5부 양자역학 5.9

시간 의존 현상과 산란

5.2부터 5.8까지 해밀토니안은 한 번도 시간에 의존하지 않았다. 그래서 할 일은 언제나 같았다 — 정상 상태 $\psi_n$ 과 에너지 $E_n$ 을 구하고(5.2.6정상 상태와 시간 무관 슈뢰딩거 방정식), 임의의 상태를 $\sum c_n\psi_n e^{-iE_nt/\hbar}$ 로 펼치면 시간 전개는 위상 인자가 알아서 했다 (5.2.7시간 전개와 중첩). 계수 $c_n$ 은 처음 정해진 뒤 한 번도 바뀌지 않았다. 5.8의 섭동론도 정지한 해밀토니안의 고유값을 조금 고치는 일이었지 상태가 다른 상태로 옮겨 가는 일은 아니었다.

이 장은 그 계수가 움직이는 장이다. 두 가지 상황에서 움직인다.

해밀토니안이 시간에 따라 변할 때 (1~6절). 원자에 빛이 비치고, 스핀에 진동 자기장이 걸리고, 퍼텐셜이 천천히 바뀐다. $c_a\to c_b$ 의 전이가 일어나고, 그 확률이 시간에 따라 어떻게 자라는지가 질문이다.
자유 입자가 국소적인 퍼텐셜을 지나갈 때 (7~10절). 해밀토니안은 정지해 있지만 입자가 퍼텐셜에 들어왔다 나가므로 운동량 상태 $\mathbf{k}\to\mathbf{k}'$ 의 전이가 일어난다. 이것이 산란이고, 어느 방향으로 얼마나 튀어 나가는지가 질문이다.

두 반쪽은 겉보기보다 가깝다. 5절의 페르미 황금률이 “이산 상태에서 연속체로 가는 전이율”을 주는데, 산란은 연속체( $\mathbf{k}$ )에서 연속체( $\mathbf{k}'$ )로 가는 전이라서 황금률을 그대로 쓰면 9절의 보른 근사가 나온다. 반대로 10절의 공명은 “붙잡혔다가 풀려나는 준속박 상태”이고, 그 폭 $\Gamma$ 는 4절 자발 방출의 수명 $\tau=\hbar/\Gamma$ 와 같은 물건이다. 이 장은 결국 전이율 하나를 여러 각도에서 보는 장이다.

반도체에서 이 장이 어디로 가는지 미리 적어 둔다. 5부 아홉 장 중 반도체 소자 방정식에 가장 직접 닿는 장이 이 장이다.

산란율과 이동도 (7.12·11.2) — 전자가 격자 진동·이온화 불순물에 튕기는 비율 $1/\tau$ 는 전부 황금률 $\frac{2\pi}{\hbar}\lvert M\rvert^2\delta(E'-E)$ 이다. 이온화 불순물 산란(브룩스–헤링)은 차폐 쿨롱 퍼텐셜의 보른 근사(9절) 그 자체이고, 이동도의 $T^{3/2}$ 의존성이 거기서 나온다.
광흡수·발광 (11.8·17.3·17.4) — 흡수 계수는 황금률에 밴드 간 쌍극자 행렬 요소를 넣은 것(3절)이고, 복사 재결합과 유도 방출은 아인슈타인 계수(4절)의 상세 균형이다. 레이저의 이득 조건 “반전 분포”는 $B_{ab}=B_{ba}$ 한 줄에서 따라 나온다.
간접 천이 (11.8.4) — Si의 흡수단이 약한 이유는 광자 + 포논의 2차 섭동이라서다. 1절의 $c^{(2)}$ 항이 그 자리다.
준고전 운동 방정식 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}$ (7.9.2) — 전자가 전기장 아래서 밴드를 벗어나지 않고 밴드 안에서만 움직인다는 전제가 6절 단열 정리다. 그 전제가 깨지는 것이 제너 터널링이고, 그 확률이 란다우–제너 공식이다.
공진 터널링·양자점 (12.7·20.7) — 이중 장벽 투과율의 로렌츠 봉우리와 폭 $\Gamma$ 가 10절의 브라이트–위그너 공명이다. 위상 이동은 7.10.3의 프리델 합 규칙으로 이어진다.
큐비트·자기 공명 (7.13.12) — 라비 진동(2절)이 NMR·ESR 펄스와 큐비트 게이트의 기본 동작이다.

표기는 Griffiths를 기준으로 한다. 비섭동 해밀토니안 $H^0$ , 섭동 $H'(t)$ , 계수 $c_n(t)$ , 전이 진동수 $\omega_0$ . 산란 절에서는 Griffiths와 Sakurai가 벡터 이름을 서로 반대로 쓰는 곳이 있어 그때그때 짚는다.

이 장의 기호

이 장은 두 반쪽이 각각 기호를 한 벌씩 들고 오는 데다, 반도체 쪽에서 굳은 뜻이 있는 글자 ( $k$ , $a$ , $\Gamma$ , $\rho$ )를 여럿 빌려 쓴다. 시작하기 전에 한 번에 정리한다.

기호	읽는 법	무엇을 가리키는가	단위
$H^0$ / $H'(t)$		비섭동 해밀토니안 / 시간 의존 섭동. Griffiths 표기	J
$\psi_n$ , $E_n$		$H^0$ 의 고유상태·고유값. 시간 무관	— / J
$c_n(t)$		상태의 전개 계수. $\lvert c_n\rvert^2$ 이 $n$ 에 있을 확률	무차원
$H'_{ba}$		$\langle\psi_b\lvert H'\rvert\psi_a\rangle$ — 첫 첨자가 도착, 둘째가 출발	J
$\omega_0$	오메가 제로	$(E_b-E_a)/\hbar$ — 두 준위의 전이 진동수	rad/s
$\omega$		외부 구동(빛·진동 자기장)의 진동수	rad/s
$V_{ab}$		$H'=V\cos\omega t$ 일 때 진폭 $V$ 의 행렬 요소 (2·3절)	J
$\Omega$	라비 진동수	$\lvert V_{ab}\rvert/\hbar$ (2절)	rad/s
$\boldsymbol{\wp}$	쌍극자 행렬 요소	$q\langle\psi_b\lvert\mathbf{r}\rvert\psi_a\rangle$ (3·4절). Griffiths 표기	C·m
$\rho(\omega)$ / $\rho(E)$		복사 에너지 밀도(3·4절) / 종상태 밀도(5절). 같은 글자, 다른 뜻 — 절마다 못박는다	J·s/m³ / 1/J
$A$ , $B_{ab}$ , $B_{ba}$	아인슈타인 계수	자발 방출 / 흡수 / 유도 방출 (4절)	1/s / m³/(J·s²)
$\Gamma$	감마	준위의 폭. 수명 $\tau=\hbar/\Gamma$ (4·10절)	J
$\mathbf{k}$ , $\mathbf{k}'$		입사 파수벡터, 산란 파수벡터 (7~10절). Sakurai 방향	1/m
$\boldsymbol{\kappa}$	카파	$\mathbf{k}-\mathbf{k}'$ , 운동량 전달 $\hbar\boldsymbol\kappa$ . $\kappa=2k\sin(\theta/2)$	1/m
$f(\theta)$	산란 진폭	나가는 구면파의 각도 의존 진폭	m
$D(\theta)$	미분 단면적	$d\sigma/d\Omega=\lvert f\rvert^2$ . Griffiths 표기	m²
$\sigma$	총 단면적	$\int D\,d\Omega$	m²
$\delta_\ell$	위상 이동	$\ell$ 번째 부분파가 퍼텐셜에서 얻는 위상 (8절)	rad
$a_\ell$	부분파 진폭	$e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell/k$ (8절)	m
$a$	산란 길이	$-\lim_{k\to0}\tan\delta_0/k$ (10절). 첨자 없음	m

상호작용 그림과 시간 의존 섭동론

정상 상태로 펼치되, 계수를 시간의 함수로 둔다

해밀토니안이 $H=H^0+H'(t)$ 이고 $H^0$ 의 고유상태 $\psi_n$ 과 고유값 $E_n$ 을 안다고 하자. $H'$ 이 없으면 임의의 상태는

\Psi(t)=\sum_n c_n\,\psi_n\,e^{-iE_nt/\hbar}

이고 $c_n$ 은 상수다(5.2.7시간 전개와 중첩). $H'$ 이 있어도 $\{\psi_n\}$ 은 여전히 완전 집합이므로 어느 순간의 상태든 이렇게 펼칠 수 있다 — 다만 이제 계수가 시간에 의존한다:

\Psi(t)=\sum_n c_n(t)\,\psi_n\,e^{-iE_nt/\hbar}

이것은 근사가 아니라 표기다. 슈뢰딩거 방정식 $i\hbar\dot\Psi=(H^0+H')\Psi$ 에 넣으면 $H^0$ 항은 $e^{-iE_nt/\hbar}$ 의 시간 미분과 정확히 상쇄되고(그러라고 위상 인자를 미리 뽑아 둔 것이다), 남는 것은

i\hbar\sum_n\dot c_n\,\psi_n\,e^{-iE_nt/\hbar}=\sum_n c_n\,H'\psi_n\,e^{-iE_nt/\hbar}

이다. $\psi_m$ 과 내적을 취해 직교성을 쓰면

\boxed{\;\dot c_m=-\frac{i}{\hbar}\sum_n H'_{mn}\,e^{i\omega_{mn}t}\,c_n, \qquad H'_{mn}\equiv\langle\psi_m\lvert H'\rvert\psi_n\rangle,\quad \omega_{mn}\equiv\frac{E_m-E_n}{\hbar}\;}

이것이 이 장 앞 반쪽의 전부다. 근사는 하나도 안 들어갔다. 슈뢰딩거 방정식을 $H^0$ 의 고유기저에서 쓴 것이고, $H^0$ 가 만드는 “빠른” 위상 회전을 계수에서 빼내 $H'$ 가 일으키는 변화만 계수 $c_m$ 에 남긴 것이다. $H'=0$ 이면 $\dot c_m=0$ 이 되어 5.2로 돌아간다.

직관

공간적 직관 — 회전 좌표계에서 본다. 힐베르트 공간에서 상태 벡터는 $H^0$ 때문에 각 축 $\psi_n$ 방향으로 진동수 $E_n/\hbar$ 로 돈다. 이 회전을 따라 도는 좌표계에 올라타면 (5.4.8기저 변환과 위치·운동량 표현) 상태 벡터는 $H'$ 가 없는 한 정지해 있고, $H'$ 가 있을 때만 움직인다. 지수 인자 $e^{i\omega_{mn}t}$ 는 그 좌표계에서 본 $H'$ 의 행렬 요소가 두 축의 회전 속도 차이만큼 진동하는 것이다.

이것을 형식으로 만든 것이 Sakurai §5.5의 상호작용 그림(interaction picture)이다. 슈뢰딩거 그림의 상태 $\lvert\alpha,t\rangle_S$ 에서 자유 전개를 벗겨 낸 $\lvert\alpha,t\rangle_I\equiv e^{iH^0t/\hbar}\lvert\alpha,t\rangle_S$ 를 상태로 잡으면

i\hbar\frac{d}{dt}\lvert\alpha,t\rangle_I=V_I(t)\lvert\alpha,t\rangle_I, \qquad V_I(t)\equiv e^{iH^0t/\hbar}\,H'(t)\,e^{-iH^0t/\hbar}

가 되고, $V_I$ 의 행렬 요소가 정확히 $H'_{mn}e^{i\omega_{mn}t}$ 다. 즉 Griffiths의 $c_n(t)$ 는 상호작용 그림 상태의 성분 $\langle\psi_n\lvert\alpha,t\rangle_I$ 이고, 위의 박스 식은 상호작용 그림의 슈뢰딩거 방정식이다. 세 그림을 나란히 놓으면:

그림	상태 벡터	연산자	언제 쓰나
슈뢰딩거	$H$ 전체로 전개	정지	정상 상태 문제 (5.2~5.8)
하이젠베르크	정지	$H$ 전체로 전개	운동 방정식·고전 대응 (5.7.3시간 병진과 에너지 보존)
상호작용	$H'$ 로만 전개	$H^0$ 로만 전개	섭동이 일으키는 전이 (이 장)

두 극단 사이의 절충이다 — 아는 부분( $H^0$ )은 연산자에게 맡기고 모르는 부분( $H'$ )만 상태가 진다.

1차 근사 — 전이 진폭은 섭동의 푸리에 성분이다

박스 식은 $c_n$ 들의 연립 방정식이라 일반적으로는 못 푼다. 섭동이 약하면 축차 근사를 쓴다. $t=0$ 에 계가 $\psi_a$ 에 있었다고 하자: $c_a(0)=1$ , 나머지 $0$ . 0차는 아무 일도 안 일어난 것이고( $c_a=1$ ), 1차는 우변에 0차를 넣은 것이다:

c_b^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^t H'_{ba}(t')\,e^{i\omega_0t'}\,dt', \qquad \omega_0\equiv\omega_{ba}=\frac{E_b-E_a}{\hbar}

$b\neq a$ 인 어느 상태로든 이 식이다. 2차는 우변에 1차를 넣는다:

c_b^{(2)}(t)=\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^{2}\sum_n\int_0^t dt'\,H'_{bn}(t')\,e^{i\omega_{bn}t'} \int_0^{t'}dt''\,H'_{na}(t'')\,e^{i\omega_{na}t''}

중간 상태 $n$ 을 모두 거쳐 간다 — 에너지가 맞지 않는 상태도 포함해서. 이런 상태를 가상 중간 상태라 부르고, 짧은 시간 동안은 에너지 보존을 어겨도 된다는 뜻이 아니라, 중간 상태의 계수가 진동만 하고 자라지 않을 뿐 합에는 기여한다는 뜻이다. Sakurai는 이 급수를 시간 순서 연산자를 써서 다이슨 급수로 정리한다: $U_I(t,0)=1-\frac{i}{\hbar}\int V_I +\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2\int\!\!\int V_I(t')V_I(t'')+\cdots$ . 안쪽 적분의 상한이 바깥쪽 변수라는 점(늦은 시각의 $V_I$ 가 왼쪽)이 시간 순서다.

직관

수식적 직관 — 1차 진폭은 섭동의 유한 시간 푸리에 변환이다. $c_b^{(1)}$ 의 적분은 $H'_{ba}(t')$ 에 $e^{i\omega_0t'}$ 를 곱해 적분한 것, 곧 $H'_{ba}(t)$ 를 전이 진동수 $\omega_0$ 에서 본 푸리에 성분이다(1.10.4푸리에 변환의 성질). 그러니 섭동이 아무리 세도 $\omega_0$ 근처의 스펙트럼 성분이 없으면 전이는 일어나지 않는다. 세 경우가 이 한 문장으로 갈린다.

갑자기 켜지는 상수 섭동 ( $H'=V$ , $t>0$ ) — 계단 함수의 스펙트럼은 $1/\omega$ 로 넓게 퍼져 있으므로 어느 $\omega_0$ 로든 조금씩 간다. 이것이 5절 황금률의 출발점이다.
단색 진동 ( $H'=V\cos\omega t$ ) — 스펙트럼이 $\pm\omega$ 에 뾰족하다. 전이는 $\omega_0\approx\omega$ 공명에서만 일어난다. 2·3절.
아주 천천히 켜지는 섭동 — 스펙트럼이 $\omega=0$ 근처에만 있어 $\omega_0\neq0$ 인 전이는 일어나지 않는다. 이것이 6절 단열 정리의 정체다.

세 절이 같은 적분의 세 얼굴이다.

상수 섭동을 갑자기 켰을 때를 여기서 바로 계산해 두면 뒤에 두 번 쓴다. $H'_{ba}=V_{ba}$ (상수)이면

c_b^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}V_{ba}\frac{e^{i\omega_0t}-1}{i\omega_0} =-\frac{V_{ba}}{\hbar\omega_0}\left(e^{i\omega_0t}-1\right), \qquad P_{a\to b}(t)=\lvert c_b\rvert^2=\frac{4\lvert V_{ba}\rvert^2}{\hbar^2\omega_0^2} \sin^2\!\frac{\omega_0t}{2}

이다. $\omega_0$ 를 가로축으로 놓고 보면 $\sin^2(\omega_0t/2)/\omega_0^2$ 는 원점에 높이 $t^2/4$ , 첫 영점 $\omega_0=\pm2\pi/t$ 인 봉우리다.

그림 5.9-1. 상수 섭동을 시각 0에 켠 뒤 시각 t에 상태 b에 있을 확률의 ω₀ 의존성, sin²(ω₀t/2)/ω₀². 시간이 t에서 2t로 두 배가 되면 봉우리 높이는 t²으로 네 배, 폭 2π/t는 절반, 곡선 아래 넓이 πt/2는 두 배가 된다. 곧 ‘에너지가 맞는 상태’로만 전이가 몰리되 그 허용 폭 ħ/t 가 시간에 반비례해 좁아지고, 전체 확률은 시간에 비례해 자란다 — 5절 황금률의 그림이다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 봉우리의 세 숫자. 그림 5.9-1의 봉우리에서 세 가지를 읽는다. ① 높이 $t^2/4$ : 정확히 공명인 상태( $\omega_0=0$ , 즉 $E_b=E_a$ )로 가는 확률은 $t^2$ 으로 자란다 — 1차 섭동론이 오래 못 버티는 이유다. ② 폭 $\sim2\pi/t$ : 시간 $t$ 안에는 에너지가 $\hbar\omega_0\lesssim h/t$ 만큼 어긋난 상태로도 갈 수 있다. 에너지–시간 불확정성 (5.2.5불확정성 원리)이 여기서 나온다 — 측정 시간이 짧을수록 종상태의 에너지가 덜 정해진다. ③ 넓이 $\pi t/2$ : 높이 $\times$ 폭이 $t$ 에 비례한다. 종상태가 연속체라서 봉우리 전체를 적분하게 되면 확률이 시간에 비례하고, 비례 상수가 전이율이다. 5절이 이 ③을 정리한 것이다.

1차 섭동론이 성립하는 조건

$c_b^{(1)}$ 이 맞으려면 $\lvert c_b\rvert\ll1$ 이고 $c_a\approx1$ 이어야 한다. 상수 섭동의 결과에서 보면 공명 근처에서 $\lvert c_b\rvert^2\approx\lvert V_{ba}\rvert^2t^2/\hbar^2$ 이니 $t\ll\hbar/\lvert V_{ba}\rvert$ 동안만 쓸 수 있다. 시간이 더 지나면 어떻게 되는가는 1차로는 알 수 없다 — 2준위계에서는 2절에서 정확히 풀어 돌아온다는 것을 보이고, 연속체로 가는 경우는 5절에서 돌아오지 못하고 지수적으로 빠져나간다는 것을 본다. 같은 1차 결과가 종상태가 하나냐 무한히 많으냐에 따라 전혀 다른 장기 거동으로 이어진다.

확률의 보존도 1차에서는 정확히 지켜지지 않는다. $\sum_n\lvert c_n\rvert^2=1$ 은 정확한 식이지만 1차 근사에서 $c_a=1$ 로 두었으므로 $\lvert c_a\rvert^2+\lvert c_b\rvert^2=1+\lvert c_b\rvert^2>1$ 이다. 이 어긋남은 $c_a$ 의 2차 보정이 메운다(Griffiths §11.1의 연습문제) — 1차 진폭이 정확한 것은 $\lvert c_b\rvert^2$ 이 $\lvert V\rvert^2$ 차수까지라는 뜻이고, 그 이상은 묻지 않기로 한 것이다.

의문

1차 근사에서 $H'_{ba}$ 만 들어오고 $H'_{aa}$ , $H'_{bb}$ 는 어디 갔는가. 위의 유도에서 대각 요소는 $c_a$ 자신의 방정식 $\dot c_a=-\frac{i}{\hbar}H'_{aa}c_a+\cdots$ 에 들어가서 $c_a$ 에 위상만 붙인다: $c_a\approx e^{-\frac{i}{\hbar}\int H'_{aa}dt'}$ . 곧 대각 요소는 준위의 에너지를 $E_a+H'_{aa}$ 로 옮기는 5.8의 1차 에너지 보정 (5.8.1시간 무관 섭동론 — 비축퇴)이고, 전이에는 관여하지 않는다. 다만 $\omega_0$ 를 그 옮겨진 에너지로 다시 정의해야 공명 위치가 정확해진다. 3절의 쌍극자 섭동 $-q\mathbf{E}\cdot\mathbf{r}$ 은 대각 요소가 패리티 때문에 0이라서(5.7.4패리티) 이 1차 이동이 없다 — 대신 빛의 세기가 셀 때 공명 진동수가 밀리는 AC 슈타르크 이동(광 이동)이 있는데, 그것은 비대각 요소 $V_{ab}$ 의 2차 효과로 이조가 클 때 $\pm\Omega^2/4\delta$ 크기이고, 2절의 정확한 2준위 해에 이미 들어 있다(일반화 라비 진동수 $\sqrt{\Omega^2+\delta^2}$ 를 $\delta$ 에 대해 전개해 보라).

2준위계와 라비 진동

준위가 둘뿐이면 정확히 풀린다

상태가 $\psi_a$ , $\psi_b$ 둘뿐이라고 하자. 실제 계는 준위가 무한히 많지만, 구동 진동수 $\omega$ 가 한 쌍의 전이 진동수 $\omega_0$ 에만 가까우면 나머지 준위는 1절의 푸리에 논리로 잘려 나가 2준위로 줄일 수 있다. 대각 요소가 없는 섭동( $H'_{aa}=H'_{bb}=0$ )에 대해 박스 식은

\dot c_a=-\frac{i}{\hbar}H'_{ab}\,e^{-i\omega_0t}\,c_b, \qquad \dot c_b=-\frac{i}{\hbar}H'_{ba}\,e^{i\omega_0t}\,c_a

두 개다. 정현파 섭동 $H'=V\cos\omega t$ 를 넣으면 $H'_{ab}=V_{ab}\cos\omega t= \frac{V_{ab}}{2}(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})$ 이므로 첫 식의 우변에는 $e^{-i(\omega_0-\omega)t}$ 와 $e^{-i(\omega_0+\omega)t}$ 두 항이 생긴다. 공명 근처 ( $\omega\approx\omega_0$ )에서 앞 항은 느리게 돌고 뒤 항은 $2\omega_0$ 로 빠르게 돈다. 빠른 항은 한 주기만 지나도 평균이 0이 되어 $c$ 를 실질적으로 움직이지 못하므로 버린다 — 회전파 근사(rotating wave approximation)다. 남는 것은

\dot c_a=-\frac{iV_{ab}}{2\hbar}\,e^{-i\delta t}\,c_b, \qquad \dot c_b=-\frac{iV_{ba}}{2\hbar}\,e^{i\delta t}\,c_a, \qquad \delta\equiv\omega_0-\omega

$\delta$ 가 이조(detuning)다. 이것은 계수가 상수인 선형 연립 ODE라(1.4.9연립 ODE와 위상 평면) 정확히 풀린다. $c_a(0)=1$ , $c_b(0)=0$ 에서 출발하면

\begin{aligned} c_b(t)&=-\frac{iV_{ba}}{\hbar\Omega'}\,e^{i\delta t/2}\sin\frac{\Omega't}{2},\\[4pt] c_a(t)&=e^{-i\delta t/2}\left[\cos\frac{\Omega't}{2}+\frac{i\delta}{\Omega'}\sin\frac{\Omega't}{2}\right], \qquad \Omega'\equiv\sqrt{\delta^2+\Omega^2},\quad\Omega\equiv\frac{\lvert V_{ab}\rvert}{\hbar} \end{aligned}

이다(대입해서 확인하는 편이 유도보다 빠르다). $\Omega$ 가 라비 진동수, $\Omega'$ 가 일반화 라비 진동수다. 상태 $b$ 에 있을 확률은

\boxed{\;P_{a\to b}(t)=\frac{\Omega^2}{\Omega^2+\delta^2}\,\sin^2\!\left(\frac{\sqrt{\Omega^2+\delta^2}}{2}\,t\right)\;}

이것이 라비 공식(Rabi formula)이다. 1절의 1차 결과와 맞춰 보면, $\Omega\ll\lvert\delta\rvert$ 에서 $P\approx\frac{\Omega^2}{\delta^2}\sin^2\frac{\delta t}{2}=\frac{\lvert V_{ab}\rvert^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2[(\omega_0-\omega)t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}$ 으로 정확히 1차 섭동론이다. 1차 섭동론은 라비 공식의 이조가 큰 극한이었다.

주의

Griffiths(§11.1의 연습문제)는 같은 결과를 $\omega_r\equiv\frac12\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+ (\lvert V_{ab}\rvert/\hbar)^2}$ 로 쓴다. 곧 Griffiths의 $\omega_r$ 은 이 장의 $\Omega'/2$ 이고, $\sin^2\omega_rt$ 가 위의 $\sin^2(\Omega't/2)$ 다. 원자물리·양자정보 문헌은 대개 $\Omega$ 를 “라비 진동수”라 부르고 $P$ 가 $\Omega$ 로 진동한다고 말한다 — $\sin^2(\Omega t/2)=\frac12(1-\cos\Omega t)$ 이니 확률의 진동수는 $\Omega$ 가 맞다. 진폭의 진동수 $\Omega/2$ 와 확률의 진동수 $\Omega$ 를 섞지 말 것.

또 하나. Sakurai §5.5는 스핀 $1/2$ 에 회전 자기장을 건 문제로 같은 식을 내는데, 그때는 회전파 근사가 필요 없다 — 회전 자기장 $B_1(\cos\omega t,\sin\omega t,0)$ 에는 반대로 도는 성분이 처음부터 없기 때문이다. 선형 편광(진동) 장 $B_1\cos\omega t\,\hat x$ 는 좌·우 회전의 합이라서 한쪽을 버려야 하고, 그 버림이 회전파 근사다.

그림 5.9-2. 라비 진동. 정확히 공명(δ = 0)이면 확률이 0과 1 사이를 라비 진동수 Ω로 완전히 오간다. 이조가 커질수록(δ = Ω, 2Ω) 진동은 빨라지고(일반화 라비 진동수 Ω′ = √(Ω² + δ²)) 최대 확률은 Ω²/(Ω² + δ²)로 내려앉는다 — 이조가 있으면 전이가 결코 완결되지 않는다. 점선은 1차 섭동론 Ω²t²/4 로, 첫 오름 구간에서만 맞는다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 공명 곡선과 라비 진동은 같은 함수의 두 단면이다. $P(\delta,t)$ 는 두 변수의 함수다. $t$ 를 고정하고 $\delta$ 를 훑으면 폭이 $\Omega'$ 정도인 공명 곡선 (최대 $\Omega^2/(\Omega^2+\delta^2)$ — 로렌츠 꼴)이고, $\delta$ 를 고정하고 $t$ 를 훑으면 라비 진동이다. 구동이 셀수록( $\Omega$ 클수록) 공명 곡선이 넓어지는 것이 파워 브로드닝 이고, 약할수록 진동이 느려지고 좁아져 1절의 $\sin^2(\delta t/2)/\delta^2$ 봉우리로 돌아간다.

물리적 직관 — 흡수와 유도 방출이 같은 속도로 번갈아 일어난다. 라비 진동의 오르는 반 주기는 $a\to b$ 흡수, 내리는 반 주기는 $b\to a$ 유도 방출이다. 같은 장이 두 과정을 같은 세기로 일으킨다는 것 — 4절에서 $B_{ab}=B_{ba}$ 로 다시 만난다. 정확한 공명에서 $\Omega t=\pi$ 인 순간 계는 완전히 $b$ 에 있고( $\pi$ 펄스), $\Omega t=\pi/2$ 이면 두 상태의 균등 중첩이다( $\pi/2$ 펄스). NMR·ESR(7.13.12)과 큐비트의 단일 게이트가 전부 이 두 펄스다. 스핀 $1/2$ 로 말하면 블로흐 구 위에서 벡터를 축 둘레로 각 $\Omega t$ 만큼 돌리는 회전이고(5.6.2자기장 내의 스핀과 세차), 이조는 회전축을 극축 쪽으로 기울여 남극까지 못 가게 만든다.

파라미터 — 무엇이 라비 진동수를 정하는가

$\Omega=\lvert V_{ab}\rvert/\hbar$ 이고, 3절에서 빛에 대해 $V_{ab}=-\wp E_0$ 이므로 $\Omega\propto E_0\propto\sqrt{I}$ — 라비 진동수는 세기의 제곱근에 비례한다. 세기를 네 배로 올리면 $\pi$ 펄스가 절반 시간에 끝난다. 원자에서 $\wp\sim ea_0\sim 10^{-29}$ C·m 이므로 $E_0=10^{5}$ V/m(약 1 kW/cm²)에서 $\Omega\sim10^{10}$ rad/s, 곧 완전한 전이에 나노초 정도 걸린다. 자발 방출 수명(4절)이 그보다 길어야 진동이 보이고, 짧으면 진동이 감쇠되어 정상 상태의 포화만 남는다 — 이 감쇠를 넣은 것이 광학 블로흐 방정식이고, 그 정상 해가 레이저 이득의 포화 세기다(17.4).

복사의 방출과 흡수

쌍극자 근사 — 원자는 빛의 파장보다 훨씬 작다

원자(또는 반도체의 한 단위 세포)에 단색 전자기파가 비친다. 편광을 $z$ 방향으로 잡으면 전기장은 $\mathbf{E}=E_0\cos(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})\,\hat z$ 다 (2.8.2진공 중의 단색 평면파). 가시광의 파장은 수백 nm, 원자는 0.1 nm 이니 원자 안에서 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\ll1$ 이고 전기장은 공간적으로 균일하다고 봐도 된다. 이것이 쌍극자 근사다. 균일한 전기장 안의 전하 $q$ 는 퍼텐셜 에너지 $-qE_0z\cos\omega t$ 를 가지므로

H'=-qE_0\,z\cos\omega t, \qquad V_{ba}=-\wp E_0, \qquad \wp\equiv q\,\langle\psi_b\lvert z\rvert\psi_a\rangle

$\wp$ 가 전이 쌍극자 행렬 요소다. 고전 쌍극자 $qz$ 의 “두 상태 사이” 값이고, 대각 요소 $\langle\psi_a\lvert z\rvert\psi_a\rangle$ 는 $\psi_a$ 가 패리티 고유상태이면 0이다 (5.7.4패리티) — 정지한 원자는 영구 쌍극자를 갖지 않는다. 자기장의 힘은 $v/c\sim\alpha\approx1/137$ 배 작아 버린다.

주의

$q$ 와 $e$ . Griffiths는 전하를 부호 없이 $q$ 로 두고, 전자면 $q=-e$ 다. 반도체 쪽 교재는 대개 $e$ 또는 $q$ 를 양의 기본 전하로 쓰고 전자의 전하를 $-q$ 로 쓴다. 이 절의 결과는 전부 $\lvert\wp\rvert^2$ 로 들어가므로 부호는 결과에 안 남지만, $H'$ 의 부호를 따질 때는 어느 규약인지 먼저 정할 것.

$\mathbf{E}\cdot\mathbf{r}$ 인가 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}$ 인가. Sakurai §5.8은 같은 문제를 벡터 퍼텐셜로 $H'=-\frac{q}{m}\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}$ 라 쓴다(5.5.7전자기장과의 상호작용과 게이지). 두 형식은 게이지 변환으로 이어지고, 행렬 요소는

\langle\psi_b\lvert\mathbf{p}\rvert\psi_a\rangle=im\omega_0\,\langle\psi_b\lvert\mathbf{r}\rvert\psi_a\rangle

로 환산된다( $[\mathbf{r},H^0]=i\hbar\mathbf{p}/m$ 을 두 고유상태 사이에 끼우면 나온다). 정확한 고유상태 사이에서는 두 결과가 같고, 근사 파동함수를 쓰면 조금 다르다. 반도체 광학은 운동량 행렬 요소 $p_{cv}$ 쪽을 쓴다 — $k\cdot p$ 밴드 계산(7.8.4)이 같은 양을 밴드 곡률(유효질량)에 연결하기 때문이다. 11.8.2에서 $\lvert p_{cv}\rvert^2$ 이 흡수 계수의 앞자리에 나오면 이 환산식을 떠올릴 것.

흡수와 유도 방출은 같은 식이다

$V_{ba}=-\wp E_0$ 를 1절의 1차 결과(또는 2절의 라비 공식의 약한 구동 극한)에 넣으면

P_{a\to b}(t)=\left(\frac{\lvert\wp\rvert E_0}{\hbar}\right)^{2} \frac{\sin^2[(\omega_0-\omega)t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}

이것이 흡수다. 계가 $\psi_a$ (낮은 준위)에서 출발해 빛의 에너지 $\hbar\omega\approx\hbar\omega_0$ 를 받아 $\psi_b$ 로 올라간다. 광자의 언어로는 “광자 하나가 사라진다”.

계가 $\psi_b$ (높은 준위)에서 출발하면 어떻게 되는가. 1절의 식에서 $a\leftrightarrow b$ 를 바꾸면 $\omega_0\to-\omega_0$ 이고, 회전파 근사에서 살아남는 항이 $e^{-i(\omega_0-\omega)t}$ 쪽으로 바뀔 뿐 확률은 완전히 같다:

P_{b\to a}(t)=\left(\frac{\lvert\wp\rvert E_0}{\hbar}\right)^{2} \frac{\sin^2[(\omega_0-\omega)t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}

이것이 유도 방출(stimulated emission)이다. 들어온 빛이 원자를 아래로 내리고, 내려오며 내놓는 에너지 $\hbar\omega_0$ 는 들어온 빛과 같은 모드에 더해진다 — 같은 진동수, 같은 방향, 같은 위상, 같은 편광. “광자 하나가 들어와 둘이 되어 나간다”. 이것이 레이저 증폭의 소재이고, 흡수와 유도 방출의 확률이 같다는 것이 4절 아인슈타인 $B$ 계수의 대칭이다.

결맞지 않은 빛 — 확률이 시간에 비례하게 된다

지금까지의 빛은 단색이었다. 열복사·태양광·LED 빛은 넓은 진동수 대역에 걸쳐 있고 성분마다 위상이 제멋대로다. 이런 결맞지 않은(incoherent) 빛에는 진폭이 아니라 에너지 밀도가 더해진다. 단색파의 시간 평균 에너지 밀도는 $u=\frac{\epsilon_0}{2}E_0^2$ 이므로 (2.8.3에너지·운동량과 포인팅 벡터) 위 확률을

P_{b\to a}(t)=\frac{2u}{\epsilon_0\hbar^2}\lvert\wp\rvert^2 \frac{\sin^2[(\omega_0-\omega)t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}

로 고쳐 쓰고, 넓은 대역의 빛에 대해서는 $u\to\rho(\omega)\,d\omega$ 로 바꿔 적분한다. 여기서 $\rho(\omega)$ 는 단위 진동수 구간당 복사 에너지 밀도다(단위 J·s/m³):

P_{b\to a}(t)=\frac{2\lvert\wp\rvert^2}{\epsilon_0\hbar^2} \int_0^\infty\rho(\omega)\,\frac{\sin^2[(\omega_0-\omega)t/2]}{(\omega_0-\omega)^2}\,d\omega

$\sin^2/(\cdot)^2$ 봉우리(그림 5.9-1)는 $t$ 가 조금만 커도 $\rho(\omega)$ 가 변하는 척도보다 훨씬 좁다. 그러면 $\rho(\omega)$ 를 봉우리 위치의 값 $\rho(\omega_0)$ 로 빼내고 나머지를 적분한다:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2(xt/2)}{x^2}\,dx=\frac{\pi t}{2} \quad\Longrightarrow\quad P_{b\to a}(t)=\frac{\pi\lvert\wp\rvert^2}{\epsilon_0\hbar^2}\,\rho(\omega_0)\,t

확률이 시간에 비례한다. 진동이 사라지고 전이율 $R=dP/dt$ 가 정의된다. 빛이 모든 방향에서 온갖 편광으로 들어오는 경우까지 평균하면 $\lvert\wp\rvert^2=\lvert\hat n\cdot \boldsymbol{\wp}\rvert^2$ 의 각도 평균은 $\lvert\boldsymbol{\wp}\rvert^2/3$ 이고( $\cos^2$ 의 구면 평균이 $1/3$ ), 결국

\boxed{\;R_{b\to a}=\frac{\pi}{3\epsilon_0\hbar^2}\,\lvert\boldsymbol{\wp}\rvert^2\,\rho(\omega_0), \qquad \boldsymbol{\wp}\equiv q\,\langle\psi_b\lvert\mathbf{r}\rvert\psi_a\rangle\;}

이것이 결맞지 않은 빛에 의한 유도 방출률이고, 흡수율 $R_{a\to b}$ 도 같은 식이다.

직관

수식적 직관 — 결맞음이 진동을 만들고, 결맞지 않음이 비율을 만든다. 단색 구동에서는 확률이 $\sin^2$ 으로 진동했다(라비). 대역이 넓으면 진동수 성분마다 진동 주기가 달라서 조금만 지나면 서로 어긋나 평균되고, 남는 것이 시간에 비례하는 단조 증가다. 갈림은 대역폭 $\Delta\omega$ 와 라비 진동수 $\Omega$ 의 비교로 정해진다 — $\Delta\omega\gg\Omega$ 면 비율 방정식, $\Delta\omega\ll\Omega$ 면 라비 진동. 열복사와 LED는 언제나 전자이고, 레이저를 원자 하나에 쏘면 후자다.

반도체에서는 빛이 단색이어도 종상태가 밴드 연속체라서(11.8) 언제나 비율이 나온다 — 같은 $\sin^2$ 봉우리를 진동수 대신 종상태 에너지에 대해 적분하게 되고, 그것이 5절 황금률이다. 흡수 계수 $\alpha(\hbar\omega)\propto\lvert p_{cv}\rvert^2\rho_{\text{joint}}(\hbar\omega)$ 의 결합 상태밀도가 여기서 $\rho(\omega_0)$ 가 하던 역할을 넘겨받는다.

자발 방출과 아인슈타인 계수

빛이 없어도 내려온다

3절의 논리로는 빛이 없으면( $\rho=0$ ) 들뜬 원자는 영원히 들떠 있어야 한다. 실제로는 나노초 안에 내려온다. 이것이 자발 방출이고, 1차 섭동론에는 그것을 일으킬 $H'$ 가 없다. 근본적인 답은 전자기장 자체가 양자화되어 있어 $\rho=0$ 인 “진공”에도 영점 요동이 남아 있다는 것인데, 이 장의 도구로는 거기까지 못 간다. 대신 아인슈타인(1917)이 양자전기역학 없이 열평형 논리만으로 답을 뽑은 길을 따른다.

들뜬 준위 $b$ 에 $N_b$ 개, 바닥 준위 $a$ 에 $N_a$ 개의 원자가 있고, 진동수 $\omega_0$ 의 복사 에너지 밀도가 $\rho(\omega_0)$ 라 하자. 세 과정을 계수 셋으로 쓴다:

자발 방출 $b\to a$ : 원자당 비율 $A$ . 빛과 무관.
유도 방출 $b\to a$ : 원자당 비율 $B_{ba}\,\rho(\omega_0)$ .
흡수 $a\to b$ : 원자당 비율 $B_{ab}\,\rho(\omega_0)$ .

그림 5.9-3. 두 준위 사이의 세 과정. 흡수(왼쪽)는 광자 하나를 없애고 원자를 올린다. 유도 방출(가운데)은 들어온 광자와 똑같은 광자를 하나 더 만들어 둘로 내보낸다 — 결맞은 증폭이다. 자발 방출(오른쪽)은 빛이 없어도 일어나며 방향·위상이 제멋대로다. 아인슈타인 계수 A, B_ba, B_ab 는 각각의 원자당 비율이고, 열평형 조건이 셋 사이의 관계를 강제한다.직접 작도

$N_b$ 의 변화율은

\frac{dN_b}{dt}=-AN_b-B_{ba}\rho(\omega_0)N_b+B_{ab}\rho(\omega_0)N_a

열평형에서는 이것이 0이다. $\rho$ 에 대해 풀면

\rho(\omega_0)=\frac{A}{(N_a/N_b)B_{ab}-B_{ba}}

평형에서 두 준위의 점유 비는 볼츠만 인자(6.3.1볼츠만 인자와 분배함수) $N_a/N_b=e^{\hbar\omega_0/k_BT}$ 이고, 열복사의 에너지 밀도는 플랑크 분포(6.3.6열복사와 플랑크 분포)

\rho(\omega)=\frac{\hbar}{\pi^2c^3}\,\frac{\omega^3}{e^{\hbar\omega/k_BT}-1}

다. 두 식이 모든 온도에서 같으려면 분모의 구조가 같아야 하므로

\boxed{\;B_{ab}=B_{ba},\qquad A=\frac{\hbar\omega_0^3}{\pi^2c^3}\,B_{ba}\;}

첫 식은 3절에서 미시적으로 확인한 대칭이고, 둘째 식이 새 정보다 — 유도 방출 계수를 알면 자발 방출 계수가 따라온다. 3절의 결과 $B_{ba}=\frac{\pi}{3\epsilon_0\hbar^2}\lvert\boldsymbol\wp\rvert^2$ 을 넣으면

\boxed{\;A=\frac{\omega_0^3\,\lvert\boldsymbol{\wp}\rvert^2}{3\pi\epsilon_0\hbar c^3}, \qquad \tau=\frac{1}{A}\;}

$\tau$ 가 들뜬 상태의 수명이다. 내려갈 준위가 여럿이면 $A=\sum_iA_i$ 이고 $\tau=1/\sum A_i$ 다. 준위가 축퇴돼 있으면( $g_a$ , $g_b$ 겹) 첫 식이 $g_aB_{ab}=g_bB_{ba}$ 로 바뀐다.

직관

물리적 직관 — 열평형 논리가 미시 계수를 잡아낸 이유. 아인슈타인은 세 과정의 세부를 하나도 몰랐다. 안 것은 ① 평형에서 위아래 흐름이 같아야 하고, ② 평형의 점유는 볼츠만이고, ③ 평형의 빛은 플랑크라는 것뿐이었다. 세 사실이 모든 온도에서 동시에 맞으려면 계수들이 저 관계를 만족할 수밖에 없다. 이 논리를 상세 균형(detailed balance)이라 하고, 11.3.2가 반도체의 생성·재결합에 그대로 쓴다 — 밴드 간 복사 재결합률 $R=Bnp$ 의 $B$ 를 흡수 스펙트럼에서 계산하는 판 루스브뢰크–쇼클리 관계가 정확히 이 절의 반도체판이다. 열평형에서 흡수한 만큼 내놓아야 하니, 흡수 계수 $\alpha(\hbar\omega)$ 와 플랑크 분포의 곱을 적분하면 복사 재결합률이 나온다.

형태적 직관 — 왜 $\omega^3$ 인가. $A/B$ 의 $\omega^3$ 은 플랑크 분포의 $\omega^3$ 에서 왔고, 그것은 광자의 상태밀도 $\omega^2$ 와 광자 하나의 에너지 $\hbar\omega$ 의 곱이다 (6.3.6열복사와 플랑크 분포). 즉 자발 방출률은 광자가 갈 수 있는 모드의 수에 비례한다. 이것은 5절 황금률의 “종상태 밀도”가 여기서 미리 나온 것이다 — 자발 방출은 원자가 “진공의 광자 모드 연속체”로 전이하는 황금률 과정이고, $\rho(E)$ 자리에 광자 모드 밀도가 들어간 것이다.

파라미터 — 수명을 무엇이 정하는가

$A\propto\omega_0^3\lvert\boldsymbol\wp\rvert^2$ 이다. 수소의 $2p\to1s$ 전이는 $\lvert\boldsymbol\wp\rvert\approx0.75\,ea_0$ , $\hbar\omega_0=10.2$ eV 로 $\tau=1.6$ ns 다. 같은 쌍극자로 진동수가 10배 낮은 전이( $\sim1$ eV, 근적외선)는 $10^3$ 배 느려 마이크로초, 21 cm 초미세 전이( $6\times10^{-6}$ eV, 게다가 자기 쌍극자)는 $10^7$ 년이다. 이 $\omega^3$ 이 LED가 짧은 파장에서 밝게 만들기 쉬운 이유의 반이고(나머지 반은 밴드갭과 재료), 마이크로파에서는 자발 방출이 무시되어 메이저가 레이저보다 먼저 나온 이유다.

$\lvert\boldsymbol\wp\rvert^2$ 는 두 파동함수의 겹침이다. 반도체에서는 밴드 간 행렬 요소 $p_{cv}$ 인데, 직접 갭(GaAs)에서는 같은 $\mathbf{k}$ 의 전도대·가전자대 상태 사이라 크고 복사 수명이 나노초이며, 간접 갭(Si)에서는 운동량이 어긋나 1차 쌍극자 전이가 0이고 포논이 끼는 2차 과정(1절의 $c^{(2)}$ )만 남아 밀리초에 이른다. Si로 LED를 만들지 못하고 III–V를 쓰는 이유가 이 한 줄이다(17.3.2).

수명은 또 광자 모드 밀도를 바꾸면 바뀐다. 원자를 파장 크기의 공진기에 넣어 $\omega_0$ 에 모드가 몰리게 하면 $A$ 가 커지고(퍼셀 효과), 모드가 없게 하면 작아진다. VCSEL(17.4.7)과 마이크로캐비티 LED, 광결정이 이것으로 발광을 빠르게·한 방향으로 만든다. $A$ 는 원자의 상수가 아니라 원자와 그 주변 전자기 환경의 상수다.

주의

선폭과 수명. 들뜬 상태가 $e^{-t/\tau}$ 로 사라지면 그 방출 스펙트럼은 폭 $\Gamma=\hbar/\tau=\hbar A$ 인 로렌츠 함수다 — 지수 감쇠와 로렌츠 함수는 푸리에 변환 쌍이고(1.9.8실적분과 급수의 계산; 그림 cx-lorentz-exp), 수명이 길수록 선이 좁다. 이 자연 선폭은 원자에서 $\sim10^{-7}$ eV 로 도플러·충돌 폭보다 작지만, 10절의 공명 폭 $\Gamma$ 와 12.7·20.7의 공진 터널링 봉우리 폭이 정확히 같은 관계다: 폭은 수명의 역수다.

선택 규칙. $\boldsymbol\wp=q\langle\psi_b\lvert\mathbf{r}\rvert\psi_a\rangle$ 는 $\Delta\ell=\pm1$ , $\Delta m=0,\pm1$ 이 아니면 0이다 — $\mathbf{r}$ 이 랭크 1 텐서(벡터)라 각운동량 1을 나르고 패리티가 홀이기 때문이다(5.7.7회전 선택 규칙). 이 규칙을 어기는 “금지된” 전이는 쌍극자 근사에서 버린 다음 항(사중극·자기 쌍극자)으로 일어나며 $(a_0/\lambda)^2\sim10^{-6}$ 배 느리다. 수소 $2s\to1s$ 는 그마저 안 되어 광자 두 개를 동시에 내는 2차 과정으로 $1/8$ 초를 산다.

의문

자발 방출은 정말 “자발”인가. 전자기장을 양자화하면 한 모드에 광자가 $n$ 개 있을 때 방출률이 $(n+1)$ 에, 흡수율이 $n$ 에 비례한다. 유도 방출이 $n$ , 자발 방출이 $+1$ 이다. 그러니 자발 방출은 “광자가 0개인 모드로의 유도 방출”이고, 그 $+1$ 은 진공의 영점 요동이다. $A/(B\rho)=1/\bar n$ 이 되어, 플랑크 분포의 평균 광자 수 $\bar n=1/(e^{\hbar\omega/k_BT}-1)$ 이 1보다 훨씬 작은 광학 영역( $\hbar\omega\gg k_BT$ )에서는 자발 방출이, 훨씬 큰 마이크로파 영역에서는 유도 방출이 이긴다. 레이저가 열복사 위에서 동작하려면 $\bar n$ 을 인위적으로 1보다 훨씬 크게 만들어야 하고, 그것이 반전 분포 — $N_bB_{ba}\rho>N_aB_{ab}\rho$ 이려면 $B$ 가 같으니 $N_b>N_a$ — 다. 볼츠만이 절대 허락하지 않는 “음의 온도”를 펌핑으로 만든다. 반도체에서는 전도대·가전자대의 준페르미 준위 차 $F_n-F_p>\hbar\omega$ 가 그 조건이다(17.4.1).

페르미 황금률

종상태가 연속체이면 확률은 시간에 비례한다

3절 끝에서 한 번 본 일을 이제 일반적으로 한다. 계가 이산 상태 $\psi_a$ 에서 출발하고, 갈 수 있는 종상태 $\psi_b$ 가 연속체(자유 입자의 운동량 상태, 밴드의 블로흐 상태, 광자 모드)라 하자. 상수 섭동 $H'$ 을 $t=0$ 에 켜면 1절에서 종상태 하나로 갈 확률은

P_{a\to b}(t)=\frac{4\lvert H'_{ba}\rvert^2}{\hbar^2}\, \frac{\sin^2(\omega_{ba}t/2)}{\omega_{ba}^2}, \qquad \omega_{ba}=\frac{E_b-E_a}{\hbar}

이었다. 연속체로 갈 총 확률은 이것을 종상태 전체에 대해 더한 것이고, 종상태가 촘촘하면 합은 적분이 된다. 단위 에너지당 종상태 수를 $\rho(E_b)$ 라 하면(3·4절의 복사 밀도 $\rho(\omega)$ 와 글자만 같고 다른 양이다 — 이 절부터 $\rho$ 는 언제나 상태밀도다)

P(t)=\int\lvert c_b(t)\rvert^2\,\rho(E_b)\,dE_b =\frac{4}{\hbar^2}\int\lvert H'_{ba}\rvert^2\rho(E_b)\, \frac{\sin^2[(E_b-E_a)t/2\hbar]}{[(E_b-E_a)/\hbar]^2}\,dE_b

그림 5.9-1의 봉우리는 $t$ 가 커질수록 $E_b=E_a$ 둘레 폭 $\sim h/t$ 로 좁아진다. $\lvert H'_{ba}\rvert^2\rho(E_b)$ 가 변하는 에너지 척도를 $\Delta E$ 라 하면, $t\gg\hbar/\Delta E$ 일 때 봉우리가 그 구조보다 좁아져 $\lvert H'\rvert^2\rho$ 를 $E_b=E_a$ 의 값으로 빼낼 수 있다. 남는 적분은 3절과 같은 $\int\sin^2(xt/2)/x^2\,dx=\pi t/2$ 이고( $x=\omega_{ba}$ , $dE_b=\hbar\,dx$ ),

P(t)=\frac{4}{\hbar^2}\lvert H'_{ba}\rvert^2\rho(E_b)\cdot\hbar\cdot\frac{\pi t}{2} =\frac{2\pi}{\hbar}\lvert H'_{ba}\rvert^2\rho(E_b)\,t

확률이 시간에 비례하고, 비례 상수가 전이율이다:

\boxed{\;R_{a\to b}=\frac{2\pi}{\hbar}\,\lvert H'_{ba}\rvert^2\,\rho(E_b)\Big\rvert_{E_b=E_a}\;}

이것이 페르미 황금률(Fermi’s golden rule)이다. 유도한 사람은 디랙(1927)이고, 페르미가 강의에서 “황금률 2번”이라 부른 이름이 남았다. 종상태의 합을 그대로 남겨 두는 꼴로 쓰면

R_{a\to b}=\frac{2\pi}{\hbar}\sum_b\lvert H'_{ba}\rvert^2\,\delta(E_b-E_a)

이고, 델타 함수가 에너지 보존을 말한다 — 상수 섭동은 에너지를 주고받지 못하므로 같은 에너지의 상태로만 간다. 정현파 섭동 $H'=V\cos\omega t$ 이면 회전파 근사에서 진폭이 $V/2$ 가 되어

R_{a\to b}=\frac{\pi}{2\hbar}\,\lvert V_{ba}\rvert^2\,\rho(E_b), \qquad E_b=E_a\pm\hbar\omega

이다(Griffiths §11.4). 델타 함수 자리에 $\delta(E_b-E_a\mp\hbar\omega)$ 가 들어가 양자 하나를 흡수하거나 방출한다는 에너지 보존이 된다. 3절의 결과 $R=\frac{\pi\lvert\wp\rvert^2}{\epsilon_0\hbar^2}\rho(\omega_0)$ 는 $\lvert V_{ba}\rvert^2=\lvert\wp\rvert^2E_0^2=2\lvert\wp\rvert^2u/\epsilon_0$ 을 넣고 복사 밀도를 “종상태 밀도” 역할로 읽은 같은 식이다.

직관

수식적 직관 — 왜 하필 $\lvert H'\rvert^2\rho$ 인가. 차원부터 보자. $\lvert H'_{ba}\rvert^2$ 은 J², $\rho(E)$ 는 1/J 이니 곱은 J 이고, $\hbar$ 로 나누면 1/s 다. 전이율은 결합의 세기의 제곱(진폭이 $H'$ 에 비례하니 확률은 제곱)에 갈 곳의 개수를 곱한 것이다. 두 인자가 갈라져 있다는 것이 이 공식의 쓸모다 — 상호작용의 물리( $H'$ )와 계의 기하·차원( $\rho$ )을 따로 계산해 곱하면 된다.

형태적 직관 — 델타 함수는 $\sin^2/x^2$ 봉우리의 극한이다. 정확히 말하면 $\lim_{t\to\infty}\frac{1}{t}\frac{\sin^2(xt/2)}{x^2}=\frac{\pi}{2}\delta(x)$ 이다 (1.8.1디랙 델타 함수와 그린 함수의 개념; 델타 함수의 수열 표현 중 하나). " $t\to\infty$ " 를 글자 그대로 받아들이면 안 된다 — $t$ 는 $\hbar/\Delta E$ 보다 충분히 크기만 하면 되고, 그 시점부터 확률은 직선이다. 그림 5.9-4가 그 전환을 보여 준다.

그림 5.9-4. 이산 상태에서 폭 W(에너지 폭 ħW)의 연속체로 가는 총 전이 확률 P(t). t ≪ 1/W 인 아주 짧은 시간에는 모든 종상태가 같은 위상으로 자라 P ∝ t² 이고(위쪽 점선), t ≫ 1/W 가 되면 sin²/x² 봉우리가 연속체 폭 안에 들어와 P = Rt 의 직선이 된다(아래쪽 점선, 황금률). 직선은 1차 섭동론이 깨지는 P ~ 1 전에 끝나야 하므로, 황금률이 성립하는 창은 ħ/ΔE ≪ t ≪ 1/R 이다.직접 작도

황금률이 성립하는 창

두 조건이 동시에 걸린다.

아래쪽 $t\gg\hbar/\Delta E$ : $\sin^2/x^2$ 봉우리가 $\lvert H'\rvert^2\rho$ 의 구조보다 좁아야 한다. 그 전에는 확률이 $t^2$ 으로 자란다(그림 5.9-4의 왼쪽). 연속체가 넓을수록 ( $\Delta E$ 클수록) 이 시각이 빨리 온다.
위쪽 $t\ll1/R$ : 1차 섭동론이 $c_a\approx1$ 을 전제하므로 초기 상태가 눈에 띄게 비기 전이어야 한다.

두 조건이 양립하려면 $\hbar R\ll\Delta E$ , 곧 전이로 생기는 준위 폭 $\Gamma=\hbar R$ 가 연속체의 구조보다 좁아야 한다. 이 창이 있으면 그 안에서 확률이 직선이고, 직선의 기울기가 $R$ 이다. 그다음은 어떻게 되는가. 1차 섭동론은 답하지 못하지만, 초기 상태 진폭 $c_a$ 의 방정식에 1차 결과를 되먹이면(위그너–바이스코프) $c_a(t)\approx e^{-i\Delta_at/\hbar}e^{-Rt/2}$ 가 나온다 — 지수 감쇠이고, 황금률의 직선은 $1-e^{-Rt}$ 의 첫 항이었다. 곁다리로 나오는 실수 에너지 이동 $\Delta_a=\mathcal{P}\sum_b\lvert H'_{ba}\rvert^2/(E_a-E_b)$ 는 5.8의 2차 에너지 보정(5.8.1시간 무관 섭동론 — 비축퇴)이다. Sakurai §5.9는 이 둘을 묶어 준위의 에너지가 복소수 $E_a+\Delta_a-i\Gamma_a/2$ 가 된다고 쓴다: 실수부는 이동, 허수부는 폭. 4절의 자연 선폭과 10절의 공명 폭이 이 허수부다.

의문

황금률이 안 서는 두 극단이 있다. 아주 짧은 시간에는 $P\propto t^2$ 이라 자주 측정하면 붕괴가 느려진다 — 시간 $\tau$ 마다 초기 상태로 투영하면 생존 확률이 $(1-ct^2)^{t/\tau}\to1$ 로 가는 양자 제논 효과다. 종상태가 유한 개이면 적분이 합으로 돌아가고, 준위 간격 $\delta E$ 에 해당하는 시간 $\sim h/\delta E$ 뒤에 확률이 되돌아온다(재귀). 2준위의 라비 진동이 그 극단이다. 황금률의 지수 감쇠는 “종상태가 무한히 많고 촘촘해서 한번 나간 진폭이 결코 같은 위상으로 다시 모이지 않는다”는 뜻이고, 그래서 비가역이다 — 가역인 슈뢰딩거 방정식에서 비가역인 붕괴가 나오는 자리가 정확히 $\rho(E)$ 를 연속으로 놓는 이 한 걸음이다. 6부의 엔트로피 증가와 같은 종류의 극한이다.

종상태 밀도 — 자유 입자의 예

$\rho(E)$ 를 실제로 세는 법을 하나 해 둔다. 뒤 반쪽(9절)에서 그대로 쓴다. 한 변 $L$ 인 상자(부피 $V=L^3$ )에 주기 경계 조건을 걸면 허용된 파수벡터는 $\mathbf{k}=\frac{2\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)$ 이고, $\mathbf{k}$ 공간에서 상태 하나가 부피 $(2\pi)^3/V$ 를 차지한다(6.1.7상태 밀도와 위상 공간). 방향 $d\Omega$ 안, 크기 $k\sim k+dk$ 인 상태의 수는

dN=\frac{V}{(2\pi)^3}\,k^2\,dk\,d\Omega

$E=\hbar^2k^2/2m$ 이면 $dE=\hbar^2k\,dk/m$ 이므로 단위 에너지·단위 입체각당 상태밀도는

\rho(E)\,d\Omega=\frac{V}{(2\pi)^3}\,\frac{mk}{\hbar^2}\,d\Omega =\frac{V m\sqrt{2mE}}{(2\pi)^3\hbar^3}\,d\Omega

이다. 방향을 다 더하면( $4\pi$ ) 3차원 자유 입자의 $\rho(E)\propto\sqrt E$ 가 나온다 (6.5.9차원별 상태밀도). 스핀이 섭동에 안 걸리면 종상태의 스핀은 초기와 같아야 하므로 2를 곱하지 않는다 — 상태밀도의 스핀 인자는 “갈 수 있는 상태”만 센다.

$\rho\propto V$ 인 것이 걱정스러울 수 있다. 상자를 키우면 전이율이 커지는가? 아니다 — 규격화된 평면파 $\psi_{\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}/\sqrt V$ 로 만든 행렬 요소는 $\lvert H'_{ba}\rvert^2\propto1/V$ 라서 곱에서 $V$ 가 지워진다. 상자는 셈을 위한 발판일 뿐이다.

직관

파라미터 연계성 — 반도체 산란율은 전부 이 식이다. 7.12·11.2에서 전자가 $\mathbf{k}$ 에서 $\mathbf{k}'$ 로 튀는 비율을

S(\mathbf{k},\mathbf{k}')=\frac{2\pi}{\hbar}\,\lvert M_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}\rvert^2\, \delta\!\left(E_{\mathbf{k}'}-E_{\mathbf{k}}\mp\hbar\omega_q\right)

로 쓰고, $1/\tau(\mathbf{k})=\sum_{\mathbf{k}'}S$ 로 산란 시간을, $1/\tau_m=\sum_{\mathbf{k}'}S(1-\cos\theta)$ 로 운동량 완화 시간을 만든다( $\theta$ 는 $\mathbf{k}$ 와 $\mathbf{k}'$ 사이 각 — 앞으로 튀는 산란은 운동량을 거의 안 빼앗으니 가중치가 작다). 여기서 갈라지는 것은 $M$ 뿐이다.

음향 포논: $\lvert M\rvert^2\propto k_BT$ (포논 수 $\propto T$ ), 탄성 산란이라 $\delta(E'-E)$ → $1/\tau\propto T\cdot\rho(E)\propto T\sqrt E$ . 열평균하면 $\mu\propto T^{-3/2}$ (11.2.3의 격자 산란).
이온화 불순물: $M$ 이 차폐 쿨롱의 푸리에 변환(9절) → $\mu\propto T^{3/2}/N_I$ .
광학 포논: $\hbar\omega_q$ 만큼 에너지를 주고받으므로 델타 함수가 $E'=E\pm\hbar\omega_q$ — 방출은 $E>\hbar\omega_q$ 인 전자만 할 수 있어 속도 포화(11.7.1)가 여기서 나온다.
광흡수 (11.8.2): $H'$ 가 $\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}$ , 종상태가 전도대, 상태밀도가 결합 상태밀도 $\rho_{\text{joint}}\propto\sqrt{\hbar\omega-E_g}$ → 직접 갭의 흡수단 $\alpha\propto\sqrt{\hbar\omega-E_g}$ .
터널링 (12.11·20.7): 바딘의 전달 해밀토니안 $M$ 과 양쪽 전극의 상태밀도 곱 $\rho_L\rho_R$ — STM 전류가 시료의 국소 상태밀도를 재는 근거.
SRH 포획 (11.3.5): 트랩으로 가는 전이율을 $c_n=\sigma_nv_{\text{th}}$ 로 쓰는데, 단면적 $\sigma_n$ 은 7절의 산란 단면적이고 그 뒤에 이 황금률이 있다.

$1/\tau$ 의 온도·에너지 의존성은 거의 전부 $\rho(E)$ 의 차원 의존성과 $\lvert M\rvert^2$ 의 포논 수 의존성에서 온다. 2차원 전자 기체(12.7.6)에서 $\rho(E)$ 가 상수가 되면 음향 포논 산란율이 에너지에 무관해지는 식으로, 차원이 바뀌면 이 절의 $\rho$ 만 바꿔 끼우면 된다.

단열 근사

천천히 바꾸면 고유상태는 고유상태로 남는다

1절의 세 얼굴 중 마지막 — 섭동이 아주 천천히 켜지는 경우다. 이번에는 “섭동”이라는 말도 버린다. 해밀토니안 $H(t)$ 가 크게 바뀌어도 좋다, 단 천천히. 매 순간의 고유상태와 고유값을

H(t)\,\psi_n(t)=E_n(t)\,\psi_n(t)

로 정의한다(순간 고유상태). 이것은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식의 해가 아니다 — 매 순간 $H(t)$ 를 얼려 놓고 푼 정지 문제의 답을 시간 순서로 늘어놓은 것이다. 단열 정리(adiabatic theorem)는 이렇게 말한다: $H$ 가 충분히 천천히 변하면, 처음에 $\psi_n(0)$ 에 있던 계는 시각 $t$ 에 $\psi_n(t)$ 에 있다 — 같은 번호 $n$ 의 순간 고유상태를 따라간다. 위상만 두 가지가 붙는다.

유도는 1절과 같은 틀이다. 상태를 순간 고유상태로 펼치되 동적 위상을 미리 뽑는다:

\Psi(t)=\sum_n c_n(t)\,\psi_n(t)\,e^{i\theta_n(t)}, \qquad \theta_n(t)\equiv-\frac{1}{\hbar}\int_0^tE_n(t')\,dt'

$E_n$ 이 상수면 $\theta_n=-E_nt/\hbar$ 로 5.2의 위상이다. 슈뢰딩거 방정식에 넣고 $\psi_m$ 과 내적을 취하면 이번에는 $\psi_n$ 자체가 시간에 의존하므로 $\dot\psi_n$ 항이 남는다:

\dot c_m=-\sum_n c_n\,\langle\psi_m\lvert\dot\psi_n\rangle\,e^{i(\theta_n-\theta_m)}

$\langle\psi_m\lvert\dot\psi_n\rangle$ 을 $H$ 의 변화율로 바꿔 쓸 수 있다. 고유값 방정식을 시간으로 미분하면 $\dot H\psi_n+H\dot\psi_n=\dot E_n\psi_n+E_n\dot\psi_n$ 이고, $\psi_m$ ( $m\neq n$ )과 내적하면 $H$ 의 에르미트성으로

\langle\psi_m\lvert\dot H\rvert\psi_n\rangle=(E_n-E_m)\,\langle\psi_m\lvert\dot\psi_n\rangle \qquad(m\neq n)

따라서

\dot c_m=-c_m\,\langle\psi_m\lvert\dot\psi_m\rangle -\sum_{n\neq m}c_n\,\frac{\langle\psi_m\lvert\dot H\rvert\psi_n\rangle}{E_n-E_m}\,e^{i(\theta_n-\theta_m)}

단열 근사는 둘째 항을 버리는 것이다. 그러면 $c_m$ 은 다른 $c_n$ 과 섞이지 않고 자기 방정식만 풀어

c_m(t)=c_m(0)\,e^{i\gamma_m(t)}, \qquad \gamma_m(t)\equiv i\int_0^t\langle\psi_m\lvert\dot\psi_m\rangle\,dt'

$\langle\psi_m\lvert\dot\psi_m\rangle$ 은 순허수이므로(규격화 $\langle\psi_m\lvert\psi_m\rangle=1$ 을 미분하면 실수부가 0) $\gamma_m$ 은 실수이고, 붙는 것은 위상뿐이다. 결론:

\boxed{\;\Psi(t)=e^{i\theta_n(t)}\,e^{i\gamma_n(t)}\,\psi_n(t)\;}

$\theta_n$ 이 동적 위상, $\gamma_n$ 이 기하 위상이다.

얼마나 천천히인가

버린 항이 작으려면 $\frac{\langle\psi_m\lvert\dot H\rvert\psi_n\rangle}{E_n-E_m}$ 에 $e^{i(\theta_n-\theta_m)}$ 가 곱해져 진동수 $(E_n-E_m)/\hbar$ 로 진동하는 것을 시간 적분한 값이 작아야 한다. 진동하는 것을 적분하면 진폭 $\times\hbar/(E_n-E_m)$ 정도이므로 조건은

\boxed{\;\hbar\,\frac{\lvert\langle\psi_m\lvert\dot H\rvert\psi_n\rangle\rvert}{(E_n-E_m)^2}\ll1\;}

$H$ 가 시간 $T$ 동안 $\Delta H$ 만큼 변한다면 $\dot H\sim\Delta H/T$ 이고, 조건은 $T\gg\hbar\Delta H/(E_n-E_m)^2$ 다. 거칠게는 외부 시간 $T$ 가 내부 시간 $\hbar/\lvert E_n-E_m\rvert$ 보다 훨씬 길다는 뜻이다. 1절의 푸리에 논리로 말하면 — 시간 $T$ 에 걸쳐 변하는 섭동의 스펙트럼은 $\omega\lesssim1/T$ 에만 있고, 그것이 전이 진동수 $\lvert E_n-E_m\rvert/\hbar$ 에 못 미치면 전이가 없다. 같은 말이다.

조건의 분모가 간격의 제곱이다. 준위가 가까울수록 훨씬 더 천천히 가야 하고, 간격이 0이 되는 곳(축퇴)에서는 어떤 속도로도 단열이 아니다. 축퇴가 “피해지는” 상황이 아래의 란다우–제너 문제다.

직관

공간적 직관 — 기저가 도는 속도보다 상태가 도는 속도가 빠르다. 힐베르트 공간에서 $\psi_n(t)$ 축은 $H(t)$ 를 따라 천천히 돈다. 상태 벡터는 그 축 위에서 동적 위상으로 $E_n/\hbar$ 의 진동수로 빠르게 돈다. 축이 한 바퀴 위상이 돌 시간 동안 거의 안 움직이면 상태는 축을 놓치지 않는다 — 상태의 자기 회전이 축의 이동을 매 순간 “따라잡는다”. 이웃 축 $\psi_m$ 으로 새는 진폭은 두 축의 위상차 진동수 $(E_n-E_m)/\hbar$ 로 요동해 평균되어 0이 되고, 이 평균이 잘 되는 조건이 위 부등식이다.

고전역학의 단열 불변량이 같은 것이다. 진자의 줄을 천천히 당기면 에너지 $E$ 와 진동수 $\omega$ 는 둘 다 바뀌지만 $E/\omega$ 는 안 바뀐다(3.2.1단순 조화진동). 양자로 번역하면 $E/\hbar\omega=n+\frac12$ — 양자수 $n$ 이 단열 불변량이다. 단열 정리는 “천천히 바꾸면 양자수가 보존된다”이고, 그것이 곧 “같은 번호의 고유상태를 따라간다”다.

기하 위상 — 어떻게 왔는가가 남긴다

$\gamma_n$ 은 시간의 함수가 아니라 경로의 함수다. $H$ 가 매개변수 $\mathbf{R}(t)$ (자기장 벡터, 핵의 위치, 게이트 전압들) 를 통해 시간에 의존한다면 $\dot\psi_n=\nabla_{\!R}\psi_n\cdot \dot{\mathbf{R}}$ 이므로

\gamma_n=i\int_{\mathbf{R}(0)}^{\mathbf{R}(t)}\langle\psi_n\lvert\nabla_{\!R}\psi_n\rangle\cdot d\mathbf{R}

로, 매개변수 공간의 선적분이다(1.1.4선적분과 경로 독립성). 얼마나 빨리 갔는지는 안 남고 어디를 지나갔는지만 남는다. 열린 경로에서는 $\psi_n$ 의 위상 규약을 바꾸면 $\gamma_n$ 도 바뀌어 물리적 의미가 모호하지만, 닫힌 경로를 한 바퀴 돌면

\gamma_n(C)=i\oint_C\langle\psi_n\lvert\nabla_{\!R}\psi_n\rangle\cdot d\mathbf{R}

는 규약과 무관한 관측 가능한 양이 된다 — 베리 위상(Berry phase, 1984)이다. 피적분 벡터장 $\mathbf{A}_n\equiv i\langle\psi_n\lvert\nabla_{\!R}\psi_n\rangle$ 은 전자기학의 벡터 퍼텐셜과 똑같이 게이지 변환( $\psi_n\to e^{i\chi}\psi_n$ 이면 $\mathbf{A}_n\to \mathbf{A}_n-\nabla\chi$ )을 겪고, 그 회전 $\nabla\times\mathbf{A}_n$ (베리 곡률)이 게이지 불변이며, 스토크스 정리(1.1.7발산정리와 스토크스 정리)로 베리 위상은 곡률의 면적분이다. 매개변수 공간에 “자기장”이 있는 셈이다.

Griffiths §11.5의 예제 — 스핀 $\frac12$ 을 방향 $\hat n(t)$ 의 자기장에 두고 $\hat n$ 을 천천히 한 바퀴 돌리면(5.6.2자기장 내의 스핀과 세차), 스핀 위 상태가 얻는 베리 위상은 $\gamma_+=-\frac12\Omega$ 로 $\hat n$ 이 쓸고 간 입체각의 절반이다. 매개변수 공간의 “자기장”이 원점에 놓인 홀극이고(축퇴점 $B=0$ 이 그 홀극이다), 그 세기가 $1/2$ 인 것이다.

의문

베리 위상이 반도체와 무슨 상관인가. 블로흐 전자의 $\mathbf{k}$ 가 그 매개변수다. $\psi_{n\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}u_{n\mathbf{k}}$ 에서 주기 함수 $u_{n\mathbf{k}}$ 는 $\mathbf{k}$ 에 매개변수로 의존하는 해밀토니안 $H(\mathbf{k})=(\mathbf{p}+\hbar\mathbf{k})^2/2m+V$ 의 고유상태이고(7.7.1), 전기장이 $\mathbf{k}$ 를 천천히 끌고 가면(다음 소절) 전자는 밴드 $n$ 을 따라가며 베리 위상을 쌓는다. 그 곡률 $\boldsymbol{\Omega}_n(\mathbf{k})$ 이 준고전 속도에 비정상 속도 $-\dot{\mathbf{k}}\times\boldsymbol\Omega_n$ 을 더하고, 그것이 비정상 홀 효과·밸리 홀 효과(2D 재료)·위상 절연체의 출발점이다. 반전 대칭과 시간 반전 대칭(5.7.9시간 반전 대칭)이 둘 다 있으면 곡률이 0이라 Si 같은 결정에서는 안 보이고, 둘 중 하나가 깨진 재료(자성체, 반전 비대칭 2D 물질)에서 나타난다. 이 백과의 범위 바깥이지만, 7.9에서 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}$ 를 볼 때 “그 식이 빠뜨린 항이 있다”는 것만 기억해 둘 것.

파라미터 — 두 극단과 란다우–제너

단열의 반대 극단은 급변 근사(sudden approximation, Sakurai §5.6)다. $H$ 가 내부 시간 $\hbar/\Delta E$ 보다 훨씬 빨리 바뀌면 상태는 미처 움직이지 못한다 — $\Psi$ 는 그대로이고 기저만 바뀐다. 그러면 옛 고유상태를 새 고유상태로 펼친 계수가 전이 확률이다. 삼중수소의 $\beta$ 붕괴에서 핵전하가 $Z=1\to2$ 로 순간에 바뀌면, $1s$ 전자가 $\text{He}^+$ 의 $1s$ 에 남을 확률은 두 $1s$ 파동함수의 겹침 제곱 $\lvert\langle1s_{Z=2}\lvert1s_{Z=1}\rangle\rvert^2=0.70$ 이고 나머지 30 %는 들뜬 상태·연속체로 간다. 양자 우물의 게이트 전압을 계단으로 바꿀 때, 광전자 방출에서 정공이 순간에 생길 때 같은 논리를 쓴다.

두 극한 사이를 정확히 이어 주는 문제가 하나 있다. 두 준위의 비단열 에너지(diabatic energy — 결합을 무시한 준위)가 시간에 대해 직선으로 엇갈려 지나가고, 결합 $\Delta/2$ 가 둘을 섞는다:

H(t)=\begin{pmatrix}\alpha t/2 & \Delta/2\\ \Delta/2 & -\alpha t/2\end{pmatrix}, \qquad E_\pm(t)=\pm\frac12\sqrt{\alpha^2t^2+\Delta^2}

순간 고유값 $E_\pm$ 은 서로 만나지 않고 $t=0$ 에서 최소 간격 $\Delta$ 를 두고 비켜 간다 — 회피 교차(avoided crossing)다. 이것은 5.8.2의 축퇴 섭동론(5.8.2시간 무관 섭동론 — 축퇴)이 두 축퇴 준위를 $2\lvert H'_{12}\rvert$ 만큼 벌려 놓는 그림을 시간축 위에 펼친 것이다. $t=-\infty$ 에 아래쪽 순간 고유상태에서 출발한 계가 $t=+\infty$ 에 위쪽 순간 고유상태에 있을 확률(즉 간격을 뛰어넘어 비단열 직선을 그대로 따라갈 확률)은 정확히 풀려서

\boxed{\;P_{\text{LZ}}=\exp\!\left(-\frac{\pi\Delta^2}{2\hbar\alpha}\right)\;}

란다우–제너 공식(Landau–Zener, 1932)이다. $\alpha=\lvert d(E_1-E_2)/dt\rvert$ 는 비단열 준위가 엇갈리는 속도다.

그림 5.9-5. 회피 교차와 란다우–제너 전이. 점선은 결합을 무시한 비단열 준위(직선으로 교차), 실선은 순간 고유값 E± = ±½√(α²t² + Δ²)로 최소 간격 Δ를 두고 비켜 간다. 아래 준위에서 출발한 계는 천천히 지나면(αħ ≪ Δ²) 실선을 따라 반대쪽 비단열 상태로 옮겨 가고, 빨리 지나면(αħ ≫ Δ²) 점선을 그대로 따라 간격을 뛰어넘는다. 뛰어넘을 확률 exp(−πΔ²/2ħα)의 지수가 정확히 단열 조건의 파라미터다.직접 작도

직관

파라미터 연계성. 지수 $\Delta^2/(\hbar\alpha)$ 는 단열 조건 $\hbar\lvert\dot H\rvert/ (\Delta E)^2\ll1$ 의 역수다 — 간격 $\Delta$ 가 크거나 속도 $\alpha$ 가 작으면 $P_{\text{LZ}}\to0$ (단열, 실선을 따라간다), 반대면 $P_{\text{LZ}}\to1$ (급변, 점선을 따라간다). 두 극한이 한 지수함수 안에 있다.

제너 터널링이 이것이다. 전기장 $F$ 아래의 블로흐 전자는 $\hbar\dot k=qF$ 로 $\mathbf{k}$ 가 끌려가고(7.9.2), 영역 경계에서 가전자대와 전도대가 갭 $E_g$ 를 두고 회피 교차한다. 단열이면 전자는 가전자대에 남아 블로흐 진동을 하고, 갭을 뛰어넘으면 전도대로 간다 — 제너 터널링(7.9.10·11.7.6)이다. 비단열 준위의 엇갈림 속도가 $\alpha\sim qF\cdot v$ ( $v$ 는 밴드 속도)이므로 $P\sim\exp(-\text{const}\cdot E_g^2/\hbar qFv)$ 이고, 밴드 곡률까지 넣으면 제너의 $\exp(-\pi m^{*1/2}E_g^{3/2}/2\sqrt2\,q\hbar F)$ 가 된다. 갭이 클수록·전기장이 약할수록 지수적으로 안 넘어간다. 터널 FET(14.11.2)와 제너 다이오드가 이 지수 위에 서 있고, 그 지수의 형태가 WKB 터널링(5.8.9WKB로 본 터널링)과 같은 꼴인 것은 우연이 아니다 — 같은 회피 교차를 시간이 아니라 공간에서 본 것이다.

분자와 고체의 보른–오펜하이머 근사도 단열 정리다. 핵은 전자보다 $10^3\sim10^5$ 배 무거워 느리므로 전자는 매 순간 핵 배치에 대한 고유상태를 따라가고, 전자 에너지 $E_n(\mathbf{R})$ 가 핵의 퍼텐셜 에너지 곡면이 된다(5.8.6변분법의 응용(헬륨·수소 분자 이온)). 그것이 8부의 결합 곡선·포논 계산의 전제이고, 근사가 깨지는 곳(전자 준위의 회피 교차 = 원뿔 교차)이 광화학과 비복사 재결합의 무대다.

산란 단면적과 산란 진폭

고전 산란 — 충돌 매개변수가 각도를 정한다

뒤 반쪽으로 넘어간다. 해밀토니안은 정지해 있고, 입자가 국소적인 퍼텐셜 $V(\mathbf{r})$ 을 향해 날아온다. 묻는 것은 “어느 각도로 얼마나 튀어 나가는가”다. 고전역학에서 먼저 답을 세운다.

에너지 $E$ 의 입자가 표적의 중심축에서 거리 $b$ (충돌 매개변수)만큼 비켜 날아오면 어느 각도 $\theta$ 로 휘어 나간다. $b$ 가 정해지면 $\theta$ 가 정해진다: $\theta=\theta(b)$ . 축 둘레의 고리 $b\sim b+db$ , 방위각 $\phi\sim\phi+d\phi$ 로 들어온 입자는 입체각 $d\Omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ 로 나간다. 고리의 넓이를 $d\sigma=b\,db\,d\phi$ 라 하면

D(\theta)\equiv\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\theta}\left\lvert\frac{db}{d\theta}\right\rvert

이것이 미분 산란 단면적이다(Griffiths 표기 $D$ ; 대부분의 문헌은 그냥 $d\sigma/d\Omega$ 라 쓴다). 넓이의 차원을 가진다 — ” $d\Omega$ 방향으로 튀어 나가려면 표적의 이만한 넓이에 맞아야 한다”는 뜻이다. 다 더한 $\sigma=\int D\,d\Omega$ 가 총 단면적, 곧 “어디로든 튀어 나가게 만드는 표적의 유효 넓이”다. 단위 넓이·단위 시간당 $\mathcal{L}$ 개의 입자가 들어오면(광도) $d\Omega$ 로 나가는 수는 $dN=\mathcal{L}\,D\,d\Omega$ 이고, 이것이 실험이 $D$ 를 재는 방식이다.

그림 5.9-6. 산란 단면적의 정의. 왼쪽(고전): 충돌 매개변수 b 와 b + db 사이의 고리 넓이 dσ = b db dφ 로 들어온 입자는 입체각 dΩ = sinθ dθ dφ 로 나간다. 두 넓이의 비 dσ/dΩ 가 미분 단면적이다. 단단한 공(반지름 R)에서는 b = R cos(θ/2) 라 dσ/dΩ = R²/4 로 등방이고 총 단면적은 기하 넓이 πR² 이다. 오른쪽(양자): 입사 평면파 e^{ikz} 에 나가는 구면파 f(θ)e^{ikr}/r 이 더해지고, 반지름 r 인 구면의 dΩ 조각을 지나는 흐름의 비가 dσ/dΩ = |f|² 이다.직접 작도

두 예가 이 장 끝까지 따라온다.

단단한 공 (반지름 $R$ ): 입사 방향과 표면 법선의 각을 $\alpha$ 라 하면 $b=R\sin\alpha$ , $\theta=\pi-2\alpha$ 이므로 $b=R\cos(\theta/2)$ . 따라서 $D=\frac{R\cos(\theta/2)}{\sin\theta} \cdot\frac{R}{2}\sin(\theta/2)=\frac{R^2}{4}$ — 등방이고, $\sigma=4\pi\cdot R^2/4=\pi R^2$ 로 기하학적 단면이다. 당연한 답이 나왔으니 정의가 맞다.
러더퍼드 산란 (쿨롱 퍼텐셜 $V=\beta/r$ , $\beta=q_1q_2/4\pi\epsilon_0$ ): 쌍곡선 궤도를 풀면(3.1.9중심력 문제) $b=\frac{\beta}{2E}\cot\frac{\theta}{2}$ 이고,

D(\theta)=\left[\frac{\beta}{4E\sin^2(\theta/2)}\right]^2 =\left[\frac{q_1q_2}{16\pi\epsilon_0E\sin^2(\theta/2)}\right]^2

총 단면적은 발산한다 — $\theta\to0$ 에서 $\sin^{-4}$ 이라서. 쿨롱 힘은 아무리 멀리서도 0이 아니므로 아무리 큰 $b$ 로 지나가도 조금은 휘고, 그 조금 휜 입자까지 다 세면 무한이다. 이온화 불순물 산란(11.2.2)이 정확히 이 문제이고, 9절에서 차폐가 발산을 잘라 준다.

양자 산란 — 나가는 구면파의 진폭

양자역학에서는 궤도가 없다. 대신 정상 산란 상태를 푼다. 퍼텐셜에서 멀리 떨어진 곳 ( $V\to0$ )에서 시간 무관 슈뢰딩거 방정식의 해는 입사 평면파와 나가는 구면파의 합이어야 한다:

\boxed{\;\psi(r,\theta)\;\longrightarrow\;A\left\{e^{ikz}+f(\theta)\,\frac{e^{ikr}}{r}\right\}, \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\;}

$f(\theta)$ 가 산란 진폭이다(구 대칭 퍼텐셜이면 $\phi$ 에 무관). 길이의 차원을 가진다. $e^{ikr}/r$ 이 나가는 구면파인 것은 헬름홀츠 방정식의 자유공간 해(1.8.6자유공간 그린 함수와 헬름홀츠 방정식; $k+i0^+$ 로 고른 쪽)이고, $1/r$ 은 구면을 지나는 흐름 $\propto r^2\cdot(1/r)^2$ 이 $r$ 에 무관하기 위해서다(3.2.7평면파·구면파·원통파).

$f$ 와 $D$ 의 관계는 확률 흐름(5.2.3규격화와 확률 흐름)으로 잇는다. 입사파의 흐름은 $j_{\text{inc}}=\lvert A\rvert^2\hbar k/m=\lvert A\rvert^2v$ 이고, 산란파의 흐름은 지름 방향으로 $j_{\text{sc}}=\lvert A\rvert^2v\lvert f\rvert^2/r^2$ 이다(서로 간섭하는 항은 $\theta=0$ 근처를 빼면 $r\to\infty$ 에서 평균되어 사라진다). 반지름 $r$ 인 구면의 조각 $r^2d\Omega$ 를 단위 시간에 지나는 확률은 $j_{\text{sc}}r^2d\Omega=\lvert A\rvert^2v\lvert f\rvert^2d\Omega$ 이고, 이것이 입사 흐름 $\lvert A\rvert^2v$ 에 넓이 $d\sigma$ 를 곱한 것과 같아야 하므로

\boxed{\;D(\theta)=\frac{d\sigma}{d\Omega}=\lvert f(\theta)\rvert^2\;}

산란 문제는 $f(\theta)$ 를 구하는 문제로 줄었다. 8절은 $f$ 를 각운동량으로 분해해서 (부분파), 9절은 섭동론으로(보른) 구한다.

직관

물리적 직관 — 단면적은 표적의 넓이가 아니라 상호작용의 세기다. 고전 단단한 공에서는 $\sigma=\pi R^2$ 으로 넓이 그 자체였다. 양자에서는 다르다 — 8절에서 같은 공이 저에너지에서 $4\pi R^2$ 으로 네 배가 되고, 10절에서 공명이 걸리면 $\lambda^2$ 크기까지 부풀며, 쿨롱은 무한이다. 파동은 표적을 “돌아서” 느끼고, 파장이 표적보다 길면 파장이 넓이를 정한다. 반도체 쪽에서 SRH 포획 단면적 $\sigma_n$ 이 $10^{-15}$ cm²(원자 넓이)에서 $10^{-21}$ cm²(척력 중심)까지 6자리를 오가는 것이 이 때문이다 — 그 값은 트랩의 기하가 아니라 트랩 주위 퍼텐셜의 부호와 모양이다.

파라미터 연계성 — $\sigma$ 가 $\tau$ 와 $\ell$ 을 준다. 밀도 $N$ 의 산란 중심 사이를 속도 $v$ 로 움직이는 입자는 단위 시간에 $Nv\sigma$ 번 튀고, 평균 자유 행정은 $\ell=1/N\sigma$ 다(3.8.8기체 운동론과 평균 자유 행정). 그러니

\frac{1}{\tau}=N\,v\,\sigma, \qquad \frac{1}{\tau_m}=N\,v\,\sigma_{\text{tr}}, \qquad \sigma_{\text{tr}}\equiv\int(1-\cos\theta)\,\lvert f\rvert^2\,d\Omega

$\sigma_{\text{tr}}$ 이 수송 단면적이다. 이동도에 들어가는 것은 총 단면적이 아니라 이쪽이다 — 앞으로 조금 휘는 산란은 운동량을 거의 안 빼앗으므로 $(1-\cos\theta)$ 로 깎아 센다. 5절의 $1/\tau_m=\sum S(1-\cos\theta)$ 와 같은 가중치다. 러더퍼드처럼 앞쪽에 몰린 산란에서는 $\sigma$ 는 발산해도 $\sigma_{\text{tr}}$ 은 로그 발산에 그치고, 차폐를 넣으면 유한하다(9절).

주의

질량과 좌표계. 위의 $m$ 은 표적이 무한히 무거울 때 입사 입자의 질량이고, 표적이 움직일 수 있으면 환산질량 $m_1m_2/(m_1+m_2)$ 이며 각도는 질량중심 좌표계의 각도다 (3.1.4운동량과 충돌). 전자가 불순물에 튀는 문제에서는 표적이 무한히 무거워 $m$ 이 그냥 전자의 (유효)질량이고 실험실계와 질량중심계가 같다. 전자–전자 산란(7.10.8)에서는 환산질량 $m^*/2$ 이고 두 좌표계가 갈린다.

$A$ 의 규격화. 산란 상태는 규격화가 안 된다 — 평면파가 온 공간에 퍼져 있어서. 결과가 전부 $\lvert f\rvert^2$ 같은 비로 나오므로 $A$ 는 어디에도 남지 않는다. 9절에서 5절의 상자 규격화로 같은 답을 다시 얻을 때 이 점이 드러난다.

부분파 해석과 위상 이동

각운동량으로 쪼갠다

퍼텐셜이 구 대칭이면 각운동량이 보존되므로(5.7.5회전 대칭과 각운동량) 산란도 각운동량 $\ell$ 마다 따로 일어난다. 이것이 부분파 해석(partial wave analysis)이다. 구면좌표에서 변수를 분리하면(5.5.1구면좌표계의 슈뢰딩거 방정식과 변수분리) $\psi=R(r)Y_\ell^m(\theta,\phi)$ 이고 $u=rR$ 은 지름 방정식

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2}+\left[V(r)+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u=Eu

를 만족한다(5.5.4지름 방정식과 유효 퍼텐셜). 퍼텐셜 바깥( $V=0$ )에서는 원심 항만 남고, 해는 구면 베셀 함수(1.5.8베셀 함수(제1·2종·수정·구면)) $j_\ell(kr)$ , $n_\ell(kr)$ 이다. 산란파는 나가는 파여야 하므로 그 조합 중 $e^{ikr}$ 로 가는 구면 한켈 함수

h_\ell^{(1)}(x)=j_\ell(x)+i\,n_\ell(x)\;\xrightarrow{\;x\to\infty\;}\;(-i)^{\ell+1}\frac{e^{ix}}{x}

를 고른다. 퍼텐셜 바깥의 파동함수는 그러면

\psi=A\left\{e^{ikz}+\sum_{\ell}C_\ell\,h_\ell^{(1)}(kr)\,P_\ell(\cos\theta)\right\}

이다( $\phi$ 대칭이라 $m=0$ 뿐이고 $Y_\ell^0\propto P_\ell$ ). Griffiths는 상수를 $C_\ell=k\,i^{\ell+1}(2\ell+1)\,a_\ell$ 로 골라 $r\to\infty$ 에서 $h_\ell^{(1)}$ 의 점근형을 넣으면 정확히 $f(\theta)e^{ikr}/r$ 꼴이 되게 한다:

f(\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)\,a_\ell\,P_\ell(\cos\theta)

$a_\ell$ 이 $\ell$ 번째 부분파 진폭이다(길이 차원). 르장드르 다항식의 직교성 $\int P_\ell P_{\ell'}d\Omega=\frac{4\pi}{2\ell+1}\delta_{\ell\ell'}$ (1.5.6르장드르 방정식과 르장드르 다항식) 으로 총 단면적은 교차항 없이

\sigma=\int\lvert f\rvert^2d\Omega=4\pi\sum_{\ell}(2\ell+1)\,\lvert a_\ell\rvert^2

각 $\ell$ 이 따로 기여한다 — 각운동량 보존이 단면적의 덧셈으로 나타난 것이다.

입사파 $e^{ikz}$ 도 같은 언어로 써야 경계 조건을 맞출 수 있다. 레일리 공식 (5.5.63차원 우물과 구면 베셀 함수)

e^{ikz}=\sum_{\ell}i^{\ell}(2\ell+1)\,j_\ell(kr)\,P_\ell(\cos\theta)

를 쓰면 퍼텐셜 바깥의 전체 파동함수는

\psi=A\sum_{\ell}i^{\ell}(2\ell+1)\left[j_\ell(kr)+ik\,a_\ell\,h_\ell^{(1)}(kr)\right]P_\ell(\cos\theta)

이고, 퍼텐셜 안쪽의 해와 경계에서 $u$ 와 $u'$ 을 맞추면 $a_\ell$ 이 정해진다.

단단한 공 $V=\infty$ ( $r<R$ ) 로 해 보자. $r=R$ 에서 $\psi=0$ 이므로 각 $\ell$ 마다 $j_\ell(kR)+ika_\ell h_\ell^{(1)}(kR)=0$ , 곧 $a_\ell=\frac{i}{k}\frac{j_\ell(kR)}{h_\ell^{(1)}(kR)}$ . 저에너지 $kR\ll1$ 에서는 $\ell=0$ 만 남고 $j_0(x)=\sin x/x$ , $h_0^{(1)}(x)=-ie^{ix}/x$ 이므로 $a_0=-\frac1ke^{-ikR}\sin kR\approx-R$ 이고

\sigma\;\xrightarrow{\;kR\to0\;}\;4\pi R^2

고전값 $\pi R^2$ 의 네 배다. 파장이 공보다 훨씬 길면 파는 공을 “앞면”만이 아니라 표면 전체로 느낀다 — $4\pi R^2$ 은 공의 겉넓이다. 반대 극한 $kR\gg1$ 에서는 $\sigma\to2\pi R^2$ 로 여전히 고전값의 두 배인데, 그 여분의 $\pi R^2$ 은 뒤에서 본다.

위상 이동 — 퍼텐셜이 할 수 있는 일은 위상을 미는 것뿐이다

$a_\ell$ 은 복소수인데, 실은 실수 하나로 정해진다. 탄성 산란에서는 각 $\ell$ 채널마다 들어온 흐름과 나간 흐름이 같아야 한다(입자가 사라지지 않으므로). 자유 입자의 $\ell$ 번째 부분파 $j_\ell=\frac12[h_\ell^{(1)}+h_\ell^{(2)}]$ 는 나가는 파( $h^{(1)}$ )와 들어오는 파 ( $h^{(2)}$ )의 반반 합이고, 퍼텐셜은 들어오는 파는 건드릴 수 없다(그것은 무한히 먼 곳에서 정해진 입사 조건이다). 할 수 있는 일은 나가는 파에 위상을 곱하는 것뿐이다:

j_\ell+ika_\ell h_\ell^{(1)}=\frac12\left[h_\ell^{(2)}+e^{2i\delta_\ell}\,h_\ell^{(1)}\right] \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;a_\ell=\frac{1}{k}\,e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell\;}

$\delta_\ell$ 이 위상 이동(phase shift)이다. 멀리서 본 지름 파동함수로 말하면, 자유 입자는 $u_\ell\propto\sin(kr-\ell\pi/2)$ 이고 퍼텐셜이 있으면 $u_\ell\propto\sin(kr-\ell\pi/2+\delta_\ell)$ — 파형은 같고 위치만 밀린다. 이것을 넣으면

\boxed{\;f(\theta)=\frac1k\sum_{\ell}(2\ell+1)\,e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell\,P_\ell(\cos\theta), \qquad \sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell}(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell\;}

복소 진폭 $a_\ell$ 무한 개가 실수 $\delta_\ell$ 무한 개로 줄었고, 그것도 $kR$ 보다 큰 $\ell$ 은 거의 0이라 실제로는 몇 개면 된다. Sakurai는 $e^{2i\delta_\ell}\equiv S_\ell(k)$ 를 $S$ 행렬 원소라 부른다 — 들어오는 파 하나를 나가는 파 하나로 보내는 계수이고, 흐름 보존이 $\lvert S_\ell\rvert=1$ (유니터리성)이다.

그림 5.9-7. s파(ℓ = 0) 지름 파동함수 u₀(r)의 위상 이동. 가운데(회색)는 자유 입자 sin(kr). 인력 우물(안쪽 색칠 구간)에서는 운동 에너지가 커져 파장이 짧아지므로 바깥 파형이 안쪽으로 당겨져 sin(kr + δ₀), δ₀ > 0 이 된다. 척력 장벽에서는 파장이 길어져 바깥 파형이 밀려나고 δ₀ < 0 이다. 퍼텐셜 바깥에서 세 곡선은 모양이 같고 위치만 다르다 — 그 밀린 거리 δ₀/k 가 산란의 전부다.직접 작도

직관

물리적 직관 — 인력은 당기고 척력은 민다. 우물 안에서는 $E-V$ 가 커 국소 파수 $\sqrt{2m(E-V)}/\hbar$ 가 크고 파장이 짧다. 그래서 우물을 빠져나올 때 자유 입자보다 위상이 앞서 있고, 바깥 파형이 안쪽으로 당겨진 것처럼 보인다 — $\delta_\ell>0$ . 장벽은 반대다. 단단한 공의 $\delta_0=-kR$ 은 “파형이 공의 반지름만큼 밀려났다”는 말 그대로다. 위상 이동의 부호가 퍼텐셜의 부호이고, 크기가 퍼텐셜의 세기 $\times$ 범위다. 얕은 우물이면 $\delta_0\propto V_0R^3k$ 로 작고(9절 보른 근사와 일치), 우물이 깊어져 속박 상태를 하나 가질 만해지면 $\delta_0$ 가 $\pi/2$ 를 지나 단면적이 최대 $4\pi/k^2$ 에 닿는다(10절).

형태적 직관 — 단면적은 $\sin^2\delta_\ell$ 로 갇혀 있다. $\ell$ 채널의 단면적은 $\sigma_\ell=\frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell\le\frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1)$ 이다. 아무리 센 퍼텐셜도 이 유니터리 한계를 못 넘는다 — 나가는 흐름이 들어온 흐름보다 클 수 없으니. 저에너지 s파의 한계 $4\pi/k^2=\lambda^2/\pi$ 는 파장의 제곱 크기이고, 표적의 크기와 무관하다. 공명(10절)이 이 한계에 닿는 순간이다.

몇 개의 부분파가 필요한가 — 준고전 셈

각운동량 $\hbar\ell$ 을 가진 입자는 고전적으로 충돌 매개변수 $b=\ell/k$ 로 지나간다 ( $L=pb=\hbar kb$ ). 퍼텐셜의 범위가 $R$ 이면 $b>R$ 인 입자는 퍼텐셜을 못 느끼므로 $\ell\lesssim kR$ 인 부분파만 산란된다. 저에너지( $kR\ll1$ )에서는 $\ell=0$ 만, 곧 s파 산란이고 $D(\theta)$ 는 등방이다. 에너지가 오르면 p파( $\ell=1$ )가 들어와 $\cos\theta$ 항이 생기고, 앞뒤 비대칭이 시작된다. 각 분포의 모양에서 참여한 $\ell$ 의 최댓값을 읽을 수 있고, 그것이 $kR$ 이니 각 분포가 퍼텐셜의 범위를 잰다.

고에너지 극한에서 단단한 공은 $\ell<kR$ 인 채널이 전부 $\sin^2\delta_\ell$ 의 평균 $1/2$ 로 기여해 $\sigma\approx\frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell<kR}(2\ell+1)\cdot\frac12\approx2\pi R^2$ 이 된다. 고전값 $\pi R^2$ 의 두 배인 이유는 그림자다 — 공 뒤의 어두운 영역은 입사 평면파와 정확히 반대 위상인 산란파가 만들고, 그 “그림자를 만드는 파”도 앞쪽으로 좁게 나가는 산란파로 세어진다. 파장이 짧아질수록 그 회절 봉우리가 $\theta\sim1/kR$ 로 좁아져 실험에서 구분하기 어려워질 뿐 넓이는 $\pi R^2$ 그대로 남는다(3.6.4원형 개구와 에어리 원판; 에어리 원판과 같은 물리다).

광학 정리 — 앞쪽 진폭이 전체를 안다

$f(0)=\frac1k\sum(2\ell+1)e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell$ ( $P_\ell(1)=1$ )의 허수부를 취하면 $\operatorname{Im}f(0)=\frac1k\sum(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell$ 이고, 이것은 $\sigma$ 와 같은 합이다:

\boxed{\;\sigma=\frac{4\pi}{k}\,\operatorname{Im}f(0)\;}

광학 정리(optical theorem)다. 앞쪽( $\theta=0$ )으로 나가는 산란파는 입사파와 겹쳐 간섭하고, 그 간섭이 앞쪽 흐름을 줄인다 — 줄어든 만큼이 다른 모든 방향으로 산란된 총량이다. 확률 보존의 다른 표현이고, 부분파 없이도 흐름 보존으로 직접 증명된다. 실용적으로는 $f(0)$ 이 실수인 근사(9절의 1차 보른)는 광학 정리를 만족하지 못한다는 경고다 — 보른 근사의 $\sigma$ 는 2차에서야 $\operatorname{Im}f(0)$ 과 맞는다.

의문

위상 이동이 반도체에서 재는 양인가. 직접은 아니지만 프리델 합 규칙이 그것을 쓴다. 금속·축퇴 반도체에 불순물 하나를 넣으면 전도 전자가 몰려와 차폐하는데(1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결; 7.10.3), 몰려온 전자의 수는 페르미 파수에서의 위상 이동으로

\Delta N=\frac{2}{\pi}\sum_{\ell}(2\ell+1)\,\delta_\ell(k_F)

이다(2는 스핀). 위상 이동이 $\delta_\ell/\pi$ 만큼 “상태를 안으로 끌어들였다”는 뜻이고 — 지름 파동함수의 마디가 $\delta_\ell/\pi$ 개 안쪽으로 들어왔으니 페르미 준위 아래에 상태가 그만큼 더 생긴 것이다 — 완전히 차폐되려면 $\Delta N$ 이 불순물의 여분 전하와 같아야 한다. 이 조건은 토머스–페르미 차폐 길이(7.10.4)가 못 잡는 프리델 진동(차폐 전하가 $\cos(2k_Fr)/r^3$ 으로 진동하며 감쇠하는 것)의 근거이고, 그 진동이 RKKY 상호작용과 중도핑 반도체의 불순물 밴드 물리로 이어진다.

보른 근사

슈뢰딩거 방정식을 적분 방정식으로

8절은 퍼텐셜이 구 대칭이고 안쪽 해를 구할 수 있을 때의 방법이었다. 퍼텐셜이 약하면 모양에 관계없이 쓸 수 있는 방법이 있다. 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을

(\nabla^2+k^2)\,\psi=Q, \qquad Q\equiv\frac{2m}{\hbar^2}\,V\psi

로 쓰면 좌변은 헬름홀츠 연산자이고 우변은 “원천항”이다 — 원천이 미지함수 $\psi$ 를 담고 있다는 점만 빼면 1.8의 비제차 문제다. 헬름홀츠 방정식의 자유공간 그린 함수(1.8.6자유공간 그린 함수와 헬름홀츠 방정식) 는 나가는 파 조건으로 $G(\mathbf{r})=-\frac{e^{ikr}}{4\pi r}$ 이므로, 겹침 원리로

\boxed{\;\psi(\mathbf{r})=\psi_0(\mathbf{r})-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int \frac{e^{ik\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert}}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert}\, V(\mathbf{r}_0)\,\psi(\mathbf{r}_0)\,d^3r_0\;}

$\psi_0=Ae^{ikz}$ 는 동차 해, 곧 입사파다. 이것이 슈뢰딩거 방정식의 적분 형식 (리프만–슈윙거 방정식)이다. 근사는 아직 없다 — $\psi$ 가 양변에 있어 풀리지 않았을 뿐이다. 읽는 법은 1.8과 같다: 각 점 $\mathbf{r}_0$ 의 퍼텐셜이 그 자리의 파동함수에 비례하는 세기로 구면파를 내보내고, 전체 파동함수는 입사파에 그 구면파들을 다 더한 것이다. 호이겐스 원리(3.6.1회절의 기초와 하위헌스-프레넬 원리)의 양자판이다.

관측점이 멀면( $r\gg r_0$ ) $\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert\approx r-\hat r\cdot\mathbf{r}_0$ 이고, 분모는 $r$ 로, 지수의 위상은 $kr-\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}_0$ 으로 놓을 수 있다 ( $\mathbf{k}'\equiv k\hat r$ : 산란 방향의 파수벡터). 그러면 적분 밖으로 $e^{ikr}/r$ 이 나오고, 7절의 점근형과 비교해

f(\theta,\phi)=-\frac{m}{2\pi\hbar^2A}\int e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}_0}\,V(\mathbf{r}_0)\,\psi(\mathbf{r}_0)\,d^3r_0

역시 정확한 식이다 — 퍼텐셜 안의 $\psi$ 를 알면 $f$ 는 적분 하나다.

1차 보른 근사 — 산란 진폭은 퍼텐셜의 푸리에 변환이다

퍼텐셜이 약해서 퍼텐셜 안에서도 파동함수가 입사파와 크게 다르지 않다면 $\psi(\mathbf{r}_0)\approx\psi_0(\mathbf{r}_0)=Ae^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_0}$ ( $\mathbf{k}\equiv k\hat z$ : 입사 파수벡터)로 바꿔 넣을 수 있다:

\boxed{\;f(\theta,\phi)\approx-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{i\boldsymbol{\kappa}\cdot\mathbf{r}}\,V(\mathbf{r})\,d^3r, \qquad \boldsymbol{\kappa}\equiv\mathbf{k}-\mathbf{k}'\;}

1차 보른 근사(first Born approximation)다. 산란 진폭이 퍼텐셜의 푸리에 변환 (1.10.4푸리에 변환의 성질)을 운동량 전달 $\hbar\boldsymbol\kappa$ 에서 본 값이다. 탄성 산란이라 $\lvert\mathbf{k}\rvert=\lvert\mathbf{k}'\rvert=k$ 이고 $\kappa=2k\sin(\theta/2)$ — 각도가 곧 운동량 전달이다.

주의

벡터 이름이 교재마다 반대다. Griffiths §10.4는 $\mathbf{k}'\equiv k\hat z$ 를 입사, $\mathbf{k}\equiv k\hat r$ 을 산란 방향으로 쓴다 — 이 장(그리고 Sakurai, 그리고 7.12·11.2의 $S(\mathbf{k},\mathbf{k}')$ )과 정반대다. 두 책 모두 $\boldsymbol\kappa$ 는 “입사 빼기 산란”이라 결과식은 같지만, 유도를 따라갈 때 프라임의 뜻을 먼저 확인할 것.

$\mu$ 가 두 개다. 아래에서 차폐 길이의 역수를 $\mu$ 로 쓴다(Griffiths의 유카와 퍼텐셜 표기). 이동도 $\mu$ 와 글자가 같다 — 이 절 안에서 $\mu$ 는 언제나 역 차폐 길이(단위 1/m) 이고, 이동도는 이름으로만 부른다. 7.10·11.2에서는 차폐 길이를 $\lambda_D$ 나 $L_D$ 로 쓰므로 거기서는 $\mu\to1/\lambda_D$ 로 읽는다.

구 대칭 퍼텐셜에서는 $\boldsymbol\kappa$ 를 극축으로 잡아 각도 적분을 하면 ( $\int_0^\pi e^{i\kappa r\cos\theta}\sin\theta\,d\theta=2\sin(\kappa r)/\kappa r$ )

f(\theta)\approx-\frac{2m}{\hbar^2\kappa}\int_0^\infty r\,V(r)\,\sin(\kappa r)\,dr

저에너지 극한 $kR\ll1$ ( $R$ 은 퍼텐셜의 범위)에서는 $\kappa R\ll1$ 이라 지수 인자가 1이 되고

f\approx-\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\mathbf{r})\,d^3r

각도에 무관한 실수다 — 8절의 s파 산란과 맞는다. 퍼텐셜의 부피 적분이 진폭이니, 퍼텐셜의 모양은 안 보이고 “총량”만 보인다. 깊이 $V_0$ , 반지름 $R$ 의 우물이면 $f=-\frac{2mV_0R^3}{3\hbar^2}$ (인력이면 $V_0<0$ )이고 $\sigma=4\pi\lvert f\rvert^2$ 이다.

차폐 쿨롱 산란 — 브룩스–헤링의 자리

이 장에서 반도체에 가장 곧장 닿는 계산이다. 유카와 퍼텐셜(차폐 쿨롱 퍼텐셜; 1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결)

V(r)=\beta\,\frac{e^{-\mu r}}{r}, \qquad \beta=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon}, \qquad \frac1\mu=\text{차폐 길이}

를 넣으면 $\int_0^\infty e^{-\mu r}\sin(\kappa r)\,dr=\frac{\kappa}{\mu^2+\kappa^2}$ 이므로

\boxed{\;f(\theta)\approx-\frac{2m\beta}{\hbar^2\left(\mu^2+\kappa^2\right)} =-\frac{2m\beta}{\hbar^2\left[\mu^2+4k^2\sin^2(\theta/2)\right]}\;}

$\mu\to0$ (차폐 없음)으로 보내면 $D=\lvert f\rvert^2=\left[\frac{2m\beta}{4\hbar^2k^2\sin^2(\theta/2)}\right]^2$ 이고, $\hbar^2k^2=2mE$ 를 넣으면 러더퍼드 공식이 정확히 나온다. 보른 근사가 쿨롱에 대해 고전역학과 정확한 양자역학 모두와 같은 $D(\theta)$ 를 주는 것은 $1/r$ 의 척도 불변성이 만든 우연이다(위상은 다르다).

차폐가 있으면 앞쪽 발산이 사라진다. $\theta\to0$ 에서 $D(0)=\left(2m\beta/\hbar^2\mu^2\right)^2$ 로 유한하고, 앞쪽 봉우리의 각폭은 $\theta\sim\mu/k$ — 차폐 길이가 길수록(도핑이 낮을수록) 봉우리가 좁고 높다.

그림 5.9-8. 차폐 쿨롱 퍼텐셜의 1차 보른 미분 단면적(θ = π 값으로 정규화, 세로축은 로그). 점선은 차폐가 없는 러더퍼드 sin⁻⁴(θ/2)로 θ → 0 에서 발산한다. 역 차폐 길이 μ 가 k 에 비해 클수록(μ/k = 1, 0.5, 0.2 순으로 아래에서 위) 앞쪽 봉우리가 낮고 넓어진다 — 봉우리 각폭이 μ/k 이고 높이가 (k/μ)⁴ 이다. 큰 각도에서는 세 곡선이 러더퍼드에 붙는다: 가까이 지나는 입자는 차폐를 못 느낀다.직접 작도

총 단면적과 수송 단면적은 $\kappa^2=2k^2(1-\cos\theta)$ 로 변수를 바꾸면 초등 적분이다:

\begin{aligned} \sigma&=\frac{4\pi}{\mu^2(\mu^2+4k^2)}\left(\frac{2m\beta}{\hbar^2}\right)^{2},\\[6pt] \sigma_{\text{tr}}&=\frac{\pi}{2k^4}\left(\frac{2m\beta}{\hbar^2}\right)^{2} \left[\ln(1+b)-\frac{b}{1+b}\right], \qquad b\equiv\frac{4k^2}{\mu^2} \end{aligned}

직관

파라미터 연계성 — 이동도의 $T^{3/2}/N_I$ . 둘째 식이 브룩스–헤링 공식의 심장이다. 11.2.3에서 이온화 불순물 산란의 운동량 완화 시간을 $1/\tau_m=N_Iv\sigma_{\text{tr}}$ 로 쓰면, $v\propto\sqrt E$ , $k^4\propto E^2$ 이므로 대괄호를 빼고는 $1/\tau_m\propto N_IE^{-3/2}$ 이고, 열평균하면 $\mu_{\text{이동도}}\propto T^{3/2}/N_I$ 다. 온도가 오르면 전자가 빨라져 불순물 곁을 덜 휘고 지나가므로 이동도가 오른다 — 격자 산란의 $T^{-3/2}$ 과 반대 부호이고, 두 기구가 마티센 법칙으로 합쳐져 이동도의 온도 곡선에 봉우리를 만든다.

대괄호 안의 $b=4k^2/\mu^2=4k^2\lambda_D^2$ 는 “파장에 비해 차폐 길이가 얼마나 긴가”다. 반도체에서 $\lambda_D=\sqrt{\epsilon k_BT/q^2n}$ 은 캐리어 농도로 정해지므로(6.7·11.4) 도핑이 이동도에 두 번 들어간다 — $N_I$ 로 한 번, 차폐 길이로 한 번. 콘웰–바이스코프 공식은 차폐 대신 “이웃 불순물까지의 거리 $N_I^{-1/3}/2$ 에서 충돌 매개변수를 자른다”는 고전적 절단으로 같은 $T^{3/2}$ 을 얻는다. 두 식이 갈리는 것은 로그 인자뿐이다.

보른 근사의 조건이 상온 Si에서 아슬아슬하다는 것도 적어 둔다. 쿨롱 산란에서 보른이 맞으려면 $\eta\equiv m\lvert\beta\rvert/\hbar^2k=\lvert\beta\rvert/\hbar v\ll1$ 이어야 하는데, $\epsilon_r=11.7$ , 상온 열속도 $v\approx2.3\times10^5$ m/s 를 넣으면 $\eta\approx0.8$ 이다. 브룩스–헤링 이동도가 저온·중도핑에서 실측과 어긋나고 여러 보정(제3체 배제, 축퇴 통계, 다중 산란)이 붙어 있는 이유가 이것이다. 공식을 쓸 때 어느 항이 근사인지 알고 쓰라는 뜻이다.

보른 근사가 성립하는 조건

$\psi\approx\psi_0$ 로 놓은 것이 근사이므로, 퍼텐셜 안에서 $\lvert\psi-\psi_0\rvert\ll\lvert\psi_0\rvert$ 이어야 한다. 원점에서 그 차이를 적분식으로 어림하면 조건은 (Sakurai §6.3)

\frac{2m}{\hbar^2}\left\lvert\int_0^\infty\frac{e^{2ikr}-1}{2ik}\,V(r)\,dr\right\rvert\ll1

두 극한에서 읽는다.

저에너지 ( $kR\ll1$ ): $\frac{e^{2ikr}-1}{2ik}\approx r$ 이라 $\frac{2m}{\hbar^2}\left\lvert\int_0^\infty rV(r)dr\right\rvert\ll1$ , 우물이면 $mV_0R^2/\hbar^2\ll1$ . 구형 우물이 속박 상태를 하나 가지는 조건이 $2mV_0R^2/\hbar^2\ge\pi^2/4$ 이므로(5.5.63차원 우물과 구면 베셀 함수), 이 조건은 **“우물이 너무 얕아 속박 상태를 못 가진다”**는 뜻이다. 속박 상태가 있을 만한 퍼텐셜에서는 저에너지 보른이 틀리고, 10절의 산란 길이 이론으로 가야 한다.
고에너지 ( $kR\gg1$ ): 진동하는 $e^{2ikr}$ 은 평균되어 $\frac{m}{\hbar^2k}\left\lvert\int_0^\infty V(r)dr\right\rvert\ll1$ , 우물이면 $mV_0R/\hbar^2k\ll1$ . 에너지가 오를수록 좋아진다. 입자가 빠르면 퍼텐셜을 지나는 동안 파동함수가 덜 변한다는 뜻이다.

쿨롱은 $\int V\,dr$ 이 로그 발산해 조건이 그대로 서지 않지만, 차폐를 넣은 뒤 고에너지 조건을 쓰면 위의 $\eta\ll1$ 이 된다.

황금률로 다시 유도하기 — 두 반쪽이 만난다

같은 식을 5절에서 얻을 수 있다. 상자 규격화 평면파 $\psi_{\mathbf{k}}=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}/\sqrt V$ 사이의 행렬 요소는

H'_{\mathbf{k}'\mathbf{k}}=\frac1V\int e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}}\,V(\mathbf{r})\,e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\,d^3r =\frac{\tilde V(\boldsymbol\kappa)}{V}, \qquad \tilde V(\boldsymbol\kappa)\equiv\int e^{i\boldsymbol\kappa\cdot\mathbf{r}}V(\mathbf{r})\,d^3r

이고, 방향 $d\Omega$ 로 가는 전이율은 황금률에 5절의 상태밀도 $\rho(E)\,d\Omega=\frac{Vmk}{(2\pi)^3\hbar^2}d\Omega$ 를 넣어

dR=\frac{2\pi}{\hbar}\,\frac{\lvert\tilde V\rvert^2}{V^2}\,\frac{Vmk}{(2\pi)^3\hbar^2}\,d\Omega

입사 흐름은 $j=\hbar k/mV$ 이므로 $D=dR/(j\,d\Omega)$ 에서 $V$ 가 지워지고

D(\theta)=\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2}\right)^{2}\lvert\tilde V(\boldsymbol\kappa)\rvert^2

1차 보른 근사와 같다. 보른 근사는 시간 의존 섭동론의 1차이고, 황금률의 델타 함수는 탄성 산란의 $\lvert\mathbf{k}'\rvert=\lvert\mathbf{k}\rvert$ 다. 7.12·11.2의 산란율 $S(\mathbf{k},\mathbf{k}')=\frac{2\pi}{\hbar}\lvert M\rvert^2\delta(E'-E)$ 가 곧 보른 근사이고, 그 $M$ 이 퍼텐셜의 푸리에 변환이다. 이온화 불순물이면 $\tilde V=4\pi\beta/(\mu^2+\kappa^2)$ , 음향 포논이면 변형 퍼텐셜 $\times$ 포논 진폭의 푸리에 성분, 합금 산란이면 조성 요동의 푸리에 성분 — 전부 이 한 줄이다.

직관

수학적 직관 — 산란 무늬는 산란체의 푸리에 변환이다. 1차 보른의 $f\propto\tilde V(\boldsymbol\kappa)$ 는 프라운호퍼 회절(3.6.2프라운호퍼 회절)의 “회절 무늬는 개구의 푸리에 변환”과 같은 식이고, X선 회절(7.2.5)의 “산란 진폭은 전자 밀도의 푸리에 변환 = 구조 인자”와도 같은 식이다. 세 문제가 같은 수학인 것은 셋 다 약한 산란체의 1차 겹침이기 때문이다. 그래서 회절의 직관이 그대로 옮겨진다: 범위 $R$ 의 퍼텐셜은 $\kappa\lesssim1/R$ , 곧 $\theta\lesssim1/kR$ 안에만 산란한다(크기와 각폭은 역수). 차폐 쿨롱의 앞쪽 봉우리 폭 $\mu/k$ 가 그것이고, 큰 운동량 전달일수록 퍼텐셜의 짧은 거리 구조를 본다 — 러더퍼드가 핵을 발견한 논리이고, 7.2에서 회절이 격자 상수를 재는 논리다.

보른 급수. $\psi_0$ 대신 1차 해 $\psi_0+gV\psi_0$ 를 다시 넣으면 2차, 또 넣으면 3차 — $\psi=\psi_0+gV\psi_0+gVgV\psi_0+\cdots$ 이 보른 급수다( $g$ 는 그린 함수 적분 연산자). $n$ 차 항은 “퍼텐셜에 $n$ 번 튄 뒤 나오는 파”이고, 그림으로 그리면 파인만 도형의 원형이다. 1.8.7에서 스크린된 쿨롱 퍼텐셜을 “무한 번 되먹인 급수”로 얻은 것(1.8.7스크린된 쿨롱 퍼텐셜과의 연결)과 같은 구조다. 2차 항에서 처음으로 $f(0)$ 에 허수부가 생겨 8절의 광학 정리와 맞아 들어간다 — 1차 보른의 $\sigma$ 는 확률 보존을 $\lvert V\rvert^2$ 차수까지만 지킨다.

저에너지 산란과 공명

산란 길이 — 저에너지 산란은 숫자 하나다

$k\to0$ 이면 8절의 준고전 셈에서 $\ell=0$ 만 남는다. s파의 진폭과 단면적은

f=\frac1k\,e^{i\delta_0}\sin\delta_0, \qquad \sigma=\frac{4\pi}{k^2}\sin^2\delta_0

이고, $k\to0$ 에서 $\sigma$ 가 유한하려면 $\delta_0\propto k$ 여야 한다. 그 비례 상수를

\boxed{\;a\equiv-\lim_{k\to0}\frac{\tan\delta_0}{k}, \qquad \sigma\;\xrightarrow{\;k\to0\;}\;4\pi a^2\;}

로 정의하고 산란 길이(scattering length)라 한다. 저에너지에서 퍼텐셜에 대해 산란이 아는 것은 이 길이 하나뿐이다 — 모양도, 깊이도, 범위도 따로는 안 보이고 $a$ 로 뭉쳐 보인다. $f\to-a$ 이므로 $a>0$ 이면 척력처럼, $a<0$ 이면 인력처럼 산란한다(단면적은 부호를 못 본다). $k$ 를 조금 올리면 다음 항이 붙는다:

k\cot\delta_0=-\frac1a+\frac12\,r_e\,k^2+\cdots

유효 범위 전개(effective range expansion)다. $r_e$ 는 퍼텐셜의 범위 정도의 길이이고, 저에너지 산란 실험은 $a$ 와 $r_e$ 두 숫자를 재는 일이다.

$a$ 의 기하학적 뜻이 있다. 퍼텐셜 바깥에서 $u_0(r)\propto\sin(kr+\delta_0)$ 이고, $k\to0$ 이면

\sin(kr+\delta_0)\approx k\cos\delta_0\left(r+\frac{\tan\delta_0}{k}\right)\;\propto\;(r-a)

바깥 파동함수가 직선이 되고, 그 직선을 연장해 $r$ 축과 만나는 점이 $a$ 다. 단단한 공은 $u(R)=0$ 이라 직선이 $R$ 에서 출발하므로 $a=R$ — 8절의 $\sigma=4\pi R^2$ 과 맞는다.

그림 5.9-9. 영에너지 s파 지름 파동함수 u₀(r)와 산란 길이. 깊이 V₀, 반지름 R 인 구형 우물에서 K = √(2mV₀)/ħ 로 두면 a = R − tan(KR)/K 이다. 왼쪽(KR = 0.9): 얕은 우물 — 안쪽에서 조금 휘고 바깥 직선의 절편은 음수, |a| < R. 가운데(KR = 1.5, π/2 바로 아래): 우물이 첫 속박 상태를 막 가지려는 순간 — 바깥 직선이 거의 수평이라 절편이 −∞ 로 달아난다(영에너지 공명, σ → ∞). 오른쪽(KR = 2.0): 속박 상태 하나를 가진 우물 — 안쪽 파형이 최대를 넘어 꺾이며 바깥 직선이 아래로 향해 절편 a > R 이 양수다. 절편이 곧 산란 길이다.직접 작도

구형 우물 — 속박 상태가 생기는 순간 단면적이 터진다

깊이 $V_0$ , 반지름 $R$ 인 인력 우물로 해 보자. 안쪽에서 $u=\sin Kr$ , $K=\sqrt{2m(E+V_0)}/\hbar\to\sqrt{2mV_0}/\hbar$ ( $E\to0$ ), 바깥에서 $u\propto\sin(kr+\delta_0)$ . $r=R$ 에서 로그 도함수를 맞추면 $k\cot(kR+\delta_0)=K\cot KR$ 이고, $k\to0$ 에서 좌변은 $1/(R-a)$ 이므로

\boxed{\;a=R-\frac{\tan KR}{K}\;}

이 한 식에 세 체제가 들어 있다(그림 5.9-9).

$KR\ll1$ (얕은 우물): $\tan KR\approx KR+\frac13(KR)^3$ 이라 $a\approx-\frac13K^2R^3=-\frac{2mV_0R^3}{3\hbar^2}$ . 음수이고 $\lvert a\rvert\ll R$ 이다. 그런데 이것은 정확히 9절 저에너지 보른의 $f=-\frac{2mV_0R^3}{3\hbar^2}$ 이다(부호까지) — 보른 근사는 산란 길이 이론의 얕은 우물 극한이다.
$KR\to\pi/2$ : $\tan KR\to\infty$ 이고 $a\to-\infty$ , $\sigma\to\infty$ . $KR=\pi/2$ , 곧 $2mV_0R^2/\hbar^2=\pi^2/4$ 는 구형 우물에 첫 속박 상태가 생기는 조건 (5.5.63차원 우물과 구면 베셀 함수)이다. 속박 상태의 에너지가 $E=0$ 에 닿는 순간 영에너지 입사 입자가 그 상태와 공명해 단면적이 발산한다 — 영에너지 공명이다. 8절의 유니터리 한계 $4\pi/k^2$ 이 이때 닿는다.
$KR$ 이 $\pi/2$ 를 조금 넘음: $\tan KR$ 이 큰 음수라 $a>0$ 이고 $a\gg R$ . 우물은 이제 얕은 속박 상태를 하나 가진다. 이때 $k\cot\delta_0=-1/a$ 를 그대로 쓰면

\sigma=\frac{4\pi}{k^2}\,\frac{1}{1+\cot^2\delta_0}=\frac{4\pi}{k^2+1/a^2} =\frac{2\pi\hbar^2}{m}\,\frac{1}{E+\lvert E_B\rvert}, \qquad \lvert E_B\rvert\equiv\frac{\hbar^2}{2ma^2}

분모의 $\lvert E_B\rvert$ 가 그 얕은 속박 상태의 결합 에너지다 — 산란 단면적의 에너지 의존성이 속박 상태의 에너지를 알려 준다. 중수소의 결합 에너지(2.2 MeV)를 중성자–양성자 산란 길이에서 읽어 낸 것이 이 식이다.

직관

공간적 직관 — 복소 $k$ 평면의 극. $S_0(k)=e^{2i\delta_0}=\frac{\cot\delta_0+i}{\cot\delta_0-i}$ 에 $k\cot\delta_0=-1/a$ 를 넣으면 $S_0=\frac{-1/a+ik}{-1/a-ik}$ 로, $k=i/a$ 에서 극을 가진다. $a>0$ 이면 극이 양의 허수축 위에 있고, 그 $k$ 를 바깥 파동함수 $e^{ikr}$ 에 넣으면 $e^{-r/a}$ — 지수적으로 감쇠하는 속박 상태다. 에너지로는 $E=\hbar^2k^2/2m=-\hbar^2/2ma^2=E_B$ . 곧 $S$ 행렬의 극이 속박 상태이고, 산란 데이터(실수 $k$ 축 위의 $S$ )를 복소 평면으로 해석 접속(1.9.6테일러·로랑 급수)하면 속박 상태가 보인다. $a<0$ 이면 극이 음의 허수축에 있어 $e^{+r/\lvert a\rvert}$ 로 규격화가 안 되는 가상 상태이고, 물리적 속박 상태가 아니다 — 우물이 조금 더 깊어지면 극이 원점을 지나 위로 올라오며 진짜 속박 상태가 된다. 다음 소절의 공명은 이 극이 실수축 아래 복소 평면 안에 있는 경우다.

레빈슨 정리. 위상 이동을 $k\to0$ 까지 쫓아가면 $\delta_\ell(0)=n_\ell\pi$ 로, $\ell$ 채널의 속박 상태 개수를 $\pi$ 단위로 센다. 우물이 깊어져 속박 상태가 하나 늘 때마다 영에너지 위상 이동이 $\pi$ 씩 는다 — 그림 5.9-7의 “파형이 안으로 당겨진다”가 반 파장을 넘어 한 파장이 통째로 들어온 것이다. 8절 프리델 합 규칙의 “위상 이동 $\pi$ 당 상태 하나”가 이것이다. 불순물 준위가 밴드 아래로 갈라져 나오면(7.9.7) 그 채널의 $\delta(0)$ 이 $\pi$ 만큼 뛴다.

의문

$\delta_0=\pi$ 가 되면 어떻게 되는가. $\sin\delta_0=0$ 이라 s파 단면적이 0 이다 — 퍼텐셜이 있는데 산란이 안 된다. 우물이 충분히 깊어 안쪽에 정확히 반 파장이 더 들어가면 바깥 파형이 자유 입자와 한 파장 밀린 채 겹쳐 구분이 안 되는 것이다. 아르곤·크립톤 같은 희유기체가 약 0.7 eV 의 전자에 거의 투명한 람자우어–타운센드 효과가 이것이고, 1차원으로 옮기면 유한 우물의 투과율이 1이 되는 공명 투과(5.3.6유한 우물)이자 패브리–페로 공진기의 투과 봉우리(3.5.5다중빔 간섭과 패브리-페로)다. 파동은 “장애물이 있으면 무조건 흩어진다”가 아니라 “위상이 맞으면 통과한다”.

공명 — 준속박 상태의 폭이 수명이다

$\ell\ge1$ 이면 원심 항 $\hbar^2\ell(\ell+1)/2mr^2$ 이 인력 우물 바깥에 장벽을 만든다. 장벽 안쪽에 에너지 $E_r>0$ 의 “거의 속박된” 상태가 있으면, 입사 입자는 장벽을 뚫고 들어가 안에서 오래 머물다 다시 뚫고 나온다 — 준속박 상태(quasi-bound state)이고, 그 에너지 근처에서 일어나는 산란이 공명 산란이다. 정확히 풀 필요 없이 위상 이동의 거동만으로 모양이 정해진다. $E_r$ 근처에서 $\delta_\ell$ 이 $\pi/2$ 를 급하게 지난다:

\tan\delta_\ell\approx\frac{\Gamma/2}{E_r-E} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sigma_\ell=\frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1)\,\frac{\Gamma^2/4}{(E-E_r)^2+\Gamma^2/4}\;}

브라이트–위그너 공식(Breit–Wigner formula)이다. 단면적이 $E_r$ 을 중심으로 폭 $\Gamma$ 인 로렌츠 함수이고, 봉우리에서 유니터리 한계 $\frac{4\pi}{k^2}(2\ell+1)$ 에 닿는다. $S$ 행렬로 쓰면

S_\ell=e^{2i\delta_\ell}=\frac{E-E_r-i\Gamma/2}{E-E_r+i\Gamma/2}

로, 복소 에너지 평면의 $E=E_r-i\Gamma/2$ 에 극이 있다. 앞 소절의 속박 상태 극이 실수축(음의 에너지) 위에 있었다면, 공명은 그 극이 실수축 아래로 $\Gamma/2$ 만큼 내려온 것이다. 시간 의존성 $e^{-iEt/\hbar}$ 에 이 복소 에너지를 넣으면 $e^{-iE_rt/\hbar}e^{-\Gamma t/2\hbar}$ — 확률이 $e^{-\Gamma t/\hbar}$ 로 새어 나가는 붕괴 상태이고, 수명은

\tau=\frac{\hbar}{\Gamma}

4절의 자연 선폭과 5절의 $E+\Delta-i\Gamma/2$ 가 같은 물건임을 여기서 확인한다. 준속박 상태가 장벽을 뚫고 빠져나가는 비율이 황금률의 $R=\Gamma/\hbar$ 이고, 그 비율이 산란 봉우리의 폭이다.

그림 5.9-10. 브라이트–위그너 공명. 위: 위상 이동 δ_ℓ(E)가 공명 에너지 E_r 근처에서 π/2 를 급하게 지난다 — 오르는 폭이 Γ 이고, 기울기 dδ/dE 의 최댓값 2/Γ 가 입자가 안에 머무는 시간(위그너 지연 2ħ dδ/dE = 4ħ/Γ)이다. 아래: 단면적 σ_ℓ 은 같은 자리에서 폭 Γ 인 로렌츠 봉우리이고, 꼭대기가 유니터리 한계 4π(2ℓ+1)/k² 에 닿는다. 폭이 좁을수록 준속박 상태의 수명 ħ/Γ 가 길다.직접 작도

직관

그래프 직관 — 위상의 기울기가 머무는 시간이다. 위상 이동은 나가는 파의 위상을 미는 것이고, 파속(5.3.4자유 입자와 파속)으로 말하면 위상을 에너지로 미분한 것이 시간 지연이다: $\tau_W=2\hbar\,d\delta_\ell/dE$ (위그너 지연). 공명에서 $d\delta/dE=2/\Gamma$ 가 최대이고 $\tau_W=4\hbar/\Gamma$ — 입자가 퍼텐셜 안에 수명만큼 머물다 나온다. 그림 5.9-10의 위 패널 기울기와 아래 패널 봉우리 폭이 같은 $\Gamma$ 인 것은 그래서다.

파라미터 연계성 — 무엇이 $\Gamma$ 를 정하는가. 장벽의 투과율이다. 원심 장벽이 높을수록 ( $\ell$ 클수록, $E_r$ 낮을수록) 투과가 지수적으로 작아져 $\Gamma$ 가 좁고 수명이 길다 — WKB 터널링(5.8.9WKB로 본 터널링)의 지수가 그대로 $\Gamma$ 에 들어간다. $\alpha$ 붕괴의 가모프 이론이 이 계산이고, 반도체에서는 다음 것들이 같은 계산이다.

공진 터널링 다이오드 (12.7·20.7.8): 이중 장벽 사이 우물의 준속박 상태 $E_r$ , 두 장벽의 투과율이 각각 $\Gamma_L,\Gamma_R$ 을 주고, 투과 확률이 $T(E)=\frac{\Gamma_L\Gamma_R}{(E-E_r)^2+\Gamma^2/4}$ , $\Gamma=\Gamma_L+\Gamma_R$ — 브라이트–위그너 그대로다. 에미터의 페르미 바다가 $E_r$ 을 지나칠 때 전류가 봉우리를 이루고, 지나면 떨어지는 것이 부성 미분 저항이다. 장벽을 두껍게 하면 봉우리가 좁고 높아지되 전류는 준다 — $\Gamma$ 하나가 둘을 잇는다.
양자점의 전도도 (10부): 점의 이산 준위가 두 전극에 $\Gamma_L,\Gamma_R$ 로 결합하면 란다우어 전도도(20.7.5)가 같은 로렌츠 꼴 $G\propto\frac{\Gamma_L\Gamma_R}{(E-E_r)^2+\Gamma^2/4}$ 이다. 게이트 전압으로 $E_r$ 을 훑으면 봉우리가 줄지어 나오고, 그 폭이 $\Gamma$ 다.
밴드 안의 공명 준위: 불순물 준위가 밴드 안에 놓이면(7.9.7의 수소 유사 준위가 다른 밸리 위에 겹칠 때, 또는 질소 등전자 트랩) 속박 상태가 아니라 폭 $\Gamma$ 의 공명이 되고, 그 에너지 근처의 전자만 강하게 산란한다 — 산란율이 에너지에 대해 봉우리를 가진다.
이산 준위와 연속체의 간섭: 공명 진폭 $\frac{\Gamma/2}{E_r-E+i\Gamma/2}$ 에 배경 산란(비공명 위상)이 더해지면 로렌츠가 아니라 비대칭 파노 선형이 나온다. 나노 구조의 전도도·광흡수에서 자주 보인다.

$S$ 행렬의 극 하나 — 위치 $E_r$ 과 깊이 $\Gamma/2$ — 가 이 전부의 파라미터다.

이 장이 반도체에서 다시 나오는 곳

마지막으로 목적지를 적어 둔다. 앞 반쪽은 전부 $R=\frac{2\pi}{\hbar}\lvert H'\rvert^2\rho$ 한 줄이고, 뒤 반쪽은 전부 $f(\theta)$ 한 함수이며, 둘은 보른 근사에서 같은 것이었다.

산란율·이동도 (7.12·11.2) — 황금률 + 상태밀도(5절) + 퍼텐셜의 푸리에 변환(9절). 음향·광학 포논 산란의 온도 의존성, 이온화 불순물의 브룩스–헤링 $T^{3/2}/N_I$ , 중성 불순물의 에너지 무관 산란(저에너지 s파, 10절), 수송 단면적의 $(1-\cos\theta)$ 가중(7절).
광흡수·발광·레이저 (11.8·17.3·17.4) — 쌍극자·운동량 행렬 요소(3절), 결합 상태밀도 (5절), 상세 균형과 $B_{ab}=B_{ba}$ ·반전 분포(4절), 판 루스브뢰크–쇼클리 관계(4절), 간접 천이의 2차 섭동(1절), 직접·간접 갭의 복사 수명 $10^{-9}$ 대 $10^{-3}$ s (4절).
자기 공명·큐비트 (7.13.12) — 라비 진동과 $\pi$ · $\pi/2$ 펄스, 이조와 파워 브로드닝, 블로흐–지거트 이동(2절).
준고전 수송의 전제와 그 붕괴 (7.9·11.7·14.11) — 단열 정리가 $\hbar\dot{\mathbf{k}}=\mathbf{F}$ 를 정당화하고, 란다우–제너가 제너 터널링·TFET의 지수를 준다(6절). 베리 곡률이 빠뜨린 비정상 속도(6절)와 보른–오펜하이머의 포논 계산(8부).
차폐·프리델 진동·불순물 밴드 (7.10·11.1.8) — 위상 이동의 프리델 합 규칙(8절), 레빈슨 정리와 속박 상태 개수(10절), 차폐 길이가 이동도에 두 번 들어가는 이유(9절).
공진 터널링·양자점·NEGF (12.7·20.7) — 브라이트–위그너 폭 $\Gamma=\Gamma_L+\Gamma_R$ (10절), 폭과 수명 $\hbar/\Gamma$ , 복소 에너지 $E-i\Gamma/2$ 가 그린 함수의 극이라는 것(5·10절). 1.8의 분해능 $G=(E-H-\Sigma)^{-1}$ 에서 자체 에너지 $\Sigma$ 의 허수부가 정확히 이 $\Gamma/2$ 다.
트랩과 포획 단면적 (11.3) — SRH 포획 계수 $c_n=\sigma_nv_{\text{th}}$ 의 $\sigma_n$ 은 7절의 단면적이고, 그 값이 6자리를 오가는 것은 단면적이 기하가 아니라 퍼텐셜의 부호와 모양이기 때문(7·10절).