벡터해석

반도체 소자 안에서 우리가 알고 싶은 것은 거의 전부 장(field)이다. 어느 지점의 전위가 얼마인지, 전자가 어느 방향으로 얼마나 흐르는지, 도판트가 어떻게 분포하는지. 이 장은 그 장들을 미분하고 적분하는 언어를 세운다.

벡터해석의 결론은 두 줄로 요약된다. 하나는 미분 연산자 $\nabla$ 가 스칼라장에서 벡터장을, 벡터장에서 스칼라장과 벡터장을 만든다는 것이고, 다른 하나는 영역 안의 미분을 전부 더하면 경계의 값만 남는다는 것이다. 뒤엣것이 발산정리와 스토크스 정리이고, 맥스웰 방정식이 미분형과 적분형 두 얼굴을 갖는 이유이며, TCAD가 소자를 격자로 쪼개 풀 수 있는 근거다.

스칼라장과 벡터장

직관

장은 공간의 각 점에 값을 하나씩 붙여 놓은 것이다. 스칼라장은 지형의 고도처럼 점마다 숫자 하나, 벡터장은 점마다 바람처럼 크기와 방향을 가진 화살표 하나.

여기서 중요한 것은 장이 좌표보다 먼저 있다는 감각이다. 전기장은 우리가 $x$·$y$·$z$ 축을 어디에 놓든 그 자리에 그대로 있다. 좌표계는 그 위에 나중에 얹는 눈금일 뿐이고, 성분 $(F_x, F_y, F_z)$ 는 눈금을 바꾸면 따라 변한다. 벡터해석의 규율은 전부 여기서 나온다 — 성분이 변해도 그 조합이 뜻하는 물리량은 변하지 않아야 한다.

3차원 공간의 영역 $D$ 위에서 정의되는 두 종류의 함수를 다룬다.

$$\varphi:\ D\subset\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \qquad \mathbf{F}:\ D\subset\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$$

앞엣것을 스칼라장, 뒤엣것을 벡터장이라 한다. 직교좌표에서 벡터장은 세 개의 스칼라장으로 적힌다.

$$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F_x(\mathbf{r})\,\hat{x} + F_y(\mathbf{r})\,\hat{y} + F_z(\mathbf{r})\,\hat{z}$$

반도체에서 만나는 예를 미리 늘어놓으면 다음과 같다. 스칼라장으로는 전위 $V(\mathbf{r})$, 도판트 농도 $N_D(\mathbf{r})$, 전자·정공 농도 $n(\mathbf{r})$·$p(\mathbf{r})$, 온도 $T(\mathbf{r})$ 가 있고, 벡터장으로는 전기장 $\mathbf{E}$, 전속밀도 $\mathbf{D}$, 전류밀도 $\mathbf{J}$, 열유속 $\mathbf{q}$ 가 있다. 소자 시뮬레이션이란 결국 이 장들이 서로를 구속하는 연립 방정식을 푸는 일이다.

장의 모양을 보는 방법

스칼라장은 등위면(level surface) $\varphi(\mathbf{r}) = c$ 으로 본다. 2차원이면 등위선이고, 지형도의 등고선이 그것이다. 등위면이 촘촘한 곳은 장이 급격히 변하는 곳이다.

벡터장은 유선(field line)으로 본다. 각 점에서 그 곡선의 접선이 $\mathbf{F}$ 의 방향과 일치하도록 그린 곡선이다. 유선이 빽빽한 곳이 장이 센 곳이라는 관례는 $\nabla\cdot\mathbf{F}=0$ 인 장에서만 정확하다 — 유선이 중간에서 생기거나 사라지지 않아야 개수가 보존되기 때문이다.

벡터라는 말의 뜻

“크기와 방향을 가진 양”은 벡터의 정의로 부족하다. 정확히는 좌표축을 회전시켰을 때 성분이 위치벡터와 같은 규칙으로 변하는 양이 벡터다. 회전 행렬 $a_{ij}$ 에 대해

$$F'_i = \sum_{j} a_{ij} F_j$$

를 만족해야 한다. 이 정의가 필요한 이유는, 세 숫자를 나란히 적어 놓았다고 해서 전부 벡터는 아니기 때문이다.

주의

회전 $\nabla\times\mathbf{F}$ 는 엄밀히는 벡터가 아니라 유사벡터(pseudovector)다. 좌표계를 오른손에서 왼손으로 뒤집으면(반전, $\mathbf{r}\to-\mathbf{r}$) 진짜 벡터의 성분은 부호가 바뀌지만 유사벡터는 바뀌지 않는다. 자기장 $\mathbf{B}$ 가 그런 양이다. 지금 당장은 계산이 달라지지 않지만, 결정 대칭(4.3)과 텐서(1.13)에서 이 구분이 결정적으로 쓰인다.

벡터함수의 미분

장을 미분하기 전에, 매개변수 하나에 딸린 벡터함수 $\mathbf{v}(t)$ 의 미분을 먼저 정리해 둔다. 정의는 스칼라 함수와 똑같은 극한이고, 직교좌표에서는 성분별 미분이 된다.

$$\mathbf{v}'(t) = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{v}(t+\Delta t)-\mathbf{v}(t)}{\Delta t} = \big[v_1'(t),\ v_2'(t),\ v_3'(t)\big]$$

성분별 미분이 통하는 것은 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 가 위치에 무관하기 때문이다. 곡선좌표계에서 이 전제가 깨지면 여분의 항이 생긴다. 곱의 미분은 세 가지가 있고, 외적은 순서를 지켜야 한다.

$$(f\mathbf{v})' = f'\mathbf{v} + f\mathbf{v}', \qquad (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})' = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v} + \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}', \qquad (\mathbf{u}\times\mathbf{v})' = \mathbf{u}'\times\mathbf{v} + \mathbf{u}\times\mathbf{v}'$$

여기서 이 장 전체에서 되풀이해 쓸 보조정리 하나가 곧바로 나온다.

$$|\mathbf{v}(t)| = \text{const} \ \Longrightarrow\ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})' = 2\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}' = 0 \ \Longrightarrow\ \mathbf{v}' \perp \mathbf{v}$$

길이가 고정된 벡터의 미분은 자기 자신과 수직이다. 당연한 이야기다 — 길이가 변할 수 없으니 할 수 있는 일이 회전밖에 없고, 회전은 언제나 수직 방향의 변화다. 단위접선벡터가 곡선에서 주법선을 만들어 내는 것도, 곡선좌표계의 기저벡터가 서로를 만들어 내는 것도($\partial\hat{e}_\rho/\partial\phi = \hat{e}_\phi$) 전부 이 한 줄이다.

기울기·발산·회전

직관

$\nabla$ 는 하나의 연산자가 세 개의 얼굴을 가진 것이다. 형태적으로 보면 이렇다. $\nabla$ 를 성분이 미분인 벡터처럼 취급하면, 벡터에 할 수 있는 곱셈이 세 가지 — 스칼라배·내적·외적 — 이고 그 셋이 정확히 기울기·발산·회전이다.

$$\nabla\varphi \quad(\text{스칼라배}), \qquad \nabla\cdot\mathbf{F} \quad(\text{내적}), \qquad \nabla\times\mathbf{F} \quad(\text{외적})$$

기하적으로는 각각 이렇게 읽는다. 기울기는 스칼라장이 가장 가파르게 오르는 방향과 그 기울기, 발산은 한 점에서 새어 나오는 양의 밀도(샘이면 양수, 싱크면 음수), 회전은 한 점 주위를 도는 정도의 밀도. 앞의 것은 등위면과 수직이고, 뒤의 둘은 각각 “작은 상자를 통과하는 유출”과 “작은 고리를 도는 순환”의 극한이다.

직교좌표에서 연산자를 다음과 같이 쓴다.

$$\nabla \equiv \hat{x}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{y}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$$

이 표기는 직교좌표에서만 이렇게 단순하다. 곡선좌표계에서 어떻게 달라지는지는 곡선좌표계에서 다룬다.

기울기

$$\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial\varphi}{\partial y}\hat{y} + \frac{\partial\varphi}{\partial z}\hat{z}$$

기울기의 정의를 성분으로 외우는 대신, 다음 한 줄로 잡아 두는 편이 낫다.

$$d\varphi = \nabla\varphi \cdot d\mathbf{r}$$

“위치를 $d\mathbf{r}$ 만큼 옮겼을 때 $\varphi$ 가 얼마나 변하는가”를 내적으로 주는 벡터가 기울기다. 이 형태는 좌표계를 언급하지 않으므로 어느 좌표에서나 그대로 성립한다.

여기서 두 가지가 곧바로 따라온다. 첫째, 단위벡터 $\hat{u}$ 방향의 방향도함수는

$$D_{\hat{u}}\varphi = \nabla\varphi\cdot\hat{u} = |\nabla\varphi|\cos\theta$$

이고, $\hat{u}$ 가 $\nabla\varphi$ 와 같은 방향일 때 최대이며 그 값이 $|\nabla\varphi|$ 다. 둘째, 등위면 위에서 움직이면 $d\varphi = 0$ 이므로 $\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=0$, 즉 기울기는 등위면에 수직이다.

그림 1.1-1. 등위선 위에서는 값이 변하지 않으므로 기울기는 등위선에 수직이다. 다른 방향 û의 방향도함수는 ∇φ를 그 방향으로 사영한 길이와 같다.직접 작도

기울기가 등위면에 수직이라는 사실은 접평면과 법선을 구하는 도구가 된다. 곡면이 $\varphi(x,y,z)=c$ 로 주어지면 점 $P$ 에서의 단위법선은 $\hat{n} = \nabla\varphi/|\nabla\varphi|$ 이고, 법선 방향의 방향도함수는 곧 기울기의 크기다. 그래서 $|\nabla\varphi|$ 를 법선도함수 $d\varphi/dn$ 이라 부르기도 한다. 면적분에서 면 요소를 구할 때 이 식이 그대로 다시 나온다.

자주 쓰는 기울기 셋은 결과를 외워 두는 편이 빠르다. $r=|\mathbf{r}|$ 에 대해

$$\nabla r = \hat{r}, \qquad \nabla\!\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{\hat{r}}{r^{2}}, \qquad \nabla r^{n} = n\,r^{n-1}\hat{r}$$

이다. 첫 식은 “원점에서의 거리는 반경 방향으로 갈 때 가장 빨리 늘고 그 증가율이 1”이라는 당연한 말이고, 둘째 식이 쿨롱 퍼텐셜에서 역제곱 장이 나오는 계산 그 자체다.

반도체에서 가장 많이 쓰는 기울기는 전기장이다.

$$\mathbf{E} = -\nabla V$$

음의 부호는 전기장이 전위가 내려가는 쪽을 향한다는 규약이다. 밴드 다이어그램에서 기울어진 밴드가 곧 전기장이라고 읽는 습관이 이 식에서 나온다. 확산 전류의 $\nabla n$ 도 같은 연산이다.

발산

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$

성분 공식보다 중요한 것은 좌표에 기대지 않는 정의다.

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = \lim_{V\to 0}\frac{1}{V}\oint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}$$

점을 둘러싼 작은 닫힌 면을 통해 순수하게 빠져나간 양을 부피로 나눈 것이다. 그래서 발산은 “단위 부피당 샘의 세기”라는 뜻을 갖는다.

두 정의가 같다는 것은 미소 상자 하나를 직접 세어 보면 나온다. 변이 $dx\,dy\,dz$ 인 상자에서 $x$ 에 수직인 두 면을 통한 순 유출은 마주 보는 두 면에서의 $F_x$ 값 차이, 즉 $(\partial F_x/\partial x)\,dx\cdot dy\,dz$ 이고, 세 쌍을 더하면 $(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV$ 가 된다. 발산정리의 증명도, 곡선좌표계의 발산 공식도 전부 이 상자 하나에서 출발한다.

물에 톱밥을 뿌려 보는 그림이 흔히 쓰인다. 뿌린 자리에서 톱밥이 퍼져 나가면 그 점의 발산이 양수(샘), 모여들면 음수(싱크)다. 발산은 밀도와 같은 종류의 양이라는 점을 기억해 두면 좋다 — 한 점에서 정의되고, 점마다 다른 값을 가지며, 부피에 대해 적분해야 총량이 된다.

회전

$$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$$

역시 좌표에 기대지 않는 정의가 있다. 단위법선이 $\hat{n}$ 인 작은 면 조각과 그 경계 $C$ 에 대해

$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{n} = \lim_{A\to 0}\frac{1}{A}\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}$$

이다. 회전은 벡터장이므로 방향이 있는데, 그 방향은 순환이 가장 큰 면의 법선 방향이다.

그림 1.1-2. 발산과 회전의 좌표 없는 정의. 왼쪽은 작은 상자에서의 순 유출을 부피로 나눈 것이고, 오른쪽은 작은 고리를 따라 도는 순환을 넓이로 나눈 것이다. 이 두 극한이 곡선좌표계의 공식을 유도하는 출발점이 된다.직접 작도

“회전”이라는 이름에 눈금을 붙여 주는 계산이 하나 있다. 각속도 $\boldsymbol{\omega}$ 로 도는 강체 위의 속도장은 $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}$ 인데, 이것의 회전을 계산하면

$$\nabla\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) = \boldsymbol{\omega}(\nabla\cdot\mathbf{r}) - (\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla)\mathbf{r} = 3\boldsymbol{\omega} - \boldsymbol{\omega} = 2\boldsymbol{\omega}$$

가 된다. 즉 회전은 국소 각속도의 두 배이고, 뒤집어 읽으면 $\boldsymbol{\omega} = \tfrac{1}{2}\nabla\times\mathbf{v}$ 다. 그래서 회전이 0인 장을 비회전(irrotational)이라 부른다.

주의

회전을 “유선이 휘어 있는 정도”로 읽으면 두 방향 모두로 틀린다. 회전은 한 점 주위의 국소적인 전단이지 전체 흐름의 모양이 아니다.

$\mathbf{F} = y\,\hat{x}$ 를 보자. 유선은 전부 $x$ 축에 나란한 직선인데 $\nabla\times\mathbf{F} = -\hat{z} \ne 0$ 이다. 위쪽 물이 아래쪽보다 빠르니 작은 물레방아를 띄우면 돈다.

반대로 $\mathbf{F} = (-y\hat{x}+x\hat{y})/(x^2+y^2)$ 는 유선이 원인데도 원점을 뺀 곳에서 $\nabla\times\mathbf{F} = 0$ 이다. 물레방아는 두 몫을 동시에 받는다 — 안쪽이 빠른 전단이 한쪽으로 돌리려 하고, 원을 따라 실려 도는 것이 반대쪽으로 돌리려 한다. 속력이 정확히 $1/r$ 이면 이 둘이 상쇄된다. 이 장은 선적분에서 다시 만난다.

판정 기준은 물레방아를 띄웠을 때 도는가이지 유선의 모양이 아니다.

그림 1.1-3. 회전을 판정하는 것은 유선의 모양이 아니라 물레방아가 도는지 여부다. 왼쪽 F = y x̂ 는 유선이 직선인데도 위아래 속도 차 때문에 돌아 회전이 0이 아니다. 오른쪽 소용돌이 장은 유선이 원인데도 돌지 않는다 — 안쪽이 빠른 전단이 주는 몫과 원을 따라 실려 도는 몫이 정확히 상쇄되기 때문이고, 그래서 원점을 제외한 모든 점에서 회전이 0이다.직접 작도

주의

$\nabla$ 는 벡터처럼 생겼을 뿐 연산자다. $\mathbf{F}\cdot\nabla$ 와 $\nabla\cdot\mathbf{F}$ 는 전혀 다르다 — 앞엣것은 연산자 $F_x\partial_x + F_y\partial_y + F_z\partial_z$ 이고, 뒤엣것은 스칼라장이다. 곱의 미분에서도 $\nabla$ 가 무엇에 작용하는지를 항마다 따져야 한다.

곱 규칙과 2차 연산자

곱 규칙은 여섯 개인데, 그 개수도 셀 수 있다. 두 함수를 곱해 스칼라를 만드는 방식이 둘($fg$, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}$)이라 기울기가 둘, 벡터를 만드는 방식이 둘($f\mathbf{F}$, $\mathbf{F}\times\mathbf{G}$)이라 발산과 회전이 각각 둘씩이다.

$$\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f$$ $$\nabla(\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}) = \mathbf{F}\times(\nabla\times\mathbf{G}) + \mathbf{G}\times(\nabla\times\mathbf{F}) + (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G} + (\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F}$$ $$\nabla\cdot(f\mathbf{F}) = f(\nabla\cdot\mathbf{F}) + \mathbf{F}\cdot\nabla f$$ $$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \mathbf{G}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G})$$ $$\nabla\times(f\mathbf{F}) = f(\nabla\times\mathbf{F}) + (\nabla f)\times\mathbf{F}$$ $$\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\mathbf{G}\cdot\nabla)\mathbf{F} - (\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G} + \mathbf{F}(\nabla\cdot\mathbf{G}) - \mathbf{G}(\nabla\cdot\mathbf{F})$$

앞의 넷은 자주 쓰니 손에 익혀 두고, 뒤엣것 둘은 필요할 때 찾아 쓰는 것으로 충분하다. 다만 구조는 봐 둘 것 — 넷 다 ”$\nabla$ 가 한 번은 앞엣것에, 한 번은 뒤엣것에 작용한다”를 가능한 모든 방식으로 적은 것이다. 여기서 $(\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf{G}$ 는 $F_x\partial_x\mathbf{G} + F_y\partial_y\mathbf{G} + F_z\partial_z\mathbf{G}$ 를 뜻하는 벡터다. 유체의 이류항 $(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}$, 캐리어 수송의 드리프트 항이 이 꼴이다.

$\nabla$ 를 두 번 적용하면 다섯 가지 조합이 나오는데, 그중 둘은 항등적으로 0이다.

$$\nabla\times(\nabla\varphi) = 0, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$$

행렬식으로 적으면 왜 0인지가 눈에 보인다. 앞엣것은 행렬식의 둘째·셋째 행이 모두 $(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$ 가 되어 같은 행이 두 번 나오고, 뒤엣것은 스칼라 삼중곱의 첫째·둘째 행이 그렇게 된다. 다만 이 논증은 편미분의 순서를 바꿀 수 있다는 가정 위에 서 있다 — 2계 도함수가 연속이어야 한다.

기울기는 회전이 없고, 회전은 발산이 없다. 이 두 줄이 퍼텐셜 이론 전체의 문법이다. 나머지 셋 중 가장 중요한 것이 라플라시안과 이중회전 항등식이다.

$$\nabla^2\varphi = \nabla\cdot(\nabla\varphi) = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}$$ $$\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{F}) - \nabla^2\mathbf{F}$$

아래 식은 전자기파 방정식을 유도할 때 그대로 쓰인다(2.8). 남은 하나 $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})$ 는 이름조차 붙지 않았고 단독으로는 거의 나오지 않는다.

구면대칭인 스칼라장의 라플라시안은 한 번 계산해 두면 계속 쓴다.

$$\nabla^2\varphi(r) = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2\frac{d\varphi}{dr}\right) = \varphi'' + \frac{2}{r}\varphi'$$

$2\varphi'/r$ 이라는 여분의 항은 $\hat{r}$ 의 방향이 점마다 달라서 생긴다 — 1차원 문제가 아니라는 표시다. $\varphi = r^n$ 을 넣으면

$$\nabla^2 r^{\,n} = n(n+1)\,r^{\,n-2}$$

이고, 이것이 0이 되는 경우는 $n=0$(상수)과 $n=-1$ 둘뿐이다. 쿨롱 퍼텐셜 $1/r$ 이 특별한 이유가 이 한 줄이다 — 원점을 뺀 모든 곳에서 라플라스 방정식을 만족하는, 구면대칭인 유일한 비상수 해다. 원점에서 무슨 일이 벌어지는지는 발산정리 절의 주의에서 델타 함수로 정리한다.

곡선·호의 길이

직관

곡선은 1차원짜리 대상이 3차원 공간에 놓인 것이다. 이것을 다루려면 눈금이 하나 필요한데, 여기에 함정이 있다. 매개변수 $t$ 는 우리가 임의로 붙인 눈금이라 같은 곡선도 $t$ 를 어떻게 잡느냐에 따라 식이 달라진다.

호의 길이 $s$ 는 곡선이 스스로 가지고 있는 눈금이다. $s$ 로 매개변수화하면 “얼마나 빨리 지나가는가”라는 우리 쪽 사정이 사라지고 곡선 자신의 성질 — 얼마나 휘어 있는가 (곡률), 얼마나 평면에서 벗어나는가(비틀림) — 만 남는다. 그래서 $s$ 로 미분한 $d\mathbf{r}/ds$ 는 언제나 길이가 1인 접선벡터가 된다.

공간곡선을 매개변수로 적는다.

$$\mathbf{r}(t) = x(t)\hat{x} + y(t)\hat{y} + z(t)\hat{z}, \qquad a \le t \le b$$

미분하면 접선벡터가 나오고, 그 크기가 ”$t$ 당 진행 거리”다.

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v}(t), \qquad ds = |d\mathbf{r}| = \left|\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right| dt$$ $$s(t) = \int_{t_0}^{t}\left|\frac{d\mathbf{r}}{dt'}\right|dt'$$

여기서 곱하기 전의 형태 $ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2$ 를 선요소(linear element)라 부른다. 좌표계를 바꿔도 이 양은 변하지 않아야 한다 — 곡선좌표계의 척도인자가 바로 이 식을 새 좌표로 다시 쓴 결과다.

$s$ 를 새 매개변수로 삼으면 단위접선벡터가 곧바로 나온다.

$$\hat{T} = \frac{d\mathbf{r}}{ds}, \qquad |\hat{T}| = 1$$

접선벡터의 길이가 1로 고정돼 있으므로, 벡터함수의 미분에서 본 보조정리에 따라 그 미분은 접선과 수직이다. 그 크기가 곡률, 방향이 주법선이다.

$$\frac{d\hat{T}}{ds} = \kappa\,\hat{N}, \qquad \hat{B} = \hat{T}\times\hat{N}$$

곡률의 역수 $\rho = 1/\kappa$ 를 곡률반지름이라 한다. 그 점에서 곡선에 가장 잘 들어맞는 원의 반지름이라는 뜻이고, 직선은 $\kappa=0$, $\rho=\infty$ 다.

세 벡터 $(\hat{T},\hat{N},\hat{B})$ 는 곡선 위를 따라 움직이는 직교좌표계를 이룬다. 이것을 삼면체(trihedron)라 하고, $\hat{T}$ 와 $\hat{N}$ 이 만드는 평면이 접촉평면(osculating plane) — 곡선이 그 점 근방에서 거의 누워 있는 평면이다. 삼면체의 회전은 두 개의 스칼라 $\kappa$(곡률)와 $\tau$(비틀림)로 전부 기술된다.

$$\frac{d\hat{T}}{ds}=\kappa\hat{N},\qquad \frac{d\hat{N}}{ds}=-\kappa\hat{T}+\tau\hat{B},\qquad \frac{d\hat{B}}{ds}=-\tau\hat{N}$$

$\kappa$ 는 정의상 음이 아니지만 $\tau$ 에는 부호를 준다. 마지막 식의 음부호는 오른나사 나선의 비틀림이 양수가 되도록 맞춘 규약이다.

직관

Frenet–Serret 공식을 외우기보다 구조를 보는 편이 낫다. 세 단위벡터의 미분을 그 세 벡터로 전개한 계수 행렬은 반대칭이다. 길이가 1인 정규직교 세 벡터가 움직일 수 있는 방식은 회전뿐이고, 회전의 생성자는 반대칭 행렬이기 때문이다. 같은 구조를 1.3의 행렬 고유값 문제와 1.13의 군론에서 다시 만난다.

그림 1.1-4. 나선 위의 삼면체. T̂는 진행 방향, N̂은 곡선이 휘어 드는 쪽(접촉원의 중심을 향한다), B̂ = T̂×N̂ 은 접촉평면의 법선이다. 곡률 κ는 T̂가 도는 빠르기, 비틀림 τ는 접촉평면 자체가 도는 빠르기다. 가속도는 T̂ 성분(속력 변화)과 N̂ 성분(방향 변화)으로만 쪼개지고 B̂ 성분은 없다.직접 작도

나선 — 곡률과 비틀림이 상수인 경우

$$\mathbf{r}(t) = [\,a\cos t,\ a\sin t,\ ct\,]$$

를 넣어 보면 $|\mathbf{r}'| = \sqrt{a^2+c^2} \equiv K$ 로 상수라 $s = Kt$ 이고,

$$\kappa = \frac{a}{a^2+c^2},\qquad \tau = \frac{c}{a^2+c^2}$$

가 나온다. 둘 다 상수인데, 이는 나선이 어느 점에서 봐도 같아 보이는 곡선이기 때문이다. $c\to 0$ 이면 $\tau\to0$, $\kappa\to 1/a$ 로 반지름 $a$ 인 원이 되고, $c>0$ 이면 $\tau>0$ 으로 오른나사가 된다. 실제로 곡률과 비틀림이 상수인 곡선은 나선(과 그 특수한 경우인 원·직선)뿐이다.

속도와 가속도

곡선을 물체의 경로로 읽으면 $\mathbf{v} = d\mathbf{r}/dt$ 가 속도, 그 크기 $ds/dt$ 가 속력이다. 가속도를 삼면체로 쪼개면 이 절의 물리적 알맹이가 나온다.

$$\mathbf{a} = \frac{d}{dt}\!\left(\hat{T}\frac{ds}{dt}\right) = \underbrace{\frac{d^2 s}{dt^2}\,\hat{T}}_{\text{접선 가속도}} + \underbrace{\kappa\left(\frac{ds}{dt}\right)^{2}\hat{N}}_{\text{법선 가속도}}$$

속력이 변하는 몫은 접선 방향, 방향이 변하는 몫은 법선 방향이고, 후자의 크기는 $v^2\kappa = v^2/\rho$ — 등속원운동의 구심가속도 $v^2/r$ 를 일반화한 것이다. $\hat{B}$ 성분이 없다는 점을 눈여겨볼 것. 가속도는 언제나 접촉평면 안에 있다.

이 절이 다음 절을 위해 남기는 것은 사실 한 줄이다.

$$d\mathbf{r} = \hat{T}\,ds$$

선적분은 전부 이 치환에서 나온다.

선적분과 경로 독립성

직관

선적분은 길을 따라 걸어가며 장을 조금씩 걷어 모으는 것이다. 각 걸음 $d\mathbf{r}$ 에서 장이 진행 방향으로 얼마나 밀어 주는지를 내적 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 로 재고, 그것을 전부 더한다. 물리적 원형은 일(work)이다.

여기서 결정적인 질문이 하나 나온다. 값이 어느 길로 갔느냐에 달렸는가? 달려 있지 않다면, 그 장에는 “고도”에 해당하는 스칼라가 존재하고 적분값은 출발점과 도착점의 고도차일 뿐이다. 전압이라는 말이 성립하는 이유가 정확히 이것이다.

곡선 $C$ 를 따르는 벡터장의 선적분은 매개변수로 되돌리면 보통의 1변수 적분이 된다.

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,dt = \int_C (F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz)$$

값은 매개변수를 어떻게 잡든 같다 — 방향만 유지하면 된다. 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다. 닫힌 곡선 위의 적분을 순환(circulation)이라 하고 $\oint_C$ 로 쓴다.

내적을 취하지 않는 형태도 쓴다. 스칼라장을 호의 길이로 적분한

$$\int_C f\,ds$$

는 선밀도를 길이에 대해 적분하는 자리다 — 도선의 총 저항, 선전하의 총 전하량, 곡선 형태 배선의 길이가 전부 이 꼴이다. 앞의 $\int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 이 $\mathbf{F}$ 의 접선 성분만 세는 반면 이쪽은 방향을 따지지 않고, 따라서 진행 방향을 뒤집어도 값이 변하지 않는다.

크기만 알면 되는 상황에서는 부등식 하나가 요긴하다. 곡선 위에서 $|\mathbf{F}|\le M$ 이고 곡선의 길이가 $L$ 이면

$$\left|\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\right| \le ML$$

이다. 적분을 계산하지 않고 상한만 잡아야 할 때 쓴다.

경로에 실제로 의존한다

“경로에 의존한다”가 추상적으로 들리면 숫자로 확인해 두는 편이 낫다. $\mathbf{F} = xy\,\hat{y}$ 를 원점에서 $(1,1)$ 까지 두 경로로 적분해 보자.

$$\begin{aligned} C_1:\ y=x \ &\Rightarrow\ \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 t^2\,dt = \frac{1}{3} \\[4pt] C_2:\ y=x^2 \ &\Rightarrow\ \int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^1 2t^4\,dt = \frac{2}{5} \end{aligned}$$

끝점이 같은데 값이 다르다. 확인해 보면 $\nabla\times\mathbf{F} = y\,\hat{z} \ne 0$ 이다. 이런 장에는 “퍼텐셜”이라 부를 것이 없다.

네 조건의 동치

영역 $D$ 에서 $\mathbf{F}$ 가 연속미분가능할 때, 다음은 서로 동치다.

1. 모든 경로에 대해 $\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ 가 경로에 무관하다.
2. 모든 닫힌 경로에 대해 $\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0$ 이다.
3. 어떤 스칼라장 $\varphi$ 가 있어 $\mathbf{F}=\nabla\varphi$ 다.
4. $D$ 에서 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이다. 단, $D$ 가 단순연결일 때만.

1과 2가 같다는 것은 두 경로를 이어 붙이면 닫힌 경로가 된다는 관찰에서 곧바로 나온다. 3이 성립하면 미적분 기본정리가 그대로 적용된다.

$$\int_C \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \int_C d\varphi = \varphi(\text{끝}) - \varphi(\text{시작})$$

에펠탑의 높이를 재는 두 가지 방법이라고 읽으면 된다. 계단마다 올라간 높이를 자로 재서 전부 더하거나(좌변), 꼭대기와 바닥에 고도계를 놓고 빼거나(우변). 같은 답이 나온다.

3에서 4는 $\nabla\times\nabla\varphi=0$ 이므로 자동이다. 문제는 4에서 3으로 가는 방향이고, 여기에 영역의 모양이 개입한다. 영역 $D$ 가 단순연결이라는 것은 $D$ 안의 모든 닫힌 곡선을 $D$ 를 벗어나지 않고 한 점으로 연속적으로 줄일 수 있다는 뜻이다. 공의 내부, 유한개의 점을 뺀 공, 두 동심구 사이의 껍질은 단순연결이고, 도넛의 내부와 직선 하나를 뺀 공간은 아니다.

3을 미분형식의 언어로 적으면 완전미분형식(exact differential form)이 된다.

$$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = F_x\,dx + F_y\,dy + F_z\,dz = d\varphi$$

즉 피적분식이 어떤 함수의 전미분이면 적분은 경로에 무관하다. 조건 4는 그 형식이 완전한지를 판정하는 국소 검사이고, 단순연결성은 국소 검사를 전역 결론으로 올려도 좋다는 허가다. 1.4의 완전 미분방정식이 같은 이야기의 2변수판이다.

퍼텐셜을 실제로 구하기

조건 4를 통과했다면 퍼텐셜은 한 성분씩 적분하고 남은 함수를 다음 성분으로 결정하는 절차로 구한다. $\mathbf{F} = [\,3x^2,\ 2yz,\ y^2\,]$ 를 예로 들면 — 먼저 $\partial\varphi/\partial x = 3x^2$ 을 $x$ 로 적분한다.

$$\varphi = x^3 + g(y,z)$$

적분상수 자리에 남은 것이 나머지 두 변수의 함수 $g$ 라는 점이 요령의 전부다. 이제 $\partial\varphi/\partial y = g_y = 2yz$ 에서 $g = y^2 z + h(z)$ 를 얻고, 마지막으로 $\partial\varphi/\partial z = y^2 + h'(z) = y^2$ 에서 $h' = 0$ 이 나온다. 따라서

$$\varphi = x^3 + y^2 z$$

이고, $A(0,1,2)$ 에서 $B(1,-1,7)$ 까지의 적분값은 $\varphi(B)-\varphi(A) = 8 - 2 = 6$ 이다. 경로는 물어볼 필요조차 없다. 마지막 단계에서 $h'$ 가 $z$ 만의 함수로 정리되지 않으면 어딘가에서 조건 4가 깨졌다는 뜻이므로 되돌아가 회전을 다시 확인해야 한다.

선적분이 일이라면 이 절의 결론은 에너지 보존이다. 뉴턴 제2법칙 $\mathbf{F}=m\,d\mathbf{v}/dt$ 를 넣으면

$$W = \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b m\,\mathbf{v}'\cdot\mathbf{v}\,dt = \left[\frac{m}{2}|\mathbf{v}|^2\right]_a^b$$

으로 한 일이 운동에너지 증가와 같다. 여기에 경로 독립성이 더해지면 한 바퀴 돌아 제자리에 온 물체의 운동에너지가 보존되고, 그때 그 장을 보존장(conservative)이라 부른다. 마찰이나 저항처럼 언제나 운동 반대 방향으로 걸리는 힘이 끼면 보존장이 아니다.

주의

$xy$ 평면에서 원점을 뺀 영역에 다음 장을 놓아 보자.

$$\mathbf{F} = \frac{-y\,\hat{x} + x\,\hat{y}}{x^2+y^2}$$

계산하면 정의역 전체에서 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이다. 그런데 원점을 감싸는 단위원을 따라 한 바퀴 돌면 $\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi \ne 0$ 이다.

모순이 아니다. 원점이 빠진 평면은 단순연결이 아니어서 이 고리를 한 점으로 줄일 수 없고, 따라서 4는 3을 함의하지 않는다. 퍼텐셜에 해당하는 것은 편각 $\theta = \arctan(y/x)$ 인데 한 바퀴 돌면 $2\pi$ 만큼 어긋나므로 일가함수가 아니다.

같은 구조가 1.9 복소해석의 유수정리이고, 전자기학에서는 도선을 감싸는 앙페르 고리다. “회전이 0이니 퍼텐셜이 있다”를 쓸 때는 구멍이 없는지를 반드시 확인할 것.

정전기장은 $\nabla\times\mathbf{E}=0$ 이므로 경로에 무관하고, 그래서 두 점 사이의 전위차를 하나의 숫자로 말할 수 있다. 반대로 시변 자기장이 있으면 $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t \ne 0$ 이라 경로마다 값이 달라진다 — 고주파 측정에서 프로브 배선의 루프 면적이 문제가 되는 이유다(2.6).

이중·삼중 적분

직관

다중적분의 아이디어 자체는 단순하다 — 영역을 잘게 썰어 값을 곱해 더한다. 실제로 어려운 부분은 적분이 아니라 영역의 모양을 적분 한계로 번역하는 일이다.

그래서 좌표를 바꾼다. 원이 낀 영역은 극좌표에서 사각형이 된다. 대신 대가를 치르는데, 좌표를 바꾸면 작은 격자 칸의 넓이가 달라진다. 직교 격자의 정사각형은 새 좌표에서 평행사변형으로 밀리고 늘어나며, 그 넓이 배율이 야코비 행렬식이다. 좌표변환의 국소 근사가 선형사상이고, 선형사상의 부피 배율이 행렬식이라는 사실 — 그것이 전부다.

평면 영역 $R$ 과 입체 영역 $V$ 위의 적분을 각각 다음과 같이 쓴다.

$$\iint_R f(x,y)\,dA, \qquad \iiint_V f(x,y,z)\,dV$$

계산은 반복적분으로 내린다. 적분 순서를 바꿔도 되는 조건이 푸비니 정리이고, 실무 에서는 안쪽 적분의 한계가 바깥 변수의 함수가 되도록 영역을 쪼개는 일이 대부분이다.

변수변환과 야코비안

$(u,v)\mapsto(x,y)$ 가 일대일이고 미분가능할 때

$$\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{R'} f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv$$

이고, 야코비 행렬식은

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix}$$

이다. 3차원이면 같은 식이 $3\times3$ 행렬식으로 커지고, 부피 요소가 $dV = |\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w)|\,du\,dv\,dw$ 가 된다. 절댓값을 취하는 것은 방향이 뒤집히는 경우($J<0$)에도 넓이는 양수여야 하기 때문이다.

야코비안에는 쓸모 있는 성질이 하나 있다. 정변환과 역변환의 야코비안은 서로 역수다.

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\cdot\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = 1$$

합성사상의 행렬이 행렬의 곱이고 행렬식이 곱셈적이라는 사실의 재진술이다. 역변환 쪽이 계산하기 쉬울 때 — 이를테면 $u,v$ 가 $x,y$ 의 간단한 식으로 주어졌을 때 — 그쪽을 계산하고 뒤집으면 된다.

그림 1.1-5. 변수변환은 (u,v) 격자의 한 칸을 (x,y)에서 평행사변형으로 보낸다. 두 변은 ∂r/∂u·du 와 ∂r/∂v·dv 이고, 그 평행사변형의 넓이가 |J| du dv 다. 야코비안이 행렬식인 이유는 선형사상의 넓이 배율이 행렬식이기 때문이다.직접 작도

자주 쓰는 세 가지는 외워 두는 편이 빠르다.

$$dA = \rho\,d\rho\,d\phi \quad(\text{극좌표})$$ $$dV = \rho\,d\rho\,d\phi\,dz \quad(\text{원통})$$ $$dV = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi \quad(\text{구})$$

이 인자들은 곡선좌표계의 척도인자 $h_1h_2h_3$ 와 같은 것이다.

그린 정리

평면에서 닫힌 경로의 선적분과 그 안쪽의 이중적분을 잇는다.

$$\oint_C (P\,dx + Q\,dy) = \iint_R\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$$

경로 $C$ 는 영역 $R$ 을 왼쪽에 두고 도는 방향으로 잡는다. 단순한 영역에서는 이것이 반시계 방향이지만, 규약을 “왼쪽”으로 외워 두는 편이 안전하다 — 구멍이 있는 영역에서는 바깥 경계는 반시계, 안쪽 구멍의 경계는 시계 방향이 되어야 둘 다 $R$ 을 왼쪽에 두기 때문이다. 이 정리는 다음 절에서 볼 두 정리의 평면판이다. 여기서 먼저 만나 두는 이유는 증명의 아이디어가 같기 때문이다.

$P,Q$ 를 잘 고르면 정리가 도구가 된다. $P=-y$, $Q=x$ 를 넣으면 우변이 넓이의 두 배가 되어

$$A = \frac{1}{2}\oint_C (x\,dy - y\,dx) \;=\; \frac{1}{2}\oint_C r^2\,d\theta \quad(\text{극좌표})$$

를 얻는다. 넓이를 경계만 훑어서 잰다 — 도면 위를 한 바퀴 따라가면 넓이를 읽어 주는 플래니미터가 이 식으로 동작한다. 웨이퍼 맵에서 결함 영역의 면적을 윤곽선만으로 구하는 계산도 같은 것이다.

$P = -\partial w/\partial y$, $Q = \partial w/\partial x$ 를 넣으면 라플라시안이 나온다.

$$\iint_R \nabla^2 w\,dA = \oint_C \frac{\partial w}{\partial n}\,ds$$

여기서 $\partial w/\partial n = \nabla w\cdot\hat{n}$ 은 경계 바깥 방향의 법선도함수다. 발산정리의 그린 항등식이 이 식의 3차원판이고, 조화함수의 성질이 전부 여기서 나온다 — 좌변이 0이면 경계를 통해 나가는 총 유출이 0이어야 한다.

반도체에서 다중적분은 프로파일을 하나의 수로 요약할 때 쓴다. 도핑 농도를 깊이 방향으로 적분하면 시트 도즈가 되고, 공핍층 전하밀도를 부피에 대해 적분하면 공핍 전하량이 된다.

면적분

직관

면적분이 답하는 질문은 “이 면을 얼마나 통과하는가” 다.

핵심 장치는 넓이를 벡터로 만드는 것이다. 면 조각에 그 면의 법선 방향을 붙여 $d\mathbf{A} = \hat{n}\,dA$ 로 두면, 내적 $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}$ 가 자동으로 면을 뚫는 성분만 걸러낸다. 면에 나란히 흐르는 성분은 통과한 것이 아니므로 0이 되어야 하고, 실제로 그렇게 된다. 기울어진 면은 $\cos\theta$ 만큼만 세어지는데, 이는 흐름의 관점에서 본 면의 그림자 넓이와 같다.

공간적으로 보면 면은 2차원인데 3차원에 굽어 있으므로, 눈금이 두 개 $(u,v)$ 필요하다.

곡면을 두 매개변수로 적는다.

$$\mathbf{r}(u,v) = x(u,v)\hat{x}+y(u,v)\hat{y}+z(u,v)\hat{z}$$

$u$ 와 $v$ 를 각각 조금 움직이면 두 접선벡터 $\partial\mathbf{r}/\partial u$ 와 $\partial\mathbf{r}/\partial v$ 가 나오고, 이 둘이 만드는 평행사변형이 면 조각이다.

$$d\mathbf{A} = \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right)du\,dv$$

외적이 등장하는 것은 우연이 아니다. 외적의 크기가 평행사변형의 넓이이고, 방향이 그 평면의 법선이므로, 우리가 필요한 두 정보가 한 번에 나온다.

$$\Phi = \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A} = \iint_R \mathbf{F}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right)du\,dv$$

를 $\mathbf{F}$ 의 선속(flux)이라 한다. 곡면이 그래프 $z=h(x,y)$ 로 주어지면

$$d\mathbf{A} = \left(-\frac{\partial h}{\partial x},\ -\frac{\partial h}{\partial y},\ 1\right)dx\,dy$$

가 되어 곧바로 $xy$ 평면 위의 이중적분으로 내려온다.

방향을 따지지 않는 면적분

넓이 자체나 면 위에 퍼진 스칼라량을 더할 때는 $d\mathbf{A}$ 의 크기만 쓴다.

$$\iint_S g\,dA, \qquad dA = |d\mathbf{A}| = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|du\,dv$$

$g=1$ 로 두면 곡면의 넓이가 나오고, $g$ 가 면밀도면 총량이 나온다 — 계면 전하밀도를 면적분해 총 계면 전하를 얻는 계산이 이것이다.

그래프 곡면에서는 앞의 $d\mathbf{A}$ 의 크기를 취해

$$dA = \sqrt{h_x^{\,2}+h_y^{\,2}+1}\;dx\,dy = \sec\gamma\;dx\,dy$$

가 된다. 여기서 $\gamma$ 는 면과 $xy$ 평면이 이루는 각이다. 기울어진 면은 그림자보다 $\sec\gamma$ 배 넓다 — 앞의 선속 이야기에서 “기울어진 면은 $\cos\theta$ 만큼만 세어진다”고 한 것과 정확히 같은 사실을 반대편에서 읽은 것이다. 곡면이 $\varphi(x,y,z)=c$ 로 주어졌다면 $\sec\gamma = |\nabla\varphi| / |\partial\varphi/\partial z|$ 로 계산한다.

구면 $r=a$ 에서는 $\hat{n}=\hat{r}$, $dA = a^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ 이고, 반지름 $a$ 높이 $L$ 인 원통 옆면에서는 $\hat{n}=\hat{\rho}$, $dA = a\,d\phi\,dz$ 다. 이 둘로 거의 모든 계산이 된다.

선속의 성분 형태

면적분을 좌표평면 위의 이중적분 셋으로 쪼개 쓰기도 한다. 단위법선을 방향코사인으로 $\hat{n} = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 라 두면

$$\begin{aligned} \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A} &= \iint_S (F_x\cos\alpha + F_y\cos\beta + F_z\cos\gamma)\,dA \\[4pt] &= \iint_S (F_x\,dy\,dz + F_y\,dz\,dx + F_z\,dx\,dy) \end{aligned}$$

이다. $\cos\gamma\,dA = dx\,dy$ 는 면 조각을 $xy$ 평면에 사영한 넓이라는 뜻이다. 계산할 때는 사영의 부호를 직접 챙겨야 한다 — 면의 법선이 아래를 향하는 부분 ($\cos\gamma<0$)에서는 $dx\,dy$ 앞에 음부호가 붙는다. 닫힌 곡면을 위·아래로 나눠 계산할 때 실수가 나는 자리가 여기다.

주의

$d\mathbf{A}$ 의 방향에는 부호 자유도가 있다 — $\hat{n}$ 과 $-\hat{n}$ 중 하나를 골라야 하고, 이 선택을 가향(orientation)이라 한다. 관례는 두 가지다. 닫힌 곡면은 바깥쪽을 양으로 잡고, 경계가 있는 곡면은 경계를 도는 방향에 오른손 법칙으로 맞춘다. 뫼비우스 띠처럼 가향을 정할 수 없는 곡면에는 선속이 정의되지 않는다.

매개변수화가 이 선택을 대신 해 버린다는 점에 주의할 것. $\partial\mathbf{r}/\partial u \times \partial\mathbf{r}/\partial v$ 에서 $u$ 와 $v$ 를 맞바꾸면 법선이 뒤집히고 적분값의 부호가 바뀐다. 원하는 가향이 나왔는지는 계산이 끝난 뒤가 아니라 외적을 구한 직후에 한 성분의 부호를 보고 확인하는 것이 안전하다.

전류는 전류밀도의 면적분이다.

$$I = \iint_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}$$

소자에서 이 구분은 형식적인 것이 아니다. MOSFET 채널에서 전류밀도는 산화막 계면 쪽으로 심하게 몰려 있어서, 단면적에 평균 전류밀도를 곱하는 식으로는 계산이 맞지 않는다.

발산정리와 스토크스 정리

직관

이 장에서 가장 중요한 절이다. 두 정리는 사실 같은 문장의 차원만 다른 판본이다.

영역 안에서 일어난 일을 전부 더하면, 경계에 남은 것만 남는다.

증명의 그림도 하나다. 영역을 작은 조각으로 나누면, 이웃한 두 조각이 공유하는 면(또는 변)에서의 기여는 서로 반대 방향이라 정확히 상쇄된다. 한쪽에서 나간 것은 다른 쪽으로 들어간 것이기 때문이다. 그렇게 안쪽이 전부 지워지고 나면, 짝이 없는 바깥 경계만 살아남는다.

한 조각에서 성립하는 것은 기울기·발산·회전의 극한 정의 그 자체다. 그러니 두 정리는 그 정의를 거꾸로 읽어 전체에 대해 합산한 것이라고 보면 된다.

그림 1.1-6. 두 정리의 공통 증명 그림. 영역을 셀로 나누면 이웃한 셀이 공유하는 면의 기여는 부호가 반대라 상쇄되고, 짝이 없는 바깥 경계의 기여만 남는다. 발산정리에서는 이것이 면이고 스토크스 정리에서는 변이다.직접 작도

발산정리 (가우스)

닫힌 곡면 $\partial V$ 로 둘러싸인 부피 $V$ 에 대해

$$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV = \oint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}$$

부피 안의 샘을 전부 더하면 껍질을 통해 나가는 총량과 같다. 수도꼭지가 몇 개인지 세는 방법이 두 가지라는 말이다 — 안을 뒤져 꼭지를 하나씩 세거나(좌변), 경계를 돌며 새어 나오는 물을 재거나(우변).

정리를 거꾸로 읽어 특정한 $\mathbf{F}$ 를 대입하면 공짜 결과가 여럿 나온다. $\mathbf{F}=\mathbf{r}$ 를 넣으면 $\nabla\cdot\mathbf{r}=3$ 이므로

$$V = \frac{1}{3}\oint_{\partial V}\mathbf{r}\cdot d\mathbf{A}$$

로 부피를 경계면만 훑어서 잰다 — 앞 절의 넓이 공식 $A=\tfrac12\oint(x\,dy-y\,dx)$ 의 3차원판이다. $\mathbf{F}$ 를 상수벡터로 잡고 같은 요령을 쓰면 닫힌 곡면에 대해

$$\oint_{\partial V} d\mathbf{A} = 0$$

이 나온다. 닫힌 곡면의 면적 요소를 벡터로 모두 더하면 0이라는 뜻이다.

스토크스 정리

경계 곡선 $\partial S$ 를 갖는 곡면 $S$ 에 대해

$$\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A} = \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}$$

면 위의 회전을 전부 더하면 테두리를 도는 순환과 같다. 좌변이 $S$ 의 모양에 무관 하다는 점을 눈여겨볼 것 — 경계만 같으면 어떤 곡면으로 덮어도 값이 같다. 철사 고리를 비눗물에 담갔다가 입김을 불면 막이 부풀지만 테두리는 그대로이고, 선속은 변하지 않는다. 경계를 한 점으로 오므리면 우변이 0이 되므로, 따름정리로

$$\oint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A} = 0 \quad(\text{닫힌 곡면})$$

이고 여기서 $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0$ 이 다시 보인다.

부호 규약은 하나뿐이다 — 오른손의 손가락이 경계를 도는 방향을 가리키면 엄지가 $d\mathbf{A}$ 방향이다. 둘 중 어느 쪽을 먼저 정하든 상관없고, 짝만 맞으면 값이 같다.

두 정리를 맥스웰 방정식에 바로 적용하면 익숙한 법칙들이 나온다. $\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho$ 에 발산정리를 쓰면 가우스 법칙, $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}$ 에 스토크스를 쓰면 $\oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I$ 인 앙페르 법칙, $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t$ 에 쓰면 $\oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=-d\Phi/dt$ 인 패러데이 법칙이다. 미분형이 먼저이고 적분형은 그 위에 정리를 한 번 씌운 것이라는 순서를 잡아 두면 2부 전체가 정리된다.

직관

네 개의 정리 — 미적분 기본정리, 그린 정리, 발산정리, 스토크스 정리 — 는 미분형식의 언어에서 한 줄로 합쳐진다.

$$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$$

“미분한 것을 안에서 적분하면, 원래 것을 경계에서 적분한 것과 같다.” 차원만 다를 뿐 같은 정리라는 감각을 여기서 얻어 두면 1.13 텐서와 미분형식이 낯설지 않다.

부분적분과 그린 항등식

이 정리들의 가장 큰 실무적 용도는 미분을 한쪽에서 다른 쪽으로 옮기는 것이다. 곱 규칙 $\nabla\cdot(f\mathbf{G}) = f(\nabla\cdot\mathbf{G}) + \mathbf{G}\cdot\nabla f$ 를 부피에 대해 적분하고 발산정리를 쓰면

$$\iiint_V f\,(\nabla\cdot\mathbf{G})\,dV = -\iiint_V \mathbf{G}\cdot(\nabla f)\,dV + \oint_{\partial V} f\,\mathbf{G}\cdot d\mathbf{A}$$

가 된다. 1변수 부분적분 $\int f g' = -\int f' g + [fg]$ 와 글자 하나까지 같은 꼴이다 — 미분을 넘기고, 음부호를 물고, 경계항을 남긴다. 이것이 벡터해석에서 가장 자주 쓰는 조작이고, 아래 세 가지가 전부 여기서 나온다.

하나. $\mathbf{G} = \nabla\psi$, $f=\varphi$ 로 두면 그린 제1항등식이 나온다.

$$\iiint_V\left(\varphi\nabla^2\psi + \nabla\varphi\cdot\nabla\psi\right)dV = \oint_{\partial V}\varphi\,\frac{\partial\psi}{\partial n}\,dA$$

여기서 $\partial\psi/\partial n = \nabla\psi\cdot\hat{n}$ 이 경계 바깥 방향의 법선도함수다. $\varphi$ 와 $\psi$ 를 맞바꿔 빼면 제2항등식이 되고, 이 대칭형이 1.8 그린 함수와 2.2 경계값 문제에서 경계조건을 다루는 도구가 된다.

$$\iiint_V\left(\varphi\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\varphi\right)dV = \oint_{\partial V}\left(\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n} - \psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}\right)dA$$

둘. 정전기 에너지가 두 얼굴을 갖는 이유도 이 조작이다. $\rho = \varepsilon\nabla\cdot\mathbf{E}$ 와 $\mathbf{E}=-\nabla\varphi$ 를 넣고 경계항을 무한대로 보내 버리면

$$U = \frac{1}{2}\iiint \rho\,\varphi\,dV = \frac{\varepsilon}{2}\iiint |\mathbf{E}|^2\,dV$$

가 된다. 왼쪽은 “에너지가 전하에 붙어 있다”는 그림이고 오른쪽은 “에너지가 장 안에 퍼져 있다”는 그림인데, 같은 수다. MOS 커패시터의 축적 에너지를 어느 쪽으로 세든 답이 같은 근거가 이것이다.

셋. 유한요소법의 약형(weak form)이 정확히 이 식이다. 미분을 시험함수 쪽으로 넘기면 해에 요구되는 매끄러움이 한 단계 내려가고, 경계항이 자연스레 노이만 경계조건이 된다. TCAD가 푸아송 방정식을 이산화하는 방식이 이것이고, 각 셀에서 유출입을 맞추는 유한체적법은 발산정리를 그대로 이산화한 것이다(20부).

보존 법칙과 확산 방정식

물리에서 이 정리들이 하는 일은 미분형과 적분형을 오가는 것이다. 전하 보존을 예로 들면, 적분형 “부피 안 전하의 감소율 = 껍질을 통해 나간 전류”에 발산정리를 적용해

$$\nabla\cdot\mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$$

를 얻는다. 여기에 부피 안에서 생기거나 사라지는 몫 $\Gamma$(단위 부피·단위 시간당 순 생성률)를 더하면 일반형이 된다.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = \Gamma$$

반도체 연속방정식이 정확히 이 꼴이다. 전자에 대해 쓰면

$$\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot\mathbf{J}_n + (G - R)$$

이고, 생성항 $\Gamma$ 자리에 들어간 것이 광생성·충돌이온화와 재결합이다. 연속방정식은 물리 법칙이 아니라 회계 항등식이라는 점을 잡아 두면 좋다 — 물질이 사라지는 곳은 경계 아니면 생성·소멸항뿐이라는 말일 뿐이고, 물리는 $\mathbf{J}$ 를 무엇으로 쓰느냐에 들어 있다.

$\mathbf{J}$ 를 기울기로 놓으면 곧바로 확산 방정식이 나온다. 픽의 제1법칙 $\mathbf{J} = -D\nabla C$ (또는 푸리에 법칙 $\mathbf{q}=-k\nabla T$)를 위 식에 넣고 $D$ 를 상수로 보면

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\,\nabla^2 C$$

이다. “흐름은 기울기를 거슬러 흐른다” + “총량은 회계가 맞는다” = 확산 방정식이라는 조립이 이 장이 물리에 건네는 가장 큰 물건이다. 도판트 확산(18.7), 열전달(3.7), 소수 캐리어의 확산 길이(11.5)가 전부 같은 방정식이고, 푸는 방법은 1.7에서 다룬다. 시간 의존성이 없으면 라플라스 방정식으로 내려앉는다.

주의

정리의 전제는 $\mathbf{F}$ 가 영역 안에서 매끄러울 것이다. 점전하의 $1/r^2$ 장처럼 특이점이 있으면 그대로 적용할 수 없다. 원점을 포함하는 반지름 $R$ 인 구에 대해 $\nabla\cdot(\hat{r}/r^2)$ 을 순진하게 계산하면 0이 나오지만, 선속을 직접 세면 $R$ 에 무관하게 $4\pi$ 다.

$$\oint_S \frac{\hat{r}}{r^2}\cdot d\mathbf{A} = \int_0^{\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\frac{1}{R^2}\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 4\pi$$

$R$ 을 아무리 줄여도 $4\pi$ 라는 것은 기여가 전부 원점 한 점에서 온다는 뜻이다. 어디서나 0인데 적분하면 유한한 양 — 이 간극을 메우는 것이 디랙 델타 함수이고, 정확히는

$$\nabla\cdot\frac{\hat{r}}{r^2} = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r}), \qquad \nabla^2\frac{1}{r} = -4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$$

이다. 둘째 식은 $\nabla(1/r) = -\hat{r}/r^2$ 에서 곧바로 따라 나오고, 라플라시안의 그린 함수가 $-1/4\pi r$ 이라는 말이다 — 앞에서 $\nabla^2 r^n$ 이 $n=-1$ 에서만 0이 된 것의 정확한 결말이다. 1.8 그린 함수와 2.1 정전기학에서 본격적으로 다룬다.

곡선좌표계

직관

직교좌표의 기저벡터 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 는 공간 어디서나 같은 방향을 본다. 원통좌표나 구좌표의 기저벡터는 그렇지 않다 — $\hat{\rho}$ 는 점마다 다른 방향이다. 그래서 미분할 때 성분만 미분해서는 안 되고, 기저벡터가 회전하는 몫이 항으로 따라 나온다. $\nabla$ 공식에 붙는 여분의 항들은 전부 여기서 온다.

또 하나, 좌표값과 실제 거리가 다르다. $\phi$ 를 $d\phi$ 만큼 움직였을 때 실제로 이동한 거리는 $d\phi$ 가 아니라 $\rho\,d\phi$ 다. 척도인자 $h_i$ 는 좌표 눈금을 실제 길이로 바꾸는 환율이라고 읽으면 된다. 그리고 이 환율 하나만 알면 $\nabla$ 의 모든 형태가 기계적으로 따라온다.

직교 곡선좌표 $(q_1,q_2,q_3)$ 에서 미소 변위를 다음과 같이 쓴다.

$$d\mathbf{r} = \sum_{i} h_i\,dq_i\,\hat{e}_i, \qquad h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}\right| = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_i}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial q_i}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial q_i}\right)^2}$$

척도인자가 어디서 오는지는 선요소를 새 좌표로 옮겨 적어 보면 보인다. $dx = \sum_i (\partial x/\partial q_i)dq_i$ 등을 $ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2$ 에 넣고 정리하면

$$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}\,dq_i\,dq_j, \qquad g_{ij} = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_j}$$

가 되는데, $g_{ij}$ 를 계량(metric)이라 한다. 좌표축이 서로 직교하면 $i\ne j$ 인 항이 전부 0이 되어 $ds^2 = \sum_i h_i^2\,dq_i^2$, 즉 $g_{ii}=h_i^2$ 로 대각만 남는다. 이 절이 직교좌표계만 다루는 이유가 이것이다 — 비직교 좌표에서는 $g_{ij}$ 를 전부 들고 다녀야 하고, 그것이 1.13 텐서해석의 출발점이다.

두 좌표계의 척도인자는 다음과 같다.

$$\text{원통}\ (\rho,\phi,z):\quad h_\rho=1,\ \ h_\phi=\rho,\ \ h_z=1$$ $$\text{구}\ (r,\theta,\phi):\quad h_r=1,\ \ h_\theta=r,\ \ h_\phi=r\sin\theta$$

그림 1.1-7. 척도인자의 뜻. 미소 요소의 변의 길이는 좌표 증분 dq가 아니라 h dq 다. 구좌표에서 φ 방향의 길이가 r dφ 가 아니라 r sinθ dφ 인 것은, 그 방향으로 도는 위도원의 반지름이 r 이 아니라 r sinθ 이기 때문이다. 오른쪽 육면체의 세 변은 서로 다른 세 방향 — 바깥으로 뻗는 반경, 자오선을 따라 내려가는 방향, 위도원을 따라 도는 방향 — 을 향한다. 증분은 보이도록 과장해 그렸다.직접 작도

부피 요소는 세 변의 길이를 곱한 것이다.

$$dV = h_1h_2h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3$$

구좌표에 넣으면 $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$ 로 앞 절의 결과가 그대로 나온다. 같은 요령으로 선적분과 면적분의 요소도 나온다 — 길이는 $h_i\,dq_i$, 넓이는 그중 둘의 곱이다.

$$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \sum_i \int_C F_i\,h_i\,dq_i, \qquad d\mathbf{A}\big|_{q_1=\text{const}} = h_2h_3\,dq_2\,dq_3\ \hat{e}_1$$

척도인자 세 개가 이 절의 전부라고 해도 지나치지 않다. 길이·넓이·부피 요소와 네 개의 미분 연산자가 전부 $h_i$ 에서 기계적으로 따라 나온다.

미분 연산자

기울기는 정의 $d\varphi = \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}$ 에 위 표현을 넣으면 즉시 나온다.

$$\nabla\varphi = \sum_i \frac{1}{h_i}\frac{\partial\varphi}{\partial q_i}\,\hat{e}_i$$

발산과 라플라시안은 발산의 극한 정의를 좌표면으로 만든 미소 상자에 적용해서 얻는다. 면의 넓이가 $h$ 들의 곱이 되기 때문에 다음 형태가 된다.

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i \frac{\partial}{\partial q_i}\!\left(\frac{h_1h_2h_3}{h_i}F_i\right)$$ $$\nabla^2\varphi = \frac{1}{h_1h_2h_3}\sum_i \frac{\partial}{\partial q_i}\!\left(\frac{h_1h_2h_3}{h_i^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial q_i}\right)$$

회전은 행렬식 꼴로 기억하는 편이 낫다.

$$\nabla\times\mathbf{F} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \begin{vmatrix} h_1\hat{e}_1 & h_2\hat{e}_2 & h_3\hat{e}_3 \\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial q_1} & \dfrac{\partial}{\partial q_2} & \dfrac{\partial}{\partial q_3} \\[4pt] h_1F_1 & h_2F_2 & h_3F_3 \end{vmatrix}$$

이 공식들은 외우는 대상이 아니라 유도가 보여야 하는 대상이다. 척도인자만 손에 있으면 넷 다 몇 줄로 다시 세울 수 있다. 다만 라플라시안 둘은 실제로 쓸 일이 잦으니 풀어 적어 둔다.

$$\nabla^2 = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\right) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \qquad(\text{원통})$$ $$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \qquad(\text{구})$$

각 항 앞의 $1/\rho$, $1/r^2$, $1/\sin\theta$ 는 미소 상자의 면 넓이가 위치에 따라 달라지기 때문에 붙는 것이지 임의의 장식이 아니다. 구좌표 라플라시안의 반경 항만 남기면 앞에서 본 $\varphi''+2\varphi'/r$ 이 나오고, 각 항 둘을 묶은 것이 1.5 구면조화함수의 고유값 문제가 된다. 두 식은 1.7에서 변수분리로 다시 쓴다.

주의

곡선좌표에서 흔한 실수 두 가지.

첫째, $\hat{e}_\rho$ 와 $\hat{e}_\phi$ 는 위치의 함수라서 미분과 적분의 밖으로 뺄 수 없다. 0이 아닌 미분은 원통좌표에서 둘뿐이다.

$$\frac{\partial\hat{e}_\rho}{\partial\phi} = \hat{e}_\phi, \qquad \frac{\partial\hat{e}_\phi}{\partial\phi} = -\hat{e}_\rho$$

구좌표에서는 다섯이다.

$$\begin{gathered} \frac{\partial\hat{e}_r}{\partial\theta}=\hat{e}_\theta,\quad \frac{\partial\hat{e}_\theta}{\partial\theta}=-\hat{e}_r,\quad \frac{\partial\hat{e}_r}{\partial\phi}=\sin\theta\,\hat{e}_\phi \\[4pt] \frac{\partial\hat{e}_\theta}{\partial\phi}=\cos\theta\,\hat{e}_\phi,\quad \frac{\partial\hat{e}_\phi}{\partial\phi}=-\sin\theta\,\hat{e}_r-\cos\theta\,\hat{e}_\theta \end{gathered}$$

전부 길이가 고정된 벡터의 미분은 자기 자신과 수직이라는 보조정리를 만족한다. $\nabla$ 공식에 붙는 여분의 항은 이 표에서 나온 것이지 다른 데서 온 것이 아니다.

둘째, $\nabla^2\mathbf{F}$ 를 성분별 라플라시안으로 계산하면 틀린다. 직교좌표에서만 $\nabla^2\mathbf{F} = (\nabla^2F_x,\nabla^2F_y,\nabla^2F_z)$ 이고, 곡선좌표에서는 항등식 $\nabla^2\mathbf{F} = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{F})$ 로 돌아가야 한다.

좌표계 선택은 취향이 아니라 대칭성의 문제다. 원형 게이트, 비아, GAA 나노와이어의 반경 방향 푸아송 방정식은 원통좌표에서 1차원 문제가 되고, 점 결함 주위의 확산이나 구형 접합은 구좌표에서 그렇게 된다. 대칭성에 맞는 좌표를 고르면 3차원 편미분방정식이 상미분 방정식으로 내려간다 — 1.7에서 변수분리로 다시 만난다.

퍼텐셜 이론

직관

벡터장은 성분이 세 개라 다루기 번거롭다. 스칼라 하나로 줄일 수 있으면 문제가 훨씬 쉬워진다. 그것이 가능한 조건이 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 이고, 그때의 스칼라가 퍼텐셜이다. 반대로 발산이 없는 장은 벡터퍼텐셜의 회전으로 줄일 수 있다.

여기서 한 걸음 더 나가면 이 장 전체의 결론이 나온다. 벡터장은 발산과 회전을 지정하고, 경계에서의 값을 하나 더 주면 결정된다(헬름홀츠 정리). 그러니 어떤 벡터장을 물리적으로 규정한다는 것은 “어디에 샘이 있고 어디에 소용돌이가 있으며 경계에서 어떻게 행동하는가”를 말하는 일이다.

맥스웰 방정식이 왜 하필 네 개인지가 여기서 설명된다 — $\mathbf{E}$ 의 발산과 회전, $\mathbf{B}$ 의 발산과 회전. 경계조건까지 얹으면 그것으로 두 장이 완전히 결정되기 때문이다.

두 개의 동치 목록

선적분 절에서 회전 없는 장에 대한 네 조건의 동치를 봤다. 발산 없는 장에도 차원만 한 칸 올린 똑같은 목록이 있고, 두 목록을 나란히 놓고 보는 것이 이 절의 핵심이다.

	비회전 (irrotational)	솔레노이드 (solenoidal)
미분 조건	$\nabla\times\mathbf{F}=0$	$\nabla\cdot\mathbf{F}=0$
적분의 무관성	$\int_a^b\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}$ 가 경로에 무관	$\iint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}$ 가 곡면에 무관
닫힌 것 위의 적분	$\oint_C\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0$ (닫힌 곡선)	$\oint_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{A}=0$ (닫힌 곡면)
퍼텐셜	$\mathbf{F}=-\nabla\varphi$ (스칼라)	$\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{A}$ (벡터)
퍼텐셜의 자유도	상수 $+c$	기울기 $+\nabla\chi$
정리	스토크스	발산정리

퍼텐셜 줄의 음부호는 물리 쪽 관례다. 선적분 절의 조건 3은 $\mathbf{F}=\nabla\varphi$ 였는데, 물리에서는 “높은 데서 낮은 데로”를 자연스럽게 읽으려고 $\varphi$ 의 부호를 뒤집어 쓴다. 부호만 다르고 내용은 같다.

왼쪽 열은 선적분과 스토크스 정리로, 오른쪽 열은 면적분과 발산정리로 돌아간다. “닫힌 것 위의 적분이 0” $\Rightarrow$ “경계만 같으면 값이 같다”라는 논증도 양쪽이 같다 — 두 경로를 이어 붙이면 닫힌 고리가 되고, 두 곡면을 이어 붙이면 닫힌 껍질이 된다.

퍼텐셜의 자유도가 물리량을 바꾸지 않는 자유도라는 것이 게이지 자유도이고, 2.9에서 쿨롱 게이지와 로렌츠 게이지로 다시 나온다.

영역의 모양에 붙는 단서도 나란하다. 왼쪽 열에서 “미분 조건 $\Rightarrow$ 퍼텐셜”이 성립하려면 영역 안의 모든 닫힌 곡선이 영역 안의 곡면을 경계로 가져야 하고 (단순연결), 오른쪽 열에서는 영역 안의 모든 닫힌 곡면이 영역 안의 부피를 경계로 가져야 한다. 한 차원씩 올라간 같은 말이다. 오른쪽의 반례가 바로 원점을 뺀 공간 위의 $\hat{r}/r^2$ 로, 발산이 0인데도 벡터퍼텐셜이 없다 — 원점을 감싸는 구면 위의 선속이 $4\pi$ 라 세 번째 줄이 깨지기 때문이다. 자기 홀극이 존재한다면 $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ 를 쓸 수 없는 이유가 이것이다.

헬름홀츠 정리

무한대에서 충분히 빨리 감쇠하는 벡터장은 회전 없는 부분과 발산 없는 부분의 합으로 유일하게 쪼개진다.

$$\mathbf{F} = -\nabla\varphi + \nabla\times\mathbf{A}$$

앞 항을 세로 성분, 뒤 항을 가로 성분이라 부르기도 한다. 푸리에 공간에서 보면 이름이 설명된다 — 앞 항은 파수벡터 $\mathbf{k}$ 에 나란하고($-i\mathbf{k}\tilde\varphi$), 뒤 항은 $\mathbf{k}$ 에 수직이다($i\mathbf{k}\times\tilde{\mathbf{A}}$).

두 퍼텐셜은 추상적으로 존재만 하는 것이 아니라 명시적으로 적을 수 있다. $s = \nabla\cdot\mathbf{F}$ 를 샘 밀도, $\mathbf{c} = \nabla\times\mathbf{F}$ 를 소용돌이 밀도라 두면

$$\varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int\frac{s(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,dV', \qquad \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int\frac{\mathbf{c}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,dV'$$

이다. 확인은 $\nabla^2(1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$ 을 넣는 한 줄이다. 첫 식이 정전기학의 $\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\int\rho/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\,dV'$ 이고 둘째 식이 자기학의 $\mathbf{A} = \frac{\mu}{4\pi}\int\mathbf{J}/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|\,dV'$ 다. 쿨롱 적분은 헬름홀츠 정리의 증명 그 자체인 셈이다.

주의

“발산과 회전을 알면 장이 결정된다”를 조건 없이 외우면 틀린다. 반례가 간단하다.

$$\mathbf{F} = yz\,\hat{x} + zx\,\hat{y} + xy\,\hat{z}$$

는 어디서나 $\nabla\cdot\mathbf{F}=0$ 이고 $\nabla\times\mathbf{F}=0$ 인데 $\mathbf{F}\ne 0$ 이다($\mathbf{F}=\nabla(xyz)$). 발산과 회전이 똑같이 0인 장이 $\mathbf{0}$ 말고도 있다는 뜻이다.

빠진 것은 경계조건이다. 정확한 진술은 이렇다 — 단순연결 영역에서 발산과 회전, 그리고 경계에서의 법선 성분을 주면 벡터장이 유일하게 결정된다. 무한 영역에서는 “무한대에서 충분히 빨리 0으로 간다”가 그 자리를 대신한다. 위 반례는 무한대에서 발산하므로 이 조건을 만족하지 않는다.

증명은 두 해의 차 $\mathbf{Q}$ 를 잡는 것이다. $\mathbf{Q}$ 는 발산·회전이 모두 0이라 $\mathbf{Q}=-\nabla\chi$ 이면서 $\nabla^2\chi=0$ 이고, 경계에서 법선 성분이 0이므로 그린 제1항등식이 $\iiint|\nabla\chi|^2 dV = 0$ 을 준다. 적분되는 것이 음이 아니므로 $\mathbf{Q}\equiv 0$ 이다.

라플라스 방정식과 조화함수

$\mathbf{F}=-\nabla\varphi$ 를 발산 조건에 대입하면 2계 편미분방정식이 나온다.

$$\nabla\cdot\mathbf{F} = -\nabla^2\varphi \ \ \Longrightarrow\ \ \nabla^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon} \quad(\text{푸아송}), \qquad \nabla^2\varphi = 0 \quad(\text{라플라스})$$

라플라스 방정식의 해를 조화함수라 하고, 세 가지 성질이 결정적이다.

• 선속 성질 — 임의의 닫힌 곡면에 대해 $\oint \partial\varphi/\partial n\,dA = 0$ 이다. 그린 제1항등식에 $\psi=\varphi$, $\nabla^2\varphi=0$ 을 넣으면 곧바로 나온다. 안에 샘이 없으니 껍질을 통한 순 유출도 없다는 말이다.
• 평균값 성질 — 한 점 $P$ 에서의 값은 $P$ 를 중심으로 한 임의의 구면 위 평균과 같다. 그린 제2항등식의 두 함수를 $\varphi$ 와 $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_P|$ 로 잡고 $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ 을 쓰면 증명된다.
• 최대원리 — 조화함수는 영역 내부에 극대·극소를 가질 수 없다. 최댓값과 최솟값은 반드시 경계에서 나타난다. 평균값 성질의 따름결과다 — 내부의 한 점이 주위 평균과 같은데 그 점이 극대일 수는 없다.

여기서 유일성 정리가 따라 나온다. 경계에서 값이 같은 두 해의 차이는 경계에서 0인 조화함수이고, 내부에 극값이 없으므로 전체가 0이다. 즉 경계조건이 해를 완전히 결정한다. 2.2 경계값 문제와 영상법 전체가 이 사실 위에 서 있다.

최대원리를 거치지 않는 더 짧고 잘 늘어나는 증명이 하나 더 있다. 두 해의 차를 $u$ 라 하고 그린 제1항등식에 $\varphi=\psi=u$ 를 넣으면, 경계에서 $u=0$ 이므로 우변이 사라져

$$\iiint_V |\nabla u|^2\,dV = 0$$

이 된다. 적분되는 것이 음이 아니므로 $\nabla u \equiv 0$, 즉 $u$ 는 상수이고 경계값이 0이니 $u\equiv0$ 이다. 이것을 에너지 논법이라 하는데, 최대원리와 달리 $\nabla^2 u = 0$ 이 아닌 경우로도 그대로 확장된다 — 바로 다음 의문에서 쓴다.

의문

평균값 성질을 그대로 읽으면 “전하가 없는 곳에는 전위의 우물이 생길 수 없다”가 된다. 그런데 소자에서는 전위 우물이 흔하다 — 이는 그 자리에 공핍 전하나 계면 전하가 실제로 있기 때문이지 예외가 아니다.

정말로 확인이 필요한 것은 다른 쪽이다. 반도체의 푸아송 방정식은 $\nabla^2\psi = -q(p-n+N_D^+-N_A^-)/\varepsilon$ 인데, 우변의 $n$ 과 $p$ 가 다시 $\psi$ 의 함수($n \propto e^{q\psi/kT}$, $p \propto e^{-q\psi/kT}$)라서 비선형이다. 최대원리는 이 경우 그대로 쓸 수 없다. 그러면 유일성은 어떻게 되는가?

에너지 논법이 그대로 통한다. 방정식을 $\nabla^2\psi = f(\psi)$ 로 적으면 $f$ 는 $\psi$ 에 대해 단조증가다 — $\psi$ 가 오르면 $n$ 은 지수적으로 늘고 $p$ 는 줄어드니 $f = q(n-p-N_D^++N_A^-)/\varepsilon$ 가 반드시 는다. 같은 경계값을 갖는 두 해의 차를 $u=\psi_1-\psi_2$ 라 두고 $\nabla^2 u = f(\psi_1)-f(\psi_2)$ 에 $u$ 를 곱해 적분하면, 좌변은 그린 제1항등식으로 $-\iiint|\nabla u|^2 dV$ 이고 우변은 단조성 때문에 $(f(\psi_1)-f(\psi_2))(\psi_1-\psi_2)\ge 0$ 이라 음이 아니다. 따라서 $\iiint|\nabla u|^2 dV \le 0$ 이고 $u\equiv0$ 이다. 비선형성이 유일성을 깨지 않는 이유는 지수함수의 단조성 하나이고, 이 논증은 $f$ 가 단조증가이기만 하면 통한다.

남는 물음은 그 다음이다. 유일성은 해가 하나뿐이라는 말이지 찾기 쉽다는 말이 아니다. TCAD가 이 방정식을 뉴턴법으로 푸는데, 우변의 지수함수 때문에 야코비안이 $e^{q\psi/kT}$ 규모로 커져 초기 추정이 조금만 어긋나도 발산한다. 유일성 증명의 $\iiint|\nabla u|^2$ 이 수렴 반경에 대해 무엇을 말해 주는지 — 혹은 아무것도 말해 주지 않는지 — 는 여기서 답하지 못했다. 20부 TCAD의 수렴 문제에서 다시 볼 것.

반도체 소자 정전기학은 사실상 전부 이 절의 응용이다. 전위 $\psi(\mathbf{r})$ 하나를 풀면 $\mathbf{E}=-\nabla\psi$ 로 전기장이 나오고, 밴드 다이어그램은 $-q\psi$ 를 세로축에 그린 것이며, 공핍 근사는 푸아송 방정식의 우변을 상수로 놓고 두 번 적분한 결과다.

이 장이 쓰이는 곳

• 1.2 선형대수
• 1.3 행렬 고유값 문제