5부 양자역학 5.2

파동함수와 슈뢰딩거 방정식

5.1에서 흑체복사·광전효과·콤프턴 산란·전자 회절이 같은 말을 되풀이했다 — 빛은 입자처럼, 전자는 파동처럼 행동하고, 둘을 잇는 것은 $E=h\nu$ 와 $p=h/\lambda$ 두 식이다. 그러나 5.1의 이론들은 전부 땜질이었다. 보어 모형은 왜 어떤 궤도만 허용되는지 말하지 못했고, 드브로이 파동은 “무엇이 진동하는가”에 답하지 못했다. 이 장은 그 빈자리에 방정식 하나를 놓는다. 슈뢰딩거 방정식이다.

고전역학의 문제는 이렇게 생겼다. 질량 $m$ 인 입자가 힘 $F(x,t)$ 를 받는다. 초기 위치와 속도를 주면 뉴턴의 제2법칙 $m\,d^2x/dt^2=-\partial V/\partial x$ 가 그 뒤의 궤적 $x(t)$ 를 결정하고, 궤적을 알면 속도·운동량·에너지가 전부 따라 나온다. 양자역학의 문제는 겉보기에 비슷하지만 답의 성격이 다르다. 찾는 것은 궤적이 아니라 파동함수 $\Psi(x,t)$ 이고, 그것을 정하는 방정식이

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi

다. 초기 파동함수 $\Psi(x,0)$ 를 주면 이 방정식이 그 뒤의 $\Psi(x,t)$ 를 결정한다 — 여기까지는 뉴턴 역학과 똑같이 결정론적이다. 다른 점은 $\Psi$ 가 입자에 대해 무엇을 말해 주는가에 있다. $\Psi$ 는 위치를 주지 않는다. 위치를 재면 어디서 발견될지의 확률을 준다(2절). 그리고 그 확률은 $\Psi$ 자체가 아니라 $|\Psi|^{2}$ 이다 — $\Psi$ 는 복소수라서 그 자체로는 측정되지 않는다.

이 장은 Griffiths 1장과 2.1절, Sakurai 2.1–2.4절을 따라 이 방정식 하나를 일곱 번 뜯어본다.

방정식이 왜 하필 이 꼴인가 — 1계 시간 미분, 2계 공간 미분, 그리고 앞에 붙은 $i$ .
$|\Psi|^{2}$ 가 확률이라는 보른 해석과, 그때 필요한 확률의 언어.
확률의 합이 1이라는 규격화가 시간이 지나도 유지되는 이유 — 확률 흐름과 연속 방정식.
운동량이 미분 연산자 $-i\hbar\,\partial/\partial x$ 가 되는 사정과 기댓값·에렌페스트 정리.
위치와 운동량을 동시에 좁힐 수 없다는 불확정성 원리 — 파동이면 피할 수 없는 성질.
퍼텐셜이 시간에 무관할 때의 변수분리 — 정상 상태와 시간 무관 슈뢰딩거 방정식.
정상 상태들의 중첩으로 일반해를 짓고, 시간이 무엇을 바꾸고 무엇을 안 바꾸는지.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

밴드와 유효질량 — 결정 안의 전자는 주기 퍼텐셜 속의 슈뢰딩거 방정식이 답이고(7.7 블로흐 정리), 그 결과를 요약한 것이 유효질량 $m^{*}$ 다. 소자 계산에서는 $m\to m^{*}$ , $V\to E_c(x)$ 로 바꾼 포락 함수 방정식이 이 장의 식과 같은 꼴로 다시 쓰인다.
양자 구속 — MOS 반전층의 부밴드(13부), 나노시트·FinFET 채널의 구속 에너지(14부), 양자우물 광검출기(17.6)는 전부 6절의 시간 무관 방정식의 고유값 문제다.
터널링 — 3절의 확률 흐름이 곧 터널링 전류의 정의이고(5.3.8), 게이트 누설과 플래시 메모리의 터널 산화막(15부)이 그 응용이다.
슈뢰딩거–푸아송 — 2절의 $|\psi|^{2}$ 가 전자 밀도로, 그것이 다시 푸아송 방정식의 소스로 들어가는 자기일관 계산(20.7.3)이 이 장의 확률 해석 위에 서 있다.
광학 천이 — 7절의 “에너지 차만 관측된다”가 흡수·발광 주파수 $\hbar\omega=E_2-E_1$ 의 근원이다(5.9.3, 17부).

표기는 Griffiths를 기준으로 한다. 시간까지 포함한 파동함수는 대문자 $\Psi(x,t)$ , 6절에서 갈라져 나오는 공간 부분은 소문자 $\psi(x)$ 다. 이 장에 나오는 글자들 가운데 다른 부에서 다른 뜻으로 쓰이는 것이 많아, 처음에 한 번 표로 못박아 둔다.

기호	읽는 법	이 장에서 무엇을 가리키는가	단위
$\Psi(x,t)$	프사이(대문자)	시간 의존 파동함수. 복소수	$\mathrm{m}^{-1/2}$ (1차원)
$\psi(x)$	프사이(소문자)	$\Psi$ 의 공간 부분. 시간 무관 방정식의 해	$\mathrm{m}^{-1/2}$
$\hbar$	에이치바	$h/2\pi=1.055\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}=6.582\times10^{-16}\ \mathrm{eV\cdot s}$	$\mathrm{J\cdot s}$
$m$	—	입자의 질량. 결정 안에서는 유효질량 $m^{*}$ 로 바뀐다	$\mathrm{kg}$
$V(x)$	—	퍼텐셜 에너지. 전압이 아니다. 전자면 $V=-q\phi$	$\mathrm{J}$ 또는 $\mathrm{eV}$
$E$	—	에너지(6절부터는 정상 상태의 에너지 고유값). 전기장이 아니다	$\mathrm{J}$ 또는 $\mathrm{eV}$
$p,\ \hat p$	—	운동량과 운동량 연산자 $-i\hbar\,\partial/\partial x$ . 모자가 연산자 표시	$\mathrm{kg\cdot m/s}$
$k$	—	파수 $2\pi/\lambda$ . 볼츠만 상수는 $k_B$ 로 쓴다	$\mathrm{m}^{-1}$
$\omega$	오메가	각진동수 $2\pi\nu=E/\hbar$	$\mathrm{s}^{-1}$
$\rho(x,t)$	로	확률 밀도 $\lvert\Psi\rvert^{2}$ . 전하 밀도가 아니다	$\mathrm{m}^{-1}$
$J(x,t)$	—	확률 흐름 밀도(3절). 전류 밀도가 아니다	$\mathrm{s}^{-1}$ (1차원)
$\langle Q\rangle$	큐의 기댓값	관측량 $Q$ 를 같은 상태에서 여러 번 잰 값의 평균	$Q$ 의 단위
$\sigma_Q$	시그마	$Q$ 측정값의 표준편차. 전도도·산란 단면적이 아니다	$Q$ 의 단위
$\hat H$	해밀토니안	에너지 연산자 $\hat p^{2}/2m+V$ (6절)	$\mathrm{J}$
$\psi_n,\ E_n$	—	$n$ 번째 정상 상태와 그 에너지 (6·7절)	—
$c_n$	—	초기 상태를 정상 상태로 전개한 계수. $\lvert c_n\rvert^{2}$ 이 확률 (7절)	무차원

파동함수의 단위가 $\mathrm{m}^{-1/2}$ 인 것은 3절의 규격화 $\int|\Psi|^{2}dx=1$ 에서 나온다 — $|\Psi|^{2}$ 가 길이당 확률이므로 $\Psi$ 는 길이의 $-1/2$ 제곱이다. 3차원이면 $\mathrm{m}^{-3/2}$ .

슈뢰딩거 방정식

방정식은 유도되지 않는다 — 그러나 이유는 있다

슈뢰딩거 방정식은 뉴턴의 법칙처럼 공리다. 더 근본적인 것에서 유도되지 않고, 옳다는 근거는 그 결과가 실험과 맞는다는 사실뿐이다. 그래도 왜 하필 이 꼴인지는 5.1의 재료로 짐작할 수 있고, 그 짐작이 이 방정식을 외우지 않고 읽는 방법이 된다.

드브로이의 물질파(5.1.5)를 가장 단순한 파동으로 적으면 평면파다:

\Psi(x,t)=A\,e^{i(kx-\omega t)}, \qquad p=\hbar k,\quad E=\hbar\omega

$p=\hbar k$ 는 $p=h/\lambda$ 를 $k=2\pi/\lambda$ 로 다시 쓴 것이고, $E=\hbar\omega$ 는 $E=h\nu$ 를 $\omega=2\pi\nu$ 로 다시 쓴 것이다. 이 파동을 시간으로 한 번 미분하면 $-i\omega$ 가, 공간으로 한 번 미분하면 $ik$ 가 앞으로 나온다:

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\hbar\omega\,\Psi=E\,\Psi, \qquad -i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial x}=\hbar k\,\Psi=p\,\Psi

즉 평면파에 대해서는 $i\hbar\,\partial/\partial t$ 가 에너지를, $-i\hbar\,\partial/\partial x$ 가 운동량을 읽어 내는 장치다. 두 번 미분하면 $p^{2}$ 이 나온다: $-\hbar^{2}\,\partial^{2}\Psi/\partial x^{2}=p^{2}\Psi$ . 이제 자유 입자의 에너지 관계 $E=p^{2}/2m$ 을 이 “읽기 장치”로 번역하면

i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}

이고, 퍼텐셜 에너지 $V(x)$ 가 있으면 $E=p^{2}/2m+V$ 에 따라 $V\Psi$ 를 더한다. 이것이 슈뢰딩거 방정식이다. 물론 이것은 유도가 아니다 — 평면파에서 맞는 대응을 모든 $\Psi$ 에 대해 성립한다고 요구한 것이다. 그 요구가 옳다는 것은 5.3에서 우물·장벽 문제를 풀어 실험과 맞춰 볼 때 확인된다.

직관

수식적 직관 — 세 가지 특징이 각각 한 가지 사실을 진다.

시간에 대해 1계다. 그래서 $\Psi(x,0)$ 하나만 주면 그 뒤가 전부 정해진다. 뉴턴 역학이 2계라서 위치와 속도 둘을 요구했던 것과 다르다 — 양자역학에서는 “초기 속도”라는 별도 정보가 없다. 속도는 파동함수의 모양(파장) 안에 이미 들어 있다(4절).
공간에 대해 2계다. $E=p^{2}/2m$ 의 제곱이 그대로 미분의 차수가 됐다. 상대론적 에너지 $E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ 를 같은 방법으로 번역하면 시간에 대해서도 2계인 클라인–고든 방정식이 나온다 — 슈뢰딩거 방정식은 비상대론 근사다.
선형이다. $\Psi_1,\Psi_2$ 가 해면 $a\Psi_1+b\Psi_2$ 도 해다. 이 중첩 원리가 7절의 일반해, 5.3의 파속, 5.4의 힐베르트 공간 전체를 떠받친다. 미분방정식으로서는 1.7의 선형 PDE들과 같은 종류이고, 그래서 1.6·1.7의 도구(변수분리·고유함수 전개)가 그대로 먹힌다.

앞에 붙은 허수 단위 — 확산 방정식과 파동 방정식 사이

$V=0$ 으로 두고 식의 꼴만 보면 1.7의 열·확산 방정식(1.7.6열·확산 방정식) $\partial u/\partial t=D\,\partial^{2}u/\partial x^{2}$ 와 똑같다. 다른 점은 확산 계수가 허수라는 것뿐이다:

\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\underbrace{\frac{i\hbar}{2m}}_{D}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}

이 허수 계수 하나가 물리를 완전히 바꾼다. 한 모드 $\sin(\pi x/L)$ 을 넣어 보면, 확산 방정식에서는 $e^{-t/\tau}$ 로 사그라들고, 슈뢰딩거 방정식에서는 $e^{-iEt/\hbar}$ 로 위상이 돈다. 1.9.1에서 본 대로 $e^{i\theta}$ 를 곱하는 것은 복소평면의 회전이라 크기를 바꾸지 않는다 (1.9.1복소수와 극형식·거듭제곱근). 그래서 $|\Psi|^{2}$ 는 시간이 지나도 그대로이고 — 확률이 새지 않는다(3절). 확산은 정보를 잃는 과정이고 슈뢰딩거 전개는 잃지 않는 과정인데, 그 차이가 계수의 $i$ 하나다.

그림 5.2-1. 같은 꼴의 방정식에서 계수가 실수냐 허수냐가 감쇠와 회전을 가른다. 왼쪽은 확산 방정식의 한 모드 sin(πx/L)이 t = 0, 0.7τ, 1.4τ에서 진폭이 e^{−t/τ}로 줄어드는 모습. 오른쪽은 슈뢰딩거 방정식의 같은 모드의 실수부가 위상 ωt = 0, π/3, 2π/3에서 돌아 부호까지 뒤집히지만, 점선의 |Ψ|² = sin²(πx/L)은 세 시각에 똑같다. 실수 계수는 잃고 허수 계수는 보존한다.직접 작도

파동 방정식(1.7.5)과도 비교해 둘 만하다. 줄의 파동 방정식 $\partial^{2}u/\partial t^{2}=c^{2}\,\partial^{2}u/\partial x^{2}$ 은 시간에 대해 2계이고 실수 해를 가진다. 슈뢰딩거 방정식은 시간에 대해 1계인데도 파동처럼 진동하는 해를 가지는데, 그것이 가능한 이유가 바로 $i$ 다 — 실수 계수의 1계 방정식은 지수적으로 자라거나 줄어드는 해밖에 못 가진다. 그러니 슈뢰딩거 방정식은 꼴은 확산 방정식이고 행동은 파동 방정식인, 둘 사이의 물건이다. 그리고 그 대가로 해가 반드시 복소수다. $\Psi$ 가 실수라고 가정하면 좌변이 순허수, 우변이 실수가 되어 $\Psi=0$ 밖에 없다. 전자기파의 복소 표현(2.6.10)이 계산의 편의였다면, 여기서는 복소수가 본질이다.

주의

같은 글자, 다른 뜻. 이 장의 $E$ 는 에너지다. 2부에서 전기장이던 $\mathbf E$ 와 글자가 같다. 이 장의 $k$ 는 파수이고 볼츠만 상수는 $k_B$ 로 구분한다. $V$ 는 퍼텐셜 에너지이지 전압이 아니다 — 반도체 문헌은 전압에 $V$ 를 쓰므로, 밴드 다이어그램에서 이 장의 $V(x)$ 에 해당하는 것은 전도대 바닥 $E_c(x)$ 이고 전자에 대해 $V=-q\phi$ ( $\phi$ 는 정전 퍼텐셜)다. 부호가 뒤집힌다는 데 주의한다: 전위가 높은 곳이 전자에게는 퍼텐셜 에너지가 낮은 곳이다.

$h$ 와 $\hbar$ 도 자주 섞인다. $E=h\nu=\hbar\omega$ 처럼 진동수 $\nu$ 에는 $h$ , 각진동수 $\omega$ 에는 $\hbar$ 가 붙는다. 이 장은 $\hbar$ 만 쓴다.

파동함수는 무엇인가, 무엇이 아닌가

전자기파는 공간의 각 점에서 전기장이라는 측정 가능한 실수가 진동한다. 파동함수는 그렇지 않다. $\Psi(x,t)$ 는 복소수이고 그 자체는 어떤 계기로도 읽히지 않는다. 읽히는 것은 $|\Psi|^{2}$ 뿐이고 (2절), 그것도 한 번의 측정으로는 안 되고 같은 상태를 여러 번 준비해 통계를 내야 한다. 그러니 $\Psi$ 는 “전자가 퍼져 있는 모습”이 아니다. 전자를 재면 언제나 한 점에서 통째로 발견된다. $\Psi$ 는 어디서 발견될지에 대한 앎을 담은 수학적 대상이고, 그 앎이 파동처럼 간섭한다는 것이 5.1.5의 전자 회절이 말한 전부다.

3차원이면 $\partial^{2}/\partial x^{2}$ 이 라플라시안 $\nabla^{2}$ 이 되고 $V$ 는 $V(\mathbf r)$ 이 된다(5.5). 시간 이동의 생성자로서 해밀토니안을 보는 Sakurai(§2.1)의 관점 — 무한소 시간 이동 $U(dt)=1-i\hat H\,dt/\hbar$ 를 쌓아 $i\hbar\,\partial U/\partial t=\hat HU$ 를 얻는 방식 — 은 7절 끝에서 정상 상태의 전개와 함께 적는다. 거기서는 방정식이 “요구”가 아니라 시간 이동이 유니터리여야 한다는 조건에서 나오는데, 그 조건이 3절의 확률 보존과 같은 말이다.

통계적 해석과 확률

보른 해석 — 절댓값의 제곱이 확률 밀도다

파동함수가 입자에 대해 무엇을 말하는가에 대한 답이 보른의 통계적 해석이다(Griffiths §1.2):

\int_{a}^{b}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx =\text{시각 } t \text{ 에 입자가 } a \text{ 와 } b \text{ 사이에서 발견될 확률}

$|\Psi|^{2}=\Psi^{*}\Psi$ 는 실수이고 음이 아니므로 확률의 자격이 있다. $|\Psi(x,t)|^{2}$ 자체는 확률 밀도 — 길이당 확률 — 이고, 이 장은 그것을 $\rho(x,t)$ 로도 쓴다. 확률은 언제나 밀도를 구간에 걸쳐 적분한 것이다. “정확히 $x$ 에서 발견될 확률”은 0이다 — 연속 변수에서는 한 점의 확률이 언제나 0이고, 뜻이 있는 것은 $\rho(x)\,dx$ 뿐이다.

그림으로 말하면 $|\Psi|^{2}$ 곡선 아래의 넓이가 확률이다. 곡선이 높은 곳에서 입자가 발견되기 쉽고, 낮은 곳에서는 어렵다. 그런데 이 문장이 정확히 무슨 뜻인가? 한 개의 입자를 한 번 재면 어느 한 점에서 발견될 뿐, 곡선 모양 같은 것은 보이지 않는다. 곡선이 드러나려면 똑같은 상태 $\Psi$ 로 준비한 입자를 아주 많이 만들어 하나씩 재고 히스토그램을 그려야 한다. 이 “똑같이 준비된 계의 모음”을 앙상블이라 하고, 양자역학의 확률은 전부 앙상블에 대한 진술이다.

측정 전에 입자는 어디 있었나

이 해석은 비결정성을 남긴다. $\Psi$ 를 완전히 알아도 위치 측정의 결과는 정해지지 않는다. 그러면 측정 직전에 입자는 어디 있었는가? Griffiths(§1.2)는 세 입장을 나란히 놓는다.

실재론 — 어딘가 한 점 $C$ 에 있었고, 양자역학이 그것을 말하지 못하는 것은 이론이 불완전해서다. 파동함수 밖에 추가 정보(“숨은 변수”)가 있다는 입장. 아인슈타인이 여기 있었다.
정통(코펜하겐) — 어디에도 없었다. 측정이라는 행위가 입자로 하여금 한 점을 “고르게” 만든다. 보어와 그 학파의 입장.
불가지론 — 측정 전의 위치를 묻는 것 자체가 검증 불가능하므로 답하지 않는다.

1964년 벨은 이것이 철학이 아니라 실험으로 갈리는 문제임을 보였다. 숨은 변수가 있다면 만족해야 할 부등식(벨 부등식)을 세웠고, 이후의 실험은 부등식을 깼다 — 실재론의 국소적 형태는 자연과 맞지 않는다. 지금의 표준 답은 정통 입장이다: 측정 전에 입자는 정해진 위치를 가지지 않았고, 측정이 그것을 만든다. 벨의 논증 자체는 스핀과 얽힘이 필요해 5.6 이후에 다룬다.

정통 입장에서 측정은 파동함수를 붕괴시킨다. 위치를 재서 $C$ 를 얻었다면, 곧바로 다시 재면 확실히 $C$ 를 다시 얻어야 한다(같은 실험을 반복하면 같은 값이 나온다는 것은 실험의 재현성이지 양자역학의 가정이 아니다). 그러려면 두 번째 측정 직전의 파동함수는 $C$ 에 뾰족하게 몰린 함수여야 한다 — 1.8.1의 델타 함수(1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념)에 가까운 모양이다. 즉 첫 측정이 $\Psi$ 를 그 모양으로 바꿔 놓았다. 그 뒤로는 슈뢰딩거 방정식이 다시 넘겨받아 뾰족한 함수를 도로 퍼뜨린다 (5.3.4 — 좁은 파속은 빨리 퍼진다).

확률의 언어

$|\Psi|^{2}$ 를 확률 밀도로 다루려면 확률의 기본 어휘가 필요하다(Griffiths §1.3). 1.11이 아직 비어 있으므로 이 절에서 필요한 만큼만 채운다.

이산 변수. 방 안에 사람 14명이 있고 나이 $j$ 인 사람이 $N(j)$ 명이라 하자. 아무나 한 명 골랐을 때 나이가 $j$ 일 확률은 $P(j)=N(j)/N$ 이고, 어느 나이든 하나는 걸리므로 $\sum_j P(j)=1$ . 평균 나이는

\langle j\rangle=\sum_{j}j\,P(j)

이고, 나이의 함수 $f(j)$ 의 평균은 $\langle f(j)\rangle=\sum_j f(j)P(j)$ 다. 꺾쇠 $\langle\ \rangle$ 가 양자역학에서 기댓값이라 부르는 이 평균의 표기다. 세 가지를 구분한다.

최빈값 — $P(j)$ 가 가장 큰 $j$ . 한 명을 골랐을 때 가장 나오기 쉬운 값.
중앙값 — 그보다 큰 사람과 작은 사람이 같은 수인 $j$ .
평균 $\langle j\rangle$ — 모든 값을 확률로 가중해 더한 것. 실제로 그 값을 가진 사람이 아무도 없어도 된다. 5명의 나이가 1, 1, 1, 100, 100이면 평균은 40.6이다.

퍼짐의 척도는 분산이다. 각 값이 평균에서 얼마나 벗어났는가 $\Delta j=j-\langle j\rangle$ 의 평균은 항상 0이라 쓸모가 없고(양·음이 지워진다), 그 제곱의 평균을 쓴다:

\sigma^{2}\equiv\langle(\Delta j)^{2}\rangle=\langle j^{2}\rangle-\langle j\rangle^{2}

두 번째 등호는 $\langle(j-\langle j\rangle)^{2}\rangle$ 을 전개하면 나온다 — 교차항 $-2\langle j\rangle\langle j\rangle$ 과 상수항 $\langle j\rangle^{2}$ 이 합쳐진다. $\sigma$ 가 표준편차이고, 이 장의 $\sigma_x,\sigma_p$ 가 전부 이것이다. 부산물로 $\langle j^{2}\rangle\ge\langle j\rangle^{2}$ 이 언제나 성립한다 — 제곱의 평균은 평균의 제곱보다 작을 수 없다.

연속 변수. 사람 수 대신 확률 밀도 $\rho(x)$ 를 쓴다. $x$ 와 $x+dx$ 사이에 있을 확률이 $\rho(x)\,dx$ 이고, 합은 적분이 된다:

\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x)\,dx=1, \qquad \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}x\,\rho(x)\,dx, \qquad \langle f(x)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\rho(x)\,dx

\sigma^{2}=\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}

양자역학에서는 $\rho=|\Psi|^{2}$ 이므로 위치의 기댓값은 $\langle x\rangle=\int x|\Psi|^{2}dx$ 다. 그리고 앞서의 경고가 그대로 적용된다 — $\langle x\rangle$ 는 가장 발견되기 쉬운 위치가 아니고, 같은 상태의 입자를 여러 개 재서 낸 평균이다. 한 입자를 여러 번 재서 낸 평균도 아니다. 첫 측정이 $\Psi$ 를 붕괴시켜 그 뒤의 측정은 같은 값만 되풀이하기 때문이다.

그림 5.2-2. 확률 밀도 ρ(x) = x²e^{−x}/2에서 최빈값(2)·중앙값(2.67)·평균 ⟨x⟩(3)은 서로 다른 점이다. 오른쪽으로 꼬리가 길면 평균이 봉우리보다 오른쪽으로 끌려간다. 칠한 넓이가 a와 b 사이에서 발견될 확률이고, 곡선 아래 전체 넓이는 1이다. 양자역학의 ⟨x⟩는 이 그림의 평균이지 봉우리가 아니다.직접 작도

직관

그래프 직관 — Griffiths의 떨어지는 돌. 높이 $h$ 에서 돌을 떨어뜨리고 아무 때나 사진을 찍으면, 돌은 어디쯤 찍히기 쉬운가. 낙하 거리 $x$ 에서의 속도는 $\sqrt{2gx}$ 라 빠를수록 그 근방을 빨리 지나가고, 사진에 찍힐 확률 밀도는 속도에 반비례한다: $\rho(x)=1/(2\sqrt{hx})$ . 출발점 $x=0$ 에서 발산하고(느려서 오래 머문다) 바닥에서 가장 작다. 그런데 $\langle x\rangle=h/3$ 이다 — 밀도가 가장 높은 곳( $x\to0$ )과 평균( $h/3$ )이 다르다. 곡선의 모양(발산하는 봉우리 + 긴 꼬리)이 평균을 봉우리에서 끌어낸 것이다. 양자역학의 $|\Psi|^{2}$ 도 마찬가지로, 5.3의 조화진동자에서 고전 입자가 오래 머무는 양 끝(반환점)에 확률이 몰리는 그림이 이 돌의 확률과 같은 논리다.

반도체에서 확률 밀도는 전자 밀도다

이 절의 확률 해석이 소자 계산에서 어떻게 쓰이는지 한 줄만 적어 둔다. 전자 하나의 확률 밀도 $|\psi(x)|^{2}$ 에 전하 $-q$ 를 곱하면 그 전자의 평균 전하 밀도다. 반전층이나 양자우물처럼 전자가 여럿 있으면, 채워진 상태들의 $|\psi_i|^{2}$ 을 점유수로 가중해 더한 것이 전자 밀도 $n(x)$ 가 되고, 그것이 푸아송 방정식의 소스로 들어가 퍼텐셜을 바꾸고, 바뀐 퍼텐셜이 다시 슈뢰딩거 방정식을 바꾼다. 이 되먹임을 수렴할 때까지 돌리는 것이 슈뢰딩거–푸아송 자기일관 계산(20.7.3)이다. 확률 해석은 이렇게 “전자가 실제로 어디에 얼마나 있는가”라는 공학의 질문에 답하는 도구가 된다 — 다만 그 답이 앙상블 평균이라는 사실은 변하지 않는다.

규격화와 확률 흐름

규격화 — 어딘가에는 있다

입자가 어딘가에는 있으므로 전 구간의 확률은 1이어야 한다:

\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx=1

이 조건이 없으면 보른 해석은 뜻이 없다. 그런데 슈뢰딩거 방정식은 이 조건을 스스로 강제하지 않는다 — 방정식이 선형이라 $\Psi$ 가 해면 $A\Psi$ 도 해이고, $A$ 는 아무 복소 상수여도 된다. 이 자유를 써서 적분이 1이 되도록 $|A|$ 를 고르는 것이 규격화다. $A$ 의 위상은 정해지지 않는데, $|\Psi|^{2}$ 에 영향이 없으므로 물리적으로 아무 뜻이 없다 — 전체 위상은 관측되지 않는다. 7절에서 이 사실이 “에너지의 절대값이 아니라 차만 관측된다”로 다시 나온다.

규격화가 안 되는 해도 있다. $\int|\Psi|^{2}dx$ 가 무한대이거나 0인 경우다. 0이면 $\Psi=0$ , 곧 입자가 없다. 무한대인 해는 방정식을 만족하더라도 입자를 나타내지 않는다 — 물리적으로 허용되는 파동함수는 제곱 적분 가능해야 한다. 그러려면 $|x|\to\infty$ 에서 $\Psi\to0$ 이어야 하고, 적분이 수렴하려면 $1/\sqrt{|x|}$ 보다 빨리 사라져야 한다. 1절의 평면파 $Ae^{i(kx-\omega t)}$ 는 $|\Psi|^{2}=|A|^{2}$ 가 온 공간에 고르게 퍼져 있어 적분이 무한대다 — 그러니 평면파는 슈뢰딩거 방정식의 해이지만 한 입자의 상태는 아니다. 자유 입자의 물리적 상태는 평면파들을 겹친 파속이어야 하고, 이것이 5.3.4의 주제다. 다만 평면파는 규격화된 상태의 극한이자 계산의 기본 단위로서 끝까지 쓰인다(5.4.4의 연속 스펙트럼).

규격화는 시간이 지나도 유지되는가

$t=0$ 에서 규격화해 두었다고 하자. 슈뢰딩거 방정식이 $\Psi$ 를 바꾸는데, 적분은 1로 남아 있는가? 남아 있지 않다면 매 순간 다시 규격화해야 하고 그러면 $\Psi(x,t)$ 는 더 이상 방정식의 해가 아니게 되어 이론 전체가 무너진다. 다행히 남아 있고, 그 증명이 이 절의 핵심이다(Griffiths §1.4).

\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^{2}dx =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx

적분 구간이 고정돼 있으므로 시간 미분을 안으로 넣을 수 있다(그래서 $d/dt$ 가 $\partial/\partial t$ 로 바뀐다). 곱의 미분으로

\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} =\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^{*}\Psi) =\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}\Psi

이고, 슈뢰딩거 방정식을 $\partial\Psi/\partial t$ 에 대해 풀어 넣는다:

\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{i}{\hbar}V\Psi, \qquad \frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^{*}

두 번째 식은 첫 식의 켤레인데, 여기서 $V$ 가 실수라는 사실을 썼다 — 켤레를 취해도 $V$ 가 그대로다. 두 식을 대입하면 $V$ 항은 $-\frac{i}{\hbar}V|\Psi|^{2}+\frac{i}{\hbar}V|\Psi|^{2}=0$ 으로 지워지고, 남는 것은

\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2} =\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\Psi\right) =\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)\right]

마지막 등호는 대괄호 안을 $x$ 로 미분해 보면 확인된다 — 교차항 $\partial\Psi^{*}/\partial x\cdot \partial\Psi/\partial x$ 가 두 번 나와 서로 지워진다. 우변이 완전 미분이라는 것이 요점이다. 적분하면 양 끝의 값만 남는데,

\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^{2}dx =\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)\Bigg|_{-\infty}^{\infty}=0

규격화 가능한 $\Psi$ 는 $|x|\to\infty$ 에서 0으로 가므로 양 끝의 값이 0이다. 따라서 적분은 시간에 무관하다 — 한 번 규격화하면 영원히 규격화돼 있다.

직관

수식적 직관 — 두 곳에서 $i$ 가 일했다. 첫째, $V$ 항이 지워진 것은 $V$ 가 실수여서다. $V$ 에 허수부를 주면 $\partial|\Psi|^{2}/\partial t$ 에 $\frac{2}{\hbar}\operatorname{Im}V\,|\Psi|^{2}$ 항이 남아 확률이 지수적으로 새거나 불어난다. 이것은 결함이 아니라 도구로 쓰인다 — 핵물리와 반도체 광학에서 흡수(입자가 다른 채널로 사라지는 과정)를 흉내내는 “광학 퍼텐셜”이 바로 허수부를 가진 $V$ 다. 둘째, 운동 에너지 항에서 $\Psi^{*}\Psi''-\Psi''^{*}\Psi$ 꼴의 반대칭 조합이 나온 것은 슈뢰딩거 방정식 앞의 $i$ 와 그 켤레의 $-i$ 때문이다. 이 조합이 완전 미분이 되어 적분이 경계에서만 결정된다. 6절에서 이것을 ” $\hat H$ 가 에르미트”라는 한 마디로 다시 말한다 — 확률 보존과 에르미트성은 같은 사실의 두 표현이다(1.6.1자체 수반 형식과 에르미트 연산자).

확률 흐름 — 연속 방정식

위의 계산에서 완전 미분 안의 양에 이름을 붙인다:

J(x,t)\equiv\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}-\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right) =\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right)

(Griffiths 연습문제 1.14.) 부호 순서가 위와 뒤집혀 있는 것은 $J$ 를 ” $+x$ 방향으로 흐르는 양”으로 정의하기 위해서다. 두 번째 표현은 괄호 안이 $z-z^{*}=2i\operatorname{Im}z$ 꼴이라는 데서 나온다. 이 $J$ 로 앞의 결과를 다시 쓰면

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial J}{\partial x}=0, \qquad \rho=|\Psi|^{2}

이다. 이것은 2.7.1의 전하 보존 $\partial\rho_q/\partial t+\nabla\cdot\mathbf J_q=0$ 이나 유체의 질량 보존과 같은 꼴의 연속 방정식이다. 어떤 양이 국소적으로 보존된다는 말은 언제나 이 꼴로 적힌다 — 어느 구간 안의 양이 변하려면 반드시 경계를 통해 흘러 들어오거나 나가야 한다. 구간 $[a,b]$ 에 대해 적분하면

\frac{d}{dt}\int_{a}^{b}|\Psi|^{2}dx=J(a,t)-J(b,t)

— 구간 안에서 발견될 확률의 변화율은 $a$ 로 들어온 흐름에서 $b$ 로 나간 흐름을 뺀 것이다. $J$ 가 확률 흐름 밀도(확률 전류)이고, 1차원에서 단위는 $\mathrm{s}^{-1}$ — 단위 시간에 그 점을 지나가는 확률이다.

그림 5.2-3. 구간 [a, b] 안의 확률은 양끝의 흐름으로만 바뀐다. 확률 밀도 곡선 아래의 칠한 넓이가 ∫ρ dx이고, a로 들어오는 흐름 J(a,t)와 b로 나가는 흐름 J(b,t)의 차가 그 넓이의 변화율이다. 전하 보존의 연속 방정식과 같은 꼴이며, 구간을 온 공간으로 넓히면 양끝의 J가 0이라 전체 확률이 보존된다.직접 작도

평면파에서 $J$ 를 계산해 보면 뜻이 분명해진다. $\Psi=Ae^{i(kx-\omega t)}$ 를 넣으면 $\Psi^{*}\partial\Psi/\partial x=ik|A|^{2}$ 이므로

J=\frac{\hbar k}{m}|A|^{2}=v\,\rho, \qquad v=\frac{p}{m}=\frac{\hbar k}{m}

흐름 = 밀도 × 속도 — 고전 유체와 같은 관계다. 평면파는 $\rho$ 가 균일하고 시간에 무관한데도 $J\neq0$ 이다. 즉 “확률 밀도가 정지해 있다”와 “흐름이 없다”는 다른 말이다(6절의 정상 상태에서 다시 본다). 반대로 $\Psi$ 가 실함수면 $\Psi^{*}\partial\Psi/\partial x$ 가 실수라 $J=0$ 이다. 정상파 $\sin kx$ 는 $+k$ 와 $-k$ 의 평면파가 반반 겹친 것이라 흐름이 상쇄된다.

직관

물리적 직관 — 위상 기울기가 흐름이다. $\Psi=\sqrt{\rho}\,e^{iS/\hbar}$ 로 크기와 위상을 갈라 쓰면(Sakurai §2.4) $J=\rho\,\frac{1}{m}\frac{\partial S}{\partial x}$ 가 된다. 흐름을 만드는 것은 크기 $\sqrt\rho$ 가 아니라 위상 $S$ 의 공간 기울기이고, $\partial S/\partial x$ 가 국소 운동량 역할을 한다 — 평면파에서 $S=\hbar kx-\hbar\omega t$ 이니 $\partial S/\partial x=\hbar k=p$ 로 맞는다. $\hbar\to0$ 의 극한에서 이 $S$ 가 만족하는 방정식은 고전역학의 해밀턴–야코비 방정식(3.1.8)이 되고, $S$ 는 고전적 작용이 된다. 이것이 5.8.7 WKB 근사의 출발점이자, 파동함수의 위상이 “어디로 흐르는가”를 안다는 뜻이다.

3차원에서는 $J\to\mathbf J=\frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}(\Psi^{*}\nabla\Psi)$ , $\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\mathbf J=0$ 이고, 부피에 대해 적분하면 발산정리 (1.1.7발산정리와 스토크스 정리)로 표면을 지나는 흐름이 된다.

직관

파라미터 연계 — 확률 흐름이 전류가 되는 길. 5.3.8에서 장벽의 투과 계수 $T$ 는 투과한 흐름 / 입사한 흐름으로 정의된다 — 진폭의 비가 아니라 $J$ 의 비다. 장벽 양쪽의 $k$ 가 다르면 $|A|^{2}$ 의 비와 $J$ 의 비가 달라지므로 이 구분이 실제 값을 바꾼다. 터널 산화막을 지나는 게이트 누설 전류, 플래시의 파울러–노드하임 전류(15부), STM의 전류가 전부 “전하 × 확률 흐름 × 상태 수”이고, 나노 스케일 도선의 컨덕턴스를 투과 계수의 합으로 쓰는 란다우어 공식(20.7.5)이 그 정리된 형태다. $J=\rho v$ 의 $v=\hbar k/m$ 에서 $m$ 이 $m^{*}$ 로 바뀌면 같은 $k$ 에서 가벼운 캐리어가 더 빨리 흐른다 — 이동도의 $1/m^{*}$ 의존성(11.2)이 이 한 줄에 이미 들어 있다.

운동량과 기댓값

위치의 기댓값은 움직인다 — 그 속도가 운동량을 정의한다

위치의 기댓값 $\langle x\rangle=\int x|\Psi|^{2}dx$ 는 $\Psi$ 가 시간에 따라 변하므로 함께 변한다. 그 변화율을 계산해 보자(Griffiths §1.5). 3절의 연속 방정식을 쓰면

\frac{d\langle x\rangle}{dt} =\int x\,\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx =\frac{i\hbar}{2m}\int x\,\frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)dx

부분적분한다. 경계항은 $\Psi\to0$ 이라 사라지고 $x$ 의 미분은 1이므로

\frac{d\langle x\rangle}{dt} =-\frac{i\hbar}{2m}\int\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\Psi\right)dx =-\frac{i\hbar}{m}\int\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\,dx

마지막 등호는 둘째 항을 한 번 더 부분적분한 것이다 — $\int(\partial\Psi^{*}/\partial x)\Psi\,dx =-\int\Psi^{*}(\partial\Psi/\partial x)\,dx$ 라서 두 항이 같은 꼴로 합쳐진다. 이 $d\langle x\rangle/dt$ 를 속도의 기댓값 $\langle v\rangle$ 로 해석하고, 거기에 $m$ 을 곱한 것을 운동량의 기댓값으로 정의한다:

\langle p\rangle=m\frac{d\langle x\rangle}{dt} =\int\Psi^{*}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx

이것은 정의이지 유도가 아니다 — 양자역학에서 “입자의 속도”는 뜻이 없고(위치가 정해져 있지 않으니 그 변화율도 없다), 뜻이 있는 것은 기댓값의 변화율뿐이다. 그런데 이렇게 정의한 $\langle p\rangle$ 가 1절에서 평면파의 파수를 읽어 내던 바로 그 장치 $-i\hbar\,\partial/\partial x$ 를 $\Psi^{*}$ 와 $\Psi$ 사이에 끼운 꼴이라는 것이 요점이다. 위치와 나란히 놓으면

\langle x\rangle=\int\Psi^{*}\,(x)\,\Psi\,dx, \qquad \langle p\rangle=\int\Psi^{*}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx

— 위치는 $x$ 를 곱하는 연산자, 운동량은 $-i\hbar\,\partial/\partial x$ 로 미분하는 연산자다. 이것을 $\hat x$ , $\hat p$ 로 쓴다. 모자가 “연산자”의 표시이고, 모자 없는 $x,p$ 는 측정값(숫자)이다.

연산자 샌드위치 — 모든 관측량의 기댓값

고전역학의 모든 물리량은 위치와 운동량의 함수 $Q(x,p)$ 다 — 운동 에너지 $p^{2}/2m$ , 각운동량 $\mathbf r\times\mathbf p$ , 퍼텐셜 에너지 $V(x)$ . 양자역학의 처방은 이렇다: $Q$ 안의 $p$ 를 전부 $-i\hbar\,\partial/\partial x$ 로 바꾸고 $\Psi^{*}$ 와 $\Psi$ 사이에 끼워 적분한다.

\langle Q(x,p)\rangle=\int\Psi^{*}\,\hat Q\!\left(x,\,-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi\,dx

예를 들어 운동 에너지 $T=p^{2}/2m$ 은 $\hat p$ 를 두 번 적용해 $-\hbar^{2}/2m$ 배의 2계 미분이 되므로

\langle T\rangle=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\int\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}\,dx

이 처방을 받아들이면 슈뢰딩거 방정식의 우변이 새로 읽힌다 — $\hat T+V=\hat H$ 를 $\Psi$ 에 적용한 것이다. 곧 슈뢰딩거 방정식은 $i\hbar\,\partial\Psi/\partial t=\hat H\Psi$ 이고, 이 꼴이 6절과 5.4 이후의 표준형이다.

직관

수식적 직관 — 왜 운동량이 미분이고, 왜 $-i$ 인가. 평면파 $e^{ikx}$ 는 미분 연산자의 고유함수다: $\partial_x e^{ikx}=ik\,e^{ikx}$ . 미분은 함수의 모양을 바꾸지 않고 파수 $k$ 를 앞으로 꺼내 준다. 운동량이 $\hbar k$ 이므로 “운동량을 읽어 내는 연산”이 미분일 수밖에 없고, $ik$ 에서 $\hbar k$ 를 얻으려면 $-i\hbar$ 를 곱해야 한다. 더 깊은 이유는 5.7.2에 있다 — 운동량은 공간 이동의 생성자다. $\Psi(x+a)=e^{a\,\partial_x}\Psi(x)=e^{ia\hat p/\hbar}\Psi(x)$ 이므로 (테일러 전개 1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도를 지수 꼴로 묶은 것) 이동 연산자의 지수에 앉은 것이 $\hat p$ 다. 에너지가 시간 이동의 생성자인 것(1절 끝, 7절)과 짝을 이룬다.

$-i$ 의 또 다른 역할은 에르미트성이다. 부분적분하면 $\int f^{*}(\partial_x g)\,dx =-\int(\partial_x f)^{*}g\,dx$ 라서 $\partial_x$ 는 반에르미트(부호가 뒤집힌다)이고, 앞에 $-i$ 를 곱하면 $(-i)^{*}=+i$ 가 그 부호를 도로 뒤집어 $\hat p$ 는 에르미트가 된다. 에르미트 연산자의 기댓값은 실수다(1.6.1자체 수반 형식과 에르미트 연산자) — 운동량 측정값이 실수여야 하니 $i$ 가 있어야만 한다.

에렌페스트 정리 — 기댓값은 뉴턴을 따른다

$\langle p\rangle$ 의 변화율도 같은 방법으로 계산할 수 있다(Griffiths 연습문제 1.7). 슈뢰딩거 방정식을 넣고 부분적분을 두 번 하면 운동 에너지 항은 지워지고 $V$ 의 미분만 남는다:

\frac{d\langle p\rangle}{dt}=\left\langle-\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle

이것이 에렌페스트 정리다. $\langle p\rangle=m\,d\langle x\rangle/dt$ 와 합치면 $m\,d^{2}\langle x\rangle/dt^{2}=\langle-\partial V/\partial x\rangle$ — 기댓값은 뉴턴의 제2법칙을 따른다. 양자역학이 고전역학을 포함하는 방식이 이것이다: 입자의 위치가 아니라 위치의 평균이 고전 궤적을 그린다.

다만 정확히 뉴턴은 아니다. 우변이 $-\partial V/\partial x$ 의 평균이지 평균 위치 $\langle x\rangle$ 에서의 $-\partial V/\partial x$ 가 아니다. 둘이 같은 것은 $V$ 가 상수·일차·이차식일 때 (힘이 $x$ 에 대해 기껏 일차)뿐이고, 일반적으로는 파속이 $V$ 가 눈에 띄게 굽는 거리보다 좁을 때만 근사적으로 같다. 그 조건이 깨지는 곳 — 원자 규모의 퍼텐셜, 얇은 장벽 — 에서 양자 효과가 나온다.

그림 5.2-4. 균일한 힘 F(V = −Fx) 아래의 가우스 파속 |Ψ|²를 t = 0, 2, 4에 그린 것. 봉우리의 중심 ⟨x⟩는 고전 등가속 운동처럼 간격이 늘어나며 옮겨 가고(에렌페스트 정리), 파속 자체는 자유 입자와 같은 σ(t)로 퍼져 낮고 넓어진다. 힘이 균일해 ⟨−∂V/∂x⟩ = F가 정확히 성립하는 경우라 중심이 정확히 고전 궤적 위에 있다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 기댓값은 상태의 성질이지 입자의 성질이 아니다. $\langle p\rangle=0$ 인 상태의 입자를 재면 $+p_0$ 이나 $-p_0$ 이 나올 수 있다. 정상파 $\sin kx$ 가 그렇다 — 오른쪽으로 가는 파와 왼쪽으로 가는 파를 반반 섞은 것이라 평균은 0이지만 측정값은 $\pm\hbar k$ 다. 마찬가지로 $\langle T\rangle$ 은 “입자가 가진 운동 에너지”가 아니라 운동 에너지 측정값들의 평균이다. 5.4에서 이 말을 정확히 만든다: 측정값은 연산자의 고유값 중 하나이고, 기댓값은 고유값들을 확률로 가중한 평균이다. 이 절의 샌드위치 공식은 그 일반 진술의 좌표 표현이다.

교환자 — 위치와 운동량 연산자의 순서

두 연산자를 잇달아 적용할 때 순서가 문제된다. 시험 함수 $f(x)$ 에 대해

\hat x\hat p f=x\left(-i\hbar\frac{df}{dx}\right), \qquad \hat p\hat x f=-i\hbar\frac{d}{dx}(xf)=-i\hbar f-i\hbar x\frac{df}{dx}

빼면 $(\hat x\hat p-\hat p\hat x)f=i\hbar f$ 이다. 시험 함수를 떼고 쓰면

[\hat x,\hat p]\equiv\hat x\hat p-\hat p\hat x=i\hbar

이것이 정준 교환 관계다. 고전역학에서는 $xp=px$ 였는데 양자역학에서는 곱의 순서가 $i\hbar$ 만큼 다르다 — 그리고 5절의 불확정성 원리와 5.4.6의 일반화가 전부 이 한 줄에서 나온다. $\hbar\to0$ 이면 교환자가 0이 되어 고전역학으로 돌아간다는 것도 여기서 보인다.

직관

파라미터 연계 — 결정 안에서 $p$ 는 무엇이 되는가. 주기 퍼텐셜 속의 전자(7.7 블로흐 정리)는 평면파가 아니라 $e^{ikx}u_k(x)$ 꼴이고, $\hbar k$ 는 진짜 운동량이 아니라 결정 운동량이다. 그래도 에렌페스트 정리의 구조는 살아남아 $\hbar\,dk/dt=F$ (외력이 결정 운동량을 바꾼다), $v_g=\frac{1}{\hbar}\frac{dE}{dk}$ (군속도가 기댓값의 속도) 라는 준고전 운동 방정식이 되고, 이것이 11.2의 드리프트·이동도 계산의 근거다. 에너지가 $E=\hbar^{2}k^{2}/2m^{*}$ 로 근사되는 밴드 바닥에서 $m^{*}=\hbar^{2}/(d^{2}E/dk^{2})$ 이 유효질량이고 — 이 장의 모든 식에서 $m$ 을 $m^{*}$ 로 바꾸면 소자 계산이 된다.

불확정성 원리

파장이 정해진 파동은 어디에나 있다

줄을 잡고 흔들어 긴 정현파를 만들었다고 하자. 파장은 또렷하지만 “파동이 어디 있는가”는 답할 수 없다 — 줄 전체에 퍼져 있다. 반대로 줄을 한 번 탁 쳐서 좁은 혹을 만들면 위치는 또렷하지만 파장을 물을 수 없다 — 마루가 하나뿐이라 반복 간격이 없다. 파동의 이 성질은 양자역학과 무관한 모든 파동의 기하다. 그런데 드브로이 관계

p=\frac{h}{\lambda}=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}=\hbar k

가 파장을 운동량에 묶어 놓았으므로, 위의 문장은 그대로 입자에 대한 진술이 된다: 운동량이 또렷한 상태는 위치가 퍼져 있고, 위치가 또렷한 상태는 운동량이 퍼져 있다. 정량적으로는

\sigma_x\,\sigma_p\ \ge\ \frac{\hbar}{2}

이고, 이것이 하이젠베르크의 불확정성 원리다. $\sigma_x,\sigma_p$ 는 2절의 표준편차 — 같은 상태를 여러 번 재서 얻은 위치 측정값의 퍼짐과 운동량 측정값의 퍼짐이다. 증명은 5.4.6에서 4절의 교환자 $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ 로부터 한다. 여기서는 그 뜻과 크기를 본다.

푸리에 쌍 — 그림으로 보는 불확정성

파동함수를 평면파의 겹침으로 쓰면

\Psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,e^{ikx}\,dk

이고, $\phi(k)$ 는 $\Psi(x)$ 의 푸리에 변환이다(1.10.4). $|\phi(k)|^{2}$ 이 파수 $k$ — 곧 운동량 $\hbar k$ — 의 확률 밀도라는 것이 5.3.4·5.4.8에서 확인되는데, 지금 필요한 것은 푸리에 변환의 한 성질뿐이다: $x$ 에서 좁은 함수는 $k$ 에서 넓고, 그 역도 성립한다. 1.9.8에서 좁은 로렌츠 봉우리가 느린 지수 감쇠와 짝을 이룬 것(1.9.8실적분과 급수의 계산)이 같은 사실의 다른 예다. 가우스 함수가 극단이다 — $\Psi\propto e^{-x^{2}/4\sigma_x^{2}}$ 이면 $\phi\propto e^{-\sigma_x^{2}k^{2}}$ 이고 $\sigma_x\sigma_k=1/2$ 로 등호가 성립한다. 다른 모양은 전부 이보다 크다.

그림 5.2-5. x에서 좁을수록 k에서 넓다. 위: 파장이 하나뿐인 정현파 — x 전체에 퍼져 있고(σ_x = ∞) k 분포는 한 점(σ_k = 0). 가운데: σ_x = 2인 가우스 파속과 폭 σ_k = 0.25의 파수 분포. 아래: σ_x = 0.6으로 좁힌 파속은 σ_k = 0.83으로 넓어진다. 세 경우 모두 가우스라 σ_x σ_k = 1/2이 정확히 성립하고, p = ħk를 곱하면 σ_x σ_p = ħ/2 — 불확정성 원리의 하한이다.직접 작도

무엇이 아닌가 — 교란이 아니라 성질이다

흔한 오해는 “위치를 재는 행위가 입자를 건드려 운동량을 흐트러뜨린다”는 설명이다. 그런 교란은 실제로 있지만 불확정성 원리의 내용이 아니다. 원리는 측정 이전의 상태 $\Psi$ 에 대한 진술이다 — 어떤 $\Psi$ 를 준비하더라도, 그 앙상블에서 위치의 퍼짐과 운동량의 퍼짐의 곱이 $\hbar/2$ 아래로 내려갈 수 없다. 위치를 재는 앙상블과 운동량을 재는 앙상블을 따로 준비해도 결과는 같다. 한 입자를 두 번 건드리는 이야기가 아니라, 같은 파동함수가 두 가지 표현( $x$ 와 $k$ )을 가지고 그 둘이 푸리에 쌍이라는 수학의 귀결이다.

크기 — 나노미터에서는 무시할 수 없다

$\sigma_x=1\ \mathrm{nm}$ 로 전자를 가두면 $\sigma_p\ge\hbar/2\sigma_x\approx5.3\times10^{-26}\ \mathrm{kg\cdot m/s}$ 이고, 그만한 운동량 퍼짐이 뜻하는 운동 에너지는 $\sigma_p^{2}/2m\approx1.5\times10^{-21}\ \mathrm J\approx10\ \mathrm{meV}$ 다. 유효질량이 $0.19\,m_0$ 인 실리콘 전자면 $50\ \mathrm{meV}$ 로, 실온 열에너지 $k_BT\approx26\ \mathrm{meV}$ 의 두 배다. 즉 1 nm 수준으로 가둔 전자는 가만히 있을 수 없고, 가둔 것만으로 열에너지보다 큰 운동 에너지를 가진다. 이것이 구속 에너지(영점 에너지)이고, 나노시트 채널의 부밴드 분리, 양자우물의 바닥 준위 상승(밴드갭이 커 보이는 효과)이 전부 이 숫자의 정밀한 버전이다. 반대로 $\sigma_x$ 가 $1\ \mu\mathrm m$ 이면 같은 계산이 $10^{-8}\ \mathrm{eV}$ 수준으로 떨어져 고전 소자에서는 보이지 않는다. 슈뢰딩거 방정식을 소자 계산에 써야 하는지를 가르는 첫 번째 척도가 이것이다.

직관

파라미터 연계 — 좁힐수록 비싸다. 6절의 시간 무관 방정식을 무한 우물에 풀면 바닥 에너지가 $E_1=\pi^{2}\hbar^{2}/2ma^{2}$ (5.3.1)로 폭의 제곱에 반비례한다 — 불확정성의 $\sigma_p\propto 1/\sigma_x$ 를 제곱한 것이다. 조화진동자의 영점 에너지 $\hbar\omega/2$ (5.3.2)도 같은 원리다: 바닥에 정지하면 $\sigma_x=\sigma_p=0$ 이 되어야 하니 허용되지 않는다. 6절 끝에서 ” $E$ 는 $V$ 의 최솟값보다 커야 한다”를 곡률 논증으로 다시 만난다. 소자에서는 채널을 얇게 할수록 문턱 전압이 올라가고(부밴드 바닥이 올라가서), 터널 산화막을 얇게 할수록 누설이 지수적으로 는다 — 둘 다 “좁힘의 대가”다.

에너지와 시간에도 비슷한 관계 $\Delta E\,\Delta t\ge\hbar/2$ 가 있지만 성격이 다르다 — $t$ 는 연산자가 아니라 매개변수라서 $\sigma_t$ 라는 것이 없다. 이 관계의 정확한 뜻(계가 눈에 띄게 변하는 데 걸리는 시간 × 에너지의 퍼짐)은 7절의 시간 전개에서 정상 상태의 중첩으로 보이고, 1.9.8의 “선폭 × 수명 = 상수”가 그 한 사례다.

정상 상태와 시간 무관 슈뢰딩거 방정식

변수분리 — 시간과 공간을 가른다

퍼텐셜이 시간에 무관할 때( $V=V(x)$ ) 슈뢰딩거 방정식은 1.7.4의 변수분리법 (1.7.4변수분리법)으로 풀린다(Griffiths §2.1). 해를 공간 함수와 시간 함수의 곱으로 가정한다:

\Psi(x,t)=\psi(x)\,\varphi(t)

여기서 $\varphi(t)$ 는 시간만의 함수다 — 5절의 파수 분포 $\phi(k)$ 와 글자가 비슷하지만 전혀 다른 것이므로 이 절에서는 $\varphi$ 로 구분해 쓴다. 대입하면 $\partial\Psi/\partial t=\psi\,d\varphi/dt$ , $\partial^{2}\Psi/\partial x^{2}=\varphi\,d^{2}\psi/dx^{2}$ 이고, 양변을 $\psi\varphi$ 로 나누면

i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)

좌변은 $t$ 만의 함수, 우변은 $x$ 만의 함수다. $t$ 를 바꿔도 우변은 변하지 않으니 좌변이 상수여야 하고, 같은 이유로 우변도 상수다. 그 분리 상수를 $E$ 라 부른다. 왜 하필 에너지 기호인지는 곧 드러난다. 두 개의 상미분방정식이 나온다.

\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi(t)=e^{-iEt/\hbar}

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\,\psi=E\,\psi

첫째는 1계 선형이라 곧바로 풀린다 — 상수 계수는 $\psi$ 에 흡수시켰다. 둘째가 시간 무관 슈뢰딩거 방정식이고, 4절의 해밀토니안 $\hat H=\hat p^{2}/2m+V$ 로 쓰면

\hat H\psi=E\psi

— 고유값 방정식이다. 1.3의 $A\mathbf x=\lambda\mathbf x$ 에서 행렬이 미분 연산자로, 벡터가 함수로 바뀐 것이고, 1.6의 Sturm–Liouville 문제(1.6.2ODE 고유값 문제와 경계 조건)와 정확히 같은 구조다: $p(x)=\hbar^{2}/2m$ , $q(x)=V(x)$ , 가중함수 $w=1$ . 그러니 1.6에서 증명한 것 — 고유값이 실수이고 고유함수가 서로 직교하며 완전계를 이룬다 — 이 여기서 공짜로 따라온다. 이 상속이 7절 전개의 근거다.

직관

수학적 직관 — 분리 상수가 왜 에너지인가. 분리된 상태 $\Psi=\psi e^{-iEt/\hbar}$ 에서 해밀토니안의 기댓값을 계산하면 $\hat H\psi=E\psi$ 이므로

\langle H\rangle=\int\psi^{*}\hat H\psi\,dx=E\int|\psi|^{2}dx=E

이고, $\hat H^{2}\psi=E^{2}\psi$ 이므로 $\langle H^{2}\rangle=E^{2}$ 다. 분산은 $\sigma_H^{2}=\langle H^{2}\rangle-\langle H\rangle^{2}=0$ — 에너지를 재면 언제나 정확히 $E$ 가 나온다. 분리 상수는 이 상태의 에너지이고, 퍼짐이 없다. 1절에서 $i\hbar\,\partial_t$ 가 평면파의 에너지를 읽어 내던 것이 이제 모든 정상 상태로 확장된 것이다: $i\hbar\,\partial_t\Psi=E\Psi$ .

정상 상태 — 아무 일도 일어나지 않는다

분리해가 특별한 이유는 셋이다.

① 확률 밀도가 시간에 무관하다.

|\Psi(x,t)|^{2}=\psi^{*}e^{+iEt/\hbar}\,\psi\,e^{-iEt/\hbar}=|\psi(x)|^{2}

시간 인자가 켤레와 곱해져 지워진다 — 1절 그림의 “위상만 돌고 크기는 그대로”가 이것이다. 같은 이유로 $x,p$ 의 어떤 함수든 기댓값이 시간에 무관하다: $\langle Q(x,p)\rangle =\int\psi^{*}\hat Q\psi\,dx$ 에서 $e^{\mp iEt/\hbar}$ 가 상쇄된다( $\hat Q$ 가 $x$ 미분만 포함하므로 시간 인자를 건드리지 않는다). 특히 $\langle x\rangle$ 가 상수이므로 $\langle p\rangle =m\,d\langle x\rangle/dt=0$ — 정상 상태에서 운동량의 평균은 언제나 0이다. 그래서 이런 상태를 정상 상태(stationary state)라 부른다. $\Psi$ 자체는 $e^{-iEt/\hbar}$ 로 돌고 있지만, 관측 가능한 것은 무엇 하나 변하지 않는다.

② 에너지가 확정돼 있다. 위 직관 블록의 $\sigma_H=0$ .

③ 일반해가 이것들의 선형 결합이다. 7절.

그렇다면 실제 계에서 “무언가 일어나는” 것은 어떻게 설명되는가 — 원자가 빛을 내고, 전자가 장벽을 지나고, 파속이 움직이는 것은? 답은 ③이다. 그런 상태는 정상 상태가 아니라 여러 정상 상태의 중첩이고, 서로 다른 $E$ 의 위상이 서로 다른 속도로 돌기 때문에 간섭항이 시간에 따라 변한다. 정상 상태는 움직임의 부품이지 움직임 자체가 아니다.

의문

정상 상태에서 $\langle p\rangle=0$ 인데, 평면파 $e^{ikx}$ 는 $\hat H$ 의 고유함수이면서 $J\neq0$ 이지 않았나(3절)? 모순이 아니다. 평면파는 규격화되지 않아 $\langle x\rangle$ 자체가 정의되지 않고, 위 논증( $\langle x\rangle$ 가 상수 → $\langle p\rangle=0$ )은 규격화된 속박 상태에만 적용된다. 속박 상태의 $\psi$ 는 실수로 고를 수 있어(아래) $J=0$ 이 되고, 진짜로 흐름이 없다. 평면파 같은 산란 상태는 $|\psi|^{2}$ 이 정지해 있으면서 흐름이 있는 상태 — 강을 생각하면 된다. 수면의 높이는 시간에 무관하지만 물은 흐른다. 소자의 직류 전류는 정확히 이런 정상 산란 상태들의 합이고, 5.3.7·5.3.8이 그것을 다룬다. 정상 상태 = “정지”가 아니라 ” $|\psi|^{2}$ 이 시간에 무관”이다.

에너지와 파동함수에 대해 미리 알 수 있는 것

시간 무관 방정식을 풀기 전에 해의 성질 몇 가지가 방정식 자체에서 나온다(Griffiths 연습문제 2.1·2.2).

$E$ 는 실수여야 한다. $E=E_0+i\Gamma$ 라면 $|\Psi|^{2}=|\psi|^{2}e^{2\Gamma t/\hbar}$ 로 규격화가 시간에 따라 깨진다 — 3절의 보존과 모순이다. (반대로 말하면 준안정 상태의 붕괴를 허수 에너지 $-i\Gamma/2$ 로 흉내내는 방법이 여기서 나온다. 5.9의 공명과 1.9.8의 로렌츠 선폭이 그것이다.)
$\psi$ 는 실수로 잡을 수 있다. $\psi$ 가 해면 켤레 $\psi^{*}$ 도 같은 $E$ 의 해다( $V$ 와 $E$ 가 실수라서). 그러면 $\psi+\psi^{*}$ 와 $i(\psi-\psi^{*})$ 도 해이고 둘 다 실수다. 따라서 복소수 해가 있더라도 실수 해들의 결합으로 바꿔 쓸 수 있다 — 그렇게 해도 된다는 것이지 해야 한다는 것은 아니다. 5.3.4의 진행파 $e^{ikx}$ 처럼 복소수가 편할 때는 그대로 쓴다.
$E$ 는 $V$ 의 최솟값보다 커야 한다. 방정식을 곡률에 대해 풀어 쓰면
$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-\frac{2m}{\hbar^{2}}\,(E-V)\,\psi$
$E$ 가 어디서나 $V$ 보다 작으면 $\psi''$ 과 $\psi$ 가 어디서나 같은 부호다 — 함수가 언제나 축에서 멀어지는 쪽으로 휘어, 무한대로 발산하거나 축과 만난 뒤 반대쪽으로 발산한다. 규격화될 수 없다. 이것이 5절의 “영점 에너지”를 방정식으로 말한 것이다: 우물 바닥에 정지한 입자는 없다.

직관

형태적 직관 — 곡률 방정식으로 읽는다. 위 식은 이 장에서 가장 많이 써먹게 되는 한 줄이다. $E>V$ 인 곳(고전적으로 허용된 영역)에서는 $\psi''$ 과 $\psi$ 의 부호가 반대라 곡선이 축을 향해 휜다 — 진동한다. 파장은 $E-V$ 가 클수록 짧다: 국소 파수 $k(x)=\sqrt{2m(E-V)}/\hbar$ . $E<V$ 인 곳 (고전적 금지 영역)에서는 부호가 같아 축에서 멀어지며 휜다 — 지수함수다. 규격화되려면 무한대로 자라는 쪽을 버리고 사그라드는 쪽 $e^{-\kappa|x|}$ , $\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbar$ 만 남겨야 한다. 경계에서 두 조각을 $\psi$ 와 $\psi'$ 이 연속이 되게 이으면(5.3의 접합 조건) 특정 $E$ 에서만 양쪽 끝이 동시에 사그라든다 — 그것이 에너지 양자화다. 1.4.4의 상수 계수 2계 ODE (1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수)에서 $\lambda^{2}<0$ 이면 진동, $\lambda^{2}>0$ 이면 지수였던 것과 정확히 같은 갈림이고, 갈림의 기준이 $E-V$ 의 부호다.

그림 5.2-6. ψ의 곡률 부호를 E − V가 정한다. 아래는 깊이 V₀, 반폭 a인 유한 우물과 그 바닥 상태의 에너지 E(점선). 위는 같은 x축 위의 ψ(x): 우물 안(E > V)에서는 코사인처럼 축을 향해 휘고, 우물 밖 고전적 금지 영역(E < V, 옅게 칠함)에서는 e^{−κ|x|}로 축에서 멀어지며 사그라든다. 경계 x = ±a에서 두 조각의 값과 기울기가 이어지도록 E를 고르는 것이 양자화이고, 금지 영역으로 새어 든 꼬리가 터널링의 씨앗이다.직접 작도

두 종류의 해 — 속박 상태와 산란 상태

$x\to\pm\infty$ 에서 $E<V$ 이면 양쪽 끝에서 $\psi$ 가 지수적으로 사그라들어야 하고, 그것을 만족하는 $E$ 는 띄엄띄엄이다 — 속박 상태, 이산 스펙트럼. $E>V(\pm\infty)$ 이면 양쪽 끝에서 진동하는 해가 모든 $E$ 에 대해 있고, 규격화는 안 되지만 파속의 재료가 된다 — 산란 상태, 연속 스펙트럼. 한 퍼텐셜이 둘 다 가질 수 있다(유한 우물 5.3.6: 우물 아래 몇 개의 속박 준위 + 위의 연속). 5.4.4가 두 스펙트럼의 수학을 정리한다.

직관

파라미터 연계 — 이 방정식이 소자에서 다시 쓰이는 자리.

부밴드. MOS 반전층에서 표면에 수직인 방향의 $V(z)$ 는 삼각형에 가까운 우물이고, 그 이산 고유값 $E_n$ 이 부밴드 바닥이다(13부). 반전층 전자는 $z$ 로는 속박, 채널 방향으로는 자유 — 같은 방정식이 한 방향에서는 이산, 다른 방향에서는 연속을 준다.
양자우물과 초격자. GaAs/AlGaAs 우물의 준위 간격이 적외선 흡수 파장을 정하고(17.6 QWIP), 우물을 주기적으로 이으면 준위가 미니밴드로 넓어진다 — 7.7의 밴드 형성을 손으로 만든 셈이다.
파라미터의 방향. 우물을 좁히면( $a\downarrow$ ) $E_n\uparrow$ (곡률을 더 세게 휘어야 같은 경계 조건을 맞춘다), 유효질량이 작으면 같은 $a$ 에서 $E_n\uparrow$ , 우물이 얕으면 속박 준위 수가 준다. 5.3에서 각각을 식으로 확인한다.
슈뢰딩거–푸아송. 20.7.3의 자기일관 계산은 이 절의 고유값 문제와 2.1.5의 푸아송 방정식을 번갈아 푸는 것이다. 고유값 문제를 수치로 푸는 방법(차분 → 행렬 고유값, 1.3·1.12.9)이 그 안에 들어 있다.

시간 전개와 중첩

일반해 — 정상 상태의 선형 결합

시간 무관 방정식이 정상 상태 $\psi_1,\psi_2,\dots$ 와 에너지 $E_1,E_2,\dots$ 를 무한히 준다고 하자(속박 상태만 있는 경우 — 연속 스펙트럼은 합을 적분으로 바꾸면 된다). 슈뢰딩거 방정식이 선형이므로 각 정상 상태에 제 위상 인자를 붙인 것들의 어떤 선형 결합도 해다:

\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\,\psi_n(x)\,e^{-iE_nt/\hbar}

이것이 일반해다 — 시간 의존 슈뢰딩거 방정식의 모든 해가 이 꼴로 쓰인다. 근거는 6절에서 상속받은 완전성(1.6.5완전성과 수렴)이다: $\{\psi_n\}$ 이 완전계라서 어떤 초기 함수 $\Psi(x,0)$ 도 그것들로 전개된다. 계수는 직교성으로 뽑아낸다 — 1.6.4의 일반화 푸리에 급수와 같은 “푸리에의 요령”이다:

\Psi(x,0)=\sum_n c_n\psi_n(x) \quad\Longrightarrow\quad c_n=\int\psi_n^{*}(x)\,\Psi(x,0)\,dx

(두 번째 식은 $\int\psi_m^{*}\psi_n\,dx=\delta_{mn}$ 을 쓴 것이다. 무한 우물에서는 5.3.1에서 직접 확인하고, 일반 증명은 5.4.3.) 그리고 나서 각 항에 $e^{-iE_nt/\hbar}$ 를 붙이면 끝이다. 시간 의존 문제를 푸는 처방이 이렇게 정리된다:

시간 무관 방정식을 풀어 $\psi_n,E_n$ 을 얻는다.
초기 조건 $\Psi(x,0)$ 를 $\psi_n$ 으로 전개해 $c_n$ 을 얻는다.
각 항에 위상 인자를 붙인다.

1.7.8의 열방정식 풀이(1.7.8유한 매질의 푸리에 급수 해)와 단계가 똑같다. 다른 것은 3단계뿐이다 — 거기서는 $e^{-\lambda_n t}$ 감쇠였고 여기서는 $e^{-iE_nt/\hbar}$ 회전이다(1절 그림). 열은 높은 모드부터 죽어 결국 가장 낮은 모드만 남지만, 양자 상태는 어떤 모드도 죽지 않는다. $|c_n|$ 은 영원히 그대로다.

전개 계수의 제곱은 에너지의 확률이다

계수 $c_n$ 의 뜻은 2절의 확률 해석을 에너지에 적용한 것이다: 에너지를 재면 $E_n$ 이 나올 확률이 $|c_n|^{2}$ 이다. 규격화 조건이 이것과 맞물린다:

\int|\Psi|^{2}dx=\sum_{m,n}c_m^{*}c_n\,e^{i(E_m-E_n)t/\hbar}\int\psi_m^{*}\psi_n\,dx =\sum_n|c_n|^{2}=1

직교성이 $m\neq n$ 항을 지워 확률의 합이 1이 된다. 에너지의 기댓값도 같은 계산으로

\langle H\rangle=\sum_n|c_n|^{2}E_n

이고, 시간에 무관하다 — $c_n$ 이 상수이므로. 이것이 에너지 보존의 양자역학 판이다. 위상은 돌지만 각 에너지의 무게는 변하지 않는다.

의문

$c_n$ 이 시간에 무관하면 상태는 어떻게 변하는가? 변하는 것은 항들 사이의 상대 위상이다. 두 정상 상태만 섞은 $\Psi=c_1\psi_1e^{-iE_1t/\hbar}+c_2\psi_2e^{-iE_2t/\hbar}$ 의 확률 밀도는 ( $\psi_n$ , $c_n$ 실수일 때)

|\Psi|^{2}=c_1^{2}\psi_1^{2}+c_2^{2}\psi_2^{2}+2c_1c_2\,\psi_1\psi_2\cos\!\left(\frac{E_2-E_1}{\hbar}t\right)

앞의 두 항은 정지해 있고, 교차항이 각진동수 $\omega=(E_2-E_1)/\hbar$ 로 진동한다. 확률이 우물 안에서 좌우로 출렁인다 — 각 상태는 정지해 있지만 둘의 간섭이 움직인다. 이 $\omega$ 가 보어의 진동수 조건 $\hbar\omega=E_2-E_1$ (5.1.4)이다. 보어 모형에서 가정이었던 것이 여기서는 두 정상 상태의 맥놀이로 나온다. 원자가 빛을 내는 진동수, 5.9.2의 라비 진동, 결합된 양자우물 사이를 전자가 오가는 진동수가 전부 이 교차항이다.

그림 5.2-7. 무한 우물의 두 정상 상태를 반반 섞은 상태 (ψ₁e^{−iE₁t/ħ} + ψ₂e^{−iE₂t/ħ})/√2의 확률 밀도를 t = 0, T/4, T/2에 그린 것 (T = 2πħ/(E₂ − E₁)). 교차항 ψ₁ψ₂ cos(ωt) 때문에 확률이 왼쪽에서 오른쪽으로 출렁인다. 점선은 바닥 상태 하나의 |ψ₁|²로 세 시각에 똑같다 — 정상 상태 하나는 움직이지 않고, 둘의 중첩만 움직인다.직접 작도

에너지의 차만 관측된다

$V(x)$ 에 상수 $V_0$ 를 더하면 모든 $E_n$ 이 $V_0$ 만큼 올라가고, 일반해에 전체 위상 $e^{-iV_0t/\hbar}$ 가 곱해진다(Griffiths 연습문제 1.8). 전체 위상은 $|\Psi|^{2}$ 에도 어떤 기댓값에도 나타나지 않으므로 — 3절의 ” $A$ 의 위상은 관측되지 않는다” — 물리는 그대로다. 관측되는 것은 $E_2-E_1$ 같은 차뿐이다. 고전역학에서 퍼텐셜 에너지의 영점이 임의였던 것과 같은 사실이고, 반도체에서 밴드 다이어그램의 세로축 원점을 어디에 두어도(진공 준위, $E_c$ , 페르미 준위) 물리가 변하지 않는 이유다.

직관

파라미터 연계 — 에너지 차와 주파수. $\omega=(E_2-E_1)/\hbar$ 를 숫자로 익혀 둔다. $1\ \mathrm{meV}$ 의 차는 $\nu=\Delta E/h\approx0.24\ \mathrm{THz}$ , 주기 $4.1\ \mathrm{ps}$ 다. $1\ \mathrm{eV}$ 면 $242\ \mathrm{THz}$ , 곧 파장 $1.24\ \mu\mathrm m$ 의 근적외선 — $\lambda[\mu\mathrm m] =1.24/E[\mathrm{eV}]$ 라는 광소자의 기본 환산이 이것이다(17부). 실리콘 밴드갭 $1.12\ \mathrm{eV}$ 는 $1.1\ \mu\mathrm m$ , GaAs의 $1.42\ \mathrm{eV}$ 는 $0.87\ \mu\mathrm m$ . 반대로 부밴드 간격 수십 meV는 THz·원적외선이고, 양자우물 적외선 검출기(17.6)가 그 자리를 쓴다.

시간 전개 연산자 — Sakurai의 관점

Griffiths의 처방을 Sakurai(§2.1)는 연산자 하나로 압축한다. 초기 상태를 시각 $t$ 의 상태로 보내는 시간 전개 연산자 $\hat U(t)$ 를 정의하면 — 5.4.7의 디랙 표기로 $|\Psi(t)\rangle =\hat U(t)|\Psi(0)\rangle$ — 확률이 보존되려면 $\hat U$ 는 노름을 보존하는 유니터리 연산자여야 하고(1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환), 무한소 시간 이동을 $\hat U(dt)=1-i\hat H\,dt/\hbar$ 로 쓰면 유니터리 조건이 곧 $\hat H$ 가 에르미트라는 조건이다. 이 조각을 쌓으면

i\hbar\frac{\partial\hat U}{\partial t}=\hat H\hat U \quad\Longrightarrow\quad \hat U(t)=e^{-i\hat Ht/\hbar}

( $\hat H$ 가 시간에 무관할 때.) 연산자의 지수함수는 고유상태에서 뜻이 분명하다 — $\hat H\psi_n =E_n\psi_n$ 이므로 $\hat U(t)\psi_n=e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n$ 이고, 이것을 전개식에 적용하면 정확히 위의 일반해가 나온다. 슈뢰딩거 방정식은 “시간 이동이 유니터리이고 그 생성자가 에너지”라는 한 문장의 미분형이다. 1절에서 방정식을 요구했던 것이, 이 관점에서는 확률 보존(3절)과 에너지 = 시간 이동의 생성자(5.7.3)라는 두 원리에서 나온다.

이 연산자로 상태가 얼마나 빨리 변하는지도 잴 수 있다. 초기 상태와 시각 $t$ 의 상태의 겹침 상관 진폭

C(t)=\int\Psi^{*}(x,0)\,\Psi(x,t)\,dx=\sum_n|c_n|^{2}e^{-iE_nt/\hbar}

은 $t=0$ 에서 1이고, 에너지가 $\Delta E$ 만큼 퍼져 있으면 위상들이 어긋나 $t\sim\hbar/\Delta E$ 안에 눈에 띄게 줄어든다. 정상 상태( $\Delta E=0$ )라면 $|C(t)|=1$ 로 영원히 변하지 않는다. 이것이 5절 끝에서 미룬 에너지–시간 불확정성의 정확한 내용이다 — $\Delta E\,\Delta t\gtrsim\hbar$ 의 $\Delta t$ 는 “계가 처음 상태에서 눈에 띄게 멀어지는 데 걸리는 시간”이고, 연속 스펙트럼이면 $C(t)$ 는 에너지 분포의 푸리에 변환이라 1.9.8의 로렌츠–지수 쌍이 그대로 나온다.

직관

물리적 직관 — 상태가 도는가, 연산자가 도는가. 지금까지는 상태 $\Psi$ 가 시간에 따라 변하고 연산자 $\hat x,\hat p$ 는 고정돼 있었다 — 슈뢰딩거 묘사. 기댓값 $\langle Q\rangle=\int\Psi^{*}(t)\hat Q\Psi(t)\,dx$ 에서 시간 의존을 $\hat U$ 를 통해 연산자 쪽으로 옮기면 $\hat Q(t)=\hat U^{\dagger}\hat Q\hat U$ 가 변하고 상태는 고정된 하이젠베르크 묘사가 된다(Sakurai §2.2). 어느 쪽이든 기댓값은 같다. 하이젠베르크 묘사에서 연산자의 운동 방정식은 $d\hat Q/dt=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat Q]$ 이고, $\hat x,\hat p$ 에 적용하면 $d\hat x/dt=\hat p/m$ , $d\hat p/dt=-\partial V/\partial x$ — 4절의 에렌페스트 정리가 기댓값을 취하기 전의 연산자 등식으로 나온다. 고전역학의 해밀턴 방정식과 꼴이 같다는 것이 이 묘사의 매력이고, 5.4·5.7에서 대칭성과 보존 법칙을 다룰 때 이 꼴을 쓴다.

자유 입자 — 정상 상태가 없는 경우

$V=0$ 이면 시간 무관 방정식의 해는 $e^{\pm ikx}$ , $E=\hbar^{2}k^{2}/2m$ 으로 모든 $E>0$ 에 대해 있지만 어느 것도 규격화되지 않는다(3절). 자유 입자에는 정상 상태가 없다 — 에너지가 확정된 자유 입자는 존재하지 않는다. 그래도 일반해의 처방은 살아 있다. 합이 적분으로 바뀔 뿐이다:

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,e^{i(kx-\hbar k^{2}t/2m)}\,dk

5절의 푸리에 전개에 각 $k$ 의 위상 인자를 붙인 것이다. 각 성분의 위상 속도 $\omega/k=\hbar k/2m$ 과 파속 전체가 움직이는 군속도 $d\omega/dk=\hbar k/m$ 이 2배 다르다 — 고전 입자의 속도 $p/m$ 에 대응하는 것은 군속도다(3.2.11). 파속이 왜 퍼지는지, 얼마나 빨리 퍼지는지는 5.3.4에서 이 적분을 가우스 $\phi(k)$ 로 실제로 계산해 본다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 슈뢰딩거 방정식은 에너지 보존을 파동의 언어로 옮긴 선형 방정식이고, 그 해는 확률 진폭이며, 시간은 정상 상태의 위상만 돌린다. 목적지를 적어 둔다.

다음 장들. 5.3이 이 장의 방정식을 무한 우물·조화진동자·자유 입자·델타·유한 우물·장벽에 실제로 푼다 — 6절의 곡률 직관과 7절의 처방이 도구다. 5.4가 2·4절의 “기댓값·연산자·확률”을 힐베르트 공간의 언어로 다시 세우고 5절의 불확정성을 증명한다. 5.7이 1·4절의 “생성자”를 대칭성으로 일반화하고, 5.8이 3절의 위상 $S$ 에서 WKB를 만든다.
밴드 이론 (7부) — 주기 $V(x)$ 의 정상 상태(블로흐 함수), 결정 운동량, 유효질량. 이 장의 $m$ 이 $m^{*}$ 로 바뀌는 자리.
양자 구속 (13·14·17부) — 반전층 부밴드, 나노시트 채널의 문턱 전압 이동, 양자우물 검출기·레이저. 6절의 고유값 문제 + 5절의 구속 에너지.
터널링 (12·15부) — 3절의 확률 흐름으로 정의한 투과 계수, 게이트 누설, 플래시 터널 산화막, 공진 터널링 다이오드(12.11).
양자 수송 시뮬레이션 (20.7) — 슈뢰딩거–푸아송(2절의 $|\psi|^{2}$ = 밀도), 전달 행렬(6절의 조각 잇기), 란다우어(3절의 흐름), NEGF.
광소자 (17부) — 7절의 $\hbar\omega=E_2-E_1$ , $\lambda=1.24/E$ . 흡수·발광은 정상 상태 사이의 천이이고, 5.9가 그 천이율을 계산한다.