7부 고체물리 7.4

격자 진동

7.3에서 결정을 연속체로 보고 탄성파를 다뤘다. $v=\sqrt{C_{11}/\rho}$ 같은 음속이 나왔고, 그 계산에는 파장이 원자 간격보다 훨씬 길다는 가정이 말없이 깔려 있었다. 이 장은 그 가정을 걷어낸다. 원자 하나하나를 질량으로, 결합을 용수철로 보고 사슬의 운동방정식을 풀면, 파장이 원자 간격에 가까워질 때 무슨 일이 생기는지가 드러난다 — 진동수와 파수가 비례하지 않게 되고(분산), 진동수에 상한이 생기고, 파수는 제1 브릴루앙 영역 하나로 충분해지며, 원시 세포에 원자가 둘 이상이면 새로운 종류의 분지(광학 분지)가 나타난다. 그런 다음 진동 모드 하나하나를 양자화하면 포논이 나온다.

이 장의 수학은 새것이 거의 없다. 1.3.2의 정규모드(질량–용수철 사슬을 고유값 문제로 바꾸는 일), 1.7.5의 파동 방정식(사슬의 연속 극한), 1.5.11의 조화 진동자 사다리 연산자(모드의 양자화)가 전부다. 새것은 격자의 주기성이 그 수학에 얹는 제약 — 파수가 역격자 벡터만큼 불확정하다는 것 — 이고, 그 하나가 브릴루앙 영역·결정 운동량·움클랍·간접 밴드갭 같은 고체물리 특유의 개념을 전부 만든다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

열 — 격자 열용량과 열전도(7.5)는 포논 기체의 성질이다. 소자의 자기 가열, 패키지의 방열, 공정의 열 예산이 전부 포논이 얼마나 빨리·멀리 에너지를 나르는가의 문제다.
수송 — 상온에서 실리콘 전자의 이동도를 정하는 것은 불순물이 아니라 포논 산란이다(7.12, 11부). 고전기장에서 광학 포논 방출이 속도 포화를 만든다.
광학 — Si·Ge는 간접 밴드갭이라 빛의 흡수·발광에 포논이 반드시 낀다(7.9, 17부). 라만 산란의 광학 포논 봉우리로 채널의 응력과 온도를 잰다(19부). 극성 반도체(GaAs·GaN·SiC)의 적외선 반사대는 광학 포논 그 자체다.
재료 — 열팽창(7.5.6), 상변태의 연포논(soft mode, 8.12의 강유전성), 동위원소 효과, 그리고 초전도의 매개(7.14)가 격자 진동에서 나온다.

표기는 Kittel 4장을 기준으로 한다. 아래 표의 기호를 이 장 전체에서 그대로 쓴다. 특히 대소문자만 다른 짝이 많다 — 포논 파수 $K$ (대문자)와 전자 파수 $k$ ·볼츠만 상수 $k_B$ (소문자), 힘 상수 $C$ (N/m)와 7.3의 탄성 강성 $C_{11}$ (N/m²), 원자 질량 $M$ (대문자)과 전자 질량 $m$ , 변위 $u$ (소문자)와 퍼텐셜 에너지 $U$ (대문자).

기호	읽는 법	무엇인가	단위
$u_s$	유 에스	$s$ 번째 원자면(또는 원자)의 평형 위치로부터의 변위. 소문자	m
$s$	—	원자면(원자)의 번호. 정수	—
$a$	—	원자면 간격(단원자 사슬) · 반복 거리 = 원시 세포 길이(이원자 사슬)	m
$C$ , $C_p$	—	이웃 면 사이의 힘 상수(용수철 상수). $C_p$ 는 $p$ 번째 이웃까지의 것. 7.3의 $C_{11}$ 과 다른 물건	N/m
$M$ , $M_1$ , $M_2$	—	원자면 하나에 속한 원자 하나의 질량. 대문자. 전자 질량 $m$ 과 구분	kg
$K$	—	포논의 파수 벡터(1차원에서는 스칼라). Kittel의 표기 — 전자의 $k$ 와 구분한다	m⁻¹
$\omega$	오메가	각진동수 $=2\pi f$ . 에너지는 $\hbar\omega$	rad/s
$v$ , $v_g$	—	음속(장파장 극한의 위상속도) · 군속도 $d\omega/dK$	m/s
$n_K$ , $n$	—	모드 $K$ 의 포논 점유수(0 이상의 정수). 이 장에서 $n$ 은 캐리어 농도가 아니다	—
$\mathbf G$	—	역격자 벡터(7.2)	m⁻¹
$\mathbf k$ , $\mathbf k'$	—	산란되는 입자(중성자·광자·전자)의 입사·산란 파수 벡터	m⁻¹
$p$	—	원시 세포당 원자 수. 분지 수는 $3p$	—
$\Phi$	대문자 파이	힘 상수 행렬 — 퍼텐셜 에너지의 2차 도함수	N/m

진동수의 단위도 미리 정리한다. 포논은 문헌에 따라 THz(진동수), meV(에너지), cm⁻¹(파수, 라만·적외선 분광), K(온도, $\hbar\omega/k_B$ )로 적힌다. 전부 같은 양이다.

1 THz $=$	4.136 meV	33.36 cm⁻¹	48.0 K
1 meV $=$	0.2418 THz	8.066 cm⁻¹	11.60 K
상온 $k_BT$ (300 K)	25.9 meV	6.25 THz	209 cm⁻¹

실리콘의 광학 포논은 15.5 THz $=$ 64 meV $=$ 520 cm⁻¹ $=$ 740 K — 상온 $k_BT$ 의 2.5배다. 이 숫자 하나를 기억해 두면 이 장의 나머지 숫자들이 자리를 잡는다.

조화 근사

결정의 퍼텐셜을 평형점 둘레에서 전개한다

결정은 원자 $N$ 개의 계이고, 그 퍼텐셜 에너지 $U$ 는 원자 위치 전부의 함수다. 각 원자가 평형 위치 $\mathbf R_i$ 에서 $\mathbf u_i$ 만큼 벗어났다고 하자. $U$ 를 변위에 대해 테일러 전개하면 (1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)

U=U_0 +\sum_{i}\frac{\partial U}{\partial u_i}\bigg|_{0}u_i +\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^2U}{\partial u_i\,\partial u_j}\bigg|_{0}u_iu_j +\frac16\sum_{i,j,l}\frac{\partial^3U}{\partial u_i\,\partial u_j\,\partial u_l}\bigg|_{0}u_iu_ju_l+\cdots

이다. 여기서 $i$ 는 원자 번호와 방향( $x,y,z$ )을 함께 세는 인덱스로 두었다 — 1차원 사슬에서는 원자 번호만 남는다. 세 항을 차례로 읽는다.

$U_0$ — 모든 원자가 평형에 있을 때의 에너지. 7.3의 응집 에너지(의 음수)이고, 진동에는 관여하지 않는 상수다.
1차항은 0이다. 평형이라는 말이 곧 “모든 원자에 걸리는 힘 $-\partial U/\partial u_i$ 가 0”이기 때문이다. 이것은 근사가 아니라 평형의 정의다.
2차항이 처음 남는 항이다. 그 계수를 힘 상수(force constant)라 부르고 $\Phi_{ij}$ 로 쓴다.

\Phi_{ij}\equiv\frac{\partial^2U}{\partial u_i\,\partial u_j}\bigg|_{0}, \qquad U\approx U_0+\frac12\sum_{i,j}\Phi_{ij}\,u_iu_j

여기서 자르는 것이 조화 근사(harmonic approximation)다. 잘라낸 3차 이상을 비조화항이라 한다. 조화 근사 아래서 원자 $i$ 에 걸리는 힘은

F_i=-\frac{\partial U}{\partial u_i}=-\sum_j\Phi_{ij}\,u_j, \qquad M_i\ddot u_i=-\sum_j\Phi_{ij}\,u_j

이고, 이것이 이 장 전체의 운동방정식이다. 변위에 대해 선형이라는 점이 전부다. 선형이면 해를 겹칠 수 있고, 겹칠 수 있으면 정규모드로 분해할 수 있으며, 정규모드는 서로 독립인 조화 진동자다 (1.3.2고유값 문제의 응용). 조화 근사가 없으면 이 장의 어느 결과도 닫힌 꼴로 나오지 않는다.

그림 7.4-1. 원자 사이 결합 퍼텐셜(실선)과 그 바닥의 곡률로 맞춘 포물선(점선). 평형 간격 r₀ 근처의 작은 진폭에서는 두 곡선이 겹쳐, 원자가 용수철에 매달린 것과 구분되지 않는다. 진폭이 커지면 실제 퍼텐셜은 바깥쪽이 완만해서 되돌이점의 중점이 r₀보다 커지는데, 이것이 7.5에서 다룰 열팽창의 씨앗이다.직접 작도

직관

형태적 직관 — 포물선은 모든 매끄러운 우물의 바닥 모양이다. 결합 퍼텐셜이 레너드–존스든 마델룽+반발항이든 공유결합의 복잡한 곡선이든, 최솟값 근처를 확대하면 전부 포물선이다. 그래서 조화 진동자가 물리학에 이렇게 자주 나온다 — 특정 계의 성질이 아니라 “안정한 평형 근처”라는 상황의 성질이기 때문이다.

수식적 직관 — 2차 형식은 대각화된다. $U-U_0=\frac12\mathbf u^{\mathsf T}\Phi\,\mathbf u$ 는 실대칭 행렬 $\Phi$ 의 2차 형식이다. 주축 변환(1.3.7이차 형식과 주축 변환)으로 좌표를 돌리면 교차항이 사라지고 $\frac12\sum_\lambda\Phi_\lambda Q_\lambda^2$ 가 된다 — 서로 얽힌 $N$ 개의 원자가 서로 독립인 $N$ 개의 진동자로 갈라진다. 그 좌표 $Q_\lambda$ 가 정규모드이고, 5절에서 양자화하는 것도 바로 이 좌표다. $\Phi$ 가 양의 정부호이면 모든 $\Phi_\lambda>0$ 이고 평형이 안정하다. 어느 방향으로 $\Phi_\lambda<0$ 이면 그 방향으로 굴러 떨어진다 — 그것이 상변태의 연포논(8.12)이다.

조화 근사는 얼마나 좋은가

근사의 타당성은 변위 $u$ 가 원자 간격 $a$ 에 비해 얼마나 작은가에 달렸다. 비조화항은 조화항에 비해 $u/a$ 정도의 비율로 작기 때문이다. 실리콘의 수치를 보자.

상온에서 실리콘 원자의 제곱평균제곱근 변위는 약 0.05~0.08 Å이다(X선 회절의 디바이–월러 인자에서 얻는 값 — 7.2). 결합 길이가 2.35 Å이니 3% 정도다.
0 K에서도 영점 진동(5절)이 남는다 — 광학 포논 진동수로 계산하면 약 0.03 Å.
녹는점에서는 변위가 원자 간격의 10% 언저리에 이른다(린데만 기준). 즉 녹기 직전까지도 변위는 “작다”.

그러니 조화 근사는 격자 진동의 골격 — 분산 관계, 분지의 종류, 모드 수, 양자화 — 을 정확히 준다. 비조화항이 없으면 안 되는 것은 따로 있다. 열팽창(조화 우물은 좌우 대칭이라 아무리 흔들려도 평균 위치가 안 변한다), 포논끼리의 산란(조화 진동자들은 서로 독립이라 영원히 부딪치지 않는다 — 열전도가 무한대가 된다), 진동수의 온도 의존. 셋 다 7.5.6~7.5.8의 주제다.

힘 상수가 만족해야 하는 것

$\Phi_{ij}$ 는 아무 행렬이나 될 수 없다. 조건 넷이 이 장의 결과들을 하나씩 만든다.

① 대칭성. $\Phi_{ij}=\Phi_{ji}$ — 2차 편도함수의 순서가 바뀌어도 같기 때문이다. 그래서 $\Phi$ 는 실대칭이고, 고유값이 실수이며 고유벡터가 직교한다(1.3.3).

② 병진 불변. 모든 원자를 똑같이 $d$ 만큼 옮기면 $U$ 는 변하지 않는다. 그러면 $\sum_j\Phi_{ij}d=0$ , 곧 모든 $i$ 에 대해 $\sum_j\Phi_{ij}=0$ 이다. 이 조건은 “전부 같이 움직이는 모드”가 복원력을 받지 않는다 — 진동수 0 — 는 뜻이고, 1.3.2의 삼원자 분자에서 본 $\lambda=0$ 고유값이 결정으로 확대된 것이다. 2절에서 $K\to0$ 일 때 $\omega\to0$ 이 되는 음향 분지의 근원이 이 한 줄이다. 문헌에서는 음향 합 규칙(acoustic sum rule)이라 부른다.

③ 격자 주기성. 결정에서는 $\Phi_{ij}$ 가 두 원자의 절대 위치가 아니라 상대 위치 $\mathbf R_i-\mathbf R_j$ 에만 의존한다. 그러면 운동방정식은 한 원자에서 다른 원자로 옮겨 가며 같은 꼴이 반복되고, 그런 방정식의 해는 언제나 평면파 $u_s\propto e^{isKa}$ 다. 2절에서 이 해를 “넣어 보면 맞는다”는 식으로 확인하겠지만, 배경에는 순환 행렬이 언제나 푸리에 기저로 대각화된다는 사실(1.10.6)이 있다. 7.7의 블로흐 정리가 전자에 대해 하는 말이 정확히 이것이다.

④ 유효 거리. 힘 상수는 거리가 멀수록 작아진다. 가장 단순한 모형은 최근접 이웃만 남기는 것이다. 사슬에서는 $\Phi_{ss}=2C$ , $\Phi_{s,s\pm1}=-C$ , 나머지 0 — 그러면 운동방정식이

M\ddot u_s=C\,(u_{s+1}-u_s)+C\,(u_{s-1}-u_s)=C\,(u_{s+1}+u_{s-1}-2u_s)

가 된다. 오른쪽 용수철은 늘어난 만큼( $u_{s+1}-u_s$ ) 당기고, 왼쪽 용수철은 줄어든 만큼 민다. ②의 합 규칙 $2C-C-C=0$ 이 자동으로 만족되는 것을 확인해 두자.

힘 상수는 어디서 오는가 — 7.3의 결합 곡선

힘 상수는 결합 퍼텐셜의 곡률이다. 한 쌍의 원자가 퍼텐셜 $U(r)$ 로 묶여 있으면 $C=U''(r_0)$ 이고, 7.3에서 다룬 결합 종류마다 그 곡률의 출처가 다르다.

반데르발스(7.3.2반데르발스-런던 상호작용과 반발항) — 레너드–존스 $U=4\epsilon[(\sigma/r)^{12}-(\sigma/r)^6]$ 에서 $r_0=2^{1/6}\sigma$ 이고 $U''(r_0)=72\epsilon/r_0^2$ 다. 우물 깊이 $\epsilon$ 에 비례하고 간격의 제곱에 반비례한다. 아르곤 결정( $\epsilon\approx10$ meV, $r_0\approx3.8$ Å)이면 $C\approx0.8$ N/m — 매우 무른 용수철이다.
이온 결합 — 마델룽 인력은 완만해서 곡률을 거의 주지 않고, 곡률은 대부분 반발항의 가파름 $1/\rho$ 에서 나온다. 7.3.3의 압축률 식이 그 계산이다.
공유 결합 — Si·Ge·다이아몬드는 결합의 늘어남뿐 아니라 결합각의 비틀림에도 저항한다. 중심력(원자 쌍 사이 거리만의 함수)만으로 다이아몬드 구조를 만들면 전단에 대해 불안정해지므로, 각도 힘 상수를 따로 둔다(Keating 모형). 이 장의 사슬 모형에서 $C$ 는 그 둘을 합친 원자면 사이의 유효 힘 상수로 읽는다.

실리콘에서 그 유효 $C$ 의 크기는 두 방향에서 짐작할 수 있다. 4절에서 보겠지만 $C\approx C_{11}\,a$ 정도인데 $C_{11}=166$ GPa, $a=5.43$ Å을 넣으면 약 90 N/m이다. 한편 광학 포논 진동수 $\omega=2\pi\times15.5$ THz를 2절의 $\omega^2=4C/M$ 에 넣으면 약 110 N/m이다. 두 값이 같은 자릿수라는 것이 중요하다 — 탄성 상수와 광학 포논 진동수는 같은 용수철을 보고 있다.

직관

파라미터 연계 — 진동수는 $\sqrt{C/M}$ 하나로 움직인다. 이 장의 모든 진동수는 $\sqrt{C/M}$ 에 무차원 함수를 곱한 꼴이다. 그래서 두 손잡이가 있다.

질량 $M$ . 원자를 무거운 동위원소로 바꾸면 $C$ 는 그대로이고 모든 진동수가 $1/\sqrt M$ 로 눌린다(1.3.2에서 미리 말한 것). 같은 4족 원소를 내려가면 다이아몬드·Si·Ge·α-Sn의 광학 포논이 1332·520·301·200 cm⁻¹ 로 내려간다. Si→Ge의 질량비 2.6은 $\sqrt{2.6}=1.61$ 을 예측하는데 실제 비는 $520/301=1.73$ 이다 — 대부분이 질량이고, 나머지 7%가 결합이 약해진 몫( $C$ 의 감소)이다.
힘 상수 $C$ . 결합이 뻣뻣할수록(짧고 강할수록) 높다. 다이아몬드가 165 meV라는 엄청난 광학 포논 에너지를 가지는 것은 가벼워서만이 아니라 결합 길이 1.54 Å의 $C$ 가 Si의 몇 배이기 때문이다. 같은 이유로 다이아몬드의 음속·디바이 온도·열전도율이 모든 고체 중 가장 크다(7.5).

동역학 행렬 — 3차원에서는 무엇이 달라지는가

이 장은 1차원 사슬로 끝까지 가지만, 3차원에서 무엇이 달라지고 무엇이 그대로인지는 여기서 한 번 적어 둔다. 원시 세포에 원자가 $p$ 개, 세포가 $N$ 개면 자유도는 $3pN$ 이고, 운동방정식은 $3pN\times3pN$ 행렬 $\Phi$ 의 고유값 문제다. 그런데 조건 ③(주기성) 덕분에 해가 세포마다 $e^{i\mathbf K\cdot\mathbf R}$ 의 위상만 다르므로, 문제는 $\mathbf K$ 하나마다 $3p\times3p$ 짜리 행렬 하나로 쪼개진다. 질량으로 눈금을 고쳐

D_{\alpha\beta}(\mathbf K)=\frac{1}{\sqrt{M_\alpha M_\beta}}\sum_{\mathbf R}\Phi_{\alpha\beta}(\mathbf R)\,e^{-i\mathbf K\cdot\mathbf R}, \qquad \omega^2\,\mathbf e=D(\mathbf K)\,\mathbf e

로 쓴 것이 동역학 행렬(dynamical matrix)이다. 1.3.2에서 “질량이 다르면 $M^{-1/2}KM^{-1/2}$ 로 바꿔야 에르미트가 된다”고 한 조작이 그대로다. $D(\mathbf K)$ 는 에르미트이므로 $\omega^2$ 은 실수이고, $\mathbf K$ 마다 $3p$ 개의 고유값 — $3p$ 개의 분지 — 이 나온다. 2절의 단원자 사슬은 $p=1$ , 1차원이라 $1\times1$ , 곧 스칼라 식이고, 이원자 사슬은 $2\times2$ 행렬식이다. 실리콘( $p=2$ )의 3차원 계산은 $6\times6$ 이고 분지가 여섯이다(3절).

단원자 사슬과 이원자 사슬

결정을 사슬로 줄인다 — 원자면

3차원 결정을 1차원 사슬로 다루는 것이 근사가 아닌 경우가 있다. 입방 결정에서 파동이 [100]·[110]·[111] 같은 고대칭 방향으로 진행하면, 진행 방향에 수직인 격자면 전체가 한 덩어리로 움직인다 — 대칭성 때문에 한 면 위의 원자들이 서로 다른 변위를 가질 이유가 없다. 그러면 면 하나마다 좌표 $u_s$ 하나면 되고, 결정은 면들의 사슬이 된다. 이것이 Kittel이 4장을 시작하는 방식이다.

그림 7.4-2. 입방 결정의 평행한 격자면들이 파동에 의해 변위된 모습. 위는 종파로 각 면이 진행 방향 K를 따라 앞뒤로 움직여 면 간격이 변하고, 아래는 횡파로 각 면이 K에 수직으로 미끄러진다. 어느 쪽이든 한 면 위의 원자들은 함께 움직이므로 면마다 변위 하나만 있으면 되고, 결정 전체가 1차원 사슬로 기술된다.직접 작도

변위가 $K$ 와 나란하면 종파(면 간격이 늘고 줄어든다), 수직이면 횡파(면이 옆으로 미끄러진다)다. 두 경우 운동방정식의 꼴은 같고 힘 상수 $C$ 의 값만 다르다 — 면 간격을 바꾸는 데 드는 힘과 면을 미끄러뜨리는 데 드는 힘이 다르기 때문이다. 대개 미끄러뜨리는 쪽이 무르므로 횡파의 $C$ 가 작고, 그래서 횡파가 느리다(7.3.10에서 $C_{44}<C_{11}$ 이었던 것과 같은 말). 실리콘의 [100] 음속은 종파 8.43 km/s, 횡파 5.84 km/s다.

단원자 사슬 — 운동방정식과 진행파 해

원자면의 질량을 $M$ , 이웃 면 사이 힘 상수를 $C$ , 면 간격을 $a$ 라 하자. 1절 ④의 운동방정식

M\,\frac{d^2u_s}{dt^2}=C\,(u_{s+1}+u_{s-1}-2u_s)

에 진행파 해를 넣는다.

u_s=u\,e^{i(sKa-\omega t)}

$s$ 번째 면의 위치가 $x=sa$ 이므로 이것은 $e^{i(Kx-\omega t)}$ , 곧 파수 $K$ ·각진동수 $\omega$ 인 평면파를 격자점에서만 읽은 것이다. 이웃 면의 변위는 위상 $Ka$ 만 다르다: $u_{s\pm1}=u_s\,e^{\pm iKa}$ . 넣으면 $s$ 와 $t$ 가 통째로 약분되고

-\omega^2M=C\,(e^{iKa}+e^{-iKa}-2)=2C\,(\cos Ka-1)

\omega^2=\frac{2C}{M}(1-\cos Ka)=\frac{4C}{M}\sin^2\frac{Ka}{2}, \qquad \omega=2\sqrt{\frac{C}{M}}\;\left|\sin\frac{Ka}{2}\right|

가 나온다. 이것이 단원자 사슬의 분산 관계(dispersion relation)다. 미분방정식이 대수 방정식이 된 것은 1.3.2와 같은 수 — 지수함수를 넣어 시간 미분을 $-\omega^2$ 곱셈으로 바꾼 것 — 이고, 그 위에 공간 차분도 $2(\cos Ka-1)$ 곱셈으로 바뀌었다는 것이 새로 얻은 것이다.

그림 7.4-3. 단원자 사슬의 분산 곡선(왼쪽)과 군속도(오른쪽). 곡선은 주기 2π/a로 반복되므로 제1 브릴루앙 영역 안만 보면 되고, 원점 근처는 직선 ω = vK(음파)이며, 영역 경계 π/a에서 최댓값 2√(C/M)에 닿아 평평해진다. 군속도는 원점에서 음속 v였다가 영역 경계에서 0이 되어 파동이 정상파가 된다.직접 작도

그래프를 읽는다.

$\omega(K)=\omega(-K)$ . 오른쪽으로 가는 파와 왼쪽으로 가는 파의 진동수가 같다.
주기가 $2\pi/a$ 다. $K$ 를 $2\pi/a$ 만큼 옮겨도 같은 진동수 — 사실은 같은 운동이다(다음 항목).
원점 근처에서 직선이다. $Ka\ll1$ 이면 $\sin(Ka/2)\approx Ka/2$ 이고 $\omega\approx\sqrt{C/M}\,Ka$ . 기울기 $a\sqrt{C/M}$ 이 음속이다(4절).
최대 진동수가 있다. $K=\pm\pi/a$ 에서 $\omega_{\max}=2\sqrt{C/M}$ . 연속체(7.3)에는 없던 상한이다 — 그보다 빠르게 흔들리는 파동은 이 사슬을 전파하지 못한다. 어떤 $K$ 도 그 진동수를 주지 않으므로, 억지로 그 진동수로 흔들면 $K$ 가 복소수가 되어 몇 원자 안에서 감쇠한다.
경계에서 기울기가 0이다. 군속도가 0인 정상파(4절).

직관

수식적 직관 — 왜 하필 사인인가. $u_{s+1}+u_{s-1}-2u_s$ 는 이산 2차 미분이다. 연속 2차 미분 $\partial_x^2$ 의 고유함수가 $e^{iKx}$ 이고 고유값이 $-K^2$ 인 것처럼, 이산 2차 미분의 고유함수도 $e^{isKa}$ 이고 고유값은 $-4\sin^2(Ka/2)$ 다. 둘을 나란히 놓으면

-K^2 \quad\longleftrightarrow\quad -\Big(\frac{2}{a}\Big)^2\sin^2\frac{Ka}{2}

작은 $Ka$ 에서 둘은 같고(연속체), $Ka\to\pi$ 에서 오른쪽은 $-4/a^2$ 에서 포화한다. 격자가 있다는 사실이 수식에 남기는 흔적은 이것 하나 — “ $K^2$ 이 $\sin^2$ 으로 바뀐다” — 뿐이고, 그것이 최대 진동수·브릴루앙 영역·영역 경계의 정상파를 전부 만든다. 같은 $\sin^2$ · $\cos$ 이 1.12의 유한차분법 안정성 해석에도, 7.7의 강결합 밴드 $E=-2t\cos ka$ 에도 나온다. 격자 위의 파동은 전부 이 꼴이다.

제1 브릴루앙 영역 — 파수의 뜻 있는 범위

해 $u_s=u\,e^{i(sKa-\omega t)}$ 에서 물리적으로 뜻이 있는 것은 이웃 면 사이의 위상차 $u_{s+1}/u_s=e^{iKa}$ 뿐이다. 그런데 $e^{iKa}$ 는 $K$ 를 $2\pi/a$ 의 정수배만큼 바꿔도 변하지 않는다. 즉 $K$ 와 $K+2\pi n/a$ 는 모든 원자에 똑같은 변위를 주는, 같은 운동이다. 위상차 $Ka$ 의 범위를 $-\pi<Ka\le\pi$ 로 잡으면 모든 운동을 한 번씩만 세게 된다:

-\frac{\pi}{a}<K\le\frac{\pi}{a}

이 범위가 1차원 격자의 제1 브릴루앙 영역이고, 7.2에서 역격자의 위그너–자이츠 세포로 정의한 것(7.2.2브릴루앙 영역)과 같은 물건이다 — 1차원 역격자의 원시 벡터가 $2\pi/a$ 이니 그 절반이 경계다. 영역 바깥의 $K$ 는 안쪽의 어느 $K$ 와 역격자 벡터 $G=2\pi n/a$ 만큼 차이 나고, 같은 운동을 두 번 세는 것이다.

그림 7.4-4. 격자점 위 원자들의 변위를 파장 4a인 파동(K = π/2a)과 파장 4a/3인 파동(K − 2π/a)으로 그린 것. 두 곡선은 원자가 있는 자리에서 정확히 같은 변위를 주므로 물리적으로 같은 운동이다. 원자 사이의 파형은 뜻이 없어서, 짧은 파장 쪽은 새 정보를 담지 않는다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 원자가 없는 곳의 파형은 존재하지 않는다. 연속체에서는 파장이 얼마든지 짧아질 수 있다. 격자에서는 파동이 격자점에서만 “읽히므로”, 파장이 $2a$ 보다 짧은 파동은 그보다 긴 파동과 구분되지 않는다. 그림의 두 곡선이 그것이다. 이것은 디지털 신호 처리의 에일리어싱과 정확히 같은 현상이다 — 표본 간격 $a$ 로 표본화하면 나이퀴스트 파수 $\pi/a$ 위의 성분은 아래로 접혀 들어온다(1.10.6). 그래서 브릴루앙 영역은 “격자의 나이퀴스트 대역”이라고 읽어도 된다.

영역 경계는 브래그 반사다. $K=\pi/a$ 이면 $u_s=u\,(-1)^s$ — 이웃이 정확히 반대로 움직이는 정상파다. 파장 $\lambda=2a$ 인 파동이 격자면들에 수직 입사하면 브래그 조건 $2a\sin\theta=\lambda$ 가 $\theta=90^\circ$ 에서 만족되어(7.2.3브래그 조건과 라우에 조건) 격자가 파동을 자기 자신 위로 되반사한다. 오른쪽으로 가는 파와 반사된 왼쪽 파가 겹쳐 정상파가 되고, 에너지가 더 이상 진행하지 못한다. 7.7에서 전자의 밴드에 갭이 생기는 자리도 같은 $K=\pi/a$ 이고 이유도 같은 브래그 반사다.

$K$ 가 불연속이라는 것도 적어 둔다. 길이 $L=Na$ 인 사슬에 주기 경계조건 $u_{s+N}=u_s$ 를 걸면 $e^{iNKa}=1$ , 곧 $K=2\pi n/(Na)$ 이고 브릴루앙 영역 안에 $n=-N/2+1,\dots,N/2$ 의 $N$ 개가 들어간다. 원시 세포 하나당 $K$ 하나 — 이 세기 규칙이 7.5.2의 모드 수 세기와 5절의 운동량 논의의 출발점이다.

이웃 너머의 힘 상수 — 분산 곡선을 뒤집어 읽는다

최근접 이웃만 남긴 것은 편의였다. $p$ 번째 이웃까지의 힘 상수 $C_p$ 를 전부 살리면 같은 계산이

\omega^2=\frac{2}{M}\sum_{p>0}C_p\,(1-\cos pKa)

를 준다 — 각 이웃이 자기 위상차 $pKa$ 의 코사인 항 하나씩을 보탠다. 이것은 $\omega^2$ 을 $K$ 의 푸리에 급수(1.10.1푸리에 급수와 반구간 전개)로 쓴 것이고, 급수는 뒤집을 수 있다. 양변에 $\cos rKa$ 를 곱해 브릴루앙 영역에서 적분하면 $r\ne p$ 인 항은 직교성으로 사라지고

C_p=-\frac{Ma}{2\pi}\int_{-\pi/a}^{\pi/a}\omega_K^2\cos(pKa)\,dK

가 남는다. 분산 곡선을 재면 힘 상수가 이웃 차수별로 나온다. 6절의 중성자 산란이 그 측정이고, $C_p$ 가 $p$ 에 따라 얼마나 빨리 줄어드는지가 원자 사이 힘이 얼마나 멀리 미치는지를 말해 준다. 이온 결정과 금속에서는 몇 번째 이웃까지 무시 못 할 $C_p$ 가 남는다.

의문

금속의 분산 곡선에는 왜 꺾임이 있는가 — 콘 이상. 금속에서 이온 사이의 상호작용은 전도 전자가 차폐한 것이고, 그 차폐는 거리에 따라 단조롭게 죽지 않고 $\cos(2k_Fr)/r^3$ 꼴로 진동하며 죽는다(프리델 진동, 7.10). 그러면 $C_p\propto\cos(2k_Fpa)/(pa)$ 처럼 멀리까지 진동하는 꼬리가 생기고, 위의 급수는 $K=2k_F$ 에서 $d\omega/dK$ 가 불연속인 꺾임을 만든다(Kittel 4장 연습문제 4.4). 포논의 분산 곡선에 페르미 면의 지름이 찍혀 나오는 셈이다 — 격자 진동이 전자를 “보는” 첫 번째 자리이고, 7.14의 초전도에서 그 상호작용이 주역이 된다.

이원자 사슬 — 원시 세포에 원자가 둘

이제 원자면이 두 종류다. 질량 $M_1$ 인 면과 $M_2$ 인 면이 번갈아 놓이고 이웃 사이 힘 상수는 전부 $C$ 로 같다고 하자. NaCl의 [111] 방향(Na 면과 Cl 면이 번갈아), 또는 CsCl의 [100] 방향이 이렇다. $M_1$ 면의 변위를 $u_s$ , 같은 세포에 속한 $M_2$ 면의 변위를 $v_s$ 로 쓴다 — $v_s$ 는 속도가 아니라 변위다. 반복 거리 $a$ 는 이제 원자면 두 장을 담는 원시 세포의 길이이므로, 브릴루앙 영역은 여전히 $-\pi/a<K\le\pi/a$ 이되 그 $a$ 가 단원자 사슬의 두 배 길이라는 점을 잊지 말자.

세포 $s$ 의 $M_1$ 면은 양쪽의 $v_s$ , $v_{s-1}$ 과 묶여 있고, $M_2$ 면은 $u_{s+1}$ , $u_s$ 와 묶여 있다:

M_1\,\ddot u_s=C\,(v_s+v_{s-1}-2u_s), \qquad M_2\,\ddot v_s=C\,(u_{s+1}+u_s-2v_s)

진행파 $u_s=u\,e^{i(sKa-\omega t)}$ , $v_s=v\,e^{i(sKa-\omega t)}$ 를 넣는다. 이번에는 진폭 $u$ , $v$ 가 둘이라 미지수가 둘인 연립 대수 방정식이 남는다:

\begin{aligned} -\omega^2M_1\,u&=C\,v\,(1+e^{-iKa})-2C\,u\\ -\omega^2M_2\,v&=C\,u\,(e^{iKa}+1)-2C\,v \end{aligned}

$u$ , $v$ 가 둘 다 0이 아닌 해가 있으려면 계수 행렬식이 0이어야 한다(1.3.1):

\begin{vmatrix} 2C-M_1\omega^2 & -C\,(1+e^{-iKa})\\[2pt] -C\,(1+e^{iKa}) & 2C-M_2\omega^2 \end{vmatrix}=0

전개하면 $(1+e^{-iKa})(1+e^{iKa})=2+2\cos Ka$ 이므로

M_1M_2\,\omega^4-2C\,(M_1+M_2)\,\omega^2+2C^2\,(1-\cos Ka)=0

$\omega^2$ 에 대한 2차 방정식이고, 해가 둘이다:

\omega^2=C\Big(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\Big) \pm C\sqrt{\Big(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\Big)^2-\frac{4\sin^2(Ka/2)}{M_1M_2}}

$K$ 하나에 진동수가 둘 — 원시 세포의 원자 수 $p=2$ 만큼 분지가 생긴 것이다. 1절의 동역학 행렬로 말하면 $2\times2$ 에르미트 행렬의 고유값 둘이다. 두 극한에서 식을 읽는다.

$Ka\ll1$ (긴 파장). $\sin^2(Ka/2)\approx K^2a^2/4$ 이고 근호 안의 둘째 항이 작아, 근호를 전개하면

\omega^2\approx2C\Big(\frac1{M_1}+\frac1{M_2}\Big) \qquad\text{(위쪽, 광학 분지)}

\omega^2\approx\frac{C}{2\,(M_1+M_2)}\,K^2a^2 \qquad\text{(아래쪽, 음향 분지)}

아래쪽은 $\omega\propto K$ — 음파다. 음속 $v=a\sqrt{C/2(M_1+M_2)}$ 는 면 간격 $a/2$ , 평균 질량 $(M_1+M_2)/2$ 인 단원자 사슬의 음속과 정확히 같다. 긴 파장은 세포 안의 구조를 못 보고 평균만 본다. 위쪽은 $K\to0$ 인데도 유한한 진동수로 시작한다 — 아래에서 정체를 밝힌다.

$K=\pi/a$ (영역 경계). $\cos Ka=-1$ 을 넣으면 4차식이 깔끔하게 인수분해된다:

(M_1\omega^2-2C)(M_2\omega^2-2C)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2=\frac{2C}{M_1} \ \ \text{또는}\ \ \omega^2=\frac{2C}{M_2}

이때 연립식의 결합항 $1+e^{\mp iKa}$ 가 0이 된다 — 영역 경계에서 두 부분격자는 서로를 보지 못하고, 한 모드에서는 $M_1$ 면만( $v=0$ ), 다른 모드에서는 $M_2$ 면만( $u=0$ ) 움직인다. 각 부분격자가 이웃 두 용수철에 매달린 독립 진동자( $\omega^2=2C/M$ )가 되는 것이다.

그림 7.4-5. 원시 세포에 질량이 다른 두 원자(M₁ = 3M₂)가 있는 사슬의 분산 곡선. 아래의 음향 분지는 원점에서 0으로 출발해 영역 경계에서 √(2C/M₁)에 닿고, 위의 광학 분지는 원점에서 √(2C(1/M₁+1/M₂))로 출발해 경계에서 √(2C/M₂)로 내려온다. 그 사이의 진동수 띠에는 어떤 파수도 대응하지 않아 파동이 전파되지 못하며, 두 질량이 같아지면(점선) 이 간격이 닫혀 광학 분지는 단원자 곡선을 접은 것이 된다.직접 작도

$M_1>M_2$ 라 하면 경계에서 음향 분지는 $\sqrt{2C/M_1}$ 에서 끝나고 광학 분지는 $\sqrt{2C/M_2}$ 에서 시작한다. 그 사이의 진동수에는 어떤 실수 $K$ 도 대응하지 않는다 — 그 진동수로 사슬을 흔들면 $K$ 가 복소수가 되어 파동이 몇 세포 안에서 지수적으로 죽는다. 사슬은 그 대역의 진동을 통과시키지 않는 필터다. 위로는 $\sqrt{2C(1/M_1+1/M_2)}$ 위의 진동수도 마찬가지로 막힌다.

직관

그래프 직관 — 간격은 질량 차가 만들고, 질량 차가 0이면 접힘만 남는다. $M_1=M_2=M$ 을 넣으면 근호가 $\lvert\cos(Ka/2)\rvert$ 로 풀려 두 분지가 $\omega=2\sqrt{C/M}\,\lvert\sin(Ka/4)\rvert$ 와 $2\sqrt{C/M}\,\lvert\cos(Ka/4)\rvert$ 가 되고, 영역 경계 $K=\pi/a$ 에서 둘 다 $\sqrt{2C/M}$ 으로 만난다. 이것은 면 간격 $a/2$ 인 단원자 사슬의 곡선 — 브릴루앙 영역이 $\pm2\pi/a$ 인 — 을 $\pm\pi/a$ 에서 반으로 접은 것이다(그림의 점선). 세포를 억지로 두 배로 잡으면 영역이 반으로 줄고, 바깥에 있던 곡선이 안으로 접혀 들어와 “광학 분지”라는 이름을 얻을 뿐이다. 질량 차가 생기면 접힌 자리에서 두 곡선이 서로를 밀어내 간격이 열린다 — 1.3.6의 축퇴가 섭동으로 갈라지는 것과 같은 일이다.

그러면 원자가 한 종류인 실리콘에 왜 광학 포논이 있는가. 다이아몬드 구조의 원시 세포에는 같은 원자가 둘 들어 있고, 두 자리는 결정학적으로 동등하지 않다. [111] 방향으로 보면 (111) 원자면들의 간격이 $a\sqrt3/12$ 와 $a\sqrt3/4$ 로 번갈아 있고, 좁은 간격은 원자당 결합 셋이, 넓은 간격은 결합 하나가 잇는다 — 질량은 같지만 힘 상수가 $C_1\ne C_2$ 로 번갈아 있는 사슬이다. 같은 계산을 하면 경계 진동수가 $\sqrt{2C_1/M}$ , $\sqrt{2C_2/M}$ 으로 갈라져 간격이 열린다 (Kittel 연습문제 4.5). 그래서 Si의 광학 포논은 “질량 차”가 아니라 “결합의 비동등성”이 만든 것이고, 그 진동수 64 meV는 세포 안의 두 원자가 서로 반대로 흔들리는 결합 신축 진동이다.

진폭비도 연립식에서 바로 나온다. 첫 식에 $K\to0$ 을 넣으면 $-\omega^2M_1u=2C(v-u)$ 이고, 음향 분지( $\omega\to0$ )에서는 $u=v$ — 두 원자가 같은 방향으로 같은 진폭 — 이며, 광학 분지 ( $\omega^2=2C(1/M_1+1/M_2)$ )에서는

\frac{u}{v}=-\frac{M_2}{M_1}

— 반대 방향으로, 가벼운 쪽이 더 크게 움직인다. 정확히 $M_1u+M_2v=0$ , 곧 세포의 무게중심이 정지하는 조건이다. 1.3.2의 삼원자 분자에서 비대칭 신축 모드의 진폭비가 $-2m/M$ 이었던 것과 같은 논리다.

직관

물리적 직관 — $K=0$ 광학 모드는 분자 진동을 결정 전체에 복사한 것이다. 광학 분지의 $K\to0$ 진동수 $\omega^2=2C(1/M_1+1/M_2)=2C/\mu$ 는 환산 질량 $\mu=M_1M_2/(M_1+M_2)$ 를 가진 이원자 분자의 진동수 꼴이다(용수철이 양쪽에 하나씩이라 $2C$ ). 세포마다 두 원자가 서로를 향해 흔들리고, 모든 세포가 같은 위상으로 그것을 반복한다 — 결정 전체가 $N$ 개의 똑같은 분자처럼 진동한다. 그래서 광학 포논의 에너지는 결합 하나의 뻣뻣함과 두 원자의 질량만으로 거의 정해지고, $K$ 에 별로 의존하지 않는다(광학 분지가 평평한 이유).

파라미터 연계. $M_1/M_2$ 가 간격의 폭을, $C$ 가 전체 눈금을, 환산 질량 $\mu$ 가 광학 분지의 높이를 정한다. GaAs는 Ga 69.7, As 74.9로 질량이 거의 같아 이 모형의 간격은 아주 좁다 — GaAs에서 LO와 TO 사이의 진짜 간격(3절)은 질량이 아니라 이온 전하의 쿨롱 상호작용이 만든다. Si는 질량 차가 0이고 결합의 비동등성이 간격을 만든다. 같은 “두 분지”라도 갈라 놓는 원인이 물질마다 다르다.

음향·광학 포논

이름의 뜻 — 소리와 빛

두 분지의 이름은 각각이 무엇과 결합하는가에서 왔다.

음향 분지(acoustic branch)는 긴 파장에서 $\omega=vK$ — 소리다. 세포 안의 원자들이 함께 움직여 세포 전체가 밀도파처럼 흔들리고, 파장이 길면 그것이 곧 7.3의 탄성파다. 병진 불변(1절 ②)이 $K\to0$ 에서 $\omega\to0$ 을 보장하므로, 원시 세포에 원자가 몇 개든 음향 분지는 언제나 있고 언제나 셋(종파 하나, 횡파 둘)이다.

광학 분지(optical branch)는 세포 안의 원자들이 서로 반대로 움직인다. 두 원자가 반대 부호의 전하를 띤 이온 결정(NaCl)이나 극성 반도체(GaAs·GaN·SiC)에서는 이 상대 운동이 세포마다 진동하는 전기 쌍극자를 만들고, 그 쌍극자가 같은 진동수의 전자기파와 강하게 결합한다. $K\approx0$ 인 횡 광학 모드가 적외선 빛과 공명하여 강한 흡수·반사대를 만드는 것 — 레스트스트랄렌(Reststrahlen, 잔류 광선) — 이 1.4.8의 강제 진동에서 예고했던 격자 흡수다. 그래서 “광학”이다. 진동수가 $10^{13}$ Hz 대라 파장 수십 μm의 원적외선에 해당한다.

그림 7.4-6. 질량이 다른 두 원자가 번갈아 놓인 사슬의 긴 파장 횡파 두 가지. 위의 광학 모드에서는 무거운 원자와 가벼운 원자가 서로 반대 방향으로 움직이고 가벼운 쪽의 진폭이 더 커서(u/v = −M₂/M₁) 세포의 무게중심이 정지한다. 아래의 음향 모드에서는 두 원자가 같은 방향으로 같은 진폭으로 움직여 세포 전체가 함께 흔들린다. 같은 파장인데 세포 안의 상대 운동이 다르고, 그 차이가 진동수의 차이다.직접 작도

이름은 결합 방식에서 왔지만 분류 자체는 운동의 모양으로 한다. Si의 광학 포논은 두 원자가 같은 원소라 쌍극자를 만들지 않고 적외선을 흡수하지 않지만, 세포 안 상대 운동이라는 뜻에서 광학 포논이다. 그 대신 라만 산란에는 활성이다(6절).

종·횡, 그리고 3차원의 분지 수

3차원에서는 방향이 셋이므로 원시 세포당 원자 $p$ 개에 대해 $\mathbf K$ 마다 $3p$ 개의 모드가 있다. 그중 셋은 음향(LA 하나, TA 둘), 나머지 $3p-3$ 개가 광학이다. 실리콘은 $p=2$ 라 여섯 분지 — LA · TA(×2) · LO · TO(×2) — 이고, 2절의 사슬 모형이 종파와 횡파 각각에 대해 두 분지씩을 준 것과 맞는다. 입방 결정의 고대칭 방향([100]·[111])에서는 두 횡 분지가 축퇴한다. 진동의 편광을 돌려도 결정이 같아 보이기 때문이고, [110]에서는 그 대칭이 깨져 둘이 갈라진다.

중성자 산란(6절)으로 잰 실리콘의 분지별 에너지를 대략의 값으로 적어 둔다. 영역 중심 Γ와 [100] 방향의 영역 경계 X 두 곳이다.

분지	Γ ( $\mathbf K=0$ )	X (영역 경계, [100])	비고
TA	0	약 19 meV (4.5 THz)	가장 낮고 평평하다 — 상온에 가장 많이 들뜸
LA	0	약 51 meV (12 THz)	음속 8.43 km/s로 출발
LO	64 meV (15.5 THz)	약 51 meV	Γ에서 TO와 축퇴(무극성·입방)
TO	64 meV (15.5 THz)	약 58 meV (14 THz)	라만 520 cm⁻¹ 봉우리

읽을 것은 세 가지다. ① 광학 분지는 평평하다 — Γ에서 X까지 64→51~58 meV로 조금 내려올 뿐이다. ② TA는 낮고 평평하다 — 다이아몬드 구조 특유의 것으로, 결합각 힘이 약한 방향의 진동이다. ③ Γ에서 LO=TO인 것은 Si가 무극성이기 때문이고, GaAs에서는 LO 36 meV > TO 33 meV로 갈라진다. 그 갈라짐은 쿨롱 상호작용이 종 모드에만 얹는 복원력이고, 크기는 유전 상수로 정해진다:

\frac{\omega_L^2}{\omega_T^2}=\frac{\varepsilon(0)}{\varepsilon(\infty)}

(리다인–삭스–텔러 관계). GaAs의 $\varepsilon(0)=12.9$ , $\varepsilon(\infty)=10.9$ 를 넣으면 $\omega_L/\omega_T=1.09$ 이고, 실측 $292/268\ \text{cm}^{-1}=1.09$ 다. 이 관계의 유도는 7.11(광학 성질)과 8.12(유전체)로 넘긴다 — 여기서는 극성 결정에서는 격자 진동이 유전함수의 일부라는 사실만 챙긴다.

어느 포논이 반도체의 무엇을 정하는가

분지별로 반도체에서 맡은 역할이 다르다. 뒤의 장들이 돌아올 자리를 미리 표시해 둔다.

Γ 근처의 음향 포논 — 소리이고 열이다. 열전도(7.5.7)는 주로 이들이 나른다. 상온 이동도의 주범인 음향 변형 퍼텐셜 산란(7.12.6, 11부)이 이들과의 충돌이다 — 긴 파장의 음향 포논은 격자를 국소적으로 압축·팽창시켜 밴드 가장자리를 흔들고, 전자는 그 흔들림에 산란된다. 브릴루앙 산란으로 잰다(6절).
Γ의 광학 포논 — 에너지 64 meV(Si)·36 meV(GaAs)의 큰 덩어리로 전자 에너지를 받아 낸다. 고전기장에서 전자가 이 에너지에 이르면 광학 포논을 방출해 잃고, 다시 가속되고, 다시 방출한다 — 속도 포화( $\sim10^7$ cm/s)의 기원이다(14부). 극성 반도체에서는 극성 광학 산란이 상온 이동도를 지배한다. 라만 봉우리로 응력·온도를 잰다(19부).
영역 경계(X·L)의 포논 — 큰 $\mathbf K$ 를 준다. Si의 전도대 최솟값은 Γ가 아니라 [100] 방향 $0.85\,X$ 근처에 있어서, 빛(사실상 $\mathbf K=0$ )만으로는 가전자대 꼭대기(Γ)에서 그리로 갈 수 없다 — 간접 밴드갭(7.9, 5절). 여섯 골짜기 사이를 오가는 골짜기 간 산란(intervalley scattering)에도 이 포논이 필요하다.
디바이 온도 $\Theta_D$ — $k_B\Theta_D\approx\hbar\omega_{\max}$ 정도의 눈금이다. Si 645 K, Ge 374 K, GaAs 약 360 K, 다이아몬드 2230 K. 상온이 $\Theta_D$ 보다 낮은 물질(다이아몬드)에서는 포논이 아직 얼어 있고, 높은 물질(Ge·GaAs)에서는 거의 다 깨어 있다(7.5.4).

직관

파라미터 연계 — 상온에서 포논은 몇 개 있는가. 5절에서 모드 하나의 포논 수가 플랑크 분포 $n=1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$ 로 정해진다는 것을 보게 된다(7.5.1). 숫자를 넣어 보자. 상온 $k_BT=25.9$ meV에서 Si의 TA 포논(19 meV)은 모드당 $n\approx0.92$ 개, LA(51 meV)는 0.16개, 광학 포논(64 meV)은 0.09개다. 그래서 상온의 전자는 음향 포논을 흡수도 방출도 하지만 광학 포논은 거의 방출만 한다 — 흡수하려면 이미 있어야 하는데 거의 없기 때문이다. 이동도의 온도 의존성이 물질마다 다른 지수를 가지는 것, 저온에서 광학 포논 산란이 지수적으로 얼어붙는 것이 전부 이 숫자에서 나온다.

군속도와 장파장 극한

군속도 — 에너지가 가는 속도

단일 진동수의 파동은 정보를 나르지 않는다. 진동수가 조금씩 다른 파동을 겹쳐 만든 파속(wave packet)이 에너지와 정보를 나르고, 그 속도가 군속도다(3.2.11분산과 군속도):

v_g=\frac{d\omega}{dK}

단원자 사슬의 분산 관계를 미분하면

v_g=\sqrt{\frac{Ca^2}{M}}\,\cos\frac{Ka}{2}

이다(그림 7.4-3의 오른쪽). 원점에서 $v=a\sqrt{C/M}$ 로 시작해 단조롭게 줄어들고, 영역 경계에서 0이 된다. 경계의 모드 $u_s=u(-1)^s$ 는 정상파라 에너지를 어디로도 옮기지 않는다 — 2절의 브래그 반사가 군속도의 언어로는 이렇게 말해진다. 위상속도 $\omega/K$ 는 경계에서 $2v/\pi$ 로 0이 아니지만, 정상파의 위상속도는 물리량이 아니다.

직관

물리적 직관 — 포논은 군속도로 열을 나른다. 7.5.7에서 열전도율이 기체 운동론 꼴 $\kappa=\frac13C_v\,v\,\ell$ 로 나오는데, 그 $v$ 는 포논의 군속도(의 적당한 평균)이고 $\ell$ 은 평균 자유 행로다. 분산 곡선이 평평한 곳 — 영역 경계, 광학 분지 전체 — 의 포논은 $v_g\approx0$ 이라 열을 거의 나르지 않는다. 그러면서도 그런 모드는 수가 많다: 1차원에서 상태밀도가 $D(\omega)\propto1/v_g$ 이므로(7.5.3) 곡선이 평평해지는 진동수에 모드가 몰린다(반 호브 특이점). 그래서 광학 포논은 열용량에는 크게 기여하면서 열전도에는 거의 기여하지 않고, 실리콘의 열을 나르는 것은 주로 Γ 근처의 음향 포논이다. 나노 구조에서 그 긴 파장 포논이 경계에 부딪혀 열전도율이 떨어지는 것(10부)도 같은 그림이다.

장파장 극한 — 연속체로 돌아간다

$Ka\ll1$ 이면 $\sin(Ka/2)\approx Ka/2$ 이므로

\omega\approx\sqrt{\frac{C}{M}}\;Ka \qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{\omega}{K}=a\sqrt{\frac{C}{M}}

분산이 없고, 위상속도와 군속도가 같은 상수다 — 음파다. 사슬의 운동방정식에서 이것이 어떻게 파동 방정식이 되는지를 직접 보는 것이 1.7.5가 이 장으로 미뤄 둔 약속이다. $u_s=u(x)$ 를 매끄러운 함수의 격자점 값으로 보고 $u_{s\pm1}=u(x\pm a)$ 를 테일러 전개하면

u(x\pm a)=u\pm a\,u_x+\frac{a^2}{2}u_{xx}\pm\frac{a^3}{6}u_{xxx}+\frac{a^4}{24}u_{xxxx}\pm\cdots

홀수 항이 상쇄되어

u_{s+1}+u_{s-1}-2u_s=a^2u_{xx}+\frac{a^4}{12}u_{xxxx}+\cdots

이고, 운동방정식은

M\,u_{tt}=C\,a^2\,u_{xx}+\frac{C\,a^4}{12}\,u_{xxxx}+\cdots

가 된다. 첫 항만 남기면 파동 방정식 $u_{tt}=v^2u_{xx}$ , $v^2=Ca^2/M$ 이다(1.7.5파동 방정식과 달랑베르 해). 1.7에서 팽팽한 줄의 장력과 선밀도로 $c^2=T_0/\rho$ 를 얻었던 것처럼, 여기서는 힘 상수와 질량이 그 자리에 들어간다 — 복원력을 분자에, 관성을 분모에 놓은 비의 제곱근이라는 파동 속도의 보편적 모양은 그대로다.

둘째 항이 격자가 남기는 첫 보정이다. 그것까지 넣고 평면파를 대입하면 $\omega^2=(C/M)(K^2a^2-K^4a^4/12+\cdots)$ 인데, 이것은 정확한 분산 관계 $\omega^2=(4C/M)\sin^2(Ka/2)$ 를 전개한 것과 항별로 같다( $\sin^2x=x^2-x^4/3+\cdots$ ). 분산 곡선이 직선에서 아래로 휘는 것은 4차 미분항이고, 그 계수 $a^4/12$ 는 격자 간격이 0이면 사라진다. 1.7.5에서 “유한한 격자 간격이 만드는 보정이 포논 분산 곡선의 굽이”라고 미리 적어 둔 것이 이 항이다.

힘 상수와 탄성 상수를 잇는다

장파장 극한의 음속은 7.3의 연속체 음속과 같아야 한다. 입방 결정의 [100] 종파는 $v=\sqrt{C_{11}/\rho}$ 였으니(7.3.10입방 결정의 탄성파([100]·[110]))

a\sqrt{\frac{C}{M}}=\sqrt{\frac{C_{11}}{\rho}} \qquad\Longrightarrow\qquad C_{11}=\frac{\rho\,a^2}{M}\,C

단순 입방처럼 원자면 하나에 면적 $a^2$ 당 원자 하나가 있으면 $\rho=M/a^3$ 이고 $C_{11}=C/a$ 가 된다. 단위를 확인하면 N/m ÷ m $=$ N/m² ✓ — 1절의 주의에서 말한 “ $a$ 가 단위 차이를 메운다”가 이것이다. 거꾸로 탄성 상수를 알면 힘 상수를 안다: 실리콘의 $C_{11}a\approx166$ GPa $\times5.43$ Å $\approx90$ N/m. 다이아몬드 구조의 실제 원자면 기하는 이 단순한 계수를 조금 바꾸지만 자릿수는 이것이다. 그리고 그 힘 상수가 최대 진동수의 자릿수를 정한다:

\omega_{\max}=2\sqrt{\frac{C}{M}}=\frac{2v}{a} \ \sim\ \frac{2\times8\times10^{3}\ \text{m/s}}{5\times10^{-10}\ \text{m}} \ \sim\ 3\times10^{13}\ \text{rad/s}

— THz, 곧 수십 meV. 상온 $k_BT=25.9$ meV와 같은 자릿수라는 것이 이 숫자의 요점이다. 격자 진동의 에너지 눈금이 상온의 열에너지와 겹치기 때문에, 상온의 고체는 “열적으로 살아 있고” 포논이 전자를 산란시키며 열용량이 고전값에 가깝다. 다이아몬드처럼 $\omega_{\max}$ 가 상온을 훌쩍 넘는 물질에서는 셋 다 달라진다.

물질	원자 질량 (u)	최근접 거리 (Å)	$v_L$ [100] (km/s)	광학 포논 Γ (meV)	$\Theta_D$ (K)
다이아몬드	12	1.54	17.5	165	2230
Si	28	2.35	8.43	64	645
Ge	73	2.45	4.9	37	374
GaAs	69.7 / 74.9	2.45	4.7	33 (TO) · 36 (LO)	약 360

가벼울수록·결합이 짧을수록 모든 열이 위로 간다. 셋(음속·광학 포논·디바이 온도)이 같은 $\sqrt{C/M}$ 을 세 가지 방법으로 잰 것이다.

포논의 양자화와 운동량

모드 하나가 조화 진동자 하나

지금까지는 고전 역학이었다. 양자화는 한 문장으로 끝난다 — 1절에서 본 대로 조화 근사의 해밀토니안은 정규모드 좌표 $Q_K$ 로 쓰면 서로 독립인 조화 진동자의 합이고,

H=\sum_K\Big(\frac12P_K^2+\frac12\omega_K^2Q_K^2\Big),

조화 진동자 하나의 양자역학은 이미 안다(5.3.2조화진동자 — 대수적 방법). 모드 $K$ 의 에너지는

\epsilon_K=\Big(n_K+\frac12\Big)\hbar\omega_K, \qquad n_K=0,1,2,\dots

이다. 격자 진동 모드 하나가 들뜬 양자 하나를 포논(phonon)이라 부르고, $n_K$ 를 그 모드의 포논 수라 한다 — 광자가 전자기장 모드의 양자인 것과 같은 뜻에서 붙은 이름이다. 준위는 $\hbar\omega_K$ 간격으로 등간격이고, $n_K=0$ 인 바닥에도 영점 에너지 $\frac12\hbar\omega_K$ 가 남는다. 0 K에서도 원자는 정지하지 않는다 — 1절에서 든 0.03 Å이 그 진폭이다.

그림 7.4-7. 정규모드 하나를 조화 진동자로 본 에너지 사다리. 포물선 퍼텐셜 위에 간격 ħω로 등간격 준위가 놓이고, 가장 아래 준위도 ½ħω의 영점 에너지를 가진다. 각 준위의 고전적 되돌이점, 곧 진폭은 √(n + ½)에 비례해 자라므로 포논 수가 하나 늘 때 진폭의 제곱이 한 눈금 자란다.직접 작도

포논 수 $n_K$ 와 고전적 진폭의 관계를 적어 두면 뒤에서 쓸 곳이 많다. 부피 $V$ , 밀도 $\rho$ 인 결정에 정상파 $u=u_0\cos Kx\cos\omega t$ 가 서 있다고 하자. 운동 에너지 밀도는 $\frac12\rho\,(\partial u/\partial t)^2$ 이고, 공간 평균( $\overline{\cos^2Kx}=\tfrac12$ )과 시간 평균( $\overline{\sin^2\omega t}=\tfrac12$ )을 취하면 평균 운동 에너지가 $\frac18\rho V\omega^2u_0^2$ 이다. 조화 진동자에서 평균 운동 에너지는 전체 에너지의 절반이므로 전체 에너지는 $\frac14\rho V\omega^2u_0^2$ 이고, 이것을 $(n+\frac12)\hbar\omega$ 와 같다고 놓으면

u_0^2=\frac{4\,(n+\tfrac12)\,\hbar}{\rho\,V\,\omega}

가 된다. 셋을 읽는다. ① 진폭의 제곱이 포논 수에 비례한다 — 포논을 하나 더하면 진폭이 아니라 $u_0^2$ 이 한 눈금 자란다. ② $1/\omega$ — 같은 포논 수라면 낮은 진동수의 모드가 더 크게 흔들린다. 연포논이 상변태를 일으키는 이유가 여기 있다. ③ $1/V$ — 포논 하나가 결정 전체에 퍼져 있어서 원자 하나의 몫은 $10^{23}$ 분의 1이다. 포논 하나는 어느 원자에도 “있지” 않다.

그런데 원자 하나의 실제 변위는 $3pN$ 개 모드 전부의 합이고, 그 합은 유한하다. 고온에서는 모드마다 등분배로 $\frac12M\omega_K^2\langle u_K^2\rangle=\frac12k_BT$ 가 되고(6.5.4), 그것을 다 더한 $\langle u^2\rangle$ 이 1절의 0.05~0.08 Å이며, X선 회절의 세기를 $e^{-2W}$ 로 깎는 디바이–월러 인자(7.2)가 바로 그 양이다. 같은 등분배를 양자 쪽에서 읽으면 $n_K\approx k_BT/\hbar\omega_K$ — 고온에서 포논 수는 $k_BT$ 를 $\hbar\omega$ 로 나눈 것이고, 저온에서는 $n_K\to0$ 으로 얼어붙어 영점 진동만 남는다. $n_K$ 가 온도에 따라 정확히 어떻게 변하는지(플랑크 분포)는 7.5.1의 몫이다.

직관

물리적 직관 — 포논은 무엇인가. 포논은 결정 안에 있는 알갱이가 아니다. 모든 원자가 참여하는 집단 운동의 양자다. 그런데도 “입자”처럼 다루는 이유는 셋이다 — 정해진 에너지 $\hbar\omega_K$ 를 갖고, 정해진 결정 운동량 $\hbar\mathbf K$ 를 갖고(다음 항목), 한 번에 하나씩 만들어지고 없어진다. 그 만들고 없애는 일이 1.5.11의 사다리 연산자 $a_K^\dagger$ , $a_K$ (1.5.11에르미트·라게르 다항식)이고, $n_K=a_K^\dagger a_K$ 가 포논 수다. 전자가 “포논과 충돌한다”는 말은 어느 모드 $K$ 와 양자 하나를 주고받는다는 뜻이며, 산란율에 흡수는 $n_K$ , 방출은 $n_K+1$ 이 붙는다(6절). 포논은 보손이고 수가 보존되지 않는다 — 온도를 올리면 생기고 내리면 사라진다. 그래서 화학퍼텐셜이 0이고, 분포가 페르미–디랙이 아니라 플랑크(보스–아인슈타인의 $\mu=0$ 경우)다.

포논 운동량 — 결정 운동량

포논은 파수 $K$ 를 갖고, 다음 절의 산란에서는 $\hbar\mathbf K$ 가 운동량처럼 보존식에 들어간다. 그러나 포논은 실제 운동량을 나르지 않는다. Kittel의 계산이 이것을 세 줄로 보여 준다. 모드 $K$ 가 들떠 있을 때 결정의 총 운동량은

p=M\sum_{s=0}^{N-1}\frac{du_s}{dt} =M\,\frac{d}{dt}\Big(u\,e^{-i\omega t}\Big)\sum_{s=0}^{N-1}e^{isKa}

이고, 마지막 합은 공비 $e^{iKa}$ 의 등비급수다:

\sum_{s=0}^{N-1}e^{isKa}=\frac{1-e^{iNKa}}{1-e^{iKa}}=0 \qquad(K\ne0)

주기 경계조건에서 $K=2\pi n/(Na)$ 이므로 $e^{iNKa}=e^{2\pi in}=1$ 이라 분자가 0이다. 즉 $K\ne0$ 인 모든 모드에서 원자들의 운동량은 서로 정확히 상쇄된다. 유일한 예외 $K=0$ 은 모든 원자가 같은 방향으로 움직이는 결정 전체의 병진이고, 그것은 진동이 아니다.

그러면 $\hbar\mathbf K$ 는 왜 보존식에 들어가는가. 결정은 연속 병진 대칭이 아니라 격자 벡터만큼의 이산 병진 대칭을 가진다. 연속 대칭은 운동량 보존을 주지만(5.7), 이산 대칭은 그보다 약한 것 — 역격자 벡터를 더해도 되는 보존, 곧 파수 벡터의 보존 mod $\mathbf G$ — 만 준다. 결정 안의 모든 상호작용은

\mathbf k'=\mathbf k\pm\mathbf K+\mathbf G

를 만족하고, 이 $\hbar\mathbf K$ 를 결정 운동량(crystal momentum)이라 부른다. 진짜 운동량과 다른 점은 $\mathbf G$ 만큼 불확정하다는 것뿐이고, 그 불확정성의 물리는 격자 전체가 $\hbar\mathbf G$ 의 반동을 통째로 받는다는 것이다 — 7.2의 탄성 산란에서 결정이 $\hbar\mathbf G$ 를 받아 브래그 반사를 일으키는 것(운동량은 결정 전체가 받으므로 에너지 변화는 무시할 만하다)과 같은 일이 비탄성 산란에서도 일어난다. $\mathbf G\ne0$ 인 과정을 움클랍(Umklapp, 되접힘)이라 하고, 7.5.8에서 열저항의 주범으로 다시 나온다.

반도체에서 결정 운동량이 처음 하는 일은 간접 밴드갭이다. 실리콘의 가전자대 꼭대기는 Γ에, 전도대 바닥은 [100] 방향 $\mathbf k\approx0.85\,(2\pi/a)$ 에 있다(7.9). 밴드갭 1.12 eV의 광자가 가진 파수는 $2\pi/\lambda\approx2\pi/(1.1\ \mu\text{m})$ 로, 브릴루앙 영역 폭의 천 분의 일이다 — 사실상 $\mathbf k=0$ 이다. 그러니 광자만으로는 전자가 Γ에서 전도대 바닥으로 갈 수 없고, 부족한 $\mathbf K$ 를 포논이 대야 한다. 흡수는 광자+포논(흡수 또는 방출)의 2단 과정이라 약하고 ( $\alpha\propto(\hbar\omega-E_g\pm\hbar\omega_K)^2$ ), 발광은 전자·정공·포논 세 입자가 만나야 하는 과정이라 더 약하다. Si가 태양전지의 흡수층으로 두꺼워야 하고 LED로는 쓸 수 없는 이유가 이 한 줄의 보존식이며, GaAs(직접 갭)와의 차이가 17부의 출발점이다. 그 흡수 스펙트럼에는 어느 포논이 끼었는지가 $E_g\pm\hbar\omega_{TA}$ , $E_g\pm\hbar\omega_{TO}$ 의 문턱으로 찍혀 나온다 — 3절 표의 X점 값이 거기서 다시 읽힌다.

포논에 의한 비탄성 산란

보존 법칙 — 무엇이 재어지는가

분산 관계 $\omega(\mathbf K)$ 는 이 장의 주인공이지만, 지금까지 그것은 모형의 결과였다. 실제 결정의 분산 곡선은 재는 것이고, 재는 방법은 하나다 — 파수와 에너지를 아는 입자를 쏘아 포논 하나를 만들거나 없애게 하고, 나온 입자의 파수와 에너지를 다시 잰다. 포논이 생기면 입자는 $\hbar\omega$ 만큼 에너지를 잃고, 결정 운동량 보존이 $\mathbf K$ 를 정한다:

\mathbf k+\mathbf G=\mathbf k'\pm\mathbf K, \qquad E(\mathbf k)=E(\mathbf k')\pm\hbar\omega(\mathbf K)

위 부호가 포논 생성(입자가 에너지를 잃음, 스토크스), 아래 부호가 포논 소멸(에너지를 얻음, 안티스토크스)이다. 산란 각도와 에너지 변화를 재면 $(\mathbf K,\omega)$ 한 점이 나오고, 그것을 브릴루앙 영역을 훑으며 반복하면 분산 곡선 전체가 나온다. 7.2의 탄성 산란(7.2.4에발트 작도)과 다른 점은 $\pm\mathbf K$ 항과 $\pm\hbar\omega$ 항이 붙은 것뿐이다 — 탄성 산란은 $\mathbf K=0$ , $\omega=0$ 인 특수한 경우다.

그림 7.4-8. 중성자가 포논 하나를 만들며 산란되는 파수 기하. 역격자 점들 위에서 입사 파수 k와 산란 파수 k′를 원점에서 그리면 그 차가 역격자 벡터 G와 작은 포논 파수 K의 합이 된다. 산란 중성자의 방향과 속력을 재면 파수 보존과 에너지 보존으로부터 포논의 파수와 진동수가 한 점씩 얻어지고, |k′| < |k|이면 포논이 생긴 것이다.직접 작도

왜 중성자인가

포논을 재려면 쏘는 입자가 파장은 Å, 에너지는 meV여야 한다. 파장이 원자 간격 정도여야 브릴루앙 영역 전체의 $\mathbf K$ 를 줄 수 있고, 에너지가 포논과 같은 자릿수여야 $\pm\hbar\omega$ 의 변화가 눈에 띈다. 이 둘을 동시에 만족하는 입자가 열중성자다 — 에너지 25 meV인 중성자의 드브로이 파장은 1.8 Å이다. 전하가 없어 결정 깊숙이 들어가 원자핵에 산란되고, 자기 모멘트가 있어 스핀파도 잰다. 같은 파장의 X선은 에너지가 10 keV라 meV의 변화를 보려면 $10^{-7}$ 의 분해능이 필요하다 — 오늘날 방사광의 비탄성 X선 산란이 그것을 해내지만, 분산 곡선 측정의 표준은 여전히 중성자 3축 분광기(triple-axis spectrometer)다. 단결정 모노크로메이터로 $\mathbf k$ 를 고르고, 시료를 돌려 $\mathbf k'$ 의 방향을 정하고, 분석기 결정으로 $|\mathbf k'|$ 을 잰다 — 축 셋이 그것이다. Brockhouse가 이 방법으로 1950년대에 처음 포논 분산을 쟀고 1994년 노벨상을 받았다.

스토크스와 안티스토크스의 세기비도 물리량이다. 포논 생성의 확률은 $n_K+1$ 에, 소멸의 확률은 $n_K$ 에 비례하므로(5절의 사다리 연산자 행렬 원소) 두 봉우리의 비가

\frac{I_{\text{안티스토크스}}}{I_{\text{스토크스}}}=\frac{n_K}{n_K+1}=e^{-\hbar\omega_K/k_BT}

이고, 이것은 온도계다. 0 K 근처에서는 안티스토크스 봉우리가 사라진다 — 없는 포논을 흡수할 수는 없기 때문이다. 이 비는 라만 산란에서도 같아서, 6절 끝의 온도 측정에 쓰인다.

빛으로는 영역 중심만 — 라만과 브릴루앙

가시광 광자의 파수는 $k=2\pi n/\lambda\approx2\pi\times3.5/(500\ \text{nm})\approx4\times10^{-3}$ Å⁻¹로, Si의 영역 경계 $\pi/a=0.58$ Å⁻¹의 백 분의 일이다. 후방 산란에서 광자가 줄 수 있는 최대 파수 $2k$ 도 마찬가지로 작다. 그러니 빛의 비탄성 산란은 $\mathbf K\approx0$ 인 포논만 본다 — 대신 에너지 분해능이 뛰어나고 시료가 작아도 되며 실온·대기 중에서 된다.

라만 산란 — Γ의 광학 포논. Si의 520 cm⁻¹(64 meV) 봉우리 하나가 결정 품질·응력·온도· 도핑을 한꺼번에 알려 준다. 격자가 늘어나면 $C$ 가 줄어 봉우리가 낮은 파수로 이동하고(압축이면 반대), 그 이동량은 GPa당 수 cm⁻¹ 수준이다 — 변형 실리콘 채널의 응력을 재는 표준 방법이다(19부). 봉우리의 위치와 폭에서 국소 온도도 나온다.
브릴루앙 산란 — Γ 근처의 음향 포논. $\omega=vK=2vk$ 이므로 이동량이 GHz 대(cm⁻¹의 천 분의 일)라 파브리–페로 간섭계로 잰다. 이동량이 곧 음속이라 탄성 상수를 광학적으로 재는 방법이고(7.3.8), 박막의 탄성 상수를 잴 때 쓴다.
적외선 흡수·반사 — 산란이 아니라 흡수. 극성 결정의 Γ TO 포논과 빛이 직접 공명한다 (레스트스트랄렌, 3절). Si는 1차 과정으로는 흡수하지 않고 두 포논이 함께 관여하는 약한 2차 흡수만 있다.

탐침	에너지	파수 범위	보는 것
열중성자	5~100 meV	브릴루앙 영역 전체	모든 분지의 $\omega(\mathbf K)$ , 스핀파
비탄성 X선	약 10 keV, 분해능 meV	영역 전체	중성자와 같으나 작은 시료·박막 가능
라만 (가시광)	약 2 eV, 이동 10~1000 cm⁻¹	$\mathbf K\approx0$	Γ의 광학 포논; 응력·온도·품질
브릴루앙 (가시광)	이동 GHz	$\mathbf K\approx0$	Γ 근처 음향 포논; 음속·탄성 상수
적외선 흡수	10~100 meV	$\mathbf K\approx0$	극성 결정의 TO 포논
전자 에너지 손실 (HREELS)	수 eV, 분해능 meV	표면	표면 포논 (9.6)

전자도 같은 규칙으로 산란된다

이 절의 보존식은 중성자에게만 해당하는 것이 아니다. 결정 안의 전자가 포논과 상호작용할 때도 같은 식이 그대로 걸린다:

\mathbf k'=\mathbf k\pm\mathbf K+\mathbf G, \qquad E(\mathbf k')=E(\mathbf k)\pm\hbar\omega(\mathbf K)

다른 것은 결합의 종류다. 중성자는 원자핵의 위치를 보고 산란되지만, 전자는 격자 변형이 밴드 가장자리를 흔드는 것(변형 퍼텐셜 — 음향 포논), 또는 극성 진동이 만드는 전기장(프뢸리히 결합 — 극성 광학 포논)에 산란된다. 흡수율에 $n_K$ , 방출률에 $n_K+1$ 이 붙는 것은 같다. 3절의 숫자를 다시 보면, 상온의 실리콘 전자는 음향 포논은 흡수·방출을 모두 하고 광학 포논은 거의 방출만 하며, 에너지가 64 meV에 못 미치는 전자는 광학 포논을 방출할 수도 없다 — 저전기장의 이동도는 음향 포논이, 고전기장의 속도 포화는 광학 포논이 정하는 이유다. 7.12(수송 이론)와 11부가 이 두 산란율을 계산한다.

직관

파라미터 연계 — 이동도의 $T^{-3/2}$ 는 이 장의 숫자 두 개에서 나온다. 음향 포논 산란율은 ① 포논 수 $n_K\approx k_BT/\hbar\omega_K$ (5절의 고온 극한 — $T$ 에 비례)와 ② 전자가 산란되어 갈 수 있는 상태의 수, 곧 에너지 $E\sim k_BT$ 에서의 상태밀도 $\propto\sqrt{E}\propto T^{1/2}$ 의 곱이다. 그래서 산란율 $\propto T^{3/2}$ , 이동도 $\mu\propto T^{-3/2}$ — 실리콘의 상온 부근 이동도가 온도와 함께 떨어지는 대략의 법칙이다(실제 지수는 골짜기 간 산란과 광학 포논 때문에 더 가파르다). 결정 운동량이 없었다면 이 계산에서 ②를 셀 수 없고, 양자화가 없었다면 ①에 $n_K$ 가 들어올 자리가 없다. 격자 진동의 고전론과 양자론이 각각 한 인자씩을 댄다.

의문

포논끼리는 왜 부딪치는가 — 이 장이 못 다루는 것. 조화 근사에서 정규모드들은 서로 독립이라 영원히 서로를 지나친다. 포논이 포논에 산란되려면 1절에서 잘라 낸 3차항이 필요하다 — 두 포논이 만나 하나가 되거나 하나가 둘로 갈라지는 과정이 그 항에서 나오고, 그때도 $\mathbf K_1+\mathbf K_2=\mathbf K_3+\mathbf G$ 가 걸린다. $\mathbf G\ne0$ 인 움클랍 과정만이 열류를 되돌려 유한한 열전도율을 만든다(7.5.8). 같은 3차항이 열팽창(7.5.6)과 포논의 유한한 수명·선폭(라만 봉우리의 폭)을 만든다. 이 장의 포논이 “영원히 사는 독립 입자”인 것은 조화 근사의 결과이지 결정의 성질이 아니다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 원자 사슬의 운동방정식에 평면파를 넣으면 $K^2$ 이 $\sin^2(Ka/2)$ 로 바뀌고, 그 하나가 최대 진동수·브릴루앙 영역·광학 분지·결정 운동량을 만들며, 모드마다 조화 진동자 하나를 양자화한 것이 포논이다. 목적지를 적어 둔다.

다음 장 7.5 — 모드 수 세기( $N$ 개의 $K$ ), 상태밀도( $1/v_g$ ), 플랑크 분포( $n_K$ ), 디바이· 아인슈타인 모형(원점 접선·평평한 광학 분지), 비조화항(열팽창·움클랍·열전도).
7.7·7.9 — 영역 경계의 브래그 반사와 밴드 갭, 간접 밴드갭과 포논 보조 천이, 골짜기 간 산란에 쓰이는 X·L 포논.
7.11·8.12 — 광학 포논과 유전함수(LST 관계, 레스트스트랄렌), 폴라리톤, 연포논과 강유전 상변태.
7.12·11부 — 전자–포논 산란율: 변형 퍼텐셜(음향), 극성 광학, 골짜기 간; 이동도의 온도 의존과 속도 포화.
7.14 — 포논이 매개하는 전자 쌍 인력(BCS), 동위원소 효과 $T_c\propto M^{-1/2}$ .
10부 — 나노 구조에서 포논의 가둠과 경계 산란, 열전도율 저하, 초격자의 접힌 음향 포논.
17부 — Si의 약한 흡수와 GaAs의 직접 발광, 열전 소자.
19부 — 라만 분광으로 응력·온도·결정성 계측, 브릴루앙 산란으로 박막 탄성 상수.
18부·20부 — 공정의 열 예산과 자기 가열 시뮬레이션(전기–열 결합)에 들어가는 열전도율의 근원.