5부 양자역학 5.3

1차원 퍼텐셜

5.2는 슈뢰딩거 방정식을 세우고 끝났다. 이 장은 그 방정식을 실제로 풀 수 있는 몇 안 되는 퍼텐셜에 대해 끝까지 푼다. 무한 우물, 조화진동자, 자유 입자, 델타 함수, 유한 우물, 계단과 장벽 — 여섯이 전부이고, 이 여섯이 양자역학의 어휘다. 뒤에 나오는 어떤 문제도 결국 이 여섯 중 하나를 닮았거나, 이 여섯을 이어 붙인 것이거나, 이 여섯 중 하나로 근사된다.

반도체 쪽에서 보면 이 장은 소자 물리의 절반이다. 전자가 느끼는 퍼텐셜 $V(x)$ 자리에 전도대 바닥 $E_c(x)$ 를, 질량 $m$ 자리에 유효질량 $m^{*}$ 를 넣으면 —

양자우물·반전층·나노시트 채널의 서브밴드는 1절과 6절의 우물이고(13.1, 14.9, 17.4),
포논과 란다우 준위는 2절의 진동자이며(7.4, 7.5),
밴드 속 전자의 속도 $v = \hbar^{-1}\,dE/dk$ 와 유효질량은 4절의 파속 논의에서 정의가 나오고(7.7),
게이트 산화막 누설, 플래시의 쓰기·지우기, 터널 다이오드, 오믹 접촉의 전계 방출은 전부 7·8절의 터널링이다(12.6, 12.11, 13.4, 15.6).

정상상태 — 이 장이 푸는 방정식

5.2에서 정한 것을 한 번만 되짚는다. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식

i\hbar\,\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} + V(x)\,\Psi

에서 퍼텐셜이 시간에 안 걸리면 변수분리 $\Psi(x,t)=\psi(x)\,\varphi(t)$ 가 된다 (1.7.4변수분리법). 시간 부분은 언제나 $\varphi(t)=e^{-iEt/\hbar}$ 이고, 공간 부분이 이 장의 방정식 — 시간 독립 슈뢰딩거 방정식이다.

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V(x)\,\psi = E\,\psi

분리 상수 $E$ 가 에너지다. 이 방정식의 해 $\psi(x)$ 로 만든 $\Psi=\psi\,e^{-iEt/\hbar}$ 를 정상상태라 부르는 이유는, $|\Psi|^{2}=|\psi|^{2}$ 이고 모든 기대값이 시간에 안 걸리기 때문이다. 정상상태 자체는 아무것도 하지 않는다. 움직이는 것은 정상상태들의 겹침이다.

\Psi(x,t)=\sum_{n} c_{n}\,\psi_{n}(x)\,e^{-iE_{n}t/\hbar}

이 한 줄이 이 장의 모든 절이 향하는 목적지다. 퍼텐셜마다 $\{\psi_n, E_n\}$ 을 구해 두면 초기 상태 $\Psi(x,0)$ 가 무엇이든 $c_n=\int\psi_n^{*}\Psi(x,0)\,dx$ 로 계수를 읽어 시간 발전을 쓸 수 있다. 계수를 그렇게 읽을 수 있는 것은 $\psi_n$ 들이 직교하고 완전하기 때문인데, 그것은 증명할 필요가 없다. 위 방정식은 $p=\hbar^{2}/2m$ , $q=-V$ , $w=1$ 인 스투름–리우빌 문제이고(1.6.1자체 수반 형식과 에르미트 연산자), 직교성·실수 고유값·완전성·마디 정리가 전부 거기서 따라온다. 이 장은 그 일반론이 구체적인 퍼텐셜에서 어떤 얼굴로 나타나는가를 본다.

직관

두 종류의 해가 있다 — 속박상태와 산란상태. 퍼텐셜이 양 끝에서 어디로 가는지가 갈림길이다. $E$ 가 $V(-\infty)$ 와 $V(+\infty)$ 둘 다보다 낮으면 입자는 빠져나갈 수 없고, 파동함수가 양쪽에서 지수적으로 죽어 정규화된다 — 속박상태. 에너지는 이산이다(1·2·5·6절). $E$ 가 어느 한쪽보다라도 높으면 그쪽으로 달아날 수 있고, 파동함수가 무한대에서 진동하며 정규화되지 않는다 — 산란상태. 에너지는 연속이다(4·5·7·8절).

고전역학에서는 세 번째 경우 — 양쪽보다 낮지만 가운데 장벽에 갇힌 — 가 있지만 양자역학에는 없다. 장벽은 터널링으로 새기 때문이다(8절). 그래서 판정에는 $V(\pm\infty)$ 만 들어간다. 실제 퍼텐셜은 거의 전부 무한대에서 상수로 가고(대개 $0$ ), 그러면 $E<0$ 이 속박, $E>0$ 이 산란이다.

표기 — 이 장에서 쓰는 기호

표기는 Griffiths를 기준으로 한다. 이 장에는 대소문자만 다른 짝과 같은 글자가 절마다 다른 뜻인 경우가 유난히 많다. 먼저 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\Psi(x,t)$	대문자 프사이	시간까지 든 전체 파동함수	$\mathrm{m}^{-1/2}$
$\psi(x)$	소문자 프사이	정상상태의 공간 부분. $\Psi=\psi\,e^{-iEt/\hbar}$	$\mathrm{m}^{-1/2}$
$E$		에너지. 이 장에서 전기장은 안 나온다 — 8절 끝에 한 번 나오면 $\mathcal{E}$ 로 쓴다	J, eV
$E_n$		$n$ 번째 허용 에너지(고유값)
$V(x)$ , $V_0$		퍼텐셜 에너지와 그 높이·깊이. 전압이 아니다	J, eV
$k$		파수 $\sqrt{2mE}/\hbar$ (허용 영역, 진동). 볼츠만 상수가 아니다	$\mathrm{m}^{-1}$
$\kappa$	카파	감쇠 상수 $\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ (금지 영역, 지수 감쇠)	$\mathrm{m}^{-1}$
$\ell$	엘	유한 우물 안쪽의 파수 $\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar$ (6절)	$\mathrm{m}^{-1}$
$n$		양자수. 우물은 $n=1,2,\dots$ , 진동자는 $n=0,1,\dots$ — 전자 농도가 아니다
$m$		입자의 질량. 반도체 안에서는 유효질량 $m^{*}$ 로 바꿔 읽는다	kg
$a$		1절: 우물 폭( $0<x<a$ ). 6절: 우물 반폭( $-a<x<a$ ). 7·8절: 장벽 폭	m
$a_{\pm}$	에이 플러스·마이너스	2절의 사다리 연산자 — 길이가 아니다
$\omega$	오메가	진동자의 고전 각진동수(2·3절), 파동의 각진동수 $E/\hbar$ (4절)	$\mathrm{s}^{-1}$
$\xi$ , $K$	크시, 케이	무차원 좌표 $\sqrt{m\omega/\hbar}\,x$ 와 무차원 에너지 $2E/\hbar\omega$ (3절)
$\alpha$	알파	델타 퍼텐셜의 세기 $V=-\alpha\,\delta(x)$ (5절)	$\mathrm{J{\cdot}m}$
$A, B, F$		입사·반사·투과 진폭(5·7절). $C, D$ 는 가운데 영역의 진폭
$R$ , $T$		반사·투과 계수 — 확률의 비. 저항도 온도도 운동에너지도 아니다
$J$		확률 흐름(8절). 전류 밀도가 아니다	$\mathrm{s}^{-1}$
$\sigma_x$ , $\sigma_p$	시그마	위치·운동량의 표준편차(4절)

주의

$a$ 가 세 가지다. Griffiths는 무한 우물을 $0<x<a$ 에, 유한 우물을 $-a<x<a$ 에 둔다. 같은 글자가 앞에서는 폭이고 뒤에서는 반폭이라, 6절의 결과를 1절과 비교할 때 폭이 $2a$ 라는 것을 잊으면 준위가 네 배 틀린다. 그리고 2절의 $a_{\pm}$ 는 길이가 아니라 연산자다 — 첨자가 붙어 있으면 연산자, 없으면 길이.

$k$ 와 $\kappa$ 는 같은 식의 두 얼굴이다. $E>V$ 인 곳에서는 $\psi''=-k^{2}\psi$ 라 진동하고, $E<V$ 인 곳에서는 $\psi''=+\kappa^{2}\psi$ 라 지수적이다. $\kappa=ik$ 로 두면 한 식이 된다. 이 장의 산란 문제는 전부 “어느 영역이 진동이고 어느 영역이 감쇠인가”를 먼저 갈라 놓고 경계에서 이어 붙이는 일이다.

이어 붙이는 규칙도 한 번만 적어 둔다. $\psi$ 는 언제나 연속이고, $\psi'$ 은 $V$ 가 유한한 곳에서 연속이다. $V$ 가 무한대로 뛰는 곳(1절의 벽)에서는 $\psi'$ 이 불연속일 수 있고, $V$ 에 델타 함수가 있는 곳(5절)에서는 $\psi'$ 이 정해진 크기만큼 뛴다. 세 경우 모두 슈뢰딩거 방정식을 경계 양옆의 좁은 구간에서 적분하면 나온다 — 5절에서 그 계산을 한다.

무한 우물

벽 사이의 정상파

가장 단순한 퍼텐셜이다. 폭 $a$ 의 구간 안에서는 $V=0$ , 밖에서는 $V=\infty$ .

V(x)= \begin{cases} 0, & 0\le x\le a\\[2pt] \infty, & \text{그 밖} \end{cases}

밖에서는 $\psi=0$ 이다 — 무한히 높은 벽을 넘어갈 확률은 0이다. 안에서는 $V=0$ 이라

\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\psi, \qquad k\equiv\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

고전 조화진동자 방정식과 같은 꼴이고(1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수), 일반해는 $\psi=A\sin kx+B\cos kx$ 다. 경계에서 $\psi$ 는 연속이어야 하므로 $\psi(0)=\psi(a)=0$ . 첫 조건이 $B=0$ 을, 둘째 조건이 $\sin ka=0$ 을 준다. $k=0$ 은 $\psi\equiv0$ 이라 버리고, 음수 $k$ 는 $\sin(-kx)=-\sin kx$ 라 부호만 바뀌어 새 해가 아니다. 남는 것은

k_n=\frac{n\pi}{a}, \qquad n=1,2,3,\dots

이고, 따라서 에너지는

E_n=\frac{\hbar^{2}k_n^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}

정규화 $\int_0^a|A|^{2}\sin^{2}(n\pi x/a)\,dx=|A|^{2}a/2=1$ 에서 $|A|=\sqrt{2/a}$ 이고, 위상은 아무래도 좋으니 실수로 고른다.

\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)

그림 5.3-1. 폭 a의 무한 우물 안에 정상상태 ψ_n(n = 1, 2, 3, 4)을 각각의 에너지 높이 E_n = n²E₁에 얹은 그림. 준위 간격은 위로 갈수록 벌어지고(3E₁, 5E₁, 7E₁, …), n번째 파동함수는 안쪽에 마디가 n − 1개다. 벽 밖은 V = ∞라 파동함수가 정확히 0이며, 벽에서 ψ는 0이지만 ψ′은 0이 아니다 — 벽 안쪽으로 꺾여 들어온다.직접 작도

직관

양자화는 경계조건에서 온다. 방정식 $\psi''=-k^{2}\psi$ 자체는 $k$ 가 무엇이든 해가 있다. $k$ 를 걸러 내는 것은 두 벽에서 $\psi=0$ 이어야 한다는 조건이고, 그 조건이 파장을 “우물에 반파장이 정수 번 들어맞는 것”으로 제한한다 — $a=n\lambda/2$ . 기타 줄이 특정 진동수로만 우는 것과 같은 논리이고, 1.6.2ODE 고유값 문제와 경계 조건의 그림이 정확히 이것이었다. 거기서 $\lambda$ 라 쓴 고유값이 여기서는 $2mE/\hbar^{2}$ 다.

공간적으로는 정상파다. 진행파 $e^{ikx}$ 와 $e^{-ikx}$ 가 같은 무게로 겹쳐 $\sin kx$ 가 되었다 — 오른쪽으로 가는 성분과 왼쪽으로 가는 성분이 반반이라 운동량의 기대값은 0이고, 그래도 $\langle p^{2}\rangle=\hbar^{2}k_n^{2}$ 는 0이 아니다. 우물 안의 입자는 “멈춰 있는” 것이 아니라 “양쪽으로 똑같이 가고 있는” 것이다.

해가 가진 성질 넷

Griffiths가 정리한 대로 네 가지가 따라오고, 넷 다 이 우물만의 것이 아니라 모든 1차원 속박상태의 성질이다.

패리티. 우물 중심 $x=a/2$ 에 대해 $\psi_1$ 은 우함수, $\psi_2$ 는 기함수, 번갈아 간다. 퍼텐셜이 대칭이면 해를 언제나 우·기로 고를 수 있다 — 6절에서 이것을 써서 계산을 반으로 줄인다.
마디. $\psi_n$ 은 안쪽에 영점이 $n-1$ 개다. 위로 갈수록 하나씩 는다. 스투름의 진동 정리 그대로이고, 어떤 상태가 몇 번째인지를 값이 아니라 모양으로 읽는 방법이다.
직교성. $\int\psi_m^{*}\psi_n\,dx=\delta_{mn}$ . 삼각함수 적분으로 직접 확인되지만, 확인할 필요가 없다 — 에르미트 연산자의 서로 다른 고유값에 속한 고유함수는 직교한다 (1.6.3고유함수의 직교성과 실수 고유값).
완전성. 구간 $[0,a]$ 의 어떤 함수도 $f(x)=\sum c_n\psi_n(x)$ 로 쓸 수 있다. 이것은 푸리에 사인 급수다(1.6.4직교 함수계와 일반화 푸리에 급수). 계수는 직교성으로 읽는다 — 푸리에의 요령:

c_n=\int_0^a\psi_n^{*}(x)\,f(x)\,dx

에너지 척도 — 좁을수록, 가벼울수록 높다

$E_n\propto n^{2}/(ma^{2})$ 다. 세 파라미터가 각각 무엇을 하는지 적어 둔다.

파라미터	올리면	이유
폭 $a$	준위 전체가 $1/a^{2}$ 로 내려온다, 간격도 좁아진다	파장이 $a$ 에 묶여 있어 $k\propto1/a$
질량 $m$	준위가 $1/m$ 로 내려온다	같은 $k$ 에서 $E=\hbar^{2}k^{2}/2m$
양자수 $n$	$n^{2}$ 으로 올라간다 — 간격 $E_{n+1}-E_n=(2n+1)E_1$ 이 벌어진다	반파장이 하나 늘 때마다 $k$ 가 $\pi/a$ 씩

수치를 넣어 본다. 자유 전자( $m=m_0$ )를 폭 1 nm 우물에 넣으면 $E_1=0.376\ \text{eV}$ , 10 nm면 $3.76\ \text{meV}$ . 그런데 GaAs 양자우물의 전자는 $m^{*}=0.067m_0$ 라, 폭 10 nm에서 $E_1=56\ \text{meV}$ 이고 $E_2=224\ \text{meV}$ 다. 상온 열에너지 $k_BT=26\ \text{meV}$ 보다 준위 간격이 훨씬 크다 — 상온에서도 양자화가 보이는 이유이고, 양자우물 레이저의 발진 파장을 우물 폭으로 설계하는 근거다(17.4). 실리콘 나노시트는 유효질량이 더 무거워 ( $m^{*}\approx0.92m_0$ 또는 $0.19m_0$ , 방향에 따라) 같은 폭에서 준위가 낮지만, 폭이 5 nm 아래로 가면 역시 수십 meV가 되어 문턱전압을 밀어 올린다(14.9).

정상상태는 멈춰 있고, 겹침은 움직인다

정상상태 하나의 시간 발전은 위상뿐이다.

\Psi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)e^{-iE_nt/\hbar}, \qquad |\Psi_n|^{2}=\frac{2}{a}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)

확률 밀도가 시간에 안 걸린다. 그러니 정상상태의 전자는 복사도 하지 않고 이동도 하지 않는다 — 보어가 가정으로 넣었던 “정상 궤도”가 여기서는 결과다. 움직임은 겹침에서 나온다. 두 상태를 같은 무게로 겹치면

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt2}\bigl[\psi_1e^{-iE_1t/\hbar}+\psi_2e^{-iE_2t/\hbar}\bigr]

|\Psi|^{2}=\tfrac12\psi_1^{2}+\tfrac12\psi_2^{2}+\psi_1\psi_2\cos\!\left(\frac{E_2-E_1}{\hbar}t\right)

교차항이 두 에너지의 차로 진동한다. 각 항의 절대 위상은 사라지고 차이만 남는다.

그림 5.3-2. 무한 우물의 바닥상태와 첫 들뜬상태를 같은 무게로 겹친 상태의 확률 밀도를 t = 0, T/4, T/2에서 그린 것. 밀도가 왼쪽에 몰렸다가 오른쪽으로 옮겨 가고, 기대값 ⟨x⟩(점)가 주기 T = 2πħ/(E₂ − E₁)로 왕복한다. 점선은 정상상태 ψ₁ 하나의 밀도로, 시간이 지나도 변하지 않는다 — 움직이는 것은 언제나 둘 이상의 겹침이다.직접 작도

계수를 읽는 예 — 삼각형 초기 상태

Griffiths 예제 2.2. $\Psi(x,0)=Ax(a-x)$ 로 놓으면 정규화에서 $A=\sqrt{30/a^{5}}$ 이고, 푸리에의 요령으로

c_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sqrt{\frac{30}{a^{5}}}\int_0^a\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)x(a-x)\,dx =\frac{4\sqrt{15}}{(n\pi)^{3}}\,\bigl[1-(-1)^{n}\bigr]

짝수 $n$ 은 0이다 — 초기 상태가 중심 대칭(우함수)이라 기함수 $\psi_{2,4,\dots}$ 와 직교한다. 홀수 $n$ 에서 $c_n=8\sqrt{15}/(n\pi)^{3}$ 이고, $|c_1|^{2}=960/\pi^{6}\approx0.9986$ 이다. 포물선이 사인과 그만큼 닮았다는 뜻이고, $\sum|c_n|^{2}=1$ 은 $\sum_{\text{홀수}}1/n^{6}=\pi^{6}/960$ 이라는 급수 항등식이 된다(1.5.1무한급수와 수렴 판정). 평균 에너지는

\langle H\rangle=\sum_n|c_n|^{2}E_n=\frac{960}{\pi^{6}}\cdot\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \sum_{\text{홀수 }n}\frac{1}{n^{4}}=\frac{5\hbar^{2}}{ma^{2}}

$E_1=4.93\,\hbar^{2}/ma^{2}$ 보다 조금 위다 — 바닥에 99.9 % 있으니 그럴 만하다.

상자 하나로 셋을 — 3차원 상자

Halliday 39장의 확장이다. $L_x\times L_y\times L_z$ 상자에서는 변수분리로 세 방향이 독립이고

E_{n_xn_yn_z}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{n_x^{2}}{L_x^{2}}+\frac{n_y^{2}}{L_y^{2}}+\frac{n_z^{2}}{L_z^{2}}\right)

정육면체면 $(n_x,n_y,n_z)$ 의 순열이 같은 에너지를 주어 축퇴가 생긴다 — $(1,1,2)$ , $(1,2,1)$ , $(2,1,1)$ 이 셋 다 $6E_1$ 이다. 대칭성이 축퇴를 낳는 첫 예이고(5.7), 한 방향만 좁으면 그 방향만 양자화되어 양자우물(2차원 전자), 두 방향이면 양자선, 세 방향이면 양자점이다. 3차원 문제는 5.5에서 정면으로 다룬다 — 여기서는 1차원 결과를 세 번 더한 것뿐이라는 사실만 챙긴다.

조화진동자 — 대수적 방법

왜 진동자인가

퍼텐셜이 어떤 모양이든 극소점 근처는 포물선이다. $x_0$ 에서 전개하면

V(x)\approx V(x_0)+\tfrac12V''(x_0)\,(x-x_0)^{2}

이고 1차 항은 극소라서 없다. 그러니 작은 진동은 전부 조화진동자이고, 용수철 상수 $k_s=V''(x_0)$ , 각진동수 $\omega=\sqrt{k_s/m}$ 다. 격자 진동(포논)이 이것이고(7.4), 분자의 진동 스펙트럼이 이것이며, 자기장 속 전자의 궤도 운동(란다우 준위)과 전자기장의 각 모드 (광자)까지 수학적으로 같은 문제다. 이 절에서 쓰는 방정식은

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac12m\omega^{2}x^{2}\psi=E\psi

이고, Griffiths를 따라 두 번 푼다. 이 절은 대수적 방법 — 미분방정식을 한 줄도 풀지 않고 연산자의 교환 관계만으로 스펙트럼을 얻는다. 다음 절은 해석적 방법 — 급수로 정면 돌파해 파동함수의 꼴을 얻는다.

인수분해 — 사다리 연산자

해밀토니안을 운동량 연산자 $\hat p=-i\hbar\,d/dx$ 로 쓰면 $\hat H=\frac{1}{2m}\bigl[\hat p^{2}+(m\omega\hat x)^{2}\bigr]$ 이다. 제곱의 합은 복소수라면 $u^{2}+v^{2}=(iu+v)(-iu+v)$ 로 인수분해된다. 연산자는 교환하지 않아 정확히는 아니지만, 그 어긋남이 오히려 전부다. 정의한다.

a_{\pm}\equiv\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\bigl(\mp i\hat p+m\omega\hat x\bigr)

$a_{-}$ 와 $a_{+}$ 는 서로 에르미트 켤레다( $\hat x$ , $\hat p$ 가 에르미트이므로). 곱을 계산하면

a_{-}a_{+}=\frac{1}{2\hbar m\omega}\bigl[\hat p^{2}+(m\omega\hat x)^{2}-im\omega(\hat x\hat p-\hat p\hat x)\bigr] =\frac{1}{\hbar\omega}\hat H+\frac12

마지막에 정준 교환 관계 $[\hat x,\hat p]=i\hbar$ 를 썼다. 순서를 바꾸면 부호 하나가 뒤집혀 $a_{+}a_{-}=\hat H/\hbar\omega-\tfrac12$ 이고, 둘을 빼면

[a_{-},a_{+}]=1, \qquad \hat H=\hbar\omega\Bigl(a_{+}a_{-}+\tfrac12\Bigr)=\hbar\omega\Bigl(a_{-}a_{+}-\tfrac12\Bigr)

이 두 줄이 이 절의 전부다. 나머지는 이 두 줄의 결과다.

한 칸씩 오르내린다

$\hat H\psi=E\psi$ 인 $\psi$ 가 있다고 하자. $a_{+}\psi$ 에 $\hat H$ 를 걸면

\begin{aligned} \hat H(a_{+}\psi) &=\hbar\omega\Bigl(a_{+}a_{-}+\tfrac12\Bigr)a_{+}\psi =\hbar\omega\,a_{+}\Bigl(a_{-}a_{+}+\tfrac12\Bigr)\psi\\[2pt] &=a_{+}\,\hbar\omega\Bigl(a_{+}a_{-}+1+\tfrac12\Bigr)\psi =a_{+}(\hat H+\hbar\omega)\psi =(E+\hbar\omega)(a_{+}\psi) \end{aligned}

가운데에서 $a_{-}a_{+}=a_{+}a_{-}+1$ 을 썼다. 같은 계산으로 $\hat H(a_{-}\psi)=(E-\hbar\omega)(a_{-}\psi)$ . 그러니 해 하나를 알면 $\hbar\omega$ 간격의 해 전부를 안다 — $a_{+}$ 는 한 칸 올리는 올림 연산자, $a_{-}$ 는 한 칸 내리는 내림 연산자다. 둘을 합쳐 사다리 연산자라 부른다.

그림 5.3-3. 조화진동자의 등간격 준위 E_n = (n + ½)ħω를 사다리로 그리고, 올림 연산자 a₊가 인자 √(n+1)을 붙여 한 칸 올리고 내림 연산자 a₋가 인자 √n을 붙여 한 칸 내리는 것을 화살표로 나타낸 그림. 바닥에서는 a₋ψ₀ = 0이라 사다리가 끝나고, 이 조건 하나가 바닥 파동함수와 바닥 에너지 ½ħω를 정한다.직접 작도

내림을 반복하면 에너지가 $\hbar\omega$ 씩 줄어 언젠가 음수가 된다. 그런데 에너지는 음수가 될 수 없다 — $\hat H=\hbar\omega(a_{+}a_{-}+\frac12)$ 의 기대값은 $\hbar\omega\bigl(\lVert a_{-}\psi\rVert^{2}+\frac12\bigr)\ge\frac12\hbar\omega$ 이기 때문이다. 모순을 피하는 길은 하나뿐이다. 어느 단에서 $a_{-}\psi=0$ 이 되어 사다리가 끝나야 한다. 그 단이 바닥상태 $\psi_0$ 이고, 조건은 1계 미분방정식이다.

a_{-}\psi_0=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{d\psi_0}{dx}=-\frac{m\omega}{\hbar}x\,\psi_0 \;\Longrightarrow\; \psi_0(x)=\Bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar}

가우시안이다. 에너지는 $\hat H\psi_0=\hbar\omega(a_{+}a_{-}+\frac12)\psi_0=\frac12\hbar\omega\,\psi_0$ 에서 바로 읽힌다. 이제 올라간다.

\psi_n=A_n\,(a_{+})^{n}\psi_0, \qquad E_n=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega, \qquad n=0,1,2,\dots

정규화 상수 — 내리면 √n, 올리면 √(n+1)

$A_n$ 을 정하려면 $a_{\pm}$ 가 서로 켤레라는 사실을 쓴다. 임의의 $f, g$ 에 대해

\int f^{*}(a_{\pm}g)\,dx=\int(a_{\mp}f)^{*}g\,dx

(부분적분 한 번, 경계항은 정규화 가능한 함수라 죽는다). $a_{+}\psi_n=c_n\psi_{n+1}$ , $a_{-}\psi_n=d_n\psi_{n-1}$ 로 놓으면

\int|a_{+}\psi_n|^{2}dx=\int(a_{-}a_{+}\psi_n)^{*}\psi_n\,dx=(n+1)\int|\psi_n|^{2}dx

여기서 $a_{-}a_{+}=\hat H/\hbar\omega+\frac12$ 이 $\psi_n$ 에 $n+1$ 을 준다는 것을 썼다. 마찬가지로 $\int|a_{-}\psi_n|^{2}=n$ . 위상을 실수 양수로 고르면

a_{+}\psi_n=\sqrt{n+1}\,\psi_{n+1}, \qquad a_{-}\psi_n=\sqrt{n}\,\psi_{n-1}, \qquad \psi_n=\frac{1}{\sqrt{n!}}\,(a_{+})^{n}\psi_0

그리고 $a_{+}a_{-}\psi_n=n\psi_n$ — 이 곱은 몇 번째 단인가를 세는 연산자다. 직교성 $\int\psi_m^{*}\psi_n=\delta_{mn}$ 은 스투름–리우빌 일반론에서 오지만, 대수로도 된다: $\int\psi_m^{*}(a_{+}a_{-})\psi_n$ 을 두 방향으로 계산하면 $n\langle m|n\rangle=m\langle m|n\rangle$ .

직관

$\sqrt{n+1}$ 의 1 — 자발 방출. 포논에서 $a_{+}$ 는 격자 진동의 양자를 하나 만들고, $a_{-}$ 는 하나 없앤다(7.4). 전자가 포논을 방출하는 전이의 행렬 요소에는 $\sqrt{n+1}$ 이, 흡수에는 $\sqrt{n}$ 이 붙는다. 온도가 0이면 포논이 없어 $n=0$ 이고 흡수는 $\sqrt0=0$ 으로 막히지만, 방출은 $\sqrt1=1$ 로 여전히 일어난다 — 그것이 자발 방출이고, 저온에서 전자가 포논을 뿜어 식는 이유다. 유한 온도에서 $n$ 자리에 들어가는 것이 보즈 분포 $1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$ 이며(6부), 산란율의 온도 의존성이 통째로 여기서 나온다(11.2). 광자에서도 같은 구조다 — 자발 방출(LED)과 유도 방출(레이저)의 비가 $1:n$ 인 것이 $\sqrt{n+1}$ 의 제곱 $n+1$ 이다(17.3, 17.4).

기대값을 미분 없이

$a_{\pm}$ 의 정의를 거꾸로 풀면 위치와 운동량이 사다리 연산자로 써진다.

\hat x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\,(a_{+}+a_{-}), \qquad \hat p=i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}\,(a_{+}-a_{-})

$\psi_n$ 에서 $\langle x\rangle$ 은 $\langle n|a_{\pm}|n\rangle$ 이 $\psi_{n\pm1}$ 과의 내적이라 0이다 — $\langle p\rangle$ 도 0. 제곱은 $a_{+}a_{-}$ 와 $a_{-}a_{+}$ 만 살아남아

\langle x^{2}\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1), \qquad \langle p^{2}\rangle=\frac{\hbar m\omega}{2}(2n+1)

따라서 $\langle T\rangle=\langle p^{2}\rangle/2m=\frac12\bigl(n+\frac12\bigr)\hbar\omega=E_n/2$ 이고 $\langle V\rangle$ 도 $E_n/2$ — 운동에너지와 퍼텐셜에너지가 반반이다(비리얼 정리, 고전 진동자와 같다). 그리고

\sigma_x\sigma_p=\sqrt{\langle x^{2}\rangle\langle p^{2}\rangle}=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\ \ge\ \frac{\hbar}{2}

바닥상태가 정확히 등호다. 가우시안이 최소 불확정 상태라는 사실이 여기서 처음 나온다. 4절의 파속이 가우시안인 이유이기도 하다.

직관

두 척도 — 길이 $\sqrt{\hbar/m\omega}$ 와 에너지 $\hbar\omega$ . 바닥 파동함수의 폭이 $\ell_0=\sqrt{\hbar/m\omega}$ 다. 질량이 무겁거나 용수철이 딱딱하면 좁아진다. 실리콘의 광학 포논 $\hbar\omega=63\ \text{meV}$ 를 자유 전자 질량으로 환산하면 $\ell_0\approx1.1\ \text{nm}$ 이고, GaAs의 LO 포논 36 meV를 $m^{*}=0.067m_0$ 로 환산하면 5.6 nm — 후자는 사실상 자기장 속 전자의 자기 길이 $\ell_B=\sqrt{\hbar/eB}$ 와 같은 구조의 양이다. 사이클로트론 진동수 $\omega_c=eB/m^{*}$ 를 넣으면 $\sqrt{\hbar/m^{*}\omega_c}=\ell_B$ 가 되기 때문이다. 란다우 준위 $(n+\frac12)\hbar\omega_c$ 와 그 파동함수는 1.5.11에르미트·라게르 다항식에 적혀 있다.

파라미터로 읽으면: $\omega\uparrow$ → 준위 간격 $\uparrow$ , 폭 $\downarrow$ . $m\uparrow$ → 간격 $\downarrow$ (같은 $k_s$ 라면), 폭 $\downarrow$ . 무한 우물과 달리 간격이 $n$ 에 안 걸린다 — 우물은 $E_n\propto n^{2}$ 이라 위로 갈수록 벌어지는데 진동자는 등간격이다. 벽이 부드러울수록 준위가 덜 벌어진다는 규칙이고, 3절 끝에서 일반화한다.

의문

왜 이 방법이 진동자에서만 되는가. $\hat H$ 가 $\hat x$ 와 $\hat p$ 의 이차식이라 “제곱의 합”으로 인수분해되고, 인수들의 교환자가 상수가 되어 사다리가 등간격이 된다. 다른 퍼텐셜에서는 인수분해가 되더라도 교환자가 상수가 아니라 사다리 간격이 단마다 다르다 (초대칭 양자역학이 그 일반화다). 수소 원자도 각운동량 쪽은 사다리로 풀린다(5.5) — 각운동량 연산자의 교환 관계가 진동자와 같은 구조이기 때문이다.

Sakurai는 $a_{-}$ 를 $a$ , $a_{+}$ 를 $a^{\dagger}$ 로 쓰고 $a^{\dagger}a$ 를 수 연산자 $N$ 이라 부른다. 같은 물건이고, 이 표기가 7부 이후의 표준이다. 표기만 다르고 정의는 같다: $a=\sqrt{m\omega/2\hbar}\,(\hat x+i\hat p/m\omega)$ .

조화진동자 — 해석적 방법

무차원화 — 단위를 벗긴다

같은 방정식을 이번에는 정면으로 푼다. 먼저 단위를 벗긴다. 길이를 $\sqrt{\hbar/m\omega}$ 로, 에너지를 $\frac12\hbar\omega$ 로 재면

\xi\equiv\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x, \qquad K\equiv\frac{2E}{\hbar\omega} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{d^{2}\psi}{d\xi^{2}}=(\xi^{2}-K)\,\psi

상수가 하나도 안 남았다. 답은 $K$ 가 어떤 값일 때 정규화 가능한 해가 있는가이고, 물리 파라미터 $m$ , $\omega$ , $\hbar$ 는 답을 얻은 뒤 $E=\frac12K\hbar\omega$ 로 되돌리면 된다.

무한대에서의 행동이 꼴을 정한다

$\xi$ 가 크면 $K$ 는 무시되어 $\psi''\approx\xi^{2}\psi$ 이고, 이 방정식의 해는 근사적으로 $e^{\pm\xi^{2}/2}$ 다. 확인하면 $\frac{d^{2}}{d\xi^{2}}e^{-\xi^{2}/2}=(\xi^{2}-1)e^{-\xi^{2}/2}\approx\xi^{2}e^{-\xi^{2}/2}$ 이다. 정규화하려면 $+$ 는 버려야 한다. 그래서 점근 인자를 떼어 낸다.

\psi(\xi)=h(\xi)\,e^{-\xi^{2}/2}

대입하면 $h$ 의 방정식이 나온다.

\frac{d^{2}h}{d\xi^{2}}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)\,h=0

에르미트 방정식이다(1.5.11에르미트·라게르 다항식). 원점이 정상점이라 거듭제곱 급수 $h=\sum_{j=0}^{\infty}a_j\xi^{j}$ 를 넣으면 되고(1.5.4거듭제곱 급수법), $\xi^{j}$ 의 계수를 모으면 점화식이 나온다.

a_{j+2}=\frac{2j+1-K}{(j+1)(j+2)}\,a_j

$a_0$ 이 짝수 항 전부를, $a_1$ 이 홀수 항 전부를 정한다 — 2계 ODE답게 자유 상수 둘, 그리고 우함수 해와 기함수 해가 자동으로 갈린다.

끊어져야 산다 — 양자화

큰 $j$ 에서 점화식은 $a_{j+2}\approx\frac{2}{j}a_j$ 이고, 이것의 해는 $a_j\approx C/(j/2)!$ 이다. 그러면

h(\xi)\approx C\sum\frac{\xi^{j}}{(j/2)!}=C\sum_{k}\frac{\xi^{2k}}{k!}=C\,e^{\xi^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad \psi\approx C\,e^{+\xi^{2}/2}

버렸던 바로 그 해가 급수 뒤로 돌아온다. 점근 인자를 떼어 냈는데도 급수가 무한히 이어지면 결국 같은 발산으로 간다. 살아남는 길은 급수가 다항식으로 끊어지는 것뿐이다. 어느 $j=n$ 에서 분자 $2n+1-K=0$ 이면 $a_{n+2}=a_{n+4}=\cdots=0$ 이고(다른 패리티의 급수는 $a_0$ 또는 $a_1$ 을 0으로 놓아 죽인다), 그 조건이

K=2n+1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad E_n=\Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega

2절과 같은 답이 전혀 다른 길로 나왔다.

그림 5.3-4. 무차원 방정식 ψ″ = (ξ² − K)ψ를 원점에서 ψ = 1, ψ′ = 0(우함수 조건)으로 출발해 바깥으로 수치 적분한 결과. K = 5(n = 2)에서는 해가 e^(−ξ²/2)로 줄어들어 정규화되지만, K = 4.6과 5.4에서는 커지는 해 e^(+ξ²/2)가 섞여 들어와 각각 −∞와 +∞로 달아난다. 정규화 조건이 허용 에너지를 K = 2n + 1로 잘라 내는 장면이고, K가 클수록 마디가 하나 더 생긴다 — 진동 정리다.직접 작도

직관

두 종류의 양자화, 한 가지 논리. 무한 우물에서는 벽에서 $\psi=0$ 이라는 조건이 $k$ 를 걸렀다. 진동자에는 벽이 없다. 대신 무한대에서 $\psi\to0$ 이라는 조건 — 정규화 가능성 — 이 같은 일을 한다. 그림에서 보이듯 $K$ 를 연속으로 바꾸면 해는 언제나 존재하되, 특정 $K$ 에서만 무한대에서 죽는다. 벽이 무한대로 물러난 우물이라고 보면 된다. 1.6.2ODE 고유값 문제와 경계 조건의 “경계조건이 고유값을 이산으로 만든다”가 정확히 이 그림이고, 다른 점은 경계가 유한한 자리( $x=a$ )가 아니라 무한대에 있어 조건이 " $\psi=0$ " 대신 ” $\psi$ 가 발산하지 않는다”로 바뀐다는 것뿐이다.

수식적으로: $a_{j+2}/a_j\to2/j$ 는 $e^{\xi^{2}}$ 의 계수비 그 자체다. 급수가 어디로 수렴하는지는 계수비의 점근이 정한다 — $1/(1-x)$ 의 계수비가 1이면 반경 1, 여기서는 반경이 무한이지만 성장 속도가 $e^{\xi^{2}}$ 이라는 것까지 계수비가 말해 준다.

에르미트 함수

끊어진 다항식이 에르미트 다항식 $H_n(\xi)$ 이고, 최고차 계수가 $2^{n}$ 이 되게 정규화하는 것이 관례다. 처음 몇 개:

\begin{aligned} H_0&=1, & H_1&=2\xi, & H_2&=4\xi^{2}-2,\\[2pt] H_3&=8\xi^{3}-12\xi, & H_4&=16\xi^{4}-48\xi^{2}+12, & H_5&=32\xi^{5}-160\xi^{3}+120\xi \end{aligned}

정규화한 정상상태는

\psi_n(x)=\Bigl(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{1/4}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}\,H_n(\xi)\,e^{-\xi^{2}/2}

$n=0$ 을 넣으면 2절의 가우시안이고, $n=1$ 은 $\xi e^{-\xi^{2}/2}$ 에 상수 — 2절에서 $a_{+}\psi_0$ 을 손으로 계산해도 같다. 생성함수·점화식·로드리게스 공식·직교성(가중 $e^{-\xi^{2}}$ ) 은 1.5.11에르미트·라게르 다항식에 정리돼 있고, 거기서 이미 사다리 연산자 $(D\mp\xi)$ 로 $H_n$ 을 오르내리는 방법까지 적어 두었다 — 그것이 2절의 $a_{\pm}$ 를 무차원 좌표로 쓴 것이다.

고전 극한 — 회귀점에 몰린다

$n$ 이 크면 $|\psi_n|^{2}$ 이 어떻게 생겼는가. 같은 에너지의 고전 진동자는 회귀점 $\xi_t=\pm\sqrt{K}=\pm\sqrt{2n+1}$ 사이를 오가고, 한 위치에 머무는 시간은 속도에 반비례하므로 위치 분포는

\rho_{\text{고전}}(\xi)=\frac{1}{\pi\sqrt{\xi_t^{2}-\xi^{2}}}

중심에서 가장 낮고(가장 빠르다) 회귀점에서 발산한다(멈춘다). 양자 밀도는 빠르게 진동하되 그 포락선이 정확히 이 곡선을 따라간다.

그림 5.3-5. 조화진동자의 n = 12 정상상태 확률 밀도(실선)와, 같은 에너지의 고전 진동자가 각 위치에 머무는 시간 밀도 1/(π√(ξₜ² − ξ²))(점선). 양자 밀도는 마디 12개를 두고 진동하지만 그 평균은 고전 밀도를 따라가고, 회귀점 ±√(2n+1) 근처에서 가장 크며 그 밖으로 지수적으로 줄어든다. 바닥상태(n = 0)는 정반대로 중심에서 가장 크다 — 고전과 가장 멀다.직접 작도

직관

형태적 직관 — 바닥과 꼭대기가 반대다. $n=0$ 은 가우시안이라 중심이 가장 높고, 고전 분포는 중심이 가장 낮다. $n$ 이 커질수록 봉우리가 회귀점 쪽으로 밀려나 고전 분포에 다가간다 — 대응 원리. 진동 자체는 사라지지 않지만 진동 주기가 $\sim1/\sqrt{n}$ 으로 짧아져 어떤 측정 분해능으로도 평균만 보인다. 회귀점 밖의 꼬리(고전적으로 금지된 영역)는 $n$ 이 커져도 남지만, 전체 확률에서 차지하는 비율은 줄어든다.

그래프로 읽는 파라미터: 회귀점 $x_t=\sqrt{(2n+1)\hbar/m\omega}$ 는 $\sqrt{E}$ 로 벌어진다. 포논 하나의 진폭이 $\sqrt{\hbar/m\omega}$ 정도라는 것, 영점 진동이 원자를 평형점에서 $\ell_0/\sqrt2$ 만큼 흐려 놓는다는 것(회절 봉우리를 약하게 하는 디바이–월러 인자의 영점 부분, 7.2)이 여기서 읽힌다.

벽의 기울기와 준위의 간격

우물은 $E_n\propto n^{2}$ , 진동자는 $E_n\propto n$ . 사이에 무엇이 있는가. 퍼텐셜이 $V\propto|x|^{\nu}$ 이면 5.8의 WKB 근사가

E_n\ \propto\ n^{\,2\nu/(\nu+2)}

을 준다. $\nu=2$ 에서 $n^{1}$ , $\nu\to\infty$ (수직 벽)에서 $n^{2}$ , $\nu=1$ (삼각 우물)에서 $n^{2/3}$ 이다. 벽이 가파를수록 위로 갈수록 준위가 벌어지고, 벽이 완만할수록 촘촘해진다. MOS 반전층의 퍼텐셜은 표면에서 급하고 안쪽으로 완만한 삼각형에 가까워 서브밴드가 $n^{2/3}$ 꼴로 올라간다(13.1) — 이 규칙 하나로 세 우물의 스펙트럼이 한 줄에 놓인다.

자유 입자와 파속

가장 쉬워 보이는 문제가 가장 까다롭다

$V=0$ 이 어디서나 성립한다. 방정식은 우물 안과 같은 $\psi''=-k^{2}\psi$ , $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 이지만 이번에는 경계조건이 없다. 그러니 $k$ 를 거를 것이 없고, 에너지는 연속이다. 해는 지수함수로 쓰는 편이 좋다.

\psi_k(x)=A\,e^{ikx}, \qquad \Psi_k(x,t)=A\,e^{i(kx-\hbar k^{2}t/2m)}, \qquad k=\pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

$k>0$ 이면 오른쪽으로, $k<0$ 이면 왼쪽으로 가는 파다. $\Psi_k$ 는 $x-vt$ 의 함수이고 $v_p=\hbar|k|/2m=\sqrt{E/2m}$ — 이것이 위상속도다. 그런데 에너지 $E$ 의 고전 입자는 $\sqrt{2E/m}$ 으로 달린다. 두 배 차이가 난다. 그리고 더 근본적인 문제가 있다.

\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi_k|^{2}dx=|A|^{2}\int_{-\infty}^{\infty}dx=\infty

정규화가 안 된다. 그러니 자유 입자에는 정상상태가 없다 — 정확히 정해진 에너지를 가진 자유 입자는 존재하지 않는다. 두 문제는 같은 답으로 풀린다: $\Psi_k$ 는 상태가 아니라 부품이고, 물리적 상태는 부품을 연속으로 겹친 파속이다.

\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(k)\,e^{i(kx-\hbar k^{2}t/2m)}\,dk

$\phi(k)$ 는 1절의 $c_n$ 에 해당하는 계수인데, 지표가 연속이라 합이 적분이 되었다. 초기 조건에서 읽는 방법은 푸리에 변환이다(1.7.9푸리에 적분·변환에 의한 해, 플랑슈렐 정리).

\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,0)\,e^{-ikx}\,dx

$\phi(k)$ 가 좁으면 $\Psi$ 는 넓고, $\phi(k)$ 가 넓으면 $\Psi$ 는 좁다 — 불확정성 원리의 푸리에 판이다.

의문

정규화가 안 되는데 어떻게 쓰는가. 두 가지 편법이 있고 둘 다 뒤에서 계속 쓴다. ① 디랙 정규화 — $\int\psi_{k}^{*}\psi_{k'}\,dx=2\pi|A|^{2}\delta(k-k')$ 이니 $A=1/\sqrt{2\pi}$ 로 잡아 $\langle\psi_k|\psi_{k'}\rangle=\delta(k-k')$ 로 둔다 (1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념). 이산 상태의 $\delta_{mn}$ 이 델타 함수로 바뀐 것이고, 위의 파속 공식의 $1/\sqrt{2\pi}$ 가 여기서 온다. ② 상자 정규화 — 길이 $L$ 의 상자에 주기 경계조건 $\psi(x+L)=\psi(x)$ 를 걸면 $k=2\pi n/L$ 로 이산이 되고 정규화가 되며, 마지막에 $L\to\infty$ 로 보낸다. $dk$ 안의 상태 수가 $L\,dk/2\pi$ 라는 것이 여기서 나오고, 이것이 상태 밀도의 출발점이다(7.6). 둘 다 결과는 같다 — 물리량은 언제나 $\phi(k)$ 의 제곱 적분 같은 유한한 양으로만 나타나기 때문이다.

군속도 — 봉우리는 두 배로 달린다

$\phi(k)$ 가 $k_0$ 근처에 몰려 있다고 하자. 진동수 $\omega(k)=\hbar k^{2}/2m$ 을 $k_0$ 에서 전개하면 $\omega\approx\omega_0+\omega_0'(k-k_0)$ 이고, $s=k-k_0$ 로 두면

\Psi(x,t)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{i(-\omega_0+k_0\omega_0')t} \int\phi(k_0+s)\,e^{i(k_0+s)(x-\omega_0't)}\,ds

적분은 $x-\omega_0't$ 만의 함수다 — 즉 포락선 전체가 속도 $\omega_0'$ 으로 움직인다. 앞의 지수는 위상일 뿐이라 $|\Psi|^{2}$ 에 안 남는다. 따라서

v_g=\frac{d\omega}{dk}\Big|_{k_0}=\frac{\hbar k_0}{m}, \qquad v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{\hbar k_0}{2m}, \qquad v_g=2v_p=\sqrt{\frac{2E}{m}}

군속도가 고전 속도다. 두 배 역설은 “낱개 파의 속도”와 “봉우리의 속도”를 혼동한 것이었다.

그림 5.3-6. 자유 입자의 분산 관계 ω = ħk²/2m을 그린 포물선 위의 한 점 (k₀, ω₀)에서, 원점에서 그은 현의 기울기가 위상속도 ω₀/k₀ = ħk₀/2m이고 접선의 기울기가 군속도 dω/dk = ħk₀/m이다. 포물선이라 접선의 기울기가 현의 정확히 두 배이며, 파속의 봉우리는 낱개 파의 두 배 속도, 곧 고전 입자의 속도로 움직인다. 분산 관계가 직선(빛)이면 현과 접선이 겹쳐 둘이 같다.직접 작도

가우시안 파속 — 움직이면서 퍼진다

계산이 끝까지 되는 예가 가우시안이다(Griffiths 문제 2.22). $\Psi(x,0)=Ae^{-ax^{2}}$ 로 놓으면 $A=(2a/\pi)^{1/4}$ 이고 $\phi(k)$ 도 가우시안이다.

\phi(k)=\frac{1}{(2\pi a)^{1/4}}\,e^{-k^{2}/4a}

이것을 파속 공식에 넣고 가우시안 적분을 한 번 더 하면(제곱 완성)

\Psi(x,t)=\Bigl(\frac{2a}{\pi}\Bigr)^{1/4}\frac{e^{-ax^{2}/(1+2i\hbar at/m)}}{\sqrt{1+2i\hbar at/m}}, \qquad |\Psi|^{2}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,w\,e^{-2w^{2}x^{2}}, \quad w\equiv\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+\theta^{2}}}, \quad \theta\equiv\frac{2\hbar at}{m}

$|\Psi|^{2}$ 는 언제나 가우시안이고 $w$ 가 시간에 따라 줄어든다 — 폭이 는다. 표준편차로 쓰면 $\sigma_x=1/2w$ , $\sigma_p=\hbar\sqrt{a}$ 이고

\sigma_x\sigma_p=\frac{\hbar}{2}\sqrt{1+\theta^{2}}\ \ge\ \frac{\hbar}{2}

$t=0$ 에서 등호 — 2절에서 본 최소 불확정 상태 — 이고 시간이 가면 벌어진다. $\sigma_p$ 는 변하지 않는다. 자유 입자는 운동량이 보존되니 운동량 분포가 변할 이유가 없다. 변하는 것은 위치 분포뿐이다. 초기 폭 $\sigma_0=1/2\sqrt a$ 로 다시 쓰면 보기 좋은 꼴이 된다.

\sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+\Bigl(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^{2}}\Bigr)^{2}}, \qquad t_s\equiv\frac{2m\sigma_0^{2}}{\hbar}

$t_s$ 가 퍼짐 시간이다. 그 전에는 거의 안 퍼지고, 그 뒤에는 $\sigma_x\approx\sigma_0\,t/t_s =(\hbar/2m\sigma_0)\,t$ 로 등속 팽창한다 — 팽창 속도가 $\sigma_p/m$ , 곧 운동량 퍼짐이 만드는 속도 퍼짐이다. 평균 운동량 $\hbar k_0$ 를 주려면 초기 상태에 $e^{ik_0x}$ 를 곱하면 되고, 결과는 위 포락선의 중심이 $\hbar k_0t/m$ 으로 이동하는 것뿐이다.

그림 5.3-7. 평균 운동량 ħk₀를 가진 가우시안 파속의 확률 밀도를 t = 0, t_s, 2t_s(t_s = 2mσ₀²/ħ는 퍼짐 시간)에서 그린 것. 봉우리는 군속도 ħk₀/m로 등속 이동하고, 폭 σ(t) = σ₀√(1 + (ħt/2mσ₀²)²)은 1, 1.41, 2.24배로 늘며, 넓이는 언제나 1이다. 운동량 분포는 변하지 않는다 — 퍼지는 것은 위치 분포뿐이다.직접 작도

직관

왜 퍼지는가 — 앞은 빠르고 뒤는 느리다. 파속은 여러 $k$ 의 겹침이고 각 $k$ 의 군속도 $\hbar k/m$ 이 다르다. 큰 $k$ 성분이 앞서 나가고 작은 $k$ 성분이 뒤처져, 시간이 지나면 앞쪽은 짧은 파장, 뒤쪽은 긴 파장으로 정렬된다(처프). 퍼지는 이유는 $\omega(k)$ 가 직선이 아니라서 — $d^{2}\omega/dk^{2}=\hbar/m\ne0$ — 이고, 이 곡률이 클수록(가벼울수록) 빨리 퍼진다. 결정 속에서는 그 곡률의 역수가 유효질량 $m^{*}=\hbar^{2}/(d^{2}E/dk^{2})$ 이다. 파속을 퍼뜨리는 것과 힘에 대한 가속을 정하는 것이 같은 곡률이라, 가벼운 유효질량의 전자는 빨리 가속되고 빨리 퍼진다(7.7).

파라미터로 읽으면: $\sigma_0$ 를 반으로 줄이면 $t_s$ 는 넷으로 준다 — 좁게 만들수록 운동량이 넓게 섞여 더 빨리 무너진다. 수치: 전자를 $\sigma_0=1\ \text{nm}$ 로 만들면 $t_s=17\ \text{fs}$ , GaAs 전자( $m^{*}=0.067m_0$ )면 $1.2\ \text{fs}$ . 소자 안에서 전자를 “국소화된 입자”로 그리는 것이 얼마나 위태로운지가 이 수치다 — 반도체 수송 이론이 파속 대신 분포함수를 쓰는 이유이고(7.12, 11.2), 반대로 산란이 이 시간보다 훨씬 잦아 결맞음이 깨지는 것이 고전 그림을 구해 준다. 반면 1 g 먼지를 $1\ \mu\text{m}$ 로 국소화하면 $t_s\sim10^{19}\ \text{s}$ 다 — 우주의 나이보다 길어 고전 입자로 보인다.

델타 함수 퍼텐셜

가장 좁은 우물

퍼텐셜이 한 점에만 있다.

V(x)=-\alpha\,\delta(x), \qquad \alpha>0

델타 함수의 정의와 성질은 1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념에 있다 — 폭은 0, 높이는 무한, 넓이는 1. $\alpha$ 는 세기이고 단위가 에너지×길이다. 이 문제는 계산이 짧아 속박상태와 산란상태를 한 자리에서 비교하기에 가장 좋고, 두 가지 새 도구 — 도함수의 뜀 조건과 투과·반사 계수 — 를 여기서 처음 만든다. 원점 밖에서는 어디서나 $V=0$ 이라 $E<0$ 이 속박, $E>0$ 이 산란이다.

속박상태 — 딱 하나

$E<0$ 이다. $x\ne0$ 에서 방정식은 $\psi''=\kappa^{2}\psi$ , $\kappa=\sqrt{-2mE}/\hbar$ 이고 해는 $e^{\pm\kappa x}$ 다. 정규화하려면 왼쪽에서는 $e^{+\kappa x}$ 만, 오른쪽에서는 $e^{-\kappa x}$ 만 살아남는다.

\psi(x)= \begin{cases} A\,e^{\kappa x}, & x<0\\[2pt] F\,e^{-\kappa x}, & x>0 \end{cases}

원점에서 이어 붙인다. $\psi$ 의 연속에서 $F=A$ . $\psi'$ 은 — 여기가 새 도구다 — 슈뢰딩거 방정식을 $[-\epsilon,\epsilon]$ 에서 적분한다.

-\frac{\hbar^{2}}{2m}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}dx +\int_{-\epsilon}^{\epsilon}V\psi\,dx=E\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\psi\,dx

$\epsilon\to0$ 에서 우변은 0으로 간다( $\psi$ 가 유한하니). 첫 항은 $\psi'$ 의 뜀이고, 가운데 항은 델타 함수가 $\psi(0)$ 를 뽑아낸다. 정리하면

\Delta\psi'\equiv\psi'(0^{+})-\psi'(0^{-})=\frac{2m}{\hbar^{2}}\lim_{\epsilon\to0}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}V\psi\,dx =-\frac{2m\alpha}{\hbar^{2}}\,\psi(0)

$V$ 가 유한하면 우변이 0이라 $\psi'$ 이 연속이고, 델타 함수가 있으면 정해진 크기만큼 뛴다 — 도입부에서 약속한 이어 붙이기 규칙이 이 한 줄이다. 그린 함수의 도함수가 원천에서 뛰는 것과 같은 계산이다(1.8.21차원 경계값 문제의 그린 함수). 우리 해로 $\Delta\psi'=-2\kappa A$ , $\psi(0)=A$ 이니

\kappa=\frac{m\alpha}{\hbar^{2}}, \qquad E=-\frac{\hbar^{2}\kappa^{2}}{2m}=-\frac{m\alpha^{2}}{2\hbar^{2}}

정규화 $2|A|^{2}\int_0^{\infty}e^{-2\kappa x}dx=|A|^{2}/\kappa=1$ 에서

\psi(x)=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}\,e^{-m\alpha|x|/\hbar^{2}}

그림 5.3-8. 끌어당기는 델타 함수 퍼텐셜 V = −αδ(x)의 단 하나뿐인 속박상태 ψ = √κ e^(−κ|x|). 원점에서 파동함수는 연속이지만 기울기가 −2κψ(0)만큼 뛰어 꼭짓점이 생기고(점선은 양쪽 접선), 양쪽으로 감쇠 길이 1/κ = ħ²/mα로 지수적으로 줄어든다. 속박 에너지 −mα²/2ħ²는 세기 α가 정하는 유일한 에너지 척도다.직접 작도

직관

차원 해석이 답을 거의 다 준다. 문제에 든 상수는 $m$ , $\hbar$ , $\alpha$ 셋뿐이고, $[\alpha]=\text{J·m}$ 이다. 이 셋으로 만들 수 있는 길이는 $\hbar^{2}/m\alpha$ 하나, 에너지는 $m\alpha^{2}/\hbar^{2}$ 하나다. 그러니 속박 에너지는 $-c\,m\alpha^{2}/\hbar^{2}$ 이고 계산이 정한 것은 $c=\frac12$ 뿐이다. 세기를 두 배로 하면 에너지는 네 배 깊어지고 파동함수는 반으로 좁아진다. 우물이 아무리 약해도( $\alpha\to0$ ) 속박상태는 사라지지 않고 한없이 얕고 넓어질 뿐이다 — 1차원에서는 끌어당기는 퍼텐셜은 무조건 속박상태를 하나 갖는다(6절에서 다시 확인). 3차원에서는 그렇지 않아 최소 세기가 필요하다(5.5).

형태적으로: 꼭짓점이 델타 함수의 흔적이다. 유한한 우물이라면 파동함수가 우물 안에서 둥글게 돌아 나오는데(6절), 폭을 0으로 보내면 그 둥근 부분이 한 점으로 뭉쳐 꺾임이 된다. $\psi''$ 이 델타 함수라는 뜻이고, 방정식 $\psi''=(2m/\hbar^{2})(V-E)\psi$ 에서 $V$ 의 델타가 그대로 $\psi''$ 에 옮겨 간 것이다.

산란상태 — 투과와 반사

$E>0$ 이다. 원점 밖에서 $\psi''=-k^{2}\psi$ , $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 이고 해는 진행파다.

\psi(x)= \begin{cases} A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}, & x<0\\[2pt] F\,e^{ikx}+G\,e^{-ikx}, & x>0 \end{cases}

시간 인자 $e^{-iEt/\hbar}$ 를 붙이면 $e^{ikx}$ 는 오른쪽으로, $e^{-ikx}$ 는 왼쪽으로 간다. 그러니 $A$ 는 왼쪽에서 입사하는 파, $B$ 는 왼쪽으로 반사되는 파, $F$ 는 오른쪽으로 투과하는 파, $G$ 는 오른쪽에서 입사하는 파다. 왼쪽에서 쏘는 실험이면 $G=0$ .

경계조건 둘. $\psi$ 의 연속에서 $F+G=A+B$ . 뜀 조건 $\Delta\psi'=-(2m\alpha/\hbar^{2})\psi(0)$ 에서 $ik(F-G)-ik(A-B)=-(2m\alpha/\hbar^{2})(A+B)$ , 정리하면

F-G=A(1+2i\beta)-B(1-2i\beta), \qquad \beta\equiv\frac{m\alpha}{\hbar^{2}k}

$G=0$ 을 넣고 $B$ , $F$ 를 $A$ 로 풀면

B=\frac{i\beta}{1-i\beta}\,A, \qquad F=\frac{1}{1-i\beta}\,A

반사 계수와 투과 계수는 확률의 비다 — 파동함수의 제곱의 비.

R\equiv\frac{|B|^{2}}{|A|^{2}}=\frac{\beta^{2}}{1+\beta^{2}}, \qquad T\equiv\frac{|F|^{2}}{|A|^{2}}=\frac{1}{1+\beta^{2}}, \qquad R+T=1

$\beta^{2}=m\alpha^{2}/2\hbar^{2}E$ 를 넣어 에너지로 쓰면

R=\frac{1}{1+2\hbar^{2}E/m\alpha^{2}}, \qquad T=\frac{1}{1+m\alpha^{2}/2\hbar^{2}E}

그림 5.3-9. 델타 함수 퍼텐셜의 투과 계수 T = 1/(1 + E_b/E)와 반사 계수 R = 1/(1 + E/E_b)를 에너지에 대해 그린 것. E_b = mα²/2ħ²는 속박 에너지의 크기이고, E = E_b에서 둘이 반반이 된다. 에너지가 높을수록 잘 통과하고, 낮을수록 잘 튕긴다. α의 제곱만 들어가므로 끌어당기는 우물이든 밀어내는 장벽이든 투과 계수는 같다.직접 작도

직관

속박 에너지가 산란의 척도다. $T=\frac12$ 이 되는 에너지가 정확히 $|E_{\text{속박}}|=m\alpha^{2}/2\hbar^{2}$ 이다. 속박상태와 산란상태는 같은 방정식의 $E<0$ 과 $E>0$ 이라, 한쪽의 척도가 다른 쪽에 그대로 나타난다. 1.9의 언어로는 $F/A=1/(1-i\beta)$ 가 $k$ 의 함수로 $k=im\alpha/\hbar^{2}$ (위 반평면), 즉 $E=\hbar^{2}k^{2}/2m=-m\alpha^{2}/2\hbar^{2}$ 에 극을 갖고, 그 극이 속박상태다 — 산란 진폭의 극이 속박상태라는 것은 5.9의 일반 정리다.

부호가 사라진다. $T$ 에는 $\alpha^{2}$ 만 들어가서 $+\alpha$ 의 장벽도 투과 계수가 같다. 고전적으로는 장벽이면 $E<\alpha\cdot(\text{무한대})$ 라 전부 튕기고 우물이면 전부 지나가야 하는데, 양자역학에서는 우물도 튕기고 장벽도 지나간다. 다만 장벽에는 속박상태가 없다 — 위의 극이 $k$ 의 아래 반평면으로 넘어가 정규화되지 않는 해가 된다.

그래프로: $T$ 는 $E/E_b$ 의 단조 증가 함수이고 점근선이 1이다. 높은 에너지의 입자는 얇은 퍼텐셜을 못 느낀다. 반도체에서 계면의 얇은 결함층·거칠기·단일 불순물이 캐리어를 얼마나 되튕기는지가 이 $R$ 이고, 1차원 도선에서 전도도가 $T$ 에 비례한다는 것(란다우어 공식)이 양자 수송의 출발점이다(7.12, 20.7).

의문

정규화도 안 되는 평면파로 확률을 논해도 되는가. 정상 산란상태는 파속이 아니라서 “입사한 입자 하나가 어디로 갔는가”를 직접 말하지 않는다. 그래도 $R$ , $T$ 가 뜻을 갖는 이유는 두 가지다. ① 실제 입자는 $k_0$ 근처의 파속이고, $\phi(k)$ 가 좁으면 각 $k$ 성분이 위 계산대로 갈라지므로 파속 전체도 같은 비율로 갈라진다. ② 비율이라 정규화 상수가 상쇄된다. 8절에서 확률 흐름 $J$ 로 정의를 다시 세우면 계단처럼 좌우의 $k$ 가 다른 경우까지 제대로 된다 — 거기서는 $|F|^{2}/|A|^{2}$ 가 아니라 $(k_2/k_1)|F|^{2}/|A|^{2}$ 가 $T$ 다.

델타 함수가 반도체에서 서는 자리

크로니히–페니 모형. 델타 함수 장벽을 격자 간격 $a$ 로 무한히 늘어놓으면 주기 퍼텐셜이 되고, 7절의 이어 붙이기를 블로흐 조건과 함께 풀면 허용 밴드와 금지 밴드가 나온다(7.7). 델타 함수라서 손으로 끝까지 풀리는 유일한 밴드 구조 모형이다.
얇은 장벽의 극한. 높이 $V_0$ , 폭 $b$ 의 장벽에서 $b\to0$ , $V_0\to\infty$ , $V_0b=\alpha$ 로 보내면 델타 장벽이다. 이종접합의 원자 몇 층짜리 장벽, 산화막 속 얇은 계면층이 이 극한으로 어림된다 — $T=1/(1+m\alpha^{2}/2\hbar^{2}E)$ 가 그 어림값이다.
1차원의 속박상태. 어떤 약한 끌림도 속박상태를 만든다는 성질은 1차원과 2차원의 것이다. 계면의 거칠기나 전하가 2차원 전자 기체에 얕은 국소 상태를 만드는 것, 결함이 1차원 채널(나노선)에서 유난히 잘 전자를 잡는 것이 이 성질이다.

유한 우물

벽이 유한하면 스민다

무한 우물의 벽을 유한한 깊이로 낮춘다. 이번에는 Griffiths를 따라 우물을 원점에 대칭으로 둔다 — 폭이 $2a$ 다.

V(x)= \begin{cases} -V_0, & -a\le x\le a\\[2pt] 0, & |x|>a \end{cases} \qquad V_0>0

$E<0$ 이 속박, $E>0$ 이 산란이다. 속박상태부터. 세 영역으로 나뉜다. 바깥( $|x|>a$ )에서는 $\psi''=\kappa^{2}\psi$ 로 지수 감쇠, 안( $|x|<a$ )에서는 $\psi''=-\ell^{2}\psi$ 로 진동이다.

\kappa\equiv\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}, \qquad \ell\equiv\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}

$-V_0<E<0$ 이라 둘 다 실수 양수다. 정규화 가능한 조각을 고르면

\psi(x)= \begin{cases} B\,e^{\kappa x}, & x<-a\\[2pt] C\sin\ell x+D\cos\ell x, & -a<x<a\\[2pt] F\,e^{-\kappa x}, & x>a \end{cases}

경계가 둘( $x=\pm a$ ), 조건이 각각 둘( $\psi$ , $\psi'$ 연속 — $V$ 가 유한하니 $\psi'$ 도 연속이다), 미지수는 넷에 정규화 하나. 그냥 풀어도 되지만 대칭성이 일을 반으로 줄인다. 퍼텐셜이 우함수이면 해를 우함수와 기함수로 나눠 잡을 수 있고(1절 성질 ①), 그러면 $x>0$ 만 보면 된다.

짝수 해 — 초월방정식

우함수 해는 안에서 $D\cos\ell x$ , 밖에서 $Fe^{-\kappa x}$ 이고 $\psi(-x)=\psi(x)$ 다. $x=a$ 에서

Fe^{-\kappa a}=D\cos\ell a, \qquad -\kappa Fe^{-\kappa a}=-\ell D\sin\ell a

둘을 나누면 $D$ , $F$ 가 사라진다.

\kappa=\ell\tan(\ell a)

$\kappa$ 와 $\ell$ 은 둘 다 $E$ 의 함수라 이것은 $E$ 에 대한 방정식이고 — 1.6.2의 그림과 같은 상황이다 — 초월방정식이라 닫힌 해가 없다. 무차원으로 정리한다.

z\equiv\ell a, \qquad z_0\equiv\frac{a}{\hbar}\sqrt{2mV_0} \qquad\Longrightarrow\qquad \kappa a=\sqrt{z_0^{2}-z^{2}}

( $\kappa^{2}+\ell^{2}=2mV_0/\hbar^{2}$ 에서.) 그러면 조건은

\tan z=\sqrt{\Bigl(\frac{z_0}{z}\Bigr)^{2}-1}

$z_0$ 하나가 우물을 전부 말한다 — 깊이 $V_0$ , 반폭 $a$ , 질량 $m$ 이 $z_0\propto a\sqrt{mV_0}$ 한 덩어리로만 들어온다. 기함수 해는 $C\sin\ell x$ 로 같은 계산을 하면 $\kappa=-\ell\cot(\ell a)$ , 곧

-\cot z=\sqrt{\Bigl(\frac{z_0}{z}\Bigr)^{2}-1}

그림 5.3-10. 유한 우물의 속박상태 조건을 그래프로 푼 그림. 짝수 해의 tan z 가지와 홀수 해의 −cot z 가지 위에 우변 √((z₀/z)² − 1)을 겹치면 교점이 속박 준위다. z₀ = 6이면 교점이 넷(짝수·홀수가 번갈아), z₀ = 1.2이면 짝수 교점 하나뿐이지만 결코 0개는 아니다. 우변은 z = z₀에서 0으로 떨어지므로 z₀보다 큰 z는 없다 — 준위가 V₀보다 깊을 수 없다는 뜻이다.직접 작도

그래프로 읽는다. 좌변 $\tan z$ 는 $(0,\pi/2)$ , $(\pi,3\pi/2)$ , … 에서 0부터 $\infty$ 로 오르고, $-\cot z$ 는 그 사이 구간 $(\pi/2,\pi)$ , $(3\pi/2,2\pi)$ , … 에서 같은 일을 한다. 우변은 $z\to0$ 에서 $\infty$ , $z=z_0$ 에서 0 으로 단조 감소한다. 그러니 $z_0$ 아래에 있는 폭 $\pi/2$ 짜리 구간 하나마다 교점이 정확히 하나다. 속박상태의 수는

N=\Bigl\lfloor\frac{2z_0}{\pi}\Bigr\rfloor+1

이고 짝·홀·짝·홀로 번갈아 나온다 — 마디 0, 1, 2, 3개. 그리고 $z_0$ 이 아무리 작아도 첫 구간 $(0,\pi/2)$ 의 교점은 남는다. 1차원 우물은 아무리 얕고 좁아도 속박상태를 적어도 하나 갖는다. 5절에서 델타 함수로 본 것과 같은 사실이다.

직관

두 극한이 앞 두 절이다. ① 깊고 넓은 우물 $z_0\to\infty$ : 우변이 거의 수직이라 교점이 $\tan z$ , $-\cot z$ 의 발산점 $z_n\to n\pi/2$ 로 간다. 그러면 $E_n+V_0=\hbar^{2}z_n^{2}/2ma^{2}\to n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}/2m(2a)^{2}$ — 폭 $2a$ 의 무한 우물 준위다. 바닥에서 잰 에너지가 그렇게 간다는 뜻이고, 유한한 $z_0$ 에서는 교점이 발산점보다 왼쪽이라 준위가 언제나 그보다 낮다(파동함수가 벽 속으로 스며 유효 폭이 $2a$ 보다 넓기 때문). ② 얕고 좁은 우물 $z_0\to0$ 에 $2aV_0=\alpha$ 고정: 교점 하나가 $z\approx z_0$ 근처에 있고, $\tan z\approx z$ 로 풀면 $\kappa a\approx z_0^{2}$ , 곧 $\kappa=2maV_0/\hbar^{2}=m\alpha/\hbar^{2}$ — 델타 우물의 답이다. 5절과 1절이 이 절의 양 끝이다.

파동함수 — 벽 속의 꼬리

교점 $z_n$ 을 얻으면 $E_n=-V_0+\hbar^{2}z_n^{2}/2ma^{2}$ 이고 $\kappa_n a=\sqrt{z_0^{2}-z_n^{2}}$ 다. 파동함수는 안에서 코사인·사인, 밖에서 $e^{-\kappa_n|x|}$ 인데 위 준위일수록 $\kappa_n$ 이 작다 — 얕게 묶인 상태가 더 멀리 샌다.

그림 5.3-11. 깊이 V₀, 폭 2a인 유한 우물(z₀ = 4)의 속박상태 셋을 각각의 에너지 높이에 그린 것. 파동함수가 벽에서 끊기지 않고 지수적으로 스며들며, 위 준위일수록 감쇠 길이 1/κ가 길다(0.26a, 0.32a, 0.57a). 오른쪽 짧은 눈금은 같은 폭 2a의 무한 우물 준위로, 유한 우물의 준위가 전부 그보다 낮다 — 스며든 만큼 우물이 넓어진 셈이다.직접 작도

직관

파라미터 — $z_0$ 을 키우는 세 가지 길. $z_0=a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ 이니 우물을 넓히거나( $a$ ), 깊게 하거나( $V_0$ ), 입자를 무겁게 하면( $m$ ) 준위가 는다. 셋 중 $a$ 는 1제곱, $V_0$ 와 $m$ 은 제곱근이다. 준위 수는 $2z_0/\pi$ 로 세고, 준위 간격은 무한 우물처럼 $\hbar^{2}/ma^{2}$ 척도로 벌어지되 위로 갈수록 그보다 조금씩 좁다.

실제 수치 — GaAs/AlGaAs 양자우물. 폭 10 nm( $a=5$ nm), 전도대 불연속 $V_0=0.25$ eV, $m^{*}=0.067m_0$ 이면 $z_0=3.32$ 이고 $N=\lfloor2.11\rfloor+1=3$ . 우물 바닥에서 잰 준위는 33, 126, 245 meV — 같은 폭의 무한 우물이 56, 224, 505 meV 를 주는 것과 비교하면 전부 아래로 내려왔고, 세 번째는 꼭대기에서 5 meV 아래 간신히 걸려 있다. 그 상태의 감쇠 길이 $1/\kappa$ 는 11 nm — 우물 폭보다 길다. 장벽이 그보다 얇으면 이웃 우물과 파동함수가 겹쳐 결합 양자우물·초격자가 되고 준위가 미니밴드로 퍼진다(7.7, 17.4). 바닥 준위의 꼬리는 1.6 nm 라 장벽 5 nm면 충분히 고립된다. 폭을 5 nm로 줄이면 $z_0=1.66$ , 준위는 둘.

이종접합의 경계조건. 우물과 장벽의 유효질량이 다르면 $\psi'$ 이 아니라 $\psi'/m^{*}$ 가 연속이다 — 확률 흐름 $J\propto\psi^{*}\psi'/m$ 이 계면에서 보존되어야 하기 때문이고, 1.6.7구속 조건이 있는 변분과 라그랑주 승수의 자연 경계조건이 그것을 준다. 초월방정식의 $\tan z$ 앞에 질량비가 붙는 것 외에는 구조가 같다(12.7).

산란상태 — 우물 위를 지나는 파

$E>0$ 이면 바깥도 진동이다. 왼쪽에서 $Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ , 안에서 $C\sin\ell x+D\cos\ell x$ , 오른쪽에서 $Fe^{ikx}$ , $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ . 경계 넷을 이어 붙여 $C$ , $D$ 를 소거하면 (Griffiths 문제 2.34)

T^{-1}=1+\frac{V_0^{2}}{4E(E+V_0)}\,\sin^{2}\!\Bigl(\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E+V_0)}\Bigr)

우물 위로 지나가는데도 반사가 있다 — 사인이 0이 아닌 한 $T<1$ 이다. 그리고 사인이 0이 되는 에너지에서는 완전 투과다.

\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E_n+V_0)}=n\pi \qquad\Longleftrightarrow\qquad E_n+V_0=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2m(2a)^{2}}

우변이 폭 $2a$ 의 무한 우물 준위다. 우물 안에 반파장이 정수 번 들어맞으면 두 벽에서 반사된 파가 상쇄 간섭해 반사가 사라진다 — 광학 박막의 반사 방지 코팅과 같은 논리이고, 전자가 희유 기체 원자를 특정 에너지에서 투명하게 지나가는 람사우어–타운센드 효과가 이것이다. 7절의 장벽에서 같은 공명이 $V_0\to-V_0$ 로 다시 나온다.

계단 퍼텐셜과 장벽

계단 — 양자역학의 반사는 턱에서 난다

V(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\[2pt] V_0, & x>0 \end{cases}

왼쪽에서 에너지 $E$ 의 입자를 쏜다. 고전적으로는 $E>V_0$ 면 전부 넘어가고(느려질 뿐), $E<V_0$ 면 전부 되돌아온다. 양자역학은 두 경우 모두 다르다.

$E>V_0$ . 양쪽 다 진동이고 파수가 다르다.

k_1=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \qquad k_2=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}, \qquad \psi= \begin{cases} Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}, & x<0\\[2pt] Fe^{ik_2x}, & x>0 \end{cases}

오른쪽에는 투과파만 둔다(오른쪽에서 오는 것이 없다). $x=0$ 에서 $\psi$ , $\psi'$ 연속: $A+B=F$ , $k_1(A-B)=k_2F$ . 두 미지수 비를 풀면

\frac{B}{A}=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}, \qquad \frac{F}{A}=\frac{2k_1}{k_1+k_2}

반사 계수는 $R=|B/A|^{2}$ 이지만 투과 계수는 $|F/A|^{2}$ 가 아니다 — 투과파는 다른 속도로 가므로 확률이 지나가는 비율을 세려면 속도를 곱해야 한다(8절에서 확률 흐름으로 정식화한다). $T=(k_2/k_1)|F/A|^{2}$ 이고

R=\Bigl(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\Bigr)^{2}, \qquad T=\frac{4k_1k_2}{(k_1+k_2)^{2}}, \qquad R+T=1

$k_2/k_1=\sqrt{1-V_0/E}$ 이니 $R$ 은 $E/V_0$ 하나에만 걸린다. $E=V_0$ 에서 $R=1$ , $E=2V_0$ 에서 $R=0.03$ , $E\gg V_0$ 에서 $R\approx(V_0/4E)^{2}$ 로 천천히 사라진다. 식이 $k_1\leftrightarrow k_2$ 에 대칭이라 내려가는 턱에서도 똑같이 반사된다 — 고전역학에는 없는 일이다.

$E<V_0$ . 오른쪽이 금지 영역이 되어 $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$ 로 감쇠한다. $\psi=Ce^{-\kappa x}$ ( $x>0$ ) 로 두고 같은 계산을 하면

\frac{B}{A}=\frac{k_1-i\kappa}{k_1+i\kappa}, \qquad \Bigl|\frac{B}{A}\Bigr|=1, \qquad R=1, \qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_1}{k_1+i\kappa}

전부 되돌아온다 — 그러나 $C\ne0$ 이다. 파동함수가 벽 속으로 $1/\kappa$ 만큼 스며든다. $|C|^{2}=4E/V_0\cdot|A|^{2}$ 이고, 그래도 $R=1$ 인 것은 실수 지수함수가 확률을 나르지 않기 때문이다(8절). 반사파는 위상만 바뀐다: $B/A=e^{-2i\theta}$ , $\tan\theta=\kappa/k_1$ . 그 위상이 6절에서 유한 우물의 준위를 무한 우물보다 낮춘 바로 그 “스며든 만큼의 여유”다.

그림 5.3-12. 왼쪽: 높이 V₀의 계단 퍼텐셜에 E = V₀/2로 입사한 입자의 확률 밀도. 계단 앞에서는 입사파와 반사파가 정상파를 이루고(반사 계수 1), 계단 안으로는 e^(−2κx)로 스며들지만 확률 흐름은 없다. 오른쪽: 반사 계수 R과 투과 계수 T를 E/V₀에 대해 그린 것. E ≤ V₀에서 R = 1이고, 그 위에서도 R은 (V₀/4E)²로 서서히 줄어 고전(점선)처럼 곧바로 0이 되지 않는다. 식이 k₁과 k₂에 대칭이라 내려가는 턱에서도 같은 R이 나온다.직접 작도

직관

반사는 급격함에서 난다. 왜 넘어갈 에너지가 있는데도 튕기는가. 파동은 매질이 파장보다 짧은 거리에서 바뀔 때 반사한다 — 유리 표면에서 빛이 4 % 반사되는 것과 같은 임피던스 부정합이다. 여기서 임피던스 역할을 하는 것이 $k$ 이고, $R=((k_1-k_2)/(k_1+k_2))^{2}$ 는 광학의 프레넬 공식 $((n_1-n_2)/(n_1+n_2))^{2}$ 그대로다. 계단을 파장 $2\pi/k$ 보다 완만하게 경사지게 하면 반사가 지수적으로 사라진다(5.8, WKB) — 고전 극한이란 퍼텐셜이 파장 척도에서 매끄럽다는 뜻이다. eV 전자의 파장이 ~1 nm이니, 원자 몇 층에서 바뀌는 이종접합의 전도대 턱은 급격한 계단이고 양자 반사가 실제로 있다. 쇼트키 장벽 위로 넘어가는 열전자 방출 전류에 $T<1$ 의 보정이 붙는 것(12.5), HBT의 이미터–베이스 이종접합에서 전자가 일부 되튕기는 것(12.9)이 이 $R$ 이다.

장벽 — 이어 붙이기 두 번

폭 $a$ , 높이 $V_0$ 의 사각 장벽.

V(x)= \begin{cases} V_0, & 0<x<a\\[2pt] 0, & \text{그 밖} \end{cases}

$E<V_0$ 이면 세 영역이 진동·감쇠·진동이다.

\psi= \begin{cases} Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, & x<0\\[2pt] Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}, & 0<x<a\\[2pt] Fe^{ikx}, & x>a \end{cases} \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \quad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

장벽 안에서는 커지는 지수도 버리지 않는다 — 유한한 구간이라 정규화를 해치지 않고, 두 경계를 다 맞추려면 둘 다 필요하다. 경계 둘에 조건 넷:

\begin{aligned} x=0:\quad & A+B=C+D, & ik(A-B)&=\kappa(C-D)\\[2pt] x=a:\quad & Ce^{\kappa a}+De^{-\kappa a}=Fe^{ika}, & \kappa\bigl(Ce^{\kappa a}-De^{-\kappa a}\bigr)&=ikFe^{ika} \end{aligned}

뒤 두 식에서 $C$ , $D$ 를 $F$ 로 쓰고 앞 두 식에 넣어 $B$ 를 소거하면 (Griffiths 문제 2.33)

\frac{A}{F}=e^{ika}\Bigl[\cosh\kappa a+\frac{i}{2}\Bigl(\frac{\kappa}{k}-\frac{k}{\kappa}\Bigr)\sinh\kappa a\Bigr]

절댓값을 제곱하고 $\kappa^{2}/k^{2}=(V_0-E)/E$ 를 넣으면

T^{-1}=\Bigl|\frac{A}{F}\Bigr|^{2}=1+\frac{V_0^{2}}{4E(V_0-E)}\sinh^{2}\!\Bigl(\frac{a}{\hbar}\sqrt{2m(V_0-E)}\Bigr)

$E<V_0$ 인데 $T\ne0$ 이다 — 터널링. $E>V_0$ 이면 $\kappa\to ik_2$ , $\sinh\to i\sin$ 이 되어

T^{-1}=1+\frac{V_0^{2}}{4E(E-V_0)}\sin^{2}\!\Bigl(\frac{a}{\hbar}\sqrt{2m(E-V_0)}\Bigr)

6절 우물의 공식에 $V_0\to-V_0$ , $2a\to a$ 를 넣은 것과 같다. $\sin=0$ , 곧 장벽 폭에 반파장이 정수 번 들어맞는 에너지에서 완전 투과다.

그림 5.3-13. 에너지 E = V₀/2인 입자가 폭 a의 사각 장벽(κa = 2)을 만나는 정상상태 파동함수의 실수부(실선)와 절댓값(점선). 장벽 앞에서는 입사파와 반사파가 섞여 절댓값이 출렁이고, 장벽 안에서는 지수적으로 줄어들며, 장벽 뒤에는 진폭이 √T ≈ 0.27로 작아진 진행파가 절댓값 일정하게 이어진다. 장벽 뒤의 파장은 앞과 같다 — 에너지가 같기 때문이다.직접 작도

그림 5.3-14. 높이 V₀, 폭 a인 사각 장벽의 투과 계수 T를 E/V₀에 대해 장벽 세기 β = a√(2mV₀)/ħ가 3과 7인 두 경우로 그린 것. E가 V₀보다 낮아도 T는 0이 아니고(터널링), E가 V₀를 넘으면 1보다 작게 진동하다가 장벽 위에 정상파가 정확히 들어맞는 에너지 β√(E/V₀ − 1) = nπ에서만 1이 된다(공명, 고리). β가 클수록 아래는 더 막히고 위의 공명은 촘촘해진다. 점선은 고전적 예상이다.직접 작도

직관

그래프로 읽는 세 구역. ① $E<V_0$ : $T$ 가 0에서 지수적으로 올라온다 — 8절의 주제. ② $E\approx V_0$ : 매끄럽게 이어진다. 정확히 $E=V_0$ 에서 $T=1/(1+\beta^{2}/4)$ , $\beta=a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ . ③ $E>V_0$ : $T$ 가 1 아래에서 진동하며 공명마다 1에 닿는다. 공명 간격은 $\beta$ 가 클수록(두껍고 높을수록) 촘촘하고, 진동의 깊이는 $V_0^{2}/4E(E-V_0)$ 라 위로 갈수록 얕아진다. 장벽이 얇으면( $\beta\lesssim1$ ) 공명이 $E/V_0\gg1$ 로 밀려나 사실상 안 보이고, 두꺼우면 촘촘하다. $\beta$ 하나가 6절의 $z_0$ 과 같은 역할이다 — 장벽에서는 $\beta=z_0$ 에 $a$ 를 폭으로 읽은 것.

공명의 정체는 준속박상태다. 장벽 위의 공명 에너지는 “폭 $a$ 의 우물”의 무한 우물 준위와 같다. 이중 장벽에서는 두 장벽 사이 우물의 진짜 속박 준위(6절)가 같은 일을 해서, 그 에너지에서만 $T\to1$ 이 된다 — 공명 터널링이고, 공명 준위를 바이어스로 밀어 올리고 내리면 전류가 오르내려 부성 저항이 나온다(12.11). 공명의 폭은 장벽이 두꺼울수록 좁다 — 준위가 새는 속도(수명)의 역수다.

투과 계수와 터널링

확률 흐름 — 투과 계수의 정의를 바로 세운다

7절에서 $T$ 에 $k_2/k_1$ 이 붙은 이유를 정식으로 적는다. 확률 밀도 $|\Psi|^{2}$ 는 보존량이고, 슈뢰딩거 방정식에서 곧바로 연속 방정식이 나온다.

\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=-\frac{\partial J}{\partial x}, \qquad J\equiv\frac{i\hbar}{2m}\Bigl(\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}-\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\Bigr) =\frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\Bigl(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\Bigr)

$J$ 가 확률 흐름 — 단위 시간에 한 점을 오른쪽으로 지나가는 확률이다(1.1.7발산정리와 스토크스 정리의 발산정리가 1차원에 내려온 꼴). 평면파 $Ae^{ikx}$ 에 넣으면 $J=\hbar k|A|^{2}/m=v|A|^{2}$ — 밀도 × 속도다. 그러니 계단·장벽에서

T=\frac{J_{\text{투과}}}{J_{\text{입사}}}=\frac{k_2}{k_1}\Bigl|\frac{F}{A}\Bigr|^{2}, \qquad R=\frac{|J_{\text{반사}}|}{J_{\text{입사}}}=\Bigl|\frac{B}{A}\Bigr|^{2}

이고 정상상태에서는 $\partial_t|\Psi|^{2}=0$ 이라 $J$ 가 어디서나 같다 — 그것이 $R+T=1$ 의 정체다. 두 가지가 바로 따라온다. 실수 지수함수 $Ce^{-\kappa x}$ 는 $\Psi^{*}\partial_x\Psi$ 가 실수라 $J=0$ — 계단 속으로 스며들어도 흐름은 없고 $R=1$ 이다. 장벽 안에서는 $Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x}$ 의 교차항만 흐름을 나른다: $J=(2\hbar\kappa/m)\,\mathrm{Im}(D^{*}C)$ . 터널링 전류는 커지는 성분과 줄어드는 성분의 간섭이다 — 둘 중 하나만 있으면 흐르지 않는다.

두꺼운 장벽 — 지수 하나가 전부다

$\kappa a\gg1$ 이면 $\sinh\kappa a\approx e^{\kappa a}/2$ 이고, 7절의 공식에서 1은 무시된다.

T\approx16\,\frac{E}{V_0}\Bigl(1-\frac{E}{V_0}\Bigr)\,e^{-2\kappa a}, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

앞의 인자는 크기가 1 근처다( $E=V_0/2$ 에서 최대 4). 물리는 전부 $e^{-2\kappa a}$ 에 있다. 지수에 든 것은 폭 × √(질량 × 높이) 이고, 세 파라미터가 곱으로 들어가 어느 하나가 조금만 변해도 $T$ 가 자릿수로 변한다.

그림 5.3-15. 자유 전자가 E = V₀/2로 사각 장벽을 지나는 투과 계수를 장벽 두께 a에 대해 로그 눈금으로 그린 것. V₀ − E = 0.3, 1, 3 eV 세 경우 모두 직선, 곧 지수 감쇠이고, 기울기 2κ는 장벽 높이의 제곱근에 비례한다. 1 eV 장벽에서는 두께 0.1 nm마다 투과가 0.36배로 줄어 1 nm에서 10⁻⁴ 아래로 떨어진다 — 원자 한 층이 한 자릿수를 바꾼다.직접 작도

수치를 넣는다. 자유 전자에 $V_0-E=1\ \text{eV}$ 면 $\kappa=5.12\ \text{nm}^{-1}$ , $2\kappa=10.2\ \text{nm}^{-1}$ — 두께 0.1 nm마다 $e^{-1.02}=0.36$ 배, 1 nm에 $3.7\times10^{-5}$ , nm당 4.4 자릿수다.

장벽	$V_0-E$	$m^{*}/m_0$	$2\kappa$	0.1 nm마다	무슨 일
이종접합(AlGaAs)	0.3 eV	0.067	1.45 nm $^{-1}$	×0.87	얇은 장벽은 거의 투명 — RTD·초격자
게이트 산화막(SiO $_2$ )	3.1 eV	0.42	11.7 nm $^{-1}$	×0.31	0.2 nm 얇아지면 누설 10배
진공(STM, 일함수)	4.5 eV	1	21.7 nm $^{-1}$	×0.11	0.1 nm에 전류 10배 — 원자 분해능

직관

게이트 산화막이 1 nm 근처에서 멈춘 이유. SiO $_2$ 의 전도대는 실리콘보다 3.1 eV 위이고 산화막 속 전자의 유효질량은 $0.4$ – $0.5\,m_0$ 이다. $2\kappa\approx12\ \text{nm}^{-1}$ 이면 산화막이 0.2 nm — 원자 한 층 — 얇아질 때마다 직접 터널링 누설이 열 배 는다. 1.2 nm 아래에서는 게이트 누설이 채널 전류와 견줄 만해져 산화막 스케일링이 끝났고, 같은 커패시턴스를 더 두꺼운 물리적 두께로 얻는 고유전율 유전체가 들어왔다(13.4, 14.5). 고유전율 물질은 장벽이 낮아 (HfO $_2$ 는 ~1.5 eV) $\kappa$ 가 작지만 두께가 서너 배라 $\kappa a$ 는 커진다 — 지수 안의 곱이 관건이라는 사실이 설계의 근거다.

STM이 원자를 보는 이유. 탐침과 시료 사이 진공 장벽은 일함수 4–5 eV 높이이고 $2\kappa\approx22\ \text{nm}^{-1}$ 이다. 간격이 0.1 nm 변하면 전류가 열 배 변한다. 원자 한 개의 튀어나옴이 전류계에 자릿수로 찍힌다(19.3).

파라미터로: $T$ 를 두 배로 하려면 $\kappa a$ 를 $\ln2/2=0.35$ 만 줄이면 된다. 두께를 줄이거나, 장벽을 낮추거나(그 제곱근), 질량을 가볍게 하거나(그 제곱근). III–V 화합물의 가벼운 유효질량이 터널 소자에 유리한 것, 게이트 유전체에서 질량이 무거운 물질을 찾는 것이 같은 식의 양면이다.

모양이 사각이 아니면 — WKB의 예고

실제 장벽은 사각형이 아니다. 산화막에 전계가 걸리면 기울고, 공핍층은 포물선이며, 밴드갭을 건너는 장벽은 삼각형이다. 완만하게 변하는 장벽을 얇은 사각 장벽 여럿으로 썰면 각 조각의 $e^{-2\kappa_i\Delta x}$ 가 곱해지고, 지수가 더해져 적분이 된다.

T\approx\exp\Bigl[-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,dx\Bigr], \qquad \kappa(x)=\frac{\sqrt{2m\bigl(V(x)-E\bigr)}}{\hbar}

$x_1$ , $x_2$ 는 $V(x)=E$ 인 두 회귀점 — 금지 영역의 양 끝이다. 이것이 WKB 근사의 터널링 공식이고 5.8에서 제대로 유도한다. 앞 인자는 여기서도 1 근처라 지수만 쓴다. 반도체의 세 장벽에 넣어 본다.

삼각 장벽 — 파울러–노드하임. 전계 $\mathcal{E}$ (이 장에서 유일하게 나오는 전기장, 에너지 $E$ 와 구별해 필기체로 쓴다) 아래 장벽 $V(x)=\phi_B-q\mathcal{E}x$ 는 높이 $\phi_B$ , 밑변 $\phi_B/q\mathcal{E}$ 인 삼각형이고 적분이 닫힌다.

T\approx\exp\Bigl[-\frac{4\sqrt{2m}\,\phi_B^{3/2}}{3\hbar q\mathcal{E}}\Bigr]

전계가 셀수록 삼각형이 좁아져 지수적으로 잘 뚫린다. 게이트 산화막의 고전계 누설(13.4), 플래시 메모리의 쓰기·지우기(15.6), 금속 탐침의 전계 방출이 전부 이 식이고, 전류를 $\ln(I/\mathcal{E}^{2})$ 대 $1/\mathcal{E}$ 로 그려 직선이 나오면 파울러–노드하임 터널링이라 판정한다.

밴드 간 터널링 — 제너. 전계가 걸린 pn 접합에서 가전자대 전자가 밴드갭 $E_g$ 를 건너 전도대로 간다. 장벽 높이 $E_g$ , 폭 $E_g/q\mathcal{E}$ 의 삼각형이라 같은 꼴 $T\propto\exp\bigl[-4\sqrt{2m^{*}}E_g^{3/2}/3q\hbar\mathcal{E}\bigr]$ 이다(케인 공식은 앞의 수치 인자만 다르다). 제너 항복(12.4), 터널 다이오드(12.11), 그리고 문턱하 기울기를 60 mV/dec 아래로 내리려는 터널 FET(14.11)의 전류가 이 지수이고, $E_g^{3/2}$ 때문에 좁은 밴드갭 재료가 유리하다.
쇼트키 장벽 — 오믹 접촉. 금속–반도체 장벽의 폭은 공핍층 폭 $W\propto1/\sqrt{N_D}$ 다. 도핑을 $10^{20}\ \text{cm}^{-3}$ 급으로 올리면 $W$ 가 몇 nm로 얇아져 전자가 장벽 위로 넘지 않고 뚫고 지나가고, 접촉 저항이 $\exp\bigl(c\,\phi_B/\sqrt{N_D}\bigr)$ 꼴로 떨어진다(12.6). 오믹 접촉은 장벽을 없앤 것이 아니라 얇게 만든 것이다.

직관

같은 지수의 세 얼굴. 세 식의 지수는 전부 $\sqrt{m}\times(\text{높이})^{3/2}/(\text{전계})$ 꼴이다. 높이가 $3/2$ 제곱인 것은 삼각형의 넓이 — 폭이 높이에 비례하니 $\int\sqrt{V-E}\,dx\propto\text{높이}^{1/2}\times\text{높이}$ — 이고, 전계가 분모에 있는 것은 전계가 삼각형의 폭을 정하기 때문이다. 사각 장벽의 $e^{-2\kappa a}$ 와 마찬가지로 금지 영역의 넓이(에너지 축을 제곱근으로 잰)가 지수다. 이 그림 하나로 어느 장벽이 잘 뚫리고 어느 장벽이 막히는지를 식 없이 어림할 수 있다 — 낮고·좁고·가벼우면 뚫린다.

역사적으로 이 식이 처음 쓰인 곳은 알파 붕괴다(가모프, 1928). 핵의 쿨롱 장벽을 뚫는 확률이 $e^{-2\int\kappa}$ 이고, 알파 입자의 에너지가 조금 달라지면 반감기가 수십 자릿수 달라지는 가이거–누탈 법칙이 이 지수다. 반도체의 터널 소자와 원자핵이 같은 식으로 움직인다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

양자우물과 서브밴드. 이종접합 양자우물(6절), MOS 반전층의 삼각 우물(3절 끝의 $n^{2/3}$ 규칙), 나노시트·핀의 얇은 채널(1절의 구속 에너지)이 전부 1차원 슈뢰딩거 방정식이다. 서브밴드 간격이 상온 $k_BT$ 를 넘느냐가 양자 효과가 보이는 기준이고, 유효질량과 폭이 그것을 정한다(11.1, 13.1, 14.9, 17.4).
포논과 생성·소멸 연산자. 2절의 $a_{\pm}$ 와 $\sqrt{n+1}$ , $\sqrt{n}$ 이 격자 진동의 양자화(7.4), 전자–포논 산란율의 온도 의존성(11.2), 자발 방출과 유도 방출의 비(17.3, 17.4) 다. 란다우 준위와 사이클로트론 공명은 같은 진동자다(7.6).
밴드 속 전자. 4절의 군속도가 밴드 속도 $\hbar^{-1}dE/dk$ 이고, 파속을 퍼뜨리는 곡률이 유효질량이다(7.7). 델타 함수 격자가 크로니히–페니 밴드를 주고(5절, 7.7), 7절의 전달 행렬이 초격자와 양자 수송 시뮬레이션의 단위다(20.7).
터널링. 게이트 산화막 직접 터널링과 파울러–노드하임(13.4, 14.5), 플래시의 쓰기·지우기 (15.6), 제너 항복과 터널 다이오드·RTD(12.4, 12.11), 터널 FET(14.11), 오믹 접촉의 전계 방출(12.6), STM(19.3). 전부 $e^{-2\int\kappa\,dx}$ 하나이고, 지수 안의 곱 — 폭 × √(질량 × 높이) — 가 설계 변수다.
양자 반사. 이종접합 턱에서의 반사(12.7, 12.9), 쇼트키 열전자 방출의 투과 계수 보정 (12.5)이 7절의 $R=((k_1-k_2)/(k_1+k_2))^{2}$ 다.

여섯 퍼텐셜, 방정식은 하나다. 달라지는 것은 어느 영역이 진동이고 어느 영역이 감쇠인가, 그리고 경계에서 어떻게 이어 붙이는가뿐이다.