5부 양자역학 5.5

3차원 양자역학

5.3은 한 줄 위에서 살았다. 무한 우물·조화진동자·장벽이 전부 $x$ 하나의 함수였고, 그 덕에 “경계 조건이 에너지를 양자화한다”는 논리를 가장 단순한 꼴로 볼 수 있었다. 실제 전자는 3차원에서 움직인다. 원자핵 주위의 전자, 실리콘 격자 속 인 원자에 묶인 여분의 전자, 반지름 몇 나노미터의 양자점에 갇힌 전자·정공 쌍, 자기장 속 2차원 전자 기체 — 이 장이 그 물건들의 공통 수학이다.

3차원으로 올라가면 새로 생기는 것이 하나뿐이다: 회전. 1차원에서는 좌우 대칭(패리티)이 유일한 대칭이었지만, 3차원의 중심력 퍼텐셜 $V(r)$ 은 어느 축으로 어떻게 돌려도 같다. 이 대칭이 각운동량을 보존량으로 만들고, 그 보존량이 파동함수를 지름 부분 × 각 부분으로 갈라 놓는다. 각 부분은 퍼텐셜이 무엇이든 언제나 같은 함수 — 구면조화함수 $Y_l^m$ — 이고, 퍼텐셜마다 새로 푸는 것은 지름 방정식 하나다. 그 지름 방정식은 다시 5.3의 1차원 문제와 같은 꼴이 된다. 원심 장벽 하나가 퍼텐셜에 더해질 뿐이다. 그래서 이 장의 절반은 각운동량(2·3절)이고, 나머지 절반은 1차원 기술을 지름 방향에 다시 쓰는 일(4~6절)이다. 마지막 7절은 전자기장을 붙인다 — 자기장이 들어오면 운동량이 $\mathbf p - q\mathbf A$ 로 바뀌고, 그 한 줄에서 란다우 준위와 아하로노프–봄 효과가 나온다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

수소형 불순물 — 실리콘 속 인·붕소 원자에 묶인 캐리어는 유효질량과 유전율을 바꿔 넣은 수소 원자다. 도너 준위 $E_D$ , 보어 반지름 $a^*$ , 이온화 에너지가 5절의 식 두 줄이다(7.9.7·11.1.2).
엑시톤 — 전자와 정공이 만드는 수소 원자. 결합 에너지 수 meV, 반지름 수~십수 nm (7.11.6). 양자점이 그보다 작아지면 6절의 구속 준위가 지배한다(10.3.3·16.6.6).
원자 오비탈과 결합 — $s$ · $p$ · $d$ 의 모양이 3절의 $Y_l^m$ 이다. 실리콘의 $sp^3$ 결합, 밴드 가장자리의 $s$ 형· $p$ 형 성격, 가전자대의 무거운·가벼운 정공이 전부 $l=1$ 셋의 이야기다 (4.2.4·7.7.7·7.8.4).
자기장 속 2차원 전자 — MOSFET·HEMT 채널의 전자 기체에 자기장을 걸면 7절의 란다우 준위가 생긴다. 슈브니코프–드하스 진동으로 캐리어 농도를, 사이클로트론 공명으로 유효질량을 재고, 양자 홀 효과가 저항 표준이 된다(7.6.7·10.4.7·12.7.6).
광학 선택 규칙 — 어떤 준위 쌍이 빛과 결합하는가는 3절의 각운동량 산술이다(5.7.7·17부).

표기는 Griffiths·Schroeter 3판을 기준으로 한다. 각운동량 대수는 Sakurai를, 구면조화함수와 구면 베셀 함수는 1.5(Arfken)의 약속을 그대로 가져온다. 이 장은 첨자가 많다 — 아래 표에 먼저 못박아 둔다.

기호 — 이 장의 약속

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가
$r, \theta, \varphi$		구면좌표. $\theta$ 는 $z$ 축에서 잰 극각( $0\sim\pi$ ), $\varphi$ 는 $xy$ 평면의 방위각( $0\sim2\pi$ )
$m$		입자의 질량(해밀토니안의 $\hbar^2/2m$ )이자 자기 양자수( $L_z=\hbar m$ ). 교재 관습대로 둘 다 $m$ . 질량은 언제나 분모에, 양자수는 $\hbar m$ 이나 첨자로 나오므로 자리로 갈린다. 한 식에 둘이 같이 서는 7절에서는 질량을 $m_e$ , $m^*$ 로 쓴다
$l$	엘	궤도(방위) 양자수 $= 0, 1, 2, \ldots$ ( $L^2 = \hbar^2 l(l+1)$ ). 분광 기호 $s, p, d, f, g, h$
$n$		주양자수(수소 원자, 5절) $= 1, 2, \ldots$ . 6절 구 우물에서는 $j_l$ 의 $n$ 번째 영점, 7절에서는 란다우 준위 번호 $0, 1, 2, \ldots$
$n_r$		지름 마디 수. 수소는 $n = n_r + l + 1$
$j$		5절 급수의 항 번호. 전각운동량 $j$ 는 5.6에서야 나온다
$R(r)$ , $u(r)$		지름 함수와 $u = rR$ . 리드베리 상수는 $R_\infty$ 로 따로 쓴다
$Y_l^m$		구면조화함수. 콘던–쇼틀리 위상 $(-1)^m$ 포함 (1.5의 약속)
$P_l^m$		버금 르장드르 함수
$j_l$ , $y_l$ , $h_l^{(1,2)}$	소문자	구면 베셀·노이만·한켈 함수. Griffiths는 $y_l$ 을 $n_l$ 로 쓴다 — 이 백과는 1.5의 $y_l$
$\mathbf L$ , $L_\pm$ , $L^2$		궤도 각운동량 연산자, 사다리 연산자, 크기의 제곱. 버금 라게르 다항식 $L_q^p$ 와 글자가 같다 — 아래첨자·위첨자 둘이 붙고 인수가 $(2r/na)$ 이면 라게르
$\kappa$ , $\rho$ , $\rho_0$	카파 · 로	5절 수소 원자의 축약 — $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar$ , $\rho = \kappa r$ , $\rho_0 = me^2/(2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa)$ . Arfken(1.5.11)의 $\rho$ 는 이것의 두 배
$a$		보어 반지름 $4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(me^2) = 0.529\,\text{Å}$ . 1.5.11의 $a_0$ 와 같은 것. 6절에서는 우물의 반지름
$E_1$		수소 바닥 준위 $-13.6\,\mathrm{eV}$ . $E_n = E_1/n^2$
$e$ , $q$		기본 전하( $e>0$ ) · 임의 입자의 전하. 전자는 $q=-e$
$\mathbf A$ , $\phi$		7절의 벡터 퍼텐셜과 스칼라 퍼텐셜. $\phi$ 는 방위각 $\varphi$ 와 글자가 닮았다 — 7절에서만 나오고 언제나 $q\phi$ 꼴
$\omega_c$ , $\ell_B$	사이클로트론 · 자기 길이	$\omega_c = eB/m$ , $\ell_B = \sqrt{\hbar/eB}$
$\Phi$ , $\Phi_0$		자기 선속과 선속 양자 $h/e$ . 방위각 함수 $\Phi(\varphi)$ 는 1절에서만
$\nu$	뉴	7절의 채움 인자 $n_s h/(eB)$ . 빛의 진동수로는 쓰지 않는다 — 광자 에너지는 $hc/\lambda$

구면좌표계의 슈뢰딩거 방정식과 변수분리

3차원 정상 상태 방정식

1차원에서 $p = -i\hbar\,d/dx$ 였던 것이 3차원에서는 $\mathbf p = -i\hbar\nabla$ 다. 운동 에너지 $p^2/2m$ 은 $-\hbar^2\nabla^2/2m$ 이 되고, 시간 무관 슈뢰딩거 방정식(5.2.6정상 상태와 시간 무관 슈뢰딩거 방정식)은

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi = E\psi

이다. 규격화는 $\int|\psi|^2\,d^3\mathbf r = 1$ . 파동함수는 이제 $\psi(x,y,z)$ 또는 $\psi(r,\theta,\varphi)$ — 어느 좌표를 쓰느냐는 퍼텐셜의 대칭이 정한다(1.7.11의 “좌표는 대칭성이 고른다”). 상자 모양 퍼텐셜이면 직교좌표, 구 대칭이면 구면좌표다.

직교좌표가 맞는 예를 먼저 짚어 둔다. 한 변 $a$ 인 3차원 무한 우물은 $V = V_x(x)+V_y(y)+V_z(z)$ 꼴이라 $\psi = X(x)Y(y)Z(z)$ 로 갈라지고, 5.3.1의 결과를 세 번 쓰면

E_{n_xn_yn_z} = \frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\bigl(n_x^2+n_y^2+n_z^2\bigr), \qquad n_x, n_y, n_z = 1, 2, 3, \ldots

이다. 새로운 것은 축퇴다 — $(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)$ 은 서로 다른 상태인데 에너지가 같다. 정육면체의 대칭(축을 바꿔 넣어도 같은 상자)이 축퇴를 낳는다. 상자를 직육면체로 찌그러뜨리면 축퇴가 풀린다. 대칭이 축퇴를 만들고 대칭을 깨면 축퇴가 풀린다는 이 규칙이 이 장 전체에 되풀이된다. $n_x^2+n_y^2+n_z^2 \le 2mEa^2/(\pi^2\hbar^2)$ 인 격자점의 수를 세면 $E$ 아래의 상태 수가 $E^{3/2}$ 로 자란다 — 3차원 상태밀도 $g(E)\propto\sqrt E$ 의 기원이고, 7.6.3과 11.1.3이 이것을 쓴다.

구면좌표의 라플라시안과 변수분리

중심력 퍼텐셜 $V = V(r)$ 이면 구면좌표다. 라플라시안은(1.1.8곡선좌표계, 1.7.11원통·구 좌표계의 라플라시안)

\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial}{\partial r}\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}

이다. 첫 항이 지름 방향, 나머지 둘이 각 방향이고 각 항에는 전부 $1/r^2$ 이 붙어 있다. $\psi(r,\theta,\varphi) = R(r)\,Y(\theta,\varphi)$ 로 놓고 슈뢰딩거 방정식에 넣은 뒤 $-2mr^2/(\hbar^2 RY)$ 를 곱하면 $r$ 만의 항과 $(\theta,\varphi)$ 만의 항이 더해져 0이 된다. 서로 다른 변수의 함수가 항등적으로 더해져 0이려면 각각 상수여야 하고, 그 상수를 $l(l+1)$ 로 쓰기로 한다:

\begin{aligned} \frac{1}{R}\frac{d}{dr}\Bigl(r^2\frac{dR}{dr}\Bigr) - \frac{2mr^2}{\hbar^2}\bigl[V(r)-E\bigr] &= l(l+1),\\[4pt] \frac{1}{Y}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\Bigr) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\varphi^2}\Bigr] &= -l(l+1). \end{aligned}

직관

수식적 직관 — 왜 $r^2$ 을 곱하면 갈라지는가, 그리고 왜 상수를 $l(l+1)$ 로 쓰는가. 라플라시안의 각 항에 $1/r^2$ 이 공통으로 붙어 있어서, $r^2$ 을 곱하면 각 부분의 $r$ 의존성이 사라진다. 퍼텐셜 $V(r)$ 과 에너지 $E$ 는 $r$ 에만 붙어 있으니 지름 쪽으로 간다. 결과적으로 각 방정식에는 $V$ 도 $E$ 도 없다 — 어떤 중심력 퍼텐셜이든, 어떤 에너지든, 각 부분은 언제나 같은 방정식을 푼다. 이것이 $Y_l^m$ 이 보편적인 이유다.

분리 상수를 $l(l+1)$ 로 쓰는 것은 지금은 그냥 이름이다 — 어떤 실수든 $l(l+1)$ 로 쓸 수 있다. 그러나 3절에서 각 방정식의 해가 극( $\theta = 0, \pi$ )에서 유한하려면 $l$ 이 음이 아닌 정수여야 함이 드러나고, 2절에서 $\hbar^2 l(l+1)$ 이 정확히 각운동량 크기의 제곱 $L^2$ 의 고유값임이 밝혀진다. 이름을 미리 지어 둔 것뿐이다.

공간적 직관. $\nabla^2$ 은 “지름 방향으로 늘이는 미분”과 “구면 위에서의 라플라시안”의 합이다. 반지름 $r$ 인 구면 위에서 함수가 얼마나 굽었는가를 재는 것이 각 부분이고, 굽은 만큼 운동 에너지가 든다. 그 굽음의 양자화된 크기가 $l(l+1)$ 이다. 2절에서 이것을 각운동량으로 다시 읽는다.

그림 5.5-1. 구면좌표계와 변수분리의 흐름. 왼쪽은 구면좌표 (r, θ, φ) — 원점에서 점 P까지의 거리 r, z축에서 잰 극각 θ, xy 평면 사영이 x축과 이루는 방위각 φ. 오른쪽은 ψ = R(r)·Y(θ, φ)로 갈라지는 흐름 — 지름 방정식에만 V(r)과 E가 들어가고 분리 상수 l(l+1)을 받는다. 각 방정식은 퍼텐셜과 무관하게 다시 Θ(θ)Φ(φ)로 갈라져, 방위각 방정식이 정수 m을, 극각 방정식(버금 르장드르)이 l ≥ |m|을 낳는다. 퍼텐셜마다 새로 푸는 것은 지름 방정식 하나다.직접 작도

각 방정식 — m과 l이 정수가 되는 이유

각 방정식을 다시 $Y(\theta,\varphi) = \Theta(\theta)\Phi(\varphi)$ 로 놓고 $\sin^2\theta/(\Theta\Phi)$ 를 곱하면 한 번 더 갈라진다:

\frac{1}{\Theta}\Bigl[\sin\theta\frac{d}{d\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Bigr)\Bigr] + l(l+1)\sin^2\theta = m^2, \qquad \frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\varphi^2} = -m^2

방위각 방정식이 가장 쉽다. $\Phi = e^{im\varphi}$ 이고( $e^{-im\varphi}$ 는 $m$ 의 부호를 바꾼 것으로 친다), $\varphi$ 를 $2\pi$ 돌리면 같은 점으로 돌아오므로 $\Phi(\varphi+2\pi) = \Phi(\varphi)$ , 즉 $e^{2\pi im} = 1$ — $m$ 은 정수다. $m = 0, \pm1, \pm2, \ldots$

극각 방정식은 $x = \cos\theta$ 로 바꾸면 버금 르장드르 방정식이고(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수), $\theta = 0, \pi$ 에서 유한한 해는 $l$ 이 음이 아닌 정수이고 $|m| \le l$ 일 때만 있다: $\Theta = P_l^m(\cos\theta)$ . 급수해가 어디서 끊어지는가는 1.5.6이 보였다 — 끊어지지 않으면 $x = \pm1$ , 곧 극에서 로그 발산한다. 이 두 조건, 방위각의 한 값 조건과 극에서의 유한 조건이 $m$ 과 $l$ 을 정수로 만든다. 경계 조건이 양자수를 만든다는 5.3의 논리가 각도 변수에서 되풀이된 것이다. 다만 여기서는 우물의 벽이 아니라 구면이 닫혀 있다는 사실 자체가 경계 조건이다.

정규화된 각 함수가 구면조화함수 $Y_l^m(\theta,\varphi)$ 이고 3절의 주제다. 여기서는 그것이 구면 위에서 정규직교한다는 것만 쓴다:

\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi\sin\theta\,d\theta\;[Y_{l'}^{m'}]^*\,Y_l^m = \delta_{ll'}\delta_{mm'}

주의

좌표 관습. 이 백과(Griffiths, Arfken, Sakurai 모두)는 $\theta$ 를 $z$ 축에서 잰 극각, $\varphi$ 를 방위각으로 쓴다. 수학 교재와 일부 공학 교재는 둘을 바꿔 쓴다( $\theta$ 가 방위각). 표를 옮겨 쓸 때 $Y_1^0 \propto \cos\theta$ 가 $z/r$ 인지 확인하면 어느 관습인지 바로 갈린다.

$m$ 이 둘. 질량 $m$ 과 자기 양자수 $m$ 은 이 장에서 같은 글자다. Griffiths도 “혼동될 여지가 있지만 관습이라 어쩔 수 없다”고 적었다. 방정식에서 $\hbar^2/2m$ 이나 $2mr^2/\hbar^2$ 안의 $m$ 은 질량, $e^{im\varphi}$ 나 $\hbar m$ 이나 첨자 $Y_l^m$ 의 $m$ 은 양자수다. 지름 방정식에는 양자수 $m$ 이 아예 나오지 않고, 각 방정식에는 질량 $m$ 이 나오지 않는다 — 한 식에 둘이 같이 서는 일이 거의 없다. 7절의 대칭 게이지에서만 둘이 만나고, 거기서는 질량을 $m_e$ , $m^*$ 로 쓴다.

지름 방정식 — 1차원 문제로 돌아간다

지름 방정식에 $u(r) \equiv rR(r)$ 을 넣는다. $R = u/r$ , $dR/dr = (ru' - u)/r^2$ , $\frac{d}{dr}(r^2\,dR/dr) = ru''$ 이므로

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \Bigl[V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\Bigr]u = Eu

이것이 지름 방정식이다. 1차원 시간 무관 슈뢰딩거 방정식과 정확히 같은 꼴이고, 다른 점은 퍼텐셜이 $V$ 가 아니라

V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}

라는 것과, 변수가 $r \ge 0$ 반직선이라는 것뿐이다. 더해진 항이 원심 항이다 — 4절에서 자세히 본다. 규격화 조건은 $\int|\psi|^2 d^3\mathbf r = \int|R|^2 r^2\,dr\int|Y|^2 d\Omega$ 에서 $Y$ 가 정규화돼 있으므로

\int_0^\infty |u(r)|^2\,dr = 1

— $r^2$ 이 $u$ 안에 흡수되어 1차원 규격화 조건과 같아진다. $|u(r)|^2\,dr$ 이 반지름 $r$ 과 $r+dr$ 사이의 껍질에서 입자를 발견할 확률이고, 5절의 지름 확률밀도 $P(r) = r^2|R|^2 = |u|^2$ 이 이것이다. $r = 0$ 에서의 조건은 $u(0) = 0$ — 4절에서 이유를 본다. 5.3에서 배운 모든 기술(우물·장벽· 조화진동자·급수해)이 이 방정식에 그대로 들어간다.

각운동량 연산자와 사다리 연산자

교환 관계 — 세 성분은 동시에 확정될 수 없다

고전역학의 각운동량은 $\mathbf L = \mathbf r\times\mathbf p$ 다(3.1.6각운동량과 그 보존). 양자역학은 $\mathbf r$ , $\mathbf p$ 를 연산자로 바꿔 넣는다:

L_x = yp_z - zp_y,\qquad L_y = zp_x - xp_z,\qquad L_z = xp_y - yp_x

성분마다 좌표와 운동량이 서로 다른 축의 것이라( $y$ 와 $p_z$ ) 순서 문제가 없다 — 정의에 모호함이 없다. 그러나 두 성분끼리는 교환하지 않는다. $[x, p_x] = i\hbar$ 만 쓰고 나머지는 전부 교환한다는 사실로 $[L_x, L_y]$ 를 계산하면

[L_x, L_y] = [yp_z - zp_y,\; zp_x - xp_z] = yp_x[p_z, z] + xp_y[z, p_z] = i\hbar(xp_y - yp_x) = i\hbar L_z

네 항 중 $z$ 와 $p_z$ 가 함께 든 둘만 살고 나머지는 죽는다. 첨자를 돌려 쓰면

[L_x, L_y] = i\hbar L_z,\qquad [L_y, L_z] = i\hbar L_x,\qquad [L_z, L_x] = i\hbar L_y

이것이 각운동량의 기본 교환 관계다. 이 장에서 각운동량에 대해 말하는 거의 모든 것이 이 세 줄에서 나온다. 교환하지 않는 관측량은 동시 고유함수를 갖지 못하므로(5.4.6불확정성 원리의 일반화) 일반화된 불확정성 원리가

\sigma_{L_x}\sigma_{L_y} \ge \frac{\hbar}{2}\bigl|\langle L_z\rangle\bigr|

를 준다. $L_z$ 가 0이 아닌 상태에서는 $L_x$ 와 $L_y$ 를 동시에 확정할 수 없다. 고전적으로 각운동량 벡터의 세 성분을 다 알 수 있었던 것과 정면으로 어긋난다. 그러나 크기의 제곱

L^2 \equiv L_x^2 + L_y^2 + L_z^2

은 세 성분 모두와 교환한다: $[L^2, L_x] = [L_y^2, L_x] + [L_z^2, L_x] = L_y(-i\hbar L_z) + (-i\hbar L_z)L_y + L_z(i\hbar L_y) + (i\hbar L_y)L_z = 0$ . 따라서 $L^2$ 와 성분 하나(관습적으로 $L_z$ )의 동시 고유함수를 찾을 수 있다:

L^2 f = \lambda f,\qquad L_z f = \mu f

사다리 연산자 — 대수만으로 고유값을 얻는다

5.3.2의 조화진동자를 $a_\pm$ 로 풀었던 방법(5.3.2조화진동자 — 대수적 방법)이 여기서 그대로 통한다.

L_\pm \equiv L_x \pm iL_y

를 정의하면 두 교환 관계가 따라온다:

[L_z, L_\pm] = [L_z, L_x] \pm i[L_z, L_y] = i\hbar L_y \pm i(-i\hbar L_x) = \pm\hbar L_\pm, \qquad [L^2, L_\pm] = 0

첫 식이 사다리의 핵심이다. $f$ 가 $L_z$ 의 고유함수(고유값 $\mu$ )이면

L_z(L_\pm f) = (L_\pm L_z \pm\hbar L_\pm)f = (\mu\pm\hbar)(L_\pm f)

— $L_\pm f$ 도 $L_z$ 의 고유함수인데 고유값이 $\hbar$ 만큼 올라가거나 내려간다. 그리고 둘째 식에서 $L^2(L_\pm f) = L_\pm L^2 f = \lambda(L_\pm f)$ — $L^2$ 의 고유값은 그대로다. $L_+$ 는 $L^2$ 를 고정한 채 $L_z$ 를 한 계단 올리는 올림 연산자, $L_-$ 는 내림 연산자다.

사다리는 무한히 올라갈 수 없다. $\langle L_x^2\rangle + \langle L_y^2\rangle \ge 0$ 이므로 $\langle L_z^2\rangle \le \langle L^2\rangle$ , 곧 $\mu^2 \le \lambda$ 다. 그러니 맨 위 계단 $f_t$ 가 있어서 $L_+f_t = 0$ 이다. 그 계단의 $L_z$ 고유값을 $\hbar l$ 이라 부르자. $L^2$ 를 사다리 연산자로 다시 쓰면 — $L_\mp L_\pm = L_x^2 + L_y^2 \mp i[L_x, L_y] = L^2 - L_z^2 \mp\hbar L_z$ 에서

L^2 = L_\mp L_\pm + L_z^2 \pm\hbar L_z

이고, 위 부호를 $f_t$ 에 걸면 $L_+f_t = 0$ 이라 첫 항이 죽는다:

L^2 f_t = (L_-L_+ + L_z^2 + \hbar L_z)f_t = (0 + \hbar^2 l^2 + \hbar^2 l)f_t = \hbar^2 l(l+1)\,f_t

$\lambda = \hbar^2 l(l+1)$ . 1절에서 분리 상수를 $l(l+1)$ 로 쓴 이유가 이것이다. 같은 논리를 맨 아래 계단 $f_b$ ( $L_-f_b = 0$ , 고유값 $\hbar\bar l$ )에 아래 부호로 걸면 $\lambda = \hbar^2\bar l(\bar l - 1)$ 이고, 두 $\lambda$ 가 같아야 하니 $l(l+1) = \bar l(\bar l-1)$ , 즉 $\bar l = -l$ (다른 근 $\bar l = l+1$ 은 아래 계단이 위 계단보다 높다는 뜻이라 버린다). 맨 아래에서 맨 위까지 $N$ 계단이면 $l = -l + N$ , 곧

l = \frac{N}{2} = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, 2, \ldots\qquad m = -l, -l+1, \ldots, l-1, l

$L_z$ 의 고유값을 $\hbar m$ 으로 쓴 것이다. 정리하면:

L^2 f_l^m = \hbar^2 l(l+1)\,f_l^m,\qquad L_z f_l^m = \hbar m\,f_l^m

같은 $l$ 에 $m$ 이 $2l+1$ 개. 이 결과는 미분방정식을 한 줄도 풀지 않고 교환 관계 세 줄에서만 나왔다 — Sakurai(§3.5)가 각운동량을 이 방식으로 정의하는 이유다. 교환 관계를 만족하는 어떤 연산자 셋이든 이 스펙트럼을 갖는다.

직관

수식적 직관 — 왜 $l^2$ 이 아니라 $l(l+1)$ 인가. 맨 위 계단에서 $L_z = \hbar l$ 인데 $L^2 = \hbar^2 l(l+1) > \hbar^2 l^2$ 다. 여분의 $\hbar^2 l$ 은 어디서 왔나. 위의 계산에서 $L^2 = L_-L_+ + L_z^2 + \hbar L_z$ 의 마지막 항이다 — 그리고 그 항은 $L_-L_+$ 를 전개할 때 $-i[L_x, L_y]$ 로 튀어나온 교환자의 지문이다. 고전역학이라면 $L_x = L_y = 0$ 으로 놓아 $L^2 = L_z^2$ 를 만들 수 있지만, 양자역학에서는 $L_z$ 가 확정된 순간 $L_x, L_y$ 가 확정되지 않아 $\langle L_x^2\rangle + \langle L_y^2\rangle = \hbar^2[l(l+1) - m^2]$ 만큼이 반드시 남는다. 맨 위 계단( $m = l$ )에서도 $\hbar^2 l$ 이 남는다. 조화진동자의 영점 에너지 $\hbar\omega/2$ 가 $[x, p] \ne 0$ 의 지문인 것과 같은 구조다.

반정수. 대수는 $l = \tfrac12, \tfrac32, \ldots$ 도 허용한다. 그러나 3절에서 $\mathbf L = \mathbf r \times\mathbf p$ 를 미분 연산자로 실현하면 $e^{im\varphi}$ 의 한 값 조건이 $m$ 을 정수로 강제하고 따라서 $l$ 도 정수다. 궤도 각운동량은 정수만 갖는다. 반정수 해는 그럼 버려지는가 — 아니다. 공간의 함수로는 실현되지 않지만 교환 관계를 만족하는 다른 물건, 스핀이 그것을 쓴다(5.6.1). 전자의 $s = \tfrac12$ 은 이 대수가 허용한 반정수 자리를 채우는 것이고, 그래서 스핀은 “돌고 있는 무엇”이 아니라 “각운동량 대수를 만족하는 내부 자유도”다.

사다리의 크기. $L_\pm f_l^m$ 이 $f_l^{m\pm1}$ 에 비례한다는 것은 알았지만 계수는 아직이다. $\|L_\pm f\|^2 = \langle f|L_\mp L_\pm|f\rangle = \langle f|(L^2 - L_z^2 \mp\hbar L_z)|f\rangle$ 에서

L_\pm f_l^m = \hbar\sqrt{l(l+1) - m(m\pm1)}\;f_l^{m\pm1}

(위상은 콘던–쇼틀리 관습으로 양의 실수). 근호 안이 $m = \pm l$ 에서 정확히 0이 되어 사다리가 끊어진다 — 그림 5.5-2 왼쪽이 $l = 2$ 에서 이 계수를 적어 놓은 것이다. 5.6.3의 각운동량 합성과 5.7.7의 선택 규칙 계산은 이 계수를 반복해서 쓴다.

그림 5.5-2. 사다리 연산자와 벡터 모형, l = 2. 왼쪽은 다섯 계단 m = −2 … +2 — L₊가 한 칸 올리고 L₋가 한 칸 내리며, 화살표 옆의 계수 ħ√(l(l+1) − m(m±1))는 2, √6, √6, 2로 끝 계단에서 0이 되어 사다리가 끊긴다. 오른쪽은 크기 |L| = ħ√6 ≈ 2.45ħ인 벡터가 z 성분 mħ만 확정된 채 원뿔 위에 놓이는 그림. L_z의 최댓값 2ħ가 |L|보다 작아 벡터는 z축과 나란해질 수 없고, 남는 ħ²[l(l+1) − m²]가 xy 성분의 제곱 평균이다. 원뿔 위 어디에 있는지(방위각)는 확정되지 않는다 — m이 확정되면 φ가 완전히 불확정이기 때문이다.직접 작도

미분 연산자로 — 라플라시안의 각 부분이 L²다

$\mathbf L = -i\hbar\,\mathbf r\times\nabla$ 를 구면좌표로 쓰면(Griffiths §4.3.2의 계산; $\nabla = \hat r\,\partial_r + \hat\theta\,r^{-1}\partial_\theta + \hat\varphi\,(r\sin\theta)^{-1}\partial_\varphi$ 와 $\mathbf r = r\hat r$ 에서 $\hat r\times\hat r = 0$ 이라 $r$ 미분이 사라진다)

L_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\varphi}, \qquad L_\pm = \pm\hbar\,e^{\pm i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta} \pm i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr)

L^2 = -\hbar^2\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\Bigr]

마지막 식을 1절의 라플라시안과 비교하면 각 부분이 정확히 $-L^2/(\hbar^2 r^2)$ 이다:

\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial}{\partial r}\Bigr) - \frac{L^2}{\hbar^2 r^2}, \qquad H = -\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial}{\partial r}\Bigr) + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)

이것이 고전역학의 $E = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{L^2}{2mr^2} + V(r)$ (3.1.9중심력 문제)의 양자 판이다. 1절의 각 방정식은 $L^2 Y = \hbar^2 l(l+1) Y$ 였던 것이고, 원심 항 $\hbar^2 l(l+1)/(2mr^2)$ 은 고전의 $L^2/(2mr^2)$ 에 $L^2$ 의 고유값을 넣은 것이다. $L^2$ 와 $L_z$ 에 $r$ 미분이 없으므로 $[H, L^2] = [H, L_z] = 0$ — 각운동량은 중심력 퍼텐셜에서 보존되고, $E, l, m$ 이 동시에 좋은 양자수다. 이 세 수로 상태를 이름 붙이는 것이 이 장의 나머지다.

직관

파라미터 연계 — 반도체에서 $l$ 이 하는 일. 고립 원자의 $l$ 은 결정 안에서 엄밀한 양자수가 아니다(결정장이 구 대칭을 깬다). 그러나 밴드 가장자리의 성격을 말할 때는 여전히 $l$ 로 말한다. 실리콘·게르마늄·III-V의 가전자대 꼭대기는 $p$ 형( $l = 1$ )이고, 전도대 바닥은 $\Gamma$ 점에서 $s$ 형( $l = 0$ )이다(7.7.7). $l = 1$ 의 세 상태에 스핀을 얹은 여섯이 스핀–궤도 결합 $\mathbf L\cdot\mathbf S$ (5.6·5.8.3)로 $j = 3/2$ 넷과 $j = 1/2$ 둘로 갈라지는 것이 무거운 정공· 가벼운 정공·분리 밴드의 기원이다(7.8.4의 $\mathbf k\cdot\mathbf p$ ). 광학 전이의 선택 규칙 $\Delta l = \pm1$ 이 전도대( $s$ )–가전자대( $p$ ) 전이를 허용하고, 밴드 간 흡수 계수의 크기를 운동량 행렬 요소 $\langle s|p_z|p_z\rangle$ 하나가 정한다. 2절의 대수가 그 행렬 요소의 각도 부분을 전부 정해 준다 — 5.7.7에서.

구면조화함수

사다리로 만든다 — 맨 위 계단부터

$L^2$ 와 $L_z$ 의 동시 고유함수를 2절의 미분 연산자로 실현한 것이 구면조화함수다. 1.5.7은 버금 르장드르 방정식의 급수해로 그것을 세웠다(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수). 여기서는 사다리로 세운다 — 방정식을 풀지 않고 1계 방정식 하나만 푼다.

맨 위 계단 $Y_l^l$ 은 $L_+Y_l^l = 0$ 을 만족한다. $L_z = -i\hbar\partial_\varphi$ 의 고유값이 $\hbar l$ 이려면 $Y_l^l = f(\theta)e^{il\varphi}$ 이고, 이것을 $L_+$ 에 넣으면

\hbar e^{i\varphi}\Bigl(\frac{d f}{d\theta} + i\cot\theta\cdot il\,f\Bigr)e^{il\varphi} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{df}{d\theta} = l\cot\theta\,f \quad\Longrightarrow\quad f = C\sin^l\theta

$Y_l^l \propto \sin^l\theta\,e^{il\varphi}$ — 이것으로 끝이다. 정규화하면(Sakurai (3.6.34))

Y_l^l(\theta,\varphi) = \frac{(-1)^l}{2^l\,l!}\sqrt{\frac{(2l+1)!}{4\pi}}\;\sin^l\theta\;e^{il\varphi}

이고, 나머지 $2l$ 개는 $L_-$ 를 반복해 걸어 내려온다. $L_- = -\hbar e^{-i\varphi}(\partial_\theta - i\cot\theta\,\partial_\varphi)$ 를 한 번 걸 때마다 $\varphi$ 의존성은 $e^{i(m-1)\varphi}$ 로, $\theta$ 의존성은 미분 한 번으로 바뀐다. 이 과정이 1.5.7의 $P_l^m = (-1)^m(1-x^2)^{m/2}\,d^mP_l/dx^m$ 을 다른 방향에서 재현한다. 결과는 1.5.7의 식과 같다:

Y_l^m(\theta,\varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}\;P_l^m(\cos\theta)\,e^{im\varphi}

정수 조건이 여기서 닫힌다. 사다리 대수는 $l$ 이 반정수여도 된다고 했지만, $e^{il\varphi}$ 가 $\varphi \to \varphi+2\pi$ 에서 한 값이려면 $l$ 이 정수여야 한다. 반정수 $l$ 로 $\sin^l\theta\,e^{il\varphi}$ 를 만들어 $L_-$ 를 걸어 내려가면 $2l+1$ 계단을 내려간 뒤 0이 되지 않고 발산하는 함수가 나온다 (Griffiths 문제 4.24, Sakurai 문제 3.20). 궤도 각운동량은 정수만 — 반정수는 스핀의 자리다.

처음 몇 개를 직교좌표로 함께 적어 둔다. $l = 0, 1$ 만 여기 두고 $l = 2$ 는 1.5.7의 표로 미룬다:

	$Y_l^m(\theta,\varphi)$	직교좌표	오비탈
$Y_0^0$	$\dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}$	상수	$s$
$Y_1^0$	$\sqrt{\dfrac{3}{4\pi}}\cos\theta$	$\sqrt{\dfrac{3}{4\pi}}\,\dfrac{z}{r}$	$p_z$
$Y_1^{\pm1}$	$\mp\sqrt{\dfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}$	$\mp\sqrt{\dfrac{3}{8\pi}}\,\dfrac{x\pm iy}{r}$	$p_x \pm ip_y$ 의 결합

성질 — 무엇이 어디에 쓰이나

정규직교와 완비성. 1절에 적은 정규직교 관계와 함께, 구면 위의 충분히 매끈한 함수는 전부 $Y_l^m$ 의 급수로 전개된다. 구면 위 함수의 “푸리에 급수”다(1.5.7).

켤레와 패리티. $[Y_l^m]^* = (-1)^m Y_l^{-m}$ — 콘던–쇼틀리 위상이 이 관계를 깔끔하게 만든다. 공간 반전 $\mathbf r \to -\mathbf r$ 은 $(\theta,\varphi)\to(\pi-\theta, \varphi+\pi)$ 이고 $P_l^m(-x) = (-1)^{l+m}P_l^m(x)$ , $e^{im(\varphi+\pi)} = (-1)^m e^{im\varphi}$ 이므로

Y_l^m(\pi-\theta, \varphi+\pi) = (-1)^l\,Y_l^m(\theta,\varphi)

— 패리티는 $(-1)^l$ . $m$ 에 무관하다. $s, d, g$ 는 짝, $p, f, h$ 는 홀. 5.7.4가 이것을 보존량으로 세우고, 전기 쌍극자 전이( $\mathbf r$ 은 홀)가 패리티를 바꿔야 한다는 데서 $\Delta l = \pm1$ 의 절반이 나온다.

덧셈 정리. 두 방향 $\hat r, \hat r'$ 사이의 각 $\gamma$ 에 대해

P_l(\cos\gamma) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^{l}[Y_l^m(\theta',\varphi')]^*\,Y_l^m(\theta,\varphi)

이것이 $1/|\mathbf r - \mathbf r'|$ 의 다중극 전개(2.2.6)를 $Y_l^m$ 으로 옮겨 주고, 5.9.8의 부분파 전개와 6절의 평면파 전개에 들어간다. 좌우변이 각각 회전에 대해 불변이라는 것이 증명의 뼈대다 (Arfken §16.1).

$|Y_l^m|^2$ 은 $\varphi$ 에 무관하다. $e^{im\varphi}$ 의 절댓값이 1이니 당연한데, 물리적으로는 중요한 말이다 — $L_z$ 가 확정된 상태는 $z$ 축 주위로 완전히 대칭이다. 방위각이 완전히 불확정이기 때문이다. $L_z$ 와 방위각 $\varphi$ 는 $p$ 와 $x$ 처럼 짝을 이루는 양이고( $L_z = -i\hbar\partial_\varphi$ ), 하나가 날카로우면 다른 하나는 퍼진다. 1.5.7의 그림(1.5.7버금 르장드르 함수와 구면조화함수)이 $|P_l^m(\cos\theta)|$ 를 극좌표로 그린 것이고, $z$ 축 주위로 돌리면 $|Y_l^m|^2$ 의 3차원 모양이다.

마디선 — l은 각도 방향의 마디 수

$Y_l^m$ 의 모양을 한 문장으로 말하면 마디선이 $l$ 개다. 실수 결합 $\operatorname{Re}Y_l^m \propto P_l^m(\cos\theta)\cos m\varphi$ 를 보면, $P_l^m(\cos\theta)$ 는 $(0,\pi)$ 안에서 $l - |m|$ 번 0이 되고(1.5.7 — $l$ 차 다항식을 $|m|$ 번 미분한 것), $\cos m\varphi$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 사이에서 $2|m|$ 번 0이 된다. 앞은 구면 위의 위선(작은 원) $l - |m|$ 개, 뒤는 극을 지나는 대원 $|m|$ 개(대원 하나가 경선 두 줄로 보인다). 합하면 언제나 $l$ 개다.

그림 5.5-3. 구면조화함수 Re Y_l^m ∝ P_l^m(cos θ) cos mφ의 부호를 θ–φ 직사각형 지도(가로 φ: 0 → 2π, 세로 θ: 북극 → 남극)에 칠한 네 장 — (l, m) = (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 1). 가로 마디선(위선) l − |m|개는 버금 르장드르 함수의 영점, 세로 마디선(극을 지나는 대원, 지도에서는 두 줄) |m|개는 cos mφ의 영점이다. 합하면 언제나 l개 — l은 각도 방향의 마디 수이고, m은 그 마디 가운데 몇 개가 경선인가를 말한다. m = 0이면 전부 위선이라 z축 주위로 대칭인 잎들이 위아래로 쌓이고(p_z, d_z²), |m| = l이면 전부 경선이라 적도 둘레에 잎이 늘어선다(d_xy, d_x²−y²).직접 작도

직관

그래프 직관 — 오비탈 그림을 읽는 법. 화학의 $s, p, d$ 그림은 $|Y_l^m|^2$ 이 아니라 실수 결합의 부호까지 그린 것이다. $Y_1^{\pm1}$ 을 더하고 빼면

p_x = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(Y_1^{-1} - Y_1^{1}\bigr) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{x}{r}, \qquad p_y = \frac{i}{\sqrt2}\bigl(Y_1^{-1} + Y_1^{1}\bigr) = \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\frac{y}{r}, \qquad p_z = Y_1^0

— $x/r, y/r, z/r$ 세 개가 $l = 1$ 의 실수 기저다. 모양은 셋이 같고 방향만 다르다. 각 $p$ 오비탈은 평면 하나(마디면)를 경계로 부호가 바뀌는 두 잎이다. $l = 2$ 의 다섯은 $d_{z^2}, d_{xz}, d_{yz}, d_{xy}, d_{x^2-y^2}$ — $x, y, z$ 의 2차 동차 다항식을 $r^2$ 으로 나눈 것이고, 마디면이 둘이라 잎이 넷(또는 $d_{z^2}$ 처럼 잎 둘 + 고리 하나)이다. 잎의 개수가 늘어난다는 것이 ” $l$ 이 크면 각도 방향으로 더 굽었다”는 말이고, 그만큼 운동 에너지 $\hbar^2 l(l+1)/2mr^2$ 가 든다.

형태적 직관 — $sp^3$ . $s$ 하나와 $p$ 셋을 같은 무게로 섞은

h_{1,2,3,4} = \tfrac12\bigl(s \pm p_x \pm p_y \pm p_z\bigr) \quad(\text{부호 조합 } {+}{+}{+},\ {+}{-}{-},\ {-}{+}{-},\ {-}{-}{+})

넷은 정사면체 꼭짓점 방향 $(1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1)$ 을 향하는 큰 잎 하나씩을 갖는다. 이웃한 두 방향 사이의 각이 $\arccos(-\tfrac13) = 109.47^\circ$ — 실리콘·게르마늄·다이아몬드 격자의 결합각이다(4.2.4·7.1.5). 구면조화함수의 산술이 결정 구조의 각도를 정한다. $s$ 와 $p$ 를 같은 무게로 섬을 수 있는 것은 실리콘 원자의 $3s$ 와 $3p$ 의 에너지가 가까워서다 — 준위가 멀면 혼성이 불리하고, 그것이 같은 족의 납이 다이아몬드 구조를 갖지 않는 한 이유다.

직관

파라미터 연계 — $2l+1$ 겹 축퇴와 그것을 깨는 것들. 같은 $l$ 의 $2l+1$ 개가 축퇴하는 이유는 1.5.7이 말했다 — 회전으로 서로 섞이는 닫힌 집합이라서. 이 축퇴를 깨는 것은 방향을 고르는 무엇이다.

자기장(7절, 5.8.4) — $z$ 축을 고른다. $E \to E + \mu_B B\,m$ , $2l+1$ 개가 등간격으로 갈라진다.
결정장 — 원자가 결정 안에 들어가면 구 대칭이 점군 대칭으로 낮아진다. 정육면체 대칭에서 $l = 2$ 의 다섯이 $t_{2g}$ 셋( $d_{xy}, d_{yz}, d_{zx}$ )과 $e_g$ 둘( $d_{z^2}, d_{x^2-y^2}$ )로 갈라지는 것이 전이금속 불순물 준위·발광 중심의 스펙트럼이고, 1.13이 표현론으로 정리한다.
변형(strain) — 실리콘 채널에 일축 인장을 걸면 정육면체 대칭이 깨져 $p$ 형 가전자대의 축퇴가 풀리고 무거운·가벼운 정공이 갈라진다. 전도대 쪽에서는 여섯 골(valley)의 축퇴가 풀려 이동도가 오른다 — 스트레인드 실리콘(14부)의 원리가 “대칭을 깨 축퇴를 푼다”는 이 장의 규칙이다.
스핀–궤도 결합 — $\mathbf L\cdot\mathbf S$ 는 방향을 고르지 않지만 $l$ 과 $s$ 를 묶어 좋은 양자수를 $j$ 로 바꾼다. $l = 1$ 의 여섯(스핀 포함)이 넷과 둘로 갈라진다(5.6·5.8.3).

지름 방정식과 유효 퍼텐셜

원심 항 — 각운동량이 만드는 장벽

1절의 지름 방정식을 다시 적는다:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + V_{\text{eff}}(r)\,u = Eu, \qquad V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}

더해진 항이 원심 항(centrifugal term)이다. 고전역학에서 중심력 문제를 지름 방향의 1차원 문제로 줄일 때 $L^2/(2mr^2)$ 이 퍼텐셜에 더해지는 것(3.1.9중심력 문제)과 정확히 같은 자리에, $L^2$ 를 고유값 $\hbar^2 l(l+1)$ 로 바꿔 넣은 것이다. 각운동량을 가진 입자는 원점으로 떨어질 수 없다 — 가까워질수록 같은 각운동량을 유지하려면 더 빨리 돌아야 하고 그 운동 에너지가 $1/r^2$ 으로 자란다. $l = 0$ 이면 원심 항이 없고 $l \ge 1$ 이면 원점 근방을 $1/r^2$ 장벽이 막는다.

이 장벽은 어떤 퍼텐셜보다 원점에서 빨리 자란다 — 쿨롱( $1/r$ )은 물론 유한한 우물·조화진동자에 대해 그렇다. 그래서 $r \to 0$ 에서 지름 방정식은 퍼텐셜과 에너지를 잊고

\frac{d^2u}{dr^2} \approx \frac{l(l+1)}{r^2}u \quad\Longrightarrow\quad u = C\,r^{l+1} + D\,r^{-l}

가 된다(오일러–코시 방정식, 1.4.5). $D$ 항은 $l \ge 1$ 이면 발산하고 $l = 0$ 이면 $R = u/r \sim 1/r$ 이라 $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf r)$ 가 방정식에 없는 델타 함수를 낳는다 — 버린다. 따라서 $u \sim r^{l+1}$ , $R \sim r^l$ 이고 $u(0) = 0$ 이다. 1절에서 미뤄 둔 원점 조건이 이것이다. $l$ 이 클수록 파동함수가 원점에서 더 높은 차수로 0에 붙는다. 원점에서 0이 아닌 확률밀도를 갖는 것은 $s$ 상태( $l = 0$ )뿐이다.

직관

물리적 직관 — $s$ 상태만 핵을 본다. $|\psi(0)|^2 \ne 0$ 인 것이 $l = 0$ 뿐이라는 사실은 여러 곳에서 얼굴을 내민다. 원자에서는 초미세 분리(5.8.4) — 전자 스핀과 핵 스핀의 접촉 상호작용이 $|\psi(0)|^2$ 에 비례하므로 $s$ 상태에서만 크다(수소 21 cm 선). 반도체에서는 도너의 중심 셀 보정 — 수소형 모형은 도너 이온을 점전하 $+e$ 로 보지만 실제 인 원자는 실리콘 원자와 다른 코어를 가졌고, 그 차이를 느끼는 것은 코어 위에 확률이 있는 $1s$ 상태다. 실리콘의 인 도너 준위가 수소형 계산값 약 26 meV(1.5.11)보다 깊은 45 meV인 것, 같은 수소형 모형인데 도너 원소마다 $1s$ 준위가 다른 것(P 45, As 54, Sb 43 meV)은 전부 $1s$ 에만 걸리는 이 보정이다. 들뜬 $2p$ 준위는 원소가 바뀌어도 거의 같다 — 코어를 보지 않으니까. 7.9.7에서 다시.

무한대에서는 반대다. 속박 상태( $E$ 가 $V(\infty)$ 보다 낮음)이면 $V_{\text{eff}} \to V(\infty)$ 이고 $u \sim e^{-\kappa r}$ , $\kappa = \sqrt{2m[V(\infty)-E]}/\hbar$ — 5.3.6 유한 우물의 바깥 해와 같다. 두 극한 사이에서 $u$ 가 몇 번 0을 지나는가가 지름 마디 수 $n_r$ 이고, 1차원과 같은 논리로 (진동 정리, 1.6.2) $n_r$ 이 하나 늘 때마다 에너지가 한 계단 오른다. 각도 마디 $l$ 개와 지름 마디 $n_r$ 개 — 3차원 파동함수의 마디면은 모두 $l + n_r$ 개다.

지름 확률밀도

$|\psi|^2 d^3\mathbf r = |R|^2|Y|^2\,r^2\,dr\,d\Omega$ 에서 각도를 적분하면 반지름 $r$ 과 $r+dr$ 사이의 껍질에서 입자를 발견할 확률이

P(r)\,dr = r^2|R_{nl}(r)|^2\,dr = |u_{nl}(r)|^2\,dr

이다. $r^2$ 이 껍질의 넓이 $4\pi r^2$ 에서 온 것이라, $|\psi|^2$ 이 원점에서 최대인 $1s$ 상태도 $P(r)$ 은 원점에서 0이고 $r = a$ 에서 최대다(5절). “전자가 가장 있기 쉬운 반지름”을 말할 때는 $|\psi|^2$ 이 아니라 $P(r)$ 을 본다 — 둘을 섞으면 $1s$ 전자가 핵 위에 있다는 말이 나온다.

쿨롱 퍼텐셜의 유효 퍼텐셜 — 그래프로

수소 원자의 $V = -e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$ 에 원심 항을 더해 5절에서 나올 단위 — 보어 반지름 $a$ 와 $|E_1| = \hbar^2/(2ma^2) = e^2/(8\pi\varepsilon_0 a)$ — 로 쓰면

\frac{V_{\text{eff}}}{|E_1|} = -\frac{2a}{r} + \frac{l(l+1)\,a^2}{r^2}

이다. $l = 0$ 은 바닥 없는 우물이고, $l \ge 1$ 은 $r = l(l+1)a$ 에서 깊이 $-|E_1|/[l(l+1)]$ 인 바닥을 갖는다 — 미분해 0으로 놓으면 나온다. $l = 1$ 이면 $r = 2a$ 에서 $-|E_1|/2$ , $l = 2$ 면 $r = 6a$ 에서 $-|E_1|/6$ .

그림 5.5-4. 쿨롱 퍼텐셜의 유효 퍼텐셜 V_eff = −e²/(4πε₀r) + ħ²l(l+1)/(2mr²), l = 0, 1, 2 — 가로축은 보어 반지름 단위 r/a, 세로축은 |E₁| = 13.6 eV 단위. l = 0은 원점으로 떨어지는 바닥 없는 우물이고, l = 1과 2는 각각 r = 2a, 6a에서 깊이 −|E₁|/2, −|E₁|/6인 바닥(빈 점)을 갖는다. 점선은 수소 준위 E₁, E₂ = E₁/4, E₃ = E₁/9를 l = 0의 고전 허용 구간 r < 2n²a에 걸쳐 그린 것. l = 1의 바닥(−0.5)이 E₂(−0.25) 아래에 있어 2p 상태가 존재하고, l = 2의 바닥(−0.167)이 E₃(−0.111) 아래에 있어 3d가 존재한다. 반대로 E₁ 아래에는 l ≥ 1의 우물이 없다 — 1p, 1d는 없다. l이 클수록 우물이 얕고 멀어지므로 그 l의 첫 준위는 n = l + 1이고, 멀리서는 세 곡선이 −2a/r로 합쳐진다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 축과 바닥이 말하는 것. 세로축 0 아래의 깊이가 결합의 세기, 바닥의 가로 위치가 궤도의 크기다. $l$ 이 커질수록 바닥이 얕아지고 멀어진다 — 원심 장벽이 안쪽을 밀어내기 때문이다. 그래서 (i) 어떤 $l$ 의 가장 낮은 상태는 바닥보다 위에 있어야 하니 $E_n$ 이 바닥보다 높은 첫 $n$ , 곧 $n = l+1$ 부터 존재한다( $l \le n-1$ 의 그림 판); (ii) 같은 $n$ 안에서 $l$ 이 클수록 파동함수가 바깥에 몰리고 원점 근방에는 없다(5절 그림의 $3d$ 와 $3s$ ); (iii) 멀리서는 원심 항이 $1/r^2$ 으로 죽어 세 곡선이 한 곡선 $-2a/r$ 로 합쳐진다 — 큰 $r$ 에서는 $l$ 이 무엇이든 쿨롱 꼬리만 남는다. 리드베리 상태(큰 $n$ )의 성질이 $l$ 에 거의 무관한 이유다.

이 그림에서 읽히지 않는 것이 하나 있다. 수소에서 $E$ 가 $l$ 에 무관하다는 사실 — $2s$ 와 $2p$ 가 같은 에너지 — 은 세 곡선의 모양에서는 전혀 예상되지 않는다. 그것은 $1/r$ 퍼텐셜에만 있는 숨은 대칭의 결과이고(5절 끝), 퍼텐셜이 $1/r$ 에서 조금만 벗어나도 사라진다.

예 — 등방 조화진동자

수소 원자로 가기 전에 지름 방정식이 통째로 풀리는 다른 예를 하나 본다. $V = \tfrac12 m\omega^2 r^2$ 은 직교좌표로도 갈라지므로 답을 먼저 안다: $E = \hbar\omega(n_x + n_y + n_z + \tfrac32)$ , 곧

E_N = \hbar\omega\Bigl(N + \tfrac32\Bigr),\qquad N = 0, 1, 2, \ldots,\qquad \text{축퇴 } \frac{(N+1)(N+2)}{2}

이다(5.3.2를 세 번). 구면좌표로 풀면(Sakurai §3.7, Griffiths 문제 4.39) 지름 방정식이 버금 라게르로 닫히고 $N = 2n_r + l$ 이 나온다 — $N$ 이 같으면 $(n_r, l) = (0, N), (1, N-2), \ldots$ 이 전부 같은 에너지다. $N = 2$ 에서 $l = 0$ (1개)과 $l = 2$ (5개)가 축퇴해 6개, $N = 3$ 에서 $l = 1, 3$ 이 축퇴해 10개. 서로 다른 $l$ 이 축퇴하는 것은 수소 원자와 같은 종류의 우연 축퇴이고, 원인도 같은 종류다 — 회전 대칭보다 큰 숨은 대칭( $SU(3)$ ). 1차원 조화진동자에서 짝수 $N$ 만 $l = 0$ 을 포함한다는 것도 읽힌다: $N = 2n_r + l$ 에서 $l = 0$ 이면 $N$ 이 짝수다. 패리티 $(-1)^l = (-1)^N$ .

직관

파라미터 연계 — 양자점의 껍질. 게이트로 만든 반도체 양자점의 구속 퍼텐셜은 바닥 근방에서 포물선이고, 2차원이면 $E = \hbar\omega_0(2n_r + |m| + 1)$ , 축퇴 $N+1$ — 2, 4, 6, … 전자에서 껍질이 닫힌다(스핀 포함). 전자를 하나씩 더 넣을 때 필요한 에너지(첨가 에너지)가 2, 6, 12번째에서 튀는 것이 실측되고, 이것이 “인공 원자”의 주기율이다(10.3.3). 7절에서 자기장을 걸면 이 준위가 란다우 준위로 변해 가는 과정(포크–다윈 스펙트럼)을 본다. 구속이 강할수록 $\omega_0$ 이 크고 껍질 간격이 벌어진다 — 점의 크기 $\ell_0 = \sqrt{\hbar/m^*\omega_0}$ 가 작아진다는 말과 같다.

수소 원자와 스펙트럼

문제와 축약 기호

양성자(무겁고 정지했다고 본다)의 전기장 속 전자. 퍼텐셜은 쿨롱 인력

V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}

이고, 지름 방정식은

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \Bigl[-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r} + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}\Bigr]u = Eu

속박 상태( $E$ 가 음수)를 찾는다. Griffiths의 축약을 그대로 쓴다 — 셋 다 이 절에서만 쓰는 임시 기호다:

\kappa \equiv \frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar},\qquad \rho \equiv \kappa r,\qquad \rho_0 \equiv \frac{me^2}{2\pi\varepsilon_0\hbar^2\kappa}

$\kappa$ 는 무한대에서 파동함수가 죽는 비율(길이의 역수), $\rho$ 는 그 단위로 잰 무차원 반지름, $\rho_0$ 는 쿨롱 힘의 세기를 같은 단위로 잰 무차원 수다. 방정식을 $\hbar^2\kappa^2/2m = -E$ 로 나누면

\frac{d^2u}{d\rho^2} = \Bigl[1 - \frac{\rho_0}{\rho} + \frac{l(l+1)}{\rho^2}\Bigr]u

— 물리 상수가 전부 $\rho_0$ 하나에 들어갔다. 1.5.11(Arfken)의 표기와의 대응: 거기서 $\alpha = \sqrt{-8mE}/\hbar = 2\kappa$ , $\rho_{\text{Arfken}} = \alpha r = 2\rho$ , $\lambda = \rho_0/2$ 다(1.5.11에르미트·라게르 다항식). 그쪽 방정식의 $-\tfrac14$ 이 여기서 $1$ 인 이유가 그 인수 2다.

양끝의 행동을 벗겨 내고 급수를 건다

$\rho \to \infty$ 에서 괄호는 1로 가고 $u'' = u$ , 정규화 가능한 해는 $u \sim e^{-\rho}$ . $\rho \to 0$ 에서는 4절의 결과대로 $u \sim \rho^{l+1}$ . 두 극한을 인수로 벗겨 내

u(\rho) = \rho^{l+1}e^{-\rho}\,v(\rho)

로 놓으면 $v$ 의 방정식은(도함수를 두 번 계산해 대입 — Griffiths (4.61))

\rho\frac{d^2v}{d\rho^2} + 2(l+1-\rho)\frac{dv}{d\rho} + \bigl[\rho_0 - 2(l+1)\bigr]v = 0

이고, 여기에 $v = \sum_{j=0}^\infty c_j\rho^j$ 를 넣는다(1.5.4의 거듭제곱 급수법, 1.5.4거듭제곱 급수법). $\rho^j$ 의 계수를 모으면 점화식

c_{j+1} = \frac{2(j+l+1) - \rho_0}{(j+1)(j+2l+2)}\,c_j

가 나온다. $c_0$ 만 정하면 전부 정해지고 $c_0$ 은 규격화가 정한다.

끊어져야 한다. $j$ 가 크면 $c_{j+1} \approx \frac{2}{j+1}c_j$ , 곧 $c_j \approx \frac{2^j}{j!}c_0$ 이고 $v \approx c_0 e^{2\rho}$ . 그러면 $u \approx c_0\rho^{l+1}e^{+\rho}$ — 벗겨 낸 $e^{-\rho}$ 를 뒤집어 무한대에서 발산한다. 규격화 가능한 해가 되려면 급수가 어디선가 끊어져야 한다: 어떤 $j_{\max}$ 에서 $c_{j_{\max}+1} = 0$ , 즉

2(j_{\max} + l + 1) = \rho_0

이것이 5.3.3 조화진동자의 해석적 풀이(급수가 끊어져야 한다)와 1.5.6 르장드르(급수가 끊어져야 극에서 유한하다)에 이어 세 번째로 만나는 끊어짐에 의한 양자화다. $j_{\max} + l + 1$ 을 주양자수 $n$ 이라 부르면

\rho_0 = 2n,\qquad n = 1, 2, 3, \ldots

$j_{\max}$ 가 지름 마디 수 $n_r$ 이므로(급수가 $j_{\max}$ 차 다항식이라 영점이 그만큼) $n = n_r + l + 1$ 이고, $n$ 이 정해지면 $l$ 은 $0$ 부터 $n-1$ 까지다.

에너지, 길이, 파동함수

$\rho_0 = 2n$ 을 $\rho_0$ 와 $\kappa$ 의 정의에 넣어 되돌리면

\kappa = \frac{me^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\frac{1}{n} = \frac{1}{na}, \qquad E_n = -\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m} = -\Bigl[\frac{m}{2\hbar^2}\Bigl(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr)^2\Bigr]\frac{1}{n^2} = \frac{E_1}{n^2}

보어 공식이다. 두 상수가 이 문제의 척도다:

a \equiv \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2} = 0.529\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad E_1 = -\frac{\hbar^2}{2ma^2} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a} = -13.6\ \mathrm{eV}

$a$ 가 보어 반지름, $-E_1 = 13.6\ \mathrm{eV}$ 가 수소의 이온화 에너지(리드베리 에너지). 5.1.4의 보어 모형이 반고전 논증으로 맞혔던 두 수를 슈뢰딩거 방정식이 정당하게 다시 준다 — Griffiths의 말대로 “보어는 옳은 답을 틀린 이유로 얻었다”.

파동함수. $v(\rho)$ 는 $n-l-1$ 차 다항식이고, 점화식을 풀면 버금 라게르 다항식 $L_{n-l-1}^{2l+1}(2\rho)$ 이다(1.5.11에르미트·라게르 다항식 — 인수가 $2\rho = 2r/na$ 인 것이 Arfken과 Griffiths의 $\rho$ 가 두 배 차이 나는 자리). 지름 함수는 $R = u/r = \rho^{l+1}e^{-\rho}v/r$ 이고, 정규화까지 마친 전체 파동함수는(Griffiths (4.89))

\psi_{nlm}(r,\theta,\varphi) = \sqrt{\Bigl(\frac{2}{na}\Bigr)^3\frac{(n-l-1)!}{2n\,(n+l)!}} \;e^{-r/na}\Bigl(\frac{2r}{na}\Bigr)^l\,L_{n-l-1}^{2l+1}\Bigl(\frac{2r}{na}\Bigr)\,Y_l^m(\theta,\varphi)

이다. 처음 몇 지름 함수(Griffiths 표 4.7):

$R_{nl}$		지름 마디
$R_{10}$	$2a^{-3/2}\,e^{-r/a}$	0
$R_{20}$	$\dfrac{1}{\sqrt2}a^{-3/2}\Bigl(1 - \dfrac{r}{2a}\Bigr)e^{-r/2a}$	1 ( $r = 2a$ )
$R_{21}$	$\dfrac{1}{\sqrt{24}}a^{-3/2}\,\dfrac{r}{a}\,e^{-r/2a}$	0
$R_{30}$	$\dfrac{2}{\sqrt{27}}a^{-3/2}\Bigl(1 - \dfrac{2r}{3a} + \dfrac{2r^2}{27a^2}\Bigr)e^{-r/3a}$	2
$R_{31}$	$\dfrac{8}{27\sqrt6}a^{-3/2}\,\dfrac{r}{a}\Bigl(1 - \dfrac{r}{6a}\Bigr)e^{-r/3a}$	1 ( $r = 6a$ )
$R_{32}$	$\dfrac{4}{81\sqrt{30}}a^{-3/2}\,\dfrac{r^2}{a^2}\,e^{-r/3a}$	0

바닥 상태는 $\psi_{100} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}$ — 구 대칭, 마디 없음, $r = a$ 에서 $1/e$ 로 감쇠. 지수의 길이 척도가 $na$ 로 자라고 다항식의 차수 $n-l-1$ 이 지름 마디 수다.

그림 5.5-5. 수소 원자의 지름 확률밀도 P(r) = r²|R_nl|² — 왼쪽은 1s, 2s, 2p (r ≤ 14a), 오른쪽은 3s, 3p, 3d (r ≤ 30a). 세로축은 a·P(r)로 곡선 아래 넓이가 1이다. 마디가 없는 l = n − 1 상태(1s, 2p, 3d, 굵은 선)의 봉우리가 정확히 보어 반지름 n²a = a, 4a, 9a에 온다 — 보어의 원 궤도가 남긴 흔적이다. 같은 n에서 l이 작을수록 지름 마디가 많고(2s 하나, 3s 둘, 3p 하나) 원점 가까이 작은 봉우리가 스며든다 — 4절의 r^l 행동이다. 2s의 마디는 r = 2a, 3p의 마디는 r = 6a로 표의 괄호 값과 같다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 봉우리가 $n^2a$ 에 오는 이유. 마디 없는 상태 $l = n-1$ 의 지름 함수는 $R \propto r^{n-1}e^{-r/na}$ 로 다항식이 없다. $P(r) = r^2R^2 \propto r^{2n}e^{-2r/na}$ 를 미분해 0으로 놓으면 $r = n^2a$ — 보어 모형의 $n$ 번째 원 궤도 반지름이 그대로 나온다. 원 궤도가 각운동량이 가장 큰 궤도인 것과 $l = n-1$ 이 대응한다. 그러나 평균 반지름은 다르다:

\langle r\rangle_{nl} = \frac{a}{2}\bigl[3n^2 - l(l+1)\bigr],\qquad \Bigl\langle\frac{1}{r}\Bigr\rangle_{nl} = \frac{1}{n^2a}

$1s$ 의 $\langle r\rangle = 1.5a$ 는 봉우리 $a$ 보다 크다 — 지수 꼬리가 바깥으로 길기 때문이다. $\langle 1/r\rangle$ 은 $l$ 에 무관한데, 그것이 곧 $\langle V\rangle = 2E_n$ 이라는 비리얼 정리 ( $\langle T\rangle = -E_n$ , $\langle V\rangle = 2E_n$ )의 내용이다. 궤도 크기가 $n^2$ 으로 자라고 에너지가 $1/n^2$ 으로 줄어드는 것이 짝을 이룬다.

직관

수식적 직관 — $E \propto 1/n^2$ 과 $a$ 를 한 줄에서. 왜 수소 원자는 무너지지 않는가, 왜 크기가 $0.5\,\text{Å}$ 인가는 불확정성 원리 한 줄로 어림된다. 전자를 반지름 $r$ 안에 가두면 운동량이 $\hbar/r$ 정도, 운동 에너지가 $\hbar^2/2mr^2$ 정도 든다. 퍼텐셜은 $-e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ . 합

E(r) \approx \frac{\hbar^2}{2mr^2} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}

을 $r$ 로 미분해 0으로 놓으면 $r = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/me^2 = a$ , 그때 $E = -\hbar^2/2ma^2 = E_1$ — 어림이 아니라 정확히 맞는다(들뜬 상태에서는 그렇게 좋지 않다). 운동 에너지는 $1/r^2$ , 퍼텐셜은 $-1/r$ 이라 작은 $r$ 에서는 운동 에너지가 이겨 무너지지 않고, 큰 $r$ 에서는 퍼텐셜이 이겨 흩어지지 않는다. 둘이 균형을 이루는 반지름이 $a$ 다. 고전 물리에는 $\hbar$ 가 없어서 균형점이 없고, 전자는 복사하며 핵으로 떨어진다.

축퇴와 숨은 대칭

$E_n$ 이 $n$ 에만 의존한다. 주어진 $n$ 에 $l = 0, \ldots, n-1$ , 각 $l$ 에 $m$ 이 $2l+1$ 개 —

d(n) = \sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n^2

겹 축퇴(스핀까지 세면 $2n^2$ : 2, 8, 18, 32 — 주기율표의 주기 길이, 5.6.6). $m$ 에 무관한 것은 구 대칭의 결과고 어떤 중심력 퍼텐셜에서나 그렇다(1절). 그러나 $l$ 에 무관한 것은 $1/r$ 에만 있는 일이다 — 4절의 유효 퍼텐셜 그림에서 세 우물의 모양이 전혀 다른데 준위가 같아야 할 이유가 보이지 않는다. 이 우연 축퇴의 원인은 고전 케플러 문제에서 궤도의 장축 방향이 보존되는 것 — 룽게–렌츠 벡터 — 과 같은 숨은 대칭이고, 회전 대칭 $SO(3)$ 보다 큰 $SO(4)$ 다. 5.7.6이 축퇴와 대칭의 관계로 이것을 다시 다룬다. 여기서 알아둘 것은 이 축퇴가 깨지기 쉽다는 사실이다:

다전자 원자에서는 안쪽 전자가 핵전하를 가려 유효 퍼텐셜이 $1/r$ 에서 벗어나고(1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결 의 가려진 쿨롱), $E_{ns} < E_{np} < E_{nd}$ 로 갈라진다. $s$ 가 가장 깊은 이유는 4절 — $s$ 만 코어 안까지 들어가 덜 가려진 핵전하를 본다(4.1.2의 침투와 가림).
상대론적 보정과 스핀–궤도 결합이 $j$ 에 따라 갈라 놓는 미세 구조(5.8.3), 진공 요동이 $2s_{1/2}$ 와 $2p_{1/2}$ 를 갈라 놓는 램 이동.
반도체 도너에서는 실리콘 전도대의 비등방 유효질량( $m_l^* = 0.92$ , $m_t^* = 0.19$ )이 구 대칭을 깨 $2p_0$ 와 $2p_\pm$ 가 갈라진다 — 도너 적외선 흡수 스펙트럼에 두 선으로 보인다.

스펙트럼

들뜬 상태의 전자가 낮은 준위로 떨어지며 광자를 내면 에너지 보존에서

E_\gamma = E_i - E_f = -13.6\ \mathrm{eV}\Bigl(\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}\Bigr), \qquad \frac{1}{\lambda} = R_\infty\Bigl(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\Bigr)

R_\infty = \frac{m}{4\pi c\hbar^3}\Bigl(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\Bigr)^2 = 1.097\times10^7\ \mathrm{m^{-1}}

이 리드베리 공식과 상수 $R_\infty$ 가 5.1.4에서 실험식으로 주어졌던 것이고, 이제 유도된 것이다. $n_f = 1$ 로 떨어지는 전이가 라이먼 계열(자외선, $\alpha$ 선 121.6 nm), $n_f = 2$ 가 발머 계열(가시광, $\mathrm H\alpha$ 656.3 nm, 계열 한계 364.6 nm), $n_f = 3$ 이 파셴 계열(적외선, $\alpha$ 선 1875 nm). 발머 계열만이 가시광에 있어 19세기에 먼저 보였다.

그림 5.5-6. 수소 원자의 준위 E_n = −13.6 eV/n²와 세 분광 계열. 세로축은 선형 에너지(eV). 위쪽의 연속 스펙트럼은 E > 0의 이온화 상태다. 각 준위 오른쪽에 허용되는 껍질(1s / 2s 2p / 3s 3p 3d / …)과 n²겹 축퇴. 화살표는 방출 전이 — n = 1로 떨어지는 라이먼 계열(자외선 122 → 91 nm), n = 2로 떨어지는 발머 계열(가시광 656 → 365 nm), n = 3으로 떨어지는 파셴 계열(적외선 1875 → 820 nm). 준위 간격이 1/n²으로 좁아지며 0에 모이고, 각 계열의 선도 같은 꼴로 계열 한계에 모인다. 발머 계열만 가시광에 있어 19세기에 먼저 보였다.직접 작도

환산 질량. 양성자는 무한히 무겁지 않다. 두 물체 문제를 상대 좌표로 옮기면 전자 질량 $m$ 자리에 환산 질량 $\mu = m m_p/(m + m_p)$ 가 들어가고(3.1.9중심력 문제), $\mu/m = 1/(1 + 1/1836) = 0.99946$ — 준위가 0.054 % 만큼 얕아진다. 작지만 분광학의 정밀도에서는 크다: 수소와 중수소의 발머 선이 이 비율만큼 어긋나는 것이 중수소 발견의 근거였다. 같은 치환으로 포지트로늄 (전자–양전자, $\mu = m/2$ )은 준위가 절반, 뮤온 수소는 207배 깊다.

직관

파라미터 연계 — 반도체의 수소 원자들. 이 절의 모든 식에는 물질 상수가 $m$ , $e^2/\varepsilon_0$ 두 묶음으로만 들어간다. 결정 속에서 캐리어는 유효질량 $m^*$ 로 움직이고 쿨롱 힘은 유전율 $\varepsilon_r$ 로 가려지므로, $m \to m^*$ , $\varepsilon_0 \to \varepsilon_r\varepsilon_0$ 만 바꾸면 결정 속 수소 원자가 된다:

E_n^* = -13.6\ \mathrm{eV}\cdot\frac{m^*/m_e}{\varepsilon_r^2}\cdot\frac{1}{n^2}, \qquad a^* = 0.529\,\text{Å}\cdot\frac{\varepsilon_r}{m^*/m_e}

$\varepsilon_r$ 은 제곱으로 준위를 얕게 하고 반지름을 한 번 키우며, $m^*$ 는 준위를 한 번 깊게 하고 반지름을 한 번 줄인다. 실리콘의 수(1.5.11이 계산했다)는 도너 준위 약 26 meV·반지름 약 2.4 nm. GaAs( $m^* = 0.067$ , $\varepsilon_r = 12.9$ )는 $E_D^* \approx 5.5\ \mathrm{meV}$ , $a^* \approx 10\ \mathrm{nm}$ — 실온 $k_BT = 26\ \mathrm{meV}$ 보다 훨씬 얕아 도너가 언제나 이온화돼 있고, 반지름이 격자 상수(0.565 nm)의 18배라 유효질량 근사가 아주 잘 맞는다. 이런 준위를 얕은 준위라 하고, 수소형 모형이 맞지 않는(중심 셀 보정이 지배하는) 것을 깊은 준위라 한다 (6.7.4·11.1.2).

엑시톤은 전자와 정공이 만드는 수소 원자다. 환산 질량 $\mu^* = m_e^*m_h^*/(m_e^*+m_h^*)$ 를 쓰면 GaAs에서 결합 에너지 약 4 meV, 반지름 약 12 nm(실측 4.2 meV) — 저온 흡수 스펙트럼에서 밴드 가장자리 바로 아래의 날카로운 선이 이 $1s$ 엑시톤이고, 실온에서는 $k_BT$ 에 녹아 버린다. GaN·ZnO( $E_x$ 25~60 meV)에서는 실온에서도 살아남아 발광을 지배한다(7.11.6·16.5.2). 반지름 $a^*$ 가 양자점 크기와 비슷해지면 6절의 구속이 이 쿨롱 문제를 이긴다.

스펙트럼도 따라간다. 도너의 $1s \to 2p$ 전이가 적외선(실리콘 P 도너 약 34 meV, 파장 약 36 μm)에 있고, 엑시톤의 리드베리 계열( $n = 1, 2, 3, \ldots$ )이 Cu₂O 같은 물질에서 $n = 25$ 까지 관측된다 — 식은 같고 척도만 $E_1^*$ 로 바뀐 수소 스펙트럼이다.

3차원 우물과 구면 베셀 함수

자유 입자를 구면좌표로

$V = 0$ 이면 답은 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 인데, 구면좌표로도 풀어 둘 필요가 있다 — 우물의 안쪽 해, 산란 문제(5.9.7), 구형 양자점이 전부 이것을 쓴다. $k \equiv \sqrt{2mE}/\hbar$ 로 놓으면 지름 방정식은

\frac{d^2u}{dr^2} = \Bigl[\frac{l(l+1)}{r^2} - k^2\Bigr]u

이고, $l = 0$ 이면 $u = A\sin kr + B\cos kr$ 이다. $u(0) = 0$ 이 $B = 0$ 을 고르고 $R = u/r = A\sin(kr)/r$ . 일반 $l$ 의 해가 구면 베셀 함수다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)):

R(r) = A\,j_l(kr) + B\,y_l(kr)

j_l(x) = (-x)^l\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^l\frac{\sin x}{x}, \qquad y_l(x) = -(-x)^l\Bigl(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\Bigr)^l\frac{\cos x}{x}

(레일리 공식.) 처음 몇 개는 $j_0 = \sin x/x$ , $y_0 = -\cos x/x$ , $j_1 = \sin x/x^2 - \cos x/x$ , $y_1 = -\cos x/x^2 - \sin x/x$ . Griffiths는 $y_l$ 을 $n_l$ 로 쓴다 — 노이만의 $n$ 이다. 이 백과는 1.5의 $y_l$ 을 쓴다. 원점에서 $j_l \approx x^l/(2l+1)!!$ 로 유한하고 $y_l \approx -(2l-1)!!/x^{l+1}$ 로 발산한다 — 4절의 $r^l$ , $r^{-l-1}$ 이다. 멀리서는 둘 다 $1/x$ 로 감쇠하는 진동 $j_l \approx \sin(x - l\pi/2)/x$ , $y_l \approx -\cos(x - l\pi/2)/x$ 다. 위상이 $l$ 마다 $\pi/2$ 씩 밀리는 것이 5.9.8의 위상 이동의 출발점이다. 진행하는 구면파는 한켈 함수 $h_l^{(1)} = j_l + iy_l \approx (-i)^{l+1}e^{ix}/x$ — 구면파의 $1/r$ 이다.

평면파의 구면파 전개. 두 기저를 잇는 식이 레일리 전개다:

e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} = \sum_{l=0}^\infty (2l+1)\,i^l\,j_l(kr)\,P_l(\cos\gamma), \qquad \gamma = \angle(\mathbf k, \mathbf r)

평면파 하나가 모든 $l$ 을 담고 있다 — 평면파는 $L^2$ 의 고유상태가 아니므로 당연하다. 이것이 5.9.8 부분파 해석의 첫 줄이고, 3절 덧셈 정리로 $P_l(\cos\gamma)$ 를 $Y_l^m$ 의 곱으로 풀어 쓴다.

무한 구 우물

반지름 $a$ 의 구 안에서 $V = 0$ , 밖에서 $V = \infty$ . 안쪽 해는 원점에서 유한해야 하니 $R = Aj_l(kr)$ 이고, 벽에서 $R(a) = 0$ :

j_l(ka) = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{\beta_{nl}}{a}, \qquad E_{nl} = \frac{\hbar^2\beta_{nl}^2}{2ma^2}

$\beta_{nl}$ 은 $j_l$ 의 $n$ 번째 영점이다. $l = 0$ 은 $\sin ka = 0$ 이라 $\beta_{n0} = n\pi$ 로 정확하고, $E_{n0} = n^2\pi^2\hbar^2/2ma^2$ — 1차원 무한 우물과 같은 식이다. $u = \sin kr$ 에 $u(0) = 0$ , $u(a) = 0$ 이 걸린 것이 폭 $a$ 인 1차원 우물의 홀수·짝수 상태를 통틀어 그대로이기 때문이다. $l \ge 1$ 의 영점은 초월 방정식의 근이라 표로 읽는다(Arfken 표 14.2):

$l$	$\beta_{1l}$	$\beta_{2l}$	$\beta_{3l}$
0 ( $s$ )	$\pi = 3.142$	$2\pi = 6.283$	$3\pi = 9.425$
1 ( $p$ )	4.493	7.725	10.904
2 ( $d$ )	5.763	9.095	12.323
3 ( $f$ )	6.988	10.417
4 ( $g$ )	8.183	11.705
5 ( $h$ )	9.356

그림 5.5-7. 구면 베셀 함수와 무한 구 우물의 준위. 왼쪽은 j₀, j₁, j₂의 그래프 — 원점에서 x^l로 출발해(j₀만 1, 나머지는 0) 1/x로 감쇠하며 진동하고, 빈 점이 영점 β다. l이 클수록 첫 영점이 뒤로 밀린다(원심 장벽이 안쪽을 비우므로). 오른쪽은 영점의 제곱을 그대로 쌓은 준위 사다리 — 1s(9.87), 1p(20.2), 1d(33.2), 2s(39.5), 1f(48.8), 2p(59.7), 1g(67.0), 2d(82.7), 1h(87.5), 3s(88.8), 단위 ħ²/(2ma²). 각 준위 이름 옆의 수는 스핀까지 센 누적 전자 수(2, 8, 18, 20, 34, 40, …)다. 맨 오른쪽의 1차원 무한 우물 준위 n²π²가 s 준위와 정확히 겹친다 — u = sin kr에 u(0) = u(a) = 0이 걸린 것이 1차원 우물과 같아서다. 수소와 달리 같은 n의 다른 l이 축퇴하지 않는다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 준위 순서가 퍼텐셜 모양을 말한다. 수소 원자에서는 $2s$ 와 $2p$ 가 같은 에너지였고 $n$ 이 같으면 다 같았다. 구 우물에서는 $1s, 1p, 1d, 2s, 1f, 2p, \ldots$ — 같은 $n$ 안에서 $l$ 이 클수록 높고, $1d$ 가 $2s$ 보다 낮다. 이유는 그림 왼쪽에 있다: $j_l$ 의 첫 영점이 $l$ 과 함께 뒤로 밀린다. 원심 장벽이 안쪽을 비워 파동함수가 벽 근처에 몰리고, 정해진 반지름 안에서 마디를 하나 만드는 데 더 큰 $k$ 가 든다. 반대로 지름 마디를 하나 더 만드는 것( $1s \to 2s$ )은 $\beta$ 를 $\pi$ 만큼 올리는 일이라 $l$ 을 하나 올리는 것보다 비싸다. 딱딱한 벽은 $l$ 에 관대하고 $n_r$ 에 엄격하다. 쿨롱은 그 둘을 정확히 상쇄시키는 유일한 퍼텐셜이었다.

누적 전자 수 2, 8, 18, 20, 34, 40, 58, … 은 껍질이 닫히는 수다. 원자핵을 구 우물로 보는 껍질 모형이 여기서 출발하고, 스핀–궤도 결합을 크게 넣으면 실측 마법수 2, 8, 20, 28, 50, 82 가 나온다. 금속 나노 클러스터(Na $_n$ )의 안정한 크기 2, 8, 20, 40, 58 도 같은 셈이다 — 구 우물의 껍질 닫힘.

유한 구 우물 — 3차원에서는 얕은 우물이 묶지 못한다

깊이 $V_0$ , 반지름 $a$ 의 유한 우물( $r$ 이 $a$ 보다 작으면 $V = -V_0$ , 크면 0). $l = 0$ 만 본다. 안쪽은 $u = A\sin kr$ , $k = \sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar$ , 바깥은 $u = Be^{-\kappa r}$ , $\kappa = \sqrt{-2mE}/\hbar$ 이고 $r = a$ 에서 $u$ 와 $u'$ 을 맞추면

k\cot ka = -\kappa, \qquad k^2 + \kappa^2 = \frac{2mV_0}{\hbar^2}

이것은 5.3.6 1차원 유한 우물의 홀수 상태 조건과 글자 하나 다르지 않다(5.3.6유한 우물) — $u(0) = 0$ 이 홀수 상태의 원점 조건이니까. 그리고 1차원 홀수 상태는 우물이 충분히 깊어야 하나 생긴다. $z_0 \equiv a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ 로 놓으면 첫 해가 있을 조건은 $z_0 > \pi/2$ , 곧

V_0\,a^2 > \frac{\pi^2\hbar^2}{8m}

3차원 우물은 얕거나 좁으면 속박 상태가 하나도 없다. 1차원에서는 아무리 얕은 우물도 상태 하나는 묶었다(5.3.6). 차이는 원점 조건 $u(0) = 0$ 이다 — 1차원 짝수 상태처럼 원점에서 평평하게 있을 수 없고, 반드시 원점에서 0으로 출발해 벽 안에서 충분히 굽어야 바깥의 감쇠 해에 이어진다. 그 굽음에 드는 운동 에너지를 우물이 못 대면 묶이지 않는다. 바깥 해를 일반 $l$ 로 쓰면 수정 구면 베셀 함수 $k_l(\kappa r)$ ( $k_0 = e^{-x}/x$ )이고, $j_l$ 과 $k_l$ 의 로그 도함수를 $r = a$ 에서 맞추는 초월 방정식이 준위를 정한다(1.5.8의 코어–셸 양자점 계산).

직관

물리적 직관 — 짧은 거리 퍼텐셜은 3차원에서 약하다. 이 문턱은 반도체에서 두 얼굴로 나타난다. ① 등전자 불순물(GaP의 N, ZnTe의 O)은 격자 원자와 같은 원자가여서 긴 거리 쿨롱 꼬리가 없고 짧은 거리 퍼텐셜만 갖는다. 그 퍼텐셜이 이 문턱을 넘느냐가 속박 상태(깊은 준위)가 생기느냐를 정하고, 넘지 못하면 아무 준위도 만들지 않는다 — 수소형 도너와 달리 “약한 불순물은 준위를 만들지 않는다”가 가능한 이유다. ② 중양성자: 핵력은 짧은 거리라 이 문턱을 겨우 넘어 속박 상태가 딱 하나, 결합 에너지 2.2 MeV(우물 깊이 약 35 MeV에 비해 얕다). 우물이 조금만 얕았으면 중수소도, 그 뒤의 핵합성도 없었다. 같은 식이다.

구형 양자점 — 구속이 쿨롱을 이길 때

1.5.8은 무한 구 우물의 준위 $E_{nl} = \hbar^2\beta_{nl}^2/2m^*a^2$ 이 $1/a^2$ 으로 오른다는 것으로 양자 구속을 설명했다(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)). 반도체 나노결정(CdSe, InP, PbS)의 발광은 전자와 정공이 함께 갇혀 있고 둘 사이에 쿨롱 인력이 있는 문제다. 반지름 $a$ 가 엑시톤 보어 반지름 $a^*$ 보다 훨씬 작은 강한 구속 영역에서는 구속 에너지( $\propto 1/a^2$ )가 쿨롱 에너지 ( $\propto 1/a$ )를 이기므로, 먼저 전자·정공을 각각 구 우물의 $1s$ 에 넣고 쿨롱을 1차 섭동으로 더한다(5.8.1). 결과가 브루스 공식(Brus, 1984):

E^*(a) \approx E_g + \frac{\hbar^2\pi^2}{2a^2}\Bigl(\frac{1}{m_e^*} + \frac{1}{m_h^*}\Bigr) - 1.786\,\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_r\varepsilon_0\,a}

첫 항은 벌크 밴드갭, 둘째 항은 전자·정공 각각의 $1s$ 구속 준위( $\beta_{10} = \pi$ ), 셋째 항은 $1s$ 파동함수 둘 사이의 쿨롱 인력 기댓값이다. CdSe( $E_g = 1.74\ \mathrm{eV}$ , $m_e^* = 0.13$ , $m_h^* = 0.45$ , $\varepsilon_r \approx 10$ )에서 $a = 2\ \mathrm{nm}$ 면 구속 항 약 $+0.9\ \mathrm{eV}$ , 쿨롱 항 약 $-0.14\ \mathrm{eV}$ 로 발광이 약 2.5 eV(녹색) — 반지름을 3 nm 로 키우면 2.1 eV 근처(주황)로 내려온다. 크기 하나로 색을 고르는 양자점 디스플레이(16.6.6)와 바이오 표지의 원리다.

의문

의문 — 브루스 공식은 어디까지 맞는가. 세 가지 한계가 있고, 셋 다 이 장의 언어로 말할 수 있다. ① 무한 우물을 가정했다 — 실제 장벽(리간드·셸)은 유한해서 파동함수가 새어 나가고 구속 항이 $1/a^2$ 보다 약하게 자란다. 유한 우물 계산(위의 로그 도함수 매칭)이 이것을 고친다. ② 유효질량 근사 — 반지름이 격자 상수 몇 배로 줄면 포물선 밴드 가정이 깨지고, 실제로는 밴드의 비포물선성이 구속 항을 $1/a^2$ 보다 느리게 만든다. 작은 점에서 실측이 공식보다 낮은 이유다. ③ 유전체 구속 — 점과 바깥 매질의 $\varepsilon_r$ 이 달라 표면 분극(영상 전하)이 생긴다. 쿨롱 항의 1.786 은 이 효과를 뺀 값이고, 매질의 $\varepsilon_r$ 이 작으면 더해야 할 자체 에너지 항이 생긴다. 그래도 “밴드갭 위에 $1/a^2$ 이 얹히고 $1/a$ 가 빠진다”는 뼈대는 그대로다.

전자기장과의 상호작용과 게이지

최소 결합 — 운동량이 p − qA로 바뀐다

전하 $q$ 인 입자가 전자기장 속에 있다. 장은 스칼라 퍼텐셜 $\phi$ 와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A$ 로 쓴다(2.9.1스칼라·벡터 퍼텐셜): $\mathbf E = -\nabla\phi - \partial_t\mathbf A$ , $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ . 고전 해밀토니안은(3.1.8라그랑지안과 해밀토니안)

H = \frac{1}{2m}\bigl(\mathbf p - q\mathbf A\bigr)^2 + q\phi

이고, 양자역학은 이것을 그대로 받아 $\mathbf p \to -i\hbar\nabla$ 로 놓는다. 이것이 최소 결합이다 — 전자기장을 붙이는 방법은 $\mathbf p$ 를 $\mathbf p - q\mathbf A$ 로 바꾸는 것뿐이고, 다른 항은 더하지 않는다(스핀의 자기 모멘트는 5.6에서 따로 붙는다). 여기서 $\mathbf p$ 는 정준 운동량이고, 속도에 대응하는 운동학적 운동량은 $m\mathbf v = \mathbf p - q\mathbf A$ 다. 에렌페스트 정리로 확인하면(Griffiths §4.5.1)

\frac{d\langle\mathbf r\rangle}{dt} = \frac{1}{m}\bigl\langle\mathbf p - q\mathbf A\bigr\rangle, \qquad m\frac{d\langle\mathbf v\rangle}{dt} = q\langle\mathbf E\rangle + \frac{q}{2}\bigl\langle\mathbf v\times\mathbf B - \mathbf B\times\mathbf v\bigr\rangle

— 기댓값이 로렌츠 힘을 따른다. $\mathbf v\times\mathbf B$ 를 대칭화한 것은 $\mathbf v$ 와 $\mathbf B(\mathbf r)$ 가 교환하지 않아서다. 제곱을 펼칠 때도 같은 주의가 필요하다:

(\mathbf p - q\mathbf A)^2 = p^2 - q(\mathbf p\cdot\mathbf A + \mathbf A\cdot\mathbf p) + q^2A^2 = p^2 - 2q\mathbf A\cdot\mathbf p + i\hbar q\,(\nabla\cdot\mathbf A) + q^2A^2

쿨롱 게이지 $\nabla\cdot\mathbf A = 0$ 을 고르면 셋째 항이 사라진다. 이 절은 내내 그 게이지다.

주의

$\mathbf p$ 가 둘. 자기장이 있으면 “운동량”이 두 가지다. 정준 운동량 $\mathbf p = -i\hbar\nabla$ 는 병진의 생성자이고 교환 관계 $[x, p_x] = i\hbar$ 를 만족하지만 게이지에 따라 값이 바뀌고 물리적으로 관측되지 않는다. 운동학적 운동량 $\boldsymbol\pi = \mathbf p - q\mathbf A = m\mathbf v$ 는 관측되지만 성분끼리 교환하지 않는다: $[\pi_x, \pi_y] = i\hbar qB_z$ . 이 교환 관계가 아래 란다우 준위의 뿌리다 — $\pi_x$ 와 $\pi_y$ 가 $x$ 와 $p$ 처럼 짝을 이루므로 $\pi^2/2m$ 은 조화진동자다. 고체물리의 결정 운동량 $\hbar\mathbf k$ 는 셋째 물건이다(7.7).

$\phi$ 와 $\varphi$ . 이 절에서 $\phi$ 는 스칼라 퍼텐셜이고, 방위각은 여전히 $\varphi$ 다. $q\phi$ 꼴로만 나오니 자리로 갈린다. 2부(Griffiths EM)는 스칼라 퍼텐셜을 $V$ 로 쓰는데, 이 장에서 $V$ 는 퍼텐셜 에너지라 그 글자를 피했다.

게이지 불변성 — 위상이 국소적으로 자유롭다

퍼텐셜은 유일하지 않다. 임의의 함수 $\Lambda(\mathbf r, t)$ 로

\mathbf A' = \mathbf A + \nabla\Lambda,\qquad \phi' = \phi - \frac{\partial\Lambda}{\partial t}

로 바꿔도 $\mathbf E$ , $\mathbf B$ 는 그대로다(2.9.2게이지 변환(쿨롱·로렌츠 게이지)). 슈뢰딩거 방정식은 $\mathbf A$ , $\phi$ 로 쓰였으니 이 변환에 대해 어떻게 되는가. 답: 파동함수도 같이

\psi' = e^{iq\Lambda/\hbar}\,\psi

로 바꾸면 방정식의 꼴이 그대로 유지된다(Griffiths 문제 4.60). $\nabla$ 가 지수를 미분해 낳는 $iq\nabla\Lambda/\hbar$ 가 $-q\mathbf A'$ 의 여분 $-q\nabla\Lambda$ 를 정확히 상쇄한다. 위상 인자의 절댓값이 1이므로 $|\psi'|^2 = |\psi|^2$ — 확률은 게이지에 무관하다. 확률 흐름은 $\mathbf p$ 대신 $\mathbf p - q\mathbf A$ 로 정의해야 게이지 불변이 된다(5.2.3규격화와 확률 흐름):

\mathbf J = \frac{1}{m}\operatorname{Re}\bigl[\psi^*(\mathbf p - q\mathbf A)\psi\bigr] = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\bigl(\psi^*\nabla\psi\bigr) - \frac{q}{m}\mathbf A\,|\psi|^2

둘째 항이 없으면 $\mathbf J$ 가 게이지를 탄다. 이 항이 초전도체의 마이스너 효과(7.14.2 — 런던 방정식의 $\mathbf J \propto -\mathbf A$ )와 아래 아하로노프–봄 효과의 자리다.

직관

물리적 직관 — 게이지 대칭은 “위상을 점마다 다르게 돌려도 된다”는 말이다. 파동함수의 전체 위상 $e^{i\alpha}$ 가 관측되지 않는다는 것은 5.2에서 알았다. 최소 결합은 그 자유를 점마다 다른 위상 $e^{iq\Lambda(\mathbf r,t)/\hbar}$ 로 넓힌 것이고, 그 대가로 미분이 위상의 기울기를 낳는 것을 $\mathbf A$ 가 흡수한다. 논리를 뒤집으면 — 국소 위상 자유를 요구하면 $\mathbf A$ 가 있어야 하고 그 결합이 최소 결합이어야 한다. 전자기 상호작용의 꼴이 대칭 요구에서 따라 나온다는 이 관점이 게이지 이론의 출발점이고, 5.7이 대칭과 보존 법칙을 다룰 때 다시 만난다.

파라미터 연계. 게이지 불변인 양만 관측된다. $\mathbf A$ 자체가 아니라 $\nabla\times\mathbf A = \mathbf B$ , 그리고 닫힌 고리의 $\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l = \Phi$ (선속). 정준 운동량 $\langle\mathbf p\rangle$ 가 아니라 $\langle\mathbf p - q\mathbf A\rangle$ . 아래에서 보듯 선속은 국소량 $\mathbf B$ 로 환원되지 않는 관측량이고, 그것이 “퍼텐셜은 계산 도구일 뿐”이라는 고전적 견해가 양자역학에서 깨지는 지점이다.

균일 자기장 — 궤도 자기 모멘트와 반자성

균일한 $\mathbf B$ 를 대칭 게이지 $\mathbf A = \tfrac12\mathbf B\times\mathbf r$ 로 쓰면 ( $\nabla\times\mathbf A = \mathbf B$ , $\nabla\cdot\mathbf A = 0$ 을 확인할 수 있다)

\mathbf A\cdot\mathbf p = \tfrac12(\mathbf B\times\mathbf r)\cdot\mathbf p = \tfrac12\,\mathbf B\cdot(\mathbf r\times\mathbf p) = \tfrac12\,\mathbf B\cdot\mathbf L

이라 해밀토니안이 세 덩이로 갈라진다. 이 문단부터는 질량과 양자수가 한 식에 서므로 질량을 $m_e$ 로 쓴다:

H = \frac{p^2}{2m_e} + V(r) \;-\;\frac{q}{2m_e}\,\mathbf B\cdot\mathbf L \;+\;\frac{q^2}{8m_e}\,(\mathbf B\times\mathbf r)^2

둘째 항은 $-\boldsymbol\mu\cdot\mathbf B$ 꼴이다 — 궤도 각운동량이 만드는 자기 모멘트

\boldsymbol\mu = \frac{q}{2m_e}\mathbf L \quad\xrightarrow{\;q = -e\;}\quad \boldsymbol\mu = -\frac{e}{2m_e}\mathbf L = -\frac{\mu_B}{\hbar}\mathbf L, \qquad \mu_B \equiv \frac{e\hbar}{2m_e} = 5.788\times10^{-5}\ \mathrm{eV/T}

$\mu_B$ 가 보어 마그네톤이다. 고전 전류 고리의 자기 모멘트 $\mu = IA$ 를 원 궤도의 전자에 적용해도 같은 비 $q/2m_e$ 가 나온다(2.5.2자기장이 원자 궤도에 미치는 영향) — 자기회전 비율. $\mathbf B = B\hat z$ 면 이 항은 $\frac{\mu_B B}{\hbar}L_z$ 이고, $Y_l^m$ 이 $L_z$ 의 고유상태라 준위가

E_{nlm} = E_{nl} + \mu_B B\,m

로 $m$ 에 따라 등간격으로 갈라진다 — $2l+1$ 겹 축퇴가 풀린다. 이것이 (정상) 제이만 효과의 궤도 부분이고, 1절부터 미뤄 온 “자기장이 $m$ 의 축퇴를 푼다”의 식이다. 스핀 자기 모멘트가 더해져 비정상 제이만 효과가 되는 것은 5.8.4. 1 T 에서 $\mu_B B = 0.058\ \mathrm{meV}$ — 광학 준위 간격(eV)의 $10^{-4}$ 이라 분광기에서 선이 갈라지는 정도로 보인다.

셋째 항은 $B^2$ 에 비례하고 언제나 양수다. $\mathbf B = B\hat z$ 면 $(\mathbf B\times\mathbf r)^2 = B^2(x^2+y^2)$ 이고 구 대칭 상태에서 $\langle x^2+y^2\rangle = \tfrac23\langle r^2\rangle$ 이므로

\Delta E_{\text{dia}} = \frac{e^2B^2}{12m_e}\langle r^2\rangle

자기장이 에너지를 올리는 방향이므로 자기장을 밀어내는 반자성이다 — 랑주뱅 반자성 감수율 $\chi = -\mu_0 N e^2\langle r^2\rangle/6m_e$ 가 이 항의 두 번 미분이다(7.13.1). 수소 $1s$ ( $\langle r^2\rangle = 3a^2$ )에서 1 T 면 $10^{-10}\ \mathrm{eV}$ 자릿수 — 제이만 항의 $10^{-6}$ 배라 원자에서는 무시된다.

직관

파라미터 연계 — 반자성 항이 커지는 곳. $\Delta E_{\text{dia}} \propto B^2\langle r^2\rangle$ 이라 궤도가 크면 급히 자란다. 반도체의 엑시톤은 반지름이 $a^* \approx 10\ \mathrm{nm}$ — 수소의 200배, $\langle r^2\rangle$ 은 $4\times10^4$ 배 — 이고 질량이 $\mu^*$ 로 작아 다시 $1/\mu^*$ 배가 붙는다. GaAs 엑시톤의 반자성 이동은 1 T 에서 0.1 meV 자릿수로 자기 광발광에서 잘 보이고, 그 이동의 $B^2$ 계수 $e^2\langle r^2\rangle/12\mu^*$ 에서 엑시톤 반지름을 직접 잰다. 강한 자기장에서는 반자성 항이 쿨롱을 이겨 엑시톤이 란다우 준위 문제로 넘어간다 — 그 경계가 $\hbar\omega_c \sim E_x^*$ , GaAs에서 약 2 T 다. 원자에서 같은 일이 일어나려면 $10^5\ \mathrm{T}$ — 백색왜성 표면이다.

란다우 준위 — 자기장 속 자유 전자

퍼텐셜 없이 균일한 $\mathbf B = B\hat z$ 만 있는 전하 $q$ . 이번에는 란다우 게이지 $\mathbf A = Bx\,\hat y$ 가 편하다( $\nabla\times\mathbf A = B\hat z$ 확인):

H = \frac{1}{2m}\bigl[p_x^2 + (p_y - qBx)^2 + p_z^2\bigr]

$y$ , $z$ 가 해밀토니안에 나오지 않으므로 $p_y$ , $p_z$ 가 보존되고 $\psi = e^{i(k_yy + k_zz)}\chi(x)$ 로 놓을 수 있다. 그러면 $p_y \to \hbar k_y$ 이고

\Bigl[\frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_c^2\,(x - x_0)^2\Bigr]\chi = \Bigl(E - \frac{\hbar^2k_z^2}{2m}\Bigr)\chi, \qquad \omega_c \equiv \frac{|q|B}{m},\quad x_0 \equiv \frac{\hbar k_y}{qB}

— 1차원 조화진동자다(5.3.2조화진동자 — 대수적 방법). 중심이 $x_0$ 로 밀려 있고 진동수가 고전 사이클로트론 진동수 $\omega_c$ 다. 5.3.2의 답을 그대로 쓰면

E_{n,k_z} = \Bigl(n + \frac12\Bigr)\hbar\omega_c + \frac{\hbar^2k_z^2}{2m}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots

$xy$ 평면의 운동이 완전히 양자화됐다 — 란다우 준위다. $z$ 방향만 자유롭다. 2차원 전자 기체 (2DEG — MOSFET 채널·HEMT 채널·그래핀)에서는 $k_z$ 항이 없어 준위가 완전히 이산적이다.

축퇴. 에너지에 $k_y$ 가 없다. $k_y$ 는 궤도 중심 $x_0$ 만 정하고, $x_0$ 가 시료 안( $0\le x_0\le L_x$ )에 있어야 하므로 $k_y$ 는 $0$ 부터 $qBL_x/\hbar$ 까지, $2\pi/L_y$ 간격으로 — 한 준위에 들어가는 상태 수는

N = \frac{qBL_x}{\hbar}\cdot\frac{L_y}{2\pi} = \frac{qB\,L_xL_y}{h} = \frac{\Phi}{\Phi_0}, \qquad \Phi_0 \equiv \frac{h}{e} = 4.136\times10^{-15}\ \mathrm{Wb}

시료를 지나는 선속을 선속 양자 $h/e$ 로 나눈 수다(전자, 스핀 제외). 면적당 $eB/h = 2.42\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-2}\,T^{-1}}$ . 상태 하나가 차지하는 넓이가 $h/eB = 2\pi\ell_B^2$ , $\ell_B \equiv \sqrt{\hbar/eB} = 25.7\ \mathrm{nm}/\sqrt{B[\mathrm T]}$ 가 자기 길이다. $B = 0$ 의 2차원 상태밀도 $m/\pi\hbar^2$ (스핀 포함)에 $\hbar\omega_c$ 를 곱하면 $2eB/h$ — 준위 사이의 상태가 전부 준위 위로 쓸어 모인 것이다. 상태의 총수는 자기장이 바꾸지 않는다.

그림 5.5-8. GaAs 2차원 전자 기체(m* = 0.067 m_e, n_s = 3×10¹¹ cm⁻²)의 란다우 준위 E_n = (n + ½)ħω_c, ħω_c = 1.73 meV/T. 여섯 준위가 원점에서 직선으로 펼쳐지는 부채 그림이고, 굵은 톱니선이 절대영도의 페르미 준위다 — 준위마다 면적당 eB/h(스핀 포함 2eB/h)개가 들어가므로 B가 오를수록 아래 준위들이 더 많이 담고, 맨 위 준위가 비워지는 순간 E_F가 그 아래 준위로 뛰어내린다. 점선은 B = 0의 페르미 에너지 πħ²n_s/m* = 10.7 meV — 톱니가 그 둘레에서 진동한다. 세로 점선은 채움 인자 ν = n_s h/(eB)가 2, 4, 6, 8이 되는 자기장 6.2, 3.1, 2.1, 1.55 T이고, 1/B에서 등간격이다. 이 톱니가 자기저항의 슈브니코프–드하스 진동이고, 뛰어내리는 자리마다 홀 저항이 h/(νe²)의 평탄부를 만든다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 부채와 톱니. 가로축 $B$ , 세로축 $E$ 에서 란다우 준위는 원점에서 나가는 직선들이고 기울기가 $(n+\tfrac12)\hbar e/m^*$ 다 — 유효질량이 작을수록 부채가 넓게 펼쳐진다. GaAs( $m^* = 0.067$ )의 $\hbar\omega_c$ 는 1.73 meV/T, 실리콘 전도대의 가로 질량(0.19)은 0.61 meV/T, 자유전자는 0.116 meV/T. 전자 농도 $n_s$ 를 고정하면 페르미 준위가 톱니를 그린다: 채움 인자 $\nu = n_s h/eB$ 가 짝수 정수(스핀 축퇴)일 때 준위 하나가 정확히 비고, 그 자기장은 $1/B$ 에서 등간격 $\Delta(1/B) = e/(\pi\hbar n_s)$ 다. 그래서 자기저항의 진동(슈브니코프–드하스)을 $1/B$ 에 대해 그려 주기를 읽으면 캐리어 농도 $n_s$ 가 나온다 — 홀 측정과 독립적인 두 번째 측정법이고, 부밴드가 여럿이면 주기가 여럿 겹친다. 진동이 보이는 조건은 $\hbar\omega_c \gg k_BT$ (준위가 열적으로 뭉개지지 않음)와 $\omega_c\tau \gg 1$ (산란 사이에 한 바퀴는 돌아야 준위가 정의됨). GaAs 2DEG의 $\tau \sim 10\ \mathrm{ps}$ 면 $\omega_c\tau = 1$ 이 0.04 T 에서 이미 넘어가고, $\hbar\omega_c = k_BT$ 는 4 K 에서 0.2 T 다 — 그래서 저온·고이동도에서 본다.

사이클로트론 공명. $\hbar\omega_c$ 만큼의 광자(마이크로파·원적외선)가 인접 준위 사이 전이를 일으키고, 흡수 봉우리의 $B$ 에서 $m^* = eB/\omega$ 를 직접 읽는다. 실리콘·게르마늄의 유효질량 텐서(7.9.4)가 1950년대에 이 방법으로 처음 측정됐다 — 자기장 방향을 돌리며 봉우리가 갈라지는 것으로 타원체 골의 세 질량을 얻는다.

양자 홀. 페르미 준위가 준위 사이의 틈에 있을 때( $\nu$ 정수) 종방향 저항은 0으로 떨어지고 홀 저항이 $R_H = h/\nu e^2$ 의 평탄부를 만든다. $h/e^2 = 25\,812.8\ \Omega$ 은 시료의 재료·모양· 불순물과 무관해 저항 표준이 됐다(10.4.7). 이 그림의 톱니가 뛰어내리는 자리마다 평탄부가 하나씩이다.

포크–다윈 — 조화 구속과 자기장이 함께. 4절의 2차원 등방 조화진동자(양자점)에 $\mathbf B$ 를 걸면 대칭 게이지의 세 덩이가 전부 살아 있다. 반자성 항이 $\tfrac12 m^*\omega_0^2 r^2$ 에 더해져 진동수를 $\Omega = \sqrt{\omega_0^2 + \omega_c^2/4}$ 로 키우고, 제이만 항이 $m$ 에 비례하는 이동을 준다(전자, $q = -e$ ):

E_{n_r m} = \bigl(2n_r + |m| + 1\bigr)\hbar\Omega + \frac{m}{2}\hbar\omega_c

$B \to 0$ 에서 4절의 $\hbar\omega_0(N+1)$ 로, $\omega_0 \to 0$ 에서 $\Omega = \omega_c/2$ 라 $m \le 0$ 의 상태가 전부 $(n_r + \tfrac12)\hbar\omega_c$ 로 모여 란다우 준위와 그 축퇴를 되찾는다. 양자점 첨가 스펙트럼을 $B$ 에 대해 그리면 준위가 갈라지고 교차하며 이 식을 따라간다 — “인공 원자”의 제이만 효과다(10.3.3).

아하로노프–봄 효과 — 장이 없는 곳에서 퍼텐셜이 하는 일

긴 솔레노이드 안에만 $\mathbf B$ 가 있고 밖은 $\mathbf B = 0$ 이다. 그러나 밖에도 $\mathbf A \ne 0$ 이다 — $\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l = \Phi$ 가 솔레노이드를 감는 어느 고리에서나 선속과 같아야 하므로, $\mathbf A = \dfrac{\Phi}{2\pi r}\hat\varphi$ 다. 고전 입자는 밖에서 아무 힘도 받지 않는다. 양자 입자는 다르다. $\mathbf B = 0$ 인 영역에서 $\mathbf A = \nabla\Lambda$ 로 쓸 수 있고(국소적으로), 그러면 게이지 변환 논리 그대로

\psi(\mathbf r) = e^{ig(\mathbf r)}\,\psi_0(\mathbf r), \qquad g(\mathbf r) \equiv \frac{q}{\hbar}\int_{\mathcal O}^{\mathbf r}\mathbf A\cdot d\mathbf l

— $\psi_0$ 은 $\mathbf A$ 가 없을 때의 해다(Griffiths §4.5.2). 파동함수의 크기는 그대로고 위상만 경로 적분만큼 붙는다. 전자 빔을 둘로 갈라 솔레노이드의 양쪽으로 보내 다시 합치면, 두 경로의 위상 차가

\Delta g = \frac{q}{\hbar}\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l = \frac{q\Phi}{\hbar} = 2\pi\,\frac{\Phi}{\Phi_0}

— 전자가 한 번도 지나지 않은 영역의 선속이 간섭 무늬를 밀어낸다. 선속이 $\Phi_0 = h/e$ 만큼 바뀔 때마다 무늬가 한 주기 움직인다. 1959년 예측, 1986년(Tonomura) 초전도체로 선속을 완전히 가둔 실험으로 확정.

고리 위의 구슬(Griffiths §4.5.2). 반지름 $b$ 의 고리에 갇힌 전하가 고리 중심을 지나는 선속 $\Phi$ 를 감는다. $\mathbf A = \Phi/(2\pi b)\,\hat\varphi$ 를 넣은 슈뢰딩거 방정식을 $\psi = e^{in\varphi}$ 로 풀면

E_n = \frac{\hbar^2}{2mb^2}\Bigl(n - \frac{\Phi}{\Phi_0}\Bigr)^2, \qquad n = 0, \pm1, \pm2, \ldots

$\Phi = 0$ 이면 $\pm n$ 이 축퇴하고(시계·반시계 방향), 선속이 그 축퇴를 푼다. 스펙트럼이 $\Phi$ 에 대해 주기 $\Phi_0$ 로 반복된다 — 선속이 $h/e$ 의 정수배면 아무 일도 없었던 것과 같다. 에너지의 $\Phi$ 미분이 고리를 도는 지속 전류이고, 메조스코픽 금속·반도체 고리에서 실측된다.

의문

의문 — 퍼텐셜이 물리적인가, 선속이 물리적인가. 아하로노프–봄 효과를 ” $\mathbf A$ 가 실재한다”로 읽으면 게이지 불변성과 부딪힌다 — $\mathbf A$ 는 $\nabla\Lambda$ 만큼 자유롭다. 정확한 말은: 국소적으로는 $\mathbf E$ , $\mathbf B$ 만 물리적이지만, 닫힌 고리의 $\oint\mathbf A\cdot d\mathbf l$ (위상 인자 $e^{iq\Phi/\hbar}$ )은 게이지 불변인 관측량이고, 이것은 고리 위의 $\mathbf B$ 로 환원되지 않는다. 고전 전자기학은 국소 장으로 전부 말할 수 있었지만 양자역학은 위상을 갖고, 위상은 고리를 따라 쌓인다. 반도체에서 이 효과는 지름 100 nm 급 고리의 자기저항이 $h/e$ 주기로 진동하는 것으로 보인다(Webb, 1985 — 금 고리; 이후 GaAs 2DEG 고리, 탄소 나노튜브). 시간 반전으로 짝지어진 경로 쌍의 간섭은 $h/2e$ 주기를 주며(알트슐러–아로노프–스피박), 약한 국소화의 자기장 의존성이 그것이다 (10.4). 결정 속 전자에서는 최소 결합이 $E(\mathbf k) \to E(-i\nabla - q\mathbf A/\hbar)$ 의 파이얼스 치환이 되어, 밴드 전자의 란다우 준위와 온사거의 궤도 양자화(7.6.7의 드하스–반알펜)를 낳는다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 회전 대칭이 각운동량을 보존시키고, 각 부분을 $Y_l^m$ 으로 고정한 뒤, 남는 지름 문제를 원심 장벽이 더해진 1차원 문제로 돌려보낸다. 자기장은 $\mathbf p \to \mathbf p - q\mathbf A$ 한 줄로 들어와 $m$ 의 축퇴를 풀고 평면 운동을 조화진동자로 바꾼다. 목적지를 적어 둔다.

불순물 준위 (7.9.7·11.1.2·6.7.4) — 수소형 도너·억셉터의 $E^*$ , $a^*$ (5절), $1s$ 만 받는 중심 셀 보정(4절), 비등방 질량이 푸는 $2p$ 축퇴(5절), 얕은 준위와 깊은 준위의 구분(6절의 문턱).
엑시톤과 양자점 (7.11.6·10.3·16.6) — 환산 질량의 수소 원자(5절), 브루스 공식과 강한 구속 (6절), 반자성 이동으로 재는 반지름(7절), 포크–다윈 스펙트럼(7절).
밴드의 성격과 광학 전이 (7.7.7·7.8.4·5.7.7·17부) — $s$ 형 전도대와 $p$ 형 가전자대, 스핀–궤도로 갈라지는 $l = 1$ (2·3절), 패리티 $(-1)^l$ 과 $\Delta l = \pm1$ (3절), 운동량 행렬 요소의 각도 부분.
결정의 결합 (4.2.4·7.1.5·7.3.4) — $sp^3$ 혼성과 109.47°(3절), 결정장이 푸는 $d$ 준위의 축퇴.
자기 수송 (7.6.7·10.4.7·12.7.6) — 란다우 준위와 축퇴 $eB/h$ , 슈브니코프–드하스로 재는 $n_s$ , 사이클로트론 공명으로 재는 $m^*$ , 양자 홀 저항 표준, 아하로노프–봄 진동과 약한 국소화(7절).
상태밀도 (7.6.3·11.1.3) — 3차원 상자의 $E^{3/2}$ (1절), 자기장이 상태를 준위 위로 쓸어 모으는 셈(7절).
다음 장들. 반정수 $l$ 의 자리를 채우는 스핀과 각운동량 합성(5.6), 회전 대칭·패리티·축퇴의 일반론과 선택 규칙(5.7), 수소의 미세 구조·제이만 효과·변분법(5.8), 부분파 전개와 산란(5.9).