기하광학

3.3에서 빛은 파동이었다. 굴절률은 위상 속도의 비였고, 스넬 법칙은 경계에서 파면의 위상이 이어져야 한다는 조건에서 나왔으며, 페르마 원리는 그 파동이 “가장 짧은 광로”를 고른다는 말이었다. 이 장은 그 파동의 파장을 0으로 보내는 극한이다. 파장이 렌즈·거울·조리개의 크기보다 훨씬 짧으면 파면의 법선을 따라 그은 선 — 광선 — 만으로 빛이 어디로 가는지 거의 다 말할 수 있다. 회절은 3.6으로 미루고, 여기서는 광선이 구면에서 어떻게 꺾이고 어디서 다시 모이는지를 끝까지 계산한다.

$$\text{기하광학} \;=\; \lim_{\lambda \to 0} \text{파동광학}$$

이 극한이 어디까지 유효한가는 장 끝에서 스스로 드러난다. 리소그래피 렌즈의 분해능 $k_1\lambda/\mathrm{NA}$와 광섬유의 단일 모드 조건 $V < 2.405$는 광선만으로는 설명되지 않는다 — 파장이 다시 들어온다. 그러나 그 파장이 어떤 양에 붙는지(개구수, 초점 심도, 코어 반지름)는 이 장에서 정한다.

이 장은 네 덩어리다.

• 결상 — 1·2·3절. 구면 하나가 점을 점으로 옮기는 조건에서 시작해, 면을 두 개 겹쳐 얇은 렌즈를, 두께를 살려 두꺼운 렌즈를, 렌즈를 여러 장 이어 광학계를 만든다. 전부 같은 식 $1/s_o + 1/s_i = 1/f$ 하나로 수렴한다. 다만 거리를 어디서 재느냐가 달라진다.
• 빛의 양과 분해능을 정하는 것 — 4·5절. 조리개가 빛다발의 굵기를, 시야 조리개가 시야를 정한다. 그 굵기를 각으로 잰 것이 개구수이고, 반도체 공정이 광학에 요구하는 거의 모든 것 — 분해능, 초점 심도, 액침 — 이 이 숫자 하나에 걸려 있다.
• 색 — 6절. 굴절률이 파장에 따라 변하므로 프리즘은 색을 펼치고 렌즈는 색마다 다른 초점을 가진다. 193 nm 광원의 선폭을 pm 단위로 좁히는 이유가 여기서 나온다.
• 근사를 벗어나면 — 7·8·9절. 광선을 행렬로 추적하는 방법, 근축 근사를 3차까지 풀었을 때 나오는 다섯 수차, 그리고 굴절률이 연속으로 변하는 매질(광섬유·GRIN)에서 광선이 휘는 방정식.

반도체 쪽 목적지를 미리 적어 둔다. 투영 노광 장비의 렌즈는 개구수 1.35, 축소 배율 4, 양쪽 텔레센트릭, 파면 오차 수 nm rms인 광학계다 — 5절의 개구수와 초점 심도, 4절의 텔레센트릭, 8절의 수차와 체르니케 다항식이 그 사양서를 읽는 언어다. 6절의 분산은 왜 엑시머 레이저의 선폭을 좁혀야 하는지를, 1절의 거울은 왜 EUV 장비에 렌즈가 한 장도 없는지를 말한다. 웨이퍼 검사 현미경의 대물렌즈(5절), 이미지 센서 위의 마이크로렌즈(2절 · 17.2), LED에서 빛을 꺼내는 돔과 전반사(1·9절 · 17.3), 광통신과 광 인터커넥트의 광섬유·GRIN 커플러(9절), 레이저 다이오드의 시준 렌즈(3절)가 전부 이 장의 식으로 설계된다. 그리고 3.6의 회절·결상과 18부의 리소그래피가 이 장 위에 선다.

기호 — 이 장의 약속

기하광학은 글자보다 부호가 어렵다. 같은 식이라도 거리를 어느 쪽으로 재느냐에 따라 부호가 뒤집히고, 두 기준 교재가 서로 다른 약속을 쓴다. 이 백과는 Hecht의 약속을 따른다 — 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 간다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$s_o$, $s_i$	에스 오 · 에스 아이	물체 거리 · 상 거리. 정점 $V$에서 잰다. $s_o$는 왼쪽이 양, $s_i$는 오른쪽이 양 (거울은 둘 다 왼쪽이 양)
$f$, $f_o$, $f_i$		초점 거리. 양쪽 매질이 다르면 물체 쪽 $f_o$와 상 쪽 $f_i$가 다르다
$R$, $R_1$, $R_2$		면의 곡률 반지름. 곡률 중심 $C$가 정점의 오른쪽에 있으면 양
$n$, $n_1$, $n_2$, $n_l$, $n_m$		굴절률. 첨자 $l$은 렌즈, $m$은 주변 매질
$y_o$, $y_i$		물체 · 상의 높이. 축 위가 양
$M_T$, $M_L$	엠 티 · 엠 엘	횡배율 $y_i/y_o$ · 종배율 $dx_i/dx_o$
$h$		광선이 면과 만나는 높이 (7·8절)
$\alpha$	알파	근축 광선의 각 (7·9절). 6절에서만 프리즘의 꼭지각
$\theta_i$, $\theta_t$, $\theta_r$		면에서의 입사각 · 굴절각 · 반사각 (법선 기준)
$\varphi$	파이	곡률 중심에서 잰 중심각 (1절). 8절에서는 동공 위의 방위각
$\mathcal D$	스크립트 디	면 또는 렌즈의 굴절력 $1/f$. 단위 디옵터 $\mathrm{D} = \mathrm{m}^{-1}$
$D$		조리개(입사동)의 지름 (4절) — 굴절력 $\mathcal D$와 글자체가 다르다
$d$		렌즈의 두께 또는 렌즈 사이 거리
$H_1$, $H_2$ · $N_1$, $N_2$ · $F_o$, $F_i$		주점 · 절점 · 초점 — 두꺼운 렌즈의 여섯 기본점
$f/\#$	에프 넘버	F수 $f/D$
$\mathrm{NA}$	엔 에이	개구수 $n\sin\theta_{\max}$
$\delta$, $\delta_{\min}$	델타	프리즘의 편각 · 최소 편각 (6절). 5절에서는 허용 디포커스
$V_d$	브이 디	아베수 $(n_d-1)/(n_F-n_C)$ (6절). 9절의 $V$는 광섬유의 정규화 주파수
$\mathcal R$, $\mathcal T$, $\mathcal A$		굴절 행렬 · 전달 행렬 · 계 행렬 (7절)
$q$, $p$		렌즈의 모양 인자 · 위치 인자 (8절)
$W$		파면 수차 — 이상 구면 파면과의 광로차, 파장 단위로 읽는다 (8절)
$a$, $\Delta$, $g$		광섬유 코어 반지름 · 상대 굴절률차 $(n_1-n_2)/n_1$ · GRIN의 초점화 상수 (9절)

주의

함정을 미리 짚는다. 이 장에서 계산이 틀리는 원인의 대부분은 아래 넷이다.

① 거울의 $R$ 부호가 두 교재에서 반대다. Hecht는 렌즈와 거울에 같은 약속을 쓴다 — 곡률 중심이 정점 오른쪽이면 $R > 0$. 그러면 오목 거울은 $C$가 앞(왼쪽)에 있으니 $R < 0$이고, 초점 거리는 $f = -R/2 > 0$이다. HRW(34장)는 거울에 대해 **오목이면 $r > 0$, $f = r/2$**로 따로 약속한다. 결과($f > 0$인 오목 거울이 실상을 만든다)는 같고 식의 겉모양만 다르다. 이 백과는 Hecht를 따른다. HRW의 $p$, $i$가 이 백과의 $s_o$, $s_i$다.

② $s_i$의 양의 방향이 렌즈와 거울에서 다르다. 렌즈는 빛이 통과하므로 상이 오른쪽에 맺히는 것이 실상이고, 거울은 빛이 되돌아오므로 상이 왼쪽(거울 앞)에 맺히는 것이 실상이다. 두 경우 모두 “실상이면 $s_i > 0$“이라고 외우면 부호가 맞는다. 허상은 $s_i < 0$.

③ $\mathcal D$와 $D$. 스크립트체 $\mathcal D$는 굴절력(디옵터), 보통체 $D$는 조리개 지름이다. F수 $f/D$의 $D$는 지름이고, 렌즈 굴절력 $\mathcal D = 1/f$은 다른 물건이다. 글자가 같은 이유는 Hecht가 두 관습을 그대로 물려받았기 때문이다.

④ $\alpha$ 둘. 6절에서는 프리즘의 꼭지각(Hecht §5.5), 7·9절에서는 근축 광선이 축과 이루는 각 (Hecht §6.2)이다. 한 절 안에서는 하나만 쓴다. 광섬유의 $V$(정규화 주파수)와 아베수 $V_d$도 첨자로 구분한다.

구면 거울과 구면 굴절면

구면 하나가 점을 점으로 옮기는 조건

가장 단순한 결상 소자는 굴절률 $n_1$과 $n_2$인 두 매질을 가르는 구면 하나다. 축 위의 점 $S$에서 나온 빛이 이 면에서 꺾여 다시 축 위의 한 점 $P$로 모이려면 어떤 조건이 필요한가. 3.3.7페르마 원리의 페르마 원리로 시작한다 — $S$에서 면 위의 임의의 점 $A$를 거쳐 $P$에 이르는 광로 길이가 $A$의 위치에 무관하게 같아야 한다. 그래야 모든 광선이 같은 위상으로 $P$에 도착한다.

그림 3.4-1. 구면 굴절면의 결상과 부호 약속. 물점 S를 떠난 광선이 정점 V를 가진 구면에서 굴절해 상점 P로 모인다. 곡률 중심 C가 정점 오른쪽에 있으므로 R은 양수이고, 물체 거리는 정점 왼쪽으로, 상 거리는 오른쪽으로 잰다. 각은 과장돼 있다 — 실제 근축 광선은 축에 훨씬 가깝다.직접 작도

곡률 중심 $C$에서 잰 중심각을 $\varphi$라 하면, 코사인 법칙으로 두 광로가 적힌다(Hecht 식 5.4–5.5).

$$\begin{aligned} \ell_o &= \sqrt{R^2 + (s_o + R)^2 - 2R(s_o + R)\cos\varphi}\\ \ell_i &= \sqrt{R^2 + (s_i - R)^2 + 2R(s_i - R)\cos\varphi} \end{aligned}$$

광로 길이 $n_1\ell_o + n_2\ell_i$가 $\varphi$에 대해 정지하려면 $d(n_1\ell_o + n_2\ell_i)/d\varphi = 0$. 미분해서 정리하면

$$\frac{n_1}{\ell_o} + \frac{n_2}{\ell_i} = \frac{1}{R}\left(\frac{n_2 s_i}{\ell_i} - \frac{n_1 s_o}{\ell_o}\right)$$

이 식은 정확하지만 쓸모가 없다 — $\ell_o$, $\ell_i$가 $\varphi$에 걸려 있어서, $\varphi$마다 다른 $s_i$가 나온다. 즉 구면은 점을 점으로 옮기지 못한다. 그래서 근사를 넣는다. 광선이 축에 충분히 가까워 $\cos\varphi \approx 1$이면 $\ell_o \approx s_o$, $\ell_i \approx s_i$이고, 식은 단숨에 가벼워진다.

$$\boxed{\;\frac{n_1}{s_o} + \frac{n_2}{s_i} = \frac{n_2 - n_1}{R}\;}$$

이것이 근축(paraxial) 결상 공식이다. 근축이란 $\sin\varphi \approx \varphi$, $\cos\varphi \approx 1$이 성립할 만큼 광선이 축에 가깝다는 뜻이고, 이 장의 1~7절은 전부 이 근사 안에 있다. 근사를 한 차수 더 풀었을 때 생기는 어긋남이 8절의 수차다.

직관

왜 하필 $1/s$인가. 식의 모양을 보라 — 거리가 아니라 거리의 역수가 더해진다. $1/s$는 점광원에서 거리 $s$만큼 퍼진 구면 파면의 곡률이다. 물점에서 퍼져 나온 파면은 면에 닿을 때 곡률 $1/s_o$를 가지고, 면은 그 곡률에 $(n_2 - n_1)/R$만큼을 더해 상점으로 수렴하는 곡률 $1/s_i$로 바꾼다. 굴절률로 무게를 준 곡률(버전스, vergence)이 더해지는 것이다. 그래서 결상 공식은 언제나 역수 꼴이고, 렌즈의 세기를 $1/f$(디옵터)로 재며, 얇은 렌즈 두 장을 붙이면 세기가 더해진다(2절). 이 관점은 파동광학(3.3)의 잔재가 기하광학 식의 꼴로 남은 것이다.

형태적으로는 구면이 근축 영역에서 포물면과 같다는 뜻이다. 정점을 원점에 두면 구면은 $x = R - \sqrt{R^2 - h^2} = \dfrac{h^2}{2R} + \dfrac{h^4}{8R^3} + \cdots$이고, 첫 항만 남기면 포물면 $x = h^2/2R$이다. 포물면 거울은 페르마 원리대로 축에 나란한 빛을 정확히 한 점에 모은다(광로 길이가 준선까지의 거리와 같다). 구면은 $h^4/8R^3$ 항만큼 포물면에서 벗어나고, 그 벗어남이 8절의 구면수차다.

부호 약속과 초점

식은 하나지만 부호를 어디에 두느냐가 물리를 정한다. Hecht의 약속(Table 5.1)은 다음과 같다.

양	양(+)	음(−)
$s_o$, $f_o$	정점 $V$의 왼쪽 (실물체)	오른쪽 (허물체)
$s_i$, $f_i$	정점 $V$의 오른쪽 (실상)	왼쪽 (허상)
$R$	중심 $C$가 $V$의 오른쪽 (빛에게 볼록)	왼쪽 (빛에게 오목)
$y_o$, $y_i$	축 위	아래

물체가 무한히 멀면($s_o \to \infty$) 상은 상 쪽 초점 $F_i$에 맺힌다. 반대로 물체를 어디에 두면 상이 무한대로 가는가 — 그 자리가 물체 쪽 초점 $F_o$다.

$$f_o = \frac{n_1}{n_2 - n_1}R, \qquad f_i = \frac{n_2}{n_2 - n_1}R, \qquad \frac{f_o}{f_i} = \frac{n_1}{n_2}$$

두 초점 거리가 다르다. 양쪽 매질이 다르기 때문이다 — 같은 곡률의 파면이라도 굴절률이 큰 쪽에서는 더 천천히 퍼지므로 초점이 더 멀리 있다. 렌즈처럼 양쪽이 같은 매질이면 $f_o = f_i$가 되어 하나의 $f$로 줄어든다(2절).

횡배율은 정점을 지나는 광선 하나로 얻는다. 물체 끝($y_o$)에서 정점 $V$로 온 광선은 축과 $\tan\theta_i = y_o/s_o$의 각으로 입사해 스넬 법칙 $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$로 꺾이고, 상 끝($y_i$)에 $\tan\theta_t = -y_i/s_i$로 도달한다. 근축에서 $\tan \approx \sin$이므로

$$M_T \equiv \frac{y_i}{y_o} = -\frac{n_1 s_i}{n_2 s_o}$$

음의 부호는 실상이 도립임을 말한다. $n_1 = n_2$면 $M_T = -s_i/s_o$로 줄어든다.

의문

평면은 결상하는가. $R \to \infty$를 넣으면 $n_1/s_o + n_2/s_i = 0$, 즉 $s_i = -(n_2/n_1)s_o$다. 상 거리가 음수이니 허상이고, 물체가 있는 쪽에 $n_2/n_1$배의 깊이에 보인다. 물속의 동전이 떠 보이는 것($n_1 = 1.33$, $n_2 = 1$이면 실제 깊이의 3/4)이 이것이고, 반도체 쪽에서는 웨이퍼를 투과해 보는 적외선 현미경이 같은 식을 쓴다 — 실리콘($n \approx 3.5$)의 뒷면에서 깊이 $s_o$에 있는 회로는 표면에서 $s_o/3.5$ 깊이에 있는 것처럼 보이고, 대물렌즈의 초점은 그 허상에 맞춘다. 평면은 배율 $M_T = -n_1 s_i/(n_2 s_o) = +1$로 크기를 바꾸지 않는다. 결상은 하되 확대하지 않는 것이다.

한 걸음 더. $n_1 > n_2$인 매질(반도체) 속의 점광원을 구면으로 덮되 광원을 곡률 중심에 두면 ($s_o = -R$, 모든 광선이 법선 방향으로 입사) 광선은 꺾이지 않고 나간다 — 근축이 아니어도 정확하다. LED 칩 위에 씌우는 반구형 돔이 이것이고(17.3.5), 굴절률 3.5의 반도체 안에서는 임계각 $16.6°$ 안의 빛만 평면을 통과하지만 돔은 그 제한을 풀어 준다. 8절의 아플라나틱 점이 이 착상의 일반형이다.

구면 거울

거울은 굴절면의 특수한 경우다. 반사 법칙 $\theta_r = \theta_i$는 스넬 법칙에 $n_2 = -n_1$을 넣은 것과 같고(3.3.6반사와 굴절), 그대로 결상 공식에 넣으면 $n_1/s_o - n_1/s_i = -2n_1/R$이다. 다만 거울은 빛이 되돌아오므로 상 거리의 양의 방향을 왼쪽으로 뒤집어 다시 쓴다.

$$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = -\frac{2}{R} = \frac{1}{f}, \qquad f = -\frac{R}{2}$$

오목 거울은 $C$가 앞에 있어 $R < 0$이고 따라서 $f > 0$ — 수렴 거울이다. 볼록 거울은 $R > 0$, $f < 0$ — 발산 거울로, 언제나 축소된 정립 허상을 만든다(자동차 측면 거울의 “물체가 보이는 것보다 가까이 있음”). 평면 거울은 $R \to \infty$에서 $s_i = -s_o$, $M_T = +1$의 허상이다.

그림 3.4-2. 오목 거울의 결상. 초점 거리 100인 거울 앞 300에 놓인 높이 35의 물체에서 나온 세 주광선 — ① 축에 나란히 들어와 초점을 지나는 광선, ② 초점을 지나 들어와 축에 나란히 나가는 광선, ③ 곡률 중심을 지나 들어와 되돌아오는 광선 — 이 거울 앞 150의 한 점에서 만난다. 1/300 + 1/150 = 1/100이고 배율은 −1/2, 실상·도립상이다. 거울면은 실제 원호로 그렸고 근축 영역이라 세 광선의 어긋남은 눈에 띄지 않는다.직접 작도

거울의 횡배율도 $M_T = -s_i/s_o$다. 오목 거울에서 물체 위치에 따른 상은 다섯 경우로 나뉜다.

물체 위치	상 위치	성질
$\infty \sim 2f$ ($C$ 밖)	$f \sim 2f$	실상 · 도립 · 축소
$2f$ ($C$)	$2f$	실상 · 도립 · $M_T = -1$
$f \sim 2f$	$2f \sim \infty$	실상 · 도립 · 확대
$f$	$\infty$	상이 없다 (평행광)
$f$ 안	거울 뒤 (허상)	허상 · 정립 · 확대

평면 거울의 상은 좌우가 뒤집힌 것이 아니라 손잡이성이 뒤집힌 것이다 — 오른손 좌표계가 왼손 좌표계가 된다. 거울을 향한 축 하나만 부호가 바뀌고 나머지 둘은 그대로이기 때문이다. 홀수 번 반사하면 손잡이성이 뒤집히고 짝수 번이면 돌아온다. 6절의 반사 프리즘이 이것을 이용한다.

직관

거울에는 색수차가 없다. 반사 법칙에는 굴절률이 들어 있지 않으므로 초점 거리 $-R/2$가 파장에 무관하다. 이것이 EUV 리소그래피($\lambda = 13.5\,\mathrm{nm}$)의 광학계가 전부 거울인 이유의 하나다 — 그 파장을 투과하는 재료가 없다는 것이 다른 하나다. 대신 다른 대가를 치른다. 거울 한 장(Mo/Si 다층막, 3.5)이 빛의 약 70 %만 반사하고, 조명계와 투영계를 합쳐 열 장 안팎을 거치므로 광원 빛의 수 %만 웨이퍼에 닿는다. 그리고 거울은 빛을 되돌려보내므로 다음 거울이 앞 거울의 빛을 가리지 않게 축에서 벗어난 배치를 써야 하고, 축에서 벗어난 구면 거울은 8절의 비점수차·코마를 크게 만든다 — EUV 거울이 전부 비구면이고 면 정밀도가 0.1 nm 수준으로 요구되는 이유다.

파라미터 연계. 이 절의 식에서 움직일 수 있는 것은 $R$, $n_2 - n_1$, $s_o$ 셋뿐이다. $R$을 줄이면 굴절력 $(n_2 - n_1)/R$이 커져 초점이 가까워지고, 같은 $R$이라도 굴절률 차가 클수록 세다. 실리콘 ($n \approx 3.5$)과 공기 사이의 면은 유리($n \approx 1.5$)와 공기 사이의 면보다 같은 곡률에서 다섯 배 센 굴절력을 가진다 — 반도체로 만드는 마이크로렌즈가 아주 작은 곡률로도 빛을 강하게 모으는 이유이고, 반대로 반도체에서 공기로 나가는 빛이 좁은 임계각 안에 갇히는 이유이기도 하다(3.3.9전반사와 소멸파). $s_o$를 움직이면 $s_i$가 따라 움직이는 모양은 2절의 그래프가 보여 준다.

얇은 렌즈와 결상 공식

면 두 개를 잇는다 — 렌즈 제작자 공식

렌즈는 굴절면 두 개다. 1절의 식을 두 번 쓰되, 첫 면이 만든 상을 둘째 면의 물체로 넘긴다. 굴절률 $n_l$인 렌즈가 굴절률 $n_m$인 매질 속에 있고, 두 면의 곡률 반지름이 $R_1$, $R_2$, 두께가 $d$라 하자.

첫 면: $\dfrac{n_m}{s_{o1}} + \dfrac{n_l}{s_{i1}} = \dfrac{n_l - n_m}{R_1}$

둘째 면의 물체 거리는 첫 면의 상 거리에서 두께를 뺀 것이고 부호가 뒤집힌다 — $s_{o2} = -s_{i1} + d$. 첫 면의 상이 렌즈 안 깊숙이(둘째 면 너머에) 맺히면 둘째 면에게는 허물체 ($s_{o2} < 0$)다.

둘째 면: $\dfrac{n_l}{-s_{i1} + d} + \dfrac{n_m}{s_{i2}} = \dfrac{n_m - n_l}{R_2}$

두 식을 더해 $s_{i1}$을 소거하고 두께를 0으로 보내면($d \to 0$) 중간 항이 사라지고 남는 것이

$$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \left(\frac{n_l}{n_m} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$$

오른쪽은 렌즈의 재료와 모양만으로 정해지는 상수다. 그것을 $1/f$라 부르면 두 공식이 한꺼번에 나온다.

$$\boxed{\;\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}\;}, \qquad \boxed{\;\frac{1}{f} = (n_l - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\;}\ (\text{공기 중})$$

앞의 것이 가우스 렌즈 공식, 뒤의 것이 렌즈 제작자 공식이다. 양볼록 렌즈는 첫 면의 중심이 오른쪽($R_1 > 0$), 둘째 면의 중심이 왼쪽($R_2 < 0$)이므로 괄호가 양수 — $f > 0$, 수렴 렌즈다. 양오목은 $f < 0$, 발산 렌즈다. 렌즈를 뒤집어도 $1/R_1 - 1/R_2$의 값은 같으므로 $f$는 방향에 무관하다(수차는 그렇지 않다 — 8절).

직관

굴절력은 더해진다. 1절의 버전스 관점을 이어 가면, 렌즈 제작자 공식은 첫 면의 굴절력 $(n_l - n_m)/R_1$과 둘째 면의 굴절력 $(n_m - n_l)/R_2$를 그냥 더한 것이다. 면과 면 사이에서 파면이 퍼질 거리($d$)가 없으므로 곡률이 그대로 전달되기 때문이다. 같은 이유로 얇은 렌즈 두 장을 맞붙이면 $1/f = 1/f_1 + 1/f_2$ — 굴절력 $\mathcal D = 1/f$가 더해진다. 안경 도수가 디옵터(D, $\mathrm{m}^{-1}$)로 적히고 $+2$ D 위에 $-0.5$ D를 얹으면 $+1.5$ D가 되는 것이 이것이다. 두 장 사이에 거리 $d$가 생기면 교차항 $-d/(f_1 f_2)$가 끼어든다(3절). 파면이 첫 렌즈에서 둘째 렌즈까지 가는 동안 곡률이 변하기 때문이다.

파라미터 연계. $f$는 $n_l - 1$에 반비례하므로, 굴절률이 파장에 따라 변하면(6절) 초점 거리도 변한다.

$$\frac{df}{f} = -\frac{dn_l}{n_l - 1}$$

$n_l = 1.5$인 유리에서 굴절률이 1 % 변하면 초점 거리는 2 % 변한다 — 분모가 $n_l$이 아니라 $n_l - 1$이라서 변화가 증폭된다. 이것이 8절의 축 색수차이고, 온도가 오르면 $dn/dT$로 같은 일이 일어나는 것이 노광 장비의 렌즈 가열 문제다.

뉴턴 형과 배율

거리를 정점이 아니라 초점에서 재면 식이 더 단순해진다. $x_o = s_o - f$, $x_i = s_i - f$라 두면 가우스 공식은

$$x_o\,x_i = f^2$$

이 되고(뉴턴 형), 횡배율은 세 가지 꼴로 적힌다.

$$M_T = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{x_i}{f} = -\frac{f}{x_o}$$

축 방향의 배율은 따로 있다. 물체가 축을 따라 $dx_o$만큼 움직이면 상은 $dx_i$만큼 움직이는데, 뉴턴 형을 미분하면

$$M_L \equiv \frac{dx_i}{dx_o} = -\frac{f^2}{x_o^2} = -M_T^2$$

종배율은 횡배율의 제곱이고 언제나 음수다. 축을 따라 놓인 막대의 상은 항상 반대 방향을 향하고, 횡배율 4의 계에서는 깊이가 16배로 늘어난다. 5절에서 초점 심도를 물체 쪽과 상 쪽 사이에서 옮길 때 이 제곱이 쓰인다.

그림 3.4-3. 얇은 렌즈 공식의 그래프. 가로축은 물체 거리, 세로축은 상 거리를 초점 거리로 나눈 값이다. 곡선은 s_o = f와 s_i = f를 점근선으로 가진 쌍곡선이다. 물체가 초점 밖에 있으면(오른쪽 위 가지) 실상, 초점 안에 있으면(가운데 아래 가지) 허상이고, 물체 거리가 음수인 왼쪽 가지는 허물체 — 앞 렌즈가 만들려던 상이 이 렌즈에 먼저 잡힌 경우다. 점 (2, 2)에서 배율은 −1이다.직접 작도

직관

그래프 직관. 결상 공식은 $s_o$–$s_i$ 평면에서 쌍곡선 $(s_o - f)(s_i - f) = f^2$이다 — 뉴턴 형이 바로 그 말이다. 두 점근선 $s_o = f$, $s_i = f$가 이 그림의 뼈대다.

• 오른쪽 위 가지($s_o > f$): 물체를 멀리서 가져오면 상은 $F_i$에서 출발해 렌즈에서 멀어진다. $s_o = 2f$에서 $s_i = 2f$, $M_T = -1$ — 곡선이 대각선과 만나는 점이다. 물체가 $F_o$에 다가가면 상은 무한대로 도망간다(점근선).
• 가운데 아래 가지($0 < s_o < f$): 상 거리가 음수 — 물체와 같은 쪽에 허상이 생기고 정립·확대다. 확대경과 접안렌즈가 이 가지에서 일한다. 물체가 렌즈에 붙으면($s_o \to 0$) 허상도 렌즈에 붙고 배율은 1이 된다.
• 왼쪽 가지($s_o < 0$): 허물체. 앞 렌즈가 만들려던 실상이 이 렌즈 안쪽에 있었을 때다. 상은 $0$과 $f$ 사이에 맺힌다.

기울기가 배율이다 — $ds_i/ds_o = -s_i^2/s_o^2 = -M_T^2$이고, 이것이 방금 본 종배율 $M_L$이다. 곡선이 가파른 곳($s_o \approx f$)에서는 물체가 조금만 움직여도 상이 크게 움직인다. 초점 근처에 물체를 둔 계는 정렬에 민감하다는 뜻이다.

광선 작도와 상의 종류

세 광선이면 어떤 상이든 그릴 수 있다 — 1절의 거울과 같은 세 개다. ① 축에 나란히 들어온 광선은 $F_i$를 지난다. ② $F_o$를 지나 들어온 광선은 축에 나란히 나간다. ③ 렌즈 중심을 지나는 광선은 꺾이지 않는다(얇은 렌즈의 중심은 평행 평판이므로). 둘만 그어도 교점이 나오고, 셋째는 검산이다.

수렴 렌즈의 결과는 1절의 거울 표와 같다(거울의 $C$를 $2F$로 바꿔 읽으면 된다). 발산 렌즈는 물체가 어디에 있든 $F_i$와 렌즈 사이에 정립·축소 허상 하나만 만든다 — 그래프의 오른쪽 위 가지가 $f < 0$일 때 $s_i$가 언제나 음수이기 때문이다.

주의

“얇다”는 두께가 0이라는 뜻이 아니다. 두께 $d$가 곡률 반지름과 초점 거리에 비해 무시할 만하다는 뜻이다. 조건이 깨지는 대표적인 경우가 둘 있다. 하나는 구 렌즈(ball lens) — 지름이 곧 두께다. 다른 하나는 이미지 센서 위의 마이크로렌즈(17.2.5)로, 반구형이라 두께가 곡률 반지름과 같다. 그리고 마이크로렌즈에는 더 근본적인 문제가 있다 — 지름이 1 µm 안팎이라 파장과 비교될 만하고, 그 크기에서는 기하광학 자체가 흔들린다. 렌즈 제작자 공식으로 $f \approx R/(n_l - 1)$를 어림할 수는 있어도 실제 설계는 3.6의 파동 계산으로 한다.

두꺼운 렌즈와 광학계

두께를 살리면 무엇이 바뀌는가

2절에서 $d \to 0$으로 버린 항을 되살린다. 두 면의 식을 다시 더하되 두께를 남기면 (공기 중, Hecht 식 6.2)

$$\frac{1}{f} = (n_l - 1)\left[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n_l - 1)\,d}{n_l R_1 R_2}\right]$$

두께 항이 붙었다. 그런데 이 $f$는 어디서 잰 거리인가. 얇은 렌즈에서는 렌즈가 한 평면이었으니 물을 일이 없었지만, 두꺼운 렌즈에는 정점이 둘($V_1$, $V_2$)이고 초점을 어느 정점에서 재느냐에 따라 값이 다르다. 정점에서 잰 거리는 전초점 거리 f.f.l.과 후초점 거리 b.f.l.이라 부르고, 이것들은 $f$가 아니다.

$f$는 주평면에서 잰다. 축에 나란히 들어온 광선이 실제로는 두 면에서 두 번 꺾이지만, 나가는 광선을 거꾸로 연장하면 들어온 광선과 렌즈 안의 어떤 평면에서 만난다 — 그 평면이 둘째 주평면 $H_2$이고, 렌즈가 마치 그 평면 한 장에서 빛을 꺾은 것처럼 보인다. 반대 방향으로 같은 작도를 하면 첫째 주평면 $H_1$이 나온다. 주평면과 축의 교점이 주점이다.

그림 3.4-4. 두꺼운 렌즈의 주평면. 축과 나란히 들어온 광선은 두 면에서 두 번 꺾이지만, 나간 광선을 거꾸로 연장한 선(점선)과 들어온 광선의 연장선은 렌즈 안의 평면 H₂ 위에서 만난다. 렌즈는 그 한 점에서 빛을 꺾은 것과 같다. 초점 거리 f는 이 주평면에서 초점까지이고, 정점에서 잰 후초점 거리 b.f.l.과는 다르다. 반대 방향의 작도가 H₁을 준다.직접 작도

두 주점의 위치는 정점에서 오른쪽을 양으로 재어

$$\overline{V_1 H_1} = -\frac{f\,(n_l - 1)\,d}{n_l R_2}, \qquad \overline{V_2 H_2} = -\frac{f\,(n_l - 1)\,d}{n_l R_1}$$

이고(Hecht 식 6.3–6.4), 그러면 가우스 공식과 뉴턴 형, 배율 공식이 거리를 주평면에서 재는 조건으로 그대로 살아난다. 이것이 주평면의 존재 이유다 — 두꺼운 렌즈를 얇은 렌즈 공식으로 다루게 해 주는 장치.

직관

구 렌즈 — 두꺼움의 극단. 반지름 $R$, 굴절률 $n$인 유리구는 $R_1 = R$, $R_2 = -R$, $d = 2R$이다. 두꺼운 렌즈 공식에 넣으면

$$\frac{1}{f} = (n-1)\left[\frac{2}{R} - \frac{2(n-1)}{nR}\right] = \frac{2(n-1)}{nR}, \qquad f = \frac{nR}{2(n-1)}$$

주점 공식에 넣으면 $\overline{V_2 H_2} = -R$ — 두 주평면이 구의 중심에서 겹친다. 대칭이니 당연하다. 후초점 거리는 $f - R$이고, $n = 2$면 $f = R$이라 초점이 구의 뒷면 위에 놓인다. 광섬유 끝에 구 렌즈를 대고 레이저 다이오드의 빛을 넣는 커플러가 이 성질을 쓴다 — 굴절률 2에 가까운 유리(란탄계 고굴절 유리, $n \approx 1.8 \sim 2.0$)로 만들면 섬유 끝을 구에 거의 붙인 채 초점을 맞출 수 있고, 지름 1 mm 남짓한 구 하나가 정렬 부품 전부다. 다만 구면수차가 크므로(8절) 개구수가 작은 용도에 한한다.

기본점 여섯 — 절점까지

주점 둘과 초점 둘에 절점 $N_1$, $N_2$를 더한 여섯 점이 광학계의 기본점(cardinal points)이다. 절점은 각배율이 1인 공액점 — $N_1$을 향해 각 $\theta$로 들어온 광선은 $N_2$에서 같은 각 $\theta$로 나간다. 양쪽 매질이 같으면 절점은 주점과 겹친다. 얇은 렌즈에서 “중심을 지나는 광선은 꺾이지 않는다”는 규칙은 사실 절점의 성질이고, 두꺼운 렌즈에서는 “$N_1$을 향해 들어온 광선은 $N_2$에서 나란히 나간다”로 읽어야 맞다. 카메라의 시야각을 잴 때 기준이 되는 점이 절점이며, 사진 측량에서 렌즈를 회전시킬 때 축으로 삼는 점도 절점이다.

여섯 점을 알면 렌즈 안이 어떻게 생겼든 무관하다. 렌즈 열 장짜리 광학계도 $H_1$, $H_2$, $f$ 셋으로 결상이 결정된다 — 이것이 7절의 행렬법이 결국 계산해 내는 것이다.

얇은 렌즈 두 장 — 광학계의 최소 단위

초점 거리 $f_1$, $f_2$인 얇은 렌즈 두 장이 거리 $d$만큼 떨어져 있으면, 첫 렌즈의 상을 둘째 렌즈의 물체로 넘겨서 (Hecht 식 5.30–5.34)

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}, \qquad \text{b.f.l.} = \frac{f_2\,(d - f_1)}{d - (f_1 + f_2)}$$

전체 횡배율은 두 배율의 곱 $M_T = M_{T1}M_{T2}$이다. 특별한 $d$ 셋을 짚어 둔다.

• $d = 0$: 굴절력이 더해진다. 2절.
• $d = f_1 + f_2$: $1/f = 0$, 초점이 무한대 — 무초점계(afocal)다. 나란히 들어온 빛이 나란히 나가되 빛다발의 굵기가 $f_2/f_1$배로 바뀐다. 망원경, 그리고 레이저 빔 확대기가 이것이다. 노광 장비의 조명계와 검사 장비에서 레이저 빔의 지름을 키우거나 줄이는 부품은 거의 전부 이 구조다. $f_1 < 0$(발산)으로 두면 중간에 초점이 생기지 않아 짧아진다(갈릴레이식).
• $d = f_1 + f_2$이고 물체가 $F_{o1}$에: 상이 $F_{i2}$에 맺히고 $M_T = -f_2/f_1$. 4f 계라 부르며, 가운데 평면(두 렌즈 사이의 공통 초점면)에 물체의 푸리에 변환이 놓인다(3.6.9). 공간 필터, 광학 정보 처리, 그리고 리소그래피 투영 렌즈의 개념 모형이 전부 이 계다.

직관

현미경과 투영 렌즈는 같은 뼈대다. 무한 보정 대물렌즈는 물체를 자기 초점에 두고 빛을 나란히 내보내며, 그 뒤의 결상 렌즈(tube lens)가 그것을 센서 위에 맺는다 — 두 렌즈 사이가 무초점 공간이라 필터·편광판·빔 스플리터를 아무 데나 끼워도 결상이 흐트러지지 않는다. 배율은

$$M_T = -\frac{f_{\text{tube}}}{f_{\text{obj}}}$$

로, 대물렌즈 통에 적힌 “100ד는 제조사가 정한 결상 렌즈 초점 거리(대개 180 또는 200 mm)와 짝을 이룰 때의 값이다. 웨이퍼 검사 현미경의 대물렌즈를 다른 회사 결상 렌즈에 붙이면 배율이 달라지는 이유다.

투영 노광 장비의 렌즈는 이 뼈대를 거꾸로 세운 것이다 — 레티클(물체)이 4배 크고 웨이퍼(상)가 작으므로 $M_T = -1/4$. 렌즈 수십 장이 들어 있지만 기본점으로 환원하면 결국 $H_1$, $H_2$, $f$ 셋이고, 4절의 텔레센트릭 조건이 조리개 위치를 못박는다.

파라미터 연계. 두 장 사이의 거리 $d$는 초점 거리를 연속으로 바꾸는 손잡이다. $1/f$가 $d$에 대해 선형으로 변하므로 줌 렌즈는 렌즈군 사이의 거리를 움직여 배율을 바꾼다. 그리고 $d$가 $f_1 + f_2$에 가까워질수록 b.f.l.의 분모가 0으로 가서 초점이 도망간다 — 정렬 오차에 대한 민감도가 커지는 것이다. 7절의 행렬로 이 관계가 한 줄로 적힌다.

조리개와 F수

무엇이 빛의 양을 정하고, 무엇이 시야를 정하는가

지금까지의 결상 공식은 광선이 렌즈의 어디를 지나는지 묻지 않았다. 실제 광학계에서는 광선 중 일부만 통과한다 — 렌즈 테두리, 경통, 홍채처럼 생긴 가변 조리개가 빛을 잘라 낸다. 이 가림막들 가운데 축 위의 물점에서 나온 빛다발의 굵기를 실제로 제한하는 것이 조리개(aperture stop, AS)이고, 축에서 벗어난 물점 중 어디까지가 상에 들어오는지를 제한하는 것이 시야 조리개(field stop)다. 카메라에서는 홍채 조리개가 전자이고 센서의 가장자리가 후자다.

조리개를 물체 쪽에서 앞쪽 광학계를 통해 바라본 상을 입사동(entrance pupil), 상 쪽에서 뒤쪽 광학계를 통해 바라본 상을 출사동(exit pupil)이라 한다. 물점에서 나온 빛다발 중 어느 원뿔이 계를 통과하는지를 정하는 것은 조리개의 실제 위치가 아니라 입사동이다 — 물체 쪽 공간의 광선은 입사동을 “겨냥”한다.

두 광선에 이름이 있다. 주광선(chief ray)은 축 밖 물점에서 나와 입사동의 중심을 지나는 광선 — 조리개 중심, 출사동 중심을 차례로 지나며, 상의 위치(높이)를 정한다. 주변 광선(marginal ray)은 축 위 물점에서 나와 입사동의 가장자리를 스치는 광선 — 빛다발의 원뿔 각을 정하고, 따라서 상의 밝기와 5절의 개구수를 정한다.

그림 3.4-5. 조리개와 동공. 초점 거리 120인 얇은 렌즈 뒤 80에 조리개가 있는 계. 축 위 물점에서 나와 조리개 가장자리를 스치는 두 주변 광선이 상점으로 모이는 원뿔의 크기를 정하고, 축 밖 물점에서 나와 조리개 중심을 지나는 주광선이 상의 높이를 정한다. 물체 쪽에서 렌즈를 통해 본 조리개의 상 — 입사동 — 은 렌즈 뒤 240에 놓인 세 배 크기의 허상이고, 물체 쪽 광선은 이 허상의 중심과 가장자리를 겨냥한다. 조리개 뒤에 광학계가 없으므로 출사동은 조리개 자신이다. 상면의 센서 크기가 시야 조리개다.직접 작도

시야의 가장자리에서는 빛다발의 일부가 조리개가 아닌 다른 테두리에 걸려 잘리기도 한다 — 비네팅 (vignetting)이다. 상의 가장자리가 어두워지는 원인의 하나이고, 다른 하나는 축에서 각 $\theta$만큼 벗어난 방향의 조도가 $\cos^4\theta$로 떨어지는 기하학적 효과(입사동이 기울어 보이고, 거리가 늘고, 상면에 비스듬히 닿는 것이 겹친다)다.

F수 — 초점 거리와 지름의 비

물체가 멀리 있을 때 상면에 닿는 빛의 조도(단위 넓이당 일률)는 입사동의 넓이에 비례하고 상의 넓이에 반비례한다. 입사동 지름을 $D$라 하면 모이는 빛은 $\propto D^2$, 상의 크기는 $\propto f$(같은 물체가 초점 거리에 비례해 커진다)이므로 넓이는 $\propto f^2$. 따라서

$$E \propto \left(\frac{D}{f}\right)^2 = \frac{1}{(f/\#)^2}, \qquad f/\# \equiv \frac{f}{D}$$

이 비 $f/D$가 F수다. 숫자가 작을수록 밝다. 카메라 조리개 눈금 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, …이 $\sqrt2$씩 커지는 것은 한 칸마다 조도가 절반이 되도록 정한 것이고, 조도가 절반이면 같은 노출을 얻는 데 시간이 두 배 든다. 노광 장비의 “노광량”(dose, $\mathrm{mJ/cm^2}$)도 조도 × 시간이며, 같은 논리로 렌즈의 개구수가 노광 시간과 처리량에 직결된다.

물체가 유한 거리에 있으면 상 거리가 $f$보다 길어져 조도가 떨어진다. 그때의 실효 F수는

$$(f/\#)_{\text{w}} = (1 + |M_T|)\,\frac{f}{D}$$

이고(작동 F수), 1:1 결상($|M_T| = 1$)이면 명목값의 두 배다. 접사 촬영이 어두운 이유이고, 현미경·투영 렌즈처럼 상 쪽 원뿔 각이 큰 계에서는 F수 대신 5절의 개구수로 말한다 — 두 양은 근축에서

$$f/\# \approx \frac{1}{2\,\mathrm{NA}_i}$$

로 이어진다($\mathrm{NA}_i$는 상 쪽 개구수). F수 0.5 아래는 공기 중에서 의미가 없다 — $\sin$이 1을 넘지 못하기 때문이다.

조리개의 위치 — 텔레센트릭

조리개의 크기는 밝기를 정하지만, 조리개의 위치는 어느 광선이 주광선이 되는지를 정한다. 그리고 주광선의 방향이 곧 디포커스가 상을 어떻게 흐트러뜨리는지를 정한다.

조리개를 렌즈의 뒤쪽 초점 $F_i$에 두면 어떻게 되는가. 조리개 중심을 지나는 광선, 즉 주광선은 $F_i$를 지나므로 물체 쪽에서는 축에 나란한 광선이다. 물체가 축 방향으로 조금 앞뒤로 움직여도 주광선은 같은 높이로 들어오고, 상은 흐려질지언정 중심 위치가 움직이지 않는다 — 배율이 초점 위치에 무관하다. 이것이 물체 쪽 텔레센트릭(object-space telecentric)이다. 조리개를 앞쪽 초점 $F_o$에 두면 상 쪽에서 주광선이 나란해지는 상 쪽 텔레센트릭이 되고, 둘 다 만족하면 양쪽 텔레센트릭이다.

직관

왜 계측 렌즈와 투영 렌즈는 텔레센트릭인가. 보통 렌즈로 원통을 위에서 찍으면 위쪽 테두리가 아래쪽 테두리보다 크게 보인다 — 가까운 것이 크다는 원근법이 그대로 사진에 들어온다. 웨이퍼의 패턴 폭을 광학적으로 재는 계(19.3.5)에서 이것은 곧 오차다. 초점이 조금만 흔들려도 재는 폭이 변한다. 물체 쪽 텔레센트릭 렌즈는 원근법을 지운다 — 배율이 초점에 무관하므로 높이가 다른 구조물이 같은 배율로 찍힌다.

투영 노광 장비는 양쪽 텔레센트릭이다. 상 쪽(웨이퍼 쪽)이 텔레센트릭이면 웨이퍼가 초점에서 조금 벗어나도 패턴의 위치가 옆으로 밀리지 않는다 — 초점 오차가 정렬 오차(overlay)로 번지지 않는다. 물체 쪽(레티클 쪽)이 텔레센트릭이면 레티클의 높낮이 오차가 배율 오차가 되지 않는다. 대가는 있다. 주광선이 나란하려면 시야의 가장자리 광선도 렌즈 안쪽을 지나야 하므로 렌즈 지름이 시야보다 커야 한다. 26 × 33 mm 시야를 4배 축소하는 렌즈의 앞 유리가 시야보다 훨씬 큰 이유다.

파라미터 연계. $D$를 키우면 밝아지고($\propto D^2$) 5절의 개구수가 커져 분해능이 좋아지지만, 초점 심도가 $\propto 1/\mathrm{NA}^2$로 줄고 8절의 수차가 $h^4$, $h^3$으로 폭증한다 — 조리개는 이 셋 사이의 손잡이다. 카메라에서 조리개를 한두 칸 조이면 화질이 좋아지는 것은 수차 쪽이고, 너무 조이면 다시 나빠지는 것은 3.6의 회절 쪽이다.

개구수(NA)와 초점 심도

개구수 — 각을 굴절률로 무게 준 것

렌즈로 들어오는(또는 나가는) 빛다발의 원뿔 반각을 $\theta_{\max}$라 하자. 주변 광선이 축과 이루는 각이다. 개구수는 이 각의 사인에 그 공간의 굴절률을 곱한 것이다.

$$\boxed{\;\mathrm{NA} = n\sin\theta_{\max}\;}$$

왜 각이 아니라 $n\sin\theta$인가. 스넬 법칙 때문이다 — 평면 경계를 지날 때 $n\sin\theta$는 보존된다(3.3.6반사와 굴절). 대물렌즈 앞에 굴절률 $n$의 액체를 채워 원뿔 각이 좁아져도 $n\sin\theta$는 그대로이고, 반대로 굴절률 1.7의 포토레지스트 속으로 들어간 빛의 각은 $\sin\theta_r = \mathrm{NA}/n_r$이다. 즉 $\mathrm{NA}$는 매질을 바꿔도 변하지 않는, 빛다발 자체의 성질이다. 그래서 공기 중에서는 1을 넘지 못하지만 액침(immersion)에서는 넘는다 — 물($n = 1.44$, 193 nm)로 렌즈와 웨이퍼 사이를 채운 ArF 액침 장비의 $\mathrm{NA} = 1.35$, 기름($n = 1.515$)에 담근 현미경 대물렌즈의 $\mathrm{NA} = 1.4$가 그것이다. $\mathrm{NA}$의 상한은 매질의 굴절률이다.

현미경 대물렌즈에 적힌 개구수는 물체 쪽, 투영 노광 렌즈의 개구수는 상 쪽(웨이퍼 쪽) 값이다. 4배 축소 렌즈의 레티클 쪽 개구수는 $1.35/4 \approx 0.34$이다 — 라그랑주 불변량(7절)이 $n\,y\,\theta$를 보존하므로 상이 4배 작아지면 각은 4배 커진다.

분해능은 λ/NA — 이유는 다음 장에

기하광학은 점을 점으로 옮긴다고 말하지만, 실제 상은 회절로 퍼진 원반이다. 그 원반(에어리 원반, 3.6.4)의 반지름이 $0.61\lambda/\mathrm{NA}$이고, 두 점이 그 거리보다 가까우면 구별되지 않는다(레일리 기준, 3.6.6). 리소그래피는 같은 물리를 공정 상수 $k_1$에 담아 쓴다.

$$R = k_1\frac{\lambda}{\mathrm{NA}}$$

$k_1$은 조명 방식·마스크·레지스트가 정하는 무차원 수로, 단일 노광의 물리적 하한이 0.25다 — 두 빔의 간섭 무늬 주기 $\lambda/(2\mathrm{NA})$의 절반이 최소 선폭이기 때문이다(3.6, 18부). 이 장이 말할 수 있는 것은 분모다. 파장을 줄이거나(436 → 365 → 248 → 193 → 13.5 nm) 개구수를 올리거나(0.3 → 1.35) — 지난 40년의 리소그래피 역사는 이 분수의 분자와 분모를 각각 밀어붙인 역사다.

초점 심도 — 얼마나 벗어나도 되는가

상면이 이상적인 초점에서 $\delta$만큼 벗어나면 무슨 일이 일어나는가. 파면으로 생각한다. 초점에 정확히 수렴하는 구면 파면과, $\delta$만큼 어긋난 점에 수렴하는 구면 파면 사이의 광로차는 동공 가장자리 (각 $\theta$)에서 가장 크고, 기하학적으로

$$W(\theta) = n\,\delta\,(1 - \cos\theta) \approx n\,\delta\,\frac{\theta^2}{2}$$

이다 — 두 구면의 사기(sag) 차이다. 레일리의 기준은 이 광로차가 파장의 1/4을 넘지 않으면 상이 “거의 완벽하다”는 것이다(8절에서 다시 나온다). $W = \lambda/4$로 두고 $\delta$를 풀면

$$\delta_R = \frac{\lambda}{4n(1 - \cos\theta_{\max})} \;\approx\; \frac{\lambda}{2n\theta_{\max}^2} = \frac{n\,\lambda}{2\,\mathrm{NA}^2}$$

한쪽으로 이만큼, 양쪽으로 $2\delta_R = n\lambda/\mathrm{NA}^2$가 허용 범위다. 리소그래피는 이것도 경험 상수에 담아 초점 심도 $\mathrm{DOF} = k_2\lambda/\mathrm{NA}^2$라 쓴다.

그림 3.4-6. 파장 193 nm에서 개구수를 0.4에서 1.4까지 늘릴 때의 분해능(k₁ = 0.3)과 한쪽 허용 디포커스(레일리 1/4 파장 기준). 분해능은 1/NA로, 초점 심도는 대략 1/NA²로 줄어든다. 초점 심도 곡선은 근축식 nλ/(2NA²)이 아니라 정확한 꼴 λ/[4n(1 − cos θ)]로 그렸다 — 개구수 0.93에서 근축식은 112 nm를 주지만 실제는 76 nm다. 건식 0.93과 물 액침 1.35(점선, n = 1.44) 두 점에 값이 적혀 있다. 개구수 1을 넘는 것은 액침에서만 가능하다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 분모의 차수가 다르다. 분해능은 $1/\mathrm{NA}$, 초점 심도는 $1/\mathrm{NA}^2$이다. 개구수를 두 배로 올리면 선폭은 절반이 되지만 초점 여유는 4분의 1이 된다. 개구수 1.35, 파장 193 nm에서 한쪽 허용 디포커스는 50 nm 안팎 — 웨이퍼 한 장의 굴곡, 레지스트 두께, 앞 공정이 남긴 단차가 전부 이 예산 안에 들어가야 한다. 이것이 CMP(18부)가 리소그래피의 전제 조건이 된 이유이고, 노광 장비가 웨이퍼 높이를 수 nm 정밀도로 실시간 추적하는 이유다.

액침이 초점 심도도 늘린다. 식에 $n$이 분자에 있다 — 같은 $\mathrm{NA}$라면 매질의 굴절률이 클수록 허용 디포커스가 $n$배 크다. 매질 속에서 파장이 $\lambda/n$으로 짧아져 같은 각에서 광로차가 커질 것 같지만, $\mathrm{NA}$를 고정하면 각 자체가 $\sin\theta = \mathrm{NA}/n$으로 작아지고 그 효과가 제곱으로 들어와 이긴다. 액침이 분해능만이 아니라 공정 여유까지 가져다준 이유다.

근축식은 큰 개구수에서 틀린다. $1 - \cos\theta$를 $\theta^2/2$로 바꾼 것이 근축 근사인데, $\mathrm{NA} = 0.93$이면 $\theta = 68°$라 근사가 성립할 리 없다. 그림의 곡선이 정확한 꼴을 쓴 이유다. 현대 리소그래피는 이 장의 근축 공식들이 한계에 닿는 영역에서 일한다.

물체 쪽 심도와 상 쪽 심도

초점 심도(depth of focus)는 상 쪽의 여유이고, 물체 쪽의 여유는 피사계 심도(depth of field)다. 둘은 2절의 종배율로 이어진다 — $dx_i = M_L\,dx_o = -M_T^2\,dx_o$이므로

$$\text{(물체 쪽 여유)} = \frac{\text{(상 쪽 여유)}}{M_T^2}$$

4배 축소 투영 렌즈에서 웨이퍼 쪽 여유가 100 nm이면 레티클 쪽 여유는 $16$배인 1.6 µm다 — 레티클의 평탄도 요구가 웨이퍼보다 훨씬 느슨한 이유다. 반대로 100배 현미경에서 물체 쪽 심도는 상 쪽의 1/10 000이고, $\mathrm{NA} = 0.9$ 건식 대물렌즈의 물체 쪽 심도는 $\lambda/(2\mathrm{NA}^2) \approx 0.3$ µm에 불과하다. 웨이퍼 검사 현미경이 초점을 자동으로 쫓고, 높이가 다른 층을 보려면 초점을 옮겨 가며 여러 장을 찍어야 하는 이유다.

주의

개구수는 렌즈의 것이지 빛의 것이 아니다. 렌즈의 $\mathrm{NA}$가 1.35라도 조명이 좁은 원뿔로만 들어오면 실제 결상에 쓰이는 각은 그보다 작다. 리소그래피가 조명의 원뿔 각을 렌즈 개구수에 대한 비 $\sigma = \mathrm{NA}_{\text{illum}}/\mathrm{NA}_{\text{lens}}$(부분 결맞음 인자, 3.6.12)로 따로 적는 이유다. 반대로 광섬유의 개구수(9절)는 섬유가 받아들일 수 있는 최대 각이지 실제로 실려 가는 빛의 각이 아니다. 두 뜻이 같은 글자를 쓴다.

프리즘과 분산

편각과 최소 편각

꼭지각 $\alpha$인 프리즘에 각 $\theta_{i1}$로 들어온 광선은 첫 면에서 $\theta_{t1}$로 꺾이고, 둘째 면에 $\theta_{i2} = \alpha - \theta_{t1}$로 닿아 $\theta_{t2}$로 나간다(안쪽 두 각의 합이 꼭지각과 같다 — 두 법선이 이루는 각이 $\alpha$이기 때문). 들어온 방향과 나간 방향 사이의 각이 편각 $\delta$다.

$$\delta = \theta_{i1} + \theta_{t2} - \alpha, \qquad \sin\theta_{t2} = n\sin\!\left(\alpha - \arcsin\frac{\sin\theta_{i1}}{n}\right)$$

$\delta$를 $\theta_{i1}$의 함수로 그리면 아래로 볼록한 곡선이고 최소값이 하나 있다. 미분해서 $d\delta/d\theta_{i1} = 0$을 풀면 조건은 $\theta_{i1} = \theta_{t2}$ — 광선이 프리즘을 대칭으로 지날 때, 즉 안에서 밑면에 나란히 갈 때다. 그때 $\theta_{t1} = \alpha/2$이고 $\theta_{i1} = (\delta_{\min} + \alpha)/2$이므로

$$\boxed{\;n = \frac{\sin\!\left[(\delta_{\min} + \alpha)/2\right]}{\sin(\alpha/2)}\;}$$

굴절률을 재는 가장 오래된 정밀 방법이다 — 꼭지각과 최소 편각 두 각만 재면 된다. 꼭지각이 작은 얇은 프리즘에서는 사인을 각으로 바꿔 $\delta \approx (n - 1)\alpha$, 입사각에 거의 무관한 상수 편각이 된다.

그림 3.4-7. 꼭지각 60°인 프리즘의 편각을 입사각의 함수로 그린 곡선. 굴절률 1.5와 1.6 두 경우 모두 아래로 볼록하고 한 점에서 최소가 된다 — 광선이 프리즘을 대칭으로 지날 때다. 굴절률이 큰 곡선이 통째로 위에 있다. 이것이 분산의 기하학이다: 파장마다 n이 다르면 같은 입사각에서 편각이 달라 색이 펼쳐진다. 곡선 왼쪽 끝은 둘째 면에서 전반사가 시작되어 빛이 나오지 못하는 입사각이다.직접 작도

직관

왜 대칭에서 최소인가. 페르마 원리와 가역성이다. 광선의 경로를 거꾸로 돌려도 스넬 법칙은 그대로 성립하므로, $\delta(\theta_{i1})$의 곡선은 $\theta_{i1} \leftrightarrow \theta_{t2}$의 맞바꿈에 대해 대칭이다. 대칭인 함수의 극값은 대칭점에 있거나 쌍으로 있는데, 이 곡선은 볼록해서 극값이 하나뿐이다 — 그러니 대칭점에 있을 수밖에 없다. 같은 논리가 렌즈에서도 반복된다: 8절에서 배율 $-1$인 대칭 배치가 코마와 왜곡을 자동으로 없애는 것이 이 가역성 때문이다.

분산 — 편각이 파장을 따라 움직인다

굴절률은 파장의 함수다(3.3.4분산과 흡수). 그러면 편각도 파장의 함수이고, 그 변화율은 사슬 법칙으로

$$\frac{d\delta}{d\lambda} = \frac{d\delta}{dn}\,\frac{dn}{d\lambda}$$

두 인자가 각각 다른 것을 말한다. 앞의 것은 프리즘의 기하다 — 최소 편각 근처에서

$$\frac{d\delta}{dn} = \frac{2\sin(\alpha/2)}{\sqrt{1 - n^2\sin^2(\alpha/2)}}$$

로, 꼭지각이 클수록 그리고 $n\sin(\alpha/2)$가 1에 가까울수록(둘째 면에서 전반사 직전일수록) 커진다. 뒤의 것은 재료다. 가시광 영역의 투명한 유리는 예외 없이 $dn/d\lambda < 0$ — 파란빛이 더 크게 꺾인다(정상 분산). 이것을 근사하는 식이 둘 있다.

$$\text{코시: } n = A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4} + \cdots, \qquad \text{셀마이어: } n^2 = 1 + \sum_j \frac{B_j\,\lambda^2}{\lambda^2 - C_j}$$

코시 식은 경험식이고, 셀마이어 식은 3.3.4의 로렌츠 진동자 모형에서 흡수선 $\sqrt{C_j}$들을 공명 파장으로 놓은 것이다 — 파장이 흡수선에 가까워질수록 분모가 0으로 가서 굴절률이 치솟는다. 유리의 흡수선은 자외선에 있으므로, 가시광에서 자외선으로 갈수록 $n$이 가파르게 오른다.

그림 3.4-8. 용융 실리카(SiO₂)의 굴절률을 파장 0.18~1.7 µm에서 셀마이어 식(Malitson 1965)으로 계산한 곡선. 가로축은 로그 눈금이다. 적외선 쪽에서는 1.44 근처로 완만하지만 자외선으로 갈수록 가팔라져 193 nm에서 1.56에 이른다. 흡수단(약 160 nm)에 다가가기 때문이다. 리소그래피 파장(i선 365, KrF 248, ArF 193 nm)과 d선, 통신 파장이 표시돼 있다.직접 작도

재료의 분산을 한 숫자로 요약한 것이 아베수다. 프라운호퍼 선 $d$(587.6 nm), $F$(486.1 nm), $C$(656.3 nm)에서의 굴절률로

$$V_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C}$$

분모가 파랑–빨강 사이의 굴절률 차, 분자가 평균 굴절력이다. 클수록 분산이 작다. 크라운 유리는 60 안팎, 플린트 유리는 30 안팎, 용융 실리카는 약 68로 유리 중 분산이 작은 편이다. 8절의 색지움 렌즈는 이 숫자로 설계한다.

직관

파라미터 연계 — 193 nm 렌즈에는 색지움이 없다. 그림에서 193 nm의 기울기를 읽으면 $dn/d\lambda \approx -1.6 \times 10^{-3}\ \mathrm{nm^{-1}}$ — d선의 45배다. 2절의 $df/f = -dn/(n-1)$에 넣으면 파장이 1 pm 변할 때 초점 거리가 $2.8 \times 10^{-6}$ 비율로 움직인다. 초점 거리 수백 mm급의 투영 렌즈라면 pm당 수백 nm — 5절의 초점 심도 50 nm를 파장 오차 1 pm이 다 먹어 버린다.

가시광 렌즈라면 8절처럼 아베수가 다른 두 유리를 겹쳐 색을 지우겠지만, 193 nm에서 투명한 재료는 용융 실리카와 $\mathrm{CaF_2}$ 둘뿐이고 아베수가 비슷해 색지움이 어렵다. 그래서 문제를 광원 쪽으로 넘긴다 — ArF 엑시머 레이저의 자연 선폭(수백 pm)을 회절 격자로 0.3 pm 안팎까지 좁힌다. 노광 장비의 광원이 “레이저”인 이유가 출력이 아니라 선폭이라는 것이 이 계산의 요점이다. 개구수 1.35 렌즈가 거울과 렌즈를 섞은(반사굴절, catadioptric) 설계인 것도 같은 이유다 — 거울에는 색수차가 없다(1절).

반사 프리즘

프리즘의 다른 쓰임은 분산이 아니라 전반사다. 직각 프리즘의 빗면에 $45°$로 닿은 빛은 유리 ($n > \sqrt2$)에서 전반사되어(3.3.9전반사와 소멸파) 손실 없이 $90°$ 꺾인다. 반사 코팅이 필요 없고 거울보다 정렬이 튼튼하다. 포로 프리즘 두 개를 직각으로 겹치면 상을 상하·좌우 모두 뒤집어 도립상을 정립상으로 만들고(쌍안경), 도브 프리즘은 프리즘을 돌린 각의 두 배로 상을 회전시키며, 펜타프리즘은 반사 두 번으로 손잡이성을 보존한 채 $90°$ 꺾는다(1절 — 홀수 번 반사는 손잡이성을 뒤집는다). 검사·정렬 광학계에서 빛의 경로를 접거나 상의 방향을 맞추는 부품이 이것들이다. 다만 전반사면에 다른 물체가 닿으면 3.3.9의 소멸파가 새어 나간다 — 프리즘 빗면은 광학적으로 “깨끗한 공기”에 접해 있어야 한다.

해석적 광선 추적

정확한 추적 — 스넬 법칙을 면마다

광선 하나의 경로는 원리적으로 전부 계산할 수 있다. 면과 광선의 교점을 구하고(구면이면 2차방정식), 그 점의 법선을 구하고, 스넬 법칙 $n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t$로 새 방향을 정하고, 다음 면까지 직진시킨다. 이것을 광선 수천 개에 대해 반복하는 것이 렌즈 설계 프로그램이 하는 일이고, 손으로는 면 하나로도 충분히 배운다 — 근축 공식이 무엇을 숨기고 있었는지가 그 계산에서 나온다.

그림 3.4-9. 굴절률 1.5, 반지름 100의 볼록 구면에 축과 나란히 들어온 열네 광선을 스넬 법칙 그대로 추적한 그림. 축에 가까운 광선은 근축 초점 nR/(n − 1) = 300 근처에서 만나지만 높이 70의 광선은 그보다 37 앞에서 축을 지난다. 높이가 클수록 더 일찍 축을 지나는 이 어긋남이 종 구면수차이고, 광선들의 포락선이 초점 앞에 화살 모양의 화선(caustic)을 만든다. 1절의 결상 공식이 '근축'이라는 단서를 달고 있었던 이유다.직접 작도

높이 $h$에서 면에 닿은 광선의 입사각은 $\sin\varphi = h/R$인 중심각 $\varphi$ 자체이고, 굴절각은 $\sin\theta_t = \sin\varphi/n$, 축을 향해 꺾이는 각은 $\varphi - \theta_t$다. 축과 만나는 점은

$$x = R(1 - \cos\varphi) + \frac{h}{\tan(\varphi - \theta_t)}$$

$h \to 0$에서 이 식은 $nR/(n-1)$로 가고(1절의 $f_i$), $h$가 커지면 그보다 짧아진다. 사인을 각으로 바꾼 것이 근축 근사였고, $\sin\varphi = \varphi - \varphi^3/6 + \cdots$의 3차항이 이 차이의 근원이다 — 8절은 이 3차항을 체계적으로 정리한 것이다.

근축 광선을 행렬로

근축 영역으로 돌아오면 모든 것이 선형이다. 광선의 상태를 기준면에서의 높이 $y$와 각 $\alpha$ 두 수로 적으면, 굴절도 진행도 이 두 수의 선형 변환이고, 따라서 $2 \times 2$ 행렬이다(1.2.6선형 변환). Hecht를 따라 각에는 그 매질의 굴절률을 곱해 둔다 — $(n\alpha,\ y)$. 이렇게 두면 행렬의 꼴이 깨끗해지고 행렬식이 1이 된다.

그림 3.4-10. 광선 전달 행렬의 구성. 광선은 기준면마다 (nα, y) 두 성분으로 적힌다. 굴절면 𝓡에서는 높이는 그대로이고 각만 바뀌며, 매질 안을 진행하는 전달 𝓣에서는 각은 그대로이고 높이만 바뀐다. 계 전체의 행렬 𝓐는 빛이 만나는 순서의 반대로 — 오른쪽에서 왼쪽으로 — 곱한다. 행렬 곱은 교환되지 않으므로 순서가 곧 광학계의 구조다.직접 작도

굴절. 곡률 반지름 $R$인 면에서 굴절률 $n_i \to n_t$로 넘어갈 때, 근축 스넬 법칙 $n_i\theta_i = n_t\theta_t$에 $\theta = \alpha + y/R$(광선 각 + 법선 각)을 넣어 정리하면 $n_t\alpha_t = n_i\alpha_i - \mathcal D\,y$. 높이는 그대로다.

$$\begin{pmatrix} n_t\alpha_t \\ y_t \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -\mathcal D \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\mathcal R} \begin{pmatrix} n_i\alpha_i \\ y_i \end{pmatrix}, \qquad \mathcal D = \frac{n_t - n_i}{R}$$

전달. 굴절률 $n$인 매질을 거리 $d$만큼 진행하면 각은 그대로이고 높이가 $y + d\alpha = y + (d/n)(n\alpha)$가 된다.

$$\mathcal T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ d/n & 1 \end{pmatrix}$$

계 행렬. 면 1에서 굴절, 두께 $d_{21}$ 전달, 면 2에서 굴절이면 — 빛이 만나는 순서의 반대로 —

$$\mathcal A = \mathcal R_2\,\mathcal T_{21}\,\mathcal R_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \qquad \det\mathcal A = 1$$

행렬식이 1인 것은 $\mathcal R$과 $\mathcal T$의 행렬식이 각각 1이기 때문이다(1.2.1행렬과 행렬식) — 아래에서 물리적 뜻이 나온다. 두꺼운 렌즈에 대해 곱을 실제로 해 보면

$$\mathcal A = \begin{pmatrix} 1 - \mathcal D_2 d/n_l & -\left(\mathcal D_1 + \mathcal D_2 - \mathcal D_1\mathcal D_2\,d/n_l\right) \\ d/n_l & 1 - \mathcal D_1 d/n_l \end{pmatrix}$$

이고, $-a_{12}$가 3절의 두꺼운 렌즈 굴절력 $1/f$와 정확히 같다. 얇은 렌즈($d = 0$)는 $\mathcal A = \begin{pmatrix} 1 & -1/f \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, 두 얇은 렌즈를 $d$만큼 띄우면 $a_{12} = -(1/f_1 + 1/f_2 - d/f_1 f_2)$ — 3절의 식이 행렬 곱 한 번으로 나온다.

행렬에서 기본점을 읽는다

계 행렬 $\mathcal A$가 첫 정점 $V_1$(굴절 직전)에서 마지막 정점 $V_2$(굴절 직후)까지를 잇고, 물체 쪽 매질이 $n_o$, 상 쪽이 $n_i$라 하자. 축에 나란한 광선($\alpha_1 = 0$, 높이 $y_1$)을 넣으면 나가는 각이 $n_i\alpha_2 = a_{12}y_1$이고 높이가 $y_2 = a_{22}y_1$이다. 이 광선이 축을 지나는 곳이 상 쪽 초점이고, 들어온 광선과 나간 광선의 연장선이 만나는 곳이 $H_2$다. 반대 방향으로 나가는 광선이 나란한 경우를 풀면 물체 쪽이 나온다. 결과를 모으면

양	식	잰 곳
$f_o$, $f_i$	$-\dfrac{n_o}{a_{12}}$, $-\dfrac{n_i}{a_{12}}$	주평면에서
f.f.l., b.f.l.	$-\dfrac{a_{11}\,n_o}{a_{12}}$, $-\dfrac{a_{22}\,n_i}{a_{12}}$	$V_1$ 왼쪽으로, $V_2$ 오른쪽으로
$\overline{V_1 H_1}$, $\overline{V_2 H_2}$	$\dfrac{(a_{11} - 1)\,n_o}{a_{12}}$, $\dfrac{(1 - a_{22})\,n_i}{a_{12}}$	정점에서 오른쪽이 양

두꺼운 렌즈의 $\mathcal A$를 넣어 보면 3절의 주점 공식 $-f(n_l - 1)d/(n_l R_2)$, $-f(n_l - 1)d/(n_l R_1)$이 그대로 나온다. 행렬 네 성분이 기본점 여섯을 전부 담고 있다 — 렌즈가 몇 장이든 $\mathcal A$ 하나로 줄어드는 것이 이 방법의 힘이다.

결상 조건도 행렬로 적힌다. 물체면에서 $V_1$까지 전달 $\mathcal T_o$, 계 $\mathcal A$, $V_2$에서 상면까지 전달 $\mathcal T_i$를 곱한 $\mathcal M = \mathcal T_i\mathcal A\mathcal T_o$에서, 상면의 높이 $y_i = m_{21}(n_o\alpha_o) + m_{22}y_o$가 광선의 각 $\alpha_o$에 무관해야 한 점에서 나온 빛이 한 점에 모인다.

$$m_{21} = 0 \quad\Longrightarrow\quad M_T = m_{22}, \qquad m_{11} = \frac{1}{M_T}\ (\det = 1)$$

$m_{11}$은 각배율 $n_i\alpha_i/n_o\alpha_o$이고, 행렬식이 1이라는 조건이 각배율과 횡배율이 서로 역수임을 강제한다.

직관

행렬식 1 = 라그랑주 불변량 = 에탕듀 보존. 두 광선 $a$, $b$를 같은 계에 넣으면 $\det\mathcal A = 1$ 때문에 조합

$$\mathcal H = n\,(y_a\,\alpha_b - y_b\,\alpha_a)$$

가 어느 기준면에서 재도 같다. 이것이 라그랑주(또는 스미스–헬름홀츠) 불변량이다. $a$를 주변 광선, $b$를 주광선으로 잡으면 $\mathcal H \approx n\,y\,\theta$ — 시야의 크기와 원뿔 각의 곱을 굴절률로 무게 준 것이 계 어디서나 보존된다. 두 방향으로 확장하면 넓이 × 입체각 × $n^2$, 즉 에탕듀다.

물리적으로는 광학계가 빛의 밝기(복사 휘도)를 올릴 수 없다는 뜻이다. 광원의 넓이와 발산각의 곱은 렌즈로 줄일 수 없고, 한쪽을 줄이면 다른 쪽이 그만큼 는다. 4배 축소 렌즈에서 상이 작아지면 각이 4배 커지는 것(5절), LED에서 나온 빛을 광섬유에 넣을 때 코어보다 큰 광원은 개구수 안의 몫만 들어가는 것(9절), 노광 장비의 시야(26 × 33 mm)와 개구수(1.35)의 곱이 엄청나서 렌즈가 사람 키만큼 커지는 것이 전부 같은 보존 법칙이다. 열역학의 언어로는 에탕듀가 광자계의 엔트로피에 해당하고, 그것을 줄이는 수동 광학계는 없다.

주의

두 가지 행렬 약속. 이 백과는 Hecht의 열벡터 $(n\alpha,\ y)$를 쓴다 — 굴절 행렬이 위삼각, 전달 행렬이 아래삼각이고, $a_{12} = -1/f$다. 레이저·광통신 쪽 책(Saleh–Teich, Yariv)은 열벡터를 $(y,\ \theta)$로 두고 ABCD 행렬 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$로 쓴다 — 전달이 $\begin{pmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, 얇은 렌즈가 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1/f & 1 \end{pmatrix}$, 초점 거리가 $-1/C$다. 성분의 자리가 뒤바뀌고 굴절률이 각에 곱해져 있지 않다. 두 약속을 섞어 곱하면 답이 틀리며, 특히 표에서 $a_{12}$와 $C$를 혼동하기 쉽다. 가우스 빔의 $q$-파라미터 변환 $q' = (Aq + B)/(Cq + D)$는 ABCD 약속으로 적힌 식이다.

같은 행렬을 반복하면 주기적 광학계가 된다 — 렌즈를 등간격으로 늘어세운 렌즈 도파로, 두 거울 사이를 왕복하는 레이저 공진기. 광선이 $N$번 지난 뒤의 상태는 $\mathcal A^N$이고, 그것이 발산하지 않을 조건은 1.3.1고유값 방정식과 특성 다항식의 고유값이 단위원 위에 있는 것, 즉 $|a_{11} + a_{22}| < 2$이다. 공진기의 안정 조건 $0 \le g_1 g_2 \le 1$이 이 부등식이다. 9절의 GRIN 매질은 이 반복을 연속으로 만든 극한이다.

수차

3차 이론 — 사인의 다음 항

근축 근사는 $\sin\varphi \approx \varphi$였다. 다음 항까지 살리면

$$\sin\varphi = \varphi - \frac{\varphi^3}{6} + \frac{\varphi^5}{120} - \cdots$$

이고, $\varphi^3$까지 넣은 이론이 3차 이론(자이델 이론)이다. 결과는 단색광에 대해 다섯 가지 단색 수차 — 구면수차, 코마, 비점수차, 상면 만곡, 왜곡 — 이고, 굴절률의 파장 의존이 두 가지 색수차를 더한다. 수차는 계산의 오차가 아니라 구면과 근축 공식 사이의 실제 차이다. 구면은 만들기 쉬워서 쓰는 것이지 이상적인 결상면이 아니다.

수차를 담는 가장 깨끗한 그릇은 파면 수차 $W$다. 출사동 위의 점을 정규화 반지름 $\rho$와 방위각 $\varphi$로, 상의 높이를 $h$로 적으면, 이상적인 구면 파면과 실제 파면의 광로차가 3차까지

$$W(\rho, \varphi; h) = {}_0 W_{40}\,\rho^4 + {}_1 W_{31}\,h\,\rho^3\cos\varphi + {}_2 W_{22}\,h^2\rho^2\cos^2\varphi + {}_2 W_{20}\,h^2\rho^2 + {}_3 W_{11}\,h^3\rho\cos\varphi$$

다섯 항이 순서대로 다섯 수차다. 계수의 첨자는 $h$, $\rho$, $\cos\varphi$의 차수를 뜻한다.

수차	$W$ 항의 꼴	동공 의존	시야 의존	모양
구면수차	$\rho^4$	4차	없음	축 위에서도 생기는 대칭 흐림
코마	$h\rho^3\cos\varphi$	3차	1차	혜성 꼬리 — 비대칭
비점수차	$h^2\rho^2\cos^2\varphi$	2차	2차	방향에 따라 초점이 다르다
상면 만곡	$h^2\rho^2$	2차	2차	상면이 휜다
왜곡	$h^3\rho\cos\varphi$	1차	3차	상의 위치가 밀린다 (흐리지 않다)

직관

형태적 직관 — 표를 읽는 법. 동공 차수가 높은 수차일수록 조리개를 조이면 빨리 사라진다 — 구면수차는 $\rho^4$이라 조리개를 절반으로 줄이면 파면 오차가 1/16, 광선의 흐림(파면의 기울기 $\partial W/\partial\rho$)은 1/8이 된다. 시야 차수가 높은 수차일수록 축 근처에서는 없다 — 코마는 $h$에 비례하니 축 위의 점에는 코마가 없고, 왜곡은 $h^3$이라 시야 가장자리에서 갑자기 커진다. $\cos\varphi$가 붙은 항(코마·왜곡)은 동공의 위아래를 뒤집으면 부호가 바뀌는 비대칭 수차고, 없는 항(구면수차·만곡)은 회전 대칭이다.

리소그래피 렌즈의 사양서에 “체르니케 $Z_9$ 얼마, $Z_7$ 얼마”라고 적힌 것이 이 표의 현대판이다. 체르니케 다항식은 단위원 위에서 직교하는 다항식 집합(1.6의 스투름–리우빌 직교계와 같은 자리)이고, $Z_5, Z_6$이 비점수차, $Z_7, Z_8$이 코마, $Z_9$가 구면수차에 해당한다. 직교하므로 각 계수를 따로 재고 따로 줄일 수 있다 — 그래서 자이델 항이 아니라 체르니케 항으로 적는다.

파면 수차의 크기를 재는 자는 파장이다. 레일리 기준은 파면 오차의 최대값이 $\lambda/4$ 이하면 상이 거의 완벽하다는 것이고(5절의 초점 심도가 이것이었다), 더 정밀한 마레샬 기준은 rms 오차가 $\lambda/14$ 이하면 회절 한계 상의 중심 세기(스트렐 비)가 0.8 이상이라는 것이다.

$$\text{스트렐 비} \approx \exp\!\left[-\left(\frac{2\pi\,W_{\mathrm{rms}}}{\lambda}\right)^2\right]$$

투영 노광 렌즈는 파면 오차를 파장의 수백분의 1(193 nm에서 1 nm rms 안팎)까지 줄인다 — 이 절의 수차를 전부 그 예산 안으로 밀어 넣는 것이 렌즈 설계이고, 그 잔여를 레지스트 패턴에서 되읽어 렌즈를 보정하는 것이 19부의 일이다.

구면수차 — 모양이 정한다

축 위의 물점에 대해서도 생기는 유일한 단색 수차다. 1절의 정확한 식을 $\varphi^3$까지 풀면 굴절면 하나에 대해 (Hecht 식 6.40)

$$\frac{n_1}{s_o} + \frac{n_2}{s_i} = \frac{n_2 - n_1}{R} + h^2\left[\frac{n_1}{2s_o}\left(\frac{1}{s_o} + \frac{1}{R}\right)^2 + \frac{n_2}{2s_i}\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{s_i}\right)^2\right]$$

$h^2$ 항이 붙었다. 높이 $h$의 광선은 근축 광선과 다른 $s_i$를 가지며, 그 차이가 종 구면수차 L·SA, 근축 상면에서의 광선 높이가 횡 구면수차 T·SA다. 7절의 그림이 이것이다.

얇은 렌즈의 구면수차는 초점 거리가 같아도 모양에 따라 다르다. 모양을 재는 수가 코딩턴의 모양 인자와 위치 인자다.

$$q = \frac{R_2 + R_1}{R_2 - R_1}, \qquad p = \frac{s_i - s_o}{s_i + s_o}$$

$q = 0$이 양볼록, $q = \pm1$이 평볼록(부호는 어느 면이 앞이냐), $|q| > 1$이 메니스커스다. $p = -1$이 무한원 물체다. 3차 이론의 결과는 $q$에 대해 2차식이라 최소가 하나 있다.

그림 3.4-11. 굴절률 1.5인 얇은 렌즈가 무한원 물체를 맺을 때(p = −1)의 3차 구면수차와 코마를 코딩턴 모양 인자 q의 함수로 그린 그림. 세로축은 양볼록(q = 0)에서의 값으로 정규화했다. 구면수차는 q에 대한 포물선이고 q ≈ 0.71에서 최소이며, 코마는 q에 대한 직선이고 q = 0.8에서 0을 지난다 — 두 최적점이 거의 같은 자리에 있고 둘 다 볼록면을 나란한 빛 쪽으로 향한 평볼록 렌즈(q = 1)에 가깝다. 평면을 앞에 둔 평볼록 렌즈(q = −1)는 구면수차가 네 배 가까이 크다.직접 작도

직관

왜 볼록면을 나란한 빛 쪽으로 두는가. 굴절을 두 면에 나눠 맡기기 위해서다. 구면수차는 각 면에서의 꺾임 각의 3제곱에 비례하므로, 같은 총 꺾임이라면 두 면이 반씩 나눠 꺾는 것이 한 면이 다 꺾는 것보다 $2 \times (1/2)^3 = 1/4$로 작다. 나란한 빛이 평면에 먼저 닿으면 그 면은 아무것도 꺾지 않고 둘째 면이 전부 떠맡는다 — $q = -1$이 나쁜 이유다. 볼록면이 먼저 받으면 대략 반씩 나눈다. 같은 원리를 끝까지 밀면 렌즈 한 장을 두 장으로, 네 장으로 쪼개 각 면의 부담을 줄이는 것이 렌즈 설계의 기본 수법이고, 투영 노광 렌즈에 수십 장이 들어가는 첫째 이유다(둘째 이유는 아래의 페츠발 조건).

구면수차가 0인 면도 있다. 위 식의 괄호 두 개가 동시에 0이 되는 자리 — $s_o = -R$(물체가 곡률 중심, 1절의 LED 돔)과, 물체와 상이 구면의 중심에서 각각 $R/n$과 $nR$ 떨어진 아플라나틱 점 (Weierstrass). 후자는 코마까지 없다. 기름 액침 대물렌즈의 맨 앞 반구 렌즈와, 반도체 검사에 쓰는 고체 액침 렌즈(SIL — 시료 위에 굴절률 큰 반구를 얹어 유효 개구수를 $n$배 올린다)가 이 점을 쓴다. 구면수차 없이 큰 각을 받는 유일한 구면 배치이기 때문이다. 비구면(포물면·타원면·고차 다항식면)을 쓰면 구면수차를 임의로 없앨 수 있고, 몰딩으로 찍는 플라스틱 카메라 렌즈와 EUV 거울이 그렇다.

코마와 사인 조건

축 밖의 점에서 생기는 첫 수차다. 동공의 고리마다 배율이 달라서, 한 점의 상이 크기가 다른 원들이 겹친 혜성 모양이 된다. 코마가 없으려면 모든 고리의 배율이 같아야 하고, 그 조건이 아베의 사인 조건이다.

$$n_o\,y_o\sin\theta_o = n_i\,y_i\sin\theta_i$$

7절의 라그랑주 불변량 $n\,y\,\alpha$의 $\alpha$가 $\sin\theta$로 바뀐 것이다 — 근축 밖까지 같은 배율을 요구하는 조건이다. 구면수차와 코마가 모두 없는 계를 아플라나틱이라 하고, 현미경 대물렌즈와 투영 렌즈처럼 시야 전체에서 선폭이 같아야 하는 계는 이 조건을 만족해야 한다. 코마는 조리개의 위치에 따라 변한다 — 그림의 직선이 $q$에 따라 부호를 바꾸듯, 조리개를 앞뒤로 옮겨 코마를 0으로 만들 수 있다. 배율 $-1$의 대칭 배치(렌즈 앞뒤가 거울상)에서는 코마와 왜곡이 자동으로 상쇄된다 — 6절의 가역성 논리다.

비점수차·상면 만곡·왜곡

비점수차. 축 밖의 점에서 나온 빛다발은 자오면(물점과 축을 품은 면)과 구결면(그에 수직인 면)에서 렌즈를 다른 각으로 보므로 초점 거리가 다르다. 자오 초점에서는 상이 구결 방향의 선이 되고 구결 초점에서는 자오 방향의 선이 되며, 그 사이 어딘가에 최소 착란원이 있다. 두 선의 간격이 비점수차이고 $h^2$에 비례한다.

상면 만곡. 비점수차를 완전히 지워도 상면은 평면이 아니라 페츠발 면이라는 곡면이다. 곡률은 계를 이루는 각 면의 굴절력과 굴절률로 정해지고(페츠발 합), 평탄한 상면의 조건은

$$\sum_j \frac{\mathcal D_j}{n_j} = 0$$

양의 굴절력만으로는 이 합이 0이 될 수 없다. 반드시 음의 렌즈를 섞어야 하고, 그러면서 전체 굴절력은 양으로 남겨야 하므로 양·음 렌즈를 떨어뜨려 배치한다 — 투영 노광 렌즈가 굵어졌다 가늘어졌다를 반복하는 허리 모양인 이유다. 웨이퍼는 평면이고 초점 심도는 50 nm이므로 페츠발 합은 사실상 0이어야 한다.

왜곡. 유일하게 상을 흐리지 않는 수차다. 배율이 $h$에 따라 변해 상의 위치가 밀린다 — 가장자리로 갈수록 배율이 줄면 술통형, 늘면 실패형. 조리개가 렌즈 앞에 있으면 술통형, 뒤에 있으면 실패형 쪽으로 기우는 경향이 있고, 대칭 배치에서 상쇄된다. 리소그래피에서 왜곡은 정렬 오차다 — 패턴 위치가 nm 단위로 밀리면 위아래 층이 어긋난다. 그래서 왜곡을 시야 전체에서 측정해(19부) 렌즈 요소를 미세하게 움직여 보정하고, 남는 것은 레티클 쪽에서 미리 반대로 밀어 넣는다.

의문

조리개를 옮기면 무엇이 변하고 무엇이 안 변하는가. 조리개를 옮기면 어느 광선이 주광선이 되는지가 바뀌므로 $h$가 걸린 수차 — 코마, 비점수차, 왜곡 — 는 변한다. 그러나 구면수차(축 위의 수차)와 페츠발 만곡(면의 굴절력만으로 정해진다)은 변하지 않는다. 3차 이론의 조리개 이동 정리다. 렌즈 설계자가 조리개 위치라는 자유도로 지울 수 있는 수차와, 렌즈의 모양·재료를 바꿔야만 지울 수 있는 수차가 이렇게 갈린다. 4절의 텔레센트릭 조건이 조리개 위치를 초점에 못박아 버리므로, 투영 렌즈는 이 자유도를 처음부터 쓸 수 없다 — 모든 수차를 모양과 재료로 지워야 한다.

색수차와 색지움

굴절률이 파장에 따라 변하므로(6절) 초점 거리도 변한다 — 파란빛의 초점이 빨간빛보다 렌즈에 가깝다. 축 위에서 초점이 파장마다 다른 것이 축 색수차, 배율이 파장마다 달라 상의 크기가 색마다 다른 것이 배율 색수차다. 2절에서 $df/f = -dn/(n - 1)$이었으니, $F$선과 $C$선 사이의 초점 차이는

$$\frac{f_F - f_C}{f} \approx -\frac{n_F - n_C}{n_d - 1} = -\frac{1}{V_d}$$

아베수의 역수다. 아베수 60인 크라운 유리 렌즈는 초점 거리의 1/60, 즉 100 mm 렌즈에서 1.7 mm만큼 파랑과 빨강의 초점이 어긋난다.

색을 지우는 방법은 굴절력이 다른 두 유리를 겹치는 것이다. 얇은 렌즈 두 장이 붙어 있을 때 총 굴절력 $1/f = 1/f_1 + 1/f_2$가 파장에 무관하려면 각각의 변화가 상쇄되어야 하므로

$$\frac{1}{f_1 V_1} + \frac{1}{f_2 V_2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{f_2}{f_1} = -\frac{V_2}{V_1}$$

아베수가 다른 두 유리로 만든 색지움 이중 렌즈(achromatic doublet)다. 한 장은 양, 한 장은 음이어야 하고, 분산이 작은 크라운(큰 $V$)이 양, 분산이 큰 플린트(작은 $V$)가 음의 굴절력을 맡으면 총 굴절력이 양으로 남는다. 두 파장에서만 초점이 일치하고 나머지 파장은 조금 남는데(2차 스펙트럼), 세 장으로 세 파장을 맞춘 것이 아포크로매트다.

파라미터 연계. 색지움은 아베수가 다른 두 재료가 있을 때만 가능하다. 6절에서 본 대로 193 nm에서 쓸 수 있는 재료는 사실상 둘뿐이고 아베수가 비슷해 이 방법이 막힌다. 그래서 광원의 선폭을 좁히거나 (6절), 색수차가 없는 거울을 섞는다(1절). EUV는 재료가 아예 없어 거울만 남는다. 어느 파장에서 어떤 렌즈가 가능한가는 결국 투명한 재료가 몇 종류 있는가의 문제다.

광섬유와 GRIN

계단형 광섬유 — 전반사로 가둔다

굴절률 $n_1$인 가는 유리 코어를 그보다 조금 작은 $n_2$의 클래딩으로 감싼 것이 광섬유다. 코어 안에서 경계에 임계각 $\theta_c$($\sin\theta_c = n_2/n_1$, 3.3.9전반사와 소멸파)보다 비스듬히 닿은 빛은 전반사되어 새어 나가지 못하고, 수 km를 지그재그로 간다. 전반사는 손실이 0이므로 남는 손실은 유리 자체의 흡수·산란(3.3.5)뿐이다 — 1550 nm에서 0.2 dB/km, 즉 15 km를 가야 절반이 된다.

섬유 끝면으로 들어올 수 있는 빛의 각은 제한된다. 끝면에서 각 $\theta_a$로 굴절해 들어온 빛이 코어 경계에 정확히 임계각으로 닿는다고 두면, 스넬 법칙 두 번으로

$$\boxed{\;\mathrm{NA} = n_0\sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\;\approx\; n_1\sqrt{2\Delta}\;}, \qquad \Delta \equiv \frac{n_1 - n_2}{n_1}$$

광섬유의 개구수다 — 5절의 정의 $n\sin\theta$ 그대로이고, 코어와 클래딩의 굴절률만으로 정해진다. $n_1 = 1.48$, $\Delta = 0.01$(통신용 섬유의 전형)이면 $\mathrm{NA} \approx 0.21$, 받아들이는 반각은 $12°$다. 굴절률 차 1 %가 이 좁은 원뿔을 정한다.

그림 3.4-12. 위: 계단형 광섬유의 코어 안에서 서로 다른 각으로 출발한 두 자오 광선이 전반사를 반복하며 지그재그로 나아간다. 각이 큰 광선의 경로가 더 길어 같은 거리를 가는 데 시간이 더 걸린다 — 모드 분산이다. 아래: 포물형 굴절률 분포를 가진 GRIN 매질에서 축의 한 점을 서로 다른 각으로 떠난 세 광선이 사인 곡선을 그리며 같은 주기로 축을 다시 지난다. 바깥을 도는 광선은 길이 길지만 굴절률이 낮은 곳을 지나 빠르므로 시간이 거의 같다. 1/4 피치 위치에서 모든 광선이 축에 나란해진다.직접 작도

모드 분산 — 지그재그의 대가

축에 나란한 광선과 임계각으로 지그재그하는 광선은 같은 길이 $L$의 섬유를 지나는 데 걸리는 시간이 다르다. 후자의 경로는 $L/\sin\theta_c = L\,n_1/n_2$이므로

$$\frac{\Delta t}{L} = \frac{n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right) \approx \frac{n_1\Delta}{c}$$

$\Delta = 0.01$이면 50 ns/km — 1 km를 지나면 한 점에서 출발한 펄스가 50 ns로 퍼진다. 펄스가 겹치지 않으려면 펄스 간격이 그보다 길어야 하므로, 이 섬유로는 1 km에 20 Mb/s 정도가 한계다. 이것이 모드 분산(모드 간 분산)이다. 여러 광선 — 파동의 언어로는 여러 모드 — 이 다른 속도로 가기 때문이다. 3.2.11의 군속도 분산(같은 모드 안에서 파장마다 속도가 다른 것)과는 다른 물건이고, 계단형 다중 모드 섬유에서는 이쪽이 훨씬 크다.

해결책이 둘 있다. 하나는 광선이 하나만 남도록 코어를 가늘게 하는 것(단일 모드), 다른 하나는 굴절률을 연속으로 바꿔 지그재그 광선의 시간을 맞춰 주는 것(GRIN)이다.

주의

광선의 수는 셀 수 없지만 모드의 수는 셀 수 있다. 코어 반지름 $a$가 파장과 비교될 만큼 작아지면 기하광학이 무너진다 — 광선 대신 도파 모드(2.8.11)를 세어야 하고, 그 수는 정규화 주파수

$$V = \frac{2\pi a}{\lambda}\,\mathrm{NA}$$

로 정해진다. $V < 2.405$이면 모드가 하나 — 1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)의 베셀 함수 $J_0$의 첫 영점이 이 숫자다. 통신용 단일 모드 섬유는 $a \approx 4$ µm, $\mathrm{NA} \approx 0.12$, $\lambda = 1550$ nm로 $V \approx 2$다. 모드가 많을 때 그 수는 대략 $V^2/2$이고, 광선 그림은 이 수가 클 때의 극한이다. 이 장의 광선이 말할 수 있는 것은 개구수와 모드 분산까지이고, 단일 모드의 물리 — 왜 지름 8 µm의 코어에서 빛이 지그재그하지 않고 하나의 가우스형 분포로 가는가 — 는 파동광학의 몫이다. 이 백과에서 광섬유는 6절의 광통신 소자(17부)로 이어진다.

GRIN — 굴절률이 연속으로 변하는 매질의 광선 방정식

지금까지 광선은 직선이고 경계에서만 꺾였다. 굴절률이 공간에서 연속으로 변하면 광선은 휜다 — 사막의 신기루, 대기 굴절, 그리고 코어의 굴절률이 중심에서 바깥으로 매끄럽게 줄어드는 GRIN (graded-index) 섬유. 휘는 규칙은 페르마 원리에서 나온다. 광로 길이 $\int n\,ds$를 정지시키는 경로를 3.1.8라그랑지안과 해밀토니안의 오일러–라그랑주 방정식으로 구하면

$$\boxed{\;\frac{d}{ds}\left(n\,\frac{d\mathbf r}{ds}\right) = \nabla n\;}$$

광선 방정식이다. 왼쪽의 $n\,d\mathbf r/ds$는 광선의 “운동량”이고, 오른쪽의 굴절률 기울기 (1.1.2기울기·발산·회전)가 그것을 바꾸는 “힘”이다 — 광선은 언제나 굴절률이 큰 쪽으로 휜다. $n$이 상수면 오른쪽이 0이라 직선이고, 경계에서 $n$이 불연속이면 이 식이 스넬 법칙으로 줄어든다.

축을 $z$, 축에서의 거리를 $y$로 두고 굴절률이 포물형으로 줄어드는 매질을 보자.

$$n(y) = n_0\left(1 - \tfrac12 g^2 y^2\right)$$

근축($ds \approx dz$, $n \approx n_0$)에서 광선 방정식의 $y$ 성분은 $n_0\,y'' = dn/dy = -n_0 g^2 y$, 즉

$$y'' + g^2 y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(z) = y_0\cos gz + \frac{\alpha_0}{g}\sin gz$$

조화진동자다(3.2.1). 축의 한 점($y_0 = 0$)을 각 $\alpha_0$로 떠난 광선은 진폭 $\alpha_0/g$의 사인 곡선을 그리며, 각에 무관하게 $z = \pi/g$마다 축을 다시 지난다. 서로 다른 각으로 떠난 광선이 같은 점에 다시 모이는 것 — 그것이 결상이다. 매질 자체가 렌즈다.

직관

왜 시간이 맞는가. 바깥을 크게 도는 광선은 길이 길다. 그러나 바깥은 굴절률이 낮아 빛이 빠르다. 포물형 분포는 이 둘이 정확히 상쇄되도록 고른 것이다 — 조화진동자의 주기가 진폭에 무관하다는 사실이 광선의 언어로 옮겨진 것이다(3.2.1의 등시성). 근축을 벗어나면 완전히 맞지는 않고, 최적 지수 분포 $n^2 = n_0^2[1 - 2\Delta(r/a)^{\alpha}]$의 $\alpha \approx 2(1 - \Delta)$ 근처에서 모드 분산이

$$\frac{\Delta t}{L} \approx \frac{n_1\Delta^2}{8c}$$

로 줄어든다. $\Delta = 0.01$이면 60 ps/km — 계단형의 50 ns/km보다 천 배 작다. $\Delta$가 제곱으로 들어온 것이 핵심이다. 지그재그의 1차 효과를 지우고 2차만 남긴 것이다. 데이터센터의 짧은 링크에 쓰는 다중 모드 섬유(OM3·OM4)가 전부 이 GRIN이다.

파라미터 연계. $g$는 굴절률이 얼마나 빨리 떨어지는가이고, 코어 반지름 $a$에서 굴절률이 $n_2$가 되는 조건 $g^2 a^2/2 = \Delta$로 $g = \sqrt{2\Delta}/a$다. 개구수는 계단형과 같은 $n_1\sqrt{2\Delta}$이고, 주기 $2\pi/g = 2\pi a/\sqrt{2\Delta}$는 코어 반지름 25 µm, $\Delta = 0.01$에서 약 1.1 mm다.

GRIN 렌즈 — 행렬 하나로

포물형 GRIN 매질을 길이 $z$만큼 잘라 낸 막대는 그 자체로 렌즈다. 위의 해를 7절의 꼴 $(n_0\alpha,\ y)$로 적으면

$$\mathcal A_{\mathrm{GRIN}}(z) = \begin{pmatrix} \cos gz & -n_0 g\sin gz \\ \dfrac{\sin gz}{n_0 g} & \cos gz \end{pmatrix}, \qquad \det = 1$$

$z$가 작으면 전달 행렬 $\mathcal T$와 같고($\cos \to 1$, $\sin gz/(n_0 g) \to z/n_0$), 길어지면 $-a_{12} = n_0 g\sin gz$의 굴절력이 자란다. 길이가 1/4 피치($gz = \pi/2$)이면

$$\mathcal A = \begin{pmatrix} 0 & -n_0 g \\ 1/(n_0 g) & 0 \end{pmatrix}$$

— 대각 성분이 0이다. 한쪽 끝면의 한 점에서 나온 빛($y_0 = 0$)은 반대 끝에서 높이 $y = \alpha_0/g$의 나란한 빛이 되고(시준), 나란히 들어온 빛은 반대 끝면의 한 점에 모인다(집속). 초점이 끝면 위에 있는 렌즈다. 광섬유 끝에 이 막대를 붙이면 섬유에서 나온 빛이 평행광이 되어 나오고, 두 개를 마주 보게 하면 섬유 대 섬유 커플러가 된다 — 3절의 구 렌즈와 같은 자리를 차지하되 원통이라 정렬과 접착이 쉽다. 1/2 피치($gz = \pi$)는 $\mathcal A = -I$, 상하가 뒤집힌 1:1 결상이다. 광 인터커넥트의 커플러, 내시경의 릴레이, 복사기의 등배 렌즈 어레이(SELFOC)가 전부 이 행렬로 설계된다.

의문

반도체는 어디에 있는가. 이 절의 광섬유는 유리이지만, 그 양 끝에 있는 것이 반도체다 — 빛을 넣는 레이저 다이오드와 LED(17.3), 빛을 받는 광다이오드(17.1). 결합 효율이 이 장의 양으로 정해진다. 7절의 에탕듀 보존 때문에, 코어보다 넓게 빛나는 램버시안 광원(LED)에서 계단형 섬유로 들어가는 빛의 비율은 대략 $\mathrm{NA}^2$ — $\mathrm{NA} = 0.2$면 **4 %**다. 나머지는 각이 커서 못 들어간다. 레이저 다이오드는 발광 영역이 1 µm급으로 작아 에탕듀가 작고, 대신 빔이 타원형으로 빨리 퍼지므로(수직 방향 발산각이 $30°$ 안팎) 구 렌즈나 GRIN 렌즈로 각을 줄여 넣는다. 그리고 칩 위의 실리콘 광도파로 (코어 실리콘 $n = 3.5$, 클래딩 $\mathrm{SiO_2}$ $n = 1.44$ — $\Delta$가 0.6이라 이 절의 근사가 전부 깨지는 극단)에 섬유의 빛을 옮기는 문제는 모드 크기를 맞추는 파동광학의 일이다(17부).

이 장에서 쓴 것들이 다시 나오는 자리를 적어 둔다.

• 리소그래피. 개구수와 분해능 $k_1\lambda/\mathrm{NA}$, 초점 심도 $k_2\lambda/\mathrm{NA}^2$, 액침, 레티클 쪽·웨이퍼 쪽 심도의 $M_T^2$ 관계(5절); 양쪽 텔레센트릭(4절); 광원 선폭과 색수차, 반사굴절 설계(6·8절); EUV의 전반사경 광학계(1절); 체르니케 수차와 왜곡 → 정렬 오차(8절 · 18부 · 19부).
• 계측과 검사. 텔레센트릭 계측 렌즈(4절); 대물렌즈의 개구수·심도와 자동 초점(5절); 적외선 투과 관찰의 겉보기 깊이(1절); 고체 액침 렌즈(8절 · 19.3).
• 광·전력 소자. LED 돔과 임계각, 광 추출(1·9절 · 17.3.5); 이미지 센서의 마이크로렌즈(2절 · 17.2.5); 레이저 다이오드의 시준과 섬유 결합, 에탕듀(3·7·9절 · 17부).
• 광섬유와 도파로. 개구수 $\sqrt{n_1^2 - n_2^2}$, 모드 분산, GRIN, $V$수와 베셀 영점(9절 · 2.8.11 · 1.5.8); GRIN 렌즈 행렬(7·9절).
• 앞으로. 3.5의 박막 간섭이 반사 방지막으로 렌즈면의 반사 손실을 지우고, 3.6의 회절이 이 장이 미룬 분해능과 $k_1$을 준다. 7절의 행렬은 가우스 빔의 ABCD 법칙으로, 8절의 파면 수차는 3.6.10의 MTF·PSF로 이어진다.

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 근축에서 결상은 $1/s_o + 1/s_i = 1/f$ 하나이고, 거리를 주평면에서 재면 렌즈가 몇 장이든 이 식이 산다. 그리고 빛다발의 굵기를 각으로 잰 개구수가 분해능 ($\propto 1/\mathrm{NA}$)과 초점 심도($\propto 1/\mathrm{NA}^2$)와 수차($\propto \mathrm{NA}^3$, $\mathrm{NA}^4$)를 한꺼번에 쥐고 있다. 근축을 벗어나는 순간 구면은 점을 점으로 옮기지 못하고, 그 벗어남을 3차까지 정리한 것이 다섯 수차이며, 파장을 0으로 보낸 이 극한이 끝나는 곳 — 에어리 원반과 단일 모드 — 에서 다음 장이 시작된다.

이 장이 쓰이는 곳

• 3.6 회절과 결상
• 8.2 미세조직 관찰