자유전자 모형

앞 다섯 장은 이온이 주인공이었다. 이온이 어디에 놓이고(7.1·7.2), 왜 붙어 있으며(7.3), 어떻게 흔들리는지(7.4·7.5)를 다뤘고 전자는 결합을 만드는 풀로만 등장했다. 이 장부터 전자가 주인공이 된다. 그리고 첫 모형은 놀랄 만큼 거칠다 — 이온을 통째로 지운다. 금속의 원자가 전자를 빈 상자 속의 기체로 보고, 이온은 전하 중성을 맞추는 균일한 양전하 배경으로만 남긴다. 전자끼리의 쿨롱 반발도 무시한다. 남는 것은 상자 속의 자유 입자뿐이다.

이런 모형이 맞을 리 없어 보이는데 — 이온의 쿨롱 퍼텐셜은 수 eV 깊이고 전자 사이 거리는 원자 간격과 같다 — 실제로는 알칼리 금속과 귀금속의 전기전도·열전도·열용량·홀 효과·광학 반사를 정량적으로 맞힌다. 왜 맞는지는 이 장이 아니라 뒤 장들이 답한다. 주기적 이온 퍼텐셜 속의 전자는 자유전자와 같은 꼴로 움직이되 질량만 $m^{*}$ 로 바뀐다는 것(7.7 블로흐 정리, 7.9 유효질량), 전자 기체가 이온 전하를 짧은 거리에서 가려 버린다는 것(7.10 차폐), 파울리 배타가 전자끼리의 산란을 거의 막는다는 것(7.10 페르미 액체)이 그 이유다. 이 장은 그 결과를 받아 쓰는 자리가 아니라, 그 결과가 필요해지는 자리다 — 자유전자 모형이 어디까지 맞고 어디서 틀리는지를 정확히 알아야 7.7 이후가 무엇을 고치는지 보인다.

장은 두 층으로 되어 있다. 1절의 드루데 모형(1900)은 전자를 고전 기체로 본다. 옴의 법칙과 홀 효과를 한 줄로 내고 비데만–프란츠 법칙까지 맞히지만, 열용량에서 100배 틀린다. 2절부터의 좀머펠트 모형(1927)은 운동 방정식은 그대로 두고 통계만 맥스웰–볼츠만에서 페르미–디랙으로 바꾼다. 그 한 번의 교체가 열용량(4절), 평균 자유 행정(5절), 열전도(8절)의 100배 오차를 전부 없앤다 — 3절의 페르미 구가 그 교체의 기하다. 6절의 비저항과 7절의 홀 효과는 두 모형이 같은 답을 주지만, 답의 해석은 다르다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

• 캐리어 통계 (11.1) — 반도체의 전자 농도 $n=\int D(E)f(E)\,dE$ 는 3절의 상태밀도와 2절의 페르미–디랙 분포를 $m\to m^{*}$, $E\to E-E_c$ 로 바꿔 쓴 것이다. 축퇴 반도체 (11.1.7)는 이 장의 금속 그 자체다.
• 이동도와 전도도 (11.2) — $\sigma=ne^2\tau/m^{*}$, $\mu_n=e\tau/m^{*}$. 금속과 반도체의 전도도가 $10^{8}$ 배 다른 것은 $\tau$ 가 아니라 $n$ 의 차이다 (5절).
• 홀 측정 (11.2.9·19부) — 캐리어의 부호와 농도를 재는 유일한 직접 수단이 7절의 $R_H=-1/ne$ 다.
• 금속 배선 (18.22·21.7) — Cu 의 평균 자유 행정 40 nm 가 배선 폭과 같아지면서 비저항이 2~3배 오른다. 6절의 마티센 규칙과 크기 효과가 그 계산이다.
• 광학과 플라스몬 (7.10·7.11·11.8) — 5절의 $\sigma(\omega)$ 와 플라스마 주파수 $\omega_p$ 가 금속의 반사, 도핑 반도체의 자유 캐리어 흡수, 투명 전극의 설계를 정한다.
• 열 설계 (3.7.13·18부) — 8절의 비데만–프란츠 법칙은 배선의 전기 저항에서 열전도도를 바로 읽게 해 준다. 전기가 잘 통하는 금속이 열도 잘 통하는 이유가 여기 있다.

표기

표기는 Kittel 을 따르되 에너지와 전기장의 글자는 이 사이트의 뒤 장들(7.9의 $E$–$k$ 다이어그램, 11부)과 맞춘다. 두 교재 모두 전기장에 $E$ 를 쓰고 에너지에는 $\varepsilon$ (Kittel) 또는 $\mathcal{E}$ (Ashcroft·Mermin)를 쓴다. 여기서는 반대로 에너지가 $E$, 전기장이 $\mathcal{E}$ 다 — 반도체 교재(Pierret·Sze)의 관례이고, 밴드 다이어그램의 세로축을 $E$ 로 읽는 뒤 장들과 어긋나지 않기 위해서다. Kittel 의 $\varepsilon_F$ 는 이 장의 $E_F$ 다.

이 장은 대소문자만 다른 짝과 같은 글자의 다른 뜻이 유난히 많다. 장 전체에 걸리므로 여기 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇인가	단위 · 비고
$n$, $N$	전자 농도, 전자 수	$n=N/V$. 소문자는 단위 부피당, 대문자는 전체	$\mathrm{m^{-3}}$, —
$e$	기본 전하	양수 $1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$. 전자의 전하는 $-e$	C
$m$, $m^{*}$	전자 질량, 유효질량	이 장은 전부 자유전자 질량 $m$. $m^{*}$ 는 7.9에서	kg
$E$, $\mathcal{E}$	에너지, 전기장	서체가 다르다. $E_F$ 는 페르미 에너지	eV, V/m
$\mathbf{k}$, $k_B$	파수벡터, 볼츠만 상수	$k_F$ 는 페르미 파수. $k_B$ 는 언제나 첨자 B	$\mathrm{m^{-1}}$, J/K
$\mu$, $\mu_n$	화학퍼텐셜, 이동도	$\mu(T{=}0)=E_F$. 이동도는 11부 표기대로 첨자 $n$	eV, $\mathrm{m^2/V\,s}$
$\tau$, $l$	완화 시간, 평균 자유 행정	$l=v_F\tau$ (5절). 드루데는 $v_{\mathrm{th}}\tau$ 로 잘못 잡았다	s, m
$\sigma$, $\rho$	전도도, 비저항	$\rho=1/\sigma$. 질량 밀도는 $\rho_m$ 으로 구분	S/m, $\Omega\,\mathrm{m}$
$D(E)$	상태밀도	단위 에너지당 상태 수 (스핀 포함). 부피당은 $g(E)=D/V$	$\mathrm{eV^{-1}}$
$f(E)$	페르미–디랙 분포	에너지 $E$ 인 상태가 차 있을 확률	—
$R_H$	홀 계수	$\mathcal{E}_y/(j_xB)$. 자유전자는 $-1/ne$	$\mathrm{m^3/C}$
$L_0$, $L$	로렌츠 수	$\kappa/\sigma T$. 첨자 0 은 이론값 $2.44\times10^{-8}$. 3절의 상자 변 $L$ 과 무관	$\mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$
$\Theta$	디바이 온도	7.5의 $\Theta_D$. 비저항 맞춤에는 $\Theta_R$	K

드루데 모형

금속은 이온 격자에 담긴 전자 기체다

톰슨이 전자를 발견한 지 3년 뒤인 1900년, 드루데는 금속을 기체 운동론(3.8.8기체 운동론과 평균 자유 행정)으로 다뤘다. 원자가 전자 $Z$ 개가 원자를 떠나 결정 전체를 돌아다니고, 남은 이온은 제자리에 박혀 있다. 전자는 기체 분자처럼 직선으로 날다가 무엇인가에 부딪혀 방향을 바꾼다. 가정을 넷으로 적으면 이렇다 (Ashcroft·Mermin Ch.1).

1. 자유전자 근사. 충돌과 충돌 사이에 전자는 이온이나 다른 전자로부터 아무 힘도 받지 않는다. 외부 전기장·자기장만 작용한다.
2. 독립전자 근사. 전자끼리의 상호작용을 무시한다.
3. 충돌은 순간적이다. 어느 전자든 다음 $dt$ 동안 충돌할 확률은 $dt/\tau$ 로, 전자의 위치나 속도와 무관하다. $\tau$ 를 완화 시간(relaxation time) 또는 충돌 시간이라 한다.
4. 충돌이 열평형을 만든다. 충돌 직후의 속도는 충돌 전 속도와 무관하게, 그 자리의 온도에 맞는 열분포에서 무작위로 뽑힌다.

가정 1과 2는 명백히 거칠다 — 그럼에도 왜 되는지가 7.7과 7.10의 주제다. 가정 3과 4는 드루데가 “이온과의 충돌”로 그렸지만, 무엇과 부딪히는지는 이 모형 안에서 정할 수 없고 정할 필요도 없다. $\tau$ 를 하나의 실험 상수로 두면 나머지가 다 나온다. 완벽한 주기 격자는 전자를 산란시키지 않으며(7.7), 실제로 부딪히는 상대는 격자의 진동(포논)과 결함이라는 사실(6절)은 30년 뒤에야 드러났다. 그때도 $\tau$ 의 해석만 바뀌고 식은 그대로 살아남았다.

전도 전자의 밀도

원자가 $Z$, 원자량 $A$, 질량 밀도 $\rho_m$ 인 금속의 전도 전자 농도는

$$n=\frac{N}{V}=N_A\,\frac{Z\rho_m}{A}$$

이다 ($N_A$ 아보가드로 수). 값은 $10^{22}\sim10^{23}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 로, 고전 기체(상온 상압 $2.7\times10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$)의 천 배다. 전자 하나가 차지하는 부피를 반지름 $r_s$ 인 구로 나타내면

$$\frac{4\pi}{3}r_s^3=\frac1n \qquad\Longrightarrow\qquad r_s=\Bigl(\frac{3}{4\pi n}\Bigr)^{1/3}$$

이고, 보어 반지름 $a_0=0.529$ Å 으로 나눈 $r_s/a_0$ 가 금속마다 2~6 이다. 곧 전자 사이 거리가 원자 크기와 같다 — 이온 퍼텐셜도, 전자끼리의 반발도 무시할 크기가 아니다. 가정 1·2가 왜 되는지 묻는 것이 정당한 이유다.

금속	$Z$	$n$ ($10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}}$)	$r_s/a_0$	$\rho$ (273 K, $\mu\Omega\,\mathrm{cm}$)	$\tau$ (273 K, $10^{-14}$ s)
Na	1	2.65	3.93	4.2	3.2
K	1	1.40	4.86	6.1	4.1
Cu	1	8.47	2.67	1.56	2.7
Ag	1	5.86	3.02	1.51	4.0
Au	1	5.90	3.01	2.04	3.0
Al	3	18.1	2.07	2.45	0.80

$\tau$ 열은 아래의 $\sigma=ne^2\tau/m$ 을 실측 $\rho$ 로 거꾸로 푼 값이다 (Ashcroft·Mermin Table 1.1–1.3). $10^{-14}$ s — 이 자릿수를 기억해 둔다. 5절에서 이 시간에 페르미 속도를 곱하면 평균 자유 행정이 나온다.

운동 방정식 — 마찰이 있는 뉴턴 법칙

전자 하나의 운동량 $\mathbf p=m\mathbf v$ 가 외력 $\mathbf F(t)$ 아래 어떻게 변하는지 보자. 시각 $t$ 에 운동량 $\mathbf p(t)$ 인 전자를 잡아 $dt$ 뒤를 본다. 확률 $dt/\tau$ 로 충돌했고, 충돌한 전자의 운동량은 가정 4에 따라 방향이 무작위라 평균 0 이다. 확률 $1-dt/\tau$ 로 충돌하지 않았고, 그 전자는 $\mathbf p+\mathbf F\,dt$ 를 가진다. 평균 운동량은

$$\mathbf p(t+dt)=\Bigl(1-\frac{dt}{\tau}\Bigr)\bigl(\mathbf p(t)+\mathbf F\,dt\bigr) +\frac{dt}{\tau}\cdot 0$$

이고, $dt^2$ 을 버리면

$$\frac{d\mathbf p}{dt}=\mathbf F(t)-\frac{\mathbf p}{\tau}$$

가 된다. 뉴턴 법칙에 마찰항 $-\mathbf p/\tau$ 가 붙은 꼴이다. 1.4의 감쇠 진동 (1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수)과 같은 방정식이고, 외력을 끄면 $\mathbf p\propto e^{-t/\tau}$ 로 사라진다 — 그래서 $\tau$ 를 완화 시간이라 부른다. 마찰항의 정체는 점성이 아니라 충돌이 방향의 기억을 지우는 속도다.

직관

물리적 직관 — $1/\tau$ 는 산란율이고, $\tau$ 는 기억의 수명이다. 전자 하나의 운동량은 충돌 사이에서만 외력을 기억한다. 충돌 뒤에는 방향이 초기화되므로, 평균적으로 외력이 쌓일 수 있는 시간이 $\tau$ 다. 그래서 정상 상태의 알짜 운동량이 $\mathbf F\tau$ 이고, 그것이 곧 전류다. 마찰 계수 $m/\tau$ 는 실재하는 힘이 아니다 — 많은 전자를 평균했을 때 무작위 충돌이 결정론적 감쇠처럼 보이는 것이다. 6절에서 $1/\tau$ 를 포논 산란율과 불순물 산란율의 합으로 쪼갤 때 이 해석이 그대로 쓰인다.

직류 전도도 — 옴의 법칙

전기장 $\mathcal{E}$ 를 걸면 $\mathbf F=-e\boldsymbol{\mathcal E}$ 다. 정상 상태에서 $d\mathbf p/dt=0$ 이므로

$$\mathbf p=-e\tau\boldsymbol{\mathcal E}, \qquad \mathbf v_d=\frac{\mathbf p}{m}=-\frac{e\tau}{m}\boldsymbol{\mathcal E}$$

— 이 평균 속도가 표류 속도(drift velocity)다. 전류 밀도는 전자 농도 × 전하 × 속도이므로

$$\mathbf j=-ne\,\mathbf v_d=\frac{ne^2\tau}{m}\boldsymbol{\mathcal E} \equiv\sigma\boldsymbol{\mathcal E}, \qquad \boxed{\;\sigma=\frac{ne^2\tau}{m}\;}$$

이다. 이것이 옴의 법칙(2.6.1옴의 법칙과 전도)이고, 드루데 모형이 처음으로 준 전도도의 미시적 표현이다. 전기장에 비례하는 전류 — 비례 상수에 전자 농도, 전하의 제곱, 완화 시간이 들어가고 질량이 분모에 있다. 전하가 제곱인 이유는 두 번 쓰이기 때문이다: 한 번은 힘을 받을 때($-e\mathcal E$), 한 번은 전류를 나를 때($-e\mathbf v$). 그래서 전하의 부호는 전도도에 나타나지 않는다 — 정공도 전자와 같은 방향의 전류를 만든다.

그림 7.6-1. 충돌 사이의 자유 비행과 표류. 같은 충돌열(출발 방향과 비행 시간이 같은 열여섯 번의 비행)을 두 번 그렸다. 왼쪽은 전기장이 없을 때 — 충돌마다 방향이 초기화되어 출발점 근처를 맴돈다. 오른쪽은 +x 방향 전기장을 걸었을 때 — 전자가 받는 힘은 −e𝓔 이므로 매 비행이 −x 쪽으로 휘고, 같은 충돌열인데도 전체가 왼쪽으로 밀린다(옅은 선이 왼쪽 궤적). 표류 속도 v_d = −e𝓔τ/m 는 한 비행의 속력보다 훨씬 작지만, 방향이 있어 평균에서 살아남는다. 가속은 눈에 보이도록 과장했다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — $\sigma$ 의 손잡이는 셋이다. $n$, $\tau$, $m$. 금속에서 $n$ 은 원자가로 고정되고 $m$ 은 자유전자 질량이니, 온도·순도로 움직이는 것은 $\tau$ 뿐이다 (6절). 반도체는 정반대다 — 도핑으로 $n$ 을 $10^{10}$ 배 움직이고(11.1), 밴드 구조가 $m$ 을 $m^{*}$ 로 바꾼다 (7.9). 이 셋의 조합 $\mu_n=e\tau/m^{*}$ 가 이동도이고, $\sigma=ne\mu_n$ 으로 쓰면 “몇 개가($n$) 얼마나 잘 미끄러지나($\mu_n$)“로 읽힌다. 금속과 반도체의 전도도 차이 $10^{8}$ 배는 거의 전부 $n$ 의 차이다 — 5절에서 Cu 의 이동도가 실리콘의 전자 이동도보다 작다는 것을 보게 된다.

주의

기호 — 부호와 대소문자. ① $e$ 는 언제나 양수이고 전자의 전하는 $-e$ 다. 그래서 전자의 표류 속도는 전기장과 반대 방향이고 전류는 전기장 방향이다. ② $n$ 은 단위 부피당 전자 수(농도), $N$ 은 전자의 총수다. 11부에 가면 $n$ 은 전도대 전자 농도, $N_D$ 는 도너 농도로 뜻이 갈리므로 “소문자 = 캐리어, 대문자 = 불순물·전체”의 규칙을 여기서부터 익혀 둔다. ③ $\mathcal E$ 는 전기장, $E$ 는 에너지다. Kittel 을 펼치면 $E$ 가 전기장이다.

드루데의 평균 자유 행정 — 첫 번째 균열

충돌 사이에 전자가 나는 거리, 평균 자유 행정 $l=v\tau$ 를 어림해 보자. 드루데는 전자를 고전 기체로 보았으니 속력에 등분배 정리의 열속도 $v_{\mathrm{th}}=\sqrt{3k_BT/m}\approx1.1\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$ (273 K) 를 넣었다. $\tau\approx3\times10^{-14}$ s 와 곱하면 $l\approx3$ nm, 곧 원자 간격의 열 배 안팎이다. “이온에 부딪히며 날아가는 전자”라는 그림과 그럴듯하게 맞았고, 드루데는 만족했다.

이것이 틀렸다는 것은 두 갈래로 드러난다. 첫째, 저온 순수 금속의 $\tau$ 는 실온의 수천 배로 커져 $l$ 이 밀리미터에 이른다 — 이온이 산란체라면 있을 수 없는 길이다. 둘째, 5절에서 보듯 전자의 속력은 $v_{\mathrm{th}}$ 가 아니라 그보다 열 배 큰 페르미 속도 $v_F\approx1.6\times10^{6}$ m/s 라서, 실온에서도 $l\approx40$ nm 다. 이 40 nm 가 반도체 배선 설계의 기준 길이가 된다(6절).

성적표 — 무엇을 맞히고 무엇을 틀리나

드루데 모형은 한 세대 동안 금속의 표준 이론이었고, 지금도 반도체 소자 방정식의 뼈대다 ($\sigma=ne\mu$, 홀 계수, 플라스마 주파수는 전부 드루데 식 그대로다). 성적을 정직하게 적는다.

현상	드루데의 예측	실측	판정
옴의 법칙	$\sigma=ne^2\tau/m$	$\tau\sim10^{-14}$ s 로 맞춤	○ ($\tau$ 는 실험 상수)
홀 계수 (7절)	$R_H=-1/ne$	알칼리 금속 ○, Al·Be 는 부호 반대	△
비데만–프란츠 (8절)	$\kappa/\sigma T=$ 상수	상수 맞음, 값은 반	△ (두 오차가 상쇄)
전자 열용량 (4절)	$\tfrac32 nk_B$	예측의 1 %	✕
열전 계수 (8절)	$\sim100\ \mu$V/K	$\sim1\ \mu$V/K	✕ (100배)
평균 자유 행정	원자 간격 수준	저온에서 mm	✕
$\rho(T)$	설명 없음	$\propto T$ (고온), $\propto T^5$ (저온)	—

열용량과 열전 계수의 100배는 같은 뿌리다 — 전자를 고전 기체로 본 것. 2절에서 통계를 바꾸면 이 둘이 한꺼번에 고쳐지고 비데만–프란츠의 값도 맞는다. 홀 계수의 부호와 $\rho(T)$ 는 통계로는 안 되고 밴드 이론(7.7·7.9)과 포논 산란(6절)이 필요하다.

좀머펠트 모형

전자는 페르미온이다 — 바꾸는 것은 통계 하나뿐

드루데가 놓친 것은 역학이 아니라 셈법이다. 전자는 스핀 $\tfrac12$ 인 페르미온이라 파울리 배타원리(5.6.5파울리 배타원리)를 따르고, 한 양자 상태에는 (스핀까지 세어) 전자 하나만 들어간다. 그러면 열평형에서 에너지 $E$ 인 상태가 차 있을 확률은 맥스웰–볼츠만 인자 $e^{-E/k_BT}$ 가 아니라 페르미–디랙 분포(6.4.7페르미-디랙 분포의 유도)

$$f(E)=\frac{1}{e^{(E-\mu)/k_BT}+1}$$

이다. $\mu$ 는 화학퍼텐셜 — 전자를 하나 더 넣을 때 드는 자유에너지이고, 실제로는 “전자 수가 $N$ 이 되도록” 정해지는 규격화 상수다. 절대영도에서의 값을 페르미 에너지 $E_F\equiv\mu(T{=}0)$ 라 하고, 그것을 온도로 바꾼 $T_F=E_F/k_B$ 를 페르미 온도라 한다.

좀머펠트(1927)는 드루데의 가정 1~3을 그대로 두고 가정 4의 “열분포”를 이 분포로 바꿨다. 그것이 전부다. 운동 방정식도, $\tau$ 도, $\sigma=ne^2\tau/m$ 도 살아남는다. 그런데 열용량· 열전도·평균 자유 행정의 100배 오차가 전부 사라진다. 어떻게 그럴 수 있는지가 이 절과 다음 두 절이다.

1차원으로 먼저 본다

원리를 보는 데는 1차원이면 충분하다. 길이 $L$ 인 선 위에 전자 $N$ 개를 놓고 양 끝을 무한 벽으로 막는다. 허용 상태는 무한 우물의 정상파(5.3.1무한 우물)

$$\psi_n(x)=A\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad E_n=\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^2, \qquad n=1,2,3,\dots$$

이다. 절대영도에서 전자들은 파울리 배타 때문에 한 준위에 둘씩(스핀 ↑↓) 아래부터 채운다. $N$ 개를 다 넣으면 마지막으로 찬 준위의 양자수는 $n_F=N/2$ 이고, 그 에너지가 페르미 에너지다:

$$E_F=\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{n_F\pi}{L}\Bigr)^2 =\frac{\hbar^2}{2m}\Bigl(\frac{N\pi}{2L}\Bigr)^2$$

여기서 이미 핵심이 보인다. $E_F$ 는 온도와 무관하게 전자 밀도 $N/L$ 만으로 정해지고, 밀도가 금속 수준이면 그 값이 수 eV 다. 상온의 $k_BT=0.026$ eV 는 그 백분의 일이다. 전자 기체는 실온에서도 사실상 절대영도에 있다.

온도가 하는 일 — 계단의 모서리만 둥글어진다

$T=0$ 에서 $f(E)$ 는 $E_F$ 아래에서 1, 위에서 0 인 계단이다. 온도를 올리면 계단이 어떻게 되는지 식에서 읽는다. $E=\mu$ 에서 $f=\tfrac12$ — 언제나. $E-\mu\gg k_BT$ 면 $f\approx e^{-(E-\mu)/k_BT}$ — 볼츠만 꼬리. $\mu-E\gg k_BT$ 면 $1-f\approx e^{-(\mu-E)/k_BT}$ — 아래쪽도 대칭으로 빈다. 곧 온도는 $\mu$ 를 중심으로 폭 몇 $k_BT$ 의 띠 안에서만 점유를 흐리고, 그 바깥은 $T=0$ 과 구별되지 않는다.

그림 7.6-2. 페르미–디랙 분포. 왼쪽은 f(E). T = 0 에서 E_F 에서 뚝 떨어지는 계단이고, 온도가 오르면 E_F 주변 몇 k_BT 폭만 흐려진다 — 실온의 구리(k_BT/E_F ≈ 0.004)는 그림의 0.02 곡선보다도 훨씬 계단에 가깝다. f(E_F) = ½ 은 온도와 무관하다. 오른쪽은 −∂f/∂E — E_F 를 중심으로 반높이 폭 3.53 k_BT 인 봉우리로, 넓이가 1 이다. 4절의 열용량, 5절의 전도도, 8절의 열전 계수는 전부 이 창 안의 상태만 본다: 창 바깥의 전자는 갈 곳이 없어(아래) 또는 있지도 않아(위) 아무것에도 응답하지 못한다.직접 작도

직관

그래프 직관 — $-\partial f/\partial E$ 가 “창”이다. 왼쪽 그래프의 기울기를 오른쪽에 그린 것인데, 이 곡선이 이 장의 나머지를 지배한다. 어떤 양 $H(E)$ 를 전자 전체에 걸쳐 더하면 $\int H(E)f(E)\,dE$ 이고, 이것을 온도나 전기장으로 미분하면 언제나 $\int H(E)\bigl(-\partial f/\partial E\bigr)dE\approx H(E_F)$ 꼴이 된다. 창의 폭이 $k_BT$ 로 좁아서 $E_F$ 에서의 값만 남는 것이다. 4절에서 열용량이 $D(E_F)$ 에 비례하고, 5절에서 전도가 페르미 면 위의 전자만으로 일어나며, 8절에서 열전 계수가 $D(E)$ 의 기울기에 비례하는 것이 전부 이 창의 성질이다. 반높이 폭 $3.5\,k_BT$, 분산 $(\pi^2/3)(k_BT)^2$ — 두 숫자가 4절과 8절의 계수에 그대로 들어간다.

이 그림이 드루데의 100배를 설명한다. 온도를 $\Delta T$ 만큼 올릴 때 에너지를 받을 수 있는 전자는 창 안의 전자, 곧 전체의 $\sim T/T_F$ 뿐이다. 구리는 $T_F=8.2\times10^{4}$ K 라 실온에서 $T/T_F\approx0.004$ — 전자 250개 중 하나만 온도를 “느낀다”. 나머지는 파울리 배타에 갇혀 있다: 위로 가려 해도 그 자리가 이미 차 있다. 그래서 열용량이 고전값의 1 % 다 (4절에서 정확히 센다).

직관

물리적 직관 — 차가운 기체. $T_F$ 가 수만 K 라는 말은, 금속의 전자 기체를 고전 기체 기준으로 보면 얼음처럼 얼어 있다는 뜻이다. 실온 금속의 전자는 녹는점 근처의 금속에서도 $T/T_F<0.03$ 이다. 그런데 이 “얼어 있는” 기체의 전자들은 $v_F\sim10^{6}$ m/s 로 날아다닌다 — 열속도의 열 배다. 정지해 있어서 차가운 것이 아니라, 모든 낮은 상태가 차 있어서 더 내려갈 수 없기 때문에 차갑다. 이것을 축퇴(degenerate)라 한다. 반도체는 보통 $n$ 이 작아 $E_F$ 가 전도대 아래에 있고 캐리어가 볼츠만 꼬리에만 있는 비축퇴 상태다. 도핑을 $10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 이상 올리면 $E_F$ 가 전도대 안으로 들어와 금속처럼 축퇴한다 — 11.1.7의 페르미–디랙 적분이 그 경계를 다룬다.

주의

기호 — $\mu$ 와 $E_F$, 그리고 또 하나의 $\mu$. ① 엄밀히 $E_F=\mu(0)$ 이고 유한 온도의 $\mu(T)$ 는 조금 다르다 (4절: $\mu=E_F[1-\tfrac{\pi^2}{12}(T/T_F)^2]$, 금속에서는 $10^{-5}$ 차이). Kittel 은 이 차이를 무시하고 $\varepsilon_F$ 로 통칭한다. 반면 반도체 교재(11부)의 “페르미 준위 $E_F$“는 유한 온도의 $\mu$ 를 뜻한다 — 온도와 도핑에 따라 밴드갭 안을 움직이는 그 준위다. 이 장에서는 둘을 구분하고, 뒤 장에서는 $E_F$ 를 $\mu$ 의 뜻으로 쓴다. ② $\mu$ 는 이동도 기호이기도 하다. 이 장은 화학퍼텐셜에 $\mu$, 이동도에 $\mu_n$ 을 쓴다. ③ Kittel 의 $\varepsilon$ 이 이 장의 $E$ 다.

한 식으로 금속과 반도체를 잇는다

$f(E)$ 의 볼츠만 꼬리를 다시 본다. $E-\mu\gg k_BT$ 인 상태의 점유는 $f\approx e^{-(E-\mu)/k_BT}$ 로, 맥스웰–볼츠만 분포와 같다. 곧 페르미–디랙 분포는 상태가 드문드문 찰 때 고전 통계로 돌아간다. 전도대 바닥이 $\mu$ 보다 몇 $k_BT$ 위에 있는 보통의 반도체가 정확히 이 경우라, 11.1의 캐리어 농도 $n=N_c\,e^{-(E_c-E_F)/k_BT}$ 는 이 꼬리다. 금속은 $\mu$ 가 밴드 깊숙이 들어가 계단 쪽을, 반도체는 꼬리 쪽을 쓴다 — 같은 함수의 두 끝이고, 축퇴 반도체가 그 사이를 잇는다.

3차원 자유전자 기체

평면파와 주기 경계 조건

한 변 $L$ 인 정육면체 상자($V=L^3$) 속의 자유전자를 본다. 슈뢰딩거 방정식은 $-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi$ 이고, 해는 평면파(5.3.4자유 입자와 파속)

$$\psi_{\mathbf k}(\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt V}\,e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}, \qquad E_{\mathbf k}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad \mathbf p=\hbar\mathbf k,\quad \mathbf v=\frac{\hbar\mathbf k}{m}$$

이다. 1차원에서는 벽에서 $\psi=0$ 인 정상파를 썼지만, 3차원에서는 주기 경계 조건 $\psi(x+L,y,z)=\psi(x,y,z)$ 를 쓴다. 이유는 둘이다. 부피 성질은 표면이 어떻든 같아야 하므로 편한 조건을 골라도 되고, 정상파는 $\langle\mathbf p\rangle=0$ 이라 전류를 나르지 못하는 반면 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 는 운동량 $\hbar\mathbf k$ 의 고유 상태라 5절의 전도를 다루기에 맞다. 주기 조건은 $e^{ik_xL}=1$ 을 요구하므로

$$k_x,\,k_y,\,k_z=0,\ \pm\frac{2\pi}{L},\ \pm\frac{4\pi}{L},\ \dots$$

— 허용되는 $\mathbf k$ 는 $k$ 공간에서 간격 $2\pi/L$ 인 격자점이다. 점 하나가 차지하는 $k$ 공간의 부피는 $(2\pi/L)^3=8\pi^3/V$ 이고, 한 점에 스핀 둘이 들어간다. 이 한 문장이 3절 전체다 — 상태를 세는 일이 $k$ 공간의 부피를 재는 기하로 바뀌었다.

직관

공간적 직관 — 실공간의 상자가 클수록 $k$ 공간의 격자는 촘촘해진다. 점 간격 $2\pi/L$ 은 에너지와 무관하게 균일하다. 그래서 “에너지 $E$ 아래에 상태가 몇 개인가”는 $k$ 공간에서 반지름 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 인 구의 부피를 $8\pi^3/V$ 로 나눈 것이고, 상태밀도 $D(E)$ 는 그 구의 껍질 부피다. 6.1의 위상 공간(6.1.7상태 밀도와 위상 공간)에서 상태 하나가 $h^3$ 을 차지한다고 한 것과 같은 말이다 — $(2\pi/L)^3$ 에 $\hbar^3$ 을 곱하고 $V$ 를 곱하면 $h^3$ 이다. 거시적 시료에서 $L$ 은 cm 이므로 격자는 $10^{-2}\ \mathrm{cm^{-1}}$ 간격, $k_F$ 는 $10^{8}\ \mathrm{cm^{-1}}$ — 구 안에 점이 $10^{23}$ 개 있고, 세는 일을 적분으로 바꿔도 아무 오차가 없다. 이것이 깨지는 곳이 나노 구조(10부)다: $L\sim10$ nm 면 점 간격이 눈에 띄고 에너지가 이산화된다.

페르미 구 — 전자 밀도가 모든 것을 정한다

절대영도에서 전자 $N$ 개는 $k$ 공간의 원점에서 가까운 점부터 채운다. 에너지가 $k$ 의 크기만으로 정해지므로 채워진 영역은 구이고, 그 반지름을 페르미 파수 $k_F$, 표면을 페르미 면이라 한다. 전자 수를 세면

$$N=2\times\frac{\tfrac43\pi k_F^3}{8\pi^3/V}=\frac{V}{3\pi^2}k_F^3 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;k_F=(3\pi^2n)^{1/3}\;}$$

이고, 나머지는 따라온다:

$$E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}, \qquad v_F=\frac{\hbar k_F}{m}, \qquad T_F=\frac{E_F}{k_B}$$

전자 농도 하나가 넷을 전부 정한다. 온도도, 시료 크기도, 이온의 종류도 들어가지 않는다.

그림 7.6-3. k 공간의 페르미 구와 에너지 공간의 상태밀도. 왼쪽: 주기 경계 조건이 허용하는 k 점은 간격 2π/L 의 격자이고, T = 0 에서 전자는 원점에서 가까운 점부터 스핀 둘씩 채우므로 채워진 영역은 반지름 k_F 인 구(그림은 단면)가 된다. N = 2 × (구 부피)/(점 하나의 부피)가 k_F = (3π²n)^{1/3} 을 준다. 오른쪽: 같은 상태를 에너지로 세면 D(E) ∝ √E 이고, 유한 온도에서 채워진 상태 D(E)f(E) 는 E_F 근처 k_BT 폭에서만 흐려진다. 채워진 영역의 면적이 N 이다.직접 작도

금속	$n$ ($10^{22}\ \mathrm{cm^{-3}}$)	$k_F$ (Å⁻¹)	$v_F$ ($10^{6}$ m/s)	$E_F$ (eV)	$T_F$ ($10^{4}$ K)
Na	2.65	0.92	1.07	3.24	3.77
K	1.40	0.75	0.86	2.12	2.46
Cu	8.47	1.36	1.57	7.00	8.16
Ag	5.86	1.20	1.39	5.49	6.38
Au	5.90	1.21	1.40	5.53	6.42
Al	18.1	1.75	2.03	11.7	13.6

(Kittel Table 6.1.) 눈금을 익혀 둔다. $k_F\sim1$ Å⁻¹ — 페르미 면 위 전자의 드브로이 파장 $2\pi/k_F$ 가 원자 간격과 같다. 우연이 아니라 $n\sim1/a^3$ 이기 때문이고, 그래서 페르미 면이 브릴루앙 영역 경계에 닿을 수 있다 — 7.7의 밴드 갭이 거기서 열린다. $v_F\sim10^{6}$ m/s — 빛의 0.5 %, 열속도의 열 배. $E_F\sim$ 수 eV — 화학 결합 에너지와 같은 자릿수이고 $k_BT$ 의 백 배.

직관

파라미터 연계 — $n$ 을 움직이면 무엇이 따라오나. $k_F\propto n^{1/3}$, $E_F\propto n^{2/3}$. 농도를 8배 올리면 $k_F$ 는 2배, $E_F$ 는 4배다. 금속에서는 $n$ 을 바꿀 수 없지만 반도체에서는 바꾼다. 실리콘에 $n=10^{20}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 를 도핑하면 자유전자 식으로 $E_F=0.08$ eV, 유효질량과 여섯 골짜기를 고려하면 $0.02$ eV 안팎 — $k_BT$ 와 같은 자릿수라 축퇴의 문턱이다. MOSFET 반전층의 면밀도 $n_s\sim10^{13}\ \mathrm{cm^{-2}}$ 는 2차원 판 자유전자 기체이고, $E_F-E_0=\pi\hbar^2n_s/m^{*}$ 로 수십 meV 다(13부). 같은 셈이다 — 차원과 $m^{*}$ 만 바뀐다.

상태밀도 — 제곱근 곡선의 모양

에너지 $E$ 아래의 상태 수는 위의 셈에서 $k_F\to k=\sqrt{2mE}/\hbar$ 로 바꾸면

$$N(E)=\frac{V}{3\pi^2}\Bigl(\frac{2mE}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}$$

이고, 상태밀도(단위 에너지당 상태 수, 스핀 포함)는 그 미분이다:

$$D(E)=\frac{dN}{dE}=\frac{V}{2\pi^2}\Bigl(\frac{2m}{\hbar^2}\Bigr)^{3/2}E^{1/2}$$

$\ln N=\tfrac32\ln E+$ 상수 를 미분하면 더 짧다 — $dN/N=\tfrac32\,dE/E$ 이므로

$$D(E)=\frac{3N(E)}{2E}, \qquad D(E_F)=\frac{3N}{2E_F}$$

페르미 준위의 상태밀도는 전자 수를 페르미 에너지로 나눈 것의 $\tfrac32$ 배다. 이 한 줄이 4절의 열용량과 8절의 열전도를 계산 없이 준다. 형태는 $\sqrt E$ — 원점에서 수직으로 출발해 점점 완만해지는 곡선이다. 이유는 $k$ 공간 구 껍질의 넓이가 $k^2\propto E$ 이고 $dk/dE\propto E^{-1/2}$ 라서, 곱이 $E^{1/2}$ 이다.

같은 셈을 차원만 바꿔 하면(6.5.9차원별 상태밀도) 2차원은 껍질이 원둘레 $\propto k$ 라 $D_{2D}=mA/\pi\hbar^2$ 로 에너지와 무관한 상수이고, 1차원은 $D_{1D}\propto E^{-1/2}$ 로 바닥에서 발산한다. 3차원의 $\sqrt E$, 2차원의 계단, 1차원의 뾰족한 봉우리 — 양자 우물· 나노선·양자점의 상태밀도가 이 순서로 나오고(10부), MOSFET 반전층의 부밴드(13부)가 2차원 계단이다.

주의

단위 — $D(E)$ 는 부피에 비례한다. 위 식의 $D(E)$ 는 시료 전체의 상태 수라 $V$ 가 들어 있다. 부피당으로 쓰면 $g(E)=D(E)/V=\frac{1}{2\pi^2}(2m/\hbar^2)^{3/2}E^{1/2}$ 이고, 11부의 $N_c$ 는 이 $g(E)$ 에 볼츠만 꼬리를 곱해 적분한 것이다. 스핀을 셈에 넣었는지도 확인할 것 — 이 장은 넣었다(인자 2). 스핀당 상태밀도를 쓰는 책도 있어, 계수가 2배 다르면 대개 이것이다.

바닥 상태 에너지와 축퇴 압력

절대영도의 총 에너지는 $E_F$ 까지 $E\,D(E)$ 를 적분한 것이다. $D\propto E^{1/2}$ 이므로

$$U_0=\int_0^{E_F}E\,D(E)\,dE =\frac{3N}{2E_F^{3/2}}\int_0^{E_F}E^{3/2}\,dE =\frac35\,NE_F$$

— 전자 하나의 평균 에너지가 $\tfrac35E_F$, 수 eV 다. 고전 기체의 $\tfrac32k_BT$ 와 견주면 백 배이고, 절대영도인데도 0 이 아니다. 파울리 배타가 전자를 높은 상태로 밀어 올린 결과다.

이 에너지는 부피에 의존한다($E_F\propto V^{-2/3}$). 부피를 줄이면 $U_0$ 이 오르므로 기체는 바깥으로 미는 압력을 낸다:

$$P=-\frac{\partial U_0}{\partial V}=\frac23\frac{U_0}{V}=\frac25\,nE_F, \qquad B=-V\frac{\partial P}{\partial V}=\frac53P=\frac23\,nE_F$$

$B$ 는 부피 탄성률(7.3.9)이다. 구리에 넣으면 $P\approx38$ GPa, 곧 $4\times10^{5}$ 기압이고, $B\approx63$ GPa 다. 실측 부피 탄성률은 Na 6.4, K 3.1, Cu 137, Al 76 GPa 이고 이 식은 Na 9.2, K 3.2, Cu 63, Al 226 GPa 를 준다. 알칼리 금속에서는 자릿수와 경향이 맞는다 — 금속을 누르기 어려운 이유의 절반은 전자 기체의 축퇴 압력이다. Cu·Al 에서 어긋나는 것은 d 전자와 이온 반발이 함께 들기 때문이고, 그것은 7.3의 결합 이론이 맡는다.

의문

의문 — 이온을 지워도 되는 근거는 무엇인가. $r_s/a_0\sim3$ 이면 전자 사이 쿨롱 에너지 $e^2/4\pi\varepsilon_0r_s\approx5$ eV 가 $E_F$ 와 같다. 무시할 크기가 아니다. 그럼에도 자유전자 모형이 맞는 이유는 세 가지가 겹쳐서다. ① 블로흐 정리(7.7): 주기 퍼텐셜 속의 전자는 $\psi=u_{\mathbf k}(\mathbf r)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 로, 평면파에 격자 주기의 변조가 붙은 것이고 $E(\mathbf k)$ 는 밴드 바닥 근처에서 $\hbar^2k^2/2m^{*}$ 다. 이온은 사라지지 않고 $m^{*}$ 로 남는다. ② 차폐(7.10): 전자 기체가 이온의 전하를 토마스–페르미 길이($\sim1$ Å) 안에서 가려, 전자가 보는 퍼텐셜은 약하고 짧다. ③ 파울리 배타: 전자끼리 산란하려면 둘 다 빈 상태로 가야 하는데, $E_F$ 근처 $k_BT$ 폭 안에만 빈 상태가 있어 산란 확률이 $(k_BT/E_F)^2\sim10^{-5}$ 로 억제된다. 그래서 전자–전자 산란의 평균 자유 행정은 상온에서 $\mu$m 급이다. 이 세 가지가 7.10.8의 “페르미 액체”로 정리된다 — 상호작용하는 전자계가 질량만 다른 자유 입자처럼 행동한다는 정리다.

전자 기체의 열용량

고전의 예측과 100배의 차이

등분배 정리(6.3.5등분배 정리와 고체의 열용량)로 자유 입자 $N$ 개의 열용량은 $C=\tfrac32Nk_B$ 다. 원자가 전자가 하나씩인 금속이라면 이온의 $3Nk_B$(뒬롱–프티)에 전자의 $\tfrac32Nk_B$ 가 얹혀 실온 열용량이 $4.5Nk_B$ 여야 한다. 실측은 $3Nk_B$ 에서 거의 벗어나지 않는다 — 전자의 기여는 예측의 1 % 다. 드루데 시대 최대의 수수께끼였고, 2절의 그림이 답을 반쯤 주었다: 온도를 느끼는 전자는 $E_F$ 근처 $k_BT$ 폭 안의 전자, 곧 전체의 $T/T_F$ 뿐이다.

정성적 셈 — 답의 꼴을 먼저 본다

창 안의 전자 수를 $N_{\mathrm{eff}}\approx N\,(T/T_F)$ 로 잡고, 이 전자들이 온도 $T$ 에서 각각 $\sim k_BT$ 의 열에너지를 얻는다고 하면

$$U(T)-U_0\approx N\frac{T}{T_F}\,k_BT \qquad\Longrightarrow\qquad C_{\mathrm{el}}=\frac{\partial U}{\partial T}\approx 2Nk_B\frac{T}{T_F}$$

이다. 계수는 믿을 것이 못 되지만 두 가지는 이미 맞다. 온도에 비례한다 — 고전의 상수가 아니라. 그리고 크기가 $Nk_B$ 에 $T/T_F\sim10^{-2}$ 를 곱한 것이다 — 100배의 차이가 여기서 난다. 정확한 계수는 $\pi^2/2$ 이고, 아래에서 센다.

정량 계산 — 좀머펠트 전개

$E_F$ 를 기준으로 재면, 온도 $T$ 에서 전자 기체가 더 가진 에너지는

$$\Delta U=\int_0^\infty E\,D(E)f(E)\,dE-\int_0^{E_F}E\,D(E)\,dE$$

이다. 전자 수가 보존되므로 $\int_0^\infty D f\,dE=\int_0^{E_F}D\,dE=N$ 이고, 양변에 $E_F$ 를 곱해 위 식에서 빼면 (Kittel §6, 식 6.30–6.36)

$$\Delta U=\int_{E_F}^{\infty}(E-E_F)\,D(E)\,f(E)\,dE +\int_0^{E_F}(E_F-E)\,D(E)\,\bigl[1-f(E)\bigl]\,dE$$

가 된다. 두 항 모두 양수이고 뜻이 분명하다 — 첫째는 $E_F$ 위로 올라간 전자들이 얻은 에너지, 둘째는 $E_F$ 아래에 생긴 구멍을 만드는 데 든 에너지다. 온도로 미분하면 $D(E)$ 는 온도와 무관하니 $f$ 만 미분되고, 두 적분이 합쳐져

$$C_{\mathrm{el}}=\frac{d\,\Delta U}{dT}=\int_0^\infty(E-E_F)\,D(E)\,\frac{\partial f}{\partial T}\,dE$$

이다. $\partial f/\partial T$ 는 $E_F$ 근처 $k_BT$ 폭에서만 0 이 아니므로 $D(E)\approx D(E_F)$ 로 꺼낼 수 있다. $\mu\approx E_F$ 로 두고 $x=(E-E_F)/k_BT$ 를 쓰면

$$\frac{\partial f}{\partial T}=\frac{E-E_F}{k_BT^2}\,\frac{e^x}{(e^x+1)^2}$$

이고, 적분의 아래끝 $-E_F/k_BT\approx-300$ 을 $-\infty$ 로 보내면

$$C_{\mathrm{el}}=D(E_F)\,k_B^2T\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^2e^x}{(e^x+1)^2}\,dx =\frac{\pi^2}{3}\,D(E_F)\,k_B^2\,T$$

— 적분값이 $\pi^2/3$ 이다. 3절의 $D(E_F)=3N/2E_F$ 를 넣으면

$$\boxed{\;C_{\mathrm{el}}=\frac{\pi^2}{2}\,Nk_B\,\frac{T}{T_F}\;}$$

정성적 셈의 계수 2 가 $\pi^2/2\approx4.9$ 로 바뀌었을 뿐 모든 것이 같다. 구리 실온에서 $T/T_F=0.0037$ → $C_{\mathrm{el}}=0.018\,Nk_B$, 고전값 $1.5\,Nk_B$ 의 1.2 %. 100배가 정확히 나왔다.

직관

수식적 직관 — $\pi^2/3$ 은 창의 분산이다. $e^x/(e^x+1)^2$ 는 2절 오른쪽 그림의 창 $-\partial f/\partial E$ 를 $k_BT$ 단위로 쓴 것이고 넓이가 1 이다. 그 위에서 $x^2$ 의 평균, 곧 창의 분산이 $\pi^2/3$ 이다. 열용량은 “창 안의 상태 수 $D(E_F)\,k_BT$” × “그 상태들의 에너지 퍼짐 $k_B\times$(분산)“이니 $C\propto D(E_F)k_B^2T$ 는 계산 없이도 보인다. 같은 창의 분산이 8절의 로렌츠 수 $\pi^2/3\,(k_B/e)^2$ 에 다시 나온다 — 열류가 나르는 에너지의 제곱 평균이 같은 적분이기 때문이다.

계산에서 $\mu\approx E_F$ 로 둔 것이 마음에 걸리면 좀머펠트 전개로 확인한다. $H(E)$ 가 $E_F$ 근처에서 매끄러우면

$$\int_0^\infty H(E)f(E)\,dE =\int_0^{\mu}H(E)\,dE+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2H'(\mu)+O\bigl[(k_BT)^4\bigr]$$

이다 (Ashcroft·Mermin Ch.2, 부록 C). 첫 항은 $T=0$ 의 계단, 둘째 항이 창의 분산 × 기울기다. $H=D$ 로 놓고 $N$ 을 고정하면 $\mu$ 가 온도에 따라 어떻게 움직이는지 나온다:

$$\mu(T)=E_F\Bigl[1-\frac{\pi^2}{12}\Bigl(\frac{T}{T_F}\Bigr)^2\Bigr]$$

3차원에서는 $D$ 가 오르막이라 $\mu$ 가 살짝 내려간다 — 창의 위쪽에 상태가 더 많으니 같은 전자 수를 맞추려면 중심을 낮춰야 한다. 구리 실온에서 $10^{-5}$ 의 보정이고, 열용량 계산에는 $(T/T_F)^2$ 차수라 들어오지 않는다. 2차원에서는 $D$ 가 상수라 이 보정이 0 이다 — 반전층의 $\mu$ 가 온도에 둔감한 이유다.

실측과 비교 — C/T 를 T² 에 대해 그린다

저온 금속의 열용량은 전자 항과 포논 항(7.5.4디바이 모형과 T³ 법칙)의 합이다:

$$C=\gamma T+AT^3, \qquad \gamma=\frac{\pi^2}{3}D(E_F)k_B^2=\frac{\pi^2Nk_B^2}{2E_F}$$

$T$ 에 비례하는 항과 $T^3$ 에 비례하는 항을 가르는 표준 요령이 양변을 $T$ 로 나누어 $T^2$ 에 대해 그리는 것이다: $C/T=\gamma+AT^2$ 는 직선이고, 절편이 $\gamma$, 기울기가 $A$ 다.

그림 7.6-4. 금속의 저온 열용량. 칼륨의 값 γ = 2.08 mJ mol⁻¹ K⁻², A = 2.57 mJ mol⁻¹ K⁻⁴ (Kittel Fig. 6.9). 왼쪽: C/T 를 T² 에 대해 그리면 직선이고, T² → 0 절편이 전자 항 γ, 기울기가 포논 항 A 다 — 두 기여가 한 그래프에서 분리된다. 오른쪽: 같은 두 항을 T 에 대해 그리면 T* = √(γ/A) ≈ 0.9 K 아래에서 전자가, 위에서 포논이 이긴다. 실온에서는 포논이 전자의 백 배라 전자 항이 보이지 않고, 1 K 아래에서는 전자만 남는다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 왜 $C/T$ 대 $T^2$ 인가. $C$ 를 $T$ 에 대해 그리면 두 항이 한 곡선에 섞여 어느 쪽이 얼마인지 읽을 수 없다. $T$ 로 나누면 전자 항은 상수, 포논 항은 $T^2$ 가 되어 1차식이 되고, 직선의 절편과 기울기가 각각 한 항씩 맡는다. 절편은 $T\to0$ 의 외삽이므로 디바이 온도를 몰라도 $\gamma$ 가 나온다. 이 요령은 여기만이 아니다 — 초전도체의 갭(7.14.3)은 $C/T$ 가 절편 없이 $e^{-\Delta/k_BT}$ 로 사라지는 것으로, 무거운 페르미온은 절편이 수백 배 큰 것으로 잡힌다. 두 멱수를 갈라 보고 싶으면 한쪽의 멱수로 나누어 직선을 만든다.

금속	$\gamma_{\mathrm{obs}}$ (mJ mol⁻¹ K⁻²)	$\gamma_{\mathrm{free}}$	$m_{\mathrm{th}}/m=\gamma_{\mathrm{obs}}/\gamma_{\mathrm{free}}$
Na	1.38	1.09	1.26
K	2.08	1.67	1.25
Cu	0.695	0.505	1.38
Ag	0.646	0.645	1.00
Au	0.729	0.642	1.14
Al	1.35	0.912	1.48

(Kittel Table 6.2.) 자유전자 값은 표의 $n$ 만으로 계산한 것이다. 단순 금속에서 실측이 자유전자 값의 11.5배 안에 든다 — $T$ 에 비례한다는 사실과 크기의 자릿수를 모두 맞혔다. 전이 금속(Fe·Mn·Ni)은 515배로 크게 벗어나는데, 좁은 d 밴드가 $E_F$ 에 걸려 $D(E_F)$ 가 큰 탓이다(7.13).

열 유효질량

비율 $\gamma_{\mathrm{obs}}/\gamma_{\mathrm{free}}$ 를 열 유효질량 $m_{\mathrm{th}}/m$ 이라 부른다. $\gamma\propto D(E_F)\propto m$ 이므로($E_F\propto1/m$), 실측 $\gamma$ 가 큰 것을 “전자가 무거운 것”으로 읽은 것이다. 벗어남의 원인은 셋이다.

• 밴드 구조 — 이온 퍼텐셜이 $E(\mathbf k)$ 를 자유전자 포물선에서 휘어 $E_F$ 에서의 기울기, 곧 $D(E_F)$ 를 바꾼다. 7.9의 유효질량 $m^{*}$ 가 이것이다.
• 전자–포논 상호작용 — 전자가 격자를 끌고 다니면서 무거워진다. $m^{*}\to m^{*}(1+\lambda)$ 로, $\lambda$ 는 7.14 초전도의 결합 상수와 같은 양이다. Pb 같은 강결합 금속에서 1.5 에 이른다.
• 전자–전자 상호작용 — 7.10.8의 페르미 액체 보정.

이 셋이 겹쳐 CeAl₃·UPt₃ 같은 무거운 페르미온 화합물에서는 $m_{\mathrm{th}}/m\sim1000$ 이 된다 — 자유전자 모형이 가장 극적으로 실패하는 자리이자, $\gamma$ 하나로 그 실패를 정량화할 수 있다는 점에서 가장 쓸모 있는 자리다.

전기전도도와 옴의 법칙

반고전 운동 방정식 — 페르미 구가 통째로 움직인다

좀머펠트 전자의 운동량은 $\hbar\mathbf k$ 다. 드루데의 운동 방정식을 $\mathbf p=\hbar\mathbf k$ 로 다시 쓰면, 외력 아래 전자 하나의 $\mathbf k$ 는

$$\hbar\frac{d\mathbf k}{dt}=\mathbf F=-e\bigl(\boldsymbol{\mathcal E}+\mathbf v\times\mathbf B\bigr)$$

를 따른다 (로렌츠 힘, 2.4.1로렌츠 힘 법칙과 전류; 이 식이 결정 속에서도 성립한다는 것이 7.9.2의 주제다). 자기장이 없고 충돌이 없으면 모든 전자의 $\mathbf k$ 가 같은 속도로 옮겨간다: $\delta\mathbf k=-e\boldsymbol{\mathcal E}t/\hbar$. 페르미 구 전체가 $k$ 공간에서 통째로 밀린다. 충돌은 이 이동을 되돌린다 — 평균 $\tau$ 마다 초기화되므로 정상 상태에서 구는

$$\delta\mathbf k=-\frac{e\tau}{\hbar}\boldsymbol{\mathcal E}$$

만큼 옮겨진 자리에 멈춘다. 전자 전부가 속도 $\delta\mathbf v=\hbar\,\delta\mathbf k/m$ 를 더 가지므로 전류 밀도는

$$\mathbf j=-ne\,\delta\mathbf v=-ne\,\frac{\hbar}{m}\Bigl(-\frac{e\tau}{\hbar}\boldsymbol{\mathcal E}\Bigr) =\frac{ne^2\tau}{m}\boldsymbol{\mathcal E}$$

— 드루데와 완전히 같은 $\sigma=ne^2\tau/m$ 이다. 통계를 바꿨는데 전도도가 그대로인 이유는, 옴의 법칙이 전자 하나하나의 속도 분포가 아니라 전체 운동량의 평균만 묻기 때문이다. 전자 $N$ 개가 각각 $\hbar\,\delta\mathbf k$ 씩 더 가지면 총 운동량은 통계와 무관하게 $N\hbar\,\delta\mathbf k$ 다.

그림 7.6-5. 전기장 아래의 페르미 구. 점선이 평형 페르미 구(단면), 실선이 +x 방향 전기장 아래 정상 상태의 구다. 모든 전자의 k 가 같은 δk = −e𝓔τ/ħ 만큼 옮겨졌지만, 채워짐이 실제로 달라진 곳은 두 초승달뿐이다 — 왼쪽(−k_x 쪽)에 새로 채워진 상태, 오른쪽에 비워진 상태. 정상 상태를 유지하는 것은 앞쪽 표면의 전자가 뒤쪽 빈 상태로 산란되는 과정이고, 파울리 배타 때문에 구 안쪽 전자는 갈 빈자리가 없어 이 과정에 참여할 수 없다. 그래서 산란은 페르미 면 위의 전자, 곧 속력 v_F 인 전자만 겪고, 평균 자유 행정은 v_F τ 다. δk 는 눈에 보이도록 과장했다 — 배선 수준의 전류 밀도에서 실제 비율 δk/k_F 는 10⁻¹⁰ 안팎이다.직접 작도

무엇이 달라졌나 — 누가 산란되는가

식은 같지만 그림은 다르다. 드루데에서는 모든 전자가 열속도로 날다가 이온에 부딪혔다. 좀머펠트에서는 다음 넷이 바뀐다.

1. 산란은 페르미 면 위에서만 일어난다. 산란은 전자를 $\mathbf k$ 에서 $\mathbf k'$ 로 옮기는 일인데, 구 안쪽의 $\mathbf k'$ 는 전부 차 있다. 앞쪽 초승달의 전자가 뒤쪽 초승달의 빈자리로 가는 것만 허용된다. 온도가 $\tau$ 를 정할 때 관여하는 전자는 이들뿐이다.
2. 속력은 $v_F$ 다. 산란되는 전자가 페르미 면 위에 있으니 평균 자유 행정은 $l=v_F\tau$ 이고, $v_F$ 는 열속도의 열 배다. 구리 273 K: $v_F=1.57\times10^{6}$ m/s, $\tau=2.7\times10^{-14}$ s, $l=42$ nm — 원자 간격의 150배다. 77 K 에서는 $\rho$ 가 1/8 이라 $l\approx300$ nm, 고순도 단결정 4 K 에서는 mm 급이다.
3. $\delta k$ 는 아주 작다. 배선의 전형적인 전류 밀도 $j=1\ \mathrm{A/mm^2}$ 에서 표류 속도는 $v_d=j/ne\approx0.07$ mm/s, 곧 $\delta k=mv_d/\hbar\approx0.6\ \mathrm{m^{-1}}$ — $k_F=1.4\times10^{10}\ \mathrm{m^{-1}}$ 의 $10^{-10}$ 이다. 전기장으로 말하면 $\mathcal E=j/\sigma\approx0.2$ mV/cm 에 지나지 않는다. 옴의 법칙이 선형인 이유가 이것이다: 구가 아주 조금만 옮겨져서 응답이 1차항으로 끝난다. 반도체에서는 $n$ 이 작아 같은 전류에 훨씬 큰 $v_d$ 가 필요하고, 전기장이 $10^{4}$ V/cm 를 넘으면 이 조건이 깨져 속도가 포화한다(11.7).
4. 이온 격자는 산란체가 아니다. $l$ 이 원자 간격의 백 배가 넘는다는 것은 전자가 이온 수백 개를 지나면서 부딪히지 않는다는 뜻이다. 완벽한 주기 퍼텐셜은 블로흐 파를 산란시키지 않고(7.7), 산란하는 것은 주기성의 깨짐 — 포논과 결함이다(6절).

$\rho=m/ne^2\tau$ 에 $\tau=l/v_F$ 와 $v_F=\hbar k_F/m$ 을 넣으면 질량이 사라지고

$$\rho\,l=\frac{\hbar k_F}{ne^2}$$

가 남는다. 우변은 전자 농도만의 함수라 금속마다 정해진 상수다. 구리는 $6.6\times10^{-16}\ \Omega\,\mathrm{m^2}$ 이고, 실온 $\rho=1.7\ \mu\Omega\,\mathrm{cm}$ 로 나누면 $l=39$ nm 가 바로 나온다. 이 곱 $\rho l$ 이 6절에서 좁은 배선 금속을 고르는 성적표가 된다.

금속	$\rho$ (273 K, $\mu\Omega\,\mathrm{cm}$)	$\tau$ ($10^{-14}$ s)	$l=v_F\tau$ (nm)	$\mu_n=e\tau/m$ ($\mathrm{cm^2/V\,s}$)
Cu	1.56	2.7	42	47
Ag	1.51	4.0	56	70
Au	2.04	3.0	42	53
Al	2.45	0.80	16	14
Na	4.2	3.2	34	56

마지막 열이 뜻밖일 수 있다. 구리의 이동도는 $47\ \mathrm{cm^2/V\,s}$ 로, 실리콘 전자의 $1400$ 보다 30배 작다. 실리콘은 $\tau$ 가 비슷하거나 조금 길고 $m^{*}=0.26\,m$ 이라 $e\tau/m^{*}$ 가 크다. 그런데도 구리의 전도도가 실리콘($10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 도핑)보다 $10^{8}$ 배 큰 것은 오로지 $n$ 이 $10^{22}$ 대 $10^{15}$ 이기 때문이다. 1절의 “손잡이 셋” 가운데 금속과 반도체를 가르는 것은 $n$ 뿐이다.

주의

$\tau$ 의 정체 — 한 가지가 아니다. 여기의 $\tau$ 는 운동량 완화 시간이다 — 전자의 방향 기억이 지워지는 시간. 산란이 대부분 작은 각도로 일어나면 한 번의 충돌로는 방향이 거의 안 바뀌므로, 충돌 사이 시간 $\tau_c$ 보다 운동량 완화 시간이 훨씬 길다: $1/\tau=\langle(1-\cos\theta)\rangle/\tau_c$. 6절의 $T^5$ 법칙에서 $(1-\cos\theta)$ 인자가 $T^2$ 를 보탠다. 11.7의 에너지 완화 시간은 또 다른 $\tau$ 이고, 7.12의 볼츠만 방정식이 이들을 한 틀에서 정의한다. 그리고 7.11에서 광학 전도도의 $\tau$ 는 주파수에 따라 달라진다. 같은 글자에 다른 시간이 들어가니 문맥의 정의를 확인할 것.

교류 전도도와 플라스마 주파수

전기장이 $\boldsymbol{\mathcal E}(t)=\boldsymbol{\mathcal E}_0e^{-i\omega t}$ 로 흔들리면 운동 방정식 $m\,d\mathbf v/dt=-e\boldsymbol{\mathcal E}-m\mathbf v/\tau$ 의 정상 해는 $\mathbf v=\mathbf v_0e^{-i\omega t}$ 이고, 대입하면 $(-i\omega+1/\tau)m\mathbf v_0=-e\boldsymbol{\mathcal E}_0$ 이다. $\mathbf j=-ne\mathbf v$ 로

$$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-i\omega\tau}, \qquad \sigma_0=\frac{ne^2\tau}{m}$$

이다. $\omega\tau\ll1$ 이면 직류와 같고, $\omega\tau\gg1$ 이면 $\sigma\approx i\,ne^2/m\omega$ 로 순허수 — 전자가 마찰 없이 관성만으로 흔들리는 상태다. 실수부(흡수)와 허수부(관성)가 $\omega\tau=1$ 에서 교차한다. 구리는 $1/\tau\approx4\times10^{13}$ rad/s, 곧 적외선(파장 $\sim50\ \mu$m)이 경계다. 그 아래(마이크로파·THz 까지)에서 금속은 직류와 같은 저항체이고, 그 위(가시광)에서는 관성체다.

관성체의 유전 응답을 보자. 전도 전류를 분극으로 읽어 $\varepsilon(\omega)=1+i\sigma/\varepsilon_0\omega$ 로 쓰고 $\omega\tau\gg1$ 을 넣으면

$$\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}, \qquad \boxed{\;\omega_p^2=\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}\;}$$

— $\omega_p$ 가 플라스마 주파수다. $\omega<\omega_p$ 에서 $\varepsilon<0$ 이라 굴절률 $\sqrt\varepsilon$ 이 허수이고, 파는 매질에 들어가지 못하고 반사된다 — 금속의 광택이다. $\omega>\omega_p$ 에서는 $\varepsilon>0$ 이라 투과한다. $\hbar\omega_p$ 는 Na 5.9 eV(파장 210 nm), Al 15.8 eV, Cu 10.8 eV 로, 단순 금속은 자외선에서 투명해진다. 구리·금이 색을 띠는 것은 $d$ 밴드에서 $s$ 밴드로의 밴드간 흡수가 가시광에 걸려서다(7.11).

그림 7.6-6. 드루데 교류 전도도와 플라스마 주파수. 왼쪽: σ(ω) = σ₀/(1 − iωτ) 의 실수부와 허수부. ωτ ≪ 1 이면 직류와 같고, ωτ = 1 에서 둘이 ½ 에서 만나며, ωτ ≫ 1 이면 실수부(흡수)는 1/ω² 로 사라지고 허수부(관성)만 1/ω 로 남는다. 오른쪽: 충돌을 무시한 유전함수 ε(ω) = 1 − ω_p²/ω². ω < ω_p 에서 음수 — 파가 들어가지 못하고 반사된다(금속 광택). ω > ω_p 에서 양수 — 투명하다. 알칼리 금속은 자외선(Na: ~210 nm)에서 투명해진다.직접 작도

직관

수식적 직관 — $\sigma(\omega)$ 는 모서리 주파수 $1/\tau$ 인 저역 통과 필터다. 전자에 힘을 걸면 응답이 $\tau$ 만큼 늦는다 — 관성 때문이다. 1.4.8의 강제 진동 (1.4.8강제 진동과 공명)에서 복원력을 0 으로 둔 것이 정확히 이 식이고, 회로로는 저항 $m/ne^2\tau$ 와 인덕턴스 $m/ne^2$ 의 직렬이다. 이 인덕턴스는 자기장이 아니라 전자의 운동 에너지에 저장되는 것이라 운동 인덕턴스(kinetic inductance)라 부른다. 보통 금속에서는 $\omega\tau\ll1$ 이라 보이지 않지만, 초전도체(7.14, $\tau\to\infty$)와 그래핀·나노 배선의 THz 응답에서는 이것이 임피던스를 지배한다.

주의

부호 규약 — $e^{-i\omega t}$ 와 $e^{j\omega t}$. 물리는 $e^{-i\omega t}$ 를 써서 $\sigma=\sigma_0/(1-i\omega\tau)$ 이고, 전기공학은 $e^{j\omega t}$ 를 써서 $\sigma=\sigma_0/(1+j\omega\tau)$ 다. 허수부의 부호가 반대로 나오지만 물리는 같다 — “전류가 전기장보다 위상이 늦는다”는 말은 두 규약에서 같은 말이다. 1.9의 복소 유전함수와 크라머스–크로니히 관계를 이 식에 걸 때 규약을 섞으면 인과율이 뒤집힌 것처럼 보인다.

직관

파라미터 연계 — $\omega_p\propto\sqrt{n}$ 이 반도체 광학을 정한다. 금속의 $n\sim10^{22}$ 이면 $\hbar\omega_p\sim10$ eV(자외선)다. 도핑 반도체의 $n\sim10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 이면 $\sqrt{10^{-3}}$ 배에 $m^{*}$ 보정이 붙어 $\hbar\omega_p\sim0.1$ eV — 적외선이다. 그래서 고도핑 실리콘은 적외선을 반사·흡수하고(11.8.8 자유 캐리어 흡수), 투명 전극 ITO 는 $n\sim10^{21}$ 로 플라스마 모서리를 근적외선에 두어 가시광은 통과시키면서 전도한다(16부). 같은 식의 $n$ 만 바꾼 것이다. 그리고 $\omega_p$ 는 전자 기체 자체의 집단 진동수이기도 하다 — 7.10.2의 플라스몬이 그것이고, EELS 로 그 에너지를 직접 잰다(19부).

금속의 비저항

마티센 규칙 — 산란율은 더해진다

전자를 산란시키는 상대가 둘 이상이면 — 포논과 불순물 — 각각의 산란이 독립이라는 가정 아래 산란율이 더해진다:

$$\frac1\tau=\frac{1}{\tau_{\mathrm{ph}}}+\frac{1}{\tau_{\mathrm i}} \qquad\Longrightarrow\qquad \rho=\frac{m}{ne^2}\Bigl(\frac{1}{\tau_{\mathrm{ph}}}+\frac{1}{\tau_{\mathrm i}}\Bigr) =\rho_{\mathrm{ph}}(T)+\rho_0$$

이것이 마티센 규칙(Matthiessen’s rule)이다. 확률의 덧셈이라 $\tau$ 가 아니라 $1/\tau$ 가 더해지고, 그래서 비저항이 더해진다 — 전도도가 아니라. 포논 항 $\rho_{\mathrm{ph}}$ 는 온도에 의존하고 $T\to0$ 에서 사라지지만, 불순물·결함 항 $\rho_0$ 는 온도와 무관하다. 그래서 순수하지 않은 금속의 비저항은 절대영도에서 0 이 아니라 잔류 비저항 $\rho_0$ 에 멈추고, $\rho(300\ \mathrm K)/\rho(4\ \mathrm K)$ — 잔류 저항비(RRR) — 가 시료 순도의 표준 척도가 된다. 상용 구리 배선은 수십, 고순도 단결정은 수천이다.

그림 7.6-7. 금속 비저항의 온도 의존성 — 마티센 규칙 ρ = ρ₀ + ρ_ph(T). 포논 항은 블로흐–그뤼나이젠 식 ρ_ph ∝ (T/Θ)⁵ J₅(Θ/T) 로 계산했다. T ≳ Θ/3 에서 T 에 비례하고, T ≪ Θ 에서 T⁵ 로 사라진다. 잔류 비저항 ρ₀ 는 곡선을 통째로 위로 올릴 뿐 모양을 바꾸지 않는다 — 세 곡선의 기울기가 같다. 실온 구리(Θ_R ≈ 320 K, T/Θ ≈ 0.9)는 직선 구간 안에 있어 온도 계수가 0.4 %/K 다.직접 작도

직관

파라미터 연계 — 비저항을 올리는 것과 내리는 것. 올리는 것: 온도(포논 수), 불순물 농도, 격자 결함(전위·공공·입계), 그리고 6절 끝의 시료 크기. 내리는 것: 냉각, 정련, 어닐링(입계와 전위를 없앰). 이 가운데 반도체 배선 공정이 손댈 수 있는 것은 뒤의 셋뿐이다 — 온도는 회로가 정한다. 배선의 온도 계수 0.4 %/K 는 칩이 100 °C 올라가면 저항이 40 % 오른다는 뜻이고, RC 지연과 IR 강하가 그만큼 나빠진다(21.7).

포논 산란 — 왜 고온에서 T, 저온에서 T⁵ 인가

포논은 격자 주기성의 흔들림이고, 전자는 그 흔들림에 산란된다. 산란율은 포논 수에 비례한다. 고온($T\gg\Theta$)에서 각 모드의 포논 수는 등분배로 $n_{\mathrm{ph}}\approx k_BT/\hbar\omega$ (7.5.1포논 열용량과 플랑크 분포) 라 $T$ 에 비례하고, 따라서

$$\rho_{\mathrm{ph}}\propto T \qquad(T\gtrsim\Theta/3)$$

이다. 실온 구리의 온도 계수 $d\rho/dT=0.0068\ \mu\Omega\,\mathrm{cm/K}$, 곧 0.4 %/K 가 이것이다.

저온($T\ll\Theta$)에서는 두 가지가 겹쳐 지수가 5 로 뛴다. ① 열적으로 들뜬 포논은 $\hbar\omega\lesssim k_BT$ 인 것뿐이고 그 수는 $T^3$ 에 비례한다(디바이 $T^3$ 법칙과 같은 셈). ② 그런 포논의 파수는 $q\lesssim k_BT/\hbar v_s\ll k_F$ 라, 전자를 각도 $\theta\approx q/k_F\propto T$ 만큼만 꺾는다. 5절의 주의에서 말한 대로 운동량 완화에는 $(1-\cos\theta)\approx\theta^2/2\propto T^2$ 의 무게가 붙는다. 곱하면

$$\rho_{\mathrm{ph}}\propto T^3\times T^2=T^5 \qquad(T\ll\Theta)$$

— 블로흐 $T^5$ 법칙이다. 둘을 잇는 보간식이 블로흐–그뤼나이젠 식

$$\rho_{\mathrm{ph}}(T)=A\Bigl(\frac{T}{\Theta_R}\Bigr)^5\int_0^{\Theta_R/T}\frac{x^5\,dx}{(e^x-1)(1-e^{-x})}$$

이고, 그림의 곡선이 이것이다. $\Theta_R$ 은 비저항에서 맞춘 디바이 온도로 열용량의 $\Theta_D$ 와 비슷하다(Cu 320 K, Al 395 K). 실제 금속에서는 움클랍 과정(7.5.8움클랍 과정)이 저온의 지수를 조금 바꾸고, 페르미 면이 브릴루앙 영역에 닿는 금속에서는 더 복잡해지지만, “고온 $T$, 저온 $T^5$, 사이는 블로흐–그뤼나이젠”이 표준 그림이다.

의문

의문 — 왜 완벽한 격자는 산란하지 않는가. 드루데는 이온을 산란체로 그렸는데, 5절에서 $l$ 이 원자 간격의 백 배가 넘는 것을 보았다. 답은 7.7의 블로흐 정리다: 주기 퍼텐셜의 정상 상태는 $\psi_{\mathbf k}=u_{\mathbf k}(\mathbf r)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 로, 이온의 영향이 이미 파동함수 안에 들어 있는 정상 상태라 산란될 것이 없다. 무한히 완벽한 결정의 $\tau$ 는 무한대다. 산란하는 것은 그 주기성에서 벗어난 것 — 진동(포논), 불순물, 공공, 전위, 입계, 표면이다. 이것은 파동이 주기 격자를 통과하는 일반 성질이다: 7.2의 회절이 그렇고, 3.6의 회절 격자가 그렇다. 완벽한 격자에서 파는 브래그 조건에 걸리지 않는 한 산란 없이 지나간다.

불순물과 결함

불순물 원자 하나는 산란 단면적을 가진 점 산란체다. 농도 $x$ (원자 분율)가 낮으면 $\rho_{\mathrm i}\propto x$ 이고, 이원 합금 전체로는 노르트하임 규칙 $\rho_{\mathrm i}\propto x(1-x)$ — 두 성분이 반반일 때 최대다. 산란 세기는 불순물이 모체와 얼마나 다른가에 달렸고, 같은 주기의 원소를 구리에 1 at % 씩 넣으면 $\Delta\rho$ 가 Zn 0.3, Ga 1.4, Ge 3.7, As 6.7 $\mu\Omega\,\mathrm{cm}$ 안팎으로 원자가 차이의 제곱에 비례한다(린데 규칙). 여분의 전하가 만드는 스크린된 쿨롱 퍼텐셜(7.10.3)의 산란 단면적이 $(\Delta Z)^2$ 이기 때문이다. 공공·전위·입계도 각각 $\rho_0$ 에 더해진다 — 급랭한 금속의 공공, 냉간 가공한 금속의 전위, 미세 결정립의 입계가 어닐링으로 줄어드는 것을 $\rho_0$ 로 추적한다.

한 가지 예외를 적어 둔다. Fe·Mn 같은 자성 불순물이 든 Cu·Au 는 저온에서 비저항이 내려가다 다시 오른다 — $\rho$ 에 $-\ln T$ 항이 붙어 극소가 생긴다(곤도 효과). 불순물의 스핀이 전도 전자 스핀과 교환 상호작용하면서 산란 진폭이 온도에 의존하는 결과로, 마티센 규칙의 “온도 무관 $\rho_0$” 가 깨지는 드문 경우다.

크기 효과 — 배선 폭이 평균 자유 행정과 같아질 때

5절의 $l\approx40$ nm 는 이제 벌크 상수가 아니라 설계 길이다. 박막의 두께 $d$ 나 배선의 폭 $w$ 가 $l$ 과 비슷해지면 표면이 새로운 산란체가 된다. 표면에서 전자가 거울처럼 반사되면 (specular, 확률 $p$) 운동량이 보존되어 비저항이 오르지 않지만, 난반사되면(diffuse, $1-p$) 표면이 충돌 한 번과 같다. 푸흐스–존트하이머(Fuchs–Sondheimer) 이론의 근사식은

$$\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{bulk}}}\approx1+\frac38(1-p)\frac{l}{d} \qquad(d\gtrsim l)$$

이고, 다결정 배선에서는 결정립계가 전자를 반사(확률 $R$)해 마야다스–샤츠케스 (Mayadas–Shatzkes) 항이 따로 더해진다. 구리 배선에서 $p\approx0$, $R\approx0.3\sim0.5$ 로 잡히며, 폭 20 nm 배선의 비저항은 벌크의 2~3배다. 마티센 규칙의 항이 하나 더 늘어난 것이다: $\rho=\rho_{\mathrm{ph}}+\rho_0+\rho_{\mathrm{surf}}+\rho_{\mathrm{gb}}$.

이 자리에서 5절의 $\rho l=\hbar k_F/ne^2$ 가 성적표가 된다. 배선 폭 $w\ll l$ 인 극한에서 비저항은 $\rho_{\mathrm{bulk}}\,l/w$ 에 비례하므로, 좁은 배선의 저항은 $\rho$ 가 아니라 $\rho l$ 곱으로 정해진다. Co·Ru·Mo 는 벌크 비저항이 Cu 의 3~4배지만 $l$ 이 10 nm 안팎으로 짧아 $\rho l$ 이 Cu 와 비슷하거나 작다 — 폭 10 nm 대에서 Cu 를 대체하는 후보가 되는 이유이고, 18.22와 10.4.8에서 이어진다.

자기장 내 운동과 홀 효과

자기장 속의 운동 방정식과 사이클로트론 주파수

로렌츠 힘을 넣은 드루데 방정식은

$$m\frac{d\mathbf v}{dt}=-e\bigl(\boldsymbol{\mathcal E}+\mathbf v\times\mathbf B\bigr)-\frac{m\mathbf v}{\tau}$$

이다. 전기장과 충돌을 잠시 끄면 전자는 자기장에 수직인 면에서 원운동을 하고, 그 각진동수가 사이클로트론 주파수

$$\omega_c=\frac{eB}{m} \qquad(f_c=\omega_c/2\pi=28\ \mathrm{GHz/T})$$

다. 충돌이 있으면 전자는 한 바퀴를 채 돌기 전에 산란된다 — 기준은 $\omega_c\tau$ 다. $\omega_c\tau\ll1$ 이면 자기장은 궤도를 조금 휘는 섭동이고, $\omega_c\tau\gg1$ 이면 전자가 여러 바퀴를 돈다. 실온 구리에서 1 T 는 $\omega_c\tau\approx5\times10^{-3}$ 로 약한 장이고, 4 K 고순도 구리(RRR 1000)에서는 $\tau$ 가 천 배라 같은 1 T 가 $\omega_c\tau\approx5$ 의 강한 장이다. 강한 장에서 전자가 그리는 $k$ 공간의 궤도가 페르미 면의 단면이고, 그것이 7.8의 드하스–판알펜 효과와 궤도 양자화로 간다.

홀 효과 — 한 줄의 힘의 균형

전류가 $x$ 방향, 자기장이 $z$ 방향인 막대를 본다. 전자는 $-x$ 로 움직이고 로렌츠 힘 $-e\mathbf v\times\mathbf B$ 를 $-y$ 방향으로 받아 아래쪽 가장자리로 밀린다. 그러나 막대는 폐회로가 아니므로 $y$ 방향 전류는 흐를 수 없다 — 전자가 아래 가장자리에 쌓이고 위는 양전하가 남아, 로렌츠 힘을 정확히 상쇄하는 횡전기장 $\mathcal E_y$ 가 생긴다. 이것이 홀 전기장이다.

정상 상태($d\mathbf v/dt=0$)의 두 성분 방정식을 적으면

$$\begin{aligned} 0&=-e\mathcal E_x-ev_yB-\frac{m v_x}{\tau},\\ 0&=-e\mathcal E_y+ev_xB-\frac{m v_y}{\tau} \end{aligned}$$

이고, $j_y=0$ 이므로 $v_y=0$ 이다. 첫 식에서 $v_x=-e\tau\mathcal E_x/m$ (드루데 그대로), 둘째 식에서

$$\mathcal E_y=v_xB=-\frac{e\tau}{m}B\,\mathcal E_x=-\omega_c\tau\,\mathcal E_x$$

이다. $j_x=-nev_x$ 로 $v_x$ 를 지우면 $\mathcal E_y=-j_xB/ne$ 가 되고, 홀 계수를 정의하면

$$\boxed{\;R_H\equiv\frac{\mathcal E_y}{j_xB}=-\frac{1}{ne}\;}$$

$\tau$ 가 사라졌다. 홀 계수는 산란과 무관하게 캐리어의 부호와 농도만 담는다 — 부호는 전하의 부호, 크기는 농도의 역수. 이것이 홀 효과가 반도체 계측의 중심에 있는 이유다.

그림 7.6-8. 홀 효과의 기하. 전류 j_x 는 +x, 자기장 B 는 지면 밖(+z). 전자는 −x 로 움직이며 로렌츠 힘 F = −e v × B 를 −y 방향으로 받아 아래 가장자리에 쌓이고, 위 가장자리에는 양전하가 남는다. 그 결과 아래를 향하는 홀 전기장 𝓔_H 가 생겨 로렌츠 힘과 맞서고, 위아래 사이의 전압이 홀 전압 V_H = 𝓔_H w 다. 정상 상태의 힘의 균형 e𝓔_H = e v B 에서 𝓔_H = −j_x B/(ne) — 완화 시간이 사라지고 캐리어의 부호와 농도만 남는다. 캐리어가 정공이면 같은 전류에 대해 위아래가 뒤집힌다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 왜 $\tau$ 가 사라지나. 홀 전기장은 같은 전자에 작용하는 두 힘의 균형이다: 로렌츠 힘 $ev_xB$ 와 전기력 $e\mathcal E_y$. 둘 다 그 전자의 속도 $v_x$ 에 비례하므로 균형 조건 $\mathcal E_y=v_xB$ 에는 $v_x$ 가 얼마인지가 들어가지만 그것이 왜 그 값인지(산란)는 들어가지 않는다. 그리고 $v_x$ 를 전류 $j_x=-nev_x$ 로 바꾸는 순간 남는 것은 $n$ 뿐이다. 홀 효과는 전류를 나르는 전하가 몇 개인지를 센다 — 각각이 얼마나 빨리 움직이는지와 무관하게. 전도도 $\sigma=ne\mu_n$ 은 $n$ 과 $\mu_n$ 의 곱만 주므로, $R_H$ 와 $\sigma$ 를 합쳐야 둘이 갈라진다: $\mu_H=|R_H|\sigma$.

같은 계산에서 두 가지가 더 나온다. 홀 저항률 $\rho_{xy}=\mathcal E_y/j_x=B/ne$ 는 $B$ 에 정비례하고, 세로 저항률 $\rho_{xx}=\mathcal E_x/j_x=m/ne^2\tau$ 는 $B$ 와 무관하다 — 드루데 모형의 자기저항은 0 이다. 실제 금속은 대부분 $B^2$ 에 비례하는 양의 자기저항을 보이는데, 그것은 페르미 면이 구가 아니거나 캐리어가 두 종류일 때 생기고 7.8·7.12.7에서 다룬다.

실측 — 부호가 뒤집히는 금속

$R_H$ 를 자유전자 값으로 나눈 비 $-1/(R_Hne)$ 를 보면, 원자가 전자 수로 계산한 $n$ 이 얼마나 맞는지가 보인다 (Ashcroft·Mermin Table 1.4, 강한 장):

금속	Li	Na	K	Rb	Cs	Cu	Ag	Au	Be	Mg	Al
$-1/(R_Hne)$	0.8	1.2	1.1	1.0	0.9	1.5	1.3	1.5	$-0.2$	$-0.4$	$-0.3$

알칼리 금속은 1 에 가깝다 — 자유전자 모형의 가장 깨끗한 성공이다. 귀금속은 1.3~1.5 로 어긋나고, Be·Mg·Al 은 부호가 반대다: 전류를 나르는 것이 양전하처럼 보인다. 알루미늄의 $-0.3$ 은 원자당 정공 하나($n_h=n/3$)로 읽으면 정확히 맞는다. 자유전자 모형 안에는 양전하 캐리어가 없으므로, 이것은 통계로도 산란으로도 고칠 수 없는 균열이다. 답은 7.9.3의 정공 — 거의 찬 밴드의 빈자리가 양전하·양질량의 입자처럼 행동한다는 것 — 이고, 그 이전에 7.7의 밴드 갭이 있어야 “거의 찬 밴드”가 정의된다. 1절의 성적표에서 홀 계수를 △로 둔 이유다.

반도체에서 — 캐리어를 세는 자

반도체에서 홀 효과는 자유전자 모형이 그대로 쓰이는 자리다. 한 종류의 캐리어만 있으면

$$R_H=-\frac{1}{ne}\ (\text{n형}), \qquad R_H=+\frac{1}{pe}\ (\text{p형})$$

이고, 홀 전압의 부호가 캐리어의 종류, 크기가 농도를 준다. 전도도와 합쳐 홀 이동도 $\mu_H=|R_H|\sigma$ 를 얻는데, 산란 기구에 따라 실제 이동도와 $r_H=1.1\sim1.2$ 의 홀 인자만큼 다르다(포논 산란 $3\pi/8$, 이온화 불순물 산란 $315\pi/512$ — 7.12의 완화시간 평균에서 나온다). 두 캐리어가 함께 있으면

$$R_H=\frac{p\mu_p^2-n\mu_n^2}{e\,(p\mu_p+n\mu_n)^2}$$

으로 이동도의 제곱이 무게가 되어, 진성에 가까운 시료는 수가 적어도 빠른 전자가 부호를 정한다. 11.2.9의 홀 측정과 반 데르 파우 방법, 19부의 계측이 전부 이 식 위에 있다.

수를 넣어 보면 금속과 반도체의 자리가 보인다. 두께 $t$ 인 판에 전류 $I$ 가 흐를 때 홀 전압은 $V_H=IB/net$ 이다. 구리 판($t=100\ \mu$m, $I=1$ A, $B=1$ T)은 $V_H\approx0.7\ \mu$V — 잡음 수준이다. $n=10^{15}\ \mathrm{cm^{-3}}$ 실리콘($t=500\ \mu$m, $I=1$ mA, $B=1$ T)은 $V_H\approx12$ mV — 만 배가 넘는다. 홀 센서(17부)를 반도체로 만드는 이유가 $R_H\propto1/n$ 이고, 같은 이유로 금속의 $R_H$ 측정은 정밀 실험이다. 강한 장·저온·2차원 전자 기체에서 $\rho_{xy}$ 가 $h/\nu e^2$ 의 계단으로 양자화되는 양자 홀 효과는 10.4.7에서 다룬다.

열전도와 비데만-프란츠 법칙

기체 운동론의 열전도도 — 이번에는 전자로

기체의 열전도도는 3.7·7.5에서 쓴 공식(7.5.7열전도와 포논 기체의 열저항)

$$\kappa=\frac13\,C_V\,v\,l$$

이다 — 단위 부피당 열용량 × 속력 × 평균 자유 행정. 포논 기체에 썼던 식을 전자 기체에 그대로 쓴다. 그런데 이제 세 인자의 값을 안다. 부피당 열용량은 4절의 $C_V=\frac{\pi^2}{2}nk_B(T/T_F)$, 속력은 5절의 $v_F$, 자유 행정은 $l=v_F\tau$ 다. 넣으면

$$\kappa_{\mathrm{el}}=\frac13\cdot\frac{\pi^2}{2}\,nk_B\frac{k_BT}{E_F}\cdot v_F^2\tau =\frac{\pi^2}{3}\,\frac{nk_B^2T\tau}{m}$$

이다 ($E_F=\tfrac12mv_F^2$ 를 썼다). 고전 기체와 다른 점이 명확하다 — 열을 나르는 것은 $T/T_F$ 의 소수 전자뿐이지만, 그 전자들이 $v_F$ 로 날아 $l$ 이 길다. 두 효과가 곱해진다.

비데만–프란츠 법칙과 로렌츠 수

이 $\kappa$ 를 같은 $\tau$ 의 $\sigma=ne^2\tau/m$ 으로 나누면 $n$, $\tau$, $m$ 이 전부 사라진다:

$$\boxed{\;\frac{\kappa}{\sigma T}=\frac{\pi^2}{3}\Bigl(\frac{k_B}{e}\Bigr)^2\equiv L_0 =2.44\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}\;}$$

— 비데만–프란츠 법칙(1853)이고, $L_0$ 이 로렌츠 수다. 금속의 종류, 순도, 온도에 관계없이 열전도도와 전기전도도의 비가 온도에만 비례한다. 우변에 기본 상수 둘뿐이라 $L_0$ 은 보편 상수다. 실측 $L=\kappa/\sigma T$ 를 적는다 ($10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$, Kittel Table 6.5):

금속	Ag	Au	Cu	Pb	Pt	W	Zn
0 °C	2.31	2.35	2.23	2.47	2.51	3.04	2.31
100 °C	2.37	2.40	2.33	2.56	2.60	3.20	2.33

Cu 와 Ag 는 5 % 안에서 맞고, 나머지도 30 % 안이다. 구리 실온의 $\kappa=L_0T\sigma =2.44\times10^{-8}\times273\times6.4\times10^{7}\approx430$ W/m·K 는 실측 400 과 같은 값이다. 금속의 열전도는 거의 전부 전자가 나른다 — 포논의 몫은 1~2 % 로, 절연체(Si 150, 다이아몬드 2000 W/m·K)에서 포논만으로 내는 열전도와 자릿수는 같지만 금속에서는 전자가 그것을 압도한다.

직관

물리적 직관 — 왜 보편 상수인가. 전하도 열도 같은 전자들 — 페르미 면 위 창 안의 전자 — 이 나른다. 전자 하나는 전하 $e$ 를 나르고 열 $\sim k_BT$ 를 나른다. 둘의 흐름은 같은 $n$, 같은 $v_F$, 같은 $\tau$ 를 공유하므로 비를 취하면 그 전부가 지워지고, 나르는 양의 비 $(k_BT/e)^2$ 에서 $T$ 하나가 남는다. $\pi^2/3$ 은 4절에서 본 창의 분산이다. 그래서 이 법칙은 $\tau$ 를 몰라도, 밴드 구조를 몰라도 성립한다 — 두 수송이 같은 산란을 겪는 한. 다음 소절이 그 조건이 깨지는 곳이다.

드루데의 행운

드루데 모형으로 같은 계산을 하면 $C_V=\tfrac32nk_B$, $\tfrac12mv^2=\tfrac32k_BT$ 로

$$\frac{\kappa}{\sigma T}=\frac32\Bigl(\frac{k_B}{e}\Bigr)^2=1.11\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega\,K^{-2}}$$

— 옳은 값의 절반이다. 그런데 드루데의 1900년 논문은 계산 실수로 이것의 두 배를 얻어 $2.2\times10^{-8}$ 을 보고했고, 실측과 “놀랍게” 맞았다. 잘못된 열용량(100배 큼)과 잘못된 속도 제곱(100배 작음)이 서로 지웠고 그 위에 산술 오류가 겹쳐 맞은 것이다. 이 우연이 드루데 모형의 신뢰를 한 세대 동안 지탱했다. 좀머펠트가 두 100배를 각각 바로잡자 비는 그대로 상수로 남았고 값이 $\pi^2/3$ 으로 정확해졌다 — 상쇄가 우연이 아니라 같은 전자가 두 흐름을 나른다는 구조였음이 드러난 셈이다.

어디서 깨지나 — 탄성 산란과 비탄성 산란

법칙의 조건은 “전하와 열이 같은 $\tau$ 를 겪는다”는 것이었다. 불순물 산란은 탄성이다 — 전자의 에너지는 그대로이고 방향만 바뀐다. 이 산란은 전하의 흐름과 열의 흐름을 같은 비율로 깎으므로 $L=L_0$ 이 정확히 성립한다. 고온의 포논 산란도 $\hbar\omega_{\mathrm{ph}}\ll k_BT$ 라 거의 탄성이고, 역시 $L\approx L_0$ 이다.

중간 온도($T\sim\Theta/10$)의 포논 산란은 다르다. 포논 에너지 $\hbar\omega\sim k_BT$ 가 전자 에너지의 창 폭과 같아, 한 번의 산란이 전자의 에너지를 창 밖으로 옮겨 열류를 지운다 — 방향은 작은 각도만 바뀌어 전류는 거의 그대로인데. 열류가 전류보다 더 잘 깎이니 $\kappa$ 가 상대적으로 작고 $L<L_0$ 이다. 순수한 금속에서 $L/L_0$ 이 $\Theta/10$ 근처에서 0.3~0.5 까지 내려가는 이유이고, 불순물이 많으면 탄성 산란이 지배해 $L_0$ 으로 돌아간다.

그림 7.6-9. 금속의 열전도도와 로렌츠 수. 전기 비저항은 ρ = ρ₀ + ρ_ph(T), 열저항은 W = ρ₀/(L₀T) + W_ph(T) 로 두고 κ = 1/W 를 그렸다(Wilson 식). 왼쪽: κ(T) 는 저온에서 T 에 비례해 오르고(불순물 산란, C ∝ T), 봉우리를 만든 뒤 고온에서 일정해진다(포논 산란, ρ ∝ T 가 C ∝ T 를 지운다). 더 순수한 시료일수록 봉우리가 높고 낮은 온도에 있다 — 고순도 구리는 20 K 근처에서 실온의 열 배가 넘는 κ 를 낸다. 오른쪽: L/L₀ 는 저온(불순물)과 고온(고온 포논)에서 1 이고, 중간 온도에서 비탄성 포논 산란 때문에 1 아래로 내려간다. 순수 극한(점선)에서는 0 으로 간다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 봉우리의 두 기울기. 왼쪽 그림의 $\kappa(T)$ 는 $\kappa=L\,T/\rho$ 로 읽으면 바로 보인다. 저온에서 $\rho=\rho_0$ 로 일정하니 $\kappa\propto T$ — 왼쪽 기울기는 순도가 정한다($1/\rho_0$). 고온에서 $\rho\propto T$ 이니 $\kappa\to$ 상수 — 오른쪽 평탄부는 포논이 정하고 순도와 무관하다. 봉우리는 둘이 만나는 곳 $\rho_0\approx\rho_{\mathrm{ph}}(T)$ 이고, 순수할수록 $\rho_{\mathrm{ph}}$ 가 그 값에 이르는 온도가 낮아 봉우리가 왼쪽으로, 높이는 $\propto1/\rho_0$ 로 위로 간다. 7.5.7의 포논 열전도도 봉우리와 모양이 같은데, 거기서는 경계 산란이 $\rho_0$ 의 역할을 했다.

열전 효과 — 창의 기울기가 만드는 전압

같은 창에서 하나가 더 나온다. 온도 기울기가 있으면 뜨거운 쪽에서 오는 전자와 차가운 쪽에서 오는 전자의 에너지 분포가 다르고, $D(E)$ 나 $\tau(E)$ 가 에너지에 따라 변하면 두 흐름이 상쇄되지 않아 알짜 전류 — 열린 회로에서는 전압 — 가 생긴다. 제벡 계수 $S$ 는 전류가 0 일 때의 $\mathcal E=S\,\nabla T$ 로 정의되고, 좀머펠트 전개로 (모트 공식)

$$S=-\frac{\pi^2}{3}\frac{k_B^2T}{e}\,\frac{d\ln\sigma(E)}{dE}\Bigl|_{E_F}$$

이다 — $\sigma(E)$ 는 “에너지 $E$ 인 전자만 있을 때의 전도도”이고, 그 로그 미분이 답이다. 자유전자에서 $\sigma(E)\propto E^{3/2}$ (전자 수 $\propto E^{3/2}$, $\tau$ 일정) 라

$$S=-\frac{\pi^2}{2}\frac{k_B}{e}\frac{T}{T_F}\approx-1.6\ \mu\mathrm{V/K} \qquad(\text{Cu, 300 K})$$

— 마이크로볼트다. 드루데의 고전 계산은 $T/T_F$ 인자가 없어 $-\frac32k_B/e\approx-130\ \mu$V/K, 100배 크다. 1절 성적표의 마지막 100배가 여기서 닫힌다. 구리의 실측은 $+1.8\ \mu$V/K 로 크기는 맞고 부호가 반대다 — 홀 계수와 같은 종류의 실패이고, $E_F$ 에서 $\sigma(E)$ 의 기울기가 밴드 구조 때문에 음수인 탓이다. 반도체의 $S$ 가 수백 $\mu$V/K 인 것은 $E_F$ 가 밴드 가장자리 근처에 있어 $d\ln\sigma/dE\sim1/k_BT$ 로 크기 때문이고, 그것이 열전 소자와 열전대의 원리다(7.12.7, 17부).

반도체에서 — 열은 배선을 따라 나간다

칩의 열은 트랜지스터에서 나지만 실리콘과 절연막(SiO₂ 1.4 W/m·K)을 지나 밖으로 나가는 길은 좁다. 금속 배선과 비아, 범프, 히트 스프레더가 열의 고속도로이고, 그 열전도도는 재지 않아도 전기 비저항에서 $L_0T/\rho$ 로 읽는다. TCAD 의 전열 해석(20부)이 금속 영역의 $\kappa$ 를 이렇게 넣고, 배선의 줄 발열 $\rho j^2$ 이 같은 $\rho$ 로 커지면서 $\kappa$ 는 $1/\rho$ 로 줄어드는 결합이 자기 발열의 양성 되먹임을 만든다(3.7.13·18부). 좁은 배선에서 6절의 크기 효과로 $\rho$ 가 세 배 오르면 $\kappa$ 는 그만큼 내려간다 — 두 문제가 하나의 $\tau$ 다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 전자 기체의 성질은 $E_F$ 근처 $k_BT$ 폭의 창이 정하고, 그 창의 상태 수 $D(E_F)$·속력 $v_F$·기억 시간 $\tau$ 가 열용량·전도·열전도의 전부다. 목적지를 적어 둔다.

• 캐리어 통계 (11.1) — $D(E)\propto\sqrt{E-E_c}$, $f(E)$, $N_c$, 축퇴 반도체의 페르미–디랙 적분(3절·2절). 2차원 계단 상태밀도와 부밴드(13부).
• 이동도와 산란 (11.2·7.12) — $\sigma=ne\mu_n$, $\mu_n=e\tau/m^{*}$, 마티센 규칙, 포논·이온화 불순물 산란의 온도 의존성(5·6절). 볼츠만 방정식이 $\tau$ 를 정의한다.
• 홀 측정 (11.2.9·19부) — $R_H$, 홀 이동도, 두 캐리어 공식, 반 데르 파우(7절). 양자 홀 효과(10.4.7).
• 배선 (18.22·21.7·10.4.8) — $l=40$ nm 와 크기 효과, $\rho l$ 성적표, 온도 계수(6절), 비데만–프란츠로 읽는 열전도(8절).
• 광학 (7.10·7.11·11.8·16부) — $\sigma(\omega)$, $\omega_p$, 자유 캐리어 흡수, 투명 전극, 플라스몬(5절).
• 다음 장들. 이온을 돌려놓는다 — 블로흐 정리와 밴드 갭(7.7), 유효질량과 정공(7.9), 전자 기체의 차폐와 페르미 액체(7.10). 자유전자 모형이 틀린 세 곳(홀 부호·열전 부호· $\rho(T)$)이 거기서 고쳐진다.

이 장이 쓰이는 곳

• 7.5 포논의 열적 성질
• 7.7 밴드 이론
• 7.8 밴드 구조 계산과 페르미 면
• 7.9 반도체의 밴드 구조
• 7.10 전자 상호작용과 차폐
• 7.11 고체의 광학적 성질과 엑시톤
• 7.12 수송 이론
• 7.13 자성의 미시 이론
• 7.14 초전도
• 7.15 비결정 고체
• 8.8 기계적 성질
• 8.13 열적·자기적 성질