로 남는 경계 평균값이다.

같은 제약이 원래 문제에도 걸린다. 노이만 문제가 풀리려면

\oint_S h\,dA=\int_V f\,dV

여야 한다 — 들어온 만큼 나가야 한다. 3절의 가해성 조건이 경계조건 쪽에서 다시 나온 것이고, 노이만 해가 상수만큼 비결정인 것도 3절의 $\lambda_0=0$ 모드와 같은 사건이다. 같은 사실을 세 언어로 말한 셈이다 — 특이 행렬, 영 고유값, 선속 보존.

상반성

2절에서 1차원 구성 공식의 생김새로, 3절에서 고유함수 전개의 생김새로 확인했던 대칭성을 이제 일반적으로 증명한다. 제2항등식에 $\varphi=G(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)$ , $\psi=G(\mathbf{r},\mathbf{r}_2)$ 를 넣으면 두 그린 함수 모두 경계에서 동차 조건을 만족하므로 경계항이 통째로 사라지고

\int_V\big[G(\mathbf{r},\mathbf{r}_1)\,\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}_2) -G(\mathbf{r},\mathbf{r}_2)\,\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}_1)\big]dV=0

즉 $G(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)=G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ 다. 자체 수반 연산자 + 동차 경계조건이 전제이고, 둘 중 하나가 깨지면 대칭도 깨진다.

Arfken은 같은 증명을 내적 하나로 적는다(§10.2 식 (10.34)–(10.36)). 에르미트 연산자는 $\langle G(\cdot,\mathbf{r}_1)\mid\mathcal{L}G(\cdot,\mathbf{r}_2)\rangle =\langle\mathcal{L}G(\cdot,\mathbf{r}_1)\mid G(\cdot,\mathbf{r}_2)\rangle$ 을 만족하고, 양변의 $\mathcal{L}G$ 가 델타이므로 왼쪽은 $G^{*}(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)$ , 오른쪽은 $G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ 다. 그래서 일반형은 켤레가 붙은 $G(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)=G^{*}(\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_1)$ 이고, 실수 문제에서 대칭이 된다. 2절 예제 4의 초기값 문제가 이 성질을 잃은 것은 조건이 에르미트성을 깼기 때문이다.

전제인 자체 수반 형식은 3차원에서 $\mathcal{L}=\nabla\cdot(p\,\nabla)+q$ 이고, $p,q$ 가 실수이고 경계조건이 디리클레면 에르미트다(Arfken 식 (10.33), 연습 10.2.2). 반도체에서 이 형식이 중요한 이유가 있다 — 유전율이 자리마다 다른 구조(산화막·실리콘·공기)의 푸아송 방정식 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\phi)=-\rho$ 가 정확히 $p=\varepsilon(\mathbf{r})$ 인 이 꼴이다. 그래서 아래 두 결과(커패시턴스 대칭, 라모–쇼클리)는 유전체가 여러 층이어도 그대로 성립한다.

그림 1.8-8. 상반성. 찌그러진 영역의 경계를 접지하고 A에 점원천을 놓아 B에서 재나(왼쪽), B에 놓고 A에서 재나(오른쪽) 값이 같다. 영역의 모양이 아무리 비대칭이어도 성립한다 — 대칭을 만드는 것은 도형이 아니라 연산자의 자체 수반성이다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 상반정리. ” $A$ 에 원천을 놓고 $B$ 에서 잰 값 = $B$ 에 놓고 $A$ 에서 잰 값”이라는 진술은 영역의 모양과 무관하게 성립한다. 전기·음향·전자기에서 각각 다른 이름으로 불리지만 전부 이 한 줄이다.

반도체에서 쓰이는 자리가 둘 있다.

① 커패시턴스 행렬의 대칭. 여러 도체가 있는 구조에서 $C_{ij}=C_{ji}$ 인 것이 상반성의 직접적인 결과다. 배선 기생 성분 추출기가 뽑아낸 행렬이 대칭이 아니면 수치 오차이거나 버그이고, 실제로 이 성질이 검증 항목으로 쓰인다.

② 라모–쇼클리 정리. 소자 안에서 캐리어 하나가 움직일 때 전극에 유도되는 순간 전류는 $i=q\,\mathbf{v}\cdot\nabla\varphi_w$ 이고, 여기서 $\varphi_w$ 는 가중 퍼텐셜 — 관심 전극만 1 V로 두고 나머지를 접지한 채 푼 라플라스 방정식의 해다. 이 정리가 성립하는 근거가 상반성이다. 방사선 검출기와 이미지 센서의 신호는 캐리어가 전극에 도달할 때가 아니라 움직이는 동안 나온다는 사실이 여기서 나온다.

유일성

1.1.9퍼텐셜 이론에서 조화함수의 유일성을 두 가지 방법(최대원리·에너지 논법)으로 확인했고, 비선형 푸아송 방정식까지 에너지 논법이 통한다는 것도 봤다. 여기서는 그것을 경계조건의 종류별로 정리만 한다. 두 해의 차 $u$ 에 그린 제1항등식을 쓰면

\int_V\lvert\nabla u\rvert^2dV=\oint_S u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,dA

이고, 우변이 0 이하이기만 하면 $\nabla u\equiv0$ 이 나온다.

디리클레 — 경계에서 $u=0$ 이라 우변이 0. 유일.
노이만 — 경계에서 $\partial u/\partial n=0$ 이라 우변이 0. 상수만큼 비결정.
로빈 $\partial u/\partial n=-\alpha u$ — 우변이 $-\alpha\oint u^2dA\le0$ . $\alpha\ge0$ 이면 유일하고, $\alpha<0$ 이면 보장되지 않는다.

직관

로빈 조건의 부호가 표면 재결합이다. 2절 예제 3의 남은 물음이 여기서 풀린다. 표면 재결합 속도 $S$ 가 유한한 표면의 경계조건은

D\,\frac{\partial\Delta n}{\partial x}\bigg\rvert_{\text{표면}}=S\,\Delta n

로, 정확히 로빈 꼴이고 $\alpha=S/D\ge0$ 이다. 재결합 속도가 음수일 수 없다는 물리가 곧 유일성의 조건이다. 두 극단이 앞의 두 줄이다.

$S\to\infty$ — 표면이 무엇이든 다 잡아먹는다. $\Delta n=0$ , 디리클레. 이상적 오믹 접촉이 이쪽이다.
$S\to0$ — 표면이 아무것도 잡지 않는다. 유량이 0, 노이만. 완벽한 부동태화가 이쪽이다.

실리콘 태양전지의 후면 부동태화, MOS 계면의 $D_{it}$ 저감, 뒷면 필드층(BSF)이 전부 $S$ 를 낮춰 디리클레에서 노이만 쪽으로 옮기는 일이다. $S$ 하나에 손잡이가 달려 있고, 그 손잡이를 돌리면 그린 함수가 예제 3에서 노이만 문제로 연속적으로 옮겨 간다. $S=0$ 인 표면만으로 둘러싸면 3절의 가해성 조건이 다시 걸린다는 것도 짚어 둘 만하다 — 빠져나갈 곳이 전혀 없으면 정상 상태가 없다. 실제 소자에서 그 일이 안 생기는 것은 벌크 재결합( $1/\tau$ 항)이 언제나 배출구 노릇을 하기 때문이다.

주의

부호의 규율 하나. 디리클레 그린 함수는 $\nabla^2G=\delta$ 관례에서 영역 안 어디서나 $G\le0$ 이다(최대원리). 뒤집어 말하면 한 방향의 원천은 어디서도 반대 방향의 응답을 만들지 않는다. 물리적으로 당연해 보이는 이 성질이 수치 계산에서는 저절로 얻어지지 않는다.

푸아송 방정식을 격자로 이산화하면 행렬 $A$ 가 나오고, 이산 최대원리가 성립하려면 $A^{-1}$ 의 모든 성분이 같은 부호여야 한다(M-행렬). 삼각형 격자가 지나치게 둔각이면 이 성질이 깨지고, 그때 시뮬레이터는 음의 캐리어 농도나 진동하는 해를 뱉는다. TCAD가 들로네 조건을 만족하는 격자를 요구하는 이유가 이것이다 — 격자 품질 경고는 미관 문제가 아니라 그린 함수의 부호 성질이 깨졌다는 신호다. 20부에서 다시 본다.

자유공간 그린 함수와 헬름홀츠 방정식

4절에서 라플라시안의 자유공간 해를 구했다. 같은 방법이 시간이 들어간 방정식과 진동하는 방정식에도 통하고, 이 절이 그 목록을 채운다. 자유공간 해를 따로 챙기는 이유는 두 가지다 — 경계가 멀면 그것만으로 답이 되고, 경계가 있어도 4절처럼 자유공간 해 + 동차해로 쪼개면 어려운 부분이 동차해 쪽으로 몰리기 때문이다.

헬름홀츠 방정식

시간 조화 문제( $e^{-i\omega t}$ )에서 파동 방정식은 헬름홀츠 방정식이 된다.

(\nabla^2+k^2)G=\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}'), \qquad k=\frac{\omega}{c}

1차원부터 본다(Arfken 예 10.1.3). $(d^2/dx^2+k^2)G=\delta(x-x')$ 의 동차해는 $e^{\pm ikx}$ 이고, “무한대에서 나가는 파”를 조건으로 걸면 $x\to+\infty$ 에서는 $e^{+ikx}$ , $x\to-\infty$ 에서는 $e^{-ikx}$ 여야 한다. 그래서 $u_1=e^{-ikx}$ , $u_2=e^{+ikx}$ , $pW=2ik$ 이고

G(x,x')=-\frac{i}{2k}\,e^{ik\lvert x-x'\rvert}

다. 2절 예제 2의 $-\tfrac{L}{2}e^{-|x-x'|/L}$ 에서 $1/L\to-ik$ 로 바꾼 것과 같다 — 감쇠가 진동으로, 실수 진폭이 허수 진폭으로 바뀌었을 뿐 구조는 같다. 3차원도 같은 길이다. 구 대칭이므로 $R$ 만의 함수이고, 구면 라플라시안의 항등식 $\nabla^2G=\frac{1}{R}\frac{d^2}{dR^2}(RG)$ 를 쓰면 $u=RG$ 에 대한 방정식이 $u''+k^2u=0$ 으로 내려앉는다. 원천에서 멀어지며 $R\to0$ 극한이 4절과 같아야 하므로

G_{\pm}(R)=-\frac{e^{\pm ikR}}{4\pi R}

가 된다. $k\to0$ 에서 $-1/4\pi R$ 로 돌아가는 것이 확인이다. 더 정확히는, 원천점 바로 곁에서 $\pm k^2$ 항은 아무 일도 하지 않는다 — $k^2G$ 를 원천점 둘레의 작은 공에서 적분하면 공과 함께 0으로 가므로(Arfken 연습 10.2.3), 델타를 만드는 특이성은 언제나 라플라시안 혼자 만든다. 헬름홀츠든 수정 헬름홀츠든 $R\to0$ 에서 $-1/4\pi R$ 로 보이는 이유다. 두 부호 중 어느 것을 쓸지는 수학이 정해 주지 않는다 — 물리가 정한다.

주의

$e^{+ikR}$ 이 나가는 파인지 들어오는 파인지는 시간 인자 규약에 달렸다.

$e^{-i\omega t}$ 규약(물리·광학)에서 전체 위상은 $e^{i(kR-\omega t)}$ 이므로 $+$ 부호가 밖으로 나가는 파다. 반면 $e^{+j\omega t}$ 규약(전기공학·회로·RF)에서는 $e^{-jkR}$ 이 나가는 파다. 같은 물리에 부호가 반대로 붙는다.

두 분야의 식을 섞어 쓰다 부호를 놓치면 감쇠가 증폭이 되고 지연이 선행이 된다. 유전율의 허수부 부호( $\varepsilon=\varepsilon'+i\varepsilon''$ 대 $\varepsilon'-j\varepsilon''$ )도 같은 이유로 갈린다. 문헌을 옮겨 적을 때 가장 먼저 확인할 것이 시간 인자다.

이 백과는 $e^{-i\omega t}$ 를 쓰고, 나가는 파는 $G_+$ 다. 무한대에서 나가는 파만 남기라는 요구를 조머펠트 방사 조건이라 하며, 이것이 유일성을 회복시켜 준다 — 경계가 무한대로 간 문제에서 경계조건 노릇을 하는 것이 이 조건이다.

셋째 선택도 있다. 나가는 파와 들어오는 파를 반씩 섞은 $\tfrac12(G_++G_-)=-\cos kR/4\pi R$ 는 정상파 그린 함수이고(Arfken 연습 10.2.5), 아래 푸리에 적분에서는 극을 우회하는 대신 주값을 취하는 것에 해당한다. 공진기처럼 에너지가 빠져나가지 않는 문제에서 쓰는 꼴이다.

푸리에로 풀면 — 경계조건이 극의 우회로가 된다

같은 문제를 푸리에 변환으로 풀면 다른 통찰이 나온다. 파수 벡터를 $\mathbf{q}$ 라 하면 $\nabla^2\to-\lvert\mathbf{q}\rvert^2$ 이므로

\tilde{G}(\mathbf{q})=\frac{1}{k^2-\lvert\mathbf{q}\rvert^2}, \qquad G(R)=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\,\frac{e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}}}{k^2-\lvert\mathbf{q}\rvert^2}

인데, 피적분함수에 $\lvert\mathbf{q}\rvert=k$ 의 극이 있어 적분이 그대로는 정의되지 않는다. 극을 어느 쪽으로 우회하느냐가 앞에서 고르지 못한 부호를 고르는 일이다. $k\to k+i0^{+}$ 로 아주 작은 허수부를 붙이면 $G_+$ 가, 반대로 붙이면 $G_-$ 가 나온다. 계산은 유수정리이고 1.9 복소해석에서 다룬다.

여기서 두 가지를 챙겨 둔다.

① 경계조건이 해석적 구조로 번역된다. “무한대에서 나가는 파만”이라는 물리적 요구가 “극을 실수축에서 어느 쪽으로 비켜 놓을 것인가”라는 복소평면의 지시로 바뀐다. 3절의 분해능 $G_\lambda=\sum\varphi\varphi/(\lambda_n-\lambda)$ 에서 극이 스펙트럼이었던 것과 같은 구조이고, 실제로 $\tilde G(\mathbf{q})=1/(k^2-\lvert\mathbf{q}\rvert^2)$ 은 그 식의 연속 스펙트럼판이다 — 평면파가 자유공간 라플라시안의 고유함수이고 $-\lvert\mathbf{q}\rvert^2$ 이 그 고유값이다.

② 곱이 합성곱이다. 푸리에 공간에서 그린 함수는 나눗셈 한 번이다. 병진 대칭이 있는 문제에서 그린 함수 방법이 쉬운 이유가 이것이고, 7절에서 유전함수 $\epsilon(\mathbf{q})$ 가 나오는 자리도 여기다.

수정 헬름홀츠 — 진동 대신 감쇠

$k^2$ 의 부호를 뒤집으면 파동이 아니라 감쇠가 된다.

(\nabla^2-\kappa^2)G=\delta^3 \qquad\Longrightarrow\qquad G(R)=-\frac{e^{-\kappa R}}{4\pi R}

유카와 퍼텐셜이라 부르는 꼴이고, $1/\kappa$ 가 도달 거리다. 쿨롱의 $1/R$ 에 지수 마개를 씌운 모양이라, 멀리 가면 급격히 죽는다. 2절 예제 2의 1차원판 $-\tfrac{L_n}{2}e^{-|x-x'|/L_n}$ 과 같은 연산자의 3차원 형제이고, 정상 상태 확산에서는 $\kappa=1/L_n$ 이다. 7절 전체가 이 한 줄의 응용이다.

리프만–슈윙거 방정식과 보른 근사

헬름홀츠 그린 함수가 실제로 쓰이는 첫 자리는 산란이다(Arfken 예 10.2.2). 퍼텐셜 $V(\mathbf{r})$ 에 입사하는 입자의 정상 상태 슈뢰딩거 방정식을 정리하면

(\nabla^2+k^2)\,\psi=\frac{2m}{\hbar^2}\,V\psi, \qquad k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}

로, 우변에 미지 함수가 든 헬름홀츠 방정식이다. 3절의 뒤집기를 그대로 쓰면 $\psi=\int G_+\,\frac{2m}{\hbar^2}V\psi\,d^3r'$ 인데, 이것만으로는 입사파가 없다. 입사 평면파 $e^{i\mathbf{k}_0\cdot\mathbf{r}}$ 는 동차 헬름홀츠 방정식의 해이므로 더해도 된다 — 4절의 “자유공간 해 + 동차해”와 같은 자유를 여기서는 점근 조건(입사파 + 나가는 구면파)을 맞추는 데 쓴다.

\psi(\mathbf{r})=e^{i\mathbf{k}_0\cdot\mathbf{r}} -\frac{2m}{\hbar^2}\int V(\mathbf{r}')\,\psi(\mathbf{r}')\, \frac{e^{ik\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}}{4\pi\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert}\,d^3r'

이것이 리프만–슈윙거 방정식이다. 근사가 아니라 슈뢰딩거 방정식과 동치인 적분 방정식이고, 경계조건(나가는 파)이 $G_+$ 의 선택에 들어가 있다. 퍼텐셜이 약하면 적분 안의 $\psi$ 를 입사파로 바꿔도 된다 — 보른 근사다. 멀리서 $\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert\simeq r-\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}'$ 로 펴면 나가는 구면파의 진폭이 읽힌다.

\psi\ \xrightarrow[\ r\to\infty\ ]{}\ e^{i\mathbf{k}_0\cdot\mathbf{r}}+f(\theta)\,\frac{e^{ikr}}{r}, \qquad f(\theta)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\mathbf{r}')\,e^{-i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}'}\,d^3r' =-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\,\tilde V(\mathbf{q})

$\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{k}_0$ 는 운동량 전달이고 $\lvert\mathbf{q}\rvert=2k\sin(\theta/2)$ 다. 결과가 한 줄로 요약된다 — 산란 진폭은 퍼텐셜의 푸리에 변환이고, 미분 단면적은 $\lvert f\rvert^2$ 다. 약한 퍼텐셜·높은 에너지에서 정확하다는 것이 Arfken의 평가이고, 반도체의 이온화 불순물 산란이 정확히 그 조건이다. 7절에서 스크린된 퍼텐셜의 $\tilde V(\mathbf{q})$ 를 여기 넣는다.

확산 방정식 — 시간이 들어간다

시간에 대해 1계인 연산자에서는 인과성이 새 조건으로 붙는다.

\left(\frac{\partial}{\partial t}-D\nabla^2\right)G=\delta^n(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\,\delta(t-t')

1차원 해는 가우시안이다 — 1.7.9푸리에 적분·변환에 의한 해의 열핵 그대로다.

G(x,t;x',t')=\frac{\theta(t-t')}{\sqrt{4\pi D(t-t')}}\, \exp\!\left[-\frac{(x-x')^2}{4D(t-t')}\right]

계단함수 $\theta$ 가 원천이 있기 전에는 응답이 없다는 조건을 넣는다(지연 그린 함수). $t\to t'$ 극한에서 이 함수는 1절 표의 가우시안 함수열 그대로이고, 표준편차가 $\sqrt{2D(t-t')}$ 로 자라며 면적은 1로 유지된다.

그림 1.8-9. 확산 방정식의 그린 함수(열핵)가 시간에 따라 퍼지는 모습. 1/e 폭은 √(4Dt)로(표준편차로는 √(2Dt)) 자라고 높이는 1/√(4πDt)로 낮아져 곡선 아래 넓이는 언제나 1이다 — 물질이 퍼질 뿐 사라지지 않기 때문이다. t → 0에서 이 함수열의 극한이 디랙 델타다(그림 1.8-1).직접 작도

직관

물리적 직관 — 이것이 도판트 확산이다. 18부의 확산 공정에서 배우는 두 프로파일이 전부 이 커널의 겹침이다.

드라이브인(제한 원천). 표면에 도즈 $Q$ 만큼만 얹어 놓고 열처리하면 초기 분포가 $Q\delta(x)$ 이므로 답이 커널 자체다.

C(x,t)=\frac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}\,e^{-x^2/4Dt}

반무한 매질이라 도즈가 한쪽에만 퍼지므로 앞 계수가 두 배가 된다( $1/\sqrt{4\pi Dt}\to1/\sqrt{\pi Dt}$ ). 가우시안 프로파일이 나오는 이유가 “델타를 넣었기 때문”이라는 것이 이 절의 요점이다.

프리디포지션(무한 원천). 표면 농도를 $C_s$ 로 붙들어 두면 답이 오차함수다.

C(x,t)=C_s\,\operatorname{erfc}\!\frac{x}{2\sqrt{Dt}}

이것도 겹침이다 — 무한 매질에서 $x<0$ 을 $C_s$ 로 채운 계단 분포를 가우시안 커널과 합성곱하면 $\tfrac{C_s}{2}\operatorname{erfc}(x/2\sqrt{Dt})$ 가 나오고, 표면을 거울로 삼아 반쪽을 접으면 위 식이 된다. 오차함수는 가우시안의 적분이고, 그 적분이 곧 원천의 겹침이라는 관계가 여기서 보인다(1.7.7반무한 매질의 오차함수 해의 식이다).

$\sqrt{4Dt}$ 는 공정에서 확산 길이라 부르는 그 양이다. 열처리 예산이 $\int D(T(t))\,dt$ 로 관리되는 것, 이온주입 후 열처리에서 최종 프로파일이 주입 프로파일과 커널의 합성곱인 것, 그래서 급준 접합을 만들려면 열처리를 짧고 세게 (급속 열처리·밀리초 어닐) 해야 하는 것이 전부 이 커널의 성질이다. 2절의 확산 길이 $L_n=\sqrt{D\tau}$ 와 생김새가 같은 것도 우연이 아니다 — 시간을 수명으로 바꿨을 뿐이다.

이 절과 4절에서 구한 것을 한자리에 모은다. 전부 $\mathcal{L}G=\delta$ 관례이고, $R=\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}'\rvert$ 이다.

연산자	이름	1차원	2차원	3차원
$\nabla^2$	라플라스·푸아송	$\dfrac{\lvert x-x'\rvert}{2}$	$\dfrac{1}{2\pi}\ln R$	$-\dfrac{1}{4\pi R}$
$\nabla^2+k^2$	헬름홀츠	$-\dfrac{i}{2k}\,e^{ik\lvert x-x'\rvert}$	$-\dfrac{i}{4}\,H_0^{(1)}(kR)$	$-\dfrac{e^{ikR}}{4\pi R}$
$\nabla^2-\kappa^2$	수정 헬름홀츠	$-\dfrac{1}{2\kappa}\,e^{-\kappa\lvert x-x'\rvert}$	$-\dfrac{1}{2\pi}\,K_0(\kappa R)$	$-\dfrac{e^{-\kappa R}}{4\pi R}$

Arfken 표 10.1을 옮긴 것이다. 경계조건은 헬름홀츠가 나가는 파, 수정 헬름홀츠와 3차원 라플라스가 무한대에서 0, 1·2차원 라플라스는 임의다. 2차원의 $H_0^{(1)}$ 은 한켈 함수, $K_0$ 는 제2종 수정 베셀 함수다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)) — $K_0(\kappa R)$ 는 가까이서 $-\ln R$ 처럼 로그이고 멀리서 $e^{-\kappa R}/\sqrt{R}$ 로 죽는다. 얇은 판 안의 정상 확산 — 한 점에서 주입된 소수캐리어가 판을 따라 퍼지며 재결합하는 문제 — 가 2차원 수정 헬름홀츠이고, 그 답이 $K_0(r/L_n)$ 이다.

시간이 든 연산자는 3차원만 적는다. $\tau_t=t-t'$ 다.

연산자	이름	3차원 자유공간 $G$	특징
$\partial_t-D\nabla^2$	확산·열	$\dfrac{\theta(\tau_t)\,e^{-R^2/4D\tau_t}}{(4\pi D\tau_t)^{3/2}}$	인과성
$\nabla^2-c^{-2}\partial_t^2$	파동	$-\dfrac{\delta(\tau_t-R/c)}{4\pi R}$	지연. 전자기 퍼텐셜(2부)

마지막 줄이 지연 퍼텐셜의 근거다 — 원천의 소식이 거리 $R$ 을 $R/c$ 만큼 늦게 도착한다는 사실이 델타의 인수 하나에 들어 있다. 헬름홀츠 줄과 파동 줄이 푸리에 변환으로 서로 옮겨 간다는 것도 확인해 둘 만하다.

스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결

앞의 여섯 절이 도구였다면 이 절은 그 도구가 반도체에서 처음으로 제대로 쓰이는 자리다. 질문은 단순하다 — 도핑된 반도체 안에 이온화된 불순물 하나를 놓으면 그 퍼텐셜은 어떤 모양인가.

진공이라면 답은 쿨롱 퍼텐셜 $q/4\pi\varepsilon r$ 이다. 그런데 결정 안에는 움직일 수 있는 캐리어가 가득하고, 이들이 양전하 주위로 몰려들어 전하를 가린다. 가려진 뒤의 퍼텐셜은 쿨롱보다 훨씬 빨리 죽는데, 얼마나 빨리인지가 소자의 여러 성질을 정한다.

선형화된 푸아송–볼츠만 방정식

n형 반도체에서 시작한다. 퍼텐셜 $\phi$ 가 걸리면 전자 농도는 볼츠만 인자만큼 바뀐다.

n=n_0\,e^{q\phi/k_BT}, \qquad \rho=q\big(p-n+N_D^{+}-N_A^{-}\big)

이온화된 도너는 격자에 고정돼 있으므로 $N_D^{+}=n_0$ 는 그대로다. 퍼텐셜이 작다고 보고 ( $q\phi\ll k_BT$ ) 지수를 1차까지만 펴면

\rho\simeq-q\,n_0\frac{q\phi}{k_BT} \qquad\Longrightarrow\qquad \nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon}=\frac{\phi}{\lambda_D^2}, \qquad \lambda_D=\sqrt{\frac{\varepsilon\,k_BT}{q^2n_0}}

가 된다. 6절의 수정 헬름홀츠 방정식이 그대로 나왔다. $\lambda_D$ 를 디바이 길이라 하고, $\kappa=1/\lambda_D$ 가 그 절의 감쇠 상수다. 양쪽 캐리어가 다 있으면 분모의 $n_0$ 가 $n_0+p_0$ 로 바뀐다 — 가리는 일에는 전자도 정공도 참여하기 때문이다.

원천이 점전하 $Q$ 이므로 우변에 $-Q\delta^3(\mathbf{r})/\varepsilon$ 을 놓고 6절의 결과를 쓰면 답이 곧바로 나온다.

\phi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon r}\,e^{-r/\lambda_D}

쿨롱 퍼텐셜에 지수 마개가 씌워진 꼴이고, 이것을 스크린된 쿨롱 퍼텐셜 또는 유카와 퍼텐셜이라 한다. 유도 전체에서 이 장의 재료가 아닌 것은 없다 — 델타로 점전하를 적었고, 선형화로 연산자를 만들었고, 자유공간 그린 함수를 그대로 가져다 썼다.

그림 1.8-10. 맨 쿨롱 퍼텐셜과 스크린된 퍼텐셜을 반로그 눈금에서 비교한 것. 쿨롱은 직선이 아닌 완만한 곡선(1/r)이고, 스크린된 쪽은 디바이 길이를 지나면서 지수적으로 꺾여 내려간다. 도핑을 100배 올리면 디바이 길이가 10배 짧아져 꺾이는 자리가 그만큼 앞으로 당겨진다 — 캐리어가 많을수록 더 가까이서 가려 버린다.직접 작도

직관

파라미터 연계성 — 무엇이 스크리닝 길이를 정하는가. $\lambda_D^2=\varepsilon k_BT/q^2n_0$ 의 세 인자가 각각 다른 이야기를 한다.

$n_0$ 가 오르면 짧아진다 ( $\lambda_D\propto n_0^{-1/2}$ ). 가릴 일꾼이 많으니 가까이서 일이 끝난다.
온도가 오르면 길어진다 ( $\lambda_D\propto\sqrt{T}$ ). 열운동이 캐리어를 흩뜨려 전하 주위에 정확히 모이지 못하게 한다. 가리는 능력과 흩뜨리는 힘의 균형이 이 길이다.
유전율이 크면 길어진다. 격자가 이미 상당히 가려 주므로 캐리어가 할 일이 준다.

실리콘, 300 K에서 숫자를 박아 두면 감이 잡힌다.

$n_0$ (cm $^{-3}$ )	$10^{14}$	$10^{15}$	$10^{16}$	$10^{17}$	$10^{18}$	$10^{19}$
$\lambda_D$	409 nm	129 nm	41 nm	12.9 nm	4.1 nm	1.3 nm

진성 실리콘( $n_i\approx10^{10}\,\text{cm}^{-3}$ )에서는 30 $\mu$ m에 가깝고, 축퇴 도핑 ( $10^{20}$ )에서는 원자 몇 개 거리다. 소자의 치수와 견줄 만한 길이라는 점이 중요하다 — 채널 길이가 수십 nm인 소자에서 $\lambda_D$ 가 수 nm면 무시할 수 없다.

가리는 구름의 모양

스크린된 퍼텐셜을 만드는 전하가 무엇인지 거꾸로 물을 수 있다(Arfken 연습 10.2.7). 푸아송 방정식 $\rho=-\varepsilon\nabla^2\phi$ 에 $\phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\frac{e^{-r/\lambda_D}}{r}$ 를 넣는다. $r\ne0$ 에서는 $\nabla^2(e^{-\kappa r}/r)=\kappa^2e^{-\kappa r}/r$ 이고, 원점에서는 1절의 $\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^3$ 이 그대로 살아 있으므로

\rho(\mathbf{r})=Q\,\delta^3(\mathbf{r})-\frac{Q}{4\pi\lambda_D^2}\,\frac{e^{-r/\lambda_D}}{r}

다. 점전하 $Q$ 와, 그것을 감싼 반대 부호의 구름이다. 구름의 총량은 $\int_0^\infty\frac{e^{-r/\lambda_D}}{r}\,4\pi r^2\,dr=4\pi\lambda_D^2$ 이라 정확히 $-Q$ 다. Arfken이 “퍼텐셜이 지수적으로 죽는 것은 알짜 전하가 0이라는 뜻”이라고 적은 것이 이것이고, 반지름 $r$ 안에 남는 알짜 전하는 $Q(r)=Q\,e^{-r/\lambda_D}(1+r/\lambda_D)$ 로 내려간다.

그림 1.8-11. 유카와 퍼텐셜을 만드는 전하 분포. 왼쪽은 반경 분포 4πr²ρ — 원점의 점전하 +Q(델타)와, 디바이 길이 λ에서 가장 짙은 음의 구름. 오른쪽은 반지름 r 안에 남는 알짜 전하 Q(r)/Q = e^(−r/λ)(1 + r/λ). 디바이 길이 몇 배 밖에서는 0이다 — 멀리서 보면 불순물 이온은 중성이다.직접 작도

구름의 밀도는 캐리어의 반응 $\delta n=-\rho_{\text{구름}}/q$ 이고, 앞의 선형화 $\delta n=n_0q\phi/k_BT$ 에 $\phi$ 를 넣으면 같은 식이 나온다 — 퍼텐셜이 캐리어를 모으고, 모인 캐리어가 퍼텐셜을 가리는 자기 일관 고리를 선형화된 푸아송–볼츠만 방정식이 한 번에 푼 것이다. 반경 분포 $4\pi r^2\rho$ 가 $r=\lambda_D$ 에서 최대라는 사실이 “디바이 길이 = 가리는 전하가 몰려 있는 거리”라는 그림을 준다.

축퇴에서는 토머스–페르미

위 유도는 볼츠만 통계를 썼으므로 비축퇴에서만 옳다. 축퇴 반도체와 금속에서는 페르미–디랙 통계를 써야 하고, 그러면 $\partial n/\partial\phi$ 자리에 상태밀도가 들어온다.

\frac{1}{\lambda^2}=\frac{q^2}{\varepsilon}\frac{\partial n}{\partial E_F} \qquad\longrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{\partial n}{\partial E_F}=\dfrac{n}{k_BT} & \text{(비축퇴: 디바이)}\\[2ex] \dfrac{\partial n}{\partial E_F}=g(E_F)=\dfrac{3n}{2E_F} & \text{(축퇴: 토머스–페르미)} \end{cases}

직관

두 길이가 사실은 하나다. 위 식의 첫 줄이 스크리닝의 일반형이고, 디바이와 토머스–페르미는 그 한 식의 두 극한이다. 읽는 법은 “퍼텐셜을 조금 흔들었을 때 캐리어가 얼마나 반응하느냐”이고, 그 반응 계수가 $\partial n/\partial E_F$ — 열역학적 감수율이자 유효 상태밀도다.

비축퇴에서는 볼츠만 꼬리가 반응해 $n/k_BT$ 이고, 축퇴에서는 페르미 면 근처만 반응해 $g(E_F)$ 다. 두 표현이 비축퇴 극한에서 서로 이어진다. 캐리어가 많을수록, 상태밀도가 클수록 잘 가린다는 한 문장이 양쪽을 관통한다.

숫자로는 실리콘 $n=10^{20}\,\text{cm}^{-3}$ 에서 $\lambda_{TF}\approx0.6$ nm, 구리 같은 금속에서 $\approx0.05$ nm다. 금속의 스크리닝 길이가 원자 간격보다 짧다는 것이 금속 내부에 전기장이 들어가지 못하는 이유이고, 그래서 금속 게이트를 이상적인 등전위 전극으로 다룰 수 있다. 반대로 폴리실리콘 게이트는 도핑이 유한해 $\lambda$ 가 0이 아니고, 그래서 반전 상태에서 게이트 쪽에도 얇은 공핍층이 생긴다 — 폴리 공핍이다. 이것이 유효 산화막 두께를 0.3~0.5 nm쯤 늘려 성능을 깎았고, 금속 게이트로 넘어간 이유 중 하나가 되었다.

푸리에 공간에서 — 유전함수

6절에서 예고한 대로, 같은 식을 푸리에 공간에서 보면 이름이 하나 더 붙는다.

\tilde\phi(\mathbf{q})=\frac{Q}{\varepsilon\,(\lvert\mathbf{q}\rvert^2+\kappa^2)} =\frac{1}{\epsilon(\mathbf{q})}\cdot\frac{Q}{\varepsilon\lvert\mathbf{q}\rvert^2}, \qquad \epsilon(\mathbf{q})=1+\frac{\kappa^2}{\lvert\mathbf{q}\rvert^2}

맨 쿨롱을 파수에 의존하는 유전함수로 나눈 꼴이다. 여기서 $\epsilon(\mathbf{q})$ 는 무차원 함수이고, 앞에서 계속 쓴 유전율 $\varepsilon$ 과는 다른 물건이다 — 글자가 닮았으므로 인수 $(\mathbf{q})$ 가 붙었는지로 갈라 읽는다. 긴 파장( $\lvert\mathbf{q}\rvert\to0$ )에서 $\epsilon\to\infty$ 라 완전히 가려지고, 짧은 파장( $\lvert\mathbf{q}\rvert\gg\kappa$ )에서 $\epsilon\to1$ 이라 가려지지 않는다. 멀리서 보면 전하가 없고 가까이서 보면 맨 전하가 보인다는 실공간의 그림이 파수 공간에서는 이렇게 적힌다.

6절의 보른 근사에 이 $\tilde\phi$ 를 넣으면 이온화 불순물 산란이 나온다. 전하 $q$ 인 캐리어가 느끼는 퍼텐셜 에너지의 변환은 $\tilde V(\mathbf{q})=qQ/\varepsilon(\lvert\mathbf{q}\rvert^2+\kappa^2)$ 이므로

\frac{d\sigma}{d\Omega}=\lvert f\rvert^2 =\left(\frac{m^{*}qQ}{2\pi\hbar^2\varepsilon}\right)^{\!2} \frac{1}{\big(\lvert\mathbf{q}\rvert^2+\kappa^2\big)^2}, \qquad \lvert\mathbf{q}\rvert=2k\sin\frac{\theta}{2}

다. $\kappa\to0$ 이면 러더퍼드의 $1/\sin^4(\theta/2)$ 이고, 입체각으로 적분한 전체 단면적이 작은 각도에서 발산한다. $\kappa$ 가 있으면 $\theta\to0$ 에서 $1/\kappa^4$ 로 유한하고, 전체 단면적은 $4\pi/\kappa^2(4k^2+\kappa^2)$ 로 디바이 길이의 제곱에 비례한다. 이동도에 들어가는 것은 $(1-\cos\theta)$ 가중을 건 운동량 완화 단면적이고, 그 적분이 브룩스–헤링 공식의 $\ln(1+b)-b/(1+b)$ , $b=4k^2\lambda_D^2$ 이다 — 맨 쿨롱( $b\to\infty$ )에서 로그로 발산하던 그 항이다.

결과 넷

스크린된 퍼텐셜은 계산 연습이 아니라 소자 물리의 여러 결론을 실제로 낳는다.

① 이온화 불순물 산란이 유한해진다. 맨 쿨롱 퍼텐셜로 산란 단면적을 계산하면 작은 각도 쪽에서 적분이 로그로 발산한다 — 아무리 멀리 지나가도 조금씩은 휘기 때문이다. 스크리닝이 그 꼬리를 잘라 발산을 없앤다 — 바로 위 보른 근사의 계산이다. 이것이 브룩스–헤링 모형이고, 결과로 나오는 이동도 $\mu_{II}\propto T^{3/2}/N_I$ 가 저온·고도핑에서 이동도를 지배한다. 11부 캐리어 수송에서 다시 본다.

② 고농도에서 불순물 준위가 사라진다. 도너의 속박 상태는 결국 유효 보어 반지름 $a_B^{*}=a_B\,(\varepsilon/\varepsilon_0)(m_0/m^{*})\approx2$ 3 nm 짜리 수소 원자다. 유카와 퍼텐셜은 스크리닝이 세지면 속박 상태를 아예 잃는다 — 수치적으로 $\lambda\lesssim0.84\,a_B^{*}$ 가 그 문턱이다. 위 표에서 $\lambda_D$ 가 그 값을 지나는 도핑이 $10^{18}$ $10^{19}\,\text{cm}^{-3}$ 사이이고, 실측된 인 도핑 실리콘의 모트 전이 농도 $\approx3.7\times10^{18}\,\text{cm}^{-3}$ 와 자릿수가 맞는다. 축퇴 도핑에서 불순물이 100% 이온화되는 미시적 이유가 이것이고, 밴드갭 좁힘도 같은 뿌리에서 나온다.

③ 공핍 근사의 오차 규모가 $\lambda_D$ 다. pn 접합을 다룰 때 공핍 영역과 중성 영역이 칼로 자른 듯 나뉜다고 가정하는데, 실제 경계는 $\lambda_D$ 규모로 흐려져 있다. $10^{16}\,\text{cm}^{-3}$ 에서 41 nm이니 공핍폭이 수백 nm이던 시절에는 무시할 만했지만, 치수가 줄면서 무시할 수 없게 되었다. 아무리 급준하게 만든 접합도 전기적으로는 $\lambda_D$ 보다 급준할 수 없다 — 도핑 프로파일을 아무리 세워도 캐리어가 그만큼 흐린다.

④ 게이트가 채널을 얼마나 쥐는가. 짧은 채널 효과를 다룰 때 나오는 자연 길이 $\lambda_{\text{nat}}=\sqrt{\varepsilon_s t_{ox}t_{dep}/\varepsilon_{ox}}$ 도 같은 종류의 차폐 길이다 — 드레인 전위가 채널로 스며드는 거리를 잰다. 채널 길이가 그 길이의 몇 배가 안 되면 드레인이 소스 쪽 장벽까지 손을 뻗어 DIBL과 문턱전압 감소가 생긴다. FinFET·GAA로 넘어간 것이 결국 이 길이를 줄이려는 구조 변경이었다. 14부에서 다시 본다.

주의

선형화의 한계. 이 절의 전제는 $q\phi\ll k_BT$ , 즉 상온에서 26 mV보다 훨씬 작은 퍼텐셜이었다. 불순물 하나 주변의 먼 곳에서는 맞지만, 접합·게이트처럼 볼트 단위 퍼텐셜이 걸리는 곳에서는 전혀 맞지 않는다. 그때는 비선형 푸아송–볼츠만 방정식을 그대로 풀어야 하고, 그러면 겹침이 깨져 이 장의 방법 자체가 통하지 않는다.

비선형 푸아송 방정식이 해석해를 잃는 자리는 1.7.10라플라스·푸아송 방정식에서 봤다. 1.1.9퍼텐셜 이론에서 본 것처럼 비선형이어도 유일성은 살아남지만, 유일성은 “답이 하나”라는 말이지 “답을 겹침으로 만들 수 있다”는 말이 아니다. 그린 함수는 선형에서만 쓰는 도구다. TCAD가 뉴턴법으로 매 반복마다 선형화된 문제를 푸는 것도 이 사정 때문이다 — 비선형 문제를 선형 문제의 연속으로 바꿔야 이 장의 기계를 돌릴 수 있다. 그 반복 한 번에서 푸는 선형계의 역행렬이 결국 이산화된 그린 함수다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다. 전부 $\mathcal{L}G=\delta$ 한 줄이고, 달라지는 것은 $\mathcal{L}$ 이 무엇이냐뿐이다.

소수캐리어 수송 (11·12·17부) — 연산자 $d^2/dx^2-1/L_n^2$ , 커널 $e^{-|x-x'|/L_n}$ . 광다이오드·태양전지의 수집 효율, 바이폴러의 기저 수송, 확산 길이 측정이 전부 2절이다.
도판트 확산과 열처리 (18부) — 연산자 $\partial_t-D\nabla^2$ , 커널이 가우시안. 드라이브인의 가우시안과 프리디포지션의 오차함수가 6절의 두 겹침이다.
접촉 저항과 계측 (12·19부) — 라플라시안의 자유공간 해. 퍼짐 저항 $\rho/4a$ , 4점 탐침의 $\pi/\ln2$ , 확산 저항 측정이 4절이다.
스크리닝과 산란 (11부) — 수정 헬름홀츠. 디바이·토머스–페르미 길이, 이온화 불순물 이동도, 밴드갭 좁힘, 모트 전이가 이 절이다.
유도 전하와 기생 성분 (17·21부) — 상반성. 라모–쇼클리 가중 퍼텐셜, 커패시턴스 행렬의 대칭이 5절이다.
양자 수송 (20부) — 분해능 $G=(E-H-\Sigma)^{-1}$ . 3절의 $G_\lambda=\sum\varphi\varphi/(\lambda_n-\lambda)$ 에서 $\mathcal{L}$ 자리에 해밀토니안이, 허수부 $\eta$ 자리에 접촉의 자체 에너지가 들어간 것이 NEGF다. 상태밀도가 그린 함수의 허수부라는 관계도 그대로 쓰인다.
수치 해석 (20부) — 이산화된 연산자의 역행렬이 곧 그린 함수다. 격자 품질이 부호 성질을 지키는지, 반복법이 어느 고유값에서 느려지는지가 3절·5절의 언어로 설명된다.