7부 고체물리 7.2

역격자와 회절

7.1은 결정을 점의 집합으로 다뤘다 — 격자 병진 벡터 $\mathbf T$ 가 닿는 곳마다 같은 기저가 놓인다. 이 장은 같은 결정을 파동의 언어로 다시 쓴다. 질문은 하나다. 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 가운데 결정과 같은 주기를 가진 것, 즉 $\mathbf r$ 을 $\mathbf r+\mathbf T$ 로 옮겨도 값이 변하지 않는 것은 어느 $\mathbf k$ 인가? 답은 격자마다 정해진 이산적인 벡터의 집합이고, 그것이 역격자다. 이 장의 나머지는 전부 그 집합 하나에서 나온다.

결정의 어떤 주기 함수(전자 밀도, 퍼텐셜)도 역격자 벡터 $\mathbf G$ 의 평면파로만 전개된다 (1·5절).
파동이 결정에서 산란될 때 보강 간섭하는 방향은 $\mathbf k'-\mathbf k=\mathbf G$ 로 정해진다 — 브래그 법칙의 벡터 형태다 (3·4절).
역격자의 위그너–자이츠 세포가 브릴루앙 영역이고, 전자·포논의 $\mathbf k$ 는 전부 그 안에서 센다. 경계면은 정확히 브래그 반사가 일어나는 면이다 (2절).
회절 봉우리의 세기는 세포 안의 원자 배치와 원자의 전자 구름이 정한다 — 구조 인자와 형상 인자 (6·7절).

이 장이 반도체에서 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

밴드 구조의 무대 — 7.7 이후의 $E$ – $\mathbf k$ 도표는 전부 브릴루앙 영역 안에서, $\Gamma$ · $X$ · $L$ 같은 대칭점을 잇는 선 위에서 그린다. Si의 전도대 최소가 $\Gamma$ – $X$ 선 위에 여섯 개 있다는 말(7.9)은 이 장의 그림 7.2-3을 알아야 뜻이 통한다. 블로흐 정리(7.7)의 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{\mathbf k}(\mathbf r)$ 에서 $u_{\mathbf k}$ 의 푸리에 전개가 $\mathbf G$ 로만 이루어지는 것도 1절이다.
X선 회절(XRD) — 웨이퍼의 결정성·에피택시 층의 격자 상수와 변형·박막 두께·결정립 크기를 재는 표준 계측(19.3·18.13)이 3~7절 그대로다. Si(001) 웨이퍼를 (004) 반사로 재는 이유는 6절의 소멸 법칙이다.
전자 회절 — TEM의 회절 무늬(8.2), 에피 성장 중의 RHEED 줄무늬(9.13·18.13)가 4절의 에발트 작도다. 전자는 파장이 짧아 구가 거의 평면이 된다.
포논과 산란 — 결정 운동량 $\hbar\mathbf k$ 가 $\hbar\mathbf G$ 만큼만 보존되는 것(7.4·7.5의 움클랍)과, 전자–포논 산란의 선택 규칙이 3절의 조건 $\Delta\mathbf k=\mathbf G$ 의 후손이다.

표기는 Kittel(Ch.2)을 기준으로 한다. 실공간의 격자 기본 벡터는 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ , 역격자의 기본 벡터는 $\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3$ , 역격자 벡터는 $\mathbf G$ , 격자 병진 벡터는 $\mathbf T$ 다. Ashcroft·Mermin은 같은 것을 $\mathbf K$ 와 $\mathbf R$ 로 쓴다. 이 장은 기호가 많고 대소문자 짝이 여럿이라 표를 앞에 둔다 — 절마다 처음 나올 때 다시 말하지만, 헷갈리면 여기로 돌아온다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$	격자 기본 벡터	실공간 원시 세포의 세 변 (7.1)	길이
$\mathbf T=u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3$	격자 병진 벡터	$u_i$ 는 정수. 격자점 전체	길이
$\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3$	역격자 기본 벡터	$\mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\delta_{ij}$	1/길이
$\mathbf G=v_1\mathbf b_1+v_2\mathbf b_2+v_3\mathbf b_3$	역격자 벡터	$v_i$ 는 정수. 밀러 지수로 쓰면 $\mathbf G_{hkl}$	1/길이
$V_c$	원시 세포 부피	$\mathbf a_1\cdot\mathbf a_2\times\mathbf a_3$	길이³
$\mathbf k,\ \mathbf k'$	입사·산란 파수 벡터	크기 $2\pi/\lambda$ . 탄성 산란이면 $k'=k$	1/길이
$\Delta\mathbf k=\mathbf k'-\mathbf k$	산란 벡터	회절 조건은 $\Delta\mathbf k=\mathbf G$	1/길이
$\lambda$	파장	X선·전자·중성자	길이
$\theta$	브래그 각	면과 잰 각. 검출기는 입사 방향에서 $2\theta$	—
$d_{hkl}$	면간 거리	$(hkl)$ 족의 이웃 면 사이 거리 $=2\pi/\lvert\mathbf G_{hkl}\rvert$	길이
$n(\mathbf r)$	전자 수 밀도	격자 주기 함수. 회절 차수 $n$ 과 글자가 같다 — 3절의 주의	1/길이³
$n_{\mathbf G}$	밀도의 푸리에 계수	$n(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}n_{\mathbf G}e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}$	1/길이³
$F$	산란 진폭	결정 전체. $\int n(\mathbf r)e^{-i\Delta\mathbf k\cdot\mathbf r}\,dV$	—
$S_{\mathbf G}$	구조 인자	세포 하나의 진폭. $F_{\mathbf G}=NS_{\mathbf G}$	—
$f_j$	원자 형상 인자	원자 $j$ 하나의 진폭. $f_j(\mathbf G=0)=Z_j$	—
$N$	세포 수	결정 안의 원시 세포 개수	—

Kittel은 브래그 법칙에서 시작해 푸리에 해석으로 역격자를 끌어내고, 그 뒤에 브릴루앙 영역을 둔다. 이 장은 목차(toc.json)를 따라 역격자를 먼저 정의하고, 브릴루앙 영역, 회절 조건, 에발트 작도, 산란 진폭의 순서로 간다. 정의를 먼저 두면 나머지가 전부 그 정의의 결과로 읽히기 때문이다. Kittel의 순서로 읽고 싶으면 3절 → 5절 → 1절 → 2절 → 6절 → 7절로 가면 된다.

역격자 벡터

격자 주기를 가진 평면파 — 정의

결정의 전자 밀도든 퍼텐셜이든, 격자 주기를 가진 함수 $n(\mathbf r)$ 는 모든 격자 병진 벡터 $\mathbf T$ 에 대해 $n(\mathbf r+\mathbf T)=n(\mathbf r)$ 을 만족한다 (7.1.1격자와 기저). 이런 함수를 평면파로 전개하려면, 전개에 쓰는 평면파 하나하나가 같은 주기를 가져야 한다:

e^{i\mathbf G\cdot(\mathbf r+\mathbf T)}=e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r} \quad\Longleftrightarrow\quad e^{i\mathbf G\cdot\mathbf T}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf G\cdot\mathbf T=2\pi\times\text{정수} \;\;(\text{모든 }\mathbf T)

이 조건을 만족하는 벡터 $\mathbf G$ 의 집합이 역격자(reciprocal lattice)다. 정의가 이것뿐이다. $\mathbf G$ 는 파수 벡터와 같은 차원(1/길이)을 가지므로 역격자는 실공간이 아니라 파수 공간 ( $\mathbf k$ -공간, 푸리에 공간)에 사는 점의 집합이다. 실공간 격자가 “결정이 어디에 반복되는가”를 말한다면, 역격자는 “결정이 어느 파장·어느 방향의 파동으로 이루어져 있는가”를 말한다.

1차원에서 먼저 본다. 격자 상수 $a$ , $T=ua$ ( $u$ 정수)이면 조건은 $Gua=2\pi\times$ 정수, 즉 $G=2\pi p/a$ ( $p$ 정수)다. 주기 $a$ 인 함수의 푸리에 급수(1.10.1푸리에 급수와 반구간 전개)가 $e^{i2\pi px/a}$ 로만 전개되는 것과 같은 말이다 — 역격자는 푸리에 급수의 파수 목록이고, “역”(reciprocal)이라는 이름은 $2\pi/a$ 가 $a$ 의 역수라는 뜻 그대로다.

기본 벡터 — 왜 하필 외적을 원시 세포 부피로 나누는가

3차원에서 조건 $\mathbf G\cdot\mathbf T=2\pi\times$ 정수를 모든 $\mathbf T=u_1\mathbf a_1+u_2\mathbf a_2+u_3\mathbf a_3$ 에 대해 만족시키려면, $\mathbf G\cdot\mathbf a_1$ , $\mathbf G\cdot\mathbf a_2$ , $\mathbf G\cdot\mathbf a_3$ 가 각각 $2\pi$ 의 정수배이면 충분하고 또 필요하다. 그러니 세 벡터 $\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3$ 를

\mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\,\delta_{ij}

가 되도록 잡으면 (1.2.1행렬과 행렬식), $\mathbf G=v_1\mathbf b_1+v_2\mathbf b_2+v_3\mathbf b_3$ ( $v_i$ 정수)가 정확히 역격자 전체다:

\mathbf G\cdot\mathbf T=2\pi\,(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)

정수의 합이므로 조건이 저절로 맞고, 거꾸로 조건을 만족하는 $\mathbf G$ 는 반드시 이 꼴이다. $\mathbf b_i$ 를 만드는 공식이 Kittel의

\mathbf b_1=2\pi\,\frac{\mathbf a_2\times\mathbf a_3}{\mathbf a_1\cdot\mathbf a_2\times\mathbf a_3},\qquad \mathbf b_2=2\pi\,\frac{\mathbf a_3\times\mathbf a_1}{\mathbf a_1\cdot\mathbf a_2\times\mathbf a_3},\qquad \mathbf b_3=2\pi\,\frac{\mathbf a_1\times\mathbf a_2}{\mathbf a_1\cdot\mathbf a_2\times\mathbf a_3}

이다. 식의 꼴을 읽는다. 분자 $\mathbf a_2\times\mathbf a_3$ 는 $\mathbf a_2$ 와 $\mathbf a_3$ 모두에 수직이므로 $\mathbf b_1\cdot\mathbf a_2=\mathbf b_1\cdot\mathbf a_3=0$ 이 외적의 정의만으로 보장된다. 남은 조건 $\mathbf b_1\cdot\mathbf a_1=2\pi$ 를 맞추는 것이 분모다 — $\mathbf a_1\cdot(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)$ 는 스칼라 삼중곱, 곧 원시 세포의 부피 $V_c$ 이므로 $\mathbf b_1\cdot\mathbf a_1=2\pi V_c/V_c=2\pi$ . 분모는 세 식에서 같고(삼중곱은 순환 치환에 불변), 분자만 첨자를 순환시킨다. 외우는 규칙은 하나다: ” $\mathbf b_i$ 는 나머지 두 $\mathbf a$ 의 외적을 부피로 나눈 것에 $2\pi$ .”

직관

공간적 직관 — $\mathbf b_1$ 은 $\mathbf a_2,\mathbf a_3$ 가 펴는 면에 수직이고, 길이는 그 면들 사이의 간격의 역수다.

$\mathbf a_2,\mathbf a_3$ 가 펴는 격자면의 족을 생각하자. 이웃한 두 면 사이의 간격은 세포 부피를 밑면 넓이로 나눈 $h_1=V_c/\lvert\mathbf a_2\times\mathbf a_3\rvert$ 이고, $\lvert\mathbf b_1\rvert=2\pi\lvert\mathbf a_2\times\mathbf a_3\rvert/V_c=2\pi/h_1$ 이다. 즉 $\mathbf b_1$ 은 ” $\mathbf a_2\mathbf a_3$ 면 족에 수직이고, 파장이 그 면 간격인 평면파”의 파수 벡터다. $e^{i\mathbf b_1\cdot\mathbf r}$ 의 마루가 정확히 그 면들 위에 놓인다. 일반화하면 다음 소절의 $\mathbf G_{hkl}\perp(hkl)$ 이다.

여기서 “역”의 두 번째 뜻이 나온다. 실공간에서 $\mathbf a_1$ 을 길게 늘이면 $V_c$ 가 커져 $\mathbf b_2,\mathbf b_3$ 는 그대로인 채 $\mathbf b_1$ 만 짧아진다. 실공간에서 멀리 떨어진 것은 역공간에서 원점 가까이 모이고, 실공간에서 촘촘한 것은 역공간에서 멀리 흩어진다. 이 반비례가 5절의 산란 봉우리 폭, 7절의 형상 인자, 그리고 1.10의 불확정성(시간 폭 × 주파수 폭 $\gtrsim 1$ )과 같은 뿌리다.

2차원에서는 외적을 쓸 수 없지만 규칙은 같다. $\mathbf b_1\perp\mathbf a_2$ , $\mathbf b_2\perp\mathbf a_1$ 이고 $\mathbf b_1\cdot\mathbf a_1=\mathbf b_2\cdot\mathbf a_2=2\pi$ . 그림 7.2-1이 빗격자 하나로 이것을 보인다 — 실공간에서 $\mathbf a_2$ 가 기울어져 있으면 역공간에서는 $\mathbf b_1$ 이 반대쪽으로 기울고, 실공간의 (11) 격자열에 수직인 벡터 $\mathbf G_{11}=\mathbf b_1+\mathbf b_2$ 의 길이가 열 간격 $d$ 의 역수(× $2\pi$ )다.

그림 7.2-1. 2차원 빗격자와 그 역격자. 왼쪽: 실공간 격자의 기본 벡터 a₁, a₂와 (11) 격자열의 족 — 이웃한 열 사이의 간격이 d다. 오른쪽: 역격자의 기본 벡터 b₁ ⊥ a₂, b₂ ⊥ a₁ (흐린 점선이 a₁, a₂의 방향). G₁₁ = b₁ + b₂는 (11) 열에 수직이고 길이가 2π/d다. 실공간에서 촘촘한 면 족일수록 역공간에서는 원점에서 먼 점이 된다.직접 작도

역격자의 성질 — 세 가지

① 역격자도 브라베 격자다. $\mathbf b_i$ 를 기본 벡터로 하는 격자이므로 (7.1.2브라베 격자) 자기 자신의 역격자를 가지며, 그것은 원래의 실공간 격자다 — 같은 공식을 $\mathbf b$ 에 적용하면 $\mathbf a$ 가 돌아온다. 단, 대칭이 같다고 종류까지 같지는 않다. 단순입방(sc)의 역격자는 sc이지만, 아래에서 보듯 bcc와 fcc는 서로 바뀐다.

② 원시 세포 부피는 $(2\pi)^3/V_c$ . 역격자의 원시 세포 부피는 $\mathbf b_1\cdot\mathbf b_2\times\mathbf b_3$ 이고, 벡터 항등식 $(\mathbf a_2\times\mathbf a_3)\cdot[(\mathbf a_3\times\mathbf a_1)\times(\mathbf a_1\times\mathbf a_2)]=V_c^2$ 을 쓰면

V_c^{*}=\mathbf b_1\cdot\mathbf b_2\times\mathbf b_3=\frac{(2\pi)^3}{V_c}

이다. 실공간 세포가 크면 역공간 세포가 작다 — 다시 반비례다. 이 값이 2절에서 브릴루앙 영역의 부피이고, 7.7에서 “영역 하나에 들어가는 $\mathbf k$ 의 개수 = 결정의 세포 수”가 되는 근거다.

③ $2\pi$ 의 위치. 결정학자들은 $2\pi$ 없이 $\mathbf a^{*}\cdot\mathbf a=1$ 로 정의한 $\mathbf a^{*},\mathbf b^{*},\mathbf c^{*}$ 를 쓴다. 그러면 회절 조건이 $\lvert\mathbf G\rvert=1/d$ 처럼 $2\pi$ 없이 깔끔해지지만, 평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 의 $\mathbf k$ 와 단위가 어긋나 $\mathbf k$ 를 다룰 때마다 $2\pi$ 를 손으로 넣어야 한다. 고체물리는 파동을 다루므로 $2\pi$ 를 정의에 넣는다.

주의

$2\pi$ 규약과 지수 기준 — 두 문헌을 섞을 때 어긋나는 곳.

Kittel·Ashcroft–Mermin·이 장: $\mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\delta_{ij}$ , $\lvert\mathbf G_{hkl}\rvert=2\pi/d_{hkl}$ . 결정학(International Tables, XRD 소프트웨어의 $q$ 대신 $s$ , 회절계의 " $1/d$ " 눈금): $\mathbf a_i^{*}\cdot\mathbf a_j=\delta_{ij}$ , $\lvert\mathbf G^{*}\rvert=1/d$ . 산란 벡터도 $q=4\pi\sin\theta/\lambda$ 와 $s=2\sin\theta/\lambda$ 두 가지가 돌아다닌다. 어느 쪽이든 자기 안에서는 일관되니, 식을 옮겨 올 때 $2\pi$ 를 어디에 뒀는지만 확인하면 된다.
$(hkl)$ 을 어느 세포의 축으로 읽느냐도 갈린다. 입방정의 밀러 지수는 관례상 정육면체 세포의 축 $a\hat{\mathbf x},a\hat{\mathbf y},a\hat{\mathbf z}$ 로 매기므로 $\mathbf G_{hkl}=(2\pi/a)(h,k,l)$ 이다. 그런데 bcc·fcc의 원시 세포는 정육면체가 아니라서, 정육면체 축으로 매긴 $(hkl)$ 가운데 일부는 원시 역격자의 점이 아니다 — fcc는 $h,k,l$ 의 홀짝이 섞인 것, bcc는 $h+k+l$ 이 홀수인 것. 이것이 6절 소멸 법칙의 절반이다.

sc·bcc·fcc의 역격자 — bcc와 fcc는 서로 바뀐다

정육면체 세포 한 변을 $a$ 로 둔다 (7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광)).

단순입방(sc). $\mathbf a_i=a\hat{\mathbf x}_i$ 이면 $V_c=a^3$ , 외적이 축을 그대로 주므로 $\mathbf b_i=(2\pi/a)\hat{\mathbf x}_i$ . 역격자는 한 변 $2\pi/a$ 인 sc다.

체심입방(bcc). Kittel의 원시 벡터

\mathbf a_1=\tfrac12a(-\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),\quad \mathbf a_2=\tfrac12a(\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),\quad \mathbf a_3=\tfrac12a(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}-\hat{\mathbf z})

는 각각 정육면체의 한 꼭짓점에서 몸체 중심으로 가는 벡터다. $V_c=\mathbf a_1\cdot\mathbf a_2\times\mathbf a_3=a^3/2$ (정육면체 하나에 격자점이 2개이므로 당연하다). 외적을 계산하면 $\mathbf a_2\times\mathbf a_3=\tfrac12a^2(\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z})$ 이고

\mathbf b_1=\frac{2\pi}{a}(\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),\qquad \mathbf b_2=\frac{2\pi}{a}(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf z}),\qquad \mathbf b_3=\frac{2\pi}{a}(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y})

이것은 한 변 $4\pi/a$ 인 정육면체의 fcc 원시 벡터다(정육면체 꼭짓점에서 면 중심으로 가는 벡터의 꼴). 즉 bcc의 역격자는 fcc다.

면심입방(fcc). $\mathbf a_1=\tfrac12a(\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z})$ , $\mathbf a_2=\tfrac12a(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf z})$ , $\mathbf a_3=\tfrac12a(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y})$ , $V_c=a^3/4$ . 같은 계산으로

\mathbf b_1=\frac{2\pi}{a}(-\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),\qquad \mathbf b_2=\frac{2\pi}{a}(\hat{\mathbf x}-\hat{\mathbf y}+\hat{\mathbf z}),\qquad \mathbf b_3=\frac{2\pi}{a}(\hat{\mathbf x}+\hat{\mathbf y}-\hat{\mathbf z})

한 변 $4\pi/a$ 인 정육면체의 bcc 원시 벡터다. fcc의 역격자는 bcc. Si·Ge·GaAs가 전부 fcc 격자이므로, 반도체의 $\mathbf k$ -공간은 언제나 bcc 역격자다 — 2절의 잘린 팔면체가 거기서 나온다.

가장 짧은 역격자 벡터가 어느 것인지도 적어 둔다. fcc의 역격자(bcc)에서 원점에 가장 가까운 점은 $(2\pi/a)(\pm1,\pm1,\pm1)$ 여덟 개(길이 $2\pi\sqrt3/a$ ), 다음이 $(2\pi/a)(\pm2,0,0)$ 형 여섯 개(길이 $4\pi/a$ )다. 정육면체 축 지수로 읽으면 각각 $\{111\}$ 과 $\{200\}$ — Si 분말 회절의 첫 두 봉우리이자 (3절 표), Si 브릴루앙 영역의 육각면과 정사각면이다(2절).

역격자 벡터와 격자면 — G는 (hkl)에 수직이고 간격은 2π/|G|

7.1.4의 밀러 지수(7.1.4밀러 지수)는 면을 “축을 어디서 자르는가”로 이름 붙였다. 역격자는 같은 면을 법선 벡터로 이름 붙인다. 다음 정리가 두 이름을 잇는다.

정리. $\mathbf G_{hkl}=h\mathbf b_1+k\mathbf b_2+l\mathbf b_3$ 는 밀러 지수 $(hkl)$ 인 격자면 족에 수직이고, 그 족에서 가장 짧은 역격자 벡터일 때 이웃한 면 사이의 거리는 $d_{hkl}=2\pi/\lvert\mathbf G_{hkl}\rvert$ 다.

증명. $(hkl)$ 면은 축을 $\mathbf a_1/h$ , $\mathbf a_2/k$ , $\mathbf a_3/l$ 에서 지난다(정의). 그러므로 면 안에 놓인 두 벡터로 $\mathbf a_1/h-\mathbf a_2/k$ 와 $\mathbf a_2/k-\mathbf a_3/l$ 을 잡을 수 있다. $\mathbf G_{hkl}$ 과 내적하면 $\mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\delta_{ij}$ 때문에

\mathbf G_{hkl}\cdot\Big(\frac{\mathbf a_1}{h}-\frac{\mathbf a_2}{k}\Big) =\frac{2\pi h}{h}-\frac{2\pi k}{k}=0

이고 다른 하나도 같다. 면 안의 독립인 두 벡터에 수직이니 면에 수직이다. 간격은 원점에서 그 면에 내린 수선의 길이인데, 면 위의 점 $\mathbf a_1/h$ 를 단위 법선 $\hat{\mathbf G}$ 에 사영하면 $d=(\mathbf a_1/h)\cdot\mathbf G/\lvert\mathbf G\rvert=2\pi/\lvert\mathbf G\rvert$ 다. 원점을 지나는 면도 같은 족이므로 이것이 이웃 면 사이 거리다. $\square$

입방정이면 $\mathbf G_{hkl}=(2\pi/a)(h,k,l)$ 이라

d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}

이다. 7.1.4에서 기하로 얻은 식이 여기서는 한 줄이다. 밀러 지수가 커질수록 면이 촘촘해지고 $\mathbf G$ 가 길어진다 — 그림 7.2-1의 표어 그대로다.

직관

수식적 직관 — $e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}$ 은 “마루가 $(hkl)$ 면 위에 놓인 평면파”다.

$\mathbf G\cdot\mathbf r=$ 일정인 면이 평면파의 등위상면이고, 그것이 $\mathbf G$ 에 수직이며 $2\pi/\lvert\mathbf G\rvert$ 간격이라는 것은 평면파의 일반 성질이다. 정리는 그 등위상면 가운데 $\mathbf G\cdot\mathbf r=2\pi\times$ 정수인 것들이 정확히 격자점을 지나는 $(hkl)$ 면들이라고 말한다. 역격자 벡터 하나는 격자면 족 하나이고, 그 족에 “딱 맞는” 파동 하나다. 회절이 면 족마다 하나씩 봉우리를 내는 이유(3절), 격자 주기 함수가 $\mathbf G$ 로만 전개되는 이유(5절)가 전부 이 한 그림이다.

$n\mathbf G_{hkl}$ ( $n=2,3,\dots$ )도 역격자 벡터이고 같은 방향이지만 간격이 $d/n$ 이다. 격자점이 없는 “중간 면”까지 포함한 족이라고 읽어도 되고, $(hkl)$ 족의 $n$ 차 고조파라고 읽어도 된다. 3절의 브래그 법칙에서 차수 $n$ 이 지수에 흡수되는 것이 이 때문이다.

Si 한 줄 계산. $a=5.431\,\text{Å}$ 이면 $2\pi/a=1.157\,\text{Å}^{-1}$ 이고, 자주 쓰는 면의 간격은 다음과 같다.

면	$\sqrt{h^2+k^2+l^2}$	$d_{hkl}$ (Å)	$\lvert\mathbf G_{hkl}\rvert$ (Å⁻¹)
(111)	$\sqrt3$	3.136	2.004
(220)	$\sqrt8$	1.920	3.272
(311)	$\sqrt{11}$	1.638	3.837
(400)	4	1.358	4.628

(001) 웨이퍼의 고분해능 XRD가 (002)가 아니라 (004) 반사를 쓰는 이유는 6절에서 나온다 — 다이아몬드 구조에서 (002)는 $S=0$ 이다. 에피 층의 격자 상수 차이 $\Delta a/a$ 는 $\Delta d/d=-\Delta\theta\cot\theta$ 로 이 (004) 봉우리의 각 이동에서 읽는다(18.13). 면간 거리와 각의 이 관계가 3절 브래그 법칙의 미분이다.

브릴루앙 영역

역격자의 위그너–자이츠 세포

7.1.3에서 실공간 격자의 위그너–자이츠 세포를 만들었다 (7.1.3원시 세포와 위그너-자이츠 세포) — 한 격자점에서 이웃 격자점으로 가는 선분들의 수직이등분면을 전부 그리고, 그 면들이 그 격자점 둘레에 가두는 가장 작은 다면체. 같은 작도를 역격자에 하면 1차 브릴루앙 영역(first Brillouin zone)이다. 원점 $\mathbf k=0$ 에서 역격자점 $\mathbf G$ 로 가는 벡터마다 이등분면

\mathbf k\cdot\hat{\mathbf G}=\tfrac12\lvert\mathbf G\rvert \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf k\cdot\mathbf G=\tfrac12 G^2

을 긋고, 원점을 품는 가장 안쪽 다면체를 취한다. 말로 하면 **“다른 어느 역격자점보다 원점에 가까운 $\mathbf k$ 의 집합”**이다. 그림 7.2-2가 2차원 빗격자에서 작도한 것이다 — 이웃 여섯 점의 이등분선이 육각형을 만들고, 그보다 먼 점의 이등분선은 육각형에 닿지 못한다.

그림 7.2-2. 2차원 빗격자 역격자의 1차 브릴루앙 영역. 원점 Γ에서 이웃 역격자점으로 가는 G 벡터(주황)마다 그 중점 G/2를 지나는 수직이등분선(점선)을 긋는다. 이등분선들이 원점 둘레에 가두는 가장 작은 다각형(색칠한 육각형)이 1차 영역이다. 더 먼 점의 이등분선(흐린 점선)은 영역에 닿지 못한다. 영역의 변은 k·G = |G|²/2를 만족하는 점의 집합 — 3절에서 이것이 회절 조건과 같은 식임을 본다.직접 작도

브릴루앙 영역은 역격자의 원시 세포이므로 부피가 1절의 $V_c^{*}=(2\pi)^3/V_c$ 다. 평행육면체 원시 세포(1절의 $\mathbf b_1,\mathbf b_2,\mathbf b_3$ 가 펴는 것)와 부피가 같지만, 위그너–자이츠 작도는 격자의 점군 대칭을 전부 가진다 — 평행육면체는 회전시키면 자기 자신이 되지 않지만 브릴루앙 영역은 된다. 7.7 이후의 $E(\mathbf k)$ 를 이 영역 안에서 그리는 것은 이 대칭 때문이다.

직관

왜 $\mathbf k$ 를 영역 하나 안에서만 세는가 — 격자 위에서는 $\mathbf k$ 와 $\mathbf k+\mathbf G$ 가 같은 파동이다.

평면파 $e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}$ 을 격자점에서만 본다고 하자. $\mathbf r=\mathbf T$ 에서 $e^{i(\mathbf k+\mathbf G)\cdot\mathbf T}=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf T}e^{i\mathbf G\cdot\mathbf T}=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf T}$ — 두 파동이 격자점 위에서 구별되지 않는다. 원자가 격자점에만 있는 계(격자 진동, 7.4)에서는 이것이 그대로 “파수 $\mathbf k$ 와 $\mathbf k+\mathbf G$ 는 물리적으로 같은 진동”이 되고, 전자처럼 연속인 계에서도 블로흐 정리(7.7)가 같은 결론을 준다. 그러니 서로 다른 파동을 한 번씩만 세려면 $\mathbf k$ -공간을 $\mathbf G$ 평행이동으로 겹치지 않게 잘라야 하고, 그 조각 하나가 브릴루앙 영역이다. 어느 원시 세포를 잡아도 되지만, 원점을 가운데 둔 대칭인 세포 — 위그너–자이츠 세포 — 가 가장 편하다.

같은 현상을 신호 처리에서는 에일리어싱이라 부른다 (1.10.6이산 푸리에 변환과 FFT). 간격 $a$ 로 표본화한 신호는 주파수 $k$ 와 $k+2\pi/a$ 를 구별하지 못하고, 구별되는 주파수는 나이퀴스트 구간 $-\pi/a<k\le\pi/a$ 뿐이다. 1차원 브릴루앙 영역이 정확히 그 구간이다. 격자는 공간을 표본화하는 장치다.

세는 개수. 한 변 $L$ 인 결정에 주기 경계 조건을 걸면 허용되는 $\mathbf k$ 는 $2\pi/L$ 간격의 격자를 이루어 $\mathbf k$ 하나가 부피 $(2\pi)^3/V$ 를 차지한다 ( $V=L^3$ ). 브릴루앙 영역의 부피 $(2\pi)^3/V_c$ 를 이것으로 나누면 $V/V_c=N$ , 결정의 원시 세포 수다. 밴드 하나가 세포당 상태 2개(스핀)를 담는다는 7.7.7의 결론, 포논 가지 하나가 $N$ 개의 모드를 가진다는 7.4의 결론이 여기서 나온다.

1·2·3차원의 영역 — 사슬, 정사각, 그리고 sc·bcc·fcc

1차원. 역격자는 $G=2\pi p/a$ . 원점의 이웃 $\pm2\pi/a$ 의 이등분점이 $\pm\pi/a$ 이므로 1차 영역은 $-\pi/a<k\le\pi/a$ 다. 7.4의 사슬 분산 관계 $\omega(k)$ 를 이 구간에서만 그리는 이유다.

정사각 격자. 한 변 $2\pi/a$ 인 정사각형. 이웃 네 점의 이등분선이 변이다.

단순입방. 역격자가 한 변 $2\pi/a$ 인 sc이므로 1차 영역은 원점을 중심으로 한 변 $2\pi/a$ 인 정육면체다. 여섯 이웃 $(2\pi/a)(\pm1,0,0)$ 형의 이등분면이 여섯 면이다.

bcc. 역격자가 fcc(한 변 $4\pi/a$ )다. 원점에 가장 가까운 점은 $(2\pi/a)(\pm1,\pm1,0)$ 형 12개이고 그 이등분면 12장이 마름모 십이면체를 만든다. 부피는 $(2\pi)^3/(a^3/2)=2(2\pi/a)^3$ .

fcc. 역격자가 bcc(한 변 $4\pi/a$ )다. 가장 가까운 점은 $(2\pi/a)(\pm1,\pm1,\pm1)$ 8개로 그 이등분면이 팔면체를 만드는데, 다음 이웃 $(2\pi/a)(\pm2,0,0)$ 형 6개의 이등분면( $k_x=\pm2\pi/a$ 등)이 팔면체의 여섯 꼭짓점을 잘라 낸다. 그래서 잘린 팔면체(truncated octahedron) — 육각면 8개, 정사각면 6개다. 부피는 $(2\pi)^3/(a^3/4)=4(2\pi/a)^3$ 이고, 그림 7.2-3의 점선 정육면체(한 변 $4\pi/a$ , 부피 $8(2\pi/a)^3$ )의 정확히 절반이다.

그림 7.2-3. fcc와 bcc 격자의 1차 브릴루앙 영역. 왼쪽: fcc 격자(Si·Ge·GaAs)의 영역은 잘린 팔면체 — 8개의 육각면은 G = (2π/a)(±1,±1,±1)의 이등분면, 6개의 정사각면은 G = (2π/a)(±2,0,0)의 이등분면이다. 대칭점 Γ(중심), X(정사각면 중심), L(육각면 중심), K(육각면끼리의 모서리 중점), W(꼭짓점), U(정사각면과 육각면의 모서리 중점)와, 7.9의 E–k 도표가 그려지는 선 Δ(Γ–X)·Λ(Γ–L)·Σ(Γ–K)를 표시했다. 오른쪽: bcc 격자의 영역은 마름모 십이면체 — 12개의 마름모면은 G = (2π/a)(±1,±1,0)형의 이등분면이다. 대칭점 Γ·H(꼭짓점, 정육면체 면 중심)·N(면 중심)·P(꼭짓점). 점선 정육면체는 한 변이 2·(2π/a)이고, 두 영역의 부피는 각각 그 절반과 4분의 1이다.직접 작도

fcc 영역의 대칭점 — Si·Ge·GaAs를 읽는 좌표

잘린 팔면체의 특별한 점에는 관례적인 이름이 있다. $2\pi/a$ 를 단위로 쓴다.

점	좌표 $(2\pi/a)\times$	어디인가	원점에서의 거리 $(2\pi/a)\times$
$\Gamma$	$(0,0,0)$	중심	0
$X$	$(1,0,0)$	정사각면의 중심	1
$L$	$(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$	육각면의 중심	$\sqrt3/2\approx0.866$
$K$	$(\tfrac34,\tfrac34,0)$	육각면 두 장이 만나는 모서리의 중점	$3\sqrt2/4\approx1.061$
$W$	$(1,\tfrac12,0)$	꼭짓점	$\sqrt5/2\approx1.118$
$U$	$(1,\tfrac14,\tfrac14)$	정사각면과 육각면이 만나는 모서리의 중점	$3\sqrt2/4$

$\Gamma$ – $X$ 선을 $\Delta$ , $\Gamma$ – $L$ 선을 $\Lambda$ , $\Gamma$ – $K$ 선을 $\Sigma$ 라 부른다. $X$ 가 $L$ 보다 멀다는 것( $1>0.866$ )을 기억해 두면 좋다 — 정사각면이 육각면보다 원점에서 멀다.

직관

파라미터 연계 — 반도체 셋의 밴드 극값이 이 다면체의 어디에 있는가 (7.9.5).

Si: 전도대 최소가 $\Delta$ 선 위, $\Gamma$ 에서 $X$ 쪽으로 약 85% 지점에 있다. $\Delta$ 선은 $\langle100\rangle$ 방향 여섯 개가 대칭으로 같으므로 골짜기가 6개다. 유효질량이 $\Delta$ 방향으로 길쭉한 회전타원체(종질량 0.92, 횡질량 0.19)인 것도 이 위치 때문이다.
Ge: 전도대 최소가 $L$ 점, 즉 육각면 중심에 있다. $L$ 은 8개이지만 마주 보는 두 육각면 중심은 $\mathbf G=(2\pi/a)(1,1,1)$ 만큼 떨어져 있어 같은 점이므로 골짜기는 4개(반쪽 8개)다 — 위 Callout의 ” $\mathbf k$ 와 $\mathbf k+\mathbf G$ 는 같다”가 여기서 개수를 반으로 줄인다.
GaAs: 전도대 최소가 $\Gamma$ — 가전자대 최대와 같은 점이라 직접 갭이다. 광자는 $\mathbf k$ 를 거의 옮기지 못하므로( $k_{\text{광자}}\sim10^{-3}\times2\pi/a$ ) 직접 갭이어야 발광한다(7.9.6·17부).
셋 다 가전자대 최대는 $\Gamma$ 다. Si·Ge가 간접 갭인 것은 전도대 최소가 $\Gamma$ 를 떠나 있기 때문이고, 그 “떠난 거리”가 이 표의 좌표다.

2차·3차 영역 — 변형 없이 접어 넣는다

이등분면을 더 그리면 1차 영역 바깥에 조각들이 생긴다. 원점에서 출발해 이등분면을 한 번 건너야 닿는 조각들의 합이 2차 영역, 두 번 건너야 닿는 것이 3차 영역이다. 모든 영역은 부피가 같고( $(2\pi)^3/V_c$ ), 각 영역의 조각들을 알맞은 $\mathbf G$ 만큼 평행이동하면 정확히 1차 영역을 채운다 — 조각을 자르거나 늘일 필요가 없다. 이 접어 넣기가 7.8.5의 환원 영역 도식이고, 밴드 지수 $n$ 이 “몇 번째 영역에서 접혀 왔는가”를 세는 셈이다. 지금은 1차 영역만 쓰면 되고, 2차 이상은 7.7.5(빈 격자 근사)에서 자유전자 포물선을 접을 때 다시 온다.

브래그 조건과 라우에 조건

왜 X선인가 — 파장이 격자 상수와 같아야 한다

가시광의 파장은 $5000\,\text{Å}$ 정도라 원자 간격( $\sim2$ – $3\,\text{Å}$ )의 천 배가 넘는다. 이런 파동에 결정은 연속 매질이고, 광학 상수(굴절률)만 남는다(3.3). 격자를 격자로 보려면 파장이 격자 상수와 비슷하거나 짧아야 하고, 그러려면 세 가지 탐침 중 하나를 쓴다.

탐침	파장	$\lambda=1\,\text{Å}$ 근방의 에너지	무엇과 상호작용하는가
X선 광자	$\lambda(\text{Å})=12.4/E(\text{keV})$	Cu K $\alpha$ 8.05 keV → 1.541 Å	전자 (전자 밀도 $n(\mathbf r)$ )
전자	$\lambda(\text{Å})\approx12.3/\sqrt{E(\text{eV})}$	150 eV → 1.0 Å (LEED) · 200 keV → 0.025 Å (TEM, 상대론 보정)	정전 퍼텐셜 (핵 + 전자)
중성자	$\lambda(\text{Å})\approx0.28/\sqrt{E(\text{eV})}$	열중성자 0.025 eV → 1.8 Å	핵 (그리고 자기 모멘트)

X선은 $E=hc/\lambda$ , 전자와 중성자는 드브로이 관계 $\lambda=h/\sqrt{2mE}$ (5.1.5드브로이 물질파와 전자 회절)다. 세 탐침은 파장은 비슷하게 맞출 수 있어도 무엇에 산란되는가가 달라 서로를 보완한다 — 7절 끝에서 다시 표로 정리한다. 이 장의 식은 세 탐침에 공통이고, 다른 것은 7절의 형상 인자뿐이다.

브래그 법칙 — 격자면의 거울 반사

W. L. 브래그(1913)의 설명은 놀랄 만큼 단순하다. 결정을 간격 $d$ 인 평행한 격자면의 족으로 보고, 각 면이 입사파를 거울처럼 반사한다고 하자(한 면이 반사하는 몫은 $10^{-3}$ – $10^{-5}$ 로 작아서, 수천 장의 면이 함께 기여한다). 이웃한 두 면에서 반사된 파의 경로차가 그림 7.2-4처럼 $2d\sin\theta$ 이고, 이것이 파장의 정수배일 때 모든 면의 반사파가 같은 위상으로 겹친다:

2d\sin\theta=n\lambda,\qquad n=1,2,3,\dots

그림 7.2-4. 브래그 반사의 기하. 간격 d인 격자면에 평행광이 면과 각 θ를 이루며 들어와 거울 반사한다. 첫 면의 반사점 A와 그 바로 아래 둘째 면의 반사점 B 사이 거리가 d이고, 둘째 면에서 반사한 파가 더 가는 길은 강조한 두 토막 — A에서 내린 두 수선의 발과 B 사이 — 로 각각 d sin θ, 합쳐서 2d sin θ다. 이것이 nλ이면 보강 간섭한다. θ는 면과 잰 각이고, 입사 방향에서 반사 방향까지의 각은 2θ다.직접 작도

식을 읽는다.

$\theta$ 는 면과 잰 각이다. 광학의 입사각(법선과 잰 각)과 다르다. 회절계에서 검출기가 놓이는 각은 입사빔 기준 $2\theta$ 이고, 그래서 XRD 데이터의 가로축이 $2\theta$ 다.
$n$ 은 회절 차수다. 같은 면 족에서 경로차가 $\lambda,2\lambda,3\lambda,\dots$ 인 반사가 따로 나온다. 그런데 $n$ 차 반사는 간격 $d/n$ 인 면 족의 1차 반사와 같은 식이므로, 1절의 ” $n\mathbf G_{hkl}$ 은 간격 $d/n$ ” 을 떠올리면 차수를 지수에 흡수할 수 있다: $(hkl)$ 의 $n$ 차 = $(nh\,nk\,nl)$ 의 1차. 이 장은 이후 이 관례를 쓴다 — $2d_{hkl}\sin\theta=\lambda$ 이고 $(hkl)$ 에 공약수가 있어도 된다.
$\lambda\le2d$ . $\sin\theta\le1$ 이므로 $n\lambda\le2d$ . 파장이 면 간격의 두 배보다 길면 어느 각에서도 반사가 없다. 가시광이 회절하지 않는 이유를 식이 직접 말한다.
브래그 법칙은 격자의 주기성만의 결과다. 세포 안에 원자가 어떻게 놓였는지(기저)는 식에 없다. 기저는 어느 반사가 얼마나 세게 나오는가를 정하고(6절), 어떤 반사는 세기를 0으로 만들기도 한다.

그래프 직관 — 봉우리의 위치. 고정된 $\lambda$ 에서 $\sin\theta=\lambda/2d$ 이므로 간격이 좁은 면일수록 큰 각에 봉우리가 선다. Si 분말을 Cu K $\alpha$ ( $\lambda=1.5406\,\text{Å}$ )로 재면 1절 표의 $d$ 에서

반사	$d$ (Å)	$\sin\theta$	$2\theta$
(111)	3.136	0.2457	28.44°
(220)	1.920	0.4012	47.30°
(311)	1.638	0.4704	56.12°
(400)	1.358	0.5673	69.13°
(331)	1.246	0.6183	76.38°
(422)	1.109	0.6948	88.03°

이다. (200)·(222)가 이 목록에 없는 이유는 6절이다. 봉우리 위치는 $a$ 만으로 정해지므로, 봉우리의 각을 재면 격자 상수가 나온다 — 그것도 $\Delta d/d=-\cot\theta\,\Delta\theta$ 라서 $\theta$ 가 $90°$ 에 가까울수록 민감하다. 정밀 격자 상수 측정이 고각 반사를 쓰는 이유다.

라우에 조건 — 산란 벡터가 역격자 벡터여야 한다

브래그의 “거울 면”은 편리하지만 왜 면인지, 왜 거울인지는 말하지 않는다. 라우에(1912)의 접근은 결정을 점 산란체의 격자로 보고 간섭을 직접 센다. 파수 벡터 $\mathbf k$ 인 평면파가 원점의 산란체와 $\mathbf T$ 에 있는 산란체에 닿아 각각 $\mathbf k'$ 방향으로 산란된다고 하자. 두 산란파의 위상차는 “들어오는 길에서 벌어진 $\mathbf k\cdot\mathbf T$ ” 와 “나가는 길에서 벌어진 $\mathbf k'\cdot\mathbf T$ ” 의 차

\phi=(\mathbf k-\mathbf k')\cdot\mathbf T=-\Delta\mathbf k\cdot\mathbf T, \qquad \Delta\mathbf k\equiv\mathbf k'-\mathbf k

이다. 결정 전체가 보강 간섭하려면 모든 $\mathbf T$ 에 대해 $\phi$ 가 $2\pi$ 의 정수배여야 하고, 그것은 1절의 정의 그대로 $\Delta\mathbf k$ 가 역격자 벡터라는 뜻이다:

\boxed{\;\mathbf k'-\mathbf k=\mathbf G\;}

이것이 라우에 조건이다. 세 기본 벡터로 풀어 쓰면 $\mathbf a_i\cdot\Delta\mathbf k=2\pi v_i$ ( $i=1,2,3$ ; $v_i$ 정수) — 라우에 방정식 세 개다. 기하로 읽으면 $\Delta\mathbf k$ 가 $\mathbf a_1$ 둘레의 원뿔 위에, 동시에 $\mathbf a_2$ 둘레의 원뿔 위에, 동시에 $\mathbf a_3$ 둘레의 원뿔 위에 있어야 한다는 것인데, 세 원뿔은 일반적으로 공통 직선을 갖지 않는다. 즉 주어진 $\mathbf k$ 에 대해 회절은 보통 일어나지 않고, 파장이나 방향을 바꿔 가며 조건을 맞춰야 한다. 그것을 그림으로 만든 것이 4절의 에발트 작도다.

두 조건은 같다 — 2k·G = G²

산란이 탄성이면(에너지를 잃지 않으면) $\lvert\mathbf k'\rvert=\lvert\mathbf k\rvert$ 다. 라우에 조건 $\mathbf k'=\mathbf k+\mathbf G$ 를 제곱하면

k^2=(\mathbf k+\mathbf G)^2=k^2+2\mathbf k\cdot\mathbf G+G^2 \quad\Longrightarrow\quad 2\mathbf k\cdot\mathbf G+G^2=0

인데, $\mathbf G$ 가 역격자 벡터이면 $-\mathbf G$ 도 역격자 벡터이므로 부호를 바꿔

2\mathbf k\cdot\mathbf G=G^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf k\cdot\Big(\tfrac12\mathbf G\Big)=\Big(\tfrac12 G\Big)^2

로 쓴다. 이 한 줄이 이 장의 여러 갈래를 묶는다.

브래그 법칙과 같다. $\mathbf k\cdot\hat{\mathbf G}=k\sin\theta$ 인데( $\mathbf G$ 가 면에 수직이고 $\theta$ 는 면과 잰 각이므로 $\mathbf k$ 와 $\mathbf G$ 사이의 각은 $90°-\theta$ ), $k=2\pi/\lambda$ , $G=2\pi n/d$ 를 넣으면 $2(2\pi/\lambda)\sin\theta=2\pi n/d$ , 즉 $2d\sin\theta=n\lambda$ . 거울 반사 그림에서 나온 식이 점 산란체의 간섭에서 그대로 나온다 — 그리고 “면”이 왜 등장했는지도 안다: $\mathbf G$ 에 수직인 면 족이 그 $\mathbf G$ 로 회절하는 면이다.
브릴루앙 영역 경계와 같다. $\mathbf k\cdot\hat{\mathbf G}=G/2$ 는 ” $\mathbf k$ 의 $\mathbf G$ 방향 성분이 $\mathbf G$ 의 절반”이라는 뜻이고, 그런 $\mathbf k$ 의 끝은 $\mathbf G$ 의 수직이등분면 위에 있다 — 2절에서 그린 바로 그 면이다. 그림 7.2-5의 오른쪽(Kittel Fig. 2.9)이 이 그림이다.

그림 7.2-5. 라우에 조건과 영역 경계. 왼쪽: 꼬리를 C에 둔 입사 파수 벡터 k와 같은 길이의 산란 파수 벡터 k′, 그 차 Δk = k′ − k = G. 두 벡터 사이의 각이 2θ이고 |Δk| = 2k sin θ이므로 |G| = 2πn/d를 넣으면 브래그 법칙이 된다. |k′| = |k|이므로 C는 O와 G의 끝점에서 같은 거리 — G의 수직이등분면 위 — 에 있다. 오른쪽(Kittel Fig. 2.9): 원점 O에서 역격자점 C, D로 가는 G_C, G_D와 각각의 수직이등분면 1, 2. 원점에서 면 위의 아무 점으로 가는 k₁, k₂는 G 방향 성분이 정확히 G/2라서 k·(G/2) = (G/2)²을 만족한다 — 이 면이 브릴루앙 영역의 경계이고, 그 위의 k는 전부 회절한다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 운동량은 $\hbar\mathbf G$ 만큼만 보존된다.

$\hbar\mathbf k'=\hbar\mathbf k+\hbar\mathbf G$ 를 운동량 보존으로 읽으면 결정이 $\hbar\mathbf G$ 를 받은 셈이다. 결정 전체가 그 반동을 나눠 가지므로 되튐 에너지는 $(\hbar G)^2/2M_{\text{결정}}\to0$ 이고, 그래서 산란이 탄성인 채로 운동량만 $\hbar\mathbf G$ 가 어긋난다. 자유 공간에서는 운동량이 정확히 보존되지만, **주기 격자 안에서는 $\hbar\mathbf G$ 를 더한 것까지 “같은 운동량”**이다 — 위의 ” $\mathbf k$ 와 $\mathbf k+\mathbf G$ 는 같은 파동”의 동역학 판이다. 7.4.5(포논의 결정 운동량), 7.5.8(움클랍 과정: $\mathbf k_1+\mathbf k_2=\mathbf k_3+\mathbf G$ ), 7.9.2( $\hbar\dot{\mathbf k}=\mathbf F$ 에서 $\hbar\mathbf k$ 가 진짜 운동량이 아닌 이유)가 전부 이 문장의 반복이다.

형태적 직관 — 회절 조건의 자유도. $2\mathbf k\cdot\mathbf G=G^2$ 은 $\mathbf k$ 에 대해 평면 하나의 방정식이다. 탄성 조건 $\lvert\mathbf k\rvert=2\pi/\lambda$ 는 구면이다. 둘의 교집합은 원 — 그러니 파장을 고정하면 $\mathbf G$ 하나에 대해 회절하는 입사 방향은 2차원 방향 공간에서 1차원(원뿔)뿐이고, 아무 방향이나 잡으면 조건이 맞지 않는다. 그 원뿔의 반각이 $90°-\theta_{\text{브래그}}$ 다. 실험은 이 원뿔을 어떻게든 지나가게 만드는 기술이고, 그 세 가지 방법이 4절이다.

에발트 작도

구 하나로 조건 전부를 본다

에발트(1913)의 작도는 라우에 조건과 탄성 조건을 한 그림에 넣는다.

역격자를 그린다.
입사 파수 벡터 $\mathbf k$ 를 머리가 역격자 원점 $O$ 에 오도록 놓는다. 꼬리를 $C$ 라 한다.
$C$ 를 중심으로 반지름 $k=2\pi/\lambda$ 인 구(2차원 그림에서는 원)를 그린다 — 에발트 구.
구가 지나는 역격자점 $P$ 마다 $C\to P$ 가 산란 파수 벡터 $\mathbf k'$ 이고, $O\to P$ 가 $\mathbf G$ 다.

$\lvert C\to P\rvert=\lvert C\to O\rvert=k$ 이므로 탄성이고, $\mathbf k'-\mathbf k=(P-C)-(O-C)=P-O=\mathbf G$ 이므로 라우에 조건이 자동으로 맞는다. 즉 에발트 구 위에 놓인 역격자점이 회절빔의 목록이다.

그림 7.2-6. 에발트 작도. 왼쪽: 정사각 역격자 위에 입사 파수 벡터 k의 머리를 원점 O에 두고, 꼬리 C를 중심으로 반지름 |k| = 2π/λ인 원을 그린다. 원이 지나는 역격자점 P로 가는 C→P가 회절빔 k′이고, O→P가 G다. 원은 일반적으로 O 말고는 어느 격자점도 정확히 지나지 않는다 — 단결정에 단색광을 아무 방향으로 넣으면 회절하지 않는다. 오른쪽(분말법): 시료가 모든 방향의 결정립을 담으면 각 역격자점은 원점 둘레 반지름 |G|의 구(점선 원)로 퍼진다. 그 구와 에발트 구의 교선이 회절 방향의 집합 — 입사빔 둘레 반각 2θ의 원뿔이다. 크기 |G|만 남고 방향 정보는 사라진다.직접 작도

이 그림은 3절 끝의 “보통은 회절하지 않는다”를 한눈에 보인다. 구는 곡면이고 역격자는 이산점이라, 일반적인 방향에서는 원점 말고 어느 점도 정확히 구 위에 있지 않다. 실험은 다음 셋 중 하나로 조건을 맞춘다.

라우에법 — 파장을 퍼뜨린다. 백색 X선( $\lambda_{\min}$ – $\lambda_{\max}$ )을 쓰면 반지름 $2\pi/\lambda_{\max}$ 부터 $2\pi/\lambda_{\min}$ 까지의 구 전부가 한꺼번에 있는 셈이라, 그 사이 껍질에 든 역격자점이 모두 회절한다. 결정의 방향을 정할 때 쓴다(웨이퍼 절단 방향 확인).
회전 결정법 — 결정을 돌린다. 단색광을 쓰되 결정을 축 둘레로 돌리면 역격자가 원점을 중심으로 돌아 점들이 차례로 구를 지난다. 4축 회절계·HRXRD의 $\omega$ 스캔이 이것이다.
분말법(데바이–셰러) — 방향을 평균한다. 결정립이 무작위로 놓인 분말·다결정 박막에서는 각 $\mathbf G$ 가 모든 방향을 취하므로 역격자점이 원점 둘레 반지름 $\lvert\mathbf G\rvert$ 인 구로 퍼진다. 그 구와 에발트 구의 교선은 원이고, $C$ 에서 그 원을 보면 반각 $2\theta$ 의 원뿔이다. 검출기가 $2\theta$ 를 훑으면 $\lvert\mathbf G\rvert$ 마다 봉우리 하나 — 3절의 Si 표가 그 결과이고, 방향 정보는 잃는다.

직관

파라미터 연계 — 파장을 줄이면 구가 커진다.

관측 한계. 구의 지름이 $2k=4\pi/\lambda$ 이므로 $\lvert\mathbf G\rvert\le4\pi/\lambda$ 인 점만 닿을 수 있다. $d\ge\lambda/2$ — 브래그의 $\lambda\le2d$ 와 같은 말이다. 원점 중심 반지름 $2k$ 의 구를 한계 구라 부른다. Cu K $\alpha$ 로는 $d\ge0.77\,\text{Å}$ 인 면만 보인다.
전자 회절 — 구가 평면이 된다. 200 keV 전자는 $k=2\pi/0.025\,\text{Å}\approx250\,\text{Å}^{-1}$ 인데 역격자 간격은 $\sim2\,\text{Å}^{-1}$ 이다. 구의 반지름이 격자 간격의 백 배가 넘으니 원점 근방에서 구는 거의 평면이고, 입사 방향에 수직인 역격자 평면 하나(영역 축 무늬, zone-axis pattern)가 통째로 구 위에 올라 수십 개의 점이 한꺼번에 찍힌다. TEM 회절 무늬(8.2)가 실공간 격자의 사진이 아니라 역격자의 한 단면인 이유다. X선 한 장의 무늬로는 점 몇 개뿐인 것과 대조된다.
파장이 길면 봉우리가 벌어진다. $\sin\theta=\lambda/2d$ 이므로 같은 면이라도 $\lambda$ 가 길면 큰 각에 선다. 분해능(이웃 봉우리를 가르는 능력)은 좋아지지만 닿는 면의 수는 준다.

차원이 줄면 점이 늘어난다 — 박막·표면의 회절

3차원 격자의 역격자는 점이다. 그런데 두께 몇 원자층짜리 박막이나 표면은 면 방향으로만 주기적이고 수직 방향으로는 주기가 없다. 주기가 없는 방향으로는 조건 $\mathbf G\cdot\mathbf T=2\pi\times$ 정수가 걸리지 않으므로 $\mathbf G$ 의 그 성분은 아무 값이나 된다 — 역격자가 표면에 수직인 막대(rod)가 된다. 1차원 사슬이라면 평면이다. 한 방향 주기 하나를 잃을 때마다 역격자는 한 차원 두꺼워진다.

에발트 구가 막대를 지나는 것은 점을 지나는 것보다 훨씬 쉽고, 스치듯 들어간(grazing) 전자빔에서는 구가 막대를 거의 접선으로 지나 줄무늬를 남긴다. 에피 성장 중 원자층이 완성될 때마다 밝기가 진동하는 RHEED(9.13·18.13)가 이 줄무늬이고, 표면 재구성의 여분 주기가 LEED 무늬(9.1)에 여분의 막대로 나타난다. 5절의 유한 크기 봉우리 폭도 같은 논리다 — 결정이 얇은 방향으로 봉우리가 길게 늘어나는 것이 “막대”의 유한 두께 판이다.

역격자 공간 지도 — HRXRD가 재는 것

에피 층의 계측(18.13·19.3)은 이 작도를 거꾸로 쓴다. 기판의 어느 반사, 예컨대 Si(004)나 비대칭 (224) 근처에서 $\omega$ (시료 각)와 $2\theta$ (검출기 각)를 함께 훑으면, 산란 벡터 $\Delta\mathbf k$ 가 역격자의 작은 영역을 2차원으로 훑는다. 얻는 것이 역격자 공간 지도(reciprocal space map, RSM)다. 기판 점과 에피 층의 점이 따로 찍히고, 두 점의 어긋남이 격자 상수 차이다 — 수직 성분 $q_z$ 의 차이가 면에 수직한 격자 상수 차이, 면내 성분 $q_x$ 의 차이가 면내 격자 상수 차이. 층이 기판에 완전히 맞춰 자랐으면(pseudomorphic) 두 점의 $q_x$ 가 같고, 이완됐으면 벌어진다. 이 장의 언어로 말하면 **“에피 층은 기판과 다른 역격자를 가진 결정이고, 두 역격자를 한 지도에 겹쳐 본다”**는 것이 전부다. 변형·조성·이완도가 한 장에서 나온다.

산란 진폭과 푸리에 해석

결정은 전자 밀도이고, 밀도는 G로만 전개된다

3절은 결정을 “점 산란체”로 다뤘다. 실제 X선은 전자에 산란되고, 전자는 원자 둘레에 퍼져 있다. 그러니 결정을 전자 수 밀도 $n(\mathbf r)$ (단위 부피당 전자 수)로 보고, 산란 진폭을 이 밀도로 표현하는 것이 이 절이다. Kittel이 역격자를 정의하는 방식이기도 하다 — 우리는 1절에서 정의를 먼저 뒀지만, 여기서 그 정의가 왜 필요했는지가 드러난다.

$n(\mathbf r)$ 는 격자 주기 함수다. 1차원에서 주기 $a$ 인 함수의 푸리에 급수는

n(x)=n_0+\sum_{p>0}\Big[C_p\cos\frac{2\pi px}{a}+S_p\sin\frac{2\pi px}{a}\Big] =\sum_{p}n_p\,e^{i2\pi px/a}

이고, $2\pi p/a$ 가 1절의 1차원 역격자였다. 복소 지수형으로 쓸 때 $n(x)$ 가 실수이려면 $n_{-p}=n_p^{*}$ 여야 한다 (1.10.1푸리에 급수와 반구간 전개). 3차원 격자 주기 함수는 역격자 벡터 $\mathbf G$ 의 평면파로만 전개된다:

n(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}n_{\mathbf G}\,e^{i\mathbf G\cdot\mathbf r}, \qquad n_{\mathbf G}=\frac1{V_c}\int_{\text{세포}}n(\mathbf r)\,e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r}\,dV

계수를 뽑는 식은 세포 위에서의 직교성 $\int_{\text{세포}}e^{i(\mathbf G-\mathbf G')\cdot\mathbf r}dV=V_c\delta_{\mathbf G\mathbf G'}$ 에서 나온다 — 이 직교성이 성립하는 것 자체가 $\mathbf G$ 가 격자 주기를 갖기 때문이다. 정의(1절)와 전개(이 절)는 같은 사실의 두 얼굴이다: 격자 주기 함수의 푸리에 스펙트럼은 역격자 위에서만 0이 아니다.

산란 진폭 — 밀도의 푸리에 변환을 Δk에서 읽는다

부피 요소 $dV$ 에 든 전자 $n(\mathbf r)dV$ 가 산란하는 파의 진폭은 그 전자 수에 비례하고, 위상은 3절과 같이 $(\mathbf k-\mathbf k')\cdot\mathbf r=-\Delta\mathbf k\cdot\mathbf r$ 만큼 원점의 산란파와 어긋난다. 결정 전체의 진폭은 이것을 더한 것이다:

F(\Delta\mathbf k)=\int n(\mathbf r)\,e^{-i\Delta\mathbf k\cdot\mathbf r}\,dV

이 식은 두 가지를 가정한다. 산란이 약해서 한 번 산란된 파가 다시 산란되지 않고(운동학적 근사, 양자역학의 보른 근사 5.9.9보른 근사와 같은 것), 검출기가 멀어서 산란파를 평면파로 볼 수 있다(프라운호퍼 회절 3.6.2프라운호퍼 회절). 이 가정 아래 산란 진폭은 전자 밀도의 푸리에 변환을 산란 벡터에서 읽은 값이다 (1.10.4푸리에 변환의 성질). 결정은 자기 자신의 푸리에 분석기다.

푸리에 전개를 대입한다:

F=\sum_{\mathbf G}n_{\mathbf G}\int e^{i(\mathbf G-\Delta\mathbf k)\cdot\mathbf r}\,dV

적분은 $\Delta\mathbf k=\mathbf G$ 일 때 결정의 부피 $V$ 이고, 그렇지 않으면 진동하는 지수함수를 큰 부피에서 적분한 것이라 0에 가깝다(다음 소절에서 얼마나 가까운지 센다). 그러므로

F_{\mathbf G}=V\,n_{\mathbf G}\quad(\Delta\mathbf k=\mathbf G),\qquad F\approx0\quad(\text{그 밖})

라우에 조건 $\Delta\mathbf k=\mathbf G$ 가 세 번째로 나왔다 — 이번에는 세기까지 달고. $(hkl)$ 반사의 세기는 $\lvert F_{\mathbf G}\rvert^2\propto\lvert n_{\mathbf G}\rvert^2$ , 즉 전자 밀도의 $\mathbf G$ 번째 푸리에 계수의 제곱이다. 결정 구조 해석이란 회절 봉우리 하나하나에서 $\lvert n_{\mathbf G}\rvert$ 를 읽어 $n(\mathbf r)$ 을 재구성하는 일이다.

유한한 결정 — 봉우리 높이는 N², 폭은 1/N

“그 밖에서는 0에 가깝다”를 정량화한다. 밀도를 세포마다 같은 함수의 반복 $n(\mathbf r)=\sum_{\mathbf T}n_{\text{세포}}(\mathbf r-\mathbf T)$ 로 쓰면 적분이 세포 하나의 적분과 격자 위의 합으로 갈라진다:

F(\Delta\mathbf k)=\underbrace{\Big[\sum_{\mathbf T}e^{-i\Delta\mathbf k\cdot\mathbf T}\Big]}_{\text{격자 합}} \times \underbrace{\int_{\text{세포}}n_{\text{세포}}(\mathbf r)\,e^{-i\Delta\mathbf k\cdot\mathbf r}\,dV}_{\text{세포 하나의 진폭}}

두 번째 인자가 6절의 구조 인자 $S$ 다. 첫 번째 인자가 격자의 몫이고, 1차원 $N$ 개 세포에서는 기하급수다. $\phi=\Delta k\,a$ 로 두면

\sum_{m=0}^{N-1}e^{-im\phi}=\frac{1-e^{-iN\phi}}{1-e^{-i\phi}}, \qquad \Big|\sum_{m}e^{-im\phi}\Big|^2=\frac{\sin^2(N\phi/2)}{\sin^2(\phi/2)}

3.6.5의 회절 격자와 같은 식이다 (3.6.5회절 격자와 분해능). $\phi=2\pi p$ (즉 $\Delta k=G$ )에서 분모·분자가 함께 0이 되어 극한값 $N^2$ 의 주봉우리, 그 첫 영점이 $\phi=2\pi p\pm2\pi/N$ 이므로 폭은 $2\pi/N$ , 그 사이에 높이가 $N^2/20$ 을 넘지 않는 곁봉우리다. 그림 7.2-7이 $N=5$ 와 $N=20$ 을 겹쳐 놓은 것이다.

그림 7.2-7. 유한한 1차원 격자(세포 N개)의 회절 세기 |Σ e^{−imφ}|²을 봉우리 높이 N²으로 나눠 산란 벡터에 대해 그린 것 (φ = Δk·a). N = 5(주황)는 넓고 곁봉우리가 뚜렷하며, N = 20(남색)은 Δk = 0과 Δk = 2π/a = G에서 날카롭게 솟는다. 봉우리 높이는 N², 첫 영점까지의 폭은 2π/N, 따라서 넓이는 N에 비례한다 — 결정이 클수록 봉우리가 높고 좁아지며, 무한 결정에서는 델타 함수가 된다. 위의 점선은 규격화한 봉우리 높이 1.직접 작도

그래프 직관. 축을 읽는다. 가로축 $\Delta k$ 가 $2\pi/a$ 의 정수배일 때만 봉우리 — 역격자다. 봉우리의 높이 $N^2$ 는 $N$ 개 세포가 같은 위상으로 더해진 진폭 $N$ 의 제곱이고, 폭 $2\pi/(Na)=2\pi/L$ 은 결정 전체 길이 $L$ 의 역수다 — 1절의 반비례가 또 나왔다. 실공간에서 큰 것(결정 크기)은 역공간에서 작은 것(봉우리 폭)이다. 봉우리 아래 넓이는 $N^2\times1/N=N$ , 산란체 수에 비례해 에너지가 보존된다. 무한 결정으로 가면 봉우리가 델타 함수가 되고 “그 밖에서는 0”이 정확해진다.

직관

파라미터 연계 — 봉우리 폭이 재는 것.

결정립 크기 (셰러 식). 3차원에서 폭 $2\pi/L$ 을 $2\theta$ 의 폭으로 바꾸면 $\beta\approx0.9\lambda/(L\cos\theta)$ — 다결정 박막의 XRD 봉우리 반치폭에서 결정립 크기 $L$ 이 나온다 (19.3·10.12). 폭이 각도 분해능에 걸리기 시작하는 $L\sim100\,\text{nm}$ 위로는 못 잰다.
박막 두께 (두께 무늬). 두께 $t$ 인 에피 층의 (004) 봉우리 양옆에 간격 $\Delta(2\theta)\approx\lambda/(t\cos\theta)$ 의 곁봉우리가 줄지어 선다 — 그림 7.2-7의 곁봉우리가 그대로 보이는 것이다. 곁봉우리 간격에서 두께가 나노미터 정밀도로 나온다(18.13). 곁봉우리가 흐리면 계면이 거칠거나 두께가 고르지 않다는 뜻이다.
격자 변형 분포. 격자 상수가 위치마다 조금씩 다르면 $\Delta k=G$ 가 퍼져 봉우리가 넓어진다. 크기 효과( $\propto1/\cos\theta$ )와 변형 효과( $\propto\tan\theta$ )의 $\theta$ 의존이 달라, 여러 차수의 반사를 재면 둘을 가를 수 있다(윌리엄슨–홀 도표).
비정질. $N\to1$ 의 극한 — 봉우리가 없고 넓은 언덕만 남는다. 7.15.1의 방사 분포 함수가 그 언덕의 푸리에 변환이다.

합성곱으로 다시 보기 — 격자 × 기저

위의 인수분해는 1.10.5의 합성곱 정리 (1.10.5합성곱과 상관) 한 줄이다. 결정의 밀도는 “격자(델타 함수의 배열)“와 “세포 하나의 밀도”의 합성곱이고, 합성곱의 푸리에 변환은 각각의 푸리에 변환의 곱이다:

n=\text{격자}\ast n_{\text{세포}} \quad\Longrightarrow\quad F=\underbrace{\mathcal F[\text{격자}]}_{\text{역격자 (델타 배열)}}\times\underbrace{\mathcal F[n_{\text{세포}}]}_{S(\Delta\mathbf k)}

격자의 푸리에 변환은 역격자 위의 델타 함수 배열이다 — 어디에 봉우리가 서는가(위치, 3절). 세포의 푸리에 변환 $S$ 는 매끈한 함수다 — 그 자리에서 얼마나 세게 서는가(세기, 6절). 유한 크기는 격자에 “결정 모양 함수”를 곱한 것이니 역공간에서는 델타 배열에 그 모양의 푸리에 변환을 합성곱한 것 — 봉우리마다 같은 모양으로 퍼진다(위의 $\sin^2(N\phi/2)/\sin^2(\phi/2)$ ). 회절 무늬의 모든 요소가 이 한 줄에서 자리를 찾는다. 3.6.9의 푸리에 광학 (3.6.9푸리에 광학과 공간 주파수)이 렌즈로 하는 일을 결정은 스스로 한다.

주의

같은 글자, 다른 뜻 — 5절에 모인 기호.

기호	뜻	비고
$n(\mathbf r)$	전자 수 밀도	3절의 회절 차수 $n$ (정수)과 다르다
$n_{\mathbf G}$	밀도의 푸리에 계수	복소수. $n_{-\mathbf G}=n_{\mathbf G}^{*}$
$N$	결정 안의 세포 수	$V=NV_c$
$V$ / $V_c$ / $V_c^{*}$	결정 부피 / 원시 세포 부피 / 역격자 세포 부피	$V_c^{*}=(2\pi)^3/V_c$
$F$	결정 전체의 산란 진폭	대문자. $F_{\mathbf G}=Vn_{\mathbf G}=NS_{\mathbf G}$
$S$	구조 인자 (세포 하나)	6절
$f$	형상 인자 (원자 하나)	소문자. 7절

$F$ , $S$ , $f$ 는 결정 → 세포 → 원자로 내려가는 세 층의 진폭이다. 큰 것에서 작은 것으로 갈수록 글자가 작아진다고 외운다.

구조 인자와 소멸 법칙

세포 안의 원자들 — 위상을 더한다

5절의 인수분해에서 세포 하나의 진폭을 $\Delta\mathbf k=\mathbf G$ 에서 읽은 것이 구조 인자(structure factor)다. 세포에 원자가 $s$ 개, $j$ 번째 원자가 $\mathbf r_j$ 에 있고 그 전자 밀도가 $n_j(\mathbf r-\mathbf r_j)$ 라면 세포의 밀도는 $\sum_j n_j(\mathbf r-\mathbf r_j)$ 이고,

\begin{aligned} S_{\mathbf G} &=\sum_{j=1}^{s}\int n_j(\mathbf r-\mathbf r_j)\,e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r}\,dV =\sum_{j}e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r_j}\int n_j(\boldsymbol\rho)\,e^{-i\mathbf G\cdot\boldsymbol\rho}\,dV\\ &=\sum_{j=1}^{s}f_j\,e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r_j} \end{aligned}

둘째 줄에서 $\boldsymbol\rho=\mathbf r-\mathbf r_j$ 로 치환했고, 남은 적분

f_j=\int n_j(\boldsymbol\rho)\,e^{-i\mathbf G\cdot\boldsymbol\rho}\,dV

이 원자 형상 인자(7절)다. 구조 인자의 꼴을 읽는다. 원자 $j$ 하나가 진폭 $f_j$ 를 내고, 그 원자가 세포 원점에서 $\mathbf r_j$ 만큼 떨어져 있어서 위상 $e^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r_j}$ 가 붙는다. 세포의 진폭은 이 페이저들의 합 (1.9.1복소수와 극형식·거듭제곱근)이다. 위상이 맞으면 크게, 어긋나면 작게, 정반대로 짝지어지면 0.

원자 위치를 격자 벡터의 분수로 $\mathbf r_j=x_j\mathbf a_1+y_j\mathbf a_2+z_j\mathbf a_3$ 라 쓰고 $\mathbf G=h\mathbf b_1+k\mathbf b_2+l\mathbf b_3$ 을 넣으면 $\mathbf b_i\cdot\mathbf a_j=2\pi\delta_{ij}$ 덕에 내적이 곧바로 풀린다:

S_{hkl}=\sum_{j}f_j\,\exp\!\big[-2\pi i\,(hx_j+ky_j+lz_j)\big]

이 식이 실제 계산에 쓰는 꼴이다. 세기는 $\lvert S_{hkl}\rvert^2=S^{*}S$ 이고, 위상은 5절의 위상 문제대로 재지 못한다. 첨자가 이 절에서 가장 많이 모이므로 표로 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	범위
$u_1,u_2,u_3$	격자 정수	$\mathbf T$ 의 성분 — 어느 세포인가	정수
$v_1,v_2,v_3$ 또는 $h,k,l$	역격자 정수 · 밀러 지수	$\mathbf G$ 의 성분 — 어느 반사인가	정수
$j$	기저 지수	세포 안의 몇 번째 원자인가	$1,\dots,s$
$\mathbf r_j=(x_j,y_j,z_j)$	원자 위치	세포 원점 기준. $x_j$ 등은 $\mathbf a_i$ 의 분수	$0\le x_j<1$
$f_j$	원자 형상 인자	원자 $j$ 의 진폭. $\mathbf G$ 에 따라 변한다	$0\le f_j\le Z_j$
$S_{hkl}$	구조 인자	세포의 진폭. 복소수	—
$N$	세포 수	$F_{\mathbf G}=NS_{\mathbf G}$	—

소멸 법칙 — bcc·fcc를 정육면체 세포로 세면

관례대로 밀러 지수를 정육면체 세포의 축으로 매기면, 세포 하나에 격자점이 여럿 들어간다(bcc 2개, fcc 4개). 그 격자점들을 “기저”로 취급해 구조 인자를 계산하면 어떤 $(hkl)$ 에서 $S=0$ 이 나온다 — 소멸 법칙(extinction rule)이다.

bcc. 정육면체 세포에 같은 원자가 $(0,0,0)$ 과 $(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)$ 에 있다.

S_{hkl}=f\Big[1+e^{-i\pi(h+k+l)}\Big]= \begin{cases} 2f & h+k+l\ \text{짝수}\\ 0 & h+k+l\ \text{홀수} \end{cases}

$e^{-i\pi m}$ 은 $m$ 이 짝수면 $+1$ , 홀수면 $-1$ 이기 때문이다. (100), (111), (210)은 없고 (110), (200), (211)은 있다. 금속 W·Mo· $\alpha$ -Fe의 분말 무늬가 (110)에서 시작하는 이유다.

그림 7.2-8. bcc에서 (100) 반사가 사라지고 (200) 반사가 살아남는 이유. 왼쪽 (100) 조건: 모서리 원자 면(빈 동그라미)끼리 경로차가 λ가 되는 각에서, 그 사이 정확히 한가운데 놓인 몸체 중심 원자 면(검은 점)의 반사는 경로차 λ/2, 위상 π다. 오른쪽 원 안의 페이저가 번갈아 반대를 가리켜 합이 0 — S = f(1 + e^{−iπ}) = 0. 오른쪽 (200) 조건: 모서리 면끼리 경로차 2λ, 중심 면은 λ라서 모든 페이저가 같은 방향을 가리키고 S = 2f. 두 종류 원자가 같은 f를 갖는 것이 상쇄가 완전한 이유이며, 중심 원자가 다른 원소이면(CsCl 구조) (100)은 f₁ − f₂로 약하게 남는다.직접 작도

물리적 그림은 그림 7.2-8이다. (100) 반사 조건에서 모서리 원자 면들은 경로차 $\lambda$ 로 보강하는데, 그 사이 정확히 한가운데에 몸체 중심 원자로 이루어진 면이 있다. 이 면의 반사는 경로차 $\lambda/2$ , 위상 $\pi$ 라 모서리 면의 반사를 정확히 지운다. 두 면의 원자가 같은 종류(같은 $f$ )이기 때문에 상쇄가 완전하다. 중심 원자가 다른 원소이면(CsCl: Cs와 Cl) $S_{100}=f_{\text{Cs}}-f_{\text{Cl}}\ne0$ 이라 약하게 남고, 이것이 “규칙 격자”의 초격자 반사다.

fcc. 같은 원자가 $(0,0,0),(0,\tfrac12,\tfrac12),(\tfrac12,0,\tfrac12),(\tfrac12,\tfrac12,0)$ 에 있다.

S_{hkl}=f\Big[1+e^{-i\pi(k+l)}+e^{-i\pi(h+l)}+e^{-i\pi(h+k)}\Big]= \begin{cases} 4f & h,k,l\ \text{모두 짝수 또는 모두 홀수}\\ 0 & \text{홀짝이 섞임} \end{cases}

모두 짝수면 세 지수 항이 전부 $+1$ , 모두 홀수면 두 홀수의 합이 짝수라 역시 전부 $+1$ . 하나만 홀짝이 다르면 세 항 중 둘이 $-1$ 이 되어 $1+1-1-1=0$ . Al·Cu·Ni의 분말 무늬는 (111), (200), (220), (311), (222), … 로 간다.

주의

소멸 법칙에는 두 종류가 있다 — “역격자점이 아닌 것”과 “역격자점인데 $S=0$ 인 것”.

Kittel이 이 구분을 강조한다. bcc·fcc의 위 규칙은 정육면체 세포로 지수를 매겼기 때문에 생긴 것이다. 1절에서 본 대로 bcc의 역격자는 fcc이고, 정육면체 축으로 $(2\pi/a)(h,k,l)$ 을 찍으면 그중 $h+k+l$ 이 홀수인 점은 애초에 그 fcc 역격자의 점이 아니다. 원시 세포로 지수를 매기면 소멸이 없다 — 없는 점에서 회절이 없다고 말하는 것뿐이다. 반면 아래 다이아몬드 구조의 (200)은 fcc 역격자의 진짜 점인데 기저 두 원자의 위상이 상쇄해 $S=0$ 이다. 앞의 것은 격자의 종류(브라베 격자의 중심화)에서, 뒤의 것은 기저의 배치에서 온다. 나사축·미끄럼면 같은 공간군 연산(1.13.11공간군과 결정 대칭, 7.1.7)도 뒤의 종류의 소멸을 만든다 — 대칭 요소마다 고유한 소멸 패턴이 있어, 거꾸로 소멸 패턴에서 공간군을 읽는다.

다이아몬드 구조 — Si의 (200)·(222)가 없는 이유

Si·Ge·C(다이아몬드)는 fcc 격자에 원자 두 개의 기저 $(0,0,0)$ , $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 가 놓인 구조다 (7.1.5대표 결정 구조(FCC·BCC·다이아몬드·섬아연광)). 정육면체 세포로 세면 원자 8개이고, 구조 인자는 fcc 인자에 기저 인자를 곱한 것이다:

S_{hkl}=f\Big[1+e^{-i\pi(h+k+l)/2}\Big]\times\Big[1+e^{-i\pi(k+l)}+e^{-i\pi(h+l)}+e^{-i\pi(h+k)}\Big]

fcc 인자가 0이면 그대로 0이다. fcc 인자가 4일 때 기저 인자 $1+e^{-i\pi m/2}$ ( $m=h+k+l$ )를 $m$ 의 4에 대한 나머지로 나눈다.

$h,k,l$	$m=h+k+l$	기저 인자	$S_{hkl}$	$\lvert S\rvert^2/f^2$	예
모두 홀수	홀수	$1\mp i$	$4f(1\mp i)$	32	(111), (311), (331), (511)
모두 짝수	$4$ 의 배수	$2$	$8f$	64	(220), (400), (422), (440)
모두 짝수	$4$ 의 배수 $+2$	$1+e^{-i\pi}=0$	$0$	0	(200), (222), (420), (600)
홀짝 섞임	—	—	$0$	0	(100), (110), (210)

3절 표의 Si 봉우리 목록 — (111), (220), (311), (400), (331), (422) — 이 정확히 이 표의 첫 두 줄이다. (002)가 없으므로 (001) 웨이퍼의 대칭 반사는 (004) 이고, 이것이 1절 끝에서 미뤄 둔 답이다. 기저 두 원자가 $\tfrac14$ 씩 어긋나 있어서 $(200)$ 에 대해 위상이 $e^{-i\pi}=-1$ , 즉 정확히 반대가 된다 — bcc의 (100)과 같은 그림이되, 이번에는 격자가 아니라 기저가 지운다.

섬아연광 — GaAs의 (200)은 약하게 남는다

GaAs·InP·ZnS는 다이아몬드 구조에서 두 기저 원자를 다른 원소로 바꾼 것이다(섬아연광, 7.1.5). $(0,0,0)$ 에 Ga, $(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$ 에 As를 두면

S_{hkl}=\Big[f_{\text{Ga}}+f_{\text{As}}\,e^{-i\pi(h+k+l)/2}\Big]\times[\text{fcc 인자}]

이고, 세 부류의 크기가

\lvert S\rvert^2=16\times \begin{cases} (f_{\text{Ga}}+f_{\text{As}})^2 & m=4\text{의 배수}\\ f_{\text{Ga}}^2+f_{\text{As}}^2 & m\ \text{홀수}\\ (f_{\text{Ga}}-f_{\text{As}})^2 & m=4\text{의 배수}+2 \end{cases}

이다. 다이아몬드에서 0이던 (200)·(222)·(600)이 $(f_{\text{Ga}}-f_{\text{As}})^2$ 에 비례해 약하게 살아난다. Ga( $Z=31$ )와 As( $Z=33$ )는 전자 수가 가까워 이 반사가 매우 약하지만, GaP나 InP처럼 두 원소의 $Z$ 가 크게 다르면 뚜렷하다. 이 “준금지” 반사가 쓸모 있는 이유는 두 부격자를 구별하기 때문이다 — Si 위에 GaAs를 에피 성장할 때 생기는 역위상 영역(Ga 자리와 As 자리가 뒤바뀐 영역, 18.13)은 (200) 반사의 위상을 뒤집으므로, 이 반사의 세기와 폭에서 역위상 영역의 크기가 나온다. 형상 인자가 $\mathbf G$ 에 따라 다르게 떨어지므로(7절) $f_{\text{Ga}}-f_{\text{As}}$ 도 반사마다 다르다.

결정 구조와 허용 반사 — 한 표로

정육면체 세포 지수 $(hkl)$ 기준이다.

구조	격자	허용 조건	처음 나오는 반사
단순입방 (Po)	sc	전부	(100), (110), (111), (200), …
bcc (W, Mo, Fe)	bcc	$h+k+l$ 짝수	(110), (200), (211), (220), …
fcc (Al, Cu, Ni)	fcc	모두 홀 또는 모두 짝	(111), (200), (220), (311), (222), …
다이아몬드 (Si, Ge)	fcc + 기저 2	모두 홀, 또는 모두 짝이고 $h+k+l=4m$	(111), (220), (311), (400), (331), …
섬아연광 (GaAs)	fcc + 기저 2	fcc 규칙. $h+k+l=4m+2$ 는 약함	(111), (200)약, (220), (311), (222)약, …
NaCl	fcc + 기저 2	fcc 규칙. 모두 홀은 $f_+-f_-$ , 모두 짝은 $f_++f_-$	(111)약, (200), (220), (311)약, …

같은 fcc 격자라도 기저에 따라 어느 반사가 약해지는가가 다르다. 분말 무늬에서 봉우리 위치는 격자 상수를, 세기 비는 기저를 말한다. 두 정보가 분리되는 것이 5절의 “격자 × 기저” 인수분해다.

직관

파라미터 연계 — 구조 인자가 반도체 계측에서 하는 일.

조성. Si $_{1-x}$ Ge $_x$ 층에서 $f$ 는 자리마다 평균 $(1-x)f_{\text{Si}}+xf_{\text{Ge}}$ 로 바뀌고, 격자 상수는 베가드 법칙으로 $x$ 에 비례해 는다. 봉우리 위치(격자 상수)와 세기(평균 $f$ ) 두 채널이 같은 $x$ 를 가리켜야 하고, 어긋나면 변형이 완화되었다는 신호다(18.13).
무거운 원자가 이긴다. $\lvert S\rvert^2\propto f^2\propto Z^2$ 이므로 InSb 같은 무거운 화합물은 GaP보다 훨씬 세게 회절하고, 같은 격자 안의 가벼운 원자(B, C, N 도펀트)는 X선으로 거의 보이지 않는다. 도핑 농도( $\sim10^{-5}$ 이하의 자리 분율)는 XRD의 영역이 아니라 SIMS(19.4)의 영역이다.
극성. 섬아연광의 $(111)$ 과 $(\bar1\bar1\bar1)$ 은 형상 인자가 실수인 한 세기가 같다(프리델 법칙: $S_{\bar h\bar k\bar l}=S_{hkl}^{*}$ ). 흡수단 근처에서 $f$ 가 복소수가 되면 이 대칭이 깨져, Ga 면과 As 면 중 어느 쪽이 표면인지(웨이퍼 극성)를 가릴 수 있다.

원자 형상 인자

원자 하나의 푸리에 변환

6절에서 남긴 적분

f_j(\mathbf G)=\int n_j(\boldsymbol\rho)\,e^{-i\mathbf G\cdot\boldsymbol\rho}\,dV

은 원자 $j$ 하나의 전자 밀도의 푸리에 변환을 $\mathbf G$ 에서 읽은 값이다. 결정(5절) → 세포(6절) → 원자(7절)로 내려오며 같은 연산이 세 번 반복되었을 뿐이다. 값을 읽는다.

$\mathbf G=0$ 에서 $f=Z$ . 지수가 1이 되어 밀도를 그냥 적분한 것 — 그 원자(또는 이온)의 전자 수다. X선은 전자에 산란되므로, 앞쪽 산란의 진폭은 전자 개수에 비례한다.
원자가 점이면 $f=Z$ 로 평평하다. 전자가 전부 핵 위에 몰려 있으면 $n_j=Z\delta(\boldsymbol\rho)$ 이고 변환이 상수다. 형상 인자가 $\mathbf G$ 에 따라 떨어지는 것 자체가 전자 구름이 퍼져 있다는 증거이고, 떨어지는 속도가 구름의 크기를 잰다.

전자 밀도가 구대칭 $n_j(\rho)$ 이면 각도 적분을 할 수 있다. $\mathbf G$ 방향을 극축으로 잡고 $\mathbf G\cdot\boldsymbol\rho=G\rho\cos\alpha$ , $dV=2\pi\rho^2\,d\rho\,d(\cos\alpha)$ 로 쓰면

f_j=2\pi\int_0^\infty n_j(\rho)\,\rho^2\,d\rho\int_{-1}^{1}e^{-iG\rho\mu}\,d\mu =4\pi\int_0^\infty n_j(\rho)\,\frac{\sin G\rho}{G\rho}\,\rho^2\,d\rho

이다 ( $\mu=\cos\alpha$ ). $\sin G\rho/G\rho$ 는 $\rho\ll1/G$ 에서 1이고 $\rho\gg1/G$ 에서 진동하며 0으로 간다. 그러니 반지름 $1/G$ 안쪽의 전자만 온전히 기여한다 — 안쪽 껍질(핵 가까이, 좁게 뭉친 전자)은 큰 $G$ 까지 기여하고, 바깥 껍질(원자가 전자, 넓게 퍼진)은 $G$ 가 조금만 커져도 기여를 잃는다.

수소형 원자 — 손으로 되는 예

$1s$ 밀도 $n(\rho)=e^{-2\rho/a_0}/\pi a_0^3$ (전자 1개, 보어 반지름 $a_0$ )를 위 식에 넣으면 (Kittel 연습 2.7)

f(G)=\frac{16}{\big(4+G^2a_0^2\big)^2}

이다. $G=0$ 에서 $f=1=Z$ 이고, $Ga_0\sim1$ 부터 급히 떨어져 $Ga_0\gg1$ 에서 $16/(Ga_0)^4$ 로 사라진다. 그림 7.2-9가 반지름 $a$ 와 $2a$ 인 두 원자를 나란히 놓은 것이다.

그림 7.2-9. 원자 형상 인자. 왼쪽: 반지름이 a와 2a인 수소형 1s 전자 밀도 n(ρ) ∝ e^{−2ρ/a} — 둘 다 전자 1개이므로 넓은 쪽이 낮고 길다. 오른쪽: 각각의 형상 인자 f(G) = 16/(4 + G²a²)². 둘 다 G = 0에서 Z = 1로 시작하지만, 반지름 2a인 원자는 G에서 두 배 빨리 떨어진다 — 실공간에서 넓은 것은 역공간에서 좁다. 점선은 전자가 핵 위에 모인 점 원자의 f = Z. 가로축 G = 4π sin θ/λ이므로 큰 각의 반사일수록 f가 작고, 형상 인자표는 보통 sin θ/λ의 함수로 실려 있다.직접 작도

그래프 직관. 세로 절편이 전자 수 $Z$ , 곡선이 반으로 떨어지는 $G$ 가 대략 원자 반지름의 역수다. $G=4\pi\sin\theta/\lambda$ 이므로 가로축은 곧 회절각이다 — 큰 각의 반사일수록 원자가 “작게 보인다”. 같은 $Z$ 라도 이온이 되어 원자가 전자를 잃으면(양이온) 남은 전자가 안쪽에 뭉쳐 곡선이 완만해지고, 음이온은 반대다. 이 차이가 이온 결정(7.3.3)의 회절에서 이온화 상태를 읽는 근거다.

직관

파라미터 연계 — 실공간 폭과 역공간 폭은 반비례한다 (세 번째).

1절(세포 크기 ↔ 역격자 간격), 5절(결정 크기 ↔ 봉우리 폭)에 이어 7절(원자 크기 ↔ 형상 인자의 폭)이다. 셋 다 푸리에 변환의 척도 성질 (1.10.4푸리에 변환의 성질): $n(\rho/a)$ 의 변환은 $a^3\tilde n(Ga)$ . 같은 정리가 세 번 나온 것은 회절이 세 층의 푸리에 변환(결정·세포·원자)이기 때문이다.

원자가 전자는 X선에 거의 보이지 않는다. Si의 전자 14개 중 결합에 참여하는 4개는 넓게 퍼져 있어 $Ga_{\text{결합}}\gtrsim1$ 인 첫 반사부터 이미 기여가 작다. 6절의 (222)가 그 작은 기여의 전부를 따로 보여 주는 유일한 창이었던 이유다.
열진동은 형상 인자를 한 번 더 깎는다. 원자가 평균 제곱 변위 $\langle u^2\rangle$ 로 떨면 밀도가 그만큼 번지고, 번진 가우스의 푸리에 변환이 곱해져 $f\to f\,e^{-\frac16\langle u^2\rangle G^2}$ , 세기로는 $e^{-\frac13\langle u^2\rangle G^2}$ 이 된다 — 데바이–왈러 인자(Kittel Ch.2 부록 A, 7.5). 온도를 올리면 큰 $G$ 의 반사부터 사라지지만 봉우리의 폭은 변하지 않는다(격자 자체의 주기는 그대로이므로). 줄어든 세기는 배경(열확산 산란)으로 간다.

세 탐침이 보는 것이 다르다

3절의 표를 형상 인자의 눈으로 다시 적는다. 식 $S=\sum f_je^{-i\mathbf G\cdot\mathbf r_j}$ 은 셋에 공통이고, $f_j$ 가 무엇의 푸리에 변환인가만 다르다.

탐침	$f$ 가 변환하는 것	$\mathbf G$ 의존	크기	결과
X선	전자 밀도 $n(\rho)$	$Z$ 에서 출발해 떨어짐	$\propto Z$	무거운 원자가 지배. 가벼운 원자(H, Li, B)가 잘 안 보임
전자	정전 퍼텐셜 $\propto[Z-f_{\text{X선}}(G)]/G^2$	X선보다 빨리 떨어짐	X선의 $10^3$ – $10^4$ 배	산란이 세서 얇은 시료·다중 산란(동역학적 회절). TEM(8.2)
중성자	핵 (산란 길이 $b$ )	핵이 점이라 평평	원소·동위원소마다 불규칙	H·D·Li가 잘 보임. 자기 모멘트도 산란

전자의 형상 인자가 $[Z-f_{\text{X선}}]/G^2$ 인 것은 전자가 핵의 퍼텐셜과 전자 구름의 퍼텐셜을 함께 보기 때문이다 (모트–베테 식): 핵( $+Z$ )과 전자 구름( $-f$ )이 만드는 알짜 전하의 푸아송 방정식이 $G^2$ 을 분모로 준다. 원자 위에서 $G\to0$ 이면 핵과 전자가 상쇄해 알짜가 0에 가까워지는데 $1/G^2$ 이 그것을 되살려 유한한 값이 된다. 산란이 X선보다 천 배 이상 세므로, 두께 100 nm의 TEM 시료에서도 한 번 산란된 파가 다시 산란된다 — 5절의 운동학적 근사가 깨지고 동역학적 회절이 필요하다. 세기에서 구조를 읽기 어려워지는 대신, 결함 하나가 만드는 대비(8.2의 전위 관찰)는 이 강한 산란 덕이다.

중성자는 핵의 크기(fm)가 파장(Å)보다 $10^5$ 배 작아 $f$ 가 상수이고, 그 값 $b$ 는 $Z$ 와 무관하게 핵마다 다르다(H는 음수, D는 양수). 그래서 X선이 못 보는 수소를 보고, 동위원소 치환으로 원하는 원자만 켜고 끌 수 있으며, 자기 모멘트를 가진 원자의 자기 질서(7.13)를 회절로 본다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 역격자는 결정이 품을 수 있는 파동의 목록이고, 회절 조건·브릴루앙 영역·구조 인자·형상 인자는 그 목록을 세 층(결정·세포·원자)의 푸리에 변환으로 읽은 것이다. 목적지를 적어 둔다.

밴드 이론 (7.7~7.9) — 블로흐 함수 $u_{\mathbf k}$ 의 $\mathbf G$ 전개, 영역 경계의 브래그 반사가 만드는 에너지 갭(7.7.2), 환원 영역 도식(7.8.5), Si·Ge·GaAs의 $\Delta$ · $L$ · $\Gamma$ 골짜기(7.9.5). 유사퍼텐셜법 (7.8.3)은 퍼텐셜의 푸리에 계수 $V_{\mathbf G}$ 몇 개로 밴드 전체를 만든다 — 5절의 $n_{\mathbf G}$ 와 같은 것.
포논 (7.4·7.5) — 분산 관계를 1차 영역에서 그리는 것, 결정 운동량 $\hbar\mathbf k$ 의 $\hbar\mathbf G$ 모듈로 보존, 움클랍(7.5.8), 중성자 비탄성 산란으로 포논을 재는 것(7.4.6: $\mathbf k'-\mathbf k=\mathbf G\pm\mathbf q$ ).
결정 구조와 재료 계측 (8.2·9.13·19.3) — 분말 XRD의 상 동정, 셰러 식의 결정립 크기, 윌리엄슨–홀의 변형, TEM 회절 무늬의 지수 매기기, LEED·RHEED의 표면 역격자 막대.
에피택시 (9.9·18.13) — HRXRD의 $\omega$ – $2\theta$ 스캔과 역격자 공간 지도, 두께 무늬, 완화도, Si $_{1-x}$ Ge $_x$ 조성, GaAs/Si의 역위상 영역과 (200) 반사.
비정질 (7.15) — 역격자가 없을 때 남는 것: 방사 분포 함수와 넓은 회절 언덕.
다음 장. 7.3에서는 격자를 붙드는 힘을, 7.4에서는 격자가 떨리는 방식을 본다. 둘 다 이 장의 $\mathbf k$ -공간 위에서 그려진다.