회절과 결상

3.5에서 파동 두 개, 많아야 몇 개를 겹쳤다. 영의 두 슬릿, 마이컬슨 간섭계의 두 팔, 박막의 앞뒷면, 패브리–페로의 여러 반사. 이 장은 그 수를 무한대로 보낸다 — 열린 개구를 채운 파면의 모든 점이 파원이고, 화면 위 한 점의 밝기는 그 무한히 많은 기여를 위상까지 더한 결과다. 그렇게 더하면 빛은 직진하지 않는다. 슬릿을 좁힐수록 빛은 더 넓게 퍼지고, 렌즈가 아무리 완벽해도 점광원의 상은 점이 아니라 지름이 $1.22\lambda/\mathrm{NA}$쯤 되는 원판이 된다. 이 현상이 회절이고, 회절 때문에 생기는 결상의 한계가 이 장의 후반부다.

반도체에서 이 장이 가는 곳은 명확하다. 리소그래피 스캐너는 마스크의 회절 차수를 렌즈로 모아 웨이퍼에 상을 맺는 기계이고, 그 해상도 $\mathrm{CD} = k_1\lambda/\mathrm{NA}$의 모든 글자가 이 장에서 정의된다 — $\lambda$는 광원, $\mathrm{NA}$는 렌즈가 받아들이는 회절각, $k_1$은 조명의 결맞음과 마스크 설계가 정하는 계수이며 그 하한 $0.25$가 12절에서 나온다. 계측에서는 CD-SEM의 분해능, 스캐터로메트리가 읽는 격자의 회절 차수, 결함 검사기가 산란광을 모으는 방식이 여기에 걸리고, 재료 분석에서는 X선·전자 회절이 같은 격자 방정식의 3차원판이다. 이 장은 그 전부의 공통 기초다.

이 장은 세 부분으로 되어 있다.

• 멀리서 본 회절 — 프라운호퍼 (1~6절). 파면을 점원의 합으로 보는 하위헌스–프레넬 원리에서 출발해, 슬릿·원형 개구·격자의 회절 무늬를 구하고, 그것이 결상의 분해 한계(레일리 기준)로 이어지는 것을 본다. 결과는 전부 개구 함수의 푸리에 변환이라는 한 문장으로 압축된다.
• 가까이서 본 회절과 그 근거 (7~8절). 화면이 가까우면 무늬는 개구의 그림자와 닮은 채 가장자리에 물결이 선다. 프레넬 존과 코르뉴 나선이 그 도구이고, 키르히호프의 스칼라 회절 이론이 프레넬의 가정들을 파동 방정식에서 끌어낸다. 프라운호퍼와 프레넬이 한 적분의 두 근사임이 여기서 드러난다.
• 결상을 선형계로 보기 (9~12절). 렌즈는 푸리에 변환을 두 번 한다는 아베의 관점, 그로부터 나오는 점 퍼짐 함수(PSF)와 변조 전달 함수(MTF), 그리고 광원이 완전히 결맞지도 완전히 비결맞지도 않을 때 — 리소그래피 조명이 정확히 그렇다 — 상이 어떻게 결정되는가.

전제는 3.2.7평면파·구면파·원통파의 평면파·구면파와 3.5.1간섭의 조건과 결맞음의 간섭 조건, 그리고 4절과 9절에서 각각 1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)의 베셀 함수와 1.10의 푸리에 변환이다. 푸리에 변환은 1.10이 아직 채워지기 전이라 이 장 안에서 필요한 만큼은 정의를 다시 적는다.

기호 — 이 장의 약속

광학 교재는 반도체 교재와 글자를 다르게 쓴다. 같은 글자가 다른 물건인 자리가 많아 처음에 못박는다. 표기가 갈리면 Hecht를 따른다(기준 교재 첫째). Halliday는 슬릿 폭을 $a$, 간격을 $d$로 쓰고 $\alpha$·$\beta$의 역할이 Hecht와 정반대라서 특히 주의한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$E$, $\tilde E$		광파의 전기장 스칼라 진폭 · 그 복소 표현. 이 장에 에너지 $E$는 나오지 않는다
$I$		복사조도(irradiance) $\propto \langle E^2\rangle$, 단위 W/m². 전류가 아니다
$k$		파수 $2\pi/\lambda$. 볼츠만 상수가 아니다
$\lambda$, $\nu$, $\omega$		파장 · 광 주파수 · 각주파수 $2\pi\nu$
$b$		슬릿 폭. Halliday의 $a$
$a$		슬릿 간격 = 격자 주기. Halliday의 $d$
$D$		원형 개구의 지름(렌즈 지름). 반지름은 $D/2$
$\beta$	베타	$\tfrac{kb}{2}\sin\theta$ — 폭이 만드는 위상. Halliday의 $\alpha$
$\alpha$	알파	$\tfrac{ka}{2}\sin\theta$ — 간격이 만드는 위상. Halliday의 $\beta$
$u$		$\tfrac{kD}{2}\sin\theta$ — 원형 개구의 무차원 인수 (4·6절). 2절 그림에서만 화면 좌표 $Y/(b/2)$
$\theta$, $\theta_i$		회절각(광축 기준) · 입사각
$N$		점원·슬릿의 개수
$m$		회절 차수(정수)
$\mathcal R$, $\mathcal D$	스크립트	격자의 분해능 $\lambda/\Delta\lambda$ · 각분산 $d\theta/d\lambda$
$R$		개구에서 화면까지의 거리. $\mathcal R$과 글꼴이 다르다
$\rho$, $r$	로	점원→개구의 거리 · 개구→관측점의 거리 (7·8절)
$R_m$		$m$번째 프레넬 존의 반지름
$N_F$		프레넬 수 $(\text{개구 반지름})^2/(\lambda R)$
$C(w)$, $S(w)$		프레넬 적분 (7절). $S$는 포인팅 벡터가 아니다
$K(\theta)$		경사 인자 $\tfrac12(1+\cos\theta)$
$f$		렌즈의 초점 거리
$f_Y$, $f_Z$		공간 주파수, 단위 cycles/mm. 첨자 없는 $f$와 다른 물건. Hecht의 $k_Y = 2\pi f_Y$
$\mathcal A(y,z)$		개구 함수(투과율)
$\mathcal S$, $\mathcal T$, $\mathcal M$		PSF · OTF · MTF (10절). Goodman·리소그래피 문헌의 $h$, $\mathcal H$, $\lvert\mathcal H\rvert$
$\mathrm{NA}$	엔에이	개구수 $n\sin\theta_{\max}$ (3.4.5)
$\tilde\Gamma_{12}(\tau)$, $\tilde\gamma_{12}(\tau)$		상호 결맞음 함수 · 복소 결맞음도 (12절). 감마 함수·오일러 상수가 아니다
$\mathcal V$		무늬의 가시도
$\Delta t_c$, $\Delta l_c$		결맞음 시간 · 결맞음 길이 $c\,\Delta t_c$
$\sigma$	시그마	부분 결맞음 인자 $\mathrm{NA}_{\text{조명}}/\mathrm{NA}_{\text{투영}}$ (12절). 전도도·단면적이 아니다
$k_1$		리소그래피 공정 계수, $\mathrm{CD} = k_1\lambda/\mathrm{NA}$

주의

함정을 미리 짚는다. 전부 글자가 같은데 물건이 다른 자리다.

① $E$·$I$·$k$. 이 장에서 $E$는 전기장, $I$는 복사조도, $k$는 파수다. 반도체 장들의 에너지 $E$, 전류 $I$, 볼츠만 상수 $k$(이 백과는 $k_B$)와 글자가 같다. 광학 장에서는 언제나 파동 쪽이다.

② $b$와 $a$, $\beta$와 $\alpha$. Hecht는 슬릿 폭을 $b$, 간격을 $a$로 쓰고 $\beta = \tfrac{kb}{2}\sin\theta$, $\alpha = \tfrac{ka}{2}\sin\theta$다. Halliday는 폭 $a$, 간격 $d$에 $\alpha = \tfrac{\pi a}{\lambda}\sin\theta$, $\beta = \tfrac{\pi d}{\lambda}\sin\theta$ — 글자의 역할이 정반대다. 두 책의 식 $I = I_m\cos^2\beta\,(\sin\alpha/\alpha)^2$(Halliday)와 $I = 4I_0\cos^2\alpha\,(\sin\beta/\beta)^2$(Hecht)는 같은 식이다. 이 백과는 Hecht. 기억법 하나 — b는 breadth(폭), 그 위상이 $\beta$.

③ $f$와 $f_Y$. 첨자 없는 $f$는 초점 거리, 첨자 붙은 $f_Y, f_Z$는 공간 주파수다. 두 물건은 한 식에 같이 나온다 — 렌즈 뒤 초점면에서 $f_Y = Y/(\lambda f)$. Hecht는 공간 주파수를 각주파수 $k_Y = 2\pi f_Y$로 쓰지만 이 백과는 리소그래피·계측 문헌의 관행대로 cycles/mm 단위의 $f_Y$를 쓴다. 18.14의 MTF 그래프 가로축이 이 단위다.

④ $R$·$\mathcal R$·$R_m$. $R$은 화면 거리, $\mathcal R$은 격자 분해능 $\lambda/\Delta\lambda$, $R_m$은 프레넬 존 반지름. 셋 다 5절과 7절 안에서 마주친다.

⑤ $\Gamma$·$\gamma$·$\sigma$. 12절의 $\tilde\Gamma_{12}$, $\tilde\gamma_{12}$는 결맞음 함수다. 1.5의 감마 함수 $\Gamma(z)$, 오일러 상수 $\gamma$와 무관하다. $\sigma$는 조명의 부분 결맞음 인자이지 전도도가 아니다 — 리소그래피 문헌에서 “σ = 0.8”이라 쓰면 이것이다.

⑥ $1.22$와 $0.61$. 에어리 원판의 첫 영점은 $\sin\theta = 1.22\lambda/D$ **(지름 기준)**이고, 같은 것을 개구수로 쓰면 반지름 $r = 0.61\lambda/\mathrm{NA}$다. $0.61 = 1.22/2$일 뿐이다. F수 $F = f/D$로 쓰면 초점면의 원판 반지름은 $1.22\lambda F$. 세 표현이 한 물건이다.

회절의 기초와 하위헌스-프레넬 원리

회절이란 무엇인가

빛이 장애물의 가장자리를 지나면서 반사도 굴절도 아닌 방식으로 직진에서 벗어나는 것, 그것이 회절이다(Sommerfeld의 정의, Hecht §10.1). 그림자 가장자리는 날카롭지 않고, 작은 구멍을 지난 빛은 구멍보다 넓게 퍼지며, 불투명한 원판 뒤 그림자 한가운데에 밝은 점이 생긴다. 파장이 장애물에 비해 아주 작으면 이 효과가 보이지 않을 만큼 작아져 기하광학(3.4)이 성립하지만, 사라지는 것이 아니라 작아질 뿐이다. 리소그래피가 마주치는 크기 — 파장 193 nm로 40 nm 선을 그리는 — 에서는 작기는커녕 회절이 전부다.

간섭(3.5)과 회절 사이에 물리적 경계는 없다. 관례상 몇 개의 파를 겹치면 간섭, 연속적으로 분포한 무한히 많은 파를 겹치면 회절이라 부른다. 영의 두 슬릿 무늬는 간섭 무늬인데, 슬릿 하나하나의 폭이 만드는 포락선은 회절 무늬다(3절). 같은 계산이고 같은 원리다.

하위헌스–프레넬 원리

하위헌스(1678)는 파면의 모든 점을 새 구면파의 파원으로 보고, 그 2차 파들의 포락선을 다음 순간의 파면으로 삼았다. 이것으로 반사와 굴절은 설명되지만, 왜 파가 뒤로는 가지 않는지, 왜 가장자리에서 무늬가 생기는지는 설명되지 않는다. 프레넬(1818)이 빠진 조각을 넣었다 — 2차 파들은 포락선을 만드는 것이 아니라 위상까지 더해져 간섭한다. 이것이 하위헌스–프레넬 원리다(Hecht §10.1.2).

열린 파면의 모든 점은 같은 주파수의 2차 구면파를 낸다. 그 너머 임의의 점에서 광파의 진폭은 이 2차 파들을 진폭과 위상을 고려해 중첩한 것이다.

프레넬은 여기에 가정을 하나 더 얹어야 했다. 2차 파의 세기가 방향에 따라 달라, 앞으로는 세고 뒤로는 0이 되게 하는 경사 인자

$$K(\theta) = \tfrac12\,(1 + \cos\theta)$$

이다. $\theta$는 원래 파면의 법선과 2차 파의 진행 방향 사이 각이다. $\theta = 0$이면 1, 뒤쪽 $\theta = \pi$이면 0. 프레넬은 이것을 실험에 맞게 넣었고, 근거는 60년 뒤 키르히호프가 파동 방정식에서 끌어냈다(8절). 그때 두 가지가 더 나온다 — 2차 파의 진폭에 $1/\lambda$가 붙고, 위상이 원래 파보다 $90°$ 앞선다는 것. 프레넬의 계산에는 이 둘이 없어도 무늬의 모양은 맞았다. 절대 밝기와 위상은 틀렸는데 상대 분포는 맞는 이유는, 모든 2차 파에 같은 인자가 곱해지기 때문이다.

직관

물리적 직관 — 왜 무한히 많은 파원이 필요한가. 슬릿 뒤의 한 점 $P$에 도달하는 빛은 슬릿의 어느 점에서 왔는가? 전부에서다. 광원에서 $P$까지 가는 모든 경로가 기여하고, 경로 길이가 다르면 위상이 다르다. 경로차가 $\lambda/2$의 홀수 배인 두 경로는 서로 지운다. $P$의 밝기는 “지워지고 남은 것”이다. 슬릿이 파장보다 훨씬 넓으면 거의 모든 방향에서 경로들이 짝지어 서로 지우고 정면만 남아 그림자가 날카롭다 — 기하광학. 슬릿이 파장 크기로 좁으면 짝지을 상대가 부족해 비스듬한 방향에도 빛이 남는다 — 회절. 파장 대 개구 크기의 비 $\lambda/b$가 회절각의 크기이고, 이 장의 모든 결과에 그 비가 들어 있다.

결맞은 점원 N개 — 이 장의 씨앗

무한히 많은 파원으로 가기 전에 유한한 $N$개를 먼저 더한다(Hecht §10.1.3). 이 계산 하나가 격자(5절)·이중 슬릿(3절)·단일 슬릿(2절)을 전부 낳는다.

간격 $a$로 일렬로 놓인 $N$개의 점원이 같은 진폭 $E_0$, 같은 위상으로 진동한다. 멀리 각 $\theta$ 방향에서 이웃한 두 점원의 파는 경로차 $a\sin\theta$, 즉 위상차

$$\delta = k\,a\sin\theta$$

를 갖는다. $N$개의 파를 더하는 것은 크기가 같고 각이 $\delta$씩 도는 위상자 $N$개를 잇는 것이다 (3.2.6복소 표현과 위상자). 등비급수 $\sum_{j=0}^{N-1} e^{ij\delta} = \dfrac{e^{iN\delta} - 1}{e^{i\delta} - 1}$의 절댓값을 취하면

$$E = E_0\,\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}, \qquad I = I_0\,\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}$$

$I_0$는 점원 하나의 조도다. 이 식을 읽는 법이 이 장의 문법이다.

• 주 극대. $\delta = 2\pi m$, 즉 $a\sin\theta = m\lambda$에서 분모·분자가 함께 0이 되고 극한은 $N$. 위상자 $N$개가 일직선으로 늘어선 것이고 $I = N^2 I_0$ — 진폭이 $N$배라 조도는 $N^2$배다.
• 영점. 분자만 0인 곳, $N\delta/2 = \pi, 2\pi, \ldots$ — 주 극대 사이에 $N - 1$개. 첫 영점은 $\delta = 2\pi/N$, 위상자 $N$개가 정다각형으로 닫히는 자리다.
• 부 극대. 영점 사이에 $N - 2$개, 높이는 주 극대의 몇 퍼센트.

그림 3.6-1. 결맞은 점원 여덟 개의 합을 위상자 사슬로 그린 것. δ = 0이면 일직선으로 늘어서 합이 최대이고, δ가 커지면 사슬이 호를 그려 합이 줄며, Nδ = 2π에서 정팔각형으로 닫혀 합이 0이 된다 — 첫 영점이다. 더 돌면 사슬이 한 바퀴 넘게 감기고, 합은 작은 부 극대가 된다. sin(Nδ/2)/sin(δ/2)라는 식은 이 다각형의 닫힘변 길이다.직접 작도

직관

수학적 직관 — 식의 꼴. 분자 $\sin(N\delta/2)$는 빠르게 진동하고 분모 $\sin(\delta/2)$는 느리게 진동한다. 빠른 진동이 영점들을 만들고, 느린 분모가 그 영점들 사이 봉우리의 높이를 정한다. 분모가 0으로 가는 자리에서만 봉우리가 $N^2$까지 솟는다. $N = 2$이면 $\sin\delta/\sin(\delta/2) = 2\cos(\delta/2)$라서 $I = 4I_0\cos^2(\delta/2)$ — 영의 두 슬릿 무늬다. $N \to \infty$이면서 $a \to 0$, $Na = b$ 고정이면 합은 적분이 되고 $\sin(N\delta/2)/(N\sin(\delta/2)) \to \sin\beta/\beta$ — 단일 슬릿이다(2절). 같은 식의 두 극한이다.

이 장은 이제 두 갈래로 간다. 점원을 연속적으로 채우면 개구의 회절(2~4절), 점원 자체를 슬릿으로 바꾸어 유한한 $N$개를 두면 격자(5절)다. 그리고 그 전부가 화면이 충분히 멀 때의 이야기라는 조건이 붙는다. “충분히 멀다”의 뜻이 2절의 첫 주제다.

프라운호퍼 회절

“충분히 멀다”의 뜻 — 프레넬 수

폭 $b$의 슬릿을 평면파가 지나 거리 $R$의 화면에 닿는다. 슬릿 위의 점 $y$에서 화면 위의 점까지의 거리 $r$을 $R$ 주위로 전개하면(Hecht §10.2.1)

$$r \simeq R - y\sin\theta + \frac{y^2\cos^2\theta}{2R} + \cdots$$

첫 항은 공통 위상, 둘째 항 $-y\sin\theta$는 경로차 — 1절의 $\delta$를 만드는 항 — 이고, 셋째 항이 문제다. 이 2차 항이 만드는 위상 $k y^2/(2R)$이 슬릿 전체($\lvert y\rvert \le b/2$)에서 $\pi$보다 훨씬 작으면 무시할 수 있고, 그때 파면은 화면에서 평면파처럼 보인다. 이것이 프라운호퍼 회절의 조건이다:

$$\frac{k\,(b/2)^2}{2R} \ll \pi \quad\Longleftrightarrow\quad N_F \equiv \frac{(b/2)^2}{\lambda R} \ll 1$$

$N_F$가 프레넬 수다. 뜻은 7절에서 분명해진다 — 관측점에서 볼 때 개구가 덮는 프레넬 존의 수다. $N_F \ll 1$이면 프라운호퍼(원거리장), $N_F \gtrsim 1$이면 프레넬 회절(근거리장, 7절). Hecht는 같은 조건을 $R > b^2/\lambda$로 적는다($N_F < 1/4$).

숫자를 넣어 본다. 폭 $1$ mm 슬릿에 $\lambda = 500$ nm이면 $b^2/\lambda = 2$ m — 실험대 위에서는 프라운호퍼가 아니다. 마스크 위 $4\ \mu$m 패턴(웨이퍼 기준 $1\ \mu$m, 4배 축소)에 $193$ nm이면 $83\ \mu$m. 마스크와 웨이퍼를 수십 $\mu$m 띄우고 찍던 근접 노광(proximity printing)은 정확히 프레넬 영역에서 돌아갔고, 그 무늬가 7절의 코르뉴 나선이다.

그림 3.6-2. 폭 b의 슬릿이 만드는 회절 무늬를 화면 거리 R을 늘리며 — 프레넬 수 N_F를 줄이며 — 본 것. N_F = 10이면 무늬는 슬릿의 기하학적 투영(옅은 띠)을 거의 그대로 채우고 가장자리에만 물결이 선다. N_F = 2에서는 투영 폭 안에 극대가 몇 개 남고, 0.5에서 그림자 경계가 무너지며, 0.1이면 투영 폭보다 훨씬 넓게 퍼진 sinc² 모양이 되어 프라운호퍼 곡선(점선)과 겹친다. 같은 슬릿, 같은 파장이다 — 거리만 달라졌다. 각 곡선은 자기 봉우리로 정규화했다.직접 작도

렌즈가 원거리장을 앞으로 당긴다

2 m 떨어진 화면 대신 초점 거리 $f$의 렌즈를 슬릿 뒤에 두면, 각 $\theta$로 나가는 평행 광선 다발이 초점면의 한 점 $Y = f\tan\theta \simeq f\theta$에 모인다. 렌즈는 방향을 위치로 바꾸는 장치다. 초점면에서 보는 것은 무한히 먼 화면이 보았을 무늬이므로, 프라운호퍼 조건이 거리와 무관하게 성립한다. 이 장의 프라운호퍼 무늬 사진들이 전부 렌즈로 찍힌 이유이고, 9절의 “렌즈는 푸리에 변환을 한다”의 실체다.

선광원의 적분 — sinc가 나오는 자리

프라운호퍼 조건에서 슬릿을 연속 점원으로 채운다. 길이 $dy$의 조각이 단위 길이당 진폭 $\varepsilon_L$로 낸 파는 거리 $r \simeq R - y\sin\theta$에서

$$dE = \frac{\varepsilon_L}{R}\,\sin\!\bigl[\omega t - k(R - y\sin\theta)\bigr]\,dy$$

진폭의 $1/r$은 $1/R$로 두어도 되지만 위상의 $r$은 안 된다 — $y\sin\theta$가 파장 크기이기 때문이다. 이것이 회절 계산 전체의 규칙이다. 슬릿 전체로 적분하면

$$E = \frac{\varepsilon_L\,b}{R}\,\frac{\sin\beta}{\beta}\,\sin(\omega t - kR), \qquad \beta \equiv \frac{kb}{2}\sin\theta = \frac{\pi b}{\lambda}\sin\theta$$

조도는 시간 평균 제곱이므로

$$I(\theta) = I(0)\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^{2}$$

$\sin\beta/\beta$를 sinc 함수라 부른다(정의에 $\pi$를 넣는 유파도 있다 — 이 백과는 넣지 않는다). $\beta \to 0$에서 1이고, $\beta = \pm\pi, \pm 2\pi, \ldots$에서 0이다. 1절의 $N$개 점원 식에서 $N \to \infty$, $Na = b$로 보낸 극한과 정확히 같다.

직관

그래프 직관 — sinc²을 읽는 법. 영점은 $\beta = m\pi$, 즉

$$b\sin\theta = m\lambda \qquad (m = \pm1, \pm2, \ldots)$$

중앙 극대의 각폭은 첫 영점 사이 $2\lambda/b$ — 나머지 극대의 두 배 폭이다. 부 극대는 $\tan\beta = \beta$의 근에 있어 $(m + \tfrac12)\pi$보다 조금 안쪽이다: $\beta = 1.43\pi, 2.46\pi, 3.47\pi$에서 높이 $0.047, 0.017, 0.008$. 첫 부 극대가 중앙의 5%도 안 된다. 전체 에너지의 $90.3\%$가 중앙 로브에 있다. 그래서 “슬릿이 빛을 각 $\lambda/b$로 퍼뜨린다”고 한 문장으로 말해도 크게 틀리지 않는다.

파라미터 연계. $b$를 반으로 줄이면 무늬는 두 배로 넓어진다 — 개구와 무늬는 역수 관계다. $\lambda$를 반으로 줄여도 무늬는 반으로 좁아진다. 슬릿 폭 $\Delta y = b$와 각 퍼짐 $\Delta(\sin\theta) = \lambda/b$의 곱이 $\lambda$로 고정된 것은 푸리에 변환의 불확정성 관계이고, 양자역학의 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$와 같은 수학이다(5부). 이 역수 관계가 리소그래피의 $\lambda/\mathrm{NA}$이고 격자 분광기의 $\lambda/(Na)$다.

일반 개구 — 푸리에 변환의 첫 등장

슬릿이 아닌 임의의 모양의 개구를 $yz$ 평면에 두고, 개구 안에서 1, 밖에서 0인 개구 함수 $\mathcal A(y, z)$로 쓴다(투과율이 위치마다 다르면 그 값). 화면 위의 점 $(Y, Z)$까지 거리를 같은 방식으로 전개하면 $r \simeq R - (Yy + Zz)/R$이고, 프라운호퍼 조건에서(Hecht §10.2.4)

$$\tilde E(Y, Z) = \frac{\varepsilon_A\,e^{i(\omega t - kR)}}{R} \iint \mathcal A(y, z)\;e^{\,ik(Yy + Zz)/R}\,dy\,dz$$

지수의 $kY/R = 2\pi\,(Y/\lambda R)$을 보라. $f_Y \equiv Y/(\lambda R)$로 놓으면 이 적분은 $\mathcal A(y,z)$의 2차원 푸리에 변환을 $(f_Y, f_Z)$에서 계산한 것이다. 프라운호퍼 회절 무늬는 개구 함수의 푸리에 변환이다 — 이 한 문장이 3·4·5절의 모든 결과를 담고 있고, 9절에서 결상 이론 전체의 출발점이 된다. 직사각형 개구는 $\operatorname{sinc}\beta\cdot\operatorname{sinc}\beta'$(두 변 각각의 sinc, 무늬는 십자 모양), 원형 개구는 베셀 함수(4절), 주기적 개구는 이산 차수(5절)로 나온다.

단일 슬릿과 이중 슬릿

단일 슬릿 — 영점을 짝짓기로 찾기

sinc²의 영점을 적분 없이 찾는 논법이 있다(Halliday 36-1). 슬릿을 위아래 두 반쪽으로 나눈다. 위 반쪽 맨 위 점과 아래 반쪽 맨 위 점(슬릿 가운데)은 $b/2$ 떨어져 있어 각 $\theta$에서 경로차가 $(b/2)\sin\theta$다. 이것이 $\lambda/2$이면 두 점은 서로 지운다. 그런데 위 반쪽의 모든 점은 아래 반쪽에 $b/2$ 아래의 짝이 있고 같은 경로차를 가지므로, 슬릿 전체가 짝지어 지워진다:

$$\frac{b}{2}\sin\theta = \frac{\lambda}{2} \;\Longrightarrow\; b\sin\theta = \lambda$$

넷으로 나누면 $b\sin\theta = 2\lambda$, 여섯으로 나누면 $3\lambda$. 영점 조건 $b\sin\theta = m\lambda$가 짝짓기 하나로 나온다. 극대는 이렇게 못 찾는다 — 그것은 sinc²의 $\tan\beta = \beta$가 필요하다.

주의

$b\sin\theta = m\lambda$는 어두운 곳이다. 5절의 격자 식 $a\sin\theta = m\lambda$는 밝은 곳(주 극대)이다. 글자 하나($b$ 대 $a$) 차이로 밝음과 어두움이 뒤집힌다. 슬릿 하나의 폭은 지우는 짝을 만들고, 슬릿 사이의 간격은 보강하는 짝을 만들기 때문이다. Halliday가 두 식을 $a\sin\theta = m\lambda$(단일 슬릿 극소)와 $d\sin\theta = m\lambda$(격자 극대)로 쓰는 것도 같은 구조다.

이중 슬릿 — 간격이 만드는 무늬가 폭이 만드는 포락선 안에

폭 $b$의 슬릿 두 개를 중심 간격 $a$로 둔다. 2절의 적분을 두 구간 $[-b/2, b/2]$와 $[a - b/2, a + b/2]$에서 하면, 둘째 슬릿의 기여는 첫째와 같은 $\operatorname{sinc}\beta$에 위상 $ka\sin\theta = 2\alpha$가 붙은 것이다 (Hecht §10.2.2). 두 위상자를 더하면 $2\cos\alpha$가 나오고

$$I(\theta) = 4I_0\,\cos^2\alpha\,\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2, \qquad \alpha = \frac{ka}{2}\sin\theta, \quad \beta = \frac{kb}{2}\sin\theta$$

$I_0$는 슬릿 하나가 $\theta = 0$에 만드는 조도다. 식은 곱이다. $\cos^2\alpha$는 3.5의 영의 간섭 무늬 — 간격 $a$가 정하는, 각 간격 $\lambda/a$의 촘촘한 줄 — 이고, $\operatorname{sinc}^2\beta$는 슬릿 하나의 회절 무늬 — 폭 $b$가 정하는, 각폭 $2\lambda/b$의 넓은 포락선 — 이다. $a > b$이므로 줄이 포락선보다 촘촘하다. 간섭 무늬가 회절 포락선에 변조된다고 말한다.

그림 3.6-3. 간격 a = 3b인 이중 슬릿의 무늬. 점선은 슬릿 하나의 sinc²β 포락선, 실선은 그 안의 cos²α 간섭 줄이다. 줄의 자리(a sinθ = mλ)는 간격이, 포락선의 영점(b sinθ = m′λ)은 폭이 따로 정한다. 두 조건이 겹치는 m = ±3, ±6에서는 밝아야 할 줄이 포락선의 영점에 눌려 사라진다 — 결손 차수다. 중앙 로브 안에 남는 줄은 2(a/b) − 1 = 5개.직접 작도

결손 차수. 간섭 극대 $a\sin\theta = m\lambda$와 회절 영점 $b\sin\theta = m'\lambda$가 같은 각에서 만나면 그 차수는 사라진다. 조건은 $m/m' = a/b$. $a = 3b$이면 $m = 3, 6, 9, \ldots$가 빠진다. 중앙 로브 ($\lvert\beta\rvert < \pi$) 안에는 $\lvert m\rvert < a/b$인 줄만 살아남아 $2(a/b) - 1$개다(Halliday 36-4).

직관

파라미터 연계 — 리소그래피 마스크는 이중 슬릿의 $N$개 판이다. 선폭과 간격이 같은 1:1 선/공간 격자는 $a = 2b$다. 그러면 $m/m' = 2$ — 짝수 차수가 전부 결손이다. 마스크를 지난 빛은 0차와 $\pm1, \pm3, \ldots$차로만 나가고 $\pm2$차는 없다. 18.14에서 “1:1 격자는 0차와 ±1차로 결상한다”고 말할 때 ±2차가 언급되지 않는 이유가 이 문단이다. 듀티비를 바꾸면 결손 자리가 옮겨가고 각 차수의 세기가 달라진다 — 마스크 설계(18.16의 OPC)가 조정하는 손잡이 하나가 이 포락선이다.

수학적 직관 — 왜 곱인가. 이중 슬릿의 개구 함수는 “슬릿 하나”를 “간격 $a$의 두 점”에 놓은 것, 즉 두 함수의 합성곱이다. 합성곱의 푸리에 변환은 푸리에 변환의 곱이다(1.10.5) — 슬릿의 변환(sinc)과 두 점의 변환(cos)의 곱. 2절 끝의 “프라운호퍼 = 푸리에 변환”을 받아들이면 이 절의 식은 계산 없이 나온다. 9절에서 이 논법으로 격자 무늬까지 한 번에 쓴다.

$N$개 슬릿. 같은 계산을 $N$개로 넓히면 1절의 위상자 합이 그대로 붙는다(Hecht §10.2.3):

$$I(\theta) = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\left(\frac{\sin N\alpha}{\sin\alpha}\right)^2$$

$N = 2$이면 $\sin 2\alpha/\sin\alpha = 2\cos\alpha$로 위 식이 되고, $N$이 크면 회절 격자다. 5절로 미룬다.

직사각형 개구

변이 $b$(y 방향), $b'$(z 방향)인 직사각형 개구는 2절의 이중 적분이 변수분리되어

$$I(Y, Z) = I(0)\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2\left(\frac{\sin\beta'}{\beta'}\right)^2, \qquad \beta = \frac{kbY}{2R},\ \beta' = \frac{kb'Z}{2R}$$

무늬는 두 축을 따라 뻗은 십자이고, 개구의 긴 변 방향으로는 무늬가 좁다(역수 관계). 대각선 방향은 두 sinc의 부 극대끼리의 곱이라 매우 어둡다. 리소그래피의 컨택 홀은 사각형(정확히는 모서리가 둥근)이라 그 회절 무늬가 이 십자이고, 마스크 위에서 사각형으로 그린 홀이 웨이퍼에서 둥글게 찍히는 이유는 4절에서 보듯 렌즈가 십자의 팔을 잘라내기 때문이다.

원형 개구와 에어리 원판

베셀 함수가 나오는 자리

렌즈는 둥글다. 그래서 결상에서 가장 중요한 개구는 슬릿이 아니라 원형 개구이고, 그 프라운호퍼 무늬가 렌즈가 점을 어떻게 찍는지를 정한다. 지름 $D$의 원형 개구를 2절의 적분에 넣는다. 개구 위의 점을 극좌표 $(\rho, \varphi)$, 화면 위의 점을 $(q, \Phi)$로 쓰면 $Yy + Zz = \rho q\cos(\varphi - \Phi)$이고 (Hecht §10.2.5)

$$\tilde E(q) \propto \int_0^{D/2}\!\!\int_0^{2\pi} e^{\,i(k\rho q/R)\cos(\varphi - \Phi)}\,d\varphi\;\rho\,d\rho$$

안쪽 적분은 $\Phi$와 무관하고 — 무늬가 원대칭이다 — 베셀 함수의 적분 표현 $\int_0^{2\pi} e^{ix\cos\varphi}d\varphi = 2\pi J_0(x)$ 그 자체다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 바깥 적분은 점화식 $\dfrac{d}{dx}\bigl[xJ_1(x)\bigr] = xJ_0(x)$로 닫힌다. $u \equiv \dfrac{kD}{2}\dfrac{q}{R} = \dfrac{kD}{2}\sin\theta$로 놓으면

$$I(\theta) = I(0)\left[\frac{2J_1(u)}{u}\right]^2$$

이것이 에어리 무늬다(G. B. Airy, 1835). $2J_1(u)/u$는 $u \to 0$에서 1이고 — $J_1(u) \simeq u/2$ — 슬릿의 $\sin\beta/\beta$와 같은 역할을 한다. 다른 점은 영점의 자리와 곁고리의 높이다.

	슬릿 $(\sin\beta/\beta)^2$	원형 개구 $[2J_1(u)/u]^2$
첫 영점	$\beta = \pi$ → $b\sin\theta = 1.00\lambda$	$u = 3.832$ → $D\sin\theta = 1.22\lambda$
둘째·셋째 영점	$2\pi$, $3\pi$	$7.016$, $10.173$ → $2.23\lambda/D$, $3.24\lambda/D$
첫·둘째 부 극대	$4.7\%$, $1.7\%$	$1.75\%$ ($u = 5.14$), $0.42\%$ ($u = 8.42$)
중앙 로브의 에너지	$90.3\%$	$83.8\%$ (첫 고리까지 $91.0\%$, 둘째까지 $93.8\%$)

그림 3.6-4. 원형 개구의 에어리 무늬(색)와 같은 폭 b = D인 슬릿의 sinc²(점선). 왼쪽 선형 눈금에서 에어리 무늬의 첫 영점 3.83이 슬릿의 π보다 바깥에 있는 것이 보이고, 오른쪽 로그 눈금에서 곁고리가 1.75%, 0.42%로 슬릿의 4.7%, 1.7%보다 낮은 것이 보인다. 원형 개구는 같은 지름의 슬릿보다 중앙이 22% 넓고 곁고리는 절반 아래다. 1.22 = 3.83/π.직접 작도

에어리 원판 — 점광원의 상

렌즈 앞에서 평면파(무한히 먼 점광원)가 들어와 초점면에 맺힌다. 초점면에서 $\sin\theta \simeq q/f$이므로 첫 어두운 고리의 반지름은

$$q_1 = 1.22\,\frac{\lambda f}{D} = 1.22\,\lambda F$$

$F = f/D$는 F수(3.4.4조리개와 F수)다. 이 반지름 안의 밝은 원판이 에어리 원판이고, 완벽한 렌즈가 점을 찍는 가장 작은 상이다. 개구수로 쓰면(3.4.5개구수(NA)와 초점 심도) 상 공간의 $\mathrm{NA} = n\sin\theta_{\max} \simeq D/(2f)$이므로

$$q_1 = 0.61\,\frac{\lambda}{\mathrm{NA}}$$

$1.22$가 $0.61$이 되는 것은 지름 $D$가 반지름 $D/2$로 바뀌기 때문이다. 세 표현 — $1.22\lambda/D$(각), $1.22\lambda F$(초점면 길이), $0.61\lambda/\mathrm{NA}$(개구수) — 이 한 물건이다.

의문

왜 $\pi$가 아니라 $3.83$인가 — 같은 지름인데 왜 원이 더 넓게 퍼지는가. 원형 개구를 $y$ 방향으로 잘라 보면, 각 $y$에서의 폭(현의 길이)이 $\sqrt{D^2 - 4y^2}$로 가운데에서 최대이고 가장자리로 갈수록 0이다. 화면의 $Y$축 위 무늬만 보면 원형 개구는 투과율이 현의 길이로 가중된 슬릿과 같다 — 가장자리가 부드럽게 죽는 슬릿. 가장자리를 부드럽게 하는 것(아포다이제이션)은 언제나 중앙 로브를 넓히고 곁고리를 낮춘다. 3절의 짝짓기로 말하면, 가장자리 근처에는 지워 줄 짝이 적어 첫 영점이 더 큰 각으로 밀리고, 대신 급격한 경계가 없어 곁고리가 작다. 실제로 반원 가중 $\sqrt{1 - (2y/D)^2}$의 푸리에 변환이 정확히 $J_1(u)/u$다. 리소그래피 조명계의 동공 필터, 안테나의 테이퍼 급전이 같은 논리로 곁고리를 누른다.

직관

파라미터 연계. $q_1 \propto \lambda/\mathrm{NA}$ — 이 비가 결상의 화폐 단위다. 원판을 줄이려면 파장을 줄이거나(g선 436 → i선 365 → KrF 248 → ArF 193 → EUV 13.5 nm) 개구수를 키운다(0.3 → 0.93 → 액침 1.35 → High-NA EUV 0.55). 초점 거리 $f$는 원판의 크기만 바꾸지 각 반지름은 못 바꾼다. 몇 개 숫자: 눈(동공 2 mm, 550 nm)의 $1.22\lambda/D = 3.4\times10^{-4}$ rad ≈ 1′. 광학 현미경(NA 0.95, 550 nm) $0.35\ \mu$m. ArF 액침(NA 1.35) $87$ nm. EUV(NA 0.33) $25$ nm. 이 숫자들이 6절의 분해 한계이고 10절의 PSF 폭이다. 컨택 홀 마스크가 사각형인데 웨이퍼 위 상이 둥근 이유도 여기 있다 — 홀의 회절 무늬 (3절 끝의 십자)에서 렌즈가 받아들이는 것은 중심 근처뿐이고, 그것을 다시 모으면 렌즈 동공(원)의 에어리 원판에 가까운 둥근 점이 된다.

회절 격자와 분해능

격자 방정식

같은 슬릿(또는 반사면의 홈)을 주기 $a$로 $N$개 반복한 것이 회절 격자다. 3절 끝의 $N$개 슬릿 식에서 $(\sin N\alpha/\sin\alpha)^2$ 인자가 무늬를 지배한다. 주 극대는 1절과 같이 이웃 슬릿의 경로차가 파장의 정수 배인 방향이고, 입사가 각 $\theta_i$로 비스듬하면 경로차에 입사 쪽 몫이 더해져 (Hecht §10.2.8)

$$a\,(\sin\theta_m - \sin\theta_i) = m\lambda \qquad (m = 0, \pm1, \pm2, \ldots)$$

$m = 0$은 $\theta_0 = \theta_i$ — 색과 무관한 직진(투과) 또는 정반사(반사)이고, 나머지 차수가 파장에 따라 갈라진다. $\lvert\sin\theta_m\rvert \le 1$이므로 차수의 수는 유한하다: $a$가 $\lambda$보다 작으면 0차 말고는 없다. 마스크의 피치가 파장보다 작으면 렌즈에 줄 회절 차수 자체가 없다 — 12절에서 이 문장이 $k_1$의 하한이 된다.

그림 3.6-5. 슬릿 2, 4, 16개의 간섭 항 [sin Nα/(N sin α)]². 주 극대의 자리(a sinθ = mλ)는 N과 무관하고, N이 늘수록 주 극대는 좁아지며(첫 영점까지 Δα = π/N) 그 사이에 N − 2개의 작은 봉우리가 생긴다. 높이를 N²으로 나눠 그렸다 — 실제 조도는 N²에 비례해 커진다. 분해능 mN은 이 폭에서 나온다.직접 작도

주 극대의 폭 — 격자 전체가 슬릿 하나처럼

주 극대 옆 첫 영점은 $N\alpha$가 $\pi$만큼 움직인 자리다. $\alpha = (\pi a/\lambda)\sin\theta$를 $\theta$로 미분하면 $\Delta\alpha = (\pi a/\lambda)\cos\theta\,\Delta\theta$이므로, 극대에서 첫 영점까지의 반폭은 (Halliday 36-5)

$$\Delta\theta_{\text{hw}} = \frac{\lambda}{N a\cos\theta_m}$$

분모의 $Na = W$는 격자의 전체 폭이다. 주 극대의 폭은 폭 $W$인 슬릿 하나의 회절 폭 $\lambda/W$ (2절)와 같다. 3절의 짝짓기 논법을 격자 전체에 적용하면 이유가 보인다 — 격자의 맨 위 슬릿과 맨 아래 슬릿의 경로차가 주 극대에서 $\lambda$만큼 벗어나는 각에서, 격자 위 반쪽과 아래 반쪽이 슬릿별로 짝지어 지워진다. $N$을 늘리면 $W$가 커져 봉우리가 날카로워지는 것이지, 슬릿 수 자체가 마법은 아니다. $\cos\theta_m$은 비스듬히 볼 때 격자의 투영 폭이 줄어드는 것을 나타낸다.

각분산과 분해능

격자 방정식을 $\lambda$로 미분하면 각분산

$$\mathcal D \equiv \frac{d\theta_m}{d\lambda} = \frac{m}{a\cos\theta_m}$$

차수가 높을수록, 주기가 좁을수록 파장이 넓은 각으로 펼쳐진다. 그러나 펼치는 것과 가르는 것은 다르다. 파장 $\lambda$와 $\lambda + \Delta\lambda$의 두 주 극대가 구별되려면 각 차 $\mathcal D\,\Delta\lambda$가 봉우리의 반폭 $\Delta\theta_{\text{hw}}$ 이상이어야 한다(레일리 기준, 6절). 두 식을 놓으면 $a\cos\theta_m$이 지워지고

$$\mathcal R \equiv \frac{\lambda}{\Delta\lambda} = mN$$

분해능은 차수와 슬릿 수의 곱, 그뿐이다(Halliday 36-6). 격자 방정식으로 $m$을 지우면 $\mathcal R = Na(\sin\theta_m - \sin\theta_i)/\lambda$ — 격자 양 끝의 경로차를 파장으로 나눈 것이다. 그 최댓값은 $\theta_i = -\theta_m = 90°$의 $2W/\lambda$: 10 cm 격자에 500 nm이면 $4\times10^5$. 분해능은 결국 “간섭에 참여하는 경로차가 파장 몇 개인가”이고, 그것은 패브리–페로(3.5.5)에서도 마이컬슨 간섭계에서도 같은 원리다.

주의

차수 겹침. $m$차의 $\lambda$와 $(m+1)$차의 $\lambda'$가 같은 각에 오는 조건은 $m\lambda = (m+1)\lambda'$. 그래서 $m$차에서 겹침 없이 쓸 수 있는 파장 폭 — 자유 스펙트럼 영역 — 은 $\Delta\lambda_{\text{fsr}} = \lambda/m$이다. 고차로 갈수록 분해능은 오르지만 자유 영역은 줄어, 분광기는 필터나 교차 분산기로 차수를 골라내야 한다. 플라스마 진단의 광방출 분광(19.8)이 200~900 nm를 한 번에 보려면 1차를 쓰고, 라만(19.4)이 $1\ \mathrm{cm}^{-1}$을 갈라야 하면 홈이 촘촘한 격자와 긴 초점 거리로 $N$을 키운다.

블레이즈. 평범한 격자는 에너지 대부분을 쓸모없는 0차에 보낸다 — 슬릿 하나의 sinc² 포락선이 정면에서 최대이기 때문이다(3절). 홈의 면을 기울여 면의 정반사 방향을 원하는 차수의 방향에 맞추면 포락선의 봉우리가 그 차수로 옮겨간다. 이것이 블레이즈 격자이고, 포락선(폭·기울기)과 간섭 줄 (간격)을 따로 설계할 수 있다는 3절의 교훈이 그대로 쓰인 것이다.

3차원 격자 — 브래그

결정은 주기 $0.1$ nm대의 3차원 격자이고, 파장이 그 정도인 X선·전자·중성자가 회절한다. 격자면 간격 $d$인 면들에서 반사된 파가 보강되는 조건이 브래그 법칙 $2d\sin\theta = m\lambda$이다(Halliday 36-7; 각은 면에서 잰다). 격자 방정식과 같은 문장 — 이웃한 산란체의 경로차가 파장의 정수 배 — 을 3차원에 쓴 것이고, 정확한 정식화(라우에 조건, 역격자)는 7.2에서 한다. X선 회절로 결정립 크기·잔류 응력을 재고 (19.3), 전자 회절로 박막의 결정성을 보며(9.13, 10.12), 드브로이 물질파의 첫 증거도 전자의 결정 회절이었다 (5.1). 원리는 이 절이다.

레일리 기준과 분해 한계

두 점을 언제 둘로 보는가

렌즈로 두 점광원을 본다. 각각의 상은 4절의 에어리 무늬이고, 두 광원이 서로 비결맞음이면 (별 두 개, 조명받은 시료의 두 점) 화면에는 두 무늬의 조도가 더해진다. 두 점이 가까워지면 두 원판이 겹치고, 어느 순간 하나로 보인다. 레일리(1879)는 그 경계를 이렇게 약속했다(Hecht §10.2.6):

한 점의 중앙 극대가 다른 점의 첫 영점 위에 올 때, 두 점은 가까스로 분해된다.

각으로 쓰면

$$\Delta\theta_{\min} = 1.22\,\frac{\lambda}{D}$$

상면에서의 거리로 쓰면 $\Delta\ell_{\min} = 1.22\lambda f/D = 0.61\lambda/\mathrm{NA}$ — 4절의 에어리 반지름 그대로다. 이때 두 봉우리 사이의 골은 봉우리의 $73.5\%$까지 파인다($2\times[2J_1(1.916)/1.916]^2$). 26.5%의 골이면 눈이든 검출기든 둘로 읽는다. 스패로(Sparrow)는 골이 막 사라지는 — 가운데의 2계 도함수가 0이 되는 — 간격 $0.95\lambda/D$를 기준으로 삼았다. 두 기준의 차이는 약속의 차이이고, “$\lambda/D$쯤”이라는 물리는 같다.

그림 3.6-6. 비결맞은 두 점광원의 에어리 무늬(점선)와 그 합(실선)을 세 간격에서. 1.22λ/D(레일리)에서 가운데가 봉우리의 73.5%로 파이고, 0.95λ/D(스패로)에서 평평해지며, 0.70λ/D에서는 봉우리가 하나뿐이다. 가로축은 λ/D 단위의 각. 조도를 더하는 것이 전제다 — 두 점이 결맞으면 진폭을 더해야 하고 결과가 달라진다(아래 의문).직접 작도

숫자로 — 눈에서 EUV까지

계	$\lambda$	$D$ 또는 $\mathrm{NA}$	레일리 한계 $0.61\lambda/\mathrm{NA}$
사람 눈	550 nm	$D = 2$ mm	$3.4\times10^{-4}$ rad ≈ 1′ (10 m 앞의 3.4 mm)
광학 현미경 (건식)	550 nm	NA 0.95	$0.35\ \mu$m
광학 현미경 (유침)	550 nm	NA 1.4	$0.24\ \mu$m
i선 스테퍼	365 nm	NA 0.6	$0.37\ \mu$m
ArF 건식 스캐너	193 nm	NA 0.93	$0.13\ \mu$m
ArF 액침 스캐너	193 nm	NA 1.35	$87$ nm
EUV 스캐너	13.5 nm	NA 0.33	$25$ nm
High-NA EUV	13.5 nm	NA 0.55	$15$ nm

표의 마지막 열은 두 점을 가르는 기준이다. 리소그래피가 실제로 찍는 것은 두 점이 아니라 주기 격자이고, 격자의 한계는 이것과 다르다 — 9절과 12절에서 보듯 $\pm1$차가 동공에 들어오기만 하면 격자는 결상되어 반주기 $\lambda/(4\mathrm{NA})$까지 내려간다($k_1 = 0.25$). 레일리의 $0.61$과 격자의 $0.25$ 사이가 리소그래피 공학이 지난 30년간 파낸 공간이다. 두 숫자는 서로 모순되지 않는다. 묻는 질문이 다르다 — “고립된 두 점을 가르는가”와 “주기 패턴의 명암이 살아남는가”.

의문

레일리 기준은 비결맞은 두 점의 약속이다 — 결맞으면 어떻게 되는가. 두 점이 같은 위상으로 결맞으면 조도가 아니라 진폭을 더해야 한다. 레일리 간격에서 가운데의 진폭은 $2\times0.606 = 1.21$, 조도는 $1.47$ — 각 봉우리(1.0)보다 가운데가 더 밝다. 두 점은 하나의 덩어리로 보이고 분해되지 않는다. 반대로 두 점의 위상이 $\pi$만큼 다르면 가운데에서 진폭이 정확히 상쇄되어 간격이 아무리 좁아도 가운데가 완벽하게 어둡다. 결맞은 결상에서는 “분해 한계”가 간격만이 아니라 위상에 달린 것이다. 이 사실을 마스크에 새긴 것이 위상 반전 마스크(18.16.2)다 — 이웃한 두 투명 영역의 위상을 $\pi$ 어긋나게 해 사이의 어두운 선을 억지로 만들어 낸다. 리소그래피 조명은 완전 결맞음도 완전 비결맞음도 아닌 그 사이라서(12절), 위상 반전의 효과는 $\sigma$에 따라 달라진다.

초점 심도 — 분해능의 값

개구수를 키우면 원판은 $1/\mathrm{NA}$로 줄지만 초점 심도는 $1/\mathrm{NA}^2$로 준다. 레일리의 초점 기준은 동공 가장자리에서 파면의 처짐이 $\lambda/4$를 넘지 않는 것이다. 초점에서 $\delta z$ 벗어나면 가장자리 광선(각 $\theta_{\max}$)의 경로가 축 광선보다 $\delta z(1 - \cos\theta_{\max}) \simeq \delta z\,\sin^2\theta_{\max}/2$ 만큼 달라지므로

$$\text{DOF} \simeq \pm\frac{\lambda}{2\,\mathrm{NA}^2}$$

3.4.5에서 광선으로 본 초점 심도를 파동으로 다시 쓴 것이다. ArF 액침(NA 1.35)에서 $\pm 53$ nm, EUV (NA 0.33)에서 $\pm 62$ nm, High-NA EUV(0.55)에서 $\pm 22$ nm — 웨이퍼의 평탄도와 레지스트 두께가 이 안에 들어야 한다. 리소그래피는 $\text{DOF} = k_2\lambda/\mathrm{NA}^2$로 쓰고 $k_2$를 조명과 마스크로 밀어 올린다 (18.14.3). 분해능을 위해 $\mathrm{NA}$를 올리면 심도가 제곱으로 사라지는 이 상충이, 파장을 짧게 하는 쪽 (EUV)이 결국 선택된 이유의 절반이다. 10절의 MTF 그림에서 $\lambda/4$ 처짐이 명암을 얼마나 깎는지 직접 본다.

프레넬 회절과 프레넬 존

화면이 가까우면($N_F \gtrsim 1$) 2절의 2차 항을 버릴 수 없다. 무늬는 개구의 그림자와 닮은 채 가장자리에 물결이 서고, 화면을 옮기면 모양이 바뀐다. 이것이 프레넬 회절(근거리장)이다. 적분은 프라운호퍼보다 어렵지만, 프레넬이 만든 두 도구 — 반주기 존과 진동 곡선 — 로 거의 모든 것을 그림으로 읽을 수 있다.

자유롭게 퍼지는 구면파를 존으로 자르기

점광원 $S$에서 나온 구면파의 파면(반지름 $\rho_0$)이 관측점 $P$에서 $r_0$ 떨어져 있다(Hecht §10.3.1). 파면을 $P$까지의 거리가 $r_0 + \lambda/2$, $r_0 + \lambda$, $r_0 + 3\lambda/2, \ldots$인 원으로 자른다. 이 고리들이 프레넬 반주기 존이다. 이웃한 존의 기여는 $P$에서 위상이 $\pi$ 어긋난다 — 그래서 “반주기”. 기하학을 하면 $m$번째 존의 넓이는

$$A_m \simeq \frac{\pi\lambda\,\rho_0 r_0}{\rho_0 + r_0}$$

으로 $m$과 무관하게 같다. 평면파 입사($\rho_0 \to \infty$)면 존 경계의 반지름이

$$R_m \simeq \sqrt{m\,\lambda\,r_0}$$

$R_m^2 \propto m$이니 고리의 넓이 $\pi(R_m^2 - R_{m-1}^2) = \pi\lambda r_0$가 같은 것이다. 이유는 피타고라스다 — $r_m^2 = r_0^2 + R_m^2$에 $r_m = r_0 + m\lambda/2$를 넣고 $(m\lambda/2)^2$을 버리면 $R_m^2 = m\lambda r_0$.

존 $m$이 $P$에 보내는 진폭 $E_m$은 넓이(같다)에 비례하고 거리 $r_m$(천천히 는다)에 반비례하며 경사 인자 $K(\theta_m)$(천천히 준다)이 곱해진다. 그래서 $\lvert E_m\rvert$은 아주 천천히 줄고, 부호는 번갈아 바뀐다. 전체는

$$E = E_1 - E_2 + E_3 - E_4 + \cdots = \frac{E_1}{2} + \Bigl(\frac{E_1}{2} - E_2 + \frac{E_3}{2}\Bigr) + \Bigl(\frac{E_3}{2} - E_4 + \frac{E_5}{2}\Bigr) + \cdots \simeq \frac{E_1}{2}$$

괄호 안은 이웃한 세 항의 느린 변화 때문에 거의 0이다. 결론이 놀랍다 — 가리지 않은 파면 전체가 $P$에 만드는 진폭은 첫 존 하나가 만드는 진폭의 절반이다. 첫 존만 남기고 나머지를 가리면 진폭이 두 배, 조도가 네 배가 된다. 가리는 것이 밝게 만든다.

그림 3.6-7. 왼쪽: 평면파 입사에서 프레넬 반주기 존. 반지름이 √m으로 늘어 고리의 넓이가 πλr₀로 전부 같다. 홀수 존(색)과 짝수 존(흰)은 P에서 위상이 π 어긋난다. 오른쪽: 존들의 기여를 위상자로 이은 진동 곡선. 첫 존이 반 바퀴, 각 존이 반 바퀴씩이고 팔이 천천히 짧아져 나선은 중심으로 감긴다. 출발점에서 첫 존 끝까지의 화살이 첫 존만의 진폭 E₁, 출발점에서 나선의 중심까지가 전체 파면의 진폭이며 후자가 전자의 절반이다. 첫 존만 열면 진폭 2배, 조도 4배.직접 작도

직관

물리적 직관 — 파면에서 “실제로 일하는” 부분은 첫 존이다. 첫 존의 반지름 $\sqrt{\lambda r_0}$ 밖의 파면은 $P$에 거의 아무것도 보태지 않는다. 550 nm 빛이 1 m 떨어진 점을 비추면 $\sqrt{\lambda r_0} = 0.74$ mm — 그 밖을 전부 가려도 $P$는 어두워지지 않는다. 빛이 “직진한다”는 기하광학의 문장은 정확히 이 뜻이다: 관계 있는 것은 축 둘레 $\sqrt{\lambda r_0}$뿐이라서 그 둘레보다 큰 장애물은 그림자를 만들고 작은 것은 못 만든다. 파장 193 nm로 마스크와 웨이퍼를 20 $\mu$m 띄운 근접 노광에서는 $\sqrt{\lambda g} \simeq 2\ \mu$m — 이보다 작은 패턴은 첫 존 안에 들어가 흐려진다. **근접 노광의 분해능 $\sim\sqrt{\lambda g}$**는 프레넬 존 반지름 그대로이고, 이것을 넘으려면 렌즈로 투영해야 한다(18.14). 2절의 프레넬 수 $N_F = (\text{개구 반지름})^2/(\lambda R)$는 “개구가 첫 존 몇 개 크기인가”이고, $N_F \ll 1$은 개구가 첫 존보다 훨씬 작아 개구 안의 위상 변화가 없다는 뜻 — 프라운호퍼 조건이 여기서 뜻을 얻는다.

원형 개구, 원형 장애물, 존판

축 위의 원형 개구. 반지름 $R_a$의 개구가 축 위의 $P$에서 볼 때 존 $m = R_a^2/(\lambda r_0) = N_F$개를 덮는다. $m$이 홀수면 $E \simeq E_1$(밝음), 짝수면 $E \simeq 0$(어두움). $P$를 축을 따라 옮기면 $m$이 바뀌며 축 위 조도가 밝음·어두움을 반복한다 — 렌즈 없이 구멍만으로 초점 비슷한 것이 생겼다 사라졌다 한다 (Hecht §10.3.3). 핀홀 카메라의 최적 구멍 지름이 $\sqrt{\lambda f}$ 근처인 것이 이 때문이다.

원형 장애물 — 푸아송의 점. 반대로 첫 $m$개 존을 가리면 남는 합은 $E_{m+1}/2$이고 이것은 0이 아니다. 불투명한 원판의 그림자 정중앙이 밝다. 1818년 프랑스 아카데미에서 푸아송은 프레넬의 파동 이론이 이 “터무니없는” 결론을 낳는다고 반박했고, 아라고가 실험으로 그 점을 찾아냈다(Hecht §10.3.4). 원판이 정확한 원이고 가장자리가 매끈해야 보인다 — 가장자리 존들이 위상을 맞춰 더해져야 하기 때문이다.

프레넬 존판. 짝수 존을 전부 막으면 남는 홀수 존들은 모두 같은 위상으로 더해진다: $E = E_1 + E_3 + E_5 + \cdots \simeq mE_1$ — 존 $2m$개를 쓰면 진폭 $2m\cdot$(자유 파면의 진폭). 존판은 렌즈다. 초점 거리는 $R_1^2 = \lambda f$에서

$$f_1 = \frac{R_1^2}{\lambda}$$

이고 $f_1/3, f_1/5, \ldots$에도 약한 초점이 있다(각 존이 3개·5개의 홀수 부분 존으로 갈라지는 자리). $f \propto 1/\lambda$라 색수차가 굴절 렌즈와 반대 방향으로 극심하다. 굴절 렌즈를 만들 수 없는 X선·극자외선에서 존판은 유일한 결상 렌즈이고, EUV 마스크 검사 현미경과 X선 현미경의 대물이 바로 이것이다(19.3, 19.7). 가장 바깥 존의 폭 $\Delta R_N$이 분해능을 정한다 — 그것이 곧 존판의 $\lambda/(2\mathrm{NA})$다.

직선 가장자리와 코르뉴 나선

원대칭이 없는 개구 — 슬릿, 직선 가장자리, 직사각형 — 는 존 대신 띠로 자른다. 결과는 두 함수로 쓰인다(Hecht §10.3.6):

$$C(w) = \int_0^w \cos\!\Bigl(\frac{\pi w'^2}{2}\Bigr)dw', \qquad S(w) = \int_0^w \sin\!\Bigl(\frac{\pi w'^2}{2}\Bigr)dw'$$

프레넬 적분이다. $w \to \pm\infty$에서 둘 다 $\pm\tfrac12$로 간다. 평면파가 개구 평면의 $y$ 좌표에서 화면의 $Y$까지 가는 2차 위상 $\pi(y - Y)^2/(\lambda R)$를 $\pi w^2/2$로 놓는 치환

$$w = (y - Y)\sqrt{\frac{2}{\lambda R}}$$

가 이 함수를 부른다. $y$ 구간 $[y_1, y_2]$의 띠가 만드는 진폭은 $[C(w_2) - C(w_1)] + i[S(w_2) - S(w_1)]$에 비례하고, 조도는 그 절댓값의 제곱이다 — 가리지 않은 파면($w_1 = -\infty, w_2 = \infty$) 대비

$$\frac{I}{I_0} = \frac12\Bigl\{\bigl[C(w_2) - C(w_1)\bigr]^2 + \bigl[S(w_2) - S(w_1)\bigr]^2\Bigr\}$$

이 식을 그림 하나로 만든 것이 코르뉴 나선이다: $C(w)$를 가로, $S(w)$를 세로로 그린 곡선(Hecht §10.3.7). 곡선 위의 호의 길이가 $w$이고, 접선의 각이 $\pi w^2/2$라서 $w$가 커질수록 점점 빨리 감겨 $(\pm\tfrac12, \pm\tfrac12)$의 두 눈으로 들어간다. 띠 $[w_1, w_2]$의 진폭은 나선 위 두 점을 잇는 현의 길이다. 7절 앞의 진동 곡선이 원형 존의 나선이었다면, 코르뉴 나선은 직선 띠의 진동 곡선이다.

그림 3.6-8. 왼쪽: 코르뉴 나선. 가로가 C(w), 세로가 S(w), 호의 길이가 w이고 두 끝이 (½, ½)와 (−½, −½)의 눈으로 감긴다. 어떤 띠의 회절 진폭이든 나선 위 두 점 사이의 현이다. 직선 가장자리(반무한 가림막)는 한 끝이 아래 눈에 고정된 현이고, 색으로 그린 현이 첫 극대 v = 1.22의 진폭이다. 오른쪽: 그 조도를 그림자 경계에서 잰 거리 v에 대해. 기하 그림자 안(옅은 띠)에서는 단조롭게 줄고, 경계에서 정확히 1/4이며, 밝은 쪽으로 들어가면 1.37의 첫 극대를 지나 점점 좁아지는 물결을 거쳐 1로 간다. 마스크 가장자리의 상이 정확히 이 곡선이다.직접 작도

직선 가장자리. 반무한 가림막이 $y < 0$을 막으면 $w_1$은 $-Y\sqrt{2/\lambda R}$, $w_2 = \infty$. $v \equiv Y\sqrt{2/\lambda R}$로 쓰고 $C, S$가 홀함수임을 쓰면(Hecht §10.3.9)

$$\frac{I}{I_0} = \frac12\Bigl\{\bigl[C(v) + \tfrac12\bigr]^2 + \bigl[S(v) + \tfrac12\bigr]^2\Bigr\}$$

읽을 것 세 가지. ① 기하학적 그림자의 경계($v = 0$)에서 $I = I_0/4$ — 진폭이 절반이다. 파면의 절반이 가려졌으니 당연하다. ② 밝은 쪽($v > 0$)으로 들어가면 $v = 1.22$에서 $1.37I_0$의 첫 극대, $1.87$에서 $0.78I_0$의 첫 극소, 그 뒤로 진폭이 줄고 간격이 좁아지는 물결 — 나선이 눈 둘레를 돌기 때문이다. ③ 그림자 안($v < 0$)은 물결 없이 단조롭게 어두워진다 — 현의 한 끝이 아래 눈에 고정되고 다른 끝이 눈으로 감겨 들어가면 현은 진동 없이 짧아지기만 한다.

직관

그래프 직관 — 왜 물결이 밝은 쪽에만 서는가, 그리고 리소그래피에 무슨 뜻인가. 코르뉴 나선에서 현의 움직이는 끝이 위쪽 눈 둘레를 도는 동안 현의 길이가 오르내리고, 아래쪽 눈으로 감겨 들어가는 동안은 짧아지기만 한다. 물결의 간격은 $v$ 단위로 대략 일정하니 실제 길이로는 $\sqrt{\lambda R/2}$ 척도 — 프레넬 존의 크기다. 물결의 첫 봉우리가 경계에서 $1.22\sqrt{\lambda R/2}$ 떨어져 있다는 것은, 마스크 가장자리의 상에서 “가장자리가 어디인가”를 조도 문턱으로 정하면 그 위치가 $\lambda R$에 따라 움직인다는 뜻이다. 근접 노광에서 간격 $g$가 조금만 달라져도 선폭이 달라진 이유이고, 투영 노광에서도 초점 이탈이 같은 일을 한다. 레지스트가 $I_0/4$ 근처의 문턱을 갖도록 노광량을 맞추면 상의 가장자리가 기하 그림자 경계에 온다 — 18.15의 콘트라스트 곡선이 이 조도 곡선 위에 얹힌다.

슬릿과 직사각형. 폭 $b$의 슬릿은 $w_{1,2} = (\mp b/2 - Y)\sqrt{2/\lambda R}$인 현이고, 그림 3.6-2의 네 곡선이 그 값이다. 프레넬 수가 크면($w_2 - w_1$이 크면) 현의 두 끝이 각각 두 눈 근처에 있어 슬릿 안에서 물결치는 그림자를 만들고, 프레넬 수가 작으면 현이 짧아 나선의 원점 근처 — 거의 직선 구간 — 만 쓰게 되고, 그때 나선은 $w$에 대해 선형이라 진폭이 $w_2 - w_1$에 비례하는 sinc 꼴로 넘어간다. 직사각형은 두 방향의 현 길이의 곱이다.

바비네의 원리

개구 $\Sigma_1$과, 정확히 그 부분만 막고 나머지를 연 상보 화면 $\Sigma_2$를 생각한다. 둘을 겹치면 가리는 곳이 없으니 두 회절장의 합은 가리지 않은 장이다: $\tilde E_1 + \tilde E_2 = \tilde E_0$(Hecht §10.3.11). 가리지 않은 장이 0인 곳 — 프라운호퍼 배치에서 축 밖 어디나 — 에서 $\tilde E_1 = -\tilde E_2$, 즉 가는 철사와 같은 폭의 슬릿은 축 밖에서 같은 회절 무늬를 만든다. 웨이퍼 위의 미세 입자(불투명 장애물)가 산란하는 빛은 같은 크기의 구멍이 회절하는 빛과 같다 — 0차(정반사)만 걷어 낸 암시야에서 입자를 찾는 결함 검사기(19.7)의 원리이고, 입자 크기가 파장 아래로 내려가면 회절이 아니라 산란(레일리, $\propto d^6$) 영역으로 넘어가 신호가 급격히 사라지는 이유가 8절의 각 스펙트럼에 있다.

키르히호프 스칼라 회절 이론

프레넬의 원리는 세 가지를 가정했다 — 2차 파원, 경사 인자 $K(\theta)$, 그리고(7절의 계산이 자유 파면을 재현하려면 필요한) 2차 파의 진폭 $1/\lambda$과 위상 $90°$ 앞섬. 키르히호프(1882)는 이 셋을 파동 방정식에서 끌어냈다. 유도는 그린 정리 하나이고, 결과는 이 장의 모든 적분이 나오는 원천이다.

헬름홀츠–키르히호프 적분 정리

빛의 전기장 한 성분을 스칼라 $\tilde E(\mathbf r)e^{-i\omega t}$로 쓴다(편광을 버리는 대가는 절 끝에서). 공간 부분은 헬름홀츠 방정식 $(\nabla^2 + k^2)\tilde E = 0$을 만족한다(1.8.6자유공간 그린 함수와 헬름홀츠 방정식). 관측점 $P$를 둘러싼 닫힌 곡면 $S$에 그린 정리(1.1.7발산정리와 스토크스 정리)

$$\iiint_V \bigl(U\nabla^2 G - G\nabla^2 U\bigr)dV = \oiint_S \Bigl(U\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial U}{\partial n}\Bigr)dS$$

를 $U = \tilde E$, $G = e^{ikr}/r$($r$은 $P$에서 잰 거리 — 자유공간 헬름홀츠 방정식의 그린 함수)에 적용한다. $G$는 $P$에서 발산하므로 $P$ 둘레의 작은 구를 파내고 그 반지름을 0으로 보내면 좌변은 0, 작은 구의 기여는 $-4\pi\tilde E(P)$가 되어(Hecht §10.4)

$$\tilde E(P) = \frac{1}{4\pi}\oiint_S \Bigl[\tilde E\,\frac{\partial}{\partial n}\Bigl(\frac{e^{ikr}}{r}\Bigr) - \frac{e^{ikr}}{r}\frac{\partial \tilde E}{\partial n}\Bigr]dS$$

닫힌 곡면 위의 장과 그 법선 도함수를 알면 안쪽 어디의 장이든 정해진다. 곡면의 각 점이 $e^{ikr}/r$ — 구면파 — 를 내보내는 꼴로 식이 쓰였다는 것이 하위헌스 원리의 수학적 실체다.

키르히호프의 경계 조건과 프레넬–키르히호프 공식

곡면 $S$를 개구 $\Sigma$ + 가림막의 뒷면 + 멀리 있는 큰 반구로 잡는다. 키르히호프의 가정: ① 개구 위에서 $\tilde E$와 $\partial\tilde E/\partial n$은 가림막이 없을 때의 입사파와 같다, ② 가림막 뒷면에서는 둘 다 0, ③ 큰 반구의 기여는 사라진다(나가는 파만 있다는 조머펠트 복사 조건). 점광원 $S$의 입사파 $\varepsilon_0 e^{ik\rho}/\rho$를 넣고 $k\rho, kr \gg 1$을 쓰면(Hecht §10.4)

$$\tilde E(P) = -\frac{i\,\varepsilon_0}{2\lambda}\iint_{\Sigma}\frac{e^{ik(\rho + r)}}{\rho\, r}\Bigl[\cos(\hat n, \mathbf r) - \cos(\hat n, \boldsymbol\rho)\Bigr]dS$$

프레넬–키르히호프 회절 공식이다. 읽어 보면 프레넬의 가정 셋이 전부 들어 있다.

• $\dfrac{\varepsilon_0 e^{ik\rho}}{\rho}\cdot\dfrac{e^{ikr}}{r}\,dS$ — 개구의 면적소 $dS$가 입사파의 진폭에 비례하는 구면파를 낸다. 2차 파원.
• $\tfrac12\bigl[\cos(\hat n, \mathbf r) - \cos(\hat n, \boldsymbol\rho)\bigr]$ — 수직 입사($\cos(\hat n, \boldsymbol\rho) = -1$)면 $\tfrac12(1 + \cos\theta) = K(\theta)$. 경사 인자가 유도되었다. 뒤로($\theta = \pi$) 0.
• $-\dfrac{i}{\lambda} = \dfrac{1}{\lambda}e^{-i\pi/2}$ — 2차 파의 진폭에 $1/\lambda$이 붙고 위상이 4분의 1주기 앞선다(부호는 시간 인자 $e^{-i\omega t}$의 관습에 따른다). 프레넬이 7절의 계산을 자유 파면과 맞추려고 손으로 넣어야 했던 두 인자다.

그림 3.6-9. 프레넬–키르히호프 공식의 기하. 점광원 S에서 개구 Σ 위의 면적소 dS까지 ρ, dS에서 관측점 P까지 r. n̂은 개구의 법선(P 쪽), (n̂, r)은 n̂과 r 사이의 각, (n̂, ρ)는 n̂과 ρ 사이의 각으로 S가 뒤에 있으면 둔각이다. 대괄호의 두 코사인 차가 경사 인자의 두 배이고, 수직 입사면 1 + cos θ가 된다.직접 작도

직관

왜 $1/\lambda$이고 왜 $-i$인가. 7절에서 첫 존의 넓이는 $\pi\lambda r_0$ — 파장에 비례한다. 2차 파원의 세기가 넓이에 비례하면 자유 파면이 $P$에 만드는 진폭이 $\lambda$에 비례해 버린다. 자유 파면의 진폭은 파장과 무관해야 하므로 면적소당 진폭에 $1/\lambda$이 붙어야 한다. $-i$는 진동 곡선(그림 3.6-7)의 기하다 — 나선의 중심(전체 합)은 출발점에서 본 첫 존의 방향과 $90°$ 다르다. 2차 파들이 그 각만큼 앞서야 합이 원래 파의 위상이 된다. 키르히호프 공식은 이 둘을 계산 없이 준다.

무엇이 틀렸고, 어디까지 믿는가

키르히호프 이론은 수학적으로 모순이다. 헬름홀츠 방정식의 해가 어떤 유한한 면에서 값과 법선 도함수가 동시에 0이면 그 해는 어디서나 0이다(해석함수의 일치 정리와 같은 성질). 가림막 뒷면의 조건 ②가 정확하다면 개구의 장도 0이어야 한다. 게다가 이 공식이 주는 해를 개구 평면으로 되돌려 계산하면 넣었던 경계 조건이 재현되지 않는다. 조머펠트와 레일리는 그린 함수를 바꿔 이를 고쳤다 — $G_\mp = e^{ikr}/r \mp e^{ikr'}/r'$ ($r'$은 개구 평면에 대한 $P$의 거울상까지의 거리)를 쓰면 개구 평면에서 $G$ 또는 $\partial G/\partial n$이 0이라 $\tilde E$ 하나만(또는 $\partial\tilde E/\partial n$ 하나만) 지정하면 된다. 결과는 경사 인자만 다르다:

이론	경계에서 지정하는 것	경사 인자 (수직 입사)
키르히호프	$\tilde E$와 $\partial\tilde E/\partial n$ 둘 다	$\tfrac12(1 + \cos\theta)$
레일리–조머펠트 I	$\tilde E$만	$\cos\theta$
레일리–조머펠트 II	$\partial\tilde E/\partial n$만	$1$

키르히호프의 것은 둘의 평균이다. 작은 각에서 셋은 같고, 개구가 파장보다 훨씬 크고 관측점이 가림막에서 파장의 몇 배 이상 떨어져 있으면 셋 다 실험과 맞는다. 차이는 큰 각과 개구 바로 뒤에서만 난다. 개구 자체가 파장 크기이면 세 이론 모두 틀린다 — 개구 안의 실제 장이 입사파와 다르기 때문이다 (가장자리에서 파장 안쪽 범위가 그렇다는 것을 조머펠트의 반평면 엄밀해가 보여 준다).

주의

리소그래피 마스크는 이 경계에 있다. 4배 축소 마스크에서 웨이퍼의 40 nm 선은 마스크 위 160 nm — ArF의 $0.83\lambda$다. EUV에서는 흡수체 두께 $\sim 60$ nm가 $4\lambda$가 넘고 빛이 6° 비스듬히 들어온다. 마스크를 “투과율 함수 $\mathcal A(y,z)$가 새겨진 얇은 판”으로 보는 것 — 얇은 마스크(키르히호프) 근사 — 은 이때 정량적으로 어긋나고, 그 어긋남을 마스크 3차원 효과라 부른다(상의 위치 이동, 초점에 따른 선폭 변화, 편광 의존). 리소그래피 시뮬레이터(18.15.11)는 빠른 계산에는 키르히호프 근사를, 정밀 계산에는 맥스웰 방정식을 직접 푸는 FDTD·RCWA를 쓴다. 이 절의 이론이 어디서 끝나는지를 아는 것이 그 선택의 근거다.

편광을 버린 값. 스칼라 이론은 $\mathbf E$의 한 성분만 본다. 두 빔이 큰 각 $2\theta$로 만나 간섭할 때, 편광이 입사면에 수직(TE, s)이면 두 $\mathbf E$가 평행해 완전히 간섭하지만, 입사면 안(TM, p)이면 두 $\mathbf E$ 사이의 각이 $2\theta$라 간섭항에 $\cos 2\theta$가 곱해진다. 액침 스캐너(NA 1.35, 레지스트 안에서 $\sin\theta \simeq 0.8$)에서는 TM 성분의 명암이 거의 사라져, 조명을 편광시켜야 한다(18.14.7). 스칼라 이론이 놓치는 첫 번째 물리가 이것이다.

프레넬 근사, 프라운호퍼 근사, 각 스펙트럼 — 한 적분의 세 얼굴

개구를 $x = 0$ 평면에, 관측점을 $(X, Y, Z)$에 둔다. $r = \sqrt{X^2 + (Y - y)^2 + (Z - z)^2}$을 $X$ 주위로 전개해 위상에는 2차 항까지, 진폭에는 $r \simeq X$, 경사 인자는 1로 두면 프레넬 근사:

$$\tilde E(Y, Z) = \frac{-i\,e^{ikX}}{\lambda X}\iint \tilde E(y, z)\; \exp\!\Bigl\{\frac{ik}{2X}\bigl[(Y - y)^2 + (Z - z)^2\bigr]\Bigr\}dy\,dz$$

개구의 장과 2차 위상 핵의 합성곱이다 — 7절의 프레넬 적분은 이 적분을 직사각형에서 계산한 것이고, 치환 $w = (y - Y)\sqrt{2/\lambda X}$가 그 핵을 $e^{i\pi w^2/2}$로 만든다. 지수의 제곱을 풀면 $(Y - y)^2 = Y^2 - 2Yy + y^2$. $y^2$ 항이 개구 전체에서 $k(y^2 + z^2)_{\max}/2X \ll \pi$이면 — $N_F \ll 1$ — 버릴 수 있고, 남는 것은

$$\tilde E(Y, Z) \propto \iint \tilde E(y, z)\,e^{-ik(Yy + Zz)/X}\,dy\,dz$$

프라운호퍼 근사, 2절의 푸리에 변환이다(지수의 부호는 관습이고 무늬는 같다). 두 근사가 한 적분의 두 단계라는 것, 갈림길이 프레넬 수라는 것이 이제 분명하다.

셋째 얼굴은 근사가 아니다. 평면 $x = 0$의 장을 평면파들의 합으로 쓴다:

$$\tilde E(y, z; 0) = \iint A(f_Y, f_Z)\,e^{\,i2\pi(f_Y y + f_Z z)}\,df_Y\,df_Z$$

$A$는 그 평면 장의 푸리에 변환 — 각 스펙트럼이다. 공간 주파수 $(f_Y, f_Z)$의 성분은 방향 코사인 $(\lambda f_Y, \lambda f_Z)$로 나가는 평면파 한 장이고, 헬름홀츠 방정식을 만족하려면 $x$ 방향 파수가

$$k_x = k\sqrt{1 - \lambda^2\bigl(f_Y^2 + f_Z^2\bigr)}$$

여야 한다. 거리 $x$를 간 장은 성분마다 $e^{ik_x x}$를 곱해 다시 합치면 된다 — 근사 없이 레일리–조머펠트 I과 같다. 그리고 여기서 이 장의 가장 깊은 문장이 나온다: $\lambda^2(f_Y^2 + f_Z^2) > 1$이면 $k_x$가 허수이고 그 성분은 $e^{-\lvert k_x\rvert x}$로 파장 거리 안에서 죽는다 — 소멸파다.

직관

물리적 직관 — 분해 한계의 뿌리. 공간 주파수 $1/\lambda$보다 높은 성분, 즉 파장보다 가는 구조의 정보는 먼 곳으로 전파되지 않는다. 렌즈가 아무리 좋아도 그 정보는 렌즈에 닿기 전에 개구 평면 근처에서 사라진다. 6절의 레일리 한계, 10절의 차단 주파수 $2\mathrm{NA}/\lambda$는 전부 이 사실의 다른 표현이다 ($\mathrm{NA} \le n$이므로). 매질의 굴절률이 $n$이면 파장이 $\lambda/n$으로 줄어 한계가 $n/\lambda$로 올라간다 — 액침 리소그래피가 렌즈와 웨이퍼 사이를 물($n = 1.44$)로 채워 얻는 이득이 정확히 이것이고, 그래서 $\mathrm{NA} = 1.35 > 1$이 가능하다. 소멸파를 파장 안쪽에서 직접 집으면 한계를 넘는다 — 근접장 주사 광학 현미경(NSOM)과, 마스크 뒷면 파장 거리에 웨이퍼를 붙이는 접촉 노광이 그 경우다. 바비네의 원리 끝에서 말한 “파장보다 작은 입자의 신호가 급격히 사라지는” 이유도 같다 — 그 입자의 회절장은 대부분 소멸파다.

푸리에 광학과 공간 주파수

2절 끝과 8절 끝에서 두 번 마주쳤다 — 프라운호퍼 무늬는 개구 함수의 푸리에 변환이고, 평면 위의 장은 평면파(공간 주파수 성분)의 합이다. 이 절은 그 사실을 언어로 삼는다. 물체를 사인파 격자의 합으로 보고, 렌즈가 그 성분들 각각에 무엇을 하는지를 따라가면 결상 이론이 통째로 나온다(Hecht Ch.11).

공간 주파수

투과율이 $y$ 방향으로 주기 $p$의 사인파로 변하는 격자를 생각한다. 그 공간 주파수는 $f_Y = 1/p$, 단위는 cycles/mm 또는 lp/mm(line pairs per mm)다. 2차원에서는 방향이 있어 $(f_Y, f_Z)$ 한 쌍이 한 사인파를 정한다 — 줄무늬가 $(f_Y, f_Z)$ 벡터에 수직으로 서고 주기는 $1/\sqrt{f_Y^2 + f_Z^2}$. Hecht는 각 공간 주파수 $k_Y = 2\pi f_Y$(rad/mm)를 쓴다. 두 표기의 관계는 시간 영역의 $\omega = 2\pi\nu$와 같다.

공간 주파수가 방향이라는 것을 8절이 이미 말했다: 성분 $(f_Y, f_Z)$는 방향 코사인 $(\lambda f_Y, \lambda f_Z)$로 나가는 평면파다. 주기 $p$의 격자가 $\sin\theta_1 = \lambda/p$로 1차 회절하는 것(5절)은 이 문장의 특수한 경우다. 공간 주파수 $f$ 하나가 회절각 $\sin\theta = \lambda f$ 하나다. 이 대응 때문에 “물체의 어떤 주파수까지 렌즈에 들어가는가”가 “어떤 각까지 렌즈가 받는가”, 즉 $\mathrm{NA}$가 된다.

푸리에 변환 — 이 장에 필요한 만큼

2차원 함수 $g(y, z)$의 푸리에 변환과 역변환을

$$\tilde g(f_Y, f_Z) = \iint g(y, z)\,e^{-i2\pi(f_Y y + f_Z z)}\,dy\,dz, \qquad g(y, z) = \iint \tilde g(f_Y, f_Z)\,e^{\,i2\pi(f_Y y + f_Z z)}\,df_Y\,df_Z$$

로 정의한다(지수에 $2\pi$를 넣어 상수가 붙지 않는 꼴 — 1.10에서 다시 정리한다). 이 장에서 실제로 쓰는 쌍은 다섯 개다.

개구 함수 $g(y)$	변환 $\tilde g(f_Y)$	어디서
폭 $b$의 직사각형 $\operatorname{rect}(y/b)$	$b\,\operatorname{sinc}(\pi b f_Y)$	단일 슬릿(2절)
간격 $a$의 두 점 $\delta(y - \tfrac a2) + \delta(y + \tfrac a2)$	$2\cos(\pi a f_Y)$	영의 무늬(3절)
주기 $a$의 빗 $\sum_m \delta(y - ma)$	주기 $1/a$의 빗 $\tfrac1a\sum_m\delta(f_Y - \tfrac ma)$	격자 차수(5절)
지름 $D$의 원	$\tfrac{\pi D^2}{4}\cdot\dfrac{2J_1(\pi D f)}{\pi D f}$	에어리(4절)
가우스 $e^{-\pi y^2/w^2}$	$w\,e^{-\pi w^2 f_Y^2}$	레지스트 번짐(10절)

정리 넷. ① 이동 → 위상. $g(y - y_0)$의 변환은 $\tilde g\,e^{-i2\pi f_Y y_0}$ — 절댓값이 같다. 개구를 옆으로 옮겨도 프라운호퍼 조도 무늬는 움직이지 않는다(위상만 바뀐다). ② 축척 → 역축척. $g(y/b)$의 변환은 $b\,\tilde g(bf_Y)$ — 개구를 넓히면 무늬는 좁아진다. 2절의 역수 관계다. ③ 합성곱 → 곱. $(g \ast h)$의 변환은 $\tilde g\,\tilde h$. 3절의 “왜 곱인가”다. ④ 파세발. $\iint\lvert g\rvert^2 = \iint\lvert\tilde g\rvert^2$ — 무늬 전체의 에너지는 개구를 지난 에너지다. 회절은 에너지를 재배치할 뿐 만들거나 없애지 않는다.

직관

수학적 직관 — 격자 하나로 3절과 5절을 동시에. 폭 $b$의 슬릿 $N$개가 주기 $a$로 늘어선, 전체 폭 $W = Na$의 격자를 함수로 쓰면

$$g = \bigl[\operatorname{comb}_a \times \operatorname{rect}_W\bigr] \ast \operatorname{rect}_b$$

— 빗을 폭 $W$로 자르고(유한한 격자), 각 이에 폭 $b$의 슬릿을 심는다(합성곱). 변환하면 곱은 합성곱으로, 합성곱은 곱으로:

$$\tilde g = \bigl[\operatorname{comb}_{1/a} \ast \operatorname{sinc}_W\bigr] \times \operatorname{sinc}_b$$

읽으면 5절과 3절 전부다. $\operatorname{comb}_{1/a}$: 주 극대가 $f_Y = m/a$, 즉 $a\sin\theta = m\lambda$에. $\ast\operatorname{sinc}_W$: 각 주 극대가 폭 $1/W$로 번진다 — $\Delta\theta = \lambda/(W\cos\theta)$, 분해능 $mN$의 근원. $\times\operatorname{sinc}_b$: 전체가 슬릿 하나의 포락선에 눌려 $m/a = m'/b$인 차수가 결손. 세 인자가 세 절이다.

렌즈는 푸리에 변환을 한다 — 아베의 결상 이론

2절에서 렌즈는 “방향을 위치로” 바꾸었다. 방향이 공간 주파수이므로, 렌즈는 공간 주파수를 위치로 바꾼다. 초점 거리 $f$의 렌즈 앞에 결맞은 평면파로 비춘 투과 물체 $\mathcal A(y,z)$를 두면 뒤 초점면의 장은

$$\tilde E(Y, Z) \propto \tilde{\mathcal A}\!\Bigl(\frac{Y}{\lambda f}, \frac{Z}{\lambda f}\Bigr)$$

뒤 초점면이 곧 푸리에 평면이고, 거기 맺힌 것이 물체의 스펙트럼이다. 주기 $p$의 격자라면 점 $Y_m = m\lambda f/p$들 — 5절의 회절 차수 — 이 찍힌다. 물체가 렌즈의 앞 초점면에 있으면 위상까지 정확한 변환이 되고, 그렇지 않으면 2차 위상 인자가 붙지만 조도 무늬는 같다.

아베(1873)는 현미경의 상이 이 스펙트럼에서 만들어진다고 보았다. 빛은 푸리에 평면에서 멈추지 않고 계속 가 상면에 모인다. 상면에서 각 차수는 다시 평면파가 되어 서로 간섭하고, 그 간섭 무늬가 상이다. 따라서 상은 렌즈의 동공을 통과한 스펙트럼 성분만의 역변환이다. 두 렌즈를 초점 거리만큼씩 띄운 4f 계로 그리면 첫 렌즈가 변환, 둘째 렌즈가 역변환을 하고 가운데 평면에 손을 댈 수 있다.

그림 3.6-10. 아베의 결상. 주기 p의 격자 물체에서 나온 회절 차수들이 첫 렌즈를 지나 후초점면에 점으로 맺힌다 — 물체의 스펙트럼이다. 후초점면의 동공(NA)이 |sinθ| = |m|λ/p가 큰 차수를 막고, 통과한 0, ±1차만 둘째 렌즈를 지나 상면에서 다시 간섭한다. 세 차수의 간섭은 사인파이므로, 물체가 날카로운 사각 격자였어도 상은 사인파다. ±1차마저 동공 밖이면 상은 균일한 회색이 되어 격자가 사라진다.직접 작도

이 그림에서 리소그래피의 문장들이 나온다.

• 격자가 보이려면 $\pm1$차가 동공에 들어와야 한다. 조건은 $\sin\theta_1 = \lambda/p < \mathrm{NA}$, 즉 $p > \lambda/\mathrm{NA}$. 0차만 남으면 상은 균일한 회색이다 — 격자 정보가 사라진다. 이것이 결맞은 수직 조명의 한계이고, 비스듬히 비춰 0차를 동공 한쪽 끝에, $+1$차를 반대쪽 끝에 두면 $p_{\min} = \lambda/(2\mathrm{NA})$까지 간다 — 아베의 한계, 반주기 $\lambda/(4\mathrm{NA})$, $k_1 = 0.25$다. 12절에서 부분 결맞음 조명으로 다시 유도한다.
• 0, ±1차만 통과하면 상은 사인파다. 물체의 날카로운 가장자리는 고차 성분에 실려 있고, 그것이 잘리면 가장자리가 흐려진다. 사인파 조도가 사각형 레지스트 패턴이 되는 것은 광학이 아니라 레지스트의 비선형 문턱(18.15의 콘트라스트 곡선)이 하는 일이다.
• 0차를 막으면 주기가 반이 된다. $\pm1$차만 남으면 상의 진폭은 $\cos(2\pi y/p)$, 조도는 $\cos^2 = \tfrac12[1 + \cos(4\pi y/p)]$ — 주파수가 두 배. 암시야 현미경이 가장자리만 밝게 보는 이유이고, 두 빔 간섭 노광이 마스크 없이 $\lambda/(2\mathrm{NA})$ 피치를 찍는 원리다.
• 위상 물체. 투과율의 크기는 같고 위상만 다른 물체(투명한 세포, 위상 반전 마스크)는 상의 조도에 아무 흔적을 남기지 않는다 — 진폭이 $e^{i\phi(y)} \simeq 1 + i\phi$이고 조도는 $1 + \phi^2$이라 1차에서 보이지 않는다. 제르니케는 푸리에 평면에서 0차의 위상만 $\pi/2$ 돌려 $1 + \phi$로 바꾸었다 — 위상차 현미경(1953년 노벨상). 푸리에 평면에 손을 대는 것을 공간 필터링이라 부른다.

직관

공간적 직관 — 동공은 저역 통과 필터다. 푸리에 평면에서 렌즈 동공은 반지름 $\mathrm{NA}/\lambda$(공간 주파수 단위)의 원이다. 그 안의 주파수는 지나가고 밖은 잘린다. 상은 물체를 이 원으로 대역 제한한 것이다. 파라미터 연계는 세 개뿐이다 — $p$를 줄이면 차수가 벌어져 원 밖으로 나가고, $\lambda$를 줄이면 차수가 원 안으로 모이며, $\mathrm{NA}$를 키우면 원이 커진다. $\mathrm{NA}/\lambda$가 화폐 단위라는 4절의 말이 여기서는 문자 그대로 원의 반지름이다. 반도체 계측 두 곳이 이 그림을 직접 쓴다. 스캐터로메트리(19.3.5)는 격자의 회절 차수 세기·편광을 재서 격자의 단면 모양을 거꾸로 푼다 — 상을 만들지 않고 스펙트럼을 읽는다. 메모리 셀처럼 완전히 주기적인 패턴의 결함 검사(19.7)는 푸리에 평면에 빗 모양 차단막을 두어 주기 성분(정상 패턴)을 지우고 비주기 성분(결함)만 통과시킨다 — 공간 필터링이 검사기 안에 들어 있다.

MTF와 PSF

결상은 선형계다

9절은 결맞은 빛의 이야기였다 — 진폭이 더해졌다. 현미경으로 시료를 보거나 카메라로 풍경을 찍을 때 물체의 각 점은 서로 비결맞음이고, 그때는 조도가 더해진다. 어느 쪽이든 결상은 선형이고, 상면 안의 작은 영역(등평면 영역)에서는 이동 불변 — 물체점을 옮기면 상점도 모양 그대로 옮겨간다. 선형 이동 불변계는 임펄스 응답과 합성곱 하나로 전부 기술된다(Hecht §11.3, 1.10.5).

점광원의 상 — 임펄스 응답 — 이 점 퍼짐 함수(PSF) $\mathcal S(Y, Z)$다. 수차 없는 원형 동공이면 4절의 에어리 무늬다. 비결맞은 물체 $I_o$의 상은(배율은 물체 좌표를 미리 늘려 없앤다)

$$I_i(Y, Z) = \iint I_o(y, z)\,\mathcal S(Y - y, Z - z)\,dy\,dz = I_o \ast \mathcal S$$

물체의 모든 점이 자기 자리에 에어리 원판을 하나씩 놓고, 그 원판들이 겹쳐 쌓인 것이 상이다. 결맞은 물체는 같은 식이 진폭에서 성립한다: $\tilde E_i = \tilde E_o \ast \tilde h$, $\tilde h$는 진폭 PSF이고 $\mathcal S = \lvert\tilde h\rvert^2$.

광학 전달 함수 — 합성곱을 곱으로

합성곱의 변환은 곱이다. 상과 물체의 스펙트럼 사이에

$$\tilde I_i(f_Y, f_Z) = \tilde I_o(f_Y, f_Z)\;\mathcal T(f_Y, f_Z), \qquad \mathcal T \equiv \frac{\mathcal F\{\mathcal S\}}{\iint\mathcal S}$$

$\mathcal T$가 광학 전달 함수(OTF)다. 0 주파수에서 1이 되게 정규화했고 — 균일한 밝기는 그대로 전달된다 — 일반적으로 복소수라

$$\mathcal T = \mathcal M\,e^{i\Phi}$$

로 쓴다. 크기 $\mathcal M$이 변조 전달 함수(MTF), 위상 $\Phi$가 위상 전달 함수(PTF)다. 뜻은 사인파 물체 하나로 보면 된다. 공간 주파수 $f$, 변조(가시도) $\mathcal V_o = (I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$인 사인파 격자를 결상하면 상도 같은 주파수의 사인파이고 그 변조는

$$\mathcal V_i(f) = \mathcal M(f)\,\mathcal V_o$$

MTF는 주파수마다 사인파의 명암이 얼마나 살아남는가이고, PTF는 그 사인파가 옆으로 얼마나 밀렸는가다. “명암”이 11절의 가시도와 같은 정의라는 것을 기억해 둔다 — 같은 물건이 두 절에서 다른 이름으로 나온다.

동공의 자기상관

수차 없는 계의 OTF는 계산하지 않고 그릴 수 있다. 진폭 PSF $\tilde h$는 동공 함수 $P$의 푸리에 변환이다 (9절 — 동공을 개구로 보면 그 프라운호퍼 무늬가 점의 상). $\mathcal S = \lvert\tilde h\rvert^2$의 변환은 상관 정리로 $P$의 자기상관이다(1.10.5):

$$\mathcal T(f_Y, f_Z) = \frac{\iint P(\xi, \eta)\,P^*(\xi - \lambda f\,f_Y,\ \eta - \lambda f\,f_Z)\,d\xi\,d\eta}{\iint\lvert P\rvert^2}$$

기하학적으로는 동공 원 두 개를 $f$에 비례해 벌렸을 때 겹치는 넓이다. 공간 주파수 단위에서 동공의 반지름은 $\mathrm{NA}/\lambda$이므로, 두 원은 $f = 2\mathrm{NA}/\lambda$에서 떨어진다 — 비결맞음 차단 주파수. 원형 동공의 겹침 넓이를 계산하면(두 원의 렌즈 모양 넓이)

$$\mathcal M(s) = \frac{2}{\pi}\Bigl[\cos^{-1}s - s\sqrt{1 - s^2}\Bigr], \qquad s = \frac{f}{2\mathrm{NA}/\lambda}$$

원점에서 기울기가 $-4/\pi$로 바로 떨어지기 시작해 차단에서 0에 닿는 볼록한 곡선이다. 결맞은 결상은 다르다 — 진폭에서 선형이므로 전달 함수는 $\tilde h$의 변환, 즉 동공 함수 그 자체: 반지름 $\mathrm{NA}/\lambda$ 안에서 1, 밖에서 0인 계단이다.

그림 3.6-11. 원형 동공의 전달 함수. 결맞음 결상의 진폭 전달 함수는 동공 자체 — NA/λ까지 1이고 그 뒤 0인 계단(색 점선). 비결맞음 결상의 MTF는 동공의 자기상관 — 2NA/λ까지 볼록하게 떨어지는 곡선(실선). 차단 주파수는 두 배지만 그 근처의 명암은 0에 가깝다. 초점 흐림은 동공에 2차 위상을 얹어 곡선을 끌어내린다 — 가장자리 파면 처짐 W₂₀ = λ/4(점선)에서 조금, λ/2(일점쇄선)에서 중간 주파수의 명암이 거의 0까지. 차단 주파수 자체는 변하지 않는다.직접 작도

의문

비결맞음의 차단 주파수가 두 배인데, 비결맞음 결상이 두 배 좋은가. 아니다. 두 배가 되는 이유는 조도가 진폭의 제곱이라서다 — $f_1$과 $f_2$의 두 진폭 성분을 제곱하면 $f_1 + f_2$의 성분이 생긴다. 동공 가장자리 $\mathrm{NA}/\lambda$ 근처의 두 진폭 성분이 만나 $2\mathrm{NA}/\lambda$의 조도 성분을 만들지만, 그 크기는 겹친 넓이만큼 — 거의 0이다. 결맞은 결상은 $\mathrm{NA}/\lambda$까지 명암 1을 유지하고 그 위는 아예 없다. 비결맞은 결상은 더 높이 가되 가면서 명암을 잃는다. 어느 쪽이 “좋은가”는 물체의 어느 주파수에 관심이 있는가에 달렸다. 리소그래피 조명은 이 둘 사이($\sigma$)에 있고, 12절이 보듯 부분 결맞음 결상에는 이런 단일 전달 함수가 아예 존재하지 않는다 — 조도가 물체에 대해 비선형이라서다.

수차와 초점 이탈 — 동공에 위상이 얹히면

렌즈가 완벽하지 않으면 동공 함수에 파면 오차 $W(\xi, \eta)$가 위상으로 붙는다: $P \to P\,e^{ikW}$. 초점 이탈은 가장 단순한 수차 $W = W_{20}\,\rho^2$($\rho$는 동공 반지름 단위)이고, 6절의 레일리 기준은 $W_{20} = \lambda/4$다. 자기상관의 피적분 함수에 $e^{ik[W(\xi) - W(\xi')]}$가 곱해져 겹침이 상쇄되며 MTF가 내려앉는다 — 그림 3.6-11의 두 점선. 차단 주파수는 변하지 않는다(동공의 크기는 그대로다). 깎이는 것은 중간 주파수의 명암이고, 초점 이탈이 $\lambda/2$를 훌쩍 넘으면 OTF가 음수가 되어 명암이 뒤집힌다 — 검은 줄이 있어야 할 자리가 희어지는 가짜 분해다.

한 숫자로 요약하는 척도가 스트렐 비(Strehl ratio) $S$ — PSF 봉우리의 높이를 수차 없는 값으로 나눈 것. 파면 오차의 rms $\sigma_W$가 작으면 마레샬 근사 $S \simeq 1 - (2\pi\sigma_W/\lambda)^2$가 성립하고, $S \ge 0.8$ ($\sigma_W \le \lambda/14$)이면 “회절 한계”라 부른다. 리소그래피 투영 렌즈는 $\sigma_W$가 수 m$\lambda$ — 파장의 1/1000 수준 — 이고, 그 잔여 수차를 제르니케 다항식으로 분해해 관리한다(18.14.1).

직관

파라미터 연계 — MTF는 곱해진다. 선형 이동 불변계를 직렬로 이으면 합성곱이 겹치고, 주파수 영역에서는 MTF가 곱해진다. 리소그래피 상의 명암은 (렌즈 MTF) × (레지스트 번짐) × (…)이다. 화학증폭형 레지스트에서 산이 확산 길이 $\sigma$만큼 번지는 것은 가우스 합성곱이고, 그 MTF는 $e^{-2\pi^2\sigma^2 f^2}$ — 피치 $p$의 패턴에서 $e^{-2\pi^2\sigma^2/p^2}$. $\sigma = 5$ nm, $p = 40$ nm이면 $0.73$: 렌즈가 완벽해도 명암의 27%가 레지스트에서 사라진다(18.15). CD-SEM은 전자 빔의 점 크기가 PSF이고 검출기의 픽셀 개구가 sinc 인자다 (19.3.1). 계의 어느 단이 명암을 먹는지는 각 단의 MTF를 그려 놓고 곱해 보면 보인다 — 이것이 “MTF 예산”이다.

주의 — 차단 주파수 하나로 분해능을 말하지 않는다. 차단 주파수가 같은 두 계가 중간 주파수에서 전혀 다른 명암을 줄 수 있다(그림 3.6-11의 초점 맞음과 흐림). 리소그래피가 보는 것은 쓰려는 피치에서의 명암이고, 그것을 상의 로그 기울기(NILS, $p\,\cdot d\ln I/dy$)로 잰다(18.14.2). 6절의 레일리 한계가 한 점의 숫자라면 MTF는 곡선이고, 곡선이 진실이다.

결맞음과 가시도

여기까지의 모든 계산은 “결맞은 단색광”을 전제했다 — 무한히 긴 사인파, 파면 위 모든 점의 위상이 고정된 빛. 그런 빛은 없다. 실제 광원이 만드는 간섭 무늬가 얼마나 선명한가, 그리고 무늬가 언제 사라지는가를 다루는 것이 결맞음 이론이다(Hecht Ch.12). 리소그래피의 조명이 정확히 “부분적으로 결맞은” 빛이므로, 이 장의 마지막 두 절이 18.14의 조명계 설계로 바로 이어진다.

시간 결맞음 — 파열의 길이

원자는 빛을 유한한 시간 $\Delta t_c$ 동안 내고 멈춘다(자발 방출 $\sim 10$ ns; 충돌과 도플러가 더 짧게 자른다). 이어지는 파열들 사이에 위상 관계가 없다. 길이 $\Delta t_c$의 파열은 푸리에 변환으로 주파수 폭 $\Delta\nu \sim 1/\Delta t_c$를 갖는다 — 시간이 유한하면 단색이 아니다(1.10). 거꾸로, 선폭 $\Delta\nu$인 광원은 결맞음 시간 $\Delta t_c \simeq 1/\Delta\nu$와 결맞음 길이

$$\Delta l_c = c\,\Delta t_c \simeq \frac{c}{\Delta\nu} = \frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}$$

를 갖는다($\nu = c/\lambda$에서 $\lvert\Delta\nu\rvert = c\Delta\lambda/\lambda^2$). 마이컬슨 간섭계(3.5.3진폭 분할 간섭계)의 두 팔 길이 차가 $\Delta l_c$를 넘으면 한 파열이 자기 자신과 만나지 못하고 다른 파열과 만나 위상이 무작위가 되어 무늬가 사라진다. 상수 계수는 정의마다 다르다($1/\Delta\nu$, $1/\pi\Delta\nu$, 반치폭 기준 등) — 크기 정도만 믿는다.

광원	$\Delta\lambda$ 또는 $\Delta\nu$	$\Delta l_c$
백색광 (400~700 nm)	300 nm	$\sim 1\ \mu$m
LED	30 nm	$\sim 10\ \mu$m
ArF 엑시머, 선폭 좁히기 전	0.5 nm	$\sim 75\ \mu$m
ArF 엑시머, 선폭 좁힌 뒤	0.3 pm	$\sim 12$ cm
He–Ne, 다중 모드	1.5 GHz	$\sim 20$ cm
단일 주파수 안정화 레이저	1 MHz 이하	수백 m 이상

ArF의 선폭을 1000분의 1로 좁히는 이유는 결맞음 자체가 아니라 색수차다 — 193 nm에서 쓸 수 있는 렌즈 재료가 용융 석영(과 CaF₂)뿐이라 색지움 렌즈를 못 만들고, 초점이 파장에 따라 움직이는 것을 선폭으로 눌러야 한다. 그 부산물로 결맞음 길이가 12 cm가 되어 레지스트 아래 박막 스택(수백 nm~수 $\mu$m) 안의 모든 반사가 서로 결맞고, 그것이 정재파와 스윙 곡선(18.15.9)이다. 백색광이었다면 없었을 문제다.

공간 결맞음 — 광원의 크기

두 번째 조건은 광원의 크기다. 영의 두 슬릿(3.5.2파면 분할 간섭계) 앞에 각지름 $\theta_s$의 넓은 광원을 둔다. 광원의 각 점은 자기만의 무늬를 만들고, 점들은 서로 비결맞음이라 무늬의 조도가 더해진다. 광원의 양 끝 점이 만드는 두 무늬는 슬릿 간격 $a$에 대해 위상이 $2\pi a\theta_s/\lambda$만큼 어긋난다. 이것이 $2\pi$에 이르면 무늬들이 서로 메워 사라진다. 무늬가 남으려면

$$a \lesssim \frac{\lambda}{\theta_s}$$

이 길이가 가로 결맞음 폭이다(Hecht §12.2.2). 태양($\theta_s = 9.3\times10^{-3}$ rad, 550 nm)은 $60\ \mu$m — 영이 1801년에 핀홀을 써야 했던 이유다. 별($\theta_s \sim 10^{-7}$ rad)은 5 m — 12절의 항성 간섭계가 그 길이를 잰다. 광원을 작게 하면 결맞음 폭은 늘지만 빛이 줄어든다 — 이 상충(에텐듀 보존)이 레이저 이전 광학의 근본 제약이었고, 레이저가 푼 것이 바로 이것이다.

가시도

무늬가 “얼마나 선명한가”를 마이컬슨은 한 숫자로 정의했다:

$$\mathcal V \equiv \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$$

완전한 무늬($I_{\min} = 0$)면 1, 무늬가 없으면 0. 두 빔의 간섭에서 12절이 보이듯 $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert\cos\delta$이고

$$\mathcal V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}\,\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert$$

두 빔의 세기가 같으면 $\mathcal V = \lvert\tilde\gamma_{12}\rvert$ — 가시도가 곧 결맞음도다. 세기가 다르면 완전히 결맞아도 $\mathcal V < 1$이다(3.5.1). 10절의 MTF가 “사인파의 변조가 얼마나 살아남는가”였는데, 그 변조의 정의가 이 $\mathcal V$다. 같은 숫자를 광원에 대해 말하면 결맞음, 렌즈에 대해 말하면 MTF다.

그림 3.6-12. 왼쪽: 가시도 1, 0.5, 0.15인 간섭 무늬. 평균 밝기는 같고 밝은 줄과 어두운 줄의 차이만 다르다. 오른쪽: 선폭이 있는 광원으로 마이컬슨 간섭계의 경로차를 늘리며 본 무늬. 무늬의 포락선 — 경로차마다의 가시도 — 이 줄어들어 결맞음 길이 Δl_c를 넘으면 무늬는 있어도 가시도가 0이다. 그 포락선이 자기 결맞음 함수 |γ̃₁₁(τ)|이고, 광원 스펙트럼의 푸리에 변환이다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 결맞음은 장치가 아니라 빛의 성질이고, 검출기의 시간 평균이 그것을 드러낸다. 어느 순간에나 두 파열은 어떤 위상차로 만나 간섭한다. 문제는 검출기가 그 순간을 못 본다는 것이다 — 눈은 50 ms, CCD는 ms, 가장 빠른 광검출기도 ps를 평균하고, 파열은 ns 이하로 바뀐다. 위상차가 무작위로 바뀌는 무늬들의 평균이 균일한 밝기다. 결맞음도 $\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert$는 “두 점의 장이 검출기의 평균 시간 동안 위상 관계를 얼마나 유지하는가”의 척도이고, 그래서 12절에서 시간 평균한 상관으로 정의된다.

파라미터 연계. 선폭을 줄이면 결맞음 길이가 늘고, 광원을 줄이면 결맞음 폭이 는다. 둘은 독립이다 — 선폭이 좁은 넓은 광원(저압 나트륨등)은 시간 결맞음은 좋고 공간 결맞음은 나쁘며, 백색 점광원은 그 반대다. 리소그래피는 둘을 따로 설계한다: 시간 쪽은 색수차가 정하고(선폭 0.3 pm), 공간 쪽은 12절의 $\sigma$가 정한다(일부러 결맞음을 깨뜨려 조절한다).

가시도는 스펙트럼을 담고 있다. 경로차 $\Delta$에 따른 가시도의 포락선은 12절의 위너–힌친 정리로 광원 스펙트럼의 푸리에 변환이다. 마이컬슨은 1890년대에 이것을 거꾸로 썼다 — 나트륨 D선(589.0과 589.6 nm)의 무늬 가시도가 경로차에 따라 $\lvert\cos(\pi\Delta\,\Delta\lambda/\lambda^2)\rvert$로 맥놀이하는 것(주기 $\lambda^2/\Delta\lambda \simeq 0.58$ mm)을 재어 선이 둘임을 알아냈고, 카드뮴 적색선의 폭으로 미터 원기를 파장으로 정의했다. 같은 원리를 컴퓨터로 돌리는 것이 푸리에 변환 분광기이고, 실리콘의 산소·탄소 농도를 재는 FTIR(19.4.8)이 그 기계다 — 간섭도를 찍고 변환하면 스펙트럼이 나온다.

상호 결맞음 함수와 부분 결맞음 조명

상관 함수로 정의하기

두 점 $P_1, P_2$의 장을 복소 표현 $\tilde E_1(t), \tilde E_2(t)$로 쓴다. 두 장이 시간 $\tau$ 어긋나 만날 때 간섭항을 결정하는 것은 시간 평균한 상관이다(Hecht §12.4):

$$\tilde\Gamma_{12}(\tau) \equiv \bigl\langle \tilde E_1(t + \tau)\,\tilde E_2^{*}(t)\bigr\rangle$$

상호 결맞음 함수다. $P_1 = P_2$이면 자기 결맞음 함수 $\tilde\Gamma_{11}(\tau)$이고 $\tau = 0$이면 조도 $I_1 = \tilde\Gamma_{11}(0)$. 조도로 나눠 정규화한

$$\tilde\gamma_{12}(\tau) \equiv \frac{\tilde\Gamma_{12}(\tau)}{\sqrt{I_1 I_2}}, \qquad 0 \le \lvert\tilde\gamma_{12}\rvert \le 1$$

가 복소 결맞음도다(상한은 슈바르츠 부등식). 두 장을 겹친 조도를 전개하면 교차항이 정확히 이 함수다:

$$I = I_1 + I_2 + 2\,\mathrm{Re}\,\tilde\Gamma_{12}(\tau) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\mathrm{Re}\,\tilde\gamma_{12}(\tau)$$

부분 결맞음 간섭의 일반 법칙이다. 준단색광에서 $\tilde\gamma_{12}(\tau) = \lvert\tilde\gamma_{12}(\tau)\rvert\,e^{\,i[\alpha_{12}(\tau) - \bar\omega\tau]}$로 쓰면 $\cos(\bar\omega\tau - \alpha_{12})$가 무늬를, 천천히 변하는 $\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert$가 포락선을, $\alpha_{12}$가 무늬의 옆 밀림을 준다. $\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert = 1$이면 완전 결맞음(3.5의 모든 식), 0이면 완전 비결맞음(조도의 단순 합), 그 사이가 부분 결맞음이다. 11절의 가시도 식이 여기서 나온다.

기호가 늘었다. 한 자리에 모은다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$\tilde\Gamma_{12}(\tau)$	감마 일이	두 점의 장의 상호 결맞음 함수 — 시간 평균 상관, 단위는 조도
$\tilde\Gamma_{11}(\tau)$	감마 일일	한 점의 자기 결맞음 함수. $\tilde\Gamma_{11}(0) = I_1$
$\tilde\gamma_{12}(\tau)$	소문자 감마	복소 결맞음도 — $\tilde\Gamma_{12}$를 $\sqrt{I_1 I_2}$로 나눈 것, 무차원
$\tilde\mu_{12}$	뮤	$\tilde\gamma_{12}(0)$ — 시간 지연 없는 두 점의 공간 결맞음도(복소 결맞음 인자)
$J_{12}$		$\tilde\Gamma_{12}(0)$ — 상호 세기. 베셀 함수 $J_1$과 글자가 같으나 첨자가 둘
$\mathcal V$		가시도. $I_1 = I_2$면 $\lvert\tilde\gamma_{12}\rvert$
$\sigma$		조명의 부분 결맞음 인자(아래)

시간 결맞음은 스펙트럼이다 — 위너–힌친

자기 결맞음 함수는 장의 자기상관이고, 자기상관의 푸리에 변환은 스펙트럼의 절댓값 제곱이다 (상관 정리, 1.10.5). 광원의 파워 스펙트럼을 $S(\nu)$로 쓰면

$$\tilde\Gamma_{11}(\tau) = \int_0^\infty S(\nu)\,e^{-i2\pi\nu\tau}\,d\nu$$

위너–힌친 정리다. 가우스 선형(도플러 넓힘)이면 $\lvert\tilde\gamma_{11}(\tau)\rvert$도 가우스이고 폭이 $1/\Delta\nu$ — 11절의 결맞음 길이. 로런츠 선형(수명·충돌 넓힘)이면 지수 감쇠. 11절 끝의 “가시도가 스펙트럼을 담고 있다”는 문장의 수학이 이 한 줄이다.

공간 결맞음은 광원의 회절 무늬다 — 반 시터르트–체르니커

$\tau = 0$의 두 점 결맞음도 $\tilde\mu_{12} = \tilde\gamma_{12}(0)$는 광원의 모양이 정한다. 넓이에 걸쳐 서로 비결맞은 점들로 이루어진(열적) 광원이 거리 $R$에 조도 분포 $I_s(\xi, \eta)$로 놓여 있을 때, 광원과 나란한 평면 위의 두 점 $P_1, P_2$ 사이의 결맞음도는(Hecht §12.5)

$$\tilde\mu_{12} = \frac{\displaystyle\iint I_s(\xi, \eta)\,e^{-i2\pi(\xi\,\Delta x + \eta\,\Delta y)/(\lambda R)}\,d\xi\,d\eta}{\displaystyle\iint I_s(\xi, \eta)\,d\xi\,d\eta} \times(\text{위상 인자})$$

$\Delta x, \Delta y$는 두 점의 간격이다. 광원 조도 분포의 정규화된 푸리에 변환 — 형식이 2절의 프라운호퍼 적분과 똑같다. 광원을 개구로, 조도를 개구 함수로 바꾸면 결맞음도는 그 개구가 만들 회절 무늬의 진폭이다. 이것이 반 시터르트–체르니커 정리(1934·1938)이고, 물리적으로 “결맞음은 전파하면서 회절 무늬처럼 퍼진다”는 뜻이다.

각지름 $\theta_s$의 균일한 원판 광원(별, 핀홀)이면 4절 그대로

$$\lvert\tilde\mu_{12}(d)\rvert = \left\lvert\frac{2J_1(v)}{v}\right\rvert, \qquad v = \frac{\pi\theta_s d}{\lambda}$$

첫 영점이 $d = 1.22\lambda/\theta_s$, 11절의 어림 $\lambda/\theta_s$가 이렇게 정확해진다. $\lvert\tilde\mu\rvert = 0.88$이 되는 $d = 0.32\lambda/\theta_s$를 흔히 결맞음 반지름으로 삼는다.

그림 3.6-13. 반 시터르트–체르니커 정리. 넓은 비결맞음 광원이 만드는 두 점 사이의 결맞음도 |μ₁₂|를 간격 d에 대해. 원판 광원이면 에어리 진폭 |2J₁(v)/v| 꼴로 줄어 d = 1.22λ/θ_s에서 0이 되고, 그 너머에서 위상이 π 뒤집힌 채 조금 되살아난다. 슬릿(1차원) 광원이면 |sinc| 꼴로 λ/θ_s에서 0. |μ| = 0.88인 d = 0.32λ/θ_s가 결맞음 반지름이다. 마이컬슨은 베텔게우스 앞에 놓은 두 거울의 간격을 벌려 무늬가 사라지는 3.07 m를 찾았고, 그로부터 별의 각지름 0.047″을 얻었다 — 별을 결상하지 않고 크기를 잰 최초의 측정이다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 결맞음 넓이는 광원이 개구였다면 만들었을 에어리 원판이다. 지름 $D_s$의 광원에서 거리 $R$ 떨어진 곳의 결맞음 반지름은 $0.32\lambda R/D_s$ — 광원을 지름 $D_s$의 개구로 보고 $R$에서 본 에어리 원판의 크기($0.61\lambda R/D_s$)와 같은 척도다. 광원이 작을수록, 멀수록, 파장이 길수록 결맞음 넓이가 크다. 리소그래피 조명계(쾰러 조명)는 이 정리를 손잡이로 쓴다 — 광원의 상을 투영 렌즈의 동공에 맺히게 하면서 그 크기를 조리개로 조절하면, 마스크 면 위의 결맞음 폭이 $\lambda/(\sigma\,\mathrm{NA})$로 정해진다($\sigma$는 아래). 마스크 위에서 이 폭 안에 있는 패턴들은 서로 간섭하므로 이웃 패턴이 선폭을 바꾼다 — 광학 근접 효과(18.16.1)의 영향 반경이 바로 이 결맞음 폭이고, OPC가 이웃을 얼마나 멀리까지 보아야 하는지가 여기서 정해진다.

부분 결맞음 조명 — 리소그래피의 σ

투영 노광기의 조명은 쾰러 방식이다: 광원(의 상)이 투영 렌즈의 입사 동공에 맺힌다. 그 광원 상의 반지름을 동공 반지름으로 나눈 것이

$$\sigma \equiv \frac{\mathrm{NA}_{\text{조명}}}{\mathrm{NA}_{\text{투영}}}$$

부분 결맞음 인자(충전율)다. $\sigma \to 0$은 점광원 — 결맞음 결상(9절의 계단 전달 함수). $\sigma \ge 1$은 동공을 넘치게 채운 광원 — 사실상 비결맞음 결상(10절의 자기상관 MTF). 그 사이가 부분 결맞음이고 실제 노광기는 0.3~0.9쯤에서 돌아간다.

동공 평면에서 보면 그림이 단순하다. 광원의 각 점은 마스크에 기울어진 평면파 하나를 보내고, 기울기는 그 점의 회절 차수 전부를 동공 안에서 같은 양만큼 평행 이동시킨다. 광원의 점들은 서로 비결맞음이라 각 점이 만든 상의 조도가 더해진다. 결과: 동공 평면에서 각 회절 차수는 점이 아니라 광원 원판의 복사본 (반지름 $\sigma\,\mathrm{NA}/\lambda$)이 되고, 격자가 상에 남으려면 $\pm1$차 원판의 일부라도 동공에 걸려야 한다:

$$\frac1p - \sigma\frac{\mathrm{NA}}{\lambda} < \frac{\mathrm{NA}}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad p_{\min} = \frac{\lambda}{(1 + \sigma)\,\mathrm{NA}}$$

$\sigma = 1$이면 $p_{\min} = \lambda/(2\mathrm{NA})$ — 아베의 한계, 반주기 $\lambda/(4\mathrm{NA})$, 그리고

$$k_1 = \frac{\text{반주기}}{\lambda/\mathrm{NA}} \ge 0.25$$

리소그래피의 $k_1 = 0.25$ 하한이 부분 결맞음 조명 하나로 유도되었다. 6절의 두 점 기준 $0.61$과 이 $0.25$의 차이는 “고립된 두 점”과 “동공 양끝에 0차와 1차를 둔 두 빔 간섭”의 차이다.

그림 3.6-14. 동공 평면에서 본 부분 결맞음 조명. 큰 원이 투영 동공(반지름 NA/λ), 가운데 원판이 광원의 상(반지름 σNA/λ), 같은 원판이 격자 주파수 1/p만큼 옮겨진 것이 ±1차다. 같은 격자(1/p = 1.2 NA/λ)를 σ = 0.3으로 비추면 ±1차 원판이 동공에 거의 걸리지 않아 격자가 상에 남지 않고, σ = 0.8이면 원판의 상당 부분이 동공 안에 들어와 그 몫의 광원점들이 격자를 결상한다. 조건 1/p < (1 + σ)NA/λ가 σ = 1에서 p_min = λ/(2NA), 반주기 λ/(4NA), k₁ = 0.25를 준다.직접 작도

동공에 걸린 몫만이 격자를 본다. $\sigma = 0.8$ 그림에서 $\pm1$차 원판의 27%만 동공 안에 있으므로, 광원점의 27%가 두 빔 간섭(0차 + 1차)으로 격자를 찍고 나머지 73%는 0차만 보내 균일한 배경을 깐다. 명암은 그만큼 낮다. $\sigma$를 키우면 한계 피치는 내려가지만 한계 근처의 명암은 낮고, $\sigma$를 줄이면 명암은 높지만 한계 피치가 올라가며 결맞은 상 특유의 가장자리 물결(7절의 코르뉴 물결이 상에 나타난 것)과 먼 이웃까지 미치는 근접 효과가 생긴다. 10절 그림 3.6-11의 계단(결맞음)과 곡선(비결맞음) 사이를 $\sigma$가 보간한다고 읽어도 된다.

축외 조명. 광원 원판을 동공 중심이 아니라 가장자리에 두면(쌍극·사극·고리 조명, 18.14.7) 0차가 동공 한쪽 끝에, $+1$차가 반대쪽 끝에 와서 두 빔이 대칭으로 간섭한다. 대칭이면 초점이 벗어나도 두 빔의 경로차가 같이 변해 상이 흐려지지 않는다 — 초점 심도($k_2$)가 늘어난다. 그리고 $p_{\min} = \lambda/(2\mathrm{NA})$가 원판 전체가 아니라 광원의 모든 점에서 성립한다. 격자 방향에 맞춘 쌍극 조명이 $k_1 \to 0.25$에 가장 가까이 가는 이유다. 대가는 방향성 — 다른 방향의 패턴은 오히려 나빠진다.

홉킨스의 정식화 — 리소그래피 시뮬레이터의 심장

부분 결맞음 결상에는 MTF가 없다. 조도가 물체에 비선형이기 때문이다 — 물체 스펙트럼 $\tilde O(f)$의 두 성분이 곱으로 조도에 기여한다. 홉킨스(1953)는 광원 위의 적분을 미리 해 두는 꼴로 이것을 정리했다:

$$I(x) = \iint \mathrm{TCC}(f', f'')\;\tilde O(f')\,\tilde O^{*}(f'')\;e^{\,i2\pi(f' - f'')x}\,df'\,df''$$ $$\mathrm{TCC}(f', f'') = \int S(f)\,P(f + f')\,P^{*}(f + f'')\,df$$

$S(f)$는 동공 좌표에서의 광원 분포(반지름 $\sigma\mathrm{NA}/\lambda$의 원판, 또는 쌍극), $P$는 수차·초점 이탈을 위상으로 담은 동공 함수, $\mathrm{TCC}$는 투과 교차 계수 — “물체의 주파수 $f'$와 $f''$의 쌍이 상의 조도에 얼마나 기여하는가”. 광원과 렌즈만으로 정해지므로 마스크와 무관하게 한 번 계산해 두면, 어떤 마스크든 그 스펙트럼만 넣어 공중상(aerial image)을 빠르게 얻는다. 리소그래피 시뮬레이터(18.15.11)와 OPC 엔진(18.16.1)이 칩 전체의 상을 계산할 수 있는 이유가 이 분리다. 결맞음($S = \delta$)이면 $\mathrm{TCC} = P(f')P^*(f'')$로 갈라져 9절이 되고, 비결맞음($S$가 동공보다 넓음)이면 $f' - f''$에만 의존해 10절의 자기상관이 된다. 두 절이 이 식의 양 끝이다.

의문

엑시머 레이저를 쓰는데 왜 $\sigma$가 0이 아닌가. 두 가지다. 첫째, 엑시머 레이저는 시간 결맞음은 좋지만 (선폭을 좁혀서) 공간 결맞음은 나쁘다 — 수백 개의 가로 모드가 섞여 나와 빔 단면의 점들이 서로 거의 비결맞음이다. 둘째, 조명계가 일부러 결맞음을 깨뜨린다. 파리눈 렌즈나 막대 적분기로 빔을 수백 개의 2차 광원으로 쪼개 겹쳐야 마스크 면의 조도가 균일해지고, 그 2차 광원들의 배열 크기가 곧 $\sigma$다. 완전히 결맞은 빛으로 비추면 균일한 조도를 만들 수 없고(스페클) 가장자리 물결과 근접 효과가 극심하다. 결맞음은 좋은 것도 나쁜 것도 아니라 설계 변수이고, 이 장이 그 변수의 물리다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 둔다.

• 리소그래피 결상 (18.14). 마스크의 회절 차수(3·5절), 동공이 받는 차수와 $\mathrm{NA}/\lambda$(9절), MTF와 NILS(10절), $\sigma$·축외 조명과 $k_1 = 0.25$(12절), 초점 심도와 $k_2$(6절), 편광 조명(8절), 근접 노광의 $\sqrt{\lambda g}$(7절).
• 레지스트와 시뮬레이션 (18.15). 정재파와 결맞음 길이(11절), 레지스트 번짐의 MTF(10절), 홉킨스 TCC와 공중상(12절), 얇은 마스크 근사의 한계(8절).
• 해상도 향상 (18.16). 위상 반전 마스크와 결맞은 두 점(6절), OPC의 영향 반경 = 결맞음 폭(12절), 존판형 EUV 마스크 검사 광학(7절).
• 계측·검사 (19). 스캐터로메트리의 회절 차수(9절), 분광 타원계·OES·라만의 격자 분광기와 분해능 $mN$(5절), FTIR의 간섭도(11절), 암시야 결함 검사와 바비네·소멸파(7·8절), CD-SEM의 PSF와 MTF 예산(10절), X선 회절(5절).
• 재료·표면 (7·9·10부). 브래그와 라우에(5절 → 7.2), LEED·RHEED와 전자 회절(9.13, 10.12), 셰러 식의 결정립 크기 = 격자 폭 $W$가 정하는 봉우리 폭(5절).
• 광소자 (17). 음향광학 변조기의 브래그 회절과 DFB 격자(5절), 도파로 결합에서의 각 스펙트럼(8절).
• 양자역학 (5부). 드브로이 물질파의 전자 회절(5절), 개구와 무늬의 역수 관계 = 불확정성 원리(2절), 파동함수의 푸리에 변환(9절).

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 회절 무늬는 개구의 푸리에 변환이고, 렌즈는 그 변환을 대역 제한한 뒤 되돌린다. 슬릿의 sinc, 원의 에어리, 격자의 차수가 첫 문장이고, 레일리 한계·MTF·$k_1$이 둘째 문장이다. 그리고 그 둘 사이에 광원이 있다 — 결맞음이 “진폭을 더할지 조도를 더할지”를 정하고, 그 선택이 같은 렌즈로 $0.61$과 $0.25$의 차이를 만든다. 반도체를 그리는 도구 하나(스캐너)와 그린 것을 재는 도구 대부분(광학 계측)이 이 세 문장 위에 서 있다.

이 장이 쓰이는 곳

• 5.1 양자역학의 태동
• 5.9 시간 의존 현상과 산란
• 7.2 역격자와 회절
• 8.2 미세조직 관찰