7부 고체물리 7.1

결정 구조

고체물리는 한 가지 사실 위에 서 있다 — 결정은 같은 단위가 공간에 주기적으로 반복된 것이다. 이 한 줄이 이 부 전체를 정한다. 반복이 있으므로 파동은 격자 주기의 역수인 파수만 골라 회절되고(7.2), 전자의 파동함수는 격자 병진마다 위상만 얻는 꼴로 제한되며(7.7, 블로흐 정리), 그 제한이 에너지 밴드와 밴드 갭을 만든다(7.9). 반도체가 도체도 절연체도 아닌 이유가 궁극적으로 원자의 배열에서 나온다. 이 장은 그 배열을 기술하는 언어 — 격자·기저·세포·지수·대칭 — 를 세운다.

이 장에는 미분방정식이 하나도 없다. 대신 기하가 있다. 벡터 세 개가 평행육면체를 만들고, 그 평행육면체가 공간을 빈틈없이 채우며, 그 안에 원자 몇 개가 어디에 앉는가 — 그것이 전부다. 그런데 이 기하가 실리콘의 숫자를 전부 준다. 격자 상수 $a=5.431\,\text{Å}$ 하나에서 원자 밀도 $5.0\times10^{22}\,\text{cm}^{-3}$ , 결합 길이 $2.35\,\text{Å}$ , 웨이퍼 표면의 원자 밀도, 산화 속도가 면마다 다른 이유, 습식 식각이 멈추는 면, 벽개면이 어디로 갈라지는지가 따라 나온다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

역격자와 회절 — 밀러 지수 $(hkl)$ 은 역격자 벡터의 성분이고(7.2), 다이아몬드 구조의 기저가 어떤 회절점을 지우는지가 구조 인자다(7.2.6). X선 회절로 웨이퍼의 방향과 변형을 재는 계측(19부)이 전부 이 장의 기하 위에 있다.
밴드 구조 — FCC 격자의 브릴루앙 영역, Si의 전도대 최소점이 $[100]$ 방향 여섯 곳에 놓이는 것, 유효질량이 방향에 따라 다른 것(7.9)은 결정의 입방 대칭이 정한다.
웨이퍼 — 왜 CMOS는 $(100)$ 웨이퍼를 쓰고, 왜 $(111)$ 면에서 산화가 빠르며, KOH 식각이 $(111)$ 에서 멈추고, Si는 $\{111\}$ 로, GaAs는 $\{110\}$ 으로 갈라지는가(18.3·18.6·18.17). 표면 원자 밀도와 댕글링 본드 수가 결정면마다 다르기 때문이고, 그 수는 이 장에서 센다.
결함과 계면 — 적층 결함(8.1)과 폴리타입(8절)은 같은 현상의 두 이름이다. 에피택시(18.13)에서 기판과 박막의 격자 상수 차이가 변형과 전위를 만든다.
SiC와 GaN — 전력 소자(17.8–17.10)가 4H-SiC를 고른 이유는 폴리타입 하나의 차이가 밴드 갭 1 eV의 차이를 만들기 때문이다(8절). GaN·AlN의 우르츠광 구조는 섬아연광을 다른 순서로 쌓은 것이다.

표기는 Kittel(8e, Ch.1)을 따른다. 원시 병진 벡터 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ , 격자 병진 $\mathbf T$ , 기저 원자 위치 $\mathbf r_j$ , 세포 부피 $V_c$ . Ashcroft–Mermin의 표기 ( $\mathbf R$ 로 격자 벡터를 쓴다)는 갈리는 자리에서만 적는다.

격자와 기저

결정 = 격자 + 기저

이상적인 결정은 동일한 구조 단위가 무한히 반복된 것이다. 그 단위가 원자 하나일 수도(구리·나트륨), 원자 둘일 수도(실리콘·GaAs), 분자 수만 개일 수도(단백질 결정) 있다. 어느 경우든 반복의 골격은 같다 — 격자(lattice)라는 점의 집합과, 각 점에 붙는 원자 무리 기저(basis)로 나뉜다.

\text{결정 구조}=\text{격자}+\text{기저}

격자는 벡터 세 개로 정의된다. 3차원에서 서로 독립인 벡터 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ (1.2.5벡터공간과 내적공간)를 잡으면, 임의의 격자점에서 다른 격자점으로 가는 이동은 언제나

\mathbf T=u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3, \qquad u_1,u_2,u_3\in\mathbb Z

의 꼴이다. 이것이 격자 병진 벡터(lattice translation vector)이고, $\mathbf a_i$ 를 병진 벡터라 한다. 격자는 곧 ” $\mathbf T$ 전체의 끝점 집합”이다 — 점 하나에서 출발해 $\mathbf T$ 를 전부 더하면 격자가 나오고, 어느 격자점에서 보아도 주위 배열이 똑같다. 어느 점에서 보아도 똑같다는 이 성질이 격자의 정의이고, 뒤에서 “브라베 격자”라는 이름으로 다시 나온다.

기저는 격자점 하나에 붙는 원자들의 목록이다. 기저의 $j$ 번째 원자는 격자점에서

\mathbf r_j=x_j\mathbf a_1+y_j\mathbf a_2+z_j\mathbf a_3, \qquad 0\le x_j,y_j,z_j < 1

만큼 떨어져 있다. 좌표 $(x_j,y_j,z_j)$ 는 병진 벡터를 단위로 잰 분율 좌표(fractional coordinate)다 — 다이아몬드 구조의 두 번째 원자가 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 에 있다고 할 때 그 수다. 격자의 모든 점에 같은 기저를 같은 방향으로 붙이면 결정이 된다. 기저의 원자 수를 $Z$ 로 쓰겠다 — 원시 세포 하나에 든 원자 수이기도 하다.

그림 7.1-1. 결정 구조 = 격자 + 기저. 왼쪽은 격자 — 병진 벡터 a₁, a₂로 만들어지는 점의 집합이고, 어느 점에서 보아도 주위가 똑같다. 가운데가 기저 — 격자점 하나에 붙는 원자 무리로, 여기서는 종류가 다른 원자 둘이다. 오른쪽이 둘을 합친 결정 — 격자점(작은 십자)마다 같은 기저가 같은 방향으로 놓인다. 격자점은 원자 위치가 아니라 기준점일 뿐이며, 어디에 찍어도 결과는 같다.직접 작도

주의

‘기저’라는 말이 두 가지다. 선형대수의 기저(basis)는 공간을 펼치는 벡터의 집합이고 (1.2.5벡터공간과 내적공간), 결정학의 기저는 격자점에 붙는 원자의 집합이다. 영어가 같아 번역도 같아졌다. 이 장에서 “기저”는 언제나 원자 무리를 뜻하고, 벡터 쪽은 “병진 벡터” 또는 “원시 벡터”라 부른다. 둘을 섞으면 “기저가 둘이다”라는 문장이 “독립 벡터가 둘” 인지 “원자가 둘” 인지 알 수 없게 된다.

또 하나 — 격자점은 원자가 아니다. 격자는 수학적 점의 집합이고 원자는 기저가 정한다. 구리처럼 기저가 원자 하나면 격자점에 원자를 놓아도 되지만, 실리콘의 격자점에는 원자가 없을 수도 있다 (격자점을 두 원자의 중간에 찍어도 된다). “FCC 격자의 원자”라는 말은 편의상 쓰는 것이고, 정확히는 “FCC 격자 + 원자 하나짜리 기저”다.

이 절의 기호를 정리해 둔다. 대소문자만 다른 짝이 둘 있다 — 굵은 소문자 $\mathbf a_i$ 는 벡터, 가는 소문자 $a$ 는 길이(격자 상수)이고, $\mathbf r_j$ 는 위치 벡터, $r$ 은 반지름이다.

기호	읽는 법	무엇인가	단위·비고
$\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$	병진 벡터(원시 벡터)	격자를 펼치는 세 벡터	Å. Ashcroft–Mermin도 같은 기호
$a$ (또는 $a,b,c$ )	격자 상수	관습 세포의 모서리 길이	Å. 입방 결정은 $a$ 하나
$\mathbf T$	격자 병진 벡터	$u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3$	Ashcroft–Mermin은 $\mathbf R$
$u_1,u_2,u_3$	—	$\mathbf T$ 의 정수 계수	무차원
$\mathbf r_j$	기저 원자 위치	격자점에서 $j$ 번째 원자까지	$(x_j,y_j,z_j)$ 는 분율 좌표
$Z$	—	기저의 원자 수 = 원시 세포당 원자 수	관습 세포당 원자 수와 다르다(3절)
$V_c$	세포 부피	$\lvert\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)\rvert$	Å³ (3절)
$r$	원자 반지름	구를 가정했을 때의 반지름	Å (6절)

격자와 기저를 왜 나누는가

같은 격자에 다른 기저를 붙이면 다른 결정이 된다. FCC 격자에 원자 하나를 붙이면 구리·알루미늄·금이고, $(0,0,0)$ 과 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 에 원자 둘을 붙이면 실리콘·게르마늄·다이아몬드이며, $(0,0,0)$ 과 $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ 에 서로 다른 원자를 붙이면 NaCl이다(5절). 세 결정은 전혀 다른 물질이지만 병진 대칭은 같다. 병진 대칭이 같으면 역격자와 브릴루앙 영역이 같고(7.2), 파동이 회절되는 방향이 같다. 다른 것은 각 회절점의 세기이고, 그것이 기저가 정하는 구조 인자다(7.2.6). 분리는 계산의 편의가 아니라 물리의 층을 나누는 것이다 — 격자가 “어디로” 를 정하고 기저가 “얼마나” 를 정한다.

직관

물리적 직관 — 왜 원자는 주기적으로 늘어서는가. 원자 하나의 에너지가 가장 낮은 이웃 배치가 있다면, 모든 원자가 그 배치를 가지는 방법은 같은 배치를 반복하는 것뿐이다. 주기성은 “모든 원자가 동시에 최적의 환경에 있을 것”이라는 요구의 결과다. 이 장에서는 그 최적 배치가 무엇인지 묻지 않고(7.3의 결합 에너지가 답한다) 반복이 가질 수 있는 형태만 묻는다. 형태는 놀랍도록 제한되어 있다 — 2차원에 5종, 3차원에 14종뿐이다(2절).

공간적 직관 — 병진 대칭이 파동에 하는 일. 격자 병진 $\mathbf T$ 만큼 옮겨도 결정이 똑같으므로, 결정 안의 어떤 물리량 $f(\mathbf r)$ 도 $f(\mathbf r+\mathbf T)=f(\mathbf r)$ 이다. 주기 함수는 푸리에 급수로 펼쳐지고, 허용되는 파수는 $e^{i\mathbf G\cdot\mathbf T}=1$ 을 만족하는 $\mathbf G$ 뿐이다 — 그 $\mathbf G$ 의 집합이 역격자다(7.2). 전자의 파동함수는 주기 함수가 아니지만 “병진하면 위상만 곱해진다”는 더 약한 조건을 만족하고(5.7.8격자 병진 대칭 (블로흐 정리는 7.7)), 그것이 블로흐 정리(7.7)다. 이 장의 격자 병진 벡터 $\mathbf T$ 하나가 그 모든 것의 출발점이다.

2차원 예 — 벌집은 격자가 아니다

격자와 기저의 구분이 실제로 필요한 가장 작은 예가 벌집(그래핀)이다. 탄소 원자들이 육각형의 꼭짓점에 놓인 벌집 배열은 언뜻 “육각 격자” 같지만 격자가 아니다 — 이웃한 두 꼭짓점에서 본 주위 배열이 서로 $180^\circ$ 돌아가 있어 어느 점에서 보아도 똑같다는 조건이 깨진다. 벌집은 육각 격자에 원자 둘짜리 기저를 붙인 것이다. 두 원자를 각각 A·B 부격자(sublattice)라 부르며, 그래핀의 밴드 구조가 디랙 점을 갖는 것이 이 두 원자짜리 기저의 직접 결과다(7.7).

같은 논리로 — 원자가 두 종류 이상이면 기저는 반드시 둘 이상이다(같은 자리에 다른 원자가 올 수 없으므로). 그러나 원자가 한 종류라도 기저가 둘일 수 있다(실리콘·벌집). 판정 기준은 원자 종류가 아니라 모든 원자의 주위가 병진만으로 겹쳐지는가다.

브라베 격자

어느 점에서 보아도 똑같은 격자

앞 절의 “어느 격자점에서 보아도 주위가 똑같은 점의 집합”을 브라베 격자(Bravais lattice)라 한다. 정의를 두 가지로 쓸 수 있고, 둘은 같은 말이다.

$\mathbf T=u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3$ ( $u_i$ 정수) 전체의 집합.
임의의 두 점 $\mathbf P,\mathbf Q$ 에 대해, $\mathbf P$ 에서 본 배열과 $\mathbf Q$ 에서 본 배열이 같은 무한 점 집합.

브라베 격자는 병진 대칭만으로 정의된다. 그런데 병진 대칭을 가진 점 집합은 자동으로 몇 가지 회전·거울 대칭을 갖게 되고, 어떤 회전·거울 대칭이 가능한가로 격자를 분류하면 종류가 유한하다. 분류의 기준은 격자가 가진 점군(격자점 하나를 고정하고 격자를 자기 자신으로 보내는 회전·거울·반전의 집합, 7절)이다.

2차원 — 5종

2차원에서 병진 벡터 둘 $\mathbf a_1,\mathbf a_2$ 와 사잇각 $\varphi$ 로 격자가 정해진다. 아무 제한도 없는 일반 격자를 사방(oblique) 격자라 하고, 이것은 $180^\circ$ 회전( $C_2$ )만 갖는다 — 어떤 격자든 $\mathbf T\to-\mathbf T$ 는 격자를 보존하므로 $C_2$ 는 공짜다. 여기에 더 높은 대칭을 요구하면 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\varphi$ 에 조건이 걸리고, 그 조건이 만드는 특수 격자가 넷이다.

격자	관습 세포의 조건	격자의 점군	세포
사방(oblique)	$\lvert\mathbf a_1\rvert\ne\lvert\mathbf a_2\rvert$ , $\varphi\ne90^\circ$	$2$	원시
정방(square)	$\lvert\mathbf a_1\rvert=\lvert\mathbf a_2\rvert$ , $\varphi=90^\circ$	$4mm$	원시
육방(hexagonal)	$\lvert\mathbf a_1\rvert=\lvert\mathbf a_2\rvert$ , $\varphi=120^\circ$	$6mm$	원시
직사각(rectangular)	$\lvert\mathbf a_1\rvert\ne\lvert\mathbf a_2\rvert$ , $\varphi=90^\circ$	$2mm$	원시
중심 직사각(centered rectangular)	$\lvert\mathbf a_1\rvert\ne\lvert\mathbf a_2\rvert$ , $\varphi=90^\circ$	$2mm$	중심(비원시)

점군 기호( $4mm$ 따위)는 7절에서 읽는 법을 적는다 — 지금은 “4회 회전축 하나와 거울선 둘” 정도로만 읽어 두면 된다. 중심 직사각 격자는 직사각 세포의 중심에 격자점이 하나 더 있는 것이다. 이것을 원시 세포로 그리면 $\lvert\mathbf a_1\rvert=\lvert\mathbf a_2\rvert$ 이고 $\varphi$ 가 일반인 마름모가 되는데, 그러면 직사각 대칭이 눈에 보이지 않는다. 대칭을 보이게 하려고 일부러 비원시 세포를 관습 세포로 고른다 — 이것이 아래 3차원의 “체심·면심” 격자들이 존재하는 이유다.

그림 7.1-2. 2차원 브라베 격자 5종. 사방 격자에는 180° 회전밖에 없고, 병진 벡터의 길이와 사잇각에 조건을 걸수록 대칭이 늘어난다. 정방(90°, 같은 길이)은 4회 회전, 육방(120°, 같은 길이)은 6회 회전을 얻는다. 직사각(90°, 다른 길이)에 중심점을 더한 중심 직사각 격자는 원시 세포(가는 마름모)로 그리면 직사각 대칭이 보이지 않아, 점을 두 개 담는 직사각 관습 세포(굵은 선)로 그린다. 5종 이외의 대칭 — 이를테면 5회 회전 — 은 병진과 양립하지 못한다(7절).직접 작도

3차원 — 7 결정계, 14 브라베 격자

3차원에서는 병진 벡터 셋의 길이 $a,b,c$ 와 사잇각 $\alpha,\beta,\gamma$ 여섯 개가 격자를 정한다 ( $\alpha$ 는 $\mathbf b$ 와 $\mathbf c$ 사이, $\beta$ 는 $\mathbf c$ 와 $\mathbf a$ 사이, $\gamma$ 는 $\mathbf a$ 와 $\mathbf b$ 사이 — 각 문자에 없는 축의 사잇각이다). 대칭이 요구하는 조건에 따라 7 결정계(crystal system)로 나뉘고, 각 결정계 안에서 관습 세포에 격자점을 더 넣을 수 있는 방식(체심 I·면심 F·저심 C)을 세면 14 브라베 격자가 된다.

결정계	세포 조건	브라베 격자	수
삼사정(triclinic)	$a\ne b\ne c$ , $\alpha\ne\beta\ne\gamma$	P	1
단사정(monoclinic)	$a\ne b\ne c$ , $\alpha=\gamma=90^\circ\ne\beta$	P, C	2
사방정(orthorhombic)	$a\ne b\ne c$ , $\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	P, C, I, F	4
정방정(tetragonal)	$a=b\ne c$ , $\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	P, I	2
입방정(cubic)	$a=b=c$ , $\alpha=\beta=\gamma=90^\circ$	P(sc), I(bcc), F(fcc)	3
삼방정(trigonal)	$a=b=c$ , $\alpha=\beta=\gamma < 120^\circ,\ne90^\circ$	R	1
육방정(hexagonal)	$a=b\ne c$ , $\alpha=\beta=90^\circ$ , $\gamma=120^\circ$	P	1

여기서 P는 원시(primitive), I는 체심(body-centered, 독일어 innenzentriert), F는 면심 (face-centered), C는 저심(base-centered, $\mathbf c$ 에 수직인 면의 중심), R은 능면체 (rhombohedral)다. 표의 $\ne$ 는 “대칭이 같음을 요구하지 않는다”는 뜻이지 “반드시 달라야 한다”는 뜻이 아니다 — 우연히 $a=b$ 인 사방정 결정도 대칭이 사방정이면 사방정이다. 결정계를 정하는 것은 길이·각의 값이 아니라 대칭이다.

왜 하필 14인가. 이를테면 정방정에는 왜 F가 없는가 — 정방정 F 세포는 축을 $45^\circ$ 돌려 반 크기의 정방정 I 세포로 다시 그릴 수 있으므로 새 격자가 아니다. 입방정에 C가 없는 것도 같다 — 한 면만 중심을 넣으면 세 축의 동등성이 깨져 입방이 아니게 된다. 이런 식으로 중복과 모순을 걸러 내면 14가 남는다. 이 수는 브라베(1848)가 세었고, 그 전 프랑켄하임이 15라고 셌다가 둘이 같은 것임을 놓친 일화가 있다 — “같은 격자를 다르게 그린 것”을 알아보는 일이 이 분류의 전부다.

반도체에서 실제로 마주치는 것은 이 가운데 셋이다. 입방정 F(fcc)가 Si·Ge·GaAs·InP·3C-SiC (다이아몬드·섬아연광 구조의 격자)와 Al·Cu·Au·Ni(금속 배선)의 격자이고, 육방정 P가 GaN·AlN·ZnO·4H/6H-SiC(우르츠광과 그 폴리타입)와 그래핀·MoS₂의 격자이며, 입방정 I(bcc)는 W·Mo·Ta·Fe(컨택 플러그·배리어·자성 재료)의 격자다. 정방정 I는 $\beta$ -Sn과 루틸 TiO₂, 사방정은 강유전체 몇 종과 고온 초전도체(YBCO)에서 나온다.

직관

형태적 직관 — 입방 격자 세 개는 서로 다른 격자다. sc·bcc·fcc는 관습 세포가 모두 정육면체라 같은 격자에 점만 더 넣은 것처럼 보이지만, 브라베 격자로서는 셋 다 다르다 — 이웃 수(6·8·12), 이웃 방향, 원시 세포의 모양이 다르다. bcc의 원시 세포는 각 $109^\circ28'$ 의 능면체이고, fcc의 원시 세포는 각 $60^\circ$ 의 능면체다(3절). 정육면체는 대칭을 보이게 그린 관습 세포일 뿐이고, 정육면체 안에 격자점이 1개(sc)·2개(bcc)·4개(fcc) 들어 있다는 것이 그 증거다.

파라미터 연계 — 어느 격자인지가 무엇을 정하는가. 같은 원자라도 bcc냐 fcc냐에 따라 밀도가 $0.68$ 대 $0.74$ 로 다르고(6절), 슬립면과 연성이 다르며(8.8), 자성이 다르다 — 철은 상온 bcc에서 강자성, $912^\circ\text{C}$ 이상 fcc에서 상자성이다. 격자 종류는 “원자를 어떻게 쌓았나”의 답이고, 쌓는 방식은 결합의 성격(7.3)이 정한다.

육방정과 삼방정 — 헷갈리는 짝

육방 격자의 관습 세포는 밑면이 각 $120^\circ$ 의 마름모( $a=b$ )이고 높이 $c$ 인 기둥이다. 이 세포 셋을 모으면 육각기둥이 되는데, 그 육각기둥은 관습 세포가 아니라 그림용 표시다(격자점을 3개 담는다). 삼방정(능면체) 격자는 정육면체를 체대각선 방향으로 당기거나 눌러 만든 것으로, 세 축의 길이가 같고 세 각이 같되 $90^\circ$ 가 아니다. 삼방정 격자는 육방 축을 써서 그릴 수도 있어 두 결정계는 문헌에서 자주 뒤섞인다 — 결정계는 7개지만 결정족(crystal family)은 6개(삼방과 육방을 합쳐 육방족)라고 세는 관습도 있다. Bi·Sb·As(반금속, 7.9.8)와 $\alpha$ -Al₂O₃(사파이어, GaN 기판)이 삼방정(능면체)이고, 사파이어 위의 GaN 에피택시(18.13)에서 격자 부정합을 셀 때 두 축계를 오가야 하는 것이 이 사정 때문이다.

원시 세포와 위그너-자이츠 세포

원시 병진 벡터와 원시 세포

병진 벡터 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ 를 잡는 방법은 하나가 아니다. 격자의 모든 점이 정수 계수 $u_i$ 로 $\mathbf T=u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3$ 에 닿을 때 그 셋을 원시 병진 벡터(primitive translation vector)라 하고, 세 벡터가 만드는 평행육면체를 원시 세포(primitive cell)라 한다. 원시 벡터가 아닌 벡터 셋으로도 격자의 일부는 만들 수 있지만 전부는 만들지 못한다 — 이를테면 fcc 격자에서 정육면체의 세 모서리 $a\hat x, a\hat y, a\hat z$ 는 꼭짓점만 만들고 면 중심에는 닿지 않으므로 원시 벡터가 아니다.

원시 세포의 부피는 스칼라 삼중곱

V_c=\lvert\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)\rvert

이고, 세 벡터를 열로 세운 행렬의 행렬식의 절댓값과 같다(1.2.1행렬과 행렬식). 원시 세포가 가지는 성질 셋을 적는다.

격자점을 정확히 하나 담는다. 평행육면체의 꼭짓점 여덟 개에 격자점이 있고 각 꼭짓점은 세포 여덟 개가 나눠 가지므로 $8\times\tfrac18=1$ . 격자점이 하나면 원자는 기저의 수 $Z$ 만큼 든다.
부피가 가장 작은 세포다. 격자점을 하나만 담는 세포는 여럿이지만 부피는 전부 같다 — 부피가 격자점 밀도의 역수 $1/n_{\text{격자점}}$ 로 정해지기 때문이다.
병진만으로 공간을 빈틈없이 채운다. 세포를 $\mathbf T$ 마다 복사하면 겹치지도 비지도 않는다.

원시 세포의 모양은 유일하지 않다 — 같은 격자에서 원시 벡터를 다르게 잡으면 다른 평행육면체가 나오지만, 셋 다 격자점 하나·부피 $V_c$ 다. 그림의 왼쪽이 2차원의 예다.

그림 7.1-3. 원시 세포는 여럿이지만 넓이는 하나다. 왼쪽: 같은 2차원 격자에서 원시 벡터를 세 가지로 잡은 것 — 평행사변형의 모양은 다르지만 넓이가 같고 격자점을 하나씩(꼭짓점 넷 × ¼) 담는다. 점선 세포는 격자점을 둘 담는 비원시 세포로 넓이가 두 배다. 오른쪽: 위그너-자이츠 세포의 작도 — 한 격자점에서 이웃 격자점들로 선을 긋고(가는 선) 각 선의 수직이등분선(점선)을 그으면, 그것들로 둘러싸인 가장 작은 영역(색칠)이 위그너-자이츠 세포다. 원시 세포이면서 격자의 대칭(여기서는 6회 회전)을 그대로 가진다.직접 작도

관습 세포 — 대칭을 보이려고 크게 잡는다

fcc·bcc처럼 대칭이 높은 격자의 원시 세포는 대칭이 안 보이는 찌그러진 능면체다. 그래서 격자점을 여럿 담더라도 대칭이 눈에 보이는 큰 세포를 관습 세포(conventional cell)로 쓴다. 입방 격자의 관습 세포는 모서리 $a$ 의 정육면체이고, 이 $a$ 가 격자 상수(lattice constant)다. 관습 세포가 담는 격자점 수는 위치별로 나눠 센다 — 꼭짓점 $\tfrac18$ , 모서리 위 $\tfrac14$ , 면 위 $\tfrac12$ , 내부 $1$ .

\begin{aligned} \text{sc:}\quad & 8\times\tfrac18=1 &&\Rightarrow V_c=a^3\\ \text{bcc:}\quad & 8\times\tfrac18+1=2 &&\Rightarrow V_c=\tfrac12a^3\\ \text{fcc:}\quad & 8\times\tfrac18+6\times\tfrac12=4 &&\Rightarrow V_c=\tfrac14a^3 \end{aligned}

원시 세포의 부피 $V_c$ 는 관습 세포 부피를 격자점 수로 나눈 것이다. 이 셈이 뒤에서 되풀이된다 — 원자 밀도는 “관습 세포당 원자 수 $\div a^3$ “이고, 관습 세포당 원자 수는 “격자점 수 $\times$ 기저 원자 수 $Z$ “다.

bcc와 fcc의 원시 벡터를 관습 세포의 축으로 적으면(Kittel Ch.1, Fundamental Types of Lattices):

\begin{aligned} \text{bcc:}\quad \mathbf a_1&=\tfrac a2(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}-\hat{\mathbf z}),& \mathbf a_2&=\tfrac a2(-\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),& \mathbf a_3&=\tfrac a2(\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z})\\[4pt] \text{fcc:}\quad \mathbf a_1&=\tfrac a2(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}),& \mathbf a_2&=\tfrac a2(\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),& \mathbf a_3&=\tfrac a2(\hat{\mathbf z}+\hat{\mathbf x}) \end{aligned}

bcc의 세 벡터는 꼭짓점에서 인접한 체심 세 개로 가는 벡터로 길이 $\tfrac{\sqrt3}2a$ , 서로 $109^\circ28'$ 이고, fcc의 세 벡터는 꼭짓점에서 인접한 면심 세 개로 가는 벡터로 길이 $\tfrac{a}{\sqrt2}$ , 서로 $60^\circ$ 다. 행렬식을 계산하면 bcc $V_c=\tfrac12a^3$ , fcc $V_c=\tfrac14a^3$ 이 나와 위의 셈과 맞는다 — 해 보면 원시 벡터가 맞게 잡혔는지 확인하는 가장 빠른 검산이다.

직관

수식적 직관 — 행렬식이 격자점 밀도를 준다. 세 벡터의 행렬식은 평행육면체의 부피이고 (1.2.1행렬과 행렬식), 원시 벡터를 어떻게 바꿔 잡아도 그 변환 행렬은 정수 성분에 행렬식 $\pm1$ (유니모듈러)이므로 부피가 변하지 않는다. 정수 행렬의 행렬식이 $\pm1$ 이라는 조건은 “역행렬도 정수 행렬”과 같고(1.2.4역행렬), 그것이 “새 벡터로도 옛 격자점을 전부 만들 수 있다”는 원시성의 대수적 표현이다. 원시 세포의 부피가 유일한 이유를 대수로 적으면 이 한 줄이다.

파라미터 연계 — $V_c$ 가 k-공간의 크기를 정한다. 7.2에서 역격자 원시 세포(= 제1 브릴루앙 영역)의 부피는 $(2\pi)^3/V_c$ 다. 실공간 세포가 작을수록 브릴루앙 영역이 크고, 그 영역이 담는 상태 수가 $N$ (결정의 원시 세포 수)이라는 셈(7.7.7)이 “밴드 하나에 원시 세포당 전자 두 개”를 준다. 실리콘의 원시 세포에 원자가 둘( $Z=2$ )이라 원자당 전자 4개 × 2 = 8개가 밴드 4개를 채우고, 그래서 Si의 가전자대가 4개인 것이다. 관습 세포(원자 8개)로 세면 이 셈이 틀린다.

위그너-자이츠 세포 — 대칭을 잃지 않는 원시 세포

원시 세포이면서 격자의 대칭을 그대로 갖는 세포가 있다. 한 격자점을 잡고, 그 점이 다른 어떤 격자점보다 가까운 공간 영역을 취한다 — 이것이 위그너-자이츠 세포(Wigner–Seitz cell)다. 작도는 그림의 오른쪽처럼 한다: 격자점에서 이웃 격자점들로 선분을 긋고, 각 선분의 수직이등분면을 세우고, 그 면들이 둘러싸는 가장 작은 다면체를 취한다. 가장 가까운 이웃만으로 끝나는 경우도 있고 (fcc), 두 번째 이웃의 면이 모서리를 잘라 내는 경우도 있다(bcc).

원시 세포다 — 격자점 하나를 담고 부피가 $V_c$ 이며, 병진으로 공간을 채운다.
격자의 점군 대칭을 전부 가진다 — 정의에 격자점 하나와 “거리”만 들어가서 축의 선택이 없기 때문이다. 평행육면체 원시 세포는 축을 골라야 하므로 대칭이 깨진다.
bcc 격자의 위그너-자이츠 세포는 깎은 팔면체(truncated octahedron) — 가장 가까운 이웃 8개가 주는 정육각형 면 8개와, 두 번째 이웃 6개가 주는 정사각형 면 6개. fcc 격자의 것은 마름모 십이면체(rhombic dodecahedron) — 가장 가까운 이웃 12개가 주는 마름모 면 12개.

이 작도가 이 장에 있는 이유는 7.2에 있다. 역격자에 같은 작도를 하면 제1 브릴루앙 영역이 나온다. fcc의 역격자가 bcc이므로 Si·GaAs의 브릴루앙 영역은 깎은 팔면체이고, 그 육각형 면의 중심이 $L$ 점, 정사각형 면의 중심이 $X$ 점이다 — Si의 전도대 최소점이 $X$ 근처, Ge의 것이 $L$ 에 있다는 문장(7.9.5)은 이 다면체의 어느 면을 말하는가로 읽어야 한다.

의문

의문 — 위그너-자이츠 세포는 왜 하필 “가장 가까운 점” 인가. 다른 정의(이를테면 “격자점을 중심으로 둔 최대 구”)로는 공간이 채워지지 않는다. 각 점의 영향권을 거리로 나누는 것(수학에서는 보로노이 분할)만이 겹침도 빈틈도 없이 공간을 나누면서 어떤 축도 고르지 않는다. 같은 작도가 다른 곳에서도 나온다 — 결정립계는 이웃 핵의 보로노이 경계로 근사되고(8.6), 원자 하나의 “몫”을 정할 때 전하 밀도를 위그너-자이츠 세포 안에서 적분하며(7.3의 응집 에너지, 7.10의 $r_s$ 파라미터), 전자 하나의 몫에 해당하는 구의 반지름 $r_s=(3/4\pi n)^{1/3}$ ( $n$ 은 전자 밀도)이 전자 밀도의 단위가 된다.

밀러 지수

결정면을 정수 셋으로 부르는 법

결정 안의 원자들이 놓인 평면 — 결정면(lattice plane) — 은 격자점 셋으로 정해진다. 그런데 한 평면을 지정하면 그것과 평행하고 등간격인 평면이 무한히 따라오므로, 지정하는 것은 평면 하나가 아니라 평행한 평면의 족이다. 그 족을 정수 셋 $(hkl)$ 로 부르는 규약이 밀러 지수(Miller index)이고, 만드는 순서는 셋이다(Kittel Ch.1, Index System for Crystal Planes).

평면이 세 축 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ 을 자르는 절편을 각 축의 격자 상수 단위로 읽는다. 평행하여 만나지 않으면 절편은 $\infty$ .
절편의 역수를 취한다. $\infty$ 의 역수는 $0$ .
같은 비를 가진 가장 작은 정수 셋으로 줄인다. 음수는 숫자 위에 막대를 긋는다 — $(\bar1 00)$ .

절편이 $(3,2,2)$ 면 역수가 $(\tfrac13,\tfrac12,\tfrac12)$ , 6을 곱해 $(233)$ . 절편이 $(1,\infty,\infty)$ 면 $(100)$ — 원점에서 $\mathbf a_1$ 만큼 떨어져 $\mathbf a_1$ 에 수직인(입방정에서) 면이다. 절편이 $(1,1,1)$ 이면 $(111)$ . 원점을 지나는 평면은 절편이 전부 0이라 규약이 안 먹으므로, 평행한 옆 평면으로 옮겨 읽는다 — 어차피 족을 부르는 이름이니 결과는 같다.

지수를 왜 역수로 잡는가. 절편 자체로 부르면 축에 평행한 평면의 절편이 $\infty$ 가 되어 정수가 안 되고, 더 근본적으로는 평면의 방정식이 절편의 역수로 쓰이기 때문이다. 절편이 $(p,q,s)$ 인 평면의 방정식은

\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{s}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad hx+ky+lz=\text{const}

이고, 좌변의 계수 $(h,k,l)$ 이 곧 밀러 지수다. 평면의 법선 방향이 계수에 들어 있다 — 입방정에서 $(hkl)$ 면의 법선은 $h\hat{\mathbf x}+k\hat{\mathbf y}+l\hat{\mathbf z}$ 다. 7.2에서 이 법선 벡터가 역격자 벡터 $\mathbf G=h\mathbf b_1+k\mathbf b_2+l\mathbf b_3$ 임이 밝혀지고, 밀러 지수는 “역격자의 좌표”라는 본래 정체를 얻는다. 지금은 역수를 취하는 이유가 “평면 = 법선 벡터로 부르는 것이 자연스럽고, 법선의 성분이 절편의 역수”라는 것만 챙긴다.

그림 7.1-4. 입방 결정의 (100)·(110)·(111) 면과 [100]·[110]·[111] 방향. (100)은 한 축을 1에서 자르고 나머지 둘에 평행한 면(정육면체의 면), (110)은 두 축을 1에서 자르는 면(면 대각선을 품는 면), (111)은 세 축을 1에서 자르는 면(꼭짓점 세 개를 잇는 정삼각형)이다. 오른쪽 아래는 세 방향 — 입방정에서만 [hkl]이 (hkl)의 법선이다. 면 간격은 지수가 커질수록 좁아진다: d₁₀₀ = a, d₁₁₀ = a/√2, d₁₁₁ = a/√3.직접 작도

방향 지수와 족 — 괄호 네 종류

결정 방향은 대괄호 $[uvw]$ 로 쓴다 — 원점에서 그 방향으로 가는 벡터 $u\mathbf a_1+v\mathbf a_2+w\mathbf a_3$ 의 성분을 가장 작은 정수로 줄인 것이다. $[100]$ 은 $\mathbf a_1$ 축, $[111]$ 은 체대각선, $[110]$ 은 면대각선이다. 대칭으로 서로 옮겨지는 면들을 한꺼번에 부를 때는 중괄호 $\{hkl\}$ , 방향들은 꺾쇠 $\langle uvw\rangle$ 다. 입방정에서 $\{100\}$ 은 정육면체의 여섯 면 $(100),(010),(001),(\bar100),(0\bar10),(00\bar1)$ 전부이고, $\langle111\rangle$ 은 체대각선 여덟 방향(부호까지 세면)이다.

괄호 넷과 막대는 처음 보면 반드시 헷갈리므로 한자리에 모은다.

표기	읽는 법	무엇인가	예
$(hkl)$	소괄호	결정면 하나(정확히는 평행한 면의 족)	$(100)$ 웨이퍼 면
$\{hkl\}$	중괄호	대칭으로 동등한 면들의 집합	$\{111\}$ = Si의 벽개면(서로 다른 면 4개)
$[uvw]$	대괄호	결정 방향 하나	$[110]$ 웨이퍼 플랫 방향
$\langle uvw\rangle$	꺾쇠	대칭으로 동등한 방향들의 집합	$\langle100\rangle$ = 6방향
$\bar h$	“바” (마이너스)	음의 지수. $-h$ 를 숫자 위 막대로	$(1\bar10)$ , $[\bar1\bar1\bar1]$
$(hkil)$	4지수(밀러-브라베)	육방정의 면. $i=-(h+k)$ 는 잉여	$(0001)$ 기저면, $(10\bar10)$
$d_{hkl}$	면 간격	$(hkl)$ 족의 인접 평면 간 거리	입방정 $a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$

세 가지를 주의한다. 첫째, $[hkl]$ 이 $(hkl)$ 에 수직인 것은 입방정에서만 성립한다. 축이 직교하지 않거나 길이가 다르면 $(110)$ 의 법선은 $[110]$ 이 아니다 — 육방정·정방정에서 이걸 가정하면 틀린다(일반 결정계의 법선은 역격자 벡터 $\mathbf G_{hkl}$ 이고 7.2가 준다). 둘째, $(200)$ 은 $(100)$ 과 같은 족이 아니다 — 가장 작은 정수로 줄이는 규약 때문에 결정면으로는 $(100)$ 으로 쓰지만, 회절(7.2)에서는 $(200)$ 반사가 “간격이 $a/2$ 인 면”의 뜻으로 따로 살아 있다. 셋째, 육방정의 4지수 표기 $(hkil)$ 에서 $i$ 는 정보를 더하지 않고 대칭으로 동등한 면들이 같은 꼴로 보이게 하려는 장치다 — $(10\bar10)$ 과 $(\bar1100)$ 이 같은 족임이 세 지수 $(100),(\bar110)$ 로는 보이지 않는다. GaN·SiC 문헌의 m면 $(10\bar10)$ , a면 $(11\bar20)$ , c면 $(0001)$ 이 이 표기다.

면 간격과 원자 밀도 — 지수가 클수록 성긴 면

입방정에서 $(hkl)$ 족의 인접 면 간격은

d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}

다. $(100)$ 은 $a$ , $(110)$ 은 $a/\sqrt2$ , $(111)$ 은 $a/\sqrt3$ — 지수가 클수록 면이 촘촘하게 놓인다. 단위 부피의 원자 수는 정해져 있으므로, 면이 촘촘하면 면 하나에 놓인 원자는 성기다. 한 면의 원자 면밀도 $\sigma_{hkl}$ 은 (브라베 격자에 기저 하나면) $\sigma=n_{\text{at}}\,d_{hkl}$ ( $n_{\text{at}}$ 은 단위 부피의 원자 수)로, 간격에 비례한다. 낮은 지수의 면일수록 원자가 빽빽하고, 그런 면이 결정의 겉면(성장면·벽개면)으로 나타난다 — 결정의 자연 면이 $(100)\cdot(110)\cdot(111)$ 같은 작은 정수인 이유다(브라베의 법칙).

실리콘( $a=5.431\,\text{Å}$ )의 세 주요 면에서 원자 면밀도와 끊어지는 결합 수를 세면 웨이퍼의 선택이 설명된다. 다이아몬드 구조(5절)의 관습 세포에서 직접 세면:

면	원자 면밀도 $\sigma$ (cm $^{-2}$ )	원자당 댕글링 본드	본드 면밀도 (cm $^{-2}$ )
$(100)$	$2/a^2=6.78\times10^{14}$	2	$1.36\times10^{15}$
$(110)$	$4/(\sqrt2a^2)=9.59\times10^{14}$	1	$9.59\times10^{14}$
$(111)$	$4/(\sqrt3a^2)=7.83\times10^{14}$	1	$7.83\times10^{14}$

$(111)$ 면이 끊어지는 결합이 가장 적어 표면 에너지가 가장 낮고, 그래서 Si의 벽개면은 $\{111\}$ 이다 ( $(100)$ 웨이퍼는 표면에 수직한 $\{110\}$ 으로 곧게 갈라지는 일도 흔하다 — 두께 방향으로 가장 짧은 길이기 때문이다). 반면 CMOS가 $(100)$ 웨이퍼를 쓰는 것은 원자당 결합 둘이 끊어지면서도 산화막과의 계면에서 결합이 가장 깨끗하게 마무리되어 계면 준위 밀도가 가장 낮기 때문이고(13부), 열산화 속도가 $(111)$ 에서 $(100)$ 보다 빠른 것(선형 속도 상수 약 1.7배)은 산화 반응에 참여할 표면 결합의 밀도 차이 때문이다(18.6). KOH 습식 식각이 $(100)$ 에서는 빠르고 $(111)$ 에서는 수백 배 느린 것(18.17)도 같은 뿌리이고, 그 결과 $(100)$ 웨이퍼에 파인 홈의 벽은 $(111)$ 면이 되어 표면과 $54.74^\circ$ ( $=\arccos(1/\sqrt3)$ , $[100]$ 과 $[111]$ 의 사잇각)를 이룬다.

직관

파라미터 연계 — 웨이퍼의 플랫과 노치. $(100)$ 웨이퍼의 표면 위에서 $\{111\}$ 면들은 $\langle110\rangle$ 방향의 선으로 교차한다. 그래서 웨이퍼의 기준 플랫(또는 노치)을 $[110]$ 에 맞추고 칩의 변을 플랫에 평행하게 자른다 — 다이싱(18.24)이 벽개 방향을 따라가야 깨끗이 갈라지고, MOSFET 채널이 $\langle110\rangle$ 을 향하도록 놓는 것이 관습이 된다. 채널 방향을 $\langle100\rangle$ 으로 $45^\circ$ 돌리면 정공 이동도가 오르는 것은 유효질량의 방향 의존성(7.9.4) 때문이고, 그런 “회전 기판”이 실제로 쓰였다. 웨이퍼 하나에 새겨진 플랫의 방향이 이 장의 밀러 지수와 7.9의 등에너지면을 연결한다.

형태적 직관 — 지수와 모양. $(hkl)$ 을 역격자의 점으로 보면 원점에서 먼 점일수록 실공간에서는 간격이 좁은 면이다 — 크기가 서로 역이다. 그래서 낮은 지수 면은 넓고 빽빽하며 결정의 자연 면이 되고, 높은 지수 면은 좁고 성겨서 계단(step)과 꺾임(kink)으로 이루어진 거친 면(vicinal surface)이 된다(9.1). SiC 에피택시가 일부러 $(0001)$ 에서 $4^\circ$ 기울인 기판을 쓰는 것(8절·18.13)은 그 계단을 성장의 발판으로 쓰기 위해서다.

대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광)

입방 격자 셋 — sc·bcc·fcc

원자 하나짜리 기저를 입방 격자에 얹은 셋이 금속 결정의 대부분이다.

단순 입방(sc) — 정육면체 꼭짓점에만 원자. 이웃 6개. 원소 결정으로는 폴로늄뿐이다 — 너무 성겨서(충진율 0.52, 6절) 금속 결합이 선호하지 않는다.
체심 입방(bcc) — 꼭짓점 8개 + 중심 1개. 이웃 8개, 관습 세포당 원자 2개. 알칼리 금속 (Na $4.23$ , K $5.23\,\text{Å}$ ), Fe( $2.87$ ), Cr, Mo( $3.15$ ), W( $3.16$ ), Ta, Nb. 컨택 플러그와 게이트 금속으로 쓰는 W·Mo, 배리어 금속 Ta가 여기 있다.
면심 입방(fcc) — 꼭짓점 8개 + 면 중심 6개. 이웃 12개, 관습 세포당 원자 4개. Cu( $3.61$ ), Al( $4.05$ ), Au( $4.08$ ), Ag( $4.09$ ), Ni( $3.52$ ), Pt( $3.92$ ), Pb( $4.95\,\text{Å}$ ). 배선 금속 전부가 fcc다.

그림 7.1-5. 입방 격자 세 개의 관습 세포. 단순 입방은 꼭짓점 8개(각 ⅛)로 격자점 1개, 체심 입방은 중심에 하나 더해 2개, 면심 입방은 면 중심 6개(각 ½)를 더해 4개를 담는다. 세 정육면체가 같은 격자에 점을 더해 넣은 것처럼 보이지만 브라베 격자로서는 서로 다르다 — 이웃 수가 6·8·12로 다르고, 원시 세포는 각각 정육면체·109.5° 능면체·60° 능면체다.직접 작도

NaCl과 CsCl — 두 원자짜리 기저의 가장 단순한 예

NaCl 구조는 fcc 격자에 기저 Na $^+$ $(0,0,0)$ , Cl $^-$ $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ 을 얹은 것이다. 관습 세포에 Na 4개·Cl 4개, 각 이온은 반대 이온 6개에 둘러싸인다(팔면체 배위). 두 이온이 각각 fcc 부격자를 이루고 두 부격자가 $\tfrac a2$ 만큼 어긋나 있다고 보아도 된다. NaCl( $5.63$ ), LiF( $4.02$ ), KCl( $6.29$ ), MgO( $4.20$ ), PbS( $5.92\,\text{Å}$ ) — 대체로 이온 결합 결정이다.

CsCl 구조는 단순 입방 격자에 기저 Cs $^+$ $(0,0,0)$ , Cl $^-$ $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ 이다. 정육면체 중심의 이온이 꼭짓점 이온 8개에 둘러싸인다(입방 배위). bcc처럼 보이지만 bcc가 아니다 — 중심과 꼭짓점의 원자가 다르므로 중심에서 본 배열과 꼭짓점에서 본 배열이 다르고, 격자는 sc다. CsCl( $4.11$ ), TlBr, CuZn( $\beta$ -황동, $2.94\,\text{Å}$ ), AlNi. 6절에서 NaCl과 CsCl의 갈림이 이온 반지름의 비로 정해짐을 본다.

조밀 충진 — HCP와 FCC는 같은 층을 다르게 쌓은 것

같은 크기의 구를 가장 빽빽하게 놓는 방법은 한 층에서는 하나뿐이다 — 각 구가 여섯 구에 둘러싸인 육각 배열(A층). 두 번째 층은 A층의 오목한 자리에 올리는데, 오목한 자리는 삼각형 두 종류(B와 C)가 있고 한 층은 그중 한 종류만 쓸 수 있다. 세 번째 층에서 갈림이 생긴다 — A 위에 다시 놓으면 $ABABAB\cdots$ , C에 놓으면 $ABCABC\cdots$ . 앞이 육방 조밀 충진(hcp), 뒤가 면심 입방(fcc)이다. 둘 다 이웃 12개(같은 층 6, 위 3, 아래 3), 충진율 $0.740$ 으로 같고, 다른 것은 세 번째 층의 위치뿐이다.

그림 7.1-6. 조밀 충진의 두 방법. 왼쪽: 한 층(A, 실선 원)의 오목한 자리는 B(●)와 C(×) 두 종류이고, 다음 층은 그중 하나를 골라야 한다. 오른쪽: 세 번째 층을 A 위에 되돌리면 ABAB…의 육방 조밀 충진(hcp), C에 놓으면 ABCABC…의 면심 입방(fcc)이다. fcc를 이렇게 보면 조밀 층이 정육면체의 (111) 면이고, 층의 쌓임 방향이 [111]이다. 두 구조 모두 이웃이 12개, 충진율이 0.740으로 같다 — 차이는 세 번째 층에서 처음 나타나고, 그것이 8절의 폴리타입이다.직접 작도

fcc를 이렇게 보면 조밀 층이 $(111)$ 면이고 쌓임 방향이 $[111]$ 이다. fcc는 브라베 격자이므로 원자 하나짜리 기저로 되지만, hcp는 브라베 격자가 아니다 — A층 원자와 B층 원자의 주위 환경이 서로 거울상이라 병진만으로 겹쳐지지 않는다. hcp는 육방 격자에 원자 둘짜리 기저 $(0,0,0)$ , $(\tfrac23,\tfrac13,\tfrac12)$ 를 얹은 것이다. 구가 정말로 접한다면 $c/a=\sqrt{8/3}=1.633$ 인데, 실제 금속은 조금 벗어난다 — Mg $1.623$ , Ti $1.586$ , Co $1.622$ , Zn $1.861$ , Cd $1.886$ . 이상값에서 멀수록 결합에 방향성이 있다는 신호다.

다이아몬드 구조 — 실리콘의 구조

fcc 격자에 같은 원자 둘짜리 기저 $(0,0,0)$ , $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 를 얹은 것이 다이아몬드 구조다. 관습 세포에 원자 $4\times2=8$ 개. 두 번째 원자는 정육면체 체대각선의 $\tfrac14$ 지점에 있고, 관습 세포 안에 네 개가 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ , $(\tfrac34,\tfrac34,\tfrac14)$ , $(\tfrac34,\tfrac14,\tfrac34)$ , $(\tfrac14,\tfrac34,\tfrac34)$ 에 들어간다. 각 원자는 정사면체 꼭짓점 방향의 이웃 4개와 결합하고, 결합 길이는 체대각선의 $\tfrac14$ :

d_{\text{nn}}=\frac{\sqrt3}{4}\,a \qquad(\text{Si: }2.35\,\text{Å},\quad\text{C: }1.54\,\text{Å})

두 번째 이웃은 12개, 거리 $a/\sqrt2$ — fcc의 가장 가까운 이웃이 다이아몬드 구조에서는 두 번째 이웃이다. 이 구조를 “서로 $\tfrac14$ 체대각선만큼 어긋난 fcc 격자 둘” 로 보아도 된다. C( $3.567$ ), Si( $5.431$ ), Ge( $5.658$ ), $\alpha$ -Sn( $6.49\,\text{Å}$ ) — 주기율표 IV족이 전부 이 구조다.

그림 7.1-7. 다이아몬드 구조와 섬아연광 구조. 왼쪽: fcc 격자점(빈 원)과 체대각선 ¼ 지점의 두 번째 기저 원자(채운 원) — 각 내부 원자가 정사면체 꼭짓점 방향의 이웃 넷과 결합하고, 결합 길이는 √3a/4다. 관습 세포에 원자 8개, 충진율은 0.34로 fcc의 절반도 안 된다. 오른쪽: 같은 자리에 두 종류의 원자를 놓은 섬아연광(GaAs) — 결합 하나하나가 Ga→As 방향을 가져 반전 대칭이 없고, [111]과 [1̄1̄1̄]이 서로 다른 방향이 된다.직접 작도

다이아몬드 구조는 조밀 충진이 아니다. 충진율 $0.34$ 로 fcc의 절반도 안 되고, 이웃이 12개가 아니라 4개다. 구를 빽빽이 쌓는 논리로는 절대 나오지 않는 구조이고, 그것이 만들어지는 이유는 결합의 방향성 — $sp^3$ 혼성의 네 결합이 $109.47^\circ$ 를 이루려는 요구(7.3.4)가 밀도를 이긴다. 이 열린 구조가 반도체 공정의 여러 사실을 정한다.

직관

파라미터 연계 — 격자 상수 하나에서 나오는 실리콘의 숫자들. $a=5.431\,\text{Å}$ 를 넣으면:

원자 밀도 $n_{\text{at}}=8/a^3=8/(5.431\times10^{-8}\,\text{cm})^3=4.99\times10^{22}\,\text{cm}^{-3}$ . 도핑 농도가 $10^{15}\,\text{cm}^{-3}$ 이면 원자 5천만 개에 하나(20 ppb), $10^{18}$ 이면 20 ppm, $10^{20}$ 이면 0.2 %다 — 축퇴 도핑조차 원자 500개 중 하나다. 11부의 $n,p$ 와 $N_D,N_A$ 를 읽을 때 이 눈금을 갖고 있어야 한다.
질량 밀도 $\rho=n_{\text{at}}M/N_A=4.99\times10^{22}\times28.086\times1.6605\times10^{-24} =2.33\,\text{g/cm}^3$ . 측정값 $2.329$ 와 맞는다 — 결정 구조가 맞는지 확인하는 가장 오래된 검산이다.
결합 길이 $\sqrt3a/4=2.35\,\text{Å}$ , 공유 결합 반지름 $1.18\,\text{Å}$ .
표면 원자 밀도 — 4절의 표. $(100)$ 에서 $6.78\times10^{14}\,\text{cm}^{-2}$ 는 게이트 산화막 계면의 댕글링 본드 수, 계면 준위 밀도 $D_{it}\sim10^{10}\,\text{cm}^{-2}\text{eV}^{-1}$ 가 “십만 결합 중 하나” 라는 뜻임을 준다.
열린 구조의 빈자리. 충진율 0.34는 원자 사이에 원자 크기의 빈 자리가 있다는 뜻이다. Si 격자의 가장 큰 틈(정사면체 자리 $T$ , 이를테면 $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ )의 반지름은 Si 원자 반지름과 비슷하다. 그래서 Li·Cu·Fe·H·O가 격자 사이로 빠르게 확산하고(8.3·18.7), 초크랄스키 결정의 산소가 격자간 자리에 $10^{18}\,\text{cm}^{-3}$ 씩 녹아 들어가며(18.3.8), 이온주입이 만든 자기 격자간 원자가 도펀트를 실어 나른다(18.8). 금속(fcc, 0.74)에는 그런 자리가 없다.

섬아연광 구조 — GaAs의 구조

다이아몬드 구조의 두 부격자에 서로 다른 원자를 놓으면 섬아연광(zincblende, 입방 ZnS) 구조다. fcc 격자에 기저 Ga $(0,0,0)$ , As $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ . 각 Ga는 As 4개에, 각 As는 Ga 4개에 정사면체로 둘러싸인다. III–V(GaAs $5.653$ , GaP $5.451$ , InP $5.869$ , InAs $6.058$ , AlAs $5.661$ , InSb $6.479$ ), II–VI(ZnS $5.41$ , CdTe $6.48$ ), 그리고 3C-SiC( $4.360\,\text{Å}$ ) — 화합물 반도체의 대부분이다.

기하는 다이아몬드와 같지만 대칭이 다르다. 다이아몬드 구조에는 결합의 중점에 반전 중심이 있다 — 결합 중점에서 $\mathbf r\to-\mathbf r$ 을 하면 Si가 Si로 간다. 섬아연광에서는 그 조작이 Ga를 As로 보내므로 반전 대칭이 없다. 결과로 $[111]$ 과 $[\bar1\bar1\bar1]$ 이 서로 다른 방향이 된다 — 하나는 Ga에서 As로 결합이 향하는 방향, 다른 하나는 그 반대다. 그래서 GaAs $(111)$ 웨이퍼에는 Ga로 끝나는 $(111)$ A 면과 As로 끝나는 $(\bar1\bar1\bar1)$ B 면이 따로 있고, 식각 속도와 에피택시 거동이 다르다. 반전 대칭의 유무는 7절에서 물성으로 이어진다.

같은 논리로 hcp 쌓임에 두 원자를 놓은 것이 우르츠광(wurtzite) 구조다 — 섬아연광이 $ABC$ 쌓임, 우르츠광이 $AB$ 쌓임이다. GaN( $a=3.189$ , $c=5.185\,\text{Å}$ ), AlN, InN, ZnO, CdS, 2H-SiC. 우르츠광의 $c$ 축은 극성 축이고, 그 극성이 GaN HEMT의 2차원 전자 가스를 만드는 자발 분극이다 (17.10). 섬아연광과 우르츠광의 관계는 8절의 폴리타입으로 이어진다.

충진율과 배위수

정의 — 원자를 서로 닿는 강체 구로 본다

배위수(coordination number)는 한 원자의 가장 가까운 이웃의 수다. 충진율(atomic packing fraction)은 원자를 가장 가까운 이웃과 서로 닿는 강체 구로 보았을 때, 구가 차지하는 부피의 비율이다:

f=\frac{(\text{세포당 원자 수})\times\tfrac43\pi r^3}{V_{\text{세포}}}

여기서 $r$ 은 구의 반지름(원자 반지름)으로, “가장 가까운 이웃과 닿는다”는 조건 $2r=d_{\text{nn}}$ 에서 격자 상수 $a$ 로 정해진다. 어느 방향에서 구가 닿는지가 구조마다 다르고, 그것이 계산의 전부다.

그림 7.1-8. 구가 닿는 방향이 구조마다 다르다 — 각 구조의 관습 세포를 닿는 방향을 품는 평면으로 자른 단면. 단순 입방은 모서리를 따라(2r = a), 체심 입방은 체대각선을 따라(4r = √3a, (110) 단면), 면심 입방은 면대각선을 따라(4r = √2a, (100) 단면), 다이아몬드는 체대각선의 ¼ 구간에서(2r = √3a/4) 닿는다. 이 한 가지 관계식이 반지름 r을 a로 바꾸고, 그것이 충진율 0.52·0.68·0.74·0.34를 준다.직접 작도

\begin{aligned} \text{sc:}&\quad 2r=a &&\Rightarrow f=\frac{1\cdot\tfrac43\pi(a/2)^3}{a^3}=\frac{\pi}{6}=0.524\\[2pt] \text{bcc:}&\quad 4r=\sqrt3\,a &&\Rightarrow f=\frac{2\cdot\tfrac43\pi(\sqrt3a/4)^3}{a^3}=\frac{\sqrt3\,\pi}{8}=0.680\\[2pt] \text{fcc:}&\quad 4r=\sqrt2\,a &&\Rightarrow f=\frac{4\cdot\tfrac43\pi(\sqrt2a/4)^3}{a^3}=\frac{\pi}{3\sqrt2}=0.740\\[2pt] \text{다이아몬드:}&\quad 2r=\tfrac{\sqrt3}{4}a &&\Rightarrow f=\frac{8\cdot\tfrac43\pi(\sqrt3a/8)^3}{a^3}=\frac{\sqrt3\,\pi}{16}=0.340 \end{aligned}

hcp는 이상적 $c/a$ 에서 fcc와 같은 $0.740$ 이다. $0.7405$ 는 같은 크기의 구를 쌓을 수 있는 최대 밀도다 — 케플러가 1611년에 추측했고 헤일스가 1998년(형식 증명은 2014년)에 증명했다. fcc·hcp, 그리고 8절의 어떤 폴리타입도 이 값을 넘지 못한다. 무작위로 부은 구(비정질 금속의 모형, 7.15)는 약 $0.64$ 에서 멈춘다.

구조	격자	관습 세포당 원자	배위수	최근접 거리	2차 이웃 (거리)	충진율
sc	sc	1	6	$a$	12 ( $\sqrt2a$ )	0.524
bcc	bcc	2	8	$\tfrac{\sqrt3}{2}a=0.866a$	6 ( $a$ )	0.680
fcc	fcc	4	12	$\tfrac{a}{\sqrt2}=0.707a$	6 ( $a$ )	0.740
hcp	육방 + 기저 2	(원시 2)	12	$a$	6 ( $\sqrt2a$ )	0.740
다이아몬드	fcc + 기저 2	8	4	$\tfrac{\sqrt3}{4}a=0.433a$	12 ( $\tfrac{a}{\sqrt2}$ )	0.340
섬아연광	fcc + 기저 2	8 (4+4)	4	$\tfrac{\sqrt3}{4}a$	12 (같은 종)	0.340 (같은 크기면)
NaCl	fcc + 기저 2	8 (4+4)	6	$\tfrac a2$	12 (같은 종, $\tfrac{a}{\sqrt2}$ )	이온 크기 비에 따라
CsCl	sc + 기저 2	2 (1+1)	8	$\tfrac{\sqrt3}{2}a$	6 (같은 종, $a$ )	이온 크기 비에 따라

직관

물리적 직관 — 배위수는 결합의 성격을 읽는 눈금이다. 금속 결합과 반데르발스 결합은 방향이 없으므로 이웃을 많이 둘수록 에너지가 낮다 — 12(fcc·hcp)나 8(bcc)이 나온다. 공유 결합은 방향이 있어 결합 수가 원자가로 정해진다 — IV족은 4(다이아몬드), V족(As·Sb·Bi)은 3(주름진 층), VI족 (Se·Te)은 2(나선 사슬). 이온 결합은 양·음이온의 크기 비가 정한다(아래). 표의 배위수 열은 곧 7.3의 결합 종류 열이다.

의문 — 왜 어떤 금속은 fcc이고 어떤 금속은 bcc인가. 충진율만 보면 fcc(0.74)가 언제나 bcc(0.68)보다 유리해야 하는데, 알칼리 금속과 W·Mo·Fe는 bcc다. 강체 구 모형이 답할 수 없는 질문이다 — 답은 전자 구조에 있고(7.3·7.8), 강체 구 모형의 첫 번째 한계가 여기서 드러난다. 철이 $912^\circ\text{C}$ 에서 bcc에서 fcc로, $1394^\circ\text{C}$ 에서 다시 bcc로 바뀌는 것은 자유 에너지의 두 항(결합 에너지와 진동 엔트로피, 8.4·8.7)이 온도에 따라 경쟁하기 때문이다.

이온 결정 — 반지름 비가 구조를 고른다

두 종류의 이온이 있으면 작은 이온(보통 양이온, 반지름 $r$ )이 큰 이온(음이온, $R$ )들 사이의 틈에 들어간다. 작은 이온이 큰 이온들과 동시에 닿을 수 있는 가장 작은 비가 배위수마다 다르다 — 틈이 작은 이온보다 크면 작은 이온이 틈 안에서 흔들리고 큰 이온끼리만 닿아 정전 에너지가 손해다.

\begin{aligned} \text{정사면체(4배위):}&\quad r+R=R\sqrt{3/2} &&\Rightarrow\ \frac rR\ge\sqrt{\tfrac32}-1=0.225\\[2pt] \text{팔면체(6배위):}&\quad r+R=R\sqrt2 &&\Rightarrow\ \frac rR\ge\sqrt2-1=0.414\\[2pt] \text{입방(8배위):}&\quad r+R=R\sqrt3 &&\Rightarrow\ \frac rR\ge\sqrt3-1=0.732 \end{aligned}

각 식은 “큰 이온끼리 닿은 채로 그 틈의 중심에서 큰 이온 중심까지의 거리” 를 적은 것이다 — 정사면체 틈은 모서리 $2R$ 인 정사면체의 중심에서 꼭짓점까지( $2R\sqrt{3/8}=R\sqrt{3/2}$ ), 팔면체 틈은 모서리 $2R$ 인 팔면체의 중심에서 꼭짓점까지( $R\sqrt2$ ), 입방 틈은 모서리 $2R$ 인 정육면체의 중심에서 꼭짓점까지( $R\sqrt3$ ). $r/R$ 이 $0.732$ 를 넘으면 CsCl(8배위), $0.414\sim0.732$ 면 NaCl(6배위), $0.225\sim0.414$ 면 섬아연광(4배위) — 이것이 반지름 비 규칙이다. Cs $^+$ /Cl $^-$ $=1.67/1.81=0.92$ 는 CsCl, Na $^+$ /Cl $^-$ $=1.02/1.81=0.56$ 은 NaCl, Zn $^{2+}$ /S $^{2-}$ $=0.74/1.84=0.40$ 은 섬아연광 — 규칙대로다(이온 반지름은 7.3.6의 Shannon 값). 다만 GaAs·InP 같은 III–V는 이온 결정이 아니라 공유 결합이 주이므로 이 규칙이 아니라 $sp^3$ 의 방향성이 4배위를 정한다.

틈새 자리 — 원자가 아닌 것이 들어가는 곳

fcc 격자에는 두 종류의 틈이 있다. 팔면체 자리는 정육면체 중심 $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ 과 모서리 중점 12개(각 $\tfrac14$ )로 세포당 4개, 반지름 $0.414R$ . 정사면체 자리는 $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 형 위치 8개, 반지름 $0.225R$ . 다이아몬드 구조는 fcc의 정사면체 자리 8개 중 4개를 두 번째 기저 원자로 채운 것이고, NaCl은 팔면체 자리 4개를 전부 채운 것이며, CaF₂(형석)는 정사면체 자리 8개를 전부 채운 것이다 — 서로 다른 세 구조가 “fcc의 어느 틈을 채웠나” 로 통일된다. 다이아몬드 구조의 나머지 틈(정사면체 자리 4개 + 팔면체 자리 4개)이 5절에서 말한 격자간 원자의 자리이고, bcc 철의 팔면체 자리(반지름 $0.155R$ 로 작고 찌그러졌다)에 탄소가 들어가 격자를 비트는 것이 강(鋼)의 경화 기구다(8.7).

의문

의문 — “원자 반지름” 은 정해진 값인가. 아니다. 강체 구 모형에서 반지름은 “가장 가까운 이웃 거리의 절반” 으로 정의된 양이고, 같은 원자라도 결합 종류와 배위수에 따라 다르다 — Si의 공유 결합 반지름은 $1.18\,\text{Å}$ 이지만 Si $^{4+}$ 의 이온 반지름은 $0.40\,\text{Å}$ , 금속 반지름 (12배위 환산)은 $1.3\,\text{Å}$ 남짓이다. 배위수가 커질수록 같은 원자의 반지름이 커지는 경향(8배위 → 12배위에서 약 3 %)이 있어, 표에서 값을 가져올 때는 어느 배위수의 값인지 확인해야 한다(7.3.6). 그러므로 충진율도 “관습적 정의 아래의 수” 이지 측정량이 아니다 — 측정되는 것은 $a$ 와 밀도이고, 충진율은 그것을 읽는 한 가지 방식이다.

점군과 공간군

대칭 조작 — 결정을 자기 자신으로 보내는 것

결정을 옮기거나 돌리거나 비춰서 옮기기 전과 구별할 수 없게 만드는 조작을 대칭 조작이라 한다. 병진 $\mathbf T$ 는 이미 보았다. 한 점을 고정한 채 하는 조작이 네 종류 더 있다.

조작	기호 (헤르만-모갱 / 쇤플리스)	무엇을 하나	손대칭
회전	$n$ / $C_n$	축 둘레로 $360^\circ/n$ 회전	보존
거울	$m$ / $\sigma$	평면에 대한 반사	뒤집음
반전	$\bar1$ / $i$	한 점에 대해 $\mathbf r\to-\mathbf r$	뒤집음
회전 반전	$\bar n$ / ( $S_{n}$ 계열)	$360^\circ/n$ 회전 후 반전	뒤집음

“손대칭” 열은 그 조작이 오른손을 왼손으로 바꾸는가다 — 회전은 바꾸지 않고, 거울·반전·회전 반전은 바꾼다. 나중에 “반전 대칭이 있는가” 가 물성을 가르는 기준이 되므로 이 열을 눈여겨봐 둔다. 결정학은 헤르만-모갱 기호를, 분자 분광학과 군론 교재는 쇤플리스 기호를 쓴다(1.13.10이산군과 점군). 이 장은 결정학 관례대로 헤르만-모갱을 쓰고 쇤플리스를 괄호에 적는다.

한 점을 고정하는 대칭 조작들은 모아 놓으면 군을 이룬다 — 두 조작을 이어 해도 대칭 조작이고, 항등 조작이 있으며, 되돌리는 조작이 있다(1.13.7군의 정의와 부분군). 이 군이 결정의 점군(point group)이다.

결정학적 제한 — 5회 회전축은 없다

임의의 대상은 어떤 회전 대칭도 가질 수 있지만(원은 무한 회전 대칭), 격자와 양립하는 회전은 $n=1,2,3,4,6$ 뿐이다. 증명은 짧다. 회전축에 수직인 방향에서 가장 짧은 격자 병진 벡터를 $\mathbf T$ 라 하자. 축 둘레로 $+\theta$ 와 $-\theta$ 돌린 $\mathbf T'$ , $\mathbf T''$ 도 격자 벡터이고(회전이 대칭이므로), 둘의 합

\mathbf T'+\mathbf T''=2\cos\theta\;\mathbf T

도 격자 벡터다. 이것은 $\mathbf T$ 와 평행하므로 $\mathbf T$ 의 정수배여야 한다 — $\mathbf T$ 가 그 방향의 가장 짧은 격자 벡터이기 때문이다. 따라서 $2\cos\theta=m\in\mathbb Z$ 이고, $\lvert\cos\theta\rvert\le1$ 에서 $m\in\{-2,-1,0,1,2\}$ , 곧

\theta\in\{180^\circ,\,120^\circ,\,90^\circ,\,60^\circ,\,360^\circ\} \quad\Longleftrightarrow\quad n\in\{2,3,4,6,1\}

이다. $n=5$ 는 $2\cos72^\circ=0.618$ 이 정수가 아니라서 탈락하고, $n\ge7$ 도 마찬가지다. 정오각형으로 평면을 빈틈없이 덮을 수 없다는 사실의 대수적 표현이다. 이 제한이 2절의 “2차원 5종, 3차원 14종” 을 유한하게 만든 근원이고, 눈 결정이 육각형이지 오각형이 아닌 이유다.

그림 7.1-9. 5회 회전이 격자와 양립하지 못하는 이유. 축에 수직한 방향의 가장 짧은 격자 벡터 T를 ±θ만큼 돌린 T′, T″도 격자 벡터여야 하고, 그 합 2cosθ·T도 격자 벡터여야 한다. 왼쪽(θ = 60°)은 합이 정확히 T라서 통과하고, 오른쪽(θ = 72°)은 합이 0.618T가 되어 T보다 짧은 격자 벡터가 생기므로 모순이다. 허용되는 것은 2cosθ가 정수인 다섯 각뿐이다.직접 작도

의문

의문 — 그런데 5회 대칭의 회절 무늬가 관측되었다. 1982년 셰흐트만이 급랭한 Al–Mn 합금에서 10회 대칭의 전자 회절 무늬를 보았다(2011년 노벨 화학상). 위 증명은 틀리지 않았다 — 틀린 것은 “질서 있는 고체 = 주기적” 이라는 전제였다. 준결정(quasicrystal)은 병진 대칭이 없으면서도 장거리 질서(회절점이 날카롭다)를 가진다 — 펜로즈 타일처럼 두 종류 이상의 단위가 비주기적이되 결정적(deterministic)으로 배열된 것이다. 국제결정학연합은 1992년 결정의 정의를 “본질적으로 불연속인 회절 무늬를 주는 고체” 로 바꾸었다. 이 장의 격자 이론은 그러므로 “주기 결정” 의 이론이고, 반도체는 (지금까지는) 전부 주기 결정이다.

32 점군과 7 결정계

허용되는 회전( $1,2,3,4,6$ ), 거울, 반전, 회전 반전을 한 점에서 서로 모순 없이 조합하는 방법은 32가지뿐이다. 이것이 32 결정학적 점군이고, 각 점군이 요구하는 최소 대칭에 따라 7 결정계로 묶인다 — 2절의 “7 결정계” 가 여기서 대칭으로 다시 정의된다.

결정계	최소 대칭	점군 (헤르만-모갱)	수	격자의 점군(완면군)
삼사정	없음(또는 $\bar1$ )	$1,\ \bar1$	2	$\bar1$ ( $C_i$ )
단사정	2회축 하나 또는 거울 하나	$2,\ m,\ 2/m$	3	$2/m$ ( $C_{2h}$ )
사방정	서로 수직인 2회축 셋(또는 그에 준함)	$222,\ mm2,\ mmm$	3	$mmm$ ( $D_{2h}$ )
정방정	4회축 하나	$4,\ \bar4,\ 4/m,\ 422,\ 4mm,\ \bar42m,\ 4/mmm$	7	$4/mmm$ ( $D_{4h}$ )
삼방정	3회축 하나	$3,\ \bar3,\ 32,\ 3m,\ \bar3m$	5	$\bar3m$ ( $D_{3d}$ )
육방정	6회축 하나	$6,\ \bar6,\ 6/m,\ 622,\ 6mm,\ \bar6m2,\ 6/mmm$	7	$6/mmm$ ( $D_{6h}$ )
입방정	3회축 넷(체대각선)	$23,\ m\bar3,\ 432,\ \bar43m,\ m\bar3m$	5	$m\bar3m$ ( $O_h$ )

기호 읽는 법. 헤르만-모갱 기호는 결정계마다 정해진 방향 순서로 그 방향의 대칭 요소를 적는다. 입방정은 (좌표축, 체대각선, 면대각선) 순이라 $m\bar3m$ 은 “좌표축에 수직한 거울, 체대각선에 3회 회전 반전축, 면대각선에 수직한 거울” 이고, $\bar43m$ 은 “좌표축에 4회 회전 반전축, 체대각선에 3회축, 면대각선에 수직한 거울” 이다. $4/m$ 은 4회축과 그에 수직한 거울, $4mm$ 은 4회축과 그것을 품는 거울면 두 벌이다. 입방정을 정하는 것이 4회축이 아니라 체대각선의 3회축 넷이라는 점을 기억해 둘 만하다 — $23$ 과 $m\bar3$ 은 4회축이 없는 입방 점군이다(황철석 FeS₂가 $m\bar3$ ).

마지막 열의 완면군(holohedry)은 격자 자체의 점군 — 그 결정계에서 가장 큰 점군이다. 결정의 점군은 언제나 그 격자 완면군의 부분군이고, 기저가 대칭을 낮춘다. 5절의 예로:

fcc 격자의 완면군 $m\bar3m$ ( $O_h$ , 위수 48). 원자 하나짜리 기저(Cu·Al)는 그대로 $m\bar3m$ .
다이아몬드 구조(Si) — 기저 둘이지만 결합 중점의 반전 중심이 살아 있어 $m\bar3m$ .
섬아연광(GaAs) — Ga와 As가 달라 반전이 죽고 $\bar43m$ ( $T_d$ , 위수 24). 4회축도 사라져 4회 회전 반전축만 남는다.
우르츠광(GaN) — $6mm$ ( $C_{6v}$ , 위수 12). 6회축을 품는 거울면들뿐, 축에 수직한 거울이 없다 — $c$ 축의 위와 아래가 다르다(극성).
hcp 금속·흑연 — $6/mmm$ ( $D_{6h}$ ).

직관

공간적 직관 — 대칭이 낮을수록 “다른 방향” 이 많아진다. 점군의 위수(원소 수)는 “같은 것으로 보이는 방향의 수” 다. $m\bar3m$ 의 48은 정육면체에서 $\langle100\rangle$ 6개· $\langle110\rangle$ 12개· $\langle111\rangle$ 8개가 각각 하나의 족으로 묶이게 한다. $\bar43m$ 으로 내려가면 $[111]$ 과 $[\bar1\bar1\bar1]$ 이 갈라져 $\langle111\rangle$ 이 두 족(A면·B면)이 되고, $6mm$ 으로 가면 $[0001]$ 과 $[000\bar1]$ 이 갈라진다(Ga면·N면). 7.9에서 Si 전도대의 골짜기가 여섯 개인 것은 $\langle100\rangle$ 이 $m\bar3m$ 아래 하나의 족(6방향)이기 때문이고, Ge의 $L$ 골짜기가 넷인 것은 $\langle111\rangle$ 8방향이 브릴루앙 영역 경계에서 둘씩 같은 점이기 때문이다. 대칭이 등가 방향의 수를 세어 주고, 그 수가 상태밀도 유효질량에 들어간다(7.9.4).

공간군 — 병진까지 합치면 230

점군 조작과 격자 병진을 전부 모은 군이 공간군(space group)이다(1.13.11공간군과 결정 대칭). 32 점군 × 14 격자를 모순 없이 짝지으면 73개가 나오는데(대칭 조작이 전부 한 점을 지나는 심모픽(symmorphic) 공간군), 실제로는 230개다. 나머지 157개는 점군 조작에 격자 병진의 분수를 섞은 새 조작이 있기 때문이다.

나선축(screw axis) $n_m$ — $360^\circ/n$ 회전 후 축 방향으로 격자 벡터의 $m/n$ 만큼 병진. $6_3$ 은 $60^\circ$ 돌리고 $c/2$ 올린다. hcp·우르츠광·4H/6H-SiC의 $c$ 축이 $6_3$ 이다 — A층을 $60^\circ$ 돌려 반 층 올리면 B층 자리에 놓인다.
미끄럼면(glide plane) — 거울 반사 후 면 안의 방향으로 격자 벡터의 $\tfrac12$ (또는 다이아몬드 미끄럼 $d$ 는 $\tfrac14$ ) 만큼 병진.

공간군 기호는 격자 문자(P·I·F·C·R) 뒤에 생성 조작을 헤르만-모갱 순서로 적은 것이다.

구조	공간군	번호	읽기
Cu, Al, NaCl	$Fm\bar3m$	225	fcc 격자 + $m\bar3m$
W, Fe, Mo	$Im\bar3m$	229	bcc 격자 + $m\bar3m$
CsCl	$Pm\bar3m$	221	sc 격자 + $m\bar3m$
다이아몬드(Si·Ge·C)	$Fd\bar3m$	227	fcc 격자 + 다이아몬드 미끄럼면 $d$
섬아연광(GaAs·3C-SiC)	$F\bar43m$	216	fcc 격자 + $\bar43m$
우르츠광(GaN·2H-SiC), 4H·6H-SiC	$P6_3mc$	186	육방 격자 + $6_3$ 나선축 + 거울 + 미끄럼 $c$
hcp 금속, 흑연	$P6_3/mmc$	194	$6_3$ 에 수직한 거울이 더 있다

다이아몬드의 $d$ 와 우르츠광의 $6_3$ 은 이름만 다른 것이 아니다. 비심모픽 공간군에서는 “회전 + 분수 병진” 조작이 브릴루앙 영역 경계에서 밴드를 붙여 놓는다 — Si의 밴드가 $X$ 점에서 둘씩 붙는 것, 그래서 Si 전도대 최소점 근처의 밴드 구조가 GaAs와 다르게 생긴 것(7.9.5)이 $Fd\bar3m$ 의 미끄럼면 때문이다. 공간군은 대칭 놀이가 아니라 밴드 구조의 골격을 정하는 데이터다.

대칭이 물성에 하는 일 — 노이만 원리

결정의 물성 텐서는 결정의 점군 대칭을 전부 가진다(노이만 원리). 어떤 물성이 어느 방향에서 같고 다른지, 아예 존재할 수 있는지가 점군에서 나온다(1.13.9대칭과 물리 — 선택 규칙).

2계 텐서(전기전도도 $\sigma_{ij}$ , 유전율 $\varepsilon_{ij}$ , 열팽창, 유효질량의 역수): 입방정에서는 대칭이 세 축을 동등하게 만들어 스칼라가 된다. Si·GaAs의 유전율이 하나의 수 $11.7$ , $12.9$ 인 이유다. 육방정에서는 $c$ 축과 그에 수직한 방향 둘로 갈린다 — 4H-SiC $\varepsilon_\parallel=10.0$ , $\varepsilon_\perp=9.7$ ; 6H-SiC 전자 이동도는 $c$ 축 방향이 수직 방향의 $\tfrac15$ 밖에 안 된다(8절).
3계 텐서(압전 계수 $d_{ijk}$ , 2차 비선형 감수율 $\chi^{(2)}$ , 선형 전기광학 계수): 반전 대칭이 있으면 $\mathbf r\to-\mathbf r$ 에서 $d_{ijk}\to-d_{ijk}$ 이면서 같아야 하므로 0이다. Si( $m\bar3m$ )에는 압전 효과도 포켈스 효과도 2차 고조파도 없고, GaAs( $\bar43m$ ), GaN·AlN·ZnO( $6mm$ ), 수정( $32$ )에는 있다. Si 광변조기가 전기광학 효과를 못 쓰고 캐리어 분산에 기대는 이유(17.5), MEMS 압전 구동에 AlN을 얹는 이유(17.12), 수정 진동자가 존재하는 이유(22부)가 전부 이 한 줄이다. 32 점군 중 반전 중심이 없는 21개에서 $432$ 를 뺀 20개가 압전 점군이다.
극성 점군 — 대칭 조작이 전부 보존하는 방향(극축)이 있는 10개 점군( $1,2,m,mm2,4,4mm,3,3m,6,6mm$ ). 이 결정만 자발 분극을 가질 수 있다. GaN( $6mm$ )의 $c$ 축이 그 극축이고, AlGaN/GaN 계면에서 분극의 불연속이 $10^{13}\,\text{cm}^{-2}$ 의 2차원 전자 가스를 도핑 없이 만든다(17.10). GaAs ( $\bar43m$ )는 압전이지만 극성은 아니다 — $\bar4$ 축이 극축의 존재를 막는다.
4계 텐서(탄성 상수 $C_{ijkl}$ ): 입방정이라도 스칼라가 아니다 — 독립 상수가 3개 ( $C_{11},C_{12},C_{44}$ )라 Si의 영률이 $\langle100\rangle$ 에서 $130\,\text{GPa}$ , $\langle111\rangle$ 에서 $188\,\text{GPa}$ 로 다르다(7.3.8). MEMS 외팔보의 방향 설계(17.11)와 웨이퍼 휨의 계산이 이 이방성 위에 있다.

폴리타이피즘과 SiC

같은 층, 다른 순서

5절에서 조밀 층을 $AB$ 로 쌓으면 hcp, $ABC$ 로 쌓으면 fcc였다. 그렇다면 $ABCB$ , $ABCACB$ , $ABCBCACAB\cdots$ 같은 다른 순서도 있을 수 있다 — 각 층 안의 배열과 인접 층의 관계(위 층은 언제나 아래 층의 오목한 자리)는 전부 같고, 쌓는 순서만 다른 구조들이다. 한 물질이 이런 구조 여럿을 가지는 현상을 폴리타이피즘(polytypism, 다형체의 1차원 판)이라 한다. 조성도 같고 결합도 같고 국소 구조(이웃 4개까지)도 같은데 $c$ 축 방향의 주기만 다르다. 한 방향의 순서만 남긴 다형(polymorphism)이다.

이론적으로는 무한히 많고, 실제로 어떤 순서가 생기는가는 물질에 달려 있다. 코발트는 $AB$ 와 $ABC$ 가 뒤섞인 무작위 쌓임을 보이고, 이것은 8.1의 적층 결함이 극단으로 간 상태다 — 적층 결함 하나가 fcc 안의 “hcp 층 하나” 이고, 폴리타입은 그런 결함이 주기적으로 놓인 것이다. SiC와 ZnS·CdI₂는 반대로 매우 긴 주기의 순서를 유지한다 — SiC에서는 594층 주기의 폴리타입까지 관측되어 있다(Kittel Ch.1, Nonideal Crystal Structures). 층 하나의 두께가 $2.5\,\text{Å}$ 이니 $c\approx1500\,\text{Å}$ 의 원시 세포다.

SiC — 이름 붙이는 법

SiC의 층은 원자 하나가 아니라 Si–C 이중층이다 — Si 하나가 아래의 C 셋과 위의 C 하나와 결합하는 정사면체 배위를 유지하면서, Si 면과 C 면이 붙어 하나의 층을 이룬다. 이 이중층을 $A,B,C$ 자리에 쌓는다. 순서를 부르는 표기가 셋 있다.

표기	3C	2H	4H	6H	15R
$ABC$ 표기 (주기)	$ABC$	$AB$	$ABCB$	$ABCACB$	$(ABCBCACAB\cdots)$
람스델(Ramsdell)	3C	2H	4H	6H	15R
즈다노프(Zhdanov)	$(\infty)$	$(11)$	$(22)$	$(33)$	$(23)_3$
육방성(hexagonality)	0 %	100 %	50 %	33 %	40 %
구조	섬아연광	우르츠광	—	—	—
격자 상수 (Å)	$a=4.360$	$a=3.076$ , $c=5.048$	$a=3.073$ , $c=10.053$	$a=3.081$ , $c=15.12$	$a=3.073$ , $c=37.7$
밴드 갭 (eV, 300 K)	2.36	3.33	3.23	3.02	2.99

람스델 표기 $nX$ 는 “주기 안의 층 수 $n$ ” 과 “격자의 종류 $X$ “(C 입방, H 육방, R 능면체)다. 즈다노프 표기는 쌓임 방향이 같은 층이 연속되는 수를 적는다 — $ABC$ 방향(+)으로 몇 층 가다가 $ACB$ 방향(−)으로 몇 층 가는가. $(22)$ 는 +2, −2 의 반복이라 $ABCB$ 이고, $(33)$ 은 $ABCACB$ 다. 육방성은 각 층의 국소 환경으로 센다 — 어떤 층의 위아래 층이 같은 자리면( $ABA$ 꼴, “h” 환경) 그 층은 우르츠광처럼, 다르면( $ABC$ 꼴, “k” 환경) 섬아연광처럼 보인다. 4H는 h·k가 반반이고 6H는 셋 중 하나가 h다.

그림 7.1-10. SiC 폴리타입 넷을 (11̄20) 면에 투영한 옆모습. 각 층은 Si–C 이중층이고 A·B·C 세 자리 중 하나에 놓인다. 3C는 ABC를 한 방향으로만 쌓아 섬아연광(입방)이 되고, 2H는 AB를 오가 우르츠광이 된다. 4H는 두 층마다, 6H는 세 층마다 방향을 꺾는다 — 즈다노프 표기 (22)·(33)이 그 꺾임의 길이다. 굵게 표시한 층이 위아래 층이 같은 자리인 'h' 층이고, 그 비율이 육방성이다. 국소 배위는 넷 다 똑같은 정사면체이며, 다른 것은 세 번째 이웃부터다.직접 작도

폴리타입이 밴드 갭을 정한다

표의 마지막 행이 이 절이 반도체 백과에 있는 이유다. 같은 SiC인데 밴드 갭이 2.36 eV에서 3.33 eV까지 1 eV 가까이 갈린다. 결합·이웃·조성이 같으므로 이 차이는 순전히 세 번째 이웃 이후의 배열, 곧 주기와 대칭에서 온다. 가전자대 꼭대기는 넷 다 $\Gamma$ 점 근처에서 비슷하고, 갈리는 것은 전도대 최소점의 위치와 높이다 — 3C는 $X$ 점, 4H는 $M$ 점, 6H는 $M$ – $L$ 선 위, 2H는 $K$ 점에 있고, 폴리타입이 바뀌면 브릴루앙 영역 자체가 바뀌어(7.2) 최소점이 다른 데 놓인다.

그림 7.1-11. SiC 폴리타입의 밴드 갭을 육방성에 대해 찍은 것(300 K 부근의 값). 3C(0 %)의 2.36 eV에서 육방성이 오르며 급히 커지다가 4H(50 %) 너머에서 3.3 eV 근처로 포화한다 — 8H·21R·6H·15R이 그 사이를 메운다. 조성과 결합이 똑같은 결정에서 쌓는 순서만으로 1 eV가 움직인다. 가로축이 '얼마나 우르츠광에 가까운가'이므로, 이 곡선은 섬아연광 SiC(3C)와 우르츠광 SiC(2H) 사이를 잇는 보간이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 육방성 축의 두 끝. 가로축의 0 %가 섬아연광, 100 %가 우르츠광이고, 중간 폴리타입들은 두 극한 구조를 층 단위로 섞은 것이다. 밴드 갭이 처음에 급히 오르는 것은 h 층이 전도대 최소점이 놓이는 $X$ 점 근처의 상태를 밀어 올리기 때문이고, 50 %를 넘어 평평해지는 것은 최소점이 이미 다른 대칭점으로 옮겨 가 h 층의 비율에 덜 민감해지기 때문이다. 이 곡선 위에서 4H가 “갭이 가장 큰 축에 속하면서 실제로 큰 결정으로 기를 수 있는” 자리라는 것이 아래 선택의 근거다.

파라미터 연계 — 4H를 고른 이유. 전력 소자(17.8–17.10)는 4H-SiC로 만든다. 6H보다 갭이 $0.2\,\text{eV}$ 크고 항복 전기장이 높은 것( $\sim2.5\,\text{MV/cm}$ , Si의 $0.3$ 의 8배)도 이유지만 결정적인 것은 이방성이다. 6H는 전자 이동도가 $c$ 축 방향( $\sim90\,\text{cm}^2/\text{Vs}$ ) 에서 수직 방향( $\sim400$ )의 $\tfrac15$ 라 전류를 $c$ 축으로 흘리는 수직형 소자에 치명적이고, 4H는 두 방향이 $\sim1000$ ( $\perp c$ )과 $\sim1200$ ( $\parallel c$ )으로 거의 같다. 3C는 갭이 작고 결정 품질이 나쁘다(Si 위에 기르면 격자 부정합 20 %). 폴리타입 하나가 갭·이동도·이방성·기판 가용성을 동시에 정한다.

폴리타입이 도너 준위의 수도 정한다. 4H의 원시 세포에는 환경이 다른 자리가 둘(h·k) 있어 질소 도너의 이온화 에너지가 $52$ 와 $92\,\text{meV}$ 두 값이고, 6H에는 셋(h·k $_1$ ·k $_2$ )이라 세 값( $81,138,142\,\text{meV}$ )이다(11.1). 도핑 스펙트럼을 읽으면 어느 폴리타입인지 알 수 있다.

왜 생기는가, 어떻게 고르는가

폴리타입 사이의 에너지 차이는 원자당 수 meV — 결합 에너지( $\sim6\,\text{eV}$ )의 천분의 일이다. 세 번째 이웃 이상의 약한 상호작용만이 순서를 가르므로, 어떤 폴리타입이 자라는가는 열역학보다 성장 조건(온도·과포화도·불순물·기판)이 정한다. 3C는 낮은 온도( $\sim1400^\circ\text{C}$ , CVD로 Si 기판 위)에서, 6H·4H는 승화법(PVT, $2200\sim2400^\circ\text{C}$ )의 고온에서 자란다. 문제는 에피택시다 — 같은 온도에서도 $(0001)$ 기판 위에 기른 층은 기판의 순서를 잊고 3C 영역을 섞는다 (3C가 두 방향으로 놓일 수 있어 그 경계가 이중 위치 경계로 남는다).

해법은 밀러 지수의 문제다(4절). 기판을 $(0001)$ 에서 $[11\bar20]$ 쪽으로 $4^\circ$ 기울여 자르면 표면이 폭 $\sim4\,\text{nm}$ 의 테라스와 이중층 높이의 계단으로 덮이고, 원자는 계단 가장자리에 붙어 계단이 옆으로 흐르며 성장한다(step-flow, 9.8). 계단 가장자리의 원자는 기판의 순서를 그대로 따르므로 폴리타입이 상속된다 — 계단 제어 에피택시(1987, 교토대)이고, 오늘날 4H-SiC 전력 소자 에피층이 전부 이 방식이다(18.13). 반대로 적층 결함(8.1.8)은 폴리타입이 국소적으로 흐트러진 것이고, 4H-SiC 바이폴라 소자에서 순방향 전류가 적층 결함을 키워 순방향 전압이 올라가는 열화가 바로 “결정이 국소적으로 3C로 변하는” 현상이다(17.9).

원자 구조의 직접 이미징

회절은 간접, 이미징은 직접

이 장의 구조들은 1913년 이후 X선 회절로 결정되었다(7.2). 회절은 결정 전체의 평균을 역격자에서 보는 방법이라 정확하지만 간접적이다 — 실공간의 원자 하나는 보지 못하고, 회절 무늬에서 구조를 거꾸로 푸는 문제(위상 문제)를 거쳐야 한다. 원자를 실공간에서 하나씩 본 것은 훨씬 뒤의 일이다.

전계 이온 현미경(FIM, 뮐러 1951·1955) — 날카로운 텅스텐 침 끝의 원자를 헬륨 이온의 투영으로 본 최초의 원자 이미지. 침 끝의 반구면에 결정면들이 동심원으로 나타난다.
투과 전자 현미경(HRTEM/STEM, 1970년대~) — 얇은 시편을 전자가 투과하며 만드는 상. 구면 수차 보정(1998~) 이후 $0.5\,\text{Å}$ 을 분해한다.
주사 터널링 현미경(STM, 비니히·로러 1981, 노벨상 1986) — 표면의 원자 배열을 침으로 훑는다. 1983년 Si(111)- $7\times7$ 재구성의 실공간 상이 이 방법의 첫 성과였다(9.1).
원자 힘 현미경(AFM, 1986) — 도체가 아니어도 되고, CO 분자를 붙인 침으로 분자의 결합 골격까지 그린다(2009).
원자 탐침 단층 촬영(APT) — 침 모양 시편에서 원자를 하나씩 뜯어 날려 3차원 위치와 원소를 재구성한다. FinFET 채널의 도펀트 원자 분포가 이 방법으로 그려진다(19부).

이 절은 STM과 TEM 둘만 본다 — 원리가 이 장의 기하와 직접 닿는 둘이다.

STM — 전류가 거리에 지수적으로 걸려 있다

금속 침을 표면에서 $s\sim5\,\text{Å}$ 까지 가져가 전압 $V$ 를 걸면, 침과 표면 사이의 진공 장벽(높이 $\phi\approx4\sim5\,\text{eV}$ , 일함수)을 전자가 터널링해 전류가 흐른다(5.3의 사각 장벽 투과). 전류는

I\;\propto\;V\,\rho_s(E_F)\,e^{-2\kappa s}, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m\phi}}{\hbar}\approx1.1\,\text{Å}^{-1} \quad(\phi=4.5\,\text{eV})

이다. $\rho_s(E_F)$ 는 침 바로 아래 표면의 페르미 준위 국소 상태밀도(local density of states, LDOS)다. 지수의 $2\kappa\approx2.2\,\text{Å}^{-1}$ 이 STM의 전부다 — 간격이 1 Å 늘면 전류가 약 10분의 1이 된다. 이 민감도 때문에 침 끝의 원자 하나(가장 가까운 것)만이 전류를 사실상 독점하고, 그래서 침을 특별히 날카롭게 만들지 않아도 원자 분해능이 나온다.

그림 7.1-12. 터널링 전류의 거리 의존성, 세로축은 로그. 일함수 4.5 eV의 장벽에서 κ ≈ 1.1 Å⁻¹이고 전류는 e^{−2κs}로 줄어 1 Å마다 약 한 자릿수 떨어진다(기울기 2κ). 침 끝의 원자 하나가 다른 원자보다 1 Å만 앞서 있어도 전류의 90 %를 차지한다 — 원자 분해능은 침을 날카롭게 갈아서가 아니라 이 지수함수에서 나온다. 같은 기울기가 표면의 원자 요철(~0.1 Å 단위)을 전류 25 %의 변화로 바꿔 준다.직접 작도

작동은 두 가지다. 정전류 모드는 되먹임 회로가 전류를 일정하게 유지하도록 침의 높이를 조절하고, 그 높이 $z(x,y)$ 를 그린다 — 그 상은 ” $\rho_s(E_F)$ 가 일정한 등고면” 이다. 정높이 모드는 높이를 고정하고 전류를 그린다(빠르지만 평평한 면에서만). 어느 쪽이든 STM이 그리는 것은 원자핵의 위치가 아니라 전자 상태의 분포다. 이 구분이 실제로 문제가 된다 — GaAs(110) 면을 시편이 음의 전압일 때 보면 채워진 상태(As의 고립 전자쌍)가, 양의 전압일 때 보면 빈 상태(Ga의 댕글링 본드)가 보여, 전압 극성에 따라 다른 부격자가 나타난다. 섬아연광의 두 부격자(5절)를 STM은 전압으로 골라 본다.

직관

그래프 직관 — 로그 눈금의 직선. $\ln I=\text{const}-2\kappa s$ 라서 반로그 그림에서 직선이고, 기울기가 $2\kappa$ 다. 측정한 $I(s)$ 의 기울기에서 $\kappa$ 를 읽으면 $\phi=\hbar^2\kappa^2/2m$ 으로 국소 일함수가 나온다 — 표면 위치마다 다른 일함수를 재는 방법(barrier-height imaging)이 이것이다. 기울기가 예상보다 완만하면 침이 오염되었거나 침–시편 사이에 무언가 끼어 있다는 뜻이다.

파라미터 연계 — $\kappa$ 는 5.3에서 왔고 20부로 간다. $\kappa=\sqrt{2m(\phi-E)}/\hbar$ 는 1차원 사각 장벽 안의 파동함수 감쇠 상수이고(5.31차원 퍼텐셜), 같은 식이 MOS 게이트 산화막의 직접 터널링 누설( $\text{SiO}_2$ 장벽 $3.1\,\text{eV}$ , 유효질량 $0.4m$ → 산화막 $1\,\text{Å}$ 당 전류 약 $\times3$ , 14부)과 플래시 메모리의 파울러–노드하임 터널링(15부)을 지배한다. STM의 “1 Å당 10배” 와 게이트 누설의 “1 Å당 3배” 는 장벽 높이와 유효질량만 다른 같은 지수함수다.

TEM — 원자 기둥의 투영을 본다

전자가 얇은 시편( $\lesssim50\,\text{nm}$ )을 투과하면 결정의 정전 퍼텐셜을 두께 방향으로 적분한 투영을 본다. 시편을 정대축(zone axis, 낮은 지수의 $[uvw]$ )에 맞추면 원자들이 전자 진행 방향으로 줄지어 원자 기둥이 되고, 그 기둥의 투영 위치가 상의 점이 된다. 상은 원자가 아니라 기둥이고, 그 기둥의 2차원 배열은 이 장의 격자를 그 방향으로 투영한 것이다.

Si를 $[110]$ 으로 보면 무엇이 보이는가. 다이아몬드 구조의 관습 세포 원자 8개를 $[110]$ 에 수직인 평면( $[\bar110]$ 과 $[001]$ 축)에 투영하면 — 5절의 분율 좌표를 $(u,v)=\big((-x+y)/\sqrt2,\;z\big)$ 로 옮기면 — 기둥이 여덟이 아니라 넷이고, 둘씩 $[001]$ 방향으로 $a/4=1.36\,\text{Å}$ 떨어져 아령(dumbbell)을 이룬다. 아령들은 $a/\sqrt2\times a=3.84\times5.43\,\text{Å}$ 의 직사각 세포에 중심 직사각 격자로 놓이고, 그 사이에 육각형 통로가 뚫린다.

그림 7.1-13. 다이아몬드 구조(Si)를 [110] 정대축으로 투영한 것 — 고분해능 TEM·STEM 상이 보는 배열. 관습 세포의 원자 8개가 기둥 4개로 겹치고, 기둥은 둘씩 [001] 방향으로 a/4 = 1.36 Å 떨어진 아령을 이룬다. 아령 사이의 육각형 통로가 이온주입의 채널링 방향(18.8)이고, 이 1.36 Å을 두 점으로 분해하는 것이 수차 보정 전자현미경의 기준 시험이었다. 섬아연광(GaAs)에서는 아령의 두 기둥이 서로 다른 원소라, 원자번호에 민감한 HAADF 상에서 밝기 차이로 [111]과 [1̄1̄1̄]의 극성을 읽을 수 있다.직접 작도

두 가지 결상 방식을 구분한다. HRTEM(위상 대비)은 투과파와 회절파의 간섭상이라 원자 기둥이 밝을 수도 어두울 수도 있고, 두께와 초점에 따라 대비가 뒤집힌다 — 시뮬레이션과 비교해야만 읽을 수 있다. HAADF-STEM(고각 환형 암시야)은 가늘게 모은 전자빔을 훑으며 큰 각도로 산란된 전자만 세는 것이라 세기가 원자번호에 $Z^{\sim1.7}$ 로 단조 증가한다 — 무거운 기둥이 언제나 밝고, 그래서 GaAs 아령의 Ga( $Z=31$ )와 As( $Z=33$ )를 구분해 5절의 극성을 실공간에서 결정한다. FinFET·GAA 트랜지스터의 단면(14부), 하이브리드 본딩 계면(18.28), 결정 결함의 원자 구조(8.1) 사진은 거의 전부 HAADF-STEM이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 결정은 격자와 기저로 나뉘고, 격자가 “어디로” 를, 기저가 “얼마나” 를, 대칭이 “무엇이 허용되는가” 를 정한다. 목적지를 적어 둔다.

역격자와 회절 (7.2) — 밀러 지수가 역격자 벡터가 되고, 위그너-자이츠 세포가 브릴루앙 영역이 되며, 기저가 구조 인자로 회절점의 세기를 정한다. fcc 격자 → bcc 역격자 → 깎은 팔면체 브릴루앙 영역.
결합과 탄성 (7.3) — 왜 그 구조인가(배위수·반지름 비· $sp^3$ ), 입방 결정의 탄성 상수 셋과 방향별 영률.
밴드 구조 (7.7·7.9) — 병진 대칭 → 블로흐 정리, 점군 → 등가 골짜기의 수(Si 6, Ge 4), 공간군 → 영역 경계의 밴드 겹침, 원시 세포당 전자 수 → 밴드 수.
결함과 표면 (8.1·9.1) — 적층 결함 = 국소 폴리타입, 표면 원자 밀도와 댕글링 본드 수 = 결정면의 함수, 표면 재구성의 STM 상.
웨이퍼와 공정 (18.3·18.6·18.13·18.17·18.24) — $(100)$ 웨이퍼와 $\langle110\rangle$ 플랫, 면 방향별 산화 속도, 에피택시의 격자 부정합, KOH 식각의 $54.74^\circ$ , 다이싱의 벽개 방향, 4H-SiC 계단 제어 에피택시.
소자 (13·14·17부) — 계면 준위와 $(100)$ , 채널 방향과 정공 이동도, 4H-SiC 전력 소자, GaN의 자발 분극과 2DEG, Si에 압전·전기광학 효과가 없는 이유.
계측 (19부) — X선 회절의 격자 상수·변형 측정, HAADF-STEM 단면, 원자 탐침의 도펀트 지도.