텐서와 군론

1부의 마지막 장은 서로 다른 두 주제를 한 장에 묶는다. 앞의 여섯 절은 텐서, 뒤의 여섯 절은 군론이다. 둘을 같은 장에 두는 이유는 하나의 질문을 나눠 갖기 때문이다 — 관점을 바꿔도 변하지 않는 것은 무엇인가.

텐서는 그 질문에 “성분은 변해도 물건은 그대로”라고 답한다. 좌표축을 돌리면 벡터의 세 성분은 전부 바뀌지만 화살표 자체는 그 자리에 있다. 벡터를 벡터로 보내는 기계 — 유효질량, 응력, 유전율 — 도 마찬가지로 성분표는 바뀌어도 기계는 그대로다. 성분이 어떤 규칙으로 바뀌는지를 못박으면, 그 규칙을 따르는 모든 양을 한 이름으로 부를 수 있다. 그 이름이 텐서다.

군론은 질문을 뒤집는다. 물건을 고정해 놓고 그 물건을 그대로 두는 변환의 집합을 본다. 정삼각형을 제자리로 되돌리는 회전과 반사가 여섯, 실리콘 결정을 제자리로 되돌리는 회전·반사·반전이 마흔여덟이다. 이 집합에는 대수 구조가 있고(두 대칭을 이어 하면 다시 대칭이다), 그 구조만으로 계의 고유상태가 몇 겹으로 겹치는지, 어떤 전이가 금지되는지, 물성 텐서의 독립 성분이 몇 개인지가 계산 없이 결정된다.

반도체 쪽으로는 이 장이 세 군데에서 직접 쓰인다.

• 물성이 텐서다. 유효질량·이동도·유전율·탄성률·압저항이 전부 2계 이상의 텐서이고, 스트레인 실리콘은 응력 텐서와 변형 텐서로 기술한다(4절). 결정의 점군이 그 텐서들의 독립 성분 수를 정한다(11절).
• 밴드가 대칭으로 분류된다. 블로흐 정리는 병진군의 기약 표현이고(11절), $\Gamma$점의 무거운 정공·가벼운 정공 축퇴는 점군 $O_h$의 3차원 기약 표현이며(8절·10절), 스핀–궤도 갈라짐은 $SU(2)$가 그 위에 얹힌 결과다(12절).
• 광학 전이가 대칭으로 걸러진다. 직접 갭 GaAs가 빛을 내고 실리콘이 라만에는 보이면서 적외선 흡수에는 보이지 않는 것이 전부 선택 규칙이다(9절).

수학적으로는 1.2와 1.3의 연장이다. 텐서의 좌표 변환은 1.2.6선형 변환의 수동 변환을 성분 표기로 다시 쓴 것이고, 군의 표현은 1.3.5닮음 변환과 대각화의 닮음 변환과 1.3.6축퇴와 고유기저의 “대칭이 축퇴를 강요한다”를 정리로 격상한 것이다. 이 장은 그 두 장을 읽었다는 전제로 쓴다.

텐서 표기와 좌표 변환

그림자만 바뀐다

직관

벡터는 화살표이고 성분은 그 화살표가 좌표축에 드리운 그림자다. 축을 돌리면 그림자는 전부 바뀌지만 화살표는 움직이지 않는다. 그러므로 “이 세 숫자가 벡터인가”라는 질문은 세 숫자만 봐서는 답이 없고, 축을 돌렸을 때 이 세 숫자가 어떻게 바뀌는가를 물어야 답이 나온다.

이것이 이 절의 정의다. 벡터는 “크기와 방향이 있는 양”이 아니라 좌표를 돌릴 때 좌표와 같은 규칙으로 성분이 바뀌는 양이다. 텐서는 그 규칙을 인덱스 하나에서 여러 개로 늘린 것이다. 정의가 이렇게 뒤집히는 이유는, 물리 법칙이 좌표에 의존하지 않으려면 법칙 양변이 같은 규칙으로 변해야 하기 때문이다. 양변이 같은 계급의 텐서면 한 좌표계에서 성립한 등식이 모든 좌표계에서 성립한다.

직교좌표계 $x_1, x_2, x_3$을 원점을 고정한 채 돌려 새 좌표계 $x'_1, x'_2, x'_3$을 만든다. 1.2.6선형 변환의 수동 변환이다 — 벡터는 그대로 두고 축을 돌린다. 새 축 $x'_i$가 옛 축 $x_j$와 이루는 각의 코사인을 $a_{ij}$라 하면

$$x'_i = \sum_{j=1}^{3} a_{ij}\, x_j, \qquad a_{ij} = \cos(x'_i, x_j) = \frac{\partial x'_i}{\partial x_j}$$

$a_{ij}$를 행렬로 묶으면 1.3.3대칭·반대칭·직교 행렬의 직교행렬 $Q$이고, 직교성 조건 $Q^{\mathsf{T}}Q = I$를 성분으로 쓰면

$$\sum_{i} a_{ij}\, a_{ik} = \delta_{jk}, \qquad \sum_{j} a_{ij}\, a_{kj} = \delta_{ik}$$

두 식이 각각 “열이 정규직교” · “행이 정규직교”다. 역변환은 전치로 끝난다 — $x_j = \sum_i a_{ij}\, x'_i$.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 인덱스가 많고, 같은 글자가 앞뒤 반쪽에서 다른 뜻으로 쓰이는 자리가 여럿이다. 시작하기 전에 한 번에 정리해 둔다. 뒤의 절에서 새 기호가 나오면 그 자리에서 다시 밝힌다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$i, j, k, l, m$		직교좌표 성분 인덱스. 값은 $1, 2, 3$
$\mu, \nu, \lambda$		일반 좌표 인덱스(5절). 위·아래 위치가 뜻을 가진다
$x_i,\ x'_i$		원래 좌표 · 회전한 좌표
$a_{ij}$		좌표 변환(회전) 행렬의 성분. $a_{ij} = \partial x'_i / \partial x_j$
$v_i$	소문자	벡터 성분(1계 텐서)
$T_{ij},\ T_{ijk}$	대문자	2계·3계 텐서 성분
$\delta_{ij}$	크로네커 델타	$i = j$이면 1, 아니면 0
$\epsilon_{ijk}$	레비-치비타 기호	짝순열 $+1$, 홀순열 $-1$, 그 외 0
$\varepsilon_{ij}$	변형 텐서	4절. $\epsilon_{ijk}$와 다른 글자
$\sigma_{ij}$	응력 텐서	4절
$I_{ij}$	관성 텐서	4절
$g_{\mu\nu}$	계량 텐서	5절. $ds^2 = g_{\mu\nu}\,dq^\mu dq^\nu$
$J$	야코비안	5절. $\det(\partial x'/\partial x)$
$\omega,\ \wedge,\ d$	미분형식 · 쐐기곱 · 외미분	6절
$G,\ h$	군 · 군의 차수	7절. $h = \lvert G\rvert$
$E$	항등원	7절. Schoenflies 표기를 따른다
$C_n,\ \sigma,\ \mathcal{P},\ S_n$	회전축 · 거울면 · 반전 · 회전반사	10절
$D(g)$	표현 행렬	8절. $g \mapsto D(g)$
$\chi(g)$	지표	8절. $\operatorname{tr} D(g)$
$\ell_\alpha$		기약 표현 $\alpha$의 차원
$\Gamma_\alpha,\ A_1, E, T_2, \dots$	기약 표현 라벨	8절·10절
$\mathbf{J},\ J_k$	생성원	12절. 야코비안 $J$와 다르다
$\sigma_k$	파울리 행렬	12절

주의

짚고 갈 함정이 넷이다.

① $\epsilon_{ijk}$와 $\varepsilon_{ij}$. 레비-치비타 기호는 인덱스가 셋이고 $\epsilon$, 변형 텐서는 인덱스가 둘이고 $\varepsilon$이다. 글자 모양이 다르지만 손글씨에서는 구분되지 않으므로 인덱스 개수로 읽는다. 책에 따라 변형을 $e_{ij}$로 쓰기도 한다.

② $\sigma$가 세 가지다. 4절의 응력 텐서 $\sigma_{ij}$, 10절의 거울면 $\sigma_v, \sigma_h, \sigma_d$, 12절의 파울리 행렬 $\sigma_k$. 절이 다르고 인덱스 모양이 다르다 — 응력은 인덱스가 둘, 거울면은 아래첨자가 글자, 파울리는 인덱스가 하나다.

③ 반전 조작을 $\mathcal{P}$로 쓴다. Schoenflies 표기와 대부분의 지표표는 반전을 $i$로 적는데, 이 장은 지표에 $e^{2\pi i/3}$ 같은 허수단위가 나란히 나오므로 반전은 **패리티 $\mathcal{P}$**로 바꿔 쓴다. 지표표를 다른 책에서 가져와 볼 때 $i$가 반전이라는 것만 기억하면 된다.

④ $J$와 $\mathbf{J}$. 5절의 야코비안은 스칼라 $J$, 12절의 회전 생성원은 벡터 $\mathbf{J}$ (성분 $J_x, J_y, J_z$)다. 굵기와 인덱스로 갈린다.

아인슈타인 합 규약

위의 식들에서 합 기호가 거추장스럽다. 이 장부터는 같은 인덱스가 한 항에 두 번 나오면 그 인덱스에 대해 합한다는 규약을 쓴다.

$$x'_i = a_{ij}\, x_j \quad\text{는}\quad x'_i = \sum_{j} a_{ij}\, x_j \quad\text{를 뜻한다}$$

규칙이 셋이다.

• 두 번 나온 인덱스는 합산 인덱스(dummy index)다. 이름은 무엇이든 상관없다 — $a_{ij}x_j = a_{ik}x_k$.
• 한 번 나온 인덱스는 자유 인덱스다. 등식 양변에 같은 자유 인덱스가 같은 개수로 있어야 한다. $x'_i = a_{ij}x_j$의 자유 인덱스는 $i$ 하나이고, 이 식은 실제로 세 개의 식이다.
• 같은 인덱스가 세 번 나오면 오류다. $a_{ii}x_i$는 뜻이 없다.

$\delta_{ij}$는 이 규약 아래서 인덱스를 바꿔치기하는 연산자가 된다 — $\delta_{ij}\, v_j = v_i$. 합을 하면 $j = i$인 항만 남기 때문이다. 앞으로 $\delta_{ij}$가 곱해진 항을 보면 그냥 인덱스를 갈아 끼우면 된다.

계급으로 정의한다

이제 정의를 적는다. 직교좌표의 회전 $x'_i = a_{ij}x_j$에 대해

계급	성분 개수	변환 법칙	예
0 (스칼라)	1	$\phi' = \phi$	온도, 전하, 에너지
1 (벡터)	3	$v'_i = a_{ij}\, v_j$	위치, 속도, 전기장, $\nabla\phi$
2	9	$T'_{ij} = a_{ik}\, a_{jl}\, T_{kl}$	응력, 유전율, 유효질량 역수
3	27	$T'_{ijk} = a_{il}\, a_{jm}\, a_{kn}\, T_{lmn}$	압전 계수 $d_{ijk}$
4	81	$T'_{ijkl} = a_{im}\, a_{jn}\, a_{ko}\, a_{lp}\, T_{mnop}$	탄성 강성 $C_{ijkl}$, 압저항 $\pi_{ijkl}$

규칙은 하나다 — 인덱스마다 $a$가 하나씩 붙는다. 계급이 $n$이면 $a$가 $n$개 곱해진다. 성분 개수는 3차원에서 $3^n$이다.

주의

성분이 세 개라고 벡터가 아니다. 좌표 $(x_1, x_2, x_3)$는 정의상 벡터다. 그러나 $(x_1^2, x_2^2, x_3^2)$는 벡터가 아니다 — 축을 45° 돌려 보면 새 성분이 옛 성분의 선형결합으로 나오지 않는다. 마찬가지로 $(v_1, v_2, v_3)$가 벡터여도 $(v_1, v_2, -v_3)$는 일반적으로 벡터가 아니다. 텐서의 계급은 성분 개수가 아니라 변환 법칙이 정한다. 반대로 성분이 아홉 개인 양이 전부 2계 텐서인 것도 아니다 — 3절의 유사텐서가 첫 예외이고, 5절에서 텐서 밀도가 두 번째 예외로 나온다.

2계 텐서는 벡터를 벡터로 보내는 기계

직관

계급이 2인 텐서를 읽는 가장 쓸모 있는 방법은 선형 기계다. 벡터 $u_j$를 넣으면 벡터 $w_i = T_{ij}u_j$가 나온다. 1.2의 선형 변환 그 자체다 — 다만 기저를 돌렸을 때 행렬 성분이 $a_{ik}a_{jl}T_{kl}$로 바뀌는데, 이것이 정확히 1.2.6선형 변환의 닮음 변환 $T' = QTQ^{\mathsf{T}}$을 성분으로 쓴 것이다.

기계라는 관점에서 가장 중요한 성질은 출력이 입력과 나란하지 않아도 된다는 것이다. 스칼라를 곱하면 방향이 안 바뀌지만 텐서를 곱하면 바뀐다. 물질이 방향에 따라 다르게 반응하는 모든 현상 — 이방성 — 이 여기서 나온다.

반도체에서 첫 번째로 만나는 2계 텐서는 유효질량이다. 밴드 $E(\mathbf{k})$의 극값 근처에서 전자의 가속도는 뉴턴 법칙을 닮은 식을 따르는데, 질량 자리에 행렬이 들어간다.

$$a_i = \left(\frac{1}{m^*}\right)_{ij} F_j, \qquad \left(\frac{1}{m^*}\right)_{ij} = \frac{1}{\hbar^2}\,\frac{\partial^2 E}{\partial k_i\, \partial k_j}$$

여기서 $\hbar$는 디랙 상수, $\mathbf{k}$는 파수 벡터, $F_j$는 전자에 걸린 힘이다. 이차 편미분은 순서를 바꿔도 같으므로 $(1/m^*)_{ij}$는 대칭 텐서이고, 그래서 1.3.7이차 형식과 주축 변환의 주축 정리가 적용된다 — 축을 잘 돌리면 대각이 된다. 그 대각 성분의 역수가 주축 방향의 유효질량이다.

실리콘의 전도대 최소점은 $\Gamma$점이 아니라 $\langle 100\rangle$ 방향의 $\Delta$축 위에 있고, 그 근처의 등에너지면은 회전 타원체다. 골짜기 축 방향의 질량을 $m_l$(longitudinal), 수직 방향을 $m_t$(transverse)라 하면 주축 좌표에서

$$E(\mathbf{k}) = \frac{\hbar^2}{2}\left( \frac{k_l^2}{m_l} + \frac{k_{t1}^2}{m_t} + \frac{k_{t2}^2}{m_t} \right), \qquad m_l \approx 0.92\, m_0,\quad m_t \approx 0.19\, m_0$$

그림 1.13-1. 유효질량이 텐서라는 것의 두 얼굴. 왼쪽은 실리콘 전도대 한 골짜기의 등에너지면을 골짜기 축을 포함하는 평면으로 자른 단면 — 축 방향 질량 m_l이 크므로 그 방향으로 길쭉한 타원이다. 오른쪽은 같은 골짜기에서 힘 F와 가속도 a의 관계 — 주축이 아닌 방향으로 힘을 주면 가속도는 질량이 가벼운 쪽으로 꺾여 힘과 나란하지 않다. 스칼라 질량이면 일어날 수 없는 일이다.직접 작도

직관

파라미터 연계. $m_l$이 $m_t$의 다섯 배 가까이 되므로 골짜기 축 방향으로는 전자가 무겁고 수직 방향으로는 가볍다. 실리콘의 골짜기는 여섯이고 $\pm x, \pm y, \pm z$ 축 위에 놓여 있어 전부 합치면 방향성이 상쇄돼 이동도는 등방적이 된다 — 이것이 11절 노이만 원리의 첫 예다. 그러나 스트레인으로 여섯 골짜기의 에너지를 갈라 놓으면 전자가 특정 골짜기에 몰리고, 그 골짜기의 가벼운 방향으로 전류가 흐르게 만들 수 있다. 스트레인 실리콘이 이동도를 올리는 원리가 이 텐서의 이방성이다.

$\partial^2 E/\partial k^2$이 클수록 질량이 작다는 것도 읽어 둔다 — 밴드가 급하게 휠수록 가벼운 캐리어다. 그래프에서 밴드 극값 근처의 곡률이 곧 질량의 역수다.

텐서를 만들고 줄이는 연산

같은 계급의 텐서는 더할 수 있고, 계급이 다른 텐서는 곱해서 계급을 올리거나 인덱스를 묶어 계급을 내릴 수 있다.

• 외적(outer product). $u_i v_j = T_{ij}$는 2계 텐서다. 각각 $a$ 하나씩 붙어 $a_{ik}a_{jl}u_kv_l$로 변하기 때문이다. 일반적으로 계급 $m$과 $n$의 외적은 계급 $m+n$이다.
• 축약(contraction). 인덱스 둘을 같게 놓고 합하면 계급이 2 줄어든다. $T_{ii}$는 스칼라이고, $T_{ijj}$는 벡터다. 축약이 계급을 정확히 2 내리는 이유는 직교성 때문이다 — $T'_{ii} = a_{ik}a_{il}T_{kl} = \delta_{kl}T_{kl} = T_{kk}$.
• 내적은 외적 뒤에 축약이다. $u_iv_i$는 $u_iv_j$를 축약한 것이고, 스칼라다. $T_{ij}u_j$는 3계 $T_{ij}u_k$를 축약한 벡터다.
• 몫 규칙(quotient rule). 어떤 아홉 숫자 $X_{ij}$가 임의의 벡터 $u_j$에 대해 $X_{ij}u_j$를 벡터로 만든다면 $X_{ij}$는 2계 텐서다. 어떤 양이 텐서인지 변환 법칙을 직접 확인하지 않고도 판정하는 실용적 도구다 — 유효질량 역수가 텐서인 것은 $F_j$가 임의의 벡터이고 $a_i$가 벡터이기 때문이다.

대칭과 반대칭

2계 텐서는 언제나 두 조각으로 갈라진다.

$$T_{ij} = \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(T_{ij} + T_{ji}\right)}_{S_{ij} = S_{ji}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(T_{ij} - T_{ji}\right)}_{A_{ij} = -A_{ji}}$$

이 분해는 회전에 대해 보존된다 — 대칭 텐서는 어느 좌표계에서 봐도 대칭이다. 변환 법칙에서 $a_{ik}a_{jl}$의 두 $a$가 $k, l$을 함께 바꾸기 때문이다. 그러므로 “대칭”은 성분표의 우연이 아니라 텐서 자체의 성질이다.

성분 개수를 세어 보면 대칭 부분이 6, 반대칭 부분이 3이다. 반대칭 2계 텐서의 독립 성분이 셋이라는 것이 3차원의 특별한 우연이고, 이 셋을 벡터처럼 모아 쓴 것이 외적·회전·각속도다. 이 대응이 왜 “거의” 벡터이고 완전한 벡터는 아닌지가 3절의 내용이다.

대칭 텐서는 더 나뉜다 — 대각합(trace)과 대각합이 0인 부분으로.

$$S_{ij} = \tfrac{1}{3}\, S_{kk}\, \delta_{ij} + \left(S_{ij} - \tfrac{1}{3}\, S_{kk}\, \delta_{ij}\right)$$

앞 항은 스칼라 하나(등방 부분), 뒤 항은 성분 다섯(비등방 부분)이다. 9 = 1 + 5 + 3. 이 분해는 12절에서 회전군의 기약 표현 $j = 0, 2, 1$로 다시 나온다 — 성분 개수 $2j + 1$이 1, 5, 3인 것이 우연이 아니다. 변형 텐서를 체적 변형(대각합)과 전단 변형(나머지)으로 나누는 4절의 습관도 같은 분해다.

크로네커 델타와 레비-치비타 기호

회전해도 변하지 않는 텐서

직관

어느 좌표계에서 봐도 성분표가 같은 텐서가 있다. 등방 텐서(isotropic tensor)라 부른다. 2계에서는 $\delta_{ij}$ 하나뿐이고, 3계에서는 $\epsilon_{ijk}$ 하나뿐이다. 4계는 셋의 조합이다. 이 목록이 짧다는 사실이 이 절의 물리적 무게다 — 등방 매질의 어떤 물성 텐서든 이 몇 개의 상수배로 끝난다. 액체와 유리, 다결정 금속, 그리고 입방정 결정의 2계 물성이 스칼라 하나로 기술되는 이유가 전부 여기 있다.

$\delta_{ij}$가 등방인 것은 직교성 그 자체다.

$$\delta'_{ij} = a_{ik}\, a_{jl}\, \delta_{kl} = a_{ik}\, a_{jk} = \delta_{ij}$$

$\delta_{ij}$의 성분표가 단위행렬이고, 단위행렬은 $QIQ^{\mathsf{T}} = I$로 어떤 회전에도 그대로다. 반대로 등방인 2계 텐서는 반드시 $\lambda\delta_{ij}$ 꼴이다 — 대칭 텐서를 주축으로 대각화했을 때 세 고유값이 다르면 축을 바꿔 부르는 회전에서 성분표가 바뀌므로, 등방이려면 세 고유값이 같아야 하고 그러면 $\lambda I$다.

4계 등방 텐서는 정확히 세 개의 선형결합이다.

$$T_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \delta_{ik}\delta_{jl} + \nu\, \delta_{il}\delta_{jk}$$

이것이 등방 탄성체의 탄성 강성이 두 상수(라메 상수 $\lambda, \mu$)로 끝나는 이유다 — 응력과 변형이 둘 다 대칭이라 $\mu$와 $\nu$가 합쳐지고, 81개 성분이 2개로 줄어든다. 4절에서 확인한다.

레비-치비타 기호

$$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & (i,j,k) = (1,2,3),\ (2,3,1),\ (3,1,2) \\ -1 & (i,j,k) = (1,3,2),\ (3,2,1),\ (2,1,3) \\ \ 0 & \text{인덱스 둘 이상이 같을 때} \end{cases}$$

읽는 법은 두 가지다. 순환으로 읽으면 $(1,2,3)$을 돌린 것은 $+1$, 거꾸로 돌린 것은 $-1$이다. 순열로 읽으면 짝순열 $+1$, 홀순열 $-1$이다. 어느 두 인덱스를 맞바꾸든 부호가 뒤집힌다 — 완전 반대칭이다. 27개 성분 중 0이 아닌 것은 여섯뿐이다.

$\epsilon_{ijk}$는 1.1과 1.2에서 이미 두 번 나온 물건을 하나로 묶는다.

• 외적 — $(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i = \epsilon_{ijk}\, u_j v_k$. 예컨대 $i=1$이면 $\epsilon_{123}u_2v_3 + \epsilon_{132}u_3v_2 = u_2v_3 - u_3v_2$.
• 회전 — $(\nabla\times\mathbf{v})_i = \epsilon_{ijk}\, \partial_j v_k$. 여기서 $\partial_j = \partial/\partial x_j$다. 1.1.2기울기·발산·회전
• 행렬식 — $\det A = \epsilon_{ijk}\, A_{1i}A_{2j}A_{3k}$. 1.2.1행렬과 행렬식의 “각 행에서 하나씩 뽑아 부호를 붙여 더한다”를 그대로 적은 것이다.
• 스칼라 삼중곱 — $\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = \epsilon_{ijk}\, u_iv_jw_k$. 세 벡터를 행으로 세운 행렬식이다.

세 번째 식을 조금 일반화하면 $\epsilon$이 등방인 이유가 나온다.

$$\epsilon_{lmn}\, a_{il}\, a_{jm}\, a_{kn} = (\det a)\, \epsilon_{ijk}$$

좌변은 $a$의 $i, j, k$행을 뽑아 만든 $3\times3$ 행렬식이고, 그 행들이 원래 순서면 $\det a$, 바꿔 놓으면 부호가 붙는다. 회전이면 $\det a = +1$이라 $\epsilon'_{ijk} = \epsilon_{ijk}$ — 등방이다. 그런데 $\det a = -1$인 변환(반사·반전)에서는 부호가 남는다. 이 한 줄이 3절 전체의 씨앗이다.

$\epsilon$–$\delta$ 항등식

두 $\epsilon$의 곱에서 인덱스 하나를 축약하면 $\delta$ 네 개로 풀린다.

$$\epsilon_{ijk}\, \epsilon_{ilm} = \delta_{jl}\, \delta_{km} - \delta_{jm}\, \delta_{kl}$$

직관

수식적 직관. 왜 이 꼴인가. 좌변이 0이 아니려면 $(j,k)$가 $i$를 뺀 두 인덱스이고 $(l,m)$도 같은 두 인덱스여야 한다. 그러면 $(j,k) = (l,m)$이거나 $(j,k) = (m,l)$이고, 앞의 경우 두 $\epsilon$이 같은 부호라 $+1$, 뒤의 경우 반대 부호라 $-1$이다. 우변이 그 두 경우를 $\delta$로 적은 것이다 — 첫 항은 “짝이 맞을 때”, 둘째 항은 “엇갈릴 때”.

외우는 법은 **“가까운 것끼리 곱하고, 먼 것끼리 곱한 것을 뺀다”**다. $jl\,km$이 가깝고 $jm\,kl$이 멀다.

한 번 더 축약하면

$$\epsilon_{ijk}\, \epsilon_{ijm} = 2\,\delta_{km}, \qquad \epsilon_{ijk}\, \epsilon_{ijk} = 6$$

이 항등식으로 1.1의 벡터 항등식이 전부 기계적으로 나온다. 대표 둘만 적는다.

BAC–CAB. $[\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})]_i = \epsilon_{ijk}\, a_j\, \epsilon_{klm}\, b_l c_m$. $\epsilon_{ijk} = \epsilon_{kij}$로 돌려 $k$를 앞세우면

$$\begin{aligned} \epsilon_{kij}\, \epsilon_{klm}\, a_j b_l c_m &= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})\, a_j b_l c_m \\ &= b_i\, (a_j c_j) - c_i\, (a_j b_j) \end{aligned}$$

즉 $\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - \mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$.

회전의 회전. 같은 계산에서 $a_j \to \partial_j$, $b_l \to \partial_l$, $c_m \to A_m$으로 바꾸면 — 미분 연산자는 자기 뒤의 것에만 작용하므로 순서를 지켜 —

$$[\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})]_i = \partial_i\, (\partial_j A_j) - \partial_j\partial_j\, A_i$$

즉 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$. 이 항등식이 맥스웰 방정식에서 파동 방정식을 뽑아내는 한 줄이다(2.8). 1.1에서는 성분을 일일이 써서 확인했던 것이 여기서는 두 줄이다.

주의

인덱스 실수 세 가지. ① 같은 항에 같은 글자를 세 번 쓰지 않는다 — $\epsilon_{ijk}u_jv_j$는 뜻이 없다. 다른 합산 인덱스는 다른 글자를 써야 한다. ② 등식 양변의 자유 인덱스는 같아야 한다 — 좌변이 $i$이면 우변도 $i$. ③ $\epsilon$의 인덱스 순서를 돌리는 것은 자유(순환)지만 맞바꾸는 것은 부호를 낸다. $\epsilon_{ijk} = \epsilon_{jki} = -\epsilon_{jik}$. BAC–CAB에서 $\epsilon_{ijk}$를 $\epsilon_{kij}$로 바꾼 것은 두 칸 돌린 것이므로 부호가 없다.

발산과 회전이 하나의 텐서다

1절 끝의 분해를 미분에 적용해 보면 1.1의 세 미분 연산자가 한 물건의 세 조각임이 보인다. 벡터장 $\mathbf{v}$의 기울기 텐서 $\partial_j v_i$는 2계 텐서이고, 그것을 분해하면

$$\partial_j v_i = \underbrace{\tfrac{1}{3}(\partial_k v_k)\,\delta_{ij}}_{\text{발산}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}(\partial_j v_i + \partial_i v_j) - \tfrac{1}{3}(\partial_k v_k)\,\delta_{ij}}_{\text{대각합 없는 대칭부 — 전단}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}(\partial_j v_i - \partial_i v_j)}_{\text{반대칭부 — 회전}}$$

반대칭 부분의 세 독립 성분이 $\tfrac{1}{2}\epsilon_{ijk}(\nabla\times\mathbf{v})_k$다 — 즉 회전의 절반이다. 1.1에서 회전을 “국소 각속도의 두 배”라고 읽었던 것이 여기서 정확해진다. 4절에서 $\mathbf{v}$ 대신 변위장 $\mathbf{u}$를 넣으면 세 조각이 차례로 체적 변형·전단 변형·강체 회전이 된다.

유사텐서와 유사벡터

거울에 비추면 드러난다

2절 끝의 식 $\epsilon'_{ijk} = (\det a)\,\epsilon_{ijk}$에서 $\det a = -1$인 경우를 밀고 나간다. 가장 단순한 예가 반전(패리티) $x_i \to -x_i$, 즉 $a_{ij} = -\delta_{ij}$다. 행렬식이 $(-1)^3 = -1$이고, 반전은 회전이 아니다 — 회전 세 개를 어떻게 이어 붙여도 오른손 좌표계를 왼손 좌표계로 만들 수 없다.

반전에서 진짜 벡터는 부호가 뒤집힌다. $v'_i = a_{ij}v_j = -v_i$. 위치·속도·힘·전기장이 다 그렇다. 그러면 두 벡터의 외적은 어떻게 되는가.

$$(\mathbf{u}\times\mathbf{v})'_i = \epsilon_{ijk}\, u'_j v'_k = \epsilon_{ijk}\, (-u_j)(-v_k) = +(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i$$

부호가 안 뒤집힌다. 회전에서는 벡터처럼 변하고 반전에서는 벡터와 반대로 변하는 이런 양을 유사벡터(pseudovector, 축벡터)라 한다. 각속도 $\boldsymbol{\omega}$, 각운동량 $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$, 토크, 자기장 $\mathbf{B}$, 그리고 $\nabla\times\mathbf{v}$가 전부 유사벡터다. 일반 변환에 대해 적으면

$$\text{진짜 벡터: } v'_i = a_{ij}\, v_j, \qquad \text{유사벡터: } w'_i = (\det a)\, a_{ij}\, w_j$$

그림 1.13-2. 거울면 x → −x 에 비춘 두 가지 양. 왼쪽의 진짜 벡터는 화살표가 그대로 비치므로 x 성분만 뒤집히고 면에 나란한 성분은 그대로다. 오른쪽은 회전하는 원판 — 거울에 비친 원판은 반대 방향으로 돌고, 오른손 규칙으로 정한 각속도 벡터는 면에 수직인데도 부호가 뒤집힌다. 진짜 벡터라면 면에 수직인 성분이 뒤집힐 이유가 없다. 각속도는 화살표가 아니라 회전 방향 자체이고, 화살표는 관습이다.직접 작도

직관

물리적 직관. 유사벡터의 화살표는 관습이다. 각속도의 본체는 “어느 평면에서 어느 방향으로 돈다”이고, 이 정보를 3차원에서는 우연히 화살표 하나로 압축할 수 있다 — 1절에서 본 대로 반대칭 2계 텐서의 독립 성분이 셋이기 때문이다. 화살표의 방향을 정할 때 오른손 규칙을 썼으므로, 좌표계의 손잡이를 바꾸면 화살표만 뒤집힌다. 거울에 비친 세계에서도 원판은 그대로 돌고 있는데 오른손 규칙이 왼손 규칙으로 바뀌어 화살표를 반대로 그리는 것이다.

이 관점에서 유사벡터는 본래 반대칭 2계 텐서다. $\omega_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$로 텐서에 옮겨 놓으면 반전에서도 정상적으로 $(-1)^2 = +1$로 변하고, 이상한 일이 사라진다. 4차원에서는 이 압축이 불가능하다(반대칭 $4\times4$의 독립 성분은 6) — 그래서 특수상대론의 전자기장은 벡터 $\mathbf{E}$와 유사벡터 $\mathbf{B}$를 따로 쓰지 않고 반대칭 텐서 $F_{\mu\nu}$ 하나로 쓴다(2.6).

쌍대 텐서

위의 대응을 이름 붙여 두면 쌍대(dual)다. 반대칭 2계 텐서 $A_{jk}$와 유사벡터 $C_i$는

$$C_i = \tfrac{1}{2}\,\epsilon_{ijk}\, A_{jk}, \qquad A_{jk} = \epsilon_{ijk}\, C_i$$

로 서로 오간다. 계수 $\tfrac{1}{2}$는 $A_{23}$과 $A_{32}$가 두 번 세어지는 것을 보정한다. 같은 방식으로 완전 반대칭 3계 텐서는 유사스칼라 하나와 쌍대다 — 독립 성분이 $A_{123}$ 하나뿐이기 때문이다. 스칼라 삼중곱 $\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})$가 유사스칼라의 예다. 반전에서 부호가 바뀌는 “숫자”인데, 세 벡터가 만드는 평행육면체의 손잡이(chirality)를 나타낸다. 6절에서 이 쌍대가 호지 쌍대라는 이름으로 미분형식에 다시 나온다.

두 유사량을 곱하면 진짜가 된다

물리 법칙은 반전에 대해서도 성립해야 하므로(적어도 전자기와 역학은 그렇다), 등식의 양변은 같은 종류여야 한다. 진짜 벡터 = 유사벡터라는 식은 반전한 좌표계에서 깨진다. 유사량의 부호 규칙은 곱셈에서 $(-1)$이 하나씩 붙는 것이므로

• 유사 × 유사 = 진짜. 각운동량 $\mathbf{L}$과 각속도 $\boldsymbol{\omega}$의 내적 $\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\omega}$(회전 에너지의 두 배)는 진짜 스칼라다.
• 진짜 × 유사 = 유사. $\mathbf{r}\times\mathbf{p}$는 유사벡터다.
• 로런츠 힘 $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ — $\mathbf{v}$는 진짜, $\mathbf{B}$는 유사, 외적이 다시 유사이므로 결과는 진짜 벡터다. 힘은 진짜 벡터여야 하므로 정합적이다. 거꾸로 이 식이 정합적이려면 $\mathbf{B}$가 유사벡터일 수밖에 없다.

반도체에서 — 반전 대칭이 지우는 것

직관

파라미터 연계. 결정에 반전 중심이 있으면 — 실리콘·게르마늄의 다이아몬드 구조가 그렇다 — 결정의 어떤 물성 텐서도 반전에 대해 불변이어야 한다. 그런데 홀수 계급의 진짜 텐서는 반전에서 부호가 뒤집힌다($(-1)^n$). 불변이면서 부호가 뒤집히려면 0이어야 한다. 그러므로 반전 중심이 있는 결정에서는 홀수 계급 물성 텐서가 전부 0이다.

이 한 줄이 반도체 재료 목록을 가른다. 3계 텐서인 압전 계수 $d_{ijk}$와 2차 비선형 광학 감수율 $\chi^{(2)}_{ijk}$는 실리콘에서 0이다 — 실리콘은 압전 소자도 2차 조화파 발생기도 되지 못한다. 반전 중심이 없는 섬아연광 GaAs(점군 $T_d$)와 우르츠광 GaN(점군 $C_{6v}$)에서는 살아남는다. GaN 위에 AlGaN을 올렸을 때 계면에 저절로 생기는 2차원 전자가스는 이 압전 분극이 만든다 — HEMT의 원리다. 어떤 텐서 성분이 살아남는지는 11절에서 점군 표로 센다.

한 가지 더. 자기장이 유사벡터라는 것이 수송 계수의 대칭을 결정한다. 자기장 속의 전도도 텐서 $\sigma_{ij}(\mathbf{B})$는 시간 반전 대칭에서 온사거(Onsager) 관계 $\sigma_{ij}(\mathbf{B}) = \sigma_{ji}(-\mathbf{B})$를 만족한다. $\mathbf{B}$에 대해 홀수인 부분 — 홀 효과 — 이 정확히 반대칭 부분이고, 짝수인 부분(자기저항)이 대칭 부분이다. 1절의 분해가 여기서는 물리 효과의 분류가 된다. 홀 전압을 재서 캐리어 농도를 구하는 것은 $\sigma_{ij}$의 반대칭 성분 $\epsilon_{ijk}B_k$에 곱해진 계수를 읽는 일이다.

응력·변형 텐서와 관성 텐서

응력 — 면에 걸리는 힘

직관

고체 안의 한 점에 “힘이 얼마나 걸리는가”는 벡터로 답할 수 없다. 그 점을 지나는 면을 어느 방향으로 자르느냐에 따라 그 면이 받는 힘이 다르기 때문이다. 입력이 면의 법선 $n_j$(벡터), 출력이 그 면 단위 넓이에 걸리는 힘 $t_i$(벡터)이므로 둘을 잇는 것은 1절의 기계 — 2계 텐서다. 이것이 응력이다.

$$t_i = \sigma_{ij}\, n_j$$

$\sigma_{ij}$는 법선이 $j$축인 면에 걸리는 힘의 $i$ 성분이다(교재에 따라 두 인덱스의 역할이 바뀌기도 하는데, 곧 대칭임을 보이므로 실제로는 상관없다). 대각 성분 $\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}$은 면을 당기거나 미는 수직 응력, 비대각 성분은 면을 옆으로 미는 전단 응력이다. 단위는 힘/넓이, 즉 Pa.

그림 1.13-3. 응력 텐서의 아홉 성분. 작은 정육면체의 세 면(법선이 x, y, z)에 각각 힘 벡터가 걸리고, 그 힘을 성분으로 나누면 면마다 셋 — 법선 방향의 수직 응력 하나와 면 안의 전단 응력 둘이다. 첫째 인덱스가 힘의 방향, 둘째 인덱스가 면의 법선이다. 마주 보는 면에는 같은 크기의 반대 힘이 걸려 정육면체는 평형을 이룬다.직접 작도

응력이 대칭인 것은 각운동량 평형이다. 작은 정육면체(한 변 $\ell$)에 $\sigma_{12}$와 $\sigma_{21}$이 만드는 토크는 각각 $\sigma_{12}\ell^3$과 $-\sigma_{21}\ell^3$이고, 이 둘이 상쇄되지 않으면 정육면체가 $\ell \to 0$에서 무한히 빠르게 돌게 된다(관성이 $\ell^5$로 줄기 때문이다). 따라서 $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$. 독립 성분은 여섯이다.

대칭이므로 1.3.7이차 형식과 주축 변환의 주축이 있다. 주축 좌표계에서는 전단 응력이 전부 0이고 세 주응력 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$만 남는다. 어떤 방향으로 잘라도 그 면에 순수한 수직 힘만 걸리는 세 방향이 반드시 존재한다는 뜻이다. 세 주응력이 같으면 등방 — 정수압(hydrostatic pressure) $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$이고, 1절의 분해대로 어떤 응력이든 정수압 부분과 대각합이 0인 편차 응력(deviatoric)으로 나뉜다.

변형 — 변위의 기울기

고체의 각 점이 $\mathbf{u}(\mathbf{r})$만큼 옮겨졌다고 하자. 변형은 $\mathbf{u}$ 자체가 아니라 이웃한 점의 변위 차이다 — 전체가 똑같이 평행 이동하면 변형이 아니다. 그래서 변형은 $\mathbf{u}$의 기울기 텐서 $\partial_j u_i$에서 나오고, 2절 끝의 분해가 그대로 적용된다.

$$\partial_j u_i = \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(\partial_j u_i + \partial_i u_j\right)}_{\varepsilon_{ij}\ \text{변형 텐서}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}\left(\partial_j u_i - \partial_i u_j\right)}_{\text{강체 회전}}$$

반대칭 부분은 물체를 돌리기만 하고 늘이지 않는다 — 그 쌍대 유사벡터가 $\tfrac{1}{2}\nabla\times\mathbf{u}$, 국소 회전각이다. 물질의 변형에 기여하는 것은 대칭 부분 $\varepsilon_{ij}$뿐이고, 이것이 변형 텐서(strain tensor)다. 무차원이다.

• 대각 성분 $\varepsilon_{11} = \partial u_1/\partial x_1$은 $x_1$ 방향의 늘어난 비율이다.
• 대각합 $\varepsilon_{kk} = \nabla\cdot\mathbf{u}$는 체적 변형률 $\Delta V/V$다. 1.1에서 발산을 “부피가 불어나는 비율”로 읽은 것이 여기서 문자 그대로가 된다.
• 비대각 성분 $\varepsilon_{12}$는 $x_1$축과 $x_2$축 사이 각도가 줄어든 양의 절반이다. 공학에서 쓰는 전단 변형 $\gamma_{12} = 2\varepsilon_{12}$와 다르다는 것에 주의한다.

주의

$\varepsilon_{ij}$와 $\epsilon_{ijk}$. 장 앞에서 예고한 대로, 이 절의 변형 텐서는 인덱스가 둘이고 레비-치비타는 셋이다. 2절 끝의 분해식에서 회전 부분을 $\epsilon_{ijk}$로 적었고 바로 위에서 대칭 부분을 $\varepsilon_{ij}$로 적었다 — 한 식 안에 둘이 같이 나올 수 있다. 그리고 **변형 $\varepsilon_{ij}$와 유전율 $\varepsilon_{ij}$**도 같은 글자다. 스트레인 실리콘과 유전 이방성이 같은 장에 나오는 20부에서 둘을 함께 쓰게 되면 유전율 쪽에 아래첨자 $r$을 붙인다.

후크 법칙 — 4계 텐서와 그 축소

작은 변형에서 응력은 변형에 선형이다. 2계와 2계를 잇는 선형 관계는 4계 텐서다.

$$\sigma_{ij} = C_{ijkl}\, \varepsilon_{kl}$$

$C_{ijkl}$을 탄성 강성(elastic stiffness)이라 한다. 성분이 $81$개인데, 실제 독립 성분은 훨씬 적다.

축소의 이유	남는 독립 성분
없음	81
$\sigma_{ij}$ 대칭 → $C_{ijkl} = C_{jikl}$ · $\varepsilon_{kl}$ 대칭 → $C_{ijkl} = C_{ijlk}$	36
탄성 에너지 $\tfrac{1}{2}C_{ijkl}\varepsilon_{ij}\varepsilon_{kl}$가 존재 → $C_{ijkl} = C_{klij}$	21
입방정 대칭(실리콘·GaAs)	3
등방(비정질·다결정)	2

처음 두 줄은 텐서 자체의 대칭이고, 마지막 두 줄은 결정의 대칭이 텐서에 부과하는 것이다 — 11절의 노이만 원리다. 입방정에서 남는 셋을 포이크트(Voigt) 표기로 적는다. 대칭인 인덱스 쌍 $(ij)$를 하나의 인덱스 $1 \dots 6$으로 접는다: $11 \to 1,\ 22 \to 2,\ 33 \to 3,\ 23 \to 4,\ 13 \to 5,\ 12 \to 6$. 그러면 4계 텐서가 $6\times6$ 행렬이 되고, 입방정에서는

$$C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{11} & C_{12} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{12} & C_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44} \end{bmatrix}, \qquad \text{Si: } C_{11} \approx 166,\ C_{12} \approx 64,\ C_{44} \approx 80\ \text{GPa}$$

등방이면 여기에 $C_{44} = \tfrac{1}{2}(C_{11} - C_{12})$가 하나 더 걸려 둘이 남고, 그것이 2절의 라메 상수 $\lambda = C_{12}$, $\mu = C_{44}$다. 실리콘은 이 관계를 만족하지 않는다 — $\tfrac{1}{2}(166 - 64) = 51 \neq 80$. 입방정은 등방이 아니다. 실리콘 웨이퍼의 영률이 $\langle 100\rangle$에서 130 GPa, $\langle 111\rangle$에서 188 GPa로 다른 것이 이 때문이고, MEMS 설계에서 결정 방향을 따지는 이유다.

주의

포이크트 표기의 함정. $6\times6$ 행렬 $C_{\alpha\beta}$는 편리하지만 2계 텐서가 아니다. 좌표를 돌릴 때 $a_{ik}a_{jl}$로 변하지 않는다 — 원래 4계 텐서로 풀어서 $a$ 네 개를 붙여야 한다. 또 변형 쪽 포이크트 벡터에는 전단 성분에 2를 곱해($\gamma = 2\varepsilon$) 넣는 관습이 있어 강성 $C$와 유연성 $S = C^{-1}$에서 인자 2·4가 다르게 붙는다. 표에서 숫자를 읽어 올 때 어느 관습인지 반드시 확인한다.

관성 텐서

회전하는 강체의 각운동량은 각속도와 나란하지 않다. 둘을 잇는 것이 관성 텐서다.

$$L_i = I_{ij}\, \omega_j, \qquad I_{ij} = \int \rho\,\left(r^2\,\delta_{ij} - x_i x_j\right) dV$$

$\rho$는 밀도, $r^2 = x_kx_k$다. 정의에서 곧바로 대칭이고, 주축이 있다. 주축 좌표에서는 $L_i = I_i\,\omega_i$(합 없음)로 세 축이 따로 놀고, 그 축으로 돌릴 때만 $\mathbf{L}$과 $\boldsymbol{\omega}$가 나란하다. 1.3에서 “관성 텐서의 주축”을 고유값 문제의 예로 들었던 것이 이 텐서다. $\boldsymbol{\omega}$와 $\mathbf{L}$이 둘 다 유사벡터이므로 $I_{ij}$는 진짜 텐서다(유사 × 유사).

유효질량과 관성 텐서를 나란히 두면 구조가 같다는 것이 보인다 — $a_i = (1/m^*)_{ij}F_j$와 $\omega_i = (I^{-1})_{ij}L_j$. 둘 다 “입력 벡터와 출력 벡터가 나란하지 않은” 이방성이고, 둘 다 대칭이라 주축이 있고, 둘 다 에너지가 이차 형식이다 — $\tfrac{1}{2}I_{ij}\omega_i\omega_j$와 $\tfrac{\hbar^2}{2}(1/m^*)_{ij}k_ik_j$. 1.3.7의 주축 변환이 물리에서 이렇게 반복된다.

반도체에서 — 스트레인이 밴드를 움직인다

직관

파라미터 연계. 이 절의 텐서 셋은 스트레인 공학의 언어다. 사슬은 이렇다.

① 격자 부정합이 변형을 만든다. 격자상수 $a_s$인 기판 위에 격자상수 $a_f$인 층을 얇게 성장시키면 층이 기판에 맞춰 늘어나거나 줄어든다. 면내 변형은 $\varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = (a_s - a_f)/a_f$이고, 면에 수직인 방향은 자유 표면이라 $\sigma_{zz} = 0$이어야 하므로 후크 법칙에서 $\varepsilon_{zz} = -\dfrac{2C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}$가 따라온다. 실리콘이면 계수가 $-2 \times 64/166 \approx -0.77$ — 면내에서 1% 늘이면 두께 방향으로 0.77% 줄어든다. SiGe 위의 실리콘 채널, GaAs 위의 InGaAs 양자우물이 전부 이 계산으로 시작한다.

② 변형이 밴드 끝을 옮긴다. 밴드 에너지의 변화는 변형에 선형이고, 계수는 2계 텐서다 — $\Delta E = \Xi_{ij}\,\varepsilon_{ij}$. $\Xi_{ij}$를 변형 퍼텐셜(deformation potential)이라 한다. 실리콘 전도대 골짜기 하나는 축 대칭이라 $\Xi_{ij}$의 독립 성분이 둘($\Xi_d$, $\Xi_u$)이고, $z$축 골짜기에 대해 $\Delta E = \Xi_d\,\varepsilon_{kk} + \Xi_u\,\varepsilon_{zz}$다. ①의 이축 변형을 넣으면 $z$ 골짜기 둘과 $x, y$ 골짜기 넷의 에너지가 다르게 움직인다 — 1.3.6축퇴와 고유기저의 축퇴 풀림이다.

③ 갈라진 골짜기가 이동도를 바꾼다. 전자가 낮아진 골짜기로 몰리면 전류 방향의 유효질량이 1절의 $m_t$ 쪽으로 기울고, 골짜기 사이 산란도 준다. 그래서 이동도가 오른다. 세 단계가 각각 4계·2계·2계 텐서를 하나씩 쓴다.

④ 압저항이 이 사슬의 역방향이다. 저항률 텐서의 변화가 응력에 선형이고 $\Delta\rho_{ij}/\rho = \pi_{ijkl}\,\sigma_{kl}$, 계수 $\pi_{ijkl}$은 탄성 강성과 같은 대칭을 가진 4계 텐서라 입방정에서 셋($\pi_{11}, \pi_{12}, \pi_{44}$)이다. p형 실리콘은 $\pi_{44}$가 지배적이라 $\langle 110\rangle$ 방향 저항이 응력에 가장 민감하고, 실리콘 압력 센서·가속도계의 감지 저항이 그 방향으로 놓이는 이유가 이것이다.

일반 좌표계의 텐서와 야코비안

직교 회전을 넘어서

지금까지의 변환은 직교좌표 사이의 회전이었다. 변환 행렬 $a_{ij}$가 직교라서 “역변환은 전치”라는 특권이 있었고, 그 덕에 인덱스를 위에 쓰든 아래에 쓰든 상관이 없었다. 이 절은 그 특권을 버린다. 구면좌표·원통좌표 같은 1.1.8곡선좌표계의 곡선좌표, 그리고 결정 격자처럼 축이 직교하지 않는 좌표를 다루려면 두 종류의 성분을 구분해야 한다.

일반 좌표를 $q^1, q^2, q^3$으로 쓴다(위첨자는 거듭제곱이 아니라 인덱스다). 새 좌표 $q'^\mu$로의 변환은 임의의 매끄러운 함수이고, 미분하면 국소적으로는 선형이다:

$$dq'^\mu = \frac{\partial q'^\mu}{\partial q^\nu}\, dq^\nu$$

이 계수 행렬 $\partial q'^\mu/\partial q^\nu$가 직교좌표의 $a_{ij}$를 대신한다. 다만 직교가 아니어서 역행렬이 전치가 아니다 — 역행렬은 $\partial q^\nu/\partial q'^\mu$다.

반변과 공변

좌표의 미분 $dq^\mu$처럼 변하는 성분을 반변(contravariant)이라 하고 위첨자로 쓴다. 기울기 $\partial\phi/\partial q^\mu$처럼 변하는 성분을 공변(covariant)이라 하고 아래첨자로 쓴다.

$$A'^\mu = \frac{\partial q'^\mu}{\partial q^\nu}\, A^\nu, \qquad A'_\mu = \frac{\partial q^\nu}{\partial q'^\mu}\, A_\nu$$

직관

공간적 직관. 왜 두 종류가 필요한가. 좌표 눈금을 두 배로 성기게 하면($q' = q/2$) 변위의 성분은 절반이 된다 — 같은 화살표를 큰 눈금으로 재니까. 그런데 기울기 $\partial\phi/\partial q$의 성분은 두 배가 된다 — 눈금 하나 건널 때 $\phi$가 두 배 변하니까. 같은 좌표 변환에 대해 하나는 눈금과 반대로(反變), 하나는 눈금과 같이(共變) 변한다. 직교 회전에서는 눈금 크기가 변하지 않아 두 구분이 사라졌던 것이다.

기하로는 이렇다. 좌표 곡선을 따라가는 접선 벡터 $\mathbf{e}_\mu = \partial\mathbf{r}/\partial q^\mu$가 공변 기저이고, 좌표 곡면에 수직인 $\mathbf{e}^\mu = \nabla q^\mu$가 반변 기저(쌍대 기저)다. 두 기저는 서로 직교한다 — $\mathbf{e}_\mu\cdot\mathbf{e}^\nu = \delta_\mu^\nu$. 벡터 하나를 어느 기저로 펼치느냐에 따라 성분이 반변($\mathbf{v} = v^\mu\mathbf{e}_\mu$)이 되기도, 공변 ($\mathbf{v} = v_\mu\mathbf{e}^\mu$)이 되기도 한다. 벡터는 하나이고 성분표가 둘이다.

이 규약에서 합 규약은 위아래 짝으로만 걸린다. $A^\mu B_\mu$는 스칼라이지만 $A^\mu B^\mu$는 텐서가 아니다 — 변환하면 $\partial q'/\partial q$ 두 개가 남아 상쇄되지 않는다. 자유 인덱스도 양변에서 같은 높이여야 한다. 이 규칙은 실수를 잡는 그물이다. 위아래가 안 맞는 식은 반드시 어딘가 틀렸다.

역격자는 쌍대 기저다

그림 1.13-4. 비직교 격자의 두 기저. 격자 벡터 a₁, a₂가 공변 기저이고, 각각 다른 하나에 수직이며 a_i · b_j = δ_ij 를 만족하는 b₁, b₂가 쌍대(반변) 기저다. 같은 벡터 k를 a 기저로 펼친 성분과 b 기저로 펼친 성분은 다르고, 내적 k · r 은 한쪽을 a 성분, 다른 쪽을 b 성분으로 읽어야 인덱스가 위아래로 맞아 단순한 합이 된다. 역격자에 2π가 붙는 것만 다르다.직접 작도

결정학의 역격자가 정확히 이 쌍대 기저다. 실격자의 기본 병진 벡터 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$에 대해 역격자 벡터는

$$\mathbf{b}_1 = 2\pi\,\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}, \quad\text{(순환)}, \qquad \mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\,\delta_{ij}$$

분모의 스칼라 삼중곱은 단위 낱칸의 부피 $V_c$이고, 분자의 외적은 $\mathbf{a}_1$을 뺀 두 벡터에 수직인 방향을 만든다 — 위의 $\mathbf{e}^\mu \perp \mathbf{e}_\nu\ (\nu\neq\mu)$ 그대로다. $2\pi$는 파동 $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$의 위상을 낱칸마다 정확히 한 바퀴로 맞추기 위한 관습이다.

이렇게 보면 파수 벡터는 공변량이다. 위치 $\mathbf{r} = x^\mu\mathbf{a}_\mu$는 격자 기저로 펼치는 것이 자연스럽고(반변), 파수는 위상 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = k_\mu x^\mu$가 단순한 합이 되도록 역격자 기저로 펼치는 것이 자연스럽다(공변). 입방정에서는 두 기저가 배율만 다르므로 아무도 이 구분을 하지 않지만, 육방정 GaN이나 삼방정 사파이어 기판에서 밀러 지수와 브릴루앙 영역을 다룰 때는 이 구분이 실제로 계산을 가른다 — 육방정의 $(hkl)$면 법선이 $[hkl]$ 방향과 나란하지 않은 이유가 정확히 이것이다.

계량 텐서

두 기저를 잇는 것이 계량(metric)이다.

$$g_{\mu\nu} = \mathbf{e}_\mu\cdot\mathbf{e}_\nu, \qquad ds^2 = g_{\mu\nu}\, dq^\mu\, dq^\nu, \qquad v_\mu = g_{\mu\nu}\, v^\nu$$

$g_{\mu\nu}$는 좌표 눈금을 실제 길이로 바꾸는 환율표다. 대칭이고, 역행렬 $g^{\mu\nu}$로 인덱스를 다시 올린다. 직교 곡선좌표에서는 비대각이 0이고 대각이 1.1.8곡선좌표계의 척도인자 제곱 $g_{\mu\mu} = h_\mu^2$이다 — 구면좌표에서 $ds^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta\,d\phi^2$가 바로 $g = \operatorname{diag}(1, r^2, r^2\sin^2\theta)$다. 직교좌표에서는 $g_{\mu\nu} = \delta_{\mu\nu}$라 올리고 내리는 것이 아무 일도 하지 않고, 그래서 1~4절이 위아래를 구분하지 않았던 것이다.

격자에서는 $g_{\mu\nu} = \mathbf{a}_\mu\cdot\mathbf{a}_\nu$가 곧 격자상수와 축각의 표다 — 대각이 $a^2, b^2, c^2$, 비대각이 $ab\cos\gamma$ 등. 결정계를 나누는 “격자상수 조건”(10절)이 계량 텐서의 모양으로 분류한 것이다.

야코비안 — 부피의 환율

좌표를 바꾸면 부피 요소가 바뀐다. 1.1.5이중·삼중 적분에서 이중적분의 변수변환에 쓴 야코비안이 그것이다.

$$dq'^1\, dq'^2\, dq'^3 = \lvert J\rvert\, dq^1\, dq^2\, dq^3, \qquad J = \det\left(\frac{\partial q'^\mu}{\partial q^\nu}\right)$$

계량과의 관계가 깔끔하다. 직교좌표 $x$에서 일반 좌표 $q$로 가면 부피 요소는 $dV = \sqrt{g}\,dq^1dq^2dq^3$이고, $\sqrt{g} = \lvert\det(\partial x/\partial q)\rvert$다 — $g_{\mu\nu} = \dfrac{\partial x^i}{\partial q^\mu}\dfrac{\partial x^i}{\partial q^\nu}$이므로 $\det g = (\det \partial x/\partial q)^2$. 구면좌표에서 $\sqrt{g} = r^2\sin\theta$가 곧 $h_rh_\theta h_\phi$다. 격자에서 $\sqrt{g} = V_c$, 낱칸 부피다.

$\sqrt{g}$가 붙는다는 것은 부피 요소 자체는 스칼라가 아니라는 뜻이다. 좌표를 바꿀 때 $\lvert J\rvert$가 곱해지는 양을 텐서 밀도(tensor density)라 한다. 1절 끝의 경고에서 예고한 두 번째 예외다. 전하 밀도·상태 밀도처럼 “단위 부피당”이 붙은 양은 전부 밀도이고, 적분해야 비로소 스칼라가 된다.

상태밀도 유효질량 — 야코비안이 만드는 숫자

직관

파라미터 연계. 1절의 타원체 골짜기로 돌아간다. 에너지 $E$ 아래의 상태 수를 세려면 $\mathbf{k}$공간에서 타원체의 부피를 재야 하는데, 타원체는 세 방향 반지름이 달라 불편하다. 좌표를 늘여 구로 만든다:

$$k'_l = k_l\sqrt{\frac{m_0}{m_l}},\quad k'_{t} = k_{t}\sqrt{\frac{m_0}{m_t}} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\hbar^2 k'^2}{2m_0}$$

이 변환의 야코비안이 $J = \sqrt{m_0^3/(m_lm_t^2)}$이고, 따라서 원래 좌표의 부피는 구의 부피에 $\sqrt{m_lm_t^2}/m_0^{3/2}$을 곱한 것이다. 상태밀도가 $m^{3/2}$에 비례하므로 타원체 골짜기 하나는 질량

$$m_d = \left(m_l\, m_t^2\right)^{1/3}$$

인 등방 골짜기 하나와 똑같은 수의 상태를 갖는다. 이것이 상태밀도 유효질량이다. 실리콘은 $(0.92 \times 0.19^2)^{1/3} \approx 0.32\,m_0$이고, 골짜기가 여섯이므로 전체는 $6^{2/3} \times 0.32 \approx 1.06\,m_0$ — 교과서의 $m_{de}^* \approx 1.08\,m_0$이 이 값이다. 1절의 $m_l, m_t$가 야코비안 하나를 거쳐 유효 상태밀도 $N_c \propto m_d^{3/2}$로, 거기서 진성 캐리어 농도로 이어진다. 전도도에 쓰는 유효질량은 다른 평균(조화 평균)이라 값이 다르다 ($\approx 0.26\,m_0$) — 같은 골짜기를 놓고 무엇을 평균하느냐에 따라 다른 숫자가 나온다.

기저가 자리마다 다르면 — 공변 미분

곡선좌표에서는 기저 벡터 $\mathbf{e}_\mu$ 자체가 위치에 따라 변한다. 그래서 벡터 성분을 그냥 편미분한 $\partial_\nu v^\mu$는 텐서가 아니다 — 성분이 변한 것인지 기저가 돌아간 것인지 섞여 있다. 기저의 변화를 따로 적으면

$$\frac{\partial \mathbf{e}_\mu}{\partial q^\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu}\, \mathbf{e}_\lambda$$

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$를 크리스토펠 기호라 하고, 계량으로부터 계산된다 ($\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2}g^{\lambda\kappa}(\partial_\mu g_{\kappa\nu} + \partial_\nu g_{\kappa\mu} - \partial_\kappa g_{\mu\nu})$). 텐서인 미분은 이 보정을 더한 공변 미분이다.

$$v^\mu{}_{;\nu} = \partial_\nu v^\mu + \Gamma^\mu_{\lambda\nu}\, v^\lambda$$

이 장에서 이 식을 쓰는 곳은 없다. 다만 1.1.8곡선좌표계의 발산 공식이 이것의 특수한 경우라는 것만 적어 둔다 — 공변 미분을 축약하면

$$\nabla\cdot\mathbf{v} = v^\mu{}_{;\mu} = \frac{1}{\sqrt{g}}\,\partial_\mu\left(\sqrt{g}\, v^\mu\right)$$

이고, 직교 곡선좌표에서 $\sqrt{g} = h_1h_2h_3$, $v^\mu = v_{(\mu)}/h_\mu$를 넣으면 1.1의 $\frac{1}{h_1h_2h_3}\sum\partial_\mu(h_1h_2h_3\, v_{(\mu)}/h_\mu)$가 그대로 나온다. 1.1에서 “왜 척도인자가 저 자리에 들어가는가”는 이 식이 답이다 — 부피 요소 $\sqrt{g}$의 자리 변화를 보정하는 것이다. 크리스토펠 기호가 물리의 전면에 나오는 곳은 일반상대론이고, 이 백과의 범위 밖이다. 직교좌표를 쓰는 한 $\Gamma$는 전부 0이다.

미분형식과 외미분

세 정리를 하나로

1.1.7발산정리와 스토크스 정리에서 그린·스토크스·가우스 정리를 따로 증명했고, 셋이 “경계에서의 적분 = 내부에서의 미분의 적분”이라는 한 문장으로 요약된다고 했다. 미분형식은 그 문장을 문자 그대로 하나의 식으로 만드는 언어다.

$$\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$$

$M$은 영역, $\partial M$은 그 경계, $\omega$는 미분형식, $d$는 외미분이다. 이 식 하나가 $M$의 차원에 따라 미적분학의 기본정리(1차원), 스토크스 정리(2차원 곡면), 가우스 정리(3차원)가 된다. 이 절은 이 식을 읽을 수 있을 만큼만 미분형식을 소개한다. 반도체에서 직접 계산에 쓰는 곳은 드물지만, 전자기학의 구조(2.6)와 위상 물질의 베리 곡률이 이 언어로 쓰여 있어 한 번은 보아 두어야 한다.

적분의 피적분항이 형식이다

직관

미분형식은 “무엇을 적분하는가”를 차원별로 분류한 것이다. 선적분에는 $A_x\,dx + A_y\,dy + A_z\,dz$를 넣고, 면적분에는 $B_x\,dy\,dz + \dots$를, 부피적분에는 $\rho\,dx\,dy\,dz$를 넣는다. 각각을 1-형식, 2-형식, 3-형식이라 부르고, 함수는 0-형식이다. 즉 $p$-형식은 $p$차원 조각 위에서 적분되는 것이다.

이 분류가 텐서와 다른 점은 방향을 안다는 것이다. 면적분은 곡면의 앞뒤를 바꾸면 부호가 바뀌고, $dy\,dz$가 그 부호를 지고 있다. 그래서 형식의 곱은 반대칭이다.

형식의 곱을 쐐기곱 $\wedge$로 쓴다. 규칙은 하나 — 반대칭이다.

$$dx\wedge dy = -\,dy\wedge dx, \qquad dx\wedge dx = 0$$

3차원에서 각 계급의 형식이 몇 개의 성분을 갖는지 세어 보면

$p$	기저	성분 수	벡터해석의 이름
0	$1$	1	스칼라장 $\phi$
1	$dx,\ dy,\ dz$	3	벡터장 $\mathbf{A}$ (선적분용)
2	$dy\wedge dz,\ dz\wedge dx,\ dx\wedge dy$	3	벡터장 $\mathbf{B}$ (선속용)
3	$dx\wedge dy\wedge dz$	1	밀도 $\rho$

성분 수가 $1, 3, 3, 1$ — 이항계수 $\binom{3}{p}$다. 2-형식의 성분이 셋이라 벡터처럼 보이는데, 이것이 3절의 쌍대다. 선적분에 넣는 벡터(1-형식)와 선속에 넣는 벡터(2-형식)는 다른 종류이고, 3차원에서만 우연히 성분 수가 같다. 자기장이 유사벡터인 것은 그것이 본래 2-형식이기 때문이다. 1-형식과 2-형식을 잇는 대응 $dx \leftrightarrow dy\wedge dz$ 등을 호지 쌍대 $\star$라 한다.

외미분 — 기울기·회전·발산이 하나다

외미분 $d$는 $p$-형식을 $(p+1)$-형식으로 보낸다. 함수에는 $d\phi = \partial_x\phi\,dx + \partial_y\phi\,dy + \partial_z\phi\,dz$이고, 그 이상은 계수 함수에 $d$를 적용해 쐐기곱으로 붙인다. 1-형식에 해 보면

$$\begin{aligned} d(A_x\,dx + A_y\,dy + A_z\,dz) &= (\partial_y A_x\,dy + \partial_z A_x\,dz)\wedge dx + \cdots \\ &= (\partial_y A_z - \partial_z A_y)\,dy\wedge dz + (\text{순환}) \end{aligned}$$

계수가 정확히 $\nabla\times\mathbf{A}$의 성분이다. 2-형식에 하면 $(\nabla\cdot\mathbf{B})\,dx\wedge dy\wedge dz$가 나온다. 즉

그림 1.13-5. 3차원의 외미분 사슬. 0-형식(함수)에 d를 하면 기울기, 1-형식에 하면 회전, 2-형식에 하면 발산이 나오고, 3-형식에는 갈 곳이 없다. 이어서 두 번 하면 언제나 0 — 기울기의 회전과 회전의 발산이 0이라는 1.1의 두 항등식이 d² = 0 하나다. 아래 줄은 각 화살표에 대응하는 적분 정리다.직접 작도

$$d\circ d = 0$$

이것이 1.1의 두 항등식 $\nabla\times(\nabla\phi) = 0$, $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A}) = 0$을 한 줄로 만든 것이다. 증명은 편미분의 순서 교환 $\partial_x\partial_y = \partial_y\partial_x$와 쐐기곱의 반대칭 $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$가 정확히 상쇄된다는 것뿐이다.

직관

수식적 직관. $d^2 = 0$은 “경계의 경계는 없다”의 쌍대다. 원판의 경계는 원이고, 원에는 경계가 없다. 공의 경계는 구면이고, 구면에는 경계가 없다. 스토크스 정리를 두 번 쓰면 $\int_M d(d\omega) = \int_{\partial M}d\omega = \int_{\partial\partial M}\omega = 0$이고, $M$이 임의이므로 $d^2\omega = 0$이어야 한다. 기하의 사실($\partial\partial = 0$)이 미분의 사실($dd = 0$)을 강제한다.

닫힌 형식과 완전 형식 — 퍼텐셜이 존재하는가

$d\omega = 0$이면 $\omega$를 닫혔다(closed)고 하고, $\omega = d\alpha$인 $\alpha$가 있으면 완전하다(exact)고 한다. $d^2 = 0$이므로 완전이면 닫혀 있다. 거꾸로가 문제다 — 닫혀 있으면 완전한가.

1.1.4선적분과 경로 독립성에서 본 대로, 회전이 0인 벡터장이 기울기인 것은 영역에 구멍이 없을 때다. 1-형식으로 말하면 $d\omega = 0$이고 영역이 단순연결이면 $\omega = d\phi$다. 2-형식으로 말하면 발산이 0인 장이 어떤 벡터 퍼텐셜의 회전인 것도 영역에 빈 공간이 없을 때다. 구멍의 종류와 개수가 “닫혔지만 완전하지 않은” 형식의 개수를 세고, 그것이 위상수학이 미적분에 들어오는 자리다(드람 코호몰로지).

물리에서는 이 구멍이 실제로 있다. 무한히 긴 솔레노이드 바깥은 $\mathbf{B} = 0$이지만 $\mathbf{A} \neq 0$이고, 그 $\mathbf{A}$는 어떤 함수의 기울기가 아니다 — 솔레노이드를 한 바퀴 도는 선적분이 0이 아니고 자속과 같다. 이 “구멍을 도는 선적분”이 아하로노프–봄 위상이고, 반도체의 고리 구조에서 실제로 측정된다.

좌표 무관성 — 야코비안이 자동으로 나온다

형식의 진짜 장점은 좌표를 바꿀 때 드러난다. $x = x(u, v)$, $y = y(u, v)$로 바꾸면

$$dx\wedge dy = \left(\frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv\right)\wedge \left(\frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv\right) = \left(\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}\right) du\wedge dv$$

괄호 안이 5절의 야코비안 $J$다. 반대칭 규칙이 행렬식을 저절로 만든다. 1.1의 변수변환에서 “왜 절댓값 야코비안을 곱하는가”를 넓이 배율로 설명했는데, 형식으로는 계산 규칙에 이미 들어 있고 심지어 부호까지 따라온다 — 방향을 뒤집는 변환에서 $J < 0$이 나오는 것이 방향 붙은 적분의 정확한 행동이다.

전자기학과 베리 곡률 — 미리보기

전기장과 자기장을 4차원 시공간의 2-형식 $F$ 하나로 묶으면 맥스웰 방정식 넷이 둘이 된다.

$$dF = 0, \qquad d{\star}F = \star J$$

첫 식이 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$과 패러데이 법칙, 둘째 식이 가우스 법칙과 앙페르–맥스웰 법칙이다. $dF = 0$이 닫힌 형식이므로 (단순연결 영역에서) $F = dA$인 퍼텐셜 $A$가 존재한다 — 스칼라·벡터 퍼텐셜이 1-형식 하나로 나오는 것이다. 이 구조는 2.6에서 성분으로 다시 쓴다.

반도체 쪽의 미리보기는 베리 곡률이다. 밴드 $n$의 블로흐 상태 $u_{n\mathbf{k}}$로부터 $\mathbf{k}$공간에 1-형식 $\mathcal{A} = i\langle u_{n\mathbf{k}}|\nabla_\mathbf{k}u_{n\mathbf{k}}\rangle\cdot d\mathbf{k}$를 정의하면 그 외미분 $\Omega = d\mathcal{A}$가 2-형식이고, 이것을 브릴루앙 영역(경계 없는 토러스) 전체에 적분하면 정수 $\times 2\pi$가 나온다. 경계가 없으므로 스토크스 정리로 0이 되어야 할 것 같은데 0이 아닌 것은 $\mathcal{A}$가 영역 전체에서 매끄럽게 정의되지 않기 — 위의 “구멍” — 때문이고, 그 정수(첸 수)가 양자 홀 전도도를 $e^2/h$ 단위로 센다. 여기서는 이름만 적어 둔다.

의문

미분형식을 배우면 벡터해석을 버려도 되는가? 이 백과에서는 아니다. 반도체 소자 방정식(포아송, 연속 방정식, 드리프트–확산)은 3차원 직교좌표에서 벡터해석으로 쓰는 것이 관습이고, 시뮬레이터의 이산화도 그 언어로 되어 있다. 다만 유한 체적법이 “제어 부피 경계의 선속 합 = 내부 전하”를 격자 위에서 정확히 유지하는 것은 이산 형식에서 $d^2 = 0$을 보존한 결과이고, 그것이 전하 보존이 수치적으로 깨지지 않는 이유다. 언어는 벡터해석을 쓰되 구조는 형식이 지키고 있다.

군의 정의와 부분군

되돌릴 수 있는 변환의 곱셈표

직관

군은 변환들의 집합에 곱셈표를 붙인 것이다. 변환 둘을 이어서 하면 새 변환이 나오고, 아무것도 안 하는 변환이 있고, 모든 변환은 되돌릴 수 있다. 정삼각형을 제자리로 되돌리는 회전·반사 여섯이 군이고, 실리콘 결정을 제자리로 되돌리는 마흔여덟이 군이며, 3차원의 모든 회전이 군이다.

왜 이것이 물리에 쓸모가 있는가. 해밀토니안 $H$와 교환하는 변환 — 계의 대칭 — 을 전부 모으면 저절로 군이 된다. $RH = HR$이고 $SH = HS$이면 $RSH = HRS$이므로 곱도 대칭이고, 역도 대칭이다. 1.3.6축퇴와 고유기저에서 “대칭 하나가 축퇴를 강요한다”고 했는데, 실제로는 대칭이 하나가 아니라 군 전체가 있고, 그 군의 구조(8절의 기약 표현)가 축퇴의 차원을 정확히 정한다.

집합 $G$와 그 위의 연산 $\cdot$이 다음 넷을 만족하면 군이다.

1. 닫힘. $g, g' \in G$이면 $g\cdot g' \in G$.
2. 결합. $(g\cdot g')\cdot g'' = g\cdot(g'\cdot g'')$.
3. 항등원. $E\cdot g = g\cdot E = g$인 $E$가 있다.
4. 역원. 각 $g$에 $g\cdot g^{-1} = g^{-1}\cdot g = E$인 $g^{-1}$이 있다.

교환법칙은 요구하지 않는다. 교환되는 군을 아벨군, 안 되는 군을 비아벨군이라 한다. 원소의 개수 $h = \lvert G\rvert$가 차수(order)이고, 유한하면 유한군, 무한하면 무한군이다.

몇 가지 예.

• 정수 전체, 덧셈. 항등원 0, 역원 $-n$. 무한 아벨군.
• $\{0, 1, \dots, n-1\}$, 덧셈 mod $n$. 유한 아벨군 $\mathbb{Z}_n$. 원판을 $360°/n$씩 돌리는 회전 $C_n$과 같은 구조다.
• $n$개 물건의 순열 전체, 합성. 대칭군 $S_n$, 차수 $n!$, $n \ge 3$이면 비아벨.
• $\det = 1$인 $3\times3$ 직교행렬 전체, 행렬 곱. 3차원 회전군 $SO(3)$. 무한 비아벨.
• $\{1, -1\}$, 곱셈. 가장 작은 비자명 군. 반전 $\mathcal{P}$와 항등원 $E$가 이루는 군 $C_i$가 같은 구조다.

정삼각형 — $C_{3v}$

이 장의 예제 군이다. 암모니아 분자와 실리콘 $\langle 111\rangle$ 방향의 점군이 이것이다. 정삼각형을 제자리로 보내는 변환은 여섯이다.

그림 1.13-6. 정삼각형의 대칭 조작 여섯. 중심을 지나는 수직축 둘레의 120° 회전 C₃와 240° 회전 C₃², 그리고 꼭짓점 하나와 마주 보는 변의 중점을 잇는 거울면 σₐ, σ_b, σ_c. 항등 E까지 여섯이다. 거울면은 회전축을 포함하므로 '수직(vertical)'이라는 뜻의 v가 붙는다.직접 작도

조작	무엇을 하나	꼭짓점 $(1, 2, 3)$이 가는 곳
$E$	아무것도 안 함	$(1, 2, 3)$
$C_3$	반시계 120° 회전	$(2, 3, 1)$
$C_3^2$	반시계 240° 회전	$(3, 1, 2)$
$\sigma_a$	꼭짓점 1을 지나는 거울면	$(1, 3, 2)$
$\sigma_b$	꼭짓점 2를 지나는 거울면	$(3, 2, 1)$
$\sigma_c$	꼭짓점 3을 지나는 거울면	$(2, 1, 3)$

곱셈표는 “먼저 오른쪽 조작을 하고 다음에 왼쪽 조작을 한다”로 읽는다(함수 합성과 같은 순서).

$\cdot$	$E$	$C_3$	$C_3^2$	$\sigma_a$	$\sigma_b$	$\sigma_c$
$E$	$E$	$C_3$	$C_3^2$	$\sigma_a$	$\sigma_b$	$\sigma_c$
$C_3$	$C_3$	$C_3^2$	$E$	$\sigma_c$	$\sigma_a$	$\sigma_b$
$C_3^2$	$C_3^2$	$E$	$C_3$	$\sigma_b$	$\sigma_c$	$\sigma_a$
$\sigma_a$	$\sigma_a$	$\sigma_b$	$\sigma_c$	$E$	$C_3$	$C_3^2$
$\sigma_b$	$\sigma_b$	$\sigma_c$	$\sigma_a$	$C_3^2$	$E$	$C_3$
$\sigma_c$	$\sigma_c$	$\sigma_a$	$\sigma_b$	$C_3$	$C_3^2$	$E$

읽을 것이 셋이다.

• 각 행과 열에 모든 원소가 정확히 한 번씩 나온다(재배열 정리). 닫힘과 역원의 결과다.
• 비아벨이다. $C_3\sigma_a = \sigma_c$인데 $\sigma_aC_3 = \sigma_b$. 회전한 뒤 반사하는 것과 반사한 뒤 회전하는 것이 다르다.
• 회전만 모은 $\{E, C_3, C_3^2\}$은 닫혀 있다 — 부분군이다. 반사만 모은 것은 닫혀 있지 않다($\sigma_a\sigma_b = C_3$).

$C_{3v}$는 세 꼭짓점의 순열군 $S_3$과 같은 곱셈표를 갖는다 — 위 표의 셋째 열이 그 대응이다. 곱셈표가 같은 두 군을 동형(isomorphic)이라 하고, 군론은 동형인 군을 구별하지 않는다. 정삼각형의 대칭이든 세 물건의 순열이든 대수 구조는 하나다.

부분군과 잉여류

$G$의 부분집합이 같은 연산으로 군이 되면 부분군이다. $C_{3v}$의 부분군은 자명한 둘 ($\{E\}$, $G$ 자신)을 빼면 $\{E, C_3, C_3^2\}$과 $\{E, \sigma_a\}$, $\{E, \sigma_b\}$, $\{E, \sigma_c\}$뿐이다 — 차수가 3, 2, 2, 2.

라그랑주 정리. 부분군의 차수는 군의 차수를 나눈다. 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 차수 4나 5인 부분군은 있을 수 없다. 증명은 부분군 $H$로 $G$를 잉여류(coset) $gH = \{gh : h \in H\}$로 쪼개면 잉여류들이 서로 겹치지 않고 크기가 전부 $\lvert H\rvert$라는 것이다. $H = \{E, \sigma_a\}$이면 잉여류는 $\{E, \sigma_a\}$, $\{C_3, \sigma_c\}$, $\{C_3^2, \sigma_b\}$ 셋이고 $6 = 3 \times 2$다.

직관

물리적 직관 — 부분군은 낮아진 대칭이다. 계에 섭동을 걸면 대칭이 일부 깨지고, 남은 대칭은 원래 군의 부분군이다. 실리콘의 점군 $O_h$(48)에 $[001]$ 방향 일축 응력을 걸면 남는 대칭은 $D_{4h}$(16)이고, $[111]$ 방향이면 $D_{3d}$(12)다. 어느 부분군이 남는지가 어느 축퇴가 풀리고 어느 축퇴가 남는지를 정한다(9절의 양립 관계). 라그랑주 정리는 “대칭을 깨서 갈 수 있는 곳”이 차수의 약수로 제한된다는 뜻이다.

공액과 류

$g$와 $g'$가 어떤 $s \in G$에 대해 $g' = sgs^{-1}$이면 공액(conjugate)이라 한다. 1.3.5닮음 변환과 대각화의 닮음 변환 그대로다 — $g'$는 “$s$의 관점에서 본 $g$“다. 공액인 것끼리 모은 것이 류(class)이고, 군은 류들로 겹치지 않게 나뉜다.

$C_{3v}$의 류는 셋이다: $\{E\}$, $\{C_3, C_3^2\}$, $\{\sigma_a, \sigma_b, \sigma_c\}$. 세 거울면이 한 류인 것은 회전으로 서로 옮겨지기 때문이다 — $C_3\sigma_aC_3^{-1} = \sigma_b$. 120° 회전과 240° 회전이 한 류인 것은 어떤 거울면으로 뒤집으면 회전 방향이 바뀌기 때문이다. 아벨군에서는 $sgs^{-1} = g$라 모든 원소가 혼자 류를 이룬다.

류가 중요한 이유는 8절에서 드러난다 — 지표는 류 위에서 상수이고, 기약 표현의 개수가 류의 개수와 같다. **류는 “같은 종류의 조작”**을 묶은 것이고(모든 120°형 회전, 모든 수직 거울면), 물리적으로 구별할 수 없는 조작은 표현에서도 같은 값을 갖는다.

정규 부분군·몫군·직접곱

부분군 $N$이 모든 $g$에 대해 $gNg^{-1} = N$이면 — 즉 류들의 합집합이면 — 정규 부분군이다. $C_{3v}$의 $\{E, C_3, C_3^2\}$은 정규이고 $\{E, \sigma_a\}$는 정규가 아니다 (공액하면 $\{E, \sigma_b\}$가 된다). 정규 부분군의 잉여류들은 그 자체로 군이 되고, 이것을 몫군 $G/N$이라 한다. $C_{3v}/C_3 \cong \{1, -1\}$ — “회전인가 반사인가”만 남긴 군이다. 행렬식 $\det = \pm1$로 이 두 종류를 나누는 것이 정확히 이 몫군으로 가는 사상이다.

거꾸로 두 군을 합쳐 큰 군을 만드는 것이 직접곱 $G\times H$다. 원소는 쌍 $(g, h)$이고 성분별로 곱한다. 회전만 모은 군 $O$(24)에 반전 $\mathcal{P}$를 곱해 $O_h = O\times C_i$(48)를 만드는 것이 대표적이다. $\mathcal{P}$가 모든 회전과 교환하기 때문에 되는 일이고, 그래서 $O_h$의 기약 표현은 $O$의 것에 패리티 $\pm$(아래첨자 $g$/$u$)를 붙인 것으로 끝난다.

생성원

군 전체를 적을 필요는 없다. $C_{3v}$는 $C_3$과 $\sigma_a$ 둘만 있으면 나머지가 곱으로 나온다 — 이 둘이 생성원이다. 결정학에서 점군을 “3회축 하나와 거울면 하나”처럼 적는 것이 생성원 표기다. 12절의 연속군에서는 생성원이 무한소 변환이 되고, 유한 개의 생성원이 무한 개의 원소를 낳는다.

군의 표현과 지표

군을 행렬로 옮긴다

직관

7절의 군은 추상적인 곱셈표다. 물리에 쓰려면 그 원소들이 벡터에 어떻게 작용하는지가 필요하다 — 파동함수를 어떻게 돌리는지, 응력 텐서의 성분을 어떻게 섞는지. 군의 각 원소에 행렬 하나씩을 배정하되 곱셈표를 보존하도록 배정한 것이 표현이다. 곱셈표가 보존된다는 것은 $g\cdot g'$에 배정된 행렬이 $D(g)D(g')$과 같다는 뜻이다.

같은 군에 표현이 여럿이다. 정삼각형의 대칭을 $z$ 성분 하나에 작용시키면 $1\times1$ 행렬 여섯이 나오고, $(x, y)$에 작용시키면 $2\times2$가 나오고, 세 꼭짓점 위의 함수에 작용시키면 $3\times3$이 나온다. 이 절의 핵심은 모든 표현이 몇 개의 기약 표현으로 분해된다는 것과, 그 분해를 지표라는 숫자 몇 개로 기계적으로 해낼 수 있다는 것이다.

표현은 $G$에서 $n\times n$ 가역행렬로 가는 준동형 사상이다.

$$D: G \to GL(n), \qquad D(g)\,D(g') = D(g\cdot g')$$

$n$이 표현의 차원이다. 모든 원소를 $1$로 보내는 것도 표현이다(자명 표현, 1차원). 표현이 작용하는 벡터공간의 기저 함수들을 기저라 하고, 함수에 대한 작용은

$$(O_g\,\psi)(\mathbf{r}) = \psi(g^{-1}\mathbf{r})$$

로 정한다. 역원이 붙는 것은 곱셈표의 순서를 맞추기 위해서다 — 이렇게 해야 $O_gO_{g'} = O_{gg'}$이 된다. 함수를 “돌린다”는 것은 좌표를 반대로 돌려 값을 읽는 것이다(1.2.6선형 변환의 능동·수동과 같은 사정이다).

$C_{3v}$의 표현 셋

정삼각형을 $xy$평면에 놓고 $z$축을 회전축으로 잡는다.

$z$에 작용. 회전은 $z$를 그대로 두고, 수직 거울면도 $z$를 그대로 둔다. 모든 원소가 $1$ — 자명 표현이다. $A_1$이라 부른다.

$(x, y)$에 작용. 120° 회전은 1.3.3대칭·반대칭·직교 행렬의 회전행렬이고, 거울면 $\sigma_a$를 $x$축을 포함하도록 잡으면 $y \to -y$다.

$$D(E) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad D(C_3) = \begin{bmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2} \\ \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{bmatrix},\quad D(\sigma_a) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$$

나머지는 곱으로 나온다. 이 2차원 표현은 어떤 기저를 골라도 $1\times1$ 둘로 쪼개지지 않는다 — $x$와 $y$가 회전으로 섞이기 때문이다. $E$라 부른다(항등원 $E$와 같은 글자인데, Mulliken 표기의 관습이라 그대로 둔다. 문맥에서 갈린다).

세 꼭짓점 위의 함수에 작용. 꼭짓점 $1, 2, 3$에 놓인 함수 $\phi_1, \phi_2, \phi_3$을 기저로 잡으면 각 조작은 순열행렬이다. $C_3$은 $(\phi_1, \phi_2, \phi_3) \to (\phi_2, \phi_3, \phi_1)$이므로

$$D(C_3) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},\qquad D(\sigma_a) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

이 3차원 표현은 쪼개진다. $\phi_1 + \phi_2 + \phi_3$은 어떤 조작에도 그대로이므로 1차원 불변 부분공간이고, 그 직교 여공간(계수 합이 0인 조합)은 2차원 불변 부분공간이다. 기저를 그렇게 바꾸면 여섯 행렬이 전부 블록 대각 — $1\times1$과 $2\times2$ — 이 된다.

동치·가약·기약

기저를 바꾸면 표현 행렬은 $D'(g) = S^{-1}D(g)S$로 바뀐다. 1.3.5닮음 변환과 대각화의 닮음 변환이다. 닮음으로 이어지는 두 표현을 동치라 하고 같은 표현으로 취급한다.

어떤 닮음으로도 블록 대각으로 만들 수 없는 표현이 기약 표현(irreducible representation, irrep)이다. 만들 수 있으면 가약이고, 그 블록들이 다시 기약이 될 때까지 쪼갠다. 결과를 직합으로 적는다 — 위의 3차원 표현은 $A_1\oplus E$다.

유한군에 대해서는 두 사실이 성립해 이야기가 단순해진다.

• 모든 표현은 유니터리 표현과 동치다. 기저를 적당히 고르면 모든 $D(g)$를 유니터리로 만들 수 있다. 증명은 군 전체에 대한 합 $\sum_g D(g)^\dagger D(g)$로 새 내적을 정의하는 것이다 — 유한하니 합이 된다.
• 유니터리 표현은 완전 가약이다. 불변 부분공간이 있으면 그 직교 여공간도 불변이다 (1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환의 유니터리 행렬은 직교성을 보존한다). 그래서 쪼개면 반드시 직합이 되고, 블록 삼각 같은 어중간한 꼴은 나오지 않는다.

지표 — 표현의 지문

표현 행렬의 대각합을 지표(character)라 한다.

$$\chi(g) = \operatorname{tr} D(g)$$

대각합은 닮음 변환에 불변이므로(1.3.5닮음 변환과 대각화) 지표는 기저와 무관하고, 공액인 원소끼리 같으므로 류 위의 함수다. 그래서 표현 하나를 적으려면 행렬을 전부 쓸 필요가 없고 류 개수만큼의 숫자면 된다. $\chi(E) = n$은 언제나 차원이다.

$C_{3v}$의 세 표현에 대해 계산하면

$C_{3v}$	$E$	$2C_3$	$3\sigma_v$	기저
$A_1$	1	1	1	$z$, $x^2 + y^2$, $z^2$
$A_2$	1	1	$-1$	$R_z$ (z축 둘레 회전)
$E$	2	$-1$	0	$(x, y)$, $(xz, yz)$, $(x^2 - y^2, xy)$

이것이 지표표다. 첫 행이 류(앞의 숫자는 류의 원소 수), 첫 열이 기약 표현. $A_2$는 위에서 만들지 않았지만 아래의 셈법이 그것이 반드시 있어야 한다고 말해 준다. $E$ 표현의 지표 $-1$은 120° 회전행렬의 대각합 $2\cos 120° = -1$이고, $0$은 반사행렬 $\operatorname{diag}(1, -1)$의 대각합이다.

Mulliken 표기를 읽는 법: $A$·$B$는 1차원(주축 회전에 대해 대칭이면 $A$, 반대칭이면 $B$), $E$는 2차원, $T$는 3차원. 아래첨자 $1, 2$는 수직 거울면이나 $C_2'$에 대한 부호, $g/u$는 반전에 대한 짝/홀(gerade/ungerade), 프라임은 수평 거울면에 대한 부호다.

대직교 정리와 그 결과

이 절의 정리는 하나다. 서로 동치가 아닌 유니터리 기약 표현 $D^{(\alpha)}$, $D^{(\beta)}$의 행렬 원소는 군 전체에 대해 직교한다.

$$\sum_{g\in G} D^{(\alpha)}_{ij}(g)^*\, D^{(\beta)}_{kl}(g) = \frac{h}{\ell_\alpha}\,\delta_{\alpha\beta}\,\delta_{ik}\,\delta_{jl}$$

$h$는 군의 차수, $\ell_\alpha$는 표현 $\alpha$의 차원이다. 이것을 대직교 정리라 한다. 증명은 슈어 보조정리(“기약 표현의 모든 행렬과 교환하는 행렬은 단위행렬의 배”— 1.3.5닮음 변환과 대각화의 동시 대각화와 같은 논리)에서 나오고 여기서는 생략한다. 쓸모는 그 따름정리들에 있다.

① 지표의 직교성. $i = j$, $k = l$로 놓고 더하면

$$\sum_{g} \chi^{(\alpha)}(g)^*\,\chi^{(\beta)}(g) = h\,\delta_{\alpha\beta} \qquad\text{즉}\qquad \sum_{k} N_k\,\chi^{(\alpha)}(C_k)^*\,\chi^{(\beta)}(C_k) = h\,\delta_{\alpha\beta}$$

$N_k$는 류 $C_k$의 원소 수다. 지표표의 행들이 서로 직교한다 — $N_k$를 가중치로 해서. $C_{3v}$에서 $A_1$과 $E$: $1\cdot1\cdot2 + 2\cdot1\cdot(-1) + 3\cdot1\cdot0 = 0$ ✓. $E$와 자신: $1\cdot4 + 2\cdot1 + 0 = 6 = h$ ✓.

② 차원의 제곱합. 정규 표현(군 원소 자체를 기저로 한 $h$차원 표현)을 분해하면 각 기약 표현이 자기 차원만큼 나온다는 것에서

$$\sum_\alpha \ell_\alpha^2 = h$$

$C_{3v}$: $1^2 + 1^2 + 2^2 = 6$ ✓. 이 식이 “$A_2$가 있어야 한다”를 강제한다 — $A_1$과 $E$만으로는 $1 + 4 = 5 \neq 6$이고, 남는 1은 1차원 표현 하나다.

③ 기약 표현의 개수 = 류의 개수. 지표는 류 위의 함수이므로 류 개수 차원의 벡터이고, ①이 말하는 대로 서로 직교하는 그런 벡터가 기약 표현 개수만큼 있으니 기약 표현 수 ≤ 류 수. 지표표의 열들도 직교한다는 것까지 보이면 등호가 된다. 지표표는 언제나 정사각이다.

직관

수식적 직관 — 왜 대각합 몇 개로 충분한가. 표현이 유니터리이고 완전 가약이므로 표현 하나는 “어떤 기약 표현이 몇 번 들어 있는가”라는 정수 목록 $\{n_\alpha\}$로 완전히 결정된다. 지표는 그 목록의 선형결합 $\chi = \sum_\alpha n_\alpha\chi^{(\alpha)}$이고, 기약 지표들이 직교기저를 이루므로 계수 $n_\alpha$를 내적으로 뽑아낼 수 있다. 1.2.5벡터공간과 내적공간의 정규직교 전개 그대로다 — 다만 “벡터”가 류 위의 함수이고 내적에 $N_k/h$ 가중치가 붙는다.

분해 공식과 사영 연산자

따름정리 ①을 뒤집으면 임의의 표현을 분해하는 공식이 된다.

$$n_\alpha = \frac{1}{h}\sum_{k} N_k\,\chi^{(\alpha)}(C_k)^*\,\chi(C_k)$$

세 꼭짓점 표현의 지표는 순열행렬의 대각합, 즉 제자리에 남는 꼭짓점의 수다 — $\chi(E) = 3$, $\chi(C_3) = 0$, $\chi(\sigma) = 1$. 넣어 보면

$$n_{A_1} = \tfrac{1}{6}(3 + 0 + 3) = 1,\quad n_{A_2} = \tfrac{1}{6}(3 + 0 - 3) = 0,\quad n_{E} = \tfrac{1}{6}(6 + 0 + 0) = 1$$

$A_1\oplus E$. 위에서 손으로 찾은 것과 같다. 행렬을 하나도 안 쓰고 대각합 셋으로 끝났다.

어느 조합이 어느 기약 표현에 속하는지까지 알려면 사영 연산자를 쓴다.

$$P^{(\alpha)} = \frac{\ell_\alpha}{h}\sum_{g}\chi^{(\alpha)}(g)^*\,O_g$$

$P^{(\alpha)}$를 아무 함수에나 작용시키면 그 함수의 $\alpha$ 성분만 남는다. $\phi_1$에 적용하면

$$P^{(A_1)}\phi_1 = \tfrac{1}{6}\,(\phi_1 + \phi_2 + \phi_3 + \phi_1 + \phi_3 + \phi_2) = \tfrac{1}{3}(\phi_1 + \phi_2 + \phi_3)$$ $$P^{(E)}\phi_1 = \tfrac{2}{6}\,(2\phi_1 - \phi_2 - \phi_3 + 0) = \tfrac{1}{3}(2\phi_1 - \phi_2 - \phi_3)$$

$E$ 성분의 짝은 $\phi_2$에 적용해 얻은 것에서 첫 것과 직교하도록 골라 $\phi_2 - \phi_3$을 잡는다. 이렇게 만든 대칭 적응 기저(symmetry-adapted basis)가 1.3.6축퇴와 고유기저이 남긴 질문 — “축퇴 부분공간에서 어떤 기저를 고르는가” — 의 군론적 답이다. 대칭이 고른 기저에서는 해밀토니안이 블록 대각이 되고, 각 블록이 하나의 기약 표현이다.

직접곱 표현

두 표현의 기저를 곱해 만든 표현 $D^{(\alpha)}\otimes D^{(\beta)}$의 지표는 지표의 곱이다.

$$\chi^{(\alpha\otimes\beta)}(g) = \chi^{(\alpha)}(g)\,\chi^{(\beta)}(g)$$

행렬의 텐서곱의 대각합이 대각합의 곱이기 때문이다. 직접곱은 대개 가약이고, 분해 공식으로 쪼갠다. $C_{3v}$에서 $E\otimes E$의 지표는 $(4, 1, 0)$이고

$$n_{A_1} = \tfrac{1}{6}(4 + 2 + 0) = 1,\quad n_{A_2} = \tfrac{1}{6}(4 + 2 - 0) = 1,\quad n_{E} = \tfrac{1}{6}(8 - 2 + 0) = 1$$

$E\otimes E = A_1\oplus A_2\oplus E$. 차원도 맞다 — $4 = 1 + 1 + 2$. 이 계산이 9절의 선택 규칙의 전부다.

물리 — 기약 표현이 축퇴를 센다

직관

물리적 직관. 해밀토니안 $H$의 대칭군이 $G$이면, $H$의 한 고유값에 속하는 고유공간은 $G$의 표현 공간이다 — $O_g$가 $H$와 교환하므로 고유벡터를 같은 고유값의 고유벡터로 보낸다. 우연한 일치가 없다면 그 표현은 기약이다. 그러므로

고유값의 축퇴 = 어떤 기약 표현의 차원이다.

$C_{3v}$ 대칭의 계는 축퇴가 1 아니면 2이고 3은 없다. 정육면체 대칭 $O_h$의 계는 1, 2, 3뿐이다. 회전군 $SO(3)$은 $2l + 1$ 전부다(12절). 실리콘 $\Gamma$점의 가전자대 꼭대기가 (스핀을 빼고) 정확히 3겹인 것은 $O_h$의 3차원 기약 표현 $T_{2g}$(밴드 표기로 $\Gamma_{25}'$)에 속하기 때문이고, 이보다 높은 축퇴는 입방 대칭이 허용하지 않는다. 축퇴가 3보다 크면 “우연”이거나 숨은 대칭이다.

기약 표현의 라벨은 그래서 양자수다. 원자의 $s, p, d$가 $SO(3)$의 $l = 0, 1, 2$이듯이, 결정의 밴드는 점군의 $\Gamma_1, \Gamma_{15}, \Gamma_{25}'$로 이름 붙는다. 같은 라벨의 밴드끼리는 섞일 수 있고(교차를 피한다), 다른 라벨은 섞이지 않는다(교차를 허용한다).

대칭과 물리 — 선택 규칙

적분이 0이 되는 조건

직관

홀함수를 대칭 구간에서 적분하면 0이다 — 계산하지 않아도 안다. 선택 규칙은 이 사실을 임의의 군으로 확장한 것이다. 피적분함수가 대칭 조작에서 부호가 바뀌거나 다른 함수로 섞이면 적분이 0이고, 적분이 0이 아니려면 피적분함수에 완전 대칭 성분이 있어야 한다. 군론이 하는 일은 “어느 것이 0인가”를 계산 없이 말하는 것이고, “0이 아닌 것이 얼마인가”는 말하지 못한다. 그것이 이 절의 힘이자 한계다.

전이 확률·응답 계수·섭동의 첫 항은 전부 다음 꼴의 행렬 원소다.

$$M = \langle\psi_f\,|\,\hat{O}\,|\,\psi_i\rangle = \int \psi_f^*\,\hat{O}\,\psi_i\; dV$$

$\psi_i, \psi_f$가 기약 표현 $\Gamma_i, \Gamma_f$에 속하고 연산자 $\hat{O}$가 $\Gamma_O$에 속한다고 하자. 적분은 공간 전체에 대한 것이라 어떤 대칭 조작을 해도 값이 변하지 않는다 — 피적분함수는 완전 대칭 표현 $A_1$(또는 $\Gamma_1$)처럼 변해야 한다. 피적분함수는 세 표현의 직접곱에 속하므로

$$M \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \Gamma_f^*\otimes\Gamma_O\otimes\Gamma_i \ni A_1$$

거꾸로 말해 **직접곱에 $A_1$이 없으면 $M = 0$**이다. 8절의 분해 공식으로 $n_{A_1}$을 세면 끝이다.

$$n_{A_1} = \frac{1}{h}\sum_k N_k\,\chi^{(f)}(C_k)^*\,\chi^{(O)}(C_k)\,\chi^{(i)}(C_k)$$

실용적으로는 두 단계로 나눈다 — $\Gamma_O\otimes\Gamma_i$를 먼저 분해하고, 그 안에 $\Gamma_f$가 들어 있는지 본다. 기약 지표가 직교하므로 두 말이 같다.

패리티 — 가장 작은 예

1차원 대칭 우물($V(-x) = V(x)$)의 대칭군은 $\{E, \mathcal{P}\}$이고, 기약 표현은 짝($+$)과 홀($-$) 둘이다. 고유함수는 짝이거나 홀이다. 전기 쌍극자 연산자 $x$는 홀. 직접곱 규칙은 부호의 곱이므로

$$\langle f|\,x\,|i\rangle \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad (\pm)_f\cdot(-)\cdot(\pm)_i = (+) \quad\Longrightarrow\quad \text{패리티가 바뀌어야 한다}$$

짝 → 홀, 홀 → 짝만 허용. 짝 → 짝은 금지. 무한 우물의 $n = 1 \to 2$ 전이는 허용, $1 \to 3$은 금지다. 양자우물 적외선 검출기(QWIP)에서 흡수 봉우리가 $1 \to 2$에 있는 것이 이 규칙이다.

$C_{3v}$에서

쌍극자 연산자 $(x, y, z)$가 어느 표현인지 지표표에서 읽는다 — $z \in A_1$, $(x, y) \in E$. 빛의 편광이 $z$이면 $\Gamma_O = A_1$, 면내이면 $\Gamma_O = E$.

전이	$z$ 편광 ($A_1$)	면내 편광 ($E$)
$A_1 \to A_1$	허용 ($A_1\otimes A_1 = A_1$)	금지 ($A_1\otimes E = E \not\ni A_1$)
$A_1 \to E$	금지	허용 ($E\otimes E \ni A_1$)
$A_1 \to A_2$	금지	금지
$E \to E$	허용	허용 ($E\otimes E\otimes E \ni A_1$)

$A_1 \to A_2$가 어느 편광으로도 금지인 것을 읽어 둔다 — 8절의 직접곱 표에서 $A_2$가 $A_1\otimes A_1$에도 $E\otimes A_1$에도 없기 때문이다. 이런 준위는 암(dark) 상태다. 편광에 따라 허용이 갈리는 것도 읽어 둔다. 우르츠광 GaN($C_{6v}$, 규칙이 같은 꼴이다)의 가전자대 세 밴드가 $c$축 편광과 면내 편광에서 다른 흡수를 보이는 것이 이것이고, 그 결과가 GaN LED의 편광 특성이다.

결정에서 — 직접 갭과 간접 갭

직관

파라미터 연계. 밴드 사이 광 흡수의 행렬 원소는 $\langle c\mathbf{k}|\,\mathbf{p}\,|v\mathbf{k}'\rangle$이고, 두 조건이 걸린다.

① 병진 대칭. 운동량 연산자는 병진에 불변이므로 $\mathbf{k}' = \mathbf{k}$(광자의 운동량은 무시할 만큼 작다). 이것이 11절에서 볼 병진군의 선택 규칙 — 수직 전이만 허용된다. 실리콘의 전도대 최소($\Delta$축 위, $0.85\,X$)와 가전자대 최대($\Gamma$)가 다른 $\mathbf{k}$에 있으므로 갭 에너지의 광자로는 전이할 수 없고, 포논이 운동량 차를 메워야 한다. 그래서 흡수 계수가 $10^2$배 약하고, 실리콘 LED가 없다. 간접 갭은 점군이 아니라 병진군의 선택 규칙이다.

② 점군. $\Gamma$점에서 GaAs($T_d$)의 전도대 바닥은 $\Gamma_1$($s$형), 가전자대 꼭대기는 $\Gamma_{15}$($p$형, 10절의 $T_2$)이고, 쌍극자 연산자도 $\Gamma_{15}$다. $\Gamma_{15}\otimes\Gamma_{15} = \Gamma_1\oplus\Gamma_{12}\oplus\Gamma_{15}\oplus\Gamma_{25}$에 $\Gamma_1$이 있으므로 허용 — 직접 갭이면서 쌍극자 허용이라 GaAs가 레이저 재료다. 반면 같은 $\Gamma$점이라도 전도대가 $\Gamma_{25}'$형이면 가전자대 $\Gamma_{25}'$와의 전이는 $\Gamma_{25}'\otimes\Gamma_{15}\otimes\Gamma_{25}'$의 패리티가 $u\cdot u\cdot u = u$라 금지다. 반전 중심이 있는 결정에서는 이렇게 패리티가 먼저 걸러 낸다.

라만과 적외선 — 상호 배제 규칙

포논이 빛과 상호작용하는 방식은 둘이다. 적외선 흡수는 포논이 쌍극자 모멘트를 만들어야 하므로 연산자가 벡터 $(x, y, z)$이고, 라만 산란은 포논이 분극률(2계 대칭 텐서)을 바꿔야 하므로 연산자가 $(x^2, xy, \dots)$ 이차식이다. 바닥 상태가 $A_1$이므로 규칙은

• 적외선 활성 $\iff$ 포논 모드의 표현이 $(x, y, z)$의 표현에 들어 있다.
• 라만 활성 $\iff$ 포논 모드의 표현이 이차식의 표현에 들어 있다.

반전 중심이 있으면 벡터는 홀($u$), 이차식은 짝($g$)이므로 한 모드가 둘 다일 수 없다 — 상호 배제 규칙이다. 실리콘의 $\Gamma$점 광학 포논은 $T_{2g}$(짝)이므로 라만 활성, 적외선 비활성이다. 그래서 실리콘은 자신의 포논 에너지(520 cm$^{-1}$)에서 투명하고, 라만 분광에서는 그 봉우리가 뚜렷하다. 스트레인이 걸리면 이 봉우리가 옮겨가고 셋으로 갈라지므로, 라만이 스트레인 실리콘의 응력 측정 도구가 된다 — 4절의 변형 텐서를 9절의 규칙으로 읽는 것이다. GaAs($T_d$, 반전 중심 없음)의 광학 포논 $T_2$는 벡터의 표현이면서 이차식의 표현이기도 해 둘 다 활성이고, 그래서 GaAs는 적외선 잔류선(Reststrahlen) 흡수띠를 갖는다.

대칭이 낮아지면 금지가 풀린다

선택 규칙은 대칭군의 것이므로 대칭을 깨면 규칙이 바뀐다. 7절의 부분군이 여기서 작동한다. $O_h \to D_{4h}$로 낮추면 $T_{2g}$가 $E_g\oplus B_{2g}$로 갈라지고(9절 초반의 축퇴 풀림), 높은 대칭에서 금지였던 전이가 낮은 대칭에서 약하게 허용될 수 있다. 전기장이 반전 대칭을 깨서 짝–짝 전이를 열어 주는 것(양자우물의 슈타르크 효과), 표면이 벌크의 대칭을 깨서 실리콘 표면에서 2차 조화파가 나오는 것(3절의 $\chi^{(2)}$가 표면에서만 살아남는다)이 그 예다. “대칭 금지”는 “0”이 아니라 “대칭이 완전할 때 0”이다.

의문

군론이 행렬 원소의 크기를 말하지 못한다고 했는데, 정말 아무것도 못 하는가? 조금은 한다. 같은 기약 표현 안의 여러 성분 사이의 행렬 원소들은 비율이 대칭으로 고정된다 — 위그너–에카르트 정리다. $\langle\Gamma_f, m_f|\,\hat{O}_{\Gamma_O, m}\,|\Gamma_i, m_i\rangle$은 “환산 행렬 원소” 하나(대칭이 모르는 숫자)에 클렙시–고르단 계수(대칭이 다 아는 숫자)를 곱한 것이다. 원자 스펙트럼의 제만 갈라짐 세기 비율, 밴드 끝의 $k\cdot p$ 행렬 원소가 파라미터 하나 $P$로 끝나는 것이 이 정리다. 대칭은 몇 개의 독립 숫자가 있는가까지 말하고, 그 숫자들은 실험이나 계산이 채운다 — 4절에서 탄성 상수가 3개라고 말하고 값은 측정에 맡긴 것과 같은 구조다.

이산군과 점군

한 점을 고정하는 대칭

결정의 대칭 조작은 두 종류다. 격자를 통째로 옮기는 병진과, 한 점을 고정한 채 돌리거나 비추는 점 조작. 점 조작만 모은 군이 점군(point group)이고, 이 절의 주제다. 병진은 11절에서 합친다.

점 조작은 다섯 종류뿐이다.

기호	조작	비고
$E$	항등
$C_n$	축 둘레 $360°/n$ 회전	$C_n^k$는 $k$번 반복. $\det = +1$
$\sigma$	거울면 반사	$\sigma_h$ 주축에 수직, $\sigma_v$ 주축 포함, $\sigma_d$ 두 $C_2'$축 사이. $\det = -1$
$\mathcal{P}$	반전 $\mathbf{r} \to -\mathbf{r}$	지표표에서는 $i$. $\det = -1$
$S_n$	회전반사 — $C_n$ 뒤에 $\sigma_h$	$S_1 = \sigma$, $S_2 = \mathcal{P}$. $\det = -1$

$\det = +1$인 조작(고유 회전)만 모으면 언제나 부분군이고, $\det = -1$인 조작(비고유 회전)이 하나라도 있으면 그것들이 정확히 절반이다 — 7절의 몫군 $G/\{\text{회전}\} \cong \{1, -1\}$이다. 3절의 유사벡터가 부호를 바꾸는 조작이 바로 이 절반이다.

결정학적 제한 — $n$은 1, 2, 3, 4, 6뿐

직관

분자는 어떤 $n$의 회전축이든 가질 수 있다(벤젠은 $C_6$, 페로센은 $C_5$). 그러나 격자와 양립하는 회전은 $n = 1, 2, 3, 4, 6$뿐이다. 정오각형과 정팔각형으로는 평면을 빈틈없이 채울 수 없다는 사실의 3차원판이다. 증명은 대각합 한 줄이다.

회전 $C_n$을 격자 벡터 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$을 기저로 해서 행렬로 쓰면, 격자점을 격자점으로 보내야 하므로 성분이 전부 정수다. 대각합은 기저에 무관하므로 직교 기저에서 계산한 값 $1 + 2\cos\theta$와 같아야 하고, 정수여야 한다.

$$1 + 2\cos\theta \in \mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta \in \left\{1, \tfrac{1}{2}, 0, -\tfrac{1}{2}, -1\right\} \quad\Longrightarrow\quad n \in \{1, 6, 4, 3, 2\}$$

$n = 5$이면 $\cos 72° \approx 0.31$이라 탈락, $n = 8$이면 $\cos 45° \approx 0.71$이라 탈락. 이 제한이 결정학적 점군의 개수를 32개로 묶는다. 5회 대칭이 회절 무늬에 나타나는 준결정은 병진 대칭을 포기한 대가로 이 제한을 벗어난 것이다.

32개 점군과 7개 결정계

32개 점군은 “어떤 회전축 조합을 갖는가”로 일곱 결정계에 배정된다. 각 결정계는 격자 (5절의 계량 텐서 $g_{\mu\nu}$)에 조건을 건다.

결정계	최소 대칭	격자 조건	점군 예 (Schoenflies / Hermann–Mauguin)	반도체 예
삼사정	없음	제약 없음	$C_1$ / $1$, $C_i$ / $\bar{1}$
단사정	$C_2$ 하나	$\alpha = \gamma = 90°$	$C_{2h}$ / $2/m$
사방정	$C_2$ 셋	축각 전부 $90°$	$D_{2h}$ / $mmm$
정방정	$C_4$ 하나	$a = b$, 축각 $90°$	$D_{4h}$ / $4/mmm$	스트레인 Si의 대칭
삼방정	$C_3$ 하나	$a = b = c$, $\alpha = \beta = \gamma$	$D_{3d}$ / $\bar{3}m$	사파이어 기판
육방정	$C_6$ 하나	$a = b$, $\gamma = 120°$	$C_{6v}$ / $6mm$	GaN, ZnO, SiC(4H·6H)
입방정	$C_3$ 넷 ($\langle 111\rangle$)	$a = b = c$, 축각 $90°$	$T_d$ / $\bar{4}3m$, $O_h$ / $m\bar{3}m$	Si, Ge, GaAs, InP

입방정의 정의가 “$C_4$가 있다”가 아니라 “$C_3$이 넷”이라는 것에 주의한다 — $T_d$에는 $C_4$가 없고 $S_4$만 있는데도 입방정이다. 정육면체의 네 몸통 대각선 둘레의 3회 대칭이 세 축을 서로 바꾸는 것이고, 그것이 $a = b = c$를 강제한다.

두 표기법을 함께 적었다. Schoenflies($C_{3v}, T_d, O_h$)는 분광학·분자물리·밴드 이론에서 쓰고, Hermann–Mauguin($6mm, \bar{4}3m, m\bar{3}m$)은 결정학과 국제 표(International Tables)에서 쓴다. 반도체 문헌은 둘을 섞어 쓰므로 대응을 읽을 수 있어야 한다. H–M 표기는 생성원 목록이다 — $\bar{4}3m$은 “4회 회전반사축, 3회축, 거울면”이고, 위의 숫자 바(bar)는 회전반전(회전 뒤 반전, $S_n$과 같은 역할이나 정의가 조금 다르다)이다.

반도체의 세 점군

그림 1.13-7. 다이아몬드 구조와 섬아연광 구조의 한 결합. 두 원자는 사면체 결합 넷씩을 갖고, 결합 축 둘레로 서로 60° 엇갈린 자세로 놓인다. 결합의 중점을 통해 반전하면 왼쪽 원자의 세 결합이 정확히 오른쪽 원자의 세 결합 위로 간다. 그 자리의 원자가 같은 종류(Si–Si)이면 반전이 대칭 조작이고 점군은 O_h, 다른 종류(Ga–As)이면 원자가 바뀌어 대칭이 아니고 점군은 T_d다. 두 구조의 기하는 같고 원자의 이름만 다르다.직접 작도

구조	점군	차수	반전 중심	재료
다이아몬드	$O_h$	48	있음	Si, Ge, C
섬아연광	$T_d$	24	없음	GaAs, InP, GaP, ZnSe, 3C-SiC
우르츠광	$C_{6v}$	12	없음, 극성축	GaN, AlN, ZnO, 2H/4H-SiC

$T_d$는 $O_h$의 부분군이고 차수가 정확히 절반이다 — 빠진 24개가 반전과 그 곱들이다. $O_h = O\times C_i$이지만 $O_h \neq T_d\times C_i$라는 것에 주의한다. $T_d$에는 $S_4$가 있고 $O$에는 $C_4$가 있어 서로 다른 24개 부분군이다. $C_{6v}$는 $c$축이 극성이다 — $+c$와 $-c$를 바꾸는 조작이 없어 자발 분극이 허용되고, 이것이 3절에서 말한 GaN HEMT의 2차원 전자가스의 근원이다.

$T_d$의 지표표

GaAs의 $\Gamma$점을 다루려면 이 표가 필요하다. 류가 다섯이므로 기약 표현도 다섯이다.

$T_d$	$E$	$8C_3$	$3C_2$	$6S_4$	$6\sigma_d$	기저
$A_1$	1	1	1	1	1	$x^2 + y^2 + z^2$
$A_2$	1	1	1	$-1$	$-1$
$E$	2	$-1$	2	0	0	$(2z^2 - x^2 - y^2,\ x^2 - y^2)$
$T_1$	3	0	$-1$	1	$-1$	$(R_x, R_y, R_z)$
$T_2$	3	0	$-1$	$-1$	1	$(x, y, z)$, $(xy, yz, zx)$

확인: $1 + 1 + 4 + 9 + 9 = 24 = h$ ✓. 밴드 이론의 표기(Koster)로는 $A_1 = \Gamma_1$, $E = \Gamma_{12}$, $T_2 = \Gamma_{15}$이고, $O_h$에서는 여기에 $g/u$가 붙어 $T_{2g} = \Gamma_{25}'$, $T_{1u} = \Gamma_{15}$가 된다. 문헌마다 표기가 갈리므로 차원과 기저 함수로 알아본다.

이 표로 두 가지를 읽는다.

① 가전자대 꼭대기는 3겹이다. 원자의 $p$ 궤도 $(x, y, z)$는 $T_2$이고 3차원 기약이다. 결정에서 이 궤도로 만든 밴드는 $\Gamma$점에서 정확히 3겹 축퇴다 — 8절의 “축퇴 = 기약 표현의 차원”. $s$ 궤도는 $A_1$, 1겹. GaAs의 전도대 바닥($\Gamma_1$)과 가전자대 꼭대기($\Gamma_{15}$)가 9절에서 쓴 라벨 그대로다. 스핀을 넣으면 12절에서 이 3겹이 4 + 2로 갈라진다.

② $sp^3$ 혼성은 $A_1\oplus T_2$다. 사면체의 네 결합 방향에 놓인 궤도 넷을 기저로 한 순열 표현의 지표는 “제자리에 남는 결합의 수” — $\chi = (4, 1, 0, 0, 2)$. 8절의 분해 공식으로

$$\begin{aligned} n_{A_1} &= \tfrac{1}{24}(4 + 8 + 0 + 0 + 12) = 1 \\ n_{T_2} &= \tfrac{1}{24}(12 + 0 + 0 + 0 + 12) = 1 \\ n_{E} &= \tfrac{1}{24}(8 - 8 + 0 + 0 + 0) = 0 \end{aligned}$$

네 결합 궤도 = $s$ 하나 + $p$ 셋. 화학의 $sp^3$ 혼성이 군론으로는 이 한 줄이고, 결합·반결합 조합이 각각 가전자대·전도대의 씨앗이 된다(4.2, 6부).

점군이 텐서를 자른다 — 노이만 원리

직관

물리적 직관. 결정의 물성 텐서는 결정의 모든 점 조작에 대해 불변이어야 한다. 조작을 가한 결정은 원래 결정과 구별할 수 없으므로 같은 물성을 가져야 하기 때문이다. 이것이 노이만 원리이고, 식으로는 점군의 모든 $a$에 대해

$$T_{ij\cdots} = a_{ik}\, a_{jl}\cdots T_{kl\cdots}$$

즉 물성 텐서는 점군의 자명 표현 $A_1$에 속하는 성분만 가질 수 있다. 8절의 분해 공식으로 $n_{A_1}$을 세면 그 텐서의 독립 성분 수가 나온다. 4절에서 표로 예고한 “입방정에서 탄성 상수 셋”이 이 계산의 결과다.

2계 대칭 텐서에 대해 손으로 해 보면 왜 입방정이 등방인지 보인다. $\langle 111\rangle$ 둘레의 $C_3$은 $x \to y \to z \to x$로 축을 돌리므로 $T_{xx} = T_{yy} = T_{zz}$, $T_{xy} = T_{yz} = T_{zx}$. $z$축 둘레의 $C_2$는 $x \to -x$, $y \to -y$이므로 $T_{xz} \to -T_{xz}$, 불변이려면 $T_{xz} = 0$, 따라서 세 비대각이 전부 0. 남는 것은 대각 하나 — $T_{ij} = T\,\delta_{ij}$. 어떤 입방정 결정에서도 유전율·전도도·열전도도·열팽창은 스칼라다. 실리콘 웨이퍼의 저항을 잴 때 방향을 따지지 않는 이유가 이것이다.

같은 계산을 다른 계급에 하면

물성	계급	삼사정	입방정 $O_h$	입방정 $T_d$	육방정 $C_{6v}$	등방
유전율·전도도·열팽창	2	6	1	1	2	1
압전 계수 $d_{ijk}$	3	18	0	1 ($d_{14}$)	3 ($d_{31}, d_{33}, d_{15}$)	0
탄성 강성·압저항	4	21	3	3	5	2

읽을 것이 셋이다. 육방정은 2계에서 이미 둘이다 — GaN의 유전율은 $c$축과 면내가 다르고 (일축 결정), 밴드 갭과 유효질량도 방향을 탄다. $O_h$와 $T_d$는 짝수 계급에서 같고 홀수 계급에서 갈린다 — 반전 유무는 홀수 계급에만 걸리기 때문이다(3절). 그리고 등방과 입방정은 4계에서 갈린다 — 2계에서는 같으므로 전도도만 봐서는 유리와 실리콘을 구별할 수 없고, 탄성이나 압저항을 봐야 결정임이 드러난다.

주의

노이만 원리는 물성 텐서에 걸리는 것이지 장(field) 텐서에 걸리는 것이 아니다. 실리콘의 유전율은 스칼라지만 실리콘 안의 전기장은 아무 방향이나 가리킨다. 또 한 골짜기의 유효질량 텐서에는 걸리지 않는다 — 1절의 $z$ 골짜기 하나는 $O_h$ 대칭이 아니라 그 부분군 $D_{4h}$ 대칭이고(11절의 작은 군), 그래서 $m_l \neq m_t$가 허용된다. 노이만 원리가 걸리는 것은 여섯 골짜기를 전부 합친 전도도이고, 그것이 등방이다. 대칭이 낮은 부분에 원리를 적용하려면 그 부분의 대칭군을 써야 한다.

공간군과 결정 대칭

병진군과 블로흐 정리

격자 벡터 $\mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3$만큼 옮기는 조작 $t_\mathbf{R}$을 전부 모으면 병진군 $T$다. $t_\mathbf{R}t_{\mathbf{R}'} = t_{\mathbf{R}+\mathbf{R}'}$이므로 아벨군이고, 7절에서 본 대로 아벨군의 기약 표현은 전부 1차원이다. 그러므로 병진군의 기약 표현은 각 $\mathbf{R}$에 복소수 하나를 배정하되 덧셈을 곱셈으로 바꾸는 사상이다.

$$D_\mathbf{k}(t_\mathbf{R}) = e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}$$

라벨이 벡터 $\mathbf{k}$다. 결정을 $N_1\times N_2\times N_3$개 낱칸으로 잡고 주기 경계 조건(보른–폰 카르만)을 걸면 $t_{\mathbf{a}_1}^{N_1} = E$이므로 $e^{-iN_1\mathbf{k}\cdot\mathbf{a}_1} = 1$, $\mathbf{k}$는 이산적이고 개수는 $N = N_1N_2N_3$ — 군의 차수와 같다. 8절의 “기약 표현 수 = 류 수”이고, 아벨군이라 류 수 = 원소 수다.

$\mathbf{k}$와 $\mathbf{k} + \mathbf{G}$($\mathbf{G}$는 역격자 벡터)는 같은 표현이다 — $e^{-i\mathbf{G}\cdot\mathbf{R}} = 1$이기 때문이다(5절의 $\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j = 2\pi\delta_{ij}$). 그러므로 서로 다른 표현을 하나씩만 모으면 역격자의 한 낱칸이고, 그것을 원점 둘레로 잡은 것이 브릴루앙 영역이다. 브릴루앙 영역은 병진군의 기약 표현 목록이다.

직관

물리적 직관. 해밀토니안이 모든 $t_\mathbf{R}$과 교환하므로(1.3.5닮음 변환과 대각화의 동시 대각화), 고유상태를 병진군의 기약 표현으로 분류할 수 있다. 1차원 표현이므로 고유상태 하나하나가 라벨 $\mathbf{k}$를 갖고

$$\psi_\mathbf{k}(\mathbf{r} + \mathbf{R}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\,\psi_\mathbf{k}(\mathbf{r})$$

이것이 블로흐 정리다. 증명이 따로 필요 없다 — “아벨군의 기약 표현은 1차원”이 전부다. $\mathbf{k}$가 양자수인 이유, $\mathbf{k}$가 브릴루앙 영역 안에서만 의미를 갖는 이유, 결정 운동량 보존($\mathbf{k}$가 $\mathbf{G}$만큼 어긋나도 된다)이 모두 이 한 줄에서 나온다. 9절의 “수직 전이”도 이 표현의 선택 규칙이다 — 두 상태의 $\mathbf{k}$가 $\mathbf{G}$만큼을 빼고 같아야 행렬 원소가 0이 아니다.

공간군 — 병진과 점 조작을 합친다

결정의 모든 대칭 조작을 모은 것이 공간군이다. 원소를 $\{a\,|\,\boldsymbol{\tau}\}$로 쓴다 — 점 조작 $a$를 한 뒤 $\boldsymbol{\tau}$만큼 옮긴다는 뜻이고(Seitz 표기), $\{a\,|\,\boldsymbol{\tau}\}\mathbf{r} = a\mathbf{r} + \boldsymbol{\tau}$다. 곱은

$$\{a\,|\,\boldsymbol{\tau}\}\{a'\,|\,\boldsymbol{\tau}'\} = \{aa'\,|\,a\boldsymbol{\tau}' + \boldsymbol{\tau}\}$$

병진군 $\{E\,|\,\mathbf{R}\}$은 공간군의 정규 부분군이고, 몫군 $G/T$가 점군이다. 7절의 구조가 그대로다. 공간군은 3차원에서 230개, 격자(브라베 격자)는 14개, 점군은 32개다.

두 부류로 나뉜다. $\boldsymbol{\tau}$가 언제나 격자 벡터인 공형(symmorphic) 공간군은 점군과 격자의 단순한 결합이고 73개다. 나머지 157개는 격자 벡터가 아닌 $\boldsymbol{\tau}$를 동반하는 조작 — 나선축(회전 + 축 방향 부분 병진)과 미끄럼면(반사 + 면내 부분 병진) — 을 갖는 비공형 공간군이다.

재료	공간군 (H–M / Schoenflies)	부류	점군
Si, Ge	$Fd\bar{3}m$ / $O_h^7$	비공형 — 다이아몬드 미끄럼면 $d$	$O_h$
GaAs, InP	$F\bar{4}3m$ / $T_d^2$	공형	$T_d$
GaN, ZnO	$P6_3mc$ / $C_{6v}^4$	비공형 — 나선축 $6_3$	$C_{6v}$

실리콘이 비공형이라는 것을 읽어 둔다. 다이아몬드 구조는 한 낱칸에 원자가 둘이고, 반전 중심이 원자 위가 아니라 결합 중점에 있다(10절 그림). 그래서 원자 하나를 원점으로 잡으면 반전이 $\{\mathcal{P}\,|\,\tfrac{a}{4}(1,1,1)\}$처럼 부분 병진을 달고 나온다. 비공형 공간군에서는 브릴루앙 영역 경계의 일부 점에서 추가 축퇴가 강요된다 — 실리콘 $X$점에서 밴드가 반드시 둘씩 붙는 것(“스티킹”)이 그 예이고, 점군만 보면 설명되지 않는다.

$\mathbf{k}$의 별과 작은 군

점군 조작 $a$는 $\mathbf{k}$공간에도 작용한다 — 병진 $\{E|\mathbf{R}\}$과 점 조작 $\{a|\boldsymbol{\tau}\}$의 곱셈 규칙에서 $a$가 $\mathbf{k}$를 $a\mathbf{k}$로 보낸다는 것이 따라온다. 한 $\mathbf{k}$를 점군 전체로 돌려 얻은 집합을 $\mathbf{k}$의 별(star)이라 하고, $\mathbf{k}$를 (역격자 벡터를 빼고) 제자리에 두는 조작의 부분군을 작은 군(little group, $G_\mathbf{k}$)이라 한다. 라그랑주 정리로

$$(\text{별의 원소 수}) \times \lvert G_\mathbf{k}\rvert = \lvert G\rvert$$

그림 1.13-8. 정방 격자의 브릴루앙 영역과 점군 C₄v(차수 8). 네 거울선이 영역을 여덟 조각으로 나누고, 그중 하나(색칠한 삼각형 Γ–X–M)가 기약 영역이다. 일반 위치의 k는 별의 원소가 여덟이고 작은 군은 항등뿐이다. Δ선 위의 k는 거울선 위에 있어 작은 군이 {E, σ}, 별의 원소가 넷이다. 꼭짓점 X는 마주 보는 X와 역격자 벡터만큼 차이 나 같은 점이므로 별의 원소가 둘, 작은 군의 차수가 넷이다. 대칭이 높은 점일수록 별은 작고 작은 군은 크다.직접 작도

두 가지가 여기서 나온다.

① 골짜기 축퇴는 별이다. 실리콘 전도대 최소는 $\Delta$선 위 $\mathbf{k}_0 = (0.85, 0, 0)\,\tfrac{2\pi}{a}$에 있고, $O_h$의 48개 조작이 이 점을 $\pm x, \pm y, \pm z$ 축 위의 여섯 점으로 보낸다. 별의 원소가 여섯, 작은 군은 $C_{4v}$(차수 8), $6\times8 = 48$ ✓. 여섯 골짜기가 같은 에너지인 것은 같은 별에 속하기 때문이고 — 1.3.6축퇴와 고유기저에서 말로 했던 것이 여기서 셈이 된다 — 게르마늄의 $L$점 골짜기가 넷인 것도 같은 셈이다($L$점은 여덟이지만 마주 보는 쌍이 $\mathbf{G}$만큼 차이 나 동일하므로 별은 넷).

② 밴드 라벨은 작은 군의 기약 표현이다. $\Gamma$점($\mathbf{k} = 0$)의 작은 군은 점군 전체라 10절의 $T_d$·$O_h$ 표를 그대로 쓴다. $\Delta$선의 작은 군은 $C_{4v}$, $\Lambda$선 ($\langle 111\rangle$)은 $C_{3v}$, $X$점은 $D_{4h}$, $L$점은 $D_{3d}$. 밴드 그림의 $\Gamma_{25}', \Delta_1, X_1, L_3$ 같은 라벨이 전부 그 점의 작은 군의 기약 표현이고, $\Gamma$에서 $\Delta$로 나갈 때 축퇴가 어떻게 갈라지는지는 $O_h \to C_{4v}$의 부분군 관계(7절)로 정해진다 — $\Gamma_{25}'$(3겹)이 $\Delta_2' \oplus \Delta_5$(1 + 2)로 갈라지는 식이다. 이것을 양립 관계(compatibility relation)라 한다.

기약 영역 — 48분의 1

직관

파라미터 연계. 별의 모든 점에서 밴드 에너지가 같으므로, 브릴루앙 영역 전체를 계산할 필요 없이 별마다 대표 하나만 계산하면 된다. 대표들이 모인 조각이 기약 브릴루앙 영역이고, 그 부피는 전체의 $1/\lvert G\rvert$ — 실리콘이면 $1/48$이다. 상태밀도·전하밀도·유전함수 같은 브릴루앙 영역 적분에서 $\mathbf{k}$점 수가 48배 준다. 밴드 계산의 표준 절차 ($\mathbf{k}$점 샘플링)가 이 셈 위에 서 있다.

역으로 대칭을 낮추면 계산이 비싸진다. $[001]$ 스트레인으로 $O_h \to D_{4h}$가 되면 기약 영역이 $1/16$로 셋 배 커지고, 계면이나 표면이 있으면 더 커진다. 소자 시뮬레이션에서 스트레인 밴드 구조가 벌크보다 무거운 이유 하나가 이것이다.

스트레인이 대칭을 낮춘다 — 한 번에 읽기

4절·9절·10절·11절의 사슬을 한 번에 적는다. 실리콘 채널에 $[001]$ 방향 이축 인장 변형을 건다.

1. 변형 텐서 $\varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} \neq \varepsilon_{zz}$ (4절)이 결정의 대칭을 $O_h$에서 부분군 $D_{4h}$로 낮춘다 (7절).
2. $\Delta$ 골짜기 여섯의 별이 둘로 쪼개진다 — $\pm z$ 축의 둘과 $\pm x, \pm y$ 축의 넷. $D_{4h}$가 $z$를 $x$로 보내는 조작을 갖지 않기 때문이다 (11절).
3. 변형 퍼텐셜 $\Xi_u\varepsilon_{zz}$가 두 별의 에너지를 다르게 옮긴다 (4절). 인장이면 $z$ 골짜기 둘이 내려온다.
4. 전자가 $z$ 골짜기에 몰리고, 면내 방향 질량이 그 골짜기의 $m_t$가 된다 (1절). 면내 이동도가 오른다.
5. 노이만 원리가 $D_{4h}$에 대해 다시 걸려 이동도 텐서가 스칼라에서 일축 텐서로 바뀐다 (10절) — 면내와 수직이 다르다.
6. 라만 $T_{2g}$ 봉우리가 $E_g\oplus B_{2g}$로 갈라져 응력을 읽을 수 있다 (9절).

여섯 단계가 이 장의 여섯 절을 하나씩 쓴다. 텐서가 “얼마나”를 적고, 군론이 “무엇이 갈라지는가”를 적는다.

연속군과 회전군(SO(3)·SU(2))

매개변수가 연속인 군

지금까지의 군은 원소가 유한 개였다. 3차원의 모든 회전을 모으면 원소가 연속적으로 이어져 있고 개수는 무한이다. 이런 군을 연속군(리 군)이라 한다. 이름을 몇 개 적는다.

군	원소	매개변수 수	물리
$U(1)$	위상 $e^{i\phi}$	1	전하 보존, 게이지
$SO(2)$	평면 회전	1	$U(1)$과 동형
$SO(3)$	$3\times3$ 직교, $\det = +1$	3	3차원 회전, 각운동량
$SU(2)$	$2\times2$ 유니터리, $\det = +1$	3	스핀
로렌츠 군	시공간 회전·부스트	6	특수상대론 (2.6)

$S$는 “special”, 행렬식이 1이라는 뜻이다. $O$는 직교, $U$는 유니터리. 8절의 지표·직교성은 연속군에서도 성립하되 군에 대한 합 $\sum_g$가 매개변수에 대한 적분으로 바뀐다.

생성원 — 무한소 회전이 전부를 낳는다

직관

연속군은 원소가 무한히 많지만 항등원 근처만 알면 전부 안다. 아주 작은 회전을 거듭해 큰 회전을 만들 수 있기 때문이다. 항등원 근처의 “방향”을 생성원(generator)이라 하고, 7절의 유한군 생성원과 같은 역할이되 곱 대신 지수함수로 군 전체를 낳는다.

$$R(\theta) = \lim_{N\to\infty}\left(I - \frac{i\theta}{N}J\right)^N = e^{-i\theta J}$$

$J$는 회전축에 대응하는 생성원(에르미트 행렬)이다. $e^{-i\theta J}$는 1.3.5닮음 변환과 대각화에서 정의한 행렬의 함수이고, $J$가 에르미트이므로 $e^{-i\theta J}$가 유니터리다(1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환).

2차원에서 확인한다. 각 $\theta$의 회전행렬을 $\theta$로 미분해 $\theta = 0$에 놓으면

$$\frac{d}{d\theta}\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}_{\theta=0} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \equiv -iJ \quad\Longrightarrow\quad J = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix}$$

$J^2 = I$이므로 지수함수의 급수가 $\cos$과 $\sin$으로 갈라져 $e^{-i\theta J} = I\cos\theta - iJ\sin\theta$, 원래 회전행렬이 돌아온다. 3차원에서는 축이 셋이라 생성원도 셋이다. 성분으로

$$(J_k)_{lm} = -i\,\epsilon_{klm}$$

2절의 레비-치비타가 회전의 생성원으로 돌아왔다. 세 생성원은 교환하지 않고, 그 교환자가 다시 생성원의 선형결합이다.

$$[J_i, J_j] = i\,\epsilon_{ijk}\, J_k$$

이 관계를 $SO(3)$의 리 대수라 하고, 계수 $\epsilon_{ijk}$를 구조 상수라 한다. 군의 곱셈표(무한히 큰)가 이 한 줄에 압축돼 있다. 양자역학의 각운동량 교환 관계가 정확히 이것이고, $\hbar$가 붙는 것만 다르다 — 각운동량 연산자는 회전의 생성원이다. 그리고 회전이 서로 교환하지 않는다는 것(먼저 $x$축, 다음 $y$축으로 90° 도는 것과 그 반대가 다르다)이 각운동량 성분을 동시에 잴 수 없다는 것과 같은 말이다.

$SO(3)$의 기약 표현

$SO(3)$의 기약 표현은 $j = 0, 1, 2, \dots$로 라벨되고 차원이 $2j + 1$이다. 기저는 1.5급수해와 특수함수의 구면조화함수 $Y_{jm}$, $m = -j, \dots, j$다. 원자 궤도의 $s, p, d, f$가 $j = 0, 1, 2, 3$이고, 각각 1, 3, 5, 7겹인 것이 이 표현의 차원이다 — 원자의 $(2l + 1)$ 축퇴는 회전 대칭이 강요한 것이다. 8절의 “축퇴 = 기약 표현의 차원”이 무한군에서도 성립한다.

류는 회전각 $\theta$로 정해진다(축이 달라도 각이 같으면 공액). 지표는

$$\chi^{(j)}(\theta) = \sum_{m=-j}^{j} e^{im\theta} = \frac{\sin\left(j + \tfrac{1}{2}\right)\theta}{\sin\tfrac{1}{2}\theta}$$

$j = 1$이면 $1 + 2\cos\theta$ — 10절의 결정학적 제한에서 쓴 회전행렬의 대각합이다. 1절의 2계 텐서 분해 $9 = 1 + 5 + 3$은 $D^{(1)}\otimes D^{(1)} = D^{(0)}\oplus D^{(1)}\oplus D^{(2)}$이고, 지표로 확인하면 $(1 + 2\cos\theta)^2 = 1 + (1 + 2\cos\theta) + (1 + 2\cos\theta + 2\cos 2\theta)$ ✓.

결정장 갈라짐. 원자를 결정 안에 넣으면 대칭이 $SO(3)$에서 점군으로 낮아지고, $SO(3)$의 기약 표현이 점군의 기약 표현으로 쪼개진다 — 7절의 부분군, 11절의 양립 관계와 같은 논리다. $\chi^{(j)}(\theta)$를 점군의 회전각에서 계산해 8절의 분해 공식에 넣으면 된다. $O_h$에서

$l$	차원	$O_h$의 기약 표현
0 ($s$)	1	$A_{1g}$
1 ($p$)	3	$T_{1u}$
2 ($d$)	5	$E_g\oplus T_{2g}$
3 ($f$)	7	$A_{2u}\oplus T_{1u}\oplus T_{2u}$

$d$ 궤도가 $2 + 3$으로 갈라지는 것이 전이금속 불순물의 결정장 준위이고, 실리콘 속 깊은 준위(Fe, Au, Cu)의 구조가 이 표에서 시작한다. $p$가 갈라지지 않는 것이 10절에서 본 가전자대 3겹의 이유다 — 입방 대칭은 $p$를 자르기에 너무 높다. 육방정 $C_{6v}$로 내려가면 $p$가 $A_1\oplus E$(1 + 2)로 갈라지고, 그것이 GaN 가전자대가 $\Gamma$점에서부터 이미 갈라져 있는 이유다(결정장 갈라짐, 약 10 meV).

$SU(2)$ — 회전군의 두 겹 덮개

$2\times2$ 유니터리이고 행렬식이 1인 행렬은

$$U(\theta, \hat{n}) = e^{-i\theta\,\hat{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2} = I\cos\tfrac{\theta}{2} - i\,(\hat{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin\tfrac{\theta}{2}$$

로 쓸 수 있다. $\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$는 파울리 행렬이다.

$$\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix},\quad \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix},\quad \sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}, \qquad \left[\tfrac{\sigma_i}{2}, \tfrac{\sigma_j}{2}\right] = i\,\epsilon_{ijk}\,\tfrac{\sigma_k}{2}$$

생성원 $\sigma_k/2$가 $SO(3)$의 $J_k$와 똑같은 리 대수를 만족한다. 즉 $SU(2)$와 $SO(3)$은 항등원 근처에서 구별되지 않는다. 그런데 군 전체로는 다르다. $\theta = 2\pi$를 넣어 보면

$$U(2\pi, \hat{n}) = I\cos\pi - i(\hat{n}\cdot\boldsymbol{\sigma})\sin\pi = -I$$

한 바퀴 돌면 $-1$이고, 두 바퀴 돌아야 $+1$이다. $SO(3)$에서는 $2\pi$ 회전이 항등원인데 $SU(2)$에서는 아니다. $U$와 $-U$가 같은 회전에 대응하므로 $SU(2) \to SO(3)$은 2 대 1 준동형이고, $SU(2)$를 $SO(3)$의 두 겹 덮개(double cover)라 한다.

그림 1.13-9. 회전각 θ에 대한 두 표현의 지표. j = 1 (벡터)의 지표 1 + 2cos θ 는 2π 주기라 한 바퀴 돌면 3, 즉 항등으로 돌아온다. j = ½ (스피너)의 지표 2cos(θ/2) 는 4π 주기라 한 바퀴 돌면 −2 — 항등의 음수 — 이고 두 바퀴 돌아야 제자리다. 두 곡선이 θ = 0 근처에서 같은 기울기(0)와 같은 곡률 구조를 갖는 것이 두 군의 리 대수가 같다는 뜻이고, 주기가 다른 것이 군 전체가 다르다는 뜻이다.직접 작도

직관

물리적 직관. 이 $-1$이 **스핀 $\tfrac{1}{2}$**이다. $SU(2)$의 기약 표현은 $j = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \dots$로 반정수까지 허용되고, 반정수 $j$의 표현은 $SO(3)$의 표현이 아니다 — $2\pi$ 회전에서 $-1$을 내기 때문이다. 벡터·텐서는 정수 $j$이고 전자의 스핀은 $j = \tfrac{1}{2}$다. 스핀 $\tfrac{1}{2}$ 상태(스피너)를 $2\pi$ 돌리면 파동함수의 부호가 바뀐다. 부호는 관측되지 않지만 간섭에서 드러난다 — 중성자 간섭계로 $4\pi$ 주기가 실제로 측정되었다.

지표로 보면 $\chi^{(1/2)}(\theta) = 2\cos\tfrac{\theta}{2}$이고, $\theta = 2\pi$에서 $-2$다. 그림이 그것이다.

이중군 — 스핀을 넣은 점군

결정의 전자에 스핀을 넣으면 점군의 조작이 스피너에 작용하는데, 위의 $-1$ 때문에 ”$2\pi$ 회전 $\bar{E}$“가 항등원과 다른 원소로 추가된다. 원소 수가 두 배인 이 군을 이중군(double group)이라 하고, 기약 표현이 늘어난다. $O_h$의 이중군에는 $\Gamma_6, \Gamma_7$ (2차원), $\Gamma_8$(4차원)이 새로 생긴다.

스핀–궤도 상호작용은 이 이중군의 언어로 정확히 읽힌다. 10절의 가전자대 $\Gamma_{15}$(3겹, $p$형)에 스핀 $D^{(1/2)}$를 곱하면 $3\times2 = 6$차원 표현이고, 분해하면

$$\Gamma_{15}\otimes D^{(1/2)} = \Gamma_8\oplus\Gamma_7 \qquad (6 = 4 + 2)$$

원자로 치면 $p$ 궤도가 $j = \tfrac{3}{2}$(4겹)와 $j = \tfrac{1}{2}$(2겹)로 갈라지는 것이고, 결정에서는 **$\Gamma_8$이 무거운 정공·가벼운 정공 밴드(4겹), $\Gamma_7$이 스핀–궤도 분리 밴드(2겹)**다. 두 밴드의 간격 $\Delta_{SO}$가 Si에서 44 meV, Ge에서 0.29 eV, GaAs에서 0.34 eV — 원자번호가 클수록 크다. 전도대 $\Gamma_1\otimes D^{(1/2)} = \Gamma_6$(2겹)는 갈라지지 않는다. 1.3에서 “가전자대 꼭대기의 축퇴”라고만 했던 것이 여기서 정확히 $\Gamma_8$의 4차원이 되고, 스트레인이나 양자 구속이 $D_{4h}$ 이중군으로 내려가 $\Gamma_8 \to \Gamma_6\oplus\Gamma_7$(2 + 2)로 갈라 놓는 것이 무거운 정공·가벼운 정공 분리다.

연속 대칭과 보존량 — 미리보기

유한군의 대칭은 축퇴와 선택 규칙을 준다. 연속군의 대칭은 하나를 더 준다 — 보존량이다. 해밀토니안이 생성원 $J$와 교환하면($[H, J] = 0$, 즉 연속 회전에 불변이면) $J$의 기댓값이 시간에 따라 변하지 않는다. 회전 대칭 → 각운동량 보존, 병진 대칭 → 운동량 보존, 시간 병진 대칭 → 에너지 보존, $U(1)$ 위상 대칭 → 전하 보존. 이것이 뇌터 정리이고 5.7에서 다룬다. 결정은 연속 병진 대칭이 없고 이산 병진 대칭만 있으므로 운동량이 보존되지 않고 결정 운동량이 $\mathbf{G}$를 빼고 보존된다 — 11절에서 본 그것이다. 움클라프 산란이 운동량을 $\mathbf{G}$만큼 격자에 넘길 수 있는 이유가 대칭이 연속에서 이산으로 깨졌기 때문이다.

의문

로렌츠 군은 왜 이 장에 없는가? 회전군의 사촌이다 — 시공간의 “회전”에 부스트(속도 변환)를 더한 6-매개변수 군이고, 생성원의 교환 관계가 $SO(3)$을 포함한다. 이 백과가 다루는 반도체 물리는 비상대론적이라 로렌츠 군을 직접 쓸 일이 없다. 다만 두 자리에서 그림자가 보인다. 전자기장이 4차원 반대칭 텐서 $F_{\mu\nu}$인 것(3절·6절, 2.6)과, 스핀–궤도 상호작용이 로렌츠 변환의 $1/c^2$ 항에서 나온다는 것 — 이 절의 $\Delta_{SO}$가 상대론적 효과이고 그래서 무거운 원소일수록 큰 것이다. 로렌츠 군의 스피너 표현이 디랙 방정식인데, 그것은 5부의 범위 밖이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

• 물성 텐서 (6부·20부). 유효질량·이동도·유전율·탄성률·압저항·압전 계수가 이 장의 1절·4절 그대로이고, 독립 성분 수는 10절의 노이만 원리가 센다.
• 스트레인 공학 (14부·16부). 격자 부정합 → 변형 텐서 → 변형 퍼텐셜 → 골짜기 갈라짐 → 이동도. 11절 끝의 여섯 단계.
• 밴드 구조 (6부). 블로흐 정리(11절), $\Gamma$·$X$·$L$점의 라벨(작은 군의 기약 표현), 가전자대의 $\Gamma_8\oplus\Gamma_7$(12절), $k\cdot p$ 행렬 원소의 개수(9절의 위그너–에카르트).
• 광학 (6부·17부). 직접 갭과 간접 갭, 편광 선택 규칙, 라만·적외선 활성(9절).
• 결정학과 재료 (6부·9부). 32 점군·230 공간군·역격자(5절·10절·11절), 육방정 재료의 극성축과 자발 분극.
• 위상 물질 (6부 뒤쪽). 베리 곡률(6절)과 그 적분.

텐서는 “얼마나”를 적는 언어이고, 군론은 “무엇이 허용되는가”를 적는 언어다. 1부의 다른 장들이 방정식을 푸는 도구였다면, 이 장은 방정식을 풀기 전에 답의 모양을 정하는 도구다.

이 장이 쓰이는 곳

• 2.7 보존 법칙
• 7.1 결정 구조
• 7.2 역격자와 회절
• 7.3 결정의 결합과 탄성
• 7.8 밴드 구조 계산과 페르미 면
• 7.12 수송 이론
• 8.2 미세조직 관찰
• 8.12 유전·강유전·압전