3부 일반물리와 광학 3.2

진동과 파동

이 장은 반도체 백과에서 가장 자주 되불려 오는 장이 될 것이다. 이유는 하나다 — 이 백과가 다루는 거의 모든 것이 진동하거나 파동이기 때문이다. 빛은 전자기파고, 결정 속 전자는 파동함수이며, 격자의 열은 포논이라는 파동이고, 회로의 신호는 시간에 대한 진동이다. 노광기의 빛이 레지스트 안에서 만드는 줄무늬, 광섬유 속에서 펄스가 퍼지는 이유, 밴드 다이어그램에서 전자의 속도를 읽는 규칙, 발진기의 위상 잡음, 심지어 소자 시뮬레이터의 수치 진동까지 — 전부 이 장의 어휘로 말한다.

그런데 배워야 할 수학은 놀랍도록 적다. 이 장에서 새로 나오는 미분방정식은 둘뿐이다.

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2\,x = 0 \qquad\text{과}\qquad \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}

첫째가 진동이고 둘째가 파동이다. 첫째는 “한 점이 시간에 따라 어떻게 흔들리는가”를, 둘째는 “그 흔들림이 공간을 어떻게 건너가는가”를 말한다. 첫째의 해법은 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수에서 이미 끝냈고, 둘째는 1.7.5파동 방정식과 달랑베르 해에서 다시 정식으로 다룬다. 그러니 이 장이 하는 일은 새 수학을 배우는 것이 아니다. 그 두 식의 해가 어떻게 생겼는지, 무엇을 뜻하는지, 파라미터를 건드리면 무엇이 따라 움직이는지를 물리로 읽는 것이다.

장은 세 덩어리다.

1–3절: 한 점의 진동. 자유 진동, 감쇠, 강제 진동과 공명. 여기서 나오는 위상, 품질 인자 $Q$ , 로렌츠 곡선이 나머지 절 전부의 어휘가 된다.
4–7절: 파동의 문법. 파동 방정식, 조화파, 복소 표현, 파면의 세 모양. 기호를 확정하는 자리이고, 이 백과 전체가 이 절의 기호를 따른다.
8–11절: 파동을 더한다. 같은 주파수를 더하면 간섭과 정상파, 다른 주파수를 더하면 맥놀이, 무한히 많이 더하면 푸리에 분해, 그리고 매질이 주파수를 가리면 분산과 군속도. 선형성 하나가 이 네 절을 전부 만든다.

기준 교재 둘의 역할이 다르다. 1–3절과 8절의 정상파는 Halliday·Resnick·Walker(HRW)가, 4–11절은 Hecht가 본선이다. 둘의 표기가 갈리는 자리는 아래 표에서 이 백과의 선택을 못박아 둔다.

기호 — 이 장의 약속

이 장은 기호가 특히 위험하다. 한 글자가 두 뜻인 자리가 셋( $k$ , $\nu$ / $v$ , $E$ ), 교재 둘이 다른 글자를 쓰는 자리가 셋( $\phi$ / $\varepsilon$ , $\tau$ / $T$ , $b$ / $\gamma$ )이다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$x(t)$		진동자의 변위 (1–3절)	m
$\psi(x, t)$	프사이	파동 함수 — 파의 교란량. 줄의 변위, 압력, 전기장 등 무엇이든	임의
$A$		진폭 (최대 변위)	$\psi$ 의 단위
$\omega_0$	오메가 제로	고유 각진동수 $\sqrt{k_s/m}$	rad/s
$\omega$	오메가	각진동수 — 4절부터는 파의 각진동수, 3절에서는 구동 각진동수	rad/s
$\omega'$	오메가 프라임	감쇠된 자유 진동의 각진동수 $\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$	rad/s
$\nu$	뉴	진동수 $\omega/2\pi$ (Hecht 표기. HRW는 $f$ )	Hz
$\tau$	타우	주기 $1/\nu$ (Hecht 표기. HRW는 $T$ )	s
$\lambda$	람다	파장 — 공간 주기	m
$k$		전파수(propagation number) $2\pi/\lambda$ . 4절부터. 1–3절의 용수철 상수는 $k_s$	rad/m
$\kappa$	카파	파수(wave number) $1/\lambda$ . Hecht §2.2	m⁻¹
$v$	브이 (이탤릭)	위상 속도 $\omega/k$ . 5절부터 $v_p$ 로도 쓴다	m/s
$v_g$		군속도 $d\omega/dk$ (11절)	m/s
$\phi$	파이	위상 상수(초기 위상). Hecht는 $\varepsilon$ , HRW는 $\phi$	rad
$\varphi$	파이 (필기체)	위상 전체 $kx - \omega t + \phi$	rad
$\gamma$	감마	감쇠율 $b/2m$ — 진폭이 $e^{-\gamma t}$ 로 준다	s⁻¹
$Q$	큐	품질 인자 $\omega_0/2\gamma$	무차원
$\delta$	델타	강제 진동의 위상 지연 (3절)	rad
$\mathbf{k}$	볼드 케이	파동 벡터 — 크기 $k$ , 방향은 전파 방향 (7절)	rad/m
$\tilde\psi$	프사이 틸데	복소 파동 함수 $A e^{i(kx - \omega t + \phi)}$ . 관측량은 $\operatorname{Re}\tilde\psi$
$I$	아이	세기(irradiance) — 시간 평균한 $\psi^2$ 에 비례	W/m²
$B_n$		푸리에 급수의 $n$ 차 계수 (10절)
$\Delta\omega$ , $\Delta t$		대역폭과 지속 시간 (10절)

주의

짚고 갈 함정이 여섯이다.

① $k$ — 용수철 상수인가 전파수인가. HRW는 $F = -kx$ 의 용수철 상수를 $k$ 로, Hecht는 $2\pi/\lambda$ 를 $k$ 로 쓴다. 둘이 한 장에 들어오면 반드시 충돌한다. 이 백과는 $k$ 를 전파수에 준다 — 반도체에서 $k$ 는 언제나 파동 벡터의 크기다(밴드 다이어그램의 가로축이 $k$ 다). 용수철 상수는 1–3절에서만 잠깐 $k_s$ 로 쓰고, 그것도 $\omega_0^2 = k_s/m$ 으로 바꾼 뒤엔 $\omega_0$ 만 쓴다. 4절부터 $k$ 가 나오면 언제나 $2\pi/\lambda$ 다.

② $\nu$ (뉴)와 $v$ (브이). 진동수와 속도. 활자로는 다르지만 손글씨로는 같다 — Hecht가 조화파를 정의하면서 직접 경고하는 자리다. 이 백과는 진동수를 $\nu$ 로 쓰되 속도는 언제나 $v$ 뒤에 무엇의 속도인지 붙는다( $v$ , $v_p$ , $v_g$ ). 문맥이 애매하면 진동수를 $\omega/2\pi$ 로 풀어 쓴다.

③ $E$ . 이 장에서 $E$ 는 1절의 에너지와 8절 이후의 전기장 진폭( $E_0$ , $E_{01}$ ) 두 가지로 쓴다. 절이 달라 혼동 여지는 적지만, 8절부터 $E$ 는 에너지가 아니다. 광학 교재가 파동 함수의 예로 전기장을 쓰기 때문이다.

④ 위상 상수. Hecht는 $\varepsilon$ , HRW는 $\phi$ 다. $\varepsilon$ 은 이 백과에서 유전율에 쓰이므로 $\phi$ 로 통일한다. 위상 전체( $kx - \omega t + \phi$ )는 $\varphi$ 로 써서 상수 부분과 구분한다.

⑤ 주기. Hecht는 $\tau$ , HRW는 $T$ 다. $T$ 는 온도에 양보하고 $\tau$ 로 쓴다. 단, $\tau$ 가 시정수·수명·산란 시간으로도 널리 쓰이므로, 이 장 밖에서 $\tau$ 를 보면 무엇인지 다시 확인해야 한다.

⑥ 감쇠. HRW는 감쇠력 $-bv$ 의 $b$ (단위 kg/s)를, 1.4는 $c$ 를 썼다. 이 장은 진폭의 감쇠율 $\gamma = b/2m$ (단위 s⁻¹)로 쓴다 — 지수 $e^{-\gamma t}$ 에 바로 들어가는 양이라 $Q$ 와 선폭으로 가는 길이 짧다. 1.4의 $\alpha$ 가 이 $\gamma$ 다. 에너지는 $e^{-2\gamma t}$ 로 준다 — 2배를 빠뜨리는 것이 이 장에서 가장 흔한 계산 실수다.

부호 약속 하나 더. 진행파의 위상은 $kx - \omega t$ 로 쓴다(Hecht). $\omega t - kx$ 로 쓰는 교재(공학 전자기학·회로)와 부호가 반대다 — 결과는 같지만 6절에서 보듯 복소 표현의 $i$ 의 부호가 뒤집혀, 굴절률의 허수부와 임피던스의 부호 관례가 갈린다.

단순 조화진동

복원력이 변위에 비례하면

용수철에 매달린 질량 $m$ 이 평형에서 $x$ 만큼 벗어나면 되돌리려는 힘 $F = -k_s x$ 를 받는다. 뉴턴 제2법칙(3.1.1뉴턴의 운동 법칙과 힘)을 쓰면

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k_s\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2\,x = 0, \qquad \omega_0 \equiv \sqrt{\frac{k_s}{m}}

이것이 단순 조화진동(simple harmonic motion)의 방정식이다. 상수 계수 2계 선형 ODE라 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 특성방정식 $\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$ 에서 $\lambda = \pm i\omega_0$ , 해는

x(t) = A\cos(\omega_0 t + \phi)

임의 상수 둘 — 진폭 $A$ 와 위상 상수 $\phi$ — 는 초기 위치와 초기 속도가 정한다. $x(0) = A\cos\phi$ , $\dot x(0) = -A\omega_0\sin\phi$ 이므로

A = \sqrt{x(0)^2 + \frac{\dot x(0)^2}{\omega_0^2}}, \qquad \tan\phi = -\frac{\dot x(0)}{\omega_0\,x(0)}

직관

왜 하필 코사인인가. 식 $\ddot x = -\omega_0^2 x$ 는 “가속도가 변위에 비례하고 부호가 반대”라는 말이다. 변위가 크면 클수록 세게 되돌리고, 평형을 지나칠 때는 힘이 0이지만 속도가 최대라 멈추지 않는다. 이 되돌리기와 지나침의 반복이 진동이고, 두 번 미분해서 자기 자신의 음수가 되는 함수는 사인·코사인뿐이다. 지수함수 $e^{\lambda t}$ 도 두 번 미분하면 자기 자신의 상수배가 되지만, 그 상수가 음수가 되려면 $\lambda$ 가 허수여야 하고, 그것이 곧 오일러 공식으로 코사인이다.

주기가 진폭에 무관하다는 것이 조화진동의 핵심 성질이다. $\omega_0$ 는 $k_s$ 와 $m$ 만이 정하고 $A$ 는 들어가지 않는다. 크게 흔들어도 작게 흔들어도 한 번 왕복하는 시간이 같다 — 진자 시계가 가능한 이유이고, 수정 발진기의 주파수가 구동 진폭에 거의 무관한 이유다. 이 성질은 복원력이 정확히 선형일 때만 성립하고, 2절 뒤의 의문 블록에서 깨지는 경우를 본다.

각진동수·진동수·주기. $\omega_0$ 의 단위는 rad/s다. 위상 $\omega_0 t$ 가 $2\pi$ 늘어나면 한 바퀴이므로 주기 $\tau = 2\pi/\omega_0$ , 진동수 $\nu = 1/\tau = \omega_0/2\pi$ (Hz). 세 양은 같은 정보를 다른 단위로 말한다. 식 안에서는 $\omega$ 가 편하고( $2\pi$ 가 안 붙는다), 측정값을 말할 때는 $\nu$ 가 편하다. $\omega$ 와 $\nu$ 를 $2\pi$ 없이 섞으면 6.28배가 틀린다 — 이 장에서 가장 흔한 두 번째 실수다.

속도와 가속도 — 위상만 다른 같은 파형

\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\omega_0\sin(\omega_0 t + \phi) = A\omega_0\cos\!\left(\omega_0 t + \phi + \tfrac{\pi}{2}\right)\\ a(t) &= \ddot x = -A\omega_0^2\cos(\omega_0 t + \phi) = -\omega_0^2\,x(t) \end{aligned}

속도는 변위보다 위상이 $\pi/2$ 앞서고, 가속도는 $\pi$ 앞선다(곧 변위의 음수). 속도 진폭은 $A\omega_0$ , 가속도 진폭은 $A\omega_0^2$ — 미분 한 번에 $\omega_0$ 가 한 번 곱해지고 위상이 $\pi/2$ 앞선다. 6절의 복소 표현에서 이 규칙은 “ $i\omega$ 를 곱한다” 한 줄이 된다.

그림 3.2-1. 단순 조화진동의 변위·속도·가속도와 기준 원. 왼쪽 세 파형은 위상이 90도씩 다른 같은 코사인이다 — x가 최대인 순간 v는 0을 지나고 a는 최소다. 오른쪽은 반지름 A의 원 위를 각속도 ω₀로 도는 점으로, 그 x축 그림자가 변위 x(t)다. 위상각 ω₀t + φ 하나를 알면 세 양이 전부 정해진다. 위상 평면 (x, v/ω₀)에서 그린 궤적도 같은 원이고, 그 반지름의 제곱이 에너지다.직접 작도

직관

공간적 직관 — 조화진동은 원운동의 그림자다. 반지름 $A$ 인 원 위를 각속도 $\omega_0$ 로 도는 점을 옆에서 보면 그 그림자가 정확히 $A\cos(\omega_0 t + \phi)$ 다. 그래서 “각진동수”라는 이름에 각이 붙는다 — 실제로 돌아가는 각이 있다. 위상 $\omega_0 t + \phi$ 는 그 점이 원 위의 어디에 있는가이고, 위상 상수 $\phi$ 는 $t = 0$ 에 어디서 출발했는가다.

이 그림이 6절의 위상자(phasor)다. 그리고 1.4.9연립 ODE와 위상 평면의 위상 평면 $(x, \dot x/\omega_0)$ 에서 조화진동의 궤적이 원인 것도 같은 그림이다 — 두 좌표가 $A\cos$ 과 $-A\sin$ 이니 반지름 $A$ 인 원 위를 시계 방향으로 돈다.

에너지 — 두 그릇 사이를 오간다

운동 에너지와 퍼텐셜 에너지(3.1.3퍼텐셜 에너지와 에너지 보존)는

K = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 k_s A^2\sin^2(\omega_0 t + \phi), \qquad U = \tfrac12 k_s x^2 = \tfrac12 k_s A^2\cos^2(\omega_0 t + \phi)

합은 $E = K + U = \tfrac12 k_s A^2 = \tfrac12 m\omega_0^2 A^2$ 로 시간에 무관하다. 에너지는 진폭의 제곱에 비례하고, 한 주기 동안 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지가 두 번씩 자리를 바꾼다 (각각 $\sin^2$ , $\cos^2$ 이라 진동수가 $2\nu$ 다). 시간 평균은 $\langle K\rangle = \langle U\rangle = E/2$ — 에너지가 두 그릇에 반씩 담긴다.

“에너지 $\propto$ 진폭²” 은 이 장 끝까지 따라오는 규칙이다. 파의 세기(8절)가 진폭의 제곱인 것, 두 파를 더할 때 세기가 단순히 더해지지 않고 간섭항이 생기는 것이 전부 여기서 나온다.

같은 식이 나오는 자리

식 $\ddot x + \omega_0^2 x = 0$ 은 용수철에만 나오는 것이 아니다. 평형점 근처의 모든 것이 이 식이다. 퍼텐셜 $U(x)$ 가 $x_0$ 에서 극소이면 테일러 전개(1.5.3함수의 급수 전개와 근사의 정확도)로

U(x) \approx U(x_0) + \tfrac12 U''(x_0)\,(x - x_0)^2

1차항은 극소라 사라지고, 2차항이 유효 용수철 상수 $k_s = U''(x_0)$ 를 준다. 그러니 어떤 계라도 안정 평형 근처에서 조금 흔들면 각진동수 $\sqrt{U''(x_0)/m}$ 의 조화진동을 한다. 이것이 조화 근사이고, 결정 속 원자가 격자 자리 주위에서 진동하는 것(7.4의 포논)이 정확히 이 근사다 — 원자 간 퍼텐셜은 조화가 아니지만 바닥 근처는 포물선이다.

계	변위	“질량”	“용수철”	$\omega_0$
용수철–질량	$x$	$m$	$k_s$	$\sqrt{k_s/m}$
단진자(작은 각)	$\theta$	$mL^2$	$mgL$	$\sqrt{g/L}$
LC 회로	전하 $q$	$L$	$1/C$	$1/\sqrt{LC}$
결정 속 원자	$u$	원자 질량 $M$	$U''$	$\sqrt{U''/M}$
캔틸레버·MEMS 빔	끝단 변위	유효 질량	굽힘 강성	$\propto (t/L^2)\sqrt{E_Y/\rho}$

LC 회로가 특히 중요하다. 키르히호프 법칙 $L\ddot q + q/C = 0$ 이 같은 식이고, 인덕터의 자기 에너지 $\tfrac12 L\dot q^2$ 가 운동 에너지, 커패시터의 전기 에너지 $q^2/2C$ 가 퍼텐셜 에너지다. 전압과 전류의 위상이 $\pi/2$ 어긋나는 것이 위의 $x$ 와 $v$ 의 관계다. 이 대응이 21·22부의 발진기·필터·전원 분배망 링잉을 읽는 사전이 된다.

의문

진자는 언제까지 조화진동인가. 단진자의 정확한 식은 $\ddot\theta + (g/L)\sin\theta = 0$ 이고, $\sin\theta \approx \theta$ 로 놓아야 조화진동이다. 진폭 $\theta_m$ 이 커지면 주기가 $\tau \approx \tau_0\,(1 + \theta_m^2/16 + \cdots)$ 로 길어진다 — 15°에서 0.4 %, 45°에서 4 %. 이것이 비조화성(anharmonicity)의 첫 예다. 결정에서 이 비조화성이 열팽창과 포논–포논 산란, 곧 열전도의 한계를 만든다(7.4). 조화 근사가 잡지 못하는 것이 무엇인지 미리 적어 둔다: 진폭에 따라 주기가 변하는 것, 그리고 서로 다른 진동 모드 사이에 에너지가 옮겨 가는 것. 조화 진동자끼리는 절대 에너지를 주고받지 않는다.

감쇠 진동

마찰이 들어오면

실제 진동자는 언젠가 멎는다. 속도에 비례하는 저항력 $-b\dot x$ (점성·전기 저항·복사 손실을 가장 단순하게 모형화한 것)를 더하면

m\ddot x + b\dot x + k_s x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0, \qquad \gamma \equiv \frac{b}{2m}

특성근은 $\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}$ . 1.4.42계 선형 ODE와 상수 계수의 세 경우가 그대로다 — 과감쇠( $\gamma > \omega_0$ , 실근 둘), 임계감쇠( $\gamma = \omega_0$ , 중근), 부족감쇠( $\gamma < \omega_0$ , 켤레 복소근). 진동이라 부를 수 있는 것은 셋째뿐이고 이 장의 관심도 거기다.

x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega' t + \phi), \qquad \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}

세 가지가 달라졌다. ① 진폭이 $e^{-\gamma t}$ 로 준다. 포락선의 시정수는 $1/\gamma$ 다. ② 진동수가 $\omega_0$ 에서 $\omega'$ 로 조금 낮아진다. 되돌리는 힘에 저항이 맞서니 왕복이 느려진다. 그러나 감쇠가 약하면( $\gamma \ll \omega_0$ ) $\omega' \approx \omega_0(1 - \gamma^2/2\omega_0^2)$ 로 2차 소량이라 대개 무시한다. ③ 에너지가 $e^{-2\gamma t}$ 로 준다. 진폭의 제곱이므로 지수가 2배다.

E(t) \approx \tfrac12 k_s A^2 e^{-2\gamma t} = E_0\,e^{-t/\tau_E}, \qquad \tau_E = \frac{1}{2\gamma} = \frac{m}{b}

품질 인자 Q — 몇 번 진동하고 사라지는가

감쇠의 세기를 말하는 표준 무차원 수가 품질 인자다.

Q \equiv \frac{\omega_0}{2\gamma} = \frac{\omega_0 m}{b} = 2\pi\,\frac{\text{저장된 에너지}}{\text{한 주기에 잃는 에너지}}

둘째 등식이 물리적 정의다. 한 주기 $\tau = 2\pi/\omega_0$ 동안 에너지가 $E \to E\,e^{-2\gamma\tau} \approx E(1 - 2\gamma\tau)$ 로 주니 잃는 몫은 $2\gamma\tau = 4\pi\gamma/\omega_0 = 2\pi/Q$ 다.

그림 3.2-2. 품질 인자가 4와 20인 감쇠 진동. 둘 다 고유진동수는 같고 감쇠율 γ = ω₀/2Q만 다르다. Q회 진동한 시점에서 진폭이 e^(−π) ≈ 4 %로 준다 — Q가 '몇 번 울리고 사라지는가'를 센다. 감쇠가 약하면 주기는 거의 변하지 않고 포락선의 수명 1/γ만 길어진다.직접 작도

직관

$Q$ 는 진동 횟수다. 진폭이 $e^{-\gamma t}$ 이고 한 주기가 $2\pi/\omega_0$ 이니 $n$ 번 진동한 뒤 진폭은 $e^{-2\pi n\gamma/\omega_0} = e^{-\pi n/Q}$ 다. $n = Q$ 이면 $e^{-\pi} \approx 4\,\%$ — 곧 “ $Q$ 번쯤 진동하면 사라진다.” 에너지 기준으로는 $Q/2\pi$ 번 진동하면 $1/e$ 가 된다.

이 숫자 감각이 소자에서 그대로 쓰인다. 수정 진동자 $Q \sim 10^4$ – $10^6$ : 수만 번 울린다. MEMS 공진기 진공 패키지 $Q \sim 10^3$ – $10^5$ . RLC 회로 $Q \sim 10$ – $100$ . 광공진기(레이저 캐비티, 링 공진기) $Q \sim 10^3$ – $10^9$ . 반대로 원자의 광학 전이는 $Q = \nu/\Delta\nu \sim 10^7$ 안팎이고, 반도체의 밴드 간 전이는 넓어서 $Q \sim 10$ 안팎이다. 어디서 나온 수치든 $Q$ 가 크다 = 오래 울린다 = 주파수가 날카롭다(3절)로 읽으면 된다.

파라미터 연계. $Q = \omega_0 m/b$ 이니 같은 $b$ 라도 $\omega_0$ 가 높으면 $Q$ 가 높다 — 한 주기가 짧아 그 안에 잃는 몫이 적기 때문이다. MEMS 공진기를 작게 만들면 $\omega_0$ 가 오르고, 같은 공기 저항에서도 $Q$ 가 오르는 것이 이 때문이다. 반대로 진공 패키징은 $b$ 를 줄여 $Q$ 를 올린다. $Q$ 를 재는 두 방법 — 자유 진동의 감쇠 시간을 재거나(이 절), 강제 진동의 선폭을 재거나 (3절) — 이 같은 값을 주는 것이 다음 절의 결론이다.

강제 진동과 공명

정상상태 응답

밖에서 $F_0\cos\omega t$ 로 밀면

\ddot x + 2\gamma\dot x + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos\omega t

$\omega$ 는 우리가 정하는 구동 각진동수이고 $\omega_0$ 는 계의 것이다. 해는 제차해(2절의 감쇠 진동, $e^{-\gamma t}$ 로 사라지는 과도 응답)와 특수해(구동과 같은 진동수로 영원히 계속되는 정상상태 응답)의 합이다. 풀이는 1.4.8강제 진동과 공명에서 끝냈다. 정상상태 해를 이 장의 기호로 다시 쓰면

x_p(t) = A(\omega)\cos\!\big(\omega t - \delta(\omega)\big)

A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\gamma^2\omega^2}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}

진폭 $A(\omega)$ 와 위상 지연 $\delta(\omega)$ 가 전부다. 1.4에서 이 두 곡선의 모양(저주파는 용수철이, 고주파는 질량이, 공명 근처는 감쇠만이 정한다)을 봤으므로 여기서는 공명 근처를 확대해서 본다 — 물리에서 실제로 쓰는 것은 그 부분이다.

공명 근처 — 로렌츠 곡선

$\omega \approx \omega_0$ 이면 $\omega_0^2 - \omega^2 = (\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega) \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$ 이고 $2\gamma\omega \approx 2\gamma\omega_0$ 이므로

A(\omega) \approx \frac{F_0}{2m\omega_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{(\omega_0 - \omega)^2 + \gamma^2}}

진동자가 흡수하는 평균 일률은 $\langle P\rangle = \langle F\dot x\rangle = \tfrac12 F_0 A\omega\sin\delta$ 이고, 같은 근사에서

\langle P\rangle(\omega) \approx \frac{F_0^2}{4m}\cdot\frac{\gamma}{(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}

이 꼴 $\dfrac{\gamma}{(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2}$ 이 로렌츠 함수(Lorentzian)다. 봉우리는 $\omega_0$ 에 있고, 높이의 절반이 되는 곳은 $\omega = \omega_0 \pm \gamma$ — 반높이 전폭(FWHM)이

\Delta\omega_{\text{FWHM}} = 2\gamma = \frac{\omega_0}{Q}

그림 3.2-3. 강제 진동이 흡수하는 평균 일률의 주파수 응답. 왼쪽은 봉우리 높이를 1로 맞춘 Q = 5와 Q = 20의 곡선으로, 반높이 전폭이 ω₀/Q라 Q가 클수록 좁다. 오른쪽은 같은 힘으로 밀었을 때의 실제 높이로, 봉우리가 Q에 비례해 높아진다(Q = 20은 16까지 올라가 칸을 벗어난다). 높이 × 폭이 거의 일정하다 — 곡선 아래 넓이가 감쇠에 무관하기 때문이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 폭이 곧 감쇠다. 이 곡선에서 읽을 것은 셋이다. 봉우리 위치가 $\omega_0$ (계의 강성/질량), 반높이 전폭이 $2\gamma$ (감쇠), 봉우리 높이가 $F_0^2/4m\gamma \propto Q$ 다. 그러니 자유 진동을 관측하지 않고도 주파수를 훑어 봉우리의 폭을 재면 $Q$ 가 나온다 — $Q = \omega_0/\Delta\omega$ . 2절의 시간 영역 정의( $Q$ 번 진동)와 이 주파수 영역 정의(선폭의 역수)가 같은 수를 주는 것이 이 절의 요점이다.

높이 × 폭 = 일정. 로렌츠 함수의 넓이 $\int \gamma/[(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2]\,d\omega = \pi$ 는 $\gamma$ 에 무관하다. 감쇠를 줄이면 봉우리가 높아지는 만큼 좁아진다. 흡수 스펙트럼에서 선의 넓이는 진동자의 수(진동자 세기)를, 폭은 감쇠를 따로따로 말한다는 뜻이고, 3.3·11부에서 흡수 스펙트럼을 읽을 때 이 분리가 그대로 쓰인다.

위상 지연. $\omega \ll \omega_0$ 에서 $\delta \to 0$ (변위가 힘을 그대로 따른다), $\omega = \omega_0$ 에서 $\delta = \pi/2$ (변위가 힘보다 1/4주기 늦다 — 힘이 속도와 같은 위상이라 일률이 최대다), $\omega \gg \omega_0$ 에서 $\delta \to \pi$ (힘과 반대로 움직인다). 감쇠가 작을수록 $\pi/2$ 근처에서 급하게 넘어가고, 그 기울기 $d\delta/d\omega\big|_{\omega_0} = 1/\gamma$ 도 $Q$ 의 척도다.

시간 영역과 주파수 영역 — 감쇠율은 하나다

정리하면, 감쇠율 $\gamma$ 하나가 두 얼굴을 갖는다.

영역	무엇을 보나	$\gamma$ 가 나타나는 자리
시간	자유 진동의 포락선	$e^{-\gamma t}$ — 진폭 수명 $1/\gamma$
주파수	강제 진동의 흡수 곡선	로렌츠 함수 — 반높이 전폭 $2\gamma$

곧 수명 × 선폭 ≈ 1이다. 수명이 긴 진동자는 선이 날카롭고, 빨리 죽는 진동자는 선이 넓다. 10절에서 이 관계가 진동자와 무관한 푸리에 변환의 일반 성질임을 본다 — 지수 감쇠하는 사인의 스펙트럼이 바로 로렌츠 함수다.

직관

물리적 직관 — 이 절이 반도체에서 어디로 가는가. 전기장 $E_0\cos\omega t$ 속의 전자를 “원자에 용수철로 묶인 전하”로 보면 이 절의 식이 그대로 로렌츠 진동자 모형이다. 변위 $x$ 가 쌍극자 $-ex$ 를 만들고, 그 합이 편극 $P$ , 그것이 유전율 $\varepsilon(\omega)$ 다. 그러면 $A(\omega)$ 의 실수부가 굴절률의 분산, 허수부(곧 $\sin\delta$ , 흡수 일률)가 흡수 계수가 되어 2.8.8유전율의 주파수 의존성 — 흡수와 분산과 3.3.4가 이 절의 재해석이 된다. 유전체의 굴절률이 파장에 따라 변하는 이유, 자외선에서 흡수가 급증하는 이유, 흡수가 큰 파장 근처에서 굴절률이 이상하게 움직이는 이유가 전부 “공명 근처의 진폭과 위상”이다. 그리고 그 실수부와 허수부가 서로 독립이 아니라는 것 — 크라머스–크로니히 관계(1.9.10) — 이 인과율의 결과다.

1차원 파동 방정식

파동이란 — 모양이 옮겨 가는 것

여기서부터 $k$ 는 전파수 $2\pi/\lambda$ 다. 그리고 미지 함수는 한 점의 변위 $x(t)$ 가 아니라 두 변수의 함수 $\psi(x, t)$ — 위치 $x$ 에서 시각 $t$ 에 매질이 얼마나 교란되었는가 — 다. 줄이면 수직 변위, 소리면 압력 편차, 빛이면 전기장이 $\psi$ 다.

파동은 교란이 매질(또는 공간)을 건너가는 것이고, 그 가장 단순한 표현은 이렇다. $t = 0$ 에 모양 $f(x)$ 가 있었고, 그 모양이 변하지 않은 채 속도 $v$ 로 $+x$ 방향으로 옮겨 간다면 시각 $t$ 의 모양은

\psi(x, t) = f(x - vt)

이유는 이것뿐이다 — $t$ 초 뒤에 $x$ 에서 보이는 값은 $t = 0$ 에 $x - vt$ 에 있던 값이다. $-x$ 방향이면 $f(x + vt)$ . 두 식에서 $x$ 와 $t$ 가 언제나 $x \mp vt$ 의 묶음으로만 들어간다는 것이 파동의 정의적 성질이다.

그림 3.2-4. 오른쪽으로 진행하는 펄스 ψ(x, t) = f(x − vt)를 세 시각 t = 0, T, 2T에 그렸다. 모양은 그대로이고 자리만 vT씩 옮겨 간다. 검은 점은 x − vt가 같은 값인 점들 — 파형의 '같은 자리'를 따라가는 관측자가 보는 위치다. 같은 자리를 따라가려면 dx/dt = v로 달려야 하고, 그것이 곧 파의 속도다.직접 작도

방정식을 끌어낸다

$\psi = f(x \mp vt)$ 가 어떤 미분방정식을 만족하는지 보자. $u = x \mp vt$ 로 놓고 연쇄법칙을 쓰면

\frac{\partial\psi}{\partial x} = f'(u), \qquad \frac{\partial\psi}{\partial t} = \mp v\,f'(u)

\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = f''(u), \qquad \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = v^2 f''(u)

1계에서는 부호가 방향에 따라 갈리지만 2계에서는 $v^2$ 이 되어 두 방향이 같은 식을 만족한다.

\boxed{\;\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}\;}

이것이 1차원 파동 방정식이다. 역도 성립한다 — 이 식의 모든 해는 $f(x - vt) + g(x + vt)$ 꼴이다 (달랑베르 해, 1.7.5파동 방정식과 달랑베르 해). $f$ 와 $g$ 는 초기 모양과 초기 속도 분포가 정한다.

직관

공간적 직관 — 곡률이 가속도를 만든다. 식을 $\partial^2\psi/\partial t^2 = v^2\,\partial^2\psi/\partial x^2$ 로 읽으면 “한 점의 가속도는 그 자리 파형의 곡률에 비례한다”다. 줄을 생각하면 명확하다 — 아래로 처진(위로 볼록한, $\psi'' < 0$ ) 부분은 양옆 장력이 아래로 당겨 아래로 가속되고, 위로 오목한 부분은 위로 가속된다. 직선인 부분은 힘을 받지 않는다. 이 “곡률 → 복원 가속도”가 파동을 만드는 기구이고, 1절의 “변위 → 복원 가속도”( $\ddot x = -\omega_0^2 x$ )의 공간판이다. 조화파 $\sin kx$ 에서는 곡률이 $-k^2\sin kx$ 로 변위에 비례하므로 두 그림이 정확히 일치한다 — 5절에서 그것이 $\omega = vk$ 가 된다.

줄에서 직접. 선밀도 $\mu$ , 장력 $T_s$ 인 줄의 작은 조각 $dx$ 에 뉴턴 법칙을 쓰면(HRW 16장) 장력의 수직 성분 차 $T_s\,\partial^2\psi/\partial x^2\,dx$ 가 질량 $\mu\,dx$ 에 가속도 $\partial^2\psi/\partial t^2$ 를 준다. 곧

v = \sqrt{\frac{T_s}{\mu}}

여기서 얻는 일반 규칙은 속도 = $\sqrt{\text{복원 인자}/\text{관성 인자}}$ 다. 줄은 $\sqrt{T_s/\mu}$ , 소리는 $\sqrt{B/\rho}$ (부피 탄성률/밀도), 고체 속 종파는 $\sqrt{E_Y/\rho}$ (영률/밀도 — 실리콘에서 약 8 km/s, 7.3의 탄성파), 전자기파는 $1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = c$ (2.8.2진공 중의 단색 평면파). 관성이 크면 느리고 되돌리는 힘이 세면 빠르다 — 1절의 $\omega_0 = \sqrt{k_s/m}$ 과 같은 구조다.

선형성 — 이 장의 뒷부분을 전부 만드는 성질

파동 방정식은 선형이다. $\psi_1$ 과 $\psi_2$ 가 해이면 $a\psi_1 + b\psi_2$ 도 해다 (1.4.11계 ODE — 변수분리와 완전 미분방정식의 첫 직관 블록). 결과는 중첩 원리 — 두 파가 만나면 교란은 단순히 더해지고, 지나간 뒤에는 서로 아무 영향도 남기지 않는다. 8절(간섭·정상파), 9절(맥놀이), 10절 (푸리에 분해), 11절(파속)은 이 한 성질을 네 방향으로 쓴 것이다.

선형성은 작은 진폭의 결과다. 줄의 방정식을 끌어낼 때 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \partial\psi/\partial x$ 로 놓았고, 전자기파는 진공에서 정확히 선형이지만 물질 안에서는 강한 빛에서 $P \propto E$ 가 깨져 비선형 광학(주파수 배가, 자기 위상 변조)이 나온다. 이 장 안에서는 선형만 다룬다.

조화파와 위상 속도

가장 단순한 파형 — 사인

$f$ 에 사인을 넣는다. 공간 주기가 $\lambda$ 여야 하니 $\sin(2\pi x/\lambda)$ 꼴이어야 하고, $x \to x - vt$ 로 진행시키면

\psi(x, t) = A\sin\!\big[k(x - vt) + \phi\big] = A\sin(kx - \omega t + \phi), \qquad k \equiv \frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega \equiv kv

이것이 조화파(harmonic wave)다. 사인이든 코사인이든 위상 상수 $\phi$ 가 다를 뿐이라 같은 말이다. 한 자리 $x$ 를 고정하면 $\psi$ 는 $t$ 의 사인 — 각진동수 $\omega$ 의 조화진동이다. 한 시각 $t$ 를 고정하면 $\psi$ 는 $x$ 의 사인 — 파장 $\lambda$ 의 주기 무늬다.

그림 3.2-5. 조화파를 두 축으로 자른 그림. 왼쪽은 시각을 고정한 공간 사진으로 봉우리 간격이 파장 λ, 오른쪽은 위치를 고정한 시간 기록으로 봉우리 간격이 주기 τ다. 점선은 조금 뒤의 시각(왼쪽)과 조금 뒤의 자리(오른쪽)로, 파형은 +x로 밀리고 같은 봉우리는 더 늦게 도착한다. 파형이 한 파장 가는 데 정확히 한 주기가 걸리므로 v = λ/τ = ω/k다.직접 작도

다섯 개의 양, 두 개의 자유도

기호	이름	정의	서로의 관계
$\lambda$	파장	공간 주기
$k$	전파수	$2\pi/\lambda$	공간의 “각진동수”
$\kappa$	파수	$1/\lambda$	단위 길이당 파장 수. 분광학의 cm⁻¹
$\tau$	주기	시간 주기
$\nu$	진동수	$1/\tau$
$\omega$	각진동수	$2\pi\nu = 2\pi/\tau$	시간의 “각진동수”
$v$	위상 속도	$\lambda/\tau = \lambda\nu = \omega/k$

일곱 개처럼 보이지만 독립인 것은 둘이다. 시간 쪽에서 하나( $\tau$ , $\nu$ , $\omega$ 는 같은 정보), 공간 쪽에서 하나( $\lambda$ , $k$ , $\kappa$ 는 같은 정보), 그리고 둘의 비가 $v$ 다. $k$ 와 $\omega$ 는 각각 $\lambda$ 와 $\tau$ 에 $2\pi$ 를 붙인 것이고 — 사인 함수의 인수에 바로 들어가기 위해서다 — “공간의 각진동수”라고 읽으면 대칭이 보인다.

두 관계식. $\omega = kv$ 를 풀어 쓰면 $\lambda\nu = v$ 다. 위 표의 어떤 두 양을 알아도 나머지가 나온다. 예: 가시광 $\lambda = 500$ nm, $v = c$ 이면 $\nu = 6\times10^{14}$ Hz, $\tau = 1.7$ fs, $k = 1.26\times10^7$ rad/m. 반도체 밴드의 브릴루앙 영역 경계 $k = \pi/a$ ( $a = 0.543$ nm)이면 $\lambda = 2a$ — 전자 파동의 최단 파장이 격자 간격의 두 배라는 것이 7.2의 출발점이다.

위상과 위상 속도

사인의 인수 전체를 위상이라 한다.

\varphi(x, t) = kx - \omega t + \phi

위상은 “파형의 어느 자리인가”를 말한다 — 봉우리, 골, 영점은 각각 $\varphi$ 가 특정 값을 갖는 곳이다. 위상 속도는 위상이 일정한 점의 속도다. $\varphi = \text{const}$ 를 $t$ 로 미분하면 $k\,dx/dt - \omega = 0$ 이므로

v_p = \left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi} = -\frac{\partial\varphi/\partial t}{\partial\varphi/\partial x} = \frac{\omega}{k}

Hecht §2.3의 이 편미분 표현이 의미를 정확히 드러낸다 — 위상이 시간에 대해 변하는 율을 공간에 대해 변하는 율로 나눈 것. 부호가 음수인 것은 $kx - \omega t$ 에서 $x$ 와 $t$ 의 부호가 반대라 “위상을 유지하려면 $t$ 가 늘 때 $x$ 도 늘어야 한다”는 뜻이다. $kx + \omega t$ 이면 $v_p = -\omega/k$ , $-x$ 방향이다.

세기 — 시간 평균한 진폭의 제곱

관측 장비는 $10^{14}$ Hz의 전기장을 따라가지 못하고 시간 평균을 본다. 조화파의 $\psi^2$ 을 한 주기 평균하면

\langle\psi^2\rangle = A^2\langle\sin^2(kx - \omega t + \phi)\rangle = \frac{A^2}{2}

파가 운반하는 에너지 흐름(세기, irradiance)은 이 값에 비례한다 — 1절의 “에너지 $\propto$ 진폭²”이 파동으로 옮겨온 것이다. $I \propto A^2$ , 그리고 $1/2$ 은 사인의 제곱 평균에서 온다. 8절에서 두 파를 더할 때 이 평균이 간섭항을 만든다.

복소 표현과 위상자

왜 복소수인가

오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (1.9.1복소수와 극형식·거듭제곱근)에서

\tilde\psi(x, t) = A\,e^{i(kx - \omega t + \phi)}, \qquad \psi = \operatorname{Re}\tilde\psi = A\cos(kx - \omega t + \phi)

관측되는 파는 실수부다. 복소 파동 함수 $\tilde\psi$ 로 계산을 끝까지 하고 마지막에 실수부를 취한다. 이것이 정당한 이유는 미분·적분·덧셈·상수 곱이 전부 실수부와 순서를 바꿔도 되는 선형 연산이기 때문이다 — $\operatorname{Re}(\partial\tilde\psi/\partial t) = \partial(\operatorname{Re}\tilde\psi)/\partial t$ .

얻는 것은 셋이다.

① 미분이 곱셈이 된다. $\partial\tilde\psi/\partial t = -i\omega\tilde\psi$ , $\partial\tilde\psi/\partial x = ik\tilde\psi$ . 1절의 “미분 한 번에 $\omega$ 가 곱해지고 위상이 $\pi/2$ 앞선다”가 “ $-i\omega$ 를 곱한다” 한 줄이다 — $-i = e^{-i\pi/2}$ 가 그 $\pi/2$ 다. 파동 방정식에 넣으면 $-k^2\tilde\psi = -(\omega^2/v^2)\tilde\psi$ , 곧 $\omega = vk$ 가 한 줄에서 나온다.

② 진폭과 위상이 한 수에 담긴다. $\tilde\psi = \tilde A\,e^{i(kx - \omega t)}$ 로 쓰면 $\tilde A = Ae^{i\phi}$ — 복소 진폭 하나가 크기와 위상 상수를 함께 나른다. 감쇠·굴절률·임피던스를 전부 복소수로 쓸 수 있는 근거다.

③ 덧셈이 벡터 덧셈이 된다. 같은 $\omega$ 의 파를 더할 때 $e^{-i\omega t}$ 가 공통 인자로 빠지고 복소 진폭만 더하면 된다. 그것이 아래의 위상자다.

그림 3.2-6. 위상자 두 장. 왼쪽은 복소평면에서 길이 A의 화살이 각속도 ω로 돌고, 그 실수축 그림자가 우리가 관측하는 진동 A cos(ωt + φ)임을 보인다 — 1절의 기준 원과 같은 그림이다. 오른쪽은 같은 주파수의 두 파를 위상자 두 개로 놓고 꼬리를 이어 더한 것으로, 합의 길이가 코사인 법칙으로 나오고 두 위상의 차 α₂ − α₁에만 의존한다. 두 화살이 같은 각속도로 함께 돌기 때문에 t를 잊고 평면에서 더한 뒤 마지막에 다시 돌려도 된다.직접 작도

위상자

$\tilde\psi = A e^{i\phi}\,e^{-i\omega t}$ 를 복소평면에 그리면, 길이 $A$ ·각 $\phi$ 인 화살이 각속도 $\omega$ 로 돈다. 이 화살이 위상자(phasor)다. 1절의 기준 원과 같은 그림이지만 이제 여러 개를 더할 수 있다. 같은 $\omega$ 의 파 $N$ 개를 더하면

\sum_{j} A_j e^{i(\phi_j - \omega t)} = \Big(\sum_j A_j e^{i\phi_j}\Big)\,e^{-i\omega t} = \tilde A\,e^{-i\omega t}

괄호 안은 시간과 무관한 복소수의 합 — 2차원 벡터 $N$ 개를 꼬리 이어 더한 것이다. 결과 화살의 길이가 합성파의 진폭, 각이 위상이다. 8절의 간섭, 3.5의 다중빔 간섭, 3.6의 회절 격자가 전부 “위상자 $N$ 개를 더한다”로 풀린다.

함정 — 곱셈은 안 된다

주의

실수부를 취하기 전에 곱하면 틀린다. $\operatorname{Re}(\tilde a\tilde b) \ne \operatorname{Re}\tilde a\cdot\operatorname{Re}\tilde b$ . 세기 $\langle\psi^2\rangle$ , 일률 $\langle F\dot x\rangle$ , 포인팅 벡터 $\mathbf E\times\mathbf B$ 처럼 두 진동량의 곱은 비선형 연산이라 복소수를 그대로 곱하면 안 된다. 바른 규칙은

\langle \operatorname{Re}\tilde a\cdot\operatorname{Re}\tilde b\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}\big(\tilde a\,\tilde b^{*}\big)

(같은 $\omega$ 일 때, $*$ 는 복소 켤레.) 특히 세기는 $\langle\psi^2\rangle = \tfrac12|\tilde A|^2$ — 복소 진폭의 절댓값 제곱의 절반이다. 5절의 $A^2/2$ 이 이렇게 다시 나온다. 이 규칙을 빠뜨리면 2배가 틀리거나, 최악에는 $2\omega$ 로 진동하는 항을 시간 평균에 남겨 둔다.

주의

$e^{-i\omega t}$ 인가 $e^{+j\omega t}$ 인가. 물리·광학(Hecht, Griffiths, 양자역학)은 $e^{i(kx - \omega t)}$ , 곧 시간 항이 $e^{-i\omega t}$ 다. 전기공학(회로·전송선·안테나)은 $e^{j(\omega t - kx)}$ , 곧 $e^{+j\omega t}$ 이고 허수 단위를 $j$ 로 쓴다( $i$ 는 전류). 두 약속은 서로 복소 켤레라 모든 결과의 허수부 부호가 뒤집힌다.

	물리 ( $e^{-i\omega t}$ )	공학 ( $e^{+j\omega t}$ )
시간 미분	$-i\omega$	$+j\omega$
복소 굴절률	$\tilde n = n + i\kappa_{\text{abs}}$	$\tilde n = n - j\kappa_{\text{abs}}$
커패시터 임피던스	$i/\omega C$	$1/j\omega C = -j/\omega C$
감쇠하는 파	$e^{i(kx - \omega t)}$ 에 $\operatorname{Im}k > 0$	$e^{j(\omega t - kx)}$ 에 $\operatorname{Im}k < 0$

이 백과는 물리 약속을 쓴다 — 5부 양자역학의 $e^{-iEt/\hbar}$ 와 맞추기 위해서다. 21·22부에서 회로 식을 옮겨 올 때 $j \to -i$ 로 바꿔 읽어야 하며, 특히 굴절률 허수부의 부호(흡수인가 이득인가)를 옮길 때 이 표를 보라. 표기가 갈리는 논문을 읽을 때 첫 줄에서 시간 인자의 부호를 확인하는 습관이 필요하다.

평면파·구면파·원통파

3차원 파동 방정식

$x$ 하나를 위치 벡터 $\mathbf r = (x, y, z)$ 로 넓히면 파동 방정식은 라플라시안 (1.1.2기울기·발산·회전)으로 쓴다.

\nabla^2\psi = \frac{1}{v^2}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}

해의 모양은 파면(wavefront) — 같은 시각에 위상이 같은 점들의 면 — 이 어떤 도형인가로 분류한다. 셋이 기본이다.

그림 3.2-7. 세 가지 파면과 진폭 감쇠. 평면파는 파면이 k에 수직인 평행 평면들이고 넓이가 일정해 진폭이 그대로다. 점 광원의 구면파는 파면 넓이가 4πr²으로 자라 진폭이 1/r로 준다. 선 광원의 원통파는 넓이가 2πρL로 자라 진폭이 1/√ρ로 준다. 세기 × 파면 넓이 = 일정이라는 에너지 보존 하나가 세 감쇠를 전부 정한다.직접 작도

평면파

\tilde\psi(\mathbf r, t) = A\,e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r - \omega t)}

파동 벡터 $\mathbf k$ 의 크기는 $2\pi/\lambda$ , 방향은 진행 방향이다. 위상이 일정한 면 $\mathbf k\cdot\mathbf r = \text{const}$ 는 1.1.1스칼라장과 벡터장의 평면 방정식 그대로 — $\mathbf k$ 에 수직인 평면들이다. 파면이 평면이고 간격이 $\lambda$ 이며 진폭이 어디서나 같다. 대입하면 $-k^2 = -\omega^2/v^2$ , 곧 $|\mathbf k| = \omega/v$ — 방향과 무관하게 크기만 걸린다. 이것이 등방 매질의 뜻이고, 결정처럼 방향에 따라 $v$ 가 다르면(복굴절, 3.5.8) $\mathbf k$ 의 방향마다 크기가 달라진다.

평면파는 이상화다 — 무한히 넓고 무한히 길다. 그러나 점 광원에서 아주 멀리 가면 구면의 작은 조각이 평면으로 보이고, 레이저 빔의 중심부도 평면파로 근사한다. 그리고 모든 파는 평면파의 합으로 쓸 수 있다(10절의 푸리에 분해를 공간에 적용한 것, 3.6.9의 각 스펙트럼) — 그래서 평면파 하나의 성질만 알면 반사·굴절·회절을 전부 조립할 수 있다.

구면파

점 광원에서 사방으로 퍼지는 파는 $r = |\mathbf r|$ 에만 의존한다. 구면좌표의 라플라시안 (1.1.8곡선좌표계)에서 각 부분이 사라지고

\nabla^2\psi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r}\Big) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}(r\psi)

둘째 등식은 직접 미분해 보면 확인된다. 그러면 $r\psi$ 가 1차원 파동 방정식을 만족하므로 $r\psi = f(r - vt)$ , 곧

\psi(r, t) = \frac{1}{r}\,f(r - vt), \qquad \tilde\psi = \frac{A}{r}\,e^{i(kr - \omega t)}

진폭이 $1/r$ 로 준다. 파면이 넓어질 뿐 모양은 유지된다.

직관

물리적 직관 — $1/r$ 는 에너지 보존이다. 미분방정식을 풀지 않아도 나온다. 점 광원이 일률 $P$ 를 내면 반지름 $r$ 의 구면(넓이 $4\pi r^2$ )을 그 일률이 전부 지나야 하므로 세기는 $I = P/4\pi r^2 \propto 1/r^2$ , 진폭은 $\sqrt I \propto 1/r$ . 세기의 역제곱 법칙이 곧 진폭의 $1/r$ 다. 같은 논리로 선 광원(길이 $L$ )의 원통면 넓이는 $2\pi\rho L$ 이라 $I \propto 1/\rho$ , 진폭은 $1/\sqrt\rho$ . 평면파는 파면 넓이가 자라지 않으니 진폭이 일정하다. 파면의 넓이가 어떻게 자라는가가 진폭 감쇠를 정한다.

이 $1/r$ 이 2.9의 복사장, 3.6의 하위헌스 원리(모든 점이 구면파의 파원), 그리고 광검출기 앞에서 “광원에서 두 배 멀어지면 신호가 1/4”(17.1)의 근거다.

멀리서는 평면파. 광원에서 $r \gg \lambda$ 이고 관측 영역이 $r$ 보다 훨씬 작으면, 그 안에서 $1/r$ 은 거의 상수이고 파면의 곡률도 무시된다 — 구면파가 국소적으로 평면파가 된다. 노광기의 광원이 웨이퍼에 닿을 때, 별빛이 망원경에 닿을 때가 이 극한이고, 3.6에서 “프라운호퍼 회절”이 성립하는 조건이 정확히 이것이다.

원통파

선 광원(긴 슬릿, 광섬유의 측면 산란)에서 나가는 파는 축에서의 거리 $\rho$ 에만 의존한다. 원통좌표 라플라시안의 방사 부분은

\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\Big(\rho\,\frac{\partial\psi}{\partial\rho}\Big) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}

구면파처럼 깔끔한 $f(\rho - vt)/\sqrt\rho$ 해는 없다. 정확한 해는 베셀 함수 (1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)) — 조화파 $e^{-i\omega t}$ 를 넣으면 $J_0(k\rho)$ , $Y_0(k\rho)$ , 곧 바깥으로 나가는 한켈 함수 $H_0^{(1)}(k\rho)$ 다. 그러나 $k\rho \gg 1$ 인 점근형은

\tilde\psi \approx \frac{A}{\sqrt\rho}\,e^{i(k\rho - \omega t)}

로 진폭 $1/\sqrt\rho$ , 위상은 조화파다. 위의 에너지 논증이 정확히 이것을 예측했다. 이 백과가 1.5에서 베셀 함수를 미리 다룬 이유 중 하나가 여기다 — 원통 대칭인 모든 파(광섬유 모드, 원형 도파관, 원판 공진기)가 베셀 함수로 풀린다.

파동의 중첩과 정상파

같은 진동수의 두 파 — 간섭

여기서부터 파동 함수의 예로 전기장 $E$ 를 쓴다(Hecht 표기. $E$ 는 이제 에너지가 아니다). 같은 $\omega$ , 같은 방향의 두 조화파

E_1 = E_{01}\sin(\omega t + \alpha_1), \qquad E_2 = E_{02}\sin(\omega t + \alpha_2)

( $\alpha_j = -kx_j + \phi_j$ 는 관측점에서 각 파의 위상.) 합은 같은 $\omega$ 의 조화파이고, 6절의 위상자 덧셈 — 또는 삼각함수의 합 공식 — 으로

E = E_0\sin(\omega t + \alpha), \qquad E_0^2 = E_{01}^2 + E_{02}^2 + 2E_{01}E_{02}\cos(\alpha_2 - \alpha_1)

\tan\alpha = \frac{E_{01}\sin\alpha_1 + E_{02}\sin\alpha_2}{E_{01}\cos\alpha_1 + E_{02}\cos\alpha_2}

합성 진폭이 두 진폭의 합이 아니다. 셋째 항 — 간섭항 — 이 위상차 $\alpha_2 - \alpha_1$ 에 따라 $+2E_{01}E_{02}$ 와 $-2E_{01}E_{02}$ 사이를 오간다. 세기 $I \propto E_0^2$ 로 옮기면

I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos(\alpha_2 - \alpha_1)

위상차가 $0, 2\pi, 4\pi, \ldots$ 이면 보강 간섭( $E_0 = E_{01} + E_{02}$ ), $\pi, 3\pi, \ldots$ 이면 상쇄 간섭( $E_0 = |E_{01} - E_{02}|$ ). 진폭이 같으면 세기가 $4I_1$ 과 $0$ 사이를 오간다 — ” $1 + 1 = 4$ 또는 $0$ .” 에너지가 생기거나 사라진 것이 아니라 공간에서 재배치된 것이고, 밝은 곳과 어두운 곳을 평균하면 $2I_1$ 이다.

직관

위상차가 어디서 오는가. $\alpha_2 - \alpha_1 = k(x_1 - x_2) + (\phi_2 - \phi_1)$ . 첫 항은 경로차 — 두 파가 관측점까지 온 거리가 다르면 위상이 $k\,\Delta x = 2\pi\Delta x/\lambda$ 만큼 다르다. 둘째 항은 파원의 위상차. 3.5의 모든 간섭계는 경로차를 조절해 위상차를 만드는 장치이고, “경로차가 $\lambda$ 의 정수배이면 밝다”는 규칙이 여기서 나온다. 매질 안에서는 파장이 $\lambda/n$ 이라 같은 거리가 $n$ 배의 위상을 만든다 — 광학 경로 길이 $n\,\Delta x$ 가 실제 길이 대신 들어간다.

결맞음. 이 식이 성립하려면 $\phi_2 - \phi_1$ 이 관측 시간 동안 일정해야 한다. 두 독립 광원의 위상차는 $10^{-9}$ s 안에 무작위로 바뀌어 $\cos$ 항이 0으로 평균되고 $I = I_1 + I_2$ — 간섭이 없다. 한 광원을 둘로 나누어야(3.5.2·3.5.3) 간섭이 보이는 이유이고, 10절의 대역폭이 그 “일정한 시간”의 길이를 정한다.

반대 방향의 두 파 — 정상파

같은 진폭·같은 $\omega$ 의 두 파가 반대 방향으로 간다. 줄 끝에서 반사된 파와 입사파가 그렇다.

\psi = A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t) = 2A\sin kx\,\cos\omega t

$x$ 와 $t$ 가 분리되었다 — 더 이상 $x \mp vt$ 의 묶음이 아니다. 이것은 진행하는 파가 아니다. 각 점 $x$ 가 진폭 $2A|\sin kx|$ 로 제자리에서 조화진동하고, 진폭이 자리마다 다르다.

마디(node): $\sin kx = 0$ , 곧 $x = 0, \lambda/2, \lambda, \ldots$ — 언제나 0.
배(antinode): $|\sin kx| = 1$ , 곧 $x = \lambda/4, 3\lambda/4, \ldots$ — 진폭 $2A$ .

마디 간격은 $\lambda/2$ 다. 파장의 절반마다 움직이지 않는 점이 선다.

그림 3.2-8. 정상파 두 장. 왼쪽은 ψ = 2A sin kx cos ωt를 여러 시각에 겹쳐 그린 것으로, 마디가 λ/2 간격으로 고정돼 있고 파형은 진행하지 않고 자리에서 부풀었다 줄어든다. 오른쪽은 반사 기판 위 포토레지스트 속의 빛 세기 I(z)로, 입사파와 반사파가 깊이 방향 정상파를 만들어 λ/2n 주기의 세기 줄무늬가 선다 — 매질 속 파장이 λ/n이기 때문이다. 이 줄무늬가 현상 후 레지스트 옆벽의 물결 무늬로 남는다.직접 작도

경계조건이 진동수를 고른다. 길이 $L$ 의 줄 양 끝이 고정이면 양 끝이 마디여야 하고, $\sin kL = 0$ 에서 $k_n L = n\pi$ , 곧

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad \nu_n = \frac{v}{\lambda_n} = n\,\frac{v}{2L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

허용되는 진동수가 이산적이다 — 기본 진동수 $v/2L$ 의 정수배만. 연속인 파동 방정식에 경계조건을 붙였을 뿐인데 정수 $n$ 이 튀어나왔다. 이것이 양자화의 원형이다. 5.3의 무한 우물 에너지 준위 $E_n \propto n^2$ 은 이 식에 $E = \hbar^2k^2/2m$ 을 넣은 것이고, 레이저의 종모드 간격 $c/2nL$ (17.4), 도파관의 차단 진동수(2.8.11), 광섬유의 모드 수가 전부 같은 계산이다.

직관

물리적 직관 — 레지스트 속 정상파. 노광기의 빛이 레지스트를 지나 기판(실리콘·금속)에서 반사되면, 입사파와 반사파가 레지스트 안에 깊이 방향 정상파를 만든다. 세기의 줄무늬 주기는 $\lambda/2n$ — 매질 속 파장의 절반이다. ArF $\lambda = 193$ nm, 레지스트 $n \approx 1.7$ 이면 약 57 nm마다 밝고 어두운 층이 생기고, 현상하면 레지스트 옆벽에 그 주기의 물결 무늬(standing-wave ripple)가 남는다. 대책은 셋 — 노광 후 열처리(PEB)로 감광제를 확산시켜 줄무늬를 지우거나, 기판 위에 반사 방지막(BARC)을 깔아 반사파를 없애거나, 레지스트 두께를 줄무늬 주기에 맞춰 골라 스윙 커브(swing curve)의 극값에 놓는 것이다. 18부 리소그래피의 이 세 처방은 전부 “정상파의 마디 간격이 $\lambda/2n$ “에서 나온다.

같은 현상이 2.8.10의 정재파비(VSWR)다. 전송선 끝에서 반사가 있으면 선 위에 전압 정상파가 서고, 최대/최소의 비가 반사 계수를 말한다. 레지스트의 스윙 커브와 전송선의 VSWR은 같은 식이다.

서로 다른 주파수의 합성과 맥놀이

두 진동수를 더하면

같은 진폭, 같은 방향, 진동수가 조금 다른 두 파. 삼각함수의 합-곱 공식으로

\begin{aligned} \psi &= A\cos(k_1 x - \omega_1 t) + A\cos(k_2 x - \omega_2 t)\\ &= 2A\cos(k_m x - \omega_m t)\,\cos(\bar k x - \bar\omega t) \end{aligned}

\bar\omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2},\quad \bar k = \frac{k_1 + k_2}{2} \qquad\text{(평균)},\qquad \omega_m = \frac{\omega_1 - \omega_2}{2},\quad k_m = \frac{k_1 - k_2}{2} \qquad\text{(변조)}

곱의 꼴이다. 뒤 인자는 평균 진동수 $\bar\omega$ 로 빠르게 진동하는 반송파(carrier), 앞 인자는 차의 절반 $\omega_m$ 으로 느리게 변하는 포락선(envelope)이다. $\omega_1 \approx \omega_2$ 이면 $\omega_m \ll \bar\omega$ 라 포락선이 반송파를 여러 주기 감싼다.

그림 3.2-9. 맥놀이. 위는 주파수가 15 % 다른 두 코사인으로, 위상이 맞았다 어긋났다를 되풀이한다. 아래는 그 합으로, 평균 주파수의 빠른 반송파가 차의 절반 주파수인 느린 포락선 안에서 진동한다. 세기는 포락선의 절댓값을 보므로 맥놀이 주파수는 포락선 주파수의 두 배, 곧 두 주파수의 차 ω₁ − ω₂다.직접 작도

맥놀이 진동수는 차다

한 자리( $x = 0$ )에서 들으면 $\psi = 2A\cos\omega_m t\,\cos\bar\omega t$ . 귀나 검출기는 세기 $\propto\cos^2\omega_m t = \tfrac12(1 + \cos 2\omega_m t)$ 를 보므로, 세기가 오르내리는 진동수는 $2\omega_m = \omega_1 - \omega_2$ 다.

\nu_{\text{beat}} = |\nu_1 - \nu_2|

포락선 $\cos\omega_m t$ 의 주기는 $2\pi/\omega_m$ 이지만 부호가 뒤집혀도 세기는 같으므로 맥놀이 주기는 그 절반이다. “포락선 진동수의 절반인가 두 배인가”에서 흔히 틀리는데, 그림에서 보면 포락선의 영점이 한 번 지날 때마다 한 번 어두워지고, 영점 간격이 $\pi/\omega_m = 2\pi/(\omega_1 - \omega_2)$ 다.

직관

물리적 직관 — 헤테로다인. 맥놀이는 주파수를 낮추는 장치다. $10^{14}$ Hz의 빛 두 줄기를 겹치면 그 차 — 수 MHz~GHz — 가 검출기에 전기 신호로 나온다. 빛의 진동수를 직접 셀 수는 없지만 차는 셀 수 있으니, 레이저 주파수 안정화, 광섬유 코히어런트 통신, 라이다의 거리 측정이 전부 이 원리다. 라디오의 믹서, 22부의 다운컨버전, 락인 앰프도 같은 것 — 두 신호를 곱하면(비선형 소자를 지나면) 합과 차 진동수가 생긴다. 여기서는 덧셈 뒤 세기(제곱)를 봤기 때문에 곱이 생겼다. 6절의 “곱셈은 선형이 아니다”가 여기서는 유용한 도구가 된다.

의문. 두 파가 매질 안에서 서로 다른 속도로 간다면( $\omega_1/k_1 \ne \omega_2/k_2$ ) 포락선은 어떤 속도로 가는가? 위 식에서 포락선 $\cos(k_m x - \omega_m t)$ 의 속도는 $\omega_m/k_m = \Delta\omega/\Delta k$ 이고, 반송파의 속도는 $\bar\omega/\bar k$ 다. 둘이 다르면 포락선 안에서 반송파의 마루가 앞으로 밀려 나가거나 뒤로 밀린다. $\Delta\omega/\Delta k$ 가 11절의 군속도다 — 두 파의 맥놀이가 군속도의 가장 단순한 정의다.

비조화 주기파의 푸리에 분해

주기가 있으면 조화파의 합이다

지금까지 파형은 사인이었다. 실제 신호 — 사각파, 삼각파, 톱니파, 클록, 레이저 펄스 열 — 는 그렇지 않다. 그러나 주기 $\tau$ (또는 $\lambda$ )만 있으면 푸리에 정리가 말한다: 그 파형은 기본 진동수 $\omega_1 = 2\pi/\tau$ 의 정수배 조화파들의 합이다.

f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\big(A_n\cos n\omega_1 t + B_n\sin n\omega_1 t\big)

A_n = \frac{2}{\tau}\int_0^{\tau} f(t)\cos n\omega_1 t\,dt, \qquad B_n = \frac{2}{\tau}\int_0^{\tau} f(t)\sin n\omega_1 t\,dt

계수 공식은 직교성에서 나온다 — $\int_0^\tau\sin n\omega_1 t\,\sin m\omega_1 t\,dt = (\tau/2)\delta_{nm}$ 이라, 양변에 $\sin m\omega_1 t$ 를 곱해 적분하면 $m$ 번째 항만 살아남는다. 1.2.5벡터공간과 내적공간의 정규 직교 기저에 대한 벡터 전개와 글자 하나 다르지 않다 — 함수 $f$ 가 벡터, $\{\sin n\omega_1 t\}$ 가 기저, $B_n$ 이 좌표다. 정식 전개와 수렴 조건은 1.10.1이 맡는다. 여기서는 그림을 읽는 법만 챙긴다.

그림 3.2-10. 사각파의 푸리에 분해. 왼쪽은 홀수 조화파를 1, 3, 9차까지 더한 부분합으로, 항을 더할수록 사각파에 가까워지지만 평평한 곳은 빨리, 모서리는 느리게 맞아 간다. 오른쪽은 진폭 스펙트럼으로, 홀수 조화파만 있고 크기가 1/n으로 줄어든다. 날카로운 모서리를 만들려면 높은 조화파가 많이 필요하다.직접 작도

사각파. 진폭 1, 반주기 대칭인 사각파는 $B_n = 4/n\pi$ ( $n$ 홀수), 나머지 0.

f(t) = \frac{4}{\pi}\Big(\sin\omega_1 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_1 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_1 t + \cdots\Big)

짝수 항이 없는 것은 파형이 반주기 밀면 부호가 뒤집히는 대칭( $f(t + \tau/2) = -f(t)$ ) 때문이고, 계수가 $1/n$ 으로 느리게 주는 것은 불연속 때문이다 — 매끈한 파형일수록 계수가 빨리 준다 (연속이면 $1/n^2$ , 무한히 매끈하면 지수적으로). 스펙트럼의 꼬리가 파형의 매끈함을 말한다.

직관

그래프 직관 — 스펙트럼을 읽는 법. 오른쪽 그림의 가로축은 진동수, 막대 높이는 진폭이다. 어느 진동수가 있는가(홀수만 → 반주기 대칭), 얼마나 빨리 주는가(1/n → 불연속이 있다), 기본 진동수가 어디인가(주기의 역수). 클록 신호가 사각파이니 $f_{\text{clk}}$ 의 3, 5, 7배 조화파가 강하게 실려 있고 — 이것이 21·22부의 EMI와 신호 무결성 문제의 뿌리다. 채널의 대역폭이 3차 조화파를 못 넘기면 모서리가 뭉개져 왼쪽 그림의 $N = 1$ 곡선처럼 된다. 상승 시간 $t_r$ 과 대역폭의 관계 $BW \approx 0.35/t_r$ 은 이 그림의 정량판이다.

의문. 부분합이 불연속점 근처에서 넘치는 것(그림의 뿔)은 항을 무한히 더해도 사라지지 않는다 — 깁스 현상, 약 9 %. 실제 필터에서 급한 차단이 링잉을 낳는 이유이고, 1.10.1과 22부의 DSP에서 윈도 함수로 다룬다.

주기가 없으면 — 푸리에 적분과 대역폭

한 번 지나가는 펄스는 주기가 없다. $\tau \to \infty$ 로 보내면 조화파 간격 $\omega_1 = 2\pi/\tau$ 가 0으로 가고 합이 적분이 된다.

f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)\,e^{-i\omega t}\,d\omega, \qquad F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{i\omega t}\,dt

$F(\omega)$ 가 스펙트럼 — 이산 막대가 연속 곡선이 되었다. 정식 성질은 1.10.3–1.10.4에서 다루고, 여기서는 이 장에 필요한 하나만 뽑는다.

가우스 펄스. 포락선 $e^{-t^2/2\sigma_t^2}$ 에 반송파 $\cos\omega_0 t$ 를 실은 펄스의 스펙트럼은 $\omega_0$ 중심의 가우스 $e^{-(\omega - \omega_0)^2\sigma_t^2/2}$ — 가우스의 변환은 가우스이고 폭은 $\sigma_\omega = 1/\sigma_t$ 다.

\sigma_t\,\sigma_\omega = 1 \qquad\text{(가우스, 표준편차 기준)}

그림 3.2-11. 시간 폭이 1:3인 두 가우스 파속과 각각의 주파수 스펙트럼. 짧은 펄스의 스펙트럼은 넓고 긴 펄스의 스펙트럼은 좁아 폭의 비가 3:1로 뒤집힌다. 시간 폭과 주파수 폭의 곱은 상수다 — 반송파가 몇 번밖에 진동하지 않으면 '어느 주파수인가'가 그만큼 흐려진다.직접 작도

직관

수식적 직관 — 왜 곱이 일정한가. 진동수를 정확히 재려면 여러 주기를 세어야 한다. $\Delta t$ 동안 진동을 $N = \nu\,\Delta t$ 번 셀 수 있고, 세는 오차가 한 번쯤이면 진동수 오차는 $\Delta\nu \approx 1/\Delta t$ . 그러니 $\Delta\nu\,\Delta t \gtrsim 1$ — 짧게 보면 진동수가 흐리다. 폭의 정의(표준편차, 반높이 전폭)에 따라 상수가 $1$ , $1/4\pi$ , $0.44$ 등으로 달라지지만 차수는 1이다. 이 관계에 $E = \hbar\omega$ 를 곱하면 $\Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar$ — 5.2.5의 불확정성 원리는 파동의 이 성질에 플랑크 상수를 곱한 것이다. 공간 쪽도 같다: $\Delta k\,\Delta x \gtrsim 1$ , 곧 좁은 슬릿은 넓게 퍼진다(3.6의 회절).

3절과의 연결. 지수 감쇠하는 진동 $e^{-\gamma t}\cos\omega_0 t$ ( $t > 0$ )의 스펙트럼을 이 적분으로 구하면 정확히 로렌츠 함수 $1/[(\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2]$ 이 나온다 — 수명 $1/\gamma$ , 선폭 $2\gamma$ . 3절의 “시간 영역 $\gamma$ = 주파수 영역 $\gamma$ “는 진동자의 특수한 성질이 아니라 푸리에 변환의 일반 성질이었다. 원자의 자연 선폭, 반도체 레이저의 선폭, 발진기의 위상 잡음 스펙트럼이 전부 이 계산이다.

결맞음 길이. 광원의 스펙트럼 폭이 $\Delta\nu$ 이면 위상이 예측 가능한 시간은 $\Delta t_c \approx 1/\Delta\nu$ (결맞음 시간)이고, 그 동안 빛이 가는 거리 $\Delta l_c = c\,\Delta t_c = c/\Delta\nu = \lambda^2/\Delta\lambda$ 가 결맞음 길이다. 백색광은 $\Delta l_c \sim 1\,\mu$ m, LED $\sim 10\,\mu$ m, 반도체 레이저 $\sim$ mm~m, 안정화 레이저 $\sim$ km. 8절의 “간섭이 보이려면 위상차가 일정해야 한다”의 정량판이고 — 경로차가 결맞음 길이보다 짧아야 간섭한다 — 3.5.1과 3.6.11의 출발점이다. 광학 두께 측정에서 백색광을 쓰는 이유(짧은 결맞음 길이로 두께 위치를 특정), 웨이퍼 뒷면 반사가 레이저 계측에 문제가 되는 이유가 이 숫자다.

분산과 군속도

속도가 진동수에 따라 다르면

지금까지 $v$ 는 상수였다 — $\omega = vk$ , 모든 진동수가 같은 속도. 이런 매질을 무분산이라 한다(진공 속 빛, 이상적인 줄). 그러나 물질 속 빛은 굴절률 $n(\omega)$ 가 진동수에 따라 변하고 ( $v_p = c/n$ , 3절 마지막 직관 블록의 로렌츠 진동자가 그 이유), 물 위의 파는 파장에 따라 속도가 다르고, 결정 속 포논과 전자는 더 심하게 다르다. $\omega$ 와 $k$ 의 관계 $\omega(k)$ 가 직선이 아닌 것을 분산(dispersion)이라 하고, 그 관계식을 분산 관계라 한다.

분산이 있으면 9절의 두 파에서 반송파와 포락선의 속도가 달라진다. 포락선 속도 $\Delta\omega/\Delta k$ 의 극한이

v_g \equiv \frac{d\omega}{dk} \qquad\text{(군속도)}, \qquad\qquad v_p = \frac{\omega}{k} \qquad\text{(위상 속도)}

무분산이면 $\omega = vk$ 라 둘이 같다. 분산이 있으면 다르다.

그림 3.2-12. 분산과 군속도. 왼쪽은 정상 분산 매질의 ω(k) 곡선으로, 한 점에서 원점으로 그은 현의 기울기가 위상 속도, 접선의 기울기가 군속도다. 곡선이 아래로 휘어 접선이 현보다 눕고 군속도가 위상 속도보다 작다. 오른쪽은 그 매질을 지나는 파속을 두 시각에 그린 것으로, 포락선은 군속도로 이동하면서 퍼지고 그 안에서 마루는 위상 속도로 앞질러 간다. 결정 속 전자도 같은 규칙 — v_g = (1/ℏ) dE/dk — 로 밴드 구조에서 속도를 읽는다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 현과 접선. $\omega$ – $k$ 그림에서 한 점 $(k_0, \omega_0)$ 를 잡으면, 원점에서 그 점으로 그은 현의 기울기가 $v_p = \omega_0/k_0$ 이고, 그 점에서의 접선의 기울기가 $v_g = d\omega/dk$ 다. 직선이면 둘이 같고, 곡선이면 다르다. 아래로 휘면(기울기가 줄면) 접선이 현보다 누워 $v_g < v_p$ — 정상 분산. 위로 휘면 $v_g > v_p$ — 비정상 분산. 곡선이 수평이 되는 곳( $d\omega/dk = 0$ )에서는 위상은 움직이는데 포락선은 서 있다 — 정상파다. 7.4의 포논 분산에서 브릴루앙 영역 경계가 정확히 그 자리다.

이 그림을 읽는 습관이 반도체에서 그대로 쓰인다. 밴드 다이어그램 $E(k)$ 는 $\hbar$ 를 곱한 분산 관계이고, 전자의 속도는 접선의 기울기 $v_g = (1/\hbar)\,dE/dk$ , 유효 질량은 곡률의 역수 $m^* = \hbar^2/(d^2E/dk^2)$ 다. 밴드 바닥에서 접선이 수평이면 전자가 멈춰 있고, 밴드가 평평하면 질량이 무거워 잘 안 움직인다 — 전부 이 절의 문법이다.

군속도의 여러 얼굴

$\omega = v_p k$ 를 미분하면

v_g = \frac{d\omega}{dk} = v_p + k\,\frac{dv_p}{dk} = v_p - \lambda\,\frac{dv_p}{d\lambda}

(둘째 등식은 $k = 2\pi/\lambda$ 에서 $dk/k = -d\lambda/\lambda$ .) 위상 속도가 파장에 따라 변하는 율이 두 속도의 차다. 광학에서는 $v_p = c/n$ 을 넣어

v_g = \frac{c}{n - \lambda\,\dfrac{dn}{d\lambda}} \equiv \frac{c}{n_g}, \qquad n_g = n - \lambda\frac{dn}{d\lambda} = n + \omega\frac{dn}{d\omega}

$n_g$ 가 군 굴절률이다. 정상 분산( $dn/d\lambda < 0$ , 대부분의 투명 물질의 가시광 영역)에서 $n_g > n$ , 곧 펄스가 위상보다 느리다. 실리카 광섬유 1550 nm에서 $n \approx 1.444$ , $n_g \approx 1.462$ — 1 % 남짓 다르지만 100 km를 가면 위상과 포락선의 도착 시간이 6 μs 벌어진다.

직관

물리적 직관 — 정보는 군속도로 간다. 5절에서 “위상 속도는 정보의 속도가 아니다”라 했다. 정보는 변조 — 펄스의 시작과 끝, 포락선의 모양 — 에 실리고, 포락선은 $v_g$ 로 간다. 그래서 흡수선 근처의 비정상 분산 영역에서 $v_p > c$ 가 되어도, 심지어 $v_g$ 가 형식적으로 $c$ 를 넘거나 음수가 되는 좁은 영역이 있어도, 신호의 앞머리(신호 속도)는 $c$ 를 넘지 않는다 — 그 영역에서는 흡수가 커 펄스 모양이 심하게 변해 “포락선의 속도”라는 개념 자체가 무너지기 때문이다. 정상적으로 $v_g$ 가 에너지·정보의 속도인 것은 분산이 약하고 흡수가 없는 영역에서다. 광섬유 통신은 그런 창(1310·1550 nm)을 골라 쓴다.

파속은 퍼진다 — 군속도 분산

$v_g$ 도 진동수에 따라 다르면 파속 안의 성분마다 다른 속도로 가서 펄스가 퍼진다. 전파 거리 $L$ 뒤의 퍼짐은

\Delta t \approx L\,\frac{d}{d\omega}\!\Big(\frac{1}{v_g}\Big)\,\Delta\omega = L\,\frac{d^2k}{d\omega^2}\,\Delta\omega

$d^2k/d\omega^2$ 이 군속도 분산(GVD)이다 — $\omega(k)$ 의 곡률. 광섬유 공학에서는 파장으로 바꿔 $D = -(2\pi c/\lambda^2)\,d^2k/d\omega^2$ [ps/(nm·km)]로 쓰고, 실리카는 1310 nm 근처에서 $D = 0$ (영분산 파장)이다. 10절에서 짧은 펄스는 넓은 스펙트럼( $\Delta\omega \approx 1/\Delta t$ )을 가진다고 했으니, 짧은 펄스일수록 더 빨리 퍼진다 — 비트율을 올리면 전송 거리가 제곱으로 준다. 분산 보상 광섬유, 처프(chirp) 펄스, 22부의 등화기가 이 항과 싸우는 도구다.

직관

파라미터 연계 — 이 절이 이어지는 곳. 분산 관계 $\omega(k)$ 는 매질을 통째로 요약하는 함수다. 그 기울기가 속도, 곡률이 퍼짐(또는 유효 질량), 평평한 곳이 정상파(또는 밴드 가장자리), 끊긴 곳이 금지된 진동수(또는 밴드갭)다.

파	분산 관계	어디서
진공 속 빛	$\omega = ck$	무분산
매질 속 빛	$\omega = ck/n(\omega)$	2.8.8 · 3.3.4
도파관 · 플라스마	$\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$	2.8.11 — 차단 진동수 아래는 진행 불가
단원자 사슬의 포논	$\omega = 2\sqrt{K/M}\,\lvert\sin(ka/2)\rvert$	7.4.2 — 영역 경계에서 $v_g = 0$
자유 전자	$\omega = \hbar k^2/2m$	5.2 — $v_g = \hbar k/m = p/m$ , $v_p$ 는 그 절반
결정 속 전자	$E(k)$ 밴드 구조	7부 — $v_g = \hbar^{-1}dE/dk$ , $m^* = \hbar^2/E''$

자유 전자의 줄이 시사적이다. 드브로이 파의 위상 속도 $\omega/k = \hbar k/2m$ 은 입자 속도의 절반이고 물리적 의미가 없다. 군속도 $\hbar k/m = p/m$ 이 입자의 속도다 — 5.2에서 파속과 입자를 잇는 다리가 정확히 이 절의 군속도다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

목적지를 적어 둔다.

공진과 $Q$ . 수정·MEMS 공진기, LC 탱크와 발진기의 위상 잡음(22부), 광 링·마이크로디스크 공진기, 레이저 캐비티의 종모드 간격과 선폭(17.4). 로렌츠 진동자 → 유전율의 분산과 흡수 (2.8.8 · 3.3.4), 흡수선의 넓이와 폭의 분리(2·3절).
파동의 문법. $E(k)$ · $\omega(k)$ 를 읽는 규칙 — 접선이 속도, 곡률이 질량(7부 밴드 구조, 7.4 포논, 11절). 파동 벡터 $\mathbf k$ 와 브릴루앙 영역(7.2). 복소 표현과 $e^{-i\omega t}$ 약속 (5부 전체, 6절). 매질 속 파장 $\lambda/n$ 과 광학 경로 길이(3.3–3.6, 4·8절).
정상파와 양자화. 무한 우물 준위(5.3), 도파관 차단(2.8.11), 레이저 종모드, 광섬유 모드 수. 레지스트 속 정상파와 스윙 커브·BARC·PEB(18부 리소그래피), 전송선 VSWR과 스미스 차트(2.8.10, 8절).
간섭. 박막 간섭과 반사 방지막(3.5.4–3.5.6), 박막 두께 계측의 간섭 무늬(19부), 결맞음 길이와 간섭계(3.5.1, 8·10절).
스펙트럼과 대역폭. 클록 조화파와 EMI·신호 무결성, 상승 시간–대역폭(21·22부), 펄스 폭과 선폭, 자연 선폭과 위상 잡음(10절), 불확정성 원리(5.2.5), 슬릿 폭과 회절 각(3.6).
분산. 광섬유 GVD와 비트율–거리 한계, 군 굴절률, 영분산 파장(17부 광통신 소자, 11절), 포논 군속도와 열전도(7.4), 유효 질량(7부 · 11부).
헤테로다인. 코히어런트 검출, 믹서와 다운컨버전, 락인 측정(22부, 9절).

이 장의 뼈대는 두 문장이다. 안정 평형 근처의 모든 것은 조화진동자이고, 선형 매질 속의 모든 교란은 조화파의 합이다. 첫 문장이 $Q$ 와 로렌츠 곡선을 낳고, 둘째 문장이 간섭·정상파·맥놀이·푸리에 분해·군속도를 낳는다. 그리고 두 문장을 잇는 다리가 분산 관계 $\omega(k)$ — 매질이 어느 진동수를 어느 파장에 배정하는가 — 이고, 그 곡선의 기울기와 곡률을 읽는 것이 반도체 물리의 절반이다.