열적·자기적 성질

7부는 열과 자성을 원자에서 위로 세웠다 — 포논 기체가 열을 나르고(7.5), 전자 기체가 열과 전기를 함께 나르며(7.6), 전자의 각운동량이 자기 모멘트를 만들고 교환 상호작용이 그것을 줄 세운다(7.13). 이 장은 같은 현상을 재료에서 아래로 본다. 질문이 달라진다. “왜 열이 흐르는가”가 아니라 “이 재료의 열전도도는 얼마이고, 합금하면·구멍이 나면·얇아지면 어떻게 변하며, 그 값이 소자의 온도와 응력을 어떻게 정하는가”다. “왜 자발 자화가 생기는가”가 아니라 “이 재료의 포화 자화·보자력·이방성은 얼마이고, 미세조직을 어떻게 만들어야 변압기 철심이 되고 영구자석이 되고 기록 매체가 되는가”다.

두 주제가 한 장에 묶인 것은 Callister 의 편제(19장 열적 성질, 20장 자기적 성질)를 따른 것이지만, 우연만은 아니다. 둘 다 미시 이론은 7부에 있고 재료 공학이 남은 성질이고, 둘 다 소자에서 온도로 만난다 — 열이 자성을 지우고(퀴리 온도, 6절의 이방성 감소), 그것을 일부러 쓰는 것이 8절의 열 보조 자기 기록이다.

장은 열 세 절, 자성 다섯 절이다.

• 열 (1~3절). 열용량과 열팽창은 재료 부류별 자릿수와 온도 의존을, 열전도는 누가 나르는가 (전자·포논)와 무엇이 막는가(합금·결함·경계·기공·비정질)를, 열응력은 그 둘이 소자에서 만드는 응력 — 구속·불일치·기울기 — 을 다룬다.
• 자성 (4~8절). 분류와 포화 자화 셈법(4절)에서 시작해 자구와 이력(5절), 그것을 지배하는 이방성(6절)으로 내려간 뒤, 연자성·경자성 재료(7절)와 자기 기록(8절)이라는 두 산업으로 올라온다. 미시 기원은 7.13 에, 나노 크기와 스핀트로닉스는 10.11 에 있고, 여기는 그 사이의 메조 스케일 — 수 nm 의 벽에서 수 μm 의 자구까지 — 다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

• 열 관리 — 트랜지스터의 자기 발열(14부), 접합 온도와 열저항 회로(2절), 3D 적층과 HBM 의 열 경로(23부), TCAD 의 열 방정식에 들어가는 $\kappa(T)$ 와 $c_p$(20부).
• 응력 — 열산화막·배선의 잔류 응력(18.6, 18.10), 웨이퍼 휨과 스토니 식(19부), 급속 열처리의 슬립(18.9), 패키징의 CTE 불일치와 솔더 피로(23부).
• 자성 소자와 장비 — MRAM 자유층의 수직 이방성과 열 안정성(15.11), 자기 센서(17.12), 전력 인덕터의 페라이트·박막 자심(22부), 스퍼터 마그네트론의 영구자석(18.10).

표기는 Callister 를 기준으로 하되 자성의 단위는 7.13 과 같이 SI 로 통일한다. 자기 쪽 기호(모멘트·자화·감수율·교환·이방성)의 첫 정의는 7.13 의 표에 있고, 여기서는 이 장에서 새로 나오거나 뜻이 갈리는 것만 정리한다.

기호 — 이 장의 약속

한 장에 열역학·탄성·자성이 함께 들어와서, 같은 글자가 절마다 다른 물건을 가리킨다. 미리 한 번 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$C$, $c_p$, $c_v$		열용량(시료 전체) · 비열(단위 질량, 정압·정적)	J/K · J/(kg·K)
$\rho c_p$		부피 열용량 — 1절의 주인공	J/(m³·K)
$\theta_D$	디바이 온도	열용량이 고전값에 이르는 온도 척도	K
$\alpha_l$, $\alpha_v$	알파	선팽창률 · 체적 팽창률($=3\alpha_l$, 등방). 6절의 방향 코사인 $\alpha_i$ 와 다르다	K⁻¹
$\kappa$	카파	열전도도 — $\kappa_l$ 격자(포논), $\kappa_e$ 전자	W/(m·K)
$L_0$	로렌츠 수	비데만–프란츠 $\kappa_e/\sigma T=2.44\times10^{-8}$	W·Ω/K²
$D_{\mathrm{th}}$		열확산율 $\kappa/\rho c_p$. 확산 계수 $D$(8.3)와 같은 단위, 같은 방정식	m²/s
$R_{\mathrm{th}}$		열저항 $L/\kappa A$ — 열 회로의 저항	K/W
$E$, $\nu$		영률 · 푸아송 비(3절). 이 장에서 $E$ 는 에너지가 아니다 — 에너지는 $U$ 또는 $\mathcal E$	GPa · —
$\sigma$, $\varepsilon$	시그마 · 엡실론	응력(인장 +) · 변형률. $\sigma$ 는 전기전도도가 아니다	MPa · —
$\mathbf B$, $\mathbf H$, $\mathbf M$		자속밀도 · 보조장 · 자화, $\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)$	T · A/m · A/m
$\chi$, $\mu_r$	카이 · 뮤 알	감수율 $M/H$ · 비투자율 $1+\chi$	—
$M_s$, $M_r$, $B_r$		포화 자화 · 잔류 자화 · 잔류 자속밀도	A/m · A/m · T
$H_c$, $H_{ci}$		보자력($B=0$) · 고유 보자력($M=0$)	A/m
$n_B$		원자(화학식)당 모멘트, $\mu_B$ 단위	—
$N$, $N_d$		반자기 인자(5절). 7.13 의 원자 수 $N$ 은 이 장에서 $n$ 으로 쓴다	—
$A$		교환 강성(exchange stiffness) — 7.13 의 초미세 상수 $A$ 가 아니다	J/m
$K_1$, $K_u$, $K_s$		입방 · 일축 이방성 상수 · 계면 이방성	J/m³ · J/m³ · J/m²
$H_K$		이방성 자기장 $2K/\mu_0M_s$	A/m
$\delta_w$, $\gamma_w$	델타 · 감마	자구벽의 두께 · 면적당 에너지	nm · J/m²
$\lambda_s$	람다	포화 자기변형 — 파장이 아니다	—
$(BH)_{\max}$		최대 에너지 곱 — 영구자석의 등급	kJ/m³
$\Delta$	델타	열 안정성 인자 $K_uV/k_BT$(8절)	—

주의

짚고 갈 함정이 다섯이다.

① $E$ 와 $\alpha$. 3절의 $E$ 는 영률(GPa)이고 에너지가 아니다. 1~3절의 $\alpha$ 는 열팽창률이고, 6절의 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 은 자화 방향의 방향 코사인(무차원)이다. 두 절이 멀리 떨어져 있어 헷갈릴 일은 적지만, 6절의 자기탄성 식에는 둘이 한 줄에 나온다.

② $N$. 이 장의 $N$ 은 반자기 인자(0~1, 무차원)다. 7.13 에서 단위 부피당 자성 원자 수였던 $N$ 은 여기서 소문자 $n$ 이다 — 4절의 포화 자화 $M_s=n\,n_B\mu_B$ 에서 $n$ 이 원자 밀도, $n_B$ 가 원자당 보어 마그네톤 수다.

③ $\chi$ 는 정의가 두 벌. SI 부피 감수율(무차원)과 CGS 값은 $4\pi$ 배 다르고, 질량 감수율·몰 감수율은 또 다른 양이다. 7.13 장 앞의 주의를 그대로 가져온다. 이 장의 표는 전부 SI 부피 감수율이다.

④ $B$–$H$ 고리와 $M$–$H$ 고리. 포화 뒤 $M$ 은 멈추지만 $B$ 는 $\mu_0H$ 로 계속 오른다. $B_r$ 은 두 고리에서 같지만 보자력은 다르다 — $H_c$($B=0$)와 $H_{ci}$($M=0$). 2.5.8 에서 한 번 짚었고 7절의 영구자석에서 결정적이다.

⑤ $\sigma$ 와 $\kappa$. 이 장의 $\sigma$ 는 응력이고 전기전도도가 아니다. 비데만–프란츠 법칙을 쓰는 2절에서만 전기전도도가 필요하고, 거기서는 비저항 $\rho_e$ 로 쓴다 — $\rho$ 는 밀도다.

열용량과 열팽창

열용량 — 셋 중 무엇을 재는가

재료에 열 $dQ$ 를 넣어 온도가 $dT$ 오르면 열용량은 $C=dQ/dT$ 다. 시료 전체의 양이므로 재료 상수가 되려면 나눠야 하고, 무엇으로 나누느냐에 따라 세 가지가 있다 — 질량으로 나눈 비열 $c$ (J/(kg·K)), 몰수로 나눈 몰 열용량 (J/(mol·K)), 부피로 나눈 부피 열용량 $\rho c$ (J/(m³·K)). 교과서는 대개 첫째와 둘째를 쓰지만, 소자의 열을 다룰 때 실제로 쓰이는 것은 셋째다. 아래에서 이유가 나온다.

또 하나의 갈림은 정압($c_p$)과 정적($c_v$)이다. 이론(7.5)은 부피를 고정한 $C_V$ 를 세고, 실험은 언제나 대기압에서 $C_p$ 를 잰다. 둘의 차이는 열역학 항등식

$$C_p-C_V=\alpha_v^2\,B\,V\,T$$

로 열팽창률 $\alpha_v$ 와 부피 탄성률 $B$ 가 정한다(7.5.6비조화 상호작용과 열팽창). 고체에서는 대개 1% 아래라 구분 없이 쓰고, 이 장도 그렇게 한다.

온도 의존 — 디바이 곡선의 세 구간

몰 열용량의 온도 의존은 7.5 의 디바이 모형(7.5.4디바이 모형과 T³ 법칙)이 준다. 재료 공학의 눈으로 그 곡선을 세 구간으로 읽는다.

• 저온 ($T\ll\theta_D$): $C_V\propto T^3$. 켜진 포논 모드의 수가 $T^3$ 으로 는다.
• 중간: 곡선이 꺾여 올라간다. $T\approx\theta_D/2$ 에서 고전값의 90% 에 이른다.
• 고온 ($T\gtrsim\theta_D$): $C_V\to3R=24.9$ J/(mol·K) — 뒬롱–프티. 원자 하나가 세 방향 진동의 위치·운동 에너지 여섯 자유도에 $\tfrac12k_BT$ 씩 갖는 등분배의 결과다 (6.5.4등분배와 열용량).

어느 구간에 있는지는 $\theta_D$ 와 상온의 비가 정한다.

재료	$\theta_D$ (K)	300 K 의 $C_V/3R$	$c_p$ (J/(kg·K))	$\rho c_p$ (MJ/(m³·K))
다이아몬드	2230	0.25	510	1.8
Si	645	0.88	700	1.63
Ge	374	0.96	320	1.7
Al	428	0.95	900	2.4
Cu	343	0.97	385	3.4
W	400	0.96	130	2.5
SiO₂ (열산화막)	~500	—	740	1.6
Al₂O₃	1040	0.65	775	3.1
폴리이미드	—	—	1100	1.6
물	—	—	4180	4.2

금속은 상온이 이미 고전 극한이고, 다이아몬드만 상온에서도 $T^3$ 구간 근처에 있다 — 결합이 단단하고 원자가 가벼워 $\theta_D$ 가 높기 때문이다. 실리콘은 그 중간이라 상온에서 열용량이 아직 온도에 따라 오르고 있다(300 K 에서 1000 K 사이에 $c_p$ 가 700 에서 950 으로 는다). 금속의 전자 열용량 $\gamma T$ 는 상온에서 격자의 1% 라 무시하고, 저온 몇 K 에서만 지배한다(7.6.4전자 기체의 열용량).

비열($c_p$)로 보면 재료마다 열 배씩 다르다 — 원자량으로 나눈 값이라 가벼운 원자일수록 크다(Al 900, W 130). 그런데 부피 열용량으로 바꾸면 거의 같아진다. 표의 마지막 열이 1.6~3.4 로 두 배 안에 모인다.

직관

물리적 직관 — 부피 열용량은 재료를 거의 가리지 않는다. 뒬롱–프티가 “원자 하나당 $3k_B$” 라고 말했고, 고체의 원자 밀도는 $5\sim9\times10^{28}$ m⁻³ 로 재료 사이에 두 배도 차이 나지 않는다. 그러면 $\rho c_p\approx3k_Bn\approx2\sim3$ MJ/(m³·K) 가 되고, 실제로 금속·세라믹·반도체·고분자 할 것 없이 그 근처다. 이 사실이 소자 열 해석의 첫 어림이다 — 같은 부피를 1 K 데우는 데 드는 열은 재료가 무엇이든 2~3 MJ/m³ 다. 다른 것은 그 열이 얼마나 빨리 들어오고 나가느냐, 곧 2절의 열전도도뿐이다.

파라미터 연계 — 열확산율. 열전도 방정식 $\partial T/\partial t=D_{\mathrm{th}}\nabla^2T$ 의 계수 $D_{\mathrm{th}}=\kappa/\rho c_p$ 가 열이 퍼지는 빠르기를 정하고, 분모가 재료 무관이니 열확산율의 순서는 열전도도의 순서다. Cu 1.1, Si 0.88, Al 0.97, SiO₂ 0.009, 고분자 0.001 cm²/s. 확산의 어림 $x\sim\sqrt{D_{\mathrm{th}}t}$ (8.3.2확산 방정식의 해와 오차함수)를 실리콘에 넣으면 — 1 ms 에 300 μm (웨이퍼 두께 775 μm 의 절반), 1 μs 에 9 μm, 10 ns 에 1 μm, 1 ns 에 300 nm. 나노초 레이저 어닐이 표면 수백 nm 만 녹이고 아래를 건드리지 않는 이유, 밀리초 플래시 어닐이 웨이퍼 두께 안에서 끝나는 이유가 이 한 줄이다. 반대로 산화막 위의 소자는 $D_{\mathrm{th}}$ 가 100 배 작은 층에 갇혀 있어 같은 시간에 열이 10 배 덜 퍼진다 — SOI 의 자기 발열이 여기서 시작한다(2절).

열팽창 — 정의와 자릿수

온도가 $\Delta T$ 오를 때 길이 $l_0$ 가 $\Delta l$ 늘면

$$\frac{\Delta l}{l_0}=\alpha_l\,\Delta T, \qquad \frac{\Delta V}{V_0}=\alpha_v\,\Delta T, \qquad \alpha_v=3\alpha_l\ (\text{등방})$$

이다. 둘째 식의 $3$ 은 $(1+\alpha_l\Delta T)^3\approx1+3\alpha_l\Delta T$ 에서 온다. 등방이 아닌 결정 — 육방·정방·삼방 — 은 $\alpha$ 가 텐서이고 축마다 다르다. 흑연은 층에 수직(c축)으로 $27\times10^{-6}$/K, 층 안(a축)으로 $-1.5\times10^{-6}$/K 다. 다결정에서는 결정립 마다 팽창이 달라 식힐 때 결정립계에 응력이 걸리고, 세라믹에서 미세균열의 원인이 된다(3절).

미시 기원은 7.5.6 이다 — 원자 사이 퍼텐셜 우물이 비대칭이어서 진폭이 커지면 평균 위치가 바깥으로 민다. 그 결론을 재료 공학의 언어로 옮기면: 우물이 깊고 가파를수록(결합이 강할수록, 녹는점이 높을수록) $\alpha$ 는 작다. 대략 $\alpha_l\,T_m\approx0.02$ 가 성립한다 — 녹는점까지 데우면 어느 재료든 2% 안팎 늘어난다.

부류	재료	$\alpha_l$ (10⁻⁶/K, 300 K)	비고
금속	Pb · Al · Cu · Au	29 · 23 · 17 · 14	무른 금속일수록 크다
	Fe · Ni · W	12 · 13 · 4.5	W 의 4.5 는 세라믹 수준
	인바(Fe–36Ni) · 코바(Fe–29Ni–17Co)	1.2 · 5	자기 체적 효과 — 아래 의문
	SnAg 솔더	22	패키징의 불일치 당사자
반도체	Si · Ge · GaAs · GaN · SiC	2.6 · 5.9 · 5.7 · 5.6 · 4.0
세라믹	다이아몬드 · SiO₂(용융) · Si₃N₄ · Al₂O₃ · AlN	1.0 · 0.5 · 3 · 7.6 · 4.5	용융 석영이 유난히 작다
고분자	폴리이미드 · 에폭시 · FR-4(면내) · EMC	20~50 · 50~70 · 14~17 · 8~12	$T_g$ 위에서 2~3배

세 자릿수에 걸쳐 있다. 고분자가 가장 크고(약한 반데르발스 결합), 세라믹·공유 결정이 가장 작으며, 금속이 중간이다. 반도체 소자는 이 셋을 한 패키지 안에 붙인다 — 실리콘 칩(2.6), 구리 배선과 솔더(17~22), 유기 기판과 몰딩(10~20). 3절의 열응력은 전부 이 표의 차이에서 나온다.

의문

인바는 왜 안 늘어나는가? Fe–36 wt% Ni 의 $\alpha_l=1.2\times10^{-6}$/K 는 같은 부류 금속의 십분의 일이다. 이유는 열이 아니라 자성이다. 인바는 강자성체이고 퀴리 온도(약 230 °C) 아래에서 자발 자화가 격자를 부풀려 놓고 있다 — 6절의 자기변형이 부피에 걸린 것이다 (자기 체적 효과). 온도가 오르면 자발 자화가 줄어 그 부풀림이 빠지고, 그 수축이 보통의 비조화 열팽창을 거의 정확히 상쇄한다. 퀴리 온도 위로 가면 상쇄가 사라져 $\alpha$ 가 보통 금속으로 돌아온다. 그래서 인바의 “영 팽창”은 강자성 구간에서만 성립하는 우연에 가까운 설계이고, 이 장의 앞뒤 절이 실제로 이어지는 첫 자리다.

전자 부품에서는 인바 대신 코바(Fe–29Ni–17Co, $\alpha=5\times10^{-6}$/K)를 쓴다 — 유리와 알루미나에 맞춘 값이라 기밀 봉지의 리드와 세라믹 패키지에 들어간다. 원리는 같다.

실리콘의 열팽창은 상수가 아니다

표의 $2.6\times10^{-6}$/K 는 300 K 의 값일 뿐이다. 7.5.6 의 그뤼나이젠 관계 $\alpha_v=\gamma C_V/BV$ 는 열팽창률이 열용량에 비례한다고 말하고, 실리콘의 열용량은 상온에서 아직 오르고 있다(위 표). 그래서 실리콘의 $\alpha$ 도 공정 온도에서 상온보다 훨씬 크다.

그림 8.13-1. 선팽창률의 온도 의존. 실리콘(강조)은 120 K 아래에서 음수였다가 상온의 2.6에서 1000 K의 4.3(단위 10⁻⁶/K)으로 오르고, 구리와 알루미늄은 상온에서 이미 고전 극한이라 완만하게만 오르며, 열산화막은 0.5 근처에서 평탄하다. 실리콘 곡선은 Okada–Tokumaru의 실측 근사식, 금속과 산화막은 α ∝ C_V 모형이다. 두 재료의 불일치 변형은 두 곡선 사이 넓이의 적분 ∫Δα dT이므로, 공정 온도가 높을수록 상온 값으로 어림한 것보다 훨씬 크다.직접 작도

$T$ (K)	300	500	800	1000	1200
Si $\alpha_l$ (10⁻⁶/K)	2.6	3.6	4.1	4.3	4.4

두 가지 결과가 따른다. 첫째, 고온 공정에서 상온으로 식을 때의 불일치 변형은 적분 $\Delta\varepsilon=\int\!\big[\alpha_1(T)-\alpha_2(T)\big]dT$ 이지 $\Delta\alpha\cdot\Delta T$ 가 아니다. 1000 °C 열산화막과 실리콘의 불일치를 상온 값 $(2.6-0.5)\times10^{-6}$ 으로 셈하면 실제(평균 $\alpha_{\mathrm{Si}}\approx3.8\times10^{-6}$)의 60% 로 과소평가한다. 둘째, 열 시뮬레이션(20부)과 응력 시뮬레이션에 넣는 $\alpha(T)$ 는 함수여야 한다 — 상수를 넣으면 고온 공정의 응력이 틀린다.

직관

그래프 직관. 그림 8.13-1 에서 읽을 것은 값보다 모양이다. 금속 곡선은 상온에서 이미 평평하고, 실리콘 곡선은 상온에서 아직 기울어 있으며, 산화막은 처음부터 낮고 평평하다. 두 곡선 사이의 세로 간격이 그 온도에서의 불일치 팽창률이고, 두 온도 사이에서 그 간격을 가로로 적분한 넓이가 불일치 변형이다. 실리콘–알루미늄 사이의 넓이(400 °C → 25 °C)는 약 $8\times10^{-3}$, 곧 0.8% — 알루미늄의 항복 변형($\sim0.1\%$)의 여덟 배라 배선은 식으면서 반드시 소성 변형한다(3절). 실리콘–산화막 사이는 $3\times10^{-3}$ 이고, 산화막은 소성 변형을 못 하므로 그 변형이 전부 응력(약 300 MPa 압축)으로 남는다.

열전도

푸리에 법칙과 열 회로

온도 기울기가 있으면 열이 흐른다 — 단위 넓이·단위 시간당 에너지 $q$ 는

$$q=-\kappa\,\frac{dT}{dx}$$

이고 $\kappa$ 가 열전도도다. 7.5.7 이 이 식을 포논 기체의 확산으로 유도했다 (7.5.7열전도와 포논 기체의 열저항). 재료 공학은 이 식을 회로로 바꿔 쓴다. 길이 $L$, 단면 $A$ 인 막대에 열 $P$ (W)가 흐르면 양 끝 온도차는 $\Delta T=P\cdot L/\kappa A$ 이고, $L/\kappa A$ 를 열저항 $R_{\mathrm{th}}$ (K/W)라 부른다. 전기 회로와 대응이 정확하다 — 온도가 전압, 열류가 전류, $\kappa$ 가 전기전도도. 직렬 열저항은 더하고, 병렬은 역수를 더한다.

소자의 열 문제는 이 회로 하나로 시작한다. 트랜지스터가 $P$ 를 내면 접합 온도는

$$T_j=T_a+P\,(R_{\mathrm{th,jc}}+R_{\mathrm{th,cs}}+R_{\mathrm{th,sa}})$$

— 접합→케이스(칩·다이 어태치·리드프레임), 케이스→히트싱크(열 계면 재료, TIM), 히트싱크→공기의 세 열저항이 직렬이다. 각 항이 $L/\kappa A$ 이므로, 어느 층이 병목인지는 두께를 열전도도로 나눈 값이 정한다. 두께 50 μm 의 TIM($\kappa=3$)은 두께 775 μm 의 실리콘($\kappa=150$)보다 열저항이 세 배 크다. 열 설계란 이 직렬 사슬에서 가장 큰 항을 찾아 줄이는 일이다.

누가 나르는가 — 전자와 포논

열은 두 종류의 운반자가 나른다.

$$\kappa=\kappa_e+\kappa_l$$

금속은 전자가 지배한다. 전자의 열전도도는 전기전도도와 같은 산란에 묶여 있어 비데만–프란츠 법칙(7.6.8열전도와 비데만-프란츠 법칙)

$$\frac{\kappa_e}{\sigma_eT}=L_0=\frac{\pi^2}{3}\Big(\frac{k_B}{e}\Big)^2=2.44\times10^{-8}\ \text{W·Ω/K}^2$$

를 따른다(이 절에서만 $\sigma_e$ 가 전기전도도다). 구리의 비저항 $1.7\ \mu\Omega$·cm 를 넣으면 $\kappa_e=L_0T/\rho_e=2.44\times10^{-8}\times293/1.7\times10^{-8}\approx420$ W/(m·K) — 실측 401 과 맞고, 포논 몫은 5 안팎으로 1% 다. 금속에서는 전기가 잘 통하면 열도 잘 통한다는 경험칙이 이 식이고, 그 역도 성립한다 — 합금해서 비저항이 오르면 열전도도는 정확히 그만큼 내려간다.

비금속(반도체·세라믹·유리·고분자)은 전자가 없거나 적어 포논이 나른다. $\kappa_l=\tfrac13Cv\ell$ 에서 $C$ 는 1절의 부피 열용량(재료 무관), $v$ 는 음속, $\ell$ 은 포논 평균자유행로다. 그래서 비금속의 열전도도 순서는 $v\ell$ 의 순서이고, 둘 다 결합이 강하고 원자가 가볍고 결정이 완전할수록 크다. 다이아몬드(2200)·SiC(490)·AlN(285)· BN 이 금속을 넘는 이유다 — 전자가 아닌 포논으로.

그림 8.13-2. 300 K 열전도도를 로그 눈금 위에 재료 부류별로 늘어놓았다. 강조색 점은 전자가 나르는 금속(스테인리스 16에서 구리 401까지), 나머지는 포논이 나른다 — 반도체는 SiGe 합금 9에서 다이아몬드 2200까지, 세라믹·유리는 소다석회 유리 1에서 AlN 285까지, 고분자와 열 계면 재료는 0.1에서 3까지. 다섯 자릿수 안에 반도체 패키지의 모든 재료가 들어 있고, 열 경로의 병목은 언제나 왼쪽 끝의 재료가 만든다.직접 작도

의문

전기 절연체인데 왜 열은 잘 통하는가? 다이아몬드·AlN·BN·SiC 는 밴드 갭이 커서 전자가 없는데 열전도도는 구리 수준이거나 그 위다. 열을 나르는 것이 전자가 아니라 포논이기 때문이고, 포논의 $v\ell$ 은 전자 수와 무관하게 결합 강도·원자 질량·결정 완전성이 정한다. 가벼운 원자(C, N, B, Al)와 강한 공유 결합이 음속을 높이고($v\propto\sqrt{E/\rho}$), 단순한 결정 구조와 높은 $\theta_D$ 가 상온에서 움클랍을 얼려 $\ell$ 을 길게 둔다. 반도체 열 관리에서 AlN 기판, 다이아몬드 히트 스프레더, h-BN 충전재가 나오는 이유이고, 반대로 “전자 결정·포논 유리” — 전기는 잘 통하고 열은 못 통하는 재료 — 를 찾는 것이 열전 재료(Bi₂Te₃, SiGe)의 설계 목표다. 열전 성능 지수 $ZT=S^2\sigma_eT/\kappa$ 의 분모를 포논 산란으로 깎으면서 분자는 지키는 일이다(7.12.7열전 계수와 자기수송).

무엇이 막는가 — 합금·결함·경계·기공·비정질

열전도도의 재료 의존은 거의 전부 $\ell$ 의 의존이고, $\ell$ 은 산란이 정한다. 7.5.9 의 마티센 규칙(7.5.9결함의 영향) — 산란률은 더한다 — 를 재료 공학의 목록으로 옮긴다.

합금. 고용된 원자는 질량과 결합 상수가 달라 포논을 흩는다(레일리 산란, $\omega^4$). 금속에서는 전자를 흩어 비저항을 올리고, 비데만–프란츠를 통해 열전도도를 같은 비율로 내린다.

그림 8.13-3. 합금화가 열전도도를 낮추는 두 예. 왼쪽 — 구리에 아연을 넣은 α-황동. 노르트하임 규칙 ρ = ρ_Cu + c·x(1−x)로 비저항이 오르고, 비데만–프란츠 법칙으로 열전도도가 401에서 70/30 황동의 약 120 W/(m·K)까지 내려간다. 격자 몫(약 5)은 거의 보이지 않는다. 오른쪽 — Si₁₋ₓGeₓ를 로그 눈금으로. 양 끝(148과 60)을 선형 보간한 점선과 달리 실제 합금(실선)은 1/κ = (1−x)/κ_Si + x/κ_Ge + x(1−x)/κ_a의 합금 산란 항 때문에 중간 조성에서 10 아래로 내려앉는다 — Si₀.₇Ge₀.₃가 약 9다.직접 작도

두 곡선의 모양이 같다는 것이 요점이다. 금속(전자)이든 반도체(포논)이든 무질서는 운반자를 흩고, 흩어진 만큼 열이 못 간다. 반도체에서 이것은 양날이다 — SiGe 채널과 소스·드레인은 격자 상수와 이동도를 위해 쓰지만 열은 실리콘의 십분의 일로 나른다. SiGe 열전 소자는 정확히 그 성질을 쓴다.

도핑. 실리콘에 $10^{19}$ cm⁻³ 넘게 도핑하면 포논이 도펀트 원자(질량·크기 차)와 자유 캐리어에 흩어져 $\kappa$ 가 떨어진다 — $10^{20}$ 의 n⁺ 실리콘은 상온 약 60~80 W/(m·K) 로 진성 실리콘의 절반이다. 소스·드레인과 폴리실리콘 게이트가 “실리콘”이 아닌 이유다.

결정립계. 다결정에서 결정립 크기 $d$ 가 $\ell$ 보다 작아지면 경계 산란이 걸린다. 폴리실리콘 박막(결정립 수십~수백 nm)의 열전도도는 20~40 W/(m·K) 다. 8.2.5 의 결정립 크기–물성 관계가 열에도 그대로 있다.

기공. 세라믹의 기공은 열전도도가 거의 0 인 공기($0.026$)를 섞는 것과 같다. 기공률 $P$ 가 작을 때의 어림

$$\kappa\approx\kappa_0\,\frac{1-P}{1+P}$$

로 10% 기공에 20% 가까이 준다. 소결 세라믹(알루미나 기판, AlN 기판)의 열전도도가 이론값의 절반인 흔한 이유이고, 반대로 단열재는 기공을 일부러 채운다(고온에서는 기공 안의 복사가 거꾸로 열을 나르기 시작한다). 저유전율 유전체(porous low-k)의 열전도도가 0.3 아래로 떨어지는 것도 같은 식이다 — 배선층의 열 병목이 여기 있다.

비정질. 유리·열산화막·비정질 실리콘은 $\ell$ 이 원자 간격 수준으로 짧아 열전도도가 같은 조성의 결정보다 열 배 낮다. 석영 결정(12)과 용융 석영(1.4)의 차이가 그것이다. 이 아래로는 내려가기 어렵다 — $\ell\approx a$ 에서 $\tfrac13Cva$ 로 정해지는 최소 열전도도 (카힐–폴, 대개 0.5~1.5 W/(m·K))가 하한이다. 고분자가 0.1~0.3 인 것은 비정질이면서 결합이 약해 $v$ 마저 작기 때문이고, 사슬을 정렬(연신)하면 그 방향으로 10 배 넘게 오른다.

온도. 금속은 $\rho_e\propto T$ 가 $L_0T$ 를 지워 거의 일정하고, 결정성 비금속은 움클랍이 켜져 $\kappa\propto1/T$ 근처로 떨어진다(7.5.8움클랍 과정). 실리콘은 $\kappa\approx148\,(300/T)^{1.3}$ 로 따른다.

$T$ (K)	300	350	400	500	600
Si $\kappa$ (W/(m·K))	148	121	102	76	60
Cu $\kappa$	401	397	393	386	379
SiO₂ $\kappa$	1.4	1.45	1.5	1.6	1.7

주의

실리콘 열전도도는 상온 값으로 넣으면 틀린다. 소자 동작 온도 100 °C 에서 이미 20% 낮고, 150 °C 에서 30% 낮다. 발열이 온도를 올리고, 오른 온도가 열전도도를 낮춰 더 오르는 양의 되먹임이 자기 발열 해석의 핵심이고, TCAD 의 열 방정식에는 $\kappa(T)$ 를 함수로 넣어야 한다. 반면 산화막은 비정질이라 온도가 오르면 오히려 조금 오른다 — $\ell$ 이 이미 바닥이라 $C(T)$ 만 남기 때문이다.

얇아지면 — 크기 효과와 계면 열저항

층의 두께 $t$ 가 $\ell$ 보다 작아지면 포논은 다른 포논보다 계면에 먼저 부딪히고, 열전도도는 $t$ 에 비례해 떨어진다(7.5.9 의 경계 산란). 실리콘의 회색 평균 $\ell\approx43$ nm 는 하한이고 열을 실제로 나르는 저주파 포논은 수백 nm 를 가므로, 크기 효과는 1 μm 아래에서 이미 시작한다.

Si 층 두께	벌크	1 μm	100 nm	20 nm	10 nm
상온 $\kappa$ (W/(m·K), 대략)	148	100	50	25	15

SOI 의 실리콘 층(수십 nm)과 FinFET 의 핀, GAA 의 나노시트는 전부 이 표의 오른쪽에 있다. 게다가 그 아래는 산화막($\kappa=1.4$)이다. 채널에서 난 열은 실리콘의 십분의 일로 나르는 얇은 층을 지나 백 분의 일로 나르는 산화막을 건너야 한다 — 자기 발열이 벌크 소자보다 심각한 구조적 이유다(14부).

층이 얇아지면 계면 자체의 열저항도 보이기 시작한다. 두 재료의 포논 스펙트럼이 달라 계면에서 포논이 일부 되돌아가고, 그 결과 계면 양쪽에 온도 불연속 $\Delta T=R_Kq$ 가 생긴다. $R_K$ 가 계면 열저항(카피차 저항)이고, 고체–고체 계면에서 대개 $10^{-9}\sim10^{-8}$ m²·K/W 다. 두께 $t$ 의 층 자체의 열저항 $t/\kappa$ 와 견주면 — 산화막 10 nm 의 $t/\kappa$ 가 $7\times10^{-9}$ 이니, 계면 하나가 산화막 10 nm 만큼이다. 수 nm 층을 수십 겹 쌓는 소자(GAA, 3D NAND, 배선의 라이너·배리어)에서는 층의 열전도도보다 계면 수가 열저항을 정한다.

직관

파라미터 연계 — 열은 배선을 따라 나간다. 트랜지스터에서 난 열의 출구를 열저항으로 세어 보면, 아래로는 산화막(SOI)이나 벌크 실리콘, 위로는 배선이다. 구리 배선은 폭이 수십 nm 라도 $\kappa=400$ 짜리 통로이고, 층간 유전체($\kappa\lesssim1$)를 관통하는 비아와 배선망이 열의 주된 길이 된다(7.6.8 의 결론). 그래서 배선 밀도가 낮은 영역의 소자가 더 뜨겁고, 더미 금속을 채우는 것이 열 설계이기도 하다. 3D 적층에서는 이 길이 막힌다 — HBM 의 열은 TSV 와 마이크로범프를 타고 12 겹의 다이와 계면을 지나야 하고, 각 계면과 언더필($\kappa\sim0.5$)이 직렬로 쌓인다. 이 절의 목록 — 얇은 층, 계면, 고분자 — 이 전부 한 경로에 모이는 자리다.

열응력

셋 — 구속·불일치·기울기

열팽창이 자유로우면 응력이 없다. 응력은 늘고(줄고) 싶은 만큼 못 늘 때 생기고, 못 늘게 하는 것이 무엇인가에 따라 세 경우로 나뉜다.

그림 8.13-4. 열응력이 생기는 세 가지 방식. ① 구속 — 두 벽 사이에 갇힌 막대가 가열되어 늘고 싶지만 막혀 압축 응력 −EαΔT를 받는다. ② 불일치 — 고온에서 붙인 막과 기판이 식으면서 팽창률 차이 때문에 막이 인장(막의 α가 더 클 때)을 받고, 막 쪽으로 오목하게 휜다. ③ 온도 기울기 — 급랭된 판의 표면이 먼저 식어 줄고 싶으나 뜨거운 속이 막아 표면이 인장, 속이 압축을 받는다. 셋 다 응력의 크기는 E·α·ΔT 자릿수이고, 부호와 걸리는 자리만 다르다.직접 작도

① 구속. 길이가 고정된 막대를 $\Delta T$ 데우면 $\alpha\Delta T$ 만큼 늘고 싶은 것을 벽이 되밀어 압축한다. 훅의 법칙(7.3.8탄성 컴플라이언스와 강성 상수)으로

$$\sigma=-E\,\alpha_l\,\Delta T$$

— 인장을 양으로 두는 규약에서 가열은 압축(−), 냉각은 인장(+)이다. 자릿수를 정하는 것은 곱 $E\alpha$ 다: Al 1.6, Cu 2.0, W 1.8, Si 0.34, SiO₂ 0.04, 폴리이미드 0.1 MPa/K. 알루미늄은 100 K 에 160 MPa 로 항복(수십 MPa)을 훌쩍 넘고, 실리콘은 34 MPa 로 파괴(수백 MPa~GPa)에 한참 못 미친다.

② 불일치. 팽창률이 다른 두 재료를 붙여 온도를 바꾸면 서로가 서로의 벽이다. 기판이 두꺼워 막의 팽창이 기판을 따라가야 하면(박막 근사), 막 안의 면내 응력은

$$\sigma_f=\frac{E_f}{1-\nu_f}\,(\alpha_s-\alpha_f)\,\Delta T$$

다. $E/(1-\nu)$ 는 이축(면내 두 방향) 탄성률이다 — 막은 두 방향으로 동시에 당겨지고 두께 방향으로는 자유이므로 1축의 $E$ 보다 $1/(1-\nu)$ 배 뻣뻣하게 반응한다. 부호를 읽는 법: $\Delta T=T_{\text{최종}}-T_{\text{증착}}$ 이고, 식힐 때($\Delta T<0$) 막의 $\alpha$ 가 더 크면 막이 더 줄고 싶은데 기판이 붙들어 인장, 막의 $\alpha$ 가 더 작으면 기판이 막을 눌러 압축이다.

막 / 기판	증착 온도	$\alpha_s-\alpha_f$ (10⁻⁶/K)	$E_f/(1-\nu_f)$ (GPa)	열응력	실제
열산화막 / Si	1000 °C	+3.3 (평균)	84	−270 MPa (압축)	−300 MPa, 탄성
Al / Si	400 °C	−20.5	108	+830 MPa (인장)	항복 → +200 MPa 안팎, 소성
Cu / Si	400 °C	−13.7	190	+980 MPa (인장)	항복·크리프 → +300 MPa 안팎
W / Si	400 °C	−1.5	500	+280 MPa	증착 고유 응력이 더 크다
Si₃N₄ / Si	780 °C	0 안팎	300	작음	고유 응력 ±1 GPa 가 지배

표의 마지막 열이 중요하다. 열산화막은 세라믹이라 탄성 범위 안에서 그대로 남지만, 금속은 항복 응력을 넘어 소성 변형하고 남는 응력은 항복 강도 근처다. 그리고 질화막처럼 증착 과정 자체가 만드는 고유 응력(intrinsic stress — 원자가 제자리에 못 앉은 채 쌓인 결과, 9.11)이 열응력보다 큰 막도 많다. 막 응력 = 열응력 + 고유 응력이고, 이 절은 앞의 항만 다룬다.

③ 온도 기울기. 균질한 재료도 안팎의 온도가 다르면 안팎이 서로의 벽이다. 뜨거운 판을 급랭하면 표면이 먼저 식어 줄고 싶은데 뜨거운 속이 못 줄게 붙들어 표면 인장, 속 압축이다. 세라믹은 인장에 약하고 균열은 표면에서 시작하므로 급랭이 세라믹을 깬다 — 열충격이다. 반대로 급가열은 표면 압축이라 견딘다. 강화유리는 이것을 거꾸로 쓴다 — 연화점 근처에서 표면만 급랭해 응고시키고 속이 나중에 식으며 줄어들 때 표면을 영구 압축으로 남긴다. 그러면 쓰다가 걸리는 인장이 그 압축을 먼저 지워야 하므로 강도가 서너 배 오른다.

열충격 저항 — 네 상수의 조합

판을 급랭할 때 표면 인장 응력의 최댓값은 대략 $E\alpha\Delta T/(1-\nu)$ 이고, 이것이 파괴 강도 $\sigma_f$ 에 이르는 온도차가 견딜 수 있는 급랭의 상한이다:

$$\Delta T_f\approx\frac{\sigma_f(1-\nu)}{E\,\alpha}$$

그런데 실제 급랭에서는 열이 표면에서 속으로 얼마나 빨리 빠지느냐도 걸린다 — 열전도도가 크면 안팎 온도차 자체가 작다. 그래서 재료의 열충격 저항은 넷의 조합

$$\mathrm{TSR}\approx\frac{\sigma_f\,\kappa}{E\,\alpha}$$

으로 견준다(Callister 19.8). 분자는 견디는 힘과 온도차를 줄이는 능력, 분모는 온도차가 응력으로 바뀌는 계수다.

재료	$\sigma_f$ (MPa)	$\kappa$	$E$ (GPa)	$\alpha$ (10⁻⁶/K)	TSR (상대)
용융 석영	50	1.4	73	0.5	1.9
Si₃N₄	700	30	300	3	23
SiC	450	120	400	4	34
Al₂O₃	350	30	380	7.6	3.6
소다석회 유리	70	1.0	70	9	0.1
Si (단결정)	~500	148	130	2.6	220

용융 석영이 유리이면서도 열충격을 잘 견디는 것은 $\alpha$ 가 작기 때문이고(실험실 석영관을 빨갛게 달궈 물에 넣어도 된다), 소다석회 유리가 못 견디는 것은 $\alpha$ 가 20 배이기 때문이다. 실리콘 웨이퍼는 $\kappa$ 가 크고 $\alpha$ 가 작아 표에서 가장 좋다 — 그런데도 급속 열처리에서 깨지거나 슬립이 생기는 것은 다음 절이다.

직관

수식적 직관 — 왜 곱 $E\alpha$ 인가. 세 경우 모두 응력은 (못 이룬 변형) × (뻣뻣함)이고, 못 이룬 변형은 $\alpha\Delta T$ 이므로 응력은 언제나 $E\alpha\Delta T$ 의 꼴이다. 재료를 고를 때 $E$ 와 $\alpha$ 를 따로 보지 말고 곱으로 보라는 뜻이다 — 텅스텐은 $\alpha$ 가 작지만 $E$ 가 커서 알루미늄과 같은 급이고, 고분자는 $\alpha$ 가 크지만 $E$ 가 작아 응력으로는 온순하다. 그 온순함이 언더필과 몰딩이 하는 일이다(아래). 열충격 저항의 $\sigma_f\kappa/E\alpha$ 는 같은 곱에 “얼마나 견디나”와 “온도차를 얼마나 빨리 지우나”를 곱한 것이다.

파라미터 연계. 1절의 $\alpha(T)$ 가 온도의 함수이므로 실제 열응력 계산은 $\int E(T)\,[\alpha_s(T)-\alpha_f(T)]\,dT$ 이고, $E$ 도 고온에서 준다(실리콘은 1000 °C 에서 10% 감소). 웨이퍼 응력 시뮬레이션이 상온 상수로 틀리는 두 번째 이유다.

웨이퍼 휨 — 스토니 식

막의 응력은 기판을 휜다. 기판 두께 $t_s$, 막 두께 $t_f\ll t_s$ 일 때 곡률 반지름 $R$ 과 막 응력의 관계가 스토니(Stoney) 식이다:

$$\sigma_f=\frac{E_s}{6(1-\nu_s)}\,\frac{t_s^2}{t_f}\,\frac1R$$

막이 인장이면 막 쪽으로 오목, 압축이면 볼록하다. 실리콘(100) 웨이퍼의 이축 탄성률 $E_s/(1-\nu_s)=180$ GPa 이므로 300 mm 웨이퍼($t_s=775$ μm)에 300 MPa 인장 응력의 막 0.5 μm 가 있으면 $R\approx120$ m, 웨이퍼 양 끝의 휨(새그)은 $L^2/8R\approx95$ μm 다. 노광기의 초점 심도가 100 nm 자릿수임을 생각하면 척이 웨이퍼를 평평하게 빨아 붙여야 하는 이유가 보이고, 그래서 공정은 인장 막과 압축 막을 번갈아 쌓아 총 응력을 상쇄한다. 스토니 식은 거꾸로 막 응력을 재는 표준 방법이기도 하다 — 증착 전후의 곡률을 레이저로 재서 $\sigma_ft_f$ 를 얻는다(19부).

반도체에서 — 슬립·배선·패키징

급속 열처리의 슬립. RTP 에서 웨이퍼를 초당 수백 K 로 데우면 가장자리와 중심의 온도가 수 K~수십 K 다르고, 그 기울기가 열응력을 만든다. $E\alpha\Delta T$ 에 $\Delta T=10$ K 를 넣으면 겨우 5 MPa 인데, 1100 °C 의 실리콘에서 전위가 움직이기 시작하는 임계 분해 전단 응력은 1 MPa 자릿수다. 그래서 웨이퍼는 깨지지 않지만 전위가 미끄러져 슬립 선이 생기고, 그 전위가 접합 누설과 게이트 산화막 결함이 된다(8.1.5전위와 버거스 벡터). RTP 의 가장자리 보상 가열과 웨이퍼 가장자리 프로파일이 이 5 MPa 를 관리하는 장치다.

배선. 알루미늄·구리 배선은 식으면서 인장 항복을 겪고(위 표), 그 뒤 남은 인장 응력이 보이드를, 다시 데울 때의 압축이 힐록을 만든다. 배선이 유전체에 갇혀 있으면 3축 응력이 되어 항복으로도 못 풀고, 공공이 응력 기울기를 따라 모여 비아 밑에 보이드를 만드는 응력 유기 보이드(9.12)가 된다. 구리 배선의 열 순환 신뢰성 시험은 이 절의 ②를 수백 번 되풀이하는 일이다.

패키징. 칩(2.6)·솔더(22)·유기 기판(15~17) 이 셋의 불일치가 솔더 범프에 전단 변형을 건다. 범프의 전단 변형은 대략

$$\gamma\approx\frac{\Delta\alpha\,\Delta T\,L}{h}$$

— $L$ 은 칩 중심(중립점)에서 범프까지 거리, $h$ 는 범프 높이. 칩이 클수록·범프가 낮을수록 크고, 그래서 모서리 범프가 먼저 죽는다. 반복되는 온도 순환에서 수명은 코핀–맨슨 식 $N_f\propto(\Delta\gamma)^{-n}$ ($n\approx2$)을 따르고, 변형을 절반으로 줄이면 수명은 네 배다. 언더필이 하는 일은 범프 사이를 채워 칩과 기판을 한 몸처럼 휘게 해 $\gamma$ 를 줄이는 것이고, 그때 $E$ 가 작은 고분자가 유리한 이유가 위의 직관이다. HBM 의 TSV 는 구리(17)가 실리콘(2.6) 구멍에 박힌 구조라, 어닐 때 구리가 실리콘보다 여섯 배 더 늘어 위로 돌출 (Cu pumping)하고 주변 실리콘에 응력을 걸어 트랜지스터를 두지 못하는 금지 영역을 만든다.

의문

응력은 나쁘기만 한가? 아니다 — 크기와 방향을 알면 도구다. 채널에 일부러 응력을 걸어 이동도를 올리는 응력 공학(14부)은 SiGe 소스·드레인의 격자 불일치와 질화막 라이너의 고유 응력을 쓰고, 그 위에 이 절의 열응력이 더해진다. 강화유리의 표면 압축, 열산화막의 압축(균열을 막는다), 세라믹 코팅의 압축 잔류 응력이 모두 같은 원리다. 나쁜 것은 응력이 아니라 모르는 응력이고, 그래서 19부의 응력 계측이 있다.

자성의 분류(반자성·상자성·강자성·페리자성) — 미시 기원은 7.13

거시 양 — B, H, M, χ

자성체 안의 세 벡터는 $\mathbf B=\mu_0(\mathbf H+\mathbf M)$ 으로 묶인다(2.5.5보조장 H와 앙페르 법칙). $\mathbf H$ 는 외부 전류(와 5절의 자극)가 만드는 장, $\mathbf M$ 은 재료의 응답(단위 부피당 모멘트), $\mathbf B$ 는 그 합이다. 응답이 장에 비례하는 재료에서는

$$\mathbf M=\chi\mathbf H,\qquad \mathbf B=\mu_0(1+\chi)\mathbf H=\mu_0\mu_r\mathbf H$$

로 감수율 $\chi$ 하나가 재료를 말한다(2.5.7자기 감수율과 투자율). 자성체의 분류는 이 $\chi$ 의 부호·크기·온도 의존·선형성으로 한다. 아래 표가 이 절의 전부이고, 나머지는 각 줄의 재료 목록이다.

부류	$\chi$ (SI, 부피)	온도 의존	선형?	미시 기원 (7.13)	대표 재료
반자성	$-10^{-6}\sim-10^{-5}$	없음	예	닫힌 껍질의 유도 전류(1절)	Cu, Au, Ag, Si, Ge, GaAs, SiO₂, Al₂O₃, 물, 유기물
상자성	$10^{-5}\sim10^{-3}$	$C/T$ 또는 없음	예	열린 껍질의 영구 모멘트(2절) · 전도 전자(7절)	Al, Ti, Pt, Mn, 희토류 염, O₂
강자성	$10^2\sim10^5$	$T_C$ 아래 자발 자화	아니오 — 이력	양의 교환 → 나란한 정렬(8절)	Fe, Co, Ni, Gd; Nd₂Fe₁₄B, SmCo₅, 퍼멀로이, CoFeB
반강자성	$10^{-5}\sim10^{-3}$	$T_N$ 에서 꺾임	예	음의 교환 → 반평행, 상쇄(11절)	Cr, Mn, NiO, MnO, FeMn, IrMn, PtMn
페리자성	$10\sim10^{4}$	$T_C$ 아래 자발 자화	아니오 — 이력	음의 교환, 크기가 다른 두 부분격자(11절)	Fe₃O₄, MFe₂O₄ 페라이트, BaFe₁₂O₁₉, YIG, GdFeCo

두 줄이 특별히 반도체의 것이다. 실리콘·게르마늄·GaAs·산화막은 전부 반자성이다 — $\chi\approx-4\times10^{-6}$ 으로 사실상 진공이고, 그래서 “반도체는 자성이 없다”고 말해도 된다. 칩 안에서 자성이 필요하면 자성 금속을 따로 올려야 한다(MRAM 의 CoFeB, 센서의 NiFe). 그리고 반강자성체 IrMn·PtMn 은 감수율이 하찮은데도 스핀 밸브와 MRAM 에 반드시 들어간다 — 자화가 없는 대신 이웃 강자성층의 자화를 한 방향으로 못박는(교환 바이어스, 10.11.5) 데 쓰기 때문이다.

주의

$\chi$ 값을 표에서 읽을 때. SI 부피 감수율(무차원)인지, CGS(값이 $4\pi$ 배 작다)인지, 질량 감수율(m³/kg)이나 몰 감수율(m³/mol 또는 cm³/mol)인지를 먼저 본다. Callister 의 표 20.2 는 SI 부피 감수율이고, 위 표도 그것이다. 물의 SI 값 $-9.0\times10^{-6}$ 이 CGS 표에서는 $-7.2\times10^{-7}$ 이다(7.13 장 앞의 주의). 강자성체의 $\chi$ 는 상수가 아니라 $H$ 와 이력에 따라 $10^2$ 에서 $10^5$ 까지 움직이므로 “값”이 아니라 범위로 적었다. 초기 투자율 $\mu_i$ 와 최대 투자율 $\mu_{\max}$ 를 따로 적는 것이 7절의 관행이다.

포화 자화 — 결정 구조에서 셈한다

강자성·페리자성체의 가장 기본적인 재료 상수는 포화 자화 $M_s$ — 모든 모멘트가 나란할 때의 단위 부피당 모멘트 — 이고, 이것은 결정 구조와 원자당 모멘트로 셈할 수 있다:

$$M_s=n\,n_B\,\mu_B$$

$n$ 은 단위 부피당 자성 원자(또는 화학식) 수, $n_B$ 는 그 하나당 보어 마그네톤 수다.

니켈. fcc, $a=0.3524$ nm, 단위 세포에 원자 4개, 원자당 $n_B=0.60$:

$$M_s=\frac{4\times0.60\times9.27\times10^{-24}}{(0.3524\times10^{-9})^3} =5.1\times10^5\ \text{A/m}, \qquad \mu_0M_s=0.64\ \text{T}$$

철은 bcc 에 $n_B=2.22$ 로 $M_s=1.71\times10^6$ A/m($\mu_0M_s=2.15$ T), 코발트는 $n_B=1.72$ 로 $1.42\times10^6$ A/m(1.79 T). 이 $n_B$ 가 정수가 아닌 것 — 훈트 규칙이 주는 Ni²⁺ 의 2 가 아니라 0.60 — 이 3d 금속의 자성이 국소 모멘트가 아니라 밴드(스토너, 7.13.7) 라는 증거다.

페라이트. 화학식당 알짜 모멘트는 7.13.11 의 셈법 — 두 부분격자가 반평행이므로 A 자리 모멘트와 B 자리 모멘트를 빼면 된다.

그림 8.13-5. 역스피넬 페라이트의 모멘트 셈법. 윗줄 — 자철석 Fe₃O₄. 사면체 A 자리의 Fe³⁺(5 μB, 위)와 팔면체 B 자리의 Fe³⁺(5 μB, 아래)가 상쇄되고 B 자리의 Fe²⁺(4 μB)만 남아 화학식당 4 μB다. 단위 세포에 화학식 8개, a = 0.839 nm이므로 M_s = 32 μB/a³ = 5.0×10⁵ A/m(실측 4.8×10⁵). 아랫줄 — 니켈 페라이트 NiFe₂O₄는 같은 셈법으로 Ni²⁺(3d⁸)의 2 μB만 남는다. 오른쪽 — 모멘트가 0인 Zn²⁺는 A 자리를 골라 앉아 Fe³⁺를 B로 밀어내므로 상쇄가 풀려 알짜가 늘어난다. MnZn·NiZn 페라이트의 설계 원리다.직접 작도

페라이트	구조	화학식당 $n_B$ (셈 / 실측)	$\mu_0M_s$ (T)	$T_C$ (K)	쓰임
Fe₃O₄	역스피넬	4 / 4.1	0.60	858	자연 자석, 나노입자
NiFe₂O₄	역스피넬	2 / 2.3	0.34	858	고주파 코어
MnFe₂O₄	(거의) 정스피넬	5 / 4.6	0.50	573	MnZn 코어
CoFe₂O₄	역스피넬	3 / 3.7	0.53	793	경자성, 자기변형
Mn₀.₅Zn₀.₅Fe₂O₄	혼합	— / 6 안팎	0.55	~450	전력 페라이트 (22부)
BaFe₁₂O₁₉	육방(마그네토플럼바이트)	20 / 20	0.48	723	페라이트 자석, 테이프
Y₃Fe₅O₁₂ (YIG)	가넷	5 / 4.7	0.18	560	마이크로파, 마그노닉스

Zn 치환의 요령을 설명한다. Zn²⁺ 는 $3d^{10}$ 이라 모멘트가 0 인데, 이것을 넣으면 $M_s$ 가 는다 — Zn²⁺ 가 A 자리를 골라 앉아 거기 있던 Fe³⁺ 를 B 자리로 밀어내고, B 로 간 Fe³⁺ 는 B 의 다른 모멘트와 나란히 서서 상쇄 대신 덧셈이 되기 때문이다. 치환이 절반을 넘으면 A 자리가 비어 A–B 초교환 자체가 약해져 $M_s$ 와 $T_C$ 가 함께 무너진다. MnZn·NiZn 페라이트의 조성은 이 두 경향의 타협점이고, 그래서 표의 $T_C$ 가 450 K 로 낮다 — 전력 페라이트의 동작 온도 상한이 100 °C 안팎인 이유다.

온도 의존 — 퀴리 온도

자발 자화는 온도가 오르면 줄어 퀴리 온도 $T_C$ 에서 0 이 된다(7.13.9자발 자화의 온도 의존성). 곡선의 모양은 브릴루앙 함수의 자기일관 해로 대부분의 강자성체가 같은 보편 곡선 $M_s(T)/M_s(0)$ 대 $T/T_C$ 위에 놓인다. 재료 공학에서 이 곡선의 쓰임은 셋이다.

재료	$T_C$ (K)	재료	$T_C$ (K)
Fe	1043	Nd₂Fe₁₄B	585
Co	1388	SmCo₅	1000
Ni	627	Sm₂Co₁₇	1100
Gd	292	FePt (L1₀)	750
Fe–3Si	1020	CoFeB (비정질)	~1000
퍼멀로이 Ni₈₀Fe₂₀	850	Fe₃O₄	858
알니코 5	1160	MnZn 페라이트	400~500

첫째, 동작 온도 여유. 동작 온도가 $T_C$ 에 가까울수록 $M_s$ 가 빨리 줄고, 6절의 이방성은 그보다 훨씬 빨리 준다. Nd₂Fe₁₄B 의 $T_C=585$ K 는 모터·마그네트론에서 150 °C 를 견디기에 빠듯해 Dy 를 넣고, MRAM 의 CoFeB 는 400 °C 의 BEOL 어닐을 거쳐야 하므로 $T_C$ 가 그보다 한참 높아야 한다. 둘째, 공정 창. 자성막을 $T_C$ 위에서 증착하거나 어닐하면 자구가 새로 잡히고, 6절의 유도 이방성은 $T_C$ 아래에서 장을 걸어 식힐 때 생긴다. 셋째, 열 보조 기록(8절) — 일부러 $T_C$ 근처까지 데워 잠시 무르게 만든다.

직관

물리적 직관 — 강자성 원소가 셋뿐인 이유. 주기율표에서 상온 강자성 원소는 Fe·Co·Ni (그리고 292 K 의 Gd)뿐이다. 조건이 둘이다. 첫째, 짝 없는 전자가 있어야 한다 — 3d 나 4f 껍질이 반쯤 차 있어야 한다. 둘째, 이웃 원자 사이의 교환 적분 $J_{\mathrm{ex}}$ 가 양이어야 한다. 베테–슬레이터의 경험 곡선은 $J_{\mathrm{ex}}$ 의 부호를 원자 간 거리 대 3d 궤도 반지름의 비로 정한다 — 비가 작으면(Mn, Cr) 3d 궤도가 너무 겹쳐 음(반강자성), 비가 적당하면(Fe, Co, Ni) 양, 비가 크면(희토류) 직접 교환이 사라져 전도 전자를 매개로 한 간접 교환(RKKY)만 남아 $T_C$ 가 낮다. 이 그림이 합금 설계의 지도다. Mn 은 원소로는 반강자성이지만 원자 간격을 늘린 화합물(MnBi, MnAl, 호이슬러 Cu₂MnAl)에서는 강자성이 되고, Fe 를 fcc 로 만들면(오스테나이트 스테인리스) 간격이 줄어 자성을 잃는다. 스테인리스 싱크대에 자석이 안 붙는 이유가 이 곡선이다.

자기 도메인과 이력

네 에너지 — 자화 분포를 정하는 것

강자성체가 어떤 자화 분포를 취할지는 네 에너지의 합을 최소화하는 문제다. 단위 부피당으로 적는다.

$$\begin{aligned} u_{\mathrm{ex}}&=A\,|\nabla\mathbf m|^2 &&\text{교환: 이웃과 어긋나면 비용}\\ u_K&=K\,f(\mathbf m) &&\text{이방성: 쉬운 축을 벗어나면 비용 (6절)}\\ u_{\mathrm{ms}}&=-\tfrac12\mu_0\,\mathbf H_d\cdot\mathbf M &&\text{정자기: 자극이 만드는 반자기장}\\ u_Z&=-\mu_0\,\mathbf H\cdot\mathbf M &&\text{제만: 외부 장에 거스르면 비용} \end{aligned}$$

$\mathbf m=\mathbf M/M_s$ 는 단위 벡터다. 첫째 항의 $A$ 가 교환 강성(J/m)이고, 7.13.8 의 하이젠베르크 교환 적분(7.13.8교환 상호작용과 퀴리 온도)을 연속체로 옮긴 것이다 — 단순 격자에서 $A\approx zJ_{\mathrm{ex}}S^2/a$ ($z$ 이웃 수, $a$ 격자 상수). Fe $2\times10^{-11}$, Co $3\times10^{-11}$, Ni $0.9\times10^{-11}$, 퍼멀로이 $1.3\times10^{-11}$, CoFeB $2\times10^{-11}$ J/m. 7.13 이 첫째 항의 기원이고 6절이 둘째 항이니, 이 절의 새 물건은 셋째 항이다. 자구가 생기는 이유가 거기 있다.

반자기장 — 자석은 제 몸 안에 반대 장을 만든다

균일하게 자화된 막대를 보자. 안에서는 $\nabla\cdot\mathbf M=0$ 이지만 끝면에서 $\mathbf M$ 이 갑자기 0 이 되므로 $\nabla\cdot\mathbf M\ne0$ — 곧 $\nabla\cdot\mathbf H=-\nabla\cdot\mathbf M\ne0$ 이라 끝면이 $\mathbf H$ 의 원천이 된다. 2.5.4 의 언어로 표면 자극 밀도 $\sigma_m=\mathbf M\cdot\hat{\mathbf n}$ 이고, N 극 면에 +, S 극 면에 − 가 놓인다. 이 자극이 만드는 $\mathbf H$ 는 안에서 + 에서 − 로, 곧 $\mathbf M$ 과 반대로 향한다. 그것이 반자기장 $\mathbf H_d$ 다.

그림 8.13-6. 반자기장. 왼쪽 — 오른쪽으로 균일하게 자화된 막대. 왼쪽 끝면에 음의 자극, 오른쪽 끝면에 양의 자극이 생기고, 그 자극이 막대 안에서 자화와 반대 방향의 반자기장 H_d = −NM을 만들며 바깥으로는 자속이 되돌아온다(이것이 자석의 장이다). B = μ₀(H_d + M)은 안에서도 M과 같은 쪽이다. 오른쪽 — 세 모양의 반자기 인자: 구 1/3, 축 방향으로 자화된 긴 바늘 0에 가까움, 두께 방향으로 자화된 얇은 판 1에 가까움. 세 축의 합은 1이고 정자기 에너지 밀도는 ½μ₀NM². 철 판을 두께 방향으로 자화하는 데 드는 1.8 MJ/m³는 결정 이방성의 40배라, 판의 자화는 면내로 눕는다.직접 작도

타원체(구·바늘·판이 그 극한)에서는 $\mathbf H_d$ 가 안에서 균일하고

$$\mathbf H_d=-N\,\mathbf M,\qquad u_{\mathrm{ms}}=\tfrac12\mu_0NM^2$$

이다. $N$ 이 반자기 인자로 모양과 방향만의 함수이며, 세 주축의 합이 1 이다.

모양	자화 방향	$N$
구	어느 쪽이든	1/3
긴 원기둥	축 방향 / 지름 방향	0 / 1/2
얇은 판	두께 방향 / 면내	1 / 0
회전 타원체 (축비 5)	긴축	0.056

정자기 에너지의 자릿수를 본다. 철 판을 두께 방향으로 자화하면 $\tfrac12\mu_0M_s^2=\tfrac12(2.15)^2/\mu_0=1.8\times10^6$ J/m³ — 6절의 결정 이방성 $4.8\times10^4$ 의 40 배다. 그래서 자성 박막의 자화는 특별한 장치 없이는 반드시 면내로 눕고(형상 이방성, 6절), 그것을 세우는 것이 MRAM 과 수직 기록 매체의 첫 과제다.

주의

시료 안의 $H$ 는 외부 장이 아니다. 강자성체에 외부 장 $H_a$ 를 걸면 안의 장은 $H=H_a-NM$ 이고, $M$ 이 $10^6$ A/m 이므로 $NM$ 은 수십만 A/m — 웬만한 외부 장보다 크다. 그래서 개방된 시료(막대·판)로 잰 $M$–$H_a$ 곡선은 진짜 재료 곡선 $M$–$H$ 를 기울기 $-1/N$ 로 눕힌(sheared) 것이고, 겉보기 감수율은 $1/N$ 을 넘지 못한다. 재료 상수를 재려면 반자기장이 없는 폐회로 시료(토로이드, 요크로 닫은 막대)를 쓰거나 $N$ 을 알고 보정해야 한다. 7.13 이 “강자성체의 $B$ 와 $\mu_0H$ 가 크게 다른 경우는 8.13” 이라 미룬 것이 이것이다. 2.5.8 의 이력 곡선이 토로이드로 재는 것도 같은 이유다.

자구 — 정자기 에너지를 벽 에너지로 산다

결정 전체가 한 방향으로 자화되면 교환·이방성 에너지는 최소지만 끝면의 자극이 큰 반자기장을 만들어 정자기 에너지가 최대다. 결정을 반대 방향의 영역 — 자구(domain) — 로 나누면 자극이 서로 가까이 놓여 바깥 장이 상쇄되고 정자기 에너지가 줄어든다. 대신 자구 사이의 벽에서 이웃 스핀이 나란하지 않아 교환·이방성 비용을 치른다. 자구 구조는 이 둘의 타협이다.

그림 8.13-7. 자구가 생기는 이유. (a) 한 자구로 위로 자화된 결정은 바깥으로 자속이 크게 새어 정자기 에너지가 최대다. (b) 반대 방향의 자구 둘로 나누고 180° 벽을 하나 두면 새는 장이 절반이 되는 대신 벽 에너지를 치른다. (c) 네 자구 — 새는 장은 더 줄고 벽은 셋이다. (d) 끝에 45° 벽으로 닫힌 폐쇄 자구를 두면 새는 장이 0이 되고, 벽 에너지와 90° 벽 안의 자기변형 비용만 남는다. 아래 막대는 정자기 에너지(왼쪽으로 갈수록 크다)와 벽 에너지(오른쪽으로 갈수록 크다)의 크기다. 정자기 에너지는 자구 폭에 비례해 줄고 벽 에너지는 자구 수에 비례해 늘어, 균형점이 자구 폭 D ∝ √(γ_w L/μ₀M_s²)를 정한다.직접 작도

자구 폭을 어림한다. 두께 $L$ 의 판에 폭 $D$ 의 줄무늬 자구가 번갈아 있으면, 표면 자극이 만드는 정자기 에너지는 표면 단위 넓이당 $c\,\mu_0M_s^2D$ ($c\approx0.14$ — 자극이 $D$ 안에서 상쇄되므로 $D$ 에 비례), 벽 에너지는 $\gamma_wL/D$ (벽이 $L$ 깊이로 $1/D$ 개)다. 합을 $D$ 로 미분해 0 으로 두면

$$D=\sqrt{\frac{\gamma_wL}{c\,\mu_0M_s^2}}$$

철에 $\gamma_w\approx3$ mJ/m², $L=1$ cm 를 넣으면 $D\approx8$ μm — 광학 현미경으로 보이는 크기이고, 실제 자구가 그 자릿수다. $L$ 이 줄면 $D\propto\sqrt L$ 로 줄다가, $D$ 가 $L$ 자체보다 커지려는 크기 아래에서는 벽 하나도 비싸져 단자구가 된다. 그 임계 크기는

$$D_c\sim\frac{\gamma_w}{\mu_0M_s^2}\times(\text{모양 인자})\approx\frac{72\sqrt{AK}}{\mu_0M_s^2}\ (\text{구})$$

로 철에서 수십 nm, Nd₂Fe₁₄B 에서 수백 nm, 페라이트에서 1 μm 안팎이다 — 10.11.1 이 이 계산을 하고, 7절의 영구자석과 8절의 기록 매체는 정확히 이 크기의 입자를 쓴다. (d)의 폐쇄 자구는 끝면의 자극을 아예 없애는 대신 90° 벽과, 자화 방향이 90° 다른 자구가 6절의 자기변형 때문에 서로 다른 방향으로 늘어나려 해 생기는 탄성 비용을 치른다. 결정 이방성이 작은 재료(퍼멀로이)일수록 폐쇄 자구가 쉽다.

벽 — 스핀은 한 번에 뒤집히지 않는다

180° 벽에서 스핀이 한 원자 간격 안에 뒤집힌다면 교환 비용이 $2J_{\mathrm{ex}}S^2$ 로 최대다. $N$ 개 원자에 걸쳐 조금씩 돌면 이웃 사이 각이 $\pi/N$ 이라 원자쌍당 비용은 $J_{\mathrm{ex}}S^2(\pi/N)^2$, $N$ 쌍의 합은 $J_{\mathrm{ex}}S^2\pi^2/N$ — 넓을수록 싸다. 그런데 벽 안의 스핀은 쉬운 축을 벗어나 있으므로 이방성 비용이 $NKa^3$ 정도 — 넓을수록 비싸다. 합을 최소화하면 벽의 두께가 나온다. 연속체로 정확히 풀면 — 벽을 가로지르는 좌표 $x$ 에 대한 회전각 $\theta(x)$ 의 에너지 $\int[A\theta'^2+K\sin^2\theta]\,dx$ 를 변분해서 —

$$\theta(x)=2\arctan e^{x/\delta_0},\qquad \delta_0=\sqrt{\frac AK},\qquad \delta_w=\pi\sqrt{\frac AK},\qquad \gamma_w=4\sqrt{AK}$$

이다. 벽 두께 $\delta_w$ 는 중심 접선이 0° 와 180° 를 자르는 폭으로 정의한 것이고, $\gamma_w$ 는 단위 넓이당 에너지다.

그림 8.13-8. 블로흐 벽의 구조와 에너지. 왼쪽 — 벽을 가로지르는 위치에 대한 스핀 회전각 θ(x) = 2 arctan e^(x/δ₀). 0°에서 180°까지 S자로 오르고, 중심 접선이 자르는 폭 πδ₀가 벽 두께다. 위쪽의 화살표가 스핀 방향이다(도식 — 실제 블로흐 벽은 벽면 안에서 돈다). 오른쪽 — 벽 폭 w에 대한 면적당 에너지. 넓을수록 싸지는 교환 항 π²A/w와 넓을수록 비싸지는 이방성 항 Kw/2의 합(강조)이 w ≈ π√(A/K) 근처에서 최솟값을 가진다. 철: A ≈ 2×10⁻¹¹ J/m, K₁ ≈ 4.8×10⁴ J/m³로 δ_w ≈ 64 nm, γ_w ≈ 4 mJ/m². Nd₂Fe₁₄B는 K₁이 100배라 벽이 4 nm로 얇다.직접 작도

재료	$A$ (10⁻¹¹ J/m)	$K$ (J/m³)	$\delta_w$	$\gamma_w$ (mJ/m²)
Fe	2.0	$4.8\times10^4$	64 nm	3.9
Ni	0.9	$5\times10^3$	130 nm	0.85
Co	3.0	$4.1\times10^5$	27 nm	14
퍼멀로이	1.3	$\sim10^2$	~3 μm	0.14
Nd₂Fe₁₄B	0.8	$4.9\times10^6$	4 nm	25
CoFeB (1.3 nm, PMA)	2.0	$\sim3\times10^5$	25 nm	10

이방성이 큰 재료일수록 벽이 얇고 비싸다 — 7절의 경자성체는 벽을 만들기 어렵고(단자구 입자), 퍼멀로이는 벽이 수 μm 로 넓어 미세한 결함을 “느끼지 못하고” 지나간다(연자성). 같은 $\sqrt{AK}$ 가 두 방향으로 쓰인다.

박막에서는 벽의 종류가 바뀐다. 위의 블로흐 벽은 스핀이 벽면 안에서 돌아 벽 안에 자극이 없지만, 막 두께가 벽 두께보다 얇으면 벽면 안의 회전이 막의 표면에 자극을 만든다. 그때는 스핀이 막의 면내에서 도는 닐(Néel) 벽이 더 싸다 — 표면 자극 대신 벽 안에 부피 자극이 생기지만 얇은 막에서는 그쪽이 작다. 퍼멀로이 막에서 그 경계가 30~40 nm 이고, MRAM·센서의 자성층은 전부 그 아래라 벽은 닐 벽이다. 벽의 구조는 벽이 결함에 붙잡히는 방식과 움직이는 속도를 바꾸므로, 박막 자성 소자의 스위칭 물리(10.11.4)는 여기서 갈린다.

이력 — 벽 이동과 회전, 그리고 결함

외부 장을 걸면 장과 나란한 자구가 자라고 반대 자구가 줄어든다 — 벽이 움직인다. 벽 이동이 끝나 쉬운 축 방향의 자구만 남으면, 그 자화를 장 쪽으로 회전시킨다. 2.5.8 이 곡선을 따라갔고(2.5.8강자성과 히스테리시스), 여기서는 그 곡선이 왜 되돌아오지 않는가를 재료로 설명한다. 답은 결함이다.

벽은 에너지 $\gamma_w$ 를 가진 면이므로, 벽의 넓이나 $\gamma_w$ 를 줄여 주는 자리에 앉고 싶어 한다. 비자성 개재물·기공은 벽이 지나가면 그 넓이만큼 벽이 없어지므로 벽을 붙잡고, 전위·결정립계·석출물은 국소적으로 $A$ 나 $K$ 를 바꿔(6절의 응력 이방성) 벽 에너지를 울퉁불퉁하게 만든다. 벽의 위치 $x$ 에 대한 에너지 지형 $E_0(x)$ 가 생기고, 외부 장은 그 지형을 $-2\mu_0M_sH\cdot x$ (벽이 $x$ 만큼 움직이면 부피 $x$ 의 자화가 뒤집힌다) 로 기울인다.

그림 8.13-9. 자구벽의 고정과 이력의 1차원 모형. 왼쪽 — 벽 위치에 대한 에너지 지형. 장이 없을 때는 결함마다 작은 골이 있는 울퉁불퉁한 곡선이고(큰 포물선은 시료의 반자기 에너지), 장을 걸면 지형이 −2μ₀M_sH·x로 기울어 벽이 앉은 골이 얕아지다 사라지면 벽이 다음 골로 뛴다. 오른쪽 — 이 규칙만으로 장을 왕복시켜 얻은 벽 위치(∝ M)의 고리. 작은 뜀들이 계단(바르크하우젠 도약)을 만들고, 돌아올 때는 다른 골에 앉으므로 고리가 닫히지 않는다 — 이력이다. 지형이 거칠수록 골을 비우는 데 큰 장이 들고, 그것이 보자력이다.직접 작도

그림이 말하는 것을 순서대로 적는다.

1. 가역 구간. 작은 장에서 벽은 제 골 안에서 조금 밀릴 뿐이고(벽이 휘거나 미끄러진다), 장을 빼면 돌아온다. 초기 투자율 $\mu_i$ 는 이 구간의 기울기이고, 골의 곡률 — 결함이 벽을 얼마나 단단히 잡는가 — 이 정한다.
2. 바르크하우젠 도약. 장이 커져 골의 한쪽 벽이 사라지면 벽이 다음 골로 뛴다. 뜀 하나가 자화의 작은 계단 하나이고, 코일로 들으면 딱딱거리는 잡음이다. 비가역이다 — 장을 빼도 뛰기 전 골로 돌아갈 이유가 없다.
3. 보자력. 자화를 0 으로 되돌리려면 벽들을 반대 방향으로 골에서 골로 밀어 보내야 하고, 그 데 드는 장의 크기가 $H_c$ 다. 골이 깊고 촘촘할수록 — 결함이 많고 강할수록 — 크다. 벽이 없는 단자구 입자에서는 벽 이동 대신 회전이 자화 반전의 유일한 길이고, 그때의 보자력은 6절의 이방성 자기장 $H_K=2K/\mu_0M_s$ 가 상한이다(스토너–볼파스, 10.11.3).
4. 고리의 넓이 = 손실. 한 바퀴에 단위 부피당 $\oint\mu_0H\,dM$ 의 일이 벽의 뜀에서 열로 흩어진다. 뜀 하나하나가 벽을 급가속시켜 와전류(도체)와 격자 진동(자기변형의 충격)을 일으키기 때문이다.

주의

보자력은 재료 상수가 아니다. 같은 철이 어닐한 순철이면 $H_c\approx1$ A/m, 냉간 가공하면 100 A/m, 50 nm 입자로 만들면 $10^4$ A/m 가 넘는다. 포화 자화·퀴리 온도·이방성 상수가 조성의 함수인 것과 달리 보자력·투자율·잔류 자화는 미세조직(결함 밀도, 결정립 크기, 응력, 시료 모양, 온도, 주파수)의 함수다. 그래서 데이터시트의 $H_c$ 에는 언제나 시료 조건이 붙어야 하고, 7절의 연자성·경자성 구분이 “재료”가 아니라 “미세조직”의 구분인 이유다.

손실 — 이력, 와전류, 그리고 주파수

교류로 자화를 되풀이하는 자심(변압기·인덕터·모터)의 단위 부피당 손실은 세 몫으로 나뉜다.

$$P=W_h\,f+P_{\mathrm{eddy}}+P_{\mathrm{anom}}, \qquad P_{\mathrm{eddy}}\approx\frac{(\pi\,d\,f\,B_{\max})^2}{6\,\rho_e}$$

첫째는 이력 손실 — 고리의 넓이 $W_h$ 에 주파수를 곱한 것으로 재료의 미세조직이 정한다. 둘째는 와전류 손실 — 변하는 자속이 도체 안에 유도한 전류의 줄열로, 판 두께 $d$ 와 주파수·자속밀도의 제곱에 비례하고 비저항에 반비례한다. 셋째 이상 손실은 벽의 국소 이동이 만드는 국소 와전류로, 고전 와전류 식이 놓치는 몫이다.

와전류 식은 재료 설계의 지침 셋을 곧장 준다 — 비저항을 올리고(Fe 에 3% Si 를 넣으면 $\rho_e$ 가 네 배), 얇게 쌓고(적층 규소강판 0.3 mm), 아예 절연체를 쓴다(페라이트, $\rho_e$ 가 금속의 $10^6\sim10^{12}$ 배). 얼마나 얇아야 하는지는 표피 깊이

$$\delta_s=\sqrt{\frac{\rho_e}{\pi f\mu_0\mu_r}}$$

가 정한다. 규소강($\rho_e=4.5\times10^{-7}$ Ω·m, $\mu_r\approx5000$)의 50 Hz 표피 깊이는 0.7 mm 로 판 두께 0.3 mm 가 그 절반이고, 같은 재료를 100 kHz 에 쓰면 표피 깊이 16 μm 라 판 대신 페라이트나 비정질 리본(25 μm)이어야 한다 — 7절의 주파수별 재료 지도가 이 식이다.

의문

벽이 움직이는데 왜 열이 나는가 — 마찰이 어디 있나? 벽이 골에서 골로 뛸 때 스핀들이 급히 세차하고, 그 세차의 에너지가 두 통로로 빠진다. 도체에서는 벽 근처의 자속 변화가 국소 와전류를 만들어 줄열이 되고(이상 손실의 정체), 절연체에서도 스핀–궤도 결합을 거쳐 격자로 — 6절의 자기변형이 벽의 통과를 국소적인 변형 펄스로 만들어 포논을 낸다. 미시적으로는 스핀 세차의 감쇠, 곧 길버트 감쇠 $\alpha_G$ (10.11.4 의 LLG 방정식)이고, 재료마다 $10^{-3}$ (YIG 는 $10^{-5}$)에서 $10^{-1}$ 까지 다르다. MRAM 의 스위칭 전류가 $\alpha_G$ 에 비례하는 것과 변압기의 이상 손실이 같은 상수에서 나온다.

자기 이방성

자화에는 좋아하는 방향이 있다

5절의 두 번째 에너지 항 $u_K=Kf(\mathbf m)$ — 자화가 어느 방향을 향하느냐에 따라 에너지가 다른 것 — 이 자기 이방성이다. 에너지가 낮은 방향이 쉬운 축, 높은 방향이 어려운 축이다. 이방성은 강자성 재료 공학의 중심 변수다. 보자력의 상한($H_K$), 벽의 두께 ($\pi\sqrt{A/K}$)와 에너지($4\sqrt{AK}$), 단자구 크기, 열 안정성($KV$), 투자율 — 5절과 7·8절의 모든 양이 $K$ 를 품고 있다. 연자성 재료 설계는 $K\to0$, 경자성·기록 매체 설계는 $K\to$ 최대다.

기원에 따라 넷으로 나눈다 — 결정(원자 배열), 형상(시료의 모양), 자기탄성(응력), 유도(가공·열처리·계면). 하나씩 간다.

결정 이방성 — 스핀이 격자를 느끼는 통로

교환 상호작용은 스핀들끼리의 상대 방향만 보고 격자를 모른다(하이젠베르크 해밀토니안은 회전 대칭이다). 스핀이 격자의 방향을 아는 것은 스핀–궤도 결합을 통해서다 — 궤도는 결정장 때문에 격자에 붙어 있고(7.13.5궤도 각운동량의 담금질), 스핀은 궤도에 붙어 있으므로, 스핀도 격자를 느낀다. 3d 금속에서는 궤도 각운동량이 담금질돼 이 통로가 좁아 $K$ 가 작고 ($10^3\sim10^5$ J/m³), 4f 희토류에서는 궤도가 살아 있어 $K$ 가 $10^6\sim10^7$ 이다. 영구자석 Nd₂Fe₁₄B·SmCo₅ 의 설계 — 자화와 퀴리 온도는 3d(Fe·Co)가, 이방성은 4f(Nd·Sm)가 댄다 — 가 이 한 문장이다.

에너지는 대칭이 허용하는 가장 낮은 차수의 방향 코사인 다항식으로 쓴다. $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 이 자화와 결정축 사이의 방향 코사인일 때

$$\begin{aligned} \text{입방:}\quad u_K&=K_1\big(\alpha_1^2\alpha_2^2+\alpha_2^2\alpha_3^2+\alpha_3^2\alpha_1^2\big) +K_2\,\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2\\[4pt] \text{일축:}\quad u_K&=K_{u1}\sin^2\theta+K_{u2}\sin^4\theta \end{aligned}$$

입방에서 $K_1>0$ 이면 $\langle100\rangle$ 이 쉬운 축(Fe), $K_1<0$ 이면 $\langle111\rangle$ 이 쉬운 축(Ni)이다. 일축에서 $K_{u1}>0$ 이면 $c$ 축이 쉬운 축(Co, 육방 페라이트, Nd₂Fe₁₄B), $K_{u1}<0$ 이면 $c$ 면이 쉬운 면이다.

재료	구조	$K_1$ 또는 $K_{u1}$ (J/m³, 300 K)	쉬운 축	$H_K=2K/\mu_0M_s$ (kA/m)
Fe	bcc	$+4.8\times10^4$	$\langle100\rangle$	45
Ni	fcc	$-5\times10^3$	$\langle111\rangle$	16
Co	hcp	$+4.1\times10^5$ ($K_{u2}=1.5\times10^5$)	$c$ 축	460
Fe₃O₄	스피넬	$-1.1\times10^4$	$\langle111\rangle$	37
퍼멀로이 Ni₈₀Fe₂₀	fcc	$\sim0$ (조성 조절)	—	~0.1
BaFe₁₂O₁₉	육방	$+3.3\times10^5$	$c$ 축	1,400
Nd₂Fe₁₄B	정방	$+4.9\times10^6$	$c$ 축	6,100
SmCo₅	육방	$+1.7\times10^7$	$c$ 축	31,000
FePt (L1₀)	정방	$+6.6\times10^6$	$c$ 축	9,300
CoFeB/MgO (1.3 nm)	계면	$K_{\mathrm{eff}}\sim3\times10^5$	막 수직	~400

네 자릿수에 걸쳐 있고, 마지막 열의 이방성 자기장 $H_K=2K/\mu_0M_s$ 가 그 이방성을 이기고 자화를 어려운 축으로 세우는 데 드는 장이다 — 곧 단자구 입자의 보자력 상한이다.

이방성을 재는 가장 직접적인 방법은 단결정의 자화 곡선을 축 방향별로 재는 것이다.

그림 8.13-10. 철 단결정의 자화 곡선(수치 최소화 모형). 쉬운 축 [100](강조)으로 장을 걸면 벽 이동만으로 거의 0의 장에서 포화한다. [110]은 벽 이동이 끝난 뒤 M/M_s = cos 45° = 0.71에서 출발해 자화를 [100]에서 [110]으로 돌리는 회전 과정을 거쳐 2K₁/M_s = 56 mT에서 포화하고, 어려운 축 [111](점선)은 cos 54.7° = 0.58에서 출발해 더 큰 장이 든다. 곡선 사이의 넓이 μ₀∫H dM의 차이가 그 방향으로 자화를 세워 두는 데 드는 일, 곧 이방성 에너지 차 — [110]은 K₁/4, [111]은 K₁/3이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 넓이가 상수다. 그림 8.13-10 의 세로축은 $M/M_s$, 가로축은 $\mu_0H$ 이므로 곡선 아래가 아니라 곡선과 $M=M_s$ 사이의 넓이 $\int_0^{M_s}\mu_0H\,dM$ 이 그 방향으로 포화시키는 데 외부가 한 일이다. 쉬운 축은 넓이가 0 이고, [111] 은 $K_1/3$, [110] 은 $K_1/4$ — 입방 식에 $\alpha_i=1/\sqrt3$ 과 $(1/\sqrt2,1/\sqrt2,0)$ 을 넣은 값이다. 실험 곡선의 넓이를 재서 $K_1$ 을 얻는 것이 고전적 방법(혼다–카야, 1926)이고, 토크 자력계와 강자성 공명(7.13.12)이 그 뒤를 이었다.

수식적 직관 — 왜 $\alpha^2$ 의 곱인가. 이방성 에너지는 자화를 뒤집어도($\mathbf m\to-\mathbf m$) 같아야 하므로 $\alpha_i$ 의 홀수 차수가 없고, 입방 대칭에서는 축을 바꿔도 같아야 하므로 $\alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=1$ 인 2차 항은 상수가 되어 사라진다. 살아남는 최저 차수가 4차 $\sum\alpha_i^2\alpha_j^2$ 이고, 그래서 입방 결정의 이방성은 일축보다 “한 차수 높은” 효과라 대개 작다. 일축에서는 2차 $\sin^2\theta$ 가 살아남아 크다 — 경자성체가 전부 육방·정방인 이유다.

온도 의존 — 이방성은 자화보다 빨리 죽는다

이방성은 스핀이 정렬돼 있어야 뜻이 있으므로 $M_s(T)$ 와 함께 줄어드는데, 훨씬 빨리 준다. 젠너·칼렌의 결과로, $l$ 차 이방성 상수는

$$\frac{K_l(T)}{K_l(0)}=\left[\frac{M_s(T)}{M_s(0)}\right]^{l(l+1)/2}$$

— 일축($l=2$)은 $M^3$, 입방($l=4$)은 $M^{10}$ 이다. 철의 $K_1$ 은 $M_s$ 가 10% 줄 때 65% 줄고, 상온에서 이미 0 K 값의 절반이다. 결과가 둘이다. 첫째, 경자성체의 보자력은 온도에 매우 민감하다 — Nd₂Fe₁₄B 의 $H_{ci}$ 는 −0.6%/K 로 100 °C 에서 절반이고, 그래서 자동차 모터용 자석에 Dy·Tb 를 넣어 $K$ 를 키운다. 둘째, 일부러 데워서 $K$ 를 낮추는 것이 가능하다 — 8절의 열 보조 기록이 이 $M^3$ 법칙을 쓴다. 자화는 아직 있는데 이방성만 사라진 온도 창이 $T_C$ 아래 수십 K 에 있다.

형상 이방성 — 5절의 반자기장이 만드는 이방성

5절의 정자기 에너지 $\tfrac12\mu_0NM^2$ 에서 $N$ 이 방향마다 다르면 그것이 곧 이방성이다. 긴축 $N_\parallel$, 짧은축 $N_\perp$ 인 회전 타원체에서 긴축과 $\theta$ 를 이룬 자화의 에너지는

$$u_{\mathrm{sh}}=\tfrac12\mu_0M_s^2\big(N_\parallel\cos^2\theta+N_\perp\sin^2\theta\big) =\text{const}+\tfrac12\mu_0(N_\perp-N_\parallel)M_s^2\sin^2\theta$$

— 일축 이방성 $K_{\mathrm{sh}}=\tfrac12\mu_0(N_\perp-N_\parallel)M_s^2$ 이고, 쉬운 축은 긴축이다. 긴 바늘($N_\parallel=0,\ N_\perp=1/2$)에서 $K_{\mathrm{sh}}=\tfrac14\mu_0M_s^2$ — 철이면 $9.2\times10^5$ J/m³ 로 결정 이방성의 20 배다. 알니코 자석(스피노달 분해로 생긴 Fe–Co 바늘, 8.7.7)과 초기 자기 테이프(γ-Fe₂O₃ 바늘 입자)의 보자력이 전부 형상 이방성이고, 결정 이방성이 작은 재료를 경자성으로 만드는 유일한 길이다.

박막에서는 형상 이방성이 면내를 강제한다. 판의 $N_\perp=1$, $N_\parallel=0$ 이므로 막에 수직으로 자화하는 데 $\tfrac12\mu_0M_s^2$ 가 든다 — CoFeB($\mu_0M_s\approx1.5$ T)에서 $9\times10^5$ J/m³ 다. 이것을 이기고 자화를 세우려면 그보다 큰 수직 이방성이 있어야 하고, 그 원천이 다음의 계면 이방성이다.

자기탄성 이방성 — 응력이 쉬운 축을 돌린다

자화되면 결정이 조금 늘거나 준다 — 자기변형(magnetostriction)이다. 포화까지 자화했을 때의 변형률 $\lambda_s=\Delta l/l$ 이 재료 상수이고, $10^{-6}\sim10^{-5}$ 자릿수다. 기원은 결정 이방성과 같은 스핀–궤도 결합이다 — 스핀 방향이 바뀌면 궤도 분포가 바뀌고, 궤도 분포가 결합 길이를 바꾼다.

재료	$\lambda_{100}$	$\lambda_{111}$	$\lambda_s$ (다결정)
Fe	$+21\times10^{-6}$	$-21\times10^{-6}$	$-7\times10^{-6}$
Ni	$-46\times10^{-6}$	$-24\times10^{-6}$	$-34\times10^{-6}$
Co (다결정)	—	—	$-62\times10^{-6}$
Fe–3Si	$+23\times10^{-6}$	$-4\times10^{-6}$	$+9\times10^{-6}$
퍼멀로이 Ni₈₁Fe₁₉	$\sim0$	$\sim0$	$\sim0$
CoFe₂O₄	$-590\times10^{-6}$	$+120\times10^{-6}$	$-110\times10^{-6}$
Terfenol-D (Tb₀.₃Dy₀.₇Fe₂)	$+90\times10^{-6}$	$+1600\times10^{-6}$	$+1200\times10^{-6}$

거꾸로, 응력을 걸면 자화가 특정 방향을 좋아하게 된다(빌라리 효과). 등방 자기변형 $\lambda_s$ 와 1축 응력 $\sigma$ 에서 응력 축과 $\theta$ 를 이룬 자화의 에너지는

$$u_\sigma=-\tfrac32\lambda_s\,\sigma\cos^2\theta \quad\Longrightarrow\quad K_\sigma=\tfrac32\lambda_s\sigma$$

— $\lambda_s\sigma>0$ (양의 자기변형에 인장, 또는 음에 압축)이면 응력 축이 쉬운 축이다. 여기서 3절이 6절과 만난다. $\lambda_s=20\times10^{-6}$ 인 막에 3절의 박막 열응력 100 MPa 가 걸리면 $K_\sigma=3\times10^3$ J/m³ — 퍼멀로이의 결정 이방성보다 크고 니켈의 것과 같다. 자성 박막 소자에서 응력 관리는 곧 이방성 관리이고, 퍼멀로이의 조성을 81% Ni 로 잡는 이유는 거기서 $K_1$ 과 $\lambda_s$ 가 동시에 0 을 지나기 때문이다(위 표의 퍼멀로이 줄 — Ni 78~81% 사이). 응력을 못 없애면 자기변형을 없애는 것이 답이다.

자기변형은 그 자체로 소자이기도 하다 — 변압기의 웅웅 소리(자속이 초당 100 번 뒤집히며 철심이 $\lambda_s$ 만큼 늘었다 준다), 초음파 변환기와 소나(Terfenol-D, 니켈), 자기변형 센서. 그리고 1절의 인바가 여기로 돌아온다 — 자발 자화가 부피에 거는 자기변형이 열팽창을 상쇄한 것이었다.

유도 이방성과 계면 이방성 — 만들어 넣는 쉬운 축

장 어닐. Ni–Fe 합금을 $T_C$ 아래에서 자기장을 걸고 식히면 Ni–Ni, Fe–Fe 원자쌍이 자화 방향에 대해 우선 배향(방향 규칙화)해 $K_u\sim10^2\sim10^3$ J/m³ 의 일축 이방성이 생긴다. 쉬운 축을 장 방향으로 두면 사각 고리, 수직으로 두면 기울어진 선형 고리 — 테이프 헤드와 센서가 원하는 모양을 만들어 넣는 방법이다. 압연 집합조직(8.2.4집합조직(texture))도 같은 효과를 내고, 7절의 방향성 규소강이 그 극단이다.

교환 바이어스. 반강자성층에 붙은 강자성층은 계면의 교환 결합 때문에 이력 고리가 한쪽으로 밀린다 — 한 방향만 쉬운 단방향 이방성이다. 스핀 밸브·MTJ 의 고정층이 이것으로 못박힌다. 4절에서 IrMn·PtMn 이 나온 이유이고, 정량은 10.11.5 에 있다.

계면 이방성. 막이 얇아지면 부피 이방성에 더해 계면의 원자층이 내는 면적당 이방성 $K_s$ (J/m²)가 보인다. 두께 $t$ 의 막에서 유효 수직 이방성은

$$K_{\mathrm{eff}}=K_v-\tfrac12\mu_0M_s^2+\frac{2K_s}{t}$$

— 둘째 항이 형상 이방성(면내로 눕힌다), 셋째 항이 위아래 두 계면(막을 세운다)이다. $K_{\mathrm{eff}}>0$ 이면 자화가 막에 수직으로 선다(PMA, perpendicular magnetic anisotropy). CoFeB/MgO 계면의 $K_s\approx1.3$ mJ/m² 는 Fe 의 $d$ 궤도와 O 의 $p$ 궤도가 계면에서 섞이며 생기고, $K_v\approx0$, $\tfrac12\mu_0M_s^2\approx9\times10^5$ J/m³ 를 넣으면 임계 두께

$$t_c=\frac{2K_s}{\tfrac12\mu_0M_s^2-K_v}\approx\frac{2\times1.3\times10^{-3}}{9\times10^5}\approx1.4\ \text{nm}$$

— STT-MRAM 의 CoFeB 자유층이 1.0~1.5 nm 인 이유가 이 한 줄이다(15.11). Co/Pt·Co/Pd 다층막의 PMA 도 같은 계면 항이고, 수직 기록 매체의 CoCrPt 는 결정 이방성($c$ 축 수직 집합조직)으로 같은 일을 한다.

직관

파라미터 연계 — $K$ 하나가 여섯 가지를 정한다. 이방성 상수를 올리면 따라 움직이는 것들을 한 줄에 놓는다.

양	$K$ 의존	$K$ 를 올리면
이방성 자기장 $H_K=2K/\mu_0M_s$	$\propto K$	보자력 상한 ↑, 쓰기 장 ↑
벽 두께 $\pi\sqrt{A/K}$	$\propto K^{-1/2}$	얇아진다 → 작은 결함에도 걸린다
벽 에너지 $4\sqrt{AK}$	$\propto K^{1/2}$	비싸진다 → 벽이 안 생긴다
단자구 크기 $\propto\sqrt{AK}/\mu_0M_s^2$	$\propto K^{1/2}$	커진다
열 안정성 $KV/k_BT$	$\propto K$	같은 부피로 더 오래 버틴다
초기 투자율 $\propto\mu_0M_s^2/K$	$\propto K^{-1}$	무뎌진다

윗줄 다섯이 경자성·기록 매체가 원하는 것이고 마지막 줄이 연자성이 원하는 것이다 — 같은 상수의 양 끝이고, 그래서 7절은 $K$ 를 0 으로 보내는 기술과 최대로 보내는 기술의 두 절반이다. 8절의 트라이레마는 첫째 줄(쓰기 장)과 다섯째 줄(안정성)이 같은 $K$ 에 매달려 있어 생긴다.

의문

니켈의 $K_1$ 은 왜 음수인가? 철은 $\langle100\rangle$, 니켈은 $\langle111\rangle$ 이 쉬운 축이다. 둘 다 입방이고 둘 다 3d 금속인데 부호가 반대다. 결정 이방성은 스핀–궤도 결합의 고차 섭동이고, 그 부호는 페르미 준위 근처에서 어떤 대칭의 $d$ 밴드가 얼마나 차 있는가 — $t_{2g}$ 와 $e_g$ 의 점유 차 — 에 걸린다. 밴드 채움이 바뀌면 부호가 뒤집힌다: Ni 에 Fe 를 넣어 가면 $K_1$ 이 음에서 양으로 지나가고, 그 영점이 퍼멀로이 조성(약 78% Ni)이다. 따라서 “왜 음수인가”의 답은 밴드 계산이고 7.13.5 의 결정장 논리로는 부호까지는 못 간다. 재료 공학은 이 사실을 조성으로 $K_1=0$ 을 만들 수 있다로 쓴다.

연자성·경자성 재료

두 산업, 반대 요구

같은 강자성인데 쓰임이 정반대인 두 부류가 있다. 연자성체는 작은 장으로 큰 자속을 내고 장을 빼면 자화가 사라져야 한다 — 변압기·인덕터·모터의 자심, 자기 실드, 기록 헤드. 경자성체는 한 번 자화되면 스스로 자화를 지키고 바깥에 장을 내야 한다 — 영구자석, 기록 매체. 5·6절의 언어로 요구를 적으면 서로의 거울상이다.

요구	연자성	경자성
보자력 $H_c$	작게 — 0.1~100 A/m	크게 — $10^5\sim10^6$ A/m
투자율 $\mu_i$, $\mu_{\max}$	크게 — $10^3\sim10^5$	무관 (작다)
이방성 $K$, 자기변형 $\lambda_s$	0 으로	최대로 ($K_u$ 일축)
결함·응력	없앤다 (벽이 자유롭게)	만든다 또는 벽이 못 생기게 (단자구)
포화 자화 $M_s$	크게 (자속)	크게 ($B_r$, $(BH)_{\max}$)
비저항	크게 (와전류)	무관
등급	$\mu_i$, 손실 W/kg	$(BH)_{\max}$, $H_{ci}$, 온도 계수

가운데 세 줄이 요점이다 — 연/경을 가르는 것은 조성이 아니라 이방성과 미세조직이다. 같은 Fe 가 어닐한 큰 결정립이면 연자성이고 50 nm 바늘이면 경자성이다.

연자성 — 이방성을 지우는 다섯 가지 길

① 조성으로 $K_1$ 과 $\lambda_s$ 를 동시에 0 으로. 6절의 니켈–철 계열이 교과서다. 78~81% Ni 에서 $K_1$ 과 $\lambda_s$ 가 함께 0 을 지나 퍼멀로이(Ni₈₀Fe₂₀, $\mu_i\sim10^4$, $H_c\sim1$ A/m)가 되고, Mo 를 5% 넣으면 비저항이 올라 슈퍼멀로이($\mu_i\sim10^5$)다. Fe–Si–Al 의 센더스트(9.5Si–5.5Al)는 같은 영점을 값싼 원소로 찾은 것이고, 단단해서 테이프 헤드에 쓰였다.

② 결함과 응력을 없앤다. 벽이 걸리는 자리를 없앤다 — 고순도, 큰 결정립(결정립계는 벽을 잡는다, 8.5.5결정립 성장의 속도론), 개재물 제거, 그리고 응력 제거 어닐. 6절의 $K_\sigma=\tfrac32\lambda_s\sigma$ 때문에 가공 응력이 남아 있으면 그 자체가 이방성이라, 자심은 성형 뒤 반드시 어닐하고 그 뒤로는 구부리지 않는다.

③ 와전류를 막는다. 5절의 $P_{\mathrm{eddy}}\propto d^2f^2/\rho_e$ 와 표피 깊이가 지침이다. 전력 주파수(50/60 Hz)는 Si 를 3% 넣어 비저항을 네 배로 올린 규소강을 0.3 mm 로 적층하고, 수십 kHz~MHz 의 전원 장치와 인덕터(22부)는 절연체인 페라이트(MnZn: 1 MHz 아래, 높은 $\mu_i$; NiZn: 수십 MHz 까지, 낮은 $\mu_i$)나 25 μm 리본의 비정질·나노결정 합금을 쓴다.

④ 집합조직으로 쉬운 축을 정렬한다. 규소강판을 압연·2차 재결정시켜 모든 결정립의 $[001]$ (Fe 의 쉬운 축)이 압연 방향을 향하게 만든 것이 방향성 규소강(고스 집합조직 $\{110\}\langle001\rangle$, 8.2.4)이다. 변압기 철심은 자속이 압연 방향으로만 흐르게 감으므로 벽 이동만으로 자화되고 손실이 무방향성의 절반이다.

⑤ 결정립을 극단으로. 벽이 결정립계에 걸린다면 결정립을 없애거나(비정질), 벽 두께보다 훨씬 작게 만들어 이방성이 평균돼 사라지게 한다.

그림 8.13-11. 보자력 대 결정립 크기(Fe계 연자성 상수의 모형, 양대수). 결정립이 교환 길이 L_ex = √(A/K₁) ≈ 35 nm보다 작으면 교환 상호작용이 이웃 결정립들의 이방성을 평균해 ⟨K⟩ = K₁⁴D⁶/A³으로 지우고 보자력이 D⁶으로 가파르게 떨어져 10 nm에서 1 A/m 아래가 된다. 60 nm 근처의 단자구 크기에서 10⁴ A/m의 봉우리를 만든 뒤, 큰 결정립에서는 결정립계 고정 γ_w/(μ₀M_sD)로 1/D를 따라 내려와 1 mm에서 1 A/m 근처가 된다. 비정질과 나노결정 연자성은 왼쪽 끝, 경자성 분말과 기록 매체는 봉우리, 다결정 연자성은 오른쪽 가지에 놓인다 — 한 곡선의 양 끝이 두 산업이다.직접 작도

$D^6$ 의 뜻을 적는다. 결정립이 교환 길이 $L_{\mathrm{ex}}=\sqrt{A/K_1}$ 보다 작으면 교환이 그 안의 스핀을 나란히 묶어, 자화는 결정립 하나가 아니라 $L_{\mathrm{ex}}$ 안의 $N=(L_{\mathrm{ex}}/D)^3$ 개 결정립의 이방성을 한꺼번에 본다. 방향이 무작위인 $N$ 개의 평균은 $K_1/\sqrt N$ 로 줄고, 줄어든 이방성이 다시 $L_{\mathrm{ex}}$ 를 늘려 $N$ 을 키우는 자기일관 계산의 결과가 $\langle K\rangle=K_1^4D^6/A^3$ 이다(헤르처, 1990). Fe₇₃.₅Cu₁Nb₃Si₁₃.₅B₉ 리본을 비정질로 급랭한 뒤 어닐해 Cu 핵 위에 10 nm 의 Fe–Si 결정립을 석출시킨 파인메트가 이 식으로 설계된 첫 재료다 — $\mu_i\sim10^5$, $H_c\approx0.5$ A/m, $B_s=1.2$ T, 그리고 비정질 매트릭스가 비저항을 댄다.

재료	$B_s$ (T)	$\mu_i$	$H_c$ (A/m)	$\rho_e$ (μΩ·m)	주파수·쓰임
순철 (어닐)	2.15	150	80	0.1	직류 전자석, 요크
Fe–3Si 방향성	2.0	1,500	8	0.45	50/60 Hz 변압기
Fe–Co (퍼멘듀르)	2.4	800	160	0.4	최대 $B_s$ — 항공, 기록 헤드 주극
퍼멀로이 Ni₈₀Fe₂₀	0.8	10,000	1	0.55	실드, 센서, 오디오
슈퍼멀로이	0.8	100,000	0.4	0.6	정밀 변압기
비정질 Fe₇₈B₁₃Si₉	1.6	10,000	2	1.3	kHz 변압기, 초크
나노결정 파인메트	1.2	100,000	0.5	1.2	10 kHz~1 MHz 초크
MnZn 페라이트	0.5	2,000	10	$10^6$	1 MHz 아래 전원
NiZn 페라이트	0.35	100	50	$10^{12}$	수십 MHz, EMI 비드
CoZrTa 박막	1.4	500	100	1.0	온칩 인덕터 (GHz)

마지막 줄이 반도체의 것이다. 프로세서에 전압 조정기를 통째로 넣는 온칩 인덕터는 GHz 에서 와전류를 견디는 비정질 Co 계 박막(CoZrTa, CoZrO 적층)을 쓰고, 6절의 유도 이방성으로 쉬운 축을 정해 어려운 축 방향의 회전 투자율만 쓴다 — 벽 이동은 GHz 를 못 따라가기 때문이다.

경자성 — 이방성을 지키는 세 가지 기구

경자성체의 등급은 제2사분면이 정한다. 2.5.8 의 동작점 논의(2.5.8강자성과 히스테리시스)를 그림으로 다시 놓는다.

그림 8.13-12. 영구자석의 제2사분면 B–H 감자 곡선. 원점이 오른쪽에 있고 왼쪽으로 −H가 커진다. Nd₂Fe₁₄B(강조)는 B_r = 1.3 T에서 H_c ≈ 1030 kA/m까지 곧은 직선(M이 일정하므로 B = B_r + μ₀H), Sr 페라이트는 0.4 T에서 320 kA/m까지의 작은 직선, 알니코 5는 1.25 T에서 출발해 50 kA/m에서 급히 꺾이는 굽은 곡선이다. 직선 위의 중점에서 |BH|가 최대이고 그 사각형의 넓이가 (BH)max = B_r²/4μ₀ ≈ 336 kJ/m³다. 원점에서 나가는 두 부하선 — 구(N = 1/3)와 납작한 판(N = 0.8) — 이 감자 곡선과 만나는 점이 자석의 동작점이다. 납작할수록 부하선이 눕고 동작점이 H_c 쪽으로 밀려, 알니코는 거기서 스스로 탈자된다.직접 작도

자석 혼자 있으면 안의 장은 5절의 반자기장 $H=-NM$ 이고, $B=\mu_0(H+M)=-\mu_0H(1-N)/N$ — 원점을 지나는 기울기 $-(1-N)/N$ 의 부하선이다. 그것이 재료의 감자 곡선과 만나는 점이 동작점이고, 자석이 바깥(공극)에 내는 에너지는 동작점의 $|BH|$ 에 자석 부피를 곱한 것이다. 그래서 최대 에너지 곱 $(BH)_{\max}$ 가 자석의 등급이고, 같은 일을 하는 데 필요한 자석 부피에 반비례한다. 감자 곡선이 직선 $B=B_r+\mu_0H$ 이면 중점에서 최대이고

$$(BH)_{\max}=\frac{B_r^2}{4\mu_0} \qquad(\text{직선 감자 곡선의 상한})$$

— 이 상한에 이르려면 $M$ 이 제2사분면 끝($H=-B_r/2\mu_0$)까지 흔들리지 않아야 하므로 $H_{ci}>B_r/2\mu_0$ 이 필요하다. 이것이 경자성체의 설계 조건이고, $B_r$(곧 $M_s$)과 $H_{ci}$ (곧 $K_u$)를 둘 다 크게 하는 문제다.

보자력을 지키는 미세조직의 기구는 셋이다.

① 단자구 입자. 5절의 임계 크기 아래로 입자를 만들면 벽이 없고, 자화 반전은 회전뿐이라 보자력이 $H_K$ 에 다가간다. 페라이트 자석(BaFe₁₂O₁₉·SrFe₁₂O₁₉, 1 μm 소결 입자, $K_1=3.3\times10^5$)이 이것이고, 값이 싸서 전 세계 자석 톤수의 90% 다. 알니코는 Fe–Co 가 풍부한 상과 Ni–Al 상으로 스피노달 분해(8.7.7)해 나노 바늘을 만들고 그 형상 이방성(6절)을 쓴다 — 결정 이방성이 작은 대신 $M_s$ 와 $T_C$(1160 K)가 높아 고온용이다.

② 핵생성형. 소결 Nd₂Fe₁₄B 의 결정립은 수 μm 로 단자구 크기보다 크지만, 결정립 안에는 벽이 생길 씨앗이 없어 역방향 자구가 핵생성되기까지 버틴다. 핵생성은 결정립계의 결함에서 일어나므로 보자력은 결정립계가 정한다 — Nd 가 많은 비자성 결정립계 상으로 결정립을 서로 끊어 놓고(한 결정립의 반전이 옆으로 번지지 않게), Dy·Tb 를 결정립계로 확산시켜 그 표면층의 $K$ 만 올리는 것이 현대 NdFeB 공정이다. 이 “결정립을 비자성 상으로 끊는다”는 설계가 8절의 기록 매체와 정확히 같다.

③ 고정형. Sm₂Co₁₇ 계 자석은 셀 구조 — Sm₂Co₁₇ 셀을 Sm(Co,Cu)₅ 벽이 둘러싼 — 로 석출시키고, 셀 벽의 이방성이 달라 자구벽을 붙잡는다(5절의 골). 이력 고리의 초기 곡선이 낮은 장에서 납작한 것이 고정형의 표지이고, 500 °C 까지 쓰는 고온 자석이다.

재료	$B_r$ (T)	$H_{ci}$ (kA/m)	$(BH)_{\max}$ (kJ/m³)	$T_C$ (K)	$B_r$ 온도 계수 (%/K)	기구
알니코 5	1.25	50	40	1160	−0.02	형상 (단자구 바늘)
Sr 페라이트	0.40	300	30	720	−0.2	단자구 결정
SmCo₅	0.9	2,000	160	1000	−0.04	핵생성
Sm₂Co₁₇	1.1	1,500	240	1100	−0.03	고정
Nd₂Fe₁₄B 소결 (N52)	1.45	900	410	585	−0.12	핵생성
Nd₂Fe₁₄B 본드	0.7	800	80	585	−0.12	등방 분말
FePt L1₀ 박막	1.4	3,000+	—	750	—	단자구 결정립 (HAMR 매체)

$(BH)_{\max}$ 의 이론 상한 $B_r^2/4\mu_0$ 은 Nd₂Fe₁₄B($\mu_0M_s=1.61$ T)에서 516 kJ/m³ 이고 상용 N52 가 410 이다 — 80% 에 와 있다. 더 올리려면 $M_s$ 가 더 큰 상이 필요한데 Fe₁₆N₂ 같은 후보는 이방성이 모자란다. 자석 재료는 이 표에서 30 년째 멈춰 있고, 그래서 경쟁은 희토류를 덜 쓰는 쪽 — Dy 없는 고보자력 NdFeB, 결정립 미세화, 그리고 페라이트의 복귀 — 으로 갔다.

반도체 장비와 소자에서

• 마그네트론 스퍼터(18.10) — 타깃 뒤의 NdFeB 자석 배열이 타깃 표면에 수백 가우스의 장을 만들어 2차 전자를 붙잡고 플라즈마 밀도를 열 배 올린다. 자석의 $(BH)_{\max}$ 가 타깃 두께와 침식 프로파일을 정한다. 챔버 온도가 오르면 −0.12%/K 로 장이 줄므로 자석은 수랭한다.
• 이온 주입기의 질량 분석 자석(18.8) — 연자성 요크(순철·규소강)와 전자석. 요크의 $B_s$ 가 최대 분석 가능한 질량을 정한다.
• 자기 어닐 — MRAM 웨이퍼를 300~400 °C 에서 1 T 의 장을 걸고 어닐해 CoFeB 를 결정화하고 IrMn/PtMn 의 교환 바이어스 방향을 정한다(6절의 유도 이방성). 퍼멀로이 센서의 장 어닐도 같다.
• 웨이퍼 이송·진공 — 자기 결합 로봇과 자성 유체 실이 진공 벽을 관통하지 않고 힘을 전달한다(NdFeB, 페라이트).
• 전력 인덕터(22부) — 페라이트 코어(MHz 아래)와 온칩 박막 자심(GHz). 5절의 손실 식과 표피 깊이가 코어 재료와 형상을 정한다.

직관

물리적 직관 — 결정립을 끊는다는 것. NdFeB 자석과 HDD 매체는 같은 문제를 같은 방법으로 푼다. 결정립 하나하나는 단자구이거나 핵생성이 어려워 $H_K$ 에 가까운 보자력을 가지는데, 결정립들이 교환으로 이어져 있으면 가장 약한 결정립 하나가 뒤집힐 때 그 반전이 옆으로 번져 전체가 무너진다 — 5절의 벽이 결정립계를 넘어 지나가는 것이다. 그래서 결정립 사이에 비자성 층(NdFeB 의 Nd-rich 상, 매체의 SiO₂)을 두어 교환을 끊고, 각 결정립이 제 이방성으로 홀로 버티게 한다. 7절의 나노결정 연자성은 정반대다 — 결정립을 교환으로 이어서 이방성을 평균해 지운다. 결정립계의 교환 결합 하나가 연자성과 경자성을 가른다.

의문

$(BH)_{\max}$ 는 왜 $B_r^2/4\mu_0$ 을 못 넘는가 — 그리고 넘는 자석은 없는가? 직선 감자 곡선 $B=B_r+\mu_0H$ 위에서 $|BH|=|H|(B_r+\mu_0H)$ 는 $H=-B_r/2\mu_0$ 에서 최대이고 그 값이 $B_r^2/4\mu_0$ 이다 — 2차식의 꼭짓점일 뿐이다. 넘으려면 감자 곡선이 직선 위로 볼록해야 하는데, 그것은 $H$ 가 음일수록 $M$ 이 커진다는 뜻이라 열역학적으로 불가능하다. 그러므로 상한은 $M_s$ 가 정하고, $H_{ci}$ 는 그 상한에 이르게 할 뿐 넘게 하지 못한다. 데이터시트에서 $(BH)_{\max}$ 가 $B_r^2/4\mu_0$ 에 얼마나 가까운가가 그 자석의 고리가 얼마나 사각인가(단자구·핵생성이 얼마나 균일한가)를 말해 주는 척도다.

자기 기록 (나노자성과 스핀트로닉스는 10.11)

원리 — 경자성 박막에 방향을 새긴다

자기 기록은 5~7절이 그대로 소자가 된 것이다. 매체는 사각 이력 고리($M_r/M_s\to1$)를 가진 경자성 박막이고, 비트는 그 위의 작은 영역이 위(아래)로 자화된 상태다. 쓰기는 헤드가 국소적으로 $H_c$ 를 넘는 장을 걸어 그 영역을 뒤집는 일이고, 읽기는 두 비트가 만나는 전이에서 새어 나오는 누설 자장(5절의 자극이 만드는 장)을 센서가 감지하는 일이다. 비트 자체가 아니라 전이를 읽으므로, 정보는 전이의 유무에 실린다.

면기록밀도는 (비트 길이)×(트랙 폭)의 역수다. 2026년 현재 통상 수직 기록 HDD 가 1.5 Tb/in² 안팎, 열 보조 기록 제품이 3 Tb/in² 안팎이다 — 1 in² 에 $3\times10^{12}$ 비트, 비트 하나가 $50\times10$ nm² 정도이고, 그 안에 결정립이 열 개 안팎 들어 있다.

그림 8.13-13. 수직 자기 기록의 단면 모식도. 아래 — 유리 기판 위에 연자성 하지층(SUL), Ru 중간층, 결정립 8 nm 남짓의 CoCrPt–SiO₂ 기록층, 탄소 보호막과 윤활층이 차례로 쌓여 있고, 기록층의 결정립들은 위 또는 아래로 자화되어 몇 개씩 묶여 비트를 이룬다. 위 — 좁은 주극과 넓은 귀환극으로 된 쓰기 헤드가 약 10 nm 간격으로 떠 있고, 주극에서 나온 자속이 기록층을 수직으로 뚫고 연자성 하지층을 따라 귀환극으로 돌아온다. 주극 아래의 장은 주극이 좁아 강하고, 귀환극 아래는 넓어 약하므로 이미 쓴 비트를 지우지 않는다. 왼쪽 — 두 실드 사이의 TMR 읽기 센서가 전이의 누설 자장을 읽는다. 디스크는 왼쪽에서 오른쪽으로 지나간다.직접 작도

매체 — 종방향에서 수직으로

2005년 이전의 매체는 자화가 면내(디스크 면에 평행)인 종방향 기록이었다. 6절의 형상 이방성이 박막의 자화를 면내로 눕히니 자연스러운 선택이었지만, 종방향에서는 마주 보는 전이($\rightarrow\leftarrow$)의 자극이 서로 밀어 전이 폭이 넓어지고, 5절의 반자기장이 전이를 스스로 지운다. 전이 폭 $a$ 를 정하는 것은 그 반자기장과 보자력의 싸움이라 $a\propto M_r\delta/H_c$ ($\delta$ 매체 두께)이고, 좁히려면 얇고 보자력이 커야 한다.

수직 기록은 자화를 막에 수직으로 세운다. 그러려면 6절의 형상 이방성 $\tfrac12\mu_0M_s^2$ 을 이기는 수직 결정 이방성이 필요하고, hcp Co 합금의 $c$ 축을 막에 수직으로 세운 CoCrPt (Cr 이 $M_s$ 를 낮춰 형상 항을 줄이고 Pt 가 $K_u$ 를 올린다)가 그 답이다. Ru 중간층이 hcp 의 $c$ 축 집합조직을 만들고, 스퍼터링 중에 함께 넣은 SiO₂ 가 결정립계로 편석해 결정립을 교환에서 끊는다 — 7절의 NdFeB 결정립계와 같은 설계다. 수직 기록의 두 번째 요소가 연자성 하지층(SUL)이다. 기록층 아래에 연자성 막을 두면 헤드의 주극과 하지층이 자기회로(2.5.9)를 이루어, 기록층이 회로의 공극이 된다 — 공극에 장이 집중되므로 헤드 장이 종방향의 두 배가 되고, 그만큼 보자력이 큰 매체를 쓸 수 있다.

매체	종방향 (2005 이전)	수직 (현재)	HAMR (2024~)
기록층	CoCrTa, CoCrPtB	CoCrPt–SiO₂ 입상	FePt L1₀ –C 입상
$K_u$ (J/m³)	$2\times10^5$	$4\sim6\times10^5$	$6\times10^6$
결정립	10~15 nm	7~9 nm	4~6 nm
쓰기 장 원천	링 헤드	주극 + SUL	주극 + 레이저 가열
면밀도	~100 Gb/in²	~1.5 Tb/in²	~3 Tb/in²

트라이레마 — 셋을 한꺼번에 가질 수 없다

밀도를 올리려면 비트가 작아져야 하고, 비트당 결정립 수 $N$ 을 지키려면 결정립이 작아져야 한다. 그러면 세 요구가 충돌한다.

그림 8.13-14. 자기 기록 매체의 트라이레마. 삼각형의 세 꼭짓점 — 열 안정성(K_uV/k_BT ≳ 60, 10년), 신호 대 잡음비(SNR ∝ √N, 결정립을 작게·많이), 기록 가능성(이방성 자기장 2K_u/μ₀M_s가 헤드 자기장 ~1 T 아래) — 은 둘까지는 함께 가질 수 있지만 셋은 못 가진다. 결정립 부피 V를 줄이면 K_u를 올려야 하고, K_u를 올리면 헤드가 못 쓴다. 오른쪽에 탈출구 — 교환 결합 복합 매체, 열 보조 기록, 마이크로파 보조 기록, 비트 패턴 매체 — 를 나열했다.직접 작도

열 안정성. 결정립 하나의 자화가 열로 뒤집히는 시간은 아레니우스 $\tau=\tau_0\exp(K_uV/k_BT)$, $\tau_0\sim10^{-9}$ s 다. 10년을 버티려면 $\ln(3\times10^{8}/10^{-9})\approx40$ 이고, 결정립 부피와 $K_u$ 의 분포, 반자기장의 도움, 여유를 넣어 $\Delta=K_uV/k_BT\gtrsim60$ 이 설계 기준이다. 결정립 8 nm, 두께 15 nm 의 CoCrPt($K_u=5\times10^5$)는 $\Delta\approx90$ 이지만, 결정립을 5 nm 로 줄이면 $\Delta\approx35$ — 데이터가 몇 달 안에 지워진다. 이것이 10.11.2 의 초상자성 한계이고, 결정립을 줄이는 만큼 $K_u$ 를 올려야 한다.

기록 가능성. 그런데 $K_u$ 를 올리면 6절의 $H_K=2K_u/\mu_0M_s$ 가 오르고, 헤드가 낼 수 있는 장은 주극 재료(Fe–Co, $B_s=2.4$ T)가 정하는 약 1 T 를 넘지 못한다. CoCrPt 의 $H_K$ 는 이미 그 근처다. $K_u=6.6\times10^6$ 인 FePt 는 $\mu_0H_K\approx12$ T 라 어떤 헤드도 못 쓴다.

신호 대 잡음비. 전이의 위치는 결정립 경계를 따라 들쭉날쭉하고, 그 지터가 잡음이다. 비트당 결정립이 $N$ 개면 평균이 $\sqrt N$ 로 좋아져 SNR $\propto10\log N$ — 결정립을 작게 많이 넣어야 한다.

세 요구는 $V$ 와 $K_u$ 라는 두 변수에 걸려 있고 둘로 셋을 만족시킬 수 없다. 탈출구는 넷이다.

1. 교환 결합 복합(ECC) 매체 — 경자성층 위에 연자성층을 교환으로 붙인다. 연자성층이 먼저 돌기 시작해 경자성층을 지렛대처럼 끌어 스위칭 장은 낮추면서, 안정성은 두 층의 합 $KV$ 가 지킨다. 현재 수직 매체는 대부분 이것이다.
2. 열 보조 기록(HAMR) — 6절의 $K_u(T)\propto M^3$ 을 쓴다. 쓰는 순간만 레이저(근접장 광학 트랜스듀서로 수십 nm 에 집속)로 매체를 $T_C$ 근처(FePt 750 K)까지 1 ns 안에 데워 $K_u$ 를 무너뜨리고, 헤드 장으로 뒤집은 뒤 식혀 잠근다. 실온에서는 $\Delta$ 가 넉넉한 FePt 를 쓸 수 있으므로 결정립 4~5 nm 가 가능하다. 이 장의 1절(열확산율 — 나노초에 열이 얼마나 퍼지는가)과 6절(이방성의 온도 의존)이 한 소자에서 만나는 자리다.
3. 마이크로파 보조 기록(MAMR) — 스핀 토크 발진기(10.11.10)의 마이크로파가 자화의 세차를 공명으로 키워 낮은 장에서 뒤집는다.
4. 비트 패턴 매체 — 비트 하나를 결정립 하나로 만들어 $N=1$ 의 지터를 없앤다. 리소그래피 비용 때문에 상용화되지 않았다.

직관

파라미터 연계 — 한 상수의 세 얼굴. 트라이레마는 새 물리가 아니라 6절의 표 한 줄 — ”$K$ 를 올리면 $H_K$ 와 $KV$ 가 함께 오른다” — 의 결과다. 안정성은 $KV$ 를 원하고, 쓰기는 $K$ 를 싫어하고, SNR 은 $V$ 를 싫어한다. 세 꼭짓점을 잇는 두 변이 전부 같은 $K$ 를 지나므로, 탈출구는 모두 $K$ 를 시간에 따라 바꾸거나(HAMR: 쓸 때만 낮춘다), $K$ 와 스위칭 장을 떼어 놓거나(ECC, MAMR: 스위칭 장을 $H_K$ 아래로), $V$ 와 $N$ 을 떼어 놓는(비트 패턴) 것이다. 15.11 의 MRAM 도 같은 그림이다 — 자유층의 $\Delta\gtrsim60\sim80$ 과 스위칭 전류가 같은 $K_{\mathrm{eff}}$ 에 매달려 있고, 셀을 줄이면 $V$ 가 줄어 $K$ 를 올려야 하며, 그러면 전류가 는다. HDD 가 20 년 먼저 겪은 문제다.

헤드 — 쓰기는 자기회로, 읽기는 스핀트로닉스

쓰기 헤드는 2.5.9 의 자기회로다. 코일이 기자력 $NI$ 를 내고, 연자성 요크가 자속을 주극으로 모아 좁은 단면에서 $B_s$ 까지 밀어붙인다 — 주극 재료의 $B_s$ 가 헤드 장의 상한이라 $B_s$ 가 가장 큰 Fe–Co(퍼멘듀르, 2.4 T)를 쓴다. 귀환극은 넓어 장이 약하므로 이웃 비트를 지우지 않는다. 헤드가 매체를 지나는 데 걸리는 시간이 비트당 1 ns 아래라 요크는 GHz 에서 와전류와 벽 이동 지연 없이 응답해야 하고, 7절의 온칩 인덕터와 같은 문제 — 적층 박막, 회전 자화 — 를 먼저 풀었다.

읽기 헤드는 반도체와 가장 가까운 자리다. 누설 자장 하나를 읽는 센서가 1990년 이방성 자기저항(AMR, 퍼멀로이, 2%), 1997년 거대 자기저항(GMR 스핀 밸브, 10%), 2005년 터널 자기저항(TMR, CoFeB/MgO/CoFeB, 100% 이상)으로 바뀌었고, 각 세대가 면밀도를 열 배씩 끌어올렸다. 셋의 물리는 10.11.6~8 에 있다 — 스핀에 따라 산란과 터널링이 다르다는 것. 센서는 두 연자성 실드 사이에 놓이고, 실드 간격이 전이를 갈라 읽는 분해능이라 비트 길이와 함께 줄어 20 nm 대다. MRAM 의 자기터널접합은 이 읽기 센서를 저장 소자로 뒤집어 쓴 것이다 — 자유층이 매체, 고정층이 기준, 스핀 전달 토크가 헤드.

테이프와 고체 기록

자기 테이프는 밀도가 HDD 의 백분의 일이지만 부피당·비용당으로는 여전히 가장 싸고 30 년을 버텨 데이터센터의 저장 계층 맨 아래에 남아 있다. 매체는 폴리머 필름에 코팅한 20 nm 의 BaFe₁₂O₁₉·SrFe₁₂O₁₉ 판상 입자 — 7절의 페라이트 자석과 같은 재료를 단자구 크기로 만든 것이다. HDD 의 아레니우스 논리가 그대로 적용되고, 결정 이방성이 크고 산화물이라 부식이 없어 보존성이 좋다.

고체 자기 기록은 이 장에서 15.11 로 넘어가는 다리다. MRAM 은 매체·헤드·센서를 자기터널 접합 하나에 넣은 것이고, 필요한 재료 물성은 이 장의 목록과 정확히 같다 — 자유층의 수직 이방성(6절의 계면 $K_s$), 열 안정성 $\Delta$(8절의 기준), 고정층의 교환 바이어스(6절의 유도 이방성), 그리고 BEOL 온도(400 °C)를 견디는 $T_C$ 와 계면(4절). 1970년대의 자기 버블 메모리(가넷 막의 원통형 자구를 옮겨 저장)는 5절의 자구를 직접 비트로 쓴 첫 시도였고, 스핀트로닉스 이후의 레이스트랙 메모리가 그 발상을 나노선의 벽 이동으로 다시 하고 있다.

의문

SNR 은 왜 $\sqrt N$ 인가 — 그리고 결정립을 아예 없애면 안 되나? 전이는 이상적으로는 직선이지만 실제로는 결정립 경계를 따라가므로, 그 위치의 표준편차는 결정립 크기 $D$ 자릿수다. 읽기 센서는 트랙 폭 안의 결정립 $N$ 개를 한꺼번에 보므로 위치의 평균값은 $D/\sqrt N$ 로 좁아진다 — 그래서 $\sqrt N$ 이다. 결정립을 없앤 연속 매체(비정질 또는 교환으로 이어진 다결정)라면 지터가 없을 것 같지만, 그러면 7절의 논리대로 전이가 벽이 되어 이웃 비트로 번지고, 벽 자체가 결함에 걸려 들쭉날쭉해진다. 결정립을 끊는 것과 결정립을 작게 하는 것 사이의 타협이 매체이고, 그 타협을 없애는 것이 비트 패턴 매체(비트 = 결정립 하나, $N=1$ 이면서 지터 0)인데 그것은 리소그래피 문제로 넘어간다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 열은 부피 열용량이 재료 무관이라 열전도도가 전부이고, 열응력은 $E\alpha\Delta T$ 의 자릿수에서 못 이룬 변형이 만들며, 자성 재료는 같은 $K$ 를 0 으로 보내면 연자성, 최대로 보내면 경자성과 기록 매체가 된다. 목적지를 적어 둔다.

• 소자 열 해석 (14부, 20부) — 열저항 회로와 접합 온도(2절), $\kappa(T)$ 의 되먹임과 SOI·FinFET 의 크기 효과(2절), 계면 열저항(2절), 열확산율과 열 침투 깊이(1절).
• 공정 (18부) — 열산화막·배선의 열응력과 고유 응력(3절), RTP 의 열 기울기와 슬립(3절), 레이저·플래시 어닐의 열 침투(1절), 스퍼터 마그네트론의 자석(7절), 자기 어닐(6·7절).
• 계측·신뢰성 (19부) — 스토니 식과 웨이퍼 휨(3절), 응력 유기 보이드와 열 순환(3절), 솔더 피로와 코핀–맨슨(3절).
• 패키징 (23부) — CTE 불일치·언더필·TSV 구리 돌출(3절), 열 계면 재료와 HBM 의 열 경로(2절).
• 박막·계면 (9.11, 9.12) — 박막 응력의 두 원천(3절), 응력이 만드는 자기 이방성(6절), 일렉트로마이그레이션의 열(2절).
• 나노자성·스핀트로닉스 (10.11) — 단자구 크기(5절), 초상자성과 $\Delta$(8절), 스토너–볼파스 스위칭과 $H_K$(6절), 교환 바이어스(6절), GMR·TMR 읽기 헤드(8절).
• 메모리 (15.11) — MRAM 자유층의 계면 수직 이방성과 임계 두께(6절), 열 안정성(8절), BEOL 온도와 $T_C$(4절).
• 센서·전력 (17.12, 22부) — 자기 센서의 연자성 박막과 유도 이방성(6·7절), 인덕터의 페라이트· 박막 자심과 와전류·표피 깊이(5·7절).
• 회로 (21·22부) — 자기 발열과 열 시상수(1·2절), 인덕터 코어 손실(5절).