2.6이 끝난 자리에는 맥스웰 방정식 네 개가 놓여 있었다. 그 네 식은 전하와 전류가 장을 어떻게
만드는가를 말해 주는데, 이 장은 전하도 전류도 없는 곳 에서 그 식이 무엇을 남기는지를 묻는다.
답은 파동이다. 전기장이 변하면 자기장이 생기고(변위 전류), 자기장이 변하면 전기장이 생기며(패러데이),
둘이 서로를 떠받치면서 빈 공간을 일정한 속력으로 달려간다. 그 속력이 계산해 보니 빛의 속력이었다는
것이 1860년대의 사건이고, 이 장의 2절에서 그 계산을 그대로 따라간다.
∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 , c = 1 μ 0 ε 0 \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2},
\qquad
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E , c = μ 0 ε 0 1 이 한 쌍이 장 전체의 출발점이다. 그런데 파동 방정식 하나에서 갈라져 나오는 이야기가 뜻밖에 많다.
매질이 있으면 속력이 줄고(4절), 매질이 전기를 통하면 파동이 안으로 들어가지 못하며(5절), 매질이
바뀌는 면에서는 일부가 되돌아오고(6·7절), 매질이 주파수를 가리면 색이 갈라진다(8절). 그리고 파동을
도선 두 가닥이나 금속 관 안에 가두면 회로 이론과 광학 사이의 다리가 놓인다(9~11절).
이 장은 대략 세 덩어리다.
1~3절 — 진공. 파동의 언어(파수·각진동수·복소 표기)를 1차원에서 익히고, 맥스웰 방정식에서
평면파를 끌어내고, 그 파동이 나르는 에너지와 운동량을 센다.4~8절 — 물질. 유전체·도체 속에서 파동이 어떻게 달라지는지, 경계면에서 얼마나 되돌아오는지,
그리고 유전율이 왜 주파수에 따라 변하는지를 본다.9~11절 — 유도 전파. 파동을 전송선과 도파관에 실으면 임피던스·반사 계수·정재파비라는
회로의 말 로 번역된다. 스미스 차트가 그 번역 사전이다.
반도체 쪽에서 이 장이 다시 나오는 자리를 미리 적어 둔다. 포토리소그래피의 해상도는 파장과 매질의
굴절률로 정해지고(4절), 레지스트 안에서 생기는 정재파는 6절의 반사 그 자체다. 박막 두께를 옹스트롬
단위로 재는 타원계측은 7절의 프레넬 계수를 거꾸로 푸는 일이다. 배선이 GHz에서 겪는 표피 효과는
5절이고, 고속 입출력의 임피던스 정합과 식각 장비의 RF 정합 회로는 10절의 스미스 차트 위에서
돌아간다. 실리콘 포토닉스의 도파관은 11절의 금속 벽을 굴절률 차이로 바꾼 것이다.
직관
파동은 모양이 그대로 이동하는 것 이다. 줄을 한 번 튕기면 만들어진 혹이 형태를 유지한 채
옆으로 미끄러진다. 그러니 파동을 나타내는 함수는 시각 t t t v t vt v t
f ( z , t ) = f ( z − v t , 0 ) ≡ g ( z − v t ) f(z, t) = f(z - vt, 0) \equiv g(z - vt) f ( z , t ) = f ( z − v t , 0 ) ≡ g ( z − v t ) 이다. 변수가 z z z t t t z − v t z - vt z − v t 한 조합 에만 의존한다 — 이것이
파동의 정의이고, 파동 방정식은 이 정의를 미분 형태로 바꾼 것뿐이다.
g ( z − v t ) g(z - vt) g ( z − v t ) z z z t t t ∂ 2 g / ∂ z 2 = g ′ ′ \partial^2 g/\partial z^2 = g'' ∂ 2 g / ∂ z 2 = g ′′ ∂ 2 g / ∂ t 2 = v 2 g ′ ′ \partial^2 g/\partial t^2 = v^2 g'' ∂ 2 g / ∂ t 2 = v 2 g ′′
∂ 2 f ∂ z 2 = 1 v 2 ∂ 2 f ∂ t 2 \boxed{\;\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}\;} ∂ z 2 ∂ 2 f = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 f 가 성립한다. 이것이 1차원 파동 방정식 이다. 거꾸로, 이 방정식의 일반해는 오른쪽으로 가는
파동과 왼쪽으로 가는 파동의 합 g ( z − v t ) + h ( z + v t ) g(z - vt) + h(z + vt) g ( z − v t ) + h ( z + v t ) 1.7.5 파동 방정식과 달랑베르 해 중첩 원리 . 파동을 마음대로 더하고 쪼갤 수 있다는 이 성질이
뒤의 모든 절을 떠받친다. 반사파와 입사파를 그냥 더하는 것(6절), 임의의 편광을 두 성분으로
쪼개는 것(4절), 임의의 파형을 정현파로 분해하는 것(8절)이 전부 중첩이다.
모양 g g g 1.10.1 푸리에 급수와 반구간 전개
f ( z , t ) = A cos ( k z − ω t + φ ) f(z, t) = A\cos(kz - \omega t + \varphi) f ( z , t ) = A cos ( k z − ω t + φ ) 이다. 기호를 하나씩 읽어 두자.
기호 이름 뜻 관계 A A A 진폭 최대 변위 k k k 파수 단위 길이당 위상이 도는 양 λ = 2 π / k \lambda = 2\pi/k λ = 2 π / k ω \omega ω 각진동수 단위 시간당 위상이 도는 양 T = 2 π / ω , ν = ω / 2 π T = 2\pi/\omega,\ \nu = \omega/2\pi T = 2 π / ω , ν = ω /2 π φ \varphi φ 위상 상수 z = 0 , t = 0 z = 0,\ t = 0 z = 0 , t = 0 v v v 위상 속력 마루가 이동하는 속력 v = ω / k = λ ν v = \omega/k = \lambda\nu v = ω / k = λ ν
파수 k k k ω \omega ω 같은 것을 공간과 시간에서 잰 것 이다. 파장 λ \lambda λ T T T k = 2 π / λ k = 2\pi/\lambda k = 2 π / λ ω = 2 π / T \omega = 2\pi/T ω = 2 π / T k z − ω t = 일정 kz - \omega t = \text{일정} k z − ω t = 일정 z = ( ω / k ) t + 상수 z = (\omega/k)t + \text{상수} z = ( ω / k ) t + 상수 v = ω / k v = \omega/k v = ω / k
왼쪽으로 가는 파동은 cos ( k z + ω t + φ ) \cos(kz + \omega t + \varphi) cos ( k z + ω t + φ ) k k k cos ( − k z − ω t + φ ) = cos ( k z + ω t − φ ) \cos(-kz - \omega t + \varphi) = \cos(kz + \omega t - \varphi) cos ( − k z − ω t + φ ) = cos ( k z + ω t − φ ) k → − k k \to -k k → − k k \mathbf{k} k
정현파 덧셈은 삼각함수 항등식 지옥이다. 오일러 공식 e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ
f ( z , t ) = Re [ A ~ e i ( k z − ω t ) ] , A ~ ≡ A e i φ f(z, t) = \operatorname{Re}\!\left[\tilde{A}\, e^{i(kz - \omega t)}\right],
\qquad
\tilde{A} \equiv A e^{i\varphi} f ( z , t ) = Re [ A ~ e i ( k z − ω t ) ] , A ~ ≡ A e i φ 물결표(~)는 복소량이라는 표시다. 복소 진폭 A ~ \tilde{A} A ~ A A A φ \varphi φ E ~ \tilde{\mathbf{E}} E ~ k ~ \tilde{k} k ~ ε ~ \tilde{\varepsilon} ε ~
주의
복소 표기의 부호 관습이 책마다 다르다. 이 장의 1~8절은 Griffiths를 따라
e i ( k z − ω t ) e^{i(kz - \omega t)} e i ( k z − ω t ) e j ( ω t − β z ) e^{j(\omega t - \beta z)} e j ( ω t − β z ) i i i j j j 지수의 부호가 통째로 반대 다. 물리량은 실수부라 같지만, 복소
진폭은 서로 켤레 가 된다. 인덕터의 임피던스가 물리 관습에서는 − i ω L -i\omega L − iω L j ω L j\omega L j ω L 어느 절에 있는지 를
늘 의식할 것.
곱은 조심해야 한다. 실수부를 취하는 것은 선형 연산이라 덧셈·미분과는 교환되지만 곱셈과는
교환되지 않는다. Re ( a ~ ) Re ( b ~ ) ≠ Re ( a ~ b ~ ) \operatorname{Re}(\tilde{a})\operatorname{Re}(\tilde{b}) \neq
\operatorname{Re}(\tilde{a}\tilde{b}) Re ( a ~ ) Re ( b ~ ) = Re ( a ~ b ~ )
이 장은 기호가 많고, 게다가 같은 글자가 절에 따라 다른 뜻 으로 쓰이는 자리가 여럿이다.
β \beta β γ \gamma γ δ \delta δ
기호 읽는 법 무엇을 가리키는가 단위 E , B \mathbf{E},\ \mathbf{B} E , B 전기장 · 자기장(자속 밀도). 이 장에서 E E E 언제나 전기장 이고 에너지가 아니다 V/m · T D , H \mathbf{D},\ \mathbf{H} D , H 전기 변위 · 보조 자기장. H = B / μ \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu H = B / μ C/m² · A/m k , k \mathbf{k},\ k k , k 파동 벡터 · 파수 진행 방향과 2 π / λ 2\pi/\lambda 2 π / λ rad/m ω \omega ω 각진동수 2 π ν 2\pi\nu 2 π ν rad/s k ~ = k + i κ \tilde{k} = k + i\kappa k ~ = k + iκ 복소 파수 실수부는 위상, 허수부 κ \kappa κ rad/m α , β , γ \alpha,\ \beta,\ \gamma α , β , γ Sadiku의 감쇠 상수 · 위상 상수 · 전파 상수 γ = α + j β \gamma = \alpha + j\beta γ = α + j β α = κ , β = k \alpha = \kappa,\ \beta = k α = κ , β = k 1/m δ \delta δ 표피 깊이 1 / κ 1/\kappa 1/ κ 1 / e 1/e 1/ e m ε , μ \varepsilon,\ \mu ε , μ 유전율 · 투자율 ε = ε r ε 0 \varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0 ε = ε r ε 0 μ = μ r μ 0 \mu = \mu_r\mu_0 μ = μ r μ 0 F/m · H/m σ \sigma σ 전도도 J = σ E \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} J = σ E S/m c , v c,\ v c , v 진공 광속 · 매질 내 위상 속력. 대문자 V V V m/s n n n 굴절률 c / v = ε r μ r c/v = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r} c / v = ε r μ r — η \eta η 고유 임피던스 μ / ε \sqrt{\mu/\varepsilon} μ / ε E / H E/H E / H η 0 ≈ 377 Ω \eta_0 \approx 377\ \Omega η 0 ≈ 377 Ω Ω Z 0 Z_0 Z 0 특성 임피던스 전송선의 V / I V/I V / I η \eta η Ω Γ , τ \Gamma,\ \tau Γ , τ 감마 · 타우 진폭 반사 계수 · 투과 계수. 6·7·10절에서 같은 뜻— R , T R,\ T R , T 에너지(전력) 반사율 · 투과율. R = ∣ Γ ∣ 2 R = \lvert\Gamma\rvert^2 R = ∣ Γ ∣ 2 — u , S , I u,\ \mathbf{S},\ I u , S , I 에너지 밀도 · 포인팅 벡터 · 강도(시간 평균 ∣ S ∣ \lvert\mathbf{S}\rvert ∣ S ∣ I I I J/m³ · W/m² g \mathbf{g} g 전자기 운동량 밀도 S / c 2 \mathbf{S}/c^2 S / c 2 kg/(m²·s) s s s 정재파비 V max / V min V_{\max}/V_{\min} V m a x / V m i n — θ I , θ R , θ T \theta_I,\ \theta_R,\ \theta_T θ I , θ R , θ T 입사각 · 반사각 · 굴절각 (7절) rad
주의
대소문자 짝 넷. ① E E E E \mathcal{E} E u u u I I I E E E v v v V V V u p u_p u p u g u_g u g Γ \Gamma Γ γ \gamma γ κ \kappa κ k k k 8절)와
Sadiku(911절)를 따른다.
전자기파의 반사(6절)를 배우기 전에, 같은 수학을 눈에 보이는 계에서 먼저 한다. 두 줄을
z = 0 z = 0 z = 0 v 1 v_1 v 1 v 2 v_2 v 2 T T T μ \mu μ v = T / μ v = \sqrt{T/\mu} v = T / μ A ~ I e i ( k 1 z − ω t ) \tilde{A}_I e^{i(k_1 z - \omega t)} A ~ I e i ( k 1 z − ω t ) A ~ R e i ( − k 1 z − ω t ) \tilde{A}_R e^{i(-k_1 z - \omega t)} A ~ R e i ( − k 1 z − ω t ) A ~ T e i ( k 2 z − ω t ) \tilde{A}_T e^{i(k_2 z - \omega t)} A ~ T e i ( k 2 z − ω t ) ω \omega ω k k k k = ω / v k = \omega/v k = ω / v
매듭에서 성립해야 하는 조건은 둘이다. 줄이 끊어지지 않으므로 변위가 연속 이고, 매듭이
질량이 없으므로 양쪽 장력의 수직 성분이 같아 기울기가 연속 이다.
A ~ I + A ~ R = A ~ T , k 1 ( A ~ I − A ~ R ) = k 2 A ~ T \tilde{A}_I + \tilde{A}_R = \tilde{A}_T,
\qquad
k_1(\tilde{A}_I - \tilde{A}_R) = k_2 \tilde{A}_T A ~ I + A ~ R = A ~ T , k 1 ( A ~ I − A ~ R ) = k 2 A ~ T 두 식을 A ~ R \tilde{A}_R A ~ R A ~ T \tilde{A}_T A ~ T k 1 / k 2 = v 2 / v 1 k_1/k_2 = v_2/v_1 k 1 / k 2 = v 2 / v 1
A ~ R = v 2 − v 1 v 2 + v 1 A ~ I , A ~ T = 2 v 2 v 2 + v 1 A ~ I \boxed{\;
\tilde{A}_R = \frac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1}\,\tilde{A}_I,
\qquad
\tilde{A}_T = \frac{2 v_2}{v_2 + v_1}\,\tilde{A}_I
\;} A ~ R = v 2 + v 1 v 2 − v 1 A ~ I , A ~ T = v 2 + v 1 2 v 2 A ~ I 이다. 이 결과를 읽는 법이 6절·10절에서 그대로 반복된다.
직관
형태적 직관 — 분모와 분자. 반사 계수는 두 매질의 어떤 성질의 차를 합으로 나눈 것 이다.
두 줄이 같으면(차가 0) 반사가 없고, 오른쪽 줄이 무한히 무거우면(v 2 → 0 v_2 \to 0 v 2 → 0 − 1 -1 − 1 v 2 → ∞ v_2 \to \infty v 2 → ∞ + 1 +1 + 1 1 + ( 반사 계수 ) 1 + (\text{반사 계수}) 1 + ( 반사 계수 ) A ~ I + A ~ R = A ~ T \tilde{A}_I + \tilde{A}_R = \tilde{A}_T A ~ I + A ~ R = A ~ T v v v η \eta η Z 0 Z_0 Z 0
위상 반전. v 2 < v 1 v_2 < v_1 v 2 < v 1 π \pi π − A = A e i π -A = A e^{i\pi} − A = A e iπ
줄의 파동은 줄에 수직으로 흔들린다. 그런데 수직인 방향이 하나가 아니다 — 위아래로 흔들 수도,
좌우로 흔들 수도, 그 사이 어느 방향으로도 흔들 수 있다. 진행 방향 z ^ \hat{\mathbf{z}} z ^ n ^ \hat{\mathbf{n}} n ^
f ~ ( z , t ) = A ~ e i ( k z − ω t ) n ^ , n ^ ⋅ z ^ = 0 \tilde{\mathbf{f}}(z, t) = \tilde{A}\, e^{i(kz - \omega t)}\, \hat{\mathbf{n}},
\qquad \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{z}} = 0 f ~ ( z , t ) = A ~ e i ( k z − ω t ) n ^ , n ^ ⋅ z ^ = 0 로 쓰고, n ^ \hat{\mathbf{n}} n ^ 편광 벡터 라 한다. 수직인 방향은 2차원 평면을 이루므로 편광
벡터는 독립인 둘(x ^ \hat{\mathbf{x}} x ^ y ^ \hat{\mathbf{y}} y ^ n ^ = cos θ x ^ + sin θ y ^ \hat{\mathbf{n}} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\,\hat{\mathbf{y}} n ^ = cos θ x ^ + sin θ y ^
전하도 전류도 없는 진공에서 맥스웰 방정식(2.6.7 맥스웰 방정식
∇ ⋅ E = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ B ∂ t , ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t \nabla\cdot\mathbf{E} = 0,\quad
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0,\quad
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} ∇ ⋅ E = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ t ∂ B , ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ t ∂ E 이다. E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B ∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} ∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E 1.1.2 기울기·발산·회전
∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 ∴ ∇ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 \begin{aligned}
\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}
&= -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B})
= -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \\[4pt]
\therefore\quad \nabla^2\mathbf{E} &= \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
\end{aligned} ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E ∴ ∇ 2 E = − ∂ t ∂ ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E 이다. 첫 항이 사라진 것은 ∇ ⋅ E = 0 \nabla\cdot\mathbf{E} = 0 ∇ ⋅ E = 0 B \mathbf{B} B
v = 1 μ 0 ε 0 = 2.998 × 10 8 m/s ≡ c \boxed{\;v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = 2.998\times 10^8\ \text{m/s} \equiv c\;} v = μ 0 ε 0 1 = 2.998 × 1 0 8 m/s ≡ c 이다. μ 0 \mu_0 μ 0 ε 0 \varepsilon_0 ε 0 빛의 속력 이 나왔다. 빛이 전자기파라는 결론은 여기서 나왔고,
이 계산 이전에는 광학과 전자기학이 별개의 학문이었다.
직관
물리적 직관 — 파동이 스스로를 떠받치는 방식. 어떤 지점에서 E \mathbf{E} E ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E / ∂ t \nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E / ∂ t B \mathbf{B} B B \mathbf{B} B ∇ × E = − ∂ B / ∂ t \nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t ∇ × E = − ∂ B / ∂ t E \mathbf{E} E E \mathbf{E} E 2.6.6 변위 전류
c c c μ 0 ε 0 \mu_0\varepsilon_0 μ 0 ε 0 역 제곱근인 것도 읽을 수 있다. ε 0 \varepsilon_0 ε 0 E \mathbf{E} E μ 0 \mu_0 μ 0 B \mathbf{B} B B \mathbf{B} B
파동 방정식의 해 가운데 가장 단순한 것은 단색 (진동수 하나) 평면파 (위상이 일정한 면이
평면)다. z z z
E ~ ( z , t ) = E ~ 0 e i ( k z − ω t ) , B ~ ( z , t ) = B ~ 0 e i ( k z − ω t ) \tilde{\mathbf{E}}(z, t) = \tilde{\mathbf{E}}_0\, e^{i(kz - \omega t)},
\qquad
\tilde{\mathbf{B}}(z, t) = \tilde{\mathbf{B}}_0\, e^{i(kz - \omega t)} E ~ ( z , t ) = E ~ 0 e i ( k z − ω t ) , B ~ ( z , t ) = B ~ 0 e i ( k z − ω t ) 로 놓는다. E ~ 0 \tilde{\mathbf{E}}_0 E ~ 0 B ~ 0 \tilde{\mathbf{B}}_0 B ~ 0 진폭 벡터 로 상수다. 파동
방정식에 넣으면 k 2 = μ 0 ε 0 ω 2 k^2 = \mu_0\varepsilon_0\omega^2 k 2 = μ 0 ε 0 ω 2 ω = c k \omega = ck ω = c k 버린 정보 — 원래의 1계 맥스웰 방정식에 남아 있다.
① 횡파. ∇ ⋅ E = 0 \nabla\cdot\mathbf{E} = 0 ∇ ⋅ E = 0 i k ( E ~ 0 ) z = 0 ik\,(\tilde{E}_0)_z = 0 ik ( E ~ 0 ) z = 0 ( E ~ 0 ) z = 0 (\tilde{E}_0)_z = 0 ( E ~ 0 ) z = 0 B \mathbf{B} B 전자기파는 진행 방향 성분이 없는 횡파 다.
1절의 편광 자유도가 여기서 생긴다.
② E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B 패러데이 법칙 ∇ × E = − ∂ B / ∂ t \nabla\times\mathbf{E} = -\partial\mathbf{B}/\partial t ∇ × E = − ∂ B / ∂ t x x x y y y
− k ( E ~ 0 ) y = ω ( B ~ 0 ) x , k ( E ~ 0 ) x = ω ( B ~ 0 ) y -k(\tilde{E}_0)_y = \omega(\tilde{B}_0)_x,
\qquad
k(\tilde{E}_0)_x = \omega(\tilde{B}_0)_y − k ( E ~ 0 ) y = ω ( B ~ 0 ) x , k ( E ~ 0 ) x = ω ( B ~ 0 ) y 이고, 이것을 벡터로 묶으면
B ~ 0 = k ω ( z ^ × E ~ 0 ) = 1 c ( z ^ × E ~ 0 ) \boxed{\;\tilde{\mathbf{B}}_0 = \frac{k}{\omega}\,(\hat{\mathbf{z}}\times\tilde{\mathbf{E}}_0)
= \frac{1}{c}\,(\hat{\mathbf{z}}\times\tilde{\mathbf{E}}_0)\;} B ~ 0 = ω k ( z ^ × E ~ 0 ) = c 1 ( z ^ × E ~ 0 ) 이다. 세 가지가 한꺼번에 읽힌다. B \mathbf{B} B E \mathbf{E} E 수직 이고, 둘 다 진행 방향에
수직이며 E × B \mathbf{E}\times\mathbf{B} E × B B \mathbf{B} B E \mathbf{E} E 1 / c 1/c 1/ c B ~ 0 \tilde{\mathbf{B}}_0 B ~ 0 E ~ 0 \tilde{\mathbf{E}}_0 E ~ 0 실수 를
곱한 것이므로 두 장은 같은 위상 이다 — E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B
편광 방향을 x ^ \hat{\mathbf{x}} x ^
E ( z , t ) = E 0 cos ( k z − ω t + φ ) x ^ , B ( z , t ) = E 0 c cos ( k z − ω t + φ ) y ^ \mathbf{E}(z,t) = E_0\cos(kz - \omega t + \varphi)\,\hat{\mathbf{x}},
\qquad
\mathbf{B}(z,t) = \frac{E_0}{c}\cos(kz - \omega t + \varphi)\,\hat{\mathbf{y}} E ( z , t ) = E 0 cos ( k z − ω t + φ ) x ^ , B ( z , t ) = c E 0 cos ( k z − ω t + φ ) y ^ 이다.
그림 2.8-1. z 방향으로 진행하는 선편광 평면파의 한 순간. E는 x 방향, B는 y 방향으로 진동하고, 둘은 같은 자리에서 마루를 이룬다(같은 위상). E × B가 진행 방향 z를 가리키며, 마루 사이 거리가 파장 λ = 2π/k다. B의 크기는 E/c이지만 그림에서는 보이도록 같은 높이로 그렸다.직접 작도 의문
B \mathbf{B} B E \mathbf{E} E c c c q E qE q E q v B = q v E / c qvB = qvE/c q v B = q v E / c v / c v/c v / c 사실상 전기장만 있는 파동이다. 포토레지스트의 광화학 반응,
반도체의 광흡수, 유전체의 분극(8절)이 전부 E \mathbf{E} E E E E B B B
진행 방향을 임의의 단위 벡터 k ^ \hat{\mathbf{k}} k ^ k z kz k z k ⋅ r \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} k ⋅ r
E ~ ( r , t ) = E ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) n ^ , B ~ = 1 c k ^ × E ~ , n ^ ⋅ k ^ = 0 \tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t) = \tilde{E}_0\, e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\,\hat{\mathbf{n}},
\qquad
\tilde{\mathbf{B}} = \frac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\tilde{\mathbf{E}},
\qquad
\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{k}} = 0 E ~ ( r , t ) = E ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) n ^ , B ~ = c 1 k ^ × E ~ , n ^ ⋅ k ^ = 0 직관
공간적 직관 — 파동 벡터. k ⋅ r = 일정 \mathbf{k}\cdot\mathbf{r} = \text{일정} k ⋅ r = 일정 k \mathbf{k} k 파면 (등위상면)이고, k \mathbf{k} k ∣ k ∣ = 2 π / λ \lvert\mathbf{k}\rvert = 2\pi/\lambda ∣ k ∣ = 2 π / λ k \mathbf{k} k k \mathbf{k} k
진공에서는 ω = c k \omega = ck ω = c k λ ν = c \lambda\nu = c λ ν = c
진동수 진공 파장 어디서 만나는가 13.56 MHz 22.1 m 플라즈마 식각·증착 장비의 RF 전원 (표준 ISM 대역) 2.45 GHz 12.2 cm 마이크로파 플라즈마(ECR), 전자레인지 10 GHz 3 cm 고속 직렬 링크의 기본파, 레이더 2.8 × 10 14 2.8\times10^{14} 2.8 × 1 0 14 1.07 μm 실리콘 밴드갭에 해당하는 파장 — 이보다 긴 파장은 Si를 통과한다 1.55 × 10 15 1.55\times10^{15} 1.55 × 1 0 15 193 nm ArF 엑시머 레이저 — 액침 리소그래피의 광원 2.2 × 10 16 2.2\times10^{16} 2.2 × 1 0 16 13.5 nm EUV 리소그래피
같은 한 식이 22 m와 13.5 nm를 함께 다룬다는 것, 그리고 반도체 공정이 이 넓은 폭의 양 끝을
모두 쓴다는 것을 기억해 두자. 22 m짜리 파동은 장비 전체보다 길어 회로처럼(9절) 다루고,
13.5 nm짜리는 원자 간격의 수십 배라 물질을 연속체로 보기 어려워지기 시작한다(8절).
전자기장의 에너지 밀도와 에너지 흐름은 2.7에서 일반적으로 세웠다(2.7.2 포인팅 정리와 에너지 보존
u = 1 2 ( ε 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) , S = 1 μ 0 E × B u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right),
\qquad
\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} u = 2 1 ( ε 0 E 2 + μ 0 1 B 2 ) , S = μ 0 1 E × B 평면파에서는 B = E / c B = E/c B = E / c c 2 = 1 / μ 0 ε 0 c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0 c 2 = 1/ μ 0 ε 0 B 2 / μ 0 = E 2 / ( c 2 μ 0 ) = ε 0 E 2 B^2/\mu_0 = E^2/(c^2\mu_0) = \varepsilon_0 E^2 B 2 / μ 0 = E 2 / ( c 2 μ 0 ) = ε 0 E 2 전기 에너지 항과 정확히 같다.
따라서
u = ε 0 E 2 = ε 0 E 0 2 cos 2 ( k z − ω t + φ ) u = \varepsilon_0 E^2 = \varepsilon_0 E_0^2 \cos^2(kz - \omega t + \varphi) u = ε 0 E 2 = ε 0 E 0 2 cos 2 ( k z − ω t + φ ) 이다. 에너지가 전기와 자기에 반반 씩 실려 간다. 포인팅 벡터는 E × B \mathbf{E}\times\mathbf{B} E × B z ^ \hat{\mathbf{z}} z ^ E 2 / ( μ 0 c ) E^2/(\mu_0 c) E 2 / ( μ 0 c )
S = c ε 0 E 2 z ^ = c u z ^ \mathbf{S} = c\,\varepsilon_0 E^2\,\hat{\mathbf{z}} = c\,u\,\hat{\mathbf{z}} S = c ε 0 E 2 z ^ = c u z ^ 이다.
직관
S = c u z ^ \mathbf{S} = cu\hat{\mathbf{z}} S = c u z ^ u u u c c c c u cu c u ρ \rho ρ v v v ρ v \rho v ρ v 같은 속력으로 같은 방향으로 이동한다”는 문장이다. 당연해 보이지만 당연하지 않다. 8절의
분산 매질에서는 에너지가 위상 속력과 다른 속력(군속도)으로 움직이고, 11절의 도파관에서는
위상 속력이 c c c c c c
전자기파는 운동량도 나른다(2.7.4 운동량 보존 g = S / c 2 \mathbf{g} = \mathbf{S}/c^2 g = S / c 2
g = 1 c u z ^ \mathbf{g} = \frac{1}{c}\,u\,\hat{\mathbf{z}} g = c 1 u z ^ 이다. 에너지 u u u u / c u/c u / c h ν h\nu h ν h ν / c = h / λ h\nu/c = h/\lambda h ν / c = h / λ
광학 진동수에서 cos 2 \cos^2 cos 2 10 15 10^{15} 1 0 15 한 주기 평균 이다. ⟨ cos 2 ⟩ = 1 / 2 \langle\cos^2\rangle = 1/2 ⟨ cos 2 ⟩ = 1/2
⟨ u ⟩ = 1 2 ε 0 E 0 2 , ⟨ S ⟩ = 1 2 c ε 0 E 0 2 z ^ , ⟨ g ⟩ = 1 2 c ε 0 E 0 2 z ^ \langle u\rangle = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_0^2,
\qquad
\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2\,\hat{\mathbf{z}},
\qquad
\langle\mathbf{g}\rangle = \frac{1}{2c}\varepsilon_0 E_0^2\,\hat{\mathbf{z}} ⟨ u ⟩ = 2 1 ε 0 E 0 2 , ⟨ S ⟩ = 2 1 c ε 0 E 0 2 z ^ , ⟨ g ⟩ = 2 c 1 ε 0 E 0 2 z ^ 이다. 단위 면적당 시간 평균 전력 ∣ ⟨ S ⟩ ∣ \lvert\langle\mathbf{S}\rangle\rvert ∣⟨ S ⟩∣ 강도 (intensity)
I I I
I = 1 2 c ε 0 E 0 2 = E 0 2 2 η 0 ( η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω ) \boxed{\;I = \frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^2 = \frac{E_0^2}{2\eta_0}\;}
\qquad
\left(\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = 376.7\ \Omega\right) I = 2 1 c ε 0 E 0 2 = 2 η 0 E 0 2 ( η 0 = μ 0 / ε 0 = 376.7 Ω ) 두 번째 꼴은 4절에서 정의할 고유 임피던스로 쓴 것이다. 회로에서 저항 R R R V 0 V_0 V 0 V 0 2 / 2 R V_0^2/2R V 0 2 /2 R 377 Ω 377\ \Omega 377 Ω
직관
파라미터 연계 — 강도는 진폭의 제곱. 전기장 진폭을 두 배로 하면 강도는 네 배다. 거꾸로
강도를 알면 전기장 진폭이 나온다. 지표의 햇빛은 I ≈ 1.3 I \approx 1.3 I ≈ 1.3 E 0 = 2 η 0 I ≈ 1000 E_0 = \sqrt{2\eta_0 I} \approx 1000 E 0 = 2 η 0 I ≈ 1000 B 0 = E 0 / c ≈ 3 μ B_0 = E_0/c \approx 3\ \mu B 0 = E 0 / c ≈ 3 μ 10 15 10^{15} 1 0 15
리소그래피의 노광량 (dose, mJ/cm²)은 강도를 시간으로 적분한 것이다. 레지스트의 감도가
30 mJ/cm²이고 웨이퍼 면에서의 강도가 정해지면 노광 시간이 나오고, 그것이 곧 스캐너의
처리량이다. 광원 출력을 올리는 경쟁이 이 곱셈 한 줄에서 나온다.
주의
복소 표기에서 곱의 평균. 1절에서 경고한 대로 Re ( a ~ ) Re ( b ~ ) \operatorname{Re}(\tilde a)\operatorname{Re}(\tilde b) Re ( a ~ ) Re ( b ~ ) Re ( a ~ b ~ ) \operatorname{Re}(\tilde a\tilde b) Re ( a ~ b ~ ) e − i ω t e^{-i\omega t} e − iω t
⟨ f g ⟩ = 1 2 Re ( f ~ g ~ ∗ ) \langle f g\rangle = \frac{1}{2}\operatorname{Re}\!\left(\tilde f\,\tilde g^{*}\right) ⟨ f g ⟩ = 2 1 Re ( f ~ g ~ ∗ ) 이다. 별표는 복소 켤레. 이 공식이 있어야 ⟨ S ⟩ = 1 2 μ 0 Re ( E ~ × B ~ ∗ ) \langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2\mu_0}\operatorname{Re}(\tilde{\mathbf{E}}\times\tilde{\mathbf{B}}^{*}) ⟨ S ⟩ = 2 μ 0 1 Re ( E ~ × B ~ ∗ ) E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B 1 / 2 1/2 1/2 ⟨ cos 2 ⟩ \langle\cos^2\rangle ⟨ cos 2 ⟩ 진폭을 실효값
E 0 / 2 E_0/\sqrt{2} E 0 / 2 1 / 2 1/2 1/2
파동이 운동량을 나르므로 흡수하는 면은 밀린다. 완전 흡수면이 시간 Δ t \Delta t Δ t A A A c Δ t c\Delta t c Δ t ⟨ g ⟩ A c Δ t \langle g\rangle A c\Delta t ⟨ g ⟩ A c Δ t
P = Δ p A Δ t = c ⟨ g ⟩ = I c P = \frac{\Delta p}{A\,\Delta t} = c\langle g\rangle = \frac{I}{c} P = A Δ t Δ p = c ⟨ g ⟩ = c I 이다. 완전 반사면은 운동량을 되돌려 주므로 두 배, 2 I / c 2I/c 2 I / c 4 μ 4\ \mu 4 μ 10 − 10 10^{-10} 1 0 − 10 10 12 10^{12} 1 0 12
의문
“파동이 면을 민다”는 것을 장으로 설명할 수 있는가? 있다. 흡수면의 전하는 E \mathbf{E} E E \mathbf{E} E v \mathbf{v} v B \mathbf{B} B q v × B q\mathbf{v}\times\mathbf{B} q v × B E × B \mathbf{E}\times\mathbf{B} E × B v / c v/c v / c
자유 전하와 자유 전류가 없는 선형 균질 매질에서 맥스웰 방정식(2.6.9 물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건 ε 0 → ε \varepsilon_0 \to \varepsilon ε 0 → ε μ 0 → μ \mu_0 \to \mu μ 0 → μ
∇ ⋅ D = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ B ∂ t , ∇ × H = ∂ D ∂ t \nabla\cdot\mathbf{D} = 0,\quad
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0,\quad
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad
\nabla\times\mathbf{H} = \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} ∇ ⋅ D = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ t ∂ B , ∇ × H = ∂ t ∂ D D = ε E \mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} D = ε E H = B / μ \mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu H = B / μ ε \varepsilon ε μ \mu μ
v = 1 ε μ = c n , n ≡ ε μ ε 0 μ 0 = ε r μ r \boxed{\;v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}} = \frac{c}{n},
\qquad
n \equiv \sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{\varepsilon_0\mu_0}} = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\;} v = ε μ 1 = n c , n ≡ ε 0 μ 0 ε μ = ε r μ r n n n 굴절률 이다. 대부분의 물질은 μ r ≈ 1 \mu_r \approx 1 μ r ≈ 1 2.5.7 자기 감수율과 투자율 n ≈ ε r n \approx \sqrt{\varepsilon_r} n ≈ ε r
u = 1 2 ( ε E 2 + 1 μ B 2 ) , S = 1 μ E × B , I = 1 2 ε v E 0 2 u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon E^2 + \frac{1}{\mu}B^2\right),
\qquad
\mathbf{S} = \frac{1}{\mu}\mathbf{E}\times\mathbf{B},
\qquad
I = \frac{1}{2}\varepsilon v E_0^2 u = 2 1 ( ε E 2 + μ 1 B 2 ) , S = μ 1 E × B , I = 2 1 ε v E 0 2 평면파의 B \mathbf{B} B B ~ 0 = 1 v k ^ × E ~ 0 \tilde{\mathbf{B}}_0 = \frac{1}{v}\hat{\mathbf{k}}\times\tilde{\mathbf{E}}_0 B ~ 0 = v 1 k ^ × E ~ 0 B = E / v = n E / c B = E/v = nE/c B = E / v = n E / c 상대적으로 더 크다.
주의
n = ε r n = \sqrt{\varepsilon_r} n = ε r ε r \varepsilon_r ε r n 2 = 1.77 n^2 = 1.77 n 2 = 1.77 그 빛의 진동수에서의 값이다. 낮은 주파수에서 분극에 기여하던 분자 배향과
이온 변위가 광학 진동수에서는 따라가지 못해 빠지기 때문이다.
반도체 재료로 보면 이 차이가 재료의 분극 기구를 드러낸다. 실리콘은 정전 ε r = 11.7 \varepsilon_r = 11.7 ε r = 11.7 n = 3.48 n = 3.48 n = 3.48 n 2 = 12.1 n^2 = 12.1 n 2 = 12.1 ε r = 3.9 \varepsilon_r = 3.9 ε r = 3.9 n = 1.46 n = 1.46 n = 1.46 n 2 = 2.1 n^2 = 2.1 n 2 = 2.1 이온 분극 이고, 그것은 적외선
진동수에서 이미 얼어붙는다. 두 숫자의 차이만으로 결정의 분극 기구를 읽을 수 있다.
매질에서 E \mathbf{E} E H \mathbf{H} H H = B / μ = E / ( μ v ) = E ε / μ H = B/\mu = E/(\mu v) = E\sqrt{\varepsilon/\mu} H = B / μ = E / ( μv ) = E ε / μ
η ≡ E 0 H 0 = μ ε η 0 = μ 0 ε 0 = 376.7 Ω , η = η 0 n ( μ r = 1 ) \boxed{\;\eta \equiv \frac{E_0}{H_0} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\;}
\qquad
\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = 376.7\ \Omega,
\qquad
\eta = \frac{\eta_0}{n}\ (\mu_r = 1) η ≡ H 0 E 0 = ε μ η 0 = ε 0 μ 0 = 376.7 Ω , η = n η 0 ( μ r = 1 ) 이 η \eta η 고유 임피던스 (intrinsic impedance)다. 단위가 옴인 것은 E E E H H H I = E 0 2 / ( 2 η ) I = E_0^2/(2\eta) I = E 0 2 / ( 2 η ) V 0 2 / ( 2 R ) V_0^2/(2R) V 0 2 / ( 2 R ) β = μ 1 v 1 / μ 2 v 2 \beta = \mu_1 v_1/\mu_2 v_2 β = μ 1 v 1 / μ 2 v 2 β \beta β η 1 / η 2 \eta_1/\eta_2 η 1 / η 2 η \eta η
직관
파라미터 연계 — 매질에 들어가면 무엇이 바뀌고 무엇이 남는가. 진동수 ω \omega ω v = c / n v = c/n v = c / n λ = λ 0 / n \lambda = \lambda_0/n λ = λ 0 / n 줄고 ,
파수는 k = n k 0 k = nk_0 k = n k 0 는다. 이것이 액침 리소그래피의 전부다. 193 nm ArF 광이 굴절률 1.44의
물속으로 들어가면 파장이 134 nm가 되고, 렌즈와 웨이퍼 사이를 물로 채우면 개구수
N A = n sin θ \mathrm{NA} = n\sin\theta NA = n sin θ R = k 1 λ / N A R = k_1\lambda/\mathrm{NA} R = k 1 λ / NA λ \lambda λ N A \mathrm{NA} NA n n n
1절에서 편광 벡터 n ^ \hat{\mathbf{n}} n ^ z z z
E ~ 0 = E x x ^ + E y e i ϕ y ^ ( E x , E y ≥ 0 ) \tilde{\mathbf{E}}_0 = E_x\,\hat{\mathbf{x}} + E_y\,e^{i\phi}\,\hat{\mathbf{y}}
\qquad (E_x,\ E_y \ge 0) E ~ 0 = E x x ^ + E y e i ϕ y ^ ( E x , E y ≥ 0 ) 로 쓰자. ϕ \phi ϕ 위상차 다. 고정된 z z z E \mathbf{E} E
ϕ \phi ϕ E x , E y E_x,\ E_y E x , E y 궤적 이름 0 0 0 π \pi π 임의 기울기 ± E y / E x \pm E_y/E_x ± E y / E x 선편광 ± π / 2 \pm\pi/2 ± π /2 E x = E y E_x = E_y E x = E y 원 원편광 그 밖 임의 타원 타원편광 (일반)
직관
형태적 직관 — 왜 위상차가 원을 만드는가. 실수 장을 쓰면 E x cos ( ω t ′ ) E_x\cos(\omega t') E x cos ( ω t ′ ) E y cos ( ω t ′ − ϕ ) E_y\cos(\omega t' - \phi) E y cos ( ω t ′ − ϕ ) t ′ = t − z / v t' = t - z/v t ′ = t − z / v ϕ = π / 2 \phi = \pi/2 ϕ = π /2 E y sin ( ω t ′ ) E_y\sin(\omega t') E y sin ( ω t ′ ) ( cos , sin ) (\cos, \sin) ( cos , sin ) π / 2 \pi/2 π /2 길이를
유지한 채 돈다. 그 사이 위상차에서는 타원. 선편광 둘의 중첩이 원편광이고, 거꾸로 좌·우
원편광 둘의 중첩이 선편광이다 — 어느 쪽을 기저로 잡느냐는 편의 문제다.
원편광의 회전 방향은 관습이 둘 이다. 광학(Hecht)은 파동이 관찰자에게 다가오는 것을 보며
시계 방향이면 우원편광이라 하고, 공학(IEEE)은 진행 방향을 따라 보며 오른손 나사 방향이면
우원편광이라 한다. 같은 파동에 서로 반대 이름이 붙는다. 편광의 계량적 처리(존스 행렬)와
편광 소자는 3.5에서 다루고, 여기서는 편광이 독립인 두 성분 이라는 사실만 챙기면 된다 —
6·7절의 반사 계수가 편광마다 다르므로, 임의의 입사파를 두 성분으로 쪼개 따로 계산한 뒤
합친다.
매질이 전기를 통하면 옴의 법칙 J = σ E \mathbf{J} = \sigma\mathbf{E} J = σ E 2.7.1 전하의 연속 방정식
∂ ρ f ∂ t = − ∇ ⋅ J f = − σ ∇ ⋅ E = − σ ε ρ f ⟹ ρ f ( t ) = ρ f ( 0 ) e − ( σ / ε ) t \frac{\partial\rho_f}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{J}_f = -\sigma\nabla\cdot\mathbf{E}
= -\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho_f
\quad\Longrightarrow\quad
\rho_f(t) = \rho_f(0)\,e^{-(\sigma/\varepsilon)t} ∂ t ∂ ρ f = − ∇ ⋅ J f = − σ ∇ ⋅ E = − ε σ ρ f ⟹ ρ f ( t ) = ρ f ( 0 ) e − ( σ / ε ) t 이다. 자유 전하는 완화 시간 ε / σ \varepsilon/\sigma ε / σ 2.3.2 전도 전류와 완화 시간 10 − 19 10^{-19} 1 0 − 19 σ ∼ 10 − 3 \sigma \sim 10^{-3} σ ∼ 1 0 − 3 10 − 7 10^{-7} 1 0 − 7 ρ f = 0 \rho_f = 0 ρ f = 0
∇ ⋅ E = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ B ∂ t , ∇ × B = μ ε ∂ E ∂ t + μ σ E \nabla\cdot\mathbf{E} = 0,\quad
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0,\quad
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\quad
\nabla\times\mathbf{B} = \mu\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \mu\sigma\mathbf{E} ∇ ⋅ E = 0 , ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × E = − ∂ t ∂ B , ∇ × B = μ ε ∂ t ∂ E + μ σ E 이다. 마지막 식에 전도 전류 항 μ σ E \mu\sigma\mathbf{E} μ σ E
∇ 2 E = μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 + μ σ ∂ E ∂ t \nabla^2\mathbf{E} = \mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu\sigma\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} ∇ 2 E = μ ε ∂ t 2 ∂ 2 E + μ σ ∂ t ∂ E 이다. 파동 방정식에 1계 시간 미분 항 이 붙었다. 감쇠 진동의 방정식(1.4.4 2계 선형 ODE와 상수 계수
평면파 E ~ = E ~ 0 e i ( k ~ z − ω t ) \tilde{\mathbf{E}} = \tilde{\mathbf{E}}_0 e^{i(\tilde{k}z - \omega t)} E ~ = E ~ 0 e i ( k ~ z − ω t )
k ~ 2 = μ ε ω 2 + i μ σ ω \tilde{k}^2 = \mu\varepsilon\omega^2 + i\mu\sigma\omega k ~ 2 = μ ε ω 2 + i μ σ ω 가 된다. 우변이 복소수이므로 파수도 복소수다. k ~ = k + i κ \tilde{k} = k + i\kappa k ~ = k + iκ
k = ω ε μ 2 [ 1 + ( σ ε ω ) 2 + 1 ] 1 / 2 , κ = ω ε μ 2 [ 1 + ( σ ε ω ) 2 − 1 ] 1 / 2 k = \omega\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{2}}\left[\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\varepsilon\omega}\right)^2} + 1\right]^{1/2},
\qquad
\kappa = \omega\sqrt{\frac{\varepsilon\mu}{2}}\left[\sqrt{1 + \left(\frac{\sigma}{\varepsilon\omega}\right)^2} - 1\right]^{1/2} k = ω 2 ε μ [ 1 + ( ε ω σ ) 2 + 1 ] 1/2 , κ = ω 2 ε μ [ 1 + ( ε ω σ ) 2 − 1 ] 1/2 이다. 이것을 파동에 되넣으면
E ~ ( z , t ) = E ~ 0 e − κ z e i ( k z − ω t ) \tilde{\mathbf{E}}(z,t) = \tilde{\mathbf{E}}_0\, e^{-\kappa z}\, e^{i(kz - \omega t)} E ~ ( z , t ) = E ~ 0 e − κ z e i ( k z − ω t ) — 허수부는 감쇠, 실수부는 진동 을 맡는다. 진폭이 e − κ z e^{-\kappa z} e − κ z
직관
수식적 직관 — 왜 허수 파수가 감쇠인가. e i k ~ z = e i k z e − κ z e^{i\tilde{k}z} = e^{ikz}e^{-\kappa z} e i k ~ z = e ik z e − κ z 한 식에 얽혔다 는 뜻이고, 그 얽힘의 원인은 k ~ 2 \tilde{k}^2 k ~ 2 i μ σ ω i\mu\sigma\omega i μ σ ω σ = 0 \sigma = 0 σ = 0 κ = 0 \kappa = 0 κ = 0
형태적 직관 — 두 항의 크기 비. 모든 것이 σ / ( ε ω ) \sigma/(\varepsilon\omega) σ / ( ε ω ) σ E \sigma E σ E ε ω E \varepsilon\omega E ε ω E 손실 탄젠트 tan δ loss = σ / ( ε ω ) \tan\delta_{\text{loss}} = \sigma/(\varepsilon\omega) tan δ loss = σ / ( ε ω ) σ = 4 \sigma = 4 σ = 4 ε r = 80 \varepsilon_r = 80 ε r = 80 tan δ ≈ 900 \tan\delta \approx 900 tan δ ≈ 900 ≈ 0.009 \approx 0.009 ≈ 0.009
σ ≫ ε ω \sigma \gg \varepsilon\omega σ ≫ ε ω k k k κ \kappa κ 같아진다.
k ≈ κ ≈ ω σ μ 2 = π f σ μ \boxed{\;k \approx \kappa \approx \sqrt{\frac{\omega\sigma\mu}{2}} = \sqrt{\pi f\sigma\mu}\;} k ≈ κ ≈ 2 ω σ μ = π f σ μ 진폭이 1 / e 1/e 1/ e 표피 깊이 (skin depth)라 한다.
δ ≡ 1 κ = 2 ω σ μ = 1 π f σ μ \boxed{\;\delta \equiv \frac{1}{\kappa} = \sqrt{\frac{2}{\omega\sigma\mu}} = \frac{1}{\sqrt{\pi f\sigma\mu}}\;} δ ≡ κ 1 = ω σ μ 2 = π f σ μ 1 Griffiths는 이 양을 d d d δ \delta δ λ = 2 π / k = 2 π δ \lambda = 2\pi/k = 2\pi\delta λ = 2 π / k = 2 π δ 한 파장 안에 진폭이 e − 2 π ≈ 0.002 e^{-2\pi} \approx 0.002 e − 2 π ≈ 0.002 파동이라 부르기 민망할 정도다.
그림 2.8-2. 좋은 도체 표면(z = 0)에서 안쪽으로 들어가는 전기장. 진폭 포락선 e^(−z/δ)가 z = δ에서 1/e로, 한 파장 2πδ에서는 거의 0으로 준다. 진동 한 주기가 채 끝나기 전에 사라지는 것이 도체 속 파동의 모양이다. 아래 표는 구리(σ = 5.8×10⁷ S/m)의 표피 깊이가 주파수에 따라 어떻게 주는지다.직접 작도 주파수 구리 δ \delta δ 도핑 Si (σ = 10 4 \sigma = 10^4 σ = 1 0 4 δ \delta δ 60 Hz 8.5 mm 65 cm 13.56 MHz 18 μm 1.4 mm 1 GHz 2.1 μm 160 μm 10 GHz 0.66 μm 50 μm 100 GHz 0.21 μm 16 μm
직관
파라미터 연계 — δ ∝ 1 / f σ μ \delta \propto 1/\sqrt{f\sigma\mu} δ ∝ 1/ f σ μ 주파수가 100배 오르면 표피
깊이는 10배 준다. 전도도가 좋을수록 얕다 — 좋은 도체일수록 파동을 더 잘 막는다. 강자성
금속(철, μ r ∼ 10 3 \mu_r \sim 10^3 μ r ∼ 1 0 3
배선의 교류 저항. 전류가 표면 δ \delta δ × δ \times\delta × δ f \sqrt{f} f δ \delta δ δ \delta δ
RF 플라즈마. 유도 결합 플라즈마(ICP) 식각기는 코일의 13.56 MHz 자기장을 플라즈마에
넣어 전자를 가속한다. 플라즈마는 전도도가 있는 매질이라 그 장은 표피 깊이 — 전형적으로
수 cm — 안에서만 전력을 넣는다. 플라즈마 밀도가 오르면 σ \sigma σ δ \delta δ δ \delta δ
패러데이 법칙에 넣으면 B ~ 0 = ( k ~ / ω ) z ^ × E ~ 0 \tilde{\mathbf{B}}_0 = (\tilde{k}/\omega)\,\hat{\mathbf{z}}\times\tilde{\mathbf{E}}_0 B ~ 0 = ( k ~ / ω ) z ^ × E ~ 0 k ~ \tilde{k} k ~ B \mathbf{B} B E \mathbf{E} E 위상이 어긋난다.
k ~ = K e i ϕ k \tilde{k} = K e^{i\phi_k} k ~ = K e i ϕ k tan ϕ k = κ / k \tan\phi_k = \kappa/k tan ϕ k = κ / k κ = k \kappa = k κ = k ϕ k = 45 ° \phi_k = 45° ϕ k = 45°
B 0 E 0 = K ω = ε μ [ 1 + ( σ ε ω ) 2 ] 1 / 4 → σ ≫ ε ω σ μ ω \frac{B_0}{E_0} = \frac{K}{\omega}
= \sqrt{\varepsilon\mu}\left[1 + \left(\frac{\sigma}{\varepsilon\omega}\right)^2\right]^{1/4}
\ \xrightarrow{\ \sigma\gg\varepsilon\omega\ }\
\sqrt{\frac{\sigma\mu}{\omega}} E 0 B 0 = ω K = ε μ [ 1 + ( ε ω σ ) 2 ] 1/4 σ ≫ ε ω ω σ μ 자기장이 전기장보다 위상이 45 ° 45° 45° 1 / c 1/c 1/ c 에너지가 거의 전부 자기장에 실린다는 뜻이다 — 전기장은 전도 전류로 바로 소모되고
자기장만 남는다. 고유 임피던스로 말하면
η ~ = ω μ k ~ → σ ≫ ε ω ( 1 − i ) ω μ 2 σ = 1 − i σ δ \tilde{\eta} = \frac{\omega\mu}{\tilde{k}}
\ \xrightarrow{\ \sigma\gg\varepsilon\omega\ }\
(1 - i)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} = \frac{1 - i}{\sigma\delta} η ~ = k ~ ω μ σ ≫ ε ω ( 1 − i ) 2 σ ω μ = σ δ 1 − i 이다. 구리는 1 GHz에서 ∣ η ~ ∣ ≈ 12 \lvert\tilde\eta\rvert \approx 12 ∣ η ~ ∣ ≈ 12 377 Ω 377\ \Omega 377 Ω 반사 한다. 흡수되는 아주 작은
몫이 η ~ \tilde\eta η ~ R s = 1 / ( σ δ ) R_s = 1/(\sigma\delta) R s = 1/ ( σ δ ) 표면 저항 이다(구리, 1 GHz에서 8 mΩ). 도파관·공진기의 벽
손실(11절)이 이 R s R_s R s
주의
Sadiku 표기와의 대응. 공학 관습(e j ( ω t − γ z ) e^{j(\omega t - \gamma z)} e j ( ω t − γ z ) e j ω t e − γ z e^{j\omega t}e^{-\gamma z} e j ω t e − γ z γ = α + j β \gamma = \alpha + j\beta γ = α + j β α \alpha α β \beta β α = κ \alpha = \kappa α = κ β = k \beta = k β = k γ = i k ~ \gamma = i\tilde{k} γ = i k ~ 1 Np = 8.686 dB 1\ \text{Np} = 8.686\ \text{dB} 1 Np = 8.686 dB e − 1 e^{-1} e − 1 − 8.686 -8.686 − 8.686 e − 2 α z e^{-2\alpha z} e − 2 α z 20 log 10 e − α z 20\log_{10}e^{-\alpha z} 20 log 10 e − α z 10 log 10 e − 2 α z 10\log_{10}e^{-2\alpha z} 10 log 10 e − 2 α z
두 선형 매질이 z = 0 z = 0 z = 0 z < 0 z < 0 z < 0 ε 1 , μ 1 \varepsilon_1, \mu_1 ε 1 , μ 1 ε 2 , μ 2 \varepsilon_2, \mu_2 ε 2 , μ 2 v 1 , η 1 v_1, \eta_1 v 1 , η 1 v 2 , η 2 v_2, \eta_2 v 2 , η 2 x x x
입사 : E ~ I = E ~ 0 I e i ( k 1 z − ω t ) x ^ , B ~ I = 1 v 1 E ~ 0 I e i ( k 1 z − ω t ) y ^ 반사 : E ~ R = E ~ 0 R e i ( − k 1 z − ω t ) x ^ , B ~ R = − 1 v 1 E ~ 0 R e i ( − k 1 z − ω t ) y ^ 투과 : E ~ T = E ~ 0 T e i ( k 2 z − ω t ) x ^ , B ~ T = 1 v 2 E ~ 0 T e i ( k 2 z − ω t ) y ^ \begin{aligned}
\text{입사}:\quad & \tilde{\mathbf{E}}_I = \tilde{E}_{0I}\,e^{i(k_1 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{x}},
&& \tilde{\mathbf{B}}_I = \tfrac{1}{v_1}\tilde{E}_{0I}\,e^{i(k_1 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{y}} \\[2pt]
\text{반사}:\quad & \tilde{\mathbf{E}}_R = \tilde{E}_{0R}\,e^{i(-k_1 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{x}},
&& \tilde{\mathbf{B}}_R = -\tfrac{1}{v_1}\tilde{E}_{0R}\,e^{i(-k_1 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{y}} \\[2pt]
\text{투과}:\quad & \tilde{\mathbf{E}}_T = \tilde{E}_{0T}\,e^{i(k_2 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{x}},
&& \tilde{\mathbf{B}}_T = \tfrac{1}{v_2}\tilde{E}_{0T}\,e^{i(k_2 z - \omega t)}\,\hat{\mathbf{y}}
\end{aligned} 입사 : 반사 : 투과 : E ~ I = E ~ 0 I e i ( k 1 z − ω t ) x ^ , E ~ R = E ~ 0 R e i ( − k 1 z − ω t ) x ^ , E ~ T = E ~ 0 T e i ( k 2 z − ω t ) x ^ , B ~ I = v 1 1 E ~ 0 I e i ( k 1 z − ω t ) y ^ B ~ R = − v 1 1 E ~ 0 R e i ( − k 1 z − ω t ) y ^ B ~ T = v 2 1 E ~ 0 T e i ( k 2 z − ω t ) y ^ 반사파의 B \mathbf{B} B − z ^ -\hat{\mathbf{z}} − z ^ E × B \mathbf{E}\times\mathbf{B} E × B − z ^ -\hat{\mathbf{z}} − z ^ E \mathbf{E} E x ^ \hat{\mathbf{x}} x ^ B \mathbf{B} B
경계 조건(2.6.9 물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건 D ⊥ \mathbf{D}_\perp D ⊥ B ⊥ \mathbf{B}_\perp B ⊥ E ∥ \mathbf{E}_\parallel E ∥ H ∥ \mathbf{H}_\parallel H ∥
E ~ 0 I + E ~ 0 R = E ~ 0 T , 1 μ 1 v 1 ( E ~ 0 I − E ~ 0 R ) = 1 μ 2 v 2 E ~ 0 T \tilde{E}_{0I} + \tilde{E}_{0R} = \tilde{E}_{0T},
\qquad
\frac{1}{\mu_1 v_1}\left(\tilde{E}_{0I} - \tilde{E}_{0R}\right) = \frac{1}{\mu_2 v_2}\tilde{E}_{0T} E ~ 0 I + E ~ 0 R = E ~ 0 T , μ 1 v 1 1 ( E ~ 0 I − E ~ 0 R ) = μ 2 v 2 1 E ~ 0 T 이다. μ v = μ / ε = η \mu v = \sqrt{\mu/\varepsilon} = \eta μv = μ / ε = η ( E ~ 0 I − E ~ 0 R ) / η 1 = E ~ 0 T / η 2 (\tilde{E}_{0I} - \tilde{E}_{0R})/\eta_1 = \tilde{E}_{0T}/\eta_2 ( E ~ 0 I − E ~ 0 R ) / η 1 = E ~ 0 T / η 2 H H H
Γ ≡ E ~ 0 R E ~ 0 I = η 2 − η 1 η 2 + η 1 , τ ≡ E ~ 0 T E ~ 0 I = 2 η 2 η 2 + η 1 = 1 + Γ \boxed{\;
\Gamma \equiv \frac{\tilde{E}_{0R}}{\tilde{E}_{0I}} = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1},
\qquad
\tau \equiv \frac{\tilde{E}_{0T}}{\tilde{E}_{0I}} = \frac{2\eta_2}{\eta_2 + \eta_1} = 1 + \Gamma
\;} Γ ≡ E ~ 0 I E ~ 0 R = η 2 + η 1 η 2 − η 1 , τ ≡ E ~ 0 I E ~ 0 T = η 2 + η 1 2 η 2 = 1 + Γ 1절의 결과에서 v → η v \to \eta v → η β ≡ μ 1 v 1 / μ 2 v 2 = η 1 / η 2 \beta \equiv \mu_1 v_1/\mu_2 v_2 = \eta_1/\eta_2 β ≡ μ 1 v 1 / μ 2 v 2 = η 1 / η 2 E ~ 0 R = 1 − β 1 + β E ~ 0 I \tilde{E}_{0R} = \frac{1 - \beta}{1 + \beta}\tilde{E}_{0I} E ~ 0 R = 1 + β 1 − β E ~ 0 I μ 1 = μ 2 = μ 0 \mu_1 = \mu_2 = \mu_0 μ 1 = μ 2 = μ 0 η = η 0 / n \eta = \eta_0/n η = η 0 / n
Γ = n 1 − n 2 n 1 + n 2 , τ = 2 n 1 n 1 + n 2 \Gamma = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2},
\qquad
\tau = \frac{2n_1}{n_1 + n_2} Γ = n 1 + n 2 n 1 − n 2 , τ = n 1 + n 2 2 n 1 이다. 굴절률로 쓰면 분자의 순서가 뒤집힌다 (η \eta η n n n
의문
왜 굴절률이 큰 매질에서 반사되면 위상이 뒤집히는가? 식으로는 n 2 > n 1 n_2 > n_1 n 2 > n 1 Γ < 0 \Gamma < 0 Γ < 0 E E E H H H η 2 < η 1 \eta_2 < \eta_1 η 2 < η 1 H H H E E E 작아야 하고(τ < 1 \tau < 1 τ < 1 E E E E I + E R = E T < E I E_I + E_R = E_T < E_I E I + E R = E T < E I E R < 0 E_R < 0 E R < 0
진폭이 아니라 전력 이 보존된다. 강도 I = 1 2 ε v E 0 2 = E 0 2 / ( 2 η ) I = \frac{1}{2}\varepsilon v E_0^2 = E_0^2/(2\eta) I = 2 1 ε v E 0 2 = E 0 2 / ( 2 η )
R ≡ I R I I = Γ 2 = ( η 2 − η 1 η 2 + η 1 ) 2 , T ≡ I T I I = η 1 η 2 τ 2 = 4 η 1 η 2 ( η 1 + η 2 ) 2 R \equiv \frac{I_R}{I_I} = \Gamma^2 = \left(\frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1}\right)^2,
\qquad
T \equiv \frac{I_T}{I_I} = \frac{\eta_1}{\eta_2}\tau^2 = \frac{4\eta_1\eta_2}{(\eta_1 + \eta_2)^2} R ≡ I I I R = Γ 2 = ( η 2 + η 1 η 2 − η 1 ) 2 , T ≡ I I I T = η 2 η 1 τ 2 = ( η 1 + η 2 ) 2 4 η 1 η 2 이고 R + T = 1 R + T = 1 R + T = 1 T T T η 1 / η 2 \eta_1/\eta_2 η 1 / η 2 τ \tau τ
굴절률로는 R = ( n 1 − n 2 n 1 + n 2 ) 2 R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 R = ( n 1 + n 2 n 1 − n 2 ) 2
경계 n 1 → n 2 n_1 \to n_2 n 1 → n 2 Γ \Gamma Γ R R R 공기 → 유리 1 → 1.5 1 \to 1.5 1 → 1.5 − 0.20 -0.20 − 0.20 4 % 공기 → 물 (193 nm) 1 → 1.44 1 \to 1.44 1 → 1.44 − 0.18 -0.18 − 0.18 3 % 공기 → 포토레지스트 (193 nm) 1 → 1.7 1 \to 1.7 1 → 1.7 − 0.26 -0.26 − 0.26 7 % 공기 → 실리콘 (633 nm) 1 → 3.88 1 \to 3.88 1 → 3.88 − 0.59 -0.59 − 0.59 35 % 공기 → 실리콘 (1.55 μm) 1 → 3.48 1 \to 3.48 1 → 3.48 − 0.55 -0.55 − 0.55 31 % 공기 → 구리 (1 GHz) η \eta η 377 → 0.012 ( 1 − i ) Ω 377 \to 0.012(1-i)\ \Omega 377 → 0.012 ( 1 − i ) Ω ≈ − 1 \approx -1 ≈ − 1 99.99 %
직관
파라미터 연계 — 부정합이 클수록 반사가 크다. 유리는 4 %지만 실리콘은 세 배 굴절률
차이로 1/3이 되돌아온다. 태양전지와 광검출기의 표면에서 이 손실을 줄이는 것이
반사 방지막(3.5.6)이고, 실리콘 포토닉스에서 광섬유(n = 1.45 n = 1.45 n = 1.45 3.48 3.48 3.48 Γ → − 1 \Gamma \to -1 Γ → − 1 1 − R = 4 R s / η 0 ∼ 10 − 4 1 - R = 4R_s/\eta_0 \sim 10^{-4} 1 − R = 4 R s / η 0 ∼ 1 0 − 4
반도체 공정에서 이 절이 가장 직접적으로 드러나는 자리가 노광이다. 레지스트를 통과한 빛이
아래의 실리콘(또는 금속) 면에서 반사되어 되돌아오면, 내려가는 파와 올라오는 파가 겹쳐
정재파 를 만든다. 두 파의 합
E ( z ) ∝ e i k 2 z + Γ ′ e − i k 2 z E(z) \propto e^{ik_2 z} + \Gamma' e^{-ik_2 z} E ( z ) ∝ e i k 2 z + Γ ′ e − i k 2 z 는 크기가 z z z λ 2 / 2 = λ 0 / ( 2 n ) \lambda_2/2 = \lambda_0/(2n) λ 2 /2 = λ 0 / ( 2 n ) n = 1.7 n = 1.7 n = 1.7 57 nm 다. 강도가 큰 층은 많이 노광되고 작은 층은 덜 노광되어 현상
후 레지스트 옆벽에 물결 무늬가 남고, 레지스트 두께가 조금만 달라져도 총 흡수량이 오르내린다
(스윙 커브). 대응책은 두 가지이고 둘 다 이 절 안에 있다 — 레지스트 아래에 반사 방지막 (BARC)을
두어 Γ ′ \Gamma' Γ ′
완전 도체 앞의 정재파는 이 그림의 극한이다. Γ = − 1 \Gamma = -1 Γ = − 1 E ( z ) ∝ e i k z − e − i k z = 2 i sin k z E(z) \propto e^{ikz} - e^{-ikz} = 2i\sin kz E ( z ) ∝ e ik z − e − ik z = 2 i sin k z E E E 마디 (0)이고 λ / 4 \lambda/4 λ /4 배 (최대)다. 반대로 H H H
이제 입사파의 파동 벡터 k I \mathbf{k}_I k I z ^ \hat{\mathbf{z}} z ^ θ I \theta_I θ I k R \mathbf{k}_R k R k T \mathbf{k}_T k T k I ⋅ r − ω t \mathbf{k}_I\cdot\mathbf{r} - \omega t k I ⋅ r − ω t k R ⋅ r − ω t \mathbf{k}_R\cdot\mathbf{r} - \omega t k R ⋅ r − ω t k T ⋅ r − ω t \mathbf{k}_T\cdot\mathbf{r} - \omega t k T ⋅ r − ω t
경계 조건은 z = 0 z = 0 z = 0 위의 모든 점에서, 모든 시각에 성립해야 한다. 좌변에 입사파와
반사파, 우변에 투과파가 있는 어떤 식이든 x , y , t x, y, t x , y , t 같은 함수 여야 한다.
k I ⋅ r = k R ⋅ r = k T ⋅ r ( z = 0 ) \mathbf{k}_I\cdot\mathbf{r} = \mathbf{k}_R\cdot\mathbf{r} = \mathbf{k}_T\cdot\mathbf{r}
\qquad (z = 0) k I ⋅ r = k R ⋅ r = k T ⋅ r ( z = 0 ) 즉 k \mathbf{k} k 접선 성분이 보존 된다. ω \omega ω
세 파동 벡터는 한 평면에 있다 (입사면 — k I \mathbf{k}_I k I k I \mathbf{k}_I k I y y y k R \mathbf{k}_R k R k T \mathbf{k}_T k T 반사각 = 입사각. k I sin θ I = k R sin θ R k_I\sin\theta_I = k_R\sin\theta_R k I sin θ I = k R sin θ R k I = k R k_I = k_R k I = k R 스넬 법칙. k I sin θ I = k T sin θ T k_I\sin\theta_I = k_T\sin\theta_T k I sin θ I = k T sin θ T k = n ω / c k = n\omega/c k = nω / c
n 1 sin θ I = n 2 sin θ T \boxed{\;n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T\;} n 1 sin θ I = n 2 sin θ T 직관
공간적 직관 — 파면이 경계에 찍는 자국. 파면이 경계면과 만나는 자리는 경계면 위를 어떤
속력으로 미끄러진다. 그 미끄러지는 자국의 파장이 λ / sin θ \lambda/\sin\theta λ / sin θ 같은 자국 이어야 하므로 λ 1 / sin θ I = λ 2 / sin θ T \lambda_1/\sin\theta_I = \lambda_2/\sin\theta_T λ 1 / sin θ I = λ 2 / sin θ T E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B 모든 파동 에 공통이고
전자기학의 특수한 내용은 다음의 진폭 계산에만 들어 있다.
경사 입사에서는 편광에 따라 답이 달라진다. 기준은 입사면 이다.
수직 편광 (⊥ \perp ⊥ E \mathbf{E} E E \mathbf{E} E 평행 편광 (∥ \parallel ∥ E \mathbf{E} E B \mathbf{B} B
임의의 편광은 이 둘의 중첩이다(4절). 각 경우에 대해 경계 조건 넷을 쓰고 풀면 된다.
Griffiths는 평행 편광을 본문에서, 수직 편광을 연습문제로 다룬다. 결과만 정리한다
(μ 1 = μ 2 \mu_1 = \mu_2 μ 1 = μ 2
Γ ⊥ = n 1 cos θ I − n 2 cos θ T n 1 cos θ I + n 2 cos θ T , τ ⊥ = 2 n 1 cos θ I n 1 cos θ I + n 2 cos θ T Γ ∥ = n 1 cos θ T − n 2 cos θ I n 1 cos θ T + n 2 cos θ I , τ ∥ = 2 n 1 cos θ I n 1 cos θ T + n 2 cos θ I \boxed{\;
\begin{aligned}
\Gamma_\perp &= \frac{n_1\cos\theta_I - n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_I + n_2\cos\theta_T},
&\qquad
\tau_\perp &= \frac{2n_1\cos\theta_I}{n_1\cos\theta_I + n_2\cos\theta_T} \\[6pt]
\Gamma_\parallel &= \frac{n_1\cos\theta_T - n_2\cos\theta_I}{n_1\cos\theta_T + n_2\cos\theta_I},
&\qquad
\tau_\parallel &= \frac{2n_1\cos\theta_I}{n_1\cos\theta_T + n_2\cos\theta_I}
\end{aligned}
\;} Γ ⊥ Γ ∥ = n 1 cos θ I + n 2 cos θ T n 1 cos θ I − n 2 cos θ T , = n 1 cos θ T + n 2 cos θ I n 1 cos θ T − n 2 cos θ I , τ ⊥ τ ∥ = n 1 cos θ I + n 2 cos θ T 2 n 1 cos θ I = n 1 cos θ T + n 2 cos θ I 2 n 1 cos θ I 이것이 프레넬 계수 다. Griffiths는 α ≡ cos θ T / cos θ I \alpha \equiv \cos\theta_T/\cos\theta_I α ≡ cos θ T / cos θ I β ≡ n 2 / n 1 \beta \equiv n_2/n_1 β ≡ n 2 / n 1 Γ ∥ = ( α − β ) / ( α + β ) \Gamma_\parallel = (\alpha - \beta)/(\alpha + \beta) Γ ∥ = ( α − β ) / ( α + β ) Γ ⊥ = ( 1 − α β ) / ( 1 + α β ) \Gamma_\perp = (1 - \alpha\beta)/(1 + \alpha\beta) Γ ⊥ = ( 1 − α β ) / ( 1 + α β ) θ = 0 \theta = 0 θ = 0 α = 1 \alpha = 1 α = 1 ( n 1 − n 2 ) / ( n 1 + n 2 ) (n_1 - n_2)/(n_1 + n_2) ( n 1 − n 2 ) / ( n 1 + n 2 )
주의
Γ ∥ \Gamma_\parallel Γ ∥ E R \mathbf{E}_R E R Γ ∥ \Gamma_\parallel Γ ∥ Γ ∥ = Γ ⊥ \Gamma_\parallel = \Gamma_\perp Γ ∥ = Γ ⊥ Γ ∥ = ( n 2 cos θ I − n 1 cos θ T ) / ( n 2 cos θ I + n 1 cos θ T ) \Gamma_\parallel = (n_2\cos\theta_I - n_1\cos\theta_T)/(n_2\cos\theta_I + n_1\cos\theta_T) Γ ∥ = ( n 2 cos θ I − n 1 cos θ T ) / ( n 2 cos θ I + n 1 cos θ T ) Γ ∥ = − Γ ⊥ \Gamma_\parallel = -\Gamma_\perp Γ ∥ = − Γ ⊥ ∣ Γ ∣ 2 \lvert\Gamma\rvert^2 ∣ Γ ∣ 2 Δ \Delta Δ
그림 2.8-3. 공기(n₁ = 1)에서 유리(n₂ = 1.5)로 들어갈 때의 진폭 반사 계수 Γ⊥, Γ∥와 반사율 R = Γ². 수직 입사에서 두 편광이 −0.2로 같고, 스치듯 입사(90°)에서는 둘 다 크기 1로 전부 반사된다. 평행 편광은 그 사이 브루스터 각 θ_B = arctan 1.5 = 56.3°에서 0을 지난다 — 반사광에서 p 성분이 사라져 완전 s 편광이 된다.직접 작도 Γ ∥ = 0 \Gamma_\parallel = 0 Γ ∥ = 0 α = β \alpha = \beta α = β cos θ T / cos θ I = n 2 / n 1 \cos\theta_T/\cos\theta_I = n_2/n_1 cos θ T / cos θ I = n 2 / n 1
tan θ B = n 2 n 1 \boxed{\;\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}\;} tan θ B = n 1 n 2 이다. 이 각에서 θ I + θ T = 90 ° \theta_I + \theta_T = 90° θ I + θ T = 90° 56.3 ° 56.3° 56.3° 75.6 ° 75.6° 75.6°
직관
물리적 직관 — 쌍극자는 제 축 방향으로 빛을 내지 않는다. 반사파는 매질 2의 전자들이
투과파의 E \mathbf{E} E 2.3.3 유전체와 유도 쌍극자 E \mathbf{E} E k T \mathbf{k}_T k T Γ ⊥ \Gamma_\perp Γ ⊥
경사 입사에서는 강도 비에 면적 인자 가 붙는다. 경계면의 면적 A A A A cos θ I A\cos\theta_I A cos θ I A cos θ T A\cos\theta_T A cos θ T
R = Γ 2 , T = n 2 cos θ T n 1 cos θ I τ 2 = α β τ 2 , R + T = 1 R = \Gamma^2,
\qquad
T = \frac{n_2\cos\theta_T}{n_1\cos\theta_I}\,\tau^2 = \alpha\beta\,\tau^2,
\qquad
R + T = 1 R = Γ 2 , T = n 1 cos θ I n 2 cos θ T τ 2 = α β τ 2 , R + T = 1 이다(각 편광마다). cos \cos cos 단면이 넓어지거나 좁아지는 효과이고, 6절의
η 1 / η 2 \eta_1/\eta_2 η 1 / η 2
n 1 > n 2 n_1 > n_2 n 1 > n 2 sin θ T = ( n 1 / n 2 ) sin θ I \sin\theta_T = (n_1/n_2)\sin\theta_I sin θ T = ( n 1 / n 2 ) sin θ I sin θ c = n 2 / n 1 \sin\theta_c = n_2/n_1 sin θ c = n 2 / n 1 cos θ T = 1 − sin 2 θ T \cos\theta_T = \sqrt{1 - \sin^2\theta_T} cos θ T = 1 − sin 2 θ T 허수 가
되고, 프레넬 계수의 크기가 1이 된다 — 전부 반사된다. 그런데 투과파가 없는 것은 아니다.
k T ⋅ r = k T ( x sin θ T + z cos θ T ) \mathbf{k}_T\cdot\mathbf{r} = k_T(x\sin\theta_T + z\cos\theta_T) k T ⋅ r = k T ( x sin θ T + z cos θ T ) cos θ T = i sin 2 θ T − 1 \cos\theta_T = i\sqrt{\sin^2\theta_T - 1} cos θ T = i sin 2 θ T − 1
E ~ T ∝ e − κ z e i ( k x x − ω t ) , κ = k T sin 2 θ T − 1 \tilde{\mathbf{E}}_T \propto e^{-\kappa z}\,e^{i(k_x x - \omega t)},
\qquad
\kappa = k_T\sqrt{\sin^2\theta_T - 1} E ~ T ∝ e − κ z e i ( k x x − ω t ) , κ = k T sin 2 θ T − 1 — 경계면을 따라 진행하면서 법선 방향으로는 지수적으로 죽는 파동이다. 이것이 소멸파이고,
5절의 도체 속 파동과 같은 수학(허수 파수)이 다른 물리에서 나온 것이다. 시간 평균으로는
경계를 넘어 전력이 흐르지 않지만 장은 파장 정도 깊이까지 새어 나간다. 광섬유와 실리콘
도파관이 빛을 가두는 원리이고(11절에서 다시), 두 도파관을 소멸파가 겹칠 만큼 가까이 두면
전력이 건너간다(방향성 결합기). 3.3.9가 이 절을 이어받는다.
반도체 계측에서 프레넬 계수가 매일 쓰이는 자리다. 웨이퍼에 편광된 빛을 경사로 쏘고(대개
브루스터 각 근처, 65 65 65 75 ° 75° 75°
ρ ≡ Γ ∥ Γ ⊥ = tan Ψ e i Δ \rho \equiv \frac{\Gamma_\parallel}{\Gamma_\perp} = \tan\Psi\, e^{i\Delta} ρ ≡ Γ ⊥ Γ ∥ = tan Ψ e i Δ 이다. 진폭 비 tan Ψ \tan\Psi tan Ψ Δ \Delta Δ Γ \Gamma Γ e 2 i k 2 d cos θ 2 e^{2ik_2 d\cos\theta_2} e 2 i k 2 d c o s θ 2 d d d n ( λ ) n(\lambda) n ( λ ) ( Ψ , Δ ) (\Psi, \Delta) ( Ψ , Δ ) Δ \Delta Δ e 2 i k 2 d cos θ 2 e^{2ik_2 d\cos\theta_2} e 2 i k 2 d c o s θ 2 n ( λ ) n(\lambda) n ( λ )
직관
파라미터 연계 — 고개구수 리소그래피의 편광. 액침 리소그래피에서 N A = 1.35 \mathrm{NA} = 1.35 NA = 1.35 90 ° 90° 90° E \mathbf{E} E E \mathbf{E} E 2 θ 2\theta 2 θ cos 2 θ \cos 2\theta cos 2 θ 2 θ = 90 ° 2\theta = 90° 2 θ = 90° 간섭이 사라진다. 그래서 고개구수
스캐너는 조명을 TE로 편광시킨다. 프레넬 계수도 한몫한다. 레지스트 표면에서 TE와 TM의
투과율이 다르고, 특히 브루스터 각 근처에서 TM은 거의 다 들어가고 TE는 일부 되돌아온다.
결상 계산이 스칼라에서 벡터 로 바뀌는 지점이고, 이 절이 그 벡터 계산의 재료다.
4절에서 굴절률은 ε r \sqrt{\varepsilon_r} ε r ε r \varepsilon_r ε r 2.3.3 유전체와 유도 쌍극자 강제 진동 한다.
전자를 용수철에 매달린 질량으로 모형화하자 — 로렌츠 모형이다.
m d 2 x d t 2 + m γ d x d t + m ω 0 2 x = q E 0 cos ( ω t ) m\frac{d^2x}{dt^2} + m\gamma\frac{dx}{dt} + m\omega_0^2 x = qE_0\cos(\omega t) m d t 2 d 2 x + mγ d t d x + m ω 0 2 x = q E 0 cos ( ω t ) ω 0 \omega_0 ω 0 − m ω 0 2 x -m\omega_0^2 x − m ω 0 2 x γ \gamma γ γ \gamma γ E \mathbf{E} E v / c v/c v / c
이 방정식은 1.4.8 강제 진동과 공명 x ~ ( t ) = x ~ 0 e − i ω t \tilde{x}(t) = \tilde{x}_0 e^{-i\omega t} x ~ ( t ) = x ~ 0 e − iω t
x ~ 0 = q / m ω 0 2 − ω 2 − i γ ω E ~ 0 \tilde{x}_0 = \frac{q/m}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}\,\tilde{E}_0 x ~ 0 = ω 0 2 − ω 2 − iγ ω q / m E ~ 0 이다. 쌍극자 모멘트는 p ~ = q x ~ \tilde{p} = q\tilde{x} p ~ = q x ~ N N N ω j \omega_j ω j γ j \gamma_j γ j f j f_j f j
P ~ = N q 2 m ∑ j f j ω j 2 − ω 2 − i γ j ω E ~ \tilde{\mathbf{P}} = \frac{Nq^2}{m}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega}\,\tilde{\mathbf{E}} P ~ = m N q 2 j ∑ ω j 2 − ω 2 − i γ j ω f j E ~ 이다. P = ε 0 χ e E \mathbf{P} = \varepsilon_0\chi_e\mathbf{E} P = ε 0 χ e E ε = ε 0 ( 1 + χ e ) \varepsilon = \varepsilon_0(1 + \chi_e) ε = ε 0 ( 1 + χ e ) 2.3.8 선형 유전체와 감수율·유전율
ε ~ r ( ω ) = 1 + N q 2 m ε 0 ∑ j f j ω j 2 − ω 2 − i γ j ω \boxed{\;
\tilde{\varepsilon}_r(\omega) = 1 + \frac{Nq^2}{m\varepsilon_0}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - i\gamma_j\omega}
\;} ε ~ r ( ω ) = 1 + m ε 0 N q 2 j ∑ ω j 2 − ω 2 − i γ j ω f j 복소 유전율 이 나왔다. 허수부는 감쇠 항에서 왔고, 분극이 전기장보다 위상이 늦는다는
뜻이다.
직관
수식적 직관 — 분모의 세 항. ω 0 2 − ω 2 − i γ ω \omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega ω 0 2 − ω 2 − iγ ω ω ≪ ω 0 \omega \ll \omega_0 ω ≪ ω 0 그대로 따라가고
분극이 최대다 — 정전 유전율. 구동이 빠르면(ω ≫ ω 0 \omega \gg \omega_0 ω ≫ ω 0 ε r → 1 \varepsilon_r \to 1 ε r → 1 ω ≈ ω 0 \omega \approx \omega_0 ω ≈ ω 0 90 ° 90° 90°
4절의 물과 SiO₂ 이야기가 여기서 정량화된다. 분자 배향(ω j ∼ \omega_j \sim ω j ∼ ω j ∼ 10 13 \omega_j \sim 10^{13} ω j ∼ 1 0 13 ω j ∼ 10 15 \omega_j \sim 10^{15} ω j ∼ 1 0 15 ω j \omega_j ω j ε r \varepsilon_r ε r 계단처럼 내려가고 , 각 계단 자리에 흡수 봉우리가 있다.
파수는 k ~ = ω ε ~ μ 0 = ( ω / c ) ε ~ r \tilde{k} = \omega\sqrt{\tilde{\varepsilon}\mu_0} = (\omega/c)\sqrt{\tilde{\varepsilon}_r} k ~ = ω ε ~ μ 0 = ( ω / c ) ε ~ r k ~ = k + i κ \tilde{k} = k + i\kappa k ~ = k + iκ e − κ z e i ( k z − ω t ) e^{-\kappa z}e^{i(kz - \omega t)} e − κ z e i ( k z − ω t ) e − 2 κ z e^{-2\kappa z} e − 2 κ z 흡수 계수 α abs = 2 κ \alpha_{\text{abs}} = 2\kappa α abs = 2 κ n = c k / ω n = ck/\omega n = c k / ω 1 + ϵ ≈ 1 + ϵ / 2 \sqrt{1 + \epsilon} \approx 1 + \epsilon/2 1 + ϵ ≈ 1 + ϵ /2
n = 1 + N q 2 2 m ε 0 ∑ j f j ( ω j 2 − ω 2 ) ( ω j 2 − ω 2 ) 2 + γ j 2 ω 2 α abs = N q 2 ω 2 m ε 0 c ∑ j f j γ j ( ω j 2 − ω 2 ) 2 + γ j 2 ω 2 \begin{aligned}
n &= 1 + \frac{Nq^2}{2m\varepsilon_0}\sum_j\frac{f_j(\omega_j^2 - \omega^2)}{(\omega_j^2 - \omega^2)^2 + \gamma_j^2\omega^2} \\[6pt]
\alpha_{\text{abs}} &= \frac{Nq^2\omega^2}{m\varepsilon_0 c}\sum_j\frac{f_j\gamma_j}{(\omega_j^2 - \omega^2)^2 + \gamma_j^2\omega^2}
\end{aligned} n α abs = 1 + 2 m ε 0 N q 2 j ∑ ( ω j 2 − ω 2 ) 2 + γ j 2 ω 2 f j ( ω j 2 − ω 2 ) = m ε 0 c N q 2 ω 2 j ∑ ( ω j 2 − ω 2 ) 2 + γ j 2 ω 2 f j γ j 그림 2.8-4. 로렌츠 모형에서 공명 진동수 ω₀ 근처의 굴절률 n − 1과 흡수 계수 α. 흡수는 ω₀를 중심으로 폭 γ의 봉우리(로렌츠 곡선)이고, 굴절률은 공명 아래에서 ω와 함께 오르다가(정상 분산) 공명 폭 안에서 급히 떨어져(이상 분산) 공명 위에서는 1보다 작아진다. 굴절률이 떨어지는 구간이 흡수 봉우리와 겹친다 — 둘은 같은 분모의 실수부와 허수부다.직접 작도 직관
그래프 직관. 흡수 곡선은 ω 0 \omega_0 ω 0 γ \gamma γ 로렌츠 곡선 이다.
감쇠가 작을수록 봉우리가 높고 좁다. 굴절률 곡선은 흡수의 도함수 같은 모양 이다 —
공명 아래에서 최대, 위에서 최소, 그 사이에서 급히 떨어진다. 대부분의 투명 물질에서 우리가
보는 가시광은 자외선 공명의 아래쪽 꼬리 에 있고, 거기서 n n n 정상 분산 . 파란빛이 빨간빛보다 굴절률이 커서 프리즘이 무지개를 만드는 것이
이 꼬리다. 공명 폭 안에서 n n n 떨어지는 구간이 이상 분산 이고, 반드시
강한 흡수를 동반한다.
n n n c c c d ω / d k d\omega/dk d ω / d k c c c
공명에서 멀리 떨어진 투명 영역(ω ≪ ω j \omega \ll \omega_j ω ≪ ω j γ j \gamma_j γ j 1 / ( ω j 2 − ω 2 ) ≈ ( 1 / ω j 2 ) ( 1 + ω 2 / ω j 2 ) 1/(\omega_j^2 - \omega^2) \approx (1/\omega_j^2)(1 + \omega^2/\omega_j^2) 1/ ( ω j 2 − ω 2 ) ≈ ( 1/ ω j 2 ) ( 1 + ω 2 / ω j 2 )
n ≈ 1 + N q 2 2 m ε 0 ∑ j f j ω j 2 ⏟ A ( 1 + ω 2 ω j 2 ) ⟹ n ( λ ) = 1 + A ( 1 + B λ 2 ) n \approx 1 + \underbrace{\frac{Nq^2}{2m\varepsilon_0}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2}}_{A}
\left(1 + \frac{\omega^2}{\omega_j^2}\right)
\quad\Longrightarrow\quad
n(\lambda) = 1 + A\left(1 + \frac{B}{\lambda^2}\right) n ≈ 1 + A 2 m ε 0 N q 2 j ∑ ω j 2 f j ( 1 + ω j 2 ω 2 ) ⟹ n ( λ ) = 1 + A ( 1 + λ 2 B ) — 코시 공식 이다. 파장이 짧을수록 n n n n ( λ ) n(\lambda) n ( λ )
금속과 도핑된 반도체의 전도 전자는 복원력이 없다. 로렌츠 모형에서 ω 0 = 0 \omega_0 = 0 ω 0 = 0 드루드 모형 이다.
ε ~ r ( ω ) = ε ∞ − ω p 2 ω 2 + i γ ω , ω p 2 ≡ N q 2 m ε 0 \tilde{\varepsilon}_r(\omega) = \varepsilon_\infty - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega},
\qquad
\omega_p^2 \equiv \frac{Nq^2}{m\varepsilon_0} ε ~ r ( ω ) = ε ∞ − ω 2 + iγ ω ω p 2 , ω p 2 ≡ m ε 0 N q 2 ε ∞ \varepsilon_\infty ε ∞ ε r \varepsilon_r ε r ω p \omega_p ω p 플라즈마 진동수 다. 감쇠를 무시하면 ω < ω p / ε ∞ \omega < \omega_p/\sqrt{\varepsilon_\infty} ω < ω p / ε ∞ ε ~ r < 0 \tilde{\varepsilon}_r < 0 ε ~ r < 0 k ~ \tilde{k} k ~ 반사 된다.
그 위에서는 투명해진다.
직관
파라미터 연계 — ω p ∝ N \omega_p \propto \sqrt{N} ω p ∝ N 금속(N ∼ 10 23 N \sim 10^{23} N ∼ 1 0 23 ω p \omega_p ω p N = 10 19 N = 10^{19} N = 1 0 19 m ∗ = 0.26 m e m^* = 0.26m_e m ∗ = 0.26 m e ε ∞ = 11.7 \varepsilon_\infty = 11.7 ε ∞ = 11.7 자유 캐리어 흡수 가 커진다 — 실리콘 포토닉스에서 도핑 영역이 손실이 되는 이유이고,
거꾸로 캐리어를 주입해 n n n N ∼ 10 21 N \sim 10^{21} N ∼ 1 0 21
5절의 도체와 이어 보자. 드루드 모형에서 σ = N q 2 / ( m γ ) \sigma = Nq^2/(m\gamma) σ = N q 2 / ( mγ ) ω ≪ γ \omega \ll \gamma ω ≪ γ ε ~ r ≈ ε ∞ + i σ / ( ε 0 ω ) \tilde{\varepsilon}_r \approx \varepsilon_\infty + i\sigma/(\varepsilon_0\omega) ε ~ r ≈ ε ∞ + iσ / ( ε 0 ω ) k ~ 2 = μ ε ω 2 + i μ σ ω \tilde{k}^2 = \mu\varepsilon\omega^2 + i\mu\sigma\omega k ~ 2 = μ ε ω 2 + i μ σ ω
플라즈마 챔버에서. 식각기의 플라즈마는 문자 그대로 이 모형이다. 전자 밀도
n e = 10 11 n_e = 10^{11} n e = 1 0 11 f p = ω p / 2 π ≈ 2.8 f_p = \omega_p/2\pi \approx 2.8 f p = ω p /2 π ≈ 2.8 전파하지 못하고 경계에서 소멸파로 죽는다 — 5절에서 말한 ICP의
표피 깊이가 이것이고, 무충돌 극한에서 그 깊이는 c / ω p ≈ 1.7 c/\omega_p \approx 1.7 c / ω p ≈ 1.7 n e = 7.4 × 10 10 n_e = 7.4\times10^{10} n e = 7.4 × 1 0 10 ω p \omega_p ω p
로렌츠 모형에서 n n n α abs \alpha_{\text{abs}} α abs 뒤따라야 한다(원인이 결과보다 앞선다)는 조건만
걸면, ε ~ r ( ω ) \tilde{\varepsilon}_r(\omega) ε ~ r ( ω ) 크라머스–크로니히
관계 (1.9.10 분산 관계(크라머스-크로니히)
여기서부터 세 절은 공학의 영역이다. 전송선·스미스 차트·도파관은 모든 교재, 모든 계측기,
모든 시뮬레이터가 공학 관습 — e j ω t e^{j\omega t} e j ω t e − γ z e^{-\gamma z} e − γ z
1~8절 (Griffiths) 9~11절 (Sadiku·회로 이론) 허수 단위 i i i j j j 시간 인자 e − i ω t e^{-i\omega t} e − iω t e + j ω t e^{+j\omega t} e + j ω t + z +z + z e + i k z e^{+ikz} e + ik z e − j β z e^{-j\beta z} e − j β z e − γ z e^{-\gamma z} e − γ z 감쇠 e − κ z e^{-\kappa z} e − κ z k ~ = k + i κ \tilde{k} = k + i\kappa k ~ = k + iκ e − α z e^{-\alpha z} e − α z γ = α + j β \gamma = \alpha + j\beta γ = α + j β 복소 진폭 E ~ 0 \tilde{E}_0 E ~ 0 페이저 V s V_s V s I s I_s I s 인덕터 임피던스 − i ω L -i\omega L − iω L j ω L j\omega L j ω L 시간 평균 1 2 Re ( f ~ g ~ ∗ ) \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}(\tilde f\tilde g^{*}) 2 1 Re ( f ~ g ~ ∗ ) 1 2 Re ( V I ∗ ) \tfrac{1}{2}\operatorname{Re}(V I^{*}) 2 1 Re ( V I ∗ )
규칙은 하나다 — i ↔ − j i \leftrightarrow -j i ↔ − j i i i − j -j − j 2.6.10 시간 조화장과 페이저 표현 V V V u p u_p u p u g u_g u g
회로 이론은 도선을 “같은 전압이 양 끝에 동시에 걸리는 것”으로 본다. 그 가정이 깨지는 것은
신호가 도선을 지나는 시간이 신호의 변화 시간에 비해 무시할 수 없을 때다. 정현파로 말하면
도선 길이 ℓ \ell ℓ λ \lambda λ 이고, 경험칙은 ℓ > λ / 10 \ell > \lambda/10 ℓ > λ /10
상황 주파수 매질 내 파장 길이 전송선인가 60 Hz 송전선 60 Hz 5000 km 100 km 아슬아슬 — 장거리 송전은 전송선으로 다룬다 PCB 배선, USB/PCIe 5 GHz 기본파 3 cm (FR-4, ε r ≈ 4 \varepsilon_r \approx 4 ε r ≈ 4 10 cm 예 패키지 기판 10 GHz 1.5 cm 1 cm 예 온칩 글로벌 배선 5 GHz 3 cm (SiO₂) 1 mm 길이로는 아니다 — 아래 참조 식각기 RF 급전선 13.56 MHz 22 m (동축, ≈ 15 \approx 15 ≈ 15 3 m 경계 — 정합 회로를 챔버 바로 옆에 두는 이유
디지털 신호는 정현파가 아니라 계단인데, 그때는 상승 시간 t r t_r t r t d = ℓ / u p t_d = \ell/u_p t d = ℓ / u p t d > t r / 6 t_d > t_r/6 t d > t r /6
전송선은 도체 두 가닥(동축의 심선과 외피, 마이크로스트립의 선로와 접지면, 평행 2선)이다.
도선의 짧은 토막 Δ z \Delta z Δ z R Δ z R\,\Delta z R Δ z L Δ z L\,\Delta z L Δ z C Δ z C\,\Delta z C Δ z G Δ z G\,\Delta z G Δ z R , L , G , C R, L, G, C R , L , G , C 단위 길이당 값이다
(Ω/m, H/m, S/m, F/m).
그림 2.8-5. 전송선의 분포 정수 모형. 길이 Δz의 토막 하나를 직렬 R·L과 병렬 G·C로 놓고, 그런 토막을 무한히 이어 붙인 것이 전송선이다. 토막 안에서 전압은 직렬 임피던스에 걸린 만큼 떨어지고, 전류는 병렬 어드미턴스로 새어 나간 만큼 준다. Δz → 0에서 이 두 문장이 전신 방정식이 된다.직접 작도 토막 하나에 키르히호프 법칙을 쓰면, 전압은 직렬 임피던스에서 떨어지고 전류는 병렬
어드미턴스로 샌다.
V ( z + Δ z ) − V ( z ) = − ( R + j ω L ) Δ z I ( z ) , I ( z + Δ z ) − I ( z ) = − ( G + j ω C ) Δ z V ( z ) V(z + \Delta z) - V(z) = -(R + j\omega L)\,\Delta z\; I(z),
\qquad
I(z + \Delta z) - I(z) = -(G + j\omega C)\,\Delta z\; V(z) V ( z + Δ z ) − V ( z ) = − ( R + j ω L ) Δ z I ( z ) , I ( z + Δ z ) − I ( z ) = − ( G + j ω C ) Δ z V ( z ) Δ z → 0 \Delta z \to 0 Δ z → 0
d V d z = − ( R + j ω L ) I , d I d z = − ( G + j ω C ) V \boxed{\;
\frac{dV}{dz} = -(R + j\omega L)\,I,
\qquad
\frac{dI}{dz} = -(G + j\omega C)\,V
\;} d z d V = − ( R + j ω L ) I , d z d I = − ( G + j ω C ) V — 전신 방정식 (telegrapher’s equations)이다. 2절에서 맥스웰 방정식을 다룬 것과 똑같이
한 번 더 미분해 얽힘을 푼다.
d 2 V d z 2 = γ 2 V , d 2 I d z 2 = γ 2 I , γ ≡ α + j β = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) \frac{d^2V}{dz^2} = \gamma^2 V,
\qquad
\frac{d^2I}{dz^2} = \gamma^2 I,
\qquad
\boxed{\;\gamma \equiv \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}\;} d z 2 d 2 V = γ 2 V , d z 2 d 2 I = γ 2 I , γ ≡ α + j β = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) 해는 V ( z ) = V 0 + e − γ z + V 0 − e + γ z V(z) = V_0^{+}e^{-\gamma z} + V_0^{-}e^{+\gamma z} V ( z ) = V 0 + e − γ z + V 0 − e + γ z + z +z + z − z -z − z
I ( z ) = V 0 + Z 0 e − γ z − V 0 − Z 0 e + γ z , Z 0 ≡ R + j ω L G + j ω C I(z) = \frac{V_0^{+}}{Z_0}e^{-\gamma z} - \frac{V_0^{-}}{Z_0}e^{+\gamma z},
\qquad
\boxed{\;Z_0 \equiv \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}\;} I ( z ) = Z 0 V 0 + e − γ z − Z 0 V 0 − e + γ z , Z 0 ≡ G + j ω C R + j ω L 이다. Z 0 Z_0 Z 0 특성 임피던스 다. 진행파 하나에서 전압과 전류의 비이고, 되돌아가는 파에서는
부호가 뒤집힌다 — 6절에서 반사파의 B \mathbf{B} B
직관
물리적 직관 — 손실 없는 선에서 Z 0 Z_0 Z 0 R = G = 0 R = G = 0 R = G = 0 Z 0 = L / C Z_0 = \sqrt{L/C} Z 0 = L / C V / Z 0 V/Z_0 V / Z 0 V 2 / Z 0 V^2/Z_0 V 2 / Z 0 파동에 실려 선 아래로 떠났을 뿐 이다. 3절에서 진공이 377 Ω 377\ \Omega 377 Ω η \eta η E / H E/H E / H Z 0 Z_0 Z 0 V / I V/I V / I
R = G = 0 R = G = 0 R = G = 0
γ = j ω L C , α = 0 , β = ω L C , u p = ω β = 1 L C , Z 0 = L C \gamma = j\omega\sqrt{LC},\quad
\alpha = 0,\quad
\beta = \omega\sqrt{LC},\quad
u_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}},\quad
Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} γ = j ω L C , α = 0 , β = ω L C , u p = β ω = L C 1 , Z 0 = C L 이다. 감쇠도 분산도 없다. 손실이 있으면 일반적으로 α \alpha α u p u_p u p 무왜곡 조건 R / L = G / C R/L = G/C R / L = G / C γ = R G ( 1 + j ω L C / R G ) \gamma = \sqrt{RG}\,(1 + j\omega\sqrt{LC}/\sqrt{RG}) γ = R G ( 1 + j ω L C / R G ) α = R G \alpha = \sqrt{RG} α = R G u p = 1 / L C u_p = 1/\sqrt{LC} u p = 1/ L C G G G R / L ≫ G / C R/L \gg G/C R / L ≫ G / C
동축선처럼 두 도체가 균일한 매질로 채워진 선로에서는 정전기·정자기 계산으로 C C C L L L 2.1.9 축전기와 정전용량 2.6.4 인덕턴스 a a a b b b
C = 2 π ε ln ( b / a ) , L = μ 2 π ln b a ⟹ L C = μ ε , Z 0 = 1 2 π μ ε ln b a = η 2 π ln b a C = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)},\qquad
L = \frac{\mu}{2\pi}\ln\frac{b}{a}
\quad\Longrightarrow\quad
LC = \mu\varepsilon,\qquad
Z_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\ln\frac{b}{a} = \frac{\eta}{2\pi}\ln\frac{b}{a} C = ln ( b / a ) 2 π ε , L = 2 π μ ln a b ⟹ L C = μ ε , Z 0 = 2 π 1 ε μ ln a b = 2 π η ln a b 이다. L C = μ ε LC = \mu\varepsilon L C = μ ε 모든 TEM 선로 에서 성립한다. 따라서
u p = 1 / L C = 1 / μ ε u_p = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{\mu\varepsilon} u p = 1/ L C = 1/ μ ε 같은 속력 으로 간다. 4절의 v = c / n v = c/n v = c / n Z 0 = η × ( 기하 인자 ) Z_0 = \eta\times(\text{기하 인자}) Z 0 = η × ( 기하 인자 )
50 Ω 50\ \Omega 50 Ω b / a b/a b / a ≈ 1.65 \approx 1.65 ≈ 1.65 Z 0 = 30 Ω Z_0 = 30\ \Omega Z 0 = 30 Ω b / a b/a b / a ≈ 3.6 \approx 3.6 ≈ 3.6 77 Ω 77\ \Omega 77 Ω ε eff \varepsilon_{\text{eff}} ε eff w w w h h h Z 0 Z_0 Z 0 ε r ≈ 4.3 \varepsilon_r \approx 4.3 ε r ≈ 4.3 w / h ≈ 2 w/h \approx 2 w / h ≈ 2
주의
온칩 배선은 “RC 선로”다. 칩 위 구리 배선은 폭이 좁아 단위 길이 저항이 크다 — 폭 0.1 μm,
두께 0.2 μm면 R ≈ 1 k Ω / mm R \approx 1\ \text{k}\Omega/\text{mm} R ≈ 1 k Ω/ mm ω L \omega L ω L R ≫ ω L R \gg \omega L R ≫ ω L L L L
γ ≈ j ω R C = ( 1 + j ) ω R C 2 \gamma \approx \sqrt{j\omega RC} = (1 + j)\sqrt{\frac{\omega RC}{2}} γ ≈ j ω R C = ( 1 + j ) 2 ω R C — 5절의 도체 속 파동과 같은 꼴이다. 신호가 파동처럼 전파하지 않고 확산 하며, 지연이
길이의 제곱에 비례한다(엘모어 지연). 이 확산 극한을 벗어나 파동 극한(LC 선로)으로 가는
전이 주파수 ω ∼ R / L \omega \sim R/L ω ∼ R / L R ≪ ω L R \ll \omega L R ≪ ω L
손실 없는 선의 끝 z = 0 z = 0 z = 0 Z L Z_L Z L
V ( z ) = V 0 + e − j β z + V 0 − e + j β z , I ( z ) = 1 Z 0 ( V 0 + e − j β z − V 0 − e + j β z ) V(z) = V_0^{+}e^{-j\beta z} + V_0^{-}e^{+j\beta z},
\qquad
I(z) = \frac{1}{Z_0}\left(V_0^{+}e^{-j\beta z} - V_0^{-}e^{+j\beta z}\right) V ( z ) = V 0 + e − j β z + V 0 − e + j β z , I ( z ) = Z 0 1 ( V 0 + e − j β z − V 0 − e + j β z ) 이고, z = 0 z = 0 z = 0 V / I = Z L V/I = Z_L V / I = Z L
Γ L ≡ V 0 − V 0 + = Z L − Z 0 Z L + Z 0 \boxed{\;
\Gamma_L \equiv \frac{V_0^{-}}{V_0^{+}} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}
\;} Γ L ≡ V 0 + V 0 − = Z L + Z 0 Z L − Z 0 — 6절의 Γ = ( η 2 − η 1 ) / ( η 2 + η 1 ) \Gamma = (\eta_2 - \eta_1)/(\eta_2 + \eta_1) Γ = ( η 2 − η 1 ) / ( η 2 + η 1 ) η 1 → Z 0 \eta_1 \to Z_0 η 1 → Z 0 η 2 → Z L \eta_2 \to Z_L η 2 → Z L 세 번째로 같은 식 이다. 세 경우의 대응을 한 줄에 놓자.
줄 (1절) 평면파 (6절) 전송선 (10절) 연속량 ① 변위 E ∥ E_\parallel E ∥ V V V 연속량 ② 기울기 (장력) H ∥ H_\parallel H ∥ I I I 임피던스 역할 1 / v 1/v 1/ v η \eta η Z 0 Z_0 Z 0 Z L Z_L Z L Γ \Gamma Γ v 2 − v 1 v 2 + v 1 \dfrac{v_2 - v_1}{v_2 + v_1} v 2 + v 1 v 2 − v 1 η 2 − η 1 η 2 + η 1 \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} η 2 + η 1 η 2 − η 1 Z L − Z 0 Z L + Z 0 \dfrac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} Z L + Z 0 Z L − Z 0
세 특수 부하를 외워 두면 나머지가 보인다.
정합 Z L = Z 0 Z_L = Z_0 Z L = Z 0 Γ L = 0 \Gamma_L = 0 Γ L = 0 단락 Z L = 0 Z_L = 0 Z L = 0 Γ L = − 1 \Gamma_L = -1 Γ L = − 1 V = 0 V = 0 V = 0 I I I 개방 Z L = ∞ Z_L = \infty Z L = ∞ Γ L = + 1 \Gamma_L = +1 Γ L = + 1 I = 0 I = 0 I = 0 V V V
부하가 순수 리액턴스(Z L = j X Z_L = jX Z L = j X ∣ Γ L ∣ = 1 \lvert\Gamma_L\rvert = 1 ∣ Γ L ∣ = 1
부하에서 거리 ℓ \ell ℓ z = − ℓ z = -\ell z = − ℓ 입력
임피던스 다. V ( − ℓ ) / I ( − ℓ ) V(-\ell)/I(-\ell) V ( − ℓ ) / I ( − ℓ )
Z in ( ℓ ) = Z 0 Z L + j Z 0 tan β ℓ Z 0 + j Z L tan β ℓ \boxed{\;
Z_{\text{in}}(\ell) = Z_0\,\frac{Z_L + jZ_0\tan\beta\ell}{Z_0 + jZ_L\tan\beta\ell}
\;} Z in ( ℓ ) = Z 0 Z 0 + j Z L tan β ℓ Z L + j Z 0 tan β ℓ 이다(손실이 있으면 tan β ℓ → tanh γ ℓ \tan\beta\ell \to \tanh\gamma\ell tan β ℓ → tanh γ ℓ 다른
값으로 보이게 만든다. 반사 계수로 말하면 더 간단하다 — z = − ℓ z = -\ell z = − ℓ Γ ( − ℓ ) = Γ L e − 2 j β ℓ \Gamma(-\ell) = \Gamma_L e^{-2j\beta\ell} Γ ( − ℓ ) = Γ L e − 2 j β ℓ 크기는 그대로고 위상만 2 β ℓ 2\beta\ell 2 β ℓ
왕복하니 두 배다.
직관
형태적 직관 — tan β ℓ \tan\beta\ell tan β ℓ tan \tan tan π \pi π β ℓ \beta\ell β ℓ π \pi π ℓ = λ / 2 \ell = \lambda/2 ℓ = λ /2 Z in Z_{\text{in}} Z in 그대로
통과 시킨다. 그 절반 ℓ = λ / 4 \ell = \lambda/4 ℓ = λ /4 tan → ∞ \tan \to \infty tan → ∞
Z in ( λ / 4 ) = Z 0 2 Z L Z_{\text{in}}(\lambda/4) = \frac{Z_0^2}{Z_L} Z in ( λ /4 ) = Z L Z 0 2 — 임피던스를 뒤집는다. 단락이 개방으로, 개방이 단락으로, 작은 저항이 큰 저항으로 보인다.
이것이 사분파 변환기다. 부하 Z L Z_L Z L Z 0 Z_0 Z 0 Z 0 ′ = Z 0 Z L Z_0' = \sqrt{Z_0 Z_L} Z 0 ′ = Z 0 Z L λ / 4 \lambda/4 λ /4 n 1 n 2 \sqrt{n_1 n_2} n 1 n 2 λ / 4 \lambda/4 λ /4
단락 선로는 리액턴스다. Z L = 0 Z_L = 0 Z L = 0 Z in = j Z 0 tan β ℓ Z_{\text{in}} = jZ_0\tan\beta\ell Z in = j Z 0 tan β ℓ ℓ < λ / 4 \ell < \lambda/4 ℓ < λ /4 λ / 4 < ℓ < λ / 2 \lambda/4 < \ell < \lambda/2 λ /4 < ℓ < λ /2
입사파와 반사파가 겹치면 전압 크기가 z z z
∣ V ( z ) ∣ = ∣ V 0 + ∣ ∣ 1 + Γ L e 2 j β z ∣ \lvert V(z)\rvert = \lvert V_0^{+}\rvert\,\bigl\lvert 1 + \Gamma_L e^{2j\beta z}\bigr\rvert ∣ V ( z )∣ = ∣ V 0 + ∣ 1 + Γ L e 2 j β z Γ L = ∣ Γ L ∣ e j θ Γ \Gamma_L = \lvert\Gamma_L\rvert e^{j\theta_\Gamma} Γ L = ∣ Γ L ∣ e j θ Γ θ Γ + 2 β z \theta_\Gamma + 2\beta z θ Γ + 2 β z 0 0 0 ∣ V 0 + ∣ ( 1 + ∣ Γ L ∣ ) \lvert V_0^{+}\rvert(1 + \lvert\Gamma_L\rvert) ∣ V 0 + ∣ ( 1 + ∣ Γ L ∣) π \pi π ∣ V 0 + ∣ ( 1 − ∣ Γ L ∣ ) \lvert V_0^{+}\rvert(1 - \lvert\Gamma_L\rvert) ∣ V 0 + ∣ ( 1 − ∣ Γ L ∣) 정재파비 (SWR)다.
s ≡ V max V min = 1 + ∣ Γ L ∣ 1 − ∣ Γ L ∣ ( 1 ≤ s ≤ ∞ ) \boxed{\;s \equiv \frac{V_{\max}}{V_{\min}} = \frac{1 + \lvert\Gamma_L\rvert}{1 - \lvert\Gamma_L\rvert}\;}
\qquad (1 \le s \le \infty) s ≡ V m i n V m a x = 1 − ∣ Γ L ∣ 1 + ∣ Γ L ∣ ( 1 ≤ s ≤ ∞ ) 이웃한 최소끼리의 거리는 λ / 2 \lambda/2 λ /2 λ / 2 n \lambda/2n λ /2 n s = ∞ s = \infty s = ∞
그림 2.8-6. 손실 없는 선 위의 전압 크기 |V(z)|를 부하(z = 0)에서 발전기 쪽으로 반파장 조금 넘게 그린 것. 정합(|Γ| = 0)이면 평평하고, |Γ| = 0.5면 최대 1.5·최소 0.5로 s = 3, 단락(Γ = −1)이면 부하에서 마디이고 최소가 0이라 s = ∞다. 최소끼리의 간격은 언제나 λ/2다.직접 작도 직관
파라미터 연계 — Γ \Gamma Γ s s s 반사되는 전력 비율은
∣ Γ ∣ 2 \lvert\Gamma\rvert^2 ∣ Γ ∣ 2 RL = − 20 log 10 ∣ Γ ∣ \text{RL} = -20\log_{10}\lvert\Gamma\rvert RL = − 20 log 10 ∣ Γ ∣
∣ Γ ∣ \lvert\Gamma\rvert ∣ Γ ∣ s s s 반사 전력 RL 0 1 0 ∞ \infty ∞ 0.1 1.22 1 % 20 dB 0.33 2 11 % 9.5 dB 0.5 3 25 % 6 dB 1 ∞ \infty ∞ 100 % 0 dB
고속 인터페이스 규격이 “RL 10 dB 이상”이라 쓰면 ∣ Γ ∣ < 0.32 \lvert\Gamma\rvert < 0.32 ∣ Γ ∣ < 0.32 50 Ω 50\ \Omega 50 Ω ± 50 \pm 50 ± 50 Z 0 Z_0 Z 0 ∣ Γ ∣ \lvert\Gamma\rvert ∣ Γ ∣ Γ ( z ) \Gamma(z) Γ ( z )
Z in Z_{\text{in}} Z in 직관이 없다. 스미스 차트는 임피던스
평면을 반사 계수 평면으로 옮겨 그린 것이다. 정규화 임피던스 z = Z / Z 0 = r + j x z = Z/Z_0 = r + jx z = Z / Z 0 = r + j x
Γ = z − 1 z + 1 , z = 1 + Γ 1 − Γ \Gamma = \frac{z - 1}{z + 1},
\qquad
z = \frac{1 + \Gamma}{1 - \Gamma} Γ = z + 1 z − 1 , z = 1 − Γ 1 + Γ 이고, Γ \Gamma Γ r = 일정 r = \text{일정} r = 일정 x = 일정 x = \text{일정} x = 일정 원 이
된다(복소해석의 뫼비우스 변환, 1.9.9 등각사상과 정전기 문제
r 원 : 중심 ( r 1 + r , 0 ) , 반지름 1 1 + r ; x 원 : 중심 ( 1 , 1 x ) , 반지름 1 ∣ x ∣ r\text{ 원}:\ \text{중심}\left(\frac{r}{1 + r},\ 0\right),\ \text{반지름}\ \frac{1}{1 + r};
\qquad
x\text{ 원}:\ \text{중심}\left(1,\ \frac{1}{x}\right),\ \text{반지름}\ \frac{1}{\lvert x\rvert} r 원 : 중심 ( 1 + r r , 0 ) , 반지름 1 + r 1 ; x 원 : 중심 ( 1 , x 1 ) , 반지름 ∣ x ∣ 1 이다. 수동 부하는 r ≥ 0 r \ge 0 r ≥ 0 ∣ Γ ∣ ≤ 1 \lvert\Gamma\rvert \le 1 ∣ Γ ∣ ≤ 1
그림 2.8-7. 스미스 차트의 뼈대. 반사 계수 평면의 단위원 안에 정규화 저항 r = 0, 0.5, 1, 2의 원과 정규화 리액턴스 x = ±0.5, ±1, ±2의 원호를 그렸다. 중심(Γ = 0)이 정합점 z = 1, 오른쪽 끝(Γ = 1)이 개방, 왼쪽 끝(Γ = −1)이 단락이다. 위 반원이 유도성(x > 0), 아래 반원이 용량성이다. 부하 z_L = 1 + j1에서 발전기 쪽으로 λ/8 가면 같은 |Γ| 원 위를 시계 방향으로 90° 돌아 z = 2 − j1에 닿는다.직접 작도 차트를 읽는 규칙은 넷이다.
점 하나가 임피던스 하나. 원 두 개(r r r x x x z = r + j x z = r + jx z = r + j x ∣ Γ ∣ \lvert\Gamma\rvert ∣ Γ ∣ θ Γ \theta_\Gamma θ Γ 선을 따라 움직이면 원점 중심의 원을 따라 돈다. Γ ( − ℓ ) = Γ L e − 2 j β ℓ \Gamma(-\ell) = \Gamma_L e^{-2j\beta\ell} Γ ( − ℓ ) = Γ L e − 2 j β ℓ ℓ \ell ℓ 시계 방향 으로 2 β ℓ 2\beta\ell 2 β ℓ λ / 2 \lambda/2 λ /2 정재파비는 실수축에서 읽는다. ∣ Γ ∣ \lvert\Gamma\rvert ∣ Γ ∣ r r r s s s z = s z = s z = s 1 / s 1/s 1/ s 어드미턴스는 180 ° 180° 180° y = 1 / z y = 1/z y = 1/ z Γ → − Γ \Gamma \to -\Gamma Γ → − Γ
직관
공간적 직관 — 왜 임피던스 대신 Γ \Gamma Γ 임피던스 평면에서 “선을 따라 이동”은
tan \tan tan Γ \Gamma Γ 회전 이다. 부하가 무엇이든 선을 지나면
같은 크기의 원 위를 돌 뿐이다. 정합 회로 설계란 부하 점에서 출발해 “선로 토막 = 회전”,
“직렬 리액턴스 = r r r g g g 중심에 도달하는
경로 를 찾는 일이 된다. 무한대가 유한한 점(오른쪽 끝)으로 들어오고, 모든 수동 부하가 단위원
안에 갇힌다는 것도 이 평면의 이점이다.
이 절이 반도체 공정에 가장 직접 닿는 자리다. 플라즈마 식각기·증착기는 13.56 MHz 발전기(출력
임피던스 50 Ω 50\ \Omega 50 Ω 저항 몇 Ω과 직렬 커패시터 수백 pF 정도의 부하이고, 그 값은
압력·전력·가스·웨이퍼 상태에 따라 실시간으로 변한다. 그대로 연결하면 ∣ Γ ∣ \lvert\Gamma\rvert ∣ Γ ∣ 자동 정합 회로
(가변 커패시터 둘과 인덕터의 L형 또는 π형)를 두고, 반사 전력을 감지해 커패시터를 모터로
돌려 Z in = 50 Ω Z_{\text{in}} = 50\ \Omega Z in = 50 Ω ∣ Γ ∣ 2 \lvert\Gamma\rvert^2 ∣ Γ ∣ 2
전송선은 도체 둘 이었다. 도체 하나 — 속이 빈 금속관 — 안으로도 파동을 보낼 수 있는데,
그 파동은 성격이 다르다. 관의 축을 z z z E ∥ = 0 \mathbf{E}_\parallel = 0 E ∥ = 0 B ⊥ = 0 \mathbf{B}_\perp = 0 B ⊥ = 0 2.6.9 물질 내 맥스웰 방정식과 경계 조건 z z z
E ~ ( x , y , z , t ) = E ~ 0 ( x , y ) e i ( k z − ω t ) , B ~ = B ~ 0 ( x , y ) e i ( k z − ω t ) \tilde{\mathbf{E}}(x, y, z, t) = \tilde{\mathbf{E}}_0(x, y)\,e^{i(kz - \omega t)},
\qquad
\tilde{\mathbf{B}} = \tilde{\mathbf{B}}_0(x, y)\,e^{i(kz - \omega t)} E ~ ( x , y , z , t ) = E ~ 0 ( x , y ) e i ( k z − ω t ) , B ~ = B ~ 0 ( x , y ) e i ( k z − ω t ) 평면파와 다른 점이 둘이다. 진폭이 단면 좌표 ( x , y ) (x, y) ( x , y ) 함수 이고, 진행 방향 성분 E z E_z E z B z B_z B z 0이 아닐 수 있다. 이 절은 Griffiths를 따라 물리 관습으로 돌아간다 — 도파관은
평면파의 직계이고, 회로가 아니기 때문이다.
맥스웰 방정식 여섯 성분을 풀어 쓰면 횡성분 넷(E x , E y , B x , B y E_x, E_y, B_x, B_y E x , E y , B x , B y E z , B z E_z, B_z E z , B z
E x = i ( ω / c ) 2 − k 2 ( k ∂ E z ∂ x + ω ∂ B z ∂ y ) , E y = i ( ω / c ) 2 − k 2 ( k ∂ E z ∂ y − ω ∂ B z ∂ x ) B x = i ( ω / c ) 2 − k 2 ( k ∂ B z ∂ x − ω c 2 ∂ E z ∂ y ) , B y = i ( ω / c ) 2 − k 2 ( k ∂ B z ∂ y + ω c 2 ∂ E z ∂ x ) \begin{aligned}
E_x &= \frac{i}{(\omega/c)^2 - k^2}\left(k\frac{\partial E_z}{\partial x} + \omega\frac{\partial B_z}{\partial y}\right),
&\quad
E_y &= \frac{i}{(\omega/c)^2 - k^2}\left(k\frac{\partial E_z}{\partial y} - \omega\frac{\partial B_z}{\partial x}\right) \\[4pt]
B_x &= \frac{i}{(\omega/c)^2 - k^2}\left(k\frac{\partial B_z}{\partial x} - \frac{\omega}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial y}\right),
&\quad
B_y &= \frac{i}{(\omega/c)^2 - k^2}\left(k\frac{\partial B_z}{\partial y} + \frac{\omega}{c^2}\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)
\end{aligned} E x B x = ( ω / c ) 2 − k 2 i ( k ∂ x ∂ E z + ω ∂ y ∂ B z ) , = ( ω / c ) 2 − k 2 i ( k ∂ x ∂ B z − c 2 ω ∂ y ∂ E z ) , E y B y = ( ω / c ) 2 − k 2 i ( k ∂ y ∂ E z − ω ∂ x ∂ B z ) = ( ω / c ) 2 − k 2 i ( k ∂ y ∂ B z + c 2 ω ∂ x ∂ E z ) 그러므로 E z E_z E z B z B_z B z
[ ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ( ω 2 c 2 − k 2 ) ] E z = 0 , ( B z 도 같은 식) \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \left(\frac{\omega^2}{c^2} - k^2\right)\right]E_z = 0,
\qquad
\text{($B_z$도 같은 식)} [ ∂ x 2 ∂ 2 + ∂ y 2 ∂ 2 + ( c 2 ω 2 − k 2 ) ] E z = 0 , ( B z 도 같은 식 ) 해를 종성분으로 분류한다.
TE 모드 (transverse electric): E z = 0 E_z = 0 E z = 0 B z B_z B z TM 모드 (transverse magnetic): B z = 0 B_z = 0 B z = 0 E z E_z E z TEM 모드 : E z = B z = 0 E_z = B_z = 0 E z = B z = 0
의문
속 빈 관에 TEM 파가 없는 이유는? E z = B z = 0 E_z = B_z = 0 E z = B z = 0 0 / 0 0/0 0/0 ∇ t ⋅ E = 0 \nabla_t\cdot\mathbf{E} = 0 ∇ t ⋅ E = 0 ∇ t × E = 0 \nabla_t\times\mathbf{E} = 0 ∇ t × E = 0 E \mathbf{E} E 정전기장처럼 행동하고
퍼텐셜의 기울기로 쓸 수 있는데, 경계인 도체 벽은 등전위다. 등전위 폐곡선 안 의 라플라스
방정식의 해는 상수뿐이므로(2.2.1 라플라스 방정식의 성질과 유일성 정리 E = 0 \mathbf{E} = 0 E = 0 둘 이면
서로 다른 전위를 줄 수 있어 해가 생긴다 — 그것이 전송선이고, 그래서 TEM은 전송선의 전유물이다.
단면이 a × b a \times b a × b a ≥ b a \ge b a ≥ b B z B_z B z 1.7.4 변수분리법 ∂ B z / ∂ n = 0 \partial B_z/\partial n = 0 ∂ B z / ∂ n = 0 B ⊥ = 0 B_\perp = 0 B ⊥ = 0
B z = B 0 cos m π x a cos n π y b , m , n = 0 , 1 , 2 , … B_z = B_0\cos\frac{m\pi x}{a}\cos\frac{n\pi y}{b},
\qquad m, n = 0, 1, 2, \dots B z = B 0 cos a mπ x cos b nπ y , m , n = 0 , 1 , 2 , … 이고 ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) (m, n) \neq (0, 0) ( m , n ) = ( 0 , 0 ) T E m n \mathrm{TE}_{mn} TE mn
k = ( ω c ) 2 − π 2 [ ( m a ) 2 + ( n b ) 2 ] \boxed{\;
k = \sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \pi^2\left[\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2\right]}
\;} k = ( c ω ) 2 − π 2 [ ( a m ) 2 + ( b n ) 2 ] 이다. 근호 안이 음이면 k k k e − ∣ k ∣ z e^{-\lvert k\rvert z} e − ∣ k ∣ z 차단 진동수 다.
ω m n = c π ( m a ) 2 + ( n b ) 2 k = 1 c ω 2 − ω m n 2 \boxed{\;\omega_{mn} = c\pi\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2}\;}
\qquad
k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2 - \omega_{mn}^2} ω mn = c π ( a m ) 2 + ( b n ) 2 k = c 1 ω 2 − ω mn 2 가장 낮은 것은 T E 10 \mathrm{TE}_{10} TE 10 ω 10 = c π / a \omega_{10} = c\pi/a ω 10 = c π / a f c = c / 2 a f_c = c/2a f c = c /2 a 관의 긴 변이
반파장 일 때다. 이보다 낮은 진동수는 어떤 모드로도 못 지나간다. T E 10 \mathrm{TE}_{10} TE 10 T E 20 \mathrm{TE}_{20} TE 20 T E 01 \mathrm{TE}_{01} TE 01 b = a / 2 b = a/2 b = a /2 f c f_c f c 2 f c 2f_c 2 f c f c f_c f c
직관
공간적 직관 — 벽 사이를 지그재그로 튕기는 평면파. cos ( m π x / a ) e i k z \cos(m\pi x/a)\,e^{ikz} cos ( mπ x / a ) e ik z e i ( m π / a ) x e i k z e^{i(m\pi/a)x}e^{ikz} e i ( mπ / a ) x e ik z e − i ( m π / a ) x e i k z e^{-i(m\pi/a)x}e^{ikz} e − i ( mπ / a ) x e ik z ( ± m π / a , 0 , k ) (\pm m\pi/a,\ 0,\ k) ( ± mπ / a , 0 , k ) 평면파 다 — T E m 0 \mathrm{TE}_{m0} TE m 0 x x x ± \pm ± ω / c \omega/c ω / c z z z θ \theta θ cos θ = k c / ω \cos\theta = kc/\omega cos θ = k c / ω θ \theta θ θ → 90 ° \theta \to 90° θ → 90° 옆으로만 왕복 하며 앞으로 나아가지 못한다. 그것이 차단이다.
그림 2.8-8. 직사각형 도파관(b = a/2)의 분산 곡선 ω–k. 각 모드는 자기 차단 진동수 ω_mn에서 k = 0으로 출발해 위로 갈수록 광선(ω = ck)에 다가가는 쌍곡선이다. 곡선 위 한 점에서 원점을 잇는 직선의 기울기가 위상 속력(c보다 크다), 접선의 기울기가 군속도(c보다 작다)이고 둘의 곱은 c²다. 광선 아래 영역에는 어떤 모드도 없다 — 도파관 안의 파동은 언제나 진공 평면파보다 파장이 길다.직접 작도 분산 관계 ω 2 = c 2 k 2 + ω m n 2 \omega^2 = c^2k^2 + \omega_{mn}^2 ω 2 = c 2 k 2 + ω mn 2
u p = ω k = c 1 − ( ω m n / ω ) 2 > c , u g = d ω d k = c 1 − ( ω m n / ω ) 2 < c , u p u g = c 2 u_p = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - (\omega_{mn}/\omega)^2}} > c,
\qquad
u_g = \frac{d\omega}{dk} = c\sqrt{1 - (\omega_{mn}/\omega)^2} < c,
\qquad
u_p u_g = c^2 u p = k ω = 1 − ( ω mn / ω ) 2 c > c , u g = d k d ω = c 1 − ( ω mn / ω ) 2 < c , u p u g = c 2 이다. 위상 속력이 c c c c cos θ = u g c\cos\theta = u_g c cos θ = u g u g → 0 u_g \to 0 u g → 0
TE 모드의 파동 임피던스도 같은 인자를 탄다. E t / H t = η / 1 − ( f c / f ) 2 E_t/H_t = \eta/\sqrt{1 - (f_c/f)^2} E t / H t = η / 1 − ( f c / f ) 2 η 1 − ( f c / f ) 2 \eta\sqrt{1 - (f_c/f)^2} η 1 − ( f c / f ) 2 Γ \Gamma Γ
직관
수식적 직관 — 차단 진동수는 고유값이다. 헬름홀츠 방정식 ∇ t 2 ψ + k c 2 ψ = 0 \nabla_t^2\psi + k_c^2\psi = 0 ∇ t 2 ψ + k c 2 ψ = 0 k c 2 = ω m n 2 / c 2 k_c^2 = \omega_{mn}^2/c^2 k c 2 = ω mn 2 / c 2 고유값 문제 이고, TM은 디리클레 조건(ψ = 0 \psi = 0 ψ = 0 ∂ ψ / ∂ n = 0 \partial\psi/\partial n = 0 ∂ ψ / ∂ n = 0 1.6.1 자체 수반 형식과 에르미트 연산자 V = ( 2 π a / λ ) n 1 2 − n 2 2 V = (2\pi a/\lambda)\sqrt{n_1^2 - n_2^2} V = ( 2 π a / λ ) n 1 2 − n 2 2 V < 2.405 V < 2.405 V < 2.405 J 0 J_0 J 0 1.5.8 베셀 함수(제1·2종·수정·구면)
TM 모드는 E z = E 0 sin ( m π x / a ) sin ( n π y / b ) E_z = E_0\sin(m\pi x/a)\sin(n\pi y/b) E z = E 0 sin ( mπ x / a ) sin ( nπ y / b ) m , n ≥ 1 m, n \ge 1 m , n ≥ 1 T M 11 \mathrm{TM}_{11} TM 11 T E 10 \mathrm{TE}_{10} TE 10 n = 0 n = 0 n = 0
실제 벽은 완전 도체가 아니라 5절의 좋은 도체다. 벽 표면의 접선 H H H R s = 1 / ( σ δ ) R_s = 1/(\sigma\delta) R s = 1/ ( σ δ ) 1 2 R s ∮ ∣ H t ∣ 2 d l \frac{1}{2}R_s\oint\lvert H_t\rvert^2\,dl 2 1 R s ∮ ∣ H t ∣ 2 d l α c \alpha_c α c R s ∝ f R_s \propto \sqrt{f} R s ∝ f f c = 1.74 f_c = 1.74 f c = 1.74
리소그래피. 매질 속 파장 λ / n \lambda/n λ / n n n n 계측. 타원계측(7절)이 박막 두께의 기준 계측이고, 그 안의 분산 모델(8절)이 재료의
광학 상수를 준다. 적외선 반사율에서 도핑 농도를 읽는 것은 드루드 모형(8절)이다.플라즈마 공정. RF 정합(10절), 플라즈마의 표피 깊이와 플라즈마 진동수(5·8절),
마이크로파 도파관(11절)이 식각·증착 장비의 전력 계통 전부다.배선과 패키지. 온칩 RC 선로와 보드 위 LC 선로의 경계(9절), 종단·반사·정재파비(10절),
표피 효과에 의한 교류 저항(5절)이 고속 입출력 설계의 물리다.포토닉스. 굴절률과 자유 캐리어 분산(4·8절), 전반사와 소멸파(7절), 도파관 모드와 단일
모드 조건(11절)이 실리콘 포토닉스의 재료다.
파동 방정식 하나, 경계 조건 넷, 그리고 “차를 합으로 나눈” 반사 계수 하나 — 이 장의 열한
절은 그것을 진공·유전체·도체·경계면·전송선·도파관에서 반복한 것이다.