적분변환

1.3이 유한 차원에서 한 일은 한 문장이었다 — 기저를 잘 고르면 행렬이 대각이 된다. 이 장은 같은 일을 함수와 미분에 대해 한다. 미분 연산자의 고유함수를 찾는 것부터 시작하면 된다.

$$\frac{d}{dt}\,e^{st} = s\,e^{st}$$

지수함수는 미분해도 자기 자신이고, 튀어나오는 상수 $s$가 고유값이다. 그러니 함수를 지수함수들의 합으로 쪼개 놓으면 미분이 곱셈으로 내려앉는다. 미분방정식이 대수방정식이 되고, 1.4에서 요령으로 풀던 것들이 절차로 바뀐다. 적분변환은 이 갈아타기를 실행하는 장치다.

$$(\mathcal{T}f)(k) = \int_a^b K(k,t)\,f(t)\,dt$$

$K$를 핵(kernel)이라 하고, 핵과 적분 구간이 무엇이냐로 변환의 이름이 갈린다.

변환	핵 $K(k,t)$	구간	어디서
푸리에	$e^{-i\omega t}$	$(-\infty, \infty)$	3~6절
푸리에 코사인·사인	$\cos\omega t$, $\sin\omega t$	$[0, \infty)$	3절
라플라스	$e^{-st}$	$[0, \infty)$	7~9절
한켈	$t\,J_n(kt)$	$[0, \infty)$	1.5·1.7 (원통 좌표) · 원형 동공(3.6)
멜린	$t^{k-1}$	$[0, \infty)$	점근 해석 ($\Gamma(k)$가 $e^{-t}$의 멜린 변환)

이 장은 앞의 셋만 다룬다. 같은 방정식이 문맥에 따라 세 얼굴로 나온다.

• 대수 — 미분·적분이 $s$나 $i\omega$의 곱셈·나눗셈이 된다. 미분방정식이 대수방정식이 되고, 초기조건까지 식 안으로 딸려 들어온다.
• 기하 — 함수를 정규직교 기저로 분해하는 일이다. 1.2의 정사영과 1.3의 고유기저 전개가 무한 차원으로 넘어간 것이고, 계수를 뽑는 공식은 전부 내적이다.
• 물리 — 시간 영역과 주파수 영역 사이를 오간다. 파형 하나를 “언제 무슨 값인가”로 볼 것인가 “어느 진동수 성분이 얼마나 들었는가”로 볼 것인가의 문제다. 두 그림은 같은 정보를 담는다.

뒤에서 어디로 흘러가는지만 미리 적어 둔다. 편미분방정식의 변수분리는 마지막에 반드시 푸리에 급수를 부르고(1.7), 이 장의 직교성이 왜 성립하는지는 스투름–리우빌 이론이 답한다(1.6). 역라플라스 변환의 정의 자체가 복소평면의 선적분이라 1.9의 유수 정리가 도구로 들어온다. 반도체 쪽으로는 프라운호퍼 회절이 개구 함수의 푸리에 변환이고(3.6 — 리소그래피의 결상이 여기서 나온다), 결정의 구조인자는 전자밀도의 푸리에 변환이며(7.2), 확산 방정식의 해는 가우시안 핵과의 합성곱이다(8.3·18.7). 회로 쪽에서는 전달함수의 극점이 곧 이 장 9절의 부분분수 항이고, 잡음을 스펙트럼 밀도로 다루는 언어가 전부 5절에서 나온다.

푸리에 급수와 반구간 전개

왜 하필 삼각함수인가

직관

“주기함수를 삼각함수로 전개한다”는 문장은 두 가지를 감추고 있다. 왜 되는가와 왜 하는가다.

왜 되는가 — 삼각함수들이 서로 직교하기 때문이다. 1.2에서 직교 기저에 대한 좌표를 뽑을 때 내적 한 번으로 끝났던 것과 똑같은 일이 벌어진다. 함수의 내적을 $\int fg\,dx$로 정의하고 나면, $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \dots\}$는 직교 기저의 자격을 갖춘다. 길이까지 1로 맞추려면 $1/\sqrt{2\pi}$, $\cos nx/\sqrt{\pi}$, $\sin nx/\sqrt{\pi}$로 나눠야 하는데(정규직교계 — Arfken §19.1), 길이가 제각각인 채로 쓰는 것이 관례라 계수 공식에 $1/\pi$ 같은 인수가 붙는다.

왜 하는가 — 선형 시불변 시스템의 고유함수가 지수함수 $e^{st}$이기 때문이다(장 첫머리의 식). 정현파는 그중 $s = \pm i\omega$인 둘의 실수 조합이다. 감쇠가 있는 회로에 정현파를 넣으면, 과도 성분이 잦아든 정상 상태에서는 진폭과 위상만 바뀐 같은 진동수의 정현파가 나온다(Kreyszig §11.3). 사각파를 넣으면 파형이 뭉개진다. 그러니 사각파를 정현파들로 쪼개 놓으면, 시스템이 각 성분에 무엇을 하는지 따로 계산하고 다시 더하기만 하면 된다. 입력을 고유함수로 쪼개는 것이고, 1.3에서 임의의 벡터를 고유벡터로 쪼갠 것과 같은 이익을 노린다.

주기 $2\pi$인 함수 $f(x)$에 대한 푸리에 급수는 다음 꼴이다.

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr)$$

$n=1$ 항이 기본파(제1 고조파), $n \ge 2$가 고조파다 — $n$번째 항을 제$n$ 고조파라 부르므로 기본파의 두 배 진동수가 제2 고조파다(Boas §7.2). 상수항을 굳이 $a_0/2$로 적는 이유는 곧 나온다. 이 급수가 존재하느냐는 나중 문제이고, 존재한다고 치면 계수 $a_n, b_n$은 직교성이 곧바로 뱉어낸다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 기호 충돌이 유난히 심하다. 같은 글자가 교재마다 다른 뜻이고, 공학 쪽 관례와 물리 쪽 관례가 정면으로 부딪치는 자리가 세 곳 있다. 시작하기 전에 한 번에 못박아 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$f(t),\ g(t)$		시간 영역 함수. 소문자
$F(\omega),\ G(\omega)$		주파수 영역 변환. 대문자
$t$		시간(또는 위치 $x$)	s
$\omega$	오메가	각주파수 $\omega = 2\pi\nu$	rad/s
$\nu$	뉴	주파수 — 초당 회수	Hz
$T$		주기. $T = 1/\nu$ (8·10절의 온도 식에서는 절대온도 — ⑥)	s
$2L$		푸리에 급수에서의 주기. $L$은 반주기. Kreyszig는 주기를 $p = 2L$로 적는다
$\omega_0$		1절: 기본 각주파수 $=\pi/L = 2\pi/T$. 2·8·9절: 진동자의 고유 진동수. 4절: 반송파	rad/s
$\alpha,\ \omega_d,\ \zeta$	알파, 오메가 디, 제타	감쇠율, 감쇠 진동수 $\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$, 감쇠비 $\alpha/\omega_0$ (8·9절)	1/s, rad/s, —
$a_n,\ b_n$		실수 푸리에 계수 (코사인·사인)
$c_n$		복소 푸리에 계수
$s$		라플라스 변수 $s = \sigma + i\omega$	rad/s
$\sigma$	시그마	$s$의 실수부 — 감쇠율	1/s
$\mathcal{F},\ \mathcal{L}$		푸리에·라플라스 변환 연산자
$\mathcal{L}^{-1}$		역라플라스 변환 (7·9절)
$\delta(t)$	델타	디랙 델타 1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념	1/s
$u(t)$		단위 계단 (헤비사이드). $t>0$에서 1
$u(t-b)$		$t = b$에서 켜지는 계단 ($b \ge 0$, 8절)
$x(t),\ y(t)$		계의 입력·출력 (8절부터). 변환은 $X(s),\ Y(s)$
$f * g$	합성곱	$\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$
$f^{*}$	켤레	복소 켤레
$x[n],\ X[k]$		이산 신호와 그 DFT (6절)
$N$		표본 개수 (6절)
$H(s),\ H(\omega)$		전달함수·주파수 응답 (4·8·10절)

주의

충돌 지점 다섯을 미리 짚는다.

① $f$가 함수인가 주파수인가. 수학 교재는 $f(t)$를 함수로 쓰고, 신호처리 교재는 $f$를 Hz 단위 주파수로 쓰면서 신호를 $x(t)$로 적는다. 이 백과는 함수를 $f$, **Hz 주파수를 $\nu$**로 고정한다. 다만 6절의 이산 신호만은 $x[n]$·$X[k]$라는 DSP 표준 표기를 그대로 쓴다 — 그 표기가 22부(아날로그·혼성신호와 디지털 신호 처리) 전체에서 다시 쓰이기 때문이고, 절 첫머리에서 다시 알린다.

② $L$이 반주기인가 인덕턴스인가 라플라스인가. 1절·2절의 $L$은 반주기(주기가 $2L$)이고, 라플라스 변환 연산자는 언제나 **필기체 $\mathcal{L}$**이다. 8~10절에서 회로가 나오면 인덕턴스가 같은 글자를 요구하는데, 그 절들에서는 반주기 $L$이 등장하지 않으므로 충돌하지 않는다.

③ $\omega$와 $\nu$를 섞지 않는다. $\omega = 2\pi\nu$라는 인수 $2\pi$가 푸리에 변환의 규약을 셋으로 갈라놓는 원흉이다 — 3절에서 표로 정리한다. 물리 교재는 $\omega$, 공학 교재는 $\nu$(또는 $f$)를 선호한다. 이 백과는 $\omega$를 기본으로 쓰고, 표본화·필터처럼 Hz가 자연스러운 자리에서만 $\nu$를 쓴다.

④ 별표가 두 뜻이다. $f * g$는 합성곱, $f^{*}$는 켤레복소다. 가운데 놓이면 연산, 위첨자면 켤레 — 5절의 상관 함수 $\int f^{*}(\tau)g(t+\tau)\,d\tau$처럼 둘이 한 식에 같이 나오는 자리가 있으니 위치로 구분해야 한다.

⑤ 허수단위는 $i$다. 회로·신호처리 교재는 전류 $i$와 겹친다는 이유로 $j$를 쓴다. 이 백과는 1.9와의 일관성 때문에 **$i$**로 쓰되, 21·22부의 회로 장에서 $j\omega$를 보면 같은 물건이라는 것만 기억하면 된다. 지수의 부호 규약($e^{-i\omega t}$ vs $e^{+j\omega t}$)도 함께 뒤집히는 경우가 있어, 남의 식을 가져올 때는 부호를 반드시 확인한다. 기준 교재 안에서도 갈린다 — Arfken은 푸리에 정변환의 지수를 $e^{+i\omega t}$로 쓴다(3절 규약 표).

⑥ $k$와 $T$가 여러 뜻이다. 합의 첨자로 쓰이는 $k$($A_k$, $p_k$ 같은 것)를 빼고도 $k$는 이 장에서 여러 물건이다 — 머리말 핵 $K(k,t)$의 변환 변수, 파수(1·3·4절의 결정·3차원 변환·공간 미분), 용수철 상수(2·4·9절의 진동자), DFT의 주파수 인덱스(6절), 볼츠만 상수(8절의 확산 계수 $D_0e^{-E_a/kT}$, 10절의 $4kTR$). 4절처럼 한 절 안에서 뜻이 바뀌는 곳이 있어, 바뀌는 자리마다 그 자리에서 다시 밝힌다. $T$는 1~9절에서 대개 주기지만, 8절의 확산 계수 식과 10절 잡음 식에서는 절대온도이고, 5절 시간 평균의 적분 구간 길이와 6절 FFT의 연산량 $T(N)$에도 같은 글자를 쓴다. 10절의 $q$는 기본 전하다.

⑧ 대소문자 짝이 여럿이다. 글자가 같아 눈으로 가려지지 않는 짝을 모아 둔다.

기호	이 장에서의 뜻	짝
$c_n$	복소 푸리에 계수 (1·2·6절)	$C_n$ — 2절 강제 진동에서 응답의 진폭
$c$	진동자의 감쇠 계수 (2·4절)	$C$ — 8·10절의 전기 용량
$C,\ C_s,\ \bar C$	8절 확산의 농도, 표면 농도, 그 변환	같은 절의 전기 용량 $C$와 다른 양이다
$q$	전하 — 4절 점전하, 8절 축전기 전하, 9절 캐리어 전하, 10절 기본 전하	$Q$ — 6절 수열 길이, 8절 선량, 9절 분모 다항식 $P/Q$, 4·10절 선택도
$\omega_c$	차단 각주파수 (3·10절)	9절에서만 사이클로트론 진동수

⑦ 교재마다 이름이 다르다. 이 장의 기준 교재 세 권이 같은 물건을 다른 글자로 적는다. 대응을 한 번에 적어 둔다.

무엇	Kreyszig	Arfken	Boas	이 장
급수의 상수항	$a_0$	$a_0/2$	$\tfrac12 a_0$	$a_0/2$
반주기	$L$ (주기 $p$)	$L$	$l$	$L$
푸리에 변환	$\hat f(w)$	$g(\omega)$	$g(\alpha)$	$F(\omega)$
라플라스 변환	$F(s) = \mathcal{L}(f)$	$f(s) = \mathcal{L}\{F(t)\}$	$F(p) = L(f)$	$F(s) = \mathcal{L}\{f\}$
전달함수	$Q(s)$	$\varphi(\omega)$	$T(p)$	$H(s)$
DFT 표본 · 스펙트럼	$f_k$ · $\hat f_n$	$f_k$ · $g_p$	—	$x[n]$ · $X[k]$

Arfken의 라플라스 변환은 대소문자가 거꾸로다 — 시간 함수가 대문자 $F(t)$, 변환이 소문자 $f(s)$다. 그리고 두 교재의 DFT는 이 장과 인덱스 역할이 정반대라 $k$가 표본 쪽이다. Kreyszig의 $a_0$는 이 장의 $a_0/2$와 같은 값(한 주기 평균)이다.

직교성이 계수를 뽑아낸다

1.2.5벡터공간과 내적공간에서 함수의 내적을 다음과 같이 정의했다.

$$\langle f, g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,g(x)\,dx$$

이 내적에 대해 삼각함수계는 직교한다. 정수 $m, n \ge 1$에 대해

$$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,\cos nx\,dx &= \pi\,\delta_{mn}, \\ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\,\sin nx\,dx &= \pi\,\delta_{mn}, \\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\,\sin nx\,dx &= 0 \end{aligned}$$

증명은 곱을 합으로 바꾸는 항등식 하나면 끝난다. $\cos mx\cos nx = \tfrac12[\cos(m-n)x + \cos(m+n)x]$로 쓰면, $m \neq n$일 때 두 항이 모두 0이 아닌 정수 $j$에 대한 $\cos jx$다. 길이 $2\pi$ 구간에 정확히 $|j|$주기가 들어가므로 적분이 0이다. $m = n$이면 첫 항이 $\cos 0 = 1$이 되어 $\tfrac12 \cdot 2\pi = \pi$가 남는다. 한 주기 동안 위아래가 상쇄되느냐가 전부이고, 상쇄되지 않는 유일한 경우가 자기 자신과의 곱이다. 상수 1도 모든 $\cos nx$, $\sin nx$ ($n \ge 1$)와 직교하고, 자기 자신과의 내적만 $\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = 2\pi$로 다른 것들의 두 배다. 적분 구간은 길이가 $2\pi$이기만 하면 어디든 된다 — 주기함수를 한 주기에 걸쳐 적분한 값은 시작점과 무관하다(Kreyszig §11.1 정리 1. Arfken은 $[0, 2\pi]$로 시작한다).

같은 사실을 평균으로 읽으면 계수 공식을 외울 필요가 없어진다(Boas §7.4). $\sin^2 nx$와 $\cos^2 nx$는 한 주기에서 넓이가 같고 합이 1이므로 평균이 각각 $\tfrac12$이다. 그러면 $\langle\cdot\rangle$을 한 주기 평균으로 두고

$$\bigl\langle \cos^2 nx \bigr\rangle = \bigl\langle \sin^2 nx \bigr\rangle = \tfrac12, \qquad \bigl\langle \cos mx\cos nx \bigr\rangle = 0 \quad (m \ne n)$$

이 되어, 급수에 $\cos nx$를 곱해 평균하면 $\langle f\cos nx\rangle = \tfrac12 a_n$, 곧 $a_n = 2\langle f\cos nx\rangle$가 바로 나온다. 정현파의 실효값이 진폭의 $1/\sqrt2$인 것, 뒤의 파세발 정리에 $\tfrac12$이 붙는 것이 전부 이 “제곱의 평균은 절반” 한 줄에서 나온다.

직관

직교성이 하는 일을 그림으로 보면 이렇다. 급수 양변에 $\cos mx$를 곱하고 한 주기 적분하면, 우변의 무한히 많은 항 중 하나만 살아남고 나머지는 전부 0이 된다. 체를 치는 것과 같다 — $\cos mx$라는 체를 대면 $m$번째 성분만 걸러진다.

1.2에서 직교 기저 $\{\mathbf{e}_k\}$에 대해 $c_k = \langle \mathbf{e}_k, \mathbf{v}\rangle / \langle \mathbf{e}_k, \mathbf{e}_k\rangle$로 좌표를 뽑던 것과 같은 식이다(정규직교면 분모가 1). 아래 계수 공식 앞의 $1/\pi$가 그 분모 $\langle\cos nx, \cos nx\rangle = \pi$다. 유한 차원에서 성분 개수가 $n$개였던 것이 여기서는 무한히 많아졌을 뿐이다. 다만 무한히 많아진 대가로 “이 기저가 정말 공간을 다 채우는가”라는 질문이 새로 생기는데, 그 답이 1.6의 완전성 정리다.

양변에 $\cos mx$를 곱해 항별로 적분하면 계수 공식이 나온다. Kreyszig는 이것을 오일러 공식이라 부르는데(§11.1 식 (6)), 이 장에서는 뒤에 나오는 $e^{i\theta}$ 항등식과 헷갈리지 않게 오일러 계수 공식이라 적는다. 무한급수를 항별로 적분해도 되느냐는 따로 따질 문제인데, 아래 수렴 소절의 조건이면 허용된다(Kreyszig는 이 가정을 명시하고 넘어간다).

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx \quad (n = 0, 1, 2, \dots), \qquad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx \quad (n \ge 1)$$

주의

상수항을 $a_0/2$로 적는 이유. 상수함수 1의 “길이 제곱”이 $\int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx = 2\pi$로 다른 항의 $\pi$의 두 배다. 상수항을 $a_0/2$로 적어 두면 이 두 배가 흡수되어 $a_n$ 공식 하나가 $n = 0$까지 그대로 통하고, 상수항 $a_0/2$가 곧 한 주기 평균이 된다. Arfken(식 (19.1))과 Boas(식 (5.1) — “½을 잊지 말 것”)가 이 관례이고 1.7도 같다.

Kreyszig만 상수항을 $a_0$로 적는다 — 그 대신 $a_0 = \frac{1}{2\pi}\int f\,dx$로 따로 정의한다. 그러니 Kreyszig의 $a_0$는 이 장의 $a_0/2$이고, Kreyszig의 식을 옮겨 올 때는 상수항에 들어가는 모든 식(파세발, 최소 제곱 오차)에서 이 대응을 확인해야 한다. 어느 쪽이든 상수항이 한 주기 평균이라는 사실은 같다 — 검산은 언제나 “상수항 = 평균”으로 하면 된다.

주기 $2L$로 옮기기

주기가 $2\pi$가 아니라 $2L$이면 축의 눈금만 바꾸면 된다. 새 변수 $v = \pi x/L$을 두면 $x$가 한 주기 $2L$을 도는 동안 $v$는 $2\pi$를 돌므로, $f$는 $v$의 함수로서 주기 $2\pi$이고 위 공식이 그대로 쓰인다. $dv = (\pi/L)\,dx$로 되돌리면 앞의 $1/\pi$가 $1/L$로 바뀐다(Kreyszig §11.2 식 (1)–(4)). 기본 공간 진동수 $\pi/L$을 $\omega_0$로 적으면

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\Bigr)$$ $$a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \ \ (n \ge 0), \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

이다. 적분 구간은 $[0, 2L]$이든 어디든 길이 $2L$이면 된다. 다만 Boas(§7.8)의 경고대로 “구간 $[0, 2\pi]$의 $x^2$“과 “구간 $[-\pi, \pi]$의 $x^2$“은 다른 주기함수다 — 몇 주기를 먼저 그려 보고 나서 계수를 구하는 것이 안전하다.

직관

파라미터 연계 — $L$이 커지면 무엇이 따라 움직이는가.

성분들의 진동수 $n\pi/L$은 간격이 $\pi/L$인 등간격 격자 위에 놓인다. $L$을 키우면 이 격자가 촘촘해지고, 같은 주파수 구간 안에 더 많은 성분이 들어온다. $L \to \infty$의 극한에서 격자 간격이 0으로 가면 합이 적분이 되는데, 그것이 3절의 푸리에 적분이다. 주기가 무한대인 함수 = 비주기 함수이므로, 급수와 적분의 관계는 “이산 스펙트럼 대 연속 스펙트럼”의 관계이기도 하다.

같은 이야기가 고체물리에서 그대로 반복된다. 길이 $\ell$인 결정에 주기 경계조건을 걸면 허용된 파수가 $k = 2\pi n/\ell$로 이산이고, $\ell\to\infty$에서 연속이 된다. $\sum_k \to \frac{\ell}{2\pi}\int dk$라는 치환(7.6의 상태밀도 계산)이 정확히 이 극한이다. 여기서 $\ell$은 결정 전체의 길이, 곧 주기 자체다 — 반주기 $L$과 헷갈리지 않게 글자를 바꿨다($\ell = 2L$을 넣으면 $k = n\pi/L$로 위의 격자와 같다). 7.6은 결정 길이를 $L$로 적으니, 그 장에서는 $2\pi/L$이 격자 간격이다.

수렴 — 어디까지 믿을 수 있는가

푸리에 급수는 불연속 함수에도 쓸 수 있다. 이것이 테일러 급수(1.5)와 결정적으로 다른 점이다. 테일러 급수는 한 점의 도함수들만 보고 함수 전체를 재구성하므로 그 점 근방에서 해석적이어야 하고, 수렴 반경이 가장 가까운 특이점에서 끊긴다(1.9.6). 푸리에 계수는 구간 전체에 걸친 적분으로 정해지므로 함수가 군데군데 튀어도 상관없다 — 국소 정보로 만드는 급수와 전역 정보로 만드는 급수의 차이다(Arfken §19.1).

어떤 함수까지 되는가에 대한 표준 답은 Kreyszig의 정리다(§11.1 정리 2).

주기 $2L$인 $f$가 한 주기 안에서 조각별 연속이고 각 점에서 좌도함수와 우도함수를 가지면, 푸리에 급수는 모든 점에서 수렴하고 그 합은

$$\frac{f(x_0 - 0) + f(x_0 + 0)}{2}$$

이다.

$f(x_0 - 0) = \lim_{h\to0^+} f(x_0 - h)$는 좌극한, $f(x_0 + 0)$은 우극한이다($f(x_0^{-})$, $f(x_0^{+})$로 적는 책도 많다). 연속점에서는 이 합이 $f(x_0)$ 자신이고, 도약점에서는 위아래의 중점이다. 예컨대 한 주기 안에서 $x<1$일 때 $x^2$, $x>1$일 때 $x/2$인 함수라면 $x=1$에서 좌극한 1, 우극한 $\tfrac12$이므로 급수는 $\tfrac34$로 간다(Kreyszig 그림 262).

Arfken·Boas는 같은 자리에 디리클레 조건을 둔다 — 한 주기 안에서 ⓐ 유한 도약이 유한 개, ⓑ 극값이 유한 개, ⓒ $\int|f|\,dx$가 유한할 것(Boas §7.6). 두 조건 모두 충분조건이지 필요조건이 아니다(Boas: 역은 거짓이다). 뒤에서 나오는 경계조건의 “디리클레 조건”(경계에서 값을 정함)과는 이름만 같으므로, 이 장에서는 그쪽을 디리클레 경계조건이라 적는다.

수렴에도 종류가 있고, 무엇을 가정하느냐에 따라 얻는 것이 다르다(Arfken §19.1–19.2).

수렴의 종류	충분조건	무엇이 0으로 가는가
평균(제곱적분) 수렴	$\int\lvert f\rvert^2dx < \infty$	$\int\lvert f - S_N\rvert^2dx$ — 완전성(1.6.5)
점별 수렴	위 정리 또는 디리클레 조건	각 점의 오차 (도약점은 중점으로)
고른 수렴	주기 확장이 연속이고 $f'$이 조각별 연속	최대 오차 — 깁스 현상이 없다

$S_N$은 $N$번째 고조파까지 더한 부분합이다. 고른 수렴 줄의 조건이 “주기 확장이 연속”인 데 주의한다 — $[-\pi, \pi]$ 안에서 매끄러운 $f(x) = x$도 주기로 이으면 $\pm\pi$에서 튀므로 고르게 수렴하지 않는다.

주의

급수는 점프의 중점을 고른다. 함수값을 도약점에서 어떻게 정의해 두었든 급수는 중점으로 간다 — 계수가 적분으로 정해지고, 적분은 점 하나의 값을 보지 않기 때문이다. 사각파의 급수(2절 예제 ①, $\frac4\pi\sum_{n\,\text{홀}}\frac{\sin nx}{n}$)가 $x=0$에서 0을 주는 것은 오류가 아니라 정리대로다.

그림 1.10-1. 주기 2π 사각파의 부분합 S_N. N은 더한 고조파의 최고 차수이고, 사각파에는 홀수 차만 있으므로 N = 49 는 항 25개다. 항을 더할수록 평평한 구간은 빠르게 잦아들지만 도약 옆의 첫 봉우리는 낮아지지 않는다 — 높이가 도약폭의 약 9%(극한 8.95%)에 머문 채 폭만 좁아진다(깁스 현상). 급수가 도약점에서 고르는 값은 위아래의 중점 0이다.직접 작도

의문

부분합이 함수에 다가가는데 왜 도약 옆의 튀어나온 봉우리는 사라지지 않는가?

위 표로 말하면 불연속 함수의 급수는 점별·평균 수렴은 해도 고르게 수렴하지는 않는다. 연속함수들의 고른 극한은 연속이어야 하는데 $f$가 튀기 때문이다. 하지만 그것만으로는 봉우리가 솟는 이유가 되지 않는다 — 튀어오르지 않고 고르지 않게 수렴하는 근사도 있다. 봉우리의 정체는 부분합을 적분으로 다시 쓰면 보인다(Arfken §19.3). 계수 공식을 부분합에 대입해 합을 먼저 하면

$$S_N(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,D_N(x-t)\,dt, \qquad D_N(u) = \frac{\sin\bigl[(N+\tfrac12)u\bigr]}{\sin\tfrac12 u}$$

이다. $D_N$(디리클레 핵)은 $u=0$에 높이 $2N+1$인 봉우리가 있고 양옆에 음수로 내려가는 곁가지가 달린 함수다. 부분합은 $f$를 이 핵으로 훑은 가중평균, 곧 5절의 합성곱이다. 도약 바로 옆에서 핵을 대면 가운데 봉우리는 도약 위쪽 값을 받고, 첫 음의 곁가지는 도약 아래쪽의 낮은 값에 음의 가중치를 곱한다. 낮은 값을 빼 주는 셈이라 평균이 위쪽 값을 넘어선다.

높이가 $N$에 무관한 이유도 식에서 나온다. 높이 $h$인 도약 근처에서 적분을 정리하면

$$S_N(x) \approx \frac{f(x_0-0)+f(x_0+0)}{2} + \frac{h}{\pi}\operatorname{Si}\!\bigl[(N+\tfrac12)(x-x_0)\bigr], \qquad \operatorname{Si}(u) = \int_0^u \frac{\sin\xi}{\xi}\,d\xi$$

가 되어 $N$은 가로축 눈금만 바꾼다. 봉우리는 사인 적분 $\operatorname{Si}$가 최대가 되는 $(N+\tfrac12)(x-x_0) = \pi$에 서므로 도약에서 약 $\pi/N$ 떨어진 곳으로 다가오지만, 높이는 $\frac{h}{\pi}\operatorname{Si}(\pi)$에 붙박인다. 도약폭 대비 초과분은

$$\frac{\operatorname{Si}(\pi)}{\pi} - \frac12 \approx 0.0895$$

이다. 유한한 $N$에서는 이보다 조금 크고 위에서 이 값으로 내려온다(사각파에서 $N = 9$일 때 9.1%, $N = 49$일 때 8.96%). 넓이로 재면 0이 되지만 높이로 재면 남는 이 초과분이 깁스 현상이다. 교재마다 숫자가 달리 적히는 데 주의한다 — Arfken은 “약 18%“라고 쓰는데 기준이 도약폭이 아니라 진폭(도약폭의 절반, 중점에서 모서리까지)이라서 $2\operatorname{Si}(\pi)/\pi - 1 \approx 0.179$다. 도약폭 기준으로는 그 절반인 8.95%다(Boas “약 9%”).

같은 $D_N$이 두 번 더 나온다. 6절에서 구간을 잘라 내는 직사각 창의 변환이 이 모양이고, 슬릿이 $2N+1$개인 회절격자의 진폭도 같은 함수다(3.6). 그리고 $\operatorname{Si}$는 3절에서 사각펄스의 역변환을 끊을 때 다시 나온다.

실무에서 이것이 물리는 값이 있다. 디지털 필터를 이상적인 사각형 주파수 응답으로 설계하고 항을 잘라 내면 통과대역 가장자리에 8.95%짜리 리플이 반드시 생긴다. 그래서 6절의 창함수로 계수를 부드럽게 깎아 이 리플을 억제한다 — 깁스 현상은 잘라 냄(직사각 창) 자체의 대가다.

복소 푸리에 급수

오일러 항등식 $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$를 넣으면 급수가 훨씬 짧아진다.

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{in\pi x/L}, \qquad c_n = \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x)\,e^{-in\pi x/L}\,dx$$

계수 공식의 지수에 붙은 음의 부호는 복소 내적의 켤레다. 복소함수로 넘어오면 1.2.5처럼 앞 인자에 켤레를 붙인 내적 $\langle f, g\rangle = \int f^{*}g\,dx$를 써야 하고, 그래야 $\int_{-L}^{L} (e^{im\pi x/L})^{*}\,e^{in\pi x/L}\,dx = 2L\,\delta_{mn}$으로 지수함수들이 직교한다. 그러니 $c_n$은 “$f$를 $e^{in\pi x/L}$ 방향으로 정사영한 좌표”이고, 앞의 $1/2L$이 그 방향의 길이 제곱이다. 실수 계수 공식과 달리 $n=0$도 따로 취급할 필요가 없다 — 모든 $e^{in\pi x/L}$의 길이 제곱이 $2L$로 같기 때문이다(Boas §7.7은 이 공식으로 계수를 직접 계산하는 편이 대개 더 빠르다고 권한다).

실수 계수와의 관계는 다음과 같다.

$$c_0 = \frac{a_0}{2}, \qquad c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}, \qquad c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$$

$f$가 실수이면 $a_n, b_n$이 실수이므로 $c_{-n} = c_n^{*}$이다.

직관

음의 진동수는 무엇인가. $n$이 음수까지 도는 것이 처음에는 이상하게 보이지만, 실수 함수에서 $c_{-n} = c_n^{*}$이므로 두 항은 언제나 짝으로 다니며 합치면 실수가 된다. 켤레 짝 두 개가 모여 코사인 하나를 만드는 것이다.

기하로 보면 이렇다. $x$를 시간 $t$로 읽으면 $c_n e^{in\omega_0 t}$는 복소평면에서 반시계로 도는 벡터, $c_{-n}e^{-in\omega_0 t}$는 시계로 도는 벡터다. 두 벡터의 허수부는 언제나 상쇄되고 실수부만 남아 실축 위에서 진동한다 — 코사인이 두 회전의 합인 이유다. 음의 진동수는 “거꾸로 도는 성분”이라는 뜻이고, 실수 신호에서는 양의 성분의 거울상이라 새 정보가 없다.

이 표기의 이익은 계수 하나로 진폭과 위상을 함께 나른다는 데 있다. $c_n = |c_n|e^{i\phi_n}$에서 크기가 진폭, 편각이 위상이다. $a_n$과 $b_n$ 두 개로 나눠 들고 다니는 것보다 낫고, 4절의 시간 이동 성질이 “위상에 선형항을 더하는 것”으로 깔끔하게 서술되는 것도 이 표기 덕이다.

반구간 전개

푸리에 급수는 주기함수를 위한 도구인데, 정작 쓰이는 자리는 유한 구간에 정의된 비주기 함수다. 길이 $L$인 막대의 온도 분포, 길이 $L$인 줄의 초기 변위 — 1.7의 변수분리법이 마지막에 요구하는 것이 전부 이 꼴이다. $[0, L]$에서만 정의된 $f$를 급수로 펴려면 바깥을 지어내야 한다.

지어내는 방법은 셋이다(Boas §7.9). 그대로 주기 $L$로 되풀이해도 되고(사인·코사인이 다 나오는 보통 급수), 원점에서 접어 짝함수로 만들거나 뒤집어 홀함수로 만들어도 된다. 사실 $(-L, 0)$의 값은 아무렇게나 지어내도 $(0, L)$에서는 같은 함수를 나타낸다. 그중 쓸모 있는 것이 뒤의 둘이다. 계산에 쓰는 규칙은 2절에서 자세히 볼 대칭 적분 두 줄이다(Kreyszig §11.2 식 (7)).

$$\int_{-L}^{L} g\,dx = 2\int_0^{L} g\,dx \ \ (g\ \text{짝}), \qquad \int_{-L}^{L} h\,dx = 0 \ \ (h\ \text{홀})$$

짝함수에 $\sin$을 곱하면 홀함수가 되어 적분이 0이 되고, $\cos$을 곱하면 짝함수가 되어 반쪽의 두 배가 된다. 홀함수는 그 반대다. 그래서 다음 두 급수가 나온다.

• 짝수 확장 — $f(-x) = f(x)$로 접는다. 사인 항이 전부 죽고 코사인 급수만 남는다. $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{L}, \qquad a_n = \frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx \ \ (n \ge 0)$$
• 홀수 확장 — $f(-x) = -f(x)$로 뒤집는다. 코사인 항이 죽고 사인 급수만 남는다. $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx$$

계수 공식의 앞이 $1/L$에서 $2/L$로 바뀐 것에 주의한다. 적분 구간이 반으로 줄었는데 대칭이라 값이 같으므로 2를 곱해 보상하는 것이다. 상수항까지 한 공식으로 묶었으므로 $a_0/2 = \frac1L\int_0^L f\,dx$가 그대로 $[0, L]$의 평균이다. 상수항을 $a_0$로 적는 Kreyszig 관례로 옮기면 그쪽 $a_0$는 $\frac1L\int_0^L f\,dx$로 따로 적어야 한다 — $2/L$ 공식을 $n = 0$에 그대로 쓰면 평균의 두 배가 나온다.

그림 1.10-2. [0, L]의 램프 f(x) = x/L 을 주기 2L 함수로 펴는 두 가지 방법. 짝수 확장은 접어서 삼각파가 되어 도약이 없고(계수 1/n²), 홀수 확장은 뒤집어서 톱니파가 되어 ±L 에서 도약한다(계수 1/n). 색이 진한 구간이 원래 함수이고 옅은 부분이 지어낸 것이다 — 두 확장은 열린 구간 (0, L) 안에서 같은 함수이므로 어느 급수를 써도 원래 문제의 답은 같다. 끝점은 예외다: 사인 급수는 x = L 에서 도약의 중점 0으로 간다. 사인 급수의 모든 항이 두 끝에서 0이고 코사인 급수의 모든 항이 두 끝에서 기울기가 0이므로, 선택은 경계조건이 정한다.직접 작도

직관

둘 중 무엇을 고르는가는 경계조건이 정한다. 이것이 반구간 전개의 존재 이유다.

사인 급수의 각 항 $\sin(n\pi x/L)$은 $x=0$과 $x=L$에서 정확히 0이다. 그래서 양 끝이 고정된 줄, 양 끝을 0 ℃로 붙잡은 막대처럼 경계에서 값이 0인 문제(디리클레 경계조건)는 사인 급수가 아니면 표현할 수 없다.

코사인 급수의 각 항 $\cos(n\pi x/L)$은 두 끝에서 도함수가 0이다. 그래서 양 끝이 단열된 막대, 자유단 진동처럼 경계에서 기울기가 0인 문제(노이만 경계조건)는 코사인 급수가 맡는다. 상수항 $a_0/2$가 살아 있다는 것도 물리적으로 맞다 — 단열된 막대의 평균 온도는 영원히 보존되고, 그 보존량이 $a_0/2$다.

이것이 “반쪽짜리 급수”가 아닌 이유도 경계조건에 있다. $\sin(n\pi x/L)$은 $y'' = -\lambda y$에 $y(0) = y(L) = 0$을 건 고유값 문제의 고유함수이고, $\cos(n\pi x/L)$은 같은 방정식에 $y'(0) = y'(L) = 0$을 건 문제의 고유함수다. 스투름–리우빌 이론(1.6.5완전성과 수렴)에 따라 어느 한 계열만으로도 $[0, L]$에서 완전하다(Arfken §19.2). 두 끝의 종류가 다르면 — 한 끝은 값이 0, 다른 끝은 기울기가 0 — 고유함수가 $\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L}$로 바뀌고, 이것도 $(0, L)$에서 완전하다(주기 $4L$로 펴는 셈이다 — Boas §7.11).

반도체 공정으로 옮기면 이렇다. 웨이퍼 표면에서 불순물이 빠져나가지 않는 확산(반사 경계)은 코사인 전개에 대응한다. 표면 농도를 $C_s$로 붙잡아 두는 확산은 $C - C_s$가 경계에서 0이 되므로 $C - C_s$를 사인 전개한다. 층 두께가 유한하면 이 급수가 답이고, 웨이퍼를 반무한으로 보면 급수 대신 3절의 코사인·사인 변환이 같은 일을 한다(8.3·18.7). 어느 급수를 쓸지 고민되면 급수를 쓰지 말고 경계에서 무엇이 0인지를 먼저 보면 된다.

끝점의 값이 수렴 속도를 정한다. 램프는 $x = L$에서 값이 1이라 홀수 확장에 도약이 생기고, 사인 계수가 $1/n$으로만 줄어든다. 반면 양 끝에서 0인 함수는 홀수 확장도 연속이다. 가운데 높이가 $h$인 삼각형 — $0<x<L/2$에서 $2hx/L$, $L/2<x<L$에서 $2h(L-x)/L$ — 을 사인 급수로 펴면

$$b_n = \frac{8h}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi}{2}, \qquad f(x) = \frac{8h}{\pi^2}\Bigl(\sin\frac{\pi x}{L} - \frac{1}{3^2}\sin\frac{3\pi x}{L} + \frac{1}{5^2}\sin\frac{5\pi x}{L} - \cdots\Bigr)$$

로 계수가 $1/n^2$이다(Kreyszig §11.2 예 6). 가운데를 잡아당겼다 놓은 줄의 초기 변위가 이 모양이라 1.7의 파동 방정식 풀이가 이 급수로 시작한다. 같은 함수를 코사인 급수로 펴도 $1/n^2$이다 — 짝수 확장은 끝점 값과 무관하게 언제나 연속이기 때문이다.

짝·홀 함수와 파세발 정리

대칭이 계산을 반으로 줄인다

직관

푸리에 계수를 구하는 적분은 $f(x)$에 코사인이나 사인을 곱해 대칭 구간에서 적분하는 일이다. 그런데 코사인은 짝함수, 사인은 홀함수다. 그리고 홀함수를 대칭 구간에서 적분하면 무조건 0이다 — 왼쪽 절반과 오른쪽 절반이 부호만 반대인 같은 넓이라서 상쇄된다.

그러니 $f$가 짝함수면 $f\sin$이 홀함수라 $b_n = 0$이고, $f$가 홀함수면 $f\cos$이 홀함수라 $a_n = 0$이다. 계산을 시작하기 전에 절반이 0인 것을 알 수 있다. 대칭을 확인하지 않고 적분을 다 하는 것은 이미 아는 답을 다시 구하는 낭비다.

곱의 대칭 규칙은 부호의 곱셈과 같다.

$$\text{짝}\times\text{짝} = \text{짝}, \quad \text{홀}\times\text{홀} = \text{짝}, \quad \text{짝}\times\text{홀} = \text{홀}$$

임의의 함수는 짝 부분과 홀 부분으로 유일하게 쪼개진다.

$$f(x) = \underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{f_e:\ \text{짝}} + \underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{f_o:\ \text{홀}}$$

이 분해가 곧 “코사인 항이 $f_e$를, 사인 항이 $f_o$를 맡는다”는 말이다. 급수의 두 계열은 서로 남의 일에 관여하지 않는다.

주의

대칭은 원점을 어디로 잡느냐에 달렸다. 평균이 0인 ±1 사각파는 원점을 도약점에 두면 홀함수(사인 급수)이고, 평평한 구간의 한가운데 두면 짝함수(코사인 급수)다. 함수가 바뀐 것이 아니라 시간 원점을 옮긴 것뿐이고, 4절의 시간 이동 성질에 따라 계수의 크기 $|c_n|$은 그대로이고 위상만 돌아간다.

세로로 옮겨도 대칭이 생긴다. 0과 $h$ 사이를 오가는 사각파는 원점을 어디에 두어도 홀함수가 되지 못한다 — 평균 $h/2$가 0이 아니기 때문이다. 그러나 평균을 빼면 홀함수이므로, 급수는 상수항 $h/2$에 사인 급수를 더한 꼴이다(Arfken 예 19.2.1). 직류분만큼 세로로 옮기는 것도 대칭을 찾는 자유다.

계산을 시작하기 전에 원점을 대칭이 좋은 쪽으로 옮겨 두는 것이 요령이고, 원점을 옮길 자유가 없으면(경계조건이 위치를 정해 놓았으면) 그냥 두 계열을 다 계산한다.

예제 — 계수가 어떻게 줄어드는가

세 가지 표준 파형을 나란히 놓으면 규칙이 보인다. ①~③은 모두 주기 $2\pi$, 진폭 1이다.

① 사각파 ($-\pi<x<0$에서 $-1$, $0<x<\pi$에서 $+1$) — 홀함수다.

$$f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n\ \text{홀}}\frac{\sin nx}{n} = \frac{4}{\pi}\Bigl(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5}+\cdots\Bigr)$$

② 톱니파 ($-\pi<x<\pi$에서 $f(x)=x$) — 홀함수이고, 끝에서 $2\pi$만큼 도약한다.

$$f(x) = 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx$$

③ 삼각파 ($f(x) = |x|$) — 짝함수이고, 도약 없이 꺾이기만 한다.

$$f(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n\ \text{홀}}\frac{\cos nx}{n^2}$$

정류기의 출력 둘을 더한다. 반도체 소자로 처음 만드는 파형이 이것이다. 입력을 $v(t) = E\sin\omega t$로 둔다.

④ 전파 정류 — 브리지 정류기가 음의 반주기를 뒤집어 올린 파형 $\lvert v\rvert$. 짝함수이고, 주기가 $\pi/\omega$로 절반이 되었다(Arfken 예 19.2.2).

$$\lvert v(t)\rvert = \frac{2E}{\pi} - \frac{4E}{\pi}\Bigl(\frac{\cos 2\omega t}{1\cdot3} + \frac{\cos 4\omega t}{3\cdot5} + \frac{\cos 6\omega t}{5\cdot7} + \cdots\Bigr)$$

⑤ 반파 정류 — 다이오드 하나로 음의 반주기를 잘라 낸 파형 $v_+$ (Kreyszig §11.2 예 3).

$$v_+(t) = \frac{E}{\pi} + \frac{E}{2}\sin\omega t - \frac{2E}{\pi}\Bigl(\frac{\cos 2\omega t}{1\cdot3} + \frac{\cos 4\omega t}{3\cdot5} + \cdots\Bigr)$$

직관

반파 정류는 짝·홀 분해 그대로다. 음수를 잘라 낸다는 것은 $v_+ = \tfrac12(v + \lvert v\rvert)$라는 뜻이다 — 원래 정현파의 절반이 홀 부분, 전파 출력의 절반이 짝 부분이다. 그래서 ⑤의 급수는 ④를 반으로 나눈 것에 $\tfrac{E}{2}\sin\omega t$ 하나를 더한 것이고, 사인 항은 기본파 하나뿐이다. Kreyszig(예 4)가 “$v_+ - E/\pi - \tfrac{E}{2}\sin\omega t$는 짝함수”라고 짚는 것이 이 분해다.

물리적으로 정류기가 원하는 것은 직류분 $2E/\pi$(반파는 $E/\pi$)이고, 나머지는 걸러 내야 할 리플이다. 전파 정류에는 기본파 $\omega$ 성분이 아예 없어 리플이 $2\omega$부터 시작한다. 같은 평활 축전기로 리플을 더 잘 걸러 내는 이유다. 반파 정류는 기본파가 남아 리플의 최저 진동수가 $\omega$다. 두 파형 모두 연속이고 꺾이기만 하므로 계수가 $1/n^2$로 준다 — 아래 표의 둘째 줄이다. 리플이 얼마나 큰지는 파세발 정리로 잰다(뒤의 RMS 계산).

직관

계수의 감쇠 속도가 함수의 매끄러움을 잰다. 위 다섯을 비교하면 규칙이 그대로 읽힌다. 표의 “연속”은 모두 주기로 이어 붙인 함수에 대한 말이다 — 구간 안에서 매끄러운 $f(x) = x$도 주기로 이으면 $\pm\pi$에서 튀므로 첫 줄에 속한다.

함수의 성질 (주기 확장 기준)	계수의 감쇠	급수의 수렴	예
도약 불연속이 있다	$\lvert c_n\rvert \sim 1/n$	조건수렴, 깁스 현상	사각파, 톱니파
연속, 도함수가 튄다(꺾임)	$\sim 1/n^2$	절대·고른 수렴	삼각파, 정류파
$f, \dots, f^{(j)}$ 연속, $f^{(j+1)}$이 튄다	$\sim 1/n^{j+2}$	절대·고른 수렴	둘째 줄이 $j = 0$
해석적 (복소평면의 띠까지 이어짐)	지수적 $\sim r^n$	절대·고른 수렴	$\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}$ (계수 $2r^n$)

마지막 줄에 주의한다. 무한히 미분 가능하다는 것만으로는 지수적으로 줄지 않는다 — 모든 거듭제곱보다 빠르다는 것까지만 보장된다. 지수적으로 줄려면 해석적이어야 하고, 감쇠율은 복소평면에서 실축에 가장 가까운 특이점이 정한다. 표의 예(푸아송 핵)는 특이점이 실축에서 $\ln(1/r)$만큼 떨어져 있고 계수가 $r^n = e^{-n\ln(1/r)}$로 준다. 1.9에서 테일러 급수의 수렴 반경을 가장 가까운 특이점이 정했던 것과 같은 이야기다.

이유는 부분적분에 있다. $c_n = \frac{1}{2L}\int f e^{-in\omega_0 x}dx$를 부분적분할 때마다 $1/n$이 하나씩 튀어나오고, 미분해도 경계항이 남지 않는 동안만 이 짓을 반복할 수 있다. 도약이 있으면 첫 부분적분에서 경계항이 살아남아 거기서 멈춘다. 연속인 $f$를 두 번 부분적분하면 $\lvert a_n\rvert \le 2M/n^2$($M$은 $\lvert f''\rvert$의 최댓값)이 나오고, 이것을 수렴하는 $\sum 1/n^2$과 견주면 급수가 절대·고르게 수렴한다는 것까지 한꺼번에 나온다 — Kreyszig가 수렴 정리를 증명하는 방식이 이것이다(§11.1, 바이어슈트라스 판정법).

거꾸로도 유용하다. 측정한 스펙트럼이 $1/n$으로 떨어지고 있으면 그 신호에는 어딘가 계단이 있다. 스위칭 파형의 고조파가 좀처럼 줄지 않는 것, 그래서 EMI 대책이 필요한 것이 이 성질이다. 날카로운 모서리를 깎아 $1/n^2$으로 만드는 것(슬루율 제한, 창함수)이 곧 고조파를 줄이는 일이다.

그림 1.10-3. 세 파형의 계수 크기를 양대수 눈금에 찍은 것. 도약이 있는 사각파·톱니파는 기울기 −1(1/n)의 직선 위에, 꺾이기만 하는 삼각파는 기울기 −2(1/n²) 위에 놓인다. 양대수 눈금에서 거듭제곱 감쇠가 직선이 되고 그 기울기가 지수라는 것이 이 그림을 읽는 법이다 — 기울기를 재면 함수가 얼마나 매끄러운지가 나온다.직접 작도

항별 적분과 항별 미분

급수를 항별로 적분하거나 미분하면 계수가 $1/n$배 또는 $n$배가 된다. 위 표에서 한 줄 아래로, 또는 한 줄 위로 옮기는 일이다(Arfken §19.1, Boas §7.9).

• 적분은 언제나 된다. 계수가 $1/n$만큼 더 빨리 줄어 수렴이 좋아진다. 사각파를 적분하면 삼각파가 된다. 다만 상수항 $a_0/2$를 적분하면 $a_0x/2$라는 주기적이지 않은 항이 생기므로, 평균이 0이 아닌 함수의 적분은 주기함수에 1차 함수를 더한 꼴이다.
• 미분은 조심해야 한다. 톱니파 ② $x = 2\sum(-1)^{n+1}\frac{\sin nx}{n}$을 항별로 미분하면 $1 = 2\sum(-1)^{n+1}\cos nx$가 되는데, 우변은 항이 줄지 않아 발산한다. 톱니파의 주기 확장이 $\pm\pi$에서 튀기 때문이다. 반면 삼각파 ③을 미분하면 $\frac{4}{\pi}\sum_{n\,\text{홀}}\frac{\sin nx}{n}$, 곧 사각파 ①이 제대로 나온다 — 삼각파의 기울기가 $\pm1$이니 당연하다.
• 미분해도 되는 조건. 주기 확장이 연속이고 $f'$이 조각별 매끄러우면, 항별 미분이 $f'$의 푸리에 급수를 준다. 계수로 적으면 $a_n' = nb_n$, $b_n' = -na_n$이다(Boas §7.9).

유한 항으로 끊으면 — 최소 제곱 근사

계산이든 측정이든 실제로 쓰는 것은 유한 개의 항이다. 그러면 “푸리에 계수로 끊은 부분합이 과연 가장 좋은 근사인가”를 물어야 한다. 차수 $N$인 삼각다항식

$$g_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(A_n\cos nx + B_n\sin nx\bigr)$$

로 $f$를 근사하고, 오차를 제곱적분으로 잰다(주기 $2\pi$로 쓴다).

$$\mathcal{E} = \int_{-\pi}^{\pi}\bigl(f - g_N\bigr)^2\,dx$$

제곱을 풀고 직교성을 쓰면 $\int f g_N\,dx$에는 $\pi a_nA_n$ 꼴만, $\int g_N^2\,dx$에는 $\pi A_n^2$ 꼴만 남는다. 이것을 완전제곱으로 묶으면 식이 둘로 갈린다(Kreyszig §11.4).

$$\mathcal{E} = \mathcal{E}^{*} + \pi\Bigl[\frac{(A_0 - a_0)^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl((A_n - a_n)^2 + (B_n - b_n)^2\bigr)\Bigr]$$ $$\mathcal{E}^{*} = \int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx - \pi\Bigl[\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n^2 + b_n^2\bigr)\Bigr]$$

둘째 항은 제곱의 합이라 0 이상이고, $A_n = a_n$, $B_n = b_n$일 때만 0이다. 여기서 네 가지가 한꺼번에 나온다.

1. 같은 차수의 삼각다항식 중에서 오차를 최소로 만드는 것이 푸리에 부분합 $S_N$이다. 최소 오차가 $\mathcal{E}^{*}$다(Kreyszig §11.4 정리 1). 1.2의 최소제곱 정사영과 같은 정리다 — 부분공간으로 수직으로 내리는 것이 가장 가깝다.
2. 항을 하나 더 넣어도 앞의 계수는 바뀌지 않는다. $\mathcal{E}^{*}$ 식에 항이 하나 더 빠질 뿐이다. 다항식 최소제곱 적합에서 차수를 올리면 모든 계수를 다시 계산하는 것과 대조적이고, 기저가 직교하기 때문에 생기는 이점이다. 그래서 $\mathcal{E}^{*}$는 $N$이 커지면 줄기만 한다.
3. 베셀 부등식. $\mathcal{E}^{*} \ge 0$이므로 모든 $N$에서 $$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n^2 + b_n^2\bigr) \le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx$$
4. $N\to\infty$에서 등호가 되느냐가 완전성 문제다. 삼각함수계는 완전하므로(1.6.5) 등호가 되고, 그것이 다음 소절의 파세발 정리다. “이 기저로 표현하지 못하는 성분이 없다”는 뜻이다.

예제 — 톱니파는 얼마나 빨리 다가가는가. $-\pi<x<\pi$에서 $f(x) = x + \pi$라 하자(Kreyszig §11.4 예 1). 톱니파 ②에 상수 $\pi$를 더한 것이므로 $a_0/2 = \pi$, $b_n = 2(-1)^{n+1}/n$이고

$$\mathcal{E}^{*} = \frac{2\pi^3}{3} - 4\pi\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^2}$$

이다. $N = 1, 10, 100, 1000$에서 $8.10,\ 1.20,\ 0.125,\ 0.0126$으로, 대략 $4\pi/N$을 따라 준다. 이 속도는 2절 표에서 그대로 읽힌다. 남은 오차는 버린 항들이 나르던 몫, 곧 $\mathcal{E}^{*}_N = 2L\sum_{\lvert n\rvert>N}\lvert c_n\rvert^2$이다(여기서 $2L = 2\pi$). 계수가 $1/n$이면 꼬리의 합이 $1/N$로, $1/n^2$이면 $1/N^3$로 준다. 도약이 있는 함수는 제곱 오차로 재도 느리게 다가간다.

파세발 정리 — 에너지는 어디서 재도 같다

$$\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\lvert c_n\rvert^2 = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n^2 + b_n^2\bigr)$$

앞 소절의 베셀 부등식에서 등호가 된 것이다. Kreyszig는 이것을 파세발 항등식이라 부르고(§11.4 식 (8)), 그 관례의 $a_0$로는 첫 항이 $a_0^2$이 된다.

직관

이 식은 피타고라스 정리다. 1.2에서 정규직교 기저에 대해 $\lVert\mathbf{v}\rVert^2 = \sum_k \lvert c_k\rvert^2$였던 것 — 벡터의 길이 제곱이 성분 제곱의 합이라는 것 — 이 무한 차원으로 옮겨 온 것이다. 좌변은 시간 영역에서 잰 길이, 우변은 주파수 영역에서 잰 길이이고, 둘이 같다는 것은 변환이 길이를 보존한다는 뜻이다.

1.3.4에르미트 행렬과 유니터리 변환의 언어로 말하면 $f$에서 계수열 $\{c_n\}$로 가는 대응은 정규화만 맞추면 유니터리 변환이다($e^{in\pi x/L}/\sqrt{2L}$을 정규직교 기저로 쓰면 인수까지 사라진다). 유니터리 행렬이 벡터의 길이를 바꾸지 않듯, 시간 영역에서 주파수 영역으로 가는 것은 좌표축을 회전시킨 것일 뿐 물건의 크기를 건드리지 않는다.

물리적으로 좌변은 평균 전력이다. $f$가 전압이면 한 주기 평균 $\langle f^2\rangle$이 1 Ω에서 소비되는 평균 전력이고, RMS 값이 그 제곱근이다. 그러니 파세발 정리는 “전체 전력은 각 고조파가 나르는 전력의 합”이라는 말이고, 성분들이 직교하기 때문에 교차항이 없다는 것이 요점이다. 서로 다른 진동수의 두 성분은 전력을 주고받지 않는다. 우변의 $\tfrac12$은 1절의 “제곱의 평균은 절반” 그대로다.

세 가지 쓰임이 곧바로 따라온다.

• RMS 계산. 파형의 실효값은 $f_\text{rms}^2 = (a_0/2)^2 + \frac12\sum(a_n^2+b_n^2)$로 성분별 실효값의 제곱합이다. 직류분 $a_0/2$만 제곱에 $\frac12$이 붙지 않는다. ④의 전파 정류에 넣으면 $E^2/2$ — 정현파의 실효값 $E/\sqrt2$ 그대로다(부호만 뒤집었으니 제곱은 같다). 그중 직류분이 $(2E/\pi)^2 \approx 0.405E^2$이고 리플이 나머지 $0.095E^2$이다. 리플 실효값을 직류분으로 나눈 리플률은 $\sqrt{\pi^2/8 - 1} \approx 0.48$, 반파 정류는 $\sqrt{\pi^2/4 - 1} \approx 1.21$이다.
• 고조파 왜곡. 기본파 대비 나머지의 비율이 THD다. $$\text{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n\ge2}(a_n^2+b_n^2)}}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}$$ 증폭기의 비선형성을 재는 표준 지표이고, 22부에서 다시 나온다.
• 급수의 값. 사각파에 파세발을 적용하면 $1 = \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\ \text{홀}} 1/n^2$에서 $\sum_{n\ \text{홀}} 1/n^2 = \pi^2/8$이 나오고, 톱니파에서는 $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$, 삼각파에서는 $\sum_{n\,\text{홀}}1/n^4 = \pi^4/96$이 나온다. 파세발을 쓰지 않고 급수에 점 하나를 넣어도 된다 — 사각파 ①에 $x = \pi/2$를 넣으면 $1 - \frac13 + \frac15 - \cdots = \frac{\pi}{4}$(라이프니츠의 급수, Kreyszig §11.1 예 1). 1.5에서 수렴만 확인하고 값을 못 구했던 급수들이 여기서 답을 얻는다.

응용 — 주기적인 힘을 받는 진동계

“정현파로 쪼개 두면 계가 각 성분에 무엇을 하는지 따로 계산해 더하면 된다”는 1절의 약속을 실제로 해 본다(Kreyszig §11.3 예 1). 감쇠 진동자

$$m y'' + c y' + k y = r(t), \qquad m = 1,\ c = 0.05,\ k = 25$$

에 주기 $2\pi$인 삼각파 모양의 힘을 건다. 여기서 $k$는 용수철 상수이고, 계의 고유 진동수는 $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 5$다. 힘은 ③의 삼각파를 뒤집어 평균을 0으로 맞춘 $r(t) = \frac{\pi}{2} - \lvert t\rvert$ ($-\pi<t<\pi$)이므로

$$r(t) = \frac{4}{\pi}\Bigl(\cos t + \frac{\cos 3t}{3^2} + \frac{\cos 5t}{5^2} + \cdots\Bigr)$$

이다. 선형 방정식이라 각 항에 대한 정상 상태 응답을 따로 구해 더하면 된다. $\cos nt$ 항 하나에 대한 응답의 진폭은, 4절에서 푸리에 변환으로 얻을 주파수 응답 $H(\omega) = 1/(k - m\omega^2 + ic\omega)$를 미리 쓰면

$$C_n = \lvert H(n)\rvert\cdot\frac{4}{\pi n^2} = \frac{4}{\pi n^2\sqrt{(25 - n^2)^2 + (0.05n)^2}}$$

이다. 값을 넣으면 $C_1 = 0.053$, $C_3 = 0.0088$, $C_5 = 0.204$, $C_7 = 0.0011$, $C_9 = 0.0003$.

그림 1.10-4. 삼각파 힘을 받는 감쇠 진동자(m = 1, c = 0.05, k = 25). 위: 계의 주파수 응답 |H(ω)| (세로 로그 눈금) — ω = 5 에서 높이 4의 좁은 공진 봉우리가 서고, 공진에서 먼 홀수 고조파 자리에서는 1/16 이하로 낮다. 아래: 힘의 홀수 고조파 진폭 4/(πn²)(빈 막대)과 응답의 진폭 C_n(채운 막대). 입력에서는 기본파가 가장 크고 제5 고조파는 1/25에 불과하지만, 공진에 걸린 제5 고조파가 약 100배 증폭되어 응답을 지배한다.직접 작도

직관

입력에서 가장 작던 성분이 출력의 주인공이 된다. 삼각파의 계수는 $1/n^2$로 줄어 제5 고조파가 기본파의 $1/25$에 불과하다. 그런데 계가 $\omega = 5$에서 공진하므로 $\lvert H(5)\rvert = 1/(0.05\cdot5) = 4$로, $\lvert H(1)\rvert \approx 1/24$보다 100배쯤 크다. 그 결과 응답은 삼각파를 닮지 않고 거의 순수한 $\cos 5t$ 진동이 되어, $C_5$가 $C_1$의 네 배다. 감쇠 $c$가 작을수록 봉우리가 좁고 높아져 이 선택이 날카로워진다.

파라미터 연계 — 이것이 스위칭 회로에서 링잉과 EMI가 생기는 구조다. 클록이나 스위칭 파형의 고조파 중 하나가 배선·패키지의 기생 $LC$ 공진에 걸리면, 원래 파형에서 보잘것없던 그 고조파가 증폭되어 튀어 나온다. 대책은 둘 중 하나다 — 공진을 감쇠시키거나(댐핑 저항, $c$를 키움) 입력의 그 고조파를 줄인다(모서리를 둔화시켜 감쇠 표의 아랫줄로 내림). 1.4.8에서 정현파 하나로 본 공명이 여기서 스펙트럼 전체에 대한 체로 작동한다.

푸리에 적분과 코사인·사인 변환

주기를 무한대로 보낸다

비주기 함수 — 펄스 하나, 감쇠하는 파형 — 에는 반복이 없으니 급수를 쓸 수 없다. 요령은 이렇다. 주기가 $2L$인 함수라고 치고 $L\to\infty$를 보낸다. 이 절부터 변수를 시간 $t$로 쓴다.

복소 급수에 계수를 대입해 한 식으로 적으면

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Bigl[\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(\xi)e^{-i\omega_n \xi}\,d\xi\Bigr] e^{i\omega_n t}, \qquad \omega_n = \frac{n\pi}{L}$$

여기서 이웃한 진동수의 간격이 $\Delta\omega = \pi/L$이므로 $\frac{1}{2L} = \frac{\Delta\omega}{2\pi}$로 바꿔 쓸 수 있다.

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\sum_{n}\Bigl[\int_{-L}^{L} f(\xi)e^{-i\omega_n \xi}d\xi\Bigr] e^{i\omega_n t}\,\Delta\omega$$

$\Delta\omega$가 곱해진 합은 리만 합처럼 생겼다. $L\to\infty$에서 $\Delta\omega\to0$이 되면 합이 적분으로 바뀐다.

$$\boxed{\; f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega, \qquad F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt \;}$$

엄밀하게는 이것이 증명이 아니다. 대괄호 안의 적분도 $L$에 따라 변하므로 보통의 리만 합이 아니고, Kreyszig도 이 극한을 “결과를 짐작하게 하는 논증”으로만 쓴 뒤 정리로 넘어간다(§11.7). 그래도 무엇이 무엇으로 바뀌는지는 정확히 보여 준다. 진짜 증명은 이 절 뒤쪽의 델타 함수 소절이 한 줄로 해 준다.

그림 1.10-5. 주기를 늘리면 스펙트럼이 촘촘해진다. 폭 1인 펄스가 주기 T마다 반복될 때의 선스펙트럼으로, T가 커질수록 선 간격 Δω = 2π/T 가 좁아진다. 선의 실제 높이는 1/T 로 낮아지므로 세 패널을 겹쳐 보기 위해 세로 눈금에 T를 곱해 두었다 — 그러면 세 경우의 선 끝이 모두 같은 곡선, 펄스 하나의 변환 sinc(ω/2) 위에 놓인다. T → ∞ 에서 선이 이 포락선을 채워 연속 스펙트럼이 된다.직접 작도

직관

급수와 변환은 같은 물건의 두 극한이다. 이 그림이 장 전체에서 가장 중요한 그림이다.

주기함수는 몇몇 진동수에만 성분이 있다 — 스펙트럼이 선이다. 비주기 함수는 모든 진동수에 조금씩 성분이 있다 — 스펙트럼이 연속이다. 그 사이를 잇는 것이 $T \to \infty$ 극한이고, 그 과정에서 “$n$번째 성분의 진폭 $c_n$“이 “단위 진동수당 진폭 밀도 $F(\omega)$“로 성격이 바뀐다.

성격이 바뀌었다는 것은 단위가 바뀌었다는 뜻이다. $c_n$은 $f$와 같은 단위지만 $F(\omega)$는 $f$의 단위 × 시간이다. 그래서 $|F(\omega)|^2$은 에너지가 아니라 에너지 밀도이고, 10절에서 잡음을 다룰 때 "$\text{V}^2/\text{Hz}$"라는 이상한 단위가 나오는 것이 여기서 예고된다.

한 가지가 더 예고된다 — 선 간격은 $2\pi/T$, 포락선의 첫 영점은 펄스 폭의 역수에 비례한다. 반복 주기가 스펙트럼의 촘촘함을 정하고, 펄스 하나의 폭이 스펙트럼의 넓이를 정한다. 이 둘이 따로 논다는 것이 6절의 표본화 정리로 그대로 이어진다.

푸리에 적분 정리 — 언제 되돌아오는가

역변환 적분이 $f$를 되돌려 준다는 것이 푸리에 적분 정리다(Kreyszig §11.7 정리 1).

$f$가 모든 유한 구간에서 조각별 연속이고, 각 점에서 좌도함수와 우도함수를 가지며, $\int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(t)\rvert\,dt$가 유한하면, 역변환 적분은 $f(t)$로 수렴한다. 도약점에서는 좌우 극한의 평균이다.

1절의 수렴 정리에 “절대적분 가능” 하나가 붙었다. 주기가 무한대가 되면서 함수가 무한대에서 충분히 빨리 죽어야 하기 때문이다. 이것도 충분조건이다. 뒤의 변환쌍 표에 나오는 상수 1, $\cos\omega_0 t$, 단위 계단은 절대적분이 안 되어 보통 의미로는 이 정리 밖에 있고, 델타를 허용하는 넓은 의미(1.8의 분포)에서 성립한다. sinc는 절대적분은 안 되지만 제곱적분은 되어 4절 파세발 정리의 틀 안에 든다.

1절의 급수에 실수형과 복소형이 있었던 것처럼, 적분에도 실수형이 있다(Kreyszig §11.7 식 (4)–(5)).

$$f(t) = \int_0^{\infty}\bigl[A(\omega)\cos\omega t + B(\omega)\sin\omega t\bigr]\,d\omega$$ $$A(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)\cos\omega v\,dv, \qquad B(\omega) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(v)\sin\omega v\,dv$$

$A$는 짝함수, $B$는 홀함수라 음의 진동수를 접어 넣으면 적분이 $[0, \infty)$로 줄고, 실함수 $f$에 대해 복소형과는 $F(\omega) = \pi\bigl[A(\omega) - iB(\omega)\bigr]$로 이어진다. $f$가 짝함수면 $B = 0$이고 $A = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} f(v)\cos\omega v\,dv$가 남는데, 이 $2/\pi$가 뒤의 코사인 변환 역공식에 붙는 인수의 출처다.

규약이 넷이다 — 어느 책을 보고 있는지 확인할 것

주의

푸리에 변환쌍은 정의가 여럿 있고, 모두 맞다. 갈리는 지점은 둘이다 — $2\pi$를 어디에 두느냐, 그리고 정변환 지수의 부호가 무엇이냐. 이 장의 기준 교재 세 권이 모두 다르다.

규약	정변환	역변환	쓰는 곳
비대칭 ①	$\int f e^{-i\omega t}dt$	$\frac{1}{2\pi}\int F e^{i\omega t}d\omega$	이 백과 · Arfken §20.5 · 공학
비대칭 ②	$\frac{1}{2\pi}\int f e^{-i\alpha x}dx$	$\int g\, e^{i\alpha x}d\alpha$	Boas §7.12
대칭	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f e^{-iwx}dx$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \hat f e^{iwx}dw$	Kreyszig §11.9 · 양자역학
대칭, 부호 반대	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f e^{+i\omega t}dt$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int g\, e^{-i\omega t}d\omega$	Arfken §20.2–20.4, §20.6
주파수 ($\nu$)	$\int f e^{-2\pi i\nu t}dt$	$\int F e^{2\pi i\nu t}d\nu$	신호처리

마지막 규약은 $2\pi$가 지수 안으로 들어가 앞의 상수가 완전히 사라진다 — 가장 깔끔하고, 파세발 정리도 인수 없이 성립한다. 대신 식마다 $2\pi$를 달고 다녀야 한다. 결정학이 역격자 벡터에 $2\pi$를 넣느냐 마느냐로 겪는 혼란(7.2)도 같은 뿌리다.

이 백과는 비대칭 ① 규약을 쓴다(1.7.9가 이미 이 규약으로 열핵을 풀었다). 정변환에 상수가 없어 라플라스 변환 $\int f e^{-st}dt$와 모양이 같아지고, 7절에서 $s = i\omega$로 두 변환을 잇기가 쉽기 때문이다. Arfken도 신호처리를 다루는 §20.5에서는 스스로 이 규약으로 갈아탄다.

규약이 다르면 무엇이 달라지는가. 어긋남은 세 종류뿐이다.

ⓐ 상수. 변환쌍의 앞 상수가 $1$, $1/\sqrt{2\pi}$, $1/2\pi$로 바뀐다. $\mathcal{F}\{\delta\}$부터 그렇다 — 이 백과와 $\nu$ 규약에서는 1이지만 대칭 규약에서는 $1/\sqrt{2\pi}$, Boas 규약에서는 $1/2\pi$다. 파세발 정리와 합성곱 정리에도 인수가 붙었다 떨어진다(4절). Kreyszig 표의 값에 $\sqrt{2\pi}$를 곱하면 이 백과의 값이다.

ⓑ 부호. 정변환 지수의 부호가 반대인 규약으로 옮기면 $F(\omega)$가 $F(-\omega)$로 바뀐다. 실함수라면 켤레를 취한 것과 같다 — $e^{-at}u(t)$의 변환이 $\frac{1}{a+i\omega}$ 대신 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{a-i\omega}$가 된다. 허수부의 부호, 극점이 위아래 어느 반평면에 있는가, 미분 성질의 $i\omega$ 대 $-i\omega$가 전부 따라 뒤집힌다. 1.9.10의 크라머스–크로니히에서 “위쪽 반평면에서 해석적”이라는 문장이 규약에 묶여 있는 이유다.

ⓒ 눈금. $\nu$ 규약은 곱해지는 상수가 아니라 가로축 눈금 자체가 다르다($\omega = 2\pi\nu$). 가우시안의 지수가 $\omega^2/4a$에서 $\pi^2\nu^2/a$로 바뀌는 식이다.

어느 함수가 어느 함수로 가는가(모양)는 $\omega\to-\omega$ 반전 말고는 달라지지 않는다. 남의 표를 가져와 답이 상수배로 어긋나거나 허수부 부호가 뒤집혀 있으면 규약을 의심하면 되고, 그 밖으로 어긋나면 진짜 계산 실수다.

기본 변환쌍 — 네 개면 대부분이 나온다

$f(t)$	$F(\omega)$	읽는 법
$\delta(t)$	$1$	한순간의 충격 = 모든 진동수를 고르게
$1$	$2\pi\,\delta(\omega)$	영원한 직류 = 진동수 0에만
사각펄스 $\lvert t\rvert<a$	$2a\,\operatorname{sinc}(a\omega)$	날카로운 모서리 = 긴 꼬리
$\dfrac{\sin at}{t}$	$\pi$ ($\lvert\omega\rvert<a$), $0$ (밖)	사각펄스의 쌍대 — 이상적 저역통과
$e^{-a\lvert t\rvert}$	$\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$	지수 감쇠 ↔ 로렌츠
$\dfrac{1}{t^2+a^2}$	$\dfrac{\pi}{a}\,e^{-a\lvert\omega\rvert}$	로렌츠 ↔ 지수 (쌍대)
$e^{-a t^2}$	$\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\omega^2/4a}$	가우시안 ↔ 가우시안
$e^{-at}u(t)$	$\dfrac{1}{a+i\omega}$	인과적 감쇠 = 1차 저역통과

여기서 $a>0$이고, $\operatorname{sinc}(z) = \sin z / z$로 쓴다(신호처리에서는 $\sin\pi z/\pi z$로 정의하는 관례가 흔하므로 표를 옮겨 적을 때 확인해야 한다). 넷째·여섯째 줄은 4절의 쌍대성으로 바로 위 줄에서 나온다.

표는 거꾸로 읽어도 쓸모가 있다. 다섯째 줄을 역변환 공식에 넣으면 손으로 하기 어려운 적분이 공짜로 나온다.

$$\int_0^{\infty}\frac{\cos\omega t}{a^2+\omega^2}\,d\omega = \frac{\pi}{2a}\,e^{-a\lvert t\rvert}$$

Kreyszig가 라플라스 적분이라 부르는 것이고(§11.7 식 (13)), 수명과 선폭의 관계(4절)가 이 식의 물리적 얼굴이다.

직관

표의 각 줄이 같은 이야기를 한다 — 한쪽에서 좁으면 다른 쪽에서 넓다.

$\delta$는 시간축에서 폭이 0이고 주파수축에서 폭이 무한대다. 상수 1은 정반대다. 사각펄스의 폭 $2a$를 좁히면 sinc의 첫 영점 $\omega = \pi/a$가 멀어진다. 가우시안 $e^{-at^2}$은 폭을 4절의 제곱평균으로 재면 시간 쪽 $\Delta t = 1/(2\sqrt{a})$, 주파수 쪽 $\Delta\omega = \sqrt{a}$이고, 곱이 $a$와 무관하게 $\tfrac12$이다.

이 반비례가 4절에서 스케일링 성질로 정식화되고, 물리에서는 불확정성 원리로 불린다. 실무적 결론 하나만 미리 적으면 — 짧은 펄스를 만들려면 넓은 대역폭이 필요하다. 1 ns 펄스를 왜곡 없이 통과시키려면 수 GHz 대역이 있어야 하고, 이것이 고속 소자에 대역폭을 요구하는 근본 이유다(10절).

가우시안은 변환해도 가우시안이다(Kreyszig의 대칭 규약으로 계산하면 $e^{-t^2/2}$는 정확히 자기 자신이 된다). 그리고 불확정성 부등식의 등호를 만족하는 유일한 함수다. 다만 두 사실은 별개다. 에르미트–가우스 함수 $H_n(t)e^{-t^2/2}$도 변환하면 자기 자신의 상수배가 되지만 $\Delta t\,\Delta\omega = n + \tfrac12$이다. 등호의 진짜 이유는 4절에서 본다.

가우시안의 변환은 어떻게 구하는가. 표에서 손으로 바로 적분되지 않는 유일한 줄이다. 지수를 완전제곱으로 묶는다(Arfken 예 20.2.2).

$$-at^2 - i\omega t = -a\Bigl(t + \frac{i\omega}{2a}\Bigr)^2 - \frac{\omega^2}{4a} \quad\Longrightarrow\quad F(\omega) = e^{-\omega^2/4a}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(t + i\omega/2a)^2}\,dt$$

남은 적분은 실축을 허수 방향으로 $\omega/2a$만큼 평행이동한 선 위의 가우스 적분이다. 피적분함수가 전 평면에서 해석적이고 양 끝에서 죽으므로 코시 정리(1.9.4)에 따라 실축 위의 값과 같고, $\int e^{-au^2}du = \sqrt{\pi/a}$이다. 완전제곱 + 경로 이동이 가우시안이 가우시안으로 가는 이유의 전부다.

사각펄스를 되돌리면 — 사인 적분과 깁스 현상

높이 1, $\lvert t\rvert<1$인 사각펄스는 $F(\omega) = 2\sin\omega/\omega$다. 역변환 공식에 넣고 $F$가 짝함수임을 쓰면(Kreyszig §11.7 예 2, Boas §7.12 예 1)

$$\int_0^{\infty}\frac{\cos\omega t\,\sin\omega}{\omega}\,d\omega = \begin{cases} \pi/2 & \lvert t\rvert < 1 \\ \pi/4 & \lvert t\rvert = 1 \\ 0 & \lvert t\rvert > 1 \end{cases}$$

이다. 이 적분을 디리클레 불연속 인수라 부른다. 매끄러운 함수들을 적분했는데 계단이 나오고, 도약점 $t = \pm1$에서 정확히 중점 $\pi/4$를 준다 — 1절 수렴 정리의 적분판이다. $t = 0$을 넣으면 $\int_0^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega = \frac{\pi}{2}$도 나온다.

적분을 $\omega = a$에서 끊으면, 곧 높은 진동수를 버리면 1절의 사인 적분이 그대로 나온다.

$$f_a(t) = \frac{2}{\pi}\int_0^{a}\frac{\cos\omega t\,\sin\omega}{\omega}\,d\omega = \frac{1}{\pi}\bigl[\operatorname{Si}\bigl(a(t+1)\bigr) - \operatorname{Si}\bigl(a(t-1)\bigr)\bigr]$$

$a$를 아무리 키워도 도약 옆의 봉우리는 도약폭의 약 9%(극한 8.95%)로 남고 폭만 좁아진다(Kreyszig 그림 283). 깁스 현상은 급수만의 일이 아니라, 높은 진동수를 잘라 낸 것 자체의 대가다.

직관

물리적으로 높은 진동수를 잘라 내는 장치가 이상적 저역통과 필터다. 차단 각주파수 $\omega_c$인 이상적 필터에 계단 $u(t)$를 넣으면 출력(계단 응답)이

$$y_u(t) = \frac12 + \frac{1}{\pi}\operatorname{Si}(\omega_c t)$$

로, 최종값보다 8.95% 솟았다가 출렁이며 가라앉는다. 게다가 $t<0$에서 이미 움직이기 시작한다 — 입력이 들어오기 전에 출력이 나온다는 뜻이라 인과적이지 않다. 10절에서 “이상적인 사각형 필터는 만들 수 없다”고 할 때의 두 이유(링잉과 비인과성)가 이 한 식에 들어 있다.

코사인 변환과 사인 변환

$[0,\infty)$에서만 정의된 함수는 1절의 반구간 전개와 똑같은 논리로 다룬다. 짝수 확장하면 코사인만, 홀수 확장하면 사인만 남는다.

$$F_c(\omega) = \int_0^{\infty} f(t)\cos\omega t\,dt, \qquad f(t) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} F_c(\omega)\cos\omega t\,d\omega$$ $$F_s(\omega) = \int_0^{\infty} f(t)\sin\omega t\,dt, \qquad f(t) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} F_s(\omega)\sin\omega t\,d\omega$$

역공식의 $2/\pi$는 앞 소절 실수형의 $A = \frac{2}{\pi}F_c$에서 왔다. $f$를 짝수 확장한 함수의 복소 변환은 $F = 2F_c$로, 복소 변환과 바로 이어진다.

주의

세 교재는 모두 코사인·사인 변환을 대칭으로 정의한다 — 정변환과 역변환 양쪽에 $\sqrt{2/\pi}$를 둔다(Kreyszig §11.8의 $\hat f_c$, Arfken 식 (20.11), Boas 식 (12.14)). 이 장은 복소 변환의 규약에 맞춰 정변환에 상수를 두지 않고 역변환에 $2/\pi$를 몬다(Arfken §20.5와 같다). 교재 식을 옮길 때는 정변환 값에 $\sqrt{\pi/2}$를 곱한다. 아래 도함수 공식의 $f'(0)$·$f(0)$ 항도 대칭 규약에서는 $\sqrt{2/\pi}$가 붙어 $-\sqrt{2/\pi}\,f'(0)$이 된다.

1계 도함수는 부분적분 한 번으로 변환된다(Kreyszig §11.8 정리 1 — $f$가 연속이고 절대적분 가능하며, $f'$이 조각별 연속이고, $t\to\infty$에서 $f\to0$일 때).

$$\mathcal{F}_c\{f'\} = \omega F_s - f(0), \qquad \mathcal{F}_s\{f'\} = -\omega F_c$$

미분이 코사인과 사인을 맞바꾼다 — 짝함수의 도함수는 홀함수이기 때문이다. 한 번 더 쓰면 바꿨던 것이 제자리로 돌아와 2계 공식이 된다.

$$\mathcal{F}_c\{f''\} = -\omega^2 F_c - f'(0), \qquad \mathcal{F}_s\{f''\} = -\omega^2 F_s + \omega f(0)$$

이 공식은 적분 없이 변환을 구하는 데도 쓴다. $f = e^{-at}$ ($a>0$)은 $f'' = a^2f$를 만족하므로, 코사인 공식에 $f'(0) = -a$를 넣으면 $a^2F_c = -\omega^2F_c + a$, 곧

$$\mathcal{F}_c\{e^{-at}\} = \frac{a}{a^2+\omega^2}, \qquad \mathcal{F}_s\{e^{-at}\} = \frac{\omega}{a^2+\omega^2}$$

이다(Kreyszig §11.8 예 3). $e^{-a\lvert t\rvert}$는 짝함수이므로 $F = 2F_c = \frac{2a}{a^2+\omega^2}$ — 변환쌍 표의 다섯째 줄과 맞는다.

직관

어느 쪽을 쓸지는 또 경계조건이 정한다 — 1절의 반구간 전개와 같은 규칙이다.

2계 공식을 보면 코사인 변환은 $f'(0)$을, 사인 변환은 $f(0)$을 요구한다. 그러니 표면에서 유속이 주어진 문제(노이만 경계조건)는 코사인 변환, 표면 농도가 주어진 문제(디리클레 경계조건)는 사인 변환이다(Arfken §20.3도 같은 결론을 낸다). 주어지지 않은 값을 요구하는 변환을 고르면 식이 미지수를 하나 더 안고 막힌다.

반무한 고체의 확산이 정확히 이 자리다. 표면 농도를 $C_s$로 고정한 예비증착 확산은 사인 변환으로 풀리고, 답이 1.5.10오차함수와 불완전 감마함수의 여오차함수 $\operatorname{erfc}$다. 웨이퍼 안으로 무한히 깊다고 치는 근사가 “반무한”의 뜻이고, 확산 깊이가 웨이퍼 두께보다 훨씬 얕은 동안 유효하다.

델타 함수 — 연속판 직교성

급수에서 직교성은 $\delta_{mn}$(크로네커 델타)이었다. 적분으로 넘어오면 그 자리를 $\delta(\omega)$(디랙 델타)가 대신한다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega - \omega')t}\,dt = 2\pi\,\delta(\omega - \omega')$$

주의

이 적분은 보통 의미로는 수렴하지 않는다. 피적분함수의 크기가 1이라 넓이가 무한대다. 등식이 뜻하는 바는 “양변에 시험함수를 곱해 적분하면 같다”는 것이고, 이런 등식을 다루는 틀이 1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념의 분포(초함수) 이론이다.

실용적으로는 그냥 써도 된다. 델타는 적분 안에 들어갔을 때만 뜻을 갖는 기호이고, $\int \delta(t-a)g(t)dt = g(a)$라는 성질 하나로 모든 계산이 처리된다. 다만 $\delta(t)^2$처럼 델타끼리 곱하는 식을 쓰면 그때는 정말로 뜻이 없다.

이 관계가 역변환 공식의 증명이다. 정변환을 역변환에 대입해 적분 순서를 바꾸면 $\frac{1}{2\pi}\int f(\xi)\bigl[\int e^{i\omega(t-\xi)}d\omega\bigr]d\xi = \int f(\xi)\delta(t-\xi)\,d\xi = f(t)$가 되어 제자리로 돌아온다.

3차원 변환 — 구대칭이면 사인 변환이 된다

공간에 퍼진 양 — 전하 밀도, 퍼텐셜, 파동함수 — 은 3차원 변환으로 다룬다. 시간 $t$ 대신 위치 $\mathbf{r}$, 각주파수 대신 파수 벡터 $\mathbf{k}$가 들어간다(Arfken §20.2). 여기서부터 이 절 끝까지 $k$는 파수의 크기다.

$$F(\mathbf{k}) = \int f(\mathbf{r})\,e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,d^3r, \qquad f(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int F(\mathbf{k})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,d^3k$$

축마다 1차원 변환을 한 번씩 한 것이라 역변환 앞에 $1/2\pi$가 세 번 붙는다. $f$가 원점으로부터의 거리 $r$에만 의존하면(구대칭), $\mathbf{k}$를 $z$축으로 잡고 각도 적분을 먼저 해 버릴 수 있다.

$$F(k) = \int_0^{\infty}\!\!\int_0^{\pi} 2\pi r^2 f(r)\,e^{-ikr\cos\theta}\sin\theta\,d\theta\,dr = \frac{4\pi}{k}\int_0^{\infty} r f(r)\sin kr\,dr$$

구대칭 3차원 변환은 $rf(r)$의 사인 변환이다. 결과도 $\mathbf{k}$의 크기에만 의존한다. 바로 앞의 $\mathcal{F}_s\{e^{-\mu r}\} = k/(\mu^2+k^2)$를 넣으면 첫 줄이 나오고, 둘째·셋째 줄은 거기서 따라 나온다. 넷째 줄은 1차원 가우시안 변환을 축마다 곱한 것이다.

$f(r)$	$F(k)$	비고
$\dfrac{e^{-\mu r}}{r}$	$\dfrac{4\pi}{k^2+\mu^2}$	유카와 — 차폐된 쿨롱 퍼텐셜
$\dfrac{1}{r}$	$\dfrac{4\pi}{k^2}$	쿨롱. 위 줄에서 $\mu\to0$
$e^{-\mu r}$	$\dfrac{8\pi\mu}{(k^2+\mu^2)^2}$	위 줄을 $-\partial/\partial\mu$ — 수소 1s의 모양
$e^{-ar^2}$	$\Bigl(\dfrac{\pi}{a}\Bigr)^{3/2}e^{-k^2/4a}$	1차원 가우시안의 세제곱

쿨롱 퍼텐셜 $1/r$은 절대적분이 안 되어 직접 변환할 수 없으므로, 차폐된 꼴을 먼저 변환한 뒤 차폐를 걷어내는 극한으로 얻는다(Arfken 식 (20.42)).

직관

$1/k^2$는 긴 꼬리의 흔적이고, 차폐가 그 꼬리를 자른다. 쿨롱 퍼텐셜은 멀리까지 천천히 줄어드는 꼬리를 가져서, 긴 파장(작은 $k$) 성분이 $1/k^2$로 발산한다. 꼬리를 길이 $1/\mu$에서 자르면 발산이 $1/\mu^2$에서 멈춘다 — 한쪽에서 좁히면 다른 쪽에서 넓어진다는 반비례의 3차원판이다.

반도체에서 이것이 물리는 자리가 둘 있다. 자유 캐리어가 이온화된 불순물의 전하를 가리면 퍼텐셜이 $e^{-r/L_D}/r$ 꼴이 되고(디바이 길이 $L_D$), 그 변환 $1/(k^2 + L_D^{-2})$이 이온화 불순물 산란의 행렬 원소가 된다. 산란이 작은 운동량 전달 쪽으로 쏠리는 것이 이 모양 때문이다(11.2). 금속의 토마스–페르미 차폐(7.10)도 같은 식이고, 1.8 끝에서 그린 함수로 만난 스크린된 쿨롱 퍼텐셜이 이것이다. 4절에서 $\nabla^2 \to -k^2$를 얻으면 이 쌍이 차폐된 푸아송 방정식의 해라는 것이 한 줄로 나온다.

푸리에 변환의 성질

성질 표

변환을 정의대로 매번 적분해 구하는 일은 거의 없다. 기본 변환쌍 몇 개와 아래 성질을 조합하면 대부분이 나온다. $\mathcal{F}\{f\} = F(\omega)$로 두었다.

성질	시간 영역	주파수 영역
선형성	$af + bg$	$aF + bG$
시간 이동	$f(t - t_0)$	$e^{-i\omega t_0}F(\omega)$
주파수 이동 (변조)	$e^{i\omega_0 t}f(t)$	$F(\omega - \omega_0)$
스케일링	$f(at)$	$\dfrac{1}{\lvert a\rvert}F\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right)$
시간 반전	$f(-t)$	$F(-\omega)$
미분	$f^{(n)}(t)$	$(i\omega)^n F(\omega)$
적분	$\int_{-\infty}^{t} f$	$\dfrac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)$
시간 곱	$t\,f(t)$	$i\,\dfrac{dF}{d\omega}$
켤레	$f^{*}(t)$	$F^{*}(-\omega)$
합성곱	$f * g$	$F\,G$
곱	$f\,g$	$\dfrac{1}{2\pi}F * G$

주의

표의 마지막 두 줄에서 규약이 물린다. 합성곱을 $\int f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$로 정의해 두면

규약	$\mathcal{F}\{f*g\}$	$\mathcal{F}\{fg\}$
비대칭 ① (이 백과)	$FG$	$\frac{1}{2\pi}F*G$
대칭 (Kreyszig)	$\sqrt{2\pi}\,FG$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}F*G$
비대칭 ② (Boas)	$2\pi\,FG$	$F*G$
$\nu$ 규약	$FG$	$F*G$

이다(Kreyszig §11.9 정리 4, Boas §8.10). 대칭 규약이라고 양쪽에 같은 인수가 붙는 것이 아니다 — 합성곱 쪽에는 $\sqrt{2\pi}$가 곱해진다. Arfken은 이 인수를 없애려고 합성곱의 정의 자체에 $1/\sqrt{2\pi}$를 넣는다(식 (20.68)). 그래서 Arfken의 합성곱 식을 옮겨 올 때는 정의부터 $1/\sqrt{2\pi}$만큼 다르다. 어느 쪽이 깨끗한가를 규약이 고르는 것이지 정리가 다른 것이 아니다.

미분 성질의 부호도 규약과 함께 뒤집힌다. $e^{+i\omega t}$를 정변환에 쓰는 Arfken에서는 $\mathcal{F}\{f'\} = -i\omega F$다(식 (20.55)).

시간 이동은 위상 기울기다

$$\mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-i\omega t_0}F(\omega)$$

직관

$|e^{-i\omega t_0}| = 1$이므로 크기 스펙트럼은 전혀 바뀌지 않는다. 신호를 통째로 늦춰도 어느 진동수가 얼마나 들었는지는 그대로다 — 당연하다. 바뀌는 것은 위상뿐이고, 그것도 $-\omega t_0$이라는 $\omega$에 비례하는 기울기로 바뀐다.

여기서 실무 규칙 하나가 나온다. 위상 응답이 주파수에 대해 직선이면 그 시스템은 파형을 일그러뜨리지 않고 통째로 지연시킬 뿐이다(선형 위상). 위상이 휘면 성분마다 지연이 달라져 파형이 뭉개진다. 오디오 필터나 고속 인터커넥트에서 “군지연 $\tau_g = -d\phi/d\omega$이 평탄해야 한다”고 말하는 것이 이 이야기다.

대칭 성질도 여기서 읽힌다. $f$가 실수면 $F(-\omega) = F^{*}(\omega)$이므로 크기 $|F|$는 짝함수, 위상은 홀함수다. 실수 신호의 스펙트럼을 양의 진동수만 그려도 정보를 잃지 않는 것이 이 때문이고, 스펙트럼 분석기가 음의 축을 보여 주지 않는 이유이기도 하다.

주파수 이동은 이것의 거울상이다. 신호에 $\cos\omega_0 t$를 곱하면

$$\mathcal{F}\{f(t)\cos\omega_0 t\} = \tfrac12 F(\omega-\omega_0) + \tfrac12 F(\omega+\omega_0)$$

로 스펙트럼이 통째로 $\pm\omega_0$로 옮겨 간다. 이것이 변조이고, 기저대역 신호를 반송파에 실어 보내는 통신의 기본 동작이다. 10절의 락인 검출은 이 이동을 두 번 해서 원래 자리로 되돌려 놓는 기법이다.

스케일링 — 좁히면 넓어진다

$$\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{\lvert a\rvert}F\!\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

그림 1.10-6. 가우시안 g(t) = e^(−t²)를 시간축에서 a배로 압축하거나 늘였을 때의 변환. 시간축에서 좁히면 주파수축에서 같은 비율로 넓어지고, 두 폭의 곱은 세 경우 모두 같다. 좁힌 쪽의 스펙트럼이 낮아지는 것은 앞에 붙은 1/|a| 때문인데, F(0) = ∫f dt 이므로 펄스의 넓이가 줄어든 만큼 스펙트럼의 높이도 줄어든다는 뜻이다 — 폭과 높이가 함께 움직여 두 영역의 면적 관계가 유지된다.직접 작도

직관

형태적 직관 — 이 성질은 “$t$축과 $\omega$축은 서로의 역수 눈금”이라는 말이다. 시간축을 $a$배 압축하면 주파수축은 $a$배 늘어난다. 두 축을 곱한 넓이는 불변이고, 그래서 시간–주파수 평면에서 신호가 차지하는 면적은 어떻게 늘이고 줄여도 줄지 않는다.

정량화하면 불확정성 부등식이다. $|f|^2$을 분포로 보고 그 표준편차로 폭을 잰다. 무게중심이 0이 되도록 시간 원점을 잡으면 $\Delta t^2 = \int t^2|f|^2dt / \int|f|^2dt$이고, $\Delta\omega$도 $|F|^2$로 같은 식을 쓴다.

$$\Delta t \cdot \Delta\omega \ge \tfrac12$$

등호는 가우시안에서만 성립하는데, 그 이유가 증명에 있다. $\int|f|^2dt = 1$로 두면 이 절 끝의 파세발 정리와 미분 성질로 $\Delta\omega^2 = \int|f'|^2dt$가 된다. 그러면 코시–슈바르츠 부등식으로 $\Delta t^2\,\Delta\omega^2 = \int|tf|^2dt\int|f'|^2dt \ge \bigl|\int tff'\,dt\bigr|^2 = \tfrac14$다(실함수로 보면 $\int tff'\,dt = -\tfrac12\int f^2dt$). 코시–슈바르츠의 등호는 두 함수가 비례할 때, 곧 $f' = -ctf$일 때이고 그 해가 가우시안 $e^{-ct^2/2}$뿐이다. 양자역학의 $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$는 여기에 $p = \hbar k$를 대입한 것 이상이 아니다 — 불확정성은 양자역학의 성질이 아니라 푸리에 변환의 성질이고, 물질이 파동이라는 사실만 추가되면 곧바로 따라 나온다(5.2).

파라미터 연계 — 실무에서 이 부등식이 물리는 곳이 여럿이다.

• 펄스 폭 $\times$ 대역폭 $\approx$ 상수. 짧은 광 펄스일수록 스펙트럼이 넓고, 그래서 극초단 펄스 레이저는 반드시 넓은 이득 대역을 요구한다.
• 측정 시간 $\times$ 주파수 분해능 $\approx$ 상수. 1 Hz 분해능으로 스펙트럼을 보려면 최소 1초를 측정해야 한다(6절의 $\Delta\nu = 1/(NT_s)$).
• 에너지 준위의 수명 $\times$ 선폭 $\approx \hbar$. 수명이 짧은 상태일수록 스펙트럼선이 넓다. 3절의 로렌츠 ↔ 지수 쌍이 이 관계의 정확한 모양이다.
• 진동 횟수 $\times$ 상대 선폭 $\approx 1$. 진동수 $\omega_0$로 $N$주기만 울리고 끝나는 파열은 스펙트럼 폭이 $\Delta\omega \approx \omega_0/N$이다(Arfken 예 20.2.4). 짧은 RF 버스트가 넓은 대역을 차지하는 이유이고, 선택도 $Q$가 높은 공진기가 오래 울리는 이유(10절)의 뒷면이다.

미분이 곱셈이 된다 — 이 장의 존재 이유

$$\mathcal{F}\{f'(t)\} = i\omega\,F(\omega)$$

증명은 정변환을 부분적분하고 $|t|\to\infty$에서 $f\to0$을 쓰면 한 줄이다. 반복하면 $\mathcal{F}\{f^{(n)}\} = (i\omega)^n F$이다.

직관

장 첫머리의 $\frac{d}{dt}e^{st} = se^{st}$가 여기서 결실을 맺는다. 미분 연산자를 그 고유함수의 기저에서 보면 각 성분에 고유값을 곱하는 일이고, 고유값이 $i\omega$다. 1.3에서 행렬을 고유기저에서 보면 대각이 되던 것과 완전히 같다.

$i\omega$라는 고유값이 두 가지를 한꺼번에 말한다. 크기 $\omega$는 미분이 고주파를 키운다는 뜻이고(그래서 잡음이 심한 데이터를 수치 미분하면 망가진다 — 1.12), 위상 $i = e^{i\pi/2}$는 미분이 90° 앞선다는 뜻이다. 코사인을 미분하면 $-\sin$이 되는 것, 축전기 전류가 전압보다 90° 앞서는 것이 같은 사실이다.

거꾸로 적분은 $1/(i\omega)$를 곱하는 것이라 고주파를 죽이고 위상을 90° 늦춘다. 적분기가 평활 회로로 쓰이는 이유이고, $\omega=0$에서 발산하는 것은 직류 성분이 시간에 따라 무한히 쌓이기 때문이다 — 표의 적분 항에 붙은 $\pi F(0)\delta(\omega)$가 그 몫을 챙긴다.

이 성질 하나로 미분방정식이 대수방정식이 된다. 예를 들어 힘 $f(t)$를 받는 감쇠 진동자($k$는 용수철 상수)

$$m y'' + c y' + k y = f(t)$$

를 변환하면

$$\bigl[-m\omega^2 + i c\omega + k\bigr]Y(\omega) = F(\omega)$$

가 되어, 미지 함수 $Y$를 나눗셈 한 번으로 얻는다. 괄호 안의 역수

$$H(\omega) = \frac{1}{k - m\omega^2 + i c\omega}$$

가 주파수 응답이고, 1.4.8에서 강제 진동을 풀며 손으로 구했던 공명 곡선이 바로 이 $|H(\omega)|$다. 1.4.8강제 진동과 공명의 계산이 여기서 세 줄로 끝난다. 2절 끝에서 삼각파 힘의 고조파마다 곱한 $|H(n)|$이 이것이었다.

공간 변수로 — 기울기와 라플라시안

미분 성질은 공간 변수에도 그대로 통한다. 이 소절의 $k$는 3절 끝의 파수다 — 바로 앞 진동자의 용수철 상수와 다른 양이다. 3차원 변환에서 $\partial/\partial x$가 $ik_x$ 곱하기가 되므로

$$\nabla f \;\longrightarrow\; i\mathbf{k}\,F(\mathbf{k}), \qquad \nabla^2 f \;\longrightarrow\; -k^2\,F(\mathbf{k})$$

이다(Arfken 식 (20.52)–(20.53). 지수 부호가 반대라 Arfken에서는 $-i\mathbf{k}$다). 라플라시안이 $-k^2$ 곱하기가 된다 — 편미분방정식에서 공간 미분이 한꺼번에 사라진다.

확산. $\partial C/\partial t = D\,\partial^2 C/\partial x^2$를 $x$에 대해 변환하면 파수마다 따로 노는 1계 ODE $d\hat{C}/dt = -Dk^2\hat{C}$가 되어 $\hat{C}(k, t) = \hat{C}(k, 0)\,e^{-Dk^2t}$다. 3절 가우시안 쌍을 거꾸로 읽으면 $e^{-Dk^2t}$는 $G_t(x) = e^{-x^2/4Dt}/\sqrt{4\pi Dt}$의 변환이므로, 해는 초기 분포와 가우시안 핵의 합성곱 $C = C(\cdot, 0) * G_t$다(1.7.9푸리에 적분·변환에 의한 해가 이 풀이다). 파수 $k$인 성분이 $e^{-Dk^2t}$로 죽으므로 짧은 파장부터 먼저 지워진다 — 확산이 요철을 매끈하게 만드는 방식이다.

차폐된 푸아송 방정식. 자유 캐리어가 있는 반도체에서 전위는 $\nabla^2\phi - \phi/L_D^2 = -\rho/\varepsilon$를 따른다($L_D$는 디바이 길이, $\varepsilon$은 유전율). 변환하면

$$\bigl(-k^2 - L_D^{-2}\bigr)\hat\phi = -\frac{\hat\rho}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad \hat\phi(\mathbf{k}) = \frac{\hat\rho(\mathbf{k})}{\varepsilon\,(k^2 + L_D^{-2})}$$

로 나눗셈 한 번에 풀린다. 점전하 $\rho = q\,\delta^3(\mathbf{r})$면 $\hat\rho = q$이고, 3절의 유카와 쌍을 거꾸로 읽으면 $\phi = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon r}\,e^{-r/L_D}$이다. $L_D\to\infty$(캐리어가 없음)로 보내면 맨 쿨롱 퍼텐셜로 돌아간다. 미분방정식을 풀지 않고 변환표 두 줄로 차폐 퍼텐셜을 얻었다.

쌍대성과 파세발

정변환과 역변환이 부호와 상수만 다르므로, 변환쌍 하나를 알면 짝을 뒤집은 것도 공짜로 얻는다.

$$f(t) \leftrightarrow F(\omega) \quad\Longrightarrow\quad F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$$

사각펄스 $\leftrightarrow$ sinc를 알면 sinc $\leftrightarrow$ 사각펄스도 아는 것이고, 이 짝이 6절의 이상적 저역통과 필터에서 그대로 쓰인다.

연속판 파세발 정리는 두 함수의 내적으로 적는 편이 일반적이다.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(t)\,g(t)\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F^{*}(\omega)\,G(\omega)\,d\omega, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\lvert f(t)\rvert^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert F(\omega)\rvert^2\,d\omega$$

오른쪽은 $g = f$로 둔 것이다. 이름이 여럿이다 — 파세발 관계, 레일리 정리(Arfken), 플랑셰렐 정리. 증명은 5절의 합성곱 정리에서 한 줄로 나온다. 이 규약에서는 $\mathcal{F}/\sqrt{2\pi}$가 내적을 보존하는 유니터리 연산자이고, 2절 급수의 파세발 정리가 연속판으로 넘어온 것이다(대칭 규약이면 $\mathcal{F}$ 자신이 유니터리다). 쓰임 하나 — 사각펄스($\lvert t\rvert<1$)에 넣으면 좌변이 2이므로 $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\,d\omega = \pi$가 적분 없이 나온다. 3.6에서 개구를 지나는 빛의 에너지와 회절 무늬 전체의 에너지가 같다는 것도 이 식이다.

$|F(\omega)|^2$을 에너지 스펙트럼 밀도라 부르고, 단위가 (신호 단위)$^2 \times$ 시간$^2$이라 $\omega$로 적분하면 에너지가 된다. 주기 신호처럼 에너지가 무한대인 경우에는 대신 단위 시간당으로 나눈 전력 스펙트럼 밀도를 쓰는데, 그 정의가 5절의 자기상관에서 나온다.

합성곱과 상관

뒤집고 밀고 곱해서 더한다

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$$

그림 1.10-7. 합성곱의 네 동작. g(τ)를 뒤집어 g(−τ)로 만들고, t만큼 밀어 g(t−τ)로 놓고, f(τ)와 곱한 뒤, 겹친 넓이를 적분한다. 결과 (f*g)(t)의 한 점을 얻는 데 적분 하나가 필요하므로, t를 훑으면 곡선 하나가 그려진다. 사각펄스끼리의 합성곱이 삼각형이 되는 것은 겹치는 넓이가 밀어 넣을 때 선형으로 늘고 빠질 때 선형으로 주는 까닭이다.직접 작도

주의

왜 하필 뒤집는가. 인수를 보면 $\tau$와 $t-\tau$의 합이 $t$로 고정돼 있다. 즉 합성곱은 “두 인수의 합이 $t$가 되는 모든 조합을 모아 더한 것”이고, 확률에서 독립인 두 변수의 합의 분포가 각 분포의 합성곱인 것과 같은 구조다(1.11).

뒤집기는 그 제약을 그림으로 옮긴 결과일 뿐 별도의 규칙이 아니다. 그리고 이 대칭 덕분에 $f * g = g * f$가 성립한다 — $\tau' = t-\tau$로 치환하면 두 식이 같아진다. 어느 쪽을 뒤집어도 결과가 같으므로, 계산할 때는 모양이 단순한 쪽을 뒤집는다.

합성곱은 교환·결합·분배 법칙을 모두 만족하고, 델타 함수가 항등원이다.

$$f * \delta = f, \qquad f * \delta(t - t_0) = f(t - t_0)$$

두 번째 식이 요긴하다 — 옮겨진 델타와의 합성곱은 옮기기다.

합성곱 정리

$$\mathcal{F}\{f * g\} = F(\omega)\,G(\omega), \qquad \mathcal{F}\{f\,g\} = \frac{1}{2\pi}\,F * G$$

직관

한쪽에서 얽힌 것이 다른 쪽에서 풀린다. 시간 영역의 합성곱은 적분이고 주파수 영역에서는 그냥 곱셈이다. 이 정리가 이 장에서 가장 많이 쓰이는 도구이고, 쓰임이 넷이다.

① 계산 수단. 합성곱을 직접 하면 점마다 적분이라 $O(N^2)$인데, 변환 → 곱 → 역변환으로 하면 $O(N\log N)$이다(6절 FFT). 큰 필터를 주파수 영역에서 돌리는 이유가 이것뿐이다.

② 물리적 그림. 선형 시불변(LTI) 시스템의 출력은 언제나 입력과 임펄스 응답의 합성곱이다. $y = x * h$. 주파수 영역에서 이것은 $Y(\omega) = X(\omega)H(\omega)$ — 시스템은 각 진동수 성분에 복소수 하나를 곱할 뿐이다. 그 복소수가 주파수 응답 $H(\omega)$이고, 크기가 이득, 편각이 위상 지연이다. “시스템이 무엇을 하는가”라는 질문이 “각 진동수를 얼마나 통과시키는가”로 바뀐다.

③ 흐림의 언어. 어떤 측정도 완벽하지 않고, 불완전함은 대개 합성곱으로 나타난다. 이상적인 상 $o$가 광학계를 지나면 점퍼짐함수 $h$와 합성곱된 $o * h$가 관측된다. 그러면 주파수 영역에서 $H(\omega)$가 고주파를 죽이는 만큼 미세 구조가 사라지고, $H$가 0이 되는 진동수의 정보는 복원 자체가 불가능하다. 리소그래피의 해상도 한계가 이 문장이다(3.6). 1절의 푸리에 부분합도 같은 구조였다 — $S_N$은 $f$와 디리클레 핵의 합성곱이고, 깁스 봉우리는 그 핵의 흐림 자국이다.

④ 곱은 합성곱이 된다 — 주기 퍼텐셜. 슈뢰딩거 방정식의 $V(x)\psi(x)$ 항은 파수 공간에서 $\frac{1}{2\pi}(\hat V * \hat\psi)$가 된다. $V$가 격자 주기를 가지면 $\hat V$가 역격자 벡터 $G$마다 선 하나씩인 선스펙트럼이라 합성곱이 합 $\sum_G V_G\,\hat\psi(k - G)$로 줄어든다. 그러면 파수 $k$인 성분은 $k - G$인 성분들하고만 섞인다. 밴드 이론의 중심 방정식이 이것이다(7.7, Arfken 예 20.4.4).

왜 성립하는지는 정의를 대입하고 적분 순서를 바꾸면 두 줄이다.

$$\begin{aligned} \mathcal{F}\{f*g\} &= \int\!\!\int f(\tau)g(t-\tau)\,e^{-i\omega t}\,d\tau\,dt \\ &= \int f(\tau)e^{-i\omega\tau}\Bigl[\int g(u)e^{-i\omega u}du\Bigr]d\tau = F(\omega)G(\omega) \end{aligned}$$

가운데에서 $u = t-\tau$로 치환하며 지수가 $e^{-i\omega\tau}e^{-i\omega u}$로 쪼개지는 것이 전부다. 지수함수가 덧셈을 곱셈으로 바꾸기 때문에 합성곱 정리가 성립하는 것이고, 다른 핵을 쓰는 변환에서 이 정리가 이렇게 깨끗하지 않은 이유이기도 하다.

4절에서 미뤄 둔 파세발 정리도 여기서 한 줄로 나온다. $\tilde f(t) = f^{*}(-t)$로 두면 $\mathcal{F}\{\tilde f\} = F^{*}(\omega)$이다. 합성곱 $\tilde f * g$를 $t = 0$에서 계산하면 $\int f^{*}(\tau)g(\tau)\,d\tau$이고, 합성곱 정리로 적으면 $\frac{1}{2\pi}\int F^{*}G\,d\omega$다(역변환을 $t = 0$에서 계산한 것). 두 값이 같다는 것이 곧 $\int f^{*}g\,dt = \frac{1}{2\pi}\int F^{*}G\,d\omega$다 (Arfken §20.4).

가우시안끼리의 합성곱 — 폭은 제곱으로 더해진다

넓이를 1로 맞춘 가우시안 $g_\sigma(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-t^2/2\sigma^2}$의 변환은 3절 표에서 $G_\sigma(\omega) = e^{-\sigma^2\omega^2/2}$다. 두 가우시안을 합성곱하면 변환이 곱해지고, 지수끼리 더해진다.

$$G_{\sigma_1}G_{\sigma_2} = e^{-(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\,\omega^2/2} \quad\Longrightarrow\quad g_{\sigma_1} * g_{\sigma_2} = g_{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}$$

가우시안끼리의 합성곱은 다시 가우시안이고, 분산이 더해진다.

직관

물리적으로 4절의 확산 핵 $G_t$는 분산이 $\sigma^2 = 2Dt$인 가우시안이다. 그러니 확산을 두 번 연달아 하면 — 온도가 다른 두 열처리를 차례로 하면 — 분산 $2D_1t_1$과 $2D_2t_2$가 더해져, 한 번에 $\sum_i D_it_i$만큼 확산한 것과 같다. 공정에서 열 예산(thermal budget)을 $\sum D_it_i$로 셈하는 근거가 이 한 줄이다(18.7).

분산이 더해진다는 것 자체는 가우시안이 아니어도 성립한다. 넓이 1인 음이 아닌 두 함수를 합성곱하면 평균도 분산도 더해진다 — 독립인 두 확률 변수의 합의 분포가 두 분포의 합성곱이고, 그 분산이 더해지는 것과 같은 사실이다(1.11). 가우시안만의 특권은 모양이 보존된다는 데 있다. 그래서 10절의 “상승시간이 제곱합으로 더해진다”는 규칙은 각 단의 응답이 가우시안에 가까울 때 잘 맞는 근사다.

상관 — 닮음을 재는 적분

$$(f \star g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(\tau)\,g(t+\tau)\,d\tau$$

주의

합성곱과 상관은 다르다. 상관은 뒤집지 않는다. 두 식을 나란히 놓으면 인수가 $g(t-\tau)$와 $g(t+\tau)$로 갈린다. $\tau$를 $-\tau$로 바꿔 보면 상관은 “$f$를 뒤집고 켤레를 취한 $\tilde f(t) = f^{*}(-t)$와 $g$의 합성곱”, 곧 $f\star g = \tilde f * g$다. 그러니 둘이 같아지는 것은 $\tilde f = f$일 때, 실함수라면 $f$가 짝함수일 때다 — 조건은 $g$가 아니라 앞에 놓인 $f$에 걸린다.

표기도 위험하다. 합성곱은 $f * g$, 상관은 $f \star g$로 쓰는 것이 관례지만 책마다 흔들리고, 켤레 $f^{*}$까지 끼어 있어 별표가 한 줄에 두 번 나오는 일이 생긴다. 가운데 놓인 별표는 연산, 위첨자 별표는 켤레라는 규칙만 지키면 읽을 수 있다.

$g = f$일 때를 자기상관 $R_f(t)$라 하고, 두 가지 성질이 곧바로 나온다.

• $R_f(0) = \int|f|^2$ — 원점에서 최대이고 그 값이 신호의 에너지다.
• 자기상관의 변환은 에너지 스펙트럼 밀도다. $R_f = \tilde f * f$에 합성곱 정리를 쓰면 $$\mathcal{F}\{R_f\} = F^{*}(\omega)F(\omega) = \lvert F(\omega)\rvert^2$$

에너지가 유한한 신호는 여기까지다. 잡음처럼 끝없이 이어지는 신호는 $\int|f|^2dt$가 발산해 $F$도 $R_f$도 없으므로, 적분을 시간 평균으로 바꾼다.

$$R(\tau) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f^{*}(t)\,f(t+\tau)\,dt, \qquad S(\omega) = \mathcal{F}\{R\}$$

이 $S(\omega)$가 전력 스펙트럼 밀도이고, “시간 평균 자기상관의 변환이 전력 스펙트럼 밀도”라는 것이 위너–킨친 정리다. $R(0)$이 평균 전력이다.

직관

자기상관은 “신호가 자기 자신을 얼마나 기억하는가”를 잰다. $t$만큼 밀어 놓고 겹쳐 보아 여전히 닮았으면 값이 크고, 완전히 무관해졌으면 0에 가깝다. 그래서 자기상관이 넓게 퍼진 신호는 느리게 변하는 신호이고, 자기상관이 원점에서 뾰족한 신호는 빠르게 변하는 신호다.

위너–킨친 정리는 이 문장을 스펙트럼으로 번역한다. 느리게 변하는 신호(넓은 자기상관)는 저주파 성분이 많고(좁은 스펙트럼), 빠른 신호는 반대다. 4절의 반비례가 여기서 한 번 더 나온다.

백색잡음의 자기상관은 $R(\tau) = S_0\,\delta(\tau)$ — 어느 두 시각도 무관하다 — 이고, 그 변환이 상수 $S_0$이다. 평평한 스펙트럼이라는 뜻이고, “백색”이라는 이름이 여기서 왔다. 저항의 열잡음이 넓은 대역에서 평평한 것, 그래서 대역폭을 반으로 줄이면 잡음 전력도 반이 되는 것이 전부 이 한 줄에서 나온다(10절).

정리의 진짜 이익은 에너지가 유한하지 않은 신호에도 스펙트럼을 정의해 준다는 데 있다. 잡음이나 정상 확률 과정은 $\int|f|^2dt$가 발산해 $F(\omega)$ 자체가 없지만, 자기상관은 멀쩡히 존재하고 그 변환이 스펙트럼 노릇을 한다.

상관의 쓰임 세 가지를 적어 둔다.

• 매칭 필터. 잡음에 묻힌 신호를 찾을 때 알고 있는 파형과 상관을 취하면 신호가 있는 시점에서 값이 솟는다. 잡음은 상관되지 않아 평균적으로 상쇄되기 때문이다. 레이더·초음파 계측·통신 동기화가 모두 이 원리다.
• 락인 검출. 기준 주파수와의 상관만 남기고 나머지를 버린다. 잡음 바닥보다 훨씬 작은 신호를 끌어내는 표준 계측 기법이고, 10절에서 다시 본다.
• 결정학의 패터슨 함수. 회절 강도 $|F|^2$의 역변환은 전자밀도가 아니라 그 자기상관이다. 회절 실험이 위상을 잃어버리기 때문에 생기는 일이고, 이것이 결정 구조 해석의 위상 문제다(7.2).

이산 푸리에 변환과 FFT

표기가 바뀐다

컴퓨터로 다루는 신호는 연속함수가 아니라 표본의 유한 수열이다. 이 절부터 DSP의 표준 표기를 쓴다 — 앞 절들과 글자가 달라지므로 대응을 먼저 적어 둔다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	앞 절의 대응
$x[n]$	엑스 엔	$n$번째 표본. $n = 0,\dots,N-1$	$f(t)$
$X[k]$	엑스 케이	$k$번째 DFT 계수	$F(\omega)$
$n$		시간 인덱스	$t$
$k$		주파수 인덱스	$\omega$
$N$		표본 개수 = 계수 개수	—
$T_s$		표본 간격 (샘플 주기)	—
$\nu_s = 1/T_s$		표본화 주파수	—
$W_N$		$e^{-2\pi i/N}$ — 회전 인자	$e^{-i\omega t}$

주의

$n$과 $k$가 대소문자 짝이 아니라 역할 짝이다. 둘 다 소문자 정수 인덱스라 눈으로는 구분되지 않고, 식 안에서 $nk$로 붙어 다니기까지 한다. 규칙은 하나다 — $n$은 왼쪽(시간), $k$는 오른쪽(주파수). 대괄호 $x[n]$는 이산 수열, 소괄호 $x(t)$는 연속함수를 뜻하는 관례도 함께 쓴다.

$N$(표본 개수)과 $n$(인덱스)도 대소문자로만 갈린다. $n$은 언제나 $0 \le n \le N-1$ 범위이므로, 식에서 위첨자·아래첨자 자리에 있으면 인덱스, 합의 개수 자리에 있으면 개수다.

기준 교재 두 권은 인덱스 역할이 이 장과 정반대다. Kreyszig(§11.9)는 표본을 $f_k$, 스펙트럼을 $\hat f_n$으로 적고 회전 인자를 소문자 $w$로 쓴다 — 연속 변환의 주파수 변수 $w$와 같은 글자다. Arfken(§20.6)도 표본이 $f_k$, 스펙트럼이 $g_p$이고, 지수 부호가 $+$에 앞에 $N^{-1/2}$을 붙이는 대칭 규약이다. 교재의 식을 그대로 옮기면 $n$과 $k$가 뒤바뀌므로, 옮기기 전에 어느 쪽이 표본인지부터 확인한다.

표본화 — 스펙트럼이 복제된다

연속 신호를 $T_s$마다 찍는 것은 임펄스 열을 곱하는 일이다.

$$x_s(t) = x(t)\sum_{n}\delta(t - nT_s)$$

임펄스 열의 푸리에 변환이 다시 임펄스 열이라는 사실(주기 $T_s$의 열 $\to$ 간격 $\omega_s = 2\pi/T_s$의 열)과 4절의 곱 정리를 쓰면, 표본화된 신호의 스펙트럼은

$$X_s(\omega) = \frac{1}{T_s}\sum_{m=-\infty}^{\infty} X(\omega - m\omega_s)$$

원래 스펙트럼을 $\omega_s$ 간격으로 무한히 복제해 늘어놓은 것이다.

그림 1.10-8. 표본화가 스펙트럼에 하는 일. 대역폭 ω_max인 신호를 ω_s 간격으로 표본화하면 스펙트럼이 ω_s마다 복제된다. 위쪽은 ω_s > 2ω_max라 복제본들이 떨어져 있어 저역통과 필터로 원본만 오려 낼 수 있고, 아래쪽은 ω_s < 2ω_max라 이웃 복제본이 겹쳐 든다 — 겹친 구간의 고주파 성분은 저주파로 접혀 들어와 원본과 구별할 수 없게 된다(앨리어싱).직접 작도

직관

표본화 정리(섀넌·나이퀴스트)가 그림에서 바로 읽힌다. 복제본이 겹치지 않을 조건은 $\omega_s > 2\omega_\text{max}$, 즉 신호의 최고 주파수의 두 배보다 빠르게 찍어야 한다. $\nu_s/2$를 나이퀴스트 주파수라 하고, 겹침이 없으면 저역통과 필터로 복제본을 걷어내 원 신호를 완전히 복원할 수 있다. 복원 공식이 sinc 보간이다.

$$x(t) = \sum_{n} x[n]\,\operatorname{sinc}\!\Bigl(\frac{\pi(t-nT_s)}{T_s}\Bigr)$$

이상적 저역통과 필터의 임펄스 응답이 sinc라는 4절의 쌍대성이 여기서 쓰인다.

앨리어싱은 되돌릴 수 없다. 겹쳐 든 뒤에는 어느 성분이 원본이고 어느 것이 접혀 온 것인지 구별할 정보가 남아 있지 않다. 그래서 대책은 언제나 표본화 전에 아날로그 저역통과 필터로 $\nu_s/2$ 위를 잘라 내는 것이고, 이 필터를 안티앨리어싱 필터라 한다. 데이터 수집 장비의 입력단에 반드시 하나 있다.

일상에서 보는 예가 바퀴가 거꾸로 도는 착시다. 초당 24프레임으로 찍은 영상에서 그보다 빠르게 도는 바퀴는 느리게 또는 거꾸로 도는 것처럼 보인다 — 고주파가 저주파로 접혀 든 것이다. 계측 데이터에서 정체 모를 저주파 요동이 보이면 앨리어싱을 먼저 의심한다.

숫자로 보면 더 분명하다. 한 주기 $2\pi$를 $N = 4$점으로 찍으면 $\cos x$와 $\cos 3x$가 똑같은 표본 $(1, 0, -1, 0)$을 준다(Arfken 예 20.6.1). 진동수 3이 $4 - 3 = 1$로 접혀 든 것이고, 표본만 받은 쪽에서는 둘을 가릴 방법이 없다.

이산 푸리에 변환

$N$개의 표본에 대한 DFT와 그 역변환은 다음과 같다.

$$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,W_N^{nk}, \qquad x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k]\,W_N^{-nk}$$

$W_N = e^{-2\pi i/N}$은 단위원을 $N$등분한 점 중 하나다. $W_N^N = 1$이고 $W_N^{n+N} = W_N^n$이라 지수가 $N$을 주기로 돌아온다 — 이 주기성이 뒤의 모든 성질과 FFT의 근거다.

역변환이 정말 되돌려 주는지는 이산 직교성 하나로 증명된다. 등비급수 $\sum_{n=0}^{N-1}r^n = \frac{1-r^N}{1-r}$에 $r = W_N^{k-k'}$을 넣으면 $r^N = 1$이라 분자가 0이 되고, $r = 1$일 때만 합이 $N$으로 남는다.

$$\sum_{n=0}^{N-1} W_N^{\,n(k-k')} = \begin{cases} N & k \equiv k' \pmod N \\ 0 & \text{그 밖} \end{cases}$$

3절 델타 직교성 $\int e^{i(\omega-\omega')t}dt = 2\pi\delta(\omega-\omega')$의 이산판이다. 다만 “mod $N$“이 붙어 있다 — $k$와 $k + N$을 구별하지 못한다는 뜻이고, 이것이 곧 앨리어싱이다. 행렬로 쓰면 DFT는 $(\mathbf{F}_N)_{kn} = W_N^{kn}$인 $N\times N$ 행렬을 곱하는 일이고($\mathbf{X} = \mathbf{F}_N\mathbf{x}$), 직교성은

$$\mathbf{F}_N^{*}\,\mathbf{F}_N = N\,\mathbf{I}, \qquad \mathbf{F}_N^{-1} = \frac{1}{N}\,\mathbf{F}_N^{*}$$

로 적힌다($\mathbf{F}_N^{*}$는 성분마다 켤레를 취한 행렬. Kreyszig §11.9 식 (19)–(21)은 윗줄로 적는다). 역변환 앞의 $1/N$이 여기서 나온다. $\mathbf{F}_N/\sqrt{N}$은 유니터리 행렬이어서 이산판 파세발 정리 $\sum_n\lvert x[n]\rvert^2 = \frac{1}{N}\sum_k\lvert X[k]\rvert^2$가 따라 나온다 — 장 첫머리의 “기저를 잘 고르면”을 가장 문자 그대로 보여 주는 예다. $N$차원 벡터를 단위원 위의 $N$개 회전으로 된 기저로 갈아탄 것이다.

DFT는 푸리에 계수의 근삿값이다. 주기 $2\pi$인 $f$를 $x_n = 2\pi n/N$에서 찍어 $x[n] = f(x_n)$으로 두면, 1절의 계수 적분을 직사각형 합으로 근사한 것이 그대로 DFT다(Kreyszig §11.9 식 (18)).

$$c_k = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,e^{-ikx}\,dx \;\approx\; \frac{1}{2\pi}\sum_{n=0}^{N-1} f(x_n)\,e^{-ikx_n}\,\frac{2\pi}{N} = \frac{X[k]}{N}$$

FFT 출력을 $N$으로 나눠야 푸리에 계수라는 실무 규칙이 이것이다. $k > N/2$인 계수는 음의 진동수 $k - N$의 몫이고(실수 신호면 $X[N-k] = X[k]^{*}$), 이 계수들로 만든 삼각다항식은 표본점에서 $f$를 정확히 지난다.

예제 — 네 점. $N = 4$이면 $W_4 = e^{-i\pi/2} = -i$이고, 표본 $\mathbf{x} = (0, 1, 4, 9)$에 대해

$$\mathbf{F}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \mathbf{F}_4\mathbf{x} = (14,\ -4+8i,\ -6,\ -4-8i)$$

이다(Kreyszig §11.9 예 4). $X[0] = 14$가 표본의 합(평균의 $N$배)이고, $X[3] = X[1]^{*}$가 실수 신호의 켤레 대칭이다. 파세발 검산 — $\sum\lvert x[n]\rvert^2 = 98$, $\frac14\sum\lvert X[k]\rvert^2 = \frac{392}{4} = 98$.

직관

DFT는 새 변환이 아니라 네 조합 중 하나다. 시간이 연속인가 이산인가, 비주기인가 주기인가로 네 가지가 나온다.

	비주기	주기
연속 시간	푸리에 변환 (3절) 연속·비주기 스펙트럼	푸리에 급수 (1절) 이산·비주기 스펙트럼
이산 시간	DTFT 연속·주기 스펙트럼	DFT (이 절) 이산·주기 스펙트럼

읽는 법은 간단하다. 한쪽이 이산이면 다른 쪽이 주기이고, 한쪽이 주기면 다른 쪽이 이산이다. 표본화(시간 이산화)가 스펙트럼을 복제(주기화)한 것이 방금 본 내용이고, 반대로 주기함수의 스펙트럼이 선(이산)이었던 것이 1절이다. 같은 규칙의 앞뒤일 뿐이다.

DFT는 양쪽 다 이산이자 주기인 유일한 칸이고, 그래서 유한 개의 수로 표현되어 컴퓨터에 올라간다. 대가는 양쪽 모두에 주기성이 강제된다는 것이다.

주의

DFT는 신호가 $N$개 뒤에 반복된다고 가정한다. 이 가정을 잊으면 두 가지 사고가 난다.

① 누설(leakage). 잘라 낸 구간의 양 끝이 이어지지 않으면 이음매에 도약이 생기고, 2절에서 본 대로 도약은 $1/n$ 꼬리를 만든다. 순수한 정현파를 재도 스펙트럼이 한 점이 아니라 옆으로 번져 보이는 이유다. 대책은 양 끝을 0으로 부드럽게 눌러 주는 창함수(해닝·해밍·블랙만)이고, 번짐(주엽 폭)과 옆가지(부엽 높이)를 맞바꾸는 선택이다.

② 순환 합성곱. DFT 영역에서 $X[k]Y[k]$를 곱하고 되돌리면 선형 합성곱이 아니라 순환 합성곱이 나온다 — 끝을 넘어간 부분이 앞으로 되돌아온다. 이동도 합성곱도 인덱스가 mod $N$으로 돈다(Arfken 식 (20.123)–(20.125)).

$$x\bigl[(n-m) \bmod N\bigr] \;\leftrightarrow\; W_N^{mk}X[k], \qquad \sum_{m=0}^{N-1} x[m]\,y\bigl[(n-m) \bmod N\bigr] \;\leftrightarrow\; X[k]\,Y[k]$$

길이 $P$와 $Q$인 두 수열의 선형 합성곱을 FFT로 얻으려면 둘 다 $P+Q-1$ 이상으로 0을 채운 뒤에 곱해야 한다. 0 채우기를 빼먹으면 결과의 앞부분이 조용히 오염되고, 오류가 아니라 그럴듯한 숫자로 나와서 발견하기 어렵다.

분해능 — 무엇이 무엇을 정하는가

DFT 계수 $X[k]$가 대응하는 주파수는 $\nu_k = k/(NT_s)$이다. 여기서 세 파라미터의 관계가 전부 나온다.

원하는 것	정하는 것	관계
최고 주파수 (앨리어싱 한계)	표본 간격 $T_s$	$\nu_\text{max} = 1/(2T_s)$
주파수 분해능	전체 측정 시간 $NT_s$	$\Delta\nu = 1/(NT_s)$
계수 개수	표본 개수 $N$	$N$개 (실수 신호는 절반이 켤레 중복)

직관

파라미터 연계 — 둘은 서로를 밀어낸다. 더 높은 주파수를 보려면 $T_s$를 줄여야 하고, 더 고운 분해능을 얻으려면 $NT_s$(측정 시간)를 늘려야 한다. 둘 다 하려면 $N$이 커진다.

$\Delta\nu = 1/(NT_s)$가 4절 불확정성의 이산판이다. 1 Hz 분해능은 1초 측정을 요구한다. 이것을 0 채우기로 이길 수 없다는 점이 중요하다 — 0을 채우면 계수가 촘촘해져 그래프가 매끄러워지지만, 없던 정보가 생기지는 않는다(sinc 보간을 한 것과 같다). 두 개의 가까운 스펙트럼선을 실제로 분리하려면 더 오래 측정하는 수밖에 없다.

FFT — 왜 $N\log N$인가

DFT를 정의대로 계산하면 계수 하나에 $N$번 곱하고 그것을 $N$개 구하니 $O(N^2)$이다. $N = 2^{20} \approx 10^6$이면 $10^{12}$번이라 현실적이지 않다. 아래 알고리즘은 $N$이 2의 거듭제곱일 때 가장 깔끔하게 돌아가므로 표본 수를 그렇게 맞추는 것이 관례다.

쿨리–튜키 알고리즘은 합을 짝수 인덱스와 홀수 인덱스로 쪼갠다.

$$X[k] = \underbrace{\sum_{m=0}^{N/2-1} x[2m]W_{N/2}^{mk}}_{E[k]} + W_N^{k}\underbrace{\sum_{m=0}^{N/2-1} x[2m{+}1]W_{N/2}^{mk}}_{O[k]}$$

$W_N^{2mk} = W_{N/2}^{mk}$라는 지수 법칙 하나가 요점이다. 절반 크기의 DFT 두 개가 나왔고, $W_N^{k+N/2} = -W_N^k$이므로 앞뒤 절반을 한꺼번에 얻는다.

$$X[k] = E[k] + W_N^k O[k], \qquad X[k + N/2] = E[k] - W_N^k O[k]$$

앞의 네 점 예제로 확인해 보면(Kreyszig §11.9 예 5), 짝수 번째 표본 $(0, 4)$의 2점 DFT가 $E = (4, -4)$, 홀수 번째 $(1, 9)$의 것이 $O = (10, -8)$이다. 그러면 $X[1] = E[1] + W_4\,O[1] = -4 + (-i)(-8) = -4 + 8i$이고 $X[3] = E[1] - W_4\,O[1] = -4 - 8i$로, 행렬을 곱해 얻은 값과 같다. 곱셈은 회전 인자 한 번이면 되었다.

그림 1.10-9. N = 8 쿨리–튜키 분해. 매 단계마다 수열을 짝·홀로 갈라 절반 크기 DFT 두 개로 바꾸고, 그 결과를 회전 인자 W와 ±로 합친다(버터플라이). 크기가 1이 될 때까지 log₂N = 3단계가 걸리고 각 단계의 연산량이 N이므로 전체가 N log N이다. 맨 왼쪽 입력 순서가 0,4,2,6,1,5,3,7인 것은 재귀적 짝·홀 분리의 결과이며, 인덱스를 이진수로 적어 자리를 뒤집은 순서(비트 반전)와 같다.직접 작도

직관

분할정복의 이익이 정확히 어디서 나오는지를 보면 이 알고리즘이 왜 그렇게 특별한지 알 수 있다. 비용 $T(N) = 2T(N/2) + O(N)$을 풀면 $T(N) = O(N\log N)$이다. $N = 2^{20}$에서 $10^{12} \to 2\times10^7$로, 5만 배가 줄어든다. 복소 곱셈만 세면 단계마다 $N/2$번씩 $(N/2)\log_2 N$번이다(Arfken §20.6).

가능한 이유는 $W_N$의 대칭성이다. $W_N^{nk}$의 값이 $N$개밖에 없고 그중 절반이 나머지 절반의 부호 반전이라, 같은 곱을 두 번 하지 않고 재사용할 수 있다. 알고리즘이 빠른 것이 아니라 변환의 핵이 규칙적인 것이다.

이 알고리즘 하나가 없었으면 디지털 신호처리도, MRI도, OFDM 통신도, 리소그래피 시뮬레이션도 지금 형태가 아니었을 것이다. 반도체 쪽에서 매일 돌아가는 것만 꼽아도 — 광 근접 보정(OPC)의 결상 계산, 계측 장비의 스펙트럼 분석, TCAD의 푸아송 방정식 스펙트럼 해법, 회로 시뮬레이터의 주기 정상상태 해석이 모두 FFT 위에 서 있다.

라플라스 변환과 기본 성질

푸리에가 못 하는 것

푸리에 변환은 보통 의미로는 $\int|f|dt < \infty$를 요구한다. 그런데 공학에서 다루는 신호는 이 조건을 자주 어긴다. 단위 계단 $u(t)$나 끝없이 이어지는 정현파는 3절처럼 델타를 빌려야 겨우 변환되고, 성장하는 지수 $e^{2t}$는 그마저 안 된다. 게다가 “$t=0$에 스위치를 켰다”는 초기조건을 푸리에 변환은 담을 자리가 없다.

라플라스 변환은 두 가지를 고쳐서 이 문제를 지운다.

$$\boxed{\;F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt, \qquad s = \sigma + i\omega\;}$$

• 적분을 $t \ge 0$에서만 한다. 과거가 없는 신호, 즉 인과적인 문제에 맞다.
• 감쇠 인자 $e^{-\sigma t}$를 곱한다. $\sigma$를 충분히 크게 잡으면 웬만큼 발산하는 함수도 적분이 수렴한다.

적분 하한의 $0^-$는 “$t = 0$에 놓인 델타까지 적분에 넣으라”는 뜻이다. 보통 함수에서는 하한 0과 차이가 없어서 교재들은 그냥 0으로 적는다. 차이가 나는 것은 원점에 델타가 있을 때뿐이고, 그 쓰임을 8절에서 본다. 표기는 소문자가 시간 함수, 대문자가 그 변환이다(Kreyszig·Boas와 같고, Arfken은 거꾸로다 — 1절 ⑦).

직관

$s = \sigma + i\omega$를 지수에 넣으면 $e^{-st} = e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}$다. 뒤쪽은 푸리에의 진동하는 핵 그대로이고, 앞쪽이 새로 붙인 감쇠 저울이다.

그러니 라플라스 변환은 “$f(t)u(t)\,e^{-\sigma t}$의 푸리에 변환”이다. 발산하는 함수라도 $e^{-\sigma t}$를 곱해 눌러 놓으면 변환할 수 있다는 발상이다. 수렴 영역이 허축($\sigma = 0$)을 포함하면 — 지수적으로 죽는 신호, 곧 안정한 계의 응답이 그렇다 — 허축 위의 값 $F(i\omega)$가 그대로 푸리에 변환이고 두 변환이 거기서 만난다. 수렴 영역이 허축에 닿지 못하면 둘이 다르다. $\mathcal{L}\{u\} = 1/s$이지만 $\mathcal{F}\{u\} = \pi\delta(\omega) + 1/(i\omega)$로, 4절 표의 적분 줄에서 본 델타 항이 더 붙는다.

형태적으로 푸리에가 허축이라는 선 위의 이야기라면 라플라스는 복소평면 전체의 이야기다. 1차원에서 2차원으로 넓힌 대가로 얻는 것이 수렴 영역과 극점이라는 구조이고, 그 구조가 9절에서 시스템의 안정성과 응답 모양을 통째로 말해 준다.

기본 변환 — 지수함수 하나에서 나온다

변환표의 거의 모든 줄이 지수함수 하나에서 나온다.

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \qquad (\operatorname{Re}s > \operatorname{Re}a)$$

$a$가 복소수여도 된다. $a = i\omega_0$로 두면

$$\mathcal{L}\{e^{i\omega_0 t}\} = \frac{1}{s - i\omega_0} = \frac{s + i\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$$

이고, 실수부와 허수부에서 $\cos\omega_0 t$와 $\sin\omega_0 t$의 변환이 한꺼번에 나온다(Boas §8.8 예 3). $e^{\pm at}$의 합과 차로는 $\cosh$·$\sinh$가 나온다. 거듭제곱은 $u = st$로 치환해 감마 함수 (1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)로 만든다.

$$\mathcal{L}\{t^{\nu}\} = \int_0^{\infty} t^{\nu}e^{-st}\,dt = \frac{\Gamma(\nu+1)}{s^{\nu+1}} \qquad (\nu > -1)$$

정수 $\nu = n$이면 $n!/s^{n+1}$이고, $\nu = -\tfrac12$이면 $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$라서 $\sqrt{\pi/s}$다. 식을 매개변수로 미분해도 새 줄이 생긴다. $1/(s-a)$를 $a$로 미분하면 $\mathcal{L}\{te^{at}\} = 1/(s-a)^2$이고, $\omega_0/(s^2+\omega_0^2)$를 $\omega_0$로 미분하면 $t\cos\omega_0 t$가 들어간 줄이 나온다(Boas §8.8 예 4).

$f(t)$	$F(s)$	수렴 영역
$u(t)$	$1/s$	$\sigma > 0$
$e^{at}$	$1/(s-a)$	$\sigma > a$
$t^n$	$n!/s^{n+1}$	$\sigma > 0$
$t^{\nu}$ ($\nu>-1$)	$\Gamma(\nu+1)/s^{\nu+1}$	$\sigma > 0$
$\cos\omega_0 t$	$s/(s^2+\omega_0^2)$	$\sigma > 0$
$\sin\omega_0 t$	$\omega_0/(s^2+\omega_0^2)$	$\sigma > 0$
$\cosh at$	$s/(s^2-a^2)$	$\sigma > \lvert a\rvert$
$\sinh at$	$a/(s^2-a^2)$	$\sigma > \lvert a\rvert$
$e^{at}\cos\omega_0 t$	$(s-a)/[(s-a)^2+\omega_0^2]$	$\sigma > a$
$e^{at}\sin\omega_0 t$	$\omega_0/[(s-a)^2+\omega_0^2]$	$\sigma > a$
$t\,e^{at}$	$1/(s-a)^2$	$\sigma > a$
$\delta(t)$	$1$	전체

실수 $a$가 음수이면 $e^{at}$ 줄들이 감쇠, 양수이면 성장이다. 계단·델타가 $t = b$로 옮겨 간 줄과 공명에 쓰는 줄은 8·9절에서 더한다.

존재와 유일성

$\int_0^\infty |f|e^{-\sigma t}dt$가 수렴하려면 $\sigma$가 충분히 커야 한다. 그 경계 $\sigma_a$를 수렴 가로좌표라 하고, 수렴 영역은 $\operatorname{Re}s > \sigma_a$인 오른쪽 반평면이다. 언제 변환이 있는가에 대한 표준 답은 이렇다(Kreyszig §6.1 정리 3).

$f$가 $t \ge 0$의 모든 유한 구간에서 조각별 연속이고, 어떤 상수 $M$, $\sigma_0$에 대해 $\lvert f(t)\rvert \le Me^{\sigma_0 t}$이면(지수 차수), $\operatorname{Re}s > \sigma_0$에서 변환이 존재한다.

증명은 한 줄이다. $\lvert F(s)\rvert \le \int_0^\infty Me^{\sigma_0 t}e^{-\sigma t}\,dt = \dfrac{M}{\sigma - \sigma_0}$. 같은 부등식에서 부수 결과도 나온다 — $\sigma\to\infty$에서 $F(s)\to0$이다. 보통 함수의 변환은 언제나 무한대에서 0으로 간다. 표에서 $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$만 0으로 가지 않는 것은 델타가 보통 함수가 아니라는 신호다.

주의

이것은 충분조건이다. 표의 $t^{-1/2}$는 $t = 0$에서 유계가 아니어서 조각별 연속이 아닌데도 변환이 있다. 원점의 특이성이 $t^{-1}$보다 약하면 적분이 수렴하기 때문이다($t^{-1}$ 자체는 안 된다 — Arfken §20.7).

반대로 $e^{t^2}$처럼 지수보다 빠르게 자라는 함수는 어떤 $\sigma$로도 누를 수 없다 — 라플라스 변환이 존재하지 않는다. “지수 차수”라는 이름이 가리는 점이 있는데, 지수가 $\sigma_0 t$처럼 $t$의 1차여야 한다는 것이다($t^2$이면 안 된다). 공학에서 쓰는 신호는 대개 이 조건을 만족하므로 실무에서 걸리는 일은 거의 없다.

변환표를 읽을 때 수렴 영역을 같이 읽는다. $1/(s-a)$만 보고는 $e^{at}u(t)$인지 $-e^{at}u(-t)$인지 알 수 없다 — 두 함수의 변환이 대수적으로 같고 수렴 영역만 다르다. 단측 변환($t\ge0$)만 쓰는 이 장에서는 모호함이 생기지 않지만, 양측 라플라스 변환을 쓰는 문헌에서는 수렴 영역이 답의 일부다.

변환표를 거꾸로 읽어 원함수를 찾는 것이 역라플라스 변환 $f = \mathcal{L}^{-1}\{F\}$다. 거꾸로 읽어도 되는 근거가 유일성이다. 변환이 같은 두 연속 함수는 같은 함수다. 불연속 함수라면 고립된 점들에서만 다를 수 있고, 적분에는 영향이 없다(레르히 정리 — Kreyszig §6.1, Arfken §20.7). 역변환을 구하는 길은 셋이다. 부분분수로 쪼개 표를 거꾸로 읽거나(9절), 브롬위치 적분으로 직접 계산하거나(9절), 수치적으로 뒤집는다.

기본 성질

성질	$f(t)$	$F(s)$
선형성	$af + bg$	$aF + bG$
제1 이동 ($s$-이동)	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
제2 이동 ($t$-이동)	$f(t-b)\,u(t-b)$, $\ b \ge 0$	$e^{-bs}F(s)$
스케일링	$f(ct)$, $\ c > 0$	$\dfrac1c F\!\left(\dfrac sc\right)$
도함수 (8절)	$f'(t)$	$sF(s) - f(0^-)$
적분 (8절)	$\int_0^t f(\tau)\,d\tau$	$F(s)/s$
합성곱 (8절)	$(f*g)(t)$	$F(s)\,G(s)$
변환의 미분	$t^n f(t)$	$(-1)^n F^{(n)}(s)$
변환의 적분	$f(t)/t$ ($\lim_{t\to0^+}f/t$ 존재)	$\int_s^{\infty}F(\tilde{s})\,d\tilde{s}$
주기함수 ($f(t+T)=f(t)$)		$\dfrac{1}{1-e^{-sT}}\displaystyle\int_0^{T}\!f e^{-st}dt$

조건이 붙은 줄에 주의한다. 제2 이동은 뒤로 미는 경우($b \ge 0$)만이다 — $u(t+1)$의 변환은 $e^{s}/s$가 아니라 $1/s$다. 변환의 적분 줄은 $f(t)/t$가 원점에서 발산하지 않아야 한다 — $f = 1$이면 우변 $\int_s^\infty d\tilde s/\tilde s$가 발산한다.

직관

두 이동 성질이 서로의 거울상이다. $s$-이동은 시간 영역에 지수를 곱하는 것이 $s$축을 밀고, $t$-이동은 시간축을 미는 것이 지수를 곱한다. 푸리에의 시간 이동·주파수 이동이 그대로 넘어온 것이다. Kreyszig는 앞의 것을 제1 이동 정리, 뒤의 것을 제2 이동 정리라 부른다.

$s$-이동이 표를 절반으로 줄인다. $\cos\omega_0t$의 변환을 알면 $e^{at}\cos\omega_0 t$의 변환은 $s$를 $s-a$로 바꿔 쓰기만 하면 된다. 변환표의 $e^{at}\cos$ 줄이 $\cos$ 줄에서 그렇게 나왔다. $a<0$이면 감쇠 진동이고, 극점의 위치로 말하면 허축 위에 있던 극점이 왼쪽으로 $\lvert a\rvert$만큼 평행이동한 것이다. 9절에서 이것이 “진동이 감쇠로 바뀌는” 그림과 정확히 맞물린다.

주의

$t$-이동에는 $u(t-b)$가 반드시 붙는다. $\mathcal{L}\{f(t-b)\} = e^{-bs}F(s)$라고 외우면 틀린다. 적분이 $t\ge0$에서만 도는데 $f(t-b)$는 $t<b$ 구간에도 값이 있을 수 있어서, 잘라 낸 자리를 계단함수로 명시해야 식이 맞는다. 왜 그런지는 8절에서 증명과 함께 본다.

지연이 있는 신호를 다룰 때는 언제나 $f(t-b)u(t-b)$ 꼴 — “$b$만큼 밀고, 그 앞은 0” — 로 적는 습관을 들이는 편이 안전하다. 구간마다 다른 식으로 주어진 신호를 계단함수의 합으로 다시 적는 것(예: 폭 $b$의 사각펄스 $=u(t)-u(t-b)$)이 라플라스 풀이의 표준 준비 작업이다.

초기값·최종값 정리

시간 영역의 해를 구하지 않고 양 끝의 값만 알고 싶을 때가 있다.

$$f(0^{+}) = \lim_{s\to\infty} sF(s), \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$$

직관

$s$가 크다는 것은 시간 스케일이 짧다는 뜻이고, $s$가 0에 가깝다는 것은 시간 스케일이 길다는 뜻이다. $s$의 단위가 1/시간이니 당연한 대응이고, 두 정리는 그 대응을 극한으로 못박은 것이다.

RC 회로에 크기 $V_0$인 계단 전압을 걸었을 때 $V_C(s) = \frac{V_0}{s(1+sRC)}$이면, $s\to\infty$에서 $sV_C \to 0$이라 처음에 축전기 전압이 0이고, $s\to0$에서 $sV_C\to V_0$이라 결국 입력 전압까지 찬다. 미분방정식을 풀지 않고 처음과 끝을 읽은 것이다.

두 정리 모두 조건이 붙는다. 초기값 정리는 $F(s)$가 $s\to\infty$에서 0으로 가는 보통 함수의 변환일 때 쓴다 — $F$에 상수가 섞여 있으면(원점에 델타가 있으면) $sF$가 발산한다. 최종값 정리는 $sF(s)$의 극점이 전부 열린 왼쪽 반평면에 있어야 한다. 발산하거나 영원히 진동하는 응답에는 최종값이 없는데 공식은 숫자를 뱉으므로, 조건을 확인하지 않으면 틀린 답을 얻는다. $F(s) = \omega_0/(s^2+\omega_0^2)$ ($\sin\omega_0t$)에 무턱대고 넣으면 0이 나오지만 실제로는 영원히 진동한다. 9절에서 극점 위치를 먼저 보는 습관이 이 실수를 막는다.

도함수·적분의 변환과 합성곱

초기조건이 식 안으로 들어온다

$$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-)$$

부분적분 한 번이면 나온다. $f$가 연속이고 지수 차수이며 $f'$이 조각별 연속이라는 조건 아래에서 (Kreyszig §6.2 정리 1)

$$\int_{0^-}^{\infty}f'e^{-st}dt = \bigl[f e^{-st}\bigr]_{0^-}^{\infty} + s\int_{0^-}^{\infty}f e^{-st}dt = -f(0^-) + sF(s)$$

이다. 위 끝의 경계항이 사라지는 것이 지수 차수 조건 덕이다.

직관

푸리에에서는 $\mathcal{F}\{f'\} = i\omega F$로 경계항이 없었다. 적분 구간이 $(-\infty,\infty)$라 양 끝에서 $f\to0$을 가정했기 때문이다. 라플라스는 $t=0$에서 시작하므로 그 자리의 경계항이 살아남고, 그것이 $-f(0^-)$이다.

성가신 부산물처럼 보이지만 이것이 라플라스 변환의 가장 큰 이익이다. 1.4에서 상수계수 ODE를 풀 때는 일반해를 구하고 임의상수를 초기조건에 맞추는 두 단계를 거쳤다. 라플라스에서는 초기조건이 변환하는 순간 방정식 안으로 들어와, 나온 답이 처음부터 그 초기조건을 만족하는 특수해다. 임의상수를 결정하는 단계 자체가 없어진다.

이 이익은 계가 커질수록 커진다. 미지수가 열 개인 연립 ODE에서 임의상수 스무 개를 맞추는 일과, 변환해서 선형계 하나를 푸는 일의 차이다(9절의 연립 ODE).

반복하면 고계 도함수가 나온다(합의 첨자 $j$는 도함수의 차수다).

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s^2F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \\ \mathcal{L}\{f^{(n)}\} &= s^nF(s) - \sum_{j=0}^{n-1}s^{\,n-1-j}f^{(j)}(0^-) \end{aligned}$$

주의

계수의 $s$ 거듭제곱 순서를 뒤집기 쉽다. $f''$의 경우 $f(0^-)$에 $s$가 붙고 $f'(0^-)$에는 안 붙는다 — 낮은 계도함수일수록 $s$가 높게 붙는다. 외우기보다 차원으로 확인하는 편이 빠르다. $sF$가 $f'$와 같은 차원이니 $s^2F$는 $f''$의 차원이고, 거기서 빼는 항들도 모두 $f''$ 차원이어야 하므로 $f(0^-)$에는 $s^1$이, $f'(0^-)$에는 $s^0$이 붙는다.

$0^-$인가 $0^+$인가도 함정이다. 이 장의 약속은 초기값을 언제나 $0^-$(입력이 들어오기 직전)에서 읽는 것이다. 회로에서 “스위치를 닫기 직전의 축전기 전압”이 그 값이다. 이렇게 하면 $t = 0$에 들어오는 계단이나 델타가 입력 쪽 변환에 자동으로 담긴다. Kreyszig는 그냥 $f(0)$으로 적는데, 그 예제들에는 원점의 델타가 없어 차이가 나지 않는다. Arfken은 $F(+0)$로 적는다(Table 20.2). $0^+$로 읽으려면 원점의 델타를 초기조건으로 옮겨 적어야 한다 — 뒤의 임펄스 응답 예제에서 그 대응을 본다.

도약이 원점이 아니라 $t = a$에 있으면 그 몫이 따로 붙는다(Kreyszig §6.2 연습 30).

$$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0^-) - \bigl[f(a+0) - f(a-0)\bigr]e^{-as}$$

여기서 $f'$은 도약점을 뺀 보통의 도함수다. 도약을 델타까지 포함해 미분하면 $f'$ 안에 크기가 도약폭인 델타가 하나 더 들어가고, 빼 준 항이 바로 그 델타의 변환이다. $a\to0$으로 보내면 “$0^-$에서 읽느냐 $0^+$에서 읽느냐”의 차이가 이 델타 항이다.

적분은 반대 방향이다.

$$\mathcal{L}\Bigl\{\int_0^t f(\tau)d\tau\Bigr\} = \frac{F(s)}{s}$$

증명은 도함수 공식을 거꾸로 쓰면 된다. $g(t) = \int_0^t f\,d\tau$로 두면 $g' = f$, $g(0) = 0$이므로 $F = sG - 0$, 곧 $G = F/s$다(Kreyszig §6.2 정리 3). 곱하기 $s$가 미분, 나누기 $s$가 적분 — $s$는 미분 연산자 자체라고 읽어도 된다. 헤비사이드가 연산자법이라 부르며 쓰던 방식이 이 관점이고, 라플라스 변환이 그 정당화다.

이 공식은 역변환의 도구로도 쓴다. $1/s$가 곱해진 꼴은 부분분수 없이 적분 한 번으로 되돌린다.

$$\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s(s^2+\omega^2)}\Bigr\} = \int_0^t \frac{\sin\omega\tau}{\omega}\,d\tau = \frac{1 - \cos\omega t}{\omega^2}$$

ODE를 푸는 세 단계

절차가 기계적이다.

① 변환한다. 방정식 전체에 $\mathcal{L}$을 씌운다. 초기조건이 자동으로 들어온다. ② 대수적으로 푼다. 변환된 방정식 — Kreyszig는 이것을 보조방정식(subsidiary equation)이라 부른다 — 을 $Y(s)$에 대해 정리한다. 나눗셈 한 번이다. ③ 역변환한다. 부분분수로 표에 있는 꼴로 쪼갠다(9절).

2계 상수계수 방정식 하나로 구조를 보면 이렇다. 입력 $x(t)$를 받는 감쇠 진동자

$$y'' + 2\alpha y' + \omega_0^2 y = x(t)$$

를 변환하면($\alpha$는 감쇠율, $\omega_0$는 고유 진동수)

$$\bigl(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2\bigr)Y = (s + 2\alpha)\,y(0^-) + y'(0^-) + X(s)$$ $$Y(s) = \underbrace{\frac{(s + 2\alpha)\,y(0^-) + y'(0^-)}{s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2}}_{\text{영입력 응답}} + \underbrace{H(s)\,X(s)}_{\text{영상태 응답}}, \qquad H(s) = \frac{1}{s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2}$$

로 두 몫이 저절로 갈린다(Kreyszig §6.2 식 (6)–(7). 그곳의 전달함수 $Q(s)$가 이 $H(s)$다 — Kreyszig도 “흔히 $H$로 쓴다”고 적는다). 앞의 것은 입력 없이 초기조건만으로 생기는 응답이고, 뒤의 것은 초기조건 없이 입력만으로 생기는 응답이다. 회로 이론의 영입력 응답·영상태 응답 분해가 이것이다.

예제 — RC 회로의 계단 응답. $RC\,v' + v = V_0u(t)$, $v(0^-)=0$.

$$RC\bigl[sV(s) - 0\bigr] + V(s) = \frac{V_0}{s} \;\Longrightarrow\; V(s) = \frac{V_0}{s(1+sRC)}$$

부분분수로 $\frac{V_0}{s} - \frac{V_0 RC}{1+sRC}$가 되고, 표에서 되돌리면

$$v(t) = V_0\bigl(1 - e^{-t/RC}\bigr)$$

예제 — 초기 변위만 있는 감쇠 진동자. 입력 없이 $y(0^-) = y_0$, $y'(0^-) = 0$에서 놓으면 (Arfken 예 20.8.5) 영입력 응답만 남는다.

$$Y(s) = y_0\,\frac{s + 2\alpha}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2} = y_0\Bigl[\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2} + \frac{\alpha}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2}\Bigr], \qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$$

분모를 완전제곱으로 만든 것이 요령이다. 제1 이동 정리와 $\cos$·$\sin$ 변환으로 되돌리면

$$y(t) = y_0\,e^{-\alpha t}\Bigl(\cos\omega_d t + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\Bigr)$$

이다. $t = 0$에서 $y = y_0$이고 $y' = y_0(-\alpha + \alpha) = 0$이라 초기조건을 처음부터 만족한다 — 임의상수를 맞추는 단계가 없었다.

직관

답의 인수들이 각각 분모의 한 부분에서 나왔다. $e^{-\alpha t}$는 분모를 $s+\alpha$로 민 데서, $\cos\omega_d t$·$\sin\omega_d t$는 $+\omega_d^2$에서 온다. 극점의 위치 $s = -\alpha \pm i\omega_d$로 보면 실수부가 감쇠율, 허수부가 진동수다 — 9절 그림의 예고편이다.

초기조건은 분자로만 들어가고 극점은 건드리지 않는다. 초기 변위를 두 배로 하든, 초기 속도를 주든 바뀌는 것은 각 모드의 진폭과 위상뿐이다. 감쇠율과 진동수는 계가 정한다. 영입력 응답과 영상태 응답이 같은 분모를 공유하는 것이 그 표현이다.

$\alpha > \omega_0$이면 $\omega_d$가 허수가 되고 $\cos$·$\sin$이 $\cosh$·$\sinh$로 바뀌어 진동 없이 감쇠한다. 과감쇠와 부족감쇠의 갈림이 근호 안의 부호 하나이고, 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수에서 특성방정식의 판별식으로 갈렸던 그 지점과 같은 자리다. 라플라스에서는 이 갈림이 “극점이 실수인가 복소인가”로 보인다.

RLC 회로 — 임피던스가 변환에서 나온다

적분 공식 덕에 회로 방정식은 미분하지 않고 그대로 변환된다. 직렬 RLC에 전원 $v(t)$를 걸면 전류 $i$에 대해($L$은 인덕턴스)

$$L\,i' + R\,i + \frac{1}{C}\int_0^t i\,d\tau + v_C(0^-) = v(t)$$

이고, 변환하면

$$\Bigl(sL + R + \frac{1}{sC}\Bigr)I(s) = V(s) + L\,i(0^-) - \frac{v_C(0^-)}{s}$$

이다. 괄호가 임피던스 $Z(s) = sL + R + 1/(sC)$다. 세 가지가 한꺼번에 읽힌다.

• $s = i\omega$를 넣으면 교류 회로의 페이저 임피던스 $R + i\omega L + 1/(i\omega C)$가 된다. 페이저 해석은 라플라스 해석의 허축 단면이다.
• $Z(s) = 0$, 곧 $s^2 + (R/L)s + 1/(LC) = 0$의 근이 회로의 극점이다. 앞 예제와 맞추면 $\alpha = R/2L$, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$이고, 9절에서 이 값들로 극점의 움직임을 읽는다.
• 초기조건은 등가 전원으로 보인다. $L\,i(0^-)$는 인덕터에 저장된 자속이 원점의 충격 전압처럼, $v_C(0^-)/s$는 축전기의 초기 전압이 계단 전원처럼 작용한다는 뜻이다.

역학과의 대응은 $L \leftrightarrow m$, $R \leftrightarrow c$(감쇠), $1/C \leftrightarrow k$(용수철)이다(Arfken §20.8).

단위 계단과 제2 이동 정리

켜고 끄는 입력은 단위 계단으로 적는다. $t = b$에서 켜지는 계단 $u(t - b)$ ($b \ge 0$)의 변환은

$$\mathcal{L}\{u(t-b)\} = \int_b^{\infty} e^{-st}\,dt = \frac{e^{-bs}}{s}$$

이다. 이제 7절 성질표의 제2 이동 정리를 증명한다(Kreyszig §6.3 정리 1). $e^{-bs}F(s)$를 적분으로 쓰고 $t = \tau + b$로 치환하면

$$e^{-bs}F(s) = \int_0^{\infty} e^{-s(\tau+b)}f(\tau)\,d\tau = \int_b^{\infty} e^{-st}f(t-b)\,dt = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t-b)\,u(t-b)\,dt$$

이다. 치환하면 적분 하한이 $b$로 올라가고, 그것을 다시 $\int_0^\infty$로 돌려놓으려면 $u(t-b)$를 곱해 $t<b$ 구간을 지워야 한다. 7절에서 “$u$가 반드시 붙는다”고 한 이유가 이 한 줄이다. 같은 식을 거꾸로 읽으면 둘째 형태도 나온다.

$$\mathcal{L}\{f(t)\,u(t-b)\} = e^{-bs}\,\mathcal{L}\{f(t+b)\}$$

그림 1.10-10. 제2 이동 정리의 두 형태. 왼쪽: 원래 함수 f(t) = sin t. 가운데: t = b 앞부분을 꺼 버린 f(t)u(t−b) — 파형은 제자리에 있고 앞이 잘렸을 뿐이다. 오른쪽: 통째로 b만큼 민 f(t−b)u(t−b) — 파형이 t = b에서 처음부터 다시 시작한다. 변환 e^(−bs)F(s)가 나타내는 것은 오른쪽이고, 가운데를 변환하려면 f(t+b)를 먼저 만들어야 한다.직접 작도

예제 — RC 회로에 사각 펄스 하나. 축전기가 비어 있는 RC 회로에 $t_1 < t < t_2$ 동안만 전압 $V_0$를 건다. 입력은 $V_0[u(t - t_1) - u(t - t_2)]$이고, 전류에 대한 방정식 $R\,i + \frac1C\int_0^t i\,d\tau$ = (입력)을 변환하면(Kreyszig §6.3 예 3)

$$I(s) = \frac{V_0}{R}\,\frac{e^{-t_1 s} - e^{-t_2 s}}{s + 1/RC}$$

이다. 유리함수 부분 $\frac{1}{s + 1/RC} \leftrightarrow e^{-t/RC}$를 되돌리고 지수 인수만큼 밀면

$$i(t) = \frac{V_0}{R}\Bigl[e^{-(t-t_1)/RC}\,u(t-t_1) - e^{-(t-t_2)/RC}\,u(t-t_2)\Bigr]$$

이다. $t_1$에서 전류가 $V_0/R$로 뛰었다가 축전기가 차면서 줄고, $t_2$에서 전원이 빠지면 전류의 부호가 뒤집혀 축전기가 방전한다. MOSFET 게이트에 펄스를 걸었을 때 게이트 전류가 충전과 방전에서 반대로 흐르는 것이 이 그림이다.

짧은 충격에서 델타로

이제 델타 입력이 무엇인지 라플라스 쪽에서 정한다(Kreyszig §6.4). $t = b$에서 시작해 폭 $\varepsilon$, 높이 $1/\varepsilon$인 사각 펄스를 생각한다. 넓이는 언제나 1이다.

$$f_\varepsilon(t) = \frac{1}{\varepsilon}\bigl[u(t-b) - u(t-b-\varepsilon)\bigr], \qquad \mathcal{L}\{f_\varepsilon\} = e^{-bs}\,\frac{1 - e^{-\varepsilon s}}{\varepsilon s}$$

$\varepsilon\to0$이면 분수가 1로 가므로(로피탈)

$$\mathcal{L}\{\delta(t-b)\} = e^{-bs}$$

이다. $b = 0$이면 7절 표의 $\mathcal{L}\{\delta\} = 1$이다. 델타는 넓이 1을 유지한 채 폭을 0으로 줄인 펄스의 극한이고, 적분 안에서 $\int g(t)\,\delta(t-b)\,dt = g(b)$로 값을 하나 뽑아내는(체거름) 성질로 쓴다(1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념).

그림 1.10-11. y″ + 3y′ + 2y 계에 t = 1에서 시작하는 넓이 1의 사각 펄스를 넣은 응답. 펄스 폭 ε를 1, 0.5, 0.2로 줄여 가면(높이는 1/ε로 커짐) 응답이 굵은 곡선 — 델타 δ(t−1)에 대한 응답 e^(−(t−1)) − e^(−2(t−1)) — 에 다가간다. 계의 가장 느린 시간 척도(여기서는 1)보다 훨씬 짧은 펄스는 모양이 무엇이든 넓이만 남아 델타와 구별되지 않는다(Kreyszig §6.4 예 1·2의 계).직접 작도

직관

델타 입력의 뜻은 “계보다 훨씬 빠른 충격”이다. 그림에서 폭 0.2인 펄스의 응답은 델타 응답과 거의 겹친다. 계가 반응하는 시간 척도($e^{-t}$의 1)에 비해 펄스가 짧으면, 계는 펄스의 모양을 보지 못하고 넓이(충격량)만 느낀다. 그래서 실제로는 유한한 폭의 펄스도 델타로 모델링하고, 반대로 임펄스 응답을 측정할 때도 계보다 충분히 짧은 펄스면 된다. “충분히 짧다”의 기준이 언제나 계의 시간 상수라는 것이 요점이다.

예제 — 감쇠 진동자의 임펄스 응답. $y'' + 2\alpha y' + \omega_0^2 y = \delta(t)$, $y(0^-) = y'(0^-) = 0$.

$$\bigl(s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2\bigr)Y(s) = 1 \;\Longrightarrow\; Y(s) = \frac{1}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2} \;\Longrightarrow\; y(t) = \frac{1}{\omega_d}e^{-\alpha t}\sin\omega_d t$$

이 답은 $y'(0^+) = 1$이다. 초기조건 $y'(0^-) = 0$과 어긋나 보이지만 모순이 아니다. 넓이 1인 충격이 순간적으로 속도를 0에서 1로 바꾼 것이다 — 역학으로는 충격량이 운동량을 바꾼 것이다. 그래서 같은 문제를 Arfken처럼 $0^+$에서 적으면 “입력 없음, $y(0^+) = 0$, $y'(0^+) = 1$“이 되고 답은 같다(Arfken §20.9 — “충격량을 질량으로 나눈 것이 초기 속도 자리를 차지한다”).

수치로 감을 잡아 두자. $R = 20\ \Omega$, $L = 1$ H, $C = 10^{-4}$ F인 직렬 RLC의 전하 $q$에 대한 방정식 $q'' + 20q' + 10^4q = \delta(t)$(Kreyszig §6.4 예 3)에서 $\alpha = 10$, $\omega_0 = 100$, $\omega_d = \sqrt{10^4 - 100} \approx 99.5$ 이고 $q = \frac{1}{99.5}e^{-10t}\sin 99.5t$다. 한 번 진동하는 동안($2\pi/99.5 \approx 0.063$ s) 진폭이 $e^{-0.63} \approx 0.53$배로 줄어, 대여섯 번 울리고 잦아든다. 감쇠비 $\zeta = \alpha/\omega_0 = 0.1$인 전형적인 부족감쇠다.

합성곱 정리와 전달함수

$$\mathcal{L}\{f * g\} = F(s)\,G(s), \qquad (f*g)(t) = \int_0^{t} f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

적분 한계가 $0$부터 $t$까지인 이유는 두 함수가 음의 시각에서 0이기 때문이다 — 하한 0은 $f(\tau) = 0$ ($\tau<0$)에서, 상한 $t$는 $g(t-\tau) = 0$ ($\tau>t$)에서 나온다. 증명은 5절과 같지만 적분 영역이 다르다. $F(s)G(s)$를 이중적분 $\int_0^\infty\!\int_0^\infty e^{-s(\tau+v)}f(\tau)g(v)\,dv\,d\tau$로 쓰고 $t = \tau + v$로 치환하면, $\tau$–$t$ 평면에서 적분 영역이 $0 \le \tau \le t$인 쐐기(삼각형 영역)가 된다. 적분 순서를 바꾸면 안쪽 적분이 $\int_0^t$가 된다(Kreyszig §6.5 그림 141, Boas §8.10 그림 10.1).

주의

합성곱은 곱셈이 아니다. 셋이 자주 틀린다(Kreyszig §6.5).

• $\mathcal{L}\{fg\} \ne F\,G$다. 변환의 곱에 대응하는 것은 곱이 아니라 합성곱이다.
• $f * 1 \ne f$다. $f * 1 = \int_0^t f\,d\tau$ — 1과의 합성곱은 적분이다. 예컨대 $t * 1 = t^2/2$. 합성곱의 항등원은 1이 아니라 델타다($f * \delta = f$).
• $f * f$가 음수일 수 있다. $\sin t * \sin t = \tfrac12(\sin t - t\cos t)$는 $t$가 커지면 부호가 바뀐다.

직관

시스템은 곱셈 하나로 요약된다. 입력 $x$, 출력 $y$인 선형 시불변 계에서 초기조건이 모두 0이면 (“ODE를 푸는 세 단계”에서 본 영상태 응답)

$$Y(s) = H(s)\,X(s)$$

이고, $H(s)$를 전달함수라 한다. 시간 영역에서는 $y = x * h$이며 $h(t)$는 임펄스 응답이다. $X = 1$($x = \delta$)일 때 $Y = H$이므로, 임펄스 응답의 라플라스 변환이 전달함수라는 정의가 곧 측정 방법이기도 하다. 초기조건이 0이 아니면 영입력 응답이 따로 더해진다.

전달함수가 강력한 것은 입력과 계가 분리된다는 데 있다. 계의 성질은 전부 $H(s)$에 들어 있고, 입력이 무엇이든 곱하기만 하면 된다. 계를 직렬로 이으면 $H_1H_2$로 곱해지고(뒤 단이 앞 단에 부하를 걸지 않을 때 — 10절), 병렬은 $H_1+H_2$로 더해진다. 블록 다이어그램 대수라 부르는 것이 이 두 규칙이다.

앞의 감쇠 진동자에서 $H(s) = 1/(s^2+2\alpha s+\omega_0^2)$였고, 그 허축 위의 값 $H(i\omega)$가 4절에서 $H(\omega)$로 적은 주파수 응답이다 — 극점이 모두 왼쪽 반평면에 있어 수렴 영역이 허축을 포함하기 때문이다. 같은 함수를 허축 밖으로도 볼 수 있게 된 것이 라플라스가 푸리에에 얹은 것 가운데 하나이고, 다른 하나가 앞에서 본 초기조건이다.

예제 — 합성곱으로 풀기. $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0^-) = y'(0^-) = 0$ (Boas §8.10 예 2). 전달함수 $H = \frac{1}{(s+1)(s+2)}$의 역변환이 임펄스 응답 $h = e^{-t} - e^{-2t}$이므로

$$y(t) = \int_0^t \bigl(e^{-\tau} - e^{-2\tau}\bigr)\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau = t\,e^{-t} - e^{-t} + e^{-2t}$$

이다. 입력의 변환 $1/(s+1)$이 계의 극점 $-1$과 겹쳐 중근이 되었고, 그 흔적이 $te^{-t}$다 — 9절의 공명 이야기의 축소판이다. 교재가 강조하는 요점은 따로 있다. 입력이 무엇이든 해를 적분 하나로 적을 수 있다. 입력의 변환이 표에 없거나, 입력이 측정 데이터로만 주어져도 합성곱은 계산된다. 입력이 구간에만 걸리면 적분 한계가 따라 바뀐다. 예컨대 $1<t<2$에만 1인 입력이면 $1<t<2$에서는 $\int_1^t$, $t>2$에서는 $\int_1^2$만 남는다(Kreyszig §6.5 예 5). 합성곱 계산에서 가장 흔한 실수가 이 한계를 놓치는 것이다.

계단 응답과 임펄스 응답의 관계도 여기서 한 줄로 나온다. 계단의 변환이 $1/s$이므로 계단 응답은 $H(s)/s$이고, 시간 영역에서는 임펄스 응답의 적분($h * 1$)이다. 거꾸로 임펄스 응답은 계단 응답의 도함수다. 측정하기 쉬운 쪽(계단)으로 재고 필요한 쪽(임펄스)으로 바꾸는 일이 흔하다.

합성곱 정리는 적분방정식도 푼다. $y(t) - \int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau = t$ 같은 볼테라형 방정식은 적분 항이 $y * \sin t$라서 변환하면 $Y - \frac{Y}{s^2+1} = \frac{1}{s^2}$, 곧 $Y = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^4}$이고 $y = t + t^3/6$이다(Kreyszig §6.5 예 6). 전류의 적분이 들어간 회로 방정식이 이런 꼴이다.

변환을 미분하고 적분하기 — 표를 넓히는 도구

7절 성질표의 두 줄 $\mathcal{L}\{tf\} = -F'(s)$와 $\mathcal{L}\{f/t\} = \int_s^\infty F$는 표에 없는 쌍을 만드는 데 쓴다(Kreyszig §6.6).

• $t$가 곱해진 함수. $\mathcal{L}\{t\sin\omega t\} = -\frac{d}{ds}\frac{\omega}{s^2+\omega^2} = \frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$. 9절의 공명에서 이 쌍을 쓴다.
• 로그가 들어간 변환의 역변환. $F = \ln\frac{s^2+\omega^2}{s^2}$은 표에 없지만, 미분하면 유리함수가 된다. $-F' = \frac{2}{s} - \frac{2s}{s^2+\omega^2} \leftrightarrow 2 - 2\cos\omega t$이고 이것이 $tf$이므로 $f = \frac{2}{t}(1 - \cos\omega t)$다(Kreyszig §6.6 예 2).
• $f/t$. $\mathcal{L}\{\frac{\sin t}{t}\} = \int_s^\infty\frac{d\tilde s}{\tilde s^2+1} = \arctan\frac1s$이고, $s\to0^+$로 보내면 $\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}$ — 3절 디리클레 적분이 다른 길로 다시 나온다.

같은 성질로 변수계수 ODE가 풀리기도 한다. 0차 베셀 방정식 $ty'' + y' + ty = 0$을 변환하면 $t$가 곱해진 항들이 $s$에 대한 미분이 되어 1계 ODE $(s^2+1)Y' + sY = 0$이 남고, $Y = 1/\sqrt{s^2+1}$이다 (상수는 초기값 정리로 $J_0(0) = 1$에 맞춘다 — Arfken 예 20.8.7). 다만 계수가 $t^2$이면 $s$에 대한 2계 ODE가 되어 이득이 없으므로, 이 방법은 특별한 방정식에만 통한다.

편미분방정식으로

시간 변수만 변환하면 PDE의 시간 미분이 사라져 공간 변수에 대한 ODE가 남는다. 확산 방정식이 표준 예다. 시간에 대해서만 변환한 것을 $\mathcal{L}_t$로, 그 결과를 $\bar{C}(x,s)$로 적는다 — 농도가 원래 대문자 $C$라 “대문자 = 변환” 규칙을 쓸 수 없어 막대를 얹었다.

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} \;\xrightarrow{\ \mathcal{L}_t\ }\; s\bar{C} - C(x,0) = D\frac{d^2\bar{C}}{dx^2}$$

초기 농도가 0인 반무한 고체($x>0$)에서 표면 농도를 $C_s$로 유지하면, 남은 ODE의 해 중 $x\to\infty$에서 유계인 것은

$$\bar{C}(x,s) = \frac{C_s}{s}\,e^{-x\sqrt{s/D}}$$

이고, 역변환하면 여오차함수 해가 나온다.

$$C(x,t) = C_s\operatorname{erfc}\!\left(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)$$

$e^{-a\sqrt{s}}/s$는 극점이 아니라 가지점을 가져 부분분수로는 되돌릴 수 없고, 절단선을 감아 도는 브롬위치 적분으로 계산한다(1.9.8실적분과 급수의 계산에 그 계산이 있다). 같은 계산에서 짝이 하나 더 나온다.

$$\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{e^{-a\sqrt{s}}}{\sqrt{s}}\Bigr\} = \frac{e^{-a^2/4t}}{\sqrt{\pi t}}$$

표면에 선량 $Q$를 한꺼번에 올려놓고 막아 둔 채 확산시키면 $\bar{C} = \frac{Q}{\sqrt{Ds}}e^{-x\sqrt{s/D}}$이고, 이 쌍으로 되돌리면 $C = \frac{Q}{\sqrt{\pi Dt}}e^{-x^2/4Dt}$ — 18.7의 드라이브인(한정 소스) 프로파일이다. 4절의 가우시안 핵에 $Q\delta(x)$를 넣은 것의 두 배인데, 표면이 막혀 있어 거울 건너편으로 갈 몫이 되돌아오기 때문이다(거울상법).

직관

위의 erfc 해가 반도체 공정의 예비증착 확산 프로파일이다(8.3·18.7). 라플라스 변환이 한 일은 시간 미분을 없애 문제를 한 차원 줄인 것이고, 그래서 편미분방정식이 상미분방정식으로 내려앉았다. 1.7.12가 이 방법을 본격적으로 다룬다.

$\sqrt{s}$가 등장한 것에서 이미 답의 모양이 예고돼 있다. $s$의 반정수 거듭제곱은 시간 영역에서 $\sqrt{t}$와 오차함수를 부르고, 그래서 확산 깊이가 $\sqrt{Dt}$에 비례한다는 유명한 결론이 나온다. 확산 길이 $2\sqrt{Dt}$가 유일한 길이 척도이므로, 프로파일은 $x/2\sqrt{Dt}$ 하나에만 의존하는 자기닮음 꼴이 된다. 프로파일이 곱 $Dt$에만 의존하므로 $D$를 두 배로 키우는 것과 시간을 두 배로 늘리는 것이 같은 효과를 낸다. 다만 $D$는 온도에 대해 $D_0e^{-E_a/kT}$로 지수적으로 변하므로(여기서 $k$는 볼츠만 상수) 온도를 두 배로 올린다는 뜻이 아니다. 1000 ℃ 근처에서 활성화 에너지가 3.5 eV쯤인 도펀트는 온도를 약 28 K만 올려도 $D$가 두 배가 된다($\Delta T \approx kT^2\ln 2/E_a$). 표면 농도 $C_s$(고용도)도 온도에 따라 바뀐다는 것도 함께 기억할 점이다.

파동과 비교하면 $\sqrt{s}$의 뜻이 더 분명해진다. 파동 방정식을 같은 식으로 변환하면 해가 $e^{-sx/v}$ 꼴이 되고(Arfken 예 20.8.6), 제2 이동 정리로 되돌리면 입력이 모양 그대로 $x/v$만큼 늦게 도착한다 — $s$의 1제곱은 지연이다. 확산의 $e^{-x\sqrt{s/D}}$는 지연이 아니라 퍼짐이고, 특성 시간이 거리의 제곱 $x^2/D$에 비례한다. 저항과 용량이 고르게 퍼진 긴 배선(분포 RC 선)은 확산 방정식을 따르므로 지연이 길이의 제곱으로 늘어난다. 10절의 인터커넥트 지연이 이 이야기다.

역라플라스 변환과 부분분수

유리함수를 조각으로 쪼갠다

상수계수 선형 ODE에 입력의 변환도 유리함수이면 — 입력이 지수·정현파·다항식의 조합이면 — $Y(s)$는 유리함수(다항식의 비)다. 입력이 지연되어 들어오면 $e^{-bs}$가, 주기적으로 되풀이되면 $1/(1-e^{-sT})$가 곱해져 유리함수가 아니게 되는데, 그 처리는 뒤 소절에서 본다. 유리함수는 부분분수로 쪼개면 표에 있는 꼴들의 합이 되므로, 역변환의 실무는 부분분수 분해가 거의 전부다.

$$F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)}, \qquad \deg P < \deg Q$$

분자의 차수가 분모 이상이면 먼저 나눗셈으로 다항식 부분을 떼어 낸다. 그 몫은 델타(와 그 도함수)로 되돌아간다 — 예컨대 $\frac{s}{s+1} = 1 - \frac{1}{s+1} \leftrightarrow \delta(t) - e^{-t}$. 전달함수라면 입력이 출력으로 곧장 빠져나가는 직결 경로가 이 델타다.

① 단순극. $Q$의 근 $p_k$가 모두 서로 다르면

$$F(s) = \sum_k \frac{A_k}{s - p_k}, \qquad A_k = \bigl[(s-p_k)F(s)\bigr]_{s = p_k} = \frac{P(p_k)}{Q'(p_k)}$$

$A_k$를 구하는 첫째 방법을 헤비사이드 커버업이라 한다 — 분모에서 $(s-p_k)$를 손으로 가리고 나머지에 $s = p_k$를 넣는다. 둘째 꼴 $P/Q'$은 교재들이 헤비사이드 전개 정리라 부르는 것이고(Arfken 연습 20.10.11), 1.9.7의 유수 공식 그대로다. 역변환은 $\sum_k A_k e^{p_k t}$이다.

② 중근. $(s-p)^m$이 있으면 $\frac{A_1}{s-p} + \cdots + \frac{A_m}{(s-p)^m}$까지 다 두어야 하고, 계수는 미분으로 뽑는다.

$$A_{m-j} = \frac{1}{j!}\left[\frac{d^j}{ds^j}(s-p)^mF(s)\right]_{s=p}$$

역변환에 $t^{j}e^{pt}$ 꼴이 나온다. $1/(s-p)^m \leftrightarrow t^{m-1}e^{pt}/(m-1)!$이다.

③ 복소 켤레극. $s = -\alpha \pm i\omega_d$ 짝은 쪼개지 말고 묶어 두는 편이 낫다. 분모를 $(s+\alpha)^2 + \omega_d^2$로 완전제곱해 두면 제1 이동 정리와 $\sin$·$\cos$ 변환으로 바로 읽힌다. 막히는 곳은 분자다 — 분자를 $(s+\alpha)$의 배수와 상수로 다시 쓰면 된다.

$$\frac{As + B}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2} = \frac{A(s+\alpha) + (B - A\alpha)}{(s+\alpha)^2 + \omega_d^2} \;\longleftrightarrow\; e^{-\alpha t}\Bigl[A\cos\omega_d t + \frac{B - A\alpha}{\omega_d}\sin\omega_d t\Bigr]$$

예컨대 $\frac{3s - 137}{s^2 + 2s + 401} = \frac{3(s+1) - 140}{(s+1)^2 + 20^2}$이므로 $e^{-t}(3\cos 20t - 7\sin 20t)$다 (Kreyszig §6.1 예 5). 쪼개서 복소 계수로 계산해도 답은 같지만, 중간에 복소수가 나와 실수임을 확인하는 수고가 붙는다. Kreyszig는 근을 $\alpha + i\beta$로 적어 **감쇠하면 $\alpha < 0$**이다 — 이 장의 $-\alpha \pm i\omega_d$와 $\alpha$의 부호가 반대이니 식을 옮길 때 확인한다.

④ 허축 위의 켤레 중근 — 공명. 켤레극이 겹치는 경우 가운데 가장 중요한 것이 허축 위의 중근 $(s^2+\omega^2)^2$이다. 8절 끝의 ”$t$ 곱하기 = 변환의 미분”으로 표를 만든다(Kreyszig §6.6 예 1).

$F(s)$	$f(t)$
$\dfrac{1}{(s^2+\omega^2)^2}$	$\dfrac{\sin\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$
$\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}$	$\dfrac{t\sin\omega t}{2\omega}$
$\dfrac{s^2}{(s^2+\omega^2)^2}$	$\dfrac{\sin\omega t + \omega t\cos\omega t}{2\omega}$

감쇠 없는 진동자를 고유 진동수로 밀면 이 꼴이 나온다. $y'' + 4y = \sin 2t$, $y(0^-) = 10$, $y'(0^-) = 0$ (Boas §8.9 예 2)을 변환하면

$$Y = \frac{10s}{s^2+4} + \frac{2}{(s^2+4)^2} \;\Longrightarrow\; y = 10\cos 2t + \frac18\sin 2t - \frac14\,t\cos 2t$$

이다. 마지막 항의 진폭이 $t$에 비례해 끝없이 자란다 — 공명이다. 입력의 극점 $\pm 2i$가 계의 극점 $\pm 2i$와 겹쳐 중근이 된 결과이고, 8절 합성곱 예제의 $te^{-t}$와 같은 구조가 허축 위로 올라온 것이다. 감쇠가 있으면 계의 극점이 허축에서 왼쪽으로 비켜나 겹치지 않으므로 진폭이 유한하게 멈춘다 — 2절 끝의 공진 봉우리 높이 $1/(c\,\omega)$가 그 유한한 값이다.

직관

부분분수 분해는 대각화다. 1.3.5닮음 변환과 대각화에서 행렬을 고유기저에서 보면 대각이 되어 각 방향이 독립적으로 $\lambda_k$배씩 늘어났다. 여기서도 같은 일이 일어난다 — 시스템을 극점별 1차 항으로 쪼개면, 각 항이 서로 간섭하지 않고 $e^{p_kt}$로 독립적으로 감쇠하거나 발산한다.

대응이 정확하다. 상태공간 표현 $\mathbf{y}' = \mathbf{A}\mathbf{y}$를 변환하면 $(s\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{Y} = \mathbf{y}(0^-)$이 되고(Kreyszig §6.7의 표기), $\mathbf{Y}$가 존재하지 않는 $s$가 $\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0$의 근 — 1.3의 특성방정식 그대로다. 극점은 계 행렬의 고유값 가운데서 나온다. “가운데서”라는 한정이 붙는 것은 출력 하나만 보는 전달함수에서 극점과 영점이 서로 지워져 고유값 일부가 보이지 않을 수 있기 때문이다.

그러면 중근에서 $t\,e^{pt}$가 나오는 이유도 설명된다. 1.3.6에서 결손 행렬(기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 행렬)은 대각화되지 않고 조르당 블록이 남았다. 그 블록이 시간 영역에서 $t$의 거듭제곱으로 나타난다. 대각화 실패의 시간 영역 얼굴이 $t^je^{pt}$다. 임계감쇠 회로에서 $te^{-\alpha t}$가 나오는 것이 그 예다. $n$계 ODE 하나를 상태공간으로 바꾼 행렬(동반행렬)은 중복 고유값마다 조르당 블록이 하나뿐이라 중근이 곧 $t\,e^{pt}$지만, 연립계에서는 다르다. 대각화 가능한 행렬이 고유값을 중복해 가지면 — 똑같은 RC 회로 두 개를 서로 잇지 않고 나란히 둔 경우처럼 — $t\,e^{pt}$는 나오지 않는다. 극의 차수를 정하는 것은 가장 큰 조르당 블록의 크기다.

지연이 붙은 역변환 — $e^{-bs}$는 떼어 놓고 민다

$e^{-bs}$가 곱해진 변환은 유리함수가 아니지만 처리는 간단하다. $e^{-bs}$를 떼어 놓고 나머지 유리함수만 부분분수로 되돌린 뒤, 8절의 제2 이동 정리로 $b$만큼 민다. 예컨대(Kreyszig §6.3 예 2)

$$F(s) = \frac{e^{-s} + e^{-2s}}{s^2 + \pi^2} + \frac{e^{-3s}}{(s+2)^2}$$

에서 $\frac{1}{s^2+\pi^2} \leftrightarrow \frac{\sin\pi t}{\pi}$, $\frac{1}{(s+2)^2} \leftrightarrow te^{-2t}$이므로

$$f(t) = \frac{\sin\pi(t-1)}{\pi}u(t-1) + \frac{\sin\pi(t-2)}{\pi}u(t-2) + (t-3)\,e^{-2(t-3)}u(t-3)$$

이다. 구간별로 정리하면 $t<1$에서 0, $1<t<2$에서 $-\frac{\sin\pi t}{\pi}$, $2<t<3$에서 두 사인이 상쇄되어 0, $t>3$에서 $(t-3)e^{-2(t-3)}$이다 — 켜졌다 꺼졌다 다시 켜지는 신호가 변환 하나에 들어 있었다. 주기적으로 되풀이되는 입력의 $\frac{1}{1-e^{-sT}} = 1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + \cdots$도 같은 방식으로, 한 주기의 응답을 $T$씩 밀어 겹쳐 놓은 것으로 읽는다.

연립 ODE — 고유 진동수가 저절로 나온다

연립 ODE도 변환하면 연립 대수방정식이 된다(Kreyszig §6.7). 질량 1인 두 물체를 용수철 상수 $k$인 용수철 셋으로 벽–물체–물체–벽 순서로 이은 계를 보자(Kreyszig §6.7 예 3).

$$y_1'' = -ky_1 + k(y_2 - y_1), \qquad y_2'' = -k(y_2 - y_1) - ky_2$$

초기조건 $y_1(0) = y_2(0) = 1$, $y_1'(0) = \sqrt{3k}$, $y_2'(0) = -\sqrt{3k}$를 넣어 변환하면

$$\begin{aligned} (s^2 + 2k)\,Y_1 - k\,Y_2 &= s + \sqrt{3k} \\ -k\,Y_1 + (s^2 + 2k)\,Y_2 &= s - \sqrt{3k} \end{aligned}$$

이고, 계수 행렬식이 $(s^2+2k)^2 - k^2 = (s^2 + k)(s^2 + 3k)$로 인수분해된다. 크라메르 공식으로 풀어 부분분수로 정리하면 $Y_1 = \frac{s}{s^2+k} + \frac{\sqrt{3k}}{s^2+3k}$, 곧

$$y_1 = \cos\sqrt{k}\,t + \sin\sqrt{3k}\,t, \qquad y_2 = \cos\sqrt{k}\,t - \sin\sqrt{3k}\,t$$

이다.

직관

행렬식의 두 인수가 두 고유 진동수다. $s^2 + k = 0$의 극점 $\pm i\sqrt{k}$는 두 물체가 같이 움직이는 모드 — 가운데 용수철이 늘어나지 않아 바깥 용수철 하나씩만 복원력을 준다. $s^2 + 3k = 0$의 극점 $\pm i\sqrt{3k}$는 두 물체가 반대로 움직이는 모드 — 가운데 용수철이 두 배로 늘어나 복원력이 세진다. 계수 행렬 $\begin{pmatrix}-2k & k\\ k & -2k\end{pmatrix}$의 고유값 $-k$, $-3k$가 그대로 $s^2$ 자리에 나왔다. 답은 두 모드를 초기조건이 정한 비율로 섞은 것이다.

같은 계산을 원자 $N$개가 이어진 사슬로 늘리면 $N$개의 고유 진동수가 나오고, 그것이 결정의 격자 진동, 곧 포논이다(7.4). 반도체 쪽의 다른 예는 자기장 속의 캐리어다. $v_x' = -\omega_c v_y$, $v_y' = \omega_c v_x$ ($\omega_c = qB/m^{*}$는 사이클로트론 진동수 — 10절의 차단 주파수와 다른 양이다. 부호는 전하에 따라)를 변환하면 계수 행렬식이 $s^2 + \omega_c^2$이고, $v_x = v_x(0)\cos\omega_c t - v_y(0)\sin\omega_c t$ — 캐리어가 사이클로트론 진동수로 돈다(Arfken 예 20.8.3과 같은 꼴, 7.6의 홀 효과).

극점이 응답의 모양을 정한다

그림 1.10-12. 극점의 위치와 시간 응답의 대응. 실수부가 왼쪽으로 갈수록 빨리 감쇠하고 오른쪽 반평면이면 발산한다. 허수부의 크기가 진동수이며, 허축 위의 극점은 감쇠 없이 영원히 진동한다. 실수 계수 시스템의 복소 극점은 반드시 켤레 짝으로 나타나므로 그림은 실축 대칭이다. 안정성 조건은 '모든 극점이 열린 왼쪽 반평면에'라는 한 문장이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 이 그림은 $s$평면 위의 점 하나를 시간 파형 하나로 읽는 사전이다.

$p = -\alpha + i\omega_d$인 극점의 몫은 $e^{-\alpha t}(\cos\omega_d t$ 꼴$)$이다. 그러므로

• 실수부 $-\alpha$ = 봉투의 감쇠율. 시상수 $\tau = 1/\alpha$. 왼쪽으로 멀수록 빨리 죽는다.
• 허수부 $\omega_d$ = 진동수. 위아래로 멀수록 빨리 흔들린다.
• 원점에서의 거리 $|p| = \omega_0$ = 고유 진동수.
• 음의 실축과의 각도 $\theta$ = 감쇠비 $\zeta = \alpha/\omega_0 = \cos\theta$. 각도가 클수록 덜 감쇠하고 오버슈트가 크다.

파라미터 연계가 여기서 한눈에 보인다. RLC 직렬 회로에서 $R$을 키우면 $\alpha = R/2L$이 커진다. 부족감쇠 구간에서는 원점에서의 거리 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$가 $R$과 무관하므로, 두 극점은 반지름 $\omega_0$인 원을 따라 음의 실축 쪽으로 내려오고, 실축에서 만나는 순간($\zeta = 1$)이 임계감쇠다. 더 키우면 실축 위에서 갈라져 하나는 원점 쪽으로, 하나는 $-\infty$ 쪽으로 간다. 원점에 가까운 극점이 느린 응답을 지배하므로 과감쇠 회로가 느린 이유가 그림에서 읽힌다. 제어 이론의 근궤적이 이 이동을 파라미터에 따라 그린 것이다.

입력의 극점과 계의 극점은 하는 일이 다르다. 정현파 입력의 극점 $\pm i\omega$는 영원히 남는 정상 상태 응답을, 계의 극점 $-\alpha \pm i\omega_d$는 시간이 지나면 사라지는 과도 응답을 만든다 (Arfken §20.9). 2절 끝에서 정상 상태만 계산한 것은 계의 극점 몫이 이미 잦아들었다고 본 것이다.

안정성도 한 문장이다. 극점이 하나라도 오른쪽 반평면에 있으면 그 항이 지수적으로 커져 출력이 발산한다. 허축 위의 단순극은 경계 — 감쇠하지도 발산하지도 않는다(발진기가 노리는 자리이고, 증폭기가 피하려는 자리다). 허축 위의 이중극은 앞의 ④처럼 $t$에 비례해 자라므로 발산 쪽이다.

브롬위치 적분 — 역변환의 정의

부분분수는 유리함수에만 통한다. $e^{-x\sqrt{s/D}}$처럼 유리함수가 아닌 변환은 정의로 돌아가야 한다.

$$f(t) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s)\,e^{st}\,ds$$

적분 경로는 모든 특이점의 오른쪽에 있는 수직선($\operatorname{Re}s = \gamma > \sigma_a$)이다. 1.9.8은 Boas를 따라 이 선의 위치를 $c$로 적었고, 여기의 $\gamma$와 같은 것이다. 교재에 따라 푸리에–멜린 적분이라고도 부른다.

직관

이 식은 3절 푸리에 역변환에 $s = \gamma + i\omega$를 대입한 것 이상이 아니다. $ds = i\,d\omega$이므로

$$f(t) = \frac{e^{\gamma t}}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\gamma+i\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

가 되어, “$f(t)e^{-\gamma t}$의 푸리에 역변환”이라는 7절의 설명과 정확히 같은 말을 한다. 경로를 특이점 오른쪽에 두는 것은 그 $\gamma$에서만 적분이 수렴하기 때문이다.

계산은 1.9.7특이점과 유수 정리의 유수 정리로 한다. $t>0$이면 $e^{st}$가 왼쪽 반평면에서 죽으므로, $F$가 고립된 극점 말고는 해석적이고 $|s|\to\infty$에서 0으로 가면 경로를 왼쪽 큰 반원으로 닫을 수 있다(Arfken §20.10). 그러면 적분값이 안에 든 극점들의 유수 합이 된다.

$$f(t) = \sum_k \operatorname{Res}_{s=p_k}\bigl[F(s)e^{st}\bigr]$$

단순극에서 유수를 계산하면 $A_ke^{p_kt}$가 나온다 — 헤비사이드 커버업 공식이 곧 유수 공식이었다. 앞 소절에서 요령으로 배운 것이 여기서 정리로 정당화된다.

$t<0$이면 오른쪽으로 닫아야 하는데 그쪽에는 극점이 없으므로 $f(t)=0$이다. 인과성이 경로의 위치에서 자동으로 나온다. 같은 논리가 1.9.10의 크라머스–크로니히 분산 관계 — 인과적인 응답 함수의 실수부와 허수부가 서로를 결정한다 — 를 낳는다. 유전율의 실수부(굴절)와 허수부(흡수)가 독립이 아닌 것이 이 때문이다.

닫는 조건이 깨지는 예가 지연 항이다. $F = (1 - e^{-bs})/s$에서 $e^{-bs}/s$ 항은 $e^{s(t-b)}/s$를 적분하는 셈이라, $t<b$이면 왼쪽이 아니라 오른쪽으로 닫아야 하고(값 0), $t>b$일 때만 왼쪽으로 닫는다(원점의 유수 1). 결과는 $u(t) - u(t-b)$로, 앞 소절의 “떼어 놓고 민다”가 적분으로 정당화된다(Arfken 예 20.10.2). $t$에 따라 닫는 쪽이 바뀐다는 것이 지연의 적분판 모습이다.

$\sqrt{s}$처럼 극점이 아니라 가지점을 가진 변환에서는 반원 대신 가지 절단을 감싸는 경로를 써야 하고, 그 계산이 앞 절 확산 문제의 $\operatorname{erfc}$를 낳는다(1.9.8).

의문

$F(s)$는 수렴 영역($\operatorname{Re}s > \sigma_a$)에서만 적분으로 정의되었다. 그런데 경로를 왼쪽으로 닫으면 수렴 영역 밖에 있는 극점을 둘러싸게 된다. 정의되지도 않은 곳의 유수를 써도 되는가?

된다. 적분으로 정의된 $F$는 수렴 영역에서 해석적이고, 해석함수는 한 영역의 값이 나머지를 유일하게 정한다(1.9.6의 해석적 연속). 예컨대 $\int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt$는 $\operatorname{Re}s > a$에서만 수렴하지만, 그 값 $1/(s-a)$는 $s = a$ 한 점을 뺀 평면 전체로 이어지는 유일한 해석함수다. 브롬위치 선 자체는 수렴 영역 안에 있고, 경로를 왼쪽으로 변형할 때 쓰는 것은 이 이어 붙인 함수다. 표의 $1/(s-a)$를 $s$평면 전체에서 그대로 쓰는 것이 이미 해석적 연속을 쓰고 있는 셈이다(Arfken §20.10이 이 “역설”을 따로 짚는다).

예제 — 부분분수 한 바퀴

$$F(s) = \frac{2s + 3}{s(s+1)(s+3)}$$

극점은 $p_1 = 0$, $p_2 = -1$, $p_3 = -3$이고 전부 단순극이다. 커버업으로

$$A_1 = \frac{3}{1\cdot3} = 1, \qquad A_2 = \frac{1}{(-1)(2)} = -\frac12, \qquad A_3 = \frac{-3}{(-3)(-2)} = -\frac12$$ $$f(t) = 1 - \tfrac12 e^{-t} - \tfrac12 e^{-3t}$$

검산이 세 가지 있다. 초기값: $f(0^+) = 1 - \frac12 - \frac12 = 0$이고 $\lim_{s\to\infty}sF(s) = 0$과 맞는다. 최종값: $f(\infty) = 1$이고 $\lim_{s\to0}sF(s) = 3/3 = 1$과 맞는다. 초기 기울기: $f'(0^+) = \frac12 + \frac32 = 2$이고, $sF - f(0^+)$의 초기값 $\lim_{s\to\infty}s^2F(s) = 2$와 맞는다.

앞의 두 검산은 계수에 대한 조건 두 개($\sum_k A_k = 0$과 $A_1 = 1$)만 확인한다. 계수가 셋이므로 두 개가 서로 상쇄되게 틀리면(예: $A_2 = -0.3$, $A_3 = -0.7$) 둘 다 통과한다. 셋째 검산 $\sum_k A_kp_k = 2$까지 확인하면 세 조건이 세 계수를 모두 정하므로 어떤 실수든 걸린다. 하나만 틀리는 흔한 실수는 초기값 검산 하나로도 잡힌다.

신호 처리 응용

주파수 응답과 보드 선도

전달함수를 허축 위에서 보면 주파수 응답이다.

$$H(i\omega) = \lvert H\rvert\,e^{i\phi}, \qquad \lvert H\rvert_\text{dB} = 20\log_{10}\lvert H\rvert$$

1차 저역통과(RC)를 예로 들면

$$H(s) = \frac{1}{1 + sRC} = \frac{1}{1 + s/\omega_c}, \qquad \omega_c = \frac{1}{RC}$$

그림 1.10-13. 1차 저역통과 필터의 보드 선도. 가로축은 로그 주파수, 세로축은 dB 이득과 위상이다. 차단 주파수 아래에서는 이득이 0 dB로 평탄하고 위에서는 −20 dB/decade 직선으로 떨어지며, 두 점근선이 만나는 곳이 ω_c다. 실제 곡선은 그 자리에서 점근선보다 3 dB 낮고 위상은 −45°를 지난다. 극점 하나가 이득 기울기를 −20 dB/decade, 위상을 −90° 바꾼다.직접 작도

직관

왜 양대수·로그 눈금으로 그리는가. 세 가지가 한꺼번에 해결된다.

① 거듭제곱이 직선이 된다. $|H|\sim\omega^{-n}$은 양대수 눈금에서 기울기 $-n$인 직선이다. 그래서 고주파 점근선이 $-20n$ dB/decade의 직선으로 그려지고, 기울기를 세면 극점 개수를 읽을 수 있다.

② 곱셈이 덧셈이 된다. 직렬 연결이 $H_1H_2$인데 dB로 적으면 더하기다. 여러 단을 이은 증폭기의 응답을 각 단의 곡선을 더해 그릴 수 있다. 단, 뒤 단이 앞 단에 부하를 걸지 않을 때만 곱이 성립한다. RC 저역통과 두 단을 그냥 이으면 둘째 단이 첫째 단의 축전기에서 전류를 끌어가 전달함수가 곱이 되지 않는다(Arfken 연습 20.5.4). 단 사이에 버퍼 증폭기를 두는 이유다.

③ 넓은 범위가 한 장에 들어간다. Hz부터 GHz까지 아홉 자릿수가 한 그림에 놓인다.

축·기울기·교점을 읽는 법을 정리하면 — 가로축의 교점 $\omega_c$가 대역폭, 저주파 평탄부의 높이가 직류 이득, 고주파 기울기가 차수, 위상이 $-45°$를 지나는 점이 1차 극점의 자리다(2차 극점 한 쌍이면 $-90°$). 극점 하나가 이득에 $-20$ dB/decade와 위상에 $-90°$를 보태고, 영점 하나가 그 반대를 한다. 이 규칙만으로 대부분의 보드 선도를 손으로 스케치할 수 있고, 그것이 이 표현이 표준이 된 이유다.

$\omega = \omega_c$에서 $|H| = 1/\sqrt2$, 즉 $-3.01$ dB이고 전력으로는 절반이다. 3 dB 차단 주파수라는 이름이 여기서 나온다. 위상은 $\phi = -\arctan(\omega/\omega_c)$로 $0°$에서 $-90°$로 옮겨 가며 차단 주파수에서 정확히 $-45°$다.

저항과 축전기의 자리를 바꾸면 고역통과다(Arfken 식 (20.109)).

$$H(s) = \frac{sRC}{1 + sRC} = \frac{s/\omega_c}{1 + s/\omega_c}$$

같은 극점에 원점의 영점이 하나 더해진 꼴이라, 보드 선도는 저역통과를 뒤집은 모양이 된다. 저주파에서 $+20$ dB/decade로 올라와 $\omega_c$ 위에서 평탄해지고, 위상은 $+90°$에서 $0°$로 내려온다. 직류를 막고 변화만 통과시키는 결합 축전기가 이것이다.

대역폭과 상승시간은 같은 것을 말한다

직관

1차 계의 계단 응답은 $1 - e^{-t/\tau}$이고, 10%에서 90%까지 걸리는 시간은 $t_r = \tau\ln 9 \approx 2.2\,\tau$이다. 한편 대역폭은 $\nu_c = 1/(2\pi\tau)$이므로 곱하면

$$t_r\,\nu_c \approx \frac{2.2}{2\pi} \approx 0.35$$$$t_r \approx \frac{0.35}{\nu_c}$$

시간 영역의 빠르기와 주파수 영역의 넓이가 역수 관계라는 4절의 불확정성이 실무 공식으로 나타난 것이다. 이 한 줄이 여러 곳에서 같은 판단을 내려 준다.

• 상승시간 1 ns 신호를 보려면 오실로스코프 대역폭이 350 MHz 이상이어야 한다.
• 배선의 RC 지연이 커지면(미세화로 저항이 오르고 결합용량이 늘면) 대역폭이 좁아져 파형의 모서리가 뭉개진다 — 인터커넥트 지연 문제의 본질이 저역통과다.
• 증폭기의 이득–대역폭 곱이 일정하다는 사실과 합치면, 이득을 올릴수록 응답이 느려진다.

계가 여러 단이면 상승시간이 제곱합으로 더해진다 — $t_r^2 \approx \sum_k t_{r,k}^2$. 단을 거치는 것은 임펄스 응답끼리의 합성곱이고, 5절에서 본 대로 합성곱은 분산을 더한다. 각 단의 응답이 가우시안에 가까울수록 이 규칙이 잘 맞는 근사다. 그래서 가장 느린 단 하나가 전체를 지배한다.

배선에는 한 가지가 더 있다. 저항과 용량이 길이를 따라 고르게 퍼진 긴 배선은 집중소자 RC가 아니라 확산 방정식을 따르므로(8절 끝), 지연이 길이에 비례하지 않고 길이의 제곱으로 늘어난다. 긴 배선을 중간중간 끊어 리피터를 넣는 이유다(21.7).

필터 — 무엇을 통과시킬 것인가

종류	통과	전형적 쓰임
저역통과	$\omega < \omega_c$	안티앨리어싱, 평활, 잡음 제거
고역통과	$\omega > \omega_c$	직류 차단, 드리프트 제거
대역통과	$\omega_1<\omega<\omega_2$	채널 선택, 락인 검출
대역저지(노치)	좁은 대역만 차단	60 Hz 전원 잡음 제거

차수를 올리면 차단이 가팔라진다($-20n$ dB/decade). 대역통과의 날카로움은 $Q = \omega_0/\Delta\omega$로 재고, 극점 관점에서 $Q$가 높다는 것은 극점이 허축에 가깝다는 뜻이다 — 9절 그림에서 잘 감쇠되지 않는 자리이고, 시간 영역에서는 오래 울린다. 선택도와 정착 시간은 맞바꿈 관계이며 이것도 결국 불확정성이다.

주의

이상적인 사각형 필터는 만들 수 없다. 통과대역에서 1, 저지대역에서 0인 응답의 임펄스 응답은 sinc이고, sinc는 $t<0$까지 뻗어 있다 — 미래의 입력을 알아야 한다는 뜻이라 인과적이지 않다(3절의 사각펄스 소절에서 계단 응답이 $t<0$에서 이미 움직이던 것이 이것이다). 실현 가능한 필터는 반드시 전이 대역이 있고, 그것을 얼마나 좁힐지가 차수·리플·위상 왜곡과의 흥정이다(버터워스·체비셰프·베셀이 그 흥정의 서로 다른 답이다).

FIR 필터를 설계할 때 sinc 계수를 잘라 쓰면 1절의 깁스 리플이 그대로 나타난다. 창함수는 그 잘라 냄을 부드럽게 하는 처방이고, 6절의 누설 대책과 같은 도구다.

인과성은 전달함수의 실수부와 허수부를 묶는다. 임펄스 응답 $h$가 실수이고 $t<0$에서 0이면 $H(\omega) = U(\omega) + iV(\omega)$에서

$$U(\omega) = \int_0^{\infty} h(t)\cos\omega t\,dt, \qquad V(\omega) = -\int_0^{\infty} h(t)\sin\omega t\,dt$$

로 둘 다 $h$ 하나의 코사인·사인 변환이다. 3절의 역공식으로 되돌리면 $t>0$에서

$$h(t) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} U(\omega)\cos\omega t\,d\omega = -\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} V(\omega)\sin\omega t\,d\omega$$

이다(Arfken §20.5). 실수부만 알아도 $h$가 정해지고, 그러면 허수부도 정해진다 — 두 부분이 독립이 아니다. 이것을 적분 하나로 직접 이은 것이 1.9.10의 크라머스–크로니히 관계이고, 7.11에서 굴절률과 흡수가 서로를 정하는 이유다. 이득 곡선과 위상 곡선을 따로 설계할 수 없다는 것(보드의 이득–위상 관계)도 같은 뿌리다.

잡음은 스펙트럼으로 다룬다

잡음은 파형을 하나로 특정할 수 없으므로 5절의 위너–킨친 정리에 기대어 전력 스펙트럼 밀도로 다룬다. 단위가 $\text{V}^2/\text{Hz}$(또는 $\text{A}^2/\text{Hz}$)인 것이 이 때문이다.

잡음원	스펙트럼 밀도	성격
열잡음 (저항)	$S_v = 4kTR$	백색 — 평평하다
산탄잡음 (접합)	$S_i = 2qI$	백색
플리커 ($1/f$)	$S \propto 1/\nu^{\,\beta}$ ($\beta \approx 1$)	저주파에서 커진다

이 표에서만 기호의 뜻이 바뀐다(1절 ⑥). $k$는 볼츠만 상수, $T$는 절대온도, $R$은 저항, $q$는 기본 전하, $I$는 접합을 흐르는 직류 전류다. 그리고 잡음 문헌의 스펙트럼 밀도는 양의 진동수 $\nu$만 쓰는 한쪽 밀도다. 5절의 $S(\omega)$는 음의 각주파수까지 쓰는 양쪽 밀도이므로, 둘 사이에는 $S_{\text{한쪽}}(\nu) = 2S(2\pi\nu)$ 관계가 있다(평균 전력 $= \int_0^\infty S_{\text{한쪽}}\,d\nu = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S\,d\omega$).

직관

백색잡음이 평평하다는 것은 5절에서 자기상관이 델타라는 말과 같았다 — 시각 사이에 기억이 없다. 반면 $1/f$ 잡음은 저주파에서 발산하는 스펙트럼을 가지므로 자기상관이 길게 끌리고, 그래서 오래 측정할수록 드리프트처럼 보인다. MOSFET의 $1/f$ 잡음이 아날로그 회로에서 골칫거리인 이유이고, 대책(초퍼 안정화)이 신호를 고주파로 변조했다가 되돌리는 것 — 4절의 주파수 이동 성질 — 인 것도 자연스럽다.

출력 잡음은 스펙트럼 밀도를 통과 대역에 걸쳐 적분해 얻는다. 계를 지나면 스펙트럼 밀도에 $|H|^2$이 곱해지기 때문이다 — 5절의 위너–킨친 정리와 합성곱 정리를 합친 결과다.

$$\langle v_n^2\rangle = \int_0^{\infty} S_v(\nu)\,\lvert H(i\,2\pi\nu)\rvert^2\,d\nu$$

1차 저역통과에 백색잡음을 넣으면 이 적분이 $4kTR \cdot \frac{\pi}{2}\nu_c$가 되어, 잡음 대역폭이 3 dB 대역폭의 $\pi/2$배라는 익숙한 결과가 나온다. 필터의 꼬리가 차단 주파수 위에서도 잡음을 조금씩 들여보내기 때문이다.

RC 회로에서 $R$을 소거하면 더 놀라운 결과가 나온다.

$$\langle v_n^2\rangle = 4kTR\cdot\frac{1}{4RC} = \frac{kT}{C}$$

저항값이 사라진다. 표본화 회로의 잡음이 축전기 용량만으로 정해진다는 이 $kT/C$ 잡음이 스위치드 커패시터 회로(22.17)와 이미지 센서(17.2)에서 잡음 하한을 긋고, 용량을 키우는 것 말고는 줄일 방법이 없어 면적과 속도를 물린다. “계를 지나면 스펙트럼에 $|H|^2$이 곱해진다”는 한 줄과 열잡음 공식 한 줄에서 나온 설계 제약이다.

표본화 시스템과 오버샘플링

6절의 표본화 정리를 회로로 옮기면 설계 규칙이 된다.

• 안티앨리어싱 필터는 표본화 전에. $\nu_s/2$ 위를 잘라 낸다. 필터가 완벽하지 않으므로 실무에서는 $\nu_s$를 신호 대역의 2.5~5배로 잡아 전이 대역의 여유를 만든다.
• 오버샘플링은 그 필터를 싸게 만든다. $\nu_s$를 훨씬 높이면 전이 대역이 넓어져 완만한 아날로그 필터로도 충분해지고, 정밀한 차단은 디지털 필터로 뒤에서 처리한 뒤 데시메이션한다.
• 잡음 성형. 양자화 잡음의 총 전력은 같아도 스펙트럼 분포는 바꿀 수 있다. 잡음을 고주파로 밀어 놓고 저역통과로 걷어내는 것이 델타–시그마 변환기의 원리이며, “전력은 보존되고 분포만 바뀐다”는 파세발의 사고방식 그대로다.

상관 검출

락인 증폭기는 신호를 기준 주파수 $\omega_r$로 변조해 두고, 받은 신호에 $\cos\omega_r t$를 곱한 뒤 저역통과시킨다. 4절의 주파수 이동을 두 번 적용하는 것이다 — 변조로 신호를 $\omega_r$ 근처로 올려 두면 $1/f$ 잡음이 없는 대역에 놓이고, 복조로 되돌리면서 좁은 저역통과를 걸면 그 대역 바깥의 잡음이 전부 잘린다.

직관

효과가 얼마나 큰지는 잡음 대역폭으로 잰다. 대역폭을 1 kHz에서 1 Hz로 줄이면 백색잡음 전력이 1/1000이 되어 진폭으로 $\sqrt{1000}\approx32$배 이득이다. 대가는 시간이다 — $\Delta\nu = 1$ Hz는 4절·6절의 관계에 따라 1초 이상의 적분을 요구한다. 감도와 측정 속도의 맞바꿈이 또 불확정성이고, 이 장에서 같은 부등식이 몇 번째 얼굴로 나오는지 세어 볼 만하다.

반도체 계측에서 미세한 광응답·용량 변화·표면 광전압을 재는 장비가 대부분 이 방식이다. DLTS(깊은 준위 과도 분광)도 과도 신호를 기준 파형과 상관시켜 특정 시상수만 골라내는, 같은 계열의 기법이다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

같은 도구가 부마다 다른 이름으로 나온다. 목적지를 적어 둔다.

• 회절과 리소그래피 (3.5·3.6·18.14–18.16). 프라운호퍼 회절 무늬는 개구 함수의 푸리에 변환이다. 그래서 슬릿(사각펄스)의 회절이 sinc이고, 렌즈는 유한한 주파수까지만 통과시키는 저역통과 필터로 작동한다. 결상은 물체와 점퍼짐함수의 합성곱이며, 통과시키지 못한 공간 주파수의 정보는 복원되지 않는다 — 해상도 한계 $k_1\lambda/\text{NA}$의 근거다. 광 근접 보정(OPC)은 마스크 쪽 스펙트럼을 미리 왜곡해 두는 역문제 풀이다.
• 결정과 회절 (7.1·7.2). 역격자는 결정 격자의 푸리에 변환이고, 구조인자는 단위포 안 전자밀도의 푸리에 계수다. X선 회절 강도가 $|F|^2$이라 위상이 사라지는 것, 그 결과 직접 얻는 것이 전자밀도가 아니라 패터슨 함수(자기상관)라는 것이 5절의 이야기 그대로다.
• 확산과 열 (1.7·8.3·18.7). 확산 방정식의 해는 초기 분포와 가우시안 핵의 합성곱이고(4절), 라플라스 변환은 반무한 문제의 $\operatorname{erfc}$ 해를, 푸리에 급수는 유한 두께 문제의 급수 해를 준다. 열처리를 거듭하면 $\sum D_it_i$가 더해지는 열 예산(5절)도, 급속 열처리의 온도 프로파일도 같은 틀이다.
• 소자의 소신호 해석 (12~14부, 13.9). 소신호 등가회로가 곧 전달함수이고, 차단 주파수 $f_T$는 그 전달함수의 극점 배치가 정한다. C–V 측정과 어드미턴스 분광은 주파수 영역에서 계면 준위를 읽는 방법이다.
• 회로와 신호 무결성 (21·22부). 극점–영점 배치, 안정성 여유, 잡음 스펙트럼, 아이 다이어그램이 전부 이 장의 언어다. 스위칭 파형의 고조파가 $1/n$으로 천천히 줄어드는 것이 EMI 문제의 뿌리이고, 대책은 모서리를 둔화시켜 감쇠를 빠르게 만드는 것이다(2절).
• 수치 시뮬레이션 (1.12·20부). 스펙트럼 방법, 주기 경계조건의 푸리에 해법, FFT 기반 푸아송 풀이가 표준 도구다. 시간 적분의 안정 조건도 결국 스펙트럼 반지름 이야기라 1.3과 이어진다.

전부 같은 한 줄 $\int K(k,t)f(t)dt$이고, 달라지는 것은 핵 $K$가 무엇이고 무엇을 $t$로 두느냐뿐이다. 시간을 $t$로 두면 주파수가 나오고, 공간을 $t$로 두면 파수가 나온다.

이 장이 쓰이는 곳

• 1.9 복소해석
• 1.11 확률과 통계
• 1.12 수치해석
• 2.6 전기역학
• 2.8 전자기파
• 3.5 간섭과 편광
• 4.7 분자간 상호작용과 고분자
• 5.1 양자역학의 태동
• 5.9 시간 의존 현상과 산란
• 7.2 역격자와 회절
• 7.4 격자 진동
• 7.7 밴드 이론
• 7.10 전자 상호작용과 차폐