7부 고체물리 7.5

포논의 열적 성질

7.4에서 결정의 원자 진동을 조화 근사로 풀어 포논 — 진동수 $\omega$ , 파수벡터 $\mathbf K$ , 편극 $p$ 로 이름 붙은 양자화된 격자파 — 를 얻었다. 이 장은 그 포논이 열적으로 무엇을 하는가를 묻는다. 질문은 셋이다.

결정은 열을 얼마나 담는가 — 격자 열용량 $C_V(T)$ (1~5절).
결정은 데우면 왜 늘어나는가 — 열팽창 (6절).
결정은 열을 얼마나 잘 나르는가 — 열전도도 $\kappa(T)$ (7~9절).

첫째 질문은 조화 근사 안에서 답이 나온다. 조화 결정은 서로 독립인 진동자 $3N$ 개의 모음이고, 각 진동자에 플랑크 분포를 얹어 더하면 끝이다 — 남는 일은 “진동수 $\omega$ 근처에 모드가 몇 개 있는가”, 곧 상태밀도 $D(\omega)$ 를 세는 것뿐이다. 디바이 모형과 아인슈타인 모형은 $D(\omega)$ 를 두 가지 극단으로 단순화한 것이다.

둘째·셋째 질문은 조화 근사 안에서는 답이 없다. 조화 진동자의 평균 위치는 온도와 무관하고, 조화 결정의 격자파들은 서로 부딪히지 않아 열저항이 0이다. 열팽창과 유한한 열전도도는 둘 다 퍼텐셜의 비조화 항이 만든다. 그중에서도 열저항의 출처는 미묘하다 — 포논끼리 부딪히는 것만으로는 부족하고, 부딪히면서 결정 운동량이 역격자 벡터만큼 새는 움클랍 과정이 있어야 한다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다.

열용량 — 급속 열처리(RTA)에서 웨이퍼가 얼마나 빨리 데워지는가, 소자의 열 시정수, TCAD의 열 방정식에 들어가는 부피 열용량 $\rho c_p$ . 실리콘의 상온 열용량이 뒬롱–프티값의 80%인 이유가 디바이 온도 645 K 다 (4절).
열팽창 — 웨이퍼 휨, 박막 응력, 패키징의 열팽창 계수 불일치가 전부 6절의 비조화 계수 $g$ 다.
열전도도 — 트랜지스터의 자기 발열. FinFET·GAA 채널의 폭이 포논 평균자유행로보다 작아지면 채널의 열전도도가 벌크의 몇 분의 일로 떨어지고, SOI의 매몰 산화막은 열의 벽이 된다 (7·9절). 다이아몬드가 구리보다 열을 다섯 배 잘 나르는 이유가 디바이 온도 2230 K 다 (8절).
디바이 온도 자체 — 전자–포논 산란의 온도 의존, 곧 이동도 $\mu\propto T^{-3/2}$ 의 출처가 이 장의 포논 수 $\propto T$ 다 (7.12, 11부).

표기는 Kittel 5장을 따른다. 포논의 파수벡터는 $\mathbf K$ (대문자), 볼츠만 상수는 $k_B$ , 디바이 온도는 $\theta$ 다. 열전도도만은 예외로 둔다 — 아래 주의 참고.

이 장의 기호

같은 글자가 이 장 안에서 두 뜻으로 갈리는 자리가 여섯이고, 앞 장들과 갈리는 자리가 둘이다. 읽다가 막히면 여기로 돌아온다.

기호	읽는 법	이 장에서 무엇을 가리키는가	단위
$\mathbf K,\ K$	케이	포논의 파수벡터와 그 크기 (Kittel). 전자의 파수 $\mathbf k$ 와 구분한다	1/m
$k_B$	케이 비	볼츠만 상수	J/K
$\kappa$	카파	열전도도. Kittel 은 $K$ 로, 3.7(Incropera)은 $k$ 로 쓴다	W/(m·K)
$\omega$	오메가	포논의 각진동수	rad/s
$\omega_D,\ K_D,\ \theta$		디바이 차단 진동수 · 차단 파수 · 디바이 온도 $\theta=\hbar\omega_D/k_B$
$\theta_E,\ \omega_0$		아인슈타인 온도와 그 진동수 (5절)
$\langle n\rangle,\ n$		모드 하나의 점유수(포논 수). 전자 농도가 아니다. 7절에서만 단위 부피당 포논 수
$N$		원시 세포의 수. 단원자 격자면 원자 수와 같다
$p$		원시 세포당 원자 수 (모드 수 $3pN$ ) · 편극 인덱스
$V,\ L$		결정의 부피 · 한 변의 길이 ( $V=L^3$ )	m³, m
$v,\ v_g$		음속(장파장 극한) · 군속도 $d\omega/dK$	m/s
$D(\omega)$		상태밀도 — $\omega\sim\omega+d\omega$ 의 모드 수 $D(\omega)\,d\omega$	s
$U$		포논의 총 에너지 (1~5절). 6절의 $U(x)$ 는 원자 하나의 퍼텐셜 에너지	J
$C,\ C_V$		열용량. 7절 이후는 단위 부피당	J/K, J/(m³·K)
$c,\ g,\ f$		6절 퍼텐셜 $U(x)=cx^2-gx^3-fx^4$ 의 계수. $c$ 는 열용량이 아니다
$x$		1~5절: 무차원 에너지 $\hbar\omega/k_BT$ . 6절: 원자의 변위
$x_D$		$\hbar\omega_D/k_BT=\theta/T$
$\ell,\ \tau$	엘 · 타우	포논의 평균자유행로 · 충돌 사이의 시간 ( $\ell=v\tau$ )	m, s
$d$		시료의 크기 (두께·지름) — 9절	m
$\mathbf G$		역격자 벡터 (7.2.1역격자 벡터)	1/m
$\alpha$	알파	선팽창률 $\frac{1}{L}\frac{dL}{dT}$	1/K
$\gamma$	감마	그뤼나이젠 상수 (6절). 7.6의 전자 열용량 계수 $\gamma$ 가 아니다

주의

① $\kappa$ — 이 장은 열전도도를 $\kappa$ 로 쓴다. Kittel 은 파수벡터도 $K$ , 열전도도도 $K$ 로 써서 같은 페이지에 $K_1+K_2=K_3+G$ 와 $K=\tfrac13Cv\ell$ 이 나란히 놓인다. 두 뜻이 한 절에서 만나는 8절이 이 장의 핵심이라 그대로 둘 수 없다. 3.7(Incropera)의 $k$ 는 여기서 전자의 파수와 겹친다. 그래서 $\kappa$ 다 — 반도체 문헌 다수의 관행이기도 하다.

② $\tau$ — 6부의 $\tau$ 가 아니다. 6부의 기준 교재 Kittel·Kroemer 는 기본 온도 $\tau=k_BT$ 를 쓴다. 이 장의 $\tau$ 는 포논의 충돌 시간이고, 온도는 언제나 $k_BT$ 로 쓴다.

③ $n$ 과 $N$ . 소문자 $n$ 은 모드 하나에 든 포논의 개수(0, 1, 2, …)이고 대문자 $N$ 은 결정의 원시 세포 수다. 반도체 문헌의 전자 농도 $n$ 은 이 장에 나오지 않는다.

④ $v$ 와 $V$ . 소문자는 속도, 대문자는 부피. $D(\omega)\propto V\omega^2/v^3$ 처럼 한 식에 같이 나온다.

⑤ $C$ 와 $c$ . 대문자는 열용량, 소문자는 6절의 조화 계수(용수철 상수의 절반). 7.3의 탄성 상수 $C_{11}$ 은 첨자로 구분한다.

⑥ $U$ 와 $x$ . 1~5절의 $U$ 는 총 에너지, $x=\hbar\omega/k_BT$ 는 무차원 에너지다. 6절에 들어가면 $U(x)$ 가 퍼텐셜, $x$ 가 변위로 바뀐다 — Kittel 의 표기를 그대로 둔 것이고, 그 절 첫머리에서 다시 알린다.

포논 열용량과 플랑크 분포

무엇을 설명해야 하는가

격자 열용량은 격자 진동이 담는 에너지 $U$ 의 온도 도함수다. 고체는 압력을 걸어도 부피가 거의 변하지 않아 $C_V$ 와 $C_p$ 의 차이가 작으므로(수 % — 6절 끝에서 그 차이가 비조화성에서 온다는 것을 본다), 이 장은 부피를 고정한 $C_V=(\partial U/\partial T)_V$ 를 다룬다.

19세기 말까지 알려진 사실은 둘이었다. 상온 근처의 단순 고체는 원자 1몰당 열용량이 거의 $3R\approx 25\ \text{J/(mol·K)}$ 로 같다(뒬롱–프티). 그런데 온도를 내리면 모든 고체의 열용량이 0으로 떨어지고, 절연체에서는 그 접근이 $T^3$ 에 비례한다. 금속은 여기에 전자 기여 $\gamma T$ 가 얹혀 $C=\gamma T+AT^3$ 이 되는데, 그 첫 항은 7.6(7.6.4전자 기체의 열용량)의 몫이고 이 장은 둘째 항을 설명한다.

고전 물리는 첫 사실만 설명한다. 원자 $N$ 개가 3차원에서 진동하면 자유도가 $3N$ 이고 진동자 하나당 $k_BT$ (운동 에너지 $\tfrac12k_BT$ + 퍼텐셜 에너지 $\tfrac12k_BT$ )이므로 $U=3Nk_BT$ , $C=3Nk_B$ — 등분배 정리(6.3.5등분배 정리와 고체의 열용량)다. 온도가 어디든 상수다. 저온의 감소는 양자 효과이고, 아인슈타인(1907)이 이것을 양자론의 두 번째 성공 사례로 만들었다 (첫째는 흑체복사).

조화 결정은 독립 진동자의 모음이다

7.4의 결론(7.4.5포논의 양자화와 운동량)을 한 줄로 쓰면 이렇다. 조화 근사 아래 결정의 진동은 정규 모드 $3pN$ 개(원시 세포당 원자 $p$ 개)로 분해되고, 각 모드는 진동수 $\omega_{\mathbf K,p}$ 의 독립 조화진동자이며, 그 에너지는

E_{\mathbf K,p}=\Big(n_{\mathbf K,p}+\tfrac12\Big)\hbar\omega_{\mathbf K,p}, \qquad n_{\mathbf K,p}=0,1,2,\dots

이다. $n$ 이 그 모드에 든 포논의 수다. 열용량 문제는 따라서 “온도 $T$ 에서 진동수 $\omega$ 인 모드에 포논이 평균 몇 개 들어 있는가”로 환원된다.

플랑크 분포

열평형에서 양자수 $n$ 인 상태의 확률은 볼츠만 인자(6.3.1볼츠만 인자와 분배함수)에 비례한다: $P(n)\propto e^{-n\hbar\omega/k_BT}$ (영점 에너지는 모든 $n$ 에 공통이라 비에서 빠진다). $x=\hbar\omega/k_BT$ 로 두면 평균 점유수는

\begin{aligned} \langle n\rangle &=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}n\,e^{-nx}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}} =\frac{e^{-x}/(1-e^{-x})^2}{1/(1-e^{-x})}\\[4pt] &=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} =\frac{1}{e^{x}-1} \end{aligned}

이다. 분모는 등비급수, 분자는 그것을 $x$ 로 미분한 것이다. 이것이 플랑크 분포다:

\langle n(\omega)\rangle=\frac{1}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}

같은 식이 6.4(6.4.8보스-아인슈타인 분포)에서는 보스–아인슈타인 분포 $1/(e^{(\epsilon-\mu)/k_BT}-1)$ 로 나왔다. 포논은 그 식에서 $\mu=0$ 을 넣은 특별한 경우다. 이유는 포논의 수가 보존되지 않기 때문이다 — 결정을 데우면 포논이 생기고 식히면 사라진다. 입자 수에 제약이 없으면 그 수를 조절하는 라그랑주 승수 $\mu$ 가 필요 없고, 자유에너지를 $n$ 에 대해 최소화하면 $\partial F/\partial n=\mu=0$ 이 된다.

그림 7.5-1. 플랑크 분포. 왼쪽은 점유수 ⟨n⟩ = 1/(e^(ħω/k_BT) − 1)을 k_BT/ħω의 함수로 그린 것으로, k_BT ≪ ħω에서는 e^(−ħω/k_BT)로 얼어붙고 k_BT ≫ ħω에서는 고전값 k_BT/ħω − 1/2에 붙는다. k_BT = ħω인 점에서 ⟨n⟩ = 0.58이다. 오른쪽은 모드 하나의 에너지 (⟨n⟩ + 1/2)ħω — 영점 에너지 ħω/2에서 출발해 등분배 직선 k_BT에 접근한다. 두 선이 갈리는 곳이 k_BT ≈ ħω이고, 열용량이 온도에 따라 변하는 것은 오직 이 갈림 때문이다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 두 극한. $x\ll1$ 이면 $e^x-1\approx x+x^2/2$ 이므로 $\langle n\rangle\approx k_BT/\hbar\omega-\tfrac12$ , 모드의 에너지 $(\langle n\rangle+\tfrac12)\hbar\omega\approx k_BT$ — 등분배다. 영점 에너지의 $\tfrac12$ 이 정확히 상쇄되는 것에 주목한다. $x\gg1$ 이면 $\langle n\rangle\approx e^{-x}$ — 모드가 얼어붙는다. 포논이 하나라도 들어갈 확률이 $e^{-\hbar\omega/k_BT}$ 로 지수적으로 작아진다.

물리적 직관 — 열용량은 켜진 모드의 수다. 진동수 $\omega$ 인 모드는 $k_BT\gtrsim\hbar\omega$ 가 되어야 에너지를 받기 시작하고, 일단 켜지면 $k_B$ 만큼의 열용량을 낸다. 그래서 어느 온도에서 $C\approx k_B\times(\hbar\omega<k_BT\text{ 인 모드의 수})$ 다. 고온에서는 $3pN$ 개가 전부 켜져 뒬롱–프티가 되고, 온도를 내리면 높은 진동수부터 차례로 꺼진다. 이 장의 나머지는 “온도 $T$ 에서 켜진 모드가 몇 개인가”를 $D(\omega)$ 로 세는 이야기다.

파라미터 연계. 갈림 온도 $\hbar\omega/k_B$ 는 진동수에만 달려 있다. 실리콘의 광학 포논 $\hbar\omega_0=64\ \text{meV}$ 는 $\hbar\omega_0/k_B=740\ \text{K}$ 이므로 상온에서 $x=2.5$ , $\langle n\rangle=0.09$ — 아직 거의 비어 있다. 반면 파장 1 µm 짜리 음향 포논은 $\hbar\omega\sim0.03\ \text{meV}$ , $x\sim0.001$ 이라 고전적이다. 같은 결정 안에서 어떤 모드는 양자적이고 어떤 모드는 고전적이다.

총 에너지와 열용량

모드마다 플랑크 분포를 얹어 더한다:

U=\sum_{\mathbf K}\sum_{p}\langle n_{\mathbf K,p}\rangle\,\hbar\omega_{\mathbf K,p} =\sum_{\mathbf K}\sum_{p}\frac{\hbar\omega_{\mathbf K,p}}{e^{\hbar\omega_{\mathbf K,p}/k_BT}-1}

영점 에너지 $\sum\tfrac12\hbar\omega$ 는 온도와 무관하므로 열용량에 기여하지 않아 뺐다. $\mathbf K$ 에 대한 합은 결정이 크면 적분으로 바꿀 수 있다. 편극 $p$ 의 모드 중 진동수가 $\omega\sim\omega+d\omega$ 인 것의 수를 $D_p(\omega)\,d\omega$ 라 하면

U=\sum_p\int d\omega\,D_p(\omega)\,\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}

이고, $x=\hbar\omega/k_BT$ 로 미분하면

C_V=\frac{\partial U}{\partial T} =k_B\sum_p\int d\omega\,D_p(\omega)\,\frac{x^2e^{x}}{(e^{x}-1)^2}

이다. 피적분함수의 무차원 인자 $x^2e^x/(e^x-1)^2$ 는 $x\ll1$ 에서 1, $x\gg1$ 에서 $x^2e^{-x}\to0$ 인 차단 함수다 — “켜진 모드는 $k_B$ 를 내고 꺼진 모드는 0을 낸다”를 매끄럽게 쓴 것이다. 그러므로 열용량 문제의 핵심은 온전히 $D(\omega)$ 로 넘어간다. 2·3절이 그것을 세고, 4·5절이 두 가지 근사로 적분을 닫는다.

모드 수 세기

$D(\omega)$ 를 구하려면 먼저 “허용된 $\mathbf K$ 가 무엇인가”를 알아야 한다. 무한 결정에서는 $\mathbf K$ 가 연속이지만, 유한 결정에서는 경계 조건이 $\mathbf K$ 를 이산화한다 — 5.3의 무한 우물(5.3.1무한 우물)이 $k=n\pi/L$ 만 허용한 것과 같은 논리다. 결론부터 적으면 파수 하나가 $\mathbf K$ 공간에서 부피 $(2\pi/L)^3$ 을 차지한다. 이 한 줄이 이 절의 전부이고, 전자의 상태 세기(7.6, 6.5.9차원별 상태밀도)와 완전히 같다.

1차원 — 두 경계 조건, 같은 답

길이 $L=Na$ 의 사슬에 원자 $N+1$ 개가 있고 양 끝을 고정한다고 하자. 해는 정상파

u_s=u(0)\,e^{-i\omega t}\sin(sKa),\qquad s=0,1,\dots,N

이고, $s=N$ 인 원자가 움직이지 않으려면 $\sin(NKa)=0$ , 즉

K=\frac{\pi}{L},\ \frac{2\pi}{L},\ \frac{3\pi}{L},\ \dots,\ \frac{(N-1)\pi}{L}

이다. $K=0$ 은 모든 원자가 정지한 해라 모드가 아니고, $K=N\pi/L=\pi/a$ 는 $\sin(s\pi)=0$ 이라 역시 아무도 움직이지 않는다. 남는 것은 $N-1$ 개 — 움직일 수 있는 원자 $N-1$ 개와 같다. 파수 하나가 $K$ 축에서 길이 $\pi/L$ 을 차지한다.

경계를 고정하는 대신 주기 경계 조건 $u(s+N)=u(s)$ 를 걸면(보른–폰 카르만) 해는 진행파 $u_s\propto e^{i(sKa-\omega t)}$ 이고 $e^{iNKa}=1$ 에서

K=0,\ \pm\frac{2\pi}{L},\ \pm\frac{4\pi}{L},\ \dots,\ \pm\frac{(N-2)\pi}{L},\ \frac{N\pi}{L}

이다. $-\pi/a$ 와 $+\pi/a$ 는 같은 모드라 한 번만 세고(7.4의 첫 브릴루앙 영역), 합쳐서 정확히 $N$ 개다. 간격은 $2\pi/L$ 로 두 배지만 $K$ 가 음수까지 뻗어 구간도 두 배라, 모드 수는 같다.

그림 7.5-2. 허용된 파수 세기. 왼쪽 위는 양 끝 고정 — K = π/L 간격으로 (0, π/a) 안에 N − 1개. 왼쪽 아래는 주기 경계 — K = 2π/L 간격으로 (−π/a, π/a] 안에 N개. 어느 쪽이든 원자 N개에 모드 N개다. 오른쪽은 3차원 주기 경계의 K 공간 — 모드 하나가 부피 (2π/L)³의 칸 하나를 차지하고, 반지름 K인 구 안의 모드 수는 구의 부피를 칸의 부피로 나눈 VK³/6π²이다 (편극마다).직접 작도

직관

공간적 직관 — 경계 조건은 답을 바꾸지 않는다. 고정 경계와 주기 경계는 해의 모양(정상파와 진행파)이 다르고 $K$ 의 목록도 다르지만, 진동수 구간 $d\omega$ 에 든 모드 수 $D(\omega)d\omega$ 는 $N\gg1$ 이면 같다. 표면에 붙은 원자 몇 층이 $10^{23}$ 개 중 몇 개인지를 생각하면 당연하다 — 열용량은 부피 성질이고 경계는 부피에 $L^2/L^3$ 만큼만 기여한다. 계산이 쉬운 쪽을 고르면 되고, 그것이 주기 경계다. 진행파는 $\mathbf K$ 가 방향을 가지므로 열류·산란(7절 이후)을 말할 때 자연스럽다.

형태적 직관 — $K$ 공간의 격자. 주기 경계 조건은 $\mathbf K$ 공간에 간격 $2\pi/L$ 의 격자를 깐다. 결정이 클수록 격자가 촘촘해지고( $L\to\infty$ 이면 연속), 실공간의 격자상수 $a$ 는 이 격자가 어디까지 뻗는지(브릴루앙 영역, $|K|\le\pi/a$ )만 정한다. 두 길이 $L$ 과 $a$ 가 $K$ 공간에서 각각 눈금과 경계를 맡는다.

3차원 — 구 안의 칸 수

한 변 $L$ 의 정육면체 결정에 세 방향으로 주기 경계를 걸면

\mathbf K=\frac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z),\qquad n_x,n_y,n_z=0,\pm1,\pm2,\dots

이고, 모드 하나가 $\mathbf K$ 공간에서 부피 $(2\pi/L)^3$ 을 차지한다. 반지름 $K$ 인 구 안의 모드 수는 (편극 하나마다)

N(K)=\frac{4\pi K^3/3}{(2\pi/L)^3}=\frac{V K^3}{6\pi^2},\qquad V=L^3

이다. $\omega$ 가 $K$ 의 함수(분산 관계)이면 진동수가 $\omega$ 이하인 모드 수도 이것이고, 상태밀도는 그 미분이다:

D(\omega)=\frac{dN}{d\omega}=\frac{VK^2}{2\pi^2}\,\frac{dK}{d\omega}

$dK/d\omega=1/v_g$ 가 군속도(7.4.4군속도와 장파장 극한)의 역수다. 상태밀도는 구 껍질의 넓이 $4\pi K^2$ 에 껍질의 두께 $dK=d\omega/v_g$ 를 곱한 것 — 이 그림이 3절의 일반식으로 곧장 이어진다.

1차원·3차원 상태밀도

1차원 — 군속도가 0이면 발산한다

1차원에서 파수 하나가 길이 $2\pi/L$ 을 차지하므로(주기 경계, $\pm K$ 를 모두 세면) $D(\omega)\,d\omega=\dfrac{L}{2\pi}\cdot2\,dK$ , 즉

D(\omega)=\frac{L}{\pi}\,\frac{dK}{d\omega}=\frac{L}{\pi v_g}

이다. 7.4의 단원자 사슬(7.4.2단원자 사슬과 이원자 사슬) $\omega=\omega_m|\sin(Ka/2)|$ 을 넣어 보자. $v_g=d\omega/dK=\tfrac12\omega_ma\cos(Ka/2)$ 이고 $\cos(Ka/2)=\sqrt{1-\omega^2/\omega_m^2}$ 이므로

D(\omega)=\frac{L}{\pi}\cdot\frac{2}{\omega_ma}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\omega^2/\omega_m^2}} =\frac{2N}{\pi}\,\frac{1}{\sqrt{\omega_m^2-\omega^2}}

이다 ( $L=Na$ ). 저주파에서는 상수 $2N/\pi\omega_m=L/\pi v$ (선형 분산 $\omega=vK$ , $v=\omega_ma/2$ ), 띠의 꼭대기 $\omega_m$ 에서는 발산한다 — 그곳에서 분산 곡선이 평평해져 $v_g=0$ 이기 때문이다. 좁은 $d\omega$ 안에 넓은 $dK$ 구간의 모드가 몰려 들어온다. 이런 점을 반 호브 특이점이라 한다. 적분 가능한 발산( $1/\sqrt{\ }$ )이라 총 모드 수는 유한하다: $\int_0^{\omega_m}D\,d\omega=\dfrac{2N}{\pi}\arcsin(1)=N$ ✓.

그림 7.5-3. 상태밀도의 두 얼굴. 왼쪽은 1차원 단원자 사슬 — 저주파에서 상수 L/πv였다가 띠 꼭대기 ω_m에서 군속도가 0이 되어 발산한다 (반 호브 특이점). 오른쪽은 3차원 디바이 근사 — D ∝ ω²의 포물선을 차단 진동수 ω_D에서 자른 것으로, 아래 넓이가 총 모드 수 3N이다. 점선은 실제 결정의 상태밀도가 어떻게 생겼는지를 정성적으로 그린 것 — 분산 곡선이 평평해지는 진동수마다 봉우리가 서고, 3차원에서는 발산이 아니라 꺾임(kink)으로 나타난다.직접 작도

3차원 일반식 — 등진동수면의 넓이를 군속도로 나눈다

3차원에서 $\omega$ 와 $\omega+d\omega$ 사이의 모드는 $\mathbf K$ 공간에서 두 등진동수면 $\omega(\mathbf K)=\omega$ 와 $\omega(\mathbf K)=\omega+d\omega$ 사이의 껍질에 든 점들이다. 껍질의 두께는 곳에 따라 다르다 — 면에 수직한 방향으로 $dK_\perp=d\omega/|\nabla_{\mathbf K}\omega|$ 이므로

D(\omega)\,d\omega=\frac{V}{(2\pi)^3}\int_{\text{껍질}}d^3K =\frac{V}{(2\pi)^3}\int_{\omega(\mathbf K)=\omega}\frac{dS_\omega}{|\nabla_{\mathbf K}\omega|}\,d\omega

D(\omega)=\frac{V}{8\pi^3}\int\frac{dS_\omega}{v_g}

이다. 등진동수면 위에서 넓이 요소를 군속도로 나누어 적분한 것 — 2절의 “껍질 넓이 × 두께”를 등방적이지 않은 분산에 맞게 일반화한 것이다. 이 식은 실제 결정의 분산 $\omega(\mathbf K)$ 를 (비탄성 중성자 산란으로 재거나 계산해서) 알면 상태밀도를 주고, 전자의 $D(E)$ 에도 글자만 바꿔 그대로 쓴다(7.8).

$v_g=0$ 인 곳(분산 곡선의 극대·극소·안장점)에서 피적분함수가 발산하지만, 3차원에서는 그 점이 면 위의 한 점이라 적분은 유한하다 — $D(\omega)$ 는 발산 대신 꺾임(도함수의 불연속)을 보인다. 1차원의 발산, 2차원의 로그 발산, 3차원의 꺾임이 반 호브 특이점의 차원별 얼굴이다.

등방 선형 분산 — ω² 법칙

장파장 음향 포논은 $\omega=vK$ 로 등방적이다(7.3.10입방 결정의 탄성파([100]·[110])의 탄성파). 등진동수면이 반지름 $K=\omega/v$ 의 구이고 $v_g=v$ 이므로 편극 하나에 대해

D(\omega)=\frac{V}{8\pi^3}\cdot\frac{4\pi K^2}{v}=\frac{V\omega^2}{2\pi^2v^3}

이다 — 2절 끝의 $VK^2/2\pi^2\cdot dK/d\omega$ 에 $K=\omega/v$ 를 넣은 것과 같다. 종파 $v_L$ 하나와 횡파 $v_T$ 둘을 더하면

D(\omega)=\frac{V\omega^2}{2\pi^2}\Big(\frac{1}{v_L^3}+\frac{2}{v_T^3}\Big) \equiv\frac{3V\omega^2}{2\pi^2v^3}, \qquad \frac{3}{v^3}=\frac{1}{v_L^3}+\frac{2}{v_T^3}

이다. 마지막 등식이 디바이 평균 음속 $v$ 의 정의다 — 산술 평균이 아니라 $v^{-3}$ 의 평균이라 느린 횡파가 무겁게 든다. 실리콘은 $v_L=8{,}430$ , $v_T=5{,}840\ \text{m/s}$ ([100] 방향)에서 $v\approx6{,}400\ \text{m/s}$ 다.

직관

형태적 직관 — 왜 $\omega^2$ 인가. 진동수가 $\omega$ 이하인 모드는 반지름 $\omega/v$ 의 구 안에 있고 그 수는 부피 $\propto\omega^3$ 이다. 미분하면 껍질의 넓이 $\propto\omega^2$ . 차원마다 다르다 — 아래 표.

차원	등진동수 “면”	$N(\omega)$	$D(\omega)$	저온 열용량
1	두 점	$\propto\omega$	상수	$\propto T$
2	원	$\propto\omega^2$	$\propto\omega$	$\propto T^2$
3	구	$\propto\omega^3$	$\propto\omega^2$	$\propto T^3$

마지막 열이 4절의 결과를 미리 적은 것이다. 켜진 모드가 $\omega<k_BT/\hbar$ 인 것들이고 그 수가 $N(\omega)\propto\omega^d\propto T^d$ 이므로, 차원 $d$ 의 저온 격자 열용량은 $T^d$ 다. 층상 물질(흑연, 2D 재료)이 중간 온도에서 $T^2$ 에 가까운 열용량을 보이는 이유가 이것이고, 그래핀의 굽힘 모드(ZA, $\omega\propto K^2$ )는 이 표에서 또 벗어나 $D$ 가 상수, 열용량이 $\propto T$ 다.

파라미터 연계 — $v^3$ 이 분모에 있다. 음속이 빠를수록 같은 진동수까지의 모드가 적다 (구가 작으니까). 단단하고 가벼운 결정(다이아몬드)은 저주파 모드가 귀해서 열용량이 늦게 켜진다 — 4절의 디바이 온도 $\theta\propto v$ 가 이 문장을 숫자로 만든다.

디바이 모형과 T³ 법칙

가정 — 분산은 선형, 모드 수는 정확히

디바이(1912)의 근사는 두 문장이다. ① 모든 $\mathbf K$ 에서 $\omega=vK$ 로 둔다 — 장파장 극한의 선형 분산을 브릴루앙 영역 끝까지 밀어붙인다. ② 대신 총 모드 수는 정확히 맞춘다 — 편극 하나마다 모드가 $N$ 개여야 하므로, $\mathbf K$ 공간에서 브릴루앙 영역을 같은 부피의 구로 바꾸고 그 반지름 $K_D$ 에서 자른다:

N=\frac{VK_D^3}{6\pi^2} \quad\Longrightarrow\quad K_D=\Big(\frac{6\pi^2N}{V}\Big)^{1/3}, \qquad \omega_D=vK_D

\theta\equiv\frac{\hbar\omega_D}{k_B}=\frac{\hbar v}{k_B}\Big(\frac{6\pi^2N}{V}\Big)^{1/3}

$\omega_D$ 가 디바이 차단 진동수, $\theta$ 가 디바이 온도다. $\theta$ 는 결정마다 하나씩 있는 숫자이고, “이 결정의 격자 진동이 언제 고전적이 되는가”의 온도 눈금이다. 상태밀도는 3절의 $\omega^2$ 법칙을 $\omega_D$ 에서 자른 것이다:

D(\omega)=\begin{cases}\dfrac{3V\omega^2}{2\pi^2v^3}, & \omega\le\omega_D\\[6pt] 0, & \omega>\omega_D\end{cases} \qquad \int_0^{\omega_D}D(\omega)\,d\omega=\frac{V\omega_D^3}{2\pi^2v^3}=3N\ \checkmark

그림 7.5-4. 디바이 근사의 기하. 정사각형이 브릴루앙 영역(실제로 있는 모드 N개), 원이 같은 넓이의 디바이 구다. 원 안이지만 영역 밖인 네 활꼴은 없는 모드를 센 자리, 영역 안이지만 원 밖인 네 귀퉁이는 있는 모드를 버린 자리 — 넓이가 같아 총 모드 수는 보존된다. 가운데 작은 원이 저온에서 실제로 켜지는 모드의 범위 K ≲ k_BT/ħv — 경계의 모양이 보이지 않으므로 저온에서 이 근사는 정확하다. 고온에서는 총 모드 수만 보이므로 역시 정확하다. 근사가 틀리는 것은 그 사이뿐이다.직접 작도

주의

$N$ 은 원시 세포의 수다. Kittel 의 유도는 편극 하나에 모드 $N$ 개, 음향 3가지에 $3N$ 개를 센다 — 원시 세포당 원자가 $p$ 개면 광학 모드 $3(p-1)N$ 개는 이 셈에 들지 않는다. 그런데 표에 실리는 $\theta$ 값은 대개 저온 열용량을 $C=234\,N_{\text{원자}}k_B(T/\theta)^3$ 에 맞춘 경험값이라 $N$ 자리에 원자 수가 들어가 있다. 실리콘의 645 K 가 그런 값이다. 탄성 상수로 $\theta$ 를 계산할 때 $N$ 을 세포 수로 두느냐 원자 수로 두느냐에 따라 $2^{1/3}=1.26$ 배가 갈리므로, 어느 정의인지 확인하고 써야 한다. 이 장의 식은 Kittel 대로 $N$ = 세포 수이고, 숫자를 인용할 때는 표의 관례(원자 수)를 따른다.

에너지와 열용량

1절의 $U$ 에 디바이 상태밀도를 넣는다. $x=\hbar\omega/k_BT$ , $x_D=\hbar\omega_D/k_BT=\theta/T$ 로 치환하면

\begin{aligned} U&=\int_0^{\omega_D}d\omega\,\frac{3V\omega^2}{2\pi^2v^3}\,\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}\\[4pt] &=\frac{3V\hbar}{2\pi^2v^3}\Big(\frac{k_BT}{\hbar}\Big)^4\int_0^{x_D}\frac{x^3\,dx}{e^x-1} =9Nk_BT\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3\int_0^{x_D}\frac{x^3\,dx}{e^x-1} \end{aligned}

마지막 등식은 $V/(2\pi^2v^3)=3N/\omega_D^3$ (모드 수 조건)과 $\hbar\omega_D=k_B\theta$ 를 쓴 것이다. 온도로 미분하면(또는 1절의 $C_V$ 식에 넣으면)

C_V=9Nk_B\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3\int_0^{x_D}\frac{x^4e^x\,dx}{(e^x-1)^2}

이다. 적분은 닫힌 꼴이 없어 디바이 함수라 부르고 수치로 푼다. 그러나 양 끝은 손으로 된다.

고온 ( $T\gg\theta$ , $x_D\ll1$ ). 피적분함수가 $x^4e^x/(e^x-1)^2\approx x^2$ 이므로 적분은 $x_D^3/3=\theta^3/3T^3$ , 따라서 $C_V\to3Nk_B$ — 뒬롱–프티다. 모형과 무관하게 $D(\omega)$ 의 정규화만으로 나오는 결과다.

저온 ( $T\ll\theta$ , $x_D\to\infty$ ). 적분 상한을 무한대로 보낼 수 있다:

\int_0^\infty\frac{x^3\,dx}{e^x-1} =\sum_{s=1}^{\infty}\int_0^\infty x^3e^{-sx}\,dx =\Gamma(4)\sum_{s=1}^{\infty}\frac{1}{s^4} =6\,\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}

$1/(e^x-1)=\sum_s e^{-sx}$ 로 전개하고 항마다 감마 함수(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)를 쓴 것이다. $\zeta(4)=\pi^4/90$ 은 1.5의 제타 함수 표(1.5.1무한급수와 수렴 판정)에 있다. 그러면

U=\frac{3\pi^4Nk_BT^4}{5\theta^3}, \qquad C_V=\frac{12\pi^4}{5}Nk_B\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3\approx234\,Nk_B\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3

이것이 디바이 $T^3$ 법칙이다. 실험은 단순한 절연 결정에서 이 법칙을 잘 따르고 — Kittel 의 고체 아르곤 그림( $\theta=92\ \text{K}$ )이 그 예다 — $T^3$ 이 순수하게 보이려면 $T\lesssim\theta/50$ 까지 내려가야 한다. 실리콘이라면 13 K 아래다.

그림 7.5-5. 디바이 열용량 C/3Nk_B를 T/θ의 함수로. 디바이(강조)와 아인슈타인(θ_E = θ)이 모두 고온에서 뒬롱–프티값 1에 붙지만, 저온에서 디바이는 T³ 법칙 점선을 따라 천천히, 아인슈타인은 지수적으로 빠르게 0으로 간다. 300 K에서의 Ge(T/θ = 0.80, C = 0.93), Si(0.47, 0.80), 다이아몬드(0.13, 0.16)가 디바이 곡선 위에 찍혀 있다 — 실리콘의 상온 열용량 20 J/(mol·K)가 25가 아닌 이유가 이 위치다. 다이아몬드의 실측 0.25는 디바이값 0.16보다 크다 — 상온의 유효 디바이 온도가 저온값 2230 K보다 낮은 1,860 K이기 때문이다(4절 의문 참고).직접 작도

그림 7.5-6. 가로축을 (T/θ)³으로 잡으면 T³ 법칙은 원점을 지나는 직선이다 (Kittel의 아르곤 그림과 같은 방법). 디바이 곡선은 기울기 4π⁴/5 ≈ 78의 직선에 붙어 있다가 T/θ ≈ 0.1부터 아래로 처지고, 아인슈타인 곡선은 이 축에서 바닥에 붙어 있다. 오른쪽 표 — T/θ = 0.1에서 T³ 법칙과 디바이의 차이는 3%, 0.2에서는 70%다. 직선에서 벗어나는 자리가 긴 파장 음향 모드만 켜져 있다는 가정이 깨지는 온도다.직접 작도

직관

물리적 직관 — $T^3$ 은 켜진 모드의 수다. 온도 $T$ 에서 켜진 모드는 $\hbar\omega\lesssim k_BT$ , 즉 $K\lesssim K_T\equiv k_BT/\hbar v$ 인 것들이다. 그 수는 전체 $3N$ 개 중 부피비 $(K_T/K_D)^3=(T/\theta)^3$ 만큼이다. 켜진 모드 하나가 $k_B$ 를 내므로

C\sim3Nk_B\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3

정확한 계수 $12\pi^4/5=234$ 는 적분이 주지만, $T^3$ 과 $\theta^{-3}$ 은 이 세기만으로 나온다. 그림 7.5-4의 작은 원이 이 켜진 모드의 구다 — 저온에서는 그 구가 브릴루앙 영역의 경계에 닿지 않으므로 경계를 구로 바꾼 근사가 정확하고, 고온에서는 모든 모드가 켜져 총수만 보이므로 역시 정확하다. 디바이 모형이 틀리는 것은 그 사이, $T\sim\theta/10\sim\theta/2$ 뿐이며 그 오차도 열용량으로 정의한 “유효 디바이 온도” $\theta(T)$ 가 10~20% 흔들리는 정도다.

그래프 직관 — 4π⁴/5 의 직선. $C/3Nk_B$ 를 $(T/\theta)^3$ 에 대해 그리면 기울기 78의 직선이다. 실험 데이터에서 기울기를 읽으면 $\theta$ 가 나오고, 절편이 0이 아니면 그 절편이 전자 열용량 $\gamma T$ (금속) 또는 2준위계 기여(유리, 7.15.6저에너지 여기와 열전도)다.

디바이 온도 — 결정 하나에 숫자 하나

결정	$\theta$ (K)	결정	$\theta$ (K)	결정	$\theta$ (K)
C (다이아몬드)	2230	Cu	343	Pb	105
Si	645	Ag	225	Na	158
Ge	374	Au	165	Ar (고체)	92
Al	428	Fe	470	Ne (고체)	75

(Kittel 5장의 표, 저온 열용량에서 정한 값.) $\theta=(\hbar v/k_B)(6\pi^2N/V)^{1/3}$ 을 읽으면 경향이 보인다 — 가볍고 단단할수록 $\theta$ 가 높다. $v=\sqrt{C_{11}/\rho}$ 이므로 원자가 가벼우면( $\rho$ 작음) 빠르고, 결합이 세면( $C_{11}$ 큼) 빠르다. 다이아몬드는 둘 다라 2230 K, 납은 둘 다 아니라 105 K 다.

실리콘으로 셈을 맞춰 본다. 원자 밀도 $N/V=5.0\times10^{22}\ \text{cm}^{-3}$ 에서 $K_D=(6\pi^2N/V)^{1/3}=1.44\times10^{10}\ \text{m}^{-1}$ — 브릴루앙 영역의 X점 $2\pi/a=1.16\times10^{10}\ \text{m}^{-1}$ 보다 조금 크다. 디바이 평균 음속 6,400 m/s 를 곱하면 $\theta=\hbar vK_D/k_B\approx700\ \text{K}$ . 열용량으로 정한 645 K 와 10% 안에서 맞는다 — 실제 분산이 영역 경계 근처에서 선형보다 낮게 휘어(7.4의 $\sin$ 곡선) 고주파 모드가 디바이 모형보다 조금 더 많기 때문이다.

직관

파라미터 연계 — $\theta$ 가 이 백과의 다른 곳에 들어가는 자리.

상온 열용량. $T/\theta=300/645=0.47$ 에서 디바이 함수는 0.80 → $C=0.80\times3R=20.0$ J/(mol·K). 실측 $C_p=20.0$ J/(mol·K). 부피로 바꾸면 $\rho c_p=1.63\ \text{J/(cm}^3\text{·K)}$ — TCAD 열 방정식(20부)과 3.7의 집중 용량법(3.7.8과도 전도와 집중 용량법)에 들어가는 그 숫자다. 게르마늄은 0.80 → 0.93 으로 거의 뒬롱–프티고, 다이아몬드는 0.13 → 0.16 이라 상온에서도 열용량이 1/4 정도만 켜져 있다 (실측 0.25 — 상온의 유효 디바이 온도는 1,860 K 다. 아래 의문 참고).
전자–포논 산란. 전자를 산란하는 음향 포논의 수가 $T\gg\theta$ 에서 $\propto T$ 이므로 산란율 $\propto T$ , 여기에 상태밀도 $\propto T^{1/2}$ 가 곱해져 격자 산란 이동도 $\mu_{L}\propto T^{-3/2}$ 가 된다(7.12, 11부). 금속 비저항의 블로흐–그뤼나이젠 공식은 $\theta$ 를 매개변수로 하는 디바이 적분 그 자체다 (7.6).
초전도. BCS 의 $T_c\propto\theta\,e^{-1/N(0)V}$ — 동위원소 효과 $T_c\propto M^{-1/2}$ 는 $\theta\propto v\propto M^{-1/2}$ 에서 온다(7.14.4동위원소 효과).
열전도의 움클랍 문턱. 8절의 $e^{-\theta/2T}$ . 다이아몬드의 상온 열전도도가 구리의 다섯 배인 이유가 $\theta/2T=3.7$ 이다.
비탄성 산란 계측. 디바이–월러 인자 $e^{-2W}$ 는 열진동의 평균 제곱 변위 $\langle u^2\rangle$ 로 회절 세기를 깎는데, $\langle u^2\rangle\propto T/M\theta^2$ 다 (7.2, 19부의 XRD).

아인슈타인 모형

모든 모드가 같은 진동수

아인슈타인(1907)은 디바이보다 5년 앞서 더 거친 가정을 했다 — $3N$ 개 모드가 전부 같은 진동수 $\omega_0$ 다. 상태밀도는 델타 함수 $D(\omega)=3N\delta(\omega-\omega_0)$ 이고, 1절의 적분이 그냥 값이 된다:

U=\frac{3N\hbar\omega_0}{e^{\hbar\omega_0/k_BT}-1}, \qquad C_V=3Nk_B\Big(\frac{\hbar\omega_0}{k_BT}\Big)^2\frac{e^{\hbar\omega_0/k_BT}}{(e^{\hbar\omega_0/k_BT}-1)^2}

$\theta_E=\hbar\omega_0/k_B$ 를 아인슈타인 온도라 한다. 고온( $T\gg\theta_E$ )에서 $C_V\to3Nk_B$ — 뒬롱–프티는 여기서도 나온다. 저온에서는

C_V\approx3Nk_B\Big(\frac{\theta_E}{T}\Big)^2e^{-\theta_E/T}

로 지수적으로 죽는다. 실험의 $T^3$ 보다 훨씬 빠르다 — 그림 7.5-6의 바닥에 붙은 곡선이 그것이다. 이유는 분명하다. 아인슈타인 결정에는 $\omega_0$ 보다 낮은 모드가 없어서, $k_BT$ 가 $\hbar\omega_0$ 아래로 내려가면 켜진 모드가 하나도 없다. 실제 결정은 $\omega\to0$ 의 긴 파장 음향 모드를 언제나 갖고 있고, 그것들이 저온 열용량을 $T^3$ 으로 받친다.

그럼에도 이 모형은 역사적 사건이었다 — 고전 등분배가 왜 저온에서 실패하는지를 양자화된 진동자 하나로 설명했고, 플랑크의 양자가 복사만이 아니라 물질의 진동에도 적용됨을 처음 보였다.

어디에 쓰는가 — 광학 포논

아인슈타인 모형은 죽은 모형이 아니다. 광학 포논(7.4.3음향·광학 포논)의 분산은 브릴루앙 영역 전체에서 거의 평평하다 — 7.4의 이원자 사슬에서 광학 가지가 $K=0$ 과 $\pi/a$ 사이에 $\omega$ 를 조금밖에 안 바꾼 것을 떠올린다. 평평한 가지는 상태밀도가 좁은 봉우리이고, 그것을 델타 함수로 두는 것이 바로 아인슈타인 근사다. 그래서 다원자 결정의 표준 모형은

C_V=\underbrace{9Nk_B\Big(\frac{T}{\theta}\Big)^3\!\int_0^{\theta/T}\!\frac{x^4e^x\,dx}{(e^x-1)^2}}_{\text{음향 }3N\text{개 — 디바이}} +\underbrace{3(p-1)Nk_B\Big(\frac{\theta_E}{T}\Big)^2\frac{e^{\theta_E/T}}{(e^{\theta_E/T}-1)^2}}_{\text{광학 }3(p-1)N\text{개 — 아인슈타인}}

이다. 실리콘( $p=2$ )의 광학 포논은 라만 산란(7.11.8라만 효과와 브릴루앙 산란)으로 재면 $519\ \text{cm}^{-1}$ , 즉 $\hbar\omega_0=64.3\ \text{meV}$ , $\theta_E=746\ \text{K}$ 다. 상온에서 $\theta_E/T=2.5$ 이므로 광학 모드의 열용량은 뒬롱–프티값의 61% — 아직 절반 남짓 켜져 있다. 100 K 에서는 3% 다.

직관

물리적 직관 — 광학 포논은 열을 담지만 나르지 않는다. 광학 모드는 상온에서 열용량의 상당 부분을 담지만, 군속도 $v_g=d\omega/dK\approx0$ 이라 7절의 $\kappa=\tfrac13Cv\ell$ 에 거의 기여하지 않는다. 열을 나르는 것은 음향 포논이다. 그런데 소자에서 열이 생기는 자리는 광학 포논이다 — 채널의 뜨거운 전자는 에너지를 주로 광학 포논 방출로 잃고(실리콘에서 한 번에 63 meV 씩, 11부·14부), 그렇게 쌓인 광학 포논은 느리게(수 ps) 음향 포논 둘로 붕괴한 뒤에야 열로 운반된다. 이 병목 때문에 FinFET 채널의 국소 온도는 격자 온도보다 높고, 그 차이가 자기 발열 모델의 첫 번째 보정항이다.

파라미터 연계 — $\theta_E$ 와 $\theta$ 의 관계. 같은 결정에서 $\theta_E>\theta$ 인 것이 보통이다(실리콘 746 K 대 645 K). 원자 질량이 무거울수록 둘 다 내려가고( $\omega\propto M^{-1/2}$ ), 결합이 이온성이면 광학 모드의 종파–횡파 분리(LO–TO 분리)가 커져 극성 광학 포논 산란(11부의 프뢸리히 산란)이 GaAs 의 이동도를 정한다. 실리콘은 무극성이라 그 항이 없다 — 실리콘 이동도가 온도에 따라 $T^{-2.4}$ 로 $T^{-3/2}$ 보다 가파른 것은 프뢸리히가 아니라 골짜기 간 산란에 광학 포논이 들기 때문이다.

비조화 상호작용과 열팽창

이 절부터 표기가 바뀐다 — Kittel 을 따라 $U(x)$ 는 원자 하나의 퍼텐셜 에너지, $x$ 는 평형 위치에서의 변위다. 1~5절의 총 에너지 $U$ 와 무차원 $x=\hbar\omega/k_BT$ 는 이 절에 나오지 않는다.

조화 근사가 금지하는 것들

7.4의 조화 근사(7.4.1조화 근사)는 퍼텐셜을 변위의 2차까지만 남긴 것이다. 그 결과로 따라오는 성질들을 나열하면, 하나같이 실제 결정과 어긋난다:

두 격자파는 서로 상호작용하지 않는다 — 한 파가 다른 파를 산란하지 않는다.
한 파는 감쇠하지 않고 시간이 지나도 모양을 바꾸지 않는다.
열팽창이 없다.
단열 탄성 상수와 등온 탄성 상수가 같다.
탄성 상수가 압력과 온도에 무관하다.
열용량이 고온에서 상수 $3Nk_B$ 가 된다 — 실제로는 $T\gg\theta$ 에서 조금씩 더 오른다.

실제 결정은 이 여섯을 전부 위반하고, 위반의 크기가 곧 퍼텐셜의 3차·4차 항, 곧 비조화 항의 크기다. 세 원자의 변위가 곱해진 3차 항은 “포논 하나가 둘로 갈라지거나 둘이 하나로 합쳐지는” 3-포논 과정을 만들고(7·8절의 열저항), 홀수 차수 항이 우물을 비대칭하게 만들어 열팽창을 낳는다. 이 절은 열팽창을, 다음 절들은 열저항을 다룬다.

우물이 비대칭이면 평균이 밀린다

원자 하나가 평형점에서 $x$ 만큼 벗어났을 때의 퍼텐셜을

U(x)=cx^2-gx^3-fx^4,\qquad c,g,f>0

로 쓴다. $cx^2$ 이 조화 항, $-gx^3$ 이 비대칭 항(밀 때보다 당길 때 퍼텐셜이 완만하다 — 원자 사이의 반발은 가파르고 인력은 완만하므로, 7.3의 결합 곡선이 이 모양이다), $-fx^4$ 는 큰 진폭에서 진동을 무르게 하는 항이다. 고전 통계로 평균 변위를 구한다 — 볼츠만 인자로 무게를 준 평균:

\langle x\rangle =\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-U(x)/k_BT}\,dx} {\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-U(x)/k_BT}\,dx}

비조화 항이 작다고 보고 $e^{(gx^3+fx^4)/k_BT}\approx1+(gx^3+fx^4)/k_BT$ 로 전개하면 분자는 ( $\beta=1/k_BT$ )

\begin{aligned} \int x\,e^{-\beta cx^2}\Big(1+\beta gx^3+\beta fx^4\Big)dx &=\beta g\int x^4e^{-\beta cx^2}dx\\[4pt] &=\beta g\cdot\frac{3}{4}\sqrt{\pi}\,(\beta c)^{-5/2} \end{aligned}

이다. 홀함수 $x$ , $x^5$ 의 적분은 0으로 사라지고 $x^4$ 항만 남는다 — 가우스 적분의 모멘트는 감마 함수(1.5.9감마·베타 함수와 스털링 근사)로 $\int x^{2n}e^{-ax^2}dx=\Gamma(n+\tfrac12)\,a^{-n-1/2}$ 이다. 분모는 첫 근사에서 $\sqrt{\pi/\beta c}$ 이므로

\langle x\rangle=\frac{3g}{4c^2}\,k_BT

평균 변위가 온도에 비례한다. 선팽창률은 $\alpha=\dfrac{1}{a}\dfrac{d\langle x\rangle}{dT}=\dfrac{3gk_B}{4c^2a}$ — 온도와 무관한 상수이고, 상온 근처에서 열팽창이 선형인 이유다. $g=0$ 이면 $\langle x\rangle=0$ : 조화 결정은 어떤 온도에서도 늘어나지 않는다. $f$ 는 이 차수에 나오지 않는다 — 짝수 항은 우물을 대칭으로 넓혀 진동수만 바꾸고 평균은 안 옮긴다.

그림 7.5-7. 비조화 우물과 열팽창. 점선의 조화 포물선 cx²는 좌우 대칭이고, 강조된 cx² − gx³은 왼쪽(압축) 벽이 가파르고 오른쪽(인장) 벽이 완만하다. 세 온도 k_BT₁ < k_BT₂ < k_BT₃에 해당하는 수평선의 양 끝이 고전적 반환점이고 그 중점(●)이 시간 평균 위치다. 진폭이 커질수록 중점이 오른쪽으로 밀려 ⟨x⟩ ∝ T의 자취를 그린다 — 조화 포물선이라면 어떤 진폭에서도 중점은 0이다. 오른쪽 — 고전 평균 ⟨x⟩ = 3g k_BT/4c²과 팽창률 α ∝ g/c².직접 작도

직관

형태적 직관. 그림 7.5-7이 유도 전체를 담고 있다. 원자는 에너지 $k_BT$ 로 우물 안을 왕복하고, 왕복의 양 끝(반환점)은 $U(x)=k_BT$ 의 두 근이다. 우물이 오른쪽으로 완만하면 오른쪽 반환점이 더 멀고, 원자는 완만한 쪽에서 더 느리게 움직여 더 오래 머문다 — 두 효과 모두 평균을 오른쪽으로 민다. 온도가 오르면 수평선이 위로 올라가고 비대칭이 더 크게 보인다.

수식적 직관 — 왜 $g/c^2$ 인가. $c$ 가 두 번 들어간다. 한 번은 진폭( $\langle x^2\rangle=k_BT/2c$ — 등분배)에서, 한 번은 그 진폭에서 비대칭 힘 $3gx^2$ 을 조화 복원력 $2cx$ 로 되돌리는 데서. 그래서 $\langle x\rangle\sim g\langle x^2\rangle/c\sim gk_BT/c^2$ 다. 단단한 결정일수록 덜 늘어난다는 경험칙이 $c^{-2}$ 이고, 다이아몬드( $\alpha=1.0\times10^{-6}/\text{K}$ )와 납 ( $29\times10^{-6}/\text{K}$ )의 30배 차이가 그것이다.

파라미터 연계 — 그뤼나이젠. $g/c^2$ 를 실험으로 재기 쉬운 양으로 바꾸면 그뤼나이젠 상수 $\gamma=-\dfrac{d\ln\omega}{d\ln V}$ (부피가 1% 줄 때 진동수가 몇 % 오르는가 — 비조화성의 무차원 척도, 대개 1~3)가 되고, 열역학 항등식으로

\alpha_V=3\alpha=\frac{\gamma\,C_V}{B\,V}

가 나온다 ( $B$ 는 부피 탄성률, 7.3.8탄성 컴플라이언스와 강성 상수). Kittel 5장 본문 밖의 결과지만 결론이 중요하다 — 열팽창률은 열용량에 비례한다. 그래서 저온에서 $\alpha\propto T^3$ 으로 함께 0으로 가고(위의 고전 계산은 $T\gg\theta$ 에서만 맞다), 상온 이상에서 둘 다 거의 상수다. 실리콘의 $\alpha$ – $T$ 곡선을 열용량 곡선 옆에 놓으면 모양이 같다.

의문

실리콘은 왜 저온에서 수축하는가? 실리콘의 $\alpha$ 는 약 120 K 아래에서 음수가 된다 (최솟값 $-0.5\times10^{-6}/\text{K}$ , 75 K 근처). 위의 식에서 $\alpha\propto\gamma$ 이고 $\gamma$ 는 모드마다 다르다 — 다이아몬드 구조에서 브릴루앙 영역 경계 근처의 횡파 음향(TA) 모드는 $\gamma<0$ 이다(부피를 줄이면 진동수가 오히려 내려간다 — 결합각이 휘는 모드라 그렇다). 저온에서는 그 낮은 진동수의 TA 모드가 열용량을 지배하므로 평균 $\gamma$ 가 음수가 되고, 결정은 데울수록 줄어든다. 게르마늄·GaAs 도 같다. 4절 표의 “켜진 모드” 논리가 부호까지 정하는 예다. 단순한 $g>0$ 그림으로는 설명되지 않는다 — 1차원 모형에는 결합각이 없다.

숫자 — 반도체 재료의 열팽창률

재료	$\alpha$ (10⁻⁶/K, 300 K)	재료	$\alpha$ (10⁻⁶/K, 300 K)
Si	2.6	Al	23
Ge	5.9	Cu	17
GaAs	5.7	W	4.5
다이아몬드	1.0	SiO₂ (열산화막)	0.5
Si₃N₄	3	유기 기판(FR-4, 면내)	14~17

이 표가 반도체에서 이 절이 쓰이는 자리다. 서로 다른 $\alpha$ 를 가진 두 층을 고온에서 붙이고 식히면, 온도 차 $\Delta T$ 에 대해 변형 불일치 $\Delta\alpha\,\Delta T$ 가 생기고 박막에는 열응력

\sigma_f=\frac{E_f}{1-\nu_f}\,(\alpha_s-\alpha_f)\,\Delta T

가 걸린다 (9.11). 1000 °C 에서 자란 열산화막은 식으면서 실리콘보다 덜 줄어 압축 응력 약 300 MPa 를 받고, 알루미늄 배선은 실리콘보다 열 배 더 줄어 인장 응력을 받는다 — 힐록·보이드· 응력 유기 이동(9.12)의 출발점이다. 웨이퍼 휨(Stoney 식, 19부)은 이 응력의 적분이고, 패키징에서 칩(2.6)과 유기 기판(15)의 불일치는 솔더 범프의 열 피로를 정한다(23부). 반대로 이것을 이용하기도 한다 — 채널에 의도적으로 응력을 걸어 이동도를 올리는 응력 공학(14부)은 격자 불일치를 쓰지만, 공정 온도에서 식을 때의 열팽창 불일치가 그 위에 더해진다.

열전도와 포논 기체의 열저항

푸리에 법칙과 열전도도

온도 기울기가 있는 고체에서 에너지 흐름 밀도(단위 넓이·단위 시간당 에너지)는 기울기에 비례한다(3.7.3열전도 법칙과 열전도도):

j_U=-\kappa\,\frac{dT}{dx}

$\kappa$ 가 열전도도다. 이 식이 “비례”인 것 자체가 물리적 내용이다 — 에너지가 한쪽 끝에서 다른 끝으로 곧장 날아가지 않고, 짧은 거리를 가다 부딪히고 다시 가는 확산 과정임을 말한다. 포논이 아무것에도 부딪히지 않는다면 에너지는 음속으로 통과하고, 열류는 기울기가 아니라 양 끝의 온도 차에만 의존할 것이다. 열전도도라는 양이 있으려면 포논이 부딪혀야 한다. 무엇에 부딪히는가 — 이것이 7~9절의 질문이고, 답은 세 가지다: 다른 포논(8절), 결함, 경계(9절).

기체 운동론 — κ = ⅓Cvℓ

포논을 기체로 본다. 6.6의 기체 운동론(6.6.11기체 운동론과 수송 과정)을 그대로 따른다. 단위 부피당 포논 $n$ 개가 속도 $v$ 로 제멋대로 날다가 평균 $\ell$ 만큼 가서 충돌한다고 하자. $x$ 방향 온도 기울기가 있을 때, 면 $x$ 를 $+x$ 로 지나는 포논은 평균 $\ell_x=v_x\tau$ 만큼 뒤, 즉 온도가 $T-\ell_x\,dT/dx$ 인 곳에서 마지막으로 충돌했으므로 그만큼 다른 에너지를 갖고 온다. 포논 하나가 온도 $\Delta T$ 차이에 대해 나르는 에너지를 $c\,\Delta T$ ( $c$ 는 포논 하나의 열용량) 라 하면 알짜 흐름은

\begin{aligned} j_U&=-n\,\langle v_x\cdot c\,\ell_x\rangle\frac{dT}{dx} =-n\,c\,\langle v_x^2\rangle\tau\,\frac{dT}{dx}\\[4pt] &=-\tfrac13\,n\,c\,v^2\tau\,\frac{dT}{dx} =-\tfrac13\,C\,v\,\ell\,\frac{dT}{dx} \end{aligned}

이다. $\langle v_x^2\rangle=v^2/3$ (등방성), $nc=C$ (단위 부피당 열용량), $v\tau=\ell$ 을 썼다. 따라서

\kappa=\tfrac13\,C\,v\,\ell

기체·전자·포논 어디에나 같은 꼴이다. 포논에서 $v$ 는 음속으로 온도에 거의 무관하고 $C(T)$ 는 1~5절이 준다. 그러므로 열전도도의 온도 의존은 오로지 평균자유행로 $\ell(T)$ 에서 온다 — 그리고 $\ell$ 은 산란이 정한다.

직관

파라미터 연계 — 실리콘 상온. $\kappa=148\ \text{W/(m·K)}$ , $C=1.63\times10^6\ \text{J/(m}^3\text{·K)}$ , $v=6{,}400\ \text{m/s}$ 를 넣으면

\ell=\frac{3\kappa}{Cv}=\frac{3\times148}{1.63\times10^6\times6{,}400}\approx43\ \text{nm}

이 회색 근사 평균자유행로(모든 포논이 같다고 본 값)가 FinFET 의 핀 폭(약 7 nm)·GAA 나노시트 두께(약 5 nm)보다 여섯 배 이상 크다. 채널 안의 포논은 다른 포논보다 벽에 먼저 부딪히고, 채널의 열전도도는 벌크의 몇 분의 일로 떨어진다 (9절). 게다가 43 nm 는 하한이다 — 열을 실제로 나르는 저주파 음향 포논의 $\ell$ 은 수백 nm~1 µm 라, 실리콘 벌크 열전도도의 절반은 $\ell$ 이 0.5 µm 를 넘는 포논이 나른다. 7 nm 채널에서는 그 포논들이 전부 경계에 막힌다.

물리적 직관 — 세 인자의 역할. $C$ 는 “얼마나 많은 에너지가 실려 있는가”, $v$ 는 “얼마나 빨리 움직이는가”, $\ell$ 은 “얼마나 멀리 가서 내려놓는가”다. 유리와 결정의 100배 차이(9절)는 $C$ 도 $v$ 도 아닌 $\ell$ (원자 간격 대 수십 nm)에서 오고, 다이아몬드와 실리콘의 15배 차이는 $v$ (1.8배) 와 $\ell$ (움클랍이 얼어 있음)이 나눠 진다.

조화 결정은 열저항이 없다 — 그리고 정상 과정만으로도 없다

조화 결정에서 격자파는 서로 상호작용하지 않으므로(6절의 목록) 포논은 다른 포논에 부딪히지 않는다. 완전한 조화 결정의 $\ell$ 은 시료의 크기이고 $\kappa$ 는 크기에 비례해 무한히 커진다 — 열저항은 비조화 항이 만든다. 3차 항 $\propto u_1u_2u_3$ 이 만드는 기본 과정은 3-포논 과정이다: 포논 둘이 만나 하나가 되거나(합침), 하나가 둘로 갈라진다(쪼개짐). 에너지와 결정 운동량이 보존된다:

\omega_1+\omega_2=\omega_3,\qquad \mathbf K_1+\mathbf K_2=\mathbf K_3+\mathbf G

$\mathbf G$ 는 역격자 벡터이고, 결정 운동량은 $\mathbf G$ 를 더한 것까지만 정해진다는 7.4의 결론(7.4.5포논의 양자화와 운동량)이 여기 들어 있다. $\mathbf G=0$ 인 충돌을 정상 과정(N 과정), $\mathbf G\ne0$ 인 충돌을 움클랍 과정(U 과정)이라 부른다.

여기서 미묘한 사실이 하나 있다. 정상 과정만 있는 결정의 열저항도 0이다. 온도 기울기가 만든 포논 흐름을 생각하자. 열이 $+x$ 로 흐른다는 것은 $+x$ 쪽 $\mathbf K$ 를 가진 포논이 $-x$ 쪽보다 많다는 것, 곧 총 결정 운동량

\mathbf J=\sum_{\mathbf K,p}n_{\mathbf K,p}\,\hbar\mathbf K\ne0

이라는 것이다. 정상 과정은 $\mathbf K_1+\mathbf K_2=\mathbf K_3$ 이므로 충돌 전후로 $\mathbf J$ 를 바꾸지 않는다. 포논끼리 아무리 자주 부딪혀도 $\mathbf J$ 는 그대로이고, 표류하는 분포는 표류하는 채로 남는다 — 열류가 온도 기울기 없이도 계속 흐른다. Kittel 의 비유: 벽에 마찰이 없는 관 안의 기체를 한쪽에서 밀면, 기체 분자끼리 아무리 충돌해도 분자들의 총 운동량은 줄지 않으므로 기체는 멈추지 않는다. 열저항이 있으려면 $\mathbf J$ 를 파괴하는 충돌이 필요하고, 그것이 8절의 움클랍과 9절의 결함·경계 산란이다.

그림 7.5-8. 정상 과정은 표류를 되돌리지 못한다. 왼쪽 — 열평형의 포논 점유수는 K = 0에 대칭이라 총 결정 운동량 ΣK = 0, 열류 없음. 오른쪽 — 온도 기울기가 분포 전체를 +K 쪽으로 민 표류 분포(점선이 평형). ΣK ≠ 0이므로 열류가 흐르는데, 정상 과정 K₁ + K₂ = K₃는 ΣK를 보존하므로 아무리 자주 일어나도 이 표류를 지우지 못한다. 표류를 지우려면 ΣK를 바꾸는 충돌 — 움클랍(§8) 또는 결함·경계 산란(§9) — 이 있어야 한다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 표류하는 플랑크 분포. 정상 과정만 있는 포논 기체의 정상 상태는 6부의 언어로 “운동량이 보존되는 계의 평형”, 곧 표류 속도 $\mathbf u$ 를 가진 분포

\langle n_{\mathbf K}\rangle=\frac{1}{\exp\!\big[(\hbar\omega-\hbar\mathbf K\cdot\mathbf u)/k_BT\big]-1}

이다. 화학퍼텐셜 자리에 $\hbar\mathbf K\cdot\mathbf u$ 가 들어간 것 — 보존되는 양(운동량)마다 라그랑주 승수 하나가 붙는다는 6.4의 논리 그대로다. 이 분포는 열류를 나르면서도 정상 과정에 대해 정상 상태이므로, 정상 과정은 열류를 정하지 못한다. 이것이 그림 7.5-8의 오른쪽이다.

물리적 직관 — 전자와 다른 점. 전자의 전기 전도에서는 정상 전자–전자 충돌도 전류를 줄이지 않는다는 같은 논리가 성립하고, 저항은 불순물·포논·움클랍이 만든다(7.6, 7.12). 두 문제의 수학이 같다 — 볼츠만 방정식의 완화시간 근사에서 “운동량을 보존하는 충돌은 완화시간에 들지 않는다”.

움클랍 과정

브릴루앙 영역 밖으로 나가면 방향이 뒤집힌다

$\mathbf K_1+\mathbf K_2=\mathbf K_3+\mathbf G$ 에서 $\mathbf G\ne0$ 인 경우를 본다. 두 포논 $\mathbf K_1$ , $\mathbf K_2$ 가 둘 다 $+x$ 쪽을 향하고 크기가 각각 브릴루앙 영역의 절반쯤이면, 합 $\mathbf K_1+\mathbf K_2$ 는 영역 밖에 떨어진다. 그런데 7.4에서 본 대로 영역 밖의 파수는 물리적으로 새로운 모드가 아니다 — $\mathbf G$ 를 빼서 영역 안으로 접어 넣은 $\mathbf K_3$ 이 같은 모드다. 접어 넣은 $\mathbf K_3$ 은 $-x$ 쪽을 향한다. $+x$ 로 가던 두 포논이 합쳐져 $-x$ 로 가는 하나가 됐다 — 에너지 흐름의 방향이 뒤집혔다. 총 결정 운동량은 $\hbar\mathbf G$ 만큼 바뀌었고(그 반동은 결정 전체가 받는다), 7절의 $\mathbf J$ 가 파괴됐다. 이것이 움클랍 과정(Umklapp — “접어 넘김”, 파이얼스 1929)이고, 순수한 결정의 열저항은 전부 여기서 온다.

그림 7.5-9. 정상 과정과 움클랍 과정. 정사각형이 첫 브릴루앙 영역이다. 왼쪽 — 정상 과정: K₁ + K₂ = K₃가 영역 안에 놓이고 방향이 그대로다. 오른쪽 — 움클랍: K₁ + K₂가 영역 밖으로 나가고, 역격자 벡터 G를 빼서 접어 넣은 K₃가 반대쪽을 향한다. 에너지 흐름이 뒤집히고 총 결정 운동량이 G만큼 바뀐다. 이런 일이 일어나려면 K₁·K₂가 영역 절반 크기 이상이어야 하므로, 움클랍에 참여하는 포논의 에너지는 대략 k_Bθ/2 이상이다.직접 작도

문턱 — e^(−θ/2T)

움클랍이 일어나려면 $\mathbf K_1+\mathbf K_2$ 가 영역 밖으로 나가야 하므로 두 포논의 파수가 각각 영역 절반 크기 이상, 대략 $|\mathbf K|\gtrsim\tfrac12G$ , 에너지로는 $\hbar\omega\gtrsim\tfrac12k_B\theta$ 여야 한다. 그런 포논의 수는 저온에서 플랑크 분포의 꼬리, 곧 $e^{-\theta/2T}$ 에 비례한다. 움클랍 충돌률이 그 수에 비례하므로

\frac{1}{\ell_U}\propto e^{-\theta/2T} \qquad(T\ll\theta)

— 온도를 내리면 움클랍이 지수적으로 얼어붙고 $\ell$ 이 지수적으로 자란다. 열전도도가 저온으로 갈수록 폭발적으로 커지는 것이 이 때문이고, 그 성장을 멈추는 것은 결국 시료의 크기다(9절).

고온( $T\gtrsim\theta$ )에서는 모든 모드가 켜져 있어 문턱이 무의미하고, 포논의 수 자체가 $\langle n\rangle\approx k_BT/\hbar\omega\propto T$ 로 는다. 산란 상대가 $T$ 에 비례해 많아지니 충돌률 $\propto T$ , 즉

\ell\propto\frac1T,\qquad \kappa\propto\frac1T\qquad(T\gtrsim\theta)

$C$ 는 이 온도에서 상수(뒬롱–프티)이므로 $\kappa$ 의 온도 의존이 $\ell$ 의 것과 같다. 실리콘의 열전도도가 300 K 의 148 에서 400 K 의 99, 500 K 의 76 W/(m·K) 로 떨어지는 것이 대략 $1/T$ 보다 조금 가파른 정도다 — 소자 온도가 100 °C 오르면 실리콘 기판의 열저항이 절반 가까이 오른다.

직관

수식적 직관 — 왜 $\theta/2$ 인가. 움클랍에 필요한 것은 포논 둘이고, 둘의 합이 영역을 벗어나면 된다. 하나가 영역 절반이면 다른 하나도 절반이면 되므로 각각 $\hbar\omega\sim k_B\theta/2$ . 정확한 문턱은 분산 곡선과 방향에 따라 다르고, 실험은 $e^{-\theta/bT}$ 의 $b$ 를 2~3 사이로 맞춘다. 중요한 것은 지수 안에 $\theta$ 가 있다는 사실 — $\theta$ 가 높으면 같은 온도에서 움클랍이 훨씬 드물다.

파라미터 연계 — 다이아몬드. $\theta=2230\ \text{K}$ 이므로 상온에서 $\theta/2T=3.7$ , $e^{-3.7}=0.024$ . 상온이 다이아몬드에게는 “저온”이고 움클랍이 거의 얼어 있어 $\kappa\approx2{,}000\ \text{W/(m·K)}$ — 구리(400)의 다섯 배, 실리콘의 열다섯 배다. 게다가 $v$ 가 실리콘의 두 배 남짓이라 $\ell$ 이 같아도 두 배다. 다이아몬드 방열판, GaN-on-diamond 의 근거가 이 한 줄이다. 실리콘은 $\theta/2T=1.1$ , $e^{-1.1}=0.34$ — 상온이 이미 중간 영역이다. 게르마늄( $\theta=374$ )과 GaAs( $\theta\approx360$ )는 상온이 고온 쪽이라 $\kappa$ 가 60·55 로 비슷하고, 이 순서(C > Si > Ge ≈ GaAs)가 $\theta$ 의 순서다.

그래프 직관 — $\ln\kappa$ 대 $1/T$ . 중간 온도 구간에서 $\ln\kappa$ 를 $1/T$ 에 대해 그리면 기울기가 $\theta/b$ 인 직선이 나온다 — 아레니우스 그림으로 움클랍 문턱을 읽는 방법이다.

평균자유행로의 크기

$\kappa=\tfrac13Cv\ell$ 을 거꾸로 써서 실측 $\kappa$ 에서 $\ell$ 을 뽑으면 (Kittel 5장의 표, $v=5\times10^3\ \text{m/s}$ 로 계산):

결정	$T$	$\kappa$ (W/(m·K))	$\ell$
석영 (광축 방향)	0 °C	13	4 nm
	−190 °C	50	54 nm
NaCl	0 °C	7	2.3 nm
	−190 °C	27	10 nm

두 가지가 보인다. 상온 근처의 $\ell$ 은 원자 간격의 열 배 정도에 불과하고, −190 °C 로 내리면 열 배 자란다 — $e^{-\theta/2T}$ 의 얼어붙음이다. 실리콘의 43 nm(7절)는 이들보다 열 배 크다: $\theta$ 가 높아 상온의 움클랍이 덜 활발한 것과 결정이 단순한 것(원시 세포당 원자 2개 — 광학 가지가 적어 3-포논 과정의 경로가 적다)이 이유다.

결함의 영향

산란의 합 — 마티센 법칙

포논이 부딪힐 수 있는 것은 다른 포논만이 아니다. 시료의 표면·경계, 동위원소(질량이 다른 같은 원소), 불순물·공공·전위 같은 격자 결함, 그리고 결정이 아예 아닌 비정질 구조가 모두 포논을 산란한다. 서로 독립인 산란 기구는 충돌률이 더해지므로 (마티센 법칙 — 11부에서 전자 이동도에 쓰는 것과 같은 규칙)

\frac{1}{\ell}=\frac{1}{\ell_U}+\frac{1}{\ell_{\text{경계}}}+\frac{1}{\ell_{\text{동위원소}}}+\frac{1}{\ell_{\text{결함}}}+\cdots

이고, 가장 짧은 $\ell$ 이 이긴다. 온도마다 이기는 항이 달라 열전도도 곡선에 세 영역이 생긴다.

그림 7.5-10. 열전도도의 온도 의존 — 정성적 모형(양대수 눈금, 임의 단위). ① 순수하고 큰 결정: 저온에서 ℓ이 시료 크기 d로 고정되어 κ ∝ C ∝ T³으로 오르고, θ/20 근처에서 봉우리를 만든 뒤, 움클랍이 켜지며 e^(θ/2T) → 1/T로 떨어진다. ② 같은 시료에 동위원소·점결함 산란을 넣으면 봉우리만 깎이고 양쪽 가지는 거의 그대로다 — 레일리 산란 ∝ ω⁴가 봉우리 근처의 고주파 포논에만 예민하기 때문이다. ③ 시료 크기를 1/10로 줄이면 저온 가지 전체가 1/10로 내려간다. 실리콘의 봉우리는 약 25 K에서 상온값의 수십 배다.직접 작도

경계 산란 — 열전도도가 시료 크기에 비례한다

저온에서 움클랍이 얼어붙으면( $\ell_U\to\infty$ ) 포논은 시료의 표면에 부딪힐 때까지 곧장 간다. 표면에서 무작위 방향으로 되튀면(확산 반사) $\ell\approx d$ (시료의 지름·두께)이고

\kappa=\tfrac13\,C\,v\,d\propto T^3d \qquad(T\ll\theta)

— 열전도도가 시료의 크기에 비례하고 온도 의존은 열용량의 $T^3$ 그대로다 (드 하스·비어마스 1938, 카시미르). 이것을 크기 효과라 한다. 순수 결정의 $\kappa$ 는 원리적으로 재료 상수가 아니라 기하의 함수다.

이 논리는 저온에 국한되지 않는다. 시료의 한 치수가 $\ell$ 보다 작아지면 그 치수가 $\ell$ 을 대신한다 — 상온에서도. 실리콘의 $\ell\approx43\ \text{nm}$ 이므로(그리고 열을 실제로 나르는 포논의 $\ell$ 은 훨씬 길므로) 두께 $d$ 의 실리콘 박막·나노선·핀의 열전도도는 대략

\kappa(d)\approx\frac{\kappa_{\text{벌크}}}{1+\ell/d}

로 떨어진다 (전자의 푹스–존트하이머 크기 효과의 포논판 — 정확한 계산은 스펙트럼 $\ell(\omega)$ 를 적분해야 한다, 3.7.13나노 스케일 전도와 열예산). SOI 의 상부 실리콘(수십 nm)은 벌크의 1/3~~1/7, FinFET 핀·GAA 나노시트(5~~10 nm)는 1/10 아래로 내려간다. 채널에서 난 열이 빠져나갈 길이 좁아지는 것 — 자기 발열이 3차원 트랜지스터에서 평면 소자보다 심한 첫 번째 이유다 (14부).

동위원소와 점결함 — 봉우리를 깎는다

질량 $M$ 인 격자에 질량 $M+\Delta M$ 인 원자가 하나 섞이면 그 자리에서 파동이 산란된다. 파장보다 훨씬 작은 산란체이므로 레일리 산란이다:

\frac{1}{\ell_{\text{점결함}}}\propto\Big(\frac{\Delta M}{M}\Big)^2\omega^4

$\omega^4$ — 고주파 포논에 극단적으로 예민하고 저주파 포논은 거의 못 본다. 그래서 점결함 산란은 그림 7.5-10의 봉우리 근처(고주파 포논이 열을 나르기 시작하는 온도)에서만 이기고, 저온 가지(경계)와 고온 가지(움클랍)는 건드리지 못한다.

동위원소는 어느 결정에나 있는 점결함이다. 자연 게르마늄은 다섯 동위원소의 혼합이고(⁷⁰·⁷²·⁷³·⁷⁴·⁷⁶), ⁷⁴Ge 를 96% 로 농축한 결정은 자연 결정보다 봉우리에서 열전도도가 세 배 높다(Kittel 5장의 그림, 지발·헐 1958). 실리콘은 ²⁸Si 가 92% 라 처음부터 순한 편이지만, ²⁸Si 로 농축하면 상온에서 10% 남짓, 봉우리에서는 몇 배 오른다. 다이아몬드는 ¹³C 1.1% 를 없애면 상온 열전도도가 50% 가까이 오른다 — 상온이 다이아몬드에게는 봉우리 쪽 온도이기 때문이다(8절).

같은 논리가 도펀트에 적용된다. 실리콘에 인·붕소를 $10^{20}\ \text{cm}^{-3}$ 넣으면 질량 차이와 결합 변화, 그리고 자유 캐리어에 의한 산란이 더해져 상온 열전도도가 절반 근처로 떨어진다. 소스·드레인과 폴리실리콘 게이트의 열전도도는 벌크 실리콘의 값이 아니다. 합금은 극단이다 — Si $_{1-x}$ Ge $_x$ 는 모든 격자점이 점결함이라 $x\approx0.2$ 에서 $\kappa\approx10\ \text{W/(m·K)}$ , 실리콘의 1/15 이다. 열전 소자(17부)는 이것을 이용하고, SiGe 채널·소스/드레인(14부)은 이것을 감수한다.

비정질 — 평균자유행로가 원자 간격이다

유리처럼 주기가 없는 고체에서는 결정 운동량이 정의되지 않고 포논이라는 개념 자체가 고주파에서 무너진다(7.15.6저에너지 여기와 열전도). 실측 $\kappa$ 에서 $\ell$ 을 뽑으면 원자 간격 정도(수 Å)가 나온다 — 가능한 최솟값이다. 그러면 $\kappa=\tfrac13Cv\ell$ 에서 $\ell$ 이 상수이므로 $\kappa$ 는 $C$ 를 따라 온도가 오르면 함께 오른다 — 결정과 반대다. 열산화막 SiO₂ 의 1.4 W/(m·K) 와 석영 결정의 10 W/(m·K), 실리콘의 148 이 이렇게 갈린다.

반도체에서 이것이 뜻하는 바는 크다. SOI 의 매몰 산화막(BOX)은 실리콘보다 100배 나쁜 열 전도체라 트랜지스터 아래의 열의 벽이고, 배선 사이의 층간 절연막(ILD, 특히 low-k 다공성 막은 0.3 W/(m·K) 아래)은 배선의 줄열을 가둔다. 3D NAND 의 수백 층 적층과 HBM 의 다이 적층 (15부)에서 열이 빠져나가는 길은 산화막을 가로지르는 길이고, 그 열저항이 적층 수를 제한한다.

숫자 — 300 K 의 열전도도

재료	$\kappa$ (W/(m·K))	재료	$\kappa$ (W/(m·K))
다이아몬드	~2000	Si (벌크)	148
Cu	400	Si (SOI 박막 20 nm)	~25
Al	237	Ge	60
W	175	GaAs	55
Si₃N₄ (벌크)	30	SiGe (x ≈ 0.2)	~10
SiO₂ (열산화막)	1.4	low-k ILD	0.3~1

직관

파라미터 연계 — 어느 산란이 이기는가는 온도와 크기와 순도가 정한다. 세 가지 손잡이가 있다. 온도를 내리면 움클랍이 얼고 $\kappa$ 가 오르다가, 크기가 정한 천장에서 $T^3$ 으로 돌아 내려온다. 봉우리의 높이는 순도(동위원소·결함)가 정한다. 그림 7.5-10의 세 곡선이 세 손잡이 하나씩이다. 소자 설계자가 만지는 것은 크기(핀 폭·박막 두께)와 순도(도핑·합금)이고, 온도는 결과다 — 자기 발열로 채널이 뜨거워지면 움클랍이 늘어 $\kappa$ 가 더 떨어지고, 그래서 더 뜨거워지는 양의 되먹임이 있다. TCAD 의 전기–열 연계 시뮬레이션(20부)이 $\kappa(T,d)$ 를 입력으로 받는 이유다.

물리적 직관 — 계면. 이 장이 다루지 않은 산란이 하나 남는다. 두 재료의 계면은 포논에게 음향 임피던스( $\rho v$ )가 바뀌는 자리라 일부가 반사되고, 그 결과 계면 자체가 열저항을 갖는다 (카피차 저항, 열경계 저항 — 대개 $10^{-9}\sim10^{-8}\ \text{m}^2\text{K/W}$ ). 두께 10 nm 의 실리콘 박막의 열저항이 $d/\kappa\approx4\times10^{-10}\ \text{m}^2\text{K/W}$ 이므로, 나노 스케일에서는 계면 하나가 박막 몇 층과 맞먹는다. 9부의 계면과 3.7.13의 나노 스케일 전도가 여기서 만난다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

한 문장으로 줄이면 — 열용량은 켜진 모드의 수이고, 열팽창과 열저항은 비조화성이며, 열저항 중 결정 자신의 것은 움클랍뿐이다. 목적지를 적어 둔다.

다음 장들. 전자 열용량 $\gamma T$ 와 비데만–프란츠(7.6, 7.6.8열전도와 비데만-프란츠 법칙) — 금속에서 열을 나르는 것은 전자이고 반도체·절연체에서는 포논이라는 갈림. 전자–포논 산란율과 이동도의 $T^{-3/2}$ (7.12.6전자-포논 산란율). 밴드 갭의 온도 의존(7.9, 7.9.5Si·Ge·GaAs의 밴드 구조와 등에너지면) — 절반은 6절의 열팽창, 절반은 전자–포논 상호작용. 비정질의 열전도(7.15).
캐리어 수송 (11부) — 격자 산란 이동도, 광학 포논 방출과 속도 포화, 골짜기 간 산란의 문턱 에너지 63 meV.
소자의 열 (14부) — 자기 발열, FinFET·GAA 의 크기 효과 $\kappa(d)$ , SOI 의 BOX, 국소 열점과 신뢰성(전자 이동·BTI 의 온도 가속).
박막과 공정 (9·18부) — 열팽창 불일치 응력(9.11), 웨이퍼 휨, RTA 의 열 예산과 웨이퍼 온도 균일성(부피 열용량 $\rho c_p$ , 복사 냉각), 에피 성장 온도에서 식을 때의 응력.
메모리와 패키징 (15·23부) — 3D NAND·HBM 적층의 열저항, TSV·마이크로범프의 열 피로, 다이아몬드·SiC 방열 기판.
계측과 시뮬레이션 (19·20부) — 디바이–월러 인자와 XRD, 라만 온도계(광학 포논 진동수의 온도 이동), 3ω 법과 시간 영역 열반사(TDTR)로 재는 박막 $\kappa$ , TCAD 의 $\kappa(T,d)$ 와 $\rho c_p(T)$ 입력.
광·전력·센서 (17부) — 열전 소자의 $ZT$ 와 “포논 유리·전자 결정”, 전력 소자의 열저항 $R_{th}$ , 볼로미터.